Proyecto Y Cálculo De Estructuras De Hormigón Tomo I - J. Calavera.pdf.pdf

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J. Calavera Dr. In g en iero de C am inos

Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón Tomo I

INTEMAC INSTITUTO TÉCNICO DE MATERIAI.ES Y CONSTRUCCIONES

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A Marina, José, Beatriz, Javier, Jaime, Ignacio, Ana y Fátima. Todos ellos, encantadoras dificultades para terminar este libro.

© José C alavera Ruiz IN T EM A C , S.A. D epósito legal: ISBN : 84 88764 06 5 Tom o I ISBN : 84 88764 05 7 (O b ra co m p leta) Im preso en E spaña por IN FO PRIN T, S.A.

PRÓLOGO " E s p e r a r a s a b e r b a s ta n te , p a r a a c tu a r c o n to d a s e g u r id a d , e s c o n d e n a r s e a la in a c c ió n J e a n R o s ta n d

Este libro contempla, en su totalidad, el proyecto y el cálculo del hormigón estructural, es decir, las estructuras de hormigón en masa, las estructuras de hormigón armado y las de hormigón pretensado, tanto en su variante de armaduras pretesas como en la de armaduras postesas. En cierta manera la raíz de este libro está en otro libro mío, más breve y restringido sólo al hormigón armado, titulado "Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón para Edificios" del que se publicaron dos ediciones, en 1983 y 1991, respectivamente. Sin embargo el nuevo libro, aparte de su extensión mucho mayor (aún conservando una parte del material de él) difiere profundamente de aquél, en particular en los aspectos siguientes: - La publicación de la Instrucción de Hormigón Estructural EHE a primeros de Enero de 1999 ha supuesto no sólo cambios muy profundos en el tratamiento de muchos temas, sino que ha incluido múltiples campos y teorías nuevos. - Este nuevo libro aborda también los otros campos no cubiertos por EHE, es decir las estructuras de hormigón en masa, las de hormigón pretensado con armaduras pretesas y las de hormigón pretensado con armaduras postesas. - Se cubre el campo completo de la Edificación, las Obras Industriales y las Obras Públicas. - Como he ü'atado de hacer en la mayoría de mis libros, también en éste intento presentar los temas aunando el rigor teórico con . la aplicabilidad práctica y prestando una atención especial al tema de los detalles constructivos.

www.libreriaingeniero.com Pienso que el libro, aparte de ser útil a los profesionales en ejercicio, también podrá serlo a los alumnos de últimos cursos de las Escuelas Técnicas. Naturalmente, dada la extensión y detalle con que se presentan la mayor parte de los temas, el uso del libro como texto en las Escuelas ha de ser guiado por la experiencia de los profesores, para decidir lo que debe seleccionarse, cosa difícil dados los actuales planes de estudio. Algunos aspectos del libro requieren comentarios específicos:

Notaciones y Unidades. He seguido las del CEB, básicamente coincidentes con las del Eurocódigo EC-2 y con la Instrucción EHE. En una nota inicial se expone el tema de las unidades, que evidentemente resultará nuevo para muchos lectores, pero que al ser ya el utilizado en toda Europa y tener un importante desarrollo en Norteamérica y Canadá, no presenta más opción que la del decidido paso a su uso cotidiano. Cálculo Manual y Cálculo Informático. En la formación universitaria, este dilema es ya clásico. En los Capítulos 3 al 11, junto a otros temas de inmediata aplicación práctica, he presentado un resumen de los métodos de cálculo manual. La formación de un profesional, con sólo los recursos informáticos, constituye no sólo un gran error sino también un grave riesgo. Los métodos de cálculo manual, los aproximados que expongo en el Capítulo 15 y los métodos de predimensionamiento incluidos en el Capítulo 16, son básicos en la formación de un Proyectista. Quien se forme sólo con recursos informáticos, ni desarrollará su intuición ni adquirirá el sentido de los órdenes de magnitud, aptitudes esenciales para la labor de proyecto. Normativa. Básicamente el libro se ajusta a la Instrucción española de Hormigón Estructural EHE (1999). Sin embargo, frecuentem ente especificaciones con las de las Normas siguientes:

se com pletan

sus

MODEL CODE 90 (CEB-FIP) (1990) EUROCÓDIGO EC-2 (1993) BUILDING CODE REQUIREMENTS FOR STRUCTURAL CONCRETE (ACI 318-95) Las adiciones a diversos temas de acuerdo con estas Normas, se han realizado cuando presentan una documentación alternativa o complementaria, que ha parecido interesante. Ello se hace siempre con el cuidado que el cambio de normativa requiere.

Designación de armaduras. Tanto en armaduras activas como en pasivas nos hemos ceñido a la normativa española, hoy muy en la línea de las normas CEN del Comité Europeo de Normalización. Sin embargo, como muchos de mis libros son de uso frecuente en Iberoamérica, he mantenido también designaciones de acero, y por supuesto tratamientos de cálculo, correspondientes a aceros que están allí en uso y no lo están en Europa.

El Capítulo 25 realiza un estudio extenso del tema de juntas, tanto de dilatación como de trabajo y contracción. Aunque las dos últimas corresponden a la fase de ejecución, es esencial que el proyectista las especifique y prevea adecuadamente. Los Capítulos 25 a 31 contienen la introducción al Hormigón Pretensado, que he tratado de hacer con el detalle y el rigor necesarios. En particular el Capítulo 29 dedicado a las pérdidas de fuerza en el pretensado, lo he redactado con mucha extensión ya que pienso que, con independencia de su cuantificación numérica, la comprensión cierta de las pérdidas es esencial para tener un concepto claro del pretensado. Se ha hecho un gran esfuerzo con la inclusión de numerosas fotografías que espero sirvan para quienes se inicien en el pretensado, para familiarizarse con los equipos y procesos de esta técnica. Los Capítulos 30 y 33 merecen muy especial mención. El 30 está dedicado a la Durabilidad, un aspecto cuya importancia hoy nadie discute, pero he tratado de resaltar en él la gran importancia que el proyecto tiene en la durabilidad. El Capítulo 33, dedicado al método de Bielas y Tirantes, una de las novedades en todas las Normas recientes y muy en particular de la Instrucción EHE, amplía el tema considerablemente. Los Capítulos 34 a 48 se dedican fundamentalmente a la exposición del cálculo de los diferentes Estados Límite Ultimos y de Servicio. He dedicado el Capítulo 49 a las Piezas Compuestas, tema esencial para el proyecto de piezas prefabricadas y generalmente poco tratado en las diferentes Normas. Los Capítulos 50 y 51 están dedicados a los elementos auxiliares en las construcciones de estructuras de hormigón, tales como sistemas de atado, separadores, soldadura, tensores, elementos de suspensión, "inserts diversos", etc. y a los detalles constructivos fundamentales. Los Capítulos 52 a 70 se dedican al dimensionamiento y armado de los diferentes tipos de piezas. Quiero destacar el Capítulo 70, dedicado a los pavimentos, porque los errores en su proyecto son con frecuencia múltiples y de graves consecuencias. He añadido cinco Anejos que tratan temas muy específicos, entre los que debo destacar el de las tolerancias y el del proyecto con hormigón de alta resistencia. En muchos Capítulos se hace referencia a gráficos y tablas que facilitan el cálculo y que alcanzan el número de 139. Van dispuestos al final del libro para no interrumpir la lectura. Aún con la considerable extensión del libro, no es posible naturalmente entrar en tipos de estructuras muy especializadas. Lo he hecho, en algunos casos, en otro de mis libros. En todo caso la bibliografía que acompaña a cada capítulo, puede ser una buena guía para las ampliaciones y profundizaciones.

La ordenación del libro. Los Capítulos 1 a 16 se han dedicado al cálculo estructural, incluida la determinación de las acciones. El Capítulo 10, en particular, presenta temas sobre los que la información disponible suele ser escasa y que sin embargo tienen gran trascendencia en el cálculo de las estructuras y en el coste de las mismas.

Debo terminar expresando mi agradecimiento a muchas personas que me han ayudado en múltiples aspectos. A Enrique González Valle, Juan Cortés Bretón, Justo Díaz Lozano, Jaime Fernández Gómez, Ramón Alvarez Cabal y José M a Izquierdo Bemaldo de Quirós, todos ellos de INTEMAC, por sus críticas y sugerencias.

El Capítulo 17 presenta los métodos de cálculo no lineal y los de redistribución limitada, hoy de empleo obligado en muchos casos.

A Raúl Rodríguez y Francisco Santos, también de INTEMAC, por su ayuda en la programación de los Ejemplos de los Capitulos 31 y 48, respectivamente.

Los Capítulos 18 al 23 tratan los métodos de cálculo de esfuerzos de los tipos estructurales básicos.

A Noelia Ruano, Claudia Patricia Garavito (Ingeniera Civil Colombiana) y a Benjamín Navarrete (Constructor Civil de la Universidad Católica de Santiago de

Chile), doctorandos en mi Cátedra de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid, les debo un doble agradecimiento por su revisión general de todo el original y por la corrección de las pruebas de imprenta. He tenido la fortuna de seguir contando con la colaboración de Maxi Carrero, Isabel Muñiz, Mercedes Julve y María José Giménez para la mecanografía y con la de Antonio Machado, Julián Pérez y Teodomiro Villalón, para la delineación de figuras. He de terminar agradeciendo a INTEMAC su constante ayuda para la edición de este libro, en particular a A.M. Calavera, Jefe del Servicio de Documentación de INTEMAC, que ha coordinado la edición.

Madrid, Marzo de 1999

NOTACIONES DE REFERENCIAS

José Calavera 1. Se recuerda que las referencias a otros apartados del libro se realizan por su número P. ej. “Véase 10.8 ...” 2. La notación entre corchetes indica fórmulas [ 10.2]

3. La notación entre paréntesis indica referencias bibliográficas P. ej. (10.2) es la segunda referencia bibliográfica del Capítulo 10

www.libreriaingeniero.com UNIDADES

U nid ad es S.I.

C antidad

En este libro se ha adoptado el Sistema Internacional de Unidades y Medidas (S.I.). Este sistema es el adoptado por la Instrucción española EHE-98, por el Eurocódigo EC-2 de Estructuras de Hormigón y por el MODEL CODE CEB-FIP 1990. El sistema es el correspondiente a la Norma Internacional ISO 1000 (3a Edición, 1 de Noviembre de 1992) “S.I. units and recomendation for the use of these múltiples and of certain other units”. De acuerdo con ello, las unidades básicas son las siguientes: C an tid ad básica

U nidad básica S.I. N om bre

S ím bolo

L o n gitud

M etro

m

M asa

K ilogram o

kg

T iem po

S egundo

s

De ellas se derivan las que figuran a continuación: U nidad S.I. derivada C an tidad deriv ad a N om bre especial

Sím bolo

E x presión en térm inos de unidades básicas o derivadas S.I.

F recuencia

H ercio

Hz

1 H z = l s '1

F uerza

N ew ton

N

1 N = 1 kg-m /s2

P resión, tensión

P ascal

Pa

1 P a = 1 N /m 2

UNIDADES DE EXPRESIÓN DE LAS FÓRMULAS En general todas las fórmulas de este libro están expresadas en mm y N. En los casos en que se usan otras (múltiplos o submúltiplos), se indica expresam ente en cada caso. En cambio, los datos se expresan en los múltiplos de uso habitual en la normalización europea, transformándose en las unidades S.I. antes de sustituirlos en las fórmulas. A continuación se indican los más habituales.

S ím bolos

E q u iv alen cias

1. D ensidad

k g /m 3

-

2. P eso específico

k N /m 3

1 k N /m 3 = 10-6 N /m m 3

m

1 m = 1000 m m

3. L o n g itu d es dim en sio n ales de las p iezas de la estru ctu ra L uces A nchos C antos R ecu b rim ien to s, etc.

mm mm mm

4. Á reas de las arm aduras

mm2

-

5. Á reas de las secciones transversales de las piezas

mm2

_

6. C ap acid ad es m ecán icas de las áreas de arm ad u ras

kN

1 kN = 1000 N

7. E sfuerzos axiles

kN

1 kN = 1000 N

8. E sfu erz o s cortantes

kN

1 kN = 1000 N

9. E sfuerzos rasantes

kN

1 kN = 1000 N

10. M o m en to s flectores

m kN

1 m kN = 106 m m N

11. M om entos torsores

m kN

1 k N = 1000 N

N /m n r

-

13. M ó d u lo s resistentes

mm3

-

14. M o m en to s de inercia

mm4

-

kN k N /m

1 kN = 1000 N 1 kN /m = 1 N /m m

k N /m 2

1 k N /m 2 = 10'3 N /m m 2

N /m m 2

-

M P a (M egapascales)

1 M P a = 1 N /m m 2

12. M ódulos de elasticid ad

15. A cciones - P untuales - L ineales uniform em en te repartidas - S uperficiales unifo rm em en te repartidas 16. T ensiones 17. R esistencias del h orm igón

CAPÍTULO 1 PLANTEAMIENTO ESTRUCTURAL DEL EDIFICIO

1.1

INTRO DUCCIÓ N

La función primaria de la estructura es resistir las acciones a que ha de estar sometida. En este sentido, muchas veces ha sido comparada al esqueleto en el cuerpo humano, aunque el carácter dinámico del esqueleto hace que la comparación no resulte completamente exacta. La resistencia de la estructura, mencionada en el párrafo anterior, debe entenderse en sentido amplio y no restringirse solamente a la resistencia mecánica de las solicitaciones derivadas de las acciones actuantes. En particular la resistencia a las acciones ambientales y la adecuada durabilidad durante el período de vida útil previsto en el proyecto de la estructura, son aspectos también esenciales. Raras veces la estructura constituye por sí misma la construcción y lo más frecuente es que esté interconectada con otras partes, tales como los cerramientos, divisiones e instalaciones. En este sentido, la estructura no debe nunca ser concebida aisladamente sino que es necesario integrarla desde la concepción inicial en el conjunto del proyecto, de forma que resulte plenamente compatible con el resto de la obra. Esta compatibilidad no siempre es fácil de alcanzar, especialmente porque el gran desarrollo actual de los métodos de cálculo y de las calidades de los materiales ha conducido a que nuestras estructuras sean, o puedan ser, mucho más flexibles que lo eran antiguamente. En sentido vertical, la flexibilidad de los forjados de los edificios está creando problemas en las tabiquerías. Las acciones horizontales sobre edificios cada vez más altos y más esbeltos, han conducido a daños en fachadas y han obligado a desarrollar los sistemas de fachadas "flotantes" y de muros cortina ( l . l ) 1. 1

Los números entre paréntesis corresponden a las referencias bibliográficas indicadas al fin de cada capítulo.

13

www.libreriaingeniero.com En algunos casos, la estructura cumple, aparte sus funciones resistentes, otras tales como las de cerramiento, división o contención. La tendencia actual es clara en ese sentido y está basada en el principio general de construcción de que es interesante desde el punto de vista económico asignar a cada elemento el máximo número de funciones posibles. Sin embargo, la función resistente prima siempre en el concepto esencial de la estructura y resalta su trascendencia desde muchos puntos de vista, pero sobre todo desde el del riesgo y la responsabilidad que su proyecto y ejecución suponen. En claras palabras, el Profesor Fernández Casado lo expresa en su libro "RESISTENCIA" (1.2).

estructura de hormigón desempeña aquí un doble papel, pues por un lado soporta las cargas verticales de zonas secundarias de exposición y de paso de visitantes y, por otro lado, fue utilizada simultáneamente para resistir los empujes inclinados de la cubierta en bóveda espacial de 60 m de luz. La fotografía 1-6 corresponde a las Torres del World Trade Center de Nueva York, con 110 plantas de altura, que deben ser citadas como un ejemplo de integración de conceptos en el proyecto y de excelente correlación entre proyecto y proceso constructivo.

"Este horizonte de la rotura da un dramatismo vital a esta esfera de conocimientos"

1.2

TIPOS DE CONSTRUCCIONES

Los tipos de construcciones de hormigón y en particular los edificios han llegado hoy a un grado de diversificación tal, que suponen el empleo de un número muy variado de soluciones estructurales.

Fotografía 1-3. Teleférico de Fuente-D e (Santander). Ingeniero de C am inos: J. C alavera R uiz A rquitecto: A. H ernández M orales

Fotografía 1-1. Torres de Jerez (M a d rid ) A rquitecto: A. Lam ela; Ingenieros de Cam inos: C. Fernández Casado; J. M anlerola; L. Fernández Troyano

Fotografía 1-2. Factoría de papelera de Andalucía, M enjibar (Jaén) Ingeniero de C am inos: J. C alavera Ruiz

La fotografía 1-1 corresponde a las Torres de Jerez, en Madrid, proyectadas como edificios para oficinas, "colgados" de unos núcleos resistentes. La fotografía 1-2 es de la Factoría de Papelera de Andalucía en Menjibar (Jaén) y representa uno de los tipos de edificio industrial sometido a mayores cargas de uso, que además tienen un fuerte carácter dinámico. La fotografía 1-3 representa la Estación Inferior del Teleférico de Fuente-Dé (Santander). Su estructura, en la que se anclan los cables del teleférico, que en 1.419 m de longitud salvan un desnivel de 754 m sin apoyos intermedios entre estaciones, se encuentra sometida a acciones horizontales muy importantes. La fotografía 1-4 corresponde al Edificio de Contención de la Central Nuclear de Aseó y se refiere a un tipo de construcción de tecnología muy avanzada y de elevada complejidad de proyecto. La fotografía 1-5 es del Ferial de Ganado de Torrelavega. La 14

F otografía 1-4. E dificio de contención en la C entral N uclear de Asco, A se ó (Tarragona) O ficina de ingeniería del proyecto IN Y PS A IN IT E C -B E C H T E L

F otografía 1-5. F erial de Ganado, Torrelavega (Santander) A rquitecto: F. C abrillo; Ingenieros de C am inos: J. C alavera R uiz; E. G onzález Valle

Fotografía 1-6. World Trade C enter (N ueva York); A rquitectos: M. Y am asaki and A ssociated-E. R oberlson and sons; Ingenieros

La fotografía 1-7 corresponde a las Torres Petronas en Kuala-Lumpur, construidas con estructura de hormigón armado de alta resistencia (80 MPa) y que con 88 plantas y 450 m de altura constituyen por ahora el récord de altura en edificios. Finalmente, la fotografía 1-8 presenta la Tome de Comunicaciones de la CNR en Toronto, que con 549 m es el récord de altura en construcciones de hormigón. 15

e) Durabilidad. Una estructura de hormigón debe ser proyectada, construida y utilizada de forma que bajo las condiciones de uso y de exposición ambiental previsible, mantenga en un nivel adecuado su seguridad, funcionalidad y buen aspecto durante el tiempo explícito o implícito para su vida útil. La capacidad de absorción de energía de una pieza de hormigón armado está basada en su ductilidad y es a su vez esencial para que la estructura pueda resistir sin derrumbamiento, acciones horizontales tales como las producidas por terremotos, explosiones, etc.

1.4

ACC IO NES SOBRE LA ESTRUCTURA

La estructura ha de resistir acciones de muy vallados tipos. Algunas son de carácter permanente y otras de carácter variable. Entre ellas, las hay que actúan en dirección vertical u horizontal y otras que pueden actuar en cualquier sentido. Una clasificación genérica es la siguiente: F otografía 1-7. Torres Petronas (K uala Lum pur)

Fotografía 1-8. Torre de C om unicaciones de la C NR (Toronto)

Las acciones pueden clasificarse desde cuatro puntos de vista generales: - Por su naturaleza - Por su variación en el tiempo

1.3

EXIG ENCIAS DE COMPORTAM IENTO

La complejidad y abundancia de los tipos de estructura, tal como hemos señalado en el apartado anterior, conduce a que también sean complejas las condiciones de comportamiento que se les han de exigir. Podemos destacar las siguientes: a) Resistencia. En este aspecto, el progreso de los métodos de cálculo, por un lado, y los estudios probabilísticos sobre la seguridad, por otro, permiten hoy estudios muy rigurosos. b) Estabilidad. Independientemente de los puros aspectos resistentes, el edificio ha de ser estable, tanto frente a acciones de vuelco como a movimientos del terreno. c) Cumplimiento de las condiciones de servicio. Durante la vida útil de la construcción, la estructura debe mantenerse en un nivel aceptable de condiciones de servicio. Entre los estados lím ite. de servicio, cabe destacar:

- Por su carácter estático o dinámico

Clasificación de las acciones por su naturaleza. Desde este punto de vista pueden distinguirse: - Acciones directas. Son las que se aplican de forma directa a la estructura, como por ejemplo el peso propio de la estructura, las restantes cargas permanentes, las sobrecargas de uso, las acciones de viento, los empujes del terreno, etc. - Acciones indirectas. Son aquellas deformaciones o aceleraciones importantes impuestas a la estructura y que de forma indirecta producen fuerzas sobre la estructura, como por ejemplo las acciones reológicas, los efectos de las variaciones de temperatura, los asientos de los cimientos, las acciones del pretensado, las acciones sísmicas, etc.

- Deformaciones verticales de forjados y vigas.

Clasificación de las acciones por su variación en el tiempo. Desde este punto de

- Deformaciones laterales de la estructura.

vista pueden distinguirse:

- Fisuración excesiva de las piezas, debida al alargamiento de las armaduras. - Fisuración o desintegración del hormigón debidas a tensiones excesivas de compresión. - Percepción por lo ocupantes de los movimientos del edificio. (Vibraciones producidas por cargas de uso, flechas laterales debidas al viento, etc.). (1.3), (1.4), (1.5), (1.6). d) Ductilidad. Se entiende por ductilidad de una estructura la capacidad de soportar deformaciones después de alcanzada la deformación de agotamiento, mientras aún resiste cargas. 16

- Por su variación en el espacio

- Acciones permanentes. Las denominaremos con la letra G y son aquellas que actúan en todo instante con magnitud y posición constantes, como por ejemplo el peso propio de la estructura, las restantes cargas permanentes y las sobrecargas de carácter fijo. - Acciones permanentes de valor no constante. La denominaremos con la letra G*, y son aquellas que actúan en todo instante con posición fija, pero cuya magnitud no es constante a lo largo del tiempo, tales como las acciones reológicas, los asientos en los cimientos, la fuerza del pretensado, etc. - Acciones variables. Las denominaremos con la letra Q y son aquellas que pueden actuar o no sobre la estructura, como por ejemplo las sobrecargas de 17

www.libreriaingeniero.com uso, las acciones de viento, las debidas a las variaciones de temperatura, las debidas a los procesos constructivos empleados, etc. -

Acciones accidentales. Las denominaremos con la letra A y son aquellas cuya probabilidad de actuación es muy baja pero que producen efectos de gran importancia, como por ejemplo los impactos imprevistos, las explosiones, los efectos sísmicos, etc.

Clasificación de las acciones por su variación en el espacio. Desde este punto de vista pueden distinguirse: -

-

Acciones fijas. Son las que actúan siempre en el mismo punto y con la misma dirección y sentido, como por ejemplo los pesos propios de la estructura y las cargas permanentes. Acciones libres. Son aquellas cuyo punto de aplicación, dirección o sentido puede cambiar a lo largo del tiempo, como por ejemplo las sobrecargas de uso.

Clasificación de las acciones por su carácter estático o dinámico. Pueden distinguirse: -

-

Acciones estáticas o cuasi-estáticas. Son aquellas que no presentan variaciones especiales de su intensidad a lo largo de la vida de la estructura, o bien presentan sólo un número reducido de variaciones apreciables.

F igura. 1 -9

F ig u r a 1 -1 0

La organización más habitual es la de entramados paralelos entre sí, enlazados por forjados o losas trabajando en una sola dirección. (Fig. 1-10). Para luces grandes, y en especial para edificios industriales, pueden disponerse entramados cruzándose en dos sentidos, en cuyo caso los forjados se transforman en placas. (Fig. 1-11).

Acciones dinámicas. Son las que presentan un número elevado de variaciones importantes de su intensidad a lo largo de la vida de la estructura.

Nuestras exigencias de seguridad no son iguales frente a todos los tipos de acciones. Frente a aquellas cuya aparición se considera muy probable, normalmente se exige que el edificio mantenga sus condiciones de servicio. Para otras, como las acciones sísmicas y la mayoría de las accidentales, se exige simplemente que no se produzca el derrumbamiento de la estructura, pero se acepta no sólo que el edificio no mantenga íntegras sus condiciones de servicio, sino que incluso se produzcan agotamientos locales de la estructura. Lo contrario, al conducir a la exigencia de niveles altos de seguridad frente a acciones sumamente improbables, conduciría a un coste insostenible de la mayoría de las estructuras.

F igura. 1-11

F ig u r a 1 -1 2

Una variante interesante del caso anterior es la de los forjados sin vigas, o placas sobre apoyos aislados, bien macizas o bien aligeradas, tal como se indica en la Fie. 1-12.

1.5

SISTEM AS ESTRUCTURALES

El número de sistemas estructurales es enormemente variado. A continuación y de manera convencional, los analizaremos someramente, clasificándolos en dos grandes grupos según sean primordialmente aptos para resistir acciones verticales u horizontales.

1.5.1 SISTEMAS ESTRUCTURALES ADECUADOS PARA RESISTIR ACCIONES VERTICALES La solución clásica está constituida por forjados, vigas y pilares que transmiten las cargas a la cimentación. (Fig. 1-9). 18

19

El interés principal de este tipo de solución reside en el hecho de que permite una mayor facilidad de distribución en los edificios de viviendas, oficinas, etc., al no existir vigas aparentes en los techos. Una solución alternativa a la indicada en la figura 1-10 se indica en la 1-13 y emplea vigas planas, es decir del mismo canto del forjado. Finalmente, un sistema actualmente en uso es el de losas y muros construidos por el sistema de "encofrados túnel" o sistemas variantes que se indica en la figura 1-14.

1.5.2 SISTEMAS ESTRUCTURALES ADECUADOS PARA RESISTIR ACCIONES HORIZONTALES Si éstas no son muy importantes, el sistema de entramados puede seguir siendo una solución válida (Fig. 1-15). Los forjados funcionan como grandes vigas horizontales, repartiendo las acciones horizontales a todos los entramados mediante lo que habitualmente se denomina "Acción diafragma".

La solución puede estar constituida íntegramente por pantallas, tal como se indica en la figura 1-18. Una variante interesante de lo anteriores la indicada en la figura 1-19, con pantallas alternadas en los diferentes pisos, permitiendo la creación de grandes espacios diáfanos (1.3). Obsérvese que la luz funcional de las losas es el doble de la luz estructural.

-A íl

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b rz i IT pLn ttH “T3 1 A ? 2

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3

SE C C IO N

i

i k -L L O N G IT U D IN A L

P E R S P E C T IV A

F ig u r a 1 -1 9

F ig u r a 1 -2 0

Para estructuras muy altas y esbeltas, suele emplearse la solución en tubo (Fig. 1-20). Se entiende por estructura en tubo aquella formada por tres o más estructuras o pantallas unidas por sus bordes para resistir las acciones horizontales funcionando como un voladizo. Los tubos pueden materializarse en cajas de escaleras, huecos de ascensores y organizarse también en las fachadas, aligeradas por los huecos necesarios (1.4). Una solución, aún más potente en cuanto a recursos, es la indicada en la figura 1-21, compuesta de un tubo en fachada y un núcleo interior, conocida por "tubo en tubo".

M ayor rigidez se consigue rellenando los recuadros de los entramados, total o parcialmente, con materiales tales como ladrillo, bloques prefabricados, etc. (Fig. 1-16).

n

Si las acciones horizontales cobran importancia, será necesario asociar pantallas y entramados, solidarizados por los forjados, tal como se indica en la figura 1-17.

'- r r ' A l n J L n . _Q__ Q - L_, A . -CLJ i——. Q A j ""A 5 i • £

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S E C C IO N

LON G ITU DIN AL

F ig u r a 1-2 1

F ig u r a 1-2 2

P E R S P E C T IV A

F ig u r a 1 -1 8

20

La agrupación de estructuras "tubo en tubo" en paquetes interconectados conduce (Fig. 1-22) al paquete de tubos, que es actualmente la solución de mayores posibi21

www.libreriaingeniero.com Edades paia edificios de muy gran altura. Algunos desarrollos adicionales serán indicados en los Capítulos 15 y 66 y pueden ampliarse en las referencias (1.3) y (1.4). Las torres y depósitos de agua constituyen un caso de construcciones a las que el hormigón proporciona una excelente solución estructural.

O

O

O

BIBLIOGRAFÍA (1.1)

C A L A V E R A , J.; "C o m p atib ility o f stru ctu res w ith the o th er parís o f the b u ilding". C .l.B . C ongress. N ew s R eview . E sto co lm o . 1983.

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Y

F ig u r a 1 -2 3

Las secciones tubulares y/o nervadas, son clásicas en este tipo de estructuras. La figura 1-23 muestra las soluciones más típicas. Todas ellas son realizadas hoy con encofrados deslizantes. La figura 1-24 muestra algunos casos reales.

Fotografía 1-24 a). Torre de Rotterdam A rquitecto: K. S enf

22

Fotografía 1-24 b). Torre de Nennslingeu A rquitecto: G espann Ingenieros: E. Heinle; F. Leonharclt

F otografía 1-24 c). D epósito de agua de la F ábrica de Tetracero (M adrid) Ingeniero de Cam inos: J. C alavera

23

CAPÍTULO 2

DEFINICIÓN DE ESFUERZOS Y ENLACES

2.1

ESFUERZOS

Dada una pieza recta, definimos convencionalmente en ella un sentido de avance. Definido este sentido, quedan definidos en la pieza los extremos dorsal y frontal (D y F respectivamente en la figura 2-1). Elegida una rebanada elemental en la pieza, el sentido de avance permite definir la cara dorsal (BB’) y la frontal (CC’).

A D

B

C

B’

C’

F

F igura. 2-1

F ig u r a 2 -2

En los entramados habituales, suele adoptarse, como sentido de avance en dinteles, el de izquierda a derecha, y en soportes, el ascendente, aunque por supuesto esto es puramente convencional (fig. 2-2). Dada una pieza recta (fig. 2-3), si elegimos en ella una rebanada, la solicitación en la cara frontal se reduce, en el caso más general, a tres vectores, Nx, Ny, Nz, y tres momentos, Mx, My, Mz, referidos a un triedro cuyo centro 0 coincide con el centro de gravedad de la cara frontal de la rebanada; el eje X ’, con la directriz de la pieza, siendo

www.libreriaingeniero.com su sentido positivo el de avance; los ejes Y \ Z \ son los ejes principales de inercia de la sección correspondiente a la cara frontal. La solicitación en la cara dorsal de la rebanada, cuando el espesor de ésta tiende a cero, se reduce a seis componentes opuestos (en el límite iguales en valor y de signo contrario).

En resumen, la solicitación más general sobre una rebanada de una pieza recta está constituida por: Nx V y, V z Mfy, Mfz Mt

Esfuerzo axil Esfuerzos cortantes Momentos Lectores Momento torsor

Cuando V = M fz = M ( = 0, estamos en el caso de solicitación en el plano definido por la directriz de la pieza y por el eje Z \ principal de inercia. El caso de piezas con un plano de simetría, denominado plano medio, en el que están situadas las acciones, es muy frecuente en la construcción de hormigón armado. En ese caso (fig. 2-4), una vez fijado el sentido de avance, se definen los extremos dorsal y frontal de la pieza (D, F) y las caras frontal y dorsal (BB ’, CC’) de la rebanada. El sistema de ejes es ahora O X ’ Y ’ y la solicitación se reduce a tres esfuerzos: Esfuerzo axil N:

F ig u r a 2 -4

Los doce componentes que actúan sobre ambas caras de la rebanada dan lugar a los seis esfuerzos siguientes:1 N x y su opuesto,

Nz y su opuesto,

Momento flector M t: Formado por el par de momentos M, -M. Es positivo cuando lo es la componente M de la cara frontal, o sea cuando el sentido de M es contrario al reloj.

constituyen el esfuerzo cortante Vy positivo cuando lo es la componente Ny en la cara frontal, o sea cuando el par formado por Ny y su opuesto tienden a hacer girar la rebanada alrededor del eje Z ’ en el sentido de giro del semieje + X ’ al semieje + Y ’.

Debe notarse que los esfuerzos no son fuerzas ni momentos, sino pares de fuerzas o momentos, iguales y de signo contrario cuando el espesor de la rebanada tiende a cero. Sus dimensiones son las de una fuerza para esfuerzos axiles y cortantes y las de una longitud por una fuerza para los momentos Lectores.

constituyen el esfuerzo cortante V z positivo cuando lo es la componente Nz en la cara frontal, o sea cuando el par formado por Nz y su opuesto tienden a hacer girar la rebanada alrededor del eje Y ’ en el sentido de giro del semieje +X’ al semieje + Z \

2.2

constituyen el momento flector Mfy positivo cuando la componente My en la cara frontal coincide con el sentido de giro del semieje +X ’ al semieje + Z \

M z y su opuesto,

constituyen el momento flector Mfz positivo cuando la componente M z en la cara frontal coincide con el sentido de giro del semieje +Y ’ al semieje + X \

1

26

Esfuerzo cortante V: Formado por el par de vectores Ny, - Ny. Es positivo cuando lo es la componente Ny de la cara frontal respecto al sistema de ejes X ’, Y ’, o sea cuando tiende a hacer girar la rebanada en sentido contrario al reloj.

constituyen el esfuerzo axil, positivo cuando la componente Nx en la cara frontal es positiva, o sea cuando Nx y su opuesto producen tracción en la rebanada.

M y y su opuesto,

Mx y su opuesto,

Formado por el par de vectores Nx, - Nx. Es positivo cuando lo es la componente Nx de la cara frontal respecto al sistema de ejes X ’, Y ’, o sea cuando produce tracción en la rebanada.

constituyen el momento torsor M t positivo cuando su componente Mx en la cara frontal coincide con el sentido de giro del semieje +Z’ al semieje + Y \

En todo lo que sigue, las fuerzas se consideran positivas en los sentidos positivos de los ejes. Para los m om entos, se considera positivo el sentido de giro contrario a las agujas del reloj.

ENLACES

Denominamos enlace a la unión de una pieza en sus extremos a otras piezas o elementos. La existencia del enlace supone siempre una coacción en esa extremidad de esa pieza, en el sentido de que está impedido el corrimiento en el sentido de alguno de los tres ejes, o los giros alrededor de dichos ejes (fig. 2-3). El número máximo de coacciones ha de ser por tanto 6, y en cualquier apoyo en el espacio, siendo R el número de reacciones (coacciones) y G el de grados de libertad, se ha de cumplir R+G=6

[2-1]

En la tabla T-2.1 se indican algunos esquemas de dispositivos de apoyo. En estructuras planas, la ecuación anterior se transforma en R+G= 3

[2-2]

y la tabla T-2.2 indica algunos esquemas. 27

TABLA T-2.1 EN LA CES EN ESTRU CTU RA S ESPACIALES

2.3

DEFO RM ABILIDAD DE APOYOS

Cuando un apoyo sufre corrimientos o giros en el sentido de alguna de las coacciones que presenta, se denomina apoyo deformable frente a esa coacción. Un caso particular importante de apoyo deformable es el apoyo elástico, que es aquel cuya deformación es proporcional a la reacción producida. Los esfuerzos producidos por la deformación de los apoyos, se denominan generalmente como esfuerzos debidos a las deformaciones impuestas.

TABLA T-2.2 EN LA CES EN ESTRUCTURA S PLANAS

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CAPÍTULO 3 COEFICIENTES ELÁSTICOS

3.1.

INTRODUCCIÓN. M ÉTODOS DE CÁLCULO LINEAL

Entendemos por métodos de cálculo lineal de estructuras, aquéllos que se basan en la hipótesis de que el material que constituye la estructura cumple las leyes de HOOKE y BERNOUILLL Esto conduce, como veremos, a la ausencia de puntos singulares en las curvas deformadas de los ejes de las piezas (o, si se quiere, a la continuidad de las derivadas primeras de las funciones que representan dichas curvas deformadas), por lo que a veces son designados como métodos basados en la “continuidad teóiica . La esencia de estos métodos está basada en la relación lineal entre momentos y curvaturas y en ellos las solicitaciones son proporcionales a las acciones. Por supuesto, estos métodos no han estado ni están exentos de críticas^ y desde hace algunos años empiezan a ser sustituidos por otros basados en hipótesis de deformación plástica o al menos no lineal. Entre los primeros están los métodos basados en la formación de rótulas plásticas y entre los segundos aquéllos basados en el establecimiento experimental de las funciones no lineales momentos/curvaturas, cuestión esta última en la que se está trabajando intensamente. Al margen de que los métodos clásicos puedan, en el futuro, ser parcial o totalmente abandonados, es forzoso reconocerles que el extraordinario desarrollo que ha tenido el cálculo de las estructuras y la importancia de sus realizaciones están fundamentalmente basados en ellos.

3.2.

ECUACIÓ N DE LA ELÁ STIC A DE UNA PIEZA RECTA

Sea una viga recta AB (Fig. 3-1) y sea APB la curva deformada de su eje bajo la acción de las cargas. 31

A cada punto P de la viga, le corresponde una sem itangente t en el sentido de avance, a la cual va ligado un ángulo (p, form ado por la paralela PQ al sem ieje + X y la sem itangente t. El ángulo tp es positivo cuando se recorre de PQ a t en sentido contrario al reloj.

— = e r y com o de acuerdo con la ley de H O O K E a = eE Y según la ley de N A V IE R 1 M fv a = resulta por tanto

v

a

Mf v

1

Mf

r

E

El

r

El

[3-1]

I ap ro p ied a d L a curvatura2 en cada punto de la elástica es proporcional al m om ento flectoi que actúa en su sección.

2 ap ropiedad

E n la figura 3-2 se representa una rebanada PR, QS, de espesor en la fibra neutra M N . P ara determ inar la ecuación de la elástica es necesario establecer las hipótesis siguientes:

El El radio de curvatura vale r = — , luego, cuando M f = 0, r = Mf

E n los puntos de

m om ento nulo, la elástica tiene un punto de inflexión (o es recta). L a ecuación de la elástica, sin m ás errores que los que entrañan las dos hipótesis adm itidas, será una función y = f (x), que viene definida por la ecuación diferencial

P rim era H ipótesis. L ey de H O O K E La relación entre tensiones y deform aciones es de la form a (m ódulo de elasticidad) es una constante de cada m aterial.

o

=

e

E, donde E

Segunda H ipótesis. L ey de BERNO U ILL1

1

N ótese que la ley de N avier se deduce sim plem ente de aplicar a la sección las ecuaciones de equilibrio sin m ás hipótesis previas que las de H O O K E y B ERN O U ILLI.

2

Sea una curva y y un punto P. Se tom a otro punto Q, tal que R ) = ds: las tangentes en P y Q form arán un ángulo que llam am os d tp, que es igual al que form an las norm ales a la curva en P y Q. Cuando ds—>0 se tiene r d tp = ds pues wP = wQ en el lím ite. Por tanto r =

Las secciones planas y perpendiculares al eje antes de la deform ación siguen siendo planas y perpendiculares al eje después de ella. Prim eram ente determ inam os los radios de curvatura en los distintos puntos de la elástica.

se define com o el valor inverso del radio de curvatura r) vale

dtp ds

.

y por tanto la curvatura (que

d(í>

R ecuérdese que la expresión del radio de curvatura r para una curva y = f(x) en coordenadas cartesianas rectangulares es: r =

Por la hipótesis de B ernouilli, las curvas M N y PQ son paralelas (norm ales com unes), luego para el trozo M N se puede escribir. r

ds

r

ds

v

di - ds

r+ v

di

r+ v- r

di - ds

r

ds

i

pero di - ds es la variación de longitud de PQ , cuya longitud antes de la deform ación de la pieza era ds, luego 33

www.libreriaingeniero.com _ V (1 + y ’2)3 y”

+ yu

El Mf

Como las deformaciones de las piezas utilizadas en construcción son siempre muy pequeñas, puede aceptarse que y’ = tg cp = O1, y resulta la ecuación y” = — El

[3-2]

Por tanto, si M f > 0, la curva elástica es cóncava para un observador situado en el punto del infinito del eje + y. Si M f < 0, la curva elástica es convexa.

F ig u r a 3 -3

con la condición de que cpj, representa el menor de los dos ángulos que forman el eje + x y la semitangente en sentido de avance, siendo positivo este ángulo si se recorre en sentido contrario al de las agujas del reloj.

3.3.

TEOREM AS DE M OH R 3.3.1. PRIMER TEOREMA DE MOHR De [3.2] y’ = tg cp =

Mf — - dx Sea el caso indicado en la Fig. 3-4 en el que, de acuerdo con lo anterior, tenemos:

y sustituyendo tg (p por sen (p se tiene: Mf sen cp = — dx El

[3.3]

Para dos puntos de abscisas Xj y x2 y ángulos de semitangentes cpx y (p2, podemos escribir Mf

sen cp2- sen cpj =

dx

[3.4]

, El En la definición de signos se ha aceptado como ángulo cp el que forma el eje + x con la semitangente en el sentido de avance, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.

cp2-cpi =

Para lo que luego sigue y que consiste en la sustitución del seno por el arco, conviene evitar confusiones como la que puede surgir en el caso de la Fig. 3-3, en la que sen cp( es muy pequeño y cpt sería próximo a 2 tu. Al efecto, convendremos que Cpj-(p2 : sen cpj ~ cpj =

Mf dx

[3.5]

dx

que puede ponerse en la forma

92-1 : La sustitución envuelve un pequeño error sin importancia práctica ninguna. Pero obsérvese que en una pieza de sección constante, el caso de momento flector también constante corresponde a la llamada “flexión circular”, ya que la elástica es un arco de circunferencia, mientras que la fórmula y” = — conduce a un arco de parábola.

Mf

[3.6]

El

El

1

2M f -dx El

'M f -dx El

[3.7]

siendo cp2_j el ángulo recorrido para llevar t2 a t, por el menor de los dos ángulos que forman, de acuerdo siempre con el sistema de signos de ángulos ya establecido. 35

Teorema: El ángulo (p2.¡ form ado por las tangentes t2 y t} en dos puntos de la elástica de abscisas x 2 y x¡, es igual al área comprendida entre el eje x, las abscisas x¡ y x 9 y la curva cuyas ordenadas valen en cada punto

— — .

Si en la viga el producto E l es

El constante entre las abscisas x¡ y x 2, la curva es la del diagrama de momentos flectores, bastando dividir el área por El.

3.3.2. SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

NM es positivo cuando el sentido del vector NM coincide con la dirección positiva del eje y.

Teorema: La distancia de un punto N de la elástica, de abscisa x }, al punto M donde la tangente a la elástica en otro punto de abscisa x 2 corta a la ordenada de x }, es igual al momento estático respecto a x = x, del área encerrada entre el eje x, las ordenadas x = x¡, x = x 2 y la curva de momentos divididos p o r EL

3.4.

PIEZA RECTA, EM PO TRADA POR SUS EXTREM OS, DE SECCIÓN E l VARIABLE

Sean dos puntos de abscisas Xj y x2 (Fig. 3-5). Vamos a determinar el valor del segmento MN, siendo N el punto de la elástica de abscisa x 1 y M el de intersección con su ordenada de la tangente t2, en el punto de abscisa x9. +y

M e tí

Sea x la abscisa de un punto variable entre Xj y x2 y x + dx un punto infinitamente próximo. Las semitangentes en estos puntos formarán un ángulo d(p.

F ig u r a 3 -6

En el triángulo PQR, PQ = PR, pues d(p es infinitésimo y podemos aceptar eos cp = 1. Sea Mj el momento flector en la viga apoyada por sus extremos y sometida a las mismas cargas. Las secciones de apoyo girarían unos ángulos 0d y 0f. Para reducir esos ángulos a cero, aplicamos unos momentos en los extremos, de valores M ed y M ef. (Momentos que el empotramiento ejerce sobre los extremos de la pieza).

Luego, dl= (x— Xj) dtp NM = -

“(x — x,)dcp 1

Mf y como cp = sen cp de [3.3] resulta dep = — - dx El f 2 Mf NM : (x — x ,) dx El

Consideramos un caso de carga, el de la viga isostática a la que corresponde una ley de momentos M 1 (x), unas reacciones de apoyo Y ld, Y lf, y una ley de esfuerzos cortantes (x).

[3.8]

Consideremos otro estado, el de la viga isostática pero sometida solamente a la acción de los momentos exteriores Med, Mef que dará una nueva ley de momentos flectores M 2 (x), unas reacciones de apoyo Y2d, Y2f, y una ley de esfuerzos cortantes Q2 00. La suma de los dos estados nos da el estado de doble empotramiento.

1

36

El signo m enos se introduce por conveniencia para la regla de signos de N M que se indica m ás abajo.

Tenemos para el segundo estado aplicando las ecuaciones de equilibrio 37

www.libreriaingeniero.com Mef + M ed + Y2f L - O -» Y2f = ■

Mef + M ed

[3.9]

L

y las reacciones de apoyo Yf = Y lf -

”^2d + Y 2f - O

Mef + M ed

[3.17]

M ef + M ed

•Y

[3.10]

M2 ( x ) = Mef - Mef+Med (L - x) = Mef ^ + Med

M ef + M ed

[3.18]

[3.11] Caso particular

La ley de momentos flectores del estado suma será x

x

L

Mf —Mj (x) + M f — h M ed--------

[3.12]

Un caso particular de notable importancia lo constituye la pieza recta de sección El constante. En este caso el sistema [3.13], [3.14] se transforma en

La condición de doble empotramiento puede expresarse por medio de los dos teoremas de MOHR aplicados a las secciones extremas. En primer lugar, el ángulo formado por las tangentes a la elástica en los puntos de abscisas x = 0 y x = L ha de ser nulo, luego Mf

o

dx = 0

x o

Mf

X

dx M ef Mj (x) — + — 0 El L •'o

dx = 0

El

o

dx

M,ed

El

L

dx (x -L ) — =0 El

L

dx x (x - L) — = 0 'c El

( x - L ) dx = 0

L

x (x - L) dx = 0

o bien Mi (x) dx + — (Mef - M ed) = 0 2

resultando el sistema i L

A dx H------

M., M P1 x2 dx + x M 1 (x) dx + L *,o

o El y en segundo lugar, la tangente en el punto de la elástica de abscisa x = L ha de interceptar en la vertical de abscisa x = 0 una distancia nula, o sea

Mj (x) dx + ----L 4o

x M, (x) dx H o

[3.13]

L2

L2 M ef - — M ed = 0 3 6

[3.19]

[3.20]

Resolviendo el sistema y llamando: dx M ef x M , (x) — +- ef El L *o

El

[3.14]

Q = Q i(x )

38

M. (x) dx = ''o

Resolviendo este sistema se obtiene M ed y Mef y con ello las expresiones generales de los esfuerzos resultan: M f = M 1 ( x ) + M ef- ^ + M ed^ L

L

A=

[3.15]

M pf + M .j - -------------------------------------------[3.16]

S=

área de la curva de momentos flectores en la viga simplemente apoyada con las mismas cargas.

L x Mj (x) dx = momento estático, respecto al apoyo dorsal, de la curva de momentos flectores en la viga simplemente apoyada con las mismas cargas.

se obtiene

2A _ 6S r — __ L2 ef L

[3.21]

4A r — ed L

[3.22]

6S L2

39

3.5.

COEFICIENTES ELASTICOS

En el caso particular de piezas de sección El constante resulta

Supongamos una pieza recta de sección E l variable, con articulación dorsal y empotramiento frontal.

L

(x2 - Lx) dx

+y

Mcf = - M d x2 dx vo

3.5.1.

FACTOR DE TRANSMISION

Se define como el cociente del momento transmitido Mef, al aplicado Md y lo designaremos por pdf (transmisión del extremo dorsal al frontal).

F ig u r a 3 -7

De acuerdo con la fórmula [3.24] resulta Suponemos que en el extremo dorsal (articulado) actúa un momento exterior (no un momento de empotramiento) Md. Esto producirá un momento de empotramiento frontal M ef y unas reacciones Yd, Yf. Vamos a calcularlos.

L

dx (x2 - Lx) EI M ef

P d f -------

Aplicando las ecuaciones de equilibrio.

-

Yd + Yf = 0 M d + Mef + Yf L = 0

dx x2 El

[3.25]

mh

M d + M ef

Yf =

Para el caso de sección El constante, ya hemos visto que M ef

L

M d

^

•

es decir,

El momento flector en el punto de abscisa x vale Mef = J _ Mr = Mef + Yf ( L - x )

[3.23]

o bien M

f

= Mef-*~ + M d-

Mef L

x2^ o

- ^ El L

L

Se define como la relación entre el momento aplicado en el extiemo libie paia girar (el dorsal en nuestro caso), y el giro producido. Por tanto, para cada pieza, según se suponga libre para girar el extremo dorsal o el frontal, existe la rigidez dorsal y la frontal (Kd, Kf). [3.24]

Mcf = - M dx

En nuestro caso K„ =

El

Esta expresión nos proporciona el valor del momento que resulta en un extremo empotrado, cuando en el otro, libre para girar, se aplica un momento exterior. 40

Pdf “ Pfd*

3.5.2. RIGIDEZ DE LA PIEZA EMPOTRADA

dx (x2 - L x )— = 0 o El

dx (x2 - Lx) H y por tanto

[3.26]

2

Análogamente existe un factor de transmisión Pfd (del extremo frontal al dorsal). Podría deducirse una fórmula análoga a la [3.24], pero es más sencillo situar la pieza en posición inversa, en el mismo sentido de ejes. Por supuesto, si la pieza es simétrica,

x- L

Aplicando el segundo teorem a de MOHR, imponemos la condición de empotramiento en el apoyo frontal

dx xM f— = 0 El ♦'o

Md

M,i

[3.27]

siendo 0 el ángulo girado De acuerdo con el primer teorema de MOHR 41

www.libreriaingeniero.com Aplicando al caso de la figura 3-8 las ecuaciones de equilibrio. dx Mf —— puesto que la tangente en el extremo frontal coincide con el eje x El

Yd + Yf - 0

sustituyendo [3.23] Ma.

dx

Mh

M d + Yf L = 0

dx

(x -L )

El

Mf = -

M fi

(L -x )

y como M ef = pdf M á se tiene L

Mh P d f,

L

L n dx dx x — + (x -L ) — o El *o El J

Aplicando el segundo teorema de MOHR 0 NM = -

o bien dx

Md L

'

x (1 + Pdf) - L

[3.28]

El

iL

(x -L )

Md Md 1 dx - — (L -x ) — = L ' L L J El \

NM _

L ~

y por tanto Kh =

Mh

[3.29] x ( l + Pdf) - L

dx (L -x )2 — El

dx (L -x )2 — L2 Jo El

Md

L2

Mh

[3.31]

dx o dx ( L - x 2) — o El

El Para el caso particular de sección El constante resulta Kd = Kf :

4 El

Para el caso de sección El constante resulta [3.30]

L

3 El

[3.32'J

Kd = “ T 3.5.3.

RIGIDEZ DE LA PIEZA ARTICULADA

En muchos casos se presentan piezas articuladas y es conveniente calcular la rigidez correspondiente.

es decir, que la rigidez en el caso de pieza articulada es tres cuartos de la de la pieza empotrada.

F igura 3-8

43

CAPÍTULO 4 CÁLCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES MÉTODO DE CROSS

4.1

ENTRAM ADOS INTRASLACIONALES

Denominamos como tales aquellos entramados cuyos nudos pueden girar pero no experimentan corrimientos en ningún sentido. Un gran número de entramados usuales en construcción pueden asimilarse a este tipo con suficiente precisión. En todo lo que sigue, se supone que los entramados analizados tienen impedidos los corrimientos de los nudos. No se entra en este apartado en el procedimiento para impedirlos, tema que se tratará más adelante.

4.2

PLA N TEA M IEN TO GENER AL DEL PR O BLEM A . M ÉTO DO GENERAL DE CÁLCULO

4.2.1. RELACIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES ELÁSTICOS Sea una pieza recta (Fig. 4-1) con empotramiento dorsal y con el apoyo frontal articulado. Apliquemos un momento M ’f en el apoyo frontal tal que el giro producido sea

45

www.libreriaingeniero.com Habrá de ser M ’f = Kf 0f = Kf y en el empotramiento dorsal aparecerá un mo­ mento M ed = Pfd M f = Pfd K f

Supongamos ahora (Fig. 4-2) la articulación dorsal y el empotramiento frontal

Apliquemos ahora al apoyo frontal B un momento exterior M ’f tal que produzca un giro 0f en ese apoyo (liberado sólo para girar elásticamente bajo la acción de ese momento). El valor del momento será Kf 0f y se transmitirá (Fig. 4-3c) al extremo A empotrado rígidamente un momento (3fd Kf 0f. Análogamente apliquemos ahora en el extremo dorsal un momento M d tal que produzca un giro 0d. El valor del momento será Kd 0d y se transmitirá al extremo B, de nuevo rígidamente empotrado, un momento PdfKd 0d. (Fig. 4-3d).

F ig u r a 4 -2

y apliquemos análogamente un momento en el extremo dorsal, libre para girar, tal que se produzca un giro unidad. Será [C ]

M d = Kd 0d = Kd

F ig u r a 4 -3

M ;f = pdfM d = pdfKd Pero de acuerdo con el teorema de MAXWELL el momento M ’ed producido en el extremo dorsal cuando en el frontal se aplica un giro determinado ha de ser igual al momento M ’ef producido en el extremo frontal cuando en el dorsal se aplica el mismo giro. Por tanto,

El estado suma de b), c) y d), es decir el producido por lasacciones directamente aplicadas a la pieza más las debidas a los giros elásticos de sus extremos, viene representado .por e) y los momentos finales de empotramiento elástico resultan (Fig. 4-3e) M d = M ed + (3fd Kf 0f + Kd 0d

M ’ed = M ’ef

M f = M ef + Kf 0f + (3df Kd 0d

es decir,

pero como pfd Kf = pdf Kd según [4.1] Pfd Kf - Pdf Kd

[4. 1]

que establece una relación entre los cuatro coeficientes elásticos de una pieza recta.

4.2.2. ECUACIONES GENERALES DE LA PIEZA ELÁSTICAMENTE EMPOTRADA Supongamos primero una pieza rígidamente empotrada en sus extremos y sometida a un conjunto de acciones (P, M, q) y sean M ed, M ef los momentos de empotramiento perfecto dorsal y frontal producidos por dicho conjunto de acciones (Fig. 4-3a). Los momentos reacción de los apoyos sobre las extremidades de la pieza son pues Med, M ef (Fig. 4-3b). 46

M d = M ed + Kd [0d + pdf 0f]

[4.2]

Mf = Mef +

[4-3]

[0f + Pfd 0d]

Ecuaciones que permiten calcular los momentos de empotramiento elástico, conocidos los de empotramiento perfecto, los giros de los extremos y los coeficientes elásticos de la pieza1.

1

Es im portante destacar que en estas ecuaciones las piezas se suponen em potradas en am bos extrem os. P o r tanto, en el caso de pieza articulada en un extrem o, deben utilizarse las rigideces y factores de transm isión de la pieza biem potrada, con la condición de m om ento nulo en el extrem o articulado.

47

4.2.3. MÉTODO GENERAL DE CÁLCULO Supongamos el entramado de la Fig. 4-4. El método general de cálculo de cualquier entramado es el siguiente:

La dificultad estriba en que la resolución de los sistemas es muy penosa, incluso para estructuras sencillas. En la figura 4-5 se indica el grado del sistema de ecuaciones para algunos casos particulares1. Salvo en casos en que, por consideraciones de simetría, el grado del sistema se reduce, el método es prácticamente inaplicable.

Incógnitas a) Los giros de cada nudo (iguales a los giros de cada pieza concurrente en el nudo).

4.3

b) Los momentos de empotramiento en las extremidades de cada pieza. Conocidos éstos, por superposición con los esfuerzos de la pieza isostática, se tienen los esfuerzos totales.

El método de Cross enfoca el problema del cálculo del entramado por otro camino.

-i n= 1 b= 2 n+2b=5

n= 2 b= 3 n+2b=B

b =10 n + 2b = 2E

M ÉTODO DE CROSS

Consideremos de nuevo el entramado de la figura 4-4. Primeramente procedamos a retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los nudos, impidiéndoles todo giro. Volvamos ahora a aplicar de nuevo las cargas exteriores. Estas actúan sobre una estructura alterada, que tiene impedidos los giros de sus nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de equilibrio. En cambio, en la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos empotramiento, pues estando sus nudos bloqueados, dichos momentos son los empotramiento perfecto. Sin embargo, la suma de los momentos de empotramiento las piezas concurrentes en cada nudo no será nula, es decir, que el nudo no estará equilibrio. Dicha suma es en realidad un momento de desequilibrio.

de de de en

Si aplicamos al nudo un momento de igual valor y signo opuesto (momento equilibrante) de hecho habremos suprimido el bloqueo del nudo, pues éste no tendrá tendencia al giro. Figura 4-4

Figura 4-5

Si llamamos n al número de nudos y b al de barras, el número de incógnitas es 2b + n. Ecuaciones Por un lado, cada nudo ha de estar en equilibrio, es decir la suma de los momentos en las extremidades de las piezas que concurren en cada nudo ha de ser nula (n ecuaciones). Por otro, en cada barra se han de cumplir las ecuaciones: = Med + Kd (0d + [3df 0f) Mf = Mef + Kf (0f + Pfd 0d) lo cual nos proporciona 2 b ecuaciones. En resumen, el problema se concreta en la resolución de un sistema de 2 b + n ecuaciones con 2 b + n incógnitas1.

1

48

Se entiende los giros de los nudos capaces de girar. A estos efectos no se cuentan los extrem os peifectam ente em potrados ni para el núm ero de incógnitas (giro del nudo) ni para el núm ero de ecuaciones (equilibrio de nudo). Sí se cuenta el m om ento de em potram iento en esa extrem idad de la barra com o incógnita y dicha barra para el establecim iento de las ecuaciones [4.2] y [4.3],

El momento equilibrante se repartirá entre las extremidades de las distintas piezas concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo, todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo. La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza, al momento equilibrante total, es lo que llamaremos coeficiente de reparto (o coeficiente de distribución) y es igual, por tanto, al cociente de la rigidez de la pieza considerada, dividido por la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en el nudo. El nudo en la situación actual parece estar equilibrado, pero no es así, pues al distribuir el momento equilibrante a las extremidades de las distintas piezas concurrentes en el nudo, se realizará una transmisión de momento de esta extremidad a la opuesta. Como en los demás nudos de la estructura se habrá procedido análogamente, también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndolos a las extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus extremidades opuestas. Es decir que, si hemos equilibrado el nudo C, transmitimos momentos de C a D según la pieza CD, pero al equilibrar el nudo D, transmitiremos momentos a través de DC al nudo C, con lo cual éste no estará en definitiva equilibrado, aunque sí menos desequilibrado que en la etapa inicial.

1

En esta figura y en las siguientes, se h a considerado im pedido el corrim iento de los nudos m ediante rótulas ficticias introducidas a nivel de cada piso.

49

www.libreriaingeniero.com Si volvemos a calcular en cada nudo el momento de desequilibrio, aplicando a continuación un nuevo momento equilibrante igual y de signo contrario, procediendo así cíclicamente, los nudos van equilibrándose paulatinamente y la estructura va acercándose a su posición de equilibrio. El método de Cross es pues un método que, mediante la repetición de ciclos, permite alcanzar la precisión que se desee. El proceso del método puede resumirse en las siguientes etapas: Ia) Calcular las rigideces, coeficientes de reparto y coeficientes de transmisión en las extremidades de cada pieza.

c) El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones que se realizan. En nuestra opinión, es conveniente efectuar los cálculos sobre un esquema de la estructura, preferiblemente realizado a escala, anotando siempre cada coeficiente en sitio fijo. Puesto que una de las ventajas del método es su sencillez, en muchos casos la labor del técnico se reduce, a lo sumo, a plantear el método, corriendo a cargo del personal auxiliar el desarrollo de los ciclos de reparto y transmisión. En este caso, si el croquis está realizado a escala, una simple inspección de los valores de los momentos finales basta para detectar los errores graves.

2a) Bloquear los nudos contra el giro. 3a) Calcular los momentos de empotramiento perfecto para todas las piezas. 4a) Elegir un nudo para liberarlo en primer lugar. Calcular el momento de desequilibrio de ese nudo. 5a) Calcular los momentos repartidos por el momento equilibrante, en ese nudo. 6a) Realizar este reparto en todos los nudos. 7a) Calcular los momentos transmitidos a los extremos opuestos de todas las piezas que concurren en cada nudo. 8a) Volver a bloquear cada nudo y elegir el siguiente para ser liberado. Se repiten las etapas 4a, 5a y 6a. Esto se hace con todos los nudos. 9a) Repetir las etapas 7a y 8a hasta que los momentos de desequilibrio sean suficientemente pequeños. 10a) Sumar momentos en cada extremidad de pieza para obtener los momentos de empotramiento finales.

4.3.2. EXTREMOS ARTICULADOS, EXTREMOS PERFECTAMENTE EMPOTRADOS Y CASOS INTERMEDIOS a) Articulación. Para el caso de articulación en un extremo pueden adoptarse dos procedimientos: a-1) Suponer la pieza articulada en ese extremo con rigidez de pieza empotrado-articulada. Los momentos de empotramiento perfecto en el extremo empotrado han de ser los correspondientes a la pieza empotradoarticulada y el factor de transmisión del extremo empotrado al articulado es nulo. a-2) Suponer la pieza biempotrada, con las rigideces, factores de transmisión ” y momentos de empotramiento perfecto correspondientes a dicho caso. K En el extremo articulado la rigidez relativa se toma como 1. XK b) Empotramiento perfecto. Para el caso de empotramiento perfecto, basta tomar

Más adelante se aclara esto con algunos ejemplos. K

= 0 (rigidez de apoyo infinita respecto a la de la pieza).

XK

4.3.1. VENTAJAS DEL M ÉTODO Las ventajas fundamentales del método de Cross pueden resumirse en los tres puntos siguientes: a) Su generalidad. Es aplicable a todo tipo de estructuras, concretamente a todas las formadas por piezas rectas y curvas. b) Su sencillez. No exige recordar nada de memoria. Teniendo unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, no se necesitan ni las tablas. 50

En definitiva, con el método a-1) a efectos prácticos los extremos articulados se eliminan del Cross. Lo mismo ocurre en el caso de extremos perfectamente empotrados si la pieza no tiene cargas o momentos directamente aplicados a ella, pues el momento inicial en el extremo empotrado es nulo y ese extremo recibe todos los momentos transmitidos por el nudo opuesto pero él no transmite ninguno, pol­ lo que su momento final es la mitad del correspondiente al extremo opuesto, pudiendo también por tanto eliminarse del cálculo a'efectos prácticos. Las simplificaciones anteriores para extremos articulados o perfectamente empotrados abrevian considerablemente los cálculos especialm ente en entramados con número pequeño de piezas. Para pieza articulada, el método a-1) es el más rápido, pero debe pi estar se atención al método a-2), pues como se v e

K

varía de 1 para articulación a

51

O para empotramiento perfecto. Este método permite considerar valores

Por tanto:

K

intermedios d e

para casos de empotramientos semirrígidos. Más adelante YK ampliaremos este tema.

4.3.3.

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO Y MOMENTOS FLECTORES

En la práctica del método (4.3.6) deben distinguirse con claridad ambos conceptos, no siempre coincidentes y ligados al sentido de avance elegido para la pieza considerada.

q

n m

k N /m

[4.4]

M ff = M f

[4.5]

4.3.4. REACCIONES Y ESFUERZOS TOTALES Consideramos la parte de entramado indicada en la Fig. 4-7 y en particular la pieza DF y sean M D y M F los momentos de empotramiento finales en sus extremos.

Sea el pórtico de la Fig. 4-6a sometido a una carga descendente uniformemente repartida sobre el dintel. Supongamos realizado el cálculo por el método de Cross y sean los momentos finales de empotramientos los indicados sobre la figura b )1. Los diagramas de momentos flectores se indican en c) y la deformada en d). Obsérvese que, considerando por ejemplo el pilar izquierdo y con los sentidos de avance indicados en b), el momento de empotramiento (acción del nudo sobre la pieza) en el extremo A es negativo mientras que el momento flector (ver curvatura en la deformada) es positivo.

M fd = - M d

+y

+J F MF md

>» +

D0

*

F ig u r a 4 -8

F ig u r a 4 - 7

u n u n i

D

te]

[a )

+ M, + M,

-M ,

Aun cuando no actúen cargas directamente sobre la pieza DF, es decir aun cuando los momentos de empotramiento resultantes M D, M F sean debidos a los efectos de las acciones sobre otras piezas, la DF se encuentra en general sometida a esfuerzos cortantes. Su deducción es inmediata en valor y signo asociando un sistema de ejes coordenados con origen en el extremo dorsal y con el eje +X coincidiendo con DF en posición y sentido de avance. Para mayor claridad representamos aislada la pieza DF en la figura 4-8 colocada en la posición habitual con lo cual estamos en el caso analizado en el apartado 3.4 y de acuerdo con [3.9] y [3.10]

•M] Cb)

F ig u r a 4 -6

Mrd + Mp M Y2f ^ f= Y YnF = ------ - -----L

r. [4-6]

md + mf

[4 7]

[d i

Y2d = YD = + Para el extremo B del mismo pilar el momento de empotramiento es negativo y el momento flector lo es también. En definitiva se deduce lo siguiente: - En el extremo dorsal el momento flector es igual en valor absoluto y de signo contrario al momento de empotramiento. - En el extremo frontal el momento flector es igual en valor y signo al de empotramiento.

1

Los valores y M 2 representan en esta ocasión los valores absolutos con objeto de que figure explícito el signo.

Las fórmulas [3.9] y [3.10] pueden ponerse en función de los momentos flectores en los apoyos en lugar de emplear los de empotramiento (del nudo sobie la pieza). Basta ver que M ed = - M fd M ef = M ff siendo M fd y M ff los momentos flectores dorsal y frontal respectivamente y resulta por tanto: 53

www.libreriaingeniero.com [4.8]

Y2d = YD = -

Mff + M fli fl fd

dejándose de considerar de ahí en adelante el voladizo a todos sus efectos. Los esfuerzos en el voladizo son, naturalmente, los correspondientes isostáticos. A

[4.9] B

M2 = MF

+ Md ~ ~ ~

{

[4 -10J 3?

%

7/

Figura 4-10

La Ley de esfuerzos cortantes es: Mn + Mf Q = Yp = - — 5------- L

[4.11]

Puede resultar también interesante en algunos casos expresar Q en función de los fnomentos flectores. Aplicando [4.4] y [4.5] en [4.11].

Debe prestarse atención al signo con que el momento M del voladizo se introduce en la suma I Mo. Al ser acciones del nudo sobre la pieza, con las cargas y sentidos de avance de la figura, el signo de M es negativo para el voladizo A y positivo para el voladizo B. Ver ejemplos b) y d) del apartado siguiente. 4.3.6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN a) Viga continua

[4.12] L Si sobre la pieza incidiesen cargas directas los esfuerzos totales se obtendrían sumando a los [4.6], [4.7] y [4.10] los correspondientes a la pieza considerada como isostática, tal como se indicó en [3.15], [3.16], [3.17] y [3.18]. Para el caso de los esfuerzos axiles (Fig. 4-9) se procede análogamente. Tomando como ejemplo el pilar AB, el esfuerzo axil transmitido por la planta DAF viene dado por la suma de las reacciones totales, frontal del vano DA y dorsal del vano AF, compuestas a su vez de las correspondientes isostáticas e hiperestáticas tal como hemos visto.

o

A

Consideramos una viga continua de tres tramos, con luces de 5, 6 y 4,5 m sección 200 x 500 y carga uniformemente distribuida de 20 kN/m (Fig. 4-11). Se ha comenzado por dibujar un esquema de la estructura. Como las piezas son simétricas, Kd = Kf = K. El valor K se ha escrito en el centro de cada pieza. (Si Kd * Kf, cada valor debe escribirse en la extremidad correspondiente). A continuación se han calculado los coeficientes de reparto —— en cada uno de los extremos de pieza. K K Para los apoyos extremos debe tenerse en cuenta que — - 1, puesto que es L K apoyo articulado (o deslizante) y no concurren otras piezas en el nudo.

F

¿

Los factores de transmisión se han escrito junto a los de reparto, en la extiemidad de cada pieza. En cada nudo se ha escrito el valor X K, puesto que conviene teneilo anotado para posibles comprobaciones. Seguidamente se calculan los momentos de empotramiento perfecto (Mo), que en

F ig u r a 4 -9

este caso valen

-L 12

qp dorsales y - L q[2 ios frontales1. A continuación, en cada 12

nudo se calcula I Mo, que es el momento de desequilibrio2. A cada extremidad de 4.3.5. CASO DE ENTRAMADO CON VOLADIZOS Los voladizos al tener libre el extremo opuesto al empotrado en el nudo, ni aceptan momentos al girar los nudos ni tampoco transmiten momentos de un extremo a otro. Su papel en la aplicación del método de Cross se reduce a considerar su momento de empotramiento (acción del nudo sobre la pieza) e incluirlo en la £, Mo inicial, 54

1

N ótese que estos m om entos de em potram iento son del nudo sobre la pieza.

2

D e hecho, com o los valores son m om entos del nudo sobre las piezas, los de las piezas sobre el nudo serían - M o y el m om ento de desequilibrio del nudo sería X ( - M o) y X M o el equilibrante del nudo, que al repartirlo a las piezas debería ser nuevam ente cam biado de signo, para obtener m om entos sobre las piezas, que son los que nos interesan. C om o se verá en lo que sigue, es m ás sencillo calcular X M o y cam biar de signo al repartir, m anejando así siem pre m om entos del nudo sobre las piezas, es decir, m om entos de em potram iento.

55

pieza se le reparte un momento -

(X

M o)

, cuyos valores se escriben como M. 7

4 5 5 , '3 V

IK La raya que se traza a continuación del valor Mj sirve para recordar que en ese nudo se ha term inado el ciclo de reparto. Se procede análogamente con los demás nudos y a continuación se realiza la transm isión a los extremos opuestos, cuyos valores se escriben como M 2. Una vez realizadas las transmisiones, se calculan los valores X M 2, que son los nuevos momentos de desequilibrio y el ciclo se repite tantas veces como la precisión exigible a los resultados lo requiera.

Pdf =0-50 K:EK=0,52

3 / 4 K= 3 1 5 M o = - 6 2 ,5 M l = + 1 ,2 M2 = 0 M3 = - 1 , 2

N aturalm ente los momentos en los apoyos extremos han de resultar 0, puesto que en estos apoyos todos los momentos al ser K = 1, se equilibran automáticamente.

m4

= 0 M fi= + 0,1

Ms=+0,3 M4 = 0 M3 = -0,3 m2= 0 Pdf =0-50 Mi =+4.7 K:EK=0,50 . Mq =+50,6

M5=+0,1 M¿.=—0.2 M3= -1 .2 M2=+2,4 Mi =+1,3 MO=+60

EK = 694 EM0=-9,4 EM2 =+0,6 EM4 =-0,6

EM2=+2,4 EM4=-0,2 M0 = - 6 0 , M i= + 4 ,7 M2 = + 0 ,6 M3 = - 0 . 3

K :E K =0,48

Pfd

3 / 4 K =347

KÍK=0.50 Pf d =0.50

M4 = —0 ,6 M s = + 0 ,3

|

! M5= - 4,1 M¿=+ 4.1 M3=+ 5 M2=— 5

ftjf =°-50 ¥j=-4f.7 K:EK=1.00

EK = 417 EM0=+41,7 EMZ= - 5,1 EM4=+ 4.2

Pdf =0'50 K:£K=0,46

Mq =+41 ,7

EK = 764 EM0 =+18,3 EM2 = -1 5,2 EM4= - 0,3

K=417

-41,7 K:EK=0,54 - 9.9 M2=-20, /3fd =0.50 M3=+ 8. M4=+ 2.5 M s-4 0.2 ,± s . 1-5-:

:+ 6 T r5'v

'+ 5 4 1-8.v

Ms=+ Ma= M3 =+ M2 =+ Mí = Mq=+

M5=+ 0,2 M¿=- 3.B M3= - 7.2 M2=+16,9 Mí =+14,9 M0 =+33.8

0,1 2.E 7 5,6 8,4 60

Pdf =°-50 K:EK=0,57 EK = 810 EM0=—26,2 EM2=+12,7 EM4= - 0,3

K=347 M0 = - 60 Mi=+11,3 K:EK=0,43 M2 = - 4,2 Pfd -0,50 m3 = - 5,5 m4=+ 3,5 | m5=+ 0.1 8v :-5 4 !

q = 2 0 k N /m

“ZS" 4 -

EK = 463 EM0 =-33,8 em2=+ 7,4 sm4 =- 3,6

Valores de k en m kN • 10'

K= 4 6 3 Mq =—33,8 i Mi =+33,8 K:EK=1.00 M2 =+ 7,4 Pf d =0.50 M3= - 7,4 M4=~ 3,6 Mfi=+ 3,6

SEC C IO N DE VIGA 2 0 0 x 5 0 0 Figura 4-12

q = 2 0 k N /m

Valores de k en m kN *10'A

Figura 4-11 En la figura 4-12 se ha resuelto el mismo problem a pero con una sim plificación que abrevia notablem ente los cálculos y que consiste en em plear la rigidez de la pieza em potrada en un extremo y articulada en el otro, que como se recordará es 3/4 de la pieza em potrada. La diferencia con la resolución anterior estriba en que, en este caso, en los extremos opuestos a las articulaciones, el factor de transm isión es nulo, pues la pieza no puede aceptar momentos en la articulación. Por supuesto los momentos de 62,5 y 50,6 que corresponden a

1

8

1

p l2 y — p l2 8

Mq=—24 ¡ K:EK=1,00 Mj = - 1 1,2 Pfd =0.50 M2 =+ 9 m3= - 9 m4 =+ 9,B Mf}=- 9.8

Mq = -5 4 . K:EK=0.40 «1=+12 M2 = -27 Pfd - ° ' 50 M3 =+13 I M4= - 3 M5 =+ 3 ¡ • - 5 6 • ••• í

- 3 5 ,2'v

P=1OkN q = 18

k N /m ~ZE“

ZN

ZN

4 V a lo r e s d e k e n m k N • 1 0 '

S E C C IO N E n los casos de redondeo de n ú m ero s que term inan en 5, se fu erza la cifra an terio r si es par, y no se fu e rz a si es im par. E sto se hace con la in ten ció n de d istrib u ir erro res (cfr. N o rm a U N E 7018).

M0 =+35,2

EK =1125 £M0=+11,2 EM2=+ 9 EM4 =+ 9.3

respectivamente, por tratarse de vigas em potrado-apoyadas.

1

.•*55.2-::

EK = 1875 ZM0=-30 EM2 = -32, S EM4 =:—7,5

EK = 750 EM0 =+54 £M2 =+ 6 £M4 =+ 6,5

SEC C IO N DE VIGA 2 0 0 x 5 0 0

em potram iento M„ son -

M5=+4,5 M4 =—4,5 M3 =+19,6 M2 =—5,6 Pdf - 0' 50 Mt=+18 K:£K=Q,50 r Mq=+24

M 5=- 6,5 M4 =+ 6.5 M3 = - 6 Mp=+ 6 P df =o.5° Mi= -54 K:£K= 1.00 ■Mq =+54

DE

V IG A 2 5 0 X 6 0 0

F ig u r a 4 -1 3

57

www.libreriaingeniero.com P = 1O k N / m ____________ q = lB kH/m______________|

A

A

la pieza articulada para el pilar derecho. Como esta pieza no presenta carga exterior, su momento de empotramiento inicial es nulo.

—

M5 = - 1 2 M ¿ = + 1 9 ,4 M3 = - 3 9 ,8 M2 = + 6 4 ,2 M1 = - 1 0 0 ,9 Mq = + 1 6 6 ,7

fiai =0'5Q K iK = 0 ,B 2

1671 - 1 6 6 ,7 - 5 0 ,4

EK - 2061 EW0 = + 1 6 2 ,7 EU2 = + 6 4 .2 E M *=+ 1 9 ,4 Mq = —1 6 6 ,7 K:EK=Q.77 Mj = + 1 2 8 ,4 « 2 = —5 0 ,4 M3 = + 3 B ,8 « 4 = —1 9,9 M 5 = + 1 5 ,3

ftd =0.5°

lo=-4 M i=-6i,a

m5= o

2= o M3 = - 2 4 , 4 m

M 4 = -1 2 .2

«4= 0

M5 = —7 ,4

Mi= 0

M0 = 0 M i= + 3 B ,3 M2 = 0 M3 = + 1 1,6

+;54;*5::

U 4= 0 M * = + 4 ,6

Uq = + 4

EM0 = + 4 EM2 = - 3 0 ,9 E k U = - 1 2 ,2

Figura 4-14 Todo el proceso se limita pues a los nudos intermedios, que son los únicos que hay que equilibrar. b) Viga continua con voladizo SECCION

Se trata de una viga continua con luces de 6 y 4 m y un voladizo de 1,50 m, figura 4-13. La única variante es que el momento de empotramiento del voladizo entra naturalmente en el valor X M0 del nudo, pero, a partir de dicho momento, la pieza del voladizo no figura en el cálculo, pues si bien su momento de empotramiento inicial actúa sobre el nudo y se reparte por tanto a las restantes piezas, el voladizo no puede recibir momentos de reparto, pues al no estar su extremo opuesto coaccionado por ningún apoyo, no opone resistencia al giro.

DE

VIGA

SECCION DE PILARES

300x800 300x500

Valores de k en m k N •10"

F ig u r a 4 -1 5

En la figura 4-14, se ha realizado el dibujo de los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes para este caso. Se ha comenzado por dibujar las parábolas correspondientes al caso de carga isostática y a continuación llevando en cada apoyo el valor del momento de empotramiento, se han trazado las líneas de cierre. Los trozos de ordenadas comprendidas en la zona rayada proporcionan los momentos flectores del estado suma. En cuanto a los esfuerzos cortantes, las líneas de trazos corresponden al caso isostático. A ellos hay que añadir los hiperestáticos correspondientes a las reacciones verticales producidas por los momentos de empotramiento (fórmulas [3.9] y [3.10] ó [4.8] y [4.9]). c) Pórtico simple Se trata del pórtico dibujado en la figura 4-15 que tiene un pilar empotrado en su cimiento y el otro articulado, existiendo una carga de viento sobre el pilar izquierdo. El cálculo se ha organizado como en los casos anteriores, pero empleando la rigidez de

q = 1 5 kN /m F .S 0 U E M A 5.00

S.00

O

o

t -80

2

2 q=20

k N /m

S

200X450

8

o

g

g

s

1

o

6.00 o

1 F ig u r a 4 -1 6

59

44 m : « 5 = - 1,7 m¿=+ 1 .a y3=+ 3,8 U2 = 0 Mt 8 -2 3 ,1 U0 = + 3 l,2

EK = 413 EM0=+31,2

« 5 = - '. í U j= + 0.6 U3 = + 3,6 M2 = + 2,2 U ]= 0 M0=+31,2

*:2 4,3: EK = 491 EU0=-B,9 Pfd =0.50 EU2=-1,9 KJK=0.B2 EU4=-0,9 M0=-31.Z. M,=+ 4,3 O O M?= 0 «3=+ 1.2 "A m4=+ 1.6 m5=+ □,6

EK = 795 EM„= 0 IU2=-9.4 KJK=D,3B £U4=+4,1

E «2=SW4=+ 2.3

P,á=0.50 M q=0

M i= -a .i

Mqss-31,2.

M i klj=-11,8 M3=+ 3.6

y4=+ 1,6

M5=—1.6

wm:

En el caso de los esfuerzos axiles, la carga axil en cada piso es naturalmente la suma de los esfuerzos cortantes de las vigas concurrentes. Dicho valor es igual a la suma de los cortantes debidos a las vigas concurrentes consideradas como isostáticas más las cortantes hiperestáticas obtenidos aplicando las fórmulas [3.9] y [3.10] ó [4.8] y [4.9] a dichas vigas.

•:*36 :•:•:•

-39.:-

U q- 0 Mi =4-2.6

4.3.7. SIMPLIFICACIONES POR SIMETRÍA Y ANTIMETRÍA. TEOREMA DE ANDRÉE

“ 2-3V3:

Cualquier estado de carga (P, M, q) actuando sobre una estructura simétrica, puede descomponerse en la suma de cargas de valor mitad y sus simétricas, más otio estado de cargas de valor mitad y sus antimétricas. (Fig. 4-18).

- 12,9

u3=-o,e" tu=40.6 «3=+' U2=-4,1 U1=-é,8"

wa=+o,4 M¿=4-1.1 M3=+3,3

■HTS

Mq= 0

U5=+0,7 U¿=-4.5

M 2 U,=

U 5 = - 1.2

M2=+1.3 u , = - j, a

Ó MQ- 0

U q= 0

M3: W2=+24.3

yt=- 6,i

EK = 871 ZWg=+18,3 Pfd =0.50 EU2=+25.6 E K£K=Q,35 U4=+ 4,3

EK = 922 EU0= 0 EM2=-16.6 EM4=- 2.1

Pu=°'30

K:EK=0,81

EK = 314 EM0=-( EM2=-2.7 EM4=-3.7

M0= 0 Mi =-2,8 U2= 0 M3=-3.6 U4= 0 Mg=—0,7

M] =+46,6 M?=- 2,7 «3=+ 2.2 U4=- 3,7 MS= + 3

o o

121y*

-M/z

M

Uo= o

M -I=+11.4

q U W H H

r

M2= 0 M3=+0,5

1

M4= 0

1

i

Vi i

T ■p/z

¡

“ o = - eo

Mq= 0 U;= 0 U2= 0 M3=+2.3 m4= 0 M5=+0,3

Mq= 0 Ui s-5,4 U2= 0 M3=+0,5 U4= 0 Ms=-0,4

Vi

Vi i

y

■Hq=+60

■M0=4-41.7 EK = 474 EM0*+41,7 EU2=- 4.1 EM4=+ 3,4

±U=:

Vi

Vi

'

4

M /Z

M /Z

•Vi '/jtr" t y m 'F M /Z

M5=+0,7

-5 ,3

F ig u r a 4 -1 8

Valores de k en m k N •10'4 F ig u r a 4 - 1 7

Las consideraciones de deformación de la estructura en los casos de simetría y antimetría conducen a las dos conclusiones siguientes: - E n una estructura simétrica, las secciones de los ejes de las piezas de la estructura contenidas en el eje de simetría no giran y sólo expeiimentan corrimientos a lo largo de dicho eje. - En una estructura antimétrica, las secciones contenidas en el eje de antimetría giran y sólo experimentan corrimientos en sentido perpendicular a dicho eje.

d) Pórtico múltiple Se trata de un entramado normal de edificio indicado en la figura 4-16. El cálculo se detalla en la figura 4-17. Los pilares se han supuesto articulados en su cimiento. Los diagramas de momentos flectores pueden verse en la figura 4-16. Debe recordarse que, aunque la estructura no presenta carga horizontal alguna, los pilares tienen esfuerzos cortantes horizontales. Por ejemplo, en el caso de los pilares de planta baja, si M es el momento de empotramiento en cabeza del pilar y L su luz, el esfuerzo cortante en cabeza y pie de pilar vale según [3.9] y [3.10].

4.3.8. RIGIDEZ VIRTUAL EN EL CASO DE SIMETRÍA En las fórmulas [4.2] y [4.3], al ser M d = - M f, 6d = - Gf Y Med = - M ef se tiene: Mf = M ef + Kf 0f [1 - P fd] ^ [i - pfd]

Qf =

(cabeza del pilar)

er Como M f - M ed es el momento que ha producido el giro 0f, podemos definir

Qd = +—

(pie del pilar)

variando linealmente entre estos valores de cabeza a pie. 60

í í r í = Kfv como rigidez virtual en caso de simetría. Kfv - Kf [1 - Pfd]

[4.13] 61

www.libreriaingeniero.com 4.3.10. ENTRAMADOS REDUCIDOS EN CASO DE SIMETRÍA De acuerdo con lo anterior, si hay simetría de forma y cargas, se tiene lo siguiente:

Análogamente V

= Kd [ l - p df]

[4.14]

y como Kf - Kd y pfd = pdf, Kfv = Kdv de acuerdo con la simetría de la estructura.

a) Entramado con número impar de vanos. El entramado reducido (Fig. 4-21) es la mitad izquierda, suponiéndose empotramientos virtuales en los puntos medios de BB’ y D D \ Los momentos de empotramiento perfecto dorsales de BB’ y D D \ son los correspondientes a la carga real sobre la luz completa L. En cambio las rigideces de las piezas virtuales BM y DN se toman de acuerdo con [4.13] y [4.14] (Para el caso de sección constante iguales a la mitad de las correspondientes a BB’ y D D ’). Los momentos de empotramiento en la mitad derecha son iguales en valor absoluto y de signo contrario a los obtenidos para la izquierda.

Para el caso de sección constante, pfd = pdf = 0,5 y resulta: Kfv = 0,5 Kf

[4.15]

Kdv = 0,5 Kd

[4-16]

X . Q J

F

4.3.9. RIGIDEZ VIRTUAL EN EL CASO DE ANTIMETRÍA Análogamente, en las fórmulas [4.2] y [4.3] se tiene Md = M f, Med = Mef y 0d = 0f con lo que: Mf - Mef + Kf 0f [ 1 + pfd] F ig u r a 4 -2 1

M f - Mef

= KfV = Kf [1 + pfd]

[4.17]

Análogamente se obtiene: Kdv = Kd [l + Pdf]

[4.18]

y para pieza de sección constante: Kfv = 1,5 Kf

[4.19]

Kdv = 1,5 Kd

[4.20]

Las fórmulas [4.19] y [4.17] se deducen directamente del hecho de que la antimetría supone (Fig. 4-20) la existencia de un punto de momento nulo en la mitad de la luz, por lo que a todos los efectos la pieza real puede reemplazarse por otra de luz mitad empotrada en su extremo real y articulada en una articulación virtual situada en el punto medio de la luz. La rigidez de esta pieza virtual resulta: Kdv = Kfv =

3 El

6 El

_L 2

L

que es vez y media la rigidez de la pieza real. 62

[4.21]

F ig u r a 4 -2 2

b) Entramado con número p a r de vanos. Sea el entramado de la figura 4-22. En este caso la simetría obliga a que el giro de los nudos C y F sea nulo, y por tanto el entramado reducido es el de la mitad izquierda, suponiendo para el cálculo empotramiento perfecto de los dinteles en C y F respectivamente. Los pilares situados en el eje de simetría no están sometidos a momentos flectores ni a esfuerzos cortantes. Naturalmente, en este caso las rigideces de las piezas BC y EF son las reales y no las virtuales. Los momentos de empotramiento en la mitad derecha son iguales en valor absoluto y de signo contrario, a los obtenidos en la mitad izquierda.

4.3.11.

ENTRAMADOS REDUCIDOS EN CASO DE ANTIMETRÍA

Análogamente se pueden presentar los dos casos siguientes, cuando hay simetría de forma y antimetría de cargas: a)

Entramado con número impar de vanos. Sea el entramado de la figura 4-23. El entramado reducido es el de la mitad izquierda con articulaciones en M y N. Para la pieza BM, se toman las cargas reales, actuantes sobre BM solamente, como luz se adopta ^ y como rigideces las dadas por [3.32], que en 63

el caso de sección constante son 1,5 veces las de la p ieza de luz L, correspondientes a la pieza de luz ~

y articulada en un ex trem o 1.

L a tabla 4.1 resum e todo lo relativo a sim etrías y antim etrías.

1

64

POR SIMPLIFICACIONES

L os m om entos de em potram iento en la m itad derecha son iguales en valor absoluto y del m ism o signo que en la m itad izquierda. Los esfuerzos en las piezas cuyas directrices coinciden con el eje de sim etría son del m ism o signo pero de valor doble que los obtenidos en el entram ado reducido.

DE

b) E ntram ado con núm ero p a r de vanos. Sea el entram ado de la figura 4-24. El entram ado reducido es el de la m itad izquierda tom ando para las piezas cuyas directrices coinciden con el eje de sim etría, m om entos de inercia iguales a la m itad de los reales. L a razón de esto es que dichas piezas experim entan deform aciones debidas por partes iguales a las cargas situadas en la m itad izquierda y en su sim étrica. P ara que en el entram ado reducido dichas piezas tengan las m ism as deform aciones que en el real, al actuar sólo las cargas correspondientes a la m itad del pórtico ha de tom arse m om ento de inercia, rigideces y esfuerzos iniciales (m om entos) mitad.

RESUMEN

Figura 4-23

SIMETRIA

Y A N T IM E T R IA

L os m om entos de em potram iento en la m itad derecha son iguales en valor absoluto y del m ism o sígno que en la m itad izquierda.

N aturalm ente puede tam bién suponerse la luz com pleta L d e B B \ las cargas actuantes sobre toda la luz y rigidez 1,5 veces la correspondiente a la luz L, considerando en ese caso la pieza B B ! com o biem potrada. En sentido estricto, este procedim iento es el que se deriva de 3.3.9 pero parece más intuitivo el expuesto de considerar articulación en el punto m edio y las cargas actuantes sobre la m itad izquierda de la pieza.

65

www.libreriaingeniero.com 4.3.12. ORDENACIÓN PRÁCTICA DE LOS CÁLCULOS Hasta aquí, hemos empleado un sistema de ordenación de los cálculos en los distintos ejemplos, que resulta útil para la explicación, pero es muy prolijo para la práctica habitual del método de Cross. De aquí en adelante emplearemos el procedimiento práctico usual consistente en la representación, más esquemática, indicada en la figura 4-25 que corresponde a un nudo del ejemplo d) del apartado 4.3 A

BIBLIOGRAFÍA

(4.1.)

F E R N Á N D E Z C A S A D O , C.; F E R N Á N D E Z C A S A D O ,

J.L. “C álcu lo d e E stru ctu ras

R e ticu lares” . S ép tim a E d ició n . D ossat. M adrid 1958. (4.2.)

F E R N Á N D E Z C A S A D O , C. “E stru ctu ras de E d ificio s” . D ossat. M adrid 1955.

F ig u r a 4 -2 4

F ig u r a 4 -2 5

4.3.13. COMPROBACIÓN DE LOS CÁLCULOS Independientemente de la condición I M = 0 que debe cumplirse en cada nudo, existe una comprobación adicional simple en cada nudo y es verificar que todas las piezas concurrentes en el nudo han girado el mismo ángulo a causa de las cargas aplicadas. Para ello basta comprobar que en la extremidad de cada pieza concurrente en el nudo el ángulo 0 es igual para todas las piezas.

66

67

CAPÍTULO 5

M ÉTODOS CLÁSICOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS TRASLACIO NALES

5.1

E N T R A M A D O S T R A S L A C IO N A L E S

E n el C apítulo 4 consideram os im pedida la traslacionalidad de los nudos y para silo en todos los entram ados allí analizados incluíam os u n a serie de apoyos ficticios destinados a im pedir tales traslaciones. C onsiderem os de nuevo el entram ado del ejem plo d) del apartado 4.3.6 (figura 51) en el que se han anotado los m om entos finales de em potram iento en cabeza y pie de pilar. C alculando de acuerdo con [4.6] y [4.7] las reacciones hiperestáticas sobre los extrem os de los pilares, se obtienen los valores indicados en la figura 5-2, en la que se han considerado com o positivas las reacciones R dirigidas hacia la derecha y que son las que actuarían sobre las rótulas ficticias A y B y a nivel de cim entación. Si estas rótulas no existen, las resultantes R correspondientes actúan sobre la estructura originando traslaciones de los nudos, ocasionándose nuevos esfuerzos en las piezas debidos a estas traslaciones.

Figura 5-1

Figura 5-2 69

www.libreriaingeniero.com El conjunto de reacciones R es tal que X R = 0 ya que las cargas aplicadas en este caso al entram ado no tenían com ponentes en la dirección de las fuerzas R. En el presente caso la traslacionalidad ha sido m otivada po r la asim etría de form a de la estructura, pero com o verem os más adelante, existen m uchas otras causas de traslacionalidad. D ado un entram ado se llam a grado de traslacionalidad al núm ero de coacciones exteriores que es necesario añadir para que el entram ado sea intraslacional. En la figura 5-3 se indican diversos casos.

resulta: M = (M d + M f) — - M d

y A=

J0 t(Md + Mf)Jdx

de donde -

= [- M d + 2 M f]

[5.1]

A plicando el prim er teorem a de M O H R: GI =4

GI =1

0=

LN L d x = J _

o El

(M d + M f) — - M d dx

El

b}

de donde M f - M d = 0 G1 = 2

[5.2]

G l= 3

y resolviendo el sistem a form ado por [5.1] y [5.2] se tiene: dj Md = M f = -

6EIA

[5.3]

L2

GI = 2

P ara el caso de pieza em potrada-apoyada (figura 5-5), se tiene análogam ente: M dx El

Figura 5-3

5.1.1 M O M E N T O S IN D U C ID O S PO R LA T R A S L A C IÓ N D E U N A PO Y O Sea una pieza AB biem potrada y supongam os que el extrem o frontal B sufre un corrim iento A, trasladándose a B' pero sin giro del apoyo. (Ver figura 5-4).

siendo luego

M = M f -j— A= -

L , , x2 dx M f ----------j f L El

de donde M f = -

3EIA

[5.4]

L2

5.1.2 C A U SA S D E T R A S L A C IO N A L ID A D Las clasificarem os en los siguientes casos: a) A sim etría de carga. b) A sim etría de forma. A plicando el segundo teorem a de M O H R , A = - f Lx ^ d x Jo E l Md + M f y com o Y r = ----------------

70

c) A siento de apoyos. d) E fectos term ohigrom étricos. e) A cciones exteriores (viento, sism o, em pujes de tierra, etc.). f) E structuras con piezas que producen em pujes. g) V ariación de longitud de las piezas debida a las deform aciones axiles. 71

5.1.3

PLANTEAMIENTO GENERAL DEL PROBLEMA

Las ecuaciones generales se deducen de las [4.2] y [4.3] haciendo M ed = M ef = 0 y considerando que el ángulo de giro de nudo 0 es tal que:

El problema se concreta por tanto en la resolución de un sistema de 2b + n + c ecuaciones con igual número de incógnitas. La viabilidad del método es todavía más reducida que en el caso de entramados intraslacionales, como puede verse en los casos sencillos indicados en la figura 5-6.

tge = e d = e f = - L ASIMETRÍA DE CARGA

ASIMETRÍA DE FDRMA

ACCION DE VIENTO

de donde: Md = Kd -A- (1 + Pdf)

M f -

Kf -

^

i

( 1 + p fd) h =8

h = 3

n =2 c =1

Para el caso más general de estructura traslacional, las fórmulas resultan:

Md - Med + Kd 0d + Pdf^f

n=5 c=2

Zh*n*c =9

b =15

Z b+ n +c a 42

Zb + n+ c =23 C = 3

Figura 5-6

A

[5.5]

0 + Pdf)

5.1.4 MÉTODO DE CROSS Mf - M ef + Kf

+ P fd 0 d

[5.6]

(1 + Pfd)

que para El = cte se transforman en: 4EI

8j + Í 9 , + 1,5 A

[5.7]

M f = M ef+ 4EL o, + - L e , + 1,5 A L

[5.8]

Md = M ed +

El planteamiento general conduce al siguiente sistema: Ecuaciones - Las [5.5] y [5.6] para las b barras

2b

- Equilibrio de los n nudos

n

- Corrimientos (dato de cada problema)

c

Análogamente a lo que vimos en el caso de entramados intraslacionales, el Método de Cross proporciona una solución simple del problema y tan aproximada como se quiera, bastando para ello sumar a los esfuerzos derivados del cálculo del entramado como intrasl ación al, los debidos a las traslaciones, calculados a partir de los momentos iniciales [5.3] y [5.4]. Veremos únicamente los casos c), d) y e) de 5.1.2, es decir la aplicación del método al caso frecuente de estructuras sometidas a asientos de apoyo, efectos termohigrométricos o acciones exteriores. El método es inmediatamente generalizable a los restantes casos, que no se exponen aquí porque su interés práctico es hoy reducido, por las ventajas que ofrece el cálculo con ordenador. Se ha considerado interesante el desarrollo de los tres casos que siguen por su valor didáctico1.

5.1.4.1

Supongamos que el pilar izquierdo sufre un descenso (asiento del terreno p.ej.) de 5o mm. Primeramente aparecen en el dintel dos momentos de empotramiento: -6EI • 50

-■10-6 (24 ■ 103)2

Incógnitas

72

Asiento de apoyos

Sea el pórtico de la figura 5-7 en la que los números encerrados en círculos representan rigideces relativas. El valor de El en el dintel es de 20.000 • 1010 N.mm .

-6EI • 50

- Momentos en los extremos de las barras

2b

- Angulos de giro de los nudos

n

- Valores de A de los distintos corrimientos

c

1Q_fi

(24 ■ 103)2

1

V éase J. CA LA V ERA (5.3) donde figura una exposición com pleta de todos los casos.

73

www.libreriaingeniero.com ©

r#0:. ©

0 ,6 0

zk

24,0 0

•+ 3 G v 7 0 + 70 0 -100

0 ,6 0 a)

0 ,4 0

R °]

eT E¡

7777

0 .4 0 -100 + 40 0 0 0

7?

v+^.Oy

~R ° i

R:6:G:fy

1- 6° 1

Fé°~l

R °1

77/7.

i +20 I

1+ 20 I

VALORES ADOPTADOS

b) VALORES ADOPTADOS

F ig u r a 5 - 7

F ig u r a 5 -8

Haciendo — ^ -10 6 = 100 , realizamos el cálculo traslacional que se indica ( 2 4 - 1 03) ' en la figura 5-8 en el que se ha hecho uso de la simplificación de antimetría, asignando rigideces relativas 1 al pilar y 1,5 al dintel.

F ig u r a 5 -9

Las reacciones en cabezas de pilares debidas a esta traslación son: -60 -80 -= + 23,33 kN

Y \ = Y ’,

luego la acción de los pilares sobre el dintel valdrá:

Como el momento real no es - 100 sino

F2 = 46,66 kN

6 -2 0 .0 0 0 -1 0 * 0 .5 0 i n r . 1XT M = ------------------------^--------- 10 = -104,2 mkN (24 • 103)~

Si, en lugar de actuar un momento 100 en el pilar izquierdo, actúa un momento K:

los resultantes se obtienen multiplicando los de la figura 5-8 por 104,2

F9 = 4 6 ,6 6 2

100

kN

100

Las reacciones en cabezas de pilares valen:

El equilibrio del dintel exige que:

40 + 20 Y, = Y , = - —

-20,84 + 46,66

1

104 2 .-L L R - = _io 42 kN

6

100

lo que indica que dichas reacciones no están equilibradas y que debido a que el asiento del apoyo es una acción asimétrica sobre el pórtico, se produce una fuerza sobre el dintel de - 20,84 kN que ocasionará la traslación del entramado hacia la izquierda hasta que la deformación de los pilares producida por esta traslación equilibre el pórtico. En la figura 5-9 se ha realizado el cálculo traslacional correspondiente a un desplazamiento A hacia la izquierda.

0 -+ K = 44,6 mkN

Los momentos debidos a la traslación horizontal se obtendrán multiplicando los de la figura 5-9 por K

44,6

100

100

= 0,446

Primariamente aparecen en cabezas y pies de los pilares momentos: M h = M„ = -

1'

6EIA

El valor del corrimiento es:

U

44,6 • 106 • (6 ■ 103)" A= -

y haciendo ^EJA = 100

= 1,34 mm

6 • 20.000 • 1010

U

se obtienen los resultados indicados en la figura, en la que se ha hecho uso de la simplificación de antimetría. 74

En la figura 5-10 se indican los diagramas de momentos flectores y los esquemas de las deformadas correspondientes a las diferentes etapas. 75

ETAPA

L E Y E S DE

C R O Q U IS D E LA

M O M EN TO S FLECTO RES

DEFORM ADA

desplazamientos A¡ a cada dintel, resolviendo el sistema correspondiente. (Hay que tener en cuenta las reacciones de a) y b)). d) La suma de los momentos de empotramiento de las hipótesis a), b) y c) proporciona los momentos finales.

50mm!jy

A S IE N T O DEL SOPO RTE IZQ U IE R D O

Obsérvese que en la etapa c) se consideran ya también las traslaciones debidas a posibles asimetrías de carga y forma.

20,8 A

26,8 T R A SL A C IÓ N H AC IA LA IZQ U IERDA

fí

26,8

i

5.1.4.1.2 Entram ados con pilares que no llegan a la cimentación

i

35,7

Esta disposición es relativamente frecuente en la práctica cuando por algún motivo se necesita en una o varias plantas bajas una luz mayor que en lasplantas restantes.

14,9

El método general de resolución consiste en expresar la condición de equilibrio entre las reacciones isostáticas y las hiperestáticas producidas por el corrimiento del apoyo. A continuación se aclara el método con un ejemplo.

R E SU LT A N T E

14,9

14,9

Sea el entramado de la figura 5-12 a).

Figura 5-10

20kN/m

*I H H W H H U 5.1.4.1.1 Generalización i

250 x 500

20kN/m

20kN/m

W

Sea el entramado general indicado en la figura 5-11 a) en el que se supone un asiento A en un soporte cualquiera. Las etapas de cálculo son las siguientes:

W

25 0x1 00 0

H

I

H

U

g K * 8 €M

i l

5 R 8 « CM

3

Z77/

a)

i fifi 1

V.

J

V Figura 5-11 a) Cálculo de los esfuerzos producidos por el conjunto de las cargas sobre el entramado considerado como intraslacional. b) Se supone un descenso A (figura 5-11 b)) que motivará unos momentos M primarios producidos por la flexión de los vanos de dinteles contiguos al pilar que experimenta el descenso. Estos momentos se reparten mediante el correspondiente cálculo traslacional. c) De acuerdo con las etapas a) y b) se calculan en cada dintel las acciones de los pilares de las plantas superior e inferior sobre el dintel. En general estas acciones no resultarán nulas. A continuación se procede a asignar

o O «

O

;i V

777?.

flihii

76

250 x 500

777?.

. ..

Figura 5-12

b>

Realizaremos en primer lugar el cálculo de la estructura considerada como intraslacional. Para las cargas verticales el grado de traslacionalidad es uno y la estructura se hace intraslacional introduciendo un apoyo ficticio en el punto medio de la luz del dintel de la primera planta1. El cálculo intraslacional se indica en la figura 5-13 en la que se ha hecho uso de la simplificación de simetría. En segundo lugar realizaremos el cálculo correspondiente a un descenso A del punto medio de dintel de planta primera, tal como se indica en la figura 5-12 a), siendo A también el descenso del apoyo intermedio del dintel de planta segunda. Haremos

= 100 y el cálculo traslacional se indica en la figura 5-14 en la L2 que, de nuevo, se ha hecho uso de la simplificación de simetría.

1

O b s é rv e s e q u e p a ra a c c io n e s v e rtic a le s e l grad o de tra s la c io n a lid a d de la estru ctu ra es u n o, m ie n tras q u e p a ra a c c io n e s h o riz o n ta le s es d os.

77

www.libreriaingeniero.com +4 :1 ,0 - 0,6 0 +01,6 0 -20.0 +60.0 r 0,33

-1 o +3 0 -33 + 100 0,33

------------------------------ p- B 0,67 0 -60,0 0 - 5,0 + 3.4 + 1.7 + o.s - 1.1 0 -69:,-2:

-4 4 .

oo o

rr

empotramiento en los extremos de los pilares de valor

0,66

para el pilar

izquierdo y

para el pilar derecho, siendo A = 5 • 0,4 = 2 mm

::455:'

0 ,1 7

\

0,6 6

0 ,1 7

0 ,1 7

"+"6,6 0 l7:3',4:

-3 ,4 ,

6EIA

L2 0 ,6 7

O oo 1

0 ,1 7

estructura dado que ambos soportes son de la misma longitud. También se produce un acortamiento 2A del dintel que introduce unos momentos de

7777.

7777,

b)

F ig u r a 5 -1 5

..+ 7 8 :::

777/

777/

F ig u r a 5 -1 3

-:—G7y.

F ig u r a 5 -1 4 0 ,6 7 0 ,3 5

A continuación es necesario expresar que las reacciones isostáticas de las cuatro vigas que apoyan en el pilar central interrumpido están en equilibrio con las reacciones hiperestáticas. Llamando K en lugar de 100 al momento debido al verdadero valor de la traslación A, se tiene: /I

6 • 20 | 9 |

32,1 -7 3 ,4 j | 9 |

+ 100 -

______

33

— c •*6:7:':

‘ 1-6 7 1

Fá?! r

Fs*~l r

V77. '777. V A L O R E S A D O PT AD O S

4 1 ,0 -6 9 ,2 F ig u r a 5 -1 6

550 + 78 \ K , 9 ¡ 69 + 86 \ K 6

j5 3 o +

263,2 - 0,96K = 0 ^ K

r ~ l m

1

„ =0

= 274,2

Suponiendo

6EIA = 100, el cálculo traslacional se indica en la figura 5-16 en L2

la que se ha hecho uso de la simplificación de simetría, con rigidez de dintel 0,5 de la real. Los momentos finales se obtienen en mkN, multiplicando los obtenidos por:

Los momentos finales se obtienen añadiendo a los del cálculo intraslacional los T/-

del traslacional multiplicados p o r

= 2,742

6 • 20.000

100

NOTA: Obsérvese que el caso resuelto corresponde también a una viga

100

• 300 ■5003 • 2

12______________

VIERENDEL de dos recuadros.

Ab

c 5.1.4.2 Efectos termohigrométricos

,

Btt"

300x600 3 ,0 0

Tanto los efectos de las variaciones de temperatura como los producidos por la retracción del hormigón producen variaciones en la longitud de las piezas que, a su vez, pueden inducir esfuerzos en toda la estructura.

- ÍO6 = 0,3 mkN

(5 ■ 10-7

300x300 300x300

A

6.00

a 7777

,D

12 ,00

a) Sea el pórtico de la figura 5-15 a) sometido a una retracción de 0,4 mm por metro con E = 20.000 N/mm2. Por un lado el acortamiento de retracción provocará un acortamiento de los pilares que no induce esfuerzos en la 78

b) F ig u r a 5 - 1 7

79

b)

En el caso anterior ha bastado con realizar el cálculo traslacional. Ello ha sido debido a que los pilares eran de la misma longitud. Veamos ahora el caso de la figura 5-17 cuyo entramado se encuentra sometido a una elevación de temperatura de 20°C con E = 20.000 N/mm2 y un coeficiente de dilatación térmica de 10-5. Al ser los dos pilares de longitudes desiguales, la elevación de temperatura produce un ascenso relativo del punto C respecto al B.

6-20.000

300-6003-0,6 •io -6 ( 1 2 - 103) '

Y b + Y c = -1 6 ,3 3 -

100

■= -16,33— = -0 ,4 4 kN 100

A, = (6000 - 3000) • 10*5 . 20 = 0,6 mm

Esta suma de fuerzas, al no estar en equilibrio, provoca la traslación del dintel hacia la derecha, hasta que esta traslación A-, produzca unas reacciones iguales y de signo contrario a Y B + Yc.

Lo que introduce unos momentos primarios en los extremos del dintel

Llamando A2 a la traslación y haciendo -

6EI A, M b = M c = ------------- L _ . 10-«

6E IA ,- 10-6 -= 100 los momentos en (3 • 103) 6EI A, el pilar izquierdo, los momentos en el derecho se rá n ------------10*6 (6 ■ 103)

(12 • 10+

iguales por tanto a 250. El cálculo traslacional se indica en la figura 5-19. u j 6 E IA i H aciendo--------------T = 100 se realiza el cálculo traslacional indicado en la (1 2

•

j-BSl

10 3)~

* 1+261

' - '6 5 3

figura 5-18.

1+271 r V77.

VALO RES ADOPTADOS

■ 0 ,6 7

¡ + 0 ,2 4 |

o.ao

0 .3 3

0 ,2 0

> + : 8 :6 :

77Z :+:2.6':

+ 65

F ig u r a 5 -2 0

F ig u r a 5 -1 9

Sea K el momento primario inducido en el pilar izquierdo por la traslación del dintel. Las reacciones del dintel sobre los soportes valen: 65 + 86 3

F ig u r a 5 -1 8

Las reacciones del dintel contra los pilares que resultan de este cálculo traslacional valen

K 26 + 27 6 / 1 0 0

0,592 K

y para que el dintel esté en equilibrio se habrá de cumplir -0,44 - 0,592 K = 0 -+ K = - 0,74

Y b = - 25 t 12 = - 12,33 kN; Vc 3

^ ‘ S = -4,0 kN 6

Los momentos finales se obtienen multiplicando los de

la figura 5-18 por

Y b + Yc = - 12,33 - 4, = - 16,33KN

6EI Aj - 1 0 6 y sumándoles los de la figura 5-19 multiplicados por (12 - 1000)2 • 100

Las reacciones primarias del dintel sobre los pilares debidas al alargamiento de los soportes valen realmente:

K _ 100

Los resultados se indican en la figura 5-20. 100

81

www.libreriaingeniero.com En todo lo anterior hemos considerado únicamente los efectos debidos al alargamiento ocasionado por el incremento de temperatura que se produce en los pilares. Veamos ahora los efectos debidos al alargamiento del dintel. La dilatación del dintel será:1 Ab

+ Ac = 12 • 103 - lO 5 • 20 = 2,4 mm

En eLsegundo caso: + 6+ 13 +90+77 Y, = -------------------------------= -34,17 kN 3 6 y habrá de cumplirse:

[5.9]

Para el pilar izquierdo los momentos primarios de empotramiento valdrán: 6 E I A r - 10 '6

(3 ■ 103) '

[5.10]

igualando este valor a - 100, se realiza el cálculo traslacional indicado en la figura 5-21:

50,50 l 100 /

- 34,17 W =0 100

[5.12]

-6 E I Ab • 10-6 De --------------- ^— = K resulta (6

• 10+

(3 • 103)2 K Ab = ------------------------------------------ = -0,111 K mm 6 ■20.000 ■— ■3004 -10-6

[± rl

EEL

Fácil ,

777 V ALO RES ADOPTADOS

12

mm

~TED

777 V ALO RES ADOPTADOS

■ 0 ,6 7 0 .3 3 + 100 -2 0 0 0 0 -3 +77:

y

6EI Ac • 10-6 -------— = K' resulta (6 • 103)

(6 ■ 103)2 K7 Ar = H----------------------------------------- = - 0,444 K ’ mm 1 6 • 20.000 •— • 3004 -10-6 12

F ig u r a 5 -2 1

F ig u r a 5 -2 2

y sustituyendo en [5.9] se tiene: Para el soporte derecho: -0,111K + 0,4444K’ = 2,4 6EI Ar ■ 10-6 Mc = Md = + (6 ■ 103)

[5.11]

e igualando este valor a 100 se realiza el cálculo traslacional que se indica en la figura 5-22. Sean K y K ' los valores de los momentos [5.10] y [5.11] en lugar de - 100 y 100, respectivamente. Las reacciones horizontales del dintel contra los pilares son: En el primer caso: v Y]

-84 -62 -4 -7 -------------------------- = + 50,50 kN

y de [5.12] -0,505 K - 0,341 K ’ = 0 Resuelto el sistema se obtiene: K = - 3,13 K ’ = 4,62 y por tanto:

Ac = 2,1 mm los momentos de empotramiento finales se obtienen mediante la expresión: M = — — M, + —

I

82

AB y Ac son aquí los valores absolutos de los corrim ientos.

100

M,

100

83

donde Mj y M 2 son los del prim er y segundo cálculo traslacional respectivamente. El resultado se indica en la figura 5-23.

A'3 - A'2 = A l - L2

[5.13]

| +^ 5 I

i-3-34í

l-y isl

777.

l~3.saí

E^E L *777.

Figura 5-23

777.

Figura 5-24

Los momentos totales finales debidos al alargamiento de soportes y dintel se obtienen sumando los indicados en la figura 5-20 con los de la figura 5-23. El resultado se indica en la figura 5-24.

5.1.4.2.1

K

- A V i = A i ■ L „ .,

Además, cortando por un plano horizontal a nivel de las cabezas de los pilares de planta baja, la suma de esfuerzos, al no haber acciones horizontales exteriores y estar la estructura en equilibrio, debe ser nula, luego: Y lf + Y2f + ... + Ynf = 0

[5.14]

Los valores de A \, A 2, A'3, ..., A'n y de Y lf, Y2f, ..., Ynf se determinan a partir de los corrimientos ficticios ÁL, A9, A n dados aisladamente a cada cabeza de pilar, mediante los cálculos traslacionales correspondientes y coeficientes Kj tales que A’¡ = Kj A¡.

Generalización

El método se generaliza fácilmente para el caso de un entramado cualquiera, tal como el de la figura 5-25, con pilares de igual longitud en cada piso.

Las ecuaciones [5.13] y [5.14] forman un sistema de n ecuaciones con n incógnitas K l5 K2, ..., y los momentos finales son: M = M l Kj + M 2 K2 + ... + M n Kn

p

- i

siendo M 1? M 2, ..., M n los momentos de los respectivos cálculos traslacionales. Si los pilares de planta baja fueran de diferente longitud unos de otros, basta añadir a los momentos considerados los debidos a las diferencias de elevaciones producidas por la desigual dilatación de los pilares en que apoya cada vano. Esto equivale a realizar tantos cálculos traslacionales como vanos y a sumar los momentos resultantes de todos ellos a los anteriormente obtenidos.

p-2

5.1.4.3

Acciones exteriores

a) Sea el pórtico de la figura 5-26 a) sometido a la acción horizontal de 50 kN y supongamos Ec = 20.000 N/mm2.

Figura 5-25 Llamaremos Ap A9, ... An las traslaciones ficticias de las cabezas de los pilares consideradas como positivas hacia la derecha1 y A 'u A'2, ..., A'n los corrimientos reales. Se habrán de cumplir, siendo Aj el coeficiente de variación lineal correspondiente al fenómeno que se estudie, las relaciones siguientes: A'2 - A'[ = A1 * Lj

1

84

C om o “ a priori” puede haber duda en algunos pilares de hacia qué lado se produce la traslación A, es más sim ple suponerlas todas hacia la derecha.

de una fuerza

Es evidente que el pórtico se trasladará hacia la derecha hasta que, por la deformación de los pilares, éstos ejerzan sobre el dintel unas fuerzas FB, Fc tales que FB + Fc = - 50 kN. (Figura 5-26 b)). Sea A el corrimiento necesario del dintel, que inducirá en losextremos de los pilares unos momentos primarios. 6EI A M = ----------- * 10-6 (3 ■103)~ Adoptando 100 mkN como valor de M, el cálculo traslacional se indica en la figura 5-26 c) en la que la fuerza de 50 kN se ha supuesto actuando por mitades en B y C con lo que se puede hacer uso de la simplificación de antimetría. 85

www.libreriaingeniero.com 5 0 kN

B

300*600

Los valores de los momentos flectores y el croquis de la deformada se indican en las figuras 5-26 e) y f).

C

Y

b) Sea el mismo pórtico de la figura anterior, pero sometido a una carga uniforme de 20 kN/m sobre el pilar izquierdo (figura 5-27 a).

-

'■

+ 93

Existen ahora flexiones directas ocasionadas por la carga uniforme y otras debidas a la traslacionalidad del pórtico. Realizamos el cálculo intraslacional indicado en la figura 5-27 b), con momentos de empotramiento en el pilar izquierdo:

86.

U.OD

0 7 0 + 100

0 7/ 9;

-

32

M = ± ------------- = ± 15 m- kN 12

+ 100 - 14 0

-

20

Fm

0 .1 4

"E m

1+56 I

o + 86

1+931

í+931 ,

V77.

777.

VALORES ADOPTADOS

TñZ]

+ 1:478-

36,0 36,0 rz ±

36.0

+ 1.9 - 2.4 0 0 + 12,0 0

f-f

0 ,8 0

Á

d)

e)

*777.

777.

VALORES ADOPTADOS

© 0 .8 0

0 ,2 0

0 ,2 0

© f)

F ig u r a 5 - 2 6

De acuerdo con ello, las acciones de los pilares sobre el dintel serán:

+ L 6 ;:5 :

20 kN/m

i

E lZ j

F ^ ...

—¡r 0.5

*777.

V

7777

86 + 93_= _ 59 6? ^ b)

a)

Sea K el valor real del momento M en lugar de 100 m-kN. Se habrá de cumplir para que esté en equilibrio el dintel. (Figura 5-26 d)). 2 - K • 59,67

+ 50 = 0 -+ K = 41,9

F ig u r a 5 - 2 7

Las reacciones del dintel sobre los extremos superiores de los pilares valen:

100 Los valores reales de los momentos se obtendrán multiplicando los de la figura 5-26 c) por 100

El valor del corrimiento A será: 41,9 • (3 ■ 103)2 A: 3004

6 • 20.000 - - ^ - - Í O - 6 12

86

- = 5 mm

2

3

Y|C =

3

, 0,6 t N

y en definitiva existe una componente de 28,9 kN actuando sobre el dintel hacia la izquierda que es la que origina la traslación del pórtico en esa dirección. Sea A el corrimiento del pórtico (positivo hacia la derecha), que originará unos momentos en los extremos de los pilares: 6EIA M =------------- 1 0 6 L2 87

Haciendo este valor igual a 100 m-kN, el cálculo traslacional es el mismo de la figura 5-26 c). Las reacciones del dintel sobre los extremos de los pilares valen tanto - 59,67 kN cada una.

por

Siendo K el valor real del momento M y considerando el equilibrio del dintel, se tiene: + 28,9 - 2 ■—

59,67 = 0 —> K = 24,2

experimenta una traslación horizontal A . Llamemos 100 al momento originado en un pilar cualquiera de las series de pilares inmediatamente superiores e inferiores al dintel considerado. El momento producido por la traslación Ap en cualquier pilar de dichas series valdrá 100 ■— , siendo I¡ el momento de inercia de la sección transversal de ese lo

pilar e I0 el del pilar al que se asigna el momento 100. Conocidos los momentos primarios producidos por A , se puede realizar el cálculo traslacional correspondiente. Llamando Kp el valor real del momento adoptado como 100, los momentos reales se xr

obtendrían multiplicando los obtenidos en el cálculo traslacional Por_j~Q y los valores de los momentos se obtienen multiplicando los de la figura 5-26 24,2 Por

100

' ^ u m a n t^ ° a é s to s l ° s d e l c á lc u lo in tr a s la c io n a l se tie n e n p o r ta n to

los momentos finales de empotramiento. En la figura 5-28 se indican los momentos flectores y la deformada de pórtico. El valor de traslación resulta:

Aislemos ahora (figura 5-29 b)) la parte superior del entramado que resulta al cortar por un plano horizontal inmediatamente por debajo del dintel del piso p. Llamemos YJ a la reacción del pilar i situado bajo el dintel del piso j sobre este dintel, debida a la traslación del piso 1 deducida del correspondiente cálculo traslacional a partir del momento 100. El valor real deYl será K| YJ Los valores de las acciones Y de los pilares sobre el dintel p serán:

ETAPA

L E Y E S DE

C R O Q U IS DE LA DEFORM ADA

M O M EN TO S FLEC TO RES

IN T RASLAC IO N AL

16,5

20.3 TR A SLA C IO N A L

1 22,5

t+ RESU LTAN TE

V

A =-

(3 ■ 103) '- 24,2 3004 6 - 20.000 - ^ Y _ - 1 0 - 6

F„ -----

|--------- ]--------- ^--------- \--------- ^--------- 1---------

12

F„-,------ -------------------------------------------------- -------------

5.1.4.3.1.

Generalización

Pueden utilizarse dos métodos. MÉTODO A Supongamos un entramado general (figura 5-29 a)) sometido a acciones horizontales F¡. Tomemos sucesivamente cada uno de los dinteles y supongamos que

fp—

tI 1 Yip

Y2P

1

Y3P

1

Yíp bj

F ig u r a 5 -2 9

1

1

I

Ykp Ym.1P Ym

A

Y- + N

100

2P

A 100

lp 100 YL

Y?„ + ... +

100

ÍL Y?d + +— 100

K.

...

+E —

100

www.libreriaingeniero.com

b

-Y?.

¡

i

2

3

y [5.15]

Ys2p

3

K

mp

K

bj

a; Y

}

= — Y 1 + — Y2 + + — Yn 100 mp 100 mp ' 100 mp

) / / / /

A UP

E xpresando ahora que la zona superior del entram ado que hem os aislado está en equilibrio, se tiene: Y lp + Y 2p + ... + Y mp + F p + F p+1 + ... + F n =

0

[5.16]

donde Y lp, Y 2p ... Y mp son las expresiones [5.15].

t

E scribiendo la ecuación [5.16] para cada dintel, se obtiene un sistem a de n ecuaciones con n incógnitas, siendo n el grado de traslacionalidad del entram ado. Los valores finales de los m om entos serán:

111I

A,

1J Figura 5-30

M =

+ M 2^ - + 100 100

... + M n -^iL 100

[5-17]

sien d o M ]5 M 2 ... M n los v alo re s o b te n id o s en los cá lc u lo s traslac io n ales correspondientes a las traslaciones de los pisos 1, 2 ... n. Si sobre el entram ado existen acciones verticales u horizontales directam ente aplicadas sobre las piezas, debe realizarse el cálculo intraslacional correspondiente añadiendo en la ecuación [5.16] de cada dintel los valores Y jp debidos al cálculo intraslacional y análogam ente en la ecuación [5.17] deben añadirse los m om entos de em potram iento debidos al cálculo intraslacional. O bsérvese que la aplicación del m étodo al plantear el sistem a de ecuaciones [5.16] proporciona los esfuerzos debidos a la traslacionalidad del entram ado m otivada no sólo por la acción de las fuerzas exteriores F, sino tam bién por las posibles asim etrías de carga y form a que pudieran existir. M ÉTODO B E l m étodo es esencialm ente el m ism o. L a única diferencia es que, en lugar de suponer traslaciones A¡ de cada dintel suponiendo los restantes sin traslación, en esta variante se com ienza a dar traslaciones por el dintel superior (figura 5-30 b)). P ara los dinteles inferiores (figura 5-30 c) y d)) se supone que, cuando un dintel se traslada, lo hacen con él y en la m ism a m agnitud todos los superiores. 90

El planteam iento y resolución son idénticos al caso anterior con la única diferencia de que, al suponer trasladado un dintel y realizar el correspondiente cálculo traslacional, solam ente tienen m om entos prim arios no nulos de em potram iento los pilares del piso inferior, en lugar de los pisos superior e inferior com o ocurre en el m étodo A.

BIBLIOGRAFÍA

(5.1)

FERNÁNDEZ CASADO, C.; FERNÁNDEZ CASADO, J.L. "Cálculo de Estructuras Reticulares". T Edición. Dossat. Madrid, 1958.

(5.2)

FERNÁNDEZ CASADO, C. "Estructuras de Edificios". Dossat. Madrid, 1955.

(5.3)

CALAVERA, J. "Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón Armado para Edificios". 2a Edición. Madrid, 1991.

91

CAPÍTULO 6 ESTRUCTURAS CON APOYOS ELÁSTICOS Y EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES

6.1

APOYOS ELÁSTICOS

Entendemos por tales aquéllos en los que la pieza experimenta una traslación o giro en el apoyo, proporcionales a la reacción producida por ese apoyo. Su resolución es inmediata con lo anteriormente visto y se aclara a continuación con algunos ejemplos.

6.1.1

APOYOS CON TRASLACIONES ELASTICAS a) Sea la viga continua de la figura 6-1, con dos vanos de sección 200 • 500 mm con hormigón tal que Ec = 20.000 N/mm2 y sometidos a una carga vertical descendente de 30 kN/m. El apoyo central es elástico con una relación entre reacción YB (en kN) y asiento experimentado A (en mm) tal que A = 0,00002 Y b 1-

30 kN/m

u iu m u u u m u u A

B

4.00

-

j.

6 0.00

Jl

C

Figura 6-1 1

A A

4.00

¿m m

j.

Figura 6-2

El coeficiente 0,00002 es denominado “constante de muelle” del apoyo B y es la deformación producida en el apoyo para una reacción unidad.

93

www.libreriaingeniero.com En primer lugar, resolvemos el problema por el Método de Cross suponiendo el apoyo B intraslacional. El proceso se indica en la figura 6-2, habiéndose hecho uso de la simplificación de simetría y considerado la pieza como empotrada-apoyada.

y como A¡ = 0,00002 YB de las dos ecuaciones anteriores se obtiene, con M?r • L2 A = — ^ -----3 El

La reacción en B vale por tanto: Y 1r = 2

3 0 -4

60 . + ----- 1= 150 kN 4

2

y 1a

=

y 1c

K=

Y

150

ib

— = o 209 50.000 ----------1 0 0 _ £ -------------+ 5Q 3 • 20.000 • 103 • 0,002

50.000 A - Y2B

3 0 -4 60 \ = ------------------- = 45 kN 2 4 /

El momento final de empotramiento en B resulta combinación lineal: MB =

A continuación realizamos el cálculo traslacional para un descenso -A del apoyo B. Para ello hacemos uso de la sim plificación de sim etría y 3EIA = 100. El consideramos la pieza empotrada-apoyada con M2B L2 resultado se indica en la figura 6-3.

m ib

+

k m

2B

M b = - 60 + 100 • 0,209 = - 39,1 mkN Y la reacción final análogamente: Y b = 1 5 0 - 5 0 ■0,209 = 139,6 kN

Resulta

Y2B = 2

100

= - 50 kN

2 4 0 - 139,6 Ya = Yc = ------------

4

=50,2

kN

+100

Y2A = Y2C = -------- = 25 kN

El asiento final

viene dado por: Yb Ai = ------------

ESTADO

1

ZS”

t Y1B

A

' B

ESTADO

t

.

Y? R

ESTADO

t Y in

50.000

Obsérvese que el asiento del apoyo reduce los esfuerzos en ese apoyo, aumentando los de otras zonas de la estructura.

2

+ 100

+TD0

50.000

“ ZS”

139,6

= --------------- = 2 ,8 m m

t Y

?r

b) Sea la misma viga que en el ejemplo anterior pero supongamos que el apoyo C es también elástico con relación A = 0,00001 Yc . Como en el caso anterior comenzamos por realizar el cálculo intraslacional, lo que conduce a los resultados de la figura 6-2, siendo

1+K2

3 0 -4

60 — = 45 kN 4

2 Figura 6-3

Y 1B = 150 kN

M ]B = - 60 mkN

F ig u r a 6 -4

A continuación suponemos un asiento AB del apoyo B y haciendo Sea - A, = - KA el asiento real. Se habrá de cumplir:

™

_

3 E I ( - A b) =

YB = Y 1B + KY2B A[ = KA * 94

100

L2 se obtienen los resultados de la figura 6-3. 95

Supongamos ahora un tercer estado, correspondiente a un descenso - Ac del apoyo C, lo que provocará en el apoyo B (Fig. 6-5) un momento de empotramiento 1VL

Como A1B = 0,00002 YB;

o sea,

3 El (—Ac)

YB = 50.000 A1B = 50.000 K AB

100 • 42 Y b = 50.000 K ------------------------------- = 666,67 K 3 • 20.000 • 103 • 0,002

L2 ESTAD O

A1C = 0,00001 Yc ; Yc = 100.000 A]C = 100.000 K’ A,‘C

“ZS”

1

o sea: ESTADO

2

100 • 42 Yc = 100.000K * ----------------------------------= 1.333,33 K’ 3 • 20.000 • 103 • 0,002

Sustituyendo valores en el sistema [6.1] se obtiene el [6.2] EST AD O

“ST

3

A

t

t

’

0 .5 0

716,67 K - 25 K’ = 150 |

0“

[6.2]

- 2 5 K + 1.345,83 K ’ = 45 EST ADO

;

1+K.2 + K'.3

“í-

que resuelto conduce a:

t

t

K = 0,2106 Figura 6-6

Figura 6-5

Haciendo figura 6-6.

3 El Ac

j

K’ = 0,0373 con lo que

= 100 se realiza el cálculo traslacional según se indica en la

L2

Y c = 1.333,33 • 0,0373 = 49,8 kN

Las reacciones resultan: Y

Y b = 666,67 ■0,2106 = 140,4 kN

50

Y a = 8 • 30 - (140,4 + 49,8) = 49,9 kN El valor del momento en B puede obtenerse directamente tomando momentos de las cargas actuantes en el vano derecho respecto al punto B.

50 Y3B = - 2 ------ = 25 kN

M IB = 49,8 ■4 - 4 • 30 • 2 = - 40,8 mkN 50 ^3C “ '

Los valores de los asientos en B y C resultan:

12.5 kN

4 A]B = 0,00002 ■ 140,4 = 2,8 mm

El estado final, se obtiene (Fig. 6-5) por superposición de los estados 1, 2 y 3, siendo

AjC = 0,00001 • 49,8 = 0,5 mm

A,B = K Ab y A]C = K’ Ac los asientos reales de los apoyos B y C, se tiene: 'Y B = Y 1B + K Y 2B + K ’ Y3B [6 . 1]

Yr = Y 1C + K Y9r + K ’ Y3 C L 2C ' 96

c) En el pórtico de la figura 6-7 la inercia del dintel es El = 4.000 ■ 1010 Nmm2 y la de los pilares El = 2.000 ■ 1010 Nmm2. El pilar izquierdo descansa sobre un apoyo elástico tal que A = - 0,0005 Ya (A en mm para YA en kN). Calcular los momentos finales de empotramiento. 97

www.libreriaingeniero.com ESTADO 1 100kN/m

•60:

* :3 5 7 :$

+533.3

w u u m m w i r e __ O O

0,60 0.40

,

0,33

ESTADO 3

0,67 -2 0

7.V/D_4 --- T

-

,

+ 100

F a o l,

f " K 337*3

8.00 h l7 H | r

E

ü é ü

777.

777

t

t

t

Y 1A

f+áffl r V77.

A

D

V ALO RES ADO PTADOS

Y- id

Com o se observa en la figura 6-9 las reacciones horizontales del dintel contra los pilares son iguales a -

Figura 6-8

2 . 0 0 0 ■ 1 0 10 R< Las rigideces relativas de pilares y dintel son —- = 1, ya que 4.000 Rt 4.000 ■101Q 0,5 . 1010, por lo que tom am os rigidez unidad para las tres piezas.

8.000 R e aliza m o s en p rim e r lu g a r el cá lc u lo in tra slac io n a l, u tiliza n d o sim plificación de sim etría, con rigidez de dintel 0,5 de la real (Fig. 6-8).

Figura 6-10

Figura 6-9

VALORES ADOPTADOS

Figura 6-7

" 1+601

Feo

.

^77?

Y ia

* 1+601

777.

la

2 0 -4 0

= 15 kN cada una, es decir que la acción

de los pilares sobre el dintel es de - 30 kN, lo que ocasiona la traslación del pórtico h acia la izquierda, h asta que dicha traslación neutralice la acción sobre el dintel. Sea A2 la traslación (positiva hacia la derecha) que experim ente ahora el dintel. Se originarán unos m om entos prim arios de em potram iento en am bos pilares de valor:

Los valores de las reacciones son:

M

6 E l A2 L2

Y 1A = Y 1D= 1 0 0 -

400 kN

Sea ahora A x el corrim iento vertical, positivo hacia arriba, del apoyo izquierdo A, que será igual para el punto B. H agam os

Suponiendo este valor del m om ento igual a 100, realizam os el cálculo traslacional tal com o se indica en la figura 6-10, en la que se h a hecho uso de la sim plificación de antim etría. Las reacciones resultan:

6 E l (Arí M = ------- — = 100 L2 y con ese valor de los m om entos prim arios de em potram iento inducidos p o r el asiento del pilar en el dintel, se realiza el cálculo traslacional indicado en la figura 6-9, en la que se ha hecho uso de la sim plificación de antim etría, con rigidez de dintel 1,5 veces la real. Los valores de las reacciones resultan: Y 2a =

40 + 40

40 + 40 Y 2D “ “

98

Y 3A

- 60 - 60

- 15 kN

- 60 - 60 3D

15 kN

y las reacciones horizontales del dintel contra los pilares serán iguales a _ ^

+ ^.9 = - 35 kN cada una y la de los pilares contra el dintel 70 kN.

= 10 kN La reacción final Y A será la debida a una com binación lineal de los tres estados analizados, es decir:

- 10 kN Y A = Y 1A+ K ,

y

2A+

k

2 y 3a

99

donde: Kj es la relación

A¡

entre el asiento realmente experimentado por el pórtico

Ai

en A, y el supuesto At. A2 K2 es la relación — - entre el corrimiento horizontal realmente experimentado por el pórtico y el supuesto A2. Por otra parte, las acciones horizontales de los pilares contra el dintel serán ahora las de los estados 2 y 3 multiplicadas por Kj y K-, respectivamente, y habrán de estar en equilibrio. Por lo tanto, - 30

+ 70 K2 = 0

=

y ia

+ K] Y2A + K2 Y3A

■ - 30 Kj + 70 K2 = 0

Figura 6-12

Un empotramiento flexible viene definido por una constante J (llamada usualmente constante de muelle) que define la relación constante para este tipo de enlace entre el momento aplicado y el giro producido en la extremidad de la pieza.

y en definitiva se obtiene el sistema: ya

Figura 6-11

M [6.3]

a ; = - 0,0005 y a

” 0

siendo A¡ = K¡Aj = K ,--------------- = 0,02666 K T 6 ■40.000

Conocida la constante J de cada empotramiento flexible, la estructura de la figura puede sustituirse por la de la figura 6 -1 2 , resultante de prolongar las piezas con extremos flexiblemente empotrados con unas piezas articuladas en los extremos opuestos y con rigideces Kj = J| y K2 = J2, siendo Jj y J2 las constantes de muelle de F y D respectivamente.

Resuelto el sistema [6.3] se obtiene:

Resuelto el cálculo de la nueva estructura, los vanos F F ’ y D D ’ se suprimen, siendo los momentos en F y D los momentos elásticos finales.

6-11

100 • 8 2

La justificación de este método, que es inmediata, se da en 6.3.3.

K] = - V K2 = - 3

A¡ = - 187 mm Y a = 375 kN Los momentos se obtienen a partir de K, y K9 por aplicación de la fórmula M = Mj + K, M 2 + K2 M 3.

6.2

EM POTRAM IENTOS FLEXIBLES

En lo visto en los capítulos anteriores, se ha supuesto que los giros de todas las piezas que concurrían en un nudo, eran iguales, o dicho de otra forma, que la unión de las piezas al nudo era perfectamente rígida (Fig. 6-13 a). Existen casos1 en que las piezas se unen a los nudos mediante elementos que permiten un cierto giro al actuar un momento en la unión. Esto se visualiza en la figura 6-13 b) concibiendo el nudo como una pieza a la que se enlazan las barras2. Bajo la acción de los momentos en las extremidades de las piezas se producen giros 0j, 02 ... 04 lo que origina que los giros reales de las barras sean 0 - 0 ]5 0 - 02 ... 0 - 04 que no resultan ya iguales entre sí.

APO YO S CON EM POTRAM IENTO FLEXIBLES

Sea la estructura cualquiera de la figura 6-11 en la cual algunas piezas tales como CF y CD están empotradas flexiblemente y no rígidamente. La unión se puede visualizar suponiendo un muelle al cual están unidas las piezas en esas extremidades. 100

6.3

1

E sta situación se presenta frecuentem ente en estructuras m etálicas y es un cam bio m enos frecuente en las estructuras de horm igón.

2

O bsérvese que el caso no es el m ism o que se ha tratado en 6.2 que correspondía a enlaces de extrem idad siendo los restantes nudos rígidos. 101

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A plicando el segundo teorem a de M O H R: *o

(x - L )

h = L

M

dx

El

y sustituyendo M en [6.4] e integrando, suponiendo E l constante, se obtiene:

2 - =tged=ed= L

©

Md - L - M f - L 3 El 6 El

[6.5]

y análogam ente por sim etría, Figura 6-13

Figura 6-14

L 0f = M f — 3 El

E l com portam iento de una unión de la barra al nudo queda reflejado por el correspondiente diagram a m om entos-giro tal com o el de la fig u ra 6-14. F re cu e n tem e n te tales diag ram as p u eden reem p lazarse, d en tro del cam po estudiado, por leyes sim ples y en particular por una ley lineal m

= je

lo que supone un com portam iento hookeano para la ju n ta entre barra y nudo. J se denom ina “m ódulo de ju n ta ” o “constante de m uelle” com o vim os en 6.2.

Yf =

Figura 6-15 102

X / X M = M f------M d 1 -----L L

Figura 6-16

[6.4]

6 El

Los giros 0 d y 0 f producidos bajo la acción de M d y M f serán por un lado los proporcionados por las fórm ulas [6.5] y [6.6] y por otro los ocurridos en las ju n tas U d Md Mf . n y U f , que s e r á n y respectivam ente, con lo que los giros totales resultan: Jd

6.3.1 R IG ID E Z Y FA C T O R D E T R A N SM IS IO N EN E L CA SO D E E M PO T R A M IE N T O S FLE X IB L E S

Md + Mf — ------L

[6.6]

S ea ahora (Fig. 6-16) una viga biapoyada con m om entos M d y M f aplicados en sus extrem os y ju n tas flexibles U d, U f en esos extrem os, que representarem os por m uelles ficticios en la figura.

Las estructuras con em potram ientos flexibles pueden calcularse p o r los m étodos vistos en los capítulos 4 y 5 siem pre que se generalicen los conceptos de factor de transm isión, rigidez y m om ento de em potram iento de acuerdo con los apartados siguientes.

Sea en prim er lugar, una pieza biarticulada, figura 6-15 a la que se aplica unos m om entos M f y M d con lo que se tiene:

L -M d

6.3.1.1

h

L 6d = M d -M f 3 El

L +— 1 6 El

Md

L e f = M f -M d 3 El

L +— 6 El

Mf

[6.7] Jd

[6.8]

Jf

P ieza b iem potrada co n em potram ientos fle x ib le s en los dos extrem os

S upongam os ahora la pieza biem potrada con el apoyo dorsal liberado para girar y el frontal em potrado y con las dos ju n tas flexibles U d y U f (Fig. 6-17) y apliquem os un m om ento M d en el extrem o dorsal, lo que provocará la aparición de un m om ento M f com o respuesta en el apoyo frontal.

Figura 6-17 103

Como ha de ser 0 f = O, de [6.8] se obtiene: I L

6.3.1.2 P ieza biem potrada con em potram iento flex ib le en un extremo

1 \

M f --------- + —

L

Jf I

\ 3 El

Si en el extremo dorsal (Fig. 6-18) no hay junta flexible esto es lo mismo que suponer que la junta dorsal del caso anterior es infinitamente rígida, es decir que en la

) = M d --------

6 El

luego:

relación 0 = ^ , 0 L Mf

o lo que es lo mismo T)d = 0, y sustituyendo en [6.9] [6.10] se tienen los valores de los factores de transmisión.

6EI - P df ~

Md

L

es nulo para cualquier valor de M, lo que equivale a suponer Jd =

Jd

. 1

3EI + J f

Pdf=—

[6.13]

2+ 6%

El

El o bien llam an d o = %; ----- = T|d L Jf L Jd

P fd = “ -

P d f— 1 —

[6-9]

2+6%

-----------------------

y análogamente Pfd = — “7 — 2 + 6 r |d

F ig u r a 6 -1 8

[6-10]

que son los factores de transmisión para la pieza biempotrada con empotramientos flexibles en los dos extremos. Mf De [6.7] y teniendo en cuenta que — =

[6 - 1 4 ]

F ig u r a 6 -1 9

Análogamente-sustituyendo r\d = 0 en [6.11] [6.12] se tienen los valores de las rigideces 4 El 1 + 3 % Kd = ------------------------------------------------------ [6.15] L 1 + 4 T)f

1 2 + 6 -5 L

Jf L

4 El 1 Kf = ------------------L 1+4%

Se tiene: 0d = M d

L

[6.16]

Md +-* -

3 EI

Jd

2+6

6 El Jf L 6.3.1.3

Pieza articulada con empotramiento flexible

y operando: 2

^

0d

= 1 *

L

^

[6 .1 1 ]

En este caso basta hacer Jf = 0 o sea % = <=o? en [6.9] y se obtiene:

1 + 4 (T|d + T|f + 3 ridrif) Pdf

=0

[6.17]

y análogamente por simetría: y análogamente sustituyendo % = Kf = — ------------^ ----------L 1 + 4 (T|d + T|f + 3 r)dr)f) que son las rigideces para la misma pieza. 104

en [6.11] se tiene:

[6.12] 3 El 1 Kd = ---------------------L ( 1 + 3 T|d)

[6.18]

105

www.libreriaingeniero.com 6.3.2 MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO DE LA PIEZA BIEMPOTRADA CON EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES EN AMBOS EXTREMOS Y SOMETIDA A CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA SOBRE TODA LA LUZ Sea en primer lugar la pieza biarticulada sometida a la carga uniformemente repartida. Hallemos los ángulos 9d = - 0 f en los extremos de la deformada (Fig. 6-20).

0 = Mf

L

Md

3 El

L

Mf PL3 + — -------------6 E l Jf 24 E l

[6.22]

La condición de empotramiento se obtiene anulando [6.21] y[6.22] y resolviendo el sistema en Md, M f. H aciendo

El

El

= r|d, ------ = rp la solución resulta: L Jd L Jf pe2

i + 6 *nd

Mf = --------------------------4 4 (1 + 3 T[d) (1 + 3 %) - 1 M

PL2

[6.23]

1 + 6 T|f

--------------------------- lf--------------4 4 (1 + 3 T[d) (1 + 3 rp) - 1

[6.24]

Figura 6-21 Para pieza simétrica, es decir, para T[d = rif = r\

h=-

y con M =

Px

°

Mf =

M (x - L) — dx El

(x - L) y suponiendo El = cte

PL2

*

1

-

Aplicando el segundo teorema de MOHR:

12

1 + 2 T[

-PL2

1

12

1 + 2 T[

[6.25]

[6.26]

2 PE4 x (x - L) dx =h=24 El 2 El Jo h

PL3

L

24 El

6.3.3 MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO DE LA PIEZA CON EMPOTRA­ MIENTOS FLEXIBLES SOMETIDA A CARGAS CUALESQUIERA [6.19]

y por tanto -PL3

Para aplicaciones numéricas concretas un método simple es el que exponemos a continuación: [6 .20 ]

24 El Teniendo en cuenta que en la pieza con empotramientos flexibles sometida a carga uniformemente repartida los giros en los extremos son iguales a la pieza sin empotramientos flexibles ya que los momentos flectores en los extremos son nulos, los giros cuando actúan en la pieza los momentos en los extremos vienen dados por la suma de las expresiones [6.7] y [6.19] para el giro dorsal y [6.8] y [6.20] para el frontal, es decir (Fig. 6-21). dd = M d

106

PL3 L Md • M f------ + — + 6 El Jd 24 El 3 El

El método anteriormente expuesto para calcular los momentos de empotramiento de una viga con empotramientos flexibles es bastante laborioso.

[6 .2 1 ]

Sea una viga biempotrada (Fig. 6-22 a) con empotramientos flexibles en sus extremos U d, Uf y sometida a un tren de cargas (P, M, q). Podemos reemplazar la pieza BC por una viga continua ABCD (Fig. 6-22 b) obtenida suprimiendo los empotramientos flexibles y añadiendo dos vanos con los extremos opuestos articulados y de rigidez = Jd y K2 = Jf respectivamente. Con ello cualquier momento M aplicado en el extremo B de BC producirá un giro del nudo B (y por tanto del extremo M M M B) igual a — o sea igual a — . Análogamente el giro para el extremo C será — . K, Jd Jf Resuelta la viga continua ABCD, los momentos en B y C son los momentos de la viga BC con empotramientos flexibles. 107

i

M- (

m

C

"J Mf

A

Zx

K.=

'

^

B

d

C

[6.29]

6 El A 1 -h 2 r |d M f = ------------------------------ ~-----------L2 1+ 4 (rid + r |f + 3 r |dr |f)

[6.30]

Si los dos empotramientos son iguales r\á = r|f = r| y se obtiene:

a;

zZ

6 El A 1 + 2 ti f M d = — ------------------- —-^ -----------L2 1 + 4 (r|d + r|f + 3 r |dr |f)

jjU U

A

6 El A 1 M d = M f = -----------L2 1 + 6 r|

2x

^ _____________ L

6.3.4.2

b;

Viga biempotrada con empotramiento flexible en an solo extremo

En este caso (Fig. 6-24) según lo visto anteriormente basta sustituir en [6.27] y [6.28] los valores [6.13], [6.14], [6.15] y [6.16] y se obtiene:

F ig u r a 6 -2 2

6

El método se generaliza inmediatamente al caso en que haya junta flexible en un solo extremo, algún extremo articulado, etc.

6.3.4

M

6.3.4.3

El A

1+ 2

L2

1+ 4 %

T]f

j

6 El A

1

L2

1 + 4 T|f

MOMENTOS INDUCIDOS EN UNA VIGA CON EMPOTRAMIENTOS FLEXIBLES POR LA TRASLACIÓN DE UN APOYO

6.3.4.1

[6.31]

Pieza articulada con empotramiento flexible

Viga biempotrada con empotramientos flexibles en ambos extremos Sea la pieza de la figura 6-25 con un extremo articulado y el otro con junta flexible.

Vimos según [4.2] [4.3] que i

Md = (Kd + p H Kf)

A

[6.27]

Mf - (Kf + pdf Kd) A

[6.28] F ig u r a 6 -2 5

Sea ahora la viga de la figura 6-23 con empotramientos flexibles Ud, Uf sometida a una traslación A de apoyo.

De la definición de rigidez y del valor [6.18] se obtiene: A

Mr, 3 El

1

L

1 +3r|d

F ig u r a 6 -2 3

F ig u r a 6 -2 4

de donde M d :

3 El A 1 + 3 f ld

Sustituyendo en [6.27] y [6.28] los valores de Kd, Kf, pdfy pfd obtenidos en [6.11], [6.12], [6.9] y [6.10] y simplificando se obtiene: 108

109

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CAPÍTULO 7

IN TERA CCIÓ N DE ENTRAM ADO S 7.1 FUNCIÓN CONECTADORA DE LOSAS Y FORJADOS E n el C apítulo 5, hem os supuesto siem pre que el entram ado está aislado. E n los edificios usuales, la situación suele ser muy diferente, ya que los forjados, unidos m onolíticam ente a los dinteles de los entram ados, interconectan a éstos. c

L a figura 7-1 m uestra com o ejem plo el ca5t> de una estructura de un edificio de una planta con tres entram ados paralelos, los A B C y D EF de dos vanos y el G H de un vano, interconectados por el forjado de techo. U na fuerza F p actuando sobre el nudo D del entram ado DEF, es evidente que no solam ente es resistida por ese entram ado, sino que, a través del forjado, se reparte tam bién a los A B C y GH. Lo anterior p resupone que el forjado es concebido correctam ente y que sus detalles constructivos y en especial sus enlaces a los dinteles, son diseñados de form a que sean capaces de resistir y transm itir los esfuerzos que la función interconectadora entraña. Si esto es así, el forjado, en la m ayoría de los casos, puede ser considerado com o infinitam ente rígido en su plano y la función interconectadora entre entram ados la establece funcionando com o un cuerpo rígido, que se traslada y gira sin deform arse. (7.1), (7.2). 111

N aturalm ente, en el caso de entram ados iguales situados en planos paralelos y som etidos cada uno de ellos a sistem as de fuerzas idénticos, las deform aciones de todos los entram ados son las m ism as, la interacción entre entram ados es nula y, por tanto, el forjado no realiza ninguna función de interconexión

Ecuaciones: Condición de linealidad de los corrimientos, al considerarse el foijado como un sólido rígido que experimenta por tanto corrimientos y giros pero no deformaciones en su plano. E n la planta k podem os expresar la condición

7.2.

C Á L C U L O D E L A S F U E R Z A S D E IN T E R A C C IÓ N

Sean los entram ados 1, 2, 3 , n de la figura 7-2. A unque, p o r sim plificación de la figura, los entram ados figuran com o de un vano y una planta, deben ser concebidos com o de un núm ero de vanos variable de unos a otros y un núm ero de plantas tam bién variable de unas zonas a otras del edificio. Suponiendo, en general, que sea m el núm ero de vanos y p el de plantas, llam em os X a las fuerzas resultantes de la interacción en cada dintel y 5 a los corrim ientos finales.

por tanto, n-2 ecuaciones. En el total p de plantas —» (n-2)p ecuaciones. Por otra parte, en cada planta el conjunto de fuerzas paralelas X k h a de estar en equilibrio, lo que supone dos ecuaciones p o r p la n ta 1. En el total p de plantas —» 2 p ecuaciones. Total de ecuaciones —» np. En general, tenem os p o r tanto un sistem a de np ecuaciones con np incógnitas2. El tratam iento aquí expuesto no deja de introducir sim plificaciones im portantes, ya que concibiendo la estructura del edificio, com o lo que realm ente es, habría que tener en cuenta las torsiones de vigas y pilares. L a com plejidad que esto introduce es tal que el cálculo sólo puede resolverse m ediante los m étodos expuestos en el C apítulo 13, en especial los rogram as expuestos en 13.6.

7.3. C Á L C U L O D E L O S E N T R A M A D O S D esignarem os con 5L el corrim ieto en el pórtico i, del dintel de la plan ta j, debido a las fuerzas exteriores aplicadas a dicho dintel. D esignarem os com o 5L al corrim iento en el entram ado i, del dintel de la planta j, debido a una fuerza unidad actuando en el dintel de la plan ta k del m ism o en tra m ad o 1. A nálogam ente, X k designa la fuerza de la interacción en el dintel de la plan ta k del entram ado i. L lam ando

~al corrim iento total del dintel de la planta j del entram ado i, se tiene: k= p

5i,j ..= 5 i.) °.+ kX

X ki 5k. i.j

[7.1] L -*

P odem os considerar un sistem a lineal form ado por: In có g n ita s:

Conocidos los valores de X, es posible ahora proceder a la determ inación de esfuerzos de acuerdo con lo expuesto en el C apítulo 5. E s claro que la aparición de fuerzas X de interconexión no es debida sólo a la existencia de fuerzas exteriores paralelas a los dinteles, sino, en general, a cualquiera de las causas de traslacionalidad analizadas en el C apítulo 5. Tam bién es evidente que el alto grado de hiperestatism o que el problem a presenta hace que su cálculo m anual sea inabordable, salvo en el caso particular de estructuras de m uy reducido núm ero de entram ados y plantas. C om o verem os más adelante, aquí el cálculo m ediante ordenador se im pone claram ente.

7.4. C A S O P A R T IC U L A R D E E D IF IC IO S M U Y A L A R G A D O S En lo anterior, hem os supuesto el forjado com o sólido rígido, debido a que hem os aceptado que su rigidez en su plano podía ser considerada com o infinita. E sto es cierto en la inm ensa m ayoría de los edificios, pero no lo es siempre.

X- -> np 2 (tantas com o dinteles) 1

El cáculo de los valores de d'x aunque muy laborioso, no ofrece dificultad de acuerdo con lo visto anteriorm ente.

2

El valor de np corresponde al caso en que todos los pórticos tienen el m ism o núm ero de plantas. En realidad hay tantas incógnitas com o dinteles.

112

1

O bsérvese que, en la condición de equilibrio, entran no sólo el conjunto de incógnitas X \, sino tam bién las acciones directas aplicadas en el plano de cada entram ado y contenidas en el plano de cada forjado de planta.

2

Si los entram ados no tienen todos el m ism o núm ero de plantas, el sistem a tiene un núm ero de incógnitas y ecuaciones igual al de dinteles.

113

www.libreriaingeniero.com En la figura 7-3 se indica la planta de un edificio con dimensiones 6,50 x 45,40 m en planta. Los entramados son de un solo vano y los extremos tienen pilares mucho más rígidos que los restantes. La relación de dimensiones en planta alcanza el valor 7,5. El forjado no puede considerarse como un sólido infinitamente rígido en su plano. El reparto de una acción F como la de la figura no podría basarse por tanto en tal hipótesis y sería más correcto considerar el forjado como una viga sobre apoyos elásticos en los entramados, de acuerdo con lo expuesto en el Capítulo 6. En la práctica, la necesidad de disponer juntas de dilatación evita que la relación de dimensiones en planta de los forjados alcance valores tan altos.

CAPÍTULO 8

F ig u r a 7 -3

7.5. FUNCIONAMIENTO DEL FORJADO EN SU PLANO

(a c c ió n d ia f r a g m a )

MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS BAJO ACCIONES VERTICALES Y HORIZONTALES. CÁLCULO DE ENTRAMADOS BAJO ACCIONES DE VIENTO Y SISMO. FLEXIONES NORMALES A LOS ENTRAMADOS

En sentido estricto, el forjado funciona en su plano como una viga de gran canto, sometida al conjunto de acciones X.. En la práctica, este cálculo no es necesario, salvo casos excepcionales, y los espesores mínimos y armaduras mínimas previstos en los Capítulos 52, 53 y 54 aseguran el funcionamiento, siempre que se cuiden los detalles de enlace del forjado a los pilares y pantallas. Existe muy poca investigación sobre el tema (7.3). A pesar de que en algunos países se han empleado forjados con losa superior, o con losa de muy escaso espesor, no se conoce ninguna expreriencia de forjados por fallo en su acción de diafragma.

BIB LIO G R A FÍA

8.1 (7.1.)

A R E N A S D E P A B L O , J.J.; C U V IL L O , R. del y R IP O L L , J.B . “F o rja d o s” . E scuela T écn ica S u p erio r de Ingenieros de C am inos, C an ales y P uertos de M adrid. 1976.

(7.2.)

C A L A V E R A , J. “C álculo, C o n stru cció n y P ato lo g ía de F o rjados de E d ificació n ” . IN T E M A C . M ad rid , 4 .a E dición, 1988.

(7.3.)

IG L E S IA S , J. “D eterm in ació n de la rig id ez en su plano de p iso s fo rm ad o s p o r viguetas y b o v ed illas” . U n iv ersid ad A u tó n o m a de M éjico , 1990. (T rabajo no publicado).

TIPOS DE SIM PLIFICACIONES

En los apartados 4.3.10 y 4.3.11, vimos las simplificaciones por simetría y antimetría. Estas simplificaciones tienen una base rigurosa y conducen, naturalmente, a la misma solución que el cálculo realizado sobre la estructura completa. Hemos visto su interés, realmente importante, en los capítulos anteriores. Su inconveniente es que reducen el número de piezas a considerar aproximadamente a la mitad. Cuando se trata de grandes estructuras, con muchos vanos y pisos, el número de piezas, aún con esta simplificación, sigue siendo muy grande. En lo que sigue expondremos métodos que permiten simplificaciones mucho mayores. Posteriormente, en el Capítulo 15, veremos los métodos aproximados. Como la terminología es convencional, la precisamos a continuación: Entendem os por m étodo sim plificado el que conduce a una solución sensiblemente igual a la teórica. Llamaremos método aproximado al que conduce a una solución diferente de la teórica pero también válida.

114

115

8.2

SIM PLIFICACIO NES PARA EL CASO D E ENTRAM ADOS CON VANOS DE LU C ES IG U A LE S SO M E T ID O S A CARG A S VERTICALES

Consideremos en primer lugar el entramado de la figura 8-1, cuyos dinteles están sometidos a cargas iguales en todos los vanos y supongamos que todos los dinteles tienen la misma sección, que los pilares son de sección constante en todas las plantas y que el entramado tiene un número infinito de vanos y de pisos, extendiéndose en las tres direcciones indicadas por flechas en la figura. (Ver referencia (8.1)).

dintel, por lo que la zona ABCD de la figura 8-3 puede reemplazarse por el entramado virtual ® de la figura 8-4. Consideraciones análogas a las realizadas para el caso de la figura 8-2 conducen al establecimiento de los seis entramados reducidos indicados en la figura 8-4, con sus correspondientes zonas de aplicación.

Si consideramos las cuatro piezas coincidentes con el nudo B, es claro que existe, respecto a las mediatrices de los pilares BD y BE, simetría de forma y antimetría de carga. Respecto a las mediatrices de los vanos AB y BC, la situación es de simetría, de forma y carga. Para todos los nudos análogos y para sus piezas concurrentes, la simplificación es por tanto la indicada en la figura 8-2, consistente en tomar como luces la mitad de las de dinteles y pilares y como rigideces la mitad y vez y media las reales, respectivamente.

F ig u r a 8 -3

'

F ig u r a 8 -4

Obsérvese que la reducción de entramados de 8-4 es también aplicable al caso de carga mostrado en 8-1 (aunque la reducción de 8-2 es más interesante), mientras que la reducción de 8-2 no es aplicable al caso de carga 8-3. Recuérdese, para el establecimiento de acciones e interpretaciones de resultados en los casos de simetría y antimetría, lo dicho en 4.10 y 4.11, que se resumió en la tabla 4.1. F ig u r a 8-1

F ig u r a 8 -2

Para la zona próxima a fachada, tal como el dintel FG, la perturbación introducida por tal discontinuidad se puede compensar tomando dos vanos con el segundo perfectamente empotrado en el extremo opuesto y antimetría en pilares, tal y como se indica en la figura 8-2. En los casos de azotea y primera planta y por análogos motivos, se toman los entramados reducidos que se indican también en la misma figura.

Las simplificaciones expuestas presuponían que todos los dinteles eran iguales. Esta es una hipótesis cada vez más cierta, pues razones de sim plificación constructiva y de diseño general del edificio llevan a esa uniformidad de dinteles. También se presuponía la constancia de sección de los pilares en toda la altura, con objeto de mantener la simetría geométrica respecto a ejes horizontales, y esto, naturalmente, no se cumple más que en edificios de muy pocas plantas. Sin embargo, los errores introducidos por esa variación son pequeños y una práctica habitual es la siguiente:

En definitiva aparecen seis tipos de entramados reducidos, tres de fachada, uno de zona central de azotea, otro de zona central de planta baja y uno general. Cada entramado reducido de los tipos ©, ® y © es válido en todo su nivel, excepto en las zonas cubiertas por ®, © y ©. Cada entramado reducido del tipo © y ® y las zonas asimiladas a ellos es válido en todas las alturas excepto en las zonas específicamente cubiertas por ©, ©, © y ©.

Sea el entramado de la figura 8-5, con los entramados reducidos que allí se indican. Usualmente se armarán todos los dinteles igual, con los máximos momentos de vano y apoyo encontrados en los entramados reducidos. Excepcionalmente, las plantas 1 y n pueden armarse de forma distinta, uniformando el resto de los dinteles. En edificios de gran número de plantas, puede emplearse un dintel tipo, por ejemplo, desde las plantas 2 a p-1 y otro desde la p hasta azotea. Rara vez se organizan más secuencias de dinteles.

La figura 8-3 representa el mismo entramado, pero sometido a un caso de carga alternada en vanos y pisos. Si se considera un dintel tal como el CD, existe respecto a él simetría de forma y antimetría de carga y, análogamente, ocurre respecto a cualquier

Para el dimensionamiento de pilares, conocemos los momentos en las plantas 1, 2, p, n-1 y n. Desde la planta 2 a la p, los momentos pueden suponerse variando linealmente y análogamente desde la p a la n-1.

116

117

www.libreriaingeniero.com n n-1

1

P

p

\ 1

\

-i

\ I

P- 1

2

F ig u r a 8 -7 F ig u r a 8 -5

8.3

F ig u r a 8 -6

SIM PLIFICACIÓ N PARA EL CÁLCULO DE ENTRAM ADOS EN GENERAL, SOM ETIDOS A CARGAS VERTICALES

En general, las cargas sobre un dintel tienen una influencia pequeña sobre otros dinteles. Por este motivo, una simplificación razonable es la indicada en la figura 8-6. Prescindiendo ahora de exigir condición alguna de simetrías o antimetrías, ni de igualdad de luces, el entramado se analiza descomponiéndolo en tres zonas. En la intermedia, el entramado reducido está formado por un solo dintel, con los pilares de los dos pisos contiguos, que para el cálculo se suponen empotrados en sus extremos opuestos. Con esto, se obtienen fácilmente los momentos del dintel y los de las secciones inferiores de los pilares superiores y superiores de los pilares inferiores. En la zona superior se toman dos dinteles para reducir los efectos de la discontinuidad y análogamente se hace en la zona inferior. Para uniformidad de dinteles e interpolación de momentos en pilares para calcular los de todas las plantas, vale lo dicho en 8.2.

Puede aceptarse que el corrimiento Ap del dintel de la planta p afecta de manera apreciable solamente a los dinteles contiguos, es decir a los de las planta p-1 y p+1, y que su efecto es despreciable en las otras. Si con esta base consideramos de nuevo el sistema general de ecuaciones planteado en [5.15] y [5.16], se transforma en:

—- V íoo v

8.4

1

I ó o £ y 'u + I o í ¿ y?'2 + Tóo ?

=X

y ‘'

2

f,

[8.1]

tf

vm n m vn-2 y y n-2 , ^n-l “ 2 y f"-1 + i7 irrX y i’H -1 =2 Fi 100 V ' 1,n' 1 100 — 100 v i,rM

Kn. ^

.

)V[

X

100

l

K.

_ n _ y

’n A 1W 0W0 1^

n

p

un

n

y como los valores y k-- son conocidos, el sistema [8.1] toma la forma: a1 K, + bj K2,

—a [

&->Kj + b-> K2, + C2 K.^

= c¿2

SIM PLIFICACIÓ N PARA EL CASO DE CARGAS HORIZONTA­ LES. M ÉTODO A

El método general conduce, como vimos en 5.1.4.3.1. (Método A) a un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, lo que naturalmente, para entramados de muchas plantas resulta inabordable salvo que se realice el cálculo mediante ordenador. Sin embargo, es posible realizar una simplificación importante. Consideramos el entramado de la figura 8-7. 118

= X f, n

Estrictamente hablando, este método debe considerarse como intermedio entre los simplificados y los aproximados, pero hemos preferido incluirlo aquí por razones que más adelante veremos. Aparte de su interés para el cálculo general de entramados, el análisis de dinteles aislados, suponiendo sus soportes empotrados en los extremos opuestos, es dé enorme utilidad en cálculos rápidos de comprobación.

n

IC, '•i-1+ i ó o ? y ”

[ 8 .2 ]

r n-l ^ n - 2 +

S n-1 K -n - l +

t |vl K n

-

O ^ .j

S„ K n 'l

119

En el sistema [8.2] a,, a2 ... b ]5 b2 ... tn.,, tn y 0C|, a 2 ... a n son coeficientes y K ]; K2 ... Kn incógnitas. El sistema permite una resolución manual razonablemente simple para edificios de no muchas plantas y una resolución sencillísima, incluso con microordenadores, para cualquier número de plantas. Obtenidos los valores de K,, K2 ... Kn, los esfuerzos se calculan de forma inmediata mediante las expresiones [5.Í7].

8.5

SIM PLIFICACIÓ N PARA EL CASO DE CARGAS H ORIZONTA­ LES. M ÉTODO B.

Sea el entramado de n plantas de la figura 8-8 a). Una simplificación muy aproximada para el cálculo de los esfuerzos debidos a acciones horizontales F,, F2... Fn es la que se expone a continuación.

8.6

CÁLCULO DE ENTRAM ADOS BAJO ACCIONES DE VIENTO Y SISMO

La aplicación más frecuente de lo visto anteriormente en 8.4 y 8.5 es el cálculo de entramados bajo acciones de viento y sismo. En la realidad, el viento actúa sobre las fachadas del edificio y la transmisión de esfuerzos de los elementos de fachada a la estructura es compleja y depende esencialmente del tipo de fachada y de su enlace a la estructura. La práctica habitual consiste en aplicar a cada nudo de fachada una acción igual a la semisuma de las alturas de los pisos superior e inferior multiplicada por la separación entre pórticos y por la presión unitaria del viento. En la fachada de sotavento, la presión se sustituye por la succión. La suma de acciones de presión y succión es en definitiva una fuerza horizontal aplicada a cada dintel. Por supuesto, dependiendo del tipo de fachada, la presión y la succión del viento pueden transmitirse previamente a los soportes y de éstos a los nudos. Aún en este caso, la flexión directa en los soportes suele ser despreciable. En el caso de acciones sísmicas, las fuerzas se suponen aplicadas en los nudos, de acuerdo con lo previsto en la Norma Sismo-Resistente NCS (8.3).

a;

F ig u r a 8 -8

Consideramos en primer lugar el entramado reducido (figura 8-8 b)) formado por las tres últimas plantas, n, n-1 y n-2, y supongamos la existencia de una serie de articulaciones A [s A2 ... Am a la mitad de la altura de los pilares situados bajo la planta n-2. Este entramado reducido puede ser resuelto con facilidad, incluso manualmente. De los esfuerzos resultantes, adoptaremos solamente los correspondientes a la planta n. A continuación, descendemos una planta y adoptamos el entramado reducido indicado en la figura 8-8 c), correspondiente a las tres plantas siguientes, n-1, n-2 y n-3, cuidando de añadir en el dintel superior la acción F n, correspondiente a la resultante de las acciones horizontales de la planta n sobre el dintel superior, que es ahora el de la planta n-1, así como los momentos M,, M 2 ... M m que la estructura superior ejerce sobre los nudos del dintel superior de la considerada. De nuevo suponemos una serie de articulaciones A',, A'2 ... A'ni en la mitad de la altura de los pilares bajo la planta n-3. Del cálculo resultante, adoptamos de nuevo solamente los esfuerzos de la planta superior, que es ahora la n-1. Repitiendo sucesivamente el proceso, se calcula el entramado completo, con un elevado grado de precisión, mediante la resolución de n sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. 120

El cálculo frente a acciones sísmicas es idéntico al del viento, si bien su incidencia sobre la estructura tiene una diferencia conceptual importante. Si se consideran los entramados indicados en la figura 8-9, el a) representa un entramado esbelto sometido a acciones p de presión y s de succión. La figura 8-9 b) representa un entramado de la misma altura y número de plantas, pero de gran número de vanos y, por lo tanto, muy poco esbelto. Sin embargo, ambos entramados están sometidos a la misma acción p de presión y s de succión. Como es lógico, los esfuerzos producidos en el entramado b) serán mucho menores que en el a), ya que las acciones horizontales se reparten entre un número de vanos y pilares mucho mayor.

riV ri>-Lri>-

- 4> -H> --í>

=£-bri>-

-4> “H> -4> -=t>

r i> r

ri>ri>H>pri>H>ri>~¡>ri>-

ri> --O Jfe W. W7. í*?

yx.

•m.

b)

F ig u r a 8 -9

En cambio, si consideramos ambos entramados sometidos a una acción sísmica, el mayor número de vanos del entramado b) supone, respecto al a), un incremento prácticamente proporcional de las acciones sísmicas y, por tanto, los esfuerzos resultantes serán sensiblemente iguales. Desde el punto de vista de la acción sísmica, 121

www.libreriaingeniero.com la única diferencia entre ambos entramados puede consistir en su diferente respuesta a la acción dinámica, tema que analizaremos en el Capítulo 67. Por supuesto, en todo lo considerado anteriormente se ha estudiado el cálculo de entramados sometidos a acciones horizontales, tenida en cuenta la interacción de entramados, de acuerdo con lo visto en el Capítulo 7. En el caso de este apartado 8.6, las acciones de viento p o de sismo s, están a su vez sujetas a los reajustes entre entramados de acuerdo con la interacción introducida entre ellos p o r la presencia de los forjados, y, naturalmente, es errónea la práctica de atribuir a cada entramado la acción sobre la franja de edificio que le es geométricamente asignable.

8.7

C ASO PA R TIC U L A R DE A C C IO N E S H O R IZO N TA LES EN SE N T ID O P E R P E N D IC U L A R A L PL A N O M ED IO DEL ENTRAM ADO

En los apartados anteriores, hemos supuesto que las acciones horizontales se ejercían en el plano medio del entramado, coincidiendo con las directrices de los dinteles. En algunos casos, se presenta en la práctica una situación diferente. Un caso frecuente es el indicado en la figura 8-10, que representa en planta un edificio alargado con entramados paralelos a las fachadas de mayor longitud, excepto los 1 ,9 , 17 y 8, 16, 24 dispuestos en sentido perpendicular. Si se suponen acciones horizontales Hj, es evidente que los forjados, actuando como vigas horizontales, no transmitirán todas las acciones a los entramados 1, 9, 17 y 8, 16, 24, sino que una parte apreciable se transmitirá a los pilares restantes.

Una solución de este problema se obtiene mediante la generalización de la teoría de los forjados sin vigas. Su deducción en detalle puede verse en el Capítulo 19. En lo que sigue nos limitamos a reseñar las fórmulas utilizables. El problema esencial es estimar el ancho eficaz para acciones horizontales. Dicho ancho es K

donde el valor K viene dado en 19.4.2. (Valor de ¡i en el método

de PARME o valor de p, de los gráficos de DARWALL y ALLEN, respectivamente). Este ancho es siempre inferior al físico ( 1 + 0? ), de la banda asociada a los pilares. (Banda sombreada en la figura 8-10). Los momentos han de ser transferidos del forjado a los pilares en gran parte a través de momentos torsores en las vigas. Con la rigidez de dintel correspondiente al ancho eficaz, se calcula el pórtico equivalente. Llamando M al momento transmitido por el forjado a un pilar (suma de los transmitidos al pilar inferior y al superior a la planta considerada), una fracción [8.3]

M' = kM

se transmite por flexión directamente del foijado a los pilares. El valor de k viene indicado en la figura 8-11, según se trate de soporte interior, de fachada o de esquina, con los subíndices 1 ó 2, según se trate de flexiones en la dirección de c } o c2, respectivamente. En las fórmulas, d es el canto útil del forjado.

Ci + d “1 r C2

• ••

2

C1

r ci^ r

~n C2

1 c2 -4

c2 + d

4

4

~2 "2"

U ct I________ 1 ,4 - d 1 1 - f V l 2*d

F ig u r a 8 -1 0 rfn = -

El problem a que se nos presenta es que, si pretendemos analizar esto considerando un conjunto de tres pilares, tales por ejemplo como los 6, 14, 22, no están enlazados por vigas en cada piso, como vimos hasta ahora. Es cierto que están enlazados por los foijados, pero cabe la duda lícita de si todo el ancho de forjado entre mediatrices de vanos contiguos m-m y n-n debe ser considerado, a efectos de adoptar un "dintel virtual" de forjado, que a su vez forme parte de un "pórtico virtual" que pueda ser calculado mediante los métodos anteriormente expuestos.

122

1

2\/"c2+

3 V c,+d

i + d/2 1+ 2_\/c 3 V c2+ d

*,=“

L\/c24-d 3 V Cj + d/2

A i= -

.2\ / 2cj+d 3 V 2c2<-d

1 1+ 2\/ 2c2+d 3 V2cj+d

F ig u r a 8-11

Sin embargo, si el forjado no es macizo, d debe ser sustituido en las fórmulas por el canto medio equivalente. 123

El momento M 1 debe asignarse y su armadura distribuirse, en una banda de forjado centrada con la fila de pilares considerada y de ancho igual al del pilar más 1,5 h a cada lado, siendo h el canto total del forjado. El momento M" = (1 - k) M se asigna y su armadura se reparte en el resto de la banda de pilares que es la sombreada en la figura 8-10, con ancho

.

8.8

La fracción del momento, M", no transmitida por flexión a los pilares se transmite por torsión a éstos a través de las vigas. Los momentos torsores varían linealmente desde unos valores máximos Mq y Mt2 en los arranques de los vanos de luces q y í2, junto al pilar considerado, hasta anularse en el centro de las luces de dichos vanos. Los valores de Mt, y Mt2 vienen dados por J_ M i- — Mq = M ”

----------------------------------1

edificios de pocas plantas y poca esbeltez. Para alturas medias, los entramados constituyen la solución adecuada. Para grandes alturas, las pantallas, núcleos e incluso soluciones más complejas, que veremos más adelante, son recursos obligados.

[8.4]

FLEXIONES NORM ALES AL ENTRAM ADO

Consideraremos un edificio como el indicado en planta en la figura 8-12. Usualmente, el cálculo se organizaría calculando los entramados 1, 2, ... 6; 13, 14, ... 18; 1, 7, 13; 2, 8, 14; 3, 9, 15; 4, 10, 16; 5, 11, 17 y 6, 12, 18. Sin embargo, un examen más detenido de la situación muestra que, si la diferencia de L n y L, es importante, la flexión del forjado (especialmente si se coloca sobrecarga en los vanos Lt y no se coloca en los L,) ocasionan una flexión importante de los pilares en el sentido perpendicular al plano medio de los entramados de dos vanos. En los casos usuales, con luces consecutivas de forjado poco diferentes, esto carece de importancia. Si las diferencias entre L, y L2 son importantes, estas flexiones, que sitúan a los pilares en flexión esviada, deben ser analizadas. El método expuesto en 8.7 es adecuado para el cálculo bajo acciones horizontales. Para acciones verticales, los pórticos virtuales deben ser analizados con su ancho completo de forjado, es decir con la semisuma de las luces y í2 contiguas a la fila de soportes considerada, si son soportes interiores, o con A o A

........i M

'

si lo son de fachada. Para ampliar este tema

en detalle, véase el Capítulo 19.

I - — )3 M t, = M"

-----------------------------------

[8.5] 7 -

C ^3

^

^

, 0 ^ ^ ........

9

10

15

16

11

^

12

r í i - r í |3 13

K

------L , --------■-----------------i_2 -----------------

Cuando se trata de pilares extremos, como los de la fila 8-16-24, el momento torsor es igual a M" = (1 - k ) M, donde M es el valor correspondiente al pórtico

Li

17

|

L¿

18

4

.................. 1----- L i -------•

F ig u ra 8-12

equivalente de ancho de banda - ^ - y varía linealmente desde ese valor en el arranque del pilar, a cero en el centro de la luz. En [8.4] y [8.5], c es el ancho del pilar en la dirección de las luces í, y (?2. El método indica claramente que ésta es una solución estructural poco adecuada para resistir acciones horizontales. Los momentos transmitidos al forjado, sobre todo con forjados de semiviguetas, solicitan a éste fuerte e inapropiadamente y obliga al empleo de viguetas con armaduras especiales. Las torsiones introducidas en las vigas encarecen su coste considerablemente. La deformabilidad del sistema es alta1. En la práctica, la ausencia o acusada escasez de pórticos transversales y la obligación de absorber los esfuerzos horizontales con el forjado, quedan reservadas a

B IB L IO G R A FÍA (8.1)

E lsevier. N ew York. 1990. (8.2)

124

F E R N Á N D E Z C A S A D O , C .; "C álculo de estru ctu ras reticu lares”. E d ito rial D ossat. M adrid. 1958.

(8.3)

(8.4) Esto puede crear danos en partes no estructurales del edificio, tales como fachadas y tabiquerías.

D U R IE W IC Z , A .; S T A R O S O L S K I, W. "R einforced co n crete slab-colum n structures".

N C S -9 4 "N orm a de constru cció n sism o-resistente: P arte general y edificación". M O P T M A , D irecció n G eneral del In stituto G eográfico N acional. M ad rid 1994. C A L A V E R A , I ; "C álculo, constru cció n y p ato lo g ía de fo rjad o s de ed ificació n ". 4 a E dición. IN T E M A C . M ad rid , 1988.

125

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CAPÍTULO 9

HIPÓTESIS DE CARGA EN EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS 9.1

CARGA EN VANO

U n a p rá c tic a g e n e ra liz a d a en en tram ad o s de ed ificio s, y de resu ltad o s satisfactorios, es la de considerar, por lo que se refiere a las sobrecargas, los vanos com pletam ente cargados o com pletam ente descargados. A ctualm ente no existe una N o rm a o Instrucción en E sp añ a que autorice a hacer esto así, de form a explícita. D ebe observarse que dicha práctica no está siem pre del lado de la seguridad. E sto puede com probarse fácilm ente si se consideran, por ejem plo, los esfuerzos cortantes en un vano sim plem ente apoyado som etido a carga uniform e. E s fácil ver que el esfuerzo cortante en un a sección no se produce cargando toda la luz, sino solam ente la zona entre la sección y el apoyo m ás alejado. E n el caso particular de la sección central (Fig. 9-1), esto conduce a considerar com o nulo un esfuerzo cortante que puede alcanzar el v a lo r— .

4—

^

k

v.=0

i

lh

l

Ih

i

F ig u r a 9-1

127

Sin embargo, aunque no autorizada explícitamente', la práctica de cargar o descargar vanos completos, se ha revelado como suficientemente segura. Volveremos sobre esto en 9.4.2.

9.2

COM BINACIO NES DE CARGA EN ENTRAM ADOS

En entramados de gran número de piezas, la determinación de la combinación de cargas más desfavorables resulta muy compleja. La figura 9-2 tomada de E. TORROJA (9.1) indica las combinaciones de sobrecarga en vanos que resultan pésimas para los distintos esfuerzos. La figura supone luces iguales, vigas de la misma rigidez y pilares de la misma altura y rigidez. R.W. FURLONG (9.2) ha señalado también la complejidad del tema y la necesidad de introducir simplificaciones para conseguir métodos de cálculo prácticos. El estudio se complica aún más por el hecho de que no es posible, en el caso de los pilares, predecir a simple vista cuál de las posibles combinaciones M, N, conducirá a la máxima necesidad de armadura. El tema, naturalmente, es aún más complejo si coexisten acciones horizontales, hasta el punto de que el cálculo riguroso de la armadura de los soportes de un edificio, analizando todas las combinaciones de acciones posibles, se sale fuera del alcance práctico no ya del cálculo manual sino incluso del cálculo con la mayoría de los ordenadores actuales.

f)

h)

g) a) MAXIMOS MOMENTOS ELECTORES NEGATIVOS V MAXIMOS ESFUERZOS CORTANTES EN LOS A BRANQU ES A DE LA S VIGAS.

b) M AXIM O MOMENTO ELECTOR POSITIVO EN EL CENTRO B DE LA VIGA. d ) MINIMO MOMENTO FLECTOR (0 MAXIMO N E ­ GATIVO) EN EL CENTRO B DE LA VIGA.

C) MINIMO MOMENTO FLECTOR ( 0 MAXIMO PO­ SITIVO) EN LOS ARRANQUES A DE L A S VIGAS,

1) MINIMO ESFUERZO AXIL EN EL SOPORTE C

e) MAXIMO ESFUERZO AXIL EN EL SOPORTE C.

h) MAXIMOS MOMENTOS ELECTORES EN EL S O ­ PORTE CD ; POSITIVO EN EL EXTREMO SUPERIOR C Y NEGATIVO EN EL INFERIOR D.

g ) M AXIM OS MOMENTOS ELECTORES EN EL SO­ PORTE C D , NEGATIVO EN EL EXTREM O SUPERIOR C Y POSITIVO EN EL INFERIOR D.

F ig u ra 9-2 (C ont.)

Por todo lo anterior, en la práctica se suelen realizar solamente tres hipótesis de carga, que se indican en la figura 9-3. La a) corresponde a carga permanente más sobrecarga en todos los vanos. La b) corresponde a carga permanente en todos los vanos más sobrecarga en vanos impares y la c) a carga permanente en todos los vanos más sobrecarga en los vanos pares.

a)

b) F ig u ra 9-3

F ig u ra 9-2 I

Una antigua Norma española, titulada “Normas para el cálculo y ejecución de estructuras metálicas, hormigón armado y forjados de ladrillo armado” de la Dirección General de Arquitectura, publicada en 1941, sí lo autorizaba expresamente. La Norma norteamericana “Uniform Building Code”, que citamos más adelante, contiene también esta autorización expresa.

128

Habitualmente, las hipótesis anteriores se obtienen por superposición de los resultados de tres cálculos del entramado: A.- Correspondiente a carga permanente en todos los vanos. B.- Correspondiente a sobrecarga en vanos impares. C.- Correspondiente a sobrecarga en vanos pares. 129

www.libreriaingeniero.com A + B + C proporciona la hipótesis a), A + B la b) y A + C la c). E l organizar así el cálculo en lugar de calcular directam ente las tres hipótesis indicadas en la figura 93, se debe a la necesidad de obtener por separado los esfuerzos axiles en pilares debidos a cargas perm anentes y a sobrecargas para aplicar la reducción de sobrecargas prevista por las N orm as, de lo que hablarem os a continuación. E n el caso de existir acciones de viento, sism o o em pujes horizontales de cualquier tipo, dichas acciones deben com binarse con las indicadas en la figura 9-3.

9.3

L a N orm alización española vigente no recoge, de los conceptos expuestos anteriorm ente, más que el de m enor probabilidad de sobrecarga al aum entar el núm ero de p lan tas1.

9.4

SOBRECARGAS2

9.4.1 SO B R E C A R G A S D E U SO E N E D IFIC IO S D E V IV IEN D A S, O FICIN A S Y A N Á LO G O S Los valores aparecen regulados en la N orm a B ásica de la E dificación N B E A E-88 “A C C IO N ES E N LA E D IF IC A C IÓ N ”3 (9.3).

REDUCCIÓN DE SOBRECARGAS

A la vista de las consideraciones anteriorm ente expuestas en este Capítulo, surge inm ediatam ente a exam en el problem a de la reducción de sobrecargas cuando la zona cargada es de gran extensión. Se trata en el fondo, del reconocim iento intuitivo de que en algunos tipos de sobrecarga de uso la probabilidad de presentación de un estado de sobrecargas con su valor característico1, en zonas m uy extensas, es pequeña. Es fácilm ente concebible que dicho estado se presente en un E stadio de Fútbol, pero es evidente su escasa probabilidad en un E dificio de O ficinas de m uchas plantas y más escasa aún en un E dificio de V iviendas. Por otro lado, es obvio en m uchos casos de sobrecarga que el valor a considerar es m ás reducido cuanto m ayor es el área cargada2. F inalm ente es claro tam bién que la p robabilidad de que se produzca la sobrecarga característica prevista en el forjado F - l, que supone la sobrecarga F -l som breada de la figura 9-4 a), es m ayor en m uchos tipos de sobrecarga d e uso, que la d e que se produzca el estado de sobrecarga m áxim a prevista en la viga 1-2, lo que supone la sobrecarga íntegra de las zonas F - l y F -2 (Fig. 9-4 b) y m ayor a su vez que la de que se produzca la sobrecarga m áxim a prevista para el p ilar I en esa planta, que supone la sobrecarga sim ultánea de las zonas F - l, F-2, F-3 y F -4 (Fig. 9-4 c). Es cierto, en cam bio, tam bién, que la im portancia de la pieza en el conjunto de la estructura suele ser m ayor para un pilar que p ara una viga y p ara una v ig a que p ara un forjado.

R esultan necesarias dos consideraciones adicionales. L a prim era de ellas es el cuidado con que deben considerarse las sobrecargas de zonas ajardinadas, no sólo en cuanto a la sobrecarga de carácter fijo que supone la tierra vegetal, sino a la evaluación correcta de este valor en condiciones de terreno saturado por la lluvia. Por otra parte, en m uchos casos no es descartable la posibilidad de que en casos excepcionales estas zonas soportan adem ás sobrecargas de personas, lo que debe ser considerado, atribuyéndole el carácter accidental (ver C apítulo 32), si ese es el caso. L a segunda consideración se refiere a la conveniencia, en m uchos casos, de considerar en los edificios d e uso público tales corno oficinas, bibliotecas, escuelas, etc., adem ás de las sobrecargas de uso uniform em ente repartidas, la existencia (no sim ultánea) de cargas concentradas en zonas reducidas. L a tabla T-9.1, extractada de la referencia (9.4) da indicaciones adecuadas al respecto. E l tem a, tanto de cargas perm anentes com o de sobrecargas de uso, h a sido tratado p o r Conseil International du B atim ent (C.I.B.) en las referencias (9.5) y (9.6), respectivam ente.

9.4.1.1 R ed u cció n de sobrecargas L a reducción de sobrecarga, tem a esencial com o dijim os anteriorm ente, requiere consideración detallada.

¿_L 1 F -4 L ©

T 1

a)

/ ' //>///,

Á \

b)

© 1---

Por un lado, la N orm a N B E A E-88 (9.3), en su apartado 3.7, establece las reducciones indicadas en la tabla T-9.2. Existió tam bién la N orm a U N E 24003 que establecía las reducciones que figuran en la tabla T-9.3 y que, de acuerdo con dicha N orm a, se aplicaban sólo a viviendas y oficinas.

c)

Figura 9-4 1

En genera] las N orm as de otros países siguen la m ism a línea. Sólo algunos Códigos N orteam ericanos profundizan más en el tema.

