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Capítulo 31. Inducción electromagnética Fem inducida 31-1. Una bobina de alambre de 8 cm de diámetro tiene 50 vueltas y está colocada dentro de un campo B de 1.8 T. Si el campo B se reduce a 0.6 T en 0.002 s, ¿cuál es la fem inducida?

A=

π D2 4

=

π (0.08 m) 2 4

= 5.03 × 10−3m2 ; ΔB = 1.8 T – 0.6 T = 1.20 T

Δφ (50)(5.03 × 10−3 m2 )(1.20 T) NA ΔB E = −N =− ; E= − ; Δt Δt 0.002 s E = −151 V 31-2. Una bobina cuadrada que tiene 100 vueltas con un área de 0.044 m2 se coloca de modo que su plano sea perpendicular a un campo B constante de 4 mT. La bobina gira hasta una posición paralela al campo en un lapso de 0.3 s. ¿Cuál es la fem inducida?

E = −N

Δφ NB ΔA =− ; Δt Δt

E=−

(100)(0.004 T)(0.044 m2 − 0) ; 0.3 s E = –58.7 mV

31-3. Una bobina de 300 vueltas que se mueve en dirección perpendicular al flujo en un campo magnético uniforme experimenta un enlace de flujo de 0.23 mWb en 0.002 s. ¿Cuál es la fem inducida?

E = −N

Δφ 0.23 × 10−3 Wb = −(300) ; Δt 0.002 s E = –34.5 V

31-4. El flujo magnético que enlaza a una espira de alambre cambia de 5 a 2 mWb en 0.1 s. ¿Cuál es el valor promedio de la fem inducida?

E = −N

Δφ 5 × 10−3 Wb − 2 × 10−3 Wb = −(1) ; Δt 0.100 s E = –30.0 mV

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31-5. Una bobina de 120 vueltas tiene 90 mm de diámetro y su plano está en posición perpendicular a un campo magnético de 60 mT generado por un electroimán cercano. Cuando la corriente del electroimán se interrumpe y el campo desaparece, en la bobina se induce una fem de 6 V. ¿En cuánto tiempo desparece el campo? [A = πR2 = π (0.045 m)2 = 6.36 × 10−3 m2]

E = −N

Δφ NA ΔB − NA ΔB −(120)(6.36 × 10−3 m2 )(0.06 T) =− ; Δt = = ; Δt Δt E −6.00 V Δt = 7.63 ms

31-6. Una bobina de 56 vueltas tiene un área de 0.3 m2. Su plano es perpendicular a un campo magnético de 7 mT. Si ese campo disminuye a cero en 6 ms, ¿cuál es la fem inducida?

E = −N

Δφ NA ΔB −56(0.3 m2 )(0.007 T − 0) =− = ; 0.006 s Δt Δt E = −19.6 V

31-7. Un alambre de 0.15 m de longitud se desplaza a una velocidad constante de 4 m/s en una dirección que forma un ángulo de 36º con un campo magnético de 0.4 T. El eje del alambre es perpendicular a las líneas de flujo magnético. ¿Cuál es la fem inducida?

E = BLvsenθ = (0.4 T)(0.15 m)(4 m/s)sen36º ; E = 141 mV 31-8. Un alambre de 0.2 m se mueve en un ángulo de 28º respecto a un campo magnético de 8 mT. El alambre está tendido en dirección perpendicular al flujo. ¿Qué velocidad v se requiere para inducir una fem de 60 mV?

E = BLvsenθ ; v =

E ; BLsenθ

E 60 × 10 −3 V v= = BLsenθ (0.008 T)(0.2 m)sen28º

v = 79.9 m/s

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Generadores 31-9. El campo magnético que se forma en el hueco lleno de aire formado entre los polos

magnéticos y la armadura de un generador eléctrico tiene una densidad de flujo de 0.7 T. La longitud de los alambres de la armadura es 0.5 m. ¿Con cuánta rapidez deben moverse esos alambres para generar una fem máxima de 1.00 V en cada alambre de la armadura?

v=

E 1.00 V = ; BLsen90º (0.7 T)(0.5 m)(1) v = 2.86 m/s

31-10. Una sola espira de alambre tiene un diámetro de 60 mm y rota a 200 rpm en un campo

magnético constante de 4 mT. ¿Cuál es la fem máxima que se genera?

