Manual De Cálculo Integral
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2012
CÁLCULO INTEGRAL MANUAL 114 PROBLEMAS RESUELTOS
ABEL VALDÉS
CÁLCULO INTEGRAL DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Definición de incremento. Sea una función de la función se define como.
dada por
Definición de derivada. Sea una función función se define como.
dada por
entonces el incremento entonces la derivada de la
Nota. Para una mejor comprensión es mejor escribir en notación de Leibniz la anterior definición, es decir.
Simplemente escribiendo Definición de diferencial. Como entonces, dado que tanto como son cantidades, infinitamente pequeñas, pero al final de cuentas son cantidades, se tiene, despejando. O bien.
Como
Entonces
considerando que
, en palabras se dice que:
“El diferencial de la función es aproximadamente igual al incremento de la función”
Estimación de valores numéricos. A partir de la expresión
Al despejar a
se tiene que.
O bien, se tiene que.
2
CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de incrementos y diferenciales. 1.- Calcula el incremento
y el diferencial
para los valores indicados de
y
si.
Solución. El incremento de la función es. El diferencial de la función es. Como entonces Por lo tanto. 2.- Calcula el incremento
y el diferencial
para los valores indicados de
y
si
Solución. El incremento de la función es.
Evaluando con
Se tiene.
El diferencial de la función es. Como
entonces Evaluando con
Por lo tanto.
3
CÁLCULO INTEGRAL Estimación de valores numéricos. 3.- Usando diferenciales estima el valor de la expresión
Solución. Sea
entonces
,
Se tiene, al sustituir.
Evaluando, con
Se tiene.
Por lo tanto.
4.- Usando diferenciales estima el valor de la expresión
Solución. Sea entonces Se tiene, al sustituir.
,
Evaluando, con
Nótese que, para poder efectuar las operaciones aritméticas se tiene la equivalencia de grados en radianes por lo que. Se tiene.
Por lo tanto.
4
CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de diferenciales. Para obtener el diferencial de una función , básicamente consiste en obtener la derivada de la misma función y multiplicarla por la diferencial de la variable independiente, Esto es. Operaciones básicas. Así, se tienen las fórmulas básicas de diferenciación. Sean las funciones.
Y
entonces
i)
Diferencial de una suma.
ii)
Diferencial de una resta. Nótese que para la resta se tiene una expresión semejante.
iii)
Diferencial de un producto.
iv)
Diferencial de un cociente
Cálculo de diferenciales. 5.- Calcula el diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Por lo tanto.
5
CÁLCULO INTEGRAL 6.- Calcula el diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Entonces.
Al simplificar la expresión dentro del paréntesis se tiene.
Por lo tanto.
7.- Calcula el diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Entonces.
Por lo que.
Al simplificar la expresión dentro del paréntesis se tiene.
Por lo tanto.
6
CÁLCULO INTEGRAL 8.- Calcula la diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Entonces.
Al simplificar se tiene. (Primero lo que está dentro del paréntesis).
Por lo tanto.
7
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN INMEDIATA Antidiferencial de una función. Planteamiento general, al buscar la antidiferencial de una función se tiene.
Donde
, entonces
Cambio de variable. Al tener una integral inmediata se considera la composición de funciones, la forma general se plantea de la siguiente manera.
Donde
entonces
.
¿Cómo se puede interpretar esta expresión? Sea
entonces.
Se tiene que Entonces Así que.
Es decir. En una integración inmediata debe aparecer tanto una función como su derivada. Integral de una potencia.
Porque, al tomar el diferencial de la función se tiene. Si.
Entonces.
Nota. Casos particulares.
8
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula
9.
Solución. Desarrollando la fracción algebraica.
Por lo tanto.
10.-
Solución. Separando en 4 integrales.
Por lo tanto.
9
CÁLCULO INTEGRAL 11.-
Solución. Efectuando el producto entre binomios y simplificando.
Entonces.
Que al calcular las integrales se tiene.
Por lo tanto.
12.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando.
Entonces.
Al calcular las integrales se tiene.
Por lo tanto.
10
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
13.-
Solución. Haciendo un cambio de variable se tiene Así que.
Por lo tanto.
Nótese que si se desarrolla primeramente el binomio al cuadrado, se obtiene.
Por lo tanto.
Ambos resultados son correctos, ahora bien para establecer la equivalencia, se tiene desarrollando el binomio al cubo del primer resultado, como Entonces.
14.
Solución. Haciendo un cambio de variable se tiene Así que.
Por lo tanto.
Al igual que en el ejemplo anterior, desarrollando el binomio al cuadrado, se obtiene.
Resultando correctos ambos resultados, porque, al desarrollar el binomio al cubo.
11
CÁLCULO INTEGRAL 15.-
Solución. Haciendo un cambio de variable, se tiene Así que.
Por lo tanto.
16.-
Solución. Haciendo un cambio de variable, se tiene Así que.
Por lo tanto.
17.-
Solución. Haciendo un cambio de variable, se tiene. Así que.
Por lo tanto.
12
CÁLCULO INTEGRAL 18.-
Solución. Multiplicando el integrando por “un uno adecuado”, en este caso será el conjugado.
Aplicando la identidad trigonométrica. Entonces.
Por lo que.
Por lo tanto.
Nota.
. Porque
, mientras que.
Que se lee. “arco cuyo seno es ” ó bien, “ángulo cuyo seno es ” 19.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado.
Aplicando la identidad trigonométrica Es conveniente este despeje porque Así que.
es una integral inmediata.
Entonces.
Por lo tanto.
13
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
20.-
Solución. Haciendo un cambio de variable. Así que.
Por lo tanto.
21.-
Solución. Haciendo un cambio de variable.
Así que.
Por lo tanto.
22.
Solución. Debe efectuarse primero la división entre los polinomios de primer grado, entonces.
Así que. Haciendo
Por lo tanto.
14
CÁLCULO INTEGRAL 23.-
Solución. Debe efectuarse primero la división entre los polinomios, entonces.
Así que.
Por lo tanto.
24.-
Solución. Primera Solución. Multiplicando el integrando por “un uno adecuado”, en este caso por
.
Así que, de esta manera se completa el diferencial. Haciendo el cambio de variable Así que.
Por lo tanto. Segunda Solución. Sumando “un cero adecuado” en el numerador.
De esta manera se tiene completo el diferencial.
Por lo tanto.
Ambos resultados son equivalentes.
15
CÁLCULO INTEGRAL 25.-
Solución. Primera solución. Efectuando la división.
Así que. En la segunda integral se multiplica por un “uno adecuado” en este caso Haciendo
Por lo tanto.
Segunda Solución. Separando en dos integrales.
Así que. En la primer integral está completo el diferencial. Haciendo En la segunda integral se multiplica por un “uno adecuado” en este caso Haciendo
Por lo tanto.
Tercera solución. Reescribiendo el integrando, sumándole “un cero adecuado”.
Por lo que. En la primer integral está completo el diferencial. Haciendo.
Por lo tanto.
Las 3 soluciones son equivalentes.
16
CÁLCULO INTEGRAL 26.-
Solución. Haciendo un cambio de variable.
Se tiene que.
Por lo tanto.
Nota. De este último ejemplo se desprenden las siguientes fórmulas básicas importantes.
17
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
27.-
Solución. Separando en dos integrales i)
haciendo un cambio de variable para la primer integral.
ii)
La segunda integral es de la forma
.
Entonces.
Por lo tanto.
28.-
Solución. Se presentan dos soluciones, la primera es desarrollando el binomio al cuadrado y efectuando el producto, después se separan las integrales. Mientras que la segunda solución se hace con un cambio de variable. Primera solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y efectuando el producto. Entonces.
Por lo tanto.
18
CÁLCULO INTEGRAL Segunda solución. Haciendo el cambio de variable.
Por lo que.
Por lo tanto.
Que son soluciones equivalentes, porque al desarrollar el binomio al cubo, se tiene que.
29.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y separando las integrales.
Por lo que. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
19
CÁLCULO INTEGRAL Integrales que contienen expresiones de la forma Integrales de la fórmula.
i)
Como la suma es conmutativa entonces se tiene lo mismo para.
ii)
Para denotar la función inversa de la tangente se tiene. aunque de esta última notación no se debe confundir
30.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable Entonces.
Por lo tanto.
31.-
Solución. Se efectúa la división entre los polinomios de segundo grado.
Entonces. En la segunda integral se tiene. Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
20
CÁLCULO INTEGRAL 32.-
Solución. Se transforma el integrando, al multiplicar por un “uno adecuado”.
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
33.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces, se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
21
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
Nótese que.
Como.
34.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
35.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
22
CÁLCULO INTEGRAL 36.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces, se tiene
Haciendo un cambio de variable.
Para simplificar el resultado, se tiene.
Por lo tanto.
37.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
23
CÁLCULO INTEGRAL 38.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
Nota. Al hacer un ligero cambio al integrando, cambia radicalmente la solución de la integral. Sea la integral
Se ha cambiado
por
entonces tendrá como solución.
Haciendo un cambio de variable:
Que es inmediata.
24
CÁLCULO INTEGRAL Integrales que contienen expresiones de la forma Integrales de la fórmula.
Nótese que son dos fórmulas.
39.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
40.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
25
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
41.Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
42.Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
26
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
43.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
44.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
45.-
Solución. Se tiene
Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
27
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula
46.-
Solución. Completando trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. Si el radicando es un trinomio cuadrado perfecto (TCP), entonces el cálculo integral es simple. Sea la integral.
Se ha modificado la función, de tal manera que esté completo el trinomio cuadrado perfecto. Entonces, al resolver la integral, se tiene.
Que es inmediata.
28
CÁLCULO INTEGRAL Separación en dos integrales Integrales de la forma.
Donde es una suma o diferencia de cuadrados. La solución general se establece como.
De tal manera que. i) En la primer integral se completa el diferencial ii) En la segunda integral se resuelve por medio de alguna de las formas vistas anteriormente. 47.-
Solución. Separando en dos integrales. i)
En la primer integral se tiene
ii)
En la segunda integral se tiene. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Que al simplificar se tiene. Multiplicando por un “uno adecuado”.
Por lo tanto.
29
CÁLCULO INTEGRAL 48.-
Solución, separando en dos integrales. i)
En la primer integral se tiene
ii)
En la segunda integral se tiene. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. Modificando ligeramente el integrando. Se tiene una integral simple. Sea la integral.
La integral es inmediata, haciendo un cambio de variable. Entonces.
