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Máquinas vmecanismos Alejandro Roda Buch Vicente Mata Amela José Albelda Vitoria

Alejandro Roda Buch Vicente Mata Amela José Albelda Vitoria

Máquinas y mecanismos

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITECNICA DE VALENCIA

Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales de la Universitat Politécnica de Valencia

Colección Académica

Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: RODA BUCH, A., MATA AMELA, V., ALBELDA VITORIA, J. (2016). Máquinas y mecanismos. Valencia: Univesitat Politecnica de Valencia

© Alejandro Roda Buch Vicente Mata Amela José Albelda Vitoria

© Imagen de portada cedida por cortesía del Centro de Investigación en Ingeniería Mecánica

© 2016, Editorial Universitat Politécnica de Valencia distribución: Telf. : 963 877 012 I www.lalibreria.upv.es

I

Ref.: 0498_04_01_01

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ISBN: 978-84-9048-512-5 Impreso bajo demanda

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Indice Capítulo 1. Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos ....................... 1 1.1. Términos.y definiciones .................................................................................... 1 1.1.1. Clasificación de las barras ...................... ...................................................... 3

1.1.2. Clasificaci"ón de los pares cinemáticos .............................................. ........... 5 1.1.3. Cadena cinemática y mecanismo. Mecanismos planos y espaciales ............ 8 1.1.4. Descripción de un mecanismo .................................................................... 1O 1.2.

Mecanismos elementales ......................................................... .... .................... 11

1.3.

Móvilidad ......................... .......... ....... .................... ....... ................................... 13

1.3.1. Fórmula de Grübler en mecanismos planos ............................................... 13 1.3.2. Ejemplo ......... ...................... .................... ........ .......... ................................ . 15 1.3.3. Excepciones a Ja fórmula de Grübler ................. ........................................ 16 1.4. El cuadrilátero articulado ................................................................................. 20 1.4. 1. El cuadrilátero articulado y la Ley de Grashoff ........ ..... ............................ 24 1.4.2. Posiciones extremas y puntos muertos ....................................................... 28 1.5.

El mecanismo de.biela-manivela-deslizadera .................................................. 30

Capítulo 2. Conceptos básicos de cinemática ............................................................... 33 2.1.

Introducción ..................................................................................................... 33

2.2.

Cinemática de la partícula ............................................................................... 35

2.2.1. Posición de una partícula en el plano ................... ........... ...... ... .................. 35 2.2.2. Velocidad y aceleración de una partícula en el plano ................................ 37 2.2.2.1

Movimiento medio e instantáneo ....................... ................................ 37

2.2.2 2

Velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas ......................... 39 -

2.2.2.3 Velocidad y aceleración en coordenadas intrínsecas a la trayectoria de una partícula ................................................................................................ 39 2.2.3. Tipos de movimientos de una partícula en el plano ................................... 44 2.3.

Cinemática del sólido rígido ............................................................................ 45

2.3.1. Localización de un sólido rígido en el plano .......... ... ....... .......................... 45

Máquinas y Mecanismos

2.3.2. Velocidad y aceleración de un sólido rígido en el plano ................. .......... .46 2.3.3. Tipos de movimientos de un sólido rígido en el plano ................... ............ 49 2.4.

Ecuaciones del movimiento relativo .. ................................ ........... ................... 50

2.4.1. Ecuaciones del movimiento relativo para velocidades y aceleraciones ...... 50 2.4.2. Campo de velocidades y aceleraciones de un sólido rígido .............. .......... 55 2.5. Centro Instantáneo de Rotación (CIR) ...................... ...... .. ... .... ........... .. ...... ..... 57 2.5. l. Localización de CIR. El Teorema de Aronhold-Kennedy ...... ... ................. 59 Capítulo 3. Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial. .............. .... 63 3.1.

Introducción .............................. ................... .................................................... 63

3.2. Análisis cinemático de mecanismos planos ..................................................... 65 3.2.1. Mecanismos con pares R: el cuadrilátero articulado ........... ... ....... ............. 65 3.2.1.1

Relaciones cinemáticas entre puntos unidos mediante un par R ........ 67

3.2.1.2

Problema de posición ............ ...................... ....... .................... ............. 69

3.2.1.3

Problema de velocidad .... ........ .......... .... ..... .............. .. ............ ... ......... 70

3.2.1.4

Problema de aceleración ..... ................. ... :........................................... 73

3.2.2. Mecanismos con pares P: inversión del mecanismo biela-maniveladeslizadera .. ........ .......................... ....... ... ...................... ...... .................................... 73 3.2.2.1

Relaciones cinemáticas entre puntos unidos mediante un par P .. ....... 74

3.2.2.2

Problema de posición ........ .. ............ ............ ....... ................................ 76

3.2.2.3

Problema de velocidad .............. ............ .... ... .. .. ............. .. ........... ........ 77

3.2.2.4

Problema de aceleración .................................... .................... :............ 78

3.2.2.5

Par P de guía circular. .................................................................... ..... 78

3.2.3. Mecanismos con pares de rodadura sin deslizamiento: mecanismo de leva .............................................. ... ...... .......... ..... .............................................. 79 3.2.3.1 Relaciones cinemáticas entre puntos unidos mediante pares de rodadura sin deslizamiento ........ ...................................... ............. .. ... ................ 80

3.3.

3.2.3.2

Problema de posición ................................................ :........................ 84

3.2.3.3

Problema de velocidad ...... ........ .................................... .. ................... 85

3.2.3.4

Problema de aceleración ............................. ........ ........... ..................... 85

Ejemplos de análisis cinemático de mecanismos planos ......... .. ... ................... 86

3.3.1. Suspensión de un automóvil: el cuadrilátero articulado .. ........................... 86

11

Índice

3 .3 .1 . 1

Problema de posición ............................ .................. ........................... 87

3.3.1.2

Problema de velocidad ....................................................................... 88

3.3.1.3

Problema de aceleración .................................................................... 89

3.3.2. Mecanismo pe yugo escocés ...................................................................... 91 3.3.2.1

Problema de posición ......................................................................... 91

3.3.2.2

Problema de velocidad ............ .......... .......... ....................................... 91

3.3.2.3

Probl.ema de aceleración .................................................................... 92

3.3.2.4

Análisis cinemático alternativo .......................................................... 93

3 .3 .3. Carreti !la porta-contenedores: biela-manivela-des! izad era ........................ 94 3 .3 .3. 1

Problema de posición ......................................................................... 96

3.3.3.2

Problema de velocidad ....................................................................... 98

3.3.3.3

Problema de aceleración .................................................................... 99

3.3.4. Mecanismo de leva circular con seguidor plano alternante ...................... 100 3.3.4. l

Problema de posición ....................................................................... 1O1

3.3.4.2

Problema de velocidad ..................................................................... 101

3.3.4.3

Problema de aceleración .................................................................. 102

3.3.5. Plataforma elevadora: biela-manivela-deslizadera ................................... 103 3.3.5.1

Problema de po.sición LAZO 1......................................................... 105

3.3.5.2

Problema de velocidad LAZO 1................................................... ::.. 105

3.3.5.3

Problema de aceleración LAZO 1 .................................................... 106

3.3.5.4

Problema de posición LAZO 2 ......................................................... 107

3.3.5.5

Problema de velocidad LAZO 2 ....................................................... 107

3.3.5.6

Problema de aceleración LAZO 2 .................................................... 108

3.3.6. Máquina limadora: mecanismo de retorno rápido de Whitworth ............. 109 3.3.6.1

Problema de posición ....................................................................... 112 .

3.3.6.2

Problema de velocidad ..................................................................... 112

3.3.6.3

Problema de aceleración .................................................................. 114

Capítulo 4. El problema dinámico .............................................................................. 117

4.1.

Introducción ................................................................................................... 117

4.2.

Acciones ........................................................................................................ 119

111

Máquinas y Mecanismos

4.2.1. Acciones exteriores .................................................................................. 120 4.2.2. Acciones internas o de reacción ............................................................... 121 4.3.

Leyes de Newton ............. .. ............................................................................ 123

4.4.

Principio de O' Alembert ................................................................................ 125

4.5.

El Principio de las Potencias Virtuales .......................................................... 126

4 .6.

El problema dinámico inverso ....................................................................... 135

4.6.1. Resolución mediante las Leyes de Newton ............................. ................. 136 4.6.2. Resolución mediante el Principio de las Potencias Virtuales ................... 141 4.6.2.1

Mecanismos con un grado de libertad .............................................. 141

4.6.2.2

Mecanismos con varios grados de 1ibertad ....................................... 144

4.6.3. Cuadro resumen del problema dinámico inverso ..................................... 146 4.7.

Ejemplos de análisis de fuerzas de mecanismos planos ........ ..................... .... 148

4.7.1. Suspensión de un automóvil: el cuadrilátero articulado ........................... 148 4.7.1.1

Acciones conocidas actuantes sobre el mecanismo .......................... 149

4.7.1.2

Fuerza sobre el resorte mediante Potencias Virtuales ...................... 149

4. 7 .1.3

Reacciones en los apoyos mediante las Leyes de Newton ............... 150

4.7.2. Carretilla porta-contenedores: biela-manivela-deslizadera ...................... 154 4. 7 .2.1

Acciones exteriores e inerciales .......... .. ........................................... 155

4.7.2.2

Fuerza de los cilindros mediante Potencias Virtuales .................. .. .. 155

4.7.2.3

Fuerza de los cilindros y reacciones mediante las Leyes de Newton 156

4. 7 .3. Plataforma elevadora: biela-manivela-des] izadera ................................... 160 4.7.3.1

Acciones exteriores e inerciales ....................................................... 161

4. 7 .3 .2

Fuerza del pistón mediante Potencias Virtuales ............................... 161

4.7.3.3

Fuerza del pistón y reacciones mediante las Leyes de Newton ........ 162

4.7.4. Mecanismo de leva circular con seguidor plano altemante ...................... 166 4.7.4.1

Acciones conocidas actuantes sobre el mecanismo ............... ........... 167

4.7.4.2

Par de fuerzas T2 mediante Potencias

4. 7.4.3

Las reacciones y par de fuerzas T2 mediante las Leyes de Newton 168

Virtual~s

................ .............. 167

4.7.5. Máquina limadora: mecanismo de retomo rápido de Whitworth ............. 171 4.7.5.1

IV

Acciones exteriores e inerciales ....... .. ... ........................................... 172

Índice

4.7.5.2

El par motor T2 mediante Potencias Virtuales .. ... ............. .............. 173

4.7.5.3

Par motor y reacciones mediante las Leyes de Newton ... ................ 174

4.7.6. Mecanismo de yugo escocés .......................... ... .................... ...... ............. 177 4. 7 .6. 1

Accion'e s exteriores e inerciales .... ............... ............. .... ... ................ 178

4. 7 .6.2

~rincipio

4.7.6.3

Leyes de Newton ......... ........... ................................ .......................... 179

4.7.6.4

Evolución de la potencia a lo largo de un ciclo ................................ 182

de Potencias Virtuales ............. .... ................ ..................... 178

Capítulo 5. El problema dinámico directo ......................................................... ......... 185 5.1.

Introducción ....... ....................... ...... .. ....... ........ ............. ..................... ............ 185

5.2.

Mecanismo reducido o equivalente ............................................................... 187

5.2.1 . Inercia Generalizada .. .......... .. ............. ..... ........... ....... ........... ....... ........ ..... 189 5.2.2. Fuerza Generalizada .. .... ........ ... ............................... ... .. ........ ..... ........... .... 191 5.3 . Teorema de las Fuerzas Vivas ........ ....................................... ... ..................... 192 5.4.

Ecuación de Eksergian ........ ... ....................... .................... ............... .............. 193

5.5.

Ejemplos de análisis de movimiento de mecan ismos planos ............ ............. 195

5.5. 1. Suspensión de un automóvil: paralelogramo ........ ..... ....... ...... ............ .. .... 195 5.5.1 .1

Relaciones cinemáticas del mecanismo .. ... ............................... ....... 196

5.5.1.2

Inercia Generalizada ................................... .... ........................... ....... 196

5.5.1.3

Fuerza Generalizada .. ........................... .... .... ........... ......... ....... .... ..... 197

5.5. 1.4

Aceleración en el arranque para 8 2 = O ................................... ....... 197

5.5.1 .5

Velocidad generalizada en 8 2 = 1Oº ............................................... 198

5.5.1 .6

Aceleración generalizada en 8 2 = 1Oº .......... .................................. 198

5.5.2. Carretilla porta-contenedores ................... ... .................................. ... ........ 199 5.5.2. l

Cinemática en función de la coordenada generalizada..................... 200 ,

5.5.2.2

Inercia Generalizada ....... ......... ...... ......... ........................... ....... ........ 202

5.5.2.3

Fuerza Generalizada ... ... ........ .......................... ........ ......................... 203

5.5.2.4

Aceleración en el arranque .... ............................................. .............. 203

5.5.2.5

Velocidad y aceleración del contenedor para q

11

= 4,5

m ............. 204

5.5.3. Plataforma elevadora .... .......... .................................................................. 206

V

Máquinas y Mecanismos

5.5.3.1

Cinemática en función de la coordenada generalizada ..................... 207

5.5.3.2

Inercia Generalizada .................... ..................................................... 207

5.5.3.3

Fuerza Generalizada .......................... .............. ................................. 208

5.5.3.4

Aceleración en el arranque q, = 130º ............ ....... ........... ... ............ 209

5.5.3.5

Velocidad del mecanismo para q 11 = 110º ...................................... 209

5.5.3.6

Aceleración de la plataforma para q 11 = 11 Oº .................. ..... .......... 21 O

5.5.4. Limadora ................................................................................ .................. 211 5.5.4.1

Cinemática en función de la coordenada generalizada ..................... 212

5.5.4.2

Inercia Generalizada ......................................................................... 213

5.5.4.3

Fuerza Generalizada .............................................................. ........... 213

5.5.4.4

Velocidad para q 11 = 2·n13 rad .................................................. 214

5.5.4.5

Aceleración para q 11 =2·n/3 rad ................................................ 215

5.5.4.6

Soluciones ........................................................................................ 215 '

5.5.5. Yugo escocés ... ...... .... .............. ... ........................ .............................. ........ 216 5.5.5.1

Cinemática en función de la coordenada generalizada ............. .. ...... 217

5.5.5.2

Inercia Generalizada ................. .'....................................................... 217

5.5.5.3

Fuerza Generalizada ......................................................................... 218

5.5.5.4

Aceleración en el arranque q 1 =60º ............ .................................. 218

5.5.5.5

Velocidad del mecanismo para q 11 = 150º ..................................... . 218

5.5.5.6

Aceleración de la plataforma para q 11 = 150º ...... ........................... 219

Capítulo 6. Equilibrado de maquinaria......................................... ........................... .... 221 6. 1. 1ntroducción ......................... .......................................................................... 221 6.2.

Equilibrado de rotores rígidos .............................................................. .......... 224

6.2.1. Fuerzas de desequilibrio y reacciones .... ..... .. ............................................ 224 6.2.2. Rotor equivalente y equilibrado de rotores .. ... ................ ............... .... ... .... 229 6.2.3. Valores límite de desequilibrio ................................................................. 231 6.3.

Equilibrado de máquinas alternativas ............................................................ 232

6.3.1. Desequilibrio en máquinas monocilíndricas .................... ................. .... .... 232

VI

Índice

6.3.2. Equilibrado en máquinas monocilíndricas .......... ........... .......................... 239 6.3.2.1

Equilibrado de fuerzas .......... ........ ... .. ...... ......................................... 239

6.3.2.2

Equilibrado de momentos ...... ... ........ ....................... ........................ 240

6.3 .3. Equilibrado .en máquinas policilíndricas ............ ...... ... ............................. 240 6.4. Ejemplos de equilibrado de máquinas .. ... .. ............. .. ...................... ..........:.... 245 6.4.1. Equilibrado de rotores: árbol de levas ............... ........................ ...... ......... 245 6.4. 1.1

Fuerza y par de desequilibrio ..... ................................................. .. ... 246

6.4.1.2

Agujeros de equilibrado ... ........................................ ........................ 247

Capítulo 7. Regulación de máquinas cíclicas ................................... ......... .......... ........ 251

7. 1. 1ntroducción ................. ........ .. ... .................. ... ...... .......................... ... ..... ........ 251 7.2. Régimen permanente ....... ........ .. ................................................................. ... 257 7.2.1. Grado de irregularidad ............ .................. ............................ ................... 257 7.2.2. Cálculo aproximado del volante de inercia ....................................... .... ... 260 7.2.3. Funciones del volante de inercia ...................... .. ............................... ....... 261 7 .2.4. Ejemplo ..................... .............................. ................. .. .. ....... ....... .... .......... 261 7.3. Régimen transitorio .. ........... ........ ............................................... .. .......... ....... 265 7.3.1. Ecuación característica de las máquinas ... ... ................ ................. ........... 265 7.3.2. Estabilidad ........... ... ,...... .... ....................... .......... ........ ....................... ....... 269 7.3.3. Ejemplo ............. ............... ...................................... ................... ............... 271 7.3 .3.1

Curvas características y puntos de funcionamiento ......................... 271

7.3.3.2

Volante de inercia ......... ....... ................. .. .... ... ........... ..... .. ................ 272

7.3.3.3

Nuevo punto de funcionamiento ...................................................... 273

7.3.3.4

Tiempo de parada .................................. ...... ... .................................. 273

Capítulo 8. Transmisiones mecánicas ·.... .. ... .......... ............... .......... ........ ............. ....... . 275

8.1.

Introducción ...... .......... ....... ... ..... ...... ... ....... ......... ........................ ...... .. ... ...... .. 275 .

8.2. Ruedas de fricción ................... ... ........ ... .... ..................... .... ............. .. ............ 276 8.3.

Mecanismos de correa ....... .... ..... ................. ... ..................... ............ .............. 280

8.3.1. Tipos y características ........ ........................ ................................. ............. 280 8.3.2. Longitud de la correa .................... ...... ................ ... .......... ... ... .............. .... 282 8.3.3. Relación de transmisión ...... .......... .... ...... ....... ..... ..... ....... ......................... 284

VII

Máquinas y Mecanismos

8.3.4. Fuerzas en correas .................................................................................... 285 8.4.

Mecanismos de cadena .................................................................................. 287

8.4.1. Características .......................................................................................... 287 8.4.2. Nomenclatura ........................................................................................... 289 8.4.3. Relación de transmisión ............. ........ .................... ...... ............................ 290 8.5.

Mecanismos de engranaje .............................................................................. 293

8.5.1. Tipos y características ..................................... ........ ................................. 293 8.5.2. Ley General del Engrane .......... .... .. ................................ .... ...................... 294 8.5.3. El perfil de evolvente ............................................. ................................... 296 8.5.3.1

Definición del perfil de evolvente en coordenadas polares .............. 299

8.5.3.2

Espesor del diente con perfil de evolvente ....................................... 301

.8.5.3.3

Variación de la distancia entre centros .......................... ................... 302

8.5.4. Normalización de engranajes ... ... ................ ... :······························· ···········304 8.5.4.1

Nomenclatura de los dientes de engranaje con perfil de evolvente .. 304

8.5.5. Generación de los dientes ......................................................................... 306 8.5.6. Continuidad en el engrane ........................................................................ 308 8.5.7. lnterferencia ........................................ :........................................ ............. 311 8.5.7.1

Generación mediante cremallera de corte .... .. .................................. 313

8.5.7.2

Generación mediante engranaje de corte ............................ ... ........... 314

8.5.8. Otros perfiles conjugados ......................................................................... 317 8.5.9. Acciones entre dientes con perfil de evolvente ........................................ 318 8.6.

Trenes de engranajes ................................................................ ...................... 319

8.6.1. Trenes ordinarios o de ejes fijos ............................................................... 319 8.6.2. Trenes de ejes móviles. Fórmula de Willis ................... :........................... 321 8.6.3. Trenes diferenciales ......................................... ......................................... 325 8.7.

Ejemplos de trenes de engranajes ............................................ :..................... 327

8.7.1. Tren de engranajes: ordinario y epicicloidal ............................................ 327

viii

8. 7.1.1

Distancia entre los ejes de los engranajes 4 y 5 ................................ 327

8.7. l.2

Módulo de los engranajes 2 y 3 ........................................................ 328

8. 7 .1.3

Dimensiones del engranaje 3 ...................................................... .. .... 328

Índice

8.7.1.4

Velocidad de salida en un tren ordinario compuesto ......... ............... 328

8.7.1.5

Velocidad de salida en un tren epicicloidal compuesto .................... 329

8.7.2. Tren de engranajes: ordinario y epicicloidal ............ ............................ .... 329 8.7.2.1

Clasifü;ación de los trenes de engranajes ................................ ......... 330

8.7.2.2

Radio del brazo portaplanetas ......................................................: ... 330

8.7.2.3

Relación de transmisión

8.7.2.4

Aceleración angular de los engranajes D y E ................................... 331

úJH / úJA .................................................... 331

IX

Capítulo 1

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

1.1. Términos y definiciones. En este apartado se introducen términos y definiciones habituales en la Teoría de Máuinas y Mecanismos (TMM) y que, en consecuencia, se emplearán a lo largo del texto. Cna máquina se puede definir corno un objeto fabricado y compuesto por un conjunto de piezas ajustadas entre sí que se usa para facilitar o realizar un trabajo determinado, generalmente transformando una forma de energía en movimiento o trabajo. Ln mecanismo es una combinación de cuerpos rígidos o resistentes, conectados entre sí de modo que el movimiento relativo entre los elementos individuales está restringido. El diagrama cinemático de un mecanismo consiste en representar con el mínimo número de símbolos la geometría de los cuerpos y las restricciones cinemáticas existentes entre ellos. La Figura 1.1 muestra un ejemplo de una máquina limadora con su mecanismo y su diagrama cinemático.

mas y Jlecanismos

Los elementos resistentes individuales que componen un mecanismo reciben el nombre de barras. Tal y corno se ha indicado, las barras pueden ser elementos rígidos (sólidos rígidos, indeformables en todas las direcciones) o unirígidos (por ejemplo, cables) que presentan al menos una dirección en la que no se pueden deformar. Las barras están unidas entre sí en puntos denominados nudos y la forma en que se realiza esa unión, y por tanto las restricciones al movimiento relativo entre las barras que impone dicha unión, se denomina par cinemático. El par cinemático supone una idealización del enlace físico.

(b) (a)

(e) Figura 1.1. (a) Máquina limadora (cortesía de UMTC), (b) mecanismo y (c) esquema cinemático

2

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

La diferencia entre máquina y mecanismo, en el contexto de esta asignatura, reside en que la máquina se considera corno una caja negra en la que se aplican una o varias acciones a la entrada y se obtienen una o varias respuestas a la salida. La relación Entrada/Salida se denomina/unción de transferencia y las acciones y respuestas pueden ser cualquier tipo de variable cinemática o dinámica: posición, velocidad, fuerza, potencia, etc. En definitiva, en una máquina interesa fundamentalmente la func_ión de transferencia, siendo bastante irrelevante lo que pasa dentro de la citada caja negra. Por el contrario, lo relevante de un mecanismo es cómo interaccionan entre sí sus componentes a nivel cinemático y/o dinámico. Se definen como grados de libertad a las posibilidades de movimiento independiente de un sistema mecánico. Así, se puede hablar de grados de libertad de: •

Un sólido rígido.

•

Un par cinemático.

•

Un mecanismo.

Un sólido rígido que se mueve libremente en el plano tiene tres grados de libertad, dos de traslación (en dos direcciones cualesquiera perpendiculares entre sí del plano) y una rotación respecto al eje perpendicular al plano del movimiento. Es evidente que si el sólido rígido se moviera libremente en el espacio, los grados de libertad pasarían a ser seis: tres translaciones en direcciones mutuamente ortogonales y tres giros respecto a ejes también perpendiculares entre sí. Se entiende por grados de libertad asociados a un par cinemático al número de coordenadas independientes necesario para describir la posición y orientación relativa de las barras que conecta. Los grados de libertad de un mecanismo se definen como el número de variables independientes necesario para definir una configuración (o un número limitado de ellas). Aunque es un tema que se tratará más adelante, se puede decir que determinar los grados de libertad de un mecanismo es importante por dos motivos: •

Define el número de actuadores externos (motores) que es necesario disponer para mover el mecanismo coordinadamente.

•

Define la utilidad del mecanismo.

1.1.1. Clasificación de las barras Las barras pueden clasificarse en función del número de pares que contengan y en fu nción del tipo de movimiento que describan. En función del número de pares que contiene, las barras se clasifican como: binarias (2 pares), ternarias (3 pares), cuaternarias (4 pares), etc. La Figura 1.2 muestra la posible representación de barras binarias y ternarias.

3

Máquinas y Me canismos

Según el tipo de movimiento pueden ser:

•

Manivelas: Cuando están unidas a la barra fija y pueden dar vueltas completas alrededor de la misma.

•

Balancines: Cuando están unidas a la barra fija y describen un movimiento de oscilación.

•

Acopladoras o bielas: Son barras no unidas directamente a la barra fija y suelen describir un movimiento combinado de traslación y rotación.

•

Deslizaderas: Son barras que describen un movimiento de traslación a lo largo de una guía.

Barras

Representación simplificada

p

e

o

e

~

y

e

Figura 1.2. Barras binarias y ternarias

Así en la Figura 1.3 (a), la barra 2 es una manivela, la 4 una deslizadera y la 3 una biela. En la Figura 1.3 (b) se aprecia corno la barra 4 es un balancín y a la 3 se le denomina barra acopladora.

4

Conceptos básicos en la Teoría de .\fáquinas y Meca nismos

............. ···········--·······-·····-.....•. ...........,.-· /

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1

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...........

··-·---------------··

(b)

Figura 1.3. Clasificación de las.barras en función de su tipo de movimiento

1.1.2. Clasificación de los pares cinemáticos Existe una gran variedad de pares cinemáticos, así como diversos procedimientos para cl asificarlos. Estas clasificaciones se pueden establecer siguiendo dos criterios: •

En función del tipo de contacto que se genera entre las barras que une.

•

En función del número de grados de libertad del par cinemático en cuestión.

5

Máquinas y Mecanismos

Figura 1.4. Pares inferiores

En función del primer criterio de clasificación se podrá hablar de pares cinemáticos inferiores y superiores. Si el par en el que dos barras se conectan tiene una superficie de contacto, el par se denomina par inferior, Figura 1.4. Si la conexión se realiza de modo que el contacto se produce en un punto a lo largo de una línea de puntos entonces se designa par superior, Figura 1.5.

Figura 1.5. Pares superiores

En función del segundo criterio, los pares cinemáticos se clasifican según el número de grados de libertad asociados al par. En la Tabla 1.1 se muestra la clasificación de los pares cinemáticos entre dos barras (par binario) atendiendo a los grados de libertad y restricciones asociados a cada par cinemático.

6

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

Tabla 1.1. Clasificación de los pares cinemáticos binarios de mecanismos planos en función de sus grados de libertad

Pares cinemáticos

a.... ,

2

Revolución

11

2

Prismático

Barra i

Rodadura sin deslizamiento

~ ¿p Leva

. Engrana; e

Barra i Rodadura con deslizamiento

Antes de comentar la Tabla J. 1, cabe recordar que un sólido rígido en el plano posee :res posibilidades de movimiento independientes, translaciones en dos direcciones perpendiculares entre sí y la rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del movi miento del sólido rígido. Por lo tanto, en el plano pueden existir únicamente pares de las clases 1 y 11, ya que un par cinemático de la clase tres en el plano no supondría ninguna restricción al movimiento. En la tabla anterior también cabe observar que a medida que aumenta la clase del par dismi nuye la restricción al movimiento que impone a las barras que conecta. Así un par de la clase 1 restringe dos posibilidades de movimiento relativo, mientras que los de la clase JI impedirían sólo una de las tres que posee un sólido en el plano. La suma de los ;rados de libertad más las restricciones que impone el par cinemático en el plano es -iempre 3 y en el espacio 6. En cuanto a los pares de clase / , el par de revolución (R) impide cualquier posible anslación en el plano de una barra respecto a otra, o lo que es lo mismo, permite úni.:arnente el giro relativo entre las dos barras conectadas. El par prismático (P) impide .a tras lación en la dirección perpendicular a la guía y la rotación relativa entre ambas arras. La rodadura sin deslizamiento (RSD) impide la traslación en la dirección nor"lal al contacto entre las dos superficies en el punto de contacto (las barras no experi:'!lentan ni separación ni penetración) y la traslación en la dirección tangente al contacto

7

Máquinas y Mecanismos

(deslizamiento restringido), con lo que únicamente está permitido el giro relativo de una barra respecto a la otra. En lo relativo a Jos pares de clase JI, el par rodadura con deslizamiento (RCD) impide únicamente Ja traslación en la dirección normal al contacto entre las dos superficies, permitiendo el deslizamiento en la dirección tangente y el giro relativo. Los pares de tipo leva y engranaje son análogos al par RCD, únicamente impiden que las dos barras en contacto se separen (perdería su funcionalidad el par cinemático) o se penetren (hipótesis de sólido rígido).

1.1.3. Cadena cinemática y mecanismo. Mecanismos planos y espaciales Se denomina cadena cinemática a un conjunto de barras interconectadas entre sí por pares cinemáticos. Cuando una de ellas es fija se tendrá un mecanismo. Una cadena cinemática cerrada es aquella en la que cada barra está unida como mínimo a otras dos barras. Una cadena cinemática abierta es aquella en la que existe como mínimo una barra que tiene un solo par cinemático. En la Figura 1.6 y la Figura l . 7 se presentan ejemplos de cadenas cinemáticas cerradas y abiertas. Los mecanismos pueden ser planos o espaciales. Un mecanismo plano es aquel en el que todos los puntos de todas las barras describen trayectorias situadas en un mismo plano o en planos paralelos entre sí. En un mecanismo espacial algunos puntos de algunas barras describen trayectorias no planas o situadas en planos no paralelos. De nuevo, en la Figura 1.6 se muestran varios mecanismos planos y en la Figura l. 7 un mecanismo espacial.

8

Conceptos básicos en la Teoría de .'vfáquinas y Mecanismos

(a)

(b)

(e)

(d)

fig ura 1.6. Mecanismos planos de cadena cinemática cerrada. (a) y (b) mecanismos de 6 barras de Watt, (c) y (d) mecanismos de 6 barras de Stephenson

Figura 1.7. Mecanismo espacial de cadena cinemática abierta. Robot industrial PUMA

9

Máquinas y Mecanismos

1.1.4. Descripción de un mecanismo A continuación se indica sobre el mecanismo de la Figura 1.8 la terminología habitualmente empleada a la hora de designar los diversos componentes de un mecanismo.

e 3

2

1

1

1

Figura 1.8. Nomenclatura habitual en mecanismos

En el mecanismo anterior se puede apreciar como las barras se designan mediante números, reservando el número 1 para la barra fija, mientras que los pares se suelen denotar mediante letras. Se pueden observar pares de revolución, como por ejemplo en los nudos C, D y E. Se aprecia que C y E son nudos ternarios, esto es, confluyen en ellos tres barras, pero que en D se unen sólo dos barras (nudo binario). Para los pares de revolución que unen una barra con la fija se pueden emplear dos notaciones, así como dos simbologías diferenciadas, por ejemplo en A o en 0 3• Nótese los pares prismáticos que unen en G y en B las barras 1-6 y 2-3, respectivamente. En H se tiene un contacto entre dos superficies curvas, que podría corresponder a una rodadura sin o con deslizamiento. Generalmente este será un dato que se aporte al usuario. En este texto se considerará que los pares cinemáticos unen parejas de barras; por ejemplo, en el nudo E de la Figura 1.8 confluyen 3 barras que se considerarán unidas por 2 pares cinemáticos, siendo irrelevarite desde el punto de vista cinemático cómo se enlazan dichas parejas de barras mediante los pares tipo R.

10

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

1.2. Mecanismos elementales Una de las herramientas de las que dispone un diseñador de mecanismos consiste en la combinación de mecanismos simples y de características bien conocidas para satisfacer las necesidades globales de movimiento del mecanismo que se desea diseñar. Estos mecanismos simples, que se encuentran formando parte de la mayoría de las máquinas, se denominan mecanismos elementales y se pueden clasificar en tres grandes grupos.

•

Mecanismos articulados: formados por cadenas cinemáticas en las que los pares son exclusivamente inferiores (Figura 1.9) . Usualmente estos pares son del tipo Ro P.

•

Mecanismos de levas: formados por la leva propiamente dicha, que es el elemento de entrada del movimiento, y el seguidor, que es el elemento de salida (Fig ura 1.1 O). En función del perfil de la leva se puede obtener una relación entrada/salida sumamente compleja.

•

Mecanismos de engranajes: los engranajes son empleados principalmente para transmitir el movimiento de rotación entre ejes, manteniendo constante la relación de velocidades angulares entre los ejes de entrada y de salida (Figura 1.11).

En las figuras siguientes se muestran ejemplos de los mecanismos elementales mencio!lados anteriormente.

1

1 Figura 1.9. Mecanismos elementales. Mecanismo articulado

11

Máquinas y Mecanismos

11

11

(a)

(b)

Figura 1.10. Mecanismos elementales. Mecanismos de levas : (a) con seguidor alternativo de cara plana, (b) con seguidor alternativo de rodillo

(d)

Figura 1.11. Mecanismos elementales. Engranajes: (a) engranajes cilíndricos de dientes rectos, (b) cremallera, (c) engranajes cilíndricos con dientes helicoidales, (d) engranajes cónicos

12

Conceptos básicos en la Teoría de ,\1áquinas y Mecanismos

1.3. Movilidad Se define movilidad o grados de libertad de una cadena c inemática o de un mecanismo como el número de coordenadas, independientes entre sí, necesario para definir la confi guración de la cadena cinemática o del mecan ismo .

1.3.1. Fórmula de Grübler en mecanismos planos Un sólido rígido en el plano posee 3 grados de libertad, por tanto un sistema den sólidos libres en el plano tendrá 3 ·n grados de libertad. Todo mecanismo está compuesto por un sistema de sólidos con movimiento restringido por los pares cinemáticos, y además posee una barra fija. La barra fija le restará 3 grados de libertad al sistema, los pares de la clase I le restarán 2 grados de libertad por par ~ los de la clase JI un grado de libertad por par. Por tanto, para mecanismos planos formados por n barras, una de ellas fija, y unidas entre sí por J 1 pares de la clase I y J 2 de la clase JI, los grados de libertad o movilidad, F, de dichos mecanismos vendrán dados por la siguiente expresión

F = 3 · (n

- 1)- 2 · J 1 -1·J 2

[l. 1]

La expresión anterior es debida a Grübler y permite determinar la movilidad de mecanismos planos. En la Tabla 1.2 se ha aplicado la expresión de Grübler al cálculo de los grados de libertad en diversos mecanismos simples que contienen los pares cinemáticos más habituae en mecanismos planos, que son los que fundamentalmente se van a considerar. Cabe observar como dependiendo de la existencia o no de deslizamiento en el contacto de rodadura, se tendrá un par de la clase I ( 1 grado de libertad) o de la clase JI (2 grados de libertad). En el caso de los engranajes se considera contacto de rodadura con deslizamiento entre los dientes. Por último indicar que los muelles no tienen posibiliad de restringir el movimiento entre las barras que conectan, por lo tanto no son pares :inemáticos y pueden ser eliminados a la hora de la detennin'ación de los grados de _;bertad de un mecanismo que los incluya.

13

Máquinas y Mecanismos

Tab la 1.2. Aplicació n de la fórmul a de G rü bler a meca nismos sim ples Nombre del par caracteristico

Diagrama del mecanismo

Grados de libertad

n = 2 ( l fija) 2

Revolución (R)

JI =1

J 2 =o F = 3·(2-1)-2·1=1

n = 2 (1 fija) Prismático (P)

JI =I

(des lizadera)

J 2 =0 F = 3 · (2-1)-2 · 1=1

n = 2 (1 fija) Rodadura sin deslizamiento (RSD)

JI =I

J 2 =o F = 3 · (2 -1)- 2 · l = 1 n=2(lfija)

Rodadura con

JI =Ü

deslizamiento (RCD)

J2= l F

14

= 3 · (2 -

1)-1 · 1 = 2

Conceptos básicos en la Teoría de .\láquinas y Mecanismos

Tabla 1.2. Aplicación de la fórmula de Grübler a mecan is mos simples (Continuación) Nombre del par característico

Diagrama del mecanismo

Grados de libertad

n=3 ( 1 fija) l ¡=2

Dientes de

3

engranajes

~e

1 2= 1

F

= 3 · (3 -

1) - 2 · 1- 1· 1 = 1

n=2 (1 fija) l¡ =Ü Muelle

12 = Ü

F = 3·(2 - l) - 0 - 0 = 3

1.3.2. Ejemplo ~odo lo dicho anteriormente se aplicará a Ja determinación de los grados de libertad del :necanismo de la Figura 1.12. En el mecanismo original se tiene que

7 ; 1:

7} => F

= 3 · (7 -

1) - 2 · 7 - l · l = 3

12= 1 onde cabe destacar la eliminación del muelle y el par de la clase JI situado en A .

15

Máquinas y Mecanismos

1

2

1

Figura 1.12. Cálculo de los grados de libertad del mecanismo

Obsérvese también corno dicho par de horquilla puede ser considerado alternativamente, a efectos de movilidad, corno una combinación de par prismático (H), par de revolución (!) y barra adicional (8). En este segundo caso, la aplicación de la fórmula de Grübler dará el mismo resultado, esto es

n = 8}

JI = 9

=> F = 3 . (8 - 1) - 2 . 9 = 3

J 2 =Ü 1.3.3. Excepciones a la fórmula de Grübler A pesar de su innegable utilidad, la fórmula de Grübler presenta un considerable número de casos en los que proporciona resultados erróneos o que precisan de una interpretación. Estos casos se producen en mecanismos con especiales características geométricas. A continuación se indican algunos ejemplos. En el caso del mecanismo de la Figura 1.13, la aplicación de la fórmula de Grübler proporciona el siguiente resultado

F = 3 · (n - 1) - 2 · J 1 = 3 · (5 - 1) - 2 · 6 = 0 Cabe observar que el mecanismo (a) está fo rmado por cuadriláteros articulados en configuración de paralelogramo (si se cumple que AB=CD=EF, AD=BC y CE=DF) y, por tanto, puede moverse libremente. Sin embargo, el mecanismo (b) es una estructura dado que una misma barra, la 3, no puede girar respecto a dos centros instantáneos de rotación diferentes. En el caso (a), se podría eliminar cualquiera de las barras 2, 4 ó 5 sin que por ello se viera modificado el comportamiento ci nemático del mecanismo.

16

Conceptos básicos en la Teoría de Máqu inas y Mecanismos

fo rmas críticas

A •

A •

¡'

/

/

/

Figura l.13. Formas críticas o cadenas cinemáticas sobre-restringidas ~expresión de Grübler se basa en evaluar el número de variables (grados de libertad) _ e uaciones (restricciones) disponibles. El número de variables siempre se evalúa _ :rectamente, pero para que la fórmula de Grübler permita obtener los grados de líber~ real es del mecanismo, es imprescindible que las ecuaciones de restricción sean - ~epe ndientes , cosa que depende de la geometría real del mecanismo. Obviamente, en _ - de existir ecuaciones dependientes, la movilidad real será mayor de la obtenida _ ., la fó rmula de Grübler.

17

Máquinas y Mecanismos

Grados de libertad pasivos

Entr~

2

1 Figura 1.14. Grados de libertad pasivos

En el mecanismo de leva de la Figura 1.14 pueden darse dos circunstancias. La primera de ellas corresponderá al caso en que en el punto de contacto A se den las condiciones de rodadura con deslizamiento, en ese caso correspondería a un par cinemático de la clase JI, por lo que fórmula de Grübler daría

F=3·(n-1)-2·J 1 -l·J 2 =3·(4-1)-2·3-1·1=2 Sin embargo es evidente que desde el punto de vista de la relación entrada-salida este mecanismo tiene un solo grado de libertad. El segundo grado de libertad corresponde a la rotación de la barra 4 (rodillo) respecto del punto B, no siendo posible establecer una relación cinemática entre el movimiento de la barra de entrada y el que adquirirá dicha barra 4. Esos grados de libertad que no afectan al movimiento útil del mecanismo, se denominan grados de libertad pasivos. La segunda circunstancia de la que se hablaba correspondería a la rodadura sin deslizamiento en el punto A, en este caso el par sería de la clase 1 y la aplicación de Grübler daría un solo grado de libertad para el mecanismo

F=3·(n-1)-2·J 1 -1·J2 =3·(4-1)-2·4-1·0=1 En este caso no existiría indefinición cinemática para ninguna de las barras que formar el mecanismo.

18

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

Lazos prismáticos

Figura 1.15. Lazos prismáticos

E. este caso Grübler da lugar a

F = 3 · (n

- 1)- 2 · J

1

-1·J 2 = 3 · (3 - 1)-2 · 3 - 1 ·O= O

·entras que tal y como se indica en la figura el mecanismo puede moverse. En este • ::mo caso se podría reescribir la fórmula de Grübler del siguiente modo

F

= 2 · (n -

1)- 1· J P

=

2 · (3 - 1) - l · 3 = 1

de se ha considerado que en una lazo cerrado formado exclusivamente por pares - ·máticos no existe ninguna posibilidad de giro, por lo tanto cada sólido libre poseerá _ o dos posibilidades (traslaciones) de movimiento independientes y cada par prismá: . cuyo número se denotará por donde se ha considerado que en una lazo cerrado - rnado exclusivamente por pares prismáticos no existe ninguna posibilidad de giro, lo tanto cada sólido libre poseerá solo dos posibilidades (traslaciones) de movi~ ·emo independientes y cada par prismático, cuyo número se denotará por Jp, elimina- ·oJo una de esas posibilidades. r

19

Máquinas y Mecanismos

1.4. El cuadrilátero articulado Uno de los mecanismos articulados (unidos por pares Ro P) más ampliamente utilizado es el mecanismo denominado de cuatro barras o cuadrilátero articulado (Figura 1.16). Este mecanismo está constituido por cuatro barras, tres de ellas móviles, unidas entre sí por pares de revolución y con una configuración en cadena cinemática cerrada. E (punto de interé5) Barra acopladora

e 2

1

Barra fija

Manivela

Barra fija

Figura 1.16. Cuadrilátero articulado

En la figura anterior se muestra el posible esquema cinemático de un cuadrilátero articulado, así como la nomenclatura habitual. El cuadrilátero articulado se puede encontrar formando parte de una gran variedad de máquinas, desde los más pequeños instrumentos hasta el equipamiento más pesado. La función que realiza es muy amplia, pudiéndose clasificar de un modo general en: •

Coordinación de las barras de entrada y de salida (barras conectadas con la barra fija). Guiado de la barra acopladora (colocar dicha barra en una determinada posición en el plano).

•

Guiado de un punto del acoplador (hacer que se mueva a lo largo de una trayectoria).

Suspensiones de vehículos El objetivo de una suspensión es mantener siempre las ruedas en contacto con el suelo, aunque éste presente irregularidades. En la Figura 1.17 se puede ver una suspensión independiente tipo trapecio, o brazo largo-brazo corto, que en el plano corresponde a un cuadrilátero articulado. Este tipo de suspensiones permite un guiado de la rueda mucho más preciso que otras más simples como las del tipo McPherson.

20

Conceptos básicos en la Teoría de .\fáquinas y Mecanismos

Cuadrilátero articulado 2

3

4

Figura 1.17. Suspensión de brazo largo-brazo corto

Dirección de vehículos rincipio de Rudolph Ackermann para corregir geométricamente la dirección de las patentado en 1818 y se basa en la teoría de que las ruedas delanteras de un _ culo deben de rodar a lo largo de dos circunferencias concéntricas de diferente n. lo que se consigue cuando los ejes de giro de todas las ruedas se cortan en un -:o punto. Lógicamente, ese punto debe de estar alineado con el eje trasero .

ooas fue

t--~--l-·

f-----'---1 · .

·.·.-.-::: ..~~·-(;;:::

....... . ................. .....