1

El significado del valor característico se explica en el Capítulo 32.

2

2

En edificios industriales, en especial en los destinados a alm acenam iento, la probabilidad de sobrecarga m áxim a en toda el área puede en cam bio ser muy alta.

La Instrucción EH E, incluye com o A nejo el D ocum ento N acional de A plicación para España, del Eurocódigo E C -2 y en un A nexo trata el tem a de cargas y sobrecargas.

3

Es una reproducción literal de la N orm a AV-101 publicada en 1962.

130

131

TABLA T-9.1 CARGAS CONCENTRADAS EN UN ÁREA DE 750-750 mm (NO CONSIDERADA SIMULTÁNEAMENTE CON LA SOBRECARGA GENERAL UNIFORMEMENTE REPARTIDA) CLASE DE USO

CARGA CONCENTRADA (kN)

D esgraciadam ente la N orm a UNE 24003 ha sido cancelada por A ENO R hace algunos años.

4,50

Un docum ento de excepcional importancia en relación con el tema que nos ocupa es la N orm a norteam ericana UNIFORM BUILDING CODE (9.4). Esta Norma, de uso habitual en EE.UU. y em pleada con frecuencia en muchos otros países, presenta un tratamiento muy interesante en lo referente a la reducción de sobrecargas variables, que resumimos a continuación:

Hospitales Bibliotecas (*)

4,50

Fábricas

Aunque la N orm a NBE AE-88 es de obligado cum plimiento, es claro que el Proyectista puede adoptar criterios distintos a los de la Norm ativa Oficial, siempre que estén debidamente justificados. En este sentido la N orm a UNE puede ser una base interesante para casos concretos e incluso en grandes edificios y sobre todo en edificios de muchas plantas, es siempre aconsejable un estudio directo del tema.

Ligeras

9,00

Pesadas

13,50

Oficinas

9,00

Imprentas

11,00

Viviendas

0

Tribunas

0

Escuelas

4,50

Almacenes

0

Tiendas

Para el cálculo de toda pieza cuya área tributaria de sobrecarga exceda 15 m2, incluidos los forjados sin vigas, excepto para locales de reunión pública y para sobrecargas variables superiores a 48,8 kN/m2, la sobrecarga total podrá reducirse de acuerdo con la fórmula R = r (A - 13,94) donde:

13,5

R = Coeficiente de reducción en %.

(*) El caso de las bibliotecas debe ser cuidadosamente considerado, pues la sobrecarga uniform em ente repartida, según el tipo y uso, puede oscilar desde la de una vivienda a la de mitad de uso público.

r = Coeficiente relacionado en la tabla T-9.1. A = A rea tributaria de sobrecarga en m3. (En el caso de forjados sin vigas el área es la del recuadro. En el caso de pilares, la que transmite sobrecargas al pilar considerado, extendida a la totalidad del número de plantas).

TABLA T-9.2 REDUCCIÓN DE SOBRECARGAS SEGÚN MV-101 Número de pisos que actúan sobre el elemento

Reducción en la suma de las sobrecargas (%)

L 2, 3 4 5 6 ó más

0 10 20 30

[9.1]

La reducción no excederá el 40% para piezas que reciban sobrecargas de un solo nivel, ni el 60% para otras piezas, ni el valor dado por la fórmula

R„lnt = 2 3 , l ( l + | )

[9-2]

donde: G = Carga perm anente más sobrecargas fijas, por m 2.

La cubierta se considera como un piso

Q = Sobrecarga variable, por m2.

TABLA T-9.3 REDUCCIÓN DE SOBRECARGAS SEGÚN UNE 24003

132

Número de pisos que actúan sobre el elemento

Reducción en la suma de las sobrecargas (%)

2 3 4 ' 5 6 ó más

10 20 30 40 30

Para sobrecargas de almacenamiento superiores a 48,8 kN /m 2, no se acepta reducción en vigas y forjados sin vigas, pero pueden reducirse las sobrecargas en pilares en el 20%. La Tabla T-9.4 da la inform ación com plem entaria sobre valores de r y R l.

1

La tabla no es directam ente aplicable a edificios industriales cuyas sobrecargas deberán ser estudiadas en cada caso particular.

133

www.libreriaingeniero.com TABLA T-9.4 TIPO DE USO Locales de reunión pública Locales de sobrecarga de almacenamiento superior a 48,8 kN/m2: - Vigas y forjados - Pilares Otros locales: - Sobrecarga procedente de un solo nivel - Otros casos

Se pide:

VALOR DE r (%)

VALOR MÁXIMO DE R (%)

-

0

C alcular con el U .B .C .-94 los valores de las sobrecargas de uso a c o n sid eraren el cálculo de la estructura. Solución D e acuerdo con las fórm ulas [9.1] y [9.2] o con la figura 9-5, se tiene, para un área de carga 8-9 = 72 m 2, lo siguiente:

-

0,86 0,86

0 20

40 60

Cubiertas: - Pendiente inferior a 1/3 - Pendiente igual o superior a 1/3 y menor que 1/1

0,86

40

0,86

25

Garajes para automóviles con un máximo de nueve pasajeros

0,86

40

En la figura 9-5 se indican gráficam ente los valores de la fórm ula [9.1] con las lim itaciones de la [9.2]. C om o puede apreciarse, la reducción es m uy im portante incluso para áreas cargadas pequeñas. O bsérvese que el U N IFO R M B U IL D IN G C O D E hace depender la reducción, no sólo del núm ero de plantas, sino del área de carga de cada p ieza en su planta. E sto tiene gran im portancia pues perm ite, para vigas y forjados sin vigas, reducciones apreciables de los valores de las sobrecargas, cosa que no es posible con N B E A E-88 ni con U N E 24003. Por otro lado y pensando en los edificios de elevado núm ero de plantas, obsérvese en la figura 9-5 los lím ites establecidos por N B E A E-88 y U N E 24003 y el carácter excesivam ente prudente de la N B E 1.

r = 0 ,8 6 M áxim o de

R = 40%

Con [9.1]

R = 0,86 (72 - 13,94) = 49,9%

C on [9.2] P lanta de O ficinas

G 50 — = — y R . =616% O 30 max

Plantas de V iviendas

G 50 — = — y R máx = 80,9%

R esulta p o r tanto: P lanta de O ficinas

Q \ = 30 (1 - 0,4) = 18 kN /m 2

Plantas de V iviendas y A zotea

Q '? = 20 (1 - 0,4) = 12 kN /m 2

Las cargas totales a considerar en el cálculo resultan: P lanta de O ficinas:

Q j + G = 50 + 18 = 68 kN /m 2 (15% m enos que con N B E A E-88)

Plantas de

V iviendas y A zotea

Q '2 + G = 50 + 12 = 62 kN /m 2 (11% m enos que con N B E A E-88)

E JE M PLO 9.1 U n edificio de 7 plantas, incluyendo la baja (7 forjados), está construido con forjados bidireccionales sin vigas y tiene luces de recuadros lx = 8 m , lv = 9 m, con carga perm anente de 50 kN /m 2. L a planta prim era está destinada a oficinas de uso público (Q, = 30 kN /m 2), y las restantes a viviendas o azotea visitable, todas con la m ism a sobrecarga de uso (Q2 = 20 kN /m 2).

E JE M PL O 9.2 En el m ism o edificio del E jem plo 9.1, calcular la carga total de un pilar interior de planta baja, según N B E A E-88 y según U .B .C .-94. (Se suponen despreciables los m om entos flectores sobre el pilar). Solución: a) Con N B E A E-88. L a reducción correspondiente según la Tabla T-9 1 es del 30%.

I

E videntem ente y aunque U N E 24003 haya sido cancelada, com o hem os dicho, y el U N IFO RM B U IL D IN G CO D E sea una norm a no española, son docum entos que el P royectista puede adoptar de acuerdo con su criterio. La trascendencia del tema en cuanto al coste de la estructura es muy im portante, no sólo en vigas, forjados sin vigas y en los propios pilares sino tam bién en la cim entación.

134

V, = 72 - [30 ■(1-0,3) + 6 • 20(1-0,3)] = 7.560 kN b) U .B .C .-97. Al ser despreciables los m om entos flectores, el área tributaria es la del ejercicio anterior, es decir 72 m 2. 135

El m áxim o de R para [9.1] es ahora del 60% , inferior a los que se derivan de [9.2] com o hem os visto anteriorm ente. R ige por tanto R = 60% y la carga del pilar será; N 2 = 72 • [30 • (1-0,6) + 6 • 20 ■(1-0,6)] = 4.320 kN Com o puede verse la sobrecarga total obtenida con U .B .C .-97 es el 57% de la obtenida aplicando la N B E AE-88. Si la diferencia se refiere a la carga total, estim ando la azotea com o una planta más, la carga perm anente por pilar es de 7-72-50 = 25.200 kN, con lo que las cargas totales son: Según N B E AE-88: C arga perm anente

C arga total

9.4.3 S O B R E C A R G A D E U SO E N G A RA JES A PA RC A M IEN TO S P or su im p o rtan cia actual, co n sid eram o s aislad am en te este caso. E n la norm alización española está cubierto p o r N B E A E-88 (9.3), que en el caso usual de aparcam ientos para autom óviles de turism o la establece en 4 kN /m 2, claram ente excesiva.

25.200 kN

Sobrecarga reducida

Se requiere una atención especial al caso de acciones en E dificios Industriales, cuando éstas son debidas a m aquinaria, equipos o tráfico de vehículos. En algunas ocasiones han surgido daños debido a que cargas localizadas han sido asim iladas por los fabricantes a cargas uniform es no correctas. Por ejem plo, una cierta sobrecarga uniform e teóricam ente equivalente puede ser equivalente a las localizadas reales desde el punto de vista de los m om entos flectores, pero puede no serlo sim ultáneam ente para los esfuerzos cortantes o para los de punzonam iento.

7.560 kN 32.760 kN

29.520 kN

El U N IFO R M B U ILD IN G CO D E (U B C-97) (9.4) anteriorm ente citado, la fija p ara el caso de autom óviles con un m áxim o de núm ero de pasajeros en 2,5 kN /m 2 y de acuerdo con la tabla T-9.4 y las fórm ulas [9.1] y [9.2] y la figura 9-5, dicha sobrecarga se reduce al aum entar el área tributaria (Fig. 9-5) hasta un m áxim o del 40% . Com o muy frecuentem ente en estas estructuras el área tributaria de cada viga supera los 50 m2, ello equivale a reducir al m enos la sobrecarga en un tercio, es decir a adoptar valores del orden de 1,6 kN /m 2.

Es decir, que refiriéndonos a las cargas totales, la correspondiente a la aplicación de U .B .C .-97 es un 10% m enor que la correspondiente a la N B E AE-88.

E n realidad, la carga uniform e equivalente a un conjunto en planta cargado de autom óviles (sin espacios libres entre ellos) no supera los 2 kN /m 2.

Según U .B .C .-97: C arga perm anente

25.200 kN

Sobrecarga reducida C arga total

9.4.2

4.320 kN

S O B R E C A R G A S D E U SO E N E D IF IC IO S IN D U ST R IA L E S

E n el caso de los E dificios Industriales, surgen con frecuencia acciones y com binaciones de acciones no previstas en MV-101 y el P royectista deberá en m uchos casos em plear su propio juicio.

O tra recom endación razonable del U BC -97 es la de proyectar los aparcam ientos para una carga puntual de 9 kN /m 2 que actuase en cualquier punto sobre un cuadrado de 120-120 m m . E sta so b rec arg a no se co n sid era sim u ltán eam en te co n la u niform em ente repartida citada anteriorm ente. L o anterior se refiere exclusivam ente a las plantas de aparcam iento o garaje. Las cubiertas, pueden estar en situaciones muy diferentes y variadas, som etidas a sobrecargas de diversos tráficos, soportar zonas peatonales, ajardinadas, etc. 9.4.4 SO B R E C A R G A S D E USO EN PU EN TES D E C A R R E T ER A L a norm ativa vigente en E spaña está contenida en la "Instrucción sobre las A cciones a considerar en el Proyecto de Puentes de Carreteras" (IA P-96) (9.5). R esum idam ente, esta Instrucción, aplicable a puentes de la red de carreteras dependiente directam ente del Estado, establece las sobrecargas de uso siguientes, actuantes sim ultáneam ente: a) U na sobrecarga de 4 kN /m 2 sobre total (o parte si ella fuera m ás desfavorable) la plataform a del tablero, entendiendo por tal la susceptible de soportar tráfico en condiciones norm ales de uso.

AREA

T R IB U T A R IA

DE

SO BRECARG A

Figura 9-5

136

EN

m 2

b) U no o dos vehículos de 600 kN /m 2 del tipo indicado en planta en la fig. 9-6 a), (según sea más desfavorable), situados con su eje paralelo al de la calzada. C ada una de las seis cargas repartidas en las zonas indicadas es de 100 kN. (En sentido longitudinal del puente no se considerará la existencia de más de un vehículo). 137

www.libreriaingeniero.com 9.4.5 SOBRECARGAS DE USO EN PUENTES DE FERROCARRIL E SQ U E M A D E L P O SIC IO N AM IEN TO T R A N S V E R S A L DE L O S V E H IC U L O S P E S A D O S PLANTA CROQUIS DE UN VEHÍCULO PESADO

Q.ZOm | ---------- 1 -----------

„.60mr

Este tem a está cubierto en España por la "Instrucción relativa a las acciones a considerar en el proyecto de puentes de ferrocarril" (9.7). Establece dos gálibos, para vía RENFE y

1.375m,

eje_veh1culo pesado__

j

— |

t .5 0 m

I— j.

[jf

l.S Q m

GÁLIBO P ARA P U EN TES CON BALASTO P ARA VlA REN FE

GÁLIBO P ARA P U EN TES CON BALASTO P A R A VÍA R E N FE

i.

1.85m

1.375m,

.1.375m

l.flSm

(*) Sólo podrá considerarse este 2° vehículo pesada actuanda en la posición indicada si ’b’ es mayar que 12 m.

b)

a) Figura 9-6

i

^

j 1----^7 CLOí&

=>í—I—I En puentes con ancho de plataform a no superior a 12 m, se considerará un sólo vehículo. Si el puente tiene un ancho de plataform a superior a 12 m sin rebasar los 24 m, se considerará la actuación de uno o dos vehículos en paralelo según sea más desfavorable, colocados com o indica la figura 9-6 b) y situado cada uno de ellos en dirección longitudinal en la posición más desfavorable. Si existe mediana, si la anchura de la zona de plataform a del tablero a un lado de la m ediana es superior a 12 m, se podrán colocar los dos vehículos en ella. c) U na sobrecarga uniform e de 4 kN /m 2 actuando en toda o parte (según sea más desfavorable) de toda la superficie, de aceras, pistas para ciclistas, paso de cañadas y m edianas que estén físicam ente separadas de la plataforma del tablero. Si estas zonas no están separadas por barreras rígidas que impidan el acceso accidental de los vehículos a ellas, se com probarán, alternativam ente a la sobrecarga uniform e indicada, bajo una carga de 60 kN /m 2 actuando en una superficie de 300-300 mm y actuando en la posición más desfavorable.

P o ra v f o s m últiples se repetlrfi este m ódulo, dejondo u n o se p a ra c ió n entre ejes de v í a s de 3.7 0 m . o=

P o ro vTos m últiple s se repetlró esta m ó d u lo , dejando u n a se p a ra c ió n entre ejes de v í a s de 3.70 m . o=

altura de tra vie sa y corríl

L a Instrucción citada establece tam bién una acción de frenado y arranque, actuando sobre la superficie del pavimento, y paralelo al eje del puente de valor igual a un veinteavo de las sobrecargas indicadas en los párrafos a) y b) sin ser en ningún caso superior a 20 b kN ni a 140 kN, ni mayor que 60 b kN ni 720 kN, siendo b el ancho de la plataform a en metros. L a acción de frenado se distribuye a lo largo de la longitud del puente, sin sobrepasar la distancia entre juntas consecutivas ni 270 m, siempre colocada en la posición más desfavorable. Un docum ento alternativo que contiene excelente información sobre el tema de las acciones en puentes es la N orm a norteam ericana AASHTO (9.6). Es muy frecuentem ente usada en la práctica constructiva, no sólo en los Estados Unidos sino en muchos contratos de tipo internacional.

altura del c arril m fis p la c a de oslen to y su je ción

a la a b ra del puente. V ia RE N FE e s a q u e lla cuya se p a r a c ió n entre c a r o s a c tivo s de c a rrile s es de 1 .6 6 8 m en recto.

b)

a) Figura 9-7

para vía m étrica que se indican en las figuras 9-7 y 9-8, respectivamente. En ambos casos se contemplan los puentes con vía apoyada en balasto o sin él. Ll.lSm i 1.70m ■1.16m l

i.1gm L 1.70m j. t.1Sm l

í

i

í

t

r

f

í

f

V

(

Las sobrecargas a), b) y c) incluyen ya el efecto de impacto. El aspecto de la fatiga se estudiará en el Capítulo 46.

138

. 1.375r

- t

hI

r*

. I.OOm.. i r~T

ajznx

L

o.osnT^

j l.OSm | 2.40m j. I.OSmj

}l.06n>|

jl.O S m j

XJ

,

Para v(B8 múltiplas se repetirá este módulo, dejando una separación entre ejes de v ía s de 2.35m.

Para vía s múltiples se repetirá este módulo, dejando una separación entre ejes de vie s de 3.35m.

a» altura del carril m ás placa de asiento y sujeción

a= altura de traviesa y canil

a la obra del puente.

b)

Via métrica s b aquella cuya separación entre cares activas de caniles e s de 1.00m en reda.

a)

Figura 9-8 139

a)

Las sobrecargas m óviles de uso se establecen de acuerdo con lo siguiente: a - 1) Tren de cargas para vía RENFE. A dem ás de los trenes que a continuación se indican se considera siem pre un a sobrecarga de uso de 4 k N /m 2 extendida sobre toda o parte de la superficie de los pasos de servicio.

Tren tipo A. E stá constituido por tres ejes de trescientos kilonew ton

b) Reparto local de cargas. E n puentes con balasto y losa de horm igón, puede suponer que el reparto de las cargas se realiza de acuerdo con lo siguiente: b - l) L a superficie de aplicación es la de apoyo del patrón del carril. b-2)L a transm isión de esfuerzo puede suponer que se realiza con pendiente 1/1 a través del espesor de la traviesa y con pendiente 2/1 ó 1/1 (según sea más desfavorable) a través del balasto.

separados entre sí 1,50 m (Fig. 9-9a). c) Impacto. Los esfuerzos estáticos definidos para los trenes A, B, C y D se increm entarán, debido al efecto de im pacto en un tanto p o r ciento definido en la form a siguiente:

TREN TIPO A 30 0 k N ,

3 0 0 kN

1.50 m

,

1.50 m

c-1) Luces menores o iguales a 6 m. 1

i

'

t

'

¿ = 0,33 v

[9 .3]

siendo v la velocidad del tren en km/h.

TREN TIPO B

La fórm ula [9.3] es válida para velocidades no superiores a 200 km/h.

12 0 k ^ l O O M ^ J O k N ^ 10 0 k l ^ J O k N ^ 10 0 kN/m 10 k N ^

i—

c-2) Luces mayores de 6 m.

( l u í í s s í í í l l l TTTR

n s bi

b2

j. a;

.W . J- ‘a J.

Figura 9-9

Tren tipo B. E stá constituido por una sobrecarga uniform e repartida según la fig. 9-9b). Las longitudes de 15 ó 30 m y las a¡ y b¡ serán las que produzcan el sector m ás desfavorable, sin presentar en ningún caso solución de continuidad. a-2) Tren de cargas para vía métrica. E s de análoga disposición al de vía R E N F E pero los tram os A y B se sustituyen por los C y D indicados en las figuras 9-10 a) y b), respectivam ente.

.

i

2 3 0 kN

1.50m

f

114 F i l = ----------------------3,1 - 1,76 \ L + L

[9.4]

- P ara tram os continuos la fórm ula aplicable es:

1= 6 5 --------- ------1- n + ^

[9.5]

donde

TREN TIPO C 230 kN

- P ara el caso de tram os sim plem ente apoyados con flecha lim itada a una m ilésim a de la luz, el tanto por ciento de im pacto puede obtenerse de la fórm ula

,

2 3 0 kN

1.50m

' f

'

t

vT J“ = ------2 L

[9.6]

siendo TREN TIPO D 90 k N ^

v = V elocidad del tren en km /h.

7 0 k N /m

1 0 k N /m 7 0 k N ^

t

t

lO k N ^ O k N ^

r—

r—

1 0 k N /rr

t—

T = P eríodo fundam ental del elem ento cargado en segundos. L = Luz del elem ento en estudio en metros.

m ili.:: a1 b1 aZ ó 30.00m

J.

J.

F ig u r a 9 - 1 0

140

J.

n n b2

J.

m a j* _ 4

Com o en el caso anterior, la validez de la fórm ula se limita a v < 200 km/h. V éase el C uaderno IN TEM A C N° 24 (9.8) que resum e ensayos y experiencias, realizados con trenes de alta velocidad, m ediante auscultación dinám ica de las estructuras. 141

www.libreriaingeniero.com d) Reducción de sobrecargas. C uando en el puente coexistan varias vías se podrán aplicar las siguientes reducciones: - Dos de las vías con el total de sobrecarga. - U na tercera vía con el 75% . - Las restantes con el 50%. e) Frenado y arranque. L a acción correspondiente de frenado se valora en 1/8 del peso del tren tipo, aplicado a la altura de la cabeza del carril. C uando en el puente coexistan varias vías se aplicarán las siguientes reducciones:

a)

- U na de las vías con la totalidad del esfuerzo.

b) Figura

9 - 7 7

- U na segunda vía con el 90% . - Las restantes con el 70% . P ara el arranque se considerará com o carga vertical del tren, solam ente la de la m áquina (120 kN /m en vía R E N F E y 90 kN /m en vía m étrica).

9.4.6 SO B R E C A R G A DE N IE V E El tem a está cubierto por la N orm a B ásica de la Edificación N B E A E -88 (9.3). Los puentes de carretera de ferrocarril tienen especificaciones propias. V éase (9.5) y (9.7).

9.4.7 S O B R E C A R G A D E V IEN TO

9.5

C O M B IN A C IO N E S P É S IM A S PA R A E L D IM E N S IO N A M IE N T O

E n el apartado 9.2 vim os las d ificu ltad es prácticas para el cálculo exacto de estas com binaciones pésim as de acciones y se aceptó, com o sim plificación p ráctica para el caso de cargas verticales, el análisis de los tres estados de carga indicados en la fig u ra 9-3. Si existen acciones horizontales (en general de viento y/o sism o) éstas deben com binarse en las tres anteriores. Ya vim os tam bién en 9.1 que la hipótesis pésim a de com binación de acciones para una sección de una pieza puede no ser la m ism a que la que corresponde a otra sección de la m ism a pieza.

E l tem a está cu b ierto por la N o rm a B ásica de la E d ificació n N B E -A E -8 8 (9.3). Los p u entes de carretera y de ferro c arril tien en esp ec ificacio n es p ro p ias. V éase (9.5) y (9.7).

P ara el caso de acciones verticales, las com binaciones pésim as usuales son las que se exponen a continuación.

En general este tratam iento es m uy sucinto pero suficiente para los casos usuales. Sin em bargo p ara casos especiales y sobre todo para edificios im portantes p o r su altura o su luz libre, conviene profundizar más en el tema. R ecuérdese tam bién lo dicho en 8.6 sobre el reparto de las fuerzas de viento que en general no es proporcional a la superficie directam ente correspondiente al entram ado considerado.

9.5.1 D IN TELES

U n tratam iento más detallado y profundo es el de la N orm a francesa PO G -002 (1994) (9.9). A título de ejem plo, a la cubierta de la figura 9-1 la ) le corresponde según N B E A E-88 el diagram a de presiones indicado. D e acuerdo con la N orm a francesa PO G -002, basadas en estudios aerodinám icos directos, el diagram a es el indicado en la figura 9-1 Ib), totalm ente diferente. En todo caso para edificios de gran im portancia suele resultar interesante el estudio experim ental directo en el túnel de viento. Un estudio de este tipo debe contem plar no sólo el edificio en proyecto, sino tam bién las construcciones próxim as, ya que pueden m odificar considerablem ente las sobrecargas reales de viento. Por supuesto, si la acción de alguna construcción próxim a reduce las sobrecargas de viento sobre el edificio en estudio, su perm anencia durante la vida útil del nuevo edificio debe estar asegurada. 142

El m áxim o m om ento negativo sobre el pilar se considera producido en la hipótesis a) de la Fig. 9-3, es decir, con carga total en todos los vanos. El m áxim o m om ento positivo en vano se considera producido en la hipótesis b) o en la c) de la Fig. 9-3, es decir con sobrecarga en el vano considerado y sin sobrecarga en los contiguos. Los m ínim os m om entos negativos sobre pilares o en su caso los m áxim os positivos, se obtienen con sólo carga perm anente (hipótesis a) de la Fig. 9-3). El m ínim o m om ento positivo de vano o m áxim o negativo, en su caso, se obtiene sin sobrecarga en el vano y sobrecargando los contiguos (hipótesis b) o c) de la Fig. 9 -3 )1. Ya vim os, tal com o se indicó en la figura 9-2 que lo anterior no es estrictam ente cierto, pero sí razonablem ente aproxim ado. E stas com binaciones deben superponerse, en su caso, a las de acciones horizontales. 1

Para el caso de forjados sin vigas se aplican otros criterios. V éase el C apítulo 19.

143

Com o verem os en el Capítulo 30, las acciones deben m ultiplicarse por coeficientes de seguridad diferentes, en general, para cada tipo de acción y para cada caso de com binación considerado. También veremos en dicho Capítulo que la aplicación de coeficientes de seguridad más reducidos a la carga permanente cuando es favorable que cuando es desfavorable altera lo dicho anteriorm ente y complica considerablemente el cálculo. A llí haremos algunas propuestas de sim plificación para los edificios más frecuentes.

Sin embargo, lo anterior resulta cuando los vanos se cargan o descargan completos, como es práctica habitual. TRED O PP en la referencia (9.11) ha demostrado que si se admite la carga parcial de vanos, el polígono tiene lados curvos, tal como se indica en la figura 9-13. N

9.5.2 PILARES Los casos de com binaciones pésimas se analizaron con carácter general en 9.2 y se recogen en la figura 9-2. Adoptando las sim plificaciones de la figura 9-3, los máximos esfuerzos axiles en pilares se obtienen en la hipótesis a), es decir con carga perm anente y sobrecarga en todos los vanos y pisos, teniendo en cuenta la eventual reducción de sobrecargas expuesta en 9.3. Los m áximos momentos flectores se producen en las hipótesis b) o c) de la figura 9-3, es decir descargando alternativam ente los vanos pares o impares en todos Los pisos sim ultáneam ente. En este caso es evidente que la sobrecarga en el piso considerado no debe ser reducida, pues la ocurrencia de su valor máximo aislado es siempre fácilmente concebible, independientem ente del número de plantas. En cambio para el esfuerzo axil concomitante con los flectores máximos de las hipótesis reflejadas en las figuras 9-3b) y c) es evidente que a las sobrecargas se les debe aplicar la reducción prevista en 9.3. De nuevo, la introducción de coeficientes de seguridad diferentes para cargas perm anentes, según sean o no favorables, com plica notablem ente la investigación de la com binación M, N pésima. D ebe adelantarse ya aquí que el campo de los pilares se com plica debido al hecho de que en un pilar de sección dada y sometido a un m om ento flector determinado, la máxima necesidad de armadura puede no corresponder al máximo valor de N concom itante con M, sino al mínimo, o a un valor intermedio.

F ig u ra 9-13

En la tabla T-9.5 se indica el caso de un entramado muy sencillo, sometido a acciones verticales y viento, y se indican todas las combinaciones de acciones posibles. En la figura 9-14 se representa el correspondiente polígono de esfuerzos MN. El examen de los resultados de la figura perm ite formarse una idea de la com plejidad que alcanza el problem a de análisis de las solicitaciones de un pilar. De acuerdo con la simplificación aceptada en 9.2, en la práctica usual nos limitaríamos a las com probaciones 2 , 3, 6, si no hay acciones horizontales, y a las 2 \ 2 ' \ 3', 3", 6', 6", si éstas existen. M

(mkN) A

Las solicitaciones actuantes sobre un pilar, en un diagram a M, N, están representadas en general por un polígono semi-regular, tal como se indica en la figura 9-12 tomada del trabajo de J. CALAVERA citado en la referencia (9.10). 30

N (kN)'

F ig u ra 9-12

144

F ig u ra 9 -1 4

145

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TABLA T-9.5

(9.1)

TORROJA, E.: "Cálculo de esfuerzos en estructuras reticuladas". Instituto Técnico de la Construcción y del Cemento. Madrid. 1954.

(9.2)

FURLONG, R.W.: "Rational Analysis of Multistory Concrete Structures". Concrete International. Junio, 1981.

(9.3)

NBE AE-88 Norma Básica de la Edificación. "Acciones en la Edificación'1 MOPU Madrid. 1989.

(9.4)

UNIFORM BUILDING CODE 1997. Internationa] Conference of Building Officials. Whittier. California. 1997.

(9.5)

IAP-96 "Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de carretera". Ministerio de Fomento. Dirección General de Carreteras. Madrid. 1998.

(9.6)

AASHTO. "Interim Specificacions - Bridges - 1994". Washington. 1994.

(9.7)

"Instrucción relativa a las acciones a considerar en el proyecto de puentes de ferrocarril". Ministerio de Obras Públicas y Urbanismo. Madrid. 1975.

(9.8)

ALVAREZ CABAL, R.; DIAZ LOZANO, J.; FERNÁNDEZ GÓMEZ, J.; LEY URZAIZ, J.; SANTOS MESA, J.; SANTOS OLALLA, F.: "Modelo numérico de simulación dinámica para puentes de ferrocarril sometidos a tráfico de alta velocidad". Cuaderno INTEMAC N° 24. 4° trimestre. 1996.

(9.9)

POG-002 RE. "Regles NV 65 et annexes. Regles definissant les effets de la neige et du vent sur les constructions et annexes". Regles N 84 "Action de la neige sur les constructions". Reemplaza a la edición Enero-Febrero de 1971. Paris. 1991.

3.0 0

C P = 20 kN /m S C = 10 kN /m

3.0 0

ESFU ER ZO S EN EL PILA R H IP O T E SIS

PUNTO EN EL DIAGRAMA (Flg.9-14)

SIN VIENTO

M

A -B

CON VIENTO 1ZDA.

N

M '

N'

CON VIENTO DCHA.

M"

N"

Tirnrrrifí 1 -r-r 7777

115.90

•10.61

116.50

•19.67

115.30

7777

TTTTT

iimini

un

TmTrnn

7777

6 - 6 '- 6'

-22.72

173.90

-18.19

174.50

-27.25

173.30

7775

m lllílllllllllll 7777

3-3’-3"

-9.705

137.90

-5.177

138.50

-14.23

137.30

7777

nm

TmTTTTTTTT

m i 7777

•15.14

BIBLIOGRAFIA

2- 2’ - 2"

-28.15

151.90

-23.62

152.50

-32.68

151.30

4-4'-4"

-23.52

152.80

-18.98

153.40

-28.05

152.20

5-5'-5'

-14.34

137.0

-9.81

137.60

18.87

136.40

(9.10) CALAVERA, J.: "La influencia de las variaciones resistentes de los materiales y de las variaciones dimensionales de las piezas de hormigón armado sobre su capacidad resistente". Ia Edición. I.E.T. Madrid. 1975. 2a Edición. INTEMAC. Madrid. 1979. (9/1J) TREDOPP, R.: "Entwicklung einer methode zur erfassung der ungunstigsten beanspruchungen fur Querschnitte unter Biegung mit normalkraft". (Tesis doctoral en la Universidad de Rhem. Westfalia. 1973).

7777

IJJ .LLLLLlXLU J-LLl 7777

7777

iHlIHIHlill

iT rrrn m n r. 7777

146

77*77

147

CAPÍTULO 10

LUCES, M ÓDULO S DE DEFO RM ACIÓ N E INERCIAS A CO NSIDERAR EN EL CÁLCULO. TRA SLA CIO NA LIDA D E INTRASLACIO NALIDAD DE LAS ESTRUCTURAS. REDUCCIÓ N DE CARGAS PUNTUALES Y CARGAS UNIFORM ES A LO LARGO DE LA LUZ. CASO DE CARGAS RÍGIDAS. INFLUENCIA DE LOS RELLENOS DE FÁBRICA SOBRE EL COM PORTAM IENTO DE LA ESTRUCTURA 10.1 LUCES DE CÁLCULO L a luz a considerar en el cálculo es la luz entre ejes. Cuando el ancho del p ilar es m uy pequeño respecto a la luz, frecuentem ente se tom a com o m om ento negativo el m om ento en el eje del p ilar del piso inferior (figura 10-1). E sto en definitiva es lo m ism o que suponer la reacción concentrada en ese eje. En todo caso y en particular si el ancho del soporte es im portante respecto a la luz, puede conseguirse una econom ía apreciable m ediante el redondeo indicado en la figura 10-2. D icho redondeo se b asa en la suposición de un reparto uniform e de la reacción del dintel sobre el ancho de pilar inferior. E llo co n d u ce a que en d ich o ancho la ley d e co rtan tes C D D ’E , correspondiente a reacción en el eje del pilar, se transform e en la recta CE, con lo que en el tram o AB la ley de m om entos debe ser un a parábola de eje vertical, tangente a la curva M en A y a la M ’ en B. Trazadas las tangentes a M y M ’ e n A y B y uniendo los puntos m edios de A F y FB, G y H respectivam ente, se obtiene una tercera tangente que perm ite un trazado suficientem ente aproxim ado de la parábola. Si el ancho del pilar es apreciable, la diferencia entre los valores M , y M 2 puede ser m uy im portante. 149

www.libreriaingeniero.com C apítulo

31 dependen de m uchos factores y en particular de la duración de la aplicación de las cargas. E sto obliga a calcular p o r separado los corrim ientos y giros deb id o s a las cargas p erm a n en te s y so b recarg as de la rg a d u ració n de los correspondientes a sobrecargas de breve duración.

10.3 M O M E N T O S D E IN E R C IA A C O N S ID E R A R E N E L C Á L C U L O

Figura 10-2

Figura 10-1

U n m étodo alternativo es el adoptado por la norm a francesa B .A .E .L.83 (10.1). D e acuerdo con ella y con las notaciones indicadas en la figura 10-3 (en la que para m ayor claridad se ha prescindido de los posibles pilares del piso superior) se denom ina JVT al m om ento en cara de apoyo y M al m om ento en el eje del m ism o.

En el caso de los pilares, la incertidum bre se plantea fundam entalm ente en cuanto a si debe tom arse el m om ento de inercia solam ente de la sección de horm igón o debe tom arse la sección de horm igón m ás la de las arm aduras. H abitualm ente, en pilares de edificios de viviendas, oficinas, etc., la sección no estará fisurada, aunque en ciertos tipos de edificios industriales y de obras públicas puede estarlo y vale en ese caso lo que direm os para vigas. A ún ciñéndonos, en la duda, a la consideración o no de la arm adura, la diferencia es im portante. Partiendo de las deform aciones com unes de la arm adura y del horm igón que le rodea, la condición es = ec

[10.1]

conduce a [ 10 .2 ]

Es

Ec Es

[10.3]

Ec y llam ando [10.4] Figura 10-3 L lam ando M" al m om ento de em potram iento de la viga de luz L, perfectam ente em potrada y som etida a las m ism as cargas en vano, y llam ando M ” ’ al m enor de los valores M y M ", se tom a com o m om ento para el cálculo el m ayor de los dos valores M ’ y M ” ’.

10.2 M Ó D U L O D E D E F O R M A C IÓ N Si toda la estructura es de horm igón de aproxim adam ente la m ism a resistencia y edad, para la determ inación de esfuerzos en el cálculo lineal es indiferente el valor que se tom e. Si existen calidades diferentes, es necesario, para el cálculo de las rigideces, tom ar valores proporcionales a los E c de cada pieza. E ste es el caso usual, p o r ejem plo en los edificios de gran altura, en los que se em plea horm igón de alta resistencia en pilares de la zona baja y m edia, y horm igón de resistencia m ás baja en pilares de la zona alta y en todas las vigas y forjados. (V éase el C apítulo 66). E n cualquier caso, si se desea calcular corrim ientos o giros del entram ado, es necesario introducir en el cálculo los valores reales de E c que com o verem os en el

se obtiene, en definitiva, la condición de hom ogeneización de secciones, que consiste, al tom ar m om entos de inercia, en afectar las áreas de arm aduras del coeficiente m establecido en [10.4]1. E n el cálculo de m aparece con E c la dependencia con la duración del proceso de carga, según se trate de carga de actuación breve o larga. E n m uchos casos, sobre todo para cálculos sim ples, se tom a m = 10, con independencia no sólo del proceso de carga, sino tam bién de la resistencia del horm igón. En la figura 10-4 se representa la variación de la relación

(donde Ih es el Á m om ento de inercia de la sección con la arm adura hom ogeneizada e I0 el de la sección bruta de horm igón) en pilares rectangulares con arm aduras sim étricas de cuantía geom étrica co.

E strictam ente hablando, el coeficiente debe ser m-1, salvo que al considerar la sección de horm igón se descuenten las áreas ocupadas por las arm aduras.

151

O bsérvese la enorm e diferencia entre estos casos, en especial entre los A, B, C y el D. L a trascendencia de esta consideración en cuanto a los valores obtenidos para los esfuerzos no es sin em bargo tan im portante com o p odría pensarse.

A 2 .0 -

E n la figura 10-6, se representan las leyes de m om entos flectores de un entram ado de tres vanos de 5 m de luz, cuyo dintel es el considerado en la figura 10-5, con soportes de 300 • 300 y 3 m de altura, al variar los m om entos de inercia según las h ipótesis A, B, C y D.

O

1

2

3

4

P uede observarse que la única diferencia im portante se registra en el vano extrem o, donde la hipótesis D conduce a un m om ento flecto r en apoyo extrem o y pilar algo inferior a la m itad del obtenido en la hipótesis A. Sin em bargo, los m om entos en vano difieren en m ucha m enor m edida. Volverem os sobre esto en el C apítulo 14.

5 ^

W(°/o) Figura 10-4 C om o puede apreciarse, para las cuantías bajas h ab itualm ente em pleadas, la diferencia no es excesiva. La p ráctica habitual es adopta r el m om ento de inercia I 0 de la sección bruta de horm igón, es decir s in fis u r a r y despreciando las arm aduras.

L a práctica habitual en dinteles es tam bién considerar el m om ento de la sección b ruta de horm igón, es decir sin fisurar y sin hom ogeneizar las arm aduras1. Esto representa un valor m edio de las posibilidades A, B y C expuestas. E n algunos casos, cuando el forjado asociado es m acizo de horm igón, algunos proyectistas consideran su sección, es decir adoptan la hipótesis D de la figura 10-5. Los resultados no han conducido a estructuras incorrectas, p o r razones que analizarem os en el C apítulo 14.

Considerando ahora el caso de las vigas, los criterios posibles no sólo pueden diferenciarse por la consideración o no de las armaduras, sino tam bién por la existencia de fisuras importantes en ciertas zonas de los dinteles y además por la incertidumbre incluso de la propia sección de pieza a considerar. A título de ejemplo, en la figura 10-5 se resum en algunos de los distintos valores del mom ento de inercia en el caso de un dintel de un edificio, de 250 ■500 m m 2, perteneciente a un entramado de una serie de ellos paralelos situados con 5 m de separación. El foijado se supone que es una losa m aciza de 200 mm.

S E C C IÓ N

CASO

170

4020

“X 25 0

^ |

Sección de hormigón Usurada, con homogeneización de armaduras

1533 00 -104

1 j

Sección de hormigón sin . contar fisuración ni armadura

260400 -10 4

i

500

B 250

2 0 1 0 ^

Figura 10-6

10.4 T R A S L A C IO N A L ID A D E IN T R A S L A C IO N A L ID A D D E L O S ENTRAM ADOS

i

A 5j0

C

VALO R DE 1 (m m 4)

i n

2 A

C O N S ID E R A D A

|

Sección de hormigón sin contar fisuración y homogeneizando armaduras

A

Sflfírión ds hormigón de viga y losa

4 020

32 2300-10 4

i =5° 1 •e= S¡A

D

T 1

soo

Hp fnrjadn «;in rnntarfistmarión ni

pjj50

considerar las armaduras

826300-104

E n los Capítulos 4 y 5 vim os los m étodos de cálculo correspondientes a am bos casos. E l problem a básico es establecer cuando un entram ado debe ser considerado com o traslacional o intraslacional. En realidad todos los entram ados son traslacionales. Su consideración com o intraslacionales sólo es válida cuando pueda ser establecido que los corrim ientos horizontales resultan despreciables, dicho de otra m anera, que los esfuerzos resultantes 1

F ig u r a 1 0 -5

152

R ecuérdese qne nos referim os p o r el m om ento al cálculo lineal de esfuerzos en el entram ado. En cálculo no lineal, se abandona p o r supuesto esta hipótesis

153

www.libreriaingeniero.com en cualquier sección al considerar el entramado como intraslacional no difieren sensiblemente de los obtenidos con el cálculo traslacional, con lo cual se entra, en la práctica, en un círculo vicioso. El tema es importante, no sólo desde el punto de vista de los valores de los esfuerzos, sino también para lo referente al cálculo a pandeo de los pilares, como veremos en el Capítulo 45.

puntuales, sino que permite una economía sistemática apreciable en el cálculo a esfuerzo cortante de todo tipo de estructuras. Como ejemplo, en la figura 10-9 se representa un dintel continuo. Si se supone una distribución simétrica de esfuerzos cortantes debidos a carga uniforme, la aplicación de lo anterior conduce a dimensionar a esfuerzo cortante para el valor V -V en lugar de 1-1. Llamando V al valor 1-1 y V ’ al l ’- l ’

Desgraciadamente no es posible dar una regla clara que permita una clasificación. Generalmente los entramados de edificios industriales y muchos de los de obras públicas deben calcularse como traslacionales. En los entramados de varios pisos y vanos, habituales en edificios de viviendas y oficinas, pueden calcularse como intraslacionales aquellos cuya altura no supere el doble de su longitud, siempre que su tabiquería sea de ladrillo cerámico o de rigidez equivalente y la densidad de tabiquería no sea inferior a 0,4 m lineales de tabique por m2 de planta y con fachadas rigidizadas por fábrica de ladrillo u otra de rigidez equivalente.

t4 t

dH .

En cualquier caso, los edificios situados en zonas que exijan cálculo sísmico, deben ser siempre calculados como traslacionales, salvo que se dispongan elementos especiales, tales como pantallas y núcleos, adecuadamente combinados.

F ig u ra 10-9

L

En el criterio anteriormente expuesto, se parte de una cierta colaboración de fachadas y tabiquerías con los entramados para aceptar su intraslacionalidad. Debe prestarse atención a aquellos tipos de tabiquería y fachada de poca o ninguna rigidez y a aquellos tipos de edificios de poca tabiquería. Ampliamos este punto en el Apartado 10.7.

10.5 R E D U C C IÓ N DE CARGAS PUNTUALES UNIFORM ES A LO LARG O DE LA LUZ

Y

CARG AS

En el caso de cargas de cualquier tipo cercanas a los apoyos sobre los pilares, actuando sobre vigas de hormigón armado, la experimentación ha demostrado que estas cargas se encauzan hacia los apoyos (figura 10-7) sin efecto apreciable sobre los esfuerzos cortantes, aunque sí producen tracciones T en la armadura. Por todo ello, EHE (10.2) establece que las cargas actuantes sobre el soporte o a distancias a cada lado de d, siendo d el canto útil, no es necesario que sean consideradas a efectos del cálculo del esfuerzo cortante entre las secciones A-A y B-B (figura 10-8)

V’ V

T ”

[10.5] L 2

1 2 y con d ~ — L y b = — d, que es un caso medio frecuente, sustituyendo, se obtiene: 10 3 :0,73

[ 10.6 ]

es decir, se reduce el valor de cálculo del esfuerzo cortante en un 27%. Lo anterior debe ser considerado cuidadosamente, pues en definitiva, la zona entre las secciones A-A y B-B de la figura 10-8, constituye como veremos en el Capítulo 33 una "región D" o región de discontinuidad. Si la carga P es muy importante frente a las restantes cargas del dintel, la situación de la región puede estar más próxima a una ménsula (véase el Capítulo 58) que a una viga y tanto las compresiones indicadas en la figura 10-7 como los requisitos de armadura horizontal suplementaria de alma deben ser evaluados1. Todo lo anterior es válido para cargas aplicadas a la cabeza superior de la viga. Si se trata de cargas colgadas o de secciones de formas especiales, lo anterior no es en principio válido. Véase el Capítulo 39 que contiene información detallada.

F igura 10-7

F igura 10-8

Esto puede no sólo proporcionar una economía importante en el cálculo de estructuras industriales o de obras públicas, frecuentemente sometidas a fuertes cargas 154

1

Los accidentes han sido numerosos. Ya en el principio de los años 70 INTHMAC diagnosticó el fallo y estudió la solución de refuerzo en una estructura importante por esta causa. Una exposición sucinta puede verse en J. CALAVERA. “PATOLOGÍA DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO”, 1er tomo, Págs. 153 y siguientes (10.3).

155

10.6 CASO DE CARGAS RÍGIDAS En general, en el cálculo de estructuras se presupone que la carga aplicada a las piezas es flexible, es decir, acompaña a la pieza en su deformación, sin que dicha deformación altere la distribución de la acción de las cargas. En algunos pocos casos esto es así y la carga es de tal rigidez que no sigue a la pieza en su deformación1. Un caso de gran importancia para lo que nos ocupa es el de muros de ladrillo sobre dinteles de hormigón, tal como se indica en la figura 10-10.

El tema que abordamos ahora es el de rigidización de los entramados mediante rellenos claramente resistentes, que introducen una alteración sustancial del funcionamiento de los entramados. Su disposición afecta tanto a la resistencia a acciones verticales como horizontales, aunque su uso más frecuente es para mejorar la resistencia y la rigidez del entramado frente a estas últimas, constituyendo en cierto modo una solución alternativa a la de pantallas que veremos en el Capítulo 21. En todo lo que sigue, se supone que el relleno está en contacto íntimo con pilares y dinteles, siendo frecuente que estos últimos sean hormigonados sobre el propio relleno. La figura 10-11, tomada de la referencia (10.6) indica una disposición usual.

10.7.1 TRANSMISIÓN DE CARGAS VERTICALES a) Caso en que todos los recuadros están rellenos, (figura 10-12). Llamando E9 al módulo de deformación del hormigón del entramado y Er, al del material de relleno, el conjunto funciona como una sección compuesta. Designaremos por Acl, Ac2, ... Acn las secciones de los pilares1y por Arl, Ar2... Arn_, las secciones horizontales de los paneles de relleno. F ig u r a 1 0 -1 0

La fábrica de ladrillo sobre el dintel A-A no puede deformarse para seguir al dintel en su deformación. En la realidad sólo las zonas de carga interiores a unos ciertos arcos de descarga deben ser realmente consideradas como carga a efectos de flexión y de corte. El establecimiento de la ley de formación de los arcos de descarga es complejo y por ello la Norma Básica NBE FL-90 (10.4) establece que, cuando por encima y a los lados de un dintel exista muro que permita producir efecto arco, sin huecos que lo perturben, se considerará sólo como carga el peso de muro comprendido en una altura 0,6 L, siendo L la luz entre ejes del vano, debiendo considerarse también todas las cargas de forjados y aisladas situadas hasta una altura L. El resto de las cargas, como hemos dicho, no se consideran ni a efectos de flexión ni de corte, pero naturalmente deben ser consideradas íntegramente a efectos del cálculo de los esfuerzos axiles en los pilares.

F ig u r a 10-11

En la aplicación de lo anterior debe prestarse atención a la existencia de ventanas y otros tipos de huecos que pueden perturbar la formación de arcos de descarga.

F ig u r a 1 0 -1 2

El área equivalente, expresada en términos de sección de hormigón, al ser comunes los acortamientos verticales de hormigón y relleno, resulta

Para un cálculo más preciso, véase (10.5).

Acq = I

10.7 IN F L U E N C IA DE LO S R E L L E N O S DE F Á B R IC A EN EL COM PORTAM IENTO DE LOS ENTRAM ADOS Ya hemos comentado la influencia que los rellenos, incluidos los de simple tabiquería, tienen sobre el comportamiento de los entramados tanto desde el punto de vista resistente como de deformabilidad y su relación por tanto con la posible intraslacionalidad de los mismos.

]

Una excepción típica la constituyen las vigas de cimentación. Véase 63.16.

156

E Acl+ ^ - I

Arl

[10.7]

Si es N la carga vertical total, la tensión en el hormigón resulta por tanto

I

En sentido estricto deberían manejarse las secciones homogeneizadas, es decir obtenidas al añadir el área de la sección de hormigón (m-1) As, donde As es el área de la armadura vertical de los pilares Es y m = — - la relación del módulo de elasticidad del acero al módulo de deformación del hormigón

c

•-

157

www.libreriaingeniero.com N

—

[10.8]

E

La figura 10-14 tomada de la referencia (10.6) indica los tres modos típicos de agotamiento de los rellenos, que habitualmente se hacen con materiales frágiles, aunque los ensayos han demostrado que la interacción con el entramado ductiliza en cierto grado su comportamiento.

y la tensión en el relleno Er Or =

N

oc = — E, E E,

'X

BERTERO y BROKKEN de la referencia (10.8), contienen inform ación adicional importante. Véanse también los trabajos de T. TASSIOS y E. VINTZELEOU realizados en la Universidad de Atenas (10.9).

[10-9]

- La figura 10-14 a) indica una rotura por corte horizontal. - La 10-14 b) corresponde a una rotura por tracción diagonal.

\i

+

X

A rí

- Finalm ente, la 10-14 c) corresponde a un agotamiento por com presión del material del relleno.

Conocida la tensión en el horm igón es inm ediato el cálculo del esfuerzo axil en cada pilar, que deberán ser com probados de acuerdo con el Capítulo 28. La tensión ú r deberá ser com parada con el valor lím ite correspondiente al tipo de material em pleado para el relleno. b) Caso en que algún recuadro no está relleno. Este caso presenta particularidades que deben ser tenidas en cuenta (figura 10-13). Si en la columna de recuadros alguno aislado no está relleno, como el ABCD de la figura, la pieza AB funciona como una viga que puede suponerse perfectam ente empotrada, ya que el giro de los nudos A y B está rígidamente bloqueado por el relleno. En cambio la pieza CD no sufre flexiones y su cálculo se rige por lo dicho en a).

1111 n HU1 M t nH 111 I n U i n n i11 t n H 111

1 A

tu a)

W

J\==ÍU r ft

rr c)

m a n B

iliiiil

E

F

■ id iiil G

H

F ig u ra 10-14

En lo que sigue, nos basamos en un método simplificado expuesto por FUENTES en la referencia (10.10).

F ig u r a 10-13

Si una colum na de recuadros com pleta no está rellena, las piezas EF, GH, etc. recibirán cargas de forjados y prácticam ente funcionan como perfectamente empotradas.

17.2

TRA N SM ISIÓ N D E CARGAS HORIZONTALES

El problem a ha sido poco estudiado, aunque, actualmente están en marcha amenosas investigaciones en muchos países. Los trabajos de STAFEOR y IDDINGTON (10.7) y los de PARDUCCI y CH ECCH I (10.6), asi como los de

Figura. 1 0 -1 5

159 158

L a biela com prim ida que se considera resistente a efectos de cálculo, es la indicada como ABCD en la figura 10-15, donde H es la fuerza horizontal a ser resistida por el recuadro considerado. Los puntos A, B, C,D, se obtienen a partir de los ángulos 0 indicados, siendo tg 0= 3 ].En nuestro caso, elancho mínimo dela biela es el AF = b y, llamando a a su ángulo con el plano horizontal, se tiene que la fuerza C de compresión en la biela viene dada por H C =---------eos a

[10.11]

De acuerdo con la figura 10-16, la tensión o r actúa sobre un cuadro elem ental de lado unidad. L a com ponente según el eje horizontal OX vale

y como

AG

-

BF AB eos a

BF

La com presión C puede considerarse descom puesta en dos, C { y C2, actuando en los puntos medios de AG y DG respectivam ente, con valores C, = C

oreos a

av =

eos a

=
a

[10.15]

L a tensión tangencial paralela a OY vale

[10.12]

AG + DG t

C, = C -----— -----AG + DG

v=

y

a. sen a BF

= - ar sen a eos a

[10.13] L a com ponente según OY se deduce de

o, sen a Cj introduce un esfuerzo axil en el dintel de valor Cj eos a y un momento flector

°y

producido por su com ponente vertical C 1 sen a actuando en AG, además de un cortante igual a C, sen a menos la carga descendente aplicada en AG, si es que existe. D ebe com probarse también que la com ponente vertical de C2 , más el eventual cortante ascendente producido por C [ sen a son menores que el esfuerzo axil N\ del pilar 1. A nálogam ente se procede para la com probación a flexión y corte de las zonas GD, HB y HC. Conocido el valor de C y el espesor e del relleno, la tensión en el relleno en la dirección a viene dada por Gr = - <=— = ------ - ------b ■e b • e eos a

y como

AE

AE

sen a

ay = — or sen2a

[10.16]

N aturalm ente t

a r eos a

xy

=--------------= o. sen a eos a

[10.17]

AE

[10.14]

y

En el relleno, la tensión vertical total será o y = a j - a r sen2 a

[10.18]

donde cq es la com presión transm itida por el dintel superior si existe.


tv v= sy

a,i sen a eos a

[10.19]

In s is t im o s e n e l c a r á c t e r p u r a m e n te a p r o x im a d o d e l m é to d o , P A R D U C H I y C H E C C H I e n la r e f e r e n c ia ( 1 0 .6 ) to m a n A G ig u a l a la m ita d de la lu z lib re .

160

trazamos el círculo de M O H R (Fig. 10-17)

161

www.libreriaingeniero.com (10.9)

z

V IN T Z E L E O U , E. "S eism ic b eh av io u r and d esign o f infilled rein fo rced co n crete 18 ^ 1 9 9 0 ^OHferencia p ro n u n ciad a en el C o leg io d e In g en iero s de C am in o s d e M adrid,

(10.10) F U E N T E S , A . "C álculo p ráctico de estru ctu ras de edificio s en h o rm ig ó n arm ado". E ditores T écn ico s A so ciad o s. B arcelo n a, 1976. (10.11) S A M A R A S IN G H E , W.; PA GE, A.W .; H EN D RY , A.W . "B eh av io u r or b rick m aso n ry shear w alls". T h e S tru ctu ral E ngineer. S eptiem bre, 1981. (10.12) S T A F F O R D SM IT H , B. "M odel test results o f vertical an d h o rizo n tal lo ad m e o f in filled fram es". A C I Jo u rn al 1968. F igura 1 0 -1 7

con lo que obtenemos las tensiones máximas y mínimas en el relleno. Actualmente no existe una normalización específica en cuanto a tensiones máximas admisibles en los diversos materiales de relleno. SAMARASINGHE, PAGE y HENDRY (10.11) y STAFFORD SMITH (10.12) han realizado ensayos muy interesantes para el caso particular de rellenos de ladrillo. FUENTES en la referencia (10.10) recomienda que la altura del paño de relleno no rebase 15 veces el espesor ni 20 veces la menor dimensión del soporte. Ambas recomendaciones están basadas en consideraciones de inestabilidad.

B IB L IO G R A FÍA

(1 0 .1 )

"R egles tech n iq u es de conception et de calcul des ou v rag es et co nstructions en betón arm e su iv an t la m ethode des etats lim ites". R E G L E S B A E L 83. E yrolles. P arís, 1983.

(10.2)

E H E "In strucción p ara el P ro y e cto y la E je cu ció n de O bras de H o rm ig ó n E s tru c tu ra r. M in isterio de F om ento. M adrid, 1998.

(10.3)

C A L A V E R A , J. "P atología de estructuras de h o rm ig ó n arm ado y pretensado". IN T E M A C . M ad rid , 1996.

(10.4)

N o rm a B á sica de la E dificació n N B E F L -90, "M uros resistentes de fáb rica de ladrillo. M in isterio d e O bras P úblicas y U rbanism o. M ad rid , 1991.

(10.5)

B E A L L , C. "M asonry design and detailing". P ren tice H all. N ew Jersey, 1984.

(10.6)

P A R D U C C I, A .; C H E C C H I, A. "Interazione dei pannelli di m u ratu ra con i telai di cem en to arm ato: co m p o rtam en to del sistem a stru ttu rale p e r azioni com planari". L T n d u stria Italia n a del C em en to 2/1982.

(10.7)

S T A F F O R D S M IT H , B .; R ID D IN G T O N , J.R . "T he desig n o f m asonry in filled steel tram es fo r b racin g structures". T he S tructural E ngineer. M arzo, 1978.

(10.8)

B E R T E R O , V.; B R O K K E N , S. "Infills in seism ic resistan t building". Journal A S C E S tru c tu ral D iv isió n . 1983.

162

163

CAPÍTULO 11 ENLACES TEÓRICOS Y ENLACES REALES. APARATOS DE APOYO. RÓTULAS PLÁSTICAS. BROCHALES. ENLACE DE LOS PILARES A LA CIMENTACIÓN

11.1 TIPO S D E A N C L A JE En todo lo anterior hemos contem plado en general tres tipos de enlaces entre piezas. Por un lado el em potramiento, que es el más frecuente en estructuras de horm igón y en el cual reside su ventaja del monolitismo. A veces hemos considerado la existencia de rótulas y tam bién de apoyos deslizantes. Estos enlaces teóricos presentan dificultades inevitables para ser materializados de form a perfecta en la práctica, aunque su técnica ha progresado de manera importante en los últimos años. El uso de rótulas y apoyos deslizantes es poco frecuente en los edificios de entramados múltiples y se usa en cambio con más frecuencia en los edificios de grandes luces (industriales, deportivos, salas de espectáculos, etc.) y en muchas obras públicas, en especial en los puentes.

11.2 C LA SES D E A PO Y O S Los apoyos de las estructuras son una necesidad relativam ente reciente, fundamentalmente m otivada por la aparición de las estructuras metálicas y de hormigón en el siglo XIX. Hasta ese momento, las estructuras de piedra y ladrillo cuando alcanzaban luces considerables presentaban grandes espesores de forma que eran poco sensibles a los 165

www.libreriaingeniero.com efectos de los cam bios de tem peratura. Con la aparición de la fundición, del acero y del horm igón, las estructuras se independizan notablem ente del resto de los m ateriales de las construcciones y se hacen exentas y m ás ligeras lo que las hace m ucho más sensibles a las variaciones térm icas y a las deform aciones (giros y corrim ientos) producidos por las cargas. Ello m otiva la necesidad de idear elem entos de apoyo que perm itan tales m ovim ientos. E xiste otro origen diferente de la necesidad de elem entos de apoyo, que se indica esquem áticam ente en la figura 11-1.

ú)

e)

Figura 11-2

1

a) Figura 11-1 El apoyo de la losa en el m uro, de form a d irecta (Fig. 11-1 a)) hace seriam ente im precisos tanto el conocim iento del punto de paso de la resultante com o el de la distribución de tensiones sobre el apoyo. Esto no sólo dificulta el cálculo del muro, sino que puede producir daños en la zona de contacto en el m ism o, som etida a m ayores tensiones. L a solución de intercalar un pequeño elem ento de apoyo (Fig. 11-1 b)), perm ite un conocim iento m ucho m ás preciso del punto de paso de la resultante y conduce a una reducción de la tensión m áxim a sobre el apoyo. E n este caso, la intención al em plear el elem ento de apoyo no es la de facilitar corrim ientos o giros de la estructura en el apoyo, sino localizar la reacción. Por supuesto, am bas necesidades se presentan a veces ju n tas en la práctica.

a) A PO Y O S D E F U N D IC IÓ N O A C E R O El desarrollo histórico de los apoyos arrancó con los apoyos m etálicos de fundición o de acero y com enzó con los sim ples apoyos de rodillo único (Fig. 11-2 a)) que perm itieron el giro y el corrim iento p ara cargas m oderadas, y con la solución de rótula de la figura 11-2 b). Para grandes reacciones, los trenes de rodillos (Fig. 11-2 c)) dieron una respuesta satisfactoria en cuanto a los corrim ientos, pero no válida para los giros. U na solución fue la de rótulas sobre trenes de rodillos (Fig. 11-2 d)). L a necesidad de giros m ultidireccionales que presentaban algunas estructuras fue resuelta m ediante el desarrollo de las rótulas esféricas. (Fig. 11-2 e)).

166

A unque com o verem os más adelante los apoyos elastom éricos se han im puesto en m uchas aplicaciones por ser una respuesta excelente a un gran núm ero de problem as, no debe creerse p o r ello que los apoyos m etálicos han perdido su interés, pues p ara grandes reacciones o cuando se presenta la necesidad de grandes giros, los apoyos m etálicos siguen siendo la m ejor solución.

b) A PO Y O S D E PLO M O D urante un cierto tiem po se em plearon planchas de plom o com o apoyos deslizantes. Su em pleo estaba basado en la propiedad del plom o de fluir en las direcciones paralelas al plano m edio de la plancha, bajo tensiones de com presión de] apoyo m oderadas. E n la práctica tal propiedad desaparece cuando el plom o tiene pequeños porcentajes de antim onio, muy frecuentes en las planchas com erciales de plom o. Su uso, que se restringió a luces m oderadas, ha sido abandonado.

c) A PO Y O S E L A ST O M É R IC O S Se denom ina elastóm eros a un grupo am plio de m ateriales com o el caucho natural o productos sintéticos de propiedades sim ilares, m uy variables de unos tipos a otros. El caucho natural ha sido em pleado con frecuencia com o apoyo, pero las lim itaciones que presentaba condujeron al desarrollo de m ateriales sintéticos, conocidos com o elastóm eros, de los cuales desde los años 50 el más conocido y em pleado es el N eopreno (C lorocaucho). O tros elastóm eros en uso actualm ente son el Caucho-B utilo vulcanizado, que presenta num erosos derivados, así com o el C aucho-N itrilo, el C aucho B utadieno-E stireno, etc. Sin em bargo, actualm ente el N eopreno cubre la m ayoría de las aplicaciones aunque la inform ación que sigue en este apartado se refiere a los elastóm eros en general. D ebe advertirse que esta inform ación, dada la variabilidad de los productos com erciales, incluso dentro del m ism o tipo, es una inform ación genérica y la aplicación de cada m arca concreta debe, p o r el m om ento realizarse de acuerdo con la inform ación específica que facilite el fabricante de cada producto com ercial.

167

Los elastóm eros son un m aterial que necesita m antenim iento y es atacable por los derivados del petróleo, el oxígeno y el ozono. C om o verem os, a bajas tem peraturas sufren un proceso de cristalización. Sin em bargo, en condiciones norm ales los apoyos de este tipo tienen una vida más larga que la previsible para las estructuras de horm igón, aunque es una buena regla de prudencia disponerlos de forma que

TABLA T-11.1 COEFICIENTES DE CARGA, Cp PARA LAS FORMAS USUALES DE APOYOS COEFICIENTE DE FORMA DEL APOYO

FORMA DEL APOYO

puedan ser reemplazados sin coste excesivo.

C/ Los apoyos de elastóm ero se em plean tam bién com o elem entos am ortiguadores de vibraciones en las estructuras. ab c-1) C O M P O R TA M IEN TO E N CO M PRESIO N.

i ........ a

U n apoyo de elastóm ero, cuando se som ete a com presión experim enta un cierto acortam iento. Las dos caras en contacto con la estructura, por el rozam iento con ésta no se expanden, pero si lo hace el resto del neopreno, tal com o se in d ica en la figura 11-3. El espesor tj se reduce al t2, con lo que la estructura experim enta un cierto corrim iento en sentido perpendicular al plano m edio del apoyo. L a rigidez vertical del apoyo depende en gran m edida de la libertad que el elastóm ero tenga para su expansión transversal.

2í(a+b)

i

RECTANGULAR

L 21 TIRA

D ------- ^

41

CIRCULAR

(*) t es el espesor de cada capa de neopreno del apoyo. Es decir, el espesor entre chapas si, com o verem os Ensayo a compresión en pieza de neopreno (Cortesía de INTEMAC)

Figura 11-4

L a rigidez vertical del apoyo crece con el coeficiente de form a. L lam ando E al m ódulo elástico del elastóm ero, el acortam iento unitario del apoyo bajo una tensión uniform em ente o a viene dado por la expresión

E ste concepto se expresa m ejor a través de lo que se denom ina “C oeficiente de fo rm a” , Cp S, C,

'f

se

más adelante, se trata de un apoyo zunchado.

[ 11 - 1]

donde: Sc = S uperficie de contacto del apoyo

£a =

=E n ( l + 2kC f2)

[11.21

donde k es un coeficiente experim ental característico de cada tipo de elastóm ero. La Tabla T -l 1.2 contiene valores indicativos de E y k, en función del índice de dureza.

Se = S uperficie de expansión libre E n la figura 11-4 se indica un ensayo de este tipo. L a tabla T -l 1.1 recoge los valores de Cf para las formas de apoyo usadas en la práctica.

168

169

www.libreriaingeniero.com TABLA T-11.21 PROPIEDADES APROXIM ADAS DE LOS ELASTÓMEROS

En

Módulo de rigidez longitudinal G

Irhd

N/mm2

N/mm2

50

2,3

0,6

0,75

60

3,7

1,0

0,60

70

6,2

1,4

0,55

Indice de dureza

Módulo elástico

k

El valor E n (1 + 2kC f2) recibe el nom bre de m ódulo de elasticidad aparente, E a, y es un valor que no sólo depende de la calidad del elastóm ero sino tam bién de las dim ensiones concretas del apoyo. L a expansión transversal aum enta por tanto el acortam iento del apoyo, pero la experiencia dem uestra que el increm ento que representa no supera el 10%, si el C oeficiente de F orm a no rebasa el valor 6. El neopreno zunchado consiste en la solución de intercalar chapas de acero entre otras de elastóm ero lo que perm ite aum entar su coeficiente de form a y p o r tanto su m ódulo de elasticidad aparente y reducir la expansión transversal (Fig. 11-5).

donde en es el espesor total de elastóm ero (sin contar el espesor de chapas si el apoyo es zunchado). L lam ando G al m ódulo de rigidez tangencial del elastóm ero, se tiene t = tg y • G

[11.4]

tg y =

[11.5]

y con x

S -G L a fuerza F vale por tanto F = — • Sa - G e .. L a Tabla T-11.2 contiene valores indicativos de G.

------— =— =>

a)

[ 11.6]

—

\—

b)

Figura 11-5

c-2) C O M P O RTA M IE N TO A E SF U E R ZO C O RTAN TE

c-3) GIRO D E L A P O Y O N orm alm ente la pieza presenta un giro oct en el apoyo (Fig. 11-7), que produce presiones linealm ente variables a lo largo del m ism o.

S uponiendo que al solicitarse el apoyo a esfuerzo cortante, p o r la fuerza F que produce el corrim iento de la estructura paralelo al plano m edio del apoyo, no se p roducen desplazam ientos en la cara de contacto del apoyo, la relación entre las F fuerzas F (y por tanto de las tensiones de corte t a = — en el apoyo) y el corrim iento 6a, es prácticam ente lineal. L a deform ación unitaria p o r esfuerzo cortante (o distorsión angular) es la tangente del ángulo y, y por tanto (Fig. 11-6)

I

Tom ada de la R eferencia (11.1).

170

E l valor m áxim o adm isible para ocr suele ser determ inado experim entalm ente por el fabricante, pero en ausencia de datos específicos debe lim itarse al valor

c-5) C R ISTA LIZA C IÓ N Cf

\ aI

G

Los elastóm eros se hacen m ás rígidos al descender su tem peratura, hasta producirse una cristalización, que los hace frágiles al im pacto. E l fenóm eno es reversible si se increm enta de nuevo la tem peratura. El m aterial sin em bargo presenta un com portam iento satisfactorio entre -25°C y +100°C, lo que cubre la m ayoría de las necesidades usuales en la práctica. P or otra parte existen productos especiales con propiedades para necesidades específicas.

donde: Cf = C oeficiente de form a n = N úm ero de capas de elastóm ero a = A ncho del apoyo en la dirección de la directriz de la pieza que experim enta el giro, en mm.

d) R Ó TU LA S D E H O R M IG Ó N

Gm= Tensión m edia de com presión del apoyo en N /m m 2 t

P rácticam ente la ú nica m odalidad de rótula hoy en uso es la rótula plástica, que se ha im puesto p o r su facilidad de construcción y gastos nulos de m antenim iento.

= espesor de cada capa de neopreno, en m m

G = M ódulo de rigidez transversal, en N /m m 2 El giro produce un descentram iento de la carga N de valor e = adoptarse n M =a

a 5bG

10'6

para apoyos rectangulares

pudiendo

[11-8]

5 O/3 M = a

D6 • G

• 10*6 para apoyos circulares

[11.9]

100í3 donde: b es la longitud de apoyo en dirección paralela al eje de giro y a la longitud en la dirección perpendicular

Sus métodos de cálculo han ido perfeccionándose m ediante la investigación experim ental debiendo destacarse la labor de M ESN A G ER y FREYSSINET, que crearon sus tipos de rótulas entre 1920 y 1940. E l prim ero que em pleó rótulas de hormigón de una m anera sistemática fue M ESN A G ER, con los tipos indicados com o a) y b) en la figura 11-8. FREY SSIN ET em pleó el tipo indicado en la figura 11-8c), que es hoy el usual. Es necesario observar que en la solución de M E S N A G E R la carga vertical es resistida p o r las arm aduras cruzadas y el horm igón cum ple prácticam ente una función de protección. Su capacidad de absorber reacciones horizontales es lim itada, pero puede resistir tracciones. L a solución de FREY SSIN ET, es claram ente la mejor, pero no usa arm aduras pasantes, por lo que no puede resistir tracciones. Su funcionam iento se basa en la plastificación del horm igón en la zona de la garganta.

a, a = — el giro de cada capa de elastóm ero, en radianes n D = D iám etro del apoyo, en m m M = M om ento en m kN En [11.8] y [11.9] M se obtiene en m kN para a, b, D y t en m m y G en N /m m 2.

c-4) F LU E N C IA L os elastóm eros presentan un aum ento gradual de la deform ación a tensión constante, en el transcurrir del tiem po, es decir presentan el fenóm eno de fluencia. La deform ación de fluencia es exponencial con el tiem po, dism inuyendo su velocidad de crecim iento rápidam ente. U n valor usual de la deform ación total por fluencia es un 1/3 de la elástica. E ste fenóm eno se produce tanto para tensiones de com presión com o para tensiones cortantes. Si cesa la actuación, se produce una recuperación parcial de la deform ación, tam bién con ley exponencial en función del tiem po, quedando un a cierta deform ación rem anente. 172

Figura 11-8

11.3 C Á L C U L O D E D IS P O S IT IV O S D E C E N T R A D O D E C A R G A S En m uchos casos, com o se ha dicho, interesa sim plem ente localizar la reacción, sin que resulte necesario facilitar el giro ni el corrim iento. En definitiva la intención se reduce en unos casos a asegurar el centrado de la carga sobre un apoyo o a asegurar el conocim iento del punto de paso de la reacción en otros. Un caso general se indica en la figura 11-9, que representa el apoyo de una viga en un pilar o tam bién el de una losa en un m uro. 1 73

www.libreriaingeniero.com Si no se cumple [11.11], pero se cumple [11.12] y además la condición

t

N /] k 1i \ / 11 1V 1 1 /\ ¡ fe b ¡

+ A Figura 11-9

b

-v T

N < ~ J_ _ 1 682

[1U 3 ]

es necesario disponer un área de arm adura s de confinam iento, en m m 2, dada por

J.

TV (i a 2 - 1 , = 330— M fyk \ a 2

[11.14]

TV (i bb2, - b y x N A Slb = 330 —— [ —------1-\ fyk \ ^2

[11.15]

A

Figura 11-10

P ara valores m oderados de N una solución, aparte del em pleo de apoyos elastom éricos zunchados que verem os en 11.4, es el em pleo de apoyos elastom éricos sin zunchar, que adm iten tensiones de com presión de 1 a 5 N /m m 2 según sus dim ensiones.

s ,a

P ara valores m ayores de N, una solución sim ple y económ ica es intercalar un a tira de chapa lisa de ñbrocem ento. La presión sobre el fibrocem ento, siendo a y b sus dim ensiones en m m y TV el valor de la reacción en kN , debe cum plir la condición

g

N = 1 0 0 0 ----- < lO M P a abj

[11.10]

Si los valores de N son m uy altos, una solución m ejo r será la indicada en 11.4, con em pleo de apoyos de neopreno zunchado. E n cualquier caso, de acuerdo con E H E (1 1 .2 ), siendo a y b las dim ensiones del elem ento sobre el que descansa el apoyo y a x b x las dim ensiones de éste, se definen com o b2 y a2 las de la figura hom otética del apoyo inscrita en el área a-b del elem ento sobre el que descansa (Fig. 11-10)1. E n valor N de la reacción sobre el apoyo debe cum plir la doble condición

N <

[11.11] 2.250

N <

a2^2fck U 250 ---------- :-------- — 2.650

[11.12]

donde f ck es la resistencia característica del horm igón del elem ento sobre el que descansa el apoyo.

1

L o que sigue es una sim plificación con yf = 1,5 y yc = 1,5 de lo referente a cargas concentradas sobre m acizos, que se expone con m ayor detalle y precisión en el C apítulo 59.

174

c) Figura 11-11 E stas arm aduras, para m ejorar el confinam iento y sus condiciones de anclaje deben disponerse en la form a indicada en la figura 11-11.Las arm aduras transversales A st, en la zona m de la figura, son sim plem ente de m ontaje. Si no se cum ple ninguno de los dos pares de condiciones [11.11] y [11.12] ó [11.12] y [11.13] el apoyo y/o el elem ento que lo sustenta necesitan m ayores

175

d im ensiones, o bien m ejorar la resistencia del horm igón de este últim o, según sea el caso.

b)

L as condiciones de anclaje de las arm aduras A s a y A s b deben ser cuidadosam ente respetadas. U n aspecto im portante es el proceso constructivo de este tipo de apoyos. Lo más sim ple es disponer una capa de yeso alrededor de la tira de fibrocem ento y enrasada con la cara superior de ésta (Fig. 11-12a)), de form a que la fije en planta. A continuación se horm igona la pieza superior sobre el yeso y el fibrocem ento. U na vez se desencofre la pieza superior, el yeso debe ser retirado com pletam ente. P or supuesto si la pieza que descansa sobre el apoyo es prefabricada, basta fijar el elem ento de apoyo al apoyo con pegam ento.

Comprobación de la presión de contacto. Siendo a y b las dim ensiones en m m del apoyo en planta y N máx la reacción m áxim a en kN, se debe cum plir: ^m áx

^

ab

® a d m ,n

1000

El valor de a admn debe expresarse en N /m m 2 y oscila de 10 a 15 N /m m 2 creciendo al aum entar el área en planta del apoyo.

c)

Comprobación del acortamiento Para lim itar el acortam iento vertical, tal com o vimos en 11.2.C-1), conviene establecer la lim itación de C f al valor 6. Para apoyos rectangulares ab

>12

[11.18]

(a + b) t donde t es el espesor de cada una de las capas de neopreno (Fig. 11-4 a)).

a)

D ebe, adem ás, m antenerse una presión m ínim a de 3 N /m m 2 l, de donde

b)

Figura 11-12 En este tipo de apoyos debe prestarse atención (Fig. 11-12b)) al giro esperable en el apoyo com o consecuencia de la deformación de la viga o losa. E n caso de duda, la arista derecha debe ser biselada, para evitar el contacto, que no sólo introduciría incertidum bre sobre el punto de paso de la resultante N, sino que podría descantillar la arista.

11.4 C Á L C U L O D E A P O Y O S E L A S T O M É R IC O S

N,nin > 0 ,0 0 3 ab

[11.19]

donde N min es el valor m ínim o de la reacción N. L a condición [ 11.19] se establece para garantizar un a presión que asegure el suficiente rozam iento entre el apoyo y las piezas, de form a que las sucesivas dilataciones y contracciones no hagan “reptar” al apoyo, sacándolo de su sitio. Si no es posible cum plir sim ultáneam ente [11.17] y [11.19], puede dim ensionarse el apoyo teniendo en cuenta sólo la condición [11.17] y evitar la “reptación” encajando el apoyo en una o en am bas piezas (Fig. 11-13)2.

C om o dijim os, actualm ente los antiguos sistem as de rodillos han quedado reducidos a casos excepcionales o especiales y las soluciones de neopreno o derivados se han im puesto. L a solución más frecuente es la de neopreno zunchado con chapas de acero, las soluciones de neopreno sin zunchar se utilizan prácticam ente sólo p ara centrado de cargas. —

En la figura 11-5 a) se indica la com posición alternada de neopreno y chapas. La fig u ra 11-5 b) representa un apoyo de este tipo. E n ella puede apreciarse la función de zunchado de las chapas de acero que coaccionan la expansión transversal del neopreno y reducen así el acortam iento del apoyo en sentido vertical.

Figura 11-13

En general, el cálculo de un apoyo de neopreno requiere tres com probaciones:

a) Comprobación de estabilidad. L lam ando b a la m enor dim ensión en planta del apoyo y en al espesor total de neopreno, para evitar el pandeo se debe cum plir: b > 5en

176

[11.16]

1

A lgunos fabricantes recom iendan elevar este valor a 5 N /m m 2.

2

Existen m odelos com erciales de apoyo, (11.5) que com binan el neopreno con elem entos m etálicos y resuelven directam ente éste y otros problem as especiales de apoyo. V éase (11.8).

177

d)

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Comprobación de la distorsión angular

lo que conduce al valor de en en > 28

C uando ocurre el corrim iento para el que se proyecta el apoyo, se produce en el m ism o una distorsión angular y tal com o se indica en la figura 11-141.

L a expresión [11.22], llam ando K = -

[11.24] se transform a en

en 1------r

-►>>

JJ¿ 1/ 1/ J¿___

Fh = K8

F ig u r a 1 1-14

L a distorsión vale: [ 11.20 ]

tg 1'

[ h .2 5 ]

donde K recibe el nom bre de “rigidez horizontal” del apoyo y es un concepto útil para el cálculo de 5 en cada caso concreto, que será la diferencia entre el corrim iento que se hubiera producido sin la reacción Fh m otivada por la resistencia a la deform ación angular del neopreno y el de signo contrario que esta fuerza provoca en la pieza que experim enta el corrim iento. R ecuérdese que los valores de G son diferentes para acciones de corta o larga duración.

d) Comprobación del giro del apoyo donde en es el espesor total de neopreno. Tal com o vim os en 11.2.C-2) llam ando G al m ódulo de rigidez del neopreno, se tiene para la tensión tangencial.

8G

[ 11.21 ]

T = tg y G =

y la resultante de las tensiones

t

R

Tal com o se indicó en 11.2.C-3), habitualm ente, la deform ación de la pieza soportada producirá una cierta rotación a del neopreno tal com o se indica en la figura 11-15. N orm alm ente, los apoyos de neopreno aceptan rotaciones im portantes pero este punto debe ser com probado de acuerdo con la inform ación del fabricante. Las fórm ulas [11.7], [11.8] y [11.9] perm iten una com probación aproxim ada.

sobre todo el área de apoyo a • b vale

= T

ab

8 Gab

10-3

[ 11.22 ]

i Los valores de G deben ser facilitados, para cada tipo de neopreno, por el fabricante, pero habitualm ente son del orden de 2 N /m m 2 para acciones instantáneas y del orden de la m itad para acciones de larga duración. C om o puede verse, el neopreno no constituye un apoyo deslizante perfecto, sino que transm ite una fuerza Fh proporcional al corrim iento 5 y que sólo puede ser reducida aum entando el espesor en del apoyo. Sin em bargo, no debe olvidarse que un gran espesor en si bien reduce la fuerza horizontal transm itida, aum enta el acortam iento vertical del apoyo, el cual no suele ser im portante pero debe verificarse. Con la lim itación [11.18] este acortam iento es siem pre inferior al 15%.

F ig u r a 1 1-15

Al igual que vimos en 11.3 deben comprobarse las compresiones sobre las piezas de hormigón sobre las que asienta el apoyo y disponerse armaduras, en caso necesario, de acuerdo con lo que allí dijimos. e) Tipos varios de apoyos

La distorsión angular y debe cum plir la condición

y = — < 0 ,5

1

[11.23]

P ara u n a discusión general de apoyos de neopreno, véase “B E A R IN G S IN STR U CTU RA L EN G IN EER 1N G ” de LONG (11.1) y “APARATOS D E A P O Y O PARA P U E N T E S ” (11.3) y también (11.4).

178

R O T U L A

F ig u r a 1 1 -16

179

L os apoyos de neopreno se com binan en ocasiones con lám inas de Teflón vulcanizadas, sobre chapas adheridas al m ism o. E l Teflón es un m aterial sintético de m uy bajo coeficiente de rozam iento, del orden de 0,05. E llo perm ite soluciones com o la indicada en la figura 11-16, que perm iten el giro, m ediante la rótula, en una dirección y el deslizam iento gracias al Teflón en la dirección perpendicular.

A P O Y O C O N C O R R IM IE N T O S H O RIZO N TA LES IM P ED ID O S

APOYO

LATERAL

A ctualm ente se fabrican apoyos que com binan elem entos m etálicos con neopreno o teflón que representan soluciones a problem as m uy variables (Figuras 11-17 y 1118). V éase (11.7), (11.8) y (11.9).

b)

a)

11.5 CÁLCULO DE RÓTULAS PLÁSTICAS

i

En lo que sigue resum im os el m étodo puesto a punto para su cálculo de acuerdo con los ensayos de L E O N H A R D T y M ÓNN1G (11.5) para las rótulas del tipo FREY SSIN ET.

7 |>

A P O Y O C O N C O R R Ifc K E N T O H O R IZ O N T A I A J U S T A R I P

f



R E A C C IO N E S A S C E N D E N T E S

<J=T3={>

b) TRACCIONES TRANSVERSALES A LA OIRECCltíN DE m CARGA APLICADA.

F ig u r a 11-1 7 . C o r te s ía d e G U M B A

D E S L IZ A N T E

L IB R E

ALZADO LATERAL

A L Z A D O LONGITUDINAL

a . s= 0 3 d br £ 0 7 a

L3 (PO T E) L1

(P L A C A

t

í

<

5 cm.

0 2 a > 2 cm.

Ig n S 0.1

DE DESLIZAM IENTO)

F ig u r a 11-18. C o r te s ía d e F R E Y S S 1 N E T I N D U S T R I E S

F ig u r a 1 1 -19

J8J

www.libreriaingeniero.com A dem ás de las condiciones geom étricas indicadas en la figura 11-19, la rótula debe dim ensionarse de acuerdo con las com probaciones siguientes: a)

-S i V¿ — N

[U .29]

E l área m ínim a ^ • b x de la rótula viene dada por la condición no es necesaria n inguna com probación. (N y V son esfuerzos concom itantes). 943 N * a xb x > — fck 1 + A 1 - 0 .4 1

a.'ef

[11.26]

-S i — N < V < ~ N

[1 1 3 0 ]

{ü es necesario disponer barras en el plano m edio de la rótula y ancladas a am bos lados de ésta, de área

donde: a x b x = dim ensiones de la rótula en m m

A S S 12,5 V

N máx = valor característico m áxim o del esfuerzo axil en kN

[11.31]

(A s en m m 2 p ara V en kN)

ag

1 “ Si V >

f ck

= resistencia característica del horm igón en M P a

A

= 1,2 - 4 — > 0 ,8 d

ag

= ángulo de giro de la ró tu la debido a cargas perm anentes (%o), incluso fluencia, pretensado

N , el proyecto de la ró tu la se com plica considerablem ente adem ás

de ser necesario disponer pasadores verticales de acero. Ver referencia (11.6). Es un caso m uy infrecuente en la práctica. e)

Las tracciones T j, T2, T 3, indicadas en la figura 11-20 se absorberán con las áreas de acero = 1 6 7 ^

ángulo de giro de la rótula .debido a sobrecargas breves (%o), incluso variaciones térm icas

Aj 2 = 167 | l ~ ~ \ N máx

1N max

[11.32]

[11.33]

valor característico del esfuerzo axil debido a las caigas perm anentes, en kN = 167 V ' bi b)

P ara asegurar un grado suficiente de plastificación en la garganta debe cum plirse adem ás 2.260 N n a xb x < a

c)

d)

con unidades en kN , m m y m m 2. Las disposiciones de las arm aduras se indican en la figura 11-19.

[11.27] f)

{fck

E l giro de la ró tu la produce un m om ento flector de reacción en la garganta, de valor

E l ángulo m áxim o adm isible de giro de la rótula en %c, p ara esfuerzo axiles N entre N y N máx, viene dado por 2.277 N <7_v < ± ----------; = ■ > 1 5 %c a \b\ {fck

[11.28]

El m áxim o valor característico del esfuerzo cortante V, norm al al axil N, puede verificarse de acuerdo con lo siguiente:

182

[1L34]

M

a, N (0,5 - 5 ,6 1

1000 \

- r =M--------- ) 1 ■\fcka lb ^a efl

[11.35]

(M en m kN p ara N en kN , a 1 y b l5 en m m , y fck en M Pa). C1 e M El valor — m ide la excentricidad relativa de la resultante respecto al centro a x a xN de la rótula.

183

La com binación de dos rótulas plásticas en cabeza y pie de soporte (Fig. 11-20) da lugar a la form ación de un péndulo que desem peña las m ism as funciones que un apoyo deslizante. E sta so lu c ió n se u tiliz a p rin cip alm e n te anteriorm ente para el cálculo son rebasados.

cu an d o

los

v alo res

in d icad o s

positivos se puede adoptar la A CA ’, obtenida con la línea de cierre correspondiente a m om entos de em potram iento - 0,1 M 0, siendo M 0 el isostático m áxim o. P ara m om entos negativos se adoptan las leyes M B y M ’B ’ obtenidas m ediante la lín ea de cierre correspondiente a m om entos de em potram iento - 0,3 M 0. L o anterior, para el caso de carga p uniform em ente repartida, corresponde a arm ar p l2 y en vano c o n

en apoyos con 26,7

p l2. 8,9

11.7 EMPOTRAMIENTOS IMPREVISTOS Un punto al que debe prestarse especial atención es al de aparición de em potram ientos im previstos. E n la figura 11-23 se indica un caso frecuente. Un análisis superficial de la situación teórica indicada en la figura 11-23 a) puede conducir a suponer el enlace com o un sim ple apoyo. Sin em bargo, si analizam os la situación después de la deform ación, com o se indica en la figura 11-23 b), es clara la aparición de un m om ento de em potram iento producido p o r el m úrete de azotea sobre la estructura.

Figura 11-20

11.6 BROCHALES En edificios de horm igón es frecuente el caso de vigas que se em brochalan en otras, sin enlazarse por tanto a ningún pilar, tal com o se indica en el ejem plo AB de las figuras 11-21 a) (Planta) y 11-21 b) (A lzado).

p P

É

ü i i p á m

Figura 11-23 Figura 11-21

Figura 11-22

Un cálculo riguroso es teóricam ente posible, pero la incertidum bre de los resultados es m uy grande debido a que com o verem os en el C apítulo 42 la precisión de nuestros conocim ientos sobre las deform aciones por torsión es todavía escasa. P or otro lado, el caso corresponde a lo que se llam a “torsión secundaria” y a que los m om entos flectores negativos en las secciones de em potram iento del brochal en las vigas se estabilizan tan pronto se m icrofisuran éstas por una torsión excesiva, con lo cual se estabilizan tam bién los torsores sobre las vigas aunque aum enten las cargas sobre el brochal. P or todo lo anterior, lo habitual es proceder a un cálculo sim plem ente aproxim ado de los esfuerzos, tal com o se indica en la figura 11-22. C om o ley de m om entos

184

11.8 ENLACE DE LOS PILARES A LA CIMENTACIÓN L a p ráctica usual en el cálculo de entram ados es considerar los pilares em potrados en las zapatas y éstas em potradas en el terreno, tal com o se indica en la Fig. 11-24 a). Sin em bargo, salvo que se trate de suelo rocoso y de pilares con pequeña excentricidad, hay que aceptar que la deform abilidad del terreno provocará un cierto giro de la zapata y que, p o r tanto, la situación quedaría m ejor reflejada suponiendo uniones flexibles de los soportes al terreno, de acuerdo con lo expuesto en el C apítulo 6 (Fig. 11-24 b)). C om o verem os por el análisis que sigue, la situación real del enlace resulta interm edia entre el caso de articulación y el de em potram iento perfecto (Fig. 11-24 c)).

185

www.libreriaingeniero.com donde kg viene expresado en N/mm3

yi “

tg 0 - 0 = A. a)

A.

A.

.v 2

y sustituyendo

A

b)

12 M

0 =

106

[11.40]

K 0ab 3 y por tanto, la constante de m uelle vale según vim os en 6.3

J=

M

K ,a b 2

0

1 2 -1 0 6

[11.41]

Figura 11-24 El cálculo de la situación real requiere el establecim iento de la “constante de m uelle” , J, del enlace zapata-terreno. C on las notaciones de la figura 11-25 y llam ando K0 al m ódulo de balasto correspondiente al suelo considerado y a las dim ensiones a-b de la zapata en planta, se tiene: =í>

Figura 11-26

Figura 11-25 N

_

6M

ab

[11.36]

C onocida la “constante de m uelle” del enlace, es inm ediato generalizar los m étodos de cálculo vistos en los Capítulos anteriores a este nuevo caso. B asta p ara ello (fig. 11-26) considerar el p ilar com o una pieza con unión flexible en su pie, lo que corresponde al caso considerado en el apartado 6.3.1.2. Los valores K y (3 de rigidez y factor de transm isión del extrem o superior del pilar se dedujeron en 6.3.1.2 y vienen dados por las fórm ulas [6.15] y [6.13]:

ab2 K

o 2 =— ■ 103 - — • 106 ab ab2

AEI 1 + 377. L

[11.37]

P

y llam ando e y2 a los asientos en m m de la zapata en los bordes correspondientes y 0 al ángulo de giro de la zapata y, por tanto, del pilar

[11.42]

1 + 477,1

[11.43]

2 + 677,

donde r}¿ vale [11.38]

v, =

El LJ

cr9

3,2=_T Kq 186

[11.39]

12 E l K q L ab 3

106

[11.44]

y sustituyendo en [11.40] y [11.41] se obtiene

187

1+ 4 El

3 6 E I .1 0 6 K 0 Lab3

K = L

1+

48 E I

[11.45]

Sustituyendo en [11.43] y [11.44] y adoptado E c = 20.000 N /m m 2, se obtienen los valores de la rigidez y factor de transm isión. K = 0,897 Kp

, nfi io 6

(3 = 0,329

K 0 La&

donde

es el v a lo r

4 El

del p ilar biem potrado.

[11.46]

P= 2 h— J 2 E I _ _ 106

R epetido el cálculo del entram ado, se obtienen los valores de m om entos indicados en la figura 11-28 b).

J5T0 A título de ejem plo, si consideram os el pórtico sim ple de la figura 11-27 el cálculo com o pórtico biem potrado conduce a un diagram a de m om entos com o el indicado en la figura 11-28.

Com o puede verse, el valor del momento en pie del pilar se ha reducido a 95,0 m kN, es decir al 63% del obtenido en las hipótesis de empotramiento perfecto. Considérese además que esta reducción se ha producido con un suelo que puede calificarse de normal. Lo anterior subraya el hecho de que la situación real de enlace de los soportes al terreno a través de zapatas es interm edia entre articulación y em potram iento. O bsérvese adem ás que en el caso analizado esto perm itiría una im portante reducción de la zapata. E n cam bio el m om ento en vano h a aum entado de 538,1 a 552,5 m kN , es decir un 3% m ientras en los pilares se h a reducido de 303,3 a 282,9 m kN , o sea en un 7%. E n entram ados m últiples la cuestión tiene m enos trascendencia, pues habitualm ente los pilares de las plantas bajas están som etidos a grandes esfuerzos axiles con pequeños m om entos flectores, es decir que están som etidos a esfuerzos axiles de reducida excentricidad y las arm aduras resultantes varían escasam ente al suponer em potram iento o articulación. A ún en ese caso la hipótesis de articulación resulta más razonable.

F ig u r a 1 1 -2 7

Finalmente existen casos en que la aplicación del método expuesto es obligada porque la hipótesis de empotramiento puede conducir a graves errores. Considerando por ejemplo el entramado de la figura 11-29, si el soporte 3 es de m uy pequeña longitud y por lo tanto de m ucha rigidez, la hipótesis de suponerlo em potrado en el terreno conducirá:

b)

F ig u r a 1 1 -2 8

El axil en el pilar es de 306,7 kN , que con un m om ento de 151,6 m kN conduce a una zapata de 2-3-0,60 m con presiones en borde de 0,12 y 0 N /m m 2. Suponiendo un suelo con K30 = 0,07 N /m m 3, a una zapata de 2-3 m le corresponde / 200 + 30 \2 , 1 un m ódulo de balasto K0 = 0,07 --------------- 1 = 0,023 N /m m 3. \ 400 1

Con K 30 representam os el m étodo de balasto determ inado en el ensayo con placa de carga de 30-30 cm. Con K 0 el del cim iento. La fórm ula em pleada para el cálculo de K0 en función de K 30 es la habitual en función del ancho del cim iento.

188

F ig u r a 1 1-29

a) A un m om ento negativo del dintel en el apoyo 3 y a un m om ento en el pilar 3 enorm em ente sobrevalorados. b) A u n a zapata sobredim ensionada. c) A un m om ento de vano en el dintel 2-3 peligrosam ente infravalorado. L a situación anterior es aún m ás errónea si se considera el pórtico som etido a una acción de frenado en el dintel o se analizan los esfuerzos de retracción y tem peratura.

189

www.libreriaingeniero.com E n estos casos, la consideración de uniones flexibles entre soporte y terreno, de acuerdo con lo anteriorm ente expuesto, es el único cam ino para un cálculo de esfuerzos razonable. H oy existen num erosos program as inform áticos, que perm iten realizar el cálculo m atricial con cualquier constante de m uelle J, en cada pieza.

BIBLIOGRAFÍA

(11.1) LONG, J.E.; “Bearings in Structural Engineering”. London. Newnes-Butterworths. 1974.

C A P ÍT U L O 12

(11.2) EHE “Instrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón estructural”. Ministerio de Fomento. Secretaría General Técnica. Servicio de Publicaciones. 1998. (11.3) GONZALEZ ESTEBAN, J.L.; HERRERO BENITEZ, J.E.; LLEYDA DIONIS, J.L.; VILLAMONTE VARELA, L.; “Aparatos de Apoyo de Puentes”. AIPCR. Madrid. 1996. (11.4) “Recomendaciones para el proyecto y puesta en obra de los apoyos elastoméricos para puentes de carretera”. MOPU. Madrid. 1982. (11.5) LEONHARDT, F. y MÓNNIG, E.; “Sonderfalle der Bemessung im Stahlbetonbau”. Springer-Verlag. 1974. (11.6) LEONHARDT, F. y REIMANN, H.; “Betongelenke, Versuchsbericht un Vorschláige zur Bemessung un Konstruktiven Ausbildung”. DAfStb. H 175. Berlín. Emst v. Sohn. 1965. (11.7) GUMBA. “Apoyos elastoméricos”. Mecanogumba. Madrid. 1966. (11.8) GUMBA. “Performance OverView”. Munich. 1995. (11.9) “Apoyos mecánicos TETRON CD”. FREYSSINET INDUSTRIES.

NO CIO NES DE CÁLCULO M ATRICIAL DE ESTRUCTURAS 12.1 IN T R O D U C C IÓ N El cálculo m atricial es conocido desde hace m uchos años. L a razón de que su em pleo práctico no se h ay a producido hasta una época relativam ente reciente se debe al hecho de que, si se procede a una resolución, m anual o con m áquinas convencionales, del cálculo planteado, los m étodos m atriciales no presentan ventajas respecto a lo visto en C apítulos anteriores (incluso son m ás largos a veces), salvo la de que perm iten una notación m uy com pacta de las expresiones m atem áticas del cálculo estructural. Sin em bargo, con la aparición de los ordenadores, la operación de inversión de m atrices se sim plificó de m anera radical y a ello se debe, fundam entalm ente, el increm ento de las aplicaciones del cálculo m atricial. En lo que sigue, se exponen en prim er lugar dos ejem plos elem entales para fam iliarizar al lector con el m étodo. A continuación se plantea el problem a general de cálculo espacial de un entram ado. P ara quienes estén interesados en am pliar estos tem as, en especial con vistas a la program ación de ordenadores, las referencias (12.1), (12.2) y (12.3) proporcionan inform ación y am pliaciones im p o rtan tes1.

12.2 E J E M P L O N° 1. C Á L C U L O M A T R IC IA L D E U N A V IG A C O N T IN U A P ara considerar el problem a con generalidad, supongam os la viga continua de tres vanos indicada en la figura 12-1, con el extrem o izquierdo sim plem ente apoyado y el derecho perfectam ente em potrado. 1

190

E xisten en español varios textos excelentes sobre cálculo m atricial. V éase J.M . SA E Z B E N ITO (12.1), M. V Á Z Q U E Z (12.2) y R . A R G Ü E L L E S (12.3). V éase tam bién M E E K (12.4) y L IV E S L E Y (12.5)

191

^ 17 = ^ 1 + 0 ,7 5 ^ 0B ¿5

>

[1 2 . 8 ]

Z Z ------------------------ Z Z --------------------------- 1

A

c

B

L,

L2

|

D

M lf - M ef 2 + 0,5 k2 0B + K 2 6 c

1---------L3 --------------- j -

Figura 12-1

[12.9]

y en form a m atricial

D e acuerdo con las fórm ulas [4,2] y [4.3] del C apítulo 4, en cada vano se tiene M if'

M e fk

M d = M ed + k ( 0 d + 0 ¿ 6f)

[12.1]

Mf = M ef + k (0,5 0d + 0f)

[12.2]

MV

—

Mf .

k

0,5 k

0,5 k

k

k0

[ 12. 10]

M 3d

V ; [e] = m 2/_ 0C

; k /] = '

[12.3]

+

M ef

0,5 k2

V

k ,/

M2i

'

k J = K ,

0

E m pleando la notación

que pu ede expresarse m atricialm ente

Md

M ef2.

.

0 ,7 5 /ti +

—

^ed,2 k J

'

=

• k ]

=

M e fk

. M ed,3 . donde la m atriz K =

k

[12.4]

0,5 k

para los vectores colum na y llam ando a las m atrices de rigidez

k k2

es la m atriz de rigidez de la viga.

0,5 k-

0 A plicando las ecuaciones [12.1] y [12.2] a los extrem os dorsales de los vanos, con M [d = 0, por ser ese extrem o articulado, y llam ando k ls k 2, k 3 a las rigideces de los tres vanos, se tiene: ^ i d = M edt2 + k2 0B + 0,5 k2 0C

[ 1 2. 11]

k,

0,75 k x

0

0,5 k^

k2

[ 12. 12]

[12.5] la expresión m atricial resulta

M 3i = M íA3 + k3 9c

[12.6]

[ m J = [m J

donde M ed2 y M ed 3 son los m om entos dorsales de em potram iento perfecto, de los vanos de luces L 3 y L 3, y 0B, 0C los giros en los apoyos B y C, respectivam ente.

N

+ [ie-J[e]

[12.13]

= K /] + k/][e]

[12.14]

E xpresando [12.5] y [12.6] en form a m atricial C om o en cada apoyo se h a de cum plir k2

M e i,

0,5 k2

k J +K ] =o

m m

.

_M

ed,3

o

+

O perando análogam ente para los extrem os frontales, teniendo en cuenta que 0D = 0 p o r tratarse de em potram iento perfecto

192

[12.15]

L °c .

1

Se hace uso de la r ig id e z

3 El

p ara pieza articulada.

193

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teniendo en cuenta [12.13] y [12.14] se obtiene: + M 2\ + k

K

n u d o s1. C onocidos sus v alores, las ecuaciones [5.5], [5.6] del C apítulo 5 nos p ro p o rcio n an in m ed iatam en te los m om entos finales de em potram iento.

+ ^ ][® ] = 0

y con la notación k1 + 0 J 5 k ,

M =

0,5 k,

¿ iim n n n n m

0,5^

kj + ^3

^ecL2 + M ef\

K ] = M ed,3 + M ef 2 j -

[M e ] +

[K ][0 ] = 0

[12.16]

L,

4

-

F ig u r a 12-2

D efinim os com o 8 el vector colum na2.

por tanto [ 0] = -

m

" [m J

[12.17]

y sustituyendo [12.13] y [12.14] 8=

k ,l = k J - k J k f k J

[12.18]

M

[12.19]

=k J - k l k f k l

que son la solución del problem a en expresión m atricial. [K] recibe el nom bre de m atriz de rigidez y es siem pre u n a m atriz de banda.

12.3 E J E M P L O N° 2. C Á L C U L O M A T R IC IA L D E U N E N T R A M A D O A IS L A D O C om o am pliación de lo visto en el apartado anterior, considerem os ahora el entram ado de la figura 12-2, que se supone aislado, es decir no conectado a ningún otro p o r forjados o vigas.

[ 12.20 ]

A pliquem os ahora a la estructura, sucesiva y aisladam ente, cada uno de los corrim ientos y giros constituyentes del v ector colum na [8] pero con valor unidad. D esignarem os p o r la reacción p aralela a OX, prod u cid a en el nudo i, por el corrim iento aplicado en el nudo j. Por M¡ ¡, se designa, análogam ente, el m om ento producido en el nudo i, p o r el corrim iento aplicado en el nudo j. X ’¡ y designan, análogam ente, las reacciones y m om entos en i, debidas al giro aplicado en j. En la figura 12-3 se resum en los resultados. Las reacciones y m om entos se obtienen por aplicación directa de las fórm ulas

En lo que sigue llam arem os k v a la rigidez de los dos dinteles, que se suponen iguales, y k p a la de los cuatro pilares que tam bién se suponen iguales entre sí. L a deform ación del entram ado q u ed a defin id a si se conocen los corrim ientos h o rizo n tales 8A, 8C de los dos dinteles y los giros 0A, 0B, 0 C y 0D de los cuatro

194

1

Se desprecia el acortam iento de las piezas debido al efecto de los esfuerzos axiles.

2

Expresam os por 8 indistintam ente un corrim iento o un giro.

195

E xpresando ahora las condiciones de equilibrio del entram ado, se tiene:

( X A ,A

{x

a

,b

+

x

+

+

( x c.A

X B .a )

b ,b

)

+

®b

+

x d ,a ) $a

( X ’ c .B + X ’ d , b ) 0 B

+

+

( X A ,C +

{x

a

(

.c

X B .C )

¿fc +

' b .c )

( X > A .A ' +

X > B ,A )

#4

0c + ( X ’A D +

+

x

x c .c

+

X D ,c ) S c

( X 'c ,c

+

X 'd ,c ) ° c

+

+

(x

’c a

(

X ’ c ,D

^

0D = P 2

x ’ d .a ) 9 a

+

+

+

L^—.zzj

°D = P \

D ,d )

*

+

M J á ^ + M a r (5r + M ’AA 0d + M ’a f) 0 D+ M \ n 0r- + [12.23]

qU + M A D 0D

12

M b ,a ^ a + M B'C 8c + M

ba

n +

M

B ,D

&D =

6a + M qL2

bb

qL\

------------------- +

c ,a

^4

^ c . c

[12'24]

---------------

12

M

0 b + M ’b c 6 c +

2

8c + M ca 0a + M cb 6b + M

c

,c

@c

+ [12.25]

qU

+ M CD 0D

12

M

d

,a

^a

+

X ^ d .c

8 C +

M

D A

+ M ’DD eD = - -L— 12

(« ) (**) (***)

LOS SIGNOS DE X SON POSITIVOS DE ACUERDO CON EL SISTEMA DE EJES DE LA F ig , 1 2 -2 , LOS MOMENTOS PRODUCIDOS EN LOS PILARES DE AMBOS PISOS SON IGUALES EN VALOR ABSOLUTO Y DE SIGNO CONTRARIO, EL VALOR ES DEBIDO A LAS REACCIONES DE LOS PILARES DE AtyBOS PISOS,

F ig u r a 1 2 -3

196

6a

+

M

d b

0 b +

qL\ + -1— + 2

M

L{

d c

6 c +

t 12-24]

L a ecuación [12.21] expresa el equilibrio de fuerzas paralelas a O X en el dintel AB. L a [12.22] en CD. Las [12.23] a [12.26], los equilibrios de m om entos en los nudos A, B, C y D, respectivam ente. Si disponem os los coeficientes de los corrim ientos y giros del sistem a de ecuaciones anterior en form a de m atriz, sustituyendo los valores de X y M por los indicados en el cuadro de la figura 12-3, tenem os: 197

www.libreriaingeniero.com h2

h2

M

h2

-

1,5—

4

-

~ l '5 Í

K

4

+K

1 ,5 —

4

4 0,5 ky

0,5 kp [12.27]

K

l '5 f i A

0,5 z

kv + kp

0

0,5 k,

0

0

0

0,5 ¿p

- ' 4

h

[12.29]

[5] = [K ]'1 [S]

[12.30]

0

= ■

[K] [8] = fS] y despejando

h

K

12 —

h2

K

h

K

- « A

4

h 1,5 —

- A

6 —

0

0,5 k

0,5 kp

que es la m atriz de rigidez del entram ado. E sta m atriz es, naturalm ente, independiente de las cargas aplicadas y válida por tanto para cualquier sistem a de cargas aplicadas. Es naturalm ente sim étrica com o consecuencia del teorem a de reciprocidad de deform aciones de M A X W E LL . D efinim os com o m atriz de carga el vector colum na

O bsérvese que, si bien en el ejem plo 12.2 la m atriz era de 2 x 2 y por lo tanto fácil de invertir por procedim iento m anual, la [12.27] es de 6 x 6 y su resolución m anual es m uy dificultosa. Si se considera la sencillez del entram ado a que corresponde, un solo vano y dos pisos, se com prende que el m étodo de cálculo m atricial no presenta ningún interés para el cálculo m anual. Sin em bargo, la inversión de la m atriz es m uy ráp id a y sim ple con un ordenador y de ahí la potencia e interés del m étodo. C om o puede apreciarse, el m étodo, aparte de su com pacidad de expresión, tiene la ventaja de que la m atriz invertida es función únicam ente de las características geom étricas y m ecánicas de la estructura y no depende de las cargas aplicadas. Si existen varios estados de cargas, basta transform ar el vector colum na [F] en una m atriz con tantas colum nas com o estados de carga, sin que por ello se requiera invertir de nuevo la m atriz de rigidez. E sta ventaja, aunque sólo u tilizab le si se d ispone de un ordenador, es im portante frente a todos los dem ás m étodos vistos anteriorm ente.

12.4 P L A N T E A M IE N T O G E N E R A L D E L C Á L C U L O M A T R IC IA L D E E N T R A M A D O S E SP A C IA L E S E ntendem os por entram ados espaciales aquellos entram ados situados en planos diferentes, con piezas de enlace entre los diferentes entram ados. El caso frecuente es el de entram ados situados en planos paralelos, unidos en algunos o en todos los nudos por vigas de dirección perpendicular a la de los planos de los entram ados.

P2

qU 12

[sh

qL2

[12.28]

qL

12 qL2 12 c iU _

qL

+ p ,l

,

12

C onsiderando [12.20], [12.27] y [12.28], el sistem a [12.21] a [12.26] se puede escribir en form a m atricial

198

F ig u r a 1 2 -4

199

En la figura 12-4 se representan dos nudos de dos entram ados paralelos, 1 y 2, form ados el prim ero por el pilar y el dintel v, y el segundo por el pilar P 2 y el dintel v2. A m bos están unidos por la viga v t, que, com o las v t y v2, puede ser físicam ente una viga o tener adem ás un forjado asociado.

S X ] = EA— L

[12.31]

(esfuerzo axil)

C ualquier corrim iento1 del nudo 1 transm itirá corrim ientos al nudo 2 y, de éste, a las piezas de su entram ado. P lantearem os el caso m ás general, en el que el nudo puede experim entar corrim ientos en tres direcciones y giros respecto a tres ejes. O bsérvese que lo que sigue generaliza lo tratado en el C apítulo 7. En la figura 12-5 se representa el sistema de coordenadas local para la pieza, en el que se supone que los ejes (y) y (z) son los principales para la sección transversal; asimismo están representados los seis corrimientos que puede tener cada uno de los extremos de la barra. Llamarem os y p9 a los vectores de carga que solicitan, respectivamente, a los nudos 1 y 2 de la barra; análogamente, para los vectores corrimiento d 1 y d2 . D e acuerdo con el convenio de signos utilizado en la figura 12-52, será:

í5 -E A — L

Fi =

E lz 12— D

E lz A l-

'

12~ —

U

E l7 -

El

± co.]

+6

L2

+ 6 ------------------------------- [12.32]

U

(cortante horizontal)

EL

EL,

z, = 1 2 -— &, -

El

El

- 6 -Z -ov, - 6 —

[12.33]

(cortante vertical) M x] -

— ^ - c o t2

(m om ento torsor)

Ely EL E l, EJ M yl = - 6 — ^ S .J + 6 — ^ 8 z2 + 4 — covl + 2 — - m v2 f’ LZ, I.

[12.34]

[12.35]

(m om ento flector en el plano del entram ado) E l. M z\ ~ 6 _

_

■

■

■

x2

8xi

^x2

Y,

y

2

8yl

A r

z2 ;

M x,

d,

=

;

^2

CÚy2

® yl m

m

^Z2

u

■ ® zL ll

m

3

]_,

E

[12.36]

Las ecuaciones anteriores [12.31] a [12.36] pueden form ularse de m anera más com pacta en la siguiente forma:

.

Los esfuerzos para el extrem o 1 de la barra se deducen inm ediatam ente de lo expuesto en el C apítulo 2 y de las fórm ulas [5.5] y [5.6] y, para un a pieza recta de sección E l constante, son los siguientes:

1

Se entiende por corrim ientos, en form a generalizada, tanto las traslaciones com o los giros.

2

El planteam iento que sigue considera las flexiones en dos direcciones, la torsión, los cortantes en dos direcciones y el esfuerzo axil de las piezas, así com o los efectos de todos esos esfuerzos.

200

L-,

“ x2

M yl M zl

El + 2 ----- - ú ) :2

A nálogam ente pueden expresarse las ecuaciones para las cargas que solicitan al extrem o 2.

-

M x2

E l. Sy2 + 4

^

(m om ento flector en el plano norm al al del entram ado)

5.2

s„ ;

p2 =

L"

■

X,

z,

■

■

■

E l. Ai _

[P i] = [ k „ ] [d ,] + [k 12] [ d j

[12.37]

donde las m atrices k M y k l2 presentan la forma:

i

G es el m ódulo de elasticidad transversal y J el m om ento polar de inercia de la sección transversal de la pieza.

201

www.libreriaingeniero.com EA

0

0

0

0

EA

0 ■

L 0

0

L EL 12— D

0

0

0

0

0

0

0

0

-

12-

EIZ -6 ' L2

D

0

12— D lCn =

EIZ

0

EL 6—U-

-12

EI V D

VGJ

0

E i V-

—

0

0

[12.38]

GJ L

L 0

0

0

- 63 V-

0

EA

EL 6— 1 U

0

0

0

0 EL

0

0

0

k j2 —

0

0

L EL -1 2 — D

0

0

EIV -1 2 — O

0

0

0

0

GJ

0

-6 — L L2 0

0

EL 6— 1 O

EL -6— V-

EIZ 12-

L3

0

l 12 E -

E l L2

O 0

GJ

[12.39]

0

0

EIv 2— L

0

0

Lr 0

EL

0

L2

0

[12.42]

0

L

L 0

EL

EA

0 “1

L 0

>Ei L

V-

L

0

0

-6 E l V

L 0

[12.41]

0

0

E Iz

EL

2—

0

6— ^ L2 -

EL

EL

0

V-

L

Expresiones análogas pueden obtenerse para las ecuaciones que ligan el vector de cargas p2 del extremo 2 con los movimientos de la barra:

La consideración conjunta de las ecuaciones [12.37] y [12.40] permitiría definir la matriz de rigidez k de la barra, de acuerdo a la expresión siguiente: [p] = M [d]

[12.43]

donde: [p2] = [k21] [d,] + [k22] [d2]

[12.40] Pi

[12.44]

P =

donde las matrices k21 y k22 son las siguientes: 202

P2 203

1— .....

1 I “

1

[12.45]

k j2 [12.46] k22

L a m atriz de rigidez de la estructura de (n) nudos es u n a m atriz cuadrada definida por n x n subm atrices cada una de las cuales representa la sum a de las contribuciones de rigidez que todas las barras concurrentes en un nudo aportan en el m ism o (lo que se corresponde con el planteam iento de la condición de equilibrio en cada uno de los nudos). D e esta form a, una barra cualquiera (i,j) colaborará con su m atriz k ’u en la subm atriz (i,i) y con sus m atrices k ‘12, k ’2] y k ’22 en las subm atrices (i,j), (j,i) y (jj), respectivam ente. L a m atriz obtenida k ’ es un m atriz sim étrica com o corresponde tam bién por la aplicación directa del teorem a de la reciprocidad de M axw ell-B etti. E l planteam iento general conduce, por tanto, a un a expresión d e la form a:

Sin em bargo, la obtención de la m atriz de rigidez com pleta de la b arra no es necesaria pues, com o se verá más adelante, la m atriz de rigidez general de la estructura se form a a partir de las m atrices parciales de las barras. P reviam ente al ensam blaje de la m atriz de rigidez de la estructura, es preciso referir todas las m atrices de barras a un sistem a de referencia global, definido por los ejes ( x \ y ’, z ’). Si se representan por eos a x, eos a y y eos a z los cosenos directores de la directriz de la pieza (i,j) y por eos |3X, eos (3y, eos Pz y eos yx, eos yy, y eos yz los de los otros dos ejes coordenados de la pieza, se tiene la siguiente m atriz T de transform ación:

eos a x

eos p x

eos yx

0

0

0

eos a v

eos py

eos Yy

0

0

0

eos a . 0

eos p. 0

eos y 0

0 eos a x

0 COS p x

0 eos yx

0

0

0

eos ay

eos py

eos y

0

0

0

eos a z

eos p

eos yz

donde p ’ y d ’ son, respectivam ente, los vectores de carga y corrim iento generales y se han constituido en la m anera siguiente: m

[di =

N

d\

P\

d 3 [12.54] ;

[di =

9

[12.55]

[12.47] ) 5 P ’i.

d'„ m m

■

[T] [P]

[12.48]

H asta ahora, la m atriz de rigidez k ’ es singular y, por tanto, carece de inversa, lo que corresponde, físicam ente, con el hecho de que no se han im pedido los m o v im ien to s g en erales d e la estru c tu ra co n sid erad a com o sólido ríg id o . L a introducción de las condiciones de apoyo hace regular la m atriz.

[r]

[12.49]

L a obtención del vector d ’ a partir de [12.53] puede hacerse invirtiendo la m atriz de rigidez k \ con lo que:

=M y

[d]

[tV

[12.50]

L as ecuaciones [12.37] y [12.40] pasan a ser:

204

Pn m d j

P ’l

[pl

M ediante la m atriz de transform ación T, obtenida para cada barra, se pueden calcular las expresiones de todos los vectores y m atrices en las nuevas coordenadas globales: =

m P 1

■

[Pl

[12.53]

k k k ] k]

\p i] = [ k ’n ] [d i] + [ k '!2] [d 2]

[12.51]

[p '2] = [k -2¡] p ’;] + [k ’22] [cr 2]

[12.52]

k k k í 'k ]

[12.56]

aunque suele ser m ás usual resolver el sistem a d e ecuaciones; adem ás, la resolución del sistem a perm ite aprovechar otras especiales características de la m atriz -adem ás de la sim etría- tal com o el hecho de que presenta sus elem entos dispuestos en banda -siem pre que la num eración de nudos se haya hecho adecuadam ente-, lo que reduce considerablem ente las exigencias de m em oria cuando el sistem a se resuelve m ediante ordenador. 205

www.libreriaingeniero.com

U na vez obtenido el vector de corrim ientos d ’ puede desglosarse en sus co m p o n en tes d ’]; d ’2, etc. según [12.55], p ara o b ten er los co rrim ie n to s -en coordenadas globales- en los extrem os de las barras. A plicando sucesivam ente para cada b arra las ecuaciones [12.48] y [12.49] pueden hallarse los esfuerzos p y los co rrim ie n to s d en las co o rd e n ad as locales de la b arra y p ro ce d er a su dim ensionam iento.

El caso analizado corresponde a un estudio del entram ado que, desde el punto de vista teórico es m uy com pleto. Sin em bargo, com o verem os en el C apítulo 14, las incertidum bres en las características m ecánicas, en especial, E, I, G, J, y la interacción de las partes no estructurales del edificio sobre la estructura, hacen que no pueda pretenderse una excesiva precisión en los resultados.

C A P ÍT U L O 13

B IB L IO G R A F ÍA (12.1)

SAEZ BENITO, J.M. "Cálculo matricial de estructuras formadas por piezas prismáticas". Fondo Editorial de Ingeniería Naval. Madrid, 1975.

(12.2)

VÁZQUEZ, M. "Cálculo matricial de estructuras". Colegio de Ingenieros Técnicos de Obras Públicas. Madrid, 1992.

(12.3)

ARGUELLES ALVAREZ, R.; ARGUELLES BUSTILLO, R. estructuras”. Fundación Conde Valle de Salazar. Madrid, 1996.

(12.4)

MEEK, J.L. "Matrix structural analysis". Mc.Graw-Hill. New York, 1971.

(12.5)

LIVESLEY, R.K. "Métodos matriciales para cálculo de estructuras". Versión española de Editorial Blume. Madrid, 1970. (Traducción de J. Martínez Calzón).

"Análisis de

CÁLCULO M EDIANTE O RDENADO R

13.1

IN T R O D U C C IÓ N

E n los capítulos precedentes, y en especial en el 12, hem os visto las ventajas que la utilización del ordenador representa para el cálculo de estructuras en general y en p articular para el caso de las estructuras de horm igón. El cálculo m ediante ordenador, a p artir de las m ism as hipótesis que el cálculo convencional, no supone una m ayor exactitud y sus resultados adolecerán de las m ism as debilidades que se señalaron en el C apítulo 3. Incluso la aparente ventaja que un a m ayor precisión operatoria pudiera suponer, es de im portancia despreciable pues el m ayor núm ero de decim ales exactos que el ordenador puede proporcionar es absolutam ente superfluo en la inm ensa m ayoría de los cálculos estructurales. L a gran ventaja del ordenador reside fundam entalm ente en dos aspectos: - H ace posible el cálculo de estructuras que, bien por el gran núm ero de operaciones que su resolución presenta (entram ados de m uchos pisos, por ejem plo) o p o r lo tedioso de las m ism as (entram ados espaciales, por ejem plo) eran, en la práctica, inabordables m ediante el cálculo manual. - En la m ayoría de los casos reduce a lím ites despreciables el riesgo de errores operatorios. El ordenador no sólo presta im portantes servicios en el cálculo de esfuerzos sino tam bién en el dim ensionam iento de las secciones y las piezas, así com o en el dibujo de los planos. Sin em bargo, debe prestarse atención a que el tam año de ordenador em pleado sea el adecuado para el problem a que se pretende resolver. A veces, el intento de resolver problem as com plejos en pequeños ordenadores conduce al em pleo de program as con sim plificaciones excesivas, que afectan gravem ente a la validez de los resultados.

206

207

13.2 NO R M A LIZA C IÓ N ESPAÑOLA SO BRE EL USO DE ORDENADORES EN EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE HORM IGÓN Las especificaciones españolas están recogidas en la Instrucción EHE, apartado 4.2.3 "Cálculos en Ordenador". Estas especificaciones deben ser tenidas muy en cuenta, no sólo por su interés técnico sino por su clara trascendencia jurídica en el tema de responsabilidad profesional y se reproducen a continuación:

"4.2.3

Cálculos en ordenador

4.2.3.1 Utilización de programas Cuando se efectúen los cálculos con ayuda de ordenadores se recomienda separar en anejos especiales cada una de las etapas del cálculo resuelto con ordenador, debiendo dichos anejos constituir por sí mismos unidades completas y ordenadas. De cada programa utilizado se indicará su identificación, su objeto y su campo de aplicación.

COMENTARIOS Debe tenerse presente que el autor del Proyecto deberá poner especial cuidado en el control del uso de los programas dentro del ámbito de aplicación correspondiente y de la comprobación de los datos introducidos y los resultados obtenidos.

Es conveniente que, para la descripción de datos y resultados, se incluyan dibujos y gráficos que faciliten su comprensión y contraste. Es conveniente que todos los listados de resultados en forma tabular, lleven en su encabezamiento la notación y unidades para cada magnitud considerada, y que el mismo encabezamiento se repita en cada página distinta." Con independencia de lo anterior, la realidad actual es que el proyectista, como usuario de programas, no puede proceder a una revisión integral del mismo y por lo tanto es claro que en caso de un error de proyecto debido a un fallo del programa, debe distinguirse entre dos casos muy diferentes: - Aquel en que el proyectista selecciona erróneamente el programa, entre un conjunto de ellos suficientemente claros en cuanto a su campo de aplicación. - Aquel otro en que el programa seleccionado se emplea dentro de un campo específico de aplicación, definido por el autor del mismo, pero contiene errores bien en la definición de su campo de aplicación, bien en otros puntos, que no son fácilmente detectables por el usuario. El primero de los casos es evidente que supone una clara responsabilidad del proyectista. En el segundo caso, es claro también que la responsabilidad será compartida por el proyectista con el autor del programa, en proporciones que no es fácil definir y deberán ser precisadas en cada caso particular.

En particular se llama la atención sobre el problema que entraña el uso de programas integrados, no suficientemente transparentes, para el proyecto automático de estructuras.

Es interesante comparar los párrafos citados de EHE con los equivalentes que figuraban en las ediciones anteriores de las sucesivas Instrucciones EH y ER Es evidente que se ha abandonado la teoría de que el responsable de los resultados obtenidos mediante la utilización de un programa informático de cálculo estructural es siempre el Autor del Proyecto.

No es aconsejable el uso de programas sin contar con una documentación de los mismos, que defina como mínimo:

Ello es lógico si se tiene en cuenta que para desarrollar un programa informático de este tipo es necesaria la conjunción de un conjunto de conocimientos:

- Título, versión y fecha de la misma. - Nombre y titulación del autor o autores. - Nombre y razón social de la organización distribuidora. - Ejemplos de estructuras resueltas.

-

Informáticos De cálculo estructural de los esfuerzos De dimensionamiento de las secciones De desarrollo de los detalles constructivos

Es importante contar con una asistencia técnica por parte del autor o del distribuidor del programa, que garantice la eliminación de errores o defectos de funcionamiento.

Rara vez tal conjunto de conocimientos se dan en una sola persona y lo más frecuente es que se necesite un equipo de varias personas para desarrollar un programa de este tipo.

4.2.3.2 Presentación de datos y resultados

13.3 ASPECTOS GENERALES DE LOS PROGRAM AS PARA EL CALCULO DE ESTRUCTURAS DE HORM IGÓN

El listado de datos contendrá tanto los datos introducidos por el proyectista como los generados por el programa, de forma que queden definidas todas las características consideradas, debiendo contener indicaciones concretas sobre notación, unidades y criterios de signos de las magnitudes utilizadas. El listado de salida definirá los resultados necesarios para justificar adecuadamente la solución obtenida. 208

COMENTARIOS

La gran demanda de este tipo de programas ha provocado la aparición de una voluminosa oferta, de calidad muy variable según los casos. El tema ha sido analizado en profundidad en el Boletín n° 3 del GRUPO ESPAÑOL DEL HORMIGÓN (GEHO), titulado "Programas de dimensionamiento automático de estructuras de hormigón" (13.1). 209

www.libreriaingeniero.com El documento citado señala los siguientes riesgos potenciales en el propio programa: - "Em pleo de personal insuficientem ente capacitado en la preparación del program a. - F alta de concordancia entre lo que el program a realm ente hace y lo que se dice que hace en su descripción, en el caso de que esta falta de concordancia sea susceptible de producir errores graves de proyecto.

e) La persona que revisa los resultados de un cálculo con ordenador debe ser capaz de estimar los órdenes de magnitud y los signos de los resultados esperables. De ahí el interés de los métodos aproximados y de los métodos de predimensionamiento (Capítulos 15 y 16), no sólo por su valor formativo, sino también como métodos de comprobación. Si la persona no tiene esa capacidad, el ordenador puede ser un instrumento peligroso en sus manos.

- E rrores de p rogram ación que podrían h aberse detectad o som etiendo al program a a un núm ero suficiente de pruebas antes de ponerlo a la venta. - D efectos en el program a o la docum entación del m ism o que perm ite que el usuario lo aplique de form a incorrecta o a estructuras o condiciones de proyecto distintas de las previstas por el autor. - A dopción de criterios de proyecto estructural inadecuados, especialm ente en el caso de que estos criterio s no estén ex p lícitam en te in d icad o s en la docum entación del program a. - E rrores im portantes en el program a que hayan sido detectados después de su venta e incluso corregidos en versiones posteriores, sin haber sido advertido el com prador de esta circunstancia.". A nálogam ente y con igual claridad, señala los riesgos potenciales correspondientes al usuario del program a: "Lo que sucede es que muchas veces el nuevo dueño del ordenador carece de experiencia en el proyecto de estructuras. Antes lo encargaba a una em presa o profesional especializado. Ahora, por el contrario, corre el riesgo de pensar que la com pra de un program a basta para suplir esta inexperiencia y llegar a proyectar sus estructuras. En ciertos casos puede incluso suceder que llegue a pensar que gracias al program a el proyecto estructural es una labor rutinaria que puede confiar a auxiliares. Siendo todavía escaso el control de proyectos, puede suceder que nadie le saque de su error y que las estructuras así proyectadas se construyan y se usen. Y como existe el coeficiente de seguridad, puede suceder que nadie se dé cuenta. A corto o medio plazo, claro.". P arece conveniente que el técnico actual, al considerar las posibilidades de la inform ática, reflexione sobre los cuatro aspectos siguientes:

a) Los resultados salidos del ordenador nunca tendrán más precisión que la que tengan los datos introducidos. La incertidumbre en luces, cargas, inercias, rigideces, relación m om entos-curvatura, etc, que hem os expuesto, en especial en los Capítulos 8, 9, 10 y 11, hace ilusoria la pretensión de una gran exactitud en la mayoría de los casos. b) Obtener una solución con muchos decim ales no quiere decir que se obtenga una solución de gran exactitud. c) El ordenador no ha aumentado la calidad científica del cálculo de estructuras de hormigón, de la misma manera que su participación en el proceso de redacción e impresión de libros no ha mejorado la calidad literaria de las obras producidas. d) El ordenador es una máquina que se fabrica para que las personas que saben calcular lo hagan más deprisa y con menor esfuerzo, no para que las personas que no saben calcular, puedan calcular. 210

13.4 T IP O S D E P R O G R A M A S E sencialm ente los program as que actualm ente existen puede clasificarse en dos grandes grupos. a) P rogram as para el cálculo de entram ados planos. R esuelven el caso de entram ados en el que todas las piezas tienen un plano m edio com ún, en el que están situadas las acciones (Capítulos 4 y 5). F recuentem ente los program as tienen en cuenta la influencia de los acortam ientos axiles de las piezas y pueden considerar apoyos y/o em potram ientos elásticos. (Capítulo 6). b) Program as para el cálculo de entram ados espaciales. C orresponden al cálculo del caso general planteado en el C apítulo 12 y consideran en general las deform aciones de flexión, de torsión y axiles de las piezas. En todos los casos el program a suele requerir del Proyectista solam ente la definición geom étrica de la estructura, las características de los m ateriales y los valores y casos de com binación de acciones a considerar, proporcionando los valores de los esfuerzos en los puntos que se deseen de la luz de las piezas, y eventualm ente los corrim ientos y giros de los nudos. Los program as m ás sofisticados de los actualm ente disponibles perm iten resolver cualquier problem a de cálculo lineal, esto es, m ientras puedan suponerse pequeñas deform aciones y con estricta proporcionalidad entre m om entos y curvaturas. D entro de esta lim itación pueden sim ularse, por ejem plo, vibraciones en cualquier fase y frecuencia, im pactos e incluso acciones que van actuando progresivam ente en el tiem po sobre distintos elem entos de la estructura, com o sucede, p o r ejem plo, con una onda expansiva producida en el interior o en el exterior del edificio, o con la construcción de un puente p o r voladizos sucesivos. A ctualm ente em piezan a generalizarse los program as que perm iten considerar diagram as no lineales de m om entos-curvaturas, perm itien d o diagram as elastoplásticos, birectilíneos o poligonales, si bien su gran com plejidad, con la consiguiente lim itación del tipo de ordenador a que obliga el increm ento del tiem po de cálculo y su elevado coste, restringen su aplicación a problem as muy concretos. c) Program as basados en el M E F (M étodo de Elem entos Finitos). En su base m atem ática el M étodo de Elem entos Finitos es, desde el punto de vista conceptual, muy antiguo, pero de im posible aplicación, debido a la laboriosidad de los cálculos necesarios, hasta la aparición de los ordenadores. D esde el punto de vista práctico su desarrollo com enzó en la década 1950-1960.

E sencialm ente el m étodo parte de plantear los problem as estructurales en corrim ientos, y no en fuerzas com o hacen los m étodos clásicos, hoy todavía en uso la m ayoría de ellos. El m étodo perm ite calcular la m ayor parte de las estructuras, tanto planas com o espaciales. En las dos últim as décadas su desarrollo y su potencia han aum entado considerablem ente en el cam po del horm igón estructural, debido a la posibilidad de m odelizar el com portam iento no lineal del m aterial, la fisuración, el anclaje de las arm aduras a partir de los labios de las fisuras, etc. N o sólo es una alternativa interesante a los program as expuestos en a) y b), sino que perm ite estudios m ucho más com plejos. D e hecho el em pleo de m odelos reducidos, habituales en problem as especiales, se circunscribe hoy a un nivel m uy reducido, dadas las posibilidades del M .E.F. U na exposición del tem a puede verse en (13.3) y (13.4).

C A P ÍT U L O 14 13.5 P R O B L E M A S ORDENADOR

D E R IV A D O S

DEL

USO

ERRÓNEO

DEL

L a ignorancia de lo anteriorm ente expuesto, en especial de los puntos a) a e) citados en el apartado 13.3, va conduciendo a la generación de un conjunto creciente de casos de P atología específica del O rdenador. V éase J. CA LA V ER A (13.2).

EXA M EN CRÍTICO DE LOS M ÉTODOS DE CÁLCULO LINEAL

14.1 G E N E R A L ID A D E S BIBLIOGRAFÍA

(13.1)

"Programas de dimensionamiento automático de estructuras de hormigón". GEHO. Boletín n° 3. Diciembre 1989.

(13.2)

CALAVERA, J.: "Patología de estructuras de hormigón armado y pretensado". INTEMAC. Madrid. 1996.

(13.3)

"Finite element handbook". McGraw-Hill Book Company. 1987.

(13.4)

OÑATE, E.: "Cálculo de estructuras por el método de elementos finitos". Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería. Barcelona. 1992.

L os m étodos expuestos h asta aquí adolecen de defectos im portantes que analizarem os a continuación. Su análisis ju stifica el porqué los m étodos sim plificados y gran parte de los aproxim ados han conducido, durante m uchos años, a estructuras que, siendo teóricam ente incorrectas, han presentado un com portam iento satisfactorio. Puede adelantarse y a que los m étodos lineales siguen representando, por el m om ento, la herram ienta más eficaz y de em pleo más general de que disponem os. Los m étodos de cálculo no lineal, aunque interesantes y prom etedores, no presentan todavía, a nivel práctico, procedim ientos que puedan considerarse suficientem ente sencillos y de aplicación general. E n el C apítulo 17 verem os algunos m étodos aplicables a ciertos tipos estructurales. A continuación analizam os las principales fuentes de error de los m étodos de cálculo lineal. B asándose el desarrollo del m étodo de cálculo en que la relación m om entos-curvaturas viene dada p o r la ecuación [3.2]

la influencia de E e I es naturalm ente destacada en cuanto a la validez de los resultados. En la figura 14-1 se representa esquem áticam ente la relación m om entoscurvatura para u n a sección de horm igón arm ado som etida a flexión pura. El com portam iento dista m ucho de ser lineal, e incluso en los dos tram os OA y AB que pueden aceptarse com o aproxim adam ente lineales, los ángulos a y (3 no sólo dependen

212

213

www.libreriaingeniero.com de la resistencia del hormigón sino de otras muchas de sus cualidades y las de sus componentes. Influencia esencial en el diagrama tiene el carácter breve o duradero del proceso de carga y, finalmente, el máximo valor de 0 viene fuertemente influido por la armadura transversal, a través del confinamiento que ésta ejerce en la cabeza comprimida.

hormigón, conduce también a que en ciertas zonas las tensiones del hormigón en ■■ f servicio sean muy altas y desde luego muy superiores al valor——que suele aceptarse como límite para la hipótesis de proporcionalidad entre o c y e Esto hace en definitiva que el valor de E c a considerar en la fórmula [14.1] no sea constante en todos los puntos de la estructura, como simplificadamente supone el método lineal.

14.2 M Ó DULO DE D EFO RM ACIÓ N E c La fórmula de uso habitual para la determinación del valor de Ec expresa el módulo como función lineal de la raíz cúbica de la resistencia. Las variaciones de resistencia del hormigón, de unas zonas a otras de la estructura, afectarán por tanto a Ec. Sin embargo esto no es lo más importante, sino el hecho de que en la fórmula citada se ignoran otras influencias más acentuadas, tales como la relación A/C, el tipo de cemento y la clase de árido. Solamente el paso del empleo de árido rodado a árido de machaqueo, a igualdad de dosificación y resistencia, supone cerca de un 20% de incremento en el valor de Ec, a favor del árido de machaqueo, que aunque de menor resistencia y módulo de deformación intrínsecos que el rodado, presenta una mayor adherencia a la matriz del mortero.

Lo anterior, en especial en el caso de entramados cuyos dinteles llevan forjados asociados, se agrava por el hecho que esquemáticamente se indica en la figura 14-3 que representa un vano de un dintel de edificio. De acuerdo con el cálculo lineal, los momentos vienen representados por el diagrama de trazo continuo y el de apoyo resulta en general del orden de vez y media el de vano. Esto quiere decir que en la sección de apoyo el hormigón presentará, en condiciones de servicio, una tensión de compresión en la zona comprimida (en este caso la inferior), representada en el diagrama tensión deformación de la figura 14-2 por un punto como por ejemplo el B. Al ser la pieza de sección constante, la cuantía necesaria y la tensión del hormigón en servicio en el centro del vano serán considerablem ente menores. El punto correspondiente en el diagrama de la figura 14-2 será uno tal como el A. Esto conduce ya a que las curvaturas en ambas secciones no estén en la relación de los momentos, sino en otra mayor dada la diferencia de los módulos Ec en A y B. El efecto de esto es "descolgar" el diagrama a una posición como la de trazos de la figura 14-3.

Por otra parte, sea cualquiera el valor de Ec, su constancia, es decir, la aceptación de una relación lineal entre tensiones y deformaciones, no puede ser mantenida (fig. 14-2). El problema se ha agravado con la aplicación del método de cálculo de los estados límites, pues este método, al conducir a un aprovechamiento más intenso de la capacidad resistente del F ig u ra 14-3

F igura J4-2

214

La situación es realmente más grave que la indicada, ya que si, como es habitual y vimos en el Capítulo 10, para el cálculo de los esfuerzos se ha considerado como sección del dintel sólo la de la viga y se ha despreciado la colaboración del forjado, ello no impedirá que en el funcionamiento real de la estructura el forjado colabore de forma importante, reduciendo considerablemente la tensión en servicio, <j a , del hormigón en la zona central del vano, de forma que su punto representativo en el diagrama de la figura 14-2 ya no será el A, sino otro A’ correspondiente a una tensión notablemente inferior. Esto acentúa aún más la diferencia de valores de Ec. Si además se considera que las deformaciones diferidas del hormigón serán de una o dos veces 215

las elásticas instantáneas, aún se agrava más el problem a y, especialm ente en los casos de estructuras cuya carga perm anente es im portante frente a la sobrecarga (lo cual es frecuente en m uchos edificios), conducirá en definitiva a que con el tiem po se vayan reduciendo los m om entos de apoyo y aum entando los de vano, apartándose la distribución notablem ente de lo que indica el cálculo lineal. E sta situación, que analizarem os con m ayor rigor m ás adelante, está en p arte paliada p o r el hecho, corrector en cierta m edida del fenóm eno indicado de que si el cálculo lineal se da por correcto, la estructura se arm ará con arreglo a él. E n conjunto, las investigaciones realizadas han conducido a que, en condiciones de servicio, las estructuras reales se com porten con una razonable concordancia con las previsiones del cálculo lineal. En cam bio, en fases de pre-rotura y rotura, las diferencias son im portantísim as.

14.3 M O M E N T O D E IN E R C IA I Ya en el C apítulo 10 señalam os la incertidum bre del valor a tom ar, incertidum bre especialm ente grande si las vigas llevan forjados asociados. Existe, adem ás otra fuente de incertidum bre im portante, suponiendo establecida con claridad la sección a tom ar en el cálculo. Su origen reside en el hecho de que en las zonas de m áxim os m om entos de am bos signos en las piezas, el horm igón estará fisurado. E sto es habitualm ente m ás acusado en las vigas que en los pilares y es un hecho m ás intensam ente producido tam bién con los nuevos m étodos de cálculo de secciones, tales com o el hoy habitual de los estados lím ites y con el em pleo de las arm aduras de alto lím ite elástico.

la rodea. E n las fisuras, el esfuerzo de la tracción necesario para equilibrar el m om ento, evidentem ente h a de ser proporcionado íntegram ente por la arm adura y las tensiones c s, en ella son m áxim as. Al alejarse la arm ad u ra de un a fisura, se realiza paulatinam ente su anclaje en el horm igón, tanto m ás deprisa cuanto m ás fino sea el diám etro y m ás eficiente el corrugado de las barras y, com o consecuencia de ello, la arm adura reduce sus tensiones y transfiere parte del esfuerzo de tracción al horm igón. El proceso se invierte al acercarse la arm adura a la fisura siguiente. C orrelativam ente a lo anterior, las tensiones de tracción, c cp en el horm igón, son naturalm ente nulas en las fisuras y aum entan gradualm ente entre dos fisuras consecutivas. C onsecuencia de todo ello es que el valor de I varía a lo largo de la luz, con m ínim os en los planos de las fisuras. E stos valores m ínim os son considerablem ente inferiores a los de la sección sin fisurar. E ntre dos fisuras consecutivas el horm igón presenta un fenóm eno de "rigidización" de la pieza y todo ello hace que la evaluación del valor de I sea m uy incierta, afectando naturalm ente a la validez de los cálculos. U n segundo aspecto que introduce error en los resultados del cálculo lineal es el de la m odificación que en los valores de I a lo largo de la luz introduce la existencia de pilares. En la figura 14-5 se representa una zona de un entram ado. Si se considera la viga A A de luz L entre ejes de apoyos, entre B y B ’ su canto es hr y su m om ento de inercia puede ser calculado, con las incertidum bres introducidas por las consideraciones expuestas anteriorm ente. P ero al llegar a las zonas AB y B ’A \ su sección no es de canto ht, sino de la altura de piso h. E sto supone un efecto de acartelam iento enorm em ente im portante. Su trascendencia h a sido evaluada aproxim adam ente por W IN TER, U R Q U H A R T, O ’R O U R Q U E y N IL S O N (14.1) a p artir de estu d io s de G E R M U N D SSO N (14.2) en órdenes de un aum ento de los m om entos de apoyo y una reducción de los de vano del 4% del m om ento isostático del tramo.

E n la figura 14-4 se representa u n a p arte de v ig a correspondiente a la zona de m om entos m áxim os (positivos o negativos). En condiciones de servicio, en especial cuando la sobrecarga nom inal se produce realm ente o cuando su valor es poco im portante en relación a las cargas perm anentes, la fisuración será apreciable. En la figura se han representado, en correspondencia con la posición de las fisuras, las leyes generales de distribución de tensiones de tracción en la arm adura y en el horm igón que

-E 4>

Figura 14-4 216

Figura 14-5 217

14.4

LUCES DE CÁLCULO

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Ya en el apartado 1 del C apítulo 10 analizam os el problem a del redondeo de los m om entos negativos debido a la distribución de la reacción de apoyo en el ancho del pilar. A unque la cuestión es insuficientem ente conocida, la luz efectiv a está com prendida entre la libre y la luz entre ejes, pero no es posible fijar con exactitud su valor. E n ciertos tipos de estructura, especialm ente en edificios industriales som etidos a grandes cargas, el ancho del pilar es im portante frente a la luz y lo anterior tiene una im portancia no desdeñable.

14.5 A L G U N A S H IP Ó T E S IS B Á S IC A S Todo lo expuesto en los Capítulos anteriores presupone una estructura exenta, es decir no coaccionada por partes no estructurales del edificio. E n bastantes edificios industriales y deportivos esto es sustancialm ente cierto. Sin em bargo, en m uchos otros edificios, sobre todo en edificios de viviendas, oficinas, etc., la situación es bastante diferente y pueden destacarse tres tipos de coacciones muy frecuentes: a) L as tabiquerías y fachadas, en especial las de ladrillo, coaccionan de form a im portante la deform abilidad vertical de forjados y vigas.

C A P ÍT U L O 15

M ÉTODOS APRO XIM ADOS

b) Las fachadas no flotantes, es decir las unidas de form a rígida a la estructura y las tabiquerías reducen los corrim ientos horizontales de la estructura. c) Los cerram ientos de cajas de escalera y de ascensores producen en ocasiones los efectos a) y b), en especial este últim o. Estas coacciones hacen que las situaciones reales de m uchas estructuras sean b astante diferentes de las anunciadas por el cálculo. U na aproxim ación al tem a del cálculo de estas coacciones ha sido realizada por S M IT H (14.3). Sin em bargo, en n u estra opinión, estas colaboraciones deben se r consideradas con cautela, pues si bien son razonablem ente eficaces para estados de servicio, es m uy dudoso que persistan h asta la rotura, p o r lo cual, la situación de la estructura en su estado lím ite últim o sería la de la estructura independiente de esas coacciones.

BIBLIOGRAFÍA

(14.1) (14.2) (14.3)

WINTER, G.; URQUHART, L.C.; O’ROURQUE C.E.; NILSON, A.H. "Design of concrete structures". McGraw-Hill. New York. 1964.

15.1 IN T E R É S A C T U A L D E L O S M É T O D O S A P R O X IM A D O S D u ran te m uchos años los m éto d o s ap ro x im ad o s c o n stitu y e ro n la ú n ica posibilidad práctica de abordar el cálculo de estructuras com plejas o, sim plem ente, de gran núm ero de piezas. A unque m uchos de ellos conducen a resultados que se apartan claram ente de los obtenidos m ediante un análisis riguroso de acuerdo con las hipótesis del cálculo lineal, la experiencia de su uso fue en general satisfactoria. Sin em b arg o , lo an terio r d eb e in te rp re tarse con cuidado, pues el buen funcionam iento (o m ejor dicho el funcionam iento no m alo) que estos m étodos “heterodoxos” han presentado, en general, no sólo debe atribuirse a las causas analizadas en el C apítulo 14, sino, en ocasiones, tam bién a un a sim ple reducción de los coeficientes de seguridad de la estructura. A ctualm ente, con la facilidad de uso de los ordenadores, creem os que el interés de los m étodos aproxim ados se ha reducido pero no ha desaparecido. El análisis riguroso, bien de la estructura com pleta, bien de partes reducidas de la m ism a de acuerdo con lo que expusim os en el C apitulo 8, es m uy sencillo. Sin em bargo, creem os que los M étodos aproxim ados siguen presentando tres cam pos de utilización interesantes:

GERDMUSSON, T.: "Effect of column width on continuous beam moment".Journal ACI. Junio 1958.

a) P ara el análisis prelim inar de las soluciones de anteproyecto.

SMITH, B.S. "Behaviour of square infilled frames". Proceedings, ASCE. Febrero 1966.

b) P ara el predim ensionam iento de la estructura con vistas al cálculo definitivo con m étodos más rigurosos, tem a que abordarem os en el C apítulo 16. c) P ara la com probación local de puntos de la estructura, caso en que no tiene interés alguno repetir el cálculo com pleto de la m ism a.

218

219

E n este sentido, toda persona que calcula estructuras, aunque analice com o es lógico sus cálculos con ordenador, debería conocer estos m étodos aproxim ados, que son los que le perm itirán realizar estim aciones rápidas de los resultados esperables y p o r tanto verificar los datos de salida de los program as inform áticos. E n este sentido exponem os a continuación los m étodos m ás frecuentes.

15.2

c) D entro de cada vano, las piezas son de sección constante, es decir, no existen cartelas. d) Las luces de dos vanos adyacentes cualesquiera no difieren entre sí en m ás del 20% de la mayor. A)

M O M E N T O S F L E C T O R E S 1. L os valores se indican en la figura 15-1.

M É T O D O S S IM P L IF IC A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S D E B ID O S A A C C IO N E S V E R T IC A L E S

TABLA 15.1 2

1 MOMENTOS POSITIVOS 1.1 Vanos extrem os.

15.2.1 M É T O D O D E L A N O R M A A CI 318-95

a) E xtrem o exterior no coaccionado.

L a norm a citada (15.1) establece los dos m étodos siguientes:

P^2 11

b) E xtrem o exterior construido m onolíticam ente con su apoyo.

15.2.1.1 Vigas continuas E l m étodo se aplica a aquellos casos que cum plen las cuatro condiciones siguientes: a) H ay com o m ínim o dos vanos. b) L a m ayor de cada dos luces contiguas no excede en m ás del 20% a la menor (33% ).

P^2 14

1.2 Vanos interiores. 2

P^2 16

M O M E N T O S N EGA TIVO S 2.1 E n la cara exterior del prim er apoyo interior. a) D os vanos.

P^ 9

b) M ás de dos vanos.

_P^ 10

c) Las cargas pueden considerarse uniform em ente distribuidas. d) Las sobrecargas no exceden el triple del valor de las cargas perm anentes. C um plidas las condiciones anteriores, los valores de los esfuerzos se obtienen directam ente de la Tabla 15.1. E l valor que en b) se indica entre paréntesis corresponde a la opinión del autor y am plía considerablem ente el alcance del m étodo.

2.2

15.2.1.2 Entramados

2.3 En la cara exterior de todos los apoyos interiores para forjados cuya luz m áxim a no excede los 3 m y vigas en las que la relación de la sum a de rigideces de los pilares superior e inferior de cada extrem o de la viga no es inferior a ocho veces la rigidez de la viga.

Se acepta con carácter absolutam ente general que el cálculo de cualquier dintel y de los pilares superiores e inferiores puede realizarse suponiendo los extremos opuestos de estos pilares perfectam ente em potrados. E ste m étodo coincide con lo expuesto en 8.3.

15.2.2 M É T O D O D E L A IN S T R U C C IÓ N EH E P resenta com o ventaja im portante respecto al m étodo visto en 15.2.1.2 el que p roporciona no sólo los esfuerzos en los dinteles sino tam bién en los pilares. E l m étodo es sólo aplicable a entram ados que cum plen sim ultáneam ente las cuatro condiciones siguientes: a) L a estructura está som etida exclusivam ente a la acción de cargas verticales, uniform em ente repartidas de igual valor por unidad de longitud. b) L a carga variable no es superior a la m itad de la carga perm anente.

220

En la cara exterior de otros apoyos interiores.

_ _Pf 11

pf \2

2.4 E n la cara exterior del apoyo extrem o de vigas o losas construidas m onolíticam ente con sus apoyos. a) C uando el apoyo es u n a viga en la que la considerada se em potra produciendo torsiones.

_

b) C uando el apoyo es un p ilar extrem o.

_ _P? 16

24

Los coeficientes m ultiplican a q f , donde q es la carga por unidad de longitud y í es la luz del vano, para los m om entos positivos, y la sem isum a de las luces de los vanos contiguos para los m om entos negativos. Se tom an com o luces las distancias entre ejes de pilares del piso inferior. p es la carga po r unidad de longitud, í es la luz libre entre caras de apoyo para m om entos positivos y la sem isum a de las luces libres de los vanos contiguos para m om entos negativos.

221

www.libreriaingeniero.com 3

E l m étodo es b astan te más conservador que el del A CI indicado en 15.2.1.1, ya que si bien los coeficientes indicados en la Tabla 15-1 son prácticam ente iguales a los que se adoptan para m om entos flectores de vigas en la figura 15-1, debe tenerse en cuenta el distinto valor adoptado para las luces, que es el de la luz libre en el m étodo del A CI y el de la luz entre ejes de apoyos en el m étodo de EH E. Con un valor de ancho

CORTANTES 3.1 C ortante en la cara exterior del apoyo interior en vano extrem o.

pd 1,15 — 2

EL 3.2 C ortante en la cara exterior de todos los dem ás apoyos.

de soporte a luz entre ejes de soportes del vano de — , la diferencia en los valores de

2

los m om entos es del 10%. E n zonas bajas de edificios de altura m edia y en zonas m edias DO S

-isf— t —

TRAM OS

M ÁS

- 18- f 1

O)

, (1)

h

,

H S1B -

3+

-

^2>

9 Í9

I

I

l2 )

|

l"3 --1 d5 + ( 1)

(1)

,U)

m,

1,1 T ~ T

- f if (1)

*

, ,

Í

2 ü | - l S - I3S1. L2 '0

110

1

1'

(2 )

10 lió

(2);

,1S jJJZ)

1

J>

(3 ),

(1 ) J_

(2 ) ,

;

ÍZ

( 2 ), - I S I 'S

,

,,,

,0 )

f

" (3 )

O)

i

es frecuentem ente superado y las

(3),

diferencias son, por tanto, aún más im portantes. U n inconveniente im portante del m étodo de E H E es la condición b), de que la carga variable no supere la m itad de la carga perm anente. A nuestro juicio, se trata de un a lim itación excesivam ente prudente y restringe el em pleo del m étodo prácticam ente a sólo los edificios de viviendas y las cubiertas. Creemos que dicho límite puede

'I

1

1

elevarse hasta cargas variables iguales a la permanente, lo cual extiende la aplicabilidad del m étodo a la mayoría de los casos prácticos de edificios de oficinas, hospitales, hoteles, etc. y a un gran número de edificios industriales.

i?

1 1 10 110

i

X IB

il 1

1 1 10110

1

(2 )

-IS + U

i

l ÍZ

(1)

íT

1 i nm

0)

(11,

- sif

(3 )

T

u

CDt

Hsl

4 '

-

( 1 ),

01, ( 1)

TRAM OS

------ 1-------h

-131 J íú -3J.2Q

DOS

y bajas de edificios de gran altura, el valor

35 T

o,

DE

10 X

15.3

’l1

M É T O D O S S IM P L IF IC A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E S O L IC IT A C IO N E S D E B ID A S A A C C IO N E S H O R IZ O N T A L E S 1

i (n X u

TT

X

16

ll

15.3.1 M E T O D O D E L PO R TIC O 2

1

O)

El m étodo presupone que los puntos de m om ento nulo, bajo las acciones horizontales, se hallan en el punto m edio de la luz tanto en vigas com o en pilares (figura 15-2).

( * ) LOS N ÚM ERO S ENTRE PAREN TESIS INDICAN R IGICECES RELATIVAS

F ig u r a 15-1

O bsérvese que el m étodo desprecia los m om entos flectores en los pilares interiores. D e acuerdo con lo visto en el C apítulo 14 y con las lim itaciones b) y d) expuestas, esto es fácilm ente aceptable. L a costum bre en cam bio de despreciar los m om entos en los pilares interiores con diferencias de luces o desequilibrios de cargas im portantes, no es realm ente justificable.

yt

Ni

M A

Fk.,=¡>

B) E SFU E R Z O S CO RTA N TES

s

pd

- En sección de apoyo de vano extrem o en pilar interior - f,H>

1,15T

*77. --- 77■77----- 77 „

- E n todas las dem ás secciones de apoyo

2

C) E SFU E R Z O S A X ILES

222

T , — -77

F ig u r a 15-2 1

D e todos los sistem as que exponem os, en nuestra opinión el más adecuado es el pórtico, expuesto en 15.3.1 con la corrección de SV ED y B U L L que se detalla en 15.3.3. D e todas form as todos estos m étodos son eficaces para determ inar los esfuerzos axiales en los pilares extrem os de los pórticos, pero su uso requiere un cierto entrenam iento para aplicarlo a los pilares restantes.

2

E ste m étodo fue publicado por A .SM IT H en 1915 (15.2).

Se calculan de acuerdo con los valores establecidos para los cortantes.

1

_______ .

1

EHE no indica el valor de e a tom ar para el cálculo de los esfuerzos cortantes. Es lógico tomar el libre.

223

Supongamos aislado el dintel A B , por ejemplo, con las mitades de los pilares superiores e inferiores (figura 15-3).

[=»

D e acuerdo con lo anterior, respeto al sistema de ejes indicado en la figura 15-2, el momento flector en arranque del pilar superior del nudo A vale:

=í>

■=D>

f=fr

r=fr

Esta distribución supone que aproxim adam ente los pilares de fachada tienen rigidez m itad de los interiores y que éstos son todos de igual rigidez.

B

A

4=

Q/2

q

4=


q

<1=

MP1Jfc = ~

Q/2

'

P 2

-

h

1

[15.3]

2

F ig u ra 15-3

Sea

Z u F; * +i ■

la suma de acciones horizontales desde cubierta hasta el piso

inm ediato superior al considerado y considerado1. k

Fj

la suma desde cubierta hasta el piso

El valor Z a F¡ se repartirá entre toda la serie de articulaciones de pilares MN. k+i

J

F En lo que sigue, se supone que dicha distribución se realiza según los valores— y p de la figura 15-3 2 , siendo:

Oh A ÍV i = -

k +1

m - 1 [15.lj

donde m - 1 es el número de vanos del dintel. (Acciones de la estructura superior sobre los tramos de semiluz de los pilares superiores interiores).

F- se reparte entre todas las articulaciones de la serie

[1 5 .5 ]

El cálculo de los esfuerzos axiles es inmediato a partir de los esfuerzos cortantes en cada vano.

S T de la figura 15-2, según los v a lo re s-^ - y Q de la figura 15-3, siendo:

Mfd - Mff = V f =— --- í d f L

[15.6]

y teniendo en cuenta que M^d viene dada por [15.5] y M ^es igual y de signo contrario, se obtiene para todos los vanos

n f

m - 1

, [15.2]

1

Tanto en este método como en el siguiente, deducim os las fórm ulas generales. Para el trabajo práctico, es m ejor calcular directam ente los valores num éricos correctos.

2

Se supone por lo tanto que todos los pilares interiores absorben el mismo cortante y que ios de fachada absorben la mitad. Esta hipótesis se basa por tanto en aceptar que los pilares de fachada tienen rigidez mitad de la de los interiores. Existen variantes del m étodo.Una muy conocida es suponer que los cortantes se reparten entre los pilares en proporción a las luces tributarias de cortante isostático correspondientes a cada pilar, Esto tiene el inconveniente de que los esfuerzos axiles resultan nulos en todos los pilares interiores.

224

[15-4]

Para los nudos interiores, los momentos de em potramiento en pilares son dobles de los proporcionados por las fórm ulas [15.3] y [15.4] y para las restantes extremidades de vigas, al estar el punto de momento nulo en el centro de la luz, el valor [15.5] se propaga a lo largo del dintel siendo el mismo para todos los em potramientos de vigas hasta la fachada opuesta.

-V

Q

2 2

2

Para el extremo dorsal de la viga del prim er vano, el momento de empotramiento ha de equilibrar el nudo, luego -Mv¡k + M p}¡í} ) ya que en los extremos dorsales los momentos flectores son de igual valor pero de signo contrario a los de empotramiento. El mom ento flector vale por tanto

k

I

"

M\,k = ~ ( p - Q) P= -

A nálogam ente el valor

Para el pilar inferior del m ismo nudo: (Q es positiva hacia la derecha. El valor del momento corresponde al mom ento flector, no al de empotramiento).

.y

= y' S

[15.7] 2L

bastando para cada pilar en cada planta sumar los cortantes correspondientes a ese pilar desde esa planta hasta más alta para obtener el esfuerzo axil. Se suponen todos los pisos de la misma altura. El cálculo es también muy simple aunque las alturas sean diferentes. Las fuerzas P y Q son acciones del resto de la estructura sobre la estructura parcial indicada en la figura 15-3. Los sentidos de avance se consideran coincidentes con las direcciones positivas de los ejes. Recuérdese que P y Q se consideran positivas en el sentido positivo del eje OX.

225

www.libreriaingeniero.com Obsérvese que para luces iguales, las reacciones de las dos vigas sobre cualquier nudo interior son iguales en valor y de signo contrario, lo que supone que el método del pórtico conduce, en ese caso, a que los esfuerzos axiles debidos a las cargas horizontales son nulos en todos los pilares interiores, lo que puede conducir a errores im portantes en el caso de edificios esbeltos.

articulaciones M, N situadas en la m itad de la altura de los pilares será igual a su momento respecto a G será ^ i= n

15.3.2

y k

i~ n

M = - Y , p i + H p ^ r y k) ¿ i=k i=k

M ÉTODO D EL VO LA D IZO 1

[15.9]

E l método se basa en las hipótesis siguientes: a) Los puntos de m om ento nulo se hallan en el punto medio de la luz, tanto en vigas com o en pilares. b) L a distribución de tensiones en los distintos pilares del entramado es proporcional a sus distancias al baricentro de las áreas de sus secciones. (Figura 15-4).

donde h es la altura del piso considerado. Llam ando G¡, a 2 , ... crm las tensiones en los pilares 1, 2 ,... m, y x ¡, xg2, ... x gm las distancias de sus ejes al baricentro, se ha de cum plir M = o> S¡ xg! + o 2 S2 xg2 + .. . + am Sm xgm [15.10]

y por la linealidad de deformaciones aceptada

G

yn

i° i

A 1

Yk

Oi

C72

*gl

*g2

[15.11] * gm

y eliminando O], o 2 ... 0 m_i de [15.11] y sustituyendo en [15.10] se obtiene:

[15.12]

*g

x] Figura 15-4 D e acuerdo con b), en un pilar j la tensión Gj (figura 15-4) es proporcional a la distancia X . del baricentro G al eje de ese pilar. (De ello viene el nombre del método, por sem ejanza con los resultados de considerar A B como la sección de un voladizo de luz la altura del entramado y sometido a las cargas horizontales). L a determ inación del punto G, si llamamos 5- al área de la sección recta del pilar j y Xj a su distancia al eje del pilar 1, se obtiene directam ente tomando momentos estáticos de las áreas S¡ . x 2 S2 + *3 S 3 + ... + x mA

+ x m Sr

S] + s 2 + . . . + Sm

[15.8]

D e [15.12] se obtienen los valores de a en cada pilar, que m ultiplicados por las áreas respectivas nos proporcionan los valores N¡, N 2, ..., Wmde los esfuerzos axiles. Esta operación se repite para cada planta. Considerando el nudo //, correspondiente al soporte i, de la figura 15-5, se obtienen las fórmulas para los esfuerzos en cualquier vano, de acuerdo con lo que sigue.

i

| N 3.k+1

Este método fue publicado por A.W ILSON en 1908 (15.3)

|ÍN 4 .k+ 1

°2.k^

° i,k ©

4,k

a la resultante de todas las cargas horizontales desde la planta

k considerada hasta cubierta, la resultante de las acciones horizontales en la fila de

226

¡.

p

°l.k ^ ©

1

r.

!f|^ i,k+1

Nn.k+1 Xl-k+1<¡sá ? X2-k+1'O^ J< X3-k+1^ ó X ¿ * Jk + l<1=Y X L .k + 1 ^ X n > 1 ^ < 1 = '
n Si llam am os

r.;-------- r . ~ ~ r

fllN 2 ,k + 1

©

X 1.k

5 ?

X 2,k

^ k (D

5 ^

X 3,k

^

o: :H>W X ¿.k

^ ^ k ® k ©

^

X L,k

r © L-k ©

^

X n,k

AV ®

Figura 15-5 227

E l equilibrio del sólido 0¡_lik; 0 ”iM¡; 0¡k; 0jk; 0 ’ik perm ite establecer ~Y¡-\,k

+

N itk + Yjk - N ik+1

=

L as fórm ulas [15.13] a [15.19] son válidas para cualquier vano, incluidos los del dintel superior y los vanos extrem os de cualquier dintel, sin más que hacer nulos en ellas los térm inos correspondientes.

0

de donde [15.13] T om ando m om entos respecto al nudo H

H-i

yi. u f

h

+ Yí k j . + X IM i- =

^ Yi,k + V] Yi-i,k +

v

A; I,

+ Xu -

—

------------

C onocidos los valores TVde los esfuerzos axiles, el cálculo m ediante las fórm ulas [15.13] a [15.19] debe com enzarse p o r un nudo extrem o d el dintel m ás alto y continuarse con el resto del dintel y los pilares en que se apoya. A continuación, se ca lc u la el d in tel in ferio r, co m en zan d o ta m b ié n p o r un n udo ex trem o y así sucesivam ente.

15.3.3 C O R R E C C IÓ N D E B U L L Y SV ED A LOS M ÉTO D O S D E L PÓ R TIC O Y D E L V O LA D IZO

0

x hk+l h

h [15.14] y los esfuerzos resultan por tanto Viga de luz C, M om ento flector: [15.15]

E sfuerzo cortante:

Tanto el m étodo del pórtico com o el m étodo del voladizo satisfacen a las ecuaciones de la estática pero no a las de com patibilidad de deform aciones. E sto hace que dichos m étodos introduzcan errores im portantes, especialm ente en las zonas bajas de estructuras de edificios altos. F.B. B U L L y G. SV ED desarrollaron en 1962 un m étodo que puede estudiarse en detalle en la referencia (15.4). D icho m étodo corrige en gran m edida el error de suponer que los m om entos son nulos en los puntos m edios de la luz de los pilares (figura 15-6 a) cuando en realidad los puntos de m om entos nulos pueden estar fuera de la luz del pilar (figura 15-6 b). B U L L y SV E D establecen un factor C que, m ultiplicado p o r el m om ento flector del pilar dado por los m étodos del pórtico o del voladizo, proporciona el valor del m om ento con bastante m ejor aproxim ación. Es fácil ver que, si la rigidez de las vigas es despreciable frente a la de los pilares, éstos trabajan com o voladizos, sin que las acciones horizontales induzcan en ellos esfuerzos axiles. En este caso, el coeficiente C para la planta baja, al crecer el núm ero n de plantas, tiende hacia el valor n.

[15.16]

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1 E sfuerzo axil:

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[15.17]

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[15.18]

E sfuerzo cortante: VZ* = X itk

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P or el contrario, si la rigidez de las vigas es infinita frente a la de los pilares, los m étodos del pórtico y del voladizo resultan ciertos y C tiende h acia la unidad.

plantas inferiores en las tres situaciones siguientes:

P ara edificios sin sótanos, el gráfico de la figura 15-7 da, en función del núm ero

A. E structura em potrada a nivel de planta baja en el terreno. (C oincide con lo recogido en la figura 15-7).

K total n de plantas y de la re la c ió n —- de rigideces del pilar a las v ig a s1 , el valor del K coeficiente C a aplicar a los pilares de planta baja.

B. E structura que tiene im pedidos los corrim ientos en toda la profundidad del sótano, bien sea por la naturaleza del suelo, bien p o r la rigidez de m uros y forjados o por cualquier otro procedim iento.

C om o puede apreciarse, a partir de seis plantas los valores de C no dependen prácticam ente del núm ero de plantas.

C. E structura en la que la reacción horizontal en la profundidad del sótano se reparte uniform em ente en los distintos niveles de cim entación y forjados com prendidos en dicha profundidad. Los coeficientes C deben aplicarse a las tres plantas a partir del terreno y a las de sótano. P ara las superiores, puede aceptarse C = 1 si, com o es usual, las secciones de los pilares se van reduciendo. En caso contrario, C puede alcanzar valores apreciablem ente m ayores que la unidad, pero esto no resultará crítico en la elección de la escuadría del pilar de horm ig ó n 1. En cualquier caso, los esfuerzos axiles se obtienen m ultiplicando los resultantes del cálculo según el m étodo del pórtico o el del voladizo p o r un coeficiente X que viene dado por la expresión

Á = 1 + 1 T T ^

N U M ERO D E P LAN TAS

Figura 15-7 L os coeficientes C para pilares pueden variar de form a im portante respecto a lo expuesto si el edificio tiene sótano.

[1 5 .2 0 ]

donde C es el coeficiente resultante de los gráficos de las figuras 15-7 ó 15-8 respectivam ente, n el núm ero de plantas de la estructura y n i el de la planta considerada contada desde el terreno.(Para n¿ = n, debe tom arse en [15.20] el valor X =1). 15.3.4

M É T O D O D E L A N O R M A B A E L 83

La N orm a Francesa BA EL 83 (15.5) indica com o utilizable un m étodo que es mezcla de los del pórtico y del voladizo, con alguna adición propia. Consiste en lo siguiente: a) El m étodo es de aplicación a entram ados en los cuales la rigidez de las vigas no es inferior al quinto de la de los pilares en que apoyan. b) Las fuerzas horizontales que actúan sobre la fila de pilares de un piso determ inado se reparten entre esos pilares proporcionalm ente a sus rigideces, afectada la rigidez de los pilares extrem os de un coeficiente igual a 0,8. c) En los pilares de plantas distintas de la m om ento nulo está en la m itad de la luz.

baja, se supone que el punto de

d) L a norm a no da reglas para situar el punto de m om ento nulo en los pilares d planta baja. N uestra opinión es que puede considerarse tam bién a un m edio de la altura2. C O E F IC IE N T E S C P A R A E D IF IC IO S A L T O S ( n > 1 0 )

Figura 15-8 1

k es, en general, la sum a de rigideces de las dos vigas contiguas al pilar considerado.

230

1

Como se indicó, se parte de que estos métodos van a ser usados com o métodos de predimensionamiento.

2

Si bien es cierto que la unión al terreno se aleja habitualm ente m ucho del em potram iento perfecto, tam bién ocurre eso en la unión al dintel de techo.

231

e) L os esfuerzos de los pilares se suponen proporcionales a su distancia al punto m edio de la longitud total del dintel. (Punto M en la fig u ra 15-9). Fn =¡> Fn-1 ■={>

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[15.21]

PREDIM ENSIO NAM IENTO

16.1 CONSIDERACIONES PREVIAS L os valores de x son positivos para pilares m ás alejados de la fachada de barlovento que el punto m edio M del dintel y negativos en caso contrario. O bsérvese que este m étodo sólo es válido para el cálculo de esfuerzos axiles en pilares (que es el problem a fundam ental en el predim ensionam iento), pero no lo es para hallar esfuerzos cortantes ni m om entos flectores en vigas, ya que los esfuerzos axiles en pilares no están en equilibrio. E n nuestra opinión, la corrección del B U L L y SVED debe aplicarse tam bién a este procedim iento.

BIBLIOGRAFÍA

E n todas las estructuras es necesario, para realizar su cálculo de esfuerzos, fijar previam ente sus dim ensiones. En el caso de las isostáticas, esta necesidad surge exclusivam ente de la necesidad de conocer su peso propio. C om o en la m ayoría de los casos el peso propio representa u n a fracción pequeña de la carga total, un error de estim ación suele tener escasa im portancia. E n el caso de estructuras hiperestáticas, el problem a es más com plejo pues las dim ensiones, al influir en las rigideces de las piezas, afectan de m anera im portante a la distribución de los esfuerzos. Un error grande de apreciación en el tam año de una p ieza puede ocasionar el que no sea capaz, con la sección elegida, de resistir los esfu erzo s resu ltan te s o, m ás frecu en tem en te, que co n d u z ca a u n a cu a n tía excesivam ente alta o, en otros casos, a escuadrías excesivas. E s clara por tanto no sólo la necesidad de un predim ensionam iento para poder realizar el cálculo de las estructuras hiperestáticas, sino la necesidad tam bién de que este predim ensionam iento co nduzca a unas secciones adecuadas a los esfuerzos que resultarán del cálculo.

(15.1)

ACI 318-95 “Building code requirements for structural Concrete”. American Concrete Institute. Detroit, 1995.

(15.2)

SMTTH, A. “Wind stresses in the frames of office buildings”. Journal of the Western Society of Engineers. U.S.A.. Abril 1915.

(15.3)

WILSON, A.C. “Wind bracing with knee braces or gusset plates”. Engineering Record. Septiembre 1908.

(15.4)

BULL, F.B.; SVED, G. “The design of tall buildings under wind loads”. Symposium on the design of high buildings. Hong-Kong 1962.

A unque es evidente que la experiencia y la habilidad del P royectista son en esto las m ejores arm as, los m étodos sim plificados que vim os en el C apítulo 8 y, sobre todo, los aproxim ados expuestos en el C apítulo 15, suponen un a ayuda muy im portante.

(15.5)

Regles tecniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en betón armé suivant la méthode des états limites. Regles BAEL 83. Eyrolles. París 1983.

El proceso exige dos etapas: D eterm inación aproxim ada de E sfuerzos y E lección de Secciones adecuadas para resistirlos.

232

E rrores apreciables en el predim en sio n am ien to conducirán a repeticiones costosas del cálculo.

233

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D ebe advertirse que no se incluye en este C apítulo el predim ensionam iento de placas ni el de pavim entos, ya que la inform ación contenida en los Capítulos 20 y 70, dedicados específicam ente a esos tem as, prop o rcio n a un predim ensionam iento inm ediato.

16.2. D E T E R M IN A C IÓ N D E E S F U E R Z O S Y D IM E N S IO N E S En lo que sigue se definen reglas para el predim ensionam iento de los elem entos estructurales de uso m ás frecuente.

RE G L A S D E PR E D IM E N SIO N A M IE N T O Si no se indica otra cosa gd y qá son los valores de cálculo de las cargas p erm anentes y de las sobrecargas (ver C apítulo 31) que se consideran uniform em ente repartidas.

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La mayor parle de los gráficos que se incluyen para pórticos de un vano, han sido construidos, con algunas m odificaciones, a partir de las fórmulas de LEONTOVICH (16.1). (**) Recuérdense las notaciones expuestas en el Capítulo 1. En lo que sigue, en las reacciones a : e y y en los arranques de los pilares, las letras m inúsculas harén referencia, la primera al extremo dorsal o frontal del pórtico, la segunda indica que el valor es el valor de cálculo. X f(¡, p. ej. indica el valor de cálculo de la reacción horizontal del arranque del pilar frontal.

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(*) Véase la obra (16.3) CALAVERA, J.: “Cálculo de estructuras de C im entación” . Esta obra contiene colecciones de zapatas ya calculadas, incluso con mediciones de hormigón y arm aduras.


303

16.3 TANTEO DE DIMENSIONAMIENTO Conocidos los esfuerzos, debe a continuación procederse a fijar de forma aproximada las secciones necesarias para resistirlos, secciones que se tomarán como punto de partida para el cálculo propiamente dicho. El tema no está suficientemente estudiado, pues en general el criterio de elección de escuadrías, aunque influido siempre por condicionamientos funcionales y constructivos, es básicamente un problema económico de optimización y, por tanto, fundamentalmente de juicio personal por ahora. Para pilares con excentricidades — reducidas, el criterio económico es el de

N

cuantía mínima. En pilares de gran importancia, de sección fija, en que se renuncie a la simetría de armaduras, los ábacos de CALAVERA, VERDE y BLANCO (16.4) permiten la optimización de armaduras. Este caso es frecuente en estructuras industriales. La optimización en general ha sido objeto de trabajos de MORAGUES (16.5) (16.6) y de GOMEZ HERMOSO (16.7).

16.4 NECESIDAD EVENTUAL DE CORRECCIONES Un predimensionamiento poco acertado puede motivar el que, en el cálculo definitivo, la sección asignada a alguna pieza resulte inaceptable y sea por tanto necesario modificarla. De ahí la necesidad de un buen predimensionamiento. Por supuesto, en ese momento se está en condiciones de, introduciendo las modificaciones pertinentes en esa pieza y en sus inmediatas, utilizar esta segunda versión como un nuevo predimensionamiento y repetir el cálculo definitivo. Sin embargo, la repetición del cálculo es costosa y, de acuerdo con el examen crítico que hicimos en el Capítulo 14, sólo está justificada si los errores han resultado muy importantes. El problema es especialmente frecuente en entramados múltiples, En éstos, un criterio práctico es el siguiente: a) Si la inercia de la sección de cualquier pieza no necesita una variación de más del 30%, no suele ser necesaria la repetición del cálculo de esfuerzos. b) Si es mayor, basta realizar un nuevo cálculo parcial de un entramado reducido alrededor de esa pieza, de acuerdo con lo expuesto en el Capítulo 8.

BIBLIOGRAFIA

304

(16.1)

LEONTOVICH, V.: "Pórticos y Arcos". C.E.C.S.A. Méjico. 1983.

(16.2)

CALAVERA, J.: "Muros de Contención y Muros de Sótano", 3a Edición. INTEMAC. Madrid. 1999.

305

www.libreriaingeniero.com (16.3)

CALAVERA, J.: "Cálculo de Estructuras de Cimentación", 4a Edición. INTEMAC. Madrid. 1998.

(16.4)

CALAVERA, J.; VERDE, A.; BLANCO, F.: "Abacos para el dimensionamiento óptimo de secciones de hormigón armado sometidas a flexocompresión". INTEMAC. Madrid. 1979.

(16.5)

MORAGUES, J.J.: "Diseño óptimo de piezas prismáticas flectadas de hormigón armado". Boletín de Estructuras. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Valencia. 1981.

(16.6)

MORAGUES, J:J.: "Diseño óptimo de soportes rectangulares de hormigón armado". Boletín de Estructuras. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Valencia. 1981.

(16.7)

GOMEZ HERMOSO, J.: "Análisis técnico-económico de la influencia que presenta el empleo de diferentes materiales y tipologías estructurales en el proyecto de estructuras de edificios". Tesis Doctoral realizada en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos de la Universidad Politécnica de Madrid, Febrero 1998, bajo la dirección de J. FERNANDEZ GOMEZ.

C A PIT U L O 17

CALCULO NO LINEAL1

17.1. GENERALIDADES SOBRE CALCULO NO LINEAL. ROTULAS PLÁSTICAS El cálculo, de acuerdo con los m étodos clásicos, descansa de form a básica en la fórmula

rfr=T = y ' ‘ m

1,7,1

que expresa que la curvatura es una función lineal del m omento flector actuando sobre la sección considerada de la pieza, tal com o se indica en la figura 17-12. D e ahí que estos métodos, además de ser denominados “m étodos basados en la continuidad teórica”, sean conocidos más com únm ente como “m étodos de cálculo lineal” . A la fórm ula [17.1] le corresponde en la figura el diagram a lineal 1 de coeficiente angular EI. E ste diagram a corresponde a una idealización bastante radical del com portamiento de la pieza de hormigón armado y supone que, alcanzado el punto A, en el cual la tensión del acero iguala el valor de su límite elástico, la pieza se agota. Este agotamiento encierra un doble significado, pues por una parte supone que la m áxim a capacidad resultante de la pieza es el valor MÁ del momento; esto es bastante

306

1

Para lectores sin formación previa en hormigón armado, puede ser m ás conveniente leer este Capítulo después de una primera lectura del resto de la obra.

2

En este Capítulo se presenta el problem a general del cálculo no lineal.Una vez analizados los problemas de fisuración y adherencia en los Capítulos 39 y 40, en el Anejo n° 1 del Tomo II se estudia en detalle el problem a de las leyes M om entos-Curvatura y M om entos-Rotaciones y, en general, de las zonas plásticas.

307

aproxim ado. T am bién supone que la curvatura (pA es la m áxim a alcanzable p o r la pieza, y esto es m uy inexacto. Sin em bargo, debido a diversos fenóm enos tales com o la fisuración, la retracción y la fluencia, el com portam iento de la estructura no es lineal y presenta aspectos más com plejos.

m om entos, sino que indica que la rotura engloba una escasa absorción de energía. En general, pero sobre todo en estructuras que puedan verse som etidas a acciones sísm icas im portantes, es esencial que la estructura presen te una alta capacidad de absorción de energía y, p o r lo tanto, en ese caso la condición de ductilidad es de im portancia básica. C om o hem os dicho, las piezas de horm igón arm ado som etidas a flexión, si han sido proyectadas adecuadam ente, presentan suficiente ductilidad. E n cam bio, las piezas som etidas a flexión com puesta, sobre todo si la com presión es dom inante, suelen presentar u n a ductilidad m ucho m ás reducida, L a fig u ra 17-2, to m ad a de la referen cia J. A R EN A S (17.1), m uestra la influencia del esfuerzo axil en la actividad de un a sección som etida a flexión com puesta. E n general para excentricidades pequeñas la fisuración es escasa y la pérdida de rigidez se debe fundam entalm ente a fenóm enos de plastificación. P ara excentricidades grandes el com portam iento de la sección se asem eja al caso de flexión sim ple.

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Figura 17-1 U n com portam iento bastante frecuente de u n a sección de horm igón armado som etida a flexión en un proceso de carga m onótonam ente creciente viene dado por el diagram a 2 de la figura 17-1. E n él, se aprecia claram ente que la ley lineal sólo resulta aceptable en un cam po de deform aciones relativam ente restringido.E l punto B corresponde a la fisuración y, a partir de él, aunque el diagram a sigue aproxim ándose aceptablem ente a una ley lineal, lo hace con un coeficiente angular m enor, ya que, en el producto E l, el valor I se ha reducido apreciablem ente a causa de la fisuración del horm igón. A partir del punto C en el que se alcanza el lím ite elástico del acero, el diagram a cam bia bruscam ente, pasa por un m áxim o del m om ento y alcanza finalm ente el punto E de agotam iento. L a diferencia en cuanto al valor m áxim o del m om ento M alcanzado entre los diagram as 1 y 2 es relativam ente pequeña y norm alm ente no supera el 10%. Sin em bargo, la diferencia en cuanto a deform aciones es m uy im portante y la curvatura
Vu = Ve Vy Ve

[17.2]

R ara vez, en secciones de horm igón arm ado som etidas a flexión, la ductilidad es in ferior a 3 y frecuentem ente alcanza el valor 10 e incluso valores superiores. D e todas form as, disponer de la adecuada ductilidad supone cum plir ciertos requisitos de proyecto que m ás adelante verem os. Si una sección de horm igón arm ado presenta un diagram a com o el 3 de la figura 17-1, alcanzará la rotura con poca deform ación. Esto, com o verem os en apartados sucesivos, no sólo im pide un a adecuada redistribución de

308

Figura 17-2 U n d iagram a típico com o el 2 de la figura 17-1 puede ser esquem atizado p ara un prim er análisis, por otro bilineal com o el del trazo continuo de la figura 17-3. Tal diagram a está form ado por un tram o O A , que representa un com portam iento lineal elástico, y p o r otro A B, perfectam ente plástico. D e acuerdo con este diagram a, al crecer en u n a sección determ inada de la p ieza el m om ento flector M aplicado, la curvatura crecerá proporcionalm ente al m om ento. A lcanzado en la sección el valor M A, la curvatura crece y a sin increm ento del m om ento aplicado, constituyendo lo que se denom ina un a rótula plástica.

309

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A partir de ese m om ento, si la sección B tiene ductilidad suficiente, la estructura, en contra de lo que supone el cálculo lineal, aceptará nuevos increm entos de carga. Si la sección es escasam ente dúctil, puede efectivam ente producirse el fallo para un a carga p y igual a la prevista p o r el cálculo lineal.

Si la ductilidad en B es suficiente, la carga sobrepasará el valor p y y crecerá hasta que se form en nuevas rótulas plásticas, p o r ejem plo para los m áxim os m om entos de v an o 1 en las secciones D y E . A partir de este nivel de carga p u, la viga h a alcanzado un m ecanism o de colapso y no puede y a resistir cargas m ayores2. (Fig. 17-5a).

17.2 R E D IS T R IB U C IÓ N D E M O M E N T O S C O N F O R M A C IO N D E R Ó T U L A S P L Á S T IC A S C onsiderem os una viga continua de dos vanos, som etida a carga uniform e p sobre to d a la luz (Fig. 17-4a) y supongam os que la ley M om entos-C urvatura es del tipo OAB de la figura 17-3, es decir, se trata de una rótula perfecta. P ara niveles de carga m oderados, el com portam iento de la estructura estará, aproxim adam ente, de acuerdo con el cálculo lineal y la distribución de mom entos flectores será la indicada en la figura 17-4b). Si seguim os increm entando el nivel de carga, alcanzarem os en alguna sección el lím ite elástico de la arm adura. Supongam os que eso ocurre p ara u n a carga p , en la sección sobre el apoyo B , a la que corresponde el m áxim o m om ento negativo.

Con el proceso expuesto (Fig. 17-5b), si el m om ento de agotam iento en el apoyo B es M au y el de los vanos es M vu, la p ieza se habrá agotado bajo un a carga p u, tal que se alcancen am bos. C om o y a hem os dicho, esto exige un a ductilidad suficiente para perm itir que se produzca, realm ente, la redistribución de m om entos. En lo anterior, hem os supuesto que se form aba prim eram ente la rótula plástica en B. C om o hasta el m om ento de aparición de esa rótula el com portam iento de la estructura es lineal, quiere decir que, cuando se inicia la plastificación en B , el m om ento en D y E es 1 14,22 M

d

= M

e

=—

M

b

= - 0 ,5 6 M

b

[1 7 .3 ]

T Para qu e sea cierta la hipótesis de plastificación de la sección Tí, deberá cum plirse

p J M

I I 1 L

V

L

»

C

pues, de otra form a, la plastificación se iniciaría en las secciones D y E, continuando aún la B en régim en lineal.

Z 03 y A S s -*.

^

B

[17.4]

lY

II 1

I ya

M vu > 0,56 |M au |

a)

« S i i i i i i i i j

b)

s

L a d istrib u c ió n fin al de m o m en to s se re p re se n ta en la fig u ra 17-5b). C onsiderando la presentación equivalente de la figura 17-5c), podem os escribir

Figura 17-4 a)

M

b)

vu + ~

M

au ~

Y

P u L Z

o bien

P u~ T n M™+ T Ma

310

[17.5]

[17.6]

1

Los puntos de posible rotulación plástica dependen, por supuesto, de la distribución de arm aduras a lo largo de la pieza.

2

Se supone, com o es habitual, que en la viga continua todos los apoyos son deslizantes, m enos uno que es una rótula.

311

Es inmediato demostrar que

y, por tanto

pero no tiene interés, para nuestros propósitos ahora, sustituir [17.7] en [17.6] y despejar p ü bastando observar que, de acuerdo con la figura 17-5c), para un valor constante de -Mau, al crecer Mvu, c r e c e - - y , según [17.6], aumenta p u.

Es decir, el cálculo no lineal ha permitido alcanzar una carga última superior en un 45% a la obtenible con el cálculo lineal. Obsérvese que, a medida que aumenta el valor de la carga p, la posición de los puntos D y E de momento máximo es constante hasta que se forma la rótula en B. A partir de ese momento, la posición de dichos puntos varía al incrementarse la carga.

