Topologie S5 Sma Makki Naciri-by-www.rapideway.org.pdf

Préface Ce polycopié expose le cours de topologie générale destiné aux étudiants de la licence mathématiques. Il comprend quatre chapitres : 1. Éléments de topologie, 2. Espaces des fonctions continues, 3. Espaces normés, 4. Espaces de Hilbert. Son objectif est de présenter, dans un cadre général, des notions de topologie (dont certaines ont été acquises dans Rn ) et d'approfondir des méthodes et concepts utiles en Analyse. L'accent est mis sur les espaces métriques et les espaces normés. Pour une bonne compréhension de ce cours, des séries d'exercices sont mises à la n de chaque paragraphe. A. Makki Naciri - A. Raouj - S. Souhail Faculté des Sciences Semlalia 2006-2007

Table des matières

1 Éléments de topologie 1

2

3

Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Boules et sphères . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Diamètre d'une partie, fonctions bornées . . . 1.3 Distance d'un point à une partie . . . . . . . 1.4 Distance induite . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . 1.6 Ouverts d'une distance . . . . . . . . . . . . . 1.7 Topologie associée à une distance . . . . . . . 1.8 Distances équivalentes . . . . . . . . . . . . . 1.9 Distances produit . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Base d'une topologie . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Exemples de topologies . . . . . . . . . . . . . 2.3 Parties fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Adhérence, intérieur, frontière . . . . . . . . . 2.6 Points isolés, points d'accumululation . . . . . 2.7 Espaces séparés . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Parties denses, espaces séparables . . . . . . . 2.9 Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Limite et valeur d'adhérence d'une suite . . . 3.2 Suite dans les espaces métriques . . . . . . . 3.3 Applications continues . . . . . . . . . . . . . 3.4 Continuité de la composée . . . . . . . . . . . 3.5 Continuité de la restriction . . . . . . . . . . . 3.6 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . 3.7 Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Continuité et limite dans les espaces métriques 3

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1 2 2 2 2 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 10 10 11 11 12 13 14 14 16 17 19 19 19 20 21

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3.9 Applications uniformément continues . . . . Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Produit d'espaces métriques . . . . . . . . . 4.2 Produit ni quelconque . . . . . . . . . . . . 4.3 Topologie de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Produit ni d'espaces complets . . . . . . . 5.3 Condition de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 5.4 Prolongement des applications uniformément 5.5 Théorème du point xe . . . . . . . . . . . . 5.6 Théorème de Baire . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Parties compactes . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Compacts et continuité . . . . . . . . . . . . 6.3 Suites et compacts . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Espaces métriques compacts . . . . . . . . . 6.5 Produit ni de compacts . . . . . . . . . . . 6.6 Compacts de Rn . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Parties relativement compactes . . . . . . . 6.8 Espaces localement compacts . . . . . . . . 6.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Parties connexes . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Produit de connexes . . . . . . . . . . . . . 7.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . 7.4 Connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Espaces localement connexes . . . . . . . . . 7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Espaces des fonctions continues 1 2 3

53

Convergence simple et convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Le théorème d'Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Le théorème de StoneWeierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Espaces normés 1 2 3 4 5 6

21 22 24 24 24 25 27 27 29 29 30 31 32 33 34 35 36 37 37 40 40 41 41 42 43 45 47 47 48 50 50

Généralités . . . . . . . . . . . . . . Applications linéaires continues . . . Espaces normés de dimension nie, le Applications multilinéaires continues Le théorème de l'application ouverte Le théorème de BanachSteinhaus . .

. . . . . . . . . . . . . . théorème de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . Riesz . . . . . . . . . . . .

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67

67 70 73 76 78 81

7

Le théorème de HahnBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Espaces de Hilbert 1 2 3 4

Généralités . . . . . . . . Projection et orthogonalité Base hilbertienne . . . . . L'espace de Hilbert `2N (K)

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91

91 95 100 104

Chapitre 1 Éléments de topologie Quand on regarde, de plus près, l'ensemble des nombres réels R, on s'aperçoit, très vite, que la majorité des notions topologiques telles que : limites, continuité, suites convergentes et suites de Cauchy, ont été dénies à l'aide des intervalles ouverts et plus précisément à l'aide des trois propriétés métriques de la valeur absolue : (p1 ) : |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y ; (p2 ) : |x − y| = |y − x| ; (p3 ) : |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|. Pour espérer dénir ces mêmes notions topologiques dans un espace autre que R, il est donc naturel de chercher à munir cet espace d'une métrique convenable qui possède les mêmes propriétés que la valeur absolue.

Ÿ 1. Espaces métriques Dénition 1.1. Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E , toute application d de E × E dans R+ vériant : 1. ∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ; 2. la symétrie : ∀ x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x); 3. l'inégalité triangulaire : ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Si d est une distance sur E , le couple (E, d) est appelé espace métrique.

Par récurrence, l'inégalité triangulaire implique que pour tous x1 , x2 , ... , xn éléments de E : n−1 X d(x1 , xn ) ≤ d(xk , xk+1 ). k=1

Elle implique aussi que pour tous x, y et z dans E :

|d(x, y) − d(y, z)| ≤ d(x, z). 1

2 1.1.

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

Boules et sphères

Soit (E, d) un espace métrique. Pour tout a ∈ E et tout r > 0, la boule ouverte de centre a et de rayon r est l'ensemble :

B(a, r) = {x ∈ E, d(x, a) < r}. La boule fermée de centre a et de rayon r est l'ensemble :

B(a, r) = {x ∈ E, d(x, a) ≤ r}. La sphère de centre a et de rayon r est :

S(a, r) = {x ∈ E, d(x, a) = r}.

1.2.

Diamètre d'une partie, fonctions bornées

Le diamètre d'une partie A de E est la plus grande valeur (éventuellement innie) qui puisse être prise par d sur A × A : diam(A) =

sup

d(x, y).

(x,y)∈A×A

Lorsque diam(A) est ni, on dit que A est bornée. Si f est une application d'un ensemble X à valeurs dans l'espace métrique E , on dit que f est bornée, si la partie f (X) est bornée.

1.3.

Distance d'un point à une partie

La distance d'un point b ∈ E à une partie A de E est la borne inférieure des distances entre b et les éléments de A :

d(b, A) = inf d(b, a). a∈A

1.4.

Distance induite

Si d est une distance sur un ensemble E et A une partie non vide de E , la restriction de d à A × A est une distance sur A. On l'appelle distance induite sur A. Le couple (A, d) est, à son tour, un espace métrique, on l'appelle sous-espace métrique de (E, d).

3

1. Espaces métriques

1.5. Exemples de distances 1. La valeur absolue (x, y) 7−→ |x − y| est évidemment une distance sur R. On l'appelle

distance usuelle. Pour tout a ∈ R et tout r > 0, la boule ouverte B(a, r) est l'intervalle ouvert ]a − r, a + r[, son diamètre est égal à 2r. Quant à la sphère S(a, r), elle est égale à la paire {a − r, a + r}.

2.

La distance usuelle est aussi une distance sur Q, sur Z et sur toute autre partie non vide de R. Ainsi, par exemple, relativement à Z, la boule ouverte B(m, r) est égale à ]m − r, m + r[∩Z. Son diamètre est égal à 2r − 2 si r ∈ N+? , à 2E(r) sinon. On peut remarquer, par cet exemple, que dans un espace métrique quelconque, le diamètre d'une boule de rayon r n'est pas toujours égalé à 2r.

3.

L'application (x, y) 7−→ | arctan(x) − arctan(y)| est une distance sur l'ensemble : R = R ∪ {+∞, −∞}. Relativement à cette distance l'ensemble R est borné et son diamètre est égal à π . Par exemple, la boule ouverte B(0, π2 ) est égale à R, la boule fermée B(0, π2 ) est égale à l'espace tout entier R, la boule ouverte B(+∞, 2π) est égale, elle aussi, à R, quant à la sphère S(+∞, 2π) elle est vide.

4.

Sur l'ensembles des complexe C, l'application module : (z1 , z2 ) 7−→ |z1 − z2 | est une distance. C'est la distance usuelle de C. Ses boules sont des disques et ses sphères sont des cercles.

5.

Dans l'espace R3 , les trois applications : D1 : ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y2 )) 7−→ p |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | ; D2 : ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) 7−→ (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 ; D3 : ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 )) 7−→ max(|x1 − y1 |, |x2 − y2 |, |x3 − y3 |) ; sont des distances. La distance D2 s'appelle distance euclidienne (car elle provient du produit scalaire usuel de R3 ), ses boules correspondent réellement à ce qu'on imagine d'habitude, c'est des vraies boules de l'espace. Par contre, les deux autres distances D1 et D3 sont purement théoriques, les boules de D1 et D3 sont des cubes de l'espace. Toutefois, nous verrons, un peu plus loin, que ces trois distances (géométriquement diérentes) sont topologiquement identiques et représentent le même intérêt. On les appelle distances usuelles de R3 .

6.



0 si x = y 1 si x 6= y est une distance sur E , appelée distance discrète. Ses boules sont soit des singletons, soit égales à E tout entier. Nous verrons, par exemple, que quand E est égal à Z, la Soit E un ensemble quelconque. L'application d(x, y) =

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

distance usuelle et la distance discrete dénissent une même structure topologique.

7.

Une intéressante classe d'espaces métriques est la classe des espaces normés. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps K (K = R ou C), une application N de E dans R+ est une norme sur E , si : 1. ∀x ∈ E , N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ; 2. ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K, N (λ.x) = |λ|.N (x) ; 3. ∀x, y ∈ E , N (x + y) ≤ N (x) + N (y). Dans ce cas, on dit que (E, N ) est un espace normé. On peut vérier, facilement, que si N est une norme sur E , alors l'application

(x, y) 7−→ N (x − y) est une distance sur E . (Le chapitre 3 de ce manuel est réservé à l'étude des espace normés.)

1.6. Ouverts d'une distance

Dans R, on dénit les ouverts à partir des intervalles ouverts ; dans les espaces métriques on dénit les ouverts à partir des boules ouvertes. Soit (E, d) un espace métrique :

Dénition 1.2.

Un sous-ensemble O de E est dit ouvert de E , si O est vide, ou bien si pour tout x ∈ O, il existe une boule ouverte de centre x qui soit incluse dans O. En termes précis, O est un ouvert de E si :  O = ∅ ou bien ∀x ∈ O, ∃r > 0, B(x, r) ⊂ O. La famille des boules ouvertes engendre les ouverts de E . En eet, on a :

Proposition 1.1. Toute boule ouverte est un ouvert et Les ouverts de E sont les réunions

de boules ouvertes.

Démonstration.

1. Soit (E, d) un espace métrique et B(x, r) une boule ouverte de E . Pour tout y ∈ B(x, r), de l'inégalité triangulaire, il vient que la boule ouverte de centre y et de rayon ρ = r − d(x, y) est incluse dans B(x, r). Donc B(x, r) est un ouvert de E . 2. Soit O un ouvert non vide de E . D'après la dénition d'un ouvert, pour tout x ∈ O, il existe un rayon rx > 0, tel que la boule B(x, rx ) soit incluse dans O. Ainsi O est la réunion des boules ouvertes B(x, rx ), x ∈ O. [ Inversement, Si (B(xα , rα ))α∈I est une famille de boules ouvertes de E , la réunion B(xα , rα ) α∈I

est un ouvert de E . En eet, si x est un élément de cette réunion, il existe un indice α ∈ I

5

1. Espaces métriques

tel que x soit dans la boule B(xα , rα ), et comme cette dernière est unSouvert, elle contient une boule ouverte B de centre x. la boule B est ainsi incluse dans B(xα , rα ) ; d'où le résultat.  Voici trois propriétés fondamentales, vériées par les ouverts, où les boules ouvertes ne gurent plus explicitement :

Proposition 1.2.

Soit (E, d) un espace métrique. 1. Les deux parties ∅ et E sont des ouverts de E . 2. Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert. 3. Une intersection nie d'ouverts est un ouvert.

Démonstration.

1. Évident. 2. Même raisonnement utilisé pour démontrer la proposition 1.1. \ Ok est vide, alors c'est 3. Soit O1 , O2 , ... , On des ouverts de E . Si leur intersection 1≤k≤n

un ouvert. Sinon, pour tout x élément de cette intersection et pour tout k ∈ {1, 2, ..., n}, il existe un rayon ρk > 0 tel que la boule B(x, ρk ) soit incluse dans l'ouvert \ Ok et par Ok .  conséquent la boule de centre x et de rayon ρ = min ρk est incluse dans 1≤k≤n

1≤k≤n

1.7. Topologie associée à une distance Soit d une distance sur un ensemble E . On appelle topologie associée à d, et on note Td , la partie de P(E) formée de tous les ouverts de E relativement à d.

Td = {O ⊂ E, O ouvert}. D'après la proposition 1.2, Td est une partie de P(E) qui vérie : (T1 ) : Les deux parties ∅ et E sont des éléments de Td . (T2 ) : Une réunion quelconque d'éléments de Td est un élément de Td . (T3 ) : Une intersection nie d'éléments de Td est un élément de Td .

Exemples particuliers 1. Dans un ensemble non vide E , la topologie associée à la distance discrète est égale à

P(E) ; c'est-à-dire que toute partie de E est un ouvert relativement à cette distance. En eet, pour toute partie A non vide de E , si x ∈ A alors B(x, 1) = {x} ⊂ A. 2. Dans Z, la topologie associée à la distance usuelle est P(Z). En eet, si A est une partie non vide de Z et m ∈ A, on a B(m, 1) = {x ∈ Z, |x − m| < 1} = {m} ⊂ A.

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

1.8. Distances équivalentes

Deux distances d et δ dénies sur un ensemble E sont dites topologiquement équivalentes, si elles possèdent les mêmes ouverts ; c'est-à-dire, si

Td = Tδ . Elles sont dites équivalentes s'il existe deux constantes strictement positives α et β , telles que : ∀(x, y) ∈ E × E, α.d(x, y) ≤ δ(x, y) ≤ β.d(x, y). On peut montrer aisément que : Si deux distances sont équivalentes, alors elles sont topologiquement équivalentes. La réciproque n'est pas toujours vraie. Exemple, sur R, la distance usuelle (x, y) 7−→ |x − y| est topologiquement équivalente à la distance (x, y) 7−→ |x3 − y 3 | car la fonction : x 7−→ x3 est bijective croissante de R dans R ; mais ces deux distances ne sont pas équivalentes, sinon il existerait une constante strictement positive α telle que |x2 + y 2 + xy| ≤ α pour tout couple (x, y) ∈ R2 , ce qui est impossible. 

Remarque

Si d est une distance quelconque sur E , on peut toujours mettre sur E une distance topologiquement équivalente à d qui soit bornée. En eet, on peut vérier que d(x, y) est encore une distance sur E , elle est topologiquement l'application (x, y) 7−→ 1 + d(x, y) équivalente à d et elle est majorée par 1.

1.9. Distances produit

Si (E1 , d1 ), (E2 , d2 ), ... , (En , dn ) sont des espaces métriques, alors les trois applications : P (x, y) 7−→ D1 (x, y) = p nk=1 dk (xk , yk ) ; Pn 2 (x, y) 7−→ D2 (x, y) = k=1 dk (xk , yk ) ; (x, y) 7−→ D3 (x, y) = max dk (xk , yk ) ; k∈{1,2,...,n}

Sont des distances sur l'espace produit E = E1 × E2 × ... × En . On montre qu'elle sont équivalentes et plus précisément : √ D3 ≤ D1 ≤ n.D2 ≤ nD3 . Donc, en particulier, leurs topologies associées sont identiques. Quand on parle de distance produit, il s'agit, sans confusion, de l'une de ces trois distances. Comme dans R, on peut aussi dénir dans un espace métrique quelconque la notion de fermé, de voisinage, de limite, de continuité, et toutes les autres notions topologiques, mais pour ne pas perdre de généralité, on les dénira dans un cadre plus général, celui des espaces topologiques.

2. Espaces topologiques

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Ÿ 2. Espaces topologiques Un autre regard, cette fois ci, vers les espaces métriques nous apprend que pour dénir sur un ensemble quelconque E des notions topologiques telles que limite et continuité, on n'a pas vraiment besoin d'une distance ; une partie T de P(E) qui vérie les trois propriétés (T1 ), (T2 ) et (T3 ) du paragraphe 1.7 sut. Soit E un ensemble non vide et T une partie de P(E).

Dénition 2.1.

On dit que T est une topologie sur E si : (T1 ) : Les deux parties ∅ et E sont des éléments de T ; (T2 ) : une réunion quelconque d'éléments de T est un élément de T ; (T3 ) : une intersection nie d'éléments de T est un élément de T . Dans ce cas, les éléments de T sont appelés ouverts de E et le couple (E, T ) est appelé espace topologique. Évidemment, on voit tout de suite que si (E, d) est un espace métrique, alors (E, Td ) est un espace topologique. Il existe des espaces topologiques qui ne sont pas métrisables, c'est-à-dire des espaces topologiques (E, T ) tels qu' il n'existe aucune distance d dénie sur E qui vérie T = Td . Voici un exemple : Soit E un ensemble contenant au moins deux éléments, la partie de P(E), T = {∅, E} est une topologie sur E . C'est la plus petite (au sens de l'inclusion) topologie qui puisse être dénie sur E . On l'appelle topologie grossière. Elle ne provient d'aucune distance. La plus grande topologie qui puisse être dénie sur E , est la topologie discrète T = P(E), mais elle, elle provient de plusieurs distances, en particulier de la distance discrète.

2.1. Base d'une topologie Il arrive souvent qu'une topologie soit dénie à partir de certains de ses ouverts particuliers. C'est le cas, par exemple, d'une topologie qui provient d'une distance, elle est dénie à partir des boules ouvertes. Soit (E, T ) un espace topologique et B une partie de T . On dit que B est une base de T , si tout élément de T est réunion d'éléments de B , on dit aussi que T est engendrée par B . Dans ce cas, on a : O ∈[ T , si et seulement si, il existe une famille (Bα )α∈I d'éléments de B telle que O= Bα . Ce qui est encore équivalent à : α∈I

∀x ∈ O, ∃B ∈ B, x ∈ B ⊂ O. D'autre part, si E est un ensemble quelconque et B une partie de P(E), pour que B soit une base d'une topologie sur E , il faut et il sut, que B vérie les deux conditions suivantes :

8 1.

Chapitre 1 :

E=

[

Éléments de topologie

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B,

B∈B

2. ∀B1 , B2 ∈ B, ∀x ∈ B1 ∩ B2 , ∃B3 ∈ B, x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 . Lorsque B est stable par intersections nies, elle vérie la condition 2.

2.2. Exemples de topologies 1. Topologie spectrale.

Soit A une anneau commutatif unitaire. D'après le théorème de Krull (voir cours d'algèbre II) A admet, au moins, un idéal premier, donc l'ensemble E = {J ⊂ A, J idéal premier de A}, appelé spectre de A, est non vide. Pour tout idéal I de A on pose O(I) = {J ∈ E, I * J}. Alors T = {O(I), I idéal de A} est une topologie sur E , appelée topologie spectrale. Cette topologie est très utile, notamment en géométrie algébrique. 2. Topologie arithmétique. Pour tous éléments a et b dans Z, on pose a.Z + b = {am + b, m ∈ Z}. Soit B la collection de tous les aZ + b quand a et b parcourent Z. Alors B est une base de topologie sur Z. La topologie T engendrée par B s'appelle topologie arithmétique. O ∈ T si et seulement si O est vide, ou bien pour tout m ∈ O, il existe a et b dans Z tels que m ∈ (a.Z + b) ⊂ O. 3. Topologie de l'ordre. Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. Pour tous éléments a et b de E , avec a < b, on pose : ]a, b[= {x ∈ E, a < x < b}, ) ←, a[= {x ∈ E, x < a}, ]a, → (= {x ∈ E, a < x}. Soit B la partie de P(E) formée des intervalles de la forme ]a, b[, des intervalles de la forme ) ←, a[ et des intervalles de la forme ]a, → (, alors B est une base de topologie. La topologie engendrée par B s'appelle topologie de l'ordre ” ≤ ” sur E . Dans R, la topologie de l'ordre naturel coïncide avec la topologie usuelle.

2.3. Parties fermées Soit (E, T ) un espace topologique.

Dénition 2.2. Une partie F de E est dite fermée dans E , ou un fermé de E , si son complémentaire dans E est un ouvert de E . Par passage au complémentaire, on déduit de la dénition 2.1 :

Proposition 2.1.

Dans un espace topologique : 1. Les deux parties ∅ et E sont des fermés de E . 2. Une intersection quelconque de fermés de E est un fermé de E . 3. Une réunion nie de fermés de E est un fermé de E .

2. Espaces topologiques

9

Dans un espace métrique, les boules ouvertes sont des ouverts. De même :

Proposition 2.2.

Dans un espace métrique, les boules fermées sont des fermés.

Démonstration. Soit B(x, r) une boule fermée de E et O son complémentaire. Si y est un élément de O, d'après l'inégalité triangulaire, la boule ouverte de centre y et de rayon d(x, y) − r est incluse dans O. Donc O est un ouvert et par conséquent B(x, r) est un fermé de E .  2.4. Voisinages

Soit (E, T ) un espace topologique, V une partie non vide de E et x un point de E .

Dénition 2.3. On dit que V est un voisinage de x, et on écrit V ∈ V(x), s'il existe un ouvert O de E qui contient x et qui soit contenu dans V . V ∈ V(x) ⇐⇒ ∃ O ∈ T , x ∈ O ⊂ V. Il découle, du fait qu'une réunion d'ouverts est un ouvert, le résultat simple suivant qui est, souvent, utile pour prouver qu'une partie est ouverte :

Proposition 2.3.

Dans un espace topologique (E, T ), une partie O est ouverte, si et seulement si, elle est voisinage de chacun de ses points.

O ∈ T ⇐⇒ ∀x ∈ O, ∃U ∈ T , x ∈ U ⊂ O. Voici les propriétés les plus importantes des voisinages :

Proposition 2.4.

Dans un espace topologique (E, T ) : 1. Si V est un voisinage de x et V 0 une partie contenant V alors V 0 est aussi un voisinage de x. 2. Une intersection nie de voisinages de x est un voisinage de x. 3. Si V est un voisinage de x, il existe un voisinage W de x tel que :

W ⊂ V et ∀y ∈ W, V ∈ V(y).

Démonstration. 1. Ce point résulte de la transitivité de l'inclusion.

2. Ce point résulte du fait qu'une intersection nie d'ouverts est un ouvert. 3. Soit V ∈ V(x). Il existe un ouvert O tel que x ∈ O ⊂ V . Cet ouvert O répond à la question, il peut jouer le rôle du voisinage cherché W . 

10

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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2.5. Adhérence, intérieur, frontière Soit (E, T ) un espace topologique et A une partie de E . 1. Adhérence. On appelle adhérence de A, et on note A, l'intersection de tous les fermés contenant A. C'est le plus petit fermé (au sens de l'inclusion) qui contient A. Les points de A sont dits points adhérents à A, ils sont caractérisés par :

x ∈ A ⇐⇒ ∀V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅. 2. Intérieur.

◦

On appelle intérieur de A, et on note A, la réunion de tous les ouverts contenus dans A. ◦

C'est le plus grand ouvert contenu dans A. Les points de A sont dits points intérieurs à A, ils sont caractérisés par : ◦

x ∈ A ⇐⇒ A ∈ V(x) ⇐⇒ ∃O ∈ T , x ∈ O ⊂ A. 3. Frontière.

◦

La frontière de A, qu'on note F r(A), est le complémentaire de A dans A. C'est un fermé de E . ◦ F r(A) = A r A = F r(C A ).

Proposition 2.5.

Soit E un espace topologique. Alors : 1. Une partie F de E est fermée, si et seulement si, F = F . ◦

2. Une partie O de E est ouverte, si et seulement si, O = O.

Démonstration.1.

Soit F une partie fermée de E . Puisque F est le plus petit fermé contenant F , on a nécessairement F = F . L'autre implication est évidente car F est toujours fermé.  ◦

2. Soit O un ouvert de E . Puisque O est le plus grand ouvert de E contenu dans O, on a ◦

nécessairement O = O. ◦ L'autre implication est évidente car O est toujours ouvert. 

2.6. Points isolés, points d'accumululation Soit E un espace topologique et A une partie de E . 1. Points isolés.

2. Espaces topologiques

11

On dit qu'un point x ∈ A est un point isolé de A s'il existe un voisinage V de x tel que

V ∩ A = {x}. Lorsque tous les points de A sont isolés, on dit que A est discrète. 2. Points d'accumulation. On dit qu'un point x ∈ E est un point d'accumulation de A si tout voisinage de x contient des points de A autres que x ; c'est-à-dire :

∀V ∈ V(x), (V r {x}) ∩ A 6= ∅.

2.7. Espaces séparés

Un espace topologique E est dit séparé si pour tout x ∈ E et tout y ∈ E , avec x 6= y , il existe un voisinage V de x et un voisinage U de y , tels que

V ∩ U = ∅. La notion d'espace séparé est très utile en topologie, il assure, en particulier, l'unicité de la limite d'une suite quand elle existe. Les espaces topologiques non séparés sont, souvent, des espaces topologiques pauvres en nombre d'ouverts et dépourvus d'intérêt, c'est le cas, par exemple, d'un ensemble lorsque il est muni de la topologie grossière.

Proposition 2.6.

Les espaces métriques sont des espaces topologiques séparés.

Démonstration. Soit x et y

deux point distincts d'un espace métrique (E, d). D'après l'inégalité triangulaire, les deux boules B(x, d(x,y) ) et B(y, d(x,y) ) sont disjointes. La pre2 2 mière est un voisinage de x, la seconde est un voisinage de y . Donc (E, d) est séparé. 

Remarques 1. Les espaces métriques possèdent d'autres propriétés de séparation encore plus ranées

comme la régularité et la normalité. (Voir exercice 11) 2. Dans un espace topologique séparé E , tous les singletons sont fermés, et plus généralement, toute partie de cardinal nie est fermée. En eet, pour tout x ∈ E , l'ensemble O = E r {x} est un ouvert, car si y ∈ O, alors x 6= y et puisque E est séparé, il existe un voisinage V de y (qu'on peut choisir ouvert) qui ne contient pas x, ce qui entraîne que y ∈ V ⊂ O. 

2.8. Parties denses, espaces séparables

Soit E un espace topologique. Une partie D de E est dite dense si son adhérence est égale à E , i.e : D = E . Exemple, Q est une partie dense de R. Lorsque E est un espace métrique on a :

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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D = E ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∀ε > 0, ∃x ∈ D, d(x, x) < ε, ce qui exprime que tout élément x de E peut être approché par un élément x de D suivant la précision souhaitée.

Proposition 2.7. Soit E un espace topologique. Une partie D de E est dense, si et seulement si, son intersection avec chaque ouvert de E est non vide. Si E est un espace métrique, alors D est dense, si et seulement si, son intersection avec chaque boule ouverte est non vide. Démonstration. Supposons que D = E . Si O est un ouvert non vide de E , il existe x ∈ O et comme O est ouvert, c'est un voisinage de x, donc il a des points communs avec D. Inversement, supposons que D rencontre tous les ouverts. Soit x ∈ E et V ∈ V(x). Il existe un ouvert O tel que x ∈ O ⊂ V , et comme D coupe O, elle coupe aussi V . Donc D = E.  Lorsque E est un espace métrique, les ouverts de E sont les réunions de boules ouvertes, donc D est dense ssi elle rencontre tous les ouverts de E ssi elle rencontre toutes les boules ouvertes de E .  Les espaces topologiques qui possèdent une partie à la fois dense et dénombrable, s'appellent espaces séparables. On montre (Exercice) que tout espace topologique possèdant une base dénombrable d'ouverts est un espace séparable.