- .•.....

Figura 1.18. Principio de Ackermann

21

Máquinas y Mecanismos

En la Figura 1.18 se muestra en primer lugar lo que ocurriría si ambas ruedas directrices permanecieran paralelas durante el giro, el vehículo intentaría girar respecto a dos ejes diferentes, con lo que se produciría un deslizamiento entre alguna de las ruedas y el suelo. Por el contrario, obsérvese como en el segundo caso el eje de giro es único. Los requisitos anteriores se pueden cumplir con un cuadrilátero articulado con geometría trapezoidal, que en este caso relaciona el movimiento de las dos manivelas del mecanismo.

Geometría trapezoidal

Giro a derechas

Giro a izquierdas

Figura 1.19. Mecanismo de Ackermann. Giros

Robots industriales En numerosos robots industriales se pueden identificar subestructuras compuestas por cuadriláteros articulados. Esta disposición permite trasladar alguno de los accionamientos a la base del robot con lo que se disminuyen las cargas estáticas y, sobre todo, las dinámicas que soporta el robot. En este caso (Figura 1.20) el cuadrilátero articulado transmite el movimiento desde la manivela de entrada a la de salida. Como contrapartida, hay que indicar que los robots de cadena abierta tiene un espacio de trabajo (puntos a los que puede acceder el extremo del brazo del robot) notablemente más grande que el de los robots que incluyen cadenas cerradas.

22

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

Figura 1.20. Robot industrial con subestructura en paralelogramo

eca nismo de apertura de capota ~

num erosos vehículos la capota no pivota simplemente sobre una bisagra, sino que

= iada por un mecanismo articulado de modo que cuando se levanta la capota, el eje erior de la misma se mueve hacia delante una pequeña distancia. Muchos de esos e.::anismos son del tipo cuadrilátero articulado, del cual el mostrado en la Figura 1.21 _ __ejemplo típico.

Figura l.21. Mecanismo de apertura y cierre de una capota de un vehículo

23

Máquinas y Mecanismos

La ventaja de este mecanismo es que tanto la posición de capota abierta corno cerrada son estables (sistema biestable), es decir, el resorte por sí solo no puede iniciar el movimiento del mecanismo.

Elevadores En esta aplicación, el cuadrilátero articulado sirve para guiar la articulación de la horquilla del elevador arriba y abajo según una línea casi recta (Figura 1.22). El diseño cinemático del mecanismo consistirá en determinar las dimensiones de las barras del mecanismo de tal manera que la trayectoria seguida por el punto sea aproximadamente una recta sobre el rango de movimiento previsto.

l...':.:.:.::.::::::::::~··

t...;::::::::::::::::::~·

Figura 1.22. Mecanismo de elevación de cargas

1.4.1. El cuadrilátero articulado y la Ley de Grasltoff La Ley de Grashoff es de exclusiva aplicación al cuadrilátero articulado, no teniendo sentido su aplicación a cualquier otro mecanismo de cuatro barras. Sean s, l, p y q las longitudes de las barras más corta, más larga e intermedias del cuadrilátero articulado. La Ley de Grashoff dice que es condición necesaria y suficiente para que al menos la barra más corta de vueltas completas respecto al resto de las barras, que se verifique la siguiente condición s+l ~ p+q

24

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

Dado un cuadrilátero articulado, en el que las longitudes de los lados son s, p, q y l ordenadas de menor a mayor, existen tres configuraciones posibles dependiendo de la ::ttuación relativa de las barras. Se demostrará la Ley de Grashoff para una de las confi;uraciones, siendo relativamente sencillo el hacerlo para el resto.

Figura 1.23. Ley de Grashoff. Configuración considerada

la configuración considerada, Figura 1.23, se asume que la barra más corta, de - =itud s, es adyacente a la barra fija de longitud l. La barra más corta dará vueltas • =npletas si logra ocupar las dos posiciones mostradas en la Figura 1.24, formando los '!gul os de lados p, q, l+s y p, q, l-s. .:..'"a

~. s

l

s

p

s l ra 1.24. Ley de Grashoff. Posiciones a alcanzar por la barra más corta en la configuración considerada

25

Máquinas y Mecanismos

Para que se pudiera construir el primer triángulo, las condiciones geométricas a cumplir serían, según la desigualdad triangular:

s+ls;p+q s+l?:.q-p y para el segundo triángulo

1-ss;p+q 1- s?:.q- p La primera ecuación corresponde a la Ley de Grashoff enunciada, la segunda se cumple siempre ya que s+l+p >q. La tercera, se cumple siempre por la condición geométrica para la construcción de cuadrilátero, y la cuarta se cumple siempre porque l+p >q+s. Luego la única condición a comprobar para que la barras de vueltas completas alrededor de la les la correspondiente a la Ley de Grashoff. Por un procedimiento semejante, podría establecerse la condición de rotación respecto a las barra p y q, comprobando al final que el único criterio es el expresado a través de la Ley de Grashoff. Si el cuadrilátero articulado cumple estrictamente la Ley de Grashoff (s +l

26

Conceptos básicos en la Teoría de Jfáquinas y Mecanismos

Barra conductorn

(b)

(a)

Barra

l

(d) (e)

ra 1.25. Casos de la Ley de Grashoff: (a) y (b) manivela-balancín; (e) doble manivela ; (d) doble balancín

27

Máquinas y Mecanismos

P

·~~

Configuración !!

Barra conductora

Configuración!

Barra conductora

C rfi

· • f1

~~ Configuración I Figura 1.26. Configuraciones cinemáticamente indeterminadas

Esta indeterminación deberá resolverse mediante elementos de guía auxiliares (Figura 1.27) o mediante consideraciones dinámicas.

1

11

1111

1

Figura 1.27. Solución constructiva para resolver configuraciones cinemáticamente indeterminadas

1.4.2. Posiciones extremas y puntos muertos El mecanismo de manivela-balancín es uno de los más habituales entre de los cuadriláteros articulados. Su presencia puede determinarse aplicando la Ley de Grashoff ) observando la disposición de las barras atendiendo a su tamaño. El movimiento de oscilación del balancín estará acotado por dos posiciones extremas, Figura 1.28. Tal ) como se aprecia en dicha figura, las posiciones extremas del balancín de un cuadrilátero articulado se producen cuando la otra barra lateral y el acoplador están alineados. Las posiciones extremas poseen un significado estrictamente geométrico y limitan el espacio de trabajo de una barra.

28

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

:

Zona prohibida

. Barra :' conductora

Figura 1.28. Posiciones extremas del balancín de un cuadrilátero articulado

otro lado, los puntos muertos están asociados al comportamiento dinámico del __ ::mismo. Cuando un mecanismo adopta una configuración de punto muerto, la res- a efectiva obtenida a la salida del mecanismo es nula, cualquiera que sea la acción -_ada a la entrada. en la Figura 1.29 se aprecia que cualquiera que sea el par T2 suministrado por el - namiento exterior el par obtenido en la salida T4 sería nulo. Los puntos muertos :ren cuando la línea de acción de la fuerza conductora está dirigida en la dirección arra de salida.

Accionamiento exterior Figura 1.29. Configuración de punto muerto de un cuadrilátero articulado

29

!c1quinas y Mecanismos

1.5. El mecanismo de biela-manivela-deslizadera El mecanismo de biela-manivela-deslizadera (BMD) está constituido también por cuatro barras, pero a diferencia del anterior, uno de los pares que las unen es del tipo P. Este mecanismo forma parte fundamental de dos de las familias de mecanismos máS ampliamente difundidos : los motores de combustión interna alternativos (MCfA) y lo compresores alternativos. Motor de combustión interna Salida

