Problema Resuelto Parrillas
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
EJERCICIO N° 0..
Resuelva completamente la parrilla mostrada, por el método matricial de los desplazamientos.
GJt 1000tn m2
EIz 1000tn m2
W 2tn / m
2. De acuerdo con la numeración de mayor a menor calculamos el sentido de las flechas.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
3. Determinemos los grados de libertad de la parrilla:
Por lo tanto cada nodo de la parrilla tiene tres grados de libertad. 4. Condición de apoyo {𝐷1} = {0} {𝐷3} = {0} 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷1 𝐷3 = 0 { }= 𝐷7 0 𝐷3 𝐷8 0 {𝐷9} {0} 5. nudos que nos interesan para el análisis: 𝐷4 𝐷5 {𝐷2} {𝐷} = { } = 𝐷6 𝐷10 {𝐷4} 𝐷11 {𝐷12}
𝑄4 𝑄5 {𝑄2} 𝑄6 {𝑄} = { }= 𝑄10 {𝑄4} 𝑄11 {𝐷12}
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
6. COMPATIBILIDAD Tenemos la ecuación de compatibilidad:
Barra 1 0 0 𝑑1 𝐷1 {0} {𝑑}1 = { } = { } = { } = 0 𝐷4 𝑑2 𝐷2 𝐷2 𝐷5 {𝐷6} Barra 2 0 0 𝑑3 𝐷3 {0} 0 {𝑑}2 = { } = { } = { }= 𝐷10 𝑑4 𝐷4 {𝐷4} 𝐷11 {𝐷12}
Barra 3
𝐷4 𝐷5 𝑑2 𝐷2 {𝐷2} {𝑑}3 = { } = { } = { } = 𝐷6 𝐷10 𝑑4 𝐷4 {𝐷4} 𝐷11 {𝐷12} 7. RELACIÓN (FUERZA- DESPLAZAMIENTO)
Barra 1 {Q2}1=[k21]{D1}+ [k22]{D2} 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
Como [k21]{D1}=0 → 𝑞1 𝑘 {𝑞 } = ( 11 𝑘21 2
{Q2}1=[k22]{D2}
𝑘21 𝐷1 ){ } 𝑘22 𝐷2
Barra 2 {Q2}2=[k21]{D3}+ [k22]{D4} 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
Como [k21]{D3}=0 → 𝑞1 𝑘 {𝑞 } = ( 11 𝑘21 2
𝑘21 𝐷3 ){ } 𝑘22 𝐷4
Barra 3 {Q1}3=[k11]{D2}+ [k12]{D4} {Q2}3=[k21]{D2}+ [k22]{D4} 𝑞1 𝑘 {𝑞 } = ( 11 𝑘21 2
𝑘21 𝐷2 ){ } 𝑘22 𝐷4
8. RELACIONES DE EQUILIBRIO
{Q2}2=[k22]{D2}
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
{Q2}={q2}1+{q1}3
9. MATRIZ DE BARRA EN EL SISTEMA LOCAL
BARRA 1
{q´} =[k’]{d´} 𝑞′ 𝑘′ { 1 } = ( 11 𝑞′2 𝑘′21 𝑘′ ( 11 𝑘′21
𝑘′21 𝐷′2 ){ } 𝑘′22 𝐷′4
𝑘′21 ) = 𝑘′ 𝑘′22
Si: GJt =1000 tn-m2 EIz = 1000 tn- m2 L=4 m Entonces: 𝐺𝐽𝑡 1000 =( ) = 250 𝑙 4 12 ∗ 𝐸𝐼𝑧 12 ∗ 1000 =( ) = 187.5 3 𝑙 43 6 ∗ 𝐸𝐼𝑧 6 ∗ 1000 = ( ) = 375 𝑙2 44 4 ∗ 𝐸𝐼𝑧 4 ∗ 1000 =( ) = 1000 𝑙 4 2 ∗ 𝐸𝐼𝑧 2 ∗ 1000 =( ) = 500 𝑙 4
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
250 0.00 0.00 187.5 375 [𝑘1, ] = 0.00 −1000 0.00 0.00 −187.5 [ 0.00 −375
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 0.00 −187.5 −375 0.00 −375 500 1000 0.00 0.00 0.00 187.5 −375 0.00 −375 1000 ]
Calculo de [R] α = 0°
1 0 [𝑅] = [0 1 0 0
0 0] 1
Sustituimos [R] en [B] [𝐵] = [
[𝑅] [0] ] [0] [𝑅]
1 0 [𝐵] = 0 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
1 0 0 [𝐵]𝑇 = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
