Tema 3. Integrales Múltiples

Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica Prof. Miguel Walker Ure˜ na

Dpto. Matem´ atica Aplicada MA-1003: C´ alculo 3 Ciclo 2-2015

Tema 3. Integrales M´ultiples [ versi´ on 0.1, compilado el 16/10/2015]

Contenidos 1 Integrales Simples 1.1 Simples Propias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Simples Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Integrales Dobles 2.1 Integrales Dobles en rect´ angulos . . . . . 2.2 Integrales Dobles en Regiones Generales . 2.3 Aplicaciones de las Integrales Dobles . . . ´ 2.3.1 Areas y Volumenes . . . . . . . . . 2.3.2 Interpretaciones F´ısicas . . . . . . 2.4 Cambios de variable en Integrales Dobles 2.5 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . 2.6 Coordenadas El´ıpticas . . . . . . . . . . . 3 Integrales Triples 3.1 Integrales Triples en “cajas” . . . . . . . . 3.2 Integrales Triples en Regiones Generales . 3.3 Aplicaciones de las Integrales Triples . . . 3.3.1 C´ alculo de Vol´ umenes . . . . . . . 3.3.2 Interpretaciones F´ısicas . . . . . . 3.4 Cambios de variable en Integrales Triples 3.5 Coordenadas Cil´ındricas y Esf´ericas . . . 3.5.1 Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . 3.5.2 Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . 3.6 Ejercicios Adicionales . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Referencias

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2 2 4

. . . . . . . .

6 6 11 16 16 18 20 23 27

. . . . . . . . . .

28 28 31 33 33 33 36 39 39 41 45 47

1

2

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

1

Integrales Simples

1.1

Simples Propias

Definici´ on 1.1 (Integral sobre un intervalo). Una aplicaci´on f : IR → IR es integrable en [a, b] ⊆ IR si existe y es finito el l´ımite I = lim ∆xi → 0

n X

f (αi ) ∆xi

( Integral simple de Riemann )

i=1

donde a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b ∆xi = xi − xi−1 xi ≤ αi ≤ xi−1 adem´as ∆xi → 0 ⇐⇒ n → +∞ En tal caso se denota Z I=

b

f (x) dx a

Nota 1.1. El conjunto {x0 , x1 , . . . xn } es llamado partici´on del intervalo [a, b]. Notas 1.2 (Integral Propia). Recordemos que 1. Una integral de la forma Z I=

b

f (x) dx a

es llamada integral propia si a y b son n´ umeros finitos y si la funci´on f (x) est´a definida y es continua o continua a trozos en el intervalo [a, b]. 2. En tal caso la funci´ on f es acotada en [a, b] salvo quiz´as en un n´ umero finito de puntos.  Funci´ on Continua:

 Funci´ on Continua a trozos:

3

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3. Adem´as el valor de I existe y es un n´ umero finito, interpretado geom´etricamente como el ´area entre la curva generada por f y el eje-x, siendo ´area negativa para los valores bajo la l´ınea horizontal y = 0.

4. Si existe F (x) tal que F 0 (x) = f (x) y f (x) continua en [a, b] entonces b

Z

b

Z

I=

f (x) dx = a

b F (x) dx = F (x) = F (b) − F (a) 0

a

a

5. Si I1 , I2 , . . . Im son intervalos tales que m [

[a, b] = I1 ∪ I2 ∪ . . . Im =

In

n=1

entonces Z

b

Z

Z

f (x) dx =

f (x) dx + · · · +

f (x) dx + I1

a

donde

Z

I2

Z

Z

f (x) dx

n=1 In

xn+1

f (x) dx = In

f (x) dx = Im

m Z X

si In = [xn , xn+1 ]

f (x) dx xn

6. La f´ormula anterior se debe usar para calcular I cuando f (x) es continua a trozos en [a, b] de manera tal que tal que f (x) continua dentro de los intervalos I1 , I2 , . . . Im . Teorema 1.1 (Cambio de Variable). Si g : IR → IR es una aplicaci´ on continua e invertible en el intervalo  [a, b] y si f es integrable en el intervalo [g(a), g(b)], entonces f g(x) · g 0 (x) integrable en [a, b] y se cumple Z

b





0

Z

g(b)

f g(x) · g (x) dx = a

f (u) du g(a)

Nota 1.3. Con las condiciones del teorema anterior, si {x0 , x1 , x2 , . . . , xn } es una partici´on de [a, b] y si denotamos ui = g(xi ), entonces {u0 , u1 , u2 , . . . , un } es una partici´on del intervalo [g(a), g(b)].

4

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Tenemos entonces que Z

n X

g(b)

f (u) du = lim

n→+∞

g(a)

= lim

n→+∞

= lim

n→+∞

Z =

b

i=0 n X i=0 n X i=0

f (ui )∆ui   f g(xi ) · ∆g(xi )   ∆g(xi ) · ∆xi f g(xi ) · ∆xi

 f g(x) · g 0 (x) dx 

a

Nota 1.4. Tambi´en se escribe que al hacer x = h(u) =⇒ dx = h0 (u) du, luego Z

b

Z

h−1 (b)

f (x) dx = a

1.2

  f h(u) · h0 (u) du

h−1 (a)

Simples Impropias

Definici´ on 1.2 (Integral Impropia). La integral de una funci´on f (x) es llamada Integral Impropia si el intervalo de integraci´ on es infinito o si f (x) tiene as´ıntotas verticales en el intervalo de integraci´ on o en uno de sus extremos. Hay dos casos principales (a) Si f (x) es continua en [a, +∞[→ IR, entonces Z I=

+∞

f (x) dx

a

es llamada integral impropia de primera especie. En tal caso

Z I = lim

x→+∞ a

x

f (u) du

Adem´as, si F 0 (x) = f (x) +∞ I = F (x) a

= F (+∞) − F (a) = lim F (x) − F (a) x→+∞

(b) Si f (x) es continua en ]a, b ] y lim f (x) = ∞ ( o sea que x = a es as´ıntota vertical)

x→a

5

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu entonces Z

b

f (x) dx

I= a

es llamada integral impropia de segunda especie.

En tal caso b

Z

f (u) du

I = lim

x→a+

x

Adem´as, si F 0 (x) = f (x) b I = F (x) + a

= F (b) − F (a+ ) = F (b) − lim F (x) x→a+

Definici´ on 1.3 (Convergencia). Una integral impropia I es convergente si y solo si I existe y es un n´ umero finito. En caso contrario se dice que I es divergente, y como consecuencia f no es integrable. En caso de convergencia, I puede ser interpretado como el ´area de la regi´on infinita encerrada entre la gr´afica de y = f (x) y el eje-x, similar al ´area en integrales propias.

6

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

2

Integrales Dobles

2.1

Integrales Dobles en rect´ angulos

Definici´ on 2.1 (Integral doble). Un conjunto R ⊆ IR2 es llamado rect´ angulo si tiene la forma R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } Una aplicaci´on f : IR2 → IR es integrable en R si existe y es finito el l´ımite I = lim ∆xi → 0 ∆yj → 0

n X m X

f (αi , βj ) ∆xi ∆yj

i=1 j=1

(Integral doble de Riemann)

donde a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b c = x0 < y1 < y2 < · · · < ym = d ∆xi = xi − xi−1

∧

∆yi = yj − yj−1

xi ≤ αi ≤ xi−1

∧

yj ≤ βj ≤ yj−1

adem´as ( ∆xi → 0 ⇐⇒ n → +∞ ∆yj → 0 ⇐⇒ m → +∞

En tal caso se denota ZZ I=

f (x, y) dA R

donde dA = dxdy es llamada “componente de ´area”. Nota 2.1. En la definici´ on anterior: 1. Si Rij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] entonces el conjunto {Ri,j /i = 1, 2, . . . n ∨ j = 1, 2, . . . m} es llamado partici´ on o malla del rect´angulo R. En tal caso se cumple R=

[ i = 1, . . . , n j = 1, . . . m

Rij

7

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu 2. La funci´on ϕ(x, y) = cij = f (αi , βj ) ⇐⇒ (x, y) ∈ Rij es llamada funci´ on escalonada, pues ϕ(x, y) es constante en cada rect´angulo Ri,j . Si f es integrable en R, cuando ∆xi ≈ 0

∧

∆yj ≈ 0

entonces f (x, y) ≈ ϕ(x, y), adem´ as ZZ ϕ(x, y) dA I≈ R

=

=

n X m ZZ X i=1 j=1 n X m X

ϕ(x, y) dA

Rij

cij · ∆xi ∆yj

i=1 j=1

3. El ´area del rect´ angulo Rij es igual a A(Rij ) = ∆xi · ∆yj , luego el ´area de R es A(R) =

n X m X

ZZ ∆xi ∆yj =

i=1 j=1

dA R

4. Si cij ≥ 0, el volumen del paralelep´ıpedo Ωij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [0, ci,j ] es igual a V (Ωij ) = cij · ∆xi · ∆yj