2.9. Topologie induite Soit (E, T ) un espace topologique et A une partie de E . La partie de P(A) dénie par : TA = {O ∩ A, O ∈ T } est une topologie sur A. On l'appelle topologie induite sur A. Le couple (A, TA ) est, à son tour, un espace topologique, appelé sous-espace topologique de (E, T ), ses ouverts sont les traces des ouverts de E sur A, de même ses fermés (resp ses voisinages) sont les traces des fermés (resp des voisinages)de E sur A : • Ω est un ouvert de A ssi il existe un ouvert O de E tel que Ω = O ∩ A. • G est un fermé de A ssi il existe une fermé F de E tel que G = F ∩ A. • U est un voisinage de a ∈ A dans A, ssi il existe un voisinage V de a dans E tel que U = V ∩ A. L'adhérence d'une partie B , relativement à A, est égale à la trace de l'adhérence de B , relativement à E , sur A. Lorsque l'espace E est séparé, le sous-espace A est aussi séparé, en particulier, lorsque la topologie de E est associée à une distance d, celle de A est associée à la distance induite par d sur A. Notons, enn, que Si B est une partie de E telle que B ⊂ A ⊂ E , alors la topologie induite par TA sur B coïncide avec la topologie TB induite par T sur B .

2. Espaces topologiques

13

2.10. Exercices Exercice 1. Soit E

un espace métrique. 1. Montrer que le diamètre de toute boule de rayon r est inférieur à 2r et donner un exemple où l'inégalité est stricte. 2. Montrer qu'une partie A de E est bornée, si et seulement si, elle est incluse dans une boule de E . 3. Montrer que si E est borné, alors il est égal à l'une de ses boules. Montrer que sur Z, la distance usuelle et la distance discrète sont topologiquement équivalentes. Que peut on dire de ces distances sur Q ?

Exercice 2.

Exercice 3. Soit f : R −→ R une application surjective et strictement croissante. 1. Montrer que l'application d dénie par d(x, y) = |f (x) − f (y)| est une distance sur R. 2.  Soit a et b deux réels tels que a < b. Résoudre le système :  f (x) = f (a) + r ; f (x) = f (b) − r ;  x ∈ R, r > 0. 3. Montrer que la distance d et la distance usuelle (x, y) 7−→ |x − y| sont topologiquement équivalentes. 4. Est-ce-que ces deux distances sont équivalentes ? Exercice 4 (Distances ultramétriques).

Soit E un ensemble non vide. Une distance sur E est dite ultramétrique, si pour tous points x, y et z de E , d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)). Montrer que pour une telle distance : 1. Les boules ouvertes et les boules fermées sont à la fois des ouverts et des fermés de E . 2. Si deux boules ouvertes se coupent, l'une d'elles est incluse dans l'autre.

Exercice 5.

Montrer que dans un espace métrique, les sphères sont des fermés.

Exercice 6.

Soit E un espace topologique. Montrer que si O1 et O2 sont deux ouverts disjoints alors O1 ∩ O2 = ∅.

Exercice 7.

Soit E espace topologique. Montrer que :

1) A = A ;

A=A

◦ ◦

◦ ◦

◦

2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B et A ⊂ B ◦

3) C A = C A

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Chapitre 1 :

4) A ∪ B = A ∪ B ; ◦

◦

◦

◦

◦

Éléments de topologie

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A∩B ⊂A∩B

\ 5) A ∪ B ⊃ A ∪ B , avec égalité si A ∩ B = ∅ et A ∩ B = ∅. ◦

\ 6) A ∩B =A∩B 7) x ∈ F r(A) ⇐⇒ ∀V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅ et V ∩ C A 6= ∅. ◦

8) A, F r(A) et C A forment toujours une partition de E . 9) (A ouvert) =⇒ (C F r(A) est dense dans E ). 10) Si A est ouvert et B quelconque, alors A ∩ B ⊂ A ∩ B .

Exercice 8. Soit E un espace topologique, A une partie non vide de E et B une partie de A. On muni A de sa topologie induite. 1. Montrer que l'adhérence de B dans A est égale à la trace sur A de l'adhérence de B dans E . 2. Montrer que l'intérieur de B dans A contient la trace sur A de l'intérieur de B dans E. 3. Montrer que la frontière de B dans A est incluse dans la trace sur A de la frontière de B dans E . Exercice 9. 1.

Montrer que dans un espace métrique (E, d) : x ∈ A ⇐⇒ d(x, A) = 0.

2. 3. 4.

x ∈ A ⇐⇒ d(x, C A ) > 0. d(x, A) = d(x, A). diam(A) = diam(A).

◦

Ÿ 3. Limites et continuité Les notions de limite et continuité jouent un rôle central en topologie. Elles permettent, en particulier, de montrer l'existence de plusieurs objets mathématiques.

3.1. Limite et valeur d'adhérence d'une suite

Soit E un espace topologique, (xn )n∈N une suite d'éléments de E et l un point de E .

1. On dit que (xn )n∈N converge vers l ou que l est limite de (xn )n∈N , si : ∀V ∈ V(l), ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, xn ∈ V.

2. On dit que l est une valeur d'adhérence de (xn )n∈N , si

:

∀V ∈ V(l), ∀n ∈ N, ∃N ≥ n, xN ∈ V.

3. Limites et continuité

15

On \ voit, clairement, que l est une valeur d'adhérence de (xn )n∈N , si et seulement si, l∈ {xn , xn+1 , ...}. n≥0

Si l est limite de (xn )n∈N , alors l est une valeur d'adhérence de (xn )n∈N , mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Proposition 3.1 (Unicité de la limite). Dans un espace topologique séparé, en particulier dans un espace métrique, toute suite convergente possède une seule limite. Démonstration.

Supposons qu'une suite (xn ) possède deux limites distinctes l1 et l2 . Puisque l'espace E est séparé, il existe deux voisinages disjoints V et U respectivement de l1 et l2 , et comme l1 et l2 sont des limites de (xn ), il existe deux entiers N1 et N2 tels que xn ∈ V pour n ≥ N1 et xn ∈ U pour n ≥ N2 . Pour n ≥ max(N1 , N2 ), le terme xn appartient donc à V ∩ U , ce qui contredit le fait que U ∩ V = ∅. 

Une suite possédant une seule valeur d'adhérence ne converge pas forcément vers cette valeur. Exemple, dans R, la suite xn = n1 si n est pair et xn = n si n est impair, admet une seule valeur d'adhérence (qui est égale à 0) mais ne converge pas vers cette valeur. Par contre :

Proposition 3.2.

Dans un espace topologique séparé, une suite qui converge vers une limite admet une seule valeur d'adhérence qui est cette limite.

Démonstration. Soit (xn )n∈N une suite qui converge vers une limite l. D'abord, l est une valeur d'adhérence de (xn )n∈N . Supposons qu'elle admet une autre valeur d'adhérence l0 diérente de l. L'espace E est séparé donc il existe U voisinage de l et V voisinage de l0 tels que U ∩ V = ∅, ensuite, il existe un entier N1 tel que que pour n ≥ N1 , xn ∈ U ; et il existe N2 ≥ N1 tel que xN2 ∈ V . Donc xN2 ∈ U ∩ V , ce qui est absurde.  Soit A une partie d'un espace topologique E . Si une suite (an )n∈N d'éléments de A admet un point x ∈ E comme valeur d'adhérence, alors x ∈ A. En eet, tout voisinage de x contient, au moins, un an , donc son intersection avec A est non vide. Nous verrons que lorsque E est un espace métrique, tout point de A est limite d'une suite de A.

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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3.2. Suite dans les espaces métriques Dans un espace métrique (E, d), une suite (xn )n∈N converge vers un point l, si et seulement si, la suite numérique (d(l, xn ))n∈N converge vers zéro, soit :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, d(l, xn ) < ε. Une suite (xn )n∈N admet un point l comme valeur d'adhérence, si et seulement si :

∀ε > 0, ∀n ∈ N, ∃N ≥ n, d(l, xN ) < ε. Plus spécialement, on a le résultat pratique suivant :

Proposition 3.3. Dans un espace métrique, un point l est une valeur d'adhérence d'une suite (xn )n∈N , si et seulement si, il existe une sous-suite de (xn )n∈N qui converge vers l. Démonstration. Supposons qu'un point l soit une valeur d'adhérence d'une suite (xn ).

Si on prend ε = 1, il existe un entier ϕ(0) tel que d(l, xϕ(0) ) < 1. Si on prend ε = 21 , il existe un entier ϕ(1) > ϕ(0) tel que d(l, xϕ(1) ) < 21 . Ainsi, par récurrence, on construit 1 une application ϕ telle que d(l, xϕ(k) ) < 1+k et ϕ(k) < ϕ(k + 1) pour tout k ∈ N. La suite (xϕ(n) ) est donc une sous-suite de (xn ) qui converge vers l. Réciproquement, supposons qu'une sous-suite (xϕ(n) )n∈N converge vers un point l. On a :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, d(l, xϕ(n) ) < ε. Pour ε > 0, et pour n ∈ N, si on pose m = max(N, ϕ(n)), on obtient d(l, xm ) < ε, avec m ≥ n. Donc l est une valeur d'adhérence de (xn ).  Pour prouver , dans un espace métrique, qu'un point est adhérent à une partie, on se sert, souvent, du résultat pratique suivant :

Proposition 3.4.

Dans un espace métrique (E, d), un point a appartient à l'adhérence d'une partie A, si et seulement si, il existe une suite d'éléments de A qui converge vers a.

Démonstration. Supposons que a ∈ A. Pour tout n > 0, la boule B(a, n1 ) rencontre A,

donc il existe un point an ∈ A tel que d(a, an ) < n1 . La suite (an )n∈N est donc une suite d'éléments de A qui converge vers a. Inversement, supposons que (an )n∈N est une suite d'éléments de A qui converge vers un point a. Pour tout voisinage V de a, il existe un entier N tel que aN ∈ V ; donc V ∩A 6= ∅. Le point a est alors un point adhérent à A. 

3. Limites et continuité

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Corollaire 3.5. Dans un espace métrique E , une partie A est fermée, si et seulement si, toute suite d'éléments de A qui converge dans E , sa limite reste dans A. Démonstration. Soit A une partie fermée de E et (an ) une suite de A qui converge vers

un point a. D'après la proposition 3.4, a est adhérent à A et comme A = A, a reste dans A. Réciproquement, supposons que toute suite d'éléments de A qui converge dans E , sa limite reste dans A et montrons que A est fermée. Soit x ∈ A. D'après la proposition 3.4, il existe une suite de A qui converge vers x et d'après l'hypohèse faite sur A, x ∈ A. Donc A = A. 

3.3. Applications continues

Commençons d'abord par dénir la limite d'une application en un point.

Dénition 3.1.

Soit E et F deux espaces topologiques, A une partie non vide de E , a un élément de A, b un élément de F et f une application de A dans F . On dit que f (x) tend vers b quand x tend vers a si :

∀V ∈ V(b), ∃U ∈ V(a), f (A ∩ U ) ⊂ V. Si l'espace d'arrivée F est séparé, et si f (x) tend vers b quand x tend vers a alors b est unique (mêmes arguments que pour démontrer l'unicité de la limite d'une suite). Dans ce cas on dit que b est la limite de f au point a et on note :

lim

x→a, x∈A

f (x) = b.

Lorsque A = E , on note simplement :

lim f (x) = b.

x→a

Dénition 3.2. Soit E et F deux espaces topologiques et f une application de E dans F. 1. On dit que f est continue en un point a ∈ E , si lim f (x) = f (a) ;

x→a

c'est-à-dire, si :

∀W ∈ V(f (a)), ∃V ∈ V(a), f (V ) ⊂ W. Autrement dit, si l'image réciproque de tout voisinage de f (a) est un voisinage de a. 2. On dit que f est continue sur E , si f est continue en tout point de E .

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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La continuité globale est liée au transfert des ouverts par l'image réciproque et non pas par l'image directe :

Proposition 3.6.

Une application f : E −→ F est continue, si et seulement si, l'image réciproque par f de tout ouvert de F est un ouvert de E , si et seulement si, l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E .

Démonstration. Soit f −1

une application continue et A un ouvert de F . Si x ∈ f (A), alors f (x) ∈ A et comme A est ouvert, il est voisinage de f (x) et il existe, d'après la continuité de f au point x, un voisinage V de x tel que f (V ) ⊂ A. Donc V ⊂ f −1 (A) et par suite f −1 (A) est voisinage de x. L'ensemble f −1 (A) est alors voisinage de chacun des ses points, donc c'est un ouvert de E . Supposons que l'image réciproque, par f , de tout ouvert de F est un ouvert de E et montrons que f est continue. Soit x un point de E . Soit U un voisinage de f (x). Il existe un ouvert A de F tel que f (x) ∈ A ⊂ U , ce qui implique que x ∈ f −1 (A) ⊂ f −1 (U ). Or f −1 (A) est un ouvert de E , donc f −1 (U ) est un voisinage de x, par conséquent f est continue au point x.  Pour les fermés, il sut de remarquer que pour toute partie B de F , f −1 (B) CE = f −1 (CFB ) et utiliser ce qui précéde. 

Cas particuliers 1. Toute application constante de E dans F

est continue. En eet, pour tout ouvert U de F , l'ensemble f −1 (U ) est égale à E ou est égale à ∅ ; dans les deux cas c'est un ouvert.  2. Lorsque l'espace de départ E est muni de la topologie discrète, toutes les applications de E dans F sont continues. De même, lorsque l'espace d'arrivée F est muni de la topologie grossière, toute les applications de E dans F sont continues. 3. Dans le cas où un ensemble E est muni de deux topologies T et T 0 , l'identité x 7−→ x 0 est continue de (E, T ) dans (E, T ), si et seulement si, la topologie T est plus ne que la topologie T 0 , c'est-à-dire, si et seulement si, T 0 ⊂ T . En particulier, lorsque T = T 0 , il y a toujours continuité. 4. Soit(E, T ) un espace topologique et A une partie de E . L'application i du sous-espace (A, TA ) dans (E, T ) dénie par i(x) = x, s'appelle injection canonique de A, elle est continue par dénition de TA . L'image, par une application continue, d'une suite convergente est une suite convergente. Plus précisément :

19

3. Limites et continuité

Proposition 3.7. Soit E et F

deux espaces topologiques et f une application continue de E dans F . Si (xn )n∈N est une suite d'éléments de E qui converge vers un point l, alors la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (l).

Démonstration. Soit U ∈ V(f (l)). L'application f est continue au point l, donc il existe un voisinage V de l tel que f (V ) ⊂ U ; et comme l est limite de (xn )n∈N , il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N , xn ∈ V . Pour tout n ≥ N , le terme f (xn ) appartient donc à U , ce qui prouve que la suite (f (xn )) converge vers f (l).  3.4. Continuité de la composée

Soit E, F et G trois espaces topologiques et a un point de E .

Proposition 3.8. Si f : E −→ F est continue au point a et g : F −→ G est continue au point f (a) alors l'application g ◦ f est continue au point a. Démonstration. Soit W un voisinage de (g ◦ f )(a). L'application g est continue au point f (a), donc il existe un voisinage U de f (a) tel que g(U ) ⊂ W . L'application f est continue au point a, il existe, ensuite, un voisinage V de a tel que f (V ) ⊂ U , et par transitivité de l'inclusion, il vient que (g ◦ f )(V ) = g(f (V )) ⊂ g(U ) ⊂ W . Donc g ◦ f est continue au point a.  3.5. Continuité de la restriction

Soit (E, T ) et F deux espaces topologique et A une partie non vide de E . On muni A de sa topologie induite TA . Si une application f : (E, T ) −→ F est continue en un point a ∈ A, alors la restriction de f sur A, dénie du sous-espace (A, TA ) dans F , est continue au point a. En eet, pour tout voisinage U de (f /A)(a) = f (a), l'ensemble (f /A)−1 (U ) = A ∩ f −1 (U ) est la trace du voisinage f −1 (U ) sur A, donc c'est un voisinage de a dans A.  La réciproque n'est pas toujours vraie. Si f /A est continue au point a ∈ A, on ne peut pas conclure que f est continue au point a. Exemple : L'application partie entière x 7−→ E(x) est continue de Z dans Z, mais la même application n'est pas continue de R dans Z.  Dans le cas particulier où A est un voisnage de a dans E , on peut, cependant, vérier que la réciproque est vraie.

3.6. Prolongement par continuité

Soit E et F deux espaces topologiques séparés, A une partie non vide de E , a un élément de ArA, b un élément de F et f une application de A dans F telle que lim f (x) = b. x→a

Si on pose B = A ∪ {a}, alors l'application f dénie de B dans F par :

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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f (x) si x ∈ A ; b si x = a. est continue au point a. En eet, si U est un voisinage de f (a) = b, puisque lim f (x) = b, il existe un voisinage V f (x) =

x→a

de a, tel que f (V ∩ A) ⊂ U . Soit W = V ∩ B = V ∩ A. Relativement à B , cet ensemble W est un voisinage de a qui vérie f (W ) ⊂ U . Donc f est continue en a.  Il est clair que si f est continue sur A, alors f est continue sur B . L'application f s'appelle prolongement par continuité de f au point a.

3.7. Homéomorphismes

Soit E et F deux espaces topologiques.

Dénition 3.3. Une application f de E dans F est dite homéomorphisme, si elle est bijective continue, et si sa réciproque f −1 est aussi continue. S'il existe un homéomorphisme entre E et F , on dit que E et F sont homéomorphes. L'image d'un ouvert (resp, d'un fermé) par une application continue n'est pas toujours un ouvert (resp, un fermé). Lorsque une application f : E −→ F transforme les ouverts de E (resp, les fermés de E ) en des ouverts de F , (resp, en des fermés de F ), on dit que f est une application ouverte (resp, application fermée). Ainsi, une application f : E −→ F est un homéomorphisme, si et seulement si, f est bijective continue et ouverte, si et seulement si, f est bijective continue et fermée. D'après la proposition 3.8, la relation binaire entre espaces topologiques :

X R Y ⇐⇒ X homéomorphe à Y est une relation d'équivalence, donc, d'un point de vue topologique, si on fait abstraction de la nature des éléments qui forment deux espaces homéomorphes, on peut les voir comme deux espaces identiques.

Exemples 1. 2.

L'ensemble R est homéomorphe à tous ses intervalles ouverts. En eet, pour tout a et b dans R, avec a < b, l'application x 7−→ homéomorphisme de R dans ]a, b[.

(b−a)x 2(1+|x|)

+

a+b 2

est un

L'ensemble R muni de la topologie usuelle est homéomorphe à toute droite du plan R2. En eet, pour toute droite D d'équation y = ax + b, l'application x 7−→ (x, ax + b) est un homéomorphisme de R dans D.

21

3. Limites et continuité

3.

Si f est une fonction continue de R2 dans R, l'espace R2 est homéomorphe à la surface S = {(x, y, z) ∈ R3 , z = f (x, y)} lorsque celle-ci est muni de sa topologie induite.

4.

L'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n muni de sa topologie usuelle (qui provient de l'une de ses normes, par exemple, kAk = sup kA.xk) est homéomorphe kxk=1

à l'espace R . En eet, d'un point de vue topologique, une matrice carrée d'ordre n peut être vue comme un vecteur à n2 composantes. n2

3.8. Continuité et limite dans les espaces métriques Lorsque les espaces E et F sont des espaces métriques, les notions de limite et continuité s'expriment comme suit : Soit f : (E, d) −→ (F, δ) une application. 1. lim f (x) = b, si et seulement si : x→a, x∈A

∀ε > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ A, d(x, a) < r =⇒ δ(f (x), b) < ε.

2. f

est continue au point a, si et seulement si :

∀ε > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ E, d(x, a) < r =⇒ δ(f (x), f (a)) < ε. La proposition 3.7 se complète pour donner la caractérisation suivante de la continuité :

Proposition 3.9. Soit f une application d'un espace métrique E dans un espace métrique

F . Pour que f soit continue en un point a ∈ E , il faut et il sut que pour toute suite (xn )n∈N de E convergeant vers a, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (a).

Démonstration. La première implication est déjà établie.

Par l'absurde. Supposons que f n'est pas continue en a. Donc il existe un voisinage U de f (a) tel que pour tout voisinage V de a, f (V ) n'est pas inclus dans U . En particulier, pour tout n > 0, f (B(a, n1 )) n'est pas inclus dans U . Pour tout n > 0, il existe donc un point xn tel que d(xn , a) < n1 et f (xn ) ∈ / U . On voit que la suite (xn )n∈N converge vers a, donc la suite f (xn ) converge vers f (a), mais ceci contredit le fait qu'aucun point de cette suite n'appartient pas au voisinage U . 

3.9. Applications uniformément continues Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques.

22

Chapitre 1 :

Dénition 3.4. sur E , si :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

Une application f : (E, d) −→ (F, δ) est dite uniformément continue

∀ε > 0, ∃r > 0, ∀x, y ∈ E, d(x, y) < r =⇒ δ(f (x), f (y)) < ε. Une telle application est évidemment continue, mais une application continue n'est pas toujours uniformément continue. Voici une classe importante d'applications uniformément continues :

Dénition 3.5.

Soit k un réel positif. Une application f : (E, d) −→ (F, δ) est dite lipschitzienne de rapport k si :

∀x, y ∈ E,

δ(f (x), f (y)) < k.d(x, y).

Lorsque 0 < k < 1, on dit que f est contractante. Comme pour la continuité, voici une caractérisation de la continuité uniforme par les suites :

Proposition 3.10. Une application f : (E, d) −→ (F, δ) est uniformément continue, si et seulement si, pour tout couple de suites (an )n∈N et (bn )n∈N vériant lim d(an , bn ) = 0, la limite de δ(f (an ), f (bn )) est égale elle aussi à 0.

n→+∞

Démonstration.

Supposons que f est uniformément continue. Soit (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites vériant lim d(an , bn ) = 0. Soit ε > 0. D'une part, il existe r > 0 tel que n→+∞

d(x, y) < r implique δ(f (x), f (y)) < ε, d'autre part il exsite un entier N tel que pour n ≥ N , d(an , bn ) < r. Il résulte alors que pour n ≥ N , δ(f (an ), f (bn )) < ε, ce qui signie que la suite δ(f (an ), f (bn ))n∈N converge vers 0.  La réciproque se démontre par l'absurde. Supposons que f vérie la deuxième propriété sans que f soit uniformément continue : Il existe ε > 0 tel que pour tout n > 0, il existe xn et yn dans E tels que d(xn , yn ) < n1 et δ(f (xn ), f (yn )) ≥ ε ; ce qui contredit l'hypothèse faite sur f . 

Ÿ 4. Topologie produit Soit E et F deux espaces topologiques. On appelle ouvert élémentaire de E × F toute partie de la forme O1 × O2 , où O1 est un ouvert de E et O2 un ouvert de F . La partie B formée de tous ces ouverts élémentaires est une base de topologie sur E × F

4. Topologie produit

23

et la topologie T qu'elle engendre s'appelle topologie produit. Les ouverts de T sont donc les partie de E × F qui sont réunion d'ouverts élémentaires. α Ainsi, O ∈ T , si et seulement si, il existe [une famille (O1 )α∈I d'ouverts de E et une famille O1α × O2α ; ou encore : (O2α )α∈I d'ouverts de F tels que O = α∈I

O ∈ T ⇐⇒ ∀(x, y) ∈ O, ∃B ∈ B, (x, y) ∈ B ⊂ O.

Proposition 4.1.

Soit E et F deux espaces topologiques. 1. Dans E × F , une partie V est voisinage d'un couple (x, y), si et seulement si, il existe un voisinage V1 de x dans E et un voisinage V2 de y dans F tels que (x, y) ∈ V1 × V2 ⊂ V . 2. Pour qu'une suite (xn , yn )n∈N de E × F converge vers un couple (x, y), il faut et il sut que la suite (xn )n∈N converge vers x et que la suite (yn )n∈N converge vers y . 3. L'espace produit E × F est séparé si et seulement si E et F sont séparés.

Démonstration. 1. Soit V un voisinage de (x, y). Il existe un ouvert O de E × F tel que (x, y) ∈ O ⊂ V . Ensuite, il existe un ouvert élémentaire O1 × O2 tel que (x, y) ∈ O1 × O2 ⊂ O ⊂ V . Les ouverts O1 et O2 sont les voisinages qu'on cherche. Inversement, si V1 est un voisinage de x et V2 un voisinage de y tels que (x, y) ∈ V1 × V2 ⊂ V , il existe un ouvert O1 de E et un ouvert O2 de F tels que x ∈ O1 ⊂ V1 et y ∈ O2 ⊂ V2 , ce qui implique que (x, y) ∈ O1 × O2 ⊂ V . Donc V est un voisinage de (x, y).  2. C'est une conséquence directe du résultat précédent. 3. Laissé en exercice  Proposition 4.2.

Soit E et F deux espaces topologiques. Alors : 1. Les deux projections canoniques

et

p1

:

E × F −→ E, p1 (x, y) = x

p2

:

E × F −→ F, p2 (x, y) = y

sont continues et ouvertes. 2. Si G est un autre espace topologique, alors une application

f = (f1 , f2 ) : G −→ E × F est continue, si et seulement si, ses deux composantes f1 : G −→ E et f2 : G −→ F sont continues.

Démonstration.

1. Soit U un ouvert de E . on a p−1 1 (U ) = U × F est ouvert (c'est même un ouvert élémentaire) donc p1 est continue. Le reste est laissé en exercice. 

24

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

2. Si f est continue, alors d'après la proposition 3.8, les deux composées f1 = p1 ◦ f et f2 = p2 ◦ f sont continues. Inversement, supposons que f1 et f2 sont continues. Soit O un ouvert de E × F et soit z ∈ f −1 (O). On a (f1 (z), f2 (z)) ∈ O, donc il existe O1 ouvert de E et O2 ouvert de F tels que (f1 (z), f2 (z)) ∈ O1 × O2 ⊂ O, et comme f1 et f2 sont continues, il existe deux voisinages U et V de z dans G tels que f1 (U ) ⊂ O1 et f2 (V ) ⊂ O2 . On voit que le voisinage U ∩ V est inclus dans f −1 (O), donc f −1 (O) est voisinage de chacun de ses points, par conséquent c'est un ouvert. D'où f est continue. 

4.1. Produit d'espaces métriques

Dans le cas où E et F sont des espaces métriques muni respectivement des distances d et δ , une partie O de E × F est ouverte, si et seulement si, pour tout couple (x, y) ∈ O, il existe une boule B1 de centre x et une boule B2 de centre y , tels que (x, y) ∈ B1 ×B2 ⊂ O. Ce qui est équivaut au fait que O est un ouvert de E×F pour la distance D3 ((x, y), (x0 , y 0 )) = max(d(x, x0 ), δ(y, y 0 )). La topologie produit de deux espaces métrique est donc une topologie métrisable, mais il faut noter que la distance D3 n'est pas unique, il existe d'autres distances (une innité même) qui soient aussi compatibles avec la toplogie produit ; penser aux deux autres distance : D1 ((x, y), (x0 , y 0 )) = p d(x, x0 ) + δ(y, y 0 ) et D2 ((x, y), (x0 , y 0 )) = (d(x, x0 )2 + δ(y, y 0 )2 .

4.2. Produit ni quelconque Étant donné E1 , E2 , . . . , En des espaces topologiques, par récurrence on dénit sur l'espace produit E = E1 × E2 × ... × En la topologie produit comme étant la topologie produit de E1 × E2 × ... × En−1 et En . Ainsi une partie O de E est un ouvert pour la topologie produit, si et seulement si, pour tout élément x ∈ O et pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}, il existe Ok ouvert de Ek , tels que

x ∈ O1 × O2 × · · · × On ⊂ O. Toutes les propriétés vériées dans le cas du produit de deux espaces topologique restent vraies dans le cas d'un produit ni quelconque.

