Problemas No5b - Circuitos Trifasicos Desarrollados (2)

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA AREA DE ELECTRICIDAD

Sistemas Trifásicos Problemas propuestos 1. Un alimentador trifásico suministra potencia a dos cargas trifásicas separadas. La primera carga esta conectada en delta y requiere de 37 kVA a 0,7 en retraso. La segunda carga esta conectada en estrella (Y) y requiere de 15 kW a 0,21 en adelanto. Las líneas de conexión tienen una impedancia de línea de 0,038 + j0,072 Ohm/fase. Calcule la magnitud del voltaje de línea necesario en los terminales del generador para suministrar 208 V de línea a las cargas. SOLUCIÓN: (1) Definir la conexión del sistema trifásico descrito mediante una gráfica o diagrama. Tal como se muestra a continuación

RG

¿U?

Z L= 0,038 + j0,072

SG

208V

TG

R S T

37 kVA FP=0,7 Atraso

15 kW FP=0,21 Adelanto

(2) Reducir el número de cargas a trabajar, si es posible. En este caso, las cargas están expresadas por sus potencias, entonces podemos sumar las potencia trifásicas y hallar la potencia trifásica total de ambas cargas. Carga 1

r S3φ 1 = S * cos φ1 + j S * senφ1 = 37 * 0,7 + j 37 * sen arccos 0,7 r S3φ 1 = 25,9 + j 26,42

Carga 2

r S3φ 2 = P + j P * tan φ 2 = 15 − j 15 * tan arccos 0,21 r S3φ 2 = 15 − j 69,83

La potencia total trifásica será:

r r r r S3φ TOTAL = ∑ S3φ i =S3φ 1 + S3φ 2

r S3φ TOTAL = 25,9 + j 26,42 + 15 − j 69,83 r S3φ TOTAL = 40,9 − j 43,41 = 59,64∠ − 46,7°

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1

(3) La carga total reduce el circuito, tal como lo muestra la gráfica siguiente:

Z L= 0,038 + j0,072

RG

¿U?

208V

SG TG

R

Carga Total 59,64 kVA Ø=-46,7°

S T

Observe que solo definimos la potencia de la carga, la forma de conexión es decidida por nosotros de acuerdo a nuestra conveniencia, en este caso usaremos un circuito equivalente monofásico en estrella, ya que nos permite calcular directamente la tensión de fase del generador, observe que se asume que el generador también esta conectado en estrella. (4) Cálculo de la tensión del generador.

RG

Z L= 0,038 + j0,072

R

UFASE

I LINEA

Generador

CARGA

N

Z

UFASE = CARGA

208V =120 0° 3

N

En el circuito, la tensión de fase del generador URN GENERADOR se calcula usando la ley de Kirchhoff de las tensiones,

r r r r URN G = ILINEA * Z LINEA + U RN La corriente de línea de la carga, ILINEA ó IR , se calcula a partir de la potencia aparente total.

S3φ TOTAL = 3U L I L IL =

S3φ TOTAL 3U L

=

59640 kVA = 165.54 A 3 * 208

La corriente se define fasorialmente, es decir modulo y ángulo, recordando que en un carga en estrella se desfasa con respecto a la tensión de fase, el ángulo de la impedancia.

r IL = 165,54∠46,7° Ahora, reemplazamos el valor de la corriente y la impedancia ZL=0,038+j0,072=0,0814∠62,2°, en hallado en la ecuación de tensiones,

r U RN G = 165,54∠46,7 * 0,0814∠62,2° + 120∠0° r U RN G = 13,47∠108,9° + 120∠0° = 116,34∠6,29°

2

de

la

línea

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Observe que se pide la tensión de línea del generador, no el fasor de tensión o las los fasores de todas las tensiones de línea del generador, entonces solo definimos el modulo de la tensión de línea, UL

U L = 3U F

⇒

U L = 3 * 116,34 = 201,5 V

Esta es la respuesta del problema propuesto, sin embargo les dejo como inquietud ¿Cuales serían las tensiones de línea del generador? La respuesta se halla definiendo la posición de las tensiones con referencia a una tensión o corriente conocidas. 2. Un edificio es alimentado por una empresa de distribución a 4,16 kV, las cargas instaladas en el edificio son:. • • •

Carga 1 - Conectada en delta 500 kVA a 0,85 en retraso. Carga 2 - Conectada en estrella, 75 kW resistivos. Carga 3 - Conectada en estrella, formada con una resistencia de 150 Ohm en paralelo con una reactancia inductiva de 225 Ohm, por fase.