A=

π D2 4

=

π (0.06 m)2 4

= 2.83 × 10−3m2 ; f = 200 rpm = 3.33 rev/s

Emáx = 2π fNBA = 2π (3.33 rev/s)(1)(0.004 T)(2.83 × 10 −3T) ;

E = 237 μV 31-11. La armadura de un generador simple tiene 300 espiras de 20 cm de diámetro, en un

campo magnético constante de 6 mT. ¿Cuál debe ser la frecuencia de rotación, en revoluciones por segundo, para inducir una fem máxima de 7.00 V? [A = πR2 = π (0.10 m)2 = 0.0314 m2]

f =

Emax 7.00 V = ; 2π NBA 2π (300)(0.006 T)(0.0314 m 2 ) f = 19.7 rev/s

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31-12. La armadura de un generador de ca está formada por 500 vueltas, cada una con un área de

60 cm2. La armadura gira con una frecuencia de 3600 rpm en un campo magnético uniforme de 2 mT. ¿Cuál es la frecuencia de la fem alterna? ¿Cuál es el valor máximo de la fem generada? f = 3600

rev ⎛ 1 min ⎞ ⎜ ⎟ = 60 rev/s; f = 60.0 Hz min ⎝ 60 s ⎠

Emáx = 2π fNBA = 2π (60 Hz)(500)(0.002 T)(60 × 10 −4 m 2 ) ;

Emáx = 2.26 V 31-13. En el problema 31-12, ¿cuál es el valor de la fem instantánea en el momento en que el

plano de la bobina forma un ángulo de 60º con el flujo magnético? [Nota: θ = 90° – 60° = 30°]

Einst = Emáx s e n 30º = (2.26 V)(0.500) ; Einst = 1.13 V 31-14. La armadura de un generador ca simple tiene 100 vueltas de alambre, cada una con un

radio de 5.00 cm. La armadura gira en un campo magnético constante de 0.06 T. ¿Cuál debe ser la frecuencia de rotación en rpm para generar un voltaje máximo de 2.00 V?

A = π R 2 = π (0.05 m)2 = 7.85 × 10−3m2 ; f =

Emáx 2.00 V = ; f = 6.75 rev/s 2π NBA 2π (100)(0.06 T)(7.85 × 10−3m2 )

f = 6.75

rev ⎛ 60 s ⎞ ⎜ ⎟; s ⎝ min ⎠

f = 405 rpm

471

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31-15. Una bobina circular tiene 70 vueltas, cada una con 50 mm de diámetro. Suponga que la

bobina gira en torno de un eje perpendicular a un campo magnético de 0.8 T. ¿Cuántas revoluciones por segundo debe describir la bobina para generar una fem máxima de 110 V? A=

f =

πD2 4

=

π (0.05 m) 2 4

= 1.96 × 10 −3 m 2

Emáx 110 V = ; 2π NBA 2π (70)(0.8 T)(1.96 × 10−3m2 ) f = 159 rev/s

*31-16. La armadura de un generador de ca tiene 800 vueltas, cada una con un área de 0.25 m2.

La bobina gira constantemente a 600 rpm en un campo de 3 mT. ¿Cuál es la fem máxima inducida? ¿Cuál es la fem instantánea 0.43 s después que la bobina pasa por una posición de cero fem? [600 rpm = 10 rev/s] Emáx = 2π fNBA = 2π (10 Hz)(800)(0.003 T)(0.25 m 2 ) ;

Emáx = 37.7 V Einst = Emáx sen(2π ft ) = (37.7 V)sen [ 2π (10 Hz)(0.43 s) ] ;

