Solcalculo Integral Granville.pdf

Solucionario

EDITORIAL

"SAN MARCOS"

SOLUCIONARlO

CALCULO DE:

INTEGRAL

GRANVILLE SMITH

PEDRO CONDOR SALCEDO

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Edito,lal San MarGos E.I.R.L.

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Jr. O;!volos USSón 135. Lina

Teletax: 33,., 522 RUC 20260100808 E..,llalt monnes@edikJttaisanmsl'cos.com

Primeta adición: 2007

Primera reimpresión, 2'".MI Tirajo"400 ~Jsmplar.. . Hecho si dopósilO Icg:>l en lA Biblio!""" Nacion<>I del Pen¡ neg. N.' 2008·093~7 ISBN: 978·9072·38·378-6 Fl9gisuo d. proyecto edhorial N· 31501000aOO570 Prohibida la reproducción tO($)1o parcial de esta obra . sin previa tlutoriza<.:lol\ escrita del autor y del (xjltQr. Impreso en el Perú / Prinle"d In PetlJ Podidos: Av. Garcilaso <.le'" Vega 974. Lima To1l5: 331-1635/331·0968/332·3664 E~lnail:velltAs@·edittJlialsanmarcoo.com Compo:;lcl6n, dia\,i(;)tnación $ impresión: . Anibal Par~dcsGalv~ll Av. Las Lomas lS00 Maogomi\fc a, S.J.L.

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inb:!tJral

VERIFICAcrON

DE LAS

FORMULAS

1,8-21

Prob 1e'mas Grup 0-4

VERIFltAR

f

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LAS SIGUIEHTES

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, 95

POR

INTEGRACION

1.

S(jST!TU~ION

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2.

Si

3.

Si 14. ~ntQ&r...l c o trt Len ec.e L radical U

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respoc~lv4c.nte .. u ••••

2.

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DEKOSTR~R

1.

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LAS SIGUIENTES INTEGRACIONES·

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+ 2

So'l.yqian.

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14 l'orlCl.

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15,

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I~oo \)

CAPITULO XIII CONSTANTE DE INTEGRACION n¡;TERMI~ACION

ve

LA

CO~S'fANTE 'DE I"Ti:'G~ACrON

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eoncee

ee

do int"'egl'ación

el

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DE CON[

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CLONES

de

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hallal's

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integ"t'al

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a

rvt

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Las siguien'tee tas fune iones. C:ddas

¿e.la

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Sx1)d)l,

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funci6n. Pllra l~s valore

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·integ~andc

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o , H(9l. ce .....ctge

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e :

C'.),

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f(8) - 1" sena + c.t:~9• , ~~ll~:' de lR !a~i¡!~ de curv~& toles que l~ ~endi~nt~ d.'la

e~:,te ~n un' pU:lto cO~l~uiera tr.ne ~~ ~&lor 9ue sQ,indica. ~l):'A:

le.

La

pA:'J¿i~nte

es

1.1. 4x

la

~6 a

)HI$

,"ut'-v;:.'en

• m
HO'

4.

indx., intlsgrando

S1!I t Lene

~UI

punto

<:uulquier

f ~y

-= m

f ~'~: - .~; <:

+ -c ,

Ir.K

12.

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1:3. e c-ue c a ón r-epr-e s e e..e a una

:1~' r ec t a e •

fami1i-3. X

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fdY =[.dX

f .di

[dY :

+

=,.! ~

Y

t'

';(2

.

e

r-e p r-es ea eu

U:lU

,

fami'lia

de

-,;>~%,;1;:'91 d,S.

'd

13.

1

~

d"

= -

~

y

f:Y~y. ~.

,so .... lll'and~

1~$: "·.!Iriabies· O' integ,rOJI\do

y

y:~

¡'d,ff_ .... ,~

=.. x +. C,

Se 't Len e

. rEfp·r.es·~t'.t'a une. :f.ami1ia

de

paráb o l.a s .. "

14.

!

YdY,,;,'

f,

x2.dx .

.!.. yi . -= ! 2', ' ,3

T

xl

+ .c , ne

pr-e s en t e lOa eC\lacióñ

'de 'una 'famili'd de pal'~bola8

=_x_ • separando y'

=

,f'y2dY

f

xd'x_

varia.ble

t

~

'de

y3 =

t

e integrando.

X1 + C,

una "f~rnilia,dc

.2'x 2..' s epe r-andc :varo iabl.es , dy .

3,

):2.dX

:y e

T

X J

sem'icúbictis

r.épr·esoota

la· e cue e Ié n

par_!i.l:ola SE!1licGbica

e .inte-grando.

,+, e, . t:>epresentá

la

ecuaeié.n

de' una

famil ~a d~ paroábola ¿ú):)icaa. 1'/.

'~= dx

...' '. e e pe ee a dc val:' i'abl.es

Id>. ~.

1

-y 3

,

=

K

~ integrando

..c.

111

~::

18.

x

.'l.'

1)(

soparanCc.variableA

O !ntagr~ndo.

1 .~, .. :;,..

-f •

•y

ydx

-

• C, ecueei6n

••

,.

•. x:i

e,

<;

JI'(.~1l1;. - , ••

y

e

, •• 111. d. hlplrb.?lo • •quUh.

u..

r •••

10.

sz dx

=~ .~ly

var~;¡t>L~p o !:)t"egt"'an.d.c:

.epa,t~dnclo

•• ~iene

., ?aruilia d~

21.

iY ~ . d.

6'

22.

;zx

hiperbolas

.

'eparan.do

V<3::-iables

;\ly

f

ydy·.

1 ... K

~ dx

1 ~y

b'

J.

xdx.

-L ?

y'

>

f y2 =-

iotegl'an40 3.

• -"1"1>' x'

t

Lene :

,e I

.epa~dnd~variablea e in~~grando.

-f ... r

•

x +

t .x2.

+

e -.

'X~

ydy

+ yi

+

2x : 2y

ir

C.

facilia ~. circunfereDei~~. :

112

é:n e/ü

de ci6n

Lu

4A

.:.~~

c uya

CU!'V4

:;.igl,;i.l\'tes

Lcs c s , :tal!.ar

e.j c r c

?enüi(!:nte

é:l

la

e·';1.I.Jci6n

un puntc cl:..."l~..t,(.t'a e.s ~a

'1 q....tl~pllS.il P.OI' ~l' j'lunto.

COl:!.;)d e l~.::; ,cCJ(»'d~n"'as

furo

¡:aI't le\:

-

; MI', .... :¡igna.4Q•

23, l~ pendiented~ :~ t~~g~n~e es: P~( lo t~(lto

pue s ec

q.u.

la

CU%,VA pasa

per-

..

(1.1)

•

y e 1 2

)t2

sepa~and~variab1es .

puesto

...

!. :: 1)~ ~

".2 .. 1

2

~ ~nte6r4~dose tien~.

f !(t·~(d· V

)1"

que lk

cUrva

P(1.t)

Pasa por

~e ~unt~ ~eben por' 'tanto l~ ecuaci6n ',particular 11l,(Y) ' .. 4x

25.

~

dx

-

•

las coordenada, dt

!.n{l·j

satisra~e-'(" )

!l ....

de la corva

+ e

e :- ..' ..

e.s

4

:-2xy•• .e~rando variab~es i .

*

(nte~ando

: 113.

, ~'

.., .c =: -. ~.

... 10 til = 9.. + e

. . .. ¡,a ccuac '160 part'iclo1l.ar

ln(y)

de- la

~ur~a: s~rá;

r -2 ~ .. i,)(

+

pue sto. !lu,e '..í *) 'pa sa "por .1, ¡i~:nto +,

' ••

e (~, 2 )

=,'~

ln(2)'

•

l~ eC\l.~c:16npal'tic'ulal;"

de la c,~rva, l?e~á.! .,

,

....

'

· .dy· ~ x t 1 27 . ,. dx 1 ..

s »

f(

,.)~

x+. ~x = .,1 2. y 2. . +

• ,'._ .• ' + pue e-ro

e:;:

114

que

e

+ 'C';

~ 2.

...

2Y -

3' 2x

~,,,'2',

= 2

2y·_ I~·. e

pasa por el pU,Oto

f1l)

.?

..

+

X

T

(OS.

('0,1) •

la se.; pal"ti¿,ular -- 3 :;. O'

~·c

de la -cue v

19.

k~dy:

.. e:

29.'

'O

'r'

(~.• x)4x

. 'La ecuación

,*. ylX;

•

I1 y'

de 141 curva

p~t'c.icu'lar

s epa r-endc- va~iabl~. ~ .integrando

.!.xli>. 3

e

0.$;

.

(O)

.'

?uestc

Que (ll)

Pasa

:: ~ (U)

+

3

L~ ecúaci6n

t/'l +

pol". el

e -,

puntp

(q,l)

e • ":' 16

?.1rticul.aI' de l'a curva

6S:

ln(ji) 30.

sz, ~

*

puesto

qu4i ('k)'~paS'~"PP'C'

.dx

likY' ..... x.2 _ 15

s.eparando

yOráble

¡ .":

+

1"('1) " 1n(16 - 15) •

e. int~ando

,

$1, punto '(2~~.>:'

",

e :,. e

>; o

La ecuaci6n par~¡~ula~ 4_ la cunva es: in(y)

.·r

ln(~x'

- f~)." , ln(y)

=·ln(o.'

- 15)

11.5

31,

32.

*" ='/~,: ;

33.

f

(3.y)

puesto

sepat.l:ldo

".:lZ'iables

'.

"'dy

~U.(~)p~a. po~ ~l punto +.

2 (3 • y)~ ••

de

il. = ¡-y:-, dK J-;-: 2 -

f

~

'2 (.;) • o.

• x)*

~ O 3

r

separando,

38

la

"3'

c'Ul"va ser':

=

variable

e in~egr.ndo

dy -( Y--~l )-.,::--,

1/2 •

2 +

L-a. ecu~eión

e

... e

=

2.

part. icu~a~

2(.y - 1)~'

It6

(2,&)

e

La. ~c.u",ciór. 'partlcula\"

34,

• integrando


CAPITULO. XIV INTEGRAL DEFINIDA PR;>BJ.tK.< ~:

1.

L

b

lie.oHN1' gU.

f(.)dx

_'[[(')(~dX'

•

a

f.D

f(x)dx

.

.

b

• r(b)·

= .(F·(.)

F(.)

.

+

F(lo»

= • ~.

11"

aZ ( 2

-

n

.-

A~

, .....

Snl:w.cjcdn .. lne

2x)

. U s 3, - 2x

.tI 5·f32tdl 2 'Tt2 u :

ol/'dU • [-

_1'2

. du + - 2

~.

: 1 • 0=1

ln(lJ

U1l'1

1n

dx

::d x

. .

]1 o

~

1 • t2

+

du

=

du . ] , • ,ln(u) u . ,

2tdt !::

ln (1 + ..

'J) ,'.•

ln(lO)

- 1n(5)

117

~ lp[C.2)(S]

" lnCS»

'...

.

:'.

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J

2. '. . z

.x dx

O

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+

X

l'

~ 1t

#'-

...

Lñ {x 't

1)]",

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-+ _ .a

ln3 .

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.fa .L

a.

. B', .

r1J"-

L era

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O·

. O·

=

;

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_

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X2

.

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r

10.

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..

1

,

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1 ---+ -1.3 3e"

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O

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I? +' 2~o~e ue • ,

Jr. e". ,!9d 1 • ,~jo

=

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1

f

, COS2K

+

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'~1-+-.-c-.-,r6 de

l1

11

1 9 d9 tos '2

1 S}'o'e

['•

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l'

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1

6"

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cos'2x

T

O

12

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COS'!I

1 ' " "] "'.6co.s~J'

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119

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sigui.~,:e& inle~t'd.1es '~E-:'

ldS

.n :d6".

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14" ,

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O .¡-.: .--,,- .. x

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'

1 --2 o (9 -2.)-1/1d(~-2x)

-,

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J

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,;].

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16 ,

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•

...;2 ar:sen 17.

..

fl -.' Oxe

1 _

dx

2

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O

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124

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127

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,40; Se ... be por l.

que el alt'ura,

1

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......

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t

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tt"apeci:o

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la

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las

e~ronces se tiene:

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128

.!t"~.a del

del

'ldo tt'f.lpee.io

X. 4

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+ y )b: n

x

:

es

••••••••••••

ár-ee del

.-n~$im~ 'trape.cío

be e e e

¡.!.

y

2

+ 1, + .••.

o

+ -21Y le • n x

p~oeLr.MAS •

Calcular

valores

Lc s

apro)(imado.

do las.

s·:i.~ujU(,t~s

in''!e¡t'ollus

ne". 1.

f

lO

)

I!x

x'

.

i

n =

Solución.

:::..!L.:..-2.

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142

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4>< 1) , t

1

o

a.rct:g{l}

xv

CAPITULO

INTEGRACION

COMO' SUMA

Sea f.(x) una fu.nci6n C'o·ntínuaen el inter'vtllo desde x • a', hasta x _. b, Div1dase este .intervalo en n 8ubintérva.los ouya lon9:1tud80n~

y elij!ns8 puntoa, uno.Qn cada subintervalo, que tenga la~ ab~ XJ' ~.¡'..... xn respectivamente.

(1)

f(x,)6X. +,f(x,)6X, +

~1 calor limite de asta suma cuando n tiande a infinito, y cada ~ublnterv6¡,:nt:once·8¡

lo t,1endé a

CérQ

ee igual

y

al

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da; e's d~cir 7

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(2) 143.

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PLANAS

COORDENADAS

PCLAP.l:S

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c ur- ....a: ''/ OP 1;

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Q.

de la l'udios

~guloft

'lQ$

I¡·.,etor'''''''' c s ee a 1"\\di.os y ,ftl eje ;:'10::,,1):' .·Apl~c~ndo el t.O~eGafu~ dllm,el)t03~ pal:"a hallar' el á ..

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ee e ec t ee Los d03 .. adi.o:.; ve c t o ee s

y la: cur-ve

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podida

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JI;.m.,)

de se ece r-e

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2do Se~n 40$ ángulos centrales ~e Los s~~tores; 1l.~1'

1 ,,1. , 1} '"'1.:.l .1

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r-ea ba'!'t'idd

_por: el

de La pOS feión

f'67'mulA:

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1.

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de

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de

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cce e-ee 't!"Qzad ... por

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" 2

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cos~

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la

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,29<1(2e)

(- 2°0.291

.

i:.u828d¿l

~

Sea V el' volumen cinto

plano

ecr-ve plana

,del s,ólido engendrado

haciendo

airar

el e e

ABeO alrededor del eje x, aiendQ l~ .cuacian de

la

DC: y •

f(x)

ler ~aso: dividir el &egaento AS en n partes cuy, longitud aea: A.T.I'

AxJ,

no,

perpen
••••

4xn

y hece r- pasar

D1 eje

por e /punt o de' di vis i6n con pl!.

e s e c e plano,5

.)t,

dividen

al

sólido

en

placas Qi~oular,8. Si dentro del recinto A~CD se construye rect'n¡ulo ~e bas~ p

taXI• .6)(t'

...•

4e.· re:oluci6n

AJ(n' ene en ee s O/rectangolo cue e do el' ee cLrrtc

ABen

enge.nl1ra un cilindro'

se ~4Cé girat'.

, yo

G

., •I

r ¡;

·l'....

7 '\I

F

í ,, / 1\•,

I

LI-~_.J

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, -,-.,1......• ,

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I

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/\ j

SUClU

una
de eer e s. n <:\! indros

Pa&o: Sean

~08

, ,,

t

I

"

co noe s pcnd Lerrt e a cada

ces ()1rc\,llat"e~. El li:r.ite d'e la (o ~ ~) p.e .1 volu.en buscado. 2(10

!t.x

f.I

I

y, ,

de.diviai6n

Y1'

... y las ordeoaóas de.l. curVa De ~n lo~ pu~ n un ~l eje x. tn~onces ei voÁUQon del eilindTo

169

'.

engendrado

eB~OS

3er

rcctangulo

poI' el

vol~mene3

de todo

AIrO será:

.y~Axl'

y lo .ulIla

d.

esto~ cilindros ea:

pcse .

Apl.i'cando OA

•

el

M"

e eor-eee

os

='

lundar.:tcntal

(empleando

Lea limite.:

!)

(l)

Por tanto:

r.;.

el. volumen que

1)

engendl'oJ

hee end o girar

alrededor

í

del

tj.

~ ld $u~erficie lioi~ada por la curva, el eje de la. K eUyi or-deneda s es

x:

il,

v)( •

?)

c uae.ee OYes

el

x e

'tIf

e1 e

1)

ca :

b y1dx

.(I!)

"

de revoluoión

Si la. ecuocione$ de la curY4

x ' Elltur~C:tls: en '(1)

17()

y=-

+
S; t

.. tI

debe

dx =- r'(t)di cue nd o x

en

la

fÓ1".ula:

se dan C~ forma p.~a~~~

.y , 4>(t),

f(t)

ae

eaplc.l.os

.., r.,;

suut.!-::uir los

valores

y ca.h14~ los 11.1tcs :..

1:1

cu ar.do

x=-

b.

..

eu ~1 y ~2'

und 'Supe:-! ie ie

Cuando

4_11".d.dol'de

zira

plana

eje

1m

en

en el mi:.oo plano, y e s c e ~ : e no cor-t ... a la s-u pe:' f i e i e se formo!' 00 :;61 ido ~e revol'.Jción

h\)(lOO,

Por ~....ntp

cu e ndo gira

¿fl:r-e-

dedo\" do.L u'j o ~.

y ci eira ~lrcdedur del ej. y: Vy , 2~r'(Yi

. J,,'

1.-

Ht\.ll ..tt'

el

rol" el

c!rculv

vc t ue en de Xl

la ,.&[0'"

+ yl

r2

e

que se

E(~~él:l\il",.II ~JIIclbt'ldb'

.Il"edcdor

eJ-

de un ¿,illAl),:ro:

soZ.uci6" . tl

yol""er.

V

,

•

:·srY·d" .l~f:

(I,t .. • ' )dx

~u ~2)(

: 1. ~l

'2.-

.. -; "

x

eu 01 v('ll~-'¡f:n ~ngcl!dr"do Jler 0.-\9

VC ...

I

-

-

,~

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'jr :>

--

~;]

"

, '!"

t1J111..tr' por i!lleg:-üción

el

volUfl".cn ,],;,1 cc ao

en&,end'rl.!t hac f cn dc gi,:;'<Jr ulx'fCednl" /"

' y

1)

•

Y

2

$~'r~

mit.adlJ

de

ü

trun'JdO

que

se

x . La r:u~~\.':·f.i.{,:if. li-,

POY' 1':)$ re c t a c .

171

,-,

•

-

o-

y • ti sotucrÓt'l ei vc Lcce e s~r;i :

•

V

x-

e

~S:. .í

("

•

Ji e

'4?

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•

y

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xj~d)(,

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)dx

O

-. • "[3tix

&_'

O

, 3, _'-j'

, 6~.3333. +

0_-

V.

• 217._Si7 el vc J um.en

Hallal' tic!e

ongandra

S~

::'0 ?ürt.bold .puntO

(xl'

y2

del ,araboloide hac16ndo,alr.dedor

~ 2 px , cQmpt'endido

Y1'·

y

x

enlendrado

por OAR

;e~A

• _{'\~_dX • O' ( 1)

