Plano-cartesiano.ppt

PLANO CARTESIANO

COORDENADAS 

Las Coordenadas son grupos de números que describen una posición: posición a lo largo de una línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y longitud o la declinación y ascensión recta, son sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera: en el globo de la Tierra o en el globo de los cielos.

UN POCO DE HISTORIA 

El sistema de coordenadas cartesianas fue conocido con el nombre de René Descartes, un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números.

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL 

El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen").

PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está determinado por dos rectas llamadas ejes de coordenadas: El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas. El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.

X

El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas

El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas

y

DEFINICIÓN DE ABSCISA Y ORDENADA 



Abscisas: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas. Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

PAR ORDENADO Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

CUADRANTES Los ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes

SIGNOS DE LOS PARES ORDENADOS EN LOS CUADRANTES Y

Cuadrante II

(-,+)

( x, y )

Cuadrante I

(+,+) X Origen

Cuadrante III

(-,-)

Cuadrante IV

(+,-)

Ejemplo de Par Ordenado Ejemplo: En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

GRÁFICA DE PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO A cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales.

Ejercicios resueltos: Y

Par Ordenado ( 3 , 5) 0

5 4 3 2 1 1

Origen

(3,5)

2 3 4

X

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano: Y A ( 2 , 3) B (-3 , 4) C (-3 , -2) D ( 3 , 0)

B ( -3 , 4 )

- 4 - 3 -2

C ( -3 , -2 )

4 3 2 1

-1

0 -1 -2 -3 -4

( 2 , 3 )A (3,0)D 1

2

3

4

X

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas( x, y ) Ejemplo # 1 Si x = 0 Si x = 1 Si x = 5 Si x = -1

y = - 3x + 5

(0,5) y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 ( 1 , 2 ) y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 ) y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8 ( -1, 8 )

Continuación I Y

X Y 0 5 1 2 5 -10 -1 8

10 (-1, 8) 8 6 4 2

-10 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 Gráficamente estos -6 fueron los pares -8 ordenados que se -10 formaron.

(0, 5) (1, 2) 2

4

6

8 10

(5, 10)

X

Continuación II Ejercicio # 2

y = 4x + 2

( x, y )

Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2

(0,2)

Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 ) Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 ) Variable independiente

X 0 1 -1

Y 2 6 -2

Variable dependiente

Continuación III X 0 1 -1

Y

Y 2 6 -2

(0,2)

(1,6)

1 -5(-1,-4 -3 -2 -1

Los pares ordenados formados son estos.

6 5 4 3 2

2)

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

1

2 3 4

5

X

Ejercicios resueltos con dos variables

* Despejar para y *

X 0

2x + 5y = 10 Si x = 0 2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10 5y / 5 = 10/ 5

y=2

Y 2

* Despejar para y * X 0 5

2x + 5y = 10 Si x = 5 2( 5 ) + 5y = 10 10 + 5y = 10 5y = 0

5y = 10 - 10

Y 2 0

Continuación, ejercicio anterior * Despejar para y * X 0 5 -5

2x + 5y = 10 Si x = -5 2( -5 ) + 5y = 10 -10 + 5y = 10

5y = 10 + 10

5y = 20 5y/5 = 20/5

y=4

Y 2 0 4

Continuación B Y

X 0 5 -5

Y 2 0 4

(-5,4)

5 4 3 2

(0,2)

1 -5

-4

-3

-2

-1

0 -1 -2

Estos son los pares ordenados que se formaron.

-3 -4 -5

1

2

3

4

5

X

(5,0)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS SOBRE UN EJE 

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas: |x2 – x1|



Ejemplo: La distancia entre los puntos (- 4, 0) y (5, 0) es 5 – (-4) = 9 unidades

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS CUALESQUIERA Ejemplo: En una carta de navegación el origen se sitúa en un puerto. Un barco se encuentra en el punto (-5, 6) y otro en el (2, 3). ¿Qué distancia hay entre ellos, si las unidades de la carta corresponden a kilómetros?