30
CÁLCULO INTEGRAL Completando TCP Integrales de la forma.
La solución general se establece como. i. Se arregla la expresión de tal manera que, al hacer se encuentre , seria afortunado que en tal caso la integral es inmediata. ii. Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP) para la expresión . iii.
Se separan en dos integrales, la primera es de la forma
o bien
en la segunda
se tiene una integral en la cual se presenta una suma o diferencia de cuadrados. EJEMPLO ILUSTRATIVO. Planteemos una integral que, al modificar el integrando se irá complicando, al no estar completo el diferencial a) Al resolver la siguiente integral. Se tiene que es inmediata, porque si Entonces.
b) Al resolver la siguiente integral (
).
Ya no es inmediata, porque no está completo el diferencial, entonces se efectúa un arreglo.
Por lo que.
c) Al resolver la siguiente integral (
).
Ya no es inmediata, porque no está completo el diferencial, entonces se efectúa un arreglo.
Por lo que.
31
CÁLCULO INTEGRAL d) Al resolver la siguiente integral (
).
Ya no es inmediata, porque no está completo el diferencial, entonces se efectúa un arreglo.
Por lo que.
49.-
Solución. i. Haciendo el cambio de variable ii. Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo el cambio de variable Entonces. Veamos el arreglo algebraico.
Por lo que, Separando en dos integrales, se tiene que.
Así se tiene que.
Por lo tanto.
32
CÁLCULO INTEGRAL 50.-
Solución. i. ii.
Haciendo el cambio de variable Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo el cambio de variable Entonces. Veamos el arreglo algebraico.
Por lo que, Separando en dos integrales, se tiene que.
Así se tiene que.
Por lo tanto.
33
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN POR PARTES Para la obtención de la fórmula de integración por partes se desarrolla a partir de la derivada de un producto, donde. , Las funciones están en términos de la variable independiente .
Para obtener la diferencial del producto, se multiplica por
.
Entonces. Integrando.
Al despejar la primer integral del lado derecho (da lo mismo si despeja la segunda integral). Se obtiene.
Nótese que para resolver se debe resolver otra integral ser más simple que la primera o al menos equivalente.
esta segunda integral debe
Esta fórmula de integración permite resolver integrales de la forma. i)
Productos de funciones.
ii)
Funciones Logarítmicas.
iii)
Funciones Trigonométricas inversas.
iv)
Algunas funciones trigonométricas directas.
En general la fórmula de integración por partes se utiliza para reducir varias integrales.
34
CÁLCULO INTEGRAL Productos de la forma.
51.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
Por lo tanto.
Nótese que una mala elección de y dará lugar a una incorrecta solución, puesto que la segunda integral será más complicada que la primera, veamos.
Sustituyendo.
En efecto, la segunda integral es más complicada que la primera, en la función polinomial, la potencia original de grado uno aumentó a una potencia de grado 2. 52.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
Por lo tanto.
35
CÁLCULO INTEGRAL 53.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
La segunda integral es inmediata, se calcula, efectuando la división.
Entonces. Por lo que. Por lo tanto.
54.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
La segunda integral es inmediata, se calcula, efectuando la división.
Entonces. Por lo que.
Por lo tanto.
36
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la forma.
Generalmente la potencia indica el número de veces en que habrá de aplicarse la integración por partes, aunque no sucede en todos los casos. 55.-
Solución. Aplicando la integración por partes. En este caso se tiene una doble integración por partes, determinada por la potencia 2.
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Sustituyendo.
Entonces.
Por lo tanto.
37
CÁLCULO INTEGRAL
56.-
Solución. Aplicando la integración por partes. También se tiene una doble integración por partes, determinada por la potencia 2.
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Sustituyendo.
Entonces.
Por lo tanto.
38
CÁLCULO INTEGRAL
57.-
Solución. En apariencia es una integral complicada. Sin embargo al factorizar primero la potencia quinta se tiene.
De esta manera se hace un cambio de variable. Si entonces Es decir, se completa el diferencial para la función exponencial. Ahora, Aplicando la integración por partes. No se debe confundir, puesto que la potencia cúbica no indicará que se tiene que integrar 3 veces.
Sustituyendo.
La segunda integral es inmediata, por la misma razón expuesta en un principio, al hacer el cambio de variable , Así.
Por lo que.
Por lo tanto.
39
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de funciones trigonométricas inversas. 58.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo, La segunda integral es inmediata, haciendo un cambio de variable. Se tiene.
Por lo tanto.
59.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo, La segunda integral es inmediata, haciendo un cambio de variable. Se tiene.
Por lo tanto.
40
CÁLCULO INTEGRAL
Otras integrales por partes. 60.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
Por lo que.
Que al simplificar, se obtiene.
Por lo tanto.
Nota. Al hacer otra elección por partes.
Se tienen una segunda integral más complicada que la primera.
41
CÁLCULO INTEGRAL 61.-
Solución. Se efectúa una doble integración por partes. Teniendo cuidado de elegir la misma función en la segunda integración por partes. De lo contrario se vuelve cíclica, entonces se tendrá la igualdad .
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Sustituyendo.
Nótese que la integral del lado derecho es la misma que la del lado izquierdo, es decir, la incógnita, entonces despejando se tiene. Por lo que.
Por lo tanto.
Nota. Si no se hace cuidado al elegir las partes en la segunda integración por partes, puede ocurrir lo siguiente. Segunda integración por partes.
Sustituyendo. Entonces.
42
CÁLCULO INTEGRAL 62.-
Solución. Integrando por partes. Previamente se factoriza la potencia cúbica.
Sustituyendo. Se utiliza la identidad pitagórica
Por lo que.
Nótese que en el lado derecho se tiene la misma integral que en él lado izquierdo, es decir, la incógnita, además aparece una integral inmediata, entonces despejando se tiene.
Por lo que.
Por lo tanto.
Nota. De manera recursiva se efectúan las integrales de las potencias impares para la secante
Que al integrar por partes. Se obtiene.
En general se encuentra una fórmula de reducción.
43
CÁLCULO INTEGRAL 63.-
Solución. No se debe confundir el integrando, que es una composición de funciones, con el producto de funciones, es decir, Integrando por partes. Se hace una doble integración.
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Entonces.
Nótese que en el lado derecho se tiene la misma integral que en él lado izquierdo, es decir, la incógnita, entonces despejando se tiene. Por lo que.
Por lo tanto.
44
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS Potencias del seno y coseno. Potencias impares. Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma. Utilizando la identidad pitagórica. Se reducirá de la siguiente manera. Si es impar. (No importa el valor de ) Se factoriza la potencia del seno, obteniéndose una potencia , Entonces.
par y el diferencial del coseno.
Se utiliza un artificio algebraico estándar: Entonces.
Por lo que.
Si es impar. (No importa el valor de ) Se factoriza la potencia del coseno, obteniéndose una potencia Entonces.
Se utiliza un artificio algebraico estándar: Entonces.
Por lo que.
45
par y la diferencial del seno.
CÁLCULO INTEGRAL 64.-
Solución. Como Entonces.
Las integrales resultantes son inmediatas. Por lo tanto.
65.-
Solución. Esta integral puede ser resuelta de dos maneras (porque se tienen dos potencias impares o bien , entonces. Primera solución. Con
Entonces.
Las integrales resultantes son inmediatas, haciendo
, por lo que.
Por lo tanto.
Segunda solución. Con Entonces.
Así.
Las integrales resultantes son inmediatas, haciendo
, por lo que.
Por lo tanto.
46
CÁLCULO INTEGRAL Potencias pares Esquema general de solución. Para las integrales de la forma.
Se utilizan las identidades del ángulo doble, para reducir los integrandos.
66.-
Solución. Se sustituye la identidad del ángulo doble.
Por lo tanto.
67.-
Solución. Aplicando las fórmulas del ángulo doble. Se puede empezar de dos maneras.
Entonces, de cualquiera de las dos manera se tiene que.
Simplificando aún más el resultado, como. Se tiene.
Por lo tanto.
47
CÁLCULO INTEGRAL 68.-
Solución. Se sustituye la identidad del ángulo doble y desarrollando. Se puede empezar de dos maneras.
De cualquiera de las dos maneras se tiene que.
Sustituyendo.
Cálculo de la integral con potencia par.
Cálculo de la integral con potencia impar.
Entonces.
Por Lo que.
Por lo tanto.
48
CÁLCULO INTEGRAL Ángulos diferentes Las integrales de la forma de Productos seno- seno, seno-coseno, coseno-coseno, con ángulos diferentes, como.
Se resuelven de manera inmediata, al aplicar las fórmulas respectivas para dichos productos. A partir de las fórmulas para la suma y diferencia de ángulos.
Se tiene que.
Entonces, al realizar el cálculo integral se tiene.
69.-
Solución. Sustituyendo
70.-
Solución. Sustituyendo
71.-
Solución. Sustituyendo
49
CÁLCULO INTEGRAL Potencias de tangente-cotangente. Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma.
Utilizando la identidad pitagórica. O bien, para las integrales de la forma. Utilizando la identidad pitagórica. Se reducirán de la siguiente manera. Para la tangente. Se factoriza la potencia de la tangente, obteniéndose una potencia tangente
y el diferencial de la
Entonces.
La primera integral resultante es inmediata y la segunda integral está reducida con respecto de la original, puesto que se ha bajado la potencia en dos unidades, pudiendo repetirse el proceso. Puesto que puede terminar de dos maneras.
O bien.
Para la cotangente. Se realiza un proceso semejante. Se obtiene una potencia
Puede terminar de dos maneras. O bien.
50
y el diferencial de la cotangente
CÁLCULO INTEGRAL 72.-
Solución. Factorizando
Por lo tanto.
73.-
Solución. Factorizando
Entonces.
Por lo tanto.
74.-
Solución.
Al resolver la integral reducida se tiene.
Haciendo Así.
Por lo que.
Por lo tanto.
51
CÁLCULO INTEGRAL Potencias de secante-cosecante Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma.
Si es impar, estas integrales se resuelven por partes. Se es par se utilizan las identidades pitagóricas. Reduciéndose de la siguiente manera. Para la secante. Se factoriza la potencia de la secante, obteniéndose una potencia
par y el diferencial de la tangente.
Entonces.
Se utiliza el artificio algebraico estándar. Entonces.
Por lo que.
Para la cosecante. Se factoriza la potencia de la cosecante, obteniéndose una potencia cotangente Entonces.