Entrada

Entrada

•

Salida

Figura 1.30. Configuración de punto muerto de un cuadrilátero articulado

Tal y como se aprecia en la Fi[
30

Conceptos básicos en la Teoría de Máquinas y Mecanismos

Salida Punto muerto inferior

~=-===--=--=--=----~~=·-~-+-',;,'--"~. ~L. . J,, -~

Entrada

Salida Punto muerto superior

~~~~~~<~•~~~~~~.~-~~~~~:~b~...~[, ,4~; :.~

_En_tr_ada

ra 1.31. Posiciones extremas de la deslizadera y puntos muertos en un motor de combustión interna alternativo

Entrada

Salida indeterminada Punto muerto

_ ra 1.32. Posiciones extremas del balancin y puntos muertos en un compresor alternativo de eje desviado

:l

'/

1

)

31

Capítulo 2

Conceptos básicos de cinemática

_ 1. Introducción cinemática consiste en el estudio de la geometría de los sistemas mecánicos y como bia dicha geometría a lo largo del tiempo . Se trata de un proceso donde se resuel;?"'1 de forma secuencial los problemas de posición, velocidad y aceleración mostrados a Figura 2.1. ".:'~al gunos

sistemas mecánicos (mecanismos de levas, por ejemplo) se estudia la varia- n respecto al tiempo de la aceleración, denominada sobreaceleración, pero no se va :onsiderar dentro de este libro. La variación respecto al tiempo puede ser incremen- para dar lugar al movimiento medio (velocidad y aceleración medias) o instantánea elocidad y aceleración instantáneas) . Como se comentará más adelante, el moví~ ento medio carece de interés para la mayoría de las aplicaciones ingenieriles, por lo _e se considerará únicamente el movimiento instantáneo.

33

Máquinas y Mecanismos

A la hora de definir los sistemas mecánicos, se considerarán tres niveles de creciente complejidad: •

Partícula.

•

Sólido rígido.

•

Mecanismo.

Posición Variación del tiempo

Velocidad

i

Variación del tiempo

Aceleración Figura 2. t. Problema cinemático

Se entiende por partícula o punto material en el ámbito de la Mecánica todo aque· elemento en el cual sus dimensiones características se consideran irrelevantes, ya sea porque efectivamente lo son, o en virtud del contexto en el que se desarrolla el problema. En ese caso sólo se considerará la posición de la partícula y su cambio a lo largo del tiempo y no se atenderá en absoluto a la orientación de la partícula y sus posibles modificaciones dependientes del tiempo. Se considera un sólido rígido a una agrupación de partículas, de modo que la posición relativa entre dos cualesquiera se mantiene inalterable bajo cualquier circunstancia. La diferencia esencial entre sólido rígido y partícula es, que a diferencia de esta última, lo sólidos rígidos tienen dimensiones, por lo que pueden cambiar no solo de posición sino también de orientación. Un concepto muy importante sobre el que se incidirá más adelante es que el movimiento angular es característico de los sólidos rígidos, no de los puntos.

34

Conceptos básicos de cinemática

mo se ha dicho anteriormente, un mecanismo se considera como un conjunto de _ ~ entos o sólidos rígidos (barras), conectados entre sí por pares cinemáticos. La .:.on de dichos pares es restringir las posibilidades de movimiento relativo entre las _-;as que conecta. El tipo de par cinemático condicionará las relaciones cinemáticas ~e dos barras conectadas.

_ . Cinemática de la partícula J. Posición de una partícula en el plano ~opós ito

de la cinemática de las partículas es establecer su movimiento respecto a stema de referencia fijo (movimiento absoluto) o respecto a un sistema de referen~ e a su vez se mueve respecto a otro (movimiento relativo). La posición de una - .:ula se expresará mediante el correspondiente vector posición definido en un de·nado sistema de referencia. ~

y

p Trayectoria

o

X Figura 2.2. Posición de una partícula

.: ión de una partícula p en el espacio Viene dada por el Vector posición Yop

)

s

- o al sistema de referencia fijo

{O- XYZ}

. El vector posición se puede describir

:nentalmente de dos modos:

1

1

s

•

Coordenadas cartesianas.

•

Coordenadas intrínsecas (asociadas a la trayectoria).

)

s

-"'den emplear otro tipo de coordenadas para expresar el vector posición, como por las curvilíneas ortogonales, pero no son tan empleadas como las dos citadas ·erioridad.

~o

35

Máquinas y Mecanismos

En coordenadas cartesianas, la posición de un punto P vendrá dada por

r0 p (t) = x(t) · T+ y(t).] siendo

Ty

[2.1]

] los vectores unitarios asociados a los ejes X e Y.

En la Figura 2.3 se ilustra lo dicho anteriormente.

y

J

o

l

X

X

Figura 2.3. Posición en coordenadas cartesianas

En coordenadas intrínsecas la primera magnitud que describe la posición es la longituc de arcos a lo largo de la curva. El vector posición 0 P puede ser definido sin ambigüe-

r

dad por el valor des, tal y como se aprecia en la Figura 2.4.

y

J

o

l

X

Figura 2.4. Posición en coordenadas cartesianas

36

Conceptos básicos de cinemática

-

1]

ud ie-

_efinitiva se tendrá que

i. (t)=r0 ,,(s) donde además s=s(t)

[2.2]

nominará trayectoria del punto P a la curva indicatriz de su vector posición. -

_ !quier caso habrá que tener en cuenta que la trayectoria de un punto dependerá -': ema de referencia en el que se exprese dicho movimiento. Así, en la Figura 2.5, :-ecia como el punto B posee diferentes trayectorias según ésta se exprese respecto - -tema de referencia fijo (ligado a la barra 1) o móvil (ligado a la barra 4). Tamen la misma figura se distinguen trayectorias rectilíneas (punto C respecto a la _ J . circulares (punto A respecto a la barra 1) y curvas generales en el plano (punto ;:i.ecto a la barra 1). Trayectoria de A pecto a la barra 1

------------- ......

B

Trayectoria de B respecto a la barra 4

......-··[; --------------.............

.,,,''

,,' /,

......... .. /

,,i/ ,,';•' ,'' : ,,' :

.:

,,'

,,,'

-'

Trayec/oria de B ••-" respec/o a la barra I

... Trayectoria de C respecto a la barra 1

f

,'

4

1 Figura 2.5. Trayectorias de puntos de un mecanismo

- J e/ocidad y aceleración de una partícula en el plano

_ : _ l . fovimiento medio e instantáneo :ner lugar se distinguirá entre movimiento medio e instantáneo. Sea un punto P _ un tiempo !1.1 discreto evoluciona desde una posición inicial fijada por r:0 A1) a final dada por r0 " (t + /)J), ver Figura 2. 6. idad media para ese camino vendrá dada por

i

,, (t

+ !J.t) -

r p (t)

0 = - - - - -0- -

!J.t

[2.3]

37

Máquinas y Mecanismos

y

p

o

X Figura 2.6. Movimiento medio

Hay que resaltar la escasa utilidad del concepto anterior en el campo del análisis cinemático de los sistemas mecánicos. Por ejemplo, en un mecanismo con funcionamiem periódico con periodo igual a M, al aplicar la expresión [2.3) se obtiene una velocidac media nula, que es absurdo. En lo que sigue, el concepto de velocidad se referirá excl usivamente a la velocidad instantánea definida como

- - 1·

v-

1m

rop (t + f..t) - rop(t) - árop - .:.

~~o

M

- - - - r0 p

[2.4]

~

donde la derivada temporal se simboliza con un suprapunto (•)sobre la variable. Del mismo modo, la aceleración media se obtendría a partir de las velocidades instantáneas del punto en dos instantes de tiempo t 1 y t2 -m

a

v2 -v1

f..v

t2 - ti

f..t

==---

El concepto de am tiene las mismas limitaciones que el concepto de v

[2.5] 111 •

De nuevo, e

concepto que se empleará en lo sucesivo será el de aceleración instantánea, que vendrz dada por

- d2rOP áv .:. a - - 2- - - - v - dt - dt -

[2.6)

Cuando sea necesario definir la velocidad y aceleración de un punto determinado, P, se denotará por el correspondiente subíndice: así se tendrá vP y aP.

38

Conceptos básicos de cinemática

_ .: : J Velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas

:::- ;:oordenadas cartesianas rectangulares, la velocidad instantánea (velocidad en lo que = e'· endrá dada por

-

d(x · T+y·})

ár0p dt

' = -- = f

dt

.

7

.

-:

[2.7]

=x·1 +y·;

~e

se ha tenido en cuenta que los vectores unitarios asociados al sistema de referenno cambian ni en módulo ni en dirección, y por tanto sus derivadas temporales utas. Nótese la naturaleza desacoplada del movimiento en las direcciones X-Y. En palabras, ninguno de los parámetros que definen el movimiento en cada una de estricciones aparece en las restantes. Ello no implica necesariamente que los moºentos en las dos direcciones sean independientes.

·~: o

'°"i mo modo, la aceleración instantánea (aceleración en lo que sigue), vendrá dada

!-

o d

1-

ávp

.. -;

.. -:

[2.8]

, =-;¡¡=x·1 +y·;

~·ocidad y aceleración expresadas en coordenadas cartesianas son muy empleadas - :mteamientos analíticos, pero presentan el inconveniente de que no sacan partido - aracterísticas de la trayectoria seguida por el punto en cuestión .

.: .:.J Velocidad y

aceleración en coordenadas intrínsecas a la trayectoria de una

partícula os la distancia recorrida sobre la trayectoria, se podrá poner que

- =árOP árOP ds · árOP --=--·-=S·-dt ds dt ds ~aparece

[2.9]

la derivada del vector posición respecto a s.

_ es alar 6.s es el arco entre las posiciones P y P ', siendo

!1r

su cuerda, en el lími-

~ociente

entre ambos incrementos tenderá a la unidad y llevará la dirección tan~ a la trayectoria; esto es

.

& !1s

-

- - = l im - = u

l

fit->0

[2.1O] 1

-.·iene el resultado bien conocido que la velocidad es tangente a la trayectoria des. por la partícula. 0

p

= S· U

1

[2.11]

39

Máquinas y Mecanismos

y

p

~

~

rOP +!J.rOP

o

X

Figura 2.7. Velocidad en coordenadas intrínsecas

Conviene resaltar que las ecuaciones [2.7] y [2.11] son dos maneras diferentes de expresar la misma magnitud física; esto es

vp = x·i +y·]= s·ü,

[2.12]

En la Figura 2.8 se ilustra dicha relación

y

p

J

o

l

Figura 2.8. Velocidad de un punto en coordenadas cartesianas e intrínsecas a la trayectoria

Para la aceleración se seguirá un procedimiento similar; esto es, derivando respecto tiempo la expresión de la velocidad del punto en coordenadas intrínsecas, se tendrá q -

40

11 e

Conceptos básicos de cinemática

_

ávP

d (. _ )

.. _

. dü,

.. _

'

dt

'

. dü, ds

= - - = - s·u =s·u +s·-=s·u +s·- ·-=

dt

dt

'

ds

dt

dü, =s· u +s · ' ds ..

-

[2.13]

·2

e aparece la derivada del vector tangente respecto al camino recorrido por el punto la trayectoria, s. A continuación se analizará dicha variación. En primer lugar se el vector normal Ün como el perpendicular al tangente y dirigido hacia el centro atura de la trayectoria en el punto considerado.

-""e

e Figura 2.9. Vector normal a la tangente a la trayectoria

Figura 2.9, Ces el centro de curvatura y p el radio de curvatura para dos posicioe punto sobre la trayectoria, infinitesimalmente próximas. Si se considera la va- del vector tangente entre esas dos posiciones (Figura 2.1 O), se tendrá que

(1t 2)-(d8!2)

Figura 2.10. Variación del vector tangente a lo largo de la trayectoria

ángulo isósceles de la Figura 2.1 O se tendrá que en el límite dü 1 es perpendicu-

:; ( dü1 1- Ü1 ). Además, el módulo de dü 1 puede obtenerse como

41

Máqu inas y Mecanismos

ldü,I = lü,I·sen(de) = lü,I ·dB =J. dsp ldü, 1=2 ·

lü,I·sen(de I 2) ~ 2 · lü I·de I 2 = 1. dsp

[2.14,

1

En el límite, es evidente que dü, llevará Ja dirección de ii 11 , por lo tanto

[2.1 .:: de donde

1 p

dü, ds

- = - · U 11

[2. W

Por lo tanto, sustituyendo en la expresión [2 .13), la aceleración del punto en coordenadas intrínsecas será _ .. _ • dü, .. _ . u 11 a =s·u +s 2 ·-=s·u +s 2 · P ds t p

[2.1-

t

El primer término se denomina componente tangencial, a~, de la aceleración del punto p y el segundo componente normal,

-11

·2

a P =s

u11

·-

a; . [2.1

p

Nótese que la componente tangencial es la encargada de hacer variar en el tiempo e módulo de la velocidad, mientras que la componente normal se encarga de hacer cambiar Ja dirección del vector velocidad.

42

Concep1os básicos de cinemática

y

·]

o

i]

e

l-

']

1-

:]

)

Figura 2.1 l. Componentes tangencial y normal de la aceleración ~te, las representaciones cartesiana [2.8] e intrínseca [2.17] de la aceleración _ ::: 'llaneras diferentes de expresar la misma magnitud física.

=

_:r. ¡+y.]= s. ü, + s2 • ~ p

[2.19]

y

~1

1-

o

Figura 2.12. Aceleración de un punto en coordenadas cartesianas e intrínsecas

43

Máquinas y Mecanismos

2.2.3. Tipos de movimientos de una partícula en el plano Cuando la trayectoria que describe la partícula está contenida en un plano, se considerar tres tipos de movimientos, Figura 2.13. •

Movimiento curvilíneo.

•

Movimiento circular.

•

Movimiento rectilíneo.

puede~

Movimiento curvilíneo

Movimiento

Movimiento rectilíneo

Figura 2.13. Movimientos de una partícula en el plano

El movimiento curvilíneo es el caso general de movimiento de una partícula cuya trayectoria está restringida a un plano. En el caso circular el radio de curvatura de la trayectoria es una constante, R, y la corr.ponente normal de la aceleración se denomina centrípeta. Las expresiones correspor.dientes a las componentes de la aceleración serán .2 -

-1

-n

··

-

S

-

aP =ap +ap =s·u, +-·u,, R

[2.2C

En el caso del movimiento rectilíneo, la componente normal de la aceleración es nu h. dado que el radio de curvatura de la trayectoria es infinito; en efecto, una partícula q ~ lleva una trayectoria rectilínea no experimenta cambios en la dirección del vector velccidad.

[2.2

44

Conceptos básicos de cinemática

.... Cinemática del sólido rígido . Localización de un sólido rígido en el plano mer paso para establecer la localización de un sólido rígido en el plano consiste -ociarle un sistema de referencia móvil con el mismo, así al cuerpo i-ésirno se le
y

o

X

Figura 2.14. Sistema de referencia móvil sobre un sólido rígido

al izar sin ambigüedad y con un número mínimo de variables el citado sólido respecto a la referencia fija, serán necesarias la posición de un punto (origen del a de referencia, por ejemplo) y el ángulo que forma dicho sistema de referencia ... on el fijo, ver Figura 2.15.

y

o

X

Figura 2.15. Posición y orientación de un sólido rígido respecto a una referencia fija

45

Máquinas y Mecanismos

En definitiva, hace falta la posición de un punto (dos coordenadas) y la orientación del sólido rígido (un ángulo). El ángulo se medirá en sentido antihorario desde la referencia fija.

2.3.2. Velocidad y aceleración de un sólido rígido en el plano Del apartado anterior es evidente que el movimiento de un sólido rígido tendrá do componentes: •

Traslación.

•

Rotación.

siendo este segundo una característica exclusiva de los sólidos, en contraposición con los puntos. Por lo tanto, derivando respecto al tiempo la posición y orientación del sólido rígido, se tendrá que cfFOA,

vA,

•

Velocidad lineal de un punto

•

Velocidad angular del cuerpo ÚJ = - - ' · k dt

dt d()

-

I

Nótese que en el caso plano, el sólido rígido sólo puede girar respecto a ejes perpend iculares al plano del movimiento (ejes paralelos al Z, con la notación empleada). De un modo análogo, para las aceleraciones se tendrá que •

Aceleración lineal de un punto

aA, =dV _A._ dt

•

.

Aceleración angular del cuerpo

_

a

'

dw

dw

dt

dt

-

= --' = --' · k

ya que el eje de rotación no varía de dirección. Las velocidades y aceleraciones angulares pueden ser absolutas o relativas, así en •.:. Figura 2.16 se indican dos velocidades angulares absolutas y la relativa correspondier.te al movimiento de un cuerpo respecto al sistema de referencia móvil con el otro sól do rígido.

46

Conceptos básicos de cinemática

1-

•S

r n ~1

o

X Figura 2.16. Velocidades angulares absoluta y relativa

1-

~rá

que

- = dB2 . k dt - =

[2.22)

dB3 . k dt

. las velocidades angulares absolutas de los dos sólidos de la figura. La velocirelativa con la que alguien situado en el cuerpo 2 vería girar al 3 sería

~=ular

la

1-

i-

-

dB32 k- --- =- . = W3 dt

-

- W2

[2.23)

w -w32 . A partir de aquí se puede plantear la composición de veloci- _

ente 23 = _ angulares.

que en el caso práctico de la Figura 2.17, la magnitud que se podría medir en ·ores que accionan el sistema correspondería a las velocidades angulares relatir tanto, se tendrá que

[2.24)

47

Máquinas y Mecanismos

o

X

Figura 2.17. Composición de velocidades angulares

Con las aceleraciones angulares se siguen reglas análogas a las establecidas para velocidades. Ello es así porque en el caso plano, las velocidades angulares pued cambiar de módulo, pero no de dirección. Se tendrá que

y

o

X

Figura 2.18. C omposición de aceleraciones angulares

48

Conceptos básicos de cinemática

Tipos de movimientos de un sólido rígido en el plano _ ido rígido puede tener tres tipos de movimiento:

•

Rotación: Todos los puntos del sólido describen trayectorias que son circunferenc ias (o arcos de circunferencias) concéntricas.

•

Traslación: El sólido no cambia de orientación, o lo que es lo mismo, sus punros describen rectas paralelas entre sí (traslación rectilínea) o la misma curva desplazada (traslación curvilínea).

•

General: Combinación de traslaciones y rotaciones sucesivas.

------··········-···········- ....

las len

~5]

2.19. Tipos de movimientos de un sólido rígido en el plano: biela-manivela-deslizadera

Figura 2.19 se muestran los distintos tipos de movimiento. La manivela 2 tiene . imiento de rotación ; la deslizadera 4, de traslación rectilínea; y la biela 3, un ~ : emo general. Obsérvese como esta última incluye puntos con trayectoria circu- rect ilínea (B). .............

. ............. ..

-··········-...............,,,.A..------.......-----·-··-_···_··._··-_·-.._.... . .,.,......B

ra 2.20. Tipos de movimientos de un sólido rígido en el plano: cuadrilátero articulado

49

Máquinas y Mecanismos

En el paralelogramo de la Figura 2.20 se aprecia como la barra acopladora 3 tiene movimiento de traslación curvilínea, concretamente circular.

2.4. Ecuaciones del movimiento relativo 2.4.1. Ecuaciones del movimiento relativo para velocidades y aceleraciones El problema que se plantea se resume en la Figura 2.21, el cuerpo i-ésimo se mueve eel plano con un movimiento (posición, velocidad y aceleración) conocidos respecto sistema de referencia fijo. Sobre dicho cuerpo se mueve a su vez un punto P, este m vimiento del punto respecto del cuerpo i-ésimo está a su vez completamente detenr. nado. Se desea obtener las expresiones de la velocidad y aceleración absolutas del pu:-to P; esto es, determinar su movimiento respecto al sistema de referencia fijo.

y cuerpo i

o

X

Figura 2.21. Planteamiento del problema del movimiento relativo

La velocidad absoluta del punto P vendrá dada por la derivada temporal del vect 0 p; ahora bien, este vector puede cambiar tanto en módulo como en dirección, por _

r

que en general, obtener esa derivada será dificil. Por ello se adopta una aproximacióindirecta al problema. De la Figura 2.22 es evidente que [2.26

50

Conceptos básicos de cinemática

y

:n al

)-

i-

1-

or lo

rOAI·

o

X

Figura 2.22. Ecuaciones del movimiento relativo: problema de posición -~rerior

reporta dos ventajas: en primer lugar el origen del sistema de referencia es elegido por el usuario, por Jo que se puede seleccionar del modo más favora- - ible para el posterior conocimiento de su velocidad y aceleración. En segundo _ -. el vector que localiza el punto respecto al cuerpo i-ésimo dependerá de unas :erísticas geométricas conocidas y constantes (forma de la ranura, por ejemplo). _ endo este razonamiento, el vector que define la posición del punto respecto al . se puede expresar en dicho sistema de referencia

-

-

=Xp· i¡ +y p· j ;

r

[2.27]

"'ranto, la velocidad absoluta del punto P, vendrá dada por

= =

Grop dt .

roA,

d~OA; + rA;P ) d~OA; + Xp . 0 + YP dt

dt

-. -. +X p . i¡ + Xp . i¡ + y p . j ¡ +y p . j ¡ = .

=vA, +xp

. ] ;) [2.28]

.

·0 +X p ·0+y p ·]; + Jp 'l;

)n

6]

51

Máquinas y Mecanismos

y

o

X Figura 2.23. Definición local de vectores posición

Hay que destacar que ahora los vectores unitarios que aparecen en la ecuación [2.28] : que pueden cambiar en dirección, por lo tanto su derivada temporal podrá ser distii:· de cero. A continuación se verá cómo se puede obtener la derivada temporal de vector unitario asociado a un sistema de referencia móvil (recordar que ya se ha ob ~ nido la derivada del vector unitario tangente al estudiar el movimiento de una partíct... en coordenadas intrínsecas). En la Figura 2.24 se muestran dos vectores unitarios pe· pendiculares entre sí que pueden girar respecto a la barra fija con una velocidad fil, . Se supone transcurrido un diferencial de tiempo, dt, po~ lo que el sistema habrá giral,; un ángulo dB;. Se tendrá que el nuevo vector unitario será

-

dT

-

-

I

I

i/ + dt' . dt = i + di

[2.2

Del triángulo rectángulo de la Figura 2.24, se tendrá que

[2.3 .

di . =l·sen(de),,,dB I

I

I

siendo la dirección del vector

d~ =dB, · ],

52

di

perpendicular a ~ , es decir, ]; . Por lo tanto

[2.3 ~

Conceptos básicos de cinemática

............··· /

d~

\

// .··

\

'•

··........

/

/

.........····•········· ···.................... _........ .

Figura 2.24. Derivada temporal de vectores unitarios

sí

ita

un te· 1la ~r-

iendo ambos términos por dt, se tendrá que

i

dB1

I

-•

~ =--¡¡ · } ¡

o

üJ,

=

e· }¡-· =úJ¡ . }-•¡ i.

[2 .32]

la velocidad angular del sistema de referencia móvil. Así mismo, se com-

oa fácilmente que es lo mismo que

:fo [2.33] 9]

_ modo análogo, se tendría que [2.34]

O]

. ·endo [2.33] y [2.34] en [2.28], se tendrá que

- =vA, +X p ·Í; +x p -(w; x Í¡)+ Y P · ] ; + Y P ·(W; x ] ; )= 1]

=vA,

+x p ·Í; +(W; x x p ·Í;)+ Y P · ]; + (W; x y p ·]; )

[2.35]

:.e · e han conservado los paréntesis del último término para una mayor claridad.

53

Máquinas y Me canismos

Agrupando términos y reordenando, se tendrá que

Vp = vA, + w, x (xp · Í; + Yp · ]; ) + Xp · Í; + Yp · ],

[2.3

o, lo que es lo mismo

v

p

=

vA,+ m, x rA,P+ x 0+ .Y p •

[2 .~

p · ] ,

El lado de la derecha de la ecuación [2.37] se compone de tres términos:

•

vA,: velocidad del origen del sistema de referencia móvil A,.

•

W¡X rA,P : diferencia de velocidades entre el punto p y el origen del sistema referencia móvil A, asumiendo que ambos pertenecieran al cuerpo i-ésimo.

• x 0+y P ·

P •] ; :

velocidad relativa del punto P respecto al cuerpo i-ésimo.

Se introduce la siguiente notación

A su vez la suma de la velocidad del origen del sistema de referencia móvil y la di·· rencia de velocidades entre los dos puntos, se denomina velocidad de arrastre. ecuación [2.38] constituye la ecuación del movimiento relativo para velocidades. Para las aceleraciones se seguirá un proceso similar, derivando respecto al tiempo ecuación [2.36], se tendrá que

.

.

+w; x(x p · Í; +xp ·f + YP ·]; + Yr ·];)+ . . + .X P • Í; + xP • Í; + ji P • ] , + yr · ] ; y teniendo en cuenta las derivadas temporales de los vectores unitarios asociado sistema de referencia móvil

+a¡ XYA,P +W¡ x(x p ·(w, xi;)+ yP ·(W; x ];))+ +W¡ x(x p ·Í; + YP·J,)+xp ·Í; +ji¡, ·], +xp ·(w, xi;)+ Yp ·(w¡ xJ,)

ap =aA,

siendo

54

a¡

la aceleración angular del sistema de referencia móvil.

[2 .-

Conceptos básicos de cinemática

_ pando términos y reordenando

6]

- =aA, +a¡ x rA;P +w¡ x (w; x rA;P)+X p ·Í; + Y P ·]; +2·(W¡ XVp¡ ¡)

[2.41]

e el lado de la derecha se compone de los siguientes términos:

7]

•

a

A, :

aceleración del origen del sistema de referencia móvil A; .

a ¡ X rA,P + W¡ X (w¡ X ¡:AJ' ): diferencia de aceleraciones entre el punto p y el

origen del sistema de referencia móvil A;. Componentes tangencial y normal.

:ie

x

~ +y P • ] ; : aceleración relativa del punto P respecto al sistema de referencia móvil. P •

2 · (w; x vp¡;): término de Coriolis de la aceleración. ·o anterior se puede denotar de un modo más compacto como sigue [2.42]

8] mente

[2.43] la

ión [2.43] constituye la ecuación del movimiento relativo para aceleraciones. _ mentarios sobre las ecuaciones [2.42] y [2.43]. En el caso del movimiento la componente normal de la diferencia de aceleraciones se puede calcular de un más eficiente del siguiente modo [2.44]

9]

-= ndo lugar, indicar que el término de Coriolis de la aceleración aparece cuando

=ocidad relativa cambia de dirección y el sistema de referencia móvil gira.

al Campo de velocidades y aceleraciones de un sólido rígido

· uación se emplearán las ecuaciones del movimiento relativo con el fin de ob-

=· campo de velocidades de un sólido rígido. Así mismo se considerarán diversos O'

particulares. Hay que resaltar que los diversos vectores que forman parte de las nes del movimiento relativo, deben de estar expresados todos ellos en el mismo a de referencia. Por cuestiones prácticas se empleará el sistema de referencia fijo , - cuando se haga referencia a vectores definidos en el sistema de referencia mó-

55

Máquinas y Mecanismos

Sea el sólido rígido 2 de la Figura 2.25. Si se conoce la velocidad de un punto ~ angular del sólido, se puede obtener la velocidad de cualquier otro punto del sóhrígido.

y

O

X

Figura 2.25. Campo de velocidades de un sólido rígido

Considerando un sistema de referencia móvil con el cuerpo {A -X 2 Y2 Z 2 } y aplican las ecuaciones del movimiento relativo, se tendrá que

vs = v + w2 x A

FAB

+ xº ·¡2 + Ys · J2

donde x 8 e y 8 son constantes, por lo que se tiene

vB = vA + w2 x rAB

[2.--

De un modo análogo, para las aceleraciones se tendrá que -

-

-

-

2

-

ª s =aA +a2x rAB -OJ2 · rAB donde han desaparecido los términos relativos y de Coriolis. Finalmente se aplicarán las ecuaciones del movimiento relativo para obtener el carr._ de velocidades y aceleraciones de sólidos rígidos sometidos a los dos movimien: elementales: rotación y traslación. Para el caso de un movimiento de rotación respecto a un punto fijo , resulta obvio ele::dicho punto como origen del sistema de referencia móvil, se tendrá que

-

- -

-

-

V9 =0J2X rAB -

2

-

ª s =a2 x rAB -OJ2 ·rAB

56

[2.-

Conceptos básicos de cinemática

la fo

-- c. caso de un movimiento de traslación se tendrá que

[2.49] ir. que en un sólido sometido a traslación, todos sus puntos tienen la misma ved y aceleración.

y

do

o

X

:.26. Campo de velocidades de un sólido rígido: movimiento de rotación alrededor de un punto fijo y movimiento de traslación

5]

· Centro Instantáneo de Rotación (CIR) 6]

7]

po .os

.~gura 2.27 se ha representado la velocidad angular absoluta de la barra 2 me- e vector iiJ2 , que al tratarse de un movimiento plano, es bien sabido que lleva la ,..-.,,...,.-,,....,· n perpendicular al plano del movimiento. La pregunta que surge en este punto e está aplicado realmente ese vector? Dicho de otro modo ¿respecto a qué _:tá girando el cuerpo 2 si se considera su movimiento absoluto?

a pensar que está girando respecto a un eje perpendicular al plano del movi- que pasa por el punto O, origen del sistema de referencia fijo, o respecto al {:. Lo cierto es que no tiene porqué y el vector iiJ2 está aplicado en lo que se -,.,a eje instantáneo de rotación, la intersección de este eje con el plano del mo'. se denomina Centro Instantáneo de Rotación (CIR).

18}

57

Máquinas y Mecanismos

y

O

X

Figu ra 2.27. Movimiento de rotación de un sólido rígido

Se podrá definir un centro instantáneo de rotación siempre que se tengan dos cuerp con movimiento relativo entre sí, uno de ellos puede ser perfectamente la barra de re:. rencia o fija, en cuyo caso se tendría el movimiento absoluto del cuerpo en cuestión. las barras pertenecen a un mecanismo, para conocer la posición de su centro instar:· neo de rotación, el movimiento relativo de las barras ha de estar perfectamente de ~ minado, es decir, sólo sería posible conocer todos los CIR en mecanismos de un g de libertad. Dicho centro instantáneo de rotación debe de cumplir dos condiciones simultáneame-te: •

Describir el movimiento relativo entre los cuerpos, o absoluto respecto a la ferencia fija, como una rotación pura alrededor del centro instantáneo.

•

Ser un punto de velocidad compartida entre los dos cuerpos cuyo movimie. relativo describe. En el caso particular de que se trate del movimiento abso _ to, la velocidad del centro instantáneo será nula.

Los dos puntos anteriores proporcionan algunas herramientas para localizar los centr instantáneos de rotación. Por ejemplo considérese el campo de velocidades absol u· del cuerpo 2 mostrado en la Figura 2.27. Si se denota por 112 el centro instantáneo q corresponde al movimiento relativo de 2 respecto a 1, es decir, el absoluto de 2 coruna rotación pura, deberá verificarse que

- = (()-2 X rl"A - V B, = (()2 X r,128

V A,

58

[2.:

Conceptos básicos de cinemática

conocida propiedad del producto vectorial, el centro instantáneo 112 estará en el el movimiento y en la dirección perpendicular al vector velocidad correspon:: En la Figura 2.28 se muestran las direcciones perpendiculares a A y a 82 •

v2

v

--ecuencia 112 estará en la intersección de ambas rectas, tal y como se muestra en instantáneo de rotación no tiene porqué ser un punto fijo , de hecho en gene:endrá uno para cada configuración del sistema mecánico. Si se diera el caso que idades de dos puntos del sólido rígido fuesen paralelas e iguales, entonces las -:ostradas en la figura anterior se cortarían en el infinito, lo que indica que en al esa posición, la velocidad angular es nula.

..

~

~

ffi2

j \\

)05

¡ \:,__.-----

fe-

s

¡

táer-

LdC

y ~n-

re-

1tc lu-

ne

o

X

Figu ra 2.28. Movimiento de rotación de un sólido rígido: determinación del CIR

-

L

alización de CIR. El Teorema de Aronhold-Kennedy

gía del par cinemático que enlaza dos barras es esencial a la hora de localizar _ instantáneo de rotación correspondiente al movimiento relativo entre las dos ;: nectadas. ~

ejem plo, en el caso del par de revolución, el centro instantáneo de rotación las dos condiciones indicadas anteriormente; es decir, describir el mo·o rel ativo como una rotación y tener la misma velocidad supuesto perteneciente - cuerpos. Únicamente el propio par de revolución cumple con ambas condicio-

~ ~Jmpli r

iO,

59

Máquinas y Mecanismos

Figura 2.29. Centros instantáneos de rotación correspondientes a pares R

En el caso del par prismático de guía recta, como por ejemplo el de la Figura 2.2 movimiento relativo entre las barras implicadas, 4 y 1, es rectilíneo, por lo que no e hablar de movimiento de rotación. En este caso, recordando la expresión [2 .50}. centro instantáneo de rotación estará en la dirección perpendicular a la velocidad ( guía, es lo mismo), pero en el infinito (ver Figura 2.30).

! ,.¡

..

3

Figura 2.30. Centros instantáneos de rotación correspondientes a pares P de guía recta

En el caso del par prismático de g uía circular, el correspondiente centro instantáneo rotación coincidiría con el centro de curvatura de la guía. Es decir, a partir de cada tipología concreta de par cinemático de tipo!, se pueden d:c
60

Conceptos básicos de cinemática

-~~~·•. eos

de rotación correspondientes al mov1m1ento relativo definido por dos o directamente conectadas, por ejemplo, las barras 2 y 4 de la Figura 2.31.

e punto, se aplica el teorema de Aronhold-Kennedy, que dice lo siguiente:

centros instantáneos de rotación correspondientes a tres sólidos rígio con movimiento relativo entre sí, están alineados.

~os

edim iento de aplicación será el siguiente: considérense dos ternas de sólidos del -mo, los tres centros instantáneos de rotación a que cada una de ellas darán _illlfán alineados, por lo que si esas dos ternas tienen un centro instantáneo co_:-e estará en la intersección de ambas rectas. _ emp lo de la Figura 2.31 las ternas propuestas son Teorema de Kennedy

------~~

-

,

Teorema de Kennedy

J12

J

J 23

J 34

14

J

24

J 24

a / inea dos

[2.51]

alineados

- -e que el centro instantáneo de rotación buscado h 4 es común a ambas rectas .

...... . . ........... Figura 2.31. Teorema de Aronhold - Kennedy

61

Capítulo 3

nálisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial rroducción -

-~ma

se abordará el análisis cinemático de mecanismos planos mediante méto!iales. Como corresponde a la mayoría de los mecanismos que se pueden - en las máquinas, los mecanismos a analizar responderán a una configuración _ ,, inemática cerrada. erísticas esenciales de los métodos vectoriales que se emplearán en el análisis son las siguientes:

--=-.--·fl ~o

~

1odelización del mecanismo mediante coordenadas independientes; esto es, -e conocerán al menos tantos datos de posición, velocidad y aceleración como grados de libertad tenga el mecanismo. Habitualmente, estos datos corresponerán a los accionamientos del mecanismo. Planteamiento del problema de posición mediante trigonometría o álgebra vecorial.

63

\láq uinas y Mecanismos

•

Planteamiento del problema de velocidad y aceleración aplicando las ecuacicnes del movimiento relativo a barras y considerando las características de 1 _ pares cinemáticos binarios.

• •

Resolución analítica de los problemas cinemáticos . Resolución del problema cinemático en una (o muy pocas) configuraciones de mecanismo.

Desde el punto de vista matemático, los tres problemas secuenciales en los que se di' de el análisis cinemático presentan características bien diferenciadas: •

Problema de posición: Conduce en la inmensa mayoría de los casos a unz; ecuaciones algebraicas de naturaleza no lineal.

•

Problemas de velocidad y aceleración: Conduce siempre a ecuaciones braicas de tipo lineal.

al~=-

Tal y corno se verá en este terna, el problema de posición está menos sujeto a reg.~ fijas que el de velocidad y aceleración; esto es, es posible que para un mismo me nisrno existan diversos procedimientos para resolver el problema de posición, sie éstos altamente dependientes del mecanismo concreto. En cambio, para los problerr~­ de velocidad y aceleración, el procedimiento de análisis propuesto es mucho más s :-temático. En general se puede resumir los siguientes puntos:

64

•

Dado que habitualmente se analizarán mecanismos de cadena cinemática rrada, se le asociará una ecuación de velocidades y aceleraciones a cada laz.-: independiente del mecanismo, de modo que se comienza por la(s) barra(s) entrada y se van calculando velocidades y aceleraciones a lo largo de la cad~ cinemática, hasta cerrarla.

•

Para moverse a lo largo las cadenas cinemáticas, se emplean las ecuaciones movimiento relativo en tres supuestos: o

Aplicadas a dos puntos pertenecientes a un mismo sólido rígido.

o

Aplicadas a pares cinemáticos binarios.

o

Ocasionalmente se aplicarán a puntos cuyas trayectorias son cono das a priori. La aplicación de las ecuaciones del movimiento relat: exige conocer ciertos datos cinemáticos de los puntos a relacio Concretamente será necesario conocer las direcciones normal y t?..gente a la trayectoria relativa y los radios de curvatura para poder presar correctamente las velocidades y aceleraciones en coordena intrínsecas.

s

:I

1-

IS

:-

lS

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

_ ..: métodos de análisis basados en las ecuaciones del movimiento relativo son con~:uatmente simples y permiten una fácil interpretación de las características de moento del mecanismo. Por contra, están limitados por la complejidad de los sistemas -=-ánicos a analizar, sobre todo cuando lo que se pretende es estudiar el movimiento mecanismo en una secuencia de movimientos compuesta por varias configuraciones ~ivas. Por ello en este tema se aplicará el método al análisis cinemático a una única .:;guración de un mecanismo plano. Hay que resaltar que esta limitación es de orden --ico y no conceptual. _onti nuación, se establecerán las bases del análisis cinemático para mecanismos s considerando distintos tipos de pares cinemáticos. Para ello se considerarán una ~~de mecanismos básicos que irán incorporando sucesivamente los distintos tipos de -=ci nemáticos que suelen incluir los mecanismos planos. Tal y como se ha mencioanteriormente, el problema de posición carece de la sistemática de los de veloci- aceleración, por lo que las resoluciones que se indican a continuación, no tienen _ é ser las únicas posibles.

l-

lo

Análisis cinemático de mecanismos planos

lS

s-

_. .\.fecanismos con pares R: el cuadrilátero articulado -.:idrilátero articulado presenta las siguientes características destacables desde el de vista cinemático:

¡:-

'.O

le

•

Mecanismo plano con una única cadena cinemática cerrada, por lo que es de esperar una única ecuación vectorial de velocidades y una única ecuación vectorial de aceleraciones asociadas a la cadena cinemática.

•

Mecanismo con un grado de libertad, lo que implica que al menos se proporcionará o fijará un dato cinemático de posición, velocidad y aceleración para poder realizar el análisis cinemático en una configuración concreta.

•

Todos los pares cinemáticos son de revolución (tipo R).

ia

.e\

_~igura

3.1 se muestra el cuadrilátero articulado a analizar.

lC l-

IVC

1ar

anex-

das

65

Máquinas y Mecanismos

3

B

X

1

1 Figura 3.1. Cuadrilátero articulado

Los datos geométricos de los que se dispondría para el estudio serían las distanci~ entre los centros de los pares R (constantes y fácilmente medibles) de las cuatro baJT:?;. del mecanismo, en ocasiones denominadas longitudes de las barras del mecanismo. L longitud de la barra i-ésima se denotará en lo siguiente por r,. Así mismo, como el m"'canismo tiene un grado de libertad, se conocerá al menos (y usualmente eso será tod un dato de posición, otro de velocidad y un último de aceleración. Si se asume que _ barra 2 es la manivela de entrada, sería muy fácil a partir de los sensores instalados el motor conocer la orientación fh, la velocidad angular, ÚJ2 , y la aceleración angula:-

a2, de dicha barra, ver Figura 3.2.

B

Figura 3.2. Datos geométricos y cinemáticos

66

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

im portante tener en cuenta que todos los análisis que se van a realizar (posielocidad y aceleración), son válidos únicamente para la configuración concreta JOr los datos de entrada.

Relaciones cinemáticas entre puntos unidos mediante un par R barras unidas por un par tipo R, por ejemplo las barras 2 y 3 de la Figura 3.3, :- - unidas por un par de revolución localizado en B. Se pueden considerar dos B_ y B3 , cada uno de ellos perteneciente a cada una de las barras. Es evidente ual sea la posición del mecanismo, las trayectorias de ambos puntos y la rapi- la que las recorren es la misma, por lo que ambos puntos tienen la misma veloE mismo razonamiento se puede aplicar a las aceleraciones. Esto es

= vs,

[3 .1]

3

·.. Trayectoria

1

1

Figura 3.3. Trayectoria común de los puntos que forman un par de revolución

es de revolución constituyen puntos de velocidad y aceleración comunes a las

:-:as que conectan, por tanto es muy fácil relacionar las velocidades y aceleracio- . ~

ntos de diferentes barras cuando están unidas por pares tipo R. A la misma -n se puede llegar aplicando las ecuaciones del movimiento relativo. Supóngaema de referencia móvil {B 2 - X 2 Y2 Z 2 }, tal como se muestra en la Figura 3.4.

67

Máquinas y Mecanismos

3

1

1 Figura 3.4. Sistema de referencia móvil

Aplicando las ecuaciones del movimiento relativo vistas en el Apartado 2.4 del Ca¡:

lo 2 a la velocidad del punto B 3 desde la barra 2, se tiene

donde v8 8 J

2

v83/ 2

=

m2 x r8 8 = 6 2 J

=o

Ambos términos serán nulos porque siempre se cumplirá que

r8283

=o y V 83 12 =o.

que los puntos B 2 y B3 son siempre coincidentes. Para las aceleraciones se procederá de un modo análogo:

donde

r a- 8382 -- a-nB3B2 + ª- 8382 a83 /2 =a ; 3 / 2

ª cor

+a~3 1 2

=-

2

-

ú)2 . r B2B3

+ ª- 2

-

X r 8 ,B3

=o

=-úJJ2 · rB,B3 +a32 xr82B3

=0

[3.--

=2·(m2 x v 83 12 ) = 0

Por lo tanto, se verifica lo deducido de un modo más intuitivo en la expresión [3 .1].

68

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

~

Problema de posición

_a se ha indicado anteriormente, el análisis de la posición es el menos sistemátis tres problemas en los que se ha estructurado el análisis cinemático de meca- Tam bién se ha mencionado anterionnente, que el procedimiento de resolución fu ndamentalmente en conceptos trigonométricos o de álgebra vectorial. Co~= a general, se puede indicar la necesidad de resolver triángulos en el mecanismo, -.Jales se conozcan al menos tres datos de entre los tres lados y tres ángulos. Así rilátero articulado se pueden considerar los dos triángulos, no necesariamente =..ilos, ABD y BCD, indicados en la Figura 3.5. ngulo ABD y aplicando el teorema del coseno, se tendrá que :

= r1]

+ r12

-

2 · r1 • r2 · cos ( 8 2 )

[3.6)

e puede detenninar la distancia d ~uació n,

= BD .

aplicando el teorema del seno al triángulo ABD se obtendrá el ángulo

d ~ - sen(82 )

/3 = arcsen (

r2 ·sen(()2 )) d

[3.7)

era ahora el segundo triángulo BCD. Aplicando el teorema del coseno

[3.8) e e obtendrá O. Por lo tanto ya se podrá obtener el ángulo 84 en radianes

=;-;-- (fJ+ó)

[3.9)

B ··.. ......~

~

..........

d ...............

3.5. Problema de posición de un cuadrilátero articulado. Planteamiento por trigonometría

69

!.;q umas y ,\;/ecanismos

La razón por la que se obtienen estos ángulos en concreto se verá claramente cuandc plantee el problema de velocidades. El ángulo ?} se puede obtener, por ejemplo, a:cando de nuevo el teorema del seno al triángulo BCD

r4 r3 sen(?')= sen(ó)

rjJ = arcsen [

r 4 · sen(ó)) r

(3 .1

3

Finalmente, se podrá obtener el ángulo () 3 (que se indica en la Figura 3.6) corno (3 .1

e

Figura 3.6. Ángulos que definen la orientación de las barras de un cuadrilátero articulad

3.2.1.3 Problema de velocidad La idea general será, empezando por la barra de entrada, ir relacionando velocidade5 puntos de diferentes barras hasta cerrar el lazo. Corno ya se ha mencionado, las he mientas para ir calculando velocidades serán dos tipos, aplicar las ecuaciones del virniento relativo a: (a) pares cinemáticos y (b) distintos puntos del mismo sólido = do. En este caso, donde los pares son del tipo R, es muy sencillo relacionar velocidades de una barra a la siguiente, dado que los pares R son puntos de veloci · compartida entre las dos barras conectadas. El punto donde se cierra el lazo es _ elección del usuario, pero debe de estar en consonancia con los ángulos calculado: el problema de posición. En este caso, el punto elegido es el C (ver Figura 3. 7).

70

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

Velocidades

Figura 3.7. Problema de velocidad -~'.v

en cuenta que la barra 2 tiene un movimiento elemental, rotación respecto a !jo (en realidad rotación respecto a un eje perpendicular al plano y que pasa _J.Ilto ), se tendrá que

[3 .12]

= el nudo B se tiene un par de revolución - = úJ2 - X rAB = \ºs,

[3.13]

en la barra 3, se puede calcular la velocidad de otro punto de la misma C 3 , _o las ecuaciones del movimiento relativo. Suponiendo el sistema de referen-

B3 - X 3 Y3 Z 3 }, se tendrá que [3.14] arlo. se tiene en cuenta que en C se tiene otro par de revolución y que la barra movi miento elemental de rotación respecto a un eje fijo que corta al plano iento en D, en consecuencia [3.15] do ahora los términos del lado de la derecha de [3.14 ], se tendrá que

[3 .16] =0 _--~ ivamente, el punto C 3 no se desplaza respecto a la propia barra 3.

71

Máquinas y Me canismos

Sustituyendo [3 .15) y [3 .16) en [3.14 ], se tendrá que

W4 x roc =W2 xrAB +W3 x rBC La ecuación [3 .17] es la que corresponde, en el campo de velocidades, al único 1 ~ cerrado del mecanismo. Se trata de una ecuación vectorial en el plano, con dos ún i incógnitas los módulos w3 y w4 . El procedimiento de resolución consistirá en proyec la ecuación vectorial [3.17) en los ejes X e Y del sistema de referencia fijo, de ese mo se tendrá en este caso un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Como ya se indicado anteriormente, esas ecuaciones serán siempre lineales. En este punto es necesario volver al problema de posición. Para desarrollar la ecuac:. [3.17) son necesarios los vectores que se ilustran en la Figura 3.8.

Figura 3.8. Vectores posición