Por tanto, de acuerdo con [17.6], la viga puede alcanzar, mediante la redistribución de momentos indicada, cargas p u de agotamiento notablemente mayores que el valor py dado por el cálculo lineal, siempre que la ductilidad en apoyo y vanos sea suficiente. Mientras el valor de p no rebase el límite p y obtenido como carga de agotamiento en el cálculo lineal, es decir mientras no se haya producido plastificación, la deformada de la directriz de la pieza carece de puntos angulosos y, por tanto, su derivada primera es continua. Tan pronto se produce la redistribución de momentos por plastificación, se producen en B giros 0 sin aumento de momento y en definitiva se producirán en la deformada un punto singular cuyas tangentes forman un ángulo 2 9B, que es el giro plástico ocurrido en 5 , y otros puntos singulares en las rótulas D y E cuyas tangentes forman ángulos 0D y 0E. Conocidos Mau y MVÜ, el cálculo de 0B, 9D, 0E es inmediato. Consideremos, por ejemplo, el caso particular en que se reduce el momento de apoyo hasta igualarlo al de vano, con lo que |Mau \= \MVU| . Es inmediato deducir que, i

i P UL 2

i i

en ese caso,|Mau[= \MVU\=

a

M vu

y —= 0,41 Esto supone adoptar un relación d e =-7, 11,6 L Mau

en lugar de la correspondiente al cálculo lineal:

14,22

Mau

La redistribución de momentos se representa muy bien mediante el gráfico de la figura 17-6, de relación Momentos-Cargas. El cálculo lineal corresponde al valor p yi con el punto M correspondiente al momento de apoyo y N al de vano. La redistribución de momentos conduce a un punto Q, con valor p u = 1,45 p y y con momentos iguales a |MflU|en apoyo y vano. El tramo MQ corresponde al giro de la rótula plástica en el apoyo sin incremento de momento, pero permitiendo incrementar el de vano. Frecuentemente, se identifica “redistribución de momentos” con “reducción de momentos negativos”. Comúnmente es así, pero el significado de la redistribución es el de variación de momentos, tanto aumentando como disminuyendo. Como ejemplo, veamos ahora el caso de una viga armada de forma que incrementamos el momento negativo y reducimos los de vano hasta obtener la r e l a c i ó n -0,38 , en lugar del Mau M valor de cálculo lineal para el que, como vimos, ——= -0,56 . Mau

1 M...

Figura 17-6

PL2

= -0,56

- 4 -P L 2

Alcanzado el valor de carga p = py (Fig. 17-7), se formarán rótulas e n D y f , con Si Mau = - - ^

p u= 11,6 ^

un valor de momento en vano Mvu = — 1 pv U y un valor — = 0,375, con lo que, 14,22 y L H M p y = 14.22—— todo ello en régimen lineal. V

U

11,6

En cambio, el cálculo lineal conduce a M qu = —E i h .... de donde 8

312

p = 8 ^— — U

313

www.libreriaingeniero.com |. . l I L U

A

M ¿ J H

B

H1_L¿

y con Mau = - - ^ ~ M vu

a)

y

p>= 1 4 ,2 2 -^ -

C

p u=

1 6 ,9 4 -^

b)

V luego Pu - 16,94 _ Py

c)

14,22

es decir, el cálculo no lineal ha permitido alcanzar un incremento de carga últim a del 19% respecto a la alcanzable con el cálculo lineal. d)

A nálogam ente al caso anterior, podemos representar la redistribución ocurrida mediante un diagram a M omentos-Cargas tal como el indicado en la ñ g u ra 17-8.

F ig u r a 1 7 -7

Obsérvese que en este caso, a diferencia del anterior, la posición de los puntos de momento m áxim o en vano y, por tanto, de las rótulas de vano, ha perm anecido fija hasta la form ación de éstas.

Si seguimos aum entando la carga, alcanzarem os un valor p u tal que el momento M -----—. (Se supone ductilidad suficiente para de apoyo en B alcance el valor M„„ 0,38 ello en los vanos).

Naturalmente, los procesos de redistribución, al variar los momentos, modifican tam bién los esfuerzos cortantes y los axiles de las piezas, de acuerdo con lo expuesto en capítulos anteriores.

El m om ento en B se puede descomponer en dos sumandos, uno debido a la carga que form a las rótulas en vano, y otro debido a la carga p u - p y actuando sobre la estructura isostática reflejada en la figura 17-7c).

17.3 D E F O R M A C IO N E S E L Á ST IC A S Y P L Á ST IC A S. CURVATURAS Y R O TA C IO N ES

Ku

1 , , ,

=

•>0,6252 L2

-~rPy L2
O

, 0,375 L n

(Pu-Py)

O

r

° ’625 L

En lo anterior, hemos partido de la formación de rótulas plásticas, tal como fueron definidas en 17.1, es decir, com o rótulas plásticas perfectas. L a situación real es más compleja, pues la relación M om entos-Curvatura corresponde a curvas del tipo O BCDE de la ñg u ra 17-1 m ás que a curvas de tipo OAB de la figura 17-3. Considerem os prim eram ente una viga sim plem ente apoyada sometida a carga uniform em ente repartida sobre toda su luz (Fig. 17-9). q

M au = - F - 14,22 M vu - 0,312 ( p u- p y) L 2

314

315

S upongam os que la viga se arm a con arm adura constante a lo largo de su luz, para un m om ento de agotam iento M u y que la relación M om entos-C urvaturas es la indicada en la fig ura 17-10.

donde Ie es la inercia m edia equivalente que tiene en cuenta la influencia de la fisuración a lo largo de la pieza. Finalm ente, a partir de M = M la relación deja de ser lineal y viene dada p o r la curva, del tipo de la figura 17-10, que resulte apropiada para la sección co n sid erad a1. Para m om entos superiores a M y, la curvatura (p, se descom pone de acuerdo co n la expresión < P =
+ %

[17.10]

sum a de dos com ponentes elásticas o lineales y de una com ponente plástica, tal com o se indica en las figuras 17-9c) y 17.10. F recuentem ente harem os uso del concepto de rotación 6, entre dos secciones de la pieza, de abscisas X y X \ y que por definición es la integral de la curvatura X’

(p d x

Figura 17-10

[17.11]

E n ella s el m om ento de ñsu ració n y M el relativo a un a deform ación de la arm adura de tracción igual a la correspondiente al lím ite elástico. L a curvatura, p ara un m om ento correspondiente a un punto genérico A, es (pA, que a su vez se descom pone en tres sum andos, (pe} es la parte de curvatura elástica correspondiente al estado lineal y no ñsu rad o de la pieza. (pe2 es la correspondiente al estado lineal pero fisurado de la pieza.
curvaturas plásticas 6 . Por

% dx

P(X,X’)

E s de especial interés el cálculo de la rotación plástica entre las secciones extrem as de la zona P Q (Fig. 17-9c) correspondiente a la zona donde se han producido deform aciones plásticas x ®P(X,X,

'- r w .

C om o verem os, con frecuencia, la zona plástica se sustituye p o r un a rótula puntual situada en el punto de m om ento m áxim o, que para cada valor del m om ento gira el valor 6 correspondiente al giro entre secciones extrem as de la zona plástica.

Para valores de M superiores a Mf pero no superiores a M , la relación, todavía lineal, será [17.9] P

E cA .e

A nálogam ente al diagram a M om entos-curvatura correspondiente a una sección cuya form a general se refleja en las figuras 17-1 y 17-10, puede definirse un diagram a M om entos-R otaciones para una zona plastificada, que resulta del tipo indicado en la figura 17-11. A nálogam ente a lo visto en el caso de las curvaturas, la rotación correspondiente a un m om ento M A > M y puede descom ponerse de acuerdo con la fórm ula

P or sencillez, en este C apítulo se m anejan solam ente diagram as M om entos-C urvatura y M om entosR otaciones correspondientes a flexión sim ple. En el A nejo n°l del T om o II se proporciona inform ación p ara el caso general de flexión com puesta m ediante leyes A xil-M om ento- R otación para el caso de flexión com puesta. P or razones que expondrem os en profundidad m ás adelante, existe una acusada incertidum bre en el valor a tom ar p ara el m ódulo de deform ación del horm igón E c

316

’
donde l h corresponde al valor del m om ento de inercia de la sección sin fisurar y hom ogeneizada, es decir teniendo en cuenta las arm aduras2 .

2

x,

M

1

1

[17.12]

0a

1

=

d el

+

&e2 +

%

[1 7 -1 4 ]

E l A nejo n°l del Tomo II contiene inform ación detallada sobre leyes M om entos-C urvatura.

317

www.libreriaingeniero.com M E'

L a distribución de m om entos según el cálculo lineal es la indicada en la figura 17-12. E n el caso m ás general, y dependiendo de la form a de arm ado del dintel, las secciones de m om entos m áxim os de vano y apoyo tendrán diagram as M om entosC urvatura del tipo indicado en la figura 17-10 y, en fase d e prerrotura, en form a análoga al caso de la viga que analizam os en 17.3 la distribución de curvaturas será com o la indicada en la fig u ra 17-13.

Figura 17-11 siendo el p rim er sum ando la rotación elástica correspondiente al estado lineal no fisurado, el segundo la correspondiente al estado lineal fisurado y el tercero a la rotación plástica. E s im p o rta n te d e sta c a r que, m ie n tras el diagrama Momentos-Curvatura corresponde a una sección, el diagrama Momentos-Rotaciones corresponde a una longitud determinada de directriz de la pieza y aun determinado estado de carga sobre la estructura.

17.4

REDISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS CON FORMACIÓN DE ZONAS PLASTIFICADAS

Figura 17-13 E l que se plastifiquen o no am bas zonas, de vano y apoyo, depende de cóm o se arm e la p ieza y pueden presentarse los casos que exponem os a continuación: a) S upongam os, en p rim er lugar, que la p ie za se arm a con el esquem a sim plificado indicado de trazos en la figura 17-14a), con valores Mau > Mvu y Mja < M ^ 1 E n la fig u ra 17-14b) se h a dibujado el diagram a M om entosC argas, que generaliza los utilizados p ara el caso de rótulas perfectas en 17.2 (Figs. 17-6 y 17-8). C om o puede verse, iniciada la fisuración en los apoyos p ara u n a carga p h al p erd er esas zonas rigidez, la rapidez con que se increm enta el m om ento de apoyo se reduce al aum entar la carga, aum entando correlativam ente el de vano, pues en todo el proceso de carga la sum a de m om entos de vano y apoyo tiene que ser igual al m om ento isostático correspondiente a la carga aplicada.

17.4.1 M O D E L O S G E N ER A L E S E n el apartado 17.1 se definió la ró tu la perfecta y en el 17.2 se analizó la redistribución de m om entos aceptando la form ación de rótulas perfectas. U na vez expuesta en 17.3 la realidad, m ás com pleja, de la plastificación de zonas, analicem os de acuerdo con ello la form a m ás general de redistribución. C onsiderem os el caso de un dintel interior de un entram ado de gran núm ero de vanos, som etido a una carga p uniform em ente repartida.

M ou >

M vlj

M fa <

M fv

MQ

O

P R I N C I P I O DE LA F IS U R A C IO N

•

A G O T A M IE N T O

D E L A SECC IO N

b )

Figura 17-14

Figura 17-12

318

Con la condición Mf0 < se quiere expresar, de una m anera sim ple, que la seguridad a fisuración será m enor en vano que en apoyo, aunque la arm adura de vano sea m ayor que la del apoyo.

319

A l seguir increm entando la carga, se alcanzará u n valor p 2 p ara el que se inicia la fisuración en el centro de vano, reduciéndose p o r tanto la rigidez de la pieza en esa zona, lo que m otiva, para cargas superiores a p 2, un increm ento m ás lento de m om entos de vano y m ás rápido de los m om entos de apoyo. P ara un a carga p u se alcanza el agotam iento en las secciones de apoyo. C om o puede verse en este ejem plo, el com portam iento indicado no se aleja excesivam ente del lineal y una fracción Á M VUde la capacidad resistente del vano fue desaprovechada.

M qu <

C om o puede verse, se fisura prim ero el vano, con lo cual sus m om entos, a p artir de la carga p ¡, son ya m enores que los previstos por el cálculo lineal y los del apoyo, correlativam ente m ayores, produciéndose la ro tu ra en vano, con una reserva resistente en apoyo A M au. d) E n este caso, la distribución de arm adura sigue el esquem a sim plificado de la figura 17-17. En la figura 17-18 puede apreciarse el ensayo de una losa continua de dos vanos. E n los apoyos se han dispuesto células de presión de form a que en todo el proceso de carga se conocen las reacciones de apoyo y p o r tanto puede calcularse con gran exactitud la distribución de m om entos y obtenerse gráficos análogos a los de las figuras 17-14b), 17-15b), 17-16b) y 17-17b).

M yu

M|q < Mi

O

P R IN C IP IO

•

A G O T A M IE N T O

OE L A F IS U R A C IO N DE L A S E C C IÓ N

b) Figura 17-15 b ) S upongam os ahora que la pieza se arm a con el esq u em a sim plificado de la figura 17-15a). L a fisuración se inicia en los apoyos, con reducción muy acusada de su rigidez, lo que m otiva una casi estabilización de los m om entos de apoyo y, por tanto, un fuerte increm ento del m om ento de vano, que supera al de apoyo. P ara u n a carga p 2 se inicia la fisuración en vano y finalm ente el agotam iento se produce en el vano p ara u n a carga p„, quedando u n a reserva resistente en el apoyo, Á M au, sin utilizar. c) E n este caso, la distribución de arm adura sigue el esquem a sim plificado de la figura 17-16.

O

P R IN C IP IO

•

A G O T A M IE N T O

D E L A F IS U R A C IO N D E L A SE C C IO N

Figura 17-17

MaU > Mvu M f ^ M fv

O

P R IN C IP IO

•

A G O T A M IE N T O

D E L A F IS U R A C IO N

b)

a)

O E LA S E C C IÓ N

Ensayo a R otura de losas continuas de dos vanos (cortesía de IN TEM A C ) F ig u ra 1 7 -1 8

Figura 17-16

320

321

www.libreriaingeniero.com 17.4.2 GRADO D E R ED ISTRIBU C IÓ N 1 a)

GRADO DE D ISTRIBU CIÓ N EN EL CÁ LCU LO TEÓRICO

Parece conveniente, en el grado actual de conocimiento y de posibilidades de medidas en el ensayo, definir como grado experimental de redistribución el valor

No lo define ni EHE, ni EC-2, ni M C-90 y tam poco A C I 318-95.

K.= C D ED

U sualm ente se entiende por ello e) valor Kd =

(Fig. 17-19), es decir la M

variación A M dividida por e] valor según el cálculo linea], pero no hay un acuerdo general sobre ello y en todo caso es una definición válida para una sección, pero no para una pieza. Aw t

k A

AMt M h M

Definir como K, el valor

AB'

CÁLCULO LINEAL CÁLCULO NO UNEAL

no seria lógico ni posible en la practica, porque "

considerando en la figura 17-20 los posibles diagramas de ensayo OBG, OBC y O BF, una desviación infinitesim al del valor del momento último M (ligeras desviaciones en el equipo de ensayo o en el procedimiento de medida, por ejemplo) conduciría a /"T p v

* ---------

BB5

/O j-\

T y j-\

valores K,r = , K, = — , K,r =-^—.valores todos ellos sensiblemente coincidentes ,c ED lc ED lF ED DD ’ y sin embargo con la definición K = — el valor obtenido sería mucho más bajo que AB' BB ’ todos ellos. (En el lím ite podría resultar — = O)AB’

F ig u r a 1 7 -1 9

b)

GRADO DE RED ISTRIBU CIÓ N EX PERIM ENTAL Considerem os el diagram aM -P de m om entos-cargas en una sección, obtenido en ensayo (P es la carga uniform em ente repartida por unidad de longitud). (Fig. 17-20).

17.5 17.5.1.

M ÉTO D O S G E N E R A L E S DE C Á LC U LO NO LIN E A L PLANTEAM IENTO GENERAL

Aunque los métodos generales de cálculo no lineal no han tenido aplicación práctica apreciable hasta una época relativamente reciente, los métodos generales de cálculo fueron establecidos hace mucho tiempo. En particular el CEB (Comité EuroIntemational du Béton) dedicó al tema dos boletines (17.3), (17.4) con aportaciones de diversas procedencias. La exposición que sigue se basa en los métodos expuestos en dichas publicaciones. En 17.5.2 se indican los métodos basados en el cálculo numérico.

* l l l l l l M l l l l l

H

-

K

► íw

Vz

I i i i i i i i i i i i htn . m m . m ^ W 5 w

fe

V.

2?V.

w

F ig u ra 1 7 -2 0

es

1

322

En sentido estricto, el grado experim ental de redistribución obtenido en el ensayo CD K, = ED Lo que sigue procede de una “Nota Interior” de J.CALAVERA a la comisión VII del CEB. (Véase (17.2)).

F ig u ra 17-21

Considerem os, com o ejemplo, el pórtico de la figura 17-21', sometido a dos sistemas de acciones horizontales y verticales (Fig. 17-21a). Si la estructura tiene 1

Seguimos el método expuesto por Baker en las referencias (17.3) y (17.4). Véase en particular (17.5). Un excelente resumen del método general y de los de BAKER y MACHI, que siguen, puede verse en TICHY y RAK OSNIK (17.6).

323

grado de hiperestatism o n, se puede transform ar en iso stática suprim iendo n coacciones. E n nuestro caso, la estructura presenta 9 reacciones y, por tanto, su grado de hiperestatism o es 9 - 3 = 6. Podem os, por tanto, transform arla en isostática si introducim os seis rótulas, tal com o se indica en la figura 17-2 la. D esignem os para una estructura general, con n rótulas, cada rótula por un núm ero i (i = 1,2, ..., k, ..., n) y designem os en cada rótula, por ejem plo en la i, por M¡ a un par de m om entos iguales y de signo contrario aplicados en la rótula, cada uno al extrem o de una de las piezas que concurren en la rótula y de valor tal que anulen la rotación ocurrida en ella por efecto de las acciones aplicadas a la estructura. B ajo el efecto de los valores últim os de las acciones aplicadas, incluidos los pares de valores M¡, se plastificarán determ inadas zonas de la estructura. Las secciones de posible plastificación se suelen denom inar secciones críticas con independencia de que en ellas se form en realm ente rótulas o no. E l núm ero de secciones críticas de una estru ctu ra, en general, es superio r a su grado de h ip erestatism o . L as zonas p lastificadas, en nuestro caso, pueden pertenecer a dos grupos distintos. El prim ero es el de aquéllas correspondientes a las rótulas. El segundo a zonas no rotuladas. E n la figura 17-21 b, para visualizar el proceso, el bloque correspondiente a la zona p lastificada se ha dibujado del lado de la cara traccionada de la pieza.

y com o M¡ # 0 , se obtiene la condición

J M¡¡ (pcls = 0

[17.19]

L a curvatura
%

[17.20]

A su vez, para una rótula concreta k, (pe puede ser descom puesta en i= n (i* k )


+
[17-21]


i = !

A partir de la experiencia general de los m étodos lineales, es necesario determ inar las zonas de posible plastificación y, dentro de ellas, situar las n rótulas plásticas.

donde

U na vez transform ada la estructura en isostática y considerando aplicadas todas las acciones, incluido los pares de m om ento en cada rótula, apliquem os el teorem a de los trabajos virtuales a cada rótula i. L lam ando G¡ al giro de la rótula i ocasionado por todas las acciones, incluido el par de m om entos M t y a la ley de m om entos flectores M m¡ ¡ producidos en la estructura isostática por el par de m om entos M i aplicados en la rótula se tendrá: M ¡ 6, =

j


curvatura elástica debida al par de m om entos M k, aplicados en la rótula k, actuando sobre la estructura isostática. =n(¡ * k)

X M u .,:

curvatura elástica debida a las acciones exteriores actuando sobre la estructura isostática.

(p eM_~ curvatura elástica debida a los pares de m om entos M¡, aplicados

[17.15] en las n-1 rótulas distintas de la rótula k.

siendo (p la ley de curvaturas debida a todas las acciones, incluso el p ar de m om entos M,

con lo que [17.19] puede expresarse para dicha rótula k en la form a

Si el par de m om entos M i ha de anular el giro 6¿en la rótula i, la expresión [17.15] se transform a en

JM 1¡k (peed s + J M , k
r

r

r ¡=n(i*k) r ^ M , , (peM¡ d s + M u (pp d s = 0

J

[17.22]

i= l

\ M m ¡
[17.16]

A doptando inercias m edias equivalentes para la zona de curvaturas elásticas, se tiene M,

Supongam os, com o caso particular, que aplicam os en la rótula i un par de m om entos unitarios M i = 1. E ste par de m om entos o casionará en la estructura isostática una ley de m om ento flectores M¡ ¡,debiendo cum plirse la proporcionalidad

M uí,i = M¡ M¡ ¡ con lo que [17.16] se puede escribir bajo la form a 324

[17.17]

[17.23] siendo M e la ley de m om entos flectores debidos a las acciones exteriores actuando sobre la estructura isostática

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Mm .

[17.25]

E l últim o térm ino de [17.22] puede escribirse en la form a

j M, .

y teniendo en cuenta [17.17]

d s = M *t

j
[17.27]

El valor M ik M , f M ltk ‘ — —— - d s + M,. ds+ /

£/

‘ J £/

"

M ¡ \ — =rr------ d s +

'J

M a (p d s = 0

[17.26]

EI

g

M i,k=~

í

d M l k

C onviene observar los dos aspectos siguientes: - E l sum ando J M¡ k (p d s se extiende a todas las zonas con deform ación plástica con independencia de que en ellas exista rótula o no. - Si la estructura no presenta ninguna zona con deform ación plástica, dicho sum ando es nulo y [17.22] se transform a en el sistem a correspondiente al cálculo lineal de las estructuras elásticas. (M étodo de M U L L ER -B R E SLA U ). Al plantear [17.22] para cada una de las n rótulas, siendo n el grado de hiperestatism o de la estructura, se obtiene un sistem a de n ecuaciones con n incógnitas M „ M 2, ... M„. C om o el térm ino M¡ k (p d s , a través de (pp depende de todos los valores M ;, M 7, ... M n la com plejidad m atem ática de la resolución del sistem a es alta y, salvo para estructuras y estados de carga muy sim ples, la resolución resu lta trabajosa incluso operando con ordenador. El m ism o B A K E R (17.4) introdujo una sim plificación interesante del sistema, basada en lo siguiente: Si consideram os una zona plastificada (Fig. 17-22) distinta de la que contiene la rótula k, la distribución de M om entos M¡ k será una lineal tal com o la indicada en la figura 17-22a) y producirá una distribución de curvaturas tal com o la indicada en la fig u ra 17-22b), en la que se indican por separado las curvaturas elásticas y plásticas, siguiendo las elásticas u n a ley lineal y distribuyéndose las plásticas sobre una cierta longitud de plastificación L .

[17.28] % ds

es, por definición, la abscisa del centro de gravedad del área de curvaturas plásticas, que se indica con zona de puntos en la figura 17-22b).

El valor

J (pp d s es, por definición, la rotación de las secciones extrem as de la

longitud plastificada L , y podem os definirlo com o [17.29]

Vi = J % d s y [17.17] se transform a en

I M ¡.k % d i = M j \ Vi

[17.30]

C onsiderem os ahora la zona plastificada conteniendo la rótula k (Fig. 17-23).

a)

b )

Figura 17-23 A nálogam ente, en este caso podem os escribir

I M i,k (Pp d s F ig u r a 1 7 -2 2

326

= 0t

[17.31]

y sustituyendo [17.25] y [17.28] en [17.22], se obtiene 327

fMn M J- Y T L

f M ;\ d s

+

M

k \

^

r

'1^ ' d s

+

l

L

f M

M ,M , k

i ^ —

^

—

™L»k> d s

+

Y

j

Á >.k

O

W i + O k =

[17.32]

En la práctica, resulta necesario proceder por iteración, de acuerdo con los pasos siguientes: - Se acepta una distribución elástica de m om entos ( Me) obtenida de acuerdo con el sistem a [17.33].

(La sum atoria se extiende a todas las zonas plastificadas, tengan rótula o no, con excepción de la que contiene la rótula k).

- P ara ese reparto se determ inan los valores i//, 6, de las rotaciones plásticas.

El sistem a [17.32], si se asocia a la sim plificación adicional de suponer concentradas en un punto las rotaciones ocurridas a lo largo de la zona plástica Lp\ perm ite una reducción considerable en la dificultad de resolución del sistem a, aunque de todas form as, salvo para estructuras y casos de carga m uy sim ples, sigue siendo im prescindible el ordenador.

17.5.1.1.

- L os nuevos valores de los m om entos se obtienen a partir de

M = M e + Y J V M w¡ + X Q i —1 ' i= 1

M étodo de las rotaciones impuestas (Machi)

U na sim plificación interesante a partir del M étodo G eneral fue introducida por G. M achi en 1960 (17.7) y 1961 (17.8), bajo el nom bre de "M étodo de las R otaciones Im puestas"2. M A C H I, a partir de la expresión del sistem a general con las sim plificaciones de B A K E R , dada por [17.32], plantea por separado el sistem a que proporciona los m om entos debidos a las cargas exteriores [M ,

M „ .M ei

- M ediante [17.34] se obtiene el reparto de m om entos debido a las rotaciones plásticas unitarias.

[ M u M,

^

- Con los nuevos valores de los m om entos se procede por iteración. El sistem a ciertam ente elim ina m uchas dificultades del m étodo general, pero de nuevo, salvo para estructuras de m uy escaso núm ero de piezas, es m uy trabajoso si no se em plea ordenador. U na exposición com pleta del m étodo ha sido hecha por el propio M A C H I en la referencia (17.7) y en la (1 7 .8 )1 que incluyen tablas para casos sim ples.

[ M u M,

ás+M* h r á s + I > J “ ^ r ~ ^ + J-

^

^

=0 [1733]

i= ]

17.5.1.2.

X

+2

j

i= l

J

m >J ~~Y ~T i/

M ¡

'

M étodo de las rotaciones últimas (BAKER)

El propio B A K E R , adem ás de su planteam iento general, propuso un m étodo sim plificado. (17.5).

y el que proporciona los m om entos debidos a las rotaciones plásticas

~ÉTd s

[17.35]

d s + > Mlt V v + ok= = oo

Parte de adoptar las hipótesis siguientes: - L a capacidad portante de la estructura corresponde al caso en que se form a un núm ero definido de rótulas perfectas y en un a rótula se alcanza la rotación m áxim a 6¡r

[17.34]

- El diagram a M om entos-C urvatura es, por tanto, el de la figura 17-2. o bteniendo por superposición los m om entos totales. El planteam iento se hace para cada rotación plástica, suponiendo nulas las demás. R ecuérdese que, al aceptar que las rotaciones son plásticas, no producen m om entos en la estructura transform ada en isostática. E n definitiva, en el m étodo se suponen nulas todas las rotaciones m enos una, sucesivam ente, y la no nula se com ienza por suponerla igual a la unidad.

- L a estructura se arm a de form a que las únicas zonas plásticas son las rótulas, es decir no hay zonas plásticas entre dos rótulas. D e acuerdo con lo anterior, en el sistem a [17.32], se plantea la sim plificación de que en las rótulas del sistem a isostático no actúan las incógnitas M¡, sino los m om entos M u¡, conocidos para cada rótula i. En definitiva en [17.32], para cada valor de i, \¡f¡ = 0. El nuevo sistem a, m ucho m ás sim ple, es, por tanto f M ,, M E gd s + Mk — J El J El

1

Este punto se expone en el A nejo n°l del Tom o II.

2

El profesor G .M A C H I ha realizado una labor m uy extensa, tanto en la investigación com o en la aplicación del cálculo no lineal. U na parte im portante de este trabajo ha sido desarrollado en el seno del C.E.B.

328

^ [ M ¡ i M lk d s + Y M¡ -----:------- d s + 6k = 0 iT7 El

[17.36]

con lo que la rotación plástica es la única incógnita de cada ecuación.

1

A m bas referencias corresponden al m ism o texto.

329

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U n inconveniente, en cam bio, del sistem a, es que para estructuras som etidas a sistem as diferentes de acciones independientes, caso frecuente, es necesario investigar el sistem a de rótulas en cada caso, com probando que en ninguna rótula se ha rebasado el va lo r 0u, pero que en todas 6 = 0 .

Dado

Supuesto

17.5.2. S O L U C IÓ N M E D IA N T E M É T O D O S D E C Á L C U L O N U M É R IC O L os m étodos expuestos en 17.5.1 son, com o ya dijim os, de m uy trabajosa aplicación práctica, especialm ente si la estructura presen ta un núm ero de piezas elevado. El cálculo num érico ofrece un cam ino que, con la ayuda del ordenador, resulta de más fácil aplicación.

C a l c u l o l i neal de esfuerzos

R esum im os a continuación los aspectos esenciales. V éase para am pliación, por ejem plo, H. C O R R E S y J. L E O N (17.9). El m étodo parte de la discretización de la estructura (Fig. 17-24). N orm alm ente, cada pieza se discretiza en un núm ero de elem entos de 5 a 10, com o m áxim o. Se parte de una definición com pleta de la estructura en geom etría, m ateriales, arm ado y cargas; es decir, que se trata, de nuevo, de un m étodo de com probación y no de dim ensionam iento. El arranque se hace a partir de unas rigideces estim adas, generalm ente a partir del cálculo lineal.

C a l c u l o de l a s ecci ó n

Si

Se o b t i e n e un punto de la c ur v a c a r g a desplazamiento.

F ig u r a 1 7 -2 4

L a figura 17-25 indica un diagram a de flujo de un m étodo de este tipo (17.10) en el que se señala el proceso iterativo a seguir.

Segundas

rigideces

F ig u r a 1 7 -2 5

17.6 M É T O D O S B A S A D O S E N LA R E D IS T R IB U C IÓ N A P A R T IR D E L O S R E SU L T A D O S D E L C Á L C U L O L IN E A L , PA R A E L E M E N T O S L IN E A L E S D E H O R M IG Ó N A R M A D O E stos m étodos están basados en la realización p rev ia del cálculo lineal, perm itiendo luego variar las leyes de m om entos, m anteniendo, p o r supuesto, el cum plim iento de las condiciones de equilibrio.

330

331

E xiste un gran núm ero de N orm as N acionales que, con variantes, a veces im portantes, aceptan m étodos de cálculo de este tipo. L a razón es que tales m étodos p resentan por el m om ento la im portante ventaja de disponer de sistem as de aplicación general para el cálculo de esfuerzos, tales com o los que hem os visto en los C apítulos precedentes.

E n la fig u ra se indican las distribuciones de m om entos flectores correspondientes al cálculo lineal en las tres hipótesis de cargas que se señalan.

Por otra parte, un m étodo de cálculo lineal, o próxim o a él, asegura tensiones m oderadas en el horm igón y el acero en las condiciones de servicio de la estructura y generalm ente una fisuración reducida en condiciones de servicio.

17.6.1. M É T O D O D E L A M E R IC A N C O N C R E T E IN S T IT U T E (A.C.I.) El Instituto A m ericano del H orm igón (17.11) perm ite que los m om entos de dinteles continuos sobre sus soportes se aum enten o dism inuyan en un tanto por ciento igual a

20

P-P

[17.37]

Pc de su valor m áxim o, para cualquier com binación de carga. En la fórm ula [17.37], p es la cuantía geom étrica de la arm adura de tracción, p ‘ la de com presión y p c la cuantía crítica superior1'2. L a variación perm itida por [17.37] sólo puede ser utilizada si se cum ple la condición - C 2 <05 Pc ’

[17.38]

El m étodo supone una posibilidad m uy interesante de obtener estructuras más económ icas y suficientem ente seguras. E sto es así no sólo p o r la reducción de m om entos negativos que supone, sino porque tam bién p u ed e conducir a una reducción de los m om entos m áxim os p ositivos en los vanos. L a econom ía obtenida es tanto más im portante cuanto m ás elevada es la relación de la sobrecarga a la carga perm anente. U na segunda ventaja del m étodo es que la reducción de los valores de los m áxim os m om entos negativos de las vigas perm ite reducir arm aduras precisam ente en puntos que en las estructuras de edificación suelen presentar una gran densidad de arm ado. Veamos a continuación, m ediante un ejem plo concreto, algunas particularidades de aplicación del m étodo. C onsiderem os, a título de ejem plo, la viga continua de dos vanos de 6 m de luz que se indica en la figura 17-26. Supongam os que la carga perm anente unifoim em ente repartida es de 10 kN /m y la sobrecarga tam bién uniform em ente repartida de 10 kN/m. 1

El concepto de cuantía crítica superior se explica en el C apítulo 35. Puede anticiparse ya que la pieza es tanto m ás dúctil cuanto más baja sea su cuantía.

2

Este m étodo y, en general los m étodos de redistribución, no deben aplicarse cuando los mom entos se han obtenido por m étodos aproxim ados.

332

(P )

CARGA PERM ANENTE + SOBRECARGA EN AM BOS VANOS (R E D IS TR IB U C IO N )

( ? ) ------------ CARGA PERMANENTE EN AMBOS VANOS V S O B R E ­ CARGA EN VANO IZQUIERD O (C ÁLCULO L IN E A L ) ( ? ) ------------ CARGA PERMANENTE EN AMBOS VANOS Y S O BR E ­ CARGA EN VANO IZQUIERDO (R E D IS TR IB U C IÓ N ) ( ? ) ------------ CARGA PERM ANENTE EN AMBOS VANOS Y SOBRE­ CARGA EN VANO DERECHO (C Á L C U L O L I N E A L ) ( ? ) ------------ CARGA PERM ANENTE EN AMBOS VANOS V S O B R E ­ CARGA EN VANO DERECHO (R E D IS TR IB U C IO N ) @

♦ - — E NVOLVENTE

DE V A LO R E S

PÉSIM OS

Figura 17-26 D e acuerdo con A C I 318 podem os reducir, por ejem plo, el valor OA del m áxim o m om ento negativo en el apoyo interm edio. Supongam os, para sim plificar, que la cuantía es despreciable, con lo cual [17.37] perm ite la reducción lím ite del 20% , que se h a indicado en la figura com o curva 1’ de trazo discontinuo. E s inm ediato dem ostrar que en el punto m edio de la luz, el m om ento positivo h a aum entado en una m agnitud B B ’ igual a la m itad de A A \ es decir igual al 10% del m áxim o m om ento negativo. Si no hiciéram o s n in g u n a otra red istrib u ció n , habríam os conseguido una im portante reducción del m om ento negativo, pero las curvas pésim as de m om entos positivos seguirían siendo la 2, en el vano izquierdo, y la 3 en el vano derecho. Sin em bargo, podem os obtener tam bién una reducción en los m om entos de vano, si, para las hipótesis de carga 2 y 3, increm entam os el valor del m om ento negativo. D e acuerdo con A C I 318, este increm ento puede llegar h asta el 20% de su valor OC, correspondiente al cálculo lineal. O bsérvese que en nuestro caso un increm ento tan alto no es económ icam ente interesante, ya que si bien levantaría m ucho la ley de m om entos positivos en los vanos, pasaría entonces a ser determ inante la curva 1’, es decir reduciríam os m uy poco el m om ento en vano y aum entaríam os m ucho, sobre el valor O A \ el m om ento en apoyo. 333

www.libreriaingeniero.com En nuestro caso la m ejor solución se consigue con un increm ento de O C tal que el m om ento en vano pase a ser sensiblem ente el de la curva 1’ y esto se consigue m uy aproxim adam ente con un increm ento igual a C A \ es decir del 0,8 x 90 - 67,5

x 100 = 6,7

67,5 Con ello, la curva redistribuida de 2 es la T de la figura, que coincide prácticam ente con 1 \ A nálogam ente, la redistribuida de 3 es la 3 \ E n la parte derecha de la figura, se ha dibujado la envolvente de todas las hipótesis, que sería en definitiva la ley de m om entos para el arm ado. C om o puede apreciarse: - Se ha conseguido una reducción del 20% en el m om ento negativo máxim o. - Los m om entos positivos no sólo no han aum entado con ello, sino que se han reducido ligeram ente.

El propio Código A C I 318-95 en su com entario presenta la figura 17-27 en la que se pone en evidencia la prudencia de las lim itaciones adoptadas p o r dicho Código, frente a los resultados de un cálculo más riguroso. D ebe en cam bio llam arse la atención sobre el hecho de que, en general, los distintos m étodos lim itan la com probación de ductilidad suficiente a la sección de m om ento m áxim o. E sto debe considerarse con el necesario criterio, p u e s otras secciones de la p ie za tam bién sufren redistribuciones im portantes y, p o r tanto, la disposición de arm aduras, su corte y sus com probaciones de adherencia y anclaje deben ser especialm ente cuidadosas cuando se em plean estos métodos.

17.6.2. M É T O D O D E LA IN S T R U C C IÓ N EH E La citada Instrucción (17.12) trata el tem a en su artículo 52.1, aceptando una red istrib u ció n m áx im a d el 15% del m áxim o m om ento n eg ativ o en d inteles, im poniendo com o condición de ductilidad suficiente

- En contrapartida, la zona de m om entos negativos se ha am pliado ligeram ente y, en algunas zonas (entre M y N en la figura), los valores han aum entado aunque en pequeña cantidad. Es claro que la gran libertad que el m étodo perm ite ha de m anejarse en cada caso particular de acuerdo con las necesidades, buscando la solución que se estim e com o más conveniente desde los puntos de vista técnico y económ ico. Por ejem plo, en el caso analizado en la figura 17-26, hem os partido de conseguir la m áxim a reducción posible del m om ento negativo. U na m enor reducción de este m om ento perm itiría una m ayor reducción de los m áxim os m om entos positivos en vano. D esde el punto de vista técnico, lo usual es reducir los m áxim os m om entos negativos, puesto que esto evita la excesiva congestión de arm aduras en los apoyos y/o conduce a m enores escuadrías. Sin em bargo, no puede afirm arse con carácter general que esta solución sea la más económ ica de todas las posibles.

- j - 0.45

[17.39]

donde los valores x y d corresponden a la profundidad de la fibra neutra y al canto útil (véase C apítulo 29) y se refieren a la sección de m áxim o m om ento flector negativo, una vez redistribuido éste. Com o puede apreciarse, las posibilidades de redistribución que perm ite la Instrucción EH E son reducidas.

17.6.3. M É T O D O D E L M O D E L C O D E C E B -FIP (M C-90) D icho docum ento (17.13) en su apartado 5.4.3 trata el tem a bajo el epígrafe "C álculo lineal seguido de redistribución lim itada". El planteam iento es ligeram ente distinto en su form a pero equivalente en el fondo al del A .C .I., pues tam bién contem pla exclusivam ente la redistribución en vigas y perm ite "reducir los m om entos en las secciones m ás solicitadas", lo que equivale a aum entar o dism inuir los m om entos negativos com o hace el A.C.I. U na prim era diferencia im portante surge en cam bio en la expresión de la condición de ductilidad suficiente, ya que el M O D E L C O D E -90 la fija a través de la profundidad de la fibra neutra. L lam ando 8 al coeficiente reductor del m om ento en la sección m ás solicitada, se establecen las condiciones sig u ien tes1: E n general, en vigas con directriz en un plano horizontal, se establecen las lim itaciones siguientes:

Aceros tipos A y S de los indicados en 32.5.2.3 - P ara horm igones H -12 a H -35 PO RCEN TAJE

D E C A M B IO

DEL

MOMENTO

1 F ig u r a 1 7 -2 7

334

E l M O D EL CO D E-90 im pone, adem ás de estas condiciones, otras respecto a rotaciones m áxim as (ver A nejo n°l) en función de la clasificación de aceros según su ductilidad. (Ver 32.5.2.3.).

335

s>

0 ,4 4 + 1,2 5 - 7d

[ 17.40 ]

Piezas pretensadas.El M O D E L CO D E-90 perm ite la redistribución en piezas pretensadas. Vale para ello lo dicho anteriorm ente considerando que, en el caso de las arm aduras postesas, el acero se asim ila al tipo A y en el de arm aduras pretesas al tipo B .

[17.41]

17.6.4

- P ara horm igones H -40 a H -60

S> 0,56 + 1 . 2 5 Í L d

M É T O D O D EL E U R O C Ó D IG O E C -2 (17.14)

P resenta algunas diferencias con el M C-90.

(x es la profundidad de la fibra neutra en estado lím ite últim o después de redistribuido el m om ento y d el canto útil. V éanse los C apítulos 36 y 37).

P ara vigas continuas con relación de luces contiguas inferior a dos, dinteles de entram ados intraslacionales y piezas som etidas predom inantem ente a flexión, perm ite redistribución sin com probar la capacidad de rotación, si se cum ple lo siguiente:

A dem ás debe cum plirse:

a) P ara horm igones no superiores a H-35

En vigas continuas y en pórticos intraslacionales 0,75 < 8 < 1

S > 0,44 + 1 ,2 5 — d

[17.42]

E n pórticos traslacionales 0,90 < 8 < 1

-

8 > 0,56 + 1,2 5 —— d

- Para horm igones H -12 a H -60

8 > 0,7

0,90 < S < 1,20

8 > 0,85

[17.47]

En lo anterior, 8 , x y d tienen los m ism os significados que en 17.6.3. c) E n general no se perm ite redistribución en entram ados traslacionales. P ara la capacidad de redistribución, en particular en relación con el tipo de acero, véase la Tesis D octoral de H. O RTEG A (17.20).

17.7

X = — es la esbeltez m ecánica. i

[17.46]

- P ara aceros de ductilidad norm al

E n el caso de pórticos traslacionales no puede adm itirse redistribución si la esbeltez equivalente de los pilares supera el valor de 15 '. U na segunda diferencia, tam bién im portante, surge considerando las fórm ulas [17.37] y [17.40], ya que para profundidades reducidas de fibra neutra (lo que equivale a cuantías p - p ‘ bajas en el m étodo del A .C .I.), el M O D E L C O D E perm ite red u cir los m om entos hasta un 30% . E s decir, el m étodos del M O D E L C O D E, para los casos de vigas y pórticos intraslacionales, perm ite redistribuciones más acentuadas que el m étodo del A.C.I.

[17.45]

b) P ara aceros de alta d u ctilid ad 1

§ > 0,75 + 1,25 — d.

I

P ara horm igones superiores a H-35

[17.43]

Aceros tipo B de los indicados en 32.5.2.3

Vv El M C -90 define com o esbeltez equivalente el X = -------------- X donde: 1 + 15p I

[17.44]

P R O G R A M A S D E O R D E N A D O R PA R A C Á L C U L O N O L IN E A L

N o existen prácticam ente program as com erciales de carácter general para el cálculo no lineal. Existen program as desarrollados por centros de investigación y organism os análogos, que cubren cam pos especiales. A título de ejem plo, la referencia (17.21) de CA LA V ERA y otros contiene un anejo de H. CO R RES y J. LEO N correspondiente a un program a de este tipo, utilizado en la E scuela T écnica Superior

p = C uantía geom étrica de la arm adura longitudinal

V/

v =Esfuerzo axil relativo v = — (V éase C apítulo 45) I

336

Para, la clasificación de aceros según el Eurocódigo EC-2, véase 32.5.2.3.

337

www.libreriaingeniero.com de Ingenieros de C am inos de M adrid p ara el program a de investigación de cálculo no lineal de forjados correspondiente a la referencia (17.21). A. M A RI (17.26) ha desarrollado tam bién program as de este tipo.

17.8 S IT U A C IÓ N A C T U A L D E L A A P L IC A B IL ID A D P R Á C T IC A D E L C A L C U L O N O L IN E A L Al enfocar este tem a, deben considerarse con cuidado varios aspectos. E n prim er lugar, los conceptos básicos del cálculo no lineal y, en general, del com portam iento plástico de las estructuras de horm igón y en especial de los procesos de redistribución de m om entos, son de conocim iento esencial para quien haya de tratar con estas estructuras, con independencia de que aplique cálculo lineal o no lineal. E n segundo lugar, deben reconocerse las dificultades m uy considerables que se p resentan al abordar la realización práctica del cálculo no lineal. E num eram os solam ente algunas: a) N uestro conocim iento de los diagram as A xil-M om entos-C urvatura y A xilM om entos-R otaciones es todavía insuficiente, especialm ente en zonas de las piezas cuyas fisuras no son ortogonales a la directriz de la pieza. L a influencia del esfuerzo axil y del cortante acentúan esta insuficiencia de conocim iento. b) El planteam iento general para estructuras con elevado núm ero de piezas presenta grandes dificultades para su tratam iento inform ático. A ún con la sim plificación de concentrar las rotaciones, las dificultades son considerables. c) Los m étodos habitualm ente en uso, suponen que, dado un sistem a de acciones ac tu an d o sobre la estru c tu ra, éstas crecen h o m o té tic am en te h ac ia el agotam iento, a través de un proceso generalizado de plastiflcación. Esto puede no ser así en la realidad, e incluso puede concebirse que una estructura se agote por un defecto local en una zona, que se plastificará, pero estando todo el resto de la estructura en régim en lineal. d) U na cosa es el desarrollo de program as para la com probación de una estructura de pequeño núm ero ele p ie za s, com o es, por ejem plo, el caso de los estudios de patología, y otra el de program as para cálculo de estructuras en general. e) U n aspecto esencial es la detallada consideración de los procesos de cálculo lineal y no lineal: - En el caso del cálculo lineal, a p artir de las acciones, se realiza un predim ensionam iento ele escuadrías (véase el C apítulo 16) y con base en él se calculan los esfuerzos y, a partir de ellos, las arm aduras. - El problem a es m uy diferente en el caso del cálculo no lineal, pues el predim ensionam iento ha de abarcar no sólo las escuadrías de las piezas, sino incluir el arm ado de la estructura. Si los esfuerzos finales no se corresponden con las secciones y arm aduras adoptadas, es necesario repetir el cálculo de n u e v o 1. I

338

Es notable el hecho de que siendo enorm e el núm ero de estudios publicados sobre el cálculo no lineal, sea en cam bio reducidísim o el núm ero de estudios sobre m étodos de predim ensionam iento para este tipo de cálculo.

- Puede estim arse que el tiem po de ordenador necesario para el cálculo no lineal es, por lo m enos, de cincuenta a cien veces superior al del cálculo lineal. f) E stán en cam b io p le n am e n te d isp o n ib les los m éto d o s ex p u esto s de redistribución lim itada a partir del cálculo lineal, cuya aplicación es sim ple. g) Indiscutiblem ente, los avances de la propia investigación en horm igón arm ado, ju n to a los avances inform áticos, perm itirán que la aplicación práctica del cálculo no lineal vaya generalizándose de m anera m ás efectiva en la práctica profesional, lo cual representará un m ejor estudio de la seguridad, una m ay o r ec o n o m ía de la co n stru cció n y una ap re cia b le sim p lificació n constructiva. En E sp añ a deben destacarse los trabajos de A G U A D O D E C E A (17.22), CA LA V ERA , CO R R E S, FE R N Á N D E Z G Ó M E Z Y L E O N (17.21), C A R O L (17.23), C O R RES (17.24), G O N Z Á L E Z V ID O SA (17.25), M A RÍ (17.26) y (17.27), M U R C IA (17.28), y SO SA y FE R N Á N D E Z PR A D A (17.29). U n estudio interesante sobre la com paración de los m étodos de redistribución h a sido realizado en Francia por T H O N IE R (17.30). V éase tam bién FU E N T E S (17.31).

B IB L IO G R A F ÍA (17.1)

ARENAS DE PABLO, J.J. "Cálculo de soportes de hormigón armado en teoría de segundo orden". Editores Técnicos Asociados. Barcelona, 1980.

(17.2)

CALAVERA, J. "Nota interna sobre grado de redistribución". Distribuida en la Comisión VII "Reinforcement, technology and quality control". C.E.B., Palma de Mallorca, Septiembre 1992.

(17.3)

COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON (C.E.B.). Bulletin d’Information n° 21. Enero 1960. Commission "Hyperestatique". París, 1960.

(17.4)

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340

341

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CAPÍTULO 18

C Á LC U LO D E E SFU E R Z O S E N FO R JA D O S U N ID IR E C C IO N A L E S 1 18.1 G E N E R A L ID A D E S B ásicam ente los m étodos de cálculo de esfuerzos en forjados pueden clasificarse en dos grupos: a) M étodos basados en el cálculo lineal. (A veces llam ados m étodos clásicos o m étodos elásticos). b) M étodos basados en el cálculo no lineal. A continuación se exponen am bos m étodos, aunque debem os señalar de antem ano que en general los m étodos del tipo b) resultan preferibles tanto por la m ayor sencillez de los cálculos com o p o r su m ayor concordancia con la realidad estructural de los forjados en la m ayoría de los casos.

18.2 C O M B IN A C IO N E S D E A C C IO N E S E n general, el cálculo de un forjado requiere considerar tres hipótesis cuando las desigualdades de luces y la relación q/g de sobrecarga de uso a carga perm anente son im portantes2. (Fig. 18-1). 1

El contenido de este C apítulo es un resum en de los aspectos esenciales de mi libro “Cálculo, C onstrucción y Patología de F orjados de E dificación” (18.1)

2

P áralo s m étodos basados en el cálculo lineal es igual operar con las cargas reales o con cargas unidad en vanos pares y en vanos im pares (dos cálculos solam ente)operando luego p o r sum a y proporcionalidad para tener las tres hipótesis.Para los m étodos basados en el cálculo no lineal de la Instruccón BA EL-83 (18.2) las hipótesis tienen que ser físicam ente existentes, o sea, las a) b) y c) de la figura 18.1 (tres cálculos)

343

A

i

25

25

— i— t?__ j. (Tg

c) En los ciclos de transm isión, no se transm ite y a la m itad del m om ento, sino el producto de éste por pdf ó p rd según se trate de transm isión del dorsal al frontal o viceversa. Los valores de pdf ó p fd se obtienen del gráfico GT-11.

25---------------------S -------

t?

i

ti

j___

méx * 9 +Tq mó*' q)kN/m

s) m]!];si¡iiiiii|ii¡iin]i[[i[i[iiii¡iiiii!iij!

p in

p n |

En los cálculos anteriores se han supuesto dos cuestiones: (Yg ">4* '

n í i ’ Q) kN/m

(Ygmta’ S’ Yq m ia 'q ) IcN/m

s) jm mi f111111mu

( Y g Q +Y g m ii'fl)

a) Q ue los apoyos interiores constituyen apoyos continuos perfectos. E n la práctica, los forjados se construyen solidarios con las vigas y la rigidez a torsión de éstas ofrece un a cierta resistencia al giro. L a ignorancia en este caso de la rigidez a torsión está del lado de la seguridad.

,r ,,j i m f

(Yg máx'Q 'Yq miK'P) kN/m

C) ■,J íñ 'rin .,, .j TTTriTHII!n1111^, I,

(Ygmdx' 9 +Yq mto‘ Cl)kN/m

,

,j TnTÍTiíi'fll Ii1!i¡Ufe^:9kN/nl

b) Q ue los apoyos extrem os son sim ples apoyos. Salvo en casos en que realm ente se m aterialice un sim ple apoyo, casi siem pre los forjados se construyen unidos m onolíticam ente a vigas de borde.

Figura 18-1

Las tres hipótesis de cálculo son:

18.3

M É T O D O S B A S A D O S E N E L C Á L C U L O L IN E A L

a) C arga perm anente m ayorada por ygjnáx más sobrecarga m ayorada por yq máx en todos los vanos.

E l problem a puede ser resuelto por cualquiera de los m étodos clásicos. (Cross, ecuación de los tres m om entos, etc.).

b) C arga perm anente m ayorada por ygtináx m ás sobrecarga en vanos im pares m ayorada p o r y áx y carga perm anente m ayorada por ys>m(ll en vanos pares. c) C arga perm anente m ayorada por ygmáx m ás sobrecarga m ayorada por yq müx en vanos pares y carga perm anente m ayorada por ys il![n en vanos im pares.

18.3.1 C A SO D E VANOS D E LU C ES IG U A LES Las tablas GT-5 a GT-8 resuelven directam ente todos los casos para cualquier q 1 relación — (18.5). g

Con estos tres cálculos se obtienen las hipótesis pésim as: a) P roporciona los m áxim os m om entos en apoyos. b) P roporciona los m áxim os m om entos de vano en vanos im pares.

18.3.2 M É T O D O D E CR O SS PARA F O R JA D O S D E SE C C IÓ N C O N STA N TE C O N EX TR E M O S E X TE R IO R E S S IM P L E M E N T E A PO Y A D O S2 En ocasiones se usan m acizados en los apoyos que hacen que la sección no sea constante. E l m étodo general de cálculo es idéntico al correspondiente a 18.3.2 con las dos variaciones siguientes: a) Las rigideces se obtienen en los gráficos GT-9 y GT-10. Los factores de transm isión en GT-11 y los m om entos de em potram iento en GT-12 y GT-13 (18.6). b) N o puede utilizarse ahora la sim plificación de tom ar en vanos extrem os 3 rig id e z — de la real, sino la que resulte de los gráficos. L os nudos extrem os 4 se incluyen en el cálculo, disponiendo la casilla correspondiente y adoptando com o coeficiente de reparto

^ ZJk.

1, con lo que se van anulando siem pre

los m om entos com o corresponde a sim ple apoyo.

1

Para m om entos extrem os véase 18.3.4. com o solución alternativa.

2

R especto a apoyos extrem os cuando no son sim plem ente apoyados, véase 18.3.4

344

c) Proporciona los m áxim os m om entos de vano en vanos pares. O bsérvese que se da p o r supuesto que los vanos se han de cargar o descargar com pletam ente. En E spaña en estos m om entos no existe una norm alización específica que autorice esto, pero es una práctica com ún y suficientem ente seg u ra1. E n la práctica es posible m ediante tablas sim plificar considerablem ente el cálculo, com o verem os en los puntos siguientes. E n lo anterior se ha supuesto que los apoyos extrem os son articulaciones o apoyos deslizantes. E n la práctica el forjado suele ser solidario con la viga o elem ento de borde. P or lo tanto, la rigidez a torsión de la viga producirá un m om ento de em potram iento en el forjado. El análisis teórico de tal m om ento es al m ism o tiem po com plejo (varía a lo largo de la luz de la viga de borde) y altam ente discutible dado el estado actual de conocim ientos sobre deform aciones por ñ ex ió n y sobre todo por torsión, del horm igón. Las Instrucciones E H E y E F han adoptado un criterio práctico sim plificado que consiste en calcular el forjado suponiendo que el apoyo es un sim ple apoyo, y después dim ensionar el forjado para un m om ento negativo de apoyo igual en valor absoluto al

1

Por ejem plo, en una sección de una pieza sim plem ente apoyada, el esfuerzo cortante pésim o se produce cuando se aplica la carga desde la seción considerada hasta el apoyo m ás alejado, y no cuando se aplica la carga a todo el vano. V éase el C apítulo 9.

345

www.libreriaingeniero.com 25% del positivo de vano obtenido en la hipótesis de sim ple apoyo. El m étodo es suficientem ente seguro y parte naturalm ente de consideraciones de readaptación plástica.

18.3.3

M É T O D O SIM P L IF IC A D O D E L A M E R IC A N C O N C R E T E IN ST IT U T E (A C I) PARA F O R JA D O S CO N T IN U O S CUYAS L U C ES N O D IFIER E N EN M Á S D E L 20%

E l A C I (18.7) incluye en su N orm a el siguiente m étodo para el cálculo de esfuerzo de vigas o losas continuas: - El m étodo es válido p ara forjados con dos vanos com o m ínim o. - De cada dos luces adyacentes la m ayor no excede a la m enor en m ás del 20%. - Las cargas son uniform em ente distribuidas. - L a sobrecarga viva es inferior a tres veces la carga perm anente. C um plidas las anteriores condiciones, los m om entos Rectores se indican en la figura 18-2.

0

DOS VANOS

k D ¿ 5 ---------------

j

TV

Pl?. *1 0 2 5 ------ —

j.

PL1. 11 A pj2

Z

PL?. 11

PLZi * 24 A ^

1

, PL.

14

pl?. B A ^

i

™ Pl?. 11 A -------

rf— i— l, —j— a —j.

NOTA: - L ,. L2. L j ..., S O N L A S L U C E S L IB R ES D E C A D A VANO. L . IN DIC A LA S E M IS U M A O E LA S L U C E S L IB R E S D E L O S D O S V A N O S CO N TIG U O S AL A P O YO CO NSIDER ADO .

Figura 18-2 NOTA. L ,, L^, L 3 ..., son las luces libres de cada vano. L* indica la sem isum a de las luces libres de los dos vanos contiguos al apoyo considerado. Para los esfuerzos cortantes se adoptarán los isostáticos excepto en el apoyo interior de los vanos extrem os en los que se tom ará 1,15 veces el isostático. 346

E n d efin itiv a, en fo rjad o s h ip e restático s, los d iag ram as de esfu erzo s a cubrir m ediante la cap acid ad resisten te ap o rtad a p o r el co n ju n to h o rm ig ó n -arm ad u ra, pued en ser m uy d iferen tes, siendo to d o s resisten tem en te y fu n cio n alm en te válidos, si la fisu ració n que aparece p ara la d istrib u ció n de esfu erzo s eleg id a no es p erju d icial para la d u rab ilid ad del fo rjad o ni p ara el co m p o rtam ien to de los rev estim ien to s. En el caso particular de los forjados, la Instrucción EF perm ite una redistribución m ayor, consistente en reducir, com o m áxim o, el valor del m om ento de apoyo hasta igualarlo al de vano. L a Instrucción francesa B A E L -83 trata tam bién el asunto, con m ayor am plitud. Todo ello se resum e a continuación. C om enzarem os por el método p revisto en BA EL-83.

L a Instrucción francesa BA EL-83 desarrolla un m étodo sim plificado de cálculo, aplicable a los forjados en los que se cum plen las condiciones siguientes: a) Las sobrecargas no son superiores a dos veces la carga perm anente ni a 5 k N /m 2. E sta condición la cum plen todos los forjados de viviendas, la gran m ayoría de los de oficinas y edificios públicos y m uchos forjados de edificios industriales. b) Las cargas localizadas aplicadas a un elem ento cualquiera del forjado y generalm ente asim iladas a cargas repartidas, no deben ser superiores ni a 2 kN ni al cuarto de la sobrecarga total aplicable al elem ento.

, P lj

Pl?) pi?. Pl?. MÁSDE *2 4 *1 0 11 DOS VANOS £ ----------- —2---------- S ------ ¡ ¡ 7 ------S

j—

Los esfuerzos en las distintas secciones de forjados continuos, p o r las propias características reológicas del horm igón y p o r la influencia de la fisuración, se distribuyen de form a notablem ente distinta de la obtenida p o r los m étodos de cálculo vistos en 18.3, de acuerdo con lo discutido en el C apítulo 17.

A

j— Z — i

FO RJADO S CON A PO YO S EXTREM O S E M P O T R A D O S E N V IG A S D E B O R D E

D O S VANOS

M É T O D O S B A S A D O S E N L A R E A D A P T A C IÓ N P L Á S T IC A

18.4.1 M É T O D O D E L A IN ST R U C C IÓ N B A EL-83 PARA F O R JA D O S CO N SO B R E C A R G A M O D E R A D A Y LU CES D E VANOS C O N SEC U TIV O S C O M P R E N D ID A S E N T R E 0 ,8 0 Y 1,25 V E C E S L A D E L VANO CO N SID E R A D O

FO RJADO S CON APO YO S EXTREM O S S IM P L E M E N T E A P O Y A D O S

MÁS DE 0 0 8 VANOS

18.4

c) Los m om entos de inercia de las secciones transversales son los m ism os en todos los vanos. d) L as luces consecutivas están en una relación com prendida entre 0,80 y 1,25. e) L a fisuración no se considera com o perjudicial ni para el com portam iento del horm igón ni para el de sus revestim ientos. El cálculo es m uy sim ple y acepta que, con las condiciones im puestas, no es necesario considerar cargas y descargas de vano. Se desarrolla de acuerdo con lo que sigue: M om entos ¡lectores. E l cálculo de los m om entos Rectores a lo largo de cada vano se basa en elegir a voluntad, dentro de unos valores lím ites que expondrem os a continuación, los m om entos Rectores en apoyos y vanos de form a que cum plan la relación (Fig. 18-3) M N + CD = (l+0,30oc) M 0 , o sea 347

Mad

En los apoyos extremos, salvo que se materialice realm ente una articulación en cuyo caso el momento sería nulo, se cubrirá como mínimo un momento igual a 0,15 M 0, calculando, sin embargo, el de vano como si el apoyo extremo fuera articulación. Los valores de los momentos en vano no han de ser menores que: 1,2 + 0 ,3 a --------------- M 0 en vanos extremos

1 + 0,3 a ----- M 0

M v + Í2L H M "f\> (j+ o ,3 a ) M 0 > 1,05 M 0 2

[18.1]

Esfuerzos cortantes. Los esfuerzos cortantes se calculan teniendo en cuenta el efecto hiperestático. Proceso de cálculo mediante las tablas GT-14 a GT-18. Lo expuesto permite el cálculo directo e inm ediato de cualquier forjado, m ediante las tablas. Estas proporcionan, para cualquier tipo de vano (extremo o interior), los tres coeficientes

donde: M ad

=

M omento flector en el apoyo dorsal.

M af

=

M omento flector en el apoyo frontal.

Mv

=

M omento flector máximo de vano, que se considera producido en la abscisa x0correspondiente al máximo momento de vano de la ley de m om entos correspondiente a la línea de cierre debida a los momentos M ad, M af 1

Ka& K v y K f que, multiplicados por M 0 = \ - ( g + qW , proporcionan los valores M ad, J

M,

a

Máximo momento flector producido por las cargas sobre el vano considerado como isostático.

-

La tabla contiene valores de Kad (apoyo que puede ser extremo o interior, mientras que el Kaf&s siempre interior) que van de 0 a 1, variando de 0,05 en 0,05. El cálculo se realiza de la siguiente form a considerando el forjado de izquierda o derecha: - Se fija el valor del momento en el apoyo extremo en función de las características de rigidez del elemento de borde. Se pueden dar dos situaciones:

Llam ando Kad, KaJi K v los coeficientes que multiplicados por M 0, nos dan los momentos flectores, la expresión [18.1] expresada como igualdad se transform a en

K

(1+0,3a)

- Que realmente se m aterialice una articulación, en cuyo caso Kad = 0. - Que se trate de un em potramiento elástico en elemento de borde. En este caso recom endam os tom ar como valor de Kaá el de 0,15'.

[18.2]

- A continuación y en el vano extremo, se fija el valor de Kaj para el apoyo siguiente al extremo entre las distintas posibilidades existentes para el valor adoptado de Küá. La elección debe hacerse en cada caso a la vista del grado de plastificación que se desee y sobre todo de las respectivas capacidades a flexión del forjado para momentos positivos y negativos2.

La expresión [18.2] está tabulada, para diversos valores de la relación en los gráficos GT-14 a GT-18. Los valores de los momentos en apoyo (en valor absoluto) no han de ser menores que: 0,60 M 0 en el apoyo central de forjados de dos vanos. 0,50 M n en el apoyo siguiente al extremo de forjados de más de dos vanos.

8

M v, M af de los momentos en apoyos y máximo en vano (fig. 18-3).

Relación del valor de la sobrecarga al de la carga total.

K ad + K af

en vanos interiores

Recuérdese que el valor adoptado para no debe ser inferior a 0,60 si se trata de un forjado de dos vanos y a 0,50 si es de tres o más vanos.

0,40 M a en los apoyos internos (ni extremos, ni contiguos a ellos) de forjados de más de dos vanos. 1

Obsérvese que M i1d, Mafy M y no son momentos correspondientes a una misma ley debida a un estado real de carga, sino que el valor M v está incrementado respecto al real.La Norma BAEL-83 no especifica exactam ente que el valor M v ocurre en la abcisa Su antecedente, la Norma BA-68 e incluso la BA-60 eran más claras a este respecto.

348

1 2

BAEL-83 no indica nada a este respecto. En general, para la m ayoría de los forjados la capacidad a flexión para m omentos de vano es mucho m ayor que para m omentos de apoyo, por lo que suele interesar reducir al m áximo los m om entos de apoyo.

349

www.libreriaingeniero.com En el segundo vano1 se eligen los valores Kad, Kaf, de acuerdo con las consideraciones de grado de plastificación y características del forjado que se adopten, recordando que Kad no puede ser inferior a 0,5 ni inferior a 0,4. Para los vanos interiores, se eligen análogamente los valores Kad, Kap de acuerdo con las consideraciones anteriormente expuestas, recordando que Kady Kaf no pueden ser inferiores a 0,40. Para los momentos de vano se toman los valores de K en los apoyos extremos y en el caso de apoyo interior el mayor de los dos valores Kad, Kaf¡ correspondientes a los dos vanos contiguos a ese apoyo. En este caso si el momento en ese apoyo considerado como el vano adyacente es mayor que el correspondiente al vano considerado, se halla el coeficiente ficticio K ’ que, aplicado al valor M 0 del vano que se esté considerando, iguale al momento de empotramiento correspondiente al vano adyacente. Con los valores de K ó (K ') en los extremos, las tablas GT-14 a GT-18 nos proporcionan el valor de

y haciendo —:------= 0 J ax

[18.3]

El valor de Kv, elegidos los de Kaá y Kaf, viene proporcionado por la fórmula [18.2] o por los gráficos GT-14 a GT-18. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que de acuerdo con lo explicado, si el valor

Kv que. de todas formas, no deberá ser inferior a

+ en vano extremo 2 ni a J—t —í ^ L en vano interior. (Esto ya está considerado en las tablas) En el caso particular de existir voladizos, el método expuesto puede no ser válido y, por tanto, debe aplicarse el que se expone más adelante.

de Kv, resulta inferior a K \

vano extremo o K \

en vano

interior, se tomarán estos valores como correspondientes a K v, con lo cual (fig. 18-4), el valor del momento en vano sería K \, M 0 . Si rige K v, la curva de momentos en vano es la AH B, siendo:

Es importante, para completar el método, poder calcular los puntos de momentos nulos y los de corte de barras. Para ello consideremos la figura 18-4.

{Kaf^ K ady D H = CG =

Mn 16

- Kad )2 GH = K,M 0 + FC - CG =

M0 = X M 0

0,3a

[18.4]

16 La curva de momentos de vano es, por tanto, la trasladada verticalmente -X M 0 a partir de A ”G B ", donde A = 0 ,3 a -

Consideremos la ley de momentos debida a la ley isostática M 0 = — p f con los 8 momentos de empotramiento -Kad M 0 y KafM 0 . 2

( Kaf- Kad )2

[18.5]

16

Si rigen los valores mínimos en vano,A"’v , la curva de momentos de vano es la A 7fí\ obtenida a partir de la A"GB" mediante una traslación vertical.

(Curva A"GB" de la figura).

[18.6]

-8 M 0 = - ( K \ - K V+ X ) M 0 1

Empleamos la denominación de vano extremo, para el primero a partir del apoyo extremo, segundo vano para el siguiente y vano interior para los que no están en ninguna de las dos situaciones anteriores.

2

En el extremo dorsal, el momento de empotramiento (acción del nudo sobre el extremo de la pieza) es el signo contrario al flector, mientras que en el frontal ambos coinciden en valor y signo.

350

1

Esta expresión es de obtención inmediata a partir del valor de-ém. dado por [1 S.3], sustituyendo en

a la ecuación de momentos para hallar FG y añadiendo el valor absoluto de CF calculado a partir

te K acíM0yK qfM0'

Si no rige el momento de vano correspondiente a K \ , , resulta <5 = X , es decir las curvas A H B y A ’I B ’ coinciden.

Los m om entos prim arios son:

Para el caso de vano extremo, deberemos trasladar la curva, de acuerdo con [18.5] ó [18.6], una magnitud -X M 0 ó -8 M 0 , según corresponda. Esto conduciría a adoptar, para ley de momentos en vano, un momento positivo dorsal m de valor - X M 0 ó - 8 M 0 , si el em potramiento en ese apoyo es nulo, lo cual conduce a la curva BGD de la figura 18-5, que es evidentemente muy pesimista. En lo que sigue, adoptaremos como curva de momentos para corte de barras y efectos análogos, la correspondiente a una traslación - X M 0 ó - 8 M 0 pero si esta traslación resulta en el apoyo extremo superior al valor del momento, es decir superior a 0,15 M 0, consideraremos en dicho apoyo Kad = 0, adoptando en definitiva en ese caso la curva AFD para los momentos de vano1.

Vano AB:

M 0 = — 42 • 6 = 12,00 m kN

M af = -0,50 ■ 12,00 = -6,00 m kN M v = 0 ,9 0 - 1 2 ,00= 10,80 m kN

Vano B C :

-XMo o-<5m 0

M 0= - 52 - 6 = 18,75 m kN 8 M ad = -0,50 • 18,75 = -9,38 m kN M 0f = -0 ,5 0 • 18,75 = -9,38 m. kN M v = 0 ,6 5 - 18,75 = 12,18 m kN

Vano CD:

M 0= - 5 2 - 6,00 = 18,75 m kN

8

M ad = -0,5 • 18,75 = -9,38 m k N Figura 18-5

18.4.1.1

M úf = 0 M v = 0 ,9 0 - 18,75 = 16,88 m kN

Caso en que no existen voladizos

A continuación se realiza un ejem plo que se indica en la figura 18-6. Se supone viga de borde en los apoyos extremos y suponemos tam bién que se desea reducir tanto g com o sea posible los momentos de apoyo. La relación a ~ - ~ va^e 0,5.

Todos estos valores se anotan como se indica en la figura 18-6. Com o puede verse, en el apoyo B el momento del vano BC es mayor que el correspondiente a AB, y por tanto, es necesario calcular el valor: K ’af 12,00 = -0,5 - 18,75 = -9,38

7g . g + 7q . q = 6 k N ^

uuuuiumnumimmiiuiüinuumuitu MOM ENTOS ISO ST Á T 1 C O S V ALO RES P RIM ARIOS

CO M BINACIO NES DE K PARA CORTE DE BARRAS

V ALO RES DEFINITIVOS D E CÁLCULO

12,00

18,75

18,75

K

0

0,90

-0.50 -0,50

0,65

-0,50 -0,50

0,90

Md

0

10,80

-6,00 -9,38

12,18

-9,38

-9,38

18,88

0

K

-0,15

0,78

-0,78 -0,50

0,65

-0,50

-0,50

0,90

-0,15

Md

1,80

9,36

-9,38 -9,38

12,18

-9,38 -9,38

16,88

-4,36

-0,50

0,65

-0,50 -0,50

-0,59 -0,35

0,65

-0,35 -0,33

MOM ENTOS -0,15 DE APOYO M OM ENTOS DEVANO

0

-

-0,78

-

0

-0,15

0

F ig u r a 1 8 -6 I

352

Recuérdese que, de todas formas, el mom ento a considerar para el dim ensionam iento de la pieza es el correspondiente al punto G de la figura 18-5.

K ’af = -0,78 y entrando en la tabla para el vano A B con Kad = 0, ^ = - 0 , 7 8 , el valor más desfavorable es ^ , = 0,78, correspondiente a Kad = 0, l(af= -0,759 luego M qK v = 0,78 • 12,00 = 9,36 m kN . Los resultados se indican en la figura 18-6. Se ha tomado com o m om ento en el extremo 0,15 M 0 en los vanos extremos. Con todo ello, se anotan los valores de K y M definitivos en las casillas correspondientes. Com o dijimos, con el fin de poder calcular de una manera rápida los puntos de corte de barras, conviene rellenar las casillas de valores de Kad y que han dado lugar a los momentos de apoyo y a los de vano. Cuando se trata de vano extremo, los valores K correspondientes a momentos negativos son los de cálculo. Para los momentos de vano, K del apoyo exterior se toma igual a 0 y para el interior el de cálculo dism inuido en el valor A, que en nuestro caso vale X = 0,15 +

1

0 782 16

= 0 ,1 9 .

Dada la precisión del método no se interpola, sino que se toma el valor más desfavorable.

353

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Para vano interior, los valores de K correspondientes a m om entos negativos son los de cálculo y debe calcularse el Kv de acuerdo con las tablas. L os valores de K ad, K aj-&n los vanos interiores para la fila de m om entos de vano son los correspondientes de la fila de m om entos de apoyo dism inuidos en

CARGA MÁS SOBRECARGA EN VOLADIZO Y TODOS LOS VANOS

**9 •9 +

K \ - Kv + X

UiiiJH ltinuiU IH U l l ü j i l l I t l l l i n i l i n i i l l i i i u u n i i u

donde K \ es el coeficiente de la fila de m om entos de vano y K v el de la fila de m om entos de apoyo. C om o en nuestro caso K \ = Kv - 0,65, la reducción resulta de 0,15, pues Kad = Kaf y, por tanto, X - 0,15.

„

Vd = 2 - 6,00 -

Q 38

1 SO

MOM ENTOS IS O S T Á T IC O S

= 10.10 kN

Vano B C :

Vd = V f = 2,5 • 6,00 = 15,00 k N

V ano CD:

9 38 Vd = 2,5 - 6,00 + -2 —

4 36

1600 kN

18.4,1.2

j .8 ~ 4 ’36 = 14;00 kN

Caso en que existen voladizos

6 -0 0

,

4 .9 0

6 .0 0

12,96

29,16

19,45

29,16

K

—

0 (,,

0,90

-0,50

-0,50

0,65

-0,50

-0,50

0,90

0

Md

—

0

26,24

-14,58

-9,73

12,64

-9,73

-14,58

26,24

0

VALORES

K

—

*0,44 B,

0,68

-0,50

-0,75

0,58(3) -0,75

-0,50

0,90 (<) -0,15

-12,96

19,83

DE CÁ LCULO COMBINACIONES DE K PARA CORTE DE BARRAS

Md

M OM ENTOS DE APOYO M OM ENTOS DEVANO

*12,96 -

-0,44

-

-0,29

-14,58

-14,58 11,28 -14,58 -14,58

-

-0,50

-0,80

-

-0,80

-

-0,35

0,42

-

0,42

m

(7 )

(6 )

26,24

-4.37P,

-0,50

-

0,15

-0,33

-

0

(8 )

O)

(1)

Como 12,96 < 0,5-29,16, en esta hipótesis, para los valores primarios de K el vano se considera como extremo. No se hacen cargas y descargas de vanos.

(2)

Este valor corresponde a

5 Vf = 2,5 • 6,00

u

T----------------------- f ------------------ f -------------------- - f

V ALO R ES PRIM ARIO S D F F lN IT IV n s

4 9,38 - 1,80 Vf = 2 • 6,00 + —-------- — = 13,90 k N 4

2 00

T

Los cortantes resultan:

Vano AB:

‘ q = 6,48 kN/m

——4 — —0,44 . (Este valor debe ser siempre superior a 0,15).

29,16

Con K ad ~ 0,44 y K af = 0,50 , se toma en la tabla K v = 0,68. (Corresponde a K'od = 0,45). (3)

Con K ad — K of = 0,75, la tabla da K v = 0,58. (Rige el valor mínimo de Kv).

(4)

Valor de vano para K gd = 0,50,

(5)

0,15 del valor M0 del vano.

(6)

Obtenido restando a 0,80 el valor 0 ,5 8 -0 ,3 5 + 0,15 , de acuerdo con [18.6],

(7)

Obtenido

K f = 0.

Si el forjado tiene voladizos en cualquier extrem o, conviene distinguir dos casos. -

Si en una cierta hipótesis de carga, el m om ento en el arranque del voladizo es igual o m ayor que 0,5 veces el isostático del prim er vano en esa m ism a hipótesis, éste será tratado com o vano segundo y no com o vano extrem o. En este caso, en nuestra opinión debe realizarse carga y descarga de v an o s1.

restando

de

la

0 ,6 8 -0 ,6 8 + 0,15 + ^— :-------- :—

16

(8)

fila

de

momentos

de

apoyo

el

valor

= 0,15 , de acuerdo con [18.6],

Este valor corresponde a la hipótesis de articulación en apoyo extremo, puesto que es más desfavorable para el corte de barras en vano.

El m om ento en el apoyo siguiente al extrem o bastará que sea por tanto > 0,4 M 0 F ig u r a 1 8 -7

f

l+ 0 ,3 a , 1,2 + 0 ,3 G C ) 2 (y no 0,5 o 0,6 com o vim os anteriorm ente) y el del v a n o ------------ (y n o 2 2 n

c

' n

c

•

.

■

- Si el m om ento es m enor de 0,5 M 0> los valores m ínim os de los m om entos de vanos y apoyos serán los correspondientes al caso sin voladizos y no es necesario considerar carga y descarga de vanos. 1

B A E L -83 no m enciona el caso de voladizos.

A continuación se realiza un ejem plo que se recoge en la figura 18-7. El forjado tiene un a carga total de 648 m kN (carga perm anente más sobrecarga). Los extrem os están elásticam ente em potrados en vigas de fachada y se desea dim ensionarlos de acuerdo con BA E L -83. Se adopta el criterio de reducir tanto com o sea posible los m om entos en apoyos.

2

Salvo que su situación respecto al extrem o derecho del forjado conduzca a una situación más desfavorable, p o r ejem plo, si se trata de voladizo en extrem o izquierdo y dos vanos con voladizo de valor M m ayor que 0,5 M 0 del prim er vano, el m om ento en el apoyo central sería el m ayor que se obtuviera bien aplicando Kad = 0,6 al vano derecho o bien K a f= 0,5 al vano izquierdo.

El cálculo se indica con detalle en la figura. D e nuevo, y por lo que m ás adelante verem os, se consignan los valores de K concom itantes con los m áxim os m om entos de apoyo y de vano para el corte de arm aduras.

354

355

18.4.2

M É T O D O D E LA IN S T R U C C IÓ N E F 1

Pf

La Instrucción citada adm ite para forjados que el gr-ado de plastificación llegue hasta igualar los m om entos de vano y de apoyo2.

M ad = M a f =

El cálculo en los vanos extrem os ha de hacerse suponiendo articulación en los apoyos extrem os y de todas form as ha de cubrirse en ellos un m om ento no m enor de 0,25 veces el obtenido p ara el vano, en la hipótesis de extrem o articulado.

M=-

P ara el vano extrem o (fig. 18-8), suponiendo articulación en A, la condición de ig u alar los m om entos de vano y apoyo es de deducción inm ediata y conduce en el caso de carga uniform e a:

-0,50 M 0

16 Pf

0,50 M 0

16

E l cálculo es por tanto directo e inm ediato tal com o se in d ica en la figura 18-8, incluso para el caso de voladizos. E n el caso particular de voladizos, si en una hipótesis de carga determ inada el m om ento de éste es igual o superior a 0,5 M 0 del vano, éste se considera com o interior. (En este m étodo los segundos vanos y los interiores se tratan de form a idéntica).En tal caso M v = 0,5 M 0, M af= -0,5 M 0, en lugar de 0,69 M 0 y -0,69 M 0 que le corresponderían com o vano extrem o. P or supuesto, en cada apoyo interior se tom a com o m om ento el m ayor de los resultantes para los dos vanos adyacentes. Si M v < 0,5 M 0, el vano se considera com o extrem o. L a figura 18-9 contiene la resolución de un ejem plo com pleto que aclara el em pleo del m étodo. C om o en el caso de la Instrucción B A E L -83, conviene anotar los valores K ad y ^ c o r r e s p o n d ie n te s a los m om entos de apoyo y a los de vano, para poder calcular los puntos de corte de barras com o indicarem os más adelante.

Figura 18-8

A nálogam ente, se calcularía la hipótesis c) correspondiente a carga perm anente en voladizo y todos los vanos y sobrecarga en voladizo y vano B C P f = -0,086 P f ~

Mr

Pf O BSERVACIÓN. E s evidente la gran sencillez y rapidez del m étodo, que m aneja sólo los coeficientes 0,69 y 0,50 para valores de K , es decir, que no se necesitan tablas ningunas1.

11,6

P f = 0,086 P f

M =

Pf

11,6 valores que, referidos al isostático M 0 = —PC2 del vano conducen a K v = 0,69* K af= - 0,69

y:

Es claro tam bién que el m étodo puede refinarse. Por ejem plo en la hipótesis b) de la figura 18-9 b), el coeficiente de vano 0,69 para el vano A B , deducido considerándolo como extrem o con K ad = 0 al no superar el m om ento del voladizo la m itad del isostático de vano, podría reducirse considerando el valor Kad = 0,36. P ara ello podría disponerse unas tablas análogas a las construidas para el m étodo de la N orm a F rancesa BA EL-83 (ahora sin el increm ento de 0 ,3 á ). Sin em bargo, creem os que estos refinam ientos, que afectan fundam entalm ente sólo a los casos de voladizos tienen escasa im portancia y quitan rapidez y sencillez al m étodo.

M a = -0,69 M q M , = 0,69 Mn

E n vanos interiores resulta directam ente K ad = -0,5, K af = -0,5

y K v = 0,5 y

1

E ste m étodo e s t á basado en los estudios de J. LA HUERTA, P rofesor de la E scuela de A r q u it e c tu r a de la U niversidad de N avarra (18.8)

2

L a In s tru c c ió n c ita d a p re s c in d e d e l in c re m e n to d e 0,3 a a d o p ta d o p o r las n o rm a s fran c e sa s B A EL-83.

356

1

D ebe observarse que el m étodo de las Instrucciones E spañolas no es un caso particular del m étodo de B A EL-83, aunque, a prim era vista, pudiera parecerlo.V er referencia (18.8).

357

www.libreriaingeniero.com H IP Ó T E S IS a) C A R G A P E R M A N E N T E M Á S S O B R E C A R G A EN V O L A D IZ O S Y

18.5

PUNTO S DE CORTE DE LAS BARRAS DE LA ARM ADU RA

TO D O S LOS V AN O S Yq . q = 2,80 kN/m

Yg . g = 3,66 kN/m

Y g . g + Yq . q = 8,48 kN/m

m u m im m n m iu m im m m m im u m m m m u u DA\

En todos los casos vistos, es necesario poder realizar el despiece de barras y para ello es necesario poder calcular sus puntos de corte de acuerdo con las curvas de m om entos flectores correspondientes a las distintas hipótesis de carga.

VIGA DE BORDE ^

í MOMENTOS ISOSTÁTICOS VALORES PRIMARIOS

Md

„

5.00

„

4,00

„

5.25

f-------------------- f--------------- f--------------------f

12,96

K

VALORES K DEFINITIVOS DE CÁLCULO Md COMBINACIONES DEKPARA CORTE DE BARRAS

„ 2.00

20,25

-

12,96

18.5.1 M E T O D O S B A SA D O S E N L A C O N T IN U ID A D T E Ó R IC A

22,33

-0,50 (,)

0,50

-0,50

-0,50

0,50

-0,50

-0,69

0,69

-10,12

10,12

-10,12

-6,48

6,48

-6,46

-15,41

15,41

0

-0,64

0,50

-0,50

-0,76

0,50

-0,69

0,69

-0.17,,,

-10,12 -10,12 6,46

-15,41 -15,41

15,41

-3.80,4»

-0,50

-0,78

-

-1,19

-0.69

0,50

0,50

-

0,50

0,69

-12,96 -

-12,96

10,12

MOMENTOS DE APOYO

-12.96 -

-0,64

-

MOMENTOS DE VANO

-

0,50 (61

0

-0,17

0

-

16)

16)

Se considera AB vano interior, pues 12,96 > 0,5 ■20,25.

(1)

(2 )

1 12,96

(3)

C orresponde a 0 ,25 ■0 ,69 = 0,17 que es el valor de K¡¡.

(4)

C orresponde a - 0 ,1 7 • 2 2 ,3 3 = -3 ,8 0

(5)

Los valores K ad — K af - —0 ,5 0 son concom itantes con el valor K v

(6)

Se tom a Ka, = 0 que es la hipótesis m ás desfavorable para el corte de barras en vano.

= 0 ,5 0 .

E l g ráfico G T-19 p ro p o rc io n a en fu n ció n de K ad y K af el v alo r de y correspondiente. A nálogam ente, el gráfico GT-20 nos da el de S y el GT-21 el de /?.

Figura 18-9 a) HIP Ó TE SIS b) C A R G A P ER M AN EN TE EN T O D O S L O S V A N O S Y SO B R E C A R G A EN V A N O S A B y CD.

5,17 kN/m

2,37 kN/m

5,17 kN/m

2,37 kN/m

7,36

PRIMARIOS Md VALORES K DEFINITIVOS DE CÁLCULO Md

4,74

COMBINACIONES DE K PARA CORTE DE BARRAS

MOMENTOS ISOSTÁTICOS K VALORES

-

MOMENTOS DEVANO

-0,69

-0,50

0.50 -0,50

11,15

-11,15

-2,37

2,37

-

-0,23*,

0,69

-4,74

11,15

-

-0,36 0

-0,69

0,69

0

-2,37 -12,29

12,29

-0,69 -2,35p, 0,50 -2,59(() -0,69 -11,15 -11,15 2,37 -12,29 -12,29

0,69

0 -0,17

12,29

-3,07

-

-0.69

-2,35

-

-0,69

-0,50

-

-2,59

-0,69

-

0.17

-

-0,50

-0,69

-

0

(1)

Como el m omento del voladizo es inferior a 0,5 Ma del vano AB, éste se considera como extremo.

[2)

Corresponde a K ,

flrf

------’■—

Se supone M 0 = 56,00 m ■kN, p o r tanto:

17,81

0,69

-4,74

MOMENTOS DE APOYO

4,74

16,16 0 ni 0

O bsérvese que los ábacos están referidos a los puntos de corte de la zona dorsal (izquierda). P ara la zona frontal (derecha) deben invertirse las notaciones, es decir, considerar A ^ c o m o Kad y viceversa para entrar en los gráficos y co ntar /?, 7 S desde el apoyo derecho. A continuación se expone un ejem plo en la figura 18-11.

tm m m m iu u m u m m m tm m m u u u m w ir n w

K ad =

35.00

-0,63

56.00

28,00 * * = - 56,00

-0,50

= - 0 ,2 9

16,16

(3)

Corresponde a K ad = - ^ ^ = -2 ,3 5 4,74

(4)

Corresponde a

- 1 2 29 = --------— = - 2 , 5 9 4,74

F ig u r a 1 8 - 9 b)

358

Sean K ad M 0 y K af M 0 los m om entos flectores en apoyos (M 0 es el m om ento isostático de vano). D e acuerdo con la fig u ra 18-10:

Figura 18-11 Entrando en los gráficos, se obtiene: L ado dorsal (izquierdo): K ad = -0,63; K a f- -0,50

359

G ráfico GT-19

7 = 0 ,1 9

G ráfico GT-20

8 = 0,09

G ráfico GT-21

¡3= 0,29

L ado frontal (derecho): Kad= -0,50; K af= -0,63 G ráfico GT-19

7 = 0 ,1 6

G ráfico GT-20

8 = 0,08

G ráfico GT-21

£ = 0 ,2 4 i

L os resultados se indican en la figura 18-11.

18.5.2 a)

M É T O D O S B A SA D O S EN LA R E A D A PT A C IÓ N PLÁ ST IC A VANO E X T R E M O CO N A PO Y O SIM PL E EN B O R D E Y M O M EN TO S IG U A LES E N VANO Y A PO Y O

L a figura 18-12 indica los datos correspondientes:

c) VANO C U A L Q U IE R A CO N M O M E N T O S C U A L E SQ U IE R A E n este caso el m étodo es el explicado en 18.5.1 m ediante el uso de los gráficos GT-19 a GT-21. E n los ejem plos recogidos en las figuras 18-6 , 18-7 y 18-9 se ordenaron en las casillas correspondientes los pares de valores Kad, correspondientes a los m om entos negativos y los correspondientes al m om ento adoptado para el vano. C on ellos se tienen los datos necesarios para calcular las longitudes [5, 5, y en cada vano.

18.6 C O N S ID E R A C IÓ N G E N E R A L D E L O S M É T O D O S E X P U E S T O S B A S A D O S E N L A R E A D A P T A C IÓ N P L Á S T IC A A unque las experiencias, tanto francesa com o española, sobre la aplicación de estos m étodos, son satisfactorias a lo largo de un periodo de tiem po de más de veinte años, estos m étodos no cum plen las condiciones que para la redistribución de m om entos se exponen en el resto de este libro. A lgunas investigaciones en m archa perm itirán analizar su validez para el caso de forjados nervados o forjados de vigueta y bovedilla.

18.7 C A SO D E F O R J A D O S D E U N S Ó L O V A N O O D E F O R JA D O S D E V A R IO S V A N O S C A L C U L A D O S C O M O IS O S T Á T IC O S Al no existir posibilidades de readaptación plástica, am bos m étodos coinciden. Si el vano está realm ente en situación de sim plem ente apoyado, el m om ento es naturalm ente el isostático. D ebe cuidarse de la existencia de em potram ientos im previstos, com o p o r ejem plo el indicado en la figura 18-14, que pueden producir un m om ento negativo capaz de p rovocar la aparición de fisuras que reducen de form a im portante la resistencia a corte del forjado. b)

VANO IN T E R M ED IO CO N IG U A L D A D D E M O M E N T O S E N VANO Y A PO Y O S

E n el caso de forjados de un sólo vano con vigas de borde o m uros construidos m onolíticam ente con el forjado, puede tom arse com o m om ento de vano 0,9 M 0, siendo M ü el isostático y com o m om ento de em potram iento -0,25 M 0 (fig. 18-15).

L a figura 18-13 indica los datos correspondientes:

F ig u r a 1 8 -1 3 1

R ecuérdese que, a partir de los puntos definidos por los valores (5, d, y hay que llevar longitudes adicionales que serán expuestas en los C apítulos siguientes.

360

E xiste naturalm ente la posibilidad de calcular forjados de varios vanos sin co n sid erar la co n tin u id a d teó rica, es d e c ir su p o n ien d o vanos co n secu tiv o s sim plem ente apoyados. E strictam ente de acuerdo con B A EL-83, el vano debe calcularse con el valor isostático M 0 en vano, y cubrir 0,15 M a en los apoyos. De 361

www.libreriaingeniero.com acuerdo con EF, el momento en vano debe ser M0, y debe cubrirse en apoyos 0,25 M 0. En este segundo caso, creemos que el valor en vano puede reducirse tam bién a 0,9 M 0. (Fig. 18-16 a)). D ebe en cambio recalcarse la conveniencia de disponer siempre una cierta arm adura en momentos negativos para controlar en ellos la fisuración y evitar daños en el solado.

(18.4)

IN S T R U C C IÓ N E H E : "In stru c c ió n p a ra el p ro y e c to y la eje c u c ió n d e o b ras de h o rm ig ó n e s tru c tu ra l". M in is te rio d e F o m e n to . M a d rid . 1998.

(18.5)

L O S E R , B .: "H o rm ig ó n arm ad o ". El A ten eo . B u e n o s A ires. 1958.

(18.6)

G E R E , J.M .: "M o m en t D istrib u tio n ". Van N o s tra n d C o. In c. N u e v a Y ork. 1963.

(18.7)

A C I 3 1 8 -9 5

"B u ild in g C o d e R e q u ire m e n ts fo r S tru c tu ra l C o n c rete". A m e ric a n

C o n c re te In stitu te . 1995. (18.8)

L A H U E R T A , J.: "C álcu lo d e lo s fo rja d o s p o r el m é to d o d e las ró tu la s p lá stic a s". C o le g io O fic ia l d e A rq u ite c to s V asco -N av arro . 1967.

Figura 18-16 D ebe recordarse que la necesidad de cubrir un m om ento mínim o en el em potram iento del forjado en vigas, no se refiere solamente a los vanos extremos en vigas de borde, sino a cualquier enlace m onolítico a vigas, incluidas las interiores. L a ignorancia de esto, puede conducir a que aun dimensionando todos los vanos para el momento isostático (por ej.— ( Y/s * g + 7/q * q)L2 )> s* n0 se dispone una cierta 8 arm adura de momentos negativos, el forjado se fisure como se indica en la figura 181 6 b ) . Las fisuras / no sólo presentan problem as estructurales sino que originan problem as en el solado.

B IB L IO G R A F ÍA (1 8 .1 )

C A L A V E R A , J.: "C álcu lo , C o n s tru c c ió n y P a to lo g ía d e F o rja d o s de E d ificació n ". 6a E d ic ió n . IN T E M A C . M a d rid . 1999.

(1 8 .2 )

R E G L E S T E C H N IQ U E S D E C O N C E P T IO N E T D E C A L C U L , D E S O U V R A G E S E T C O N S T R U C T IO N S E N B É T O N A R M É S U IV A N T L A M É T H O D E D E S ÉTATSL IM IT E S . R E G L E S B A E L -8 3 . E y ro lle s. P arís. 1983.

(1 8 .3 )

IN S T R U C C IÓ N E F : "In stru c c ió n p a ra el p ro y e c to y la e je c u c ió n de forjados u n id ire c c io n a le s d e h o rm ig ó n arm a d o y p re te n sa d o " . M in is te rio de F o m e n to . M adrid. 1999.

362

363

CAPÍTULO 19

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N F O R J A D O S S IN V IG A S 1

19.1 G E N E R A L ID A D E S E ntendem os p o r forjado sin vigas una p laca de horm igón, m aciza o nervada, que transm ite la carga que recibe, directam ente a los pilares, sin interm edio de vigas. El tipo general se indicó en el C apítulo 1. C om o excepción, este tipo de forjados puede llevar vigas en los bordes extrem os de la placa 2. L a Instrucción EH E em plea la denom inación de placas sobre apoyos aislados, pero hem os preferido m antener la de forjados sin vigas p o r ser de uso m ás habitual. A ctualm ente, es m uy com ún el caso de forjados sin vigas aligerados m ediante bovedillas y tam bién m ediante el em pleo de m oldes recuperables m etálicos o de plástico. L a solución de p laca m aciza es tam bién interesante y es previsible que, en un futuro próxim o, el aum ento en el uso del horm igón bom beado y la racionalización de los encofrados y arm aduras aum enten la tendencia hacia esta otra solución. El origen del sistem a es difícil de precisar, pero es posiblem ente norteam ericano, ya que, en el prim er cuarto de nuestro siglo, se construyeron forjados de este tipo en los E stados U nidos. Por supuesto, estas realizaciones iniciales fueron totalm ente em píricas, pero m uy rápidam ente se iniciaron los estudios teóricos sobre el tem a y deben destacarse los trabajos de N IC H O L S (19.1), basados en los previos de W E ST E R G A A R D (19.2).L a N o rm a N orteam ericana A CI 318, en sucesivas ediciones, 1

Se incluyen aquí todos los aspectos del cálculo estructural. Los detalles de arm ado se exponen en los C apítulos 53 y 54.

2

EH E no considera el caso de vigas. Lo incluim os porque su uso no reduce prácticam ente la ventaja del techo plano que este tipo estructural representa, y encierra m últiples ventajas, entre otras el perm itir reducir la escuadría de pilares de fachada y esquina.

365

www.libreriaingeniero.com ha dedicado una gran atención a este tipo de estructura, m odificando su m étodo de cálculo de acuerdo con la experiencia de uso y las investigaciones teóricas y experim entales desarrolladas. En su versión actual (19.3), la N orm a A C I 318-95 incluye dos m étodos: uno, sim plificado, y otro, general para el cálculo de esfuerzos. L a Instrucción EH E, basada en la N orm a N orteam ericana en lo referente a este tipo estructural, recoge sólo el m étodo general. H em os incluido tam bién el m étodo sim plificado por estim arlo de gran interés. E n lo que sigue, hem os desarrollado el tem a de acuerdo con A CI 318-95 y con los com entarios a dicha N orm a, aunque en algunos detalles la hem os com plem entado con la versión de EH E y algunas adiciones de tipo vario. El m étodo que se desarrolla es de aplicación más am plia que el expuesto en EH E. Este m étodo corresponde a soluciones de horm igón arm ado. El cálculo de las soluciones en horm igón pretensado se expone en el C apítulo 54. No debe dejarse de considerar que el conocim iento actual sobre este tipo estructural viene de tres fuentes distintas: -L a experiencia práctica de uso. -L o s ensayos en m odelos y las pruebas de carga en estructuras reales. -L os análisis teóricos. Todo ello hace que, para m uchos aspectos, se adopten criterios evidentem ente convencionales, que no resultarían de aplicación fuera del cam po propio de este tipo estructural.

19.2 T E R M IN O L O G ÍA E m plearem os la siguiente: Capitel. E nsancham iento del extrem o superior de un pilar que enlaza éste a la placa. Su uso es frecuente en edificios industriales y raro en edificios de viviendas y oficinas. A b a co . Z ona de la placa situada alrededor de un pilar o de su capitel, que se resalta en las placas m acizas y en las placas aligeradas de m aciza con o sin resalto. El ábaco es obligatorio en placas aligeradas. Recuadro interior. El correspondiente a cuatro pilares, ninguno de los cuales está en borde de placa. R ecuadro de borde. A quél que tiene dos pilares en borde de placa. R ecuadro de esquina. A quél que tiene dos pilares en borde de placa y uno en esquina. B anda de pilares. Es la correspondiente a un ancho a cada lado de la fila de pilares igual a lo indicado en la figura 19-1. Existen, por tanto, bandas de pilares exteriores (AB en la figura 19-1) y bandas de pilares interiores (CD en la figura 19-1). B anda central. Es la correspondiente al resto del recuadro, es decir, la situada entre dos bandas de pilares. Pórtico virtual. E stá constituido por una fila de pilares y la zona de placa lim itada lateral y paralelam ente a la fila de pilares considerada, por las líneas m edias de los recuadros adyacentes.

19.3 R E Q U IS IT O S D IM E N S IO N A L E S Se recom iendan, con carácter general, los siguientes: P ilares. La dim ensión transversal m ínim a será de 25 cm. Placas. La relación canto/luz cum plirá los siguientes valores m ínim os indicados en la tabla T -19.1.

TABLA T-l 9.1 CANTOS M ÍNIM OS DE FORJADOS SIN VIGAS EJECUTADOS EN HORMIGÓN ARMADO P L A C A S M A C IZ A S SIN Á B A C O S TIPO DE AC ER O

366

B O R D E 0 ESQU INA

RE C U A D R O INTERIOR

C O N V IG A

D E BO RD E

DE BO R D E

B 400S

V30

Pn/33

C„/33

B 500S

en/28

e,/3i

L/31

(*)

PLAC AS A L IG E RAD AS RE C U A D R O DE

SIN V IG A

F ig u r a 19-1

Para lo que sigue, entendem os que el forjado apoya en pilares que form an en planta una m alla rectangular. C om o única excepción, se adm ite que cualquier pilar se aleje de su posición teórica com o m áxim o el 10% de la luz de recuadro en el sentido que se indica en la figura 19-1.

R E C U A D R O DE

BO R D E 0 ESQU INA SIN V IG A

CON V IG A

D E BO R D E

DE BORD E

0/26

R E CU AD RO INTERIOR

V3I

V31

ín/39

í„/29

Q es la luz libre entre caras de pilares.

367

Las placas m acizas tendrán un canto m ínim o de 12 cm , en general. Si se disponen ábacos cuya dim ensión no sea inferior, en la dirección de cada vano, al tercio de su luz, podrá rebajarse el espesor a 10 cm, pero el ábaco resaltará com o m ínim o el cuarto del espesor de la placa. Las placas aligeradas tendrán un canto m ínim o de 15 cm.

OY, a las vigas largas. En cam bio, en los forjados sin vigas, com o verem os, las flexiones m ayores se producen en el sentido de la luz m ayor y la característica esencial es que en este tipo de forjados la carga debe ser transmitida íntegramente por la

placa en ambas direcciones.

E n el caso de las placas aligeradas, el espesor de la losa superior es recom endable que no sea inferior a 4 cm, si se em plean bovedillas y a 5 cm si se em plean m oldes recuperables1. En caso de em plear m oldes recuperables, adem ás de cum plirse la condición anterior, el espesor de la losa superior no será inferior al décim o de la luz libre de la capa de com presión. (Esta condición es de la antigua Instrucción EH -91. La Instrucción E H E no dice nada sobre el tem a. Q uizá un doceavo sea m ás razonable). El ancho de los nervios no será inferior a 7 cm , ni a la cuarta parte de la altura del nervio, sin contar la losa superior. L a separación entre nervios no superará el m etro y en cada recuadro habrá, por lo m enos, seis nervios en cada dirección. (De nuevo esta condición de EH -91 parece excesivam ente exigente. U n m ínim o de cinco parece suficiente. E H E no dice nada al respecto). Capiteles. Los param entos del capitel no form arán, con el eje del pilar, un ángulo superior a 45°. Si se rebasa este lím ite, toda la zona exterior a él no será considerada a efectos de cálculo. El ancho del capitel, en cada una de las direcciones de los recuadros, no será superior al 30% de la m enor de las dos luces contiguas al pilar considerado. Á baco. Es obligatorio únicam ente en las placas aligeradas, bien resaltando o constituyendo solam ente un m acizado. E n este tipo de placas, la distancia del eje del pilar al borde del ábaco no será inferior al sexto de la luz entre ejes de pilares en la dirección considerada del recuadro.

Figura 19-2

19.4.1 M É TO D O SIM PL IFIC A D O Este m étodo es aplicable solam ente para el cálculo de esfuerzos debidos a cargas verticales y presupone el cum plim iento de las condiciones siguientes: - E xiste un m ínim o de tres vanos en cada dirección. - N o existen voladizos. - Los recuadros son rectángulos cuyo lado m ayor no es superior al doble del m enor. C om o única excepción se adm ite que un soporte se desvíe de la línea de soportes a la que pertenece, el 10% de la luz del recuadro en sentido transversal.

Vigas. Si hay viga asociada a la placa, para los cálculos se considera un ancho de viga asociada a la placa de acuerdo con lo indicado en la figura 19-5 b).

- D os luces consecutivas en cualquier dirección no difieren en m ás de 1/3 de la mayor.

L os requisitos m encionados en este apartado pueden ser obviados si se realiza un cálculo específico que lo ju stifiq u e adecuadam ente.

- Las cargas son uniform em ente distribuidas y la sobrecarga no superará el doble de la carga perm anente. - Todas las cargas y sobrecargas son verticales.

19.4 C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S U na característica im portante que debe destacarse en los forjados sin vigas es su alto grado de hiperestatism o. P ara quienes se inicien en este tipo estructural, debe señalarse su diferencia con los forjados o placas con vigas (figura 19-2 a)). E n éstas, los m om entos flectores m ayores de la placa se originan en la dirección de la luz m ás corta y los m enores, en la más larga, repartiéndose las cargas entre ambas series de vigas para ir a parar a los pilares. Las vigas m ás largas se encuentran som etidas, en cam bio, a m ayores m om entos. C ualquier carga, tal com o es transm itida por la placa, paite en el sentido O X a las vigas cortas y parte en el sentido 1

368

C on el espesor de 4 cm , si el molde es recuperable, es im posible disponer la arm adura de retracción y tem peratura en la losa superior con los recubrim ientos adecuados. 5 cm parece m ás razonable. (El problem a es sensiblem ente análogo en cualquier tipo de forjado).

19.4.1.1 C álculo a fle x ió n de la p la ca a)

M om ento isostático total Se define com o m om ento isostático total, para un pórtico virtual, el valor

8

donde C es la luz de los recuadros en tre ejes de pilares en sentido perpendicular a la dirección considerada y la luz libre en esta dirección (luz entre caras de pilares, si no hay capiteles, o luz entre bordes de capiteles, si 369

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éstos existen) b Si la luz L varía en las dos filas de recuadros adyacentes a la fila de pilares considerada, í2 es la sem isum a de am bas luces. E n ningún caso Q/n se tom ará inferior a 0,65 en [19.1] 2 (H1 es la luz entre ejes de pilares en la dirección considerada).

b-2) Vano extremo b-2.1) M étodo general A partir de la edición de 1983 de A C I-318, el cálculo de la distribución en vano extrem o puede realizarse, de acuerdo con los coeficientes de la Tabla T-19.2, que da los coeficientes por los que ha de m ultiplicarse el valor M od, dado por [19.1] para obtener los m om entos en vano y apoyo.

E n la figura 19-3 se indica la luz G2 correspondiente al pórtico virtual interior A B . P ara un pórtico virtual exterior, el valor H2 a introducir en [19.1] es el valor H3 indicado en la figura 19-3 para la fila CD.

TABLA T-19.2

Apoyo exterior no coaccionado al giro (*)

Figura 19-3 b)

D istribución del m om ento isostático total en vano y apoyo Los m om entos negativos totales que se indican a continuación se entiende que corresponden a la cara de los pilares o capiteles si son rectangulares. Si son de sección circular o poligonal regular, se sustituyen por los cuadrados de igual área.

Apoyo exterior en pilar (**)

Sin viga de borde

Con viga de borde

Apoyo exterior completamente coaccionado al giro (*«)

Momento negativo en apoyo interior

0,75

0,70

0,70

0,65

Momento de vano

0,63

0,52

0,50

0,35

0

0,26

0,30

0,65

Momento negativo en apoyo exterior

P or ejem plo, sim ple apoyo de borde en m uro de ladrillo u horm igón.

b-1) Vanos interiores E n un vano interior de un pórtico virtual, el m om ento isostático total M od

E H E unifica estos dos casos, tom ando los valores pésim os de cada una de las dos colum nas. (*"*> Por ejem plo, em potram iento rígido en un m uro de horm igón de gran rigidez.

se distribuye de acuerdo con lo siguiente (fig. 19-4): M om ento negativo total

-0,65 M od

M om ento positivo total

0,35 M üd

1

Si el apoyo (pilar o capitel) es un círculo o polígono regular cualquiera, se reem plaza a estos efectos por el cuadrado de área equivalente.

2

El valor [19.1] no corresponde estrictam ente a lo que puede derivarse del cálculo por consideraciones de equilibrio. El cálculo, para un recuadro apoyado en cuatro pilares circulares conduce al valor ..

_

,h

P fl b n

8

2c y2

E ste m étodo h a figurado durante bastantes años en las ediciones correspondientes de A C I-318, en las últim as de ellas com o alternativa al m étodo expuesto en b-2.1). A partir de la edición de 1995, se h a m antenido únicam ente este últim o. Sin em bargo desarrollam os a continuación el m étodo de la rigidez del p ilar equivalente, ya que posee un gran interés para la com presión de la flexibilidad real de los pilares en este tipo de forjado y adem ás perm ite una exposición m uy clara del trabajo de torsión en la transm isión de m om entos entre placa y pilar. En un vano extrem o de un p órtico virtual, la distribución resulta (figura 19-4).

( " 3í, )

siendo c el diám etro del pilar. Este valor figuró en las prim eras ediciones de A C I-3 18. E n las últimas versiones, ha sido sustituido por el [19.1] para obtener un m ejor ajuste con los resultados experim entales.

370

b-2.2) Método de la rigidez del pilar equivalente

0-65 M oc¡ M om ento negativo en apoyo e x te rio r:---------------

371

-0,28 0 ,6 3 ------

M omento de vano:

donde E Ks es la sum a de las rigideces de los pilares superior e in ferio r1 y K t es la rigidez torsional de una zona de losa de ancho igual al del pilar o al de la viga y losa, en el caso de pilar de borde o esquina, tal com o se indica en la figura 19-5a) y b).

1M r

1+

M om ento negativo en apoyo interior

(En el caso de pilar inferior (figura 19-5 a)), el ancho b a considerar en el cálculo de Kt es el del pilar o el del capitel, si existe. P ara viga de borde, se tom a el ancho de la viga más un ancho de losa igual a la diferencia entre el canto de la viga y el de losa, sin que se considere una zona de losa superior a cuatro veces su canto).

n0 ,7 5 -------0 ’1 1+

1 I M oá a*

F ig u r a 1 9 -5

L a razón de la tom a en consideración de K t en [19.3] se basa en el hecho de que la flexión de la placa no se transm ite directam ente toda al pilar por el trabajo de flexión, sino que una parte de ella se hace .a través de la torsión de zonas de ancho estim ado convencionalm ente, tal com o se recoge en la figura 19-5.

F ig u r a 1 9 -4

En las expresiones anteriores, 0ceq viene dada por la expresión cc

E l cálculo de K t se indica a continuación. L lam ando 02 al ancho de banda asociado al pórtico virtual de la fila de pilares y c , al ancho de éstos, la distribución de torsiones unitarias se acepta com o lineal y se indica en la figura 19-6 b). Si designam os por T la torsión total transm itida al pilar, la ley de torsiones a una distancia x viene dada por

[1 9 .2 ]

K.pü

donde: K

R igidez de la placa (con ancho í2 ó í3, figura 19-3), correspondiente al vano del pórtico virtual en la dirección considerada. Si se trata de una fila de pilares de borde, Kpt es la rigidez del conjunto de placa y viga de borde si existe.

K ce= Rigidez del pilar equivalente, que viene dado p o r la fórm ula y el m om ento torsor 1

1 ZK,

1

[19.3]

K,

En la fórm ula se m aneja el concepto de “flexibilidad” com o inverso del de rigidez. O bsérvese que si K , es pequeña (com o sucede con frecuencia), la flexibilidad del pilar equivalente es m ucho m ayor que la correspondiente al pilar real. Este hecho, intrínseco a este tipo de estructura debe ser siempre tenido presente a l proyectar.

372

1

Las rigideces se calculan en todos los casos de este Capítulo a p artir de las secciones de horm igón sin fisurar y sin considerar las arm aduras, com o es práctica habitual para el cálculo de esfuerzos en estructura en general.

373

www.libreriaingeniero.com K} =

18 E C

[19.4]

\ _JL n3

[19.4] es válida si las dos luces transversales de los recuadros contiguos son iguales y de valor í2. F ig u r a 1 9 -6

Si las dos luces de los recuadros contiguos son 0% y iguales am bas a 02), la expresión [19.4] se transform a en que para x x =—

(es decir, no son

vale K} =

v

9 E C

9 E C

[19.5]

i K Si se trata de un pórtico virtual de pilares de fachada

El giro debido a la torsión entre —y — vale

2J 2

K} = e= J.

íf K

^

-2 * +

9 Ec C í

[19.6]

C \3

= ~¡~2

GC7

1

T

donde £2 es la luz de la fila de recuadros en sentido transversal a aquél en que se calcula la flexión. adoptando com o m ódulo de deform ación transversal G = 0,5 E r T

6

ií

E(. C

Los ensayos realizados conducen a un valor 6 m ucho m enor (debido a diversas causas, com o distribución real de torsiones, estim ación de un valor medio, valor real de C m uy ligado a la m icrofisuración de la pieza, etc.), por lo que la N orm a ACI adopta un valor de 6 igual a un tercio del teórico. e í 1 '3 e =L .l\ i 18 e c

T y la rigidez a torsión que es el valor K{ - — resulta: 0

374

El valor C es una generalización, para secciones rectangulares, del concepto de m om ento polar de inercia respecto a la rigidez torsional de una sección circular el cual ha sido am pliam ente contrastado experim entalm ente y puede ser estim ado m ediante la expresión

C = ¿ | l -0 ,6 3 y j ^ -

[19.7]

donde la sum a (figura 19-7) se extiende a los n rectángulos que com ponen la sección transversal de la zona considerada a torsión (figura 19-5). Com o [19.7] para un a figura com puesta de más de un rectángulo, proporciona un valor conservador, debe calcularse con aquella de las posibles divisiones en rectángulos que conduzcan al m áxim o valor de C a) y b) en el caso de la figura 19-7. E n la fórm ula [19.7], para cada rectángulo, x es el m enor valor de los x, y, indicados en la figura 19-7 y no la abscisa en particular.

375

c) R eparto de los m om entos totales de vano y apoyo en bandas de pilares, vigas y bandas centrales

y2

El reparto de m om entos debe hacerse de acuerdo con lo siguiente;

Se define el valor

Kv a =—

[19.10]

K p

I

4^4

J. M b)

Figura 19-7 C onocido C, las expresiones [19.4], [19.5] ó [19.6] proporcionan el valor de K t . L lam ando K ss a la rigidez del tram o del pilar superior y K s¡ a la del inferior, la fórm ula [19.3] se transform a en

Con el valor de a se calcula a A donde ^ es la luz entre ejes de pilares en el sentido en que se calcula la flexión y H2 el ancho del pórtico virtual correspondiente.

K , ( K ss + Ksi) =

donde K v es la rigidez de la viga en el sentido en que se calcula la flexión (si existe, caso de fila de pilares de borde); K la rigidez de la p laca en dicho sentido tom ada con un ancho igual al del pórtico virtual, ( a = 0 para los pórticos virtuales de pilares interiores)1

[19.8] K, + 'K + K ;

c-1) B anda de pilares

Momentos negativos que nos da la rigidez del p ilar equivalente h En el caso particular de pórticos virtuales correspondientes a filas de pilares de fachada que tengan vigas de borde, el valor de K t obtenido m ediante las fórm ulas anteriores, [19.4] a [19.6], deberá m ultiplicarse p o r la relación

Los momentos negativos en apoyos interiores, expresados en porcentaje de los m om entos negativos totales vistos en b), se indican en la Tabla T-19.3.

TABLA T-19.3 [19.9] h

0,5

1,0

2,0

15%

75%

75%

90%

15%

45%

í] donde / es el m om ento de inercia del co n junto de v ig a y placa, correspondiendo el ancho de placa al del pórtico virtual e Ip es el m om ento de inercia de la sección de la placa solam ente, correspondiente al mismo ancho 2. C alculando K ce, la expresión [19.2] perm ite calcular los m om entos en vano extrem o. Si el apoyo extrem o es un m uro m onolítico con la placa, en lugar de un pilar, en los valores de Kss, Ksi se considera la rigidez correspondiente. En este caso — será prácticam ente nula. Si el apoyo es un ^r m uro de ladrillo o bloques que no coaccione el giro, la rigidez equivalente sería K ce = 0. E n el caso del m om ento en el pilar interior, se tom a com o valor el m ayor de los correspondientes a los dos vanos contiguos al pilar considerado.

$2 a — > i h

N ota: E H E adopta a = 0 en todos los casos, es decir supone que no hay vigas. P ara los valores interm edios de 4 4 d e b e interpolarse linealm ente.

Los momentos negativos en apoyos exteriores, expresados en porcentaje de los m om entos negativos totales vistos en b) se indican en la Tabla T-19.4.

K„ y Ku corresponden a las rigideces de los extremos

1

E n sentido estricto, si los pilares tienen capitel, de unión a la placa considerada..

2

El factor tiene en cuenta, de form a aproxim ada, el increm ento de rigidez a torsión introducido por la existencia de la viga longitudinal.

376

h a— = 0

Se entiende por pilares exteriores los extrem os de un pórtico. Por pilares interiores, los que soportan vanos a los dos lados. A tención, en cam bio, a los térm inos «bandas de pilares exteriores» y «bandas de pilares interiores» (ver figura 19-1).

377

www.libreriaingeniero.com TABLA T-19.4

h 0 ,5

1,0

2 ,0

P, = o

10 0 %

100%

100%

Pt - 2,5

75%

75%

75%

Pt — o

10 0 %

10 0 %

100%

Pt - 2,5

90 %

75%

45%

h

Si los pilares extrem os son alargados, en sentido transversal a la dirección de flexión considerada, y su dim ensión en dicha dirección es m ayor que 3/4 del ancho del pórtico virtual, los m om entos negativos se considerarán repartidos u niform em ente sobre el ancho de placa com prendido entre las líneas m edias de recuadros paralelas a la dirección de flexión.

M omentos positivos o II

B

L a — > i «i

Los momentos positivos en las bandas de pilares, expresados en porcentaje de los m om entos positivos totales vistos en b), se indican en la Tabla T-19-5.

TABLA T-19.5 h

N ota: E H E adopta a = 0 y p {= 0 en todos los casos, es decir supone que no hay vigas. E n la tabla anterior, los valores interm edios deben interpolarse linealm ente. El valor p t viene dado por la expresión

1

F es

Ip

Fc

[19-11]

0,5

1,0

2 ,0

60%

60%

60%

90 %

75%

45%

T e, a — =0

Í7 a — > 1,0 «i

N ota: EH E adopta a = 0, es decir supone que no hay vigas. que es la relación de la rigidez torsional de la viga de borde (ver fórmula [19.7]), si ex iste1, y la rigidez de flexión de un ancho de placa igual a la luz entre ejes de pilares de la viga de borde. E E cs y E cv son, respectivam ente, los valores de los m ódulos de deform ación longitudinal de placa, pilar y viga. Si adoptam os G = 0,5 E c y E cp = E cs = E cv = E c, com o es habitual, [19.11] se transform a en

Si existen vigas entre pilares, la zona de placa de la banda de pilares debe resistir la parte del m om ento asignado a la banda que no sea resistido por la viga. Vigas de borde En las vigas o m uros de borde, cuando la flexión se calcula en su m ism a dirección, se asignará a las vigas el 85% de los m om entos de la banda de borde si a

A =— 2 1

siendo / el m om ento de inercia de un ancho de p laca igual a la luz entre ejes de apoyo de la viga de borde2. Si el apoyo exterior no es un pilar, sino un m uro de ladrillo o bloque que no oponga coacción al giro, se tom ará p t = 0. Si el m uro es de hormigón construido m onolíticam ente con la placa, debe tom arse p t = 2,5. En el caso particular de la banda de pilares de un pórtico virtual de pilares de fachada, en que los pilares se sustituyen por un m uro corrido, el valor de M od en [19.1] se calculará con la luz H]n, correspondiente a la fila paralela de pilares inm ediata a la considerada y el valor a dado p o r [19.10] se obtendrá considerando el m uro com o una viga de rigidez infinita.

1

Se entiende la viga de borde, en el borde perpendicular a la dirección del pórtico analizado.

2

Si las luces de la viga de borde a cada lado del pilar exterior considerado no son iguales, se tomará el valor m edio de am bas luces.

378

1 . Si a A _< 1, se le asignará en la viga una fracción igual

[19.12]

a 0,85 a J lL d e los m om entos de la banda. L a fracción de m om entos no k asignada a las vigas de borde debe ser asignada a la sem ibanda de pilares correspondientes. In d ependientem ente de lo anterior, las vigas deben ser calculadas, adem ás, para las cargas que actúen directam ente sobre ellas. c-2) B andas centrales El p o rcentaje de m om entos positivos o negativos no asignado a las bandas de pilares debe ser asignado a las correspondientes sem ibandas centrales. C ada banda central será calculada para resistir el m om ento sum a de los asignados a las dos sem ibandas. En el caso de m om entos negativos en el apoyo exterior de la banda, ésta se calculará para un m om ento flector m ínim o en la banda central de 0,20 M oó.

379

E n el caso particular de una banda central perteneciente a un a fila de recuadros de borde, si el borde está apoyado en un m uro, la banda central será calculada para unos m om entos iguales al doble de los correspondientes a la sem ibanda central correspondiente a la banda de pilares interiores de la fila contigua a la de fachada.

WL/U^HJU L __ _ r _ >_/ de nervios que arrancan del ábaco (20 en el caso de la figura 19-8); de acuerdo con lo expuesto en el C apítulo 3 9 1. E n el caso de pilares en el borde, los zunchos de borde (o vigas de borde si existen) transm iten cargas directas al pilar. E stas cargas y los esfuerzos cortantes que producen deben ser estudiados directam ente. En particular los esfuerzos cortantes deben deducirse del valor N ’d y con el valor resultante, se com probará el esfuerzo cortante en la unión de los nervios (11 en el caso de la fig. 19-9).

R edistribución de m om entos Los m om entos positivos y negativos totales pueden ser alterados hasta en un 10%, siem pre que la sum a de m om entos para el pórtico virtual en la dirección considerada cum pla con [19.1].

19.4.1.2

Cálculo a punzonamiento

E ste estado lím ite es con frecuencia crítico en este tipo de estructura, como com probación en la zona inm ediata a los pilares (fig. 19-8).

i r n r-.-^

LjL ñ n Lj l j n n Hh

r7 ^ r 7.^ t7 ^

■

ZUNCHO _ DE BORDE

r ^ r

U

g U i~ U C i

r

1

r_i

F ig u r a 1 9 -9

t

L

J L

g

j l

J

S Ü

b)

n rn ü L J

n r -ti i777! r

m

j c

:íj £■ u j t i j

Cálculo a esfuerzo cortante de las vigas de borde y de la placa.- Cuando

-j U

r ^ r n r n c.T) ñ

a

> 1, las vigas se calcularán p ara el esfuerzo cortante resultante de h considerar transm itidas a las vigas las cargas de las zonas correspondientes en planta a las líneas de división a 45° a partir de los vértices de los recuadros

ccj y

a) F ig u r a 1 9 -8

(figura 19-10). Si a — < 1 , los esfuerzos cortantes serán los correspondientes

El detalle del cálculo se incluye en el C apítulo 41.

19.4.1.3

l -j ü

r 'H H I S i t o

U L J

yl

; i

C J L .J L J L J U jz x .X - U in f l

jU r^ rv ^ riq

e

n-,^1 CU ru q

al caso anterior m ultiplicados por

A dem ás de lo anterior, deben sum arse

los esfuerzos cortantes producidos por las cargas directam ente actuantes sobre las vigas.

Cálculo a esfuerzo cortante

Se presentan dos situaciones diferentes:

a)

Com probación de los nervios en la unión

T,

alábaco -

suficientem ente seguro es calcular el esfuerzo resultante cortante en todo el perím etro del capitel.

Un criterio total del esfuerzo

Su valor viene dado por la expresión N ’„ =

n

„ -< ríg s + rÑ q) s abaco

[19.13]

donde Nd Sabaco

380

es el valor de cálculo de la carga transm itida por la plan ta considerada al pilar. (Para su cálculo, véase el apartado siguiente). superficie en planta de la zona m acizada de ábaco.

F igura. 1 9 -1 0 1

En IN TE M A C , E. G onzález Valle y R. A lvarez Cabal han realizado estudios m ediante el M étodo de E lem entos Finitos que indica que algunos nervios pueden presentar concentraciones de esfuerzo cortante que conduce a valores del orden del 15 al 25% del valor m edio m anejado en el texto.

381

www.libreriaingeniero.com L a placa debe ser capaz de resistir a corte las cargas transm itidas a lo largo de sus bordes, tales com o A B y A C de la figura 19-10 y, en general, los esfuerzos cortantes derivados de considerar el pórtico virtual com o viga en cada una de las dos direcciones. H abitualm ente, esta com probación no resulta crítica, pues rige la de punzonam iento, que verem os más adelante. Sin em bargo, en recuadros m uy alargados, la com probación a corte puede resultar m ás exigente que la de punzonam iento.

19.4.1.4

i jn

^2 ^in

--------------- — wx s i m u l a l ¿ 7 7 . i j L-uiicapunuieiues ai vano m ás largo de los dos contiguos al pilar considerado. = idem, para el vano más corto.

P ara los pilares extrem os, los m om entos se obtienen a partir del m om ento negativo en el apoyo exterior de la placa, repartiéndolo en proporción a las rigideces respectivas del pilar superior e inferior. En el caso particular de em plearse el m étodo indicado en la figura 19-4, se tiene: 0,65 M.o d

E S F U E R Z O S A X I L E S Y M O M E N T O S E N P IL A R E S

M dss = + K f¡

L os pilares inferiores y superiores, correspondientes a un apoyo interior, deben proyectarse para resistir los m om entos

0,65 M.o d

K„ M á¡¡= - ----- '-— Kss + K s¡

Md

M d s i ~ ~¡~r

M d

K ss +

[19.18]

1+

M,

[19.14]

[19.19] 1+

[19-15]

K si

donde a eq viene dado por [19.2] L as cargas transm itidas a los pilares se calculan m ediante la fórm ula

donde M dss = M om ento del pilar superior.

AM

Nd = (Yfg s + Yfq q) «r V + x

M dsj = M om ento del pilar inferior. K ss = R igidez del pilar superior.

donde

K d = R igidez del pilar inferior.

Yfg ~ coeficiente de m ayoración de acciones de las cargas perm anentes.

M d ~ Valor dado por la expresión.

M d = V W [ { Y f s g + YflI- V M ) k P I n -Yf g g ’ { l ' J ]

yfq = coeficiente de m ayoración de acciones de las sobrecargas. '

[19-16]

Para el caso particular en que se use el procedim iento indicado en la figura 19-4, puede, tam bién usarse el valor 0,08 [ ( yfs g + yf ■0,5 q ) !2t)„ - yfg g ’ f 2 (í[„)2 ] M„ = -------------:--------- :------------ =------------:-------------------1—

g

= valor de la carga perm anente

q

= valor de la sobrecarga ->* valen:

1

382

di + d’¡ «/* =

P ara pilar interior (A en la figura 19-11) [19.17]

U + d’-

donde g y q = carga perm anente y sobrecarga del vano m ás largo de los dos contiguos al p ilar considerado. g’

[19.20]

= carga perm anente del vano m ás corto de los dos contiguos al pilar considerado.

dj +

ü‘

P ara pilar de fachada {B en la figura 19-11)

C om o puede apreciarse, el m étodo parte de un desequilibrio parcial, con un vano sin sobrecarga y el otro, con el 50% de su sobrecarga de cálculo.

383

(donde Kss, Ksj tienen los significados de las fórm ulas [19.14] y [19.15] y K pI y Kp2 los dados para a en la fórm ula [19.21]1 debe ser superior al valor a cmfn dado en la Tabla T-19.6. Si la condición anterior no se cum ple en algún pilar, los m om entos positivos totales en los vanos del pó rtico virtual con tig u o s a ese p ilar deben m ultiplicarse por el coeficiente , , 2 2 -1 / , Ss = 1 + T k T 1 4 2 ,+ l l

\ --------a C'tniJ

[19.22]

TABLA T-19.6 sobrecarga carga perm anente }} + a

2 A

Para pilar de esquina (C en la figura 19-11) L + b

«1

v = 0,5 a, a ’ y b son las dim ensiones de las secciones transversales de los pilares considerados en las direcciones de y i\2. 1 A M ld

A M 2d

-

=

_ m ld ¿ j —j¡— = 1

D iferen cia de m om entos negativo s de cálculo en cad a vano adyacente, considerado en la dirección d}.

D iferencia de m om entos negativo s de cálculo en cad a vano adyacente, considerado en la dirección í2.

2

E sfuerzo cortante hiperestático de cálculo del pórtico virtual en la dirección d2. (La sum a se extiende a los vanos contiguos al pilar considerado). 3 E sfuerzos cortantes hiperestáticos de cálculo del pórtico virtual en la dirección í2. (La sum a se extiende a los vanos contiguos al pilar considerado).

Corrección para el caso en que la sobrecarga es superior a la mitad de la carga permanente En este caso, la relación _

K

SS

+

K

SÍ

K pI + K p,

384

j j g

0,5-2,0

19.4.2

0

0,5

1,0

2,0

4,0

0

0

0

0

0

0,5

0,6

0

0

0

0

0,8

0,7

0

0

0

0

1,0

0,7

0,1

0

0

0

1,25

0,8

0,4

0

0

0

2,0

1,2

0,5

0,2

0

0

0,5

1,3

0,3

0

0

0

0,8

1,5

0,5

0,2

0

0

1,0

1,6

0,6

0,2

0

0

1,0 1,6

0,5

0

0

0,8

0,3

0

0

0

1,25

1,9

2,0

4,9

0,5

1,8 2,0

0,5

0,1

0,9

0,3

0

0

1,0 1,25

2,3

0,9

0,4

0

0

2,8

0,8

0,2

0

2,0

13,0

1,5 2,6

1,2

0,5

0,3

0,8

m 2i

c)

Kv Valor de a = ~ r r Kp

^2

M É TO D O G E N E R A L D E LO S PÓRTICOS V IR T U A L E S2

El pórtico virtual y a fue definido en 19.2, tanto para las filas de pilares interiores com o para las de pilares de fachada.

2 1 ]

Kp2 = 0.

1

Si se trata de pilar extrem o

2

El m étodo es aplicable a cualquier caso y, en particular, al de placas con voladizos.

385

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19.4.2.1 A ccion es verticales

El cálculo de esfuerzos, si no existen acciones horizontales, debe realizarse considerando los entram ados virtuales en cada dirección en su conjunto, siendo únicam ente aplicables las sim plificaciones correspondientes del cálculo general de entram ados. Si actúan solam ente acciones verticales sobre la estructura, puede introducirse la sim plificación para el cálculo de esfuerzos de cada dintel y sus pilares asociados, de suponer éstos em potrados en sus extrem os m ás alejados de la placa considerada (fig. 19-12). R ecuérdese que, en cualquier caso, las rigideces reales de los pilares deben sustituirse por las rigideces equivalentes. D ebe llam arse la atención sobre dos aspectos relacionados con la rigidez de los pilares. U no de ellos se refiere a la rigidez a considerar. E l otro se tratará en el apartado siguiente.

E ste hecho h a sido obviado m ediante reglas sim plificadas, tales com o considerar, en el m étodo de los pórticos virtuales, anchos reducidos de placa, a ju icio de cada proyectista (1/2 ó 1/3 del real, etc.). U n m étodo más adecuado es el propuesto por PARM E, que consiste en adoptar el concepto de rigidez equivalente de la placa para acciones horizontales, definida com o K pl +

K ‘P =

K p2

Z 1 |

K

[1 9 .2 3 ] p

>

+

K

p

2

K, donde Kpi> Kp2 = rigideces de las placas en los dos vanos contiguos, tal com o se definieron en [19.16], es decir, incluyendo la viga de borde si ex iste1 Kj

= rigidez a torsión, de acuerdo con [19.4], [19.5] o [19.6].

L a expresión [19.23], para K ep, corresponde al conjunto de las dos apoyando en el pilar. L a de cada una de ellas vale, por tanto,

SIM PLIFICAC IÓ N PARA EL CALCULO DE PORTICOS VIRTUALES EN EL CASO DE ACCIONES EXCLU SIVAM ENTE V E R T IC A L E S

K epj = K ep

placas

KP2 [1 9 .2 4 ]

KPi + Kp2 Figura 19-12 D e acuerdo con [19.3] ó [19.8], se conoce la rigidez de un pilar equivalente a los dos reales (superior e inferior). P ara el m étodo sim plificado, y p ara el general, si actúan sólo cargas verticales, esto es suficiente, pues, en el segundo caso puede hacerse uso de la sim plificación de la figura 19-12. Sin em bargo, si existen acciones horizontales, la N orm a A C I resulta im precisa, ya que no expresa el reparto de la rigidez equivalente entre los pilares reales, lo que resulta necesario para el cálculo general del entram ado. A nuestro juicio, un criterio válido es repartir la rigidez equivalente entre los pilares superior e inferior en proporción a sus rigideces reales. A ún así a un pilar le pueden corresponder rigideces equivalentes diferentes, al ser considerado com o inferior respecto a una placa y com o superior respecto a la placa inm ediatam ente inferior. Un criterio aceptable es tom ar la sem isum a de am bas com o valor para el cálculo.

Kep2 = K ep

K pi [1 9 .2 5 ]

Kpi + Kp2

y con estos valores puede y a entrarse en el cálculo del entram ado som etido a acciones horizontales, adoptando para las rigideces de pilares sus valores reales2. U na alternativa al m étodo de PA R M E DARW ALL y A LLEN , basados en estudios acuerdo con sus resultados, el ancho eficaz viene dado por el valor ¿x fl2, viniendo el valor

es proporcionada por los trabajos de m ediante elem entos finitos [19.4]. De equivalente para acciones horizontales ¡i proporcionado por la Tabla T-19.7.

19.4.2.2 A c c io n e s h o rizontales L a N orm a A C I a p artir de su edición de 1995 y la Instrucción E H E indican que, p ara acciones horizontales, la rigidez equivalente no es la m ism a que para acciones verticales, dada por [19.3] ó [19.8]. La razón es que, com o y a hem os visto, la solución de forjado sin vigas es m enos eficaz que otros tipos estructurales p ara transm itir, por flexión, m om entos de las placas a los pilares y necesita realizar por torsión una parte im portante de esa transm isión. Si esto es así, para cargas verticales, analizadas m ediante el sistem a expuesto de bandas cruzadas de pilares y centrales, es evidente que dicho sistem a es m enos adecuado para acciones horizontales, cuyo sistem a de transm isión no es el m ism o y, por lo tanto, el concepto de rigidez equivalente, utilizado para el caso de acciones verticales, no es directam ente aplicable.

386

1

Si se trata de vano extrem o Kp2 - 0..

2

O bsérvese que con las fórm ulas [19.24] y [19.25] en general se obtienen dos rigideces, una para cada extrem o de cada placa, que pueden ser diferentes. A falta de cálculos m ás refinados, puede adoptarse para cada vano el valor medio.

TABLA T-19.7 COEFICIENTES ¡i DE ANCHO EFICAZ EQUIVALENTE ACCIONES HORIZONTALES

p a

r

para el caso de placas con áb aco s1, la figura 19-14 contiene ábacos que proporcionan el valor }J. para diferentes tipos de ábacos.

*

F

\ \

F

1 i

Relación

\

_

,7S\ \ \ 1.5 \ \

i -

0,67

0,80

1,00

1,25

0,25 0,27 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,26 0,36

0,30 0,33 0,34 0,36 0,37 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43

0,38 0,40 0,43 0,45 0,46 0,48 0,49 0,50 0,51 0,53

0,46 0,49 0,52 0,54 0,56 0,58 0,59 0,61 0,62 0,64

/

X

1.75

0,54 0,57 0,60 0,63 0,65 0,66 0,68 0,69 0,71 0,72

/

\ 15 \ \

/

0,66 0,70 0,73 0,75 0,77 0,79 0,80 0,82 0,83 0,84

\ ( / •/

/ /

0

/

1.25

/

-1.75 1.25

t/ / K*1.0 /

y.

/

1.25

/

\

-f

\ 1

--2 i/

/

/

— 0,1

0.2

0.2

0.3 C'/f.

c } y tj son, respectivam ente, la dim ensión del pilar y la luz en el sentido en aue se estudia la flexión, f?2 es la luz en sentido transversal. c, — no debe ser superior a 0,12.

K = ABACO

VI ABAC0 placa

\i

CON

1 1 1.2 0.3

0.3 W*.

( i n e r c i a s p o r u n i d a d de a n c h o )

ANCHO

IGUAL

AL

TERCIO

DE

LA

-

F

Si el calculo de esfuerzos ha sido hecho sin considerar el ancho c} del pilar es decir suponiéndolo nulo, los valores de \i indicados en la tabla deben ser multiplicados

f

LUZ

\

0.5

*2

- 2.0

por í l - £ l } 3

-y

1.50 125. 2.0

L a figura 19 13 contiene la com paración de valores de fi para un caso típico entre am bos m étodos.

//

-- K /

/

ir u

u =i.o b

/

- 2 .0

/ '

/

0.1

0.2

c-/e,

S/•

/ / QMEi j / K. i t - DARWtLL r LLEN / 1 t 1 / / /

i/€,

PA

K

a

ABACO

.

1.0

1.5

2.0

CON

V

I piac a

ANCHO

( i n e r c i a s p o r u n i d a d de a n c h o )

I GUAL

AL

CUARTO

DE

LA

LUZ

F ig u r a 1 9 -1 4

¡J 0.5

- \

2.5

Como puede apreciarse, com parando la Tabla T -l 9.6 y la figura 19-14, la solución de disponer ábacos es m uy eficaz en cuanto a reducir la deform ación horizontal de las estructuras de este tipo frente a acciones horizontales.

NU Figura 19-13

388

1

Caso usual cuando se em plean forjados aligerados con m acizados alrededor de los pilares.

389

www.libreriaingeniero.com Si en el sentido transversal las luces a cada lado de una fila de pilares tienen valores desiguales í2, í 2, se tom a su v alor m edio para calcular la relación

b) C aso de losa m aciza con ábacos y de losa aligerada con m acizado. L a tabla GT-31 proporciona los m om entos de em potram iento, rigideces y factores de transm isión para este ca so 1. c) C aso de losa m aciza con capiteles. L a tabla GT-32 proporciona los m om entos de em potram iento, rigideces y factores de transm isión p ara este c a so 1. d) C aso de losa m aciza con ábaco o losa aligerada con m acizado y pilares con capiteles. L a tabla GT-33 proporciona los m om entos de em potram iento, rigideces y factores de transm isión para ábacos o m acizados, cuya distancia de eje de p ilar a borde de ábaco o m acizado es 1/6 de la luz, en los casos en que el espesor del ábaco es 1,25 ó 1,50 veces el canto de la p la ca1.

tanto

en la Tabla T-19.6 com o en los gráficos de la figura 19-14. P or supuesto el M étodo de E lem entos F initos perm ite hacer un cálculo general directo de la estructura, som etida a acciones tanto verticales com o horizontales.

19.4.2.3 Alternancia de sobrecarga Si la sobrecarga variable, no excede al 75% de la carga perm anente o es de tal tipo que todos los recuadros se encuentran siem pre sim u ltán eam en te som etidos a sobrecarga, no es necesario h acer hipótesis de carga y descarga. Si estas condiciones no se cum plen, los m om entos m áxim os de vano pued e aceptarse que ocurren para sobrecarga igual al 75% de la total en el vano que se considera y en los situados alternativam ente a p artir de él en am bos sentidos. Los m áxim os m om entos en apoyo se pueden determ inar bajo una sobrecarga igual al 75% de la total, situada en los vanos adyacentes al apoyo considerado. D e todas form as, en n inguna sección se adoptará un m om ento inferior al resultante de aplicar a la estructura la totalidad de la sobrecarga sim ultáneam ente en todos los recu ad ro s1.

19.4.2.4 Distribución de momentos E n los pilares interiores, se dim ensionará el m om ento negativo con el valor en la cara del pilar (en bandas de pilares y centrales), pero no a m ás de 0,175^ a partir del eje del pilar. E n los pilares exteriores con capitel, el m om en to n egativo en dirección p erpendicular al borde se dim ensionará con el valor correspondiente al punto medio entre la cara del pilar y el lím ite del capitel. E n los dos casos anteriores, los pilares no cuadrados, circulares o poligonales, se sustituirán por los cuadrados de igual área.

19.4.4 T R A N SM IS IÓ N D E M O M EN TO S D E LA S PLA C A S A LOS PILA RES Para el cálculo de m om entos en pilares, debe considerase que, de acuerdo con lo dicho en 19.4.1 (figs. 19-5 y 19-6), del m om ento transm itido p o r la losa al pilar, una parte se transm ite directam ente por flexión y otra, p o r tensiones tangenciales. Veamos dos m étodos para calcular esta distribución. El detalle y deducción de estas fórm ulas se verán en el C apítulo 41, así com o su extensión a pilares circulares.

19.4.4.1 M étodo del A C I La fracción del m om ento M ’d transm itido a los pilares directam ente p o r flexión puede ser estim ada a partir del m om ento M d total transm itido a los pilares (pilar inferior m ás p ilar superior) p o r la expresión M 'd = XMd

[19.26]

donde X se indica en la fig u r a 19-15 con los subíndices 1 ó 2 p a ra las fle x io n e s en las direcciones de c} ó c2 y correspondiente a los pilares interiores, de fachada y de esquina, respectivam ente2. E n cada caso, la línea de trazos en la figura representa el perím etro crítico a punzonam iento, que utilizarem os más adelante y que es el situado a d/2 del contorno del pilar. Si el pilar es circular o tiene com o sección un polígono regular, se reem plaza la sección real p o r la cuadrada de área equivalente. Si existe capitel, el perím etro crítico se sitúa a d/2 del borde del capitel. C1

C1 r ci ,

L a distribución de m om entos positivos y negativos en bandas de pilar, vigas de borde y bandas centrales se hace com o en el M étodo Sim plificado visto en 19.4.1.

I------------------- 1 —

!

□

’

i------------- 1 —

¡ 3 *

P

I____________ I ____ ,

19.4.3

1

_ J

¡3 :~

1

I

R IG ID E C E S , F A C T O R E S D E T R A N S M IS IÓ N Y M O M E N T O S DE E M P O T R A M IE N T O Q U E D E B E N SER C O N SID E R A D O S EN AMBOS M ETO D O S

V

m

i

>

'

1 3 * 2ca+ d

3 ■ C2+d

a) C aso de losa m aciza sin ábacos. L a tabla GT-30 proporciona los m om entos de em potram iento, rigideces y factores de transm isión para este caso2.

,4 .

i________ l ____

V

1

X,------ 7 7 =

Figura 19-15 1

2

Las sim plificaciones anteriores se basan en la consideración de que, sim ultáneam ente, no se pueden p resentar los m áxim os m om entos de vano y apoyo y, por lo tanto, puede aceptarse una cierta reducción. Tom ado del com entario a la edición de 1983 del ACI-318.

390

1

Tomado del com entario a la edición de 1983 del ACI-318.

2

O bsérvese que para un p ilar interior de sección cuadrada por torsión el 40% del m om ento M d.

X = 0,6, es decir que es necesario transm itir

391

L os g ráfico s de la fig u ra 19-16, dan d ire c ta m e n te correspondientes a los tres casos indicados en la figura 19-15.

P ILA R IN T ER IO R

Í> Mj, = * , Md

los v alo res de X

P ILA R IN TERIO R

E l valor Xv en el caso de pilar de borde, puede elevarse a 1, siem pre que Vd no exceda 0,60 Vcu y los valores de X} y X2, en el caso de pilares de esquina, pueden elevarse a 1 siem pre que Vd no exceda 0,40 Vcu. P ara el valor X2 de los pilares de borde y para los X¡ y X, de los pilares interiores, dichos valores pueden elevarse un 25% siem pre que V¿ no exceda 0,3 VCíi. Vcw en lo anterior es el valor del esfuerzo de punzonam iento que puede ser absorbido por el horm igón. Todos los increm entos anteriores sólo podrán aplicarse si la cuantía geom étrica p de arm adura, dentro de la faja de ancho igual al del pilar m ás 1,5 h a cada lado (siendo h el canto total del forjado) no supera la cuantía p cr, que es la correspondiente al caso en que se alcanza sim ultáneam ente la deform ación últim a del horm igón y el lím ite elástico característico del acero. K fyd

p r = -----—= 0,53 Pcr

'

fcd b d

19.4.4.2 M éto d o E H E Siguiendo al M O D E L C O D E 90, E H E, establece que el m om ento M d existente en la unión de placa y pilar (Pilar superior m ás p ilar inferior), se transm ite al pilar por flexión y p o r tensiones tangenciales. L a parte transm itida directam ente por flexión es [19.27] El coeficiente X viene dado en la Tabla T-19.8 (El v alo r de M d, es tam bién aquí la sum a de los m om entos transm itidos al pilar inferior y al pilar superior).

TABLA T-19.8 VALORES DEL COEFICIENTE V

c xl c \

0,5

1,0

2,0

3,0

X

0,55

0,40

0,30

0,20

en la que: . c} D im ensión de la sección transversal del pilar paralela a la dirección de la excentricidad de la carga o a la dirección del pórtico analizado. c '2 D im ensión de la sección transversal del pilar perpendicular a la dirección de la excentricidad de la carga o a la dirección del pórtico analizado, en soportes interiores o de esquina y dos veces dicha dim ensión si es de fachada2.

Co/d

Co/d

Figura 19-16

392

La regla procede de A CI 318-95, que m aneja valores m ás altos de Vcu, que EH E. V éase el Capítulo 41. L a lim itación de cuantía tiene com o objeto controlar la necesaria ductilidad. Es clara la diferencia de valores de X entre el m étodo del A CI y el de E H E, que procede del M O D EL C O D E 90. N o debe olvidarse sin em bargo que las dos norm as establecen perím etros críticos a punzonam iento y valores de resistencia a punzonam iento del horm igón m uy diferentes.

393

www.libreriaingeniero.com 19.4.6 TORSIONES. TORSIONES EN VIGAS Y ZUNCHOS

19.4.5 VOLADIZOS

Ni la Norma ACI ni la Instrucción EHE contemplan el caso particular de placas con voladizos, que es, sin embargo, de uso frecuente en el práctica. El primer problema a considerar es el del cálculo y distribución de momentos el voladizo. Con los momentos flectores totales negativos, resultantes del cálculo esfuerzos, los momentos en la dirección del vuelo pueden repartirse entre bandas pilares y centrales en la misma proporción que vimos para los momentos negativos general (Tabla T-19.2). Como momento en dirección perpendicular al voladizo, considerará el correspondiente a la banda de pilares en esa dirección.

en de de en se

DE BORDE

Como vimos en 19.4.4 y 19.4.5, la fracción del momento M d transmitida por torsión a los pilares viene dada por M ”d = (1 - X) M d

[19.28]

Esto significa que, a cada uno de los dos elementos resistentes a torsión (ver 19.4.4.1) y, en especial, la figura 19-6, le corresponde un momento torsor1.

El segundo problema se refiere a la transmisión de momentos de placa a pilar. Del simple examen de la figura 19-17, se observa que, si la luz del voladizo H v es pequeña, resulta arriesgado considerar el pilar como «interior». En general, un pilar de este tipo debe considerarse como un pilar de fachada.

C \3

M „ = (l-A ) M d _1_____ c x3 +

[19.29]

l_ C \3

r 2 ( 1 _ r 2)

C

F ig u r a 1 9 - 1 7

M í2 = ( \- X ) M

Í— S¡. )2 ( h s + rfq a ) e2 ' 3 n 1

(7fg 8 + 7 f g q ) h ^

0,65 ----------------------------------- = ----------------------------8 2 lo que conduce a £„ = 0,2 7 l}n, o sea del orden del 25% de la luz entre ejes del vano extremo. Cuando en la realidad haya cargas en punta de voladizo, la luz necesaria será apreciablemente menor. Debe prestarse atención a que la disposición de un voladizo de este tipo es adecuada desde el punto de vista resistente, pero debe contemplarse también el problema de la deformabilidad, especialmente las deformaciones diferidas. 394

c

[19.30]

Si el momento del voladizo es importante, es claro que el pilar debe ser considerado como interior. Una opinión bastante generalizada es considerar como interior el pilar, a los efectos mencionados, si el momento total del voladizo no es inferior al correspondiente momento negativo total de un vano interior (no extremo) de luz 2/3 la del vano extremo contiguo al voladizo. Si se aplica el método simplificado, el momento negativo en vano interior vimos que vale -0,65 M od y, si suponemos que el voladizo no tiene cargas en punta y su carga uniforme es igual a la del resto de la placa, se tiene

\3

C \3

r 2 ( 1 _ r 2)

donde H2 y H2 son las luces de los dos recuadros contiguos al pilar considerado en dirección perpendicular a la flexión y c, el ancho del pilar en dicha dirección perpendicular. Los m om entos M !}, M a no suelen ocasionar problem as en p ila res interiores, pero puede ocasionarlos en pilares exteriores , ya que la resistencia a torsión del borde de la

placa puede resultar insuficiente. El problema suele ser menos grave si se pueden disponer vigas de borde, pero resulta especialmente importante si no hay vigas de borde. En definitiva, el elemento de borde, sea viga o zuncho embebido en el canto del forjado, debe ser calculado para el momento torsor dado por [19.29] ó [19.30]. Véanse, como ampliación, las referencias (19.5) y (19.6). Préstese atención a lo que se indica en el Capítulo 42 sobre el máximo valor del momento torsor a considerar en el cálculo. 1

Se supone que la rigidez a torsión C de am bas piezas es la m ism a p o r serlo la sección transversal. En otro caso hay que afectar a cada tram o de su valor C correspondiente.

395

19.4.7 DEFORMACIONES

.

Pe P

5

No existe un m étodo general aplicable para el cálculo sim ple de deform aciones en este tipo de forjados, especialm ente para flechas diferidas. L as referencias (19.7) y (19.8) contienen inform ación al respecto. O tro m étodo es el cálculo mediante asim ilación a em parrillados, del que hablarem os a continuación. P ara luces o cargas grandes, debe tenerse en cuenta que las lim itaciones de canto expuestas en 19.3 pueden no ser suficientes para evitar la fisuración de tabiquerías por excesiva deform ación del forjado.

( M ff+ M f d ) C

----------

f =

[1 9 .3 2 ]

L

384

16¿Lc Le

L a flecha en el centro del recuadro viene dada (figura 19-18 a)) por Íe + Íf f \ = -----------------+f c ( EF)

119-33]

2 donde

19.4.7.1 M étodo sim plificado de S ca n lo n y M u rra y U n m étodo sim plificado para el cálculo de las flechas es el desarrollado por SC A N L O N y M U RR A Y (19.9), a partir de trabajos previos de N IL S O N y WALTERS. El m étodo parte de que la flecha en el centro de un recuadro puede calcularse (figura 1 9-18a)), a partir de las flechas en sus puntos m edios E y F de las bandas de pilares A B y C D , y posteriorm ente de la flecha en el punto m edio C de la banda central E F , elásticam ente apoyada en las de pilares A B y CD.

- F lecha en el punto m edio de la banda de pilares AB.

fF

= F lecha en el punto m edio de la banda de pilares CD.

fe ( e f ) ~ F lecha en el punto m edio C de la banda central EF. Si el recuadro no es cuadrado pero tiene sim etría de form as y cargas respecto a sus m ediatrices E F y GH, debe calcularse

L a flecha de cualquiera de dichas bandas, tanto de pilares com o central, se calcula con la inercia de su ancho real, evaluada de acuerdo con las fórm ulas correspondientes del C apítulo 48.

t-

J

-

+^h

, t

c ------------------ + Je (GH)

y tom ar com o flecha definitiva en el centro

UUHUmUHU M
4-

fE

, f ’c + f ’c f c = --------------------

4

[1 9 .3 4 ]

b) E n las bandas de pilares afectadas p o r ábacos o capiteles, la inercia variable a lo largo de la luz debe tenerse en cuenta. V éanse los GT-9 a 13 y GT-22 a 25.

Mo/ M.

Por supuesto, las flechas de las bandas deben calcularse teniendo en cuenta el efecto de la fisuración, de acuerdo con lo que se expone en el C apítulo 48.

o Figura 19-18 según sea el caso, y con una carga equivalente, P

+ M..

por unidad de longitud, tal que

[19.31]

donde d es la luz libre entre caras de pilares, o entre bordes de capiteles si existen, en la d irección considerada, Mfd y M son los m om entos flectores en los extrem os de la b an d a y M v, el m om ento de vano, obtenidos a partir del m étodo sim plificado o del de los pórticos virtuales (figura 19-18 b y c). C onocido el valor de P e, la flecha en el punto m edio de la banda, sea de pilares o central, viene dada por

396

19.4.7.2 M éto d o de G arcía D u ta r iy Calavera E ste m étodo, está basado en el desarrollado por L. G A R C ÍA D U TA RI a partir de una aplicación del M étodo de Elem entos Finitos a los forjados sin v ig as1, con un cálculo no lineal de los esfuerzos, que evalúa las flechas teniendo en cuenta el proceso de aplicación de las cargas, las variaciones de edad, hum edad y tem peratura y la evolución de la fisuración, retracción y fluencia.

1

G A R C ÍA DU TA RI, L.: “E V A LU A C IÓ N D E LA A P L IC A C IÓ N D EL M ÉTO D O DE LOS PÓ RTIC O S V IRTU A LES A L C Á L C U L O D E FLECH A S INSTAN TÁN EAS Y D IFERID A S EN FO RJA D O S SIN V IG A SA Tesis desarrollada en la C átedra de E dificación y Prefabricación de la E scuela de Ingenieros de C am inos de M adrid, bajo la dirección de J. CA LAV ERA (19.14).

397

www.libreriaingeniero.com de la ban d a correspondiente y un área igual a la de la arm adura cortada deberá

Independientem ente de su valor com o m étodo de cálculo no lineal p ara el cálculo de flechas, el estudio perm itió sentar conclusiones. (V éase G A R C ÍA D U TA RI, L; CA LA V ERA , J. “E valuación de la aplicación del m étodo d e los pórticos virtuales al cálculo de la flech a instantánea y diferida en forjados sin v ig as”. C uaderno n° 26 de IN T E M A C (19.15)), que contiene un resum en am plio del trabajo y especialm ente de la com paración de este m étodo con el de SC A N L O N y M U R R A Y expuesto en 19.4.7.1). D e acuerdo con ello pueden deducirse las flechas obtenidas p o r dicho m étodo según lo siguiente:

E n todo lo anterior, se entiende que las aberturas distan lo suficiente de los pilares u otras cargas locales p ara que no resulte afectado el perím etro de punzonam iento, caso que se analiza en el C apítulo 41.

a) E l m étodo de cálculo de flechas basado en las bandas d e los pórticos virtuales expuesto en 19.4.7.1, supravalora el valor de las m ism as cuando se com paran con las flechas calculadas por el M étodo de los E lem entos Finitos.

Tanto la N orm a A C I-318 com o la Instrucción E H E contem plan únicam ente el caso de pilares que en planta form en u n a m alla rectangular, con la desviación m áxim a perm isible, ya m encionada, del 10% de la luz en cada sentido.

b) Las flechas instantáneas y las flechas totales calculadas p o r m edio del método de las bandas de los P órticos V irtuales, expuesto en 19.4.7.1 pueden ser m ultiplicadas por el factor 0,67.

E n la práctica, se presentan con frecuencia situaciones que obligan a adoptar una disposición de pilares m uy distinta de la contem plada p o r las N orm as. El proyectista tiene ante esta situación dos cam inos:

c) L as flechas activas calculadas por m edio de dicho m étodo pueden ser m ultiplicadas por 0,75.

19.4.7.3 Deform aciones en el caso de forjados pretensados con armaduras postesas El cálculo de este tipo de forjados se expone en detalle en el C apítulo 54. El cálculo de deform aciones debe hacerse sólo para la carga no equilibrada po r el pretensado. P o r lo dem ás vale lo expuesto en 19.4.7.1 y 19.4.7.2 teniendo en cuenta las inercias correspondientes al grado de pretensado em pleado.

19.5 A B E R T U R A S E N L A P L A C A Con independencia de los taladros en la zona de ábaco, tem a que se trata en el C apítulo 41, con frecuencia es necesario disponer aberturas en la placa bien por razones de ejecución de la obra, o bien por necesidades de utilización de la construcción. S alvo análisis m ás detallados, que pueden perm itir am pliar los lím ites que a continuación se indican, las aberturas han de cum plir las siguientes condiciones:

a) Pueden disponerse aberturas de cualquier tam año en el área com ún a dos bandas centrales ortogonales, siem pre que el área total de arm adura en cada dirección, correspondiente al ancho de la abertura, se d isponga adecuadam ente en los lados de la abertura y convenientem ente ancladas. b) E n el área com ún de dos bandas ortogonales de pilares, la abertura no tendrá en cada dirección un ancho superior al octavo del ancho de la banda correspondiente. A nálogam ente al caso anterior un área de arm adura igual a la c o rta d a p o r la a b e rtu ra debe d isp o n e rs e en sus lados y anclarse convenientem ente.

disponerse en sus lados y anclarse convenientem ente.

19.6 C Á L C U L O F U E R A D E L A S N O R M A S

a) A ceptar asim ilaciones de la estructura real a otras que perm itan la realización del cálculo. Se abandona, en este caso, el cam po cubierto por las N orm as, lo cual puede hacerse de acuerdo con el A rtículo I o de E H E, pero recordando que el proyectista lo hace «bajo su personal responsabilidad». E s im portante destacar que tales asim ilaciones deben ser coherentes, tanto desde el punto de v ista del equilibrio estático com o d e la com patibilidad de deform aciones. b) R ealizar el cálculo m ediante program as de ordenador que parten generalm ente de la asim ilación de la estructura continua a otra discreta (em parrillados, etc.), o b ien m ediante la aplicación del M étodo de E lem entos Finitos. E n relación con este tipo de cálculo, es conveniente puntualizar dos cosas: - Su interés es grande, pues perm iten al p royectista un a gran libertad en la disposición de la estructura. Sin em bargo, no debe olvidarse que su precisión no puede nunca ser m uy alta, pues la incertidum bre en los valores de los m ódulos de deform ación del horm igón a flexión y torsión, la dificultad de encontrar un a relación válid a entre el estado de fisuración y la rigidez de las piezas, etc., son todavía m uy grandes, incluso en el caso restringido del com portam iento lineal del horm igón arm ado. Los estudios en régim en no lineal están, desgraciadam ente, en fase todavía atrasada. U n desarrollo interesante en el cam po no lineales es el expuesto en (19.14). - El proyectista debe asegurarse de que la calidad del program a y, sobre todo, sus hipótesis y sim plificaciones son adecuadas. E l artículo 4.2.3 de E H E es m uy rotundo y clarificador al respecto. Com o ejem plo la figura 19-19 corresponde a un program a de este tipo, que calcula los desplazam ientos en los nudos y los esfuerzos en la estructura, con cualquiei disposición de pilares en planta.

c) E n el área com ún a dos bandas ortogonales, u n a de pilares y otra central, la abertura no será en ninguna de las dos direcciones superior al cuarto del ancho

398

399

PROGRAMA

EMPñR

3 .0

(19.10) S C A N L O N , A .; M U R R A Y , D .W . “P ra c tic a l c a lc u la tio n o f tw o -w a y slab d e fle c tio n s” . C o n c re te In te rn a tio n a l. N o v ie m b re , 1982

(FHECOR)

( 1 9 . 1 1 ) C A L A V E R A , J. “ C á lc u lo , c o n stru c c ió n y p a to lo g ía d e fo rja d o s de e d ific a c ió n ” . IN T E M A C . M a d rid , 1988. (19.12) M O D E L C O D E C E B -F IP F O R C O N C R E T E S T R U C T U R E S , 1978. (19.13) R IC E , P.F.; H O F F M A N , E .S . “ S tru c tu ral d esig n g u id e to th e A C I B u ild in g C o d e ” Van N o stra n d . N e w Y ork, 1979. (19.14) G A R C ÍA D U T A R I, L . “E v a lu ació n d e la a p lic a c ió n d e l m éto d o de lo s p ó rtic o s v irtu a le s al c á lc u lo d e fle c h a s in sta n tá n e a s y d ife rid a s en fo rja d o s sin v ig a s” . T esis d o cto ral b a jo la d ire c c ió n d e J. C A L A V E R A . U n iv e rsid a d P o lité c n ic a de M a d rid .

F ig u r a 1 9 -1 9

E sc u e la T é c n ic a S u p e rio r d e In g e n ie ro s d e C a m in o s, C a n ales y P u erto s. M a d rid , 1994.

C o rtesía d e F H E C O R , S.A .

Es im portante observar que este program a, como es habitual, considera la rigidez a torsión de los nervios. Por razones que se explican en profundidad en el Capítulo 42 para cálculos sim plificados encam inados a asegurar la seguridad estructural, dicha rigidez debe ser despreciada. (El program a no adm ite valor cero para esta rigidez, pero basta operar con un valor despreciable). Para otro tipo de cálculos, en particular para calcular flechas, tal rigidez debe ser considerada.

(19.15) G A R C ÍA D U T A R I, L .; C A L A V E R A , J. “E v a lu a c ió n d e la a p lic a c ió n d e l m éto d o de los p ó rtic o s v irtu a le s al c á lc u lo d e la fle c h a in sta n tá n e a y d ife rid a en fo rjad o s sin v ig a s” . C U A D E R N O S IN T E M A C N ° 2 6 , IN T E M A C . M a d rid , 1997, 2o trim estre .

BIBLIOGRAFÍA (1 9 .1 )

N IC H O L S , J.R . “ S ta tic a l lim ita tio n s u p o n th e Steel re q u ire m e n ts in re in fo rc e d co n crete fía t slab flo o rs ” . A s e e T ra n sa c tio n s, 7 7, 1914.

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W E S T E R G A A R D , H .M .; S L A T E R W .A . “ M o m e n ts an d stre sse s in sla b s” . A C I p ro c e e d in g s, 17. 1921.

(1 9 .3 )

A C I-3 1 8 -9 5 “B u ild in g co d e re q u ire m e n ts fo r stru c tu ra l c o n c re te ” . A m e ric a n C oncrete In stitu te . D e tro it, 1995.

(1 9 .4 )

D A R V A L L , P.; A L L E N , F. “ L a te ra l lo d e ffe c tiv e w id th o f fía t p la te s w ith d ro p p a n e ls” . A C I Jo u rn a l. N o v ./D ic. 1984.

(1 9 .5 )

A S D U K I E W IC Z , A .; S T A R O S O L S K I, W . “ R e in f o r c e d c o n c r e te sla b -c o lu m n

(1 9 .6 )

M U L C A H Y , J.F.; R O T T E R , J.M . “ M o m e n t ro ta tio n c h a ra c te ristic s o f fía t p ía te and

stru c tu re s” . E L S E V IE R . N e w Y ork, 1990.

co lu m n S y stem s” . A C I Jo u rn al. M a rz o -A b ril, 1983. (1 9 .7 )

V IJA Y A R A N G A N , B .; H A L L , A .S . “M o m e n t tra n sfe r b e tw e e n slab a n d

edge

c o lu m n ” . A C I Jo u rn a l M a y o -J u n io , 1983. (1 9 .8 )

S u b c o m m itte e 2, A C I C o m m itte e 209 “P re d ic tio n o f c re e p . S h rin k a g e a n d tem p eratu re effe ets in c o n c re te stru c tu re s” . D e s ig n in g fo r d e e ffe ets o f c reep , sh rin k a g e and te m p e ra tu re in c o n c re te stru c tu re s (S P -2 7 ), p p .5 1 -9 3 . A m e ric a n C o n c re te In stitu te. D e tro it, 1971.

(1 9 .9 )

C o m m itte e A C I 4 3 5 “ D e fle c tio n o f tw o -w a y re in fo rc e d c o n c re te f lo o r Systems*. S tateo f-th e -a rt R e p o rt” (1979).

400

401

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CAPÍTULO 20

CALCULO DE ESFUERZO S EN PLACAS 20.1. G E N E R A L ID A D E S Se define com o p laca un elem ento estructural lim itado p o r dos planos paralelos, cuyo espesor es pequeño respecto a las dim ensiones de la pieza en las direcciones paralelas a dichos planos y som etido a cargas norm ales a su plano m edio. E l forjado unidireccional es, en sentido estricto, una placa. Sin em bargo, en general, por su constitución, com o verem os en el C apítulo 45, resulta escasam ente apto para resistir flexiones en la dirección transversal, p o r lo que, en la práctica, su deform ada será u n a superficie cilindrica y su cálculo se realiza p o r tanto según vim os en el C apítulo 18. f>i

i m u u im i CD

AB

±-

-4 -

S E C C IO N

a)

1-1

Figura 20-1

P ara el caso de placas sustentadas en dos bordes paralelos, si lx < — , se calcula

l

\

como viga y si Z > — se deberá considerar un m om ento M x = — M v, de acuerdo con EHE (Art. 56.1).

403

Sin em bargo, lo frecuente es que el forjado en los extrem os AB y CD, paralelos a su dirección principal, tenga su deform ación coartada p o r vigas o m uros de fachada (fig. 20-2).

20.2.1. MÉTODOS ELASTICOS Parten del planteam iento del problem a considerando la p ieza constituida p o r un material elástico, hom ogéneo e isótropo. Con base en este planteam iento existen dos cam inos posibles: Uno es el establecim iento e integración de las ecuaciones diferenciales correspondientes. El trabajo desarrollado en este cam po h a sido inm enso. U na referencia clásica es el tratado de T IM O S H E N K O citado en la referencia (20.1). Las referencias (20.2), (20.3) contienen las soluciones tabuladas para m uchos tipos de carga, condiciones de apoyo y form as de placa.

Figura 20-2 L a figura 20-3 indica las leyes de m om entos en la dirección lx y / y las flechas a lo largo de la línea m edia, en función de la distancia x al borde izquierdo. C om o se ve, la perturbación creada por los bordes AB y CD es pequeña y se am ortigua muy rápidam ente. j w

El inconveniente del m étodo apuntado es la gran com plejidad m atem ática que presenta, especialm ente p ara placas de contorno irregular, apoyos puntuales, placas con huecos, etc. U na m anera de obviar este problem a es abordarlo p o r los m étodos de diferencias finitas o de elem entos finitos. E ste últim o es hoy, sin duda, el de m ayor interés y puede abordar el cálculo de, prácticam ente, cualquier form a de placa, som etida a cualesquiera tipos de carga y, en cualesquiera condiciones de contorno. N o debe olvidarse sin em bargo, que, bien se aborde el problem a p o r el planteam iento de las ecuaciones, bien a través de diferencias finitas o elem entos finitos, la solución; si se b asa en las hipótesis clásicas del cálculo lineal, adolecerá de los inconvenientes inherentes a esas hipótesis y que se analizaron en el C apítulo 14. N atu ra lm en te, u n a v en taja im p o rta n te de los m éto d o s elástico s es que proporcionan la posibilidad de calcular las flechas de la placa en condiciones de servicio con razonable aproxim ación. a) P lacas aisladas M últiples trabajos han abordado la publicación de tablas o gráficos p ara la m ayoría de los casos corrientes. Los gráficos GT-26 a GT-47 contienen las tablas correspondientes a m om entos flectores y flechas más frecuentes. L a figura 20.4 contiene una presentación sistem ática de dichos casos y perm ite seleccionar el gráfico G T de em pleo en cada caso. Las notaciones em pleadas en los gráficos, se indican en la figura 20.5.

Figura 20-3

20.2. M É T O D O S G E N E R A L E S D E C Á L C U L O Los m étodos de cálculo de placas de horm igón actualm ente disponibles pueden clasificarse en dos grandes grupos, los m étodos elásticos y los m étodos de cálculo en estado lím ite últim o o m étodo en rotura. E ntre estos últim os, seleccionam os a continuación el M étodo de las Líneas de Rotura, debido esencialm ente a K.W. JO H A N S E N , y el M étodo de las B andas, debido a A. H IL L E R B O R G . E l segundo de ellos, m ucho m enos conocido que el prim ero, es tam bién a nuestro ju icio de un gran interés.

404

405

www.libreriaingeniero.com C AR G A UNIFORMEMENTE REPARTIDA

nnm m nnr

jT iT n n T n iiii¿ f

GT-26

pnnnnnm

GT-27

N O T A C IO N E S

k /

L ados de la placa.

p

Valor de la carga uniform em ente repartida, p o r unidad de superficie. Valor m áxim o de la carga, en el caso de carga triangular.

GT-28 W0

Flecha en el centro de la placa.

W máx Flecha m áxim a de la placa.

GT-29

GT-30

GT-31

M x0

M om ento flector en la dirección de lx, en el centro de la placa.

M y0

M om ento flector en la dirección de ly, en el centro de la placa.

Me

M om entos flectores en las esquinas de la placa, que actúan a 45° con los lados de la m ism a.

77777777777777777

Lx

nnnm mdp ■/s/s///,,, , , , , , ,

ím u m m n ij'

GT-32

jiuiuuuun

GT-33

GT-34

M xa

M om ento flector en la dirección de lx en el centro de un borde em potrado de longitud / .

Mya

M om ento flector en la dirección de ly en el centro de un borde em potrado de longitud lx.

T7 T 7 T 7 T 7 7 7 7

i* m s m s n m

GT-35

■t'ssttS'

B ord e em p otrado

-

B ord e sim plem ente apoyado

M A,lndA v mifT M om ento flector m áxim o en la dirección deX L.

B ord e libre

Mymáx M om ento flector m áxim o en la dirección de ly. M™a

C AR G A TR IAN G U LAR

pTnrm-r-,—

pTíTíTrrr^, GT- 36

ppTrn-rr^.

GT - 37

lY

ly

?

M^a

GT- 38

M om ento flector en la dirección de lx, en un borde em potrado de longitud /v, y carga nula en el caso de carga triangular variando en la dirección de lx. M om ento flector en la dirección de lx, en un borde em potrado de longitud / , y carga m áxim a, en el caso de carga triangular variando en la dirección de h-

''n T íT rn ^ c E ^

|TTrnTrrT-T-T''^|

GT-39

GT-40

jT TTrn~rrr-i-,—.

TfTTTrrrrTr^^ GT- 45

;ly bzZZZzzzzz.V>>).’>

GT - 43

M om entos flectores en las esquinas de la placa, en el caso de carga triangular, correspondientes a las esquinas del borde m enos cargado.

M^1

M om entos flectores en las esquinas de la placa, en el caso de carga triangular, correspondientes a las esquinas del borde más cargado.

Mxl

M om ento flector m áxim o de vano en un borde libre paralelo a lx.

Z//zz/z//z///zz/f/

Myl

M om ento flector m áxim o de vano en un borde libre paralelo a ly.

; GT- 44 z777zyzzzzzzzzzzzJ

W,

F lech a m áxim a en un borde libre.

Mxla

M om ento flector m áxim o en el em potram iento de un borde libre paralelo a

M ja

M om ento flector m áxim o en el em potram iento de un borde libre paralelo a

SS/SSS, GT-41

///////z/r/rr///

; GT-42 ;iy ^--------------

M™

ly

jTíTíTrrrr^-^ í

GT-46 'ZZ)ZZZ'ZZzZZZZZZJ'

F ig u r a 2 0 - 4

TTTTíTrrr-r-r-_ g tt//,//,/(,t.Ls ly

í

GT- 47

;

kly M xamáx M om ento flector m áxim o en la dirección de l en un borde em potrado de longitud lx. Myamáx M om ento flector m áxim o en la dirección d e lx en un borde em potrado de longitud ly. F ig u r a 2 0 .5

406

407

N OTA: En las tablas para el cálculo de placas contenidas desde GT-26 a GT-47 lo coeficientes correspondientes deben m ultiplicarse por los siguientes factores: * S M om entos: p / 2 Flechas:

t p— D

siendo

Eh> D = -----------------12 (1 - v2)

-A -

-B -

H IP O T E S IS D E CARG A PARA

donde E es el m ódulo de deform ación del horm igón, h el canto y v el m ódulo de Poisson

M O M E N T O S EN APOYOS

E n relación con los m om entos M e que aparecen en las esquinas de dos bordes apoyados, son m om entos que, de acuerdo tanto con el análisis teórico com o con los resultados experim entales, aparecen en las zonas de tales esquinas, en el sentido de la bisectriz interior al ángulo en la cara superior y en sentido ortogonal en la inferior1. Los esquem as de arm ado que se exponen en el C apítulo 55 en función de los momentos m áxim os de borde y vano cubren ya esos m om entos.

q/2

q/ 2

%

-q /2

EN RECUADRO -A -

-q/2 A

L os indicados gráficos G T no proporcionan la distribución de m om entos en toda el área de la placa. Ello no es necesario, ya que los esquem as de arm ado que veremos en el C apítulo 48 cubren dicha distribución a partir de los esfuerzos máximos calculados m ediante los gráficos GT.

H IP Ó T E S IS DE CARG A PARA .M Á X IM O M O M ENTO M x

+ q/2

% M Á X IM O

+ q/2 %

•M O M E N T O M x EN RECUADRO

% q/z

- q/z

H IP Ó T E S IS DE C A R G A PARA

-B -

b) P lacas continuas Figura 20-6

b .l) M étodo de K A L M A N O K . Un m étodo aproxim ado es el expuesto por K A L M A N O K en la referencia (20.2). P ara el cálculo de momentos (fig. 20-6) en apoyos, los bordes exteriores se consideran con su carácter real y los interiores com o perfectam ente em potrados.

b .l) M étodo de E H -9 1 1. L a Instrucción EH-91 adopta tam bién un m étodo sim plificado que consiste en lo siguiente:

L a hipótesis de carga en este caso es la correspondiente a carga perm anente m ás sobrecarga en todos los recuadros. P ara cada apoyo se tom a la sem isum a de los m om entos correspondientes a los dos recuadros contiguos.

- E n todo borde con apoyo continuo y en la sección central del recuadro paralela a dicho borde, se considera un m om ento (negativo y positivo, respectivam ente) igual a la sem isum a de los correspondientes a esas secciones en la hipótesis de recuadro funcionando com o placa aislada con ese borde perfectam ente em potrado.

P ara el cálculo de los m om entos m áxim os en vano, se em plea el sistema indicado en la figura 20-6. P ara el cálculo b ajo las cargas g + q/2 en todos los recuadros, los bordes exteriores se con sid eran co n su carácter real y los interiores com o perfectam ente em potrados. P ara las cargas + q/2 y - q /2 en tablero de ajedrez, se consideran las placas com o sim plem ente apoyadas en todos los bordes. Se sum an los resultados de ambas hipótesis.

c) Valores m ínim os de los m om entos L a Instrucción EH-91 establece los siguientes valores m ínim os con carácter absoluto, para placas sustentadas en su contorno. - Si la relación de lados es superior a 2,5 y los lados m enores están apoyados, se considerará de todas form as en ellos un m om ento positivo y negativo de valor absoluto igual al tercio del m om ento correspondiente a la sección central perpendicular a dichos lados. - En todo borde apoyado, salvo el caso citado en el párrafo anterior, se considera com o posible un m om ento de em potram iento que, en valor absoluto, no será inferior a la m itad del de la sección central paralela al borde considerado ni a la tercera parte de la sección central perpendicular a dicho borde.

1

408

Se entiende que tales esquinas tienen su levantam iento im pedido, pero los bordes libres están sim plem ente apoyados.

1

EH E no trata el tem a de esfuerzos en placas m ás que desde un punto de vista general.

409

20.2.2. M ÉTODOS EN ESTADO LÍMITE

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E stos m étodos, de desarrollo algo posterior a los m étodos elásticos, pero nó recientes, representan para las placas una variante en cierto m odo análoga a la que los m étodos expuestos en el C apítulo 17 representan p ara las piezas lineales. Existe un apreciable núm ero de m étodos de cálculo de placas en estado lím ite últim o. Una exposición general excelente del problem a y de los diferentes m étodos es la realizada p o r W O O D en su libro citado en la referencia (20.4). E n lo que sigue, expondrem os dos m étodos que juzg am o s los de m ayor interés

20.2.2.1. M étodo de las líneas de rotura (JOHANSEN) D ebe ser considerado com o el pionero en este cam po. Su origen es debido a K.W JO H A N S E N (20.5) que, en 1952, expuso las bases del m étodo, aunque posteriorm ente ha sufrido m odificaciones y perfeccionam ientos considerables.

E l m étodo es aplicable a cualesquiera condiciones de apoyo y carga, p ara placas c0n o sin huecos. Es en cam bio de aplicación m ás com pleja al caso de apoyos aislados, a u n q u e H IL L E R B O R G en la referencia (20.12) d a procedim ientos p ara ello.

A p esar de que en un p rim er exam en puede parecer sim plem ente un m étodo aproxim ado, es un m étodo riguroso d e estado lím ite, concretam ente de estado lím ite inferior, y según y a señalaron W O O D y A R M E R , es m ás que eso, constituyendo (si las bandas se arm an exactam ente de acuerdo con los m om entos) u n a solución exacta del ;ma. C om o explicación del m étodo, no suficiente p ara su aplicación p ráctica general, expondremos sucintam ente su utilización en algunos casos concretos. L a publicación (20.12) contiene abundante inform ación com plem entaria p ara la aplicación del m étodo a un cam po m ás extenso. a) P laca rectangular sim plem ente apoyada en los cuatro bordes, som etida a carga uniform em ente repartida.

El m étodo tiene com o ventajas im portantes las de su sencillez de planteamiento y su generalidad de aplicación, ya que es válido para cualquier tipo de carga, cualquier form a de placa, con huecos o sin ellos y cualesquiera condiciones de contorno, incluidos los apoyos puntuales. U n inconveniente, com ún a todos los m étodos de cálculo en estado lím ite últim o, es que no perm iten la com probación de las flechas en estado de servicio.

El esquem a se indica en la figura 20-7. Se establecen en prim er lugar las áreas tributarias de carga de los cuatro bordes, 1, 2 y 3 (fig. 20-7a)). Las cargas en las zonas 1 y 3 se asignan a los bordes ly y el área 2 a los bordes lx. Las líneas de separación de áreas, que llam arem os en adelante líneas de discontinuidad, se eligen con total libertad. Los ángulos a no tienen por qué ser iguales, aunque sea evidente que consideraciones de sim etría lo aconsejen en este caso. El valor de a no es 45° sino que puede ser elegido dentro de lím ites físicam ente razonables. Es claro, p o r ejem plo, que elegir a = 0 ó a = 90° conduce a armados de losas, dispuestos por tanto en una sola dirección, que al ignorar los m om entos en la otra pueden conducir a fisuraciones graves en condiciones de servicio1.

U n inconveniente particular de este m étodo es que la arm adura necesaria no se calcula a p artir de los esfuerzos, sino que son los esfuerzos los que se calculan a partir de un a arm adura previam ente dispuesta. (Por este m otivo, este m étodo no se desarrolla en este Capítulo, sino en el C apítulo 48, una vez se hay an expuesto los necesarios tem as de dim ensionam iento de secciones). D e acuerdo con lo expuesto en el apartado 17.5, el M étodo de las Líneas dé R otura, es un m étodo de estado lím ite superior.

i ly

20.2.2.2. M étodo de las bandas (HILLERBORG)

4

El m étodo es debido a A. H IL L E R B O R G que lo publicó p o r prim era vez en 1956 (20.6) y, en form a m ás am plia, en 1959 (20.7). A m bos trabajos fueron publicados en su eco y, p ro b ab le m en te, esto m o tiv ó la escasa d ifu sió n in icial del método. C R A W FO R D (20.8), en su tesis doctoral, en 1972, analizó el m étodo con lo que su difusión y crítica se iniciaron de una m anera efectiva.

CARGA EN LA BANDA CO

W O O D y A R M E R (20.9), (20.10), (20.11) hicieron un a excelente revisión crítica del m étodo en conexión con una serie de ensayos realizados p o r la BUILDING R E S E A R C H STATION en Inglaterra. F inalm ente en 1975 H IL L E R B O R G publicó un libro sobre el tem a que se indica en la referencia (2 0 .12)1

MOMENTOS EN LA BANDA CD

410

El m étodo, p o r razones difíciles de analizar, h a tenido una escasísim a difusión en España. Debe d estacarse el trabajo de M . D O B LA R E.

“H r f *

AB

“H l 4 "

MOMENTOS EN LA BANDA AB

(C )

( b )

Figura 20-7

D ebe señalarse el excepcional interés del m étodo, tanto p o r su buena base teórica com o p o r su gran aplicación práctica y, especialm ente, p o r su excelente conexión con el fenóm eno físico, aspectos todos ellos que nos han llevado a seleccionarlo en esta exposición.

1

CARGA EN LA BANDA

(Variable)

U na vez establecidas las líneas de discontinuidad, establecem os dos sistem as de bandas, uno paralelo a lx, tal com o el AB de la figura, y otro paralelo a ly, com o el CD de la figura. E l sistem a paralelo a /r, apoya en los bordes ly y 1

Las líneas de discontinuidad no son líneas de ro tu ra de acuerdo con la term inología del m étodo de JO H A N SEN .

411

recibe solam ente las cargas de las áreas tributarias de carga correspondientes a esos lados (1 y 3 en nuestro caso). E l sistem a paralelo a ly recibe las cargas de las áreas tributarias de los lados en que apoya, los lx en este caso. E n la figura 20-7b) se indica el esquem a de cargas y el de m om entos para las bandas paralelas a ly y en la figura 20-7c) los correspondientes a las bandas paralelas a lx. L a figura 20-8 indica la distribución de m om entos M y y M x a lo largo de las secciones centrales en las direcciones x e y, respectivam ente.

F ig u r a 2 0 - 1 0

C onocidos los puntos de inflexión, es inm ediato el cálculo de los m om entos de apoyo y vano. F ig u r a 2 0 - 8

Con los esfuerzos resultantes en las bandas, se p rocede al arm ado de éstas. U na sim plificación práctica del m étodo es delim itar las áreas tributarias de carga con líneas escalonadas, en lugar de rectas partiendo de los ángulos, (fig. 20-9).

F ig u r a 2 0 - 9

Esto sim plifica el arm ado de las bandas, m anteniéndolo constante dentro de cada banda. N ótese que con este sistem a las zonas de las esquinas son áreas tributarias de los lados lx y no reparten su carga entre lx y / U n a banda tal com o la AB tiene, a efectos de cálculo, carga nula, aunque p o r supuesto n ecesite u n a cierta arm adura m ínim a. Es inm ediato generalizar el m étodo a cualquier o tra condición de apoyo, tal com o la de em potram iento, y a los casos de cargas no uniform es, puesto que todos se reducen al de vigas de un vano.

b) Placas con continuidad En el caso en que exista continuidad en los apoyos, al tratarse de un método de cálculo en estado lím ite no es necesario respetar las relaciones entre momentos de apoyo y vano del análisis lineal. Volviendo al caso de la (fig. 20-7a)), se indican en la figura 20-10 las líneas recom endables d e puntos de inflexión para las bandas en am bas direcciones.

412

c) Placa simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los otros dos con un hueco rectangular y sometida a carga uniformemente distribuida. C om o ejem plo de la flexibilidad de aplicación del m étodo, considerem os la p laca con hueco indicada en la figura 20-11, con dos bordes em potrados y dos apoyados. E n la figura se indican en plan ta las líneas de discontinuidad elegidas y las áreas tributarias. P ara solucionar el problem a planteado p o r el hueco, se disponen dos bandas de 0,5 m de ancho, E F y G H que recogen las cargas de borde y las transm iten a las fajas M N y Q R. Sin em bargo, el m étodo requiere a veces consideraciones adicionales. E n el caso expuesto, p o r ejem plo, en las bandas 2-2, el m om ento de em potram iento es superior al que corresponde a la luz del tram o izquierdo de las bandas 4-4 trabajando en voladizo, pero ello conduciría a u n a flecha excesiva en el borde del hueco. E s m ás razonable fijar u n a línea de discontinuidad N G H R , separando la ban d a GH de ancho 0,5 m que apoye en las bandas M N y Q R y calcular el área N G H R com o un voladizo em potrado en el borde. E n la figura 20-11 se indican todos los tipos de bandas que aparecen, así com o sus esquem as de carga. L a situación de los puntos de inflexión ju n to a los bordes con continuidad debe realizarse de acuerdo con lo señalado en b).

d) Placas no rectangulares E l m étodo puede generalizarse sin dificultad a m uchos otros casos. L a figura 20-12 m uestra algunos casos. En el caso a) se trata de u n a p laca en ángulo agudo con dos bordes apoyados y el otro libre. L as bandas pueden elegirse paralelas al borde libre. En casos com o el b) con ángulos obtusos y bordes em potrados, se eligen dos líneas de puntos de inflexión y las bandas se disponen en línea quebrada. E ntre los apoyos continuos y el punto de inflexión, son norm ales al borde y funcionan com o voladizos sobre los que apoya el tram o central de banda, paralelo al borde libre. E n el caso c) se indica una p laca apoyada en cuatro bordes cualesquiera y un a de las posibles distribuciones de áreas tributarias y bandas.

413

www.libreriaingeniero.com f„ _ 2.0 0

3.50 1.00 L

0,50..

2.50

,

^

0.5 0

t t

c

Figura 20-12 e) Cálculo de las deform aciones E l m étodo de H IL L E R B O R G , com o todos los de cálculo en estado lím ite, no perm ite el cálculo de las flechas en estado de servicio. E stas pueden, o bien estim arse m ediante algunas hipótesis sim plificadas, o deberán en otro caso calcularse en hipótesis elásticas.

B A N D A S DIR EC C IO N

DE l y

DIRECCION

i-i j t r m m

7-7

R,t j.

DE l x

R^iUp

tR 2 2.00 [, 1.50 J, 1.50 j.

0.50 | j.

2-2 [ u n u n ú n u u ^

0-0 j f f l _

"3!t 4 _____ _______

j

V

H}

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|l.00|. 2 . 0 0 1. |. 2.00

f (.

0.50 g

' í l k

M

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9-9

0.50

f im u i f t f j t t

R 17L U p |

1 -5 0 |

J. 1 - 5 0 J 4 l 0 ° 4

0 .5 0

0 . 5 0 | J.

0 .5 0

f* S ffl

S

p

2 .0 0

U J

r

A unque los esfuerzos cortantes no suelen ser críticos en las placas (no así los de p unzonam iento en el caso d e ap o y o s aislad o s), d eb en de to d as fo rm as ser com probados, p o r lo que interesa su cálculo. t,

2.00

P 3 -3

20.3. E S F U E R Z O S C O R T A N T E S

p UJrk 2.00 | J.0.50

18

J, J .0 .5 0

[,

El reparto de cargas h acia los apoyos, base del cálculo de las reacciones y esfuerzos co rta n tes, p u ed e estu d ia rse , p ara caso s p articu la re s, m e d ian te el planteam iento general de la ecuación diferencial de equilibrio de la placa. P ara algunos casos, los valores están tabulados. V éanse referencias (20.2) y (20.3). Para las necesidades prácticas suele ser suficiente el criterio de reparto indicado en la figura 20-13, h abitual en m uchos proyectistas y recogido p o r JIM E N EZ MONTO YA, M E S E G U E R y M O R A N (20.14).

t R

4-1554-

JA°2L

P

P P

5 -5

R□ .