5. Si ∀(x, y) ∈ R, f (x, y) ≥ 0, entonces el volumen bajo la superficie S : z = f (x, y), (x, y) ∈ R es igual a ZZ V =

f (x, y) dA R

8

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Definici´ on 2.2 (Integral Doble Iterada). La expresi´on Z bZ

d

f (x, y) dydx

I= a

c

es llamada integral iterada de f (x, y) en el rect´angulo [a, b] × [c, d] en el orden dydx, y se calcula haciendo  Z b Z d f (x, y) dy dx I= a

c b

Z =

d

Z g(x) dx

donde g(x) =

f (x, y) dy

a

c

Igualmente la expresi´ on Z

dZ b

J=

f (x, y) dxdy c

a

es llamada integral iterada de f (x, y) en el rect´angulo [a, b] × [c, d] en el orden dxdy, y se calcula haciendo  Z d Z b f (x, y) dx dy I= c

a b

Z =

d

Z h(y) dy

donde h(y) =

f (x, y) dx

a

c

Nota 2.2. En la definici´ on anterior, no necesariamente I = J. Es posible que I 6= J cuando f no es integrable en R. Teorema 2.1 (Fubini). Sea f : IR2 → IR una funci´ on integrable en R = [a, b] × [c, d]. Entonces existen las integrales Z g(x) =

d

b

Z f (x, y) dy

∧

g(x) dx

c

a

luego se cumple que Z bZ

ZZ

d

f (x, y) dA = R

Nota 2.3. Z bZ

d

c

c

f (x, y) dxdy c

a

dZ b

f (x, y) dydx 6= a

dZ b

f (x, y) dydx = a

Z

Z

f (x, y) dxdy =⇒ f no es integrable en R = [a, b] × [c, d] c

a

Teorema 2.2. Si f : IR2 → IR es una funci´ on continua y acotada en R = [a, b] × [c, d], entonces f es integrable en R. Ejercicio 2.1. Calcule I=

ZZ h

x2 y +

R

xi dA y

cuando R = [−2, 3] × [2, 5] Resp. /

I=

5 ln(5) − 5 ln(2) + 245 ≈ 124.79 2

9

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 2.2. Calcule la integral ZZ

x3 cos(x2 y) dA

I= R

h √ i cuando R = 0, 2π × [0, 1] Resp. /

I=

1 1 − √ ≈ 0.14645 2 2 2

Nota 2.4. Considere los rect´ angulos R = [a, b] × [c, d]

∧

Q = [α, β] × [γ, δ]

(x0 , y0 ) es llamado punto interior de R si y solo si (x0 , y0 ) ∈ ]a, b[ × ]c, d[ ⇐⇒ a < x0 < b ∧ c < y0 < d Adem´as, se dice que R y Q NO tienen puntos interiores comunes si y y solo si ]a, b[ ∩ ]α, β[= ∅

∨

]c, d[ ∩ ]γ, δ[= ∅

Teorema 2.3 (Algunas propiedades). Sean f, g : IR2 → IR integrables en R = [a, b] × [c, d], entonces 1. ∀α ∈ IR la funci´ on αf + g es integrable en R y cumple ZZ ZZ ZZ   αf (x) + g(x) dA = α f (x) dA + g(x) dA R

R

R

2. Si f tambi´en es integrable en Q = [α, β] × [γ, δ] y si Q no tiene puntos interiores comunes con R, entonces f integrable en R ∪ Q y cumple ZZ ZZ ZZ f (x) dA = f (x) dA + f (x) dA R∪Q

R

Q

3. Si R = R1 ∪ R2 , siendo R1 y R2 rect´ angulos sin puntos interiores comunes entonces f integrable en R1 y en R2 y se cumple ZZ ZZ ZZ f (x) dA = f (x) dA + f (x) dA R1 ∪R2

R1

R2

4. Si ∀(x, y) ∈ R, f (x, y) ≤ g(x, y), entonces ZZ ZZ f (x, y) dA ≤ g(x, y) dA R

R

5. Si ∀(x, y) ∈ R, f (x, y) ≥ 0, entonces ZZ f (x, y) dA ≥ 0 R

Teorema 2.4 (Separaci´ on de Variables). Si ϕ(x) es integrable en [a, b] y si ψ(x) es integrable en [c, d], entonces la funci´ on f (x, y) = ϕ(x) · ψ(y) es integrable en R = [a, b] × [c, d] y se cumple ZZ Z b Z d ϕ(x) · ψ(y) dA = ϕ(x) dx · ψ(y) dy R

a

c

10

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 2.3. Calcule la integral ZZ

  y sec2 (x) tan y 2 dA

I= R

r  h πi π cuando R = 0, × 0, 6 3 

Resp. /

I=

ln(2) √ ≈ 0.200094 2 3

11

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

2.2

Integrales Dobles en Regiones Generales

Definici´ on 2.3 (Integral doble en Regiones Generales). Sea R ⊆ IR2 una regi´ on que se puede aproximar por la uni´on de rect´ angulos sin puntos internos comunes Rij ⊆ IR2 ,

(i, j) ∈ A ⊆ IN2

es decir que [

R≈

Rij

(i,j)∈A

adem´as si A(Rij ) es el ´ area de Rij , se cumple que [ Rij R = lim A(Rij )→0

(i,j)∈A

En tal caso el ´ area de la regi´ on R corresponde a: X A(R) = lim A(Rij ) ( Ver Aplicaci´ on 2.1 en p´ag. 16 ) A(Rij )→0

(i,j)∈A

Una funci´on f : D ⊆ IR2 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el l´ımite X I = lim f (αi , βj ) · A(Rij ) , (Integral doble de Riemann) A(Rij )→0

(i,j)∈A

donde (αi , βj ) ∈ Rij . En tal caso se denota ZZ I=

f (x, y) dA R

donde dA = dxdy es llamada “componente de ´area”. Teorema 2.5 (Integraci´ on en regiones simples). Sea f (x, y) una funci´ on integrable en una regi´ on R ⊆ IR2 . La regi´ on R es llamada regi´ on simple si: (a) R es una regi´ on de la forma R = {(x, y) ∈ IR2 / a ≤ x ≤ b ∧ ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} En este caso R es llamada regi´ on simple del tipo I, y se cumple que Z bZ

ZZ

ψ(x)

f (x, y) dV = R

f (x, y) dydx a

ϕ(x)

Z b" Z

#

ψ(x)

=

f (x, y) dy a

dx

ϕ(x)

que es llamada integral iterada en el orden dydx.

12

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu (b) R es una regi´ on de la forma R = {(x, y) ∈ IR2 / c ≤ y ≤ d ∧ α(y) ≤ x ≤ β(y)} En este caso R es llamada regi´ on simple del tipo II, y se cumple que ZZ

Z

d Z β(x)

f (x, y) dV = R

f (x, y) dxdy c

Z

α(x) d

"Z

#

β(x)

=

f (x, y) dx c

dy

α(x)

que es llamada integral iterada en el orden dxdy. Teorema 2.6. Considere una regi´ on R ⊆ IR2 que se puede expresar como uni´ on “casi disjunta” de regiones simples R1 , R2 , . . . Rp del tipo I, es decir R=

p [

Ri

, donde ∀i, j ∈ {1, 2, . . . p}, Ri ∩ Rj es ∅ o es un segmento de curva

i=1

Entonces existen regiones Q1 , Q2 , . . . Qq “casi disjunta” del tipo II tales que R=

q [

Qi

i=1

Si f (x, y) es integrable en R, entonces ZZ f (x, y) dV = R

p ZZ X i=1

f (x, y) dA = Ri

q ZZ X i=1

f (x, y) dA

Qi

Ejercicio 2.4. [Basado en parcial 2 de Ma1003,√II-2008] Considere la regi´ on R = {(x, y) ∈ IR2 /1 ≤ x ≤ 2 ∧ x2 ≤ y ≤ 4 − x2 }. Calcule la integral ZZ x I= dA 2 R x +y en los o ´rdenes dydx y dxdy.

Respuesta: √

Z

2 Z 1−x2

I= x2

1

Z

2Z

= 1

1

√

y

y dydx x2 + y Z 3 Z √4−y y y dydx + dydx 2+y x2 + y x 2 1

1 − ln(2) = ≈ 0.1534 2 

13

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 2.5. [Basado en ejercicio Oficial 8.6 de MA1003] Z 2 Z ln(x) p (x − 1) 1 + e2y dydx. Eval´ ue la integral doble I = 1

0

Respuesta: Notando primero que integrar en el orden dydx es muy difcil evaluar (de hecho imposible), tenemos que cambiar el orden de integraci´on resultando: Z

ln(2) Z 2

I=

p (x − 1) 1 + 2e2y dxdy

ey

0

Z ln(2) p p 1 2y = e 1 + e dy + · e2y 1 + e2y dy 2 0 √ √ −1 −1 senh (2) − senh (1) 5− 2 = + 2 ! 6 √ √ √ 1 2+ 5 5− 2 √ = · ln + 2 6 1+ 2 Z

ln(2)

y

 Ejercicio 2.6. [Basado en parcial 2 de MA1003, II-2006] Z 4 Z √8x−x2 f (x, y) dydx. Sea I = 0

x2 −4x

(a) Dibuje la regi´ on de integraci´ on. (b) Exprese I seg´ un el orden dxdy. Respuestas: (a)

