Transformaciones Lineales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA CABIMAS-ZULIA

REALIZADO POR: AGUILAR, JHONNY. CI: 24953340 BARRIOS, YILBER. CI: 24613643 CHIRINOS, LUIS. CI: 24893732 DURAN, ANDRES. CI: 24432434

CABIMAS 26 DE FEBRERO DE 2013 1

INTRODUCCIÓN

En matemática una aplicación lineal

(también llamada función lineal,

transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios

vectoriales

y

se

cumplan

las

condiciones

necesarias.

Las

transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Estas tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

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INDICE INTRODUCCIÓN ________________________________________________________ 2 1. DEFINICIÓN ________________________________________________________ 4 2. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES ____________ 4 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES _ 6 4. CLASIFICACION DE LAS TRANSAFORMACIONES LINEALES __________ 6 5. GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES _______________ 7 6. IMÁGENES DE ESPACIOS GENERADOS _____________________________ 7 6.1.

Teorema ______________________________________________________________ 7

7. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL_________________________ 8 7.1.

Representación matricial de una transformación lineal. __________________ 8

7.1.1. 7.1.2. 7.1.3.

Teorema “a” ______________________________________________________________ 9 Teorema “b” _____________________________________________________________ 9 Teorema “c” _____________________________________________________________ 10

7.2.

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices. ____________ 11

7.3.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales. _______ 11

8. ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES ________________ 13 CONCLUSIONES ______________________________________________________ 15 BIBLIOGRAFÍA ________________________________________________________ 16

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1. DEFINICIÓN Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal. En álgebra

abstracta una

transformación

lineal

es

un homomorfismo entre

espacios vectoriales o en el lenguaje de la teoría de categorías un morfismo sobre la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. Se denomina transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y rango sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: Sean

y

espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo

función de y

en

.

pertenecientes a

, y

una

es una transformación lineal si para todo par de vectores y para todo escalar

perteneciente a

, se satisface

que:

1. 2.

donde k es un escalar.

2. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Sean

y

espacios vectoriales sobre

(donde

representa el cuerpo) se

satisface que: Si

es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de

de la

siguiente manera: 4

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del rango.

El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio: 

dado que

 Dados  Dados

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.

La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del rango que son imágenes de al menos algún vector del dominio. 

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del rango.



El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

5

3. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES 

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface:

4. CLASIFICACION DE LAS TRANSAFORMACIONES LINEALES Recordemos que las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser sobreyectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente:

Transformación

Transformación

Transformación

Sobreyectiva

inyectiva

biyectiva

Se dice que: 

T: V ® W es un monomorfismo si, y sólo si, T es inyectiva. Es decir, T es un monomorfismo si y sólo si" u, v Î V: T(u) = T(v) Þ u = v.



T: V ® W es un epimorfismo si, y sólo si, T es sobreyectiva. Es decir, T es un epimorfismo si y sólo si "w Î W, $ v Î V / w = T(v).



T: V ® W es un isomorfismo si, y sólo si, T es biyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si y sólo si es un monomorfismo y un epimorfismo.



T: V ® W es un endomorfismo si y sólo si V = W.

6



T: V ® W es un automorfismo si y sólo si T es un isomorfismo y un endomorfismo.

5. GEOMETRÍA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformación lineal preserva  Colinealidad: b = ca → T(b) = c T(a)  Proporcionalidad: b = ca → T(b) = c T(a)  La relación entre: d = c1 a + c2b → T(d) = c1 T(a) + c2 T(b)

6. IMÁGENES DE ESPACIOS GENERADOS El siguiente resultado afirma que la imagen de un espacio generado es precisamente el espacio generado por las imágenes individuales de los vectores del generador. 6.1.

