Tarea_interpolation_haro-arias-2.docx

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Apellidos: Haro Arias Nombre: Hugo Fernando

Fecha 03/06/2019

Actividades Lectura: Interpolation and Curve Fitting: Resumen y ejemplos Descripción La lectura propuesta se trata de un breve resumen de interpolación y ajuste de curvas. Leer ( Documento: Interpolation and Curve Fitting) Objetivos Son los siguientes: »

Establecer un esquema (síntesis) de la lectura.

»

Resolución de las siguientes cuestiones: 

Resolver los ejercicios propuestos del documento: Interpolación and Curve Fitting. Pag 22.



Plantear un ejemplo real aplicado a su formación.

Entrega del laboratorio La entrega de esta tarea: AULA VIRTUAL, será un único archivo Extensión máxima: 6 páginas (Georgia 11, interlineado 1,5) Nombre de archivo: Tarea_Interpolation_Apellidos.docx

CREDITO: 10 PUNTOS

UIDAD 3 – Actividades

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03/06/2019

La interpolacion es una tecnica para evaluar el valor entre un conjunto de datos. Segun el autor del texto un punto de vista general es mapear los datos en un polinomio de orden n

Interpolación y ajuste de curvas

Interpolacion de Newton

Interpolacion de Lagrange Interpolacion Spline

𝑓𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥+...+𝑎𝑛 𝑥 𝑛

Interpolacion Multivariable Regresion Polinomial

“La ecuacion resultante que da cada tipo de tecnica como es la interpolacion de Newton, Lgrange y de Spline se puede usar para el ajuste de curvas.” INTERPOLACION DE NEWTON 

Interpolacion Cuadratica y Lineal.

Se consideran las siguientes ecuacione para la interpolacion lineal y cuadratica Interpolacion Lineal 𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) +

Interpolacion Cuadratica 𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟎 ) 𝒙𝟏 −𝒙𝟎

𝒇𝟐 (𝒙) = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏 (𝒙−𝒙𝟎 ) + 𝒃𝟐 (𝒙−𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 )

Para hallar los coeficientes en la interpolacion cuadratica:



𝒃𝟎

𝒇(𝒙𝟎 )

𝒃𝟏

𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟎 ) 𝒙𝟏 −𝒙𝟎

𝒃𝟐

𝒇(𝒙𝟐 ) − 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟎 ) − 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 𝒙𝟏 −𝒙𝟎 𝒙𝟐 −𝒙𝟎

Interpolacion Polinomial

La forma general para la representacion de esta interpolacion de n-esimo orden es: 𝒇𝒏 (𝒙) = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏 (𝒙−𝒙𝟎 ) + ⋯ + 𝒃𝒏 (𝒙−𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 ) … (𝒙−𝒙𝒏−𝟏 ) En donde los coeficientes b1,b2,...bn se obtienen de lasiguiente tabla propuesta por el autor:

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INTERPOLACION DE LAGRANGE El objetivo de este metodo es encontrar un polinomio que pase por varios puntos determinados, haciendolo el metodo mas claro de todos al construir dicho polinomio. Formula de I. de Lagrange 𝒏

Parametro 𝐿𝑖 (𝑥)

Termino de error estimado

𝒏

𝒙 − 𝒙𝒊 𝑳𝟏 (𝒙) = ∏ 𝒙𝒊 −𝒙𝒋

𝒇𝒏 (𝒙) = ∑ 𝑳𝒊 (𝒙) 𝒇(𝒙𝟏 )

𝒏

𝑹𝒏 = 𝒇[𝒙𝒏+𝟏 , 𝒙𝒏 , 𝒙𝒏−𝟏 , … , 𝒙𝟎 ] ∏(𝒙 − 𝒙𝒊 )

𝒋=𝟎 𝒋≠𝒊

𝒊=𝟎

𝒊=𝟎

Y de la cual la funcion de interpolacion depende del orden n= 1, 2, 3,.... Por ejemplo para n=1 𝒇𝟏 (𝒙) =