Einst = 35.9 V

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*31-17. Un resistor de 300 Ω está conectado en serie con un generador de ca cuya resistencia

interna es insignificante. La armadura del generador tiene 200 vueltas de alambre de 30 cm de diámetro y gira a 300 rpm en un campo constante de 5 mT. ¿Cuál es la corriente instantánea a través del resistor 0.377 s después que la bobina pasa por una posición de cero fem? [300 rpm = 5.00 rev/s] A=

πD2 4

=

π (0.3 m) 2 4

= 0.0707 m 2 ;

Einst = 2π fNBAsen(2π ft )

Einst = 2π (5 Hz)(200)(0.005 T)(0.0707 m 2 )sen[2π (5 Hz)(0.377 s)]

Einst = (2.22 V) sen (0.118 rad); Einst = 1.47 V

I inst =

1.47 V ; 300 Ω Iinst = 4.90 mA

Fuerza contraelectromotriz en un motor 31-18. Un motor de cd de 120 V usa una corriente de 3.00 A al funcionar y tiene una resistencia

de 8.00 Ω. ¿Cuál es la fuerza contraelectromotriz cuando el motor funciona y cuál es la corriente de arranque? V – Eb = IR; Eb = V – IR = 120 V – (3.00 A)(8.00 Ω); Eb = 96.0 V

I0 =

120 V ; 8Ω I0 = 15.0 A

473

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31-19. La bobina de la armadura del motor de arranque de un automóvil tiene 0.05 Ω de

resistencia. El motor es activado por una batería de 12 V y la fuerza contraelectromotriz a la velocidad de operación es de 6.00 V. ¿Cuál es la corriente de arranque? ¿Cuál es la corriente a la máxima velocidad? I0 =

12.0 V = 240 A ; 0.05 Ω I0 = 240 A

I=

V − Eb 12 V − 6 V = ; 0.05 Ω R I = 120 A

31-20. Un motor de cd de 220 V consume una corriente de 10 A al funcionar y tiene una

resistencia de armadura de 0.4 Ω. ¿Cuál es la fuerza contraelectromotriz cuando el motor funciona y cuál es la corriente de arranque?

Eb = V − IR = 220 V − (10A)(0.4 Ω) ; Eb = 216 V

I0 =

220 V ; 0.4 Ω I0 = 550 A

*31-21. Un motor de cd devanado en serie de 120 V tiene una resistencia de campo de 90 Ω y su

resistencia de armadura es de 10 Ω. Cuando el motor funciona a la máxima rapidez, genera una fuerza contraelectromotriz de 80 V. ¿Cuál es la resistencia total del motor? ¿Cuál es la corriente de arranque? ¿Cuál es la corriente de operación? (a) RT = 90 Ω + 10 Ω = 100 Ω (b) I 0 = (c) I =

474

120 V ; 100 Ω

I0 = 1.20 A

120 V - 80 V ; 100 Ω

I = 0.400 A

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*31-22. La eficiencia del motor del problema 31-21 es la relación entre la potencia de salida y la

potencia de entrada. Calcule la eficiencia a partir de los datos conocidos. E=

Psal Pent − Psal = ; Psal = I 2 R = (0.4 A) 2 (100 Ω); Psal = 16.0 W ; Pent Pent

Pent = IV = (0.4 A)(120 V) = 48.0 W; E =

48 W − 16 W 48 W

E = 66.7%

Transformadores 31-23. Un transformador elevador tiene 400 espiras en su bobina secundaria y sólo 100 espiras

en la primaria. Un voltaje alterno de 120 V se aplica a la bobina primaria. ¿Cuál es el voltaje de salida?

Ep Es

=

Np Ns

;

Es =

Ep N s Np

=

(120 V)(400) ; (100) Es = 480 V

31-24. Un transformador reductor se usa para reducir un voltaje alterno de 10 000 a 500 V. ¿Cuál

debe ser la razón entre las espiras secundarias y las primarias? Si la corriente de entrada es de 1.00 A y el transformador tiene una eficiencia de 100%, ¿cuál es la corriente de salida? Np Ns

=

Ep Es

=

500V 1 = ; 10,000 V 20 Razón = 1:20

Psal = Pent ; I pE p = I sEs ; I s =

(1 A)(10 000 V) ; (500 V) Is = 20 A

475

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31-25. Un transformador elevador con una eficiencia de 95% tiene 80 espiras primarias y 720

secundarias. Si la bobina primaria consume una corriente de 20 A a 120 V, ¿cuáles son la corriente y el voltaje en la bobina secundaria?

