Transformada De Laplace

Universidad Nacional de Trujillo Escuela de Ingeniera Agroindustrial

Ecuaciones Diferenciales

RESUMEN TEORICO DE TRANSFORMADA DE LAPLACE DEFINICIÓN 1

La transformada de Laplace de una función F  t  , definida para todos los números reales t  0 se denota por la función f ( s ) y se define f ( s )  L  F (t )  



e

 st

F (t )dt

0

El parámetro s es un número complejo. Se presenta la siguiente pregunta: ¿Qué condiciones de satisfacer la función F para que tenga transformada de Laplace? Con el objetivo de responder la pregunta planteada se dan las siguientes definiciones. DEFINICIÓN 2

Se dice que una función f :  a, b 

es seccionalmente continua si

1.- f está definida y es continua en todo x  a, b ; salvo en un numero finito de puntos xk , para k  1, 2,3,..., n . 2.- Para cada xk , para k  1, 2,3,..., n , los limites:

existen. OBSERVACIONES

1) Solamente uno de estos límites laterales debe existir, si x0 es uno de los extremos del intervalo  a, b .

2) El requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos xk implica que las únicas discontinuidades de f son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la siguiente figura:

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Otra idea fundamental en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido. DEFINICIÓN 3

Se dice que la función f : 0,  

es de orden exponencial si existen

números  , M  0 , T  0 tales que f (t )  Mekt para t  T Intuitivamente que la función f sea de orden exponencial significa que la función f está por debajo de una función exponencial, como se muestra en la siguiente figura:

TEOREMA 1

Si f : 0,  

es una funcion acotada entonces f es de orden exponencial.

EJEMPLO 1

senwt , cos wt son funciones acotadas , en consecuencia son funciones de orden exponencial TEOREMA 2 (Existencia de la Transformada de Laplace)

Si F : 0,   es una funcion seccionalmente continua y de orden exponencial entonces la transformada de Laplace de F existe

OBSERVACIONES

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1) Que la transformada de Laplace de F exista, significa que existe un numero s0 tal

que f (s)  L F (t ) existe para s  s0 2) El teorema anterior, proporciona una condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace, debido a que no es una condición necesaria, puede darse el caso de una función F que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aun así tenga transformada de Laplace. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1.- PROPIEDAD DE LINEALIDAD TEOREMA 3

Si L F (t )  f (s) y L G(t )  g (s) y  es una constante cualquiera entonces 1. L F (t )  G(t )  L F (t )  L G(t ) 2. L  F (t )   L F (t ) 2.-PROPIEDAD DE TRASLACION TEOREMA 4 (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN)

Si F (t ) es una función que tiene una transformada de Laplace f ( s ) entonces L e t F (t )  f  s    3.- TRANSFORMADA DE DERIVADAS

Si L Y (t )  y(s)  y entonces

 

L Y '  t   sy ( s)  Y (0)





L Y ''  t   s 2 y ( s )  sY (0)  Y ' (0)

 ''' t   s y(s)  s Y (0)  sY '(0)  Y ''(0)

L Y

3

2

En general:





L Y  n  t   s n y (s)  s n 1Y (0)  .................  Y  n1 (0)

TEOREMA 5

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Si L F (t )  f (s) entonces la función t n F (t ) (n=1,2,3,…) también tiene transformada de Laplace la cual está dada por L t n F (t )  (1) n f  n   s 

n  1, 2,3,...........,

4.- TRANSFORMADA DE INTEGRALES TEOREMA 6

t  1 1 L  F   d   L F (t )  f (s) s 0  s FUNCION ESCALON UNITARIO DE HEAVISIDE

0 H (t  a)   1

,t  a ,t  a

5.- TRANSFORMADA DE LA FUNCION ESCALON UNITARIO TEOREMA 7

L H (t  a) 

e as s

TEOREMA 8 (SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN) Si L F (t )  f (s) entonces para una constante positiva a

L F (t  a) H (t  a)  eas f (s) FUNCION DELTA DE DIRAC

 , 0 ,

 t  a   

ta ta

6.- TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCION DELTA DE DIRAC

L  t  a   e sa Si en particular a  0 se tiene que

L   t   1 RELACIONES ENTRE LA FUNCION ESCALON UNITARIO DE HEAVISIDE Y LA FUNCION DELTA DE DIRAC RAUL MARTINEZ

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 t  a   H ' t  a  7.- TRANSFORMADA INVERSA Si L F (t )  f (s) entonces L1  f (s)  F (t ) Esta correspondencia entre las funciones f ( s ) y F (t ) es llamada la transformación inversa de Laplace, siendo F (t ) la transformación inversa de f ( s ) .

L1 es llamado el operador transformación inversa de Laplace LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA INVERSA TEOREMA

Si L1  f (s)  F (t ) y L1 g (s)  G(t ) y  es una constante cualquiera entonces 3. L1  f (s)  g (s)  L1  f (s)  L1 g (s) 4. L1  f (s)   L1  f (s) A cada teorema dado para las transformadas de Laplace existe un teorema sobre las transformadas inversas de Laplace TEOREMA

1. L1 F  s     et F (t )

2. L1 e  as f ( s )  F (t  a ) H (t  a )



3. L1 f 

n

 s    1

n n

t F (t )

8.-TEOREMA DE CONVOLUCION Si L1  f (s)  F (t )

y

1

L

L1 g (s)  G(t ) entonces

t

 f ( s) g ( s)   F (u )G (t  u )du  F * G 0

PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION 1. F *G  G * F 2. F *(G * H )  ( F * G ) * H 3. F *(G  H )  F * G  F * H RAUL MARTINEZ

Conmutatividad Asociatividad Distributividad 5

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OBSERVACIÓN 1

t  L F * G  L  F (u )G(t  u )du   f (s) g (s) 0  OBSERVACIÓN 2

L G (t )  L 1 

Si hacemos G (t )  1 entonces

1  g ( s) s

Por teorema de convolución , se tiene que  f ( s)  L1  f ( s ) g ( s )  L1     F (u )du  s  0 t

 f (s)  L     F (u )du  s  0 1

t

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE c s 1 2. L t  2 s

s0

3. L t n  

s0

n es un entero positivo

s 

 es una constante

1. L c 

s0

n! s n 1 1 4. L e t   s 

5. L t n e t  

c es una constante.

n!

s  

n 1

w s0 s  w2 s 7. L cos wt  2 s0 s  w2 w 8. L e  t senwt  2  s     w2

6. L senwt 

2

9. L e  t cos wt 

s 

s   

2

 w2

w es una constante w es una constante

s   ,  , w constantes reales s   ,  , w constantes reales

w s  w2 s 11. L ch wt  2 s  w2

10. L sh wt 

2

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6

Universidad Nacional de Trujillo Escuela de Ingeniera Agroindustrial 12. L t senwt 

s

13. L t cos wt 

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2ws 2

 w2 

2

s 2  w2

s

2

 w2 

2

7