Sesion05_2019_2

Sesión 5: Valores y Vectores Propios Matemática III Universidad de Ingeniería y Tecnología

15 de setiembre de 2019

Matemática III

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Estructura

1

Introducción

2

Valores y Vectores Propios

3

Introducción

4

Método Iterativo: Método de la Potencia

Matemática III

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Introducción

Matemática III

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El Puente Colgante de Tacoma Narrows

Introducción

• Puente Colgante de 1600 metros de longitud. • Puente que forma pequeñas olas visibles que viajaban a través de toda su

estructura. • A lo largo del tiempo, las ondas empezaron a crecer hasta un punto donde el

extremo del puente se encontraba aproximadamente 8 metros más abajo que el otro extremo.

Matemática III

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Explicación

Introducción

• Las oscilaciones se formaron por que la frecuencia de las ondas del viento era muy

parecida a la del puente, es decir, la frecuencia natural del puente era un valor propio del sistema (basado en un sistema que modeló el puente). • Finalmente colapsó en 1940. Video

Matemática III

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Logros de aprendizaje

Introducción

• Calcula los valores y vectores propios de una matriz. • Encuentra el polinomio característico y calcula los valores propios de multiplicidad

algebraica y geométrica. • Es capaz de usar los valores propios para resolver problemas de contexto real..

Matemática III

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Introducción Consideremos la siguiente transformación: Y = AX ; en 2D Por ejemplo:

y1 y2

!

=

2 1 1 2

!

x1 x2

!

A transforma X → Y , esto es, un punto en 2D a otro punto en 2D. Si en vez de puntos consideramos radio-vectores podemos representar la transformación como:

Introducción

Matemática III

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¿Qué se observa?

Introducción

Matemática III

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¿Qué se observa? El vector X gira y se alarga.

Introducción

Matemática III

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¿Qué se observa? El vector X gira y se alarga. Decimos: Una matriz de orden n × n toma un radio-vector en Rn y lo transforma en otro vector de Rn que está girado y alargado. Consideremos ahora el caso: x=

1 1

!

→ y = Ax =

3 3

!

El vector no gira, sólo se hace 3 veces más largo. El problema de valores y vectores propios consiste en encontrar los vectores que no giran bajo una transformación. El valor propio nos da el cambio de longitud del vector.

Introducción

Matemática III

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A practicar con Geogebra Descarga el archivo de geogebra publicado en Canvas para realizar los siguientes ejercicios.

Ejercicios Dada las siguientes matrices A, localice gráficamente sus vectores propios. 1

!

A=

1 6 5 2

A=

0,71 −0,71 0,71 0,71

A=

2 −12 1 −5

!

2

!

3

Introducción

Matemática III

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Definiciones y propiedades • A matriz cuadrada n × n • v vector dimensión n • λ escalar

Objetivo: Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que

Valores y Vectores Propios

A v = λv (

λ valor propio de A v vector propio asociado a λ

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Definiciones y propiedades

Polinomio Característico p(λ) = det(A − λI) los valores propios de A son las raíces del polinomio característico λ valor propio ⇔ p(λ) = 0 Al conjunto de todos los valores propios de una matriz cuadrada A se denomina espectro de A y se denota σ(A)

Valores y Vectores Propios

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Cálculo de vectores propios Para cada valor propio λ resolvemos (A − λI)v = 0

(1)

Debe ser un sistema compatible indeterminado El conjunto de todas las soluciones de (1) es solo el espacio nulo de la matriz (A − λI)

Valores y Vectores Propios

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Continuación...

• Eλ = {v ∈ Rn / Av = λv}; es llamado espacio propio del valor propio λ • El espacio propio consiste del vector nulo y todos los vectores propios

correspondiente a λ. • Llamaremos multiplicidad algebraica de un valor propio λ, representada por

ma (λ) , a la multiplicidad de λ como raíz de p(λ) = 0 • La dimensión del subespacio propio es llamado multiplicidad geométrica del

valor propio llamado también nulidad de (A − λI)

Valores y Vectores Propios

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Ejemplo:

Mostrar que 7 es un valor propio de la matriz A =

1 6 5 2

!

y encontrar los

respectivos vectores propios.