Ep Es

=

Np Ns

;

Es =

Ep N s Np

(120 V)(720) ; (80)

=

Es = 1080 V E=

Psal Es I s 0.95(20 A)(120 V) = = 0.95; I s = ; Pent E p I p 1080 V

Is = 2.11 A 31-26. Una lámpara de 25 W tiene una resistencia de 8.0 Ω cuando está encendida. La lámpara

es activada por la bobina secundaria de un pequeño transformador conectado a un circuito de 120 V. ¿Cuál debe ser la razón entre espiras secundarias y primarias en este dispositivo? Suponga que la eficiencia es de 100%.

Vsal2 Psal = ; Vsal = Psal R = (25 W)(8 Ω); Vsal = 14.1 V R N s Es 14.1 V = = ; N p Ep 120 V

Ns = 0.118 Np

Problemas suplementarios 31-27. Una bobina de 70 vueltas de alambre tiene un área de 0.06 m2 y está colocada en

dirección perpendicular a un campo magnético constante de 8 mT. Calcule la fem inducida si la bobina gira 90º en 0.02 s.

E = −N

Δφ NB ΔA =− ; Δt Δt

E=−

(70)(0.008 T)(0.06 m 2 − 0) ; 0.02 s E = −1.68 mV

476

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31-28. Una bobina con área de 0.2 m2 tiene 80 espiras de alambre y está suspendida de manera

que su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme. ¿Cuál debe ser la densidad de flujo necesaria para producir una fem promedio de 2 V cuando la bobina se coloca en una posición paralela al campo en 0.5 s?

E = −N

Δφ (−2 V)(0.5 s) NB ΔA =− ; B=− ; Δt Δt (80)(0.2 m 2 − 0) B = 62.5 mT

31-29. El flujo que pasa por una bobina de 200 espiras cambia de 0.06 a 0.025 Wb en 0.5 s. La

bobina está conectada a una lámpara eléctrica y la resistencia combinada es de 2 Ω. ¿Cuál es la fem inducida promedio y qué corriente promedio se suministra al filamento de la lámpara? E = −N

Δφ 200(0.06 Wb − 0.025 Wb =− ; Δt 0.5 s E = −14.0 V

I=

14.0 V ; 2Ω I = 7.00 A

31-30. Un trozo de alambre de 90 mm se mueve con una velocidad ascendente de 35 m/s entre

los polos de un imán. El campo magnético es de 80 mT dirigido a la derecha. Si la resistencia del alambre es de 5.00 mΩ, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente inducida?

E = BLvsenθ = (80 × 10−3T)(0.09 m)(35 m/s)(1) ; E = 0.252 V

I=

0.252 V ; 0.005 Ω I = 50.4 A, hacia dentro del papel

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31-31. Un generador desarrolla una fem de 120 V y tiene una diferencia de potencial de 115 V

en sus terminales cuando la corriente de la armadura es 25.0 A. ¿Cuál es la resistencia de la armadura? E – VT = IARA; 120 V – 115 V = (25 A)RA;

RA = 0.200 Ω 31-32. La bobina de un generador de ca gira con una frecuencia de 60 Hz y desarrolla una fem

máxima de 170 V. La bobina tiene 500 espiras, cada una con un área de 4 × 10−3 m2. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético dentro del cual gira la bobina?