p\,jf.:-~tc') 'que

1<\ pa:r~bolcl

~~~4.por$1 ~Un~(l .(X"Y,)

•

cuya aupE

de Su eje _1 arco entr'!t

el

.: ..

(2)

'e

'Y el

origen _.

Sp¿wCli6r." &l volumen

de revolu'ción

"'._

U"'::"¡f.r' eJ. vn';.UII'¡er. del " dedor

~o'

So'u,rÓ.n :

Oy

::: vo t ",:;nen IIn¿entl"ado

v

sóll
c L (ll'CO de

la

ae

g'e

p:t!' OAf!.·se!'á

y'

.

v,~ y

•

. [ .

~

ai!',j,r .,lt'~

21olX'

.

:

7

,~

haci.ndc.

n d r-ado

paráho!,;.

----_. -, ....

4y

O 'P,

!._---,---'

'

"

/i(Y.I'Y')

,

--------_.~~------~~-

.. (1 )

pero:

e e ec 1. pa\",~.pola pasa por el punto

,

,

2px,

•

P •

2.,

~ sY:.Itituyendo v

;-

11

)

••

c a.ene

• 2 • VI --2 ... (2)

+

"

4.,

(2 ) en' (1)

y

YI

4

y' y'

(K I •

S~

'tieo-e

Q.ue:

~

5. X.. Yl

H~llar .1 volumen del ·s611do e~iendrado haoiondo girar alr~ dedor ele Ox 13 cuperficie limitada' por laa aisuien,tss lugares geoDlltri~os.

v

o

173

y.O.xca,

6._~yt.:'Xl

Solución El vo~~.ene~gend~adopor OAa será: y

y

• x

:r[ x,,'J~: \¡.,

o

1.- 101 par&);()l~ Sofuclón ~ V Yo,'

\'

"IoS (.

"

. ~ ...¡y,.. ¡¡- ; 2m

,

2

X

":'

o

.

+ ,I() d)(.

"

x

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8X*.,/>

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"

174

v

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15

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+ ~a'

o

8 5

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'

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y

~

x

2~G3 . s

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2'[&~)( _1.s ~to/ax5h -a 5

:' 2~~·O$.'

•

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32

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1/) .

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asaj

y

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9.- O&a ~rc~d. de y

Solución. Vx '

,l

sen x

. 'C·O'.dX

,

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2

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y

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175

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ti

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So, ~c.i 6,,' :

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-.

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1}

-_

-10)

.

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+

y~ 3

1

Soluc i6n :

1uraea engend.aGo

'v x , 2" V

V

v

"

_f4

por \lA?-o

'l\!nSro3:

x2)4 x

~6 (1~

i~~

, 2·"

y ,.

O

(16_~1 ):Sx 16

O

x

16

{(Ot. -

x

lB 16

1J

!!

V

G .tlix

XZ

;,

}d"

~' o' e .c; B a

"" (11i, X

H

o

~~

·b!'uj.

Solu,c:í.6n :

vx

~.

176 ,

..

y 'x

:1

=64~6~~__ '__~,~d~. __ 2 .. ~a;tft

.:JO (

lf(lcieTf~O la

X

sy:titu:"

ci6n

y

10& 1 '\si'res

de in'tegrao16n

" ,S

r-

c.uando

e

o

M

'Ser5;

x •

• 8a1"

'/2 de ---o~c"e··

1

. o

...

"

V

x

2• y

," • r: 13.

y' (2.

"'_[6'+ 2. )..l ~ V

xl

e

,,'

1

'2

seq29

x

•

:

'y

J.n 1)

I¡.a';,z

:

b,

x = ~

177

Y'

puestc

~u~

Vx > O;

o'

~ie:np!"'e:

\ +

mr

los

~.l'camb.ia!llol'i:

\

llmit e.s :le int e'"

..~ril.c101\

": .....

y

'1

x

yo

x

',h } x .' 2a

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fr

r.' t_i- '+

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'~O'

S,,·J.n(,x - 2,,) ,

a

1' V

x

::: I!':\&a3,1. (-2a')

v, =,1'{aa"ln2

•

'1'

x'

1~. )'2. = (2 Soluci6n.

178

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._

16' , - a'} 3

y

O,

,

O.211811a3

- xJ'

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•

•

O, x

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1

-

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y

J.75ff

•

•

,

Soluci.On

~ y

y

...

e

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o;

x':,

x::'

'(9

_¿f • ex ... x!1·

n

x

dx

ifa.::ien<1o

lo

tJu$t it!_

ció:. . dx • 2se·~t6 d&

r.ca

'11:n1te&

• En v

!!._[

:

1I

x

Ha.+l:ar el

r>er~ c ua ndc

'.

o

:

•• .t.i~n~:: -/2

lA int.ogNl

X

v

de' ~ot:.egr
e

o

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X

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o ~:..

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o .

se'ele

.

)(

-/2

~I

2

e • n2

= ..

'l!

• 2" o .. dO

(e]: /2

.•..'

:-

lIo1tl•• n del

alredodor de Oy.

sólido La

qpe se engendra

superficie

li.ita.:ia

haciendo p<)t"

gl!'.:sr

loe .igu!ences

Luger-es geo:nltr.ico s .:

... 179

y,.

16. ,. ;: )(J. SolucC6n :

cuar.do el p re duce

O,

x:;

2

rec~.1llP't.l¡'<>

[J·\..:cas

ee~ir.ioo

glr.

ci!'-<:l.:l3.!~s CUtO

,q;·1.t'edC'I~6't~ (le! ej.

volU.eo

Y,

es: ieu31 a 11 di!

~ccci~ antrQ 10$ vol~menes gG~eradou al girAr loi

reot¡o

:Ou ECDr 14 di.e4ai6n 2~po~ dy~ y f.ABFde d~men.i6o x po r-e epe ct c <3..1 éj a·y

dy con

03

de e tr- el

vol aacu

s er-é : y

.

(-2.8)

+ 16)" Solu.ciÓn v1

::. 1144

:

.

2.5

31; (9-y')oy'

.

O

y')dy

v, : 'ti

y

re .

180

::. 6ca,.

¡!!.)' •

r: _. -rJ. v'l' . --rJ1 ~L9y (-J,Ol t

(t)". b

1

V

•

2••' {¡~X

•

2.~:~

y

-

19.

x

b

--1-1o i:ll!t~

y'I'dY}

~b

o

• 2 .. ' (b V y

' ,

t

b)

,y

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x

~t "'b.

," •

16

- y ;

, -b

o

UQ?'iaLdn. -ti

V91ur,¡en

EJ')8endr.a94> po r- OAB Sf!ri.& ul'rec1oUofl

OY sera: y

V Y ••

v

.Y

2 O"

."

[

' lOy

y'l'6 J•

2

12h

Lí..i eC\l.lcJ6r.

d. lo . Curva

Hallar

fll vel U:!IU(J del pey.flcJ'ft.

os de'la

.sólid.o que

Ca)

OAB &1:-0. al'T'ededor do (h) CAB ~¡ra ..alrededor de (e)

OAi

(d)

OñO ¡,iN

Ce) OAC (t)

elr. alrodedor ~iJ"'1l

figu::'D 1,;

C' )

..

e on"6ndl".

'

eY

y'

• x' •

Cuando

la Su

}\ }\

ex r.·B

(0,8)

(·l,m

de CA

"¡t'~¿cdor d" :11

a'lrecet!or de OY

OAC ¡:.i.r4 a Lre d edc

r-. ~e

~!.

F~<J"

CO)

'181

(~)

OAC,!"1:~cl ~l~ededo~'

de hU

(h) OAC &l~a alrcd~dor

de OX

SOlttqidn. 6)

'x •.

..r~'d.. ~[(]: O

bl DA! ~ir~ alrededor de A3; tl volu~en

~cdido

Dl\'ids'ulIdo

el á'r',a

rectSrclu.lo

~en~rico

ser&: mediante de la

fJ'anja~

fig.

glrd

,hol"i'~ont,ale3,

cu endc

4J.rodudol'

eje

del

p1'od.uce p~ac.a" c Lr-cu Lar e.s de radio 4-x; de, altura'dy !f(¡:;

x)l.dy

•

.. 1:1 voluoen

y

el

y se

de ~Utsl

.

pe d ioJo será y

-- -

(4,8)

"

• • ;1)

182

y

y

}02~

•

tt

~.

35

35 .

JAB ;ir'" alre~edor

de OY.

y

,¡~.

3' -y' 7 . ,

51? =,11

r)

OáC gt,ra

alrededor

Uividien'c1o

de

CA

e.l &rea ined~ente,

e¡ .rect4ng_ulo

,O!le1:'ico

franjas

de, la

~ se pl'Oduce ·p~~c.as cireu~ar.es

r~ ~x y

de

fie.

hc e Le e n t a ke s , c uando

6ira. a'lr,ccjeóol'l del, eje

de radio

9 - y,

volumen .

... VOAC': 4

J6r. . :JO .""'d' 516· ::-¡a

4. e L't u-.

b) OAC aira al~edcdor tl

r.ct~r.gt!lo

de OX.

Hcn¡'ric:o al

gjrar'

o1rededol'

d.

OX se peo

ce,placas circulare. cuyo volurn6neS igual a la difere cia cn t r-e ~OB voltln~Jlc~ gen c r-....das a.1 girbr. Lop l"ect3. gu~ol. ~STW de diQen~16n 8 por dx

y

RCJY de dl~cnsi6n

y

p

d" es

decir

el .vc r ce.• :) :re.l'~: y

e ~-~--I , y

...

OAC

]:

,, ,, ,

4 . 0(6 ••

I

,,')lx

I I

,

I

v OAe • ,,[64x L~ - !''':]' 4 o

x 19'11 \ \

, -.... _---,

21. Hallar el volumen ~ul esfe~oi¿e ~Chatadc que ~e ongen¿ra t c cude s;:iY'd)" í

alr~dedc>r

del

cj e dQ 1.5 Y la

r ede ¡Jor 1... e ; :pse:

s:;

iugión.

v

y'

v . y

184

•

2.-;12 --",

1> 1

.,

1.

(h"

O

~ y

')d

X:

sup.'1'tieic

lilli

y

.,

v y

'12.

DE. en e \'lItftt'a

de

de e s pe sor- n ,

tiet:"l(,lstT&t~

:'üdio

r

se cc e t e

.pc r

11:1

s(,;gQe~'tv de una b.1.Q

iHt"~I'llcj61l

q\'ht

su

\'O}I,.:Ir.éO

«e :

eh' (J" - h·) 3

~o~!tci6'i. Sea ;;.1

:a.

cc ue e Lén

girar

.;1

pí a cc e c t

-1(1

!...e s I'es-e

re<:.tát)gulo

uc u Ln r-ea

+ .,.' ~ :-1..

xl

.1 r-e d e d c r- 4. OY ~ e e p r-c doce

p'f!::".Grico

lit'

c''''y() vol'u:I'I(Ju

;ei.l~l

a. J.~ cif(:)~(,·ltctlW

tre 105 volnre~ncG¡en.radus ai &f~ar ~1 vec~jn~u:9 ~?l'C dl::aens i6n

r

J{p.,lldJ' el

ve Lume n del

pOl'

«lx y

RSB:; de

só11dv

d i .C~ISión

qué

. 1'" _

"u e'ngendru

f,tft-

G~

1C.

b e c t cr.co

¡;tirar

,l~~d~dorde c/u ¿~ la! Riguie~t.~ ~ectas lo 5uper!lcl.que Gtit'to

23. Y ~ 3. Sollrci6n : f:l

la

eu e vc c c r s-eepcn d Len r e .

y: ~x - x, ,

VO.: I.ImtH~p.ed.:.~c 1:l)r&:

h e :1x

185

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1)5.0

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el giro

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de 101'sUl'eI'ficie

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al ...

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CAPITULO XVI .ART·IFICIOS DE INTEGRACION t~

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. SlcurEÑT~S ART!r¡~IC$. 1) ·tl~:¡.graci~ll ppr pAr-r(!~

A;'li<:'~ción de la teorta de f1"A<:eionCl,s r&cioo31és' 3) E1'IIs>le" 'de: una sustitueiF.n eonv.:lIlenre

2)

INTr.~R ..'\C¡Olf CASO L:

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~.t':1'~"h:l. de

Lx CAse 1 J;

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CAPITULO X,VIII CENTROS DE GRAVEDAD, PAES'ION DE LIQUIDaS, TRABAJO, VALOR 'MEDIO, MOMENTO DE

SÜ'PERFic'IE ~l centro .ill:ufe;~:;e p.c.une<::erl duo

c:Lc.:

cle'syavAdad de Vl14 sup~rfictA

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Sc~ l~ 9uper{icj~:AMPNBJ en Il reccan"utvG

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f~n~alllentales.

de 40Dda se

Obti.!

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2.-

,/4

y,..::....2..ll.

_

9/4

l'

e, - (;,; 1,)'J.-

4.-

:c;,.

-

207~64 278

-2'4

....

lOO

C,

_

23 .,

-

•

1503/160

24

314

•• plicando

!!l.

27/8 23

60

.'!t,

167 60)

(24',

27/8 ,; (49 24.

finalDent

1)

4563/160

441~64 _.~

27 8

(í, -

Y.,

(xt,Y,>

l'

el

t

.igllieQte

169 ,.

-

20

IH) 20 eOD.cepto.

+

AlYl y -

. Al

Al)'¡¡_

...

Al',!,

+ '\, ...

Al


... A.y .. Á,!

•• ci.ne: 5 1 x(-

7

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"

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W

(.!) + (11) 2 8 1+ !. + 27 + ¡) ) 4 8' 8

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x

4

x

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27 • 8'

49

x -

24 ,..

'.

(1) (_!!.) + (2.) 1( (_) + (27.}.,,> (ill) ~ (ill) y _ _,3:...._·X ..2""5_~.'"'4'--';-_.-r-:- 8 60_-,- ..•~ 29

1.+_+_ 3

t:l

y'

•

A

centro

4e

grllvtda4

, ... ax .

SID.eral

150.,4. ~ d~

-

zdy

. y;

h

j

.. ·~Iaa(.,-• A

f

• 1. a

y')

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1

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_

.! y"l"

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• 3'z e ,. ...

1(

.r~y(•• x Jo

ll~s2

• _!...L_Z a

2

&erá:

y • 0'1

.' $a1.Y4\6n" AQ,utl 'e.l ce ne e c de. graved.,d

,"

8'

2.. '13

•

7.-

4

.

.

,

- X ~dy

•

)ro ('., ;J , .. . ,y

,Ch, k)

x (2;)

S

2 -"3.

"y

1 Ja +5'y"O'

.• 8 ...· ))811.1' Ll ceneee de graved¿d de 1" Aupel:fi'c;ie 11m!eeee por ·,,1 1020 de la curve

~1.· 4')(2 _ ",'

Sea el c.nt~o de &l:&vedad C(h?k) dA ~ ydx ; h,·

'X.'

k - O

9.- Ballar el centro de.glavedad de 13 p~rte de la tlip••

~~H016!1. Sea el ~.nt~pde grav~d~d(h.\}

. .~ dA - yd":

_

h .. x i K =

,

l' y'

...

-. X~ a, 6~WI2 __0 { x_O,6

- -{ b

r./2

•O

1

(.

'"

A -

.•..•••. loa 1I01K'QCOScS••

. fI. ",'X'.

M

x

_JL

f

:l.2 O

_A. J

•

(1)

serán,;

uperfieie

.s

a b'

c __

(8'

.

(2)

"

,"

••"°

0-

de. (i),

(2) y (.l) obc~.o-s

10& centros

de ET8ved..d.

y -

.~ c(i,y) y~(23 _ ~) • x'

y su

= (4a 3'

asíntota x

-,',

=

la

'

..

Sol.Hcii:r¡.. Sea el ct'nLc.o
t(h.k)

. te. • ()

317

La austicuei6n.

Haciendo ,2

u -4-x

~ x .. 4.-.u

2,

y.

'dx • - 2udu

en la iru:egru •• tiene:' A

.L O

4 (Jo - U'):'-2u')ou' ,

x

=1

4 t2u'

Bu'ldu

" O

r, u·- !3 u']'• , [1

A~

Ji (4'~'x)'¡"

'_ ~

,[5

,

,~:'.

(4" _ 1<)>1')' •

'128

15

128

,-:,.A ... :U Los clnlTo, ~e gravedad sarfnl •4

=, ~:'.I4 M

OdA • O

~

:

X(4X' ~ >~Ii'dX :.

O,

4 -

u

'en

x.

:

~:t

~

iJlteg'r'al

L

'4

:

(.

'

O

•• ,',

2.l

'(32,,16. --"ti + 3,

ax .. -

¡

2udu

t-te:b.: t·

"[4

(-2u ),~u •

-Ó.Ó:

h = y

~ .

'x: -. 4· .... \1 +

t\ ~ , ":.'.u ,) ,

_ x)I/'<

la eU8tituci6n';'

HaciendO 2

'u- -

10r 'x't4

....

-...U •

. ("

l'

.

Ij

'

.32u, '...,_I6u ''O" ",'

,

- 2- u'~. ,

.

, ~ ti • [- .E.,(4 - x)....·+~ y ,,3" , ,5

(4 -'"x) '" - ~ ,(4, I

X),i>]:.

M

y

+

2048

.. iOs

y

H

-.

y.-A

_:¡_

--:;

e • (.,

16

y - O

- -y) •

16 ' ('7

I I I

r

O)

'Naciendo la 6U$.tituci6n: 1

X ..

_!!!_. • 2 + I'

o

I X"la ¡

I I

4..

dx-

•••

'f donde

••O en 13 integr31 se tiene; 8

~

t.

a,

nuevamente haciendo

z •
+

d. -

la

aUGtituci6n:

.oc '1l d!l

donde

[ 0<' O

,

..

dz. + 1)'

... , {: - O,

& • 1f12

e • o

'[/2!13 - ¡'/2

2.' (

"00264(.28)

+

0-

, 319

••

J •...4&]"Q + ¡¡

M

• O

M

•

....~GZl.

.x .

.

.

Í'

f

'·2.a,

,,~ .

(2. _ ~)lP

O

~. '"

x •

+

2. " • O X -

{

Z,·

-

••

o-

-,

en la in~e8ral se tiene:

M

y

ló~li-.'" O

(•

+

i)'

Haciendo la BuSCitutiónt

.

Z ='~

~ • tgO .:

{

.o

z - O , 9

e

"/2

e

O

.

. K

y

Lo.

53'·

e--

2

c.entros 1{ X •

-.L h

~.

($)

grav~d8d

.-

5a 3

~e~Sn:' y

•O

Il.

c

lIallar

,

«

5'

(;,y) ,. <J 0),

~)

1(1di8t9.nci~ dél cent.rc Oel círculo

sec ece ei\'eular

al ceat r c de ¡rave.dad de un

y 1l11i{\.Ilo2e.

de radio'r

SoZ,!fCl':Sn.

En eoeeere gráfico

hemos,situado

el secto!

\l. t.¡l aa1\era que- ec eentro

geométrico esta s~br& el eje x pnr simetría, la·abscis~ de esta centro ser' !gU4l a la de I Sres que $e halla , , en~im8del eje x, y que limit4 por

y'i : r

)(1.+

,

'1 L. recta ;:

'J.

x tga .

K = O.

-

dA

-

el áreA ,erá:

..

(rsenO

sene

;'.

:. =J. '(~ ,O

_: y

[ • ccee)dS =O~dY ¡

a'(t$.~I\~ -

A _ 2,r 1 "&

~

1

i

, I't.

' '<

]rBen6

1'YZ ces\! o

.(1)

,los' momentosde superficie

'H"

h •

f

ser'n:

"

rsene

O

OdA-O

(2)

821

roenF. 1,

11·-

-(fr'-y'

2

y

rsen9

!

1

.2

(:r

1 "y ~ ~

K

-

Y

rL

,

y

a • ,

r

y -

2

- y

I

3y

l.

M _:¡_

t

e]t"sen3

,

.....

3

,

lo.

«~o)dy'

- 'j y ceg

~ yJaen6

4. (1) , (2) y (3)

X -A

,

1

~

,

(3)

,. tie". •. '

2rsen8

Y

... ~

• o

C(2$

•• n9

o)

39

Luegn.la distanci3 del centro del círculo al centTo de gtavadad dll .ec~or circular

eJ'J:

12. Hallar e.1cene ec de 8l".vedad de la supeTfic.ie limi tada por l~ c..rclicide P - 0(1

+ rose>

y

:e?~:m¡.{" p'de.~l" o , , 2J

A -

'ff: ;1)0

cosO)lde

(1 + 2eose' ... co,'6)d6

,('

A •

(1.

Z· O

U'"

2CO$e

I

+ 2'+

'2I

x C08

z6)d6

r.'

A

. ;' [e ... 2IH~Oa + 'ie + 4'1 .0.,2(1

A

3a2.~ --4-

,

322 "

Los tent~o.dt .r~dsd

-1[0

AX

-

3atu-:IJ x

'4

e

~'a'fo~u i· .

~c.aIl~

-3 a .

&er{o:

O

+'coalll'co.e<18

-

(,,::088

. 1

1

+ '2 (,01211+. i (,004$)<18

'_

k -

el

S

6'

fit.

eje de si.etT'f. de la

tco de &raye~.d..

y.

a

~' e - ti, yl CElITRO

pr.

de un s61ido hOaOg6oeo coineide con el e~ntro de gravedad geom! ~rico de ~se cuerpo $1 el sóli-

eeeee

un p13M de sf.aetTía

al cant,ro de gr-ave4e.d.tI t8TIi en es e- -plano. (IJ El ~mc~to de cilittdro con respecto al plano que pese por O'l pcq:endicu!.;or d}1

y

• xdV • 1fxy 't.x

x,

(t • .

entoneu

la oTdenada

O)

GRA1IEIlADDI lq¡ SOL[OO'

El eentro de graved.d mecánico

do

es el eje

O

• OX es:

y

oc

ll!VOLUCIOK

el.l cee-

11'.

os:

tL IIOMEN'IO DEL SOL1OO:

",

-

Vx. .. K y

Ir

'

'=

,

'Wxy dz

O

, • rnODLEMA5:

RQllar el ~~ntTode graved3d pa~6c/u da los giguientes .61ido;. 1.

H.~mL¡¡fe:,i.o:

y,

A

S~luei(.'St~. La ecuacJ.óa de. la 8enerat.rí·~AP8 es; 'x

2.

+

y

l •

• r

(r ..

lo{

11:

'"'~

=

2

y.

~

2

'rrlCy

dx •

r;---"';

ir:' ... x"

t.

2 "

-i,., s(r

-

%

)dx

x'

'Lr~2x- ~10)dx. ~fr;x2 - t .'J: ••

11 • -4r , .... (1) y

•

lí. a

- x )d~.• n r x -

(2)

de (1) y

O> ••

ti.ene

qUAI

.j,r

s.il=i':!n .. Sea la ecuaei6n seneratrtá: (':'C_h)"+yt'

324

•. h1

-e

ys::.ll

l_

Ix-tú"

1