(b) Z

0

I= −4

Z

√ 2+ y+4

√ 2− y+4 Z 4Z 4

+

√ 0

4−

f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy 16−y 2



14

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Nota 2.5 (Funciones trigonom´etricas invertibles). Recordemos que (a) La funci´on f (x) = sen(x) es invertible si se define en el intervalo i π πh − , 2 2 Se denota f −1 (x) = arcsen(x), llamada funci´ on arcoseno. i π πh arcsen : ] − 1, 1[→ − , 2 2

(b) La funci´on y = cos(x) es invertible si se define en el intervalo ]0, π[ Se denota f −1 (x) = arccos(x), llamada funci´ on arcocoseno. i π πh arccos : ] − 1, 1[→ − , 2 2

(c) La funci´on y = tan(x) es invertible si se define en el intervalo i π πh − , 2 2 Se denota f −1 (x) = arctan(x), llamada funci´ on arcotangente. i π πh arctan : ] − ∞, +∞[→ − , 2 2

Ejercicio 2.7. Cambie el orden de integraci´ on de la integral Z π Z sen(x) I= f (x, y) dA 0

0

Respuesta:

Z

1 Z π/2

I=

Z

1 Z π−arcsen(y)

f (x, y) dxdy + 0

arcsen(y)

f (x, y) dxdy 0

π/2



15

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 2.8. Considere la regi´ on R encerrada entre las curvas x = 0,

y = cos(2x) − 3,

x = π,

y=x

Plantear la integral ZZ f (x, y) dA

I= R

en los o ´rdenes dydx y dxdy. Respuesta:

Z

π

x

Z

f (x, y) dydx

I= 0

Z

cos(2x)−3 −2 Z π/2

=

f (x, y) dxdy 1 2

−4

arccos(y+3)

Z +

−2 Z π− 12 arccos(y+3)

f (x, y) dxdy

−4 π/2 Z 0Z π

+

π

Z

π

Z

f (x, y) dxdy + −2

0

f (x, y) dxdy 0

y

 Ejercicio 2.9. [Basado en ejercicio Oficial 8.12 de MA1003] Z π Z 4+sen(x) Sea I = f (x, y) dydx. 2 0 3− 122 ·(x− π2 ) π Dibuje la regi´ on de integraci´ on y exprese I seg´ un el orden dxdy. Respuesta:

Z

3Z

I= 0

π − π2 2

q

3−y 3

Z

3Z π

f (x, y) dxdy +

0

0

Z

π + π2 2

q

3−y 3

f (x, y) dxdy

4Z π

+

Z

5 Z π−arcsen(y−4)

f (x, y) dxdy + 3

0

f (x, y) dxdy 4

arcsen(y−4)



16

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

2.3 2.3.1

Aplicaciones de las Integrales Dobles ´ Areas y Volumenes

Aplicaci´ on 2.1 (C´ alculo de ´ area). El ´ area de una regi´ on R ⊆ IR2 corresponde a la integral ZZ A(R) =

dA

( Ver Definici´ on 2.3 en p´ ag. 11 )

R

Ejercicio 2.10. Calcule el ´ area encerrada por la elipse x2 y2 + =1 3 16 √

Z

Resp. /

3

Z

q 2 4 1− x3

A=4· 0

√ dydx = 4 3 · π ≈ 21.766

0

Ejercicio 2.11. Calcule el ´ area encerrada entre las curvas x = 0,

x = π,

y = cos(2x) − 3,

y=x

( Ver Ejercicio 2.8 ) Z

Resp. /

π

Z

x

A=

dydx = 3π + 0

cos(2x)−3

π2 ≈ 14.35958 2

Aplicaci´ on 2.2 (C´ alculo de volumen). Si z = f (x, y) ≥ 0 cuando (x, y) ∈ R ⊆ IR2 y si f integrable en R, entonces el volumen bajo la superficie S : z = f (x, y), (x, y) ∈ R o volumen encerrado entre el plano z = 0 y la superficie S para (x, y) ∈ IR, corresponde a la integral ZZ V =

f (x, y) dA R

Ejercicio 2.12. Calcule el volumen del tetraedro cuyos v´ertices son A = (0, 0, 0),

B = (2, 0, 0),

C = (0, 2, 0)

D = (0, 0, 5)

Respuesta:

Z

2 Z −x+2

V = 0

0

22 10 − 2x − 2y dydx = ≈ 7.333 2 3



17

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

Teorema 2.7. Dadas dos superficies generadas por las ecuaciones z = f (x, y) y z = g(x, y), el volumen entre las superficies cuando (x, y) ∈ R, corresponde a ZZ

f (x, y) − g(x, y) dA

V = R

Ejercicio 2.13. Calcule el volumen de la regi´ on limitada por las superficies z = x2 + y 2

y = x2 ∧ y = 1 ∧ z = 0 Z 1Z 1
88 Respuesta: El volumen correspondiente es V = . x2 + y 2 dydx = 105 −1 x2 ∧



Ejercicio 2.14. Plantear la integral doble que calcula el volumen encerrado entre las superficies engendradas por las ecuaciones p z = 36 − x2 − 4y 2 ∧ z = 25 − x2 − y 2 cuando (x, y) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 4. [ Ver Ejercicio 2.22 ] Respuesta: Z

2Z

V =4· 0

√

4−x2

h

36 − x2 − 4y 2 −

i p 25 − x2 − y 2 dydx

0



18

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu 2.3.2

Interpretaciones F´ısicas

Aplicaci´ on 2.3 (Interpretaciones F´ısicas). Si R ⊂ IR2 modela un “cuerpo plano” y si z = f (x, y) corresponde a la densidad del cuerpo ( masa por unidad de ´ area en (x, y) ) entonces se tiene que 1. La masa total de R es igual a ZZ f (x, y) dA

m= R

2. La masa promedio de R es igual a m=

donde

1 A(R)

ZZ f (x, y) dA R

ZZ f (x, y) dA = ´ area del cuerpo

A(R) = R

3. Los momentos est´ aticos de R son (a) Respecto al eje-x es igual a ZZ |y| · f (x, y) dA

mx = R

(b) Respecto al eje-y es igual a ZZ |x| · f (x, y) dA

my = R

(c) Respecto a una recta ` cualquiera, es igual a ZZ

  d (x, y), ` · f (x, y) dA

m` = R

  donde d (x, y), ` es la distancia de (x, y) a la recta ` 4. El centro de masa o centro de gravedad de R es Cm = (x, y) donde 1 x= m siendo m =

RR

Rf

ZZ x · f (x, y) dA

∧

R

1 y= m

ZZ

la masa total.

5. Los momentos de inercia de R son (a) Respecto al eje-x es igual a ZZ Ix = R

y 2 · f (x, y) dA

y · f (x, y) dA R

19

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu (b) Respecto al eje-y es igual a ZZ

x2 · f (x, y) dA

Iy = R

(c) Respecto a una recta ` cualquiera, es igual a ZZ   d2 (x, y), ` · f (x, y) dA I` = R

  donde d (x, y), ` es la distancia de (x, y) a la recta ` (d) Respecto al origen de coordenadas O = (0, 0) es igual a ZZ (x2 + y 2 ) · f (x, y) dA (InerciaP olar) Io = R

Ejercicio 2.15. Calcule masa total, masa promedio, momentos est´ aticos, centro de masa y momentos de inercia de R = [0, 1] × [0, 2], cuando la densidad de R es z = xy 2 . Respuestas: Z

2Z 1

masa total = m = 0

4 3

xy 2 dydx =

0

4/3 2 m = = masa promedio = m = A 2 3 Z 2Z 1 momentos est´ aticos mx = xy 3 dydx = 2 0 0  2 3 , centro de masa = 3 2 Z 2Z 1 2 momentos de inercia mx = xy 4 dydx = 3 0 0

Z

2Z 1

∧ my = 0

0

Z ∧

x2 y 2 dydx =

2Z 1

my = 0

8 9

x3 y 2 dydx =

0

16 5 

Ejercicio 2.16. [Basado en [1] Poltronieri] Determine los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados ( Ix e Iy ) de una l´ amina delgada modelada por la regi´ on: ( 0≤x≤2 √ R: 0 ≤ y ≤ 2x si la densidad en cada punto es f (x, y) = |x − y|. Respuesta: Los momentos de inercia son Z 2 Z √2x Ix = y 2 · |x − y| dydx 0

Z

0 2Z x

2

√

2Z

Z

2x

y · (x − y) dydx +

= 0

Z

0 2Z

√

0

Z

x

2x

x2 · |x − y| dydx

Iy = 0

0 2Z x

2

Z

2Z

x · (x − y) dydx +

= 0

0

√ 26 16 2 y · (y − x) dydx = − 15 21 2

0

x

√

2x

√ 42 32 2 x · (y − x) dydx = − 5 9 2



20

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

2.4

Cambios de variable en Integrales Dobles

Teorema 2.8. Sea f (x, y) una funci´ on integrable en R ⊆ IR2 y sea g : R0 → R una funci´ on vectorial biyectiva tal que   ϕ(x, y) g(x, y) = ψ(x, y) Se define el Jacobiano de g como el determinante de la matriz jacobiana de g, es decir ϕ (x, y) ϕy (x, y) J(x, y) = |Jg (x, y)| = x ψx (x, y) ψy (x, y) = ϕx (x, y) · ψy (x, y) − ψx (x, y) · ϕy (x, y) tambi´en se escribe J(x, y) =