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Ejemplo:

Encuentre los valores y espacios propios de la matriz, indicando multiplicidad: 



5 4 2   A= 4 5 2  2 2 2 Sugerencia: |A − λI| = −(λ − 1)2 (λ − 10).

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Propiedades

• El producto de los valores propios de A es igual al determinante de A • La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de la matriz A • Una matriz es singular si y solo uno de sus valores propios es igual a cero. • Los valores proios de una matriz triángular superior (o inferior) son los elementos

de la diagonal principal de la matriz. • Si λ es el valor propio de A y A es invertible, entonces λ1 es una valor propio de la

matriz A−1

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Vectores Propios linealmente independiente

• El conjunto de vectores propios correspondientes a valores propios distintos es

linealmente independiente. • Si λ es un valor propio de multiplicidad k de una matriz de orden Ak×k entonces

el número de valores propios linealmente independientes de A asociada con λ está dado por m = n − Rang(A − λI). Además , 1 ≤ m ≤ k

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Actividad

• Dada la matriz A =

2 −12 1 −5 

!

, hallar σ(A) y sus respectivos vectores propios 

2 1 0   • Dada la siguiente matriz A =  0 2 0 , 0 0 2 • Encontrar los valores propios de la matriz indicando la multiplicidad del valor propio. • Hallar los vectores propios asociados a su valores propios. • Hallar el espacio propio.

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Aplicación: Sistema Masa Resorte

Valores y Vectores Propios

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Continuación... En la figura se muestra dos masas interconectadas a través de tres resortes entre dos paredes. Se considera que las masas se deslizan sin fricción y que cada resorte obedece a la ley de Hooke (Su extensión o comprensión x y la fuerza F están relacioandas por la fórmula F = −kx ). Además, considere que cada resorte tiene la misma longitud natural y la misma constante de resorte k. Si los desplazamientos hacia la derecha x1 y x2 de las dos masas (desde sus respectivas posiciones de equilibrio) son todos positivos, entonces • El primer resorte se estira en la distancia x1 . • El segundo resorte se estira en la distancia x2 − x1 . • El tercer resorte se comprime en la distancia x2 .

Valores y Vectores Propios

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Continuación... Por lo tanto, la aplicación de la ley de Newton F = ma, a las dos masas, se obtiene las ecuaciones de movimiento. 00

m1 x1 00 m2 x2

= −kx1 + k(x2 − x1 ) = −k(x2 − x1 ) − kx2

Vector de desplazamiento:X = Matriz de rigidez:K =

x1 x2

(1)

!

;

m1 0 0 m2

Matriz de masas: M =

−(k + k) k k −(k + k)

!

=

−2k k k −2k

!

!

;

FORMA MATRICIAL:

Valores y Vectores Propios

MX 00 = KX

(2) Matemática III

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Continuación... De la teoría de vibraciones, se conoce que las soluciones de la ecuación (1) pueden tomar la forma ! ! x1 A1 sin(ωt) X= = (3) x2 A2 sin(ωt) Donde Ai = la amplitud de la vibración de la masa i; 2π ω =frecuencia de la vibración que es igual a: ω = T ; Tp : es el periodo p De la ecuación (3), obtenemos: ! −A1 ω 2 sin(wt) 00 X = −A2 ω 2 sin(wt)

Valores y Vectores Propios

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Continuación... Reemplazando en la ecuación (2):   2k 2 A − k A =0 − ω 1 m m1 2 



2k − mk2 A1 + m − ω 2 A2 = 0 2 Forma Matricial 2k −m 1

k m1 2k −m 2

k m2

|

{z

A

!

A1 A2

!

−ω 2 = λ

A1 A2

!