,]r

l~

o

'i

¡ d. (1)

y.

(2) ae ti.na que:

z "X

~l Sres dar de

lilllit.Ad:\ Qx,

ptl'l'

Ox Y cada uua. <3e l~s cuevassig.uiw.\tc.s

gira

el.tcde ..

l&lllAr el centro de A,ravedad del &61ido de t'i.'.volu~iÓnql,le.

10:~.

en~end-rit:

x· h

50t:cw,.. &. l'I'lO~nto de cilindro swS;

ti • . ·1 •

- -e l.x)d.x

1 , 1 l •• . ft'[.4•• X --.x . 2

]2&

x

a

9 • :.T 11'.

&l volum*ñ lerá.

•

..

g,

_

.

"4~'

M

21

... x _-L - __ V

4._

ay -

X

t

4

16

-3 11.' a

• X •

SOtkai4?n.

.

El ~nto

r

de cilindro ser~:

M • " Ox y

"-

• -- a

'll

lf

'l dx ._,-

a

f

a

.

y

;. ,le

dx

c'

O

.'"~ 'J." X

.....

(J)

~[ ..

.

v" '-z

•

11:

O

dx =

.

(2)

de (l) 'f ~2) ~v .et ene que e

• 326

.'

Mooent.o de eilin4ro ¡,¡~rá':

M)' •

r

1rJo

>' xC4 ... lt )dx ..

(1

ji

Jo

,

(4% - x )dx'

• L~ _1.4 7("] • 2. 4

M = .f2x"l JI

l. ~

,1

.~ v •

I

.!1. • 3 , l~

21

4_ 11.

0_

-s-

x = 4'

T La superficle

limitada. pot' Oy y cada n&o de la5 <'Ur'VI••

alrcdedoT d. Oy.

.

"sviente.s

¡iTa

Hallar el centro de srawdi1d. d.el s61ido de. revolucwn

que se ensendr •• .

y

6.- . y .. 4ax, y - b' 'SolUl3i4n. b'

-¡

Mx··)O

'YX'dr'O

_'_._

l6.'

t"

Jo

II

I

y5,dV •

'

[~J'b 96.' O

ti"

_!.1L. 96a 1

....

(1)

__________ ~~------~x O

327 I

i

~bÓJ~w.2

- ~b5/80.1 7.-

x

l

- y

l

• l._

y ... O ,.

+

M

x

•

w....l

y')dy.=;

I2.1~1 y .~ y

¿

'! • 1

J

~.

f

1

.'

(; + y')dy O·

.

O

- ... '1 'x

AI.14 1f

y

.

_---

" ~~--,. , I

,

(1)

.....

'1

v - n[

(1

x

+ y')ci,

O·

.

r.

¡

+ l'i

• I'~

!! •

.y ..

v-:

IJI

4

0-

ln 4

~':l-IT 3

•

328

-

3" "«

9

y • 16

'(

ECUAClcnres

l\~

DI!'ERE'NCI.u.tS

eC\l¿tci6n d.

primer

DE 1.1 'OlUltN

ot"den y de primer

Y DE PRIMfJ\

grado

S8

GJW)O

pu.d~ olcribi'l'

en la

fot"mól:

donde:

Ji, ti .00 lGftcione.& de ~,Y

uecen a ut.a cl.'. 1,

las .as

de las

e.cu.1.cione:s dif.renclale,s que pé'c

eOllllunes pueden dividirse

U\

c.uat:rC?ti.po6

ECUACION!.~CONVARIABLES SEl'AIWILES,

Son la5 e.euacionos diferenci.ales f(,,)dx

+

F(y)dy _ O.

cuyos ·t~rllin08 ea rueden di!'lpt'neTs. (1) "

dOI\de f(.x)

t!.

a saber

tll vnl:l t~"ci6n de x unicamentt:,

F(y,> una func.ión

"

do y unica-

mente este procadtmiento 68 llama 6epa~ación de varLablé y *u ~olueión Be obtiene por ~Dt.3T.ci6D directa.

f

«.)ob.

+

f

F(y)dy _. e,

c., const.ante

(2 )

REC!"\: l! PASO,: quitCtT "enoai.nAdorea;si la ecuación ·conti~. ·del'ivad.,s.

se IIUlti

plic.n todo los l~rminos por la ~iferenei~l d& la Y3tlsble inde -

,

peee.ícnee .

2~ ~;

sc',.c..n

l., diferenciares come factorco~Gn. si enconces

en dOD,daK,.)(' 800 funciones. de x unicamenc" y

, . Y,"{'

oop funciones

y·ún~e~menta,puede redu~jr$e4 l~'foroa (1) diy'diendo todo los por x'y 3! ?ASO.

se. ín.t.ertl c.ad:\ paree separadL'ilcnte? como (tu (2)

de

t§t~inos

"

Es M=ogfnea cuando M,H. SCrn func.ion~1ru::,.,a:@nea. de ::K,y del 1I)..{BIIiD grado:

es'dociT ·que verifican l. &iguienta identidad:

y - UX. e$to mas dar¡ un« ecuación

y 8u're8uelven haciendo lá 8uaticueión dil .•reacial.n

'f

u

en 1", que las varuble..

11:

son .eparable

ya.'

procf;de

a t'2$olver de acuerdo a las re.gla~ del tipo l. PROBL'DIAS :

1) C2 + y)dx - () - x)dy

e

D

S9tu~4n. A fin de. separar =~

1••

Mt1"blea

- Ln(,l - .. ) -

!.nO

• - Ln{3 - x) (2

+

.¡.

+ y)

tOlll!lndo e.xponeucú.l

+ l)Ar -

+

y) (J -

• C ~ _[

yl -

,

d(l

• ,U.1>o1 mnbro.

1(2s .. ll~x •

dz

_ e

LnC

• LnC - Ln{3 - sH~ ..

y) • C ~r

f T+Y

~ s)

3-1<,-

fU

tee •

y) •

Ll>C

se tll1le:

1)"

e

SOtugi.6n. 3 fin de ,ep.at:at' 1aa variables

.!l. y

830

xl

2+y

f j,~"x - fl;y

2l sú<

(l

-~-O

dx

- (J - slU

41vid.ia11oe JIOr

divld.iQoa por:. y:x(x + 3)

1

To.. ndo intesralet s. tiene:

-f$Ly - fU.x(x+ +

3)d" j)

• Lay - LnC.. )(.

+

•

e

3) - 14C

+ 3) + ü>C : l.axC" +

- Lny • t••ú:

~ l..n:{ = Ln ex (x ..

)e

3)

y • Cx'" .. ) 3.-

fi7' dy

...r:7 dx -

-

o

5oL!Ct6!!.

p&._

oepara. var~bl. d~ldimo. _por

,(~)(~I,

dy =-.;;.<.--

.A.:7

lr\tegrancSo

f

••

dy

, i[':7, - .. e...

tiene.:

f

dx

y • 14"''' - LnCix

• arcaeny

- are....

y - 14ú:

+

~ + Lne

~)

• LnCú: ''!'

..r;;» - Loe

~):

+ ~)

4.- O - ..ldy - ,y·dx.- o

Sot'Fi6!!, SepaTaodo variable

le

tiene

.J.L _ ---!!L. _ ~ .

y

1

1- x

int~8rADdo se tiene:

¡"

(div1di~por ':

(1 _ X)yl:)

f ~ -f y

... ~.

d. 1- x

I

1

' '

- - -+ toa' -

x) •

• 'y:!. • to(l -' x)

..

,Y

toe

toC -

l.nC(l - x)

1 " Y LnC( 1 ~ x) , 5.-

(¡. .. 2y) dx"

(2x - 3y)dy _ o

Se!uci4)'J"

AquI

M(x,y)>>

'x .. 2y -:-

M,h,~y)

o

~(x ..

2y)

N(x,y) • 2x - 3y .:... N(H,l.Y) • ~(2); - 31)

Y': ux + dy ~ udx

hacemos ia .ustituci6ñ (,x ,. x(l

+

+

2\.O:.)d)C.

(h

- lux) (udx

t

+ '4", -

.:!

3u )dx ;.

l(.

+

+ xdu

en la ecuatión'~c tiene

xdu), • O

•

('2 - 3u)du • O

A fin dt $epara~la v~riable divi4io08 por: dx .--.. X

(2 - 3u)d~ l+4u-lul

.O

integr:lndo se tiene:

o

J

dX -

..

¡'i-

l+4u

x

3u)du • 3u'

Rac_iendo el eQlbio~ de v:.ariable

V ~ 1

+ =

4'u -

1

.

~

du

'""'2.

en el 2do 'llLÍ:e-'oro:

(2 -,3u)du

f~+.!..f~»v·· e 2

)t

Lnx ...

, 332

3u

'e

t

l.ny

=

Lnc ,

peTO:

V - 1

+

4", - Ju'

.... • ~Lox + 1.0(1

+

• t,\)(l{l ~ x2(J

....ro:

+

4u ~'3u') _-'2Lile

4u _ 3\11) • LnC2

+'4u

3u2} .• e

-

u.2x

, + 4.1.·3.1...) •• •

i,-

C;¡.

Sol

'X •

'2

'+4i
. ·s.

+, ~y)dx ..

wi"".

1

1

eh + 6y)dy"

o

"

+

5y

+ l1(ftx,~y) - ),(3x

),ex,y) _ 4.

+

6y

4

.'.

N(Jc,y)

een

~

dy.

H(.,y)

• 3x

11v<,y),

y'.=. ux,

No.x.~y)'

Á(h

+ 5y) +

iy)

_,E.....

y
1,

udx + xdu. en la aC4Qei6n se ~ienc: , ,

'_ (3. + 5ux)dx ... (4)t +',,,,,)(udx

• x(3 + 9u + 6u1)dx + x'l4

+ xdu) ."

Q

+- 6u)du .. O

A fin de 6ep~raT la' vat1abl~.·dividimo8por: z ' 2 • (3 ... 9u ... 6u )

• ..2... x

(4 ... 6u)du 3+9ú. ....6ul

• O

inteSTando s~ ~icne:

. f..2..+J x

(4 ~ 'u)du

~

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333

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A(•• +._ll .+ !(6u

3) •

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de 13 tai.na pote.ne.il d. u

a.

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(6.

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4}du

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f

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2

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lJ--..4!L_C +

du Tu+1 +3'

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1

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J) ...

- LnC

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1)' • C

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Mo.x,~y) • )leay + lOx)

N.ex,y) - 5y ... t« : .+

N(~~,~~).-

~,(Sy + 7,<)

..• HÓt.y}, N(J:,y) .0.0. bollÓgénou de 1.2 gtad.o .+ . hac:etD08

la .u~c:i~ci6Jll

1 .: tiz.,

-

4y - udx + xeSu' ea 1" éCWlAlUn

(8"" ... 10")<1><.'" (5<>z -

334

1,,)(uolX ... xdy)

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tic.!

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+ lOla·...

+

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"

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-

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3

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+

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1,-

"

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+ 3'

3

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+

l.Q(u

2)

2

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+

2)' (u

+

1)z "

e

1.. _ K

~.

..

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2.(3. +

l)dw

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o

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H

integrando se tiene I '

f

'dw

• - 2 ,2v

1'"

[

por:

z(J,

+ 1)U .._ 2.w)

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-.(,3. ,+ 1) __ fd(2V2" _:1) dz

COmplet,an4o cuadrado al' segundo t'naino

¡

se tiene:

S35

_ f~(2v

nf

i)

2v - 1 ...

o

(6.

~.

+

+

(6) Ln 6.

" - Ln(21.' " 1)

+

1.n(~) 3% + 1

2xdz

- 2.&111\•

1)2 - 1

+ 1 - 1, + 1 + 1'·

" ) ~ - Ln...." - 1

(2" - l~p-t 00+1)0" 9.-

,

-(2z

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MÚ',z)O.

Y'L

_

M(:c:,z),

"

+ 4~ .)dx + 2xdoz. e O

IX' ~ 4.')

Ut +

MO.x,Áz)

~

336

+

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M().X,AZ)

A(2~)

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en la eCLJtlci6'n

$~

+

Ix',

z.

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tiene:

+

deh + 1) (6&+1)'-1'

Ln(3z+I)'.

1- 4z% dx

~:I

2f

I.n ,e

CoE U.. - 1)(3z + 1) .3tC

... 1'.aCeJIoSlA 8'U'ttituclán

.= - (2~)l

o

¡

N(.x,<) ,;. 2%, .'.

de2" _ 1) + 2v-l

• - Ln(2v - 1) - J.nl_l) . "31"-

Se ~uc-i6n.. °ti

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4U4e~2)!]X + 2,,(ud-x

+ }{dlJ) • O

.

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+ Ln(2. + ~)

- Inx

•

L,,(2 ...

~)

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lOlE!ll\adO eX'pon(~tlc:i..Lee Bé tiene:

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+ .Q'""';l

2u

xC

"

pero

AZ1 + x"

• 2. - x1C •. -

.!. ..

,

x

; elevando al c:u.4~.dO

4,1 _ 4~xzC + X~C2• 4zl +' XZ

lO,

(2x' ..

y~)dX + (ley

+

" ,,' .

3y')dj' ·,0

So ¡ucidr. ,

1. 4:."

't',

'. 2

N(><,y) - by .. 2y' .'. ,+

N(;c:,y) 500 funciones

M~IY)'

haceme.8 l.

.

'1

~ lI(lX,AY)' A (2"y .. 3y )

lIu.. tic.Oci8n·

h0m08énea. ae 2do 8r.d~

y' .. ux

.;. d-y';' ud:x

+ xdu,'

~Q

'le

eCl.laei6u

tiene: . • (2,,' "

para separar

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+

(lx(~i

+, 3(1llC)'Hu41C + '.

1.0 variableg' diyj.dimos .por:

, 4x

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--+

"

=

"du) '-,

'

I ' •

O

3u'+3uz+2

-;

',' :

"

inte8rando S& ~n.:

f ~ +f Ju'~. :s

+ ~u)~,u:"- ,¡
....

2

1C

l.

",30'

+0.>;";' 'C"

31,1' + Ju2. + 2.

=: .~-

.e.

- L..".

1

+-

,3

,.... t.lvu

, + 3u +

2) - LnC

TomanOo exponenciales a aabo, .ieDbroa:

+

2) • 3y'

3]1;12 + 2x' • e

,11. 2.(1 .. y)dJ<- (1 - x)dy • o SoJ:",,-isln, A fin

de aepar3! ..,.riahlltt> divldimo.$

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-

---_ dx·

1+

- C(l -

O

y

- (!

- ~

;1.0U' - x) - 1.1>(1. + y) - Lo.C .

:. y) - Lm: ! LnCU - x)(1 + y) - O

"HI + yl •

+ y)xdx

O

y

zf , ..1d(1- _.~) - f____!lI_ 1+ x

(1 + y) (1 - x)

.1 + Y

d

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- - LoO - x)(l

12. U

_....&.... _

f· f . 1- x

;.,

2dx

r::-;c

por

1 " (1 - '!) (J

+ y) -

!-e

+ x)ydy • O

SOl""6n, A fin de 8epara't' v&riallle dividi.o. xdx vot.; '. ..-+~

l+x

338

1+y

_0=

,-

l·

U - ~)dJ< ,L+X

por:

(.1 +

Y)U + 1

+ U - -l-¡ay. +y

X.):

" O ,

I(l - mIdo< I +

+

- " - '[.n(J

+

x)

e,oClandoexponenciales

- ~e~; 13, (3x

+

d>. -

+ ~ •

y - to(J

+ 1J • -

~ 1.nC(l .. x)(1

I J~+ J'

J, (1 - -)dy. 1+ y

+

(x

1

+

x

(dY -

J....il:.._ . 1 +,y,

Loe

y)

a ~os c:ielllbros

-el< + y)

,0(1; y) - ..

y)dx + (x + y)dy • o

Sp¡"":&'. lt(x,y)

• 3''',+ y

9(x,y}

• "

+

y

+

M(h,Ay)'.

+

NQ,,,.~y)

A(3x - ),(z

+

+

yl

y)

M('x., y) , ll(.x.,y} .on ~amo8éoeas de ler

••.

,.ux - q~+

uz) dJ<

+

(x

- :&,(uJ: + 2u + 3)dx

+'

u.xHudx

+

X2 (,La

~

+

+ l}du

Brado.

dy~ud?C+;cdu

"dv) _

o

para .eparar laa variables 4ividinoB porr

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x"

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+ l)du

(u

·

x·

• t.nx

+

t

Ut.

_ O

+ .2u + 3 .

integrando se tiene:

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12(Ut + 2u ~ 3)

+ +

.

l)du., 2u t 3.

Ln(ut.+ ~u"

[g~1.. f de.' :x

,2

+ 2u + 3), • O u; +, 2u + 3 "

3) - LnC'

,

· toundo. é1ll:('onenciele..eee tiene: ,

.,

· - x ~u. + 2u

'P.ro:

+

3). •

e

u_I. x

8$9

e

,..(i.. ~+ •

3) • y' + 2"" .. Jx' ~ e

x

'&

,

14. xy(y + 2)cIJ< - (y .. I)dy.

~ xdx ..

(y

+

o

• o

l)dy

y(y + 2J

,0:

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f

tiene.:

al'

, ,

xdx-[:(y:

l)dy =

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1

%2

O

+

2y

2 - '2 Ln(Y

[xclJ< - t [<1«( ~ 21)

2

.!: 2y)

81Cpone\lc:iA.19,••

e

o

2y,

, Y''''

LnCa(y2 ... 2y) .• tomando

, e'" .'

• LoC

';J:.l ,

tie.ne.:

"

,

• c;'(y' + 2y) = '!" 15.

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2y)clJ! - (2:0:'¡' y)dy .' O,

K(x,y)

• x - 2y

~

""'.,Ay) - A(x - 2~

Nex,y)

- 2x

+y

+

N(~x.Ayl - A(2x + r).

~ hace~. 'la s~tit~16a. y ~ ~ (~ -

ZUlO)
(21

u:z

+ ",,) (udx +

+

dI·:~

+ iau .

xdu)., ~ O

','!.

• ,xti - 4. - ,,'),
para se.parar variable

diyid1mo$

por: •• - :.¡.

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_ W

+' 2)d.

1 _ 4" _

o::. ;.:-:'•• ',:.

o',"

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_•••••

'

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Intcgr~ndc se ciene: =

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r~

2ldu

L_¿u~u2.

x.

,

x

+. .!.fd '2'

.:;<::.1_-....,.:.4::.u ~-.,.".u'..l.,.)' • e

-1 -

4\J ... U

l!

~"X+ I Ln ( 1 - ~u - u') .. Loe

2

Lnx"(1

_ 4u ... u"2) .. I,~C:

tomando espon~nciAles'8e tiene:

• x'U '- 4q - u') • e ,u .. 'l/X

pero:

,

', ,

.."

.

16. (3" +. 2y)d" +. .dy • O.

H(x,y) .- 3.' .. 2y U{.;t,y) • x M(z,y),

•

Mo.·x, ~yl··= '>.(:1:<" 2;)

... !f(>.x ,).y)

... ),)C

~(".y) 'son fiJt\eiooes

&ust1tucióo

'1"

ux .. dy"

(J)C +- 2t«),cb ~ x(~dx.+ .. x{3

+

3u)c!x

.

holDogé.neas.de .lo! arado

s.

¡

4u'

3 + 3\1

naeelaOi

v4x ... du.

1~U?

i.

"

.. :1: du .. O

s.~(~'" 3u):

=.!!!.+

..

\!

_ O

integrando •• tiene:'

~J ~ +.·f a

Lu

··f~..tI l"!U

3u,.~ e:

1!uli1

3u) ~

.. ~'tll(J ...

• Ln.'(.J (3 i;: 3u)

.. LnC'

tosando allCil'on&nc,ial.e tiene: .. x~(3

+ lv)

.c

e

LoC '

la

pero:

u - y/x

.. 17, (1' • y')~+ (2Xy • y')dy - O

Sot""Mn. M(x,y) ~ Xí + y~ N(.x.y)

•

+,1

• 2%y

+ 'y')

H(,I... ~y) • ~'ex'

i

Ne~.Ay) - A'(2xy• y'¡

-+

• ". M(:x.y), NÚl,,,> son funcionu homogéneas ~ 2! grado ..

haeeecs la suetitu.ci6n

y.

\IX

~'

dy ~

i

'udx + xdu

en la eeuaciÓD •• tIene: •

(:,t2: ... ~txi)4E

.. ,x

... (.2uxt

'e 1 + lu ,.)" + u

+

dx

... u1:.?)'(\lcbt.

)C

+

'"",.u'. u ,}du • o

A fin.M. s~aral' Lta vari~bl •• dividiaos

_~+ (2. + u')dU 1 ... 3u~ + \1'

$

xdu) ~ O

por

+

,,3 U

Ju~

+

uJ);

- o

inte.C'Cruose táDe:

-f~+f 'X

.

- LA~ +

(2.'+,.')d ••

+ 3u~ +

J

1

•

3 Lu(u + 3u

_ LnxS(u·

+

3u1

+' 1)

uJ,

'Z

f~+.!.f X

3

deU' + 3.' ~ 1) u·

'!"

e

"

3uZ;+ 1

... 1) • LeC ;,

,

Lnc'

,

CGlN.Q40e:xpon.e.ncill a eIbo. -t-.bros:

- ,,'(u' pe'rot.

, 342

u _ y/x

+

3uz.+ 11.

e

.. _ x' (y' ,xJ + JyZ ¡Xl +

i) _ y~

+ .sy2x + s,' '.

e

Sn c.ada ceo de los sifluiente-s probleJlla~1 ballar

la .oluei5n

plll't-i,eula.r

que se ci.e~ermiQ. por los valore5 dld~ de x,y.

~+ 1.!!L. '1.%

18:

x _.JJ 4

O

J

" - 2

Soluc-i6n. separando vartil'ble.

-f

+

xdx

f

&

I lntegra.ndo

ticn.~.

se. tlené:

.

4ydy - o

solúei6n 8&Ueral ic:poniendo 1.8 c:ondic.i6n:

,e

a

16 + 16 _ le

4, +

la solueion "articular

Be

y"

2 en 1.. aoluci.6n genaral

SI

tiene:

e = 16

ob,tien. reemplazando e en 1& ec.l. &~neral

Xl + 4)12 • 32

19. (,e' + y')
M(x,y)

..

t

KQ.%.Ay) _ .A'(,e' . HOox,Ay)-A'

+

y'¡

ax'y)

N{x,y} eoc. func.ioc •• ho-mog~peN de aTado 2.•

hace'lDOsla au.tituci6nt

Y·

UX

...

dy;:; udx +

m\1

(x' + u'x')dx = 2x'u(..:lli,+ mu)

para

.eepa1:'8T variable.

d.ividi-o. por;

integrando se tiAne~

-f ": I

2[ "du, .

1.-

u

+

d(.1 . . I

343

t.n~(.¡... u2)

:,.'

-1.nC

Cnx·· .. LnC)" .. u2)

.

,

LnC. '.

..

'xU - uJ)

to~ando'tXPo~cnci~~e6 se ri~n.: x{x

o = y/x

2

- y

,.

~2.

..

e-

l ..

(')

ce -. ill~pOl!í~ndola

condi(:ión

lJt solueión

paTtfcul'8.I s-er5;

a

10.

h

"'.

-

'1 • x

+ 'y'

>.y - yO< - ,.,.

f ,,;

Iy'

¡

%

.'

(x,y) .. (1.~)en (") se t-ienc::

dx , (x,y)

• x

,

(1/2, O)

.

, .......