Se observa que los ángulos obtenidos durante el análisis trigonométrico que consti ~ el problema de posición están perfectamente adaptados para obtener las compone de los citados vectores. En efecto, los ángulos están en el origen de los vectores e_ orientación se quiere establecer, y medidos en sentido antihorario desde una referefija horizontal (eje X). Otro aspecto a considerar es que durante el proceso de planteamiento de las ecuaci de velocidad, se han empleado sistemas de referencia móviles; ahora bien, todo vectores implicados se expresarán únicamente en el sistema de referencia _{A - XYZ}. Es decir, los sistemas de referencia móviles son útiles para aplicar _ ecuaciones del movimiento relativo; sin embargo, los vectores necesarios, en los e planos que se consideran, se pueden definir directamente en el sistema de refere:' fijo sin mayor dificultad.

72

[)

r

[)

a

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

_ - Problema de aceleración _ lantear el problema de aceleraciones, se siguen exactamente los mismos pasos _ el de velocidades. Además, en el caso de mecanismos con pares R, dichos pares tos de aceleración compartida, por lo que al igual que en el caso de las velocies muy fácil relacionar las aceleraciones de puntos de una barra con los de la :·guiente. ;!·emplo considerado, se tendrá que [3 .18] e nuevo se ha considerado el tipo de movimiento elemental de la manivela de Así mismo, nótese como la aceleración se descompone en sus componentes . · tangencial. :.:"rando ahora el sistema de referencia móvil sobre la barra 3, la aceleración del ~3 será

[3 .19] - e consideraciones análogas a las planteadas en el caso de las velocidades, se

[3.20] 3

= Ü

= 2 · (@ 3 x

vc 13 ) = O 3

=e que tanto la aceleración relativa como la de Coriolis son nulas, debido a que a de referencia móvil se encuentra en la propia barra 3. Sustituyendo [3 .18] y en [3. 19], se tendrá

[3.21] as incógnitas son los módulos a 3 y a.;. De nuevo se tendrá un sistema de dos :ies escalares lineales con dos incógnitas.

fecanismos con pares P: inversión del mecanismo biela-manivela-deslizadera Figura 3.9 se muestra una inversión del mecanismo de biela-manivelaera. La inversión cinemática es un procedimiento para la obtención de un mecon una nueva funcionalidad a partir de uno dado. No se modifica ni el núme·ipo de barras y pares cinemáticos, únicamente se cambia la barra fija. En con-

73

.ft1q111nas y ,\fecanismos

creto, el mecanismo que se presenta en este apartado es una inversión del tradicional mecanismo de biela-manivela-deslizadera.

1

1

Figura 3.9. Inversión del mecanismo de biela-manivela-deslizadera. Par prismático de guía recta

Se trata de un mecanismo plano, de un grado de libertad, con configuración en caden:! cinemática cerrada. Frente al cuadrilátero articulado, destaca la presencia de un pa! prismático con guía recta. Más adelante se analizará el caso de un mecanismo con pa: prismático con guía circular. Los datos cinemáticos para la resolución de este mecanismo son la orientación, velocidad angular y aceleración angular de la barra 2.

3.2.2.1 Relaciones cinemáticas entre puntos unidos mediante un par P A diferencia de lo que ocurría con el par tipo R, en el caso del par prismático no exist ningún punto fácilmente localizable que tenga la misma velocidad y aceleración en la5 dos barras que conecta. Por ello, se proyecta el nudo B de la deslizadera sobre la guía en el caso considerado se definiría el punto B-1. Dadas las características del par prismático, los puntos B3 y B4 no tienen necesariamente la misma velocidad y aceleración. Se trata, por tanto, de puntos coincidentes en ese instante de tiempo, pero pertenecientes ~ barras diferentes y con distintas trayectorias, como puede observarse en la Figura 3.10.

74

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

Trayectoria absoluta de B~

Trayectoria absoluta de 8 3

X

.... ··

I

1 Figura 3.10. Puntos considerados en un par prismático

~er lugar se considera el problema de velocidades. Dado que al ser

v *v 84

83

,

se

relacionar ambas. Para ello, se supone un sistema de referencia móvil sobre la -era {B3 - X 3Y3 Z 3 } y se aplican las ecuaciones del movimiento relativo con el de obtener la velocidad del punto

B~ .

[3.22]

[3 .23] • =V8, 13 ·U4

" ue la distancia entre B3 y B4 será nula en la posición que se está estudiando el -mo. Por otra parte, en la Figura 3.11, se ilustra como la trayectoria del punto desde la barra 3 coincide con la forma de la guía (barra 4). Teniendo en cuenta elocidad es un vector tangente a la trayectoria, 8 , 13 llevará la dirección del

v

to la relación de velocidades entre puntos coincidentes, pero de barras dife- lazadas por un par prismático, vendrá dada por

[3 .24] - a di ferencia corresponde a una velocidad relativa que necesariamente lleva la de la guía.

75

Máquinas y Mecanismos

4

Trayectoria relativa de B, respecto a la barra 3 Figura 3.1 l. Trayectoria relativa en un par prismático

Operando de un modo similar para las aceleraciones, se tendrá que

a8

4

= Q B3

+ Q84 8 3 + Q 84 / 3 + QCor

[3 .25]

donde

-

-

aB, 13 =a B, 13 ·U4 ª cor

[3.26]

=2·(w3xvB, 13)

Como en el caso de las velocidades, el término de diferencia de aceleraciones ser2 nulo. Dado que la guía es recta, la trayectoria relativa también lo es y, en este caso, l:o componente normal de la aceleración relativa es nula, siendo la tangencial la única qu queda. Un aspecto muy importante es que en el cálculo de la aceleración de Coriolis interviene la velocidad angular del sistema de referencia móvil y la velocidad relativa, y puestr que en este caso no tienen porque ser nulas se deduce que la componente de Coriolis de la aceleración puede ser distinta de cero. Otro aspecto a resaltar en este tipo de pares cinemáticos es que w 4=w 3 y a 4 = a 3

3.2.2.2 Problema de posición Aunque el problema de posición puede resolverse por procedimientos trigonométrico~ análogos a los empleados en el caso del cuadrilátero articulado, para este mecanismc concreto es más fácil seguir una aproximación diferente. Considérense los vector~ asociados a las barras del mecanismo que se indican en la Figura 3.12.

76

ic

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

_ a Figura 3.12 es obvio que [3.27] los vectores del lado de la derecha de [3.27] son conocidos en módulo y direc",Xlr lo que el vector res se puede obtener directamente.

e 1

1

ra 3.12. Problema de posición del biela-manivela-deslizadera. Planteamiento vectorial

_....,...~ ~do

que la barra de entrada es la manivela 2, y considerando que la unión entre _ ~~rea liza mediante un par de revolución, se tendrá que [3.28]

,.., ........ -e:acionar velocidades de puntos desde la barra 3 a la 4, se aplica lo visto en el J 3.2.2.1; es decir, se considera un sistema de referencia móvil asociado a la _•. se aplican las ecuaciones del movimiento relativo. [3.29] -·or unitario en la dirección de la barra 4, ü 4 , se puede obtener fácilmente de Finalmente [3.30] . . endo [3.28] y [3.30] en [3.29], se tendrá que

[3 .31] ción [3.31] es la ecuación vectorial de lazo cerrado del mecanismo. Al proyece uación vectorial [3.31] en los ejes X e Y del sistema de referencia fijo, dará

77

Máquinas y Me canismos

lugar a un sistema de dos ecuaciones escalares, por supuesto lineales, con únicameff; dos incógnitas w4 y v 8 4 13 .

3.2.2.4 Problema de aceleración Siguiendo los mismo pasos que en el problema de velocidades, se tendrá que

Considerando el mismo sistema de referencia móvil y aplicando movimiento relativo

Además, considerando que B 4 se mueve como cualquier otro punto de la barra 4

Finalmente, sustituyendo [3.34) y [3.32) en [3.33), se tendrá que 2

-

- aJ 4 . r CB

+ a- 4

=-wi

X

·rAB

-

r CB =

+a2

xrAB +aB,1 3 ·Ü4

[3 .35-

+2·(W3

XV3 4 13)

Se tiene de nuevo un sistema de dos ecuaciones escalares con únicamente d incógnitas, a 4 y a 8 , 13 .

3.2.2.5 Par P de guía circular En el caso de que la guía prismática sea circular, ver Figura 3.13, el proceso general análisis cinemático es análogo al seguido en el caso de guía recta. Sin embargo exi ciertas diferencias que conviene resaltar. La primera radica en que se deben de pro cionar dos datos adicionales: la localización del centro de curvatura D (por ejemp mediante sus coordenadas respecto al sistema de referencia fijo) y el radio de curvat p.

78

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

1

1

3.13. Par prismático de guía circular. Centros de curvatura D y radio de curvatura p

::da diferencia importante aparece cuando se considera el movimiento relativo, establecido el sistema de referencia móvil en la barra 3 (deslizadera). Para las '..::LJ::álde-. se tendrá que

[3.36] ::orno en el caso anterior, la trayectoria relativa coincide con Ja forma de la guía _:-e caso es la curva en cuestión (una circunferencia). _..ie. al contrario de lo que sucedía en la guía recta en la que se anulaba, la velo-=ular relativa es

[3.37] _ ¿:mi no de Ja aceleración relativa, se tendrá que

[3.38] =-

caso, al ser la trayectoria relativa una curva (circunferencia), es imperativo Ja aceleración relativa en componente normal y tangencial. Se debe hacer co nsideración con Ja aceleración angular relativa (que no se anula, al igual e oci dad relativa) en relación al caso con guía recta.

~oc---."'ner

feca nismos con pares de rodadura sin deslizamiento: mecanismo de Leva - szua 3. 14 se muestra un mecanismo de leva. Se trata de un mecanismo plano, _ do de libertad, con accionamiento por la barra 2. El mecanismo tiene una - _ :a ión en cadena cinemática cerrada. En el punto de contacto entre la leva (ba-

79

Máquinas y Mecanismos

rra 2) y el seguidor (barra 3), se asume que se dan las condiciones de rodadura sin deslizamiento (RSD). 4

2

Figura 3.14. Mecanismo de leva

3.2.3. J Relaciones cinemáticas entre puntos unidos mediante pares de rodadura sil: deslizamiento Considérense las dos barras involucradas en el par de rodadura sin deslizamiento mostrado en la Figura 3.15, donde se muestran sus respectivos centros de curvatura, By D. y radios de curvatura, p 2 y p 3 . Así mismo, se indican la tangente y la normal a las dos superficies en el punto de contacto. La idea es relacionar en primer lugar las velocidades de los puntos C2 y C3, para ello se supone el sistema de referencia móvi {C 2 - X 2 Y2 Z 2 } y se plantean las ecuaciones del movimiento relativo

[3.39] donde

[3.40]

80

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

. :'

Normal

..... :'

fÍ/ D

~~. / ./e) .......·~,

p, /

.

3

.......... ............:angente

:'

•l

..

2

Figura 3.15. Par de rodadura sin deslizamiento

o ocurre siempre con el termino de diferencia de velocidades entre puntos coinci·es de barras diferentes. elocidad relativa llevaría en todo caso la dirección tangente al contacto indicada en 3.15, pero explícitamente la rodadura sin deslizamiento indica precisamente ""no existe ese deslizamiento en esa dirección, por lo tanto .=-1gura

" ,1 2 ==0

[3 .41]

o anterior, se tiene que [3.42] ndo se dan las condiciones de rodadura sin deslizamiento entre dos superficies . as, los puntos de ambos sólidos en contacto tienen la misma velocidad. ortunadamente, con las aceleraciones la relación no es tan simple. Obsérvese en 3.16 que las direcciones normal y tangente a la trayectoria relativa no coincicon las direcciones normal y tangente al contacto mostradas en la Fig ura 3.15.

=-·qura

:-iendo un proceso análogo al de las velocidades, se tendrá que

ª eJ ==ªe2 +ªe) e2 +ªe3 12 +ªcor ,

[3.43]

81

Máquinas y Mecanismos

Algunos términos son nulos -

- n

-1

ª c3C2 =ac3C2 +ac3c, ª car

2

=-úJ 2

-

-

-

·rcc +a2x rcc 2 3 2 3

=

Ü

[3.44]

=2 ·(m2 XVc 12 )= ü 3

ya que la distancia C2C3 es nula y la velocidad relativa también lo es, en el caso de la rodadura sin deslizamiento. Pero la aceleración relativa no tiene porqué ser nula y se deberá calcular. A partir de este punto se considerará el movimiento relativo de la barra 3 respecto a la 2. En la Figura 3.16 se muestra la barra 3 en diversas posiciones respecto a la 2 Trayectoria del punto C1 respecto a la barra 2

Trayectoria del punto D.i respecte a la barra 2

Figura 3.16. Par de rodadura sin deslizamiento. Trayectorias relativas del punto de contacto) del centro de curvatura

Aplicando las ecuaciones del movimiento relativo a los puntos C3 y D 3 perteneciente: al sólido 3 se tiene [3.45] ya que al pertenecer el punto a la barra donde está localizado el sistema de referenci:: móvil , no habrá ni aceleración relativa ni término de Coriolis. Dado que interesa e movimiento relativo visto desde la barra 2, la ecuación [3.45] , considerando el siste m~ de referencia móvil mostrado en la Fig ura 3.16, se puede reescribir como

aD 12 = QC 12 + aD C I 2 )

3

)

3

[3 .46]

De la ecuación anterior es inmediato que

-

ª c312

82

=

-

-

ª 0312 -ao3c312

[3 .4 7]

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

-ideran ahora las componentes tangente y normal (en coordenadas intrínsecas) eleración: a ~, 1 2 lleva la dirección de Y2 ; a ~, 12 lleva la dirección de X 2 , esta · -erá nula al ser vc, 12 = O. Trayectoria del punto C, respecto a la barra 2

~G"n1 1

.............. ...

-+

....

a1/)' "·

.. .. .. ....

J-

· .: ... . .

............. .

.. .. D,

..

.·"

. ·.:·:: .... - .

-+ .

ª< 1."., : J•

Trayectori a del punto D, respecto a la barra 2

e, 3. 17. Componentes de aceleraciones de C3 y D 3 en los sistemas de referencia intrínsecos

--ecuencia, de la ecuación vectorial [3.47] sólo interesarán las componentes en la ón normal Y3 [3.48]

' - ----

Po,12

1

=

[3.49]

2 -ú)32 . p 3

......º--"'- endo [3.49] en [3.48] y operando, se llegará a

__ úJJ2 · PJ _ (- ú) 322 . p 3 )-- úJ 322 _[

- 2 -

P2 + P3

P2 · P3 ) P2 + P3

[3 .50]

a~, 12 es la única componente no nula, en forma vectorial se podrá poner

[3 .51]

83

Máquinas y Mecanismos

Téngase en cuenta que el sistema de referencia móvil se ha localizado sobre la curva 2. Según la disposición relativa de las dos curvas se pueden considerar dos casos en cuanto al radio de curvatura de Ja trayectoria relativa del centro de curvatura D 3 respecto de la barra 2.

Figura 3.18. Radio de curvatura de la trayectoria relativa D.12

Por lo tanto

ª- e3 / 2

= W 322 . [

P2 · P 3 B2 D3

J.

Uc3 D3

= W322

.[

P2 · PJ p eqv

J.

Uc 3D3

3.2.3.2 Problema de posición En la Figura 3. 19 se muestran vectores posición asociados a las barras del mecanismo así como los ángulos que definen su orientación. De la Figura 3. 19 es inmediato que r AB

+ r BD

= r AF

+ r FE + r ED

de donde se tiene que, proyectando en la dirección horizontal y vertical

r2 ·cos(B2 +;r)+(R 2 +r3 )·cos(B3 )=h+r4 ·cos(B4 ) r 2 ·sen(B2

+;r)+(R2 +r3 )·sen(B3 )=v+r4 ·sen(B4 )

[3.54,

El sistema de ecuaciones [3.54) se trata de un sistema no lineal de dos ecuaciones dos incógnitas, fh y ()4.

84

co~

Análisis cinemático de mecanismos planos. Jfétodo vectorial

Figura 3.19. Mecanismo de leva: problema de posición

_ -~ 3 Problema de velocidad para velocidades como para aceleraciones se seguirá una estrategia similar. Se _ a la velocidad y aceleración de los puntos C 2 y C3 por dos caminos diferentes y és se relacionan mediante la condición de rodadura sin deslizamiento. _ d problema de velocidad se tendrá que

[3.55)

[3.56) - -ando ahora la condición de rodadura sin deslizamiento para velocidades, se tendrá

[3.57) _- una ecuación vectorial con solo dos incógnitas ( w3 y w4 ) y por tanto resoluble. _:: _· J

Problema de aceleración

~1

modo análogo a lo realizado en el cálculo de velocidades, se tendrá que para las -;!rac iones

[3.58)

85

Máquinas y Mecanismos

y

[3.59] El problema es que las aceleraciones de [3.58] y [3.59] no son iguales cuando se produce la rodadura sin deslizamiento. Por ello se considerará un sistema de referencia móvil {C 2 -X 2 Y2 Z 2 }, aplicando las ecuaciones del movimiento relativo y teniendo en cuenta lo visto en el Apartado 3.2.3.2, se tendrá que [3.60] Considerando las ecuaciones [3.58], [3.59] y [3.60], se tendrá que - OJ

2• r ED

-

+ ª4

-

2-

x r ED - W 3 ·roe

=-0)22 . r- AC + ª2

-

X r AC

-

-

+ a 3 x roe 2

+ W32

.

=

R2 · r3 R2 + r3

[3.61 ] . U c3D3

donde se tienen sólo dos módulos de aceleraciones como incógnitas, a 2 y a 3 .

3.3. Ejemplos de análisis cinemático de mecanismos planos En este apartado se presentan una serie de ejemplos de aplicación del método vectoria· para la resolución cinemática de mecanismos planos.

3.3.1. Suspensión de un automóvil: el cuadrilátero articulado El cuadrilátero articulado mostrado en la Figura 3.20 forma parte de la suspensión de un automóvil. La función de la suspensión es mantener en contacto la rueda con la calzada la mayor parte del tiempo independientemente de las irregularidades del terreno, especialmente en el caso de las ruedas motrices. Mecanismos de paralelogramo. o cuadriláteros articulados con dimensiones de las barras próximas a ésta, son mu~ utilizados en suspensiones, siendo el otro mecanismo utilizado la suspensión tipo Me Pherson. La modificación de la longitud de las barras laterales (barra corta-barra larga desplaza el centro de giro del vehículo hacia abajo y mejora la estabilidad. Las dimensiones del mecanismo son las indicadas en la Figura 3.20 y sabiendo que para la posición, la velocidad y aceleración angulares de la barra 2 son de 1O rad/s ~ 2 8 rad/s , ambas en sentido antihorario, se pide obtener las velocidades y aceleracione_ de los puntos G2 y G3 , centros de gravedad de las barras.

86

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

=r

=0,25m

=r_ 3 = 0,38 m =r

=0,35m

=

=

r

0,33 m

=0.2m

=(0.1 5·l +0,172-})m

Figura 3.20. Cuadrilátero articulado: suspensión de un automóvil

Problema de posición -~orema

de Pitágoras en el triángulo DAB [3.62]

tg(~)= 33,34º

[3.63]

Teorema del Coseno pueden obtenerse los ángulos a y

fJ [3.64]

=arccos (

r,24 + d 2 _

,._2 3 )

2·d · r4

=49,92º

[3.65]

- ción angular de las barras será

- =0º -

=~80º -a- y= l00,5 º

[3.66]

-_ = fJ - r = I 6,58º

87

Máquinas y Mecanismos

Los vectores de posición quedarán

l =0,25 · l m

r AD

= rl

r AB

= r2 . T= 0,3 8. Tm

rc = r roc =r 8

·

T +sen (B 3 )

= -0,0637 · T + 0,3441 ·] m

3

-(cos(B3 )

4

·(cos(B4 )·f +sen(B 4 )·})=0,3163 ·f +0,0942 ·] m

·

· ])

r AGi

=0,2·(cos(B 2 )·f +sen(B 2 )·})=0,20·fm

r

= 0,15 · T + 0,1721 · J m

8G J

[3.67]

3.3.1.2 Problema de velocidad La velocidad del punto B2 se puede obtener mediante

V8 2 =

ÚJ2 X r AB

= 3,8 .

Jm / s

[3.68]

Como en el punto B existe un par de revolución

--

--

-

- --

Va= Val = Va2 = lü2 xrAa

Con la ecuación del campo de velocidades de un sólido rígido se puede calcular velocidad de cualquier punto de la barra 3. En particular para el punto C3 se tiene que [3.70 Como en el punto C se tiene un par de revolución [3.7 1. De la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido de la barra 4 se puede ob· ner la velocidad de C4 como [3.7:: De [3.70], [3.71] y [3.72] se tiene ÚJ4

X

Yoc =

ÚJ2 X

rAa + ÚJ3

X rae

[3.73

La ecuación vectorial puede descomponerse en dos ecuaciones escalares.

[3.74

88

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

~em a

puede reordenarse pasando las incógnitas a la izquierda como

· w3 - · W3

r/x ·w4 = -rJ8 • w2 = bx = O } + r¿c · w4

[3 .75]

= r; 8 · w2 =by = 3,8

. iendo el sistema de ecuaciones se obtiene

[3.76]

· ez obtenidas todas las velocidades angulares se puede calcular las velocidades de G3 como [3.77] [3.78]

_ 3 Problema de aceleración -eleración del punto B2 se puede obtener mediante [3.79]

o en el punto B se tiene un par de revolución [3.80]

la ecuación del campo de aceleraciones de un sólido rígido se puede calcular la _ eración de cualquier punto de la barra 3. En particular para el punto C 3 se tiene que =Q B1

-wi ·rBC +a3 x rBC =

2=-W2 ·rAB

-

-

2-

-

-

[3 .81]

+a2 x rAB -úJ3 · rBC +a3 x rBC

o en el punto C se tiene un par de revolución [3 .82]

89

.\ fáquinas y M ecanismos

De la ecuación del campo de aceleraciones del sólido rígido de la barra 4 se puede obtener la aceleración de C 4 como [3 .83] De [3.81], [3 .82] y [3.83] se tiene 2-

- W4 . rDe

-

+ ª4

X

-

2 -

rDe = -(()2 . rAB

-

+ª

-

2-

2 X rAB - W3 . rBe

-

+ª

-

3 X rBe

[3.84]

La ecuación vectorial puede descomponerse en dos ecuaciones escalares.

y}

2 x y _ 2x y 2x - W4 . rDe - rDe . ª4 - - (()2 . rAB - r Aa . ª 2 - W3 . r ae - rB(' . a 3 X _ 2 y X 2y X 2 y - W4 . rDe + rDe . a4 - -(()2 . rAa + rAB . ª 2 - W3 . rae + rBC. ª 3

[3 .85]

El sistema puede reordenarse pasando las incógnitas a la izquierda como rle · a 3 - r/x; ·a4 =ex } X

[3.86]

X

-rBe ·a3 +roc ·a4 =ey

Donde los términos de la derecha son

3•629 ) -11 91 '

y ·a 2 -(()2 2 ·rAB X X X e x -_ -rAa -W32 · r ae +W42 ·roc -_

ey

X 2 y 2 y - r AB . a 2 - W 2 . r AB - W3 . r ae

-

+ ú) 42

.

y r De

El sistema resultante [3.86] es igual que el de velocidades [3.75] sustituyendo los res conocidos bx y by por ex y ey. Por lo tanto, la solución es _ a3-

r Y ·e + r x ·e De y De x _ ,. Y x Y rDe · rBe - rae· rDc y

a

4

=

X

:Be .~+ r~e .

e;

19 , 76 ra d

Vfu --

/ 2 s

= 33,67 rad / s 2

rDe · rae - rae · rDe

Una vez obtenidas todas las aceleraciones angulares se puede calcular las aceleraci o _ de G2 y G3 como [3 .89_ -

2-

ª G3 = -(()2 . r AB

-

+ª

-

2 X rAa -

2ú)

.

raG3

-

-

+ a 3 X rBG3 -

= -

=(-42,86 · i +4,333·j)m ls

90

2

[3 .9C_

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

_.3. 2. Mecanismo de yugo escocés

::. mecanismo denominado de yugo escocés es un mecanismo plano de cuatro barras y ,.., grado de libertad, capaz de transformar un movimiento de rotación en uno alternatio viceversa. Las principales aplicaciones de dicho mecanismo se pueden resumir en: 1.

Válvulas de control o regulación de flujo en conducciones de fluidos. En motores de combustión interna (motores Bourke, por ejemplo) . Compresores de aire. Prensas de pequeñas dimensiones.

.J.

-t.

-~a el mecanismo de yugo escocés de la Figura 3.21, accionado mediante la manivela .: -e pide obtener la velocidad y la aceleración de la barra 4 para los siguientes datos de '!""trada, siendo la velocidad y aceleración angulares de la barra 2 antihorarias (a):

~Dngitud

=

manivela 2

0,20 m

I rel="nofollow">aros cinemáticos -;;._ = =

60°

2 rad / s (a)

4

2

==5radls (a) 1

W!!!l/ff!lill////1//1 1

Figura 3.21. Mecanismo de yugo escocés

_ 3.2. 1 Problema de posición _vs vectores posición son los siguientes (3.91] _- 3.2. 2 Problema de velocidad -umiendo un sistema de referencia móvil en la barra 3, se podrá poner que (3.92]

91

Máquinas y Mecanismos

donde

-

--

= vB, =

v B,

-

-

(/)2 X rAB

[3.93]

vs s = w3 x rss = o 4

J

Además, al existir pares prismáticos de guía recta entre las barras 1-4 y 3-4, se tiene

VB4 / 3 = VB4 / 3 . j

[3.94]

w3 = iiJ = w = o· k 4

1

Sustituyendo en la ecuación [3.92], se tiene [3.95] de donde es inmediato que v B4 = -m2 . r2 . sen ( B2)

[3.96]

v 8 4 /J = -m2 · r2 · cos(B2) Sustituyendo valores, se tendrá que

v8 ,

-0,35 mis

=

v8 4 /3

[3.97]

= -0,20 mis

3.3.2.3 Problema de aceleración Se siguen los mismos pasos que en el problema de velocidad; esto es, asumiendo un sistema de referencia móvil en la barra 3, se podrá poner que,

{B3 - X3Y3Z3 }---+ ªs,

=

ªs, + ªs,s, + ªs, 13 +ªcor

[3 .98]

donde -

ªs,

=

-

ªs,

=

-n

QBB ==Ü;B 4 3 4 3

GCor

92

-1

ªs, + ªs,

2

-

= -m2 · rAB

-

-

+ ª2 x rAB

+Q~B =-mi .-¡BB +a3 x"iBB =0 4 3

=2 ' (w3XV3 13 )= 0 4

[3 .99]

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

·al existir pares prismáticos de guía recta entre las barras 1-4 y 3-4, se tiene

ªs n = ªs ªs = ªs ·i '

4

'

13 ·

J [3.100)

4

ii 3 =a 4 =a 1 =O·k ~

-ti tuyendo en la ecuación [3 .98) , se tiene -

2

-

a8 , · i =(- cv2 · r2 ·cos(82 )-a2 ·r2 · sen(82 ))·i 2

[3.1o1]

~

+ (- cv2 • r2 · sen(82 ) + a 2 • r2 · cos(82 ) + a 8 , 13 ) · J

arando componentes y resolviendo el sistema lineal, se tendrá que

~. = -cvi · r2 · cos ( 8 2 ) "'· 3 =

-

a 2 · r2 · sen ( 82 )

[3.102)

cvi · r2 · sen ( 82 ) - a 2 · r2 · cos ( 82 )

ituyendo valores, se tendrá que "'· = 8_ ,

-1 ,27

mi s

= O,19

m/s

2

[3.103)

2

_ .:· l ../ Análisis cinemático alternativo - este caso, y dada la sencillez del mecanismo, es posible obtener de otro modo la idad y aceleración de la barra de salida (barra 4)

~

4 1 _ _ _ _ __..,

W!ll!ll!l/lílíl!íl lí/1 1

Figura 3.22. Mecanismo de yugo escocés

93

Máquinas y Mecanism os

De la Figura 3.22 se tiene que [3 . 104] Como la barra 4 está sometida a un movimiento de traslación, todos sus puntos tienen la misma velocidad y aceleración, siendo la expresión para la velocidad _ _ v8 = v '

C,

dxc -:

dxc dB2

= -- · 1 = -

dt

- ·-

d ()2

-:

- · 1 = - r.2 · sen

dt

(B ) 2

-: · w2 · 1

[3.105]

y volviendo a derivar respecto al tiempo para obtener las aceleraciones

ávc, 2 -: -: ae, = -dt- = -r.2 · cos(B2 ) · w2 · 1 - r.2 ·sen (82 ) ·a2 · 1

[3 . 106]

que coincide con lo obtenido anteriormente.

3.3.3. Carretilla porta-contenedores: biela-manivela-deslizadera En la Figura 3.23 se muestra una carretilla porta-contenedores (Reachstacker Linde C 4535CH) para uso en logística portuaria. El ángulo de elevación de la pluma de est2. carretilla se encuentra entre los Oº y los 61 º. Se analizará el caso del levantamiento de un contenedor de 45 toneladas, por lo que la cabina y el chasis de la carretilla portacontenedores se considerarán parados (barra fija) . La pluma telescópica se considerm de longitud constante y el movimiento de los dos actuadores hidráulicos idéntico. De esta forma el mecanismo a analizar está compuesto por cuatro barras: la fija 1 (cabina ~ chasis), el cuerpo 2 y el vástago 3 del cilindro hidráulico y la pluma 4. Un esquema del mecanismo a analizar puede verse en la Fig ura 3.24. El cilindro hidráulico está biarticulado en 0 2 con la barra fija y en A con la pluma; la pluma tambi ér se encuentra articulada con la barra fija en O.i; entre el cuerpo y el vástago del cilind r hidráulico existe un par prismático de guía recta. A efectos cinemáticos, el movimientr de la percha (elemento de enganche de los contenedores) y del contenedor puede considerarse equivalente al del punto extremo de la pluma (punto B).

94

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

Figura 3.23. Carretilla portacontenedores (cortesía de Linde)

1 Xol1,

Figura 3.24. Diagrama cinemático del biela-manivela-deslizadera

95

.\fáquinas y .\fecamsmos

Se pide obtener las velocidades y aceleraciones angulares de todas las barras del mecanismo y las velocidades y aceleraciones de los centros de gravedad de las barras, G 2 ) G 3 , y de los puntos A y B. Los datos cinemáticos correspondientes a los actuadores hidráulicos, en extensión, son

0 2A = 4,506 m

vA3 12

= 0,10 mis

a A3 12 = 0,25 mi s

2

Los datos geométricos en coordenadas locales de las barras (Figura 3.25) son

= 5,0 m, 02G2 = 2,0 m y 020• = 2,0 m, AG3 = 2,0 m

Xo20•

x 0 .A

= 2,5

= 4,5 m, x 048 =10,5 m m, Yo,c. = -0,6 m, Yo.s =-0,6 m

m,

Yo.A =-0,9

xa.c.

Y; X;

Yo4~~ A

O;

J l

". G;

y

Xo4 .•1

Figura 3.25. Geometría de la pluma

3.3.3.1 Problema de posición El problema de posición puede resolverse considerando el triángulo 0 2 O4 A , del q se conocen los tres lados, y considerar los ángulos

/'j

r4

= ~Xop,

2

+ Yop,

2

= 5,385 m

= ~X04 / +Yo./ = 2,657 m

96

1

2 Yoo -' = arctg -

( Xo,o,

J= 21,8º [3.107]

/34 = arctg ( Yo,A J= -19,8º

a = 0 2 A = 4,506 m Debe hacerse notar que el ángulo

/3

/J1 y /J4 :

Xo4 A

/34

está referenciado al sistema de la barra 4.

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

- .:mgulo del vértice

-º (cp) =

0 4 puede obtenerse a partir del Teorema del Coseno:

a2-r2-r2 1

4

- 2 · r 1 • r4

~

cp = arccos

a2-r2-r2) 1 4 = 56,6º ( - 2 ·r •r 1 4

[3.108)

orientaciones de las barras 2 ( ó 3) y 4 serán:

[3.109)

Figura 3.26. Carretilla portacontenedores: vectores de posición

vectores de posición necesarios para la resolución del problema cinemático son los ;uientes:

ro,o,

=

Xo,o, . i + Yo204 . ]

= 5,0.

i + 2,0.] m

r0 1A = a·(cos(B2 ) · f +sen(B2 ) · }) = 2,818·f +3,5 16· ] m r0,A = (x0,A · cos(B4 ) - Yo,A · sen(B4 ))- i + + (x0 , A ·sen(B4 )+ Yo,A · cos(B4 ))-] = -2,182 · i + 1,516·] m

[3.110)

97

Máquinas y Mecanismos

rAGi

r0¡;,

=-AG3 ·(cos(82) ·f +sen(82)·])=-1 ,25 \·f -l,5 6 1· ] m =(x0,G, ·cos(84 )-Yo,G, ·sen(84 ))f +

+ ( x 0 , 0 , · sen(84 ) + Yo,G, · cos(84 )) · ]

r0 ,8 = ( x 0 , 8 · cos( 84 ) -

i

= - 4,192 · + 1,744 · ]

m

[3 .111]

Yo,B · sen( 84 )) · i +

+ (x 0 , 8 · sen(84 ) + Yo, 8 · cos(84 )) · ]

=

-9,987 · i + 3,296 · ] m

3.3.3.2 Problema de velocidad La solución del problema de velocidad puede obtenerse planteando la igualdad de velocidades de los puntos A 3 y A 4 (unidos mediante un par R) donde el dato cinemático de velocidad es la velocidad de extensión de los cilindros hidráulicos, vAJ 12 .

- = V-A, = áJ4 - X ro,A -

[3 . 112]

V AJ

El sistema de ecuaciones, despejando a la izquierda las incógnitas del problema, queda

-

áJ4

-

-

-

-

x ro,A -m2 x r02A =v Ai12 ·U 2

Yo2 A · m2 - Yo,A · áJ4 = v A3 12 • cos(82 )} -X02A ·áJ2 + xo,A

· áJ4

=V A3 12 · sen(82)

[3.113]

3,516. áJ2 -1,516. áJ4 = 0,1·0,625} -2,818·m 2 -2,182 · m4 = 0,l·0,780 Resolviendo el sistema, las velocidades angulares de las barras quedan ÚJ2 = ÚJ3 ÚJ4

98

=l,52 ·10- 3 · k rad / s

=-37,7·10- 3 ·krad /s

[3.114]

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

- velocidades de los puntos solicitados son las siguientes

i\ = W2 x ro,A + VA3 12 = 57,2·Í + 82,3 .] VG2

mm / s

= W2 X ro G = -2,4. T+ 1,9.] mm / s 2 2

1-0 :\ =vA3 +m3 x rAc3 =59,6·Í +80,4·] mm / s

v

4,

[3 .115]

=m4 x r0 ,A =57,2 · f +82,3·] mm / s

\e,, = m4 x r0 ,c, =65,8·Í +158,1.] mm l s

VB =W4 x rOB =124,3·Í +376,8·] mm/s 4 _· 3.3.3 Problema de aceleración _., solución del problema de aceleración, al igual que el de velocidad, puede obtenerse :- anteando la igualdad de aceleraciones de los puntos A3 y A4 (unidos mediante un :-" R) donde el dato cinemático de aceleración es la aceleración de extensión de los ~ :indros hidráulicos, aA !2 . 3

ªA1 = iiA, +aA3 /2 +acor =a2x ro,A - w; ·ro,A +aA3/2 ·U2 +2·(m2XVA3/2 ) -

-

ªAJ = ª A, ~

-

= ª4

-

X

'o,A -

2 -

[3 .116]

W4 . 'o,A

sistema de ecuaciones, despejando a la izquierda las incógnitas del problema, queda

ª4 X ro,A -a2 X ro,A

=

ª A312. ii2 + wi . ro,A -w;. ro,A + 2. (m2X VA3!2 )

3,516 · a 2 -1,516 · a 4 = 0,25 · 0,625 + (- 3,105 - 0,007 -0,237) . 10- 3 } - 2,818. ª 2 - 2,182. a4 = 0,25. 0,780 + (2,158-0,008 + 0,190) · l 0-

[3.117]

3

Resolviendo el sistema, las aceleraciones angulares de las barras quedan

ª2 = a3= 2,9. 10-3 . k rad / s2 a = - 94,2 · 10- k rad / s 3

4

·

2

[3 .118]

99

Máquinas y Mecanismos

Las aceleraciones de los puntos solicitados son las .siguientes

ª A3 =ªA2 +a A3 12 +acor=145 ,9·7 +203,4·] mm / s

2

+ 3,6 · l mm / s

2

G02 = G03

(i2 X

ro,0, - mi · ro,0,

= GA + a3X rA0 3

3

= -4,5 · f

-ú)i .rA0

3

= 150,5·f+199,8 · l mm / S 2 [3.119]

2 2 a- A, = a- 4 x r-0 ,A - w4 · r-0 ,A = 145 , 9 · -:1 + 203,4 ·;-: mm / s

G04 =

a4 X ro,0, - wi .ro,0, = J70,2 · f + 392,4 · l

mm / s

2

2 - xro,B -: / s2 a- B =a4 -W4 ·ro,B = 324 ' 7 ·1-: + 936 ' 2 ·;mm

3.3.4. Mecanismo de leva circular con seguidor plano alternante El mecanismo de la Figura 3.2 7 es un mecanismo de leva circular con seguidor plano alternante. Dadas las dimensiones indicadas y sabiendo que para la posición mostrada en la figura la velocidad y aceleración angulares de la barra 2 son de 1O rad/s ) 8 rad/s2, ambas en sentido antihorario, se pide obtener la velocidad y aceleración de la barra 4.

r0 ,A = 0,25 m r = rAP =

0,1O m

e= O,!Om d = 0,20m

/3 = 30º

Figura 3.27. Mecanismo de leva circular con seguidor plano alternante

100

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

::.3.4. 1 Problema de posición • os vectores de posición quedarán

r02 A = 0,25· i m

[3.120]

rAp =rAp·(COS(30º)·f +sen(30º)))=0,0866·f +0,050·] m _- 3.4.2 Problema de velocidad La velocidad del punto A 3 se puede obtener mediante

vA3

=

v A2

r

= ÜJ 2 x 0 2 A = 2,5 · ] m / s

[3.121]

a velocidad del punto P3 viene dada por

[3.122] ·ilizando las ecuaciones del movimiento relativo se puede relacionar la velocidad del ..mto P 3 con la del punto P-1

[3.123] orno la barra 4 tiene un movimiento de traslación, todos los puntos de la barra tienen .. misma velocidad. En particular la velocidad del punto P 4 se puede expresar como vp4 =vp4

·(cos(30º)·f +sen(30º)·])

[3.124]

a diferencia de velocidades es nula puesto que en el instante bajo estudio la posición los dos puntos Pes la misma. Por otro lado, la velocidad relativa, teniendo en cuenta ue en el punto P existe rodadura sin deslizamiento, es nula y por lo tanto

je

vp.J =vp4 => vp4 ·(cos(30º)·f +sen(30º)·])[email protected] A+W.,xrAP

[3.125]

Desarrollando

Vp4 ·(cos(30º)·f +sen(30º)·])=

= l'.üi · r02 A ·] -W:3 · rAP ·sen (30º) · T+ W:3 · rAP · cos (30°) ·]

[3.126]

Separando en dos ecuaciones escalares

Vp4 • cos (30º) = -w3 · rAP ·sen (30º) Vp, . sen (30º) = W2. r02A + W3. rAP. cos (30º)

}

[3.127]

101

Máquinas y Mecanismos

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene

m3 = -

m2 • r0 2 A · cos (30º)

= - 21,65 rad I s [3.128]

rAP

vf', = m2 • r02 A ·sen (30º) = 1,25 mi s 3.3.4.3 Problema de aceleración La aceleración del punto A 3 se puede obtener mediante QA =

-wJ·rO,A +

= (- 25,0 · l

tX2 X rO,A

+ 2,0 · ]) m / s

2

[3.129]

Por otro lado, la aceleración del punto P3 se puede calcular como -

-

2

-

Gp3 =aA -m3 · rAP

-

-

+a3 x rAP =

2-

= -(1)2 . rOzA

-

+ª

2 X

-

2-

rOzA - (1)3 . rAP

-

+ª

[3.130]

-

3 X r AP

Utilizando las ecuaciones del movimiento relativo se puede relacionar la aceleración del punto P3 con la del punto P.

[3.131] Como la barra 4 tiene un movimiento de traslación, todos los puntos de la barra tienen la misma velocidad. En particular la aceleración del punto P. se puede expresar como

Cip4

= ap · (cos (30º) · T+sen (30º) · ])

[3.132]

4

La diferencia de aceleraciones es nula puesto que en el instante bajo estudio la posición de los dos puntos Pes la misma. La aceleración relativa, teniendo en cuenta que en el punto P existe rodadura sin deslizamiento y que el radio de curvatura del seguidor plano es infinita, viene dada por. 2 r AP 2 ( )2 Gp. ¡4 = - m34. rAP . = - (1)34 . r AP = - (1)3 - (1)4 . rAP = J

rAP

= - mJ · rAP = (-40,595 · T-23,437 · ])m i s

[3.133] 2

La aceleración de Coriolis, teniendo en cuenta que el sistema de referencia móvil está colocado sobre la barra 4 y que la velocidad relativa es nula, será

[3.134]

102

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

- ~ni en do en cuenta las ecuaciones [3 . 13 1], [3 . 132], [3 . 133] y [3. 134] se tiene que 2-

- {J)2 . r02A

+ ª- 2 X r02A -

{J)

2. rAP +a X rAP -

= a p• . (cos

(30°) . T+ sen (30º). ]) - (i)~ . r AP

[3.135]

ollando y simplificando

-wi ·

r02 A

T+ a 2 • r0 2A ·] -

+a

a 3 · rAP

3 · rAP · cos (30º).]

·sen (30°) · T+

=a p

4

i

· (cos (30º) · +sen

[3.136]

(30º) · ])

ruando en dos ecuaciones escalares

-wi ·

r0 2 A - a3 · rAP

·sen (30º) = ap4 · cos (30º)}

[3.137]

a 2 · r0 2 A + a 3 · r AP · cos (30º) = a p4 ·sen (30º) -almente, resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene.

wi ·r

0 A· sen 2

(30º) + a 2 · r0 2 A · cos (30º)

=

-14 2,3 rad / s 2 [3.138]

rAP

ª P.

= -wi ·r02 A · cos (30º) + a 2 · r02 A ·sen (30º) = -20,65 m i s

2

_ 3. 5. Plataforma elevadora: biela-manivela-deslizadera _:!5 plataformas de tijera permiten elevar cargas importantes a alturas también notables. _3 rel ación geométrica de las barras es tal que la plataforma móvil no puede cambiar ~ori entación, es decir, tiene un movimiento de traslación. Son mecanismos planos de ~grado de libertad accionados mediante actuadores lineales que pueden ser eléctricos de combustión interna. En la Figura 3.28 se muestra un mecanismo real.

103

.Vláquinas y Mecanismos

Figura 3.28. Plataforma de tijera (Cortesía de Edmo Lift)

Sea la plataforma elevadora de la Figura 3.29, accionada mediante un actuador lineal que mueve el punto B horizontalmente. Se pide obtener la velocidad y la aceleración del centro de gravedad G de la carga situada sobre la plataforma móvil. Datos geométricos:

AE = BE = ED = EC = L = 1,0 m

G

d = l,Om Datos cinemáticos

d

82= 130°

v8 = 0,5 · i m / s a- 8

7

= 10 , ·L

m / S2

1 Figura 3.29. Mecanismo de tijera

104

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

--e mecanismo tiene dos lazos, por lo que es esperable tener que aplicar dos veces las · .iaciones del movimiento relativo. Dos de los lazos que se pueden considerar son los =uientes (Figura 3.30): A-E-By A-C-D-B.

1

1 Figura 3.30. Lazos del mecanismo de tijera

_, 3. 5.J Problema de posición LAZO 1 os vectores posición son los siguientes

rAro =L·(cos(82 )·f +sen(82 ) · ] ) r EB

=-L · (cos(n-82 )

·

f + sen(n-82 ) · }) =

[3.139]

=L·(cos(82 )·f -sen(82 ) · ] ) 3 3. 5.2 Problema de velocidad LAZO 1 Asumiendo un sistema de referencia móvil en la barra 3, se podrá poner que,

[3 .140]

105

Máquinas y Mecanismos

donde

-+

-

VE3

=

Vs 3 E3

VE2

-+

-+

= OJ2 X rA E

[3.141]

= W3 X r EB

va 13 =O 3

Sustituyendo en la ecuación [3.140], se tiene v8

·

T=

( -w2 · L

· sen ( 8 2 )

(w2 · L · cos(B2 )

+

+

w3 · L · sen ( 8 2 )) · T+

w3 · L · cos(B2 )) ·]

+

[3.142]

Separando componentes y resolviendo el sistema lineal en las velocidades angulares, se tendrá que VB

OJ2 = - ------"- - -

2 · L · sen ( 8 2 ) OJ3 =

[3.143]

-0)2

Sustituyendo valores, se tendrá que

w2 = -0,326 rad / s

[3.144]

w3 = 0,326 rad / s

3.3.5.3 Problema de aceleración LAZO 1 Se siguen los mismos pasos que en el problema de velocidad; esto es, asumiendo un sistema de referencia móvil en la barra 3, se podrá poner que

{E3-X3Y¡ZJ~aB3 =QE3 +aB3E3 +aB3!3+acor

[3.145]

donde

ªª = ªª .i 3

-n

2

-1

-

ª E3 =a E2 =a E + a E =-OJ2 ·rAE -

2

-

-

ªB3E3 = -OJ3 . rEB + a3 ª8313

=o

Gcor =O

106

X

-

rEB

-

+a2

-

x rAE

[3 .146]

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

ustituyendo en la ecuación [3. 145], se tiene aB

-: .l

2

= ( -W2 . L . cos ( e2) -

ª2 . L

. sen ( e2) -

2

-

- w3 · L · cos ( 8 2 ) + a 3 · L · sen ( 8 2 )) · i +

+(-w; ·L·sen(B2 )+a2 ·L·cos(B2 )+ + ~" ando

wi ·L · sen (8

2)

[3.147]

+ a 3 · L · cos ( 8 2 )) · ]

componentes, sustituyendo las expresiones de w2 y w 3 de [3.143] y resol-

- do el sistema lineal en las aceleraciones angulares, se tendrá que

2

_ 2 · a8 · L · sen (82) + v~ · cos(B2) , -4·L2 ·sen 3 (B2 )

[3.148]

- -riruyendo valores, se tendrá que

a~ = -0,563 rad / s 2

[3.149]

a 3 = 0,563 rad / s 2

_ 3 5. ./ Problema de posición LAZO 2 _ - vectores posición son los siguientes

rR- =2·L·(cos(B2 )·Í +sen(B2 )·]) r'ID

= 2 . L . ( cos ( 7l" - e2) . T+ sen ( 7l" - e2) . ] ) = = 2 · L · (-cos(B2 )

•

T+ sen(B2 ) · ] )

[3.150]

ioc =-2·L·cos(B2 )·Í _· _'.5. 5 Problema de velocidad LAZO 2 :umiendo un sistema de referencia móvil en la barra 4, se podrá poner que,

.D4 - X4Y4Z4 }-jo lic,

=

lio, + lic,o, + lic,14

[3.151]

107

Máquinas y Mecanismos

donde

vc2 = vA + m2 x rAc = 6+ m2 x rAc v0 =v8 + iiJ3 x r8 /) =v 8 . T+ iiJ3 x r80 4

-

VC2 I 4

=VC

[3.152]

.

2

I4 . l

Sustituyendo en la ecuación [3 .151 ], se tiene

(-2 · úJ 2 · L ·sen (82 ))- T+ (2 · úJ 2 · L · cos (82 )) ·

J=

=(vs -2·úJ3 ·L·sen(82 )+vc 21 4 )·f +

[3.153]

+ (-2 · úJ3 · L · cos(82 )-2 · úJ4 · L · cos(82 )) • J Separando componentes sustituyendo expresiones de velocidad antes calculadas y resolviendo el sistema lineal en las velocidades incógnita, se tendrá que

VC2 / 4

[3.154]

= Vs

Sustituyendo valores, se tendrá que

úJ4 = Orad/ s

[3.155]

Vc2 ¡ 4 = Ü,5 m / S

3. 3. 5. 6 Problema de aceleración LAZO 2

Se siguen los mismos pasos que en el problema de velocidad; esto es, asumiendo ur sistema de referencia móvil en la barra 4, se podrá poner que

{D4 -X4Y4Z4}~ªc2 =aD, +ac20, +ac214 +licor

[3.156]

donde

ªc

2

-

2-

-

2-

= a A -úJ2 ·rAc

-

xrAc

-

-

+a2

-

ª o, =as - úJ3 ·rso +a3 x rBD = as -

2

-

-

-

ª c2D, = -úJ4 · rDc + ª4 x roc ª c214

=ª c 14 · i 2

ª cor =2·(iiJ4 XVc2 14) = ü

108

2-

·rAc

= -úJ2

7

·t

-

+a2 2-

-

x rAc -

-

- úJ3 ·rBD + a 3 x rBo [3.157]

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

-

tituyendo en la ecuación [3.156] y teniendo en cuenta que

úJ 4

=O , se tiene

[3.158]

.:::eparando componentes y resolviendo el sistema lineal en las aceleraciones angulares, -~te ndrá que

ª c2t4 =aB

[3.159]

.:::astituyendo valores, se tendrá que

a 4 =Orad / s 2

[3.160]

ªc, 14 = 1,0 m / s2

Dado que la plataforma tiene un movimiento de traslación, cualquiera de sus puntos ··ene la misma velocidad y aceleración, incluido el centro de gravedad G, por lo tanto

[3.161]

3.3.6. Máquina limadora: mecanismo de retorno rápido de Whitworth En la Figura 3.31 se muestra una máquina limadora para procesos de fabricación con arranque de viruta. En la Figura 3.32 puede verse un esquema del mecanismo a analizar. Un motor rotativo proporciona movimiento a una manivela 2 (barra de entrada) articulada en 0 2 a la barra fija 1. La barra 3 es un balancín, articulado en 0 3 , que es la horquilla de un par rodadura con deslizamiento (RCD) en A con la manivela. En B se tiene otro par RCD donde la horquilla forma parte del cabezal de la limadora 4, que a

109

Máquinas y Me canismos

su vez está conectado mediante un par prismático de guía recta hori zontal con la barra fija. El arranque de material se produce en el punto C del cabezal.

,. . . . ,-+'

e

Figura 3.31. Máquina limadora

e

Figura 3.32. Mecanismo de retorno rá pid o de Whitworth

110

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

pide obtener las velocidades y aceleraciones angulares de todas las barras del meca.:mo y las velocidades y aceleraciones de los centros de gravedad de la barras y de los

:uos A 2 , A 3 , B 3 , B 4 y C. - datos cinemáticos correspondientes a la manivela de entrada son 4~

= 120°,

w2 = 7r · k

rad / s,

a2 =O· k-

rad / s

2

- datos geométricos en coordenadas locales de las barras (Figura 3.33) son

0 2 = G2 ,

0 2 A=r2 = Ü,2 m, 0 3 0 2 = r1 = 0,4 m

0 =03 ,

0 3 B=r3 =1,0 m,

0 3 G3 =r3 12=0,5 m

YOG. = 1,05 m, Xc,s, = 0,25 m, xc,c = - 0,75 m, Yc,c = - 0,2 m, - endo x 08 = x 08

,

}'

4

Yoc,

)'

X

Figura 3.33. Geometría del mecanismo de retorno rápido de Whitworth

111

Máquinas y Mecanismos

3.3.6.J Problema de posición Este mecanismo tiene un grado de libertad F = 3( 4-1)-2 · 3-1 ·2=1 gdl y presenta dos lazos: 0 30 2 A y 0 3DB. Una posible forma de solución del problema de posición pasa por resolver estos dos triángulos: ( 1) 0 30 2 A del que se conocen dos lados r1 , r2 y un ángulo (}2 ; y (2) 0 3DB del que se conocen un lado r3 y dos ángulos (resuelto el primer lazo) (}3 y 90º. Primer lazo:

[3.162]

Manipulando las expresiones anteriores pueden obtenerse la distancia 0 3 A =a y la orientación de la barra 3, (}3 : 2

2

{ª = ~(-0,1)

2

a = r., + r2 + 2 · r1 • r2 ·sen (82)} tan ( 83) =

r.+r.·sen(B) 1 2 2 r2 ·cos(82)

---->

83 = arct

2

2

+ (0,173) = 0,582 m

(0173 ) - 'g -0,l

= 99 9º

[3.163]

'

La posición de B 3 será:

[3.164) Los vectores de posición necesarios para la resolución del problema cinemático son los siguientes r02A

= r2 . (cos(82). T+sen (82). ]) = - 0,100 . T+ 0,173. J m

r0 3A

=a. (cos(83). T+sen (83) . ]) = -0,100. T+ 0,573.

Jm

F.00 = r3 ·(cos(83)·Í +sen(83) ·]) =-0,086·Í + 0,493·] m 3 3

r03B

[3.165]

2

= r3 . (cos(83). T+sen (83). ]) = - 0,172 . T+ 0,985 . J m

3.3. 6.2 Problema de velocidad La solución del problema de velocidad puede obtenerse planteando la igualdad de velocidades de los puntos A2 y A 3 , unidos mediante un par RCD para el primer lazo

112

Análisis cinemático de mecanismos planos. Método vectorial