.

.

,01 n

libre

J- 150 1 | 1-50 1 j1'00} 0.50

R |lt j

y

APOYADO

libre

APOYADO y APOYADO

^ R 12 2.00 J. 1.50 | 1.50 j. APOYADO Y EMPOTRADO

F ig u r a 20-1 1

414

y

EMPOTRADO

0.50

EMPOTRAOO Y EMPOTRAOO

F ig u r a 2 0 -1 3

415

L a aplicación de los criterios de la figura 20-13 conduce a los esquem as indicados en la figura 20-14.

los casos m as habituales

S/ / / / / / S.

La anchura eficaz b e es función de las siguientes variables: ¡

= longitud del borde sustentado.

/

= longitud del borde libre.

ye = distancia del centro de la carga al borde sustentado m ás próxim o. b

' ¿t r <¿¿/¿i r p T i

A A Z / S , f

/ s/sss/ / / / zs/

i

H I/ J/\60« /*\60,9 '

tT eoe/'J 7T7'/7 T jn r777T7Tf •Á boí

v = distancia del borde de la zona de actuación de la carga al borde libre m ás cercano de la placa.

* ^

i \

««/ '

= dim ensión, p aralela al borde sustentado, de la zona de aplicación de la carga, referida al plano m edio de la placa.

K = coeficiente dependiente del grado de em potram iento de los apoyos: T 7T 7T 777-rrrrT r.

K

= 1 con apoyos articulados o apoyados.

K

= - - c o n apoyos biem potrados.

K

= — en los casos interm edios. 3

Figura 20-14

20.4. C A S O D E C A R G A S C O N C E N T R A D A S E studiarem os con carácter general el caso de la placa sustentada en dos bordes paralelos, pues los dem ás casos se asim ilan fácilm ente a éste. E n prim er lugar, el área de carga debe referirse al plano m edio de la acuerdo con lo que se indica en la figura 20-15, lo cual se realiza a 4 5 o.1

de

2

L a determ inación de b e, que nunca será inferior a b, se hace de acuerdo con lo que se indica a continuación. y

a) L a carga actúa en el centro de la luz libre de la placa ye = —

1----1 1 1 ! 1 1 1 1 1 L__

a-1) Si está tam bién centrada respecto al ancho lx, se tom ará para b e el valor bj ,

U i U U I

a =a 0+h

/ S 45*

i

i L

J

65S/ Nx.

■ i

b=b«+h

Figura 20-15

b + K / b , = ----------- y- - l x lx + K l y

si lx < 3K l

b, = — b + — K /

si lx - 3K l

4 C onocido el valor b de carga, se define un valor be del ancho eficaz, correspondiente a u n a banda de ancho b e que se supone resiste enteram ente la carga (fig. 20-16). Dicha banda se calcula con el m ism o tipo de sustentación que tenga la placa.

4

a-2) Si la carga no está centrada respecto a lx, se tom ará para b e el m enor de los valores siguientes: - E l que corresponda del caso a-1). - E l que corresponda de los dos siguientes:

1 °

Lb

i

b + — K ly b , = ----------} ---------- -lx + v U y K í,

silx < K l y

bi = ~4 ~ b + y ~ K /, + v

silx > K l y

Figura 20-16 1

416

El reparto a 45° se realiza, si existe solado sobre la placa, desde la cara superior del solado.

417

www.libreriaingeniero.com b)

(20.8)

CRAWFORD, R.L. "Limit Design of Reinforced Concrete Slabs". Proceedings A.S.C.E. Journal of the Engineering Mechanical División. October 1964.

(20.9)

WOOD. R.H.; ARMER, G.S.T. "The Theory of the Strip Method for Design of Slabs". Proceedings of the Institution of Civil Engineers. October 1968.

L a carga no actúa en el centro de la luz libre de la p laca y e Se calcula el valor b ,, correspondiente del caso a). L a anchura eficaz b sera 2

be = b 1 - ( b , - b )

'1 - 2

(20.10) ARMER, G .S.T "Ultimate Load Tests of Slabs Designed by the Strip Method". Proceedings of the Institution of Civil Engineers. October 1968.

—

E n la banda eficaz se considerará un m om ento transversal igual a

(20.11) ARMER, G.S.T. "The Strip Method: A new Approach to the Design of Slabs". Concrete. September 1968. (20.12) HILLEBORG, A. "Strip Method of Design". Viewpoint. London 1975.

Silx < 3 l y

Si /x > 3 ly

M tt-=------------------ |0 , 1 M ( 1+4 — Á

M tx =

{0,1 M,

(20.13) DOBLARE, M. "Nociones de Cálculo de Placas". Universidad Politécnica de Madrid. 1983. (20.14) JIMÉNEZ MONTOYA, P.; GARCÍA MESEGUER. A.; MORÁN CABRÉ, F. "Hormigón Armado". Gustavo Gili. 13a Edición. 1991.

1+—

3

h

donde M tx = m om ento transversal, por m etro, a u n a distancia y del borde sustentado. M y = m om ento longitudinal, por m etro, a una distancia y del borde sustentado. M , = m om ento longitudinal, por m etro, en la sección en que actúa la carga (M / es el valor m áxim o de M y). Si la banda eficaz alcanza al borde libre de la placa, se considerará un momento n egativo en todo el borde, igual al 10 por ciento del m om ento longitudinal que se p roduciría en el centro de la luz si la carga actuase en dicha sección. E ste m om ento se considerará actuando hasta una distancia de dicho borde libre igual al lado m enor de la placa. E n toda esa zona, se considerará un m om ento negativo en dirección ortogonal del m ism o valor.

BIBLIOGRAFÍA (20.1)

TIMOSHENKO, S.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. "Théorie des Plaques et Coques" Beranger. París 1961.

(20.2)

KALMANOK, S.A. "Manual para Cálculo de Placas". Interciencia. Montevideo 1961.

(20.3)

STIGLAT, K.; WIPPEL, I.H. "Placas". Instituto Eduardo Torroja. Madrid 1968 (Traducción de J. Batanero y F. Morán, Ingenieros de Caminos).

(20.4)

WOOD, R.H. "Plástic and Elastic Design of Slabs and Plates". Thames and Hudson. London 1961.

(20.5)

JOHANSEN, K.W. "Brudlinieteorier". Kopenhagen 1952.

(20.6)

HILLERBORG, A. "Jámviktsteori for armerade betongplattor". 1956.

(20.7)

HILLEBORG, A: "Strimlemetoden for plattor pa pelare vinkelplattor". 1959.

418

419

CAPÍTULO 21

PANTALLAS Y NUCLEO S 21.1 GENERALIDADES E n su concepto m ás elem ental, la p antalla (Fig. 21-1) surge com o un a m énsula em potrada en el terreno y es especialm ente apta p ara resistir acciones horizontales.

7777777777777

Figura 21-1 E n este sentido es un recurso m uy eficaz para edificios altos y para todos aquellos que, aún sin alcanzar un a gran altura, pueden verse som etidos a grandes acciones horizontales. Es por tanto un sistem a estructural de uso frecuente en zonas de fuerte sismicidad y en ciertos tipos de construcciones industriales. El caso de entram ados con relleno, que vim os en el C apítulo 10, puede considerarse, en cuanto a su resistencia a acciones horizontales, com o interm edio entre el entram ado y la pantalla.

421

www.libreriaingeniero.com 21.3 F U E R Z A S

21.2 D IS P O S IC IÓ N E N P L A N T A

L a disposición de las pantallas en planta ha de realizarse de form a que no solam ente proporcionen la resistencia necesaria a los esfuerzos de flexión debidos a las acciones horizontales, sino tam bién a los posibles m om entos de torsión que estas acciones originen, adem ás de soportar las acciones verticales correspondientes. D ebe tenerse en cuenta que para contrarrestar las fuertes tracciones que las acciones horizontales introducen en las pantallas, interesa que éstas soporten las m ayores acciones verticales posibles, por lo que su disposición en planta debe ob edecer tam bién a esta consideración. D e acuerdo con la necesidad de resistir acciones horizontales, no son válidas las disposiciones en las que las pantallas en planta sean colineales o concurrentes.

E N C A D A PL A N T A

N orm alm en te, las p an tallas están in terco n ectad as p o r forjados en las diferentes plantas. L a rig id ez de los fo rjad o s en su p lan o se pu ed e co n sid erar com o in fin ita (Fig- 21-3).

f-

< L=-

► D IS P O S IC IO N EN

Fx (

PLANTA

©

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®

1—

®

m

ESTABILIDAD

FRENTE

A

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3

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INESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

INESTABLE

E S T A B LE

ESTABLE

INESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

INESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

INESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

i

(¿) —

¡

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i

®

1

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ESTABLE

1

©

f

l

F ig u r a 2 1 -3

Las acciones a tener en cuenta y las fuerzas resultantes en cada plan ta se calculan de acuerdo con los procedim ientos generales vistos en los Capítulos anteriores. En lo que sigue, supondrem os que las deform adas de las distintas pantallas son curvas afines y que, en consecuencia, los corrim ientos de las pantallas entre sí guardan la m ism a relación en las diversas plantas. D e acuerdo con ello, la distribución de la fuerza horizontal P actuante sobre cualquier forjado se distribuye entre las distintas pantallas en las m ism as proporciones en todas las plantas. C om o consecuencia, las leyes de esfuerzos cortantes y de m om entos flectores sobre las distintas pantallas en función de la altura son tam bién curvas afines.

21.4 D IS T R IB U C IÓ N D E L A F U E R Z A H O R IZ O N T A L D E P L A N T A E N T R E L A S D IV E R S A S PA N T A L L A S

1

© ®

< < < < <

ESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

E STABL E

ESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

ESTABLE

!

E ste es un problem a esencial y, en general, com plejo, pero su estudio es im prescindible para la concepción y el cálculo de las pantallas. D istinguirem os primero el caso elem ental en que la distribución es isostática y, posteriorm ente, el caso general de distribución hiperestática. 21.4.1. D IS T R IB U C IÓ N ISO ST Á T IC A

F ig u r a 2 1 -2

En la figura 21-2, se resum en algunos esquem as típicos y se analiza su estabilidad de com portam iento. (Por supuesto, en el caso de pantallas concurrentes, si la fuerza horizontal pasa por el punto de concurrencia, la solución seria válida). L os esquem as de la figura 21-2 están realizados en las hipótesis de que la resistencia a las acciones horizontales sea proporcionada exclusivam ente por las pantallas y que la resistencia transversal de éstas sea despreciable.

422

Los únicos casos de posible solución isostática son el de dos pantallas paralelas y el de tres pantallas no concurrentes. P ara el caso de dos pantallas paralelas (Fig. 21-4) el reparto es inm ediato. N ótese que, si la fuerza F tuviese com ponente en sentido normal a las pantallas, ésta debería ser resistida p o r otros sistem as. E l caso de tres pantallas no colineales y no concurrentes en definitiva es equivalente al de descom poner un a fu erza en tres direcciones dadas y su solución se indica en la figura 21-5a), en la que las tres pantallas, en planta, son las 1, 2 y 3 y P la fuerza horizontal actuante sobre el forjado de la planta.

423

21.4.2. 1------------------------------- f

D IS T R IB U C IÓ N H IPE R E STÁ T IC A . C A SO PA R TIC U LA R DE PAN TA LLA S PA RALELA S

Sea un conjunto de pantallas P l5 P 2, ... P n, paralelas entre sí (Fig. 21-6) y sea F la fuerza actuante sobre el forjado de la planta considerada. P artiendo de aceptar que el forjado es infinitam ente rígido en su plano y considerando que el desplazam iento de cada pantalla será proporcional a su inercia, es inm ediato generalizar la fórm ula de flexión com puesta a este problem a. Y t

Figura 21-4 Tf,

T F2

T f3 !

T f¡

T Fn

Figura 21-6 N M -y a = — + -------A I L lam ando x¡ a la abscisa de la p antalla P-, respecto a un origen 0 situado en el c.d.g. de las inercias de las pantallas, y designando: A = X Ij

I = XI, V se habrá de cum plir L a resultante de las fuerzas F 2 y F3 de las pantallas 2 y 3 h a de pasar por A y ha de estar en equilibrio con P y F ,, luego ha de pasar tam bién por el punto B, intersección de las líneas de acción de P y Fj. D escom poniendo P en B C y B D tenem os F, = BD y trasladando BC a A D , se descom pone en A G = F 2 y A E = F3.

F-

F

Ii

X I;

+•

Fex¡

[21 . 1]

X W

y por tanto

E l caso particular de tres pantallas en U, (Fig. 21 -5b)) es naturalm ente inmediato,

e X;

X ii

[21.2]

X W

R ,= P R2= P — 2 l

O bsérvese que bajo la acción de la fuerza F, el forjado, en general, se traslada y gira, todo ello en su plano. L a abscisa x0, del eje de giro se deduce de [21.2] obligando a que una p antalla virtual con = x0, tenga un a fu erza F; = 0, de donde

X W

[21.3]

X° = “~e TX "I¡T

424

425

www.libreriaingeniero.com y sustituyendo

Si F tiene com o abscisa el c.d.g. de las inercias de las pantallas, la rotación es nula y [21.2] al ser e = 0 se transform a en FL F: = ’ x i.

Xx,l\ F0 = F

[21.4]

U n caso particular im portante es el indicado en la figura 21-7 que representa un edificio de pantallas y entram ados, con una ju n ta de dilatación.

°

[21.8]

1 \

X

X ,2

1

Si se suponen los n pilares iguales y equidistantes a distancia l y la fuerza centrada respecto a la fachada (caso del viento, p o r ejem plo) resulta e = ~ ^ ~ y realizando las sumas indicadas en [21.8], se obtiene I F = F

3n 1

2 (2n + 1)

Si n = 1

F 0 = 0,5 F

Si n —> °o

F 0 = 0,25 F

C om o se ve, la eficacia de la pantalla es en este caso relativam ente escasa. Figura 21-7 Supongam os que es IQla inercia de la pantalla, que suponem os infinita frente a la de los pilares. B ajo la acción de F, el forjado gira alrededor del punto m edio M de la pantalla. L a fuerza correspondiente a un pilar de abscisa x¡ e inercia am bas m agnitudes, es decir F i = k x i Ii

será proporcional a [21.5]

21.4.3. D IS T R IB U C IÓ N H IP E R E S T Á T IC A . M É T O D O D E L IN PA R A E L C Á L C U L O DE L A D IST R IB U C IÓ N DE L A F U E R Z A H O R IZO N TA L A C T U A N T E EN U N A PLA N TA E N TR E LA S D IFE R E N T ES PANTALLAS EN C U A L Q U IE R P O S IC IO N 1 Sea un grupo de pantallas de form a cualquiera cuya sección horizontal se representa en la figura y que están interconectadas en cada planta p o r forjados, que pueden considerarse com o infinitam ente rígidos en su plano. E m plearem os las notaciones siguientes (Fig. 21-8). O ^ - O Y = E jes principales de inercia de la sección de cualquier pantalla, pasando p o r su centro de gravedad 0 ” .

P lanteando las ecuaciones de equilibrio, se tiene X Fj = F

OX, O Y = E jes paralelos a los principales de inercia del grupo de pantallas, pasando por el centro 0 de rotación del grupo. Si 0 coincide con el c.d.g. del grupo, OX, OY son los ejes principales.

X F¡ x¡ = F e D e [21.5] se deduce

OX’, O Y ’ = Sistema convencional de ejes elegido para el cálculo, con origen arbitrario 0 ’.

X k x¡2 Ij = F e

(p

de donde Fe

coincidir con 0 ” ! en sentido contrario a las agujas del reloj.

[21 .6]

A

X x,2 I¡

= Á ngulo de O X con O’Y Se considera positivo cuando se lleva O X a = Á ngulo de O ’X ’ con OX. Se considera positivo cuando se lleva O X ’ a coincidir con O X en sentido contrario a las agujas del reloj.

y p o r tanto, p ara el pilar de abscisa x¡ F e x, I¡

‘

X x ^ I,

L a fu erza correspondiente a la pantalla será Fo = F - X F ¡

426

[21.7]

1

Este m étodo fue desarrollado por T. Y. LIN en 1951 y constituyó la prim era solución rigurosa del problem a (21.1). Probablem ente hasta los trabajos posteriores de F. R. K H A N en los años 60, no se realizó un avance de parecida im portancia. H em os elegido este m étodo por su gran visualización del problem a estructural planteado. Para cálculo con ordenador es m ejor el tratam iento m atricial por ejem plo, de S. M ED W A D O W SK Y (21.2). Ver tam bién un planteam iento m atricial con program as en el trabajo de A. R E C U E R O y J. P G U T IÉ R R E Z JIM É N E Z (21.3). Los program as del tipo de los expuestos en 13.6 resuelven tam bién el problem a.

427

Ángulo de O X ’ con 0 ” j. Se considera positivo cuando se lleva O X ’ a coincidir con 0 ” ] en sentido contrario a las agujas del reloj. Se cumple 0 = A + (p.

F’j

F uerza de rigidez de una pantalla cualquiera. Se define com o la fuerza horizontal que es necesario aplicar a la sección superior de un tram o de pantalla entre dos forjados para producir respecto a la sección inferior un corrim iento unidad en la dirección de aplicación de dicha fuerza.

F’¡i* F ’í 2 = C o m p o n e n te s de F ^ resp ecto a los ejes 0 ” ]? 0 ” 2 de la pan talla correspondiente.

P ara un tram o em potrado en sus extrem os, con sección E l constante, R

12 E l L3

P ara un tram o con un extrem o em potrado y el otro articulado. 3 El R = -------L3 Los valores de R se afectan de los subíndices 1, 2, x, y, x \ y ’, para designar las fuerzas de rigidez a lo largo de los ejes correspondientes. P ara el caso particular de p ila res1 cuya sección sea un círculo o un cuadrado, las rigideces son iguales en cualquier dirección. Si la sección de la pantalla es otra, a los valores R x, R y, R x., R y, los designarem os como fuerzas de rigidez esviada en las direcciones respectivas. R xy

F uerza de rigidez producto. E s la fuerza horizontal concom itante para un corrim iento unidad, en la dirección perpendicular a la de aplicación de la fuerza.

C0

F” j

= F uerza horizontal correspondiente a una p antalla cualquiera, debida a un m om ento en 0 actuando en el forjado de la plan ta considerada.

F ” in F ” i 2 = C om ponentes de F ” j respecto a los ejes 0 ” j, 0 ” 2 de la pan talla correspondiente. F¡

= F uerza horizontal resultante de las F ’¡ y F ” ¡.

Fn , F i2

= C o m p o n e n te s de F¡ resp e cto a los ejes 0 ” p 0 ” 2 d e la p an talla correspondiente.

p

= F uerza horizontal exterior actuante en el foijado de la planta considerada.

px, Py

= C om ponentes de P respecto a los ejes OX, OY.

ex, ey

= E xcentricidades de P x, P y respecto a OX, O Y (M edidas por tanto desde el centro de rotación 0).

M

= M om ento actuando en 0 sobre el forjado de la plan ta considerada. M

Para cada pantalla, distancias desde 0 a sus ejes 0 ” j, 0 ” 2. M om ento polar de las fuerzas de rigidez del grupo de pantallas respecto al centro de rotación 0.

= Py ex -

P x ey

Ax Ay

= C orrim ientos diferenciales entre los dos forjados consecutivos del tram o, según OX, OY, debidos a las fuerzas P x, P , respectivam ente.

Q’x, Q ’

= F uerza resultante para producir un corrim iento unidad del conjunto de pantallas según O X ’, O Y ’, respectivam ente.

C entro de aplicación de la fuerza horizontal P actuante sobre el foijado de la planta considerada.

r l>r2 J

= F uerza horizontal correspondiente a un a p antalla cualquiera i, debida a la acción de la fuerza horizontal P, pasando p o r el centro de rotación 0.

R esolverem os el problem a en etapas sucesivas.

a)

Fuerza de rigidez esviada C onsiderem os una p antalla cuya sección se indica en la figura 21-9.

J = X R j rj2 + X R 2 r22 donde las sum atorias se extienden a todas las pantallas del grupo.

Los ejes 0 ” t, 0 ” 2 son los principales de la sección y las fuerzas de rigidez relativas a ellos serán R x y R 2. Supongam os otro par de ejes ortogonales X, Y, con centro tam bién en 0 ” y calculem os las fuerzas de rigidez correspondientes. 1

428

A unque el m étodo es especialm enle aplicable a pantallas, su validez es general para elementos verticales de cualquier tipo, en particular pilares.

A pliquem os un corrim iento unitario en dirección X. E se corrim iento puede obtenerse con sum a de dos, de valor eos cp según 0 ” ,, y - sen cp según 0 ” 2. Las

429

www.libreriaingeniero.com H allando

fuerzas de rigidez correspondientes a esos corrim ientos com ponentes serán R eos cp según 0 ” ] y - R 2 sen cp según 0 ” 2. 1 A su vez, estas fuerzas de rigidez com ponentes pueden descom ponerse los ejes OX, OY, obteniéndose: Rx = Rj eos2 cp + R 2 sen2 cp

la resultante Q ’x de todas las fuerzas R ’x y R ’ vector correspondiente (Fig. 21-10).

obtendrem os el

según [21.9]

R xy = Rj sen cp eos cp - R 2 sen cp eos cp

[21.10]

R xy = (R^ - R 2) sen cp eos cp

[21.11]

y por tanto

C om o puede observarse, aunque el corrim iento unidad inicialm ente impuesto lo fue en la dirección OX, ha aparecido no solam ente un a fu erza de rigidez R sino otra R xy en sentido perpendicular, que denom inam os fu erza de rigidez producto. P ara pantallas o pilares de sección circular o cuadrada Rj = R 2 y, por tanto,, R xy = 0. P ara pantallas de cualquier otra sección R xy = 0 para sus ejes principales de inercia solam ente. A nálogam ente, para un corrim iento unidad en el sentido OY, obtenem os las fórm ulas equivalentes a las [21.9], [21,10] y que resultan R y = R , sen2 cp + R 2 eos2 cp

[21.12]

R xy = (Rj - R 2) sen cp eos cp

[21.13]

E n la m ayoría de los edificios, las pantallas presentan secciones transversales en las que el espesor es despreciable respecto a la longitud, y las pantallas se distribuyen de form a que la resistencia es fundam entalm ente proporcionada por las rigideces en las direcciones de los lados m ás largos de su sección transversal. D e acuerdo con ello, en ese caso puede suponerse que R2 es d esp re cia b le fren te a R t y las fórm u las an terio res ad o p tan la form a sim plificada. R x = R , eos2 (p

[21.14]

R y = R[ sen2 cp

[21.15]

R xy = R yx = Rj sen cp eos cp

[21.16]

Figura 21-10 A nálogam ente, para un corrim iento unidad en la dirección O Y ’, obtendrem os la resultante Q ’y del sistem a de fuerzas R ’y y R ’yx. L a intersección de los vectores Q ’x, Q* es el centro de rotación 0, ya que cualquier fuerza exterior horizontal, P, aplicada en 0, puede descom ponerse en dos com ponentes según Q ’x, Q ’y^ Po r tanto, pro d u cirá corrim ientos según O X ’, O Y ’ pero no rotaciones. c) D eterm inación de los ejes p rin cip a les del grupo de pantallas C om o hem os visto anteriorm ente, un corrim iento im puesto en una dirección x, p ro d u ce un a fu erza R x en esa d irecció n y otra R xy en d irecció n perpendicular. P o r tanto, una fuerza aplicada en el centro de rotación producirá u n corrim iento sólo en su dirección de aplicación, exclusivam ente si esa dirección es un eje principal del grupo. D e [21.10] aplicada al grupo de pantallas e igualada a cero, se obtiene X R xy = X (R! - R 2) sen cp eos cp = 0 C om o cp = 0 - A, según la figura 21.8, desarrollando [21.16] se tiene: £ (R L- R 2) sen (0 - A) eos (0 - A) = 0 que puede escribirse X (R] - R 2)

b) D eterm inación del centro de rotación El centro de rotación 0 de un grupo general de pantallas, puede determ inarse de acuerdo con lo siguiente: E lijam os un sistem a de ejes O X ’, O Y ’, cu alesq u iera1 y supongam os aplicado al grupo de pantallas un corrim iento unidad en la dirección O X ’. Se originarán dos fuerzas de rigidez R ’x y R ’xy para cada pantalla, que pueden calcularse m ediante las fórm ulas [21.9] y [21.10] ó [21.13] y [21.15].

1

C onviene eleg ir u n sistem a que sim plifique lo m ás posible los cálculos, com o verem os en el ejemplo que se resuelve m ás adelante.

430

[21.16]

sen 2 (0 - A) = 0

2 que, a su vez, puede transform arse en R —R £ — ------ — (sen 20 eos 2A - eos 20 sen 2A) = 0 o bien —R Í£ —R i-------

\ / R —R \ sen 2 0 - sen 2A £ — ------ eos 20 = 0

431

de donde

D e nuevo, si despreciam os el espesor de la pantalla, R 2 = F ’i2 = 0. tg 2A

X ( R 1 - R 2) sen 26

[21.17]

X (R, - R 2) eos 26 que nos proporciona el valor de A y por tanto nos determ ina los ejes principales. D e nuevo, si se trata de pantallas largas en las que R 2 es despreciable frente a R j, se obtiene: X R j sen 26 tg 2A = — ---------------5 I R 1 eos 26

[21.181

d -2 )M o m en to aplicado en el centro de torsión. Las fuerzas F ” n , F ” ¡2, com ponentes de la fuerza F ” ¡ (producida en la pantalla i por el m om ento M actuando sobre el forjado en el centro de torsión 0) según los ejes 0 ” , y 0 ” 2, son proporcionales a las fuerzas de rigidez R j, R 2 de cada pantalla y a los corrim ientos ocq y a r 2 (fig. 21-11) de los ejes 0 ” !, 0 ” 2. P or tanto, llam ando k a la constante de proporcionalidad F ” u = k a q R,

[21.23]

F ” 2 = k c tr 2 R 2

[21.24]

d) Cálculo de la fu e rza horizontal correspondiente a cada p a n talla Sea cualquiera la fuerza horizontal P aplicada al forjado de la planta considerada, podem os siem pre sustituirla por u n a fuerza igual y paralela P, pasando por el centro de torsión 0, y por un m om ento aplicado en dicho centro, de valor igual al m om ento de P respecto a 0. d -l)F u e rza P aplicada al centro de torsión 0. Se producirán únicam ente corrim ientos en las dos direcciones ortogonales de los ejes principales del grupo de pantallas cuyo valor será A = 2 ^

Py A

y "

[2L19]

[21.20]

I Ry

(La sum atoria corresponde a las fuerzas de rigidez en las direcciones principales y se extiende a todo el grupo de pantallas. P x y P y son las com ponentes de P respecto a los ejes principales). L as fuerzas correspondientes a cada pantalla en sus dos direcciones principales, pueden deducirse refiriéndonos de nuevo a la figura 21-9, de acuerdo con lo que sigue. E l corrim iento Ax puede descom ponerse en dos Ax ■eos (p según O” ^ y Ax sen cp según 0 ” 2. A estos corrim ientos les corresponden unas fuerzas de rigidez R : Ax eos (p, - R 2 Ax sen (p respectivam ente. P ara el corrim iento Ay, los com ponentes son Ay sen cp, Ay eos (p y las fuerzas de rigidez R , Ay sen cp, R 2 Ay eos cp,según 0 ’^ y 6 ” 2 respectivam ente. Las com ponentes F \ v F ’, 2 de la fuerza F ’¡ sobre la pantalla i, según sus ejes principales, resultan por tanto,

L a condición de equilibrio im pone M = X F ” u q + 1 F ’\ 2 r2

[21.25]

y sustituyendo [21.23] y [21.24] en [21.25] obtenem os: k a

M

[21.26]

X R ,r ,2 + X R 2r22

y llam ando al m om ento p o lar del grupo de pantallas J = X R i q 2 + X R 2r22, las com ponentes de la fuerza F ” ¡, producida por el m om ento M en la pantalla i, respecto a sus ejes principales, resultan Mr,

[21.27] Ri

432

F ’; j = Rj (Ax eos cp + Ay sen cp)

[21.21]

F \ 2 = R 2( - A* sen tp + Ay eos cp)

[21.22]

M r2 F ” i, ?■> — r 2 r J

[21.28]

433

Si despreciam os el espesor de la pantalla R 2 = F ” it2 = 0.

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d-3) Fuerza correspondiente a cada pantalla. Basta combinar (fig. 21.8) los resultados obtenidos en d-1) y d-2). Mr, = F ’u + F ” u = R i

A* eos q> + Ay sen q> + —

Mr, F u = F ’u + F ’ i,2

r

J

- Ax sen (p + A eos

e-1) D eterm inam os las fuerzas de rigidez de las pantallas según los ejes 0 ’X \ O ’Y ’ de la figura 21-8, m ediante las fórm ulas [21.9], [21.10] y [21.11]. Los cálculos se ordenan en la tabla 21.1.

[21.29]

TABLA 21.1 - FUERZAS DE RIGIDEZ SEGÚN O ’X ’ Y O ’Y ’ Pantalla

R»

r2

0

sen2 0

eos2 0

R\

R’y

R ’xy

A

60

50

30

0,250

0,750

57,5

52,5

4,3

B

80

30

45

0,500

0,500

55,0

55,0

25,0

C

20

10

0

0

1

20,0

10,0

0

[21.30]

E l m ódulo de la fuerza resultante vale por tanto

I MrA2 n'* ( a 'a R2 Ax eos tp + Ay sen

e-2) S upongam os aplicado un corrim iento unidad según O ’X ’. Las fuerzas en las tres pantallas se indican en la figura 21-13 a) y han sido calculadas com o R ’x y R ’xy en la tabla 21.1. C on ello se calcula y sitúa la resultante Q ’x. A nálogam ente, se sitúa Q ’ (fig. 21-13b)) y p o r intersección el centro de rotación 0 (fig. 21 -1 3c)).

i i / MrA | Fj | = R j I Ax eos q> + Ay sen q> + - y - l

r

'O.c

I i i>■

e) Ejemplo de aplicación A continuación y com o aclaración de todo lo anterior, exponem os un ejemplo n um érico1. T res pantallas en un edificio ocupan en plan ta la posición indicada en la figura 21-12. L os ejes principales de cada pan talla y las correspondientes fuerzas de rigidez en kN se indican en la figura, así com o la fuerza horizontal P de 400 kN actuante en el forjado de la p la n ta en cuestión. Se desea calcular la fuerza horizontal correspondiente a cada pantalla.

2 5 ,0

b)

«00 kN

-4 3

X

Figura 21-12 1

Tom ado de la referencia (21.1) con algunas m odificaciones.

434

e-3) P ara situar los ejes principales, aplicam os [21.18] ordenando los cálculos en la tabla 21.2.

435

TABLA 21.2 - EJES PRINCIPALES DEL GRUPO Pantalla

Ri

R2

Las componentes de P valen:

0

(Rj - R2) sen 20

(R, - R2) eos 20

A

60-50

30

8,7

5,0

B

80-30

45

50,0

0

C

20-10

0

0

10,0

5>

58,7

15,0

Px = 400 eos (-37° 50’) = 316 kN Py = 400 sen (-37° 50’) = - 245 kN 316 S Rx

245 94,7

IR , X ( R , - R , ) sen 20 58,7 tg 2A = — -------------------------= --------- = 3,91 I (Rj - R2) eos 20 15,0 2 A = 75° 4 0 ’

2,03

155,4

-2,59

El cálculo de F’j, y F’2 se ordena en la tabla 21.4, de acuerdo con las fórmulas [21.21] y [21.22].

A = 37° 50’

TABLA 21.4 - CÁLCULO DE FUERZAS DEBIDAS A LA FUERZA HORIZONTAL PASANDO POR EL CENTRO DE ROTACIÓN

La situación de los ejes principales se indica en la figura 21.14.

Pantalla

R,

r2


F’ r i,l

A

60

50

- 1 ° 50’

142,2

- 114,2

B

80

30

T 10’

135,2

-8 4 ,8

C

20

10

- 37° 50’

64,0

- 8 ,0

e-5) El momento actuante es M = 400 x 17,04 = 6816 kN x m. El momento polar vale

J = X (Rjr,2 + R2r22) Los cálculos se ordenan en la tabla 21.5, de acuerdo con las fórmulas [21.27] y [21.28].

e-4) Las fuerzas de rigidez de las pantallas según los ejes principales de grupo, Rx y Ry, se calculan en la tabla 21.3. Como comprobación adicional se verifica que Rxy = 0 para ambos ejes.

TABLA 21.5 - CALCULO DEL MOMENTO POLAR J TABLA 21.3 — FUERZAS DE RIGIDEZ SEGUN OX Y OY Pantalla

Ri

r2


R x

Ry

R xy

A

60

50

- T 50’

54,8

50,2

1,3

B

80

30

T 10’

79,3

30,8

- 6,2

C

20

10

- 37° 50’

16,3

13,7

4,9

155,4

94,7

0,0

5> 436

Pantalla

R,

r2

ri

A

60

50

2,43

B

80

30

0,96

R]r i2

R2r22

F ” i,.

F ” ,2

8,31

360

3440

-4 9 ,6

- 142,0

17,34

70

9020

-2 6 ,3

- 178,0

r2

178,0

C

20

10

17,04

11,60

5820

1350

X=

6250 13810

116,3

39,7

437

www.libreriaingeniero.com J =6250+ 13810= 20060 kN • m 2

El m om ento M respecto al centro de rotación es

e-6) Las com ponentes de las fuerzas totales sobre cada pantalla, de acuerdo con [21.29] y [21.30] se indican en la tabla 21.6.

[21.33]

M = P X y^ x g —XP J. vJ g D e acuerdo con [21.27] y [21.28].

TABLA 21.6 - COM PONENTES TOTALES

F ” - M r> R F B, 1 ---------------K 1

J

Pantalla

F u

F ” .i

Fu

F r ’i,2

F” u

FU

A

142,2

-4 9 ,6

92,6

- 114,2

- 142,0

- 256,2

B

135,2

-2 6 ,3

108,9

- 8 4 ,8

178,0

93,2

C

64,0

116,3

180,3

- 8 ,0

39,7

F r ” B,2 ~

M r,

[21.34]

P eos a A =

31,7

X Rv Py

21.5 D E T E R M IN A C IÓ N D E L A D IR E C C IÓ N P É S IM A D E L A FU ER ZA H O R IZ O N T A L P A R A U N A P A N T A L L A D E T E R M IN A D A

IR , [21.35]

P sen a

Ay = l R y =

Z Ry

Según [21.21] y [21.22].

D ad a u n a estructura con un grupo de pantallas, se presenta a veces, en especial cuando se consideran las fuerzas horizontales debidas a las acciones sísm icas, la necesidad de determ inar cuál es la dirección que produce la m áx im a fuerza horizontal en un a pantalla determ inada. S ea el grupo de pantallas A, B, C, ... de la figura 21-15 en la que O es el centro de rotación y O X , O Y los ejes paralelos a los principales del grupo.

F ’b j = R¡ (Ax eos cp + Ay sen cp)

[21.36]

F ’b 2 = R2 (Ay eos cp - Ax sen cp)

[21.37]

E l m ódulo de la fuerza valdrá por tanto:

•i

Rí

Mrj 2 Ax eos cp + Ay sen cp + — — +

r

M r2 2 Ay eos cp - Ax sen cp + —— [21.38]

y elevando al cuadrado am bos m iem bros y sustituyendo

F 2 = R;

P eos cp P sen cp M r{ -------------eos a + -------------- sen a + -----J IR X IR , P eos cp

+ R; H aciendo

P sen cp M xx2r, sen a ---------------- eos a + —

IR V

IR X

438

0

se obtiene una ecuación en sen a y eos a que resuelta proporciona el valor de a buscado. C onocido éste, [21.27], [21.28], [21.36] y [21.37] nos dan las com ponentes de la fuerza pésim a en la pantalla B 1. 1

Sea G el centro de gravedad de las m asas y P e l m ódulo de la fuerza horizontal. S upongam os que es a el ángulo de la dirección pésim a de la fuerza p ara un a pantalla determ inada, por ejem plo la B.

J [21.40]

d ( F 2) d a

F ig u r a 2 1 -1 5

[21.39]

El problem a expuesto es extraordinariam ente com plejo. E fectivam ente, el valor de a nos conduce a la fuerza pésim a sobre la pantalla B. Sin em bargo, com o verem os en el Capítulo 38, esto no quiere decir que, para una sección fija de pantalla, ese valor y dirección de la fuerza sea el que conduzca a la m áxim a cantidad de arm adura.

439

21.6 C A L C U L O D E E SF U E R Z O S E N PA N TA LLA S CO N H U EC O S Con frecuencia en las pantallas resulta necesario disponer huecos para puertas y ventanas y eso introduce m odificaciones im portantes en su funcionamiento y en sus esfuerzos. Supongamos una pantalla de espesor e y ancho b constantes, con pisos de igual altura h en toda la pantalla (Fig. 21-16a y b). El problem a puede ser estudiado como el de las m énsulas de cantos b t y b 2 em potradas en el terreno y conectadas por una serie de dinteles a separación h K

Suponiendo los dinteles de rigidez despreciable frente a las m énsulas, aceptaremos que están perfectam ente em potrados en ellas y, por lo tanto, el momento flector en el punto medio de la luz libre de los dinteles será nulo. D espreciando por ahora las deformaciones de ambas ménsulas debidas al esfuerzo axil, el esquem a de deformación se indica en la figura 21-17. El dintel está biem potrado en las ménsulas y el corrimiento relativo de sus extremos es 5, con lo que los momentos flectores en los extremos valen m

6 E Iv Ó a =— —

[21.42]

r -

/ T i i

t 1¿Jl VZZ/7777/Z á

*

V77//77X

H

b* I

i F ig u ra 2 1 -1 8

F ig u r a 2 1 -1 7

F ig u ra 2 1 -1 6

Mb =

L a acción en zonas discretas de los dinteles de conexión puede ser asimilada a una distribución continua de la conexión, tal com o se indica en la figura 21-16c). Bajo las acciones horizontales, al ser despreciable el acortam iento de los dinteles* am bas ménsulas tom arán las mismas flechas, es decir Vj (y) = v2 (y), cumpliéndose tam bién que las rotaciones serán iguales ,

dy

“ 9i -

dy

siendo 8 = l sen (p y como tp es muy pequeño, adoptanto 8 = /tp, se obtiene: 6 E Iv / q>

y por tanto también lo serán las curvaturas, luego d2 v2

dy2

dy2

[21.44]

a2

- 92

d2v1

[21.43]

(Iv momento de inercia del dintel)

d v-

dv.

6 E Iv 5

Mb =

6 E I v fq>

[21.45]

y los esfuerzos cortantes en los extremos 12 E Iv /
y d e - í ^ = - ^ - , al tener las dos ménsulas el mismo módulo de deformación, se obtiene dy<" E l

1

M,

M2

I,

L

[21.41]

El problem a ha sido estudiado por m uchos autores. L a prim era solución es debida a CHlTTY (21.4). La solución que aquí se recoge es la debida a ROSM AN (21.5) y BECK (21.6).

440

1 2 E I v í
[21.46]

VB = E n la figura 21-18 se representa una zona de pantalla correspondiente a una altura h de piso y la transm isión de cortantes a través del dintel.

441

www.libreriaingeniero.com

Pasando de la distribución discreta a la continua indicada en la F igura 21-16 c) un a altura dy le corresponde un m om ento de in ercia del dintel diferencial i

t2 1-47] y, por tanto, sobre el conjunto de am bas m énsulas, es decir de la pantalla, las fuerzas cortantes V dy producen un m om ento

v h y de acuerdo con [21.46]

1H

Vd

_ 1 2 E I v dy l(? y a2 h

[21.48]

12 E Iv P

[21.49]

E ste m om ento es adicional al producido p o r las acciones horizontales exteriores, que llam arem os M 0 (y) y en definitiva la expresión de la ley total de m om entos será

y llam ando k = -------------a3 h

[21.52]

V / dy

M ’ (y)

V dy

M (y) = M 0 (y) + /

[21.53]

y

se obtiene

k j V dy = — • cp dy

[21.501J

k dv Com o de acuerdo con [21.50] V dy = —

podem os

escribir [21.53] en la form a C om o (p es el ángulo de la elástica con la vertical (eje OY) d v

M (y) = M 0 (y) + k

[21.51]

dy

dv

o bien M (y) = M 0 (y) + k [v (H) - v (y)]

[21.54]

L a ecuación diferencial de la elástica será por tanto a + b»

d2 v

2

M (y) EL

d y:

i Vd* e Á =

e b 3

Vdy

en la que I = Ij + I2

•+

12

L lam ando a 2 =

e b 23

12

[21.55]

12

b :3 + b 23

y teniendo en cuenta [21.54] la ecuación diferencial [21.55] El

se puede escribir

E ID

d2 v

= M 0 (y) + a 2 E Ip [v (H) - v (y)]

d y2 Figura 21-19 P ara la m énsula izquierda (Fig. 21-19), las fuerzas de corte V d y producen respecto a su directriz un m om ento flector a la altura y. H / a + bi V dy E n la m énsula derecha, análogam ente, el m om ento producido vale

442

d2 v

1 + a 2 v (y) = --------[M 0 (y) + k v (H)] E L d y2

[21.561

La ecuación diferencial [21.56] es la correspondiente a la deform ada de la pantalla, referida a los ejes (y, v) de la figura 21-16c). v (H) es la flecha en la coronación de la pantalla. L a integración de [21.56] conduce a

v (y) = A Ch a y + B Sh a y + v { (y)

[21.57]

donde v, (y) es una integral particular y el resto de la expresión, la solución ecuación homogénea.

Conocido M (y), la ecuación [21.41] permite conocerlas leyes M, (y), m 9 (y) ya que

i ia

Imponiendo la condición de empotramiento en la base, debe cumplirse que para

Ii + 12

I

Ii + h

d v, dy

[21.62]

[21.63]

IP

y las derivadas de [21.62] y [21.63] respecto a y nos proporcionan los cortantes en las ménsulas.

(y = 0) = o

B a +

En los dinteles, los esfuerzos debidos a las acciones horizontales son:

A + v, (y = 0) = 0

M om entos flecto res. De acuerdo con [21.42] y [21.43],

Casos p articulares

6 E I„ 6

Carga q uniformemente distribuida en toda la altura w _ q ( H - y)2 M0 (y) = -----------------

M* = —

k

Ma =

[21.58]

k2

[21.64]

6 EL /

dv

[21.65]

Mb

q (H - y)3

a2

6H (y ) V! ,(y), = v ^(H) + —M °-— +

6 E I V/ dv — •— a2 dy

y análogamente

Carga triangular variando desde q en el arranque a 0 en coronación1 M0 (y) =

^

d v se t* y como os = /I (p, y, cp = -------, tiene dy

i

™ + — M °-— (y) + <J E f1p v, (y) = v (H) -

b)

M (y) I,

h M( y ) I2 M2 (y) = M ( y ) - ------ = ----- ------

y = 0, v = 0 y —— = 0, lo que conduce a dy

a)

I,

M, (y) = M (y)

dy

E sfuerzos cortantes. Análogamente, a partir de [21.46] se obtiene: e

H

i p

p

[21.59] y

k2

A

c) Carga P en coronación^

12 E l /

dv

_ --------------L _ ----------------

a3

[21.66]

dy

12 E L / dv VB = -------- -----------a3 dy

M0 (y) = P ( H - y) , x / tt\ M0 (y) v, (y) = v (H) + -----------

_

[21.67]

[21.60] N o debe olvidarse que a estos esfuerzos deben sumarse los debidos a las posibles acciones verticales directas sobre estos dinteles, producidas por forjados del piso, elementos de fachada de la planta, etc.

E sfuerzos

Conocida la ecuación de la elástica v = v (y), los esfuerzos se obtienen inmediatamente a partir de las leyes generales

21.7 MÉTODO DE ROSMAN-BECK PARA TENER EN CUENTA LA DEFORMACIÓN DE LAS MÉNSULAS DEBIDA AL ESFUERZO AXIL (21.5) (21.6)

d2 v ( y ) = "dy2"E I f ' H

' H

dN =

N (y) = y 1

q es positiva en el sentido del eje + V.

2

P es positiva en el sentido del eje + V.

444

T

' H

V dy =— Jy / y

dv

[21.61]

En el apartado anterior, hemos despreciado la deformación de las ménsulas por efecto del esfuerzo axil, lo cual conducía a elásticas iguales para ambas ménsulas y, en definitiva, a un momento flector nulo en el punto medio de la luz en los dinteles. En la figura 21-20 se representa la zona correspondiente a dos dinteles consecutivos. 445

www.libreriaingeniero.com C onsiderem os la m énsula izquierda. A nivel de la directriz del dintel inferior sus esfuerzos son M j y N t. La deform ación en el eje correspondiente a los puntos medios de las luces de los dinteles es sum a de la debida a la flexión y la debida al esfuerzo axil E l acortam iento Ay entre las secciones D D ’ y E E ’ será la deform ación citada m enos la deform ación diferencial de las flechas en su punto m edio de los dos dinteles consecutivos.

M 0 (y) + / 1 ” V d y

M i (X)

[21.72]

y de [21.70]

V d y = d N

podemos escribir M , (x) = M 0 (y) + / N (y)

[21.73]

E n el punto A, considerado com o perteneciente a la m énsula izquierda, la deformación es sum a de las debidas al m om ento M x y al axil N. A plicando la Ley de Navier M 0 (y) + / N ( y ) d u, EL

bj + a 2 A N (y) d y + --------- d y y EA, y

[21.74]

donde Aj = e b, es el área de la sección recta de la m énsula izquierda. C onsiderando ahora el punto A com o perteneciente a la m énsula derecha, se obtiene análogam ente:

F ig u r a 2 1 - 2 0

El cálculo de la diferencia de flechas en el punto m edio de las luces de los dinteles puede hacerse a partir de lo indicado en la figura 21-20, donde A V es el incremento de cortante en la altura h. P ara un voladizo de luz — , la flecha será

b7 + a

M 0 (y) + / N ( y )

2 j N (y) j — ¿ y- c a •d y E A0

d u2 = EL

[21.75]

L a sum a de am bas deform aciones, en valor absoluto, ha de ser el doble de df.

2 A V a3 A f = --------------24 E Iv

(d V) h a3

y com o

12 /2 L

[21.69]

[21.77]

ot2 = E IP

24 E L

a3 h Ip

d N = V dy IP ( A ] + A2)

se tiene

[21.76]

S ustituyendo en [21.76] los valores [21.69], [21.74] y [21.75] y adoptando las designaciones

luego d f:

d u , + | d u2 1 = 2 d f

[21.68]

d V = ^ ^ dy dy2

X2 = a 2

[21.70]

1+

[21.78]

/2A jA ;

se obtiene la ecuación diferencial con lo que [21.69] puede escribirse í ^ ha3 d f = -----------------dy 24 E l C om o, de acuerdo con [21.53] y [21.62]

446

d2 N L2171]

a2 X2 N (y) - — M 0 (y) = 0 l

[21.79]

N = A C h Xy + B Sh Xy + N, (y)

[21.80]

d y2 cuya integral general es

donde N , (y) es una integral particular.

447

21.8

A B A C O S D E A L B IG E S Y G O U L E T P A R A E L C A L C U L O DE PANTALLAS CON H UECO S

Los m étodos expuestos en 21.6 y 21.7 resultan m uy laboriosos para su aplicación m anual. Si no se dispone de program as de ordenador es m ás práctico el empleo del m étodo desarrollado por A LB IG ES y G O U L E T (21 .7 )1. E ste m étodo, igual que los expuestos en 21.6 y 21.7, necesitan para su aplicación el cum plim iento de las condiciones siguientes: a) El edificio tiene al m enos siete plantas.

It

= Inercia del conjunto de las dos m énsulas respecto a su centro de gravedad I t —1} + I2 + m /

Aj = A rea de la sección recta de la m énsula izquierda. A 2 = A rea de la sección recta de la m énsula derecha. Ip

= Sum a de las inercias de las dos m énsulas (Ip = Ij + L,).

h

= A ltura de piso.

A continuación se calcula el valor de

b) L a altura de pisos es constante.

a = coh

c) Las vigas de conexión son todas iguales.

a)

d) La inercia de las vigas de conexión es despreciable frente a la de cualesquiera de las m énsulas.

[21.82]

Cálculo de los dinteles - Se calcula la cota relativa del dintel cuyos esfuerzos se desean calcular

e) L as pantallas presentan en toda su altura características geométricas y m ecánicas constantes.

‘- i

f) Las m énsulas están em potradas en su base.

siendo y la altura de la directriz del dintel sobre la base de la pantalla.

g) Las acciones horizontales se suponen uniform em ente repartidas en toda la altura de la pantalla.

- C on los valores de a y

21.8.1.

el ábaco GT-48 proporciona el valor de <E>.

- El esfuerzo cortante en el dintel vale

v =v —

C A SO G E N E R A L (1 < a < 10) 2

" C on las notaciones de la figura 21-16 el m étodo parte, en prim er lugar, de calcular el valor

12 Iv a3

/

I(

®

[2 m l

I,

donde V 0 es el producto p H, siendo p la carga horizontal p o r unidad de longitud sobre la pantalla y H la altura de la misma.

[21.81]

- L os m om entos de em potram iento en los extrem os del dintel valen

Ip m h

a M = V -----

[21 841

2 donde

b)

Iv = Inercia de los dinteles, a = L uz de los dinteles. /

Cálculo de las m énsulas - Con los valores de a y

- L os m om entos en las m énsulas valen

= Luz entre ejes de m énsulas.

m =•

G -^)2 /m V 0 H ------------------------ y

I

- U - L A] A-

1

A dem ás del trabajo original publicado en A nnales de L’lnstitutT echnique du Batim ent et desTravatíx P ublics, un resum en puede encontrarse en el libro de M . D IV E R “Calcul Pratique des Tours en B ton A rm é” (21.8).

2

El significado de a se da a continuación. L as hipótesis y desarrollo del m étodo son m uy similares al expuesto en 21.6. Ver la citada referencia (21.7).

2

p

M ,=— — Ip

448

el ábaco GT-49 proporciona el valor de 14/

V„ H

(1-É)2 ?

-

[21.85]

L /m

[21.86]

I

ii

Los esfuerzos axiles a nivel de cada dintel se obtienen sum ando los correspondientes valores de V según [21.83] para todos los dinteles situados por encim a del nivel considerado.

449

www.libreriaingeniero.com N OTAS:

G O ULET expuesto en 21.8, ha sido estudiado por V.E. D A V ID O V ICI (21.9).

1.- Tanto en los dinteles com o en las m énsulas, a los esfuerzos indicados deben sumarse los debidos a las otras cargas que actúan sobre ellos (cargas de forjados, etc.).

21 - 2 1 .

A dem ás de las notaciones que venim os em pleando, adoptarem os las de la figura

2 - U na com probación conveniente de los cálculos realizados es verificar que en la base de la pantalla se cum ple M = M! + M 2 + / N

[21.87]

El m étodo indicado es general y debe aplicarse, en todo caso, si 1 < ot < 10. Para a < 1 y Ot > 1 0 es posible introducir las sim plificaciones siguientes:

21.8.2.

C A SO PA R TIC U LA R C O R R E SP O N D IE N T E A a < 1

C orresponde a huecos de grandes dim ensiones en cuyo caso la rigidez relativa de los dinteles es m uy baja y estos actúan únicam ente com o elem entos de igualación de flechas entre am bas m énsulas, (j) = O y \|/ = 0. I, M , = —— M L

[21.88]

L A/T M9= — M

[21.89] F ig u r a 2 ] - 2 ]

N = 0

21.8.3.

[21-90]

C A SO PA R TIC U LA R C O R R E SP O N D IE N T E A a > 10.

C orresponde a huecos de pequeñas dim ensiones. D e acuerdo con el abaco GT-48 p ara a > 10 se puede aceptar a = lo que supone una variación sensiblem ente lineal de * con resultando * = O para %= 1 y * = 1 para í; = O (Ver GT-49). L a formula [21 83] puede sustituirse con buena aproxim ación por la m ás sencilla mh V = V 0— (l-S)

[21-91]

Se supone que las cargas n { y n 2 son iguales en todos los pisos. L as excentricidades ej y e2 se consideran positivas en el sentido positivo del eje x. Las cargas se consideran positivas en el sentido del eje + y. El m étodo abarca las siguientes etapas: a) Se calcula co y a com o vim os en 21.8 b) C álulo de los dinteles - Se establece la cota relativa del dintel y £=■

H

Se calcula

21.9. P A N T A L L A S C O N V A R IA S F IL A S D E H U E C O S . El m étodo expuesto en 21.8 es susceptible de generalizarse al caso de Pant^ s con varias filas de huecos. Sin em bargo, la aproxim ación no es ya tan^buena^p pequeños o grandes huecos (Ver referencia (21.8)). En general, resultara prefenbl aplicar alguno de los procedim ientos expuestos en 21.11.

m k =— I, - Con los valores de a y

tjl 1 l

A-

el ábaco GT-50

L_p __ 1 / A

[21.92]

proporciona el valor, A.

- El esfuerzo cortante en el dintel vale

21.10. C A R G A S V E R T IC A L E S E N M É T O D O D E D A V ID O V IC I.

PANTALLAS

CON

H U E C O S.

El caso de los esfuerzos producidos en una pantalla con una fila de ^ e c o s y q ■ cum pla las condiciones im puestas para la aplicación del m étodo de A L m u n

450

V = k A

[21.93]

- Los m om entos de em potram iento en los extrem os del dintel resultan

M =V

[ 2 \ .9 A ]

451

c) C álculo de las m énsulas - C on los valores de a y

el ábaco GT-51 proporciona el valor de y.

- Los m om entos vienen dados por las fórm ulas Ii H M 1= — ------ (1 -

I, M , =—

(n4 e, + n2 e2) - / k y

[21.95]

(1 - £,) (n, e, + n2 e2) - / k y

[21.96]

H

L os esfuerzos axiles en las m énsulas vienen dados por las fórm ulas H

r

- n , (1 - £ ) + k y

[21.97]

n2 ( l - ^ ) - k y

[21.98]

h

Figura 21-22 donde

(Los valores positivos de N , y N 9 corresponden a esfuerzos de com presión).

N¡ = E sfuerzo axil en el pilar i (El signo + corresponde a esfuerzos de com presión).

NOTAS: 1.- E n los dinteles, a los esfuerzos calculados deben sum arse los de las cargas verticales actuantes directam ente sobre ellos y los derivados de las eventuales acciones horizontales sobre la pantalla. En las m énsulas, a los esfuerzos calculados, hay que añadir los producidos por las posibles acciones horizontales sobre la pantalla.

N

A¡ = A rea de la sección recta del pilar i.

2 . - U na com probación conveniente de los cálculos realizados, es verificar que en la base de la pantalla se cum ple: a) N l + N 2 = X ib + X n2. b) El momento del sistema formado porX nt, X n2, M p M 2, N, y N 2 respecto a un punto debe ser nulo.

21.11

M

= M om ento flector actuante sobre la pantalla (Positivo en sentido contrario al reloj).

x¡

= A bscisa del eje del pilar i.

El cortante V se distribuye entre los n pilares en proporción a sus rigideces. El m omento flector en cada pilar depende esencialm ente del grado de em potram iento de la zapata en el terreno. Si no se realiza un estudio detallado, tal com o se indicó en el Capítulo 11, conviene suponer que el punto de m om ento nulo en el pilar no está a una cota superior al cuarto de su altura y tom ar

C A S O P A R T IC U L A R D E P A N T A L L A S A P O Y A D A S SOBRE P IL A R E S E N P L A N T A B A JA

D efinirem os un sistem a de ejes cuyo origen coincida con el c.d.g. de las áreas de los pilares A,, A 2, ... A n (Fig. 21-22). Es inm ediatam ente generalizable el m étodo del voladizo expuesto en 15.3.2. Las acciones sobre la pantalla, referidas a su nivel B B ’ inferior, se reducen a los tres esfuerzos M, N , V indicados en la figura.

Mi> V i A como m om ento en cabeza de pilar.

N. =

NA, Mx,A, i --------- — I A¡ I A¡ x¡2

h

Pl - l OO]

4

Cada p ilar debe ser dim ensionado para los esfuerzos (M¡, N¡, V j)1.

21.12

OTROS M ÉTODOS DE CÁLCULO

E xisten m uchos otros m étodos para el caso de pantallas con huecos.

E l esfuerzo axil N¡ en el pilar i viene dado por la expresión

452

= E sfuerzo axil total de la pantalla (Positivo en el sentido positivo del eje + y).

[21-99]

1

Las cargas localizadas que los pilares ejercen sobre la pantalla, en especial en el caso en que el ancho de los pilares exceda al de la pantalla, requieren un estudio local de acuerdo con lo visto en el Capítulo 19.

453

www.libreriaingeniero.com exam inar la posibilidad

En particular, debe destacarse hoy por su im portancia el m étodo de los elementos finitos, que com binado con el tratam iento en ordenador perm ite el cálculo de, prácticam ente, cualquier tipo de pantalla.

El m étodo es adecuado en cualquier caso, pero lo es especialm ente para pantallas con m ás de una fila de huecos. Si la pantalla tiene sección variable con la altura o huecos en distribución irregular (Fig. 21-23), el m étodo es el único capaz de proporcionar una solución válida del problem a.

(Fig. 21-25) de independizar los lados del núcleo en pantallas m ediante juntas, p o r si esto conduce a una solución más eco n ó m ica1. Estas ju n tas pueden p o r supuesto realizarse a tope ya que no constituyen ju n tas de dilatación. En edificios de m uy gran altura, el núcleo es evidentem ente una solución de mayor rendim iento que las pantallas. A m pliarem os el tem a en el C apítulo 62 al tratar de edificios de gran altura.

BIBLIOGRAFÍA (21.1)

LIN, T.Y. “Lateral Forcé Distribution in a Concrete Building Story”. Journal of the American Concrete Institute. December 1951.

(21.2) MEDWADOWSKY, S. “Lateral Forcé Distribution in a random System of Shear Elements”. Journal A.C.I. August 1967. (21.3) RECUERO, A., GUTIÉRREZ JIMÉNEZ, J.P. “Análisis de Edificios en Altura sometidos a Acciones Horizontales: Sistemas Planos”. Monografía N° 338 del Instituto Eduardo Torroja. Madrid 1976.

V77/7777777777777777

(21.4) CHITTY, L. “On the Cantilever Composed of a Number of Parallel Beams Interconected by Cross Bars”. Philosophical Magazine. October 1947.

F ig u r a 2 1 -2 3

21.13

NÚCLEOS

Se entiende por núcleo un conjunto de pantallas enlazadas entre sí para formar un a p ieza de sección cerrada o eventualm ente abierta por huecos de paso (Fig. 21-24). E structuralm ente queda constituida una pieza tubular, con sección abierta o cerrada, pero siem pre de pared delgada en com paración con las dim ensiones de la sección, transversal.

□

U F ig u r a 2 1 -2 4

L

2

(21.5) ROSMAN, R. “Beitrag zur statische Berechnung Waagrecht Belasteter Querwande bei Hochbanten”. Der Baningenieur. Abril 1960. (21.6) BECK, H. “Einbeitrag zur Berucksichtigung der Dehnungsverformungen bei Rahmen mit Scholanken nudn Gedrungenen Konstruktions-gliedern”. Der Baningenieur. Mayo 1959. (21.7) ALBIGES, M.; GOULET, J. “Contreventement des Batiments”. Annales de 1’Instituí Technique du Batiment et des Travaux Publics. Mai 1960.

□

(21.8) DIVER, M. “Calcul Pratique des Tours en Béton Armé”. DUNOD. París 1972. F ig u r a 2 1 - 2 5

D ebe destacarse que, com o pieza tubular, tiene la particularidad de que los forjados, que pueden considerarse com o indeform ables en su plano, rigidizan la sección a la altura de cada piso. En el caso particular de núcleos sim étricos som etidos a acciones actuando en sus ejes principales de inercia, es de aplicación la fórm ula de N avier y el cálculo es, por tanto, inm ediato.

(21.9) DAVIDOVICI, V.E. “Effets des Variations Linéaires dans les Batiments de Grande Hauteur”. Annales de ITnstitut Technique du Batiment et des Travaux Publics. Septembre, 1967. (21.10) VLASOV, B.Z. “Pieces Longues en Voiles Minees”. EYROLLES. París 1962. (21.11) SÁEZ-BENITO, J.M. “Cálculo Matricial de Estructuras” . Fondo Editorial de Ingeniería Naval. Madrid 1975.

En general, al existir torsiones, el cálculo se com plica y no se aborda aquí por razones de extensión. L a obra de V L A S O V , citada en la referencia (21.10) y a e SÁ E Z B E N IT O (21.11) contienen inform ación abundante sobre el tema. D ebe llam arse la atención sobre el hecho de que, si el núcleo se calcula como tal,, la transm isión de esfuerzos cortantes de un lado a otro del polígono de la sección recta debe quedar garantizada con las arm aduras correspondientes. P or tanto, conviene 454

1

Esto puede ocurrir para edificios de alturas m edias debido a la necesidad, en cualquier caso, de disponer arm aduras m ínim as de retracción y tem peratura, que pueden, al m ism o tiem po, resistir esfuerzos considerables.

455

CAPÍTULO 22 INTERACCIÓN DE ENTRAM ADOS CON PANTALLAS Y NÚCLEOS 22.1 G E N E R A L ID A D E S El uso sim ultáneo de entram ados y pantallas o núcleos es habitual en edificios de altura. U na disposición frecuente se indica en planta en la F igura 22-1. D e una m anera esquem ática y partiendo de considerar los forjados com o infinitam ente rígidos en su plano, puede pensarse que éstos, actuando com o vigas horizontales de gran canto, transm itirán las acciones horizontales a las pantallas y que los entram ados resistirán solamente acciones verticales. Sin em bargo, un análisis m ás exacto dem uestra que en general los entram ados desem peñan u n a función no despreciable en la absorción de acciones horizontales y deben, por tanto, ser calculados para resistirlas.

f t t t t t t t f t t t t t t t t t t t t t t t t t Figura 22-1 Si co n sid eram o s in d e p en d ie n te m en te un en tram ad o y u n a p an talla, sus deform aciones se indican esquem áticam ente en las figuras 22-2 a y b, tom adas de la referencia (22.1) de K H A N y SBA RO U N IS. C uando los entram ados y las pantallas se interconectan m ediante los forjados, éstos com patibilizan las deform aciones de am bos sistem as estructurales, en los niveles de los diferentes pisos (Fig. 22-2c)) y ello crea unas interacciones m utuas. C om o puede observarse en la figura, en las zonas bajas del edificio, los entram ados ven su deform ación coartada por las pantallas a esos niveles. En la parte superior del edificio, ocurre lo contrario y las pantallas tienen su deform ación coartada por los entram ados.

457

www.libreriaingeniero.com ordenador. Si la estructura y la aplicación de las cargas no son sim étricas, aparecen torsiones que com plican el problem a. E l libro de M ARGARTT y B U X A D E citado en la referencia (22.2) contiene un conjunto de tablas que resuelven el problem a para m uchos casos habituales en la práctica. L as referencias (22.3) y (22.4) tienen tam bién inform ación interesante.

EN TRAM ADO L IB R E a)

PA N TA LL A

E N T R A M A D O Y PA N TA LLA

L IB R E b)

E n el apartado siguiente, se expone un m étodo que puede considerarse com o válido para el proyecto en el caso de edificios de configuración sencilla, y válido, en todo caso, para el anteproyecto de cualquier tipo de edificio.

C O M B IN A D O S c)

D E F O R M A C IO N E S D E P A N TA LL A S Y E N T R A M A D O S (Según K H A N y SB A R O U N IS)

F ig u r a 2 2 -2

L a figura 22-2c) indica un com portam iento esencialm ente diferente de los grupos de pantallas, respecto a los grupos m ixtos de pantallas y entram ados. E n el caso de las pantallas, la figura 22-3a) refleja cóm o el reparto de fuerzas horizontales a cualquier altura es tal que las fuerzas en cada pantalla guardan siem pre la misma relación entre sí. L a figura 22-3b) pone en evidencia cóm o, en el caso de entram ados y pantallas, en la parte inferior las pantallas absorben casi toda la fuerza; en la parte interm edia, los entram ados absorben una parte apreciable de la m ism a y en la zona superior, los entram ados absorben fuerzas superiores incluso a las exteriores.

22.3 M E T O D O D E K H A N Y S B A R O U N IS . El desarrollo del m étodo se expone en la referencia (22.1) y u tiliza un conjunto de gráficos de interacción basados en el estudio de la interconexión de entram ados y pantallas en diez niveles diferentes a lo largo de su altura, de acuerdo con el m odelo indicado en la figura 22-4, que consta de un sistem a virtual de entram ado y otro de pantalla interconectados en los diez niveles. S IS T E M A ENTRAM AO O

SIST E M A PAN TALLA

NIVEL

M OD ELO D E ESTRU CTU RA

F ig u r a 2 2 -4

E l conjunto de gráficos GT-52 a GT-65 resuelven el problem a de acuerdo con la siguiente distribución. b)

a)

F ig u r a 2 2 -3

L a figura 22-3b) indica, por tanto, que en cada caso debe estudiarse si es realm ente interesante prolongar las pantallas hasta la últim a planta o puede ser económ icam ente ventajoso, a partir de cierto nivel, transform ar las pantallas en entram ados. Los gráficos GT-52 a GT-65 son de gran ayuda en este sentido.

22.2 C O N S ID E R A C IO N E S S O B R E L O S M É T O D O S D E C A L C U L O . U n cálculo riguroso, al m anejar com o incógnitas las acciones sobre las pantallas o núcleos y sobre los nudos de los entram ados, todo ello en los diferentes pisos, igualando en ellos las deform aciones, sólo es posible m ediante el cálculo con 458

22.3.1. O R D E N A C IÓ N D E LO S G RÁ FICO S a) A cciones horizontales constantes en toda la altu ra1. a-1) G R Á FIC O S GT-52, GT-53 y GT-54. C orresponden al caso en que los pilares, las vigas y las pantallas son de sección constante en toda la altura del edificio. E sto se indica en los gráficos en el recuadro 1,1,1 que significa que las rigideces en la parte alta son iguales a las de la plan ta baja en pilares, vigas y pantallas respectivam ente.

1

C orresponde este caso a la acción norm al del viento

459

El gráfico GT-52 corresponde al caso en que se cum ple la relación El gráfico GT-57 corresponde al caso

2*,

— — = 10

Z K

,

El gráfico GT-58 corresponde al caso donde Z kp es la sum a de las rigideces de todos los pilares de planta baja de los

z* ,

— — = 20 Z k..

entram ados y Z & v la sum a de las rigideces de todas las vigas de planta baja de los entram ados. E n todos los gráficos se em plea la rela ció n

- E l gráfico GT-53 corresponde a la relación

X k

Z

su. de rigideces de pantallas a kp

pilares en la planta baja. E sta relación debe tom arse con valor E *.

E*w E

(Ei)

E k

(EI)„ \ N

E

iio y

El gráfico GT-54 corresponde a la relación

E

E fc „

(El),,, es la sum a de las inercias de las pantallas,

E

(El) la de los pilares

10 Z *.

y N el núm ero de plantas. L a corrección introducida por el térm ino

— si \N /

N ^IO , se debe a que el m odelo que sirvió de base a los gráficos tenía diez niveles de co n ex ió n 1.

a-2) G R Á FIC O S GT-55 y GT-56 C orresponden al caso en que las rigideces de los pilares varían linealmente de la planta b aja a la últim a en la relación 10 a 1; las vigas tienen en vertical la m ism a rigidez en todas las plantas y en las pantallas las rigideces varían de 3 a 1 de la planta baja a la última.

E l gráfico GT-55 corresponde al caso

/ 10f

b)

A cciones horizontales con distribución triangular, con valor nulo en la base y m áxim o en la ú ltim a planta2. Los gráficos GT-59 a GT-65 corresponden al caso de distribución triangular de acciones, con la m ism a ordenación que los GT-52 a GT-58.

s* .

— — = 10

Z k.

22.3.2

D E SA R R O L L O D E L M ETO DO .

R efiriéndonos, com o ejem plo, al gráfico GT-52 (Fig.22-5), para cada relación E l gráfico GT-56 corresponde al caso

— = 20

£ de la altura considerada a la total, desde 0 a H, las diferentes curvas dan para cada H relación de rigideces

(En am bos casos m ados y

Zk

Z k vt'

V

(donde l u kw es la sum a de las rigideces de todas las

se refiere a los pilares de planta baja de todos los entra­

Zfcv a las vigas de planta baja de

£

todos los entram ados).

K

v F Jy) pantallas y l u k la de todos los pilares, am bas a nivel de planta baja) el valor d e ------J p F F(0)

a-3) G R A FIC O S GT-57 y GT-58 C orresponden al caso en que las rigideces de los pilares varían linealrnente de la planta baja a la últim a en la relación 10 a 1, las vigas tienen rigideces variando de 2 a 1 de la planta baja a la alta y las rigideces de las pantallas varían de 3 a 1 entre la planta baja a la alta.

460

1

Se m aneja el térm ino E l en lugar d e la rigidez, ya que todas las piezas son de la m ism a altura en cada planta.

2

Las acciones sísm icas son generalm ente asim ilables a este caso o a com binaciones de éste y el anterior.

461

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donde F e (y) es la fuerza horizontal en la planta a la cota y, que es absorbida por 1 entram ados y F (0) la fuerza horizontal total actuando sobre el conjunto a la cota y-°Q

22.4 C A SO P A R T IC U L A R D E E S T R U C T U R A S F O R M A D A S P O R P A N T A L L A S Y F O R JA D O S S IN V IG A S .

L a fuerza horizontal sobre las pantallas F w (y) viene dada por la diferencia entre

En este caso y dado que, com o ya vim os en el C apítulo 19, la rigidez de la placa a considerar para acciones horizontales no está definida en las N orm as, K H A N y SBAROUN1S en la referencia (22.1) desarrollan un m étodo aproxim ado para estim ar el ancho eficaz de placa. El m étodo está basado en la asim ilación de la placa a un em parrillado, con las condiciones de borde que se esquem atizan en la figura 22-6.

la distancia horizontal correspondiente al n iv e l— a las pantallas H que vienen dadas por la línea de trazos del gráfico y el valor A - (y) es positiva en la zona inferior del gráfico y negativa significa que en esta últim a zona la dirección de las fuerzas es la

com o m énsulas libres

’ F e (y). O bsérvese que en la superior, lo que contraria a la de abajo

Figura 22-6 1.0

0.8

0.6

O.i

0.2

0

F Jy)

El ancho eficaz de placa b, a tener en cuenta com o el de la viga equivalente a efectos de la aplicación del m étodo expuesto en 22.3, viene dado por el gráfico de la figura 2 2 -7 ].

F (0) Figura 22-5 C onocidas las fuerzas F e (y) y F w (y) actuantes en cada planta sobre el conjunto de entram ados y el conjunto de pantallas es necesario distribuir cada un a de ellas entre los entram ados y las pantallas, respectivam ente. E l reparto entre las pantallas puede hacerse en proporción a sus rigideces, de acuerdo con lo visto en el C apítulo 21. El reparto entre los entram ados puede hacerse de acuerdo con lo visto en el C apítulo 7 y para cálculos de anteproyecto puede estudiarse de acuerdo con lo expuesto en el C apítulo 8.

o

0.1

0.2

0.3

d L

Figura 22-7 22.3.3. V A LID EZ D E L M ÉTO D O .

El m om ento de inercia a considerar por tanto para la viga equivalente será la correspondiente a una sección de forjado de ancho b.

A nuestro juicio, la validez del m étodo, para cálculos definitivos, queda restringida a estructuras de organización claram ente sim étrica y con acciones que no produzcan torsiones, es decir que sean asim ilables al m odelo supuesto en el método. P ara otros casos, la validez del m étodo qued a restringida a cálculos de anteproyecto y, para el cálculo definitivo, debe recurrirse a los m étodos apuntados en 2 2.2 .

462

1

Los resultados de la figura 22-7 no coinciden con los del m étodo de PARM E, expuestos en 19.4.2. Las finalidades de am bos m étodos no son tam poco coincidentes.

463

BIBLIOGRAFÍA (22.1) KHAN, F.R.; SBAROUNIS, J.A. "Interaction of Shear Walls and Frames". Journal of the Structural División. A.S.C.E. June 1964. (22.2) MARGARIT, J.; BUXADE, C. "Cálculo de Estructuras con Pórticos y Pantallas" BLUME. Barcelona 1977. (22.3)

"Designed of Combined Frames and Shear Walls'1. Portland Cement Association. 1965

(22.4) MAC LEOD, L.A. "Shear Wall-Frame Interaction". Portland Cement Association 1971.

CAPÍTULO 23

EDIFICIOS REALIZADOS CON ENCOFRADO TÚNEL Y SISTEM AS ANÁLOGOS

23.1

G E N E R A L ID A D E S

La característica com ún a todos los edificios com prendidos en este C apítulo es que en ellos la estructura de horm igón arm ado desem peña, adem ás de su función resistente, la del cerram iento en fachadas y la de com partim entación de espacios. La figura 23-1 m uestra el caso particular de los edificios realizados con encofrados túnel, con indicación esquem ática de su proceso constructivo.

♦

SISTEM A MIXTO

I

Figura 23-1 464

465

www.libreriaingeniero.com El sistem a conduce a estructuras form adas por m uros portantes y losas de hormigón arm ado, generalm ente estas últimas sin aligeram iento de ningún tipo (Fig. 23-2).

los que la relación a/b del ancho del hueco a la profundidad de los m uros suele ser pequeña. L o habitual es adoptar, a efectos de la rigidez del muro, la correspondiente a un m uro de ancho b-a. Los esfuerzos axiles y m om entos flectores resultantes se reparten uniform em ente en el ancho de m uro b-a. El cálculo de las losas no experim enta variación respecto al caso en que no existen huecos. El dintel sobre los huecos está sometido a la reacción de la losa y debe ser calculado para esa carga. Si las zonas laterales de m uros son grandes respecto al canto del dintel, éste puede calcularse com o una pieza biem potrada. Si el hueco está cercano a un borde del m uro (Fig. 23-5),

1 F ig u r a 2 3 -2

L as fachadas por las que salen los encofrados se ciernan posteriorm ente, bien con horm igón in situ, bien con elem entos prefabricados.

23.2

C Á LC ULO DE ESFU ER ZO S En genera], el cálculo de esfuerzos no plantea problem as especiales.

n

R efiriéndonos al caso de la figura 23-3, es inm ediato asim ilar la estructura a un entram ado, con pilares que tienen com o sección las de los m uros con ancho b y

F ig u r a 2 3 -5

puede resultar necesario realizar el cálculo com o el de un dintel perfectam ente em potrado en el m uro p o r un lado y em potrado en un pilar de ancho c por el otro. En el caso de fachadas tam bién resistentes, com o el indicado en planta en la figura 23-6, el cálculo de las losas debe ser realizado com o placas según las condiciones de borde que se presenten, de acuerdo con lo previsto en el C apítulo 20.

dinteles con sección la de las losas, tam bién de ancho b. Sin em bargo, en este tipo de estructura es frecuente que los m uros presenten huecos de paso. Esto introduce una alteración en la sección y, por lo tanto, en la inercia y la rigidez de los m uros, pero esta alteración es de escasa im portancia en la m ayoría de los casos prácticos (Fig. 23-4) en

M U ROS V ERTICALES BORDE L IBRE

F ig u r a 2 3 -6

23.3 E S T R U C T U R A S C O N V IG A S -T A B IQ U E 23.3.1.

C O N C E PT O S G E N E R A L E S

E ste tipo estructural está form ado por forjados, de losa m aciza o aligerados, que apoyan o cuelgan de vigas-tabique, que van sin apoyos de u n a fachada a otra del edificio. El apoyo de las vigas-tabique en las fachadas puede realizarse en pilares o bien disponer tam bién estas fachadas com o m uros portantes de horm igón (Fig. 23-7). 466

467

23.3.2. C Á L C U L O D E E SFU E R Z O S

n 3\ [ I n 7m

Las losas, pilares, etc., no presentan problem as especiales1. E n cam bio, las vigas, salvo que no tengan huecos de paso, presentan problem as específicos. D ada su gran rigidez frente a los pilares, las vigas, en la m ayoría de los casos, pueden considerarse como sim plem ente apoyadas.

Ej 1 ¡i n n__i

2

L 5

l

3

F ig u r a 2 3 - 7

El sistem a presenta un gran interés por la posibilidad que supone de cubrir espacios de luz m últiplo de / (Fig. 23-8) con el m ism o coste que si se em pleasen luces /. R ealm ente la luz de cálculo es /, aunque la luz libre en algunas plantas puede ser m ucho mayor.

F ig u r a 2 3 -1 0

1

2

3

4

5

F ig u r a 2 3 -8

El sistem a apareció en E stados U nidos hacia 1966 (23.1) y un estudio específico h a sido realizado por F1NTEL (23.2). E n la figura 23-9, tom ada de (23.2) se indican en sección algunas de las p osibilidades del m étodo, adem ás de las ya indicadas en la figura 23-7. L a disposición de la figura 23-9a) crea espacios de luces 3 /, en las plantas im pares, y de luces l y 27, alternativam ente, en plantas pares.

E n la figura 23-10a) se indica un esquem a general de viga-tabique som etida a un conjunto de cargas. E n las zonas no afectadas p o r el hueco, los esfuerzos son los de una viga equivalente sim plem ente apoyada, de la m ism a luz y som etida a las m ism as cargas. E n la zona del hueco, la resistencia a flexión está proporcionada p o r dos sumandos. U no es un m om ento M ’ creado p o r la tracción T situada en la lo sa inferior2 con la cabeza com prim ida situada en el dintel y la zona de losa superior asociada, trabajando a flexión. C om o se indica en la figura 23-1 Ob) siendo M el m om ento de la viga equivalente de sección constante,

M = M ’+ M ”

fe: K

3

T55Ssl

T~~~E

I

v A ltu ra de — planta

[23.1]

M . F IN T E L (23.2) ha desarrollado gráficos que perm iten calcular M ' para los casos de carga uniform e y carga puntual, y que se recogen en las figuras 23-11 y 23-12, respectivam ente. Conocido M \ se calcula M ” - M - M \

•BgKKSsT F ig u r a 2 3 - 9

L a disposición de la figura 23-9b) crea espacios de luces 21 y /, alternativamente, en las plantas im pares, y de luces 21 y 31, alternativam ente en las plantas pares. L a disposición de la figura 23-9c) crea espacios de luz 21 y / en las plantas impares y de luces 21 y 31 en las plantas pares. F inalm ente, la disposición de la figura 23-9d) crea, en las plantas impares, luces de cualquier m agnitud. 468

1

En los Capítulos 52, 58 y 61 estudiarem os el dim ensionam iento de arm aduras y los detalles constructivos que se presentan en losas, m uros y vigas-tabique debido al hecho de que aparezcan losas que no apoyan en las vigas, sino que cuelgan de ellas.

2

La sección de la viga es una sección en /, form ada p o r la viga-tabique com o alm a y las dos losas, superior e inferior, com o alas. P ara el ancho de alas a considerar en el cálculo, véase el Capítulo 36.

469

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a)

b)

c)

F ig u r a 2 3 -1 3

O b sérv ese q u e la in te racc ió n esp acial d e losas y v ig a s-tab iq u e im pide prácticam ente el corrim iento horizontal de la cabeza de un pilar respecto a su pie (debido a los cortantes horizontales) que se indicaban en las figuras 23-13 a) y b). El funcionamiento real es el de la figura 23-13c) que es esencialm ente el de un voladizo, con los pilares som etidos fundam entalm ente a esfuerzos ax iles1.

Y F ig u r a 23-11

BIBLIOGRAFIA (23.1)

“New Steel Framing System Promises Major Savings in High Rises Apartments”. Architectural Record. Junio 1966.

(23.2)

FINTEL, M. “Staggered Transverse Wall Beams for Multistory Concrete Buildings”. ACI Journal. Mayo 1968.

X F ig u r a 2 3 -1 2

A unque el cálculo detallado de este tipo estructural será desarrollado en el C apítulo 52 conviene indicar aquí el esquem a general de su com portam iento frente a acciones horizontales. E n la figura 2 3 -13a) y b), se indican las deform aciones que, aisladamente tom arían los conjuntos de pilares y pantallas de pisos pares y los de pisos impares. La gran rigidez de las losas en su plano obliga a todos los pilares a tener corrimientos solidarios en cada nivel, con lo que la deform ación del conjunto es la indicada en la figura 2 3 - 13c). Ello hace que los pilares no necesiten tener canto im portante en el sentido de las vigas tabique, pudiendo disponerse con un pequeño canto en ese sentido y un ancho m ayor en el sentido de la fachada. Esto hace el sistem a especialm enie apropiado para su uso con m uros de horm igón.

470

471

CAPÍTULO 24

JUNTAS DE DILATACIÓN JUNTAS DE ASIENTO JUNTAS DE HORM IGONADO JUNTAS DE CONTRACCIÓN

24.1 JUNTAS DE DILATACIÓN 24.1.1 C O N C E PT O S G E N E R A L E S Las variaciones de tem peratura ocasionan cam bios dim ensionales, tanto en la estructura com o en el resto de los com ponentes del edificio, de fo rm a que éste se com porta com o un objeto dinám ico. El proyectista se ve obligado a disponer juntas de dilatación que perm itan la contracción y la expansión de la estructura y reduzcan los esfuerzos que dichos movim ientos, siem pre parcialm ente im pedidos, introducen en ella. El hecho de que los métodos actuales de cálculo perm itan calcular las estructuras con m ayor precisión que en otros tiem pos, conduce, en definitiva, a estructuras más afinadas y ello hace que muchas reglas em píricas sobre el tem a de las juntas de dilatación no resulten ya válidas y sea necesario un análisis más racional del tema. A esto se sum a el que gran parte de nuestra experiencia se refiere a construcciones antiguas, que englobaban un núm ero reducido de m ateriales, que adem ás tenían un com portam iento térm ico relativam ente homogéneo, m ientras que el proyectista actual interconecta sus estructuras con m uchos materiales y de com portam ientos térm icos que, con frecuencia, son m uy diferentes. La inform ación sobre el tem a es poca, especialm ente por lo que se refiere a mediciones sobre edificios construidos. A título de ejem plo durante m uchos años se ha estimado que en edificios la distancia entre juntas de dilatación de las estructuras no

473

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debía pasar de 30 m. Com o se verá por lo que sigue, en m uchos casos es fácil lies doble e incluso al triple. La creencia errónea venía de que al hacer las juntas de d ila ta ^ a esa distancia, tanto para la estructura, com o para los cerram ientos de ladrillo de ^ fachadas y a veces para las azoteas, con distancias m ayores se producían desórde ^ graves, pero no en la estructura, sino en las partes no estructurales del edificio. ^

norm al de construcción el período consecutivo del año durante el cual la tem peratura m ínim a diaria no es inferior a 0°C.

Y = Tem peratura igualada o excedida, por térm ino medio, el n oventa y nueve por ciento del tiem po durante los m eses de invierno de D iciem bre a Febrero.

U nos órdenes de m agnitud realistas para las ju n tas de dilatación para edificios d plan ta rectangular son los siguientes:

TABLA T-24.1.- DISTANCIA ENTRE JUNTAS DE DILATACIÓN DISTANCIA MÁXIMA ENTRE JUNTAS DE DILATACIÓN (m)

PARTE DE OBRA

ESTRUCTURA DE HORMIGÓN

60 a 90

CERRAMIENTOS DE LADRILLO

12 a 18

EN FACHADAS VARIACION DE TEMPERATURA OE CALCULO (° C )

AZOTEAS

5a8 Figura 24-1

E l error venía de pensar que todas las partes del edificio, en especial la estructura y los cerram ientos podían tener la m ism a distancia entre juntas. 24.1.2 C Á L C U L O D E L A JU N TA. M É T O D O E M PÍR IC O L as referencias (24.1), (24.2), (24.3) y (24.4) contienen inform ación importante sobre este asunto. En particular el Inform e de la N ational A cadem y o f Sciences de W ashington "E xpansión Joints in B uildings", (24.2), basado en el estudio de medidas sobre nueve edificios reales y en num erosos cálculos de estructuras teóricas, contiene, a nuestro juicio, la inform ación m ás válida sobre el tema.

a) D istancia entre ju n ta s P ara estructuras de edificios form adas por entram ados, entram ados y pantallas y/o núcleos, la distancia entre ju n tas puede ser determ inada m ediante el gráfico de la figura 24-1, (24.2) correspondiente a estructuras en las que puede suponerse que los pilares están articulados en su unión al cim iento y que el edificio tiene calefacción1 .

E n lo que sigue llam arem os Variación de tem peratura de Cálculo al m ayor de los valores.

A =r -

Tm

[24.1]

A = Tm -T ,

[24.2]

A la distancia entre juntas resultante del gráfico de la figura 24-1, se le deben aplicar las siguientes correcciones. - Si el ed ificio v a a ten er aire aco n d icio n ad o , au m en tar la d istan cia en el 15%-

donde:

- Si el edificio no va a tener calefacción, reducir la distancia en el 33% 3 Ts, = Tem peratura que, com o térm ino m edio, es excedida solam ente el uno por ciento del tiem po durante los m eses de verano de Junio a S ep tiem b re1 . —Tem peratura m edia durante la época norm al de construcción en la zona en que se va a construir el edificio. C om o norm a general puede definirse com o época En todo lo que sigue nos referim os al hem isferio Norte.

474

1

Lo que sigue no es aplicable a estructuras situadas exteriorm ente a los cerram ientos del edificio.

2

Si se considera probable que el equipo de aire acondicionado sufra interrupciones en su funcionam iento de m ás de dos días, no debe aplicarse esta corrección.

3

Se considerará tam bién esta corrección si se supone probable que el equipo de calefacción sufra interrupciones en su funcionam iento de más de dos días.

475

En la expresión [24.4] debe tom arse com o L el valor m edio de las dos distancias e n tre ju n ta s de los bloques contiguos a la ju n ta considerada. Si se está en uno de los casos de rigidez asim étrica, com o el indicado en la figura 24-2 c), debe tom arse com o distancia del bloque la real aum entada en un 50% si la zona rígida está en el lado opuesto a la ju n ta considerada, y la real reducida en un 33% si está en el m ism o lado que la ju n ta considerada.

- Si los pilares pueden considerarse em potrados en su unión al cimiento reducir la distancia en el 15% ]. N U C L E O S R IG ID O S

£

c) A ncho de ju n ta s 1 .

l /2

|.

L/2

.

L/2

L

|. L/2

1/2

j-

1/2

I

1,2

J-

1/2

P ara tener en cuenta las tolerancias de construcción y las características de d eform abilidad del m aterial de sellado de la junta, se dispondrá un ancho de ju n ta u = Kj Ct [24.5]

L

N U C L E O S R IG ID O S

1 2*

l

r* L

l

_„ f

2/1L -4

donde C, viene dado por [24.4] y los valores de k} son:

Figura 24-2

kj = 2

para edificios sin calefacción

kj = 1 .7

para edificios con calefacción pero sin aire acondicionado2

k¡ = 1 .4

para edificios con calefacción y aire acondicionado1

El ancho m ínim o de ju n ta debe ser, en cualquier caso, de 25 mm. Todo lo anterior es aplicable (24.1), (24-2) a casos tales com o los a) y b) de la figura 24-2, en que las deform aciones por tem peratura se distribuyen sim étricam ente a cada lado del plano m edio en tre ju n ta s. Si se dan situaciones com o la c) de la figura 24-2, en que la deform ación se produce esencialm ente hacia un lado de la junta, la distancia indicada por el gráfico de la figura 24-1 debe reducirse en un 33%. Los porcentajes de corrección indicados en los anteriores párrafos se aplicarán sum ándolos algebraicam ente si coexisten varias de dichas situaciones. b)

24.1.3 C Á L C U L O D E LA JUNTA. M É T O D O A N A LÍTIC O Para aquellos casos en que el m étodo em pírico no sea de aplicación o bien cuando se estim e que los resultados a que conduce son dem asiado conservadores, cabe el cálculo directo m ediante los m étodos expuestos en 5.1.4.4., aplicados a una variación de tem peratura c (Ts - Tm) donde

Cierre m áxim o de las ju n ta s El m áxim o cierre teórico de una ju n ta en un edificio de entram ado, sometido a una variación de tem peratura en grados centígrados: A = T ,- T m

1

[ T s - T m ] L - 1,1- 10-5

c - 0,7

para edificios con calefacción pero sin aire acondicionado1

c = 0,55 para edificios con calefacción y aire acondicionado1 El cierre m áxim o de ju n tas y el ancho de ju n tas se calculan de acuerdo con lo indicado en 24.1.2 b) y c) respectivam ente.

[24.4]

E n todo cálculo analítico de juntas es esencial introducir hipótesis conrectas acerca de la unión de los pilares al cim iento, o m ejor dicho, del conjunto pilar-cim iento al suelo. V éase a estos efectos el m étodo expuesto en 11.7, para considerar un em potram iento flexible, y no rígido, entre el pilar y su cim iento y el suelo.

Puede considerarse que se está en este caso cuando se cim ente en suelos m uy compactos o rocosos.U n análisis teórico conduce a que los esfuerzos producidos en dos edificios, uno con pilares articulados y otro con pilares em potrados en su cim entación, son sustancialm ente idénticos en todos los pisos excepto el bajo, en el que los esfuerzos en el caso de em potram iento son casi el doble. En cualquier caso, los m áxim os m om entos flectores y esfuerzos cortantes se presentan en los pilares y dinteles contiguos a las juntas, m ientras que los m áxim os esfuerzos axiles inducidos en los dinteles se producen en la zona equidistantes de dos ju n tas consecutivas. En el Capítulo 6 se vio un procedim iento para tener en cuenta su grado de em potram iento variable en función de la deform abilidad del terreno.

476

para edificios sin calefacción

[24.3]

con una distancia L entre juntas, viene dado por C ,=

c = 1

24.1.4 T IPO S DE JUNTAS En los edificios usuales de entram ados pueden presentarse diversas situaciones y diferentes tipos de juntas que se indican en la figura 24-3.

1

Para zonas sísm icas, véase el C apítulo 67.

2

Se recuerda que los equipos de calefacción y aire acondicionado sólo deben ser tenidos en cuenta si no es probable que su funcionam iento se interrum pa por más de dos días consecutivos.

477

www.libreriaingeniero.com El caso indicado en la figura 24-3 a) corresponde a entramados paralelos a las fachadas de m ayor longitud, con pilares duplicados en junta, formando lo que se llama una "junta en diapasón11. L a solución indicada en la figura 24-3 b) resuelve el mismo problem a sin duplicar el pilar en junta, pero em pleando ménsulas de apoyo. El caso de la figura 24-3 c) corresponde a entram ados perpendiculares a las fachadas de m ayor longitud, y de nuevo utiliza la "junta en diapasón1' con duplicación de pilares. La solución de la figura 24-3 d) resuelve el m ism o problem a sin duplicar los soportes pero con la doble com plejidad de necesitar ménsulas para recibir las vigas de fachada y de que la viga del entramado de ju n ta adopta la sección en L para m aterializar un apoyo deslizante del forjado del bloque de la derecha.

2 4 . 1 .5

C O N S ID E R A C IO N E S A D IC IO N A L E S

a) Como aplicación a lo dicho en 25.1.2 b) sobre el valor de L a considerar en los cálculos de cierre y ancho de juntas, la figura 24-4 indica tres diferentes casos: En el caso a) los dos bloques que coinciden en la ju n ta tienen una distribución aproxim adam ente uniform e y sim étrica de rigideces respecto a los puntos medios de sus longitudes L¡ y L2 de form a que sólo los cambios dimensionales de las longitudes ^

afectan a la ju n ta y por tanto

[24.6]

Las soluciones habituales utilizan hoy, casi sin excepción, el sistema de "junta en diapasón", ya que evita la com plejidad de los apoyos deslizantes y su mantenimiento, que con frecuencia es problem ático. Por otra parte, la necesidad de acusar las juntas en fachada conduce también a la preferencia de este tipo de juntas por motivos estéticos. La form a de ejecución y los detalles constructivos se indican en el Capítulo 49.

a) P U N T O R IG ID O

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Figura 24-4

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Í::-7 V) 1

1

1

1L . _ l

b v - D L v;: j r :::. ::i ( t—

J

C)

\[

b) rr.—

R IG ID O

1

En el caso b), una zona de rigidez sustancialm ente m ayor que la del resto de la estructura está situada en el extremo del bloque más alejado de la junta. Los cambios dim ensionales de la ju n ta son, por tanto, mayores que los del caso anterior y tomaremos

S

L = 1.’.5 ¿ ' + ¿ 2

[24.7]

En el caso c) la zona de mayor rigidez está al lado de la ju n ta y, por análogas consideraciones, tomaremos 2 / 3L , + L 7 L = ------ Y

Figura 24-3 478

[24.8]

b) Con independencia de los valores proporcionados por el cálculo, ya dijimos que elancho de ju n ta no debe ser inferior a 25mm. Siresulta necesario un 479

ancho superior a 50 m m , la ju n ta requerirá un estudio m uy cuidadoso del com portam iento de las partes no estructurales del edificio, tanto desde el punto de vista estético com o de condiciones de servicio. c) L as ju n tas deben afectar al edificio en su totalidad, con excepción de los cim ientos enterrados, que no necesitan ju n tas. Sin em bargo, al enfriarse el edificio y tal com o se indica en la figura 24-5, se inducen fuerzas F¡ en la cara superior de la zapata. En general no es necesario un cálculo específico de estos esfuerzos pero sí es aconsejable la disposición de una cierta arm adura A que controle la posible fisuración en la cara superior, debida a la tracción F r

24.2

JU N T A S D E A S IE N T O

24.2.1 C O N C EPTO S G EN ER A LES Las ju n tas de asiento tienen com o m isión perm itir asientos diferentes de dos zonas de un edificio. Son por tanto ju n tas que afectan a la totalidad del edificio, incluida la cimentación. C om o un ejem plo, en la figura 24-6 se representa en sección y planta un edificio com puesto de una torre de gran altura y pequeña superficie en planta, rodeada en su zona baja de un área edificada en una gran extensión, pero con poca altura. Los asientos previsibles en las dos zonas de alturas tan diferentes habrán de ser tam bién m uy distintos y ello requiere una ju n ta de asiento independizando am bas partes del edificio.

JUNTA

/

Figura 24-6 24.2.2

Figura 24-5

PO S IC IÓ N D E LA S JUNTAS

Salvo un estudio especial de la situación planteada, deben disponerse juntas de asiento en los siguientes casos: - P ara separar zonas del edificio de alturas m uy diferentes.

d) Las juntas requieren una cierta conservación con el fin de evitar que la in tro d u c ció n de m a teria les ex trañ o s en ella d ific u lte su correcto funcionam iento. E llo exige que su situación perm ita la inspección periódica. e) E n general, los cálculos teóricos sobre juntas conducen a resultados que discrepan apreciablem ente del com portam iento real, debido en general a que las partes no estructurales del edificio revisten la estructura y hacen que ésta siga con un cierto retraso los cam bios de tem peratura y los amortigüen parcialm ente. K.K. KARPATI y P.J. SER E D A (24.3) procedieron a m ediciones en edificios reales y llegaron a la conclusión de que los m ovim ientos de las juntas en la parte superior de los edificios son aproxim ad am en te la m itad de los proporcionados por el cálculo teórico y resultan prácticam ente nulos en la parte inferior.

- P ara separar zonas del edificio cim entadas en suelos de diferentes características. - P ara separar zonas del edificio cim entadas a profundidades m uy diferentes. Por supuesto, una ju n ta de asiento puede coincidir con una ju n ta de dilatación, que, en este caso, ha de afectar tam bién a la cim entación.

24.3. JU N T A S D E H O R M IG O N A D O 12 24.3.1

L as ju n tas de horm igonado son prácticam ente inevitables en las estructuras de hormigón, si se exceptúan las de muy pequeña dim ensión. Su necesidad surge de dos orígenes diferentes: 1

El tema de las juntas de hormigonado se incluye aquí, aunque el libro esté dedicado al Proyecto y no a la Ejecución de Estructuras de Hormigón. La razón es que el proyectista debe dar reglas generales de la posición y distancia de estas juntas. No es en cambio posible que se fije en el proyecto la posición de las juntas, y ello por dos razones. Una, es que la separación entre las juntas de contracción depende de la época de construcción, cosa difícil de prever al redactar el proyecto. Otra es que el problema de la disposición de juntas de contracción admite diferentes soluciones y es recomendable respetar la libertad de elección del constructor, siempre que la solución que elija respete las reglas generales establecidas en el proyecto.

2

Lo que sigue es válido para estructuras en general. D ebe excluirse de ello el caso de las presas, terna que cae fuera del alcance del libro y los casos de m uros y pavim entos que tienen reglas específicas que se exponen en los Capítulos 64 y 70.

f) N o debe olvidarse que todo lo que aquí se dice se refiere a las distancias entre jun tas adm isibles desde el punto de vista de los esfuerzos provocados en lá estructura por las variaciones térm icas. Los m ateriales no estructurales pueden requerir ju n tas m ás próxim as y/o m ayor núm ero de ju n tas, com o vim os en la T abla 24.1. g) L as jun tas en zonas de alto riesgo sísm ico requieren anchos especiales según verem os en el C apítulo 67. 480

C O N C E PT O S G EN ER A LES

481

www.libreriaingeniero.com - L a necesidad de interrum pir el horm igonado al finalizar la jo m ad a de trabajo. El horm igonado de la pieza se continúa al siguiente día laborable. E n este caso, la ju n ta de horm igonado suele denom inarse ju n ta de construcción o ju n ta de trabajo

G R A F IC O T IP IC O D E T E M P E R A T U R A S D E L H O R M IG O N Y A M B IE N T E

G R A F IC O T IP IC O D E T E M P E R A T U R A S D E L H O R M IG O N Y A M B IE N T E

CONTENIDO D E CEM EN TO E S O k p / m 3

C ONTENIDO D E CEM EN TO 4 0 0 k p / m 3

- L a necesidad de perm itir que se produzca u n a fracción apreciable de la contracción térm ica. En este caso, la ju n ta corresponde a una interrupción del horm igonado de varios días y suele denom inarse ju n ta de contracción. En am bos casos es esencial conseguir una buena transm isión de esfuerzos a través de la ju n ta y esto se ha de conseguir m ediante la adherencia entre el horm igón viejo y el n u ev o 1. L os aspectos m ás fundam entales de las ju n tas afectan a los tem as siguientes:

TlEUPO TRANSCURRIDO DESDE EL VERTIDO

TlEUPO TRANSCURRIDO DESDE EL VERTIDO

- Posición - R ugosidad

Figura 24-7

- Tratam iento

que serán expuestos a continuación.

En la figura 24-7, tom ada de la referencia (24.11) se indican saltos térm icos (diferencia entre la tem peratura interior de la p ieza de horm igón y la am biente) para los horm igones típicos.

D ebe señalarse que existe poca docum entación sobre este tipo de ju n tas y las opiniones sobre ellas, en m uchos casos, son contradictorias.

Com o puede verse, la tem peratura de la pieza iguala a la del am biente en un plazo de 4 a 6 días y en la m itad de esos plazos se ha reducido la diferencia considerablem ente.

En particular, la Instrucción E H E (24.5) trata el tem a m uy brevem ente en sus artículos 4.4 y 71.

Sin em bargo, en piezas de longitud considerable si la deform ación por la contracción térm ica producida al enfriarse la p ieza está coartada se ocasionan tracciones im portantes en el horm igón y éste puede fisurarse.

- D uración de la interrupción del horm igonado

L a cuestión es im portante, porque la disposición de ju n tas y su técnica de ejecución afectan de m anera notable al ritm o de construcción. L a inform ación que sigue está recogida, fundam entalm ente, de la Tesis D octoral de la referen cia (24.6)2 y de las publicaciones (24.7), (24-8), (24.9) y (24.10).

El curado adecuado del horm igón, las cuantías m ínim as de contracción y retracción son condiciones necesarias en tales casos para evitar la fisuración del horm igón pero no suficientes. L a disposición correcta de ju n tas de contracción es un com plem ento im prescindible en la m ayoría de los casos.

24.3.2 A SPE C T O S E SE N C IA L ES D E L A C O N T R A C C IÓ N T É R M IC A L a contracción térm ica del horm igón es debida a las reacciones exotérmicas p ro d u cidas du ran te la h id ratació n del cem ento. E llo p ro d u ce un aum ento de tem peratura en la m asa del horm igón, que alcanza niveles claram ente p o r encim a de la tem peratura am biente. E l horm igón de la pieza próxim o a la superficie de la m ism a, disip a calor con facilidad y tiende a alcanzar en poco tiem po la tem peratura del aire y a seguir sus variaciones. Sin em bargo, el horm igón del interior de la p ieza no puede h acer esto con facilidad y tarda varios días en uniform ar su ciclo de tem peraturas con él am biente que ro d ea a la pieza. E l problem a es tanto m ás grave cuanto m ás baja es la relación superficie/volum en de la pieza de horm igón.

1

La palabra adherencia es puram ente convencional aqui. El fenóm eno de transm isión engloba com portam ientos m uy com plejos que abarcan adherencia, rozam ientos, im bricación, etc.

2

CA FFA R EN A , J “E studio experim ental de juntas de horm igonado en estructuras de edificios”. Tesis D octoral realizada en la C átedra de E dificación y Prefabricación de la E scuela de Ingenieros de Cam inos de M adrid, bajo la dirección de J. CALAVERA.

482

24.3.3 JU N TAS H O R IZO N TA LES E N PIEZA S D E D IR E C T R IZ V E R T IC A L O C U A SIV E R T IC A L En la figura 24-8 se indican distintos casos de este tipo de juntas. E n todos los casos, la contracción térm ica no está coartada en sentido vertical y por lo tanto este tipo de ju n tas es sim plem ente de ju n tas de trabajo y no presenta problem as en la práctica. L a rugosidad natural que queda en las superficies horizontales al vibrar el horm igón y el estado de lim pieza de que se habla en 24.3.4 son suficientes en la práctica. E l único caso que puede requerir un análisis especial es el de los m uros de contención, pero c o m o ' verem os en el C apítulo 64, con las dim ensiones que habitualm ente se em plean para el espesor del m uro en el arranque, la ju n ta no presenta ningún problem a. L os casos b) y c) de la figura 24-8 se benefician adem ás de com presiones im portantes norm ales a la junta. L o anterior es válido siem pre que no existan acciones sísm icas, ni efectos de fatiga ni el esfuerzo axil ortogonal al plano de la ju n ta sea de tracción. P ara tales casos véase el C apítulo 40.

483

MURO

ENTRAMADO

DE CONTENCION

b) J u n io h o riz o n ta l ds h o rm ig o n a d o J U N T A H O R IZ O N T A L

=

D E TRA BA JO

D E TRA BA JO

PILAS

OE PUENTE

J U N T A IN C L IN A D A D E C O N T R A C C IÓ N

J U N T A IN C L IN A D A

J U N T A V E R T IC A L

“

D E C O N T R A C C IÓ N

<0 F ig u r a 2 4 -9

F ig u r a 2 4 -8

24.3.4 JU N TA S E N PIE Z A S D E D IR E C T R IZ H O R IZO N T A L O C U A SIH O R IZ O N T A L S O M E TID A S A F LE X IÓ N E ste caso es considerablem ente distinto del anterior. Corresponde, p. ej. a los dinteles de las figuras 24-9 a) y b). E n la figura 24-9 se representan dos casos diferentes de horm igonado de un dintel. En el caso a) el entram ado se horm igona de izquierda a derecha y no existen problem as derivados de la contracción térm ica. De acuerdo con las posibilidades de horm igonado (del dintel y de las zonas de losa asociadas, dinteles paralelos que se horm igonan conjuntam ente, etc.) una posible solución es la disposición únicam ente de juntas de trabajo, por ejem plo las C y D. Los tram os consecutivos de horm igonado, tales com o A C y D C o CD y D B , se diferencian solam ente en unas 12 horas de edad, correspondiente a la interrupción diaria del trabajo. Sin em bargo si la luz L es apreciable, tal solución no es posible p. ej. con L = ó.m? la longitud A C sería del orden de 28 m, la cual es excesiva por razones de contracción térm ica, com o m ás adelante verem os. Si por ejem plo la m áxim a longitud posible son 22 m, sería necesario disponer juntas de contracción (no de trabajo) tales com o las E,M o las G .H de la figura 24-9 b). (A m pliarem os este tem a en 24.3.6.8) D ebe considerarse que la contracción térm ica no sólo está condicionada por la longitud de pieza horm igonada. E xisten en general dos posibles coacciones extemas. - Las arm aduras horizontales del dintel, si no se interrum pen de form a adecuada^ com o más adelante verem os. - L a coacción im puesta por los pilares. E n m enos de 24 horas, según J l tem peratura am biente, se desarrolla la adherencia entre el dintel recien h orm igonado y los pilares e n tre ju n ta y junta. El acortam iento del dintel encuentra la coacción de los pilares, y segúri su flexibilidad, introduce tracciones en el dintel m ás o m enos elevadas.

24.3.5

C U E STIO N ES B Á SIC A S PLA N T E A D A S PO R LAS JU N TAS DE T R A B A JO Y D E C O N T R A C C IÓ N EN PIEZA S D E D IR E C T R IZ H O R IZO N T A L O C U A SIH O R IZO N T A L SO M ETID A S A FLEX IÓ N

Las ju n tas de trabajo en este caso, plantean las siguientes cuestiones: a) P osición a lo largo de la luz. b) Inclinación respecto a la directriz de la pieza. c) R ugosidad de la superficie. d) T ratam iento previo de la superficie endurecida antes de la continuación del horm igonado. e) C om pactación del nuevo horm igón fresco ju n to a la junta. E n el caso de las ju n tas de contracción, a las cinco cuestiones anteriores deben añadirse otras tres: f) Longitud m áxim a de horm igonado. g) D isposiciones p ara que la arm adura longitudinal de la pieza, situada en la zo n a ab ierta de ju n ta , no co a rte el ac o rtam ien to de las dos zonas horm igonadas. h) Tiem po m ínim o de apertura de la junta. Por tanto, el caso m ás com plejo es el de las ju n tas d e contracción y las de trabajo son un caso particular en el que no intervienen las cuestiones f), g) y h). D esarrollam os a continuación p o r tanto el caso más general de las juntas de contracción, del que se deriva, com o caso particular m ás sim ple, el de las ju n tas de trabajo.

485

www.libreriaingeniero.com 24.3.6 JUNTAS DE CON TRA CCIÓ N EN PIEZAS DE D IRECTRIZ HORIZONTAT O CU A SIH O RIZO N A L SOM ETIDAS A FLEXIÓN

24.3.6.1 Posición e inclinación Com o norm a general, suele recom endarse que las juntas se dispongan en zonas de esfuerzos reducidos. Esto no es posible en la m ayoría de los casos. Unas veces com o en el caso de la viga continua de las figuras 24-10 a) y b), los mínimos de momentos flectores no coinciden con los m ínim os de esfuerzos cortantes. En otros casos, com o en el del muro de contención de la figura 24-10 c), es necesario disponer por razones constructivas, una junta de horm igonado en la sección, que, precisamente' es la de máximo momento flector y máximo esfuerzo cortante. A B

L a solución A -B corresponde a junta vertical situada en la zona de máximos momentos de vano, que es la de cortante nulo. Durante mucho tiempo, este tipo de junta fue deficiente y adem ás poco práctico, p o r ser necesario encofrarla. M odernamente se ha recurrido al em pleo de metal desplegado o m alla muy tupida (25 . 25 mm) generalm ente galvanizados, que retienen el hormigón dejando la ju n ta muy rugosa y no siendo necesario retirar el metal o malla. L a solución C-D , investigada en la Tesis de J. CAFFARENA (24.6) corresponde a una ju n ta inclinada situada en el punto de momento nulo, al que corresponden esfuerzos cortantes de m agnitud media, en cuanto a un plano ortogonal a la directriz, pero nulos en el plano C-D de junta. Teóricamente, el ángulo de la junta con la horizontal debería ser el de talud natural del hormigón, o sea de unos 30°. Sin embargo, en vigas de ancho hasta 50 cm, la presencia de la arm adura y el rozam iento con los encofrados laterales permiten que el ángulo se aproxime al teóricamente deseable de 45°. Otra posibilidad es "encofrar" la ju n ta con m etal desplegado, dejando un pequeño tramo vertical M N para asegurar un buen llenado de la zona MN, tal com o se indica en la figura 24-12. Debe tenerse cuidado de introducir los extremos A y B del metal desplegado o m alla hacia dentro, pues al ser zonas cortadas las puntas no están galvanizadas. Lo m ism o debe hacerse junto a los encofrados laterales. E l metal desplegado o m alla se cortan para perm itir el paso de las armaduras. En piezas grandes resultarán necesarios trozos de despunte atados a los estribos para contener el empuje del hormigón fresco ju n to al metal o m alla y evitar que se deforme excesivamente. L A M IN A D E M ET A L D E S P L E G A D O 0 M A L LA

F ig u r a 2 4 -1 0

F ig u r a 24 -1 2

En la figura 24-13 se indica la red de isostáticas de un dintel continuo. Tanto la junta AB como la CD están dispuestas ortogonalm ente a la red de isostáticas de compresión y, por tanto, no están sometidas a esfuerzos cortantes.

F ig u ra 24-11

En el caso más frecuente en dinteles, existen dos soluciones que vienen practicándose con buenos resultados y que se indican en la figura 24-11. 486

Figura 24-13 487

Los ensayos de B R O O K (24.8) y M O N K S y SA D G R O V E (24.9)1 han arrojad inform ación interesante sobre estos temas y sus conclusiones se resum en a continuación* - L a disposición de una ju n ta en una viga de horm igón arm ado, en zonas no sujetas a esfuerzos cortantes apreciables, no afecta significativam ente ni a la rigidez ni al m om ento de rotura de la viga. - E xiste una cierta tendencia, en las ju n tas verticales, a que se produzca en ellas u na fisura de flexión, aunque su ancho no suele rebasar el adm isible. - C uando la ju n ta está som etida a flexión y corte, el com portam iento de la junta* si ésta presenta superficie rugosa, es sim ilar al de una viga m onolítica. Si la junta se encofra, la reducción de la capacidad a corte puede alcanzar hasta el 40% Todo lo anterior indica com o preferibles las ju n tas A B y CD, aunque si la superficie es rugosa y el tratam iento adecuado, la solución E F de la figura 24-13 nó puede ser rechazada, si bien la posible fisura aconseja reducir su em pleo a casos de am bientes norm ales. N o debe olvidarse que este últim o tipo de ju n ta, com o ya indicam os en la figura 24-10 c), es habitual en m uros de contención, precisam ente en zonas de m áxim o m om ento flector y m áxim o esfuerzo cortante, sin que la experiencia adquirida sea desfavorable. D e todas form as, estas ju n ta s en zonas de esfuerzos cortantes grandes es siem pre aconsejable que sean com probadas a esfuerzo rasante, de acuerdo con lo que se indica en el C apítulo 40. Por lo que se refiere a los tipos habituales A B y CD, el segundo presenta la ventaja de que en toda la superficie de la ju n ta no hay ni tracciones ni tensiones de corte. Es el tem a investigado en la referencia (24.7).

24.3.6.2 Rugosidad El tem a de la rugosidad de la superficie de las ju n tas h a sido objeto de numerosas investigaciones, no sólo en relación con las ju n ta s de horm igonado de las estructuras horm igonadas "in situ", sino, m uy especialm ente, en relación con el esfuerzo rasante entre piezas prefabricadas y horm igones "in situ". Las investigaciones realizadas en los últim os años han obligado a revisar m uchas ideas y prácticas constructivas que se han m ostrado erróneas. A los efectos de jun tas de horm igonado, las superficies que pueden obtenerse de una m anera sim ple, que las haga adecuadas para la práctica de obra, son las siguientes: - Superficies encofradas - Superficies cepilladas - Superficies con rugosidad natural - Superficies encofradas con m etal desplegado

- S uperficies encofradas. Por extensión pueden asim ilarse a ellas tam bién las superficies fratasadas. Su capacidad de adherencia es baja pero no nula, y si los esfuerzos cortantes en la sección son despreciables, puede ser un a solución aceptable para un a ju n ta. L a dificultad principal de una ju n ta de este tipo reside en la casi im posibilidad de disponer arm aduras pasantes en el caso de ju n tas no h o rizo n tale s, y a que, de otra fo rm a, el en co frad o se co m p lica co n sid erab lem en te. (P u ed e co n seg u irse co n el em p leo de p lan ch as de poliestireno apoyadas en despuntes de arm adura. (Ver (24.6)). - Superficies cepilladas. Son las recom endadas en m uchas norm as, y en particular en la Instrucción E H E. El m étodo consiste en cepillar la superficie del horm igón transcurrido un tiem po que suele oscilar de dos a dieciséis horas, a partir de la colocación del horm igón, de form a que se retire parte del m ortero y quede visto el árido grueso. El problem a es que si el cepillado es prem aturo se corre el peligro de que el árido visto quede "suelto", es decir, que se rom pa la adherencia de ese árido con la m atriz del mortero. Con ello, al colocarse el nuevo horm igón, adherirá a un árido g m eso que no estaría adherido a su vez al horm igón antiguo. P or el contrario, si el cepillado se retrasa, se corre el riesgo de que el m ortero esté excesivam ente duro para que el cepillo pueda levantarlo. L a eficacia del procedim iento está, por tanto, m uy ligada a la velocidad de endurecim iento del horm igón, la que a su vez depende del cem ento em pleado y de la tem peratura am biente. C om o adem ás los ensayos han puesto en evidencia que esta rugosidad no es apreciablem ente m ejor que la natural, nuestra opinión es contraria a este tipo de rugosidad, que adem ás es relativam ente costoso de realizar. - Superficie natural. E s la obtenida sim plem ente al vibrar el horm igón. D ebe llam arse la atención sobre el peligro de que, por un exceso de vibración, se form e, en el caso de superficies horizontales, u n a lechada de cem ento en la superficie, que es perjudicial para la adherencia de am bos horm igones. Esto puede detectarse fácilm ente rayando la ju n ta con un clavo. L a ju n ta horizontal es m uy frecuente en la unión de pilares a cim ientos y de pilares a vigas en los entram ados (figura 24-8 b)). L os ensayos han dem ostrado que esta ju n ta tiene análoga adherencia que la obtenida por cepillado. - M etal desplegado o m alla tupida. D e acuerdo con la Tesis de J. CAFFARENA (24.6) es evidente que, de las cuatro analizadas, es la de m ayor capacidad adherente. Sin embargo, debe prestarse atención a que el m etal tenga un galvanizado de espesor tal que su duración no sea inferior a la vida prevista para la estructura, pues en otro caso, en especial en am bientes húm edos, pueden surgir manchas de corrosión en la superficie de la junta. Esto es debido a que el m etal desplegado situado en el plano de ju n ta ha de entrar en contacto, forzosam ente, con los encofrados, y en definitiva quedará en contacto con la superficie del hormigón.

Un estudio com parativo de las tres prim eras ha sido realizado por CALAVERA, G O N ZÁ LEZ VALLE, D ELIBES e IZQ U IER D O (24.12). Sus principales conclusiones se exponen a continuación:

Un tratam iento, en cam bio, que debe ser prohibido, es el "picado" de la ju n ta con m ed io s m ecán ico s. L os en say o s d em u estran q u e p ro d u ce u n a m icrofisuración del horm igón que debilita la adherencia de la junta.

Ni los ensayos de B R O O K ni los de M O N K S y SA D G R O V E incluían juntas del tipo CD indicado en la figura 24-8, que fue estudiada en la Tesis D octoral de J. C affarena (24.6)

N aturalm ente, tratam ientos com o el chorro de arena, la im prim ación con resinas, etc. pueden conducir a ju n tas excelentes, pero por su elevado coste no son de em pleo usual en las ju n tas de estructuras, salvo casos especiales.

1

488

489

www.libreriaingeniero.com 24.3.6.3

problem as de organización de los tajos de horm igonado, la lechada se seque y fisure por retracción antes de que se deposite el nuevo horm igón, dañando gravem ente la adherencia de la ju n ta, ya que la lechada seca se transform a en un polvo inerte inteipuesto en la junta.

Tratamiento previo a la continuación del hormigonado

El prim er tratam iento a aplicar a la ju n ta, antes de verter el nuevo horm igón lim piarla adecuadam ente. E sto exige disponer los encofrados de form a que la íu U p u ed a realm ente lim piarse y pueda retirarse el polvo y la suciedad lim piados La& zonas m uy densas de arm aduras pueden p resentar dificultades apreciables L S ensayos descritos en la referencia (24.12) pusieron en evidencia que cantidadeS pequeñas de polvo pueden reducir la adherencia en un 30%.

- U n tratam iento bastante difundido es frotar la superficie de la ju n ta con mortero, inm ediatam ente antes de depositar el nuevo horm igón. L a técnica intenta evitar que, por segregación del vertido del nuevo horm igón, la zona de contacto de la ju n ta quede em pobrecida de mortero. El m ortero que se em plea puede ser obtenido por cribado del propio horm igón. L a dificultad reside en que el procedim iento es difícil de aplicar cuando la densidad de arm aduras es grande y, por otra parte, al desencofrar la capa de m ortero se aprecia en la superficie de contacto, creando problem as de aspecto si el horm igón va a quedar visto. Puede ser un sistem a adecuado en casos en que, por segregación de vertido del horm igón nuevo, se tem a un em pobrecim iento en la zona de junta.

El m ejor tratam iento de lim pieza es la retirada de polvo y suciedad con aspiradoras, pero esta técnica sólo se aplica en presas. L a técnica de lim pieza con chorro de aire m ediante una m anguera conectada a u n com presor es incorrecta, salvo en superficies verticales, pues com o se indica en la figura 24-14, el aire a presión lanza el polvo a la atm ósfera, pero transcurrido algún tiem po este se vuelve a depositar en las juntas.

- A n u estro ju ic io , el m ejo r p ro ced im ien to es, después de la lim pieza, sim plem ente hum edecer la superficie de horm igón antiguo y depositar el nuevo cuando la superficie com ienza a estar visiblem ente seca. Con esto no existe peligro de que el horm igón antiguo absorba agua del nuevo. L a técnica de m antener la superficie húm eda h asta el horm igonado se ha dem ostrado en ensayos recientes que reduce la resistencia.

24.3.6.4 Duración máxima de la apertura de la junta SUPERFICIE LIMPIA INMEDIATAMENTE .DESPU ES DE U LIMPIEZA CON CHORRO DE AIRE

NUEVA CAPA DE POLVO DEPOSITADA ALGUN TIEMPO DESPUES DE U LIMPIEZA P C O N CHORRO OE AIRE

SUPERFICIE LIMPIAOA CON CHORRO DE AGUA

E l tiem po transcurrido entre el final de la puesta en obra del horm igón antiguo y el com ienzo de la del horm igón nuevo no tiene influencia apreciable sobre la adherencia de la ju n ta. Los ensayos de WATERS (24.13) dem ostraron que la resistencia de la unión no variaba dentro de plazos de apertura de la ju n ta de 1 a 100 días. Los ensayos ya citados de CA FFA R EN A (24-6) no apreciaron diferencias entre piezas c o n ju n ta s abiertas 2, 7 y 155 d ías1.

24.3.6.5 Compactación en la zona próxim a a la junta

Figura 24-14 P ara las ju n tas de estructuras usuales el m ejor procedim iento es la lim pieza con chorro de ag u a 1. C iertam ente este procedim iento deja algo de barro form ado por polvo h úm edo en los valles y cráteres de la superficie de las ju n tas, (figura 24-11 b)) pero en cam bio deja lim pias todas las zonas altas com o las A, B, C, D y F de la figura, que aseguran un buen contacto con el horm igón fresco. A d em ás de la lim pieza, h ab itu alm en te se ap lica alg ú n tratam ien to adicional a la ju n ta . - U n tratam iento, hoy abandonado, fue el de aplicar lechada de cemento. El procedim iento en sí no es perjudicial, pero existe un riesgo grande de que, por;

I

N os referim os al uso de agua a baja presión, no al em pleo de chorro de agua a alta presión que se em plea en ju n tas de presas.

490

E n el caso de ju n tas de horm igonado en general, la resistencia de la ju n ta está fuertem ente condicionada p o r la com pactación del horm igón nuevo ju n to a la superficie de la ju n ta. Los ensayos dem uestran que la resistencia puede reducirse a la mitad si en vez de una vibración enérgica y cuidadosa de la ju n ta, se coloca el horm igón sin vibración. El curado de la zo n a de la ju n ta debe ser tam bién especialm ente cuidadoso.

24.3.6.6 Distancia entre juntas de contracción E n el caso particular de las ju n tas de contracción, la distancia entre ellas está muy influida p o r las condiciones higrotérm icas del am biente y por la cuantía de arm aduras. Si las cuantías son elevadas, la estructura puede incluso horm igonarse sin juntas. Sin 1

Es interesante aclarar que la unión entre am bos horm igones no debe su eficacia a ningún tipo de reacción quím ica del cem ento de am bos horm igones, y por eso siem pre que la superficie esté lim pia conserva la ju n ta su capacidad de unión, con independencia de la edad a la que produzca la unión. R ealm ente, la superficie de la ju n ta no es una superficie “cerrada” sino un fractal. Para una exposición general de la teoría m atem ática de loa fractales, véase M A N D E L B R O T (24.14)

491

em b arg o , en las estru ctu ras u suales, las cu an tías no su elen se r tan im p o rtan tes y p or lo tan to se h ace n ec esario d isp o n e r ju n ta s. Se su gieren los valo res de la tab la T-24.2 com o d istan cias m áxim as.

TABLA T-24.2.- DISTANCIA M Á X IM A EN TR E JUNTAS DE C O N T R A C C IÓ N EN F O R JA D O S, L O SA S, D IN T E L E S DE ENTRAM ADO S D IN T EL E S DE PU E N T E S, ETC.

TIPO DE CLIMA

EPOCA DEL ANO CALUROSA

f r ía

SECO

16 m

20 m

HÚMEDO

20 m

24 m

A rm a d u ra

s u p e r io r A rm a d u ra ín f e rio r

* R e d u cir un 15% si los p ilares tienen rig id e ces im p o rtan tes.

<0 N O T A - EL D E S P IE C E IN D IC AD O E S EL C O R R E S P O N D IE N T E A LA SO L U C IO N c). NO S E IN D IC AN L O S S O L A P E S E D E LAS S O L U C IO N E S a ) Y b)

* A u m en tar un 25% si los pilares son m uy flex ib les o el din tel se ap o y a sobre aparatos d e ap o y o q u e facilitan el acortam ien to .

Figura 24-15

24.3.6.7 Tiempo m ínim o de apertura de la ju n ta U n p u n to c o n tro v e rtid o es el d el tie m p o a tra n s c u rrir en tre el v e rtid o de am bos h o rm ig o n e s. N u e s tra e x p e rie n c ia es q u e dos d ía s en in v ie rn o y tres en v era n o son su fic ie n te s e n la p rá c tic a , p a ra o b ras u su a le s, si se re sp e ta n las cu a n tía s m ínim as re g la m e n ta ria s y el cu ra d o es a d e c u a d o . E ste p la z o tie n e p o r su p u e sto una in c id e n c ia g ra n d e en el re n d im ie n to del h o rm ig o n a d o y, p o r lo tan to , en el co ste de la e s tru c tu ra .

24.3.6.8 P osición a lo largo de la directriz E x isten , en general, tres pro ced im ien to s en cu an to a la d isp o sició n d e ju n ta s de co n tra cc ió n , q u e se in d ic an esq u em á tic am e n te en la fig u ra 24-14. E l p rim ero consiste e n d ejar sin h o rm ig o n a r una zo n a de co rta long itu d , u su a lm e n te d e 0,50 m a 1,00 m en z o n a d e esfu e rz o co rtan te d esp reciab le (fig u ra 24-1 4 a)). E l seg u n d o co n siste en in te rru m p ir el h o rm ig o n a d o en tre cuartos d e la luz (fig u ra 2 4 -1 4 b)). E l tercero es el rep rese n tad o en la fig u ra 2 4-14 c), en la q u e las ju n ta s A o B se h acen en vanos co n tig u o s. L os tres tipos tien en que se r estu d ia d o s p ara eleg ir la so lu ció n qu e perturbe m en o s el plan de h o rm ig o n ad o . L a so lución c), la m e jo r té cn ic am en te , con los esq u em as ac tu alm en te en uso p ara el d esp iec e d e ferralla, h ac e q u e la arm ad u ra esté in te rru m p id a en la zo n a no h o rm ig o n a d a d e los solap es so b re el pilar, p erm itien d o su co rrim ien to d e acu erd o con el ac o rtam ien to de las dos zonas h o rm ig o n a d as. L a prim era y seg u n d a so lu cio n es ex ig en en ca m b io d isp o n e r so lap es q u e in d ep en d icen las arm ad u ras de am bas zo n as. E sto exige cu id ad o s esp eciales en la d isp o sició n de estrib o s en la zo n a d e solape, si está situ ad a en z o n a d e g ran d es m o m en to s Rectores, tal co m o d em o straro n los en sayos de M O N K S y S A D G R O V E citad o s en la referencia (27.9). V éa se el C a p ítu lo 44, p ara la longitud Cd e solap e, q u e es el d o b le d e la estándar al so la p arse la to talid ad de la arm adura.

492

24.3.6.9

Casos de fa tig a o esfuerzos de tracción norm ales a la ju n ta

T odo lo an terio r es v álid o p ara cargas estáticas, com o son las h ab itu ales. E n el caso d e e s tru c tu ra s so m e tid a s a fa tig a , d isp o n e m o s d e m e n o s in fo rm a c ió n ex perim ental, au n q u e los en say o s de F O U R E (24.15) realizad o s en 1988, co n firm an la tesis ex p u e sta p o r C A L A V E R A en 1981 (24.16) en el sen tid o d e q ue, e n caso s de fatiga, la ad h e ren cia h o rm ig ó n -h o rm ig ó n debe ser d esp re cia d a y el co sid o co n fiad o ex clu siv am en te a las arm ad u ras. (V éase el C ap ítu lo 4 0 p ara m ás d etalles). L o m ism o vale p a ra p lan o s de ju n ta so m etid o s a un esfu erzo total ax il d e tracción.

24.3.7 JU N T A S D E T R A B A JO C o m o an u n c ia m o s, to d o lo e x p u e sto en el a p a rta d o a n te rio r 2 4 .3 .6 , es ín te g ram e n te ap lica b le , e x c e p to lo s p u n to s 2 4 .3 .6 .4 , 2 4 .3 .6 .6 y 2 4 .3 .6 .7 q u e corresponden a situ acio n es q u e no se p resen tan en este caso, y a q u e en este tip o de juntas el h o rm ig o n ad o se co n tin ú a al d ía siguiente. D e todas fo rm as, si p o r cu a lq u ier cau sa accid en tal u n a ju n ta de trab ajo se in te rru m p e d u ra n te u n tie m p o p ro lo n g a d o , les se ría n a p lic a b le lo s a s p e c to s co rresp o n d ien tes de las d e co n tracció n .

24.3.8 E JE C U C IÓ N D E L A S JU N T A S H O R IZ O N T A L E S D E T R A B A JO P IE Z A S D E D IR E C T R IZ V E R T IC A L O C U A S IV E R T IC A L

EN

E x p u sim o s este tipo en 24.3.3. L a ru g o sid ad es en este caso la natural y la lim pieza y co m p actació n d eb en h ac erse según lo ex p u esto en 24.3.6.3 y 24.3.6.5.

493

www.libreriaingeniero.com (24.14) MANDELBROT, B.B. "The frac tal geometry of nature". Walter Frreman. New York,

24.3.9 C O N SID E R A C IO N E S E SPE C IA LE S PARA JU N TAS D E T R A B A JO v C O N T R A C C IÓ N E N E L C A SO D E H O R M IG O N E S VISTOS

1983.

R ecuérdese lo dicho en 24.3.6.3 que desaconseja en este caso el frotado de las ju n tas con m ortero, por el cam bio de coloración que ello produce.

(24-15) FOURE, B. "Comportement des surfaces de reprise de bétonnage vis-a-vis du cisaillement". Annales de IT.T.B.T.P. Febrero 1988.

P or otra parte, en este caso es esencial que no se aprecien las ju n tas en la superficie de las piezas, por lo que en el Proyecto deben especificarse condiciones esp ec iale s p ara los enco frad o s. V éa se el M A N U A L D E D ETA LI C O N ST R U C T IV O S, citado en la referencia (24.17).

(24.16) CALAVERA, J. "Cálculo, construcción y patología de forjados de edificación". Ia. Edición. INTEMAC. Madrid, 1981. (24-17) CALAVERA. J. "Manual de detalles constructivos en obras de hormigón armado". INTEMAC. Madrid, 1993.

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MATTHEISS, I. "Hormigón armado. Hormigón armado aligerado. Hormigón pretensado". Editorial Reverte. Barcelona, 1980.

(24.2)

"Expansión joints in buildings". Technical Report N° 65. National Academy of Sciences. Washington 1974.

(24.3)

KARPATI, K.K.; SEREDA, P.J. "De la mesure du comportement des joints de dilatation". Bátiment International. Noviembre/Diciembre 1976.

(24.4)

LENCZNER, D. "Movements in buildings". Pergamon Press. Oxford. Second Edition 1981.

(24.5)

INSTRUCCIÓN EHE PARA EL PROYECTO Y LA EJECUCIÓN DE OBRAS DE HORMIGÓN ESTRUCTURAL. Ministerio de Fomento. Madrid, 1998.

(24.6)

CAFFARENA, J. "Estudio experimental de juntas de hormigonado en estructuras de edificios". Tesis doctoral bajo la dirección de J. CALAVERA. Universidad Politécnica de Madrid. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Madrid, 1986.

(24.7)

CAFFARENA, J.; CALAVERA, J. "Estudio experimental de juntas de hormigonado en estructuras de edificios". Hormigón y Acero n° 167, 1988.

(24.8)

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(24.9)

MONKS, W.L.; SADGROVE B.M. "The effect of construction joints on the perfomance of reinforced concrete beams". Cement and Concrete Association. London. Diciembre 1973.

(24.10) BUSELL, M.N.; CATHER, R. "Design and construction of joints in concrete structurés CIRIA Report 146. London, 1995. (24.11) CALAVERA, J.; GONZÁLEZ VALLE, E. "Juntas en construcciones de hormigón". CUADERNOS INTEMAC n° 14. INTEMAC. Madrid, 2o trimestre 1994.. (24.12) CALAVERA, J.; GONZÁLEZ VALLE, E.; DELIBES, A.; IZQUIERDO, J.M. "Ensayos de corte en la superficie de contacto entre hormigones de piezas prefabricadas y hormigones vertidos «in situ»". Hormigón y Acero, n° 119 y 120. (1976). (24.13) WATERS, T. "A study of the tensile strength of concrete across construction joints". Magazine of Concrete Research. Diciembre 1954. 494

495

CAPÍTULO 25

CONCEPTO Y SISTEMAS DE HORMIGÓN PRETENSADO

25.1. D E F IN IC IÓ N D E L H O R M IG Ó N P R E T E N S A D O . E l pretensado es u n a técnica consistente en la introducción en la estructura de fuerzas que producen tensiones, en general de signo contrario a las producidas por las restantes acciones aplicadas, con la intención de m ejorar su capacidad resistente o su com portam iento. E sta definición es general y no exclusivam ente aplicable a las estructuras de horm igón.

25.2. C O N C E P T O G E N E R A L D E L P R E T E N S A D O E n toda aplicación del pretensado debe existir un elem ento en tracción -en general denom inado tendón- y otro elem ento com prim ido. E n el caso del horm igón pretensado el tendón suele ser u n a arm adura de acero y el elem ento com prim ido, la p ieza de horm igón. L a idea intuitiva del pretensado es inm ediata y el hom bre ha recurrido desde siem pre a su desarrollo. E n la figura 2 5 -1 .a) se representa una ru ed a de carro. D el aro arrancan los radios de m adera que confluyen en el cubo central. L a llanta m etálica se fabrica con un radio ligeram ente m enor que el del aro de m adera y se calienta p ara dilatarla, colocándola entonces en contacto apretado con el aro. Al enfriarse la llanta, com prim e el aro y ella se queda en tracción. L a com presión sobre el aro origina la com presión de los radios. C uando sobre el vehículo se aplica una carga (Fig. 2 5 -I.b )), ésta se transm ite al eje 497

www.libreriaingeniero.com consigue por el en tu m ecim ien to de las duelas de m adera (Fig. 2 5 -3 .b)). Al increm entarse el ancho ^ de la duela por efecto de la hum edad transm itida por el agua contenida, se originan en la ju n ta fuerzas T p cuya com ponente T 2 produce tracciones en los aros m etálicos, cuya reacción a su vez com prim e las duelas y cierra sus juntas.

F ig u r a 2 5 - 1 .a)

F ig u r a 2 5 - 1 .b)

y, p o r éste, al cubo de la rueda. E l radio en posición inferior AB -y en m enor medida los inm ediatos- aum enta su com presión y la longitud AB se reduce. Correlativam ente el radio en posición superior A’B ’ se alarga, pero la com presión previa introducida hace que el esfuerzo resultante sea todavía de com presión. (Los radios no están preparados p ara resistir tracciones).

L a figura 2 5 -4.a) m uestra una sien'a de carpintero. A través del torzal trenzado, se introducen fuerzas C [ en la parte superior de los balancines que provocan tracciones Tj en los otros extrem os A y C y colocan a la hoja en tracción. Al serrar una pieza de madera, por ejem plo con el sentido de desplazam iento hacia la derecha, el rozam iento de los dientes de la sierra con la m adera crea en la hoja un a fuerza T 2 de sentido contraiio al desplazam iento. L a parte de hoja AB está som etida a una fuerza T Tj - — — que, si el tesado del torzal es suficiente, es positiva e im pide el pandeo de la T hoja. L a parte BC increm enta su tracción al v alo r Tj -t- —

F ig u r a 2 5 -4 .a )

F ig u r a 2 5 - 2 .a)

F ig u r a 2 5 -2 . b)

E n la figura 25-2.a) se representa un barril de m adera. L a superficie lateral está form ada por duelas de m adera, con juntas entre ellas. Los aros m etálicos se encajan con m azo y escoplo y, en definitiva, crean com presiones circunferenciales que com prim en las juntas entre duelas y hacen estanco el barril (Fig. 25-2.b)). Los aros quedan naturalm ente en tracción. E l estado tensional y la estanquidad mejoran al absorber la m adera parte del líquido contenido, lo que produce su hincham iento.

.

F ig u r a 2 5 - 4 .b)

C onsiderem os la figura 25-5.a) que representa un a rueda de bicicleta. L a llanta m etálica y los radios no tienen rigidez suficiente para resistir la fuerza P transm itida por la horquilla del cuadro al cubo radial. Sin em bargo, m ediante el giro de los term inales roscados en los extrem os de cada radio, éstos se tensan, poniéndose en tracción los radios y situando a la llanta en com presión. L a carga P, al com prim ir los

E n la figura 25-3.a) se representa una sella gallega. E n este caso no existe, como en el caso anterior, una tapa superior. La estanquidad de la sella para contener el agua se

F ig u r a 2 5 - 5 .a )

F ig u r a 2 5 - 5 .b)

radios d e la zo n a en contacto con el suelo, aco rta dichos radios, p ero gracias a la tensión previa aplicada, siguen en tracción. L os radios de la zo n a opuesta, es decir de la superior, al d escen d er el eje del cubo radial, se alargan e increm entan su tracción.

F ig u r a 2 5 -3 . b)

498

F inalm ente la figura 25-6.a) m uestra un ejem plo clásico de cóm o una persona puede transportar una serie de libros sim plem ente aplicando con las m anos una com presión. O bsérvese la analogía com pleta con un a viga prefabricada por dovelas, con un tendón pretensado.

499

43

M ■800/2 5 0 0 .8003 12

y expresando M en mkN, M = 229,3 mkN, se produce en el punto medio de la luz para una carga uniforme P = 18,3 kN/m. (Como el p.p. de la viga es de 9,6 kN/m, las acciones exteriores que producen la rotura corresponden sólo a 8,7 kN/m).

Figura 25-6.a)

Figura 25-6.b)

Todos los ejem plos apuntados, usados durante m uchos años en la vida diaria m uestran cóm o el pretensado es una idea intuitiva. No lo es en cam bio la técnica del horm igón pretensado, com o verem os en los apartados siguientes.

b) Supongam os que querem os soportar una carga p.m .l. de 100 kN /m , incluido el peso propio. E videntem ente la sección de horm igón en m asa no puede soportarla. B ajo la carga de 100 kN/m, la pieza estaría som etida al m om ento M = ± — 100- 102 = 1250 m kN

8 100 k N / m

2 5 .3 . C O N C E P T O S E S T R U C T U R A L E S D E L H O R M IG Ó N

PRETENSADO

a)

_ 7 3

^

,500,

-23.66 N/mPn2

25.3.1. C O M PE N SA C IO N D E TE N SIO N ES La aplicación de las ideas intuitivas expuestas en el apartado anterior, como era lógico esperar tuvieron pronto su aplicación, a raíz de la invención del hormigón arm ado, a finales del siglo XIX.

b) Ü J------------------------------------------ íü7S------------------------------------- ZT

Sea una viga de horm igón H -40, sim plem ente apoyada, y de sección 500 • 800 mm con luz de 10 m. a) Si la consideram os com o de horm igón en m asa, la resistencia a tracción del horm igón H -40 viene dada por la fórm ula [28.7]. W

= 0’37 V402 - 4,3 N /m m 2

p = 18.3 kN/m

+■ 4.3 N /m m ^

m u m m m n n u u m 500

— 4 .3 N / r

3

* 2 3 . 6 6 - 6.3N /m m J

•2 3.66 N / m m 2

“zr

Un elevado núm ero de publicaciones y patentes, m uchas de ellas procedentes de personas con escasísim os conocim ientos de construcción, desarrollaron de una u otra form a la idea expuesta en la figura 25-7. U n sistem a elem ental, m uchas veces patentado, es el que exponem os á continuación.

800

r — 6,3 N /mm1

Figura 25-8 que originaría en la sección situada en el punto m edio de la luz, las tensiones (Fig. 2 5 -8 .a). 1250 • 106 ■800/2 AT/ , G = ± ---------------------------= ± 23,44 N/mm " J_ - 500 - 8003

12 La viga de horm igón en m asa no puede soportar tales tensiones. Sin em bargo, si a la viga de horm igón en m asa le aplicam os un tendón de acero, lo tesam os y lo anclam os en las caras extrem as de la viga, todo ello a un tercio del canto a partir de la fibra inferior, la fuerza introducida creará un diagram a triangular de com presiones, con valor m áxim o en la fibra inferior y nulo en la superior. Si la fuerza N en el tendón se dispone (fig. 25-8.b)) para que la com presión en la fibra inferior sea igual a (23,44 - 4,3) N /m m 2, el valor de N necesario, expresado en kN , será

10.00 m

N = 500 ■800 - 7 ( 2 3 , 4 4 - 4 ,3 ) ■ 10‘3 = 3828 kN

a)

b)

c)

F igura 25-7 El m om ento flector en N-mm que produce la tensión de tracción de 4,3 N/mm2 en la fibra inferior (Fig. 25-7) se obtiene de

500

Si ahora aplicam os la acción exterior de 100 kN /m , el diagram a final de tensiones resultante será el indicado en la figura 25-8.c), con com presión de 23,44 N /m m 2 en fibra superior y la tensión de resistencia a flexotracción en la inferior. L a aplicación del pretensado, sí se excluye el p.p. de la viga, ha

501

www.libreriaingeniero.com perm itido pasar de una carga p de rotura de 8,7 kN /m , com o sección d horm igón en m asa, a otra de 100 - 9,6 = 90,4 kN /m cuando se emplea t i

pretensado. Su capacidad portante se ha incrementado en -? ík t = i n 87

a

veces.

N + h ■S • 24 — -------------------= 150 kN /m 2 S de donde, adoptando h = 4 m, S = 18,5 m 2

La m ayoría de los intentos de realización del hormigón pretensado en etapa inicial, giraron alrededor de casos como el expuesto. Todos ellos fracasaba** en plazos m uy cortos, debido a la ignorancia de los acortamientos del hormigón debidos a retracción y fluencia, que reducían seriamente la fuerza en el tendón v a la ignorancia del fenómeno de relajación de la tensión del acero, generalmente acero ordinario, que también reducía seriam ente la fuerza en el tendón.

A doptando un m acizo de cim entación de 6 x 3 m2 en planta y 4 m de canto (ver figura 25-10), será válido si com pensam os la reacción horizontal N h = 1111 kN. 1.000 kN

El nacimiento del pretensado como técnica real es debido a E. FREYSSINET (25.1), que intuyó con claridad las pérdidas de tensión y desarrolló materiales y

técnicas para reducirlas e introdujo el empleo de aceros de alta resistencia.

25.3.2.

C O M P E N S A C IÓ N D E D E FO R M A C IO N E S

E sta utilización de la técnica del pretensado es m ucho m enos intuitiva que la anterior pero tam bién de un gran interés. Veamos su aplicación m ediante un ejemplo. F ig u r a 2 5 -1 0

Si no la com pensam os, el sistem a M , N v, N h actuante sobre la cara superior de la zapata, sería sustituido por las fuerzas N v, N h actuando en M , donde O M = 11,11 m. R e sistir d irectam en te tales accio n es a tal d istan c ia ex ig iría un cim iento costosísimo, por lo que adoptarem os un tirante enlazando los dos cim ientos opuestos de form a que centren la presión o t de respuesta del suelo. F ig u r a 2 5 -9

E n la fig u ra 25-9 se indica en sección transversal un han g ar de 100 m de luz con cubierta form ada por arcos parabólicos biarticulados. Las acciones sobre los pilares extrem os, p ara una carga perm anente de 10 kN /m (por m.l. de luz) y una acción v ariable (nieve) de 10 kN /m , p.m .l. de luz en proyección horizontal del arco, son las siguientes. L as reacciones verticales N en los pilares valen V = 5 0 ■2 0 = 1000 kN L a reacción horizontal N h, al ser el arco parabólico (véase 16.2.11), vale N h = — ' 1Q° 2 = 1 1 1 1 kN " 8 ■22,5 Si el terreno perm ite una presión adm isible de 0,20 N /m m 2, tantearem os la superficie S de cim entación en m 2 para resistir la reacción vertical, siendo h la altura del cim iento en m y el peso específico del horm igón 24 k N /m 3, con 0,15 N /m m 2 de presión adm isible.

502

Planteando las condiciones de equilibrio 1000 + 3 - 4 - 6 - 24 = o , - 3 - 6

o t = 151,56 kN /m 2

T om ando m om entos en A - T ■3,85 + 1000 ■3 + 11110 + 1111 • 4 + 3 • 4 • 6 • 24 - 151,56 ■3 * 6 ■3 = 0 R esultando T = 4040 kN. Veamos la m aterialización del tirante que h a de enlazar las dos zapatas opuestas, resistiendo la fuerza T de tracción.

Solución A. T irante m etálico form ado con perfiles lam inados con 260 N /m m 2 de límite elástico (yG = 1,35, yQ = 1, 5, ys = 1). C om o la carga perm anente es igual a la , 1,35 + 1,5 i a? sobrecarga, tom am os y -------- = 1 ,4 3 . E j = 200.000 N /m m 2 7 a\ = 1,43 ■4040 = 5777,2 kN

503

,

57 77,2 - 1 0 3 1 ""------- 260------

„„ , 22220 rara2

tesam os al 72% de su tensión de rotura y que las pérdidas de tensión sean del 17% ], la tensión de pretensado perm anente del tendón será

El alargam iento en servicio A de la sem iiuz de tirante correspondiente a zapata resulta A _ 4040000 (50000 - 3000)

22.220 • 200.000

G sp =

0,72 (1 - 0,17) • 1600 = 960 N /m m 2

na Llam ando A’ al área de acero del tendón en m m 2 necesaria com presión de 404?) kN , se tiene

A = 42,7 mm

para introducir la

A ' sp -9 6 0 = 4040000

Solución B. T irante de horm igón arm ado con acero B 400 S. y = l 35 y = r e Ys = 1,15. Tal com o se expone en el C apítulo 34

G

’

Q

’ >

Td = 1,43 • 4040 = 5777,2 kN

A ’sp - 4208 m m 2 P or lo tanto, la consideración de crear las com presiones en servicio exige una arm adura ligeram ente superior a la del estado lím ite últim o.

/ v a = - ^ - = 347,8 M m ra2

Sea A c el área de horm igón del tirante en m m 2. (Se desprecia la im portancia del área ocupada por la arm adura).

5777 ^ • 103 A = ---------—------- = 16611 m m 2 347,8

Supongam os que querem os reducir el alargam iento A a 1,7 m m , es decir a unas veinte veces m enos del obtenido con tirantes de estructura m etálica o de horm igón armado.

El alargam iento en servicio A, en teoría, valdría en esta solución

E l área hom ogeneizada de horm igón será

A 4 0 4 0 0 0 0 (5 0 0 0 0 - 3000) „ A - --------- 77-------------------------■= 57,15 mm 1 6 6 1 1 -2 0 0 .0 0 0 C on E = 20.000 N /m m 2 y E = 200.000 N /m m 2

3

Sin em bargo, al estar em bebida la arm adura de barras de acero B 400 S en un tirante de horm igón, el fenóm eno de "tension-stiffening’', que analizarem os en detalle en el C apítulo 34, reduce la tensión m edia de la arm adura a lo largo de su longitud y, po r lo tanto, reduce su alargam iento. E stim am os el alargam iento real com o 0,6 del; teórico.

5

y con ello 4040000 (50.000 - 3000) (A c + 42080) 20.000

. sp

=

5777200 1600/1,15

A1co , = 4153 m m 2

9494000 ~ Ac + 42080

y para A = 1,7 mm, resulta A C = 5 ,5 m2 ’

C om o en la solución B, Td = 5777,2 kN. Por consideraciones de estado lím ite últim o,

20.000

A ch, = A c + 10 ■4208 = A c + 42080 m m 2

A = 0,6 • 57,15 = 34,3 mm

Solución C. T irante de horm igón pretensado con arm adura postesa. A cero de 1600 N /m m 2 de carga de rotura. yG = 1,35 yQ = 1,50, ys = 1,15.

m = 20(1000 = 10

L a sección de 5,5 m 2 la puede proporcionar, sin coste extra de horm igón, el propio pavim ento de horm igón de la nave, alojando en él los tendones del tirante. Si suponem os un suelo con m ódulo de balasto 0,08 N /m m 3, el giro de la zapata, en función del corrim iento A, vale2

Supongam os que em pleam os horm igón H -50, con un m ódulo de deformación para cargas de larga duración que estim am os en E c = 20.000 N /m m 2. L a fuerza de pretensado perm anente tiene que ser tal que introduzca en el tirante una com presión igual a la tracción en servicio, 4040 kN. A ceptando que el acero lo

504

1

Estos tem as se exponen en detalle en el C apítulo 29.

2

V éase J. CALAVERA. “C álculo de E structuras de C im entación, 3a Edición. IN TEM A C , M adrid 1991. C apítulo 4.

505

www.libreriaingeniero.com _ a ti -

a =

Solución no válida e indicadora de que la resultante cae fuera de la zapata.

<*’ t2

k • 6000

3.850

Para la solución C

donde a \ [ y a ‘l2 son las tensiones sobre el terreno.

(Tirante de horm igón prentensado) 1 0 0 kN

A = 1,7 mm a ‘n = 0,26 N /m m 2

j 0.30

T

g ‘p = 0,04 N /m m 2 Com o la presión adm isible era de 0,2 N /m m 2 puede adoptarse 0,26 en borde sin problem as. O bsérvese que es la posibilidad de reducir las deformaciones, que la solución de tirante pretensado aporta, la que perm ite resolver el p ro b lem a1.

Figura 25-11

25.4. T IP O S D E P R E T E N S A D O L a técnica del horm igón pretensado ha evolucionado m ucho y se h a diversificado

D e acuerdo con la figura 25-11 y con la expresión de a

desde su nacim iento. 0,08 • 6000 3850

A = 0,125 A N/mm*

A ctualm ente se utilizan básicam ente dos técnicas generales, la segunda de las cuales presenta tres variantes2.

Pero com o, según vim os al dim ensionar, el cim iento 25.4.1. H O R M IG Ó N P R E T E N SA D O CO N A R M A D U R A S PRETESA S. ° ii + ° a

C

En esencia, consiste en la aplicación del proceso indicado esquem áticam ente en

„ = 0,15 N /m m 2

la figura 25-12.

operando 0,125 A + 0,300 a ti = -0,125 A + 0,300

A

T -

N /m m

T

*>>},))>!>

A = 42,7 m m c)

o \ 2 = - 2,52 N /m m 2

f

■M '^ r /r /' / / / / / ' / / / ? / ^ 7 / / / '///.■/'M/'7

d)

/\/ *

G ‘t¡

1

La ventaja de la m enor deform abilidad de los tirantes pretensados fue ya conocida y utilizada desde el principio del pretensado. El ejem plo desarrollado no es m ás que una versión sim plificada de la adoptada por el Prof. M A G N E L en 1946 en el proyecto de hangares en Bélgica.

2

Se excluye de lo que sigue la técnica del pretensado con arm aduras fuera del canto de la pieza, com o

= 2,29 N /m m 2

G‘[2 = - 2,00 N /m m 2

'/, 77 fo Figura 25-12

Para la solución B C om o A = 34,3, los resultados son:

Z7/7 777777W 77,

F = 1 = í fo

S olución no válida. L os valores de a ‘tl y a ‘t2 no son reales pero indican q u e 'la resultante está m uy lejos del tercio central de la zapata. (R ealm ente la resultante se sitúa fuera de la zapata).

506

I

b)

a ‘tl = 2,82 N /m m 2

(Tirante de horm igón arm ado)

- ■

N /m m 2

Para la solución A (Tirante m etálico)

A

T

es el caso de los puentes atirantados.

507

En la etapa a), la arm adura se tesa y se ancla en dos anclajes fijos a la "meco a pretensado". J m esa de

0^2

E n la etapa b), o m ás frecuentem ente ya en la a), se coloca el m olde M a continuación se vierte, com pacta y cura el horm igón. * E n la etapa c), una vez endurecido el horm igón y alcanzada una resistencia au garantice la posibilidad de anclaje de las arm aduras pretesas por adherencia aí horm igón, se transfiere la fuerza de la arm adura de los anclajes A a la pieza p U sualm ente se em plea algún curado de tipo térm ico o bien horm igones de m uy alta resistencia, para reducir este plazo que, en la práctica, oscila de 14 horas com o mínimn h asta 3 días com o m áxim o. O bsérvese que, para que se pueda transferir la fuerza de pretensado a la pieza ésta debe p o d er acortarse y en el caso habitual de que la fuerza de pretensado no actúe eri el c.d.g. de la sección, debe poder tom ar la contraflecha instantánea de pretensado Es por lo tanto necesario "abrir" los laterales del m olde M antes de realizar la transferencia. En la etapa d) se cortan los alam bres o cordones y la p ieza tom a su contraflecha A continuación se traslada y alm acena en parque hasta el m om ento de su transporte a obra y m ontaje. E sta técnica es norm alm ente em pleada en prefab ricació n y, sucintam ente expuestos, tiene las ventajas e inconvenientes siguientes.

Ventajas

a) S E C C IO N B - B

Figura 25-13 E n la figura 25-13 se indica esquem áticam ente este inconveniente. En el m om ento de la tran sfe re n cia (Fig. 2 5 -1 3 .a)) la p ie za to m a co n tra flec h a e inm ediatam ente por tanto, adem ás del pretensado, actúa sobre ella su peso propio. Ello conduce a que en las secciones inm ediatas a los extrem os, com o la A-A, sólo existan las tensiones debidas al pretensado, con valor a c] en fibra inferior y a c2 en fibra superior. Estas tensiones son las que controlan el m áxim o pretensado que puede aplicarse a la pieza. Sin em bargo en la sección central B -B , las tensiones extrem as son a ” el, = a el, - a ’c\, J y a ” c2 = - a c2 ~ + a ’c2 . que ^ son claram ente , inferiores T •T 1 a las de la sección 1 A -A y p o r tanto in fen o res a las m áxim as adm isibles. L o ideal se n a levantar la arm adura, o reducir su sección, al alejarse del punto m edio de la luz, con lo cual podrían aum entarse las tensiones de pretensado hasta alcanzar en el punto m edio de la luz las m áxim as adm isibles, sin riesgo de rebasarlas al acercarse a los extrem os.

1. P roducción rapidísim a y en serie. Todo el proceso de ejecución de la pieza dura entre 14 horas y 3 días. U sualm ente se alm acenan las piezas en parque, pero no son raros los casos en que se envían directam ente a obra.

Esto realm ente puede conseguirse y de hecho se realiza en la práctica, pero con problem as que com plican y encarecen la producción industrial en serie. Existen para ello dos soluciones:

2. P roducción industrializada, con posibilidad de alcanzar una alta calidad en los m ateriales y en la ejecución, fruto de la especialización del personal.

a) U na solución, que será expuesta con más detalle en el C apítulo 26, es la indicada en la figura 25-14 en la que los tendones se desvían, generalm ente en dos puntos, tales com o M y N, m ediante anclajes al m olde o a la solera de la m esa de prefabricación, capaces de resistir las fuerzas ascendentes provocadas en ellos por los tendones.

3. Si el curado térm ico se realiza en am biente húm edo, se consigue una im portante reducción de las pérdidas de tensión debidas al acortam iento por fluencia del horm igón.

Inconvenientes 1. Se com prim en horm igones m uy jóvenes, por lo que las pérdidas de tensión de las arm aduras por acortam iento elástico instantáneo y por deform aciones diferidas del horm igón son elevadas. 2. Si se aplica curado térm ico, se produce una pérdid a adicional de tensión en las arm aduras, de im portancia apreciable, debida a la dilatación de la arm adura antes de su adherencia al horm igón. 3. El inconveniente im portante de la técnica de arm aduras pretesas es que, en la práctica, es casi sinónim o de arm adura constante en sección de extrem o a extrem o de la pieza y constante en cuanto a su posición en la sección de la pieza.

508

Figura 25-14

Figura 25-15

b) O tra solución es la indicada en la figura 25-15. L os tendones se suponen esquem áticam ente colocados en tres capas com o un ejem plo general. L a capa C se deja adherida de extrem o a extrem o, es decir en las condiciones ordinarias. E n la capa B, desde los puntos 2 a los extrem os, los tendones (alam bres o cordones) se vendan o entuban en plástico de form a que

509

www.libreriaingeniero.com se impida su adherencia al hormigón. A nálogam ente se hace con los tendones de la capa A, que se entuban a partir del punto l. Con esta técnica, a efectos prácticos, el c.d.g. de la armadura varía a lo lamo de la luz y también lo hace la fuerza de pretensado. Obsérvese que la solución no ahorra directam ente armadura, puesto que la longitud total de tendones adheridos o no, es siempre la misma. ’ Los dos sistemas expuestos en a) y b) son de gran interés técnico pero su empleo no es frecuente ya que los costes reales de aplicación sobrepasan generalmente las economías producidas en la sección y volum en de la pieza. SISTEMA ESTRUCTURAL PARKING PREFABRICADO (cortesía del GRUPO CASTELO&PUJOL)

Las formas típicas de piezas pretensadas con esta técnica se indican en la figura 25-16

F ig u ra 2 5 -2 0

a

\

VIGUETAS DE FORJADOS

LOSAS

r o o o o

PARA FORJADOS Y CUBIERTAS

I PIEZAS T T V T PARA FORJAOOS Y CUBIERTAS

Edificio de 5 plantas en Tres Cantos. (Madrid). Luz 17,50 m. sobrecarga 2000 kg/m 2 prefabricación, incluso escaleras. (cortesía de ALVISA)

Figura 25-19 VIGAS DE PISOS Y CUBIERTAS

(cortesía de PACADAR) VIGAS PARA PUENTES

F ig u ra 25 -2 1

PILOTES

25.4.2. H ORM IGON PRETENSADO CON ARM ADURAS POSTESAS.

25.4.2.1. Aspectos generales En sus líneas esenciales la técnica utilizada se indica en la figura 25-22. F ig u ra 2 5 -1 6

En las figuras 25-17 a 25-21 se reproducen algunas realizaciones.

________________ Ia '

a)

..

,a

b)

o o o 1— C

- E í st r ' - ; c)

H Z

X X

d)

Naves prefabricadas de 20 m de luz y cuatro puentes grúa para instalación de mesas universales de prefabrt'cación (cortesía de CADE, S.A.)

Figura 25-17 510

Estructura de cubierta de 30 m. de luz con viga peraltadas para nave de Ausonia en Toledo (cortesía de PRA1NSA)

Figura 25-18

N e)

M

■M

1 1 '■ ’v ■> XXX/¿ J ^ x x ^ « x x 9 x m x : x z m y y x x í x ^ 7 2

Figura25-22 5 11

En la prim era operación se coloca y arm a el m olde (Fig. 25-22.a)). & continuación se coloca la armadura pasiva de estribos y eventualm ente longitudinal y se colocan y fijan las vainas de los tendones postesos (Fig. 25-22.b)). A continuación se procede al horm igonado de la pieza (Fíg. 25-22.c)). Cuando el hormigón ha alcanzado una cierta resistencia, se envainan los tendones en sus vainas y se abre él m olde (Fig. 25-22.d)). Cuando el horm igón ha alcanzado resistencia suficiente, se tesan los tendones, en general disponiendo un anclaje fijo en su extrem o N y tesando contra la extrem idad de la viga en el anclaje activo M. La pieza tom a la contraflecha correspondiente.

a V A IN A S IN Y E C T A D A S C O N L EC H A D A D E C E M E N T O

El sistema tiene las ventajas e inconvenientes siguientes:

Ventajas T E N D O N E S SIT U A D O S E X T E R IO R M E N T E A LA S E C C IO N

1. Al poder ser curvo el trazado de los tendones, éstos se levantan e incluso se cortan antes de llegar a los apoyos, adaptándose a las condiciones tensionales en todas las secciones sín los inconvenientes que vimos en las armaduras pretesas. 2. El tesado de los tendones se realiza en hormigones de m ayor edad y resistencia que en el caso anterior, con la consiguiente reducción de pérdidas de tensión., 3. L a inclinación de los tendones tiene un efecto reductor del esfuerzo cortante, , 4. El sistema se adapta con facilidad a piezas hiperestáticas, cambios de curvatura, etc.

F ig u ra 2 5 -2 3

25.4.2.3.

Formas típicas

Las formas típicas de piezas pretensadas con esta técnica se indican en la figura 25-24 y son de una extraordinaria variedad. En las fotografías se recogen algunas realizaciones notables.

Inconvenientes 1. La colocación de tendones y su tesado son m ucho menos industrializadas que en el caso de armaduras pretesas. 2. L a ejecución está más próxim a a las condiciones de una obra que a las de una instalación industrial.

F O R J A D O S S IN V IG A S

V IG A S C O N TIN U A S

3. El trazado curvo de los tendones introduce una m ayor incertidumbre en la evaluación de las pérdidas de tensión. 4. Si, como veremos a continuación, se inyectan con lechada de cemento las vainas para proteger de la corrosión los tendones, el recubrim iento de éstos es de m enor calidad que en el caso de tendones adheridos al hormigón de la pieza, com o era el caso de armaduras pretesas.

E D IF IC IO S C O L G A D O S

D E P O S IT O S P R E T E N S A D O S

25.4.2.2. Variantes del sistema B ásicam ente se derivan de la form a de colocación de los tendones (fig. 25-23). E n la variante a), hoy por hoy la m ás com ún, la vaina se inyecta con lechada. En la variante b), que com o verem os tiene un interés específico en algunas aplicaciones, la vaina no se inyecta y por lo tanto el tendón no está adherido a la pieza. La variante c) tam poco tiene adherido el tendón a la pieza, pero se consigue una buena protección contra la corrosión inyectando grasa soluble en agua en las vainas. Finalm ente, la solución d) tiene las arm aduras exentas, es decir situadas fuera de la pieza. 512

CUPULAS F ig u ra 25 -2 4

Las fotografías de las figuras 25-25 a 25-32 reproducen algunas realizaciones. 513

www.libreriaingeniero.com 25.5. C O M B IN A C IÓ N D E D IF E R E N T E S T IP O S D E P R E T E N S A D O Un ejem plo que m uestra las grandes posibilidades que encierra la com binación de técnicas y tipos diferentes de pretensado es el que se indica en la figura 25-33.

L osa de cubierta del auditorio del Centro Cultural de la Villa de Madrid. (La losa aligerada postesada, tiene planta de sector circular de 90°, con radio exterior de 36,20 rn. 1,50 m. de canto. Arquitecto: M anuel Herrero Palacios. Ingeniero consultor: José E. Bofil. Ingeniero Jefe de Obra: Torre de comunicaciones de la C N R (Toronto)

Figura 25-25

Jesús Luzuriaga. Em presa constructora: Construcciones y Contratas, S.A

VAINAS CON T ENDONES SIN TESAR

_fg - r

Figura 25-26 b)

" lA^

r

j L

■L

18 N/mm2

ib

SE C C IO N A - A IB

' ^

OgN/mmS

ARMADURA P RETESA

___

i

13 ty'mm*

SEC C IO N B - B

ARMADURA DE ESPERA

VAINAS CON TENDONES SIN TESAR

APOYO DE NEOPRENO

AG LO MERADO ASFALTICO LOSA DE HORMIGON

lB c) 5 N/mm»

S E C C IO N B - I

514

515

Se trata de realizar un aparcam iento subterráneo en una calle, reduciendo al m ínim o posible la perturbación del tráfico por la ejecución de las obras. Se em plea una solución de piezas prefabricadas TT, con arm aduras pretesas y con otras postesas. Los tendones a postesar se introducen en sus vainas durante la p refabricación de las piezas, pero no se tesan hasta una posterior etapa en obra.

Etapa a). Se realizan dos m uros pantalla y se excava la calle hasta una cota ligeram ente inferior a la del nivel inferior de las piezas.

Etapa b). Se colocan las piezas descabezando un poco los muros pantalla. Las piezas han sido prefabricadas con horm igón H-50. Se supone que a las 14 horas, con curado al vapor, se obtienen ya 30 N /m m 2 de resistencia, con lo que el m áxim o pretensado vendrá lim itado por la com presión en la fibra inferior a f k[ = 0,6 ■30 = 18 N /m m 2 (Sección AA). N aturalm ente, la sección central (sección B-B) queda holgada debido a la acción en ella del peso propio.

h ea ia sección m atead a en la figura 25-34 y sea 0 su c.d.g. al que asociam os ejes indicados en la figura. S ea A el c.d.g. de los tendones pretensados y P la com ponente horizontal de xlaw. ifuerza de ^iwiwiwuuu. pretensado. I^uoigiiaicinuo D esignarem os I-U1 con1 oigliu signo positivo positi las com presiones y considerarem os la excentricidad e de la fuerza com o positiva en el sentido de los eje s1. El estado de tensiones en la sección se rige p o r la fórm ula de Navier, considerando la sección som etida a un esfuerzo de com presión P y a un m om ento flector M = P ■e. P ara un elem ento diferencial A, la tensión será

A C

Jc

Ac

A rea de la sección

I

M om ento de inercia de la sección respecto al eje x-x 2.

E n la práctica suelen interesar sólo las tensiones en las fibras extrem as inferior 1 y superior 2, respectivam ente, y aplicando [25.1]

Etapa d). D ado el tiem po transcurrido, el horm igón ya ha alcanzado su resisten cia nom inal de 50 M P a y por lo tanto ahora adm itirá en fibra inferior de la pieza una com presión de 0,6 ■50 = 30 N /m m 2. Las conseguim os tesando ahora los tendones que vienen alojados en sus vainas. A continuación se horm igona el enlace de la losa de horm igón con la cabeza del m uro pantalla.

P

P ■e ' y ,

Gcpl. = ----+------------Li A j [25.2] P P -e a n = — + -------- y 2

Etapa e). Es la de uso norm al del tablero bajo carga de tráfico. Las plantas del

c

aparcam iento se han resuelto por m étodos usuales.

I

A

P

Pe

° cpl ~ A C + W .1 P

F O R M U L A S B A S IC A S D E U N A S E C C IO N P R E T E N S A D A

Con independencia del tipo de pretensado em pleado y sin entrar ahora en detalles que se expondrán en el Capítulo 30. veamos el estado tensional de una sección pretensada.

[25.3;

F recuentem ente es útil presentar estas fórm ulas de otra m anera

O bsérvese que el em pleo de arm aduras pretesas y postesas ha perm itido com pensar con el pretensado la carga de losa de horm igón y de aglom erado, increm entando adem ás el pretensado para resistir las acciones de tráfico, que actúan, lo m ism o que la carga de aglom erado, sobre la sección com puesta de piezas p refabricadas y losa de horm igón "in situ”.

2 5.6.

[25.1]

donde

Etapa c). Se vierte la losa arm ada de horm igón de 15 cm sobre las piezas prefabricadas y la capa de aglom erado sobre ella. E stas cargas producen tracciones en la fibra inferior de la sección com puesta y com presiones en la superior, con lo que las tensiones en la sección B-B cam bian a 5 y 4,5 N /m m 2.

P P - e ■v = — + ---------- —

a

Pe + ^

[25.4]

[25.5]

y tam bién teniendo en cuenta que I = A . • r2, donde r es el radio de giro de la sección,

[25.6]

516

1

En general en todo el libro se consideran positivas las com prensiones. La única excepción se hace para cuestiones relacionadas con las tensiones principales en esfuerzo cortante (C apítulo 39) y se avisará explícitam ente.

2

No entram os ahora en m ás refinam ientos. Luego analizarem os los distintos valores de A c y de P a lo largo de la vida útil de la pieza..

517

www.libreriaingeniero.com 1 +

OS r-

25.7.

En la solución de horm igón pretensado, si no hay acciones exteriores, C = T y adem ás coinciden en posición. Si las acciones exteriores producen un m om ento flector M , (Fig. 25-36), el diagram a final presenta unos valores de M y C que no han variado y en cam bio las dos fuerzas C y T se han descentrado para crear un par que com pense el m om ento de las acciones

[25.7]

F O R M A S D E C O N S ID E R A C IÓ N D E L P R E T E N S A D O

M M exteriores. E l valor del brazo z = ----- = ------ . C T

E xisten diferentes form as de considerar el pretensado, cada una de ellas útil en un cierto cam po de aplicación. a)

Consideración de la pieza pretensada como constituida por un material homogéneo. C onsiderem os, por ejem plo, la pieza indicada en la figura 25-35;

O bsérvese que esta form a de consideración surge de considerar la pieza pretensada com o la sum a de la pieza de horm igón m ás el tendón, aisladam ente considerados (fig. 25-37).

som etida a un pretensado centrado. L a pieza se fisurará cuando, bien, bajo un

_j ------------------------------u ~ -

Figura 25-35 c)

Consideración de la pieza como un conjunto del hormigón y del tendón, separadam ente considerados. E n la figura 25-36 representam os dos vigas idénticas y som etidas a idénticas cargas.

—

i

k

T=C

m

r -

m

AW

+ M

m

)

=

j

~ rrn mmn i itTrn

+

* - ° ü l LI 1 1 1 1 1 1 1 1 L L L 1 Ü - *

Figura 25-38 C ada una de estas form as de consideración es útil para ciertos tipos de problem as y serán utilizadas en los Capítulos siguientes.

H O R M IG Ó N P R E T E N S A D O

H O R M IG Ó N A R M A D O

Consideración del tendón como un cable antifunicular de una parte de las acciones exteriores. L a idea se esquem atiza en la figura 25-38.

rl l l l l t m i l l l t l 1 A

m n m m n u n m

n n n n h m n n m ¡ pA

T

i

Figura 25-37

esfuerzo de tracción axil, un m om ento flector o cualquier com binación dé am bos, se alcance en una fibra la resistencia a flexotracción del horm igón. b)

i

7a

A

- É P t M f / * r É r> T ^

BIBLIOGRAFÍA

Figura 25-36 (25.1)

FREY SSIN ET, E. "A revolution in the T echnique o f the U tilization o f Concrete". Institution o f Structural E ngineers. L ondon. 1936.

E n el caso de la solución de horm igón arm ado, el m om ento aplicado en la: sección A -A se com pensa con un par C,T, donde C es la resultante dé com presiones en el horm igón y T la de las tracciones en la arm adura. En la práctica C = T ~ ——— 0,85 d

[25.8]

donde z ~ 0,85 d. A l aum entar el m om ento, se increm entan C y T pero su brazo prácticamente no varía.

518

519

CAPÍTULO 26

MATERIALES Y EQUIPOS PARA HORMIGÓN PRETENSADO CON ARMADURAS POSTESAS

26.1 G E N E R A L ID A D E S El concepto esencial del proceso se indica en la figura 26-1. C olocado el m olde y la arm adura pasiva, se colocan las vainas y en ellas se alojan los tendones.

Figura 26-1 A continuación se vierte, com pacta y cura el horm igón. H abitualm ente el horm igón se cura a tem peratura am biente, pero no es raro el em pleo de curados acelerados, en particular con v ap o r1. U na vez se h a alcanzado la resistencia suficiente en el horm igón se tesan los tendones bien desde anclajes activos A, siendo pasivos los opuestos, C, bien tesando desde anclajes activos en am bos extrem os. E l horm igón en ese m om ento debe ten er resistencia suficiente para los esfuerzos introducidos p o r el pretensado en las diferentes secciones y tam bién para soportar las fuerzas concentradas bajo los anclajes. 1

Si se aplica vapor deben sellarse las vainas para im pedir la entrada de vapor por ellas, ya que la dilatación del m etal de las vainas es más rápida que la de horm igón que las rodea y puede fisurarlo. Si los tendones están ya en las vainas el vapor aceleraría adem ás la corrosión.

521

www.libreriaingeniero.com E n general el pretensado introducirá contraflechas en la pieza y por lo tanto antes del tesado deben retirarse las partes de los m oldes que se opongan a la contraflecha U na vez tesados, los tendones se protegen, bien con lechadas (tendones adheridos) bien con grasas solubles o productos sim ilares (tendones no adheridos) E xisten tam bién tendones que se sum inistran con protección de un tubo de material plástico, p ara el caso de tendones no adheridos.

26.2 MATERIALES Y EQUIPOS L a pieza indicada en la figura 26-2 contiene casi todos los elem entos necesarios p ara un pretensado general. E n el anclaje activo A , se dispone la boquilla de entrada

Las vainas suelen fabricarse en m uchos casos en obra, pues su transporte es costoso y su m anejo delicado. Los em palm es se hacen con cinta adhesiva. D ebe considerarse que la estanquidad de la vaina es esencial, particularm ente por im pedir la entrada de lechada o m ortero durante el horm igonado de la pieza, sin perder de vista que es inevitable el choque de los vibradores contra las vainas durante la com pactación del horm igón. E llo requiere -p o r tanto una rigidez adecuada, la cual tam bién es necesaria para que la colocación de la vaina no exija excesivo núm ero de separadores o puntos de suspensión. P or razones económ icas se procura que la vaina sea lo m ás reducida posible, de acuerdo con la constitución del tendón. Sin em bargo, no es aconsejable q u e el área de la sección transversal del tendón supere el 50% de la de la vaina, pues ello conduce a la form ación de huecos en la vaina inyectada, con grave peligro para la durabilidad. Es inevitable que, de acuerdo con la curvatura del tendón, los alam bres o cordones se sitúen tal com o se indica en la figura 26-4 en las secciones A y BK

ANCLAJE_/l

26.2.2 T E N D O N ES Figura 26-2 de la inyección. E n los puntos bajos del trazado de las vainas se disponen tubos de purga, que se utilizan para desaguar las vainas y eventualm ente para inyectar lechada desde ellos. Cuando la inyección los alcanza se obturan. E n los puntos altos del trazado se disponen tubos de purga de la inyección, que sirven para elim inar aire de las burbujas de la inyección y com probar el progreso adecuado de la m ism a. U na vez la inyección alcanza cada punto E , el tubo correspondiente se o btura para poder m antener la presión de inyección m ientras la lechada avanza por la vaina. El acoplador D representa un hipotético em palm e de tendones.

B ásicam ente los tendones se form an con grupos de cordones. A lgunos sistem as de pretensado em plean tendones form ados por alam bres paralelos, com o verem os más adelante. E xisten tam bién sistem as que em plean barras. Todos estos m ateriales son analizados en detalle en el C apítulo 32. El enfilado de los alam bres o cordones en las vainas se hace a veces por procedim ientos m anuales, pero generalm ente las E m presas de Pretensado fabrican m áquinas enfiladoras (fig. 26-5).

A continuación se describen los equipos y el proceso con m ayor detalle.

26.2.1 VAINAS E n el caso de tendones no adheridos la solución m ás frecuente es el tubo de plástico. En el caso usual de tendones adheridos las vainas suelen ser de chapa galvanizada corrugada. (Fig. 26-3). E N F IL A D O R A B B R

E N F I L A D O R A F R E Y S S IN E T

(C o r te s ía d e B B R , S .A .)

(C o r te s ía d e F re y s s in e t)

Figura 26-5

Figura 26-6

Tanto para la colocación de vainas com o de tendones puede consultarse la referencia (26.1). 1

Figura 26-3 522

Figura 26-4

A veces se em plean '‘separadores” de alam bres o cordones, form ados por diafragm as perforados, generalm ente de m aterial plástico. Su uso es hoy reducido pues crean problem as para una correcta inyección de la vaina.

523

TABLA T-26.1

26.2.3 GATOS Son unos elem entos esenciales de todo sistem a de pretensado. Varían mucho según su potencia y hoy día m uchos de ellos disponen de un m ecanism o auxiliar, (con bom ba de baja presión) que em puja y clava las cuñas, antes de reducir la tensión de los tendones, reduciendo así la penetración de las m ism as por acoplam iento del anclaje.

C a u d a l d e aceite

7 ,6 1/m in

P re sió n d e tra b a jo m á x im a

7 1 0 b a rs

R e frig e ra c ió n

In te rc a m b ia d o r co n m o to r e lé c tric o y term o stato

V á lv u las

V á lv u la d e co n tro l d e l p istó n p rin c ip a l V á lv u la d el p istó n d e e m p u je V á lv u la d e p re sió n m á x im a V á lv u la d e d esc a rg a

S u m in istro eléctrico

3 fases 3 8 0 v + n e u tro + tierra 64 A , 50 H z A c e ite h id rá u lic o IS O 46

A c e ite

El funcionamiento genérico de un gato se indica en la figura 26-11.

FASE

G A T O F R E Y S S IN E T T IP O C (C o rte sía d e F re y ss in e t)

G A T O S T R O N G H O L D G -5 0 0 (C o rte sía d e C T T -S tro n g h o ld , S .A .)

F ig u ra 2 6 -7

F ig u ra 2 6 -8

DIAGRAMA

DESCRIPCIÓN

Sobre la placa terminal del anclaje se coloca una pieza (A) destinada a la realización del enclavado de las cuñas, en la cual se enhebran los tendones

Se avanza el gato y los tendones

Las figuras 26-7, 26-8 y 26-9 m uestran m odelos de gatos y la 26-10 una bom ba de presión. El m ando de los gatos se realiza m ediante bom bas que suelen funcionar con alta presión de aceite durante el tesado y com o hemos dicho con una presión mucho m enor para clavado previo de las cuñas.

quedan sujetos por las cuñas del gato (B)

Se da presión al gato y se tesan los tendones a la pieza y recorrido prefijados

El mecanismo de enclavado (C) avanza y empuja la pieza (A) enclavando las cuñas del anclaje

Eliminada la presión del gato cesa

el apriete de sus cuñas

GATO y BO M BA M K4 (Cortesía de M ekano4, S.A.)

BO M BA MK4 (Cortesía de M ekano4, S.A.)

F ig u ra 2 6 -9

F ig u ra 2 6 -1 0

Se retira el gato que pasa a tesar otro anclaje

Figura26-11 524

525

www.libreriaingeniero.com E l tipo de gato descrito es básicam ente el general para el pretensado con tendones, tanto adheridos com o no adheridos.

70 •/. 80 % 899 1.027 1.274 1.456

100 % 1.284

kg/m 5,60

DIAMETRO INTERIOR DE LA VAINA mm 50

1.820

1.540 1.761

2.201

7.91 9,60

65 65

K-200 K-200

12 K 15

2.183 2.495

3.119

13,56

as

K-350

19 K 13 19 K 15

2.440 2.788 3.457 3.951

3.485 4.939

15,20 21,47

85 95

K-350 K-500

27 K 13

3.467 3.962

4.953

21,60

95

37 K 15 27 K 15

4.750 5.430 4.913 5.615

6.787 7.019

29,60 30,51

110

K-S00 K-700 K-700

37 K 15

6.733 7.695

9.619

41,81

130

55 K 13

7.623 8.712 10.690

44,00

130

FUERZA RG

TIPO DE ANCLAJE 7 K 13 7 K 15 12 K 13

(UN)

PESO DEL CABLE

ANCLAJES MONOGRUPO DE FREYSSINET (Cortesía de Freyssinet, S.A.) F ig u r a 2 6 -1 3

GATO PLANO FREYSSINET (Cortesía de Freyssinet, S.A.) F ig u r a 2 6 -1 2

L a figura 26-14 contiene detalles del anclaje M S de M K 4

Para algunas aplicaciones especiales pero de gran interés, se em plean los llam ados "gatos planos" (fig. 26-12) que en definitiva son células de chapa que increm entan su espesor al inyectarse aceite a presión en su interior. Sus aplicaciones son muy variadas, tales com o el pretensado contra m acizos, el control de secciones de apoyo, el levantam iento de vigas para cam biar aparatos de apoyo, etc. En todo caso, el proyectista debe tener una inform ación suficiente de los tipos de gatos de posible em pleo, pues sus características condicionan la separación y posición de los anclajes en el proyecto, para perm itir la operación del gato.

26.2.4

A N C LA JES

Es el elem ento básico de todo sistem a de pretensado y de acuerdo con la variedad de sistem as existe una gam a m uy am plia de anclajes.

26.2.4.1 Anclajes activos C om o ya se dijo son aquéllos desde los que se tesa el tendón. L a figura 26-13 m uestra un anclaje m onogrupo del tipo F reyssinet y la tabla adjunta contiene la inform ación de la serie, que cubre un cam po de fuerzas de pretensado desde 1.300 a 10.000 kN.

L 0 1 = LONGITUD V A IN A D E A C O PLE L01= 20 0 + 0 .2 L R L R = LONGITUD R E C T A M INIM A 01, 0 2 = D IA M E T R O S IN T ER IO R E S DE V A IN A

ANCLAJES MS DE MK4 (Cortesía de Mekano4, S.A.) F ig u r a 2 6 -1 4

526

no

GATO DE PUESTA

K-100

K-1.000 K-1 000

Tipotanúta

c

s

rd

Upo

s

c

3 -0.5*

Ti

71

48

108

4- 0.5"

T2

81

48

128

5 -0.5-

TO

91

48

145

|

D

U

LA

¡91

02

100

120

400

41

41

M ohM m 4a cu-mura 3.000

100

120

400

41

41

3.000

105

120

600

48

45

3.000

7 •D.S"

T4

105

48

162

115

' 120

600

51

51

3.000

9-0,5-

T5

125

46

194

150

120

600

62

62

3.000

SO

220

12-0.5"

TS

144

175

125

900

«

72

15-0,5-

T7

161

55

2S4

200

130

900

85

85

4.000

19-0,5-

T9

177

65

266

230

150

900

88

65

4.000

24 - 0.5*

T1S

196

66

300

350

ISO

1.200

90

90

4.S00

27-0.5*

T13

219

73

320

395

160

1200

103

100

31-0.5*

T17

225

BO

355

415

170

1200

103

100

5.000

3-0.6*

T2

82

50

128

100

120

400

41

41

3.000

4.000

.

5.000

4-0.6*

T3

94

50

145

105

120

400

48

45

3.000

5-0,6*

T4

106

50

162

115

120

600

51

51

3.000

7-0,6*

T5

122

61

194

150

135

600

62

62

3.000

í

Cuando el pretensado se realiza con barras (ver Capítulo 32), el anclaje se r e a to mediante tuercas, roscando las puntas de las barras. Estos sistemas son especialmente indicados en tendones cortos, en los cuales los anclajes de cuñas conducirían a unas pérdidas de fuerza m uy elevadas. E n el caso de barras lisas, los fabricantes suelen disponer de procedim ientos para que las roscas en los extremos no reduzcan la capacidad resistente de la barra. E n el caso particular de las barras roscadas Dywidag, los resaltos pertenecen a un m ism o filete de rosca (lo que exige una laminación muy especial) y pueden em palm arse con m anguitos. (Volveremos sobre ello en el Capítulo 50).

9-0,6*

T6

144

60

220

175

135

900

75

72

12-0,6*

T7

165

72

254

200

145

900

85

85

4.000

15-0.6-

T8

186

78

282

235

155

1200

93

90

4.500

200

94

314

1200

Las figuras 26-16 y 26-17 m uestran dos sistem as de anclaje para pretensado con barras.

4.000

19-0,6*

TIO

230

170

103

100

5.000

24-0,6*

T14

245

95

375

340

170

1.500

110

110

5.000

27-0,6*

T16

2S2

105

416

405

180

1500

,15

115

5.500

31-0,6*

TI 6

260

115

416

405

195

1500

120

120

6.000

ANCLAJES MS DE MK4 (Cortesía de Mekano4, S.A.) F ig u r a 2 6 -1 4

U n sistem a especial de anclaje es el indicado en la figura 26-15, del Sistema BBRV, que em plea com o tendón un conjunto de alam bres paralelos, que van rem achados en sus puntas, recalcando sobre el anclaje. E l sistem a es especialm ente útil cuando se desea evitar la pérdida de fuerza que suponen los sistem as de cuñas.

T E N D O N E S E S T A N D A R (C. R. = 1700 N/mm2) T IP O NÚMERO S E C C IÓ N P E S O CARGA D IÁ M E T R O IN T E R IO R VAINA __________ fmml____________ OE DE DE TEN D Ó N A L A M B R E S (mmJ) (kg/ml) R O T U R A M O N T A D O E N A E NFILAR _____________________________________________ íkN) F A B R IC A E N O BR A 35 7 *7 269 2,11 460 30 39

C o ta s en m m

ANCLAJES de BARRAS MACALLOY (Cortesía de Mekano4, S.A.) F ig u r a 2 6 -1 6

500

1 0 2 *7

80 0

1 6 2 *7

3.925 6.234

1.000

2 0 4 *7

1.200

2 4 6 *7

30, B0

6.670

100

40,92

10.600

126

f

115

7.850

61,61

13.350

141

159

9.466

74,29

16.100

155

173

141

b) TENDONES DE ALAMBRES. SISTEMA BBRV (Cortesía de BBR, S.A.) F ig u r a 2 6 - 1 5

528

529

www.libreriaingeniero.com ANCLAJES Y MANGUITOS

i

T AP A D E INYEC C IÓ N

(— CABEZA DE ANCLAJE ,—

PL A C A D E RE PA R T O l 4m i n a d e p r o t e c c i ó n

A N C LA JE ACTIVO P A R A 2 C O R D O N E S D E 12,7mm

IN Y EC C IO N D E ALTA P R E ST A C IÓ N C O R D Ó N EN C A P SU IA O O

D ET A LLE D E LA IN YECCIÓ N Lista de anclajes y manguitos conectares Tipo de armadura poslesa

Barras roscada

Diámetro nominal Código da la Armadura poatesa

26 G 32 G 36 G 2 6C 3 2 C 3 6 C

26.S 32.0 36,0

26.5 32,0 36,0

266 3 2 6 3 6 E

26 0 32 0 360

SISTEMA VSLAB+™ DE VSL (Cortesía de "THE VSL GROUP") F ig u r a 2 6 -1 8

Anclajes de placa nervada A. cuadrada Anclajes de placa nervada B, cuadrada Anclajes da placa nervada A. rectangular Anclajes da placa nervada B, rectangular

26.2.4.2

Anclajes de placa maciza S, cuadrada

Anclajes ciegos o pasivos

Anclajes de placa maciza B. rectangular

Tai com o ya se indicó son aquéllos cuya única m isión es exclusivam ente la de anclaje sin que sea necesario el tesar desde ellos.