S,o. l,i!~;' ón • +

"'(y,

+ xc!y ~ O:'

~)dx

:l.·:~If(x,y) - '-(y

t~(x,y) o',

lO

le

...

+

~i

~Ji'

!;(.\x,>.y) ..

( ~.,~y)'

),x

M(x.y). ~(X.1) .00 fuocior.e~ho~g€na&s d.8rado 1,

haceQO. la IU$titución y - uz (w;c ...

/xl +

x ..~

dx

uzst)ch'

+

+-

x{udx

x

~.

inteSTando 8~ tiene:

~ Ln(u'"

~) x

• LnC .'

to~ndo ezpoñenclale.' se tiene:

'

dy ..udX + xdu

+ xdu) •

.x1d~ ",,1)

_ .5!!.'~ ~--o

+

e•

O

+ .~

u

- C

x

.-

p.e.TG:

~

_ es1 _ y'

x1 +y

1

.{';? • ex'

~y+

•

yl.

elevando al ~drado

f

1 -ex l~ -2xyC+y

1

_¡+2yC-C'x'-0

(.}

imponiend()la eondi.ei50

%

D

e• +

Reemplal~ndo

e -

se ti~n.:

1/2. 'f • o, en "l')

.&

tteD&el va'lar de

± 2-

2 obteneco9:

o

L + 41 - 4x' _

~' e. la .~Boluci6npa'rtic!Jlar.

21. Hallar la écuacl6n. de la curva que pasa por el punto (2,1), y c:.uya·pen diente en un 'Puntocualquie.r. es':

....() ... '1Ix).

Sol..aión, S4Ibemosque

'" + ,la + •

.. _ .!!L_.

1. 'P~l\dieñte.

+

1I(><.,r1 - "

ltdy _

y

U +2)

d%

+

"

o

1«ftx,Ay)

+

- >'Út

y)

NCx.y) • :x

M(x,y). ..

NÓt,y) ecn furccloD.u\ homOgéne.a.ede grado l.

'. hac.eDlOa 1~8'fSt1tuci~n

-.y

w

\D(.

tty ..

•

udx

+

xUu

&n

l. e,cuae.i6~ se

tiene:

_ '" +

ux)cb<

+

x(w:Ix

+ "cIu)

-·0

x(l + 2ulcbt + .stdu··• O A fin de .eparar

_~

la. variables

K

• U. + lu):

+ J.!L_.·O

• JI:

1+2u-

inte&~Qdo •• tiene:

f dr+f

-~.

dividimos por::

4u 1+2u

.[~.+!.f x-

2

d(l + 2.) 1 + 2u

- e

;,' 1

+ 2' Ln (1 +

l.""

.. L1UC2O

+

211) - LnC •

21,1) _ LnC'

oxponenciales le tiene:

C~do

- x' (l

+

e

20) -

_- -"-~.:...::¿;_ x'úc + 2y).... x

e

e

~ x(x

+

y/~

u ..

pero:

iMponiendo la condición'

2yl = e

de que (.)

.. (Ol

pua

por el punto (2,1)

se obtiene

e

= 2(2

.. La Qcu~ci6Qde, 13

1.&

ocuaci6n

+

r.UrYA

2) • 8

e- B

-

.era!

de la curva qee p...

por el punto (1 ,O) y - 1

diente en un punto cualquiera e, l&ua1"a

I

'cUY. pen

.... dx y - 1 • - ..::.L _ -L __ ~

Sabemos que 1& ptodiente

X2

+

X

eepar,ndo vati~bl& fe tien6: ~-~-O y - 1

.Xl

+

k

integrando se t~~ne:

f -~-f~ ~

xl

- L.(y

+

-f

lE..y-::-y dy

- II

._ Ln(y - l)(x

_ Lrut +1)

+

·-fs.+f-.A.. - e x .... 1

X

LIi(x

+ l)

_ L"C

_ LnC

'" " (y - Il.Ú< + 1) pero

(lit)

•••

346

el

e:

valor de

23. Hallar

'. I

pa•• por ,el puato (1,0) -

•• titDe

1.& e.cuac·16n de 1. C-'Ilrva.. e~1

-

ex

C*l

e .. - 2

(y-l)..(.x+l)-2s

- y(%+l).l~

-

nr ECUACIONES

LINEALES "

s~ 11~ ~cU&ei6nlineal de 1~ gra~~tl~ orden neal

*+

en 1. v.Ti.ble dependiente como en

t30to

y p(x) - Q(x) •••.

o

,.00 funcioneS' de x unicalDfnte

donde P,Q,

:

+

$U

8

1& tcuaelon que eS li -

derivada f tienu la fo~: (1) de 1, .il1ll.a mane"a.

eOQltante..

x F(x) - J(y)

dunde P, Q 80n tunclobee de y unic~mente o coo8tQntc&. d~ (1) obtenemo.: dy

+

yP(x)dx = Q(x)dx

'

('

La cual e&Iiof¡emos

como 1~ .for1Dascandar da la ee~AciSD (1)

f

(P(,,)dx. 1

6 ~(.

<1><'

. ..

P(x)
..

y(s).

A:

dv') P(x)dJt ) ........ e ··dx

vo

df!OO1L\.namoefactor

fP(Xldx

UD.

y

p,..)

el

P(x).dx ~ ~dx P(,,)y)

fP(x)dx e y e

Ttnie.ndo

+

i

J'

=.

iDtesrente

.' !P(1<)
tac.tD!' de lntearaei5Q

y su prioit:.iva

es:

+ e

a la mano, da~.

lA .1&uient;e regla;

pa-

ra iñtegrar (1). a) Poner (1) • 10

fp(x).dx

b} obtener el factor int&&rante e) Apli~arel factor integrante

~x}

- e

la ec.uaol6n en su fo~a etan4'T

$

d) Resolver ia ecuaci8~exacta r~ultant~.

IV ECUACIOHES qUE PUEDE!I REDUCIRSE LA FORl1A LINEAL Bl tipo

de

tal •• ecuacione. ea.

1;+ Si

l\ -

1

'.(xl - Q("l y"', (.),

1, ea (..) I 1... vaTi.les

8i 1\ ~ 1. par. Aducir • _

y-n+l

1.& fo~ 4.

dr •

(Ec....ci6n d. B._uUi)

80a separables (111) baeeaio. l •• U8t~tl,)Ci6Q:

U -

. "" dy D)Y

(U)

347

= dz ~ (1 - n)z P(x) ~ (1 - n)Qdx

~,

se tiene una ecuec Lén

la torma 'standa.t en x, z ,

dé

PRCllLEHAS

Hallar la soluc16n gencr~1~e

de las siguiente" ecuaciones

C/U

diferenciales. l.

" .!!t dx

2y • 2x

Sq?i+c1:dn

•

. poniendo, la eqiac.i.6n a su forma standar se tiena: ~ dy _

ll:. dx

lqu1:

p (x) = -

"

= 2 dx

2

i

J .

-==>

f-

P(x)dx ..

.,,<x) -

CO)

.

Q

el factor

2d)<X

e

•

1.nteqral"l¡te ser':

-lnx2 1 •. =-

~e

x'

==+ multiplicando a CO) por el factor integrante ~lx)

=..2l:. _

se tiene

?el'

2ydx = ~ X'

xa

1nt~grafldo se t1ener

2f~=x' -, -"

2.

y

- - lo x

+

e

~

y -

e

2

--+c x X2

-

2x

~-2y=-x dx

Sotuc1:6n. poniendo la ecuaoi6n a su forma sundar S~8 .

se ti4:ú:'e:'

,,'

dy _ 2 ydx .(_ x ~

P(x)

•

2

-

l)dx

x

==- muJ.tipl1c:ando = dy _ ~ Xl

cIx __

integran'te

-

-r~

se· ti,ene;

x'

1

x'

factor integrante dx __ d(x y) x'

y"l

[d(X-'y) •

.-

aar'

-. .--

a (') por el ~

X,

integrando

3.

61 fac.tor

0:::::::::lIO

-

(*)

-:>

dy _ 2y'- 1 - 2x

y

\t'(X)

a

=....!_

et' +

,,'

X

dx . .sotyoi&n ..

la ecuac16n a su forma standar

poniendo

• cly - 2y.dx_ (1 -.;!",}dx P(x)

_ - 2

y(x) • e

el factor

....,.

-2IdX

=

e

•

-2x

-2xy).

d (e

integrando

f

'-2x


- 2x

e-


(1 -.

1,_ntegrante'ser':

-2x integrante ~(x).e .

factor

2x)
e- 2xdx - 2xe -2xdx 88

tiene:

-2x'y d(e- 2,.yJ _ e' =

( J

.J x·e·-2x

2 •"-2'x dx"

1J-

f

(*)

-z«

==- 1O1l1tiplicando a (.) por e 1. e

se tiene:

udv • uv
f

dx

por intE!r:g'rac16n por pactes vdu:

o •

X,

du - dx

v·

-

1 -2x ;¡-e

sé tiene:

349

II

+-

"2"! x e_-Zxdx =

f ••

~

de (11 y

-2xy) Ce'

-

(Xl)

• - '21 ,e -2"

!.x

y

+

2·

jx

e-2x +

,f f e-2xdx

• ~é-2X +

se tiene: '1 -2x • xa-2x +"-e· •e 2" . 2x !. ce: 2

=

'

e

x +

e

2x

dv '-x - - y.~ - 2e

dx

poniendo. la eeuac16n a su tO'rma ",tandar ae tiene; • dy .- ydX

-.

= -

p Cx) .. - 1

-xdx

2.

.' :_JdX

---

.

C*)

el

'f/(x)' - e

., e-x

-=-=" ' multipl'ic:ando

(*_,

.-xdy

factor inte~ran~e será.

por el 'factor int.cjrante

. -x 't'(xl=e

_ y e-xdx ~ '- 2 e-2xdx integr&nd~ se tiene I

'..... e 5.

d. Tt -

-x -2x y. e t e ~

-x

y = e

+' e e

x

S otq t .' 1 - It .. 2)c~Ct)

Llevando la ecuaoión a su f'orma st!lndar • da

aso

-t;

s' et9 Ctldt = [1 - Ct

+

2) etq t)<1t

se tiene: C*)

=

P(x) .'_ otq(t) _el

,.'

factor: iotegrante será,

j Cf4I:ñt

,,'(l:) • e

= e-In

r

=

,S
_1_

sen

llOJ.ltiplicando a (.) por el factcr iotegrante do

'_ s ct¡¡ t dt =~_

-s:eñt

" f

~.

sen

t

ft/( t)

(t ..

t.

~

a ~

2lCb¡t dt t

ee Bent

f___5.

I) 11)

sen

t

ln(ese

sen~

-rt~dt senlt

-

t - ct¡¡ tl + 'c .

1

(iut_ad:> por portes: .

.f

1XÑ.

\IN -

f-

u .• t-o-ctu-dt ·dv.~dt

v •. -~

~

sa1:lt

--

III) -2

f

.

-

o:at --dt·--

_ _3_

sen

~e { t -&en1t

sen't " de t

(t),

(le

't'fat - "'=""""" -

= -sen

+2

sen

sen

t

sen ~

t

t

'

---". - ln(csct sen, e

ct<J .'

t)+

C,

+<;

(IX), (III)

se

ti..... que:

.'ln(eo~ t - ct¡¡ tl +....L "$8n

t

- ln(csc

t' -

eee el + -:t

C

351

,

~ +

6.

lO

tg t·_ 21:.+ t'tg

Llevaroo Ls IOQIaCU" a as + stg (t)dt.-

.

_

(2t

P(t) - t>g(t)

+

_

t

su .
(O)

. . f .'o'1t)

2

tz¡t>Jt

• in(sect)

e

='8

-

SéCt.

t

fac_

1ntegrilnte,

rnlltiplicamoal")

ptIr

el faotór integrante.

!¡I(t) =' sec t

+ otg

. = secb3a

t sect dt = 2t:.oectdt + t'tgt.sec:1:dt

~ ·él(geCt.a) - 2""""tdt + t'tgit.sectdt)· . .integrando "" ti""" .

f . 1)

J

él (seee. S) -

t't.gt.~t

sect.~_ 2

+

~t

j

t2trit.~t

.• (.')

=

u • t,l _.

.w-

f

du ~

2tdt

ts;¡t.sectdt ..... . a

q

= .seet

t'.eect

- 2

J'tsectJlt

+

.(X) en (... ) se tiene,

~ 2

f

t:sectdt ...

J

é~ ..,2

--

~.S

~'

S • t2 + _c__ . t2. + ecos t

~t

e

+:~

.J

.' see

t

(0)

.'

Z

-1*1 ,= y • y....2

= ._ 2y_1 dy

d.z

c:.~

=

.dz 'a Y -Jay

__

2

"",o:

en (') ..., ti ,


' 22 dz - -c!x = - '2 dx .(") . X .

e

X

p (x) =

_! -

=",

I¡I (x)

el factoi integrante será.:

"_2fdX

,x

=

e

-lnx2 .

.-'x'

roultiPlie""do', a (•• )'I¡I(X)

.

'<'1% ,,--xl

-h dx x)

Sd(2,) •

x'

pero:

..L

&

x'

1- ',se,tiene,:

,,'

_le!.

S a.X=

--x'

1

= 2x .. ex1

=

x'

.s , - 2

• _ y-1

1

x'

1.+ e x'

•

% ,;

2x'"

ex:t

+

a;; 'cx.1 y1

+ 2xy'

y'

-

1 '=

o

nxay + 2y _ xyn+l <'Ix

8.

la $oouaó16n a su forma

·poniendo • Si

2v

'

6y .. .;;.o...dx=y

,

n+l"

x

standa.t':

dx ( ')

n y haciendo la sustituc16n1 Z'

=

Yn

._.,.

d~ =

-(" ..1j..

nq.

ay

en (*)

S9

t.Lon$~

353

+

.; uz

--x2

~

P(x)

éS el

.1!.. dx x """'"

factor

'" 42

= (Ix

x

e

~ (x ) •

integrante

se tie.ne:

~ 2<12,= _ dli:

2f~J( X

-

==;.

==-

-s~

__

, x'

....._

___

y

9.,

1 n

a

1 -+

x,

x

ds

z

a 1 ..

x

X'

I¡/(t)

e

•

-

&

• o

su forna standar:

ds' - 6ctgtdt ~ "tdt -'ctgtdt C') • - ctg (t) ~ ·el factor i.n-togrante

p (t)

,.*) por ....(x)

sctqt • e,t (1 - ctgt),

poaiendo la ecuaci6n ;111

- l/x'

X2

n n 1 = CX'y xy ac'yn + xy n 1

e ='

"""'"

"'iit -

-lnxl

multiplicando

'dz 22d>: _~ ~----,-. xl' x'

.i.ntec¡rar.Qo

o

- -fct e

9tdt _ e-lnsent _

multiplicando,~

{O)

por

, ser:i~

1

sent

ljI{t) • __1_ se tiene: sen t

, t .. dt _ e ctqt

dt

sent • ___2!_ _ scost. dt sént

senat CQstdt'

, integrando se tiene:

•• n't {'.)

354

_

X)

,¡

' e t cost

por la integraoi6t, 'por partes',

SI

sen" t

f vdu

r

-

uv

=

~ 9E!n~t

dv •

vdu

-

~t

u \

__

•

V

"""'"

du = etdt' t

e =--ser.t

o

sont

-f

",tdt

sent

Reemplazando (1) en (••) se tiene: __5_

•

sent

f

ft

~_ t

sent

..

COatti

...

-$-

sent

dt

aenl t

1Il

.

St

S •• ~.

~+ _e_t senc l 5ént e sent

+ y,,= 2'.2x

10'dx ~

.poniendo la ecuaei6n a su forma standar: • dy

+

ydx

Plx)

=

1 ~

12 + 2xjdx

=

El Éactor integrante e.,

multiplicando' (O) por eXdy

l·) V(,,)

~(x) se'~i,ne:

x ', . x x :+ ya dx - (2" .. .zxe )dx

=

X

X

I

d(e y),-

X

2 e dx, .. , 2",e dx

integrando se tiene! x IdlQXYI ,e e y • 2 ex y =, 2~x 1)

2

J

u

•

+

2

f"

.xe dx

xexdx '_ mediante .la inteqrac:idn

2 [xeXdx.

'r

du = dx

x_'"

= 2

xox

2

por partes

dv· eXdx ~

fx e.dx· . 2xex

-

2e

x ~e

v

Sé

eX

tiene

1) Sil

C"'·) Be tiene:

eXy • 2ex + 2xex _ 2cx • e y • 2x .,. ~-x

-==->

11.

x~.,.

dv .

y.

(1 + x)e

x

poniendo. la ecúactón a su forma star.dar: .dy

+.L x elx - e~)exa" .X

pe,,)

,;

1. x -..

EÍ factor

'I'(x}•

fll~ _

multiplicanclo intogrand?

f

(*)

d exy)

-

integrante

elnx

= ,,'

por .",ex) =

(0)

)C

se tien'" t

se tiené:

xy

-.1

e"elX

yx • xex + e

I ""xex

+

~Y.=e·x

x

e

.. x&_ + y ~ _ x2yZ elx'

pon1én~o la ecuac16n

ay

a

$U

+.Lclx- xy'o:!x :_ x

-

.

forma·ótandar:

-,

.--'!_dxx

y-'ay

y h30icndo l~ sustitución: n+1 .~. z • y z- y

en

. - dz ... p (xj

.! dx • x

xdx

1

• - 'i"

-=a-

~

dz·=

el factor

V(x) • e-/~x·. multiplicando

~x 356

-

-,

.e tiene,

(*,)

z

x'

('.) por'

dx • dx

- xdx

!. x

dx ~ xdx'

integran.te

e-l~.!

~(x) se ~enet

s~rl;

- elz

( •• )

i~teq.cando·se tiene Z

-=

x

......

y

!

x'

d..

13. 'dt- sctgt =

...,..

= x + C.

el9 Tt -

+

-

~

ex

+

•

.f

= xz-

fd(~)

x' + ex

x'y

• x + e

-

1

=

z

pero:

;

+ o.xy

dx

y

_. ~ 1 y

• Q

ese e • O

s<::tgt = - ese

t

.po:liendo

la ecuaciÓn

a 5\,1 forma stand.lr:'

P (t) -.-

ctqt

el factor

(A)

• e

'i'Jt)

~

-jct9tdt _ ,,-lnsent

ault'plicando a (') por: sctgt .'

ds

Q

=

integrante

será:

_.L s.e.n

\1 (t)

•

t

1 Se'ñ"t

e se e

Señt - s.ent dt = - S'iñt dt.

=..2L-~dt sent

• di s

señt

san1t dt

J

.

d

inte~rando se tiene:

s

(s!nel ="Señt = -

-L= _1_ son t sent 14. 2.& dx +. y

=

...

1 =._~ sen't

f

sene

'set\ 2t

e ....

(x - 111'"

__1__ + e

dt

s

= 1 + e sent·

Ecuaci6n de 8errioulli

poniendo l~e~~4c16n a BU forma etandar: 2cly + ydx.

(x - i')y'dx

-==

2y-'dy

+ y-'ox

2

(x-l)dx

(')

y haciendo la 8ustituci6n:

z.

y-Z

en (lit) •

~

d~

se tiene:

- d% ... 'zdx •

p (x) = - 1 ~

(x - l)dx

.=::&O>

dz - zdx • -

el' .factor 1ntegunte

(x-l)dx

(*.)

ser4,.

S57

I. ·~(x), = e

mu'ltipl.ic:~ndo a

-J4><

e

("')

-x

por

a

",Cx)

e"'x se tiene:

integrando se ~iene:

= - fxe~~x +

fd(Ó~xZ) - e-xl e--x ,

pero:

-x

e-X ~ e-X

xe

-,

y

-

e

-.

.1

1

y'

15.

+

fe-~dx • le

Z = x· + ce

" xy2' + . cy t.)( • -1=0

y'

>
_:t.

dx = (cos x - ~)dx

x p (x)

(O)

"

- l.. x

él tactor

-==>-

'!V("')

muitiplicando

" ' -fd~ •

-10.)( 8

e

,(a)

por

inteqran-te

o¡.

{x}

·_-~x . cosx

ser':

.-

1

le

1

"

..lI

le

-f~'dx x'

integrando se tiene

r ~ _ .se~ " + ,C

......

,y

..!.El!....!. x' .enJC

+

dx

, ex

+. e

IX' + 2xly~+1

16.

t

- (x

O

=

-n+L

2xly

~

poniendo la ecue ct én ~ su fo!t.tnastündar

• _ {x'

... 2x)dx

(al

1 haciendo la sustituci6n.· z = y-n

en

__

dz ~ _ ny-
se tiene!

(*)

-fdx,

dx + zdX' • ' (x2

z tx)

•

~ (x)

.4ii

multiplicando

•

é

zdx.= - (x' ~ 2xldx

x

=

= eX se tiel\Q:

eX(x2 + 2xldx

dx +

d(eXz) • x1eX le

't' IxI

a {.....} por

eX4: + zeXdx

integrando

- d-z • ny-Cn+l)dY

,

( *1l J + 2x)
===>

1

~

2xex~

f

tiene:

2

f

f

d (e~%) •

XQxdx' ... 2'

~

z

f

=

ax + 2

)(.2QX

xexdX

)(.2

+

f

X~XdX

e

+ ce-x

en .cad~ uno de 'los s,:1guientes' pro~lQmas, halle.r 'la soluci6n partíeul~rdQterminadapor lQS ~alore8 dados a X,X. 17.

~ _ll.. dx

.x

x'ex "

x =

1,

y

=

O

poniendo la écuaci6n a su 'forma standar: (O) p (x)

-

I

-=-

el factor inte9rante aQrA:

2dl<

.'" (x) •

e

x

= a -21nx

1

=-

x, 359

I

mu.l tiplicando

(•.) por

f

se tiene:

intE!<¡rando . y =-x'

:'

. .

--,,' 1

~(x)

,,_y

d(L

x'

~

x'

J

é xdx

~

-

imponiendo la co!""iciOn: de e --

o ¡;anaJ1tOsel valor

1, 't

-

e

.~

J '1';

La'soluc16n particular h~ll~$ al ree~1azar e = - e ~ en la soluci6n general: ""l y _ x, (ex - el

"

18;. . :~ .....y t9x. ~ seex, x .. O,

y.

- 1

poniendo la ccuac16n a au forma standar, dy ~·yt9xdx • secxdx C*) P(x) = t9x 'J¡(x) • m~~tiplicando a . secxdy

--=o

J

f actor

el

t9XdX

• e

por

(')

lnsecx

yt9x secxdx - I.o'd~

+

.. J y

=

sen"

=son(OI

-

y

+ Ct:08X

= .... 1 en

~eolx2dx

-~ ._c_ = seGx

seox

x ~ O,

+.C: 00,,(0) - - 1 e

.f

SQc2xdx

"

senx

+ ccosx

(")

la condioi6n

. i.CI1poniendo

poniondo

e

., secx

d(oecx.y)

d (•. ~C'l<:y)• ysecx

-=<> y$eCx .. tgx ...

Sér&.

• secx

liJ(x)

1nto~randot~ndrem(,)A:

-=

integrante

,

("''*)

__

Y ~

-

1

e =.- 1

ae Obtiene' la soluci6n particular'

y - son X. - cos x

¡

19.

~-/¡l=(X+l)·,X.=.O,

y=·l.

po.ñ~endo la ecua~i~" a su forma dy -

~~t' Ix

P(X)

= - _L ~ x + l.

=

s.taJ}_dar; (0)

+ lI'dx el

.

factor

1-ntegrClnte aer&":

2 (_dx

~(X) _.9-;->1.+1. _ ,,-21n(x+1)

1

_ e-1n(X+l), (.x

+ 1)'

multiplicando a (*) por

9:r

=

tx + - d(

f

'2ydx '.

~ (x

d'(·

Y

)

r

(x + 1) ,

•

l!: 1)'

(x ..

f

xdx ..

l)dx

,

.

. tx + 1)'

e

+

(x

'(x .. ll
) 1) ,

+

=

tx + 1)'

1) •

= .

integrando tendremos

{(X .. ~1

dx a2

l)óx

x"

+

C

=- 2y

= (x + 1)' (x' + 2x .. 2e) (") iID~oniendo la condici6n x. O, x - 1,' hallamos el valor'de' C:

2C

reempl.i"zando 2y'~

(x ..

2y

(x ..

5

.c·

=

2

..

,'"

==-

C

s

1

1 en (**) $e tiene:

.. 2" .. 2) • .. H' .. 1)' (x'

(x

+ ll.'[(!< .. 1)'

... 1]

_.

1) ,

(x

20. Hallar la ecuación de la curva que pasa por el pu~to(1,0)1

y cuya pendiente eh un 2~ x ...·1 x

..

So¿uci6,.

.

pu'nto

~alguiera e'; 19uai a:

'.

Sabemos q~ la pendlante

DI, ,_

~=

·óx.

2y + x ... 1 )C

361"

poniendo

la ecuación'a dy _ ~

p (x)

d~ ~ (x + 1) dl<

x

.

1. -==ox

-

.• (x) ,

fo~mastandart

su

el factor

iritograntc

-2fdX

x :- é: -lnx

e'

(*)

x

2

sé.ri

• J:_

x' mUltiplioando

t')

pon

-sdy_2Y'dxa~dx

x,

'Xl

Xl

integrando ~e tiene:

...... y = _. x -

t + Oc'.

(•• )

pero la curva. Pflsa por el'punto O= - 1 -

·1

2

+·C

(1,01

-

e ~"2

2tc -

1

3

Reemplazandoal valor de C .2'3 en 2y - 3x1

-

(.. ) se tie"e

.21. Hallar la ecuación de .~a ou.~a que pasa por ":1 pun.to (1•.11 y cuya pend.1enta en un punto ·cua.l~era ea i<;lual ", .' y'lnx - y JI.

SoZ.u9(Ón.

Sabe
~

poniendo

862

+ ~. :.

..2:L;; In

dx

y'lnx - y

"

yt!n.~

~A ecuae16n

a su fo~

etandar

x

'1

-,

x

11nx dy + :t... ·x <1x ~ x