Se utiliza el artificio algebraico estándar. Entonces.
Por lo que.
52
par y el diferencial de la
CÁLCULO INTEGRAL 75.-
Solución.
Por lo que.
Por lo tanto.
76.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado
se tiene.
Entonces. Por lo que, se separa en tres integrales.
Por lo tanto.
77.-
Solución. Desarrollando el binomio al cubo
se tiene.
Por lo que, se separa en cuatro integrales.
Por lo tanto.
53
CÁLCULO INTEGRAL Productos de potencias tangente-secante ó cotangente-cosecante Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma.
Se utilizan las identidades pitagóricas. Reduciéndose de la siguiente manera. Si es par. (No importa el valor de ) Se procede como en el caso anterior. Se factoriza la potencia de la secante, obteniéndose una potencia par y el diferencial de la tangente. Entonces.
Por lo que.
De manera semejante.
Si es impar. (No importa el valor de ) Se factoriza la potencia de la tangente, obteniéndose una potencia par, se factoriza la potencia de la secante, obteniéndose una potencia y el diferencial de la secante. Entonces.
Por lo que.
De manera semejante.
Si es par y es impar. Se tiene una situación especial, porque no está en el esquema anterior. Como ejemplo ilustrativo se tiene.
Obteniéndose 3 integrales de potencias impares de la cosecante que se resuelven por partes.
54
CÁLCULO INTEGRAL 78.-
Solución. Como
es par.
Entonces, se separa en dos integrales.
Por lo tanto.
79.-
Solución. Como
es par
Entonces, se separa en dos integrales.
Por lo tanto.
Nota. Si
es par no importa el valor de
, como se ilustra a continuación.
Entonces, se separa en dos integrales.
Por lo tanto.
55
CÁLCULO INTEGRAL 80.-
Solución. Como
es impar
Haciendo un cambio de variable (para facilitar el cálculo). .
Por lo que. Se separa en dos integrales.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. i) Si
es impar no importa el valor de , como se ilustra a continuación.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. ii) Al modificarse ligeramente la integral, cambia radicalmente la solución. Sea la integral.
Entonces. Haciendo un cambio de variable. Por lo que.
56
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, los lados se relacionan de la siguiente manera: “En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” Geometría. Si
Si INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Las fórmulas para resolver integrales por sustitución trigonométrica se basan en el teorema de Pitágoras. Si el integrando contiene una expresión de la forma Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución trigonométrica de acuerdo a la siguiente tabla. LOS TRES CASOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
CASO 1.- FORMA
SENO-COSENO
CASO 2.- FORMA
TANGENTE-SECANTE
FORMA 3.-
SECANTE-TANGENTE
57
CÁLCULO INTEGRAL CASO 1.- El integrando contiene un radical de la forma.
81.-
Solución. A partir del triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
. Entonces.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces. Haciendo el cambio de variable.
Se sustituye la cotangente en términos de , es decir, Por lo que.
Por lo tanto.
58
CÁLCULO INTEGRAL 82.-
Solución. Primero se adecúa el integrando para tener la forma de la raíz
.
A partir del triángulo rectángulo
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico. Entonces.
Expresando el resultado de la integral en términos de , del triángulo rectángulo, se tiene. Por lo tanto.
Nota. El valor de
puede obtenerse de 6 maneras distintas.
Por lo que. Todos los siguientes resultados son equivalentes.
59
CÁLCULO INTEGRAL 83.-
Solución. Se efectúan dos cambios de variable. El primero será. Para tener una integral de variable algebraica. El segundo será. Para hacer la sustitución trigonométrica. Después se hará la sustitución hacia atrás, para regresar a la variable original Primer cambio de variable.
Entonces.
Segundo cambio de variable. Con el siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces. Se tiene una integral inmediata.
Sustitución hacia atrás.
Expresando el resultado de la integral en términos de , se tiene del triangulo rectángulo. Por lo que.
Por lo tanto.
60
CÁLCULO INTEGRAL CASO 2.- El integrando contiene un radical de la forma.
84.-
Solución. A partir del siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Será conveniente expresar en términos de senos-cosenos el primero de los dos sumandos resultantes.
Entonces.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Por lo tanto.
61
CÁLCULO INTEGRAL 85.-
Solución. A partir del siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces.
Integrando por partes, resulta que. Mientras que la Integral inmediata. Sustituyendo estos resultados.
Al simplificar.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Finalmente, sustituyendo.
Por lo tanto.
62
CÁLCULO INTEGRAL 86.-
Solución. La potencia fraccionaria del integrando se adecúa para tener la forma de la raíz
.
Utilizando el siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces.
Expresando el resultado en términos de . Del triángulo rectángulo. Se obtiene.
Por lo tanto.
63
CÁLCULO INTEGRAL CASO 3.- El integrando contiene un radical de la forma.
87.-
Solución. A partir del siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral.
Simplificando el integrando trigonométrico. Se muestran dos posibilidades de simplificación.
Entonces. La integral resultante es una potencia par del seno.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Se obtiene.
Por lo tanto.
64
CÁLCULO INTEGRAL 88.-
Solución. Primero se adecúa el integrando para tener la forma de la raíz
.
Utilizando el triángulo rectángulo siguiente.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se tiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces, la integral resultante es inmediata, haciendo un cambio de variable. Entonces.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Por lo tanto.
65
CÁLCULO INTEGRAL 89.-
Solución. Utilizando el siguiente triángulo rectángulo.
Se Hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se tiene. La simplificación trigonométrica es muy simple.
Expresando el resultado de la integral en términos de , del triángulo rectángulo, se tiene. Por lo tanto.
Notas. i) ii)
Esta integral corresponde a una fórmula inmediata de un formulario básico de integrales. El valor de puede obtenerse de 6 maneras distintas.
Por lo que. Todos los resultados son equivalentes.
iii)
en esta y otras integrales al modificar ligeramente el integrando se hace inmediata con un simple cambio de variable. Por ejemplo. Al pasar la
al numerador.
Cuyo resultado concuerda con una sustitución trigonométrica. Usando las sustituciones de este problema.
66
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES. Función racional. Una función racional es una expresión de la forma.
Donde y son polinomios con . La función racional grado del numerador es menor que el grado del denominador .
se llama propia si el
Descomposición en Fracciones Parciales (DFP) El método DFP consiste en descomponer una fracción propia de la forma.
En una suma de dos o más fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen mediante la factorización del polinomio en factores lineales y/o cuadráticos. Se tienen los cuatro casos siguientes. CASO 1.- RAÍCES REALES DIFERENTES Los factores son todos lineales y ninguno se repite, es decir, el denominador se descompone en raíces reales de primer grado y diferentes. La descomposición se hace de la forma.
Donde
son constantes que se deben determinar.
CASO 2.- RAÍCES REALES REPETIDAS Los factores de son todos lineales y algunos se repiten, es decir, las raíces del denominador son números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada factor de de la forma le corresponde una suma de n fracciones parciales
Donde , , ,… son constantes que se deben determinar. CASO 3.- RAÍCES COMPLEJAS DIFERENTES El denominador tiene factores cuadráticos con raíces complejas que no se repiten, para cada factor cuadrático existe la fracción parcial. Donde
y
son constantes que se deben determinar.
CASO 4. RAÍCES COMPLEJAS REPETIDAS El denominador contiene factores cuadráticos con raíces complejas que se repiten. A cada factor cuadrático le corresponde la suma de fracciones parciales. Donde , , , , , , … son constantes que se deben determinar.
67
CÁLCULO INTEGRAL 90.- Efectúa la DFP de las funciones racionales de la columna del lado izquierdo. FUNCION RACIONAL
DFP
68
CÁLCULO INTEGRAL CASO 1. Integración de fracciones con raíces reales diferentes. Forma.
91.-
Solución. Se efectúa la DFP. i) Factorizando el trinomio cuadrático del denominador en dos factores lineales ii)
Descomponiendo la fracción propia en la suma de dos fracciones parciales.
iii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Se obtiene. Cálculo de las constantes. Evaluando en las raíces del polinomio. Si Si Entonces. iv)
Integrando.
Por lo tanto.
Notas. i)
ii)
Para comprobar que la DFP es correcta, se realiza la suma de fracciones algebraicas.
El cálculo de las constantes, en este caso, puede hacerse también a través del método de los coeficientes indeterminados.
69
CÁLCULO INTEGRAL 92.-
Solución. Se efectúa la DFP. i) Factorizando el polinomio cúbico del denominador. ii)
Descomponiendo la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
iii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Se obtiene.
Cálculo de las constantes. Evaluando en las raíces del polinomio. Si Si Si Entonces.
iv)
Integrando.
Por lo tanto.
Notas. i)
ii)
Para comprobar que la DFP es correcta, se realiza la suma de fracciones algebraicas.
El cálculo de las constantes, en este caso, puede hacerse también a través del método de los coeficientes indeterminados.
70
CÁLCULO INTEGRAL CASO 2.- Integración de fracciones con raíces reales repetidas. Forma.
Haciendo un cambio de variable Entonces.
93.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El Polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, ahora se descompone la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
(Nótese que, el exponente del factor lineal del denominador va creciendo desde uno hasta tres)
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Cancelándose los denominadores del segundo miembro, entonces. Desarrollando, se obtiene. iii) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para : Para : Para el término independiente: Resolviendo el sistema de ecuaciones. Entonces.
iv)
Integrando.
Por lo que.
Por lo tanto.
71
CÁLCULO INTEGRAL 94.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, ahora se descompone la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
(Nótese que, el exponente del factor lineal al cuadrado del denominador va creciendo desde uno hasta dos)
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Entonces. iii) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para Para : Para el término independiente: Resolviendo el sistema de ecuaciones.
,
,
Entonces.
iv)
Integrando.
Por lo tanto.
72
CÁLCULO INTEGRAL CASO 3.- Integración de fracciones con raíces complejas diferentes. Forma. Donde los factores cuadráticos son irreducibles.
Notas. i) Al hacer. Al hacer. ii) iii)
Se tendrá una integral inmediata sí.
… En general no se cumplen las condiciones anteriores, entonces se completa el TCP. Frecuentemente las integrales son de la forma tales como:
95.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, ahora se descompone la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Entonces. i) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para : Para : Para el término independiente: Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas Entonces.
iii)
Integrando.
Haciendo los cambios de variable respectivos para cada una de las 3 integrales.
Se obtiene.
Por lo tanto.