Anclaje de Campana A Anclaje da Campana B Anclaje de placa OH, A, B Mangudo roscado Manguito compensador Mangudo de transición

ANCLAJES DYWIDAG (Cortesía de Dywidag-Sistem International) F ig u r a 2 6 - 1 7

P ara el caso particular del pretensado de forjados sin vigas se requieren anclajes con soluciones específicas. U n ejem plo es el anclaje "TW O STR A N D " para dos cordones desarrollado p o r V SL. (Fig. 26-18). ANCLAJE PASIVO POR ADHERENCIA VSL TIPO H (Cortesía de "THE VSL GROUP")

ANCLAJE PASIVO BBR (Cortesía de BBR, S.A.) F ig u r a 2 6 - 2 0

F ig u r a 2 6 - 1 9

Las figuras 26-19 y 26-20 m uestran dos sistem as.

530

531

2 6 .2 .5

A C O PLA D O R ES O EM PA LM ES

Surgen de la necesidad de em palm ar tendones, bien por excesiva longitud o más frecuentem ente debido al proceso constructivo.

correctamente previsto, pueden ocurrir problemas como los indicados en la figura 26-23. Si no se tesa prim ero e inyectan las vainas de los tendones A y se espera a que aane resistencia la lechada, el tesado de los tendones B abollaría las vainas A. O

TO B ER A DE INYECCIO N VIROLA

TROMPETA

_ J ____ í) . 1 m 1500

* i1

PLACA DE EMPALME

'

LR

EM PALM E MC de M K4 (Cortesía de M ekano4, S.A.)

A CO PLA D O R V SL TIPO K (Cortesía de "THE VSL GROUP")

F ig u r a 26-21

F ig u ra 26 -2 2

Las figuras 26-21 y 26-22 muestran dos ejemplos.

26.3 C O N T R O L D E T E SA D O El control de la operación del tesado se realiza sim ultáneam ente por dos medios diferentes. a) Fuerza ejercida por el gato. Todos los tipos de gatos llevan un manómetro que m edirá la fuerza ejercida en una escala graduada o en un indicador digital. Es esencial disponer de un equipo de células de tarado para tárar frecuentem ente los gatos.

F ig u ra 2 6 -2 3

26.4 C O N TR O L D E LA IN Y E C C IÓ N La calidad de la inyección es de gran importancia para la durabilidad de la pieza pretensada. Como hemos dicho, existen dos tipos generales de inyección: U no es el de la lechada de cemento, que conduce a un tendón adherido al hormigón y otro es el de la inyección con grasas solubles o productos similares que si bien protegen a la armadura de la corrosión, no crean adherencia entre el tendón y el hormigón. El empleo de tendones no adheridos tiene campos específicos de aplicación, como veremos más adelante. En lo que sigue nos referimos a las inyecciones con lechada de cemento. Las condiciones de la lechada se definen en EH E y en (26.3). Regularm ente debe comprobarse la viscosidad con el cono de M arsch y la estabilidad (exudación y variación de volumen) m ediante el método expuesto en el Anejo 6o de EHE. La inyección de la lechada se realiza m ediante una bomba de inyección. La figura 26-24

b) Recorrido de tesado. (Alargamiento del tendón). Se com para la medida real en obra con el valor teórico. Este tem a se desarrollará ampliamente en el apartado 29.3.2 del Capítulo 29. L a form a de realizar este control es en general aplicando prim ero una c a r g a del 10% y midiendo el recorrido para el valor entre el 10% y el 100% de la fuerza aplicada. El alargamiento real se calcula por proporcionalidad. D e acuerdo con EH E, la diferencia entre el alargamiento teórico y el reál no superará el 15% para cada tendón individual ni el 5% para el conjunto de tendones de la sección. El alargamiento teórico debe ser calculado de acuerdo con la sección y el módulo de deform ación real del tendón. Para más detalles véase (26.2). El control dél tesado debe quedar recogido en un Parte de Control de Tesado. El tesado de una estructura debe ser objeto de un plan previo, denominado Plan de Tesado. Ello tiene interés para el cálculo correcto de las pérdidas de fuerza de pretensado com o veremos en el Capítulo 29. Pero además, si el tesado no esta 532

EQUIPO DE INYECCIÓN VSL (Cortesía de "THE VSL GROUP") F ig u ra 2 6 -2 4

533

www.libreriaingeniero.com m uestra el equipo M X7 de S T R O N G H O L D , que con dos depósitos de m ezcla permite un bom beo continuo. N orm alm ente estos equipos pueden alcanzar presiones de 12 15 atm ósferas, aunque com o verem os ésta no es la presión aconsejable usualm ente El caudal de bom beo suele oscilar según los m odelos de 30 a 90 1/min.

5 a 10 m /m inuto. L a con sisten cia de la inyección que reb o sa p o r los tubos de purga situados en los puntos altos debe ser igual que la que tiene en la boquilla de inyección.

- C oloca al tendón en un m edio alcalino que le protege de la corrosión.

U na vez llena la vaina y cerrados todos los tubos de purga debe m antenerse la presión durante m edio m inuto com o m ínim o a un m inuto com o m áxim o, para asegurar la elim inación de huecos. D espués de esto se cierra la boquilla.

- S olidariza al tendón, a través de la adherencia tendón-lechada, lechada-vaina y vaina-horm igón, con el horm igón de la pieza, con ventajas im portantes en cuanto a fisuración y tensión últim a de la arm adura frente a otras soluciones

En vainas superiores a 125/150 mm de diám etro, es conveniente, para com pensar el asiento plástico de la lechada, proceder a una segunda inyección dos horas después de finalizada la prim era.

- A l rellenar la vaina im pide la entrada de agua en ella. E sta agua, aparte del riesgo de corrosión para el tendón, entraña en clim as fríos el riesgo de que su dilatación al congelarse fisure el horm igón que rodea la vaina.

En el caso de conductos verticales, p ara evitar los problem as del asiento plástico y la exudación, debe disponerse un recipiente provisional en la cabeza del

E l em pleo de la lechada tiene tres ventajas principales:

C onviene que la inyección se haga antes de dos días a partir de la fecha en que fue colocado el tendón y antes de 24 horas a partir de su tesado. Si se prevé la necesidad de plazos m ás prolongados, debe aplicarse al tendón alguna protección, o rellenar la vaina con grasa soluble que se lava con agua a presión antes de proceder a la inyección. F recuentem ente se usan agentes expansivos añadidos a la lechada, con el fir de evitar la form ación de coqueras o huecos, al m enos de tam año im portante. Sin em bargo, la expansión no debe superar el 10%, ya que podría provocar la fisuración del horm igón que rodea la vaina. D ebe controlarse que el m om ento en que se produce la expansión asegure que se produce en la vaina y no en la m ezcladora. Todos los equipos de inyección poseen un sistem a de filtrado de la lechada para asegurar la elim inación de grum os. P robablem ente la clave de la buena calidad de la inyección está en la relación A/C de la lechada, que no debe superar el valor 0,45. En vainas m uy grandes (superiores a 125 ó 150 m m de diám etro) por razones económ icas de ahorro de cem ento, suele añadirse arena, es decir se inyecta m ortero y no lechada. L a calidad y la facilidad de la inyección depende de que las vainas sean realmente estancas. Si hay dudas deben com probarse con aire com prim ido o agua a presión. Esto tam bién sirve para detectar posibles obstrucciones y se debe realizar previam ente al enfilado del tendón en la vaina.

Figura 26-25 tendón en el que se concentren estos fenóm enos. (Fig. 26-25).E l volum en de lechada en este recipiente naturalm ente se retira al finalizar la inyección. El proceso de inyección debe quedar siem pre reflejado en un Parte de C ontrol de la Inyección. El tiem po necesario para la inyección viene dado p o r la fórm ula.

*L v Tinv= — — 1.OOOQ, donde Tiny

= Tiem po total de inyección del tendón, en minutos.

E n los puntos bajos del trazado del tendón deben disponerse llaves de purga para evacuar la posible agua antes de inyectar y que perm iten, si es necesario, inyectar desde los puntos bajos a lo largo de la vaina.

Av

= A rea de la sección transversal de la vaina en m m 2.

Lv

= L ongitud de la vaina en m.

E n los puntos altos se disponen llaves de purga para evacuar el aire y controlar la progresión de la inyección, com o ya dijim os .

Qmy

= C audal de la bom ba de inyección en 1/min. (Para la presión

Las boquillas de inyección se disponen en los anclajes y en el caso de tendones largos, en algunos puntos bajos, com o hem os dicho, funcionando tam bién com o llaves de purga. La inyección debe com enzarse en cada tendón, con una presión del orden dé 0,3 N /m m 2. L entam ente se eleva la presión hasta un m áxim o de 1 N /m m 2. Esto permite una inyección sin huecos y con una velocidad de avance aceptable, del orden de 534

P 6 -1]

em pleada). U n m étodo práctico de controlar la inyección de una vaina, es redactar el gráfico que relaciona las presiones de inyección con la duración de la m ism a.

535

BIBLIOGRAFIA BOQUILLA DE

(26.1)

H .P .5 -7 9 " R e c o m e n d a c io n e s p a ra la c o lo c a c ió n y d is p o s ic ió n d e a rm a d u ra s " . A T EP. M a d rid , 1979 .

(26.2)

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(26.3)

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(2 6 .4 )

G E R W IC K B .C . " C o n s tru c tio n o f p re s tre s s e d c o n c re te stru c tu re s " . W ile y -In te rs c ie n c e . N e w Y o rk , 1971.

10

20

LONGmjD TEÓRICA INYECTADA (m)

F ig u r a 2 6 - 2 6

P ara el ejem plo de la figura 26-26, asim ilando la longitud de vaina a 30 m y con un a b o m ba con Qínv - 50 Q/min, el tiem po total de inyección es, de acuerdo con [26.1]

j

11 752 30 - — 4------------ = 2,65 m inutos ’ ' 1 .0 0 0 -5 0

¡ny

U n a inyección correcta sería la reflejada por la línea (A), o una próxim a a ella. U n a línea com o la (B) indica u n a pérdida im portante en el punto M. U na línea com o la (C) indica que la inyección h a sido c o rre c ta pero hubo un atasco en el punto N. U na línea com o la (D) indica un atasco grave en el punto P y una presión necesaria para la inyección, que supera la adm isible. Finalm ente, una curva com o la (E) indica que la lechada está perdiendo fluidez, aunque la inyección es correcta. O bsérvese que la posición de los puntos M, N, P sólo puede calcularse a partir del volum en inyectado, inform ación que sum inistra el equipo de inyección. P ara m ás detalles, véase (26.3) y (26.4). 536

537

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CAPÍTULO 27 MATERIALES Y EQUIPOS PARA HORMIGÓN PRETENSADO CON ARMADURAS PRETESAS 27.1 G E N E R A L ID A D E S Las piezas p retensadas p refabricadas presentan una de las características esenciales para u n a prefabricación eficaz, com o es la producción en serie de grandes piezas iguales. P or este m otivo, desde el principio del desarrollo de la técnica del hormigón arm ado, se com enzó a prefabricar piezas de este tipo. L a aparición de la técnica del pretensado con arm aduras pretesas adherentes, en conjunción con el desarrollo de m esas largas de prefabricación, favoreció aún más la aplicación de las técnicas de prefabricación a este tipo de piezas. Nos referim os especialm ente a la prefabricación en instalaciones industriales fijas que son las que perm iten una producción realm ente industrializada con una calidad muy controlada y uniform e. L a prefabricación a pie de obra en instalaciones provisionales, casi nunca representa un proceso industrializado y no difiere en casi ningún aspecto de la construcción “in situ” . N o debe olvidarse tam poco que una instalación industrial fija sólo produce piezas de garantía si sim ultáneam ente em plea proyectos correctos, instalaciones adecuadas, y m ateriales y procesos eficazm ente controlados, lo cual no puede alcanzarse sin personal técnico altam ente especializado.

27.2 P R E F A B R IC A C IÓ N G E N E R A L D E P IE Z A S P R E T E N S A D A S EN M E SA S En lo que sigue, describirem os el proceso usual de fabricación en m esas de piezas áe hormigón pretensado. La figura 27-1 m uestra unos esquem as típicos de m esas para fabricación de piezas de horm igón pretensado en línea. 539

1“I

!

En los principios de esta técnica, com o las piezas tenían cuantías bajas y dim ensiones reducidas, ello conducía a que al anclar los tendones (fig. 27-1 a)) ]a resultante de las fuerzas de pretensado fuera de escasa importancia, y la altura del c.d.g. de los tendones tesos sobre la mesa era también reducida. Ello permitió que durante un cierto tiempo las cabezas de anclaje pudieran solucionarse con perfiles metálicos hormigonados en macizos autorresistentes.

L, 1

I

1

L<

Jf

r

JT

h

|7](T]

Lq

El crecimiento de la fuerza de pretensado y de la altura de su resultante sobre la mesa fueron creciendo continuam ente y la solución 27-1 a) resultaba muy costosa y técnicam ente problemática.

PLANTA

U/—:

\ UU /

DE NAVE

" \ UU/ '

\ U I”

SECCION LONGITUDINAL T IP O S D E M E S A S D E P R E T E N S A D O

SECCION

TRANSVERSAL

F ig u ra 2 7 -2

C)

M ESA UNIVERSAL

F ig u r a 27-1

los fosos extremos de los macizos, sino a otros intermedios, de ancho parcial. En el caso de la figura 27-2 permite por tanto tesar tendones de longitudes L v L0, L y L4, L s y Lq. Esto es de especial interés, ya que a veces en una mesa de este tipo, es necesario fabricar un número de piezas cuya suma de longitudes no alcanza la total de la mesa. Tesar los tendones entre cabezas alojadas en los fosos extremos, obliga como veremos a dejar tendones cortados a longitudes inferiores a LQ, que deben ser enrollados en espera de una futura utilización m ediante acopladores de empalme, que más adelante describiremos.

La solución fue la creación de las llamadas “m esas ligeras”, que equilibraban el tiro de los tendones anclados con la transm isión por la solera de horm igón de la mesa, que unía los dos macizos extremos (fig. 27-1 b ))1. E sta solución resolvía técnicam ente el problem a planteado, pero exigía dejar horm igonados a lo largo de todo el ancho de la mesa, en ambos macizos extremos* pesadas cabezas de anclaje, preparadas para la m áxim a densidad de tendones por metro de ancho de mesa. Esto era naturalmente m uy costoso. U na segunda evolución fue la llam ada “m esa universal”. Su diferencia con la versión anterior es que las cabezas metálicas de anclaje no están hormigonadas en la mesa, sino que son independientes de ella. Se dispone el número de cabezas necesario para anclar la densidad de armaduras precisa en cada zona, en el ancho de la mesa. Las cabezas se guardan en un almacén, y se colocan en la mesa sólo las necesarias. Las cabezas se alojan en fosos transversales extremos (fig. 27-1 c)). Una tercera evolución es la “m esa universal de longitudes múltiples”, que se indica en la figura 27-2. La mesa perm ite colocar cabezas de anclaje, gracias no sólo a

E l s is te m a e s c o n o c id o e n in g lé s c o m o “ lo n g lin e ”

540

F ig u r a 2 7 -3

F ig u ra 2 7 -4

Las figuras 27-3 y 27-4 muestran una vista general y detalles de una cabeza de este tipo. Obsérvese que los tendones se anclan en anclajes term inales (“barriletes”) que apoyan en una placa de acero (placa de destesado). Esta se apoya mediante tres tomillos de punta avellanada en las propias cabezas. Aflojando los tom illos se producirá, en el momento adecuado, la transferencia de la fuerza de pretensado de las cabezas de anclaje provisional a las piezas.

541

www.libreriaingeniero.com acopladores o “barriletes” de em palm e (fig. 27-8) fabricados sobre la idea de los de anclaje sim ple (fig. 27-7). L os ten d o n es, de ex trem o a ex trem o de la m esa, o cu p an la p o sició n correspondiente a su situación en la sección transversal de la pieza de horm igón. Sin embargo, tal com o se indica en la figura 27-9, al llegar a las cabezas de anclaje los tendones deben converger en dirección vertical y horizontal para llegar a las placas de destesado. Ello se consigue por p

F ig u r a 2 7 -5

p

F ig u r a 2 7 -6

La figura 27-5 presenta una vista general de una m esa de este tipo, en este caso al aire libre. C om o puede verse se están fabricando piezas en K y se em plean para anclar los tendones cuatro cabezas con seis placas de destesado. Las m esas de este tipo son m uy versátiles y perm iten la fabricación de piezas de características m uy diversas. En ellas pueden instalarse equipos específicos com o el indicado en la figura 27-6, destinado a la fabricación de viguetas. El anclaje de los tendones en las placas de destesado (fig. 27-4) se hace m ediante anclajes metálicos (fig. 27-7) parecidos a los que se usan para arm aduras postesas, pero que en este caso

las placas de desvío, P, una delante de cada cabeza. Los tendones atraviesan las placas por taladros de bordes avellanados y en ellos se desvían hacia la cabeza. El desvío debe ser m oderado, generalm ente no superior a 20°, y en todo caso produce una pérdida de tensión en el tendón. L a figura 27-10 m uestra una placa de desvío. C om o está som etida a esfuerzos im portantes debe ser rígida y estar debidam ente am ostrada.

llevan

Dt OESItiAO

F ig u r a 2 7 - 1 0

F ig u r a 2 7 - 7

F ig iirci 2 7 ~8

adem ás un m uelle que, tan pronto com o el gato reduzca fuerza sobre el tendón, enclavan las cuñas, reduciendo la penetración. A ntes hem os hablado de que la m esa universal de longitudes m últiples redúce la necesidad de tesar tendones con la longitud de m esa com pleta para fabricar P*ez^ s no ocupen la longitud entera. E llo reduce tam bién, si bien no elim ina, la necesidad ae utilizar trozos de tendón, ya cortados, es decir no procedentes de rollos. P ara poder os usar en tesados largos, en particular para longitud com pleta de m esa, se usan o 542

F ig u r a 2 7-11

L a separación de piezas se hace con placas separadoras, que llevan no sólo los taladros de los tendones em pleados en un caso concreto, sino taladros en todas las posibles posiciones de tendones que se den con el perfil de pieza adoptado (fig. 27-11). El tesado de los cordones se realiza con gatos especiales ya que con las m esas actuales, que sobrepasan ya los 300 m de longitud, el recorrido de tesado puede alcanzar los dos m etros. N o sirven p o r tanto los gatos habituales de tesado de armaduras postesas. (Fig. 27-12). D e todas form as, en m esas m uy largas es frecuente el tesado de los tendones por am bos extrem os. Un sistem a interesante es el que se indica en planta en la fig. 27-13. 543

Figura 27-12

Figura 27-13 Figura 27-15

Figura27-16

L as placas separadoras deben quedar libres entre sí, pues cualquier unión entre ellas, haría que al destesar la m esa, las zonas de tendones entre placas no se destesarán. Los m oldes se apoyan en travesaños, apoyados a su vez generalm ente en placas de elastóm ero con el fin de que no se pierda energía de vibración a través de la solera. U na vez cortados los tendones, la pieza está ya com pletam ente pretensada y puede ser trasladada al parque.

A

El proyecto de los m oldes es un aspecto de especial interés y de gran importancia y requiere proyectistas m uy especializados y con la adecuada experiencia práctica. La figura 27-14 m uestra un m olde extensible en cantos y anchos para piezas en %. Las pendientes transversales del nervio del 5% , son un m ínim o absoluto y a que ap esan d el agente desencofrante em pleado, se produce u n a apreciable resistencia al despegue e izado de la pieza con el puente grúa. El m olde debe proyectarse siem pre pensando que la pieza, al transferirse el pretensado, tom a la contraflecha correspondiente. Si el m olde im pide esa deformación, im pide tam bién la transferencia del pretensado al horm igón. Por tanto en secciones en las que los m oldes coarten la contraflecha, es necesario hacer m oldes que permitan desm óldeos parciales previos a la transferencia. Las figuras 27-15 y 27-16 muestran casos reales. Los m oldes se colocan en segm entos de cierta longitud, en contacto entre extrem os, m aterializando un m olde continuo de extrem o a extrem o de la mesa. La división en piezas se realiza colocando placas (fig. 27-11) separadoras, por parejas, a distancias de 8 a 20 cm según el canto y tipo de pieza. E s necesario considerar que el corte de tendones se realiza norm alm ente con cizalla y hace falta por tanto un cierto espacio entre placas separadoras p ara poder introducirla. 544

1 °1

1 Q*

I °a

w

Qj

1 Q„

Figura 27-17 Sin em bargo es necesario considerar la situación indicada en la figura 27-17: Si destesamos en el extrem o A de la mesa, y la fuerza total de pretensado después de la transferencia es P [t a esa fuerza se oponen las fuerzas de rozam iento entre m oldes y mesa, iguales a p Q p p Q v p Q y ... siendo p el coeficiente de rozam iento y Q r Q7, Q ... los pesos de cada pieza con su m olde. El em pleo de placas de elastóm eros reduce mucho el valor de p. E n todo caso, en la pieza /, la fuerza de pretensado realmente i=j-l

actuante en el extrem o M N de la pieza J es P —

p Q. que puede ser m uy inferior i=l

a P r D eben cortarse tendones em pezando p o r A y h acia el otro extrem o, de form a que vayan desapareciendo rozam ientos. E n m esas m uy largas puede ser necesario destensar por am bos extrem os y com enzar a cortar tendones tam bién por am bos. R ealizada la operación de destesado y corte de alam bres, la única operación que resta es el transporte de la pieza al parque. A unque en el parque seria u n a m edida

545

www.libreriaingeniero.com excelente prolongar el curado por riego durante algunos días, cuando se aplica el tratam iento p o r vapor es bastante corriente que no se realice ningún curado com plem entario y los resultados son aceptables.

m ecanism o de este fenóm eno h a sido estudiado p o r A L E X A N D E R SO N (27.2). Téngase, adem ás, en cuenta que, durante el tiem po de espera, la tem peratura del horm igón ya sube apreciablem ente, debido a las reacciones quím icas del fraguado.

Todas las operaciones descritas pueden realizarse aproxim adam ente en los siguientes tiem pos (en la práctica, algunas operaciones se solapan): L im pieza de m e s a .....................................................................................

0,5 h

C olocación y alineación de m o ld es..................................................... A plicación de d esen c o fran te s............................................................... C olocación de arm ad u ras.......................................................................

} 3,0 h T IE M P O S (H O R A S )

Tesado y anclaje........................................................................................ V ertido y com pactación del h o rm ig ó n ...............................................

1,5 h

P eríodo de e sp era ......................................................................................

2,0 h

T ratam iento por v a p o r.........................................................................

6,0 h

D estesado y corte de a rm a d u ra s..........................................................

0,5 h

T ransporte de piezas a p arque...............................................................

2,0 h

TOTAL

15,5 horas

R esulta posible, pues, realizar un ciclo de fabricación diario, con lo que se consigue un rendim iento muy elevado de la instalación. En algunos casos, incluso en países muy industrializados y con climas fríos, no se aplican tratam ientos térm icos, empleándose cem entos de m uy alta resistencia y un ciclo de fabricación de dos a tres días, según la estación del año. La situación en este tem a es m uy dispersa de unos fabricantes a otros. U n m étodo que puede resultar interesante en épocas largas en zonas amplias de países cálidos es el curado m ediante el calor del sol, cubriendo las piezas con plásticos transparentes. El sistem a ha sido em pleado con éxito en Israel (27.1). L os m étodos de tratam iento térm ico pueden ser m uy variados, pero describiremos solam ente el de calefacción por vapor a presión atm osférica, por ser el de em pleo más generalizado, ya que une las ventajas de una gran flexibilidad de aplicación con las de un curado húm edo. E n esquem a, el sistem a consiste en u n a caldera de producción de vapor y un sistem a de tuberías que se disponen a lo largo de la m esa, con perforaciones pars la salida de vapor situadas a distancias calculadas para obtener una distribución uniforme de tem peraturas. Tanto las piezas com o las tuberías se disponen bajo un túnel formado con lonas o plásticos para concentrar el vapor en contacto con las piezas a un volumen reducido y evitar costes inútiles. El tratam iento se indica en la fig u ra 27-18 y se com pone de un tiem po de espera desde la colocación del horm igón, u n a subida de tem peratura a un ritm o de unos 20/30 °C por hora, un período a tem peratura constante y un período de bajada de tem peratura. E l tiem po de espera es esencial, pues una aplicación prem atura del vapor puede p ro d u cir reducciones grandes e irrecuperables de la resistencia del horm igón. El 546

Figura 27-18 No puede establecerse un tipo general y único de ciclo de tratam iento por vapor, pues está fuertem ente condicionado por la longitud de la m esa, la disposición de moldes y, sobre todo, por el tipo de cem ento. U n cam bio de tipo de cem ento obliga a reestudiar el ciclo. En general, el curado al vapor perm ite alcanzar, en pocas horas, la resistencia que con un curado norm al se alcanza en u n a sem ana. Puede producir una reducción m uy ligera de las resistencias a largo plazo. V éase (27.3) y (27.4). N orm alm ente, durante la bajada de tem peratura del horm igón y antes de que la m ism a se iguale de nuevo con la del am biente, se procede a la transferencia, es decir, al paso de la fuerza de pretensado de las arm aduras ancladas en la cabeza de la mesa, al horm igón, m ediante el anclaje por adherencia. L a operación se realiza m ediante el destesado, actuando sobre los tom illos de las placas de destesado o sobre los gatos de cabeza de m esa, según el tipo de instalación. Es esencial que la operación se realice lentam ente para evitar cualquier efecto dinám ico en la operación de anclaje, que, com o verem os, aum entaría de fo rm a im portante la longitud de transm isión, reduciendo la eficacia del preten sad o 1. (V éase el C apítulo 32). D e todas form as, debe siem pre enjuiciarse con cuidado cualquier proceso de transferencia teóricam ente “instantánea” . Si los tendones son cordones de siete alam bres y se cortan con sierra, el corte paulatino de los alam bres increm enta fuertem ente la tensión de los restantes, que experim entan alargam ientos absolutos apreciables, que al referirse a longitudes vistas de tendón de 8 a 20 cm suponen grandes alargam ientos unitarios, con lo que la transferencia no debe considerarse realm ente instantánea. L a razón de realizar esta operación durante la b ajada de tem peratura y no al final de ese período reside en el interés de introducir com presiones en el horm igón antes de su enfriam iento com pleto para evitar la tendencia que de otra form a tendrían las piezas a Asurarse p o r tracción. (V éase el C apítulo 29).

2

Antes de realizar la transferencia, debe verificarse, m ediante la rotura de probetas curadas en el m ism o am biene que las piezas, que se ha alcanzado la resistencia necesaria en el horm igón.

547

27.3

E M P L E O D E M Á Q U IN A S D E E N C O F R A D O D E S L IZ A N T E

E stas m áquinas, conocidas habitualm ente com o “p onedoras”, perm iten fabricar sin m oldes fijos. En el caso particular de las piezas pretensadas, la m áquina, que lleva incorporada una tolva de alim entación (fig. 27-24), recorre la m esa desde un a cabeza a la otra. Los alambres son m antenidos en posición por una guía situada en la parte frontal de la máquina. Los perfiles de posible producción se indican de m anera orientativa en la figura 27.25.

F ig u r a 2 7 - 1 9

L a figura 27-19 indica la carga en cam ión en la nave, p ara un transporte directo a obra, lo cual no es lo norm al pero se realiza a veces. U sualm ente la p ieza se almacena en p arq u e y el m anejo se realiza con puentes grúa, pórticos o plum as según los casos (figs. 27-20 y 27-21).

©

hq lo eao o ra

©

TO LV A

©

VIBRADORES

©

PERFILADOR A

©

BASTIDOR

©

C AR R ILE S

©

APOYOS ELASTICOS

©

M E SA

DE MOLDEO

F ig u r a 2 7 -2 4

nuil mui mnn F ig u r a 2 7 - 2 0

F ig u r a 2 7 -2 1

El proceso descrito es el más general que cabe. E n m uchos casos, especialmente en los casos de fabricantes de una sola línea de productos, el proceso particular se sim plifica m ucho. Las figuras 27-22 y 27-23 indican vistas de un a m esa de fabricación exclusiva de losas.

F ig u r a 2 7 - 2 5

La calidad es satisfactoria, y a que no sólo la superficie superior, sino tam bién las laterales, quedan rugosas, perm itiendo un a excelente adherencia al horm igón “in situ”, mejor que si esas superficies hubieran sido m oldeadas. El proceso fabrica una pieza continua de uno a otro extrem o de la m esa, y a que no hay separadores. U na vez realizada la transferencia, se procede al corte de las piezas (horm igón y arm aduras) mediante un a sierra de disco de diam ante, viajera a lo largo de la mesa. O bsérvese que este procedim iento no produce, de m anera apreciable, anclaje por impacto, y a que no hay físicam ente ningún tram o de alam bre desnudo entre una pieza y la contigua. F ig u r a 2 7 -2 2

F ig u r a 2 7 -2 3

U na exposición general del sistem a puede seguirse en (27.5). 548

El sistem a es igualm ente aplicable a piezas de horm igón arm ado fabricadas en línea. L a velocidad de avance de las m áquinas oscila de 1 a 1,5 m /m inuto, según las marcas y tipos de perfil y según la plasticidad del horm igón que se em plee. 549

www.libreriaingeniero.com El ciclo de producción, excepto en lo alterado p o r la ausencia de m oldes, es el m ism o indicado en 27.2.

27.4 P IE Z A S F A B R IC A D A S P O R E X T R U S IÓ N El procedim iento de extrusión se realiza actualm ente con m aquinaria muy especializada. E sencialm ente consiste en com pactar un horm igón de m uy baja relación agua/cem ento y de reducido descenso de cono, m ediante husillos sin fin que com prim en y hacen avanzar el horm igón en los m oldes. La figura 27-26 representa una m áquina de este tipo. El producto más habitual obtenido por extrusión es la losa alveolar (H ollow -C ore). E n la figura 27-27 se representan perfiles de posible fabricación con la m áquina ELEM A TIC EL 900 E.

CAPÍTULO 28

iflO-OPj ro n a)

PROPIEDADES GENERALES DEL HORMIGÓN. DEFORMACIONES. FLUENCIA. RETRACCIÓN. TEMPERATURA

4/500

■QQHQ.i n o n .c o o a a a o o e)

Máquina para producir piezas por extrusión. Modelo ELEMATIC EXTRUDER EL 900 E de PCE Engineering (Cortesía de PCE Engineering) Figura 27-26

6/200

Figura 21-21

B IB L IO G R A F ÍA

28.1

G E N E R A L ID A D E S

E n lo que sigue se expone un conjunto de propiedades del horm igón relacionadas con su resistencia y deform ación. Se analizan en particular las deform aciones por fluencia, retracción y variaciones de tem peratura. Estos tem as serán com pletados más adelante, en especial en el C apítulo 31. L a docum entación que aquí se incluye es bastante m ás am plia q u e la que figura en EH E y pro ced e, básicam en te, de estudios del CEB. E n p articu lar se ha profundizado tanto en el problem a de las deform aciones com o en las m odificaciones introducidas en su determ inación por estar som etida la p ieza a tem peraturas diferentes de la estándar de 20 °C.

(27.1)

JAEGERMAN, C.H.; PUNDAK, B.; RAVINA. “Métodos de curado acelerado para elementos de hormigón prefabricados en un clima cálido”. VII Congreso Internacional de Prefabricados de Hormigón. Barcelona, 1972.

28.2 R E S IS T E N C IA S H O R M IG O N

(27.2)

ALEXANDERSON, J. “Efectos físicos del curado térmico del hormigón”. VII Congreso Internacional de Prefabricados de Hormigón. Barcelona, 1972.

28.2.1 R E SIST E N C IA A C O M PR E SIÓ N

(27.3)

“Accelerated curing of concrete at atmospheric pressure. State of the Art” ACI 517.2R-80.

(27.4)

“Acceleration of concrete hardening by thermal curing”. F.I.P. March 1982.

L a resistencia a com presión se especifica en los proyectos según su valor característico f c¡., m edido en probetas cilindricas de 15 cm de diám etro y 30 cm de altura, curadas a no m enos del 95% de hum edad relativa y a 20 ± 2 °C y ensayadas en estado satu rad o 1.

(27.5)

FOGARAS1, G. “Prestressed concrete technology”. AKADEMIAI KIADÓ. B u d a p est, 1986.

550

1

Y

M ÓDULO

DE

D E F O R M A C IÓ N

DEL

P or supuesto, la estructura real suele estar en otras condiciones. Volveremos sobre todo esto más adelante.

551

En lo anterior se entiende por valor característico el asociado a un 95% de nivel de confianza, es decir, corresponde a aquel valor por debajo del cual sólo es esperable que caiga un 5% de la población. A m pliarem os esto en el C apítulo 31.

se tiene cr'm"’

[28.5]

Salvo que se indique otra cosa esta expresión se refiere a la resistencia a tracción a x il1. M anejarem os un valor lím ite superior y un valor lím ite inferior, ambos entendidos com o valores característicos. U,n
[28.1]

fck,,,
[28.2]

co rresp o n d e n

./ 0,21

_ / 16,75 + fe0-7 \ Jck.flex ~ 1)43 \ ^0 7 j fctk.mn

28.2.2 R E S IS T E N C IA A T R A C C IO N

E sto s valores respectivam ente.

donde el canto h viene expresado en m m y com o f ctn

a n iv e les

de

c o n fia n za

de

0,95

y 0,05,

La fórm ula [28.5] se representa en la figura 28-1.

fck, flex fctk, mín

E n sentido estricto, deberíam os, com o en el caso de la resistencia a compresión, em plear un valor medio. E ste puede ser estim ado m ediante la fórm ula

100

200

300

400

500

600

700

h (mm)

[28.3]

/™ = 0,30

Figura 28-1 ([28.1], [28.2] y [28.3] vienen expresadas en N /m m 2). E n la Tabla T-28.1 figuran los valores correspondientes.

D ada la escasa variabilidad de la relación puede adoptarse, sim plificadam ente

T A B L A T-28.1 C lases de horm igón

H-12 H-16 H-20 H-25 H-30 H-35 H-40 H-45 H-50 H-60 H-70 H-80 H-100

fck

12

16

20

25

30

35

40

45

50

60

70

80

100

fctm

1,6

1,9

2,2

2,6

2,9

3,2

3,5

3,8

4,1

4,6

5,1

5,6

6,5

fctk,m ín

1,1

1,3

1,5

1.8

2,0

2,2

2,4

2,7

2,8

3,1

3,5

3,8

4,4

fctk ,m áx

2,1

2,5

2,9

3,3

3,8

4,2

4,7

4,9

5,4

6,1

6,8

7,4

8,6

fc k.flex = 0 , 3 9

^ f \ k

que corresponde aproxim adam ente a un canto m edio de 300 mm. O tra expresión, debida a FAVRE y sus colaboradores (28.1), es

/ rt, ^ = (°> 6 +4t yh P ara el cálculo de flechas en piezas som etidas a flexión, la resistencia que debe m anejarse es la resistencia a flexotracción. E ste valor está fuertem ente influido por m uchas variables, en especial por el canto de la pieza. El M O D E L C O D E indica la fórm ula general siguiente:

f

=f

1

j qj

J

N o existe norm a española para su determ inación. Puede usarse la N orm a RILEM CPC 7.

552

[28.4]

[28.7]

donde f am es la resistencia m edia a tracción axil y h el canto en metros.

Con fam = ° .3 ° v V t

{ 16>75 + h°J )

Jck.flex Jcun \

[28.6]

fckjlex ~ 0 . 3 0

>según [28.3], para hmedio= 0,3 m, se tiene

f P ck

[28.8]

valor sem ejante a [28.6].

553

www.libreriaingeniero.com 28.2.3 M O D U L O D E D EFO R M A C IO N P ara horm igón con árido cuarcítico, el m ódulo de deform ación puede ser estim ado m ediante la fórm ula del CEB

Lo anterior es válido, com o hem os dicho para árido cuarcítico. Si el árido es de otro tipo, los valores anteriores de E c y E ci deben m ultiplicarse por el coeficiente cc^ indicado en la tab la T-28.2. T A B L A T-28.2

E ci= 10.000 f 1/3

1

[28.9]

P ara el cálculo de flechas y otros propósitos es m ás lógico referirse al valor medio de la resistencia que de acuerdo con el M O D E L C O D E 90 puede estim arse mediante la fórm ula

ÁRIDO

VALORES DE a

CUARCITA

1

ARENISCA

0,70

CALIZA

NORMAL

0,90

DENSA

1,2

POROSO

0,9

NORMAL

1,2

fcm ~ f c k + 8

donde f cm y f ck deben expresarse en N /m m 2 2.


A doptando de acuerdo con el M O D E L C O D E la relación f cm = f ck + 8 , se obtiene E ci= 10.000 ( / , , + 8 )i*

[28.10]

donde f ck y E d vienen en N /m m 2. [28.11]

<2> GRANITO Y OTRAS ROCAS PLUTÓNICAS

1,1

DIABASAS

1,3

(1) En este grupo se incluyen rocas com o lario lita, dacita, andesita y ofita. Las rocas pertenecientes a este grupo (ofita, basalto y otras rocas volcánicas) presentan norm alm ente una baja porosidad y elevada

es la expresión adoptada por EH E.

densidad, pero pueden presentarse casos con porosidades relativam ente altas, reflejadas p o r ejem plo

Eci es el valor del m ódulo tangente. P ara cálculos sim plificados en los que no se consideren las deform aciones plásticas instantáneas, puede tom arse el m ódulo secante

en coeficientes de absorción del 3,5% ó superiores. Por ello, la tabla indica, adem ás del valor 1,2 para el caso norm al, el valor 0,9 para el caso de porosidad elevada. (2) En este grupo se incluyen rocas com o la sienita y diorita.

[28.11]

E \ i = 8 . 5 0 0 = 8.500 ( f ck + 8 )'

Recuérdese q ue/.¿.corresponde a probeta en estado satu rad o 1. En la figura 28-2 se representan am bas expresiones y tam bién la adoptada por el E U R O C Ó D IC O EC-2, que sustituye el coeficiente 8500 por 9500. H+m i? * E E 2

2 8 .2 .4

D E SA R R O L L O D E LA R E S IS T E N C IA A C O M PR E SIÓ N CO N EL T IE M PO

El valor de f ck a un a edad determ inada, depende de m uchas variables, en particular del tipo de cem ento, la tem peratura y la hum edad am biente.

4-

3,-90

Para T - 2 0 ° C y H R > 95% , la variación de resistencia con el tiempo viene dada por

W ~ Pee (?) fcm ,28

[ 2 8 .1 2 ]

p cc(t) = e ‘' ¡ ' - ( f r l

[2 8 . 1 3 ]

fcm 20.000

siendo

o

10

20

30

40

50

y, p o r tanto,

f CK (M Pa) (P R O B E T A C IL IN D R IC A )

Figura 28-2 1

Para m uchos casos interesa el c ’alculo de E a en función del valor m edio de la resistencia a com presión del horm igón.

2

E sta fórm ula está deducida a partir de extensas investigaciones experim entales y es preferible a la adoptada desde los años 60 por la norm ativa española, incluso hasta EH-91.

554

L ,(t)

1

[2 8 .1 4 ]

El paso de saturación a estado seco en el horm igón supone un aum ento de resistencia del orden del 20% y una reducción de £ n-del orden del 10%.

555

donde

= Resistencia media a compresión a 28 días en condiciones normalizadas

fcm ,28 fcm

28.3 DEFORMACIONES DEL HORMIGÓN

(t) = R esistencia m edia a com presión a la edad de t días.

t

= E dad en días, corregida en su caso de acuerdo con [28.14],

s

= C oeficiente dependiente del tipo de cem ento.

Su cálculo es de gran im portancia para m uchas cuestiones, pero en especial para una evaluación correcta de las pérdidas de tensión en las piezas pretensadas. L a tabla T-28.3 contiene u n a clasificación general.

TABLA T-28.3

5 = 0,20 p ara cem entos de alta resistencia y endurecim iento rápido (Se entienden com o tales los de las clases 42,5 R, 52,5 ó 52,5 R) s = 0,25 p ara cem entos de endurecim iento norm al o rápido. (Los de clase 32,5 R y 42,5). s = 0,38 para cem entos de endurecim iento lento. (Los de clase 32,5)

DEPENDIENTES DE LA TENSIÓN DEFORMACIONES

4.000

tT

273 + T (.Ati)

Elásticas

Elásticas diferidas

Irreversibles

Remanentes

Plásticas diferidas

Retracción

D eform aciones reversibles

13,65

i=i

D eform aciones irreversibles

[28.15]

Son las que se producen bajo el efecto de las tensiones, bien en fo rm a instantánea (plasticidad instantánea), bien a lo largo del tiem po (plasticidad diferida). D eform aciones de flu e n cia

= Temperatura corregida.

Es el aum ento en el tiem po de las deform aciones producidas p o r tensiones perm anentes. A barca, pues, tanto la elasticidad diferida com o a la plasticidad diferida. Frecuentem ente, se considera incluida tam bién la plasticidad instantánea, y a que ésta no se produce realm ente de tal form a.

T(Át¡)= Temperatura durante el período At¡. At¡

Termohigrométricas

Son aquéllas que, al cesar la tensión que las h a producido, se recuperan bien instantáneam ente (elásticas), o bien de fo rm a diferida.

donde tT

DIFERIDAS (fluencia)

Reversibles

Si la tem peratura del horm igón es distinta de 20 °C, en algún periodo, la edad t en [28.12] debe sustituirse por una edad corregida tT , que viene dada por la fórm ula

i=n

INSTANTÁNEAS

INDEPENDIENTES DE LA TENSION

= Tiempo durante el que actúa la temperatura T(At¡).

L a expresión [28.15] es la adoptada por el M O D E L C O D E 90. E stá basada en el concepto de m adurez, pero deducido a partir de las teorías de activación de energíá para la hidratación del cem ento. Es una versión m ucho m ás perfeccionada del concepto de m adurez que la clásica, pero, al igual que ésta, sólo es aplicable a cem entos portland o a lo sum o con bajos contenidos de adición. V éase la referen cia (28.2).

D eform aciones term ohigrom étricas Son las producidas en el horm igón endurecido p o r los cam bios de tem peratura y humedad. D eform aciones de retracción Son las sufridas p o r el horm igón durante su período de endurecim iento.

28.2.5

D E SA R R O L L O D E L M Ó D U L O D E D E FO R M A C IÓ N CO N E L TIEM PO

Para una edad t, diferente de 28 días, el m ódulo de deform ación puede estimarse m ediante la fórm ula E ci(t) = $ E ( t ) E ci

[28.16]

PE (t) = [ P cc( t ) f

[28.17]

siendo

F L U E N C IA , R E T R A C C IÓ N Y T E M P E R A T U R A

L a deform ación total en el instante t, de un horm igón som etido a carga en el instante t0, bajo u n a tensión constante a c (t0), se descom pone de la fo rm a siguiente; £ c ( t ) = Ec¡

donde ¡3cc (t) viene dada, com o vim os, por [28.13] con análogas consideraciones a la§ que allí se hicieron p ara el caso de tem peraturas diferentes a 20 °C y tipo de cemento.

556

28.4

(t0) + £cíp(t) + Ec s ( t ) + Ec J

donde ec i(t0) = E (t)

D eform ación instantánea bajo carga.

= D eform ación de fluencia hasta el instante t > t0.

[28.18]

www.libreriaingeniero.com £cs (r)

= Deformación de retracción hasta el instante t > t0.

ec T

= Deformación debida a la variación térmica.

0 =HR'P(fan)'P(to)

[ 2 8 .2 3 ]

0

[28.24]

siendo

28.4.1 FLUENCIA

= 1 + i£ íL Z Í /L 9,9ef w

Para tensiones inferiores a 0,45 f au (t j , puede aceptarse proporcionalidad entre la tensión y la deformación de fluencia1. Para una tensión <7c (t0) aplicada en el instante t0 y mantenida constante, en el instante t > t0, se tiene: M í o) £c
[28.19]

c i.2 8

donde:

P (fJ = A ^ = ^ V ri+ 8

[28.25]

P (t0) = ------ '------0 , 1 + (g o .2

[28.26]

con los significados siguientes:

HR = Humedad relativa dei ambiente en que está situada la estructura, en %.

= Módulo de deformación a 28 días a 20 °C y HR > 95% obtenido mediante [28.10]. 1

ef J

2AC it

siendo A el área de la sección transversal de la

pieza y a la parte de perímetro que está en contacto con la atmósfera, (¿y en mm),

[28.20]

E ' , i ( h j)

= Espesor ficticio =

f an = Resistencia del hormigón a 28 días de edad en probeta y condiciones estándar.

que puede ser representada simbólicamente por

t0 ec
[28.21]

=; Instante de la puesta en carga, expresado en días a partir de la fecha de hormigonado. (t0 se corrige, si ha lugar, de acuerdo con [28.16] y [28.29]).

donde: j (t,

t j

= Función fluencia, que proporciona la deformación total diferida por unidad de tensión.

E ’c¡ ( t j = Módulo de deformación a la edad % calculado con la expresión [28.17],

(La edad t de cálculo, no se corrige en ningún caso).

En la fórmula [28.22], el factor ¡3c (t - t j viene dado por

E ’d

= Módulo de deformación a 28 días medido en probeta y condiciones estándar. El coeficiente de fluencia (p ( t , f (¡) puede estimarse para T - 20 °C y cualquier humedad relativa mediante la expresión2 <j>(t,t0) =

2

558

siendo

150

D e b e p re s ta rs e a te n c ió n a q u e c o n los s is te m a s a c tu a le s de c á lc u lo , e s p e c ia lm e n te si los c o e fic ie n te s d e p o n d e ra c ió n y ( se re d u c e n a v a lo re s p ró x im o s a los m ín im o s p e rm itid o s y se u tiliz a n c u a n tía s p ró x im a s a la c rític a su p erio r, las te n sio n e s en s e rv ic io p u e d e n s u p e ra r a p re c ia b le m e n te el lím ite 0,4 f o n ( V - V é a s e re fe re n c ia (2 8 .3 ). E l M O D E L C O D E 90 y, so b re to d o , la re fe re n c ia (2 8 .4 ) dan p ro c e d im ie n to s de c o rre c c ió n , p ero e x tra o rd in a ria m e n te co m p lejo s. O b sé rv e s e q u e la e x p re s ió n n o es a d itiv a , es d ec ir, la flu e n c ia en tre d os in sta n te s 0 (ri, t ¡ ) sin o 0(r2, g - 0 ( r ftr0).

[28.27] Ph + t-f0

[28.22]


donde

1

& fí-0 =

í¡

y

t2

n o es

1+

1,2

•

HR 100

100

- + 250 < 1.500

[28.28]

con los mismos significados anteriores. La tabla T-28.4 procedente de EHE proporciona los valores de

559

TABLA T-28.4

Si la tem peratura durante el período de aplicación de la carga es constante, pero diferente de 20 °C, su efecto sobre la fluencia puede ser calculado, en prim er lugar, usando el coeficiente PHT&n lugar de fiH en [28.28], siendo

Valores del coeficiente de fluencia (¡) (t, t0)

P h.t = Ph ■Pr

H u m e d a d r e la tiv a (% )

[28.30]

E dad p u e s ta

50

60

70

donde ¡3^ viene dado por [28.28] y PT por la expresión

80

E s p e s o r m e d io (m m )

t 0 (d ía s) 50

150

600

50

150

600

50

150

600

50

150

600

1

5 ,4

4 ,4

3,6

4 ,8

4 ,0

3,3

4,1

3,6

3 ,0

3,5

3,1

2,7

7

3,8

3,1

2,5

3,3

2 ,8

2,3

2 ,9

2,5

2,1

2,5

2 ,2

1,9

14

3,3

2,7

2 ,2

2 ,9

2,4

2 ,0

2 ,5

2 ,2

1,8

2 ,2

1,9

1,7

28

2 ,9

2 ,4

1,9

2 ,6

2,1

1,8

2 ,2

1,9

1,6

1,9

1,7

1,5

60

2 ,5

2,1

1,6

2 ,2

1,9

1,5

1,9

1,7

1,4

1,6

1,4

1,3

90

2,3

1,9

1,5

2 ,0

1,7

1,4

1,8

1,5

1,3

1,5

1,3

1,2

36 5

1,8

1,4

1,2

1,6

1,3

1,1

1,4

1,2

1,0

1,2

1,0

0,9

1800

1,3

1,1

0 ,8

1,1

1,0

0,8

1,0

0 ,9

0,7

0,8

0,7

0,7

1500 ^-5 12 p r = e l 273 + 7 ’ “ / donde T es la tem peratura en °C. E n segundo lugar, el coeficiente + ( < V - i) • eo,oi5l(T-20)6

a)

Los nuevos coeficientes p HT y tyHRtT, sustituyen a p H y (pHR en [28.28] y [28.24], respectivam ente, para el cálculo de (f)(t, t j m ediante [28.23].

f ck= 37,5 MPa.

Corrección del coeficiente de fluencia según la temperatura de curado y el tipo de cemento

A m bos efectos pueden ser considerados m odificando el instante de carga m ediante la fórm ula.

t0 — t0T

+ 1

> 0,5 días

Si durante el período de carga se produce una variación de tem peratura AT, su efecto instantáneo en la fluencia puede calcularse m ediante la expresión3: <j) (t, t0,T) = <]>0 • Pc (t -tB) + á <¡>AT¡mns

t0T =

E dad corregida de carga, de acuerdo con la fórm ula [28.16].

a

C oeficiente de valor:

=

^

560

= 0 ,0 0 0 4 (^ 2 0 )2

[28 -3 4 ]

R E T R A C C IÓ N

ecs(t,tr) = ecsM- Pj f - f , . )

2

C28-35!

donde: ecs0

a = 1 para cem entos de endurecim iento rápido y alta resistencia.

E l efecto de la tem peratura durante el período de curado inicial, fue tenido en cuenta m ediante la fórm ula [28.29] del apartado a) anteiior.

^

El acortam iento total p o r retracción, para T = 20 °C, puede estim arse a partir de la expresión

a - 0 para cem entos de endurecim iento norm al o rápido.

Corrección del coeficiente de fluencia por tem peratura durante el período de aplicación de la carga

[28.33]

donde (¡)0 y t p c (t - t0) fueron ya indicados en [28.23] tenida en cuenta la variación a tem peratura constante diferente a 20 °C, según el párrafo anterior, para (¡)0 y p c (t - t j y el valor de A
28.4.2

a = -1 para cem entos de endurecim iento lento.

b)

Corrección del coeficiente de fluencia por una variación de temperatura, durante el período de carga

[28.29]

donde:

[28.32]

donde <j)HR viene dado por [28.24] y T se expresa en °C.

c) (*) La tabla no considera la resistencia del hormigón. Está calculada para

[28.31]

= C oeficiente base de retracción.

Ps ([ - tr) = C oeficiente de desarrollo de la retracción en el tiem po. 1

Lo que sigue se refiere al efecto instantáneo de la variación térm ica sobre la fluencia. El efecto debido a la duración a partir de ese instante, se rige por lo expuesto en b).

2

O bsérvese que la expresión no es aditiva, es decir, la retracción entre dos instantes t, y t2 no es ecs(t,, t2) s in o e cs( M 0) - e J t , , t0).

561

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TABLA T-28.5

= E dad del horm igón en el m om ento p ara el que se calcula la retracción (Sin corregir). = E dad a la que com ienza la retracción (norm alm ente tr « 1 día, pues los curados de tipo habitual a tem peratura am biente, no afectan apreciablem ente al valor de la retracción). (Sin corregir)

Humedad relativa (%) 50

t-tr (días)

60

£ s( fc n J

[28.36]

Phr

'

donde:

16 0+ 10/3,

£s(faJ =

f cm

=

Psc =

70

80

Espesor medio (mm)

En [28.35] se tiene

£ cs,0 -

£cs(t,tr) • 1 0 '6

Valores del coeficiente de retracción

50

150

600

50

150

600

50

150

600

50

150

600

14

-193

-69

-17 -173

-61

-15

-145

-51

-13 -107

-38

-10

30

-262

-99

-25 -235

-89

-23

-197

-75

-19 -146

-55

-14

90

-369

-166

-44 -331

-149

-39

-277

-125

-33 -206

-93

-24

365

-466

-292

-87

-417 -262 -78

-350

-219

-65

-163 -49

1825

-507

-434

-185 -454 -388 -165 -381

-326

-139 -283

-242 -103

10000

-517

-499

-345 -463

-448 -309 -388 -375

-259 -288

-279

f

q

J cm

• io -6

[28.37]

"7ó

R esistencia m edia del horm igón en N /m m 2 en condiciones norm alizadas a 28 días. (Puede aceptarse a falta de otra inform ación f cm - f ck + 8) C oeficiente dependiente del tipo de cem ento. (Ver 28.2.4)

( * ) L a ta b la n o c o n s id e r a la r e s is te n c ia d e l h o r m i g ó n .E s tá c a c u la d a p a r a f c k ~

-260

-192

37,5 M Pa.

Para la m ayoría de los casos habituales en la práctica, la tabla T-28.5 procedente de EH E proporciona directam ente los valores de £cs. (Está basada en una tem peratura de 20 °C y cem ento de endurecim iento norm al).

Psc = 4 para cem entos de endurecim iento lento. Psc = 5 para cem entos de endurecim iento norm al o rápido.

a) Corrección de la retracción para temperaturas diferentes de 20 °C

Psc = 8 para cem entos de endurecim iento rápido y alta resistencia.

Si la tem peratura durante el desarrollo de la retracción es diferente de 20 °C, su efecto sobre ella puede ser estim ado m ediante la expresión (EH E adopta f

cm = f ck

+ 8 y supone

p sc

= 5, llegando a

e s ( f cm ) = ( 5 7 0

-

5 f ck) 1 0 *

a rT = 0,0350 [ ef j2 e W - » ) Phr = - '¿ 5

0,25 para siendo

H R

H R

1-

HR

para 40% < HR < 99%

100

>99%

donde

[28.38]

T

viene en °C y

h

[28.40]

en mm.

El coeficiente a rT reem plaza al térm ino 0,035 e2f en la expresión [28.39]. Al mismo tiem po la influencia en e s ( f cni) , se obtiene sustituyendo p HR en [28.36], por

la hum edad relativa am biente en %

[28.41]

P h r j — P h r ' P rT

Ps (t " tP viene dada por la expresión donde (t

PsO-tr) =

0,035

Phr

se expuso en [28.38] y

viene dada por

- o

ej

+

[28.39] t - tr

donde ef es el espesor ficticio en mm.

PrT = 1 + ( ----H,T 1 103 siendo

H R

H R

J

\ 40

= hum edad relativa en % y

Con [28.40] se calcula calcula [28.36]. 562

p rT

p s (t

/ T

[28.42]

en °C.

- tr) y con [28.39], [28.40] [28.42] y [28.37] se

563

BIBLIOGRAFÍA (28.J)

FAVRE, R., KOPRNA, M„ y RADOJICI, A.; “Effets différés, fissuration et deformations des structures du betón”. Georgi Saint-Saphorin. Lausanne. 1980

(28.2)

FERNÁNDEZ GÓMEZ, J.; “Estudio experimental de la evolución de las características mecánicas del hormigón curado en diversas condiciones”. Tesis Doctoral bajo la dirección de J. CALAVERA. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos de Madrid. Madrid, 1986.

(28.3)

CALAVERA, J.; “Los coeficientes de seguridad en teoría clásica y en teoría de estados límites”. Hormigón y Acero. N° 110. Madrid, 1974.

(28.4)

“Evaluation of the time dependent behavior of concrete”. Bulletin d’information. N° 199. CEB. August, 1990.

CAPÍTULO 29

PÉRDIDAS DE LA FUERZA DE PRETENSADO. FUERZA FINAL DE PRETENSADO

29.1

IN T R O D U C C IÓ N

Sea cualquiera la técnica de pretensado que se em plee y en particular con independencia de que se em pleen arm aduras pretesas o postesas, es inevitable que se produzcan pérdidas apreciables en la tensión de las arm aduras y por tanto en la fuerza de pretensado. E llo conduce en definitiva a u n a evolución decreciente del pretensado en el tiem po, que debe ser cuidadosam ente considerada en el cálculo. A lgunas de las pérdidas son intrínsecas y propias de las arm aduras. O tras son producidas en éstas por las deform aciones que sufre el horm igón.

29.2

T E N S IO N IN IC IA L D E P R E T E N S A D O

D e acuerdo con E H E, la fuerza inicial de pretensado, P , h a de ocasionar en las arm aduras activas una tensión no superior alm enor de los lím ites siguientes: ° ’7 5 f P„«w

P 9 .1 ]

0,90 f pk

[29.2]

donde

564

fpmáxk

~

C arga unitaria m áxim a característica

f k

=

L ím ite elástico característico 565

www.libreriaingeniero.com D e form a tem poral, la tensión podrá alcanzar los valores:

° ’8 5 fpn^k

[29.3]

0.95

[29.4]

siem pre que inm ediatam ente después de anclar las arm aduras en el horm igón se respeten los lím ites [29.1] y [29.2]. C om o, sea cualquiera la técnica de pretensado, suele ser necesario controlar los alargam ientos de tesado (recorrido de tesado) de las arm aduras, y por otra parte se desea que en servicio la pieza presente un com portam iento esencialm ente lineal, es conveniente añadir que después del tesado y anclaje en las arm aduras postesas, e inm ediatam ente después de la transferencia en las pretesas, el valor de la fuerza de pretensado no supere adem ás el lím ite:

- F luencia del horm igón, ocurrida en una etapa inicial bajo las tensiones producidas por la acción del pretensado y eventualm ente del peso propio de la p ieza y en otra posterior p o r las ya dichas más las acciones exteriores aplicadas. D ebe señalarse ya que el fenóm eno de pérdida de la fuerza de pretensado por relajación de las arm aduras ni es un caso de relajación pura -pérdida de tensión de la arm adura a longitud constante- ni es tam poco un caso de fluencia pura del acero increm ento de longitud a tensión constante. Se trata en realidad de un a pérdida debida a un fenóm eno m uy com plejo de evolución de la arm adura anclada en un horm igón que fluye, bajo una tensión de la arm adura que a su vez decrece con el tiempo. En lo que sigue analizam os detalladam ente cada una de las pérdidas.

29.3.1 PÉR D ID A S IN ST A N TÁ N EA S D E FU E R ZA

a) Pérdida AP x debida al rozamiento en el conducto. E n lo que sigue nos 0 , 8 5 f p0lk

[29.5]

donde f 0¡k es la tensión que en el diagram a característico de las armaduras corresponde a la deform ación rem anente del 0,1% . E l lím ite [29.5] corresponde en la p ráctica a una tensión que está en la ram a recta del diagram a tensión-deform ación de la arm adura. Por las m ism as razones antedichas bajo la acción del gato el valor P o no debe conducir a una tensión superior a: 0 , 9 0 f p¡)lk

referim os a conductos, bien adherentes, com o en el caso de las vainas m etálicas corrugadas o lisas, bien no adherentes com o es el caso de los conductos de m aterial plástico. El caso del rozam iento en sillas en la técnica de pretensado exterior, aunque obedece a las m ism as bases requiere siem pre un estudio adaptado al tipo de sillas em pleado. E l rozam iento en los conductos se produce tanto en las partes curvas com o en las rectas, tal com o a continuación verem os.

[29.6]

(Estas condiciones son establecidas por el M O D E L C O D E 90 (29.1)). P-dP

29.3

P É R D ID A S D E L A F U E R Z A D E P R E T E N S A D O C U A N D O SE EM PLEA N AR M A D U R A S PO STESAS

\/

E l conjunto de las pérdidas suele oscilar del 15 al 25% . C onviene dividirlas para su consideración en dos grupos:

Figura 29-1

a) Pérdidas instantáneas de fuerza. Son habitualm ente debidas a los tres fenóm enos siguientes: - Pérdida por

rozam iento a lo largo de los conductos o sillas de apoyo.

- P érdida por

penetración de cuñas.

- Pérdida por

acortam iento elástico instantáneo del horm igón.

b) Pérdidas diferidas de fuerza. Son tam bién habitualm ente debidas a tres fenóm enos: - R etracción del horm igón ocurrida con posterioridad al tesado y anclaje de las arm aduras. - R elajación de las arm aduras desde el instante de su anclaje. 566

C onsiderem os (Fig. 29-1) el tram o curvo A B de longitud diferencial, de un tendón de pretensado, al que en su extrem o libre A se le aplica una fuerza de tesado P. A lo largo del arco A B se desarrollarán fuerzas de rozam iento / debidas al rozam iento entre el tendón y el conducto. E stas fuerzas tendrán un v a l o r / = / • p , d o n d e / es la fuerza norm al al conducto, d ebida a la presión del tendón sobre él y p el coeficiente de rozam iento entre los m ateriales del tendón y del conducto. Si p es el radio de curvatura de la zona considerada y N la resultante de las f u e r z a s / , el diagram a vectorial de la figura conduce a

N = P sen

2

+ (P - dP) sen

2 567

Si la distancia entre los separadores del conducto no es reducida, éste flotará antes del horm igonado. En el propio proceso de horm igonado en particular debido al peso del horm igón fresco y a la acción de los vibradores, se producirán nuevos desalineam ientos y cuando se tese el tendón, éste rozará con el conducto en las zonas tales com o las M y N de la figura.

y por tanto da

N = 2P sen

Al tratarse de una longitud diferencial de área puede aceptarse sen

da

da

2

2

Sobre una longitud de tendón dx, llam em os k al coeficiente de desviación an gular accidental p arásita por unidad de longitud. P odem os plantear análogam ente al caso anterior la ecuación diferencial

y [29.7] se transform a en dP = kfjP dx N = Pda o bien L a fuerza de rozam iento es la integral de todas l a s / r = ¡ifn y h a de ser igual dP. Por tanto

— P

= k¡jdx

dP - fjP d a e integrando entre A y B, se obtiene análogam ente o bien P B = P A e -^ x

[29.8]

dP = ¡jd a

L a expresión general para las pérdidas en un tendón con arcos a y longitud total x desde el anclaje de tesado a la sección considerada, será:

P e integrando

\A d P

BP

=

J

AP, =

a d a

Jo

y en definitiva resulta

Figura 29-3 E n la figura 29-3 se indica un caso general de trazado de un tendón con tram os rectos y curvos. E n los tram os curvos, si la relación de flecha a cuerda es

con a expresado en radianes. E n la práctica, no sólo se produce rozam iento en las zonas curvas del tendón, sino tam bién una ondulación accidental parásita, tanto en tram os curvos como rectos, debido a defectos de alineación de las vainas, tales com o p. ej. el indicado en la figura 29-2.

8f inferior a 0,045, se puede considerar a =—~ . E H E recom ienda valores de q y k. Tanto el M O D E L C O D E 90 com o el E U R O C Ó D IG O E C -2 proporcionan tam bién datos. Los que se exponen a continuación proceden del M O D E L C O D E 90.

T

_ M .... ----- S--- -----------X-----------A F igura 29-2

568

1

Esta fórm ula es de presentación diferente a la de EH E, que es A/', = P{]

- e*' ^ a>^

L a de [29.9]

procede del M O D EL CO D E 90, y perm ite un tratam iento más preciso del problem a.

569

www.libreriaingeniero.com 1) Armaduras postesas inyectadas.

a-3) Tendones de pretensado exterior, formados por varios cordones,

Debe distinguirse entre el valor del coeficiente físico de rozamiento, fi el real, p, pudiendo aceptarse D’

apoyados sobre sillas de acero, con radio de 2,5 a 4,0 m.

- Cordones sin engrasar, sobre silla de acero p 0,25 a 0,30

P = X CP 0

k 0 donde %Q es un coeficiente que depende del porcentaje de área del conducto ocupado por el tendón. Para porcentajes de ocupación del 50 ó 60%, %Qoscila de 1,30 a 1,35. Para esta situación y sin formación de óxido aprecíable pueden aceptarse los valores siguientes:

- Cordones engrasados, sobre silla de acero ju 0,20 a 0,25 k 0

- Cordones sin engrasar, situados dentro de vainas de plástico, sobre

Alam bres trefilados

0,13

0,17

Torzales y cordones

0,15

0,19

Barras redondas lisas

0,25

0,33

p 0,12 a 0,15

0,65

k 0

Barras redondas corrugadas

0,50

No es raro encontrar en las mediciones del recorrido de tesado en obra, variaciones que corresponden a valores de /j diferentes de los de la tabla hasta en el 50%, y mayores si la oxidación es apreciable. Los valores de k oscilan de 0,005 n r 1 en los casos de control de calidad de ejecución intenso a 0,0 lm '1en los casos de control de calidad normal.

2) Armaduras postesas no adherentes. De acuerdo con el M ODEL CODE 90, y en ausencia de una inform ación específica y contrastada se pueden aceptar los valores de /j y k siguientes:

- Cordones unifílares, situados en vainas de plástico, com o es usual en placas sobre apoyos aislados, depósitos, etc. p

0,05 a 0,07

k

0,006 a 0,01 n r 1

silla de acero

- Haz de cordones plastificados, sobre silla de acero /./ 0,05 a 0,07 k 0 En los casos de conductos con poca longitud y sin grandes desvíos curvos, es usual tesar los tendones desde un solo extremo. Si estas condiciones no se dan, será necesario tesar el tendón desde ambos extremos. (Ver el apartado b) que sigue). En la figura 29-4 se indica un caso genérico, con tramos de tendón M N, PQ y R S rectos y tramos curvos N P y QR,

- Tendones engrasados, constituidos por varios alambres o cordones p

0,13 a 0,17

k

0,004 a 0,008 m '[

- Tendones no engrasados, constituidos por varios alambres o cordones Pueden usarse los valores expuestos en a-1) para el caso de tendones inyectados.

F igura 29-4

571

Si se procede al tesado desde el extrem o M solam ente, la fuerza de pretensado descenderá a lo largo de la longitud de la pieza, hasta el valor m ínim o P s, en el otro extrem o. Si la pérdida P o - Ps es im portante una solución es proceder a realizar un segundo tesado, ahora desde el extremo S , con fuerza P ’s = P o. Si no se hubiera realizado el prim er tesado la variación de fuerza P sería la línea que varía desde la fuerza P* = p ’ en S a ? ’M en el extrem o M . Si se realizan los dos tesados, la curva° de variación de la fuerza de tesado P será la A B C , con una apreciable reducción de las pérdidas. D e hecho, las pérdidas pueden reducirse aún m ás, si bien con operaciones que suponen un increm ento apreciable del coste de tesado. B asta para ello tesar por am bos extrem os hasta el lím ite provisional establecido por [29.3] y [29.4] y reducir luego la tensión del tendón, por ej. a 0 , 6 / elevarla a continuación al valor final [29.1], [29.2], anclando finalmente los tendones.

y P2 = P0 - A P } - A P 2 = P} - A P 2 = P}

8 ■E - A p ^ -------

[29.11]

y se produce uniform em ente a lo largo de la longitud í?del tendón. (Este es el caso considerado por EH E). En este caso, la pérdida suele ser despreciable en la práctica, salvo para tendones m uy cortos. Sin em bargo, en los casos usuales de rozam iento entre tendón y conducto, la situación es diferente, tal com o se indica en la figura 29-5.

L lam arem os P { a la fuerza de pretensado después de producida la pérdida de fuerza AP

c

b) Pérdida AP2 debida a la penetración de cuñas1 A continuación del tesado del tendón, se procede al anclaje de éste. Salvo en algunos sistem as particulares de pretensado, tal com o vim os en el C apítulo 27, el anclaje se realiza m ediante cuñas (divididas en dos o tres piezas circunferencialm ente) que actúan sobre el tendón. Para la entrada en acción de las cuñas es necesario un cierto deslizam iento de éstas, que sucede una vez el gato reduce la fuerza aplicada al tendón. L a penetración de cuñas Ó es un dato que debe ser proporcionado por el fabricante de anclajes, basado en ensayos independientes. E n la práctica suele oscilar de 3 a 12 m m según el sistema de anclaje. (Es m enor cuando el gato posee dispositivo auxiliar de em puje y clavado previo de las cuñas). E sta penetración, a efectos de cálculo, se refiere sólo al extrem o de tesado, es decir al anclaje activo, ya que en el extrem o opuesto, es decir en el anclaje pasivo si tiene cuñas, tal penetración se produce tam bién, pero bajo la fuerza actuante del gato y no origina por tanto ninguna pérd id a de fuerza. E n caso de tesado por am bos extrem os, se produce naturalm ente en am bos. L a penetración de la cuña ocasiona una pérd id a de fu erza APT Si el rozam iento entre el tendón y el conducto es m uy bajo, com o p o r ejem plo en el caso de tendones no adheridos y con grasa soluble p ara evitar el rozamiento, el acortam iento producido del tendón es sensiblem ente uniform e a lo largo de toda su longitud y la pérdida de fuerza AP 2 vendrá dada por

e -►

C uando se tesa el tendón, se producen unas fuerzas de rozam iento (fig. 29-5a)) que se oponen al alargam iento del cable y reducen la fuerza de pretensado a m edida que el punto considerado del tendón se aleja del anclaje. E n cam bio, cuando se suelta el tendón y hasta que se enclavan las cuñas (fig. 29-5b)) el corrim iento del tendón m oviliza fuerzas de rozam iento de sentido contrario, hasta una distancia í , en la que las fuerzas de rozam iento producen ya una fuerza total en el tendón igual a la diferencia entre la fuerza de tesado P o y la correspondiente al punto distante í. del anclaje. E sto se indica en la fig u ra 29-5c). En los casos habituales, en una distancia íc a partir del anclaje las fuerzas de tesado, que inicialm ente seguían la ley A B C , se reducen en dicha longitud a la ley A ’BC. Las tensiones en el tendón de acuerdo con la ley A B C vienen dadas según [29.9] p o r la fórm ula <j p ( x )

AP 2 = A - - E

1

572

p

-A p

En esta p érdida consideram os tam bién el “asiento” elástico instantáneo del anclaje en el la pieza. Es un dato que debe ser facilitado por el fabricante.

[29.10]

hormigónde

=

a o

P ro d u cid a la p en e trac ió n de cu ñ as, correspondientes al tram o A ’B serán

<7m p (x) = a n ip s 7

v c7

[2 9 . 1 2 ]

■
+

las

te n sio n e s

m o d ificad as

a mp

[29.13]

573

www.libreriaingeniero.com (T

mp

(í ) =

c'

E n la expresión anterior, se h a supuesto que la variación angular del tendón,

( j e -p(a{f±c ) + ktc )

o

a , en la longitud íc, es la m e d ia - j - , (a ángulo total de giro del tendón, C, longitud

y por tanto (T

(V )

mp '

'

=

(7 ¿'^[20: (íc) + 2WC-a (.v)-fc-v]

o

total del tendón), por dicha longitud.

[29.14]

O perando

L a penetración del anclaje 5c, corresponde a la diferencia de alargam ientos del tendón según la curva de fuerza teórica A B y la real A ’B. Es decir:

p o m = p o e - ^ ( 1f + t) (■*)] dx

£, W

y por tanto

y sustituyendo (7 (x) pw

A/L = P o - P

o m p (x) v 7

—e

om

-2plc(<x- +k) O '

[29.19]

8x ( í , í y k en m, m y m '1, respectivam ente).

o bien, expresando 8 en función de las fuerzas de pretensado

P m p (x) v '

ó =

A E p

A E p

p

dx

Por tanto [29.16] puede escribirse s [29.15]

P

i 0 c 2A E p

p

-2 p lc

1 -e

+k)

p

U tilizando el desarrollo en serie de M cL A U R IN de e ]

L a expresión [29.15] equivale a

8 =

^AA’B A E P

e

[29.16]

-2/jGc (£L+f¿ a w i w 1 - 2¡jdc I— + k

P

y sustituyendo donde SM ,B es el área rayada del triángulo curvilíneo en la figura 29-5c). o

E n la p rác tica se consigue, en ausencia de datos m ás precisos proporcio­ nados por el fab rican te de los anclajes, u n a b u en a ap roxim ación asim ilando el trián g u lo curvilíneo A A ’B al rectilíneo A A ’B ind icad o de trazos en la figura.

c

i 2 i— a +k

A E p

p

de donde 10008c AP • E p

E l área rayada puede expresarse com o

p A

AA B

2

(P - P

[29.20]

\ i

°"

) ■«

°

[29.21]

^ + k)

[29.17] (El coeficiente 1000 del num erador perm ite introducir k y í en m en la fórm ula tal com o es habitual. E l resto de las unidades en N y m m . (Ccen mm).

El valor P

viene dado, de acuerdo con [29.14] por

P otn = P o e 574

[29.18]

1

E l desarrollo correspondiente

F

x~

A

es ex = 1 + x + — + —

2!

3!

tn

n!

+

...+ —

575

En cualquier caso, tal com o se observa en la fig. 29-6, la penetración de

Debe prestarse atención a la relación del valor de tc con la longitud total del tendón y con los momentos flectores a lo largo de la luz. En la figura 29-6 se indican tres situaciones diferentes. Para ley sim étrica de momentos respecto al punto medio de la luz, se tiene:

cuñas conduce a que la máxima fuerza de pretensado no se produzca en el tendón a la salida de su anclaje, sino a una cierta distancia de éste. Véase, com o com plem ento, el caso particular expuesto en el ejemplo 29.1 en que se tesa la m itad de los cordones desde cada lado. En los casos en que surgen desviaciones im previstas en el rozamiento en las operaciones de pretensado en obra, puede resultar im posible alcanzar la pieza especificada de pretensado, con las tensiones máximas indicadas. Si el procedim iento de pretensado y las armaduras activas em pleadas lo permiten, pueden emplearse tensiones iniciales mayores, siempre que no se exceda el valor 0,95 f „ de acuerdo con las recom endaciones del M O D EL CODE 90 ’ J pu.lk’ siguientes: Valores m áximos de fuerza al tesar

¡3 < 0,28

a) Tesando desde un sólo extremo

Tesando desde ambos extremos

0*9 fpojp

0,28 < ¡3 < 0,40 0,40 < p < 0,60

W fpO JV

P < 0,55

® rel="nofollow">9fpo,ik9

0,55 < ¡3< 0,80 0,80 < / 3 < 1,20

0’75fp0jk

donde ¡3 = fj( a + kx) Si tesando desde un extrem o /3 se piensa que pueda resultar inferior a 0,60, o a 1,20 tesando desde ambos extremos, debe estudiarse en el proyecto la conveniencia de colocar vainas adicionales para eventualente colocar en ellas y tesar tendones adicionales.

c) F ig u r a 2 9 -6

c) - Si (! < G/ 2 (Fig. 29-6a)), el procedim iento m ejor es tesar el tendón desde ambos extrem os para reducir al m ínim o las pérdidas de fuerza. La curva de fuerzas es la A S C fí’A ’. (Si la pieza es sim étrica en geom etría y carga, esto no m ejora la fuerza de pretensado en la sección central1.

Pérdida AP3 debida al acortamiento elástico instantáneo del hormigón. c-1) Caso de tendones rectos y anclados todos simultáneamente. De acuerdo con la fórm ula general de la sección pretensada, la tensión en el horm igón a nivel del c.d.g. de la arm adura activa, para y = eo, resulta

- Si í > { > 5 / 2 (Fig. 29-6b)), es m ejor tesar el tendón desde un sólo extremo. L a curva de fuerzas es en ese caso la curva BDC. Si se tesa también desde el extrem o derecho sería la B M B ’.

A a, p

=

p1

[29.22] l + l~ r

- Si d > í (Fig. 29-6c)) de nuevo es m ejor tesar desde un sólo extremo con lo que la curva será la BC. Si se tesa tam bién desde el extremo derecho, seria la BM B'. 1

D ependiendo de los casos de carga, del coste del tesado en ambos extremos y de ^ n e ^ i d ^ de emplear anclajes activos en ambos extrem os, en lugar de activo en uno y pasivo (m otro, esta operación puede no presentar interés. ^ Tampoco debe olvidarse la posibilidad ya expuesta anteriormente de retesar para reducir per i as.

576

1

Com o ampliaremos en el Capítulo 31, para las características de la sección em pleam os el subíndice o para la sección neta de horm igón, es decir la total menos el área ocupada por las vainas. Empleamos la notación ' para la sección con vainas inyectadas con productos adherentes, es decir la total menos el área de la arm adura y el subíndice h para la sección hom ogeneizada. (Área de horm igón m ás m veces la de la armadura o bien área total m ás (m-1) veces la de armadura). En el caso de armaduras pretesas, designamos con el subíndice o la sección neta.

577

www.libreriaingeniero.com E n [29.22] t r ; es la tensión de la arm adura después de transm itida la fuerza de pretensado al horm igón, y por lo tanto después del acortam ient elástico de éste. 0

d onde a es la tensión del horm igón en el c.d.g. de la arm adura activa debida al pretensado.

C om o el acortam iento (pérdida de alargam iento) de la arm adura ha de ser igual al acortam iento del horm igón que la rodea, bajo la compresión [29.22], ello equivale a

C om o A p * o p a r - P„2

ap a l - apt

a cp,t

m

■♦ ó -

[29.23]

E’

1+m

donde <7pa( es la tensión del tendón antes de anclarlo y E ' es el módulo elástico secante a la edad y con la hum edad y tem peratura correspondientes al instante del tesado. (Adoptam os este valor para incluir el acortamiento por plasticidad instantánea, que se produce tam bién baio la acción del p atrO (Ver 28.2.3). UCJgatoj.

[29.26]

1+ l^

y P3 = P2 -A P , o bien

Sustituyendo [29.22] en [29.23] y operando con — ~ - qq A

y — ^—

y— = m El . p

[29.27]

p 3 =■

ap ar

1+m 1+

Gp ‘

1+ m 1+

c-2) Caso de tendones rectos tesados consecutivamente. E n este caso, los y com o

acortam ientos elásticos producidos al anclar un tendón, destesan en parte los anteriorm ente anclados.

AP 3. = A P l[ a p a r - a p t J]

Supongam os una fuerza de pretensado form ada por n tendones, que se tesan consecutivam ente.

sustituyendo

D e acuerdo con lo anterior, si la tensión inicial <j es la m ism a para todos los tendones, la pérdida que tenem os producida en el tendón j ya anclado por el tesado de un tendón k cualquiera que se tesa posteriorm ente será <Jp a t ■m p

1+ yy> ¡I

rJl

[29.24]

A ap jk.. = a p a r,

1+

esj e sk. r2

1+ m 1+ L a pérdida de tensión total en el tendón j producida por el tesado de todos los tendones posteriores, resulta

que puede expresarse com o

p¡

1

578

m

1+

- m A P

P

a

cp

[29.25]

O bsérvese que [29.24] es la fuerza que corresponde a la tensión del horm igón en el c.d.g. de la arm adura activa, d e sp u é s d e o c u r rid o el a c o rta m ie n to elástico. E H E u tiliza una expresión análoga, pero em pleando la tensión en el c.d.g., a n te s del a c o rta m ie n to elástico. La diferencia num érica es escasa, pero la conceptual es im portante.

A cj

1

Gp a t

1+

P P \ Cs j C s { j+ \)\ r +

PV Pí (/+2)

e SJ.e St7

r2

r2

P ara no com plicar las notaciones, en el resto de este apartado om itim os el subíndice características de la sección neta.

o para las

579

o lo que es lo m ism o

Aa

= p

c-3) Caso de procesos de tesado de tendones rectos que producen asimetrías de fuerzas de pretensado respecto al plano medio de la pieza. E sta situación, que debe ser siem pre cuidadosam ente considerada

cr , m pal p n J+ n

es(j+\) + es(j+2

[(

) + " ‘+

es(j+n)

[29.281

L a pérdida media de fuerza en los n tendones, vale por tanto

m

En este caso, la expresión [29.28] si llam am os e . a la excentricidad en dirección r y r al radio de giro de la sección respecto al eje y, se transform a en

j= n

n -j +

A P3 = A p a par y.2f - E

r2 es(j+1 )

J=1

+

al establecer el P lan de Tesado, sitúa a la p ieza en flexión esviada. Se presen ta cuando algunos de los tendones no sólo tienen excentricidad e en la dirección y del plano m edio de la pieza, sino tam bién en la dirección perpendicular x.

es(j+2)+'"esn

Aa

sy

= cr

pQt

• —£ n - J/ H— p~2r~Cs(j+1 ) + 6s(j+2 ) +...+ 6í (fí + « ), n

Si todos los tendones adem ás de ser rectos tienen la misma excentricidad, entonces e . = e (/+ !).... = e , resulta P

csx(j+

4- P

1) T

4jx ( / + 2 )

4- P

Csx(j+n)

[29.32]

n-1

AP3 = Ap apat • mp 1 +

[29.:

2n

y la pérd id a m edia de fuerza en los n tendones, vale por tanto rnn t-l

y com o de acuerdo con [29.2]

AP,i = A sp * a patr —y.2f - E

n - Jj + —T \e ..^. + e sJ+2 +...e s(j+n), \ S(j+l)

J=1

crpat, m p 1 +

m a cp

&

« (/+ !)

donde a cp en la tensión en el horm igón a nivel del c.d.g. de la armadura activa se tiene en definitiva

A

3

P

,

P

=

cP 2n

A

m

-

a

[29.30] 1

4“ P

p sx(j+2) 4“ 4* C sx(j+n)

[29.33]

c-4) Caso general. Tendones curvos tesados consecutivamente. E n este caso de acuerdo con la expresión [29.28], de la pérdida de tensión en el tendón j prod u cid a p o r el tesado de todos los tendones posteriores, si despreciam os el rozam iento entre tendón y conducto (que puede ser estim ado p o r los procedim ientos y a vistos), el valor m edio de la pérdida en el tendón j, al tesar posteriorm ente el tendón k, viene dado por

que es la fórm ula adoptada por EH E. (R ecuérdese la observación hecha en el apartado b) sobre el hecho de que E H E em plea la tensión en el c.d.g. antes del acortam iento elástico). Si n es m uy grande, [29.30], se aproxim a a

p

'

2

pat

1+

nL

e sj. • e sk.

dx

[29.34]

r2

y operando

m cr.

AP 3 = A“

A aS.jX .. =

A a sj.k, ..

cp

1 [l 1+ — e . • e , dx Jo SJ sk

pat

[29.35]

E l valor m edio de la pérd id a en el tendón j vendrá dado p o r tanto E l valor de P . es por tanto

P 3 = P2 - A P 3

580

[29.31]

A asj. = a patf

n -j +

1 r2

esj Ile s(j+1 ) + e s(j+2) + ...+ e \dx

[29.36]

581

www.libreriaingeniero.com Con [29.36] se deduce inm ediatam ente la pérdida m edia de tensión en los cables curvos

j=n APy3 = A sp crp a r

-z

j=l

i K « -J+ — «*■ r1 o

[29.37]

donde x es la distancia desde el extremo de tesado a cualquier punto del tendón y L la longitud de la proyección horizontal de la longitud del tendón.

P ?>= P2 ~ A/>3

[29.38]

(Si hay tendones rectos y curvos, el cálculo debe hacerse con [29.37] para todos ellos). c-5) A pro x im ació n p rác tica . En la práctica suele usarse la fórm ula [29.30], que es la adoptada por EHE, com o una aproxim ación aceptable y razonablem ente simple. Para casos especiales las fórmulas expuestas perm iten un cálculo más refinado de la pérdida de la fuerza de pretensado. Si el núm ero de tendones y de niveles de colocación son muchos, el cálculo manual es muy trabajoso y se impone el uso de programas inform áticos.

29.3.2 RECORRID O DE TESADO EN ARM ADURAS POSTESAS Se define com o tal el recorrido experim entado por el tendón bajo la fuerza de tracción aplicada sobre él por el gato, es decir antes de producirse la pérdida de fuerza debida a la penetración de cuñas. N orm alm ente en la operación de tesado de un tendón se realizan dos com probaciones independientes: Una es la m edición a través de la escala de m edida del gato, de la fuerza aplicada al tendón. Esta es una operación simple, pero solamente da inform ación sobre la fuerza de pretensado del tendón apoca distancia del extremo tesado. A partir de una cierta distancia, las pérdidas por rozam iento m odifican apreciablem ente esta fuerza, tal com o ya hem os visto. L a segunda com probación, más com pleja, consiste en el control del recorrido de tesado. Bajo la acción del gato, el recorrido de tesado viene expresado por P * fi m Ap ’ En p

[29.39]

_ S(P)

582

í

es la longitud total del tendón.

EHE establece com o tolerancia en el recorrido de tesado el valor de ±15% en cualquier tendón individual y del 5% para el conjunto de tendones correspondientes a cualquier sección de la pieza.

a

- Los valores de fi y k indicados en 29.3.1 son valores indicativos solamente. La inform ación fundada en ensayos independientes, procedente de los fabricantes de conductos y tendones es de importante consideración en cada caso. - En [29.39], el valor de A debe corresponder al real que puede diferir del nominal de acuerdo con las tolerancias normalizadas. - También en [29.39], el valor de E , debe ser el real y además debe pedirse al fabricante de los tendones, información experimental basada en ensayos independientes sobre la posible diferencia entre el valor E noval (primera aplicación de carga) y el repetitivo (posteriores aplicaciones efe carga). En todo caso, si el recorrido excede las tolerancias indicadas, tenidas en cuenta las consideraciones anteriores, una posible técnica de corrección es proceder a retesados tal com o los que se indicaron en 29.3.1, para elim inar cualquier fuente accidental de problem as en el alargamiento del tendón. Para más inform ación, véase (29.2), (29.3) y (29.4). 29.3.3 PÉRDIDAS D IFERIDAS DE FUERZA. Como ya se dijo, a continuación del anclaje de los tendones, y del acortamiento elástico instantáneo del hormigón, la retracción de éste y su fluencia bajo la acción del pretensado y de las otras acciones aplicadas producen acortamientos en la pieza, que a su vez originan pérdidas de alargamiento en el tendón y por lo tanto una reducción de la fuerza de pretensado. Es importante distinguir lo siguiente: - Para tendones adheridos, las pérdidas debidas a retracción y fluencia deben calcularse a partir de las deformaciones de la fibra de la sección de hormigón a nivel del tendón. - Para tendones no adheridos la pérdida ha de calcularse a partir de la deform ación general de la pieza.

donde P es el valor m edio de la fuerza de tesado a lo largo del tendón. Puede estim arse a partir del hecho de que este valor m edio viene dado por la expresión

m

S(P) es el área bajo la curva de la fuerza de pretensado a lo largo del tendón. (Ver figura 29-4).

En relación con lo anterior debe considerarse que existen muchas fuentes de incertidumbre en la estim ación del recorrido de tesado, tales com o las siguientes:

Com o en los casos anteriores

M =-

donde

[29.40]

Además de lo anterior debe considerarse la pérdida de tensión y por tanto de fuerza de pretensado, producida por la relajación de la armadura. Com o ya se dijo en 29.3.b), la interacción de la retracción y fluencia del hormigón, con la relajación de la armadura de pretensado, hace que el fenómeno sea muy complejo. 583

U na fórm ula, frecuentem ente utilizada, que proporciona la pérdida conjunta de fuerza, debida a los tres fenómenos mencionados es la siguiente: (Véase una versión preferible en [29.43] a continuación)

AP d if

™p r

{t ,(0)

p

cp

í 1 + m p - q*

La estimación de la relación com o 0,8 veces el valor [29.42], como pérdida por relajación es sólo una sim plificación. Puede m ejorarse a partir de los datos de relajación facilitados por el fabricante de las armaduras para distintas tensiones y diferentes tem peraturas, todo ello tenida en cuenta la edad tQde tesado.

+ E P £c s(t,t0) + 0,80¿1
l 'Í v ) |

Tanto E H E com o el E C -2 adoptan com o valor del coeficien te % de envejecim iento el de 0,8. Los gráficos GT-66 a GT-80 permiten una estimación m ás precisa. E stán tom ados del M anual del CEB (29.5) y fueron elaborados por R. FAVRE y sus colaboradores de la Universidad de Lausanne. De hecho figuran en su libro (29.6) en el que se desarrolla también la fórmula [29.41] . Estos gráficos perm iten considerar el espesor medio de la pieza y la humedad.

donde: E m

p

e ’o

Ag

del horm igón a nivel del c.d.g. de las armaduras activas, debe ser la debida al pretensado, peso propio si ha lugar y las acciones cuasipermanentes actuantes. La tensión a

p

E' . = excentricidad del centro de gravedad de las armaduras activas respecto al centro de gravedad de la sección neta de hormigón (incluido el relleno de las vainas si es adherente) más las eventuales arm aduras pasivas longitudinales.

Es interesante expresar la fórm ula [29.41] de esta manera, tal como se indica a continuación. D e acuerdo con [29.25] (7

= Pérdida de tensión debida a la relajación pura en la armadura. Puede estimarse mediante la expresión: P Á aPr = P .' ~

[29.42]

cp

1+ % y por tanto [29.41] puede expresarse como

P

(p( es la relajación pura a tiem po infinito y P o el valor característico de la fuerza inicial de tesado). q

= cuantía geom étrica de la arm adura activa referida a la sección neta del hormigón.

ro

= radio de giro de la sección neta de horm igón más las eventuales armaduras pasivas longitudinales.

X

= coeficiente de envejecim iento que puede obtenerse en los gráficos GT-66 a GT-77. (U to )

coeficiente de fluencia, de acuerdo con 28.4.1, correspondiente a la hum edad y tem peratura corregidas, si ha lugar.

ec¡(tto) ~ ac°rtam iento de retracción, de acuerdo con 28.4.2, correspondiente a la hum edad y tem peratura corregidas, si ha lugar.

°cP

= tensión en el horm igón a nivel del c.d.g. de las armaduras activas.

"

mP
E p

+ X -^ r • A^cpJP

A P ^ = A --------------------- '=J

+ E P ■£c, ftO +

“ - g -------------------------------------------- [29-43] Pt

donde a es la tensión en el hormigón a nivel del c.d.g. de las armaduras, debida a la acción del pretensado y & cp la debida a las acciones exteriores cuasiperm anentes (incluido el peso propio) actuantes. Esta form a de expresión perm ite apreciar claramente, dentro de su carácter aproximado, el origen de la fórmula. El num erador proporciona debidamente la sum a de las pérdidas de fuerza debidas a fluencia, retracción y relajación, incluso para variaciones de tensión en el c.d.g. de la arm adura activa debidas a la aplicación de cargas que producen tensiones, <7cp. en el instante i, pero sin corregir el efecto reductor de su interacción. m ac

_

G cp/ E ’ci

La fórm ula [29.41] es, con una presentación ligeram ente diferente, la adoptada por EH E y tam bién por el EU RO CÓ D IG O EC-2. Sin embargo, deben hacerse algunas consideraciones adicionales sobre ella: - Es necesario en el cálculo de ex , introducir las correcciones debidas T(t,to), Jy £cslljo)7 a los cam bios de hum edad y tem peratura en el período considerado. 584

pt

£ c(

^ — =— L

El denominador, a través del fac to r- - i c- q u e puede escribirse p r

P

P ,i

es la relación de la deformación correspondiente al acortamiento elástico

instantáneo del hormigón, a la deformación (alargamiento) que la armadura pretensada tiene en ese momento. Valores bajos de esa relación (bajas com presiones de pretensado) corresponden a reducciones pequeñas de tensión de la arm adura y a escasos acortamientos del hormigón debidos al 585

www.libreriaingeniero.com pretensado, con lo que el fenóm eno de reducción p o r la interacción fluencia retracción-relajación es despreciable. Valores altos (com o suelen ser en la práctica) corresponden a fenóm enos de reducción im portantes. El factor ( l + % í p a través de los gráficos GT-66 a GT-80 perm ite ten er en cuenta los efectos diferidos de la com presión a c , a lo largo del tiem po, en función del espesor m edio y hum edad de la pieza. E l v alor de a en el denom inador es el debido exclusivam ente a la fuerza de pretensado, sin considerar las otras acciones. V éase (29.6).

Obsérvese que la fórm ula [29.43] perm ite tratar p o r separado en el numerador la edad de aplicación del pretensado y la de las restantes acciones. Tanto EC-2 com o E H E dan p o r supuesto que las acciones se aplican todas a la vez que el pretensado, cosa que en general sólo ocurre con el peso propio. U n tem a no tratado y sum am ente opinable es la aplicación de [29.43] cuando el resultado de las tensiones en el horm igón en el c.d.g. de la arm adura activa, es negativo. En lo que sigue, si la tensión es de com presión o de tracción sin rebasar la resistencia a flexotracción [28.6], introducim os la resultante de tensiones en cada período de aplicación con su signo. Si la tracción supera el lím ite indicado, el térm ino correspondiente a este período se considera nulo.

rotura 265 kN (ver Tabla T-32.14) y m ódulo de elasticidad noval de 190.000 N /m m 2. Tesados a 0,75 • 265 = 198,75 kN. P ara la relajación puede adoptarse la curva de la figura 32-20b) (C apítulo 32).

Excentricidad, e = - 336 m m Vainas con inyección posterior, ¡a = 0,15 k = 0,008 m l E l sistem a de pretensado presenta una penetración de cuñas de 3 mm. Por razones constructivas cada tendón se tesa desde una extrem idad. La viga está destinada a soportar una carga básicam ente de uso, con valor cuasiperm anente despreciable. SE PIDE: a) Pérdidas instantáneas de fuerza en la sección central. b) T en sio n es en las fib ras ex trem as de la secció n cen tral d esp u és del acortam iento elástico instantáneo. c) A largam iento de tesado de los tendones. d) P érdidas diferidas de fuerza en la sección central.

EJEM PLO 29.1

SO LU CIÓ N :

Sea una viga de 26 m de longitud total, con sección transversal la de la figura, horm igón H-50, con cem ento de alta resistencia y endurecim iento rápido, pretensada con arm aduras postesas adherentes, cuyo trazado parabólico se indica en la figura 29-7. El pretensado se realiza a 10 días de edad, m om ento en el que la resistencia característica del horm igón es f ck = 32 M Pa. D esde esa edad hasta su colocación definitiva a los 100 días de edad, la viga está en un am biente de tem peratura m edia 10°C y HR=80% . Una vez colocada, la tem peratura m edia será en adelante de 20°C y la H R del 50%.

T

]:t immi i&Omm1 G

E o o ®

T

13000 mm

/ '"

[A

1

/ o = 0 ,7 ’ 5 7 • 1011 m m 4 W0 L= WQa = 0,00126 • 1011 mm3 A c.o = 375.000 m m 2 ro - 449 m m

I A

BOOmm

1

Los valores propios de la sección neta son:

13000 mm

1

Peso propio: 9,375 kN /m L lam em os P o a la fuerza inicial de pretensado de un tendón,

IA 26000 mm

a)

Pérdidas instantáneas de fuerza en la sección central.

|l5cfrF 150 mm

P = 10 • 198,75 = 1.987,5 kN

S E C C IÓ N A -A

1.987,5 • 103 <J = --------------------- = 1.325 N /m m 2 po 1 0 -1 5 0

Figura 29-7

a-1) Pérdida NPXdebida al rozamiento en las vainas. Los datos del pretensado son los siguientes:

Tendones.

586

F orm ados por 2 tendones de 10 cordones cada uno Y 1770S7 de área 150 m m 2 de 16 m m de diám etro. C arga característica de

E l ángulo de las tangentes en el extrem o del tendón y en su punto m edio es de 0,052 radianes. Con ¡a = 0,15 y k = 0,008 m '1, asim ilando la longitud de la m itad del tendón a 13,00 m, aplicando [29.9] se obtiene 587

AP, = 1.987,5 [ l - ^0,15(0,052+0,008-13)]

resultando

AP( = 0,023 • 1.987,5 = 45,95 kN (2,3% de P J

(Para la longitud total resulta AP, = 0,0457 • 1.987,5 = 90,87 kN 4,57% de P )

P , = 1.987,5 - 45,95 = 1.941,55 kN

a-2) Pérdida AP, debida a la penetración de cuñas. Figura 29-8 De acuerdo con [29.21] se obtiene:

1.000-3 - 10 • 150- 190.000 «=

1

-= 15.459 mm

1.987,5- 103 - 0,15 Í ^ 2 _ + 0 ,008 \ 13

15,46 m

De acuerdo con [29.19], en la sección central

Haciéndolo así, ABC es la línea de fuerzas de los 10 tendones tesados desde el extremo izquierdo y A 'B ’C ’ la de los tesados desde el extremo derecho. La línea de fuerzas medias es por tanto la DEFG. La fuerza de pretensado en la sección central vale de acuerdo con la figura 29-8, es

P, = 0,968 -2 • P n = 0,968 • 3.975 = 3.848 kN,

es decir que en ella 2(AP, + AP,) = 127 kN (3,2% de PJ.

a-3) Pérdida AP3 debida al acortamiento elástico instantáneo del hormigón. AP2 = 1.987,5 1 - e '

De acuerdo con [29.30], (se supone que los tendones de cada lado se anclan simultáneamente),

(Pérdida en el extremo de tesado)

1+ 2 -1

AP3 = 3.Í resultando

AP2 = 0,0542 ■1.987,5 = 107,72 kN (5,42% de P )

Como se tesa un tendón desde cada extremo resultan, después de la penetración de cuñas, las fuerzas indicadas en la figura 29-8. 588

1+ m 1+

2

•

2

Con E ’c. = 8.500(32 + 8)1/3 = 29.070 N/mm2 190.000

-= 6 ,5 3

29.070 589

www.libreriaingeniero.com q = -^ Q 450

= 0,008

a =±

375.000

6° r

, 0O . . .

E n el c.d.g d e la arm adura

336^ = 0 , 5 6 449"

a

= cp

792.200.000 * 336 . „ .„ 2 ----------------------------- = -3 ,5 2 N /m m 2 75.700.000.000

(1,96% d e P )

f

P3 = 3.848 - 7 8 , 0 = 3.110 k N \ + --------\ a cp=i5.7

b)

Tensiones en las fibras extremas después del acortamiento elástico instantáneo.

20.1

Se supone que los 10 tendones que se tesan desde cada extrem o, se tesan sim ultáneam ente. Se aplica por tanto la fórm ula [29.30]. D e [29.25]’

/ /

____\

acg=io.i :\ -------\ Gcp+ <*cp=12-18 N/mm2 13.8

TENSIONES EN l_A SECCIÓN CENTRAL (N/mm2) BAJO PRETENSADO Y PESO PROPIO

Figura 29-9

c) 3.770 * 103 , r/ , = 2 0 - 1 5 0 = L 2 5 6 N /m m -

Alargamiento de tesado de los tendones. D e acuerdo con [29.39] y [29.40], considerando la línea H B C (Fig. 29-8) de los tendones tesados desde el extrem o izquierdo.

y p o r tanto las tensiones en los pilares inferior y superior respectivam ente, son

0,9543 + 1 S(P) =

a ■ = 1.256 - 0,008 (l + 336 ‘ 600 ] = 20,1 N /m m 2 p' \ 4492 <7

—

-6.29

a rn = a nr ■^q 1 +

^

2

= ± 6,29 N /m m 2

126.000.000

resultando A P3 = 78,0 kN

7 9 2 .2 0 0 .0 0 0

P a • 26

y con P o = 1.987,5 k N

0= 0

S(P) = 50.494 m kN

cp, 2

E n el c.d.g. de la arm adura

y de acuerdo con [29.39]

3362 <7 - 1.256 • 0,008 1 + ------- = 15,7 N /m m 2 cp 1 4492 /

Ad

50 • 494.000.000 nnn ynn ----------------------------- 26.000 = 177 m m 10 • 150 • 190.000

A dem ás de esto, actúa en la sección central el m om ento flecto r del peso propio

d) M = — ■9,375 • 262 = 792,2 m kN

Pérdidas diferidas de fuerza

E m plearem os la fórm ula [29.43], aplicándola p o r separado a los períodos: - D esde el tesado (t = 10 días) hasta la colocación en obra (t = 100 días).

que produce en las fibras extrem as las tensiones, con 1

W ’0 j = W ’Q2 = 0,00126 ■ 1011 m m 3

590

N o es realm ente correcto em plear, com o hacem os, sino que para las acciones exteriores, incluso claro está el peso propio, debería em plearse el hom ogeneizado, com o verem os en el C apítulo 30. Lo hacem os así en este capítulo por sim plificar la exposición.

591

- Desde los 100 días hasta plazo infinito.

K ,io

1.2 =

e 0 '0 1 * 10 ' 201 +

d-1) P é rd id a s d ife rid a s desde el te sad o a la colocación en obra. Temperatura 10°C y HR 80%.

(1 ,3 9

- l ) e 0.0 I5 (í0 -20 )

rHR, 10 = 1,36

- Cálculo de (p (100,10) De acuerdo con [28.23] E* . (10) = 8.500(32 +8)1/3 = 29.070 N/mm2 16,8 *0

E 'c¿ = 8.500(32 +8)1/3 = 32.902 N/mm2 (Valor a 28 días, en el que se basa la formulación). El valor del espesor ficticio

r/flu o

-= 1 ,7 5

3/50 + 8 0,1 + 110'2

y según [28.27]

es

£ (1 0 0 ,1 1 ):

2 • 375.000 5.300

-

1 4 1 m m

0 ,3

10 0-11

= 0,55

563 + 1 0 0 - 11

Por tanto 4.000

-1 3 ,6 5

2 7 3 + 10

Para 10 días, tT = 10 • e

= 6,2 días r (c,to)

Dado el tipo de cemento, de acuerdo con [28.29] y a = 1, la edad de tesado, corregida la temperatura, es

K

=

6,2

11 días

+ 1

2 + (6.2)1’2

Durante el período hasta la edad de 100 días, la temperatura es de 10°C en lugar de los 20°C de las fórmulas generales y la HR del 80%. De acuerdo con [28.30]

y según [28.20], teniendo en cuenta que a

£^(100,11)= 10,1

100

Como la temperatura es diferente de 20°C, con [28.40] se calcula

+ 250 = 563

y con ello £ (1 0 0 -1 0 ) =

1.500 ...

PT = e '~ '"

: 0,00064

a rT = 0,0350 [1 4 l]2e-°>06cia-20) = 1.268

18 1 4 1

1 + 0,96 29.070 32.902

= 10,1 N/mm2 (Fig. 29-9)

- C álculo de £cj(100,10)

Ph,t ~ P h ‘ Pt 9£ / ~ 150’ 1 + 1’2 .-8100 .

= 0(100,11)= 1,75-0,55 = 0,96

0. 5 1 0 0 -1 0 = 0,257 1.268+ 1 0 0 - 10.

”5’12

y además con

= 160+ 10- 8 9-

58 10

1 0 '6 =

4 1 6 , 1 0 '6

PHT = 563 • 1,20 = 676 , ,

592

100 - 80 _ , 9,9 ■ 1 4 lin -

qo

= "1 5 5

100

1+

8 103 - 8

V IO - 2 0 ' = -0,691 40

593

www.libreriaingeniero.com £cSi0 = 416 ■ 10'6 • 0,691 = 287 • 10~6

^

y por tanto

100. io)

6,2% de P o

El valor de la fuerza P es p o r tanto:

0,5

100-10

£ , (100, 10) = 287 • 10-

3770 - 245,5 = 3.524,5 kN

= 0,000074

1.268 + 1 0 0 - 10

y la tensión de la arm adura:

- Cálculo de k A a

pr D e acuerdo con la figura 32-20 b) y extrapolando para 10°C

3.524.500

(7„ =

p

20 • 150

= 1175 N /m m 2

En los cálculos anteriores, se ha supuesto que la deform ación de fluencia al nivel del c.d.g. de las arm aduras activas era la existente a continuación del aco rtam ien to elástico in stan tán eo , d eriv a d a de un a ten sió n correspondiente opt de las arm aduras en este instante. D e hecho, la tensión se reduce al irse produciendo las pérdidas diferidas. Cabe realizar un proceso de iteración para ajustar el problem a, pero a nuestro ju icio ello no es concordante con la estructura de la fórm ula [29.43], puram ente estim ativa. U na discusión interesante puede verse en C H A U SSIN (29.7).

y con <7 = 1.325 N /m m 2

A a Pm tua¡= 10’6 f c ! A doptam os k = 0,8

- Cálculo de x
d-2)Pérdidas diferidas desde la colocación en la obra (t=100 días) hasta plazo infinito. (HR = 50%)

(1 0 0 , 1 0 )

En los ábacos GT-67 y GT-68, con H R « 90% ,
E n GT-67

x 100

=

° -80

E n GT-68

x 100

=

0,80

- Cálculo de

= 0,0004 ( 1 0 - 2 0 ) * = 0.04 y el valor total X = 0 ,8 0 0 ( „ , 100) = (¡)0 • Pc 0 - to) + 0,04

- Aplicando [29.43] donde <po =
32.902

6, <7 = 15,7 N /m m 2 y a cp

cP

+ a’

cP

= 12,18 N/mm2

(Figura 29-9), se tiene ,p

HR

_ on 1CA 6 • 12,18 • 0,96 + 190.000 • 0,000074 + 10,6 • 0,8 ' clifl 100, 10) ” ZU ' O U ----------------------------------------------------------------*

1 + 100 5 0 .. - 1,97 9 9 . 1411/3

« O

1 + 6 ’ 15’7 [1 + 0 ,8 0 • 0,96] 1.256 ^ i o o . io) = 245,5kN

594

PH= 150

1 + 1 ,2

=

- ^ /5 8

= 2.21

50

141

100

100

+ 250 = 461

595

1

100)

- C álculo de

= 0,58

m

0,1 + l l 0’2

Interpolando en los ábacos GT-77 y GT-78 con72R=50% (tp = 3) y éy= 141 mm se obtiene para t = 70.000 días en la curva correspondiente a = 10 días.

0■ = 2 ,5 2

E n G T -77

Z 10.ooo = °.71

En GT-78

x I0.ooo = ° .72

luego

y por tanto 0 K

100) = 2,52 • [ p c O*. _ to) - >3.(100 - r,)] + A0

¿17] rrans

^ío.ooo - ®>72 y sustituyendo - A plican d o [29.43]

100-11

0(oo, 100) = 2 ,5 2 -

461 + 1 0 0 - 11

+ 0 ,0 4 = 1,10

1102

Con m= 6,

- C álculo de &cs (oo, 100)

G cp

= 15,7 N /m m 2,

G cp

G ’cp

= 15,7 ■

-3 ,5 2 = 11,27 N /m m 2,

se tiene

E, V J = * 16 -10-6

¿d _ on k g 6 ■11,27 ■1,10 + 190.000 ■0,000377 + 5,3 • 0,8 _ ofV7 difao, 100) ZU ' 1DU ¿ e n - J y /I C N 1+

/?™ = - l ,5 5

+

1 - W 1001

= -1 ,3 6

* (1 + 0 ,7 2 - 1,10) 1.256

L a pérdida diferida total vale p o r tanto £cs,„ = 416 ■ ! 0 '6 • (-1 .3 6 ) = -0 ,0 0 0 5 7 ^

£ „ K 100) =

100.11) + ¿ 'V . i o ü ) = 642,5 k N

(16,2% de P )

[1 - £ (1 0 0 -1 0 )]

P or tanto RESUM EN DE PÉRDIDAS EN LA SECCIÓN CENTRAL £ „ ( « > - 100) = -0 ,0 0 0 5 7

1 0 0 -1 1 0.035 • 1412 + 100 - 1 0

- C álculo de k A c pr D e acuerdo con la figura 32-20 b) (T = 20°C)

-0,000377 kN

% d eP 0

R ozam iento y penetración de cuñas

127

3,2

A cortam iento elástico instantáneo

78

1,96

642,5

16,2

847,5

21,4%

Pérdidas diferidas <7 para t = ©o (10.000 horas) = 1,7% <7 ‘ para t = 100 días (2.400 h) = 1,3% A o pr = 0,4% de apo y con a

596

= 1.325 N /m m 2

29.4 P É R D ID A S D E L A F U E R Z A D E P R E T E N S A D O C U A N D O SE EM PLEA N A R M A D U R A S PRETESA S

4CTP,<~,I00) = 5 ’3 N /m m 2

Tam bién, en este caso, desde el m om ento en que se realiza el tesado de las armaduras en la m esa, la tensión de éstas va dism inuyendo a lo largo del tiem po, reduciéndose p o r tanto la efectividad del pretensado.

A doptam os £ = 0,8

A lgunas de estas pérdidas son debidas al equipo y sistem a de fabricación, otras son inherentes a las propias arm aduras y otras son debidas a las deform aciones del 597

www.libreriaingeniero.com horm igón. El conjunto de las pérdidas oscila del 20 al 35% del pretensado inicial po r tanto, im portante su cálculo co rrecto 1. En el apartado 29.4.1 se indica un m étod "’ general, en el 29.4.3 un m étodo sim plificado y en el 29.4.4 un m étodo para tanteos° M ás adelante, se indica el cam po de aplicación de cada uno de ellos. D e acuerdo con el proceso general de fabricación que vim os en el C apítulo 27 v con los datos referentes a los m ateriales, expuestos en el C apítulo 28, es posible, antes de entrar en el análisis de detalle, considerar el esquem a del conjunto de las pérdidas de tensión, tal com o se representa en el figura 29-10, que se refiere al caso más general en que se aplica calefacción. A ntes de seguir, conviene plantear aquí con claridad que los valores de las pérdidas, del orden del 20 al 35% de la tensión inicial, com o hem os dicho, pueden p arecer elevados, a quien no exam ine el tem a con profundidad. Valores m ucho m ás reducidos que los que aquí se m anejan, a la luz de los conocim ientos actuales, sólo pueden ser obtenidos, bien falseando los cálculos o bien om itiendo el cálculo de determ inados tipos de pérdidas.

E n años ya pasados, algunas personas adquirieron la equivocada experiencia de que falseando las pérdidas, reduciéndolas hasta valores inadm isiblem ente bajos, no p asaba nada. E sta falsa ex p e rien c ia estab a g en e ralm e n te o rig in a d a en dos consideraciones erróneas. U n a era que en esos cálculos si bien se estim aban m al las pérdidas, del lado de la inseguridad, era frecuente que tam bién se calculasen m al las condiciones de fisuración (y otras), del lado de un a seguridad excesiva, lo cual se com pensaba. O tra consideración errónea era que en m uchos casos esas piezas no estaban som etidas realm ente a su carga d e servicio, por lo que no podía form arse, con un m ínim o de rigor, u n a opinión fundada de su verdadero com portam iento en tales circunstancias. En lo que sigue se desarrollan com o hem os dicho, tres m étodos, uno general, otro sim plificado y otro para tanteos. Q uerem os subrayar el interés conceptual del estudio del m étodo general p ara analizar con claridad el proceso de pérdidas de tensión, con independencia de los valores num éricos de éstas. E n ten d em o s que los cam pos de ap licació n de los tres m éto d o s pueden diferenciarse de acuerdo con lo siguiente:

Es obvio que el aspecto clave desde el punto de vista de una p ieza es su cálculo a estados lím ite últim os, es decir, a rotura. L as pérdidas de tensión afectan, como verem os, m uy poco a la seguridad a rotura, pero su influencia es grande en la fisuración y en las deform aciones, es decir, en el com portam iento en servicio. Una infravaloración de las pérdidas puede conducir a u n a corrosión por fisuración en servicio que obligue a una reparación m uy costosa o a la dem olición de la estructura.

a) M É T O D O G E N E R A L A parte del interés conceptual señalado, es a nuestro ju icio el indicado para el cálculo de colecciones standard de piezas, que habrán de fabricarse un núm ero m uy elevado de veces y en las que cualquier afinam iento de cálculo conduce a ahorros globales im portantes. b) M É T O D O SIM PL IFIC A D O P arece el apropiado para el cálculo de piezas im portantes de las que han de producirse un núm ero reducido de unidades, lo que no ju stificaría el coste del estudio detallado que el M étodo G eneral supone. c) M É T O D O PARA TA NTEO S Es de aplicación para cálculos de piezas de m ediana o poca im portancia estructural de las que no se va a construir un núm ero im portante de unidades. D esde el punto de vista exclusivam ente técnico, puede aplicarse a cualquier caso, com o verem os m ás adelante.

29.4.1 M E T O D O G EN E R A L . P ÉR D ID A S D E LA FU E R Z A D E PR E T EN SA D O C U A N D O SE A PL IC A C A LEFA C C IÓ N

29.4.1.1 Pérdidas de fuerza de pretensado hasta la trasferencia a) P érdida A P { por rozam iento parásito en las placas separadoras y defectos de alineación de m oldes a lo largo de la v ig a 1. 1

598

Las pérdidas en piezas pretensadas con arm aduras pretesas son en general com parativam ente mayores que cuando se em plean arm aduras postesas. L a razón fundam ental es que la tensión suele transferirse a horm igones jóvenes lo que increm enta las pérdidas por acortam iento elástico y fluencia. También las pérdidas por retracción suelen ser m ayores. A todo ello se sum an las producidas por el sistema de calefacción y la m ayor relajación de las arm aduras debido a esos increm entos de tem peratura

1

L a num eración de las pérdidas no es, porque no puede serlo, la m ism a en e! caso de arm aduras postesas y pretesas.

599

E sta pérdida puede no existir, si no existen las placas o los m oldes. E n cas existir, es variable según la com posición del pro g ram a de producción ¿ iC largo de la m esa. a 10

correspondiente es un dato que debe ser obtenido experim entalm ente por el fabricante de las arm aduras. E n el caso de la fig. 32-20 b) esa pérdida resu ltaría m uy pequeña, del orden:

E l fabricante puede determ inar el valor adecuado m idiendo la fuerza en i anclaje opuesto al extrem o de tesado. b) P érd id a A P 2 p or rozam ien to en las p lacas extrem as de desvín C apítulo 28)

A P 4 = 0,0 0 3 P 3

r\r ÍVer

N o debe olvidarse, sin em bargo, que los datos de la figura 32-20 b) se refieren a u n a arm adura particular de m uy b aja relajación. Los valores reales deben ser investigados p ara cada tipo concreto de arm adura.

A nálogam ente, esta pérdida puede no existir si el proceso de fabricación nn em plea placas de desvío.

e) P ér d id a A P 5 p or calentam iento.

Si existen, el fabricante puede determ inarlas intercalando dinam óm etros antnc y después de las placas.

U n a vez tesadas las arm aduras, al red u cir la presión en el gato se produce el anclaje de las m ism as m ediante cuñas, tal com o vim os en el caso de armaduras postesas. S iendo 8 el deslizam iento en m m de las cuñas h asta el anclaje de las arm aduras y L la longitud en m entre am bas cabezas de tesado, (longitud de m esa), la pérdida de fuerza de pretensado en N vale:

el

p erío d o

de

f) P érdida A P 6 por relajación isoterm a d urante el p eríodo de tratam iento a tem peratura u niform e 0c.

E l valor 8 es un dato propio de cada sistem a de anclaje y debe ser justificado p o r su fabricante. O bsérvese que nada m ás produce pérd id a la penetración dé cuñas en la cabeza de tesado, pues, la penetración idéntica que se produce en la cabeza opuesta sucede bajo la fuerza del gato y, p o r lo tanto, antes de anclar la arm adura.

H a de ser calculada en base a los datos de ensayos disponibles. E n el caso particular de la fig u ra 32-21 y para un a tem peratura 6c ~ 80°C y duración de cuatro o cinco horas, resultaría:

L a pérdida A P 3 es tanto m enor cuando m ayor sea la longitud de la m esa de p reten sad o 1.

A P 6 = 0,02 P o ~ ' l A P i

Si la tensión del tesado es superior al lím ite de proporcionalidad, la fórmula [29.45] no es válida y debe calcularse A P 3 a p artir del diagram a del acero.

[29.46]

g) P érdida A P 7 por retracción in icial del horm igón.

P érd id a A P 4 p or relajación isoterm a a tem peratura am biente durante el tiem po de espera.

D esde que se vierte el horm igón h asta que se h a alcanzado la tem peratura 6c a la que se v a a realizar la transferencia, se h a producido tam bién u n a cierta p érd id a de tensión debida a la retracción inicial del horm igón, desde que em pieza a existir adherencia con la arm adura hasta que se realiza la transferencia. C om o p o r u n a parte este tiem po es de unas pocas horas y por o tra se su ele m a n ten e r u n cu ra d o h ú m e d o in ten so , e s ta p é rd id a es prácticam ente despreciable.

L a arm adura con fuerza P q - AP^~ A P 2~ A P 3 = P 3 , está en esas condiciones durante un plazo que depende del program a de fabricación. Si se utiliza curado al vapor, este período suele ser com o m áxim o de 3 h. L a relajación

600

d u ra n te

Llam arem os A P S a la pérdida p o r relajación en este período. (Volveremos sobre ella m ás adelante).

siendo Ep el m ódulo de elasticidad de las arm aduras en N /m m 2, A la sección total de arm aduras activas en m m 2 y L la longitud de m esa en m. P

En rig o r p uede h ab er una segunda causa de pérdida de fuerza, si no se anclan todas las armaduras a la vez. E n ese caso los acortam ientos producidos por los tesados posteriores acortan la m esa y destesan en parte las arm aduras ancladas anteriorm ente. La im portancia práctica de esta pérdida es despreciable en las m esas norm ales.

a n iso term a

E l segundo fenóm eno que ocurre en este período es la relajación de la arm adura, a un a tem peratura variable al m ism o tiem po que hem os visto v a reduciendo tam bién su tensión debida a la dilatación térm ica.

AP~ = E A 3 1.000 L p p

1

re la ja ció n

D urante este período ocurren dos fenóm enos que producen pérdidas. Por un lado, al elevarse la tem peratura sobre la que tenían las arm aduras en el m om ento de su tesado y anclaje en las cabezas, éstas se alargan y pierden tensión. L a m agnitud de esta pérdida depende en gran m edida de la adherencia que exista a lo largo de ese período entre el horm igón y las arm aduras. L a pérdida p o r este calentam iento y posterior enfriam iento se calculará en el apartado h), y la llam arem os pérd id a p o r dilatación térm ica.

c) P érdida AP3 por d eslizam ien to d e las cu ñ as de anclaje

d)

[29.45]

1

R ealm ente la pérdida sería algo m enor, pues en este m om ento se ha producido ya una dilatación im portante de la arm adura. Si se desea una m ayor precisión, puede calcularse la pérdida que ello representa, A P 6> según el apartado h), e incluirla aquí com o un sum ando m ás dentro del paréntesis.

601

www.libreriaingeniero.com Sin embargo, en casos de procesos especiales de fabricación, sobre todo en piezas delgadas, transferencias a largo plazo y curados poco cuidadosos puede tener importancia.

Llamemos <7peal valor: ^

Su cálculo se desarrolla de acuerdo con lo explicado en el apartado 28.4 2 Llamando £csi a la retracción inicial, es decir, la producida antes de la transferencia: £ j i (í1to) = e j o -/?j ( t - í , )

= °p,' - - L

[29.47]

[2 9 .4 9 ]

T°C A

k(0c-ea) U U

2b__4 F ig u ra 29-13

F ig u ra 2 9-12

Sea el esquema de tratamiento térmico el de la figura 29-13. Supongamos que la adherencia se crease de una manera instantánea a una temperatura 0adsiendo 21 y 2b las longitudes en el momento de crearse la adherencia. AP1 = s csA p Ep

[29.48]

Llamemos

h) Pérdida APg de la fuerza de pretensado debida a la dilatación térmica hasta el momento de la transferencia.

K=

Consideremos el caso habitual en el que 0 d > 0 l K >

aí

Ag

«H*

«H*

..n — l.;

_Jj*J.----

[29.50]

0t___ -0A En este caso, 0 -0

al aplicar la calefacción ocurren los fenómenos siguientes:

El esquema de la mesa de fabricación se presenta en la figura 29-11en la que se suponen piezas de luz 2Q, distancia entre separadores 2b y b entre cabezas de anclajes y primer separador1.

•H* «H* T I ----- í ?

ead A~ ea e~ - o ~

En este momento el hormigón tiene una resistencia importante (habitualmente de 20 a 30 MPa como mínimo) y la adherencia entre hormigón y armadura se ha desarrollado prácticamente por completo.

J4—

+ ^ 2 + ^ 3 + ^ 4 + A P ¡+ A P &+ A P 1+ A P 9)

A ’ A" a

La pérdida resulta:

A2

K

es decir, la tensión inicial de tesado menos todas las pérdidas producidas hasta el momento antes de la transferencia con exclusión de las debidas a la dilatación térmica1.

Cuando se realiza curado al vapor, ecs0, de acuerdo con la tabla T-28.1 puede considerarse como el correspondiente a atmósfera muy húmeda. En cuanto ál valor de p s en sentido estricto no puede obtenerse a partir de [28.39] ya que ésta no ha sido construida para hormigón sometido a un sistema de calefacción ni abarca tiempos inferiores a un día. Nuestra opinión es que, en ausencia de determinaciones experimentales directas, se tome el valor p s de dicha fórmula para t = l día, cuando se aplique un ciclo nonnal de vapor. Si no se aplica calefacción, sino que la transferencia se realiza a dos o tres días, el valor de p será por supuesto el correspondiente de la fórmula [28.39] y el de s el que corresponda según el tipo de curado.

" sJ s -^n ..

AP

.tFh| U

En las zonas de armaduras desnudas, (o sea, entre separadores), se produce primero una dilatación unitaria durante la subida de temperatura, de valor a[9c - 0 ]2 y después un acortamiento unitario durante el enfriamiento hasta la transferencia de valor a (0 c - 0t) lo que en definitiva origina un alargamiento unitario de valor a(0t - &a), que supondrá una reducción de tensión en la armadura en esas zonas desnudas.

-2*--- J4

En las zonas de las armaduras adheridas se produce una dilatación unitaria cc(0ad~ 0fl), antes de crearse la adherencia, que entraña una pérdida de tensión.

%

Figura 29-11 1

En la figura 29-12 se representan las extremidades de dos piezas y el correspondiente trozo de armadura entre separadores. 1

602

El cálculo que se desarrolla a continuación ha de ser adaptado a las particularidades de cada mesa de fabricación, como veremos más adelante.

2

En sentido estricto las pérdidas, AP5, AP6, AP7 y la , AP9 (que se analiza a continuación) suceden simultáneamente con la pérdida debida a la dilatación térmica producida por la calefacción. La simplificación del texto es razonable, obsérvese también que englobamos dentro de las pérdidas APg debida a la temperatura, sólo las debidas a variaciones de longitud de origen térmico y no las debidas al aumento de relajación producido por el incremento de temperatura que se recogen en AP5,AP6 y AP9. a es el coeficiente de dilatación térmica de hormigón y acero. Tomaremos a = 10’5.

603

Los sucesivos cam bios de tem peratura de ^ a 0 y f l a 0 11 •j , , . „ , r ad c J c t’ c ^ L a I l Q O V a adheridos el horm igón y la arm adura, p roducen variaciones dim ensional pero no tensionales en la p ieza. es>

„ A A t - AS j-, F = A ------------ E siendo E ca[ el m ódulo de deform ación m edio del horm igón en el instante antes de la transferencia.

E l enfriam iento de la pieza pretensada produce un acortam iento de ésta p arcialm ente im pedido por la arm adura desnuda, con lo que aparecen tracciones en el horm igón. C onsiderando el eq u ilib rio de la rebanada A ’B ’B ”A ” de la figura 29-12 tenem os las siguientes fuerzas en equilibrio siendo 2AS el acortam iento de cada pieza de longitud 21

Sustituyendo: F c - A cE c a l, « [ * ( 0 , - 0 , ) - ( 0 , - 9 . ) ] - y -

- F uerza ejercida p o r la arm adura desnuda:

[29.53]

El equilibrio de la rebanada exige que: d

p

a p e - a E p V{9t - 6 a) ' +— Ep ^

[29.51]

F d, - F

a

[29.54]

+Fc

- F uerza ejercida p o r la arm adura adherida: y sustituyendo [29.51], [29.52], y [29.53] en [29.54] se obtiene:

L a pérdida de tensión por el calentam iento antes de la form ación de la adherencia vale

AS = aJl

o E p {v 9ad, - 9 a' )

K (9c - 9 a) - ( 9 [ - 9 a) -------------

—

[29.55]

1 + m q (1 + E l acortam iento térm ico que hubiera experim entado la p ieza si se hubieran cortado ya las arm aduras sería A f (Fig. 29-12), siendo:

E

donde m = — —

D ado que el fenóm eno se produce en unas pocas horas el valor de E ca{ es interm edio entre cargas breves y cargas de larga duración en am biente húm edo. U n valor adecuado puede ser:

E l acortam iento está parcialm ente im pedido p o r la presencia de la arm adura que aún no se ha destesado, de form a que solam ente se produce un acortam iento AS de la pieza con lo que la arm adura adherida ha experimentado un alargam iento 2(A t - AS)1.

E ca[ ~ 6.500 (fckt + 8 )1/3

L a fuerza F q en la arm adura adherida resulta p o r tanto:

d

p

a ne - a E

{6/a d

n V ' p

1

[29.56]

siendo f ckt la resistencia del horm igón al transferir. C alculando el valor de AS m ediante [29.55] se sustituye en [29.51], [29.52] y [29.53] y se obtienen los valores de F# F a y F c y de ellos

9 ) + a L i aL e s

A p

y q = ——

P

o p a t .d y sustituyendo:

— ^

[29.57] P

F= A

AS o p e - a E P { 9t - 9 o)} - -— E ¡

a p a l,a = -¿ ^ -

[29.52]

[29.58]

P

-F

[29.59]

- El horm igón ha experim entado un alargam iento 2{A t - AS) y p o r lo tanto está som etido a una fuerza de tracción:

1

604

Los valores At, AS se refieren a cada extrem idad de la pieza. L os totales de la pieza serían 2AS correspondientes a una longitud 2G.

1

Se entiende que el valor d e /

2

En la arm adura se consideran positivas las tracciones. E n el horm igón se consideran positivas las com presiones.

debe determ inarse en probetas curadas en el am biente de la mesa.

605

www.libreriaingeniero.com que son las tensiones en la arm adura desnuda, arm adura adherida y hormigón respectivam ente a tem peratura 6t y antes de la transferencia.

El valor K - 0 corresponde al caso de form ación de la adherencia antes de aplicar la calefacción, en cuyo caso ésta ya no presenta, prácticamente, interés.

El razonam iento anterior se ha hecho sobre la hipótesis de que 6ad > 6t y p0r tanto se producía un acortamiento de las piezas, representado por un valor positivo AH > 0. 0 —Q Si ead = er se tiene de K = ~ e ~ o ~ ^ ue K (6c = 0ad - da = e, - 6 a y según

- La tensión de tracción del horm igón no debe rebasar su resistencia si no se quiere fisurarlo. La fórm ula [29.59] perm ite elegir la tem peratura 6 de transferencia adecuada para ello1.

c

- En las zonas desnudas se producen sobretensiones que pueden rebasar la zona lineal del diagrama del acero, con lo cual en la fórmula [29.15] el término

a

[29.55] AH = 0, cosa evidente ya que la longitud de las piezas aum enta al variar la tem peratura de 0aá a 9c lo mismo que dism inuye de 6c a 6r E l hormigón no presenta tensiones inm ediatam ente antes de la transferencia.

Ep no representa la sobretensión y las fórmulas [29.47], [29.48] y [29.49] no son válidas.

Si 6ad < 6 (cosa im posible en la práctica) se produce una dilatación de la pieza, la arm adura desnuda pierde tensión y el horm igón se com prim e algo, ya antes de la transferencia.

Si a p a t .d, > a p p siendo a p p la tensión correspondiente al lím ite de r proporcionalidad (figura 29-14), el problem a puede ser resuelto sustituyendo

Las fórmulas [29.51], [29.52], [29.53], [29.54] y [29.55] son válidas para todos los casos, recordando que los signos positivos en las tensiones corresponden a tracciones y en las deform aciones AH a los acortamientos.

en la expresión [29.51 ] el término ~^~~Ep Por ° P = /^ eP)> siendo esta fórmula la expresión analítica de la ley tensiones-deformaciones. El procedimiento es trabajoso si no se resuelve con ordenador.

La aplicación de las fórmulas [29.51], [29.52] y [29.53] plantea la necesidad de varias consideraciones. - En prim er lugar, y en esta fase del proceso, habría que hablar de pérdidas o de fiierza de pretensado diferentes en las zonas de armaduras desnudas y en las zonas adheridas. En la práctica y a partir de la transferencia sólo nos ocuparem os de estas últimas. - Lo norm al es que la adherencia se produzca a tem peraturas superiores a la transferencia y haya por tanto tracciones en el horm igón inmediatamente antes de transferir. - En el análisis anterior se h a partido de una producción instantánea dé la adherencia a una tem peratura 6ad. E n la realidad la formación de la adherencia es un proceso gradual.

F ig u ra 2 9 -1 4

F ig u r a 2 9 -1 5

U na solución alternativa y sim ple es, una vez com probado que <Jpatd > o , suponer un valor de AL En el diagram a del acero em pleado (Fig. 29-15) se fija el punto D correspondiente a la tensión parcial o - Epa (6¡ - 6a) de la

En general K debe ser considerado com o un coeficiente que debe determinarse experim entalm ente en cada fábrica, más que com o el valor [29.50] correspondiente a una supuesta form ación instantánea de la adherencia. R epresenta de hecho una reducción de la pérdida de tensión de la armadura adherida1, debida al desarrollo paulatino de la adherencia, respecto a la pérdida que experim entaría la arm adura si alcanzase la tem peratura 6C sin crearse la adherencia (K = 1J. La FIP (29.1) recom ienda K = 0,5 en ausencia de determ inaciones directas2,3.

armadura desnuda. A partir del valor de AH elegido se calcula-^-que, llevado sobre el diagram a a partir del alargamiento correspondiente al punto D, AH permite calcular el valor A o po. Con el m ism o valor de AH se calcula — . Las ecuaciones equivalentes [29.51], [29.52] y [29.53] son ahora:

1 2 3

En inglés el fenóm eno se designa como “loosening” . El sistem a de colocar horm igón ya caliente, al que se aludió en el Capítulo 26, puede tener una influencia considerable en el valor de K. El M O D EL CODE 90, recom ienda K = 0,9. No vemos razones para un valor tan alto y aunque el tema debe ser investigado directamente en cada fábrica, en ausencia de ensayos no aparecen razones para abandonar el valor K~ 0,5.

606

F d,i , - A p [cr - a E p(y Qt - Q a) ' + A op o 1J [ pe

1

[29.60]J

L

La fisuración debe en general evitarse, pues aunque las fisuras se cierren luego al transferir, las características resistentes frente a fisuraciones posteriores han quedado disminuidas.

607

Fa 1, = A p trpe - a ED '{ 8t - 8a')

F*

Al

[29.61]

[29.62]

^p FCat

Sustituyendo los valores de Aap¡>y —-— en las tres expresiones anteriores se compara Fix con F fll + Fc]. - Si Fdí > Fa{ + Fc¡, es que se ha supuesto un valor de AS demasiado alto y debe tantearse de nuevo con otro más reducido. - Si F (j < F , + FcV debe probarse con valores más altos de A l . En general dos o tres tanteos son suficientes para resolver el problema. Conocido el valor de A l , sustituyendo [29.60], [29.61] y [29.62] se obtienen:

p at.d

o pe - Ep t áv dt - 9a)/ + Aopc

ap at,a = crpe - aEp v( 6f - 6ay)

a...

=

Al «

Ep

[29.63] [29.64]

forma los cálculos anteriores no tienen otro carácter que el puramente orientativo. En general, valores altos de b respecto a 5 (Fig. 29-11) conducen a menores sobretensiones en las zonas de armaduras desnudas, algo menores, (casi iguales), tensiones en las armaduras adheridas y menores tracciones en el hormigón. Es, sin embargo, un sistema caro, pues conduce a un mayor coste de armadura por m de pieza realmente fabricada. Un caso de especial interés es el caso de empleo de máquinas “ponedoras”. En general este caso supone, si las zonas desnudas de armaduras en los extremos son de longitud apreciable, tensiones en las zonas de armaduras desnudas y adheridas algo mayores que en el sistema clásico de separadores. Las tensiones de tracción en el hormigón son bastante mayores. Si las zonas de armaduras desnudas en los extremos son muy cortas, los alargamientos en esas zonas son muy fuertes y pueden llegar a producir la rotura de las armaduras. (Ver ejemplo en el apartado 29.2.4.8). El caso aquí resuelto, adopta para mayor claridad de exposición la hipótesis de espacios 2b entre piezas y b entre piezas extremas y cabezas, que es suficientemente aproximado para las necesidades prácticas. El caso más genera! se indica en la figura 29-16 y conduce a poner en equilibrio cada pieza. Por ejemplo para la primera comenzando por la izquierda se tendría, siendo zJ,í, A2{,... A J los corrimientos totales de las piezas, positivos hacia la derecha, (ahora ya el centro de cada pieza no permanece quieto durante el calentamiento):

[29.65]

que son las expresiones análogas a las [29.57], [29.58] y [29.59], pero correspondientes al caso en que en las zonas desnudas de armaduras se ha rebasado el límite de proporcionalidad del acero durante el enfriamiento hasta la temperatura de transferencia.

Las tensiones de tracción del hormigón resultan generalmente altas, salvo que la transferencia se realice a una temperatura poco inferior a la de curado. Todo ello conduce de nuevo a recordar la necesidad de que tanto el valor de K como el de 6t deban determinarse para cada instalación en concreto. De otra 1

608

La resistencia y el módulo de deformación del hormigón van aumentando de forma importante durante el proceso de fabricación.

A ,t

ffff

A ,t

A ,8

A rt

A6í

ff

ff

Figura 29-16 Lado izquierdo:

Debe señalarse que en la mayoría de las situaciones reales se está en este segundo caso. Es evidente que en las zonas desnudas de armaduras se alcanzan tensiones muy elevadas, y por lo tanto, grandes pérdidas de relajación. Esto no tiene importancia, ya que esas zonas son cortadas y quedan sin tensión, en el propio proceso de fabricación. La elevada relajación en esas zonas, el rozamiento con la mesa, la necesaria longitud de adherencia y las poco conocidas características del hormigón a esa temperatura, en condiciones reales y río de laboratorio, hacen que el problema sea muy complejo e insuficientemente conocido1.

A ,!

tf

di

p

AJ ape - a Ep ( d( - 8 o) + —l . Ep Ul

AJ - AJ F\ = Ap crpe - K aEp (8 - 9 »)' h— -----— Ep al ' I n AJ-AJ

F‘ = A c E cat, el Lado derecho: Fd¿= A p a pe - a Ep v{ 8l - 6a )' i

AJ - A l - E pn l 2

Al - Al ' Fá . = A p ape - K a E PK (8e - 8a’) + — ¡¡ - E p al *1 609

www.libreriaingeniero.com C álculo de la p érd id a de fu e r z a de p re ten sa d o en la a rm a d u ra a dherida K ,

fl =

a [* (0 - 0 ) - (6, - e )] + — 1

- A l l Ep U

Se entiende com o pérdida producida por la dilatación térm ica, la diferencia entre o y la tensión en el acero adherido cuando la tensión en el horm igón es nula. C uando el horm igón está traccionado, esta anulación de su tensión se obtiene al com enzar el destesado en las cabezas de anclaje, pero la variación de te n sió n co rre sp o n d ie n te es d eb id a al efecto d e la ca le fa cc ió n exclusivam ente. Si durante el tratam iento de calefacción la p ieza se dilata, se ha producido ya un destesado parcial con su transferencia co rresp o n d ien te1.

El equilibrio de la pieza de longitud y com o cuerpo aislado, exige F *d\¡ = rFd\d Luego: a^

¿y

-

a

Por tanto:

2[ (a)

bn

AP, = A

a pe —\i crpar,a - ——„ — E p

El equilibrio de fuerzas en la cara extrem a izquierda exige: A t-A H

es la deform ación que ha experimentado la pieza, y por lo tanto la armadura

F,\ d1 = Fai, + Fel, adherida, desde la posición de tensión nula en el horm igón y sustituyendo A t = o i9 ad - 9 ) í com o vimos anteriormente y operando: .

+

1

_

r

_

i

l

r

1

O sea: = A

p a e - K a E p(6r - e a) + ^ ~ ^ E 1

p

+ A c E car a

A P , = A K a E p (9c - e a)

(b)

P or supuesto se cum ple = F da2 + F d2 en la otra cara. E n definitiva hay 2n incógnitas z y ...zy (! y 2n ecuaciones que se originan al plantear n ecuaciones (a) por cada pieza y n ecuaciones (b) una por cada extrem idad (izquierda o derecha, pues es lo m ism o) de cada una de las n piezas. C om o vim os en el caso expuesto en el texto, algunos o todos los valores: A J

[29.66]

L a pérdida es, com o se ve, independiente d e la tem peratura a la que se realice la transferencia y depende únicam ente de la tem peratura de form ación de la adherencia2. L a tensión en el acero inm ediatam ente antes de la transferencia resulta a par,a y la existente cuando la tensión del horm igón es nula: a po = o pe - K a E p v( 9c - 9 a' )

[29.67]J L

E n las zonas de arm adura desnudas, se produce un increm ento en la fuerza de pretensado debido al enfriam iento, A ’P 8 y una pérdida por relajación que puede suponerse m uy aproxim adam ente igual a A P 9. El valor A ’P %vale A (
p u ed en se r su periores ai alarg am ien to co rresp o n d ien te al lím ite de proporcionalidad del acero, y es necesario en ese caso aplicar el proceso que allí se indicó.

A P %= A 'P 8 + £ P 9

[29.68]

que en la p ráctica carece de interés. E n general la solución es trabajosa, salvo en los casos en que se trata de fabricaciones sim étricas

Con esta definición, la pérdida p o r acortam iento elástico, que verem os a continuación, es la debida a los acortam ientos del horm igón desde su estado de tensión nula, tal com o se entiende en general y en particular cuando no hay calefacción. La expresión

APr -a A

= A a g es decir, la pérdida de tensión en la arm adura corresponde al valor

p

en los que la resolución m anual es relativam ente fácil. 610

adoptado por la FIP en (29.1). O bsérvese, sin em bargo, que el cálculo anterior para conocer <J ¿ y <7 es im prescindible p ara verificar la tensión en la arm adura desnuda y sobre todo, las tracciones en el horm igón, cosa que no puede hacerse sólo con el conocim iento de AP^ ó A a g respectivam ente.

611

i)

Pérdida AP9p o r relajación anisoterm a durante el período de enfriamiento D urante la bajada de tem peratura ocurre sim ultáneam ente otra pérdida por relajación anisoterm a de la armadura, que llam arem os AP9 sin cuantificarla por ahora.

j ) Pérdida APJ0 p o r acortam iento elástico a l transferir. A l realizar la transferencia y cortar los alambres entre piezas una vez destesada la mesa, se establece la acción del pretensado. La com presión sobre el horm igón producirá un acortamiento que m otivará una nueva pérdida de tensión en la armadura.

La fuerza de pretensado después de la transferencia resulta: i 10

Sea <7 la tensión de la arm adura después de transferir, sin contar la acción del peso propio de la pieza, y a t la correspondiente a tensión en el hormigón en el c.d.g. de la arm adura activa. L a tensión a debida exclusivam ente a la acción del pretensado viene dada por la fórmula: A cr. /

e2

CT« = Á r l 1+ > )

[29-69]

(com prensión si a > 0). Igualando los acortam ientos producidos en el hormigón y en la armadura, se tiene: crp e ____________ - K a E p (Q ~ Ba ) \ - o prt \ c EP

_

a .ct

1

~ Ectt

Sustituyendo [29.69] en [29.70] y despejando a

se tiene:

o -K<xEje-e\ o = -J l aJ 2 1 + mq

[29.70]J

L

[29.71]

‘ ♦*7

El valor de E cí para el cálculo de m, es en este caso el correspondiente a cargas instantáneas dado por [28.12], con f ck determ inada en probetas curadas en el am biente de la pieza. La pérdida de fuerza de pretensado resulta por tanto:

p = P -Y A P . = A a t kt o i p pt 1

2 9 4 1 2 CONSIDERACIONES SOBRE LAS PÉRDIDAS POR RELAJACIÓ N HASTA LA TRA N SFE REN C IA CU A N D O SE USA SISTEM A D E CALEFACCIÓN En el análisis anterior hemos considerado cuatro valores AP4, ÁP5, AP 6, y A P 9 que corresponden al conjunto de la relajación del acero, en diferentes condiciones de temperatura y bajo tensiones decrecientes del mismo. La pérdida AP4, anterior a la aplicación de la calefacción puede ser calculada con precisión suficiente a partir de las curvas de relajación isoterma facilitadas por el fabricante de las arm aduras2. El conjunto ÁP5 + ÁP6 + A P 9 es decir, las pérdidas por relajación ocasionadas por el incremento de tem peratura producido por el sistema de calefacción pueden, bien ser medidas m ediante una investigación experimental directa en fábrica, o bien, ser estimadas a partir de curvas de relajación en función de la tem peratura com o las de las figuras 32-20b y 32-21 del Capítulo 32. Debe señalarse que el cálculo adecuado de esta pérdida, por la im portancia que representa en las pérdidas totales, es esencial para un diseño correcto de la pieza pretensada. Los estudios de ELICES, SÁNCHEZ GALVEZ con ERDELYI y KOSIOREK (29.3) y los de N A DER (29.4) indican que a continuación del período de calefacción, la pérdida por relajación cesa a efectos prácticos, al menos hasta tiempos muy grandes que con frecuencia superan la vida útil de la estructura. Como tampoco puede pretenderse una gran precisión en todo lo que venimos exponiendo, en ausencia de otra inform ación Á P 5 y ÁP9 pueden estimarse como las correspondientes a la tem peratura m edia del período correspondiente, aplicada a la 1

A P 10 ín = Ap fG - K a E p \(Bc ~ 9a)J ~ a pnt i1 l pe 2

y sustituyendo: l

El efecto del descenso de tem peratura df a 9a afecta por igual a ambos materiales y no produce por tanto variación de tensiones.

612

[29.73]

Con este valor de la fuerza de pretensado pueden calcularse las tensiones al transferir. Recuérdese que al transferir se produce contraflecha y, por lo tanto, comienza a actuar el peso propio. Según la comprobación que se realice y la sección de pieza que se considere, deberá tenerse o no en cuenta su acción. Desgraciadamente los fabricantes españoles de aceros de pretensado dan muy escasa y a veces nula información sobre este aspecto. Para todo lo que estamos tratando es esencial conocer las curvas de relajación para tres tensiones iniciales, p. ej. 60, 70 y 80% de la rotura y cada una de ellas para temperatura de 20, 50 y 80°C, por ejemplo. Con estos datos pueden interpolarse todos los que se van necesitando en el método de cálculo que se expone.

www.libreriaingeniero.com tensión inicial en el período. AP 6 puede estimarse directam ente a partir de las curvas de relajación en función de la temperatura.

- Para el cálculo de las pérdidas antes de la transferencia, el valor k A a debe ser evaluado de acuerdo con el tipo y duración del curado que se aplique.

Com o sim ples valores orientativos, a las pérdidas debidas a la relajación isoterma a 20°C desde el tesado a la transferencia, hay que añadir, debido a la influencia de la calefacción sobre la relajación, pérdidas del 5 al 10% de su tensión inicial para armaduras con tratamiento de elim inación de tensiones y del 0,5 al 4% para armaduras sometidas a procesos de estabilización (29.1). Todo esto se refiere a pérdidas por relajación hasta la transferencia. Más adelante hablarem os de las pérdidas totales, es decir, a tiem po infinito, aunque puede adelantarse que la impresión actual (29.1), (29.3) y (29.4), es que con armaduras de buena calidad las pérdidas totales por relajación son prácticam ente las ocurridas hasta la transferencia.

- En los casos de curado al vapor, con temperaturas máximas de 65 a 80°C, en el cálculo de las pérdidas diferidas, es decir posteriores a la transferencia, debe considerarse, de acuerdo con lo expuesto, K = 0.

L o que si es importante es el conocim iento claro de que la calefacción produce unas pérdidas directas por dilatación de la arm adura y otras indirectas por aceleración del proceso de relajación. El cálculo de los valores de estas pérdidas es esencial para una correcta evaluación de la tensión en el m om ento de la transferencia y de todas las pérdidas y tensiones posteriores. Análogam ente hem os introducido un coeficiente K interviniente en la pérdida de tensión debida a la dilatación térm ica de la armadura. Vimos que el valor K = 0 correspondía al caso de adherencia com pleta entre horm igón y arm adura al comenzar la acción de la calefacción. Interesa reducir K todo lo posible pues de otra manera las pérdidas son importantes. Ello equivale a ganar rápidam ente resistencia en el hormigón para desarrollar adherencia en muy poco tiempo.

29.4.2

En este caso son nulas las pérdidas A P 5, ÁP6, AP9 y la AP4 corresponde al tiempo desde el tesado de las armaduras hasta el instante de la transferencia, con temperatura ambiente en todo el período. Es naturalm ente tam bién nula la A P S debida a la calefacción ya que ésta no existe. Correlativamente la tensión a caí es nula. 29.4.2.1 PÉRDIDA APl0 D E FU ERZA D E PRETEN SAD O DEBIDA A L ACO RTAM IEN TO ELÁSTICO En cuanto a la pérdida por acortamiento elástico A P ]0, su valor es ahora:

AP 10

29.4.1.3 PÉRDIDAS D E FUERZA D E PRETEN SAD O PO STERIO RES A LA TRANSFERENCIA U na vez realizada la transferencia, seguirán produciéndose pérdidas en la fuerza de pretensado debidas a los tres conceptos siguientes: - Retracción diferida

PÉRDIDAS CUANDO NO SE APLICA CALEFACCIÓN

(cr v pat - a prf)Ap

pal 1+m o p*

1 +

ly

donde apat es la tensión del acero antes de la transferencia y
- Fluencia a pam t apJ 1 + \~r

- Relajación diferida

[29.75]

AP1 ,n0 = A p■

Por supuesto, los tres fenómenos se interfieren en un proceso extremadamente com plejo, esencialm ente análogo al analizado para el caso de armaduras postesas.

l + m pq 1 +

L a pérdida conjunta debida a los tres fenómenos la calcularem os de nuevo con la fórm ula [29.43]

á o 'c p i t f t .t ,) +

¿P

A

-----------------------------------

e p

■ E j . t . t j + k á c pr

[29.74]

1

crp a t, tiene ahora el valor a p a t - crp \. - — [2lP,1 + AP~¿ + AP.J + AP.) a L 4J

2

Obsérvese que [29.75] se deduce inm ediatam ente de [29.72] sin más que hacer Gpe = a y 6C = 6a. Esta similitud es debida al hecho de haber definido com o pérdida debida al acortam iento elástico, cuando se emplea calefacción, la ocurrida desde la tensión nula en el hormigón. La debida al acortamiento desde su estado real hasta el de tensión nula se engloba en la pérdida por dilatación térmica, tal como indicamos en 29.2.4.2.h.

P

P¡

con las mismas notaciones y advertencias que allí hicimos, debiendo añadirse las siguientes: 614

615

4-

[29.80]

r, 1.000

donde A P r 1000 es la relajación pura a tem peratura de 20°C y a tensión 0,70 f pk, al cabo de"' 1.000 horas y A y y tom an los valores siguientes: A = 0,15 (Ver ábaco en la figura 29-17 p ara el cálculo de X).

A = 0,20 para transferencia a 2 días.

Es interesante com parar esta fórm ula con la adoptada p o r EHE. A P i u = m p a c t, A p

[29.77]

donde <7 es la tensión en el horm igón a nivel del c.d.g. de la arm adura debida a ■ fu erza de pretensado antes de la transferencia. L a fórm ula [29.77] puede expresarseAP,s = apaA pmpq

[29.78]

P érdidas diferidas

Las fórm ulas para la pérdida A P sistem a de calefacción.

29.4.3

para transferencia a 3 días.

y — 2,0

para arm aduras som etidas a procesos de estabilización.

y - 2,7

para arm aduras som etidas sim plem ente a procesos de elim inación de tensiones

d) P érdida AJ>5 + A P 6 + A P 9 a d icio n a l debida a l sistem a de ca lefacción D ebe ser determ inada experim entalm ente. En ausencia de otros datos deben considerarse pérdidas de tensión del 5 al 10% de la tensión inicial de la arm adura p ara el caso en que éstas hayan sufrido sólo un proceso de elim inación de tensiones y del 0,5 al 4% para arm aduras som etidas a procesos de estabilización. N o es posible actualm ente dar un a inform ación más concreta, salvo el m étodo general expuesto anteriorm ente. e) P érdida A P 1 p o r retracción inicial

son naturalm ente iguales que cuando se emplea F

Se desprecia. f) P érdida AJP& debida a la dilatación térm ica

M É T O D O SIM P L IF IC A D O PARA EL C Á L C U L O D E LA S PÉR D ID A S DE F U E R Z A D E PR E T EN S A D O

A P = A K a E p(,ec - e )

El m étodo general expueto en 29.2.4.2 y 29.2.4.4 puede ser sustituido por el siguiente, m ás breve, y que proporciona una precisión suficiente p ara la m ayoría de los cálculos. (Llam am os A P a las pérdidas calculadas con este m étodo sim plificado). a)

A = 0,25

P ara arm aduras no som etidas a ninguno de los tratam ientos indicados no es posible fijar un valor de y.

i •j L ^ órm ula de E H E sobrevalora la pérdida p or acortam iento elástico debido a aut la identifica con la producida por la tensión en el horm igón antes de producirse b perdida y no después com o ya dijim os. £

29.4.2.2

para transferencia a 1 día (o m enos).

K debe ser determ inado experim entalm ente. En ausencia de datos puede adoptarse K = 0,5. g)

P érdidas A P. y A $ 1 5 2

[29.81]

T ensión a n tes d e tra n sferir p«

D eben ser evaluadas experim entalm ente a la p u esta en m archa de la instalación.

apat

- Í 1

a

A, _

[29.82]

A

P

^

S S Í

^ ° r ^ es^ za m *en *°

las c u ñ a s d e anclaje. Igual que en

[2 9 w i c)

h)

P érdida A P 7 p o r a co rta m ien to elástico a l tra n sferir

(7p a t,m p q1

Pérdida A P Ap o r relajación isoterm a a la tem p era tu ra am biente. (Caso en que no hay calefacción). D e acuerdo con los datos experim entales puede establecerse la fórm ula:

(e \2 i + . v ) .

[29.83] A Aa , p

1 + m p nq

P at

íe \2

['Al 617

www.libreriaingeniero.com donde m corresponde a cargas breves. El valor: \ m q p1

= ‘P ÍV o ) - f á v O

donde:

1 + i7

A=1 + m pq 1 + É

viene dado por el ábaco de la figura 29-17.

to

es la edad de aplicación del pretensado

t1

es la edad de aplicación de la carga cuasiperm anente

t2

10.000 días

M

M omento m áxim o característico debido al peso propio de la pieza pp

A b a c o p a r a e l c á l c u l o d e l a p é r d id a d e T E N S IÓ N D E L A S A R M A D U R A S D E B ID A A L A C O R T A M IE N T O E L Á S T IC O D E L H O R M IG Ó N A L T R A N S F E R IR

M

mq (1+5.) - U m q ( i 4 ) ’'

M om ento m áxim o característico debido a la carga cuasiperm anente excluido el peso propio

Para la m ayoría de los casos prácticos para A, puede tom arse la m itad del valor proporcionado por la tabla T-28.4 y 2^ = 0. (Depende naturalm ente del período de estancia en parque de la pieza).

k) Pérdida Á P lQpor relajación diferida del acero k-1) Si no hay calefacción: A-^10 “ Y^rÁ.000

[29.86]

A sP 4d

(Véase c) para valores de y). k-2 )S i hay sistema de calefacción: [29.87]

¿P n= 0 s y10 Figura 29-17

29.4.4 M ÉTODO PARA TANTEOS

i) Pérdida A Ps por retracción Puede considerarse con una aproxim ación razonable: [29.84]

A s Pe,8 = ee s A p E s Como valores de £cs pueden usarse los de la tabla T-28.5.

j) Pérdida A P 9por fluencia del hormigón

Af * = Kf

f

[29.85]

Af i

J r lc t

siendo: cfCD

= 2 ,i

1+1“

M PP e,h

eh

+ A,

1 + \—

M s eh

EXCENTRICIDAD RELATIVA (-f ) (q = Cuantía geométrica) (Armaduras Estabilizadas)

EXCENTRICIDAD RELATIVA (7-) (q = Cuantía geométrica) (Armaduras Estabilizadas)

b)

a) Figura 29-18

618

619

Para cálculos simples, com probaciones aproxim adas y tanteos, resulta suficiente una estimación de las pérdidas m ediante los gráficos de la figura 29-18, obtenidos mediante la interpolación de curvas a partir de los resultados obtenidos en la realización de los cálculos de numerosas piezas pretensadas con armaduras pretesas correspondientes a todo el campo habitual en la práctica. L a figura 29-17 a) da las pérdidas totales S APy Las pérdidas inmediatamente después del acortam iento elástico pueden ser estim adas m ediante la fórmula: E á P l = r¡i E A P f

[29.88]

donde rj[ se obtiene en la figura 29-18 b)

29.5

F U E R Z A FIN A L D E PR E T E N SA D O Es el valor:

„ F ig u ra 2 9 -2 0

P9.89] 1 y es el que se usa para la com probación de la pieza en condiciones de servicio y para

El fabricante de la arm adura proporciona los datos siguientes:

otros cálculos.

- Pérdidas por relajación pura:

L a tensión perm anente de pretensado es: P ap f - A

[29.90]

para Opo = 0,7 f pk. Se recogen en el gráfico de la figura 29-21. - Relajación adicional debida al tratamiento de calefacción previsto: = 5%.

P

Las Normas actuales no prescriben un valor máximo de cr^ya que en la práctica no resulta nunca superior a 0,60 f ^ valor que no presenta inconvenientes de ningún tipo.

Hormigón. Se em plea un horm igón con resistencia característica al tran sfe rir/^ = 25M Pa, a los 28 días f ck = 40 M Pa y a los 60 días f ck = 46 MPa. Se usa cemento de endurecimiento rápido y alta resistencia. El forjado se construye con horm igón resistente en relleno de senos y losa superior, con un canto total de 210 mm.

EJEM PLO 29.2 Se da la vigueta de forjado de la figura 29-19. (Cotas en mm).

A L A M B R E P R E T E N S A D O 0 4 m m Y 18 6O C Carga ¡nidal 130 N/mm2= 0.70fpk

20 20

-r ttr " c

r a

'

30.

F ig u ra 2 9 -1 9 Tiempo (horas)

Acero. Los alambres son § 4 mm cuyo diagram a se representa en la figura 29-20, y corresponde a un alambre Y 1860C de relajación 2%, con E = 200.000 N/m m 2. 620

F igura 29-21

621

www.libreriaingeniero.com Fases del hormigonado hasta servicio. CÁLCULO DE LA FUERZA INICIAL DE PRETENSADO DE ACUERDO CON EHE

- Desde el hormigonado hasta la transferencia:

Tensión de tesado:

- Ambiente saturado - Curado con vapoi

o po < 0 ,8 5 - 1860= 1581 N/mm2

- Ciclo, el indicado en la figura 29-22. (Supóngase K = 0,7). o p o < 0,95 • 1582 = 1503 N/mm1 ’

- M esa de 110 m de longitud

Tensión al anclar después de la transferencia:

- Penetración de cuñas 2,5 mm - Longitud de piezas 2í = 6m

crpt < 0,75 • m 0 = 1395 N/mm2

- Ancho de separadores 2b = 200 mm api < 0,90 ■ 1582 = 1424 N/mm2

Se calculan los valores siguientes: Se adopta A p = 50.3 mm1

Gpo = 1503 N/mm2 = 0,95 f pk

e = -28,6 mm

Pk¡ = 50,3 • 1503 = 75600 N

r = 60,4 mm q = 0,0047

CÁLCULO DE PÉRDIDAS POR EL MÉTODO GENERAL

I = 38.720.000 mm4 a) Pérdidas AP} y AP2 No se tienen en cuenta. °C

100

b) Pérdida AP3 por deslizamiento de cuñas de anclaje. Transferencia ( 0 1= 45°)

2,5 £ = ------ !------= 2 ,2 7 • 10-5 5 0

2

4

6

a

10

Figura 29-22

12

Aunque está en zona no lineal se aplica la fórmula [29.44] por ser pequeña la diferencia. AP3 = 2,27 ■10*5 • 200.000 • 50,3 = 228 N

En parque: - Ambiente medio (HR-50%) - Duración 60 días

110.000

14 (horas)

(Dado el pequeñísimo valor de la pérdida, resulta supérfluo intentar calcularla sobre la zona curva del diagrama). c) Pérdida ÁP4por relajación isoterma a la temperatura ambiente durante el tiempo de espera. (Ver figura 29-21)

- Temperatura media, 14°C En forjado construido:

Para t = 3 horas

- Ambiente medio (HR-50%)

ÁP4 = 0,005(75600 - 228) = 377 N

- Temperatura media 20°C - e = 80 mm; I = 122.000.000 mm4 M = 4,90 mkN 8

622

1

En rigor, la curva de relajación de la figura 29-21 está realizada para una tensión de 0 J 0 f pk m ientras que en nuestro caso cr = 1498 N /m m 2 que es 0,81 f maxk. En la práctica operam os con ella porque el error es despreciable. Si los fabricantes, com o establece EH E, sum inistrasen curvas p ara 0,6; 0,7 y 0,8 de fpk se podría interpolar.

623

d) Pérdidas: - AP5 por relajación en el período de subida de la temperatura.

p a i.á '

1442 - 10'5 ■2 - 105 (45 - 20) + - ^ - 2 ■ 105 '

100

1652 N/mm2

- AP6 por relajación durante el período de temperatura constante de curado. - ÁP9 por relajación durante el período de reducción de temperatura hasta la transferencia. Al no disponerse de otros datos, de acuerdo con lo dicho se estima que estas pérdidas suponen un 4% a añadir a la pérdida por relajación pura a 20°C para ese período, que va de 3 a 11 horas. De acuerdo con la figura 29-21 el porcentaje de pérdidas en ese período a 20°C es aproximadamente 1-0,5 = 0,5%, luego,

que supera claramente la tensión del límite de proporcionalidad. Luego no son aplicables las fórmulas [29.51] a [29.54] por no ser lineal la relación cr - e y debe seguirse el método gráfico. (Figura 29-23)

AP< + AP, + AP0 = — [ 1.503 - (228 + 377)1 • 50,3 = 2484 N 5 6 100 e) Pérdida AP?por retracción inicial Se desprecia debido al proceso de calefacción por vapor ÁPn = 0 De acuerdo con [29.49]: (228 + 377 + 2484) ^ ir/ _ O = 1503 - ---------------------------= 1442 N/mm pe 50,3 A continuación es necesario comprobar si en el enfriamiento las armaduras en las zonas desnudas rebasan o no el límite de proporcionalidad De acuerdo con [29.56]: Eca[ = 6500(25 + 8)I/3 = 20848 N/mm2

200,000

F ig u ra 29-23

ape ~ a E s(6t - 6a) = 1442 - 10'5 • 2 ■ 105 (45 - 20) = 1392 N/mm2

-= 9 ,6

20.848 Tanteamos en primer lugar A ^ = 0,3 mm

q = 0,0047

M

mq = 0,045 De [29.55]: * =

0 ,7 (7 0 - 2 0 ) ^ 4 5 - 20) =

^

q

l+ 0 ,0 4 5 Íl+ — \ 10 AH = 0,0000418 ■3000 = 0,13 mm

y de [29.51] y [29.57] 624

0,3 -= 0 ,0 0 3 100

Entrando con este valor en el gráfico de la figura 29-23 a partir del alargamiento correspondiente a la tensión de 1392 N/mm2 se tiene: A<Jp o , 1. = 175 N/mm2 0,3 = 0,0001 y sustituyendo [29.60], [29.61] y [29.62] se tiene: 3000 F ,, = 50,3[1392 + 380] = 78.820 N

625

www.libreriaingeniero.com Fal = 50,3[1392 _ 0,0001 ■2 • 105] = 69.012 N

-

Fcñ = 10.600 ■20.848[10-5 (0,7(70 - 20) - (45 - 20)) - 0,0001]= 0

-

I'

*

. t -V

+ Fc¿ = 9-808 N

*\n -

"

** —

Tanteamos en segundo lugar át2 = 0,1 mm £ ,= 2

0,1

=0,001

100

0.002

A( 0,1 y entrando en el gráfico Acr , = 80 N/mm2 y— = ---------= 0,000033 po2 í 3000 Fd2 = 50,3 [1,392 + 80] = 74.042 N

F igura 29-24

Las tensiones resultan: = 1.532 N/mm2 -----5 Q 2

o"p at.d ,

Fa2 = 50,3 [1,392 - 0,000033 • 2 -105] = 69686 N

Fa Fcü = 10600 •20848[lO^5 (0,7(70 - 20) - (45 - 20)) - 0,000033] = 14806 N

apa, a ' 50,3

1.379 N/mm2

F F* ~ (Fa2 + Fa2) = -10-450 N Realizamos un último tanteo con un valor mayor de á t

M-,= 0,2mm

AL 0,2 e =— —= ------= 0,002 ¿>100

y entrando en el gráfico Aapo 3 = 140 N/mm2 AL 0,2 — = -------- = 0,000067 y sustituyendo 5 3000

10600

■= -0,69 N/mm2

Es interesante comparar las tensiones anteriores de piezas con separadores, con las que ocurrirían en pieza continua fabricada con máquina “ponedora”. A continuación se dan los resultados. (Los cálculos se omiten por brevedad, ya que son análogos al realizado): - Longitud de pieza i = 107 m Longitudes desnudas en cabezas b - 1,50 m apat.d= 1678 N/mm2 crpat,a= 1384 N/mm2 crcat, = -1,05 ’ N/mm2

Fd3 = 50,3 [1,392 + 140] = 77.060 N

- Longitud de pieza í = 109,40 m Longitudes desnudas en cabezas b = 0,30 m

Fíñ = 50,3 [1,392 - 0,000067 • 2 -105] = 69.344 N pat.d

F 3 = 10600 ■20848[l0-5 (0,7(70 - 20) • (45 - 20)) - 0,000067] = 7293 N F * - ( F á3 + Fa ) = 4 2 3 N que es un error sin trascendencia 626

1795 N/mm2

a pal,a : = 1388 N/mm2 a cat, = -1,43 N/mm2 ’ Como puede verse el uso de ponedoras aumenta de manera importante la tracción del hormigón lo que puede obligar a variar la tensión de transferencia, o a interrumpir el hormigonado en algunos puntos a lo largo de la mesa. La tensión en la armadura 627

adherida apenas varía. La tensión en la armadura desnuda aumenta, pero sólo puede llegar a ser peligrosa (rotura en anclajes si éstos no son muy perfeccionados) si b es extremadamente pequeña, cosa que es imposible por razones prácticas de disposición de la máquina “ponedora”.

El peso propio de la pieza es de 0,265 N/mm y considerando la sección central,

APS = 50,3 • 0,7 • 10‘5 (70 - 20) = 3521 N La tensión del acero inmediatamente antes de la transferencia de la comprensión es, de acuerdo con [29.67]:

^ =

1.317 • 50,3 10.600

= 7,65 N/mm2

La tensión del hormigónen el c.d.g. de la armadura pretensada, debida al pp de la vigueta, en la sección central vale:

1503 - 1372 -= 8,7% de la tensión inicial 1503

1.190.000 • 28,6 „ „ cr’ = ----= -0,88 N/mmr cp 32.720.000

Pérdida APlQpor acortamiento elástico al trasferir El peso propio de la viga por m es p = 10.600 • 25 • lO-6= 0,265 N/mm=0,265 kN/m M

M pp = 1,19 mkN La tensión del hormigón en el c.d.g. de la armadura pretensada, debida a la fuerza de pretensado

’

o sea, que hasta el momento se ha perdido:

f)

apl < 0,90 ■1.582 = 1.424 N/mm2 luego la tensión inicial elegida es válida.

La pérdida por dilatación, de acuerdo con [29.66]

O = 1442 - 0,7 • lO'5 • 2 • 105 (70 - 2) = 1372 N/mm2

ap¡ < 0,75 • 1.860 = 1.395 N/mm2

a Cp + O’Cp = 7 ,6 5 -0 ,8> 8 = 6,77 N/mm2 ’ 1

= - 0,265 • 6,002 = 1,19 mkN gj Pérdida AP^debida a retracción, fluencia y relajación de la armadura Utilizaremos la fórmula [29.43] y descompondremos el cálculo en dos períodos:

Con Ec¡ = 8.500 (25 + 8)1/3 = 27.264 N/mm2 M =-

2 • 105 - = 7,3 27.264

g-1) Período de estancia en parque, con T =14aC, HR = 50% y duración 60 días Cálculo de m(p (tjf)

y de acuerdo con [29.72]: 7,3 • 0,0047 1 +.

2,86 6,04

E ’ci = 8500(40 + 8)w = 30.887 N/mm2 [1442 - 0,7 • 10-5 ■2 • 105 (70 - 20)]

1 = 7,3 • 0,0047 1 +

2,86 6,04

APW = 3,68% de Pk¡ Por tanto 2 781 cr = 1442 - 0,7 -lO'5 • 2 • 105 (70 - 20) - - ----- = 1.317 N/mm2 p' 50,3 y se cumplen las condiciones de EHE 1

Obsérvese qu esta tensión corresponde al instante en que es nula la tensión en el hormigón, es decir cuando en la transferencia se ha anulado la tracción del hormigón. La tensión antes de transferir, estrictamente hablando, sería
628

Edad corregida por el curado térmico:

-= 2781 N

APln = 50,3-

.

to,T_ = 1 • e

.

f

----- 13,651

1 271+40

1 „0 =2,2 ’

(Se ha supuesto 1 día de duración a una temperatura media de 40°C). 0o(6O ' 2,2) = (pHR ■

• P(to) ■¡5c(t - to)

2 ■10.600 e -------------- = 32J rnm } 660

- 1 ^ L _ = 2,59 9,9 -32,11/3 629

www.libreriaingeniero.com Cálculo de % n « 2 entramos en el GT-71 y se obtiene aceptando to = 3 dado el tipo de curado f = 2,2

2 + 2,21,2 1

+ 1 = 6,5 días. (Cemento de alta resistencia y endurecimiento

%(60,1) = 0,58

rápido)

200.000 Aplicando [29.41] con m =■ "“ = 6 >5 3U.oyu

= 0,64

0,1 + 6,5o’2 ^dif~ ^ ’ 32,1

£ H = 150 1 + 1,2 2 2

100

+ 250 = 298

100

(p (6 0 -6 ,5 ) = 2 ,5 9 -2 ,4 1 -0,64

6,5 ■6,77 • 2,27 + 200.000 • 0,000482 _ g m N 6 5 ■7 65 1+ -(1 + 0,58 • 2,27) 1317

4 ^ = 1 1 0 % de P ki

6 0 -6 5 298 + 60 - 6,5

g-2) Período desde la construcción del forjado

= 2,27

Abarca desde los 60 días, Tm = 20°C, HR = 50%.

La corrección por tem peratura bajo carga se desprecia.

Como M g - 4,90 m kN

C álculo de £cs (t - to)

a

1 6 0 + 1 0 ■8 9 -

40+8

50

P hr = - 1,55 1 -

1 +

103 - HR A

10-6 = 496 ■10-6

cp o- +
= -1 ,3 6

40

= 1+

cp

8

1 4 -2 0

53

40

= 7,65 N/mm 2

4.900.000 * 80 G' = _ ------------------

100

T - 20 P rT -

10

cp

122. 000.000

cp

= 7,65 - 3,21 = 4,44 N/mm 2

Cálculo de
Suponemos igual ef = *«* ■W c J • # 0 •

£cs.o = -4 9 6 • 1,36 * 0,98 • 10'6 = -661 • 10'

V y con

— 32,1 mm

jS ( 6 0 - 1 )

0 _i A_. 2 = - 3,21N/mm¿

- O - Pc (60 - O ]

= 2,59

W J = 2,41 6 0 -1

to = 6,5 ’ días

0.73

0,035 • 3 2 ,\2 e-°'m ^ 20)

IX O = 0.64 /Ja = 298

e (60 - 1) = -661 • 10'6 - 0.73 = -0.000482 ^

60) = 2,59 ■2,41 ■0,64[/lc (°° - to) - ¡3C(60 - t0)] = 4,00(1 - 0,57) = 1,72

C álculo de AG De acuerdo con lo expuesto al haber aplicado curado al vapor este valor se considera nulo. 630

Cálculo de ecJ(°°,60) £ ( fcm-') = 496 - 10'6 631

Pm = -h 3 6

(Obsérvese que a pesar de ser la cuantía sólo q = 0,0047, las pérdidas totales han superado las del caso de armaduras postesas del Ejemplo 29.1, que tenía una cuantía casi doble q = 0,008).

£cs,o = “675 • 10‘6 y con ey = 32,1 mm

£fl(~,60) = -675 • 10-s[ £ («. - g - £ (60 - í,)] = -675 ■10‘s(l - 0,79) = -0,000142

CÁLCULO DE PÉRDIDAS POR EL MÉTODO SIMPLIFICADO a) Se omiten también las pérdidas A Px y á^Pn

Cálcalo de ácrpr. Tal como se dijo en g-1) la consideramos nula. Cálculo de

b) Pérdida A P gpor deslizamiento de cuñas de anclaje. De acuerdo con [29.79]

60) 2,5 A P , = --------110.000

Estimando tpfl ~ 2 y entramos con ef = 32,1 en el GT-71, para 104 días (equivalente a plazo infinito), con t = 3 días. Para 10.000 días % = 0,54

c) Pérdida A P 4por relajación isoterma a la temperatura ambiente.

Aplicando [29.43] con m = 6,5 c. , 6 , 5 ' 4,44 • 1,72 + 200.000 • 0,000142 = 50,3--------------------------------= 3659 N 1+ ’ - ’ (1 + 0,54- 1,72) 1317 =

c P k¡

Las pérdidas diferidas totales son por tanto

De acuerdo con [29.80] 1

A = 0,15

7=2

A P 4 = 0,15 • 2 • 0,02(75.600 - 229) = 452 N d) Pérdidas A P 5 + A P 6 + A P 9 por relajación adicional debida al sistema de calefacción. (Pérdidas A P ^ A P 6, A P9del método general). Según se dijo, para armaduras sometidas a procesos de estabilización A P 3 = 0,04 (75.600 - 229) = 3015 N

APdlf = AxPd¡f + A2Pdif= 9079 + 3659 = 12.738 N AP...= 16,85% dif ’

50,3•2■105 = 229 N

e) Pérdida A P g debida a la dilatación térmica A P g= 50,3 • 0,7 • lO’5 ■2 • 105(70 - 20) = 3521 N

RESUMEN DE PÉRDIDAS

f) Pérdida A P ]0por acortamiento elástico al transferir.

Pérdidas hasta la transferencia: APir = APX+ ...+ APi = 228 + 377 + 2484 + 3521 + 2781 = 9391 N = 12,48% de Pu Pérdidas posteriores a la transferencia: APd¡f= 12.738 N = 16,85% de P..ki Pérdidas totales: APt = 22.129 N APt = 29,3% de Pki 1

632

Se considera el valor negativo porque de acuerdo con [2 8 .6 ]•/„,/,„= 4,98 N/mm2

o

= 1503 ----- — (229 + 452 + 3015 + 3521) = 1360 N/mm2 50,3

e 28,6 Con q = 0,0047 y m = 7,3 y — =■ = 0,47 en el gráfico de la figura 29-17 r 60,4 se obtiene A = 0,04 y AsPm = 50,3 • 0,04 • 1360 = 2735 ¿V a , = 1360 p!

2735 ------= 1306 N/mm2 50,3

g) Pérdida A P n por retracción De acuerdo con [29.84] y con la tabla T-28.5 para clima medio y e. =32,1, £„ = -0 ,5 7 633

www.libreriaingeniero.com A P %= 0,00057 - 50,3 ■2 • 105 = 5734 N

h)

CUADRO C-29.1

Pérdida A P n p or fluencia del hormigón El valor de la tensión en la armadura después de transferir es: o = 1306 N/mm2

CONCEPTO

p'

de acuerdo con [29.85], para ambiente medio en la Tabla T-28.4: 7,51 A PQ= 4,0 — — 2735 = 3286 TV 5 9 25

i)

MÉTODO SIMPLIFICADO

MÉTODO PARA TANTEOS

PÉRDIDA

PÉRDIDA

PÉRDIDA

En A Deslizamiento de cuñas Relajación isoterma durante el tiempo de espera Relajación adicional durante el tratamiento de calefacción

En % de P,.¿i

°° oí i^ ¡

cr = 1306 • 0,0047 1 + |2 M '2' : 7,51 N/mm2 60,4

MÉTODO GENERAL

En % de P.. kt

En A

0,30

229

0,3

0,5

452

0,6

2484

3,29

3015

4,0

-

-

-

-

Retracción inicial

Pérdida A P {3 por relajación diferida del acero

Pérdidas por dilación térmica

3521

4,66

3521

4,66

Pérdida por acortamiento elástico

2781

3,68

2735

3,6

9391

12,4

9952

13,2

5734

7,6

3286

4,3

0

-

18.972

25,1

* A =0 j) Fuerza permanente de pretensado 8

P y = 75.600 - £ A P . = 56.628 N 1 COMPARACIÓN ENTRE LOS TRES MÉTODOS DE CÁLCULO En el cuadro C-29.1, se resumen los tres cálculos. Como se ve, la aproximación es muy buena y para la mayoría de los casos el método simplificado es suficiente. El método de tanteos para — = 0,47 y q = 0,0047 da 23,5% para las pérdidas totales y 0,66 -23,5 = 15,5 para las pérdidas hasta la transferencia, lo que supone también una buena aproximación.

PÉRDIDAS INMEDIATAMENTE DESPUÉS DE LA TRANSFERENCIA Pérdida por retracción diferida Pérdida por fluencia

12.738

16,85

Pérdida por relajación diferida PÉRDIDAS TOTALES

En % de P..Kt

377

Se adopta tQ—l dias para tener en cuenta el envejecimiento debido al proceso de calefacción.

De acuerdo con [29.83]

En A

22.129

29,3

11718

13.2

17.776

23,5

El método puede conducir a una ligera infravaloración en piezas de espesor medio pequeñas y puede conducir a una sobrevaloración de las pérdidas, aunque no de excesiva importancia para piezas gruesas, por lo que el método tiene interés en genéral para piezas pretensadas con armaduras pretesas de cualquier tipo, con aproximación suficiente para las necesidades de proyectos simples. En el ejemplo analizado, el método general da valores más altos, pero debe tenerse en cuenta que es un caso en el que la tensión permanente de pretensado a nivel de c.d.g. en la armadura activa es de 4,44 N/mm2, valor poco frecuente en la práctica y que motiva importantes pérdidas diferidas.

634

635

BIBLIOGRAFÍA

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CAPÍTULO 30

CONSIDERACIÓN DE LA DURABILIDAD EN EL PROYECTO 30.1 INTRODUCCIÓN Además de su capacidad resistente desde el punto de vista mecánico, es decir de su capacidad para resistir las solicitaciones producidas por las acciones aplicadas a la estructura, ésta ha de ser también capaz de resistir durante su periodo de vida útil las agresiones físicas y químicas a las que está expuesta de acuerdo con su emplazamiento y funcionamiento. Aunque muchos aspectos relacionados con la durabilidad de las estructuras de hormigón son tratados en diferentes capítulos a través de este libro, ha parecido conveniente dedicarle éste específicamente. Ello es debido a la importancia que el tema presenta hoy, dados los frecuentes problemas registrados. Debe reconocerse que con frecuencia hay una gran preocupación por los temas relacionados con el cálculo, que no se equilibra con una análoga preocupación por los temas de concepción y de ejecución, lo cual conduce a que muchas estructuras tengan una vida útil bastante más corta de la teóricamente presumible. Véase TASSIOS (30.1). Existe una cierta tendencia a simplificar el problema identificándolo únicamente con los procesos derivados de los materiales empleados en la estructura o con las condiciones de ejecución. Ciertamente estas cuestiones tienen una incidencia importante sobre la durabilidad, pero no es menor la que tiene sobre ella el proyecto. La consideración de la durabilidad en el proyecto ha de hacerse a través de una “estrategia” adecuada que considere todas las fases de desarrollo de la obra y todos los mecanismos de agresión que ésta pueda sufrir.

636

637

www.libreriaingeniero.com 30.2 GENERALIDADES Una buena exposición, breve, de los aspectos de la durabilidad relacionados con el proyecto está contenida en el Model Code C.E.B. - F.I.P. 90. U na información más detallada puede obtenerse en el Boletín de Información n° 182 del C.E.B. (Junio de 1989) “DURABLE CONCRETE STRUCTURES C.E.B. DESIGN GUIDE” (30.2). Es interesante también la publicación del ACI “GUIDE DURABLE CONCRETE” (ACI-201.2R-77) (reaprobada en 1982) (30.3). Véanse también las referencias (30.4), (30.5), (30.6) y (30.7). Los requisitos básicos del proyecto en relación con la durabilidad los expresa claramente el Model Code C.E.B. 90 en el párrafo siguiente:

a) ATAQUES AL HORMIGÓN - Cambios de color en el hormigón. Pueden ser debidos a cambios de color entre partidas de cemento, a la acción de la luz solar, a las reparaciones efectuadas, etc. - Erosión. Se presenta en dos grandes grupos. Uno es el debido al desgaste por abrasión, producido por tráfico, procesos industriales, a veces el oleaje, etc. El otro es el fenómeno de cavitación en obras hidráulicas, cuando la lámina de agua tiende a separarse de la superficie del hormigón creando zonas de baja presión, llegando a ser inferior a la del vapor.

“Las estructuras de hormigón deben ser proyectadas, construidas y utilizadas de tal manera que, bajo las influencias medio-ambientales previstas, mantengan su seguridad, serviceabilidad y apariencia aceptable durante un periodo de tiempo explícito o implícito sin requerir costes anormalmente altos de mantenimiento y reparación”.

- Acción de la helada. Cuando el agua se congela en los poros aumenta su volumen en un 9%, lo que crea tensiones que pueden fracturar el hormigón.

Los medios para conseguir esto involucran a todas las personas que intervienen en el proceso de construcción del edificio. En particular deben destacarse las siguientes: - El Propietario debe definir el uso futuro del edificio así como el período de vida útil que desea. - El Proyectista, redactando en función de lo anterior todos los documentos del Proyecto y en particular el Pliego de Condiciones y el sistema previsto de Control de Calidad. - El Contratista que debe ceñirse a las calidades y procedimientos contratados para desarrollar la construcción. - Finalmente, el Usuario es responsable no solamente del correcto uso del edificio, sino también de su mantenimiento adecuado y de la pronta realización de las reparaciones que eventualmente fueran necesarias.

- Agresión medioambiental. Toma la forma de depósitos de polvo, cultivos biológicos, etc.

En general, las especificaciones de las normas actuales y, en particular, las del Model Code-90 o normas equivalentes tales como las que se vienen manejando en el presente libro, conducen a una vida útil de la estructura por encima de 50 años, dentro de los ambientes considerados en el Capítulo 42, Tabla T-42.3. Sin embargo, este aspecto está relacionado con los deseos del propietario, pues pueden requerirse estructuras para vidas útiles superiores a los 100 años mientras que muchas otras podrían ser proyectadas para una vida útil por debajo de los 50 años. En todo lo anterior se parte de suponer que en el Proyecto, el Pliego de Condiciones es el documento que más eficazmente puede especificar los materiales que han de emplearse y la forma en que la estructura debe ser construida, aspectos ambos de esencial importancia para la durabilidad. Finalmente, el propio Proyecto debe establecer unas Normas de Uso y Mantenimiento del edificio y prever un sistema de inspecciones sistemáticas de la estructura y de forma que el deterioro pueda ser detectado y evaluado en su período inicial y haya tiempo para tomar las medidas adecuadas por vistas al mantenimiento y reparación. Los mecanismos de agresión pueden ser muy variados, y entre ellos cabe destacarl: 1

638

U na exposición más detallada puede verse en J. CALAVERA (30.8) y u na exposición general en (30.7)

- Ataque biológico. Presenta variantes múltiples tales como aguas residuales que contienen ácido sulfúrico, obras en contacto con abonos naturales, etc.

- Contacto con suelos agresivos. Son casos que deben ser especialmente considerados en el proyecto de cimentaciones, muros, túneles, etc. - A taques quím icos al horm igón. Se presentan en modalidades muy diferentes, pero todas ellas tienen algunos aspectos comunes. - Existe un mecanismo de transporte de moléculas e iones de la sustancia agresiva a la reactiva. - Si no hay humedad, la reacción no se produce o lo hace a velocidad tan baja que no representa riesgo. - La agresión crece rápidamente al aumentar la temperatura. Son casos típicos los ataques de ácidos a la pasta hidratada del cemento, la formación de sales expansivas, la reacción con cationes, etc. - Caso particular de los ataques de ácidos. Pueden destacarse los ataques directos por ácidos en disolución y la carbonatación. Esta última se debe a la penetración del C 0 2 del aire en la estructura porosa de la superficie de la pieza del hormigón. Es debida a la reacción del C 0 2 con la cal libre del cemento, formándose carbonato, lo que conduce a un descenso del pH del hormigón desde el valor usual de 13 hasta valores del orden de 9, es decir a que el hormigón pierda su basicidad y deje de proteger a las armaduras. De una fórmula aproximada, la carbonatación crece con la raíz cuadrada del tiempo. En un buen hormigón rara vez supera los 10 mm en 25 años. En cambio como el proceso es tanto más intenso cuanto mayor es la permeabilidad y ésta es muy alta si el curado es defectuoso, de ahí la fuerte relación entre durabilidad y curado. La carbonatación crece con los cambios de humedad y con la temperatura, pero no existe en hormigones saturados. - Formación de sales expansivas. El caso más habitual es el de aguas que disuelven sulfato cálcico de terrenos yesiferos y circulan en contacto con el hormigón. 639

- R e accio n es con ca tio n es. Son m uy variadas, pudiéndose destacar las reacciones alcali-árido y las reacciones con amonio. b) ATAQUES A LA ARMADURA. Son, con mucho, la principal causa de daños en las construcciones de hormigón, aunque en la m ayoría de los casos ello es debido a la omisión de precauciones elementales en el proceso constructivo y por otra parte el tema es a m enudo exagerado por contemplaciones de ámbito restringido del problem a, que es muy amplio.

TO3J To3 en

en

l i c3 o

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EL B

Las tres clases de corrosión más importantes son: - La corrosión electroquímica, que puede darse tanto en armaduras pasivas como activas. - La corrosión bajo tensión de las armaduras activas.

TO3 C
- La fragilización por hidrógeno que es un caso particular de la anterior. La agresividad ambienta] se establece de acuerdo con lo indicado en la Tabla T-3G.1, para lo referente a la coirosión de armaduras.

en 02 C ~ eO O C3 'O

La T-30.2 indica las clases de exposición para agresividades diferentes de la corrosión de armaduras.