4.3. Topologie de Rn

La topologie usuelle de R est la topologie T0 associée à la valeur absolue . La topologie de Rn est la topologie produit de l'espace (R, T0 ) par lui-même n fois. Elle est compatible avec plusieurs Pk=ndistances, en particulier avec les trois distances : (X, Y ) 7−→ D1 (X, Y ) = q k=1 |Xk − Yk | ; Pk=n 2 (X, Y ) 7−→ D2 (X, Y ) = k=1 |Xk − Yk | ; (X, Y ) 7−→ D3 (X, Y ) = max |Xk − Yk |. k∈{1,2,...,n}

4. Topologie produit

25

4.4. Exercices Exercice 10. Soit

(xn )n∈N est une suite de points d'un espace topologique séparé et A l'ensemble de ses valeur d'adhérence. 1- Montrer que les points d'accumulation de l'ensemble X = {x1 , x2 , ...} sont des éléments de A. Est ce que la réciproque est vraie ? 2- Montrer que X = X ∪ A.

Exercice 11.

Soit (E, d) un espace métrique. 1- Montrer que pour toute partie A de E , l'application x 7−→ d(x, A) est lipschitzienne de rapport 1. 2- Montrer que pour A et B parties de E , les deux ensembles U = {x ∈ E, d(x, A) < d(x, B)} et V = {x ∈ E, d(x, A) > d(x, B)} sont des ouverts de E . 3- Montrer que (E, d) vérie la condition suivante : "Pour tout couple de fermés disjoints F1 et F2 , il existe un couple d'ouverts disjoints O1 et O1 tels que F1 ⊂ O1 et F2 ⊂ O2 ." Un espace topologique qui satisfait cette condition est dit espace topologique normal. 4- Montrer que pour tout couple de fermés disjoints F1 et F2 , il existe une application continue f de (E, d) dans R telle que f = 1 sur F1 ; f = 0 sur F2 et 0 ≤ f ≤ 1.

Exercice 12.

Soit (E, d) un espace métrique. 1- Montrer que tout ouvert est une réunion dénombrable de fermés . 2- Montrer que tout fermé est une une intersection dénombrable d'ouverts.

Exercice 13.

On désigne par AB la distance euclidienne de A, B ∈ R2 et on pose AB, si A et B sont alignés avec l0 origine O ; d(A, B) = OA + OB sinon. 1- Montrer que d est une distance sur R2 . 2- Déterminer l'adhérence, relativement à d, du demi-plan

H = {(x, y) ∈ R2 , y > 0}. 3- Quelle est la topologie induite par d sur le cercle unité ? 4- Etudier la continuité des applications suivantes : Rotations de centre O, homothéties de centre O et translations.

Exercice 14.

Soit E et F deux espaces topologiques et f : E −→ F une application. 1- Montrer que f est continue, ssi

∀A ⊂ E, f (A) ⊂ f (A),

26

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

ssi

∀B ⊂ F, f ssi

−1

◦

FSSM SMA 2006-2007

◦

−1 (B), (B) ⊂ f\

∀B ⊂ F, f −1 (B) ⊂ f −1 (B).

2- Soit B une base de la topologie de F . Montrer que f est continue, ssi, l'image réciproque de tout élément de B est un ouvert de E . 3- Montrer que si f est continue surjective, alors l'image par f de toute partie dense de E est une partie dense de F . 4- Montrer que si f est ouverte, alors l'image réciproque, par f , de toute partie dense est une partie dense. 5- Montrer que si f est bijective, alors f est un homéomorphisme, ssi

∀A ⊂ E, f (A) = f (A), 6- On suppose que F est un espace métrique. Montrer que si f est continue en un point a de E , alors f est bornée dans un voisinage de E .

Exercice 15.

Soit E et F deux espaces topologiques, a un point de E , A un voisinage de a et f une application de E dans F . Montrer que si la restriction de f sur A est continue au point a, alors f est continue au point a.

Exercice 16.

Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que l'application (x, y) 7−→ d(x, y) est une application continue de E × E dans R.

Exercice 17. Soit E un espace topologique. Montrer que E est séparé, si et seulement si, la diagonale ∆ = {(x, y) ∈ E × E, x = y} est fermée dans E × E . Exercice 18.

Soit E et F deux espaces topologiques. 1- Montrer que pour tout point y0 appartenant à F , l'applications x 7−→ (x, y0 ) de E dans E × F est continue. Montrer que c'est un homéomorphisme de E dans E × {y0 }. 2- Montrer que les projections canoniques p1 et p2 sont ouvertes.

Exercice 19.

Soit E et F deux espaces topologiques, avec F séparé, et f et g deux applications continues de E dans F . 1- Montrer que {x ∈ E, f (x) = g(x)} est un fermé de E . 2- Montrer que si D est une partie dense de E telle que f = g sur D, alors f = g sur E .

5. Espaces complets

27

Exercice 20.

Soit E et F deux espaces topologiques et f une application continue de E dans F . Soit Γ = {(x, y) ∈ E × F, y = f (x)} le graphe de f . 1- Montrer que pour toute partie A de E :

{(x, f (x)), x ∈ A} = {(x, f (x)), x ∈ A} ∩ Γ. 2- En déduire que Γ est homéomorphe à E .

Ÿ 5. Espaces complets Ce paragraphe concerne uniquement les espaces métriques.

Dénition 5.1.

Une suite (xn )n∈N d'un espace métrique (E, d) est dite de Cauchy, si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N ∀ m ≥ N d(xn , xm ) < ε. Ce qui est équivalent, si on note pour tout n ∈ N Xn = {xk , k ≥ n}, au fait que la suite décroissante (diam(Xn ))n∈N converge vers 0. Ainsi, toute suite convergente est de Cauchy. Par contre, une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente.

Proposition 5.1. Toute suite de Cauchy qui admet une sous-suite convergente est convergente. Ou encore, toute suite de Cauchy qui admet une valeur d'adhérence est convergente. Démonstration. Soit (xn )n∈N une suite de Cauchy d'un espace métrique (E, d). Supposons que cette suite admet une valeur d'adhérence l. Soit ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout p et q supérieurs à N , d(xp , xq ) < ε. Soit n ≥ N , soit m ≥ n tel que d(xm , l) < ε (un tel entier m existe car l est une valeur d'adhérence de (xn )n∈N ). De l'inégalité triangulaire, il vient : d(xn , l) ≤ d(xn , xm ) + d(xm , l) < 2ε. Donc la suite (xn )n∈N converge vers l. 

5.1. Espaces complets Dénition 5.2. Soit (E, d) un espace métrique. 1. On dit que E est complet si toute suite de Cauchy dans E est convergente. 2. Une partie F de E est dite complète si F constitue un espace métrique complet pour la distance induite. 3. Lorsque E est un espace normé complet, on dit que que E est un espace de Banach.

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Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

Exemples

1- L'espace R est un espace complet. c'est le plus petit espace complet qui contient Q. 2- L'espace R est muni de la distance d(x, y) = | arctan(x) − arctan(y)| n'est pas complet. En eet, la suite des entiers xn = n est de cauchy dans (R, d) car d(n, m) = | arctan(n) − arctan(m)| tend vers | arctan( π2 ) − arctan( π2 )| = 0 ; mais cette suite n'est pas convergente dans (R, d). 3- Le sous-espace Z est complet, et plus généralement, tout espace métrique muni de la distance discrète est complet. En eet, dans de tels espaces, toute suite de Cauchy est stationnaire et par conséquent convergente. 4- Nous verrons, au chapitre 2, que lorsqu'un espace métrique (F, d) est complet, alors l'ensemble des applications bornées d'un ensemble E dans F , muni de la distance

d(f, g) = sup d(f (x), g(x)) x∈E

est un espace complet. Voici une autre caractérisation des espaces complets :

Proposition 5.2. Un espace métrique E est complet, si et seulement si, pour toute suite décroissante (Fn )n∈N de fermés non vides de E vériant lim diam(Fn ) = 0, il existe un n→+∞ \ Fn = {l}. point l de E tel que n∈N

Démonstration. Supposons que (E, d) est complet. Soit (Fn )n∈N une suite décroissante de fermés non vides de E vériant lim diam(Fn ) = 0. Pour tout n ∈ N, on choisie un n→+∞

point xn ∈ Fn et on montre, dans un premier temps, que la suite (xn ) est de Cauchy. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , diam(Fn ) < ε. Donc pour n et m supérieurs à N , puisque la suite des Fn est décroissante, les deux points xn et xm appartient à FN et par suite d(xn , xm ) ≤ diam(FN ) < ε. La suite (xn ) est \donc de Cauchy, et comme E est complet, elle converge vers un point l. Montrons que Fn = {l}. Pour n∈N

tout m ∈ N et pour tout n ≥ m, on a xn ∈ Fm , donc pour \ tout m ∈ appartient à l'adhérence Fm = Fm et il résulte donc que l ∈ Fn . n∈N

N,

la limite l

Soit l0 un autre point de cette intersection. Pour tout n ∈ N, l et l0 appartient à Fn , donc d(l, l0 ) ≤ diam(Fn ) et comme ce dernier terme tend vers 0, il vient que l = l0 . La réciproque. Supposons que l'espace E vérie la deuxième propriété de la proposition et montrons qu'il est complet. Soit (xn ) une suite de Cauchy. Les fermés Fn = {xk , k ≥ n} sont décroissant et leur diamètre tend vers 0 donc leur intersection est un un singleton . Or l'intersection de ces Fn est l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (xn ), donc d'après la proposition 5.1, (xn ) est convergente. 

5. Espaces complets

29

Proposition 5.3.

Soit (E, d) un espace métrique. 1. Si F est une partie complète de E , alors F est fermée dans E . 2. Si E est complet, alors toute partie fermée de E est complète.

Démonstration. 1. Soit (xn ) une suite d'élément de F qui converge dans E vers un point l. Cette suite est une suite de Cauchy dans F , car elle converge dans E , et comme F est complet, elle converge dans F c'est-à-dire que sa limite l appartient à F . Donc F est fermée. 2. Supposons que E est complet. soit F une partie fermée de E , et (xn ) une suite de Cauchy d'éléments de F . Cette suite est aussi de Cauchy dans E est comme E est complet, elle converge dans E vers un point l. Or la partie F est fermée, donc la limite l ∈ F . Il résulte, alors que F est complète.  5.2. Produit ni d'espaces complets Soit (E1 , d1 ), (E2 , d2 ), ... , (Em , dm ) des espaces métriques. On muni leur espace produit E1 ×E2 ×...×Em de la topologie produit. On a vu que cette topologie produit est métrisable et qu'elle est compatible avec les trois distances usuelles D1 , D2 et D3 (voir le paragraphe 4.1).

Proposition 5.4.

Si pour tout k ∈ {1, 2, ..., m}, l'espace (Ek , dk ) est complets, alors l'espace produit E1 × E2 × ... × Em est complet.

Démonstration. Soit xn

= (xn1 , xn2 , ..., xnm )n∈N une suite de Cauchy de l'espace produit E = E1 × E2 × ... × Em . Pour tout k ∈ {1, 2, ..., m}, pour tous p et q dans N on a dk (xpk , xqk ) ≤ D3 (xp , xq ), donc la suite (xnk )n∈N est une suite de Cauchy dans l'espace Ek , et comme celui-ci est complet, cette suite converge vers un point lk ∈ Ek . D'après la proposition 4.1, la suite (xn )n∈N converge vers (l1 , l2 , ..., lm ). Donc l'espace produit est complet. 

Corollaire 5.5.

Pour tout n ∈ N, les deux espaces

Rn et de Cn sont complets.

Démonstration. D'après la proposition précédente, la complétude de Rn et Cn découle de celle de

R.



5.3. Condition de Cauchy Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, A une partie de E , a un point de A et f

30

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

une application de A dans F . On dit que f vérie la condition de Cauchy au point a, si :

∀ε > 0, ∃V ∈ V(a), ∀x, y ∈ V ∩ A, δ(f (x), f (y)) < ε.

Proposition 5.6. Si F est complet et si f vérie la condition de Cauchy au point a, alors f possède une limite au point a. Démonstration. Il est clair qu'on peut choisir une suite décroissante (Vn ) de voisinages de a tels que pour tout n ∈ N? , pour tout x et y dans Vn ∩ A, δ(f (x), f (y)) < n1 . Dans chaque Vn ∩ A, on choisit un point an . Montrons que la suite (f (an )) est convergente. Pour tout p ≤ q dans N∗ , on a δ(f (ap ), f (aq )) < p1 , donc (f (an )) est de Cauchy, et comme F est complet, elle converge vers un point b. Montrons maintenant que b est la limite de f au point a. Soit ε > 0. D'une part, il existe N ∈ N, tel que pour tout n ≥ N , δ(f (an ), b) < ε. D'autre part, il existe m ≥ N tel que m1 < ε. Pour tout x dans Vm ∩ A, on a δ(f (x), b) ≤ δ(f (x), f (am )) + δ(f (am ), b) < 2ε.  5.4. Prolongement des applications uniformément continues Théorème 5.7.

Soit E et F deux espaces métriques. Soit D une partie dense de E et f une application uniformément continue de D dans F . Si F est complet, alors f se prolonge sur E d'une manière unique en une application continue f . De plus cette application f est aussi uniformément continue.

Démonstration.

Unicité. Si f existe, alors pour tout a ∈ E , f (a) = lim f (x), donc si f existe elle est unique. x→a, x∈D

Existence. Pour montrer l'existence de f , i l sut de montrer que pour tout a ∈ E = D, la limite de f en a existe et puisque F est complet, il sut encore de montrer que f vérie la condition de Cauchy en tout point a ∈ E. Soit a un point de E et ε > 0. L'application f étant uniformément continue sur D, il existe r > 0 tel que pour tout x et y dans D, si d(x, y) < r alors δ(f (x), f (y)) < ε. Pour tout x et y dans B(a, 2r ) ∩ D, On a d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r, donc δ(f (x), f (y)) < ε.  Maintenant, si on pose f (a) = lim f (x) pour tout a ∈ E , alors f est un prolongement x→a, x∈D

de f sur E , il reste à montrer qu'elle est uniformément continue sur E .

5. Espaces complets

31

Soit ε > 0. Il existe r > 0, tel que pour tout x et y dans D, si d(x, y) < r alors δ(f (x), f (y)) < 3ε . Soit x et y deux éléments de E , tels que d(x, y) < 3r . D'une part, il existe r1 > 0 et r2 > 0 (qu'on peut choisir inférieurs à 3r ) tels que pour tout t ∈ B(x, r1 ) ∩ D et pour tout s ∈ B(y, r2 ) ∩ D, δ(f (t), f (x)) < 3ε et δ(f (s), f (y)) < 3ε . D'autre part, puisque D est dense dans E , il existe deux points a et b de D tels que d(x, a) < r1 et d(y, b) < r2 . On a d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) < r, donc δ(f (a), f (b)) < 3ε , ensuite δ(f (x), f (y)) ≤ δ(f (x), f (a)) + δ(f (a), f (b)) + δ(f (b), f (y)) < ε. 

5.5. Théorème du point xe

Soit f une application d'un ensemble E dans lui-même. Un point x0 de E est dit point xe de f si f (x0 ) = x0 . L'importance de la notion de point xe vient, surtout, du fait qu'elle permet de prouver l'existence (et des fois l'unicité) de solutions d'équations. En eet, si g est une application d'un espace vectoriel E dans lui-même, résoudre l'équation g(x) = 0 revient à déterminer les points xes de l'application f (x) = g(x) + x. Rappelons qu'une application est dite contractante si elle est lipschitzienne de rapport k < 1.

Théorème 5.8. Soit (E,

d) un espace métrique complet et f une application contractante de E dans E , alors f admet un unique point xe a. De plus, pour tout point a0 de E , la suite (an )n∈N dénie par : a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), ... , an+1 = f (an ), converge vers a.

Démonstration.

Unicité : Supposons que f possède deux points xes distincts a et b. L'application f est lipshitzienne de rapport k , donc d(a, b) = d(f (a), f (b)) ≤ kd(a, b), et comme k < 1, il vient d(a, b) = 0, ensuite a = b, ce qui est absurde. Existence : Soit a0 un point arbitraire dans E . Considérons la suite récurrente (an )n∈N dénie par :

a1 = f (a0 ) , ... , an = f (an−1 ). Pour tout n et m dans N on a : d(am , am+n ) ≤ d(am , am+1 ) + ... + d(am+n−1 , am+n ) n −1 ≤ k m d(a0 , a1 ) + ... + k m+n−1 d(a0 , a1 ) = k m kk−1 d(a0 , a1 ) ; et comme ce dernier terme tend vers 0 quand m tend vers +∞, la suite (an )n∈N est de Cauchy dans l'espace complet E , donc converge vers un point a. Il est clair que cette

32

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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limite a est un point xe de f , car l'application f est continue et la suite (an )n∈N vérie an = f (an−1 ) pour tout n ≥ 1. 

Remarque (importante)

Dans ce théorème du point xe, si on change l'hypothèse " f contractante " par l'hypothèse "Il existe m ∈ N, tel que f m = f ◦ f... ◦ f soit contractante ", le résultat reste le | {z } mf ois

même, c'est-à-dire que l'application f admet encore un unique point xe. En eet, avec cette nouvelle hypothèse, l'application f m admet un unique point xe a, ce qui implique que f m (f (a)) = f m+1 (a) = f (f m (a)) = f (a). Ainsi f (a) est lui aussi point xe de f m . Or a est unique, donc f (a) = a. C'est-à-dire que a est point xe de f . 

5.6. Théorème de Baire Voici encore une propriété importante que possèdent les espaces complets :

Théorème 5.9 (Théorème de Baire). Dans un espace métrique complet, l'intersection de toute famille dénombrable d'ouverts denses est une partie dense. En d'autre termes, si (On )n∈N∗ est une suite d'ouverts d'un espace métrique complet E telle que On = E pour tout n ≥ 1, alors

\

On = E.

n≥1

Démonstration. Il sut de montrer que

\

On rencontre tous les ouverts de E . Soit U

n≥1

un ouvert quelconque de E . L'ouvert O1 est dense, donc l'ouvert U ∩ O1 est non vide, par conséquent il contient une boule fermée de centre x1 et de rayon r1 (on choisit r1 inférieur à 1). Ensuite, puisque l'ouvert O2 est dense, son intersection avec la boule ouverte B(x1 , r1 ) est non vide, donc il existe x2 ∈ E et r2 > 0 (on choisit r2 inférieur à 1 ) tels que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ O2 ⊂ U ∩ O1 ∩ O2 . Ainsi, par récurrence, on ob2 tient une suite décroissante de boules ouvertes (B(xn , rn ))n≥1 avec pour tout n ≥ 1, k=n \ 0 < rn < n1 et B(xn , rn ) ⊂ U ∩ ( Ok ). Pour tout n et m dans N? avec n ≤ m, k=1

puisque la suite (B(xn , rn ))n≥1 est décroissante, le point xm appartient à B(xn , rn ), donc d(xn , xm ) < rn < n1 . Par conséquent la suite (xn ) est de Cauchy. L'espace E étant supposé complet, cette suite converge vers un point x.Montrons que ce point x appartient à \ U ∩( On ) pour conclure. n≥1

33

5. Espaces complets

Pour tout n ≥ 1 et tout m ≥ 1 avec n ≤ m, on a d(xn , xm ) < rn , donc si on xe n et on tend m vers +∞, il vient que d(xn , x) ≤ rn , c'est-à-dire que pour tout n ≥ 1, k=n \ x ∈ B(xn , rn ), et comme B(xn , rn ) ⊂ U ∩ ( Ok ) pour tout n ≥ 1, il vient enn que k=1 \ x∈U ∩( On ).  n≥1

Remarque

Dans le théorème de Baire, si la famille des ouverts en question n'est pas dénombrable, le résultat peut tomber en défaut. Par exemple, dans l'espace R muni de sa métrique usuelle, les ouverts Oα = R r {α}, α ∈ R, sont denses mais leur intersection est carrément vide. Le défaut vient, évidemment, du fait que la famille des (Oα )α∈R n'est pas dénombrable. Par passage au complémentaire, on obtient l'autre version du théorème de Baire :

Corollaire 5.10.

Si (Fn )n∈N∗ est une suite de fermés d'un espace métrique complet E ◦ [ ◦ \ tels que Fn = ∅ pour tout n ≥ 1, alors F n = ∅. n≥1

Le théorème de Baire admet de très importantes applications en Analyse, vous trouverez quelques unes dans la série d'exercices qui suit.

5.7. Exercices Exercice 21. Soit (E,

d) un espace métrique. 1- Montrer que toute suite (xn )n∈N d'éléments de E vériant la condition : (C) :

∀n ∈ N, d(xn , xn+1 ) ≤

1 2n

est une suite de Cauchy. 2- Montrer que de toute suite de Cauchy, on peut extraire une sous-suite vériant la condition (C) et en déduire que l'espace (E, d) est complet, si et seulement si, toute suite vériant la condition (C) est convergente. 3- Montrer, en utilisant ce qui précède, qu'un espace normé est un espace de Banach, si et seulement si, toute ses séries normalement convergentes sont convergentes.

Exercice 22.

Soit d et δ deux distances sur un ensemble E . Montrer que si d et δ sont équivalente, alors (E, d) est complet, si et seulement si, (E, δ) est complet.

34 Exercice 23.

Chapitre 1 :

Montrer que

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R[X] muni de la distance d(P, Q) =

pas complet.

sup |P (t) − Q(t)| n'est t∈[0,1]

Exercice 24. On muni l'espace E = C ([0, 1], R) de la distance d(f, g) =

R1

|f (t)−g(t)|dt. 0 Montrer que la suite fn (x) = min(n, √1x ) est une suite de Cauchy dans (E, d) qui ne converge pas dans E . Conclure.

Exercice 25. Soit (E, d) un espace métrique complet. Soit B(x0 , r) une boule ouverte de E et f : B(x0 , r) −→ B(x0 , r) une application lipschitzienne de rapport k < 1, avec d(x0 , f (x0 )) < r(1 − k). Montrer que f admet un unique point xe dans cette boule. Exercice 26.

Montrer que tout espace complet dénombrable admet un point isolé.

Exercice 27.

Soit E un espace vectoriel ayant une base innie dénombrable. Montrer que E , muni de n'importe quelle norme, ne peut être complet.

Exercice 28 (??). Soit (fn ) une suite de fonctions continues de R dans R convergeant simplement vers une fonction f . Montrer que l'ensemble des points de continuité de f est dense dans R.

Ÿ 6. Espaces compacts Étant donné un ensemble [quelconque E , une famille (Aα )α∈I de parties de E [est dite recouvrement de E , si E = Aα . Dans ce cas, si une partie J ⊂ I vérie E = Aα , on α∈I

α∈J

dit que le recouvrement (Aα )α∈J est extrait du recouvrement (Aα )α∈I , et si en plus cette partie J est ni, on dit que le recouvrement (Aα )α∈J est ni. Dans le cas où E est un espace topologique, si tous les Aα , α ∈ I , sont des ouverts de E , on dit que (Aα )α∈I est un recouvrement ouvert de E .

Dénition 6.1.

Un espace topologique E est dit compact s'il est séparé et s'il vérie la condition suivante, dite condition de Borel-Lebesgue : "de tout recouvrement ouvert de E , on peut extraire un sous-recouvrement ni".

35

6. Espaces compacts

Par passage au complémentaire, on peut aussi caractériser les compacts par les intersections de fermés :

Proposition 6.1.

Un espace topologique séparé E est compact, si et seulement si, de toute famille de fermés de E dont l'intersection est vide, on peut extraire une sous-famille nie dont l'intersection est encore vide. En particulier :

Corollaire 6.2.

Dans un espace compact, l'intersection de toute suite décroissante de fermés non vides, est non vide.

Démonstration.

En eet, si cette intersection est vide, d'après la proposition précédente, il va exister une sous-famille nie, dont l'intersection est encore vide, mais ceci est impossible car cette sous-famille est décroissante et son intersection est égale à l'un de ses éléments. 

6.1. Parties compactes

Dans un espace topologique E , une partie K est dite compacte, si quand on la muni de sa topologie induite, c'est un espace compact. Les ouverts de la toplogie induite sur K étant les traces sur K des ouverts de E , donc pour que K soit compacte, il faut et il sut [ que K soit séparée et que pour toute famille (Oα )α∈I d'ouverts de E qui vérie K ⊂ Oα , il existe une partie J ni, incluse dans I , α∈I

telle que K ⊂

[

Oα .

α∈J

Comme pour les espaces complets, on a :

Proposition 6.3.

Soit E un espace topologique séparé. Alors : 1. Toute partie compacte de E est fermée. 2. Si E est compact, alors toute partie fermée de E est compacte.

Démonstration. 1. Soit K une partie compacte de E . On montre que E r K est un ouvert de E , c'est-à-dire, voisinage de chacun de ses points. Soit x ∈ E r K . Il vient, du fait que E est séparé, que pour chaque[ y ∈ K , il existe deux ouverts disjoints Oy et Ωy tels que x ∈ Oy et y ∈ Ωy . On a K ⊂ Ωy , donc, d'après la compacité de K , il existe y∈K

y1 , y2 , ... , yn des éléments de K tels que K ⊂

[ k=1,2,...,n

Ωyk . Soit l'ouvert O =

\ k=1,2,...,n

Oyk ,

36

Chapitre 1 :

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alors x ∈ O ⊂ (E r K). 2. Supposons que E est compact et soit F une partie fermée de E . On utilise la propriété des intersections nies (proposition 6.1) pour montrer que F est compacte. Soit (Fα )α∈I une famille, de fermés de F , dont l'intersection est vide. Puisque F est fermée, les Fα , α ∈ I , sont aussi des fermés de E , et comme E est compact, il existe une sous-famille nie de (Fα )α∈I dont l'intersection est encore vide. 

Remarque. 1. Dans un espace topologique séparé E , toutes les parties de cardinal ni, en particulier tous les singletons, sont des compacts de E . 2. Soit E un espace topologique séparé. Si (xn )n∈N est une suite de points de E qui converge vers une limite l, alors la partie K = {x0 , x1 , x2 , ...} ∪ {l} est [ un compact de E . En eet, si (Oα )α∈I est une famille d'ouverts de E tels que K ⊂ Oα , alors il existe α∈I

α ∈ I tel que l ∈ Oα , et comme l est limite de (xn )n∈N , il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N , xn ∈ Oα . Or, Pour tout k < N , il existe des ouverts Oα0 , Oα1 , ... , OαN −1 tels que xk ∈ Oαk , donc N −1 [ K⊂( Oαk ) ∪ Oα  k=0

6.2. Compacts et continuité

On se sert souvent de la continuité pour montrer qu'un espace topologique est compact.

Proposition 6.4. Si f est une application continue d'un espace compact E dans un espace séparé F , alors le sous-espace f (E) est compact.

Démonstration. Soit f une application continue d'un espace compact E dans un espace séparé F . Montrons que le sous-espace f (E) est compact. Puisque F est séparé, le sous-espace f (E) est aussi séparé, il reste à montrer qu'il vérie la condition de Borel-lebegue. [ Soit donc (Oα )α∈I une famille d'ouverts de F qui vérie f (E) ⊂ Oα . Cette inclusion α∈I

implique que E =

[

f −1 (Oα ), et comme f est continue, la famille (f −1 (Oα ))α∈I est un

α∈I

recouvrement ouvert de E .[ Par suite, il vient de la compacité de E qu'il existe une partie nie J de I telle que E = f −1 (Oα ). Si on compose par f , il vient, enn, que α∈J

f (E) =

[ α∈J

f (f −1 (Oα )) ⊂

[ α∈J

Oα . 