∂(ϕ, ψ) ∂(x, y)

Si la expresi´ on “f [g(x, y)] · |J(x, y)|” es integrable en R, entonces f es integrable en la regi´ on R0 = g−1 (R) = {(u, v) ∈ IR2 / u = ϕ(x, y) ∧ v = ψ(x, y) para (x, y) ∈ R} es decir, que R0 es la regi´ on obtenida de R despu´es de aplicar el cambio de variable ( u = ϕ(x, y) v = ψ(x, y) Luego se cumple la igualdad ZZ

ZZ f [g(x, y)] · |J(x, y)| dxdy =

f (u, v) dudv R0

R

o lo que es lo mismo ZZ

ZZ ∂(u, v) dxdy = f [u(x, y), v(x, y)] · f (u, v) dudv ∂(x, y) R R0

Teorema 2.9. Si f (x, y) integrable en una regi´ on R ⊂ IR2 y si h : R → R0 es una funci´ on vectorial biyectiva, tenemos entonces que R0 = h(R) = {(u, v) ∈ IR2 / (u, v) = h−1 (x, y), para (x, y) ∈ R} entonces la expresi´ on “f [h(u, v)] · |J(u, v)|” es integrable en R0 , donde ∂(x, y) xu xv = xu · yv − yu · xv J(u, v) = = ∂(u, v) yu yv luego se cumple la igualdad ZZ

ZZ f [h(u, v)] · |J(u, v)| dudv

f (x, y) dxdy = R

R0

En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma ( x = ϕ(u, v) y = ψ(u, v)

21

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 2.17. [Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 3] Calcule la integral √

Z

2 Z 4−x2

I= 1

x2

usando el cambio de variables x=

x dydx +y

( Ver Ejercicio 2.4 )

v−u

y =u+v

x2 √

∧

Respuesta: Note que R es la regi´ on limitada por las rectas x = 1, y = x2 , y = 4 − x2 . Al aplicar el cambio de variable, la regi´ on R0 obtenida es limitada por las rectas v = u + 1, u = 0 y v = 2. −1 Adem´as J(u, v) = √ , entonces: v−u Z 1Z 2 1 1 − ln(2) I= dvdu = ≈ 0.1534 2v 2 0 u+1  Ejercicio 2.18. [Basado en Ampliaci´ on de MA1003, II-2008] Use el cambio de variable x = 4u + v ∧ y = 2u para calcular  Z Z p y2 I= x − 2y + dxdy 4 R donde R es el interior del tri´ angulo con v´ertices (0, 0), (4, 0) y (4, 2). Dibuje la regi´ on R en el plano xy y la nueva regi´ on R0 en el plano uv. Respuesta: Note que R es la regi´ on limitada por las rectas x = 4, y = 0, y = x/2. Al aplicar el cambio de variable, la regi´on R0 obtenida es limitada por las rectas v = −4u + 4, u = 0 y v = 0. Adem´as J(u, v) = −2, entonces: Z 1 Z −4u+4
√ 74 I=2 v + u2 dvdu = 15 0 0  Teorema 2.10. Sea R ⊆ IR2 y sea g : R → R0 una funci´ on vectorial biyectiva. Recordemos que 1 Jg−1 = Jg−1 =⇒ |Jg−1 | = |Jg | o sea, que al hacer (u, v) = g(x, y)    −1 1 xu xv ux uy = =⇒ J(u, v) = yu yv vx vy J(x, y) Si f : R → IR es integrable, entonces la expresi´ on “f [g−1 (u, v)] · |J(u, v)|” es integrable en R0 = g(R) = {(u, v) ∈ IR2 / (u, v) = g(x, y), para (x, y) ∈ R} luego se cumple la igualdad ZZ

ZZ

f [g−1 (u, v)] · |J(u, v)| dudv

f (x, y) dxdy = R

R0

22

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu o lo que es lo mismo ZZ

ZZ

f (x, y) ·

f (x, y) dxdy = R0

R

1 dudv |J(x, y)|

En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma ( u = ϕ(x, y) v = ψ(x, y) Ejercicio 2.19. Sea R la regi´ on del primer cuadrante limitada por las curvas 5y = −x2 + 15,

5y = −x2 + 40,

5x − 3y = 0,

5x − 3y = 15

Use el cambio de variable u = 5x − 3y

∧

v = x2 + 5y

para calcular la integral ZZ (6x + 25)

p

x2 + 5y + 1 dA

R

Respuesta: Z I=

15 Z 40 √

0

√ v + 1 dvdu = 410 41 − 640 ≈ 1985.289

15

 Ejercicio 2.20. [Basado en Ampliaci´ on de MA1003, I-2007] Use el cambio de variable u = x2 − y 2 , v = 2xy para calcular ZZ
I= x4 − y 4 dxy R

donde R es la regi´ on en el primer cuadrante limitada por las curvas x2 − y 2 = 1

∧

x2 − y 2 = 2

∧

xy = 1

∧

xy = 2

Dibuje la regi´ on R en el plano xy y la nueva regi´ on R0 en el plano uv. Respuesta: Al aplicar el cambio de variable, la regi´on obtenida corresponde al rect´angulo R0 = [1, 2] × [2, 4]. Adem´as J(x, y) = 4 (x2 + y 2 ), entonces: Z

2Z 4

I= 1

2


x4 − y 4 ·

1 1 dvdu = · 4 (x2 + y 2 ) 4

Z

2Z 4

u dvdu = 1

2

3 4 

23

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

2.5

Coordenadas Polares

Definici´ on 2.4 (Coordenadas Polares). Las coordenadas polares son un sistema de representaci´ on de −−→ puntos en el plano, que toma como referencia un punto fijo O llamado polo y un rayo fijo OX llamado eje polar que apunta hacia la derecha de O.

En el plano polar, todo punto P est´ a asociado a las variables r ≥ 0, θ ∈ [0, 2π[, que indican que P est´ a ubicado a una distancia de “r” −−→ unidades del polo O y que “midiendo antihorario”, OP forma un −−→ ´angulo de θ unidades con el eje polar OX. Es decir, OP = r ∧ m ∠XOP = θ

c

Teorema 2.11 (Polares vs Cartesianas). Si P = (x, y) es la forma cartesiana del punto P ∈ IR2 y si p c P = (r, θ) es la forma polar del mismo punto P , tomando como polo el punto O = (0, 0) y como eje polar el eje-x positivo entonces x = r cos(θ)

∧

y = r sen(θ)

tambi´en se cumple que " p r = x2 + y 2

∧

θ = arccos p

#

x x2 + y 2

donde θ ∈ [0, 2π[ ∧ r ∈ [0, +∞[ De hecho se cumple el sistema de ecuaciones  y    sen(θ) = px2 + y 2 x    cos(θ) = p 2 x + y2

Teorema 2.12 (Integral doble en Polares). Sea f (x, y) una funci´ on integrable en una regi´ on R ⊂ IR2 y sea R0 la regi´ on obtenida al aplicar el cambio de variables x = r cos(θ)

∧

y = r sen(θ)

, θ ∈ [0, 2π[ , r ∈ [0, +∞[

es decir, que R0 = {(r, θ) ∈ IR2 / x = r cos(θ), y = r sen(θ), (x, y) ∈ R} entonces J(r, θ) =

∂(x, y) =r ∂(r, θ)

luego se cumple que ZZ

ZZ f (x, y) dxdy = R

R0

  f r cos(θ), r sen(θ) · r drdθ

24

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 2.21. [Basado en [1] Poltronieri] Use coordenadas polares para calcular aZ

Z

√

a2 −x2


ln 1 + x2 + y 2 dydx

I= 0

0

Respuesta: Usando coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sen(θ), obtenemos π/2 Z a

Z

ln(1 + r2 ) · r drdθ =

I= 0

0

i π h · (1 + a2 ) · ln(1 + a2 ) − a2 4 

Ejercicio 2.22. Use coordenadas polares para calcular el volumen encerrado entre las superficies engendradas por las ecuaciones p z = 36 − x2 − 4y 2 ∧ z = 25 − x2 − y 2 cuando (x, y) ∈ R : x2 + y 2 ≤ 4. [ Ver Ejercicio 2.14 ] Respuesta: Z

2π

Z

V = 0

2h

36 − r2 − 3r2 sen2 (θ) −

0

p

i √ 122π ≈ 329.3103 25 − r2 · r drdθ = 14 21 · π + 3 

Ejercicio 2.23. Considere el disco R : x2 + y 2 ≤ 6y con densidad constante f (x, y) = 1. (a) Calcule el centro de masa de R. (b) Calcule los momentos est´ aticos respecto a los ejes coordenados. (c) Calcule el momento de inercia respecto al polo. Respuestas: (a) La masa es ZZ

