Resolucion Ejercicios Mecanica De Fluidos

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO FACULTAD DE ARQUITECTURA E INGENIERIA CIVIL CARRERA PROFESIONAL:INGENIERIA CIVIL

MECANICA DE FLUIDOS III Resolución de ejemplos DOCENTE: Ing. ASCUE SALAS GORKI FEDERICO ALUMNO:

DURAN AYMACHOQUE DERIAN ADILSON

CODIGO:

120207

CUSCO-PERÚ

Fluidos iii

LEY POTENCIAL Ejercicio1.-Enunciado Se desea evaluar la viabilidad de creación de helicópteros personales, con fines lúdicos. Para ello, se pretende estudiar la potencia necesaria para mantener inmóvil en el aire dicho equipo en función del diámetro “D” del rotor. Se estima que el peso máximo de equipo y pasajero podría ser de unos “P” Kg. En la figura 21.1, se esquematiza el rotor con el volumen de control alrededor del mismo y se supone que en la parte inferior del rotor todo el chorro del fluido se desplaza en sentido vertical. Determine: 1. La potencia necesaria en función del diámetro del rotor y del peso de equipo y pasajero. 2. Para una velocidad de giro de 400 rpm, un diámetro de rotor de 2 m y un peso del conjunto de 200 kgf, determine la potencia y el par necesarios del motor.

21.1 Resolución

Ss

Sp Vp Si V

Fluidos iii

68

Mecánica de fluidos

1. Estableciendo el volumen de control definido en la figura 21.1, para el cual se supondrá que la parte superior del mismo está suficientemente alejada del rotor como para considerar que la velocidad de las partículas es nula, mientras que en su sección inferior el fluido fluye a una velocidad genérica, V i. De la aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento se tiene: Fy

. . . V i  ρ S i V 2i  sc y V ds  ρ Si .Vi .V



dónde Si es la sección del chorro cilíndrico.



Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las superficies superior e inferior del volumen de control elegido, se tiene: Ps V2 P V2       s ii g zi gz Y s





2

2

Asumiendo que la presión en cualquier punto de la entrada o salida se mantiene constante, P i = PS, y suponiendo despreciables los términos de energía potencial, se establece: Y 

 P 2 

Vi2

La ∆P se entiende entre caras del rotor. La fuerza de sustentación producida por el rotor debería ser asimismo igual a la diferencia de presión entre ambos extremos de las palas, multiplicada por la superficie barrida, obteniendo: Fy  P SP  

V i2 SP 2

Igualando a la ecuación de cantidad de movimiento, se obtiene: V2

2

Fy  PSP  i SP  Si Vi 2

de donde: SP = 2 Si

Suponiendo un rendimiento unitario, la potencia transmitida al fluido será la que ha de comunicar el motor. La potencia comunicada al fluido será el producto del gradiente de presiones por el caudal circulante, o bien la energía cinética comunicada al fluido al pasar por el rotor, por el mismo caudal circulante, de donde: V2 Na  PSPVP  i SiVi  i SPVi 2

V2 4

Despejando la velocidad de la ecuación de cantidad de movimiento, se tiene: Vi 

 V2 Na  SPVi  SP i

4 Fluidos iii

Fy Si



2 Fy SP 3

1  2 Fy  2 1    F2 y 4 SP  (2SP )0,5 3

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Problema 21

N2  F3 a

y

1

2

 F3 y

2S P

D2

Expresión que relaciona la potencia de accionamiento con la fuerza de sustentación y el diámetro del rotor. 2. Para un peso de 200 Kgf, un diámetro de rotor de 2 m, y suponiendo la temperatura y la presión del aire atmosférico de 20 C y 105 Pa, se obtiene una potencia de: P





100.000

RT 2

N2  F3 a

y

Kg  1,189 287  293 m3  (200  9,8)3

D2

2 1,189  22

Na = 31.747,04 W Dado que el rotor se quiere que gire a 400 rpm, el par necesario deberá ser de: N  M   M 400 a

2

 31.747, 04 W 60

M = 303,16 N

Fluidos iii

LEY DE LA VISCOSIDAD NEWTON Problema 1 1.1 Enunciado Entre los extremos de un tubo de 0,006 m de diámetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia de presión relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de Q= 3, 510-6 m2 s , halle la viscosidad del fluido circulante (considerando régimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hipótesis.

1.2 Resolución La velocidad media de paso del fluido por el conducto será: . Q 3, 5×10-6 m U= = = 0,1237 2 S π 0, 006 s 4 Dado que no se puede determinar el número de Reynolds, se considerará que el régimen de flujo es laminar; al final de proceso se comprobará esta hipótesis. 

Considerando que el fluido fluye según la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribución de velocidades en dirección radial según Poiseulle es: .

∆P* 1 1

U= ∆x µ 4

r

  r  2 

2

- R 2  = Umáx 1-    R   

  

 ∆P* 1 donde

Umáx = -

∆x 4µ

2

R

La relación velocidad máxima-velocidad media

. Umax U= 2

. ∆P* R 2 donde U = ∆x 8µ La diferencia de presión entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzos cortantes en la pared del mismo, así: Fp =

× 0, 0062  D2 50.000 = 1, 4137 N ∆P *tota = 4 4 l

2

Mecánica de fluidos

El esfuerzo cortante se define como:   r  2   =µ = µ Umáx 1-      r r   R   U





2r

 = -µ U

máx

R2



El esfuerzo cortante de la pared valdrá: r=R  = -µ U máx .

2 R Umáx

como U =  = -µ 4

. U

2

R El esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo será: F =  S =  2 π R L = -µ 4 Τ

U.