}| {z } | {z }| {z }

v

v

Lo que llamamos el problema de los valores propios

Valores y Vectores Propios

Av = λv Matemática III

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Videos

Algunos videos potencialmente interesantes sobre valores y vectores propios • Una introducción a los valores y vectores propios por PatrickJMT • Un ejemplo de encontrar los valores y vectores propios de una matriz 2 × 2 por

PatrickJMT

Valores y Vectores Propios

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Logros de aprendizaje

Introducción

• Aproxima los valores y vectores propios utilizando el método de la potencia.

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Valor Propio Dominante

Sea A una matriz m × m. Un valor propio (característico) dominante de A es un valor propio λ, cuya magnitud es mayor que todos los otros valores propios de A. Si existe, un vector propio asociado a λ se llama vector propio dominante

Ejemplo Dada la matriz A =

1 3 2 2

!

, halle el valor propio dominante y el vector propio

dominante

Método Iterativo: Método de la Potencia

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No toda matriz tiene un valor propio dominante. Por ejemplo, la matriz 1 0 0 −1 Similarmente la matriz

Método Iterativo: Método de la Potencia



!



2 0 0   0 2 0 0 0 1

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Aproximación de valores propios Método de la Potencia Dada una matriz A de dimensión n × n, el objetivo es calcular el valor propio dominante y un vector propio asociado. Suponderemos que la matriz A tiene valores propios distintos |λ1 | > |λ2 | > . . . > |λn | con vectores propios asociados v1 , v2 , . . . , vn . También suponemos que tenemos un vector inicial x (0) que se puede escribir x (0) = α1 v1 + . . . + αn vn con α1 , 0

Método Iterativo: Método de la Potencia

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Método Método de la Potencia  (k+1) = Ax(k)   y

ck+1 = componente dominante de y(k+1)

  x(k+1) = 1 y(k+1) (Normalizado de y(k+1) ) ck+1

Si las hipótesis son ciertas, entonces se cumple: • La sucesión de escalares ck tiende al valor propio dominante λ1

c1 , c2 , . . . , ck . . . −→ λ1 cuando k → ∞ • La sucesión de vectores x (k) tiende a un vector propio normalizado asociado a λ1

x (1) , x (2) , . . . , x (k) , . . . −→ v1 cuando k → ∞ Método Iterativo: Método de la Potencia

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Algoritmo en detalle

Dada A de n × n y un vector no nulo x(0) (0) Encontrar p (1 ≤ p ≤ n) tal que |xp | = ||x(0) ||∞ (0) x(0) = x(0) /xp . Para k = 0, 1, 2, . . . Tomar y(k+1) = Ax(k) (k+1) Tomar ck+1 = yp (k+1) Encontrar p 1 ≤ p ≤ n) tal que |yp | = ||y(k+1) ||∞ (k+1) (k+1) k+1 Tomar x =y /yp

Método Iterativo: Método de la Potencia

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Ejemplo Complete seis iteraciones del método de la Potencia para aproximar el vector propio de !

2 −12 1 −5

!

Empezamos con una aproximación inicial no nula :

1 1

Entonces obtenemos las siguientes aproximaciones. Iteración 1 ! ! ! ! 2 −12 1 −10 1 Ax(0) = = = c (1) x(1) = −10 1 −5 1 −4 0, 4 !

→

x(1)

=

1 , 0, 4

Método Iterativo: Método de la Potencia

c (1) = −10 Matemática III

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Continuación . Iteración 2 ! ! 2 −12 1 (1) Ax = = 1 −5 0, 4

−2, 8 −1

!

!

=

c (2) x(2)

1 = −2, 8 0, 3571

!

1 → = , c (2) = −2, 8 0, 3571 Iteración 3 ! ! ! ! 2 −12 1 −2, 2857 1 (2) (3) (3) Ax = = = c x = −2, 2857 1 −5 0, 3571 −0, 7857 0, 3438 x(2)

!