π

Z

m=

Z

6 sen(θ)

f (x, y) dxdy =

rdrdθ = 9π

R

0

0

Adem´as: ZZ

Z

c1 =

π

Z

6 sen(θ)

cos(θ) · r2 drdθ = 0

x f (x, y) dxdy = R

0

ZZ c2 =

Z

0 π

Z

6 sen(θ)

sen(θ) · r2 drdθ = 27π

y f (x, y) dxdy = R

0

0

Luego el centro de masa es C=

1 · [c1 , c2 ] = [0, 3] m

(b) Los momentos est´ aticos respecto a los ejes x e y son respectivamente: ZZ

Z

π

Z

6 sen(θ)

sen(θ) · r2 drdθ = 27π

|y| f (x, y) dxdy =

mx = R

0

ZZ

Z

0 π

Z

|x| f (x, y) dxdy =

my = R

0

0

6 sen(θ)

| cos(θ)| · r2 drdθ = 36

25

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu (c) El momento de inercia respecto al polo es ZZ

2

x +y

Ip =

2




Z

π

6 sen(θ)

Z

r3 drdθ =

· f (x, y) dxdy = 0

R

0

243π 2 

Ejercicio 2.24. Use coordenadas polares para calcular " ZZ I= R

donde

x

arccos p x2 + y 2 (

R:

# dA

2 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 0≤x≤y≤3

Respuesta:

Z

π/2 Z 2

I= π/4

√

θ · r drdθ = 2

3π 2 ≈ 0.925 275 32

 Ejercicio 2.25. Considere la suma integral " " # # Z −√2 Z √16−y2 Z 2 Z √16−y2 x x arccos p I= dxdy + √ √ arccos p dxdy √ x2 + y 2 x2 + y 2 −2 2 −y 4−y 2 − 2 Dibuje la regi´ on de integraci´ on y use coordenadas polares para calcular la integral.

26

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Respuesta:

La integral en coordenadas polares corresponde a: Z

π/6

Z

4

Z

π/2 Z 2 csc θ

θ · r drdθ +

I= −π/4

2

θ · r drdθ π/6

2

π/2  5π 2 1  + 4θ (− cot θ) + 4 ln(sen θ) − 2θ2 =− 48 2 π/6

47 π 2 π = 2 log(2) − + √ ≈ −0.021 235 144 3  Ejercicio 2.26. Plantee y eval´ ue una integral doble para calcular el volumen de la regi´ on ( x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 R: x2 + y 2 + z 2 ≤ 6z Respuesta: El volumen es Z Z hp i  p V = 9 − x2 − y 2 − 3 − 9 − x2 + y 2 dxdy R

Z

2π

Z

= 0

√ 3 3 2

h p i 2 2 9 − r − 3 · r drdθ

0

45π = ≈ 35.342 917 4 

27

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

2.6

Coordenadas El´ıpticas

Nota 2.6 (Coordenadas El´ıpticas). Cuando una regi´on en IR2 incluye una elipse (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2 se puede aplicar el cambio de variable  x − x0 (   = r cos(θ) x = x0 + a · r cos(θ) a ⇐⇒  y = y0 + b · r sen(θ)  y − y0 = r sen(θ) b En tal caso se cumple (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2

∧

J(r, θ) =

∂(x, y) = ab · r ∂(r, θ)

luego si f : R → IR2 integrable y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior ZZ

ZZ f (x, y) dxdy = ab R

 x0 + a · r cos(θ) · r drdθ f y0 + b · r sen(θ) R0 

Ejercicio 2.27. Calcule el ´ area de la elipse R:

(x − 1)2 y 2 + ≤1 2 9

Respuesta: Haciendo x = 1 + 2r cos(θ) ∧ y = 3r sen(θ) obtenemos Z

2π

Z

A=

1

6r drdθ = 6π 0

0



28

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3

Integrales Triples

3.1

Integrales Triples en “cajas”

Definici´ on 3.1 (Integral triple). Un conjunto R ⊆ IR3 es llamado “caja” si tiene la forma R = [a, b] × [c, d] × [α, β] = {(x, y, z) ∈ IR3 / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ α ≤ z ≤ β }

Una aplicaci´ on f : D ⊆ IR3 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el l´ımite I = lim ∆xi → 0 ∆yj → 0 ∆zk → 0

p n X m X X

f (αi , βj , γk ) ∆xi ∆yj ∆zk

i=1 j=1 k=1

donde a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b

∆xi = xi − xi−1

c = x0 < y1 < y2 < · · · < ym = d

∆yi = yj − yj−1

α = z0 < z1 < z2 < · · · < zp = β

∆zk = xk − xk−1

xi ≤ αi ≤ xi−1 adem´as

∧

yj ≤ βj ≤ yj−1

∧

  ∆xi → 0 ⇐⇒ n → +∞ ∆yj → 0 ⇐⇒ m → +∞   ∆zk → 0 ⇐⇒ p → +∞

En tal caso se denota ZZZ I=

f (x, y, z) dV R

donde dV = dxdydz es llamada “componente de volumen”.

zk ≤ γk ≤ zk−1

29

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Definici´ on 3.2 (Integral Triple Iterada). La expresi´on Z bZ

dZ β

f (x, y, z) dzdydx

I= a

c

α

es llamada integral iterada de f (x, y, z) en el rect´angulo [a, b] × [c, d] × [α, β] en el orden dzdydx, y se calcula haciendo  Z b Z b Z d Z β g(x) dx f (x, y, z) dzdy dx = I= a

c

donde

a

α

dZ β

Z g(x) =

f (x, y, z) dzdy  Z d Z β = f (x, y, z) dz dy c

α

c

α d

Z

Z h(y) dy

=

β

f (x, y, z) dz

donde h(y) = α

c

De manera an´ aloga se definen las integrales iteradas para los ´ordenes dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdy. Por ejemplo, el orden dydxdz  Z βZ bZ d Z β Z b Z d f (x, y, z) dydxdz = f (x, y, z) dydx dz α

a

c

α

a

c

Teorema 3.1 (Fubini). Sea f (x, y, z) una funci´ on integrable en R = [a, b] × [c, d] × [α, β]. Entonces existen las integrales Z dZ β Z b g(x) = f (x, y, z) dzdy ∧ g(x) dx c

α

a

luego se cumple que Z bZ

ZZZ I=

dZ β

f (x, y, z) dV = R

f (x, y, z) dzdydx a

Z

c dZ

α bZ β

=

f (x, y, z) dzdxdy c

a

α

.. . Z

β

Z bZ

=

d

f (x, y, z) dxdydz α

a

c

O sea que las integrales iteradas en los ´ ordenes dzdydx, dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdy son todas iguales a I. Teorema 3.2. Si f (x, y, z) es una funci´ on continua y acotada en R = [a, b] × [c, d] × [α, β], entonces f es integrable en R. Ejercicio 3.1. Calcule la integral ZZZ I= R

donde R = [1, 5] × [−1, 2] × [0, 4].

(x2

xyz dV + y 2 + z 2 + 6)4

30

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Respuesta: Z

5Z 2

I= 1

1 =− · 6

−1

Z 1

Z

4

(x2

0 5Z 2

−1



xyz dzdydx + + z 2 + 6)4 y2

xy xy − 2 2 2 4 (x + y + 22) (x + y 2 + 6)4

 dydx

= ... 158 383 = ≈ 0.000 583 5 271 435 240 

31

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3.2

Integrales Triples en Regiones Generales

Definici´ on 3.3 (Integral triple en Regiones Generales). Sea R ⊆ IR3 una regi´on que se puede aproximar por la uni´on de “cajas” sin puntos internos comunes Rijk ⊆ IR3 ,

(i, j, k) ∈ A ⊆ IN3

es decir que [

R≈

Rijk

(i,j,k)∈A

adem´as si V (Rijk ) es el volumen de Rijk , se cumple que [ R= lim Rijk V (Rijk )→0

(i,j,k)∈A

En tal caso el volumen de la regi´ on R correponde a: X V (R) = lim V (Rijk ) ( Ver Aplicaci´ on 3.1 en p´ag. 33 ) V (Rijk )→0

(i,j,k)∈A

Una funci´on f : D ⊆ IR3 → IR es integrable en R ⊆ D si existe y es finito el l´ımite X I= lim f (αi , βj , γk ) · A(Rijk ) , (Integral triple de Riemann) V (Rijk )→0

(i,j,k)∈A

donde (αi , βj , γk ) ∈ Rijk . En tal caso se denota ZZZ I=

f (x, y, z) dV R

donde dV = dxdydz es llamada “componente de volumen”. Teorema 3.3 (Regiones Simples en el Espacio). Un conjunto R ⊆ IR3 de la forma R = {(x, y, z) ∈ IR3 / a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ h(x) ∧ ϕ(x, y) ≤ z ≤ ψ(x, y) } es llamado regi´ on simple. En tal caso, si f (x, y, z) integrable en la regi´ on R entonces ZZZ Z b Z h(x) Z ψ(x,y) f (x, y, z) dV = dzdydx R a g(x) ϕ(x,y) "Z # Z Z b

h(x)

ψ(x,y)

=

dz a

g(x)

dydx

ϕ(x,y)

que es llamada integral iterada en el orden dzdydx. De manera an´ aloga se definen regiones simples en el espacio para integrales en los ´ ordenes dzdxdy, dydxdz, dydzdx, dxdydz y dxdzdy. Por ejemplo # Z β Z b(y) Z d(x,z) Z β Z b(y) "Z d(x,z) f (x, y, z) dydxdz = f (x, y, z) dy dxdz α

a(y)

c(x,z)