2πRL R

como - FΤ = Fp . 1, 4137 = 8 π Uµ L = 8 π 0,1237 µ µ = 0, 4547

N×S m2

Para que el flujo sea laminar se debe cumplir: Re =

. UD ν

=

0,1237 × 0, 006 < 2.400 0, 4547 ρ

Para cumplir la igualdad, se tiene que  debería valer ρ = 1.470.331Kg m3 ; como esto es imposible, se concluye que la hipótesis es acertada. En concreto, para una densidad de 800 Kg m3 , se obtiene Re = 1,3.

Fluidos iii

3

Problema 2

Problema 2

2.1 Enunciado Halle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosímetro cilíndrico de la figura. (Considérense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.)



Datos: H = 10 cm R1 = 3 cm h = 0,1 cm  = 7·10-3 N·s/m2

R1 H

h Fig. 2.1

2.2 Resolución En la cara lateral se tiene: =

du dy

du v1  0 R1ω = = dy h h Los valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtiene

Fluidos iii

h

4

Mecánica de fluidos

F = τ·dS = µ·

R1 ω

L

·2 π·R ·H = µ 1 h

M = F·R = µ L

R1ω

1



2π H·R 2 h

·2π ·R · H R = µ 1

h

1

ω

1

2π H· R 3 1

h

El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales será: NL = M·ω = µ

ω2 h

3

·2π H· R1

En la base del cilindro, se tiene: du Vi riω = = dy h h Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, serán: R

r ω 2π  ri 3  F =  τdS =  µ i 2π r dr = µ ω   B 0 i i h S  3 0 h R



ω R3 FB = µ2π

h 3

M =  dF ·R = µ B

B

i

R

ω2π 

h

ω 2π Ri 4  r ·dr = µ· ·  i i h  4 0 3



ω 2π R 4 MB = µ

h

4

La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, será:  ω2 2π R 4 NB = M· = h

Fluidos iii

MECANICA DE FLUIDOS III

VELOCIDAD MOLAR: Un líquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo largo que inicialmente está lleno de vapor B. Analicemos los distintos vectores velocidad para un punto en el cual: 1 𝑋𝐴 = 6 ; 𝑣 ∗= 12; (𝑉𝐴 − 𝑉 ∗) = 3; 𝑀𝐴 = 6; Calcular la VELOCIDAD MOLAR, 𝑉𝐴, 𝑉𝐵, 𝑉, (𝑉𝐵 − 𝑉 ∗), (𝑉𝐴 − 𝑉)𝑦 (𝑉𝐵 − 𝑉) Solución: Al evaporarse A, empuja el vapor B hacia arriba. Sin embargo, no existe una línea recta de separación de los dos vapores, sino que el desplazamiento del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de los dos vapores. Por tanto, debido a la difusión, en un punto cualquiera del tubo, A se mueve hacia arriba más rápidamente de lo que corresponde al movimiento medio global, y en cambio B se mueve más lentamente. 1 5 𝐶𝐴𝑉𝐴 + 𝐶𝐵𝑉𝐵 𝑋𝐴 = 𝑋𝐵 = 𝑣∗= = 𝑋𝐴𝑉𝐴 + 𝑋𝐵𝑉𝐵 = 12 6 6 𝐶 (𝑉𝐴 − 𝑣 ∗) = 3 𝑉𝐴 = 15 15 6 72 − 15 57 2 )( ) = = = 11 6 5 5 5 5 2 3 (𝑉𝐵 − 𝑣 ∗) = 11 − 12 = − 5 5 𝑀𝐴 = 5

𝑉𝐵 = (12 −

𝑥𝑎𝑀𝑎 𝐶5 (𝑋𝐴𝑀𝑎 + 𝑥𝑏𝑀𝐸 < − 6 ) 𝑀𝐵 1 𝑊𝐴 = = 5 5 2 + 6𝑀𝐵 6𝑀𝑏 1 𝑊𝐵 = ; 2 𝑉 − 𝑊𝐴𝑉𝐴 + 𝑊𝐵𝑉𝐵 =

1 2 2 (15 + 11 ) 5

= 13

1 5

1 4 (𝑉𝐴 − 𝑉 ) = 1 5 − 1 3 = 1 5 5 𝐼𝑉𝐵 − 𝑉 𝑙 ∶ 11 2/ 5 − 13 1/ 5 = − 1 4/ 5 MÓDULO VOLUMÉTRICO En un líquido al aumentar su presión en 0,5 kg/cm2 su densidad aumenta en un 0,02 %. ¿Cuánto vale su módulo de elasticidad volumétrico en kPa?.

a) Módulo de elasticidad volumétrico en kPa.

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MECANICA DE FLUIDOS III

Suponiéndose k = cte.

BIGHAM: Halle la expresión del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.

Resolución Las tensiones cortantes existentes se pueden definir como:

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MECANICA DE FLUIDOS III

Estudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como:

La potencia necesaria para hacer girar la esfera será :

Y quedaría:

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CASSON: Un fluido sigue la ley exponencial y tiene una densidad de 1041 kg / m3 . El fluido se mueve a través de 14.9 m de una tubería de 0.0524 m de diámetro interior a una velocidad media de 0.0728 m /s. Las propiedades reológicas del fluido son K = 15.23 N sn / m2 y n = 0.4. Calcule la caída de presión y las pérdidas de presión. 2.- Planteamiento. 2.1.- Caída de presión si el flujo es laminar.

2.2.- Reynolds generalizado.

3.- Cálculos. 3.1.- Reynolds generalizado

El flujo es laminar. 3.2.- Caída de presión.

ΔP=45390Pa=0.449 atm =0.4642 kg / cm2 4.- Resultado. La caída de presión es de 0.4642 kg /cm2.

ANEXOS: APLICACIÓN PHOTOMATH

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