Semiconductores

1. Considérese una muestra de semiconductor uniforme de silicio tipo N a temperatura ambiente, al que se ilumina con luz de longitud de onda adecuada para crear 1012 portadores/cm3·s,

uniformemente.

Se

tienen

como

datos:

𝑁𝐷=1017 𝑐𝑚−3 ;𝑔𝐿=1012 𝑝𝑜𝑟𝑡/𝑐𝑚3 ⋅𝑠 𝜏𝑝=20𝜇𝑠;𝜇𝑛=1300𝑐𝑚2 /𝑉⋅𝑠 𝜇𝑝=500𝑐𝑚2 /𝑉⋅𝑠 ;𝑛𝑖(𝑆𝑖) =1,5×1010 𝑐𝑚−3 1 𝑃𝑛 − 𝑃𝑛𝑜 ∂𝑃𝑛 ⋅ ∇ 𝐽𝑝 + = 𝐺𝐿 − 𝑒 𝜏𝑝 ∂𝑡 𝐽𝑝 = 𝑞𝜇𝑝 ⋅ 𝑝𝑛 ⋅ 𝜉 − 𝑞 ⋅ 𝐷𝑝 ⋅

∂𝑃𝑛 ∂𝑥

Pero en condiciones estacionarias tenemos ∂pn/∂t=0. Además, como la iluminación es constante resulta ∂𝑝𝑛/ ∂𝑥 = 0𝑦𝜉⃗ = 0, con lo cual: 𝐽⃗ 𝑝= 0 ⇒𝛻𝐽⃗ 𝑝= 0 y la ecuación de continuidad nos queda: 𝑃𝑛 − 𝑃𝑛𝑜 = 𝐺𝐿 ⇒ 𝑝𝑛 = 𝑃𝑛𝑜 + 𝐺𝐿 ⋅ 𝜏𝑝 𝜏𝑝 Por otro lado, para que la concentración de mayoritarios se tiene: 𝑛𝑛𝑜 = 𝑁𝐷 = 1017 𝑛𝑛𝑜

𝑛2𝑖 2,25 × 1020 = = = 2,25 × 103 𝑐𝑚3 𝑁𝐷 1017

y la concentración de huecos será: 𝑝𝑛 = 2,25 × 103 + 20 × 10−6 × 1012 ≃ 2 ⋅ 107 ℎ𝑢𝑒𝑐𝑜𝑠/𝑐𝑚3 Para la concentración de mayoritarios tenemos: 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑜 + 𝑛′𝑛 = 𝑛𝑛𝑜 + 𝑝′𝑛 = 1017 + 2 ⋅ 107 ≃ 107 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡/𝑐𝑚3

2. Demuéstrese que la conductividad de un conductor intrínseco viene dada por la expresión: 𝜎𝑖 = 𝑞 ⋅ 𝑛𝑖(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝) En el caso de que el gradiente del potencial del silicio intrínseco sea

400V⋅m-1;μn=0,12m2(V⋅s)-1;μp=0,025m2(V⋅s)-1

1) La velocidad de arrastre de electrones y huecos 2) La resistividad del silicio intrínseco La expresión general para la conductividad es un semiconductor es: 𝜎 = 𝑞 ⋅ (𝑛 ⋅ 𝜇𝑛 + 𝑝 ⋅ 𝜇𝑝) Teniendo en cuenta que: 𝑛𝑜 = 𝑝𝑜 = 𝑛𝑖 La ecuación quedaría: 𝜎𝑖 = 𝑞 ⋅ 𝑛𝑖(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝) A partir de esta expresión y con los datos del problema, podemos obtener directamente la resistividad del silicio intrínseco pues tenemos: 𝜌=

1 1 = = 1,72 × 103 𝛺 ⋅ 𝑚 𝜎 𝑞 ⋅ 𝑛𝑖(𝜇𝑛 + 𝜇𝑝)

Sabemos que la velocidad de arrastre es proporcional al campo eléctrico según la expresión: 𝑣⃗⃗ 𝑎 =

𝑞⋅𝜏 𝑞 ⋅ 𝐸⃗⃗ = ⋅ 𝜇 ⋅ 𝐸⃗⃗ 𝑚∗ 𝑒

𝑣⃗𝑎𝑛 = 0,12𝑚2 (𝑉 ⋅ 𝑠)−1 × 400𝑉 ⋅ 𝑚−1 = 48𝑚 ⋅ 𝑠 −1 𝑣⃗𝑎𝑝 = 10𝑚 ⋅ 𝑠 −1

3. Para el germanio tipo P, a la temperatura ambiente (300 ºK) calcúlese a que

concentración de impurezas coincidirá el nivel de Fermi con el borde de la banda de valencia. Suponiendo que mp=0,4m;h=6,62×10-34J⋅s;k=1,38×10-23J/ºK A 300 ºK podemos considerar que todos los átomos de impurezas están ionizados, por lo que la condición de neutralidad eléctrica para el cristal nos da 𝑝 = 𝑛 + 𝑁𝐴 calculando n, si fuera necesario por la relación 2 𝑛𝑖 2 𝑝⋅𝑛 =𝑛 ⇒𝑛 = 𝑖 𝑁𝐴 y a partir de ahí tendremos:

𝑁𝐴 𝑁𝑣⃗ −𝜀𝐺 − 𝜂 = 𝑙𝑛( ) ⇒ 𝜀𝐺 + 𝜂 = 𝑙𝑛( ) 𝑁𝑣⃗ 𝑁𝐴 y pasando a variables dimensionales: 𝑁𝑣⃗ 𝑁𝑣⃗ 𝐸⃗𝐺 + 𝐸⃗𝐹 − 𝐸⃗𝐶 = 𝑘𝑇 ⋅ ( ) ⇒ 𝐸⃗𝐹 = 𝐸⃗𝑣⃗ + 𝑘𝑇 ⋅ ( ) 𝑁𝐴 𝑁𝐴 Para que el nivel de Fermi coincida con el borde de la banda de valencia debe anularse el segundo sumando de la derecha de la expresión anterior. Esto nos da: 𝑁𝑣⃗ 𝑁𝑣⃗ )=0⇒ = 1 ⇒ 𝑁𝐴 = 𝑁𝑣⃗ 𝑁𝐴 𝑁𝐴 2𝜋𝑚 ∗ 𝑝 ⋅ 𝑘𝑇 3/2 𝑁𝐴 = 2( ) 6,35 × 1024 átomos/𝑚3 ℎ2 (