-

-1

dx _

""""':. y dy +..:L x

..!.mi.

dx

(.) .:

' X,

Y haciendo la 5ustttuqi6n:

=

y

-1

" en .(")

c·_

-i

y

dy

x

~-

.~dx

=>

x

1 -,-= el factor x

•

'P,(x)

mult,1pl1clÍndo

~-..!... x

,,'

e

-fd

x'x

- dz ~ y-'dy

dz

x

(U)

po~

,-

1 " JC

1

•

.lJI (x)

x se tiene d (~) x

:-

- .Jinxx' ex

==' .! y, .. lnx' + 1 + ex' _ -..

.. -

tn te.qr ahte es

i

z - l~ x ~,l +

pr.oponiend.ola

!. dx

~ e -1n",

dx

.. _. • x

·(1·,1)

===>

se t,1ene:

- dz .. .!dx

.l? (x)

d~

• .. y

-!

_ - .!n.!

dx

x'

- ..

1 .. y (1m< .; 1 + Cx)

concliéi6n éle que

("U)

pasa por el punto

C-.Or

La ftC'Wlo16n de

i" curva

1 x

a.~

1

=

y(ln x + 1)

Dos tipos Especiales de Ecuaciones Diferenciales de' Orden Superior ~)

El primar tipo lo c:onatituyen las ecuaciones de la fO:fma·~ n

2..L.

X

dxn

dondo x, as una función añicamente de x 6 una constante. Para integrar 1& multlplic&moG a dn~l~:·f

dX

dx

dx

~.

S

míQmbros ?or dx

arnbg&

>
Después se repite el ~

(n - 1) veces.

XI. El 2do tipo lo con.Utuyen

eauaclones de 1<> forma:

las

d'v "'-"-. r

donde:

dx' y es una lune10n unicamente de

JI:

El método para integrar ea como sigue: l.

2. multiplicamos ambos miembro. por y 'dy" _ 'Iy'dx

3.

oy' ~ Ydx

Escribimos la 8Cu4'ci6n en la forma

Pero.

y'dx.

dy ~.

y'

y se tiene:

.

la ecuac16r\:~nterior se .transforma:

y'dy' • Ydy , donde en la ecuaci6n lAO vl."tria'blea y

'..

4.'

integrando 'se t1(!n~: . ~ '1,1 -

f

I

Y quedan gepar,adas

Xdy +

I

el

dondé el 2do miembro e. un. funci6n de y. 5.

Extrayendo la raíz cuadrada, las variables x,y, quedan sep! radas y podamos integrar otra vez.

Hallar la soluci6n general de. c/u' de lila siguientes nes diferenciales.

eeuacro

d~x

1. --clt'

t'

So ~uci&r;.

multiplicando ambos miembros

~-s

. ==eI>

x

=

S

dx clt . -. clt .

2.

a'x

--ti

x

=='tt

--=

t'

t1dt

clt

S

• ~

+

dt, e integrando se tiene:

30n

el

repitiendo eL procedimiento

'

J

clt

+ e,)dt

(~

t,*' ...

el

t, + C2

X'

clt'

Sol~9i6n. Escrib~mos la ecuaci6n en la forma: multiplicamos •

x'dx'. 1

2'

X'2

aJObosmiembros por;

X'x'dt

-5

~

x'dx'

=

,,'dx Xl

Hac1Qnd~2c.

-

x'

= X'dx

x'dx'

f

dx' - x'dt dx = dt inteqrando

X2

- '2 + e =

:t

¡xl.

+ 2C

ell y tomando la parta positiva X

• ' .. dx' =-

dt

/:f"x:"'--

+ e,

&eparando variable a integrando

-S Ix'

dx +

S

~

e,

dt

--

·ln(x + Ix2 + e,'

- t + e,

aG5

~

tomando exponenciales

-

. 3.

-

x + ¡xl. +-

el • e t+c t; .:. x).t

1

~i8~rO&

.

despejando

l(

1

tie.ne~

•

c••

donda

X·

se,

e2 (~+cz)

•

e e-Cle-t

x ,.. 2'

.d1s .... dt'

a ~oe

·1

- '2

e

sen 2t:

So tuaión. mul t1plicando

ambo'; miembros

S S ".S t S da = di:. 4

d"S'd dt'

repit1en'do

(-2

COI

. = - sen2t

~ 4.

+

sen2td (2t) a -2coe2t +

'

2t + C,)dt.

e, t

+

-

2) oO$2tclt +

C;I

x • - sen2t + cJt + el

da" --= dt'

. . 2f

so,,2tdt

el procedimiento.

dt =

dt, e' integ~ando:

por;

1

l." 1)'

ds' • _~~~t:...._ lo + 1)'

multiplio .....do ambo. Illiell1bro. por s' ,'dt

slde'

(o .. 1)'

ds .•-.:=--

la '.. 1)'

int"qrando se tiene:

S

e 'd.' ',

-

l'

!. 8 2

=

I

t

.J

ha

ds

l·

(.+ 1)'

2(. + 1)'

1 (a

+ 1)'

-

~

cit.

c:

/ZC -

+

c, 1

(s + 1)'

e, ';',

Separando

.r

48

lo ..

~JI.

5. __ d'. dt'

o

(C,lS"

01),

l.'"

U'

1.]

1)' -

..

a

",

- ].)>1' =0 0- 1

=

e,o. +

(C,• +

G

t ...

lYds o.

• o

J

dt

+ 1)' - 1

f

dt,

.. 1)'"

40nde:

le

=

e,

1)·· fdt

e2

C,C;

e,c,)'o

1

rae

=--

~u1tiplicamos. ambos mi~ros

ha

.ra;¡ s'clt

129' 2 0

t

•

por .'

integrAndo 58 tiene

=

-

(~+o

e, Is + 1)' • (C,t + e,c,)' ~ 1

Sot.ucicSn. dt dS'

s:;:=::::P

o

1)' -l]-1/2d(e,(s

1

~

so tien~:

+ 1) (e, Is .. 1)' - lf1/2d5

-eI [e, (s

e,

d t ."'"""

1)'

~ 2~,JCe,I."

~

f.hc,s

variable e inteqrando

f

o

-19 • e .~ lA

. J./f

+

/.¡;:+ 2C

,

A

f

2 ds 1 -1/' de .--r.+ -----B ra ras la • G'

J

4fi +

2,1jic

e •

la

separando variables e .~ntagran40 sé tiane:

367

,

.~

Hacemos el aiquiente ~aMbio de variable:

If.

Xl ~

S"

•

_

ax" ~

fdt.

-

2..

2a

= 4ax'dx

ds

4a

Haciendo:

f Ix'

x'dx +

•

-f

dt

( *)

_é'

1'(>11candola siguiente

.f6rmu1" de reducol6n:

»-1 u (m - n + 1) (u' .. <:,)n/2-1

se , tiene:

; ~

-f

-

~ J

j

zc'

_(XZ(X2.

2a (•• )

tc' -3-

1

.cee:D\Plazando

An. ~.. )

.. C') 1{' j

368

f Ix' .• x
--3-

- 2a { 3 (x'· +

Ix'

• c'}

~e tiene; _4C_3 _'

¡,rx..,.,-.-c"" }

1:. é' . (

.. )

•

2a{x2

s

x'

paro:

i é')I{'()('

-

= 2a'"

.~.

,

ífa-

2a I.fi +.

;

-3 (t,'" C, )

4C~)

t

la C'l V' (15·- 4 ra C") a~"

(10. la e')

'l' (r.

-

4,18

3t

e') -

.

+

3C,

II

=.

-

•

!

i•

3t

I

:!

- ac -= e ,

6:

d'v

..=:.......L.

dJC~

+ -a' _ O y"

Sotuci611.

-

dZy •

dx' tnultiplicaNSo

a,

y'dy'

dy'

ambos m-iembros

..

=

por

y'

se

t.!.ne:·

_:a1Y'dx _ -

,

1

Y,

I

~nte9randose tiene:

fY'dY: - ~ Y" ...-,.

= ~

a'

f

dy .' al -

_-_---

+ e

-

- ':(' - -y

y' •

separando vAriable e integrando se tiene:

f

i ~~V> -

(-

'. MUiendo

+ -)

Y 'a'

':.s.., a'

[al2

.. 0, .....

dx .

.

......

.

• 369

=

f r

=

dy (':'+e)l/t y 1

~ al'l,

f

dx

dy

=

al2

yl/2dy '. + ye )1/2

(1

,feix

1

lIaciendo y

=

===o-

2.'d. '

-f

~J

......

2.d.

fdX

-al'!

jl ';'2.2C))/2.1

aplicando la sigu1ente f6rmula de reducc16n

f

JI-1

u"'d" (11' +

a·)nl!!

(m _ n +

-

1) (11':

a' (n - l~ -m-n+ "

•

2{a2C

+ 1) ", .

=

.(o'e,"

1)'"

f

f

dz (l+s'e,)'ft:

-2...-f .rc;-

+

pero;

%1

= Y _.

2

(rc,.)·)Jj'

'

z •

.rc-',

1

+

• ~ ·~x +

e,") •

e,

al2 x +

e,

(y.

(y) 1/' (y>l'e + 1)", - _1_ ln •

,

• al'l x + e

- _1_ lnte: z + /1

rc1

..

~-2d!l (U,+&,)n/2

dlrc;z) , (1

a1)n/2 -'1

(rc:y

+ ,11 + e,y) •

a~ x

+ e,

,

(y' el + y) 1/. - _l-ln(fc"i!+',Ii

le

,1

.. C,y).

al2x + C,

,

1

7'.

d'v dx'

_;;,_"",t._.

x + sen x

Sclu"i6"

multiplicando ambo. miembros po~ dx e integrando se 'tiene,

370

"

J~

dx • [XdX ,+ f~enxd';

d'y .. dx1

4)('

,,' - ces x ... el . •T repitiendo

el procedimiento se tiene:

~~

R

f ~.

*.!

+ e,

dx - jc;osxdx

x, - eenx +

C1Y..

+

j dl<

C,_

~inalrnente se tiene:

d' 8. ~=4y

'

dx' S9luo~6ft. dy' • 4ydx, mUlt1Pllcand~~ por y' 'y'dy' • 4y.y'dx

a ambos PlieP'lbros

,$

tiene:

4ydy

integrando; 1

r.yf2

•

'

2yt

+ e

~

separando , var1ah.le

S

dy

t·..i

Haciendo

S

~.

S

2a><

e.. se ti.s.na

S

dy

11" +

=

e integranc1o! "

., 2

dx

==..

ln (y ..

,Iy'

+ c,>

- 2x + e,

C,

tomando exponenciales

a ambos miembros

S8 t,i,e,ne:

371

-=-

y

ECUACIONES O¡rEREHC¡ALES LINEALES OE SEGUNDO ORDEN " TES Son las

ecuaciones

con

COEFICIENTES CONSTAN

-

de la' forrr.a: ~ p ~~ +'qy • 0,

d,'y

(1)

élx'

TEORRKAr Sea: ~

y

Toda ecuaci6n diferencial. lineal con cocfieiehtes tante tiene por aoluci6n una funci6n exponencial.

=

oor.~

e"X una solución do (1) se tiene:

dcrryando: ~

dx

u

neox

(2)

dx'

reamplazamos

~ n, x« n2. + pn

deter~nar

(2) en (1) para

... q ==

O

105

valores

de n:

R

(3) EouaciÓn auxiliar. particulilr de (1) si n es una raíz de 2do 9rAdo~

y = enx es la soluciOn

de esta ecuAoión

CASO X. La ecuao16rt (3) tiane

raLces distintas, son so Ice rones

y • (tnaX

nl,n2;

~

partic'ulares

soluciÓn general se,r4 :

~

11: Las ratees de la ocuaoi6n

-

eS deeir el:

n1•

(3) son imaginarias.

a +

~¡:¡- a •

ox

ibx

bi

también raí. de (3) -o

37?

en1x.

eCa+bi)x_

•

.e

,

de

n~x

(a-b·) x

e ~ ~. asimismo

~

~ e

por álgebrA se sabe

1

2' (e 1

2T

ibx

(eibx

-ibx

.9

qUQ:

-ibx' ... e.. ) = cosbx _

e-ibx)

1,

• senbx

-ibx eax .e·)

==,:=. 1 2" (,.&X.e-ibx+

ax

• eax ,1 + "2 (Aibx -

-ibx )

.C

eaxcosbX;

11

= ea,xsenhx ~

ea"xCOSbx, eaxffQnbx 'son

soluciones

particulares

y

la

so

luciOn general se,¡-~: ¡

y

c~o

=

Cleaxcos~x'+

c1aaxsenbx

111: La. ratees de la ecuación (3) son reales e iguales,

ias raícas de la eau3ci6n (3) sér~n i9u~les si ,p2 • 4q, ==$ la ecuación {j) puede ,escribirse. n' + pn + ~ p' = (o

~

+~

p)'

O

las ratees ser~n;

Entonces la.s soluciones particulares

serán':

y la soluci6n general serA: y.

e 1en,x + e~xen,~

373

ppoat.Ell.AS

Hallar la solución gener~l de cada una de las ecuaciones dife renciales. l.

dJx

d.x

dt.

-éit-

O

2M '

SolUCJ.ÓD.

x - ert una sQluci6n de lA écuac16nt

S84:

(0)

reemplazando

(*)

en la ecuaaidn diferenoial se tiéna:

r2ert

_' rert

__

ert"

==;¡.

r1. - r - 2

O , .y. r ,t ~ R = (r - 2) (r

-

_ 2ert

ert(rz

::z

+

1)

_ r - 2) _ 0,

= O ...-.

r1

e

Y

~

, dx

a

-e

I

- 4 ~+

.~t

-t

Jy = o

""ifit

'x una

• -& ,x

solución

re rx, . ~d·v • r1e rx , '

erx 1- O, rZ

374

-

do

la ~cu4c16n. (*)

d.'(2

reel!'plazando (-, en la

....

r

2.

•

-

1

que Ion las soluciones partic~

+ e 1e2t

Sea~ y. 'e ~

2,

re . • 2

larol . .'. LO solución 9Qneral será:

2.

•

....y.- x ,

4r + 3 • O

9cuacidn dlferenci.al:

t &- IR

_..

jr - 3) (r - 1) • O

"",..

r¡ r,

d'. dt'

_ 2dl: • . dt

Sea:

3

1

y

.,3"

y

eX

""""

-

soluci6n qene~al sed:

. lA

3..

• •

•

a

O

'ert la solución de la ecuaci6n d~ferenC'1.1·;

s.

1*)

reemplazando

1°) en ¡.a ec.uac1Ón.

= r2Qrt _ 2rort,+ .rt, =>

ert"O.,

=

ert(ra _ 2r

~r/t~ft

'. r' - 2r + ~ = Ir - l ), • O =- La ool.ud.
d'" dt'

-

r¡

-

r, • 1

e t t te t

general Ger~:

s • e et 4.

+ 1) • O

,

...t tet

+ 16" - O

sea;

art

x -

una solución de l~ eeuac16n:

l·)

reamplazand~ (.) en la ecuaci6n •• tiene:

-

.-

_ (r' + 16)Ort

..

rt " O

r¡ • y y

u--

-i

-

-

O

t' + 16 x

a

..

O

eUt r: r,

·-t(i 1 ) = "7 let.41 + e

·IetH

-

-t41 )

-- -- r,

-

4i

H. r, = - H

"

-i4t

e .

cos4t

sen4t

375

=-

la soluci6n general se,.-!"," y •

S.

4't_ dy'l

..

C,cos4t .+ CzSén4i:

~" dx

4

O

Sea y • or" ==:-

*.

so lu-c;ión de la éC'J.acL6n:

una

r(!rx

,

r"e rx

; ~:s

(O)

dx'

( A)

reemplazQ.ndo

la ecuaci6n

en

r (r + 4) = O

+'\ ~. () ~

==t>.

y.,

e" • t Y

~ €,

ta·eoluei6n senera~ sará:

d.2. _ 2 de

--¡¡-¡; ..

San:

una soluciÓn

da r' rt =. " Q~

e

-4"

e, .. e.o-4"

o

5s :

s _ Qxt

Y =

lo

de la &CUaei6n~

r2-ert

c-

,

réempla2Ando (.) en la ecuaci60 se tiene:

=

,=-

ext".

r'

==-

r, r,

-

-

O "

2.-

La

r,t

~

+ 5

=

E:IR

[r -

(J, ~ 2;.)J

=

1 + 2i

==>

s

'21

=-

• =

1

-= r1 (et (1+2') 1 ( t(l+21) na ~

= O

ert(r' _ 2r ..5)

..

[r

et(HÚ)

(1

-

21)J

e]; (1-21)

t(1-21) e, ,

t

' '

e eos2t

"t(1-2i) ', e,teen2t

soluciÓn geñeral será.

y

•

O

7.

~ dx'

k ax-.

~ 6

y.

Sea:

=- g*

p

,,"X

"

= O

9y

una soluci6n. de la écuaciOn: r2Qrx

~~

rarx;

(' )

dx'

ree~lazando (.)en l~ Gcuaci6~Sé tiene: v..-Y.,

8,

(r + 3) (r + 3)

• O

'la Doluo16n

general

será:

d'. --+38.0 . dt1 ~ =-00

s •• rt una 901uc16n de la Qcuaci6n

*.

d1s dt'

rert

~ r'ért

(')

rccmpl.z.. ndo (.) en la ecuac.i6n

..... -

ert:.!r· ~ 3) '= ==/¡O

,,' +

3

•

O

r, • 113 1',

~

~-

--

dlt:!:

O

s

ert ¡! O

,

.y r, te

It

• senil,,·

la Doluo1(5n qeneral

n

tiene ~

Sé

s = cos_~x

=;>

• - 113 =-

y'. 9.

t e + )),

o

y = xe3x son so Iuc t one s part,iculares

Y • ca3x ~

=

+ ,6r ~ 9

r'

r E IR

es:

c'cos/3 " + e,oe,,13 x I

&..'0 elx·

1<1 oCIlaci6n caracteri$t~ca es; r! - nr

•

r!r

• -

O

donda n)

en

,.

O, "1 r'/x e

IR

•o 377

JI r 2.

=--r1·O 14 aoluci6n

==>

+ 2~

... lOx

dt

~

la ecuaci6n

-

a O

es:.

- 1 ...

31.

(r .,.' (-1 ... 3i)J [r - (-1 - Ji)1 O : (-1-3i) t

x = e

=-=;.

.-t.en3t•
la soluci6n genetal el -t " ~t x • elQ co&3t + eje son3t

En 108 aí9ui,e_ntea problelM' O' 11.

dZs

e"X

_

1 (31 -e)3i x·e -t le ~

y.

•

Auxiliar

r' ...2.r ... 10 = rI

=::.

géneral ser': Y ~ C' ... e en~ ¡

10.

n

~

satisface ... J

halla.r

dI

.

o, . ds' dt.

••

dt'" 25 • O

lA soluci6n

particular

dadas.

laa qondicionea

,

1 euand6 t =.

o

dt'

La ecuaci6n

auxiliar

es:

~,... Jr' ... 2

==<>.

r, r•

...

-• -

2

- 1

--

• (r ... 2)(r • • 8-210

s ~

+ 1) = O

-lo

8,

la soluci6n qeneral.ser., S •

el e -t

("J

+ Ct e-2t.

ti,,,,, lar ,

para hallar la 801ue1.6n par

de

el' e,

impon,iendo las condíci9nes

.... C, ... C•• O ds derivando

(''')

d't,-=: 1 _'-

378

~e~e.~min4ft){'l8el valor dada. en (')

(1) -lo

-210

.Cl~

. -. 2C2~

e -

2

I

e

,

(2)

o

de (1) y (2):

la :Joluci6n part.1cular es;

-==;:>

-t

-2t:

S-e¡-e

)( ",. 2... dx dt = O, .cuando

12,

t • O

la ecuac16n auxiliar ese r~

n2

O

__

(rt

....::=;:.o

;;'0

n1)

-

.(r-n) (r'"

.,'

-

n') • O

¡

,"

r,

- n

x " e

-nt

x

=> la solu~'iOnqeneral es:

=

e 1en~ + e , e...nt'

impon,1endo lA. condiciones d~:dasen. lQs valores de·Cl ' el

c.1. + e : •

2

nel,

-

.n~2 • O

se t.iene:

(1)

QX

derivando (.) tenemos: ir

(*)

(')

n~le

Qt =-

nt O"

-

el ::- S • o

-.

nt nCte. • (2)

de (l)'y (2) se tiene, IC, + 'el '_ 2·

C, ~. 13. d's

*..

o

la aoluo16n particular será: ., 8

dt' La

e ,'_

16. ~ Ó ,

s •

ecu.ci6n auxiliar'es: ., r' - Sr + 16 = (r

-

=$

s, s

•

-

o,

x _

~=

dt

ent + e-nt 1,

cuan'cso

t =

O'

4),' '

e4t . te4t

"

379

~ s

la soluci6n qonéra~ser~: e

D

H

(Cl

dl>rivondo

+ te,l

146 condiciones

los valores ~

"_.!!§.·e ,,4t(C dt .

(")'

in_poniendo

de el'

la s.oluci6n

d's 14. --+

8

elt"

.!!!..,: dt

la ecu4ci6n

r'

Sr + 25 r

-,

+ 4tC.1 •

+ e .,.2

S •

(U)

hallar

dad.as a (.),.

C1 se tiene:

25s • O.

=

I

el ,_

o

s

=

¡:sartiC\11a.r. sor&:

..... +

(*)

ds dt =

4,

- 16

·t - O

cuando'

auxiliar es:

Cr -

(r -

(-4 + 31)J

(.,.4

-

H)]aO

,. • ,

,

r::::::::;.

r - 4 - 31 la soluc16[J general ser!:' , -Ct 8 = e (C,Coo3t" C,sen3t)

ctartVaJldo -4t

ds

dt ~ a

(O) '. . le, (-3sQIl3t ,- 4caelt)

'imponiendo las condiciones para

~

=

<=-1

4"

C2;.

CO)

.. C, (3cos3t

dadas en Ct),

. ( •• )

(i2x dx 15. -- G d-t .. lOx - o dt'

X.

s.

1, :

4~~tcos3t ~ 4 Quando

la ecuaei6n aunll,u es s .r' - 6r

-...

+ 10 ~

3 .. i.

r,

r, • ~

-

......

-

(3 + i 1] [5

x = e

3t

it

.8

-

x = elt .S-it

(3 -

i)J •

= ert(clcost

'+ CtsQnt)

O

e3teost Q3tsent

la soluo16n 9Gnecal es: x

380

3 - i

[e

se 'tiene:

O

la solución pbrticular sera:

,

C. O)

4sen3t)}

(0)

't·=

O

derivandQ


(A)

imponiendo las

'el

para

3t.

{e. (-sent;,. 'leo"t)'

="

C,

e, (cost.l.QDtl l

. .. .. dadas,

ccnd'í c Lonea

=' 1,

..

Q,Jl

(*);

{."}

,(

..

)

se tiene:

1

=-

lt 18,501uci6~ part1cul~~CS~ , x • e (coet ....sent)

x =

10,'

ir!. =dt'

O

cuando

t =- O

la ecu4ci6~auii~ia~'cs: r' - 4 • (r - 2) (r • 2) = O , 2t

x

~

= e

la Goluci6n qeneral aor&: 2t -2e x, =- ele + c~e (it,,)

imponiendo las condiciones on (.~), (*) se tiene;.

el =- s. 2C1

o

,2C2•

-

la solución x

partieula'f

será:.

5e2t' ... S~-2t

.=.

x • 2"

17. la ecuaci6n auxiliar r2

_ _

~

4r - 4·

_

rl

• e 2t

dx d't.

5,

cuando;

t

o

eS!

(r ~ 2)'. O

r2

tQ~t

la ~Qluci6nsanéral ler'~ x .'

derivando

el

e2t +

(0)

~dt

~2 te2t

(..)

• e 2t (2e ...

2t:.C, .. e,'> "

imponiendo 1&& condiciones dadas en (-), (*.) se tiene:

e,

= 1

3tll

l~ soluci6n particular es:

x a·202t + te2t•

e2t(2 + ti

18. d'''_4~~ dt,13".O dt'

x •

elx dt.

2,

cuando

4,

t • O

la ecuaci6n auxiliar e~:

+ 13

rl. - 4r

_

r, r .

~

=.

[r -

2 ~ 3i

,

a

(2

-

+ H)] [L - (2 - 31») • O x • ..2t, eih

)( ~ e2tcoslt

x • e 2t .8-!lt

x

=- ta2tsen3t

la soluci6n géne.ral es:

x

=

.,2t(e,cos3t + e,san3t)

dar1vando

el';

di:

=..

se tiene:.

(*)

2t

(*)'

(e, (-J.en3t + 2cos3t) • e, (3coslt. + 2.on3t') ."

imponiendo las condiciones d.adas,'en

el •

2, C2

_

la solución particular:

ce

..

(")

(*),

(... )

se. tiene:

o

ECUACIO"ES DIfERENCIALES LINEALES DE LA FORMA ~+ dxl

P
U)

donde p. q son constantes, ~(x)es.una funciOn de la variable 1ndependienee x 6 una constante. los pasos par. resolver (1) son: .1)

Fa~OlV~rla ecua~i6n;

ñ

+. p

dX'

*+

qy .;. O

sea la 801uc16n general. 'i ~ V.

func16n V denom.in~o~ función c:o~lementaria efe lo denQtamos: .Ye.