𝒙−𝒙𝟏 𝒙−𝒙𝟎 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟎 −𝒙𝟏 𝒙𝟏 −𝒙𝟎

Para n=2 𝒇𝟐 (𝒙) =

(𝒙−𝒙𝟏 )(𝒙−𝒙𝟐 ) (𝒙−𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟐 ) (𝒙−𝒙𝟎 )(𝒙−𝒙𝟏 ) 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟏 ) + 𝒇(𝒙𝟐 ) (𝒙𝟎 −𝒙𝟏 )(𝒙𝟎 −𝒙𝟐 ) (𝒙𝟏 −𝒙𝟎 )(𝒙𝟏 −𝒙𝟐 ) (𝒙𝟐 −𝒙𝟎 )(𝒙𝟐 −𝒙𝟏 )

INTERPOLACION DE SPLINE A partir de la grafica de la interpolacion polinomial-forma de Lagrange que causa ciertas oscilaciones se puede corregir mediante la interpolacion spline como el autor del texto muestra en la siguiente comparacion:

Spline Lineal

En donde 𝒎𝒊 =

Spline Cuadratica

Spline Cubica

𝒇𝟐𝟏 (𝒙) = 𝒂𝟏 𝒙𝟐 + 𝒃𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏

𝒇𝟑𝟏 (𝒙) = 𝒂𝟏 𝒙𝟑 + 𝒃𝟏 𝒙𝟐 + 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒅𝟏

𝒇(𝒙𝒊+𝟏 )−𝒇(𝒙𝒊 ) 𝒙𝒊+𝟏 −𝒙𝒊

REGRECION POLINOMIAL: La regresión polinomial es un tipo de regresión lineal que se utiliza cuando los datos se ajustan mejor a una curva que a una linea recta.Se formara una matriz que considere los errores y la dismunicion de estos basados en la fomra general de un polinomio.

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03/06/2019

INTERPOLACION MULTIVARIABLE: Se usa en funciones de mas de una variable 2 variables 𝒇𝒑𝒒 (𝒙, 𝒚)

3 variables 𝒇𝒑𝒒𝒓 (𝒙, 𝒚, 𝒛)

Donde 𝑳𝒙𝒊,𝒚𝒋,𝒛𝒌 (𝒙, 𝒚, 𝒛)

EJERCICIOS 1.- El consumo de combustible de un motor se ha registrado como se muestra en la tabla. Si un usuario hace funcionar el motor durante 1.55 horas, determine el consumo de combustible estimado utilizando los métodos de interpolación de Newton y Lagrange. Tiempo/Horas

Combustible/Litros

1.2

0.33201

1.7

0.54739

1.8

0.60496

2.0

0.73891



Interpolacion de Newton

Se tomaran los dos primeros datos de la tabla para aplicar la formula de 𝒇𝟏 (𝒙) 𝒙𝟎 =1,2

𝒇(𝒙𝟎 )=0.33201

𝒙=1.55

𝑓(𝑥)= ?

𝒙𝟏 = 𝟏. 𝟕 𝑓(𝑥1 ) = 0.54739

𝒇𝟏 (𝟏. 𝟓𝟓) = 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝑓1 (1.55) = 0.3320 +

𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎

(0.5474) − (0.3320) ∗ (1.5 − 1.2) = 𝟎. 𝟒𝟖 (1.7 − 1.2)

Conclusion: Mediante el metodo de newton con 𝑓1 (𝑥) se obtuvo que si hicieran funcionar el motor durante 1.55 h se consumiría aproximadamente 0.482 lt.

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

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03/06/2019

Metodo de Lagrange

Usando la tabla del literal anterior y aplicando la formula: 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟎 𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟏 ) 𝒙𝟎 − 𝒙𝟏 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 𝑓1 (1.55) =

(1.55 − 1.2) 1.55 − 1.7 ∗ (0.33201) + ∗ (0.54739) = 𝟎. 𝟒𝟖 (1.7 − 1.2) (1.2 − 1.7)

Conclusion: Mediante el metodo de lagrange con 𝑓1 (𝑥) se obtuvo el mismo resultado, si se hubiera hecho con 𝑓3 (𝑥) nos hubiera dado lo mismo, por falta de espacio se hizo con 𝑓1 (𝑥) por ende en método dependerá el número de datos que consideremos. 2. Los siguientes datos muestran la función de altura de una colina a una distancia x de una referencia. Forma un polinomio cúbico vía regresión. 𝒙𝒊

