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Théorème de Thalès Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :    

Exercices 1, 2 et 3 : calculs de longueurs Exercice 4 : partage d’un segment sans règle graduée Exercice 5 : problème avec plusieurs configurations de Thalès Exercice 6 : agrandissement d’une figure, détermination d’un facteur d’agrandissement

Rappel : Théorème de Thalès   

Soient deux droites et sécantes en un point . Soient deux points et de , distincts de . Soient deux points et de , distincts de .

Si les droites

sont parallèles, alors d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

et

Trois configurations sont envisageables : 𝐵

𝑑

𝑀

𝐶 𝑀

𝑑

𝑁 𝐵

𝑀

𝑁

𝐶

𝐴

𝑁

𝐴

𝐴

𝐶

𝑑 𝑑

Les points , dans cet ordre. Les points , dans cet ordre.

𝑑 𝑑

et et

sont alignés Les points , dans cet ordre. sont alignés Les points , dans cet ordre.

𝐵

et et

sont alignés Les points , dans cet ordre. sont alignés Les points , dans cet ordre.

et

sont alignés

et

sont alignés

Théorème de Thalès – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Remarque importante : Les longueurs des côtés du triangle

sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle

.

Dans les conditions ci-dessus, on peut donc présenter la double égalité sous la forme d’un tableau de proportionnalité : Côtés portés par la droite

Côtés portés par la droite

Côtés portés par les droites parallèles

Côtés du triangle Côtés du triangle A quoi sert le théorème de Thalès ?   

à calculer une longueur à partager un segment et placer sur un segment un point en respectant un rapport donné à agrandir ou réduire une figure

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2

Exercice 1 (1 question)

Niveau : facile

Soit la figure ci-contre.

𝐴

On sait que les droites et que , et Calculer

et

sont parallèles

𝑀

𝑁

.

.

𝐵

𝐶

Correction de l’exercice 1 Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les informations fournies par l’énoncé. D’après la figure ci-contre, les droites sont sécantes en . D’après l’énoncé, on sait par ailleurs que sont parallèles.

𝐴 𝑀

et 𝐵

Enfin, on sait que :   

𝑁

et

𝐶

Proposons désormais une correction détaillée, étape par étape, de l’exercice.



1ère étape : On repère la configuration de Thalès.

On sait que : 1) les droites 2) les droites



et et

sont sécantes en (d’après la figure) sont parallèles (d’après l’énoncé)

La configuration proposée réfère donc à la 1ère configuration mentionnée dans le rappel. En effet, les points 𝐴 , 𝑀 et 𝐵 sont alignés dans cet ordre, et les points 𝐴 , 𝑁 et 𝐶 sont alignés dans cet ordre.

2ème étape : On précise le théorème auquel on va faire appel.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

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3



3ème étape : On applique le théorème de Thalès en prenant le soin de bien écrire les égalités.



4ème étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la même unité.

C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,



5ème étape : On isole l’égalité utile pour résoudre l’équation.

Par conséquent, on a : Il faut toujours veiller à écrire une fraction sous sa forme irréductible.

D’où, en utilisant le produit en croix :



La mesure de la longueur 𝐴𝐵 « tombe juste » (il s’agit d’un nombre décimal), donc on peut aussi écrire : 𝐴𝐵 ,

6ème étape : On conclut.

La longueur du segment

, notée

, est égale à

.

Remarques : Dans cet exercice, il n’est précisé aucune unité de longueur donc il n’y a pas lieu d’écrire quelque unité de longueur que ce soit (cm, m, km…). Sinon, ce serait une erreur ! On voit donc bien là l’importance de lire attentivement l’énoncé et la figure, puisque l’un comme l’autre peuvent imposer une unité de longueur et par conséquent induire un certain résultat.

Exercice 2 (2 questions)

Niveau : facile

Sur la figure ci-contre, on a noté différentes longueurs connues. On sait par ailleurs que les droites et sont parallèles. 1- Calculer . 2- En déduire la longueur du segment

𝐵 𝑚

. 𝑂 𝑚

𝐼 𝑚

𝑆 𝐸

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Correction de l’exercice 2

1D’après la figure, on sait que les droites

et

On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites

sont sécantes en . et

sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,

D’où l’égalité :

A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :

La longueur du segment

, notée

, est égale à

mètres.

2donc l’égalité suivante :

. D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives, .

Par conséquent, Le segment

. mesure 6 mètres.

Remarque : Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du mètre. Il ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les calculs.

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Exercice 3 (2 questions)

Niveau : moyen

Dans les deux cas suivants, les droites 

et

sont parallèles. Calculer la longueur . 

Cas n° 1 :

Cas n° 2 :

𝐴

𝐴 𝑥 𝑥

𝑁

𝐵

𝑁

𝐶

𝐶

𝐵

𝑀

𝑀

Correction de l’exercice 3 

Cas n°1 :

D’après la figure, les droites

et

sont sécantes en .

On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites

et

sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,

D’où l’égalité :

A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :

La longueur 

est égale à

.

Cas n°2 :

D’après la figure, les droites

et

sont sécantes en .

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On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites

et

sont parallèles.

Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,

En effet,

.

D’où l’égalité :

A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :

Résolvons l’équation

. équivaut à ⏟

⏟ D’où :

, c’est-à-dire

.