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TABLA T-30.1

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640

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(*) Si la cimentación eslá enterrada y en suelo seco este caso no parece oportuno como ejemplo (N del A)

■a ~o ’5 b o

641

www.libreriaingeniero.com Finalm ente la tabla T-30.3 indica los distintos tipos de agresión química. TA BLA T-30.3 TIPO DE EXPOSICIÓN

«

TIPO DE MEDIO AGRESIVO

Ü

PARÁMETROS

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ATAQUE MEDIO 5,5 - 4,5

Qc ATAQUE FUERTE < 4,5

VALOR DEL pH

6,5 - 5,5

a -sO C 4J ü d) "O

C 0 2 AGRESIVO (mg C 0 2/ 1)

15 - 40

40 - 100

> 100

ION AMONIO (mg N H //1 )

1 5 -3 0

3 0 -6 0

>60

11/3 i/i
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§■! AGUA

l i l i

TABLA T-30.2

ATAQUE DÉBIL

Qb

b c

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Qa

IÓN MAGNESIO (mg Mg2+ /1)

300 - 1000

1000 - 3000

> 3000

IÓN SULFATO (mg SO4' / 1)

200 - 600

600 - 3000

> 3000

RESIDUO SECO (mg / 1)

> 150

50-150

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GRADO DE ACIDEZ BAUMANNGULLY IÓN SULFATO (mg SO4' /Kg de suelo seco)

>20

(*)

(*)

2000 - 3000

3000 -12000

> 12000

’E. T3 (*) Estas condiciones no se dan en la práctica

D ebe observarse que por supuesto, diferentes partes de una m ism a estructura pueden estar som etidas a diferentes clases de exposición. Por supuesto, un m ism o elem ento no puede considerarse som etido a más de un a subclase. O

O

a

W

E n lo que se refiere a la agresividad m edioam biental un aspecto de esencial im portancia es el de la tem peratura. L a Fig. 30-1 indica la agresividad en relación con el recubrim iento p ara distintas tem peraturas m edias anuales. O bsérvese que esto

643 642

1 .5

D entro de esta etapa, es tam bién im portante la elección de la p ropia form a estructural y de sus detalles. E n la figura 30-3 a) tom ada de la referencia (30.8) se indica un a solución que contiene los defectos que se corrigen en las b) y c).

o ~i— ^— I— ^ ^ ^ ^ ^ 0

5

10

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LA A G R ESIV ID A D re c u b rim ie n to

Figura 30-1

conduce a que en clim as cálidos el índice sea del orden del doble que en clim as fríos P ara m uchas agresiones relacionadas con reacciones quím icas un a regla simóle establece que un increm ento de 10 °C en la tem peratura duplica la velocidad de reacción. N o debería olvidarse esto a la hora de proyectar en clim as m uy cálidos.

30.3 L A ET A PA D E C O N C E P C IÓ N D E L A E S T R U C T U R A Figura 30-3

E s una etapa de extraordinaria im portancia y transcendencia. H a de com enzarse por el propio análisis de si la solución estructural de horm igón es la adecuada. L a fotografía 30-2 (30.8) indica un caso de agresión m uy intensa al horm igón (ninguna a la arm adura) en una instalación industrial en la que se producen sales de am onio.

L a figura 30-4 m uestra un borde genérico de un a losa de horm igón arm ado situada a la intem perie.

0.5/1%

P=0%±A%

B

P=0%1A%

8)

B

P = 0% ♦A %

0.5/1%

0.5/1%

Figura 30-2

P=0% +A %

NO

I B P

VALIDO

P = 0% + A%

D1

E n casos estudiar si la horm igón o si adoptarse otra

de este tipo y dependiendo de la intensidad de la agresión, conviene solución adecuada es una protección superficial de las piezas de p o r el contrario la solución adecuada no es la dé horm igón y debiera solución, com o p o r ejem plo la de estructura m etálica.

B

c)

b)

W

A

VALIDO

D2

Figura 30-4 L a solución a) contiene varios defectos. L a pendiente 0% en la cara superior de la losa im pedirá el desagüe del agua de lluvia, con lo que un cierto espesor de

644 645

www.libreriaingeniero.com horm igón a partir de dicha cara estará sometido a ciclos de humedad-sequedad, provocando la corrosión de la arm adura superior. E l no armar el canto AB, si éste es apreciable conducirá a que no se pueda controlar la fisuración vertical por contracción térm ica y retracción a lo largo del borde.

a

Al no disponerse goterón en el borde 5 , dependiendo de las tolerancias de ejecución el plano real de la cara inferior puede tener pendiente bajando hacia B, en cuyo caso la ausencia de goterón no creará problem as, o pendiente contraria, en cuyo caso el agua que resbala por el canto A B recorrerá parte de la losa inferior produciendo manchas. L a solución b) corrige la ausencia del goterón pero no la pendiente 0% de la cara superior. L a solución c) corrige ambos. Sin em bargo el canto A B no es autolavante y el agua de lluvia al m ezclarse con el polvo existente en el aire producirá manchas en el canto. Las soluciones d) o e) corrigen este defecto. En el caso d) la inclinación del plano AB es autolavante por el agua de lluvia. En el caso e), no está expuesta a la incidencia de la lluvia. Los detalles D¡ y D 2 m uestran la necesidad de cuidar la form a del goterón para asegurar su eficacia real. E n el m ismo sentido la figura 30-5 m uestra la preferencia de formas estructurales como la b) sobre la a) que tiene muchos más problem as de armaduras de esquina, de alma, etc. con riesgo de corrosión.

" n ffr ir tn T

a)

b)

c)

Figura 30-6 L a figura 30-7 indica un defecto de proyecto, tam bién frecuente, que provoca la acumulación de polvo por el lavado de lluvia.

=>

a)

b)

Figura 30-5

L a figura 30-6 dem uestra un caso que es origen frecuente de problemas estéticos. En el caso a), la solución de soldadura del montante de acero de la barandilla a la placa de acero, crea problem as de corrosión a corto plazo si las piezas metálicas están pintadas y a medio-largo plazo si están galvanizadas. L a única solución es em plear acero inoxidable o bien adoptar la solución b). El relleno debe ser realizado con m ortero de epoxy.

Figura 30-7

30.4

A SPEC TO S G E N E R A L E S R E L A C IO N A D O S C O N E L PR O Y E C T O

Aparte de la selección de formas estructurales y detalles constructivos adecuados existen otros aspectos del proyecto tam bién con gran incidencia en la durabilidad. Destacamos los siguientes: 30.4.1 EM PLEO DE U N HO RM IGÓ N ADECUADO Para ello debe prestarse la atención debida a: - La selección de los materiales componentes (cemento, áridos, adiciones, aditivos, etc.). 646

647

- D osificación adecuada.

TABLA T-30.4

- T ransporte, vertido y com pactación correctos. - D isposición adecuada de las jun tas de trabajo y ju n ta s de contracción - C urado cuidadoso del horm igón. (Entre otros inconvenientes, un m al curado acelera fuertem ente la carbonatación de la capa exterior del horm igón y p0r lo tanto increm enta seriam ente el riesgo de corrosión de arm aduras).

Resistencia característica del hormigón [MPa]

- R esistencias m ecánicas adecuadas.

30.4.2

30.4.2.1

R EC U B R IM IEN T O S Y SEPA R A C IÓ N DE A R M A D U R A S

Recubrimientos

^ D eben adoptarse los recubrim ientos adecuados a la clase de exposición a la que está som etida la estructura. D e acuerdo con E H E, deben considerarse dos valores del recubrim iento de una arm adura, cuya diferencia está producida (Fig. 30-8) por las desviaciones de tolerancias de la arm adura y del encofrado. Tanto para arm aduras activas como

U * 40

Ilb

Illa

Illb

IIIc

IV

Qa

Qb

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20(***) 25

30

35

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40

35

40

(*)

(*)

elementos prefabricados y láminas

15

20

25

30

30

35

30

35

(*)

(*)

general

15

20

25

30

30

35

30

35

(*)

(*)

elementos prefabricados y láminas

15

20

25

25

25

30

25

30

(*)

(*)

(*) El proyectista fijará el recubrimiento al objeto de que se garantice adecuadamente la protección de las armaduras frente a la acción agresiva ambiental. (**) En el caso de clases de exposición H, F o E, el espesor del recubrimiento no se verá afectado. (***)En el caso de armaduras activas pretesas, este valor se podrá reducir a 15 mm. A dem ás de lo indicado en la tabla anterior los recubrim ientos m ínim os (rmíl) deben cum plir con lo siguiente:

rnom

El diám etro de la barra, el equivalente del grupo de barras en su caso o el diám etro de la vaina en caso de arm aduras postesas.

a)

Figura 30-8 pasivas, la relación entre el recubrim iento nom inal (rnom) y el recubrim iento mínimo {rmín) viene dada por

/-nun• >

^nom~ ^inin

[30.1]

E l v alo r rnom, corresp o n d e al definido en los docum entos del proyecto y por tan to es tam b ién el corresp on d ien te al sep a ra d o r que d eb e em p learse. (Ver C apítulo 50). D e acuerdo con el nivel de control de ejecución adoptado en el proyecto, el valor Ar es Ar — 5 m m si se adopta el control de ejecución intenso.

648

Ha

I general

25 < f ck < 40

RECUBRIMIENTO MÍNIMO [mm] SEGÚN LA CLASE DE EXPOSICIÓN (**)

Tipo de elemento

0,8 veces el tam año m áxim o del árido. Este valor debe elevarse a 1,25 veces si las armaduras están cerca de los param entos y dificultan el paso del horm igón.

b) E n el caso de viguetas o placas prefabricadas en instalación industrial fija, se puede contar com o recubrim iento el espesor de los m ateriales de revestim iento perm anente, si existen, y si son tan com pactos e im perm eables al m enos com o el horm igón. A un en estos casos, el recubrim iento rmfn del horm igón no será inferior a 15 mm.

Ar - 10 m m si se adopta el nivel de control norm al o reducido.

c) E n el caso de barras dobladas, el recubrim iento m edido en la dirección perpendicular al plano de la directriz de la curva no será inferior a dos diám etros.

L os valores del recubrim iento m ínim o (rm¡y¡) vienen dados p o r la tabla T-30.4.

d) C uando por alguna razón el recubrim iento sea superior a 50 mm, debe considerarse la conveniencia y la posibilidad de colocar una arm adura suplem entaria de cuantía igual al 5 por m il del área del recubrim iento si las barras o el diám etro equivalente de los grupos, si se em plean, no supera los 32 m m y del 10 p o r m il si es superior. 649

www.libreriaingeniero.com En caso de disponer esta arm adura , deben estudiarse con especial cuidado todos los aspectos de la dosificación, vertido y com pactación del hormigón para evitar coqueras y faltas de com pacidad del hormigón. Como esta prescripción rige en ambas direcciones, la solución de m alla es preferible. e) En piezas horm igonadas contra el terreno, el recubrim iento mínimo será de 70 mm. Se exceptúa de lo anterior el caso de recubrim ientos de armaduras dispuestas con separadores sobre horm igón de lim pieza, para las que rige la tabla T-3G.4. Para armaduras postesas los recubrim ientos (Fig. 30-9).

- E l diámetro de la barra mayor - 1,25 veces el tamaño máximo del árido Estos valores deben entenderse referidos al diámetro nominal de la barra. Como la altura de los resaltos de las barras corrugadas suele ser del orden de 1% de su diámetro, esto supone una separación real física de sólo 0,86 diámetros si se adopta el segundo de los límites expuestos.

a-2) Grupos de barras. Se denom ina grupo al conjunto de dos o más barras paralelas y en contacto. En general el número máximo de barras de un grupo será de tres, salvo en piezas comprimidas hormigonadas en vertical, en cuyo caso se permiten cuatro barras. En la limitación anterior se incluye la zona de solape de las barras si existe. En un mismo plano no pueden estar los ejes de más de dos barras del grupo. Los recubrim ientos de los grupos y las distancias libres entre ellos resultan de aplicar lo expuesto en a-1), pero tomando como diámetro del grupo el de la barra circular equivalente, es decir, siendo de el diámetro equivalente y d el diámetro de una barra

- En dirección vertical

4 cm.

de = ^l~2 d para grupos de dos barras

La dimensión horizontal real de la vaina o grupos de vainas en contacto.

de = '/ T d para grupos de tres barras

- 4 cm. - En dirección horizontal

- La mitad de la dimensión vertical real de la vaina o grupos de vainas en contacto. - La dim ensión horizontal real de la vaina o grupos de vainas en contacto.

N ota im portante. C om o los recubrim ientos que se han especificado anteriorm ente son los m ínim os los separadores deben corresponder a rtnín + 5 m m si el control de ejecución es intenso y a rmín + 10 m m si el control de ejecución es norm al o reducido. Estos valores increm entados, que com o hem os dicho constituyen el recubrim iento nom inal, son los que definen la posición de la arm adura tam bién a efectos de cálculo.

de = 2 d

para grupos de cuatro barras

Sin embargo, establecido el recubrim iento o la distancia entre grupos en función de de, tal como se ha indicado, tanto el recubrimiento como la distancia han de entenderse como las distancias a la barra más próxima del grupo y no a un círculo teórico equivalente. De acuerdo con EH E no se permiten grupos de diámetro equivalente superior a 50 mm, en general y a 70 mm en grupos de piezas comprimidas hormigonadas verticalmente. En el Capítulo 51 ampliaremos este punto. Con independencia de lo anterior, más adelante (fig. 30-14) insistiremos en la necesidad de que el vibrador llegue verticalmente al fondo del encofrado. Con vibradores de 50 mm de diámetro esto equivale a adoptar 60 mm como separación m ínima entre barras o grupos consecutivos dispuestos horizontalmente. Los grupos y la utilización de diámetros gruesos son una excelente solución para ello. (EHE especifica concretamente que las capas de armaduras se coloquen de forma que permitan el paso del vibrador).

30.4.2.2 Separación de arm aduras a) ARM ADURAS PASIVAS a-1) Barras aisladas. L a distancia libre en dirección horizontal y vertical entre dos barras aisladas consecutivas no debe ser inferior al mayor de los tres límites siguientes: - 20 mm 650

b) ARM ADURAS ACTIVAS

b-1) Armaduras pretesas. Los tendones deberán colocarse separados. La separación libre m ínim a de los tendones, tanto en dirección horizontal como vertical no será inferior al mayor de los valores siguientes: - 20 mm en horizontal y 10 mm en vertical 651

- El diámetro del tendón mayor - 1,25 veces el diámetro máximo del árido b-2) Armaduras postesas. Las vainas pueden colocarse separadas o en grupo. Los grupos se limitan a dos vainas en horizontal y a no más de cuatro en conjunto. Sólo se permite la formación de grupos cuando las vainas sean corrugadas y a los lados del grupo haya espacio suficiente para la entrada del vibrador.

30.4.4 CONTROL DEL ANCHO DE FISURA Aunque el espesor de recubrimiento sea el aspecto más fundamental para la protección de la armadura, es también de importancia primordial el control del ancho de fisura de acuerdo con lo que se expondrá en el Capítulo 47.

Las distancias entre vainas, grupos y vainas o entre vainas y grupos y otras armaduras no deben ser inferiores al mayor de los valores siguientes:

30.5

En dirección vertical

30.5.1 CALIDAD DEL HORMIGÓN

- El diámetro de la vaina

Con vistas a conseguir para la estructura una calidad adecuada, son de destacar los aspectos que siguen:

- La dimensión vertical de la vaina o grupo - 50 mm En dirección horizontal - El diámetro de la vaina - La dirección horizontal de la vaina - 40 mm -1 ,6 veces la mayor de las dimensiones de las vainas que formen grupo

30.4.3

Reducir el recubrimiento de 20 mm a 12 mm, reduce la vida útil de 50 años a 15 años.

SEPARADORES

Los recubrimientos y posición de las barras deben ser asegurados, de acuerdo con las tolerancias geométricas establecidas en el Anejo n° 4.

A SPEC TO S H ORM IGÓN

ESPE C ÍFIC O S

R EL A C IO N A D O S

CON

EL

a) Utilización de cemento, áridos, agua, adiciones y aditivos de acuerdo con las especificaciones de EHE. b) La dosificación del hormigón es una parte constitutiva y esencial del proyecto y debe cumplir las condiciones siguientes: b-1) La relación máxima A /C (agua/cemento) cumplirá lo indicado en la tabla T-30,5. La figura 30-10 es elocuente a este respecto. El Proyectista debe especificar el hormigón, no atendiendo únicamente a la resistencia, derivada de criterios de cálculo, sino prestando atención específica a la composición del hormigón en relación con la durabilidad. En este sentido, la figura 30-11 indica la influencia de la relación agua-cem ento en el horm igón en la necesidad de recubrimiento de las barras. Obsérvese que pasar de una relación 0,50 a una relación 0,65 conduce a necesitar doble espesor de recubrimiento para tener la misma protección.

La información sobre tipos, calidades y reglas de colocación y representación en los planos se indican en el Capítulo 50. Véase también (30.9). El separador es el único medio de controlar los recubrimientos. Su importancia se aprecia en la figura 30-10, tomada de la información (30.7)

RELACIÓN

A/C

I N F L U E N C I A DE LA R E L A C I Ó N A / C S O B R E LA P E R M E A B I L I D A D R E L A T I V A AL R E C U B R I ­ MI EN TO P A R A P R O T E G E R LA A R M A D U R A

Figura 30-10

652

Figura 30-11

653

www.libreriaingeniero.com b-2) El mínimo contenido de cemento cumplirá también lo indicado en la tabla indicada anteriormente. o

¿0 0

Para cenizas volantes, k no debe tomarse superior a 0,30 valor que podrá elevarse hasta 0,40 en obras de edificación y a 0,50 en obras públicas1 si el Director de Obra lo admite con base en un estudio experimental exhaustivo, que considere no solamente los aspectos resistentes sino también los de durabilidad.

2J Ü o

LJ

Sustituir A/C por A /C + kF, siendo F (kg/m3) el contenido de adición y k su coeficiente de eficacia.

Para humo de sílice, el valor k no debe ser superior a 2, excepto en los casos de hormigones con relación AJC mayor que 0,45, que vayan a estar sometidos a clases de exposición H o F, en los que k se tomará igual a 1.

2 0 0 -|--------------------- 1--------------------- 1--------------------- 1--------------------- ^---------------------

o

°" í

O in

u*,

O"1

eri

O

O

r~~ en

cri

® oí

De todas formas, si se utilizan adiciones los contenidos de cemento, no serán inferiores a los siguientes valores mínimos absolutos:

FECHA Fig. 30-12

La figura 30-12 recoge datos del DUTRON en (30.7) que indican que si los objetivos de resistencia son modestos, la resistencia puede hoy alcanzarse con contenidos de cementos tan bajos que no garantizan la protección de las armaduras contra la corrosión. De hecho, para resistencias inferiores a 25 M Pa a 28 días, los requisitos de durabilidad suelen exigir contenidos de cemento más altos que los requisitos de resistencia.

Hormigón en masa

200 kg/m3

Hormigón armado

250 kg/m3

Hormigón pretensado

275 kg/m3

Un ensayo de elevado interés, para estimar, aunque sea de modo indirecto el cumplimiento de los requisitos de mínimo contenido de cemento y de máxima relación A/C, es el de la determinación de la profundidad de agua bajo presión, regulado por la Norma UNE 83309:90 EX, de acuerdo con EHE (Fig. 30-13).

b-3) Según los casos y de acuerdo con las indicaciones de EHE, se establecerá el contenido de aire ocluido, el tipo especial de cemento requerido (resistente a los sulfatos, resistente al agua de mar, etc.). TABLA T-30.5 Parám etro de dosificación

Tipo de hormigón

máxima

masa

relación

armado

aJe

pretensado

mínimo

m asa

contenido

CLASE D E EXPOSICIÓN I

Ha

11b

Illa

0,65

-

-

-

Illb

IIIc

-

-

IV -

Qa

Qb

Qc

H

F

E

0,50 0,50 0,45 0,55 0,50 0,50

0,50 0,50

0,50 0,45 0,55 0,50 0,50

0,65 0,60 0,55 0,50

0,50 0,45

0,60 0,60 0,55

0,50

0,45 0,45 0,45

275

300

325

275

300

275

F ig u ra 30-13

325

325

350

350

300

325

300

325

325

350

350

300

325

300

Esta comprobación tiene interés siempre, pero en especial se debe realizar cuando las clases de exposición sean las III ó IV o cuando el ambiente presente cualquier clase especial de exposición.

200

armado

250

275

300

300

325

350

pretensado

275

300

300

300

325

350

0,50

de cemento ( Kg / n T)

Ensayo de penetración de agua bajo presión-

0,45 0,45 0,55 0,50 0,50

Si se utilizan adiciones en la dosificación, es necesario tener en cuenta su equivalencia a los efectos de contenido de cemento y de relación AJC. A estos efectos, para entrar en la tabla T-30.5, cuando se empleen adiciones se realizarán las correcciones siguientes:

Se considera que, a efectos de durabilidad, la impermeabilidad del hormigón es suficiente cuando se cumplen simultáneamente las condiciones:

En contenido de cemento (kg/m3)

654

Profundidad máxima de penetración

< 50 mm

Profundidad inedia de penetración

< 30 mm

Sustituir c por c + kF.

1

D e nuevo debe señalarse lo convencional de esta clasificación.

En relación agua/cemento (A/C)

2

Tesis D octoral de M .B U R Ó N bajo la dirección de J. CA LA V ER A sobre la influencia de los defectos de dosificación y ejecución en la durabilidad (30.10)

655

EH E recomienda, como método indirecto de protección desde el punto de vista de la durabilidad, el empleo de las resistencias mínimas indicadas en la tabla T-30,6.

30.6 CORROSIÓN DE ARMADURAS Resumidamente los aspectos esenciales del problem a son los siguientes: a) La corrosión de la arm adura es un proceso electroquímico.

TABLA T-30.6

b) Inicialm ente el cemento es un producto alcalino con un p H de 12,5 a 13 y por tanto pasiviza la superficie de la armadura m ediante la form ación de una fina capa de óxido firm emente adherido.

VALORES M ÍNIM OS DE LA RESISTENCIA D EL HORM IGÓN SEGÚN LA CLASE D E AM BIENTE Parám etro de dosificación

R esistencia m ínim a

C LA SE DE EX PO SIC IÓ N

T ipo de horm igón

I

Ha

en m asa

20

-

arm ado

25

25

30

30

30

35

pretensado

25

25

30

30

35

35

lia

Illa

Illb

lile

IV

Qa

Qb

Qc

H

F

E

30

30

35

30

30

30

30

30

30

35

30

30

30

35

30

35

35

30

30

30

(M Pa)

30.5.2

PUESTA EN OBRA D EL HORM IGÓN

Tanto los detalles de los planos, en particular de la disposición de armaduras, como las especificaciones de puesta en obra del hormigón, compactación y curado son de trascendental im portancia para la durabilidad. En este sentido, las dos Reglas de Oro de la puesta en obra se indican en la figura 30-14.

Como se dijo anteriormente, el hidróxido cálcico libre del cemento en contacto con el anhídrido carbónico del aire produce carbonato cálcico. Esta reacción se produce en la capa superficial del hormigón, reduciendo el p H a valores del orden de 8 a 9, destruyendo la pasívación. Véase una ampliación del tem a en (30.8). c) La agresión por cloruros puede producirse incluso con valores de p H altos. Los cloruros en la m asa del horm igón están limitados por EHE y raramente son causa de problemas. d) M ás frecuentem ente los problem as de corrosión por cloruros vienen del contacto de gases o líquidos en contacto con la superficie del hormigón, cuyo ataque se renueva continuamente. e) El riesgo de corrosión aum enta con la porosidad y la permeabilidad del hormigón y con la temperatura. f) Tanto la carbonatación com o la corrosión no se pueden producir en horm igones sumergidos. g) Influencia de la fisuración Con los tipos de acero para armaduras pasivas y con los sistemas de cálculo actualm ente em pleados, especialm ente los niveles de seguridad, la fisuración del hormigón está presente en las condiciones de servicio en un gran número de estructuras de horm igón armado. La fisura supone un camino de acceso a la armadura de los agentes agresivos, en particular del anhídrido carbónico y de los cloruros, enorm em ente más rápido que la estructura porosa del recubrim iento. La creencia de que una fisura representa un riesgo de oxidación localizado en la sección transversal situada en el plano de la fisura, no es cierta. L a figura 30-15 m uestra como la rotura de adherencia que la fisura supone, y el giro del hormigón del recubrim iento separándose de la barra en una cierta zona próxim a a la fisura, extienden la corrosión a ambos lados del plano teórico de la fisura. E l ancho de fisura tiene importancia en la iniciación de la fisuración y en la rotura de la capa de pasivación. Después de la despasivación en anchos hasta 0,4 mm (que es el m áxim o valor de la mayoría de las fisuras en las estructuras de hormigón) el ancho de fisura tiene poca im portancia en la velocidad de la corrosión. En líneas generales, para pequeños anchos de fisuras, es más importante para la velocidad de corrosión la reducción del recubrim iento que el ancho de la fisura.

Figura 30-J4

656

En las fisuras transversales se dan a veces problem as de “cicatrización” o relleno con polvo del am biente. E n otras ocasiones se produce una “autocicatrización” por los productos de la corrosión y depósitos cálcícos. 657

www.libreriaingeniero.com - Siliconas - Silicatos - R esinas epoxy

FISURA EN EL ALAMBRE O BARRA capa

/ p a s iv a ___________

C

▲

- Poliéster

f^PROCESO ANOCXCO

V

)

F ig u r a 3 0 -1 6

- D erivados del caucho clorado - Pinturas acrílicas - Poliuretano

L as fisuras lo n g itu d in ales son, natu ralm en te, m ás p elig ro sas que las transversales, ya que afectan a superficies m ucho m ayores de la barra. Los productos de corrosión, debido al aum ento de volum en que presentan, ejercen presiones sobre el horm igón, Asurándolo y aum entando las vías de entrada de agentes agresivos. h) Corrosión bajo tensión en arm aduras de pretensado Las arm aduras de pretensado experim entan tam bién la form a de corrosión electroquím ica anteriorm ente expuesta. A dem ás de ello, pueden presentar roturas de tipo frágil cuando se em plean determ inados tipos de acero y procesos de fabricación. En este tipo de corrosión el proceso anódico se inicia por un a picadura que va profundizando la fis u ra /(F ig . 30-16). El proceso se desarrolla en el vértice de la grieta y debido al elevado grado de tensión de la barra, generalm ente del orden del 60% de la tensión de rotura, acaba produciendo un rotura frágil1. Por supuesto este tipo de fallo no se presenta si la arm adura tiene una buena protección del horm igón.

- Vinilo - Polietileno L a norm alización sobre el tem a es escasa. Un buen resum en fig u ra en la referencia (30.11). 30.7.2

PR O T E C C IÓ N SU P E R F IC IA L D E LA S A RM A D U RA S

a) A rm adu ras p asivas C on independencia del em pleo de barras de acero inoxidable, interesantes pero todavía de m uy reducido em pleo y de las cuales hablarem os en 25.5.4.3, los tratam ientos que pueden considerarse son los siguientes: - G alvanización - R ecubrim iento de resina epoxy Verem os una am pliación de todo esto en 32.5.4.3 y en (30.12). b) A rm adu ras activas

i) Fragilización por hidrógeno En ciertas condiciones, y dentro del proceso catódico, se produce un caso particular de corrosión bajo tensión, según el cual penetran átomos de hidrógeno en la m asa del acero, donde su conversión en hidrógeno molecular, a través de las elevadas presiones que ejerce, ha dado en ocasiones lugar a fisuras con rotura frágil.

3 0 .7

S IS T E M A S D E P R O T E C C IÓ N C O N T R A L A C O R R O S IÓ N Y O T R O S A TA Q U E S Pueden considerarse en líneas generales dos sistemas:

30.7.1 PR O TEC C IÓ N S U PER FIC IA L D EL E LE M E N T O D E H O R M IG Ó N B ásicam en te se co nsigue, bien con rev estim ien to s o con p in tu ras. Los tratam ientos se realizan con productos m uy variados, entre los que cabe destacar. 1

658

En el caso de arm aduras pasivas la tensión en servicio no suele pasar del 40% del lím ite elástico y rara vez alcanza el 50% , p o r lo que no se presenta este tipo de rotura.

E n el caso de tendones adheridos, el sistem as más com ún es la inyección, de acuerdo con lo visto anteriorm ente. L a calidad de la inyección debe ser objeto siem pre de un especial control de calidad pues su incidencia en la durabilidad de la estructura es m uy fuerte. En el caso de tendones no adheridos, existen sistem as de protección muy variados. P ara tendones situados en conductos el procedim iento más com ún es la grasa soluble en agua. Estos sistem as tienen u n a ventaja especial, que ha m otivado su am plio uso en instalaciones nucleares y es la posibilidad de lavar el conducto con agua a presión para elim inar la grasa. Ello perm ite desanclar el tendón y extraerlo para una inspección de él y de los anclajes, volviendo luego a colocarlo, tesarlo e inyectar nuevam ente grasa. A lgunas aplicaciones especiales, com o son los forjados sin vigas postesados (Capítulo 54) y en general el pretensado exterior (Fig. 25-23 d)) han conducido a nuevos desarrollos entre los que cabe destacar los recubrim ientos con: - M astiques bitum inosos - M astiques asfálticos - G rasas solubles en agua 659

- Grasas no solubles en agua - Cera - Resinas epoxy - Plásticos U na solución que va cobrando im portancia es la de tendones plastificados situados a su vez en una funda de plástico. Ello protege muy eficazmente al tendón y reduce la fricción en conductos o sillas de apoyo. N orm alm ente el enfundado se hace con polietileno. D ebe tenerse en cuenta que el polietileno, tanto en su color natural blanco sucio como en las variantes de color rojo, azul, etc. no resiste la acción de los rayos ultravioleta. Solamente el polietileno negro puede resistirlos. Si ello crea problem as estéticos en el caso de tendones vistos se puede, bien disponer sobre el polietileno negro una segunda capa del color deseado o bien pintar el revestim iento negro.

b) Todavía es hoy frecuente la creencia de que los problem as de durabilidad están exclusivamente relacionados con aspectos químicos de los materiales, sin valorar la im portancia que en la durabilidad tienen el proyecto y la ejecución. c) El concepto de m antenim iento está todavía muy escasamente difundido en el horm igón estructural. La detección oportuna de los problem as permite aplicar tratamientos de rehabilitación simples y baratos. N o hacerlo, supone a medio plazo intervenciones com plejas, perturbadoras para el funcionam iento de la construcción y de elevado coste. d) Como hemos visto, existen hoy múltiples técnicas de protección de los elementos de la estructura y de las armaduras. Estos métodos deben ser em pleados en los casos especiales que lo requieran. Sin embargo, para los casos habituales en los que se requieran vidas útiles de 60/80 años tales tratamientos no son necesarios y basta cum plir las reglas básicas que se indican en la figura 30-17.

Aunque todavía no ha sido aplicada al caso del pretensado, una solución de alta garantía es la aplicada muy recientem ente a cables de puentes colgantes, que es envolverlos en una o varias fundas de plástico y dejar un sistema de funcionamiento perm anente de control de la hum edad del aire dentro de la funda, manteniéndola por debajo del 40%, con lo que no puede producirse corrosión. En cualquier caso la protección debe ser continua en toda la longitud del tendón, hasta los anclajes.

LAS REGLAS BÁSICAS DE LA DURABILIDAD

Utilizar suficiente cemento. (g) Emplear baja relación A/C. (D

30.7.3 PRO TEC CIÓ N DE LOS ANCLAJES Este es un punto de gran importancia, que frecuentem ente no recibe la atención debida. Los anclajes deben protegerse siem pre. En líneas generales existen dos procedim ientos: Uno es el de m orteros de epoxy, que presentan una buena capacidad de protección y una excelente adherencia a los elementos metálicos y al hormigón de la pieza. Otro sistem a es la protección con grasa. No debe olvidarse que el anclaje debe quedar tam bién suficientemente protegido de la posible acción del fuego.

Recurrir a los superfluidrficantes si hace

falta, para tener

suficiente descenso de cono (7 u 8 cm en los casos ordinarios) con baja relación A/C. (No obtener la resistencia exigida en probetas con hormigones de casi nulo descenso de cono, que no pueden colocarse adecuadamente en obra). ©

Emplear separadores.

(§) Compactar enérgicamente el hormigón. ©

Curar adecuadamente.

©

Realizar un control estricto de la inyección en el caso de estructuras pretensadas.

Figura 30-17

30.8

A L G U N A S C O N SID E R A C IO N E S F IN A L E S SO BR E LA D U R A B IL ID A D

Es cierto que la falta de consideración de la durabilidad, ha conducido en un número apreciable de casos a problem as en las estructuras tanto de hormigón armado como de hormigón pretensado.

Aunque el tema de la ejecución cae fuera del alcance de este libro, a título de ejemplo aislado, la figura 30-18 dem uestra la influencia del curado (uno de los “puntos negros” de la ejecución) en la perm eabilidad y por tanto en el riesgo de corrosión de armaduras.

Sin em bargo no debe dejarse de considerar que en ello han influido los aspectos siguientes: a) Los conceptos básicos de durabilidad, no se han incorporado ni a los planes de estudio ni a la práctica profesional hasta época muy reciente. 660

661

www.libreriaingeniero.com curso, bajo la dirección de J. CALAVERA. U niversidad P olitécnica de M adrid. E scuela T écnica S uperior de Ingenieros de Cam inos, Canales y Puertos. (30.11) “Protection of reinforced concrete by surface treatm enls” CIRIA . Technical N ote 130. 1987. (30.12) CE B “Coating protection fo r reinforcem ent. State o f the art report” . CEB. 2a edition. 1995. (30.13) V ILL EG A S L. “C alidad y patología en la construcción” . G TED. Santander. 1997.

CEMENTOS [ P o r c en ta j e

C ON A D I C I Ó N de

adición)

F igura 30-18

Estas reglas son las mismas que regían hace cincuenta años. Pero el hecho de que sean violadas con cierta frecuencia en algunos países, ha conducido a la falsa consideración de que el hormigón estructural es un material de corta vida. Por supuesto que en casos o condiciones especiales, lo anterior por sí solo no es suficiente, y los nuevos recursos técnicos disponibles deben emplearse.

BIBLIOGRAFÍA (30.1)

T A SS IO S , T. “P ro le g o m a n a to a g en eralised design space” CEB-RILEM W ORKSHO P. D U R A B ILITY O F C O N C R E TE STR U C T U R E S. 1983.

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(30.10) B U R Ó N , M. “E studio de la influencia de la puesta en obra del horm igón en la durabilidad de las estructuras de horm igón arm ado y pretensado” . Tesis doctora en

662

663

CAPÍTULO 31

COMPROBACIONES TENSIONALES DE LA PIEZA PRETENSADA EN ESTADO DE SERVICIO PREDIMENSIONAMIENTO DE PIEZAS PRETENSADAS

31.1. IN T R O D U C C IÓ N La existencia de la fuerza de pretensado obliga a realizar en las piezas de horm igón pretensado algunas comprobaciones tensionales, fundam entalm ente en dos instantes: Uno, en el de aplicación de la fuerza de pretensado. Otro en el estado de servicio de las piezas. Esta es una diferencia importante respecto a las piezas de horm igón armado. Con independencia de lo anterior, la pieza, como veremos más adelante, debe ser com probada a los estados lím ite de servicio y estados límite últimos. Com o resultado de ello, el predim ensionam iento de la sección debe tener en cuenta tanto estas condiciones tensionales como las de cum plim iento de los estados límite. Unido esto al hecho usual de que las piezas pretensadas tienen generalmente secciones transversales bastante diferentes de la rectangular, el predim ensionamiento de secciones resulta, en la práctica, más complejo en el caso del hormigón pretensado que en el caso del horm igón armado.

31.2. P IE Z A S P R E T E N SA D A S CO N A R M A D U R A S P O ST E SA S D e acuerdo con lo anterior, deberán realizarse las com probaciones tensionales en el m om ento de tesado de los tendones y en el estado de servicio. 665

www.libreriaingeniero.com 31.2.1. TENSIONES M ÁXIM AS A DM ISIBLES EN EL INSTANTE DEL TESADO La com probación debe realizarse en la sección crítica. La determinación de est sección crítica depende del tipo de piezas, en particular del trazado de los tendones^ de los esfuerzos derivados de la acción del peso propio de la pieza al producirse \ contraflecha bajo la acción del pretensado. A continuación exponem os el método para el caso general de una pieza en la que el peso propio crea esfuerzos de signo contrario al pretensado. Consideramos por ejemplo, el caso de la sección en el punto medio de la luz, en una pieza de sección constante (sección A-A de la Fig. 31-1).

De acuerdo con 31.6.a) favorable.

y = 1,1 si el pretensado es desfavorable y 0,9 si es

Como en este caso el pretensado se considera como una fuerza exterior, los valores de la excentricidad del c.d.g. de la armadura activa, e0, de las distancias de la fibra correspondiente a dicho c.d.g. a las extremas, inferior y l o y superior y 3¡0 y del radio de giro de la sección rü =

Á

(Fig. 31-2) son las correspondientes a la

sección neta, es decir, descontando las áreas ocupadas por las vainas. Pr es el valor de la fuerza de pretensado inmediatam ente después del acortamiento elástico. O bsérvese que éste es el valor del pretensado en la sección A-A, inferior por tanto al del punto M, de la sección extrema, que habrá sido el máximo permisible. El valor Pt es el reducido por rozamiento, penetración de cuñas y acortamiento elástico.

Figura 31-2 Las com probaciones necesarias serán las debidas al pretensado más el peso propio. Al tratarse de una com probación en servicio, de acuerdo con 32.6.a) debe em plearse yp - 1,1 si el pretensado es desfavorable y y - 0,9 si es favorable.

yy2.0 [31.2]

En este Capítulo se consideran las tensiones normales producidas por el pretensado y las acciones exteriores. No se entra en el problem a de los esfuerzos, locales producidos en las proximidades de los anclajes, tem a que será analizado en el Capítulo 60. D e acuerdo con lo expuesto en 25-6, las tensiones debidas al pretensado (Fig. 31-2), serán:

1

666

[3L51

[31.1]

Fibra extrem a en m áxim a com presión <J
M gl ” 1,0

Fibra extrem a en m ínim a com presión o en tracción nom ina1 a c >k ,

Las debidas al peso propio, al actuar éste antes de inyectar las vainas, son también las correspondientes a la sección neta, y por tanto

Se entiende por tensiones nom inales las resultantes de considerar íntegra la sección de hormigón

(Los valores W = ~ - llevan el signo de la coordenada y). Las condiciones [31.1] y [31.2] por tanto se transform an en

13161

Los valores k l y k2 de las fórm alas anteriores varían según las Normas5 A continuación exponem os los especificados por EHE y por ACI 318-95.

Fibra extrema en m ínim a com presión o en tracción nominal: En general

a) Tensiones adm isibles de acuerdo con EHE. Al tratarse de tensiones debidas a esfuerzos de escasa probabilidad de variación y aplicados a un hormigón de resistencia rápidamente creciente en la m ayoría de los casos, las tensiones adm isibles son mayores que las adoptadas en condiciones ordinarias; De acuerdo con EHE, las fórmulas [31.1] y [31.2] se transform an en las siguientes-

^ > -0 ,2 5 ]//^

[31.12]

En los extremos de piezas sim plem ente apoyadas ac > -0,50 ^ f ckj

[31.13]

Fibra extrem a en m ínim a com presión o en tracción nom inal1 Fibra extrem a en m áxim a compresión: Clase de exposición

Tensión lím ite trc < 0 ,6 f cKj

cr,. >

Wmax < 0,2 mm

U J l b, H

W m ax< 0 ,2 r n r n

IIIa,IIIb,N>F

^ 0 (descompresión)

31.2.2. TENSIONES M ÁXIM AS ADM ISIBLES EN ESTADO DE SERVICIO

M c, Qa, Qb, Qc

> 0 (descompresión)

De nuevo y por las mismas razones expondremos las especificaciones de EHE y de ACI 318-95. Los efectos de las acciones actuantes antes de la inyección (fuerza de pretensado al transferir y peso propio de la pieza) se han calculado ya con los valores netos característicos de la sección, referidos al c.d.g. de la sección neta.

con y = 0,9

[31.9]

(Los am bientes indicados fueron expuestos en el Capítulo 30).

En general las acciones posteriores se aplicarán a la pieza con posterioridad a la inyección (si se realiza ésta) y en ese caso actúan sobre la sección homogeneizada, referidos al eje que pasa por el c.d.g. de tal sección, en general distinto del de la sección

Fibra extrem a en m áxim a com presión ac < 0,6 f ckJ ( con yp = 1,1)

[31.10]

En las fórmulas anteriores f ckJ es la resistencia del horm igón medida en probeta cilindrica curada y ensayada en las m ism as condiciones que la pieza.

b) Tensiones ad m isibles de acu erdo con A C I 318-95. L a norm ativa norteam ericana, muy distinta de la europea en este tem a concreto, es dél m áxim o interés al estar basada en una intensa experimentación y en una larga experiencia de uso. No em plea para estas com probaciones en ningún caso el cálculo teórico del ancho de fisura, sino que establece condiciones entre las tensiones nominales de com presión o tracción y las resistencias del material, es decir (Jc < k x (compresión)

[31.11]

a c > k2 (tracción) Las condiciones equivalentes a [31.9] y [31.10] son ahora: 1

Entendem os por tensiones nom inales las resultantes de aplicar los esfuerzos a la sección Sin. considerar reducciones de área por fisuración dei hormigón.

668

[31.14]

l

neta. Los valores correspondientes los designarem os como y Up y2 /l, eh, rh =

El cálculo del c.d.g. de la sección hom ogeneizada y de sus características es inmediato sin más que, dada la com patibilidad de deformaciones entre las armaduras y el hormigón que las rodea, considerar una sección homogénea, formada por la bruta de hormigón (es decir sin descontar los huecos de las vainas ni de las armaduras longitudinales activas o pasivas), más las armaduras activas o pasivas, en su posición, con su área afectada del coeficiente de hom ogeneización (m-1) donde Ep m=— E ’cj

[31.15]

El valor de E \ j es el módulo secante de deform ación del horm igón a la edad j de cálculo. En sentido estricto, debería em plearse el valor E ’cij para cargas de aplicación instantánea o muy breve y em plear un valor más reducido para cargas permanentes. Ni EHE ni el M OD EL-CO D E 90 ni el Eurocódigo EC-2 dan normas al respecto. Una recomendación razonable es emplear E

3

E’=—^ 2,5

[31.16]

669

www.libreriaingeniero.com para cargas permanentes o cuasipermanentes en ambiente seco (HR < 50 %) y e] valor

p

jE k ~ 1,5

[3 U ? ]

para cargas permanentes o cuasipermanentes en ambiente húmedo (HR > 50 %) Como, por lo que veremos a continuación, no están justificados muchos refinamientos en esta comprobación, debido a las correcciones que será necesario adoptar por otros motivos, una recomendación práctica de suficiente precisión es tomar un módulo de deformación ponderado

Por supuesto, si se desea, se pueden hacer comprobaciones a diferentes edades, pero en general no se hace así debido al escaso conocimiento que suele tenerse de la futura actuación de las acciones sobre la pieza. El paso de los valores de la fuerza de pretensado al tesar (F;) al final (Pf) se debe realizar calculando las pérdidas diferidas, por supuesto en función de las características <je la sección neta, incluidas las zonas inyectadas de las vainas pero naturalmente sin contar el área ocupada por los tendones. Designamos sus valores c o n y \ 0’y ’2fí,e'0, r 0 [ r» 1Lo. . Recuérdese que, por simplificación de la exposición, en los dos ejemplos del C0

Capítulo 29 no se hizo así y todas las pérdidas se calcularon a partir de las características de la sección bruta. g2 ■Ecg + q - E cj Ecj =-----------7----------g2 + q

[31.18]

Las fórmulas [31.3] y [31.4] se transforman ahora en

P „ 31 donde g2 es la suma de acciones permanentes o cuasipermanentes aplicadas con posterioridad a la inyección y q es la suma de acciones de carácter breve. Conocido el valor de m y por tanto de (m-]), los valores de A ch, Ich, Wlh, W2h, eh, y ib y2h Pueden calcularse directamente. Una excelente aproximación, si la sección no está Asurada, viene dada por las fórmulas

A’

,

£7’ =

(rj1 I

l

% pt [ .

1 1 +

A\

e'°y'w

[31.24]

(O 2

y las [31.5] y [31.6] en Ach = A „ [ l + ( m - l) 9 ]

[31.19]

^ = ^ [ 1

+ 1 ,5 1 » ? ]

[31.20]

W2h = W2 o [ \ + 0 , 5 m q }

[31.21]

lch = he ( 1 + m <7 )

[31.22]

Un tema esencial es el de la edad de esta comprobación tensional en condiciones de servicio. Es claro que para los efectos producidos por las acciones exteriores, una hipótesis pesimista para la mayoría de los casos reales es suponer su actuación cuando el hormigón tiene 28 días de edad y utilizar las características de la probeta estándar. Sin embargo, la fuerza de pretensado a esa edad es apreciablemente superior a la que tendrá a largo plazo, una vez producidas las pérdidas diferidas de fuerza. La práctica habitual es hacer la comprobación con el valor final de la fuerza de pretensado (Fy) y con la resistencia del hormigón a 28 días, lo cual es claramente pesimista ya que no pueden ser valores concomitantes.

M i + M 2+ M cr”d = _ l i ñ —

[31.25]

M i + M„2 + M„ a " 2 = - l l ------ *1------ L W2,,

[31.26]

En [31.23] a [31.26] se ha partido de que a lo largo del tiempo se produce una redistribución de tensiones entre el material de la inyección y el hormigón preexistente. En definitiva % pf í , ] + _41U22_| e ’° y ' \ + _Mi 2gi + M it S2 + M ± c -> k (O 2 I W, M Yp P f í

c r2 = J ^ |

e oy

2.0

\

M gl + M g2 + M t '4

(O 2 1 670

[31.27]

[31.28]

2,h 671

31.2.3.

Establecido lo anterior, las comprobaciones necesarias son a)

Tensiones admisibles de acuerdo con EHE

Consideremos por ejemplo el caso de la sección central de una viga simplemente apoyada, cuyas fuerzas de pretensado son:

Fibra extrema en mínima compresión o en tracción nominal Clase de exposición

Tensión límite

I

Wmax< 0 ,2 m m

u r > < lla,llb,H

Wmax < 0,2 mm

IHa,HIb>N,F

> 0 (descompresión)

l IIJc, Qa, Qb, Qc

> 0 (descompresión)

b)

P0

Inicial

(En el extremo de tesado)

Después del acortamiento elástico con jp = 0,9

(Pérdidas debidas al rozamiento desde [31.29]

el extremo de tesado, a la penetración

Fibra extrema en máxima compresión gc-

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DEL CONJUNTO DE CONDICIONES TENSIONALES

0>6/otj (con yp= 1,1)

de cuñas y al acortamiento elástico)

a } P0 (a 1 < 1)

Final

(¿2P0

y cuyas resistencias de hormigón son: [31.30]

Al tesar

f cKt = /3f ck28

A 28 días

f A28

Supongamos que deseamos, bajo pretensado más cargas permanentes, no tener tracciones y bajo cargas totales no superar la resistencia a tracción pura a 28 días, f ckl 28

Tensiones admisibles de acuerdo con ACI 318-95 Fibra extrema en mínima compresión o con tracción nominal

Llamando

En general

g¡ Peso propio de la viga

j-c > -0,50 v f ckiJ

{a2 < a¡)

g2 Carga permanente uniformemente repartida

[31.31]

q Sobrecarga uniformemente repartida (Todo ello por unidad de longitud)

Si se han comprobado las flechas mediante un cálculo riguroso y los recubrimientos no son inferiores, en elementos no expuestos a la intemperie ni a ambiente agresivo, a 20 mm en losas y viguetas y a 40 mm en otras piezas. El valor anterior puede elevarse a o>

-

fckj

[31.32]

operamos de acuerdo con EHE. Comprobación en el instante del tesado. De acuerdo con [31.7] y [31.8] las condiciones son Fibra inferior (Supongamos que es la más comprimida)1-2

Si el elemento está en contacto con el suelo, expuesto a la intemperie o en atm ósfera agresiva, estos valores se elevarán a 30 mm y 60 mm respectivamente.

Aa\

- Bajo las acciones de pretensado y permanentes o cuasipermanentes [31.33] 1 2

672

I

[a]

Wli0

n0 ,9 n a ,— 1 + e° y ^ ' 1 + ------- ^ 0 --------A c<\ I Wzo

- Bajo las acciones de pretensado, permanentes y variables a c < 0 ,6 0 f ckj

r 20

Fibra superior

Fibra extrema en máxima compresión

a c< 0,45 f Aj

+2 F < 0,6

l.lo ,— ( 1

[31.34]

rkl [b]

De acuerdo con lo dicho, los valores con ’ corresponden a magnitudes de la sección neta inicial más el rellenado de las vainas. De acuerdo con lo que se expresó, e o, y¡, y2 W2 han de introducirse en las fórmulas con su signo. Para una viga pretensada generalmente y2 y W2 son positivos y e o, y¡ y \V¡ negativos.

673

www.libreriaingeniero.com Comprobación en estado de servicio Fibra inferior1. De acuerdo con [31.27] y [31.28] las condiciones son (Cargas permanentes)

1 + --------- + ('''o )2 /

0,90^-----A ’J

>0 W yh

r i U

Cargas totales nn M 0,9 02— A

, C<\

1+— (

r

M SA ^ g2 + M , + ----------- --------- > - / * , 28

o)

I

[d]

W l,h

Fibra superior (Suponemos que es la más comprimida) que representadas en escalas —— y eb corresponden a cinco rectas (Fig. 31-3). En ,, p0 ¡ , 1,102— 1+ , , A 'co\ {r\y

M ^ + M g2 + M + --------- -- --------- ^ 0 ,6 f ck¡2i j w. Y2,h

Po te]

En las cinco condiciones [a] a [e] anteriores, si aceptamos la simplificación de suponer los valores de las magnitudes de la sección neta sin inyectar las vainas iguales a los correspondientes a las secciones con las vainas inyectadas, iguales a su vez a la homogeneizada (que no puede ser estimada al no conocerse la armadura) y los sustituimos por los de la sección bruta sin descontar el área de las armaduras, cuyas magnitudes llamaremos eh, y }b, y 2b, eif A cb, W ]b, W2b, las cinco condiciones toman la forma general

general estas cinco rectas delimitan un polígono. Todos los puntos interiores al polígono corresponden a soluciones (P0, eb) de pretensado, que satisfacen las cinco condiciones sin alcanzar el límite de ninguna. Los puntos de los lados del polígono satisfacen las cinco condiciones, alcanzando al límite de una de ellas y los vértices, satisfaciendo las cinco condiciones alcanzan los límites para dos de ellas1.

31,2.4. P R E D IM E N SIO N A M IE N TO D E LA SECC IÓ N En principio, por razones económicas interesa Ja cantidad mínima de armadura, es decir el máximo valor d e j —, al que corresponde el punto de abscisa

y

excentricidad eA. k¡ P0 ( 1 + k2 eb ) + k3 < 0

[a’]

k4 Po { l + k5 eb ) + k6 > 0

m

k1 Po ( l + k i eb ) + k9 > 0

[C]

*>o Pa ( l + k t i eb ) + k í2 > 0

td’]

k ,3 P A 1 +

te’]

eb ) + k l s < 0

Si el polígono definido por las cinco inecuaciones no existiera, ello significa que con esa sección y calidad de hormigón no pueden resistirse las acciones con ningún pretensado. De alguna manera si el polígono es demasiado amplio, significa una falta de aprovechamiento de la sección, que podría ser refinada. Sin embargo eJ proyectista debe prestar atención a este polígono pues proporciona información valiosa para modificar la sección si ello es necesario. También deben tenerse muy en cuenta los dos aspectos siguientes: - Una pieza con una sección determinada puede ser la más interesante desde el punto de vista global (condiciones técnicas más de coste de fabricación más costes de transporte y montaje) y no ser óptima desde el punto de vista mecánico. Un ejemplo típico son las piezas en TT, en las que no es posible

1 1

674

De acuerdo con lo dicho, los valores con ’ corresponden a magnitudes de la sección neta inicial mas el rellenado de las vainas.

Cuando se aplica EHE, en ambientes I, Ha, Il2b y H,, no se establece ninguna tensión límite y por tanto no hay inecuación, ni, correlativamente, rectas y no puede establecerse el polígono. Una sugerencia es aceptar, para estos casos, los valores [31.31 ] ó [31.32] de ACI. a reservas de comprobar después la fisuración en el cálculo definitivo.

675

agotar la condición [e] de m áxim a com presión en servicio en la fibra superi Sin em bargo constituyen una solución ideal en muchos casos. °r‘ - No conviene afinar excesivam ente los valores de PD y e0 (vértice A ejemplo), pues en este cálculo prelim inar se han hecho simplificaciones inevitables y necesarias, com o por ejem plo utilizar las magnitudes de la sección bruta, estim ar las pérdidas de fuerza de pretensado, etc. - Cum plir las cinco condiciones expuestas no quiere decir por sí solo que la sección sea satisfactoria. El proyectista deberá en el predimensionamiento previo tener en cuentarios esfuerzos actuantes, en particular el esfuerzo cortante y sobre todo el m omento último necesario, que no queda garantizado a priori con los valores de P 0 y eb encontrados. U na buena estim ación del área de arm adura necesaria, que justificam os en el Capítulo 36, puede obtenerse de la fórmula

PU 51 donde d

= y 2b +

M d — m om ento de cálculo de las acciones exteriores Si el área Ap derivada del valor P0 elegido es menor que el valor de [31.35], caben tres soluciones: a) S uplem entar la diferencia con arm adura pasiva. Con ello no se alteran las condiciones tensionales y se increm enta el v alor de M u h asta alcanzar el de M d. b) M antener la fuerza P 0, pero tesando m enos una arm adura m ayor que Ap. La situación es idéntica al caso anterior. c) Proceder a una nuevo dim ensionam iento de la sección, reduciendo en particular su canto. La solución c) suele ser la más interesante en muchos casos. El predim ensionam iento y por supuesto el dimensionam iento definitivo exige cierta experiencia para su encaje rápido. Los program as inform áticos permiten una solución muy rápida. En definitiva el proceso de predimensionamiento sigue las etapas de la figura 31-4. La etapa II del diagram a de la figura anterior exige ahora una expresión más precisa de las condiciones tensionales introduciendo las magnitudes de la sección neta con vainas inyectadas o de la sección homogeneizada, según sea el caso.

676

F ig u ra 3 1 -4

Las expresiones toman ahora la forma: Comprobaciones al tesar Fibra extrem a inferior:

www.libreriaingeniero.com F ib ra ex tre m a su p e rio r

rPPt ¡ i + fo ^ _ \ A c,0 \

r0~

[3L37]

I

W ’2 ,0

Comprobaciones en servicio Fibra extrem a inferior Figura 31-6 yppi i

e ’a y ' i,0 \

Mgi + M S2 + M

1 + - ------- — 1 + --------------------------- > k ’3

( r ’oy

\

r

f

/

^c2~--------

¿ '« , 1

^

o y

I

2,o \

1 + -------------

[3 1 .3 8 ]

W,1,h

M Sl + M

82 +

( O 2 /

M

q

Zk'4

+

[3 1 .3 9 ]

Si consideram os cualquier otra sección como la B -B , le corresponderá un mom ento ñector diferente tanto del p.p. de la pieza como de las acciones exteriores y un nuevo polígono por tanto de condiciones tensionales, tal como el de la figura 31-7, pepo evidentem ente el valor de la fuerza de tesado en el extremo M ha de ser el mismo, P ’0, si bien los valores P r y Pf de dicha fuerza en la sección B B serán diferentes de los de la sección A-A, debido a la diferencia de pérdidas entre am bas secciones.

W,h

31.2.5. TRAZADO DE TENDONES De acuerdo con lo anteriormente dicho, el valor elegido para P0, volviendo al polígono de condiciones tensionales1 (Fig. 31-5) habrá sido, una vez realizado el dimensionamiento definitivo, otro ligeramente mayor, como el P '0. Al valor P ’0 le corresponde todo un conjunto de excentricidades posibles, que conservando el valor de la fuerza de pretensado, P ’0, varían la distribución de sus tensiones sobre la sección de hormigón, cum pliendo por supuesto las condiciones límites tensionales establecidas. Este conjunto es el de los puntos del segmento 1-2 y, por lo tanto, cualquier excentricidad entre eh¡m¡n y eh )ltax es válida.

Representando el valor P ’a en el nuevo polígono, nos indica que en la sección B-B el cam po de excentricidades posibles va de ehBA a ehB2 A nálogam ente ocurre en todas las secciones y en particular en los extremos. En ellos es usual que la resultante de tendones pase por el c.d.g. de la sección. Con ello se tienen a lo largo de la luz dos curvas límites de posición del c.d.g. de los tendones. N orm alm ente interesa acercarse a la curva de excentricidades máximas pues ello m ejora el valor del momento último M u. F ig u ra 3 1 -5

Considerando de nuevo la pieza pretensada, (Fig. 31-6), ello quiere decir que el c.d.g. de todos los tendones (no cada uno de ellos individualmente por supuesto) ha de pasar entre los puntos que distan del c.d.g. G de la sección homogeneizada los valores eM , y ellA2. 1

Construido ya con las magnitudes homogeneizadas de la sección y referido por tanto a eh.

En la figura 31-8 se ha indicado un caso particular, que es frecuente en la práctica y es el de piezas en las que se cortan algunos tendones. Es claro que la fuerza de pretensado P ’0 es una entre B C y otra en los segmentos de pieza A B y CD , pero el procedimiento anterior se generaliza inmediatamente.

A

B

C

D

F ig u r a 3 1 -8

678

679

31.2.6 FÓRMULAS PARA LA DEFINICIÓN DE LOS TENDONES En la figura 31-9 se han indicado los cinco casos más frecuentes de trazado de tendones. Para cada caso se indican la ecuación o ecuaciones de la línea media del tendón, las tangentes en los puntos importantes y los radios de curvatura mínimos.

FÓRMULAS PARA PIEZAS DÉ SECCIÓN" CONSTANTE SOMETIDAS A CARGA UNIFORME POR UNIDAD DE LQNGITUn Ecuación de la resultante de los tendohes referidaa(os ejes OX, OV

TRAZADO

_ 4 K ~ e fa) .

Trazado parabólico.

4 (e<„. ~ e fa)

son las excentricidades de la tg a ■ resultante de los tendones en la sección de apoyo y en el centro de vano, referidas al p(radiodecurvaturamínimoenO) c.d.g. delasección homogeneizada. Qha, ehc,

L2 ehC se consideran positivas en el sentido P = *; positivodel ejeOV. teta -

TRAZADO

TramoACD: TrazadosparabólicostangentesenDy D'.

L1 (0,5 - 0 ) 6/m, ehi> ehc> son las excentricidades de la resultante en las secciones de apoyo, en los Tramos ABOy A'B'D' puntos de inflexión y en (a sección de centro de vano, respectivamente, referidas al c.d.g. delasecciónhomogeneizada. y =- 7 F c ~ x e^, ehl ehc se consideran positivas en el Posicióndel puntodeinflexión sentidopositivodel ejeOY. p = 0,5 - ea-

4-

l /2

2 (e« - efe)

tga

(0,5

_ 4 t n 2~ e j y a2 1 LLr2

_ L2( 0 , S - p f

,

P°

eu -

ete

RadiodecurvaturaenO’

4 {y> - e>f ©he. y*2 . son las excentricidades de la tga a L resultante de los tendones en la sección central y de lafibraextremasuperior, referidas p(radiodecurvaturamínimoenO) al c.d.g. delasecciónhomogeneizada. 2

se consideran positivas en el sentido positivodel ejeOY.

a) L

RadiodecurvaturaenO

Trazado parabólico.

et>2

-

e Hc)

Ecuación de la resultante de los tendones referida alos ejes OX, OV

l /2

FÓRMULAS PARA PIEZAS DE SECCIÓN CONSTANTE SOMETIDAS A CARGA UNIFORME POR UNIDAD DE LONGITUD Ecuaciones de la resultante de los tendones referida a los ejes OXY (tramo ACD),y O’X’Y’ (tramosABDyA’B'D')

Pe =

a 2 L1

2 (e« -«/,»)

Ecuaciones de la resultante de los tendones referida a (os ejes OXY (tramos AC y CB),y O'X’Y' (tramo BD)

a 2Ü

TramoAC; Ecuación de la resultante de los tendones referidaalos ejes OX, OY 4 U l ~ e/.„) r 2

p2L2 Trazadoparabólico. 2 (eto l) son las excentricidades de la tga P L resultante de los tendones en la sección central y de la fibra extrema inferior, referidas p(radiodecurvaturamínimoenO) al c.d.g. delasección homogeneizada. ehe, yh1,

Ym se consideran positivas en el sentido positivodel ejeOY.

(i ~ ay ¡}

©fta. &he> eh¡. &ha> son>respectivamente, las excentricidades de las resultante en las seccionesdesimpleapoyoenA, depuntomás tgff, = - 2 (1-—a )5L*£L bajo en vano C, de punto de inflexión B y de apoyo continuo D, referidas al c.d.g. de la secciónhomogeneizada.

P1 Ü P

680

Trazados parabólicostangentesenB.

8 (y*,

681

www.libreriaingeniero.com TRAZADO

* 0W etK> ehh y efta<seconsideran positivas ene! sentidopositivodel ejeOY.

FÓRMULAS PARA PIEZAS DESEttciÓNT] CONSTANTE SOMETIDAS A CARGA UNIFORME POR UNIDAD DE LONGITi i n Tramo CB

y

x2

e" " >

(«-/?)■2 1 1

tg a , - 2 •

e‘e

(a -flL

Tramo BD S E C C IÓ N B - B

S E C C IÓ N A - A

y * * * : * ? x2

p- L2

Figura 31-10

RadiodecurvaturaenO E n

'(1 - a f Ú p a:E

l m e n o r

d e

s e n tid o

in tr o d u c c ió n

2 (^ -0 <

S in d a d a

{a-Pfü

la

l a

e m

la

l a

e v id e n te m

p 2Ü A - w x 2 K - e*a)

S e d e

. ........................................

la

a r m

e l

a .

c o m

e n te

r e s u l ta n te

1, L as ecuaciones indicadas son adecuadas para el cálculo y corresponden al eje de la vaina. Las coordenadas eii los planos deben referirse norm alm ente a la generatriz inferior de la vaina y al fondo del encofrado ya que será la cota

c o m

e s tim

L a s

m

c o m

a c i ó n ín i m

p r o b a c i ó n

la

o tr a

s e c c ió n

d is t a n te

d e

la

A -A

la

lo n g it u d

d e

p e n s a d o r r e a lis ta

a s

c o m

d e l

d e

p e s o

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p r e s io n e s

p r o p io

lo n g itu d , e n

f ib r a

e s lo

e n

e lla

h a b itu a l

in f e r io r

s e

m

u y

e s

p e q u e ñ o

c o m

p r o d u c e n

p r o b a r e n

c a m

y e n

b io

o

e n

lo

te n s io n e s

a n te r io r

e n tu b a d o

f u e r z a s

l a

p r o b a c i ó n

d e

d e

d e

d e

e n

e l

e s ta d o

d e

s e r v ic io ,

la

s e c c ió n

c r ít ic a

e s

c e n tr a l.

e x c e p tú a n

in d ic a d a s

e le g ir s e

c e n tr a l.

a d u r a s

N o tas

e f e c to

d e

e x tr e m

P a r a

Radiodecurvatura en0’

b a r g o

s e c c ió n

p o d r ía

3 2 .5 .3 .8 .3 ) .

d if ic u lta d

s e c c ió n

e n

e s tr ic to ,

( V e r

d e

f ig u r a la s

e n

d e

lo s

to d o s

lo s

3 1 - l l . a )

d iv e r s a s

c a s o s

te n d o n e s

y

e n

q u e

( F ig s .

te n d o n e s

b )

y

s e c c io n e s

s u c o m

s e

e m

s e

la s

y

n o

r e c ta ,

e s

c á lc u lo o

p le e n

2 5 - 1 4

2 5 - 1 5 )

d e b e

v io

e n

té c n ic a s y a

s in o

q u e q u e

r e a liz a r s e ,

e l c a s o

d e

a r m

d e

d e s v ia c ió n

e n

e s to s

s ig u e e n

la s

c a s o s le y e s

c u a n to

a d u r a s

a

la

p o s te s a s .

m ás fpacil de com probar en el replanteo 2. D ebido al fenóm eno de descentram iento indicado en la figura 26-4, el eje de la v aina no coincide con el del tendón. E l fenóm eno puede tenerse en cuenta al adoptar los valores correspondientes de eh.

Figura 31-11

Figura 31-9 3 1 .3 .1 .

3 1 .3 P IE Z A S P R E T E N S A D A S C O N A R M A D U R A S P R E T E S A S

T E N T R A

A

n á l o g a m

e n te

e n

e s te

c a s o

d e b e r á

c o m

p r o b a r s e

l a

p ie z a

e l

e s ta d o

e n

d o s

U

n a

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e l

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tr a n s f e r e n c i a

y

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d e

S in

e m

p r e te n s a d o d e

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t r a b a ja q u e

682

b a r g o ,

lin e a l e s y

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p r o b a c i ó n c o n

te n d r á

u n a e n

e n

( F ig .

la

e s

lu z

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3 1 - 1 0 ) , p ie z a l a

a l la s

A-A

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a

d e

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p a r ti c u la r i d a d e s la

r e s u l ta n te

c o n tr a f le c h a s ,

d e l s u

e x is te n s e r

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lo n g it u d s e r v ic io ) .

o .

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b s é r v e s e

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s u p e r i o r

d e

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p o r ta n te s .

lo s

p e s o q u e p o r

P a r a

te n d o n e s , p r o p io . e n

e s ta

ta n to

a

L a

a l

e l

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tr a n s f e r i r

s e c c ió n

s it u a c ió n l a

E S

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1

I M

A

p le a r e m

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S I O N

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te n d o n e s - .

d e s e c c ió n

e x tr e m

a

e l

c r itic a

la

p ie z a

1

L a s p ie z a s p a r a f o r ja d o s s e rig e n en e s te p u n to p o r la In s tr u c c ió n E F .

2

E n e l c a s o d e a rm a d u ra s p o s te s a s e m p le á b a m o s e sta n o ta c ió n p a ra la s e c c ió n b ru ta m e n o s e l á re a

a p o y o s

o c u p a d a p o r la s v a in a s y e s ta s n o t a c io n e s c o n ’ p a r a la b ru ta m e n o s e l á r e a o c u p a d a p o r lo s te n d o n e s.

e„r» v- l .0 1

’ t- / -

< k,

+■

[3 1 .4 0 ]

a

, . >

- 0

, 5

o

| y

~

[ 3 1 .4 6 ]

Fibra extrema en máxima compresión: y c j

=

d

l

^2 ,í) i ^ , ---------------------- \> k

i

//, P ,

|

+

[ 3 1 .4 1 ] c ? , < 0 , 6 0 / , . ,

D e

a c u e r d o

^ = 0 ,9 5 ,

s i

e s

c o n

yp

3 2 .6 .a )

= 1 ,0 5 ,

s i

la

a c c ió n

d e

p r e te n s a d o

e s

d e s fa v o ra b le ,

y

3 1 .3 .2 .

T E N S I O N E S

E H E

y

b ié n

A C I

e n

e s te

c a s o

e x p o n d r e m

o s

lo s

v a lo r e s

lím

k,

ite s

y

k,

e s p e c if ic a d o s

p o r

lin e a le s

c o n

L a s

F ib r a

e x tr e m

a

e n

m

ín im

a

c o m

p r e s ió n

o

e n

tr a c c ió n

A S

C la se d e e x p o sic ió n

T en sió n lím ite

l

Wm
>

la s

c o m

e

p o r

e x te r io r e s

o

s e

y -

c o n

>

0

( d e s c o m

p r e s ió n )

>

0

( d e s c o m

p r e s ió n )

in d ic ó

c a r a c te r ís tic a s d a n

u n a

4

^ 0’2 mm JJlaJU h,N.F

F ib r a

e x tr e m

a

e n

m

á x im

a

c o m

p r e s ió n

( c o n

yp =

a c tú a n e n

s e c c ió n d e

d e

a p r o x im

la

1 ,0 5

f.kl

e s

la

1 5 /3 0

y

e n s a y a d a

r e s is te n c ia c u r a d a a

la

d e l

e n

e d a d

la s d e

h o r m m

ig ó n

is m a s

, /t =

A ,„

[

1

W2h = W2 ll [

[ 3 1 .4 3 ]

)

a

c o m

p r e s ió n

c o n d ic io n e s

m

q u e

e d id a e l

ía

p a r a

e n

3 1 .3 .1

y

d e te r m

la

D E

S E R V I C I O

q u e

p a r a

p ie z a s

c e n tr a l.

h o m

S i

la

z o n a

e s

la

(m

+

+

e n

h o r m

p r o b e ta ig ó n

- ! )

1 +

d e

c ilin d r ic a l a

L a s

q

d e l

o g e n e iz a d a .

D e

E n

o tr o

p r e c o m

- 0 ,5 0

p r im

id a

p o r

e l

n u e v o

n u e v o ,

m y la s

h a

d e

c a lc u la r f ó r m

u la s

1 3 1 .4 8 ]

mq]

L 5

m q

0 , 5

]

[ 3 1 .5 0 1

<¡)

[ 3 1 -5 1 ]

c o n s id e r a c io n e s

s o b r e

c o n s id e r a r e m

e l

d e l

f ó r m

ta n to h o r m

u la s

ig ó n

a

[ 3 I .4 9 J

2 8

o s

la

v a lo r

e d a d f in a l

d e d e

c o m la

p r o b a c ió n

f u e r z a

d e

q u e

s e

h ic ie r o n

p r e te n s a d o ,

/ / ,

y

la

d ía s .

c o r r e s p o n d ie n te s

r e s u lta n

p ie z a ,

■ ' i a., = ------------------ 1

M \

e' , \,> .V,' 0.1 i

+M

+ -

k

>

1 ,3 1 .5 2 ]

I V ,,

[ 3 1 .4 4 ]

f k,j

Yr P< i — —

c„ y ^ \ I

+

--------------

+

m v\ + m K2+ m <, -----------------:------------------- < k 4

—

¡ 3 1 .5 3 }

c a s o :

g e n e r a l

lo s

d e

p r e te n s a d o

[ 3 1 .4 5 ]

- 0 .2 5 T | / e ,

E n

D e

v a lo r

]

p o r

c fc2 =

E n

o g e n e iz a d a .

tr a n s f e r e n c ia .

m á s

a (. >

h o m

in a c ió n

Fibra extrema en mínima compresión o en tracción nominal:

e x tr e m

o s

d e

p ie z a s

s im

p le m

e n te

A /

= M

o m

e n to

f le c to r

e n

la

s e c c ió n ,

d e b id o

a l

M

-

M

o m e n to

( le c to r

e n

la

s e c c ió n ,

d e b id o

a

M

-

M

o m

f le c to r

e n

la

s e c c ió n ,

d e b id o

a

e n to

p .p .

la s

la s

lo

a n te r io r ,

la s

c o m

p r o b a c io n e s

d e

la

p ie z a .

r e s ta n te s

c a r g a s p e r m

a n e n te s .

s o b r e c a r g a s .

a p o y a d a s E s ta b le c id o

684

E S T A D O

e x c e le n te .

a n á lo g a s

Tensiones admisibles de acuerdo con ACI 318-95

-

E L

d e s f a v o r a b le ,

s e r á

s e c c ió n

la

s e c c ió n

a c ió n

[3 1 .4 2 ]

r e s is te n c ia

-

E N

m á s

lo n g itu d

s o b r e

3 1 .3 .1

1

0 ,9 5

V a le n o ;. < 0 , 6 / , * ,

b )

I S I B L E S

la

u n id a d

*ch = K-(, ( 1 + -

A D M

c a s o

n o m in a l s ig u ie n te s

a .

e s te

u n if o r m

a c c io n e s

p r o c e d e r s e ju e g o

-

c a r g a

o s

3 1 8 - 9 5 .

Tensiones admisibles de acuerdo con EHE

a )

Á X I M

f a v o r a b le . C o n s id e r a r e m

T a m

M

e n

[ 3 1 .4 7 ]

n e c e s a r ia s

son

la s

s ig u ie n te s :

685

www.libreriaingeniero.com a )

Tensiones admisibles de acuerdo con EHE

3 1 .3 .3 . S I G N I F I C A D O G E O M É T R I C O

Fibra extrema en mínima compresión o en tracción nominal

T a m b ié n

e n

d e s d o b la m ie n to [ 3 1 .5 4 ],

'C

cr>

la s e

d e

e x p o s ic ió n

T e n s ió n

1

Wmáx< 0,2m m

Ila,IIb,H

Wm óx <0,2 mm max

IIIaJIIb,N,F

>

0

( d e s c o m p r e s ió n )

HIC’Qa- Q f Qc

>

0

( d e s c o m p r e s ió n )

c o n

p o líg o n o

lím ite

yp =

c o n

0 ,9 5

e s te

e n

lím ite s

( F ig .

c a s o

d o s

d e

la s la

d is tin to s

c u a tr o

c o n d ic io n e s

c o n d ic ió n p a r a

la s

d e

m ín im a

c a r g a s

d e

te n s io n e s ,

c o m p r e s ió n

p e rm a n e n te s

y

la s

o

c o n

e l

p o s ib le

tr a c c ió n

to ta le s ,

d a

n o m in a l

lu g a r

a

u n

3 1 - 1 2 ) 1.

[ 3 1 .5 4 ]

Fibra extrema en máxima compresión Ofifckj

Yp =

(c o n

1 .0 5

[ 3 1 .5 5 ]

)

b) Tensiones admisibles de acuerdo con ACI 318-95 Figura 31-12

Fibra extrema en mínima compresión o con tracción nominal P a r a E n

e llo

f u e r z a

d e

d e

-0,50 y f ckJ

< rc >

la

h a n

v a in a s ,

s e c c ió n

r e c ta

d ib u ja r

c o m p r o b a d o

e l p o líg o n o ,

la s

f le c h a s

m e d ia n te

u n

c á lc u lo

r ig u r o s o

y

n i y

a a m b ie n te e s to s

v a lo re s

e x p u e s to e le v a rs e

a

la

n o

s o n

in f e r io r e s ,

a g re s iv o , a s e

3 0

e le v a rá n

in te m p e r ie

la

f u e r z a

d e

la

p é rd id a s la

f in a l

P0 e s

h a s ta

la

tr a n s fe re n c ia

Pf = a 2 Pa.

c o n s ta n te

h o m o g e n e iz a d a

s e

a

lo

E n

e s te

la rg o

s u s titu y e n

y

la s

c a s o

a l

d e

to d a

n u e v o

n o

m m a

o

4 0 a

e n

e n y

e le m e n to s

lo s a s

5 5

m

m

a m b ie n te

y

n o

v ig u e ta s

e x p u e s to s y

a

5 5

m m

r e s p e c tiv a m e n te , a g re s iv o ,

y

e l

a la e n

p o r

lo s

to ta le s n o

la d e

p ie z a . la

y

h a b e r

r e f e r ir la c u rv a s

L o s

b r u ta

n i

v a lo re s

s e rá

h ic im o s

e n

p a ra

p o d e r

3 1 .2 .3 .

a

u n a

c o n v e n ie n te

f u e r z a

d e

e le g ir

p r e te n s a d o

e l

a lg o

v a lo r m a y o r,

e s tr ic to c o m o

( p u n to

A )

s in o

o tr o

P0B

in te m p e rie

o tr a s

p ie z a s ,

s i e l e le m e n to

v a lo r

c o m o

lo s c o rr e s p o n d ie n te

r e c u b r im ie n to s

y

la s

a, P0 y

=

[ 3 1 .5 6 ]

D e s e

o

e s tim a r

P,

te s a d o

c o n d u c to s

S i

b a s ta

g e n e r a l

a n te r io r

e s tá

p u e d e

a ® h ,m á x

© h ,m ln

ldc„j

£

[ 3 1 .5 7 ]

Fibra extrema en máxima compresión - B a jo

la s

a c c io n e s

d e

p r e te n s a d o

y

p e r m a n e n te s

o

c u a s ip e r m a n e n te s

Gc < 0 , 4 5 f A j

Figura 31-13

[3 1 .5 8 ]

C o n v a lo re s ■B a jo

la s

a c c io n e s

d e

p r e te n s a d o , p e r m a n e n te s

y

v a ria b le s

e s a

3 1 - 1 3 .a )). m á x im a

f u e r z a

c o rr e c to s E n

la s

é l,

ehmáx y

a l

d e

p r e te n s a d o

e c u a c io n e s v a lo r

c u a lq u ie r

P0 l e

s e

d e

c o n o c e

c o n d ic ió n

y a y

c o rr e s p o n d e

p o s ic ió n

e n tr e

e lla s

la

c u a n tía

y

e s p o s ib le

r e p r e s e n ta r e l p o líg o n o u n a d e

e x c e n tric id a d la

f u e r z a

d e

p la n te a r c o n d e f in itiv o

m ín im a

p r e te n s a d o

lo s

(F ig .

ehmin y u n a PoB c u m p l e

[ 3 1 .5 9 ]

1

686

V ale aq u í, re sp ecto al e m p le o d e E H E , la n o ta a p ie d e p ág in a d e 31.2 .4 .

6 87

la s

e c u a c io n e s

a u m

e n ta r á

E l c o m o

e l

v a lo r

v im

o s

d e

c o n d ic ió n

v a lo r

d e l

m

d e

a r m

a d u r a

la

e n

e l

c a s o

o m

d e

d e

te n s io n e s .

E n

ú ltim

r o tu r a

e n to

A p, p

a r m

o r

o

d e

r a z o n e s

a d u r a s

g e n e r a l

d e

p o s te s a s ,

M

in te r e s a

v a lo r

ehmáx

y a

F’

q u e

M

A \.c o s a

c a p a c id a d m

e l

l( .

e d ia n te

r e s is te n te , la

f ó r m

p u e d e

hetA ’ccos2 c c

e s tim a r s e ,

u la lu e g o

[31.61 A

eos2 c c

[ 3 1 .6 0 ] '

0

, 9 d f pd C o n

3 1 .3 .4

C A S O

E n

D E

e l c a s o

V I G A S

d e

v ig a s

P R E T E N S A D A S

p r e te n s a d a s , e n

D E

C A N T O

e s p e c ia l

e n

V A R I A B L E

p r e f a b r íc a c ió n ,

s e

d e l p r e s e n ta

a

c a s o

f le c to r la s h a

in d ic a d o a c tu a n te

e n

A r y A \.

a la s , d e

e n

e s ta b le c e r

la la

a

f ig u r a

3 1 .1 4

AA,

s e c c ió n

s u s

e n tr e

á r e a s , la s

y

d e

lla m

v ig a a n d o

d e

h0 a l

d e s p r e c ia n d o

r e s u lta n te s

c a n to c a n to

la s

F y F* d e

v a r ia b le . e n tr e

te n s io n e s

la s

c .d .g .

e n

te n s io n e s

S ie n d o

e l

e n

d e

a lm la s

a ,

M

e l

y

h e m

o s

d e b id a s

c o r r e g id o

a l

m

o m

lo s

e n to

v a lo r e s

f le c to r

d e

la s

te n s io n e s

c o r r e s p o n d ie n te

a

p r o d u c id a s la

a c c io n e s

p o r

la

v a r ia c ió n

e x te r io r e s .

v e c e s N

e l

e s to

c a n to

m o m e n to

la s

s e c c io n e s

d e

e l

e q u ilib r io

s e

a la s .

a t u r a lm

p r o d u c id a s d e

lo s

e n te

p o r

c .d .g .

d e

la

e s

la s

d e

te n s io n e s

s e

d e d u c e n

d e

n u e v o

te n s io n e s

in m

e n

c o r r e g i r

P

p r e te n s a d o

s e c c io n e s

la s

la s

n e c e s a r io

f u e r z a

e l

d e

la s

a la s

e d ia ta m

a

e n te

ta m

( F ig . la

b ié n

lín e a

p a r a

lo s

3 1 - 1 4 ) . d e

L la m

a c c ió n

e l c a s o

d e

v a lo r e s a n d o d e

c a n to

la

d e

la s

I, y l'¡ f u e r z a

d e

c o n s ta n te ,

te n s io n e s

la s

d is ta n c ia s

p r e te n s a d o ,

d e s p r e c ia n d o

a lm a

A

r ,p (

[ 3 1 .6 2 ]

l, + l ' \ )AC

i, p

o, o

+

l ’!

[ 3 1 .6 3 ] M

’,

b ie n

V ,P Figura 31-14 S i

a p lic a m

o s

la

te o r ía

d e

la s

p ie z a s

d e

[ 3 1 .6 4 ]

h,.A^.cos a

c a n to

c o n s ta n te

h Z ___ < 7 ..

=

M <7

=

---------------M

’r D e d e

M

a=

hA, E l

á r e a

A f

ta n to

F

=

—

—

y

¡\

r e a lm

e n te

a

la

d e

la

s e c c ió n

r e c ta

d e l

a la

in f e r io r

y

h0 eos

a

c a m

b io ,

( fig .

p a r a

e l a la

f u e r z a

e l

y

p o r

v a lo r

v á lid o

e n

e l

d e

e l

a la

(7cpts

v a lo r

v á lid o

c a lc u la d o

s u p e r io r

p a r a

e l

p a r a

a la

<7

e n

in f e r io r , e l

a la

p e r o

d e b id o

a

la

v a r ia c ió n

s u p e rio r.

s e r á

p -i, h0eos a

c

s u p e r io r , e l

á r e a

d e

s u

s e c c ió n

r e c ta

e s

A \ eos

a

y

s e

r e p a r te

e n

u n a

s e c c ió n

r e c ta

A ’t . eos

cc, l u e g o

e l b r a z o

ta n to

M h„cas a

688

e s

U
3 1 - 1 4 )

n o

p o r

y E n

n u e v o ,

c a n to ,

L a

c o r r e s p o n d e

M

[ 3 1 .6 5 ]

h„ A ’ cos a

l ’j P

[ 3 1 .6 6 ]

K K

689

www.libreriaingeniero.com i,p (7 Icp

Las acciones son las siguientes:

[31.67]

— h0 A ’c cos2 a

- C a r g a s

E n

a m

b o s

h o r i z o n t a l e n

e l

n o

a la

c a s o s ,

h a n

m

o m

s u p e r i o r

h a n

M

e n t o

r e q u e r i d o

y

r e s u l t a d o

P

f u e r z a

c o r r e c c i ó n

d e b id o

in c r e m

d e a

p r e t e n s a d o , l a

v a r i a c i ó n

e n t a d a s ,

e n

a m

la s d e

b o s

te n s io n e s c a n to .

c a s o s ,

e n

e l

p e r m

a l

L a s

te n s io n e a

p o r

e l

a n e n t e s

( e x c lu id o

e l

7 .5

k N

/ m

2 e n

v a n o

5 .5

k N

/ m

2

v o l a d i z o

e n

p e s o

p r o p i o

d e

l a

v ig a ) :

f a c to S -

( d e

e llo s ,

0 .5

k N

-

S o b r e c a r g a

d e

3 .5

L a

/ m

2

a c tú a n

a n te s

d e

t e s a r

y

c o r r e s p o n d e n

a l e n c o f r a d o

p e r d id o )

1 + tg2 a e o s 2

a

L o

a n t e r i o r

c o n d u c e

a

v a l o r e s

d e l

la d o

d e

la

s e g u r i d a d ,

d e b i d o

a l

h e c h o

d e

k N

la s

te n s io n e s

e n

e l

a lm

a .

G

U

Y

O

N

, c o n

b a s e

d e l

f a c t o r

e n

l a

c o m

p a r a c i ó n

d e

m

r e a l e s ,

r e c o m

E JE M P L O 31.1. d e c a l i d a d H -50. E

S e

i e n d a

d e s e a

e m

d im

p l e a r

e n

e n s i o n a r

lu g a r

la s

v ig a s

d e

la

1 + lg2 a f ig u r a

e l

E l

C e r r a m

horm igón

L o s

c o n

la s

l

a c e r o

e n

a r m

a d u r a s

a c tiv a s

e s t á

c o n s t i t u i d o

p o r

R e s i s t e n c i a

-

S e c c i ó n

a

c o r d o n e s

Y

s i m d e

u l t á n e a m

e n t e

e n

v a n o

y

v o l a d i z o ,

s in

q u e

s o b r e c a r g a s .

e n

b o r d e

d e

v o la d iz o :

1 0

k N

/ m

l

.1 0

d e

m

a y o r a c i ó n

( f a v o r a b le )

d e

yp =

y

a c c io n e s

0 .9 0

yg =

s o n

( d e s f a v o r a b le ) .

1 .3 5 S e

y =

y

1 .5 0 ,

s u p o n e n

y

u n a

p a r a

h u m

e l

e d a d

1 7 7 0

t r a c c i ó n ,

f p máx:

17 7 0 N /m m 2 150

tr a n s v e r s a l :

m

m

e l

m

d e l

b ie n te

7 0 %

e x tr e m

2

E l

tip o o

y

-

V

a l o r

c a r a c t e r í s t i c o

d e

la

c a r g a

d e

r o tu r a :

2 6 5

k N

-

V

a l o r

c a r a c t e r í s t i c o

d e l

l í m

i t e

e l á s t i c o

a l

0 .2 %

:

2 3 3

k N

-

V

a l o r

c a r a c t e r í s t i c o

d e l

lí m

i t e

e l á s t i c o

a l

0 .1 %

:

2 2 5

k N

-

P a r a

l a

3 2 - 2 0 b )

a

r e l a j a c i ó n

s e

a d o p ta r á

c u r v a

( C a p ítu lo

2 8

t e s a d o

d ía s .

I .

t e m

P o r

o p u e s t o

r e a liz a d o s ,

l a

a c tú a

a l t e r n a n c i a

p e r a t u r a

d e

2 0 ° C

c o n s t a n t e s

a

lo

l a r g o

d e

l a

v i d a

d e

l a

p ie z a .

c a r a c te r ís t ic a s : A

-

y —1

p r e te n s a d o

s i g u i e n t e s

i e n t o

c o e f i c i e n t e s

e s

r e la tiv a S 7

d e

1 + tg2 ( * 2

f a c t o r

3 1 - 1 5 .

s o b r e c a r g a

p o s ib i lid a d

u c h o s -

p r o y e c t o s

2 .

h a b e r e x i s t a

d e s p r e c i a d o

/ m

u s o :

s e

T ó m

s e

r a z o n e s

a l

e s e

/ i

q u e =

e l

t e s a d o

d e b e

r e a l i z a r s e

ú n i c a m

e n t e

d e s d e

v o la d iz o .

r e a l i z a r á

d e d u c e

c o n s tr u c tiv a s

a

e l

0 .1 9

y

lo s

5

d ía s

h o r m

i g ó n

k -

0 .0 1

d e

e d a d ,

t e n d r á Y

L a

u n a

i n s t a n t e

e n

r e s i s t e n c i a

p e n e tr a c ió n

d e

e l

q u e ,

d e l

c u ñ a s

e s

d e

8 0 % < 5 =

lo s d e 5

l a m

m

e n s a y o s p r e v i s t a .

3 2 )

D IA G R A M A T E N S IÓ N -D E F O R M A C IÓ N D E L A A R M A D U R A A C T IV A L U C E S D E V IG A S Y F O R J A D O S

~~ __________

—

2 5 . 0 0 ______________ . |_

1 0 .0 0

j

oo

ID

O O ID

Figura 31-15

E l

d ia g r a m

L o s

a

t e n s i ó n - d e f o r m

c o e f i c i e n t e s

d e

m

a c i ó n

i n o r a c i ó n

e s

d e

e l

la s

q u e

s e

m

u e s t r a

c a r a c t e r í s t i c a s

e n

l a

f ig u r a

r e s i s t e n t e s

d e

3 1 - 1 6 .

lo s

m

a te r ia le s

s o n :

690

S E C C IÓ N

-

P a r a

e l

h o r m

i g ó n :

-

P a r a

e l

a c e r o :

yc =

D E L A V IG A

1 .5 0

y = \.\5

Figura 31-16

Figura 31-17 691

1) PREDIMENSIONAMIENTO P o r s e

in d ic a

ta n te o s e n

la

p r e d im e n s io n a m o s

f ig u r a

la

1.31 ESFUERZOS

s e c c ió n

tr a n s v e r s a l,

d e

lo s

q u e

s e

d e d u c e

la

q u e

3 1 -1 7 .

LEYES DE M O M ENTOS FLECTORES

1.11 CONSTANTES MECÁNICAS DE LA SECCIÓN BRUTA Acj,

=

0 .5 4 5 0

y, b

=

- 6 5 0

y2 b

=

6 5 0

I„

= 0 .1 1 2 6 4 1

Wl b

= - 0 .1 7 3 2 9 4

Wl b

= 0 .1 7 3 2 9 4

m 2

m m

m m

a)

m 4

LEVES DE MOMENTOS FLECTORES DEBIDAS AL P ESO PROPIO DE LA VIGA M AS CARGAS PERMANENTES ACTUANTES ANTES DEL TESADO

m 4

m 4

S X 02=46.83 kN/mí P e s o

p r o p io

d e

la

v ig a

=

1 3 .6 3

1.21 CARGAS P e s o

p r o p io

| m á s

c a r g a s

p e r m a n e n te s

e x is te n te s

g, = C a r g a

m u e r ta

e n

v a n o :

I 60

k N /m

g 2=

a n te s

d e l

[ ^v,0fF0a=3232 mkN

10.30

te s a d o :

b ) LEVES DE MOMENTOS FLECTORES DEBIDAS A LA CARGA PERMANENTE 1 3 .6 3

+

0 .5 0

6 .0 0 - 7 .0

=

• 6 .0 0

4 2

=

1 6 .6 3

k N /m

Mgtq +0j+g^=-39B1.5 mkN

k N /m

q =21.00 kN/ml C a r g a

m u e rta

e n

v o la d iz o :

S o b r e c a rg a :

g2 = 6 . 0 0

- 5 .0

=

q

• 3 .5

= 2 1 .0 0

= 6 .0 0

3 0 .0 0

III! i m i D i r m i i m m i D m m i \ i m m m m i

k N /m

s ,+ 0 z- 58.63 kN/mt

k N /m l

' C a r g a

e n

p u n ta

d e

v o la d iz o :

1 0

■ 6 .0 0

=

6 0 .0 0

60 kN

m m km m

...................... ........... -

A ' .................-

-

--

-■

k N

|

1 0 .5 0

j.

Mv.q + 0,<-0j=:4389-6mltN

C) LEVES DE MOMENTOS FLECTORES DESLOAS ALACARGA PERMANENTE V SOBRECARGA

Figura 31-/8 14) ESTIMACIÓN DE LA FUERZA INICIAL DE PRETENSADO P0 Y SU EXCENTRICIDAD P a r a

e s tim a r

e x c e n tr ic id a d s u p o n e m o s 1 0 %

e n

la

u n a s

c o n s id e r a n d o la s

e n c ie r r a n

1

692

v a lo re s

r e f e r id a

d e

a

la

p é r d id a s

d e

s e c c ió n

d e l v o la d iz o , y

p a r a

lo s

d e

d e l 3 5 % la s

la

la

f u e r z a

m o m e n to

p o s ib le s

d e

d e

la

eb,

d e e n

d e

s e c c ió n

o b te n e m o s

v a n o

d e l

a c u e rd o b r u ta lo s

s e c c io n e s

a l a n c la r la

y

y

P0,

p r e te n s a d o , la s

p r e te n s a d o

in f in ito . D e d e

p r e te n s a d o

s o lu c io n e s

in ic ia l

b r u ta ,

m á x im o

a tie m p o

c a r a c te r ís tic a s

p é rd id a s

f u e r z a

s e c c ió n

1 5 %

c o n la

a r m a d u r a

e n

e l

s u

d e l

a rr a n q u e

e l a p a r ta d o

e s tim a c ió n

s ig u ie n te s

y

c rític a s ,

3 1 .2 .3 .,

a d o p ta d a

p o líg o n o s

q u e

(Pg,eoy .

L as c o n d icio n es a ’, b ’, c ’, d ’ y e ’ son las q u e se in d ican en el ap artad o 2.4.

693

www.libreriaingeniero.com P O L ÍG O N O D E S O L U C IO N E S

-

(P o ,e b )

S e c c ió n

d e

a p o y o :

1 /

P0 = 0 . 0 0

SECCIÓN DE VANO

eb = P 0 =

m in {

D is p o n e m o s u n a

( e s to

s u p o n e

2

u n a

0 ,7 5

• n

v a in a s

■ 2 6 5 ;

d e

- 5 0 0

0 ,9 0

d is p u e s ta s

o c u p a c ió n

la

P0 ~

1 6 5 ;

- 2 3 3

v e r tic a l

v a in a

k N

m m

■ n

e n

6 0 6 0

d e

} =

d e

5 0 .9 %

6 0 6 0

< j) 7 5

n =30

= >

m m

c o n

1 5

te n d o n e s

c a d a

).

1.4) TRAZADO DE LOS TENDONES D is p o n d r e m ( v é a s e

la s

-

e l p u n to

E n

-

-

(P o ,e b )

SECCIÓN DE APOYO

o s

4 9 0

E n

- E n

u n

f ig u r a

- E n

1 / P o (P o e n k N ) PO L ÍG O N O D E S O L U C IO N E S

la

tr a z a d o

p a r a b ó lic o

q u e

p a s a r á

p o r

lo s

s ig u ie n te s

p u n to s

3 1 - 2 0 ):

s e c c io n e s

d e

m

e x tr e m a s ,

o m

e n to

c o n

e x c e n tr ic id a d

m á x im o

d e

v a n o

n u la .

( p u n to

C ),

c o n

e x c e n tr ic id a d

m m

a p o y o

( p u n to

e l p u n to

d e

m

D), o m

c o n

e x c e n tr ic id a d

e n to

n u lo

( p u n to

5 0 0

B) ,

m m

c o n

e x c e n tr ic id a d

n u la .

D

D e

a c u e r d o

T R A M

1 /P o (P o e n k N )

C u a lq u ie r a p a r

-

d e

d e

v a lo r e s

S e c c ió n

d e

lo s

p u n to s

(P0, eh) v a n o :

e n

1 /

in te r io r e s

p r in c ip io

P0 =

m

ín { 0 ,7 5

- n

lo s

■ 2 6 5 ;

p o líg o n o s

PQ=

0 .0 0 0 1 7 0 ;

eh = P 0 =

d e

c o r r e c to s .

- 4 9 0

0 ,9 0

■ n

s o m

T o m a m o s

5 8 8 2

b r e a d o s

u n o s

c o r e s p o n d e r ía

p u n to s

tg c q

= >

n

=

694

e n

3 1 .2 .6

te n e m o s :

) 2

- (- 0 .4 9 0 )

- X 2 =

= '

- / 2

(1

-

0 .0 0 4 9

• X2

0 .6 0 ) 2 - 2 5 .0 0 2

a

k N

5 8 8 2

r e c o g id a s

A 1y A 2 1 =

- 2

-------------

<-9-49.9).—

-

0 .6 0

)

=

- 0 .0 9 8 ;

cq

=

- 0 .0 9 8

r a d

- 2 5

2 9

T R A M

l

- a

(1

-

u la s

X2

m m

- 2 3 3 )

f ó r m

= (1

u n

la s

AB

O

y

Figura 31-19

c o n

N o to m a m o s los p u n to s A l y A 2 e s tric to s d a d o q u e se tra ta d e u n ta n te o p re lim in a r, y la c o n s id e ra c ió n de las p é rd id a s re a le s y las c a ra c te rís tic a s d e la s s e c c io n e s n e ta u h o m o g e n e iz a d a ( se g ú n el c a so ) p o d ría c o n d u c ir a q u e n o se c u m p lie ra n a lg u n a d e las c o n d ic io n e s n e c e sa ria s en el c á lc u lo d e fin itiv o q ue sig u e.

O

BC - (- 0 .4 9 0 )

y=^ r J .c_ x2 = (a - f i ) 2 ■l2

- x 2 = ( 0 .6 0

-

0 .0 0 4 9

- x 2

0 .2 0 ) 2 - 2 5 .0 0 2

695

P om =

- 0 .4 9 0

; = 0.098; gó = 0.098 rad

tg 0 2 = '2 ■ ( 0 .6 0

T R A M

-

0 .2 0

)

n

_

5 9 6 2 .5

e -0.19(2- ^ - 13.324+o.i-n.m)

-

-

5491.4

kN

■ 2 5

(AP3)a =

BD

O

et

Po e

5 9 6 2 .5

-

5 4 9 1 .4

=

kN

4 7 1 .1

- ( - 0 .5 0 0 ) - x

fP ■ l2

-

2 = 0.020

■x

2

E n

la

s e c c ió n

d e

v a n o

( s e c c ió n

C ),

0 .2 0 2 - 2 5 .0 0 2 ( 1 3 .3 2 4

-

1 0 .5 0 0 )

¿ p g a j = -2

t

0 .5 0 0 - =

■

0 . 100 ; 03

=

4 7 1 .1

=

kN

9 9 .8

( 1 .7 %

)

1 3 .3 2 4

0.100

( 1 - 0 . 5 0 ) - 2 0 a .3 )

P é r d id a s

p o r

C o n s ta n te s

m

a c o r ta m

ie n to

e c á n ic a s

d e

e lá s tic o

la

d e l

s e c c ió n

h o r m

n e ta

ig ó n

C:

e n

2) COMPROBACIÓN - A

2.1) FUERZA INICIAL DE PRETENSADO P

0=

m

in ( 0 ,7 5

■ n

■ 2 6 5 ;

0 ,9 0

■ n

■ 2 3 3 }

=

5 9 6 2 .5

kN

p o r

r o z a m

ie n to

e n

e l

c o n d u c to

A P l = P 0 - ( 1 - e ‘# a+k*>) -

x

=

1 0 .5 0

-

a -

A P X=

m

0 .0 9 8

=

-K j

=

m m

0 .1 1 0 4 8 5

- r0

=

0 .4 5 3 9 2 9

~ to

=

- 4 9 8 .1

: 5 9 6 2 .5

-

2 2 5 .6

4

m

- 0 .1 6 7 8 8 5

0 .1 7 2 1 2 2

4

m

m

m

4

m m

-

9 9 .8

=

r a d

■ (1

5 9 6 2 .5

-

R e s is te n c ia

e

-o -W O -o n + q .o i-ío s)) =

2 2 5 .6

k N

P é r d id a s

d e b id a s

a

la

p e n e tr a c ió n

d e

d e l

h o r m

ig ó n

•

te s a r :

0 .8 0

- 5 0

=

4 0

N /m

m

2

■ 4 0 ,/3

=

2 9 0 7 0

N /m

m

l

^

2

c u ñ a s 1 9 0 0 0 0

1000

a l

( 3 .8 % )

E 'cJ = 8 5 0 0 a .2 )

m m

6 4 1 .9

=

2

m

- 6 5 8 .1

-lo

CN

P é r d id a s

y 2.o

0 .5 3 6 2

11

Pérdidas instantáneas de fuerza de pretensado a . l )

=

1

a)

=

- y 1.0 ■

2.2) COMPROBACIÓN DE LA SECCIÓN DE VANO

,

,

c

j

+

8 - A p -E p

1 = _

- S = 5 mm -

EP ~

1 9 0 .

-

AP =

3 0

- a

0 0 0

N

/m

■ 1 5 0

=

4 5 0 0

= 0 .0 9 8

5 6 3 7 .1

p

+

m

/

0 .5 3 6 2

\

^

m

0 . 0 9 8 - 2

+

A P ,= A p -m p - a cp- ( - ^ L

2

m

0 .1 0 0

=

1 0 0 0 - 5 - 4 5 0 0 -

3•

2 3

N/mm2

= 1 3 3 2 4

0 3Q4 0 .1 9

)

=

4 5 0 0

- 6 .5

-2 3

■

* 1 0 2 -

3 0

-3 =

3 2 5 .2

kN

( 5 .5 %

)

/

1 9 0 0 0 0

• (

^

Z 3 5

696

=

0 .3 9 4

\

• 1 0

-1 0 -3 /

2

AP,

5 9 6 2 .5

M

0 .4 5 3 9 2 9 2

m

m

b)

Tensión en el hormigón en el instante de tesado

+ 0 .0 1 )

Pt = 5 6 3 7 .1

-

3 2 5 .2

=

5 3 1 1 .9

kN

697

www.libreriaingeniero.com f

b.l) Fibra extrema inferior:

—

= 0 .4 0

L P(5)

= 0 . 8 - ( 1 - 0 . 4 )

=

0 .4 8

S ) = / 3 ( 5 ) + ( p 0 1 .( p 0 2 ( ) 3 „ - ) 3 j ) + 0 . 4 . / 3 ‘ ^ 5 = 0 . 4 8 + 2 . 0 . 1 . 3 7 ( 1 . 0 - 0 . 1 7 ) + 0 . 4 - 0 . 4 8 = 2 . 9 5

5 3 1 1 .9 c r , =

/ 0 . 4 9 8 1 ■0 . 6 5 8 1

0 .5 3 6 2

o cJ =

b .2 )

\

9 1 6 .7

1 . 1 ------------------------------ 1 -- h ----------------------------------------------------- 1 0 ~ 3 h -------------------------------------- 1 0

F ib r a

I

N/mm 2

2 3

e x tr e m a

j

0 .4 5 3 9 2 9 2

<

0 .6 0

- (0 .8 0

-5 0 )

=

2 3

N /m m 2

c .2 )

e0¡

=

N/mm 2

2 4

CTc2=0-9' Í ' ( 1+^ 2 ) +? L r

/

W

5 ) =

-

0

9

c

----------------------------- 1

'

0 .5 3 6 2

0 .4 9 8 1

c .3 )

• 0 .6 4 1 9

\

------------------------------------------------------ - 1 0 - 3 +

\

0 .4 5 3 9 2 9 2

( / L

e n

0 .0 3

1.0

e l h o r m ig ó n

a l

n iv e l

) %

9 1 6 .7

^

-------------------------------------1 0 ‘ 3 =

/

n

xTf

0

N /m m 2

C á lc u lo

%

= ( 1 .0

- 0 .0 3 )

-(-3 2

• 1 0 -5) - 0 .9 7 =

- 3 0 1 .M

0 «

a c u e rd o

d e

c o n

0 .1 7 2 1 2 2

d e l c .d .g .

d e

la s

a r m a d u r a s

4 g pr

la

f ig u r a

3 2 ~ 2 0 b )

p

=

1 .7 %

„

1 .7 4 c r

T e n s ió n

0 .9 7

- &

c o rr e c to .

b .3 )

-3 2 -1 0"5

=

,.

D e /

£ j ° ° . 5 )

=

J3 _ =

s u p e rio r:

5 3 1 1 .9

d e

=

£ cs( ~

a

C á lc u lo

- 0 .1 6 7 8 8 5

pr

, r,

=

4 5 0 0

a c tiv a s :

5 3 1 1 .9

1 0 0

2 0

„

N mm1

4 5 0 0

• 1 0 '6

q = -----------------------------------=

8 .4

■ 1 0 '3 ( c u a n t í a

g e o m é tr ic a )

0 .5 3 6 2

„ _ m . 2 ! M Í 1.F 4/? A V io-. +A A A !2 í !..1„.,=9Nw cp

'

c)

\

0 .5 3 6 2

0 .4 5 3 9 2 9 2

)

0 .1 1 0 4 8 5

D e

G T -7 8

Pérdidas diferidas de fuerza de pretensado

c .l )

C á lc u lo

R e s is te n c ia

G T -7 9

m

d e l h o r m ig ó n

a

5

d ía s :

4 2 .5

s e

d e d u c e

1 9 0 0 0 0 ------------------------~

p

(p(°°.S)

d e

y

q u e

%

=

0 .7 2

, g

3 1 3 9 3

N /m m 2 0 .1 0 5 0 3 1

E \p ) £ V

( 2 8 )

a=

=

8 5 0 0

2 9 0 7 0

-----------------------------=

N /m m 2

0 .4 4 2 6

m

0 .5 3 6 2 =

1 .5 0 ;

e s p e s o r

• 4 0 1 /3 =

8 5 0 0

%¡

=

.• ■ f ic tic io :

• 5 0 1 /3 =

3 1 3 1 3

2 .0

APdif=4 5 0 0 ef = a

2 A = »

%2

= 1 - 3 7

f t

= 0 .1 7

/ L

=

1-0

PL*

=

1-0

N /m m 2

, CA 1 .5 0

2

• 0 .5 4 5 0

_

n „ 0 .3 3

m m

-6 - ’ . 3 - 9 5 9 . + 1

.1 9 ,0 0 0 0

• ,3 0 U

+ 6 - 8 . 4 - 1 0 - 3 - ( l + ( - Q -|

_ j _ l |) l ± M

| ^|

- |

0 3 2 0 ----------------- . 1 o - 3 = 7 7 6 . 7

k N (1 3 .0 %

)

] ■ ( ! + 0 .7 2 - 2 .9 5 )

4 .9 7 0 5

d) Tensiones a tiempo infinito Fuerza de pretensado a tiempo infinito:

698

P

.

=

5 3 1 1 .9

- 7 7 6 .7

=

4 5 3 5 .2

k N

69 9

Tensiones bajo cargas permanentes: T e n s io n e s

e n

O-

-

la

f ib r a

0 .

9 —

1 A

T e n s io n e s

e n

la

ÁP3 = 4

in f e r io r :

+

-

’c .0 \

f ib r a

Í

^

K

2

^

+

^

^

í ^

=

0 N

/ m

m

b)

2

2)

, 5 0 0

• 6 .5

• 2 3

0 . 4 5 - / c k i2 8 = 2 2

Pt =

5 9 6 2 .5

b . l )

F ib r a

-

5 8 5 .5

e x tr e m

-

a

a

=0

f ib r a

P .9

A

1 ’

K o\

a 2=

1 .1

e n

+ —

^

\

(

la

f ib r a

■— ( 1 + A *J

=

c o m

r?

5 0 5 1 .8

p r im

I

5 0 5 1 .8

O x=

y ’i o l 2 . O

2

+

kN

( 5 .5 %

)

kN

id a :

li0

W

/

0 .5 0 8 1

■ 0 .6 5 8 1 \

1 . 1 --------------------------------- 1 --+ ---------------------------------------------\

acl = 2 2 N/mm2 < 0

+ M _ £ í ------------« 2 —

/

i —

= _ 6

N

/m

m

? >

8 3 1 .5

* 1 0 ’3 +

0 .4 5 3 9 2 9 2

/

--------------------------------

- 1 0 -3 = 2 2

N/mm2

- 0 .1 6 7 8 8 5

( O 2 /

- ( 0 .7 5

■ 5 0 ) =

N/mm2

2 3

W o .i

s u p e r io r :

í _ i Z j ? i L |

.6 0

f c k t> 2 8

b .2 )

T e n s io n e s

3 2 5 .2

in f e r io r :

(

• —

3 2 5 .2

m á s

0 .5 3 6 2 l a

I 1 0 - 3=

Tensión en el hormigón en el instante de tesado

N/mm*

Tensiones bajo carga total: e n

1 \

s u p e r io r :

(T, = U . N [ i + í 2 Z Í £ ) + M ^ +M J l = 13 N W < *' A*,0\ ( r ’0P ) Woa

T e n s io n e s

3 0 -

• |

+ N N N //L W0,2

2 0 N

/m

m

2< 0 . 6 - f c k 2 g = 3 0 N

/m

m

F ib r a

e x tr e m

a

m e n o s

ac2 =

0 .9

O*

0 . 9 ------------------------------- 1

• - p

- (

1

+

i ^

^

c o m

+

^

p r im

id a

o

tr a c c io n a d a .

í L

2

5 0 5 1 .8 =

0 .5 3 6 2

/

0 .5 0 8 1 * 0 .6 4 1 9 )

_

8 3 1 .5

--------------------------------------------------------- T 0 - 3 -+ ----------------------------------- 1 0 ' 3 =

\

0 .4 5 3 9 2 9 2

/

0

N/mm2

0 .1 6 3 4 0 8

7 31 COMPROBACIÓN DE LA SECCIÓN DE APOYO a)

ac2 =

Pérdidas instantáneas de fuerza de pretensado a .l )

P é r d id a s

E n

e s te

Á P X= a .2 )

p o r

c a s o ,

x

5 9 6 2 .5 *

P é r d id a s

E n

r o z a m

e s ta

=

(1

d e b id a s

s e c c ió n ,

ie n to

2 5 .0 0

-

e n

m

e l c o n d u c to

y

a

=

0 .0 9 8

b .3 ) +

0 .0 9 8

e ' ° - I 9 í a 2 9 4 + 0 '0 1 '2 5 0 ) ) = 5 8 5 . 5

a

l a

a l

p e n e tr a c ió n

s e r

dc

<

2 5 .0 0

d e

m

+

k N

0 .0 9 8

( 9 .8 %

=

0 .2 9 4

)

P é r d id a s

p o r

a c o r ta m

C o n s t a n te s p r á c tic a m

P2 =

¡y _ cp

700

m

e n te

5 9 6 2 .5

-

ie n to

e c á n ic a s c o n

la s

5 8 5 .5

=

d e

e lá s tic o

d e la

l a

s e c c ió n

5 3 7 7 .0

\

0 .4 5 3 9 2 9

j

=

1

. 1

P

ig ó n

a l

n iv e l

d e l

c .d .g .

d e

la s

a r m a d u r a s

a c tiv a s :

/

--------------------------- 1 0 .5 3 6 2

0 .5 0 8 1 2

\

- ----------------------------------

I

,

2 9 3 1 .5 * 0 .5 0 8 1

* 1 0 ‘3

0 .4 5 3 9 2 9 2 /

* 1 0 '3=

1 0

N/mm2

0 .1 1 0 4 8 5

( s a lv o

Pérdidas diferidas de fuerza de pretensado

ig ó n

n e t a

e0, q

D:

e n u e

e s

c o in c id e n

- 5 0 8 .1

6 - 2 .9 5 - 1 0

APdif = 4

m m ) .

+

1 9 0 0 0 0 - 3 0 1 .l- 1 0 - 6+ 0 .8 0 - 2 0

5 0 0

1 0 -3 = 8 3 1 .1

fc /V

( 1 3 .9 %

)

l+6-8.4-10-3- | l + | ^ ~ J 2J-(l+ 0.72-2.95)

k N

Í ^ í i +( ^ ^ W 0 .5 3 6 2

C

e l h o r m

ÁP2 = 0 .

d e l h o r m

s e c c ió n

e n

5 0 5 1 .8

a

c) a .3 )

T e n s ió n

r a d

c u ñ a s

,

N/mm2 > 0 N/mm2

0

=

2 3 N /m m ?

d)

Tensiones a tiempo infinito Fuerza de pretensado a tiempo infinito:

701

www.libreriaingeniero.com P. =

5 0 5 1 .8

-

8 3 1 .1

-

4 2 2 0 .7

R esum en de pérdidas:

k N

S e c c ió n

Tensiones bajo cargas permanentes: T e n s io n e s

a cl

=

e n

0 .9

l a

f ib r a

•—

í

m

c o m

p r i m

id a

o

S e c c ió n

d e

tr a c c io n a d a :

4 2 2 0 .7

(-0.5081)-(-0.6581) \

/

0 .5 3 6 2

\

(

0 .4 5 3 9 2 9 ) 2

2 9 3 1 .5

/

v o la d iz o

a) Hasta el tesado:

( r ’0)2 j

<*ci = 0-9 ------------- 1+--------------------------- *10-3+

d e

a r r a n q u e

v a n o

P é r d id a s

p o r

r o z a m

ie n to

P é r d id a s

p o r

p e n e tr a c ió n

P é r d id a s

p o r

a c o r ta m

e n

e l

3 .8 %

9 .8 %

1 .7 %

0 .0 %

5 .5 %

5 .5 %

1 1 .0 %

1 5 .3 %

2 4 .0 %

2 8 .3 %

c o n d u c to :

1

A 'r A ^

e n o s

d e

P é r d id a

to ta l

h a s ta

e l

ie n t o

d e

c u ñ a s :

e lá s t ic o

d e l

h o r m

ig ó n :

te s a d o :

-10-3= l N /m m 2 b) Pérdidas totales a tiem po infinito:

- 0 .1 6 7 8 8 5

Tensiones finales en la arm adura, a tiempo infinito: T e n s io n e s

e n

la

f ib r a

m

á s

c o m

p r im

id a : E n

la

s e c c ió n

"C %-* 1 a

(

2 J

O

d e

upf -

v a n o :

1 0 0 7 .8

N/m m 2

r í a o r r o 'n m i O

Woa NOTAS:

4 2 2 0 .7

/( “0 .5 0 8 1 ) * ( 0 .6 4 1 9 ) \ 2 9 3 1 .5 - ) ' 3 + ----------------------------------- - l o

L±

2

, l +

\

0 .5 3 6 2

(

10

j

0 .4 5 3 9 2 9 ) 2

-3

1.

S e h a r e a liz a d o e l p r e d im e n s io n a m ie n to c o n la s c o n d ic io n e s lím ite d e te n s io n e s d el A C I. C o m o h e m o s d ic h o , se r e a lic e e l c á lc u lo d e f in itiv o p o r la N o r m a A C I o p o r E H E , e s te s u e le s e r el

0 .1 7 2 1 2 2

m é to d o m á s p rá c tic o d e p re d im e n s io n a m ie n to . a c 2 = 1 2

N

/m

2

m

<

G

N/mm 2

.4 5 /cW 8= 2 7

2.

P o r s u p u e s to , u n a v e z p r e d im e n s io n a d a la fu e r z a , la c o m p r o b a c ió n p u e d e r e a liz a r s e d e a c u e rd o c o n E H E , a u n q u e e n el e je m p lo h e m o s e le g id o la c o m p r o b a c ió n ta m b ié n s e g ú n la n o r m a A C I.

Tensiones bajo carga total: T e n s io n e s

e n

la

f ib r a

m

3.

e n o s

c o m

p r i m

id a

o

C o m o p u e d e v e rs e , las te n s io n e s e n la f ib r a e x tr e m a a l te s a r r e s u lta n 0 en lo s d o s c a s o s , lo c u a l in d ic a q u e p u e d e r e d u c ir s e la s e c c ió n h a s ta a lc a n z a r la s tra c c io n e s a d m is ib le s . C o m o e je m p lo

tr a c c io n a d a :

p o d r ía tr a ta r d e re d u c ir s e lig e r a m e n te e l a n c h o d e la c a b e z a s u p e r io r (m u y p o c o p u e s l a in fe rio r e s tá y a e n c o m p r e s ió n lím ite a l te sa r).

0 .9 —

11

A

4.

’c .0 \

( ^

2

’J

/

E l ta n te o d e M v d e a c u e rd o c o n [3 1 .3 5 ] r e s u lta M y = 0 .9 -d-Ap f pd = 0 .9 -(l-3 0 0 -0 .1 6 0 )-3 0 -2 6 5 = 8 1 5 6 .7 m k N

W 0 il

qu e con

I

4 2 2 0 .1 (T .

=

( - 0 .5 0 8 1 ) - ( - 0 .6 5 8 1 ) \

0 . 9 ----------------------- 1 + - --------------------------- —

\

0 .5 3 6 2

(

-------------------------

0 .4 5 3 9 2 9 ) 2

- 1 0 - 3 + ---------------------------------T

j

0

-3

- 0 .1 6 7 8 8 5

= 4 3 6 3 .2 m k N y M qd = 1 7 3 6 .4 m k N e n la s e c c ió n m á s d e s f a v o r a b le , c u m p le

h o lg a d a m e n te .

3 9 8 1 .5

5.

A c o n tin u a c ió n d e l c á lc u lo r e a liz a d o , é s te d e b e c o m p le ta r s e c o n lo s s ig u ie n te s : E s ta d o s lím ite ú ltim o s :

c rc l =

- 5 N / m

T e n s io n e s

2 > / círí>28

m

e n

la

f ib r a

m

á s

c o m

p r im

id a :

F le x ió n :

V e r c a p ítu lo 3 6 .

C o rta n te :

V er c a p ítu lo 3 9 .

Z o n a s d e a n c la je :V é r c a p ítu lo 5 7 . .

u

•

E s ta d o s lím ite d e se rv ic io :

1

(

(r\P)

W0(2

F is u r a c ió n ( s i se d e s e a v e r if ic a r c o n E H E ) : V er c a p ítu lo 4 3 . D e fo r m a c io n e s : V e r c a p ítu lo 4 8 .

a

=

1.1

4 2 2 0 .1

/

• -------------------0 .5 3 6 2

a c2 =

702

1 8

N

/m

m

2

\

<

( - 0 .5 0 8 1 ) - ( 0 .6 5 8 1 ) \

1+2 -------------------- —

-------------------

( 0 .4 5 3 9 2 9 ) 2

4 - 10 - 3

j

2 +

3 9 8 1 .5 -----------------------------------

10-3

0 .1 7 2 1 2 2

0 .6 fckn=30 N/m m 2

703

CAPÍTULO 32

MÉTODO DE LOS ESTADOS LÍMITE Y OTROS MÉTODOS DE CÁLCULO. CARACTERÍSTICAS DEL HORMIGÓN. CARACTERÍSTICAS DE LAS ARMADURAS. INTRODUCCIÓN DE LA SEGURIDAD EN EL CÁLCULO

32 .1

CO NCEPTO S G ENERALES SO BRE LO S M ÉTO DO S DE C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S D E H O R M IG Ó N T o d o

g e n e r a l

lo s

é to d o

d e

p r o y e c to ,

C o n c e p c i ó n

b )

E s t a b l e c i m

c )

E l e c c i ó n

d )

I n t r o d u c c i ó n

e )

C á l c u l o

f )

D

i m

g )

D

e s a r r o l l o

o s

a ñ o s

l a

l o s

d e

la s

d e

h o r m

s ig u i e n te s

i g ó n

e ta p a s

s e

in s e r t a

e n

u n

p r o c e s o

p r in c i p a le s :

m

la s

a c c io n e s

a te r ia le s

l a

s e g u r i d a d

s o l i c i t a c i o n e s

i e n t o

d e

lo s

d e

s e c c io n e s

d e ta ll e s

h a n

y

p ie z a s

c o n s t r u c t i v o s

d u r a b i l i d a d ,

c o n d i c i o n a d a s s e

e s t r u c t u r a s

p r e n d e

e s t r u c t u r a

d e

d e

la s

e n s i o n a m

e n t e

c o m

i e n t o

f u n c i o n a l i d a d ,

f u e r t e m

ú lti m

d e

d e

d e

c á l c u l o

q u e

a )

L a e s tá n

m

d e

p o r

r e a l i z a d o

e c o n o m l a

í a

y

e f i c a c i a

a v a n c e s

im

c u a l i d a d e s c o n

q u e

p o r ta n te s

s e

e s t é t i c a s r e s u e l v e n

e n

la s

d e

l a

e s a s

e ta p a s

b )

e s t r u c t u r a e ta p a s . a

f ) .

E n S in

705

www.libreriaingeniero.com e m

b a r g o

n o

g e n e r a l s o b r e

y

la

d e b e

a l

o lv id a r s e

d e s a r r o l lo

c a lid a d

f in a l

d e

d e

q u e

lo s

l a

la s

e ta p a s

d e ta ll e s

a )

y

g ) ,

c o r r e s p o n d i e n te s

c o n s tr u c tiv o s ,

tie n e n

u n a

im

a

la

c o n c e p c ió n

p o r ta n c i a

m

32.2 IN T R O D U C C IÓ N D E LA SEG U R ID A D

e d u la r

e s tr u c tu r a . 3 2 .2 .1

A

n te r io r m

esfuerzos

e n te

h e m

a c tu a n te s

e n

o s

e s tu d ia d o

u n a

s e c c ió n

e l

p r o c e s o

d e

c u a lq u ie r a ,

c á lc u lo

c u y o

d e s tin a d o

c o n ju n to

f o r m

a

c o n o c e r

L a

la solicitación

a

la a c tu a n te

e n

e s ta

s e c c ió n .

L a

s o li c it a c ió n

a c tu a n te

e n

u n a

s e c c ió n ,

d e b e

s e r

m

E L

C O

N

e n o r

n e c e s id a d

p é r d id a

d e

la

q u e

la

c a p a c id a d

r e s i s te n t e

d e

d ic h a

s e c c i ó n 1. E n

lo s

d if e r e n te s

c a p ítu lo s

s e

lo s

d is t in to s

tip o s

y

e s q u e m

a s

e s tr u c tu r a l e s

y

s u s

c a m

p o s

d e

S E G

U

d e

in te r c a la r

c a p a c id a d

u n

s o m e s f u e r z o s

q u e m

s e

h a n

é to d o s

p o r s in

d e

e m

d o s

e je m

p l o s ,

d e l

o

h e m

á s

m

e n

a

lu e g o

u n

la

e l

p la n te a m

f le c to r e s , tie n e n a d a m

e l

o b v io

q u e

e c o n ó m

e le c c ió n

c á lc u lo ,

la

d e l

la

o d e lo s

e l

e s tr u c tu r a l

m

d ir e c to n i

d e

la

l a

d e

s o n

m

la s

d e f o r m

c o n c e p c ió n la

ía

a

d e

o s

ló g ic o ,

s ie m

p r e

a u n q u e

m

s u

e s

q u e ,

s o lu c ió n

d ic h o ,

e s tr u c tu r a l

s e r á

lo s

u n a

id e a

e s tu d io s a

d e

e n to s y

e tid o

a

A

-

la r g o

y

D

m

d e l

u y

e s d e

p u e d e n

-

d e s a r r o l lo

d iv e r s o s

e l

p u n to

la

in tu itiv a .

p r e li m

in a r e s

s e g u r i d a d

e s e n c ia l

l a

N

d e

la s

e s

e r a

e s

e s

d e s a c e r ta d a ,

á s

c o s to s a

e l

lin e a f

l

d e l

lo s

m

d e

v is t a

h o r m

é to d o s

c á lc u lo

d e

d e l

d e

no lineal ,

a l

c o n s id e r a r

r e s i s te n c ia ,

D

e s d e

p r o d u c ir

E l c o n c e p to

e s

n a d a

e n ta l

y

P U

G

p a r a

S L E Y

s u

( 3 2 .3 )

d e

d e l a

M

O

S L E Y

e s ta b i lid a d

( 3 2 .4 ) ,

f u e r z a

H,

h o r iz o n t a l

d e

a c tu a n te

u n

q u e

e n

p r is m

s e

s u

a

p la n te ó

( f ig .

y a

c e n tr o

d e

3 2 - l a ) ) ,

e n

1 8 4 3

g r a v e d a d

d e

e l

N

p e s o

y

G .

n o

s e

l a

q u e

m

p r im u y

s u q u e

s o n

la

a)

o r d ia l

b)

Figura 32-1

r e f in a d o

Figura 32-2

c o r r e s p o n d ie n te

h a y a

r e a liz a d o

ta n

ig ó n

a r m

c á lc u lo

a d o ,

h a s ta

s u

e s ta d o

a c tu a l,

h a n

e l

e l

c o n d ic io n e s p r is m

a

e lá s t ic o s

e l

d e

e s ta b l e c im

ie n to

d e

lo s

e s f u e r z o s ,

o

lo s

a

c o m

p o r t a m

c lá s i c a s

n u e v o

lo s

m

d e

é to d o s

la

s e g u r i d a d ,

lo s

m

lo s e n

m la

é to d o s f o r m

p u e d e n

a c ió n

d e

c o r r e s p o n d e r r ó tu la s

lo s

p u e d e n

m

a te r ia le s ,

y

d iv id i r s e

e n

e n

d e

v is t a

d e

m

é to d o s

d e

d e l

c á lc u lo

f le x i ó n

y

d e c o m

s e c c io n e s , p r e s ió n ,

e n

d e

e q u ilib r io ,

o s

p a r ti c u la r

p o r

h a b la r

lo

d e

e llo

s e

a m

p lía

a

E s ta s

q u e

s e r á

d e s a r r o l la d o

e n

lo s

c a p ítu l o s

¿

e c u a c io n e s

r e s u l ta

f á c il

s u b e s tim

a d o

p r e v is to .

e l

lla m

\i

a n d o

a l

c o e f ic i e n te

d e

r o z a m

ie n to

s o n :

ie n t o )

A

( V u e lc o )

d e

e q u ilib r io

c o n c e b ir

v a lo r

P a r e c e

e n te ,

s in o

[ 3 2 .1 ]

[ 3 2 .2 ]

p u e s c o n

s e

o

q u e

H

d e

c la r a u n

e s tr ic to ,

q u e

la

h a s im

m

a r g e n

se e s te

m

a r g e n

r e s u lta

p le m

n e c e s id a d

c ie r to

e v id e n te m

s o b r e s t im

n e c e s a r io

d e

a d o

e n te

d e

q u e

e n te

e l

s u c e d a [ 3 2 .1 ]

n o

n o s

c o e f ic i e n te

H

q u e y

[ 3 2 .2 ]

d e ja n d e s u f r a

s e a n

s a tis f e c h o s ,

r o z a m u n c u m

ie n to

a u m

o

e n to

p lid a s ,

n o

s e g u r id a d .

no sólo p o r los m otivos expuestos.

m é to d o s C o n s i d e r e m

y

( D e s li z a m

s u

p lá s tic o s .

c o n tin u a c ió n

a p o y o ,

a l

p lá s tic a s .

deterministas o

e s p e c ia l

p o d e m

d e

é to d o s

e s tr ic ta m

e s f u e r z o s

p la n o

N j>

b a s a d o s

i e n to

e l

N fi > H

á n g u lo T o d o

y

s id o

im

p u n to lo s o

a

u til iz a d o s .

P e r o r e f ie r e

b a jo

la

o s ,

a c c ió n

ta l

c o m

d e

la

o

s e

f u e r z a

in d ic a

H

y

e n

q u e

la e l

n o

a h o r a

e n

f ig u r a

3 2 - l b ) ,

d e s liz a m

i e n to

q u e

e l

e s tá

g a r a n tiz a d o .

p r is m

a

g ir a

u n

s ig u ie n te s .

L a

1

e le m

d e

p r e v is ta

lo s

e n o r

f a s e s

y

d e

p o r

q u e

p a r a

m

d o s

e s tr u c tu r a l,

p r im

c á lc u lo

o

probabilistas. -

n o

c a p a z

s it u a c ió n

te n s io n e s

p u e s A

u n a

determ inistas o probabilistas.

s e r

C o n s i d e r a d o c á lc u lo

-

s itu a c ió n la

e n te .

lo

u c h o s

la y

lo s

e n tr e

m

e n tr e

e s tr u c tu r a

f in ito s ,

L a s r e f in a d a m

a r g e n

c á lc u lo ,

b a r g o ,

a c io n e s

e s tr u c tu r a .

s e ñ a la r

u n a

e n te

m u n a

e s f u e r z o

d e

e m

e le m

d e

s o li c it a c ió n .

d e

d e b e m

S in

e d ia n t e

d e

y

c o r ta n te ,

a r ti f ic io s

p r á c tic a .

e ta p a

p r o p ia m

e s q u e m

d e

e s f u e r z o

q u e

e s té t ic o s

ic o s

s o lu c ió n

s in o

o

l a

y

to r s o r ,

r e a l, e n

e c o n o m

c á lc u lo

e n to

e f ic a c e s

c á lc u lo

c o n s tr u c tiv o s

y

o m

e s f u e r z o s

c o n d ic io n a n

ie n to

e n te

e l

lo s

e s

m

e x is te n c ia

r e d u c id o ,

i te n

d e

a s p e c to s

e n te

S i

s e a

p e r m

d ic h o ,

g e n e r a l

p o r ta n c i a .

q u e

o s

n o

o d e lo

a r ti f ic io

lo s

a r c a d a m

c o n c e p c ió n im

m

f u n c io n a le s ,

p o r ta n c i a

e n to s

e x tr e m

p le o

C o m

m

o s t r a d o e n

a s p e c to s im

o m

e tc .)

e n s a y o

c ita r e l

m

( m

a x il,

c ie r to

r e s i s te n t e

p r e f e r e n t e s 2.

L o s

A D

a p lic a c ió n p r o b le m

r a s a n te , e s f u e r z o

R I D

h a n c ita

a n a liz a d o

D E

o u til iz a c i ó n , e s

ig u a l

C E P T O

lo s

c o n d ic ió n

E H E s ig u ie n d o u n a tr a d u c c ió n d ir e c ta d e la s v e rs io n e s in g le s a s d e l M O D E L C O D E 9 0 (3 2 .1 ) y d el E U R O C Ó D I G O E C - 2 ( 3 2 .2 ) e m p le a la e x p re s ió n “ E fe c to d e la s a c c io n e s ” e n lu g a r d e l de

[ 3 2 .2 ]

s e

tr a n s f o r m

a

N | ~^cos & ~~^sen &

j

0

+

~cos 6

|

[ 3 2 .3 ]

“ s o lic ita c io n e s ” , q u e e m p le a m o s e n a d e la n te . 2

706

E H E s ig u ie n d o d e n u e v o la tr a d u c c ió n d ire c ta d e la s v e r s io n e s in g le s a s d el M O D E L C O D E 9 0 y d el E U R O C Ó D I G O E C -2 e m p le a la e x p r e s ió n “ R e s p u e s ta d e la e s tr u c tu r a ” .

d e

d o n d e ,

e n

c o n d ic ió n

d e

e q u ilib r io

e s tr ic to ,

707

a -h t2 6 H = N

^ -T ii + a t g 0

b a s a d o s

[32.4] -

E n

la

f ig u r a

3 2 - 2

s e

r e p r e s e n ta

[ 3 2 .4 ]

c o m

o

v a r ia c ió n

¡d e —

c o n

0 , c o m

o

c o m tip o

p o r ta m s e

a s o c ia d o

m

n o r m a s

a n tig u a s .

a lg u n o s

p r o b le m

p o n e

e le

m

a n tu v ie s e

C o m

0,

e n

( lín e a

c u a lq u ie r

3 ).

c o n s tr u c c ió n

d e b e

a d m

itir s e

la

p o s ib ilid a d

d e

p e q u e ñ o s

A

c tu a lm o

n u e v o

C o n

e s

c la r a

la

n e c e s id a d

d e

in tr o d u c ir

u n

c ie r to

m a r g e n

d e

s e g u r id a d

e n

L a

J N I S M

c a p a c id a d

lo s

c u a le s

e n s io n e s

O

Y

P R O B A B I L iS M

r e s is te n te

d e b e n

d e

la

d e

u n a

s e ñ a la r s e

s e c c ió n ,

s o lic ita c ió n

a p lic a d o s

a

lo

d ic h o ,

s in o ,

m

a te r ia le s

a c c io n e s

b )

e lla ,

q u e

d e

T o d a s

a )

e n

la

la s

p ie z a

d e p e n d e ,

c a r a c te r ís t ic a s

c a n tid a d

a c tu a n te

e s p e c ia l

a d e m c o m

u s o ,

á s ,

m

e n

s i

d e

p o n e n

v ie n to ,

e s ta s

la

y

lo s la

s is m

e s a

p o s ic ió n

s e c c ió n ,

p ie z a

e s

v a lo r e s

e n d e

d e

g e n e r a l, lo s

la s

o ,

a g n itu d e s

te m

y

d e

p e r a tu r a ,

p u e d e n

e s

m

a r m

d e c ir ,

h ip e r e s tá tic a , a lc a n z a d o s

e s tr u c tu r a

s e r

C om o valores determ inistas. c onocidos1.

d e

m u c h o s

a te r ia le s

e m

v a lo re s ,

p le a d o s ,

m á s

a lta

d e

e s tim

p r o c e s o

a d u r a s ,

M

É T O D O S

s e a

Ja

m

E n

lo s

p o r

a n e ja d a s

e l

c o n ju n to

d e p e n d e lo s

v a lo r e s

p o s ib le s

e s te

o

e la s lo p lá s lic o

a c e r o .

N o r m

a lm

d e l

e n te

lo s

h o r m m

ig ó n

é to d o s

y

d e

u n e s te

M étodos en Rotura.

in a n

la s

N o r m

b a s e s

s e

P o r

a s

a s

d e

c a s i

lo d o s

lo s

p a ís e s

s e

b a s a n

e n

e l

c á lc u lo

e n

r o tu r a ,

p r o b a b iü s ta s .

h a n

id o

D e

lo

im

a b a n d o n a n d o

h e c h o ,

lo s

c o n c r e to s

d e m

á s ,

p o r ta n te s ,

B A S E S

n o

p e s o s

d e

la s

a s ie n to s ,

d e

s o la m

e s f u e r z o s

e n te

d e

m

y ,

lo s

é to d o s p o r

m

é to d o s

c lá s ic o s

e llo ,

lo s

c lá s ic o s ,

a ú n

e n

s ig u e n

e s tu d ia r e m

lo s

q u e

s ie n d o

o s

e n

s e

b a s a b a n

c o n v e n ie n te s

p a r te

e n

lo s

la s p a ra

y

d e s d e

u n

p u n to

d e

v is ta

g e n e r a l,

s o n

m

é to d o s

c a p ítu lo s

s u p e r a d o s

q u e

a n a liz a r e m

o s

m á s

y

a d e l a n t e '.

o b je tiv o

e s p e c íf ic o s

c a r g a s

s e

d e

a c ió n ,

p e r o

d e s e a d a ,

m

r e d u c id o

e l

m á s

a y o r

s e r á

c o s te

d e

Y

M

É T O D O S

in tr o d u c c ió n

e s

c a p a z

c á lc u lo

d e

d e

d e e n

la

s e g u r id a d

c a d a

s e c c ió n

d e s a r r o l la r

la

e n

c a p a c id a d

s u p o n e d e

f o r m

la s

a

d e

resistente

s ie m

p r e y

la

c o m

perfectam ente

o

e l

c o s te

la

e s tr u c tu r a .

u n a

E n

e c o n ó m

ic o

d e l

p a r a c ió n

e n tr e

U n

d o s

to r m

a s

n o ta b le m

d e

M

d e s d e

O D E L

e s ta b le c e n d e

p u e s ta

c o n c e p to

h a c e

d e

s e

p r o b a b ilis ta

( 3 1 .5 ) ,

la

m

la

f u e r a

n a N

a

p io n e r o

q u e

ín im

p r im

S T A

E l

la

a

d e l

e n

e s tu d ia r o n la

s u m

a

s e g u r o

e x p o s ic i ó n H

E T A e n

s e g u n d o

r e n u n c ia n d o

ta b la d e

p r o y e c to , e l

e l

C O D E

d o s

d e d e

d e

y

s e r v i c io ”

p u n to e n

p e r o

e s te

c a m

d e

la

e l

d e

v is ta

a p a r ta d o

p r im

o r d ia l

in tr o d u c c ió n

a c e p ta n d o ,

n o

u n a

p o

f u e

la

d e te r m

in a c ió n

d e

1 .2

la

d e l

s e g u r id a d , V o lu m e n

e s

l .

lo s

c o s te s

d e

la

e n

s e g u r id a d

e í

v a lo r e n

s í,

E l

p r im

ta n to

d e l

d e f in itiv a ,

q u e

e r o

e s

e l

c o n c e p to la

d e

e s tr u c tu r a

a b s o lu ta .

in tr o d u c id o

d e l

o b r a

in te r é s . p o r

d e l m á s

p o r

E .

T O R R O J A

c o e f ic ie n te e l

d e

la

d e

y

A .

s e g u r id a d

r e c o n s tr u c c ió n

y

d a ñ o s .

g e n e r a l

1 9 7 1

p u n to s

s e g u r id a d

un fia b ilid a d determ inada .

P Á E Z

útil,

h a c e r s e

d e l p o r

f u e

r e a liz a d a

p o r

J .

F E R R Y

B O

R G

E S

y

M

.

( 3 2 .6 ).

la

q u e

respuesta.

p u e d e

a n te r io r

“ p r o b a b ilid a d te n d r á

q u e

capacidad resistente

lo

ie n to

U

c o m

e n te

- C om portarse adecuadam ente durante su utilizxición a través del período de vida útil previsto, que debe ser especificado p o r el d ie n te . ”

P L Á S T I C O S

p ie z a s

e s e n c ia l

c la r a m

- S o p o rta r todas las acciones y otras influencias m edioam bientales que, previsiblem ente, puedan ocurrir durante (a construcción.

lo s

p e r m a n e n te s ,

e tc .

s u p o n e n

m u y

“L as estructuras deben, con el grado de fia b ilid a d apropiado:

c o n s id e r á n d o la s :

s e n tid o

G E N E R A L E S

to d o

tr a ta m

f ia b ilid a d

E L Á S T I C O S

solicitación actuante

E l

p lá s tic o d e l

e tc .

C A

s e c c ió n

ie n to

M É T O D O D E L O S E S T A D O S L ÍM IT E (IN S T R U C C IÓ N E H E )

3 2 .3 .1

e l

L a

p o r ta m

e la s lo p lá s tic o

la s

C om o valores p ro b a b iü sta s. E n e s t e c a s o , d i c h a s m a g n i t u d e s s e c o n s i d e r a n c o m o variables aleatorias y , p o r t a n t o , d e i m p o s i b l e conocim ien to , a u n q u e s í s u s c e p tib le s d e s e r estim adas c o n l a fia b ilid a d q u e d e s e e m o s . E n g e n e r a l , c u a n to

3 2 .2 .3

c o m

O

d e f in id o L a

a

e llo ,

e r r o r e s

E l d im

M étodos E lásticos o M étodos

o

[ 3 2 .2 ] .

D E T E R M

e n tr e

c o m

la

32.3 3 2 .2 .2

d e s ig n a d o s

g ir o s

c o n c o n d ic ió n

u n

e n te

n o

s ig u ie n te s . d e

s o n

a n if ie s to

c o n s ta n te

o

h ip ó te s is

ie n to

d e n o m

que, una vez iniciado el giro, el va lo r c}e H necesario para producir el vuelco decrece. P a r a l a m a y o r í a d e l o s t é c n i c o s e s t o r e p r e s e n t a u n a p e lig r o s a p a r tic u la r id a d d e e s ta e s tr u c tu r a y p r e f e r ir ía n q u e , a l a u m e n ta r e l g ir o 0, e l v a lo r n e c e s a r io d e H p a r a p r o d u c i r e l v u e l c o c r e c i e s e ( c u r v a 2) o , a l m e n o s , s e y

e s ta

S u p o n ie n d o

1,

c u r v a

e n

Clásicos.

T - 3 2 .L

to m

p u n to a

la

a d a

im

p o r ta n te

id e a d e

la

d e

q u e

e s

e l

c o n c e p to

n u e s tr a

r e f e r e n c ia

d e

e s tr u c tu r a

( 3 2 .3 ) ,

in d ic a

duración de vida prevista o vida s e c o n s t r u y e pa ra siem pre. L a la s

v id a s

ú tile s

p a ra

la s

q u e

s e

e n te s u e le n

p r o y e c ta r

o b je to s

m u y

d if e r e n te s .

d if e r e n te s :

-

S u p o n i e n d o

u n

p r o p o r c io n a lid a d

!

c o m e n tr e

p o r t a m

i e n to

te n s io n e s

y

lin e a l d e f o r m

d e l

h o r m

a c io n e s .

ig ó n

N o r m

d e l e n te ,

a c e r o , lo s

c o n

m é to d o s

L a p a la b ra , b o y h a b itu a l en el c á lc u lo üe e s tru c tu ra s , fu e p r im itiv a m e n te e m p le a d a en la fís ic a y la filo so fía . M u y p ro b a b le m e n te , el p rim e ro en u tiliz a rla fue L A P L A C E .

70a

y a lm

En g e n e ra l, e s to s e r r o r e s e s tá n d el la d o d e Ja se g u rid a d . E s o b lig a d o c o n o c e r q u e el f u n c io n a m ie n to d e d ic h o s m é to d o s fue b a s ta n te s a tis fa c to rio y n o d e b e o lv id a rs e q u e la m a y o ría d e las e s tru c tu ra s bo y e x is te n te s fu e ro n c a lc u la d a s c o n ello s.

709

www.libreriaingeniero.com TABLA T-32.1

D e

a c u e r d o

PERÍODOS DE VIDA ÚTIL CONSIDERADOS EN PROYECTO (Tomado de A. PUGSLEY) (32.3)

1 5 0 .0 0 0

A v io n e s

3 0 .0 0 0

B a rc o s

4 0

E d ific io s

d e

V iv ie n d a s

E d ific io s

d e

O fic in a s

k m

h o ra s

ó

d e

1 0

a ñ o s

v u e lo

ó

1 0

100

4 0

A lm a c e n e s

8 0

d e

a ñ o s

C a rre te ra

d e

F e rro c a rril

O b ra s

d e

32.3.3

1 .

a ñ o s

8 0

r e s is tir

la

E S T A D O S

a ñ o s

P é r d id a

p r e v is ib le s s u

r e e m

b io s

R ie s g o

u n a

R ie s g o s

á s

e c o n ó m

ta n to ,

p é r d id a s

d e

f r e n te

q u e

s in o

ic o s

f u e r a

y

a

d e

n o

e l

m

n o

a y o r e s

s e r v ic io

T r a n s f o r m

3.

E s ta d o s e n

a ñ o s

-

o s

c a p a c e s

d e

e s

r e n ta b le

h a c e r lo ,

h a r á n

n e c e s a r io

p e r ío d o s

s o n

d e

m

p r o y e c ta r

d e

u y

v id a

o

e s o s

d e b id o

ic o s ,

p r o v o c a d o s

e n

*

L o s

c o r r e s p o n d ie n te s

*

L o s

r e la tiv o s

•

N o

d e b ie r a

a

p o r

u n a

s u

d e

h e r id a s

c o n s e c u e n c ia s

n u n c a

r ie s g o s

a

p r ó x im

in te r r u p c ió n

a

su

d e ja r

c o n s id e r a r

a s

y

lo s

d e l

d e l

r e p a r a c ió n ,

e v e n tu a l

d e m

d e

a

d if e r e n te s

p e r s o n a s ,

u n a

s e r v ic io

s i é s ta

o lic ió n ,

-

S e c u m

c o n s id e r a

p lim

ie n to

lla m

a r e m

c o m

p o r ta m

710

o s

d e

q u e la

e s ta d o

D E

u n a

f u n c ió n

límite ,

L O S

c o n s id e r a r s e

n o

s o n

s ó lo q u e

E S T A D O S

e s tr u c tu r a p a r a e n

e l

la

o

q u e

lo s

e l d e

p u e d a

c u a l

L Í M

u n a f u e s e

g r a n d e s

lo s

c o r r e s p o n d ie n te s

a

la

c a p a c id a d

d e

la

e s tr u c tu r a

p r e v is ta s .

s u

S o n

lo s

c o r r e s p o n d ie n te s

a

la

u tiliz a c ió n

n o r m

a l

d u r a b ilid a d .

I T E

Ú L T I M

u n

e s ta d o

e q u ilib r io c o m o

O S

lím

ite

ú ltim

e s tá tic o

u n

c u e r p o

tip o s

y

a c ió n

lím

ite

d e

o m

la

ú ltim

o ,

e n

lo s

c a s o s

s ig u ie n te s :

d e

u n a

p a r te

o

d e l

c o n ju n to

d e

la

e s tr u c tu r a ,

r íg id o .

e s tr u c tu r a

o s

s o lic ita c io n e s

e n to

d e

e n

u n

r e s is te n c ia

n o r m

te n s io n e s

f le c to r

y

e l

s o lic ita c io n e s

m e c a n is m o .

o

d e

d e f o r m

a c ió n

e x c e s iv a

d e l

m a te r ia l

a le s .

S e

e n tie n d e

p a r a le la s

e s f u e r z o

a

la

p o r

s o lic ita c io n e s

d ir e c tr iz

d e

la

p ie z a ,

n o r m ta le s

a le s c o m o

la s e l

a x il.

ta n g e n te s :

d e

•

E s f u e r z o

c o r ta n te

•

E s f u e r z o

r a s a n te

p u e s ta

d e

■ P u n z o n a m

ie n to

f u e r a

la

e s

la

la

a

p r o p ia

r e s u l ta r

E s ta d o s

lím

ite

ú ltim o s

m

o tiv a d o s

p o r

in e s ta b ilid a d .

5 .

E s ta d o s

lím

ite

ú ltim o s

m o tiv a d o s

p o r

f a tig a .

32.3.4

r e c o n s tr u c c ió n .

p r o b le m

4.

e s tr u c tu r a .

p o s ib le .

y

• T o r s ió n

d e

e n

to d a

s u

c o n s tr u c c ió n

1 . g lo b a lid a d . s in o

lo s

d e

a f e c ta d o .

E S T A D O S

e x c e s iv a s

p a r te

d e

o v im

v io la

a lg u n o

s e

h a

c u a n d o d e

lo s

v u e lto

im

a lc a n z a c r ite r io s

p r o p ia u n

p a r a

e l

e s ta d o , q u e

q u e

r ig e n

su

d e

ie n t o s

D E

s e a

U T I L I Z A C I Ó N

p r o d u c id a

p r e s io n e s

2. D eform ación.

e l e lla

I T E

B ie n

c o m

i n t r í n s e c a s

I T E

p r o y e c ta d a ,

L Í M

Fisuración.

e d if i c io D E F I N I C I Ó N

d o s

• A n c la je

m

3 2 .3 .2

a

p r o d u c e n

B a jo

in te r e s a n te

r e a c c io n e s

e v e n tu a l

d e

r e tir a d a

d e

e n to r n o

e n

s e c c ió n :

B a jo

ú til.

e s p e c ia l:

la

c la s if ic a r s e

a

e tc .

e c o n ó m

p u e d e n

e n :

h u m a n a s ,

la s

s e a m

q u e

té c n ic o s , q u e

a g r u p a r s e

v id a s

L o s

o tr a s

e l

s u p e r f lu o s

p u e d e n

•

L o s

n o

la r g a s ,

p u e s ta

p e r o

p ú b lic a

s e r v ic io ,

m

y , p o r

d e

d e

e v id e n c ia ,

s o c ia le s ,

v a lo r a c ió n ,

o p in ió n

-

e n

ú tile s

ie n to

r ie s g o s

p le ja

-

c a m

p la z a m

L o s c o m

p o n e

L Í M

d e l

2.

a ñ o s

1.000

v id a s

y

a lc a n z a r s e

m ta b la

S o n

c a r g a s

e s tr u c tu r a

q u e

p a r a

ite s

a ñ o s a ñ o s

5 0 0

I g le s ia s

L a

la s

c o n s id e r a d a

200

P u e rto s

C a te d ra le s

o b je to s

lím

a ñ o s

100

d e

e s ta d o s

a ñ o s

F á b ric a s

P u e n te s

lo s

a ñ o s

5 0

P u e n te s

a n te r io r ,

Estados límite de utilización.

a ñ o s

P u e d e G ra n d e s

lo

Estados límite últimos .

-

p a r a

A u to m ó v ile s

c o n

g r u p o s :

S u

l i m

la

e l

p o r e l a la r g a m

c o m

ie n to

d e

la s

a r m a d u r a s ,

b ie n

p o r

h o r m ig ó n .

i t a c i ó n

p r o p i a

r e s u l te n

( f a c h a d a s ,

e n

p u e d e

e s tr u c tu r a p a ti b le s

ta b iq u e r ía s ,

v e n ir o

c o n

s o la d o s ,

p o r o tr a s

e tc .)

o

i m

p u e s ta

p o r

la n e c e s id a d p a r te s c o n

e le m

n o

c o n d ic io n e s d e

q u e

e s tr u c tu r a l e s

e n to s

c o n te n id o s

s u s d e l e n

e d if ic io .

3. Vibración. p u e d e p a r a

la

c r e a r

L a

a c c ió n

d e

v ib r a c io n e s

f u n c io n a lid a d

la

m a q u in a r ia ,

d e s a g r a d a b le s

d e l

d e l

p a r a

v ie n to ,

lo s

s e r e s

d e h u m

v e h íc u lo s a n o s

o

o

p e r s o n a s

p e r tu r b a d o r a s

e d if ic io .

ie n to .

711

32.3.5 NIVELES DE CÁLCULO EN ESTADOS LÍMITE E l C E B d e l

m

é t o d o

( C o m

it é

d e

l o s

e s t a d o s

P r e t e n s a d o ) 1, p u e d e

N ive l 1. p o r

e l

M

O

D

l í m

E u r o i n t e r n a c i o n a l

E n

e s te

E L

C O

ite ,

d e l

p l a n t e a r s e

n iv e l, D

E

q u e

C

E B

o r m

e n

e s

d e s a r r o l l a d o

H

t r e s

e l

- F I P

i g ó n )

f u n d a m

d e

n i v e l e s

a c t u a l m

9 0

y

e n t a l m

F I P

e n t e

e n

( F e d e r a c i ó n

e l

s e n o

d e l

m

e l

á s

b)

e l a b o r a d o

E U

R O

C Ó

D

y

I G

e l

O

A

s i e n t o s

-

A

c c i o n e s

a d o p t a d o

E C

- 2

ta n to

I n s t r u c c i ó n

E H

a c c i o n e s

y

p a r c i a l e s

d e d e

E s

p o r

e n

c u a n t o

e n

E n

l a

e s te

lo s

m

a

u n

m

d e

n iv e l,

l o s

m

d e

lo

A

e d i a n t e

S u

l a

p o r

( 3 2 .2 ) ,

v a l o r e s

p a í s e s ,

s e

a s o c i a n

c o n s i d e r a c i ó n u n

m

a l e a t o r i a s

a s o c ia d o

a

é t o d o

c ie r to

p r á c t i c a ,

e s t a d í s t i c a s

la s

d e

a

l o s

b-1) A cciones perm anentes.

a c c i o n e s

y

c o n s t a n t e m

d e

la s

S e

c l a s i f i c a n

la s

c o n d i c i o n e s

t o d a v í a

p a r c i a l e s

e m

li m

a

p l e a d o s

N ivel 3. c o n o c i m

i t a d a

S e

i e n t o

e n

b a s a

c o m

c a s o s e l

N

e n

e s p e c i a l e s . iv e l

u n

p l e t o

d e

y

l a

b a s e

p a r a

e l

c á l c u l o

d e

la s

p r o b a b i l i s t a

f u n c io n e s

d e

e x a c to

d e

d i s t r i b u c i ó n

l a

l o s

n i v e l e s

d e

s e g u r i d a d

e n

f u n c i ó n

d e

e n t e

f ija d a .

S u

e s t a d o

d e

d e s a r r o l lo

e s

a ú n

m

u y

d e

u n o s

n u e s tr o

S u

im

s o b r e

-

p o r t a n c i a

P r e s e n t a n d o m

d e

r e s i s te n c ia s ,

lo s

c o e f ic i e n te s

ín i m

e s t r u c t u r a ,

m

e d i a n t e

e l

-

E l

o ,

L A

S I F I C

A

d is t in ta s

C

I Ó

N

D

E

L A

S

A

C C I O

c a p a c e s

s e g ú n

lo

d e

-

L a s

p r o b a b i l i d a d

d e

e s t r u c t u r a ,

c a r g a s

P e s o

N

c o m

p r o p i o

o

d e

d e

A

s o li c it a c io n e s

e n

u n a

p o r

e je m

p l o :

lo s

e l e m

L a s

s o b r e c a r g a s

d e

-

L o s

e m

tie r r a ,

f u e r z a s

e n

p e r m

712

tie m

p o

e l

e s

la s

q u e

s e

c u m

-

A

c c io n e s

-

V

a r ia c io n e s

p le

a l

m

e n o s

u n a

d e

p e q u e ñ a .

e f e c to

v a lo r e s

o

d e

e je m

l a

i n e r t e s

e le m

c c i o n e s

A

to t a l

d e

la s

a c c io n e s

e s

p e q u e ñ a .

r e p r e s e n ta tiv o s c u á l

e s

e l

q u e

d e

G ,

u n o

g o b ie r n a

m

to d a s

á x im la s

o

y

o tr o

p a r te s

d e

la

p l o :

e s tr u c tu r a .

q u e

e n to s

g r a v it a n

e m

r e s u l t a n t e s

G

*

S o n a

lo

c c i o n e s

s ie n to s

q u e

s e

a p l i c a n

d i r e c t a m

e n t e

s o b r e

s o b r e

l o s

e l e m

e n t o s

d e

l a

e s tr u c tu r a .

b e b id o s

e n

la

e s tr u c tu r a

o

f ija d o s

p e r m

a n e n t e m

e n te

d e

u n

n iv e l

d e

líq u i d o

p r á c t i c a m

la s

q u e

a c tú a n

c o n s t a n t e m

L a s

e n t e ,

e n t e

c o n s ta n t e .

d e s ig n a r e m

p e r o

s u

o s

v a lo r

c o n

la

n o

e s

la r g o

d e l

tie m

p o ,

c o m

o

p o r

e je m

p l o :

r e o ló g i c a s .

d e

d e

q u e

e n t a c ió n .

F u e r z a

d e

e n t o s

p r e te n s a d o .

b-3) A cciones variables. d e

la

s o n

L a s

d e s ig n a r e m

f r e c u e n t e s

y

n o

o s

c o n

la

d e s p r e c i a b l e s ,

Q.

le tr a

S o n

in c lu id o

a q u e lla s

e l

c a s o

d e

c u y a s

la s

q u e

e s tr u c tu r a . a c tu a r

o

n o

s o b r e

l a

e s tr u c tu r a ,

c o m

o

p o r

e je m

p l o :

- A

c c i o n e s

d e

e x p lo ta c ió n

- A

c c io n e s

d e

m

-

A

c c io n e s

d e

v i e n t o

-

A

c c io n e s

t é r m

-

E m

p u je s

d e

-

E m

p u j e s

d e l

o

u s o .

u s o .

d a n

e s t r u c t u r a ,

d e

l íq u i d o s ,

S o n , lu g a r , c o m

o

b i e n d e p o r

m

o n ta je .

e tc .

d e f o r m a n e r a

e je m

a c i o n e s

in d i r e c t a ,

p l o :

r e o ló g i c a s .

té r m

c im

la

ic a s .

i m a

p u e s t a s , la

b i e n

a p a r ic i ó n

A c tu a lm e n t e f u s io n a d o s e n la F IB ( F e d e r a c ió n I n te r n a tio n a l d u B e tó n .)

i c a s

y

n ie v e .

p r o d u c id a s

p o r

la s

v a r i a c i o n e s

d e

te m

p e r a tu r a .

d e l íq u i d o s

e n

s u

p r e s e n t a n v a l o r

e s

d e

g e n e r a l.

te r r e n o .

b -4)A ccion es accidentales. q u e

I

e n

a n e n t e s

in d irec ta s. la

q u e

e s tr u c tu r a

-

-

a c e l e r a c i o n e s ,

la s

d is t in g u ir s e :

lo s

O

a-2) A ccio n es

S o n

E S

p r o d u c i r

S o n

-

p u je s

G .

i n c ip ie n te .

p u e d e n c a r g a s

l e t r a

e lla .

v a r i a c i o n e s

tr a s

l a

r u in a

- A P u e d e n

a-1) A ccion es directas.

P e s o

c o n

s ig u i e n te :

a) S egún su n aturaleza.

-

o s

p o s ic ió n .

b-2) A cciones perm an en tes de valor no constante.

a c c i o n e s

c l a s i f i c a r s e

y

e s ta n d o

p u e d e n

a g n i t u d

a q u e lla s

e v id e n te

c o m

p r o p io

c o n s t a n t e L a s

e l

d o s

r e s u l ta

c ita r s e

p e s o

le t r a C

m

e s tr u c tu r a .

a tr a s o

A C C IO N E S

3 2 .4 .1

ta le s

-

-

3 2 .4

o

e n

a p r e v i a m

e n

s ig u i e n te s :

v a r i a b i l i d a d

f ia b i lid a d .

c o r r e s p o n d i e n t e s ,

u n a

c o m

L a

d e f i n i d o s

d e s i g n a r e m

d is t in g u ir s e :

la s

1 .

c á lc u lo

d e

E s

e n t e

-

P u e d e n e s t á

L a s

P u e d e n

a s p e c to s

t r a v é s

d e

ic a s .

ip r o b a b il is ta .

n iv e l

c a u s a

e n t a c ió n .

a s p e c to s

a c c io n e s a

s ís m

c im

l a

c o e f i c i e n t e s

d e s e m

d e f in i d a s

u n

lo s

c a r a c t e r í s t i c o s

r e p r e s e n t a n d o

a p l i c a c i ó n

f u n c i o n e s

o tr o s

v a l o r e s

t a n t o

a b o r d a

e l l o

d e

e s t o s

f u n c i o n e s

t o d o

u c h o s

e n

E s

s e

m

t r a v é s

p o s i b l e

c á lc u lo

la s

d e a

a t e r i a l e s .

p r o b a b i l i s t a .

i e n t o s

a s

p r á c t i c a .

a d e c u a d o s ,

é to d o

o r m

c u e n t a

e n

e l m

N

e n

b a s a d o s

a te r ia le s

c o n o c i m

la s

e x p e r i e n c i a

e s ta d í s tic o s

ta n to

p o r

t i e n e n

r e s i s t e n c i a s

y

d e

e t r o s

y s e

s e g u r i d a d ,

N ive l 2. p a r á m

( 3 2 .7 ) c á l c u l o

la s

p r o b a b i l í s t i c o s

r e s i s t e n c i a s

E

d e l

l a

S egún su variación a lo largo del tiem po.

a c tú a n

p r o b a b i l i s t a s

d e

I n te r n a c io n a l

d if e r e n te s .

e n t e

( 3 2 .1 ) ,

l a

-

u n a g r a n

L a s

d e s i g n a r e m

d é b il p r o b a b i l i d a d im

p o r t a n c i a ,

c o m

d e o

o s

c o n

la

a c t u a c i ó n p o r

e je m

l e t r a s o b r e

A . l a

S o n

a q u e lla s

e s t r u c t u r a

p e r o

p l o :

713

www.libreriaingeniero.com cuando dicho riesgo procede de la reducción del valor de la acción.

-

I m

p a c to s .

-

E x p lo s io n e s .

-

H

u n d im

ie n to s

- A v a la n c h a s

- A

-

c c io n e s

T o m

E n

d e l

d e

p ie d r a

s ís m

a d o s

e n

te r r e n o .

o

n ie v e .

ic a s .

z o n a s

h a b itu a l m

e n t e

n o

e x p u e s ta s

a

e llo s .

la s

f ó r m

g e n e r a l,

c á lc u lo

m

la s

á s

d e s p r e c i a b le a s e g u r a r

l a

a c c io n e s

q u e y ,

e n p o r

a c c id e n ta le s

a q u e llo s

c a s o s

o tr o ,

e s

r e s i s te n c ia

n o

d e

l a

e s tr u c tu r a , p e s o

S o n

s ie n d o

p r o p io ,

la s

a p lic a c i ó n ,

S o n

d e

o

-

c c io n e s

A

e s tá t ic a s

c c io n e s

s u

im

s e

te n id a s v a lo r ,

p o r ta n te

f r e n te

a

y

q u e

ta le s

d o s

a p lic a n

d ir e c c i ó n

u e r t a s ,

V a lo r

m

Fk

=

V a lo r

c a r a c te r ís t ic o

5

=

D

E l

c o e f ic i e n te

e n

p o r

c u e n ta

e n

e l

la d o ,

n o

e s

u n

r e s u l te

ir r a z o n a b le

a c c io n e s .

E n

s e r

s o b r e

u n

m

is m

c o m

o

o

p u n to

p o r

e je m

d e

la

p lo

e l

V A L O R E S

d in á m

C A

R A

o

n o

e l

e s ta b l e c im

y

o

s is m

p u e d e n

c o m

o ,

d e

m

e s

e v id e n te

o

p o r

v a r ia r e je m

e n

p l o

c u a n to

la s

a

s u

p u n to

ta m

b ié n

E n

n o

d is p e r s ió n

g e n e r a l

e s tim

a r l a

e s

m

lo

la

c o n

is m

o

u n

s e

im

s o b r e c a r g a s

d e

u s o ,

e tc ..

p o r ta n te

a n e r a

d e f in i r

e l

la

d is t in c i ó n

p r o b a b il id a d

S i

la s

e n

f u n c ió n

d e

a c u e r d o

d e l

a c c io n e s ú n ic a m

9 5 %

s ó lo

d e

H

o r m

ig ó n

a r m

la s

f ó r m

d is p e r s ió n

d im

e n s io n e s

v a lo r

d e

v a lo r e s

d e

c o n f ia n z a

la

d e l

a c c i ó n 1.

9 5 %

e n

e l

p ír ic a ,

a

la

la s

a c c io n e s

n e c e s a r ia

v is ta

d e l

S e

u s o

a d o

y

n o

s o b r e a

q u e

a d o p ta n

p r e te n s a d o :

e l

v a

lo s

s e

p u e d e n

a s im

a

v a lo r e s

te m a

s e r

y

s u s

u n a

s u

c a s o

s o m

s ig u ie n te s

2 3

k N

/m

3

2 5

k N

/m

3

e tid a

il a r

la

d e

p e s o s

a

la

le y

d e b e r á n

e s tr u c tu r a 2 .

e s p e c íf ic o s :

o

e n

d e

la s

c a r g a s

p e r m

e l

p e s o

e s p e c íf ic o

a n e n te s

e r r o r e s

d e

lo s

d im

m

p u e d e

D

E

L A S

d e

u n a

g e n e r a l

lo s

p r o p o r c io n a d o s

D

A C C I O N E S

a c c ió n

a

d e b e n

s e r

te n id o s

c o n s id e r a r e n

v e n ir

e n s io n a le s ,

d e

v a r ia c io n e s

d e s v ia c io n e s

p e r m

e n

s u s

is ib le s ,

a te r ia le s .

e n

E s p a ñ a

s e

á s

f r e c u e n te s . lo s

e b e

e n

e l

c á lc u lo

d e

c u e n ta

s u s

v a lo r e s

e x tr e m

P a r a

f a b r ic a n te s

s e ñ a la r s e

p o r

u til iz a n N

o r m

o tr o s

d e

q u e

la

p a r a

lo s

lo s

a

c a s o s ,

e d if i c a c ió n

e s

d e c ir ,

d e

m

-88

B E - A E

d e b e r á

p r o d u c to s

v a lo r e s

c a r a c te r ís t ic o s ,

N

o

r e c u r r ir s e

b ie n

d e

la

n o

e s tá n

c o m

a

N o r m

m

o

( 3 2 .9 )

v a lo r e s

q u e

a

lo s

d a to s

e d ic i o n e s

a

N

B E - A

a s o c ia d o s

lo s

s u m

c a s o s

i n is tr a d o s

d ir e c ta s .

-88

E

a l

c a r a c te r ís t ic o s

c o n s id e r a

n o

n iv e l

s o n

d e

r e a lm

e n te

c o n f ia n z a

d e l

la ,

p e r o

e n

a u s e n c ia

e jo r

in f o r m

a c ió n

v ie n e n

s ie n d o

m

a n e ja d o s

c o m

o

o s , E n

la

m

a y o r í a

d e

lo s

c a s o s ,

la s

d if e r e n c ia s

n o

s o n

im

p o r ta n te s 3 .

c a d a

a c c ió n

P a r a

valor característico

u n

q u e

e n

la

c a r a c te r ís t ic o

d e

u n a

I n s tr u c c ió n a c c ió n

E H

c o m

E

o

e s

q u e d e l

a q u e l

p e r m

9 5 %

q u e

.

o tr o s

tip o s

d e

e s tr u c tu r a ,

v é a s e

lo

e x p u e s to

e n

e l

C a p ítu l o

9 .

ite

c) Valores característicos de las acciones variables.

E s to

p r e s e n ta T a m

b ié n

a q u í,

p a r a

lo s

c a s o s

m

á s

f r e c u e n t e s

d e

e d i f i c a c i ó n ,

d e

d istrib u ció n g a u ssia n a ,

v a lo r m

+

e d io

y d e

s u

s u s

v a lo r e s

p u e d e n

d e s v ia c ió n c u a d r á ti c a

m

1 ,6 4 5 )

p r o c e d e

Fk = Fm( 1

714

lo s

e d ia

e s tim

m

a n e já n d o s e

v a lo r e s

v a lo r e s

c a r a c te r ís t ic o s ,

a lte r n a tiv a

a r s e

lo s

p u e d e

p r o p o r c io n a d o s

a u n q u e

o b te n e r s e

e n

e n la

s e n tid o N

o r m

a

p o r

la

e s tr ic to U

N

E

N

o r m

n o

lo

2 4 0 0 3

a

N

B E - A

s o n .

U

n a

E

v ie n e n

-88

c o m

in f o r m

o

a c ió n

( 3 2 .1 0 )4 .

r e la tiv a , d if e r e n c ia s

e n tr e

la s

N

o r m

a s

c ita d a s

y

la

r e a lid a d

p u e d e n

s e r

m u y

u la s :

Fk = Fm{\

r ie s g o

n iv e l

d e

a c ió n

( s o b r e e s p e s o r e s ,

p o r ta n te s

y , e n

e s c la r e c e d o r ,

e l

in f o r m

E n

im

c u a n d o

a l

d e

m a s a :

L a

L a s c o n

n o ta c io n e s

p r e s e n te n .

p a r a

s ig u e n

e n te

la s

e n tr e :

no ser sobrepasado, en el sentido desfavorable para la estructura, durante su período de vida útil.

u n a

r e la tiv a

d is t r ib u c io n e s

la

e m

e n

m

nivel de confianza

c ie r to

q u e

e d ia

c u a s i- e s tá tic a s .

v a lo r

q u e

d e f in e

la s

ig ó n

ta le s . s in o

p le a d o

d e

ic a s .

d e l

q u e

m

c o r r e s p o n d e

p o s e e

o r m

9 5 % e s tr u c tu r a ,

1 ,6 4

H

e tc .) E s

C T E R Í S T I C O S

ie n to

c u a d r á ti c a

c a s o s

s e

v a lo r e s E n

e m

g a u s s ia n a .

p o r

3 2 .4 .2

h a n

e d io

e s v i a c ió n

u c h o s

f ija d o s

s e

a) Peso propio de la estructura.

g r u p o s :

s e n tid o ,

m

g a u s s ia n a

[ 3 2 .6 ]

e tc .

q u e

s e n tid o ,

v ie n to

d) Por su carácter dinám ico. - A

s o n

d is t in g u e n

q u e s u

a q u e lla s

d ir e c c ió n

a c c io n e s

m

S e

n o q u e

y

b) Valores característicos de las restantes acciones perm anentes.

c-2) Acciones libres. la s

a q u e lla s

c o n s ta n t e s

c a r g a s

ta n

e s tr u c tu r a

c) Según su variación en el espacio. c-1) Acciones fijas.

e n

[ 3 2 .5 ]

Fm -

d is t r ib u c ió n E n

u la s

-

d e l

1 ,6 4 5 )

in c r e m

v a r ia b le

[ 3 2 .5 ]

e n to

d e

v a lo r

d e

l a

a c c ió n ,

y

d e

la u s o

g e n e r a l, N o r m d e

a

2 0

s it u a d a s

N k N

B E - A /m

2 .

E

d e l

-88

L a

la d o f ija

f ig u r a

d e p a r a

la

s e g u r id a d . o f ic i n a s

3 2 - 3 ,

to m

a d a

C o m

o

p r iv a d a s d e

u n u n a

H A R T

e je m

p l o

a c c ió n ( 3 2 .1 1 ) ,

1

L a d e s v ia c ió n c u a d rá tic a m e d ia r e la tiv a se d e s ig n a h a b itu a lm e n te c o m o “ c o e fic ie n te d e v a r ia c ió n ” .

2

E l E u r o c ó d ig o 1 (3 2 .8 ) c o n tie n e ta m b ié n in f o r m a c ió n s o b re lo q u e s ig u e .

3

N B E - A E - 8 8 e s , p r á c tic a m e n te , u n a r e p r o d u c c ió n d e la N o r m a M V -1 0 1 d e 1963.

4

A c tu a lm e n te c a n c e la d a . V é a s e 9 .3 .

[ 3 2 .6 ]

715

r e p r e s e n ta m

e d id a s

e l

e l

p o r

v a l o r

h is t o g r a m

a

C U L V E R T

d e

e n

f r e c u e n c i a s

e d if i c io s

c a r a c t e r í s t i c o ,

s i

s e

d e

r e a le s . D

a c e p t a

la s e

a c c io n e s

a c u e r d o

l a

v a r ia b le s

c o n

l a

d i s t r i b u c i ó n

f ó r m

n o r m

d e

u la a l ,

d) Valores característicos de las acciones accidentales.

u s o

[ 3 2 .5 ] ,

q u e

r e s u l ta

s e

e s c o g e n

s u p e r v i v e n c ia n o r m

Fk = 4

,4

|

1

+

1 ,6 4

8,8 kN /m 2

=

[ 3 2 .7 ]

( C a p ítu lo

3 2 .4 .3

V

I B R A

P a r a

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS DE SOBRECARGAS le jo s

d e

la

la

la

p o r E n

o

a q u e llo s

m

e s tr u c tu r a .

lo

q u e

e l c a s o

á s E n

g e n e r a lm d e

a llá e l

e n te

O b r a s

d e

lo s

c a s o

d e

s o n

P ú b l ic a s ,

c u a le s la

S o n

n o

v a lo r e s

in te r e s a

E d if ic a c i ó n

f ija d o s

p o r

d e b e n

r e g ir

e l

n o

c lie n te

la s

n o r m

n o m

in a le s

p r e te n d e r s u e le n o

p o r

a s

la

e s ta r

e l

a u to r

e s p e c íf ic a s

9 ).

C I O

e v ita r

e s tr u c tu r a s ,

DE USO EN OFICINAS PRIVADAS

d e

a l iz a d o s ,

d e l p r o y e c to .

c o m

m

N E S

o le s ti a s

f r e c u e n c i a

f r e c u e n c i a

a

lo s

n a tu r a l

c r ític a ,

u s u a r i o s , d e

f crin l a

p r o d u c id a s

v ib r a c ió n c u a l

d e

la

d e p e n d e

d e l

p o r

la s

f

e s tr u c tu r a , u s o

d e l

v ib r a c io n e s d e b e

s e r

m

d e

la s

a n te n i d a

e d if ic io .

[32.8]

k

d o n d e l a

p u e d e

T a b la

T - 3 2 .2

L a s v ie n to ,

to m d e

a r

c u a lq u ie r

a c u e r d o

v ib r a c io n e s

tr á f ic o

d e

c o n

p u e d e n

c a r r e te r a

o

v a lo r e l

M

e n te r o O

D

p o s itiv o .

E L

C O

p r o d u c ir s e

p o r

f e r r o c a r r il,

e l

D

E

9 0

p e r s o n a s

p r o p io

L o s

v a lo r e s

d e

f crír s e

in d ic a n

e n

f

a n d a n d o

p r o c e s o

o

c o r r ie n d o ,

c o n s tr u c tiv o ,

m

á q u in a s ,

e tc .

TABLA T-32.2 FR ECUENCIA CRÍTICA DE ESTRUCTURAS SOM ETIDAS A VIBRACIONES CAUSADAS POR M OVIM IENTO DE PERSONAS F recuencia crítica fcril (Herzios)

C lase de edificio

Figura 32-3 D e

to d a s

f o r m

a s ,

lo s

d e

la s

d e

p a r ti c u la r e s p e c ia lm c o n c r e to e je m 2 0

p lo ,

q u e

e l

c u a n to

ta m

b ié n

( 3 2 .1 2 ) , o r m

a

in o

d e

2

k N /m

la s

“ a lm

s o m

F r a n c e s a

d e ta ll a d a

s o b r e

d e

p u e d e

2 5

d e

l a

c ita d a

a

la

a c c ió n y

e l

d e

d e

a s im

2p

s ie m

ila c ió n

d e l

c o n s id e r a d o s

u e d e

p r e

d e

la s

s u f ic ie n te

C o m

u s o

o tr a s

y

o r m

d e l

N

la

B E - A

v ie n to

C u a d e r n o

8,0

Salas de baile y salas de concierto sin asientos fijos

7,0

Salas de concierto con asiento fijo

3,4

p a r a

Estructuras para peatones y ciclistas:

p a r a

la s

En este tipo de estructuras deben evitarse frecuencias entre 1,6 y 2,4 Hz y entre 3,5 y 4,5 Hz.

q u e

Estructuras para corredores a pie:

n ie v e ,

a

G im nasios y edificios deportivos

o

d e s d e

“ b ib lio te c a s ”

y

e n

e d if ic io

a s .

d e

y

c a u te la ,

u n

N o r m

a c c io n e s

e n te , e x is te n

s e r

c o n

u s o

e n

c o n

v a r ia b le s ,

e s c a s o .

c o r r e s p o n d i e n te , a c c io n e s

a c c io n e s

c o r r e s p o n d e r s e

k N /m

N

la s

2. A n á lo g a m

v ie n to

e n

( 3 2 .1 4 )

in a r

p o r m

d e

c o n s id e r a d o s

g e n e r a le s

r e s u lta r

a c c io n e s

e tid o s

( 3 2 .1 3 ) ,

a c é n ”

p u e d e

s e r

p r e lim

tip o s

u s o

a liz a d o s

d e b e n

p r o c e s o lo s

n o r m

k ilo - N e w to n

a c c ió n

a

u s o ,

d e

c o n te n id a

e d if i c io s

N

té r m

1 0 0

E n

e l

u n o

v a r ia s

u n a

e l v a lo r

e n

d e

2a

k N /m

la s

e n te a l

v a lo r e s

I N

n o r m

E -

88.

p u e d e n T E M

( 3 2 .1 6 ) ,

q u e

A

a l iz a c i ó n P a r a

c o n s u lta r s e

C

N °

2 8

c o n tie n e

e s p a ñ o la

c a s o s

la s

b ié n

d e

r e f e r e n c ia s

( 3 2 .1 5 ) , ta m

En este tipo de estructuras deben evitarse frecuencias entre 2,4 y 3,5 Hz.

e s tá

e s p e c ia l e s

a s í

c o m

in f o r m

o

la

a c ió n

3 2 .5

n ie v e .

M A T E R IA L E S 2 A

f u n d a m P a r a

lo s

P u e n te s

c o n s tr u c c io n e s , P u e n te s

d e

d e

C a r r e te r a ,

v é a s e

C a r r e te r a

lo y

d ic h o

e n

P u e n te s e l

d e

C a p ítu l o

F e r r o c a r r il

e s tá n

E s p a ñ a

la s

F e r r o c a r r il 9 .

E n

d e f in i d a s

y

p a r ti c u la r , e n

d ic h o

o tr o s la s

A

tip o s c c io n e s

N

716

r e g la m

o r m

a

e n ta c ió n

S i s m

e n

o - r e s is t e n te

d e

( N C S - 9 4 )

a c c io n e s

( 3 2 .1 7 ) .

s ís m

ic a s

e n ta le s

c o n d e l

m

u c h o s

h o r m

ig ó n

m

a tic e s

y

d e l

c o n v e n c io n a le s ,

a c e r o

s o n

tr a ta d a s

c o n

ta m u n a

b ié n b a s e

la s s e m

c a r a c te r ís t ic a s ip r o b a b ilis ta .

d e e n

c a p ítu lo .

1 L a

u n q u e

e s tá

c o n te n id a

e n

S i la s v ib r a c io n e s e s tá n e n re s o n a n c ia y p u e d e n p r o d u c ir g r a n d e s f le c h a s o f a tig a , e l p r o b le m a d e b e s e r tra ta d o c o m o u n e s ta d o lím ite ú ltim o .

la

2

V é a s e e l C a p ítu lo 2 8 p a r a o tra s p ro p ie d a d e s d el h o rm ig ó n .

717

www.libreriaingeniero.com

32.5.1 HORMIGÓN H tr e s

a b i t u a l m

e n t e

d e

s u s

-

T a m

-

C o n s i s t e n c i a

-

R e s i s t e n c i a

P o r f i j a c i ó n

a )

TA B LA T-32.3

e l

p a r á m

e t r o s

a ñ o

á x i m

m

i g ó n

o

d e l

d e

u n a

e s t r u c t u r a

e s

d e f i n i d o

e n

e l

p r o y e c to

T O L E R A N C IA S PARA LA C O N SIST E N C IA D E L H O R M IG Ó N

f ija n d o

e n ta le s :

C o n s is te n c ia

á r id o T ip o

S e c a

s u p u e s to , d e

h o r m

f u n d a m

a lg u n a s

c o n d i c i o n e s

a

o b r a s

o tr o s

d e

p a r á m

c a r a c t e r í s t i c a s

e t r o s ,

e n

e s p e c ia l e s

e s p e c ia l

e l

c e m

p u e d e n

r e q u e r i r

m

o ti v o

p a s a r á

d e

s u

c o n

lim

i t a c i ó n

r a d i c a

r a z o n a b l e

f a c i l i d a d

r e l l e n a r á

c o r r e c t a m

e n

la

n e c e s i d a d

e n tr e

la s

d e

e n to .

a r m

a s e g u r a r

a d u r a s

o

q u e

e l

e n tr e

h o r m

é s t a s

1

y

A

l a

e s te

f in ,

g r u e s o

a - l ) E

s e r á

d e

0 ,8

l

I n s t r u c c i ó n ta m

d e

a ñ o

l a

a - 2 )

1 ,2 5

f o r m

d e

p r ó x i m

o

e n t r e

m

á s

a

l a

a r m

d ir e c c i ó n

d e

L a

p a r t e

e l

v o lu m

q u e m

a l

m

e n o r

c o n

e n t r e o

y

e l l a

u n a

la s

e l

a

l a

u n

e n

a r m

p i e z a

d e l

o

,

p e s o ,

e n s i o n e s

e n t r e

d e

a d u r a

f o r m

9 0 %

d im

d i r e c c i ó n

c u a r t a

l a

1

B la n d a

±

1

F lu id a

±2 C o n s ite n c ia

h o r m

v a i n a

á n g u lo

e s p e s o r

o

d i m

la s

o

a r m

0

-

2

E n tr e

3

- 7

v a in a s

a d u r a s

h o r m

ig o n a ,

c o n

la s

d o s

e x c e p c i o n e s

E n tr e

8 - 1 2

U

n

te r c io

d e l

e s p e s o r

( p r e f a b r i c a c i ó n e l

e f e c t o

q u e

-

0 ,4

s e

p a r e d

e n

v e c e s

e l

í n i m

o

p o r

e j e m

ta lle r ,

d e l

e n c o f r e n

m

e n c o f r a d o

p o r

e s p e s o r

u n a

m

s o la

í n i m

o

e n

e l m

p a r a m

a y o r

d e

e n t o 4 5 °

m á s

c o n

A

la

e s

la

e l

e n s i ó n

c a s o y

d e

e n

m

í n i m

a

d e

e je c u c ió n

a q u e llo s

r e d u c i d o ,

e l

la

p ie z a

o

h e m

s e

c o m

o

m

e le m

p o r

u y

c u id a d a

d is p o s i c ió n

d e

d is p o n i b le s n o m

i n a l

D

e

la y

a c u e r d o b r a m

la s

e n

d e

r e s i s t e n c i a

a r m

o b r a ,

p ie z a ,

g a r a n t i z a r a d u r a s e l

s in

y

h o r m

q u e ,

c a s o

d e

la

c o n s i d e r a d a

te n id o s i g ó n

p r e s e n t a r

t a m

e n

c u e n t a

p o d r á p o c o

e n to s

e j e m

p l o

e n

q u e

d ic h o

n o ,

b i é n

l o s a

s u p e r i o r d e

q u e

p o r

e n

a n te s , e je m

u n

c m

u n

p l o

r ie s g o

e n t r a ñ a

p u e d e d e

s e n tid o

f o r j a d o s

u n

la

lo s

r e l l e n a r u n

f o r m m

a

e d io s

e f i c a z m

e x c e s o

d e

d e

d e

la

1 0

8

-

1 7

a s ie n to

e n

c m

I n te r v a lo

r e s u lta n te

1

A

±

1

±2

A

±

2

± 3

A

±

3

.

a s ie n t o

d e l

u s o

p a r a

la

e x c e s iv o , d e

s i

e s

f r u t o

d e

s u p e r f l u i d i f i c a n t e s ,

r e s i s t e n c i a

y

u n

c o n te n id o

s o l u c i ó n

d u r a b i l i d a d

d e

la

a lto

c o r r e c ta ) ,

r ie s g o

e l

u s o

d e

u n a

c o n s i s t e n c i a

e s tr u c tu r a .

c o m

p a c t a c i ó n

e x c e s i v a m

c o m

e n t e

a g u a

q u e

y

c o n

q u e d e n

d if ic u lta d e s

c o q u e r a s ,

s ie m

p r e

u n a

d o s i f i c a c i ó n

d e

e x te r n a s

r e c o r d a r s e

q u e

o

in te r n a s ,

la

c u id a d a

e n

e n

c o n s i s t e n c i a

q u e

c o n d u z c a

o b r a

e l

h o r m

d e l a

y ,

e n t e

u n

b a ja ,

ta n to ,

ig ó n .

h o r m h o r m

p o r

E n

i g ó n ig ó n

e l

e s te

h a f á c il

d e d e

u n

d e f e c to

b a r g o

l a s o n

d e

e s te

r e s i s t e n c i a s ie m

p r e

t i p o

c o n d u c ir á

d e

la s

p r o b e ta s

f á c il

y

e n é r g ic a m

a d e

u n a

e s t r u c t u r a

c o n tr o l

e n te

c o m

s e r á

d e f i c i e n t e ,

s a tis f a c to r ia ,

y a

p e r o q u e

s in la s

p a c ta d a s .

la

p a c ta c ió n

e l

q u e

a

c o m p a c t a r y e n e l l a será esencial disponer el cem ento necesario y no conseguir la resistencia reduciendo indiscrim inadam ente el agua. O b s é r v e s e

f o r ja d o s .

p ie z a

c o n d u c i r

d e b e

o b t e n e r s e

v o lu m

e n

r e d u c ir ía

s u

E n p a r a

d e

A

L a

c o n s i s t e n c i a

la

I n s t r u c c i ó n

r e a l i z á n d o s e

s e

e l

c l a s i f i c a

E H

E ,

e n s a y o

d e

la

r e s i s t e n c i a

s e g ú n

a c u e r d o

c o n

la

N

l a

o r m

s e a

m U

id e N

E

la

ta b l a l a

m

T - 3 2 .4

a y o r í a

d e

r e c o m lo s

e n d a m

o s

lo s

v a lo r e s

a d e c u a d o s

e n

n u e s t r a

o p in ió n

c a s o s .

T a b l a

m

e d i a n t e

e l

C o n o

8 3 .3 1 3 /9 0 ( 3 2 .1 8 ) .

T - 3 2 .3 .

1

718

-

d u r a b il id a d .

c o n s ,

p a r a

e s p e c i f i c a d a ,

s i g n i f i c a r

t a m

r i e s g o

e m

f i j a

T o le ra n c ia

o s

( y

p r o b e t a s v a l o r

5

q u e

Consistencia S u

c m

±

a g u a

q u e b )

e n

c o n s i s t e n c i a

C o m

c a r a .

e n

su

ó

s ig u i e n te s :

p l o )

s e a

p o r

-

ig o n a d o .

y a -

r e s u lta n te

o

P e r o s e

I n te r v a lo

2

d e f in id a

1

E n tr e á r id o

s ig u i e n te s :

a d u r a s

s i

y

n o

d e l

d e

a n c h u r a ,

c m

lo s

ig o n a d o .

d e

tip o

0 -2

±

p u e d e a - 3 )

s u

e n c o f r a d o .

l i b r e

b o r d e

a r m

v a i n a

e n

e n o s

d e

h o r i z o n t a l

4 5 a

a d u r a

h o r m

la

é s ta s

d e

d is t a n c i a

s i

f ija

in f e r io r

o

a n

la

E

d i s t a n c i a

in d e p e n d i e n t e s v a in a s

E H

e n t e

e n

P lá s tic a

ig ó n y

p o r

0

A s ie n to e n c o f r a d o s

T o le ra n c ia

c o n s is te n c ia

la

Tamaño m áxim o del árido E l

d e

d e f in id a

L a c o n s is te n c ia s e c a n o d e b e r í a s e r c o n t r o l a d a c o n e l C o n o d e A b r a m s , q u e e s m u y p o c o s e n s ib le p a r a e llo . E x i s t e n m é to d o s m á s a p r o p i a d o s c o m o e l d e V E B E .

719

E n m

to d o

o m

in m

lo

a n te r io r

e n to

d e l

e d ia ta m

e x p u e s to . o b lig a r a m

i cS tsu -<: j=S = J = £

£

I*2

21

o- >.

c )

e n te N

a

v a r ia r

la

o s

e l

r e f ir ie n d o

e n c o f r a d o

d e

s u

a m

s i

e l

tr a n s p o r te

e n te ,

d o s if ic a c ió n

a s a d o ,

d e

a g u a

a

l a

y

c o n s is te n c ia

n o

q u e

a

e s

d e l

a

lo

la

d e l

q u e

e l

ir r e le v a n te

h o r m

la r g o

ig ó n

d e l

a

e s

a ñ o

h o r m

h o r m lo s

e n

d e

e s to

la

te m

e l

te n g a

e f e c to s

la r g o ,

s e g ú n

ig ó n

ig ó n

lo

p u e d e

p e r a tu r a

Resistencia a compresión la

c a r a c te r ís t ic a

d e

e lla .

