Upn_dinam_s04 (2019-0)

S04. MOVIMIENTO CURVILÍNEO Coordenadas Polares.

LOGRO: • Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas de cinemática de la partícula en sistemas de coordenadas polares.

SISTEMA DE COORDENADAS: TANGENCIAL-NORMAL(EN 3D)

 dv  v 2  dv a et  en  a t  dt  dt

v2 an  

• Los vectores unitarios tangencial y normal forman un plano, denominado plano osculador. • El vector unitario perpendicular al plano osculador, se denomina vector unitario binormal.  en  vector unitario normal  eb  vector unitario binormal

   eb  et  en

• La aceleración no tiene componente binormal.

COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL

  r  re r

 der   e d

 de    er d

  der der d  d   e dt d dt dt   de de d  d    er dt d dt dt

• Cuando la posición de una partícula se expresa en coordenadas polares, es conveniente trabajar con dos componentes: uno paralela a r y otra perpendicular a él. • Velocidad en coordenadas polares:  der dr  dr  d   d  v  rer   er  r  er  r e dt dt dt dt dt    r er  r e • Aceleración en coordenadas polares: d    d  dr  a   er  r e  dt  dt dt    d 2 r  dr der dr d  d 2  d de  2 er   e  r 2 e  r dt dt dt dt dt dt dt dt    r  r 2 er  r  2r e





GRÁFICA DE LA VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

v r  r

ar

v   r a

2  a r  r  r a   r  2r

EJERCICIO 1: El brazo OA mostrado en la figura, rota de acuerdo a la siguiente ley de posición angular:  = 0,15 t2 , donde  se mide en radianes y «t» en segundos. El collar B resbala a lo largo del brazo, de modo que su posición «r» está dada por: r = 0,9 – 0,12 t2 , donde «r» se mide en metros. Para cuando el brazo ha girado un ángulo de 30º, determinar: a) la magnitud de la velocidad del collar; b) la magnitud de la aceleración del collar

vr

v

   v  (0,24t ) er  (0,9  0,12t 2 )(0,30t ) e Para  = 30º:   0.15 t 2  30  0.524 rad t  1.869 s

   v  0,449 er  0,270 e  m/s 2

    v  r er  r e  r  0.9  0.12 t

  0.15 t

2

2

v  0.524 m s r  0.24 t r  0.24

  0.30 t 

  0.30

ar

a













   2     a  r  r er  r  2r e 











  2  2 2 a   0,24  0,9  0,12t 0,30t  er  0,9  0,12t (0,30)  2( 0,24t )(0,30t ) e  Reemplazando t = 1,869 s:

   a   0,391 er   0,359  e  m/s 2

a  0.531m s

EJERCICIO 2: Un tren viaja lo largo de la curva mostrada definida por la espiral r = (1000 /  ) , donde “r” se mide en metros y  en radianes. Si a medida que se desplaza el tren, la posición angular  cambia de modo uniforme a razón de 0,2 rad/s, determinar las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del tren para =9/4 rad.

EJERCICIO 3: El eslabón ranurado AB está siendo conducido por el pin C, a través de la espiral descrita por la ecuación: r = 1,5 m, donde  se mide en rad. Si el brazo parte del reposo cuando  = 60º y es conducido con una ሶ (4 t ) velocidad angular dada por θ= rad/s, donde «t» se mide en segundos, determinar la magnitud de la velocidad y la aceleración del pin C para t = 1s.

CONCLUSIONES • Se analizó las características del movimiento curvilíneo. • Se dedujeron las expresiones de la velocidad y aceleración en el movimiento curvilíneo expresadas a través de coordenadas polares.

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BIBLIOGRAFÍA • Hibbeler R. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. Cap. 12. Pág. 67-79

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