'(11

La

II) Determinar una soluci6n particular II'IQs como

:382

y p (ver cuadro)

de (1) a la que
sea est,a soluci®..

Yp

=

O

III)

La solucil5n

9""eral

de (1) será la suma
cnlPIEl.a.rrARIA NAS.9OILCICNPARTla:lJ\Re' decir:. .. ....

..,o: "

..'" ,

..

:::1

yp

..aBlEMAs

.'

-. -"

"'.'\.'.-.

..

. Hallar l.

;"

la s:>1u:iOo g~

x "

,.

, ! d2

; -, -.-+, x • '4t + 1;> , dt" .

e/a

de

,

.(1)

d'x ....X. u ~'. 1'" ._-

(2)

•

•

•

,. •

'v

SOluc:iú'l'.

,

dt" ..;.: .

""

",

"la'... GC\IIIci611

áW<'iUar

'

.'

,

==;.. ...

'de' (2j'....ser6.:

x

x·~t

.la ""lUcifu a:;,i.Orren~ esi ' ,. . ~' . r, • : " '" e'. C,o!..t +. é,''''';t, O) , . ~. 2~ El Q' DO (l,,, nú.. de ia oeu.>ci&l 'áUldÍ1ar . _ . '.'

-

eien:part.!.cuLu' ~;;:

,

,',:'

'

df,>rivaiXlo

(4)' ~

'.".:"

, dx

~

:.,.'

1;,"

,'~

B '.: ,.

d'x d,t'

'oc

1

a B~b

, ~.'..

.

' ,

.....

~." .',

,

Ó···

,l'

.'.

"

,

lA tároa

,

,t

de la 1!C\a-'

!

-

-,

•

i

;"

-,

,~,

,

(5)'

,

'. ~'"

e

:

1- ~,': :

(~) en• Ul.... t:JI>ne:.. , A. t + ~,.·1 I (, 'A.

e

"

~,~

.' J.gUaXanOO las coeficientes

X)~X+X':;l

,:.:

~'.

,.

'.

tiene.:

, at· rooop~ , ~...•

,

. ,i

J,

.¡

x ~COGt '·r ,= - I

.,.

las si<¡UJentes<>CIlOCJ.onés diferar.ol,al

de

te tierle, .

., ... ~ .....

,

"

<;CJ:nt

l.

.~ "" + C2Gent:+ At

~'b 1

..

; , ,, \'. ,

•

r

91008t .+

Xc ,"

(2)

C2~t.

2" El ntr.erQ • 1» ~ , i es raiz de la. ecuac16n alX>d.l.tar . "" anJen 1 ==<> la toata de la eCuac:i6n pa:ct.1cul.ar es: • • t (Al:X:St ... Bsent)

*_

(3)

p

der1_:

,

I'CClGt .. Baent

-

t(i'señt ~ ~t)

..

aDst -

el x = _ Asent ... Doost - Asant + dt' reenplazal"do (S)'. (3)

"!"

2l\sQnt ...

zseese

t(Aalót

... llIsent)

(5)

(1) se tiene: ... ~""i:) + tU><xlet ... ·8sent) ,- A· ccet

~ - 2IIsen1: .. 2B00st - tj100st

= -

(4)

= 400st

Esta ecu>c:!6n M ccnviert:e

en una .identidad c.\Wdol

A·

en

O: B - 2, BUStituyeRlo

(3)'se

tiene:

x

II! 2tsent P la 9Ol¡x:16nqereral '!";.

)a

x9 - xe + xP ~ C<'C8t. + C,sent + 2tsent -, 3,

--el'"

• x • 4senh

(1)

dt' 5:)}1x=16n .

14 soluc:!6n OCIIlpl.árentariá es nera

po<'

El n~ ± 21 noe.& rw'di! la ""ltri6n poIrt1c:ul.ar ....

la

x • der1v-"

P

el ejercicio

tl) de la siguiente rra-

(2)

l!o:Is2t :... Bseri2t

ec:Uati6nawdUar,

....

la fotn>a ele

. ())

(3) se t1.eTe:

- 2Men2t + 2a00e2t

~.

dt

..

d2X'

dt' sostit:eyezld:>·

,

.

• - 4lIoai2t - CAsen2t

«()/' (3)"en

(4)

('1) se tI...... ·:

385

• - 4/1crn2t - 40een2t ... .!ICOS2t+ Bsen2t • 4 san2t ~ - 311<:os2t - 3Bsen2t = ~sen2t igu;olancb lee ccefici e"tes!ie A = O,

la identidad .... ti_:

B • - ~ SUOtituyenjo 4

"p·-r...,2t

en (J) se tiene:

151

de (51. (21 se tiSTe la solud.6n _al: Xg

=

e, OQ6t

...

<;sent - 3'4 sen2t

4.

(11 - 49.

,

r'·-2==:"

-

o es,

x = e2t .

,,·e -2t

El. n6tero Q "" 1 110 es ra.íz de la eo1ac16n aUXiliar, ma da la eruoc:f.61a_liar es:

•p ~~é darivardo

(3)

.M.~ )et

(3) ea tiene,

dt (4) y (31 ..... til:4Yendo"" (11

Mt _ 4l'at • 'Jet

se• tiene

o.P

se

~ ella • dt'

d'. dt'

386

- ...

2

tiene ~a

2· t· - -3 e ,,(5)

<XlC2t

(4)

tiBna,

11• - -32 y suotituyeroo

SlmUdo (5) y (21 "" tiene la ooluc161 ~l.

(SI --

• A"et

,.;... _.3Jlet = 2et

igualando loa cceficient.... se .13) ..

ez:ztcnoes la fac-

•••

(1)

""_

se =- ele

2'

caro

el nl'mlro

_

1"

fcx:o:a

!

2t

-2t

+ C2~

••.•

2i no es rah de la ecua.::itr> auxilia"

ele la soluci6n partiQ,11or .,,,

s = 1alc2t • Bsen2t p clerivardo

(2)

(3)

(3),

~= dt

- 2Aaen2t . + 2B00s2t

d's = _ 4""'<12t - 4118en2t (4)

dt' sustituyen:lo s

-

(4) y (3)

en

8l\oce2t - 88senZt = 2coc2t

iqualando, l.oo ooefici",,_.

•p • - !. "",,2t 4 .. = (' a2t 9·.....

dt'

La solooi6n general .

($) y (2) ... ti

.~

dx

dt

1" d'x dt'

==-

2><=

+

la soloo.1dn particul.ar ..

(S)

,

d'" -----

de ~ta idént.1dad ee tiene,

A. - ~ y_suatituyen
8 • 0,

6.

se tiene:

(1)

-.

!. aJI02t 4

e-2t • (lr

4t

'

-~ - 2x = O dt la """"ci6n auxiliar es ~

r' .;.r .:.;z. -

-

,,_,.

Z

O c.(r

-.

rz'. '_ 1 ~

- 2) Ir + 1) = O '. 2t

X=.Q X _

e-t

(2)

2a El nIEero '*"? (O) no as ral.
387

:(3)

che =,»: .. " derivWo ( 3) -dt

d%x .• '0

sustituyer
(1)

y

(4)

en

(3)

(.4)

dt' se t;iene:.

• - 2J\t - Il - 2B = 4t

par"

i91Jillan:l0 CXlCt.lclaltes de la misma. potIetlCi.1 so ti ..... B= 1

A - - 2,

" 3& ",""""O

p

= 1 - 2t

(S) Y (2)

7.

d'~

+

2 ~+ 2;

»

t2neIroa

.. (5)

se ti~:

)( = g

en (3)

Y sw:tit:uyerdO

c;e2t + e,e-t.+ ..

1 -.2t

B;,2t

dt' la

d's

+ 2 l!:!!..+ 2.

dt'

dt

= O

(1)

.

'

.-

la C!
r' + 2r + 2.

._ r,

--

O

•

1+ i

será:

fr -

-

r2 • - 1 - 1 =o-

C-1•. il]fr·-·C-1.- i)] - O

x-e

-t i

.e

,,-e -t .8-1

la BOluc100 OCIlPl.eIrentaria

.c • e

-t

a.. l¡>

de la BOluc16n particular s¡; ~ le2t derivaRlo

(J)

~=

. dt

x. e-t~t: x = a-t"""t "

se,."1i,

ce, ooet.+ e,..,.,t¡

2~ El nIlnmo 2 no.es 'raíz'

=-

• •••.

(2)'

,

ecuac16n ..wctliU,

"",,;!i. .

"rlt,:.""", la fonra

.'

•••. (3)

2l>é2t•

d's ~ 4J!e2t' ..... 'dt2

(4) '.

(4) Y (3) sustit:uyenSo ee (1) se ti"",,:

lOle2t •

ee2t¡

'1gUIll.mIo 108 o:>efil::;i.sttes

_,ti""" para ,"

388

'.

s

""r~,

- 2~d + Sy ~ 3 cost

~

dt'

t

1" ~-

Sy = O

2~+

dt'

Ct

(1l,

la ec'UZIC'16l auxi ljar

~

r' - :Ir +

r,

Q2t

5

la "" Lucl6n~.r41

]A

8,

Y:;!

p

-

r1:=

-

~,"

,O ..-

(1 .. 21)

(I - 21)

~

x

~

(1) es:

(! -

(1 +

t

-2i

=

X

de

2

218 lE -

(1 - 2ií] ,

t QOS2t,

x~ e

6 ~é

==<>

,

et ..,-2i

la ooll>:16n CXJtpI.enen~a

• O

)( = etsen2t .er~:

"c • e~(C,<XlS2t+ C,scn2tl

(2)

2·) El. nlb>ro o i ee as ral. de .la acuaci6n alll<1Har.

pO<'

lo tanto .la

fOllM da la ooluci6n ¡>ortiQ.lllu; es,

,

'), • lO:>et,:" derivar&> (3l:
cr,- - d'x •

(3)

B9
+

"

"

(S)

v .'

1

:"

(3); (4) Y (5) sustltlQ'end6 en la i>cuaci6n orÚJ.t.nal se 't1ane: ' (4A - 2B)a.t

+

{4a ..

2l\l...,e ~ 3 0061;

iguaJ.aroo k:wl ooeficientésda esta identidadse

,.,

4A - 2B. 3

estos val"",,, en 3

"p =-soast -

tiene: ',.

2A .. 4B~O

wsti~

(J)

I

(4)

I!Cxl8t

- hxlet - Dscmt

dt' ,

'"

se tiene:

3 IOSétlt

.. ,

(6)

'

Jo. S\Jl'aI'J:lo (6) y (21 se tieno,

"t; • 9.

t

O (C,c:ost. C,"""t)

d's + 95 • 300s2t dt'

(1)

1" ~. 98 • O ==b (21 dt' la ecuación ..urlUar de (2)

sen:

(r + 31) (r - 3i) • O

r' ...9 • O

_

r,

;a

rz

=.- Ji

==-

J S ecee -10 sent. .)

.¡.

lr _.

Ji.

s=

é.

====- ..g-

f(II

s • oos3t

'-Ji e

la $Oluc1oo """"lAmultaria es ~ . "

K

e la el r6rero f=

t

C ca:3t ... c,senJt

p

(31

21 no es rúo da la ecuac16n aUld.Uar. pcx lo

~á,

ele la so.llX:i6n ~lar 8

...

'.

115

ICOSlt +

8ien2t

..

.~ ~

(41

*K _

del'ivanlo (4):

2Men2t .. 2~t

INSU~

~ = - 4.1<:a12t= 4Bsen2t" dt' (4),' (5) en (1) se tiene,

• 5l1c082t ... 5llsen2t

=

300s~t

igualando 10& coéficien_ de

3·

'para: .1\. ~,

So

4) =

(Sr

la idalUdad· ...

O' '1 . susti~

.

t.f.er
en (31

s • -53<Xl62t . ... .(6)· P ._' suqordo (61, (31 se t1ana la """"i6n qeneral. 89 - C,COS2t.+ C,So01' rel="nofollow">2t + ~ ~2t.

10.

fr_ at'

390

y _ 2" et

......-

(1)

.

:

.

_t
la

d's

.

La _

- y • O

•••

(2).

dt' la ecuaciOOauxi liar)le

(2) ser~:

r' - 1 - (r - 11 Ir + 1) = O

r •

L

I

r ~

s = et

-=;lo

, --1.

.... s .. e-t

.será,

la ""luc1OO ~l.aren!:oria t

-t

c.c1e+c,Q

5

.... ,(3)

1 es raíz de la eo.\OCi6nauxiliar

2&El N.

dé orden 1, ¡.>or lo tanto

la fotrna de la 601uc:i6n partie>rlar es , .

t

.p - }\... ~te

••.•

(4)

derivando (4) se tiene: d3 Tt-

t t SI
~.

3tet + ~t

at'

susutuyen:Io

(S). (4)

en

(1)

iqu
-

1 y

•

... !

Ja ....,..,...,

• - 2

Y

(6)

(3)

se tiena:

se tiene,

susti blj.."m en

2. B.}"

P

•• (5)

2

$4

tet

_

2

(1)

+ 2x -

o

(2)

t2

(6)

tiena la ooluci6n general,

•9" _ c,et + e.2.e-t.+.;.¿ 11. d~x+ 2x.

(4) "" tIA!na

tet._2

dt' 1& d'x

dt' _

r' +

2 •

la ecuac:i!r> auxiliar de (2) es:.

o _.

Ir -

1&) (r +. ,l2i) -

O

391

si

r1 = 2 rz

=- 1.

• -

~

.,¿,

lA sol\1016\

==
x ~ e /21 -==> x '"

..;>

x

-.'i i e==>)(

<=

SQ)'I;fft

es.:

c,smfft

..

~t

=

(Olpl<:lmntar ia

Xc. c,ool..1-t

00511'

..•.

(3)

210 El O ..., ... u1z de la ecuaa6n auxiliar par lo tanto la foma de la

sen,

501ucl6\ po.rticu4z

"¡, •• t' ..Bt .. e :

(4)

• 21>1:" B

~

• 2x

(5)

dt' .""tituyen:lo

(5) y (4) en (1) se tiene'

2J1t:2 ... 2Bt ... 2C + 2A=

t2

-

í' ~.o. e Sp • t t' - t ....

2'

= - ~ : sustit1.rjerdo ant.eo

A =

wlor... en

(6)

3a

~

(6) Y (3) oe tiene la ",,1_60 generAl.

59« Clooe~t • C,""'~ t. 12. -d'. ••- .. 3 da =+ dt' ot 1" d's dt'

as.

+ 3 ds + 2s

t t' - ~

2sent

(1)

O

(2)

a

dt

Ente"""" la eOJ¡¡c:i1Sn aU>
r'·. 3z + ¿. _

=-

r

(r + 2) (r .. 1) = O

2 _

'S

=

c-2t

I

r

--1

__. s-=e-t

1 ='O>

lA soluo1l5n c:orpl.om>ntaria So

392

• e1e-t

+

e: e-ze

getá

(3)

4

se tiene

· 2R él nO:I'ero ~ i no es raíz de la ecuac16n auxiliar,

por lo

tallto

la eOJl>C.Í6n cIo la soluci6n par'"...i,cum ser:i:

(4) ~

=-

::.

_t

+ asent

S • P<xlet

"'s

"'-'" dt'

,,"

(4)

(5)

+. Baost

= - J>a:>s~ -

(6)

Bsent

.\lStibJyendo (4), (5); (6) ..en (1) se ti"",,:

~l\lsent; =

_ (/1 + 313)cost + (Il -

2s",,¡'_

igu<>l.atx'lO los ooefi_eientes de la 1dcntid,ad 'se ti""" pua:

31'

-'5 '

A=

B.!l"

, .p.- '3'

3

-t

s9 ~

de

::t

ele

-2t

+ ClG

', . t

•... (7)

""lúci6n qeneral

-

3

.

5' cost

1 ... 5 ~t

- 82x..d + 25)' • 5 cos2t

(1)

t

1'" d'y

_ B
dt1

dt

'=00

1

""5 sen

Q06t

(3) y (7) .se tiene la

34 s~

13,

.

,:""tit,ey.e::G:

y

+ 2.5y

= o

l~ ecuac16n au>
de

."

(2)

(2) es,

,

,

r' - Sr + 2~. => r1

=

+ 3i

4

lE -

....

r = 4 _ Ji _

(e + 3i))

lE -:- (4 -.3i.U

y ~ e~t,e3i

c=>

Y = ,,4t.e-3i

~

e

O

y:s' e4t<Xl$3t y ~ ,,4t.en3t·

2

~

la 001"01(", <XJIl?l_orla

4t Yc. e, (C,CC
ser<1, . lt)

(3)

2" t:I. rúmro, ~ 21 no "" raíz da la ec:uaci6n auxil.i.ar; entonces la fO!. -- "" da 'la y

P

derivando

soluci6n par1:icIllar ser.¡, - 1OOO2t

+ Boen2t

(4)

(4):

!

·' *--

2Men2t '+ 2.8o;>S2t

(51

~ ~ - 41>CoOZt - 4Bsen2t dt'

(6)

'sustituywdo (4), -

(5). (61 en ll.) se tiene,

12lB + 16J\lsen2t- 500s2t

(21A - 16ll)CXlS2t ..

de la 1dent.tdad

i9Uala.">do loe ooe!icientes A=

~i ;

a = - 4:~

YP

, 15 •

;¡-eo:;

sustituyendo en

y

80'

ID

2z -

tia

para

ti_

(4) se ti..,~, (1)

"",,2t

)a 0U!IBrd0 (71 Y (31 se tiene la soluc.f.&l general, Yp =

4t

15

C; (C,OOS)t + C,een3t) +n"""2t

l"!' siql.tientes

&1

"80 - i97"",,2t

probl.tisf.-

ce las oaadici
dZs .~ Ss - t +

12

•

dt'

3.

-18'

ds_!._._~ dt

t

9~"'"

=

O

(l)

es :

la del ejercicio (91:

= C. 0CIB3t+ C,sen3t ' (2) e , ,2a El O no es Iai.. de la 00\IaC1&l auxi.llar por 10 tanto la loma de 14 ..

porliaW:r es.

II()~

(3) derivando

(~).

SUGtitl.tyerdo

~= dt

(4),

JI J

d's - 'O dt'

()) en (1) se tiene:

(tI 9At + 9B = t +

igual,lnGl
f

¡

B~ ~

y sustitllye!>lo en ())

. 1 1 s·-t-+p, 9 18

(5)

t para:

3" SUt8ró:> (5), (2)se tiene la solu::i6n _al.

Sg •

. ·1' C,ooslt + C,sen3t +

1 18 .....

9"

t ...

inpOniendo 1"" CDrdiCliooes i.nicia.les

c,

_!. • lB derivando

.

dado "'\

(6)

(6) ... tiene:

..;... c, = O

+ ..L . 18

se tiem:

(6)

~~ = -

BC,aen3t ... 3C,cos3t + 1~

(7)

iJ¡prd1dooas dadas en (7) GGtiene para:

1 1 3e,. + "§". 9"

.

c, =

-

O . 1 s.=-gt

la ""l..:i6n particular s;rá l

d'. +

15. --

dt'

da 9.... 5 ooo:2t; 4. 1 ; -d

.

l··del ojerclcio

t

1

"'lB

= s . cuando.

.

t • O

(1)

(9); la ooluc16">ooopJ.emmtaria de

d'8 + Ss • o

dt' .

~. A.'

Sc'~ = C ~3t

+ C,'s-lt --

(2)

2" el nCoero:. t 21 IX) .. ral: de la ecuoci6'> auxiliar por 10 tanto la fOXl!\O de 14 901",:115" part1c:ular as, G

•

P derivando

lIXalt + Bsen2t

cis' = - 2-.2e

(3)

de

4'.

-

dt'

•• ••• (3) + 2llcos2t

= - 4.l\coG2t - 4Bo.. nze

•...

(4).

xeerrplazando (4), (3) en (1) B8 tiene: = Shxle2t ... 5Been2t • 50c>02e••••••

tgua lardo 1001ooefident.es de la idant1dad se tiene pora Y .UGti~ en ·la). s s c:os 2t .P 3* slm\rdo (5), (2) se ti . 89 =

c,éosJt

(S)

la eolu=16n gQOOl'al. C,0en3t ... <XIG2t

(6)

JI. 1;

B. O

cjerivaJ'do

{61,

:

3C,sen3t.+ 3C,"053t - 2~t

'= -

en

1... <:lClr>iic:iooes _,'

~ondo

e ~1

==O>

.3 • le, ==;:.

'C2

1•

o }

c'= r

I

=

tiene para:

(81

1 .

la soluciOO

sust1tl.1yetldo (8) "" (6) se tiene

s • sen3t

(7); (6) ....

171

des.".. :

+ oos2t 1

16.

dx '4 'dt = - 9" c:uon1o

oc· = "3 '

t = O •••

(1)

(2)

la """"dOn auxiliar de (2) <>s,

r' - 2r - ,) •

,

r • 3 ~

. 2" El

,

r·-l

(r - 3)

CQlPI.erentaria

3t -t C,e + C,e' ......

nI)rero

dar1vando

A = - ~:

xP = -

.'H (3).

.

(4)..

(4) dx dt = }\ I

.d'x

= O .....

¡.,.¡ OCXlficien_ S- ~

+ 1

de la'misma potencia

sustituymdO en

"32 t + 9"1 .....

2t

(4)

se

tiene:

(61

lA SUtBnd:> <.3)Y (6) ce tiene la ""lud.oo _Al

x p'

396

. (S)

dt'

(4), (5) en (1) • • - 3/0: - 2A - 38 •

19uoJ.anlo

1) = O

O no es ra1z ele la ecuac.ioo... wd.l.Í.... es ele la focaa

x • At.. + ·s ...... P .

s~tit:1l)'
tr +

x. 'e3t . .... x-e -t

14 soluci6l xc·

.

O -

e e3t + c,e -t

- ~ t + .!. 3 9

(7)

(le t se

ti..... para

deriv·-A=~

(7) . ~dt = 3e, e3t _ C·" , -:t

_~ 3 .. -, •• ,

ilIponiendo las oc:>nij,c:ione.11ldas; en (8)

e, ..

y

(7)

(8)

se tJcne:

2 C'2 • '§' (9)

2

3C -.C/2 - ... -

9

1

.""tituyerdo

(9)

en

se tiene:

(1)

x • ~ (eh .. e-t _6t.+ 1) 17,

d s 'd~7 - 9•• 2

6t,

•

=

ds at ~ O cuat'ClO t •

O

O

....

(1)

..... ·m . la

eco.li>C

i6n a<.Dd.liAr de i2) r' - 9.

r .3 1

rt

==-

(r - 3) (r -=:;¡¡.

.'

...

-3t e

=

3. =;ao. s

"

+ 3) = O

B.='e3t

.

• -

•

QS:

la so1uc16n carpJ.anentariá es: . 8

e

lO

e e3t + e 8-3t

-,

,.

,

2a El nI\n:lro o no es raíz de la ~On

a\IlCiliar por 10 tanto la for-

ma de la ",,1uc1~particular: Sp.IV;+,S

(4)

•.••.••

darivardo (4)

"*

a'·

• l\; __ 5.

,t "",ti ~.

O'

....

dt2

(5) Y (4)

en

(5) .

- 9.1>J1:. -.98.

(1)

tgualando los ooefieientes de la mismapot:cnd.a de

6t t oe tiene pata

(6)

sustituyerdo

(6)

. .2 (4).

(lO

"p - - J

t

se tiene:

.

..-..

. (7)

la SUIlIIlldo (7) y ,(3) ... ti_ L>' solucl6n general,

·897

(8)

ds

deriyando (810 (it= l e,"

.\nP:niendo el.

+ C, =-

-lt

2 3

-

o

00

·~c-!.·c • 1 9'

a'

susti~o

2

SE

.....! 9

tiene:

(10)

(10) en (8) se t:iere La ooluci6cl s • -

1

9,

(e

+:x =.2co¡2t; x.

i..'d'x

(9)

o

o

3C,-3C,=y

::

- 3Ci"

dadas, en (8) y (9)

las
o

18.

3t

3t

-..

-3t

O; .:

+x_ O

2

!~

,) -

c:uamo

2

cIe_

t.

O

•..•

(1)

(2)

dt'

la ecúOQilSn ,aux:Uiar de (2) ea:

r' + 1 = O' _.. i

~1·

X

~

,

r ~- 1 ~ _

x-

-..

x;; e--it

c; cost

C06 t

.....;. x

c

cent

o o o

,

.'H

"p clerivando

(4).

sust1~

JfOC62t + Bsen2t

dx,

dt'= - ~t :

+

...

:roc:.:-2t

(4)

• - 4k<:62t - 4Bson2t,

- 311lsen2t• 2 "",,2t los """ficüntes de la i.d<s'otidad:

, A=

,

- -23

¡

8.

O

......t:i t:uyerdo (6) "" (4) ' 2t xI? .. - ~ 3~

CO) y

o

") v

alll
'

(4) y (S) en (1),

• - 3kxl82t

3!ll!

O

+ C,sent (3) ' EL ~ t' 21 ro es raíz tIe la 00Jac:16n roma de la ooluc:i.6n pa.rtl.cu.ta.: e

1~

= eit

=

la ool1.lCi6n aDpl.olrentaria es, x =

'2a

(r - 1) (r + tI

(5)

lo. tanto la

(3) y (7) se tiene la soluciOn 'J"'lCI'al , . 2 "q • C,"""t $ c,sent - 3 ces·2t , .. ,.

Ja ~o

decivardo

*.-

c,sent + scost

(8),

:in¡:oniaIxlo .lAS <X>rdiciones dadas

<; •

t . c. •

2 •

t ~ ze

+

y. (9)

QIl (8)

(8)

""

(9)

tJ.cne para

(lO)

sust1t:1Jy
_d'x - 2 dx -+ 2:K .' ,2 &efit; x di' dt la --d'x - 2 dx -d + 2x = O elt' t

=:1

d~

0,

= O, 0J.aI"d0 t • O

dt

.. ..

.. ...

(1)

(2)

la ecuación a1JlC1114r de (2) es:

c' - :Ir +

=-

2- O

t

e,e

it

...

t·te-l. x. e·,

la ooluei6n 00I\).l.elrentaria

.

~

x =

mm.ro tino

10 [! -

[! - .(1 +

.-;O

Xc - "t(C,=t 2A El

=-

1)J - O

t'

e cost

x. e taent

~

es'

+ C.sent) es cal.

x =

(1'-

(J)

de la

ec::uac:i6n awtil.i4r¡ p:>rlo tanto

la

fama de la lOOluei6I1 particular.'serl, ,

"p •

l\oo9t

(4)