Emáx = 2π fNBA; B =

Emáx 170 V = ; 2π fNA 2π (60 Hz)(500)(0.004 m 2 ) B = 225 mT

31-33. Un generador produce una fem máxima de 24 V cuando la armadura gira a 600 rpm. Si se

supone que ninguna otra cuestión cambia, ¿cuánto vale la fem máxima cuando la armadura gira a 1800 rpm? (La fem máxima es proporcional a la frecuencia.) E2 f 2 = ; E1 f1

E2 =

(1800 rpm)(24 V) ; 600 rpm

E2 = 72.0 V *31-34. Un motor con devanado en derivación, conectado a través de una línea de 117 V, genera

una fuerza contraelectromotriz de 112 V cuando la corriente de la armadura es 10 A. ¿Cuál es la resistencia de la armadura? La regla de la espira para la primera espira: ΣE = ΣIR: E – Eb = IARA 117 V

5V 117 V – 112 V = (10 A)RA; RA = 10 A

RA

RF

RA = 0.500 Ω

478

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*31-35. Un motor con devanado en derivación de 110 V tiene una resistencia de campo de 200 Ω

conectada en paralelo con una resistencia de armadura de 10 Ω. Cuando el motor funciona a su máxima rapidez, la fuerza contraelectromotriz es de 90 V. ¿Cuál es la corriente de arranque y cuál es la corriente de operación? RT =

RA RF (10 Ω)(200 Ω) = ; RA + RF 10 Ω + 200 Ω

RT = 9.524 Ω 110 V

110 V En el arranque, Eb = 0: I 0 = ; 9.524 Ω

RF

RA

I0 = 11.6 A La regla de la espira para la primera espira: ΣE = ΣIR: 110 V − 90 V = IA(10 Ω); IA = 2.00 A La regla de la espira para la espira exterior: 110 V = IFRF ; I F =

110 V = 0.550 A 200 Ω

Regla de la corriente: IT = IF + IA = 0.550 Ω + 2.00 Ω; IT = 2.55 A *31-36. Un motor en derivación de 120 V tiene una resistencia de campo de 160 Ω y una

resistencia de armadura de 1.00 Ω. Cuando el motor funciona a la máxima rapidez, consume una corriente de 8.00 A. Encuentre la corriente de arranque. ¿Qué resistencia en serie habrá que agregar para reducir la corriente de arranque a 30 A? RT =

RA RF (1.0 Ω )(160 Ω) = ; RA + RF 1.0 Ω + 160 Ω

RT = 0.994 Ω

120 V En el arranque, Eb = 0: I 0 = ; 0.994 Ω

RA

I0 = 120.75 A

120 V La Rs adicional: I 0 = = 30 A; R s + 0.994 Ω

479

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120 V

Rs

Rs = 3.01 Ω

Rs=? Adicional

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RF

*31-37. Un generador en derivación tiene una resistencia de campo de 400 Ω y una resistencia

de armadura de 2.00 Ω. El generador suministra una potencia de 4000 W a una línea externa de 120 V. ¿Cuál es la fem del generador? RT =

RA RF (2.0 Ω)(400 Ω) = ; RA + RF 2.0 Ω + 400 Ω

RT = 1.99 Ω

E – Ir = 120 V; P0 = (120 V)I; I =

P0 4000 W = = 33.3 A; V 120 V

E = 120 V + (33.3 A)(1.99 Ω); E = 187 V

Problemas para la reflexión crítica 31-38. Una bobina de alambre está formada por 10 espiras, todas con un diámetro D, y está

dentro de un campo B que varía a razón de 2.5 mWb/s. Si la fem inducida es de 4 mV, ¿cuál es el diámetro de la bobina? ¿Cuál será la fem inducida si el diámetro se duplica? ¿Cuál será la fem inducida si la relación de cambio se duplica en el campo B? E = −N

A=

NA ΔB Δφ −E =− ; A= Δt Δt N ΔB

π D2 4

(

; D=

4A

π

=

Δt

4(0.160 m 2 )

π

)

=

−(−0.004 V) ; A = 0.160 m 2 ; −3 (10)(2.5 × 10 wb/s)

;

D = 0.451 m = 45.1 cm Al duplicar D se cuadruplica el área A y, por lo tanto, se incrementa la fem por un factor de cuatro: E2D = 4(−0.004 V);

E2D= −16.0 mV (A duplicar el diámetro)

La fem varía en forma directa con ΔB/Δt, entonces la fem se duplica cuando esta relación se duplica: E2B = 2(−0.004 V);