37

6. Espaces compacts

Corollaire 6.5. phisme.

Toute bijection continue entre deux espaces compacts est un homéomor-

Démonstration. Soit E et F deux espaces compacts et f une bijection continue de E dans F . Montrer que f −1 est continue revient à montrer que f est fermée. Soit donc A un fermé de E . D'après la proposition 6.3, A est un compact, et d'après la proposition 6.4, son image f (A) est aussi un compact, en particulier, c'est un fermé de F .  6.3. Suites et compacts

Un espace compact vérie toujours la propriété suivante, dite propriété de BolzanoWeierstrass :

Théorème 6.6.

"Toute suite (xn )n∈N d'un compact K admet une valeur d'adhérence l." En plus, si l est unique, alors (xn )n∈N converge vers l.

Démonstration. Pour tout n ∈ N, posons Fn = {xk ,

k ≥ n} \. La suite de ces fermés Fn est décroissante, donc d'après le corollaire 6.5, l'intersection Fn est non vide. Or cette n∈N

intersection est exactement l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite (xn ).  Ce qui reste à démontrer est laissé en exercice 

6.4. Espaces métriques compacts

La condition de Bolzano-Weierstrass sut pour caractériser les espaces métriques compacts.

Théorème 6.7. Un espace métrique E est compact, si et seulement si, toute suite de E admet une valeur d'adhérence. Démonstration. La preuve de ce théorème nécessite d'établir d'abord ces deux résultats intermédiaires :

Lemme 6.8

(Lemme de Lebesgue). Si E est un espace métrique où toute suite admet une valeur d'adhérence, alors pour tout recouvrement ouvert (Oα )α∈I de E , il existe r > 0 tel que pour tout x ∈ E et pour tout ρ ∈]0, r], il existe α ∈ I tel que B(x, ρ) ⊂ Oα .

Preuve.

Par l'absurde. Supposons qu'il existe un recouvrement ouvert (Oα )α∈I de E vériant : Pour tout r > 0, il existe a ∈ E et ρ ∈]0, r] tels que la boule B(a, ρ) ne soit incluse dans aucun des Oα , α ∈ I . Pour tout n > 0, si on prend r = n1 , il va exister an ∈ E

38

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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tel que la boule B(an , n1 ) n'est pas incluse dans aucun des Oα , α ∈ I . La suite (an ) admet une valeur d'adhérence, et comme E est métrique, elle admet une sous-suite (aϕ(n) ) qui converge vers un point x ∈ E . Soit β ∈ I tel que x ∈ Oβ . (un tel indice existe car les Oα recouvrent E ). L'ensemble Oβ étant ouvert, il existe ε > 0 tel que B(x, ε) ⊂ Oβ .Il existe 1 ensuite N ∈ N tel que pour tout n ≥ N d(aϕ(n) , x) < 2ε . La suite ( ϕ(n) ) a pour limite 0, il ε 1 existe aussi M ∈ N tel que ϕ(n) < 2 pour tout n ≥ M . Si n est un entier supérieur à N 1 et à M , il viendrait de l'inégalité triangulaire que la boule B(xϕ(n) , ϕ(n) ) est incluse dans Oβ , ce qui contredit notre supposition. 

Lemme 6.9.

Si E est un espace métrique où toute suite admet une valeur d'adhérence, [ alors pour tout r > 0, il existe une partie nie J de E , telle que E = B(x, r). x∈J

Preuve. Toujours [ Par l'absurde. Supposons qu'il existe r > 0 tel que pour toute partie nie J de E ,

B(x, r) 6= E . Soit a0 un point quelconque de E . La boule B(a0 , r) étant

x∈J

diérente de E , il existe a1 ∈ E tel que d(a0 , a1 ) ≥ r. Ensuite, puisque E est encore diérent de B(a0 , r) ∪ B(a1 , r), il existe a2 ∈ E tel que d(a0 , a2 ) ≥ r et d(a1 , a2 ) ≥ r. Ainsi, par récurrence, on construit une suite (an ) telle que pour tout p ∈ N et pour tout q ≤ p d(ap , aq ) ≥ r . Mais une suite comme ça ne peut pas admettre une valeur d'adhérence.  Soit maintenant (Oα )α∈I un recouvrement ouvert de (E, d). D'après le lemme 6.8, il existe r > 0 tel que toute boule de rayon r soit incluse dans l'un des Oα et d'après le lemme 6.9, il existe B1 , B2 , ... , Bn des boules ouvertes de rayon r qui couvrent E . Pour tout k ∈ {1, 2, ..., n}, il existe donc un indice αk ∈ I tel que Bk ⊂ Oαk . Posons J = {αk , k ∈ {1, 2, ..., n}}. Il est clair que (Oα )α∈J est un recouvrement ni de E extrait de celui du départ. 

Proposition 6.10.

Dans un espace métrique, toute partie compacte est fermée bornée.

Démonstration. Soit (E, d) un espace métrique et K

une partie compacte non vide de E . Le fait que K est fermée est déjà prouvé dans la proposition 6.3. Le fait que K est borné est une conséquence directe du lemme 6.9.  La réciproque de cette proposition n'est pas vraie. Par exemple, l'intervalle ]0, 1[ muni de la distance usuelle est un espace métrique fermé (dans lui même) et borné, mais il n'est pas compact car ce n'est pas un fermé de R.

Précompacts

Un espace métrique est dit précompact, si pour tout r > 0, il existe un recouvrement ni de E par des boules ouvertes de rayon r.

39

6. Espaces compacts

Théorème 6.11.

et complet.

Un espace métrique est compact, si et seulement si, il est précompact

Démonstration. Supposons que E est compact. Il est clair que E est précompact, mon-

trons qu'il est complet. Soit (xn ) une suite de Cauchy dans E . Cette suite admet une sous-suite convergente, donc d'après la proposition 5.1 elle est convergente.  Supposons que E est précompact complet et montrons que toute suite de E admet une sous-suite convergente.

Lemme 6.12. Cauchy.

De toute suite d'un espace précompact, on peut extraire une sous-suite de

Preuve. Soit E un espace précompact et (xn ) une suite de E .

D'après le lemme 6.9, il existe un nombre ni de boules ouvertes de rayon 12 qui couvrent E , et puisque N est innie, l'une, au moins, de ces boules , qu'on note B0 , est telle que N0 = {n ∈ N, xn ∈ B0 } est innie. On pose ϕ(0) = min N0 . D'après toujours le lemme 6.9, il existe un nombre nie de boules ouvertes de rayon 212 qui couvrent E . Puisque N0 r {ϕ(0)} est innie, l'une, au moins, de ses boules , qu'on note B1 , est telle que N1 = {n > ϕ(0), xn ∈ B1 } est innie. On pose ϕ(1) = min N1 . Petit à petit on construit, par récurrence, une sous-suite (xϕ(n) ) et une suite (Bn ) de boules telles que Bn ∩Bn+1 6= ∅, 1 le rayon de Bn est égal à 2n+1 et xϕ(n) ∈ Bn pour tout n ∈ N. De l'inégalité triangulaire, 1 il résulte ensuite que pour tout n ∈ N, d(xϕ(n) , xϕ(n+1) ) ≤ 2n−1 , ce qui implique que la sous-suite (xϕ(n) ) est de Cauchy  Soit (xn ) une suite de E . D'après le lemme précédent, (xn ) admet une sous-suite de Cauchy, et comme E est complet, cette sous-suite est convergente. Donc E est compact. 

Théorème de Heine

Voici un résultat très utile en Analyse :

Théorème 6.13 (Théorème de Heine).

Toute application continue d'un espace métrique compact E dans un espace métrique F est uniformément continue.

Démonstration. Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques, avec E compact, et f

une application continue de E dans F . Utilisons la proposition 3.10. Soit (an ) et (bn ) deux suite de (E, d) telles que lim d(an , bn ) = 0 n→+∞

et supposons, par l'absurde, que la suite δ(f (an ), f (bn )) ne converge pas vers 0. Il existe donc un ε > 0 et une application ϕ strictement croissante de N vers N tels que (?) : δ(f (aϕ(n) ), f (bϕ(n) )) ≥ ε pour tout n ∈ N. D'après le théorème 6.7, la suite (aϕ(n) ) admet une sous-suite (aϕ(ψ(n)) ) qui converge vers une limite l. Ensuite, du fait que

40

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

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lim d(an , bn ) = 0, il vient que la sous-suite (bϕ(ψ(n)) ) converge elle aussi vers l. L'applica-

n→+∞

tion (x, y) 7−→ δ(f (x), f (y)) étant continue, il résulte que δ(f (aϕ(ψ(n)) ), f (bϕ(ψ(n)) ))converge vers δ(f (l), f (l)) = 0, ce qui contredit l'assertion (?). 

6.5. Produit ni de compacts Tout produit ni de compacts est un compact et plus précisément :

Théorème 6.14.

Soit E1 , E2 , ... , En des espaces topologiques. Alors, l'espace produit E1 ×E2 ×...×En est compact, si et seulement si, pour tout k ∈ {1, 2, ..., n}, Ek est compact.

Démonstration. Il sut de donner une preuve dans le cas du produit de deux espaces. Soit E et F deux espaces topologiques. Notons que E × F est séparé si et seulement si E et F sont séparés. Supposons que E × F est compact. Les deux projections canoniques p1 et p2 sont continues, donc p1 (E × F ) = E et p2 (E × F ) = F sont compacts. Réciproquement, supposons que E et F sont compacts et montrons que E×F est compact. On se contente de donner ici une démonstration dans le cas où E et F sont des espaces métriques. Soit (xn , yn )n∈N une suite de E × F . L'espace E étant compact, la suite (xn ) admet une sous-suite (xϕ(n) ) convergente. L'espace F est aussi compact, donc la suite (yϕ(n) ) admet une sous-suite (yϕ◦ψ(n) ) qui converge. Par conséquent, (xϕ◦ψ(n) , yϕ◦ψ(n) )n∈N est une sous-suite convergente de la suite (xn , yn )n∈N . Donc, d'après le théorème 6.7, E × F est compact.  6.6. Compacts de Rn Pour tout n ∈ N? , les compacts de Rn sont les parties fermées bornées. En particulier, les boules fermées et les sphère de Rn sont compactes.

Théorème 6.15.

Démonstration. Signalons D'abord que les intervalles fermés bornés de R vérient la propriété de Borel-Lebesgue, donc c'est des compacts. D'après La proposition 6.10, les compacts de Rn sont tous fermés bornés. Inversement, si une partie A de Rn est fermée bornée, il existe un pavé P susamment grand qui contient A, et comme P est compact (car c'est un produit d'intervalles fermés bornés) et A fermée dans P , il vient que A est compacte. Les boules fermées et les sphères sont des fermés bornés de Rn , donc elles sont compactes. 

41

6. Espaces compacts

E −→ R est une application continue, alors f est bornée et ses bornes sont atteintes. Autrement dit, il existe deux points a et b de E tels que :

Corollaire 6.16. Soit E un espace compact. Si f :

min f (x) = f (a), max f (x) = f (b). x∈E

x∈E

par f est un compact de R. C'est un fermé borné de R, donc il contient sa borne inférieure et sa borne supérieure et il existe alors a et b dans E tels que min f (x) = f (a) et max f (x) = f (b) 

Démonstration. D'après la proposition 6.4, l'image de E x∈E

x∈E

6.7. Parties relativement compactes Soit E un espace topologique. Une partie A de E est dite relativement compacte, si son adhérence A est compacte. Il est clair que toute suite d'une partie relativement compacte de E admet une valeur d'adhérence dans E et il est clair aussi que toute partie d'un espace compact est relativement compacte.

6.8. Espaces localement compacts

Les espaces Rn ne sont pas compacts, car ils ne sont pas bornés, pourtant ils possèdent des propriétés locales de compacité. Un espace topologique E est dit localement compact, si E est séparé et si tout point de E admet un voisinage compact. Il est évident que tout espace compact est localement compact. La réciproque n'est pas toujours vraie, par exemple Rn est localement compact car tout point x de Rn admet la boule fermée B(x, 1) comme voisinage compact ; mais Rn n'est pas compact.

Exemples

1- L'ensemble Z est localement compact, car pout tout point m ∈ Z, le voisinage {m} est compact. 2- L'ensemble des rationnels Q, n'est pas localement compact, car si le point 0 admet un voisinage compact V dans Q, il va exister un intervalle fermé borné [−a, a] tel que [−a, a] ∩ Q soit compact, en particulier fermé dans R, mais ceci n'est pas possible. Voici deux résultats importants sur les espaces localement compacts (mais que nous ne démontrons pas ici) : 1. Dans un espace localement compact, l'intersection de toute suite dénombrable d'ouverts denses est une partie dense. 2. Tout espace localement compact peut être considéré comme un sous-espace d'un espace compact.

42

Chapitre 1 :

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6.9. Exercices Exercice 29. Soit

K un espace compact et (xn ) une suite de K qui admet une seule valeur d'adhérence l. Montrer que (xn ) converge vers l.

Exercice 30.

Soit U un ouvert non vide d'un espace métrique E , x0 un point de U , K un espace topologique compact et f une application continue de K × U dans un espace métrique F . Montrer que :

∀ε > 0, ∃r > 0, ∀t ∈ K, ∀x ∈ B(x0 , r), d(f (t, x) − f (t, x0 )) < ε.

Exercice 31. Soit (E, d) un espace métrique. 1- Montrer que si A est une partie compacte de E , alors : ∀x ∈ E, ∃y ∈ A, d(x, A) = d(x, y). 2- Montrer que si A et B sont deux parties compactes de E , alors :

∃a ∈ A, ∃b ∈ B, d(A, B) = inf d(x, A) = d(a, b). x∈B

Exercice 32.

1- Montrer que si A une partie fermée non bornée de une application continue telle que

lim

kxk→+∞

Rn et f

: A −→

R

f (x) = +∞,

alors pour tout M ∈ R, l'ensemble KM = {x ∈ A / f (x) ≤ M } est un compact de En déduire que si inf x∈A f (x) est ni, alors il est atteint en un point de A. 2- Montrer que dans Rn , si A est une partie (seulement) fermée, alors

Rn.

∀x ∈ E, ∃y ∈ A, d(x, A) = d(x, y), 3- Montrer que dans compacte, alors

Exercice 33.

Rn, si A est une partie (seulement) fermée et si B

est une partie

∃a ∈ A, ∃b ∈ B, d(A, B) = d(a, b).

Soit E un espace topologique séparé. 1- Montrer que toute réunion nie de compacts de E est un compact de E . 2- Montrer que toute intersection de compacts de E est un compact de E .

7. Espaces connexes

43

Exercice 34.

Soit E un espace \ topologique séparé et (Kn ) une suite décroissante de compacts de E . On pose K = Kn . n

1- Montrer que K est non vide. 2- Montrer que si un ouvert O de E contient K , alors il contient un Kn .

Exercice 35. telle que

Soit (E, d) un espace métrique compact et f une application de E dans E

∀(x, y) ∈ E 2 , d(x, y) ≤ d(f (x), f (y)). Montrer que f est une isométrie (c'est-à-dire d(x, y) = d(f (x), f (y)) pour tout (x, y) ∈ E 2 ) et que f est un homéomorphisme.

Exercice 36. Soit E et F deux espaces topologiques, avec F compact. 1- Montrer que la projection p1 est une application fermée. 2- Par un exemple, montrer que p2 n'est pas toujours fermée. 3- Montrer que si le graphe d'une application f de E dans F est fermé dans E × F , alors f est continue.

Ÿ 7. Espaces connexes Intuitivement, un espace non connexe est un espace formé de deux ou de plusieurs morceaux nettement éloignés les uns des autres. On peut penser, par exemple, au territoire d'un pays formé de plusieurs îles. D'une manière rigoureuse :

Dénition 7.1. Un espace topologique E est dit connexe s'il n'existe pas deux ouverts O1 et O2 de E , tels que : O1 6= ∅, O2 6= ∅, O1 ∩ O2 = ∅, O1 ∪ O2 = E. Un espace non connexe est donc un espace topologique qui peut être partitionné en deux ouverts non vides. Par passage au complémentaire on a aussi :

Proposition 7.1. Un espace topologique E est connexe, si et seulement si, il n'existe pas deux fermés F1 et F2 de E tels que : F1 6= ∅, F2 6= ∅, F1 ∩ F2 = ∅, F1 ∪ F2 = E.

44

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

Voici une autre caractérisation des espaces connexes :

Proposition 7.2.

Un espace topologique E est connexe, si et seulement si, les seules parties à la fois ouvertes et fermées de E sont E et ∅.

Démonstration. Soit A une partie non vide, à la fois ouverte et fermée dans un espace connexe E . Les deux ouverts A et C A forment une partition de E , et comme E est connexe, l'un de ces deux ouverts est nécessairement vide. Or A est non vide, donc c'est C A qui est vide, c'est-à-dire que A = E .  Comme pour les compacts, on a :

Proposition 7.3.

L'image d'un connexe par une application continue est un connexe.

Démonstration. Soit E un espace connexe, F un espace topologique et f une application continue de E dans F . Montrons que le sous-espace f (E) est connexe. Supposons le contraire : il existe deux ouvert A et B de F tels que A ∩ f (E) 6= ∅, B ∩ f (E) 6= ∅, A ∩ B ∩ f (E) = ∅ et f (E) ⊂ A ∪ B. De cela il vient que f −1 (A) 6= ∅, f −1 (B) 6= ∅, f −1 (A) ∩ f −1 (B) = ∅ et E = f −1 (A) ∪ f −1 (B). Or les deus parties f −1 (A) et f −1 (B) sont ouvertes dans E car f est continue, donc E n'est pas connexe, ce qui est absurde.  Dans R, la paire {0, 1} n'est pas connexe, car elle est réunion de ses deux fermés disjoints {0} et {1}. Les seules connexes de {0, 1} sont {0} et {1}, donc si E est un espace topologique connexe et f une application continue de E dans {0, 1}, alors f est nécessairement constante.

Proposition 7.4.

Un espace topologique E est connexe, si et seulemnt si, toute application continue de E dans {0, 1} est constante.

Démonstration. L'implication directe est claire. Supposons que toute application continue de E dans {0, 1} est constante. Si E n'est pas connexe, il existerait deux ouverts A et B non vides, disjoints, dont la réunion est égale à E , et par suite l'application f de E dans {0, 1} dénie par : f (x) = 0 si x ∈ A, f (x) = 1 si x ∈ B , serait continue mais non constante. Ce qui est absurde.  On peut vérier aussi que toute application continue d'un espace connexe vers vers Z est constante.

N

ou

45

7. Espaces connexes

7.1. Parties connexes

Une partie C d'un espace topologique E est dite connexe si, quand on la muni de sa topologie induite, c'est un espace connexe ; c'est-à-dire, s'il n'existe pas deux ouverts O1 et O2 de E tels que :

O1 ∩ C 6= ∅, O2 ∩ C 6= ∅, O1 ∩ O2 ∩ C = ∅, C ⊂ O1 ∪ O2 . L'adhérence d'un espace connexe est connexe ; plus exactement on a :

Proposition 7.5.

Si C est une partie connexe d'un espace topologique E , alors toute partie A de E vériant C ⊂ A ⊂ C est connexe.

Démonstration. Remarquons d'abord que si un ouvert rencontre l'adhérence d'une partie X , alors il rencontre nécessairement X . Supposons que A n'est pas connexe. Il existe deux ouverts O1 et O2 tels que O1 ∩ A 6= ∅, O2 ∩ A 6= ∅, O1 ∩ O2 ∩ A = ∅ et A ⊂ O1 ∪ O2 . Ona C ⊂ A ⊂ C , donc d'une part, O1 ∩ C 6= ∅, O2 ∩ C 6= ∅ et d'autre part O1 ∩ O2 ∩ C = ∅ et C ⊂ O1 ∪ O2 , ce qui contredit le fait que C est connexe.  La réunion de deux connexes n'est pas toujours un connexe, l'intersection non plus. Cependant, la réunion de deux connexes qui se coupent est un connexe. Plus généralement :

Proposition 7.6.

Soit E un\espace topologique. Si (Cα )α∈I est [ une famille de connexes de E , tels que l'intersection Cα est non vide, alors la réunion Cα est un connexe de

E.

Démonstration. Soit f

α∈I

α∈I

une application continue de C =

[

Cα dans {0, 1}.

α∈I

De la continuité de la restriction et de la connexité des Cα , il vient que pour chaque α ∈ I , l'application f /Cα est constante sur Cα. Or l'intersection des Cα est non vide, donc f est partout constante et par conséquent C est connexe. 

Corollaire 7.7.

Soit E un espace topologique. Si[(Cα )α∈I est une famille de connexes de E , qui se coupent deux à deux, alors la réunion Cα est un connexe de E . α∈I

Démonstration. On xe un indice β dans I , et on pose Aα = Cα ∪ Cβ . D'après la proposition précédente, les Aα sont connexe. En plus, l'intersection des Aα est non vide

46

Chapitre 1 :

car elle contient Cβ . Or E = E est connexe. 

S

Éléments de topologie

α∈I

FSSM SMA 2006-2007

Aα , donc, d'après toujours la proposition précédente,

Exemples

1- Dans un espace topologique, tout singleton est un connexe. 2- Un espace topologique discret (c'est-à-dire muni de sa toplogie discrete) ne peut pas être connexe sauf s'il est réduit à un point. En particulier les deux ensembles N et Z ne sont pas connexes. 3- L'ensemble Q n'est pas connexe. En eet, Q est la réunion de ses deux ouverts√ non vides et disjoints √ (Q ∩ {x ∈ R, x < 2}) et (Q ∩ {x ∈ R, x > 2}). 4- Si f est une application continue d'un espace connexe E vers un espace topologique F , alors son graphe Γ = {(x, y) ∈ E × F, y = f (x)} est un connexe de l'espace produit E × F. En eet, Γ est l'image du connexe E par l'application continue x 7−→ (x, f (x)). Dans

R, les connexes sont connus

Théorème 7.8.

Les connexes de

:

R sont les intervalles.

Démonstration. Soit C un connexe de R. Si C n'est pas un intervalle, il existerait deux

points a et b de C , il existerait un point d ∈ / C , tels que a < d < b. Par suite, le connexe C serait réunion de ses deux ouverts non vides et disjoints ] − ∞, d[∩C et ]d, +∞[∩C . Ce qui est absurde.  Soit I un intervalle de R et f une fonction continue de I dans {0, 1}. Si f n'est pas constante, elle prendrait, d'après le théorème des valeurs intermédiaires classique, toutes les valeurs comprises entre 0 et 1 or ce n'est pas le cas, donc I est connexe. 

Remarque.

Le théorème classique des valeurs intermédiaires se généralise de deux façons : 1. Soit E un espace topologique connexe et f une application continue de E dans R. Si m et M sont deux valeurs de f , alors tous les réels compris entre m et M sont des valeurs de f . En eet, l'image de E par f est un intervalle, car c'est un connexe de R, d'où le résultat.  2. Soit E un espace topologique, C un connexe de E est A une partie non vide de E . Si C rencontre A et C A , alors, forcément, il rencontre aussi la frontière de A. En eet, si C ne coupe pas la frontière de A, alors C serait réunion de ses deux ouverts ˙A [ non vides et disjoints C ∩ A˙ et C ∩ (C ) , ce qui contredit la connexité de C 

7. Espaces connexes

47

7.2. Produit de connexes Proposition 7.9.

Soit E1 , E2 , ... , En des espaces topologiques. L'espace produit E1 × E2 × ... × En est connexe, si et seulement si, chacun des espaces Ek , k ∈ {1, 2, ..., n}, est connexe.

Démonstration. En vertu de l'associativité du produit topologique, il sut de donner

une preuve dans le cas du produit de deux espaces topologiques. Soit donc E et F deux espaces topologiques. Si l'espace produit E × F est connexe, il vient de la continuité des projections p1 et p2 que p1 (E × F ) = E et p2 (E × F ) = F sont connexes. Supposons maintenant que E et F sont connexes et montrons que E ×F est connexe. Nous allons utiliser la proposition 7.6, mais remarquons d'abord que pour tout point x ∈ E , l'espace {x} × F est connexe puisque il est homéomorphe à F . Soit y0 un point xe de F . D'après la proposition 7.6, pour tout x ∈ E , la réunion Cx = (E × {y0 }) ∪ ({x} × F ) est un connexe car les deux connexes E × {y0 } et {x} × F se coupent au point (x, y0 ). L'intersection de la famille (Cx )x∈E est non vide car elle contient [ Cx , l'espace E est connexe d'après toujours la proposition E × {y0 }, et comme E = 7.6. 

x∈E

7.3. Composantes connexes Intuitivememt, les composantes connexes d'un espace topologique sont les diérents morceaux qui le forment :

Dénition 7.2. Soit E un espace topologique et a un point de E . La composante connexe de a dans E , qu'on note C(a), est la réunion de tous les connexes de E contenant a. C'est aussi le plus grand connexe de E contenant a.

Cette dénition a bien un sens, car d'abord, le singleton {a} est un connexe de E , ce qui prouve que la famille des connexes de E contenant a est non vide, ensuite , d'après la proposition 7.6, la réunion de cette famille est un connexe de E . C'est cette réunion de connexe qui est la composante connexe de a. Il est clair que lorsque l'espace E est connexe, alors E est la seule composante connexe de E : (E est connexe) =⇒ (∀x ∈ E, C(x) = E).

Proposition 7.10. Les composantes connexes de E forment une partition de E . En particulier, deux composantes connexes quelconques sont, soit égales, soit disjointes.

48

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

En eet, on peut vérier facilement que les composantes connexes d'un espaces topologique E sont les classes de la relation d'équivalence suivante :

" x est en relation avec y , ssi, il existe un connexe de E qui contient à la fois x et y ."

Exemples 1. Dans R, le sous-espace E = [0, 1[∪]1, 2] ∪ [3, +∞[ n'est pas connexe, car, par exemple,

il est réunion de ses deux ouverts non vides et disjoints ] − ∞, 1[∩E et]1, +∞[∩E . Les composantes connexes de E sont les trois morceaux : [0, 1[, ]1, 2] et [3, +∞[. 2. L'espace R∗ n'est pas connexe. Ses composantes connexes sont R−∗ et R+∗ . 3. Les composantes connexes de N, de Z et de Q sont les singletons. 4. Dans R2 , le sous-espace E = { n1 , n ∈ N? } × [0, 1] n'est pas connexe, car, par exemple, il est réunion de ses deux ouverts non vides et disjoints {(x, y) ∈ R2 , x < 43 } ∩ E et {(x, y) ∈ R2 , x > 43 } ∩ E . Les composantes connexes de E sont les segments { n1 } × [0, 1], n ∈ N? .

Proposition 7.11.

Les composantes connexes d'un espaces topologique E sont fermées dans E . Si leur nombre est ni, elles sont aussi ouvertes.

Démonstration. Soit x un point de E . Sa composante connexe C(x) est un connexe et

d'après la proposition 7.5, C(x) est aussi un connexe contenant x. Or C(x) est le plus grand connexe de E contenant x donc C(x) ⊂ C et par conséquent C(x) est un fermé de E.  Si E possède un nombre ni de composantes connexes C1 , C2 , ... , Cn , puisque elles forment une partition [ de E , pour chaque k ∈ {1, 2, ..., n}, la composante Ck est le complémentaire Ci , donc c'est un ouvert de E .  du fermé i6=k

7.4. Connexes par arcs Soit E un espace topologique.

Dénition 7.3. On dit que E est connexe par arcs, si pour chaque couple (a, b) de points de E , il existe une application continue γ de l'intervalle [0, 1] dans E telle que γ(0) = a et γ(1) = b.

