Problemas Resueltos_movimiento Armónico Simple

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE, AMORTIGUADO Y FORZADO

Justo Vladimir Tuñoque Gutiérrez [email protected]

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PROBLEMA 01.

M.A.S.

MAS en un motor de combustión. El movimiento del pistón de un motor de automóvil es aproximadamente armónico simple. a) Si la carrera del pistón (el doble de la amplitud) es de 0,100 m y el motor trabaja a 3500 rev/min, ¿qué aceleración tiene el pistón en el extremo de su carrera? b) Si el pistón tiene una masa de 0,450 kg, ¿qué fuerza neta debe ejercerse sobre él en ese punto? c) ¿Qué rapidez y energía cinética tiene el pistón en el punto medio de su carrera? d) ¿Qué potencia media se requiere para acelerar el pistón desde el reposo, hasta la rapidez determinada en el inciso c)?

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SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 01

Datos: 𝐴 = 0,05𝑚 3500(2𝜋𝑟𝑎𝑑) 𝜔 = 3500𝑟𝑝𝑚 = = 366,5𝑟𝑎𝑑/𝑠 60 𝑠 a) Aceleración máxima: 𝐹 = 𝑚𝑎 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 𝑥𝑘 =𝑎 𝑚 2 𝑥𝜔 = 𝑎 𝐴𝜔2 = 𝑎𝑚á𝑥 Entonces: 𝑎𝑚á𝑥 = (0,05𝑚) 366,5𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 𝑎𝑚á𝑥 = 6,72 × 103 𝑚/𝑠 2 d) ω =

b) Fuerza máxima: Dato: 𝑚 = 0,450 𝑘𝑔 𝐹𝑚á𝑥 = 𝑚𝑎𝑚á𝑥 = (0,450 𝑘𝑔) 6,72 × 103 𝑚/𝑠 2 𝐹𝑚á𝑥 = 3,02 × 103 𝑁 c) Entonces: 𝑣𝑚á𝑥 = 𝜔𝐴 𝑣𝑚á𝑥 = 366,5𝑟𝑎𝑑/𝑠 0,05𝑚 = 18,3 𝑚/𝑠 𝐾𝑚á𝑥 =

𝐾𝑚á𝑥 =

2π T

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1 𝑚𝑣𝑚á𝑥 2 2

1 0,450 𝑘𝑔 18,3 𝑚/𝑠 2

2𝜋 𝑇 𝜋 𝑡= = 𝜔 = 4 4 2𝜔 1 2 𝐾𝑚á𝑥 2 𝑚𝑣𝑚á𝑥 𝜔𝑚𝑣𝑚á𝑥 2 𝑃𝑜𝑡 = = = 𝜋 𝑡 𝜋 2𝜔 366,5 0,450 18,3 2 𝑃𝑜𝑡 = = 1,76 × 104 𝑊 𝜋

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M.A.S.

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= 75,4 J

PROBLEMA 02.

M.A.S.

Cuatro pasajeros cuya masa combinada es de 250 kg comprimen 4,00 cm los resortes de un automóvil con amortiguadores vencidos cuando se suben en él. Modele el auto y los pasajeros como un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el automóvil cargado tiene un periodo de vibración de 1,08 s, ¿qué periodo tiene cuando está vacío? SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 02 Para el sistema (auto+pasajeros) 𝐹 = 𝑘𝑥 = 𝑚𝑔 𝑚𝑔 250𝑘𝑔 9,8𝑚/𝑠 2 𝑘= = 𝑥 4 × 10−2 𝑚 = 6,125 × 104 𝑁/𝑚

Para el auto sin pasajeros

𝑇 = 2𝜋

𝑇 = 2𝜋 𝑇 2𝜋 1,08𝑠 2𝜋

𝑚+𝑀 𝑘

1,56 × 103 𝑘𝑔 𝑇 = 2𝜋 = 1,00𝑠 6,125 × 104 𝑁/𝑚

2

𝑘−𝑚 =𝑀

2

6,125 × 104 𝑁/𝑚 − 250𝑘𝑔 = 𝑀 𝑀 = 1,56 × 103 𝑘𝑔

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𝑀 𝑘

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PROBLEMA 03.

M.A.S.

Se tira de un péndulo simple de 0,240 m de longitud para moverlo 3,50° a un lado y luego se suelta. a) ¿Cuánto tarda la masa del péndulo en alcanzar su rapidez máxima? b) ¿Cuánto tarda si el ángulo es de 1,75° en vez de 3.50°? SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 03

a) 𝑇 = 2𝜋

𝐿 𝑔

= 2𝜋

0.240 9,8

= 0,983𝑠

𝑇 = 0,25𝑠 4 b) Tarda lo mismo porque el periodo no depende de la amplitud angular 𝑡=

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PROBLEMA 04.

M.A.S.

Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1,60 s. ¿Qué periodo tendrá en Marte, donde 𝑔 = 3,71𝑚/𝑠 2 ? SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 04

𝑇𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 2𝜋

𝑇𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒 = 2𝜋

𝐿

… … … . . (1)

𝑔𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎

𝐿 𝑔𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒

… … … . . (2)

𝑇𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒 = 𝑇𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑇𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒 = 𝑇𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 6

𝑔𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 𝑔𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒

𝑔𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 9,8 = 1,6 = 2,60𝑠 𝑔𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒 3,71

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PROBLEMA 05.