0

1

2

3

4

5

6

7

8

𝒉𝒊

4

5 10 17 21 16 11 3

1

También, calcular la desviación estándar correspondiente. Como pide un polinomio cúbico (n=3) : 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 𝒙𝟑 𝑁

∑ 𝑥𝑖

∑ 𝑥𝑖 2

∑ 𝑥𝑖 3

∑ 𝑥𝑖

∑ 𝑥𝑖 2

∑ 𝑥𝑖 3

∑ 𝑥𝑖 4

∑ 𝑥𝑖 2

∑ 𝑥𝑖 3

∑ 𝑥𝑖 4

∑ 𝑥𝑖 5

3

∑ 𝑥𝑖 4

∑ 𝑥𝑖 5

∑ 𝑥𝑖 6 )

(∑ 𝑥𝑖

∑ 𝑦𝑖 𝑎0 𝑎 [ 1] = 𝑎2 𝑎3

∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑦𝑖 3 (∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 )

∑ 𝒙𝒊 =1+2+3+4+5+6+7+8=36 ; ∑ 𝒚𝒊 =4+5+10+17+21+16+11+3+1=88 ∑ 𝑥𝑖 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 =204 ∑ 𝑥𝑖 3 =13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 = 1 296 ∑ 𝑥𝑖 4 =14 + 24 + 34 + 44 + 54 + 64 + 74 + 84 =8 772 ∑ 𝑥𝑖 5 =15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 + 75 + 85 =61 776 ∑ 𝑥𝑖 6 =16 + 26 + 36 + 46 + 56 + 66 + 76 + 86 =446 964 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 =5+20+51+84+80+66+21+8=335 ∑ 𝑥𝑖 2 𝑦𝑖 =5+46+153+336+400+396+147+64=1541 ∑ 𝑥𝑖 3 𝑦𝑖 =5+80+459+1344+2000+2376+1029+512=7805 Ordenando los datos obtenidos y reemplazando en la matriz: 𝑁=9

∑ 𝑦𝑖= 88

∑ 𝑥𝑖 =36

∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖 =335

∑ 𝑥𝑖 2 =204

∑ 𝑥𝑖 2 ∑ 𝑦𝑖 =1541

∑ 𝑥𝑖 3 =1 296

∑ 𝑥𝑖 3 ∑ 𝑦𝑖 =7805

∑ 𝑥𝑖 4 =8 772

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03/06/2019

∑ 𝑥𝑖 5 =61 776 ∑ 𝑥𝑖 6 =446 964 𝑎0 9 88 36 204 1296 𝑎1 36 204 1296 8772 ( ) [ ] = ( 335 ) 𝑎2 204 1296 8772 61776 1541 7805 1296 8772 61776 446964 𝑎3 𝒂𝟎

𝒂𝟏

𝒂𝟐

𝒂𝟑

1.737

6.992

-0.7082

-0.0269

Y reemplazando en : 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟑 𝒙𝟑 𝒇(𝒙) = 𝟏. 𝟕𝟑𝟕𝟒 + 𝟔. 𝟗𝟗𝟐𝟕𝒙 − 𝟎. 𝟕𝟎𝟖𝟐𝒙𝟐 − −𝟎. 𝟎𝟐𝟔𝟗𝒙𝟑 3.- Los siguientes datos representan la distribución de temperatura T (x, y) en una placa de metal:

Estime la temperatura en la coordenada (x,y)= (1.15, 1.42) usando: a. La interpolación lineal de Newton 𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) +

𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎

Para x=0.5 j

0

1

2

3

yj

0.5

1

1,5

2

f(0.5,yj)