73
CÁLCULO INTEGRAL 96.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, se descompone la fracción propia en la suma de las fracciones parciales.
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Por lo que. i)
Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados.
Para : Para : Para el término independiente: Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
Entonces.
iii)
Integrando.
La primera integral es inmediata, mientras que la segunda integral se resuelve completando el trinomio cuadrado perfecto, TCP. Se obtiene.
Por lo tanto.
74
CÁLCULO INTEGRAL CASO 4. Integración de fracciones con raíces complejas repetidas. Forma.
Notas. Se tienen las mismas consideraciones vistas anteriormente. i) Se tendrá una integral inmediata sí. Al hacer. Al hacer. … ii) En general no se cumplen las condiciones anteriores, entonces se completa el TCP. iii) Frecuentemente las integrales son de la forma tales como: iv)
La integral de la primera fracción simple es inmediata o se completa el TCP, mientras que la integral de las siguientes fracciones sino se completa el diferencial se tendrá que hacer una sustitución trigonométrica.
97.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i) Se descompone la fracción propia en la suma de dos fracciones parciales.
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Entonces. iii)
Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados.
Para : Para : Para : Para el término independiente Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
iv)
Entonces, con estos resultados, Integrando. Haciendo el cambio de variable.
Se tiene.
Por lo tanto.
75
CÁLCULO INTEGRAL 98.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
Descomponiendo la fracción propia en la suma de dos fracciones parciales.
i)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Desarrollando los productos. i) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para : Para : Para : Para el término independiente Resolviéndose el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas
Entonces. ii)
Integrando.
La primera integral se resuelve completando el trinomio cuadrático perfecto, TCP.
Entonces.
La segunda integral se resuelve completando el diferencial. Entonces.
Por lo que.
Por lo tanto.
76
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA Segundo teorema fundamental del cálculo integral. Este teorema establece
Dónde. i) ii)
es la evaluación en el límite superior
es la evaluación en el límite inferior.
Geometría. Área bajo una curva. El valor representado por intervalo .
es el área bajo la curva definida por
, si
en el
Área entre curvas. Si , Es decir, la curva las curvas en el intervalo será
está sobre la curva
entonces el área contenida entre
Si , Es decir, la curva está a la derecha de la curva contenida entre las curvas en el intervalo será.
77
Entonces el área
CÁLCULO INTEGRAL Sólidos de revolución. Se tiene. i)
la región definida por una curva sobre el eje de las x´s en el intevalo , entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las x´s es.
ii)
o bien la región está definida entre dos curvas en el intervalo , entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las x´s es.
iii)
la región definida por una curva a la derecha del eje de las y´s en el intervalo entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las y´s es.
iv)
o bien la región está definida entre dos curvas en el intervalo , entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las y´s es.
Longitud de curva. Para calcular la longitud de una curva definida por la función o de manera equivalente desde el punto hasta el punto la expresión.
78
en el intervalo . Se determina por
,
CÁLCULO INTEGRAL Integral definida. 90.-
Solución. Simplificando el integrando. Entonces, se calcula la integral indefinida.
Por lo que, se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto
79
CÁLCULO INTEGRAL 91.-
Solución. Simplificando el integrando.
Entonces, se calcula la integral indefinida.
Por lo que, se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
80
CÁLCULO INTEGRAL 92.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo que. Se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
81
CÁLCULO INTEGRAL 93.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Haciendo una integración por partes.
Entonces.
Por lo que. Se calcula la integral definida.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
82
CÁLCULO INTEGRAL 94.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Es la Integral de una potencia impar del seno. Usando la identidad pitagórica. Entonces.
Por lo que.
Al simplificar se obtiene.
Nota de aritmética. Geometría.
Por lo tanto.
83
CÁLCULO INTEGRAL 95.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Se efectúa la división entre polinomios, puesto que es una fracción impropia.
Entonces.
En la segunda integral se completa el TCP. Haciendo un cambio de variable.
Por lo que.
Entonces. Se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
84
CÁLCULO INTEGRAL Área bajo una curva. 96.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. Se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
97.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida es.
Por lo que, al evaluar la integral definida se tiene el área bajo la curva.
Geometría.
Por lo tanto.
85
CÁLCULO INTEGRAL 98.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida se puede calcular sustituyendo en la fórmula inmediata, se obtiene de un formulario básico de cálculo integral o bien haciendo una sustitución trigonométrica. Se tiene.
Haciendo un cambio de variable. Sustituyendo. Para evaluar la integral definida. Teniéndose.
Por lo que.
Geometría.
Por lo tanto.
99.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida se puede calcular sustituyendo en una fórmula inmediata, se obtiene de un formulario básico de cálculo integral o bien haciendo una integración por partes. Se tiene.
Sustituyendo. Para evaluar la integral definida. Teniéndose.
Geometría.
Por lo tanto.
86
CÁLCULO INTEGRAL 100.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida se puede calcular sustituyendo en la fórmula inmediata, se obtiene de un formulario básico de cálculo integral. Se tiene.
Sustituyendo. Para evaluar la integral definida. Haciendo un cambio de variable.
Geometría.
Por lo tanto.
Notas. i)
Al obtener el área bajo la curva en el intervalo
se anula.
Debido a que se tiene un área positiva y un área negativa. ii)
Al obtener el área bajo la curva de
en el intervalo
Se obtiene la misma área, debido a que el seno es igual el coseno desplazado.
87
CÁLCULO INTEGRAL Área entre curvas. 101.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Se determinan los límites de integración
.
Resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una parábola con una recta. Igualando. Si
y
Por lo que, si
entonces. y
.
Al evaluar.
Al tomarse el valor absoluto se tiene Geometría.
Por lo tanto.
Nota. El resultado negativo del área es debido a que en el intervalo parábola se encuentra por debajo de la recta.
88
, es decir la
CÁLCULO INTEGRAL 102.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Se determinan los límites de integración
. Directamente de los datos
Es el área bajo la función potencia negativa y sobre una parábola que abre hacia abajo. Por lo que, si
y
.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
Nota. Se tiene una simetría al eje de las
, puesto que al calcular el área en
Se tiene.
Al evaluar.
89
CÁLCULO INTEGRAL 103.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Se determinan los límites de integración
.
Resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de dos parábolas horizontales. Igualando. Si Por lo que, si
entonces. y
.
Al evaluar.
Al tomarse el valor absoluto se tiene que Geometría.
Por lo tanto.
Nota. El resultado negativo del área es debido a que en el intervalo
90
CÁLCULO INTEGRAL 104.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Esta región no queda definida por dos curvas, es una sola curva que define dos áreas al intersectar la función al eje de las y´s ( . Por lo que. Los límites de integración se obtienen al resolver la ecuación sistema de ecuaciones simultáneas resuelto por igualación).
, (que finalmente es un
Si Entonces.
El área es negativa porque se encuentra a la izquierda del eje de las y´s. Tomando el valor absoluto, se encuentra que el aérea total es.
Geometría.
Por lo tanto.
91
CÁLCULO INTEGRAL Sólidos de Revolución. 105.- Determine el sólido de revolución generado al girar la región
Solución. Se tiene que, la función es Mientras que los límites de integración son. Entonces.
alrededor del eje de las
.
Geometría.
Por lo tanto.
106.- Determine el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que, La función es Mientras que los límites de integración son. Entonces.
Geometría.
Por lo tanto.
92
CÁLCULO INTEGRAL 107.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que, La funciones son y Mientras que los límites de integración son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una recta con una parábola que abre hacia arriba. Por igualación. Si
y
entonces
Por lo que.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
108.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región Solución. Se tiene que, la función es Mientras que, los límites de integración son Entonces.
alrededor del eje de las
.
Geometría.
Por lo tanto
93
CÁLCULO INTEGRAL 109.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que. La funciones son y . Mientras que los límites de integración son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una recta con una parábola que abre a la derecha. Por igualación. Si
entonces
Por lo que.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
Nota. El resultado negativo del volumen es debido a que en el intervalo el valor absoluto.
94
, tomándose
CÁLCULO INTEGRAL 110.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que, La funciones son y . Mientras que los límites de integración son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una recta con una parábola que abre a la derecha. Por igualación. Si
entonces
Por lo que, (se desarrolla el binomio al cuadrado).
Al evaluar.
Simplificando.
Geometría.
Por lo tanto. Nota. El resultado negativo del volumen es debido a que en el intervalo parábola está a la izquierda de la recta, entonces se toma el valor absoluto.
95
, es decir la
CÁLCULO INTEGRAL Longitud de curva. 111.- Determine la longitud de la curva definida por
desde el punto
hasta el punto
Solución. Se calcula la derivada. Si Se simplifica el integrando.
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral es inmediata, dónde.
Se utiliza la fórmula.
Así que.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
96
CÁLCULO INTEGRAL 112.- Determine la longitud de la curva definida por
en el intervalo
.
Solución. Se calcula la derivada.
Se simplifica el integrando, (se obtiene un trinomio cuadrado perfecto).
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral es inmediata. Entonces.
Geometría.
Por lo tanto.
97
CÁLCULO INTEGRAL 113.- Determine la longitud de la curva definida por
en el intervalo
.
Solución. Se calcula la derivada.
Se simplifica el integrando.
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral es inmediata, dónde. Se utiliza la fórmula.
Entonces.
Geometría.
Por lo tanto.
Nota. Es el perímetro de la cuarta parte de una circunferencia de radio igual a uno.
98
CÁLCULO INTEGRAL 114.- Determine la longitud de la curva definida por
desde el punto
hasta el punto
Solución. Se calcula la derivada.
Se simplifica el radicando.
Se simplifica el integrando.
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral se resuelve de manera inmediata, con un cambio de variable. Entonces.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
99
CÁLCULO INTEGRAL MANUAL 114 PROBLEMAS RESUELTOS
ABEL VALDÉS
CÁLCULO INTEGRAL DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN Definición de incremento. Sea una función de la función se define como.
dada por
Definición de derivada. Sea una función función se define como.
dada por
entonces el incremento entonces la derivada de la
Nota. Para una mejor comprensión es mejor escribir en notación de Leibniz la anterior definición, es decir.
Simplemente escribiendo Definición de diferencial. Como entonces, dado que tanto como son cantidades, infinitamente pequeñas, pero al final de cuentas son cantidades, se tiene, despejando. O bien.
Como
Entonces
considerando que
, en palabras se dice que:
“El diferencial de la función es aproximadamente igual al incremento de la función”
Estimación de valores numéricos. A partir de la expresión
Al despejar a
se tiene que.