Exemples

1- Dans un espace topologique, les singletons sont des connexes par arcs.

7. Espaces connexes

49

2- Tous les intervalles de R sont connexes par arcs. 3- Toute partie convexe d'un espace normé est connexe par arcs.

Proposition 7.12.

Tout espace connexe par arcs est connexe.

Démonstration. Soit E un espace connexe par arcs. Si E n'est pas connexe, il existerait

une application continue f de E dans {0, 1} qui n'est pas constante, i.e : il existe deux point distincts a et b de E tels que f (a) = 0 et f (b) = 1. Or E est connexe par arcs, il existe donc un arc continu γ de [0, 1] dans E tel que γ(0) = a et γ(1) = b. Par conséquent, l'application γ ◦ f est une application continue et non constante du connexe [0, 1] dans {0, 1}, ce qui contredit le fait que l'intervalle [0, 1] est connexe.  Il existe des espaces connexes qui ne sont pas connexes par arcs. Voici un exemple classique : Soit Γ la courbe dénie par :

1 Γ = {(x, sin( )), x ∈]0, 1]}. x C'est un connexe (c'est même un connexe par arcs), donc d'après la proposition 7.5 son adhérence Γ = Γ ∪ ({0} × [−1, 1]) est elle aussi connexe. Mais puisque la fonction : x 7−→ sin( x1 ) est discontinue au point 0, les points du segment {0} × [−1, 1] ne peuvent pas être connectés, par des arcs continus, aux points de Γ ; donc Γ n'est pas connexe par arcs.  Dans

Rn, on a cependant le résultat suivant

Théorème 7.13.

Tout ouvert connexe de

:

Rn est connexe par arcs.

un ouvert connexe de Rn et a un point xe de U . Nous allons montrer que tous les points de U peuvent être joignés au point a par des arcs continues, par transitivité on aura démontré que U est connexe par arcs. Soit A l'ensemble des points de U qui sont joignables au point a par un arc continu. Montrons que A est à la fois ouverte et fermée dans U pour conclure. - Soit x un point de A et soit r > 0 tel que B(x, r) ⊂ U . Puisque la boule fermée B(x, r) est convexe, tous ses points sont joignables à x et par transitivité, ils sont tous joignables à a. Donc B(x, r) ⊂ A, par conséquent A est un ouvert de U . - Soit x un point adhérent à A relativement à U et soit r > 0 tel que B(x, r) ⊂ U . On a B(x, r) ∩ A 6= ∅, donc il existe un point y ∈ B(x, r) qui est joignable au point a. La boule

Démonstration. Soit U

50

Chapitre 1 :

Éléments de topologie

FSSM SMA 2006-2007

B(x, r) étant convexe, le point y est joignable au point x et par transitivité x et joignable au point a, c'est-à-dire que x ∈ A. Donc A est fermée dans U . 

7.5. Espaces localement connexes

Un espace topologique E est dit localement connexe, si pour tout point x ∈ E et pour tout voisinage V de x, il existe un voisinage W de x qui soit connexe et qui soit inclus dans V . Exemple, Rn et plus généralement tout espace normé est localement connexe. Il existe des espaces localement connexes qui ne sont pas connexes comme par exemple R∗ et il existe aussi des espaces topologiques qui sont connexes et non localement connexes comme par exemple le sous-espace de R2 E = (Q × [0, 1]) ∪ ((R r Q) × [−1, 0]). Voici une caractérisation des espaces localement connexes : Un espace topologique E est localement connexe, si et seulement si, les composantes connexes de tout ouvert de E sont ouvertes dans E .

7.6. Exercices Exercice 37. Soit E un espaces topologique, U

un ouvert connexe de E et f une application localement constante sur U , c'est-à-dire une application telle que pout tout x ∈ U , il existe un voisinage V de x tel que f soit constante sur V . Montrer que si f est continue, alors elle est partout constante sur U .

Exercice 38.

Soit (E, d) un espace métrique. 1- Montrer que pour tout A ⊂ E et tout x ∈ E on a

x∈ / A =⇒ A ∪ {x} non connexe. 2- En déduire que si B est une partie de E qui admet un point isolé, alors B n'est pas connexe.

Exercice 39. Soit E un espace topologique, A et B deux parties connexes de E telles que

A ∩ B 6= ∅. Montrer que A ∪ B est connexe.

Exercice 40.

Soit r > 0 et E un espace normé. Montrer que tout connexe non borné contenant 0, contient un vecteur de norme égale à r.

Exercice 41.

Montrer que {(x, y) ∈ R2 , x ∈ Q ou y ∈ Q} est connexe et que {(x, y) ∈ R , x ∈ Q ou bien y ∈ Q} n'est pas connexe. 2

Soit U un ouvert de R2 . 1- Montrer que chacune des composantes connexes de U est ouverte. 2- Montrer que l'ensemble des composante connexes de U est au plus dénombrable.

Exercice 42. Exercice 43.

Montrer qu'il n'existe aucune distance pour laquelle

N est connexe.

Exercice 44. Soit E un espace topologique et (Cα )α∈I une famille de connexes qui forment une partition de E . 1- Montrer que si les Cα , α ∈ I , sont tous des ouverts, alors la famille des composantes connexes de E coîncide avec la famille (Cα )α∈I . 2- Montrer que si I est ni et si les Cα , α ∈ I , sont femés, alors on a le même résultat et donner un contre exemple lorsque I est inni.

Exercice 45. Soit E = { n1

/ n ∈ N? }×[0, 1]∪[0, 1]×{0}∪{(0, 1)} muni de la distance

euclidienne. 1- Montrer que E est connexe. 2- Est ce-que E est connexe par arcs ?

Exercice 46.

Soit n > 1. Montrer que Dans de points est un espace connexe par arcs.

Rn le complémentaire de tout ensemble ni

52

Chapitre 2 :

Espaces des fonctions continues

FSSM 2006-2007

Chapitre 2 Espaces des fonctions continues Dans ce chapitre, on présente les deux résultats fondamentaux suivants concernant certains espaces de fonctions continues sur des compacts : - le théorème d'Ascoli (Théorème 2.2) qui, par l'introduction de la notion d'équicontinuité, caractérise les parties compactes ; - le théorème de StoneWeierstrass (Théorème 3.4) qui fournit des parties denses. Si X et Y sont deux ensembles non vides, on désigne par F (X, Y ) l'ensemble des applications de X dans Y. Lorsque X et Y sont deux espaces métriques, on note C (X, Y ) l'ensemble des applications continues de X dans Y.

Ÿ 1. Convergence simple et convergence uniforme Soit (fn ) une suite d'applications d'un ensemble X dans un espace métrique (Y, d).

Dénition 1.1. On dit que (fn ) converge simplement sur X si pour tout élément x de X, la suite (fn (x)) converge dans Y. Soit f l'application de X dans Y telle que pour chaque x ∈ X, lim fn (x) = f (x). L'application f s'appelle la limite simple de la suite (fn ).

n→+∞

Dénition 1.2. application f

On dit que (fn ) converge uniformément sur X s'il existe une : X → Y telle que lim sup d(fn (x), f (x)) = 0. Dans ce cas, on écrit

fn → f uniformément sur X.

n→+∞ x∈X

Il est clair que la convergence uniforme entraîne la convergence simple. L'étudiant avait l'occasion d'étudier dans les modules d'Analyse ces deux notions de convergence dans le cas réel : X = Y = R. 53

54

Chapitre 2 :

Espaces des fonctions continues

FSSM 2006-2007

Proposition 1.1.

Soit (fn ) une suite de fonctions continues sur un espace métrique X à valeurs dans un métrique (Y, d). On suppose que fn → f uniformément sur X. Alors la fonction limite f est continue sur X.

Démonstration. Soient x0 ∈ X

et ε un réel > 0. Par la convergence uniforme, il existe un entier N tel que sup d(fN (x), f (x)) < ε/3. Par la continuité de fN en x0 , il existe un x∈X

réel η > 0, tel que pour tout point x ∈ B(x0 , η) on a d(fN (x), fN (x0 )) < ε/3. Pour de tels points x, l'inégalité triangulaire fournit

d(f (x), f (x0 )) ≤ d(f (x), fN (x)) + d(fN (x), fN (x0 )) + d(fN (x0 ), f (x0 )) < ε.

PSfrag replacements f (x) fN (x) fN (x0 ) f (x0 ) f fN On se donne un ensemble X et un espace métrique (Y, d). On désigne par B(X, Y ) l'ensemble des applications bornées de X dans Y. Pour tout couple (f, g) ∈ B(X, Y )2 , on pose d∞ (f, g) = sup d(f (x), g(x)). Ceci dénit x∈X

une métrique sur B(X, Y ).

Dénition 1.3.

La topologie dénie par la métrique d∞ sur B(X, Y ) est dite topologie de la convergence uniforme. La proposition précédente permet de dire que l'ensemble Cb (X, Y ) des fonctions continues bornées d'un espace métrique X dans un espace métrique Y est une partie fermée de B(X, Y ).

Remarque. Dans le cas où (Y, k.k) est un espace vectoriel normé, on obtient une norme

k.k∞ sur B(X, Y ), dénie par kf k∞ = sup kf (x)k ; elle est dite norme de la convergence x∈X

uniforme. La distance associée est celle précédemment évoquée.

1. Convergence simple et convergence uniforme

55

Théorème 1.2.

Soient X un ensemble et Y un espace métrique. Si Y est complet alors l'espace métrique (B(X, Y ), d∞ ) est lui aussi complet.

Démonstration. Soit (fn ) une suite de Cauchy dans B(X, Y ) : pour tout réel ε > 0, il existe un entier Nε tel que pour tout couple (n, m) d'entiers ≥ Nε , on a ∀x ∈ X,

d(fn (x), fm (x)) < ε.

(1)

Pour chaque x ∈ X, la suite (fn (x)) est de Cauchy dans l'espace complet Y ; notons f (x) sa limite et vérions que la fonction f est dans B(X, Y ). Soit y0 ∈ Y. En considérant dans (1), ε = 1 et m = N1 , on a par l'inégalité triangulaire

(∀x ∈ X)

(∀n ≥ N1 )

d(fn (x), y0 ) ≤ 1 + d∞ (fN1 , y0 ) ;

qui, par passage à la limite quand n tend vers l'inni, montre que f est bornée. Il reste maintenant à vérier que la suite (fn )converge uniformément sur X vers f. En xant n dans (1) et en faisant tendre m vers l'inni, il découle de manière immédiate que pour tout entier n ≥ Nε , d∞ (fn , f ) ≤ ε.

Théorème 1.3 (Théorème de Dini).

Soit K un espace métrique compact. Soit (fn ) une suite d'applications continues sur K et à valeurs réelles. On suppose que (i) ∀x ∈ K, la suite (fn (x)) est croissante ; (ii) la suite (fn ) converge simplement sur K vers une fonction f ; (iii) la fonction limite f est continue sur K. Alors (fn ) converge uniformément sur K vers f. et tout n ∈ N, on pose gn (x) = f (x) − fn (x). Par hypothèse les gn sont continues positives et la suite (gn ) converge simplement vers la fonction nulle. Soit ε un réel > 0. Considérons pour chaque entier n ≥ 0,

Démonstration. Pour tout x ∈ K

Un = {x ∈ K : gn (x) < ε}. La suite (Un ) est une suite croissante d'ouverts qui recouvrent K. Par la compacité de K, il existe une partie J de N, nie, telle que ∪j ∈J Uj = K; i.e. K = UN (ε) avec N (ε) = max J. D'où ∀n ≥ N (ε), ∀x ∈ K, 0 ≤ gn (x) ≤ gN (ε) (x) < ε, ce qui donne le résultat voulu.

56

Chapitre 2 :

Espaces des fonctions continues

FSSM 2006-2007

Ÿ 2. Le théorème d'Ascoli Dénition 2.1 (Équicontinuité).

Soient X et (Y, d) deux espaces métriques. Soit E une partie de C (X, Y ) et soit x0 ∈ X. On dit que E est équicontinue en x0 si

(∀ε > 0) (∃V ∈ V (x0 )) (∀x ∈ V ) (∀f ∈ E )

d(f (x), f (x0 )) < ε.

Si E est équicontinue en tout point d'une partie A de X, on dit que E est équicontinue sur A. Par abus de language, on dit qu'une suite (fn )n est équicontinue en x0 si l'ensemble E = {fn : n ∈ N} est équicontinu en x0 . On remarque immédiatement que toute partie nie E de C (X, Y ) est équicontinue sur X, et que toute réunion nie de parties équicontinues en x0 est aussi équicontinue en x0 .

Exemples.

Soit E l'ensemble des fonctions dénies sur un espace métrique (X, d1 ) à valeurs dans un espace métrique (Y, d2 ) et telles que :

∃α, β > 0,

∀(x, x0 ) ∈ X 2 ,

d2 (f (x), f (x0 )) ≤ αd1 (x, x0 )β .

Alors E est équicontinu sur X. En particulier, si M est un réel > 0 et si E est l'ensemble des fonctions f : [0, 1] → dérivables et telles que ∀x ∈ [0, 1], |f 0 (x)| ≤ M.

R,

Alors, en vertu de la formule des accroissements nis, E est équicontinu sur [0, 1]. Le résultat fondamental suivant met en évidence l'importance de la notion d'équicontinuité.

Théorème 2.1 (Propriété fondamentale des suites équicontinues). Soient X un espace métrique, (Y, d) un espace métrique et (fn ) une suite d'applications continues de X dans Y. On suppose que (i) (fn ) converge simplement vers une fonction f ; (ii) (fn ) est équicontinue sur X. Alors la fonction limite f est continue sur X. Si, par ailleurs, on suppose X est compact, la convergence de (fn ) vers f est uniforme sur X. Démonstration. Soit x ∈ X, ε > 0. D'après (ii), il existe un voisinage ouvert V (x) de x 0 tel que pour tout x ∈ V (x) et tout indice n ∈ N, on ait

d(fn (x0 ), fn (x)) < ε/3 ;

(2)

2. Le théorème d'Ascoli

57

ce qui implique, en vertu de (i) et de la continuité de la fonction d, que

d(f (x0 ), f (x)) = lim d(fn (x0 ), fn (x)) ≤ ε/3, n→+∞

(3)

d'où la continuité de f en x. Si X est supposé compact, il existe des éléments x1 , . . . , xm de X tels que [ X= V (xk ). 1≤k≤m

Par la convergence simple, pour chaque k = 1, . . . , m, on a

(∃Nk (ε) ∈ N)

(∀n ≥ Nk )

d(fn (xk ), f (xk )) < ε/3.

(4)

Posons N (ε) = max1≤k≤m Nk (ε) et considérons un entier n ≥ N (ε), quelconque. Pour tout x ∈ X, il existe k ∈ {1, . . . , m} tel que x ∈ V (xk ), donc

d(fn (x), f (x)) ≤ d(fn (x), fn (xk )) + d(fn (xk ), f (xk )) + d(f (xk ), f (x)) <ε qui résulte de (2), (3) et (4).

Théorème 2.2

(Théorème d'Ascoli). Soit X un espace métrique compact et (Y, d) un espace métrique complet. On munit l'ensemble C (X, Y ) des applications continues de X dans Y de la distance de la convergence uniforme. Soit E ⊂ C (X, Y ). Il y a équivalence entre les deux assertions (a) et (b) suivantes : (a) la partie E est relativement compacte dans C (X, Y ) ; (b) (i) pour tout x ∈ X, l'ensemble E (x) := {f (x) : f ∈ E } est relativement compact dans Y, (ii) E est équicontinue sur X.

Remarque.

L'assertion (a) implique, par la propriété Bolzano-Weierstrass, que pour toute suite (fn ) d'éléments de E , on peut extraire une sous suite (fnj )j convergeant uniformément sur X vers f ∈ C (X, Y ). Démonstration. Signalons d'abord que l'espace métrique C (X, Y ) est complet, donc le fermé E est compact si, et seulement si, il est précompact. Montrons (a)⇒ (b). Soit ε > 0. il existe f1 , . . . , fm dans C (X, Y ) telles que

E ⊂

m [ k=1

B(fk , ε/3) ;

(5)

58

Chapitre 2 :

Espaces des fonctions continues

d'où, pour tout x ∈ X

E (x) ⊂

m [

FSSM 2006-2007

B(fk (x), ε/3) ;

k=1

ce qui entraîne la précompacité de E (x), et donc celle de E (x). D'où (i). Montrons maintenant (ii). Soit x ∈ X. L'équicontinuité de {fk : k = 1, . . . , m} en x se traduit par

(∃V (x) ∈ V (x)) (∀x0 ∈ V (x)) (∀k ∈ {1, . . . , m})

d(fk (x), fk (x0 )) < ε/3.

Soient x0 ∈ V (x) et g ∈ E . D'après (5), il existe k ∈ {1, . . . , m} tel que kg − fk k < ε/3. Il s'ensuit que

d(g(x), g(x0 )) ≤ d(g(x), fk (x)) + d(fk (x), fk (x0 )) + d(fk (x0 ), g(x0 )) < ε. Montrons (b)⇒ (a). Soit ε > 0. L'équicontinuité de E sur X se traduit par

(∀x ∈ X) (∃V (x) ∈ V (x)) (∀x0 ∈ V (x)) (∀f ∈ E )

d(f (x), f (x0 )) < ε.

L'espace X étant compact, il existe donc des points x1 , . . . , xm de X tels que [ X= V (xk ).

(6)

(7)

1≤k≤m

La condition (i) implique que l'ensemble A = ∪1≤k≤m E (xk ) est précompact, donc contenu dans une réunion nie ∪1≤i≤n B(ai , ε) de boules de rayon ε. D'où

∀f ∈ E , ∀k ∈ {1, . . . , m}, ∃γ(k) ∈ {1, . . . , n}, d(f (xk ), aγ(k) ) < ε.

(8)

Notons Γ l'ensemble, ni, formé de toutes les applications γ : {1, . . . , m} → {1, . . . , n}. On voit que l'assertion (8) peut s'écrire sous la forme similaire :

∀f ∈ E , ∃γ ∈ Γ, ∀k ∈ {1, . . . , m}, d(f (xk , aγ(k) ) < ε. En Considérant, pour chaque γ ∈ Γ, la partie

Eγ = {f ∈ E : ∀k ∈ {1, . . . , m}, d(f (xk ), aγ(k) ) < ε}, il vient

E =

[ γ∈Γ

Eγ .

3. Le théorème de StoneWeierstrass

59

Vérions maintenant que chaque Eγ est contenu dans une boule de rayon 4ε. Soient f et g dans Eγ et x ∈ X. D'après (6) et (7), il existe k ∈ {1, . . . , m} tel que

d(f (x), f (xk )) < ε

et

d(g(x), g(xk )) < ε ;

d'où

d(f (x), g(x)) ≤ d(f (x), f (xk )) + d(f (xk ), aγ(k) ) + d(aγ(k) , g(xk )) + d(g(xk ), g(x)) < 4ε. Il en découle que E est précompact, donc sa fermeture E l'est aussi.

Exemple. On munit l'espace C ([0, 1], Rm ) de la norme de la convergence uniforme. Soit m

α un réel > 0. Soit (fn )n∈N une suite d'applications de [0, 1] dans R , α−lipschitziennes. On suppose que pour tout indice n, kfn (0)k ≤ 1. Montrons que l'on peut extraire de (fn ) une sous suite convergeant uniformément sur [0, 1]. Posons E = {fn : n ∈ N}. Le fait que les fn sont α−lipschitziennes montre que la suite (fn ) est équicontinue sur [0, 1]. Soit par ailleurs x ∈ [0, 1]. Pour tout indice n ∈ N, on a kfn (x) − f (0)k ≤ α|x| =⇒ kfn (x)k ≤ α|x| + 1 ; ce qui montre que la partie E (x) est contenue dans le compact B(0, α|x| + 1) ; elle est donc relativement compacte. Par le théorème d'Ascoli, E est ainsi relativement compacte dans C ([0, 1], Rm ). Ceci implique par la propriété de Bolzano-Weierstrass, que la suite (fn ) possède une sous suite convergeant uniformément sur [0, 1].

Ÿ 3. Le théorème de StoneWeierstrass Dans toute la suite, on munit C (X, K) (K = R, ou C) de la topologie de la convergence uniforme. Si f et g deux fonctions de X dans R, et si R désigne l'une des relations : ≤, ≥, <, ou >, l'écriture f R g signie que pour tout x ∈ X, f (x) R g(x).

Lemme 3.1.

Soit X un espace métrique compact. Soit E ⊂ C (X, R). On suppose que

(i) pour tout (f, g) ∈ E 2 , sup(f, g) et inf(f, g) sont dans E ; (ii) pour tout (x, x0 ) ∈ X 2 , pour tout couple (α, α0 ) de réels tels que α = α0 lorsque x = x0 , il existe une fonction g ∈ E telle que g(x) = α et g(x0 ) = α0 . Alors E est dense dans C (X, R).

60

Chapitre 2 :

Démonstration. Soit f existe g ∈ E telle que

Espaces des fonctions continues

FSSM 2006-2007

∈ C (X, R), et soit ε un réel > 0. Le but est de démontrer qu'il

∀y ∈ X,

f (y) − ε < g(y) < f (y) + ε.

(9)

Soit x ∈ X. Par hypothèse, pour tout x0 ∈ X, il existe une fonction gx,x0 ∈ E telle que

gx,x0 (x) = f (x) L'ensemble

et

gx,x0 (x0 ) = f (x0 ).

Vx,x0 = {y ∈ X : gx,x0 (y) > f (y) − ε}

est donc un voisinage de x0 , et comme X est recouvert par les Vx,x0 , par la compacité de X, on peut écrire : n [ X= Vx,x0i . i=1

La fonction gx = sup gx,x0i est un élément de E et vérie 1≤i≤n

gx (x) = f (x) et gx (y) > f (y) − ε quel que soit y ∈ X. Ensuite, l'ensemble

Vx = {y ∈ X : gx (y) < f (y) + ε}

étant un voisinage de x, la compacité de X entraîne

X=

m [

V xj .

j=1

Il en découle que la fonction g =

inf

j=1,...,m

gxi vérie bien (9).

Lemme 3.2. La fonction racine carrée est limite uniforme sur [0, 1] de polynômes à coecients réels et sans termes constants. Démonstration. En vertu du théorème de Dini, la suite (pn ) dénie par la relation de récurrence suivante : p0 (t) = 0, répond bien à la question.

1 pn+1 (t) = pn (t) + .(t − pn (t)2 ) 2

61

3. Le théorème de StoneWeierstrass

Soit X un espace métrique compact. Soit A une sous-algèbre de C (X, R). On a (i) A est aussi une sous-algèbre de C (X, R) ;

Lemme 3.3.

(ii) pour tout (f, g) ∈ E 2 , sup(f, g) et inf(f, g) sont dans A .

Démonstration.

(i) Découle du fait que dans C (X, R), la somme et le produit de deux suites uniformément convergentes convergent uniformément. (ii) Comme inf(f, g) = 21 .(f + g − |f − g|), sup(f, g) = 12 .(f + g + |f − g|), il sut de voir que si h ∈ A \ {0}, alors |h| ∈ A . La fonction h0 = h/ k h k∞ est un élément de A et vérie : 0 ≤ h20 ≤ 1, il découle donc du lemme précédent qu'il existe une suite (pn ) de polynômes sans termes constants tels que

pn (h0 (x)2 ) → |h0 (x)|

uniformément sur X ;

d'où |h0 | ∈ A puisque les pn (h20 ) sont des éléments de l'algèbre A . Il en résulte que la fonction |h| =k h k∞ .|h0 | est aussi un élément de A .

de F (X, R) sépare les points de X si pour tout couple (x, y) d'éléments distincts de X, il existe une fonction f ∈ E telle que f (x) 6= f (y).

Dénition 3.1. Soit X un ensemble. On dit qu'une partie E

Le théorème fondamental suivant est une version pratique du lemme 3.1 lorsque E est une sous-algèbre de C (X, R).

Théorème 3.4 (StoneWeierstrass, cas des fonctions à valeurs réelles). Soit X un espace métrique compact. Soit A une R-sous-algèbre de C (X, R). Pour que A soit dense dans C (X, R) il faut et il sut que les deux conditions suivantes soient à la fois réalisées. (a) (∀x ∈ X) (∃f ∈ A ) f (x) 6= 0 ; (b) A sépare les points de X.

Remarque. La condition (a) est évidemment réalisée lorsque A Démonstration. ⇒) Comme A = C (X, R), on a

∃f ∈ A ,

|f − 1| < 1 ;

contient les constantes.

62

Chapitre 2 :

Espaces des fonctions continues

FSSM 2006-2007

ce qui entraîne que f ne s'annule pas sur X, d'où (a). Soit maintenant x, x0 deux éléments de X, distincts. Considérons une fonction g ∈ C (X, R) telle que g(x) = 0 et g(x0 ) = 1 (par exemple, g : y 7→ d(y, x)/d(x, x0 )). Par la densité de A , il existe h ∈ A telle que kh − gk < 1/2, une telle fonction vérie h(x) 6= h(x0 ), d'où (b). ⇐) En vertu du lemme 3.3, il sut de montrer que A vérie la propriété (ii) du lemme 3.1. Soit (x, x0 ) ∈ X 2 . Soit (α, α0 ) ∈ R2 avec α = α0 si x = x0 . Il s'agit de montrer l'existence de g ∈ A telle que g(x) = α et g(x0 ) = α0 . On remarque d'abord que si x = x0 , on peut prendre g = λf avec f ∈ A telle que f (x) 6= 0 et λ = α/f (x). Si maintenant x 6= x0 , par la condition (b) on a

∃f ∈ A ,

f (x) 6= f (x0 ).

L'idée est de chercher dans un premier temps la fonction g sous la forme λ1 f + λ2 f 2 , où les λ1 et λ2 sont deux réels. Ceci est possible si le système (S) suivant possède au moins une solution (λ1 , λ2 ) :

 (S)

f (x)λ1 + f (x)2 λ2 = α f (x0 )λ1 + f (x0 )2 λ2 = α0 ;

ce qui sera possible si le déterminant ∆ de la matrice du système est non nul, en d'autres termes si

f (x)f (x0 )(f (x0 ) − f (x)) 6= 0. Ainsi, si f (x)f (x0 ) 6= 0, la fonction g existe. Si maintenant f (x) = 0 et f (x0 ) 6= 0, on considère pour tout entier n ≥ 1,

fn = f + (1/n).h, avec h ∈ A et h(x) 6= 0. On a fn ∈ A , fn (x) 6= 0. Il existe un entier N tel que pour tout entier n ≥ N, fn (x0 ) 6= 0 et fn (x) − fn (x0 ) 6= 0. Le système (S) admet ainsi une solution en remplaçant f par fN . un compact de Rn . Toute fonction réelle continue sur K est limite uniforme sur K d'une suite de polynômes à n variables et à coecients réels. En eet, l'ensemble R[X1 , . . . , Xn ] de ces polynômes est une algèbre contenant les constantes et séparant les points puisque, si a = (a1 , . . . , an ) et b = (b1 , . . . , bn ) sont deux points distincts, cela signie qu'il existe un indice i pour lequel ai 6= bi ; le polynôme P (X1 , . . . , Xn ) = Xi , vérie bien : P (a) 6= P (b).

Application. Soit K

63

3. Le théorème de StoneWeierstrass

Théorème 3.5 (StoneWeierstrass, cas des fonctions à valeurs complexes). Soit X un espace métrique compact. Soit A une C-sous-algèbre de C (X, C). Pour que A soit dense dans C (X, C) il faut et il sut que les trois conditions suivantes soient à la fois réalisées. (a) (∀x ∈ X) (∃f ∈ A ) f (x) 6= 0 ; (b) A sépare les points de X ; (c) pour toute fonction f ∈ A , la fonction conjuguée f est un élément de l'adhérence A .