7.51

10.05

12.7

15.67

𝒇𝟏 (𝒚) = 𝒇(𝒚𝟎 ) +

𝒇(𝒚𝟏 ) − 𝒇(𝒚𝟎 ) (𝒚 − 𝒚𝟎 ) 𝒚𝟏 − 𝒚𝟎

𝑓1 (1.42) = 7.51 +

15.67 − 7.51 (𝑦 − 0.5) 2 − 0.5

𝑓1 (1; 1.42) = 7.51 + 5.44(𝑦 − 0.5) = 𝟏𝟐. 𝟓 Siguiendo el mismo proceso de la tabla anterior para x=1 𝒇𝟏 (𝒚) = 𝒇(𝒚𝟎 ) +

𝒇(𝒚𝟏 ) − 𝒇(𝒚𝟎 ) (𝒚 − 𝒚𝟎 ) 𝒚𝟏 − 𝒚𝟎

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𝑓1 (1.42) = 10 +

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10 − 10 (𝑦 − 0.5) 2 − 0.5

𝑓1 (1; 1.42) = 𝟏𝟎 Para x=1.5 𝒇𝟏 (𝒚) = 𝒇(𝒚𝟎 ) +

𝒇(𝒚𝟏 ) − 𝒇(𝒚𝟎 ) (𝒚 − 𝒚𝟎 ) 𝒚𝟏 − 𝒚𝟎

𝑓1 (1.42) = 12.5 +

12.51 − 4.33 (𝑦 − 0.5) 2 − 0.5

𝑓1 (1.5; 1.42) = 12.51 − 5.45(𝑦 − 0.5) = 7.49 Para x=2 𝒇𝟏 (𝒚) = 𝒇(𝒚𝟎 ) +

𝒇(𝒚𝟏 ) − 𝒇(𝒚𝟎 ) (𝒚 − 𝒚𝟎 ) 𝒚𝟏 − 𝒚𝟎

𝑓1 (2; 1.42) = 15 +

0 − 15 (𝑦 − 0.5) = 5.8 2 − 0.5

Para y=1.42 i

0

1

2

3

0.5

1

1.5

2

12.51

10

7.49

5.8

Xi f(Xi;1.42)

𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒇(𝒙𝟎 ) +

𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟎 ) 0 − 15 (𝒙 − 𝒙𝟎 ); 𝑓1 (𝑥) = 12.51 + (𝑥 − 0.5) 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 2 − 0.5 𝑓1 (𝑥) = 12.51 − 4.47(𝑥 − 0.5) 𝒇𝟏 (𝟏. 𝟏𝟓; 𝟏. 𝟒𝟐) = 𝟏𝟓. 𝟒

b. La interpolación cúbica de Newton Polinomio cubico: 𝑎0 + 𝑎1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + 𝑎3 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) Guiandose en la siguiente tabla:

Podemos encontrar los coeficientes Para x=0.5 𝒇(𝟎. 𝟓; 𝒚𝒋 ) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝒂𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 ) + 𝒂𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 )(𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝑓(0.5; 𝑦𝑗 ) = 7.51 + 5.08(𝑦 − 0.5) + 0.22(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1) + 0.28(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1)(𝑦 − 1.5) UIDAD 3 – Actividades

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𝑓(0.5; 1.42) = 7.51 + 5.08(𝑦 − 0.5) + 0.22(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1) + 0.28(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1)(𝑦 − 1.5)

𝑓(0.5; 1.42) = 12.25 Para x=1 𝒇(𝟏; 𝒚𝒋 ) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝒂𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 ) + 𝒂𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 )(𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝑓(1; 𝑦𝑗 ) = 10 + 0(𝑦 − 0.5) + 0(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1) + 0(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1)(𝑦 − 1.5) 𝑓(1; 1.42) = 10 Para x=1.5 𝒇(𝟏. 𝟓; 𝒚𝒋 ) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝒂𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 ) + 𝒂𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 )(𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝑓(1.5; 𝑦𝑗 ) = 12.51 − 5.12(𝑦 − 0.5) − 0.14(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1) − 0.39(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1)(𝑦 − 1.5) 𝑓(1.5; 1.42) = 12.51 − 5.12(𝑦 − 0.5) − 0.14(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1) − 0.39(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1)(𝑦 − 1.5)