Calculamos [B]T
Por contragradiencia: {𝑑, } = [𝐵]𝑇 {𝑑} Por lo tanto: [𝑘] = [𝐵][𝑘′][𝐵]𝑇 [𝑘]1 1 0 0 = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 250 0 0.00 0 0.00 0 −1000 0 0.00 1] [ 0.00
0.00 187.5 375 0.00 −187.5 −375
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 1000 0.00 0.00
0.00 −187.5 −375 0.00 187.5 −375
0.00 1 −375 0 500 0 0.00 0 −375 0 1000 ] [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
250 0.00 0.00 187.5 375 [𝑘]1 = 0.00 −1000 0.00 0.00 −187.5 [ 0.00 −375
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 1000 0.00 0.00
0.00 −187.5 −375 0.00 187.5 −375
0.00 −375 500 0.00 −375 1000 ]
Barra 2
{q´} =[k’]{d´} 𝑞′ 𝑘′ { 1 } = ( 11 𝑞′2 𝑘′21 𝑘′ ( 11 𝑘′21
𝑘′21 𝑑′1 ){ } 𝑘′22 𝑑′2
𝑘′21 ) = 𝑘′ 𝑘′22
Si: GJt =1000 tn-m2 EIz = 1000 tn- m2 L=6 m Entonces: 𝐺𝐽𝑡 1000 =( ) = 166.67 𝑙 6 12 ∗ 𝐸𝐼𝑧 12 ∗ 1000 =( ) = 55.56 3 𝑙 63 6 ∗ 𝐸𝐼𝑧 6 ∗ 1000 =( ) = 1664.67 2 𝑙 62 4 ∗ 𝐸𝐼𝑧 4 ∗ 1000 =( ) = 666.67 𝑙 6 2 ∗ 𝐸𝐼𝑧 2 ∗ 1000 =( ) = 333.33 𝑙 6
166.67 0.00 0.00 55.56 0.00 166.67 [𝑘1, ] = −166.67 0.00 0.00 −55.56 [ 0.00 166.67
0.00 166.67 666.67 0.00 −166.67 333.33
−166.67 0.00 0.00 166.67 0.00 0.00
0.00 0.00 −55.56 −166.67 166.67 333.33 0.00 0.00 55.56 166.67 166.67 666.67 ]
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{q}= [B] {q’} {
{𝑞1 } 𝑅 }=[ {𝑞2 } 0
0 {𝑞′1 } ]{ } 𝑅 {𝑞′2 }
11. Calculo de [R]
Calculo de [R] α = 0°
1 0 [𝑅] = [0 1 0 0
0 0] 1
Sustituimos [R] en [B] [𝐵] = [
[𝑅] [0] ] [0] [𝑅]
1 0 [𝐵] = 0 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
1 0 0 𝑇 [𝐵] = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
Calculamos [B]T
Por contragradiencia: {𝑑, } = [𝐵]𝑇 {𝑑}
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Por lo tanto: [𝑘] = [𝐵][𝑘′][𝐵]𝑇
[𝑘]2 1 0 0 = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 250 0 0.00 0 0.00 0 −1000 0 0.00 1] [ 0.00
166.67 0.00 [𝑘]2 = 0.00 −1000 0.00 [ 0.00
Barra 3
{q´} =[k’]{d´} 𝑞′ 𝑘′ { 1 } = ( 11 𝑞′2 𝑘′21
𝑘′21 𝑑′1 ){ } 𝑘′22 𝑑′2
Si: GJt =1000 tn-m2 EIz = 1000 tn- m2 L=4.472 m Entonces:
0.00 187.5 375 0.00 −187.5 −375
0.00 55.56 166.67 0.00 −55.56 −166.67
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 1000 0.00 0.00
0.00 −1000 166.67 0.00 666.67 0.00 0.00 1000 −166.67 0.00 333.33 0.00
0.00 −187.5 −375 0.00 187.5 −375
0.00 1 −375 0 500 0 0.00 0 −375 0 1000 ] [0
0.00 −55.56 −166.67 0.00 55.56 −166.67
0 1 0 0 0 0
0.00 −166.67 333.33 0.00 −166.67 666.67 ]
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