α

a(y)

c(x,z)

es una integral iterada de f (x, y, z) en el orden dydxdz en la regi´ on simple: {(x, y, z) ∈ IR3 / α ≤ z ≤ β ∧ a(y) ≤ x ≤ b(y) ∧ c(x, z) ≤ y ≤ d(x, z) }

32

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 3.2. Calcule la integral ZZZ

x2 y dV

I= R

donde R es el tetraedro de v´ertices (0, 0, 0)

∧

∧

(2, 0, 0)

(0, 1, 0)

∧

(0, 0, 3)

Respuesta: Z I= 0

16−3x−6y 2

2 Z − x2 +1 Z 0

x2 y dzdydx =

0

11 ≈ 0.7333 15

 Ejercicio 3.3. Plantear la integral ZZZ I=

f (x, y, z) dV R

donde R es la regi´ on contenida dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 y arriba del paraboloide 6z = x2 + y 2 Plantear ordenes dzdydx y dydxdz. Respuesta: Z I=

√ 2 3

√ −2 3

Z = 0

2Z

√

Z

12−x2

Z √16−x2 −y2

√ − 12−x2 (x2 +y 2 )/6 √ √ 6z Z 6z−x2

√ − 6z

√ − 6z−x2

f (x, y, z) dzdydx Z

f (x, y, z) dydxdz + 2

4Z

√

16−z 2

√ − 16−z 2

√

Z

16−x2 −z 2

√ − 16−x2 −z 2

f (x, y, z) dydxdz 

33

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3.3 3.3.1

Aplicaciones de las Integrales Triples C´ alculo de Vol´ umenes

Aplicaci´ on 3.1 (C´ alculo de Volumen). El volumen de una regi´ on R ⊆ IR3 corresponde a la integral ZZZ V (R) =

dV

( Ver Definici´ on 3.3 en p´ ag. 31 )

R

Ejercicio 3.4. [Basado en parcial 2 de MA1003, I-2006] Calcule el volumen del s´ olido ubicado en el primer octante de IR3 , limitado por los tres planos coordenados y por los tres planos de ecuaciones cartesianas: x+y =2

∧

Respuesta: El volumen corresponde a Z 1 Z 2−y Z 2−x Z I= dzdxdy + 0

y

∧

x+z =2

0

y+z =2

1 Z 2−x Z 2−y

dzdydx = 2

0

x

0

 3.3.2

Interpretaciones F´ısicas

Aplicaci´ on 3.2 (Interpretaciones F´ısicas). Si R ⊂ IR3 modela un “cuerpo s´ olido” y si z = f (x, y, z) corresponde a la densidad del cuerpo ( masa por unidad de volumen en (x, y, z) ) entonces se tiene que 1. La masa total de R es igual a ZZZ m=

f (x, y, z) dV R

2. La masa promedio de R es igual a 1 m= V (R) donde

ZZZ f (x, y, z) dV R

ZZZ V (R) =

f (x, y, z) dV = volumen del cuerpo R

3. Los momentos est´ aticos de R son (a) Respecto al plano-xy es igual a ZZZ |z| · f (x, y, z) dV

mxy = R

(b) Respecto al plano-xz es igual a ZZZ |y| · f (x, y, z) dV

mxz = R

34

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu (c) Respecto al plano-yz es igual a ZZZ |x| · f (x, y, z) dV

myz = R

(d) Respecto al eje-x es igual a ZZZ p mx = y 2 + z 2 · f (x, y, z) dV R

(e) Respecto al eje-y es igual a ZZZ p my = x2 + z 2 · f (x, y, z) dV R

(f ) Respecto al eje-z es igual a mz =

ZZZ p

x2 + y 2 · f (x, y, z) dV

R

(g) Respecto a un conjunto Ω cualquiera, es igual a ZZZ

  d (x, y, z), Ω · f (x, y, z) dV

mΩ = R

  donde d (x, y, z), Ω es la distancia de (x, y, z) al conjunto Ω. 4. El centro de masa o centro de gravedad de R es Cm = (x, y, z) donde ZZ 1 x= x · f (x, y, z) dV m R ZZ 1 y= y · f (x, y, z) dV m R ZZ 1 z · f (x, y, z) dV z= m R siendo m =

RRR

Rf

la masa total.

5. Los momentos de inercia de R son (a) Respecto al eje-x es igual a ZZZ

(y 2 + z 2 ) · f (x, y, z) dV

Ix = R

(b) Respecto al eje-y es igual a ZZZ

(x2 + z 2 ) · f (x, y, z) dV

Iy = R

35

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu (c) Respecto al eje-z es igual a ZZZ

(x2 + y 2 ) · f (x, y, z) dV

Iz = R

(d) Respecto a un conjunto Ω cualquiera, es igual a ZZZ

  d2 (x, y, z), Ω · f (x, y, z) dV

IΩ = R

  donde d (x, y, z), Ω es la distancia de (x, y, z) al conjunto Ω. (e) Respecto al origen de coordenadas O = (0, 0, 0) es igual a ZZZ

(x2 + y 2 + z 2 ) · f (x, y, z) dV

Io =

(InerciaP olar)

R

Ejercicio 3.5. [Basado en ejercicio oficial 9.4 de MA1003] Calcule la masa del s´ olido T cuya densidad es f (x, y, z) = x2 y 2 z 2 , si T es limitado por el cilindro parab´ olico de ecuaci´ on x = y 2 y los planos de ecuaciones x = z, z = 0 y x = 1. Respuesta: La masa de T corresponde a Z m= 0

1Z

√

x

√

− x

Z 0

x

x2 y 2 z 2 dzdydx =

4 135 

36

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3.4

Cambios de variable en Integrales Triples

Teorema 3.4. Sea f (x, y, z) una funci´ on escalar integrable en una regi´ on R ⊂ IR3 y sea g : R → R0 una funci´ on vectorial biyectiva tal que   ϕ(x, y, z) g(x, y, z) = ψ(x, y, z) ζ(x, y, z) Se define el Jacobiano de g como el determinante de ϕx (x, y, z) J(x, y, z) = |Jg (x, y, z)| = ψx (x, y, z) ζx (x, y, z) tambi´en se escribe J(x, y, z) =

la matriz jacobiana de g, es decir ϕy (x, y, z) ϕz (x, y, z) ψy (x, y, z) ψz (x, y, z) ζy (x, y, z) ζz (x, y, z)

∂(ϕ, ψ, ζ) ∂(x, y, z)

Si la expresi´ on “f [g(x, y, z)] · |J(x, y, z)|” es integrable en R, entonces f es integrable en la regi´ on        ϕ(x, y, z)   u . u 3 0      v = ψ(x, y, z) para (x, y, z) ∈ R v ∈ IR R = g(R) =   ζ(x, y, z) w w es decir, que R0 es la regi´ on obtenida de R despu´es de aplicar el cambio de variable   u = ϕ(x, y, z) v = ψ(x, y, z)   w = ζ(x, y, z) Luego se cumple la igualdad ZZZ ZZZ f [ g(x, y, z) ] · |J(x, y, z)| dxdydz =

f (u, v, w) dudvdw R0

R

o lo que es lo mismo 

ZZZ R

 ZZZ u(x, y, z) ∂(u, v, w)   f v(x, y, z) · dxdydz = f (u, v, w) dudvdw ∂(x, y, z) R0 w(x, y, z)

Teorema 3.5. Si f (x, y, z) es una funci´ on escalar integrable en una regi´ on R ⊂ IR3 y si h : R → R0 es una funci´ on vectorial biyectiva, tenemos entonces que R0 = h(R) = {(u, v, w) ∈ IR2 / (u, v, w) = h−1 (x, y, z), para (x, y, z) ∈ R} entonces la expresi´ on “f [h(u, v, w)] · |J(u, v, w)|” es integrable en R0 , donde xu xv xw ∂(x, y, z) J(u, v, w) = = yu yv yw ∂(u, v, w) z u zv zw luego se cumple la igualdad ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz = R

f [ h(u, v, w) ] · |J(u, v, w)| dudvdw R0

37

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma   x = ϕ(u, v, w) y = ψ(u, v, w)   z = ζ(u, v, w) Ejercicio 3.6. Calcule la integral Z I= 0

1Z

√

√

16−x2

1−x2

Z 4

8

r

x2 + y 2 dzdydx + z

4Z

Z 1

√

16−x2

0

Z 4

8

r

x2 + y 2 dzdydx z

usando el cambio de variables x = v cos(u)

∧

y = v sen(u)

Respuesta: Note que R es la regi´ on limitada por las superficies:  z=4 ∧      x2 + y 2 = 1,  x2 + y 2 = 16,     x=0 ∧

∧

z = 4w

z=8 y>0 y>0 y=0

h πi × [1, 4] × [1, 2]. Al aplicar el cambio de variables, obtenemos la nueva regi´on R0 = 0, 2 El jacobiano J(u, v, w) = 4v, entonces Z π/2 Z 4 Z 2 √ 2 v2 √ dwdvdu = 210 2 − 210 π ≈ 273.270 959 I= w 0 1 1  3

Teorema 3.6. Sea R ⊆ IR y sea g : R → Recordemos que

R0

una funci´ on vectorial biyectiva.