Solución: Construimos el triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa al segmento que une los puntos (-5,6) y (2,3), como se muestra en la siguiente figura.

Las longitudes de los catetos son: 2  (5)  7 36 3

Recordemos que el teorema de Pitágoras establece: “En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. 7  3  49  9 2

2

58  7.6 Los dos barcos se encuentran a una distancia que es aproximadamente de 7.6 kilómetros.

Ahora, sean A(x1,y1) y B(x2,y2), dos puntos cualesquiera cuyas parejas de coordenadas se encuentran en el plano cartesiano como se muestra en la figura.

Se tiene también un punto C de coordenadas (x2,y1). Al fragmentar la recta por los puntos dados se tiene:

AC  x2  x1 CB  y 2  y1

Además la distancia que se busca es la comprendida por el segmento: AB  d AB

El punto C servirá de referencia para construir un triángulo rectángulo ACB, de donde se puede establecer con el teorema de Pitágoras. AC  CB  AB 2

2

2

Reconocemos aquí los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sustituyendo se tiene:

AC  x2  x1 CB  y 2  y1

d AB   x2  x1    y 2  y1  2

2

2

Como interesa saber la distancia, se toma la raíz cuadrada de ambos miembros, para eliminar los cuadrados. d AB 

x

 x1    y 2  y1  2

2

2

Ejercicio. Calcular la distancia entre los puntos A y B cuyas coordenadas son (3, 2) y (-3, -1) respectivamente.

Solución:

Paso 1 Traza un plano cartesiano Paso 2 Coloca en él los puntos dados y únelos para visualizar la distancia a calcular. Paso 3 Se designa al punto A como inicial y se aplica la fórmula dada. d AB 

 3    3 

d AB  45

2

  2    1 

2

O bien, si designamos a B como el punto inicial se tiene: d BA 

  3  3

2

   1  2

2

d BA  45

Como puedes observar la distancia es la misma. No pueden obtenerse resultados diferentes. Respeta los signos negativos de la fórmula así como los valores de cada par de coordenadas, recuerda que esto te evitará cometer errores.

Ejemplo: A (2, 1)

B (-3, 2)

Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos A(7, 5) y B (4, 1).

d = 5 unidades

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA 

Dividir un segmento AB en una relación dada r es el determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Si C1(x1, y1) y C2(x2, y2) son los extremos de un segmento de recta, y además un punto C(x, y) divide a tal segmento en una razón dada por la expresión que se muestra a continuación, r  C1C

C2C

se puede decir que las coordenadas del punto C están dadas por: x1  rx2 y1  ry 2 x ,y ; r  1 1 r 1 r

Demostración Considere la figura

Por triángulos semejantes

C1C r CC 2 x  x1 r x2  x

Al despejar x

rx 2  rx  x  x1

Factorizando

x(1  r )  x1  rx2

Finalmente se tiene:

x

x1  rx2 1 r

Análogamente para y

y1  ry 2 y 1 r

Que corresponde a las coordenadas del punto C(x, y)

Ejemplo: Encuentre la pareja de coordenadas de un punto A, que divide al segmento determinado por E(-1, 6) y F(3, -3) en la razón r = ¾.

Solución La coordenada x, según la expresión

x

x1  rx2 1 r

Análogamente para la coordenada y,

y

y1  ry 2 1 r

Las coordenadas del punto A serán

 5 15   ,   7 7

Punto medio de un segmento de recta Un caso particular que encontramos, es cuando r = 1, en las ecuaciones: x

x1  rx2 1 r

y

y1  ry 2 1 r

Dichas ecuaciones se reducen a lo siguiente: x1  x2 x 2

y1  y 2 y 2

Que se conoce como punto medio

Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto medio del segmento comprendido por los puntos C(3, 6) y D(-4, -2). Solución: Identificando al punto C como punto inicial se tiene: x

34 1  2 2

y

62 2 2

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son:  1  A    ,2   2 