Démonstration. On vérie sans peine que la R−sous-algèbre de C (X, R) suivante

:

S = A ∩ C (X, R) vérie les conditions du cas réel du StoneWeierstrass ; elle est donc dense dans C (X, R). Ainsi, pour toute fonction f ∈ C (X, C), on a

f = <e (f ) + i=m (f ) ∈ S + iS ⊂ A ; d'où A = C (X, C).

Exercices

1.

Soient X, Y et Z des espaces métriques. On suppose que Y est compact. Soit f une application de X × Y dans Z. Montrer que f est continue si et seulement si les deux propriétés (i) et (ii) suivantes sont à la fois vériées. (i) Pour tout x ∈ X, l'application f (x, .) est continue sur Y ; (ii) la famille F = {f (., y) : y ∈ Y } est équicontinue.

2.

√ Soit (fn ) la suite de fonctions dénies sur X = [0, +∞[ par fn (x) = sin( x + 4n2 π 2 ). (a) Montrer que (fn ) converge simplement vers 0. (b) Montrer que (fn ) est équicontinue sur X.

3.

(c) La partie {fn : n ∈ N} estelle relativement compacte dans C (X, R)?

Soit I = [0, 1]. On munit E = C (I, R) de la norme de convergence uniforme. Soit k : I × I → R une application continue. Pour toute f ∈ E, on note u(f ) l'application dénie de I dans R par

Z

1

k(t, x)f (t) dt.

u(f )(x) = 0

(a) Montrer que l'image de la boule unité par u est relativement compacte.

4.

(b) Soit (fn ) une suite bornée de E. Montrer que (u(fn )) contient une sous-suite convergente dans E.

Soit X un espace métrique compact. Soit H une partie de C (X, R), équicontinue. On pose : H(x) = {f (x) : f ∈ H}, et A = {x ∈ X : H(x) borné } (a) Montrer est la partie A est à la fois ouverte et fermée dans X.

5.

(b) On suppose que X est connexe et qu'il existe x0 ∈ X tel que H(x0 ) est borné. Montrer que H est relativement compacte dans C (X, R) (pour la topologie de la convergence uniforme).

Soient α un réel > 0, m un entier ≥ 1 et (fn ) une suite d'applications de Rm dans Rm , α−lipschitziennes avec les kfn (0)k ≤ 1. Montrer que l'on peut extraire de (fn ) une sous-suite convergente simplement sur Rm. (Appliquer Ascoli sur chaque boule fermée B(0, R), et utiliser ensuite le procédé diagonal de Cantor en considérant R = 1, 2, . . . .)

65

Exercices

6.

Soit (Y, k.k) un espace de Banach. On munit l'espace E = C ([0, 1], Y ) de la norme kf k∞ = sup kf (u)k. Soit M un réel > 0. Soit ω : [−1, 1] → [0, +∞[ une application u∈[0,1]

telle que lim ω(t) = 0. On dénit t→0

K = {f ∈ E : kf (0)k ≤ M, (∀u, v ∈ [0, 1]) kf (u) − f (v)k ≤ ω(u − v)}. Montrer que K est une partie compacte de E.

7.

Soit (E, d) un espace métrique, et soit H une famille formée par des applications de E dans C. On dit que H est uniformément équicontinue si, pour tout réel ε > 0, il existe un réel ηε > 0, tel que, pour tout (x, y) ∈ E 2 vériant d(x, y) < ηε , on ait sup |f (x) − f (y)| < ε. f ∈H

Montrer que si E est compact, on a

H est équicontinue ⇐⇒ H est uniformément équicontinue.

8. 9.

Soient X et(Y, d) deux espaces métriques et (fn ) une suite équicontinue d'applications de X dans Y. Soit F l'ensemble des points x ∈ X pour lesquels (fn (x)) est une suite de Cauchy de Y. Montrer que F est fermé dans X. Soient α ∈]0, 1[ et Hα ([0, 1]) l'ensemble des fonctions f : [0, 1] → R telles que

|f |α := sup x6=y

|f (x) − f (y)| < +∞ ; |x − y|α

ces fonctions sont dites ho¨ldériennes d'ordre α. Pour tout f ∈ Hα ([0, 1]), on pose

kf kα = |f |α + kf k∞ .

10. 11.

(a) Montrer que Hα ([0, 1]) muni de la norme k.kα est un espace de Banach. (b) Montrer que la boule unité fermée de (Hα ([0, 1], k.kα ) est une partie compacte de (C ([0, 1]), kk∞ ). On se donne un espace compact E et n fonctions f1 , . . . , fn continues de E dans R et séparant les points de E. Montrer que l'application x 7→ (f1 (x), . . . , fn (x)) est un homéomorphisme de E sur une partie de Rn . Soit E l'ensemble des fonctions continues f : [0, +∞[→ R telles que lim f (t) existe et soit nie. Montrer que l'ensemble des applications de la forme

f (t) =

p X

an e−nt ,

p ∈ N, les an ∈ R

n=0

est dense dans E pour la topologie de la convergence uniforme.

t→+∞

66 12. 13.

Chapitre 2 :

Espaces des fonctions continues

Soit X un espace métrique compact (donc séparable). Montrer que C (X, R) est séparable (pour la topologie de la convergence uniforme). Soient K1 et K2 deux espaces métriques compacts. On munit l'espace produit K = K1 × K2 de la topologie produit et l'espace E = C (K, R) de la norme de convergence uniforme. Soit A la famille constituée par les fonctions de la forme :

(x1 , x2 ) ∈ K 7→ u1 (x1 )u2 (x2 ), où chaque ui est dans C (Ki , R). Montrer que les sous-espace de E engendré par A est dense dans E.

Chapitre 3 Espaces normés les espaces vectoriels normés forment une classe importante des espaces métriques. L'objectif de ce chapitre est de présenter les théorèmes classiques suivants : le théorème de Riesz, le théorème de l'application ouverte, le théorème du graphe fermé, le théorème de BanachSteinhaus et le théorème de HahnBanach.

Ÿ 1. Généralités Soit E un espace vectoriel sur un corps K ( K = la valeur absolue de λ si K = R, et le module de λ si

R ou C). La notation |λ| désignera K = C.

On appelle norme sur E , toute application k.k de E dans R+ vériant les trois propriétés suivantes : (a) ∀x ∈ E, k x k= 0 ⇐⇒ x = 0 ; (b) homogénéité : ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K , k λx k= |λ| k x k ; (c) inégalité triangulaire : ∀x ∈ E, ∀y ∈ E, k x + y k≤k x k + k y k . On dit alors que (E, k.k) (ou plus simplement E ) est un espace vectoriel normé (e.v.n en abrégé). On appelle semi-norme sur E toute application de E dans R+ vériant l'homogénéité et l'inégalité triangulaire.

Dénition 1.1.

Exemples.

1. Sur l'espace vectoriel Rn , les applications suivantes sont des normes. • x = (x1 , . . . , xn ) 7−→ kxk = max |xi | ; i=1,...,n

•

x 7−→ kxk1 =

n X i=1

|xi | ;

68

Chapitre 3 :

•

x 7−→ kxk2 =

n X

x2i


1/2

Espaces normés

FSSM 2006-2007

(norme euclidienne).

i=1

Plus généralement, pour tout réel p ≥ 1, l'application n X
1/p x 7−→ kxkp = |xi |p i=1

dénit une norme sur Rn . 2. Soit X un espace métrique. Sur l'espace Cb (X, K) des applications continues bornées sur X et à valeurs dans K, l'application f 7−→ kf k∞ = sup |f (t)| t∈X

est une norme, appelée norme de la convergence uniforme R1 . Dans le cas où X = [0, 1], l'application f 7−→ kf k1 = 0 |f (t)|dt est aussi une norme sur Cb (X, K), appelée norme de la convergence en moyenne.

Proposition 1.1. Soit (E, k.k) un e.v.n. L'application d dénie sur E × E par : d(x, y) = kx − yk est une distance sur E. De plus, les deux applications : E×E → E (x, y) 7→ x + y

et

K×E

→ E (λ, x) → 7 λ.x

sont continues (On dit que la topologie dénie par la métrique d est compatible avec la structure d'espace vectoriel).

Démonstration. Facile. Proposition 1.2.

Dans un e.v.n (E, k.k), on a 1. ∀(a, b) ∈ E 2 , ∀λ ∈ K \ {0}, ∀r > 0, r B(a + λb, r) = a + λB(b, |λ| ), r B(a + λb, r) = a + λB(b, |λ| ) ; 2. les boules sont convexes, donc connexes par arcs ; 3. Pour tout x ∈ E et tout r > 0 : (a) B(x, r) = B(x, r) ; ◦ _

(b) B(x, r) = B(x, r) ; (c) F r(B(x, r)) = F r(B(x, r)) = S(x, r).

Démonstration. On va démontrer la propriété 3, les autres sont laissées en exercices.

69

1. Généralités

(a) B(x, r) est un fermé contenant B(x, r), donc contient l'adhérence de B(x, r). Réciproquement, soit y ∈ B(x, r). La suite xn = n1 x + (1 − n1 )y converge vers y et ses points sont tous dans B(x, r), donc y ∈ B(x, r). ◦ _

◦ _

(b) On a évidemment l'inclusion : B(x, r) ⊂ B(x, r) . Réciproquement, Soit y ∈ B(x, r) . Il existe ρ > 0 tel que B(y, ρ) ⊂ B(x, r). Supposons par l'absurde que y 6∈ B(x, r). En ρ considérant le point z = y + 2r (y − x), on vérie de manière immédiate que z ∈ B(y, ρ) ◦

et z 6∈ B(x, r), ce qui est absurde. Ainsi B(x, r) ⊂ B(x, r). la propriété (c) est une conséquence immédiate de (a) et (b).

Remarque. Les égalités (a) et (b) et (c) ne sont pas vériées dans un espace métrique quelconque. En vertu de la continuité des translations x 7−→ x + u et des homothéties x 7−→ λ.x, on a encore :

Proposition 1.3.

Dans un espace normé (E, k.k) on a (a) Les boules ouvertes sont homéomorphes à l'espace E (elles sont donc homéomorphes entre elles) ; (b) Les boules fermés sont aussi homéomorphes entre elles.

Démonstration.

(a) Pour tout a ∈ E et tout r > 0, on peut vérier facilement que r l'application x 7−→ 1+kxk .x + a est un homéomorphisme de E dans B(a, r). (b) L'identité B(a, r) = a + rB(0, 1), montre que les deux boules en question sont homémorphes par x 7→ a + rx.

Proposition 1.4.

Soient E un espase normé et F un sous-espace vectoriel de E . Alors (a) l'adhérence de F dans E est un sous-espace vectoriel de E ; (a) si F est d'intérieur non vide, alors F = E.

Démonstration.

(a) Soient x et y deux éléments de F et λ ∈ K. Il existe deux suites (xn ) et (yn ) d'éléments de F telles que (xn ) converge vers x et (yn ) converge vers y . Le vecteur x + λ.y est limite de la suite (xn + λ.yn ) qui est à valeurs dans F , donc x + λ.y ∈ F . Ce dernier est donc un sous-espace vectoriel de E . (b) Si F est d'intérieur non vide, alors F contient une boule B(a, r). Soit x ∈ E. Si x r est nul, il est évidemment dans F. Supposons que x 6= 0, et posons λ = 2kxk . Le point

70

Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

y = λx + a est dans B(a, r), donc dans F. Ainsi, x = λ1 (y − a) ∈ F. Conclusion : F = E .

Normes équivalentes :

Soit E un espace vectoriel sur K(= R ou C). Rappelons que deux normes k.k1 et k.k2 sur E sont topologiquement équivalentes, si elle dénissent la même topologie sur E. Elles sont équivalentes s'il existe deux constantes α > 0 et β > 0 telles que pour tout x ∈ E :

αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 . Soit E un espace vectoriel sur K. Deux normes k.k1 et k.k2 sont topologiquement équivalentes sur E, si et seulement si, elles sont équivalentes.

Proposition 1.5.

Démonstration. Supposons que les deux normes sont topologiquement équivalentes. La

boule ouverte unité B1 (0, 1) pour la norme k.k1 est alors un ouvert pour la topologie associée à k.k2 , elle contient donc une boule B2 (0, r) pour k.k2 . Or pour tout x ∈ E \ {0}, r le vecteur y = 2kxk x est dans B2 (0, r), il est donc dans B1 (0, 1), ce qui entraîne que 2 αkxk1 ≤ kxk2 avec α = r/2. L'autre inégalité s'obtient de la même manière. La réciproque est évidente.

Remarque. Deux distance qui sont topologiquement équivalentes ne sont pas forcément équivalentes.

Ÿ 2. Applications linéaires continues Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur un corps K (= R ou C). Lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion, on utilise une seule notation k.k pour toutes les normes.

Dénition 2.1.

tout λ ∈ K, on a

Une application u : E −→ F est dite linéaire si, pour tout x, y ∈ E et

u(λx + y) = λu(x) + u(y).

Si de plus u est bijective et bicontinue, on dit que u est un isomorphisme. Toute application linéaire de E dans K est dite forme linéaire.

Notations

L (E, F ) (resp. Lc (E, F )) désigne l'espace des applications linéaires (resp. linéaires et continues) de E dans F.

2. Applications linéaires continues

Théorème 2.1. équivalentes. (1) (2) (3) (4) (5)

u u u u il

71

Soit u : E −→ F une applcation linéaire. Les propriétés suivantes sont

est continue en tout x ∈ E ; est continue en 0 ; est uniformément continue ; est bornée sur tout borné ; existe M ≥ 0, tel que : ∀x ∈ E, ku(x)k ≤ M kxk ;

Démonstration. On va démontrer les implications : (3) ⇒ (1) ⇒ (2) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (3). (3) ⇒ (1) ⇒ (2) sont évidentes. Dans la suite, B (resp. B 0 ) désigne la boule unité ouverte de E (resp. de F ). (2) ⇒ (4) : Soit A un borné de E , donc (par dénition) il existe λ > 0, tel que A ⊂ λB . La linéarité de u implique que u(A) ⊂ λu(B). Il s'agit ainsi de montrer que u(B) est borné. Or, d'après (2) il existe η > 0 tel que ∀x ∈ E : kxk < η =⇒ ku(x)k < 1, ceci revient à dire que u(B) ⊂ η1 B 0 . (4) ⇒ (5) : On a l'existence d'un réel M > 0, tel que u(B) ⊂ M.B 0 . x x Or pour tout x ∈ E \ {0} , on a kxk ∈ B doncku( kxk )k ≤ M i.e.

ku(x)k ≤ M kxk, cette dernière inégalité reste valable lorsque x = 0. (5) ⇒ (3) : Soit (x, y) ∈ E 2 on a ku(x) − u(y)k = ku(x − y)k ≤ M kx − yk , l'application u est donc lipschitzienne ; elle est en particulier uniformément continue.

Remarque. Une application linéaire quelconque n'est pas nécessairement continue. Donnons un exemple. Soit E le sous-espace normé de C ([0, 1], R), muni de la norme de la convergence uniforme, constitué par les fonctions f qui ont une dérivée f 0 continue. L'application linéaire : E −→ C ([0, 1], R) f 7−→ f 0

72

Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

n'est pas continue ; en eet la suite (fn ) dénie par fn (x) = n−1 sin(nx), converge vers 0 alors que la suite (fn0 ) ne converge pas vers 0.

Norme d'une application lineaire continue :

Nous avons caractérisé les applications linéaires continues par le fait qu'elles sont bornées sur tout borné de E; et d'autre part deux éléments de Lc (E, F ) qui coïncident sur la boule unité sont identiques ; on est donc amené à utiliser la norme de la convergence uniforme sur la boule unité fermée, autrement dit à poser pour toute u ∈ Lc (E, F ) :

kuk = sup ku(x)k kxk≤1

c'est évidement une norme (u = 0, si u(x) = 0 pour tout x ∈ B). La linéarité permet de donner les formes suivantes à la norme d'une application linéaire continue.

kuk = sup ku(x)k = sup ku(x)k kxk kxk=1

x6=0

On remarque aussi que kuk est la plus petite constante positive telle que ku(x)k ≤ kuk kxk pour tout x ∈ E. En résumé :

Proposition 2.2.

L'application u 7−→ kuk est une norme sur Lc (E, F ). Pour tout u ∈ Lc (E, F ), on a

kuk = inf{M ≥ 0 : ∀x ∈ E, ku(x)k ≤ M kxk}.

Exemple. E désigne l'espace des fonctions continues C ([0, 1], R) muni de la norme de la convergence uniforme. Soit ϕ ∈ E, xé. L'application linéaire :

E → E f 7→ ϕf est continue et de norme kϕk .

Remarques.

1. Si l'on remplace les normes de E et F par des normes équivalentes, il est immédiat que kuk est remplacée par une norme équivalente. 2. Soient E, F, G trois espaces normés. Soient u ∈ Lc (E, F ) et v ∈ Lc (F, G). La relation : kv(u(x))k ≤ kvk . ku(x)k ≤ kvk . kuk . kxk , montre que kv ◦ uk ≤ kvk . kuk . Donc la norme choisie est bien adaptée à la composition des applications linéaires.

73

3. Espaces normés de dimension nie, le théorème de Riesz

Théorème 2.3.

Si F est un espace de Banach, alors Lc (E, F ) est aussi un espace de Banach. (Rappelons qu'un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet).

Démonstration. Supposons que F

est complet, et donnons une suite de Cauchy (un ) de Lc (E, F ). Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que

(∀p, q ≥ N )

kup − uq k < ε.

Donc, pour tout x ∈ E et tous p, q ≥ N, on a (1)

kup (x) − uq (x)k ≤ kup − uq k kxk ≤ ε kxk ;

ce qui montre que la suite (un (x)) est de Cauchy dans F , donc a une limite u(x). Comme u est limite simple d'applications linéaires , elle est linéaire. En laissant l'indice p xe dans (1) et en faisant tendre q vers l'inni, on obtient

ku(x) − up (x)k ≤ ε kxk . Cette inégalité montre que u−up ∈ Lc (E, F ), donc u ∈ Lc (E, F ) et de plus ku − up k < ε. Ce qui démontre la convergence de (un ) vers u dans Lc (E, F ).

Dénition 2.2. Soit E un espace normé sur K. On appelle dual topologique de E, et on note E 0 , l'espace Lc (E, K) des formes linéaires continues sur E. Comme l'espace

Corollaire 2.4.

K est complet, on peut énoncer, en particulier

:

Le dual topologique E 0 = Lc (E, K) est un espace de Banach.

Ÿ 3. Espaces normés de dimension nie, le théorème de Riesz P Dans la suite Kn sera muni de la norme k(x1 , . . . , xn )k1 = nk=1 |xk |. Les espace normés de dimension nie se comportent comme les espaces cisément, On a :

Kn. Plus pré-

74

Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

Proposition 3.1. Tout espace vectoriel normé (E, k.k) de dimension n sur K est isomorphe à Kn . Plus précisément, étant donnée une base B = {e1 , e2 , ..., en } de E, l'application linéaire : u :

Kn

→

x = (x1 , . . . , xn ) 7→

E n X

xk ek

k=1

est un isomorphisme.

Démonstration.

Il est clair que u est linéaire bijective. Montrons que u et u−1 sont continues. Pour tout x ∈ Kn , on a ku(x)k ≤ k.kxk1 où k = max (kek k), k=1,...,n

l'application u est donc continue. Par ailleurs, Considérons l'application f de Kn dans R dénie par f (x) = ku(x)k. Cette application est continue (comme composée de deux applications continues) et comme la sphère unité S(0, 1) de Kn est compacte, il existe un point x0 de S(0, 1) en lequel le minimum de f sur S(0, 1) est atteint. Soit α = f (x0 ) > 0. 1 1 Pour tout u ∈ Kn \{0}, on a α ≤ f ( kuk u) = kuk f (u). Il en découle que pour tout x ∈ Kn , 1 1 kxk1 ≤ α1 ku(x)k, ce qui prouve que l'application linéaire u−1 est aussi continue. Comme conséquence immédiate de la proposition précédente, on a

Corollaire 3.2. 1. Dans un espace normé de dimension nie, les sphères et les boules fermée sont compactes. 2. Tout espace normé de dimension nie est complet. 3. Dans un espace normé quelconque E, tout sous-espace vectoriel de dimension nie est fermé dans E . La proposition 3.1 précédente permet d'obtenir le résultat important suivant :

Proposition 3.3.

équivalentes.

Dans un espace normé de dimension nie, toutes les normes sont

Démonstration. Supposons que la dimension de E sur K est égale à n. Soit B = {e1 , e2 , ..., en } une base de E . Considérons la norme

3. Espaces normés de dimension nie, le théorème de Riesz

x=

n X

xk ek 7−→ kxk1 =

Pn

k=1

75

|xk |

k=1

comme référence, et montrons que toute autre norme k.k est équivalente à k.k1 . Pour tout x ∈ E on a :

kxk = k

n X

xk ek k ≤

k=1

n X

|xk |kek k.

k=1

Donc

∀x ∈ E, avec β =

(2)

kxk ≤ β.kxk1 ,

max (kek k).

k=1,2,...,n

Par ailleurs, l'inégalité précédente montre que pour tout couple (x, y) ∈ E × E, on a : |kxk − kyk ≤ kx − yk ≤ β.kx − yk1 ; ce qui implique la continuité de k.k sur (E, k.k1 ). Et comme la sphère unité S de (E, k.k1 ) est compacte, l'application x 7−→ kxk atteint donc ses bornes sur S. En Posant α = min kxk > kxk1 =1

0, on a ∀x ∈ E,

(3)

αkxk1 ≤ kxk.

Conclusion : les inégalités (2) et (3) montrent que les deux normes k.k1 et k.k sont équivalentes. On a vu que lorsque la dimension d'un espace normé est nie, sa boule unité fermée B(0, 1) est compacte. Inversement on a :

Théorème 3.4 (Théorème de Riesz). Si la boule unité fermée B(0, 1) d'un espace normé (E, k.k) est compacte, alors E est de dimension nie.

Démonstration. Puisque B(0, 1) est compacte et

B(0, 1) ⊂

[

B(x, 1/2), on peut donc

x∈E

écrire

B(0, 1) ⊂

m [

1 B(xk , ). 2 k=1

(4)

Posons F = Vect{x1 , x2 , ..., xm } et montrons que F = E . Supposons le contraire : il existe x ∈ E \ F. Comme F est de dimension nie, il est fermé dans E , et par conséquent

d(x, F ) := inf kx − yk > 0. y∈F

76

Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

D'après la caractérisation de la borne inférieure, il existe y ∈ F , tel que (5)

d(x, F ) ≤ kx − yk < 2d(x, F ). Or

1 (x kx−yk

− y) ∈ B(0, 1), il existe donc k ∈ {1, 2, ..., m} tel que kxk −

qui s'écrit aussi

1 1 (x − y)k < , kx − yk 2

1 kx − y − zk < kx − yk avec z = kx − ykxk . 2

On a z ∈ F, donc (y +z) ∈ F et par suite d(x, F ) ≤ kx−(y +z)k < l'inégalité de droite de (5).

kx−yk 2

; ce qui contredit

Ÿ 4. Applications multilinéaires continues Tous les résultats qui précèdent se généralisent aux applications multilinéaires.

Dénition 4.1. Etant donné une famille nie d'espaces vectoriels (Ei )1≤i≤n et un espace vectoriel F sur un corps K = R ou C. Une application n Q u : Ei → F est dite multilinéaire si, pour tout indice i (i = 1, . . . , n) et pour tout i=1

xj ∈ Ej avec j 6= i, l'application : Ei −→ F xi 7−→ u(x1 , . . . , xn ) est linéaire. On note L (E1 , . . . , En ; F ) l'espace des applications multilinéaires de

n Q

Ei dans F.

i=1

Dans le cas où les espaces E1 , . . . , En , F sont normés, on munit l'espace produit E =

n Q

Ei

i=1

de la norme k(x1 , . . . , xn )k = max kxi k , et on désigne par Lc (E1 , . . . , En ; F ) l'espace des 1≤i≤n

applications multilinéaires continues de

Remarque.

n Q

Ei dans F

i=1

Si n = 1, une application multilinéaire est simplement une application linéaire. Par contre si n > 1, l'application identiquement nulle est la seule application à la fois linéaire et multilinéaire.

4. Applications multilinéaires continues

77

En eet, pour n = 2, si u : E1 × E2 −→ F est à la fois linéaire et bilinéaire, alors par la linéarité, on a u(x1 , x2 ) = u(x1 , 0) + u(0, x2 ) ; par la bilinéarité le second membre est nul, ceci prouve bien que u = 0.

Proposition 4.1. u:E= lentes.

n Q

Soient (Ei )1≤i≤n et F des espaces normés et soit

Ei −→ F une application multilinéaire. Les propriétés suivantes sont équiva-

i=1

(a) u est continue en tout x ∈ E ; (b) u est continue en 0 ; (c) il existe une constante M ≥ 0 telle que

∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E,

ku(x)k ≤ M kx1 k × · · · × kxn k .

Par ailleurs, l'application u 7−→ kuk = sup ku(x)k est une norme sur l'espace kxk≤1

Lc (E1 , . . . , En ; F ). Si F est un espace de Banach, alors l'espace Lc (E1 , . . . , En ; F ) est aussi de Banach.

Démonstration. À faire en exercice. Exemple. Soient E, F, G trois espaces normés, l'application

ϕ : Lc (E, F ) × Lc (F, G) −→ Lc (E, G) dénie par ϕ(u, v) = v ◦ u est bilinéaire continue de norme kϕk ≤ 1. n Q Exercice. Soit u : E = Ei −→ F une application multilinéaire continue. i=1

ku(x1 ,...,xn )k 1. Montrer que kuk = sup ku(x)k = sup kx . 1 k×···×kxn k kxk=1

xi 6=0

2. En déduire que kuk est la plus petite constante telle que

∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E,

ku(x)k ≤ kuk kx1 k × · · · × kxn k

Isomorphisme de Lc (E, F ; G) et Lc (E, Lc (F, G)). Soient E, F et G trois espaces normés quelconques. Soit u : (x, y) 7→ u(x, y) un élément de Lc (E, F ; G). Pour tout x xé, l'application ux : y 7→ u(x, y) est un élément de Lc (F, G) vériant kux k ≤ kuk kxk (car kux (y)k ≤ kuk kxk kyk) ; donc l'application linéaire

u b : E → Lc (F, G) x 7→ ux

78

Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

est telle que kb uk ≤ kuk . Inversement, soit v : x 7−→ v(x) un élément de Lc (E, Lc (F, G)), alors l'application ve : (x, y) 7−→ v(x)(y) de E × F dans G est bilinéaire continue, vériant ke v k ≤ kvk (car ke v (x, y)k = kv(x)(y)k ≤ kv(x)k kyk ≤ kvk kxk kyk). Posons Φ(u) = u b et Ψ(v) = ve. Comme

(Ψ ◦ Φ)(u) = u et (Φ ◦ Ψ)(v) = v l'application linéaire Φ : u 7−→ Φ(u) = u b de Lc (E, F ; G) dans Lc (E, Lc (F, G)) est bijective et on a :

kΦ(u)k ≤ kuk = kΨ(Φ(u))k ≤ kΦ(u)k , d'où kb uk = kuk . En résumé :

Théorème 4.2.

Soient E, F, G trois espaces normés, l'application linéaire :

Lc (E, F ; G) → Lc (E, Lc (F, G)) u 7→ u b dite canonique, est un isomorphisme qui conserve la norme. Ceci permet d'avoir l'identication Lc (E, F ; G) ≈ Lc (E, Lc (F, G)).

Ÿ 5. Le théorème de l'application ouverte Lemme 5.1.