[3.166] ::Jesarrollando cada uno de Jos términos de la expresión anterior [3.167] -¡ tema de ecuaciones, descomponiendo en las componentes cartesianas y despejanJa izquierda las incógnitas del problema, queda

ª

-a·sen(B3 )·m3 +cos(B2 )·v A213 =-r2 ·sen(B2 )· w2 }

a· cos(B3 )·w3 +sen(B2 )· vA213 = r2 · cos(B2 )·w2 - 0,573 · (i)3

-

0,172 ·V A

¡3

= -0,544}

[3.168]

- 0,100 · (i)3 + 0,985 ·V A: ¡3 = -0,314 esolviendo el sistema, las velocidades obtenidas son ~ = \

1,014·k rad / s

~, ' 3 = vA213 · Ü3 = -0,216 · Ü3 = (0,108 · T-0,187 ·])m is

[3.169]

- -istema de ecuaciones para el segundo lazo sería

VB, = V84 + V83 / 4 iiJ3 X ¡;0 38 1· 8 ,.

~as

•

=

V B, .

T+ V 83 / 4 . ]

= -r3 ·sen (B3 ) · w3 = -0,999 m Is

83 4

[3 .170]

= r3 ·cos(B3 )·w3 =-0,174 m is

velocidades de los puntos solicitados son las siguientes

iiJ 2 = 7r k rad I s vG2

= vo2 =O

v

= ÚJ 2 x

,.¡

2

r

02

A

VA3 =ÚJ3 xr03A

= - 0,544 · T- 0,314 · ] m Is

[3 .171]

= -0,581 · T - 0,101 · ] m is

113

Máquinas y Mecanismos

VG3 = W3 X r03G3 = -0,499. T- 0,087 .

Jm/s

Vs 3 = w3 x Fa3s = -0,999 · T- 0,174 · J m / s

w3 = 1,014 · k rad / s w4 = 0,0 · k rad / s Vs = v0 =ve = Vs · T=-O 999 T m / s 4

4

4

4

'

3. 3.6. 3 Problema de aceleración La solución del problema de aceleración puede obtenerse planteando la relación de aceleraciones de los puntos A 2 y A 3 , unidos mediante un par RCD para el primer lazo

[3 .172] Desarrollando cada uno de los términos de la expresión anterior

[3.173 ] El sistema de ecuaciones, descomponiendo en las componentes cartesianas y despej ando a la izquierda las incógnitas del problema, queda

=a2 x r02A

2

-ú)2

e- - )

·ro2A +W32 ·ro3A - 2 . W3 X VA2!3

[3.174]

- 0,573 · a 3 - 0,172 · a A2¡3 = 0,453 } -0,100·a 3 +0,985·a A213 =-1,195 Resolviendo el sistema, las aceleraciones obtenidas son:

a3 = -0,413 · k- rad / s 2 a 13 =a = -1 ,255. A

A 13. Ü 3

2

2

Ü3

= (0,628. T-1,087. ]) m / s 2

[3.175]

El sistema de ecuaciones para el segundo lazo sería:

a

S3

=

a

S4

ct3 x ros 3

+ aS3 I 4 + ª cor

-wi ·ros =a s. ¡ +as 14 · ]+2·(W4 XVA ¡4 ) 3

ª s, =0,584 · f m l s

4

2

ª s3 14 =-0,942 · ] m l s 2

114

]

)

[3.176]

Análisis cinemático de mecanismos planos. Mé1odo

_;:S

aceleraciones de los puntos solicitados son las siguientes

ii~ =

aG~ -A¡

-

O· k rad / s

= ª 02 = 0 = a 2 X ro A 2

2

cvi. cvi · cvi · cvi ·

ro A 1

= (0,987 · f -

1,709 ·

l) m/S 2

a3 X rO¡A - ro A = (0,340 · f - 0,548 · ]) m/s 2 - IJ, = a3X rO¡G¡ rO¡G¡ = (0,292 · f - 0,471 · ]) m /s 2 = a3 ro B rO¡B = (0,584 · f - 0,942 · l) m /s 2 a, = -0,413. k rad / s :JAJ

=

- 3,

X

-

3

iiJ =O· k rad / s -3 J.

3

[3.177]

2

2

= aG-1 =iic 4 =a 8 4 ·i =0,584·f m /s

2

115

Capítulo 4

El problema dinámico

.l. Introducción mes de comenzar a discutir en profundidad el problema dinámico, conviene diferen- arlo del problema cinemático tratado en los temas anteriores. •

PROBLEMA DINÁMICO. En el problema dinámico se trata de establecer la relación existente entre las características del movimiento y las causas que lo han producido; es decir, establecer la ecuación del movimiento. Las propiedades de los sólidos rígidos que definen su comportamiento dinámico son, para un movimiento plano, además de su geometría, sus características inerciales resumidas en la posición del centro de masas, la masa total del sólido y su momento central de inercia.

•

PROBLEMA CINEMÁTICO. En las ecuaciones del movimiento de un sistema aparecen la posición, velocidad y aceleración de todos sus elementos. En aquellos casos en los que los elementos están relacionados mediante conexiones que introducen restricciones al movimiento, tales como los pares cinemáticos, para plantear la ecuación del movimiento previamente hay que expresar el movimiento de todos los elementos en función de las variables asociadas a los

117

Máquinas y Mecanismos

grados de libertad del sistema. Precisamente en eso consiste el problema cinemático. La ecuación del movimiento se puede formular a partir de los denominados Principios de la Dinámica, como son: •

Leyes de Newton.

•

Principio de los Trabajos Virtuales.

•

Principio de las Potencias Virtuales o Principio de Jourdain.

•

Ecuaciones de Lagrange.

•

Ecuaciones de Kane.

•

Ecuaciones de Gibbs-Appell.

•

Ecuaciones de Hamilton.

El objetivo último de dichos Principios de la Dinámica es el mismo: obtener las ecuaciones del movimiento del sistema mecánico; sin embargo, se expresan mediante diferentes variables y conducen a ecuaciones, en principio, diferentes. Indicar, en definitiva, que en función del tipo de problema dinámico del que se trate o incluso del sistema mecánico a estudiar, existen principios que son más fáciles de aplicar que otros en orden a obtener dichas ecuaciones del movimiento. Una vez introducido el problema dinámico, éste se puede presentar bajo dos form as claramente diferenciadas:

118

•

Problema dinámico inverso, problema de análisis de fuerzas o problema cinetoestático. En él se conocen (o se dispone de los datos necesarios para calcularlas) las características cinemáticas del sistema mecánico (aceleraciones de centros de masas y aceleraciones angulares de cuerpos) y se pretende determ inar algunas de las causas (fuerzas o pares de fuerzas) que han contribuido a crear dicho estado de movimiento. El problema dinámico inverso da lugar a un sistema de ecuaciones lineales. El problema de control de máquinas se puede considerar como un problema dinámico inverso. Un caso particular del problema dinámico inverso es aquel en el que la cinemática asociada al sistema mecánico se caracteriza por la ausencia de aceleraciones: se trata del problema estático.

•

Problema dinámico directo o problema de análisis del movimiento. En este tipo de problemas son conocidas la totalidad de acciones exteriores (fuerzas o pares de fuerzas) actuantes sobre el sistema mecánico y su evolución y se pretende determinar la evolución en el tiempo de sus características cinemáticas (aceleración, velocidad y posición). El problema dinámico directo da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden en función del tiempo. El problema dinámico directo perm ite la si mulación del comportamiento

El p roblema dinámico

dinámico previsto para un sistema mecánico, por lo que encuentra su principal aplicación en las tareas de diseño. En este tema, en primer lugar, se recordarán algunos conceptos fundamentales como las acciones: fuerzas y momentos. A continuación, se clasificarán las acciones en externas e internas, prestando especial atención a las acciones de reacción que se generan en los pares cinemáticos. La parte fundamental de este tema está dedicada a la resolución del problema dinámico inverso mediante dos Principios de la Dinámica: las Leyes de Newton y el Principio de las Potencias Virtuales. El primero de ellos, maneja magnitudes de naturaleza vectorial: fuerzas, velocidades, aceleraciones,. .. ; mientras que el segundo se plantea en términos de trabajo y energía, que son escalares. Hay que indicar que cualquier problema dinámi co se puede resolver a partir de cualquier Principio de la Dinámica, ahora bien, el grado de dificultad y la información obtenida no será el mismo. Uno de los objetivos de este tema es establecer los criterios que permitan escoger un principio u otro en fu nción del tipo de problema dinámico inverso del que se trate.

-t2. Acciones Dentro del término general de acciones se incluyen tanto fuerzas como pares de fuer-

zas. Cabe recordar que las fuerzas son vectores deslizantes y los pares de fuerzas son ectores libres, siempre y cuando se opere dentro de la Mecánica de/ Sólido Rígido Figura 4.1).

z

~

u3 1

A

~

/

Pulllo de aplicación de la resultante Plano del movimiento

Figura 4.1. Acciones sobre un sólido rígido

119

Máquinas y Mecanismos

Las acciones que actúan sobre un determinado sistema mecánico se pueden clasificar en: •

Acciones exteriores.

•

Acciones interiores o de reacción.

A continuación se describirán brevemente cada una de ellas.

4.2. J. Acciones exteriores Sin perjuicio de posteriores clasificaciones adicionales, las acciones exteriores son las que se deben a la interacción de nuestro sistema mecánico con otros que existen a su alrededor y se pueden dividir en: •

Directamente aplicadas.

•

Gravitatorias.

•

Inerciales.

•

Rozamiento.

Las acciones directamente aplicadas suelen ser las relacionadas con la función principal de la máquinas, las gravitatorias son las debidas a la influencia del campo gravitatorio de la Tierra y tienen asociado el peso de los cuerpos (intervienen en las ecuaciones del movimiento cuando el sistema mecánico está situado en un plano vertical o inclinado) y las acciones de inercia se introducirán a partir del Principio de O' Alembert. Cuando dos superficies en contacto intentan deslizar una respecto a la otra, aparecen fuerzas en la dirección tangente al contacto que se denominan fuerzas de rozamiento . La naturaleza de dichas fuerzas depende en gran medida del estado en el que se encuentre la superficie de contacto. En esta asignatura se considerarán únicamente aspectos básicos del fenómeno de la fricción, en concreto se considerará lafricción seca o de Coulomb que se caracteriza por la presencia poco significativa de lubricante o de algún otro tipo de material interpuesto entre las superficies en contacto; y la denominada fricción viscosa, cuando sí que existe algún fluido interpuesto entre las superficies en contacto. Las Leyes clásicas de la fricción seca son las siguientes: 1.

Para cuerpos en reposo, el valor máximo de la fuerza de rozamiento ocurre cuando el movimiento es inminente y viene dado por F¡ máx =µ e . N donde N es la fuerza normal entre las dos superficies y µ e es el denominado coeficiente de rozamiento estático.

120

El problema dinámico

2.

Para cuerpos con movimiento relativo entre sí, la fuerza de rozamiento vendrá dada por

F1 =µ e ·N donde µ e es coeficiente de rozamiento cinético. 3.

Los coeficientes de rozamiento son independientes del área aparente de contacto y de la fuerza normal.

4.

El coeficiente de rozamiento cinético µ e es menor que el estático µ e e independiente de la velocidad relativa de deslizamiento.

'1dicar que cuando no existe movimiento relativo entre las superficies en contacto y no se puede asegurar la condición de movimiento inminente, el módulo y sentido de la :·uerza de rozamiento vendrán impuestos por las Leyes de la Estática. Cuando exista :novimiento relativo, la fuerza de rozamiento se opone a dicho movimiento. La fricción viscosa se podrá modelizar mediante la siguiente expresión

F¡ =cv

·V

donde cv es el coeficiente de fricción viscosa y v la velocidad relativa entre las dos :uperficies en contacto. Por supuesto, el sentido de esta fuerza de rozamiento será opuesto al de la velocidad. En la Figura 4.2 se representan la fricción seca y la fricción -eca-viscosa conjuntamente. F

F

V

V

Figura 4.2. Fricción seca (izquierda) y fricción seca-viscosa (derecha)

4.2.2.Acciones internas o de reacción Las acciones interiores o de reacción aparecen como consecuencia de las restricciones al movimiento que ocasionan los pares cinemáticos que conectan las barras de los mecanismos. En la Figura 4.3 se muestran, sobre los pares inferiores más habituales,

121

Máquinas y Mecanismos

aquellas acciones (fuerzas o pares de fuerzas) de reacción que pueden llegar a ser capaces de transmitir. Se consideran pares cinemáticos ideales; esto es, en ausencia de rozamiento. Origen de la reacción

Grados de libertad restringidos

Reacciones

Dos desplazamientos ortogonales

Un desplazamiento normal al eje de la guía. El giro

Rodadura sin deslizamiemo

El de splazamiento normal al contacto. El desplazamiento tangente al contacto.

o r¡ ¡;" 11

Rodadura con

El de splazamiento normal al contacto

1

Figura 4.3. Acciones interiores o de reacción

122

El problema dinámico

~n

el estudio de la cinemática de los sistemas mecánicos se puso el énfasis en los moun ientos que los pares cinemáticos pennitían a las barras que conectaban. En cambio, !n el problema dinámico inverso lo que fundamentalmente interesa de los pares cine_,áticos son los movimientos que impiden a las barras que unen. Así, se observa que _Jando está impedida una traslación en una dirección del plano, puede existir una fuerza de reacción que, si hiciese falta, sería la encargada de impedir esa traslación. Del ismo modo, cuando lo que está impedido es un giro (relativo entre las barras conec. das), lo que puede aparecer es un par de fuerzas que impediría la rotación. átese que las fuerzas interiores o de reacción aparecen cuando se suponen rotos los !nlaces, esto es, los pares cinemáticos. En este punto, la introducción del concepto de .··agrama de sólido o cuerpo libre resulta de gran interés. Dado un sistema mecánico, - entiende por diagrama de sólido libre (DSL) cualquier subconjunto extraído del ismo, en el cual los elementos que se han eliminado son sustituidos por las acciones nteriores, evidentemente) que ejercen sobre los elementos que quedan. Es, en defini. ·.a, una herramienta para hacer aflorar en los problemas las acciones internas o de -eacción . ._as acciones exteriores que actúan sobre una máquina en ocasiones son conocidas; sin !mbargo, las acciones interiores o de reacción constituyen siempre incógnitas del pro- ema dinámico y deben obtenerse durante la resolución del mismo.

4.3. Leyes de Newton .\ continuación se enunciarán (no en su forma original) las tres Leyes de Newton :642-1727). Previamente hay que indicar que en el contexto de la Dinámica se entien:e como partícula todo aquel sólido rígido no sometido a rotación y por lo tanto en el _ue el tamaño se puede despreciar.

l.

Primera Ley. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, dicha partícula permanecerá en reposo o continuará el movimiento en línea recta y con velocidad constante.

2.

Segunda Ley. La aceleración que adquiere una partícula tiene un módulo proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre ella, es paralela en dirección y coincidente en sentido.

3.

Tercera Ley. Para cada acción (fuerza) ejercida por una partícula sobre otra, existe otra fuerza de reacción opuesta y colineal efectuada por la segunda sobre la primera.

La segunda Ley se puede formular como n

¿F, =m ·a i=I

123

Máquinas y Mecanismos

donde Ja constante de proporcionalidad, m, es Ja masa de la partícula. Una premisa fundamental en la mecánica clásica o newtoniana es que Ja masa es constante y positiva. De Ja expresión anterior se define el equilibrio estático como 11

"L,i; =O i=I

esto es, cuando Ja resultante de las n fuerzas actuantes sobre la partícula es nula. Lo anterior se puede extender al caso de sólidos rígidos con posibilidad de movimiento general en el plano, del siguiente modo n

"L,F; =m·ae

[4.1]

i=I

n

m

'L. re; F¡ + 'L. I'i = I e . a

[4.2]

X

i=I

donde

i= I

re; es el vector posición que va del centro de gravedad del cuerpo a un punto de

la línea de acción de la fuerza i-ésima,

T;

corresponde a uno de los pares de fuerzas

aplicados sobre Ja totalidad del sólido rígido, I e es el momento de inercia del cuerpo respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pasa por su centro de es la aceleración del centro de gravedad del cuerpo y es su aceleragravedad, ción angular. Conviene destacar que Ja expresión [4.2] corresponde al caso en que el sistema de fuerzas se reduce al centro de masas y, por lo tanto, el sumatorio de momentos se realiza respecto al centro de gravedad del sólido rígido en cuestión. Un esquema de lo anterior se muestra en la Figura 4.4.

ªe

a

Figura 4.4. Aplicación de las Leyes de Newton a un sólido rígido

124

El problema dinámico

sérvese que la ecuación [4.1] gobierna el movimiento de traslación del sólido, mienque la [4.2] lo hace con el de rotación. Evidentemente, la condición de equilibrio _ 1ático para un sólido rígido corresponderá a la ausencia de aceleraciones en el cuer- . tanto lineal de su centro de gravedad como angular del sólido. Esto es '"35

n

¿F, =0 =I

n

[4.3]

m

""ro F + "\'f =0 L L.,¡ I

X

I

I

=I

1=1

4A. Principio de D' Alembert E. Principio de O' Alembert (Jean le Rond D'Alembert, 1717-1783) permite tratar pro~ emas dinámicos como si fuesen estáticos, mediante la introducción de unas acciones .- ricias denominadas acciones inerciales. Partiendo de la segunda Ley de Newton para n sólido rígido sometido a movimiento plano, se podrá poner que 11

¿ft, -m ·a0

=0

1=1

n

m

[4.4]

I re; F¡ + I T¡ - I e .a = o X

1=1

1= l

.:onde lo único que se ha hecho es pasar los términos de la derecha a la izquierda con -igno menos. Los conceptos de fuerza y par de inercia implican aplicar sobre el sólido gido una fuerza y un par de fuerzas equivalentes a la fuerza y momento resultantes, :-ero en sentido contrario a éstos (ver Figura 4.5)

F,n = - m ·ªe

(4.5]

f,n =-le . a -ustituyendo [4.5] en [4.4], se tendrá que 11

LF; +F¡

11

=0

1=1

n

m

1=1

1=1

(4.6]

Ire, xF; + If; +fm =0 Comparando [4.6] con [4.3 ], se comprueba que incluyendo las fuerzas y pares de inercia, un problema dinámico se puede transformar en otro que, formalmente, se asemeja a uno puramente estático. Insistir en el carácter ficticio de las acciones inerciales, lo

125

Máquinas y Mecanismos

que realmente existe son las acciones opuestas, que corresponde a la fuerza y el momento resultante actuantes sobre el sólido rígido. --->

F,

Figura 4.5. Principio de D' Alem bert

4.5. El Principio de las Potencias Virtuales El Principio de las Potencias Virtuales, conocido también como Principio de Jourdain. presenta notables diferencias con las Leyes de Newton antes enunciadas. Esas diferencias se pueden resumir en los siguientes apartados:

126

•

Es un principio que permite establecer cuando un sistema mecánico se encuentra en equilibrio estático; esto es, a diferencia de las ecuaciones de Newton no establece de un modo directo las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico en el caso general. Por ello, si se quiere abordar mediante Potencias Virtuales un problema dinámico general (con aceleraciones), será necesario aplicar en primer lugar el Principio de O' Alembert, para convertir un problema dinámico en un problema asimilable a uno estático.

•

A diferencia de Newton, que plantea ecuaciones compuestas por magnitude vectoriales (fuerzas, pares de fuerzas , velocidades, aceleraciones), el Principi o de las Potencias Virtuales da lugar a ecuaciones escalares, cuyos términos son potencias (producto escalar de fuerza por velocidad).

•

Un modo habitual de operar con las ecuaciones de Newton consiste en descomponer el sistema mecánico en las barras que lo componen. Este proceso se realizará mediante los diagramas de sólido libre o de cuerpo libre donde, como se ha comentado anteriormente, se rompen los enlaces cinemáticos (pares) que unen los elementos a eliminar con los que se desea permanezcan en el diagrama de sólido libre, y estos elementos eliminados son sustituidos por las reacciones que, a través de los pares cinemáticos, podrían ejercer sobre las barras que quedan. Esto es, en un contexto de Newton aparecen de un modo natural las fuerzas internas o de reacción. Por el contrario, Potencias Virtuales opera sobre el sistema mecánico original completo; esto implica, como se verá más

El problema dinámico

adelante, que las fuerzas internas no aparecen habitualmente en la formulación de Potencias Virtuales y, por lo tanto, no pueden obtenerse directamente. •

Muy relacionado con el punto anterior está el número de ecuaciones que implica cada procedimiento. Newton, recuérdese que estamos en casos planos únicamente, dará lugar a dos ecuaciones escalares de fuerzas y una de momentos para cada sólido libre considerado (habitualmente para cada barra móvil del mecanismo) más las ecuaciones que se obtengan a partir del Principio de Acción y Reacción (Tercera Ley de Newton). Es posible, por tanto, establecer una analogía entre la ecuación de Grübler y el número de ecuaciones e incógnitas que se obtienen con un planteamiento de Newton. Por el contrario, la aplicación del Principio de las Potencias Virtuales dará lugar a tantas ecuaciones escalares como grados de libertad tenga el mecanismo, con independencia del número de barras que lo forman.

'ltes de demostrar formalmente el Principio de las Potencias Virtuales, se introducirá oncepto de velocidad virtual y el de potencia virtual. Se define como velocidad rrual cualquier velocidad que pertenezca a un conjunto de velocidades, reales o ficti- as. compatibles con las restricciones cinemáticas del mecanismo. Se define como rencia virtual a la aportada por las acciones (fuerzas y pares de fuerzas) que actúan : bre el sistema mecánico debida a una distribución de velocidades virtuales.

-ea, por ejemplo, el sólido rígido de la Figura 4.6; la potencia virtual del sistema ven.:ria dada por la expresión [4. 7]

[4.7]

Cuerpo 2

Figura 4.6. Potencia Virtual

127

\ Máquinas y Mecanismos

Obsérvese que se trata de productos escalares; es decir, solo genera potencia la proyección de la acción (fuerza, par) en la dirección de la correspondiente velocidad. Nótese también que los términos de [4.7] pueden ser positivos o negativos. Potencias positivas suponen que el mecanismo incrementaría su energía y potencias negativas que la perdería, para el conjunto de velocidades virtuales considerado. Si bien el concepto de potencia virtual es bastante claro, el de velocidad virtual precisa de una mayor concreción. Una velocidad virtual tiene estas propiedades: •

Se trata de una velocidad propuesta por el usuario; es decir, no tiene porqué ser real. Piénsese que la aplicación original del Principio de las Potencias Virtuales se emplea en sistemas mecánicos en equilibrio estático; esto es, generalmente sin ningún tipo de movimiento.

•

Debe ser compatible con las restricciones cinemáticas del mecanismo; es decir, que sea propuesta no implica necesariamente que sea arbitraria. Nótese que esto implica que pueden ser obtenidas mediante un análisis cinemático, lo que presenta la ventaja de asegurar que son compatibles con las restriccione_ del sistema.

A continuación se ilustra lo anterior con un ejemplo. Supóngase que la barra de la Figura 4. 7 se encuentra en equilibrio estático bajo la acción de la fuerza y el par que se ilustran en dicha figura.

Figura 4. 7. Problema estático

Es evidente que la condición de equilibrio estático impone la ausencia de movimiento de este mecanismo, por _lo tanto en este caso las velocidades virtuales deberán ser propuestas, lo que no significa que puedan ser cualesquiera. En concreto, la velocidad angular de la barra 2 podrá tener cualquier módulo y sentido, pero su dirección deberá

128

El problema dinámico

:Jerpendicular al plano del movimiento. Más aún, la velocidad del punto A deberá _onsistente con las restricciones cinemáticas del mecanismo; esto es, se relacionará a velocidad virtual de la barra 2 mediante la siguiente expresión

[4.8] -- a Figura 4.8 se ilustra lo dicho.

Figura 4.8. Problema estático

demostrar el Principio de las Potencias Virtuales se partirá de las ya conocidas _:!_ es de Newton. Primero se establecerá el Principio de las Potencias Virtuales para _ ia partícula, a continuación para un sólido rígido y finalmente se considerará su apli-,..ión a mecanismos con distintas tipologías de pares cinemáticos.

Dada una partícula libre en el plano, es condición necesaria y suficiente para que esté en equilibrio estático que las potencias virtuales debidas a dos velocidades virtuales independientes, sean nulas. En particular se puede tomar una velocidad virtual asociada a cada una de las dos coordenadas.

En primer lugar se considera la condición necesaria. Supóngase una partícula en equirio estático bajo la acción de un conjunto de fuerzas; de la primera Ley de Newton, "tendrá que

LF=O

[4.9]

129

Máquinas y Mecanismos

Para cualquier conjunto de velocidades (virtuales) que se considere, es obvio que

Pot =

(¿:fr). v =O

[4.1

por lo que se verifica la condición necesaria. La condición suficiente partirá de la condición de equilibrio estático establecida diante el Principio de las Potencias Virtuales; esto es

Pot =

(¿: F). v=o \iv

m~

[4. t:

Como la expresión [4.11] debe de cumplirse para cualquier velocidad, se escoge w correspondiente a un movimiento general en el plano, de modo que

v=v X

·f +v y ·J-:

siendo las componentes en X e Y (o cualquiera otras dos direcciones perpendiculare5 independientes entre sí. Sustituyendo [4.12] en [4. 11], se tendrá que [4.13 La única posibilidad para que se verifique siempre [4.13] sean cuales sean los de vx, vY es que

valor~

[4.P que corresponde a las condiciones de equilibrio estático de Newton para una partícula A continuación se enunciará el Principio de las Potencias Virtuales para un sólido rícr-

do. Un sólido rígido está en equilibrio estático si y solo si la potencia virtual debida a las acciones externas al sólido es nula para cualquier conjunto de velocidades virtuales considerado. Se discretizará el sólido rígido en partículas elementales, y se aplicará el principio C= que si el conjunto está en equilibrio estático, cualquier parte del mismo también estará. Nótese que la propiedad característica de un sólido rígido es que Ja distanc _ entre dos puntos cualesquiera del mismo se mantiene constante sean cuales sean la: fuerzas que actúan sobre el sólido rígido. Eso se puede modelizar mediante las denominadas fuerzas internas o de cohesión que cada partícula aplica a todas las demás Estas fuerzas llevan la dirección definida por las dos partículas consideradas, misil' módulo y sentidos contrarios, como se ilustra en Ja Figura 4.9.

130

El problema dinámico

F

X Figura 4.9. Sólido rígido discretizado

ez discretizado el sólido rígido en dos partículas elementales, sometidas a accio- _:emas e internas, se considera que si el conjunto (sólido rígido) debe de estar en --io estático, cualquier parte del mismo (partículas) también lo deberá estar. En --encía se puede imponer la condición de equilibrio estático para cada una de las ~as mediante el Principio de las Potencias Virtuales, asumiendo dos velocidades

[4.15] ~

) F8 son fuerzas externas y fAs y f sA son fuerzas interiores de cohesión.

_ fue rza que la partícula A ejerce sobre la B para mantener la distancia AB. ~n:;;:::::l'oambos términos y aplicando el Principio de Acción y Reacción , se tendrá que [4. 16] "lí:::T.<'!:>::::> "'n cuenta la condición de compatibilidad cinemática que deben de cumplir

elocidades virtuales, que no es otra en este caso que la del sólido rígido - :O)

[4.17] _ endo [4.17] en [4.16], se tendrá que

131

Máquinas y Mecanismos

Para cualquier conjunto de velocidades (virtuales) que se cons idere, es obvio que [4.10] por lo que se verifica la condición necesaria. La condición suficiente partirá de la condición de equilibrio estático establecida mediante el Principio de las Potencias Virtuales; esto es

Pot=(LF)·v=O \fv

[4.11]

Como la expresión [4. 11] debe de cumplirse para cualquier velocidad, se escoge una correspondiente a un movimiento general en el plano, de modo que [4.12) siendo las componentes en X e Y (o cualquiera otras dos direcciones perpendiculares). independientes entre sí. Sustituyendo [4.12) en [4.11 ], se tendrá que [4.13 ) La única posibilidad para que se verifique siempre [4.13) sean cuales sean los valores de v,, vY es que

[4.14) que corresponde a las condiciones de equilibrio estático de Newton para una partícula. A continuación se enunciará el Principio de las Potencias Virtuales para un sólido rígi-

do. Un sólido rígido está en equilibrio estático si y solo si la potencia virtual debida a las acciones externas al sólido es nula para cualquier conjunto de velocidades virtuales considerado. Se discretizará el sólido rígido en partículas elementales, y se aplicará el principio de que si el conjunto está en equilibrio estático, cualquier parte del mismo también lo estará. Nótese que la propiedad característica de un sólido rígido es que la distancia entre dos puntos cualesquiera del mismo se mantiene constante sean cuales sean las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido. Eso se puede modelizar mediante las denominadas fuerzas internas o de cohesión que cada partícula aplica a todas las demás. Estas fuerzas llevan la dirección definida por las dos partículas consideradas, mismo módulo y sentidos contrarios, como se ilustra en la Figura 4.9.

130

El problema dinámico

y

X Figura 4.9. Sólido rígido discretizado

'na vez discretizado el sólido rígido en dos partículas elementales, sometidas a accioes externas e internas, se considera que si el conjunto (sólido rígido) debe de estar en equilibrio estático, cualquier parte del mismo (partículas) también lo deberá estar. En .:onsecuencia se puede imponer la condición de equilibrio estático para cada una de las partículas mediante el Principio de las Potencias Virtuales, asumiendo dos velocidades 'irtuales v A y V8 .

-

-

-

-

FA · vA + Í sA · vA =O FB ·Vs + Í AB ·Vs -

[4.15]

=Ü

-

donde FA y F8 son fuerzas externas y Í AB y

-

f 8 Ason fuerzas

interiores de cohesión. ~

ÍAB es la fuerza que la partícula A ejerce sobre la B para mantener la distancia AB. umando ambos términos y aplicando el Principio de Acción y Reacción, se tendrá que

(4.16] Teniendo en cuenta la condición de compatibilidad cinemática que deben de cumplir las dos velocidades virtuales, que no es otra en este caso que la del sólido rígido (Figura 4.1O)

vª - vA = mx FAa

(4.17]

y sustituyendo [4.17] en [4.16], se tendrá que

131

Máquinas y Mecanismos

[4.18]

y

X Figura 4.10. Condición cinemática de sólido rígido

Obsérvese que por definición de producto vectorial, el término

w

X

r AB

será perpend i-

cular a la recta definida por los puntos A y B; en consecuencia, el producto escal ar J AB • (w x r A8 ) será nulo para cualquier campo de velocidades virtuales compatible con la condición de sólido rígido. Así pues, se comprueba que las fuerzas internas no contribuyen a la potencia virtual cuando se aplica el Principio de las Potencias Virtuales a un sólido rígido.

Finalmente se extenderá el Principio de las Potencias Virtuales a mecanismos .

Un mecanismo está en equilibrio estático si y solo si la potencia virtual debida a las acciones externas al mecanismo es nula para cualquier conjunto de velocidades virtuales considerado. Se procederá de un modo análogo al anterior, discretizando el mecanismo en sólido~ rígidos (barras) y aplicando a éstas el Principio de las Potencias Virtuales. Evidentemente, al romper los enlaces cinemáticos aparecen las fuerzas internas o de reacción. se consideran pares cinemáticos ideales (sin fricción) , se puede comprobar que las correspondientes acciones internas dan lugar a una potencia virtual nula. Se verá para los pares cinemáticos más habituales en mecanismos planos.

132

El problema dinámico

_ .... un mecanismo formado por dos barras conectadas por un par de revolución, ver '2Jffa

-

-

-

4.11, y sometido a la acción de las fuerzas FA y F8 y los pares de fuerzas T2 y

y

X Figura 4.11. Mecanismo de dos barras unidas por un par de revolución

- el mecanismo formado por las dos barras está en equilibrio estático, las dos barras :..ie lo forman también lo estarán.

r

X Figura 4.12. Mecanismo de dos barras unidas por un par de revolución. Velocidades virtuales

133

Máquinas y Me canismos

Por tanto, si se suponen un conjunto de velocidades virtuales tal y corno el indicado en la Figura 4.12, para cada uno de los sólidos rígidos en equilibrio estático, se tendrá que

[4.19)

FB • VB + T3 . W3 + 123 .VP3 = o Sumando ambos términos y aplicando el Principio de Acción y Reacción

FA. v A+ f2. iiY2 + Fs . v s + f3. iiJ3 + 123 .(v P3 -

v p1 )

=o

[4 .20)

En este caso, la compatibilidad cinemática del par de revolución exige que [4.2 1] Por lo tanto, [4.20) quedará

FA· vA+ T2 · ÜJ 2 + F8 · v8 + T3 · iiJ 3 =O

[4.22=

que completa la demostración. En el caso de un mecanismo formado por dos barras unidas mediante un par prismáti-

co (Figura 4.13), y sometido a la acción de las fuerzas FA y F 8 y los pares de fuerzas

T2 y T3 , se tendría que

v,,3 -v,,2 2

Figura 4.13. Mecanismo de dos barras unidas por un par de prismático. Velocidades virtuale

134

El problema dinámico

..:n modo análogo a lo visto anteriormente, se llegará a

¡_ . VA + T2 . W2 + FB . VB + T3 . W3 + - f 23 · Cv ? vP, ) + 723 · l0 3 - 02) = o 3

-

:ide las velocidades virtuales deben de cumplir las siguientes condiciones impuestas r la compatibilidad cinemática característica de los pares prismáticos de guía recta mo el de la Figura 4.13 l'p3 - V P 2

J_

/23

[4.24]

W3 = W2

r lo tanto, [4.23] quedará como sigue, completando la demostración [4.25]

::>e un

modo análogo, se puede comprobar que la potencia virtual neta correspondiente os pares cinemáticos ideales (aquellos en los que no existe rozamiento entre los :: ementos del par) es siempre nula. En consecuencia, cuando el Principio de las Poten- as Virtuales se aplica a un mecanismo, sólo se consideran las acciones externas a .:. . . ho mecanismo.

Como se acaba de ver, el Principio de las Potencias Virtuales sólo sirve para caracteriL1f un sistema mecánico cuando éste se encuentra en equilibrio estático. En consecuen- a. si se desea aplicar este principio a un problema dinámico, previamente habrá que plicar el Principio de D' Alembert y reducir el problema dinámico a uno cinetoestáti-

. o.

4.6. El problema dinámico inverso orno ya se ha indicado anteriormente, en el problema dinámico inverso se conoce la inemática del sistema mecánico, correspondiente a un instante de tiempo y se desea obtener algunas de las acciones externas (fuerzas/pares) que han contribuido a crear ese estado de movimiento y, ocasionalmente, las fuerzas internas que se generan en los pares cinemáticos que enlazan las barras. En este apartado se desarrollarán los procedimientos para resolver problemas dinámios inversos en mecanismos planos mediante las Leyes de Newton o el Principio de las Potencias Virtuales, siendo parte del contenido el poder decidir cuándo es más conveniente emplear un procedimiento o el otro.

135

Máquinas y Mecanismos

4.6.1. Resolución mediante las Leyes de Newton Considérese la inversión del mecanismo biela-manivela-deslizadera de la Figura 4.14. Supóngase que en ese mecanismo de un grado de libertad, el accionamiento se efectúa por la manivela 2.

D

1

1

Figura 4.14. Inversión del mecanismo de biela-manivela-deslizadera

En un problema dinámico inverso típico serían datos la posición, velocidad y aceleración angulares de la barra de entrada y la incógnita sería, en primer lugar, el par que el motor que acciona dicha manivela debe de proporcionar para conseguir ese estado cinemático predeterminado, venciendo al mismo tiempo la fuerza externa aplicada en el punto D, ver Figura 4.15.

D

Figura 4.15. Problema dinámico inverso. Incógnita principal: par motor

Hay que resaltar que en estos problemas, además de los datos geométricos característicos de los problemas cinemáticos, se contaría con los datos correspondientes a las propiedades inerciales de las barras móviles: masa, localización del centro de gravedad y momento central de inercia. Otro aspecto importante a considerar es si el mecanismo está en un plano vertical u horizontal, en este último caso aunque los pesos de las ba-

136

El problema dinámico

existen y están aplicados en los respectivos centros de gravedad no influyen en la _ námica del sistema, dado que dichas fuerzas gravitatorias y las velocidades de sus .Jitos de aplicación son necesariamente perpendiculares. En la Figura -1.16 se repre_,nta el tipo de datos que cabe esperar en un problema dinámico inverso.

-:!S

D

1

1

Figura 4.16. Problema dinámico inverso. Datos geométricos, inerciales y acciones exteriores

Obsérvese como se indican las localizaciones de los distintos centros de gravedad de as barras móviles y como alguno de ellos pueden corresponder a un punto fijo (centro de gravedad de la barra 2). Así mismo destacar como se denota que, en este caso, el mecanismo está en un plano vertical, por lo que habrá que tener en cuenta el peso proio de las barras móviles. Cuando se aplica Newton a la resolución del Problema Dinámico Inverso no es necesario aplicar el Principio de D' Alembert y se podrían emplear las ecuaciones en su forma original; esto es

L.F =m¡ ·ac, L.Mc =le, ·a¡

[4.26]

para la i-ésima barra móvil del mecanismo. Obsérvese como en la ecuación que gobierna el movimiento de rotación se considera el sumatorio de momentos respecto al centro de gravedad. Ahora bien, aplicar el Principio de D' Alembert no comporta un trabajo adicional (el término de la derecha de [4.26] hay que calcularlo de todas formas) y supone una pequeña ventaja operativa, dado que al incluir las acciones inerciales e inducir el equilibrio cinetoestático, el sumatorio de momentos ya no es obligatorio tomarlo respecto al centro de gravedad de la barra, sino que se puede tomar respecto al punto que más interese. Así pues, se recomienda incluso cuando se vaya a emplear Newton, aplicar previamente el Principio de D' Alembert; es decir, introducir las acciones inerciales para cada barra móvil del mecanismo.

137

/áquinas y Mecanismos

Para cada barra móvil del mecanismo, se tendría que considerar actuantes las fuerzas de inercia aplicadas en el centro de gravedad y los pares de inercia en las barras. Por supuesto, y dependiendo de las condiciones específicas del problema, es posible que alguno de estos términos sea nulo.

f =-le ·a fn¡

¡

[4.27] I

La herramienta fundamental con la que se cuenta a la hora de aplicar las Leyes de Newton al problema de análisis de fuerzas es el diagrama de sólido libre (DSL). El mecanismo se descompone en sus barras móviles y se analiza el equilibrio dinámico de cada una de ellas, así como sus interacciones. Para el ejemplo que se está considerando. Fig ura 4.16 , se tendrían tres DSL sobre cada una de las barras se considerarían en primer lugar las fuerzas externas actuantes, que pueden ser, como ya se indicó en 4.2.1

• • • •

Directamente aplicadas . Gravitatorias . Inerciales . Fricción .

Además, al aislar una barra se están rompiendo los pares cinemáticos y eliminando barras adyacentes. Se pueden eliminar dichas barras siempre que se sustituyan por las acciones que ejercen sobre la que queda y esas acciones dependen exclusivamente del tipo de par cinemático que las une. En la Figura 4.1 7 se muestran los DSL para las tres barras móviles en las que se descompone el mecanismo. Los pares de revolución aplican fuerzas con el módulo y la dirección necesarios para impedir la separación de las dos barras en ese nudo. Los pares prismáticos de guía recta impiden la traslación en la dirección perpendicular a la guía, lo cual se consigue con una fuerza en esa dirección, y el giro relativo entre las barras, de eso se encarga un par de fuerzas .

138

El problema dinámico

f>'j B 32

¡x 32

----.

A-G

J,;j! p'

!,;

2

D

Figura 4.17. Diagramas de sólido libre (DSL) de las barras móviles

Dado que se ha establecido el equilibrio cinetoestático, se deberá verificar que

-

-

-

P2 + Í1 2 + f32 =O T2 + i;n 2 + rAB

X

]32

[4.28) = Ü

P3 + Fin 3 + ]23 + ]43

f

ln3

+ l43

=

o

[4.29)

=o

Fo + P4 +Fin, + f14 + f34 fin, + l34 + rcc,

X(.?4

=o

+Fin,)+ ¡:CB

X]34

+¡:CD

XFo =o

[4.30)

139

Máquinas y Mecanismos

Las ecuaciones [4.28] corresponden al equilibrio cinetoestático de la barra 2, que una vez proyectas en sus componentes, darán lugar a tres ecuaciones escalares e incluyer . . ' . T , {' X , f y , f X , f y2 · cinco mcognitas: 2 11 2

12

32

3

Las ecuaciones [4.29] corresponden al equilibrio cinetoestático de la barra 3, que darár. lugar a tres ecuaciones escalares e incluyen cuatro incógnitas: Ji.;, f~, / 43 , t 43 . Obsérvese que la dirección de la fuerza que la guía recta aplica a la deslizadera es conocida por lo que aporta una única incógnita al problema. Las ecuaciones [4.30] corresponden al equilibrio cinetoestático de la barra 4, que darár. lugar a tres ecuaciones escalares e incluyen cuatro incógnitas: /1 ~, /1 ~, / 34 , t 34 • En este caso la ecuación de momentos no se ha aplicado respecto al centro de gravedad, sine respecto a otro punto más conveniente en orden a obtener ecuaciones con un menor número de incógnitas. Dado que en todos los casos el número de incógnitas supera al de ecuaciones disponibles, en principio, ninguno de estos diagramas de sólido libre podría ser completamente resuelto. Ahora bien, todavía no se ha considerado el Principio de Acción y Reacción. que en este caso da lugar a

=o t 34 + 143 =o / 34 + /43 =o /23 + /32

[4.31 ]

En total son cuatro ecuaciones escalares adicionales, que unidas a las nueve provenientes del equilibrio cinetoestático de las tres barras móviles permitirían resolver las trece incógnitas que presenta el problema. Hay que resaltar que este sistema de trece ecuaciones con trece incógnitas sería lineal y éste es un resultado completamente general para el Problema dinámico inverso o análisis de fuerzas . Como ya se verá, no siempre es necesario resolver el sistema lineal conjuntamente, sino que para ciertos mecanismo.:: se puede resolver de un modo secuencial. En definitiva, Newton da lugar a un relativamente elevado número de ecuaciones e incógnitas, pero proporciona al ingeniero mucha información: no sólo las accione motrices necesarias para dimensionar los actuadores de las máquinas, sino también las fuerzas internas necesarias para iniciar un diseño resistente de los elementos que componen el mecanismo.

140

El problema dinámico

6. 2. Resolución mediante el Principio de las Potencias Virtuales _ - diferencias esenciales, desde el punto de vista práctico, entre la resolución de un blema mediante las Leyes de Newton o el Principio de las Potencias Virtuales, se - eden resumir en los siguientes dos puntos: •

Cuando se tiene un problema dinámico (con aceleraciones) y se quiere resolver mediante las Leyes de Newton es recomendable aunque no imprescindible aplicar previamente el Principio de O' Alembert. Por el contrario, cuando se aplica el Principio de tas Potencias Virtuales a un Problema Dinámico Inverso, es necesario transformarlo previamente en uno cinetoestático mediante la aplicación de O' Alembert, ya que Potencias Virtuales sólo puede resolver problemas de equilibrio (estáticos o cinetoestáticos).

•

Cuando se emplea Newton, el número de grados de libertad del sistema mecánico es relativamente irrelevante; por el contrario es esencial cuando se aplica Potencias Virtuales, ya que establecerá el número de ecuaciones que se van a obtener.

.\continuación se desarrollará este segundo punto mediante ejemplos.

- 6.2. 1 Mecanismos con un grado de libertad En primer lugar, y por facilitar la explicación, se supondrá un problema estático. El mecanismo simple de la Fig ura 4.1 8 tiene un solo grado de libertad y se desea que permanezca en equilibrio estático en la posición indicada, (), bajo la acción de la fuerza

-

-

externa F8 y del par externo T2 . Más adelante se discutirá cuáles de estos datos serían conocidos y cuáles constituirían las incógnitas del problema.

AB=l

B

Figura 4.18. Principio de las Potencias Virtuales. Mecanismo con un grado de libertad

141

Máquinas y Mecanismos

Dado que el problema es estático, no tiene sentido aplicar el Principio de D' Alembert. Aplicando el Principio de las Potencias Virtuales, se tendría que, para que el mecanismo se encontrara en equilibrio estático, se debería cumplir que

Pot=T2

·w 2 +F8 ·v 8

=0

[4.32]

para todo posible conjunto de velocidades virtuales que se pudiera considerar. Hay dos aspectos a resolver en la expresión anterior: •

Dado que se trata de un mecanismo en equilibrio estático ¿de dónde salen las velocidades?

•

¿Cómo se implementa ese . .. para todo posible conjunto de velocidades vir-