M.A.S.

Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha , determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6.0 N causa un desplazamiento de 0,030 m. Quitamos la balanza y conectamos un deslizador de 0,50 kg al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0,020 m por una pista de aire sin fricción, lo soltamos y vemos cómo oscila. a)Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcule la frecuencia angular, la frecuencia y el periodo de la oscilación. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 05

a) Cuando 𝑥 = 0,030𝑚 , la fuerza que el resorte ejerce sobre la balanza de resorte es 𝐹𝑥 = −6,0 𝑁.

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b) Usando m = 0.50 kg

PROBLEMA 06.

M.A.S.

Volvamos al sistema de masa y resorte horizontal que consideramos en el problema 05, con 𝑘 = 200𝑁/𝑚 y 𝑚 = 0,50𝑘𝑔. Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0,015𝑚 y una velocidad inicial de 0,40𝑚/𝑠. a) Determine el periodo, la amplitud y el ángulo de fase del movimiento. b) Escriba ecuaciones para desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 06

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PROBLEMA 07.

M.A.S

En la oscilación descrita en el problema 05, 𝑘 = 200𝑁/𝑚, 𝑚 = 0,50𝑘𝑔 y la masa oscilante se suelta del reposo en 𝑥 = 0,020𝑚. a)Calcule las velocidades máxima y mínima que alcanza el cuerpo al oscilar. b)Calcule la aceleración máxima. c) Determine la velocidad y la aceleración cuando el cuerpo se ha movido a la mitad del camino hacia el centro desde su posición inicial. d) Determine las energías total, potencial y cinética en esta posición. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 07

b)

a)

d)

c)

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PROBLEMA 08.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Una masa de 2,20kg oscila sobre un resorte cuya constante de fuerza y periodo son de 250,0N/m y 0,615s, respectivamente. a)¿Se trata de un sistema amortiguado o no? ¿Cómo lo sabe? Si es amortiguado, calcule la constante de amortiguamiento b. b) ¿El sistema es no amortiguado, subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado? ¿Cómo lo sabe? SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 08

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PROBLEMA 09.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Un ratón de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza 𝑘 = 2,50𝑁/𝑚, sometido a la acción de una fuerza amortiguadora 𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 a) Si la constante 𝑏 = 0,900𝑘𝑔/𝑠, ¿qué frecuencia de oscilación tiene el ratón? b) ¿Con qué valor de b el amortiguamiento será crítico? SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 09

a)

b) ¿de donde proviene esta ecuación?

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PROBLEMA 10.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Un huevo duro (cocido) de 50,0g se mueve en el extremo de un resorte cuya constante de fuerza es k=25,0N/m. Su desplazamiento inicial es de 0,300m. Una fuerza amortiguadora 𝐹𝑥 = −𝑏𝑣𝑥 actúa sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0,100m en 5,00s. Calcule la constante de amortiguamiento b. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 10 A = 𝐴0

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𝑏 − 2𝑚 𝑡 𝑒

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PROBLEMA 11.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS

El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito por la −

𝑏 2𝑚

𝑡

ecuación: 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝜔′𝑡 + ∅ . Sea el ángulo de fase ∅ = 0 . a)Según la ecuación, ¿cuánto vale x en 𝑡 = 0? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en 𝑡 = 0? ¿Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de x contra t cerca de 𝑡 = 0? c) Deduzca una expresión para la aceleración 𝑎𝑥 en 𝑡 = 0. ¿Para qué valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en 𝑡 = 0, la aceleración es negativa, cero o positiva? Comente cada caso en términos de la forma de la curva de x contra t cerca de 𝑡 = 0. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 11 Demuestra las ecuaciones de velocidad y aceleración

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PROBLEMA 12.

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

Una fuerza impulsora que varía senoidalmente se aplica a un oscilador armónico amortiguado con constante de fuerza 𝑘 y masa 𝑚 . Si la constante de amortiguamiento tiene el valor 𝑏1 , la amplitud es 𝐴1 , cuando

la frecuencia angular impulsora es

𝑘 . 𝑚

En términos de 𝐴1 , ¿cuánto vale

la amplitud con la misma frecuencia impulsora y la misma amplitud de la fuerza impulsora 𝐹𝑚á𝑥 si la constante de amortiguamiento es a) 3𝑏1 y b)𝑏1ൗ2?. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 12 𝐹

a) 𝐴2 = 3𝑏𝑚á𝑥 = 𝐴1 /3 𝜔 1

𝑑

𝐹

b) 𝐴3 = 𝑏1𝑚á𝑥 = 2𝐴1 21

𝐹𝑚á𝑥 𝐴1 = 𝑏1 𝜔𝑑

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𝜔𝑑

PROBLEMA 13.

OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocarán a bordo de la Estación Espacial Internacional actúan como sistema de masa - resorte subamortiguado con constante de fuerza de 2,1 × 106 𝑁/𝑚 y masa de 108𝑘𝑔. Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35𝐻𝑧. ¿Satisface el paquete tal requisito? SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 13

No cumple con la condición

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Referencias bibliográficas. • Sears F, Zemansky M, Freedman R. Física Universitaria. Volumen I. 2009.México: Pearson Education. • Serway R. Física. Tomo I. México.1997. Mc Graw Hill.

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