El alimentador de la empresa de distribución tiene una longitud de 8 km. con una impedancia de línea de 0,11 + j0,055 Ohm/km. ¿Cual es la caída de tensión entre líneas cuando el edificio recibe la tensión nominal? SOLUCIÓN: (1) Definimos los datos del problema y el diagrama de la instalación Z L= 0,11 + j0,055 Ω//km RS

¿U?

SS

R

4,16 kV

TS

S T

500 kVA FP=0,85 Atraso

75 kW Resistivos

Z=150 j225

La impedancia de la línea nos la dan en Ω/km, por lo tanto usando el dato de la longitud evaluamos la ZL

r Z = (0,11 + j 0,055) * 8 = 0,88 + j 0,44 = 0,881∠2,86° (2) Cálculo de la potencia de la carga 3 Las cargas 1 y 2 están especificadas usando la potencia y el FP de cada una, pero la carga 3 está especificada indicando el valor de sus componentes, por lo tanto calcularemos la corriente de línea y la potencia de la carga 3.

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La carga 3 puede ser presentada como dos estrellas en paralelo y se puede definir el siguiente circuito monofásico equivalente:

I LINEA

UFASE

IR

R=150 0° I X

X=225 90°

La corriente de línea de la carga 3 se calcula de la siguiente forma:

r r r U F = IF * Z F

⇒

r r UF IF = r ZF

U L 4160 = = 2401,8 V 3 3 r r 2401,8∠0° 2401,8∠0° IF R = = 16,01∠0° y IF X = = 10,7∠ − 90° 150∠0° 225∠90° r r r ILINEA = IF R + IF X = 16,01∠0° + 10,7∠ − 90° r ILINEA = 19,3∠ − 33,8°

UF =

La potencia de la carga 3 la podemos definir tomando en cuenta que el ángulo de desfase entre la corriente y la tensión, Ø=-33.8° retrasado, nos proporciona el FP de la carga total (cos Ø) o visto de otra forma nos da el ángulo de la impedancia Ø=33.8°.

r S3 φ 3 r S3 φ 3 r S3 φ 3 r S3 φ 3

= 3U L * I L 3 ∠φ3 = 3 * 4160 * 19.3∠33.8° = 139062,9∠33,8° = 139,1∠33,8° kVA = 115,6 + j 77,4

(3) Cálculo de la potencia trifásica total. La potencia total trifásica se calcula sumando las potencias de las tres cargas.

r S3 φ 1 = S * cos φ1 + jS * sen φ1 = 500 * 0,85 + j 500 * sen arccos 0,85 = 425 + j 263,4 r S3 φ 2 = 75 + j 0 r S3 φ 3 = 115,6 + j 77,4 r r S3 φ TOTAL = ∑ S3 φ i r S3 φ TOTAL = 615,6 + j 340,8 = 703,64∠28,96°

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(4) Cálculo de la corriente de línea total y la caída de tensión entre líneas. El circuito se ha reducido a lo siguiente:

Z L= 0,881 2,86°

RS

I LINEA

UFASE

CARGA

R

I LINEA

CARGA

SUBESTACION

N

Z

UFASE = 2401,8 0° CARGA

N

La corriente de línea se calcula a partir de la potencia trifásica total calculada en el inciso anterior. El ángulo de fase de la corriente de línea es ángulo de la impedancia con signo cambiado,

S3φ TOTAL = 3U L I L IL =

S3φ TOTAL

=

703640 kVA = 97,65 A 3 * 4160

3U L r IL = 97,65∠ − 28,96°

La caída de tensión en la línea.

r r r ∆E L = IL * Z L r ∆E L = 97,65∠ − 28,96° * 0,881∠2,86° r ∆E L = 86,03∠ − 26,1° La caída de tensión entre líneas es la diferencia que existe entre la tensión entre líneas en la sub estación, en este caso URS SUBESTACION y la tensión entre líneas en la carga, URS. El modulo de dicha caída de tensión se puede calcular a partir de la caída de tensión en la línea que se ha calculado en el párrafo anterior.

∆E LINEA−LINEA = 3 ∆E LINEA ∆E LINEA−LINEA = 3 * 86,03 ∆E LINEA−LINEA = 149,02 V 3. Diseñe el banco de condensadores necesario para corregir el factor de potencia del edificio de la pregunta No.2, sabiendo lo siguiente • • •

La carga 1 trabaja durante 12 horas durante el día a plena carga y al 50 % de su capacidad el resto del día. La carga 2 trabaja solamente 16 horas y luego es desconectada. La carga 3 trabaja 8 horas al 100%, las siguientes 8 horas al 75% y el resto del día al 25 %.