O bien, se tiene que.
2
CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de incrementos y diferenciales. 1.- Calcula el incremento
y el diferencial
para los valores indicados de
y
si.
Solución. El incremento de la función es. El diferencial de la función es. Como entonces Por lo tanto. 2.- Calcula el incremento
y el diferencial
para los valores indicados de
y
si
Solución. El incremento de la función es.
Evaluando con
Se tiene.
El diferencial de la función es. Como
entonces Evaluando con
Por lo tanto.
3
CÁLCULO INTEGRAL Estimación de valores numéricos. 3.- Usando diferenciales estima el valor de la expresión
Solución. Sea
entonces
,
Se tiene, al sustituir.
Evaluando, con
Se tiene.
Por lo tanto.
4.- Usando diferenciales estima el valor de la expresión
Solución. Sea entonces Se tiene, al sustituir.
,
Evaluando, con
Nótese que, para poder efectuar las operaciones aritméticas se tiene la equivalencia de grados en radianes por lo que. Se tiene.
Por lo tanto.
4
CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de diferenciales. Para obtener el diferencial de una función , básicamente consiste en obtener la derivada de la misma función y multiplicarla por la diferencial de la variable independiente, Esto es. Operaciones básicas. Así, se tienen las fórmulas básicas de diferenciación. Sean las funciones.
Y
entonces
i)
Diferencial de una suma.
ii)
Diferencial de una resta. Nótese que para la resta se tiene una expresión semejante.
iii)
Diferencial de un producto.
iv)
Diferencial de un cociente
Cálculo de diferenciales. 5.- Calcula el diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Por lo tanto.
5
CÁLCULO INTEGRAL 6.- Calcula el diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Entonces.
Al simplificar la expresión dentro del paréntesis se tiene.
Por lo tanto.
7.- Calcula el diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Entonces.
Por lo que.
Al simplificar la expresión dentro del paréntesis se tiene.
Por lo tanto.
6
CÁLCULO INTEGRAL 8.- Calcula la diferencial
de la siguiente función.
Donde Solución. Se tiene que.
Entonces.
Al simplificar se tiene. (Primero lo que está dentro del paréntesis).
Por lo tanto.
7
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN INMEDIATA Antidiferencial de una función. Planteamiento general, al buscar la antidiferencial de una función se tiene.
Donde
, entonces
Cambio de variable. Al tener una integral inmediata se considera la composición de funciones, la forma general se plantea de la siguiente manera.
Donde
entonces
.
¿Cómo se puede interpretar esta expresión? Sea
entonces.
Se tiene que Entonces Así que.
Es decir. En una integración inmediata debe aparecer tanto una función como su derivada. Integral de una potencia.
Porque, al tomar el diferencial de la función se tiene. Si.
Entonces.
Nota. Casos particulares.
8
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula
9.
Solución. Desarrollando la fracción algebraica.
Por lo tanto.
10.-
Solución. Separando en 4 integrales.
Por lo tanto.
9
CÁLCULO INTEGRAL 11.-
Solución. Efectuando el producto entre binomios y simplificando.
Entonces.
Que al calcular las integrales se tiene.
Por lo tanto.
12.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando.
Entonces.
Al calcular las integrales se tiene.
Por lo tanto.
10
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
13.-
Solución. Haciendo un cambio de variable se tiene Así que.
Por lo tanto.
Nótese que si se desarrolla primeramente el binomio al cuadrado, se obtiene.
Por lo tanto.
Ambos resultados son correctos, ahora bien para establecer la equivalencia, se tiene desarrollando el binomio al cubo del primer resultado, como Entonces.
14.
Solución. Haciendo un cambio de variable se tiene Así que.
Por lo tanto.
Al igual que en el ejemplo anterior, desarrollando el binomio al cuadrado, se obtiene.
Resultando correctos ambos resultados, porque, al desarrollar el binomio al cubo.
11
CÁLCULO INTEGRAL 15.-
Solución. Haciendo un cambio de variable, se tiene Así que.
Por lo tanto.
16.-
Solución. Haciendo un cambio de variable, se tiene Así que.
Por lo tanto.
17.-
Solución. Haciendo un cambio de variable, se tiene. Así que.
Por lo tanto.
12
CÁLCULO INTEGRAL 18.-
Solución. Multiplicando el integrando por “un uno adecuado”, en este caso será el conjugado.
Aplicando la identidad trigonométrica. Entonces.
Por lo que.
Por lo tanto.
Nota.
. Porque
, mientras que.
Que se lee. “arco cuyo seno es ” ó bien, “ángulo cuyo seno es ” 19.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado.
Aplicando la identidad trigonométrica Es conveniente este despeje porque Así que.
es una integral inmediata.
Entonces.
Por lo tanto.
13
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
20.-
Solución. Haciendo un cambio de variable. Así que.
Por lo tanto.
21.-
Solución. Haciendo un cambio de variable.
Así que.
Por lo tanto.
22.
Solución. Debe efectuarse primero la división entre los polinomios de primer grado, entonces.
Así que. Haciendo
Por lo tanto.
14
CÁLCULO INTEGRAL 23.-
Solución. Debe efectuarse primero la división entre los polinomios, entonces.
Así que.
Por lo tanto.
24.-
Solución. Primera Solución. Multiplicando el integrando por “un uno adecuado”, en este caso por
.
Así que, de esta manera se completa el diferencial. Haciendo el cambio de variable Así que.
Por lo tanto. Segunda Solución. Sumando “un cero adecuado” en el numerador.
De esta manera se tiene completo el diferencial.
Por lo tanto.
Ambos resultados son equivalentes.
15
CÁLCULO INTEGRAL 25.-
Solución. Primera solución. Efectuando la división.
Así que. En la segunda integral se multiplica por un “uno adecuado” en este caso Haciendo
Por lo tanto.
Segunda Solución. Separando en dos integrales.
Así que. En la primer integral está completo el diferencial. Haciendo En la segunda integral se multiplica por un “uno adecuado” en este caso Haciendo
Por lo tanto.
Tercera solución. Reescribiendo el integrando, sumándole “un cero adecuado”.
Por lo que. En la primer integral está completo el diferencial. Haciendo.
Por lo tanto.
Las 3 soluciones son equivalentes.
16
CÁLCULO INTEGRAL 26.-
Solución. Haciendo un cambio de variable.
Se tiene que.
Por lo tanto.
Nota. De este último ejemplo se desprenden las siguientes fórmulas básicas importantes.
17
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
27.-
Solución. Separando en dos integrales i)
haciendo un cambio de variable para la primer integral.
ii)
La segunda integral es de la forma
.
Entonces.
Por lo tanto.
28.-
Solución. Se presentan dos soluciones, la primera es desarrollando el binomio al cuadrado y efectuando el producto, después se separan las integrales. Mientras que la segunda solución se hace con un cambio de variable. Primera solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y efectuando el producto. Entonces.
Por lo tanto.
18
CÁLCULO INTEGRAL Segunda solución. Haciendo el cambio de variable.
Por lo que.
Por lo tanto.
Que son soluciones equivalentes, porque al desarrollar el binomio al cubo, se tiene que.
29.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado y separando las integrales.
Por lo que. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
19
CÁLCULO INTEGRAL Integrales que contienen expresiones de la forma Integrales de la fórmula.
i)
Como la suma es conmutativa entonces se tiene lo mismo para.
ii)
Para denotar la función inversa de la tangente se tiene. aunque de esta última notación no se debe confundir
30.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable Entonces.
Por lo tanto.
31.-
Solución. Se efectúa la división entre los polinomios de segundo grado.
Entonces. En la segunda integral se tiene. Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
20
CÁLCULO INTEGRAL 32.-
Solución. Se transforma el integrando, al multiplicar por un “uno adecuado”.
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
33.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces, se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
21
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
Nótese que.
Como.
34.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
35.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
22
CÁLCULO INTEGRAL 36.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces, se tiene
Haciendo un cambio de variable.
Para simplificar el resultado, se tiene.
Por lo tanto.
37.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
23
CÁLCULO INTEGRAL 38.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
Nota. Al hacer un ligero cambio al integrando, cambia radicalmente la solución de la integral. Sea la integral
Se ha cambiado
por
entonces tendrá como solución.
Haciendo un cambio de variable:
Que es inmediata.
24
CÁLCULO INTEGRAL Integrales que contienen expresiones de la forma Integrales de la fórmula.
Nótese que son dos fórmulas.
39.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
40.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
25
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
41.Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Entonces. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
42.Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
26
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula.
43.-
Solución. Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
44.-
Solución. Completando el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
45.-
Solución. Se tiene
Haciendo un cambio de variable.
Por lo tanto.
27
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la fórmula
46.-
Solución. Completando trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. Si el radicando es un trinomio cuadrado perfecto (TCP), entonces el cálculo integral es simple. Sea la integral.
Se ha modificado la función, de tal manera que esté completo el trinomio cuadrado perfecto. Entonces, al resolver la integral, se tiene.
Que es inmediata.
28
CÁLCULO INTEGRAL Separación en dos integrales Integrales de la forma.
Donde es una suma o diferencia de cuadrados. La solución general se establece como.
De tal manera que. i) En la primer integral se completa el diferencial ii) En la segunda integral se resuelve por medio de alguna de las formas vistas anteriormente. 47.-
Solución. Separando en dos integrales. i)
En la primer integral se tiene
ii)
En la segunda integral se tiene. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Que al simplificar se tiene. Multiplicando por un “uno adecuado”.
Por lo tanto.
29
CÁLCULO INTEGRAL 48.-
Solución, separando en dos integrales. i)
En la primer integral se tiene
ii)
En la segunda integral se tiene. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. Modificando ligeramente el integrando. Se tiene una integral simple. Sea la integral.
La integral es inmediata, haciendo un cambio de variable. Entonces.
30
CÁLCULO INTEGRAL Completando TCP Integrales de la forma.
La solución general se establece como. i. Se arregla la expresión de tal manera que, al hacer se encuentre , seria afortunado que en tal caso la integral es inmediata. ii. Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP) para la expresión . iii.
Se separan en dos integrales, la primera es de la forma
o bien
en la segunda
se tiene una integral en la cual se presenta una suma o diferencia de cuadrados. EJEMPLO ILUSTRATIVO. Planteemos una integral que, al modificar el integrando se irá complicando, al no estar completo el diferencial a) Al resolver la siguiente integral. Se tiene que es inmediata, porque si Entonces.
b) Al resolver la siguiente integral (
).