tuales? Las respuestas a las dos preguntas anteriores están íntimamente relacionadas: si no se dispone de velocidades reales por tratarse de un problema estático, se suponen unas velocidades virtuales. Eso sí, son supuestas pero compatibles con las restricciones cinemáticas del mecanismo. Para ello, lo más simple es asumir como virtuales sólo las velocidades correspondientes a los grados de libertad del mecanismo y calcular las restantes a partir de las relaciones cinemáticas ya conocidas. En el ejemplo considerado, se podría elegir como velocidad virtual [4.33 ] Por lo que se tendría el siguiente campo de velocidades virtuales supuesto, es decir, es un símbolo que se va a arrastrar durante todo el desarrollo.

Figura 4.19. Campo de velocidades virtuales

142

OJ,

El problema dinámico

-¡ se tendrá que

VB = W2 x rAB =-l·sen(B)·m2 .¡ +l·cos(B)·m2 ·]

[4.34]

.::JStituyendo [4.33] y [4.34] en [4.32], se tendrá que

Pot =

(r

2 •

f ). (w2 · f )+ (- F8 · J)·(-1 · sen(B)· w2 · T+ l · cos(B)· w2 · J)

[4.35]

erando los productos escalares y sacando factor común a la velocidad virtual asocia.:a al grado de libertad, se tendrá que

Pot =

(r2 -

F8 · l · cos(e))· w2 =O

[4.36]

En este punto se puede aplicar la segunda condición: si [4.36] debe de ser nula para :odo valor de w2 , algunos de ellos no nulos, la única posibilidad de que se verifique -iempre la ecuación [4.36] es que el término entre paréntesis sea nulo; esto es T2 - F8 ·l · cos(B)=O

[4.37]

Esta es la ecuación que establece el equilibrio estático del sistema. Obsérvese que en un mecanismo de un grado de libertad, la aplicación del PPV ha conducido a una única ecuación. En cuanto a variables conocidas e incógnitas, pueden darse dos situaciones claramente diferenciadas: •

Se conoce la posición de equilibrio; esto es, (}es dato. En ese caso una de las acciones externas sería la incógnita del problema. Por ejemplo, si se conoce la fuerza actuante en el punto B, la ecuación [4.37] permitiría determinar el par T2 que habría que aplicar para establecer el equilibrio estático del sistema en la posición deseada. El problema siempre será lineal, siempre existirá solución y ésta será única.

•

Se conocen todas las fuerzas externas actuantes y se desea saber si existe algún valor de (}que garantiza el equilibrio estático del sistema bajo la acción de las fuerzas antes mencionadas. En ese caso, la ecuación [4.37] corresponde a lo que se denomina problema de la configuración de equilibrio. La ecuación es del tipo no lineal, por lo tanto no necesariamente tendrá solución y, de existir, ésta tampoco tiene porqué ser única.

En el caso de disponer de velocidades reales, y siempre teniendo en cuenta que se trata de un mecanismo con un único grado de libertad, éstas se pueden emplear perfectamente como campo de velocidades en la expresión de Potencias Virtuales.

143

Máquinas y Mecanismos

4.6.2.2 Mecanismos con varios grados de libertad En la Figura 4.20 se muestra un mecanismo de doble péndulo y por tanto con dos grados de libertad. Se asumen condiciones análogas al problema anterior; esto es, equil ibrio estático.

e

Figura 4.20. Mecanismo con dos grados de libertad

Las dos velocidades virtuales que se supondrían en este mecanismo de dos grados de libertad en equilibrio estático podrían ser iiJ 2 y iiJ3 (Figura 4.21). Aplicando la condición de equilibrio estático a partir del Principio de las Potencias Virtuales, se deberá cumplir que

[4.38] En este caso, la condición de velocidades compatibles con el mecanismo llevaría a lo siguiente

Va Ve

144

W2 X FAa = W2 X FAa + W3 X rae

=

[4.39]

El problema dinámico

e

Figura 4.21. Campo de velocidades virtuales (vectores verdes) para un mecanismo de dos grados de libertad

Operando de un modo análogo a lo realizado anteriormente, es decir, manteniendo los "Tiódulos de las velocidades angulares de las barras como símbolos, se tendría que

v8

·f +l·cos(t9J·w3 · ] ve = -(l · sen(ei) · w2 + l · sen(t93 ) · w3 ) · T+ ... =-l·sen(t92 )·w2

[4.40]

... + (l · cos(ei) · w2 + l · cos(t93 ) · w3 ) · ] -ustituyendo estas expresiones en [4.38] y sacando factor común a las velocidades irtuales asociadas a los grados de libertad del mecanismo, se llegará a

Pot = T2 · w 2

- Fe

-

F 8 • l · cos(t92 ) • w 2 + T3 • w3

-

·(l. cos(t92 ) · w2 + l · cos(t93 ) • wJ =

=(T2 -F8 ·l·cos(t92 )-Fe ·l·cos(t93 ))·w2 +

+(T3 - Fe · l · cos(eJ) · w3 =O

[4.41]

V w 2 , w3

Para que la expresión anterior sea siempre nula, la única posibilidad es que los dos términos entre paréntesis sean siempre nulos. Por lo tanto, para este mecanismo de dos

145

Máquinas y Mecanismos

grados de libertad se llegarían a las siguientes dos ecuaciones que garantizarían el eq uilibrio estático T2

-

F8 · l · cos(B2 ) - Fe · l · cos(BJ =O

T3

-

Fe · l · cos(BJ =O

[4.42)

A partir de este punto se puede establecer, por ejemplo, los dos pares necesarios par: en una posición dada por B2 y (}3 compensar a las fuerzas aplicadas en B y C, o b ie~ conocidas todas las acciones exteriores, determinar si existe(n) alguna(s) configuraciones que garanticen el equilibrio estático. Un aspecto muy importante en mecanismos de más de un grado de libertad, y siem p~ en el contexto de las Potencias Virtuales, es que aunque existan velocidades reale: éstas no se pueden emplear corno velocidades virtuales en la ecuación de potencias dado que en ese caso no sería posible efectuar la separación indicada en la ecuac ió[4.42).

4. 6.3. Cuadro resumen del problema dinámico inverso A continuación se adjunta un cuadro resumen (Figura 4.22) sobre la aplicación de las Leyes de Newton y el Principio de las Potencias Virtuales a la resolución del Probleiy._ dinámico inverso general y un caso particular del mismo corno lo es el problema estát co.

146

El problema dinámico

/

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Velocidades Virtuales

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Sólkto Libre

Velocidades Virtuales

Sufro Arru111.¡u

Velocidades RHIH

Figura 4.22. Resumen del problema dinámico inverso

147

Máquinas y Mecanismos

4.7. Ejemplos de análisis de fuerzas de mecanismos planos En este apartado se resuelven ejemplos de análisis de fuerzas aplicados a los ejemplo: vistos en cinemática por el método vectorial.

4. 7.1. Suspensión de un automóvil: el cuadrilátero articulado Considérese el cuadrilátero articulado utilizado en el ejemplo 3.3. 1 del Capítulo 3, que representa una suspensión de un automóvil , con las dimensiones y condiciones cinemáticas indicadas en dicho problema. Si se sabe que sobre la rueda actúa una fue rza

F = 2 820 · J N 1. 2.

(ver Figura 4.23), se pide obtener:

La fuerza que aparece en el resorte de la suspensión mediante el método de Potencias Virtuales. Las reacciones en los apoyos mediante las Leyes de Newton.

Las propiedades inerciales y la posición de los centros de masas se muestran a continuación.

m 2 = 3,5 kg

l e 2 = 0,042 kg · m 2

m 3 = 1,5 kg

l e 1 = 0,300 kg · m 2

m4

~O

le, ~

O

.. . G

Figura 4.23. Cuadrilátero articulado: cdg, elementos dinámicos y acciones exteriores directamente aplicadas

148

El problema dinámico

- - : .1 Acciones conocidas actuantes sobre el mecanismo ~

pesos de las barras son:

-

-

[4.43)

-N

= -m3 · g · j = -14, 72 · j

~

- fuerzas y pares de inercia (con masas no despreciables) son:

Fn¡ =-m¿ ·Ga

2

t

l

=(70·f -5,6·])N

=-10 2 -~ = - 0,336·k N·m

F,n = -m3 · 3

ªo

3

=

[4.44)

(64,28· T-6,50· ]) N

f,n3 =-103 ·a3 = - 5,927-k N·m - - 1.2 Fuerza sobre el resorte mediante Potencias Virtuales

pl icando Potencias Virtuales al sistema de suspensión se tiene Pot

= (F11 -

m2. g + F,n2). vG2 + (F - m3. g + F,n3). vG3 +

[4.45)

+ f';n2 · W2 + f';n3 · W3 = O -ustituyendo valores Poi= (F11

·] -

m 2 • g ·] +

F,;2 · T+ F,:2 · ]) · (v~, · T+ vb, · ]) +

+(F·] - m 3 ·g·]+F,;3 ·f +F,:3 ·])·(v~3 ·f +v0Y 3 ·])+

-

-

-

[4.46)

-

+ (T,,,2 . k). ( OJ2 . k) + (1'¡,,3 • k). ( OJ3 • k) =o Operando

[4.4 7)

149

Máquinas y Mecanismos

Resolviendo y

FR =

m2 ·g·ve

-

pin2 x

x

·Ve

l

-

pin2 Y

y

·Ve

l

-

F ·vey

l

3

vY

+

e2

y

+

m 3· g·Ve

3

pin3'Ve x .x

3

-

pm3·Ve Y y J

3

-

Tin2

°0J2-

Tin3'0J3

vY

=

-5903 N

[4.48]

e2

FR = -5903 N 4. 7. 1. 3 Reacciones en los apoyos mediante las Leyes de Newton Los diagramas de cuerpo libre de las barras móviles se muestran en las figuras, junto con las correspondientes ecuaciones de Newton una vez aplicado el principio de D' Alembert y la tercera Ley de Newton. Barra 2

F"'2

i• B

fj~

~;

.

Figura 4.24. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 2

[4.49] [4.50] [4.51]

150

El problema dinámico

Ba rra 3

f;;

¡;\' ?J

Figura 4.25. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 3

[4.52]

IFY =O

JJ; +fi'J +F;: 3 -m3 ·g+F=O

""""M z = O rsc, x · (F + pin3 YL. B

m 3·g

) - rBG y Finx3 + rsc x · JI'43y • 3 - rfc · f4~ + T¡n 3 = O

[4.53]

[4.54]

Barra 4

Figura 4.26. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

151

Máquinas y Mecanismos

¿Fx =0

ft~ + J;~

=0

[4.55]

IF Y =0

ft{ + !~ =0

[4.56] [4.57]

- La tercera Ley de Newton permite relacionar las fuerzas internas de los pares R en B _

e !2~ + /3~

=o

[4.58 ]

f {i +f{i=O

[4.59]

/3~ + /4~

=o

[4.60]

!~ + f!J

=o

[4.61 ]

De las tres ecuaciones [4.55], [4.56] y [4.57] y teniendo en cuenta [4.60] y [4.61] obtiene que ¡;~

= -!~

¡;14y --

-

[4.62]

j 34Y

[4.63]

y roe = = X /3~ /4~ roe !~

:~

!~

[4.64]

Con lo cual se comprueba que, en una barra biarticulada sin acciones externas, la, reacciones en C y D son dos fuerzas alineadas de igual módulo y de signo contrario. De las ecuaciones [4.54) y [4.64] se puede obtener

+x

143

152

= rxBG3 · (F + FYin3 y

m · g) - rY · y r + T 3

X

X

BG3 y

rse ·roe - rae · roe

in3

/4~

in 3 .

rx oe

= 1109 N

[4.65]

El problema dinámico

f !:,

Con la [4.64]

y

f /, = /4~ • r~c = 330,2 N

[4.66]

roe

Con la [4.62] f.~ f.~ =

J4; = 1109 N

Conla[4.63]

f.{= f !:,

[4.67]

f.{ [4.68]

= 330,2 N

Con la [4.52] /3~

f{i

= - /4~ -

Con la [4.53]

F,;3 = -1 174 N

[4.69]

f /i

f f.J = - /4~ - F,:3 + m3 · g- F = -3129 N

[4.70]

Con la [4.49] f. ~ [4.71] Con la [4.50] f. ~ f.~ = m2

•

g - f {i -

F,:

2-

FR = 2814 N

[4.72]

Y finalmente de la ecuación [4.51] se puede obtener FR

[4.73] Se comprueba que se obtiene el mismo valor de FR que con el método de Potencias Virtuales .

153

Máquinas y Mecanism os

4. 7.2. Carretilla porta-contenedores: biela-manivela-deslizadera El mecanismo de la carretilla porta-contenedores y mostrada en la Figura 4.2 7 tiene el estado cinemático indicado en el ejemplo 3.3.3 del Capítulo 3. Conocidos los datos inerciales y acciones exteriores presentes en la máquina, se pide obtener para que el mecanismo tenga el estado cinemático indicado:

1. 2.

La fuerza ejercida por los cilindros hidráulicos empleando el Principio de las Potencias Virtuales. Las reacciones en todos los pares cinemáticos y la fuerza ejercida por los cilindros hidráulicos mediante las Leyes de Newton. (Considerar que el par prismático entre las barras 2 y 3 está situado en el punto medio entre 0 2 y A)

P,

,.-·············----··1 /

./ /"

í ---------------·

1

!

1

1

······· ···········-··-········/,./¡

/ /

¡

i

,. ....-------·--... ___

/

/

L............/ \

...../ ····

.....

... --·-·---...

\ ............. .............................·--·················· ······./ /

\ •..'·······-············/

\ __

\

j

-

\ .......... ........///

Figura 4.27. Diagrama de acciones exteriores en la carretilla porta-contenedor

154

·--....,,....

El problema dinámico

- datos inerciales de las barras son: m3 = 1000 kg

2 = 1000 kg 3

= 2·10 kg·m

l P

2

3

l e 2 = 2·10 kg·m

m4 = 15 ton 2

l e, =180·10 3 kg ·m 2

= 48 ton

- - 2. 1 Acciones exteriores e inerciales _acción de los cilindros Fc,1 es la incógnita del problema. Previamente a la resolu• on del ejercicio se calculan las acciones exteriores (gravitatorias) y las acciones iner- :lles que están aplicadas en el mecanismo: cuerpo del cilindro (barra 2), vástago del ~ :ndro (barra 3), pluma (barra 4) y percha más contenedor P. _ - pesos de las barras son

P2 = - m 2 · g = -9 807 · ] P3 = - m3 · g = -9 807 · ] _35

N

P4 =-m4 ·g=-147150·] N

N

Pp =-mp

·g =-470880 ·]

[4.74]

N

fuerzas y pares de inercia son

i,,,

l

F

1112

T,,,

J

=-le2 ·a2 = - 5,8·k N·m =

- m2 ·ªe,

=-le)

f,,,,

4,5 · f

- 3,6 ·] N

·a3 =-5,8·k N·m

F =-m3 ·ae 1113

=

3

=-150,5·f -199,8 ·] N

[4.751

=-l e, ·a4 = 16957·k N·m

F,,, = - m4 ·ae =(-2 554 ·f - 5886· ] )N ' ' F,,,p=-mp·a8 =(-15587-T -44937·]) N ./. 7. 2.2 Fuerza de los cilindros mediante Potencias Virtuales En la Figura 4.27 se muestran las acciones exteriores (inc luidas las de inercia) que actúan sobre el mecanismo en la configuración cinemática indicada. La aplicación del Principio de las Potencias Virtuales a la carretilla porta-contenedor queda como sigue

155

Máquinas y Mecanismos

-

-

3

-

Pot = (-5,8 · k - 5,8·k) ·(l,52·10- · k) + ... -

.. . +(16957·k)·(-37,7·10

-3

-

· k)+ ...

... + (4,5 . T- 3,6.] - 9 807. ]) · (-2,4. T + 1,9. ]) .10 - 3 + ... ... + (-150,5 . T- 199, 8.] - 9 807. ])-(5,96. T+ 8,04 . ]) . 10-3

-

... + (-2554 · T-5886 · ]-147150 · ]) ·(0,0658. T + 0,158 1·: ... + (-15 587. T- 44937.] - 470880. ])-(0,1243 . T+ o.r

... + F cit · 0,1

=

O

Por lo tanto, la acción conjunta de los dos cilindros es :

Fcil =2221·i/ 2 kN=(l389·T +1733·]) kN 4. 7.2.3 Fuerza de los cilindros y reacciones mediante las Leyes

En este caso se aplica el Principio de D' Alembert a cada una de el plano XY. Los diagramas de sólido libre pueden verse en las - = con las ecuaciones de equilibrio.

Barra 2

156

Máquinas y Mecanismos

[4.76] -

-

3

-

Pot = (-5,8 · k - 5,8 · k)·(l,52·10 - · k) + ... -

... +(16957·k)'(-37,7·10

-3

-

·k)+ ...

... +(4,5·Í-3,6·]-9807·])·(-2,4·Í +1,9·])·10- 3 + ... ... + (-150,5 · T-199,8.] -9807. ])·(5,96. T+ 8,04. ]) .10 - 3 + ...

[4.77]

... +(-2554·Í-5886·]-147150·])'(0,0658·Í +0,1581·])+ .. . ... + (-15 587. T-44937.] - 470880. ])'(0,1243. T+ o,3768. ]) + ...

.. . + Fc;i · O, 1 = O Por lo tanto, la acción conjunta de los dos cilindros es:

Fcil

=

2 22 J· Ü2 kN = (13 89 · f + ] 73 3 · ] ) kN

[4.78]

4. 7.2.3 Fuerza de los cilindros y reacciones mediante las Leyes de Newton

En este caso se aplica el Principio de O' Alembert a cada una de las barras móviles en el plano XY. Los diagramas de sólido libre pueden verse en las figuras siguientes junto con las ecuaciones de equilibrio. Barra 2

IY' =Ji~+ J

3;

·cos(B2 +90º)+(-Fc¡¡ )·cos(82 )+F;~, =0

IF Y =f1 ~ +J3; ·sen(82 +90º)+(-Fc;i )·sen(82 )+F;:, -m 2 ·g=O

156

[4.79, [4.80]

El problema dinámico

¡,;

Figura 4.28. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 2

Barra 3

f~1 ___.. .

'i;.,,

!21

fa,

•

¡

3 A

¡,;

e P,

Figura 4.29. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 3

157

.\/áquinas y Mecanismos

[4.82] [4.83] [4.84]

Barra 4

Figura 4.30. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

[4.85 ] [4.86] [4.87 ] donde

ro,c

=

-rAC = ro,A12 y donde se ha aplicado el Principio de Acción y Reacció

en las reacciones de los pares cinemáticos entre las barras 2 y 3 (C) y 3 y 4 (A) . Adicionalmente hay que considerar las ecuaciones correspondientes a la tercera Ley áe Newton aplicadas a los pares A y C [4.88] l23

158

+ l32

=o

[4.89]

El problema dinámico

[4.90] f~ +ffi=O

[4.91]

~te -~

sistema de 13 ecuaciones y 13 incógnitas puede resolverse completo o del siguienmodo:

=n primer lugar, se resolverán las ecuaciones [4.81] y [ 4.84] para obtener 72; - 2,253 . !2;

- t 23 2,253. !2; + f23

= 12 287

-

= -12 287

7

2;

= J2;

·

y ~3

[4.92]

ii 2 =-1,782 · ii 2 kN = (1,39 · 7 -1,114 · ]) kN

t23 =t 23 ·k=-12,283·k kN·m

[4.93]

En segundo lugar, se resolverán las ecuaciones [4.82], [4.83] y [4.87] para obtener

-

J;~ + 0,625 · Fc;t = 149

-

J;~ +0,78·Fc;t = 1001 l

f 34

[4.94]

-1,516. J;~ -2,182. ¡¡,; = -5866000

f 34 = 13 89 · i + 1723 · j

kN

F c;t = 2 221 · ii 2 kN = ( 13 89 ·

[4.95]

f + 1733 · ] ) kN

Finalmente, de las ecuaciones restantes se obtienen

J; 2 =(1389·f+1743·]) kN J;4 =(-1371·f -1054·]) kN

fi 2 y fi 4 [4.96]

Puede comprobarse que el accionamiento de los cilindros hidráulicos es el mismo independientemente del método de cálculo.

159

Jláquinas y Mecanismos

4. 7.3. Plataforma elevadora: biela-manivela-deslizadera La plataforma elevadora de la Figura 4.31 tiene las características cinemáticas del ejemplo 3.3.5 del Capitulo 3, está situada en un plano vertical y se desea calcular: 1.

2.

La fuerza que debe de proporcionar el pistón de accionamiento para poder elevar una carga m 4 = 50 kg, mediante el Principio de las Potencias Virtuales. Por simplicidad, se asume que m 4 corresponde tanto a la carga como al peso propio de la barra 4. las reacciones en los pares cinemáticos y se comprobará el valor de la fuerza que debe de suministrar el pistón, mediante la aplicación de las ecuaciones de Newton .

ª~ d

1 Figura 4.31. Diagrama de la plataforma elevadora

160

El problema dinámico

_ - características geométricas, másicas e inerciales del mecanismo son las siguientes

AE =BE= EC = ED = L = 1,0 m d = 1,0

m

m 2 =m 3 = 6,0 kg f c 2 = f c3 = 2,0 kg.m

2

m 4 = 50 kg - -.3. 1 Acciones exteriores e inerciales -:_os pesos de las barras son:

P2 = P3 =-m2·g = -58,86·] N

[4.97]

P4 = -m4 · g = -490,50·] N Las fuerzas y pares de inercia son:

F,n F,n f;n fn

2

=-m 2·ac2 =-m 2·aE, =(-3,0·f-1,683 · ]) N

)

=-m 3 ·ac =-m 3 ·aE =(-3,0·f-1 ,683·]) N

2

= -/G2 ·a2=1,127 ·k N ·m

)

)

[4.98]

·a3 =l,127·k N·m F,n = -m 4 ·ac = -28,051 ·] N )

=-fe

4

)

4

./. 7. 3.2 Fuerza del pistón mediante Potencias Virtuales En la Figura 4.32 se muestran las acciones exteriores (incluidas las de inercia) que actúan sobre el mecanismo en la configuración cinemática indicada. Estableciendo el equilibrio cineto-estático en el mecanismo, el Principio de las Potencias Virtuales establece que

PV =

(J52 +Fin,). Vc + i;n, ·W2 + (J53 + FínJ· Vc + 2

+i;n, ·w3+Fs ·vs +(P4 +Fín.)·vc4

3

[4.99]

=0

donde ya se ha considerado que la barra 4 tiene un movimiento de traslación y el punto Fes estacionario.

161

.\fáquinas y Mecanismos

iP", G4---~~~--<~~~~

d

X

1 Figura 4.32. Diagrama de acciones exteriores en la plataforma elevadora

Como el mecanismo tiene un solo grado de libertad y se dispone de velocidades reales distintas de cero, estas pueden emplearse como velocidades virtuales. Aplicando el Principio de las Potencias Virtuales, se tendrá que PV = 0,5. FB - 245,195 =o

[4.100]

luego

FB = 490,389 N

[4.1o1]

4. 7.3.3 Fuerza del pistón y reacciones mediante las Leyes de Newton Para resolver mediante las ecuaciones de Newton, se considerarán los diagramas de sólido libre de las tres barras móviles. Barra 2

-

-

-

P2 + Fin 2 + f32 + f42 + Í12 = O

L MA =o----; rA E 162

X

(?2 + An2+ 132 )+ rA C

[4 .102] X

142 + f,fl2=o

[4. 103]

El problema dinámico

Figura 4.33. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 2

Barra 3

¡x ./3

Figura 4.34. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 3

[4.104] [4.105]

163

Máquinas y Mecanismos

Barra 4

i~"'

G"' ./

P,

d

~ ~

' Da

1

e

¡~

i

~

r

l:u'"

I'

N

]./

X

X

Figura 4.35. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

[4.107:

Se aprecia que el DSL de la barra 3 tiene tres incógnitas, por lo que se podrá resolver completamente con las tres ecuaciones que proporciona la condición de equilibrio cineto-estático de Newton. De la ecuación [4.107] se puede obtener

666,637 - 2,571 · /

24

=O --. /

24

f 24

= 259,276

N

Considerando ahora la ecuación de fuerzas [4.98], se obtiene } 34

= 259,276 ·]

N

[4.108]

f 34 [4. 109]

Ahora se puede considerar la ecuación de momentos [4. 105] de la barra 3. Aplicando el Principio de Acción y Reacción y operando en la expresión anterior 0,643·!~ -0,766·!~ - 371,063=0

164

El problema dinámico

Considerando ahora la ecuación de fuerzas [4.104], se tienen las siguientes dos ecuaciones escalares

FB + !2~ - 3,0 =o f13 + f -h -319,820=0 ~ons iderando

[4.111]

la ecuación de momentos [4. 103] de la barra 2 y operando se tiene

- 0,766 . f ;2 - 0,643. Jli + 375,660 =o

[4.112)

~onsiderando ahora la ecuación de fuerzas [4.102], se tienen las siguientes dos ecua-iones escalares

¡;; + ¡;~ - 3,0 =o ¡;~

[4.113]

+ ¡;~ - 319,819=0

-e consideran ahora las ecuaciones [4.110], [4.111], [4. 112] y [4.113] , junto con el Principio de Acción y Reacción y se tendrá el siguiente sistema lineal de ocho ecuacioes con ocho incógnitas 0,643. f ii -0,766· f~ -371,063 =o

F8 + J2; - 3,0 =O ¡;3+ f [i -319,820 = 0 - 0, 766. ¡;;

- 0,643. !3~ + 3 75,660 = o

+ ¡;; - 3,0 =o ¡;~ + ¡;~ - 3 19,819 = o

[4.114]

¡; ~

f~

+ ¡ 3; = o

f ii + !3~ = o Resolviendo se tendrá

f 13 =323,394

N

f,~ = - 484,389

f,i

= 3 16,244

N N

f í; = -487,389 f !J = - 3,575 N

[4.115]

N

FB = 490,389 N Se comprueba que la fuerza del cilindro coincide con ambos métodos.

165

Máquinas y Mecanismos

4. 7.4. Mecanismo de leva circular con seguidor plano alternante Considérese el mecanismo de leva circular con seguidor alternante utilizado en e ejemplo 3.3.4 del Capítulo 3, con las dimensiones y condiciones cinemáticas indicadas en dicho problema. Si se conoce que sobre el seguidor actúa una fuerza F = 1600 X según la dirección y sentido indicados en la Figura 4.36, se pide obtener: 1.

El par de fuerzas T2 para obtener dicho movimiento bajo la acción de la fue rza aplicada F y las acciones gravitatorias mediante el método de Potencias Virtuales.

2.

Las reacciones en los pares cinemáticos y par de fuerzas T2 mediante las Leyes de Newton.

Las propiedades inerciales y la posición de los centros de masas se muestran a con nuación. 2

m2 =0

!G =

m3 =1,0 kg

IG, = 0,001 kg · m 2

2

0,042 kg · m

m 4 = 2,0 kg

G,~~ y

,~

Figura 4.36. Mecanismo de leva: datos inerciales y acciones

166

El problema dinámico

- - __¡_ ¡

Acciones conocidas actuantes sobre el mecanismo

_os pesos de las barras son:

P3 =-m3 ·g·] =-9,81 ·] ~ ~as

N

= -m4 • g · ] = -19,62 · ]

[4. 116]

N

fuerzas y pares de inercia (con masas no despreciables) son :

-r-m

i,,,

2

=-1G2

-a =-0336-k- N · m

3

= -JG3

·a3 =-0,008-k N ·m

2

'

[4.117]

~"4 =-m4 ·aG4 =-m4 ·ap =(35,768 -T+20,651 -])N - .4.2 Pardefuerzas T2 mediante Potencias Virtuales ..\plicando Potencias Virtuales al sistema de suspensión se tiene

[4.118]

ustituyendo valores

Pot

= (F;; 3 · T + F;: 3 ·] - m3 · g · ]) · v~ ·] + (T,,, 2 · k + T2 · k) · m2 · k

+

+ (-F ·COS (30°)-i - F ·sen (30 º )·] + F;;4 .¡ + F::4. ]-m4. g. ])·

· (v; 4

·t +vpY

4

[4.119]

· ])+(T,,, 3 ·k)·(m3 · k)=O

Operando

CF;:3- m3 ·g) · v~ +(T,,, 2 +T2) · m2 +T,,,3 · OJ3 + + (-F ·cos (30º ) +

F;;4) · v;, + (-F ·sen (30º) + F;:

4

-m 4 · g) · v~, =O [4.120]

167

Máquinas y Mecanismos

Resolviendo

T2 =

(F · cos (30º)-F,: 4 ) • v; + (F ·sen (30º)'

F,: + m 4

4 ·

g) v~

' +

())2

+ (m3. g - F,:3). V~ - T¡n3. lÜ3 - T¡n2 . ())2 = 199 3 N. m ' ())2

[4.121)

4. 7. 4. 3 Las reacciones y par de fuerzas T2 mediante las Leyes de Newton Los diagramas de cuerpo libre de las barras móviles se muestran en las figuras siguientes, junto con las correspondientes ecuaciones de Newton una vez aplicado el principi o de O' Alembert y la tercera Ley de Newton. No se ha tenido en cuenta el peso de la barra 2 porque sólo afecta a la reacción en el G2.

vertica~

Barra 2

Figura 4.37. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 2

¿px = O ¿pY =0

J;~ + J;~ =O

[4.122)

¡;~ + f!i =0

[4.123) [4.124)

168

El problema dinámico

Barra 3

3 X

Figura 4.38. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 3

¿Fx= O J.i; ·cos (30º) + ¡¡ cos (120º) +Ji;+ F,~3 =O .l:FY=O J.i; ·sen (30º) + ¡¡ ·sen (120º) + f-b + F,: -m

[4.125]

3•

3

3

3·g

=O

[4.126] [4.127]

Barra 4

Figura 4.39. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

169

Máquinas y Mecanismos

LFx =O

(f;~ -F + F,n 4 ) · cos(30º) + (J;4 + /¡~) · cos(l 20º) =O

LFY = O

(J;~ -F + F,n 4 ) ·sen (30º) + + (J;4 +¡;~)·sen (120º) - m4 · g = O

LM~. =O

(d-c)· ¡;~ -c·(J;4 )+t14 =O

De la ecuación [4.127] se obtiene

fl3 = -

T¡n 3

=-

[4.128]

[4.129]

[4.130)

¡¡3

0,08 N

[4.131 ]

rG3P

De la ecuación [4.125] se puede eliminar _

+

¡-1

143

¡-n -(l"n +F-F

114 -

,,,4

143

)·

fl3 + ¡;~ como

cos(30º) cos(\ 2 0º)

Sustituyendo [4.132] en [4.129] se puede obtener

(_¡:n43 -F + F tn4 ) ·[sen (30°) ~

n _

f.43 -Fm 4 J4;

F

-

[

[4.132)

J4;

3 cos C 0º) ·sen (120º)) - m · g = O cos (120º) 4

m 4 ·g·cos(120º) ) sen (30º) · cos (120°) - cos (30º) ·sen (120º)

[4.133:

= -1569 N

De [4.131] y [4.132] se puede obtener ¡;~ ¡-n

¡-n

114=(143+F-F,n4)·

(3 Oº) J. 1 + 43=17,lN cos (120°) COS

De [4.130] se obtiene t 14 t 14 =-e·

Jl3 +(c-d)· ¡;~ = -1,70 N ·m

De [4.125] se obtiene

[4.1r ~

¡3; [4.136)

170

El problema dinámico

[-L 126] se obtiene :-32

= Í4; ·sen(30º) + ¡¡3 · sen(l 20º) + F¡~3 - m 3 · g = -796 N

_ [·l.122] se obtiene

1~ :'.)e

f {i

=-J3;

y -- 12

¡;; [4.138]

=1333N

[4.123] se obtiene

[4.137]

fii

j 32Y -796N -

[4.139]

' fina lmente de la ecuación [4.124] se puede obtener T2

[4.140] :e comprueba que se obtiene el mismo valor de T2 que con el método de Potencias rtuales.

4. -.5.

Máquina Limadora: mecanismo de retorno rápido de Whitworth El mecanismo de retomo rápido de Whitworth de la Figura 4.40 tiene el estado cine"Tiático indicado en el del ejemplo 3.3.6 del Capítulo 3. Conocidos los datos inerciales _ acciones exteriores presentes en la máquina, se pide obtener para que el mecanismo :enga el estado cinemático indicado: 1.

El par T2 proporcionado por el motor empleando el Principio de las Potencias Virtuales.

2.

Las reacciones en todos los pares cinemáticos y el par T2 mediante las Leyes de Newton.

Los datos inerciales de las barras son

= 220 kg m 3 = 60 kg 2 l a2 = 500 kg·m 2 l a2 = 5 kg·m m2

m4 l a,

= 200 kg = 54 kg·m 2

Las fuerzas de corte en la herramienta (punto C) en función las posiciones de la barra de entrada son

{(1000·Í - 100·])N Fe= ON

si

7,5º::::; 82 < 172,5º

si

Oº::::; 82 < 7,5º y 172,5º::::; 82 < 360º

171

Máquinas y Mecanismos

Figura 4.40. Mecanismo de retorno rápido de Whitworth

4. 7. 5.1 Acciones exteriores e inerciales La acción del motor ( T2 ) es la incógnita del problema. Previamente a la resolución del ejercicio se calculan las acciones exteriores (gravitatorias) y las acciones inerciales que están aplicadas en el mecanismo: manivela (barra 2), balancín (barra 3) y cabezal (barra 4). Los pesos de las barras son

P2 = -m2 • g = -2158,2 · J N P3 = - m3 ·g = -588,6· J N

[4.141]

~ = -m4 · g = -1962,0 ·] N Las fuerzas y pares de inercia son

-

-

Tm2 =-le2 ·ii2 =00·kN ·m '

i;n

2

= -m2 ·ªe2 = (0,0 · i + 0,0 ]) N

f';n =-lc ·a3 =2,07 · k N ·m 3

F;n -

J

3

=-m3 ·acJ =(-17,5·l +28,3·}) N

-

TIn4 =-le 4 ·ii4 =00·kN ·m '

F;n

172

4

= -m4 ·ªe = -116,8 · i N '

[4 .142]

El problema dinámico

- - -.2 El par motor T2 mediante Potencias Virtuales - la Figura 4.41 se muestran las acciones exteriores (incluidas las de inercia) que ~an sobre el mecanismo en la configuración cinemática indicada.

D

-

P,

e

1 Figura 4.41. Diagrama de acciones exteriores en el mecanismo de Whitworth

=-.a aplicación del Principio de las Potencias Virtuales al mecanismo de Whitworth ~ueda como sigue

[4.143] __,.

--

--

-

Pot = (T2 • k) · (n ·k) +O+ (2,07 · k) · (1,014 · k) + ...

... + (-17,5. ¡ + 28,3.] - 588,6. ]) . (-0,499. ¡ - 0,087. ]) +o+ ...

[4.144]

... +e -116,8. 7-1962.] +1ooo. 7- 1oo.]) .e-0,999 · T) = o 173

Máquinas y Mecanismos

Por lo tanto, el par proporcionado por el motor es

-

-

-

T2 = T2 • k N · m = 261 ,8 · k N · m

[4.145 ]

4. 7.5.3 Par motor y reacciones mediante las Leyes de Newton En este caso se aplica el Principio de D' Alembert a cada una de las barras móviles. L diagramas de sólido libre pueden verse en las figuras siguientes junto con las ecuacio- nes de equilibrio. Barra 2

\-"'·~ 83 \\

Figura 4.42. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 2

¿px = J;~ + ¡;; ·cos(B3 -90º) =O

(4.146]

¿pY = ¡;~ + ¡;; ·sen(B2 -90º)-m2 · g =O

[4.14 7] (4.148]

174

El pr · ema áin±m;.ro

Barra 3

Figura 4.43. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 3

[4.149]

I

FY

= J.. j + ¡;; ·sen ( 83 -

90º) + O+ F¡{,1

-

m3 · g

=O

"M~J ='-o3 A X 12; +'-o3 B X 14; +ro33 G X (fr,n 3 + P3) + i';n 3 ¿

[4.150]

=o. k

[4.151]

175

Máquinas y Mecanismos

Barra 4

-

P, ~~~~~~~--------F-~-~-----~

4

e

e, ".--"-'' . .•• .

~

Figura 4.44. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

[4.152) [4.153) [4.154) donde se ha supuesto que la reacción del par prismático entre las barras 1 y 4 pasa por G-1 y donde se ha aplicado el Principio de Acción y Reacción en las reacciones de lo_ pares cinemáticos entre las barras 2 y 3 (A) y 3 y 4 (B). Adicionalmente hay que considerar las ecuaciones correspondientes a la tercera Ley de Newton aplicadas a los pares A y B [4. 155) [4. 156) Este sistema de 11 ecuaciones con 11 incógnitas puede resolverse completo o tal com se indica a continuación. En primer lugar, se resolverán las ecuaciones [4.152) y [ 4.153) para obtener = ¡;~

.T= -883,2. T N }i 4 = /¡ 4 • J = 2 062 · J N f34

f 34

y Ji~

[4.157)

En segundo lugar, se resolverán las ecuaciones [4.154) y [4.151) para obtener

176

1¡ 4

~

El problema dinámico

~4 = 114 • k = - 217,7 · k N · m

hJ = h; · Üll;-90º = -1394,2 ·ii9, 9 º N ~i nal mente,

= -1373,5·7 -239,6·) N

de las ecuaciones restantes ([ 4.146] a [4.150]) se obtienen las

ciones que faltaban

[4.158) reaccione-~·

J; 2 , J; 3Y Ti

J; 2 =(-1373,S·T+1918,6·]) kN J;3 = (507,8. T+ 800,0. ]) kN T = 261,8 · k N · m

[.!. L~ 9]

2

Puede comprobarse que el accionamiento del motor es el mismo independientemente del método de cálculo.

4. 7.6. Mecanismo de yugo escocés El mecanismo de yugo escocés de la Figura 4.45 tiene las características cinemáticas del ejemplo 3.3.2 del Capítulo 3, está situado en un plano vertical. e desea determinar la potencia que en ese instante suministraría el motor que acciona la manivela 2 para que sea capaz de alcanzar las condiciones de movimiento compensando al mismo tiempo una fuerza externa de 1. 2.

F4 = 500 · i

N, mediante:

El Principio de las Potencias Virtuales. Las Leyes de Newton.

'l//lllllllllllí1/11/í//; 1

Figura 4.45. Diagrama del yugo escocés

¡ --

Máquinas y Mecanismos

Las características geométricas, másicas e inerciales del mecanismo son las siguientes (se observa que la masa de la barra 3 se considera despreciable) r2

= 0,20 m

m 2 = l kg Ie 2 =0,01 kg·m 2 m 3=0

m 4 = 6kg 4. 7. 6.1 Acciones exteriores e inerciales Los pesos de las barras son

P2 = -m2 · g = -9,81 ·] N P4 = - m4 • g = -58,86·] N

[4.160)

Las fuerzas y pares de inercia son

T,n3 = T,,, =O N.m 4

fm

2

F;n

4

=-1e 2

·a2 = -OOS·k N·m '

=-m4

·ae =7,62-T N

[4.161]

4

4. 7. 6.2 Principio de Potencias Virtuales En la Figura 4.46 se muestran las acciones exteriores (incluidas las de inercia) que actúan sobre el mecanismo en la configuración cinemática indicada. Estableciendo el equilibrio cineto-estático en el mecanismo, el Principio de las Potencias Virtuales establece que

f;nJ w + P ve + (.F + P + i;,,J ve, = (f2+ i;nJ Wz + P2. + (.F4+ P4 + ¡inJ vB,

PV =

(f

2

+

2

2 •

2

4

4

Ve¡

donde ya se ha considerado que la barra 4 tiene un movimiento de traslación.

178

[4.162)

El problema dinámico

-

P,

4 -

7//111!111//1/1//líí///¡

-

1

P,

Figura 4.46. Diagrama de acciones exteriores en el yugo escocés

Como el mecanismo tiene un solo grado de libertad y se dispone de velocidades reales distintas de cero, estas pueden emplearse como velocidades virtuales. Aplicando el Pri ncipio de las Potencias Virtuales, se tendrá que

[4.163]

P V = 2 · T2 -175,94 =O

luego T2 = 87 ,97

[4.164]

Nm

y la potencia necesaria será

Pot = T2 · w2 =175 ,94

w

[4.165]

4.7. 6.3 Leyes de Newton Para resolver mediante las ecuaciones de Newton, se considerarán los diagramas de sólido libre de las tres barras móviles. Barra 2

[4.166] [4.167]

179

Máquinas y Mecanismos

{'J'

J )]

¡,;

Figura 4.47. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 2

Barra 3 rr

J

]J

Figura 4.48. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 3

[4.168] [4.169]

180

El problema dinámico

Barra 4 t,,

-

f .11

P, 4 1..----------..1 ..

F."'

F, --1----1~ _ _.;;;...._....¡.. ~

e,

Figura 4.49. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

Pe! + F,,,, + F4 +

Ji4 + ]34 =o

~ .'\:fB =Ü-)rBG, x(P4 +ft';,,,

[4.170]

+F4)+rBc

xli4 +l¡4

=Ü

[4.171]

:. ;rama DSL de la barra 3, ecuación [4.169], se deduce que [4 .172] _...e. aplicando el Principio de Acción y Reacción, el DSL de la barra 4 quedará e -

f,,

.. •

IB

ig -

P,

. ,.

4

e,

~

J,,

-

F,

-..

t ,.

Figura 4.50. Diagrama de esfuerzos sobre la barra 4

181

Máquinas y Mecanismos

Del equilibrio de fuerzas de la barra 4, ecuación [4.170], en la dirección X se obtendrá

[4.173] Aplicando Acción y Reacción y del equilibrio de fuerzas en la barra J, [4.168], se tendrá

f 23

f~ =-F4 -m4

·r2 ·cos(82 )·wi- m4 ·r2 ·sen(8J·a2 =-507,60 N

f~ = 0

[4.174]

Considerando de nuevo la tercera Ley de Newton, y la ecuación [4.166] de la barra 2 se tiene que

FB + 12~ -3,0=0 f13 + f~ -319,820=0

[4.175]

Considerando la ecuación de momentos [4.167] de la barra 2 y operando se tiene T2 - JG¡ 'ª2 -

- r2 · sen ( 8 2 ) · ( F4 + m 4 • r2 • cos ( 8 2 )

·

wi + m

[4.176] 4 · r2 ·

sen ( 8 2 ) · a 2 ) = O

despejando

T2 = 87,97

N.m

[4.177]

Se comprueba que el par motor coincide con la obtenida mediante Potencias Virtuales.

4. 7. 6. 4 Evolución de la potencia a lo largo de un ciclo En la gráfica siguiente Figura 4.51 se muestra la potencia que debería entregar el motor en una vuelta completa de la máquina, asumiendo una velocidad angular de la manivela de entrada constante de w2 = 2 rad / s . Se observa que durante la mitad del ciclo el motor suministra energía al mecanismo. mientras que en la otra mitad la podría absorber. Dado que habitualmente los motoreno disponen de esa capacidad, en la práctica significaría que el motor debería actuar como freno para conseguir mantener constante la velocidad de la manivela de entrada. De la gráfica anterior también se puede obtener el valor máximo de la potencia y en consecuencia dimensionar el motor.

182

El problema dinámico

n

T

'" j

-1f

s

T

ln

T

h j

I

/

Figura 4.51. Evolución de la potencia del motor a lo largo de un ciclo a velocidad constante

183

Capítulo 5

El problema dinámico directo

5.1. Introducción El problema dinámico directo o análisis del mov1m1ento parte del conocimiento de todas las acciones externas sobre el sistema mecánico y su evolución en el tiempo. A partir de la posición y la velocidad iniciales, se desea obtener la aceleración, la velocidad y la posición del mecanismo en cualquier instante de tiempo. Como ya se ha indiada anteriormente, en sistemas mecánicos incluso de una mínima complejidad el problema dinámico directo tiene asociado un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden en la variable tiempo que requieren de procedimientos numéricos para su resolución. En este tema se introducirá un procedimiento que permite resolver parcialmente el problema dinámico directo sin tener que recurrir a la integración numérica de las ecuaciones del movimiento. Las medidas que se van a tomar son las siguientes:

•

Acotar el problema. En este tema sólo se considerarán mecanismos de un solo grado de libertad.

•

Resolver parcialmente el problema dinámico directo. De las tres partes que tiene el problema de análisis del movimiento: posición, velocidad y acelera-

185

Máquinas y Mecanismos

ción, la primera se impone y se calculan las otras dos. Esto es, se asume que el mecanismo pasará por una posición determinada, y en esa posición se calcul ará la velocidad y la aceleración con la que transita. A continuación se explica con más detalle este último punto. Sea, por ejemplo, el paralelogramo de la Figura 5.1, que está situado en un plano vertical y por lo tanto sometido a su propio peso. Se conoce la posición y velocidad en el instante inicial (I),

e; ,m~.

y se deja caer el mecanismo por su propio peso. Cuando el mecanismo pasa por la posición (II) dada por

e;

1

,

se calculará la velocidad m~ y la aceleración a~ con las que

1

1

alcanza dicha configuración.

Configuración inicial

Configuración Final

3

Figura 5.1. Configuración inicial y final

Evidentemente, el procedimiento sólo se puede aplicar a sistemas mecánicos guiado . Nótese que, en general, no será posible conocer el tiempo que le cuesta al mecanismo evolucionar desde la configuración inicial a la final. Por lo demás hay que indicar que se dispondrá de las herramientas necesarias para saber si efectivamente el mecani smo puede efectuar el movimiento supuesto. Los valores que se obtendrán de velocidad ~ aceleración no son aproximados, sino que se tratará de resultados exactos.

186

El problema dinámico directo

.:> este punto es interesante volver a resaltar una de las diferencias esenciales entre un blema dinámico inverso y uno directo: el problema dinámico directo parte de una - -ición inicial y evoluciona hasta una final (evolución en el tiempo) y, por lo tanto, ene asociada una ecuación diferencial en el tiempo con unas condiciones iniciales. El blema dinámico inverso considera únicamente lo que ocurre en una configuración instante de tiempo).

'ª vez centrado el problema, a continuación se resumirán los pasos a seguir para su - lución: 1.

Reducir el mecanismo a su forma más simple, es decir, obtener un mecanismo equivalente.

2.

Sobre el mecanismo reducido o equivalente obtener la velocidad en la configuración final mediante el Teorema de las Fuerzas Vivas.

3.

Sobre el mecanismo reducido o equivalente obtener la aceleración en la configuración final mediante la ecuación de Eksergian .

.:-.2. Mecanismo reducido o equivalente .::. comportamiento dinámico de un sistema mecánico depende de dos características _námicas: •

La distribución espacial de las masas en el sistema.

•

Las acciones que lo solicitan.

0

or lo tanto, resulta evidente que si se quiere que dos sistemas mecánicos tengan el _ismo comportamiento dinámico, se deben de encontrar dos propiedades que garanti~en la equivalencia de las dos características antes mencionadas; estas propiedades son: •

La energía cinética.

•

La potencia (o el trabajo).

En consecuencia, el mecanismo original y el reducido deben de tener en todo instante a misma energía cinética y entregar la misma potencia. Teniendo en cuenta que sólo se considerarán mecanismos con uno solo grado de liber:.ad. el procedimiento será el siguiente: 1.

Elegir una coordenada a la cual se va a reducir el mecanismo. En la práctica el mecanismo reducido debe de corresponder a una barra con movimiento elemental; esto es, rotación o traslación. No es nada recomendable elegir una coordenada asociada a una barra con movimiento general. Esa coordenada se denomina generalizada y se suele denotar por la letra q.

187

Máquinas y Mecanismos

2. Definir el momento de inercia (si q es un ángulo) o la masa (si q es una distancia), de la única barra a la que se ha reducido el mecanismo original para que en cada posición la energía cinética que se acumule en el mecanismo real sea la misma que la del mecanismo reducido o equivalente. Esta propiedad de la barra se denominará Inercia Generalizada y, corno se verá, en general no sera constante y dependerá de la posición del mecanismo. 3.

Obtener la acción (par si q es un ángulo, fuerza si q es una distancia), que debería estar actuando sobre la barra del mecanismo equivalente para que lapotencia que las acciones externas reales le comunican al mecanismo real sea la misma que la que esta Fuerza Generalizada le comunica al mecanismo equivalente.

A continuación se resumirá lo dicho anteriormente con un ejemplo. Sea el rnecanisrn de yugo escocés de la Figura 5.2, el cual por simplicidad, se supone sometido única-

-

-

mente a dos acciones exteriores, el par motriz T2 y la fuerza resistente Fe . Se trata de un mecanismo de un grado de libertad y se elige corno coordenada generalizada e ángulo ()2 , que en adelante se denotará q. Obsérvese que esta coordenada corresponde a una barra con movimiento elemental de rotación respecto a un punto fijo.

4

C-G.

...

?"!///////llílíll//////¡ Figura 5.2. Mecanismo de yugo escocés

188

El problema dinámico directo

La idea es reducir el mecanismo anterior al siguiente mecanismo equi alente:

Figura 5.3. Mecanismo equivalente

La única barra móvil del mecanismo equivalente se mueve exactamente igual que la ~orrespondiente del mecanismo real, por lo que los valores de velocidad y aceleración, q y q respectivamente, que se obtengan en el mecanismo equivalente corresponderán exactamente a la velocidad, co2, y aceleración, a2, de la barra 2 del mecanismo real. Como se trata de un mecanismo de un grado de libertad, a partir de estos valores se pod ría completar la cinemática del mecanismo original. La lnercia Generalizada, /~ (q), deberá ser capaz de acumular en cada posición

q,

la

misma energía cinética que las tres barras móviles del mecanismo real. Así mismo, la Fuerza Generalizada,

Q2 (q)

deberá proporcionar la misma potencia que las acciones

realmente actuantes sobre el mecanismo original. Se podría pensar que la Inercia Generali zada corresponde a todas las masas, centros de gravedad y momentos de inercia del mecanismo real , trasladados a la barra 2. Del mismo modo, la Fuerza Generalizada correspondería a todas las acciones reales proyectadas sobre la barra de entrada. A ontinuación se desarrollarán los procedimientos para obtener la Inercia y Fuerza Generalizadas. 5.2.1. Inercia Generalizada La Inercia Generalizada es el momento de inercia o la masa asociada a la coordenada generalizada que produce la misma energía cinética que la que posee el mecanismo real. La energía cinética de un mecanismo plano formado por n sólidos rígidos se podrá obtener mediante la siguiente expresión, suma de las energías cinéticas debidas a la tras lación y a la rotación de cada uno de las barras que lo forman

Ee

1 e, =""(l-·m , · v 2 +-·I 2 2 L.i

G;

2)

·OJ ,

[5.1]

1= 1

189

Máquinas y Mecanismos

donde m; es la masa del cuerpo i-ésimo, l e, el momento de inercia del mismo respecto a un eje perpendicular al plano del movimiento y que pase por su centro de masas (momento central de inercia), ve, la velocidad de su centro de masas y w; la velocidad angular absoluta del cuerpo i-ésimo. La energía cinética asociada a la Inercia Generalizada será

- 1 ¡* . 2 E e --· ·q

[5.2]

2

donde

!'

es la inercia generalizada del mecanismo y

q es la velocidad generalizada.

Igualando las dos expresiones se tendrá que

1 • ·q·2 = Ln (]-·m ·v 2 +-·f 1 -·! . 2 I G; 2 G,, 2 /=]

2)

·úJ . I

[5.3]

Para poder despejar la Inercia Generalizada, todas las velocidades del lado de la derecha se deberán expresar como función lineal de la velocidad generalizada q. Esto se podrá hacer siempre porque se están considerando únicamente mecanismos de un grado de libertad y el problema de velocidades es, como se ha visto en el Capítulo 3. siempre lineal respecto la velocidad. Lo anteriormente expuesto se ilustrará sobre el mecanismo de yugo escocés que se esIB tomando como ejemplo. Para simplificar el desarrollo se asume que la masa de la barra 3 es despreciable. La expresión [5.3], aplicada al ejemplo será [5.4] El lado de la izquierda de esta expresión siempre va a ser el mismo; por el contrario, e' de la derecha deberá adaptarse a cada mecanismo concreto. Las velocidades del lado de la derecha se pueden expresar fácilmente en función de la velocidad generalizada úJ2 =

q

v 0 • =-r2 ·sen(q)·q

[5 .5]

donde r2 es la longitud de la manivela 2. Sustituyendo [5.5] en [5.4], se tendrá que [5.6]

190

El problema dinámico directo

:mcelando términos comunes a derecha e izquierda, la Inercia Generalizada vendrá wda por