𝑘

, .

est égale à

.

Pour supprimer les parenthèses, on utilise la distributivité de la multiplication sur l’addition :

.

Ainsi, La longueur

Attention ! Il ne faut pas oublier les parenthèses.

𝐴

Exercice 4 (1 question)

Tracer un segment

𝐵

𝑘

𝐴

𝑘

𝐵

Niveau : moyen

. Placer le point

sur

tel que

, sans règle graduée.

Correction de l’exercice 4

Traçons un segment

puis plaçons le point

sur

tel que

, sans règle graduée.

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1- Commençons par tracer un segment

de longueur quelconque.

𝐴

𝐵

2- Traçons désormais une demi-droite , que nous allons graduer régulièrement à l’aide du compas, de sorte à obtenir segments de longueur identique. 𝑥

𝑥

𝐴

𝐵

3- Plaçons dorénavant les points demi-droite tels que

et et

sur la .

𝐴

𝑥

𝐵

𝐶

𝑁

𝐴

4- Traçons maintenant la droite parallèle à et passant par . Cette droite coupe le segment en un point que nous appellerons . Il s’agit du point recherché.

𝑥

𝐵

𝐶

𝑁

𝐴

𝑀

𝐵

Quelques explications pour bien comprendre : Les droites et sont sécantes en . D’autre part, par construction, les droites et sont parallèles. Toutes les conditions sont par conséquent réunies pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès. D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes : Théorème de Thalès – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

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Or, par construction, on a l’égalité suivante :

C’est-à-dire :

Par conséquent, on obtient que :

C’est-à-dire :

Il en résulte, après un produit en croix, que :

On a donc bien placé le point

tel que

.

Exercice 5 (1 question)

est un trapèze de bases

Niveau : difficile

et

et de centre . On appelle J le point de concours des droites

. Comparer les rapports de longueurs

et

et

.

Correction de l’exercice 5

est un trapèze de bases et . Commençons par tracer la figure.

et de centre . On appelle J le point de concours des droites

et

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𝐽 𝐴

𝐵 𝐼



𝐷

𝐶

1ère étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs

.

D’une part, par construction, les droites D’autre part, comme

et

sont sécantes en .

est un trapèze de bases

et

, les droites

et

sont parallèles.

Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :



2ème étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs

.

D’une part, par construction, est le centre du trapèze donc est le point d’intersection des diagonales et . Autrement dit, les droites et sont sécantes en . D’autre part, comme

est un trapèze de bases

et

, les droites

et

sont parallèles.

Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :



3ème étape : Comparons les rapports de longueurs

et

.

D’après ce qui précède, on a : et On a donc en particulier : et Il s’ensuit que :

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Exercice 6 (2 questions)

Niveau : facile

1- Pourquoi le triangle agrandissement du triangle

ci-contre

est-il

un

𝐶

?

2- Déterminer le facteur d’agrandissement.

𝑅

𝑈

𝐿

𝑂

Correction de l’exercice 6

Rappel : Agrandissement ou réduction d’une figure Une figure est une RÉDUCTION ou un AGRANDISSEMENT d’une autre figure :  si les angles de ont les mêmes mesures que ceux de  ou si toutes les longueurs de la figure sont proportionnelles aux longueurs de la figure Le FACTEUR de réduction ou d’agrandissement correspond au coefficient de proportionnalité .  Si , on a un agrandissement.  Si , on a une réduction. Remarque : Lorsque

est une réduction ou un agrandissement de ,

1- Montrons que le triangle 

, donc ̂

et

sont dites SEMBLABLES.

est un agrandissement du triangle

1ère démonstration possible :

D’une part,

et

. 𝐶

̂

D’autre part, d’après le codage de la figure, les triangles et

sont respectivement rectangles en

̂

̂

, donc

.

Enfin, les droites

𝑅

et

et

𝑈

sont toutes les deux

perpendiculaires à une même droite, la droite droites

et

, donc les

sont parallèles entre elles. Les angles

̂ et ̂ sont alors correspondants. Donc ̂

̂ .

𝑂

𝐿

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En résumé, les triangles dit, le triangle 

sont semblables puisqu’ils ont les mêmes mesures d’angles. Autrement

et

est un agrandissement du triangle

.

2ème démonstration possible :

Propriété : Soient deux droites et

et

sécantes en un point . Si

sont deux points de

D’autre part,

et et

et

, distincts de , si

sont parallèles, alors le triangle

.

sont sécantes en . .

Enfin, d’après le codage de la figure, les droites droite, la droite

sont deux points de

, distincts de , et si les droites

est une réduction ou un agrandissement du triangle

D’une part, les droites

et

donc les droites

Par conséquent, le triangle

et

et

sont toutes deux perpendiculaires à une même

sont parallèles entre elles.

est un agrandissement du triangle

.

2- Déterminons le facteur d’agrandissement. D’après la question précédente, le triangle sont proportionnelles aux longueurs de

Or, d’après la figure,

et

est un agrandissement du triangle

. Donc les longueurs de

. D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

. Donc :

Par un produit en croix, on a :

Par conséquent, le triangle

est un agrandissement du triangle

par le facteur d’agrandissement

.

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