Ya no es inmediata, porque no está completo el diferencial, entonces se efectúa un arreglo.
Por lo que.
c) Al resolver la siguiente integral (
).
Ya no es inmediata, porque no está completo el diferencial, entonces se efectúa un arreglo.
Por lo que.
31
CÁLCULO INTEGRAL d) Al resolver la siguiente integral (
).
Ya no es inmediata, porque no está completo el diferencial, entonces se efectúa un arreglo.
Por lo que.
49.-
Solución. i. Haciendo el cambio de variable ii. Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo el cambio de variable Entonces. Veamos el arreglo algebraico.
Por lo que, Separando en dos integrales, se tiene que.
Así se tiene que.
Por lo tanto.
32
CÁLCULO INTEGRAL 50.-
Solución. i. ii.
Haciendo el cambio de variable Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP).
Se tiene Haciendo el cambio de variable Entonces. Veamos el arreglo algebraico.
Por lo que, Separando en dos integrales, se tiene que.
Así se tiene que.
Por lo tanto.
33
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN POR PARTES Para la obtención de la fórmula de integración por partes se desarrolla a partir de la derivada de un producto, donde. , Las funciones están en términos de la variable independiente .
Para obtener la diferencial del producto, se multiplica por
.
Entonces. Integrando.
Al despejar la primer integral del lado derecho (da lo mismo si despeja la segunda integral). Se obtiene.
Nótese que para resolver se debe resolver otra integral ser más simple que la primera o al menos equivalente.
esta segunda integral debe
Esta fórmula de integración permite resolver integrales de la forma. i)
Productos de funciones.
ii)
Funciones Logarítmicas.
iii)
Funciones Trigonométricas inversas.
iv)
Algunas funciones trigonométricas directas.
En general la fórmula de integración por partes se utiliza para reducir varias integrales.
34
CÁLCULO INTEGRAL Productos de la forma.
51.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
Por lo tanto.
Nótese que una mala elección de y dará lugar a una incorrecta solución, puesto que la segunda integral será más complicada que la primera, veamos.
Sustituyendo.
En efecto, la segunda integral es más complicada que la primera, en la función polinomial, la potencia original de grado uno aumentó a una potencia de grado 2. 52.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
Por lo tanto.
35
CÁLCULO INTEGRAL 53.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
La segunda integral es inmediata, se calcula, efectuando la división.
Entonces. Por lo que. Por lo tanto.
54.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
La segunda integral es inmediata, se calcula, efectuando la división.
Entonces. Por lo que.
Por lo tanto.
36
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de la forma.
Generalmente la potencia indica el número de veces en que habrá de aplicarse la integración por partes, aunque no sucede en todos los casos. 55.-
Solución. Aplicando la integración por partes. En este caso se tiene una doble integración por partes, determinada por la potencia 2.
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Sustituyendo.
Entonces.
Por lo tanto.
37
CÁLCULO INTEGRAL
56.-
Solución. Aplicando la integración por partes. También se tiene una doble integración por partes, determinada por la potencia 2.
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Sustituyendo.
Entonces.
Por lo tanto.
38
CÁLCULO INTEGRAL
57.-
Solución. En apariencia es una integral complicada. Sin embargo al factorizar primero la potencia quinta se tiene.
De esta manera se hace un cambio de variable. Si entonces Es decir, se completa el diferencial para la función exponencial. Ahora, Aplicando la integración por partes. No se debe confundir, puesto que la potencia cúbica no indicará que se tiene que integrar 3 veces.
Sustituyendo.
La segunda integral es inmediata, por la misma razón expuesta en un principio, al hacer el cambio de variable , Así.
Por lo que.
Por lo tanto.
39
CÁLCULO INTEGRAL Integrales de funciones trigonométricas inversas. 58.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo, La segunda integral es inmediata, haciendo un cambio de variable. Se tiene.
Por lo tanto.
59.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo, La segunda integral es inmediata, haciendo un cambio de variable. Se tiene.
Por lo tanto.
40
CÁLCULO INTEGRAL
Otras integrales por partes. 60.-
Solución. Aplicando la integración por partes.
Sustituyendo.
Por lo que.
Que al simplificar, se obtiene.
Por lo tanto.
Nota. Al hacer otra elección por partes.
Se tienen una segunda integral más complicada que la primera.
41
CÁLCULO INTEGRAL 61.-
Solución. Se efectúa una doble integración por partes. Teniendo cuidado de elegir la misma función en la segunda integración por partes. De lo contrario se vuelve cíclica, entonces se tendrá la igualdad .
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Sustituyendo.
Nótese que la integral del lado derecho es la misma que la del lado izquierdo, es decir, la incógnita, entonces despejando se tiene. Por lo que.
Por lo tanto.
Nota. Si no se hace cuidado al elegir las partes en la segunda integración por partes, puede ocurrir lo siguiente. Segunda integración por partes.
Sustituyendo. Entonces.
42
CÁLCULO INTEGRAL 62.-
Solución. Integrando por partes. Previamente se factoriza la potencia cúbica.
Sustituyendo. Se utiliza la identidad pitagórica
Por lo que.
Nótese que en el lado derecho se tiene la misma integral que en él lado izquierdo, es decir, la incógnita, además aparece una integral inmediata, entonces despejando se tiene.
Por lo que.
Por lo tanto.
Nota. De manera recursiva se efectúan las integrales de las potencias impares para la secante
Que al integrar por partes. Se obtiene.
En general se encuentra una fórmula de reducción.
43
CÁLCULO INTEGRAL 63.-
Solución. No se debe confundir el integrando, que es una composición de funciones, con el producto de funciones, es decir, Integrando por partes. Se hace una doble integración.
Sustituyendo.
Segunda integración por partes.
Entonces.
Nótese que en el lado derecho se tiene la misma integral que en él lado izquierdo, es decir, la incógnita, entonces despejando se tiene. Por lo que.
Por lo tanto.
44
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS Potencias del seno y coseno. Potencias impares. Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma. Utilizando la identidad pitagórica. Se reducirá de la siguiente manera. Si es impar. (No importa el valor de ) Se factoriza la potencia del seno, obteniéndose una potencia , Entonces.
par y el diferencial del coseno.
Se utiliza un artificio algebraico estándar: Entonces.
Por lo que.
Si es impar. (No importa el valor de ) Se factoriza la potencia del coseno, obteniéndose una potencia Entonces.
Se utiliza un artificio algebraico estándar: Entonces.
Por lo que.
45
par y la diferencial del seno.
CÁLCULO INTEGRAL 64.-
Solución. Como Entonces.
Las integrales resultantes son inmediatas. Por lo tanto.
65.-
Solución. Esta integral puede ser resuelta de dos maneras (porque se tienen dos potencias impares o bien , entonces. Primera solución. Con
Entonces.
Las integrales resultantes son inmediatas, haciendo
, por lo que.
Por lo tanto.
Segunda solución. Con Entonces.
Así.
Las integrales resultantes son inmediatas, haciendo
, por lo que.
Por lo tanto.
46
CÁLCULO INTEGRAL Potencias pares Esquema general de solución. Para las integrales de la forma.
Se utilizan las identidades del ángulo doble, para reducir los integrandos.
66.-
Solución. Se sustituye la identidad del ángulo doble.
Por lo tanto.
67.-
Solución. Aplicando las fórmulas del ángulo doble. Se puede empezar de dos maneras.
Entonces, de cualquiera de las dos manera se tiene que.
Simplificando aún más el resultado, como. Se tiene.
Por lo tanto.
47
CÁLCULO INTEGRAL 68.-
Solución. Se sustituye la identidad del ángulo doble y desarrollando. Se puede empezar de dos maneras.
De cualquiera de las dos maneras se tiene que.
Sustituyendo.
Cálculo de la integral con potencia par.
Cálculo de la integral con potencia impar.
Entonces.
Por Lo que.
Por lo tanto.
48
CÁLCULO INTEGRAL Ángulos diferentes Las integrales de la forma de Productos seno- seno, seno-coseno, coseno-coseno, con ángulos diferentes, como.
Se resuelven de manera inmediata, al aplicar las fórmulas respectivas para dichos productos. A partir de las fórmulas para la suma y diferencia de ángulos.
Se tiene que.
Entonces, al realizar el cálculo integral se tiene.
69.-
Solución. Sustituyendo
70.-
Solución. Sustituyendo
71.-
Solución. Sustituyendo
49
CÁLCULO INTEGRAL Potencias de tangente-cotangente. Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma.
Utilizando la identidad pitagórica. O bien, para las integrales de la forma. Utilizando la identidad pitagórica. Se reducirán de la siguiente manera. Para la tangente. Se factoriza la potencia de la tangente, obteniéndose una potencia tangente
y el diferencial de la
Entonces.
La primera integral resultante es inmediata y la segunda integral está reducida con respecto de la original, puesto que se ha bajado la potencia en dos unidades, pudiendo repetirse el proceso. Puesto que puede terminar de dos maneras.
O bien.
Para la cotangente. Se realiza un proceso semejante. Se obtiene una potencia
Puede terminar de dos maneras. O bien.
50
y el diferencial de la cotangente
CÁLCULO INTEGRAL 72.-
Solución. Factorizando
Por lo tanto.
73.-
Solución. Factorizando
Entonces.
Por lo tanto.
74.-
Solución.
Al resolver la integral reducida se tiene.
Haciendo Así.
Por lo que.
Por lo tanto.
51
CÁLCULO INTEGRAL Potencias de secante-cosecante Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma.
Si es impar, estas integrales se resuelven por partes. Se es par se utilizan las identidades pitagóricas. Reduciéndose de la siguiente manera. Para la secante. Se factoriza la potencia de la secante, obteniéndose una potencia
par y el diferencial de la tangente.
Entonces.
Se utiliza el artificio algebraico estándar. Entonces.
Por lo que.
Para la cosecante. Se factoriza la potencia de la cosecante, obteniéndose una potencia cotangente Entonces.
Se utiliza el artificio algebraico estándar. Entonces.
Por lo que.
52
par y el diferencial de la
CÁLCULO INTEGRAL 75.-
Solución.
Por lo que.
Por lo tanto.
76.-
Solución. Desarrollando el binomio al cuadrado
se tiene.
Entonces. Por lo que, se separa en tres integrales.
Por lo tanto.
77.-
Solución. Desarrollando el binomio al cubo
se tiene.
Por lo que, se separa en cuatro integrales.