Soient E et F deux espaces de Banach. Soit u une application linéaire continue de E dans F telle que

(∃r > 0)

BF (0, r) ⊂ u(BE (0, 1)).

(6)

Alors l'application u est ouverte.

Démonstration. Montrer ce lemme revient à établir (∃δ > 0)

BF (0, δ) ⊂ u(BE (0, 1)).

(7)

En eet, supposons que cette inclusion soit réalisée, prenons un ouvert quelconque V de E, a ∈ V, et δ 0 > 0 tels que a + δ 0 BE (0, 1) ⊂ V ; on a alors

u(V ) ⊃ u(a) + δ 0 u(BE (0, 1)) ⊃ u(a) + BF (0, δδ 0 ) ;

5. Le théorème de l'application ouverte

79

u(V ) est donc un ouvert de F. On va maintenant montrer(7). L'hypothèse (6) implique que pour tout réel ε > 0, il existe un réel ρ > 0 tel que pour tout a ∈ E on ait BF (u(a), ρ) ⊂ u(BE (a, ε)). Ainsi, pour chaque εn = 1/3n (n entier ≥ 1), il existe un réel ρn ∈]0, 1/n[ tel que

(∀a ∈ E)

BF (u(a), ρn ) ⊂ u(BE (a, εn )).

Nous allons voir que

BF (0, ρ1 ) ⊂ u(BE (0, 1)). Soit y ∈ BF (0, ρ1 ), d'après (8), il existe x1 ∈ BE (0, ε1 ) tel que

(8) (9)

ky − u(x1 )k < ρ2 . Toujours d'après (8), pour a = x1 , il existe x2 ∈ BE (x1 , ε2 ) tel que

ky − u(x2 )k < ρ3 . Ainsi, on peut construire par induction une suite (xn )n≥0 d'éléments de E tels que x0 = 0, et pour tout entier n ≥ 1,

kxn − xn−1 k < εn

et

ky − u(xn )k < ρn+1 .

La suite (xn ) est de Cauchy dans l'espace de Banach E, donc elle converge vers un point x ∈ E tel que u(x) = y. Or, pour tout indice n ≥ 1,

kxn k ≤

n X k=1

kxk − xk−1 k ≤

n X

εk < 1/2,

k=1

donc, par passage à la limite, x ∈ BE (0, 1) ; ce qui implique que u(x) = y ∈ u(BE (0, 1)). L'inclusion (9) est donc satisfaite, ce qui achève la démonstration du lemme.

Théorème 5.2. (Théorème de l'application ouverte).

Soient E et F deux espaces de Banach. Soit u une application linéaire continue de E dans F. Si u est surjective, alors u est ouverte.

Démonstration. Pour n entier ≥ 1, posons Fn = u(BE (0, n)). Les Fn sont des fermés de F tels que ∪n Fn = F. Le théorème de Baire montre qu'il existe un indice n tel que ◦

Fn 6= ∅. On en déduit qu'il existe y ∈ E et r un réel > 0, tels que BF (y, r) ⊂ u(BE (0, 1/2)).

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Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

Posant W = BE (0, 1/2)) − BE (0, 1/2)), on a

BF (0, r) ⊂ BF (y, r) − BF (y, r) ⊂ u(W ) ⊂ u(B(0, 1)). Le théorème découle ainsi du lemme précédent.

Corollaire 5.3. (Théorème des isomorphismes). Toute application linéaire continue bijective d'un espace de Banach E sur un espace de Banach F est un isomorphisme.

Corollaire 5.4. (Théorème du graphe fermé). Soint E et F

deux espaces de Banach. Soit u ∈ L (E, F ). Alors u est continue si et seulement si son graphe G = {(x, u(x)) : x ∈ E} est fermé dans E × F.

Démonstration. Il est simple de vérier que si u est continue alors G est fermé. Réciproquement, supposons que G est fermé. L'espace G est donc de Banach, et l'application v dénie de G dans E par v(x, u(x)) = x est linéaire continue et bijective ; par le corollaire précédent, c'est un isomorphisme, d'où la continuité de l'application u = pr2 ◦ v −1 , (pr2 désigne habituellement la deuxième projection : pr2 (x, y) = y ).

Exercice.

Soient E un espace de Banach, E1 et E2 deux sous-espaces de E tels que E = E1 ⊕ E2 . Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes. (a) E1 et E2 sont fermés dans E. (b) l'application s : (x1 , x2 ) 7−→ x1 + x2 est un isomorphisme de E1 × E2 sur E; ( on dit que E1 et E2 sont des supplémentaires topologiques de E ).

Corrigé.

(a)⇒(b) : Il s'agit d'une application du théorème des isomorphismes . L'espace produit E1 × E2 est un sous-espace fermé de l'espace de Banach E × E, il est donc un espace de Banach. Comme l'application (x1 , x2 ) 7−→ x1 + x2 est une bijection linéaire continue de E1 × E2 sur E , elle est donc un isomorphisme. (b)⇒ (a) : La continuité des applications pi = pri ◦ s−1 : E → E, i = 1, 2 (où pri (x1 , x2 ) = −1 xi , i = 1, 2) montre que E1 = p−1 2 {0} et E2 = p1 {0} sont fermés dans E.

Exercice.

Soient E , F deux espaces de Banach, G un espace normé, u : E → F une application linéaire et f : F → G une application continue injective. Montrer que u est continue si et seulement si, f ◦ u est continue.

Corrigé.

Si u est continue, f ◦ u est évidemment continue.

81

6. Le théorème de BanachSteinhaus

Inversement si f ◦u est continue, d'après le théorème du graphe fermé, il sut de montrons que G = {(x, u(x)) : x ∈ E} est fermé dans E × F. Soit (xn , u(xn )) une suite d'éléments de G, convergente vers (x, y) ∈ E × F. On a (f ◦ u)(x) = lim (f ◦ u)(xn ) ( car f ◦ u est continue et xn −→ x) n→∞

= f (y) (car f est continue et u(xn ) −→ y). Par l'injectivité de f, on obtient u(x) = y i.e. (x, y) ∈ G.

Corollaire 5.5. (Critère de continuité d'une application linéaire).

Soient E et F deux espaces de Banach. Soit u ∈ L (E, F ). On suppose que pour toute suite (xn )n d'éléments de E,   xn → 0 =⇒ y = 0.  ∃y ∈ F, u(xn ) → y Alors l'application linéaire u est continue.

Démonstration. Montrons que le graphe G de u est fermé dans E × F. Soit (a, b) ∈ G,

il existe donc une suite (an ) d'éléments de E tels que xn = an − a → 0 et u(an ) → b. On a u(an − a) → y = b − u(a), donc y = 0 i.e. (a, b) ∈ G.

Ÿ 6. Le théorème de BanachSteinhaus Théorème 6.1. (BanachSteinhaus).

normé et E une partie de Lc (E, F ). Alors

sup kuk < +∞

⇐⇒

Soient E un espace de Banach, F un espace

(∀x ∈ E)

u∈E

sup ku(x)k < +∞. u∈E

Démonstration.

⇒) Claire. ⇐) Pour chaque entier n ≥ 1, on pose En = {x ∈ E : s(x) ≤ n}

avec

s(x) = sup ku(x)k. u∈E

Les En sont des fermés de l'espace de Banach E, leur réunion est E; donc en vertu du théorème de Baire, au moins l'un d'eux, En0 disons, est d'intérieur non vide i.e. contient

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Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

une boule ouverte non vide B(a, 2r). Pour tout x ∈ E tel que kxk = 1, et tout u ∈ E , on a 1 1 ku(x)k = ku(rx + a) − u(a)k ≤ (s(a) + s(a + rx)) ≤ 2n0 /r. r r D'où : sup{kuk : u ∈ E } < 2n0 /r. On en déduit le résultat fondamental suivant utile pour étudier la continuité d'une application linéaire.

Théorème 6.2.

Soient E un espace de Banach, F un espace normé et (un ) une suite d'applications linéaires continues de E dans F. On suppose que la suite (un ) converge simplement vers une application u. Alors (i) u est linéaire et continue (∈ Lc (E, F )) ; (ii) pour toute suite (xn ) d'éléments de E convergeant vers x ∈ E, la suite (un (xn )) converge vers u(x).

Démonstration.

La linéarité de u est immédiate. Par ailleurs, le théorème précédent montre que supn kun k = s < +∞, ce qui entraîne que la suite (un ) est équicontinue sur E, d'où (i). La propriété (ii) se déduit de l'inégalité

kun (xn ) − u(x)k ≤ s.kxn − xk + kun (x) − u(x)k. Comme application, on a

Corollaire 6.3.

Soient E1 , E2 et F trois espaces normés. On suppose que E1 ou E2 est de Banach. Alors toute application bilinéaire B : E1 × E2 → F continue par rapport à chaque variable est continue.

Démonstration. Soit (xn , yn ) → (x, y) dans E1 × E2 . On suppose par exemple que E2

est de Banach. La suite ((B(xn , .))n d'éléments de Lc (E2 , F ) converge simplement vers l'application (B(x, .)). D'après le théorème précédent, la suite (B(xn , yn ))n converge vers (B(x, y).

Ÿ 7. Le théorème de HahnBanach Le résultat suivant est de nature algébrique et il ne fait appel à aucune structure topologique sur l'espace vectoriel considéré E.

83

7. Le théorème de HahnBanach

Théorème 7.1. (HahnBanach, cas réel). Soient E un espace vectoriel sur R, p une semi norme sur E et F un sous espace vectoriel de E. Soit u une forme linéaire sur F telle que (∀x ∈ F ) u(x) ≤ p(x). Alors il existe une forme linéaire u e sur E prolongeant u et vériant

(∀x ∈ E)

u e(x) ≤ p(x).

Démonstration.

Considérons l'ensemble Z des couples (X, v) tels que X s.e.v. de E contenant F, et v une forme linéaire sur X prolongeant u et vériant v(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ X. On munit Z de la relation d'ordre ≤ dénie par :

(X, v) ≤ (X 0 , v 0 ) ⇔ X ⊂ X 0

0 et v/X = v.

Montrons que Z est inductif. Soit M = {(Xi , vi ) : i ∈ I} une partie de Z totalement ordonnée, il s'agit de montrer que M possède un majorant dans Z . On voit que la réunion X des Xi est un s.e.v. de E contenant F et que l'application v dénie de X dans R par v(x) = vi (x) si x ∈ Xi , est bien dénie et est une forme linéaire sur X, prolongeant u et vériant v(x) ≤ p(x) pour tout x ∈ X. L'élément (X, v) est alors un majorant de M dans Z , donc Z est inductif. Le lemme de Zorn dit que Z possède un élément maximal (Y, w). Le résultat cherché s'obtient ainsi en montrant que Y = E. Supposons par l'absurde qu'il existe a ∈ E \ Y, et posons X = Y + R.a. On va aboutir à une contradiction si on trouve une forme linéaire v sur X telle que (Y, w) ≤ (X, v). Pour chaque x = y + λa ∈ X, et pour chaque réel δ, posons vδ (x) = w(y) + λδ. On voit d'abord que vδ est une forme linéaire sur X, prolongeant u. Déterminons des valeurs de δ telles que, pour tout x ∈ X, on ait vδ (x) ≤ p(x) ; c'est à dire

w(y) + λδ ≤ p(y + λa)

quel que soit (y, λ) ∈ Y × R.

Pour cela, il sut que le réel δ vérie

|δ − w(z)| ≤ p(z − a)

quel que soit z ∈ Y.

(10)

Pour z ∈ Y, posons mz = w(z) − p(z − a) et Mz = w(z) + p(z − a). Pour tout (y, y 0 ) ∈ Y 2 , on a

My − my 0 = w(y − y 0 ) + p(y − a) + p(y 0 − a) ≥ p(y 0 − y) − w(y 0 − y) ≥ 0; ainsi, il sut de prendre le réel δ dans l'intervalle [ sup my 0 , inf My ] pour que (10) soit réalisée.

y 0 ∈Y

y∈Y

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Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

Lemme 7.2. Soit E un C−espace vectoriel. Soit u une forme R−linéaire sur E. Alors il existe une unique forme C−linéaire f sur E telle que <e (f ) = u. Une telle application f s'écrit : f (x) = u(x) − iu(ix) quel que soit x ∈ E. Démonstration. Supposons que f existe et écrivons f = u + iv avec v à valeurs réels ; pour tout x ∈ E, on a u(ix) = <e (if (x)) = −v(x), donc v(x) = −u(ix), d'où l'unicité de f. Posons maintenant f (x) = u(x) − iu(ix). On voit que f est une forme vériant f (ix) = iu(x) + u(ix) = if (x), elle est donc

R−linéaire sur E,

C−linéaire sur E.

Théorème 7.3. (HahnBanach, cas complexe). Soient E un espace vectoriel sur C, p une semi-norme sur E et F un sous espace vectoriel de E. Soit f une forme sur F telle que (∀x ∈ F ) |f (x)| ≤ p(x). Alors il existe une forme

C−linéaire fe sur E prolongeant f (∀x ∈ E)

C−linéaire

et vériant

|fe(x)| ≤ p(x).

Démonstration. D'après le cas réel du théorème de HahnBanach, il existe une forme

R−linéaire ue sur E prolongeant u = <e (f ) et vériant (∀x ∈ E)

u e(x) ≤ p(x).

Posons fe(x) = u e(x) − ie u(ix). Le lemme précédent montre que fe est une forme C−linéaire prolongeant f. Pour chaque x ∈ E, soit λx le complexe de module 1, déni par : |fe(x)| = λx fe(x) ; On a

|fe(x)| = <e (fe(λx x)) = u e(λx x) ≤ p(λx x) = p(x), cela achève la démonstration.

7. Le théorème de HahnBanach

85

Théorème 7.4. (version analytique du théorème de HahnBanach). Soient E un espace normé sur K et F un sous espace vectoriel de E. Toute application u ∈ F 0 admet un prolongement u e ∈ E 0 tel que ke uk = kuk. Démonstration. Soit p la semi norme sur E dénie par p(x) = kukkxk. Pour tout x ∈ F, on a |u(x)| ≤ p(x), donc par le théorème de HahnBanach, il existe u e ∈ L (E, K) prolongeant u et telle que |e u(x)| ≤ p(x)

quel que soit x ∈ E.

Une telle application est continue, sa norme vérie l'inégalité ke uk ≤ kuk. L'inégalité inverse est évidemment satisfaite puisque u e prolonge u, d'où ke uk = kuk.

Soient E un e.v. sur K, a ∈ E \ {0} et p une semi norme sur E. Alors il existe une forme linéaire u sur E telle que u(a) = p(a) et |u(x)| ≤ p(x) quel que soit x ∈ E. Si p est une norme k.k, on peut prendre u ∈ E 0 avec u(a) = kak et kuk = 1.

Corollaire 7.5.

= K.a et la forme linéaire f : F → K, x = λa 7→ λp(a), on a |f (x)| = p(x) quel que soit x ∈ F ; le théorème de HahnBanach montre l'existence d'un prolongement u de f tel que |u(x) ≤ p(x) quel que soit x ∈ E. Si maintenant p est une norme, on a f (x) = kxk, donc f ∈ F 0 , et par la version analytique du théorème de HahnBanach, f admet un prolongement u tel que kuk = kf k = 1.

Démonstration. Considérant le sous espace F

Remarque 7.1.

Soit E un espace normé. Le résultat précédent implique en particulier que x = 0 est le seul point de E vériant u(x) = 0 quel que soit u ∈ E 0 .

Corollaire 7.6.

Soient E et F deux espaces normés. On a

Lc (E, F ) est complet

Démonstration.

⇐⇒ F est complet.

⇐) C'est le théorème 2.3. ⇒) Soit (yn )n une suite de Cauchy dans F. Soit a ∈ E de norme kak = 1. D'après le

86

Chapitre 3 :

Espaces normés

FSSM 2006-2007

théorème de HahnBanach, il existe u ∈ E 0 telle que u(a) = 1. Pour chaque indice n, considérons fn : E → F x 7→ u(x)yn . On vérie aisément que la suite (fn )n est de Cauchy dans Lc (E, F ), elle converge donc vers un élément f de Lc (E, F ) ; en particulier la suite (yn )n = (fn (a))n converge vers f (a).

Exercices 1.

(a) Soient A et B deux parties d'un e.v.n E. Montrer ◦

◦

A + B ⊂ A + B, A + B ⊂ (A + B)◦ . (b) Montrer par un exemple que les inclusions précédentes peuvent être strictes.

2.

Soient E un espace normé et A et B deux partie de E (a) Montrer (i) A ouvert =⇒ A + B ouvert. (ii) (A compact et B compact) =⇒ A + B compact. (iii) (A compact et B fermé ) =⇒ A + B fermé. (b) Trouver un exemple où A et B sont fermées, mais A + B est non fermée.

3.

Soit F un s.e.v d'un e.v.n E. Montrer que si F 6= ∅, alors F = E. \ Soit A une partie non vide d'un e.v.n E. Montrer que : A = (A + r.B(0, 1)).

4.

◦

r>0

5.

Soient E un espace normé de dimension nie et A une partie bornée de E. (a) Montrer : ∃(a, b) ∈ A × A, diam (A) = kb − ak. (b) Montrer qu'aucun des points a et b n'est intérieur à A. (c) Montrer : diam (A) = diam (A) = diam (Fr (A)).

6.

Soit E = C ([0, 1], R). Pour tout f ∈ E , on pose : Z 1 Z 1 1 kf k1 = |f (t)| dt, kf k2 = ( |f (t)|2 ) 2 dt, 0

0

kf k∞ = sup |f (t)| dt. t∈[0,1]

(a) Vérier que k.k1 , k.k2 et k.k∞ sont des normes sur E .  1 − nt si t ∈ [0, 1/n] ; (b) On considère la suite (fn ) dénie par : fn (t) = 0 si t ∈ [1/n, 1]. Calculer kfn k1 , kfn k2 , kfn k∞ et en déduire que deux quelconques de ces trois normes ne sont pas équivalentes.

88 7.

Chapitre 3 :

Espaces normés

On munit l'espace E = C ([0, 1], R) de la norme kf k =

Z

1

|f (x)| dx. 0Z

Soit l'application u : E → E, dénie par u(f ) = F : x 7→

x

f (t) dt. 0

8.

9.

10.

i) Montrer que u est linéaire et continue. ii) Montrer que la norme de u, kuk = 1. Soit E = C 1 ([0, 1], C) l'ensemble des applications de [0, 1] dans C, de classe C 1 . Pour chaque f ∈ E, on pose kf k = kf k∞ + kf 0 k∞ . (a) Montrer que (E, k.k) est un espace de Banach. (b) Montrer que la boule unité B(0, 1) de E est équicontinue. (c) Est-ce-que B(0, 1) est compacte ? Soient E , F deux espaces normés, et soit u une application linéaire de E dans F. On dit que u est un monomorphisme si u est injective et si u est continue ainsi que l'application réciproque u−1 : u(E) −→ E. i) Montrer que u est un monomorphisme si, et seulement si, il existe deux constantes α > 0 et β > 0 telles que pour tout x ∈ E on ait :

α kxk ≤ ku(x)k ≤ β kxk . ii) Montrer que le sous ensemble U de Lc (E, F ) constitué par les monomorphismes est ouvert. On désigne par E, l'espace C ([0, 1], R) muni de la norme de la convergence uniforme, par µ et µn les formes linéaires : n R1 P µ(x) = 0 x(t) dt, µn (x) = 1/n x(k/n). k=1

11.

12.

i) Calculer les normes de µ et µn . ii) Montrer que la suite (µn ) converge simplement vers µ. iii) Montrer que dans E 0 , la suite (µn ) ne converge pas vers µ au sens de la norme. Soient E et F des espaces de Banach, on dit qu'une application u ∈ Lc (E, F ) est inversible à droite s'il existe v ∈ Lc (F, E) tel que u ◦ v = IF . Montrer l'equivalence de i) u est inversible à droite. ii) u est surjective et ker u admet un supplémentaire topologique. (Si u est inversible à droite, montrer que E = ker u ⊕ =m v). On considère l'espace de Banach E = C ([0, 1] ; R) pour la norme de la convergence uniforme et un sous-espace vectoriel fermé F tel que tout élément de F soit de classe C 1. i) Montrer que l'application u : f 7−→ f 0 (dérivée de f ) de F dans E est continue (utiliser le théorème du graphe fermé). ii) En déduire que la boule unité de F est équicontinue. iii) Montrer que F est de dimension nie.

89

Exercices

13.

Soit E l'espace des fonctions polynômes sur l'intervalle [0, 1], muni de la norme kP k = sup |P (x)| . Pour tout P ∈ E et tout entier n ≥ 1, on pose : 0≤x≤1

14.

un (P ) = n(P (1/n) − P (0)).

i) Vérier que les un ∈ E . ii) Montrer que la suite (un ) converge simplement et calculer sa limite u. iii) Montrer que u n'est pas continue. Conclure. Soit E0 l'espace vectoriel de toutes les fonctions f continues de R dans R qui s'annulent à l'inni ( c.à.d lim f (x) = 0). Soit EC le sous-espace de E0 dont les éléments sont 0

|x|→+∞

15.

16. 17. 18.

à support compact (Supp(f ) := {x ∈ R : f (x) 6= 0}). On munit E0 et Ec de la norme de la convergence uniforme. (a) Montrer que E0 est complet. (Indication : on pourra montrer qu'il est fermé dans l'espace de Banach Cb (R, R) des fonctions continues bornées de R dans R). (b) Pour tout f ∈ EC et pour tout n ∈ N, on pose : un (f ) = nf (n). (i) Montrer que ∀n ∈ N, un est une forme linéaire continue sur EC , de norme kun k = n. (ii) Montrer que la suite (un ) converge simplement en tout f ∈ Ec . (iii) En utilisant le théorème de Banach-Steinhauss, montrer que Ec n'est pas complet. Soient E un espace normé, H un sous-espace de E , F un espace normé de dimension n et u une application linéaire continue de H dans F . i) Montrer que u se prolonge en une application linéaire continue sur E à valeurs dans F. (Indication : remarquer que F ' Kn et utiliser la version analytique du théorème de HahnBanach). ii) En déduire que tout sous-espace de dimension nie admet un supplémentaire topologique. Soit E un espace normé de dimension innie, montrer que le dual E 0 est de dimension innie. ( Considerer un sous-espace H ⊂ E de dimension nie et utiliser le théorème de Hahn-Banach). Soient E un espace normé, H un sous-espace vectoriel fermé de E et a ∈ E. Montrer l'équivalence : a ∈ H ⇐⇒ (∀u ∈ E 0 ) si u/H = 0 alors u(a) = 0. Soient E un espace normé, A une partie de E et f : A → K une fonction. Soit c > 0. Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes : i) il existe une forme linéaire continue u telle que u/A = f et kuk ≤ c; ii) Pour tout entier n ≥ 1 et pour tout (x1 , . . . , xn ) ∈ An et tout (λ1 , . . . , λn ) ∈ K n n n X X | λi f (xi )| ≤ ck λi xi k. i=1

i=1

Chapitre 4 Espaces de Hilbert Dans tout ce chapitre, les espaces vectoriels sont sur

K = R ou C.

Ÿ 1. Généralités : E ×E −→ K est une forme hermitienne sur E, si 1) pour tout y ∈ E, l'application x 7→ q(x, y) est une forme linéaire sur E; 2) pour tout x, y ∈ E, q(x, y) = q(y, x). La condition (2) s'appelle symétrie hermitienne ; elle entraîne que q(x, x) est réel. Lorsque K = R, q est une forme bilinéaire symétrique.

Dénition 1.1. Soit E un K espace vectoriel. On dit qu'une application q

Remarque. Si q est une forme hermitienne sur E, on a pour tout (x, y, z) ∈ E 3 et tout scalaire λ ∈ K

q(x, y + λz) = q(x, y) + λq(x, z).

Exemple. Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie n. On considère dans E, une base (ek )k=1,...,n et des scalaires akm avec 1 ≤ k ≤ n et 1 ≤ m ≤ n. Si akm = amk pour tous les indices m et k, alors l'application dénie sur E × E par n n n X X X q( x k ek , ym em ) = xk ym akm k=1

m=1

k,m=1

est une forme hermitienne sur E. 91

92

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

Proposition 1.1. Soit q une forme hermitienne sur un tout x, y, z dans E , on a (a) l'identité du parallélogramme :

K−espace vectoriel E.Alors pour

q(x + y, x + y) + q(x − y, x − y) = 2q(x, x) + 2q(y, y) ;

(1)

(b) l'identité de la médiane :

1 q(x − z, x − z) + q(x − y, x − y) = q(z − y, z − y) + 2q(m − x, m − x) 2

(2)

avec m = (y + z)/2.

Démonstration. L'identité du parallélogramme s'obtient en utilisant le développement q(x + y, x + y) = q(x, x) + q(y, x) + q(y, x) + q(y, y), q(x − y, x − y) = q(x, x) − q(y, x) − q(y, x) + q(y, y) et en sommant ensuite membre à membre. L'identité de la médiane s'obtient en remplaçant dans l'identité du parallélogramme x par m − x et y par (y − z)/2.

Dénition 1.2. q est positive si

Soit q une forme hermitienne sur un

(∀x ∈ E)

K−espace vectoriel E. On dit que

q(x, x) ≥ 0.

On dit que q est dénie positive (ou positive non dégénérée) si

(∀x ∈ E \ {0})

q(x, x) > 0.

Dans ce dernier cas, la forme q est notée

q(x, y) = (x|y)

quel que soit x, y ∈ E,

et est appelée produit scalaire. En résumé : Un produit scalaire (.|.) sur E est déni par les trois propriétés suivantes (a) ∀(x, x0 , y) ∈ E 3 , ∀λ ∈ K, (λx + x0 |y) = λ(x|y) + (x0 |y) ; (b) ∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) = (y|x) ; (c) ∀x ∈ E \ {0}, (x|x) > 0.

Dénition 1.3. scalaire.

Un espace préhilbertien est un

K−espace

vectoriel muni d'un produit

1. Généralités

93

Exemples. P 1. L'espace Cn muni de : ((xk )1≤k≤n |(yk )1≤k≤n ) = nk=1 xk yk , est un espace préhilbertien sur C. R1 2. L'espace E = C([0, 1], C) muni de : (x|y) = 0 x(t)y(t) dt, est un espace préhilbertien sur C.

Proposition 1.2.

Soit E un K-espace vectoriel. Soit q une forme hermitienne positive sur E. Pour tout (x, y) ∈ E 2 , on a (a) l'inégalité de CauchySchwarz :

|q(x, y)|2 ≤ q(x, x).q(y, y).

(3)

Lorsque q est dénie positive, l'inégalité de CauchySchwarz devient une égalité si et seulement si x et y sont liés ; (b) l'inégalité de Minkowski : p p p q(x + y, x + y) ≤ q(x, x) + q(y, y). (4) Lorsque q est dénie positive, l'inégalité de Minkowski est une égalité si et seulement si x = λy avec λ réel ≥ 0.