𝑓(1.5; 1.42) = 7.76 Para x=2 𝒇(𝟐; 𝒚𝒋 ) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝒂𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 ) + 𝒂𝟑 (𝒚 − 𝒚𝟎 )(𝒚 − 𝒚𝟏 )(𝒚 − 𝒚𝟐 ) 𝑓(2; 𝑦𝑗 ) = 15 − 10(𝑦 − 0.5) + 0(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1) + 0(𝑦 − 0.5)(𝑦 − 1)(𝑦 − 1.5) 𝑓(2; 1.42) = 15 − 10(𝑦 − 0.5) = 5.8 Para y=1.42 𝒇(𝒙𝒊 ; 𝟏. 𝟒𝟐) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏 (𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒂𝟐 (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 ) + 𝒂𝟑 (𝒙 − 𝒙𝟎 )(𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝑓(𝑥𝑖 ; 1.42) = 12.51 − 4.5(𝑥 − 0.5) + 0.02(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 1) + 0.36(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1.5) 𝑓(1.15; 1.42) = 12.51 − 4.5(𝑥 − 0.5) + 0.02(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 1) + 0.36(𝑥 − 0.5)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1.5) 𝒇(𝟏. 𝟏𝟓; 𝟏. 𝟒𝟐) = 𝟗. 𝟑𝟏 EJERCICIO APLICATIVO (Interpolacion de Newton Dif. Divididas) En mecanica de suelos estudiamo la permeabilidad del suelo en funcion del tiempo transcurrido para saber cuanto disminuye de altura la muestra de suelo en este caso el ejemplo dice: Se estudia la cantidad de sustancia permeable presente en una muestra

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de suelo sin alterar en la practica de laboratorio conforme pasa el tiempo en t minutos.Los datos obtenidos son: t

0

1

2

3

h(mm)

0

0.5

2.2

7

Para hacer un analisis completo del suelo donde se requiere predecir la haltura que dismminuye el suelo cuando se le aplica la sustancia permeable presente para un t =10 horas 0

0

1

0.5

2

2.2

3

12

F(xi+1) 𝟎. 𝟓 − 𝟎 = 𝟎. 𝟓 𝟏−𝟎 𝟐. 𝟐 − 𝟎. 𝟓 = 𝟏. 𝟕 𝟐−𝟏 𝟕 − 𝟐. 𝟐 = 𝟒. 𝟖 𝟑−𝟐

𝟏. 𝟕 − 𝟎. 𝟓 = 𝟎. 𝟔 𝟐−𝟎 𝟒. 𝟖 − 𝟏. 𝟕 = 𝟏. 𝟓𝟓 𝟑−𝟏

𝟏. 𝟓𝟓 − 𝟎. 𝟔 = 𝟎. 𝟑 𝟑−𝟎

Tenemos un polinomio de grado 3 𝑷(𝟑) = 𝟎 + 𝟎. 𝟓(𝒙 − 𝟎) + 𝟎. 𝟔(𝒙 − 𝟎)(𝒙 − 𝟏) + 𝟎. 𝟑(𝒙 − 𝟎)(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) 𝑷(𝟑) = 𝟎. 𝟓𝒙 + 𝟎. 𝟔𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟔𝒙 + (𝟎. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟑𝒙)(𝒙 − 𝟐) 𝑷(𝟑) = 𝟎. 𝟓𝒙 + 𝟎. 𝟔𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟔𝒙 + 𝟎. 𝟑𝒙𝟑 + 𝟎. 𝟔𝒙𝟐 − 𝟎. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟎. 𝟔𝒙 𝑷(𝟑) = 𝟎. 𝟑𝒙𝟑 + 𝟎. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟎. 𝟓𝒙 Como nos pide para 100 minutos 𝑷(𝟏𝟎) = 𝟎. 𝟑𝒙𝟑 + 𝟎. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟎. 𝟓𝒙 𝑷(𝟏𝟎) = 𝟑𝟗𝟓 𝒎𝒎 = 𝟑𝟗. 𝟓 𝒄𝒎 Por ende este suelo no es apto para construccion, es un suelo malo y talvez pantanoso ya que para un tiempo de 10 horas a bajado 39.5 cm lo cual es una cantidad considerable ya que la norma para la mecanica de suelos dice que maximo debe bajar hasta 15 cm de altura.

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