Por lo tanto.
53
CÁLCULO INTEGRAL Productos de potencias tangente-secante ó cotangente-cosecante Esquema general de solución. Se tiene que, para las integrales de la forma.
Se utilizan las identidades pitagóricas. Reduciéndose de la siguiente manera. Si es par. (No importa el valor de ) Se procede como en el caso anterior. Se factoriza la potencia de la secante, obteniéndose una potencia par y el diferencial de la tangente. Entonces.
Por lo que.
De manera semejante.
Si es impar. (No importa el valor de ) Se factoriza la potencia de la tangente, obteniéndose una potencia par, se factoriza la potencia de la secante, obteniéndose una potencia y el diferencial de la secante. Entonces.
Por lo que.
De manera semejante.
Si es par y es impar. Se tiene una situación especial, porque no está en el esquema anterior. Como ejemplo ilustrativo se tiene.
Obteniéndose 3 integrales de potencias impares de la cosecante que se resuelven por partes.
54
CÁLCULO INTEGRAL 78.-
Solución. Como
es par.
Entonces, se separa en dos integrales.
Por lo tanto.
79.-
Solución. Como
es par
Entonces, se separa en dos integrales.
Por lo tanto.
Nota. Si
es par no importa el valor de
, como se ilustra a continuación.
Entonces, se separa en dos integrales.
Por lo tanto.
55
CÁLCULO INTEGRAL 80.-
Solución. Como
es impar
Haciendo un cambio de variable (para facilitar el cálculo). .
Por lo que. Se separa en dos integrales.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. i) Si
es impar no importa el valor de , como se ilustra a continuación.
Entonces.
Por lo tanto.
Nota. ii) Al modificarse ligeramente la integral, cambia radicalmente la solución. Sea la integral.
Entonces. Haciendo un cambio de variable. Por lo que.
56
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, los lados se relacionan de la siguiente manera: “En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” Geometría. Si
Si INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Las fórmulas para resolver integrales por sustitución trigonométrica se basan en el teorema de Pitágoras. Si el integrando contiene una expresión de la forma Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza mediante una sustitución trigonométrica de acuerdo a la siguiente tabla. LOS TRES CASOS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
CASO 1.- FORMA
SENO-COSENO
CASO 2.- FORMA
TANGENTE-SECANTE
FORMA 3.-
SECANTE-TANGENTE
57
CÁLCULO INTEGRAL CASO 1.- El integrando contiene un radical de la forma.
81.-
Solución. A partir del triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
. Entonces.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces. Haciendo el cambio de variable.
Se sustituye la cotangente en términos de , es decir, Por lo que.
Por lo tanto.
58
CÁLCULO INTEGRAL 82.-
Solución. Primero se adecúa el integrando para tener la forma de la raíz
.
A partir del triángulo rectángulo
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico. Entonces.
Expresando el resultado de la integral en términos de , del triángulo rectángulo, se tiene. Por lo tanto.
Nota. El valor de
puede obtenerse de 6 maneras distintas.
Por lo que. Todos los siguientes resultados son equivalentes.
59
CÁLCULO INTEGRAL 83.-
Solución. Se efectúan dos cambios de variable. El primero será. Para tener una integral de variable algebraica. El segundo será. Para hacer la sustitución trigonométrica. Después se hará la sustitución hacia atrás, para regresar a la variable original Primer cambio de variable.
Entonces.
Segundo cambio de variable. Con el siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces. Se tiene una integral inmediata.
Sustitución hacia atrás.
Expresando el resultado de la integral en términos de , se tiene del triangulo rectángulo. Por lo que.
Por lo tanto.
60
CÁLCULO INTEGRAL CASO 2.- El integrando contiene un radical de la forma.
84.-
Solución. A partir del siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Será conveniente expresar en términos de senos-cosenos el primero de los dos sumandos resultantes.
Entonces.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Por lo tanto.
61
CÁLCULO INTEGRAL 85.-
Solución. A partir del siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se obtiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces.
Integrando por partes, resulta que. Mientras que la Integral inmediata. Sustituyendo estos resultados.
Al simplificar.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Finalmente, sustituyendo.
Por lo tanto.
62
CÁLCULO INTEGRAL 86.-
Solución. La potencia fraccionaria del integrando se adecúa para tener la forma de la raíz
.
Utilizando el siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces.
Expresando el resultado en términos de . Del triángulo rectángulo. Se obtiene.
Por lo tanto.
63
CÁLCULO INTEGRAL CASO 3.- El integrando contiene un radical de la forma.
87.-
Solución. A partir del siguiente triángulo rectángulo.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral.
Simplificando el integrando trigonométrico. Se muestran dos posibilidades de simplificación.
Entonces. La integral resultante es una potencia par del seno.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Se obtiene.
Por lo tanto.
64
CÁLCULO INTEGRAL 88.-
Solución. Primero se adecúa el integrando para tener la forma de la raíz
.
Utilizando el triángulo rectángulo siguiente.
Se hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se tiene.
Simplificando el integrando trigonométrico.
Entonces, la integral resultante es inmediata, haciendo un cambio de variable. Entonces.
Expresando el resultado de la integral en términos de . Del triángulo rectángulo.
Por lo tanto.
65
CÁLCULO INTEGRAL 89.-
Solución. Utilizando el siguiente triángulo rectángulo.
Se Hace la sustitución
.
Sustituyendo en la integral, se tiene. La simplificación trigonométrica es muy simple.
Expresando el resultado de la integral en términos de , del triángulo rectángulo, se tiene. Por lo tanto.
Notas. i) ii)
Esta integral corresponde a una fórmula inmediata de un formulario básico de integrales. El valor de puede obtenerse de 6 maneras distintas.
Por lo que. Todos los resultados son equivalentes.
iii)
en esta y otras integrales al modificar ligeramente el integrando se hace inmediata con un simple cambio de variable. Por ejemplo. Al pasar la
al numerador.
Cuyo resultado concuerda con una sustitución trigonométrica. Usando las sustituciones de este problema.
66
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES. Función racional. Una función racional es una expresión de la forma.
Donde y son polinomios con . La función racional grado del numerador es menor que el grado del denominador .
se llama propia si el
Descomposición en Fracciones Parciales (DFP) El método DFP consiste en descomponer una fracción propia de la forma.
En una suma de dos o más fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen mediante la factorización del polinomio en factores lineales y/o cuadráticos. Se tienen los cuatro casos siguientes. CASO 1.- RAÍCES REALES DIFERENTES Los factores son todos lineales y ninguno se repite, es decir, el denominador se descompone en raíces reales de primer grado y diferentes. La descomposición se hace de la forma.
Donde
son constantes que se deben determinar.
CASO 2.- RAÍCES REALES REPETIDAS Los factores de son todos lineales y algunos se repiten, es decir, las raíces del denominador son números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada factor de de la forma le corresponde una suma de n fracciones parciales
Donde , , ,… son constantes que se deben determinar. CASO 3.- RAÍCES COMPLEJAS DIFERENTES El denominador tiene factores cuadráticos con raíces complejas que no se repiten, para cada factor cuadrático existe la fracción parcial. Donde
y
son constantes que se deben determinar.
CASO 4. RAÍCES COMPLEJAS REPETIDAS El denominador contiene factores cuadráticos con raíces complejas que se repiten. A cada factor cuadrático le corresponde la suma de fracciones parciales. Donde , , , , , , … son constantes que se deben determinar.
67
CÁLCULO INTEGRAL 90.- Efectúa la DFP de las funciones racionales de la columna del lado izquierdo. FUNCION RACIONAL
DFP
68
CÁLCULO INTEGRAL CASO 1. Integración de fracciones con raíces reales diferentes. Forma.
91.-
Solución. Se efectúa la DFP. i) Factorizando el trinomio cuadrático del denominador en dos factores lineales ii)
Descomponiendo la fracción propia en la suma de dos fracciones parciales.
iii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Se obtiene. Cálculo de las constantes. Evaluando en las raíces del polinomio. Si Si Entonces. iv)
Integrando.
Por lo tanto.
Notas. i)
ii)
Para comprobar que la DFP es correcta, se realiza la suma de fracciones algebraicas.
El cálculo de las constantes, en este caso, puede hacerse también a través del método de los coeficientes indeterminados.
69
CÁLCULO INTEGRAL 92.-
Solución. Se efectúa la DFP. i) Factorizando el polinomio cúbico del denominador. ii)
Descomponiendo la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
iii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Se obtiene.
Cálculo de las constantes. Evaluando en las raíces del polinomio. Si Si Si Entonces.
iv)
Integrando.
Por lo tanto.
Notas. i)
ii)
Para comprobar que la DFP es correcta, se realiza la suma de fracciones algebraicas.
El cálculo de las constantes, en este caso, puede hacerse también a través del método de los coeficientes indeterminados.
70
CÁLCULO INTEGRAL CASO 2.- Integración de fracciones con raíces reales repetidas. Forma.
Haciendo un cambio de variable Entonces.
93.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El Polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, ahora se descompone la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
(Nótese que, el exponente del factor lineal del denominador va creciendo desde uno hasta tres)
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Cancelándose los denominadores del segundo miembro, entonces. Desarrollando, se obtiene. iii) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para : Para : Para el término independiente: Resolviendo el sistema de ecuaciones. Entonces.
iv)
Integrando.
Por lo que.
Por lo tanto.
71
CÁLCULO INTEGRAL 94.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, ahora se descompone la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
(Nótese que, el exponente del factor lineal al cuadrado del denominador va creciendo desde uno hasta dos)
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Entonces. iii) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para Para : Para el término independiente: Resolviendo el sistema de ecuaciones.
,
,
Entonces.
iv)
Integrando.
Por lo tanto.
72
CÁLCULO INTEGRAL CASO 3.- Integración de fracciones con raíces complejas diferentes. Forma. Donde los factores cuadráticos son irreducibles.
Notas. i) Al hacer. Al hacer. ii) iii)
Se tendrá una integral inmediata sí.
… En general no se cumplen las condiciones anteriores, entonces se completa el TCP. Frecuentemente las integrales son de la forma tales como:
95.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, ahora se descompone la fracción propia en la suma de tres fracciones parciales.
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Entonces. i) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para : Para : Para el término independiente: Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas Entonces.
iii)
Integrando.
Haciendo los cambios de variable respectivos para cada una de las 3 integrales.
Se obtiene.
Por lo tanto.