Jg−1 = Jg−1 =⇒ |Jg−1 | =

1 |Jg |

o sea, que al hacer (u, v, w) = g(x, y, z)    −1 xu xv xw ux uy uz 1  yu yv yw  =  vx vy vz  =⇒ J(u, v, w) = J(x, y, z) z u zv zw wx wy wz Si f : R → IR es integrable, entonces la expresi´ on “f [g−1 (u, v, w)] · |J(u, v, w)|” es integrable en R0 = g(R) = {(u, v, w) ∈ IR3 / (u, v, w) = g(x, y, z), para (x, y, z) ∈ R} luego se cumple la igualdad ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz =

f [g−1 (u, v, w)] · |J(u, v, w)| dudvdw R0

R

o lo que es lo mismo ZZZ

ZZZ f (x, y, z) ·

f (x, y, z) dxdydz = R

R0

1 dudvdw |J(x, y, z)|

38

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu En este caso se dice que hemos aplicado un cambio de variable de la forma   u = ϕ(x, y, z) v = ψ(x, y, z)   v = ζ(x, y, z) Ejercicio 3.7. Calcule el volumen del paralelep´ıpedo:  0≤x−y ≤2  18 ≤ 7x + 5y − 3z ≤ 36 R:  6 ≤ x − y + 3z ≤ 20 Respuesta: Haciendo el cambio de variable u=x−y

∧

v = 7x + 5y − 3z

∧

w = x − y + 3z

Obtenemos la nueva regi´ on R0 = [0, 2] × [18, 36] × [6, 20] con jacobiano J(x, y, z) = 36, entonces: Z

2 Z 36 Z 20

V = 0

18

6

1 dwdvdu = 14 36 

39

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3.5 3.5.1

Coordenadas Cil´ındricas y Esf´ ericas Coordenadas Cil´ındricas

Definici´ on 3.4 (Coordenadas Cil´ındricas). Las Coordenadas Cil´ındricas son un sistema de representaci´on de puntos P sobre el espacio cartesiano IR3 que en su forma b´asica toma como referencia las coordenadas polares sobre plano-xy y no var´ıa el papel de z.

En coordenadas cil´ındricas, todo punto P est´a asociado a las variables θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR, que indican que P est´ a ubicado a una distancia de “r” unidades del eje-z y que “midiendo antihorario” sobre un plano horizontal a partir del eje-x+ , forma un ´angulo de θ unidades, mientras que P est´a |z| unidades hacia arriba del plano-xy si z ≥ 0, ´o hacia abajo si z < 0.

En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR, tenemos las relaciones x = r cos(θ)

∧

y = r sen(θ)

∧

z=z

Adem´as se cumple que x2 + y 2 = r 2

y tambi´en

J(r, θ, z) =

∂(x, y, z) =r ∂(r, θ, z)

Teorema 3.7 (Integral triple en Cil´ındricas). Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable    x = r cos(θ) y = r sen(θ)   z=z y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior, entonces ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz = f [r cos(θ), r sen(θ), z] · r drdθdz R0

R

siempre que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR. Nota 3.1. Se recomienda el uso de las coordenadas cil´ındricas, para regiones en las que cilindros, paraboloides, conos o hiperboloides circulares cumplen papeles importantes. Ejercicio 3.8 (Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 5). Use coordenadas cil´ındricas para calcular el volumen del s´ olido R limitado por las superficies 2z = x2 + y 2 ,

x2 + y 2 − z 2 = 1 ,

z=0

40

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Respuesta: Z

2π

Z

1 Z r2 /2

V =

2π

Z

√

Z

r dzdrdθ + 0

0

0

0

1

2 Z r2 /2 √

r dzdrdθ = r2 −1

π 3 

Nota 3.2 (Coordenadas Cil´ındricas Generalizadas). Cuando una regi´on en IR3 incluye un cilindro de la forma (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2 se puede aplicar el cambio de variable  x − x0    = r cos(θ)     a  x = x0 + a · r cos(θ) y − y0 = r sen(θ) ⇐⇒  y = y0 + b · r sen(θ)    b  z=z   z=z En tal caso se cumple (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2

∧

J(r, θ, z) =

∂(x, y, z) = ab · r ∂(r, θ, z)

luego si f : R → IR3 integrable y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior ZZZ

ZZZ f (x, y, z) dxdydz = ab R

  x0 + a · r cos(θ) f  y0 + b · r sen(θ)  · r drdθdz R0 z

siempre que θ ∈ [0, 2π[, r ∈ [0, +∞[ y z ∈ IR. Ejercicio 3.9. Use coordenadas cil´ındricas “trasladadas” para calcular ZZZ p (x − 2)2 + y 2 dxdydz I= R

cuando R es la regi´ on limitada por los paraboloides z = 36 − x2 − y 2

∧

z = x2 + y 2 − 8x − 6

Respuesta: Como la proyecci´ on generada por la intersecci´on de los paraboloides es (x − 2)2 + y 2 = 25, z = 0 podemos tomar x = 2 + r cos(θ) ∧ y = r sen(θ) ∧ z = z, entonces Z

2π

Z

5 Z r2 +3r2 cos2 (θ)−8 cos(θ)−18

I= 0

0

32−r2 −3r2 cos2 (θ)−8 cos(θ)

r2 dzdrdθ = −

6 250 π 3

41

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu 3.5.2

Coordenadas Esf´ ericas

Definici´ on 3.5 (Coordenadas Esf´ericas). Las Coordenadas Esf´ ericas son un sistema de representaci´ on de puntos P sobre el espacio cartesiano IR3 basado en las coordenadas polares, pero que mide sobre dos ´angulos θ y ϕ. Hay dos formas b´ asicas de definir las coordenadas esf´ericas, respecto a las coordenadas cartesianas (x, y, z): Primera Versi´ on: Coordenadas Esf´ericas cuyo segundo ´angulo mide desde el eje-z. Asociamos P = (x, y, z) a la tripleta (r, θ, ϕ), para θ ∈ [0, 2π[ ,

ϕ ∈ [0, π] ,

r ∈ [0, +∞[

donde (a) r es la distancia entre el origen O = (0, 0, 0) y el punto P . (b) ϕ es el ´angulo formado entre el eje-z y el rayo −−→ OP . (c) Si Q = (x, y, 0) es la proyecci´ on del punto P sobre el plano-xy, θ es el ´ angulo formado entre −−→ el eje-x+ y el rayo OQ.

En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[, tenemos las relaciones x = r cos(θ) sen(ϕ)

∧

y = r sen(θ) sen(ϕ)

∧

z = r cos(ϕ)

Adem´as se cumple que x2 + y 2 + z 2 = r 2

y tambi´en

J(r, θ, ϕ) =

∂(x, y, z) = −r2 sen(ϕ) ∂(r, θ, ϕ)

Segunda Versi´ on: Coordenadas Esf´ericas cuyo segundo ´angulo mide desde el plano-xy. Asociamos P = (x, y, z) a la tripleta (r, θ, ϕ), para h π πi θ ∈ [0, 2π[ , ϕ ∈ − , , r ∈ [0, +∞[ 2 2 donde (a) r es la distancia entre el origen O = (0, 0, 0) y el punto P . (b) Si Q = (x, y, 0) es la proyecci´ on del punto P sobre el plano-xy, ϕ es el ´ angulo formado entre −−→ −−→ el rayo OQ y el rayo OP . (c) θ es el ´angulo formado entre el eje-x+ y el rayo −−→ OQ.

42

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

h π πi En tal caso, cada vez que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ − , y r ∈ [0, +∞[, tenemos las relaciones 2 2 x = r cos(θ) cos(ϕ)

∧

y = r sen(θ) cos(ϕ)

∧

z = r sen(ϕ)

Adem´as se cumple que x2 + y 2 + z 2 = r 2

y tambi´en

J(r, θ, ϕ) =

∂(x, y, z) = r2 cos(ϕ) ∂(r, θ, ϕ)

Teorema 3.8 (Integral triple en Esf´ericas versi´on 1). Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable    x = r cos(θ) sen(ϕ) y = r sen(θ) sen(ϕ)   z = r cos(ϕ) y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior, entonces 

ZZZ

ZZZ f (x, y, z) dxdydz = R

 r cos(θ) sen(ϕ) f r sen(θ) sen(ϕ) · r2 sen(ϕ) drdθdϕ 0 R r cos(ϕ)

siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[ . Teorema 3.9 (Integral triple en Esf´ericas versi´on 2). Si f : R → IR3 integrable, al aplicar el cambio de variable    x = r cos(θ) cos(ϕ) y = r sen(θ) cos(ϕ)   z = r sen(ϕ) y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior, entonces 

ZZZ

ZZZ f (x, y, z) dxdydz = R

 r cos(θ) cos(ϕ) f r sen(θ) cos(ϕ) · r2 cos(ϕ) drdθdϕ 0 R r sen(ϕ)

h π πi siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ − , y r ∈ [0, +∞[ . 2 2 Ejercicio 3.10. Use coordenadas esf´ericas para calcular el volumen de la esfera R : x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 Respuesta: Haciendo x = r cos(θ) sen(ϕ)