+. I!Se!'t

der1vardo (4), ~~ elt d1x _

- 10ent + 8008t " . . _ - l'<Xl6t -

(5)

a.ent

(6)

dt' suotituyeOio (4). (5). (6) en (1) •

(1. - 28)oc:.t

+ (O·+ W ..... t

_.

.

s:e

tiene,

2&ent

de la identidad se

.I<pal.ardo los o:ef1c1.entes 11-28=0

=

4

1I=5"B··5·

2

ti""."

.... 399

(7): en (4) se, wne:

S\A5t.ib.IYoo3o

'·''''P.

5

.

,

t

. '4 .f s·cxst .. '

e (C¡OCl8t.. C,-tl

s

6=iVM
e

t·

{e, (cose -

la.sbluci61

"""tI

..

/,

•.

oost"""f Son,t·- "... '.:'

(8l Y ()), se.tiere

3" ~ x

~

10;.,' '(8)

9erera1•

2 S ..ent

....

(9)

4'

..

2

C; (""":t :¡. ;sent)) - '5 'sent ... 5' Q06t ,.

(10)

.,'

iIlPOJÚ.cnclo 1!'S' oondiciOl'leS dada.o en (9) y (10) ... ti"'""

e, '5

~

r'¡

e, .~;

t

4

y:,,:.....tiWY.t.noo en 2

I

4' -'Cb5t

x * e (- - coot .. - sent) + S

20.

d" ~+

4 -~

dx'

~

la

5

+, 4Y "'.

5

==;o

'2

+ - ... nt:

801~ioo péd.id.¡i

'

S

(1) ,

de

(2) es:

(r + 2)'2 =

O ..

e

=Plementar.ia 5eÚ: " -2>< Yo • ,Cle. +' C2lCe i' :;:..~:. (3)

'2J<

2" El n1m!tr:o2 no ... "a!.z ~

la.

.\

9cuaci6n A~.,

roa &1 la 'sol¡lc16n partia;¡l;>r ..' Yp•

derivarxlO'

M

2t,

......

(4).• ::: • 21./<

rusti~

(4)

Y'

2e 2t 16.1>0 • -le

(5) _

en

..

¡

sustituyando

u

'p ~

en

(6) •

..

(7) Y (3)

lo tanto la fOE

,

dOy'= ':u,.2t dK'

,

..•.•• (S) "

(1).

.

1 A = ~ .: •• ,.

(6)

•••

0 •••

' ••

,

" .

'."

(4) "". ~':."

!:__ 4 ~ ~t

¡;xx

(4)

.

400

1'4

13 solu::i6n ,

3"

se,tiero

4e 2x ,•

ec:uDCiooauX1Uar

rl + 4r •••

S'

(9)

••••

(7)

se tiene; la'soluci6n~.

Yg," C Q-2>< + C•xe-2><,+ !. 4 e2>< cleriv.mlo (8),' '" ' .... -2>: ,-2><, ~= - 2C,e ' + Ci(-2xe"

: •• ;' (8)

.

,,

+

-2x

9,

)

J..o.s¡ oondiciooaa dadas. en '(8)

~

,

sus ti~_

C = 1,

,

+!2 e?x '

.. ~.' (9)

Y

tl..., para:

(9r se

en 8 .... tiere

I

la ""lución dese&da

.'.

,

, "

'APLICACHIIES DE lAS ECIlACIOHES DIFDlEHCIAUS 1) LEY

[E, ~

~

U>a apl:Lqacillnda 10s

en

lee (ji» la

ecuocrl.on...

valar de la vo.r!.able

quier

difer~

se ofreoa en lDs problemas

varioc:i(r¡ de la fIa1cUn ron reapect:o a la var1>b1epara Ql&lel¡

p
'oorreO(JCll'd1efltede l. "

al'vala:

func::iÓt1.; osea:

~i y La

e

f (x) ,

...;..

ky ... :.. .' .

~.

.

""""cioo' (1) ea de variable

,intagrond:> (1)~:

(1)

cIon:Ie

<= IR

k

oeparabla del tipo 1

..

,

'

1.. ""kx dende e es una """"tante

(2)

arbii:r&r1at para ....té caso

la func:i6n Y

cioo~al.

.

R2d;prt>OOnient.e teIliardo

.

.

...

.

(2) ¡ pa: dif~6n '.

y,.'• ce-+0<, a . : .'satiofaoe "

A la f6ma.tla: ~.

d<m::lotramoll que

.

.'

es una 1'u!!.

". ,

.

(1)

ky se ha dado el ncmbr8

de 'ley

del .l.nteres',~to"

pa: la &i;¡uiente anoJoq1a:

sc,a. y = capital, "" 'pesos. a:>looando,'a,.tntar6s catpUeSt'O 1 s intaris, en ~sC?S, da un peso en un año lit = ~

de't:ienpo ~
/!¡f • interés &! Y ..".,.. _'/!¡f

= iy·llt

por

én'oñoo

:

"

,

inte
"" el

tan",?,,;

:1f

a"l,v

..,.. ,.,:

t

...•

qL:- """; 4Ó1·

La ecu>.c:i.6n (3) e~

".

que la v~iad6n lIII!dLa da y Ea el Ut!q>o .'

~

pcxc100al a y.

t..t ... pro

-

..... para adaptar la ecuac1ón (3) ~ 1<8 fenf¡renoo naturalR8 debeiros sUponer . .. .' . . . que el ""Pital 'i •• capitalizo Q;mtín":"""l"~es cIeC1r que el intervalo de tí"""? es ~ WUUtes'i.'tp, en~ ~ ~ (3)."!! oor¡vierte ...

*.1'1,

da

'i la rapidez

!'" p¡q>or<:J.onal ..

y

'i lo

w.e (XI>euerda oon

1.. ecuaci6n

(1)

&1lc=1. _

fIJnc1.6n

la

dada en la ....,"<16¡1 (1) variq

de aQll!1'
interés cxrp.... to. ~

BegurdO

ejeoplo se encuentra ... la saluci6n q""'f~ da la ~6n

~.

leY + e, .•..•

k, e" 110. Y diferentes di! oero. I!ht.onceseee, c. ak, sustit~ en

(4)

don:Ie

aX al

d('f Esta

t.i~:

(4) ~

• k(y + a) .....

(S)

ecuaci6n expresa 'NI' 1.. flO>Qi6> y + a vax!a e'l!jGn la

ley del ínter"

a:npuestD. la

eruac16n ~et'eDCial

bl.e)

(4)¡ esea la 0010016> es: . . .

=O>

y. oakx + a

(5) .... del; típo r, (varúobl.a$~

(6)

PROBI..ElU,S.

l.

L.

.

.

.

rapidez la var~c1&l de una f~ .'

r

1 y,

~

-

s• -

y • .( ~

1,

y <XI' <'!spec:tD a ~ es iqu4l a , . .

hallar

la

.leY. qua

relacicna x e

;¡""!"!6;pcr la ley del inter6!; <:D!f'IlOSto se tiencll

~ = !y
¡

~

-J~=tf

_.!I!r>lo """lAble e kt<m!l(lil<> ~ ~, ,"

dK+

~~aGO)boS.~ ~ ~ = eX/J _

402

.,

.....

",

• .'

t.c.-lny.~~é"r~ y

~,;'ifj'

,

'.

','

i,n~-r

,.

.

(~;

.'

.','"

y

ixporúlitl:lo Ias OOrdidooes ele y

e - 4e,j, ~

• f • ce -1/3 ~

x • - 1 en

(0)

se tiene,

e = s.SS

r4c:tCX1A y con x es:

la ley que

_

=, 4 0JaÍrl0

,y. 558,>
2.

ae v.ttlaCi6n de i.ina: fuio,CÍlln Y ooh ",,,,pecto a

Ui rO¡:Mez

x

..a .i9claJ.

á 2 .; y, y • ¡¡ ~

:ic =

O.

Hallar la ley,

Soluél<:O. "

SegIÍn

la 2a

fama de

la ley del

-t--

2 - y;

-<>,

d'l:i - 2) • _ (y _ 2)

iñteras

es,

~to

k• - 1

~~I

dí(

¡¡."l.bl~e 'integr~:

~o

-

• ( d(y - ~) = y - 2

J

y •

ÍIIt)O!Úeroci

-:(..

Ce'

-J

dx ~

"

e

==> In Cy- 2) • - x .. Iec

.. 2 .',."

-la CCI1dtd.&\ de qii, y. 8

.i

x • O,

se tiene para,

C-6 __

3,

y';' ~-x ~ 2

la ley,ó'eri"

D> el ej.,;,pl.Ó 2,' ¡ver

, :qiJ1 la

<1S

vanaci6n

ele la cantidad

'pOr CO)

f

di, dx· _-- . -~ s v .

oí

da

é ~aMo

SO.

ele oaJ.?-

sal viene dada por; se tiene,

fi-ce· -*IV

.

lo6 dat<:S 'dád",,, para x se Ue.lE; pá%a C~, 10,000

pato, aL), = 5,000,

-

V = lÍl,ooo UtroS ¿OJanto ~ lqJIi

(1)

~ vm:akes

f

si

,.!¡',

a;¡ = - V,·,,·

..~

_i

peA, 'l!Útar ei

... ~ baO¡ór ~ sOJ,~~. .

= O ~

,

(O)

s'; 10;000';

- J9.Q.!!..

.":'ti~

...!

;.:.,;. ;, ,.;; ro,ó~ e,10000 _ lOO()(i e 2

Il!l

1.0000 e>h

= 6931 lltZcs,

403

._

4.

poI"

.9'Joitar

el 50\ de sal se

ha de _

da a<;Ua • • La ley de llewtan sobre el enfriamiento.

correr 6931 lit;os de

Si el """""" eSe taq;;eratura

diO

ele un cuerpo oobl:e .La del aire ani:>íente es x qrado, rÁ dismifuJcifu

x con resp>Cto al

t:iar¡:o "" prq,Orcicr.aJ.

,a x.

ratura era al prin::ip1o 80 9'f'l'lDs, y ~

será dáspués de

¿Ml

dos?

Jn1nuta,?

2

.. "...,

Si

de ~

este exceso de

~

llinuto" es 70 ....ados

¿en cuÁntO· Úa<po d1Bn1nUiri.

'20'}t'a -

'.

. .

';

,

"

SOluc:i.(n. lio variaciM de la ~

1M Con

'r'i!speCto' al tla<po es:

<1>< • (it= -.o< ...

_ando

s

~=

.

variable e integrllJ"do se ti""": -

kSdt

==>o

'

"

In x ~ - kt ·=-Q'x. Ql-kt

(1)

las oan:licialea dada$.

~

x ~ BO' en (1) se tiene,

a) t = O _ BO =

t.

b)

e ....

(2)

~.__..:. x > '7(}

70= 80 ,,-k taMnlo In

a

.mas

mienbroe,

Jn:70.=I.~(80 .-1<) " lJIOO'+ 1na-k = In(OO) - klnio In 70 = In 80 - k ~

_

_t:i.t~o

J.ñ 80 - ln 70 '.' . '''. .l. ".0.13 .... (3)

(2); ·(3)·Qn (l)'

¡je·t:i.ene,

·x. 80 ,,-0.13t 1)

para t.

21\'dnUtc1o:

·x·.

'BO' .. -~0.13).(2)

=·6i.58

,

.... odaI·

2) paza x .. 20-; ...;o 20 = 80 eO.13t j:.a1'anjo

In a 8l11hQs lIdeott>
. ~ 20. In'80'~~O.13t

,

..

'

..

.: eÓ,

• lnaO

1n:lO - ln 20 + Ili··4"::_' '0.13

-; ~.i3t• In

i.

" ':

t1n e

''', .":'.':' .

__ t. 10.09 minutoS

"

.:.~.,

"t'.ln...f;°·~3t ..... \"'.

..

..•. '.

. .... , .~,

..

',.,

.~

5. ' la'¡XlllSi&l'atllOSfériC>4 p¡cn:urr.lugar;

en funo16n de la

al'tura h scbte

el nivel del mar, canDi~ ~,l:a J.ay dol 1nteds ~to.' ,. ~rdo: 1".'1000. x'm' cuOIxId,.h a O y .67Oq ltc;m',c:uanIo h.

JODOmts.

Hallar

p,

a) cuardo h =:2000. m;

*.-

.,' O,Y

kp

sopa.nuxb

...

1000·C

"

'

670

k.

.....

= ..... 100 a-300Ok ~

.... ~..-

~'.

,~.?70

1n1000 - In 670 _..

=

~

'~3)

"' (4)

-.

',:"

icoo ~ (-l. )3xJ.0-

P _ 513g

'o ••

='.

= 3000 ..

P •

,' ....

3000k.>

. lOOOe(-l. 33X1.0 ) (2000) .. '~6

P = 766 'l' X bl para h

tiMl:

1.1 3:ixlO"'h' ' ~

. al para ha 2600,; P

=.ln 1000 -

k = l,'33.'X lo7fo

(2) '1 (J) GIl (1) Oc

"

6.

-

;

.....

P=lOOO"

"

".

."

sustJ;~"

_

" .'fl,"

:.

variabla 6 1nt:egr¡u"do se tiana,

: tcmaIxSo~~:.~

-=-

• ':,

5000

.•••

'(1)

--

bl <:>JaOOo h.

~.. )(3000) ';"

513

x an1

"

"

-.

reaoc.I6n qWmica en La qua x es la ';"!"ltidad que se tr.nafoma en el ~ t es la ra:oSnde la vuÍaci6n de x con ~ to al tJ.mltlo. " ',' , '" la veloc14ad de una

_ociÓ" del lA tiOlll'O' ¡:erilronllo,

en~

:

9Oa:

a la.'''''''''''''tliac1
~ ,k(a,,- X)" pJI>S~!qua

ci6n ele la cantidad que .. ~aana

es, F~'"

al 'pr:i.1lcipio cIoJ. ex-

],a "."Jqc:j¡:lod.e1e variA -

: a, ],a 'l9'X"'Itra -

405,

I~

cUSn en el misIm instanta.

cant>ia ~

qua

• - x. la ~6n.

la ley
""""'tnr

que la k. lli mnstante de wloeUuod. es igual a: 1 a 't in ¡-=-x

Sol~.

l = k la - x)

5eq(ln .!al clatlos iIeJ. problana: se¡:BrmXlc var:L;J:¡le e integran:lo:

S ..-!!!L. kS a-x =

- 111la - x) ,,.,

In e = ln a: en

luc1erdo:

lJ'Ia-lno-x=kt

En

'_

InC - ln (a - x) - kt

_

7,

dt

_

le

(.)

=

tiaile:

Be

x

a" -

del !"""C""';"". la viOl.ocJ.dad

la roac:ciá> qufmica llálllaiSa •~i6D

de :inIIel:$J.6I

c:on r~'

Si ,1000 I
de ,..scob.dt>, ehtc:nces pcr al emnc.ia<Jo del problsM

l1lL=

kx dt variable e iAtei;¡i...d>

f ~. f k

dt

x-

-

e

"kx

(1)

ilr¡X:iúen:io las OO!liiic:ioni>s
al cobc> de 10 hoz.... á 900 Jcq

.... .tnYertil: de_pud" de 24 horas?

sea x la ~Wad ~

úMortir.

"".cabeilo se recluoon

l6.J.1nto qaodart

se t.IeM,

al tifITpO es prq,orc1ex>al a lA canticiád elel

c¡uecla a.I.Ii

IMscabodo ~

Jet - lnC

1°)

'!'111-"_ t

s

-

C = 1000

'Pa:ra t = 10 ""'"

x-

900

t.

o

=- x = 1000

(2)

en

(1) ""

tiene

800 _ 1000 "UJIc

to""d:> In " """"" nWlnbtao In' 800 - In 1.000 + ,lO le

, __ lOk ~ ..-

406

k·

liI SOO- ln 1000 • 1118 - ln 10

- 0.022315

(3)

en (1) .. tie-

sustituyando (2) Y (3) en (1)

t1are

$a

x • 1000 e-0.022315t lta:a pul!.

8.

el

t. 24; _

x. 1000 ,,(:-(1.022315)(24) x 586¡'_ 2

un circulo eUctrtoo

el ",,1ta~ dado E Y la 'Jntensldod lI""""rjos¡

el voltaje E se (X,n,,,..,.,en: 1) La ros1ste.nc1a R (dr.lios) del eircuito; la ecuaci6n que

2) La 1n:lJct:AnOia L. E ~

i:

osea: ~ =

JU .. ~

rige.

08'

Ril

(E -

POr tanto, .. este. prooe$O se le aplica la eouaci(n

constanteS. t. O. que

t

n.dos

L = ~40,

E = 500

R a 250,

(4), s1é1idoE. R. lo

Y i· O 'C\WiIo

~tr¡q: que la corriente $a aprao:m.rl " 2 m¡>e.rioe a n>9dida ...-renta 8IIlom.1s det.e:Illinor en cuantos segunIIaJ, i llega.-4 u 90%

lN ,valar m&.'QZ
de

r

Ce ].o¡ datoe del prd:>la>a

se tiene que:

~ ddi + Ri. E _

i

CIi + ~ .!.dt •

,_

.!i =! lo

~+

t

d'tlo

dt;

•••

(1)

Hal.lanlo el faetpr 'integrjlnte:

,

~Sdt ~ ,

w(tl • e a

'

- e

.•.••

(21

rn

,"

\

.

,;.

...,. inte3rando

-

S

(31 ea tiere: Rt

d(.L 1)

=~

R

,

,

S el.s ,

dt

R R R E e'L t .. c· eL t1 ...B x .Lr _ e,t ta( _R el • '_ ....

, (31

lo

,

R

"

"

"

. 407

.. • = ~ R ... e

-! t e 1,

, •• ,.: (4)

en. (4) se t1éne:

lJq)CrUénCo las ooo11¡:la>,>s·~. E' para t = D, i - O e= - R

SU$ti~

.

15-(1-" R

.:

usti~ "R

1.8 = 2(1"- e

--t

9.

E)l

69

(7)

_106,

,1,

"

" " , .. ,,-n-t 1.8 = 2(1-'.

) ~

=>o ,el

90% sed

25 ' )

_1á.t

_ 25 t

• e

'

en (b)' Sé tiene,

, ' _,

(6,)

va,lC;'" ele ,i ..... 4 ,2

,el,~ .....

)

"

:

• E SOO '-¡¡-J50=2', ,~~

"

R'

-¡;t

E

.',

(5)

(S) en (4) teran:s: .,.... '

"

l.~,

'

.. ",'

= 1 - 0,9

_.

e

-

-Q.I

25

6'4t

1

"

64

.'0.,1

-

.

"

la descarga ele un cx:rderlsacDr, el voltaje v disa1nuye <Xn el ti"'l'O

Y U. variaó61 de v can resp>cI:o al ti"'l'O "" pn:poreÍonal' ;, v ; _ k. -

!D'

I>allar t, 01 v ~

ve.

,;

_
variable

S ev f =k

e-

408

10\

d.e 'su VIllar. primiti-

ti_, ,:;..~ ;.

11 1.nI:egranlo;> dt -

v - e ~'kt'

-=-

v-Ce

e-

1011 .:. 1O~ .....

100%

-

el'lO'

..

por el enuncia&:> cIel prol>.lm\>, .ee

v _

~

kt

(11'

"

e=

; ,: O.'lV"

....

;'

(21

t,

. v ~ o.fv

et/{O

1 . e40·1: ~ 10

_

t··=

""" _L 40 ... ".'"

'.

._:

'.

.'

ln 10

,,

0,,

t··'92·&eg.

io. .ei ~trar ...... solud6:1 Salina '(? ác14al ~e:-do.sal ~ie."odo OOt'Alltante 'el oom,x., a l. ec-~, "

.,,"

,,'

•• ~'/,.

~: ... ~ (v :

v.oluren.

,O',

':'.

'l....

"

'.~'::'.

-.y)

. ,

En c1ord> v • vol...... · i9->ú

" a:oisblnt,,! y • ~1;í
eJ).. el 't¡¡rq,l9

cuali¡:uiera,

en 'un'~to

r

cloi,:qIJ"'sé'na añodido'desdo ol'pr1!-.::1¡jio, corpári,ce

QQrI

r:'6ry. . la mezclA

""'!!

(o áci&')

'(o-

ácido)

oointi&4 de' .... i, (o do .~ oeilúscasee.te"re~ultádo y,

'x.

el e~a:plo 2,

SÑ1

Et\


voluren

v•

~t.':into ... la ~

la c~ .

de eal es.y,

t.ld'a:i sal 'l"'" '00 "';;..:¡., ~'.. CMtic.a dé"sai. eh """'~~ V - Y . • (v--) u , , .. ~

"

•

IIQ-

t

l"",~ IJdA lA mezcLa es;

.ols1l4s. S'''l'O"90r0& que w\ ",,1...,.,...: Ax de lA a=ela dad de sal que asi se aqt'
será: .

'!:.

:.

.:.

(v ~ Y)e.>¡;,

,'"

_,_

P.OC_lo,t,¡~t.::.. l canelo,

sQ

lIi\ade, la "onU'-

.'

~

../.

'.

de lá car.t:¡daJ;I..!Ü' e,al ,aJ:I:e1 ~

..

viene dado por!

.

.,

;

'

de y CX)n :rcSpecb:> a -x es' ded. r #:.

",

.

',. '.

APLICACllJtES' A rRO&LEMAS,DE HECAHJCA

"

"¡

r, .'

"

¡.,-~'~tqjoe ax;>llcados ...; .... :e a la ~1i.ca

;;;;P~t;ulot.!An";' ..ña ~plicaci':;';'CU'.ct'O\;a

y Fl'siCú, asi!>OC ojEl1l':L:, les F~l~

lineo wnduCcll trec:u~.r:wr~nte 8 Q<::JJ9.ci.~ ',,'

do ClCIl
',.

.

,

.

puesto qW< la solucien 00 estos

'

dif~~

';;'1 """I.I.mi~to rllCti'de pr~~o'~

'.!"

p.{tlblel'QS de¡;iencIoo

.~<,

~~..!

do la,. "e,;olu ~ , ,

'

.,t

~09.

es

}S1;.i"",

¡><ecUo reco>:dar que:

d'. =-Tt;;: dv


Vi

4 ce dtl


VdS

a, ~ct.1v~teJ

instanto


~•......

la w)ocidad y aoelerac:i6n en cualquier

<-t). y S 14 distanda

del IlÓliil en'estQ ins~te

a un oriqan

fijo sobre 14 trayectoria. th :ocóclo 1.1rpc:Irta:lte. de Ift:I\1i1II1mtorectilíneo ea- """,,1 'l" ..1 que 14 aceler ..... cim y 14 distanc1<> estSn m razm ccnstante y ti",m signos cpuestoB·. (2) ,

si..,,;o k' = ""Snibl4 de a a 14 mi<1ad de distancia. lf;t dentro a.. ast4 roiIclo tenemos el ''I'iO'IIII'IIEN1'O ~ICXl

el'" + k's

= O

SIMPIE"<»:la

oc""!!_

(3)

clt' de la integrae11!n da (3) cbter.arcs la soluc1m o:xq>l.sta.

c,.alkt

, • e, oos1
(4)

de (4i por der1v3d.6nse tiene: :

_ v • k

(-e, salkt + <;rosl
••••

(5)

ES enl

ver que el'mMJn1ento dsí1nido por (4) es ..,. aoelaracl6n peri6cU-

ca entre

las fraccic:ne&

axt..rcmcE;.

e,' e, en

Pe<J;p!llzOndo J.aa cx>nstantes .CJ = b

,seo

sustituyendo _tos

s •

"

A,

s ' b¡:

.8· -

(4) por

b, determinada

por:

b y 11

C, =- b (.'f;6A

valores (4) se redlce a:

l.loIc\;co&kt

+ lx:cs~se.'\kt

• • lJoC\ (Jet: .. Al

li'Rlll..D1I\S iN

CinI'.\1'10

NES. L,

[F. les

1I11IJJ\R (JI Il(l)lO'CN

a=--

)clSi

SQ~I!n.

se 410

STGUIDll'ES PR:l8lE'IPS SE [W.I LA N:ElO>.ACJCN y LIS <XNIllCIQ .

.o.b!t qUA>:

S.

O¡

IEL MaIIMl1Nl'O.

v

=-

v. ~o

t ~O

11

,

.i

1 1

.1

dJ:s

a. • -.

-

elt'

k

2'

d2s s -=::o -+ at'

la ecuaciCn auxiliar

k~s

-=

O

de (1) es:

••••

--

,

(1)

s= sen kt

.-ola 001uc1Cn,general _!:

s • C, C05i
(2) '.

- kC1senkt • k e, coekt

.. .•.

ilrponi..-d:> las <::e>r>d1d.
<; • v••

O ¡ .......

,

en

(S)

V'

(~)

(2) &8

d2s _-

d1'

)t1S

k

tiene:

.

$·k~kt

a .""._"-. -

V

=.

C;

SIlStituyen&> ,(4)';

~

dt'

+ kas =' O

derivando .

d!:; .

I

que:

C,coskt+ 1;-

(2)

,(2).

v ~ -dt ~ - R

C' SMl
.

,

illPOni..-d:> las cond!d.CMS

e• ~Ya. k .l,IStit~o

(1)

dt'

por el prob1ora",,~1or,~,tienG

s·

se tiene para

(4)

..

)t~? ~

(3)

{31

(4).>tI

s· .. socoskt

+

tI)

cladzu¡, .. ,

, •• (3)

cil

(2) 'y

(3)

se tiene,

(4)

(2) se tia",,: . 5é1)

Kt.

411

s, s-o,

a..; 6 -

v=

t =.0

cua."'do.

O,j'

, ,

" '1'

t

Sbluc:i.6n .

el'"

a=- ... 6-s clt' 1")

d'" ... O --+

. .•

~

(1)

dt' ='>

rt

la ecuaci6n auxiliar de (1) es: ,

... 1 •

O

(r' -

-=r:")o

i)

(r

Ti)

r,

; D -=>

.

=,1 _.,

1t

e

,

,

-

~ S

lIi

calt

s - sent;

"

soluci6n cooplementariaes:: . 8 - e coat, +' 'c,'SéJ\~: .:.,

'=o> la

c '.

I

(2)

.

,

"

"

':

.

2A El roro no es raiz de la,eo.Jaci6n auxiliar, por tanto la fanra de , • duivatXlo ():

P

=

(3),

JI

'.

d'"

lis = O

-=0 clt' .

clt

(3) Y (4) _Ut\lYCfldo

en

(4)

(1).

(5)

(si 3"

sust1tU\,Qtdo

en

(3) se~:

S = 6 " ••••

p. :

9

•