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𝐺𝐽𝑡 1000 =( ) = 223.607 𝑙 4.472 12 ∗ 𝐸𝐼𝑧 12 ∗ 1000 =( ) = 134.164 3 𝑙 4.4723 6 ∗ 𝐸𝐼𝑧 6 ∗ 1000 =( ) = 300 2 𝑙 4.4722 4 ∗ 𝐸𝐼𝑧 4 ∗ 1000 =( ) = 844.427 𝑙 4.472 2 ∗ 𝐸𝐼𝑧 2 ∗ 1000 =( ) = 467.214 𝑙 4.472
{q}= [B] {q’} {
{𝑞1 } 𝑅 }=[ {𝑞2 } 0
0 {𝑞′1 } ]{ } 𝑅 {𝑞′2 }
15. Calculo de [R]:
Concluyendo : α = 63.4349° Cos(63.43°) = 0.446 Sen(63.43°) = 0.895
0.446 [𝑅] = [0.895 0
−0.895 0.446 0
0 0] 1
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Sustituimos [R] en [B] [𝐵] = [ 0.446 0.895 0 [𝐵] = 0 0 [ 0
[𝑅] [0] ] [0] [𝑅]
−0.895 0.446 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.446 0.895 0
0.895 0.446 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.446 −0.895 0
0 0 0 −0.895 0.446 0
0 0 0 0 0 1]
0 0 0 0.895 0.446 0
0 0 0 0 0 1]
Calculamos [B]T
0.446 −0.895 0 [𝐵]𝑇 = 0 0 [ 0
Por contragradiencia: {𝑑, } = [𝐵]𝑇 {𝑑} Por lo tanto: [𝑘] = [𝐵][𝑘′][𝐵]𝑇
16. ENSAMBLAJE DE MATRICES
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17. Pasando la carga distribuida a los nudos tenemos:
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0 0 0 3.33 2 ∗ √5 0 {𝑄} = 0 0 0 −3.33 2 ∗ √5 [ 0 ] 18. Calculo de los desplazamientos: [D] = [K]-1 * {Q} D4= 0.0095472 D5 = 0.01166 D6= 0.00405 D10= 0.014298 D11= 0.01881 D12 = 0.00206
19. GRÁFICOS.
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EJERCICIO N° 0..
Resuelva completamente la parrilla mostrada, por el método matricial de los desplazamientos.
GJt 1000tn m2
EIz 1000tn m2
W 2tn / m
2. De acuerdo con la numeración de mayor a menor calculamos el sentido de las flechas.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
3. Determinemos los grados de libertad de la parrilla:
Por lo tanto cada nodo de la parrilla tiene tres grados de libertad. 4. Condición de apoyo {𝐷1} = {0} {𝐷3} = {0} 𝐷1 0 𝐷2 0 𝐷1 𝐷3 = 0 { }= 𝐷7 0 𝐷3 𝐷8 0 {𝐷9} {0} 5. nudos que nos interesan para el análisis: 𝐷4 𝐷5 {𝐷2} {𝐷} = { } = 𝐷6 𝐷10 {𝐷4} 𝐷11 {𝐷12}
𝑄4 𝑄5 {𝑄2} 𝑄6 {𝑄} = { }= 𝑄10 {𝑄4} 𝑄11 {𝐷12}
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6. COMPATIBILIDAD Tenemos la ecuación de compatibilidad:
Barra 1 0 0 𝑑1 𝐷1 {0} {𝑑}1 = { } = { } = { } = 0 𝐷4 𝑑2 𝐷2 𝐷2 𝐷5 {𝐷6} Barra 2 0 0 𝑑3 𝐷3 {0} 0 {𝑑}2 = { } = { } = { }= 𝐷10 𝑑4 𝐷4 {𝐷4} 𝐷11 {𝐷12}
Barra 3
𝐷4 𝐷5 𝑑2 𝐷2 {𝐷2} {𝑑}3 = { } = { } = { } = 𝐷6 𝐷10 𝑑4 𝐷4 {𝐷4} 𝐷11 {𝐷12} 7. RELACIÓN (FUERZA- DESPLAZAMIENTO)
Barra 1 {Q2}1=[k21]{D1}+ [k22]{D2} 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
Como [k21]{D1}=0 → 𝑞1 𝑘 {𝑞 } = ( 11 𝑘21 2
{Q2}1=[k22]{D2}
𝑘21 𝐷1 ){ } 𝑘22 𝐷2