E l

té r m

c r e c e

in o

f u n d a m

p a r a le l a m

“ r e s i s te n c ia

r e s i s te n c ia

d e

u n

m

e n ta l e n te

d e l

is m

o

d e l

a

la

h o r m

h o r m

h o r m

ig ó n

y

r e s i s te n c ia

ig ó n ”

ig ó n

d e

y

s e

c a r e c e ,

e n

d e p e n d e ,

h e c h o

m

id e n

s í

m

e n tr e

la y

m

a y o r í a

c o n tr o l a n

is m

o ,

o tr a s

d e

d e a

s u s

tr a v é s

s e n tid o .

c o s a s ,

d e l

L a

tip o

y

23 a d im <

e n s io n e s

d e

c ilin d r ic a r e la tiv a d e

1 ^ 1 s

l a

p r o b e ta

e m

p le a d a

y

d e

s u

e d a d

y

c o n d ic io n e s

d e

3 c o n s e r v a c ió n .

S

e n

d e s p u é s

a t u r a lm

c u a lid a d e s

2

v e n im

b ie n te .

E s

B

n o s

v e r ti d o

g

d e

n o

E n 1 5

l a

I n s tr u c c ió n

c m

d e

in f e r io r

d iá m

a l 9 5 %

y

E H

e t r o a

y

2 0

±

E

s e

e m

3 0

c m

2 ° C

y

p le a d e

r o ta

c o m

o

p r o b e ta

a ltu r a , e n

c u r a d a

e s ta d o

h ú m

n o r m a

u n a

e d o

a

a l iz a d a h u m lo s

la

e d a d

2 8

d ía s

e d a d 1 ’2 .

T a m

b ié n

l a

r e s i s te n c ia

s e

e n f o c a

d e s d e

u n

p u n to

d e

v is t a

p r o b a b il ís tic o

y

la

í I n s tr u c c ió n

E H

e l

d e

m

é to d o

E

d e f in e

la

c o n tr o l

r e s i s te n c ia

d u r a n te

l a

a

c o n s id e r a r

e je c u c ió n

e n

e l

b a s á n d o s e

p r o y e c to e n

y

e s ta b le c e

c o n s id e r a c io n e s

p r o b a b il is ta s .

P a r a q u e

e llo , in tr o d u c e e l c o n c e p to d e resistencia característica , q u e presenta un nivel de confianza del 95%, o l o q u e e s l o m i s m o

p r o b e ta

S3 52

v a lo r .

S i

la s

m

u e s tr e a d a

E s ta

a l

d e f in i c ió n

r e s i s te n c ia s

g a u s s ia n a ,

e l

^

=

d e l

v a lo r

^

( 1

a z a r e s

tie n e

ta m

h o r m

b ié n

ig ó n

c a r a c te r ís t ic o

- 1

, 6

4

5

u n a la

p r o b a b il id a d

a d o p ta d a

c o n s titu y e n ( c u a n til

p o r

u n a

0 ,9 5 )

d e

e l

0 ,9 5

C E B

y

p o b la c ió n

v ie n e

d a d o

d e

e s ,

e l

s u p e r a r

p o r

la

c o n p o r

la

v a lo r

c u a lq u ie r d ic h o

F T P .

d is t r ib u c ió n e x p r e s ió n 3 :

)

[ 3 2 .9 ] d o n d e :

f ck

=

R e s is t e n c ia

c a r a c te r ís t ic a .

f cm =

R e s is t e n c ia

m

D

c u a d r á ti c a

8 =

e s v i a c ió n

v a lo r e s

L a s

720

d e

r e s i s t e n c i a s

la s

e d ia . m

e d ia

r e la tiv a

( c o e f i c ie n te

d e

v a r ia c i ó n )

d e

lo s

r e s is te n c ia s .

c a r a c t e r í s t i c a s

d e l

h o r m

i g ó n

a

c o m

p r e s i ó n

e s tá n

1

E l r e s to d e lo s p a ís e s e u r o p e o s , e x c e p to F r a n c ia , e m p le a n p r o b e ta s c ú b ic a s d e 15 ó 2 0 c m d e a rista . L a p r o b e ta c ilin d r ic a es la e m p le a d a ta m b ié n en E s ta d o s U n id o s . C E B y E U R O C O D I G O E C - 2 se b a s a n en la p r o b e ta c ilin d r ic a , a u n q u e in c lu y e n e q u iv a le n c ia s c o n la c ú b ic a .

2

E l e s ta d o d e h u m e d a d r e la tiv a ig u a l o s u p e r io r al 9 5 % , a p a rte d e su f a c ilid a d d e o b te n c ió n e s e l q u e c o n d u c e a u n v a lo r m ín im o d e la re s is te n c ia . U n h o r m ig ó n s e c o re s is te d e l o r d e n d e l 2 0 % m á s q u e en e s ta d o h ú m e d o .

3

E l M O D E L C O D E 9 0 a d o p ta u n a re la c ió n , p a r a lo s c a s o s h a b itu a le s , f cm=fck + 8 ( u n id a d e s e n M P a ).

721

www.libreriaingeniero.com r e c o m

e n d a d a s

e n

E H

E

y

s e

i n d ic a n

e n

la

ta b la

D

T - 3 2 .5

e

h e c h o ,

n o

s e

r e p r e s e n t a d o

TA BLA T-32.5

q u e ,

R E S IST E N C IA S T IP IF IC A D A S D E L H O R M IG Ó N

l a

d e

e c o n ó m

d e l

H -2 0

H -2 5

H -3 0

H -3 5

H -4 0

H -4 5

d )

H -5 0

q u e la s

lo s

l a

c o n

r e s i s t e n c i a

c á lc u lo

e l

h o r m

p r o b e t a s

a n á lis is

p r á c tic a ,

e n

d e

a

d e

c o n

e x p e r i e n c i a

a c tu a le s

c ió n

e l

a c u e r d o

b a s á n d o s e

D e s ig n a ­

a f i r m

p o r

d e

la s

a

ig ó n

e n

e s t r u c t u r a

e s té

L o

p u e d e

q u e

s i

in v e s t i g a c i o n e s

c o e f ic i e n te s

h o r m

c o n d u c e n

l a

o ld e a d a s .

t e ó r i c o s ,

lo s

d e l

i g ó n m

d e

m

a f ir m

d e

s e g u r i d a d

p r o b e t a s

e s tr u c tu r a s

c o r r e c ta m

r e g l a m

y

e s

la b o r a t o r i o

o l d e a d a s ,

s a t i s f a c t o r i a s

e n t e

a r s e

y

e n t a r i o s

lo s

m

y

é to d o s

r a z o n a b l e m

e n t e

ic a s .

Valores recom endables de la resistencia del horm igón

h o r m ig ó n L o s R e s is te n ­ c ia

y

c a r a c te ­ 2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

G

P a )

Ó

M

C o m n o

C a m p o

d e

S ó lo

N o

h o r m ig ó n e n

o

n a

v e z

p a r a

h o r m ig ó n

c a m

E n

p r e te n s a d o

I n s t r u c c i ó n v e r i f i c a r

e s t a b l e c e

q u e

r e s i s t e n c i a

e n

s e

m

p o

c la r o

n o

q u e

p r o y e c t o

e l

c o r r e s p o n d i e n t e

a n t i e n e

e l v a l o r

c o i n c i d i r á

c o n

d e

e l

e d if i c io s

e n

n o

u n

e l

l a

v a l o r

s u m

i n f e r i o r

a l

r e s i s t e n c i a

e s p e c i f i c a d o

O

b s é r v e s e

s u m

i n i s t r a d o

L a

r a z ó n

h o r m

e s A

e s

i g ó n

c u r a d o

a

n o

d e

la

e s t r u c t u r a

e d a d

d e

l a

s i s t e m

i n is tr o

r e s i s t e n c i a

a

d e

d e l

c a r a c te r ís t ic a ,

c o n t r o l

h o r m

e s ta b l e c id o

e n

c a r a c t e r í s t i c a

e n

e l

d e

c a lid a d

u n

v a l o r

ig ó n

e l

d e l

p r o y e c t o ,

e s

e l

h o r m h u m

m

s e r í a

c a r a c t e r í s t i c a

f i j a d o

p a c t a c i ó n

e l

e s t r i c t a m

d e l

e n

h o r m

i m

la

l a

p r o b e t a .

e s t r u c t u r a lo

t a n to ,

e s q u e

E l

d e

e l

i g ó n

9 5 %

i g ó n

d e y

h o r m

ig ó n

l a

h o r m

a

l a

t e m

p a r a d e

c o n

la

s u m

i n is tr a d o

c o m

o

n o r m

h o r m

la s

e l

v a l o r

e s tr u c tu r a s , ta n to

a

tr a b a jo s

r e s i s te n c ia s d e

M

O

R A

G

d e U

p o r lo s

E S

lo

m

q u e

s e

r e f ie r e

a te r ia le s ,

( 3 2 .1 9 ) ,

s o n

( 3 2 .2 0 ) ,

a

lu c e s

e s c a s o s , ( 3 2 .2 1 )

y

e n

p ie z a s ic o

d e

e l e m

c im

p le o

e n t a c ió n d e

h o r m

y

e n

g e n e r a l

ig o n e s

e n

p ie z a s

s u p e r i o r e s

a l

a

f le x ió n ,

H - 3 5 ,

e l

r a z ó n

p u e s d e

p o r

n u n c a

q u e

s o n

h o r m

d e b e

te n e r

r e s i s t e n c i a ,

e s p e c i f i c a d o

a e n

c l a r a

ig u a l e l

l a

i d e a

e d a d ,

q u e

d e e l

h a s ta

p ila r e s

d e

h o r m

p ila r e s ,

h o r m

ig ó n

lo s

d e b e

a

1 4 0

in f e r io r e s 2 . E n

y

M

e s o s

u n

a lc a n z a n P a

e s te

- 2 5

a m

f o ija d o s .

u til iz a r s e

q u e

H

p la n ta s ,

v ig a s

ig ó n ,

8 0

1 0

ig o n e s

d e

H

s ie n d o

is m

E n

h o r m

y a

d e

o s

ig ó n

la s

h o r m

ig o n e s

b io ,

e n

c a m

8 0

r e s i s te n c ia ,

tip o

- 3 5 1.

m

e d if ic io s ,

d e

r e s i s te n c ia

p la n ta s , á s l a

p u e d e n

e d if i c io s

a lta

s e

e s tá n

s o b r e

v e n ta ja

m

á s

m

a lta .

a y o r L o s

c o n s tr u y e n d o

to d o

d e l

r e s u l ta r

d e

e n

h o r m

p ila r e s

ig ó n

d e

d e a lta

-

A

h o r r o

ta n

d e

s e

2 0

± 2 ° C ,

h a b r á

q u e d e

la s

p r o b e t a s

á s

v ie n e

e n

e l

d e

tr e s

c o s te

d e p r i s a

q u e

d e

a s p e c to s

l o s

d if e r e n te s :

s u

p ila r e s ,

p u e s

la

r e s i s t e n c i a

d e l

h o r m

ig ó n

e s p a c io

e n

la s

d e

l a

p r e c io .

h o r r o

e n

o

d e

la

h o r m

I n c lu s o

e n

e s

2 5

e l

d e

z o n a s

b a ja s

p o r

la

r e d u c c i ó n

d e

s e c c ió n

t r a n s v e r s a l

e l

c o s t e

c i m

e n t a c i ó n

p o r

r e d u c c i ó n

d e l

p e s o

d e

l a

e s tr u c tu r a .

ig o n e s

p o

n o

a

3 5

M

e n

e m

r e s u l ta n ,

c o n d u c e n

e d if i c io s

lu z , d e

n o

lo s

p le o

d e

P a

d e

a

g r a n

e n

u n

g e n e r a l,

a h o r r o

a ltu r a ,

e l

ta m

b ié n

e n

b io d e

h o r m

r e s i s te n c ia 3. U

c u a le s

c a m

s ig n i f ic a t iv o

lo s

n a

ig ó n

a d e c u a d o

e x c e p c ió n

h o r m

in te r e s a n te s h o r m

ig o n e s

e s d e

e l

ig ó n

p a r a d e

a lta

e n

e n

v ig a s

ta le s

f o r j a d o s

e le m

e n to s

r e s i s te n c ia

n i

p ie z a s . y

v ig a s

e s b e lto s

tie n e n

u n

in te r e s a n te .

D iagram a característico del horm igón C o m

p o r

d e

g r a n

c a m

la

c o m

y ,

d e

p ila r e s .

f o r j a d o s , p u e s

e l

y

i g ó n

l o s

E s to s

la s

p o c o

v e r t i d o

h o r m

d i r e c t o

m

h o r r o

- A

r e s i s te n c ia

c u i d a d o s o s e l

p ila r e s

n i

r e s i s te n c ia ta m

A

d e

c ilin d r ic a s .

l a

e l

-

d e l

n i

l a

e n

ig ó n

c a s u a lid a d ,

1 5 /3 0 ,

v a l o r e s

d e

a ltu r a s

d e

p la n ta s

e l

a

e s tr u c tu r a .

p r o b e t a s

f u e r a n ,

t e s t i g o

c o n

la

c a r a c t e r í s t i c a

estim ásem os

y

p r o b e t a s

e s t r u c t u r a

a

d e l

d e

p e r a t u r a

e s t r u c t u r a

L a

i g ó n

r e s i s t e n c i a

p e r a t u r a

p a r a b l e

p r o y e c t o . e n

l a

c a r a c t e r í s t i c a

a v e r i g u a c i ó n , n i

a l i z a d a ,

d e

c o m

,

t e m

n o r m

e n s a y o

e n t e

p r o y e c t i s t a in f e r i o r

d e

o

( 3 2 .2 2 ) .

e c o n ó m

p a r a lo s

r a s c a c ie lo s

e ) e n

c o m

p r o y e c to .

s u p e r á n d o lo

d e l

l a

p o s i b l e

a l

e d a d

p r o b e t a

e d i a n t e

r e s i s t e n c i a

h a b l a n d o ,

d e

d e

l a

d e

c a r a c t e r í s t i c a

s u p e r i o r

to d o

c a r a c t e r í s t i c a

c o m

r e l a t i v a

a

o s

e n t e

c o n d i c i o n e s

c o r r e s p o n d i e n t e s

r e s u l t a d o

h a b l a m

r e s i s t e n c i a

e s t r i c t a m

r e d u c i r

la s

q u e

d e

q u e ,

h u m

p o s i b l e u n q u e

y

d e

p a r a

c r e c e h a b itu a l .

lo s

S O

g e n e r a l,

h a b itu a l

r e s i s te n c ia E s

a

O

r e s u l ta r

a c o n s e ja b l e s

e l

c a r a c t e r í s t i c a

E R M

iz a c i ó n

p ie z a s

r e c o m e n d a b le

m a s a

a d o p t a d o

H

n o r m

a ltu r a , U

o p tim

d e

d e s ta c a r s e

E Z

s u e le

e l e m p le o

s o b r e

e n s io n e s

d e b ie n d o

20 r ís tic a ( M

e s tu d io s

d im

o

d ia g r a m

in d ic a d o

e n

l a

a

c a r a c te r ís t ic o

f ig u r a

3 2 - 4 ,

f o r m

te n s ió n - d e f o r m a d o

p o r

u n

a c ió n

a r c o

d e

d e l

h o r m

p a r á b o la

0A

ig ó n ,

d e

s e e je

a d o p ta

e l

v e r ti c a l

y

p r o y e c t o 1 -2 .

1

A ig u a l e d a d y h u m e d a d , la r e l a c ió n d e r e s is te n c ia s d e l h o r m i g ó n d e la e s tr u c tu r a a l d e la s p r o b e ta s m o l d e a d a s o s c il a d e 0 .9 a 0 ,6 , s e g ú n la c a lid a d d e e j e c u c i ó n , f a c i li d a d d e v e r t id o y r e s is te n c ia d e l h o r m i g ó n , e tc . E n g e n e r a l, la r e l a c ió n d is m i n u y e a l a u m e n ta r la r e s is te n c ia .

1

A ig u a l e d a d y h u m e d a d , la r e l a c ió n d e r e s is te n c ia s d e l h o r m i g ó n d e la e s tr u c tu r a a l d e la s p ro b e ta s m o l d e a d a s o s c il a d e 0 ,9 a 0 ,6 , s e g ú n la c a lid a d d e e j e c u c i ó n , f a c i li d a d d e v e r t id o y r e s is te n c ia d e l h o r m i g ó n , e tc . E n g e n e ra l, la r e l a c ió n d is m i n u y e a l a u m e n ta r la r e s is te n c ia .

2

E s ta s r e s is te n c ia s s e c o n s ig u e n c o n c e m e n to s d e g r a n c a lid a d y r e l a c io n e s A /C m u y b a ja s , p e r o e m p le a n d o s u p e r f lu i d if íc a n te s q u e p e r m ite n o b te n e r c o n s is te n c ia s m u y f lu i d a s , e m p le a n d o sin

2

E n E s p a ñ a , h a e x i s t id o h a s ta 1 9 9 8 la c o s tu m b r e d e e m p l e a r r e s is te n c ia s m u y b a ja s d e h o r m i g ó n , c o n

3

D e b e p r e s ta r s e a t e n c ió n a q u e , si s e e m p le a h o r m i g ó n d if e r e n te e n p il a r e s d e l d e v ig a s y

f o r ja d o s , al

17,5 M P a . E s ta r e s is te n c ia , c o n lo s c e m e n to s a c tu a le s , p u e d e a l c a n z a r s e co n

h o r m i g o n a r e s ta s ú lt im a s p ie z a s la s “ r e b a n a d a s ” d e p ila r e s q u e s e h o r m i g o n a n a l m i s m o tie m p o q u e

c o n t e n id o s m u y b a jo s d e c e m e n to , c o n g r a v e d a ñ o p a r a la d u r a b i lid a d . P o r e llo s e h a e x c lu id o e n la n o r m a tiv a d e to d o s lo s p a í s e s , p a r a h o r m i g ó n a r m a d o y p r e t e n s a d o .

lo s f o r ja d o s y v ig a s d e b e n h o r m i g o n a r s e c o n la c a lid a d d e h o r m i g ó n p r e v i s t a p a r a lo s p il a r e s . E s to

f r e c u e n c ia

722

f ck

e m b a r g o p o c a a g u a , y a ñ a d ie n d o m i c r o s íli c e . ( V é a s e e l A n e jo 5 ).

=

c o m p lic a u n p o c o la e j e c u c i ó n . ( V é a s e e l A n e jo n° 5 ).

723

v é r ti c e

A,

d e f o r m

a c ió n

y

u n

tr a m

d e

o

AB %0.

r e c tilí n e o

r o tu r a

d e l

3 ,5

d e

d e f o r m

a c ió n

p e r f e c ta m

e n t e

p lá s tic a ,

c o n L a s

c a r a c t e r í s t i c a s

e x p e r i m

e n t a l

a d h e r e n te M

- T E S T ,

( f ig .

3 2 .5 ) ,

y

d e

in d i c a d a s

d e e n

l a

E l

é l

s e

d e

t a b l a

d e l

c o n

d e t e r m

c o r r u g a d o

q u e

l o

d e

a d h e r e n c i a

p r e v i s t o

i n a n

l a

e n

l a

te n s i ó n

( t bu),

a d h e r e n c i a

s o n

p r o p o r c i o n a n

e n s a y o

a c u e r d o

r o t u r a e n

é t r i c a s

g a r a n t i z a r

s a tis f a c to r ia .

B E A

te n s i ó n

g e o m

p a r a

q u e

l a

s e

N m

o b j e t o

a

d e

r e a l i z a

o r m e d i a

a

U

d e

d e b e r á n

c o m

b a r r a

N

p o r E

p r o b a c i ó n

u n a

c a p a c id a d

e l

m

é to d o

3 6 7 4 0 :9 7

(rbm)

a d h e r e n c ia

c u m

p l i r

la s

d e l

( 3 2 .2 4 ) y

la

c o n d ic io n e s

T - 3 2 .6 .

Figura 32-4 E s t e

d i a g r a m

p r e s e n t a

e n

v e r e m

m

E l

o s

a ,

á s

d e

h a b i d a

l a

l a r g o s

e l

C E B ,

a ju s te

p u e d e

l a

F I P

e x p e r i m

s u s t i t u i r s e

y

e l

e n t a l .

in c l u s o

E U

E n

p a r a

s u

d e l

h o r m

d if e r e n te

p e r í o d o s

d e

i g ó n

t a m

tie m

a ñ o

d e

l a

y

d e

p i e z a l a

R O

C Ó

d i a g r a m

a l

s in o

d e

p o s i b l e

D

a l g u n o s

no es un coeficiente de segurid a d ,

0 ,8 5

d e

p o r

b u e n

r e s i s t e n c i a

c u e n t a

d u r a n te

u n

a d e la n te ,

c o e f i c i e n t e

a j u s t e

a d o p t a d o

g e n e r a l

a s

q u e

l a

I G

O

c a s o s , m

á s

E C - 2 c o m

s im

r e p r e s e n t a

p r o b e t a

a p l i c a c i ó n

o

p le s . u n

Ensayo p o r el método de B E A M - T E S T p ara determinar las

c ilin d r ic a , d e

l a

características de una barra corrugada con el fin de la

c a r g a

hom ologación de la misma. Obsérvense los comparadores

p o .

electrónicos digitales y los transductores de inducción dispuestos en los dos extremos de la barra para registrar los 3 2 .5 .2

A

R M

A

D

U

R A

S

corrimientos. (Cortesía de IN T E M A C )

P A S I V A S

Figura 32-5 32.5.2.1 P roductos A

c t u a l m

e n t e

e s t á n

e n

u s o ,

c o m

o

a r m

a d u r a s

d e

h o r m

i g ó n

a r m

a d o ,

l o s

p r o d u c to s

te n s ió n

q u e

s ig u i e n te s :

a )

L a

B arras lisas S u

u s o

h a

s id o

a b a n d o n a d o .

L a s

c o r r e s p o n d ie n te s

n o r m a s

U N E

h a n

s id o

m

e d ia

p r o d u c e n

d e

a d h e r e n c ia

d e s liz a m

0 , 0 1 , 0,1

y

1

m

a d h e r e n te

d e

l a

b a ñ a

m

y

i e n to s e s

q u e

u n

e l v a lo r l a

b a ñ a

v a lo r

rbu,

e l

e s

d e

m

q u e

á s

tie n e

m

e d io

d e

r e s p e c t o

la s

a l

r e la c i o n a d o e s c a s o

te n s io n e s

h o r m

ig ó n

c o n

e l

s ig n i f ic a d o

d e

a d h e r e n c ia

q u e c o m

l a

r o d e a

p o r t a m

d e

i e n to

p r á c tic o .

c a n c e la d a s .

TA BLA T-32.6 b )

B arras corrugadas C O N D IC IO N E S D E A D H E R E N C IA D E L A S B A R R A S C O R R U G A D A S E s t á n

n o r m

T a n t o a c e r o l ím

la s

N

o r m

a s

d e s i g n a d o s

ite s

e lá s t i c o s

c a l i d a d

D

a l i z a d a s

a d o

e n

U

U

N

c o m

N

E

o

E

3 6 0 6 8 : 9 4

c o m B

o

4 0 0

l a

S

g a r a n t i z a d o s

y d e

( 3 2 .2 3 ) .

I n s t r u c c i ó n B

5 0 0

4 0 0

E H

S , d o n d e

y

5 0 0

N

E

c o n s i d e r a n

la s

/ m

c if r a s

m

2 .

A

m

d o s

tip o s

c o r r e s p o n d e n b o s

s e

a

f a b r ic a n

d e

D I Á M

(m m )

( N / m m 2)

( N / m m 2)

0<8

6,88

11,22

e n

s o ld a b le .

q u e

lo s

s e n s i b l e m

e n t e

2 1 5 .0 0 0

N

a c e r o s

d e

ig u a l

q u e

a l t a e l

r e s i s t e n c i a d e l

a c e r o

t i e n e n

u n

o r d i n a r i o ,

ó d u l o

d e

o s c i l a n d o

m

d e

e la s t ic i d a d 1 9 0 .0 0 0

8

<

0

a l a r g a m p i e z a s q u e

la s

i e n t o s , d e

h o r m

p r o d u c i d o

n o

2 ,

lo

a l q u e

i g ó n .

b a r r a s

c o n d i c i o n e s

724

m

s o n

d e

t r a b a j a r e n E s t e

e n

p r in c i p io r ie s g o

c o r r u g a d a s ,

a n c l a j e

e s ,

m

a

e j o r a n

g e n e r a l,

t e n s i o n e s c r e a r í a

a l t a s

p e l i g r o

e s t á

p a lia d o ,

c o n

lo

q u e

s u s t a n c i a l m

e x c e s iv o .

e n

s u e n t e

s u f r e n

d e

f is u r a c i ó n

g r a n

m

e d i d a ,

a d h e r e n c i a y

e l

t a m

i n c r e m

y

b i é n

p o r e n t o

e l lo

d e

3 2

7 ,8 4

-

1 2 ,7 4 - 0 ,1 9 0

- 0 ,1 2 0

6,66

4

3 2

g r a n d e s

e x c e s i v a p o r

<

a 0 >

/ m

?bu

^bm

E T R O

lo s

e n

h e c h o ta n to

la s d e s u s

f is u r a c ió n

L a s

c a r a c t e r í s t i c a s

o b j e t o l a s

d e

h o m

c a r a c t e r í s t i c a s

f a c i l i t a d o

p o r

d e

a d h e r e n c ia ,

o lo g a c i ó n .

e l

m

í n i m

E l a s

f a b r i c a n t e

a

s i

r e s u l t a n

C e r t i f i c a d o c u m

d e l

p l i r

a c e r o

p o r a

d e l a

H

s a t i s f a c t o r i a s o m

g e o m

p e t i c i ó n

o l o g a c i ó n , e t r í a

d e l

d e

lo s

e n e n

e l

e n s a y o ,

e l

q u e

r e s a l t o s ,

s o n

f ig u r a n d e b e

s e r

u s u a r i o .

725

www.libreriaingeniero.com TABLA T-32.7

c) M allas electrosoldadas

C A RACTERÍSTICAS M ECÁNICAS M ÍNIM AS GARANTIZADAS DE LAS BARRAS CORRUG ADAS

E s tá n a la m

5 C a r g a L ím ite C la s e

d e

fv e n

D e s ig n a c ió n a c e ro

e lá s tic o

m e n o r

q u e

N /m m m e n o r

A la rg a m ie n to

d e

d e

fsen

r o tu r a

2n o ( 1)

N /m m

u n ita r ia

s o b re

2n o

q u e

(

ro tu ra

5

1)

n o

e n

b a s e

R e la c ió n

f/fy

% d e

e n s a y o

d iá m e tro s

m e n o r (

m e n o r q u e

5,5

-

P a r a

e n n o

n o r m b r e s

-

e l

4 0 0

S o ld a b le

S

1 4

4 4 0

4 0 0

5 0 0

te n e r s e

e n

S e

L a s

f l) P ara el cálculo de los valores unitarios se utilizará la sección nominal. (2) R elación m ínim a adm isible entre la carga unitaria de rotura y el lím ite elástico obtenido en cada ensayo

A a

la s A

T a b la s

b a r r a s

T - 3 2 .7

d e b e n

T - 3 2 .8

c o r r u g a d a s ,

d h e r e n c ia . E n

n o

y

lo s

a d e m

e n s a y o s

a p r e c ia r s e

s e

d e

r e s u m á s

e n

d e l

la s

c o n d ic io n e s

C e r t i f i c a d o

d o b la d o - d e s d o b la d o

d e

e x ig id a s H

N

E

3 6 0 9 2 :9 6

p e r te n e c e n

-

7 ,5

8

7

y

-

-

c o n tr o l

c u e n ta

a

-

d e

8 ,5

la

e f e c to s

9

-

( 3 2 .2 5 )

la

d e

d e

d iá m c o m

s e r ie

9 ,5

f is u r a c ió n

c o r r u g a d o s lo s

-

a

-

1 0

y

-

1 0 ,5

s u p e r f ic ia l

e tr o s

4

r e a liz a d a s

a

p a r ti r

d e

s ig u ie n te .

- 4 ,5

p r o b a c ió n

d e

-

1 1

-

1 2

p u e d e n

1 4

m

m

u tiliz a r s e ,

m m . E s ta s lo s

y

m

e s ta d o s

a lla s

lím

a d e m á s ,

n o

ite

'.

p u e d e n

ú ltim o s - .

c o n

a la m

b r e s

c o r r u g a d o s

y

p u e d e n

f a b r ic a r s e

ta m

b ié n

a

p a r ti r

d e

c o r r u g a d a s .

c o n d ic io n e s a d e m á s ,

e x ig id a s

d e b e n

p o r

c u m

E H

E

a

p lir c o n

lo s

a la m b r e s

e l e n s a y o

d e

s e

r e s u m

a d h e r e n c ia

e n

e n

la

T a b la

a n te r io r m e n te

T - 3 2 .9 .

d e s c r ito .

1 ,0 5

N

la s

U

e t r o s

a la m b r e s

f a b r ic a n

L o s

E n

6 ,5

e n

d iá m

q u e

2)

1 ,0 5

12

5 5 0

5 0 0

S o ld a b le

S

-

r e p a r to c o n

E s to s , B

6

m a lla s

b a r r a s

B

a l iz a d a s

c u y o s

o m

in d ic a d o s

p o r

E H

o l o g a c i ó n

e n

la

T a b la

E

o r m / ,

n u d o s a

s o ld a d o s

N

E

s ie n d o

tr a c c i ó n ,

e lá s t ic o

a

U

d e b e r á n

3 6 4 6 2 - 8 0 A , e l

q u e

h a

á r e a d e

g a r a n tiz a d o

d e

la

s e r

e l

d e l

c u m

( 3 2 .2 6 ) ,

p lir

c o n

s e c c ió n m

a y o r

e l

u n a

e n s a y o c a r g a

d e

tr a n s v e r s a l

d e

lo s

d e

d e s p e g u e

d e s p e g u e

n o m

in a l

c o n c u r r e n te s

n o

d e l

e n

e l

d e f in id o in f e r io r

a la m

b r e

la

0 ,3 0

s o m

fye l

n u d o , y

e n a

e tid o lím

ite

a c e r o 3 .

d e

TABLA T-32.9

3 2 .7

f is u r a s .

CARACTERÍSTICAS M EC ÁN IC A S M ÍNIM AS G ARANTIZADAS DE LOS ALAM BRES

TABLA T-32.8 DIÁ M ETR O DE LOS M ANDRILES

E n s a y o E n s a y o

d e

tr a c c ió n

d e

(1 ) d o b la d o -

D o b la d o -d e s d o b la d o

d e s d o b la d o

a

D e s ig n a c ió n

=

9 0 °

/3 =

2 0 °

a =90°

D e s ig n a c ió n A la rg a m ie n to

12

12

d <

<

d

<

1 6

16

<

d

<

d

2 5

>

d e

2 5

lo s L ím ite

a la m b re s B

4 0 0

5

S

6

d

8

d

10 d

d

e lá s tic o

fy N

/m m (

B

5 0 0

6

S

8

d

10

d

C a r g a

fsN

2

2)

p

u n ita ria d e /m m (

2

2)

ro tu ra

R e la c ió n

(% )

=

(5 )

20 ° ( 6)

D iá m e tr o s o b re

b a s e

d e

5

f/fy

m a n d ril

d e

D’

d iá m e tro s

12 d

d

B

5 0 0

T

8 ( 3 )

5 5 0

5 0 0

1 ,0 3

(4 )

8

d

(7 )

d o n d e :

d

=

D

iá m

a -

Á

n g u lo

=

Á

d e m

d e

in a l

d e

(1) V alores característicos inferiores garantizados. (2) Para la determ inación del lím ite elástico y la carga unitaria se utilizará com o divisor de las cargas el valor nom ina

b a r r a

del área de la sección transversal.

d o b la d o

á s

d e

d e

lo

d e s d o b la d o

a n te r io r m

id e n tif ic a c ió n

e n

I

d e

n g u lo

d e l p a ís

6

n o m

(3) Adem ás, deberá cum plirse:

p A

e tr o

la

-

8

N

-

d e o r m

10

-

d e l

o r ig e n a

U

12

-

N

d e E

1 4

e n te

tip o la

1 6

a c e r o

U n ió n

3 6 0 8 8 .

-

in d ic a d o ,

d e

-

2 0

L a

-

2 5

la s

( g e o m

E u r o p e a . s e r ie

-

3 2

d e

y

b a ir a s e tr ía

L o s

d iá m

4 0

c o r r u g a d a s d e l

c ó d ig o s e tr o s

e s

d e b e n

c o r r u g a d o )

d e l

lle v a r m a rc a s F a b r ic a n te

c o r r e s p o n d ie n te s la

s ig u i e n te

s e

y

in d ic a n

:1

m m

L a s e r ie in d ic a d a tie n e , en p rin c ip io , la v e n ta ja d e q u e p e r m ite d is tin g u ir f á c ilm e n te lo s d iá m e tro s p o r s im p le in s p e c c ió n v is u a l. E l in te r c a la r el 14, h a c e p e r d e r e s ta im p o r ta n te c u a lid a d a la se rie .

726

E n E s p a ñ a n o e s u s u a l e l e m p le o d e d iá m e tr o s s u p e r io r e s a 12 m m a u n q u e s i f r e c u e n te la fa b r ic a c ió n c o n p a r e ja s d e b a r r a s e n c o n ta c to . E n o tro s p a ís e s s e lle g a a l d iá m e tr o 16. E H E a u to r iz a h a s ta e l 3 1 d e d ic ie m b r e d e l a ñ o 2 0 0 0 , la u tiliz a c ió n d e m a lla s , c o n a la m b re s c o r r u g a d o s d e d iá m e tr o s 4 ó 4 ,5 m m p a r a la c o m p r o b a c ió n d e e s ta d o s lim ite ú ltim o s . L ei ra z ó n e lim in a r lo s d iá m e tr o s f in o s , se b a s a e n q u e p a r a o b te n e r e s to s a la m b r e s c o n la d e b id a d u c tilid a d n e c e s a r io r e a liz a r la la m in a c ió n e n f r ío c o n p o c a r e d u c c ió n d e d iá m e tr o , es d e c ir p a r tie n d o d e a la m b r ó n m u y fin o , lo c u a l es c o s to s o . .

.

.

.

- i

\rf u e r o He l h n r m i p ó n .

727

A % > 20 - 0,02 f yt

32.5.2.2 Valores característicos

donde:

C o m

A

=

A

la r g a m

ie n to

d e

s e

f yi

=

L í m

i t e

e lá s t ic o

o

m

e d i d o

e n

c a d a

e n s a y o

d e f in e ,

s e n tid o

S i

>

1 , 0 5 - 0 , 1

h a b i t u a l m

(~ - 1

) <

\J y k

I

e n t e

a

e n t e

c o m

o

u t i l i z a d o

v im

va lo r característico,

d e

d e l

lo s

g a u s s ia n a ,

Jy>

v a l o r

a n á l o g a m

c o n f i a n z a

(4) A d em ás, deberá cum plirse:

~

e l

e n

lo s

c a s o s

e s

e l

d e l

lí m

i t e

e lá s t ic o ,

é s te

r o tu r a

9 5 %

l ím e l

o s

e n

e l

c a s o

e n t e n d i e n d o

d e

p o r

la

r e s i s t e n c i a

ta l

e l

q u e

d e l

h o r m

p r e s e n t a

ig ó n ,

u n

e n

n iv e l

e l d e

.

ite s

v a l o r

e lá s t ic o s

d e l

c a r a c t e r í s t i c o

a c e r o

c o n s t i t u y e n

( c u a n til

0 ,9 5 )

v i e n e

u n a

p o b l a c i ó n

d a d o

p o r

la

d e

d is t r ib u c ió n

e x p r e s ió n

1 ,0 3

/ y i = / v , „

( 1 - 1 .6 4 5 )

[ 3 2 .1 0 ]

d o n d e : d o n d e :

=

fy¡

L ím

(5) a =

e lá s t ic o

m

e d id o

e n

c a d a

e n s a y o

-

L ím

i te

e lá s t ic o

c a r a c te r ís t ic o

f ym =

L í m

i t e

e lá s t ic o

m

S

D

f yk

f$i ~ f yk

i te

C a r g a

=

L ím

u n ita r ia

i te

o b te n id a

e lá s t ic o

e n

c a d a

e n s a y o

=

Á ngulo de doblado

(6) p =

Á ngulo de desdoblado D iám etro nom inal del alam bre R e a l m v a lo r a c e r o

d e

lo s

a la m

b r e s

c o r r u g a d o s

s e

o b tie n e

p o r

u n

p r o c e d i m

i e n t o

d e l

in a c ió n

e n

f r í o

y

n o

d e

t r e f ila d o .

S u

d i a g r a m

a

t e n s i ó n - d e f o r m

a c i ó n

e s

tip o

in d ic a d o

e n

la

n a tu r a l

f ig u r a

3 2 - 6

p r e s e n t a n

u n

c o n

©

d ia g r a m

m a

i e n t r a s d e l

q u e ,

u s u a l m

e n t e

lo s

a c e r o s

c o n

u n

a m

p lio

E n tr e

lo s

d o s

ti p o s

d e

a c e r o

h a y

d if e r e n c ia s

d e

c o m

e l

a l a r g a m

ie n t o

q u e

e x p e r i m

e n t e n

e n

l a

c o m

o

l o s

v e r e m

e lá s t ic o ,

s in o

s e n tid o ,

( f ig .

lo s

3 2 - 7 ) ,

m

lím

o s u n a

e d i a ite s

r e l a t i v a

( c o e f i c ie n te

lo

a m

p lia

f a b r ic a n te s

u n a

a s¡ q

te n s ió n

u e

q u e

s ig u e ,

z o n a

d e l

d e b e r ía n

c o m

ti e n e

n o

s ó lo

d ia g r a m

o

g a r a n t i z a r

u n

a q u é l n iv e l

e n

Ey

e l

d e l

a la r g a m

lím

p r e s e n ta

m

ite

728

d e

v e n

a m

e n te

a c e r o , b o s

e lá s tic o ,

a y o r e s

F r e c u e n te m tip o

ie n to

esp,

p o r t a m

a

a

s e

ig u a ld a d

c a s o s .

a d o p t a p u e d e

lím

p a r a

d e

d e f o r m

a la ig a m

ite

d e

e l

c á lc u lo

c o n s i d e r a r s e

a c io n e s

ie n to s

e l

p r o p o r c io n a lid a d , e l

a c e r o

s u p e r io r e s

u n ©

d i a g r a m s i

d e l

d e

a

c o n f i a n z a

o s

e n

e l

c á l c u l o

e l

a c e r o .

diagram a característico d e f o r m a c i ó n e¡ l e

c a d a

g a r a n tiz a d o

p o r

e l

F a b r i c a n t e ,

la

I n s t r u c c i ó n

E H

E

d e l

9 5 %

a d o p t a

’ .

e l

A

f a l t a

d ia g r a m

d e a

u n

d e

la

3 2 - 8 .

e s tr u c tu r a .

h a s ta

s e

a

a

d e s e a .

d e

d u r e z a

o c u r r e

d e l E n

tip o e l

lo

(D,

a c e r o s

l a m

in a d o s

Figura 32-8

e n

f r í o ,

p u e d e

a d o p ta r s e

e l

d ia g r a m

a

d e

la

f i g u r a

3 2 - 9 ,

e l c u y a

te n s io n e s . P a r a

p e r o

a l

a n e ja m

a

i e n to

P a r a c o r r e s p o n d ie n te

v a r ia c i ó n ) ,

m

u n

q u e

Figura 32-7

D e s d e

d e

e lá s t ic o s .

e n

e n te n d i d o

d e

f ig u r a s e g ú n

y

ite

d e

e s c a ló n d ia g r a m

h o r iz o n t a l.

e s te

a c e r o

c o r r e s p o n d e

CD,

tip o

e n t e

lím

c u a d r á t i c a

v a lo r e s

d e l d e l

d u r e z a

lo s

d e E n

la m

e s v i a c i ó n

d e

(7) d =

E l

e d io

g a r a n tiz a d o

e x p r e s ió n

a n a lít ic a

v i e n e

d a d a

p o r

la s

f ó r m

u la s

n a tu ra l

c o n tra r io .

p a r a

C a p ítu l o

to d o

1 2 0

s e

V éase

el

tr a b a jo

“ C o n s id e ra c io n e s

so b re

n o rm a liz a c ió n

de

arm a d u ra s

p ara

h o rm ig ó n ”

(J.

C A L A V E R A ) ( 3 2 .2 7 ) . E n é l p u e d e a m p lia r s e e s te a s p e c t o , q u e e x i g e a lg u n a s m o d i f ic a c io n e s en la d e f i n ic i ó n tr a d ic i o n a l ( e in c o r r e c ta ) d e l lím it e e lá s tic o c a r a c te r ís tic o . E l M O D E L C O D E 9 0 r e c o g e e s ta d if e r e n c ia q u e e s c o n c e p tu a l m e n t e im p o r ta n te .

729

www.libreriaingeniero.com A

d e m

á s

d e

l a

c o n d ic ió n

d e

l a

c o n d ic io n e s

T a b la

d e

a lta

a d h e r e n c ia

T A C

A

R

A

C

T E R

Í S T I C

A C

S O

M R R

D esig n ació n

E C

Á

N

I C

U

A

D

A

G

fy ( N /m m 2)

C la s e d e a c e ro

e s to s

a c e r o s

d e b e n

c u m

p lir

la s

T - 3 2 .1 0 .

A S

B L A S

G

D

T - 3 2 .1 0

A

E

A

R A C

N

E R

T I Z A O

B

fs ( N /m m 2) n o

no

D

A

4 0 0

/ y re

S

D

E

L A

S

B A

R R A

S

S D

Wy

m e n o r q u e (1 )

m e n o r q u e (1 )

n o m in a l

400

480

< 1 ,2 0

A la rg a m ie n ­ to d e ro tu ra

fjfy

p.

en ensa­ y o (2)

>9%

> 1 ,2 0

so b re b ase de 5 d iá m etro s

‘■'max

S o ld a b le co n

os < ~ Q Jfyk

- -0 ,8 2 3

—

E. f yk
~ 0 .7

c a ra c te r ís tic a s

B 400 SD + 0 ,7

fyt

(]) Para el cálculo de los valores unitarios se utilizará la sección nominal. [ 3 2 .1 2 ]

(2) Relación mínima y m áxim a adm isible entre la carga unitaria de rotura y el límite elástico obtenido en cada ensayo. E s ta s

b a r r a s ,

c o r r u g a d a s ,

e

=

—

^ 1 ,3 5

d u c tilid a d

as = es E,

yk

rel="nofollow">20%

e s p e c ia le s d e

[ 3 2 .1 1 }

—

+ 0 ,8 2 3

- 0 ,7

[ 3 2 .1 3 ]

g r a n

a m

a d e m

á s

d e b e n

p litu d

d e

lo s

r e s i s tir

ta l c o m

o

s e

e l

o tr o s

r e q u is ito s

e n s a y o

d e

p r e s c r i b e

e n

r e s ta n te s

c a r g a P N

E

c íc li c a

3 6 0 6 5

c o r r e s p o n d i e n te s

c o n

E X

tr e s

c ic lo s

( 3 2 .2 8 ) . V

d e

é a s e

a

la s

b a r r a s

h is t e r e s i s

e l C a p ítu lo

d e 6 7 .

fyk

£ .

b )

M

O

D

E L

C O

D

E

9 0 .

C o n s i d e r a

tr e s

c la s e s

d e

a c e r o ,

d e

a c u e r d o

c o n

s u

d u c tilid a d . P a r a c o m

a c e r o s

p r e s ió n

32.5.2.3

s e a

m

la m á s

in a d o s b a jo

e n

q u e

f r ío ,

e n

p u e d e

tr a c c i ó n ,

o c u r r ir

a u n q u e

q u e

la

e l

m

ó d u lo

d if e r e n c ia

d e

c a r e c e

e la s t ic i d a d d e

im

e n

p o r ta n c ia .

f C L A

S E

A :

C L A

S E

B :

C L A

S E

S :

~> Jv

Clasificación de los aceros según su ductilidad

a )

I n s t r u c c i ó n

P a r a

z o n a s

s u p le m

E H

s ís m

e n ta r io s

ic a s ,

l a

I n s tr u c c ió n

e l

a c e r o .

<— <

1 .2 0

L a s

E H E ,

e n

s u

c o n d ic io n e s

A

n e j o

s o n

y

£uk > 5 %

[ 3 2 .1 6 ]

1 ,0 5

y

£uk > 2

[ 3 2 .1 7 ]

1 ,1 5

y

£uk > 6 %

f

-~> Jv

E

p a r a

1 ,0 8

la s

1 2 ° ,

e s ta b l e c e

r e q u is ito s

f

s ig u ie n te s :

1 ,3 5

[ 3 2 .1 4 ]

E n

fy

lím

emm> 9%

z o n a s ite

[ 3 2 .1 5 ]

-p > Jv d e

a lto

e lá s t ic o

r ie s g o

s ís m

ic o ,

p u e d e

e x ig ir s e

,5 %

a d e m

[ 3 2 .1 8 ]

á s

u n a

lim

ita c ió n

a l

r e a l

Í f eol <

1 3

[3 2 .1 9 ]

fyk U n

a c e r o

S D

( s o ld a b le

q u e

c u m

p le

c o n

c a r a c te r ís t ic a s

e s ta s

c o n d ic io n e s

e s

e n

E s p a ñ a

e l

d e f in i d o

c o m

o

B

4 0 0 ( £ llfc e s

N

o r m

l a

a

n o r m

U

N

a

s o n

E

e x p e r im lo s

d e

e n ta l

la

e s p e c ia l e s

3 6 0 6 5 :9 7

E X

d e

d u c tilid a d ) ,

( 3 2 .2 8 ) .

L o s

d iá m

n o r m e t r o s

a l iz a d o

e n

c u b ie r to s

-

8

-

1 0

-

1 2

-

1 4

-

1 6

c a r a c te r ís t ic o

d e l

a la r g a m

ie n t o

r e p a r t id o

b a jo

c a r g a ) .

p o r

-

2 0

-

2 5

-

3 2

-

4 0

m

E U

R

O

C

O

D

I G

O

E C

- 2

m E l

730

v a lo r

s e r ie : c )

6

e l

la

E U

R O

C Ó

D

I G

O

E C - 2

p r e s e n ta

la

c la s i f ic a c ió n

s ig u ie n te :

731

TABLA T-32.11

A ceros de alta ductilidad

D im e n s io n e s

y

£ “t >

5 %

n o m in a le s

d e

la s

g r a f ila s

D iá m e tr o

[ 3 2 .2 0 ]

n o m in a l

A ceros de d uctilidad norm al

d e l P r o f u n d id a d

a la m b r e

(a )

c e n té s im a s

d e

L o n g itu d

m m

( 0

(p)

S e p a ra c ió n

m m 7

, - ^

>

1

, 0

£uk > 2

5

y

d e

lo s

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ESPACIAMIENTO

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Figura 32-11

Figura 32-10

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... :

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37

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30

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1670

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19,6 154

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12,6

12,6

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±0,25

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recta

transversal

sección


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13 15

de la carga característica de rotura.

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de un alambre estará comprendido entre el 85%

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El valor del límite elástico al 0,2%

144

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1

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00

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86,3

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|

42,7

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| 61,3

53,4

i 41,6

30,3

1 i 19,4

1 27,4

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oo oo 03

40,6

i s ’5 r

1 i 10,4

doblado

alternativo

3) kN 1 l !

14,6

de rotura característico mínimo de la

kN

Caraga m á x i m a Valor Tolerancia de la

-

a - S

0 ‘£

734

a

y

2) kN

del límite del límite elástico al 0,1 1 elástico al 0,2'

Diámetro del Valor

característico

! característico

i

Valor Valores especificados

DE LOS A L A M B R E S Y PR O PIED A D ES

T -3 2 .1 2

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L a

VI r-

to le r a n c ia

601

TABLA

1

D IM E N SIO N E S

-

0Z

mandril para el ensayo de

|

www.libreriaingeniero.com

2 %

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1 0 0 0

2 0 ° C ,

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m

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de la carga máxima

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3 6 0 9 4 :1 9 9 7

TABLA-32.13 REQUISITOS ADICIONALES PARA LOS ALAM BRES E specificación

Propiedad M ódulo elástico

205 kN /m m 2 ± 7%

M ínim o alargam iento bajo carga m áxim a (Ag1) L0 > 100 mm

3,5

E stricción a la rotura: A lam bres lisos

>25%

A lam bres grafilados

Visible a sim ple vista

N úm ero m ínim o de doblados alternativos (l): A lam bres lisos

4

A lam bres grafilados

3

R elajación m áxim a a 1000 h A l 60%

1,5%

A l 70%

2,5%

A l 80%

4,5%

Fatiga: A lam bres lisos

200 N /m m 2

A lam bres grafilados

180 N /m m 2

C orrosión bajo tensión: Valor m ínim o individual

1,5 h

Valor m ínim o de la m edia de los ensayos

4h

1) Para alambres destinados a la armadura transversal de tuberías y aquellos que deban cumplir exigencias especiales de durabilidad, el alargamiento bajo carga m á x i m a será del 5 % y el número mí n i m o de ciclos de doblado alternativo que debe soportar el alambre será de 7. 2) El valor de la relajación es el obtenido empleando una carga inicial igual al 60%, 7 0 % u 8 0 % de la carga de rotura real, medida en probeta contigua. E n aquellos casos en los que las exigencias de enderezado sean m u y severas, c o m o la fabricación de traviesas de ferrocarril (diámetros 7 - 7,5 - 9,4 y 10 mm ) , se podrá acordar con el cliente el suministro de alambres de relajación normal, en cuyo caso se aplicarán los siguientes límites de relajación a 1000 h: Al 6 0 %

4,5%

Al 7 0 %

8,0%

Al 80%

12%

735

P A R A

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e x c lu s i v a m

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246

2297

23 3

24,6

225

16 4

85,1

237

2215

1 82,2

45,9

158

47,5

34,3

326

304

! 279

310

1

265

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96,7

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±2,80

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|

150

150

! 13,6

1176

11 01

10 7

1176

1

1 785

±0,27

±1,04

! 100

±0 ,5 8

,

52

29,0

r

!

54,0

32,8

I

18 6

50,9

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45,9 39,2

43,5

218

|

37,0

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23,5

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7 3 6

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CQ

La masa se calcula a partir de la sección transversal recta especificada y dando un valor a la masa específica del acero de 7,85 k g /d m 3. La tolerancia del área de la sección transversal está basada en un ±2% del área de la sección transversal. El valor característico del límite elástico al 0,1% secalcula como el 85% de la carga característica de rotura. El valor característico del límite elástico al 0,2% se calcula como el 88% de la carga característica de rotura Los cordones de 2 y 3 alambres se emplean normalmente para pretensado por adherencia.

C E R O

c o n s i d e r a

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1860

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1860

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227

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VO


1860

TABLA

32 .5 .3 .4 Cordón

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1860

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DE LOS

r e s t o

Y P R O P IE D A D E S

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D IM E N SIO N E S

P a r a c o r d o n e s .

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09Z

Figuro 32-12

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1

3 2 - 1 2 .

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21,3

e s p e c if ic a c i o n e s

a c e p t a c i ó n

2 2

d iá m

29,3

y

e l

E l

25,0

1 4

v e c e s

e n te

oo

!

s e

e n tr e

2 5

h e lic o i d a lm

±0 ,2 8

e t r o s

la s

y

y

e n r o l l a d o s

TO RZA LES

d iá m

d e

b r e s

1 5

b r e s

±0,25

d e

c o n d i c i o n e s

a l a m

e n tr e

a la m

96,7

p a r te

d o s

t r e s

en en

1

A

d e

p r e n d id o

o

1770

b r e s .

d o s

o\

|

t o r z a le s

a la m

c o m

p o r

S ecció n

p a r a

e s t a r á

a d o

D iám etro

h é l i c e

f o r m

V alores e s p e c i f ic a d o s

d e

p r o d u c to

V alores n o m in a le s

p a s o

e l

Y CORDONES

E s

V alor c a ra cte rístic o del lím ite elástico al

3 2 .5 3 .3 T o r z a l1


25,5

e n s a y o .

21,8

la lo s

6,0

e n

5,6

d é

o

kN

0 ,9 5

c o m

kN

e l

0,1) 3>

y

kN

0 ,8 8

kN

e l

g a r a n tiz a d o s

mm2

e n tr e

v a lo r e s

mm2

lo s

g/m

p r e n d id o

e n

M Pa

c o m

ta n to

mm

e s t a r á

p l i r s e

I

c u m

Valor característico del lím ite elástico al 0 , 2 4)

c a d a

d e

Carga m á x im a de ro tu ra

e n

c a r a c t e r í s t i c o h a

Tolerancia de la Valor sección característico transversal mínimo de la recta 2) carga de ro tu ra

o b t e n i d o s

E s t o

tran sv ersal recta

e lá s t ic o

Masa 11

ite

r o tu r a .

Resistencia a la tracción

lím

d e

acero

E l c a r g a

737

www.libreriaingeniero.com E l F i g u r a

d iá m

e t r o

d e

lo s

c o r d o n e s

s e

d e f in e

y

m

id e

d e

a c u e r d o

c o n

lo

in d ic a d o

e n

la

32.5.3.5 Barras

3 2 - 1 3 . L a s h a y

N

b a r r a s

o r m

a

U

a )

L a

b )

E l lím

p a r a

N

E

c a r g a

e n

ite

L a

T a b la

a d ic io n a le s

T - 3 2 .1 4

p a r a

r e c o g e ,

to r z a le s

y

d e

a c u e r d o

c o n

c ) U

N

E

3 6 0 9 4 :1 9 9 7

lo s

e l

E l a

r e q u is ito s

d e b e

a la r g a m m

E l

TABLA T-32.15 e )

m

ín im o

a la r g a m ie n to

1 9 5

b a jo

c a r g a

L a

E s p e c if ic a c ió n

m á x im a

(A £ f)

2±

k N /m m

7 %

c a r g a

s e r á

la

r o tu r a

V is ib le

a

s im p le

m á x im a

a

1 0 0 0

h

2 ,5 %

A l

4 ,5 %

d e

te r m

d e

C o r d o n e s

lis o s

1 9 0

N /m m

2

C o r d o n e s

g r a f ila d o s

1 7 0

N /m m

2

d e s v ia d a

a la m b r e s

d e

a p lic a b le

d iá m e tro

a

c o rd o n e s

b a jo

n o m in a l

d e

7

D

_

=

in d iv id u a l

V a lo r m ín im o

d e

d e

c o rd ó n

>

1 3

m m

la

m e d ia

i n d i c a 2 %

l a e n

d e

lo s

r e la ja c ió n lu g a r

e n s a y o s

4

h

m

á x im

a

3 ,5 %

a ,

m

9 8 0

e l 7 5

y

N

s o b r e

m

2 .

e l

9 0

p o r

y

e n

lo s

g a r a n tiz a d o s

e d id o

/m

b a s e

d e

1 0 0

c f máx. E

d

r e a le s

s ta

o b te n id o s

l o n g it u d

n o

in f e r io r

.

U

N

E

1 0 0 0 d e l

te n d r á

e l

v a lo r

g a r a n tiz a d o

p o r

e l

f a b r ic a n te

c o n

u n a

.

s in

r o tu r a

n i

a g r ie ta m

ie n to

e l

e n s a y o

d e

d o b la d o

7 4 7 2 :8 9 .

h o r a s

v a lo r

r e a liz a r s e

a

t e m

p e r a tu r a

e f máx g

d

s e g ú n

d e

2 0 °

a r a n tiz a d o ,

U

N

E

n o

± 1 ° C s e r á

3 6 4 2 2 :8 5

y

p a r a

u n a

s u p e r i o r

a l

te n s ió n

3

p o r

in ic ia l

c ie n to .

E l

( 3 2 .3 1 ) .

E l

lím

ite

e lá s t ic o

h a

d e

e m

p le a r s e

d é

c a d a

e n s a y o .

e s t a r á

u n

a l

7 0 %

h a c e r lo

d e e n

l a

e l

c a r g a

2 ,5 %

d e

c o m

p a r a

p r e n d id o lo s

v a lo r e s

e n tr e

r o t u r a

e s ta b l e c id o

e l

0 ,8 8

g a r a n tiz a d o s

y

l a

e n ta n

t r a t a m

r e la c i ó n u n a

p o r

u n

i e n to lím

ite

c ie r ta

a r m

q u e ,

im

e l

p r o c e s o

d e

té r m

a p lic a d o

ic o

e n v e je c im

p o r ta n te

á s

e lá s t ic o / c a r g a

e l im

a d u r a s

a d e m

c á lc u lo

i e n to

L a

d e l

p a r a

f ig u r a

e b e

in a c i ó n

d e

ie n t o

d e s p u é s

la s

l a

r o tu r a ,

a q u e lla s

v e n ta ja s

d e

d e

t e n s io n e s

e s ta b i liz a d a s

d e

r e d u c c ió n

d e

la s

d ia g r a m c a d a

3 2 - 1 4

p ie z a s a

n a tu r a l. d e l

E s te

tr e f ila d o

f e n ó m y

e n o

q u e

tie n e

e n u m

a u m

e n ta r

e l

a la r g a m

ie n t o

in te r n a s .

q u e

h a n

e r a d a s

s u f r i d o

e n

e l

u n

tr a t a m

p á r r a f o

i e n to

a n te r io r ,

r e la ja c ió n .

d e

h o r m

te n s ió n - d e f o r m

tip o

d e

r e c o g e

g a r a n tiz a d a

p o r

U

N

E ,

p e r o

e l c o m

0 ,9 5 o

d e

p a r a

la lo s

c a r g a

c o n s id e r a r s e

d e l

h o r m

ig ó n

a r m

a d o

p a r a

ig ó n

p r e te n s a d o

a c ió n

d e

l a

e s

a r m

d e

g r a n

a d u r a

y

e l

im

p o r ta n c i a

f a b r ic a n te

e l

d e b e

p r o d u c to .

d ia g r a m

e n ta l

r e a l i z a r s u

s e n tid o ,

d e b e

tip o s

c o r d o n e s ,

p o s te r io r

m

á x im

o b te n id o s

d e

te n e r s e

a s

tie n e

l a

p a r a

u s u a le s .

E n

e s te

r e p e titi v o

i e n to

is m

a

d e l

im

e l

c á lc u lo

u n

s i

s e

d ia g r a m

c a s o , p a r a

d e b e e l

d ia g r a m

p o r ta n c i a

c o r r e c t o ,

c u id a d o

p r e s e n te n

e l

m

c á lc u lo

i e n to

r e p e titi v o . y

c o n o c im

e s p e c ia l

q u e

te s a d o

e l

u n

c o n o c im

r e f e r id o

d e

q u e

p r e te n s a d o ,

( s e c c ió n

d e l

ta n to

e x p e r im

h

r e a l.

E s to

b r e s

u n a

r e c o r r id o

738

a

p r o v o c a r

g a r a n tiz a r lo 1 ,5

f u n d a m

s e c c ió n

e n

e d ia n t e

e c á n i c o

c o n o c im

(1) E l valor de la relajación es el o b tenido em pleando una carga inicia) igual al 60% , 70% u 80% de la carg a de rotura real m ed ida en probeta contigua.

la

e n tr e

v a lo r e s

( N o

32.5.3.7 D iagram a tensión-deform ación

D

a

p r e n d id o

lo s

a

E H E .

2 8 %

te n s ió n :

V a lo r m ín im o

e l

± 7 %

s o p o r ta r á n

d e b e

e n tie n d e n

o m

P a r a

e n

e la s t ic i d a d

d e l

7 0 %

e le v a r y

p r o d u c e n

F a tig a :

T r a c c ió n

m

o b je to r o tu r a

S e 8 0 %

E

in f e r io r

I n s tr u c c ió n

s ig u i e n te s :

( I -':

A l 7 0 %

E H

a l

a la m

a c e le r a

p o r

in a l)

s e r á

l a

la s

v is ta

1 ,5 %

n o m

o

e n

s o n

32.5.3.6 Tratamientos

A l 6 0 %

C o r r o s ió n

in f e r io r

e s p e c if ic a n

3 ,5

s e R e la ja c ió n

e n

b a jo

n o

r e la c i ó n

e n s a y o

L o s a

c o m

p lir

ie n t o

b a r r a s

ig u a l

L0 > 5 0 0 mm E s tr ic c ió n

e s ta r á

c u m

s e

e s p e c if ic a c i o n e s

f mSx, n

a ,

b a r r a .

ó d u lo

L a s

f ) P r o p ie d a d

M

á x im

c a d a

e s p e c if ic a d o

e lá s tic o

L a s

d e

m

to le r a n c ia

R EQ U ISITO S A D IC IO N A L ES PARA L O S C O RDO NES

ó d u lo

m

p r e te n s a d o

a ) .

c o r d o n e s . d )

M

te m

e lá s t ic o / ^ , s e

e n s a y o

2 0 0

ig ó n

e l

u n ita r ia

r e la c i ó n

Figura 32-13

h o r m

s o b r e

p e r o ,

y m a

a

d e

q u e

a d e m

l a

a r m

m

a n e ja r s e

c á lc u lo

d e

la s

ig ó n

e l

p r e te n s a d o

d e

te s a d o .

a d u r a s ,

e l

c a s o

e n

a r m

p r im

e l

á s ,

a n e ja n

e r

ta le s

c ic lo

n o v a l

d e

d e l

h o r m

c a s o

d e l r e c o r r id o

( a

e n

e l

c o n tr o l

n o v a l

a d u r a ,

e n

c o m

o

c a r g a )

p a r a

e l

ó d u lo

d e

E n

e s e s te

a lg u n o s d is t in to

c á lc u lo

d e l

p ie z a s .

a . D e

c o n c o n

u n a

a c u e r d o

c o n

t o l e r a n c i a

d e

E H ± 7 %

E , .

e l

f a b r i c a n t e

S e r í a

d e

d e b e

d e s e a r

q u e

g a r a n t i z a r l a

g a r a n t í a

e l s e

m

o r i e n t a s e

e n

e l a s t i c i d a d e l

s e n tid o

739

d e

d a r

lo s

v a l o r e s

a s o c i a d o s

a

c a r a c t e r í s t i c o s

n i v e l e s

d e

s u p e r i o r

c o n f i a n z a

5 %

y

e

i n f e r i o r

9 5 %

,

d e l

m

ó d u l o

r e s p e c t i v a m

d e

e n t e .

e l a s t i c i d a d ,

V

é a s e

l a

c o m

o

l o n g it u d ,

r e f e r e n r i a

( 3 6 .2 7 ) .

d e l

la

l a

f u e r z a

te n d ó n ,

q u e

s e

h a s t a

p r o d u c e

d e l a

e l

p r e t e n s a d o

z o n a

f e n ó m

C A R G A S

e n

E s

C U R V A

( 0 = 5w m )

C A R G A S

-

a d h e r e n c i a

D E F O R M A C IO N E S

e l

d e l

te n d ó n

a l

l a

d e l

t e n d ó n ,

t

i n s t a n t e

d e b id a s

O

e n

1

2

ALARGAMIENTO %

3

4

E n

(Corteara de NUEVA MONTAÑA QUIJANO, S A )

Figura 32-14 a)

i e n t o

d e ñ n i t v a

2% ó

p a r e c e

3 ,5 %

i n t e r e s a n t e s o b r e

s u f i c i e n t e

c o n

e l

f in

s u p u e s to ,

e s

d e

v is t a

e l r e p a r t i d o

p a r a

p e r m

e l

a ,

p e r o

l a

d e

b a j o

s u

u s o

c a r g a

p u e d e

e s tr u c tu r a s

i t i r

E ,

y

L a

d e

y

l a

e l

s i e m

p r e

c o n t r o l q u e

a l a r g a m

b á s i c a s

h a b i t u a l ,

lo s

m

d e c i r s e

e n

p ie z a s

á x im q u e ,

h i p e r e s t á t i c a s ,

r e a d a p t a c i ó n

ie n t o

f ija d a s

p u e d e

r e q u i s i t o s a l

a la r g a m

la s

p i e z a

E

f i j a

lo

q u e

d e l d e

m

f ija d o s i e n t o

s e

a lg o

p l á s t i c a

a . A p a r a

e s te

d e

d e

c t u a l m

ig ó n ,

e n t e , n o

e s tr u c tu r a s v a l o r

l a

h o r m

e l

ú n ic o

e x is te

u n a

32.5.3.8.1 a)

d e b e r í a

e le v a r s e

a l

3

A

m

b a j o

c a r g a

m

á x i m

a

e s

d e

m

e d i c i ó n

c o m

p lic a d a

a n e j a r s e a

e s to s

e l

c o n c e n t r a d o

ú l t i m

r e p a r t i d o

b a j o

o s

s e a n

c a r g a

s o b r e

5

ó

1 0

c o n c o r d a n t e s

m

á x im

lí m

i t e

d iá m

c o n

e t r o s ,

la s

b á s i c a

b i é n

la s

s ig u i e n te s

l a

d e f i n e

r e l a c i o n e s

d e

e lá s t ic o

a

c a r g a

d e

s e

A sp

=

a r r a s ....................................................................................................................................................................................................

d e

0 ,7 5

a

0 ,9 0

p

=

d e

0 ,8 5

a

0 ,9 5

f ptd

p o r

l a

r¡pI

a n c la d a s

p o r

a d h e r e n c i a ,

S e

l a

d e f i n i c i ó n

d e f i n e n

tr e s

a d u r a s

d e l

e s

d e

h o r m

p r e t e n s a d o

l o n g i t u d e s

i t e

l a

f u e r z a

d e

i g ó n

n e c e s a r i o e n

c o n o c i m

l a

p ie z a .

740

r e a

i e n t o

e s p e c i a l m d e

tr e s

e n t e

c u a n d o

l o n g it u d e s ,

v a n

q u e

d e

-

F a c t o r

a l o r

a

e l

M

a l

e s t a d o

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t r a n s m

is ió n

a l

s e

q u e e s

t a m

é t o d o

d e l

y

e l

c o n

E s

l a a

lo n g i t u d l a

p i e z a

r¡p2

e n d e

L l a m a d a ta m b ié n “L o n g i tu d d e tr a n s m is ió n ” ..

d e s a r r o l l a

l a

c u a l

h o r m

u n

i g ó n .

te n d ó n M

á s

A

e d ia n t e e n tr e

la

l a

d e

d e

d e f o r m

a c i ó n

d e l

te n d ó n

e n

p a r a

q u e

l a

le y

d e

d e f o r m

y

d e

a d h ie r e

b i é n

a n c la je , y

d e

f u n c i ó n

la

d e p e n d e n

a ltu r a

d e

l a

f o r m

d e a

s u

a c io n e s

d e

s ó lo

d e

p o s i c i ó n la

M

E U

O

D

R O

E L C Ó

C O

D

I G

O

D

E

s e c c ió n

9 0

q u e

c o in c id e

c o n

E C - 2 .

l a ,

f ó r m

q u e

e s

u la l a

c o r r e s p o n d i e n t e , n e c e s a r i a

p a r a

c o n

a n c l a r

b a s e

e l

e n

te n d ó n

=

=

F a c t o r

=

L5í f : 1 Ppl Pp2 ’fctk(t)

l

P

l a

s e c c ió n

t r a n s v e r s a l

a d h e r e n te

c á lc u lo

d e l

d e

l a

d e p e n d i e n t e

1 ,4

rjpI = 1,2

s o n

rjp2

p r e t e n s a d o

d e

V

rjp!

p r e t e n s a d o ,

e l

Á

-

l a c o n

a la m

p a r a

t o r z a le s

1 ,0 0

p a r a d e

á s

te n d ó n

t i p o

p a r a

m

b r e s

d e

m

d e

g a r a n t i z a d a

a

t r a c c i ó n

d e l te n d ó n

te n d ó n

g r a f ila d o s

y

l a

c o r d o n e s

p o s i c i ó n

te n d o n e s

3 0 0

d e l te n d ó n

r e s i s t e n c i a

d e l

d e p e n d i e n t e

[ 3 2 .2 2 ]

a m

m

p o r

d e m

á s

d e l

te n d ó n

e n o s

d e

2 5 0

d e b a jo

d e

l a

m

c a r a

m

e n

l a

p i e z a

d e l f o n d o s u p e r io r

d e l

d e

l a

p ie z a

h o r m

ig o n a d o

h o r m

ig ó n ,

a d h e r e n te

a l l á

d e

rjp2 =

e s ta

fctk (t) 1

d e

a n c la je ,

=

e t r o

b á s ic a s :

a) L on gitud de tran sferencia1. t r a n s m

m

d i f e r e n c i a

e x p r e s ió n :

P e r í m

L ongitudes de definición d e l preten sado a r m

l a

i g ó n

d e ta ll e ,

P

0 ,9 5

d e

a n c la r ,

l a

n u la .

r o tu r a :

a

d e

a

p e r o

0 ,8 8

b a s e

p a r a

ig u a l

a .

C o r d o n e s

s e r

n e c e s a r i a f u e r z a

e x ig e n c ia s

d e

u s o

E s

in t r o d u c c i ó n

d e

d e

i n ic ia l

c o r d o n e s .............................................................................................................................................

e l

u n a

y ,

d o n d e :

P a r a

e n

p la n a .

h o r m

e x p o n e á s

c o n t i n u a c i ó n

lo n g i t u d

0 ,9 5

32.5.3.8

la r g o

M étodo del M O D E L C O D E C EB -FIP

a

y

lo

is o s t á ti c a s , u n

e s tr u c tu r a .

b r e s ......................................................................................................................................................................................

T o r z a le s

a

te n d ó n ,

L o n g itu d de transferencia

0 ,8 5

l a m

d e l

p r e te n s a d a .

s ig u e

d e

A

B

t a m

s e a

lo n g it u d e s

te n d ó n ,

f , E H

i g ó n ,

c o r r e s p o n d i e n t e

p r e t e n s a d o

l o n g it u d

l a

p r e s e n t a

S e p a r a

t,

p o

c o n s id e r a d o .

q u e d e l

te n s i ó n P o r

ti e m

o p u e s t o

Figura 32-14 b)

p u n t o

e l t e m

y ,

d e

e l

s e c c ió n .

tr a n s v e r s a l

E H

a la r g a m

c a d a o

ALARGAMIENTO %

{Cartesía de NUEVA MONTAÑA QUIJANO, S A )

d e s d e

l a

a l

b s é r v e s e

c a r a c te r ís t ic a s

o p i n i ó n

p a r a

e x tr e m

in v e r s o .

l o n g i t u d

h o r m

c) L on gitud de introducción.

y

s e n tid o

d e l

C O R D Ó N Y 1860 S 7 ( 0 = l 3 m m ) r o t u r a

g e n e r a l,

c o n s ta n t e , i s i ó n

- D E F O R M A C IO N E S

AL A M B R E Y 1660 C

E n

e s

tr a n s m

e n o

b) L ongitud de anclaje. C U R V A

d e

R e l

0 ,7

p a r a

e s i s t e n c i a i n s t a n t e

la s

c a r a c t e r í s t i c a

t

p a r a

e l

q u e

s e

p o s ic io n e s .

( c u a n til c a l c u l a

9 5 % l a

)

a

t r a c c i ó n

l o n g it u d

d e

d e l

t r a n s m

e n

is ió n

741

o

a

www.libreriaingeniero.com TABLA T-32.16 v a le

0 ,2 5

0

p a r a

a la m

b r e s

y

b a r r a s

d o s

a la m

b r e s

FACTOR QUE DEBE TOM ARSE PARA LA LONGITUD DE TRANSM ISIÓN EN CORDONES Y ALAM BRES PRETENSADOS (LISOS O GRAFILADOS) EN FUNCIÓ N DE LA RESISTENCIA DEL HO R M IG Ó N EN EL M OM ENTO DE LA TRANSFERENCIA

P 0 ,2 5

0 , p a r a

O ,3 0 ¿

p a r a e l

0 ,1 9

0

to r z a le s

to r z a le s

d e

d e

tr e s

a la m

b r e s

(

0-

e s

e l

d iá m

e t r o

d e l

a la m

b r e

q u e

f o r m

a

to r z a l)

p a r a

c o r d o n e s

d e

7

a la m

b r e s .

( 0

e s

e l

d iá m

e t r o

d e l

R e s is te n c ia

c o r d ó n ) .

e n L a

lo n g it u d

d e

tr a n s f e r e n c i a ,

s e

d e f in e

p o r

l a

f ó r m

la

d e l h o rm ig ó n

tra n s fe re n c ia

2 5

3 5

3 0

4 0

u la :

4 5

5 0

5 5

5 0

(M P a )

hPt = «i «z #3 hP —

[32.23]

C o rd o n e s

fptd

y

a la m b r e s lis o s

o 7 5

7 0

6 5

5 0

4 5

6 0

g ra fila d o s d o n d e :

ccl

=

A,

F a c to r

d e p e n d ie n te

d e

la

f o r m

a

d e

r e a liz a r

la

tr a n s f e r e n c i a

A la m b re s 5 5

a¡

=

a¡ = a2=

1,00

p a r a

tr a n s f e r e n c i a

le n ta

1 ,2 5

p a r a

tr a n s f e r e n c i a

b r u s c a .

F a c to r

d e p e n d ie n te

a 2 = 1,00 a 2= a3 =

p a r a

0 ,5

p a r a

e l

e l

d e l

tip o

c á lc u lo

a

c á lc u lo

d e

la

( P .e j.

c á lc u lo

e s f u e r z o

d e

a r m

corte

p a r a

e l

d e

la

a r m

d e p e n d ie n te

d e l

0 ,5

p a r a

to r z a le s

a 3=

0 ,7

p a r a

a la m

e s

d e

q u e

s e

e m

p le a

Qbpr

C o m

a d u r a

o

v a lo r

f a v o r a b l e

c o r ta n te

tr a n s v e r s a l

e n

la

z o n a

d e

a n c la je

E s te

tr a t a m

á s

y

p o b r e

E l b r e s

e f e c to

e s

m

in f o r m

q u e

u c h o

to m s e

m

á s

te m

a

( 3 2 .3 2 ) ,

la

eS

te n s ió n

d e l

te n d ó n

in m

e d ia ta m

e n te

d e s p u é s

d e

A

la

v a lo r

C Ó

D

d e

I G

V

d o n d e

a

ó

flb p t ,

1 ,2

e s c o g ié n d o s e

e l m

e n o s

C O D E ,

p e r o

c o n s id e r a r .

p lif ic a d o

q u e

e l

d e l

M

O

D

E L

c á lc u lo

d e

h a

s id o

e s tu d ia d o

e x p e r im

f$b v

O

E C - 2

la

te n s ió n

g a ra n tiz a d a

d e

r o tu r a

d e l te n d ó n

G

a r m

a r m

R E N

e n

E n

s e

e x p o n e n

( 3 2 .3 2 ) .

a d u r a .

a d u r a

d e f in e

la

lo n g it u d

= h ' ,t’ d a d o

p o r

tr a n s f e r e n c i a

p o r

la

f ó r m

A l

la

tr a n s f e r i r

e l h o r m

e s te

E n

ig ó n

p u n to ,

lo s

la

ta b la

T - 3 2 .1 6 .

3 2 - 1 5 ,

te n s ió n ,

d e b id a

l a

r e s u l ta d o s

f ig u r a

d e f o r m

3 2 - 1 5

in d ic a

la

r e la c ió n

u la

[J2.24] l a

e n t e

p o r

d iv e r s o s

in v e s tig a d o r e s

a l

s e

o b te n id o s

s e

in d ic a

r e g is tr a

d e s liz a m

u n a

i e n to

a c ió n

ec t r a n

—

f u n c ió n

s m

p o r

u n a

H

p ie z a

c ie r ta

a l

L M

B E R G

p e n e tr a c ió n

p r o d u c id o itid a

O

p r e te n s a d a

e n

h o r m

e s e

ig ó n

y

c o n d e

la

e x tr e m

e s

o

n u la . L a

£ d e

e s

u n a

c u r v a

tr a n s f e r e n c i a r e a liz a d a ,

ie n e

e n ta l m

( 3 2 .3 3 ) .

c o n tin u a c ió n ,

L I N D

f ig u r a R O

s im

flbpl

0 ,8

a c ió n .

M étodo del EUROCÓDIGO EC-2 E U

a r á

v a y a

g r a f ila d o s

lib r e .

E l

e l

i e n to e n

Hbpd3 s e

c á lc u lo

c o r d o n e s

s u

b)

d e

s e g ú n

te n d ó n

tr a n s f e r e n c i a

fptd =

3 0

c) Investigación experim ental

cc3 =

api =

tip o

3 5

a d u r a )

m F a c to r

4 0

c o rru g a d o s

v a lo r e s L o s

a

q u e

p u e d e

s u s ti tu ir s e

s e

in ic ia

a

e f e c to s

p a r ti r

p r á c tic o s ,

e n

^cmáx

e n

c o n d e u n a

b u e n a

u n a

d e

la

d is ta n c ia

a p r o x im

lo n g it u d

lo n g itu d

l

a c ió n y

L a

í. D i c h a

p o r

p u e d e

T a b la

u n a

r e la c ió n

r e c ta .

L a

c o n s id e r a r s e

T - 3 2 .1 7

in d ic a

lo s

c o r r e s p o n d i e n te s .

v a lo r e s

d e

l a

T a b la

T - 3 2 .1 7

d e b e n ,

d e

to d a s

f o r m

a s ,

c o n s id e r a r s e

c o m

o

o r ie n ta tiv o s .

742

743

d o n d e :

$bp — viene dada po r [32.22]

$bp[ = v

ie n e

d a d a

p o r

[ 3 2 .2 1 ]

apd =

e s

l a

te n s ió n

d e l

a

e s

l a

te n s ió n

d e

-

te n d ó n

b a jo

p r e te n s a d o

la s

p e r m

a c c io n e s

d e

c á lc u lo

a n e n t e

d e

la

a r m

a d u r a

c o n c e p to

d e

lo n g it u d

b) Investigación experim ental E n

e l

u n a

a p a r ta d o

te n s io n e s d e

TABLA T-32.17

L a

20

200

R ugoso

20

170

Liso

10 10

A lam bre ondulado o grafilado

R ugoso

Cordón con 7 alam bres

Rugoso

Liso

V 0

e /0

140

30

175

100

30

125

5

60

10

75

0

35

5

45

d e p o r

d e

l a

a d u r a s e

o*

ig u a l

a c c io n e s

e l

d e

l a

s o n

y a

c o n s ta n t e s .

h a s ta

o

m

u y

d e b e ,

a d u r a .

o s

o

c a r g a

a n c la je

a r m

la s

a n a liz a m e x tr e m

C o m

o

p ie z a ,

r o tu r a ,

c e r c a n o

e n

l a a

s e n tid o

s e

in d ic a

e x te r io r e s

m

e l

p r e te n s a d o E s ta

e s

te n s ió n l a

te n s ió n

e s tr ic to

e n

l a

o d if ic a

u n a

d e l

d e

s it u a c ió n

lig e r a m

3 2 - 1 6

e n te

a

r o tu r a

d e f in i r s e

f ig u r a

e s ta b l e c id o

a c e r o

d e

tr a n s f e r e n c i a .

e s tá

la s

d e

p a r a la

d e

u n a

y

A la s

s e r v ic io

&a

d is t a n c ia

la

a r m

c a d a

a d u r a . te n s ió n

s o b r e t e n s ió n

te n s io n e s

e n

l a

d e l

z o n a

tr a n s m

is ió n .

F ig u ra 3 2 -1 6

Los valores indicados corresponden a arm aduras horizontales situadas cerca del fondo de la pieza con horm igones de resistencia superior a 20 M Pa. Para arm aduras en la parte superior de la pieza, conviene considerar longitudes 1,5 veces las de la tabla.

M

u c h o s

in v e s tig a d o r e s

c o n d ic io n e s

L os valores son válidos para una tensión de pretensado después de la transferencia de / O \0.75 1200 N /m m 2. Para otras tensiones de pretensado crn, deben m ultiplicarse po r — — p \1200 /

32.5.3.8.2

a

a r m é s ta

v a lo r

lo n g it u d

ú lti m

d e

í/0

L iso 1

u n

l a S i

d e l

IN STA N TÁ N EA

V 0 A lam bre redondo

a

a c e r o

LENTA

d e

p ie z a .

lle g a

T R A N S FE R E N C IA D E T EN SIÓ N T IPO D E A R M A D U R A

l a

3 .1 .7 ,

üb

d is t a n c ia

e n s a y o s

d e

d e H

h a n

a n c la je .

O

L M

L a

B E R G

d a d o

q u e y

f ó r m

e x p o n e m

L I N

D

G

u la s o s

R E M

p a r a

a

la

c o m

c o n tin u a c ió n

p r o b a c i ó n e s tá

b a s a d a

d e e n

la s lo s

( 3 2 .3 2 ) .

i

L ongitud de anclaje d o n d e :

a)

x

M étodo del M O D E L CODE C E B -F IP 1990

=

d is t a n c ia c e n tím

V ie n e

d e f in i d a

p o r

la

e l

e x tr e m

o

d e

la

p ie z a

a

la

s e c c ió n

c o n s id e r a d a

e n

e x p r e s ió n a

=

te n s ió n

d e

d is t a n c ia

^

d e s d e

e tr o s .

= ftp, + ibp

1

[32.25]

ap¡ =

te n s ió n

x

l a

a r m

( N / m

p e r m

m

a d u r a

e n

e l

a g o ta m

i e n to ,

e n

l a

s e c c ió n

s it u a d a

a

2).

a n e n t e

d e

p r e te n s a d o

( N /m

m

2).

fp d 1 1

P o r li s o s e e n tie n d e e l e s ta d o d e l a a rm a d u r a e n la s itu a c ió n d e r e c ié n f a b r ic a d a . R u g o s o es e l e s ta d o p r o d u c id o p o r u n a lig e r a o x id a c ió n .

744

S i s e s u p o n e q u e la r o tu r a a p a lc a n z a a p ro x im a d a m e n te e l v a lo r d e la te n s ió n d e r o tu r a d e la a rm a d u r a [3 2 .2 6 ], p e r m ite d e s p e ja r * c o m o lo n g itu d Po, d e a n c la je to ta l y d e b e s e r e n e s e c a s o in f e r io r a la d is ta n c ia d e l e x tr e m o a la s e c c ió n d e m o m e n to m á x im o .

745

www.libreriaingeniero.com (j)

=

d iá m

K

=

c o e ñ c ie n te

e tr o

d e

la

a r m

q u e

a d u r a

f ig u r a

e n

e n

m m .

la

T a b la

P a r a

a rm a d u r a s

p o s te s a s p u e d e

e s tim a rs e

m e d ia n te la

c o n s tr u c c ió n

d e la f ig u r a

3 2 -1 7 .

e n

3 2 -1 8 .

T - 3 2 .1 8 .

32.5.3.8.4 Empleo de las longitudes de definición del pretensado L a

f ó r m

s e c c ió n . 0 ,7

u la

P a r a

v e c e s

e l

[ 3 2 .2 6 ]

a r m

a d u r a s

in d ic a d o

e n

e s

v á lid a

s itu a d a s la

p a r a

e n

la

a r m

a d u r a s

z o n a

s itu a d a s

s u p e r io r ,

d e b e

e n to m

l a

p a r te

a r s e

in f e r io r

c o m o

d e

v a lo r

d e

la S im p lif ic a d a m e n te , e l e m p le o

K,

d e

la s lo n g itu d e s

a n te rio re s

s e

in d ic a

la

f ig u r a

ta b la .

T A B L A

T - 3 2 .1 8

1

L TIPO DE ARM ADURA

J

l

K(N/m m 2) a)

Liso

-

Rugoso

1

b)

F ig u ra 3 2 -1 8

Alambre redondo E n d e

Liso

2,5

Rugoso Liso

2,5

Rugoso

5

A lambre ondulado o grafilado Cordón con 7 alambres

e l

u n a

to ta lid a d

d e

lo n g itu d

2.5

la

is m

n o

L a

f ó r m

u la

[ 3 2 .2 6 ]

e s ta b le c e

e n

d e f in itiv a

u n a

lim

ita c ió n

a

la

te n s ió n

f in a l

d e

s e g ú n

s u

d is ta n c ia

x

a l

e x tr e m

o

d e

la

p ie z a ,

p a r a

a s e g u r a r

s u

a lm

e n te

32.5.3.8.3

e s ta

c o m

p r o b a c ió n

n o

e s

c r ític a

m

á s

q u e

e n

p ie z a s

d e

lo n g itu d

a d u r a s

a d h e r e n te s ,

p u e d e

[32.27] b a jo

la

.

la

la

e l c á lc u lo

h a s ta

tr a v ie s a d e

p o r

F lu e n c ia

e s d e

c a s o

d e

la

la s

tie m p o ,

e l

u n

e f e c to

e l

c a s o

d e

u n a

d e

u n a

s e c c ió n

c a r a

e x tr e m

d e l á n g u lo

d is ta n c ia

d e

v ig a

d e

a

d e

p r e te n s a d a

e s f u e r z o

s itu a d a

0

la

la

a

u n a

d e

c u b ie r ta

c o r ta n te ,

d is ta n c ia

c o n

la

ig u a l a

la

v ig a .

d e

f is u r a c ió n

c a r a

e x te r n a

ig u a l

f ig u r a

3 2 - 1 8

f e r r o c a r r il in d ic a d a

a n c la je ,

d a d o

r e la ja c ió n

L a

T

*—

u n a

la

e f e c to

e n to

q u e

d is m

a r m

d e

d e

te n s ió n

la s

s e

tr a ta

in u c ió n

u n a

e n

d e

d e

d e f o r m

( v e r e l C a p ítu lo a

la

3 9 ) ,

lo n g itu d

d e

la

u n a

p ie z a

d e

m

b ) ,

u y

la

c o n d ic ió n

c o r ta

lo n g itu d .

la

te n s ió n

d e f o r m

a c ió n

p e r o ,

a c io n e s

a d u r a s

a l

m

is m

d e l h o r m

a c ió n

q u e

im

q u e

s u f r e

p u e s ta

s u f r e

u n

m

a te r ia l a

lo

u n

m

d e l tie m

p o

e s

d e

c o n s ta n te .

a te r ia l a

lo

la r g o

c o n s ta n te .

d e

h o r m

n i d e r e la ja c ió n , y a o

tie m

ig ó n

p o ,

b a jo

ig ó n

q u e

la

s u s

la

p r e te n s a d o ,

te n s ió n

d e

a n c la je s

a c c ió n

d e l

la

s u

a r m

e x tr e m

p r o p io

s itu a c ió n a d u r a

o s

s e

n o

d e c r e c e

a p r o x im

p r e te n s a d o ,

n i

p o r

a n

c o m o

la

e f e c to

d e b id o v im o s

a e n

2 9 .

r e la ja c ió n

a

e l

e l a u m

d e

r e la ja c ió n ,

á x im

b a jo

f lu e n c ia

d e f o r m

■ L A - 4 m

p é r d id a

d e

d e

u n a

a r m

te n s ió n

a d u r a

q u e

s e

e x p r e s a

e x p e r im

e n ta

p o r

e n

e l

“ g r a d o

1 0 0 0

h o r a s ,

d e

r e la ja c ió n ” ,

te s a d a

a l 7 0 %

q u e

d e

la

e s

la

c a r g a

T d e

r o tu r a

2 %

,

p a r a

E l

F ig u ra 3 2 -1 7 P o r liso se e n tie n d e el e s ta d o d e la a rm a d u ra en la s itu a c ió n de re c ié n fa b ric a d a . R u g o s o es el esta d o

y

a

f a b r ic a n te

in is tr a r

0 ,7

y

0 ,8 h

d e f in e

2 0 ° C . D

a la m b r e s ,

s u m

1 0 0 0

746

d e

lo n g itu d

e l C a p ítu lo

p ro d u c id o p o r u n a lig e ra o x id a c ió n .

d e

u n a

e f e c to s

ijp.

e n tie n d e

d e l

E n

\

Hbpt a

a

e s tim a r s e

l¡p= n i + 0,36P„pl

I v - M

h a s ta

p a r tir

r e p r e s e n ta

c o n ta r ,

32.5.3.9 Relajación la r g o

(0 RESULTANTE DE fu e rza s qe pretensado]

q u e

r e d u c id a .

Longitud de introducción (Longitud de desarrollo según EHE) a r m

is ió n

a ),

p u e d e

p r e te n s a d o

a p lic a b le

e l c a s o

e s

S e P a r a

d e

s e

a n c la je . c r ític a

N o r m

3 2 - 1 8

n o

la E n

a d u r a ,

f ig u r a

a f ig u r a , p a r a

e s

in tr o d u c c ió n ,

a r m

la

f u e r z a

tr a n s m

m

é to d o

d e

in d u s tr ia l, la

d e

E n e l m

c a s o

n a v e

d e

p a r a e l

P a r a c o n o c e r

lo s la

e l la

a c u e r d o

d e

u n

v a lo r e s c a r g a

te n s ió n

g r a d o

e

to r z a le s ,

d e

d e

a c e r o

d e

r o tu r a

in ic ia l

p é r d id a

d e

la s

p o r

E H E , s e

d e b e ,

r e la ja c ió n

d e

r e la ja c ió n

c á lc u lo

c o n

c o r d o n e s ,

y

a

0 ,7 d e

la

p ie z a s

te m d e

y

d e a

c o n s id e r a

a l

3 %

p a r a

a c u e r d o

120

h

y

p e r a tu r a ia

c a r g a

a d e d e

u n

ú n ic o

g r a d o

d e

r e la ja c ió n

d e l

b a r r a s .

c o n

la

1000

o b lig a c ió n b

p a r a

2 0 ± 1 ° C r o tu r a ,

y

e s ta b le c id a

te n s io n e s d e b e

v a lo r

g a r a n tiz a r

q u e ,

e n

in ic ia le s

c o m o

e l

h e m

E H E , d e

0,6;

v a lo r o s

d e

v is to ,

a r m a d u r a .

d e

r e la ja c ió n

h o r m e n

ig ó n

p r e te n s a d o ,

d is tin to s

m

o m

in te r e s a

e n to s .

L a

e n

m u c h o s

I n s tr u c c ió n

c a s o s E H E ,

747

s ig u ie n te

a l M

O D E L

C O D E

C E B -F IP

1 9 9 0 , h a

a d o p ta d o

la

fó rm u la :

L a

f ó rm u la

c o rre s p o n d ie n te

ar

A lo g -

v á lid a

p a ra

v a lo r,

y a

c o n tie n e r e s u lta d o s

Kx + K2 l o g t

- =

api n o

te n s io n e s

[ 3 2 .9 ]

s u p e rio re s

a

p e rm ite ,

c o n o c id a

la

a c u a lq u ie r o tr o lu g a r. E l v a lo r d e

a rm a d u ra s

p é rd id a

K2s u e l e

d e fa b ric a c ió n

e x p e r im e n ta n

E n

la

p a ra

e s ta

r e la ja c ió n

f ó rm u la

ú ltim a

0 ,8

tie m p o

d a d o ,

a 0 ,2 5 . L a

c a lc u la r

la

fig u ra 3 2 -2 0

e s p a ñ o la .

d e

la s

la

c a rg a ,

a rm a d u ra s

n i

in f e r io r e s

u s u a le s

d e

a

0 ,5

d e

R E L A J A C IÓ N D E U N C O R D Ó N

d ic h o

p r e te n s a d o

0 9 .3 C A R G A D O A L 7 0 % 2 0 °C

n o

a p re c ia b le .

[ 3 2 .2 8 ]

A (X

=

p é rd id a

opi

=

te n s ió n

in ic ia l

t

=

tie m p o

e n

K¡, K2=

te n s ió n ,

u n

[ 3 2 .2 8 ]

D E LA C ARG A D E ROTU RA Y A q u e ,

p a ra

o s c ila r d e 0 ,1 5

d e

te n s ió n

a

la

p o r

r e la ja c ió n

q u e

s e

a n c la n

a l c a b o

la s

d e l tie m p o

t

a rm a d u ra s

h o ra s

c o e f ic ie n te s

q u e

d e p e n d e n

d e l

v a lo r

d e

api y

d e l

tip o

d e

a c e ro (Corteáis de EMESA -TREFILERIA, S A )

C o n d e

r o tu r a

lo s

120

a

K¡

v a lo re s

y

lo g a rítm ic a s c o m o

s e

v a lo re s

la

h

y

K2 e n

re la ja c ió n

1000

h

p a ra

la

c o rr e s p o n d ie n te f ig u ra

te n s io n e s

s u m in is tra d o s

c o rr e s p o n d ie n te s

r e c ta

in d ic a

d e

a a

p o r

c a d a la

e l

in ic ia le s

d e

f a b ric a n te ,

te n s ió n

e x p re s ió n

0 ,6 ; 0 ,7

y

p u e d e n

d e te rm in a rs e

in ic ia l

[ 3 2 .8 ]

y

p a ra

0 ,8

d ib u ja r s e c a d a

te n s ió n

d e

e n

la

c a rg a lo s

Figura 32-20 a)

e s c a la s

in ic ia l, ta l

3 2 -1 9 . R E L A J A M IE N T O D E L A L A M B R E Y C O R D Ó N D E S IE T E A L A M B R E S E S T A B IL IZ A D O

A c t,

Pr

ío g

T ENSIÓ N INICIAL 70 % C.R.

thoras

_l------------ 1_ 1 .000.000

120 1.000

Figura 32-19 D e

la

e x p re s ió n

[ 3 2 .2 8 ]

s e

p u e d e n

d e d u c ir:

TIEMPO (HORAS)

10(

W

°

e

p

_

(Cortesía de TYCSA)

A tV

api y , p a ra

d o s

in s ta n te s

10

(K1*K2 1 0 8 ' 0

10(

Figura 32-20 b)

t¡ y t2: T o d o

A <7

r e la ja c ió n W

°

s

'

2)

Aapn¡2

3 2 -2 1 q u e ,

y

o p e ra n d o :

a n te r io r se

e x tra o r d in a r ia m e n te

re s u m e p a ra

e n s a y o s

e s tr u c tu r a s

s u p e rio re s te n e r

lo e s

e s to

a

la

e n

d e

r e f ie re

d e

c o n

a rm a d u ra s s e n s ib le

B R A N C H

q u e

2 0 ° C , o

c u e n ta

a

v a y a n q u e

b a s e

a

v a y a n e n

a a

2 0 ° C lo s

( 3 2 .3 4 ), e s ta r a

p a ra

s o m e tid a s

s u f rir u n

e n s a y o s

d e

te m p e ra tu ra . E l f e n ó m e n o

a u m e n to s

a la m b re s a

c u ra d o

d ire c to s

d e

te m p e ra tu ra . y

c o rd o n e s .

te m p e r a tu ra s té rm ic o

d e l tip o

d e

L a

E s

d e

la

f ig u ra

e v id e n te

a p re c ia b le m e n íe

a c e le ra d o , e s n e c e s a rio

a rm a d u ra .

A c r E n

[ 3 2 .2 9 ]

\ ?2

v a p o r, la te m a

748

s e

la

p r á c tic a ,

a rm a d u r a a n a liz ó

c o n

e s

s e

f re c u e n te

e n c u e n tre

d e ta lle

e n

e l

q u e ,

d u r a n te

d e b id o a lg u n a s

C a p ítu lo

a

tr a ta m ie n to s h o r a s

a

té rm ic o s

te m p e ra tu ra

d e

d e 6 5

c u ra d o a

a l

8 0 ° C . E l

2 9 .

749

www.libreriaingeniero.com 32.5.4.1 N U E V O S H O RM IG O N ES

~1 30 AÑOS

C o n p u e d e n

e l

e m

p l e o

a l c a n z a r s e

p u e d e n

a l c a n z a r s e

b a j í s i m

a

d e

c e m

f á c i l m

e n t o s

e n t e

v a l o r e s

A /C

r e l a c i ó n

d e

r e s i s t e n c i a s

r e s i s t e n c i a s

h a s t a

p e r o

2 0 0

u n a

d e

M

7 0

P a .

m

M

e d i a s

P a .

T o d o s

r e d u c i d a

y

C o n

a l t a s l a

e s t o s

h o r m

c o n s i s t e n c i a

y

s u p e r f l u i d i f i c a n t e s

a d i c i ó n

d e

h u m

i g o n e s

g r a c i a s

a l

o

d e

s í l i c e

p r e s e n t a n e m

p l e o

u n a

d e

lo s

s u p e r f l u i d i f i c a n t e s .

L a

e m

p r e s a

c a r a c t e r í s t i c a s l o s

20

¿0

60

100

60

q u e

s e

m

u y

p u e d e n

p o r

p a r t í c u l a s

t é r m

i c o

a

f r a n c e s a

B

e s p e c i a l e s

y

a l c a n z a r

d e

t a m

a ñ o

O

U

Y

s o m

G

H

r e s i s t e n c i a s m

á x i m

o

E

e t i d o

5

S a

e s t á

e n t r e

m

m

d e s a r r o l l a n d o

t r a t a m

i e n t o s

2 0 0

y

e l

y

8 0 0

h o r m

u n

d i f e r e n t e s M

P a .

i g ó n

s e

E l

h o r m

d e

l o s

á r i d o

s o m

e t e

e s t á a

i g ó n

d e

c l á s i c o s ,

c o n

c o n s t i t u i d o

u n

t r a t a m

i e n t o

c o n

e s t e

9 0 ° C .

t.f ^ C )

Pérdidas por relajación en función de la temperatura para alambres y cables astabilizados de diferentes diámetros, tensados al 70-75% de la resistencia real a 20°c (datos de BRANCH). Referencia (32.33)

Figura 32-21

32.5.3.10 Coeficiente de eficacia S e

d e f i n e

c o m

c o r r e s p o n d i e n t e d e

f r a c c i ó n .

( g e n e r a l m

E s ,

e n t e

r e s i s t e n c i a

o

r e l a c i ó n

d e

e n

p o r

d e l

l a

p i e z a

e n t r e

a n c l a j e

y

l a

d e f i n i t i v a ,

e f e c t o

d e

l a

u n

e n t a l l a

c a r g a

c a r g a

d e

d e

c o n c e p t o e n

l a

r o t u r a

r o t u r a

z o n a

d e

q u e d e

d e

e s e p e r m

c u ñ a s ) ,

u n

t e n d ó n

t e n d ó n i t e

e n

a n c l a d o

e l

e n s a y o

e v a l u a r

q u e

p r o d u c e

l a e l

e n

s u

n o r m

(Cortesía de BOUYGUES S.A. & “THE VSL GROUP”)

a l

Figura 32-22

r e d u c c i ó n , a n c l a j e

e n

la L a

t e n d ó n . h o r m

E H a

s e r

E

f i j a

l u e g o

p e r o

d u r a n t e

t a n t o ,

e s t e

v a l o r

a d h e r e n t e s . s u

a n c l a j e

e x i g i r s e

u n

e n N

e n

0 ,9 2 ,

o

m l a

c o e f i c i e n t e

c o m

o

o ,

p a r a

l a s

a r m

e x p l í c i t a m

e n t e

e l

c a s o

f a b r i c a c i ó n ,

s u

e n c i o n a m

e s a

d e

d e

m

e f i c a c i a

í n i m

d e

0 ,9 2 ,

a d u r a s d e

s i t u a c i ó n

c o m

o

m

í n i m

e s

p o s t e s a s

a r m

a d u r a s

i d é n t i c a

y

q u e

e l

c a s o

t e n d ó n

f o r m

a

o

d e l

a n á l o g o s ú n i c o

e n

d e

f a l l o s

l a

p i e z a

t e n d ó n ,

p r o b l e m

q u e

p o r

p e r m

s e

m

a n c l a j e ,

d u r e z a

a s i t e

d e

e s t e

p u e s

s u p e r f i c i a l

p r e s e n t a n

e s

o t i v o ,

j u z g a r

e n

e l

l a

e s

d i f í c i l

e x i s t e n d e

p r o b l e m

é s t e ,

g e o m

c o n j u n t o

a c l a r a r

s i

a s

l a

d e b e ,

r e s p o n s a b i l i d a d

g e o m

y

c a l i d a d

a

d e

t e n d ó n - a n c l a j e

2 0 0

M

i n d i c a

u n

p u e n t e

c o n s t r u i d o

r e c i e n t e m

e n t e

P a .

p o r

L a A

n e j o

I n s t r u c c i ó n

n °

E H

E

t r a t a

e l

t e m

a

d e

b r e

d e

lo s

h o r m

i g o n e s

d e

a l t a

r e s i s t e n c i a

e n

e l

5 .

o .

s e n s i b i l i d a d

e t r í a

( 3 2 - 2 2 )

f ck =

c o n

v a n

p r e t e s a s ,

D

E n

f o t o g r a f í a

i g ó n ,

é t r i c o s l a

l a s y

n o

e n

e s t á

c u a n t o

e n t a l l a ,

e t c .,

c u ñ a s .

E l

s u s

c o m

v a l o r

m

e n a

la

p e r o

e n s a y o

lo

p o n e n t e s

h o r m

e b e

i g ó n

h a c e r s e

a d i c i o n e s c o m

h o r m

d e

P o r

i g o n e s ,

q u e

p a c t a d o

e l

n o m

q u e

e s

u n

s u p e r f l u i d i f i c a n t e s ,

p a c t a c i ó n .

c a l i d a d .

n o t a r

a u t o c o m

N

o

e s t e e l

e s

u n

m

o t i v o

t é r m

i n o

h o r m

d e

“ H

t i e n e

i g ó n

s e

e m o r m

e s t o s

h o r m

d e

i g ó n

u n a a l t a

p l e a

d e

i g o n e s

d e

o d e r a d a

m

f l u i d e z

ta l

r e s i s t e n c i a ,

c a d a

i g o n e s

h o r m

v e z A

m

l t a s

á s ,

e s

t e m

q u e

p e r o

a

c o n t r o v e r t i d o .

A /C

r e l a c i ó n n o

e s

p a r a

c o n

r e q u i e r e

u n

h o r m

r e c o g e r

n

n i n g u n a

i g ó n

a

U

f u e r t e s

d e

t o d o s

a l t a e s to s

P r e s t a c i o n e s ” .

a i s l a d o s .

P a r a

e l

c o e f i c i e n t e

d e

c a s o

d e

e f i c a c i a

t e n d o n e s a

n o

a d h e r e n t e s ,

E H

E

e l e v a

e l

í n i m

o

d e l

32.5.4.2 ARMADURAS

0 ,9 6 . M c o m

3 2 . 5 . 4

N

U

E V

O

S

M

A

T E R

I A

L E S d e

E

s t á

m

a t e r i a l e s

y

p a s i v a s .

y a

c o m

t a n t o

e n

e n z a n d o , e l

c a m

p o

c o n d e

l o s

i n t e n s i d a d h o r m

i g o n e s

v a r i a b l e , c o m

o

e n

l a e l

a p l i c a c i ó n d e

l a s

a r m

d e

a d u r a s

n u e v o s a c t i v a s

l a

A

r m

O

p e r a

t i p o s s u s

a d u r a s d e

a

l a s

n i n g ú n

d e

n u e v a s

a p l i c a c i o n e s .

a r m

s e

a r m

e s p e c i a l e s

b a r r a s

r e q u i s i t o

E s

a r o n

d e

a d u r a s

P u e d e n

g a l v a n i z a d a s .

S i d n e y

e s p e c i f i c a c i o n e s i d é n t i c a s e l l a s

750

u c h o s

e n z a n d o

u s o ,

o r d i n a r i a s .

u n

c o n

E l

s i s t e m

e s t e

p u e s C

e s t á n

e n

d e s t a c a r s e

s u

ó d i g o

a

t i p o

i n v e s t i g a c i ó n

l a s

y a d e

m

A

C

I

u y

b a r r a s

a d h e r e n c i a

y

a l g u n a s

d e

e lla s

s i g u i e n t e s :

y

3 1 8 - 9 5

a n t i g u o e n e l l a s

l o s

r e s t o

( l a s a ñ o s

c é l e b r e s 6 0 ) .

N

o

l á m

i n a s

r e q u i e r e n

d e

la s

p r o p i e d a d e s

r e c o g e

s in

e s p e c i f i c a r

s o n p a r a

e s p e c i a l .

751

Armaduras de acero inoxidable. c o n s titu y e n

N o m

u n a

s o lu c ió n

p u e d e n

a te r ia l

n o

m

d e

p o n e r s e

a g n é tic o

a lta

e n

y

c a lid a d ,

c o n ta c to

c o n

u n a

c o n

S o n

f a b r ic a d a s

a u n q u e

o tr o s

r e s is te n c ia

ta m

m a l

b ié n

e ta le s

c o n

d e

a c e r o s

a lto

p o r r a z o n e s

f u e g o

m

u y

a l

c r o m

o

y

c o r r o s ió n . E s

u n

p r e c io .

d e

s u p e r io r

a

la

d e

la s

b a r r a s

o r d in a r ia s .

Barras recubiertas de epoxy. in te r io r

d e

m

a y o r e s

m

e n o r

u n

s p r a y

c ir c u la r

lo n g itu d e s

a d h e r e n c ia

d e s p u é s

d e

la

d e

y

a n c la je

c u id a d o s

S e

c o n s ig u e n

r e s in a . ( =

E s

5 0 %

u n a

m á s )

e s p e c ia le s

s i

s e

h a c ie n d o

e x c e le n te

q u e

la s

v a n

a

p a s a r

la s

p r o te c c ió n

b a r r a s

b a r r a s p e r o

o r d in a r ia s

r e a liz a r

p o r

d e b id o

o p e r a c io n e s

e l

r e q u ie r e n

d e

a

s u

d o b la d o

a p lic a c ió n .

Fibras artificiales. ta le s

d e

E s tá n

e n

e s tu d io

y

e n

u tiliz a c ió n

in ic ia l

m

u c h a s

v a r ia n te s ,

F ig u ra 3 2 -2 3

c o m o :

-

B a r r a s

-

C a b le s

d e

“ P a r a f il”

f ib r a

-

C a b le s

d e

-

T e n d o n e s

f ib r a

d e

e le v a d ís im c o m

d e

o

p r e n d e

v id r io .

p a r a

d e

v id r io

p r e te n s a d o g r a d o

f ib r a s

d e

U

n a

a m

p lia c ió n

c r ític o

f u e

d e

p a r a

a

a

b a s e

b a s e

d e

e m

d e

e n

d e f in e

p le o

e n

1 9 9 0

p o r

id e " .

( U n

id e ”

id a s

e le m

c o m

o

r e s i s te n c ia

1d

e

c á lc u lo

d e l

a c e r o

e l

v a lo r

e r o s . / ,y k

“ A r a m

p o lia m

Lo a n te r io r p u e d e

p u b lic a d o

p o lím

[ 3 2 .3 1 ]

fyd

“ A r a m

c r is ta liz a c ió n ) .

P a r a

d e

p r e te n s a d o .

p r o c e d e n te s

Mallas de polímeros. e s tu d io

S e

p r e te n s a d o ,

s e g u ir s e

e n

D O L A N

e s

a r o m

e n to s

p r o d u c to u n

n o m

o r g á n ic o

b r e

c o n

g e n é r ic o

u n d o n d e f yk e s e l l í m i t e e l á s t i c o coeficiente de minoración d e l

q u e

á tic a s .

s u p e r f ic ia le s .

C L A R K E

C o m

( 3 2 .3 5 ) .

U

n

e x c e le n te

o b te n id o s

o

m

d ia g r a m

e d ia n te

a

d e

u n a

c a r a c te r ís tic o , a c e ro ,

c á lc u lo

a f in id a d

d e l

c u y o s

a c e r o

p a r a le la

ta i

c o m o

v a lo r e s

s e

a

s e

a d o p ta n

la

r e c ta

d e

s e

d e f in e

in d ic a n

lo s

m

e n

á s

in d ic a d o s

H O O K E

d e

3 2 .5 .2 .2

y

ys

,

e l

a d e la n te 2.

e n

la

f ig u r a

v a lo r —

3 2 - 1 1 ,

a p lic a d a

a l

ys

( 3 2 .3 6 ) . d ia g r a m

a

c a r a c te r ís tic o

d e

la s

f ig u r a s

3 2 - 2 4

ó

3 2 - 2 5 ,

r e s p e c tiv a m

e n te 3 .

32.6 A P L IC A C IÓ N D E L M É T O D O D E L O S E ST A D O S L ÍM IT E L a u n

la d o

a p lic a c ió n la

a c c io n e s

p r á c tic a

s o lic ita c ió n a c tu a n te s

e n

d e l

la

s o b r e

M

é to d o

s e c c ió n

la

d e

lo s

e s tr u c tu r a

m

a d e la n te .

P o r

o tr o

la d o ,

s e

e v a lú a

Rd, c a l c u l a d a e n f u de cálculo de los materiales. S e

d e f in e

c o m

f J cd

o

n c ió n

r e s is te n c ia

d e

l a d e

la

d e

la

c u y o s

c á lc u lo

d e l

p o r

ite

s e

d e

la

h o r m

ig ó n

d e

a

c o m

d e ta lla n

s e c c ió n

d e

la s o

m á s d e

la

resistencias

la s

p r e s ió n

p o r

p a r tir d e s e g u r id a d

s e

e s a y

a

d e

v a lo r e s

s e c c ió n

e v a lu a n d o

la d a

c o e f ic ie n te s

r e s is te n te

e tr ía

h a c e

Sd c a l c u

d if e r e n te s

c a p a c id a d g e o m

L ím

p ie z a .

u ltip lic a d a s

coeficientes de ponderación de acciones > jp e s tr u c tu r a ,

E s ta d o s

c o n s id e r a d a

e l v a lo r

=—

[ 3 2 .3 0 ]

F ig u ra 3 2 -2 4

y

d o n d e f ck e s l a r e s i s t e n c i a c a r a c t e r í s t i c a , t a l c o m yc , e l coeficiente de minoración d e l h o r m i g ó n , c u y o s

o

h a

s id o

v a lo r e s

d e f in id a

s e

in d ic a n

e n

3 2 .5 .l.c )

m á s

F ig u ra 3 2 -2 5

y

a d e la n te .

1

E s tric ta m e n te h a b la n d o , se tra ta d e l lím ite e lá s tic o d e c á lc u lo . E l té rm in o resistencia se in tro d u c e p o r s e m e ja n z a c o n e l c a so d e l h o rm ig ó n , a u n q u e p u e d e p re s ta rs e a c o n fu s ió n . f

2

S i se e m p le a el n iv e l d e C o n tro l R e d u c id o p a ra la s a rm a d u ra s p a s iv a s, d e b e t o m a r s e / ^ = ---------:—

O , /O C o m

a

p a r tir

o

d e l

d ia g r a m

a

d e

c á lc u lo

c a r a c te r ís tic o ,

m

d e l h o r m

e d ia n te

u n a

ig ó n

s e

a d o p ta

a f in id a d

e l d e

p a r a le la

a l

la

f ig u r a

e je

ac ,

3 2 - 2 3 ,

o b te n id o

0 85 d e

v a lo r

•

/c

752

fyk

7r

3

E s e v id e n te q u e e l to m a r la a fin id a d p a r a le la a la re c ta d e H O O K E , c u a n d o el ac e ro e n e l a g o ta m ie n to p r e s e n ta p o c a d e fo rm a c ió n , s u p o n e n o d is p o n e r d e c o e fic ie n te ys . E l a c u e rd o se h a m a n te n id o , p o r ra z o n e s v a ria s , d e s d e lo s p rim e ro s tra b a jo s d e l C E B .

753

www.libreriaingeniero.com d e

e je c u c ió n

C O

D

p r o b a c i ó n

I n s tr u c c ió n

a l o r

yc .

d e

a c c id e n ta le s

V

a l o r

ys.

d e

im

p r im

L a

c o n

e r

la s

lo s

c o m

r a z ó n

e s

e b e

d e

d e

c o n tr o l lo s la

f a s e

d e

C o m

o

c a s o s .

]

d e

p u e s

c á lc u lo ,

e s ta d o

l ím

ta n to

y

s in

e n

e m

c a lid a d

d e b e n

E

lo s

ta l

c o m

o

s e

d e

a c c io n e s

c a s o s ,e x c e p t o

e n

e l

d e

a c c io n e s

p u n t o s

p r o y e c to . L a s

in f o r m lo s

L a s

v e r á ,

la

M

E L

O

D

p a r a

v a lo r e s

a l

in te r é s

im

lo s

á s

s o b r e

p o r ta n te ,

D

E

ín i m

E H

E

d e

d e

o s

a d m

d e

e l

c o n

a d o p t a r l o s

e n

l a

m

d e l

u n

e l

y

q u e

c o n tr o l

in te n s o .

s o b r e c a r g a s

v o lv e r e m

o s

lo s

e n

e l

e l

s ó lo

e n

te m

a

e s

is m

a

h a

e s p e c ia l e l

a d o p ta y

b a r g o

p a r a

u n a

3 2 .1 0 .

la s

a c c io n e s

A ccidental

o s

-

d e

u e s t r a n

d e

e r r o r e s

c r e c id o

c o m

r á p id a m

( 3 2 .4 0 ) , e l

e s

q u e ,

te m

a

e l

e n

d e

7P = 1,00

=L50

7q

-

-

P a r a

a c c io n e s

y

e n

m

e l

u y

z o n a s

d e l

p e r m

y- a tip o

o tr a s p o r

e n

lo s

a

e l la

q u e

a

d e e l

e n

a l a

s u

e f e c to

a c c io n e s

la s

o

la

d e l

la s

a n te r io r

E n

p a r ti c u la r

e s to

f a v o r a b l e

d e

=

s it u a c io n e s

1,1, d e

e n

d e te r m

is m

d e

s e la

o

E fecto desfavorable

7P = 1,00

in a r á

s e

a p lic a

c a r g a

h a g a n

a c c io n e s

f a v o r a b l e s

q u e

a p lic a n d o

e l

m

is m

o

o r ig e n .

e s tr u c tu r a l la s

p a r te s

s in o

p a r te

yG

s e m

s it u a c ió n

v a r ia c i o n e s

e s tr u c tu r a ,

p á r r a f o

d e s f a v o r a b le

yG = Jt05,

d e

la

la s

e s tr u c tu r a l ,

in d e p e n d ie n te s .

e n

a n e n t e s ,

to d a s

s e n s ib le

a

r e g ir á n

( 3 2 .4 2 )

c o n tr o l

C u a n d o s e a

d e

to d o s

e ti d o s

e n te

( 3 2 .4 1 )

-

n iv e le s

p u n to

y

Situación accidental E fecto favorable

E fecto desfavorable

a l

p e r m

s it u a c io n e s

p e r m y

q u e

E s ta d o

d e

e s tr u c tu r a d e

d e s f a v o r a b le s

c o n s id e r a r á n

a n e n t e

la

a n e n t e s

L ím s e

c o m i te

d e

o

u n a s n o

s e

a c c io n e s

E q u ili b r io ,

yG = 0,9 y yG - 0,95 y

a p lic a r á

s e r v i c io

y

c o n s tr u c c ió n .

c á lc u lo .

v a lo r e s e l

E U

y ■ = 1,50 ,

itid o s

lo s

o tr o

a l c a n z a b l e

s o b r e

(y)

s e g u r i d a d

e m

a p a r ta d o

te n e r

o b r a s

p l a

E x is te

d e m la

( 3 2 .3 9 ) ,

c o n

c o n t e m

e je c u c ió n .

s in i e s tr o s

d e

d if e r e n c ia c i ó n

s in

T - 3 2 .1 9 .

7q = 0 , 0 0

c o e f ic i e n te

s e g u r i d a d

p a r c ia l e s

L a

tie n e

n iv e l d e

p r á c tic a ,

d i f e r e n t e s

f r e c u e n te

e n

y

s o b r e

c o e f ic i e n te s

ta b la

P erm anente de valor no constante

e s e n c ia l

s e g u r i d a d

i n d e p e n d e n c i a

c o n d u c i r í a ,

la

d e

C E B - F 1 P - 9 0 a n e n t e s

d e c ir ,

c o n

e n t e

y

( 3 2 .3 8 ) ,

r e la c i o n a d o s

p e r m m

m

e s

I n s t r u c c i ó n

n iv e l

c a u s a

I n s tr u c c ió n C O

la

a te r ia le s

r e f e r e n c ia s

c a r g a s

s o n

q u e

m

a

b a jo

a n e n t e s

Situación persistente o transitoria

Perm anente

a n á lo g o s 2 .

e s ta d í s tic a s

la

a c ió n

s e

lo s

c u a n to

E l

a s í,

r e a lic e ,

r ie s g o s

b a r g o ,

a s p e c to s

E l

d e

te m

p e r m

Efecto favorable

s ig u i e n te s :

c o n c e p t o

c o e f i c i e n t e s

o b r a s ,

c o n s i d e r a b l e m y

in v e s tig a d o s ,

s e

la s

lo s l a

Pretensado

u n

E L p o r

e s ta b le c e n

e l

in tr o d u c e

D

TA BLA T-32.19 1

e n

lo s

O

la s

e x c e p t o

r e s a lta r s e

lo s

h a c e r lo

to d a s

e lla s

d e

e n

n o

e n

c o n s tr u id a

i t e 1.

1,0

=

E H

d e e n

1 ,3 0 .

to d o s

y

v a lo r e s

r e c o g e n

T ipo de acción

c a s o s ,

M

VALORES D E y

y . , ys , y-,

lo s

r e la c i o n a r

e l

ila r e s

p r o y e c to .

d e

y = J,35 E s to s

e l

q u e

s im

a ñ o s .

c o n tie n e n c a lid a d

e s

s e g u r i d a d

d e

d e l

o s

e n

L o s

y

c a r g a s

in tu itiv a ,

Variable

p o r ta n c i a

p a ís e s

ú lti m

o

yc =

I n s tr u c c ió n

s e g u r i d a d

s e ñ a la r s e ,

im

la

to d o s

a d o p ta

c o e f ic i e n te s

c a lid a d d e

c o n tr o l

g r a n

e n

1 ,1 5

s e

d e

u n

c o n tin u a c ió n .

a d o p ta

y=

q u e

o b v ia , d e

c a r a c te r ís t ic a s

D

s e

a

v a lo r e s

a lc a n z a

c o n tr o l .

c o e f ic i e n te s

n i v e l e s

q u e

lu g a r ,

d e

c o n tr o l

la s

1 ,5

s u s

s e

s e g u r i d a d

in d ic a n

yc =

a d o p ta

S e _ a d o p ta

p o r ta n c i a ,

n iv e le s

s e

e

p a r a

II

E n

E ,

d e

ló g ic a

e x p e r ta s

y

' O lo

-

S e

p a r a

r e la c i ó n

c o e f ic i e n te s

E H

p a r a

a c c id e n ta le s

E n

lo s

e n t e ,

a te r ia le s ,

e l

c o n s tr u id a

o o

la

d e

m

o

y

o o

V

v a lo r e s

u ltá n e a m

lo s

c o m

o o

e n

s im d e

O

II

L o s

a lc a n z a r ,

r a íz

s e

[ 3 2 .3 3 ]

r e s i s te n c ia s

I G

c u a n d o

A

a l

la s

D

c a lc u la d a

o o

a )

o

C Ó

p r e

II

c u a n d o , c o m

p r e s e n ta

R O

o o

d e c ir ,

a c c io n e s

s e

s ie m

o o

e s

i e n to

E U

e s

o o

Sj =

a g o ta m

e l

o o o

d e

ta n to

e s tr u c tu r a

o o

c r ít ic a

u y

d e

la

3« n

c o n d ic ió n

p o r q u e

q u e

II

la

[ 3 2 .3 2 ]

m

v a lo r

d e

li

y

in te n s o ,

p a r te n

p e r s o n a s d e l

Sd ^ Rd

E ,

II

c o m

s e a

ÍN II

l a

o

r e s i s te n c ia s .

II

e n

la s

9^

b a s a

i n o r a n d o

S* II

s e

m

11

s e g u r i d a d

y

a c c io n e s ,

ÍN

la

y

s e g u r i d a d

la s

Lj

d e

d e

ponderando

r e a liz a

cf' II

v e r if ic a c ió n

c o e f ic i e n te s

s e

o o

lo s

s e g u r i d a d

o o

L a

p o r

la

o o

u lt ip lic á n d o l a s

d e

S* II

m

in tr o d u c c ió n

II

L a

p o r

E H

d if e r e n te s

R O e n E

C Ó

D

I G

g e n e r a l, y

p a r a

d e O

p a r a

e llo

y-,

s e g ú n

E C - 2

s e

lo s

a d o p ta n

s o b r e c a r g a s . e x ig e

c o n tr o

E l tr a ta m ie n to a n t e r io r tie n e c a r á c te r g e n e ra l. U n a e x c e p c ió n n o ta b le la c o n s ti tu y e el e s ta d o lím ite de a n c la je , p a r a el q u e , c o m o v e r e m o s e n el C a p ítu lo 3 7 , s e clan s im p l e m e n te u n a s r e g la s q u e g a r a n tiz q u e s e a lc a n z a el a g o la m ie n to d e la s a r m a d u r a s a n te s d e l fa llo d el a n c la je .

2

Los

v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s s e e s ta b le c i e r o n p o r p r im e r a v e z e n la p u b li c a c i ó n " R E S I S T E N C I A

C A R A C T E R Í S T I C A Y C O N T R O L D E C A L I D A D " (3 2 .3 7 ).

754

36

L o s c o e fic ie n te s d e yf .se e s c rib e n en lo q u e s ig u e c o n s u b ín d ic e s G o Q , m a y ú s c u la , d e fo rm a g e n é ric a . E n el re sto d e la o b r a se e m p le a n lo s s u b ín d ic e s c o n m a y ú s c u la s p a ra ca rg a s p u n tu a le s y c o n m in ú sc u la s p a r a c a rg a s u n ifo r m e m e n te re p a rtid a s . S i n o h ay lu g a r a c o n f u s ió n , s e s u p r im e el s u b ín d ic e ^ .

P a r a la

ta b la

lo s

E s ta d o s

L ím

i te

d e

S e r v ic i o

s e

a p lic a r á n

T A

T - 3 2 .2 1

lo s

v a lo r e s

d e

^

in d ic a d o s

e n

T - 3 2 .2 1 .

(SOBRECARGA DE NIEVE)

Q

wuuuuuuwuuuuuuuu

C

O

E

F I C

A

P L I C

I E

A

B

N

T

E

L E S

S

P A

P A

R

R A

C

I A

L A

L E S

E V

A

B L A D

L U

E

S E G

A

C I Ó

S E R

V

U

R

I D

A

D

E

L O

N

I C

D

P A S

R A

E S T A

L A

S

D

S

O

A

C

L

C

I M

I O

N

E S ,

I T

E

D E

I O

G i , G 2 . CARGAS PERMANENTES

a )

0 ,9 5

b )

1 ,0 5

c )

0 ,9 5

d )

1 ,0 5

f r e n te

d u r a n te

■G , +

a la

l a

p e s o

s o b r e c a r g a

e t a p a

d e

e l

l a

d e

la

f ig u r a

p r o p i o

to ta l

Q

d e

d e

c o n s tr u c c ió n

3 2 - 2 6 .

lo s

n ie v e , p a r a

o

v o la d iz o s

l a

la s

C o m

p ila

la s s o n

d e b e r ía

Variable

Yq = 0,00

3 2 .7

1 ,0 5

G2 +

yQ

-

0 ,9 5

G2 +

yQ . q

l a

p a r c ia l e s

q

-

II

C O M B I N A C I Ó N D E A C C IO N E S E n

•G j +

O

h ip ó te s is :

G2

-G , + 0 , 9 5

yG.= 1.00

s e r

G2

1 ,0 5

P erm anente de valo r no constante

o o

d e

e s

a* II

d ic h o ,

O

p r o b a d a

e n t e

G¡, G2,

a n e n t e s

p r e p o n d e r a n te s c o m

a n te r io r m

II

p e r m

lo

yP = 0,90

o o.

d e

A rm adura postesa

o
c a r g a s

p l o

y P = 0,95

II £

e je m

A rm adura pretesa

II £

Pretensado

Figura 32-26 U n

o O

II iS

P erm anente

P U E N T E C O N S T R U ID O P O R V O L A D IZ O S S U C E S IV O S

E fecto desfavorable

E fecto favorable

T IP O D E A C C IÓ N

c o m

d e

b in a c ió n

d e

s e g u r i d a d

d e

a c c io n e s la s

s e

in tr o d u c e n

yf

a c c io n e s ,

,

r e d u c c io n e s

d e r iv a d o s

d e

la s

e n

lo s

tr e s

c o e f ic i e n te s

c o n s id e r a c io n e s

s ig u i e n te s : G

1 +

-

L a

-

E l

p r o b a b il id a d

d e

q u e

a c tú e n

s im

u ltá n e a m

e n t e

v a r ia s

a c c io n e s .

* ) y G 'G x + yG- G 2 + yQ . q h e c h o

d e

q u e

a c e le r a c io n e s L o s d e

v a lo r e s

d e

e je c u c ió n ,

l a

ta b la

T - 3 2 .2 0

a d o p ta d o s

e n

s e

e l

m

o d if ic a r á n

p r o y e c to ,

s e g ú n

in te n s o ,

lo s

n o r m

n iv e le s a l

o

d e

s u f r a

c o n tr o l

r e d u c id o ,

o

s e

d e f in e n

e n

e l

A

r t.

9 5

d e

la

I n s tr u c c ió n

E H

E ,

d e

a c u e r d o

c o n

e n

la

ta b la

E n

lo s

e s ta d o s o

ta le s

A T A

B L A

L O

R

E S

D

E

L O

S

C

O

E

F I C

e s to s

F U

N

C

I O

N

D

E L

N

I V

E L

D

I E E

N

T

E

S

D

E

M

A

Y

O

R

A

C

I Ó

N

D

E

A

C

C

I O

N

E S

C

O

N

T R

O

L

D

E

E

J E

C

U

C

I Ó

N IV E L D E C O N T R O L D E E JE C U C IÓ N IN T E N SO R E D U C ID O NORM AL

e f e c to s

ite

e n

d e

l a

d a ñ o s

s e r v i c io ,

m

d e

s u

a y o r v a lo r

c o n v ie n e

p e r m

p r o p io ,

OO oo o 00 o

n

c c io n e s

j u n t o

O' II

&

c c io n e s

p a r te

d e

g r a v e s , e n

a c c id e n ta l

f o r m

a

q u e

o

d e b id a s

la

p a r ti c u la r u n

a

la s

e s tr u c tu r a

n o

c o la p s o

g e n e r a l.

c ie r to s d e

l a

tip o s

v i d a

d e

d e la

a c c io n e s e s tr u c tu r a

s o n

d e

a lc a n z a n

d u r a c ió n s ó lo

u n a

c a r a c te r ís t ic o .

d is t in g u ir

C o n

a

la s

o

c a r g a s

-

-

d e s c r ita s

s í s m

o tr a s

e n tr e

la s :

t r a n s i t o r i a s ,

m

u e r t a s ,

la s

c o m

o

p o r

s o b r e c a r g a s

e je m

d e

p l o

u s o ,

la s

d e

a c tu a c ió n ,

d e l

e tc .

i c a s ,

d e

e n

a a

c o r r e s p o n d i e n te s

d if e r e n te

i n d e p e n d e n c ia

c o r r e s p o n d i e n te s 3 2 . 4 . l .b - 4 ) , j u n t o

d e

lo

a

la

la

i n te r v e n c ió n

o tr a s

d e

a c tu a c ió n

d e

d if e r e n te

d e

la

la s

a c c io n e s

tip o .

a c e le r a c ió n

s ís m

ic a ,

tip o .

a n te r io r ,

c o n v ie n e

d i s t i n g u i r

e n tr e

la s

a c c io n e s

d e

c a r á c te r : -

F r e c u e n t e s . s o b r e p a s a d o

-

a n e n t e s

a c c i d e n t a l e s ,

a c c id e n ta le s

Yg =

II

II

o o

yc , = 1,60 Os O

Xq = 1,50

Yg = L 50

S* II

o o

II

0 in

1

P erm anente de valor no constante

II

r G = L35

Pretensado

756

c a r á c te r

N

A

Perm anente

A ccidental

s u f r a

d e

c u b r ir la s

y ,

A

T IP O D E A C C IÓ N

Variable

lím

q u e

r e d u c id a

c c io n e s

p e s o E N

n o

a c c io n e s

p r e te n d e

T - 3 2 .2 0 A

A

q u e

d e

s e

T - 3 2 .2 0 . f r a c c ió n

V

d e

tip o s n o

lo b r e v e ,

in d ic a d o

s in o

ic a s ,

ta l -

c o m

d a ñ o s

a lg u n o s

s ís m

q u e

s e

p o d r á

P o r m

á s

v a lo r d e l

a lc a n z a

f r e c u e n te

5% d e l r 10 r> v e

tie m c e s

s u e le p o

e n te n d e r s e ,

d u r a n te

d u r a n te

b ie n

la

v i d a

ú til

d ic h a

v id a

ú til.

d e

a q u e l la

q u e

n o

e s tr u c tu r a ,

s e r á

b ie n

e l

757

www.libreriaingeniero.com E l

v a lo r

f r e c u e n te

e s

ig u a l

a

\f/¡

v e c e s

e l

c a r a c te r ís t ic o . S i

-

C

u a s i p e r m

d e

l a

E l

a n e n t e .

a c c ió n

v a lo r

e n

e l

P o r

v a lo r

tr a n s c u r s o

c u a s ip e r m

a n e n te

c u a s ip e r m d e

e s

T A

C

O

E

F I C

I E

N

T

E

la

v id a

ig u a l

B L A

\¡f P

S

a

a n e n te ú t i l

\y2 v

d e

R A

l a

e c e s

e n te n d e r s e

e l

v a lo r

m

e d io

e s tr u c tu r a .

e l

la

c a r a c te r ís t ic o .

E D

c o m

b in a c ió n

in a n te ,

s e

G Kj

V a lo r

G *Kj

V a lo r

[ 3 2 .3 4 ]

c o n s id e r a r á n

c a r a c te r ís t ic o

n o

la s

d e

c a r a c t e r í s t i c o

e s

e v id e n te

d if e r e n te s

la s

d e

a c c io n e s

la s

q u é

a c c ió n

QK¡

s e r á

la

p o s ib i lid a d e s .

p e r m

a c c io n e s

a n e n t e s

p e r m

a n e n t e s

d e

v a lo r

n o

c o n s ta n t e

I F I C

A cción

A

C

I Ó

N

Vo

Vó

C ategoría A: dom ésticos y residenciales

0,7

0,5

0,3

C ategoría

0,7

0,5

0,3

C ategoría C: áreas de reunión

0,7

0,7

0,6

C ategoría D: com ercios

0,7

0,7

0,6

C ategoría E: alm acenes

LO

0,9

0,8

PK

V a lo r

Qki

V a lo r c o m

¥2 \¡/oiQ K¡

C argas exteriores en edificios:

B :

e n

d e te r m

1

T - 3 2 .2 2

A

s u e le

oficinas

c a r a c te r ís t ic o

c a r a c t e r í s t i c o

V a lo r

S i t u a c i o n e s

S e

y a¡ c Ki

a c c ió n

d e

la

d e l

p r e te n s a d o

a c c ió n

v a r ia b le

d e t e r m

i n a n t e

e n

la

r e p r e s e n ta tiv o it a n te s

c o n

d e

la

c o m

d e te r m

b in a c ió n

in a n te .

( V e r

d e

la s

la

T a b la

a c c io n e s

v a r ia b le s

T - 3 2 .2 2 ) .

a c c i d e n t a l e s

e s ta b l e c e

j >/

la

b in a c ió n

c o n c o m

b )

d e

la

c o m

b in a c ió n

+j >Eyo-c;., + y„pK + 1

+r0.(VuG*-./+2r0.(vw3*.f ‘>‘

x, a k

i323?i

C argas d e tráfico en edificios: C ategoría F: peso de vehículo < 30 kN

0,7

0,7

0,6

C ategoría G :30 kN < peso de vehículo <160 kN

0,7

0,5

0,3

0

0

0

C argas de nieve en edificios

0,6*

0,2*

0*

C argas de viento en edificios

0,6*

0,5*

0*

0,5*

0*

C ategoría

cubiertas

H :

d o n d e

0,6*

E U

t a b l a R O

v é a s e L a s

T - 3 2 .2 2

C Ó la

c o m

D

I G

O

c o n t i e n e

E C - 1

r e f e r e n c ia b in a c io n e s

p a r a

v a l o r e s

d iv e r s o s

tip o s

d e d e

i

¡fj

y

y r

2

r e c o m P a r a

e n d a d o s

p u e n te s

d e

p o r

f2¡QK¡

V a lo r

f r e c u e n te

V a lo r e s

S i t u a c i o n e s

s í s m

S e

la

o

d e

e n

la

a )

d e b e n

a c c ió n

r e p r e s e n ta tiv o

c u a s ip e r m it a n te s

a c c id e n ta l

e s ta b l e c e

e x p u e s ta s

c a r a c te r ís t ic o

c o n c o m

c )

e d if i c io s .

n o ta c io n e s

V a lo r

y/¡ ¡QK,

* Se requiere u n a m odificación dependiendo d e la situación geográñe a

L a

la s

Ak

y

T em peratura (no de fuego) en edificios

a

a n e n le s

c o n

c o n

la

la

a c c id e n ta l

d e

la

a c c ió n

r e p r e s e n ta tiv o s

a c c ió n

a c c ió n

a ñ a d ir s e

v a r ia b le

s ís m

d e te r m

d e

d e te r m

la s

in a n te

a c c io n e s

in a n te

o

c o n

v a r ia b le s la

a c c ió n

ic a .

i c a s

c o m

b in a c ió n

e l

c a r r e te r a

( 9 .5 ) . d e

a c c io n e s

a

c o n s id e r a r ,

d e

a c u e r d o

c o n

E H

E ,

s e

in d ic a n

a d o n d e

a

la s

n o ta c io n e s

d e

a )

y

b )

d e b e

a ñ a d ir s e

c o n tin u a c ió n . L -

E S T A

D

O

S

L

Í M

I T

E

Ú

L T I M

O

S

d ) a )

S i t u a c i o n e s

p e r m

a n e n t e s

o

tis,A S i m

e s ta b l e c e

la

c o m

c a r a c te r ís t ic o

p l i f i c a c i o n e s

1) S

i t u a c i o n e s

S i t u a c i o n e s

L a I n s tr u c c ió n E H E in c lu y e c o m o A n e jo el D o c u m e n to N a c io n a l d e A p lic a c ió n e n E s p a ñ a d e E u r o c ó d ig o E C - 2 y e n p a r t ic u l a r u n A n e x o d e A c c io n e s c u y o s c o e f i c ie n te s y c o i n c id e n b á s ic a m e n te c o n los in d ic a d o s e n la ta b la .

758

la

a c c ió n

e s t r u c t u r a s

s ís m

d e

ic a

e d i f i c a c i ó n

1

p e r s i s t e n t e s

o

t r a n s i t o r i a s

b in a c ió n

c o m

I

p a r a

d e

t r a n s i t o r i a s d -

S e

V a lo r

1

c o n

u n a

s o l a

a c c i ó n

v a r i a b l e

Q Ki.

S e

e s t a b l e c e

la

b in a c ió n

E m p le a m o s la te r m in o lo g ía d e E H E . q u e p u e d e r e s u lta r a m b ig u a . D e b e s o b ie e n ie n d e is e q u e se ic lie ic a e s tr u c tu r a s u s u a le s d e e d if ic io s d e e n tr a m a d o s p a ra v iv ie n d a s y o f ic in a s , y c a so s s im ila r e s . U n a F á b ric a d e P a p e l o u n P a la c io d e D e p o rte s tie n e n e s tr u c tu r a d e e d if ic a c ió n c o n a c c io n e s q u e p u e d e n s u p e r a r las d e m u c h a s o b ra s p ú b lic a s y a e lla s n o p a re c e a d e c u a d o a p lic a r le s la s im p lif ic a c ió n .

759

Y , 1 g. , g k.i + Yq.i Q k.i JZ!

b-2) Situaciones con dos o m ás acciones v ariables QKJ

[ 3 2 .3 7 ]

X

Situaciones con dos o m ás acciones variables. Se establece la combinación

y CJ Gk¡

X

+ 0 ,9

/

7q iQk,

[ 3 2 .4 4 ]

I >/

Situación cuasipermanente

X

jZl

Y c j g k.¡ +X°.9 Yqj Q v

[ 3 2 .3 8 ]

¡>1

X y Cj

d-2)Situaciones sísmicas.

X Y gj g k.j

S e

X

Ya A e,k+

+

e s ta b le c e

jz t

la

c o m

E l

lím

ite

e s p e c íf ic a s ,

O b s é r v e s e ,

0,8 r 0,- Q ka

in s ta n tá n e a s

ú ltim ta l

o

c o m

d e

f a tig a

o

s e

n o

e x p o n e

s e e n

r ig e e l

p o r

e s ta s

C a p ítu lo

c o m

b in a c io n e s

s in o

p o r

4 6 .

ie n tr a s

c o m

e s to s

s itu a c io n e s ite

P a r a

e s ta d o s

lím

ite

a c c id e n ta le s

p u e d a n

la s

q u e

d e b e n

s e r

n o o

s e

s ís m

c o n s id e r a ic a s ,

e n

la s

lim

ita c ió n

c u a le s

s e

a lg u n a a d m

ite

e n q u e

lo s

c a s o s

e s to s

d e

[ 3 2 .4 5 ]

p a r a

e l

c a s o

c a lc u la r s e

d e

b a jo

la

la

c o m

c o m

p r o b a c ió n

b in a c ió n

d e

( 3 2 .4 0 ]

la s

d e

d e io r m

v a lo r e s

a c io n e s ,

la s

c a r a c te r ís tic o s ,

d e f o r m [ 3 2 .4 2 ]

d e

a lg ú n

e l

c o e f ic ie n te

c a s o

e n to s

a c io n e s d e

p a r tic u la r

/0

y

n o

e llo

d if e r id a s

v a lo r e s

p u d ie r a n

d e b e

ló g ic a m

c u a s ip e r m

p r o d u c ir s e

c o n s id e r a r s e

e s tr u c tu r a le s

p u e s

a n e n te s .

e s to s

s i

s e

s in la

e n te

d e b e n

S i

s o b r e c a r g a s

la

la s

r e d u c c ió n

d e f o r m

p u e d e n

a c ió n

d a ñ a r

c a lc u la r s e

d e

v a lo r e s

p u e d e

c o n

Q&

u n a

b a jo

p o r

q u e

p r o d u c ir

s o la

la

tr a ta r s e e n c ie r r a

d a ñ o s

a c tu a c ió n

e n

d e

la s

a c c io n e s .

e s ta d o s

VALORES DE LOS COEFICIENTES y/

a lc a n z a d o s .

s itu a c io n e s

la s

b in a c ió n

e le m

lím

y, ÍK .

[ 3 2 .3 9 ]

- ESTADOS LÍM ITE DE SERVICIO P a r a

X

0,6

i> i

e s ta d o

o tr a s

+

¡>l

m e )

Gk¡

b in a c ió n

p e r s is te n te s

y

tr a n s ito r ia s

s e

e s ta b le c e n

la s

c o m b in a c io n e s

L a

I n s tr u c c ió n

s ig u ie n te s .

f ija d o s

a)

e d if ic a c ió n

( c o n

e n

d e

Estructuras en general

e n

e l

P u e n te s

E H E

n o

in d ic a

E U R O C Ó D I G O

in d e p e n d e n c ia

C a n e t e r a

y

d e

v a lo r e s

E C - 1

d e

( 3 2 .8 )

d e l

m

a te r ia l

F e n - o c a r r il,

lo s

p a r a c o n

v é a s e

y/0, y f¡ y y 2. E

c o e f ic ie n te s

e l

c a s o

q u e

p a r tic u la r

e s té n

( 9 .5 )

y

d e

la s

s to s

v ie n e n

e s tr u c tu r a s

c o n s tr u id a s ) .

P a r a

d e

a c c io n e s

( 9 .7 ).

Situación poco probable

X 1c,j Gk.¡ + X r a ’j Gh J >¡

j2/

EJEMPLO 32.1 + Y / k + YqjQk.i +XV'o.¡ Yq,,Qk.¡ i> I

[32-40]

D a d a a c c ió n

Situación frecuente

X r oj g k.¡ + Xr gj g k.¡ + r A + VuYqjQkj +Xv21q.ük,¡

j >1

j>l

¡>1

d e

d e

7c =

L 3 5

1 ,5

y

j>¡

i>J

/ Q

=

d e o tr a

,

e d if ic a c ió n d e

c a r g a s

c a lc u la r

la s

( F ig .

c o m

3 2 - 2 7 )

s o m

a n e n te s

g2 =

b in a c io n e s

d e

p e r m

e tid a

2 7

a

u n a

k N /m

,

a c c io n e s ,

y

a

c o n

©

*

t

©

J

F ig u r a

*

6m

!=------------ 1

F’lSura 32~28

3 2 -2 7

P a r a :

Situación probable o poco frecuente b-1) Situaciones de una sola acción variable QKi t32-431

-

M

á x im

o

m

o m

e n to

f le c to r

n e g a tiv o

-

M

á x im

o

m

o m

e n to

f le c to r

p o s itiv o

e n

e l

c e n tr o

d e l

-

M

ín im

o

m

o m

e n to

f le c to r

p o s itiv o

(o

m

á x im

n e g a tiv o )

o

v a n o

iz q u ie r d o

e n

e l

c e n tr o

d e l

v a m

iz q u ie r d o

Solución: )

e s tr u c tu r a

,P

f32-421

b) Estructuras de edificación1

T¡> rcJ G Kj + YQ.lQ K.l

u n a

t32-41í j

a - yq,Qk.,

d e

g¡ = 2,5 k N / m , u s o , q = 12 k N / m

s o b r e c a r g a

*

X Yc.j g k.j + X rc*j Gh + r A + X

v ig a p r o p io

u n a

Situación cuasipermanente

j >1

u n a p e s o

D e s ig n a m

o s

c o n

lo s

s u b ín d ic e s

1

y

o

tr a n s ito r ia s .

2

lo s

v a lo r e s

d e

/

e n

lo s

v a n o s

H a c e m o s a q u í las m is m a s s a lv e d a d e s q u e h ic im o s en e) c a so d e e s ta d o s lím ite ú ltim o s. c o r r e s p o n d ie n te s .

760

L a s

a c c io n e s

s o n

p e r m

a n e n te s

761

www.libreriaingeniero.com a )

M

á x im

o

m

o m

e n to

f le c to r

n e g a tiv o .

A

p lic a n d o

[ 3 2 .3 4 ] L a

1 .3 5

b )

M

■ 2 ,5

á x im

+

o

m

1 ,3 5

o m

- 2 7

e n to

q u e

V a n o

1 :

V a n o

2 :

s o n

1 ,3 5

■ 1 2

e n

=

e l

kN/m

5 7 ,8

c e n tr o

d e l

+

- 2 ,5

d e l

1 ,3 5

+

m

■ 2 7

v a n o

1

o

o r ig e n .

1 ,5

1 , 3 5 - 2 7

=

■ 1 2

=

5 7 ,8

/ < 2 ,2= ^

S i

M

ín i m

o

m

o m

e n to

f le c to r

e n

V a n o

1 :

1 ,3 5

• 2 ,5

+

1 ,3 5 - 2 7

V a n o

2 :

1 ,3 5

■ 2 ,5

+

1 ,3 5

a p lic a m

o s

[ 3 2 .3 7 ] ,

e n

e l

=

■ 2 7

e s te

3 9 ,8

+

1 ,5

c a s o

•

kN/m

• 3 0

0 ,9 -

d e l

v a n o

1 ,5

a

u n a

d e

c a r g a

u s o ,

m á s

v ig a

p e r m

d e

d e s f a v o r a b le

Solución.

A

0 ,9

■ 1 ,5

=

la

f ig u r a

g

=

5 7 ,8

p a r ti c u la r

kN/m

lo s

H

v a lo r e s

c o in c id e n

c o n

lo s

p a r a

e l

p lic a m

o m

o s

a

u n

1, 3

=

m

p e r te n e c ie n te

e d if i c io

d e

o f ic i n a s ,

s o m

e n to

[ 3 2 .3 4 ]

f le c to r

y

la

m

ta b la

l a

b ) .

[ 3 2 .3 7 ]

s e

o b tie n e :

* 1 5

=

kN/m

6 0 ,7 5

■

62

■ 6 0 ,7 5

+ —

á x im

6

•

•

1 3 5

=

4 7 5 ,9

kN/m

4

a l la r

la s

d if e r id a

d e

u n

4 ,5

/m

2y

k N

c o m

b in a c io n e s

f o r j a d o u n a

d e

u n

d e

a c c io n e s

e d if i c io

s o b r e c a r g a

d e

S e

d e

u s o

c a lc u la

p a r a

e l

v iv ie n d a s

d e

2 ,0

b a jo

k N

la s

c á lc u lo

s o m

/m

e tid o

d e a

la

u n a

f le c h a c a r g a

in s t a n tá n e a p e r m

a n e n t e

y d e

2 .

a c c io n e s

c a r a c te r ís t ic a s .

= 6 ,5 k N /m i

1 , 0 0 - 2

e tid a

30 kN /m , o t r a d e u s o q} = 15 kN/m y u n a a c c i ó n , t a m b i é n 5 y yQ] = yP= l,5 , c a l c u l a r l a c o m b i n a c i ó n d e a c c i o n e s

=

7^

c o n

3 2 - 2 8 ,

ta n to

kN

1 3 5

Flecha instantánea.

a n e n t e

P = 100 kN

+

■ 1 0 0

1 , 0 0 - 4 , 5 + la

p o r

EJEM PLO 32.3

EJEM PLO 32.2 a d a

e s

p lif ic a c i ó n

8

kN/m 1 2

= —

1

o b te n id o s .

D

c r ít ic a

s im

kN/m

3 9 ,8

c e n tr o

la

Carga puntual

M c )

o s

C arga uniform em ente repartida

2, i =

y

b in a c ió n

a p lic a m

1 ,3 5

is m

+

c o m

S i

,\=/ g2,2~^-^5

a c c io n e s

• 2 ,5

1 ,3 5

1 ,5

f le c to r

y gi,i = y gi,2 ~ y a p u e s to

+

Flechas diferidas. [ 3 2 .4 2 ]

o .

y

la

1 ,0 0

T - 3 2 .2 2 .

L a

ta b la

- 4 ,5

s im

S e

T - 3 2 .2 2

+

0 ,3

c a lc u la

■ 1 ,0 0

p lif ic a c i ó n

d e

b a jo

yr2 =

c o n

- 2

= 5 , 1

[ 3 2 .4 5 ]

l a

c o m

b in a c ió n

d e

a c c io n e s

c u a s ip e r m

a n e n te s

0 ,3

e s

fc V /m

2

c la r a m

e n te

c o n s e r v a d o r a .

EJEM PLO 32.4 a )

C arga uniform em ente repartida

U n d e

1 .3 5

■ 3 0 +

1 ,5

■ 1 5

Carga puntual

( y

=

4 2 ,7 5

/0 =

kN/m

m

p ila r

c a r g a o m

e n to

a c c io n e s . 0 ,7

•

1 ,5

■ 1 0 0

=

= - ■

3 6

• 4 2 ,7 5

+

S e S e

E s ta c ió n

Ng

d e b id o

c a lc u la a p lic a

= a

d e

[ 3 2 .3 5 ]

u to b u s e s

kN

a c c io n e s

yg

c o n

A

1 2 0 0

y

= la

,

e s tá

s o m

y

e tid o

s o b r e c a r g a s

a c c id e n ta le s

1 ,3 5 ; ta b la

d e

=

1 ,5 0 .

d e

d e

a

u n a s

u s o

5 0 0

m

C a lc u la r

l a

s o li c it a c io n e s

Nq ~

k N c o m

kN

7 0 0

d e b id o

a

b in a c ió n

a x ile s y

a

u n

c h o q u e

d e

p é s im

d e

a

T - 3 2 .1 9 .

kN

1 0 5

D

M

u n a

a n e n t e

f le c to r

v e h íc u lo s .

0 ,7 )

d e

p e r m

6

—

8

■ 1 0 5

=

3 4 9 ,9

kN/m

a )

4

e b e n

c o m

p r o b a r s e

S i tu a c ió n

Nd =

lo s

d o s

c a s o s

s ig u ie n te s :

p e r s i s te n t e

1 ,3 5

■ 1 2 0 0

+

1 ,5

* 7 0 0

=

2 6 7 0

kN

Md = 0 b )

Carga uniform em ente repartida 1 .3 5

■ 3 0

+

0 ,7

■ 1 ,5 -

1 5

=

5 6 ,2 5

b )

kN/m

Carga puntual 1 ,5

-

1 0 0

=

1 5 0

= - *

8

762

62

- 5 6 ,2 5

a c c id e n ta l

Nd =

1 ,0 0 -

Md =

5 0 0

1 2 0 0

1

= 1 2 0 0

kN

m kN

kN c )

M

S i tu a c ió n

+ -1 4

■

6

- 1 5 0

=

4 7 8 ,1

kN/m

S i tu a c ió n

Nd =

1

Md =

5 0 0

a c c id e n ta l

■ 1 2 0 0

+

0 ,7

2

■ 7 0 0

= 1 6 9 0

m

kN

m kN

763

3 2 .8. E ST A D O D E D E F O R M A C IO N E S E N U N A S E C C IÓ N A R M A D A S O M E T ID A A E S F U E R Z O S N O R M A L E S S e

d e f in e n

p r o d u c e n y

e l

m

te n s io n e s

o m

e n to

D e n o r m

c o m

la

e s f u e r z o s

p a r a le la s

a

la

n o r m

a le s ,

d ir e c tr iz

ta l

d e

c o m

la

o

s e

p ie z a

y

d ijo

e n

3 2 .3 .3 ,

s o n , p o r

ta n to ,

a q u e llo s

q u é

e l e s f u e r z o

a x il

Flexión simple o compuesta.

3 :

m

c o n

e l

C .E .B .,

d is tr ib u c ió n

d e

la

d e f o r m

I n s tr u c c ió n a c io n e s

E H E

e n

e l

h a

a d o p ta d o

e s ta d o

lím

ite

p a r a

ú ltim

o

lo s

q u e

S e

in io

4 :

c u a le s

e l

c o m

q u e p r im

a g o ta m

e l

a g o ta m

id o ,

ie n to

ie n to

e x c e p to

s e

d e

e n

a lc a n z a

la

s e c c ió n

s e c c io n e s

p o r

d e f o r m

d e

c o n

h o r m

b a ja

a c ió n

ig ó n

o c u r r e

c u a n tía

p lá s tic a

d e

in d ic a

p o r

r o tu r a

a r m a d u r a ,

e x c e s iv a

d e

la

a c ió n

a

D o m

in io

4 a :

s u p o n e

a )

L a s

ta m

b ié n

s e c c io n e s

q u e

s e

p la n a s

c u m

p le n

a n te s

d e

la s

la

h ip ó te s is

d e f o r m

d e l

e n

D o m in io

p e r m

u n a

a r m a d u r a .

x

a n e c e n

p la n a s

d e s p u é s

m is m

a .

S e

d e s p r e c ia n ,

p o r

ta n to ,

la s

d e f o r m

a c io n e s

d e b id a s

a l

C,

a r m

y

c )

a d u r a s

E s to

e l h o r m

S e

e x p e r im

e q u iv a le

a

e n ta n

la

s u p o n e r

m

is m

q u e

a

n o

d e f o r m h a y

a c ió n

q u e

d e s liz a m

e l

ie n to

h o r m

e n tr e

ig ó n

la s

q u e

la

r e s is te n c ia

a

tr a c c ió n

d e l h o r m

C O D E

32.9.

p a s a n

p o r

a c e r o ,

d ia g r a m lo s

p u e d e n

a s

d e

d e f o r m

A, B

p u n to s

y

d is tin g u ir s e

C .

D

c in c o

a c ió n e

d e

la

a c u e r d o

s e c c ió n c o n

la s

e lá s tic o

a c ió n

d e

d e l

e n

£y,

tr a c c ió n

o

£y

s ie n d o

la

c á l c u l o 1.

a c e r o

e n

tr a c c ió n

o

T o d a s

z o n a

la s

d e

a r m a d u r a s

h o r m

ig ó n

e n

e s tá n

c o m

ta l

x =

a

q u e

DC

L a

p r im

id a s

a u n q u e

tr a c c ió n .

p r o f u n d id a d

d e l h o r m g ir a n

d e l

e je

ig ó n

v a ría

a lr e d e d o r

n e u tr o

d e l

v a r ía

d e

+ ° o

E C - 2

9 0 ,

h a

a d o p ta

p o r

a b a n d o n a d o s u

c a r á c te r

e l

a n á lo g o e s ta d o

tr a ta m

a r tif ic ia l

e

d e

ie n to .

d e f o r m

E l

a c ió n

C E B ,

p lá s tic a

p a r tir

d e l

e x c e s iv a

a

d e l

in n e c e s a r io .

E ST A D O D E D E F O R M A C IO N E S E N U N A S E C C IÓ N S O M E T ID A A LA A C C IÓ N D E L P R E T E N SA D O

ig ó n . D a d a

L o s

ite

a c e r o

la s

a rm a d u r a s

ig ó n .

d e s p r e c ia

h

=

(es = 10 % o ) ,

a c e ro

r o d e a .

p e q u e ñ a

E U R O C Ó D I G O

O D E L

c o r ta n te .

L a s

lím

d e l h a s ta

e s fu e rz o M

b )

a l

a c ió n

10 % o

e l

d e E l

la

d e f o r m

Compresión compuesta o simple. L a d e f o r m a c i ó n d e s d e ecu = 3,5%c h a s t a ecu = 2%o. L a s s e c c i o n e s

5 :

la s

s ig u ie n te s :

a c ió n

L a

d e s d e

c o r r e s p o n d ie n te

Flexión compuesta.

p u n to S e

v a r ía

e s fu e rz o s s e

h a y

s u p o n e

ig ó n

t r a c c i o n a d o

Flexión simple o compuesta. L a d e f o r m m á s t r a c c i o n a d o v a r í a d e ey h a s t a 0 2 .

D o m

c o n tin u a c ió n .

h o r m

á s

d e f o r m

f le c to r .

a c u e r d o

a l e s

o

D o m in io

s e

in d ic a n

d e f o r m

e n

a c io n e s

la

f ig u r a

d e l h o r m

3 2 - 2 9

ig ó n

y

u n a

s e c c ió n

tr a n s v e r s a l

d e

u n a

p ie z a

ta l

c o m o

la

in d ic a d a

e n

la

f ig u r a

y d e l

z o n a s .

F ig u ra 3 2 -3 0 F ig u ra 3 2 -2 9

Dominios 1 y 2.

E n

e llo s

e s ta d o

la lím

s e c c io n e s D o m

D

o m

in io

in io

1 :

2 :

a d u r a

ite

ú lti m

g ir a n

r o tu r a

a lc a n z a

x

=

o

la

c a r a

p r e s e n ta

a lr e d e d o r

d e

tr a c c ió n u n

d e l p u n to

0

p o r

c o m

s u

h a s ta

p r e s ió n

r o tu r a .

x

=

e n

L a

o

m á s

a la r g a m

tr a c c io n a d a ,

ie n t o

e n

1 0 %o.

d e l

e l

L a s

s o m

e tid a

c o n

e x c e n tr ic id a d

+

y ) ,

e l

a

u n a

d ia g r a m

f u e r z a

a

d e

eresp d e

p r e te n s a d o

e c to

d e f o r m

a l c .d .g a c io n e s

A.

f le x ió n

L a s id a d h a s ta o

( £ C[Í =

p r o f u n d i d a d

d e l

d e l

e je

a

3,5%¿),

y

p a r tir

d e f o r m

s u

d e f o r m a c ió n

p o r

n e u tr o

ta n to

v a r ía

a c io n e s

v a ría

x = 0.

a lc a n z a

e je

n e u tr o

d e f o r m

n o

te m a

d e l

v a lo r

a c io n e s

s e r á

d e

d e

e x tr e m a s ,

Pk

y

f lu e n c ia

e x p u e s to

e n

lo s

d e l y

m

d e d e d e l

v a lo r la

p r e te n s a d o ,

£c¡ y ec 2 , ó d u lo

3 6

s e

d e

r e tr a c c ió n

C a p ítu lo s

Pk e n e l i n s t a n t e c o n s i d e r a d o , a c t u a n d o o (e e s p o s i t i v a e n e l s e n t i d o d e l e j e

s e c c ió n ,

c o r r e s p o n d e

c a lc u la r á n ,

d e f o r m

a c ió n

c o r r e s p o n d ie n te s y

c o m o

Ec a l

a

u n

p la n o .

v e r e m o s

d e l

m á s

h o r m ig ó n ,

in s ta n te

a d e la n te y

d e

c o n s id e r a d o .

s u s E l

3 7 .

s e

d e s d e

1

O b s é rv e s e q u e £ = £ ^ _ p a r a a c e ro s de d u re z a n a tu ra l, p e ro e s ta e x p re s ió n n o e s v á lid a p a ra ac ero s

y Es

0,259 d.

la m in a d o s en frío , en lo s q u e £ d e b e se r d e te rm in a d o e n su d ia g ra m a d e cá lc u lo . E n c o m

e s ta s

z o n a s

p r e s ió n

x = 0,259 d

764

d e

Tracción simple o compuesta. L a p r o f u n d d e s d e x - -oo ( t r a c c i ó n s i m p l e o c e n t r a d a ) Flexión simple o compuesta . E l h o r m i g ó n n d e

Dominios 3 y 4.

a r m

e n

s e

a lc a n z a

f le x ió n .

h a s ta

x

=

h.

la

L a L a s

d e f o r m

a c ió n

p r o f u n d id a d s e c c io n e s

d e d e l

g ir a n

r o tu r a e je

d e l

h o r m

n e u tr o

a lr e d e d o r

ig ó n

v a r ía d e l

p o r

d e s d e

p u n to

B.

2

E l lím ite en tre lo s d o m in io s 3 y 4 co rre s p o n d e a u n a situ a c ió n en la q u e s im u ltá n e a m e n te se a lc a n z a la ro tu ra d el h o rm ig ó n y el lím ite elástic o d el ac ero . E n la b ib lio g ra fía a n g lo sa jo n a e s ta c o n d ic ió n su ele d e n o m in a rs e “b a lan ceó c o n d itio n ” . E s d ifícil e n c o n tra r u n a tra d u c c ió n e s p a ñ o la q u e n o in d u z c a a error.

765

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32.10 ESTA D O D E D EF O R M A C IO N E S EN U N A SEC C IÓ N P R E T E N SA D A SO M E T ID A A E SFU ER ZO S N O R M A LE S E l e s ta d o e x p u e s to

e n

d e

d e f o r m a c io n e s

3 2 .8

y

d e b e ,

e n

e s te

c a s o ,

o b te n e r s e

p o r

a )

O D E L

la s

s u p e rp o s ic ió n

d e

C O D E

n o r m a s

c o m o

lo

d e

B o liv ia ,

N o

2

e s tá

d e

p o s e e d e

p ie z a

a rm a d a ,

c u e n ta

a

E n

n o

e s te

c o n s e r v a

u n

a c c io n e s

la

la

a rm a d u r a

eí

d e f o r m a c ió n la

d e

d e

la

la

la

d e l

s e

e s tá

a

L a

p r o d u c id o

d if e r e n c ia s u

e s ta d o

c o n

d e

e l

c a s o

d e

d e fo r m a c ió n

ín te g r a m e n te

p o r la s

la

e n d e

a

e n

p a r te

f ib r a

te n s ió n

d e

A l la

d e

a

epo ( F i g . y

la

d e

n u la

y

la s

a la r g a

3 2 -3 1

a

la

d e

te n s ió n

p a s a

e l

b )).

a

s e r la

c o n d u c e

la

la

a l

q u e

te n s ió n ,

c o n

a c tú a n

a ltu r a

a rm a d u r a d e

a la r g a ,

MN,

c o m o

a rm a d u r a

m is m a

la

s e

d e

u n

a c tiv a

la s y

la s

e l

la

le y

la

d e d e

te n s ió n

c rp u .

d e f o r m a c io n e s

e x p u e s to e n

la

e n

3 2 .8

s ig u e

d e f o r m a c ió n

d e

s ie n d o la

v á lid o ,

a r m a d u r a

e l

d e

N O R M q u e

c u a le s

in d ic a m o s

la s

p a r te

m á s

h e m o s

s e ñ a la d o

y a ,

o tr a s

N o r m

a s

d e

d e

ú ltim a ( A C I

E s ta

e n to

d e

A

y

d e

y ,

m a y o r p a rte d e

d e

A m é ric a

e s p e c ia lm

a p lic a c ió n

d ir e c ta

in d ic a d e

h e r r a m ie n ta

u n a

o r ie n ta d o

e n

s u

e n te

a

la

d e l

N o rm a s .

m u y

p r á c tic a

n o m b r e ,

c o m o

S u

in d is p e n s a b le

p r e c is ió n

d e

b á s ic a m e n te

r e d a c c ió n , e n

b a s a d o

E U R O C Ó D IG O p e ro

s u y a

v e rs ió n m u y

p e r m ite

E C - 2

e n

e l

n o

a c tu a l

in te n s a

q u e

N a c io n a l

lo s

y

d e

e s

e s ta

u n

a m p lís im a

y

s u p e rio r

M

e n

la

g r a n

e n a

lín e a

p a rte

O D E L

d e

m u c h o s

la s

d e

la s

d e l

M

O D E L

c o in c id e n te

C O D E

a p lic a c ió n

s ie n d o

g e n e r a l.

d is tin to s

d e

1 9 7 8

E C - 2

e n

le g is la c ió n

m ie m b r o s q u e

a

o b lig a to r ia

u tiliz a d a

L a

p a ís e s

A p lic a c ió n )

e l E U R O C Ó D IG O

E s p a ñ a

f ig u r a

la

d e

3 1 8 - 9 5 ).

n o r m a y

1 9 9 5 .

c o m o

A n e jo

E R IC A N A .

p u b lic á n d o s e

c o n y

e n

c a d a

c o m

p a ís

e n

m u c h o s

e n

la

p a ís e s

c o m u n ita ria ,

r e d a c te n p le ta

u n

y

e n

D N A

a d a p ta ,

e l m o m e n to

a c tu a l.

d e s d e

E s

1 9 1 2

“ B u ild in g

1 3

a

u n a

c o n

C o d e

la

I n s tr u c c ió n

n o r m a

d e

r e v is io n e s

g r a n

c a d a

R e q u ir e m e n ts

E H E .

c a lid a d

s ie te

f o r

u

y

p r e s tig io ,

o c h o

S tru c tu r a l

a ñ o s . L a

C o n c r e te ”

( 3 2 .4 3 ).

e s

f u n d a m e n ta lm e n te

S u d a m é ric a

S u

tr a ta m ie n to

la s

y

d e

c u a l

E n

p e ro

f o r m a l e s

s o lic ita c io n e s , c o n d u c e

c a m b io

a

la

d e

la

e n

c o in c id e n te

c o n

a l d e l C ó d ig o

M

la

d e

C a n a d á ,

g r a n

p a r te

d e

A s ia .

d is tin to

g e n e r a l

c a r a c te r ís tic o s ,

1 ,4

la s

a c tu a n te

r e s is te n te ,

r e s is te n c ia s e s

c o n

s o lic ita c ió n

c a p a c id a d

la s

d e l

S „

o d e lo , p u e s

p e r m a n e n te s

y

p a rte

1 ,7

la s

d e

m a y o ra r

v a ria b le s ,

lo

Su. n o

s e

h o r m ig ó n

o b tie n e y

d e l

a

p a r tir

a c e ro ,

d e

lo s

s in o

d e

d im e n s io n e s

d e

v a lo re s s u s

d e

v a lo re s

d e c ir

a c tiv a .

C á lc u lo ,

d e

la s

im p o r ta n te s .

$ ■f( D ,fck,fyk.)

=

R

e s

a r m a d u r a s y

d e l

lím ite

la

C o m o v e re m o s en el C a p ítu lo 36, si la p ie z a tie n e arm ad u ras p a siv a y ac tiv a, la arm ad u ra p a siv a sufre

P a r a

d e fo rm a c io n e s d eb id as a la ac ció n d el p reten sad o .

la

e lá s tic o

d e l

r e d u c to r

( f le x ió n

d ia g r a m a

p r im e r a

r e p r e s e n ta c ió n

y f ck y f yk l o s

c o e f ic ie n te

s o lic ita c ió n

766

E s tá

e s tá

N O R T E A M

e s

C e n tr o

E l

1

E C - 2 .

f o r m a

a c tu a l

v ie n e

d o n d e e n

e l

E u r o p e a ,

E l D N A

32.11 O T R A S N O R M A S D E C Á LC U L O c o m o

la

a lg u n o s

1 9 9 0 .

m o m e n to

R

E x is te n ,

d e

d e

A r g e n tin a

r e d a c to r e s

u n a

p a r te

c á lc u lo

d e l p r e te n s a d o

b a s e

h a

a c c io n e s

in c re m e n to

c o rr e s p o n d e

se

a c tiv a q u e

e n

in f o r m a c ió n

C ó d ig o ,

d ic h o

e ta p a

d e

E H E ,

c la r a m e n te

lo s

la

e n

e lla s

s e

a c c io n e s

a u n q u e

C u a n d o

d e

in c r e m e n to

a c tiv a

y

p é rd id a s

h o r m ig ó n

a r m a d u r a

£a , q u e

s e

d e f o r m a c ió n

c o n tin u a r

e l a g o ta m ie n to

a c tiv a

a r m a d u r a

d e b id o

te s a d o

la

b ) ).

la

p a ra

tr a n s f o r m a

p r o v is io n a lm e n te

c )

d e s c o m p r im e

n iv e l

a c tiv a ,

in f lu e n c ia

£0 e s

a ).

p a s iv a ,

p r e te n s a d o ,

r e d u c e

3 2 -3 1

s e c c ió n

d e

a r m a d u r a

m o m e n to

a rm a d u r a

d ia g r a m a

c o n s id e r a n d o

e s e

3 2 -3 1

n o r m a

c o m o

é p o c a

la

p r e t e n s a d a 1.

s e

( F ig .

a rm a d u r a

la

r e m a n e n te

h o r m ig ó n

d e f o r m a c io n e s

d e

la

a c tiv a

Gpl

a

n

f ig u r a

a la r g a m ie n to

s e c c ió n

ec. E

e n

p a r a

a c c ió n

a la r g a m ie n to

e x te r io r e s ,

E l

b a jo

a r

d e

s u

a s í e n

e x te r io r e s , la

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ú ltim a

y

b ie n

a la r g a m ie n to

in c r e m e n ta

p a s a d o

s i

n u la

o c u rr e

e f e c to ,

v e r e m o s

c .d .g .

q u e

te n s ió n

e x te r io r e s ,

s e

e s

la

u n a

e m b a r g o , p o r s u

( D o c u m e n

p a r te

C O D E . S in

m ie m b r o s

in d ic a n

e n

e n tr e

é l d e riv a d a s .

E U R O C Ó D I G O

d e

e l d o c u m e n to

E u r o p a ,

b ie n ,

r e f e r e n c ia

u n a

D e

s e

c o m o m á s

lo

U n ió n

r e s u lta d o s

y

a s p e c to s

p a r te

F i g u r a 3 2 -3 1

B r a s il

d o c u m e n ta c ió n

N o r m a s

b )

d e

E C - 2 .

s in o

d o c u m e n to

1 9 9 0 . E s

p a ís e s

p e n s a d o

p r o fe s io n a l,

L o s

C E B - F I P

lo s

E U R O C Ó D I G O

3 2 .9 .

S c

M

e n

ip e s

s im p le ,

e l

d e

la s

c a r a c te r ís tic o s

d e

la

r e s is te n c ia

h o r m ig ó n d e l

y

h o r m ig ó n

a c e ro , r e s p e c tiv a m e n te .

d e l h o r m ig ó n

n o r m a

s im b ó lic a

v a lo re s

e l

d e

c o m p o rta m ie n to

to r s ió n ,

a d o p ta

m u n d o

e n

d e

la

s e c c ió n

f r e n te

a

c a d a

e tc .) .

u n o

in ic ia r

r e c ta n g u la r . e s te

D e b e

s e ñ a la r s e

q u e

fu e

c a m in o .

767

L a

e q u i p a r a c i ó n

a p r o x i m

a d a

d e

la s

f ó r m

u l a s

d e l

A

C I

3 1 8 - 9 5

a

lo s

s is t e m

a M

s e m

i p r o b a b i l i s t a s

d e b e

r e a l i z a r s e

c o n

c u i d a d o ,

p u e s

n o

s o n

d i r e c t a m

O

e n c o m

D

E L

C O

D

E

1 9 9 0 ,

p a r a b l e s .

e s o s

a s p e c t o s

a d a

u n a

f ó r m

u l a

d e l

A

C I

d e l

t i p o

e m

p e l i g r o

S“~ R

C Ó

D

I G

O

o f r e z c a n

E C - 2

y

d e

la

a l t e r n a t i v a s

A

C I

i n t e r e s a n t e s

N

o r m

a

o

3 1 8 - 9 5 , c o m

c u a n d o

p l e t e n

d e

E H

la s

E .

b a r g o

c la r o

e n

c a d a

u t i l i z a r

c a s o

s e

j u s t i f i c a r á n

u l a s

o

m

f ó r m

é t o d o s

la s

f ó r m

a is la d o s

u l a s

t o m

a d o p t a d a s ,

a d o s

d e

p u e s

u n a

e s

n o r m

a

u n s in

[ 3 2 .4 6 ] c o n t e m

e q u i p a r a c i ó n

a p r o x i m

a d a

p u e d e

r e a l i z a r s e

m

e d i a n t e

l a

f ó r m

p l a r l a

e n

s u

t o ta lid a d .

u la

3 2 .1 3

R

n

R O

g e n e r a l S i n

la

E U

c o n c r e t o s

e e s p e c i f i c a c i o n e s

D

d e l

e n t f

C O N C E P T O D E S E G U R ID A D G L O B A L D E T E R M IN IS T A

[3 2 -4 7 ] A h o y

u n q u e

e l

d e

e s

c la r o

l o s

m

q u e

é t o d o s

e l

c a m

s e m

in o

p a r a

e l

ip r o b a b il is ta s

tr a t a m y

i e n to

s e r á

e n

a d e c u a d o e l

d e

l a

s e g u r i d a d

f u t u r o

e l

d e

l o s

m

s ig u e n

p r e s e n t a n d o

e s

é t o d o s

d o n d e p r o b a b il is ta s ,

<j) =

C o e f i c i e n t e

d e p e n d i e n t e

d e l

tip o

d e

s o l i c i t a c i ó n ,

q u e

t o m

a

lo s

v a lo r e s

e n

s ig u i e n te s

<¡) = 0 ,9 0

p r á c tic o .

p a r a

f l e x i ó n

y

t r a c c i ó n

s im

p le

y

c o m

e l

D

a p a r t a d o

E n

p u e s t a .

lo s

c u a n d o ,

= 0 ,7 0

p a r a

c o m

p r e s i ó n

y

f l e x i ó n

c o m

p u e s t a

(

p a r a

a lg u n o s

e s t a c a m

c o r ta n te ,

p u n z o n a m

i e n t o ,

t o r s i ó n

y

f yd

e s f u e r z o

V

—

A

L O

R

E S

B L A

e l

—

D

E

L

C

O

E

F I C

I E

N

T

E

K

y

la s

N IV E L D E C O N T R O L D E C A L ID A D

R e la c ió n

D E L A E JE C U C IÓ N

g /q I N T E N S O

0

N O R M

a

la s

0 ,9 4

1,10

1,02

0 ,9 2

1,0

1 ,0 9

1,00

0 ,9 1

2,0

1 ,0 7

0 ,9 8

0 ,9 0

5 ,0

1 ,0 5

0 ,9 6

0 ,8 9

e s f u e r z o

s u

v a l o r

l a

d e l

q u e

h o r m

e l

e s t a d o

i g ó n

l í m

i t e

d e s c i e n d e

ú l t i m

o

h a s t a

s e

s u

y

a lc a n z a v a l o r

i t e

e lá s t ic o

d e l

a c e r o

s e

r e d u c e

a l

l í m

i t e

b i é n

d e

e l á s t i c o

d e

d e

c á lc u lo

a c c i o n e s

a l c a n z a n

s u s

v a lo r e s ,

t a m

c á lc u lo ,

ig u a le s

s e

r e l a c i ó n c a l i d a d

i n d i c a n

g/q d e

l a

d e

e n

l a

c a r g a

u l t i p l i c a d o s

p o r

lo s

r e s p e c t i v o s

a

lo s

yf.

v a lo r e s

T a b l a p e r m

T - 3 2 .2 3

a n e n t e

o s

a h o r a

q u e

t a m o

d e

b i é n

q u e

e s f u e r z o s a g o t a m

e l

e l

l a

e s t r u c t u r a

f ck, f yh y e s t a d o

a p lic a d o s

i e n t o

SR

2 .

D

lí m a

s e

i t e

l a

c o n s t r u y e

q u e

e llo

ú l t i m

o

s e c c ió n ,

e f i n i m

o s

s e s e

c o n

m

c o n o c e a l c a n z a

a t e r i a l e s c o n

p o r

l a

d e

r e s i s te n c ia s

s e g u r i d a d

a b s o lu ta .

e x c l u s i v a

v a r ia c i ó n

s u v a l o r c a r a c t e r í s t i c o Sk, h a s t a coeficiente de seguridad global

d e s d e

c o m

o

v a lo r

a

p a r a

l o s

s o b r e c a r g a

c a s o s d e

e b e

o b s e r v a r s e

c o n s t i t u i d a s

S i

u s u a le s

u s o

[ 3 2 .4 8 ]

8

d e t e r m

d e

s u p u e s to

r e s i s t e n c i a

Cs., =—

l a

e s f u e r z o

K

o s

d e l

D

d e

o s

d e

R E D U C I D O

1 ,0 6

c o n t r o l

lí m

c a r a c t e r í s t i c a s ,

determ inista

A L

1 ,1 3

0 ,5

m

S u p o n g a m

S u p o n g a m

d e

h e m

e l

i n te r é s

seguridad global determ inista seguridad a sobrecargas ] .

T - 3 2 .2 3

ig u a le s

f u n c i ó n

l a

o s

i n i s t a s

d e

Yc

c a r a c t e r í s t i c o s

d e

a n t e r i o r e s e n t e ,

d e t e r m

c o n c e p to

Ys T A

v a l o r e s

in tr o d u c i r e m

/ L

Jyk =

r a s a n te .

L o s

s i g u i e n t e

e n t e

e l

f c á lc u lo ,

e s f u e r z o

c o n t i n u a c i ó n

u l t á n e a m

; p a r a

p u r a m

a

a p a r ta d o s

s i m

p ie z a s

z u n c h a d a s ) .

<j)= 0,85

c o n c e p t o s

o s

y

d e l

p o r

u n

s e c c ió n a x il

i n i s t a

q u e

s o l o

e s tá

d e t e r m

e s te

c o n c e p t o

e s f u e r z o

s o m

i n i s t a

e t i d a d e

o

e l

s o l a m

a g o t a m

e s

c a s o

e n t e

i e n t o

d i f e r e n t e

e n

a e s

q u e

u n

p a r a

e l

c a s o

a c tú a n

v a r io s .

e s f u e r z o

a x il

N R],

e l

d e

s o li c it a c io n e s

c a r a c t e r í s t i c o

c o e f i c i e n t e

d e

N kJ

s e g u r i d a d

y

s u

g lo b a l

s e r á :

e n n iv e l

e je c u c ió n .

n

C

=

r i

—

[ 3 2 .4 9 ]

* 3 2 .1 2 A

U T IL IZ A C IÓ N D E N O R M A S D IF E R E N T E S A L A E H E l

a m

o c a s i o n e s

768

p a r o

d e

e x p o n d r e m

lo

p r e v i s t o

o s ,

e n

p a r a l e l a m

e l e n t e

A

r t . a

1 l o s

d e m

l a

I n s t r u c c i ó n

é t o d o s

d e

E H

c ita d a , E ,

o tr o s

e n t o m

1

P a r a v a lo r e s c o n c r e to s d e c o e f i c ie n te s d e s e g u r id a d , v é a s e J . C A L A V E R A ( 3 2 .4 4 ) .

2

E m p le a m o s

b a s ta n t e s a d o s

d e l

el

s u b ín d ic e

R

p a ra

el

a g o ta m ie n to

d e te rm in is ta ,

reserv an d o

el

U

p ara

el

s e m i p r o b a b il is ta . L a d if e r e n c ia c ió n e n t r e a m b o s c o n c e p to s e s e s e n c ia l.

769

www.libreriaingeniero.com e s

S i

l a

M k}

y

s e c c ió n c u y o

e s tá

s o m

v a l o r

e t i d a

d e t e r m

s ó lo

i n i s t a

a

u n

d e

m

o m

a g o t a m

e n t o

f le c to r ,

i e n t o

e s

c u y o

M R],

v a l o r

e l

c a r a c te r ís t ic o

c o e f i c i e n t e

3 2 .1 4 C O N C E P T O D E S E G U R I D A D A S O B R E C A R G A S

g lo b a l D

d e t e r m

i n i s t a

e s i g n e m

la s

L *s

S u p o n g a m a

u n

m

o m

d e

l o s

lo s

e n t o

i n i s t a . p u n t o s

o s

S

, S

la s

s o li c it a c io n e s

s e c c ió n

e s t é

c a r a c t e r í s t i c o

p o r

T o d o s

l a

in f i n i t a s

e s to s

d e

c o m

v a lo r e s

r e p r e s e n t a t i v o s

d e l

s o m

e t i d a

d e f i n e n

u n a

u l t á n e a m

c u r v a

i e n to .

e n t e

M k], N kJ. E l a M R, N R d e

v a l o r e s

b i n a c i o n e s

a g o ta m

s i m

E n

d e

a

g o t a m

u n

la

e s f u e r z o

i e n t o

v a lo r e s

i n t e r a c c i ó n

p a r t i c u l a r

i n i s t a

c a r a c t e r í s t i c a s

d e

a g o ta m

S u p o n g a m

[ 3 2 .5 0 ]

q u e

f l e c t o r

B ‘y B ”

p u n t o s

Mk

-

p r o d u c i r s e

d e t e r m

p o r

s o b r e c a r g a s

d e t e r m

p o d r á

o s

p r o d u c i d a s

p o r

la s

c a r g a s

p e r m

a n e n t e s

y

s e r á

C ,

c u r v a

d e

d e

l a

a x il

l u g a r

g e o m a

i e n to

h a b r á n

d e

lo s

o s

m

e n t e

s e c c ió n

c o n s i d e r a d a

y

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p o r

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s o li c it a c ió n

q u e

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p o r

u n

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c r e c i m

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v a l o r

e t i d a

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s o b r e c a r g a s .

y

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q u e

y

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v a l o r

SR - S e g-

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s e c c ió n

a g o ta m

c o r t a

a g o ta m

e n

„ =

A

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d e f in i d o s .

e s

d e f in i d o

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u n a

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d e

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c o n d u c e

o s ,

e n t e

s o b r e c a r g a

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coeficiente de seguridad a sobrecargas.

o

c o n s i d e r a m

d o n d e y

c o m

[ 3 2 .5 3 ]

2 ,

a

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d e

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u s o

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d e

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p r o d u c e n d e

c a r g a

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d e

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p r o p o r c i o n a l i d a d

p l o ,

e l

c a s o

n e v a d a s ,

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2,

c o n

i e n t o m

o m

d e

c o n u n

e n

u n

u n a

y

s e r á

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c u b i e r t a

a n e n t e

d e

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2

c a r g a s ,

d e

p e r m

c o e f i c i e n t e

f l e x i ó n

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f o r j a d o

c a r g a

e n

4

d e

s e g u r i d a d

4)

+

z o n a

k N

2

/ m

g lo b a l

8,8 kN /m 2.

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d e

[ 3 2 .5 3 ]

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C

=

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1 2

0 ,4

Figura 32-32

S i

e n

i n d u s t r i a l , E l

e s f u e r z o

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p e r m

o c u r r e

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p l i a c i ó n

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d e

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h o m

u n

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ín i m

q u e

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r e c t á n g u l o

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p u n to

3 3 - 3 2

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d e

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A

n á l o g a m

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m

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M ,N .

c o r r e s p o n d i e n t e

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e l E n m

v é r ti c e l a

c r í t i c o

f i g u r a

ín i m

o

3 2 - 3 2

a x il

c o m

p u e d e b )

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p u e d e

b i n a d o

c o r r e s p o n d e r a p r e c i a r s e

c o n

e l

m

á x i m

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q u e o

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u n

f o r j a d o

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d e

d e t e r m

k N

d e

2

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t a m

p i s o

d e

p e q u e ñ a

s o b r e c a r g a b i é n

ig u a l

d e

2,

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lu z

u s o s e

d e

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30

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k N

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n a v e 2,

c o n

o b tie n e

2,1

3 0

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i e n t o

E l

d e

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la s

c o n c e p to

a n e j a d o

a lc a n z a r s e a

o s

a n e n t e

„ = ------------------- =

la

m

a t e n c i ó n

s e g u r i d a d

C

[ 3 2 .5 1 ]

p r e s t a r s e

p e r m

66-3

ABDE.

E s

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c o n s i d e r a m

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c r e c i m

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d e

b io c a r g a

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s e g u r i d a d

c u id a d o ,

p o r

p r i n c i p i o ,

s o b r e c a r g a s

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p u e s c a u s a s

e l

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m

s e g u n d o

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f á c i l

c a s o

s o b r e c a r g a s c la r o

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q u e d e l

q u e

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c o n c e b i r

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e r o .

d e

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p r im

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a g o t a m

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p o r

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c o n ju n te e l

e r r o r e s

d e

p r o y e c to ,

d e

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d e

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e r r o r e s

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la s

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c a n t i d a d

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p o s i c i ó n

d e

la s

a r m

a d u r a s ,

1y c o n s tr u c tiv o s ,

e tc .

OA 9 C„

1

[32.52]

R e c u é r d e s e lo e x p u e s t o e n 9 .5 .2 .

770

771

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CAPÍTULO 33

REGIONES DE DISCONTINUIDAD. BIELAS Y TIRANTES

3 3 .1 . Z O N A S D E C O N T IN U ID A D Y D I S C O N T IN U I D A D E N L A S E S T R U C T U R A S D E H O R M IG Ó N S i

c o n s id e r a m

u n if o r m

e m

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e n

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r e p a r tid a s ,

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u n if o r m

la

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la

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_

c o n

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D

_

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lu z , la s

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la

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z o n a

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r e a c c io n e s

3 3 - l a )

a p r e c ia a

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q u e

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c o n c e n tr a d a s

d e

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p e r tu r b a d a

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_

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B

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l___________________________________________________________________________

D

'__________

I

Figura 33-1 P a r tie n d o z o n a s

d e

a p o y o s ,

774

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d e

la

H

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d e

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p o d e m e n t e la s

o s

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ig u a l

a

u n

r e a c c io n e s .

( F ig . c a n to E n

3 3 - l b ) ) a

d ic h a s

q u e ,

e n

d e

lo s

p a r ti r z o n a s

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s e

775

c u m

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z o n a s ,

n a tu r a lm

p o r

E n

e l

d e s ig n a r e m e s f u e r z o c o r d o n e s

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L e y

d e

d is c o n tin u i d a d ,

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r e s t o o s

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la

B. e tc .

p a r a le l o s

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L e y

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3 3 - 4

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d e

d is c o n tin u i d a d e s

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e c á n ic a s .

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z o n a s

B e m

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a p lic a b le

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p r e s ió n p r i m

d e

y

y

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tr a c c ió n

z o n a

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d o s

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1

c e lo s ía

D

id a s .

B 7 D

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B

b)

a)

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Figura 33-4

3 3 .2 M É T O D O S D E C Á L C U L O D E L A S Z O N A S D E D IS C O N T IN U ID A D E s p u e d e n ( m L a

L a s

f ig u r a

3 3 - 2

in d ic a

d is c o n tin u i d a d e s

( D i s c o n t in u id a d

g e o m

la s

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B

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p u e d e n

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a p lic a d a s

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m

o r ig in a d a s

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p o r

p le ja .

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( D i s c o n t in u id a d

g e o m m

o m

c la r o s e r

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f ig u r a

3 3 - 3

p r e s e n ta

v a r io s

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d e

d is c o n tin u i d a d e s

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f le c to r ,

e tr ía

e c á n ic a ) .