73
CÁLCULO INTEGRAL 96.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
El polinomio ya se encuentra factorizado, por lo que, se descompone la fracción propia en la suma de las fracciones parciales.
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Por lo que. i)
Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados.
Para : Para : Para el término independiente: Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
Entonces.
iii)
Integrando.
La primera integral es inmediata, mientras que la segunda integral se resuelve completando el trinomio cuadrado perfecto, TCP. Se obtiene.
Por lo tanto.
74
CÁLCULO INTEGRAL CASO 4. Integración de fracciones con raíces complejas repetidas. Forma.
Notas. Se tienen las mismas consideraciones vistas anteriormente. i) Se tendrá una integral inmediata sí. Al hacer. Al hacer. … ii) En general no se cumplen las condiciones anteriores, entonces se completa el TCP. iii) Frecuentemente las integrales son de la forma tales como: iv)
La integral de la primera fracción simple es inmediata o se completa el TCP, mientras que la integral de las siguientes fracciones sino se completa el diferencial se tendrá que hacer una sustitución trigonométrica.
97.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i) Se descompone la fracción propia en la suma de dos fracciones parciales.
ii)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Entonces. iii)
Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados.
Para : Para : Para : Para el término independiente Resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas.
iv)
Entonces, con estos resultados, Integrando. Haciendo el cambio de variable.
Se tiene.
Por lo tanto.
75
CÁLCULO INTEGRAL 98.-
Solución. Se Efectúa la DFP. i)
Descomponiendo la fracción propia en la suma de dos fracciones parciales.
i)
Multiplicando en la ecuación por mínimo común denominador.
Desarrollando los productos. i) Cálculo de las constantes. Utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Para : Para : Para : Para el término independiente Resolviéndose el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas
Entonces. ii)
Integrando.
La primera integral se resuelve completando el trinomio cuadrático perfecto, TCP.
Entonces.
La segunda integral se resuelve completando el diferencial. Entonces.
Por lo que.
Por lo tanto.
76
CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA Segundo teorema fundamental del cálculo integral. Este teorema establece
Dónde. i) ii)
es la evaluación en el límite superior
es la evaluación en el límite inferior.
Geometría. Área bajo una curva. El valor representado por intervalo .
es el área bajo la curva definida por
, si
en el
Área entre curvas. Si , Es decir, la curva las curvas en el intervalo será
está sobre la curva
entonces el área contenida entre
Si , Es decir, la curva está a la derecha de la curva contenida entre las curvas en el intervalo será.
77
Entonces el área
CÁLCULO INTEGRAL Sólidos de revolución. Se tiene. i)
la región definida por una curva sobre el eje de las x´s en el intevalo , entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las x´s es.
ii)
o bien la región está definida entre dos curvas en el intervalo , entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las x´s es.
iii)
la región definida por una curva a la derecha del eje de las y´s en el intervalo entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las y´s es.
iv)
o bien la región está definida entre dos curvas en el intervalo , entonces el volumen generado al girar dicha región alrededor del eje de las y´s es.
Longitud de curva. Para calcular la longitud de una curva definida por la función o de manera equivalente desde el punto hasta el punto la expresión.
78
en el intervalo . Se determina por
,
CÁLCULO INTEGRAL Integral definida. 90.-
Solución. Simplificando el integrando. Entonces, se calcula la integral indefinida.
Por lo que, se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto
79
CÁLCULO INTEGRAL 91.-
Solución. Simplificando el integrando.
Entonces, se calcula la integral indefinida.
Por lo que, se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
80
CÁLCULO INTEGRAL 92.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Haciendo un cambio de variable.
Entonces.
Por lo que. Se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
81
CÁLCULO INTEGRAL 93.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Haciendo una integración por partes.
Entonces.
Por lo que. Se calcula la integral definida.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
82
CÁLCULO INTEGRAL 94.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Es la Integral de una potencia impar del seno. Usando la identidad pitagórica. Entonces.
Por lo que.
Al simplificar se obtiene.
Nota de aritmética. Geometría.
Por lo tanto.
83
CÁLCULO INTEGRAL 95.-
Solución. Se calcula la integral indefinida. Se efectúa la división entre polinomios, puesto que es una fracción impropia.
Entonces.
En la segunda integral se completa el TCP. Haciendo un cambio de variable.
Por lo que.
Entonces. Se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
84
CÁLCULO INTEGRAL Área bajo una curva. 96.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. Se calcula la integral definida.
Geometría.
Por lo tanto.
97.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida es.
Por lo que, al evaluar la integral definida se tiene el área bajo la curva.
Geometría.
Por lo tanto.
85
CÁLCULO INTEGRAL 98.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida se puede calcular sustituyendo en la fórmula inmediata, se obtiene de un formulario básico de cálculo integral o bien haciendo una sustitución trigonométrica. Se tiene.
Haciendo un cambio de variable. Sustituyendo. Para evaluar la integral definida. Teniéndose.
Por lo que.
Geometría.
Por lo tanto.
99.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida se puede calcular sustituyendo en una fórmula inmediata, se obtiene de un formulario básico de cálculo integral o bien haciendo una integración por partes. Se tiene.
Sustituyendo. Para evaluar la integral definida. Teniéndose.
Geometría.
Por lo tanto.
86
CÁLCULO INTEGRAL 100.- Determine el área bajo la curva
en el intervalo
indicado.
Solución. La integral indefinida se puede calcular sustituyendo en la fórmula inmediata, se obtiene de un formulario básico de cálculo integral. Se tiene.
Sustituyendo. Para evaluar la integral definida. Haciendo un cambio de variable.
Geometría.
Por lo tanto.
Notas. i)
Al obtener el área bajo la curva en el intervalo
se anula.
Debido a que se tiene un área positiva y un área negativa. ii)
Al obtener el área bajo la curva de
en el intervalo
Se obtiene la misma área, debido a que el seno es igual el coseno desplazado.
87
CÁLCULO INTEGRAL Área entre curvas. 101.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Se determinan los límites de integración
.
Resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una parábola con una recta. Igualando. Si
y
Por lo que, si
entonces. y
.
Al evaluar.
Al tomarse el valor absoluto se tiene Geometría.
Por lo tanto.
Nota. El resultado negativo del área es debido a que en el intervalo parábola se encuentra por debajo de la recta.
88
, es decir la
CÁLCULO INTEGRAL 102.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Se determinan los límites de integración
. Directamente de los datos
Es el área bajo la función potencia negativa y sobre una parábola que abre hacia abajo. Por lo que, si
y
.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
Nota. Se tiene una simetría al eje de las
, puesto que al calcular el área en
Se tiene.
Al evaluar.
89
CÁLCULO INTEGRAL 103.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Se determinan los límites de integración
.
Resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de dos parábolas horizontales. Igualando. Si Por lo que, si
entonces. y
.
Al evaluar.
Al tomarse el valor absoluto se tiene que Geometría.
Por lo tanto.
Nota. El resultado negativo del área es debido a que en el intervalo
90
CÁLCULO INTEGRAL 104.- Determine el área de la región
definida por.
Solución. Esta región no queda definida por dos curvas, es una sola curva que define dos áreas al intersectar la función al eje de las y´s ( . Por lo que. Los límites de integración se obtienen al resolver la ecuación sistema de ecuaciones simultáneas resuelto por igualación).
, (que finalmente es un
Si Entonces.
El área es negativa porque se encuentra a la izquierda del eje de las y´s. Tomando el valor absoluto, se encuentra que el aérea total es.
Geometría.
Por lo tanto.
91
CÁLCULO INTEGRAL Sólidos de Revolución. 105.- Determine el sólido de revolución generado al girar la región
Solución. Se tiene que, la función es Mientras que los límites de integración son. Entonces.
alrededor del eje de las
.
Geometría.
Por lo tanto.
106.- Determine el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que, La función es Mientras que los límites de integración son. Entonces.
Geometría.
Por lo tanto.
92
CÁLCULO INTEGRAL 107.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que, La funciones son y Mientras que los límites de integración son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una recta con una parábola que abre hacia arriba. Por igualación. Si
y
entonces
Por lo que.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
108.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región Solución. Se tiene que, la función es Mientras que, los límites de integración son Entonces.
alrededor del eje de las
.
Geometría.
Por lo tanto
93
CÁLCULO INTEGRAL 109.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que. La funciones son y . Mientras que los límites de integración son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una recta con una parábola que abre a la derecha. Por igualación. Si
entonces
Por lo que.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
Nota. El resultado negativo del volumen es debido a que en el intervalo el valor absoluto.
94
, tomándose
CÁLCULO INTEGRAL 110.- Determina el sólido de revolución generado al girar la región
alrededor del eje de las
Solución. Se tiene que, La funciones son y . Mientras que los límites de integración son calculados resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas. Es la intersección de una recta con una parábola que abre a la derecha. Por igualación. Si
entonces
Por lo que, (se desarrolla el binomio al cuadrado).
Al evaluar.
Simplificando.
Geometría.
Por lo tanto. Nota. El resultado negativo del volumen es debido a que en el intervalo parábola está a la izquierda de la recta, entonces se toma el valor absoluto.
95
, es decir la
CÁLCULO INTEGRAL Longitud de curva. 111.- Determine la longitud de la curva definida por
desde el punto
hasta el punto
Solución. Se calcula la derivada. Si Se simplifica el integrando.
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral es inmediata, dónde.
Se utiliza la fórmula.
Así que.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
96
CÁLCULO INTEGRAL 112.- Determine la longitud de la curva definida por
en el intervalo
.
Solución. Se calcula la derivada.
Se simplifica el integrando, (se obtiene un trinomio cuadrado perfecto).
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral es inmediata. Entonces.
Geometría.
Por lo tanto.
97
CÁLCULO INTEGRAL 113.- Determine la longitud de la curva definida por
en el intervalo
.
Solución. Se calcula la derivada.
Se simplifica el integrando.
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral es inmediata, dónde. Se utiliza la fórmula.
Entonces.
Geometría.
Por lo tanto.
Nota. Es el perímetro de la cuarta parte de una circunferencia de radio igual a uno.
98
CÁLCULO INTEGRAL 114.- Determine la longitud de la curva definida por
desde el punto
hasta el punto
Solución. Se calcula la derivada.
Se simplifica el radicando.
Se simplifica el integrando.
Los límites de integración son: Entonces, la longitud de curva será.
La integral se resuelve de manera inmediata, con un cambio de variable. Entonces.
Al evaluar.
Geometría.
Por lo tanto.
99
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