Barra 2 {Q2}2=[k21]{D3}+ [k22]{D4} 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
Como [k21]{D3}=0 → 𝑞1 𝑘 {𝑞 } = ( 11 𝑘21 2
𝑘21 𝐷3 ){ } 𝑘22 𝐷4
Barra 3 {Q1}3=[k11]{D2}+ [k12]{D4} {Q2}3=[k21]{D2}+ [k22]{D4} 𝑞1 𝑘 {𝑞 } = ( 11 𝑘21 2
𝑘21 𝐷2 ){ } 𝑘22 𝐷4
8. RELACIONES DE EQUILIBRIO
{Q2}2=[k22]{D2}
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{Q2}={q2}1+{q1}3
9. MATRIZ DE BARRA EN EL SISTEMA LOCAL
BARRA 1
{q´} =[k’]{d´} 𝑞′ 𝑘′ { 1 } = ( 11 𝑞′2 𝑘′21 𝑘′ ( 11 𝑘′21
𝑘′21 𝐷′2 ){ } 𝑘′22 𝐷′4
𝑘′21 ) = 𝑘′ 𝑘′22
Si: GJt =1000 tn-m2 EIz = 1000 tn- m2 L=4 m Entonces: 𝐺𝐽𝑡 1000 =( ) = 250 𝑙 4 12 ∗ 𝐸𝐼𝑧 12 ∗ 1000 =( ) = 187.5 3 𝑙 43 6 ∗ 𝐸𝐼𝑧 6 ∗ 1000 = ( ) = 375 𝑙2 44 4 ∗ 𝐸𝐼𝑧 4 ∗ 1000 =( ) = 1000 𝑙 4 2 ∗ 𝐸𝐼𝑧 2 ∗ 1000 =( ) = 500 𝑙 4
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250 0.00 0.00 187.5 375 [𝑘1, ] = 0.00 −1000 0.00 0.00 −187.5 [ 0.00 −375
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 0.00 −187.5 −375 0.00 −375 500 1000 0.00 0.00 0.00 187.5 −375 0.00 −375 1000 ]
Calculo de [R] α = 0°
1 0 [𝑅] = [0 1 0 0
0 0] 1
Sustituimos [R] en [B] [𝐵] = [
[𝑅] [0] ] [0] [𝑅]
1 0 [𝐵] = 0 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
1 0 0 [𝐵]𝑇 = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
Calculamos [B]T
Por contragradiencia: {𝑑, } = [𝐵]𝑇 {𝑑} Por lo tanto: [𝑘] = [𝐵][𝑘′][𝐵]𝑇 [𝑘]1 1 0 0 = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 250 0 0.00 0 0.00 0 −1000 0 0.00 1] [ 0.00
0.00 187.5 375 0.00 −187.5 −375
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 1000 0.00 0.00
0.00 −187.5 −375 0.00 187.5 −375
0.00 1 −375 0 500 0 0.00 0 −375 0 1000 ] [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
250 0.00 0.00 187.5 375 [𝑘]1 = 0.00 −1000 0.00 0.00 −187.5 [ 0.00 −375
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 1000 0.00 0.00
0.00 −187.5 −375 0.00 187.5 −375
0.00 −375 500 0.00 −375 1000 ]
Barra 2
{q´} =[k’]{d´} 𝑞′ 𝑘′ { 1 } = ( 11 𝑞′2 𝑘′21 𝑘′ ( 11 𝑘′21
𝑘′21 𝑑′1 ){ } 𝑘′22 𝑑′2
𝑘′21 ) = 𝑘′ 𝑘′22
Si: GJt =1000 tn-m2 EIz = 1000 tn- m2 L=6 m Entonces: 𝐺𝐽𝑡 1000 =( ) = 166.67 𝑙 6 12 ∗ 𝐸𝐼𝑧 12 ∗ 1000 =( ) = 55.56 3 𝑙 63 6 ∗ 𝐸𝐼𝑧 6 ∗ 1000 =( ) = 1664.67 2 𝑙 62 4 ∗ 𝐸𝐼𝑧 4 ∗ 1000 =( ) = 666.67 𝑙 6 2 ∗ 𝐸𝐼𝑧 2 ∗ 1000 =( ) = 333.33 𝑙 6
166.67 0.00 0.00 55.56 0.00 166.67 [𝑘1, ] = −166.67 0.00 0.00 −55.56 [ 0.00 166.67
0.00 166.67 666.67 0.00 −166.67 333.33
−166.67 0.00 0.00 166.67 0.00 0.00
0.00 0.00 −55.56 −166.67 166.67 333.33 0.00 0.00 55.56 166.67 166.67 666.67 ]
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{q}= [B] {q’} {
{𝑞1 } 𝑅 }=[ {𝑞2 } 0