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p r im

é to d o s

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c o n

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e s f u e r z o

m

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la

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L e y

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c o r ta n te ,

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c a lc u la r la s f u e

f is u r a s ,

h a

r e d u c id o

e n

m

r e d u c id o .

m

lo s

e l

a d u r a s .

d e

o u il li,

d e r iv a d o s

e s f u e r z o

f u e

lo s

U n

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a p lic a c i o n e s

p r e c is ió n

d e

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S in b a s t a n t e

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g e n e r a lm

y

e s ta s

d e

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m

z o n a s

lo s o m

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e n to

to r s o r ,

p r o b a b le m

e n s a y o s

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e n

d e

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e l

d e r iv a d o

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d e

r e d u c id o ,

a n e n t e

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d e

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E n

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a p lic a c i ó n

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e n o s

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d e

o s

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a d h e r e n c ia

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y

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y

d e

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e l

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p o .

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a p lic a c i ó n s o lu c ió n

f ó r m

E u r o c ó d ig o

3 3 - 5

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Figura 33-3

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d e

d e

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u la s

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r e q u ie r e

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f r e c u e n te s

3 3 - 3 c )

y

d e

3 3 - 4 b )

e l

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r e p a r t id a .

S i

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C o d e

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3 3 - 5 a )

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lu z ,

c o n

v a lo r

c o n

l a

f ig u r a

f u n c io n a m

a ñ o s p o r

a 9 0

p u n to y

ta m

e l

lla m

b ié n

a d o

p o r

" M

é to d o

E H E .

N o

é to d o

s e

d e

lo

la s

tr a t a

b ie la s

e n

c a m

y

b io

E C - 2 .

E s e n c ia lm

E H E e m p le a la d e s ig n a c ió n , m u y f r e c u e n te y g e n e ra l, d e “ r e g io n e s d e d is c o n tin u id a d . O tra te n d e n c ia e x is te n te e s d e s ig n a r la s c o m o “ r e g io n e s o z o n a s p e r tu r b a d a s ” . E l té rm in o “ d is c o n tin u id a d p u e d e in te r p r e ta r s e e n el s e n tid o d e q u e en e s a s z o n a s n o c o n tin ú a s ie n d o v á lid a la L e y d e B e m o u illi.

la n a

d e r iv a d a s

d e

lo s

tir a n te s " ,

C)

U

c ) .

v
e l

b a r g o ,

tie m

d e s a r r o l lo

776

a p lic a b le lo s

B

a)

1

s e r

c o n

é tr ic a s .

p e r f e c c i o n a m

f

n o

f o to e l á s ti c o s .

p r e f a b r i c a c i ó n ,

- t - i

a l

e tc .) .

c o n s tr u id o L a

q u e

c a lc u la d a s

to ta l

ie n to

in d ic a o s

d e

la

la

E l

p ie z a

f o r m g r a n

r e d

d ic h a

d e

c a r g a

e q u iv a le n te ,

3 3 - 5 b ) . d e

d e

v ig a

e l

e s q u e m a

u n

a

p r e li m

is o s t á ti c a s p o r

f lu jo a

in a r ,

e l

m

in d ic a

e n

la

f ig u r a

c a n to .

d e

c o n ju n to

d o s d e

p a r a

te n s io n e s la

d e

e l

p u n tu a le s

f ig u r a b ie la s

y

c a s o

d e

c a r g a

a p lic a d a s

p u e d e 3 3 - 5 c )

s im e s

e n

u n if o r m

lo s

p lif ic a r s e la

e m

c u a r to s

a s im

d e

e n te d e

la

a c u e r d o

il a c ió n

d e l

tir a n te s .

777

www.libreriaingeniero.com Pl

PL

Pl

p|_

E s te ú n ic a

p la n te a m

f o r m

f u e r z a s

a

d e

ie n to

e s

c a lc u la r

a p lic a d a s

p o r

n o

lo s

la s

s ó lo

c o n v e n ie n te

e s f u e r z o s

B

z o n a s

e n

lo s

s o b r e

s in o

lím

D

la s

ta m

ite s

d e

b ié n

la s

n e c e s a r io ,

z o n a s

c o n tig u a s ,

e s

Z ),

e s

d e c ir

p u e s

e s

d e c ir ,

s u s

la

d e

la s

f u e r z a s

d e

c o n to r n o .

$

C u a lq u ie r e n u n a

la s

in f o r m

D,

r e g io n e s

g r a n

a y u d a

a c ió n

d e

p r o c e d e n te

y

u n a

q u e

d e

s e

d is p o n g a

c u a lq u ie r

e x c e le n te

in f o r m

o tr o

s o b r e m

a c ió n

la

é to d o

p a r a

d is t r ib u c ió n

c o r r e c to

e s ta b l e c e r

d e

e l

r e a l

d e

c á lc u lo ,

e s q u e m

a

te n s io n e s e s

s ie m

d e

p r e

b ie la s

y

tir a n te s .

b)

a )

U n

c)

1 .

F ig u ra 3 3 -5

o r d e n

E s ta b le c e r a p lic a d a s

D e E n

-

e l

e s q u e m

L a s

b ie la s

lín e a s

a

f ig u r a n

c o m

r e c ta s

p r i m

d e

lo s

tr e s

id a s

C

1?

e le m

C 2,

e n to s

C 3,

b á s ic o s

d e l

r e p r e s e n ta d a s

m

y

é to d o .

s ie m

p r e

e n

lo

q u e

s ig u e

L o s

tir a n te s

-

L o s

n u d o s

tir a n te s ,

M

á s

p o d e m

p o s ic io n e s

d if e r e n te s

E l M

O

R S C H

B .

R e a l m

s u iz o s , U

P F E R

S u iz a .

H

M

A

R T I

a

S C H

S in

tie n e

a m

e n t e

e n tr e

e l

lo s

e m

e l

e s te

q u é

n u d o s ,

R I T T E R

A

c o m

C a n a d á

g r a n

( 3 3 .1 0 )

a

C o n c r e te "

ta m

e s q u e m e lla .

c o n

r e e m

la

a

a p lic a c ió n

d e

b ie la s

s e c u e n c ia

p la z a

a l

c a m

d e l

y

d e

é to d o

tir a n te s

in d ic a d a

p o

m

e n

la

te n s io n e s

e s

e l

p a r a

f ig u r a

q u e

l a

p ie z a

3 3 - 5 ,

r e f le ja d o

s ig u e :

e l

p o r

y

la s

e s q u e m

la

le y

a c c io n e s

a

d e

d e

b ie la s

is o s tá tic a s ,

A le m

( 3 3 .1 1 ) ,

s í,

d e

tir a n te s

e n tr e

s í

o

d e

b ie la s

y

3 .

a s ,

ta le s

3 3 - 5 c ) ,

s e

o s

c o m

o

s itú a n

c ó m

o

s e

e l

d e

b ie la s

a n c la n

a c e p ta r

d e

a n te c e d e n te

m

p r in c i p io s

d e l

e x c lu s i v a m

a

C o m

e n te

p la n te a r s e

T H

a

Ü R L I M

b ié n

d e y

E l

A

N

p u b l i c a d o

e n

A

N im

I T C H

p a r a

c o n

r e m

q u é

s e c c ió n

la s

d iv e r s a s

d e

la s

e l

a r m

h o r m

XX, a h o r a

p o r T

a d u r a s

ig ó n

y

e n

d e

lo s

lo s

s i

b ie n

lla m

M d e

U

R Ü

te o r ía s

a m

n o

C o m

a le m

S C H

E L L E R

E s ta d o s

y y

( 3 3 .7 )

e n

U n id o s

d e

5 .

N

a lm

d e

d e i

c o n

la

lim

a s p e c to s

e n te

c o m

h o r m

la s

p r e s ió n

ig ó n

e n

la s

u tiliz a d o

T

f u e r z a s

a

tr e s

3

c o n s titu y e

T e o r e m ta n to

d e

la

ita c ió n

d e

p u e d e n

e x is te n

d e

y

p o r

a d e c u a d a

e s q u e m

p r e s e n ta n

2

d e l

g a r a n tiz a

c o n d ic io n e s d e l

e n

te n s io n e s

n o

e s to s

o r m

te n s io n e s

a c u e r d o

e x p u e s to d e

ita c ió n

q u e

la s

r e s i s te n c ia

d e

g a r a n tiz a d a

d e b e

a n e s

l a

d e

y

b ie la s d im

tr a c c ió n

s o n

a d m

e n s io n a r

y

la s

la

is ib le s s e c c ió n

c a r a c te r ís t ic a s

d e d e d e l

p le a d o .

lo

21 ) ,

lim

d e

( 3 3 .4 )

e m

o

p lá s tic o

"zonas

o s

tir a n te s

a c e r o

4 .

q u e

c o n

p r e f e r ib le .

d e

n i

la

e n

d e f in i tiv a

E s ta d o c o m

la s

s e r

E l

A

r o ta c io n e s

a d e c u a d a m

e s q u e m e je m

V o lv ie n d o

p l o a l

a s

L ím

u n a

ite

( v e r

d e f o r m

e n te ,

p lá s tic a s .

M

á s

c a m

p o

C a p ítu lo s

a

u n

1 7

a c io n e s

ta m

p o c o

a d e la n te

n i

la

q u e d a v e r e m

o s

p le n

la s

c o n s id e r a d o s .

b ie la s

s ig u ie n te c a s o

d e

d ic io n a lm

e n t e

d e

a p lic a c ió n

I n f e r i o r

p a ti b ilid a d

f is u r a c ió n .

d iv e r s o s

e q u ilib r io .

a

d e

y

tir a n te s

in d ic a la

la

f ig u r a

q u e

f o r m

a

3 3 - 5 ,

c u m d e

e n

s e le c c ió n l a

3 3 - 6

se

v a r ia n te s :

( 3 3 .9 ) .

d e f in ic ió n

" T o w a r d s u s

la s

in g e n ie r o s

( 3 3 .3 ) ,

( 3 3 .6 )

y

e n

q u e

R D

E L L

o to

s ig lo lo

p o r ta n c i a

e n ta c ió n

tr a b a jo

á s

n u e v o

N H

g r a n M

f u n d a m

a n ia .

d e

L E O

p r o b a r

a c u e r d o

d ó n d e

p o d e m

C alcular las fuerzas de com presión C e n l a s b i e l a s y las fuerzas de tracción T e n l o s n u d o s , m ediante la aplicación de las condiciones de equilibrio.

y

C O L L I N S

d e s a r r o llo , e n

p r o b le m

d e s ta c a r s e

d e

e n tr e

b ie la s ,

s u

c a s i

y

T.

s o lo ,

e tc .

e n z ó

a n ia

u n o

c ír c u lo s .

f ig u r a

( 3 3 .2 )

d e b e

le m

la

e n te

a p lic a r o n

é to d o

lo s la s

r e s i s te n c ia

n a tu r a lm

la

b ie la s

e n

C2 d e

la

y

d e

c a s o

p e q u e ñ o s

e n

a p o r ta c io n e s d e

b a r g o

I C H

S t r u c t u r a l

m

e n

y

o

c u a le s

h a b id o

( 3 3 .8 )

L A

y

b o s

( 3 3 .5 ) a

c o m

b ie la s

( 3 3 .1 ) q u e

o s

c o n s id e r a r

n u d o s ,

d e

é to d o

p o r

e n tr a r e m

lo s

tip o s

m

o lv id a r s e

K

e n

e n

c o in c id e n c i a

o s

p o s ib l e s ,

tir a n te s

tr a c c ió n ,

d e

e l

la

tr a z o s .

r e p r e s e n ta d o s

a d e la n te

tr a n s v e r s a l

lo s

e n

e n

s o b r e

a c u e r d o

tir a n te s

e n d a b le

m e d i a n t e bielas y tirantes rectos y l a s curvaturas del cam po de tensiones se concentran puntualm ente en los nudos.

p o r

2 . -

r e c o m

a

d e l

m

é to d o

C o n s i s te n t

c o l a b o r a d o r e s

D

S C H

s e

d e b e

e s ig n Á

o f

F E R

y z = 0 .6 £

J E N

N

E W

E I N

,

c o n s titu y e

u n

d o c u m

e n to

e x c e p c io n a lm

e n te

im

p o r ta n te .

3 3 .3 P L A N T E A M IE N T O D E L M É T O D O D E L A S B IE L A S Y T IR A N T E S

b)

c)

d )

Figura 33-6 U n a s e i

íe c o m

c a lc u la d a

u n a

778

c la r a

d e

e n d a c ió n a c u e r d o

id e n tif ic a c ió n

g e n e r a l c o n

d e

la s

lo s

d e

o r d e n

p r o c e d im

z o n a s

D.

p r e v io ie n to s

e s

q u e

la

g e n e r a le s ,

e s tr u c tu r a p e r o

e llo

e n

d e b e

g e n e r a l h a c e r s e

d e b e c o n

-

L a

v a r ia n te

h e c h o a p r o x im

a )

e s

c o n o c id o a d a m

e n t e

té c n ic a m q u e

s e

e n te

in d ic a

p o s ib le , e n

d ) ,

p e r o d e

q u e

d is c r e p a e l

n o ta b le m

v a lo r

d e

z

e n te

d e l

d e b e

s e r

z = 0,6 l.

779

-

L a

-

L a

v a r ia n te

b )

e s

c o r r e c ta . L a

v a r i a n t e

c )

c u m

p le

la s

le y e s

d e l

e q u i l i b r i o

p e r o

p r e s e n t a

d o s

la

in c o n v e n ie n te s :

-

-

L a

lo n g it u d

e n

la

E x ig e

a r m

r e tr a c c ió n

C o m

o

d e

tir a n te s

s o lu c ió n

la

b ) .

a d u r a y

te m

y

( E llo

p o r

r e s i s te n t e p e r a tu r a ,

v a r ia n te

lo

b )

ta n to

c o n d u c ir á

n o

( n o

e tc .)

d e

a r m

a d e m

d e

e n

a d u r a a

m

b a s

e s to s

d e

tr a c c ió n

a y o r e s

c a r á c te r

a m

p r e s e n ta

á s

d e f o r m

s e c u n d a r i o

e s

m

c o m

b ie la

o

c o m

la s

d e

y

D e

a y o r q u e

a c io n e s ) .

r e s i s te n c ia

in tr ín s e c a

e s

p o r

ta n to

d e

C a s o

la

e n

a

c o m

ig ó n ,

p o s ib l e

c o n

la s

p r e s ió n

s in o

a r m

d e

a d u r a

E H E ,

b ie la s

lo s

la s

b ie la s

e x is te n c ia

tr a n s v e r s a l

lo s

s o n

d e

l a

v a lo r e s

m

d e a

la

á x im

n o

d e p e n d e

o tr a s

s ó lo

te n s io n e s

n o

d e

la

r e s i s te n c ia

p a r a le l a s

a l

e je

d e

b ie la .

o s

d e

c á lc u lo

d e

la s

te n s io n e s

d e

s ig u ie n te s :

Bielas de horm igón con fisuras potenciales paralelas a las bielas y arm adura transversal de cosido.

a )

E s ,

la

h o r m

a c u e r d o

p r e s ió n

d ir e c c i o n e s .

in c o n v e n ie n te s ,

d e l

p o r

e je m

p lo ,

e l

c a s o

d e

la

f ig u r a

3 3 - 9 .

p r e f e r ib le .

6.

E l

p a s o

d e l

3 3 .4

f in a l

h o r m

e s

ig ó n

la

c o m

c o m o

p r o b a c i ó n

e n

la s

d e

lo s

c o n d ic io n e s

n u d o s , d e

ta n to

a n c la je

d e

e n la s

lo s

e s ta d o s

a r m

d e

BIELAS DE HORMIGÓN CON FISURACIÓN PARALELA A LA BIELA V ARMADURA TRANSVERSAL DE COSIDO

te n s ió n

a d u r a s .

C O M P R O B A C IÓ N D E L O S C A M P O S D E T E N S IO N E S E N E L H O R M IG Ó N D E L A S B IE L A S

ACCIONES FICTICIAS

f , * = 0.70 f f 3 3 .4 .1 .

T E N C O

L o s e n

la

S I O

N

F I N

c a m

f ig u r a

N A

p o s

E S

D

D A

d e

3 3 - 7 a )

E

C O

P R E S I Ó

N

D

E L

H

O

R M

I G

Ó

N

E N

B I E L A

S

N O

S

te n s io n e s y

M

q u e

a p a r e c e n

e n

e l

m

é to d o

d e

b ie la s

y

tir a n te s

s e

in d ic a n

b ) .

Figura 33-9 C T T x i i i i i i i i i

r

m

L a

i i i i i i i i

r e s i s te n c ia

a

c o n s id e r a r

£ « , =

fTTTjTTTT

f cd =

d o n d e

e n

e s to s

c a s o s

e s

0 ,7 0 / * ,

[ 3 3 .1 ]

fck d e

a c u e r d o

c o n

lo

e x p u e s to

d e

lo s

e n

e l

C a p ítu l o

3 2 .

S e

s o b r e e n tie n d e

q u e

1 ,5 CAM PO PARALELO

C A M P O E N A B A N IC O

D E T E N S IO N E S

D E T E N S IO N E S

la

a r m

a d u r a

e s tá

a n c la d a

a

p a r ti r

la b io s

d e

c u a lq u ie r

f is u r a

p o te n c ia l.

b)

Figura 33-7 E s to s

c a m

p o s

d e

te n s io n e s

s o n

p o r

s u p u e s to

C a s o

s im

p lif ic a c i o n e s

d e

c a s o s

r e a le s

m

b )

Bielas de horm igón que transm iten com presiones a través de fisuras de abertura controlada por arm adura transversal ( E f e c t o d e e n g r a n a m i e n t o

á s q u e

c o m

p le j o s .

T a l

c o r r e s p o n d e n

a

c o m

o

c a s o s

s e

in d ic a

r e a le s

d e

e n la s

l a s im

f ig u r a

3 3 - 8 ,

p lif ic a c i o n e s

d e

c a m la

p o s

f ig u r a

d e

te n s io n e s

3 3 - 7 a )

y

b ) .

a )

y

s e

a n a liz a r á

e n

e l

C a p ítu lo

3 9 ) .

b ) E s ,

p o r

e je m

p lo ,

e l

c a s o

d e

la

f ig u r a

3 3 - 1 0 .

BIELAS QUE TRANSMITEN COMPRESIONES ATRAVÉS DE FISURAS DE ABERTURA CONTROLADA DE REFUER20.

| 2P

t p

lo s

t p

Figura 33-8

780

781

www.libreriaingeniero.com L a

r e s is te n c ia

a

c o n s id e r a r

e n

e s to s

c a s o s

e s

TABLA T-33.1 [33.2]

ficd^^fcd

e n g r a n a m

E s e n

VALORES k DE LA RESISTENCIA A COMPRESIÓN DEL HORMIGÓN EN BIELAS J lcd^ k f cd

c)Bielas comprimidas que transmiten compresiones a través de fisuras de abertura no controlada con suficiente armadura transversal ( E f e c t o d e

C a s o

e l

c a s o ,

s e c c io n e s

I,

ie n to

p o r

e je m

( fig .

p lo ,

d e l

c o r ta n te

e n

la s

u n io n e s

d e

a la s

tr a c c io n a d a s

a l

a lm a

L o s h o r m

1

d o s

ig o n e s

U n I w c u o f c d

a n c h o s

S i

la

c o n s id e r a r

e n

e s to s

c a s o s

0 ,7 7

/

0 ,6 8

0,68

b )

0 ,6 0

0 ,5 4

/

0 ,4 8

0 ,5 1

c )

0 ,4 0

E n

v a lo r e s

p a r a

m u c h o s

c a s o s

d e

s u m

lo s

a

e l a n c h o

d iá m

d e

n in g u n a

c a s o

e s

p o r

s e

á r e a s

to m

d e

d e

n o

r e d u c c ió n

c o n tr a r ío ,

e l

b ie la o

C - 9 0 ,

e n

c a d a

c a s o

la s

a

c o n s id e r a r e n

e l c á lc u lo , c u a n d o

v a in a s

o

b a r r a s

e l 4 %

n o

d e l á r e a

s u p e r a - ^ d e l

p a r a

f ]cc¡

d e

a c u e r d o

c o n

a

e x is te n

a n c h o

6

d e

la

b ie la , n o

e s

d e

la

n e c e s a r io

a n c h o .

p a r a

la

b ie la

u n

a n c h o

r e d u c id o

bred = b - r 1 X
c o n c r e to s

c o r r e s p o n d e n

b a r r a s .

s u p e r a

d e l

a r á

M

e n te .

v a in a s

e tr o s

s u s

0 ,3 4

p a r a

r e s p e c tiv a m

o c u p a d o s

o

la

in d ic a d o s

- 5 0

in te r é s

a

e s

[ 3 3 .4 ]

d o n d e

[ 3 3 .3 ]

in d ic a

S C H L A I C H

0 ,7 0

H

s u m

r e a liz a r

Figura 33-11 a

d e

y

p o r ta n te s

b ie la

E H E

C - 9 0

a )

v a lo r e s

H - 2 5

p u n to im

-

r e s is te n c ia

M

3 3 - 1 1 ).

BIELAS COMPRIMIDAS QUE TRANSMITEN COMPRESIONES A TRAVES DE FISURAS DE GRAN ABERTURA

L a

E H E

C A S O

d e s p r e c ia b le ) .

r) = 0 , 5 rj = 1, 2

lo

p a r a

a r m

p a r a

a r m a d u r a s

a d u r a s

a d h e r id a s a c tiv a s

o

y

te n d o n e s

p a s iv a s

n o

in y e c ta d o s a d h e r id a s

s ig u ie n te :

-

C o m

p r e s ió n

o b lic u a

-

A la s

d e

A la s

c o m

A la s

tr a c c io n a d a s

d e l

a lm

a

d e b id a

a l e s f u e r z o

c o r ta n te

b

f cd

0 ,6 0

e s

L a s e c c io n e s

p r im

I,

c a jó n ,

e tc .

id a s

o b lic u a

d e

b ie la s

d e b id a

a l m

-

C o m

p r e s ió n

o b lic u a

d e

b ie la s

d e b id a

a l

-

C a s o s c a r g a s

3 3 .4 .2 .

0 . 4 0 / *

p r e s ió n

p r e s ió n

c o n c e n tr a d a s

u n ia x ia l s o b r e

o m

e n to

p u n z o n a m

to r s o r

0 ,3 0

f cd

ie n to

0 ,3 0

f cd

m a c iz o s

E n

p r o b a c ió n

d e

n u d o s

y

b ie la s

e n

v ig a s - p a r e d

0 ,7 0

-

C o m

p r o b a c ió n

d e

n u d o s

y

b ie la s

e n

m é n s u la s

0,70

y

ta m b ié n

e n e l

e l M

tr a b a jo O D E L

d e

la

C O D E

r e f e r e n c ia 9 0

a d o p tó

( 3 3 .1 1 ) a

s u

a d o p ta

v e z

o tr o s

v a lo r e s v a lo r e s .

E n

f cd

C o m

S C H L A 1 C H ,

782

T a b la

T - 3 3 .1

r e s u m

e

e s ta s

e s p e c if ic a c io n e s .

e n

la s

a n te r io r

a lg o

c a s o

33.5

D E

A D U R A S

la s

f ó r m

d if e r e n te s

s e c c io n e s

c o r r e s p o n d e

e lim

a m b o s

in a n d o

e l

a l M

c a s o

d e

O D E L

la

b ie la

C O D E

d e

b a r r a s

y

E L

H O R M

la

9 0 .

lim

E H E

ita c ió n

a d o p ta

d e l

4 %

u n a

.

c o n tr a r io

e x p u e s ta s

3 5 .2 .1 )

d e l la

P R E S I Ó N

P R I M

I D A S

E N Y /O

A R M

I G Ó N

A D U R A S

E N

B I E L A S

C O N

D E

I E N T O

c a s o s ,

c á lc u lo

C O M

C O M

u la s

( A p a r ta d o

d e

si

c o m o

s e

p u e d e n

a c e r o

te n s ió n

e n

s e rá ú ltim

e l

p a r a

r e s u lta n te d e l

a c e r o

3 5 ,

ta n to

c o n f in a d a s

e s ta b le c e r

la a

C a p ítu lo

p ie z a s

la s d e

d e b e

p a r a

c o n d ic io n e s e llo , lim

p ie z a s

( A p a r ta d o

d e

p u d ie n d o ita r s e

a

4 0 0

s im

p le m

e n te

3 5 .2 .3 ) .

c o m

p a tib ilid a d ,

a lc a n z a r N /m

m

e l

v a lo r

la

f y&

2.

C O M P R O B A C IÓ N D E L O S C A M P O S D E T E N SIO N E S E N LO S T IR A N T E S

d if e r e n te s S u a )

L a

o

p lif ic a d a ,

C O N F I N A M

V a le n a r m a d a s

-

E H E

s im

T E N S I O N E S

te n s ió n

d e

ín im

e s p e c if ic a c ió n

A R M

y

c o r ta s

m

f cd

0 ,6 0

C o m

c o m

a n c h o

v e r s ió n

-

d e

e l

d im

e n s io n a m

E l b a r ic e n tr o d e l

ie n to

e s

p lá s tic o

in m d e

e d ia to ,

b a jo

la s

a d u r a s

a r m

la s

r e g la s

p a s iv a s

s ig u ie n te s : y

a c tiv a s

d e b e

c o in c id ir

c o n

e l

tir a n te .

783

b )

L a

A s + Ap d e

s e c c ió n

ú ltim o

c )

N o

d )

E s

d e

e s

a c u e rd o

n e c e s a r ia

e s e n c ia l

E s te

te m a

e l

lo

la

a n n a d u r a s

c o n

lo

q u e

s e

c o m p ro b a c ió n

e s tu d io

d e

c u id a d o s o

v e re m o s

a

p a s iv a s e x p o n e

y

a c tiv a s

p a r a

f is u r a c ió n

d e

la s

c o n tin u a c ió n

s e

c a lc u la

tir a n te s

q u e

d e

e l te m a

e n

e s ta d o

e l C a p ítu lo

s e h a r á d e

c o n d ic io n e s

a l tr a ta r

e n

a c u e rd o

a n c la je d e

lo s

d e

lím ite

N U D O S M U L T IC O M P R IM ID O S

(C C )

3 4 .

c o n

lo s

3 3 .7 .

Pyj

tir a n te s .

n u d o s .

33.6 D IM E N SIO N A M IE N T O D E LO S NU DO S L a

c o m p r o b a c ió n

tr id im e n s io n a l

S e

c o m ú n

e n

é l

y

a

a

la s

la s

lo s

r e a c c io n e s

q u e

lo

c o m o

o

n u d o

n u d o s

a q u e lla

b ie la s

d e s ó lo

c a r g a s

la

d e p e n d e

e s e n c ia lm e n te

d e

s u

c a r á c te r

b i

o

te n s io n a l.

p a rte

d e

c o m p r im id a s

r e a c c io n e s

c o n v e r g e n o

lo s

e s ta d o

d is tin ta s

c a r g a s

d e

d e

s u

v a lo r m á x im o

e n

c o n

d e

e n tie n d e

e s

E l

y

a p lic a d a s

te n s ió n

b ie la s

d e

la

s o b r e

e s a

c o m p r e s ió n

c o m p rim id a s

a p lic a d a s , n o

z o n a

d e b e

d e

d is c o n tin u id a d

c o n v e r g e n te s ,

y

a

lo s

c u y o

tir a n te s

v o lu m e n

c o n v e r g e n te s

p a rte .

d e

Figura 33-13 ocd e n

c á lc u lo

e v e n tu a lm e n te

s e r s u p e rio r a

e l

f u e r z a s

c a s o d e

d e

n u d o s

c o m p re s ió n

ucd
a c u e rd o

s ig u ie n te

f l cd fcd e n

e s ta d o s

b ia x ia le s

d e

ficd e n

e s ta d o s

a )

tr ia x ia le s

N u d o s

L o s la

=

C C C

n u d o s

f ig u r a

c o m p re s ió n

3,30 f", d e

c o m p re s ió n .

( N u d o s

e n

q u e

c o rr e s p o n d ie n te s

3 3 - 1 2

y

c o n c u r r e n

a

c a r g a s

o

s o la m e n te

r e a c c io n e s

b ie la s

s e

c o m p rim id a s ).

r ig e n

p o r

lo

in d ic a d o

e n

Figura 33-14

3 3 - 1 3 .

b )

N U D O S M U L T IC O M P R IM ID O S

(C C C )

N u d o s

C T T .

m o m e n to s 3 3 - 1 5 ,

la

Figura33-12 784

L a

f ig u r a

q u e

la s

f u e r z a s

v e re m o s

r e s u lta n te

3 3 - 1 4

c ie r r e . E l c a s o

c o rr e s p o n d ie n te

C o n o c id a s ( te m a

d e

R

y

s u

a

d e

m á s

la

m á s

in d ic a

c u rv a

d e

tr a c c ió n a d e la n te ) ,

d ir e c c ió n ,

lo

e l

g e n e r a l y u n a

c a s o

d e

f re c u e n te b a rra ,

c o n

e s q u in a e s

c e n tr o

T¡ y T2 d e

la

b a s ta

3 3 - 1 5 )

c u a l

(F ig .

p e r m ite

b a r r a

s itu a r e !

d e

e l in d ic a d o

e n

e n

la s

p ó r tic o e n

c o n

f ig u r a

O. d o s

d ir e c c io n e s

c o m p o n e r la s e je

la

O'A

d e

p a r a la

te n e r

b ie la .

Figura33-15 785

www.libreriaingeniero.com A c e p ta n d o q u e la s p r e s io n e s e n tr e h o r m i g ó n y b a r r a s e p r o d u c e n e n in te r io r

U n a

e llo

d e

é s ta ,

la

p a ra le la

c o n s tr u c c ió n

s e

O 'A

a p ro x im a d a

EF

tie n e

a

FC

=

=

—

p o r B

e s

y

d e te r m in a

tr a z a r

O la

p o r

d e f in id a

la

la generatriz

—■d e

e l s e m ia n c h o

p e r p e n d ic u la r

O'A

a

la

y

b ie la

c o n

b ie la .

2

2

C d c )

N u d o s

C C T .

U n

c a s o

típ ic o

e s

e l

d e

la s

c a r g a s

e n

p u n ta

d e

v o la d iz o

o

1

'V d tV M m é n s u la ,

ta l

c o m o

d e te r m in a c ió n a

p a r tir d e l

v é a n s e

lo s

d e l

s e

in d ic a

a n c h o

b lo q u e

d e

C a p ítu lo s

e n

la

m ín im o

e l

37

y

y

e l

v a lo r

d e

C2 = T2 ( P

c o m p r e s io n e s

36

33-16.

f ig u r a

y

la a ra

E l

tr a z a d o

c o m p re s ió n la

d e s o n

d e te r m in a c ió n

la

b ie la

la

in m e d ia to s d e

y2 y a

33.1.)

e je m p lo

c

Figura 33- i 7

hi

E l e s q u e m a la s

a c c io n e s

y

d e

s o b r e

b ie la s y

e l

tira n te s e n

ABCD

n u d o

C2¡¡ = T\„

c o n

777)

"V \\ ' t1 \\

/ ■/ . /

I

y

Cu = T ’M

c o n

e l n u d o

s o b r e

s e

d ire c triz

in d ic a d e l

L > / ' ^2
-

V ,,

-T„,

-

V ,,

Tu,

+

=

la

fig u ra

y

d e l

3 3 -! 7 a ). P r o y e c ta n d o

p ila r, s e

o b tie n e

~V

C u

C „ ,

e n

d in te l

-

=

0

V2¡,

T i

tg a

d e

(T'¡tiy

T ’v

a r r a n q u e

d e l

E l

Figura 33-16 b ie la

n u d o

p a s a

p o r

D

I M

E N

S I O

N

A

M

I E N

T O

D

E

L A

S

B

I E L A

C o n d e

lo la

C o m o n u d o

d e

v is to

e n

3 3 .5

c o m p r e s ió n , e je m p lo ,

p ó r tic o

e n

y

3 3 .6

s e

d e fin e n

a s í c o m o

e l

la

3 3 -1 7

s o m e tid o

f ig u r a a

c a r g a

lo s

c rite r io s e

v e rtic a l

d e

a n c h o s

d e

la

b ie la

c o m p ro b a c ió n

in d ic a

la

u n if o r m e

d e fin ic ió n s o b r e

e l

d e y

e n

s u s

e x tre m o s

y

e l

é s ta . c o m p ro b a c ió n

d in te l.

d e b e n d e

d e

b a r r a ,

la

e!

e l

e s tá

p u n to

e l

a n c h o

r e a liz a r s e T ig u ra

e s

a

p a r tir d e l

m o m e n to

a c tu a n te

e n

la

s e c c ió n

m a te r ia liz a d o m e d io

m é to d o

p o r

d e c o n

b ie la

e x p u e s to

e l

e n

a n c h o

la

c u ñ a

EFG

( F ig .

3 3 - 1 7 c ) ) y

e l

e je

d e

d e

c u rv a

la

EG.

d e

e s a

e n

z o n a

3 3 .6 b )

m ín im o

e s e n

MN.

s ie n d o

0

D e f in id a

s e n tid o

e l

c e n tr o

la

o r to g o n a l

b ie la , a

la

d e l la s

a rc o

d e

c o m p ro b a c io n e s

b ie la ,

q u e

e n

e l

c a s o

m.

u n L a

y

7Kf>

d ir e c ta m e n te

S la

v a lo r

o b tie n e n

C ltl- V2ll

d in te l) .

C C C

A p lic a n d o 3 3 .7

s e

T,,

= ----------- = -------------------------------

te n s ió n

d e

e n

a c u e rd o

la

c o n

b ie la

3 3 .6

r e s u lta

p o r

ta n to

anl 787

O b s é r v e s e e x tre m o s lím ite s

p u e s

d e

s u s

q u e , e l

e n

g e n e r a l,

D

n u d o

te n s io n e s

e s

d e

u n

e s

o b lig a d a

n u d o

C T T

c o m p re s ió n

y

la

s o n

c o m p ro b a c ió n

Bun

e l

n u d o

C C C ,

d e

la

p o r

lo

b ie la q u e

e n

a m b o s

lo s

v a lo re s

S o n

d e

3 3 - 1 8

a p lic a c ió n y

3 3 - 1 9 ,

c a s o

s ie m p r e

d is trib u id a

33.8 C O M PR O BA C IÓ N DEL A N C L A JE DE LO S TIRA N TES E N LOS NU DO S b ie la s

y

a )

p u n to

c rític o

e n

e l d im e n s io n a m ie n to

d e l n u d o , y

e n

g e n e r a l d e l m é to d o

d e

tir a n te s .

s e

in d ic a

e n

la s

f ig u r a s

3 3 - 1 8

y

a

s o lu c ió n

e n

c a s o ,

c o m o c o n

Caso en que el anclaje puede ser desarrollado por adherencia. L g e n e r a l

a

e s te

c a s o a

la s

v a r ia n te s

a n c la je

p o r

b )

o

c )

d e

p r o lo n g a c ió n

la s

f ig u r a s

r e c ta

o

c o n

e s tr ic to

v a ria s

e s

c a p a s

e l

p e r o

in d ic a d o

e n

c o n

e s c a s o

m u y

la

f ig u r a

3 3 -2 1

e s p a c io

c o n

p a ra

a rm a d u r a

d e s a r ro lla r

e l

a n c la je .

E s te u n

b ié n

v u e lta .

d if e r e n te s .

U n

E s

ta m

c o r r e s p o n d ie n te s

e s

s e

y

lo s

in d ic a

a n te r io r e s e n

p la c a

s o ld a d a

a n á lo g o

a l d e

la

e je r c e

u n

s i

f ig u r a u n a

a n c la je

e s

n e c e s a r io ,

3 3 - 2 2 .

b e n e f ic io s a d e

a d m ite n

( O b s é r v e s e

te n d ó n

q u e

c o m p re s ió n

d iv e rs a s

la

s o lu c io n e s

s o lu c ió n

s o b r e

A ,

d e

ta l

a n c la je

e l n u d o ) . E s te

c a s o

p o s te s a d o .

3 3 -1 9 .

PLACA METALICA TALADRADAPARA PERMITIR EL PASO DE LABARRA

Figura 33-19 S i

la

lo n g itu d

s o lu c io n e s

S i

la

tip o

a r m a d u r a

v a ria s

c a p a s

d e

lbnet b ).

p u e d e

E n

o tr o

p r e s e n ta

c o n s e g u ir s e c a s o ,

lo s

p r o b le m a s

r e d o n d o s

fin o s

p o r

a n c la je s

d e

(F ig .

p r o lo n g a c ió n tip o

a n c la je ,

c )

u n a

s o n

r e c ta ,

v a le n

la s

n e c e s a r io s .

s o lu c ió n

e s

d is trib u irla

e n

3 3 -2 0 ).

Figura 33-22

E n

to d o s

lo s

c a s o s

c o n c e n tra d a s la

d ir e c c ió n

S i E n d e l

7 88

la

f ig u r a

a n c h o

s e

d e

in d ic a , d e b ie la .

E l

a c u e rd o

c a n to

lo n g itu d

l,d

d e

p r in c ip io

d e

S a in t-V e n a n t.

la

z o n a

d e

d e l

c o n

lo

tir a n te

v is to

a n te r io r m e n te , la

v ir tu a l

d is c o n tin u id a d ,

n o

d e b e

d e te r m in a c ió n

s u p e ra r

d e te r m in a d a

d e

e l

2 0 %

a c u e rd o

d e c o n

la e l

la

c o n

c a r g a

d ir e c c ió n

o

a n te r io r e s , s e z o n a

r e a c c ió n

d e d e l

3 3 - 2 3

la

d e

lo s

h a

c o n s id e r a d o

n u d o s

d e

q u e

a n c la je

la s

e ra n

a c c io n e s

n o r m a le s

o a

r e a c c io n e s la

p ie z a

y

a

d e l tir a n te .

c o a c c ió n

r e s u lta n te

( F ig .

e n

a l la s

m

e s

o b lic u a ,

o v im

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r e a c c io n e s

tir a n te ,

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c u a l

c o m o

s o b r e m

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o d if ic a

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d e l

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lig e r a m

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( F ig .

a r á

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c a s o

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3 3 - 2 3

á n g u lo

p o s ic ió n

a d e

a p o y o s a )),

la

c o n

la

la

b ie la

c )) .

7 89

www.libreriaingeniero.com TABLA T-33.2 /

"

/

ESQUEMAS DE BIELAS Y TIRANTES PARA DIVERSOS ELEMENTOS

a>

b)

c)

Figura 33-23 U n

tr a b a jo

H O N G

y

im

p o r ta n te

P E T E R

M

r e c ie n te

U E L L E R

s o b r e

e s te

tip o

d e

n u d o s

e s

e l

d e

S U N G

nTTT

( 3 3 .1 2 ) .

N o tus im p o rta n te s:

1.

S ie m p re q u e ex isia co m p re s ió n tra n sv e rsal al a n c laje , c o n v ie n e c a lc u la r lbnt¡ co n el m é to d o del

2.

El m é to d o e x p u e sto en el C a p ítu lo 44 p a ra c a lc u la r s im u ltá n e a m e n te el e fe c to de a n c laje de barras

M O D E L C O D E 90, ya q u e E H E no c u b re este c a so (C a p ítu lo 44 ).

tra n sv e rsales s a ld a d a s y de c o m p re s io n e s tra n sv e rsales es d e e sp ecial in terés en es to s casos.

33.9

E S Q U E M A S B Á S IC O S E n

e s q u e m

Ui a

d e

ta b la a r m

1 - 3 3 .2 a d o ,

la

s e r e d

in d ic a n d e

lo s

c a s o s

is o s tá tic a s

s i

b á s ic o s . e s

P a r a

c o n o c id a

y

c a d a e l

c a s o

e s q u e m

s e a

in c lu y e d e

b ie la s

e l v

tir a n te s .

790

791

TABLA T-33.2

TABLA T-33.2

ESQUEMAS DE BIELAS Y TIRANTES PARA DIVERSOS ELEMENTOS

ESQUEMAS DE BIELAS Y TIRANTES PARA DIVERSOS ELEMENTOS

792

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TABLA T-33.2

ESQUEMAS DE BIELAS Y TIRANTES PARA DIVERSOS ELEMENTOS

ESQUEMAS DE BIELAS Y TIRANTES PARA DIVERSOS ELEMENTOS

794

795

TABLA T-33.2

ESQUEMAS DE BIELAS Y TIRANTES PARA DIVERSOS ELEMENTOS ESQUEMA DE CARGAS

FLUJO DE TENSIONES-

e s q u e m a d e ::. BIELAS, NUDOS: Y TIRANTES

E JE M P L O 33.1. Sea la ménsula de la figura destinada a soportar las acciones de cálculo Fvd= 1000 kN y Fhd = 700 kN (Fig. 33-24) procedentes de las reacciones de un puente grúa. Se emplea hormigón H-35 y acero B 400 S. Se desea dimensional* la armadura y comprobar la ménsula por el método de bielas y tirantes. 800 mm

= + ■= = =*: CARGA P U N TU A L M É N S U L A CORTA

[ F vd= 1000kN

~ t

EN

40

Fhd=100kN

80Qmm f

—

P

1 \5 /, 700

j

j

250j

,40 mm

c2 ( n ) ENCEPADO DE 005 PILOTES

X

X

V i,

SOLUCIÓN. El esquema de armado se indica en la figura 33-24a). El esquema de bielas y tirantes en la 33-24b).

P/2j \P/l

Dimensionando en primer lugar el pilar, inmediatamente por debajo de la ménsula, la sección de 700 ■300 mm se encuentra sometida a unos esfuerzos

ir t e i íiltin tiW M

11 11 M i M [! lilu

( 1 8 ) e n c e p a d o d e t r e s p il o t e s

Figura 33-24

m í’

M d= - 1000 • 0,45 - 100 ■0,70 = - 520 mkN

u n Ü4-1

Nd = 1000 kN

il

j

El dimensionamiento en flexión compuesta conduce a una armadura simétrica de 3 t() 25 en cada cara más 2 <|> 12 de montaje. La profundidad del bloque rectangular es y = 168 mm. Con las notaciones de la figura 33-24b), es inmediato obtener

tg c q = -

tg a 2 =-

660

660 700 - 40 -

796

: 3,59

a,

74,4°

100 + 168

1.146

48,9°

168

797

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Estableciendo el equilibrio en el nudo A Clá • sen a } = 1000 100 + Cld eos

=

a 1A = 280 ■sen 74,4°= 270 mm CId = Í0 3 S /UV 1038000

= 379 kN

Id

C2á eos a 2 = T ]d

C2d = 5 7 7 k N

C2d sen a 2 = T2d

T2d = 435 k N

’cd.lA

12,8 N¡mm2

Com o es un nudo C C T o cd < 0,70 • f cd = 16,3 N /m m 2, luego es válida la com probación.

L a proyección horizontal de fuerzas en el nudo B conduce a T 3d

270 ■300

E n el extrem o B: D e acuerdo con la figura 33-26

= C2d eos a 2 - C ,d eos a , = 100 kN a lB = 168 sen a¡ - 162 mm

D isponem os 2 estribos 0 10 de dos ram as. 435.000 C on ± T2d 2d— = «tjj.uuu 435.000 N A /l,, ==--------------5 400/1,15

1.251 m m 2 ~ 3 0 25 q u e

se

= 1038000 = 21,4 N fm m 2 162 • 300

m an tien en

hasta el extrem o de la m énsula.

C om o es un nudo CC C , a cd < fcd = 23,3 N /m m 2 que se cum ple.

(El tirante A C requiere m enos arm adura). El anclaje del tirante A C , com o no se puede desarrollar p o r adherencia p o r falta de espacio, se resuelve con dos travesaños soldados $ 25 que anclan la capacidad m ecán ica total. (V ease el C apítulo 44). C om probación de bielas

C om presión en la biela B C En el extrem o C el nudo se indica en la figura 33-27. E l radio de la arm adura es el m ínim o perm itido, de 10 D e acuerdo con la construcción indicada en 33.6.b), es inm ediato deducir (Fig. 33-27) que P Q - 171 m m y p o r tanto el ancho de la biela es 2 P Q = 342 mm.

- C om presión bajo la placa de acero

1000000 200 -300

= 16,7 N fm m :

S obradam ente adm isible (V éase el C apítulo 60). - C om presión en la b iela AB 'En el extrem o A:

NUDO A

NUDO B F ig u r a

3 3 - 2 7

F ig u r a

3 3 -2 8

= 4 08000_ _ 4 N fm m 2 342 ■300 C om o es nudo C C T

a cd < 0,70 f cd , lo que se cum ple sobradam ente.

E n el extrem o B, volviendo a la fig u ra 33-26,

Figura 33-26 798

a?B = 168 sen a 2 - 123 mm

799

a cd = . 4 08000

= j j N/mm2

123 • 300 lo que resulta sobradam ente adm isible. Si se o b serva con d eten im ien to el flujo real de ten sio n es en el m odelo de bielas y tiran tes, la situación sería la indicada en la fig u ra 33-28. L as bielas A B y B C p rese n tan traccio n es orto g o n ales a su d irectriz, que en d efin itiv a anuncian la ex isten cia de traccio n es T sen sib lem en te p ara lela s al borde superio r de la m énsula, que deberán ser resistid as con u n a arm ad u ra h o rizo n tal no p ro p o rc io n ad a p o r el v alor TJá del tiran te A C y que adem ás debe rep artirse en una cierta fracción del canto de la m énsula. (E strib o s 0, en la F ig. 33-24a)). V olverem os sobre ello en el C ap ítu lo 60.

(33.10) SCHLAICH, J. y WEISCHEDE, D. "Ein praktisches Verfahren zum methodischen Bemessen und Konstruieren im Stahlbetonbau" (A Practical Method for the Design and Detailing of Structural Concrete). Bulletin dTnformation N° 150, Comité EuroIntemational du Béton. París. Marzo 1982. (33.11) SCHLAICH, J.; SCHÁFER, K. y JENNEWEIN, M. "Toward a Consistent Design of Structural Concrete". PCI Journal. Mayo-Junio 1987. (33.12) SUNG GUL HONG; MUELLER, P. "Truss Model and Failure Mechanism for Bar Development in C-C-T Nodes". ACI Structural Journal. Sept-Oct. 1996.

H em os elegido este caso com o ejem plo, porque indica claram ente las ventajas del M étodo de B ielas y Tirantes, pero tam bién la necesidad de una detenida reflexión en su aplicación.

B IB L IO G R A F ÍA (33.1)

MORSCH, E. Der eisenbeton. Seine theorie und auwendung". Wittwer. Sttutgart. 1908. (Hay traducción española de INTEMAC, 1995).

(33.2)

RITTER, W. "Constructions techniques de Hennebique". Schweizerische Bauzeitung. Zurich. Feb. 1899.

(33.3)

LEONHARDT, F. "Reducing the Shear Reinforcement in Reinforced Concrete Beams and Slabs". Magazine of Concrete Research, V. 17, N° 53. Diciembre 1965.

(33.4)

RUSCH, H. "Über die Grenzen der Anwendbarkeit der Fachwerkanalogie bei der Berechnung der Schubfestigkeit von Stahlbetonbalken" (On the Limitations of Applicability of the Truss Analogy for the Shear Design of Reinforced Concrete Beams). Festschrift F. Campus "Amici et Alumni", Universidad de Lieja. 1964.

(33.5)

KUPFER, H. "Erweiterung der Mórsch’-schen Fachwerkanalogie mit Hilfe des Prinzips vom Mínimum der Formanderungsarbeít" (Expansión of Morsch’s Truss Analogy by Application of the Principie of Mínimum Strain Energy). CEB Bulletin 40 París. 1964.

(33.6)

THÜRLIMANN, B.; MARTI, P.; PRALONG, J.; RITZ, P. y ZIMMERLI, B. Vorlesung zum Fortbildungskurs für Bauingenieure" (Advanced Lecture for Civil Engineers). Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH. Zurich. 1983.

(33.7)

MUELLER, P. Plastische Berechnung von Stahlbetonscheiben und Balken" (Plástic Analysis of Reinforced Concrete Deep Beams and Beams). Bericht n° 83. Institutut für Baustatik und Konstruktion, ETH. Zurich. Julio 1978.

(33.8)

MARTI, P. "Basic Tools of Reinforced Concrete Beam Design". ACI Journal, V.82, N° 1. Enero-Febrero 1985.

(33.9)

COLLINS, M.P. y MITCHELL, D. "Shear and Torsión Design of Prestressed and Nonprestressed Concrete Beams". PCI Journal, V. 25, N° 5. Septiembre-Octubre 1980.

800

801

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G R Á FIC O S Y TABLAS GT

G T -1. R I G I D E C E S E N P I E Z A S D E S E L E C C I Ó N

PIEZA CON CARTELAS SIMÉTRICAS Y ANCHO CONSTANTE

VALOR DEL COEFICIENTE a SIENDO I q/ I i

Y 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00

0,80 4,10 4,20 4,28 4,36 4,43 4,49 4,54 4,59 4,63 4,67

0,60 4,22 4,44 4,65 4,85 5,03 5,20 5,35 5,48 5,59 5,69

0,20 4,58 5,26 6,04 6,90 7,83 8,81 9,79 10,7 11,5 12,3

0,30 4,47 4,98 5,53 6,12 6,74 7,30 7,76 8,22 8,70 9,25

0,40 4,37 4,76 5,17 5,58 5,97 6,35 6,70 7,02 7,30 7,56

0,10 4,74 5,66 6,81 8,25 10,0 11,9 14,1 16,3 18,1 20,4

0,08

0,06

4,78 5,78 7,06 8,66 10,6 13,0 15,7 18,7 21,5 24,0

4,83 5,91 7,34 9,20 11,7 15,0 18,5 22,1 25,9 29,7

0,04 4,89 6,08 7,67 9,91 12,9 17,0 22,0 28,0 34,2 40,3

0,03 4,93 6,19 7,95 10,4 13,9 18,7 25,0 33,1 42,4 50,0

0,02 4,97 6,32 8,27 11,0 15,0 21,2 29,6 41,7 55,3 68,3

PIEZA CON UNA CARTELA Y ANCHO CONSTANTE

V r

< IQ a: LL

13 _ l

<

<0 os o o

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,75 1,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,75 1,00

VALOR DEL COEFICIENTE a SIENDO I q/ I i 1,00

0,80

4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00 4,00

4,08 4,16 4,23 4,29 4,35 4,41 4,49 4,56 4,67 4,73 4,02 4,04 4,05 4,06 4,07 4,07 4,08 4,09 4,12

4 ,0 0

4 ,2 3

0,60 4,18 4,35 4,51 4,67 4,82 4,95 5,19 5,39 5,69 5,87 4,04 4,08 4,11 4,13 4,15 4,17 4,19 4,20 4,27 4 ,5 5

0,40

0,30

0,20

0,10

4,29 4,59 4,90 5,20 5,49 5,78 6,31 6,76 7,52 7,99 4,07 4,13 4,19 4,24 4,28 4,31 4,36 4,38 4,50

4,36 4,75 5,15 5,56 5,97 6,63 7,19 7,90 9,16 9,94 4,09 4,17 4,24 4,31 4,36 4,41 4,48 4,52 4,67

4,45 4,93 5,47 6,05 6,65 7,27 8,54 9,76 12,1 13,6 4,11 4,21 4,31 4,40 4,48 4,55 4,66 4,73 4,93

5,05

5 ,4 4

6,0 6

4,57 5,22 5,96 6,80 7,74 8,77 11,1 13,6 19,3 23,2 4,13 4,27 4,40 4,53 4,66 4,78 4,98 5,12 5,42 7,28

0,08 4,60 5,29 6,09 7,01 8,06 9,23 11,9 15,0 22,4 27,5 4,14 4,28 4,43 4,57 4,71 • 4,84 5,08 5,26 5,58

0,06

0,04

0,03

0,02

4,63 5,38 6,27 7,31 8,47 9,80 13,1 17,0 27,1 34,3 4,15 4,30 4,46 4,64 4,80 4,93 5,21 5,43 5,81

4,70 5,55 6,58 7,81 9,29 11.1 15,7 22,0 42,3 59,1 4,16 4,34 4,52 4,71 4,91 5,11 5,50 5,86 6,44

7,7 4

8,37

4,68 5,48 6,44 7,60 8,93 10,6 14,6 19,8 35,2 47,1 4,16 4,32 4,50 4,68 4,86 5,04 5,38 5,68 6,17 9,36

4,73 5,63 6,73 8,07 9,71 11,7 17,2 25,1 54,5 81,8 4,17 4,35 4,56 4,75 4,97 5,20 5,66 6,10 6,87 11,4

10,1

805

www.libreriaingeniero.com G T -2 C Á L C U L O D E F A C T O R E S D E T R A N S M I S I Ó N

G T -3 P I E Z A R E C T A R Í G I D A M E N T E

E N P IE Z A S A C A R T E L A D A S

EM PO TR A D A EN SUS EX T R E M O S D E S E C C I Ó N ( E l) C O N S T A N T E . R E A C C I O N E S

PIEZA CON CARTELAS SIMÉTRICAS Y ANCHO CONSTANTE

T IP O

DE

M ed

CARG A

Y ecj

M ef

Yef

>+y iP

u af - P o íi

^ef |

y 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

0,80

0,60

0,51 0,51 0,51 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52 0,52

0,52 0,53 0,54 0,55 0,55 0,56 0,56 0,56 0,,55 0,55

0,40 0,53 0,55 0,57 0,58 0,59 0,60 0,60 0,60 0,59 0,58

0,30 0,53 0,56 0,58 0,60 0,62 0,63 0,63 0,63 0,62 0,61

0,20 0,54 0,57 0,60 0,63 0,65 0,67 0,68 0,67 0,66 0,65

0,10 0,55 0,59 0,63 0,67 0,70 0,72 0,74 0,74 0,73 0,71

a2,d

p T

,

a - T )

- p ( '- T ? < 3 - 2 x > ]

Jf

VALOR DEL FACTOR DE TANSMISIÓN SIENDO I q/I i 1,00 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

-U

+ ° + i 1 -+--------- ----------

0,08

0,06

0,04

0,55 0,60 0,64 0,68 0,71 0,74 0,75 0,76 0,75 0,73

0,55 0,61 0,65 0,69 0,73 0,76 0,77 0,78 0,77 0,75

0,56 0,61 0,66 0,71 0,75 0,78 0,80 0,81 0,80 0,78

0,03 0,56 0,61 0,67 0,72 0,76 0,80 0,82 0,83 0,82 0,81

0,02 0,56 0,62 0,68 0,73 0,77 0,81 0,84 0,86 0,85 0,83

tP — í ü

L P— B

¡ Y -------- 1

§2—

^

tP í - g

P (1 -^ )0

P

P

“ 2

~ 2

-P

-P

-p T

- p í

- 4

PIEZA CON UNA CARTELA Y ANCHO CONSTANTE - p i

a

a ?-o 3

f l f - 04 - ¿ K -2(°?-
VALOR DEL FACTOR DE TRANSMISIÓN SIENDO I q/I,

y

O Q VL

3 a

N

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,75 1,00 0,05

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 LU 0,40 Q 0,50 0,75 | 1,00

n T O LU

tr

806

1,00

0,80

0,60

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0,30

0,20

0,10

0,08

0,06

0,04

0,03

0,02

0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50

0,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0,49 0,49 0,48 0,47 0,47 0,51 0,51 0,52 0,53 0,53 0,53 0,54 0,54 0,54 0 ,53

0,50 0,50 0,50 0,49 0,49 0,48 0,47 0,46 0,44 0,44 0,52 0,53 0,54 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,59

0,50 0,50 0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,44 0,40 0,40 0,53 0,55 0,57 0,60 0,61 0,63 0,66 0,68 0,67 0,63

0,50 0,50 0,49 0,48 0,48 0,47 0,45 0,42 0,38 0,37 0,53 0,56 0,59 0,62 0,65 0,68 0,72 0,74 0,73 0,67

0,50 0,49 0,49 0,48 0,47 0,46 0,43 0,40 0,34 0,33 0,54 0,58 0,62 0,66 0,69 0,73 0,79 0,83 0,84 0,75

0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,45 0,41 0,38 0,30 0,28

0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,44 0,41 0,37 0,28 0,26 0,55 0,61 0,66 0,72 0,78 0,84 0,96 1,06 1,14

0,50 0,49 0,48 0,47 0,46 0,44 0,40 0,36 0,27 0,24 0,56 0,62 0,68 0,74 0,80 0,87 1,00 1,13 1,25

0,50 0,49 0,48 0,47 0,45 0,43 0,39 0,35 0,25 0,22 0,56 0,62 0,69 0,76 0,83 0,91 1,07 1,22 1,42

0,50 0,49 0,48 0,47 0,45 0,43 0,39 0,34 0,24 0,20

0,93

1,00

1,10

1,18

0,50 0,49 0,48 0,46 0,45 0,43 0,38 0,34 0,22 0,18 0,56 0,63 0,71 0,79 0,87 0,96 1,16 1,38 1,77 1,30

0,57

0,55 0,60 0,65 0,71 0,76 0,82 0,92 1,00 1,06 0 ,8 8

0,56 0,63 0,70 0,77 0,85 0,93 1,15 1,30 0,56

-P -t-2 0 20

>L * 2

-p

^ L 96 2

- p» Í o

0 30

P

^ L 96 2

2

- pL ^ 2

~ P° T

- p° T

\ - P - f 0 32 L

¿ 4

« —

—

i

-M

6a , -jj (1

0

.

4 ^ 4

807

GT-4 PIEZA RECTA RÍGIDAMENTE EMPOTRADA

GT-5 FORJADO CONTINUO DE DOS TRAMOS

EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO,

CON CARGA UNIFORME qf

SECCIÓN (El) CONSTANTE. REACCIONES

M ecj

T IP O D E C A R G A

Luces / y momentos de inercia J iguales para los dos tramos; g = carga permanente; p = carga variable; q = g + p \ A= g/q

Y ef

^ed

i+y AP

%

r ...

A '- T ^ - T i]

i , ■+------- 1=-------- Jf

- p rl

3o , M o. - pt 0 - t )

-T

- Pf6

[’ « ! < ' - * ) ]

- p¥

-T

Para carga total de ambos tramos: D0 = 0,375 q£\

- V

P £

[ « T « ’- f ) j

a?—aa

* 4

g íÜ Ü iü ^ f-

P° B

-P .|

~ P° 10

P 9L. PL 4 0

- p L ^64 2

- p^

PL ^64 2

P 1^= Pl 40

- P L ^64 2

r ° ^64

-P

- • t

N> II Oq <5

ua u

3L -P — 16

s

m

1 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

2 0,87/ 0,86 / 0,85 / 0,84 / 0,82 / 0,81 / 0,80/ 0,79/ 0,77 / 0,76/ 0,75 /

3 10,45 10,75 11,07 11,40 11,75 12,12 12,50 12,90 13,32 13,76 14,22

a f-o 4

Di = 1,25 q£

mín s para el apoyo tipo a b 5 4 0,00 / 0,00 / 0,00 / 0,19 / 0,50 / 0,25/ 0,60/ 0,46/ 0,66 / 0,56 / 0,69 / 0,62/ 0,67 / 0,71 / 0,72 / 0,70 / 0,73 / 0,72 / 0,74 / 0,74 / 0,75 / 0.75 /

Para los momentos mínimos: Tipo de apoyo a: Forjados apoyados sobre mampostería: r =

(2

g + p)

16

* .. -

i > -

^

u 3

' 2- f )

Tipo de apoyo b. Forjados rígidamente unidos a vigas de hormigón armado;

4 4

x- = - U

808

' V

g + \p )

809

www.libreriaingeniero.com GT-6 FORJADO CONTINUO DE TRES TRAMOS

GT-7 FORJADO CONTINUO DE CUATRO TRAMOS

CON CARGAS IGUALES qí

CON CARGAS IGUALES qí

L u ce s / iguales; m om entos de inercia

J

nente;

X

p ~

carga variable;

q

=

g

+ p;

iguales para todos los tramos; =

g

= carga perm a­

g/q

Luces / iguales; momentos de inercia iguales para todos los tramos; g = carga permanen­ te;

Para carga total de todos los tramos:

k = g iq

Si

m 1

Do

=

0,4 q t ,

m2

2 0,90 / 0,89 e 0,88 C 0,87 e 0,86 / 0,85 e 0,84 /' 0,83 e 0,82 / 0,81 / 0 ,8 0 /

3 9,88 10,19 10,33 10,57 10,82 11,07 11,34 11,61 11,90 12,19 12,50

5 0 ,7 7 / 0,74 / 0,72 / 0,69 / 0,66 / 0,63 / 0,60 / 0,58 / 0,58 / 0 ,5 8 / 0 ,58/

4 8,57 8,70 8,82 8,95 9,09 9,23 9,37 9,52 9,68 9,84 10,00

P a ra los m om entos mínimos: r-¡- 0,220

/;

6 13,33 14,28 15,38 16,67 18,18 20,00 22,22 24,00 24,00 24,00 24,00

r2 = 0,265

7

0,00 / 0 ,0 0 / 0,40 / 0 ,5 7 / 0,65 / 0 ,70/ 0,73 / 0,76 / 0,77 / 0,79 / 0 ,80/

/

Tipo de apoyo a: Forjados sobre manipostería:

A" = - ¿ C 2 (2 g Tipo de apoyo

b

+

2 —

mín s 1 para el apoyo tipo a

1 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

X - g/q

D i = 1,1 q t

s2

mx

p = carga variable; q = g + p;

P )

j

IIIQA iV Ü —

m2x

ÍVl^

— ---------

~

m2

b

8 0,00 / 0 ,3 5 / 0,60 / 0 ,6 8 / 0,72 / 0,75 / 0,77 / 0,78 / 0,79 / 0,79 / 0,80 /

Para carga total de todos los tramos: D0 = 0,393 q£; D1 = 1,143 q /; D2 = 0,928 q£

X = g / q

Si

1 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

2 0,89 / 0,88 / 0 ,8 7 / 0 ,8 6 / 0,85 / 0 ,8 4 / 0,83 / 0,82 / 0,81 / 0,80 / 0,79 /

m 1

m u

3 10,04 10,28 10,53 10,80 11,07 11,36 11,65 11.96 12,28 12,61 12.96

4 8,30 8,39 8,48 8,58 8,68 8,78 8,89 8,99 9,10 9,22 9,33

m2 5 12,40 13,14 13,96 14,87 15,92 17,12 18,52 20,17 22,14 24.00 24.00

6 9,33 9,65 10,00 10,37 10,76 11,20 11,66 12,17 12,73 13,33 14,00

mín Sí para el apoyo tipo

s2

m2x

7 0,80 / 0,78 / 0,76 / 0 ,7 3 / 0,71 / 0,68 / 0,66 / 0 ,6 3 / 0 ,6 0 / 0,58 / 0 ,5 8 /

a

b

8 0 ,0 0 / 0,00 / 0,36 / 0 ,5 3 / 0,62 / 0,68 / 0,71 / 0 ,7 4 / 0,76 / 0,77 / 0 ,7 9 /

9 0,00 / 0,30 / 0,57 / 0 ,6 6 / 0,70 / 0,73 / 0,75 / 0,76 / 0,77 / 0,78 / 0,79 /

: Forjados rígidamente unidos a vigas de hormigón armado:

Para los momentos mínimos: r-,= 0,229 / ;

x'= i ¿ tÍ 2g+\ p) Para los tres tipos de apoyo :

r2 = 0,253 C;

r3 = 0,216 /

Tipo de apoyo a: Forjados sobre manipostería: x ; = - X

t > (2 g + p )

j o

E n los tercios del segundo tramo: A /, = -

2

810

II laA

m,

9

gC2 + X '

811

GT-7 FORJADO CONTINUO DE CUATRO TRAMOS

GT-8 FORJADO CONTINUO CON UN NÚMERO

CON CARGAS IGUALES qü (Continuación)

INFINITO DE TRAMOS: CARGA UNIFORME qí Luces / iguales; momentos de inercia iguales en todos los tramos; g = carga permanente;

Tipo de apoyo b ; Forjados rígidamente unidos a vigas de hormigón armado:

p = carga variable; q - g + p;

X-g/q

máx M =

q t

X ' = ~ T 6 ° í 2 g + 1 2 P) Para los tres tipos de apoyo : T 2= | x , '

mín M 2 = ^ - g l 2 + ^ x ; O

D

En los tercios del segundo tramo:

X =g/ q 1 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

s 2 0,82 / 0 ,8 0 / 0 ,7 7 / 0,75 / 0 ,7 3 / 0,71 / 0 ,6 8 / 0,66 / 0,63 / 0 ,6 0 / 0 ,5 8 /

m

m2 4

3 12,00 12,63 13,33 14,12 15,00 16,00 17,14

8,78 9,03 9,28 9,55 9,84 10,14 10,46

18,46 20,00 21,82 24,00

10,81 11,18 11,57 12,00

Para los momentos mínimos: r = 0,226 / Tipo de apoyo a: Forjados sobre mampostería:

* = £ ( 2 Z + P) Tipo de apoyo b : Forjados unidos a vigas de hormigón armado:

* ■ = - £ ( 2* 4

,)

Para los tres tipos de apoyo: mín M -

i

g£2 + X'

8 6

Momento en los tercios de la luz:

Mm= lge2+X' 813

www.libreriaingeniero.com GT-9

b

814

GT-10

b

815

GT-11

GT-12

b b NOTA.- Para cargas w descendentes en el sentido de la figura, el momento de em­ potramiento dorsal (acción del nudo sobre el extremo de la pieza) tiene el sentido de la figura y es por tanto positivo y el momento de empotra­ miento frontal negativo.

817

www.libreriaingeniero.com GT-13 (Continuación)

K NOTA.- Paracargas Pdescendentes en el sentidodelafigura, el momentodeem­ potramiento dorsal (acción del nudo sobreel extremo de lapieza) tiene el sentido dela figura y es portantopositivoy el momento deempotra­ miento frontal negativo.

819

GT-13 (Continuación)

GT-13 (Continuación)

821

www.libreriaingeniero.com GT-14

GT-15

O DE MOMENTOS EN FORJADOS

B A E L -

83

c<

¿

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS

1 /6 M

Kad

Kv

Kaf

O, 70

- 0 , 50

0 , 68

- 0 , 55

Kad

Kv

0 , 68

- 0 , 50

0 , 65

- 0 , 55

0 , 63

-O , 55

-0

0, 63

-0,50

0, 65

- 0 , 40

0, 63

- 0 , 45

0, 60

0 , 83

-0,50

0,55

.-O , 45

0, 00

-0,55

0, 53

- 0 , 50

0, 70

-0,60

0, 75

.-0,65

0, 55

-0,40

- 0 , 60

0 , 53

- 0 , 45

- 0 , 65

0 , 53

- O, 40

-0,80

0, 65

-0,85

0, 64

-0,88

0 , 80

- 0 , 50

0 , 78

-0,55

0 , 75

- 0 , 60

0 , 73

- 0 , 65

0, 70

-0,70

- 0 , 50

0, 68

-0,75

0, 50

- 0 , 55

0, 65

- 0 , 80

0, 55

- 0 , 60

0, 64

- 0 , 83

0, 53

- 0 , 65 0, 70

- 0 , 50

0 , 63

- 0 , 40

0, 75

- 0 , 55

0 , 60

- 0 , 45

0,73

- 0 , 60

0,58

- 0 , 50

0,70

- 0 , 65

0, 55

-0,55

0 , 68

- 0 , 70

0 , 53

- 0 , 60

0,65

- 0 , 75

O, 64

- 0 , 78

0 , 60 - 0 , SO

1

- 0 , 45

-O , 70 - 0 , 75

- 0 , 05

-0,

Kad

0, 73 - 0 , 20

ÍO

O, 58

- 0 , 45

0, 75

- 0 , 50

0 , 55

- 0 , 50

0 , 73

- 0 , 55

0, 53

— 0; 55

15

0 , 70

- 0 , 60

0 , 68

- 0 , 65

0, 65

- 0 , 70

0 , 64

- 0 , 73

Kaf

Kad

- 0 , 50

0, 70

-0,55

0, 68

- 0 , 60

- 0 , 50

Kv

Kaf

0 , 63

-0,40

0 , 60

- O, 45

0,58

- 0 , 50

- 0 , 20

0, 65

-0 ,65

0,55

-0,55

- 0 , 20

0, 64

- 0 , 68

O, 54

- O, 58

0, 70

- 0 , 50

0 , 60

0, 6B

- 0 , 55

- 0 , 25

0 , 65

- 0 , 60

- 0 , 35

-0

40

- 0 , 40

-0,

Kv

I

- 0, 40

0, 73 0, 70 0, 68

i

35

0.25

- 0 , 40

O, 58

-0,45

0 , 55

-0,50

0 , 54

- 0 , 53

0,58

- O, 40

O, 64

- 0 , 63

0 , 68

- 0 , 50

0 , 65

- O, 55

0 , 55

- 0 , 45

0 , 64

- 0 , 58

0,54

-0,40

0 , 65

- O, 50

0 , 55

- 0 , 40

0,64

- 0 , 53

0 , 54

- 0 , 43

0,68

- 0 , 40

1 1

- 0 , 30

o< =

U 'J m

- O, 60

-0,50

83

o

0 , 63

0 , 65

- 0 , 55

Kaf

- 0 , 40

o

25

- 0 , 60 - 0 , 65

Kv

0, 58

°

-0

0 , 65 0 , 63

B A E L -

Kaf Kad

-0,20

É T O D O

- 0 , 45

0 ,65

- 0 , 45

0 , 63

- 0 , 50

0,60

- 0 , 55

0,58

-O, 60

0 , 55

- 0 , 65

O, 54

- 0 , 68

0 , 65

- 0 , 40

0, 63

- 0 , 45

0, 60

- 0 , 50

0, 58

- 0 , 55

0, 55

- 0 , 60

0 , 54

- 0 , 63

0, 60

- 0 , 65

GT-16

GT-17

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS

M É T O D O

Kad

0 , 00

- 0 , 13

0 , 90 O , 98 O, 03 O, tí 3 0 , 00 0 , 70 0 , 73 0 , 73 0 , 70 0 , 68

- 0 , 30 -0 ,3 3 - 0 , 60 - 0 , 63 - 0 , 70 - 0 , 73 - 0 , 00 -° ,P = - 0 , 90 -O , 95

0 ,8 0 0 , 03 0 ,0 3 0 , 00 0 , 70 0 , 73 O, 73 O , 70 0 , 60

-0 ,3 0 - 0 , 33 - 0 , 60 -0 , 65 - 0 , 70 - 0 ,7 3 -O , 8 0 -0 ,0 5 - 0 , 90

O , 03 0 ,0 3 0 , 00 0 , 70 0 ,7 3 0 , 73 0 , 70 O , 60

- 0 , 30 - 0 , 33 - 0 , 60 -0 ,6 3 - 0 , 70 -O , 73 -0 ,0 0 - 0 , 03

O , 83 0 , 00 0 , 70 0 ,7 5 O , 73 0 , 70 0 , 69

- 0 , 30 -0 ,3 3 - 0 , 60 -0 ,6 3 - 0 ,7 0 - 0 , 73 - 0 , 00

Ka d

£X =

Kv

Ka f

0 ,9 0 0 , 70 0 , 73 0 , 73 0 ,7 0 0 , 60

- 0 , 30 -0 ,5 3 - 0 , 60 - 0 , 63 - 0 , 70 - 0 , 73

-0 ,3 0

-O , 23

0 , 70 0 , 73 0 , 73 0 , 70 0 , 60

- 0 , 30 -0 ,3 3 -0 ,6 0 - 0 , 63 - 0 , 70

- ü , 30

0 , 73 0 ,7 3 0 , 70 0 , 68

-0 ,3 0 - 0 , 35 - 0 , 60 - 0 , 63

0 , 73 0 , 70 O, 60

- 0 , 50 -0 ,3 3 -O , 60

0 , 73 0 ,7 3 0 , 70 0 , 60 O , 63 0 , 63 0 ,6 0 0 , 50

-O , 40 -0 ,4 3 - 0 , 30 - 0 , 33 -O , 60 - 0 . 63 -0 ,7 0 -0 ,7 3

0 ,7 3 0 , 70 0 , 60 O , 65 0 , 63 0 , 60 0 , 50

-0 ,4 0 - 0 , 43 - 0 . 30 -O , 33 - 0 , 60 -0 ,6 5 - 0 , 70

- 0 . 20

-0 ,4 0

- 0 , 43

K ad

B A E

L -

83

o<

0 .5 0

Kv

K af

0 ,7 0 0 , 60 O, 63 0 , 63 0 , 60 0 , 30

- 0 , 40 - 0 , 43 -0 ,3 0 -0 ,3 3 - 0 , 60 - 0 , 63

-0 ,3 3

0 , 60 0 , 63 0 ,6 3 0 , 60 0 , 30

-0 ,4 0 - 0 , 43 - 0 , 30 -0 ,3 3 -0 , 60

- 0 , 60

0, 0, 0, 0,

63 63 60 30

- 0 , 40 - 0 , 43 - 0 , 30 - 0 ,5 3

- 0 ,6 3

0 , 63 0 , 60 0 , 3B

- 0 , 40 - 0 , 43 - 0 , 30

- 0 , 70

0 , 60 0 , 3B

-0 , 40 - 0 , 43

-O 7 3

0 , 3B

-O , 40

Kad

O , OO

- 0 , 05

Kv

Kaf

0,90 0, 95 0,93 O, 90 0 , 08 0, 05 0, 03 0, 00 O , 78 0,75 0,73 0,71

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1

, 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 ,0 0 , 05 , 90 , 95 , 00 ,0 3

0 , 95 O, 93 0 , 90 O, 00 0 , B5 0 , 03 0 , BO 0 , 70 0 , 75 0 , 73 0,71

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -O -0 -0

, , , , , , , , , , ,

50 55 60 65 70 75 00 05 90 95 90

Kad

Kv

O

- 0 , io

K af

M E T O D O

83

0 1

- 0 , 03

Kv

B A E L -

- 0 , 15

- O , 20

824

=

0. 7 5

Kaf

0 , 93 0 , 90 0 , 00 0, 05 O, 83 O, 80 0 , 70 0, 75 0 , 73 0,71

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, , , , , , , , , ,

50 55 60 65 70 75 80 85 90 93

0 , 90 0 , 88 O, 85 0 , B3 0 , 00 0 , 70 0 , 75 O , 73 0,71

-0 , -0 , -0 , -0 , -O , -0 , -0 , -O , -0 ,

50 55 60 65 70 75 80 85 00

0, O, O, 0, 0, O, 0, 0,

-0 -O -0 -0 -0 -0 -0 -O

80 05 03 0O 70 75 73 71

, , , , , ,

50 55 60 65 70 75 , 80 , 03

825

www.libreriaingeniero.com GT-17

GT-17

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS (Continuación)

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS (Continuación)

M E T O O O

B A E L

-O -0 -0 -0 -O -0 -0

, 50 , 55 , 60 ,6 5 , 70 ,7 5 , 78

0 , 83 0 , 80 0 , 70 0 , 75 0,73 0,71

-0 -O -O -O -0 -0

, , , , , ,

50 55 60 65 70 73

O, 90 O, 78 O, 75 0, 73 0,71

-0 -0 -0 -0 -0

, , , , ,

50 55 60 65 68

0 , B3 0 , BO O, 78 O, 75 0 , 73 0 , 70 O, 60 0 , 65 0,63 0,61

-0 -0 -0 -O -0 -0 -O -O -0 -0

, , , , , , , , , ,

40 45 50 55 60 65 70 73 80 83

O

*

W

- 0 , 25

0, 95 0,93 0, 90 O, 70 0, 75 0,73 0,71

1 O

Kv

Kaf

<X = 0 . 7 5

Kad

Kv

Kaf

10 4“ * 0 1

Kad

83

0 , 90 0 , 79 0 , 75 O, 73 0 , 70 0 , 6B O, 65 0 , 63 0,61

- O , 40 -0 ,4 3 - 0 , 50 -0 ,5 5 - 0 , 60 - 0 , 65 - O , 70 - 0 , 75 - 0 , 70

0 , 78 0, 75 0 , 73 0 , 70 0 , 69 0, 65 0 , 63 0,61

-0 , -0 , -O , -0 , -0 , -0 , -0 , -0 ,

- 0 , 50

- 0 , 35

- 0 , 40

40 43 50 55 60 65 70 73

MÉTODO

BAEL-83

Kad

Kv

- 0 , 55

0, 75 0, 73 0, 70 O, 68 O, 65 0 , 63 0,61

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, , , , , , ,

40 45 50 55 60 65 69

0 , 73 0 , 70 O, 68 0 , 65 0 , 63 0,61

-0 -0 -0 -0 -0 -0

, , , , , ,

40 45 50 55 60 63

0 , 70 0 , 69 0, 65 0, 63 0,61

-0 -0 -O -0 -0

, , , , ,

40 45 50 55 59

0, 68 0, 65 0, 63 0,61

-O -0 -0 -O

, , , ,

40 45 50 53

0 , 65 0 , 63 0 , 61

- 0 , 40 - O , 45 - O , 48

0, 63 0,6 1

- 0 , 40 - 0 , 43

- 0 , 60

- O , 65

- 0 , 70

-0

75

- 0 , 90

826

oc = 0. 7 5

Kaf

827

GT-18

GT-18

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS (Continuación)

M E T O D O

Kad

0 , 00

- O , 05

1, 1, 1f 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ,

Kaf -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -1

, 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 , 00 , 85 , 90 , 95 , 00 , 05 ,1 0

i , 03 1 , 00 0 , 90 0 , 95 0, 93 0, 90 0,88 0, 85 0, 03 0, 00 0, 70 0 , 75

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1

, 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 , 80 , 05 , 90 , 95 ,0 0 , 05

Kad '

- 0 , 10

-0 ,15

Kv

1 . 00

M É T O D O

Kaf

1 , 00 0, 98 0 , 95 0, 93 0, 90 0 , 08 0, 85 0 , 03 0, 00 0,78 0 , 75

-0 , -0 , -0 , -0 , -0 , -0 , -0 , -O , -0 , -0 , - 1,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

-0 ,5 0 - 0 , 55 - 0 , 60 - 0 , 65 - 0 , 70 - 0 , 75 - 0 , 00 - 0 , 05 - 0 , 90 - 0 , 95

98 95 93 90 00 85 83 80 70 75

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00

B A E L - 8 3

Kad

Kv

- 0 , 20

0, 95 0, 93 0 , 90 0, 88 0 , 05 0, 83 0, 00 0 , 70 0,75

-0, -0 , -0 , -0, -0, -O , -0, -0 , -0,

0, 93 0 , 90 0 , 80 0, 85 0,03 0 , 00 0 , 78 0 , 75

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 , 00 , 85

0, 0, 0, 0, 0 , 0, 0,

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, , , , , , ,

- 0 , 25

O K>

05 03 00 98 95 93 90 88 05 83 80 70 75

CK

0 1

828

Kv

B A E L - 83

90 88 85 03 00 78 75

Kaf 50 55 60 65 70 75 00 05 90

50 55 60 65 70 75 00

Kad

- 0 , 35

- 0 , 40

- 0 , 45

Kv

Kaf

0, 0, 0, 0, 0, 0,

00 05 83 00 70 75

-0 -0 -0 -O -0 -0

, , , , , ,

0 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 , 0 , 0 ,

90 80 85 83 80 78 75 73 70 68 65

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 , 70 , 75 , 00 , 05 , 90

0 , 0, 0, 0 , 0, 0, 0, 0, O, 0,

80 85 83 00 78 75 73 70 68 65

-0 , -0 , -0 , -0, -0 , -0, -0 , -0 , -0, -0 ,

50 55 60 65 70 75

40 45 50 55 60 65 70 75 00 85

829

www.libreriaingeniero.com GT-18

g t -19

CÁLCULO DE MOMENTOS EN FORJADOS (Continuación)

M É T O D O

B A E L - 8 3

<X =

Ab a c o d e d e t e r m i n a c i ó n

DE LAS SECCIONES DE MOMENTO NULO

E SQ U E M A DE CARG AS

1.00

4-------- ¡---------f Kad

- 0 , 50

Kv

Kaf

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

05 03 80 78 75 73 70 68 65

-0 , -0, -0 , -0, -0 , -0 , -0 , -0 , -0 ,

40 45 50 55 60 65 70 75 80

0, 0, Of Of 0, 0, 0, 0,

83 80 7B 75 73 70 68 65

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, , , , , , , ,

40 45 50 55 60 65 70 75

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,

BO 78 75 73 70 68 65

-0 -0 -0 -0 -0 -0 -0

, 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 , 70

Kad

Kv

- 0 , 65

- 0 , 70

78 75 73 70 68 65

-0 -0 -0 -0 -0 -0

, 40 , 45 , 50 , 53 f 60 , 65

0, 0, 0, 0, 0,

75 73 70 68 65

-0 -0 -0 -0 -0

, 40 , 45 , 50 f 55 ,60

0, 0, 0, 0,

73 70 6B 65

-0 -0 -0 -0

, 40 ,45 , 50 , 55

0, 70 0 , 68 0, 65

- 0 , 40 -0 ,4 5 - 0 , 50

-O , B5

0 , 68 0, 65

- 0 , 40 - 0 , 45

0 , 65

- 0 , 40

- 0 , BO

O

- 0 , 60

- 0 , 75

0, 0, 0, 0, 0, 0,

l O

- 0 , 55

Kaf

Kad

N O TA .- En este gráfico por comodidad, se lia suprimido el signo - a los valores K ad,

830

.

g t -2o

GT-21 SECCIÓN CON MOMENTO DE VANO otM,

Ab a c o d e d e t e r m i n a c i ó n d e l a s s e c c i o n e s

SIENDO M EL MOMENTO MÁXIMO DE VANO

CON MOMENTO DE APOYO IGUAL A LA MITAD DEL MOMENTO MÁXIMO DE APOYO

A ín n n m j; 4 ---------------- !—

v p n ¡m n ¡4 4 i 4

ESQ U E M A DE CARG AS

E SQ U E M A DE CARG AS

f K ad V sC l

Kaf Va cl:

E SQ U E M A DE M O M EN T O S

K a d '/8 c l 2 l \ / / 2 K a d y 8 C l 2

E SQ U E M A DE M O M EN TO S

2.00

1.80

1 .6 0 1.4 0 1.20 1.00 0 .8 0 = 0 .6 0 0 .4 0 0.20 = 0.00

ad ad N O T A . - En es te gr áf ic o por co m o d i d a d , se lia s u p r im i d o el s ig n o - a los v al o r es K.ad, Kar.

832

N O T A . - En es te gr á f i c o p o r c o m o d i d a d , se ha s u p r i m i d o el s ig n o - a los va l o re s K.ad,

www.libreriaingeniero.com GT-22 COEFICIENTES PARA LA DISTRIBUCIÓN DE MOMENTOS GT-23 COEFICIENTES PARA LA DISTRIBUCIÓN EN PLACAS MACIZAS SIN ÁBACOS DE MOMENTOS DE BANDAS DE LOSA MACIZA CON ÁBACOS Y DE LOSA ALIGERADA CON MACIZADO

FACTOR DE TRANSMISIÓN

Pfd

o.oo 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

0.083 0.083 0.082 0.081 0.070 0.077 0.075 0.073

0.083 0.084 0.066 0.089 0.093 0.097 0.102 0.107

4.00 4.01 4.03 4.07 4.12 4.18 4.25 4.33

4.00 4.04 4.15 4.32 4.56 4.88 5.28 5.78

0.500 0.504 0.513 0.528 0.546 0.573 0.603 0.638

0.500 0.500 0.499 0.498 0.495 0.491 0.485 0.478

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

0.084 0.083 0.081 0.080 0.078 0.076 0.074

0.084 0.086 0.089 0.092 0.098 0.101 0.107

4.05 4.07 4.11 4.16 4.22 4.29 4.37

4.05 4.15 4.33 4.56 4.89 5.30 5.80

0.503 0.513 0.526 0.548 0.573 0.603 0.636

0.503 0.503 0.501 0.499 0.494 0.469 0.481

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

0.085 0.063 0.082 0.080 0.078 0.075

0.085 0.068 0.091 0.095 0.100 0.105

4.18 4.22 4.27 4.34 4.41 4.50

4.18 4.36 4.61 4.93 5.34 5.85

0.513 0.528 0.548 0.573 0.602 0.637

0.513 0.511 0.508 0.504 0-498 0.491

0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

0.086 0.084 0.083 0.080 0.078

0.086 0.090 0.094 0.099 0.104

4.40 4.46 4.53 4.81 4.70

4.40 4.65 4.98 5.40 5.92

0.526 0.546 0.571 0.601 0.635

0.526 0.523 0.519 0.513 0.505

0.20 0.25 0.30 0.35

0.088 0.086 0.083 0.081

0.088 0.092 0.097 0.102

4.72 4.79 4.88 4.99

4.72 5.05 5.48 6.01

0.543 0.568 0.597 0.632

0.543 0.539 0.532 0.524

0.25 0.30 0.35

0.090 0.088 0.085

0.090 0.095 0.100

5.14 5.24 5.36

5.14 5.58 6.12

0.563 0.592 0.626

0.563 0.556 0.546

0.30

0.30 0.35

0.092 0.090

0.092 0.097

5.69 5.63

5.69 6.26

0.585 0.619

0.585 0.576

0.35

0.35

0.095

0.095

6.42

6.42

0.609

0.609

!i

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Í1

( 1 )M d = H d P V

i

¡

Mf = ^ f

( 2 ) Rigideces K = K' M i í _ v * * d d 12 ft-,

834

RIGIDEZ

T35

CARGA UNIFORME Momento de Empot = (ApíjÜi

Q.

DIMENSIÓN DEL SOPORTE c 1d c „

Pf

kd

k'f

P f2 {i

: K = K\ f f

DIMENSIÓN DEL SOPORTE C i„

c 1f

!i

íi

CARGA UNIFORME M om ento d e E m p o t = ^ p ! 2 ! i

FACTOR DE TRANSMISIÓN

Pd

Pf

kd

kf

pdf

Pfd

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.086 0.087 0.087 0.065 0.064 0.082 0.060

0.088 0.089 0.090 0.093 0.096 0.100 0.105

4.78 4.80 4.63 4.87 4.93 5.00 5.09

4.78 4.82 4.94 5.12 5.36 5.66 6.07

0.541 0.545 0.553 0.587 0.565 0.606 0.631

0.541 0.541 0.541 0.540 0.537 0.534 0.529

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.068 0.087 0.085 0.064 0.082 0.080

0.088 0.090 0.093 0.096 0.100 0.104

4.84 4.87 4.91 4.97 5.05 5.13

4.84 4.95 5.13 5.38 5.70 6.09

0.545 0.553 0.567 0.584 0.606 0.632

0.545 0.544 0.543 0.541 0.537 0.532

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.089 0.086 0.066 0.064 0.082

0.069 0.092 0.094 0.099 0.103

4.98 5.03 5.09 5.17 5.26

4.98 5.18 5.42 5.74 6.13

0.553 0.566 0.584 0.606 0.631

0.553 0.551 0.549 0.546 0.541

0.15 0.20 0.25 0.30

0.090 0.089 0.087 0.085

0.090 0.094 0.097 0.102

5.22 5.28 5.37 5.46

5.22 5.47 5.80 6.21

0.565 0.563 0.604 0.630

0.565 0.563 0.559 0.554

0.20 0.25 0.30

0.092 0.090 0.088

0.092 0.096 O.100

5.55 5.64 5.74

5.55 5.86 6.30

0.560 0.802 0.827

0.580 0.577 0.571

0.25

0.25 0.30

0.094 0.091

0.094 0.098

5.96 6.10

5.96 6.41

0.596 0.622

0.506 0.593

0.30

0.30

0.095

0.095

6.54

6.54

0.617

0.617

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

( 1 ) M d = ^ d p 5 2 ^

12!,

RIGIDEZ

;

Mf = (if p t z f ^

( 2 ) Rigideces K d = K 'd ^

; Kf = K'f

GT-24 COEFICIENTES PARA LA DISTRIBUCIÓN DE

GT-25 COEFICIENTES PARA LA DISTRIBUCIÓN

MOMENTOS EN LOSAS MACIZAS CON CAPITELES

DE MOMENTOS EN LOSA MACIZA CON ÁBACOS O LOSA ALIGERADA CON MACIZADO Y SOPORTE CON CAPITELES

Momento de empotramiento = ¡J.^ P

®1

-JTWlUüi

Rigidez = K E ! a d a/ l 2 l , Factor de transmisión =

p

P

k

P

0.00

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083 0.083

4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000

0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0-500 0.500 0.500 0.500

o.os

o.-to

0.15

0.20

0.25

C i /G i

0.25

0.30

C z/ t 2

P

k

P

0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.091 0.093 0.094 0.095 0.098

5.401 5.672 5.952 6.238 8.527

0.576 0.588 0.800 0.812 0.823

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.085 0.088 0.068 0.069 0.091 0.092 0.094 0.095 0.096 0.098

4.000 4.235 4.468 4.780 5.050 5.361 5.692 8.044 6.414 6.802 7.205

0.500 0.514 0.527 0.542 0.558 0.571 0.585 0.600 0.614 0.628 0.642

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.065 0.087 0.088 0.090 0.091 0.093 0.095 0.096 0.098 0.099

4.000 4.264 4.551 4.864 5.204 5.575 5.979 6.416 6.686 7.395 7.935

0.500 0.514 0.529 0.545 0.560 0.578 0.593 0.609 0.828 0.642 0.656

0.063 0.065 0.087 0.086 0.090 0.092 0.094 0.095 0.097 0.069 0.100

4.000 4.269 4.607 4.959 5.348 5.778 6.255 6.782 7.365 8.007 8.710

0.500 0.515 0.530 0.546 0.583 0.580 0.598 0.617 0.835 0.654 0.672

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.064 0.084 0.084 0.085 0.085 0.085 0.086 0.088 0.088 0.088

4.000 4.047 4.093 4.138 4.181 4.222 4.261 4.299 4.334 4.368 4.398

0.500 0.503 0.507 0.510 0.513 0.518 0.518 0.521 0.523 0.526 0.528

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.084 0.085 0.085 0.088 0.087 0.087 0.088 0.068 0.089 0.089

4.000 4.091 4.182 4.272 4.362 4.449 4.535 4.618 4.698 4.774 4.846

0.500 0.506 0.513 0.519 0.524 0.530 0.535 0.540 0.545 0.550 0.554

0.35

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 035 0.40 0.45 0.50

0.083 0.064 0.085 0.088 0.087 0.068 0.089 0.090 0.090 0.091 0.092

4.000 4.132 4.287 4.403 4.541 4.660 4.818 4.955 5.090 5.222 5.349

0.500 0.509 0.517 0.526 0.534 0.543 0.550 0.558 0.565 0.572 0.579

0.40

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.085 0.086 0.087 0.088 0.089 0.090 0.091 0.092 0.093 0.094

4.000 4.170 4.346 4.529 4.717 4.910 5.108 5.306 5.509 5.710 5.908

0.500 0.511 0.522 0.532 0.543 0.554 0.564 0.574 0.584 0.593 0.802

0.45

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.065 0.067 0.068 0.090 0.092 0.094 0.096 0.096 0.100 0.101

4.000 4.311 4.658 5.046 5.480 5.987 6.517 7.136 7.836 8.825 9.514

0.500 0.515 0.530 0.547 0.564 0.583 0.602 0.621 0.642 0.862 0.683

000 0.05 0.10 0.15 0 20 0.25

0.063 0.085 0.086 0.087 0.089 0.090

4.000 4.204 4.420 4.848 4.887 5.138

0.500 0.512 0.525 0.538 0.550 0.563

0.50

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

0.083 0.085 0.087 0.088 0.090 0.092 0.094 0.096 0.096 0.100 0.102

4.000 4.331 4.703 5.123 5.599 6.141 6.760 7.470 8.289 9.234 10.329

0.500 0.515 0.530 0.547 0.564 0.583 0.803 0.824 0.645 0.667 0.690

ClA

CM

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0.088 0.066 0.089 0.089 0.069 0.069 0.090

4.795 4.846 4.696 4.944 4.990 5.035 5.077

0.542 0.545 0.548 0.551 0.553 0.558 0.558

0.093 0.093 0.093 0.093 0.094 0.094 0.094

5.837 5.890 5.942 5.993 8.041 6.087 8.131

0.589 0.591 0.594 0.566 0.598 0.600 0.602

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0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.066 0.066 0.089 0.090 0.090 0.091 0.091

4.795 4.694 4.992 5.039 5.184 5.278 5.366

0.542 0.548 0.553 0.559 0.584 0.569 0.573

0.063 0.093 0.094 0.094 0.094 0.095 0.095

5.637 5.940 6.042 6.142 6.240 6.335 6.427

0.566 0.583 0.598 0.602 0.607 0.611 0.615

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0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.088 0.089 0.090 0.090 0.091 0.092 0.092

4.795 4.938 5.062 5.228 5.374 5.520 5.665

0.542 0.550 0.556 0.585 0.573 0.580 0.587

0.093 0.093 0.094 0.095 0.095 0.096 0.096

5.837 5.9B8 6.135 8.264 6.432 6.579 6.723

0.569 0.565 0.602 0.608 0.614 0.620 0.626

0.20

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.088 0.089 0.090 0.091 0.092 0.093 0.094

4.795 4.978 5.167 5.361 5.558 5.760 5.962

0.542 0.552 0.562 0.571 0.581 0.590 0.590

0.093 0.093 0.094 0.095 0.098 0.095 0.097

5.837 6.027 6.221 6.416 6.818 6.818 7.015

0.566 0.597 0.605 0.613 0.621 0.628 0.635

0.25

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.088 0.089 0.090 0.091 0.092 0.094 0.095

4.795 5.015 5.245 5.485 5.735 5.994 6.281

0.542 0.553 0.565 0.578 0.587 0.598 0.600

0.093 0.094 0.094 0.095 0.096 0.097 0.098

5.837 6.085 6.300 6.543 6.790 7.043 7.298

0.589 0.598 0.608 0.617 0.628 0.635 0.644

0.30

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.088 0.089 0.090 0.092 0.093 0.094 0.095

4.795 5.046 5.317 5.601 5.902 6.219 6.550

0.542 0.554 0.587 0.580 0.593 0.605 0.616

0.093 0.094 0.095 0.098 0.097 0.096 0.099

5.837 5.099 6.372 6.657 8.953 7.258 7.571

0.589 0.599 0.810 0.620 0.631 0.641 0.651

838 .

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n _

Eh? 12 (1 — v2)

E = módulo de deform ación v = módulo de Poisson

OPUESTOS, EMPOTRADA EN UNO Y LIBRE EN EL OTRO, BAJO CARGA UNIFORME

GT-27. PLACA RECTANGULAR, SIMPLEMENTE APOYADA EN DOS BORDES

sien

Y EL OTRO LIBRE, CON CARGA UNIFORME

GT-26. PLACA RECTANGULAR, SIMPLEMENTE APOYADA EN TRES BORDES

www.libreriaingeniero.com

839

840 841

^ h\ 12 (1 — v¿)

E = módulo de d efo rm ació n v = modulo de P o ísso n

• h n = F ft3 sien o 12 (1 — v2)

E = módulo de deform ación v = módulo d eP o isso n

Y EMPOTRADA EN EL OTRO, CON CARGA UNIFORME

GT-29. PLACA RECTANGULAR, SIMPLEMENTE APOYADA EN TRES LADOS

siendo D =

BAJO CARGA UNIFORME

GT-28. PLACA RECTANGULAR, SIMPLEMENTE APOYADA EN SU CONTORNO,

con

dos

bordes

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842 • sien

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E = módulo de deform ación v = módulo de Poisson

Y LOS DOS EMPOTRADOS, BAJO CARGA UNIFORME

GT-31 PLACA RECTANGULAR, CON DOS BORDES OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS

OTRO SIMPLEMENTE APOYADO Y OTRO LIBRE, BAJO CARGA UNIFORME

GT-30. placa r e c t a n g u l a r

www.libreriaingeniero.com

843

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Momentos: p (i

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Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

•

Y EMPOTRADA EN LOS OTROS DOS CON CARGA UNIFORME

SIMPLEMENTE APOYADA EN DOS BORDES CONTIGUOS GT-32 PLACA RECTANGULAR

O

844

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Z

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845

846

SIMPLEMENTE APOYADA EN UN BORDE Y EMPOTRADA

CON TODOS SUS BORDES EMPOTRADOS

Momentos: p li

Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

GT-35 PLACA RECTANGULAR

EN LOS OTROS TRES, BAJO CARGA UNIFORME

GT-34 PLACA RECTANGULAR

www.libreriaingeniero.com

847

848 849

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12 (1 —T4)

^ E_ h 3 - ¡2 (1—V)

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E = módulo de deformación v = módulo de Poisson

APOYADA BAJO CARGA TRIANGULAR

GT-37 PLACA RECTANGULAR SIMPLEMENTE

^ = módulo de deformación v = módulo de Poisson

GT-36 PLACA RECTANGULAR SIMPLEMENTE APOYADA EN TRES BORDES Y LÍBRE EN EL OTRO,

www.libreriaingeniero.com O

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851

852

APOYADA EN TRES BORDES Y EMPOTRADA EN EL OTRO BAJO

GT-40 PLACA RECTANGULAR SIMPLEMENTE tí O tí

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Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

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853

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GT-43 PLACA RECTANGULAR SIMPLEMENTE APOYADA EN DOS

Momentos:

Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

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Momentos:

p

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Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

www.libreriaingeniero.com

855

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Momentos:

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Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

Momentos: p fi

Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

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Momentos:

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858

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Los coeficientes de las tablas deben multiplicarse por los siguientes factores:

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www.libreriaingeniero.com

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859

GT-48 PANTALLAS CON HUECOS - VALORES DEL COEFICIENTE O

GT-49 PANTALLAS CON HUECOS - VALORES DEL COEFICIENTE

$

860

861

GT-50

www.libreriaingeniero.com

GT-51

PANTALLAS CON HUECOS - VALORES DEL COEFICIENTE 7

PANTALLAS CON HUECOS - VALORES DEL COEFICIENTE A

H

862

863

GT-52 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA

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EL TERRENO

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GT-54 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA

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Fe ( y)

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CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA

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GT-53

GT-55 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA

1.0 H

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864

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F (o) 865

www.libreriaingeniero.com GT-56 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA

GT-58 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA

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F (o) GT-57 CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN TODA LA ALTURA

1.0 1 1 1 TF’ T 'T

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0. 8 H

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GT-59 DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS

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0. 4 H

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0. 2 H

“1 Q

0.2 Fe (y) F (o) 867

866

GT-60 DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS

GT-62 DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS

1. O H

1.0 H O

0. 8 H

5

0. 6 H

0 .2 H

0. 6 H

£

0 .2 H

Fe (y)

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F (o)

F (o)

GT-61 DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS

GT-63 DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS

1. 0 H

1.0 H

o 0. 8 H

m a. oc UJ

0. 6 H

0. 2 H

Fe (y) F (o)

868

0. 6 H

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0 .2 H

Fe (y) F (O)

869

www.libreriaingeniero.com GT-66

GT-64

DISTANCIA

DESDE

EL TERRENO

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE CARGAS

F> f y) F (o )

GT-65

GT-67

DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR DE

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44

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EL TERRENO

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0. 6

0. 6

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0

Fe íy) F (o )

870

871

GT-68

GT-70

1.040 1.007 0.970 0.933 0.911 0.865 0.609 0.744

DÍAS

GT-69 GT-71


2

= 50 m m

1.068 1.010 0.961 0.908 0.881 0.840 0.796 0.744

DÍAS

872

873

GT-72

www.libreriaingeniero.com

GT-74

GT-73
0.981 0.936 0.B95 0.873 0.835 0.790 0.737

DÍAS

874

875

GT-76

GT-78

DÍAS

876

877

GT-80

www.libreriaingeniero.com

INDICE DE MATERIAS TOMO I

878

ÍNDICE DE MATERIAS P á g in a s P R Ó L O G O .......................................................................................................................................................................................

5

N O T A C I O N E S Y U N I D A D E S ..............................................................................................................................................

9

CAPÍTULO 1. PLANTEAMIENTO ESTRUCTURAL DEL EDIFICIO

13

1.1

I N T R O D U C C I Ó N ............................................................................................................................................................

13

1 .2

T I P O S D E C O N S T R U C C I O N E S ............................................................................................................................

14

1.3

E X I G E N C I A S D E C O M P O R T A M I E N T O .......................................................................................................

16

1 .4

A C C I O N E S S O B R E L A E S T R U C T U R A .........................................................................................................

17

1.5

S I S T E M A S E S T R U C T U R A L E S ............................................................................................................................

18

1 .5 .1

S IS T E M A S E S T R U C T U R A L E S A D E C U A D O S P A R A R E S IS T IR

1 .5 .2

S IS T E M A S E S T R U C T U R A L E S A D E C U A D O S P A R A R E S IS T IR

A C C I O N E S V E R T I C A L E S ....................................................................................................................

A C C I O N E S H O R I Z O N T A L E S ...........................................................................................................

18

20

CAPÍTULO 2. DEFINICIÓN DE ESFUERZOS Y ENLACES

25

2.1

E S F U E R Z O S .......................................................................................................................................................................

25

2 .2

E N L A C E S .............................................................................................................................................................................

27

2 .3

D E F O R M A B 1 L 1 D A D D E A P O Y O S ....................................................................................................................

29

CAPÍTULO 3. COEFICIENTES ELÁSTICOS..........................................................................

31

3 .1

I N T R O D U C C I Ó N . M É T O D O S D E C Á L C U L O L I N E A L ......................................................................

31

3 .2

E C U A C I Ó N D E L A E L Á S T I C A D E U N A P I E Z A R E C T A ....................................................................

31

3 .3

T E O R E M A S D E M O H R .............................................................................................................................................

34

3 .3 .1

P R I M E R T E O R E M A D E M O H R ........................................................................................................

35

3 .3 .2

S E G U N D O T E O R E M A D E M O H R .................................................................................................

36

3 .4

P IE Z A R E C T A , E M P O T R A D A P O R S U S E X T R E M O S , D E S E C C IÓ N E l V A R I A B L E .........................................................................................................................................................................

37

3 .5

C O E F I C I E N T E S E L Á S T I C O S .................................................................................................................................

40

3 .5 .1

F A C T O R D E T R A N S M I S I Ó N .............................................................................................................

41

3 .5 .2

R I G I D E Z D E L A P I E Z A E M P O T R A D A ......................................................................................

41

3 .5 .3

R I G I D E Z D E L A P I E Z A A R T I C U L A D A ......................................................................................

42

CAPÍTULO 4. CÁLCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES. MÉTODO DE CROSS....................................................................................................................

45

4 .1

E N T R A M A D O S I N T R A S L A C I O N A L E S .......................................................................................................

45

4 .2

P L A N T E A M IE N T O G E N E R A L D E L P R O B L E M A . M É T O D O G E N E R A L D E

4 .3

C Á L C U L O .........................................................................................................................................................................

45

4 .2 .1

R E L A C IÓ N E N T R E L O S C O E F IC IE N T E S E L Á S T IC O S

45

4 .2 .2

E C U A C IO N E S G E N E R A L E S D E L A P IE Z A E L Á S T IC A M E N T E E M P O T R A D A ..............................................................................................................................................

46

4 .2 .3

M ÉTODO GENERAL DE CÁLCULO

..........................................................................................

48

M É T O D O D E C R O S S ..................................................................................................................................................

49

4 .3 .1

V E N T A JA S D E L M É T O D O

50

4 .3 .2

E X T R E M O S A R T IC U L A D O S , E X T R E M O S P E R F E C T A M E N T E E M P O T R A D O S Y C A S O S I N T E R M E D I O S .............................................................................

51

4 .3 .3

M O M E N T O S D E E M P O T R A M I E N T O Y M O M E N T O S F L E C T O R E S ....................

52

................................................

.................................................................................................................

881

www.libreriaingeniero.com 4 .3 .4

R E A C C I O N E S Y E S F U E R Z O S T O T A L E S ................................................................................

53

4 .3 .5

C A S O D E E N T R A M A D O C O N V O L A D IZ O S

......................................................................

54

4 .3 .6

E J E M P L O S D E A P L I C A C I Ó N ...........................................................................................................

55

4 .3 .7

S IM P L IF IC A C IO N E S P O R S IM E T R ÍA Y A N T IM E T R ÍA . T E O R E M A D E A N D R É E ............................................................................................................................................................

61

4 .3 .8

R I G I D E Z V I R T U A L E N E L C A S O D E S I M E T R Í A ............................................................

61

4 .3 .9

R I G I D E Z V I R T U A L E N E L C A S O D E A N T I M E T R Í A ....................................................

62

4 .3 .1 0

E N T R A M A D O S R E D U C I D O S E N C A S O D E S I M E T R Í A ............................................

63

CAPÍTULO 7. INTERACCIÓN DE ENTRAMADOS F U N C I Ó N C O N E C T A D O R A D E L O S A S Y F O R J A D O S ......................................................................

111

7 .2

C Á L C U L O D E L A S F U E R Z A S D E I N T E R A C C I Ó N ..............................................................................

112

7 .3

C Á L C U L O D E L O S E N T R A M A D O S ...............................................................................................................

113

7 .4

C A S O P A R T I C U L A R D E E D I F I C I O S M U Y A L A R G A D O S ............................................................

1 13

7 .5

F U N C IO N A M IE N T O D E L F O R J A D O E N U N S O L O P L A N O (A C C IÓ N D I A F R A G M A ) ...............................................................................................................................................................

4 .3 .1 1

E N T R A M A D O S R E D U C I D O S E N C A S O D E A N T I M E T R Í A ....................................

63

4 .3 .1 2

O R D E N A C I Ó N P R Á C T I C A D E L O S C Á L C U L O S ..............................................................

66

4 .3 .1 3

C O M P R O B A C I Ó N D E L O S C Á L C U L O S ..................................................................................

66

CAPÍTULO 8. MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS BAJO ACCIONES VERTICALES Y HORIZONTALES. CÁLCULO DE ENTRAMADOS BAJO ACCIONES DE VIENTO Y SISMO. FLEXIONES NORMALES A LOS ENTRAMADOS

69

8 .1

............................................................................................................

69

8 .2

C A P ÍT U L O 5.

M É T O D O S C L Á S IC O S D E C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S T R A S L A C I O N A L E S ..........................................................................................................................

5 .1

E N T R A M A D O S T R A S L A C IO N A L E S

115 115

S IM P L IF IC A C IO N E S P A R A E L C A S O D E E N T R A M A D O S C O N V A N O S D E L U C E S I G U A L E S S O M E T I D O S A C A R G A S V E R T I C A L E S ...........................................................

116

5 .1 .1

M O M E N T O S I N D U C I D O S P O R L A T R A S L A C I Ó N D E U N A P O Y O ......................

70

C A U S A S D E T R A S L A C I O N A L I D A D ............................................................................................

71

5 .1 .3

P L A N T E A M I E N T O G E N E R A L D E L P R O B L E M A ................................................................

72

5 .1 .4

M É T O D O D E C R O S S .................................................................................................................................

73

8 .4

S IM P L IF IC A C IÓ N P A R A E L C A S O D E C A R G A S H O R IZ O N T A L E S . M É T O D O A

118

5 .1 .4 .1

A S I E N T O D E A P O Y O S ........................................................................................................

73

8 .5

S IM P L IF IC A C IÓ N P A R A E L C A S O D E C A R G A S H O R IZ O N T A L E S . M É T O D O B

120

5 .1 .4 .2

E F E C T O S T E R M O H I G R O M É T R I C O S ............

78

8.6

C Á L C U L O D E E N T R A M A D O S B A JO A C C IO N E S D E V IE N T O Y S IS M O

121

5 .1 .4 .3

A C C I O N E S E X T E R I O R E S ..................................................................................................

85

8 .7

C A S O P A R T IC U L A R D E A C C IO N E S H O R IZ O N T A L E S E N S E N T ID O

93

A P O Y O S E L Á S T I C O S .................................................................................................................................................

93

A P O Y O S C O N T R A S L A C I O N E S E L Á S T I C A S ........................................................................

93

6 .2

A P O Y O S C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E S ....................................................................................

100

6 .3

E M P O T R A M I E N T O S F L E X I B L E S ......................................................................................................................

101

6 .3 .1

R IG ID E Z Y F A C T O R D E T R A N S M IS IÓ N E N E L C A S O D E E M P O T R A M I E N T O S F L E X I B L E S .................................................................................................. 6 .3 .1 .1

P IE Z A B IE M P O T R A D A C O N E M P O T R A M IE N T O S

6 .3 .1 .3 6 .3 .2

S O M E T I D O S A C A R G A S V E R T I C A L E S ...................................................................... ...............................

P I E Z A A R T I C U L A D A C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E ...................

105

127

C O M B I N A C I O N E S D E C A R G A E N E N T R A M A D O S .........................................................................

128

9 .3

R E D U C C I Ó N D E S O B R E C A R G A S ...................................................................................................................

130

9 .4

S O B R E C A R G A S ............................................................................................................................................................

13 1

9 .4 .1

M O M E N T O S D E E M P O T R A M IE N T O D E L A P IE Z A B IE M P O T R A D A

...........................................................................................................................................

1 06

M O M E N T O S D E E M P O T R A M IE N T O D E L A P IE Z A C O N E M P O T R A M IE N T O S F L E X IB L E S S O M E T ID A A C A R G A S - ................................................- .............................................................................

6 .3 .4 .1

V IG A B IE M P O T R A D A C O N E M P O T R A M IE N T O S F L E X IB L E S

6 .3 .4 .2

V IG A B IE M P O T R A D A C O N E M P O T R A M IE N T O F L E X IB L E

E N A M B O S E X T R E M O S .....................................................................................................

6 .3 .4 .3

9 .5

S O B R E C A R G A S D E U S O E N E D IF IC IO S D E V IV IE N D A S , O F IC IN A S Y A N Á L O G O S ....................................................................................................................................................

131

9 .4 .1 .1

R E D U C C I Ó N D E S O B R E C A R G A S ............................................................................

131

9 .4 .2

S O B R E C A R G A S D E U S O E N E D I F I C I O S I N D U S T R I A L E S .........................................

136

9 .4 .3

S O B R E C A R G A D E U S O E N G A R A J E S A P A R C A M I E N T O S ........................................

137

9 .4 .4

S O B R E C A R G A S D E U S O E N P U E N T E S D E C A R R E T E R A .........................................

137

9 .4 .5

S O B R E C A R G A S D E U S O E N P U E N T E S D E F E R R O C A R R I L .....................................

139

9 .4 .6

S O B R E C A R G A D E N I E V E .....................................................................................................................

142

9 .4 .7

S O B R E C A R G A D E V I E N T O ..................................................................................................................

142

C O M B I N A C I O N E S P É S I M A S P A R A E L D I M E N S I O N A M I E N T O ...............................................

1 43

9 .5 .1

D I N T E L E S .........................................................................................................................................................

1 43

9 .5 .2

P I L A R E S ...............................................................................................................................................................

1 44

10"?

M O M E N T O S IN D U C ID O S E N U N A V IG A C O N E M P O T R A M IE N T O S F L E X I B L E S P O R L A T R A S L A C I Ó N D E U N A P O Y O .......................................................

127

9 .2

S O M E T ID A A C A R G A U N IF O R M E M E N T E R E P A R T ID A S O B R E T O D A

6 .3 .4

125

103

1 05

C U A L E S Q U IE R A

122

F L E X I O N E S N O R M A L E S A L E N T R A M A D O ..........................................................................................

C A R G A E N V A N O .........................................................................................................................................................

C O N E M P O T R A M IE N T O S F L E X IB L E S E N A M B O S E X T R E M O S Y

6 .3 .3

P E R P E N D I C U L A R A L P L A N O M E D I O D E L E N T R A M A D O ........................................................

CAPÍTULO 9. HIPÓTESIS DE CARGA EN EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS

102

U N E X T R E M O .............................................................................................................................

118

9 .1

P IE Z A B IE M P O T R A D A C O N E M P O T R A M IE N T O F L E X IB L E E N

LA L U Z

S IM P L IF IC A C IÓ N P A R A E L C Á L C U L O D E E N T R A M A D O S E N G E N E R A L ,

F L E X IB L E S

E N L O S D O S E X T R E M O S .................................................................................................. 6 .3 .1 .2

8 .3

8.8

F L E X I B L E S ...............................................................................................................................................

6 .1 .1

882

T I P O S D E S I M P L I F I C A C I O N E S ...........................................................................................................................

114

5 .1 .2

C A P ÍT U L O 6. E S T R U C T U R A S C O N A P O Y O S E L Á S T IC O S Y E M P O T R A M IE N T O S

6 .1

111

7 .1

108

108

E N U N S O L O E X T R E M O ..................................................................................................

109

P I E Z A A R T I C U L A D A C O N E M P O T R A M I E N T O F L E X I B L E ...................

109

CAPÍTULO 10. LUCES, MÓDULOS DE DEFORMACIÓN E INERCIAS A CONSIDERAR EN EL CÁLCULO. TRASLACIONALIDAD E INTRASLACIONALIDAD DE LAS ESTRUCTURAS. REDUCCIÓN DE CARGAS PUNTUALES Y CARGAS UNIFORMES A LO LARGO DE LA LUZ. CASO DE CARGAS RÍGIDAS. INFLUENCIA DE LOS RELLENOS DE FÁBRICA SOBRE EL COMPORTAMIENTO DE LA ESTRUCTURA....................................................................................................

149

883

10.1

L U C E S D E C Á L C U L O .................................................

149

10.2

M Ó D U L O D E D E F O R M A C IÓ N ............................

|5 ()

10.3

M O M E N T O S D E IN E R C IA A C O N S ID E R A R E N E L C Á L C U L O .............................................

151

10.4

T R A S L A C IO N A L ID A D E IN T R A S L A C IO N A L ID A D D E L O S E N T R A M A D O S

153

10.5

15.2

M É T O D O S S IM P L IF IC A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S D E B ID O S A A C C IO N E S V E R T I C A L E S ............................................................................................................................. 15.2.1

M É T O D O D E L A N O R M A A C I 3 1 8 - 9 5 ..................................................................................

R E D U C C IÓ N D E C A R G A S P U N T U A L E S Y C A R G A S U N IF O R M E S A L O 154

L A R G O D E L A L U Z ................................................................ 10.6

C A S O D E C A R G A S R ÍG ID A S .........................................................................

10.7

IN F L U E N C IA D E L O S R E L L E N O S D E F Á B R IC A E N E L C O M P O R T A M IE N T O D E LOS EN TR A M A D O S

1 5.2 .2

I56 15.3

................................................................................................................................

,

156

1 0 .7 . 1

T R A N S M IS IO N D E C A R G A S V E R T IC A L E S .....................................................................

157

10 .7 .2

T R A N S M IS IÓ N D E C A R G A S H O R I Z O N T A L E S .............................................................

158

C A P Í T U L O 11.

E N L A C E S T E Ó R IC O S Y E N L A C E S R E A L E S . A PA R A T O S D E

220 220

15.2.1.1

V IG A S C O N T I N U A S .................................................................................................

220

1 5 .2 .1 .2

E N T R A M A D O S .............................................................................................................

220

M É T O D O D E L A I N S T R U C C IÓ N E H E ................................................................................

220

M É T O D O S S IM P L IF IC A D O S P A R A E L C Á L C U L O D E S O L IC IT A C IO N E S D E B ID A S A A C C IO N E S H O R IZ O N T A L E S ...........................................................................................

223

15.3.1

M É T O D O D E L P Ó R T IC O ..............................................................................................................

223 226

15.3 .2

M É T O D O D E L V O L A D I Z O ........................................................................................................

15.3 .3

C O R R E C C IÓ N D E B U L L Y S V E D A L O S M É T O D O S D E L P Ó R T IC O Y D E L V O L A D I Z O ..............................................................................................................................

229

15 .3 .4

M É T O D O D E L A N O R M A B A E L 8 3 ......................................................................................

231

A P O Y O . R O T U L A S P L Á S T IC A S . B R O C H A L E S . E N L A C E D E L O S 165

P IL A R E S A L A C IM E N T A C IÓ N 11. 1

T IP O S D E A N C L A J E .................................................................................

|6 -

11.2

C I A S E S D E A P O Y O S .............................................................................

165

11.3

C Á L C U L O D E D IS P O S IT IV O S D E C E N T R A D O D E C A R G A S

173

11.4

C Á L C U L O D E A P O Y O S E L A S T O M É R IC O S .........................................................................'

11.5

C Á L C U L O D E R Ó T U L A S P L Á S T IC A S ...........................................

11.6

B R O C H A L E S .......................................................................................

E M P O T R A M IE N T O S IM P R E V I S T O S .............................................................

....................................................

E N L A C E D E L O S P IL A R E S A L A C IM E N T A C IÓ N .......................................................................

C A P ÍT U L O 12. N O C IO N E S D E C Á L C U L O M A T R IC IA L D E E S T R U C T U R A S 12.1 IN T R O D U C C IÓ N ............................................................................................................ 12.2 12.3 12.4

16.2

D E T E R M IN A C IÓ N D E E S F U E R Z O S Y D IM E N S IO N E S ..............................................................

234

16.2.1

M O M E N T O S P O S IT IV O S Y N E G A T IV O S .........................................................................

185

191 I91

194

C Á L C U L O M E D IA N T E O R D E N A D O R

13.1

IN T R O D U C C IÓ N .......................................................................................

13.2

N O R M A L IZ A C IÓ N E S P A Ñ O L A S O B R E E L U S O D E O R D E N A D O R E S E N E L C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S D E H O R M IG Ó N .........................................................................

207 9Q7

E S T R U C T U R A S D E H O R M I G Ó N ............................................................................

2 09

T IP O S D E P R O G R A M A S ..................................................................................

211

13.5

P R O B L E M A S D E R IV A D O S D E L U S O E R R Ó N E O D E L O R D E N A D O R ..............................

2 12 213 9I3

14.2

M Ó D U L O D E D E F O R M A C IÓ N £ . ......................................................................

214

14.3

M O M EN TO D E IN E R C IA /

916

14.4

L U C E S D E C Á L C U L O .............................................................................................

218

14.5

A L G U N A S H IP Ó T E S IS B Á S I C A S ..............................................................................

2 18

884

M É T O D O S A P R O X IM A D O S

IN T E R É S A C T U A L D E L O S M É T O D O S A P R O X I M A D O S .....................................

E N T R A M A D O S S O M E T ID O S A A C C IO N E S H O R IZ O N T A L E S Y V E R T I C A L E S ....................................................................................................................................

242

F O R J A D O S S IN V IG A S S O M E T ID O S A A C C IO N E S

V E R T IC A L E S ........

243

16.2 .6

F O R J A D O S S IN V IG A S S O M E T ID O S A A C C IO N E S

H O R IZ O N T A L E S

16.2 .7

P Ó R T IC O S S IM É T R IC O S D E U N S O L O V A N O C O N D IN T E L H O R I Z O N T A L ...................................................................................................................................

246

1 6 .2 .8

P Ó R T IC O S S IM É T R IC O S A D O S A G U A S .........................................................................

270

1 6 .2 .9

P Ó R T IC O S D E V A R IO S V A N O S Y U N S O L O P I S O ...................................................

286

1 6 .2 .1 0

A R C O S P A R A B Ó L IC O S T R IA R T IC U L A D O S ................................................................

288

16.2.11

A R C O S P A R A B Ó L IC O S B I A R T IC U L A D O S ...................................................................

296

1 6 .2 .1 2

M U R O S D E C O N T E N C I Ó N .......................................................................................................

301

219 2 19

245

Z A P A T A S C O R R ID A S D E H O R M IG Ó N A R M A D O C O N C A R G A L IN E A L V E R T IC A L C E N T R A D A D E V A L O R C O N S T A N T E .................................

303

Z A P A T A S A IS L A D A S D E P L A N T A C U A D R A D A D E H O R M IG Ó N A R M A D O C O N C A R G A V E R T IC A L C E N T R A D A .......................................................

304

16.3

T A N T E O D E D I M E N S I O N A M I F N T O ...................................................................................................

305

16.4

N E C E S ID A D E V E N T U A L D E C O R R E C C I O N E S ...........................................................................

305

C A P ÍT U L O 17.1 17.2

17.

C Á L C U L O N O L I N E A L .......................................................................................................

G E N E R A L ID A D E S S O B R E C Á L C U L O N O L IN E A L . R Ó T U L A S P L Á S T I C A S

17.3

307 307

R E D IS T R IB U C IÓ N D E M O M E N T O S C O N F O R M A C IÓ N D E R Ó T U L A S P L Á S T I C A S ............................................................................................................................................................

310

D E F O R M A C IO N E S E L Á S T IC A S Y P L Á S T IC A S . C U R V A T U R A S Y R O T A C IO N E S ........................................................................................................................................................

17.4 15.1

240

16 .2 .4

1 6 .2 .1 4

C A P Í T U L O 14. E X A M E N C R Í T I C O D E L O S M É T O D O S D E C Á L C U L O L I N E A L 14.1 G E N E R A L ID A D E S ....................................................................................

C A P Í T U L O 15.

239

P IL A R E S D E E N T R A M A D O S S O M E T ID O S A A C C IO N E S V E R T IC A L E S ...

16.2.13

13.4

!............................................................

A C C IO N E S V E R T I C A L E S .......................................................................................................... 16.2.3

2 08

A SPE C T O S G E N E R A L E S D E LO S PR O G R A M A S PARA E L C Á L C U L O DE

235

V IG A S C O N T IN U A S Y D IN T E L E S D E E N T R A M A D O S S O M E T ID O S A

16.2 .5

I99

13.3

L O S A S Y F O R J A D O S C O N L A M IS M A C A P A C ID A D R E S IS T E N T E A

16 .2 .2

Ig4

E J E M P L O N ° 2. C Á L C U L O M A T R IC IA L D E U N E N T R A M A D O A IS L A D O .................. P L A N T E A M IE N T O G E N E R A L D E L C Á L C U L O M A T R IC IA L D E E N T R A M A D O S E S P A C I A L E S .......................................................................................

C A P Í T U L O 13.

233

185

191

233

C O N S ID E R A C IO N E S P R E V I A S .................................................................................................................

, 76

E J E M P L O N ° 1. C Á L C U L O M A T R IC IA L D E U N A V IG A C O N T I N U A ..............................

P R E D IM E N S IO N A M IE N T O

16.1

lg ]

11.7 11.8

i

16.

C A P ÍT U L O

315

R E D IS T R IB U C IÓ N D E M O M E N T O S C O N F O R M A C IÓ N D E Z O N A S P L A S T I F I C A D A S ................................................................................................................................................

318

17.4.1

3 18

M O D E L O S G E N E R A L E S .............................................................................................................

885

17.4.2 1 7 .5

323

1 7 .5 .1

P L A N T E A M I E N T O G E N E R A L ...........................................................................................................

323

1 7 .5 .1 .1

M É T O D O D E L A S R O T A C I O N E S I M P U E S T A S ( M A C H I ) ....................

328

1 7 .5 .1 .2

M É T O D O D E L A S R O T A C I O N E S Ú L T I M A S ( B A K E R ) ..........................

329

S O L U C I Ó N M E D I A N T E M É T O D O S D E C Á L C U L O N U M É R I C O .........................

330

1 7 .5 .2 1 7 .6

www.libreriaingeniero.com 322

GRADO DE RED ISTRIBU CIÓ N ....................................................................................

M É T O D O S G E N E R A L E S D E C Á L C U L O N O L I N E A L ........................................................................

M É T O D O S B A S A D O S E N L A R E D IS T R IB U C IÓ N A P A R T IR D E L O S

33 {

1 7 .6 .1

M É T O D O D E L A M E R I C A N C O N C R E T E I N S T I T U T E ( A C I ) ..................................

332

1 7 .6 .2

M É T O D O D E L A I N S T R U C C I Ó N E H E .....................................................................................

33 5

1 7 .6 .3

M É T O D O D E L M O D E L C O D E C E B - F I P Í M C - 9 0 ) .............................................................

335

1 7 .6 .4

M É T O D O D E L E U R O C Ó D I G O E C - 2 ..........................................................................................

337

1 7 .7

P R O G R A M A S D E O R D E N A D O R P A R A C Á L C U L O N O L I N E A L ..............................................

337

1 7 .8

S IT U A C IÓ N A C T U A L D E L A A P L IC A B IL ID A D P R Á C T IC A D E L C Á L C U L O NO

L I N E A L ........................................................................................................................................................

C A P ÍT U L O 18.

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N F O R JA D O S U N ID IR E C C IO N A L E S

G E N E R A L I D A D E S ............................................................................................................................................................

343

C O M B I N A C I O N E S D E A C C I O N E S .....................................................................................................................

34 3

1 8 .3

M É T O D O S B A S A D O S E N E L C Á L C U L O L I N E A L ................................................................................

344

1 8 .3 .1

344

1 8 .3 .2

C A S O D E V A N O S D E L U C E S I G U A L E S ................................................................................... M É T O D O D E C R O S S P A R A F O R JA D O S D E S E C C IÓ N C O N S T A N T E C O N E X T R E M O S E X T E R I O R E S S I M P L E M E N T E A P O Y A D O S ..............................

1 8 .3 .3

344

346

M É T O D O S B A S A D O S E N L A R E A D A P T A C I Ó N P L Á S T I C A .......................................................

347

C O N S I D E R A D O ..............................................................................................................................................

347

1 8 .4 .1 .1

352

C A S O E N Q U E N O E X I S T E N V O L A D I Z O S ..................................................... C A S O E N Q U E E X I S T E N V O L A D I Z O S ...............................................................

354

385

A C C I O N E S V E R T I C A L E S ...............................................................................................

386

1 9 .4 .2 .2

A C C I O N E S H O R I Z O N T A L E S .......................................................................................

386

1 9 .4 .2 .3

A L T E R N A N C I A D E S O B R E C A R G A S ...................................................................

390

1 9 .4 .2 .4

D I S T R I B U C I Ó N D E M O M E N T O S ............................................................................

390

R IG ID E C E S , F A C T O R E S D E T R A N S M IS IÓ N Y M O M E N T O S D E

390

T R A N S M IS IÓ N D E M O M E N T O S D E L A S P L A C A S A L O S P IL A R E S

391

1 9 .4 .4 .1

M É T O D O D E L A C I ................................................................................................................

391

1 9 .4 .4 .2

M É T O D O E H E ..........................................................................................................................

393

1 9 .4 .5

V O L A D I Z O S ....................................................................................................................................................

394

1 9 .4 .6

T O R S I O N E S . T O R S I O N E S E N V I G A S Y Z U N C H O S D E B O R D E .........................

395

1 9 .4 .7

D E F O R M A C I O N E S ....................................................................................................................................

396

1 9 .4 .7 .1

M É T O D O S I M P L I F I C A D O D E S C A N L O N Y M U R R A Y ..........................

396

1 9 .4 .7 .2

M É T O D O D E G A R C Í A D U T A R I Y C A L A V E R A .............................................

397

D E F O R M A C IO N E S E N E L C A S O D E F O R JA D O S P R E T E N S A D O S C O N A R M A D U R A S P O S T E S A S ........................................

A B E R T U R A S E N L A P L A C A .................................................................................................................................

398

1 9 .6

C Á L C U L O F U E R A D E L A S N O R M A S ............................................................................................................

399

2 0 .1 2 0 .2

CÁ LCU LO DE ESFU ERZO S EN PLA CAS

403

G E N E R A L I D A D E S ..........................................................................................................................................................

403

M É T O D O S G E N E R A L E S D E C Á L C U L O .....................................................................................................

404

2 0 .2 .1

M É T O D O S E L Á S T I C O S ........................................................................................................................

405

2 0 .2 .2

M É T O D O S E N E S T A D O L Í M I T E ...................................................................................................

410

2 0 .2 .2 .1

M É T O D O D E L A S L Í N E A S D E R O T U R A ( J O H A N S E N ) .........................

410

2 0 .2 .2 .2

M É T O D O D E L A S B A N D A S ( H I L L E R B O R G ) ................................................

410

2 0 .3

E S F U E R Z O S C O R T A N T E S ......................................................................................................................................

415

2 0 .4

C A S O D E C A R G A S C O N C E N T R A D A S .........................................................................................................

416

M É T O D O D E L A I N S T R U C C I Ó N E F .............................................................................................

356

C A P ÍT U L O 21.

359

2 1 .1

G E N E R A L I D A D E S ..........................................................................................................................................................

421

1 8 .5 .1

M É T O D O S B A S A D O S E N L A C O N T I N U I D A D T E Ó R I C A ..........................................

359

2 1 .2

D I S P O S I C I Ó N E N P L A N T A .....................................................................................................................................

422

1 8 .5 .2

M É T O D O S B A S A D O S E N L A R E A D A P T A C I Ó N P L Á S T I C A ....................................

360

2 1 .3

F U E R Z A S E N C A D A P L A N T A ..............................................................................................................................

423

C O N S ID E R A C IÓ N G E N E R A L D E L O S M É T O D O S E X P U E S T O S B A S A D O S E N

2 1 .4 361

PANTALLAS Y N Ú C LEO S

D IS T R IB U C IÓ N D E L A F U E R Z A H O R IZ O N T A L D E P L A N T A E N T R E L A S D I V E R S A S P A N T A L L A S .............................................................................................................................................

423

D I S T R I B U C I Ó N I S O S T Á T I C A .........................................................................................................

423

361

2 1 .4 .2

D IS T R IB U C IÓ N H IP E R E S T Á T IC A . C A S O P A R T IC U L A R D E P A N T A L L A S

365

2 1 .4 .3

P A R A L E L A S ...................................................................................................................................................... C A P ÍT U L O 19.

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N F O R J A D O S S IN V IG A S

425

D IS T R IB U C IÓ N H IP E R E S T Á T IC A . M É T O D O D E L IN P A R A E L C Á L C U L O

1 9 .1

G E N E R A L I D A D E S ............................................................................................................................................................

365

1 9 .2

T E R M I N O L O G Í A ...............................................................................................................................................................

367

U N A P L A N T A E N T R E L A S D IF E R E N T E S P A N T A L L A S E N C U A L Q U IE R

1 9 .3

R E Q U I S I T O S D I M E N S I O N A L E S ...........................................................................................................................

367

P O S I C I Ó N .........................................................................................................................................................

1 9 .4

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S .....................................................................................................................................

368

1 9 .4 .1

369

M É T O D O S I M P L I F I C A D O .....................................................................................................................

421

2 1 .4 .1

C A S O D E F O R J A D O S D E U N S O L O V A N O O D E F O R J A D O S D E V A R IO S V A N O S C A L C U L A D O S C O M O I S O S T Á T I C O S .........................................................................................

886

398

1 9 .5

P U N T O S D E C O R T E D E L A S B A R R A S D E L A A R M A D U R A ......................................................

L A R E A D A P T A C I Ó N P L Á S T I C A .......................................................................................................................... 1 8 .7

M É T O D O G E N E R A L D E L O S P Ó R T I C O S V I R T U A L E S ............................................... 1 9 .4 .2 .1

1 9 .4 .7 .3

M É T O D O D E L A IN S T R U C C IÓ N B A E L -8 3 P A R A F O R JA D O S C O N

1 8 .4 .1 .2

1 8 .6

382

E N A M B O S M É T O D O S ..........................................................................................................................

C O M P R E N D I D A S E N T R E 0 ,8 0 Y 1 ,2 5 V E C E S L A D E L V A N O

1 8 .4 .2

380

E S F U E R Z O S A X I L E S Y M O M E N T O S E N P I L A R E S .................................

1 9 .4 .4

S O B R E C A R G A M O D E R A D A Y L U C E S D E V A N O S C O N S E C U T IV O S

1 8 .5

C Á L C U L O A E S F U E R Z O R A S A N T E .....................................................................

1 9 .4 .1 .4

C A P ÍT U L O 20.

E N M Á S D E L 2 0 % .......................................................................................................................................

1 8 .4 .1

1 9 .4 .1 .3

M É T O D O S IM P L IF IC A D O D E L A M E R IC A N C O N C R E T E IN S T IT U T E (A C I) P A R A F O R J A D O S C O N T IN U O S C U Y A S L U C E S N O D IF IE R E N

1 8 .4

380

E M P O T R A M IE N T O Q U E D E B E N S E R C O N S ID E R A D O S

343

18.1

369

C Á L C U L O A P U N Z O N A M I E N T O .............................................................................

1 9 .4 .3

33g

1 8 .2

C Á L C U L O A F L E X I Ó N D E L A P L A C A ................................................................

1 9 .4 .2

R E S U L T A D O S D E L C Á L C U L O L IN E A L , P A R A E L E M E N T O S L IN E A L E S D E H O R M I G Ó N A R M A D O .................................................................................................................................................

1 9 .4 .1 .1 1 9 .4 .1 .2

D E L A D IS T R IB U C IÓ N D E L A F U E R Z A H O R IZ O N T A L A C T U A N T E E N

2 1 .5

427

D E T E R M IN A C IÓ N D E L A D IR E C C IÓ N P É S IM A D E L A F U E R Z A H O R IZ O N T A L P A R A U N A P A N T A L L A D E T E R M I N A D A ......................................................................................................

438

887

2 1 .6 2 1 .7

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N P A N T A L L A S C O N H U E C O S ................................................

D E L A S M É N S U L A S D E B ID A A L E S F U E R Z O A X I L ....................................................................... 2 i.s

2 1 .9

440

2 4 .3 .3

M É T O D O D E R O S M A N -B E C K P A R A T E N E R E N C U E N T A L A D E F O R M A C IÓ N 445

2 4 .3 .4

H U E C O S ..........................................................................................................................................................................

448

2 4 .3 .5

2 1 .8 .1

C A S O G E N E R A L (1 < a < 1 0 ) ...................................................................................................

448

2 1 .8 .2

C A S O P A R T IC U L A R C O R R E S P O N D IE N T E A a < 1 ...................................................

450

2 1 .8 .3

C A S O P A R T IC U L A R C O R R E S P O N D IE N T E A a < 1 0 ................................................

450

P A N T A L L A S C O N V A R IA S F IL A S D E H U E C O S ..............................................................................

450

A b aco s d e a lb ig e s y g o u le t p a ra e l c á lc u lo

d e p a n ta lla s co n

483

JU N T A S E N P IE Z A S D E D IR E C T R IZ H O R IZ O N T A L O C U A S IH O R IZ O N T A L S O M E T ID A S A F L E X I Ó N ..............................................................................................................

484

C U E S T I O N E S B Á S I C A S P L A N T E A D A S P O R L A S JU N T A S D E T R A B A J O Y D E C O N T R A C C I Ó N E N P IE Z A S D E D I R E C T R I Z H O R IZ O N T A L O C U A S I H O R I Z O N T A L S O M E T ID A S A F L E X I Ó N ............................................................

2 4 .3 .6

2 1 .1 0 C A R G A S V E R T IC A L E S E N P A N T A L L A S C O N H U E C O S . M É T O D O D E D A V I D O V I C I ........................

J U N T A S H O R IZ O N T A L E S E N P IE Z A S D E D I R E C T R I Z V E R T I C A L O C U A S ¡ V E R T I C A L ................................................................................................................................

450

2 1 .1 1 C A S O P A R T IC U L A R D E P A N T A L L A S A P O Y A D A S S O B R E P IL A R E S E N

485

J U N T A S D E C O N T R A C C I Ó N E N P IE Z A S D E D I R E C T R I Z H O R I Z O N T A L O C U A S I H O R I Z O N T A L S O M E T ID A S A F L E X I Ó N ............................................................

486

2 4 .3 .6 .1

P O S I C I Ó N E I N C L I N A C I Ó N ...................................................................................

486

2 4 .3 .6 .2

R U G O S I D A D .....................................................................................................................

488

2 4 .3 .6 .3

T R A T A M IE N T O P R E V I O A L A C O N T I N U A C I Ó N D E L

P L A N T A B A J A ............................................................................................................................................................

452

H O R M I G O N A D O ............................................................................................................

490

2 1 .1 2

O T R O S M É T O D O S D E C Á L C U L O ..............................................................................................................

453

2 4 .3 .6 .4

D U R A C I Ó N M Á X I M A D E L A A P E R T U R A D E L A J U N T A .................

491

2 1 .1 3

N Ú C L E O S ............................................

454

2 4 .3 .6 .5

C O M P A C T A C IÓ N E N L A Z O N A P R Ó X I M A A L A J U N T A ...................

491

2 4 .3 .6 .6

D I S T A N C IA E N T R E J U N T A S D E C O N T R A C C I Ó N ..................................

491

2 4 .3 .6 .7

T I E M P O M ÍN IM O D E A P E R T U R A D E L A J U N T A ...................................

492 492

C A P ÍT U L O 22.

IN T E R A C C IÓ N D E E N T R A M A D O S C O N P A N T A L L A S 457

2 4 .3 .6 .8

P O S I C I Ó N A L O L A R G O D E L A D I R E C T R I Z ..............................................

22.1

G E N E R A L I D A D E S ...............................................................................................................

Y N Ú C L E O S ......................................................................................................................................

457

2 4 .3 .6 .9

C A S O S D E F A T IG A O E S F U E R Z O S D E T R A C C I Ó N

2 2 .2

C O N S I D E R A C I O N E S S O B R E L O S M É T O D O S D E C Á L C U L O ................................................

458

N O R M A L E S A L A J U N T A .........................................................................................

493

2 2 .3

M É T O D O D E K H A N Y S B A R O U N I S .........................................................................................................

459

2 4 .3 .7

J U N T A S D E T R A B A J O ....................................................................................................................

493

O R D E N A C I Ó N D E L O S G R Á F I C O S ..........................................................................................

459

2 4 .3 .8

E J E C U C I Ó N D E L A S J U N T A S H O R IZ O N T A L E S D E T R A B A J O E N P IE Z A S

2 2 .3 .2

D E S A R R O L L O D E L M É T O D O .....................................................................................................

461

2 2 .3 .3

V A L ID E Z D E L M É T O D O ...................................................................................................................

462

2 2 .3 .1

2 2 .4

C A S O P A R T IC U L A R D E E S T R U C T U R A S F O R M A D A S P O R P A N T A L L A S Y F O R J A D O S S IN V I G A S ........................................................................................................................................

D E D I R E C T R I Z V E R T IC A L O C U A S [ V E R T I C A L .......................................................... 2 4 .3 .9

C O N T R A C C I Ó N E N E L C A S O D E H O R M I G O N E S V I S T O S .....................................................................

E S T R U C T U R A S R E A L IZ A D A S C O N E N C O F R A D O T Ú N E L

C O N C E P T O Y S IS T E M A S D E L H O R M IG Ó N P R E T E N S A D O

497

2 5 .1

D E F I N I C I Ó N D E L H O R M I G Ó N P R E T E N S A D O ................................................................................

497 497

Y S I S T E M A S A N Á L O G O S ....................................................................................................

465

2 5 .2

C O N C E P T O G E N E R A L D E L P R E T E N S A D O .......................................................................................

2 3 .1

G E N E R A L I D A D E S ..................................................................................................................................................

465

2 5 .3

C O N C E P T O S E S T R U C T U R A L E S D E L H O R M I G Ó N P R E T E N S A D O .................................

2 3 .2

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S ...................................................................................................

466

2 3 .3

E S T R U C T U R A S C O N V I G A S - T A B I Q U E .................................................................................................

467

2 3 .3 .1

C O N C E P T O S G E N E R A L E S .............................................................................................................

467

2 3 .3 .2

C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S ............................................................................................................

469

C A P ÍT U L O 24.

2 4 .2

2 4 .3

888

2 5 .4

500

2 5 .3 .1

C O M P E N S A C IÓ N D E T E N S I O N E S ........................................................................................

500

2 5 .3 .2

C O M P E N S A C IÓ N D E D E F O R M A C I O N E S .......................................................................

502

T I P O S D E P R E T E N S A D O ................................................................................................................................

507

2 5 .4 .1

H O R M I G Ó N P R E T E N S A D O C O N A R M A D U R A S P R E T E S A S ............................

507

2 5 .4 .2

H O R M I G Ó N P R E T E N S A D O C O N A R M A D U R A S P O S T E S A S ............................

JU N T A S D E D IL A T A C IÓ N . JU N T A S D E A S IE N T O . JU N T A S D E H O R M IG O N A D O . JU N T A S D E C O N T R A C C IÓ N

24 .1

494

463 C A P ÍT U L O 25.

C A P ÍT U L O 23.

493

C O N S ID E R A C I O N E S E S P E C I A L E S P A R A J U N T A S D E T R A B A J O Y

2 5 .4 .2 .1

511

A S P E C T O S G E N E R A L E S ...........................................................................................

511

473

2 5 .4 .2 .2

V A R IA N T E S D E L S I S T E M A ....................................................................................

512

J U N T A S D E D IL A T A C I Ó N ...................................

473

2 5 .4 .2 .3

F O R M A S T Í P I C A S ..........................................................................................................

513

2 4 .1 .1

C O N C E P T O S G E N E R A L E S ..............................................................................................................

473

2 5 .5

C O M B I N A C I Ó N D E D I F E R E N T E S T I P O S D E P R E T E N S A D O ...............................................

515

2 4 .1 .2

C Á L C U L O D E L A J U N T A . M É T O D O E M P Í R I C O ..............................................................

475

2 5 .6

F Ó R M U L A S B Á S I C A S D E U N A S E C C I Ó N P R E T E N S A D A .......................................................

516

2 4 .1 .3

C Á L C U L O D E L A JU N T A . M É T O D O A N A L ÍT IC O

477

2 5 .7

F O R M A S D E C O N S I D E R A C I Ó N D E L P R E T E N S A D O ..............................................................

518

2 4 .1 .4

T I P O S D E J U N T A S ...................................................

2 4 .1 .5

C O N S ID E R A C IO N E S A D I C I O N A L E S .......................................................................................

479

J U N T A S D E A S I E N T O ............................................................................................................................................

481

2 4 .2 .1

C O N C E P T O S G E N E R A L E S .....................................................................................

481

26.1

2 4 .2 .2

P O S IC IÓ N D E L A S J U N T A S ............................................................................................................

481

2 6 .2

............................................

J U N T A S D E H O R M I G O N A D O .....................................................................................................................

477 C A P ÍT U L O 26.

M A T E R IA L E S Y E Q U IP O S P A R A H O R M IG Ó N P R E T E N S A D O C O N A R M A D U R A S P O S T E S A S .....................................................................................................

521

G E N E R A L I D A D E S ................................................................................................................................................

521

M A T E R IA L E S Y E Q U I P O S ..............................................................................................................................

522

481

2 6 .2 .1

V A I N A S ....................................................................................................................................................

522

2 4 .3 .1

C O N C E P T O S G E N E R A L E S .......................................

481

2 6 .2 .2

T E N D O N E S ............................................................................................................................................

523

2 4 .3 .2

A S P E C T O S E S E N C I A L E S D E L A C O N T R A C C IÓ N T É R M I C A ......................

482

2 6 .2 .3

G A T O S .......................................................................................................................................................

524

889

2 6 .2 .4

2 6 .2 .5

www.libreriaingeniero.com 526

A N C L A J E S .......................................................................................................................................................... 2 6 .2 .4 .1

A N C L A J E S A C T I V O S ..........................................................................................................

526

2 6 .2 .4 .2

A N C L A J E S C I E G O S O P A S I V O S ................................................................................

531

A C O P L A D O R E S O E M P A L M E S .......................................................................................................

532

2 6 .3

C O N T R O L D E T E S A D O ..............................................................................................................................................

532

2 6 .4

C O N T R O L D E L A I N Y E C C I Ó N .............................................................................................................................

533

2 9 .4 .2 .2

2 9 .5 C A P ÍT U L O 27.

2 9 .4 .2 .1

P É R D I D A A P 10 D E F U E R Z A D E P R E T E N S A D O D E B I D A A L A C O R T A M I E N T O E L Á S T I C O ......................................................................................

615

P É R D I D A S D I F E R I D A S .....................................................................................................

616

2 9 .4 .3

M É T O D O S IM P L IF IC A D O P A R A E L C Á L C U L O D E L A S P É R D ID A S D E F U E R Z A D E P R E T E N S A D O ................................................................................................................

6 l6

2 9 .4 .4

M É T O D O P A R A T A N T E O S ....................................................................................................................

619

F U E R Z A F IN A L D E P R E T E N S A D O

..............................................................................................................

539

C A P ÍT U L O 30.

2 7 .1

G E N E R A L I D A D E S ............................................................................................................................................................

ARM ADURAS PRETESA S

539

3 0 .1

IN T R O D U C C IÓ N

2 7 .2

P R E F A B R I C A C I Ó N G E N E R A L D E P I E Z A S P R E T E N S A D A S E N M E S A S ........................

539

3 0 .2

G E N E R A L I D A D E S ............................................................................................................¿ ' ' Á . T

2 7 .3

E M P L E O D E M Á Q U I N A S D E E N C O F R A D O D E S L I Z A N T E ....................................

549

3 0 .3

L A E T A P A D E C O N C E P C IÓ N D E L A E S T R U C T U R A

2 7 .4

P I E Z A S F A B R I C A D A S P O R E X T R U S I Ó N ...................................................................................................

550

3 0 .4

A S P E C T O S G E N E R A L E S R E L A C I O N A D O S C O N E L P R O Y l g C T O ........r U . '

C A P ÍT U L O 28.

P R O P IE D A D E S G E N E R A L E S D E L H O R M IG Ó N . D E F O R M A C IO N E S F L U E N C IA . R E T R A C C IÓ N . T E M P E R A T U R A

2 8 .1 2 8 .2

620

M A T E R IA L E S Y E Q U IP O S P A R A H O R M IG Ó N P R E T E N S A D O C O N C O N S ID E R A C IÓ N D E L A D U R A B IL ID A D E N E L P R O Y E C T O ^^

637 637

_

638

, ^ ......................... - ; ; . . . , ' Á 6 4 4

3 0 .4 .1

E M P L E O D E U N H O R M IG Ó N A D E C U A D O

3 0 .4 .2

R E C U B R IM IE N T O S Y S E P A R A C IÓ N D E A R M A D U R A S

:;2

647

Á jj

647

....................... 6 4 8

551

3 0 .4 .2 .1

R E C U B R I M I E N T O S .....................................................................

G E N E R A L I D A D E S ...........................................................................................................................................................

551

3 0 .4 .2 .2

S E P A R A C I Ó N D E A R M A D U R A S .............................................................................

R E S I S T E N C I A S Y M Ó D U L O D E D E F O R M A C I Ó N D E L H O R M I G Ó N .................................

^

551

3 0 .4 .3

SEPARA D ORES

2 8 .2 .1

R E S I S T E N C I A A C O M P R E S I Ó N .....................................................................................................

551

3 0 .4 .4

C O N T R O L D E L A N C H O D E F I S U R A ..............................................................................................

2 8 .2 .2

R E S I S T E N C I A A T R A C C I Ó N ..............................................................................................................

552

3 0 .5

~

■

^

A S P E C T O S E S P E C Í F I C O S R E L A C I O N A D O S C O N E L H O R M I G Ó N ........................................'

648 650 6 52 653 653

2 8 .2 .3

M Ó D U L O D E D E F O R M A C I Ó N .......................................................................................................

554

3 0 .5 .1

C A L I D A D D E L H O R M I G Ó N ..................................................................................................................

2 8 .2 .4

D E S A R R O L L O D E L A R E S I S T E N C I A A C O M P R E S I Ó N C O N E L T I E M P O ,.

555

3 0 .5 .2

P U E S T A E N O B R A D E L H O R M I G Ó N ..............................................................................................

656

2 8 .2 .5

D E S A R R O L L O D E L M Ó D U L O D E D E F O R M A C IÓ N C O N E L T IE M P O

556

3 0 .6

C O R R O S I Ó N D E A R M A D U R A S ..............................................................................................................................

657

3 0 .7

6 53

2 8 .3

D E F O R M A C I O N E S D E L H O R M I G Ó N .............................................................................................................

557

2 8 .4

F L U E N C I A , R E T R A C C I Ó N Y T E M P E R A T U R A ........................................................................................

557

A T A Q U E S ......................................................................................................................................................................................

658 658

2 8 .4 .1

F L U E N C I A .........................................................................................................................................................

558

3 0 .7 .1

2 8 .4 .2

R E T R A C C I Ó N .................................................................................................................................................

561

3 0 .7 .2

P R O T E C C I Ó N S U P E R F I C I A L D E L A S A R M A D U R A S ......................................

3 0 .7 .3

P R O T E C C I Ó N D E L O S A N C L A J E S ..................................................................................................

660

A L G U N A S C O N S I D E R A C I O N E S F I N A L E S S O B R E L A D U R A B I L I D A D ..............................

660

C A P ÍT U L O 29.

P É R D ID A S

D E L A F U E R Z A D E P R E T E N S A D O . F U E R Z A F IN A L D E

3 0 .8

P R E T E N S A D O ..........................................................................................................................................

565

2 9 .1

I N T R O D U C C I Ó N ...............................................................................................................................................................

565

2 9 .2

T E N S I Ó N I N I C I A L D E P R E T E N S A D O ...........................................................................................................

565

2 9 .3

2 9 .4

P R O T E C C I Ó N S U P E R F I C I A L D E L E L E M E N T O D E L H O R M I G Ó N ......................

C A P ÍT U L O 31.

659

C O M P R O B A C IO N E S T E N S IO N A L E S D E L A P IE Z A P R E T E N S A D A E N E S T A D O D E S E R V IC IO . P R E D IM E N S IO N A M IE N T O D E

P É R D ID A S D E L A F U E R Z A D E P R E T E N S A D O C U A N D O S E E M P L E A N

P IE Z A S P R E T E N S A D A S

665

A R M A D U R A S P O S T E S A S ............................................................................................................................................

566

3 1 .1

I N T R O D U C C I Ó N ..................................................................................................................................................................

6 65

2 9 .3 .1

P É R D I D A S I N S T A N T Á N E A S D E F U E R Z A ............................................................................

567

3 1 .2

P I E Z A S P R E T E N S A D A S C O N A R M A D U R A S P O S T E S A S ................................................................

665

2 9 .3 .2

R E C O R R I D O D E T E S A D O E N A R M A D U R A S P O S T E S A S ........................................

582

2 9 .3 .3

P É R D I D A S D I F E R I D A S D E F U E R Z A ..........................................................................................

583

3 1 .2 .1

P É R D ID A S D E L A F U E R Z A D E P R E T E N S A D O C U A N D O S E E M P L E A N A R M A D U R A S P R E T E S A S ............................................................................................................................................ 2 9 .4 .1

3 1 .2 .2 597

2 9 .4 .1 .1

2 9 .4 .1 .2

599

P É R D ID A S D E F U E R Z A D E P R E T E N S A D O H A S T A L A T R A N S F E R E N C I A ...................................................................................................................

599

C O N S ID E R A C IO N E S S O B R E L A S P É R D ID A S P O R R E L A JA C IÓ N

3 1 .3

H A S T A L A T R A N S F E R E N C IA C U A N D O S E U S A S IS T E M A D E C A L E F A C C I Ó N ......................................................................................................................... 2 9 . 4 . 1.3

2 9 . 4 .2

3 1 .2 .3

M É T O D O G E N E R A L . P É R D ID A S D E L A F U E R Z A D E P R E T E N S A D O C U A N D O S E A P L I C A C A L E F A C C I Ó N ........................................................................................

890

S IS T E M A S D E P R O T E C C IÓ N C O N T R A L A C O R R O S IÓ N Y O T R O S

D E L T E S A D O .......................................................................................................................................................

6 66

T E N S I O N E S M Á X I M A S A D M I S I B L E S E N E S T A D O D E S E R V I C I O ....................

669

S IG N IF IC A D O G E O M É T R IC O D E L C O N JU N T O D E C O N D IC IO N E S T E N S I O N A L E S ...................................................................................................................................................

6 73

3 1 .2 .4

P R E D I M E N S I O N A M I E N T O D E L A S E C C I Ó N .......................................................................

675

3 1 .2 .5

T R A Z A D O D E T E N D O N E S ...................................................................................................................

678

3 1 .2 .6

F Ó R M U L A S P A R A L A D E F I N I C I Ó N D E L O S T E N D O N E S .........................................

680

P IE Z A S

P R E T E N S A D A S C O N A R M A D U R A S P R E T E S A S ...............................................................

682

3 1 .3 .1 613

P É R D ID A S D E F U E R Z A D E P R E T E N S A D O P O S T E R IO R E S

T E N S IO N E S M Á X IM A S A D M IS IB L E S E N E L IN S T A N T E

T E N S IO N E S M Á X IM A S A D M IS IB L E S E N E L IN S T A N T E D E L A T R A N S F E R E N C I A ...........................................................................................................................................

683

3 1 .3 .2

T E N S IO N E S M Á X IM A S A D M IS IB L E S E N E L E S T A D O D E S E R V IC IO

685

A L A T R A N S F E R E N C I A ....................................................................................................

614

3 1 .3 .3

S I G N I F I C A D O G E O M É T R I C O .............................................................................................................

687

P É R D I D A S C U A N D O N O S E A P L I C A C A L E F A C C I Ó N ...............................................

615

3 1 .3 .4

C A S O D E V I G A S P R E T E N S A D A S D E C A N T O V A R I A B L E .......................................

688

891

C A P ÍT U L O 32.

M É T O D O D E L O S E ST A D O S L ÍM IT E Y O T R O S M É T O D O S D E

3 2 .1 2

U T I L I Z A C I Ó N D E N O R M A S D I F E R E N T E S A L A E H E ...............................................

C Á L C U L O . C A R A C T E R ÍS T IC A S D E L H O R M IG Ó N .

3 2 .1 3

C O N C E P T O D E S E G U R I D A D G L O B A L D E T E R M I N I S T A ........................................

769

C A R A C T E R ÍS T IC A S D E L A S A R M A D U R A S . IN T R O D U C C IÓ N D E

3 2 .1 4

C O N C E P T O D E S E G U R I D A D A S O B R E C A R G A S ..........................................................

771

L A S E G U R ID A D E N E L C Á L C U L O 3 2 .1

3 2 .2

3 2 .3

3 2 .4

3 2 .5

705

CO N CEPTO S G EN ERA LES SO BRE LO S M ÉTO D O S D E C Á LCU LO DE

C A P ÍT U L O

R E G IO N E S D E D IS C O N T IN U ID A D . B IE L A S

Y

T IR A N T E S

775

705

I N T R O D U C C IÓ N D E L A S E G U R I D A D ......................................................................................................

707

E L C O N C E P T O D E S E G U R I D A D ...............................................................................................

707

3 3 .2

3 2 .2 .2

D E T E R M I N I S M O Y P R O B A B I L I S M O .....................................................................................

708

3 3 .3

3 2 .2 .3

M É T O D O S E L Á S T IC O S Y M É T O D O S P L Á S T I C O S ......................................................

708

3 3 .4

M É T O D O D E L O S E S T A D O S L Í M I T E (I N S T R U C C I Ó N E H E ) ....................................................

709

L A S B I E L A S ................................................................................................................................................................

3 2 .3 .L

B A S E S G E N E R A L E S ............................................................................................................................

709

3 3 .4 .1

T E N S IO N E S D E C O M P R E S IÓ N

3 2 .3 .2

D E F IN IC I Ó N D E L O S E S T A D O S L Í M I T E .............................................................................

710

3 2 .3 .3

E S T A D O S L Í M I T E Ú L T IM O S .........................................................................................................

711

3 3 .4 .2

T E N S I O N E S D E C O M P R E S I Ó N E N E L H O R M I G Ó N E N B IE L A S C O N

3 2 .3 .4

E S T A D O S L Í M I T E D E U T I L I Z A C I Ó N .....................................................................................

711

3 2 .3 .5

N IV E L E S D E C Á L C U L O E N E S T A D O S L Í M I T E ..............................................................

712

A C C I O N E S ....................................................................................................................................................................

712

3 2 .4 .1

C L A S IF IC A C I Ó N D E L A S A C C I O N E S ....................................................................................

712

3 2 .4 .2

V A L O R E S C A R A C T E R ÍS T IC O S D E L A S A C C I O N E S ...................................................

714

3 2 .4 .3

V I B R A C I O N E S .........................................................................................................................................

717

M A T E R I A L E S ..............................................................................................................................................................

717

3 2 .5 .1

H O R M I G Ó N ...............................................................................................................................................

718

3 2 .5 .2

A R M A D U R A S P A S IV A S ..............................................

3 2 .5 .3

3 2 .5 .4

724

3 2 .5 .2 .1

P R O D U C T O S ......................................................................................................................

724

3 2 .5 .2 .2

V A L O R E S C A R A C T E R Í S T I C O S ............................................................................

729

3 2 .5 .2 .3

C L A S IF IC A C I Ó N D E L O S A C E R O S S E G Ú N S U D U C T I L I D A D . .

730

A R M A D U R A S A C T I V A S ................................................................................................................... G E N E R A L I D A D E S .........................................................................................................

732

3 2 .5 .3 .2

A L A M B R E ............................................................................................................................

732

3 2 .5 .3 .3

T O R Z A L ................................................................................................................................

736

3 2 .5 .3 .4

C O R D Ó N ...............................................................................................................................

736

3 2 .5 .3 .5

B A R R A S .......................................................................................................

739

3 2 .5 .3 .6

T R A T A M IE N T O S ..............................................................................................................

739

3 2 .5 .3 .7

D I A G R A M A T E N S I Ó N - D E F O R M A C I Ó N ........................................................

739

3 2 .5 .3 .8

L O N G IT U D E S D E D E F I N I C I Ó N D E L P R E T E N S A D O ............................

740

3 2 .5 .3 .9

R E L A J A C I Ó N ....................................................................................................................

747

3 2 .5 .3 .1 0 C O E F I C IE N T E S D E E F I C A C I A .............................................................................

750

N U E V O S M A T E R I A L E S .....................................................................................................................

750

N U E V O S H O R M I G O N E S ...........................................................................................

751

3 2 .5 .4 .2

A R M A D U R A S ....................................................................................................................

751

3 2 .6

A P L I C A C I Ó N D E L M É T O D O D E L O S E S T A D O S L Í M I T E .............................................................

752

3 2 .7

C O M B I N A C I Ó N D E A C C I O N E S ....................................................................................................................

757

3 2 .8

E S T A D O D E D E F O R M A C I O N E S E N U N A S E C C IÓ N A R M A D A S O M E T I D A A E S F U E R Z O S N O R M A L E S ....................................................................................................................

3 3 .1

Z O N A S D E C O N T IN U ID A D Y D IS C O N T IN U ID A D E N L A S E S T R U C T U R A S D E H O R M I G Ó N ................................................................................................................................................................

775

M É T O D O S D E C Á L C U L O D E L A S Z O N A S D E D I S C O N T I N U I D A D .................................

777

P L A N T E A M I E N T O D E L M É T O D O D E L A S B IE L A S Y T I R A N T E S ....................................

778

C O M P R O B A C IÓ N D E L O S C A M P O S D E T E N S IO N E S E N E L H O R M IG Ó N D E

D E L H O R M IG Ó N

EN

B IE L A S

780

NO

C O N F I N A D A S .................................................................................................

780

A R M A D U R A S C O M P R I M I D A S Y /O A R M A D U R A S D E C O N F I N A M I E N T O ..............................................................................................................................

783

C O M P R O B A C I Ó N D E L O S C A M P O S D E T E N S I O N E S E N L O S T I R A N T E S ................

783

3 3 .6

D I M E N S I O N A M I E N T O D E L O S N U D O S ...............................................................................................

784

3 3 .7

D I M E N S I O N A M I E N T O D E L A S B I E L A S .............................................................................................

786

3 3 .8

C O M P R O B A C I Ó N D E L A N C L A J E D E L O S T I R A N T E S E N L O S N U D O S ......................

788

3 3 .9

E S Q U E M A S B Á S I C O S .......................................................................................................................................

790

G R Á F I C O S Y T A B L A S G T - 1 A G T -8 0 .......................................................................................................................

805

3 3 .5

732

3 2 .5 .3 .1

3 2 .5 .4 .1

3 2 .9

33.

E S T R U C T U R A S D E H O R M I G Ó N ..................................................................................................................

3 2 .2 .1

768

763

E S T A D O D E D E F O R M A C IO N E S E N U N A S E C C IÓ N S O M E T I D A A L A A C C I Ó N D E L P R E T E N S A D O .............................................................................................................................

765

3 2 .1 0 E S T A D O D E D E F O R M A C IO N E S E N U N A S E C C I Ó N P R E T E N S A D A S O M E T I D A A E S F U E R Z O S N O R M A L E S ..................................................................................................................................

766

3 2 .1 1 O T R A S N O R M A S D E C Á L C U L O ...................................................................................................................

766

892

893

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ÍNDICE DE AUTORES1 A G U A D O D E C E A , A ., 3 3 9 , 340 A L B IG E S , M ., 4 4 8 , 4 5 0 , 455 A L E X A N D E R S O N , J-, 5 4 7 , 5 5 0 A L V A R E Z C A B A L , R ., 139, 147, 3 8 1 , 7 7 2 A L L E N , F., 1 2 3 ,3 8 7 ,4 0 0 A P A R IC IO , A ..C ., 309

C A R O L , V.I., 3 3 9 , 3 4 0 C A R R A S C O O R T1Z, S ., 3 40 C A R R U T H E R S , N .B ., 7 7 2 C A S T A N H E T A , M ., 7 0 9 , 7 7 2 C A T H E R , R „ 482, 494 C L A R K E , J.L ., 7 7 3

A R E N A S D E P A B L O , J .J ., 111, 114, 3 0 9 , 3 39

C O L L IN S , M .P , 7 7 8 , 8 00

A R G Ü E L L E S A L V A R E Z , R ., 191, 2 0 6

C O N W A Y , D .J., 1 6 ,2 3

A R G U E L L E S B U S T IL L O , R „ 191, 2 0 6 A R M E R , G .S .T ., 4 1 0 , 4 1 1 , 4 1 9 A R R O Y O , R ., 7 7 2

C O R R E S , H „ 3 3 0 , 3 3 7 ,3 3 9 , 3 40 C R A N E , A .P , 6 6 2 C R A W F O R D , R .L ., 4 1 0 , 4 1 9

A S D U K IE W IC Z , A ., 116, 3 7 0 , 4 0 0

CULVERT, 716

B A K E R , A .L .L ., 3 2 3 , 3 2 6 , 3 2 9 , 3 3 9 , 3 4 0

C U V IL L O , R .L ., 1 1 1 , 114

B A R Q U IN S , J .A ., 4 6 4 B E A L L , C ., 156, 162 B E C K , H ., 4 4 0 , 4 45 B E N IT O , J.R ., 7 7 2 B E R A N E K , W .J., 7 7 2 B E R T E R O , V., 159, 162 B L A N C O , F., 3 0 5 , 3 0 6 B R A N C H , 7 49 B R O O K , K .M ., 4 8 8 , 4 9 4 B R O O K E N , 159, 162 B U S E L L , M .N ., 4 8 2 , 4 9 4 B U L L ,F .B ., 2 2 3 , 2 2 9 , 2 3 2 B U R Ó N , M ., 6 5 5 , 6 62 B U S E L L , M .N ., 4 8 2 , 4 9 4 B U X A D É , C ., 4 5 9 , 4 6 4 C A F F A R E N A , J., 4 8 2 , 4 8 7 , 4 8 9 , 4 9 1 , 4 9 4 C A L A V E R A , J., 13, 14, 2 3 , 9 1 , 111, 114, 125, 140, 144, 147, 155, 162, 2 1 2 , 3 0 1 , 3 0 3 , 305, 322, 337, 339, 340, 362, 397, 401, 4 82, 488, 4 9 3 , 505, 564, 638, 655, 662, 729, 773, 769

1

C H A U S S IN , R -, 5 9 5 , 6 3 6 C H E C C H I, A ., 158, 160, 162 C H IT T Y , L ., 4 4 0 , 445 D A R W A L L , P-, 123, 3 8 7 , 4 0 0 D A V ID O V IC I, V .E., 4 5 0 , 4 5 1 , 4 55 D E L IB E S , A ., 4 8 8 , 4 9 4 D IA Z L O Z A N O , J., 140, 147 D IV E R , M ., 4 4 8 , 455 D O B L A R E , M ., 4 1 0 , 4 1 9 D O L A N , C H .W ., 773 D U R IE W IC Z , A ., 116, 125 E L IS E S , N .M ., 613 E R D E L Y I, 613 F A V R E , R ., 5 5 3 , 5 6 4 , 6 3 6 F E R N Á N D E Z C A S A D O , C „ 14, 23 , 6 7 , 91, 118, 125 F E R N Á N D E Z C A S A D O , J.L ., 67, 91 F E R N Á N D E Z G O M E Z , J ., 140, 147, 3 3 9 , 3 4 0 F E R N Á N D E Z P R A D A , M .A ., 3 3 9 , 341 F E R R Y B O R G E S , J., 7 0 9 , 7 7 2

L o s n ú m e ro s in d ic a n la s p á g in a s d o n d e e s tá n c ita d o s lo s au to re s c o rre s p o n d ie n te s

895

F I N T E L , M ., 4 6 8 , 4 6 9 , 4 7 1

L O N G , J .E ., 1 7 8 , 1 9 0

R I C E , P .F ., 4 0 1

S U N G U L H O N G , 801

F O G A R A S I , G ., 5 4 8 , 5 5 0

L O S E R , B ., 3 4 4 , 3 6 3

R I D D I N G T O N , J .R ., 1 5 8 , 1 6 2

S V E D , G „ 223, 229, 232

F O U R E ,B ., 4 9 3 ,4 9 5

L L E Y D A D I O N I S , J .L ., 1 8 1 , 1 9 0

R I P O L L , J .B ., 111, 114

T A S S I O S , T ., 1 5 9 , 6 3 7 , 6 6 2

F R E Y S S I N E T , E ., 1 7 3 , 1 8 1 , 3 1 9

M A C L E O D , L .A ., 4 5 9 , 4 6 4

R IT T E R , W „ 7 7 8 , 800

T H O N I E R , H ., 3 3 9 , 341

F U E N T E S , A ., 1 6 2 , 3 3 9 , 3 4 1 , 6 3 6

M A C C H I, G „

R I T Z , P., 8 0 0

T H Ü R L IM A N N , B „ 7 7 8 , 800

F U R L O N G , R .W ., 1 2 8 , 1 4 7

M A C D O N A L D , A .J ., 7 7 2

R O S S M A N , R ., 4 4 0 , 4 4 5

T I C H Y , M ., 3 2 3 , 3 3 9

323, 328, 339

G A R C ÍA D U T A R I, L „ 3 9 7 , 401

M A G N E L , 507

R O T T E R , J .M ., 3 7 6 , 4 0 0

T I M O S H E N K O , S .P ., 4 0 5 , 4 1 8

G A R C Í A M E S E G U E R , A ., 4 1 4 , 4 1 9

M A N D E L B R O T , B .B ., 4 9 1 , 4 9 5

R Ü S C H , H ., 7 7 8 , 8 0 0

T O R R O J A , E .,

128, 147, 7 0 9 , 772

G E R E , J .M ., 3 4 4 , 3 6 3

M A R G A R IT , J .,4 5 9 , 4 6 4

S A D G R O V E , B .M ., 4 8 8 , 4 9 2 , 4 9 4

T R E D O P P , R .,

1 4 0 ,1 4 5 ,1 4 7

U R Q U H A R T , L .C ., 2 1 7 , 2 1 8

G E R M U N D SS O N , T„ 217, 218

M A R I , A ., 3 3 9 , 3 4 0

S Á E Z B E N I T O , J .M ., 1 9 1 , 2 0 6 , 4 5 4 , 4 5 5

G E R W I C K , B .C ., 5 3 6 , 5 3 7 , 5 6 6 , 6 3 6

M A R T I , P., 7 7 8 , 8 0 0

S A M A R A S I N G H E , W ., 162

V Á Z Q U E Z , M ., 1 9 1 ,2 0 6

G Ó M E Z H E R M O S O , J ., 3 0 5 , 3 0 6 , 7 2 3 , 7 7 3

M A S S O N N E T , C H „ 328, 340

S Á N C H E Z G Á L V E Z , V ., 6 1 3

V E R D E , A ., 3 0 5 , 3 0 6

G O N Z Á L E Z E S T E B A N , J .L ., 1 7 8 , 190

M A T T H E IS , L „ 4 7 4 , 4 9 4

S A N T O S M E S A , J ., 1 4 0 , 1 47

V 1 J A Y A R A N G A N , B ., 3 7 6 , 4 0 0

G O N Z Á L E Z VALLE, E „ 381, 488, 494

M A T T O C K , A .H ., 3 4 0

S A N T O S O L A L L A , F ., 1 4 0 , 147

V IL L A M O N T E V A R E L A , L „ 181, 190

G O N Z Á L E Z V I D O S A , F ., 3 3 9 , 3 4 0

M E D W A D O W S K Y , S ., 4 2 7 , 4 5 5

SA V E, N „ 340

V IL L E G A S , L „ 6 5 8 , 663

G O U L E T , J„ 4 4 8 ,4 5 1 ,4 5 5

M E E K , J .L ., 1 9 1 , 2 0 6

S B A R O U N I S , J .A ., 4 5 7 , 4 5 9 , 4 6 4

V I N T Z E L E O U , E „ 159

G U M B A , 1 8 1 , 19 0

M E S N A G E R , 173

S C A N L O N , A ., 3 9 6 , 3 9 8 , 401

V L A S O V , B .Z ., 4 5 4 , 4 5 5

G U T I É R R E Z J I M É N E Z , J.P ., 4 2 7 , 4 5 5

M I T C H E L L , D ., 7 7 8 , 8 0 0

S C H Á F E R , K ., 7 7 8 , 801

W A T E R S .T ., 3 9 6 , 4 9 1 , 4 9 4

H A L L , A .S ., 3 7 6 , 4 0 0

M Ó N K S , W .I., 4 8 8 , 4 9 2 , 4 9 4

S C H L A I C H , J ., 7 7 8 , 8 0 0

W E I S C H E D E , D ., 8 0 0

H A R T , G .C ., 7 1 5 , 7 7 2

M O N N 1 N G , E „ 181, 190

S E R E D A , P .J., 4 7 4 , 4 8 0 , 4 9 4

W E S T E R G A A R D , H .M ., 3 6 5 , 4 0 0

H E N D R Y , A .W ., 162

M O R A G U E S , J .J ., 3 0 5 , 3 0 6 , 7 2 3 , 7 7 2

S L A T E R , W .A ., 3 6 5 , 4 0 0

W I L S O N , A ., 2 2 6 , 2 3 2

H E R R E R O B E N I T E Z , J .E ., 1 8 1 , 190

M O R Á N , F ., 3 4 0 , 4 1 5 , 4 1 9

S M I T H , A ., 2 2 3 , 2 3 2

W IN T E R , G „ 217, 218

H I L L E R B O R G , A ., 4 0 4 , 4 1 0 , 4 1 1 , 4 1 5 , 4 1 8

M Ó R S C H , E „ 7 7 8 , 800

S M I T H , B .S ., 2 1 8

W I P P E L , I .H ., 4 0 9 , 4 1 8

H O F F M A N , E .S ., 4 0 1

M O SLE Y , H „ 707, 772

S O S A , P .M ., 3 3 9 , 3 4 1

W O I N O W S K Y - K R I E G E R , S ., 4 0 5 , 4 1 8

H O L M B E R G , A ., 7 4 5 , 7 7 3

M O Y , S .S J „ 3 4 0

S T A F F O R D , S .B ., 1 5 8 , 1 6 2

W O O D , R .H ., 4 1 0 , 4 1 1 , 4 1 8 , 4 1 9

H O U G H T O N , G .L ., 7 7 2

M U E L L E R , P ., 7 7 8 , 8 0 0

S T A R O S O L S K I , W „ 1 16, 1 2 5 , 3 7 0 , 4 0 0

Y O U N G , D .H ., 135

I G L E S I A , J ., 1 1 4

M U L C A H Y , J .F ., 3 7 6 , 4 0 0

S T IG L A T , K ., 4 0 9 , 4 1 8

Z I M M E R L I , B ., 8 0 0

I Z Q U I E R D O , J .M ., 4 8 8 , 4 9 4

M U R C I A , J ., 3 3 9 , 3 4 1

JA E G E R M A N , C H „ 546, 550

M U R R A Y , D .W ., 3 9 6 , 3 9 8 , 4 0 1

J E N N E W E I N , M „ 7 7 8 , 801

N I C H O L S , J .R ., 3 6 5 , 4 0 0

J I M É N E Z M O N T O Y A , P., 4 1 5 , 4 1 9

N I L S O N , A .H ., 2 1 7 , 2 1 8 , 3 9 6

J O H A N S E N , K .W ., 4 0 4 , 4 1 0 , 4 1 1 , 4 1 8

O ’R O U R Q U E , C .E ., 2 1 7 , 2 1 8

K A L M A N O K , S .A ., 4 0 8 , 4 1 8

O L A T E R , W ., 3 6 5

K A R P A T I , K .K ., 4 7 4 , 4 8 0 , 4 9 4

O Ñ A T E , E ., 2 1 2

K H A N , F .R ., 4 2 7 , 4 5 7 , 4 5 9 , 4 6 4

O R T E G A V A L E N C I A , H ., 3 3 7 , 3 4 0 , 7 3 2 , 7 7 3

K O P R N A , M „ 564, 636

P Á E Z , A ., 7 0 9 , 7 7 2

K O S IO R E K , 613

P A G E , A .W ., 1 6 2

K O T S O V O S , M .D ., 3 4 0

P A R D U C C I , A .,

K U P P E R , H ., 7 7 8 , 80 0

P A R M E , A .L ., 1 2 3 , 3 8 7

158, 160, 162

L A C R O I X , R ., 5 9 5 , 6 3 6

P A U L O V I C , M .N ., 3 4 0

L A H U E R T A , J., 3 5 6 , 3 6 3

P E R C H A T , J ., 5 9 5 , 6 3 6

L E N C Z N E R , D ., 4 7 4 , 4 9 4

P R A L O N G , J ., 8 0 0

L E Ó N , J ., 3 3 0 , 3 3 7 , 3 3 9 , 3 4 0

P U G S L E Y , A ., 7 0 7 , 7 7 2

L E O N H A R D T , F „ 1 8 1 , 1 9 0 , 7 7 8 , 80 0

P U N D A K , B ., 5 4 6 , 5 5 0

L E O N T O V I C H , V ., 2 4 6 , 3 0 5

R A D O J I C I , A ., 5 5 3 , 5 6 4 , 6 3 6

L E Y U R Z Á I Z , J ., 140, 147

R A K O S N IK , J „ 3 2 3 ,3 3 9

L I N , T .Y ., 4 2 7 , 4 5 5

R A V IN A , 5 4 6 , 5 5 0

L 1 N D G R E M , S ., 7 4 5 , 7 7 3

R E C U E R O , A ., 4 2 7 , 4 5 5

L I V E S L E Y , R .K ., 1 9 1 ,2 0 6

R E I M A N N , H ., 1 7 0 , 1 9 0

896

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FE DE ER RATAS PROYECTO Y CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN

Capítulo

Página

Línea

DICE

DEBE DECIR

J. C a la v e ra Dr. Ingeniero de Caminos

44

3 44

12

TO

_

fdü.ue

+ C F ‘' ^ J f

tJn

~ J Je,/

y

+ O ,

- Í Jc,l

TOMO I

44

344

-2

R e s is te n c ia g a ra n tiz a d a p a ra la unión s o ld a d a

44

3 44

-2

R e s is te n c ia g a ra n tiz a d a p a ra la u n ió n s o ld a d a

R e s is te n c ia g a ra n tiz a d a p a ra la u nión s o ld a d a

44

34 6

4

L

T

M o m e n to fle c to r M j

M o m e n to fle c to r M f

44

347

4

L

n

L os e s fu e rz o s p a ra el e x tre m o 1 d e la b a rra

La s e x p re s io n e s que re la c io n a n las a c c io n e s

44

359

19

v a lo r de

60

6 52

F ig 6 0 -1 7 cota: a-|

cota: a

60

6 52

F ig 6 0 -1 7 cota: a

cota: a-|

63

697

R e s iste n cia g a ra n tiz a d a p a ra la unión s o ld a d a ( con y s = 1.15)

Capítulo

Página

( con y s = 1.15)

63

63

6 99

7 18

5

17

14

E H E -9 8

El v a lo r de

e x te rio re s a p lic a d a s y las d e fo rm a c io n e s en el e x tre m o 1 de la b arra

4 v _N„.h-ch

4,

Fsx -0,81/?

=

4 , /,4

'7 '

h

4

x 'O

r/^ a

-

4

371

c o m p re s ió n de la fle x ib ilid a d

c o m p re n s ió n de la fle x ib ilid a d

3 82

l(yíg g+ yíq ■0 ,5 q) (2 t2ln - y, g ‘l 2 ( f 'ln)2] Mrl=0,08 ------------------------------1

Mrl= -----------------------------_ ---- "-------------

P u e n te de lo s S a n to s de R lb a d e o , (L u g o )

P u e n te de lo s S a n to s de R lb a d e o , (L u g o ).

F ig u ra s , 2 5 -2 7

P ro y e to : M .J U L IÁ ; In g e n ie ro d e C a m in o s .

J

Fsx-G$\h = x - o íl{[ c , - ^

- —j

EHE

0,08 [{y, g+ y, ■0 ,5 q) t2 F ,n - y, g ' f 2 (C J^j

D irector de O bra: IG N A C IO G A R C ÍA AR A N G O ;

0 ,2 5

d > 0 ,2 5 m

In g e n ie ro de C a m in o s . E m p re s a C o n s tru c to ra :

Nd 63

7 45

-3

T

- ^ “ (v + 0 ,2 5 a)

N d (v + 0 ,2 5 a) d

0 ,8 5 d

C U B IE R T A S Y T E J A D O S , S .A .

4 ri-

F ig u ra 2 5 -2 7 P u e n te d e B a rrio s d e L u na , 4 4 0 m . de luz

0 ,8 5 d

F ig u ra 2 5 -2 8

P u e n te de B a rrio s de L un a , 4 4 0 m. d e luz. P ro y e c to : C. F E R N Á N D E Z C A S A D O ,

63

749

-8

1,2

E s to s n ú m e ro s In d ica n pie de p á g in a

64

762

21

u

F

In g e n ie ro s d e C a m in o s

70

858

- 21

u n a ca p a d e 2 0 /5 0

un a ca p a de a re n a de 2 0 /5 0

E m p re s a C o n s tru c to ra : F ILIA R TE Y C IA .

J. M A N T E R O L A y L. F E R N Á N D E Z T R O Y A N O ;

F IG U R A 2 5 -2 8 P u e n te del C e n te n a rio , (S e v illa ) F ig u ra 2 5 -2 9

P u e n te de l C e n te n a rio , (S e v illa ) P ro y e c to : J O S É A. F E R N Á N D E Z O R D Ó Ñ E Z , J U L IO M A R T ÍN E Z C A L Z Ó N , G U IL L E R M O O N T A Ñ Ó N , F R A N C IS C O M IL L A N E S Y M ANUELBURÓ N; Inge niero de C am inos P refabricación: PACADAR E m pre sas C onstructoras: C U BIER TAS Y D R AG A D O S Figura 25-29

.

5 56

ty = T e m p e ra tu ra c o rre g id a

t y = E d a d c o rre g id a p e n e tra c ió n

6 55

p ro fu n d id a d

7 39

re la c ió n

re la ja c ió n

753

la fig u ra 32-11

la s fig u ra s 3 2 -8 y 32-9

Supongamos aislado el dintel A B , por ejemplo, con las mitades de los pilares superiores e inferiores (figura 15-3).

Esta distribución supone que aproxim adam ente los pilares de fachada tienen rigidez m itad de los interiores y que éstos son todos de igual rigidez. D e acuerdo con lo anterior, respeto al sistema de ejes indicado en la figura 15-2, el momento flector en arranque del pilar superior del nudo A vale:

[= »

=í> B

■=D>

f= fr

r= fr

A 4=

Q/2

q

4=


q

<1=

MP1Jfc = ~

Q/2

P

-

2

'

h

1

[15.3]

2

F ig u ra 15-3

Sea

Z u F; * +i

la suma de acciones horizontales desde cubierta hasta el piso

Para el pilar inferior del m ismo nudo: (Q es positiva hacia la derecha. El valor del momento corresponde al mom ento flector, no al de empotramiento).

■

inm ediato superior al considerado y considerado1. k

Fj

la suma desde cubierta hasta el piso

El valor Z a F¡ se repartirá entre toda la serie de articulaciones de pilares MN. k + i

J F

En lo que sigue, se supone que dicha distribución se realiza según los valores— y p de la figura 15-3 2 , siendo:

2

k +1 m - 1

[15.lj

donde m - 1 es el número de vanos del dintel. (Acciones de la estructura superior sobre los tramos de semiluz de los pilares superiores interiores).

F- se reparte entre todas las articulaciones de la serie

S T de la figura 15-2, según los v a lo re s-^ - y

El cálculo de los esfuerzos axiles es inmediato a partir de los esfuerzos cortantes en cada vano.

Q

de la figura 15-3, siendo:

=

d

V f =

f

F, [15.2]

m - 1

T a n to en e s te m é to d o c o m o e n e l s ig u ie n te , d e d u c im o s la s f ó r m u la s g e n e ra le s . P a r a e l tra b ajo p r á c tic o , e s m e jo r c a lc u la r d ir e c ta m e n te lo s v a lo re s n u m é r ic o s c o r r e c to s . S e s u p o n e p o r lo ta n to q u e to d o s lo s p ila re s in te r io r e s a b s o rb e n e l m is m o c o r ta n te y q u e io s de f a c h a d a a b s o r b e n la m ita d . E s ta h ip ó te s is s e b a s a p o r ta n to e n a c e p ta r q u e lo s p ila r e s d e fach a d a tie n e n rig id e z m ita d d e la d e lo s in te rio r e s . E x is te n v a ria n te s d e l m é to d o .U n a m u y c o n o c id a es s u p o n e r q u e lo s c o r ta n te s s e re p a r te n entre los p ila re s e n p r o p o rc ió n a la s lu c e s tr ib u ta ria s d e c o r ta n te is o s tá tic o c o r r e s p o n d ie n te s a c a d a pilar, E sto tie n e e l in c o n v e n ie n te d e q u e lo s e s fu e r z o s a x ile s r e s u lta n n u lo s e n to d o s lo s p ila r e s in te rio re s .

224

---- í -

—

[15.6]

L

y teniendo en cuenta que M^d viene dada por [15.5] y M ^es igual y de signo contrario, se obtiene para todos los vanos

. y

=

y'

S

2

[1 5 .5 ]

Mfd - Mff

n

1

[ 1 5 -4 ]

2

Para los nudos interiores, los momentos de em potramiento en pilares son dobles de los proporcionados por las fórm ulas [15.3] y [15.4] y para las restantes extremidades de vigas, al estar el punto de momento nulo en el centro de la luz, el valor [15.5] se propaga a lo largo del dintel siendo el mismo para todos los em potramientos de vigas hasta la fachada opuesta.

- V

Q

2

Para el extremo dorsal de la viga del prim er vano, el momento de empotramiento ha de equilibrar el nudo, luego -Mv¡k ~-{-M p}J. + M p}¡í}) ya que en los extremos dorsales los momentos flectores son de igual valor pero de signo contrario a los de empotramiento. El mom ento flector vale por tanto

k

X

"

M\,k = ~ ( p - Q) P= -

A nálogam ente el valor

Oh A ÍV i = -

[15.7]

2L

bastando para cada pilar en cada planta sumar los cortantes correspondientes a ese pilar desde esa planta hasta más alta para obtener el esfuerzo axil. S e s u p o n e n to d o s lo s p is o s d e la m is m a a ltu ra . E l c á lc u lo e s ta m b ié n m u y s im p le a u n q u e la s a ltu ra s s e a n d if e r e n te s . L a s f u e r z a s P y Q s o n a c c io n e s d e l r e s to d e la e s tr u c tu r a s o b re la e s tr u c tu r a p a r c ia l in d ic a d a e n la f ig u r a 1 5 -3 . L o s s e n tid o s d e a v a n c e s e c o n s id e r a n c o in c id e n te s c o n la s d ir e c c io n e s p o s itiv a s d e lo s eje s . R e c u é r d e s e q u e P y Q se c o n s id e r a n p o s itiv a s e n e l s e n tid o p o s itiv o d e l e je O X .

225