Teorema

Sea T : V →W una transformación lineal y sea B = {v1, . . ., vn} el generador de V . Entonces el conjunto T(B) = {T(v1), . . ., T(vn)} genera a la imagen de T. Y por lo tanto, el conjunto imagen de una transformación lineal es un subespacio lineal. Demostración Sea w un elemento de W en la imagen de T, por tanto debe existir un vector v en V tal que T(v) = w. Como B genera a V y v ∈ V deben existir escalares c1,c2,. . . ,cn tales que: v = c1 v1 + · · · + cn vn si aplicamos T a la igualdad anterior 7

T(v) = T(c1 v1 + · · · + cn vn) como T es lineal T(c1 v1 + · · · + cn vn) = c1 T(v1) + · · · + cn T(vn) de donde w = T(v) = c1 T(v1) + · · · + cn T(vn) lo cual dice que w es combinación lineal de T(B). Es decir, w está en el generado por T(B). Hemos probado que: si w está en la imagen de T, entonces w está en el generado por T(B). Por otro lado, si w está en el generador por T(B), entonces deben existir c1, c2, . . . ,cn tales que w = c1 T(v1) + · · · + cn T(vn) siendo T lineal lo anterior queda: w = T(c1 v1 + · · · + cn vn) siendo v = c1 v1 + · · · + cn vn un elemento de V , se concluye que w está en la imagen de T. Hemos probado que: si w está en el generado por T(B), entonces w est´a en la imagen de T. De los dos hechos demostrados se deduce que el conjunto imagen de T es igual al espacio generado por T(B)

7. LA

MATRIZ

DE

UNA

TRANSFORMACIÓN

LINEAL

Y

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL 7.1.

Representación matricial de una transformación lineal.

Sea T : V !"!

W una

T.L

con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es

una

base

de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.

8

Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n. Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas{e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w. 7.1.1. Teorema “a” Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2

en V y

un

conjunto

correspondiente

de

escalares (1,…n) que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u (1,...,un) en V y un conjunto correspondiente de escalares (1,...n) que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(1,…, n) es una representación de T respecto a la base (u1,...,un). Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación

lineal

se

reduce

al

de

hallar

el

elemento

sin

dependientes u1,...,un y los escalares 1,...,n que satisfacen T(uk) = kuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y 1,...,n, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente. 7.1.2. Teorema “b” Sea una matriz de n × n se dice que es un valor propio de A ssi P()=det(A " i) = 0 Esta es la ecuación característica de A, P() se llama polinomio característico de A.

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7.1.3. Teorema “c” Sea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C compleja invertible de orden n × n talque C"1 AC = J Donde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A. más aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base ordenada fija) en el que aparecen los bloques de Jordan. Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas. Definición. Sean Dos

espacios

: vectoriales

sobre

bases una transformación lineal de

,

además:

ordenadas en

de

respectivamente,

y

Se define la matriz asociada a

en las bases

denotada por

donde Además si la base

del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la

matriz asociada a la transformación lineal se denota por 10

7.2.

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: 

Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.



Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRiRi.



Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.

Símbolo: k (Ri + Rj) 7.3.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo. Resuelve el sistema: x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

(-4)R1 + R2

R2 11

(-3)R1 + R3

(-(1÷ 3))R2

(-1)R3

R3

R2

R3

(-5)R2 + R3

R3

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Con

la

matriz

final

regresamos

al

sistema

de

ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución. La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:  El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.  La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.  Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

8. ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Sean

podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada

por

También podemos definir la multiplicación por escalar.

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Sean

definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por

Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 A y F: T1(T2+T3)=T1T2+T1T3 (T2+T3)T1=T2T1+T3T1 (T1T2)=(T1)T2=T1(T2) Si además se cumple que (T1T2)T3=T1(T2T3) entonces A es un álgebra asociativa Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales. Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v)) Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.

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CONCLUSIONES

Luego de haber estudiado cada uno de los aspectos referidos a las transformaciones lineales su puede concluir que:  Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.  Trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos.  El núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del rango.  Las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser sobreyectivas, inyectivas o biyectivas  Una transformación lineal preserva colinealidad, proporcionalidad y la relación entre “d = c1 a + c2b → T(d) = c1 T(a) + c2 T(b)”  La Representación matricial de una transformación lineal es tratada a través de 3 teoremas de forma que se pueda obtener cierto resultado  Una matriz está en forma escalonada si satisface condiciones como la de: si el primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.  Un álgebra sobre cualquier campo es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para elementos determinados.

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BIBLIOGRAFÍA

Departamento de matemáticas, CCIR/ITESM. Transformaciones Lineales. 2009. Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales, 2008 Rodríguez Hert, Jana. Transformaciones lineales. 2008 Ortiz Peralta, Ana Irene. Funciones en algebra, tomo V. 2010 Castellano, Alex. Algebra I. 2002 Gómez, Jerónimo. Algebra, Capitulo 3. 2009

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