0 {𝑞′1 } ]{ } 𝑅 {𝑞′2 }
11. Calculo de [R]
Calculo de [R] α = 0°
1 0 [𝑅] = [0 1 0 0
0 0] 1
Sustituimos [R] en [B] [𝐵] = [
[𝑅] [0] ] [0] [𝑅]
1 0 [𝐵] = 0 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
1 0 0 𝑇 [𝐵] = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
Calculamos [B]T
Por contragradiencia: {𝑑, } = [𝐵]𝑇 {𝑑}
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Por lo tanto: [𝑘] = [𝐵][𝑘′][𝐵]𝑇
[𝑘]2 1 0 0 = 0 0 [0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 250 0 0.00 0 0.00 0 −1000 0 0.00 1] [ 0.00
166.67 0.00 [𝑘]2 = 0.00 −1000 0.00 [ 0.00
Barra 3
{q´} =[k’]{d´} 𝑞′ 𝑘′ { 1 } = ( 11 𝑞′2 𝑘′21
𝑘′21 𝑑′1 ){ } 𝑘′22 𝑑′2
Si: GJt =1000 tn-m2 EIz = 1000 tn- m2 L=4.472 m Entonces:
0.00 187.5 375 0.00 −187.5 −375
0.00 55.56 166.67 0.00 −55.56 −166.67
0.00 375 1000 0.00 −375 500
−1000 0.00 0.00 1000 0.00 0.00
0.00 −1000 166.67 0.00 666.67 0.00 0.00 1000 −166.67 0.00 333.33 0.00
0.00 −187.5 −375 0.00 187.5 −375
0.00 1 −375 0 500 0 0.00 0 −375 0 1000 ] [0
0.00 −55.56 −166.67 0.00 55.56 −166.67
0 1 0 0 0 0
0.00 −166.67 333.33 0.00 −166.67 666.67 ]
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1]
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𝐺𝐽𝑡 1000 =( ) = 223.607 𝑙 4.472 12 ∗ 𝐸𝐼𝑧 12 ∗ 1000 =( ) = 134.164 3 𝑙 4.4723 6 ∗ 𝐸𝐼𝑧 6 ∗ 1000 =( ) = 300 2 𝑙 4.4722 4 ∗ 𝐸𝐼𝑧 4 ∗ 1000 =( ) = 844.427 𝑙 4.472 2 ∗ 𝐸𝐼𝑧 2 ∗ 1000 =( ) = 467.214 𝑙 4.472
{q}= [B] {q’} {
{𝑞1 } 𝑅 }=[ {𝑞2 } 0
0 {𝑞′1 } ]{ } 𝑅 {𝑞′2 }
15. Calculo de [R]:
Concluyendo : α = 63.4349° Cos(63.43°) = 0.446 Sen(63.43°) = 0.895
0.446 [𝑅] = [0.895 0
−0.895 0.446 0
0 0] 1
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Sustituimos [R] en [B] [𝐵] = [ 0.446 0.895 0 [𝐵] = 0 0 [ 0
[𝑅] [0] ] [0] [𝑅]
−0.895 0.446 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.446 0.895 0
0.895 0.446 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0.446 −0.895 0
0 0 0 −0.895 0.446 0
0 0 0 0 0 1]
0 0 0 0.895 0.446 0
0 0 0 0 0 1]
Calculamos [B]T
0.446 −0.895 0 [𝐵]𝑇 = 0 0 [ 0
Por contragradiencia: {𝑑, } = [𝐵]𝑇 {𝑑} Por lo tanto: [𝑘] = [𝐵][𝑘′][𝐵]𝑇
16. ENSAMBLAJE DE MATRICES
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17. Pasando la carga distribuida a los nudos tenemos:
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0 0 0 3.33 2 ∗ √5 0 {𝑄} = 0 0 0 −3.33 2 ∗ √5 [ 0 ] 18. Calculo de los desplazamientos: [D] = [K]-1 * {Q} D4= 0.0095472 D5 = 0.01166 D6= 0.00405 D10= 0.014298 D11= 0.01881 D12 = 0.00206
19. GRÁFICOS.
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