der1va:.,do

e <;oet I

• C.$e"t ~ 6 ,

•••.•

(7)

,(7) .: ..

w'

condiciar.es

c,·-6;

.c,=o

iJqx:ní_end.o

• ~ sen2t - e. Soluci6n.

412

(8) ,

dw.s¡ en (1),y':(81 se tiene:'

19) s~tituy<>ndoen Ol se ~:

4.

"

"

(6)'

Slmando (~) y (6) se tie"¡". s

~ = o, v = O. ~

1

.0'

(9)

,

e ~ 6.(1- ~tl t =

!J

.. . -

~;

J

a

d1s =--# clt

la

' ,

d2s

sen2t

(1) (3) la solucl6n,CCllPJ.ementar.l..lles:

..... pce el ejercicio

+

Se:'· <;oost

nemero

2i 00

!

-ci6n particular

es raí.

= .1CO<2t

p

(3)

c,~

-r:

de la

,(2)

ecuaci(¡n au>dUar POr tanto

+

(3)

BsEh2t

se tic",,:'

, $L = _ Zl'seil2t +, 2Bcos2j; c!t'

cJt2 (3) Y (4) :sus ti

2t

(4)

•

tuyendo en

(1) tenem:>5: - .scnze

• - 3J1OO62t - 3Dseri2t.'

!.os a:>efic:ien_ de l~idE:1tidad se 'Uene:

i~

A. 0,

8~ -

!.... ;.'(5)

&ustituyordo en (3) se ti...,: 1 ' S • _ 3' sen 2t , .. , •• (6) P

3a

" ','

':,

d"s _ = '_ 4l.cc<;2t __

(5)

'

I1

... '

sunon:Io (2) y (6) se ti..,.,:, , L' ,a e C1QORt + C..SEmt - 3" sen2t

(7)

deriVMdo (7) v ~ ~ • -C;sen~, ~ ~
C,C05t' _

t

O<.'5t

...

'

2

,3 .... .

(9) -:

(9) 5""U b.lyec-.lo en (7)' se tie:...:

2 S-jsen

a=

(O)

laG oor-diC1OtlCS dadas , en (7) y (81 se t1Q1,,':

,e, • o: e,,' ,

5.

la sol];

será: "

s derivan:lo

S"

clt'

<1'5 + G • O ¿t2

2a El

''

aen2t - s ~ .._-+

t

_ 2v _ 2$. ~ = 3,

-3iSéJ>2t, v', - )

cuando

t = O

== --d's dt' .

d's

ds

M

+ 2r + 2 ~ r

====$>

•

,

o =- lE -

r, -, -

1- i

.

(-1 + 11]

fr -

s. e-t.eit ~

= - 1 + i~'

1

===-

e

O' ....

(1)

sera:

la aUXiliar .aUlÚlJ..ar de (1)

x'

ds'

2 - - 2. '""'" ._+ 2 't + 28 dt dt''''

-

8 = Q-tc:ost

-t -it

.S· =

e e

1'-1 - i)]

=$

8 ..

e-t sc:nt

=> la soluci6n c¡ensral ~: (21

derivando

clerivaMo (2). ds ~

a

-tú .. lel.(..,...,t - dOSt)

e

iHp:>fúerdo ~ paz:cr C;, .. 3; (4)

6.

.!

ClOll4iciones _,

e2•

suotl.tuyendo,.,.,

= -

nv:

.$

= o,

O

.•••.

(2)

se~,

+ C, (ooet - sent)

J .

(3).

en (2) y í3) se tJ.e. :

(4)

= n cuardo

V

(2).

.

t

s

=

=

O

Jé-tdOSt

~lIo.

•s-. .

d's da -~n-·O

d:l$

M!

-TN"~

1<1 ecuacioo

rl +, ro: •

O

dt'

ailldliar de

(1)

dt

(1)

=> r (r + n)

es, !:l

O

r1 = O ~ r:l -= - n ~

s • e", = 1 -nt s· e

.~.... la. solucilln ge""".l será, $ •

v ..

Ca + da

'10 -nt .

i!t= - nC,e

-nt

(2)

....

(3)

•

;,ustl.tuyerdo las <x>rdicionesdadas en (2) y (3) se tiMe:

c.+c,,-o

.., ne, (4)

'.414 .

1:'

e1. = -

n

su
(2)

se tiene,

1

s ~

1 _ " -ei t.

(4)

7.

eent - 4s;

A ••

Oolamo

vesO

11• O

1:.=0

SOlDc:i{¡p"

a

---= dts

.

.

4 sent -

dt' d2.s

--+ 4s =

l'

4s

d2&

~

__

o

+. 4$

-=

4sent

"1

(1)

dt'

.

O' , •••

(2)

dt'

la eOJaCÍIDauxiliar r'

+ 4

= O

==>

de (2) ser:f:

(r - 2L) (r + 21) • O

,

r • ii ~ s r ...

1

= e-2i

s. c:os2t

==;¡.

e2L ,==> ••

= - 2i _8.

....,21:

o::xrplere.nt.aria ser~¡

la so¡uci6\

se • C1ccs.2t + C2sen2t

(3)

2&El ru..ero ! 1 ro ... raíz de Ia ccUa6:ón .uxJ!.iar; por tanto .la for.... de" lA soi.ud6n partJ.C>lL1r" ..irá:

s •

l>alOt + B6Qnt', p dorivMclo (3) se tiene,

susti l:IJ}'erXlo ( 4) y (5) ""

(4)

"""..

(l),

1

se ti ene:

• lA:ost ... lBsQnt • 4scnt igualando la< ocef.iCie"tes de lA' ideflt1clad se tiene: "

pa....

A = O

(6)

_tituyerdo

8 =

¡

JI

J .. __ (6)

en (4) oe tiene: 4,

.p = 3·) s_rdo

'í sene

(3) y

(7)

. "'"

(7)

se tiene

,j.¡¡

"9 =' C,cos2t + C,sen2t +

solución general. 4

'

3' sent·

.

(8)

cIerívaodo (8): 4J!)

v

,

.-.= éls clt

4

2C,scn2t + 2C,CQSt + -3 CX)O;t ••• las CX'I'X!.1ciOnes _,

~encb

e,

o

=

.,,' (B) y (9) se ~,

e,· ~

1

(9)'

t

para:

(10)

(lO) re«l\'l$z..,.;o En (8);

'34 llént

s:

e..

2 J .",,2t

-

a. - 2\T - Ss; Sqhy:1oo

s

d's ds '~.--=2-. dt2 dt.

r' .. 2r ,+ ,par.:

S~ O

r."

(-}

Al

1;

cu:.n:lo t • O

v .. 1,

5.

=-t 2,{)

(1)

[!- - (-1 + 2ilJ ~ ==:::.

r~ • (-1 - 21) ~

s

=

11

=

-t

(..¡, -

2i.

e Q ~ -t -2i, ,

e e

S

'2i)J .. O

'-t'

,

= e ooc2t ' -t

s ~'e sen2t

':==O

la sollJCi6n <¡ener"l es:

~

~.

e-t(C,cos2t

.. C.SEI.~2t) ....

; (2)

der1vanOo (2J se tiene :,' v • :

" ,,-t[e,

(-2:ocn2t - COS1t) +

il11'(ln1CnD'¡". ccn:\tcic.r". dbdas, ,?U'A:

CI•

1 ;

'se

dan:

o:l.

v:i..r.\(en.tc ~e

e

1

e." <2}

vibr('lCi6n

a.rn6-~Uca 9~lc

t.

o;

CI.."'"jO

Dem::::f,;trar

Sclu:if.'n • 8', '

.. ,,,,,,,2tl

que el

~ntro es. s .: '2,

aI:\',lJtud 2 y su ]Xaiodo -r.

, 416

(3)

9)' so>tcndró:

• =" -t (co;2t

e - 48: v = C¡ S = O' cuan:Jo U!"'..;)

y

-,,¡en2t)]

l4)

en (2) se: Uené:

(4) 6ustil~o

9.

el

<; (2<:os2t

.(1)

rroBU

d',

l~ -+ dt'

45,= O

(2)

del ejQrclcio, (7) la so11.tl&loonpl"""rytaria éS:

.c = <; ..,..2< .. C,"""2t ••. • (3), 2a El cero oó es raíz de la.ecuación Iluxi.liar¡ l-'?r lo

s •

A

P

derivanl.;'

"

(4)

(3):

..2:!.= dt sustiuzyen::lo

(4)

y

=-

8

O,

en

(5)

p

di. = O

• dt':

(S)

lA. Ú,

'teN!m:lG para

(1)

• '?

....

.....

(6)

(3) Y (6) tcnEm:IO la sol\lCi6n:ge,_al!

S

Q

C,0002t

+ ctsenit :.'

,ÓI1r:ÍvAlIdo

,

.

..

.

.. 2 .... : (7) ,

(7),!

, de ' V=-·-2C~ dt

,

,la faxma

tMlto

...rá, ,

da la soll>'14n particular

1

,.

.. 2COO$2t 2,

(S)

il:porú.ando las ClOniidones dadas, en (7) y (~) l:end:rem:ls :

pora: e,

s= .....

e,

= - 2,

la

"

2(1 - oos2t) 2n

"2 s

es

la '~litud ...: --v

lO,

estos valores "'lStituyen:1o en

,'y

,

(9)

se ti ....

(7)

"

'(9) I
el,pe>:1odo

"

= O

aceJ.e.ac:iOn de

m· U1\

a=

al Si el punto

~to. ,O>n e. la :. b) Si el p.¡nto

1

porte

,

•

,

rr seq, ' 2 =

Id" .. 22

punto nnterial

s «00

viera dado por ,la f6xnula:

2t-,9s,

, r

'

h&llai' Su ec'\I.OCJ.6n de

dél rq>a¡ó'en el' 6Í:~,

,lo:.

"")'Or di$tancia • ... = 1..,.

elel ari9"'l que el ~to .... ,>,

¡:e.rte
••

_'

-

..

; .... ,••

'> ':

.'

aic.lnza?

.~.~.,

veloci4all v _' G,'¡" Iiallar GIl ecua

c:iOn de IOOViDoJ.<mto.

<117,

¿001 es la a>o¡yor di.5tancib del origen que el pwlto II.lc.anza?

Soluc16n. a

dls

d2s -+ 9s = 5<xls2t ••••• dtl

+ 500s2t - 9s ~

a __ dt2

(1)


r' + 9 • D _

(r - 3i)

~

r, - 3i ~ r2, =

=00

- 3i

(r + 3i) = O

s = Q:li __ S • cos3t . -Ji ~ s• e ..., e· senlt

la solua16n o::or¡;l.etlwotaria ."..,,6: se

= C,cos3t + C,senlt

••••• (31

2a El nma.ro tU no ee mz de la· eouaci6n au.'CiUar, entonces la foma de la .01",,1& particular es: 100slt + Bsen2t

S -

P

(4)

derivando (4):

!!!.. - 2Asen2t dt d'$

-

+ 2B:xls2t .

• - 4Acc&2t - 4Ilaen2t ••••

(5)

dt' (4) y IS)

"""ti~o

en

(1) ~:

• Sl'cC>s~t + SBsa>2t = 5 OOG2t i¡¡ualaido lOII ooaf~J.en~ de la identiclac;l A- 1

"p •

8 •

B.

O •••• ;.........

para:

(6)

en (4) ee tiene:

($) oust:i~

:¡.a..-

¡

tenl.:t1lDfJ

(X)$

2t

•• •••• ••.• •••••••

(7)

(3) Y (7) se ti_:

C, oo< + <;s0n3t + eoc2t

(~)

del"ivando (8): da

V·

418

Ft:"- -

.

3C,s0n3t <'

•

3<;oos3t. ~ 20en2t •••. (9)

las ccuHcicnas dadas; en (8) y (9) ~

.llipDtien1o

4) s = O .;

e,. e

-

v. 11

sustitu~

O, cuando

e,

'7

se time para

(10)

(10) en B .!lO tiene

s• b) para s ~ O;

o .: ...

t. O entonces

para:

o;:e2t - (X)sJt

v = 61

c:uando. t ~O

C; ·2 $Ilsti tuyerdo (11) ""

(8)

11. U10.> erpo- """ partisd:> dal ~

y eecoeee una distanQa da 24.50; el ~ cae.

""penisndo a - 'SI.8 - V, hal.l.!n: el tiUlFO ~4nt<) s»'uoí6n.

..

419

Ecuaciones Diferenciales lineales .. de n-éslrno Orde ·con coeñclentes Constante ' .. ' ~ solxiOn <J'"'Oral d
.n..

dn-1

~. dxn dorde:

rf' ,

~.d"'

, dX

rf,

dn-1 -:--n-f= ébI

on-.l.,.. :., o, ea

.,.,..1+

n

(O .. P,u Sea P (J.)

1'(01 .

= rf' + •

l' ¿r1 1

o

(11

constanteS.

.

, ..... ,

.en,

rf'-2 t

o

~, ex =

oper;ack>res dif<;renciales

.J

.... :

calOllams el paI.JnooIio dado en:

_

y -

IJ"'

+ "nI)'

=,0

+ P, )."-1 + P,).n-2 ........

).n

B

P,

st::Jn

q¡"l(IlIi,na.rá

se transE""","

(1)

.••. + p

'1 dx_rt-

¿rl

"

En_s

¿>-2 p. ~t

:n:\'+

dxn-

1

p.,i. 1,2,3,: .. n > la ..... Utl.CiÓl>:

.í h3~

=1>

P

.l. =

,

Pn ""

pO

.

"• 3

l..íroIUo

o

.. l' ¿>-2 ........

y se llan1.ri operador ~-

p n

~

cial A9OC1ado a (11.

sean r ,r , ... r , ra!oé.s

de p{A),

disbnta,s

n k ,k , •••• k veces réspect1varrente. l' nk 'k' I

==>

peA)

2

= (,\ - r 1.)

ciado """.1:

'(A -

r ) , ...•

'

l<' I

a)

}XQOEntar

r , ,r;z'" °

0_

',

rn

.

r ) " n

y par..

el

. polinanio

aso -

k {D -

r,)k,

1

se puo;len

-C/U re:pit1én:1oae

1
(A -

t

p(O¡ • (D - r)

.

•••

,n

(O _ r ) n y • O

1", s1gu1cntes casos:

SCI\

reales y distintas,

tal de sola::.I.onti de (1) será

de

e:l

esté cese el &1sten\'! fi1rd"3r.'im- .

,

la fOIllB:

er,X , Qrt~, .1..• , errr y ia solucl6\ bJ las raioe. a.S::

420

de

qereral será

peA)

sen roalés,

Y9 -- C1er1x + <;er¡x +

pO·

+ cnernx

pe;.., algunas de ella.o nl.l.t4>l.eG

1

_ r e.

una ral. k ITlHtipl.ede p{X), mi.mtr as que las rr-k ra!oas

di>

tillta., Eh este caso 01 sistema furd""';tal de 001""1""",, .08 do La 00"""

-

rx , ....

ñc •

e rx.,)II!

-

-

el'"~r.x

Yq = e l crlX +

xx-i erk+lx , e.rk+lx , ....

x1e

+ e :lx1erx

.rnx

+

e ernx n

e) alg=a. do,lae ra10es

p(X) son maginarias:

de

1'R:BI&1I\S

Hallar la 8Olu::itn'gencr8lc:Je,,/u de las s,:guíErltos ~iones 1,

~.+ ~~dx'

O

dx

pUl. '.......

+ 4X - O

Á'

......

X{X' .. ~)

(O + 21)

-"

1 ..... '2

21

==<>

(e

- >.i)

-21

+

e

(O -

-21

).

er:tx.

=

1

21) a e21

1 21 -21 COS·:be.; 2i (e - o )

e

sen:bc

la ""luo;~ general _S,

C, + C, oos2x .. c,sen2K

fr_~_ dX'

+ 2illX

1, <:t>.:be; senzx ooostituye el .,:,;t:a>1a fun(lanent&lde ~l""lonea

1-g • 2,

&_~(),

P(Pl • O«l_ + 2J.l10 - 21) • (P - O) {D + 21'} (O - 21)'• O

,.... (D - O): da cxmo ""l~

don<;Ie

O

dX

::

.

IlOluci6a.,

==-

difereociale.

J>~I - A(~' - 11 = l(A - 1)U + 1) (A + !)o. -

==<> p«ll

-,P(I)

(O - O) da

- 1) (O t'l) lO


e

+ 1) 10:-

=

"

11

i) • O

1

421

(D - 1)

da <XlIII> solu::.u;"

ti<

lO .. 1)

da oaro solucMn

e ~x

, (J)

+

1)

da

lO - i) da ~

cosx

solucUn

sen><

<XIIl'O

la ",,1ucU5n _al

as:

el ....<;ex ... C~e -x +

y • '1

3.

cceo solu:.i6n

C..C'lOISX + Cs&QJ'lX'

h_fr+9d'Y_9dy~ci , ctx"
ax

!!o1.ucl6n. . ?Q.) ~ l' -1'.9).'

=

~I~' -,).'

o

- 9) -=

+

A(A -l)(A'

... 9), - 9).

3i)l)., - Ji)

P lA) • HA - 1) () + 11) lA - 3i) P(O) ~ 1>10-, lJ ID

se tiene

+'

31);1> -


la 1101",,;& qeOeral

1,

9

1

1.

00II

sis~

3x, """ 3x

C,oen3x

.

~+

d'X + 9 d'X'+ dt'
ex,

e.',

y , • e + e .i" .. c,c:os3x .. 4.

o

W r&1oos. 0,1,.31, -Ji qua """
_tal _

ji) •

8><.

o

dt'

Iibl..::i&: P¡A) • l' • 6),' .. , peA) • (Iv. 2) (A

12).

.. 2)' • u ... 2) •

P(c)' = (J) ... 2) ID

_

o

.8=

+ 2)' •

(J) .. 21' = o

las ralees 9On; -2,-2,~2 _ El.sisw.w. _tal de ",,1~

-t"

'-1:

es: •. ,.te

y la ",,1
xq. • e,e-t

s.

'

_ 4's -a=t.'+lt dt'

422

...c.,te-,t

• ,c t,~-t. e"t (r ,

.. e t .. e

""'1:1

(1)

1;'1

3

• ~

l'

te.

..

SOluc16l.

!in

pt:úrer l~

'ha..l1.ano6 la soluc:iá> lI!nent:ar1a de la ecuac:iOn

lineAl hCJrc:>génea "" decir de:

diferencial d~5

_ SI • O

ctt' _

P(~) = ~' - l·

(~ .. 1)(~ - 1)(), .. i) (~- 1,)

P(q

_

P(Dl = ID + 1)(D - 11 (D + i) {D - il - O ....

son:

Las raíces _

O

la

-1,1,1,-1 ~J.eñentaria -e-ve-

sol...,ién

,se ,=

e.e't

(2)'

+

e:te-t

s:e' es:

' t + + e,ces

('1' ~

<;sant

2" E!l nírrero Q ro os ra1z del ¡:olin:>nio a.ooclado (21¡ ... de la 9p.lllc1OO particW.ai ser': ' ~ = ~ ...

de.rivardo ... tiMe: do

dt

=

lit' + ct .. D

ent""""" la for-

(4)

,

l!\t' .. 8t

+

e

d'. = 6JOt... 28 dt',

=

d'.

6A

dt' d~~~

o

....

(5)

dt' (3) y (4) lIUSt:ltuyaRlo en (1)

-; At' -

Bt2

-

ct - D - t' + 3t

i9UoJ,ondo loo mef1c:1.entee

de la _

A - - 1 ¡ B = o le. - 3, (5) BUBtituyardo en, (3), .p 3·

= -

t3

_

Jt

poI:ancla de

Da O

t, se t:erd.rii:

(6)

• • • • • • . •• (7)

Su1wdo (~1 y (7) "" tione la 9pluclOOgena:al : S

9

•

e 1et + 'c,e-t

+ C,o::l8t +

e • !lM\t

-

tI - 3t

423

. '.- ...

',(11

o ... ,

(2)

6,

1"

..!!.):_ _ 4 ~ clx 3 cll\

=

.

-.Á· -.~

p(Al

__

P(D) ':" DIO·. 2) iD _ 2) ,_ :0' .,_.

ac:n,

las 'rafoes

ele ool~~ _

= )d)"

_ 4) =),0. + 2)(J..-

.....

2) • O

(3),

0, _ -2,· 2.bque no.
e

¡..

• .(5~

·fo.r>dlmcntal. .

.

. la sol\lOUn<XlIlt>laftentariá es:

..

'

de. (3) de orden. 1 p<%·lo tanto lo fo_ de .la

2a'l!.Ii:·núoor:X> O es ~

""1ud6n parUru]ar )'p -. XlAX' .derivamo

,

sea,

'.'

.+. Bie +

e) = A;(' ... EO<.'

(5):

'.

2L= ~t dJt -

...

28x ...

e

... O< ' .. z • (5) . ".

. .'

•

, .. , •• ' (6)

dOy = 61lx + lB

c1x' d'y

.~ 6A .........

(7)

c1x' ",:",tit~

(6) Y (7). en ·IU ,.. tiene,

_ ti'"" ~ liBx _. 4C

+ 6A

= 2><'

loe oceficialtee cla la _

~ .:

'_..

•

A.-! 6 (8)

'1 p

e- -:-',4 ..... ~

(8)

(5)

-_!,.-'-x 6 ,.' .

)a ..,.".,..:la (4) y•. (9)

de "

.' .

(9)

tendl:eros

la solJ.JaUSn ·general•

'. , • 2x . -2>< y • e +Ce .eJe q 1 • '¡' '(

ten:!teriai, '.'

1

•lB-O

"sWrtitl.1yGOOO en

P"'-=,o

o"

•

1 ,

_¡.x

.

l' -¡x

<.

,.

7.

d'y

=,.,

3x

)".!!:t. + 2y

= O

~ -3<1x+2y

dx'

1" d'y _
ctx

. p().) _)..

.

- J).'.~

2=

(). - 2) ()'.- i) ~O

(D - 2) lO - 1) =.0

~

p(D) •

las

raSccs '""n:

lucioné&'

en

~

2; 1

y

•••.

006 dan él

(2)

siguiente

5ist81\! t~t;al

X

el

-

de SO

.-

e •

(3) 2~ e:J. nOroro O n¡) es raíz'de

(2), por lo tanto 11l tOt:11'a de la ""1",,,611

particular ... , y

+

_ (l»<

B)~l>: .

I?'

(4)

.

*..

darivazxlo (4):·

"Óx.el>:

~

e

i

+ 3Ee3x

+ e3x

A(9lcel>: + 2e~


(4),

2lIl<e3x _

J.9Ilalando ¡ara

en

+

9Be3x

(S) (6)

(l).

(lA'" 2B)e3x = ",,3x l.oo ooof.1c1ent;" ele la >denUdad "" i: 3'

A-'2'

8--.

tiene

\1>

(7l """ti tI.1yllncIo en (4):.

~ 3 3x Yp- (1'X - .le Ja ~

(8)

(3) Y (a)

Yr¡-c,e"+c,e

2X

+ (ix~~e

3x

42:;

IHOleE P5g. CAPITULO:xn Integracl ~n de Formas Elen>entales Ordl n,rlas _ Regla" PrincIpales para la Integraci6n CAPIlUlO: XIII

1

Constantes de.Int~graeI6n _ Detor1ill'na:cl6n de la Constante de Integrat'íón

de Condiciones Inldales .. : .cAp·nUlO : XIV _ Integral Definida . _ tntegraci6n Aprox11nada •.••••.••......••••.• _ Integrales Impropias. llml·tes Infinitos

por ~Iedió .: ,.' 106 ; : •.••••.••..

:

117

00..........

128 138

CAPllULO: XV

Integración como'Suma _ Teorema F,ulldament.1 ael CUeula Integral •. ; .. ; ,.......... _ Ar., de Superfietes ,llmltada.s por cur'las Planas _ Are. de Curvas Planas Coorderiadas Polares ; _ Volumen de Sólidos de Reyoluclón : • Valumen de un Sólido de' Revaluc'lón ~ueco .• : .. ; ;... - Longitud de un Arco de Curva ",'.................. - Area~ de Superficies de Revaluc.ión .CAPllULO: XVI _ ArtificIos. de Integr.ción " ..: rntegraef6n por Sustit~clón de una Hueva Variable ;.... • Diferenciales BIn!tll1ias'

257 267

_ Transfarm.c16nde

276

- S~stltuc16n

las;Dfferenc1ales

Oiversa.

CAP¡niLO:

..

'. ~

Trlgonométrfcas

,,:,

143 144 156 169 171 194 206 222

.. ,

: .. ',

;""" ..

28~

XV" I

_ Centro' de Graved.d, Presión de liquido., Trabajo, Va10t' Medio, Noment9 de Superf1 ~fe ••.•. f.o ••• : ••••••••• - Determinación del Centro de Gravedad .""'dlante eJ . C&lculo Integr.l : .. ; , .. : • Coordenadas Polares ;........................ _ Centro d. Gravedad de un Sólido de Revolución ; • Ecuaciones Diferenciales de Primor Orden y' d•. Primer Gtado •••••.••.••••..••••.•.•.•••• ~•.•••.••• • Oos Tipos Esp,c.h·les de tcuactones ·Oiferencl.les d. O"

Orden Superior • Ecuaciones Olfarenciales

••••••••••••••

'••••

' •• "...

0'0 •

:..

305

• ..

; ;' ••••

·305 306

323 '

329 364

Un ••.Ies da Segundo Orden

con Coefl clente Constantes, ; .. .. .. .. .. .. 372 - .lipllca~¡ones d. las Ecuaciones Dlferenclales .., ;.... 401 • Ap11cact Mes a Problemas de Hacánl ca ......... ,.................... ·409 .' Ecuaciones Diferenclal.s Lfnoales de n-Eslmo Orden . -:on Coef1cien tes Const6.ntes •••••.•••••.••••••••••••••••••••••••.• 420

E.'ile Iibn.t se ltftIli.rló de inqwimir en 1m alkt'c5 gri6cOs de Editorial Sa.n M:a~ situ:ado:i ca Av..... LoIna$ 1600.1.Irb. Maa_"""""", SJ.t-. 1;=, I'I:Ñ RUe1_84344