Démonstration. Soit (x, y) ∈ E 2 . Pour chaque scalaire λ ∈ K, posons f (λ) = q(λx + y, λx + y). On a f (λ) ≥ 0 et f (λ) = |λ|2 q(x, x) + 2<e (λq(x, y)) + q(y, y). On voit d'abord que si q(x, x) = 0, alors la positivité de f (λ) pour tout réel λ implique que q(x, y) = 0; l'inégalité de CauchySchwarz est ainsi satisfaite dans ce cas. Plaçons maintenant dans le cas : q(x, x) 6= 0. En choisissant λ = λ0 = −q(x, y)/q(x, x), on obtient 0 ≤ q(x, x)f (λ0 ) = q(x, x)q(y, y) − |q(x, y)|2 , (5) d'où l'inégalité de CauchySchwarz. Par ailleurs, il est clair que si x et y sont liés, l'inégalité en question est en fait une égalité. Inversement, si x et y ne sont pas liés, on a en particulier, λ0 x + y 6= 0, donc, lorsque q est dénie positive, on a f (λ0 ) > 0 et par (5) on voit que l'inégalité de CauchySchwarz est ainsi stricte. L'inégalité de Minkowski s'obtient en écrivant d'abord

q(x + y, x + y) = q(x, x) + 2<e (q(x, y)) + q(y, y),

94

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

puis en majorant <e (q(x, y)) par |q(x, y)| et en appliquant enn l'inégalité de Cauchy Schwarz. Si l'inégalité de Minkowski est une égalité, il en est de même de celle de Cauchy Schwarz, donc, lorsque q est dénie positive, il existe λ ∈ K, tel que x = λy; une vérication directe montre que cette dernière condition est susante uniquement si λ ≥ 0. Cela achève la démonstration de la proposition. Par l'inégalité de Minkowski, on voit que tout espace préhilbertien E peut être muni d'une norme (dite provenant du produit scalaire) dénie par

kxk = (x|x)1/2 . Dans la suite, tout espace préhilbertien sera muni d'une telle norme. Dans un espace préhilbertien, l'identité du parallélogramme (1) s'écrit

kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ;

(6)

l'inégalité de CauchySchwarz (3) s'écrit

|(x|y)| ≤ kxkkyk.

Remarque. Continuité du produit scalaire

(7)

: l'application (x, y) 7−→ (x|y) de E × E sur

K est continue.

Dénition 1.4.

On appelle espace de Hilbert tout espace préhilbertien complet. Un espace de Hilbert est donc un espace de Banach dont la norme provient d'un produit scalaire.

Exemple. On munit l'espace `2 des suites (xn )n≥0 de nombres complexes tels que P n

|xn |2 < +∞ (suites de carré sommable) du produit scalaire : ((xn )n |(yn )n ) =

X

xn y n .

n

Alors `2 est un espace de Hilbert. Par ailleurs, l'espace préhilbertien E = C([0, 1], C) muni du produit scalaire :

Z (x|y) =

x(t)y(t)t 0

n'est pas un espace de Hilbert.

1

95

2. Projection et orthogonalité

Ÿ 2. Projection et orthogonalité Dénition 2.1. Soit (E, d) un espace métrique, a un élément de E, et B une partie de E. On pose d(a, B) = inf d(a, b). On dit qu'un point b ∈ B (lorsqu'il existe) est une projection b∈B

de a sur B si d(a, b) = d(a, B).

Proposition 2.1.

Soit E un espace préhilbertien. Soit C une partie convexe non vide de E. Si un élément x de E admet une projection sur C, alors cette projection est unique. Si le convexe C est complet, alors chaque élément de E admet une projection et une seule sur C.

Démonstration. Posons δ = d(x, C). Si c1 et c2 sont deux points de C

tels que

kx − c1 k = kx − c2 k = δ, alors, par l'identité du parallélogramme (6), on a

kc1 − c2 k2 = k(x − c1 − (x − c2 )k2 = 2kx − c1 k2 + 2kx − c2 k2 − k2x − (c1 + c2 )k2 = 4δ 2 − 4kx − c3 k2 , avec c3 = (c1 + c2 )/2 C étant convexe, donc c3 ∈ C, d'où kc1 − c2 k2 ≤ 0, i.e c1 = c2 . Supposons maintenant que le convexe C est complet. Il existe une suite (cn )n d'éléments de C tels que kcn − xk → δ. En appliquant l'identité du parallélogramme (6) à (cp , cq ), on obtient kcp − cq k2 = 2kx − cp k2 + 2kx − cq k2 − k2x − (cp + cq )k2 ≤ 2kx − cp k2 + 2kx − cq k2 − 4δ 2 ; il en découle que la suite (cn ) est de Cauchy dans C, elle y converge donc vers un élément c vériant δ = kc − xk.

Exemple. Soit E un espace préhilbertien et B sa boule unité fermée. Tout x ∈ E , admet une unique projection PB (x) sur B, dénie par  PB (x) =

x 1 .x kxk

si x ∈ B ; si x ∈ / B.

96

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

En eet, si x ∈ B, on a évidement PB (x) = x. Si x ∈ / B, alors pour tout y ∈ B, on a

kx − yk ≥ kxk − 1 = kxk(1 −

1 1 ) = kx − xk. kxk kxk

Cette projection est unique, puisque B est une partie convexe.

Dénition 2.2.

Soit E un espace préhilbertien. On dit que deux éléments x1 et x2 de E sont orthogonaux, et on écrit x⊥y , si (x|y) = 0. Si A est une partie non vide de E. L'ensemble

A⊥ = {x ∈ E : (∀a ∈ A) (x|a) = 0} est appelé l'orthogonal de A. Par l'identité :

kx1 + x2 k2 = kx1 k2 + 2<e (x1 |x2 ) + kx2 k2 ,

on a

Proposition 2.2 (Théorème de Pythagore). Soit E un espace préhilbertien. Soit x1 , . . . , xn n-vecteurs de E deux à deux orthogonaux. Alors k

n X k=1

2

xk k =

n X

kxk k2 .

k=1

Proposition 2.3. Soit E un espace préhilbertien. Soit A une partie non vide de E. Alors (i) A⊥ est un sous espace vectoriel fermé de E. ⊥

(ii) A = A⊥ .

Démonstration.

Montrons (i). On a, ∀a ∈ A, ∀x, y ∈ A⊥ , ∀λ ∈ K : (λx + y|a) = λ(x|a) + (y|a) = 0, et on utilise ensuite la continuité du produit scalaire. ⊥ ⊥ Montons (ii). On a A ⊂ A⊥ car A ⊂ A. Montrons que A⊥ ⊂ A . Soient x ∈ A⊥ et a ∈ A. Comme x est limite d'une suite (an ) d'éléments de A, et comme Comme

97

2. Projection et orthogonalité

(x|an ) = 0, ∀n ∈ N, alors par la continuité du produit scalaire on a (x|a) = lim (x|an ) = n→+∞

⊥

0. D'où x ∈ A .

Proposition 2.4.

Soit E un espace préhilbertien. Soit C une partie convexe non vide de E. Soient x0 ∈ E et c0 ∈ C. Il y a équivalence entre les trois propriétés suivantes :

(a) c0 est la projection sur C de x0 ; (b) pour tout c ∈ C, <e (x0 − c0 |c − c0 ) ≤ 0; (c) x0 − c0 ∈ C ⊥ lorsque la partie C est supposée un sous−espace vectoriel de E.

Démonstration.

(a) ⇒ (b)) Pour tout c ∈ C , on a kx0 − ck2 = k(x0 − c0 ) − (c − c0 )k2 = kx0 − c0 k2 + kc − c0 k2 − 2<e (x0 − c0 |c − c0 ) ; et comme kx0 − c0 k2 ≤ kx0 − ck2 , il vient

(8)

2<e (x0 − c0 |c − c0 ) ≤ kc − c0 k2 . En remplaçant dans cette dernière inégalité c par tc + (1 − t)c0 , avec t réel dans [0, 1], on obtient 2<e (x0 − c0 |c − c0 ) ≤ tkc − c0 k2 → 0 quand t → 0.

(b) ⇒ (a)) Par l'identité (8), on a donc, pour tout c ∈ C, kx0 − c0 k ≤ kx0 − ck2 . (b) ⇒ (c) Soir c ∈ C. En remplaçant dans (b) l'élément c par λc + c0 avec λ = (x0 − c0 |c), on obtient que <e (λ(x0 − c0 |c)) ≤ 0, i.e. <e (|λ|2 ) ≤ 0, d'où λ = 0. (c) ⇒ (b)) est claire.

Exemple.

Soit E un espace préhilbertien et soit e1 , . . . , en n-vecteurs de E deux à deux orthogonaux, tels que kei k = 1, (i = 1, ..., n). Posons F = Vect(e1 , . . . , en ), le sous−espace engendré par les ei . F est complet, car il est de dimension nie, donc en vertu de la proposition 2.1, chaque x ∈ E admet une projection PF (x) sur F. Plus précisément, on a

PF (x) =

n P

(x|ei )ei ;

i=1

ceci découle de la proposition 2.4, puisque x −

n P

(x|ei )ei ∈ F ⊥ .

i=1

98

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

Corollaire 2.5. Soit E un espace préhilbertien. Soit C une partie convexe de E telle que tout point x de E admet une projection sur C désignée par PC (x). Alors l'application PC : E → C est 1−lipschitzienne. Démonstration. Soit x1 , x2 ∈ E. Posons c1 = PC (x1 ), c2 = PC (x2 ), et x = (x1 − c1 ) − (x2 − c2 ). On a

kx1 − x2 k2 = kc1 − c2 + xk2 = kc1 − c2 k2 + 2<e (c1 − c2 |x) + kxk2 ; or

<e (c1 − c2 |x) = <e (x|c1 − c2 ) = −<e (x1 − c1 |c2 − c1 ) − <e (x2 − c2 |c1 − c2 ) ≥ 0 (d'après (b) de la proposition précédente), il s'ensuit donc que kx1 − x2 k2 ≥ kc1 − c2 k2 .

Dénition 2.3.

On se donne un espace normé E et deux sous−espaces vectoriels E1 et E2 de E tels que E = E1 ⊕ E2 . On dit que la somme directe E = E1 ⊕ E2 est topologique si le projecteur : p1 : E → E1 x = x1 + x2 7→ x1 est continue. Dans ce cas, on dit que E1 et E2 sont des supplémentaires topologiques.

Remarque. La somme directe E = E1 ⊕E2 est topologique si et seulement si l'application :

E1 × E2 → E (x1 , x2 ) 7→ x1 + x2

est un isomorphisme topologique.

Théorème 2.6. Soit E un espace préhilbertien. Soit F un sous espace vectoriel de E diérent de {0}. On suppose que chaque élément x de E admet une projection PF (x) sur F (c'est le cas si F est complet). Alors (a) E = F ⊕ F ⊥ , la somme directe est topologique, le projecteur p1 associé est exactement PF , la norme de l'application linéaire PF vaut 1. (b) (F ⊥ )⊥ = F.

2. Projection et orthogonalité

99

Démonstration. On a F

∩ F ⊥ = {0}, puisque (x|x) = 0 ⇒ x = 0. Par ailleurs, pour tout x ∈ E, d'après (c) de la proposition 2.4, l'élément x2 = x − PF (x) est dans F ⊥ . E est donc somme directe de F et F ⊥ et p1 = PF . Le corollaire précédent montre que PF est continue et kPF k ≤ 1. Or pour tout x1 ∈ F, on a PF (x1 ) = x1 ce qui implique que kx1 k ≤ kPF kkx1 k ; il s'ensuit que kPF k = 1. Montrons que (F ⊥ )⊥ = F. Pour tout x ∈ F, on a x est orthogonal à tout élément de F ⊥ ; d'où F ⊂ (F ⊥ )⊥ . Réciproquement, si x ∈ (F ⊥ )⊥ , on a PF (x) ∈ F ⊂ (F ⊥ )⊥ , donc x − PF (x) ∈ (F ⊥ )⊥ , puisque ce dernier est un sous espace vectoriel de E. Or, d'après (c) de la proposition 2.4, x − PF (x) ∈ F ⊥ , il s'ensuit que x = PF (x) ∈ F. Remarque. Le théorème précédent montre en particulier que dans un espace préhilbertien, tout sous espace vectoriel complet admet un supplémentaire topologique. Soit E un espace de Hilbert. Pour tout a ∈ E, considérons l'application

ϕa : x 7→ (x|a). Il est simple de vérier que ϕa est une forme linéaire continue (de norme kak). Réciproquement, on a le résultat suivant qui est en fait une conséquence du théorème précédent.

Théorème 2.7 (Théorème de représentation de Riesz). Soit H un espace de Hilbert. Alors pour toute forme linéaire continue ϕ sur H, il existe un unique a ∈ H tel que ϕ = ϕa . Démonstration.

Si a existe, alors il est unique ; en eet, si ϕa = ϕb , alors pour tout x ∈ H, (x|a − b) = 0, le choix x = a − b montre que a = b. Établissons maintenant l'existence de a. On suppose que ϕ n'est pas la fonction nulle, sinon on prend a = 0. Comme le noyau F de ϕ est un sous espace fermé de H, et F 6= H, alors par le théorème précédent on peut considérer dans F ⊥ un élément b de norme 1. Soit x ∈ H. On a ϕ(x)b − ϕ(b)x ∈ F, donc ϕ(x)(b|b) − ϕ(b)(x|b) = 0. Il en résulte que ϕ(x) = (x|a), avec a = ϕ(b)b.

Corollaire 2.8.

Si H est un espace de Hilbert sur

H a

→ 7→

H0 ϕa

est ainsi un isomorphisme qui conserve la norme.

R, l'application

100

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

Ÿ 3. Base hilbertienne Dans ce qui suit, δij est le symbole de Kronecker déni par :

δii = 1

et

δij = 0 si i 6= j.

Soit E un K−espace vectoriel normé. On dit qu'une suite (an )n d'éléments de E est totale si le sous−espace vectoriel engendré par les an est dense dans E, en d'autres termes Vect{an : n ∈ N} = E.

Dénition 3.1.

Dénition 3.2.

Soit E un espace préhilbertien. On dit qu'une suite (en )n∈N d'éléments de E est orthogonale si

en ⊥em = 0

chaque fois que n 6= m.

Elle est dite orthonormale si

en ⊥em = δnm

quel que soit (n, m) ∈ N2 .

On appelle base orthonormale ou base hilbertienne toute suite orthonormale totale.

Théorème 3.1 (Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt).

Dans un espace préhilbertien E, on considère une suite {an : 0 ≤ n < M } libre, nie ou innie selon que M soit ni ou non. Alors il existe une suite orthonormale (en )0≤n<M telle que

(∀n ∈ [0, M [∩N)

Vect{a0 , . . . , an } = Vect{e0 , . . . , en }.

Démonstration. Pour chaque entier n ∈ [0, M [, posons

En = Vect{a0 , . . . , an }, et désignons par Pn le projecteur orthogonal sur En . On construit par induction (en )0≤n<M par : e0 = a0 /ka0 k, avec bk = ak − Pk−1 (ak ).

ek = bk /kbk k

101

3. Base hilbertienne

Corollaire 3.2. Soit E un espace préhilbertien. E possède une base hilbertienne au plus dénombrable si, et seulement si, E est séparable. Démonstration. Supposons que E est séparable, alors il existe une suite (an )n d'éléments de E telle que

{an : n ∈ N} = E Posons En = Vect{ap : p ≤ n}, par induction, on construit une suite (Bn )n de parties ni de E telle que



Bn est une base de En Bn ⊆ Bn+1

Alors B = ∪ Bn est une partie libre, dénombrable de E et {an : n ∈ n∈N

N} ⊂ Vect(B).

D'après la proposition précédente, il existe une suite orthonormale (en )n∈N , telle que Vect(B) = Vect{en : n ∈ N}. Donc E = {an : n ∈ N} ⊂ Vect(B) = Vect{en : n ∈ N}. D'où le résultat. Inversement, si E possède une base hilbertienne (en )n∈N , alors dans le cas K = R, on vérie facilement que la partie dénombrable

A={

X

aj ej : J partie nie de

N,

les aj ∈ Q}

j∈J

est dense dans E; dans le cas complexe, on remplace

Q par Q + iQ.

Théorème 3.3 (Existence d'une base hilbertienne).

Tout espace de Hilbert H

possède une base hilbertienne.

Démonstration. Soit A l'ensemble des familles orthonormales de H, muni de l'inclusion. A est inductif, donc d'après le lemme de Zorn, il admet un élément maximal M. Le sous ⊥ espace vectoriel F engendré par M est dense dans H, car sinon, on aurait F 6= {0} ⊥ (en vertu du théorème 2.6), donc pour a ∈ F \ {0}, la famille M ∪ {a/kak} serait orthonormale, ce qui contredit le caractère maximal de M.

102

Chapitre 4 :

Théorème 3.4. E. Alors

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

Soit E un espace préhilbertien. Soit (en )n∈N une suite orthonormale de

(a) Pour tout x ∈ E, la série suivante :

P

n

|(x|en )|2 est convergente et on a l'inégalité de Bessel +∞ X

|(x|en )|2 ≤ kxk2 ;

n=0

(b) Les trois propriétés suivantes sont équivalentes. (i) La suite (en )n∈N est une base hilbertienne de E ; P+∞ 2 2 (l'identité de Parseval) ; (ii) pour tout x ∈ E, n=0 |(x|en )| = kxk P (iii) pour tout x ∈ E, la série n (x|en )en est convergente et on a +∞ X

(x|en )en = x;

n=0

Si l'espace E est supposé de Hilbert, alors chacune des trois propriétés précédents est équivalente à la suivante : (vi) x = 0 est le seul vecteur orthogonal à tous les en (on dit que la famille (en )n∈N est maximale ).

Démonstration. Soient N ∈ N, et x ∈ E, Pour tout entier n ≤ N , on a pn (x) = (x|en )en ,

où pn désigne le projecteur orthogonal de E sur En = Vect(en ). Posons N P PN (x) = (x|en )en , et FN = Vect{e0 , ..., eN }. Comme les En sont orthogonaux deux n=0

à deux, on a donc pour tout entier n ≤ N , x − PN (x) ∈ En⊥ , ce qui implique que x − PN (x) ∈ FN⊥ , c'est à dire PN (x) est la projecion de x sur l'espace complet FN . Montrons (a). D'après le théorème de Pythagore et la décomposition E = FN ⊕ FN⊥ , on a les relations N X |(x|en )|2 = kPN (x)k2 ≤ kxk2 . n=0

Par passage à la limite lorsque N −→ +∞, on obtient l'inégalité de Bessel. Montrons (i)⇒ (ii). Soient x ∈ E et ε un réel > 0. Par hypothèse il existe N ∈ N, et y ∈ FN tel que kx − yk < ε. Comme x − y = (x − PN (x)) + (PN (x) − y) avec x − PN (x) ∈ FN⊥ et PN (x) − y ∈ FN , on a par le théorème de Pythagore

kx − PN (x)k + kPN (x) − yk = kx − yk < ε.

103

3. Base hilbertienne

Il en découle 2

2

kx − PN (x)k = kxk −

N X

|(x|en )|2 ≤ ε2 .

n=0

On obtient ainsi l'inégalité 2

kxk ≤

+∞ X

|(x|en )|2 .

n=0

Cette inégalité est en fait une égalité grâce à l'inégalité de Bessel. Montrons (ii)⇒(iii). Soit x ∈ E. Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N, pour tout p ≥ N on ait :

kxk2 −

p P

|(x|en )|2 ≤ ε2 ;

n=0

on a alors p p p P P P kx − (x|en )en k2 = kxk2 − |(x|en )|2 ≤ ε2 , d'où kx − (x|en )en k ≤ ε, ce qui n=0

n=0

n=0

démontre la propriété voulue. P Montrons (iii)⇒ (i). Puisque pour tout x ∈ E on a x = +∞ n=0 (x|en )en , tout x est limite de sommes nies des combinaisons linéaires des en , donc la suite (en )n∈N est une base hilbertienne de E. Conséquence. (ePn )n∈N est une base hilbertienne de E, si, et seulement si pour tout x, y ∈ E, la série n (x|en )(y|en ), est convergente et +∞ X (x|en )(y|en ) = (x|y).

(?)

n=0

En eet : Si (en )n∈N est une base hilbertienne de E, ∀ (x, y) ∈ E, la série convergente car 1 |(x|en )(y|en )| ≤ (|(x|en )|2 + |(y|en )|2 ). 2 Par ailleurs, en vertu de la continuité du produit scalaire, on a

(x|y) =

+∞ X +∞ X

(x|en )(y|em )(en |em ) =

n=0 m=0

+∞ X

P+∞

n=0 (x|en )(y|en )est

(x|en )(y|en )

n=0

car (xn |ym ) = δnm . réciproquement, si (?) est vériée, on a en particulier l'identité de Parseval, ce qui implique que (en )n∈N est hilbertienne.

104

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

FSSM 2006-2007

Ÿ 4. L'espace de Hilbert `2N (K) N On désigne par `2N (K) le sous-espace vectoriel P de K2 formé des suites x = (xn )n∈N d'éléments de K (K = R ou C) telle que la série n |xn | < +∞. P Si x = (xn )n∈N et y = (yn )n∈N sont deux éléments de `2N (K), la série n xn yn est convergente dans K (car 2|xn yn | ≤ |xn |2 + |yn |2 ). Par ailleurs, on vérie sans peine que l'application X (x, y) 7→ (x|y) = xn y n dénie un produit scalaire dans `N (K).

n∈N

2

Théorème 4.1.

On a

(a) l'espace `2N (K) est de Hilbert ;

(b) si (en )n la suite orthonormale d'éléments de `2N (K) dénie par : en = (δnm )m∈N , alors (en )n est une base hilbertienne de `2N (K). P Plus précisément, pour chaque x = (xn )n ∈ `2N (K), la série n∈N xn en est convergente et de somme x.

Démonstration.

Montrons (a) Soit (x(n))n une suite de Cauchy dans `2N (K). Soit ε un réel > 0. Soit i ∈ N. L'inégalité |xi (q) − xi (p)| ≤ kx(q) − x(p)k montre que la suite (xi (n))n est de Cauchy dans K, elle converge donc vers un scalaire xi . Posons x = (xi )i∈N . La suite (x(n))n étant de Cauchy, il existe donc un entier Nε > 0 tel que, pour tout couple d'entiers (p, q) vériant q ≥ p ≥ Nε , on ait X |xi (q) − xi (p)|2 < ε2 ; i∈N

en particulier pour tout entier N > 0, on a N X

|xi (q) − xi (p)|2 < ε2 ;

i=0

il en découle en faisant tendre q vers +∞, N X i=0

|xi − xi (p)|2 ≤ ε2 ;

K

4. L'espace de Hilbert `2N ( )

105

ainsi kx − x(p)k ≤ ε. On en déduit que x ∈ `2N (K) et x = limn→+∞ x(n). Montrons (b) On a (ei |ej ) = δij et si x = (xi )i ∈ `2N (K), on a (x|ei ) = xi . Soit ε un réel > 0. Il existe un entier N = N (ε) tel que X |xi |2 ≤ ε2 . i>N

Il s'ensuit que

kx −

X

xi e i k 2 ≤ ε2 .

0≤i≤N

Théorème 4.2. On suppose donné un espace préhilbertien séparable E et une base hilbertienne (en )n∈N de E. Alors l'application ϕ : E → `2N (K) x 7→ ((x|en ))n∈N est une isométrie linéaire de E sur un sous espace dense dans `2N (K).

Démonstration. D'après l'identité de Parseval, ϕ est une isométrie sur un sous espace 2 de `N (K). On a ϕ(en ) = (δnm )m∈N , donc, en vertu du théorème précédent (ϕ(en ))n est une base hilbertienne de `2N (K) ; ce qui implique que ϕ(E) = `2N (K).

Corollaire 4.3.

Tout espace de Hilbert séparable est isomorphe à `2N (K).

Exercices

1.

Soit E un espace préhilbertien sur K. (a) Montrer que kx + yk2 − kx − yk2 = 2(x|y) + 2(y|x) (b) En déduire que si K = C, on a

4(x|y) = kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 .

2. 3.

Soient E , F deux espaces préhilbertiens réels et f : E −→ F une application telle que f (0) = 0 et kf (x) − f (y)k = kx − yk pour tout x, y ∈ E. Montrer que f est linéaire. Soit E un espace normé sur K, dans lequel l'identité du parallélogramme :

kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 soit satisfaite pour tout (x, y) ∈ E 2 . (a) Si K = R. (i) Montrer que l'application q : E × E −→ R+ , dénie par :

q(x, y) = 21 (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ), est un produit scalaire sur E. (ii) En déduire que la norme k.k est associée à un produit scalaire et un seul sur E. (b) Si K = C. Montrer que la norme k.k est associée au seul produit scalaire

q(x, y) = 41 (kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2 ).

4.

5.

Soient E un espace préhilbertien sur R, C une partie non vide de E , convexe et complète et soit ϕ une forme continue sur E . (a) Montrer que l'application f (x) = kxk2 + ϕ(x) est minorée. (b) Montrer qu'il existe un unique c0 ∈ C tel que inf f (x) = f (c0 ). x∈C

Soit E un espace préhilbertien (a) Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que tout point de E admet une projection sur F ; si P est le projecteur orthogonal de E sur F , montrer

P 2 = P, et (P (x)|y) = (x|P (y)) pour tout (x, y) ∈ E 2 .

(?)

(b) Réciproquement, soit P : E −→ E une application vériant (?), montrer que P est linéaire, que tout point de E admet une projection sur P (E) et que P est le projecteur orthogonal de E sur P (E).

107

Exercices

6.

On désigne par E, l'espace C ([−1, 1], R) des fonctions réelles, continues sur [−1, 1], muni du produit scalaire Z 1

(f |g) =

f (x)g(x) dx. −1

(a) En appliquant le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmit, construire la suite orthogonale non normée (Pn )n∈N , obtenue à partir du système libre {1, X, X 2 , ...} (b) Montrer que pour tout polynôme Q de degré inférieur ou égal à n − 1, on a (Pn |Q) = 0. (c) Montrer que Z 1 min (X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 )2 dx = kPn k2 . a0 ,...,an−1 ∈R

7.

8.

−1

Soit H un espace de Hilbert, et soit u : H −→ H un application linéaire continue. (a) Montrer que pour tout y ∈ H, l'application x 7−→ (u(x)|y) est une forme linéaire continue sur H . (b) En déduire qu'il existe un élément unique u∗ y de H tel que pour tout x ∈ H, on ait (u(x)|y) = (x|u∗ y). (c) Montrer que l'application u∗ : y 7−→ u∗ y de H dans H est linéaire et continue, et que kuk = ku∗ k. u∗ s'appelle l'opérateur adjoint de l'opérateur u ; et on dira que u est auto-adjoint (ou hermitien) si u = u∗ . Soit H un espace de Hilbert de, dimension innie et S = (en )n∈N∗ une suite orthonormale de H. (a) Montrer que S est fermée, bornée, mais non compacte. (b) Soit (cn )n∈N une suite de scalaires telle que

∀n ∈ N∗ : |cn | ≤

1 . n

P Montrer que l'ecriture +∞ n=0 cn en , a bien un sens. (c) Désignons par C l'ensemble des x ∈ H, de la forme x=

+∞ X n=0

(i) Montrer que C est compact. o

(ii) En déduire que C = ∅.

cn en , avec |cn | ≤

1 . n

108 9.

Chapitre 4 :

Espaces de Hilbert

Soient H un espace de Hilbert séparable de dimension innie, (en )n∈Z une base hilbertienne de H. On désigne par B (resp. S ) la boule (resp. la sphère) unité de H . (a) Montrer qu'il existe une unique application linéaire et continue u : H −→ H , telle que u(en ) = en+1 pour tout n ∈ Z. (b) Montrer que u est une isométrie. (c) On pose f (x) = 12 (1 − kxk)e0 + u(x), montrer que f est un homéomorphisme de S sur S, et de B sur B. (d) Montrer que la restriction de f à B n'admet pas de point xe.

Bibliographie G. Choquet. Cours d'Analyse, tome II. Masson. J. Lelong-Ferrand. J.M. Arnaudièses. Cours de Mathématiques, tome II, Analyse. Dunod.

J.P. Marco. Analyse pour la licence. Masson. H. Queélec. Topologie. Dunod. C. Tisseron. Topologie, espaces fonctionnels. Hermann. C. Wagschal. Topologie et Analyse fonctionnelle. Hermann.