[5.7] · sérvese que la citada Inercia Generalizada es variable con la posición del mecanisy, en este caso, tiene unidades de momento de inercia, lo cual corresponde con que coordenada generalizada q es un ángulo.

10

E. sentido fisico de la Inercia Generalizada es que mide la distribución espacial de -nasa del sistema, que a lo sumo depende de la posición del mecanismo.

_-.2.2. Fuerza Generalizada ~a

Fuerza Generalizada es la fuerza o par de fuerzas asociado a la coordenada generaizada que produce la misma potencia que las acciones externas sobre el mecanismo real. La potencia de un mecanismo plano sobre el que actúan n1 fuerzas y n 1 pares, se ;:)()drá obtener mediante la siguiente expresión n¡

n,

Pot= "f.F, ·v + "f.T1 ·w1

[5.8]

1

J= I

1= \

La potencia asociada a la fuerza generalizada será

Pot=Q·q

[5.9]

e igualando quedará n¡

Q · e¡ =

n,

¿ F, · v + ¿ f w 1

1

1= \

.

1

[5.10]

J=I

De un modo análogo a lo visto en el apartado anterior, se sustituirán las velocidades en función de la velocidad generalizada. Debe de tenerse en cuenta que ahora se trata de productos escalares de vectores. Aplicando la ecuación [5.1 O] al ejemplo que se está considerando, se tendrá que

Q. q =Fe . ve + f2 . W2

[5.11]

Sustituyendo las velocidades,

Q·q=(Fc .T).(-r2 ·sen(q)·q · i) +(r 2 ·k)·(q·k)= ... ... =-Fe ·r2 ·sen(q)·q+T2 ·q

[5.12]

191

Máquinas y Mecanismos

Cancelando términos comunes, quedará que [5 . 1 3~

Obsérvese que la Fuerza Generalizada depende de la posición y que, en este caso, tie n~ unidades de par de fuerzas, que corresponde con que la coordenada generalizada q es un ángulo. La Fuerza Generalizada es aquella asociada a la coordenada generalizada que introd u la misma energía en el mecanismo que las fuerzas reales aplicadas.

~

Se puede decir que tanto la Inercia Generalizada como la Fuerza Generalizada serár: para la mayoría de los mecanismos, variables. Lo cual no es óbice para que, en algun05 casos particularmente simples, alguna de ellas o incluso las dos sean constantes. En el caso de que la coordenada generalizada fuera una distancia (barra con movimierto de traslación), entonces la Inercia Generalizada tendría unidades de masa y la Fuerz::. Generalizada de fuerza. Una vez obtenido el mecanismo equivalente, se procederá ~ desarrollar el cálculo de la velocidad y aceleración para una configuración dada.

5.3. Teorema de las Fuerzas Vivas La aplicación del Teorema de las Fuerzas Vivas, conocido también como la Ecuaciór del Trabajo y la Energía, va a permitir obtener la velocidad de la coordenada genera'. zada en función de la posición del mecanismo. La ecuación que relaciona el traba~ efectuado por las acciones externas aplicadas al mecanismo entre una posición inicia. 1

q y una posición final q 11 , con la variación de la energía cinética del mecanism entre ambas posiciones viene dada por

Una primera cuestión que se puede comentar es la ausencia de la energía potenct"' gravitatoria. En efecto, en caso necesario se considerará el trabajo efectuado por .:. fuerza peso y no la variación en la energía potencial. Una alternativa para resolver __ expresión [5.14] sería considerar la energía cinética del mecanismo real, así como e trabajo de las fuerzas externas; ahora bien, el mecanismo equivalente se compor.. · exactamente igual que el real desde el punto de vista dinámico y es mucho más simpl Por tanto, calculando la variación de la energía cinética mediante la Inercia General zada y el trabajo mediante la Fuerza Generalizada, se tendrá que [5 . 14] se podrá calctilar como 11

21 .1 • (q ¡¡ ) . (.q ¡¡ )2 - 2) .1•(q ¡ ) . (.q ¡ )2= fq q' Q q (

192

)

. dq

El problema dinámico directo

spejando la velocidad generalizada quedará

i/' =

1· (:"

r(I;,11

Q(q)· dq +

~. ¡· (q ' ). (q' )2)

[5.16]

-:a expresión permite obtener la velocidad en función de la posición, pero no en fun- n del tiempo. Hay que indicar que el signo vendría dado por el sentido del movi~ ento impuesto para el cálculo del trabajo incluido en el lado de la derecha de la ex_sión [5.15]. La posibilidad de que el mecanismo pueda efectuar dicho movimiento 11 o! drá validado por el valor positivo de la energía cinética en la posición final q • -=--el ejemplo que se está considerando, la aplicación del Teorema de las Fuerzas Vi.:.:: daría lugar a

2

;1 · (1e, + m 4 · r2 ·sen

-~·(le,

2(q ")~~· (·")2 q 2

2

[5.17]

+m 4 ·r2 · sen (q'))·(q')2 =

=f , (T

11

qll

q

2

-Fe ·r2 ·sen(q))=(T2 ·q+Fe ·r2 ·cos(q)]q, q

·-· que tener en cuenta que en la expresión anterior la única incógnita es la velocidad a posición final; esto es, _ oci dad iniciales, q

1

,

q

1

q11 • El

resto son valores correspondientes a la posición y

y la posición final q". Finalmente hay que considerar el

_ tido de movimiento de (T2 · q +Fe · r2 · cos(q )]q'.' y el valor de la energía cinética q

:a posición final: si ésta es positiva, eso indica que las fuerzas actuantes permiten al _ anismo moverse desde la posición inicial a la final; si fuese negativa (cosa eviden_::iente imposible), el balance de fuerzas no permitiría al sistema mecánico efectuar el im iento previsto. ~

úl timo, nótese que sólo se puede resolver la ecuación [5.16] cuando es posible cular el trabajo de las fuerzas aplicadas, y esto es siempre cierto si Q sólo depende

.:A. Ecuación de Eksergian _'tiendo de la misma ecuación del Trabajo y Energía del apartado anterior [5.14] y ·\ ándola respecto al tiempo, se podrá expresar la potencia instantánea como la deria.da de Ja energía cinética respecto al tiempo. !

193

Máquinas y Mecanismos

dE

Pot=-c dt

[5.1 '

Expresando la relación en función de la inercia y fuerza generalizada quedará

J

. d ( -1 · 1· (q) ·q. 2 =-·--·q·q 1 di* (q) . . 2 + 1· (q) ·q·q . .. Q ·q=dt 2 2 dq

[5. 1

1

Cancelando términos comunes (la velocidad generalizada) se tendrá que

.. -1 ·di* (q) ·q. 2 -- Q(q ) l • (q ) ·q+ 2 dq

[5.:::

Ésta es la ecuación del movimiento de Eksergian. Al igual que en el apartado anterior, esta expresión nos permite obtener la acelerac: generalizada a partir de la posición y velocidad del mecanismo, pero no en funci ón · tiempo.

q=-.1- ·( Q(q)-_!_. di* (q). I (q)

2

dq

i/J

--

[ --

Si se quisiera obtener el valor de la coordenada generalizada en función del tiem integraría la ecuación diferencial temporal [5.20]. Aplicando lo anterior al ejemplo considerado, se tendrá que la ecuación del mo iir to será

Vc +m 2

2

4

... = T2 -

·r2

·sen 2 (q))·q+~·(2·m 4 ·r22 ·sen(q)·cos(q))·q 2 = ...

-[ -·--

Fe · r 2 · sen(q)

Para obtener la aceleración en la posición deseada, bastaría con sustituir los valore la coordenada y velocidad generalizadas. En este caso, el signo obtenido para la a _ ración sí que es representativo. Nótese que empleando la ecuación de Eksergían se podría obtener la aceleración ...., instante de arranque. En este caso la ecuación [5.20] quedaría .

--

[ -· por lo que la obtención de la aceleración sería inmediata.

194

El problema dinámico directo

- Ejemplos de análisis de movimiento de mecanismos planos _-·e apartado se resuelven ejemplos de análisis de movimiento aplicados a meca- planos simples. - - .. Suspensión de un automóvil: paralelogramo -·dérese el paralelogramo articulado mostrado en la Figura 5.4, que representa una nsión de un automóvil, con las dimensiones mostradas en dicho problema y las -zas indicadas. Se pide obtener:

Aceleración de la barra 2 cuando el mecanismo parte del reposo para 82 =O. Velocidad de la barra 2 cuando el mecanismo alcanza la posición de 82 = 1Oº. Aceleración de la barra 2 en la posición 82 = 1Oº . ropiedades geométricas, inerciales y las acciones actuantes son:

= rAD = 0,35 m : = rAB = 0,3 8 m : = r8 c =

0,35 m

1_

= rcD = 0,3 8 m

r

,, = 0,2 m

r

J3

= (0,15-T +0,172·])m

F = 3.000. J N FR = 20.000 · (y02 + 0,0265) N

m 2 =m 4 =3,5kg m 3 = 1,5 kg

102

= 10 , = 0,042 kg · m 2

f c 3 = 0,300 kg · m

2

Figura 5.4. Diagrama del paralelogramo: cdg, elementos dinámicos y acciones

195

Máquinas y Mecanismos

5. 5.1.1 Relaciones cinemáticas del mecanismo La solución del problema de posición es

84

82

=

83

=o [5.24)

rAe2 =rAe 2 ·(cos(82 )·f +sen(82 ) · ] ) rAB =rAB ·(cos(82 )·f +sen(82 )·J) La solución del problema de velocidad es

úJ3

=o

ve 2

= w2 x rAei = w2 · rAGi · (cos ( 8 2 ) • T+ sen ( 8 2 ) • J)

v01

=v8 = w2 xrA 8 = w2 ·rA 8 ·(cos(82)·f +sen(82 )·])

[5.25)

5.5.1.2 Inercia Generalizada Se tomará como coordenada generalizada q al ángulo 82 . La Inercia Generalizada -,,. puede calcular como

Ec =~·l(q)·q2

=

1 2 1 2 1 2 1 2 =1·m2 ·Ve2 +2·102 ·úJ2 +2·m3 ·vei +2·m4 ·ve. + 2 + -1 . l e . úJ42 = -1 . m2 . rAe . q· 2 + -1 . 1 . q·2 + -1 . m . r 2 . q·2 + 2 • 2 2 2 G2 3 AB 2

[5.26)

1 2 .2 1 1 .2 2. m4 . rAe2 . q + 2. ª• .q Simplificando

J'(q) = 2·m 2 ·rJe2 +2·le 2 +m 3 ·r'j8

[5.27]

Es importante resaltar que en este caso la Inercia Generalizada es constante. /

1

196

El problema dinámico directo

: , 3 Fuerza Generalizada _ - ando la potencia de las fuerzas exteriores 1

(

Pot =Q·q=(F11 -m 2 ·g) · vr;, +(F-m 3 ·g)·vG , -m 4 ·g·vG, =(-F11 -2 · m 2 · g) · rAGi ·OJ 2 ·cos(B2 )+ +(F-m 3 · g)·rAB

.

·OJ 2

=

[5 .28]

·cos(B2 )=

=k-F11 -2·m 2 ·g)·rAGi +(F-m 3 ·g)·rA8 ].cos(q)·q plificando

Q =l(-F11 - 2·m 2 ·g) · rAG, +(F-m 3 ·g) · rA8 J·cos(q)

[5.29]

ituyendo el valor de la fuerza del resorte

Q = (-20.000 · (YG, +0,0265)-2·m 2 · g ) · rAG, · cos(q)+ + ( F - m 3 · g) · rAB · cos ( q)

[5.30]

-ri tuyendo la coordenada Y del centro de masas de la barra 2 y reordenando

Q = (F - m 3 · g) · rAB · cos(q) - (530 + 2 · m 2 · g) · rAc, · cos(q) - 20.000 ·

r1

0,

[5.31] ·sen (q) · cos(q)

: _-.1. 4 Aceleración en el arranque para 8 2 = O E.n el arranque la ecuación de Eksergian queda corno

( (q)·q=Q

[5.32]

.::ustituyendo la Inercia Generalizada, la Fuerza Generalizada y particularizando para 4~ = O, se tiene (2 ·

m r1 2 ·

02

+ 2 · 10 2 + =

m r1 3 ·

8 ) ·

q=

(F - m3. g). rAB - (530 + 2. m2 . g). rAG¡

[5.33]

Resolviendo

q= (F-m 3 ·g)·r;s -(530+2·m2 ·~)·rAc, 2 . m2 . rA G, + 2. 1G, + m3 . rAB

=

1.015 =l.748rad / s 2 0,5806

[5 .34]

197

El problema dinámico directo

[5.40]

f -tituyendo la Jnercia Generalizada, la Fuerza Generalizada y particularizando para la \ll sici ón final, se tiene (F-m 3 ·g)·rA 8 ·cos(q 11 )-(530+2·m 2 ·g)·rAc, ·cos(q 11 )

.. 11 q

[5.41]

11 20.000 · r]c, ·sen (q 11 ) · cos(q ) -

2

=

2

1.485 rad / s

2

2·m2 ·rAc, +2·lc2 +m3 ·rAB

_-. 5.2. Carretilla porta-contenedores -e desea analizar el movimiento de la carretilla porta-contenedores de la Figura 5.5. A :!fectos de este ejemplo sólo se considerarán las características inerciales de la pluma y je la percha más el contenedor (se desprecian los efectos de los cilindros hidráulicos). -e toma como coordenada generalizada la extensión de los cilindros hidráulicos q = 0 2 A. Se conoce que el movimiento se inicia desde el reposo (

é/ =O)

para

q 1 = 3,83 m. La fuerza que ejercen los cilindros puede aproximarse a la siguiente expresión en función de q

[5.42]

( / ) 6 Fc; 1 (q)= -0,419-(q-q )+2,27 ·10 ·u 2 N

siendo el vector unitario

u2 = u0 A . 2

e pide: 1.

Determinar la aceleración del contenedor en el instante de arranque (a~).

2.

Determinar la velocidad y aceleración del contenedor cuando la extensión de los cilindros hidráulicos es q

11

= 4,5

m.

Los datos inerciales de las barras son:

m2

~O

m3

kg

le,~ O kg · m

2

~O

m 4 = 15 ton

kg

f c3 ~O kg · m

2

mp = 48 ton 3

f G4 = 180 · 10 kg · m

2

199

Máqu inas y Mecanismos

B

-

P,

// ...................¡ ..

....

1

TTJt.rrrr,"'777 '.í' !

1

1

' ! i'

/

¡

/'

/ r• •H · - - -

f

;

!

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L.............-

······· ···········-··-··--···/

i

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/ ..........-··-········........\

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L. _____ H~·.

¡'

\ \

••••••HH•••···-···········------------·-······nHHO•H•H••••-n--~.·

i /

···•·•·..............--~···...

'-.-

¡

\

...../

.

"·.......

_________ __

.

...--·

Figura 5.5. Diagrama de acciones exteriores en la carretilla porta-contenedor

5.5.2.1 Cinemática en función de la coordenada generalizada Tomando los resultados del Apartado 3.3.3 del Capítulo 3, se tienen las siguienrerelaciones cinemáticas. La orientación de la barra 4 queda

rp(q) = arccos q 2 - 'i2 - r42 ( - 2r¡r4

J [5.43]

) Las posiciones del centro de masas de la barra 4 y del punto B (que indica el movimiento de la percha y el contenedor) son

200

El problema dinámico directo

r0 ,e.(q)=(x0 ,e, ·cos(B4 (q))-Yo,e, ·sen(B4(q)))·f +

(

+(x0 ,e, ·sen(B4 (q))+ Yo,e, ·cos(t94 (q)))·]

r0 , 8 (q) = (x0 , 8 · cos(B4 (q)) -

Yo,s ·sen (194 (q))) · i +

[5.44]

+ (x 0 , 8 ·sen (194 (q)) + Yo,B · cos(t94 (q))) ·] de donde

~Xo e

roe = 4 4 ro,s =

4

4

2

+Yo 4e.. 2 = 4,54 m

~ xo,s 2 + Yo,s 2

=

[5.45]

10,5 17 m

La velocidad angular de la barra 4 se obtiene derivando las ecuaciones [5.43] respecto al tiempo rp(q,q) =

q

.q

r1 • r4 • sen ( tp ( q))

[5.46]

úJ4=B4(q,q)=-rp(q,q)=-ddip·q=-

q

q

< < ))·q

r1 • r4 • sen rp q

Las velocidades del centro de masas de la barra 4 y del punto B se obtienen de fonna similar VA 3 !2

=

q·U2

ve, = [(-x 0 ,e, · sen(t94 (q))- Yo,e, · cos(t94 (q))) · i + +(x0 ,e, ·cos(t94 (q))- Yo,e,

v

·sen(B4(q)))·]]·B4(q,q)

= [(-x 0 , 8 · sen(B4 (q))- Yo,B · cos(t94 (q))) · i

8

+(x0 4 8

[5.47]

+

·cos(B4(q))-y 0 4 8 ·sen(B4(q)))·]]·B4(q,q)

siendo 2

2

Ve, = ro, e, · úJ4 2

2

Vs = ro,JJ · úJ4

2

2

[5.48]

201

Máquinas y Mecanismos

La aceleración del punto B queda

a 4 = d:4

= : /-

=

~; . q)=

~ (- ~;} ~~ . q- ~; .q = - ~:~ q2 - ~; .q 2

2

d rp 1 2 ·q 2 dq = 2 · r1 • r4 · sen (

q.

(5.49]

(

2·q cos(rp(q)) ) 2 · r1 • r4 · sen (

5. 5.2.2 Inercia Generalizada

La Inercia Generalizada de este sistema se obtiene igualando las energías cinéticas del sistema equivalente y del sistema real , como sigue (5.50] Sustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las variables generalizadas y sacando factor común, se tiene

1 • ·2 1 [ 2 2] 2 2·! (q)·q =1· m4·ro,e, +le, +mp· ro,e, ·W4

(5.51 ]

Y despejando

J'(q)=[m4·roe2 +fe +mp ·roe2 J. [

' '

'

' '

q

'i . r4 . sen ( q)

)2

(5.52]

Teniendo en cuenta que la expresión contenida en el último paréntesis es la derivada de rp respecto de q, la variación de la Inercia Generalizada respecto de la coordenada general izada es

dJ'(q) dq

2+le

[

- -- = m4 ·roe 4

4

2 2]· 2drp d rp ·-·-2

+m p · roe 4

4

4

dq

dq

(5.53 ]

11 /

202

El problema dinámico directo

_- -.2.3 Fuerza Generalizada

le

:...a Fuerza (o Par) Generalizada de este sistema se obtiene igualando la potencia virtual las f~erz:s ex:eriores_de~ siste:a ~quivalente y del sistema real , como sigue

Q · q = Fcil · VA 3 !2 + P4

·Ve,

+ Pp · VB

[5.54]

~ustituyendo

~. ariables

las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las generalizadas, realizando el producto escalar y sacando factor común, se tiene

Q. q = (-0,419. (q -

q1 )

+ 2,27) . 106 . q+

+(-m4 ·g) ·(x o,c, · cos(B4 )-yo,c, ·sen(B4 ))· drp dq ·q· +

+ (-mp · g) · (x 0 , 8 · cos(B4 ) - Yo,B · sen(B4 )) • ~:

•

[5.55]

q

Y despejando Q(q) = (-0,419. (q-q 1 )+ 2,27). ¡ 06 +

+(-m4 ·g)·(x0 c ·cos(B4 )-Yoc ·sen(B4 ))·[ q • • ' ' r¡ ·r4 ·sen(q)

+ (-mp · g) · (x 0 , 8 · cos(B4 ) - Yo,B · sen(B4 )) • [

)+

[5.56]

q ( )) r¡ · r4 ·sen q

5.5.2.4 Aceleración en el arranque

La aceleración del sistema puede obtenerse a partir de la ecuación de Eksergian

º( )

• ( ) .. 1 d ¡* ( q) . 2 q = J q ·q+ - · ·q 2 dq

--->

.. q=

Q(q)-J__dl(q)·q2 2 dq ¡*(q)

Sustituyendo en Ja expresión anterior para las condiciones iniciales ( q

[5.57] 1

,q 1 ), queda

mm/ s

2

[5.58]

203

Maquinas y Mecanismos

Y la aceleración del contenedor (punto B) es

1 ro,B(q )=-10,5·f +0,605·] m

m4 =Orad 1s

ªª

= CX4 X ro,B -

a4

=

-5 -10- 3 rad / s 2

[5.59]

mi. ro,B = 3,0. T+ 52,5.] mm / s

2

5.5.2.5 Velocidad y aceleración del contenedor para q

11 = 4,5 m

La velocidad del sistema se puede obtener aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas

Wq1 -->q11 =(11Ee )q11 q1 =_!._·f*(q11 )·q·112 -E1e 2

____, [5.60]

. ¡¡

q

+

=-

siendo

[5 .61 ]

En este ejercicio, el trabajo de las fuerzas exteriores puede calcularse de dos form as. Primera: resolviendo la integral

[5.62] donde el sumando de Q(q) correspondiente a la fuerza de los cilindros y los sumando= de las fuerzas peso pueden integrarse fácilmente . Segunda: calculando por separado el trabajo de la fuerza de los cilindros [5.63] y la energía potencial consumida por la elevación de las masas 4 y P, [5.64].

= fq~ll (-0,419·(q-q 1 )+2,27)· 106 · dq=1426,86 kJ

1

11

WM' = -11EP = -m4 · g ·(Ye (q ) - Ye (q )) = 4

'

=-15.000. 9,81 · (1,734-0,602) =-166,55 kJ

204

[5.6 3 ~

[5.64]

)

El problema dinámico directo

WMp

¡

=-MP =-mp · g · (Y a(q ") -ya(q ' ))=

= -48.000 · 9,81 · (3,273 - 0,605) = -1.256,15 kJ

(-eniendo en cuenta estos resultados y sustituyendo en la ecuación [5.60], la velocidad ~ei sistema resulta .¡¡

q

=+ 2·(4.160+0) =010 m i s 825.430 '

[5.65]

.·la velocidad del punto B (contenedor) es

ro,B (q 11 ) = -9,995. T+ 3,273.] m

m4 =-37,9·10- 3 rad l s VB = ÚJ4

X

[5.66]

ro,B = 123,9. T+ 378,4.] mm / s

El cálculo de la aceleración se realiza como en el apartado anterior, sustituyendo en la expresión [5.57] los datos correspondientes:

<:/'2

QCq")-L d l(q) q.. JI

2

dq

11

q=q = -------'----'---=

¡* (q")

[5.67]

-18736-_.!_. (-45970). 0,12 2 = -22 4 mm /s 2 825430 ' donde

d ¡ • (q) dq

3 kg = 5.798,4. 1o . 2. 0,3773 . (- 0,010506) = - 45.970 -

m

[5.68]

Y la aceleración del punto B es 3 = - 37,9 . 10- 3 rad / s a4 = 8,6 · l 0- rad / s2 aB = CX4 X ro,B - (()¡ .ro,B = (- 13,7 . T- 90,3.]) mm / s 2 (()4

[5.69]

205

Máquinas y Mecanismos

5.5.3. Plataforma elevadora La plataforma elevadora de la Figura 5. 6 se eleva mediante un cilindro hidráulico que proporciona una fuerza constante, horizontal y hacia la derecha

F8

= 490 ·

TN. Dicho

1

mecanismo arranca en la posición dada por q = 130º y se eleva hasta la nueva posición dada por q 11 = 110°. Se pide determinar lo siguiente: 1.

Aceleración de la plataforma móvil (barra 4) en el instante de arranque.

2.

Velocidad de la plataforma móvil cuando el mecanismo pasa por q 11 = 110°.

3.

Aceleración de la plataforma móvil cuando el mecanismo pasa por q 11 = 110º.

Los datos geométricos, másicos e inerciales del mecanismo son:

AE =BE= EC

= ED = L = 1,0

m

d = 1,0 m m 2 =m 3= 6,0 kg fc 2 =lc3 =2,0 kg·m

2

m 4 = 50 kg

G d

X

1

(b)

Figura 5.6. Diagrama de acciones exteriores en la plataforma elevadora

206

)

El problema dinámico directo

La idea es reducir el mecanismo real a un mecanismo equivalente, como el mostrado en la Figura 5.7, en cuanto a energía cinética y potencia aplicada por las acciones exte(ores. Obsérvese como q se ha tomado como coordenada generalizada.

G d

P,

X

X

Figura 5.7. Mecanismo real y mecanismo equivalente

5. 5. 3.1 Cinemática en función de la coordenada generalizada Las velocidades del sistema real en función de la coordenada y velocidad generalizadas son: úJ2

=q

úJ3 = -ú)2 =

-q

vc 2

= vc = vE = -q · L · sen (q) · i + q · L · cos ( q) · J

V c.

=

3

[5.70]

VD = 2 . q. L . cos ( q) . J

v8 = - 2 · L·sen(q)·q·f 5. 5.3.2 Inercia Generalizada Se tomará como coordenada generalizada q el ángulo que fonna la barra 2 con la horizontal. La Inercia Generalizada, ¡ * , se obtendrá estableciendo la igualdad entre la energía cinética del sistema real y el generalizado.

207

Máquinas y Mecanismos

21 .J• . q·2 = 21 .mz . V C22 + 21 .JC2 . úJ22 + [5 .71]

1 2 1 2 1 2 1 2 +-·m 3 · vC 3 +-·!C 3 · m3 +-·m4 ·ve 4 +- · ! C 4 ·m4 2 2 2 2

Sustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las variables generalizadas y sacando factor común, se podrá obtener la Inercia General izada [5.72]

donde se ha considerado que las masas de las barras 2 y 3 son iguales.

5.5.3.3 Fuerza Generalizada La Fuerza (o Par) Generalizada de este sistema se obtiene igualando la potencia virtual de las fuerzas exteriores del sistema equivalente y del sistema real , corno sigue [5 .73]

Sustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las variables generalizadas, realizando el producto escalar y sacando factor común, se tiene

Q(q)=-2 · L·sen(q)·F8 - (m 2 +m 3 +2·m 4 )·L· g· cos(q) N ·m

[5 .74]

Se observa que tanto la Inercia corno la Fuerza Generalizada son variables. Ahora, el problema original se puede reducir al de la Figura 5.8.

Posición inicial

Posición final

X

1

1

Figura 5.8. Diagrama de acciones exteriores en la plataforma elevadora

208

)

El problema dinámico directo

_- -.3.4 Aceleración en el arranque q 1 =130º /:/ aceleración del sistema puede obtenerse a partir de la ecuación de Eksergian, que en ( _: arranque queda

t(q)·q=Q

[5.75]

.=ustituyendo la Inercia Generalizada, la Fuerza Generalizada y particularizando para .; ' = 130° se tiene

··

11

q

=

11

Q

q =-O 48 rad / s 2 ¡* qll '

[5.76]

:lealizando un análisis cinemático, se tendrá que la aceleración de la plataforma móvil =n el arranque, vendrá dada por

aG4 =a 0 =2·L·(cos(q)·q-sen(q)·i/)·]

[5.77]

Por lo que en la posición de arranque será

aG4 =a0 =0,62 · ] m l s 2

[5.78]

: .5. 3.5 Velocidad del mecanismo para q 11 = 11 Oº Para obtener la velocidad cuando el mecanismo pasa por la posición q 11

=

11 Oº se

1

ap licará el Teorema de las Fuerzas Vivas entre la posición inicial q = 130º (arranque) ~

la posición final deseada.

W¡

q ->q

11

=

(!1Ec) <' q

->

J.... J'(q 11 ) • (i/1 )2 -O= fq," Q(q) · dq 2 q

[5 .79]

De este modo, se tendrá que

¡ •( ) (· )2 -¡-sen(q)·L · g·(m 2 +m 3 +2·m 4 )+] q" - ! q 11 . q 11 -02 +2·L·cos(q)·F8 q'

[5.80]

Sustituyendo valores, se obtiene

16,70 . (
1

)2

= 103,96 J

[5 .81]

Se aprecia que el trabajo es positivo, por lo que el mecanismo puede moverse hasta la posición indicada.

209

Máquinas y Mecanismos

La velocidad generalizada cuando el mecanismo pasa por q 11

r/

1

=

= 11 Oº

será [5.82]

-2,50 rad / s

Por lo que la velocidad de la plataforma vendrá dada por

VG4

=VD = 2 . L . cos (q) . i¡ . ]

[5.83 ]

Sustituyendo valores, se obtiene [5.84] 5. 5.3. 6 Aceleración de la plataforma para q 11

= 11Oº

Para obtener la aceleración de la manivela 2 cuando el mecanismo pasa por q 11

=

11 O".

se volverá a considerar la ecuación de Eksergian

.. 1 dt (q) . 2 -- Q( q) J • ( q) ·q+-·--·q 2 dq

[5.85]

En este caso habrá que derivar la Inercia Generalizada respecto a la coordenada generalizada

di* (q) 2 - - = - 8 · L ·m 4 ·sen(q) · cos(q) dq

[5.86]

Operando y despejando la aceleración generalizada

q11

= -28,30 rad / s

2

[5 .8 =

Y la aceleración de la plataforma es

a- 0 , =a- D

= 7,66 ·J-: m / s 2

[5 .88]

) 210

El problema dinámico direc10

-. 5.4. Limadora

(

- e desea analizar el movimiento de la limadora de la Figura 5.9. Se toma como coordenada generalizada el giro del motor que acciona la manivela ( q = 82 ). Se conoce que el movimiento se inicia con velocidad inicial Wi =

i/ = 1,25 · 7r

rad I s para la posi-

.' /] = q // = o rad .

-ion o 2

El

T;

par

que

= 134,3·k

suministra

el

motor

puede

considerarse

constante

de

valor

N · m.

Las fuerzas de corte en la herramienta (punto C) en función las posiciones de la barra de entrada son:

{(1.000 · i -100 · ]) N Fe = ON

si si

7,5°:::;; q < 172,5° Oº::s;q < 7,5º y 172,5º::s;q<360º fl/l/lI!11IÍr

e, ..

4

D

e

-

P,

B

'/

1

1 Figura 5.9. Diagrama de acciones exteriores en la limadora

211

Máquinas y Mecanismos

Se pide, para las siguientes posiciones de la manivela: q 1 =Orad , q 11 = 2 · n / 3 rad . q 111 = 4 · n / 3 rad y q 1v = 2 · n rad , determinar la velocidad y aceleración de la

misma. 5. 5. 4.1 Cinemática en función de la coordenada generalizada

Tomando los resultados del ejemplo del Apartado 3.3.6 del Capítulo 3, se tienen las siguientes relaciones cinemáticas. La orientación de la barra 3 queda

r + r sen ( q) ) e3(q)= arctg[-'----"---"-2•

1

[5.89]

r2 · cos(q)

Las posiciones del centro de masas de las barras 3 y 4 son r.

-

-

roc (q) = i · (cos(B3(q)) · i +sen( B3 (q)) · j) ) 2

[5.90]

rOG, (q) = r3. cos(B3(q)). T+ Yoc, . J La velocidad angular de la barra 3 se puede obtener derivando la ecuación [5.89] respecto al tiempo

[5.91 ] Para usos posteriores se definen

dOJ3

= r1 . (r2 + 'i. sen(q))[ cos(B3(q)) )2

dq

d

2

0J3 = [

dq 2

r2 ·cos(q) r 1 • cos(q)

r2 + 'i · sen(q)

_ 2 · sen(B3(q)). dOJ3 + 2 · sen(q)] · dOJ3 cos(B3(q)) dq cos(q) dq

[5.92 ] [5.93 ]

Las velocidades de los centros de masas de las barras 3 y 4 se obtienen de forma similar . ve) =ir.2 · ( - sen ( 83 ( q)) · i- + cos ( 83 ( q)) · j) · 83 ( q)

ilc, = ilc, = -r3 ·sen(B3 (q))·Blq)-f

212

[5.94]

1

/

El problema dinámico directo

.:·endo

(

2

OJ3

2 =

(dOJ3 - ) · q·2 dq

[5.95]

: .5.4.2 Inercia Generalizada _a Inercia Generalizada de este sistema se obtiene igualando las energías cinéticas del -isterna equivalente y del sistema real, corno sigue

1 • ·2 1 2 1 2 1 2 1 2 -2 · I (q) · q = -2 · 1G2 · w2 + - · m3 · vG3 + - · 1G3 · w3 + - · m 4 · vG4 2 2 2

[5.96]

ustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las 'ariables generalizadas y sacando factor común, se tiene

1 ¡* ( q ) ·q. 2 -· 2

=

[5.97]

Y despejando

[5 .98]

5.5.4.3 Fuerza Generalizada La Fuerza (o Par) Generalizada de este sistema se obtiene igualando la potencia virtual de las fuerzas exteriores del sistema equivalente y del sistema real, corno sigue

[5.99] Sustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las variables generalizadas, realizando el producto escalar y sacando factor común, se tiene

213

Máquinas y Mecanismos

.

Q·q=[T2 +(-m3 ·g)·

(r2 3

.cos(B3 (q))· dw dq3 ) + [5.100)

+ F¿·(-r3 ·sen (83 (q)) · d:::] ·q Y despejando [5.1o1 ]

5.5.4.4 Velocidad para q 11 = 2 · 7r / 3 rad La velocidad del sistema se puede obtener aplicando el Teorema de las Fuerzas Vivas

Wq1--+q11

11

=(Me )qq' = _!_·1*(q 11 )·q· 112 -Ee1

____.

2

1

[5.102]

Ec! =21 ·1 • (q ! )·q· ! 2 = J ·507,2· (l,25·JT )2 = 3.911 J

[5 . 103:

+ q =• 11

2 · (Wq 1 --+q11 + Ec )

siendo

2

En este ejercicio, el trabajo de las fuerzas exteriores se calculará considerando pcseparado el trabajo del par motor, el de la fuerza de corte y el de la energía potenci"' consumida por la elevación de la masa 3.

[5 . JO.t:

q 11 q 3 W~' 11 =-MP =-m3·g·(Yc (q ) - Yc (q q --+q 3 3

11

don de

214

Wq, --+q11

= WqT1--+q11 + wqFc1--+q11 + W1113 1 11 q --+q 2

1

))

11

::::;

172,5°

[5. IO:,

> 172,5º [5.1 06]

El problema dinámico directo

_-_5.4. 5 Aceleración para q 11

tª

= 2 · 7í / 3 rad

aceleración del sistema puede obtenerse a partir de la e:uación de Eksergian

Q(q)-_!__ _d l_ _¡/ 2 dq

\ • ( ) .. 1 d( . 2 Q( q ) = / q ·q+-·-·q 2 dq

--->

[5.107]

q = _ _J_'(_q_)~-

-ustituyendo en la expresión anterior para las condiciones deseadas ( q

11

,

i/ ), queda [5.108]

.. ¡¡

q

siendo

r + m · -3

( (2 J + Ie, +m

2

2

3

4

2

J

[5.109]

dw3 d 2 w3

·r ·sen (B (q)) · 2 · - - - 3

3

dq

dq2

5.5.4.6 Soluciones En la Tabla 5.1 se resumen los valores de las expresiones deducidas previamente para el cálculo de la velocidad y aceleración generalizadas en las posiciones indicadas. Tabla 5.1. Tabla resumen de las soluciones en las posiciones solicitadas

q (rad) 1

o 2 rr/3

4 rr/3

2 rr

wq' . . .q" (J) (w T2 + wFc+ wm ---339,2 (281,3-593,8-26, 7) -287,3 (562,6-843,8-6, 1) 0,0 (843,8-843,8-0,0)

3 )

¡' (q)

q

(kg · m 2 )

(rad / s)

507,20

d!'

Q(q)

q

dq

(N·m)

~ad/ s 2 )

3,93

18,56

107,98

-0,07

522,31

3,70

-8,07

-167,35

-0,22

542,58

3,66

243,27

77,71

-2,85

507,20

3,93

18,56

107,98

-0,07

-

215

Máquinas y Mecanismos

5.5.5. Yugo escocés El mecanismo de la Figura 5.1 O está situado en un plano vertical y se acciona mediante un par constante aplicado a la manivela 2 de T2 = 89 N · m (a), estando actuando sobre la barra 2 una fuerza también constante de lo siguiente:

F4 = 500 · i

1.

Aceleración en el instante de arranque q 1

2.

Velocidad cuando el mecanismo pasa por q 11 = 150º.

3.

Aceleración cuando el mecanismo pasa por q 11

N . Se pide determinar

= 60º.

=

150º.

e,

F,

--~~~~~~~~ ~ 4

-

I

P,

(a)

(b)

Figura 5.10. Diagrama de acciones exteriores en el yugo escocés

) 216

El problema dinámico directo

Los datos geométricos, másicos e inerciales del mecanismo son:

;r, = 0,20 m (

~2= 1 kg JG

=0,01 kg·m 2

2

'113 =

o

m4 =

6 kg

La idea es reducir el mecanismo real al siguiente mecanismo equivalente (ver Figura 5.11) en cuanto a energía cinética y potencia aplicada por las acciones exteriores. Obsérvese corno q se ha tornado corno coordenada generalizada.

-

-

F

P,

Figura 5.11. Sistema real y sistema dinámicamente equivalente en el yugo escocés

.:.5.5.1 Cinemática en función de la coordenada generalizada Las velocidades del sistema real en función de la coordenada y velocidad generalizadas -on {J)2

=

q

vG. =v8 =-r2 ·sen(q)-q·f

[5.110]

-.5.5.2 Inercia Generalizada e tornará corno coordenada generalizada q el ángulo que forma la barra 2 con la horizontal. La Inercia Generalizada, f , se obtendrá estableciendo la igualdad entre la energía cinética del sistema real y el generalizado: [5.111]

217

Máquinas y Mecanismos

Sustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las variables generalizadas y sacando factor común, se podrá obtener la Inercia Generalizada [5.11 2]

5.5.5.3 Fuerza Generalizada La Fuerza (o Par) Generalizada, Q, de este sistema se obtiene igualando Ja potenci_ virtual de las fuerzas exteriores del sistema equivalente y del sistema real, como sigue

[5. l l 3J Sustituyendo las expresiones de las velocidades del lado derecho en función de las variables generalizadas, realizando el producto escalar y sacando factor común, se tien;:[5.11.i. Se observa que tanto la Inercia como la Fuerza Generalizada son variables y que Ja: propiedades inerciales y acciones externas aplicadas a la barra correspondiente a ~ coordenada generalizada se transfieren íntegramente a Ja Inercia y Fuerza GeneraliZ:!das.

5. 5. 5. 4 Aceleración en el arranque q 1 = 60º La aceleración del sistema puede obtenerse a partir de Ja ecuación de Eksergian, el arranque queda

l(q)·q=Q

que ~

[5.1 1.:]

Sustituyendo Ja Inercia Generalizada, la Fuerza Generalizada y particularizando pa.;_

q 1 = 60º se tiene

[5.11 6]

5.5.5.5 Velocidad del mecanismo para q 11 = 150° Para obtener la velocidad cuando el mecanismo pasa por Ja posición q 11 = 150° -.. aplicará el Teorema de las Fuerzas Vivas entre la posición inicial q 1 = 60 º (arranqL~ y Ja final deseada

218

El problema dinámico directo

W

q 1 ->q"

(

=(f..E )q11 =_!_.¡•( ")· . 112_ E1 e q' q q e 2

I

q" q'

Q(q)· dq = L 2

1·( q" ). (i/' ) -o

[5.117)

2

"' endrá que

[r2 • q+ r2 · cos(q)· F4 r'q .' = L 2 Uc

2

112 +r22 • sen 2 (q 11 ) · m4 ) .f¿/ ~ J -O

[5 .118)

-rituyendo valores, se obtiene

0.035. (i/' )2 = 0,056 J

[5.119)

-~aprecia que el trabajo es positivo, por lo que el mecanismo puede moverse hasta la - -ic ión indicada.

_ vel ocidad generalizada cuando el mecanismo pasa por q 11 = 150° será

i¡ 11 = 1,27 rad Is

[5.120)

_- -.5.6 Aceleración de la plataforma para q 11 =150º

f>:lra obtener la aceleración de la manivela 2 cuando el mecanismo pasa por q 11 = 150º -"'volverá a considerar la ecuación de Eksergian .. 1 dl .2 = Q( q ) J • ( q ) ·q+-·-·q

2 dq

[5.121)

En este caso habrá que derivar la Inercia Generalizada respecto a la coordenada generaaada

dl*

- = 2 ·r22 ·sen(q)·cos(q)·m 4

dq

[5 .122)

a expresión final para obtener la aceleración generalizada es

T2 - r2 ·sen =

q11

(q" )· F,¡ =

Uc +r22 ·sen 2 (q" )·m4 ) • ¡¡II + r} ·sen(q 11 )·cos(q 11 )·m4 · (4 11 J

[5.123)

2

=

530,98 rad / s 2

[5.124)

219

(

Capítulo 6

Equilibrado de • • maqu1nar1a

6.1. Introducción El equilibrado de máquinas responde a la necesidad de eliminar o controlar las reacciones variables que aparecen normalmente sobre la barra fija o bastidor de la máquina debido a las fuerzas de inercia (en realidad, las opuestas a las acciones inerciales), provocadas por los movimientos de los diversos componentes de la misma.

2

m.ro .r

Figura 6.1. Reacciones sobre la bancada de una masa rotativa

221

Máquinas y Mecanismos

Un ejemplo sencillo pennitirá clarificar el problema que se pretende resolver. Sea una masa rotativa m que gira con una velocidad angular constante úJ alrededor de un punto fijo a un radio r, tal y como se indica en la Figura 6.1. Suponiendo el movimiento er. un plano horizontal, se puede demostrar fácilmente que la reacción sobre la bancada viene dada (en módulo) por F = m · úJ 2 • r. Las proyecciones de esta fuerza sobre los ejes del sistema de referencia cartesiano corresponden a fuerzas annónicas. La componente vertical de la fuerza de reacción (de m: modo análogo para la horizontal) sería

J Y(t)=m·úJ 2 · r·sen(úJ·t)

[6. 1]

Desde el punto de vista del diseño mecánico, la fuerza anterior presenta las siguientes características poco favorables:

•

Es variable con el tiempo, lo cual puede conducir a la rotura por fatiga del si_tema mecánico.

•

Si existe un grado de libertad en la dirección vertical y un cierto comportamiento elástico en la bancada, situación muy habitual, la característica annónica de dicha fuerza inducirá a la aparición de vibraciones y ruidos.

•

La amplitud de dicha fuerza varía con el cuadrado de la velocidad de rotació por lo que el problema se agravará conforme los sistemas mecánicos se muevan más rápido.

En definitiva, este tipo de fuerzas transmitidas a la bancada del sistema mecánico y n relacionadas con la función principal de la máquina, sino con su movimiento, constit ~ ­ yen un problema importante de diseño y mantenimiento. Por el tipo de elemento en el que aparece el desequilibrio, y por dar lugar a procedimientos de equilibrado diferenciados, se distingue entre: •

Equilibrado de rotores.

•

Equilibrado de mecanismos.

Se entiende por rotor aquel cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo, de modo qtt= el ejemplo indicado anteriormente constituiría una forma elemental de rotor, aunqu~ por supuesto los hay mucho más complejos y de gran importancia industrial. En .::. Figura 6.2 se muestran algunos ejemplos de rotores, como los que se dan en los mot()res eléctricos, las ruedas de los vehículos, turbinas de gas, ventiladores, hélices de barco, lavadoras y muchas otras máquinas. En el campo aeronáutico también existen diversos ejemplos como hélices, turbinas y rotores de helicópteros. Además hay considerar las elevadas velocidades a las que se mueven estos sistemas mecánicos, por lo que el problema del desequilibrio es más crítico.

que)

222

Equilibrado de maquinaria

(b) )

Figura 6.2. Sistemas rotativos. Ejemplos de rotores: (a) transmisiones de vehículos; (b) y (d) turbinas de aeromotores; (e) hélices de motores de aviación; (e) rotor de helicóptero

El equilibrado de mecanismos es mucho más amplio que el de rotores, por lo que no se abordará en toda su extensión en este libro. Sin embargo, dado su interés, se va a coniderar el equilibrado del mecanismo de biela-manivela-deslizadera, que forma parte de los motores de combustión interna. Otra posible clasificación es según el procedimiento de equilibrado, donde se distingue entre: 1.

Equilibrado pasivo: se añaden o eliminan masas.

2.

Equilibrado activo: se añaden otros mecanismos.

En el equilibrado pasivo se añaden o se eliminan masas a las barras ya existentes, en cambio en el equilibrado activo la eliminación o disminución de fuerzas desequilibrantes se consigue mediante el añadido de mecanismos diseñados a tal efecto.

223

Máquinas y Mecanismos

6.2. Equilibrado de rotores rígidos 6.2.1. Fuerzas de desequilibrio y reacciones Corno ya se ha indicado previamente, se denomina rotor a un cuerpo rígido restringid a girar alrededor de un eje fijo. Considérese un rotor de forma arbitraria girando alrededor del eje Z 0 de un sistema inercial de referencia ( X 0 Y0 Z 0 ). Cómo en este caso el rotor se considera un sólido rígido, todos sus puntos están determinados en un sistema de referencia (X Y Z ) acoplado al rotor cuyo origen coincidz. con el sistema inercial de referencia, y cuyo eje Z coincida con el Z 0 , tal y corno "" ve en la Figura 6.3. El ángulo entre X y X 0 se denomina r/J, y sus derivadas temporales primera y segunda representarán la velocidad y aceleración angular absolutas de rotor.

Figura 6.3. Rotor. Sistemas de referencia

El problema de equilibrado está asociado a un problema de análisis de fuerzas o problema dinámico inverso. Las fuerzas que intervienen en este tipo de problemas sor: corno ya se ha indicado, las fuerzas de inercia. Para su cálculo es necesario determi na: la cinemática de sus puntos. Sea P un punto cualquiera del rotor. Su aceleración vendrá dada por [6.2] )

224

Equilibrado de maquinaria

r

El vector posición (

0,

0P

se expresa en el sistema de referencia local (X Y Z ), esto es

~ x ·.T: y · ] "+ z .-I~ La velocidad y aceleración angular del cuerpo serán

[6.3]

Por lo tanto, desarrollando la expresión [6.2], se tendrá que

ap =(-~ 2 ·x-~·y)·T +(-~ 2 ·y+~·x)·J+O·k

[6.4]

esto es, separando en sus dos componentes escalares X

•

2

a p = -
..

-


.2

..

-
[6.5]

a~ =0

En la Figura 6.4 se indican dichas componentes de aceleración.

\

\

y

'

'

Figura 6.4. Componentes de la aceleración del punto P

Aplicando el Principio de O' Alembert, se considerarán las siguientes fuerzas de inercia sobre la partícula

dF;n = -dm · Op

[6.6]

225

Máquinas y Mecanismos

esto es •2

..

.2

..

dFi~ =-a; ·dm=r/J ·x·dm+r/J·y·dm

dFi: =-a; ·dm=r/J ·y·dm-r/J·x·dm d Fi~

= -a~

[6.7)

·d m = O

Extendiendo las expresiones [6.7] a todo el rotor y recordando las expresiones corre pondientes a la localización del centro de masas de un cuerpo, se tendrán las siguientes expresiones para las componentes de la fuerza de inercia total

f

0

FinX = d FinX = Xc . r/J 2 . m + y G . r/J.. . m [6.8) Fi~ =0

donde

Xc

e Ye son las coordenadas del centro de masas del sólido en el sistema de

referencia móvil X Y Z . Dichas fuerzas son las fuerzas de desequilibrio que se transmitirán íntegramente a lo: apoyos del rotor. El sistema equivalente de fuerzas en el origen de los sistemas de referencia será una fuerza resultante y un momento. Si se cumple la condición de que el rotor gira a velocidad angular constante (régimer. estacionario, ~=O) y a ésta se la denomina ~ = OJ, el módulo de la resultante de estas fuerzas quedará

J.FJ=m·OJ 2 ·~x~ +y~

2

=m·w ·e

[6.9:

siendo e la excentricidad del centro de masas respecto al eje de giro. El ángulo que forma la resultante con el eje X del sistema de referencia móvil, será

[6.10: Esta fuerza, de valor constante, tiene una dirección fija respecto al sistema de referencia local o móvil, por tanto girará con éste dando lugar a unas componentes armónicas respecto al sistema de referencia fijo

Fxº

=

m ·e· w 2 · cos(r/J + /3) = m ·e· w 2 • cos(w · t + /3)

FYº

=

m ·e· w 2 · sen(r/J + fJ)= m ·e· w 2 • sen(w · t + /3)

226

[6.11 ])

Equilibrado de maquinaria

X~

(

o y Figura 6.5. Fuerza de desequilibrio resultante

Por otro lado, el momento creado por las fuerzas de inercia respecto al origen O de los ejes del sistema de referencia local será

dTin = rop

X

dFin = -z. dF¡:. T+ z. dF¡: . ] + (x. dF¡: - y. dF¡: ). k

[6.12]

esto es, desarrollando en sus componentes escalares X

0

2

..

d T;n =

-r/J · z · y · d m + rjJ · z · x · d m

d T;: =

rjJ

·2

..

·

z · x · d m + rjJ • z · y · d m

[6.13]

d T;~ = -rj;.. · (y 2+ x 2) · d m De nuevo, extendiendo las expresiones [6.13] a todo el rotor y teniendo en cuenta la definición de momentos y productos de inercia, los momentos resultantes en el sistema local de coordenadas serán

f

T¡nX = d TinX =

0

-r/J 2 . I =Y + rjJ.. . I zx

fd T;: = ~ I =x + ~ · I 1'¡~ = fd T;~ = - ~ · I =

T;:

=

2

·

zy

[6.14]

En el origen del sistema de referencia móvil aparecerá exactamente ese momento, que deberán soportarlo los apoyos. Obsérvese que el movimiento de giro en Z no está restringido y, en general, no es nulo.

227

Máquinas y Mecanismos

Si consideramos de nuevo el rotor en movimiento estacionario ( rp =

úJ

y

rp

= O), e.

módulo de dicho momento resultante quedará

[6.15] y el ángulo que formará con el eje X del sistema de referencia local será

r ~ arctg[ _7, J 1

[6.16]

El par de fuerzas resultante girará con el rotor y las componentes sobre el sistema de referencia fijo serán

Txº = T · cos(OJ · t + y)

[6.17:

T Yº =T·sen(OJ·t+r) La Tabla 6.1 resume las reacciones que el rotor girando en régimen estacionario origina en la bancada. Tabla 6.1. Fuerza y momento de desequilibrio de un rotor en régimen estacionario

Ángulo con X

Módulo 2

Fuerza de desequilibrio

m·OJ ·e

arct{

~

~:)

1

Momento de desequilibrio

úJ 2

-~12zy

+12zx

Las reacciones de desequilibrio desaparecerán cuando

r = arctg[ - ¡_j"zy J e=~ x¿

+y¿=O,

es decir.

cuando el centro de masas del rotor esté situado en el eje de rotación. Bajo esta primera condición se dice que el rotor está equilibrado estáticamente. El momento de reacción sólo se anulará cuando 1zy = 1zx = O, es decir, si el eje de rotación es un eje principal de inercia del rotor. Si se cumplen las dos condiciones anteriores se dice que el rotor está equilibrado dinámicamente. Nótese que ambos produc- , tos de inercia sólo son nulos si e= O, es decir, para que pueda existir equilibrado di- / ) námico es necesario que previamente también exista equilibrado estático. Loconceptos anteriores se clarifican en la Figura 6.6.

228

Equilibrado de maquinaria

(

(a)

(b)

Figura 6.6. Rotor con desequilibrio: (a) estático y (b) dinámico

Un rotor equilibrado a una velocidad permanecerá equilibrado a cualquier velocidad. Si no está equilibrado, tanto la fuerza como el par de desequilibrio variarán con el cuadrado de la velocidad de rotación.

6.2.2. Rotor equivalente y equilibrado de rotores Considerando la Tabla 6. 1, dos rotores que están girando en régimen estacionario serán dinámicamente equivalentes a efectos de equilibrado si tienen la misma masa, coincide la situación de sus respectivos centros de masas y los productos de inercia son iguales. Dos rotores equivalentes dan lugar a las mismas fuerzas de desequilibrio y, por tanto, equilibrando uno de ellos quedará equilibrado el otro. Sea el rotor mostrado en la Figura 6. 7, del cual se conocen sus características inerciales ye, f zx. f zy· Dicho rotor se puede sustituir por dos masas mA y ms situadas en sendos planos A y B. Estas dos masas giran con la misma velocidad angular constante que el rotor original. Para que se cumpla la equivalencia dinámica entre los dos sistemas se deberán verificar las siguientes condiciones. m, xc,

w

229

Equilibrado de maquinaria

(b) tor con desequilibrio: (a) estático y (b) dinámico

elocidad permanecerá equilibrado a cualquier velocidad. Si - erza como el par de desequilibrio variarán con el cuadra-

o rotores que están girando en régimen estacionario rán a efectos de equilibrado si tienen la misma masa. oin ide - entras de masas y los productos de inercia on iguale . lugar a las mismas fuerzas de desequilibrio . por tan o. _ edará eq uilibrado el otro. ~1gura

6. 7, del cual se conocen sus característi as iner ial e puede sustituir por dos masas m A y m 8 ituadas en n- masas giran con la misma velocidad angular onsrant m _ e e cumpla la equivalencia dinámica entre lo do -¡ e- - cuientes cond iciones.

Máquinas y Mecanismos

m·xG =m A ·rA ·cos(,BJ + m8 ·r8 ·cos(,88 ) m · y G = m A · rA · sen (,B A)+ m 8 · r8 · sen (,B8 )

[6.1

I zx = mA ·zA ·rA ·cos(,BJ+m 8 ·z 8 ·r8 ·cos(,88 )

1=y

=

m A · z A · rA · sen (,B A) + m8 · z 8 · r8 · sen (,B8 )

El sistema equivalente formado por las dos masas rotativas viene definido por och parámetros: mA, ms, rA, rs, zA, zs, /JA y fJ8. Como existen cuatro ecuaciones de restri ción, significa que se podrán especificar de entrada cuatro parámetros. Una prácti _ común es especificar Ja posición (en el eje Z) de Jos planos donde se encuentran la, masas y las dos distancias de las masas al eje del rotor, puesto que si se desea eq ui brar posteriormente el rotor equivalente deben ser posiciones accesibles para añadir . eliminar masas.