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Los costos de la energía reactiva son 0,0427 S/. por kVAR. La forma de trabajo es la misma durante toda la semana. Sabiendo que los condensadores de alta tensión se suministran en las siguientes potencias. Potencia (kVAR) 50 100 150 200 300 360 400 500 750

Precio (U.S.$) 4500 5500 6500 8000 11500 13500 15500 17500 22500

Defina como se conectan los condensadores y en cuanto tiempo se pagarán. SOLUCION: La compensación de energía reactiva en una carga trifásica se hace tomando en cuenta su potencia trifásica activa y el factor de potencia antes y después de la corrección, mediante la siguiente expresión:

QC 3 φ = P3 φ (tg φ1 − tg φ2 ) Donde: QC 3Ø P3Ø Ø1 Ø2

= = = =

Potencia del banco de condensadores trifásico, en kVAR. Potencia activa trifásica de la carga a corregir, en kW. Angulo antes de la corrección. Angulo después de la corrección, por lo general hasta conseguir FP≥0,96

(1) Definir la potencia a lo largo del día.

CARGA 3

CARGA 2 100%

75%

25%

CARGA 1 - 100% CARGA 1 - 50%

8 Horas

12 Horas

16 Horas

24 Horas

El consumo varia y podría usarse un sistema de compensación en grupo para cada carga, sin embargo si se analiza los condensadores disponibles, el condensador de capacidad menor es de 100 kVAR, por lo que no se podría corregir las cargas pequeñas como la No.3, siguiendo su variación. Por ello, el sistema que utilizaremos será centralizado.

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(2) La potencia de los condensadores se calcula para cada periodo, para ello debemos calcular la potencia y ángulo de fase de la potencia por período. El condensador se calcula usando la expresión presentada en el inicio de este problema, como ejemplo lo evaluaremos para el estado de mayor carga.

QC 3 φ = P3 φ (tg φ1 − tg φ2 ) = 615,6 * (tg 28,96° − tg 16,7°) QC 3 φ = 156 kVAR Períod Horas o 1 2 3 4

Cargas

0–8

Carga 1 – 100% Carga 2 – 100% Carga 3 – 100% 8 – 12 Carga 1 – 100% Carga 2 – 100% Carga 3 – 75% 12 – 16 Carga 1 – 50% Carga 2 – 100% Carga 3 – 75% 16 – 24 Carga 1 – 50% Carga 2 – Carga 3 – 25%

Potencia activa (kW)

Potencia Reactiva (kVAR)

Ø sin corregir

Q3Ø requerido (kVAR)

615,6

340.8

28,96°

156 (150)

586,7

321,2

28,7

145,2 (150)

374,2

189,8

26,89

77.5 (100)

241,4

151.1

32,04°

78,7 (100)

Observación (*): Se ha instalado condensadores de capacidad diferente a la calculada, la razón es la disponibilidad de valores similares a los calculados. El criterio usado para su selección es hallar un valor de catalogo aproximado al valor calculado, el cual puede ser mayor, si esto ocurre se debe verificar que el valor seleccionado no produzca una potencia reactiva final capacitiva. Por ejemplo, en los períodos 1 y 2 se ha seleccionado bancos de 100 kVAR cuando se requerían bancos de aproximadamente 78 kVAR. Sin embargo, en cualquiera de los períodos la potencia reactiva resultante no será negativa (capacitiva) y el factor de potencia será mayor de 0,96. (3) Costo de los condensadores. El sistema necesario requiere la instalación de dos condensadores, un (01) condensador de 50 kVA y un (01) condensador de 100 kVA, los que se conectan de la siguiente forma: • •

Períodos 1 y 2 Períodos 3 y 4

se conectan ambos condensadores. Solo se conecta el condensador de 100 kVA.

Costo de condensadores = 4500 + 5500 = U.S.$10000 La mejor opción desde el punto de vista del mantenimiento y el uso de un controlador de energía reactiva, sería usar tres (03) condensadores de 50 kVA, pero dado el costo de los condensadores de 50 kVA, el costo total aumentaría mucho.