→ x(3) =

1 , 0, 3438

Método Iterativo: Método de la Potencia

c (3) = −2, 2857

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Ejemplo Ejemplo Aproxime el valor propio dominante y un vector propio asociado de la matriz 



3 −1 0   2 −1  A =  −1 0 −1 3 

Inicia las iteraciones con x (0)

Método Iterativo: Método de la Potencia



1   = 1  1

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Ejercicio Planteamiento del problema: Con el método de potencias determine el valor propio mayor en valor absoluto. Ejemplo: 3, 556x1 − 1, 778x2 = λx! −1, 778x1 + 3, 556x2 − 1, 778x3 = λx2 −1, 778x2 + 3, 556x3 = λx3 Después, suponiendo que las x del lado izquierdo de la ecuación son iguales a 1

Método Iterativo: Método de la Potencia

3, 5556(1) − 1, 778(1) = 1, 778 −1, 778(1) + 3, 556(1) − 1, 778(1) = 0 −1, 778(1) + 3, 556(1) = 1, 778

Matemática III

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Continuación... Luego, el lado derecho se normaliza con 1, 778 para hacer que el elemento mayor sea igual a:        1, 778    1   0 = 1, 778 0    1, 778    1   Así, la primera estimación del valor propio es 1, 778. Esta iteración se expresa en forma matricial como: 













3, 556 −1, 778 0 1 1, 778 1        0  = 1, 778  0   −1, 778 3, 556 −1, 778   1  =  0 −1, 778 3, 556 1 1, 778 1

Método Iterativo: Método de la Potencia

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Continuación... La siguiente iteración consiste en multiplical A por [1 0 1]T para dar: 













3, 556 −1, 778 0 1 3, 556 1        −1, 778 3, 556 −1, 778 0 −3, 556 −1 = = 3, 556        0 −1, 778 3, 556 1 3, 556 1 Por lo tanto, el valor propio estimado en la segunda iteración es 3, 556. Luego el proceso puede repetirse Tercera iteración:        3, 556 −1, 778 0 1 5, 334 −0, 75        1  −1, 778 3, 556 −1, 778   −1  =  −7, 112  = −7, 112   0 −1, 778 3, 556 1 5, 334 −0, 75

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Continuación... Cuarta iteración:        3, 556 −1, 778 0 −0, 75 −4, 445 −0, 714        1 1  −1, 778 3, 556 −1, 778    =  6, 223  = 6, 223   0 −1, 778 3, 556 −0, 75 −4, 445 −0, 714 Quinta iteración:        3, 556 −1, 778 0 −0, 714 −4, 317 −0, 708        1 1  −1, 778 3, 556 −1, 778    =  6, 095  = 6, 095   0 −1, 778 3, 556 −0, 714 −4, 317 −0, 708 Al cabo de 5 iteraciones, el valor propio aproximado es 6, 070

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Aplicación

Actividad Grupa Suponer que tenemos una poblacion inicial de 200 personas sanas,pero son afectados por una plaga. las personas pueden ser categorizadas como sanas,enfermas o muertas. a causa de la plaga, cada año, 60 % de las personas sanas se enferman, solo el 30 % se mantiene sana, y el 10 % de las personas sanas muere. tambien sabemos que esta plaga es dificil de curar, asi que cada año el 60 % de las personas enfermas muere, mientras que solo el 20 % se sana y el 20 % permanece enferma, los muertos siempre están muertos.

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Preguntas de la Aplicación

1

Sea x1 =personas sanas x2 =personas enfermas x3 =personas muertas Hallar el número de personas muertas en 2 años

2

Hallar la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones

3

Hallar los valores propios para la matriz principal

4

Hallar el vector propio para el mayor λ (valor propio)

5

Hallar la multiplicidad algebraica de λmax

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Videos

Algunos videos potencialmente interesantes sobre valores y vectores propios • Un ejemplo del método de la potencia utilizando una calculadora por Faruk’s

Academy

Método Iterativo: Método de la Potencia

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