480

E2B= −8.00 mV (Al duplicar el diámetro)

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31-39. En la figura 31-18a, la espira única con área de 0.024 m2 está conectada a un resistor de

4 mΩ. El imán se mueve a la izquierda pasando por el centro de la espira y produciendo un incremento del flujo magnético a razón de 2 mWb/s. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la corriente que pasa por el resistor? ¿Qué pasa si el imán se extrae de la espira con la misma rapidez? Primero razonemos la dirección a partir de la ley de Lenz:

Movimiento

(a) Las línea de flujo se incrementan a la izquierda, lo que significa que la fem inducida debe generar un campo B a la

N

S

derecha que se opone a la causa que le dio origen. La corriente debe verse en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el lado del imán. E = −N I=

R

Δφ = −(1)(0.002 Wb/s) ; E = -2.00 mV; Δt

−0.002 V ; 0.004 Ω I = 0.500 A

(b) Cuando el imán se mueve a la derecha, las líneas de flujo disminuyen, así que la fem inducida en la bobina debe ser opuesta al movimiento, es decir, a la derecha. La corriente inducida debe verse en el sentido de las manecillas del reloj desde el lado del imán. La magnitud no se altera: I = 0.500 A 31-40. En la figura 31-18b, un campo cambiante B se produce primero por un incremento de

corriente a través de las espiras y después por un decremento de corriente a través de las mismas. En cada caso, ¿el sentido de la corriente inducida será hacia abajo o hacia arriba en la porción más cercana de la espira única? (a) Al enrollar las vueltas de la espira hacia abajo, muestra que el campo se incrementa hacia

I

la derecha. La B inducida debe ser a la izquierda, así que la corriente inducida es hacia arriba cerca de la espira.

481

Tippens, Física, 7e. Manual de soluciones. Cap. 31

Espira

R Corriente variable I

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(b) El razonamiento inverso para la corriente decreciente muestra que B será hacia abajo cerca de la espira. (a) Hacia arriba; (b) Hacia abajo *31-41. Una bobina formada por 50 espiras gira en el sentido de las manecillas del reloj con una

frecuencia de 60 Hz en un campo magnético constante de 3.0 mT. La dirección del campo B coincide con el eje x positivo y la bobina, cuya área es 0.070 m2, gira en el sentido de las manecillas del reloj en el plano x-y. Cuando el plano de la espira queda en posición paralela respecto al campo, ¿cuál es la dirección de la corriente, vista desde arriba (en el sentido de las manecillas del reloj o en dirección contraria)? ¿Cuál es la fem máxima inducida? El tiempo de arranque es t = 0 cuando la fem es 0. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su fem se eleve a 2.00 V? El borde derecho de la espira se mueve hacia abajo y causa una corriente inducida hacia afuera en ese punto.

B

Por lo tanto, la corriente en la bobina es en el sentido de las manecillas del reloj si se le ve desde arriba.

N

Observe también que, de acuerdo con la Ley de Lenz,

S

mientras la bobina gira, el campo inducido “trasero” dentro de la espira se dirige a la izquierda, u opuesto al campo B de los imanes. Emáx = 2π fNBA = 2π (60 Hz)(50)(0.003 T)(0.07 m 2 ) ; Emáx = 3.96 V

Einst = Emáx sen(2π ft ) ; sen(2π ft ) = 2π ft = 0.5294 rad; t =

Einst 2V = ; 2π ft = sen −1 (0.505) ; Emáx 3.96 V

0.5294 rad ; 2π (60 Hz) t = 1.40 ms

482

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*31-42. Cuando se enciende el motor de una bomba calorífica, consume momentáneamente

40.0 A. Después, la corriente baja de inmediato a un valor constante de 12.0 A. Si el motor funciona con una fuente de energía de 120 V, ¿cuál es el valor de la fuerza contraelectromotriz generada mientras el motor está funcionando? Al arrancar: I 0 =

120 V 120 V = 40.0 A; RA = = 3.0 Ω ; RA 40 A

En operación: 120 V – Eb = (12 A)(3.0 Ω); Eb = 84.0 V

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