∧

y = r sen(θ) sen(ϕ)

Obtenemos que el volumen de la esfera es Z 2π Z π Z V = 0

0

∧

z = r cos(ϕ)

3

r2 sen(ϕ) drdϕdθ = 36π

0



43

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Ejercicio 3.11 (Basado en parcial 2 del ciclo II-2008, problema 4). Usar coordenadas esf´ericas para calcular la integral ZZZ z 2 dV I= R

donde

( x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 R: x2 + y 2 + z 2 ≤ 2z

Respuesta: Haciendo ∧

x = r cos(θ) sen(ϕ)

y = r sen(θ) sen(ϕ)

∧

z = r cos(ϕ)

Obtenemos que el volumen de la esfera es Z

2π

Z

π/3 Z 1

V = 0

0

r4 sen(ϕ) cos2 (ϕ) drdϕdθ

0

Z

2π

Z

π/2 Z 2 cos(ϕ)

+ 0

π/3

r4 sen(ϕ) cos2 (ϕ) drdϕdθ

1

17π = ≈ 0.333 794 160  Nota 3.3 (Coordenadas Esf´ericas Generalizadas versi´on 1). Cuando una regi´ on en IR3 incluye un elipsoide de la forma (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + =1 a2 b2 c2 se puede aplicar el cambio  x − x0       a y − y0  b      z − z0 c

de variable = r cos(θ) sen(ϕ)

   x = x0 + a · r cos(θ) sen(ϕ) y = y0 + b · r sen(θ) sen(ϕ) = r sen(θ) sen(ϕ) ⇐⇒   z = z0 + c · r cos(ϕ) = r cos(ϕ)

En tal caso se cumple (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + = r2 a2 b2 c2

∧

J(r, θ, ϕ) =

∂(x, y, z) = −abc · r2 sen(ϕ) ∂(r, θ, ϕ)

luego si f : R → IR3 integrable y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior ZZZ

ZZZ f (x, y, z) dxdydz = abc R

  x0 + a · r cos(θ) sen(ϕ) f  y0 + b · r sen(θ) sen(ϕ)  · r2 sen(ϕ) drdθdϕ 0 R z0 + c · r cos(ϕ)

siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ [0, π] y r ∈ [0, +∞[ .

44

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu Nota 3.4 (Coordenadas Esf´ericas Generalizadas versi´on 2). Cuando una regi´ on en IR3 incluye un elipsoide de la forma (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + =1 a2 b2 c2 se puede aplicar el cambio  x − x0       a y − y0  b    z − z0   c

de variable = r cos(θ) cos(ϕ)

   x = x0 + a · r cos(θ) cos(ϕ) y = y0 + b · r sen(θ) cos(ϕ) = r sen(θ) cos(ϕ) ⇐⇒   z = z0 + c · r sen(ϕ) = r sen(ϕ)

En tal caso se cumple (x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2 + + = r2 a2 b2 c2

∧

J(r, θ, ϕ) =

∂(x, y, z) = abc · r2 cos(ϕ) ∂(r, θ, ϕ)

luego si f : R → IR3 integrable y si R0 se obtiene de R despu´es del cambio anterior ZZZ

ZZZ f (x, y, z) dxdydz = abc R

  x0 + a · r cos(θ) cos(ϕ) f  y0 + b · r sen(θ) cos(ϕ)  · r2 cos(ϕ) drdθdϕ 0 R z0 + c · r sen(ϕ)

h π πi siempre que θ ∈ [0, 2π[, ϕ ∈ − , y r ∈ [0, +∞[ . 2 2

45

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

3.6

Ejercicios Adicionales

Ejercicio 3.12. Considere la regi´ on regi´ on ( x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 R: x2 + y 2 + z 2 ≤ 6z ZZZ y sea I = f (x, y, z) dxdydz. R

(a) Plantear la integral triple I en coordenadas cartesianas en los ´ ordenes dzdydx, dydzdx y dxdydz. (b) Plantear la integral I en coordenadas cil´ındricas en los ´ ordenes dzdρdθ y dρdzdθ. (c) Plantear la integral I en coordenadas esf´ericas en los ´ ordenes dρdϕdθ y dϕdρdθ. Respuestas: (a) En el orden dzdydx: Z

3

√

3

2

I=

q − 27 −x2 4

Z

√

−323

−

q

27 −x2 4

Z √9−x2 −y2 √ 3−

f (x, y, z) dzdydx 9−x2 −y 2

En el orden dydzdx: 3

Z

√

3

2

I=

√

−323

Z

√

3/2

Z

√ 3− 9−x2

6z−z 2 −x2

f (x, y, z) dydzdx √ − 6z−z 2 −x2 Z 3√3 Z √9−x2 Z √9−x2 −z 2 2

+

√

−323

√ − 9−x2 −z 2

3/2

f (x, y, z) dydzdx

En el orden dxdydz: Z I= 0

√ 3/2 Z 3+ 9−z 2 √ 3− 9−z 2

Z √6z−z 2 −y2 −

f (x, y, z) dxdydz

√

Z

6z−z 2 −y 2 √ 3 Z 9−z 2

+ 3/2

Z √9−y2 −z 2 √

√ − 9−z 2

−

f (x, y, z) dxdydz 9−y 2 −z 2

(b) En coordenadas cil´ındricas en el orden dzdρdθ: Z

2π

Z

I= 0

0

√ 3 3 2

Z √9−ρ2



 ρ cos(θ) f ρ sen(θ) · ρ dzdρdθ √ 3− 9−ρ2 z

En coordenadas cil´ındricas en el orden dρdzdθ:   Z 2π Z 3/2 Z √6z−z 2 ρ cos(θ) I= f ρ sen(θ) · ρ dρdzdθ 0 0 0 z   √ Z 2π Z 3 Z 9−z 2 ρ cos(θ) + f ρ sen(θ) · ρ dρdzdθ 0 3/2 0 z

46

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu (c) En coordenadas esf´ericas en el orden dρdϕdθ:   Z 2π Z π/3 Z 3 ρ cos(θ) sen(ϕ) I= f ρ sen(θ) sen(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) dρdzdθ 0 0 0 ρ cos(ϕ)   Z 2π Z π/2 Z 6 cos(ϕ) ρ cos(θ) sen(ϕ) f ρ sen(θ) sen(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) dρdzdθ + 0 π/3 0 ρ cos(ϕ) En coordenadas esf´ericas en el orden dϕdρdθ:   Z 2π Z 3 Z π/3 ρ cos(θ) sen(ϕ) f ρ sen(θ) sen(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) dϕdρdθ I= 0 0 0 ρ cos(ϕ)   Z 2π Z 3 Z arccos( ρ ) ρ cos(θ) sen(ϕ) 6 + f ρ sen(θ) sen(ϕ) · ρ2 sen(ϕ) dϕdρdθ π/3 0 0 ρ cos(ϕ)

 Ejercicio 3.13. [Basado en Ejercicio Oficial 9.17 de MA1003] ZZZ
Considere la integral I = x2 + y 2 + z 2 dxdydz, donde T es la regi´ on determinada por las T

condiciones

1≤z≤2

∧

x2 + y 2 + z 2 ≤ 4

(a) Calcule I usando coordenadas cil´ındricas. (b) Calcule I usando coordenadas esf´ericas. Respuesta: (a) En coordenadas cil´ındricas: 2π

Z

√

Z

√ 3Z

4−ρ2

I= 0

0

1


49π ρ2 + z 2 · ρ dzdρdθ = 10

(b) En coordenadas esf´ericas: Z

2π

Z

π/3 Z 2

I= 0

0

sec(ϕ)

ρ2 · ρ2 sen(ϕ) dρdϕdθ =

49π 10 

´ ltiples Tema 3. Integrales Mu

47

Referencias [1] Poltronieri J., C´ alculo Integral: Integraci´ on m´ ultiple, Serie Cab´ecar, 2003 [2] Acu˜ na O., Poltronieri J., Ejercicios de C´ alculo III, Serie Cab´ecar, 2008 [3] Piskunov N., C´ alculo Diferencial e Integral. Tomo II, Editorial Mir, Mosc´ u, URSS, 1977 [4] Demidovich B., Problemas y Ejercicios de An´ alisis Matem´ atico, Editorial Mir, Mosc´ u, URSS, 1973 [5] Edwards C. H., Advances Calculus of Several Variables, Academic Press Inc., New York, USA 1973 [6] Ap´ostol, T., Calculus, Vol. I y II. Editorial Revert´e, Espa˜ na, 1980 [7] Lipschuttz M. Teor´ıa y Problemas de Geometr´ıa Diferencial, Editorial McGraw-Hill, M´exico, 1971 [8] Widder D., Advanced Calculus, Dover Publications, Inc., New York, USA, 1989 [9] Larson R., Hostetler, C´ alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica, Editorial McGraw-Hill, M´exico, 1989 [10] Pastor J., Santal´ o L. y Balanzat M., Geometr´ıa Anal´ıtica, Editorial Kapeluz, Buenos Aires Argentina, 1959