Costo de condensadores = 3 * U.S.$ 4500 = U.S.$ 13500 ∆Costo = U.S.$13500 − U.S.$10000 = U.S.$ 3500

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(4) Cálculo de los costos de la energía y el período de recuperación de la inversión. Los consumos de energía activa y reactiva se calculan para un día utilizando el diagrama de carga del inciso (1)

Energía Activa día = 615,6 * 8 + 586,7 *4 + 374,2 * 4 + 241,4 * 8 Energía Activa día = 10 699,6 kWh por día Energía Activa mes = 30 * 10 699,6 = 320 988 kWh. Energía Reactiva día = 340,8 * 8 + 321,2 *4 + 189,8 * 4 + 151,1 * 8 Energía Reactiva día = 5 979,2 kVARh por día Energía Reactiva mes = 30 * 5 979,2 = 179 376 kWh. El costo se evalúa suponiendo un precio de S/.0,0427 por kVARh facturado y una tasa de S/.3,5 por U.S.$ , entonces:

CER = (ER - 0,3*EA)*Precio unitario CER = (179 376 – 0,3 * 320 988)*0,0427 CER = S/. 3 547,50 = U.S.$ 1 013,60 El período de recuperación es:

n (meses ) =

U.S.$ 10 000 = 9,86 ≈ 10 meses U.S.$ 1 013,60

4. El diagrama de la figura siguiente muestra dos cargas trifásicas que forman parte de una fabrica. Ambas están conectadas en paralelo y requieren de 4,16 kV. La carga No.1 es de 1,5 MVA con un factor de potencia de 0,75 en retraso y conectada en Delta. La carga No.2 es de 2,0 MW con un factor de potencia de 0,8 en retraso y conectado en estrella. El alimentador desde la subestación de potencia de la empresa de distribución tiene una impedancia de línea de 0,4 + j0,8 Ohm/fase. Determine lo siguiente: a. La magnitud del voltaje en la línea de suministro. b. La potencia real del suministro. c. El porcentaje de la potencia real consumida como perdidas de línea.

R

S

T

jX

R

jX

R

jX

R CARGA 2

8

CARGA 1

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5. En el problema anterior antes de la entrada a la carga No.2 adicione Ud. dos cargas monofásicas de 750 kW con un factor de potencia de 0,8 en adelanto, conectadas entre R-S y entre S-T. ¿Cual es el voltaje entre líneas que reciben las cargas No.1 y No2, suponiendo que el voltaje de la fuente es de 4,2 kV? Recomendación: Halle las impedancias equivalentes de las cargas y redúzcalas todas a una sola impedancia conectada en estrella. Y plantee dos mallas. 6. El motor de la figura siguiente tiene un voltaje de línea de 2300 Voltios y toma 120 kVA con un factor de potencia de 0,6 en retraso. Calcule los voltajes y las corrientes de línea en los terminales de entrada.

C1

C1 C1

jX

R

jX

R

jX

C2

C2 C2

R

X C1=1000 Ohms

jX

R

jX

R

jX

XC1 =250 Ohms

C1

C1 C1

R

M

R = 0,5 Ohms X = 2 Ohms

Recomendación: Suponga que en los terminales del motor la tensión entre líneas es 2300 V y calcule la corriente de línea del motor. • •

•

Convertir la carga trifásica formada por los condensadores C1 (carga ∆) en una carga en estrella (carga Y), entonces calcule la nueva corriente de línea y la tensión de línea en los terminales de los condensadores C2. Convertir la carga trifásica de los condensadores C2 (carga ∆) en una carga en estrella (carga Y), entonces calcule la nueva corriente de línea y la tensión de línea en los condensadores C1 del extremo izquierdo del circuito. Esta tensión es la tensión de línea en los terminales de entrada. Convertir la carga trifásica de los condensadores C1 (carga ∆) en una carga en estrella (carga Y), entonces calcule la corriente de línea del generador.

7. Si el motor del problema anterior es retirado y el voltaje de suministro es de 2300 Voltios. ¿Cual será el voltaje en los terminales de la línea en donde estaba originalmente el motor?.

2300 V

C1

jX

R

C1

jX

R

C1

jX

R

X C1=1000 Ohms

C2

XC1 =250 Ohms

jX

R

C2

jX

R

C2

jX

R

C1

C1

¿U?

C1

R = 0,5 Ohms X = 2 Ohms

Recomendación: • •

Hallar la corriente consumida por la impedancia de línea R+jX y los condensadores C2 conectados en estrella (carga Y). Calcule la tensión de línea en los condensadores C2. Usando la tensión de línea calculada en el paso anterior, calcule la corriente consumida por la impedancia de línea R+jX y los condensadores C1 conectados en estrella (carga Y). Finalmente, calcule la tensión de línea en los condensadores C1.

Ing. Raúl Del Rosario Q.

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