.\

..

Plano A

Plano B

Figura 6.7. Rotor equivalente

El equilibrado se conseguirá de forma sencilla, añadiendo dos masas iguales, a la mLma distancia, en el mismo plano y en sentido opuesto. Estas mismas masas equilibrar:?al rotor original, ver Figura 6.8.

J

230

Equilibrado de maquinaria

X

"'1

(

Plano A

\1

\

Plano B

1

,. ~

r

..

~

~

z~

Figura 6.8. Rotor equivalente (negro) y rotor de equilibrado (rojo)

6.2.3. Valores límite de desequilibrio La cantidad de desequilibrio tolerado dependerá de la naturaleza de la máquina y de su uso. La norma ISO 1940 define el grado de calidad G como

¿m¡ · r¡ G =e.

e=

OJ

{

w=

en mm

vel~idad en

[6.19]

rad/s

Los valores de G recomendados por la norma se resumen en la Tabla 6.2.

231

Máquinas y Mecanismos

Tabla 6.2. Valores límites del grado de calidad G para diferentes rotores (Norma ISO 1940) G (mm/s)

Tipos de rotores

4000

Cigüeñales de motores diésel marinos

1600

Cigüeñales de grandes motores de dos tiempos

630

Cigüeñal de motores de dos tiempos montados en cojinetes rígidos.

250

Cigüeñal de motores grandes de cuatro tiempos, montados en cojinetes rígidos y cigüeñales de motores diésel marinos en cojinetes elásticos.

100

Cigüeñales de motores rápidos diésel de cuatro cilindros, montados en cojinetes rígidos.

40

Llantas y ruedas de automóviles. Cigüeñales en cojinetes rígidos de motores rápido de 6 cilindros. Motores de locomotoras, turismos y camiones.

16

Ejes articulados, transmisiones. Cigüeñales de motores de cuatro tiempos, en cojinetes rígidos, de 6 o más cilindros y cigüeñales de locomotoras, turismos y camiones.

6,3

Ejes articulados especiales, rotores de motores eléctricos, piezas rotatorias de máquinas herramientas, tambores centrífugos, ventiladores, volantes. Piezas sueltas de cigüeñales de motores de locomotoras, turismo y camión. Cigüeñales de motores especiales de 6 o más cilindros.

2,5

Turbogeneradores, rotores de motores pequeños, motores eléctricos especiales, turbinas de vapor y gas, ventiladores, ejes de máquinas herramientas. Piezas sueltas de cigüeñales especiales.

1,0 (precisión)

l

Accionamientos de rectificadoras, rotores de motores pequeños especiales, turbopropulsores, Accionamientos de magnetófonos y vídeos.

0,4 Rotores para rectificadoras de alta precisión, ejes de discos y rodetes. (alta precisión)

6.3. Equilibrado de máquinas alternativas 6.3.1. Desequilibrio en máquinas monocilíndricas El equilibrado de máquinas alternativas se abordará en primer lugar determinando las acciones desequilibrantes asociadas al movimiento que se transmiten al chasis o bast;dor de una máquina monocilíndrica. A continuación se considerará hasta qué punto se pueden equilibrar dichas acciones desequilibrantes, siempre sobre la máquina monoc1líndrica. Finalmente se abordará el posible equilibrado de máquinas policilíndricas. Er la Figura 6.9 se muestra un esquema del motor monocilíndrico, donde se indican las / características geométricas y posición de los centros de masas. Observar la orientació de los ejes del sistema de referencia.

232

Equilibrado de maQ"'.ti.~w

( !

/ , a! I

-·

y Figura 6.9. Motor monocilíndrico

Un aspecto importante del análisis que se realizará a continuación se basa en la sustitución de la biela (movimiento general) por su equivalente dinámico, constituido por dos masas concentradas, una en el extremo de la manivela A y otra en el centro de la deslizadera B, y un momento de inercia en su centro de masas G 3 (ver Figura 6.10).

-a A

mA

Figura 6.10. Equivalente dinámico de la biela

233

Máquinas y Mecanismos

Para que dos cuerpos posean el mismo comportamiento dinámico, y en consecuencia sean intercambiables, se debe de verificar la igualdad de fuerzas y pares de inercia, que conducen a la igualdad de masas, momentos inerciales de primer orden y de momento: inerciales de segundo orden, esto es

~a~ ~~=O 8

: : {

m=8

[6.20,

m A • a 2 + m B • b 2 + 1 AB = I G1

de donde se obtiene [6.21 J A partir de este punto se sustituirá la biela real por esos tres elementos que no madi can en absoluto el comportamiento dinámico del sistema y facilitan su análisis. Con la finalidad de aplicar el Principio de D' Alembert a las barras del mecanismo. la,, aceleraciones lineales de los puntos con concentración de masa se consideran en L.:s componentes tangenciales y normales. Aplicando el Principio de O ' Alembert es po- ble construir el diagrama de sólido libre del conjunto manivela-biela-deslizadera que:;; muestra en la Figura 6.11. La nomenclatura considerada es la siguiente:

m 2 = masa de la manivela m 3 = masa de la biela m 4 = masa del pistón I c 2 = momento de inercia de la barra 2 alrededor de G 2 (c.d.g.) I c 1 =momento de inercia de la barra 3 alrededor de G 3 (c.d.g.)

P4 = fuerza de accionamiento T2 = par resistente en la manivela

f¡{

= reacción de la camisa del motor sobre el pistón \

( f1 ~, f1 ~ ) =reacciones sobre el apoyo 0 2

234

J

1

Equilibrado de maquinaria

(

' ]

mA .r,.- 8,-

mA .r,.- e,-

1,:

Figura 6.11. Diagrama de sólido libre del conjunto máquina monocilíndrica

En la Figura 6.12 se representan a su vez las reacciones sobre el bastidor. La fuerza neta ejercida por dichas reacciones se puede determinar corno

Fx = P4

-

J; ~

FY =-f1i - f1 ~

[6.22]

T, = -/1 ~ • s

23 5

Máquinas y Mecanismos

3

s

m.r,. 8,.1 I'

111.c.8, l -

/,

11

Figura 6.12. Fuerza neta sobre el bloque del motor monocilíndrico

Partiendo del diagrama de cuerpo libre del mecanismo, se establecerán las ecuacion _ de equilibrio global (Figura 6.12)

¡;~ +(m 2 ·c+mA ·r2 )·Bi ·cos(ei) - (m 4 +m 8 )·s·+ ... ... +(m 2 ·c+m A · r 2 )·B2 ·sen(82 )-P4 =Ü

¡;~ +(m 2 ·c+m A ·r2 )·Bi ·sen(e2 ) - . •.

B2 • cos(82 ) + / 1{ =O 2 + m2 • c + 1e, ). B2 + T2 = O

... - (m 2 ·e + m A · r 2 )

J;{ · s- 1AB • B3

-

(m

2 A · r2

[6.23_

·

Observando los términos agrupados entre paréntesis en la ecuación anterior, puede:-definirse una masa alternativa y una masa rotativa del siguiente modo \ j

236

Equilibrado de maquinaria

. masa alternativa= malt

(

a

= m4 + m 8 = m 4 + m 3 · -

r3

=m

masa rotativa

ro1

=m2

e •-

+ m A = m2

r2

[6.24]

e b + m3 · r2 r3

•-

Las fuerzas netas en la ecuación [6.22], despejando de [6.23] y sustituyendo las defini~iones de [6.24], quedarán como sigue

Fx = P4 - f,~

FY = - ¡;~

= m,

- f 1{

01 •

=

r2 · Bi · cos(BJ + m,ot · r2 · B2 · sen(B2 )

-

m,0 1 • r2 · Bi · sen(B2 ) - mro1 • r2 · B2 · cos(B2 ) ..

T=-f,{ ·s=-IA8 ·83

(

-

2

2

)

m 011

•

s [6.25]

..

m A ·r2 +m 2 ·e +Ic 2 ·82 + T2

Obsérvese que al emplear el equivalente dinámico de la biela, las únicas variables cinemáticas que aparecen en las ecuaciones [6.25] son las correspondientes a la manivela {h, al pistón s y a la biela fh En las máquinas alternativas todas las variables cinemáticas pueden expresarse en función de las correspondientes variables cinemáticas (orientación, velocidad y aceleraión angulares) de la manivela. En la Figura 6.13 pueden observarse las diferentes variables cinemáticas del mecanismo biela-manivela-deslizadera.

s

Figura 6.13. Variables cinemáticas en el mecanismo de biela-manivela-deslizadera

237

Máquinas y Mecanismos

A continuación, se desarrollará la relación existente entre las variables cinemáticas s y (}i. Para ello, de los triángulos 0 2AC y ABC de la Figura 6.13 se deduce que

s = r2 • cos(B2 )+ r2 • cos(¡l)= r2 • cos(B,) + r2

·

1 - [ :: · sen(B,

)r

[6.26]

Recordando que el desarrollo en serie del binomio es ( l±B

4

6

1 2 B l ·3·B =1±-·B ---± - ... 2 2·4 2·4·6

2 )_!_ 2

[6.27]

y considerando únicamente los dos primeros términos, se tendrá

[6.28] 2 2

=r2 ·cos(B2 )+r3 _-2._·sen (B 2 )

2·r3

Derivando respecto al tiempo una y dos veces la expresión aproximada anterior se tendrá que

s ~ -r2 · sen(B2 ) • B2 -

2

!i_ · sen(B2 ) • cos(B2 ) · B2

[6.29]

r3

s ~ -r2 ·cos(B 2 )·Bi -r2 ·sen(112 )·B2 2

-

2

r2 ·sen(2·B2 )·B2 _!2___·cos(2·B2 )·Bi 2 . r3 r3

[6.30]

Sustituyendo la expresión [6.30] en [6.25], se tendrán las fuerzas netas en función únicamente de las variables cinemáticas de la manivela (excepto el término con

B3 ).

[6.31 ]

) 238

Equilibrado de maquinaria

6.3.2. Equilibrado en máquinas monocilíndricas ¡. 3.2.1 Equilibrado de fuerzas

\suponiendo que la manivela se mueve a velocidad constante ( 8 2 =O), las fuerza netas indicadas en [6.31] quedarán del siguiente modo

2

+ m ah · !2_ · cos(2 · e2 )·iJ 22

[6.32]

r3

FY

= -J,>;_ - /1 ~ = m,

01

·r2

-iJi ·sen(B2 )

La componente neta en la dirección del eje Y (dirección horizontal de la Figura 6.9) FY quedará eliminada si la masa rotativa se anula. Esto puede conseguirse equilibrando el cigüeñal al que se añade la masa equivalente de la biela en A y llevando el centro de gravedad del conjunto al centro de rotación, añadiendo contrapesos al cigüeñal. En la Figura 6.14 puede verse un ejemplo constructivo para anular FY.

Figura 6.14. Equilibrado de masas rotativas. Contrapeso añadido a la manivela

La componente neta Fx en la dirección del eje X (dirección vertical de la Figura 6.9) quedará eliminada anulando las masas alternativa y rotativa. Esto último podría conseguirse añadiendo un contrapeso en la biela, pero no suele hacerse en la práctica, de modo que la fuerza de inercia vertical no se ve equilibrada pasivamente de forma total.

239

Máquinas y Mecanismos

6.3.2.2 Equilibrado de momentos En este caso se considerará que la velocidad a la que gira la manivela,

82 ,

no es nece-

sariamente constante. La expresión del momento de desequilibrio aplicado sobre e. bloque motor (tercera ecuación de [6.31]) será

Tz

.. = - ¡; ~ . s =- l AB . ()3 -

(

2

2

m A . r2 + m2 . e + l Oi

)

..

.

()2 + T2

[6.33]

En esta expresión T2 es el par de fuerzas existente en el cigüeñal debido a la función de la máquina. Para anular los términos dependientes de las fuerzas de inercia en la expresión anterior debía verificarse simultáneamente que l AB

=1 0 3 -m 3 ·a·(r3 -a)= O [6.3 4]

Sin embargo, estas dos condiciones son mutuamente incompatibles ya que conducen a

b=r3 -a= -

l o3

- - >Ü

m3 · a

b=

r3 -

a= -(m2 . c 2 + l Oi ).

[6.3 5J r3 2 < O m3. r2

donde bes la localización de G 3 en la biela. En las máquinas modernas los términos dependientes de la aceleración angular de lz manivela son prácticamente despreciables y por tanto la condición de equilibrio, a efe tos prácticos, quedaría reducida a la anulación de I AB· Eso podría hacerse añadiendc masas en los extremos de la biela a costa de incrementar su peso.

6.3.3. Equilibrado en máquinas policilíndricas Suponiendo la velocidad angular de la manivela constante (w en lo que sigue), la masa rotativa nula y despreciando en los desarrollos los términos de segundo orden, la fuerZ2 neta vertical quedaría 2

Fx = m011 • r2 • cos(w · t) · m 2 + m011 ·!:l._ · cos(2 · m · t)· m2

=

r3

~m

0 ,,

240

[6. 36] •

r 2 ·cos{w·1)· a/+ [ m0 ,,

•

\ 4

} r2 ·cos{2 · w· t)· {2 · w)'

)

Equilibrado de maquinaria

Esta segunda expresión nos dice que el desequilibrio vertical es equivalente al producido por dos masas, m01, y m011 • (r2 / 4 · r3) , ambas girando con un radio de giro r1 a una

~ elocidad angular m la primera y el doble 2·m la segunda.

\, 'ótese que se trata de una aproximación, dado que en el desarrollo en serie del apartado anterior se han despreciado términos. Dichas fuerzas de desequilibrio se denominan Pri marias Fp y Secundarias F5 , respectivamente.

Fp

=

m011 • r2 • cos(m · t) · m

Fs = [ ma11

•

;~J

2

·

[6.37]

r2 • cos(2 · úJ · t) · (2 · úJ )2

En la Figura 6. 15 se representa estas componentes primarias y secundarias de las fuerzas de desequilibrio.

X

X

m"''

Figura 6.15. Componentes primarias y secundarias de las fuerzas de desequilibrio

A continuación, se verá que la disposición de varios cilindros en línea con un adecuado desfase permite reducir e incluso eliminar el desequilibrio mediante un procedimiento pasivo. En motores de combustión, el desfase angular entre los cilindros de encendido consecutivo, siendo éste regular, viene dado por la expresión =

/:!i. () cigüeñal

/:!i. ()ciclo termico

Nº de cilindros

[6.38]

241

Máquinas y Mecanismos

Figura 6.16. Disposición de los codos de un cigüeñal

A modo de ejemplo, se considerará en primer lugar el caso del motor de 4 tiempos cilindros, donde el desfase entre los codos o muñequillas será él

e

cigüeiJal

720 °

=- - = 180 o

~

[6.3

4

Figura 6.17. Dispositivo Lanchester

Como se aprecia en la Tabla 6.3, las componentes secundarias están desequilibradas los motores de cuatro tiempos, que tenderían a provocar una vibración hacia arri _ hacia abajo del motor. Un dispositivo habitual en los vehículos de alta gama para e

242

-

Equilibrado de maquinaria

ibrar las fuerzas secundarias de un motor de cuatro tiempos es el dispositivo Lanches·er mostrado en la Figura 6.1 7. (

Tabla 6.3. Equilibrado de rotor primario y secundario en motor de 4 tiempos y 4 cilindros

Rotores

Disposición del cigüeñal

Diagrama de masas

3 o

-e :e

·5

O"

~ ~

/ ,2,3,../

Disposición del cigüeñal

Rotores

IJ.J

2.4

~---'-)

~

.,

(~\ /-3 .L

2-4 "

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o

'O

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1A

a"'

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Diagrama de masas

......N ....:::s

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'O

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·5

O"

IJ.J

2,3

l? "'"'

2-3

',~::

1,2,3,../ • 1-4

w e;

r • r r r•

o

'O

e :e

·5

O"

1A

a"'

Este dispositivo está formado por dos engranajes acoplados con masas excéntricas. Los engranajes de equilibrado son movidos al doble de la velocidad del cigüeñal , para que

243

Máquinas y Mecanismos

las fuerzas inducidas sean de la misma frecuencia que las fuerzas secundarias. En la Figura 6.18 se muestra un esquema, donde un engranaje helicoidal unido al cigüeñal es empleado para mover los ejes contra-rotativos.

Figura 6.18. Disposición de los codos de un cigüeñal

Se considerará ahora el caso del motor de 4 tiempos y 5 cilindros. En este caso el desfase entre las muñequillas será

720 ° /). 8cigüeilal = - - = 144 o

[6A

5

Si en este caso se deseara obtener la expresión para calcular las fuerzas de desequilib primarias y secundarias se tendría que, de la expresión [6.37],

Fp = m 011 ·r2 ·cv

2

1

·

cos(82 +Oº)+ cos(82 + 144º)+ +cos(82 +288º)+cos(82 + 72º)+

r

+cos(82 +216º) cos(2 · 8 2 +Oº)+

[6 ..:

+ cos(2 · 8 2 + 288º)+ + cos(2 · 8 2 + 216º)+ +cos(2·82 + 144º)+ + cos(2. 82 + 72º) Las expresiones anteriores se anulan para cualquier valor del ángulo

fh.

En la Tabla 6.4 se muestran los diagramas de los rotores primarios y secundarios.

244

Equilibrado de maqui

Tabla 6.4. Equilibrado de rotor primario y secundario en motor de 4 tiempos y - cilindro

!

Disposición del cigüeñal

Rotores

Fuerzas

\

~

5

A. Ejemplos de equilibrado de máquinas 4.1. Equilibrado de rotores: árbol de levas =:1 árbol de levas de la Figura 6.19 está accionado por un motor que gira a .:>.., = 1.500 rpm a través de una transmisión por poleas con una relación de transmi: ón de i P = 3 . Todas las levas son circulares de radio RL = 30 mm y tienen una ex:entricidad re = 2 mm. La orientación de los centros de masas de las levas con el eje --- es ()c 1 = 270º, ()c 2 = 30º y ()c 3 = 150º, respectivamente.

:e pide:

-

-

1.

Determinar la fuerza y el par de desequilibrio ( Fdes y Tdes ) que las levas generan en el origen del sistema de referencia OXYZ. Indicar si el desequilibrio de l rotor es estático y/o dinámico, justificando la respuesta.

2.

Se pretende equilibrar el árbol mecanizando dos agujeros pasantes idénticos de 16 mm de diámetro en las levas A y C (masas eliminadas m agu¡ero = 0,040 kg ).

24 -

Máquinas y Mecanismos

Calcular la posición ( rA,

/JA, re' /Je ) de los centros de los agujeros y

representarlos. A

e

B

z

40.0

40.0

40,0

~o . o

X

Motor+ Polea

Figura 6.19. Árbol de levas. Disposición de los c.d.m. de las levas

Los datos inerciales de las levas son

6. 4.1.1 Fuerza y par de desequilibrio En primer lugar se determinará la posición de los centros de masas de las levas respe to al sistema de referencia OXYZ. En la Tabla 6.5 se muestra su ubicación. )

246

Equilibrado de maquil1llria

Tabla 6.5. Localización de los c.d.m. de las levas en el sistema OXYZ

(

1

Leva

re

Be

Xe

Ye

=e

1

2 mm

270º

O mm

-2,0 mm

40,0 mm

2

2 mm

30º

1,732 mm

1,0 mm

80,0 mm

3

2 mm

150°

-1 ,732 mm

1,0 mm

120,0 mm

La fuerza de desequilibrio se puede calcular corno 3

Fdes =

3

I- m; ·ªe;= I- m, · (- W

2 ·

(xe; · T+Ye ; ·

J)

[6.42]

Sustituyendo los valores resulta

F

des

2·7í)2

=+045 ·( 1.500 . ' 3 60

· (-2·]+1,732. T+ l,o. ]-1,732 . T+ l,o. ]) .10 - 3 Fdes

=O

[6.43]

N

Según este resultado, el rotor estaría estáticamente equilibrado. El par de desequilibrio se puede calcular corno 3

Tdes =

I

re;

X

[6.44]

(-m¡ . ª e; )

i=I

Sustituyendo los valores resulta Tdes

= 1.233,7. [o,888. T- 0,888. T+ 1,539.] - 1,332. T- 2,308.]]

Tdes

= -0,148 · T-0,085 · ]

[6.45] N

·m

Por lo que el rotor está dinámicamente desequilibrado.

6.4.1.2 Agujeros de equilibrado Para calcular la posición de los agujeros de equilibrado, se cambiará el origen del sistema de referencia del plano O (rodamiento O) al plano A. De esta forma la nueva posición de los centros de masas de las levas y de los agujeros en A y C, así como la masa a considerar, se muestra en la Tabla 6.6.

_.fl

Máquinas y Mecanismos

Tabla 6.6. Localización de los c.d.m. de las levas en el sistema AXYZ Leva

m;

re

Be

XAC

YAC

1

0,45 kg

2 mm

270º

O mm

-2,0 mm

40,0 mm

2

0,45 kg

2 mm

30°

1,732 mm

1,0 mm

80,0 mm

3

0,45 kg

2 mm

150°

-1,732 mm

1,0 mm

120 ,0

A

-0,04 kg

0,0 mm

e

-0,04 kg

80,0

2

AG

mn-

mn-

La combinación del rotor original (árbol de levas) y el rotor equivalente (agujeros en _y C) conduce a un sistema de ecuaciones dinámica que debería anularse si ambos roe res se equilibran. De esta forma

Im; · x Ac; + [mA · rA · cos(.BA)+ me · re · cos(/Je )] =O ¿m; ·YAC; +[m A ·rA ·sen(fJA)+me · re ·sen(/Je )]=O [6.->

Sustituyendo los valores de la Tabla 6.6, resulta el siguiente sistema de 4 ecuac io con 4 incógnitas O+ [- 0,04 · rA · cos(fJA)- 0,04 ·re · cos(,Be )]=O

0+[-0,04·rA ·sen(,BJ-0,04·re · sen(,Be )]=O _

. _6 +¡-0,04·0·rA ·cos(,BJ]=O 31177 10 3 ' - 0,04·80 · 10 - ·re · cos(,Be ) 6

[6..:-

3

54·10- +[-0,04·0·rA ·sen(,BJ-0,04·80·10 - ·re ·sen(,Be )]=O Despejando las funciones de

/Je

y dividiendo la última por la penúltima de las e

ciones [6.47] , observar que los términos en

248

/JA son nulos, se tiene

Equilibrado de maquinaria

54 .10 - 6

tan(,8 ) = - - - -

(

e

-31177·10 - 6 '

[6.48]

/Je = 120°

Y elevando al cuadrado las dos últimas ecuaciones del sistema [6.47], se obtiene

~(31,177. 1o-6 ) 2 + (-54 . 10-6 ) 2

r - - ' - - - - - - - -3 - - - -

o04. 80 . 10-

e -

[6.49]

'

re =19,5 mm

Actuando del mismo modo con las dos primeras ecuaciones del sistema [6.47] se ob•iene

[6.50]

tan(/3 A) = -60°

[6.51]

r A =19,5 mm

En la Figura 6.20 pueden verse la posición de los agujeros en las levas A y C. Las líneas discontinuas son concéntricas al eje Z.

y

X

Leva A

LevaC

Figura 6.20. Localización de los agujeros de equilibrado en las levas A y C

2-t9

/

Capítu o 7

Regulación de máquinas cíclicas

-.l. Introducción ..;na máquina cíclica es aquella que por su topología (número y tipo de barras y pares y tipo de cadena cinemática) está obligada a repetir configuraciones (posi-iones) al cabo de un cierto período de tiempo. En definitiva, el carácter cíclico de una máquina depende única y exclusivamente de las posiciones que puede ocupar en su espacio de trabajo, no tiene nada que ver con velocidades o aceleraciones. Un ejemplo de máquina cíclica y otro de máquina no cíclica pueden verse en la Figura 7. 1. ~jn emáticos

El motor de combustión interna, que responde como es bien sabido a un mecanismo de bi ela-manivela-deslizadera, es un ejemplo clásico de máquina cíclica. Sea cual sea el régimen de funcionamiento, llegará un momento en que se repita la configuración iniial (o cualquier otra). Por el contrario, el robot industrial puede repetir una serie de onfiguraciones, pero siempre que haya sido programado por el usuario al efecto. u estructura cinemática no le condiciona a repetir una serie de configuraciones pree tablecidas. Evidentemente el carácter cíclico o no cíclico de una máquina está relacionado con su estructura en cadena cinemática, abierta o cerrada, y sus grados de libertad.

Máquinas y Mecanismos

Máquina no cíclica

Máquina cíclica

Figura 7.1. Máquina cíclica y máquina no cíclica

A Figura 7.2. Motor monocilíndrico

El ciclo de trabajo de una máquina no necesariamente viene asociado a la repetición ~ configuraciones, sino con la función principal de la máquina. En toda máquina pueée distinguirse una parte motriz y otra resistente, asociadas respectivamente al elemen

252

Regulación de máquinas cíclicas

.l-cionador y al elemento útil de la máquina. El elemento accionador introduce la maor parte de la energía aportada a la máquina y el elemento útil absorbe la mayor pane ·e la energía aportada a la máquina. Por ejemplo, supóngase el sistema formado por un notor de explosión monocilíndrico (Figura 7.2), conectado a través de una transmi ión a rueda de una motocicleta. ::>espreciando otras acciones presentes, la fuerza motriz sería la fuerza originada por la -resión de los gases en la cabeza del pistón, Fe , y la resistente, el par trasmitido por la _eda al cigüeñal, T2 . Los sentidos indicados en la figura son únicamente orientati\'o-. . los signos de las magnitudes mencionadas pueden cambiar según el punto del ciclo e trabajo en el que se encuentre la máquina.

-3.1 y como se vio en un tema precedente, siempre que se trate de un mecanismo con un ;:acto de libertad, esas fuerzas se pueden asociar a una coordenada generalizada. Al ser ' máquina rotativa, en este tema se hablará indistintamente de Fuerza Generalizada o ·e Par Generalizado. En el caso considerado, esa coordenada generalizada podría ser q, --:;;ulo que forma el codo del cigüeñal con el eje del cilindro. La potencia asociada a - fue rzas exteriores viene dada por

[7.1] ni endo las velocidades de la derecha en función de

q , se podría despejar la Fuerza

eneralizada Q. Empleando la simplificación indicada en la ecuación [6.29) del tema ;-ecedente, se tendría en este caso que

Q(q)= T2 {

2

sen(g)+ ;: · sen(q)· cos(q)} Fe

[7.2]

-3.l y como se aprecia en la expresión [7.2), se puede distinguir una Fuerza General izaasociada a las acciones motrices y una asociada a las acciones resistentes

~

Q.

+'

Q, =T2

sen(q)+ ;: ·sen(q) cos(q)}

Fe

N ·m

(7.3)

N ·m

¡:-5tabilizada la motocicleta a una cierta velocidad de funcionamiento. las lJI".as e _erza generalizada motriz y resistente a lo largo de un ciclo, así como Ja urna e a:_ -~.p ueden tener el aspecto de la Figura 7.3.

Máquinas y Mecanismos

Q(N.m)

I ciclo

Q, q admisión

compresión

explosión

escape

Figura 7.3. Fuerzas generalizadas motriz y resistente en un motor monocilíndrico

En ella se aprecian la fuerza generalizada motriz, sólo positiva durante la fase de ev plosión y la resistente, negativa y en función de las condiciones de marcha, supuest?. constante. Sumando las fuerzas generalizadas motriz y resistente se tendrá la siguien·e gráfica (Figura 7.4).

Q(N.m)

I ciclo

q

Figura 7.4. Fuerza generalizada en un motor monocilíndrico

Es evidente que el trabajo en un ciclo se podrá obtener fácilmente a partir de la fuen:: general izada w c1clo

254

=

f

Q. ciclo

dq =

f

(Qm ciclo

+ Q,). dq

Regulación de máquinas cíclicas

Por el teorema de las Fuerzas Vivas, la variación de la energía cinética del sistema entre dos posiciones será igual al trabajo de las acciones externas entre esas dos posi 1 ciones, o más sencillo, el trabajo real izado por la Fuerza General izada entre esas dos ( posiciones. Considérese ahora el trabajo en todo un ciclo de trabajo de la máquina, tal y como se indica en [7.4). Si el trabajo en ese ciclo es nulo, también lo será la variación de la energía cinética acumulada en la máquina durante un ciclo de trabajo. En ese caso, se dice que la máquina cíclica está en régimen permanente. Por el contrario, si el trabajo en un ciclo no es nulo, la energía cinética variará (se incrementará o por el contrario disminuirá), en ese caso la máquina cíclica está en régimen transitorio. En el caso de la máquina considerada, para que operara en régimen permanente se debería cumplir que el área correspondiente al trabajo aportado al sistema sea igual a la correspondiente al extraído, tal como se muestra en la Figura 7.5. En ese caso la velocidad con la que se inicia el ciclo sería exactamente igual a la que tendría la máquina al final del mismo.

Q(N. rn)

J ciclo

(-)

q

W=t.Ec

J ciclo

q

Figura 7.5. Máquina cíclica en régimen permanente

255

Máquinas y Mecanismos

Trabajar en régimen permanente no significa que la velocidad asociada a la coordenada principal o generalizada sea constante en todas las posiciones o a lo largo del tiempo. De la curva correspondiente a la Fuerza Generalizada total puede deducirse que: cuando sea positiva el mecanismo tenderá a acelerarse; y cuando sea negativa tenderá a frenarse. Por tanto existirá una oscilación de la velocidad a lo largo del ciclo. En la Figura 7. 6 se muestra la evolución de la velocidad general izada, q , durante cinco ciclos del motor monocilíndrico. Como se aprecia, la velocidad del cigüeñal no e: constante, pero sí es periódica ciclo a ciclo. - - W=O

Vi

....... "t:I

E

...

..,"'e

:;

"' "'

"t:I "t:I

·¡¡

o

Qi

>

,_

+-

+-

..

..

.

___L

..._

-1-~~~~~4-~~~~~-t--~~~~-t--t--+---+--+--+-

+-

+-

'+-

;

,.~

+

1

+-

t

+-

t

.L

t (seg)

Figura 7.6. Máquina cíclica en régimen permanente. Evolución de la velocidad generalizada ,

Esta oscilación de la velocidad está asociada al llamado grado de irregularidad de máquina, que deberá estar comprendido entre unos valores límite dependiendo de aplicación. La forma de controlar el grado de irregularidad es mediante los volantes _

inercia. Cuando el trabajo de la Fuerza Generalizada total a lo largo de un ciclo no es nulo _ máquina está en régimen transitorio. En este caso la velocidad media en los cic sucesivos va en aumento o descenso dependiendo de las condiciones de funcionamie-to de la máquina. En la Figura 7. 7 se muestra la evolución de la velocidad de la rr;quina cíclica considerada en el caso de régimen transitorio, es decir cuando la vari ac:, de energía cinética en un ciclo no es nula. En el primer caso (línea continua) el balan:::: energético es positivo, por lo que en cada ciclo la velocidad media va aumentando. E el segundo (línea discontinua) la energía cinética de Ja máquina va disminuyendo y lo tanto la máquina se va frenando. El problema más importante asociado al rég im~ permanente es el de la estabilidad de la máquina.

256

Regulación de máquinas cíclicas

(

t (sec)

Figura 7.7. Máquina cíclica en régimen transitorio. Evolución de la velocidad generalizada

i¡

7.2. Régimen permanente 7.2.1. Grado de irregularidad

Se define como grado de irregularidad de la máquina ,5

= iJmax

.- qmin q,,,

[7.5]

donde qmax y qmon son las respectivamente las velocidades máximas y mínimas en un ciclo, y qm es la velocidad promedio en el ciclo, definida como .

q,,,

qmax 2

. qmin

[7.6]

El grado de irregularidad máximo permitido depende del tipo de máquina y aplicación. Limitar el grado de irregularidad implica reducir la diferencia entre el máximo y mínimo de la velocidad del sistema y, por consiguiente, también se limita la aceleración . Esto repercute en unas fuerzas de inercia reducidas y, en consecuencia, menores problemas de desequilibrio. En la Tabla 7.1 se pueden observar algunos valores recomendados para el grado de irregularidad.

257

Máquinas y Mecanismos

Tabla 7.1. Grados de irregularidad máximos recomendados

APLICACIÓN

GRADO DE lRREGULARIDAD

Prensas

0,2

Hormigoneras

0,08

Bombas

0,03 - 0,05

Máquinas herramienta

0,025 - 0,029

Generadores OC

0,02 - 0,03

Generadores AC

0,007 - 0,01 7

Motor automóvil bajo régimen

0,2

Motor automóvil alto régimen

0,01

Si la máquina ya está construida o se dispone de una simulación dinámica, es posib ~ determinar directamente las velocidades generalizadas máximas y mínimas en un cic. Si no se dispone de esos medios, es posible obtener esas velocidades de un modo ap ximado. En primer lugar se van a determinar aquellos valores de las coordenadas generalizadas para los que la energía cinética es máxima ó mínima, siempre durante __ ciclo. La evolución de la energía cinética en función de la coordenada generalizada e:

['. La condición de máxima y mínima energía cinética puede determinarse de la expres: anterior. Dicha condición vendrá dada por

d - Ec(q) = Q(q) = O dq

[7.

Esto es, las posiciones de máxima y mínima energía cinética corresponden a aque en las que la Fuerza Generalizada se anula. En la Figura 7.8 se muestran esas posi nes.

258

Regulación de máquinas cíclicas

Q(N.m)

! \

1 ciclo

(-)

q

W=Mc

I ciclo

q

Figura 7.8. Posiciones de mínima y máxima energía cinét ca

El punto A corresponde a la mínima energía cinética del sistema y el B a la máxima. Hay que resaltar que la ecuación [7.8] suele ser de tipo no lineal. La cuestión ahora es si las posiciones de máxima y mínima energía cinética corresponden necesariamente a las de máxima y mínima velocidad. Para ello considérese la sigu iente expresión

1 • (q ) ·q. 2 Ec(q)=-·l 2

[7.9]

La relación entre la energía cinética y la velocidad generalizada depende de la Inercia Generalizada que, por lo general, no es constante. En consecuencia, los máximos y mínimos de energía cinética y velocidad no tienen porqué coincidir necesariamente.

259

Máquinas y Mecanismos

Ahora bien, si se añade un volante de inercia (cuyo objetivo es la reducción del grado de irregularidad) al sistema, éste se dispondrá generalmente asociado a la coordenada generalizada, por lo que su momento de inercia se trasladará directamente a la Inercia Generalizada. Por lo tanto, si se coloca un volante con momento de inercia fv, la expresión (7.9] se reescribirá como sigue

(7.1 O] donde se tiene que considerar dos circunstancias: la inercia del volante suele ser superior a la del resto del mecanismo ( I v >> ¡* (q)) y desde luego es constante. Por le tanto se puede asumir razonablemente que el volante y al ser éste constante, los puntos de ponden con aquellas posiciones en las que la hipótesis se mantendrá a lo largo del tema, de del volante.

momento de inercia relevante es el de máxima y mínima velocidad se corre_Fuerza Generalizada se hace nula. E · ahí que se hable de cálculo aproximad

7.2.2. Cálculo aproximado del volante de inercia Asumiendo la hipótesis de que la Inercia Generalizada del mecanismo sin volante ~ inercia ¡* (q) es despreciable frente a la inercia del volante Iv, el trabajo asociado a _ Fuerza Generalizada total entre los puntos de máxima (B) y mínima (A) velocidad se _ igual a la variación de la energía cinética. Por tanto

W: =

I:

Q · dq

= ~ · f v · (q !ax - q1~1in )=

=~·fv ·(qmax +qmin)·(qmax -qm¡J=Jv ·Ó·q,~,

(7.11

Donde se han considerado las definiciones (7.5] y (7.6]. Despejando el valor del vol -te de inercia se tendrá que

wª

fv=~

(7.:.:

Ó·q/11

Una vez obtenida la inercia del volante es conveniente verificar si la hipótesis de pa.- da es razonablemente válida y se puede despreciar la inercia generalizada del m _ nismo sin volante en el cálculo de la inercia del sistema con volante.

260

Regulación de máquinas cíclicas

-.2.3. Funciones del volante de inercia Las funciones principales del volante de inercia se pueden resumir en las siguientes: •

Reduce el grado de irregularidad. Al aumentar la Inercia Generaliz.ada una misma variación de energía cinética se absorberá con una menor variación de velocidad.

•

Mantiene un nivel de energía en la máquina suficientemente alto como para poder absorber altas sobrecargas. El volante actúa a modo de acumulador de energía y permite ceder la misma en situaciones de sobrecarga en intervalos cortos de tiempo, como por ejemplo en las prensas de estampación.

•

Reduce los esfuerzos máximos que soportan ciertos elementos de la máquina al actuar a modo de filtro de la fuente de irregularidad, aunque puede también aumentar los esfuerzos en otros elementos.

•

Prolonga los períodos de arranque y parada de la máquina, puesto que el accionamiento de la máquina debe aportar la energía cinética que acumula el volante de inercia.

•

Con el fin de controlar sus dimensiones, conviene colocarlo en los ejes de mayor velocidad, y para que puedan realizar una mejor labor de filtrado, conviene colocarlos lo más cerca posible de la fuente de irregularidad.

7.2.4. Ejemplo En este apartado se aplicará lo visto anteriormente al mecanismo de yugo escocés de la

Figura 7. 9, que corresponde a la simulación del accionamiento de una prensa de estampación. Durante su funcionamiento está sometido a un par de entrada constante T2 y la fuerza aplicada por el cabezal varía linealmente con el desplazamiento de dicho cabezal entre O y F 111ax entre las posiciones indicadas en el diagrama. Las características geométricas e inerciales del mecanismo son r 2 = r AB = 0,3 m

m3

= 5,0 kg

I A = I 02 = 0,3 kg · m 2 Fmax = 520,0 N

261

Máquinas y Mecanismos

o

90'

180'

270'

360'

q

B 3

e W//l/lllllílí1////líl1 Figura 7.9. Mecanismo de yugo escocés: prensa de estampación

Se generaliza el mecanismo a la barra 2; esto es, es obtiene la Fuerza e Inercia G !izadas, considerando como coordenada generalizada q = 8 2 .

[.,. -=

y

Q2 (q)=T2 Oº~q~270º { Q (q)=T +r ·Fmax ·sen(q)·cos(q) 270º ~ q~360º 2 2 2 donde las unidades en el sistema internacional son kg · m 2 y N · m , respectivamen e La primera pregunta que surge es qué par motriz se debería aplicar a la barra de en para establecer el régimen permanente. En este caso el ciclo de trabajo es un ' completa, por lo que la condición de régimen permanente conduce a Me ciclo =

W cic!o

= O

~

[7.1:

esto es

\ I

262

J

Regulación de máquinas cíclicas

w c,cfo

=

Lc1º Q(q>. dq = 3Jr

(

=

2

fo""2 T 2·dq + J3; (T2+ r 2· Fmax · sen(q) · cos(q )) · dq =

[7 . 16]

2

1 =2·:r · T2 --·r2 ·Fmax =0 2 de donde se obtiene

T2 = 12,41

N ·m

[7 .17]

En la Figura 7.1 O se muestra el resultado de una simulación con el par calculado para establecer el régimen pennanente. Como se aprecia, el patrón de velocidades se repite c iclo a ciclo. Así mismo, se aprecian fuertes variaciones en la velocidad de la barra de entrada. Supóngase que dicho grado de irregularidad se desea reducir a 8 = 0,05 cuando la máquina está operando a una velocidad de régimen (media) de qm = 5 rev / s (en la gráfica anterior la máquina inicia el movimiento desde el reposo), ¿Qué volante de inercia se debería añadir al sistema?

18 ~ ~i

16

...... -o ~

14

~

....

t

~

:; e

10

-o -o

.

8

o -¡¡

6

·¡¡

>

4

2 -

o

E

,_ ~

~

:¡:

¡:

~

l

~

+

l

q (rad)

Figura 7.10. Evolución de la velocidad generalizada de la prensa en régimen permanente

En primer lugar se deben de calcular las velocidades máximas y mínimas en un ciclo de trabajo. Suponiendo que no se dispone de esa información de un modo experimental , siempre se podrá seguir el procedimiento que se desarrolla a continuación. Asumiendo que la inercia del volante que se va a añadir es significativamente mayor que la parte variable de la Inercia Generalizada del mecanismo, las posiciones de máxima y mínima velocidad coincidirán con las de máxima y mínima energía cinética y, por lo

263

Máquinas y Mecanismos

tanto, con aquellas configuraciones del mecanismo para las que se anula la Fuerza Generalizada. De la expresión [7.14], es evidente que esto sólo podrá ocurrir en el último cuarto de vuelta, por tanto [7.18] Como ya se había indicado, se trata de una ecuación no lineal, que admite dos soluciones

qmax = 274,6° qmin

[7.1 9]

= 355,4°

Si se calcula ahora el trabajo entre esas dos posiciones para las que se alcanza la máxima y mínima energía cinética (aproximadas a máxima y mínima velocidad), se tendrz que

[7.20: Asumiendo la velocidad media antes indicada, el volante de inercia que se añadir tendría un momento de inercia de

w:

1 = - - = 1 2 kg·m ó ·qm •2 '

2

deberí~

[7.21]

V

En la Figura 7. 11 se muestra el efecto de incluir el volante de inercia. - - Sin volante

- - - - Con volante

Figura 7.11. Evolución de la velocidad generalizada de la prensa en régimen permanente pan ¡

q"'

264

= 5 rev Is con y sin volante de inercia

Regulación de máquinas cíclicas

e debería comprobar que realmente la inercia del volante es mucho mayor que la del mecanismo. Calculando el valor máximo de la Inercia Generalizada para este caso

[7.22] En este caso puede verse que la hipótesis de partida no es demasiado razonable puesto que la inercia del sistema sin volante puede ser suficientemente significativa respecto de la inercia del volante obtenida.

7.3. Régimen transitorio 7.3.1. Ecuación característica de las máquinas Cuando el trabajo asociado a la Fuerza Generalizada total a lo largo de un ciclo no es nulo, la velocidad media de la máquina variará y en consecuencia la máquina se acelerará o decelerará. La Fuerza Generalizada asociada al sistema motriz y la Fuerza Generalizada correspondiente al sistema resistente de la máquina, ambas pueden variar en función de la velocidad generalizada, y en función de alguna característica de control o funcionamiento. La curva que representa la evolución de la Fuerza Generalizada con la velocidad y/o con otros parámetros, se denomina ecuación o curva característica. Considérese, por ejemplo, el comportamiento de un motor de explosión. En la Figura 7.12 las curvas representan la variación del par y la potencia con la velocidad para un valor de ajuste de la inyección K. En la Figura 7.12 se observa que no existen valores de par ni potencia para velocidades cercanas a cero. Esto se debe a que para arrancar es necesario aplicar externamente al motor un par que permita alimentar los cilindros de mezcla y además equilibre el par resistente debido a los rozamientos. Una vez superado este umbral (punto A), el motor puede moverse por sí sólo. El par motor va en aumento con la velocidad, hasta llegar al punto B, que es el punto de par máximo. A partir de esa velocidad, el par aportado por el motor disminuye, haciéndose prácticamente nulo a partir de C. Puede observarse que el punto de par máximo, no coincide con el de máxima potencia, ya que ésta es el producto del par por la velocidad.

265

Máquinas y Mecanismos

Q.i¡

Pot

B

Q.,

e q

Figura 7.12. Curvas características de par y potencia

De la misma fonna podrían establecerse las curvas de par motor asociadas a diferente5 valores de K, es decir a diferentes posiciones del acelerador. En la Figura 7. 13 se representan las curvas de par para diferentes valores de K.

t q Figura 7.13. Curvas características de par para distintas posiciones del acelerador

Cada sistema motriz o resistente tiene una curva característica específica. La cur característica de un motor eléctrico síncrono se muestra en la Figura 7.14. Estos mo·-res son un tipo de motor de corriente alterna que tienden a girar a una velocidad co~ · tante, denominada de sincronismo, que viene dada por

120. f ns = ---'p

donde las diferentes variables representan:

266

[7.:: )

Regulación de máquinas ciclu:as

(

ns

Velocidad de sincronismo (r.p.m.)

f

Frecuencia de la red a la que está conectada la máquina (Hz)

p

Número de polos de la máquina

Así, por ejemplo, un motor síncrono de 4 polos, conectado a una red de 50 Hz, tendría una velocidad de sincronismo de 1500 r.p .m.

T~-------------.

ú)s

q

Figura 7.14. Curva característica de un motor eléctrico síncrono

Supóngase que el motor arranca en vacío, es decir, sin ninguna carga resistente. La máquina proporciona un par constante T, que da lugar a una aceleración angular que incrementa la velocidad de giro del motor.

Qm A

o

w,

w,. ú),.

q

Figura 7.15. Evolución de la velocidad desde el arranque

Si la velocidad de giro supera a la de sincronismo, la máquina ya no suministra ningún par motriz, por lo que la máquina ya sea por efecto de la carga o de los rozamientos propios del sistema, se frenaría y al caer la velocidad por debajo de la de sincronismo,

267

Máquinas y Mecanismos

la máquina volvería a suministrar todo el par motor. En consecuencia, el motor estaría oscilando permanentemente alrededor de la velocidad de sincronismo.

A

D

o

q

Figura 7.16. Velocidad de sincronismo

En cuanto a los sistemas resistentes, existen diferentes tipologías cada uno de ellas e su curva característica. En la Figura 7. 17 se indican algunas de las más usuales: 1.

Carga constante. Frenos, máquinas de elevación, máquinas herramienta, . ..

2.

Carga lineal. Generadores e.e., fricción viscosa, . . .

3.

Carga parabólica. Bombas centrífugas, ventiladores, ...

2

q Figura 7.17. Curvas características resistentes

268

~

Regulación de máquinas cíclicas

-.3.2. Estabilidad -\I unir un sistema motriz y uno resistente con sus correspondientes parámetros de ntrol, el punto de funcionamiento en régimen permanente de la máquina vendrá derminado por la intersección entre la curva de Par Generalizado motor y la curva de ar Generalizado resistente.

t

- . . ran re el funcionamiento de la máquina, es habitual que varíen los parámetros de - ncionamiento, y en consecuencia el punto de funcionamiento de la máquina. Aquí se ;..1eden dar dos casos: •

Punto de funcionamiento estable.

•

Punto de funcionamiento inestable.

En la Figura 7.18 se muestra un caso de punto de funcionamiento estable . El punto inicial de funcionamiento es el A. Si se modifican las condiciones resistentes y éstas corresponden a la nueva curva característica R2 , sin modificar los parámetros motrices, el sistema se estabiliza en el nuevo punto B, en este caso a una menor velocidad.

Q,

º 11 A

Figura 7.18. Punto de funcionamiento estable. Sin control: cambio de la velocidad de funcionamiento

Si se quisiera mantener la misma velocidad de funcionamiento, habría que actuar sobre el control del sistema motriz para pasar a la nueva curva K2, de forma que la nueva intersección entre la curva característica motriz y resistente (punto C) se encuentre en la vertical del punto de funcionamiento anterior (A), como puede observarse en la Figura 7.19.

269

Máquinas y Mecanismos

Q,

º 11

q Figura 7.19. Punto de funcionamiento estable. Con control: se mantiene la velocidad de funci onam iento

Si al aplicar la variación de un parámetro, la máquina no es capaz de alcanzar un pun- ~ de régimen permanente y en consecuencia se decelera hasta pararse, o se acelera hast:. embalarse, la máquina se dice que está en un punto de funcionamiento inestable. En e caso de la Figura 7.20, la máquina tiene una condición inestable.

Q,.

º"'

~CO A

Figura 7.20. Punto de funcionamiento inestable

J

Sean las condiciones iniciales correspondientes al punto A. Se modifican las condi-nes resistentes para dar lugar a la curva característica R2 que, en principio tiene su:- to de funcionamiento con K 1 en B. Sin embargo, puesto que para la velocidad actua:.

270

Regulación de máquinas cíclicas

la fuerza generalizada resistente es mayor que la motriz, el sistema consume más energía de la que le puede proporcionar el accionamiento y, como consecuencia, su energía fi nética tiende a disminuir y, por consiguiente, nunca podrá alcanzar el punto B. Por lo \ ~to, la evolución del sistema será disminuir su velocidad, no encontrando ningún punto de funcionamiento estable entre R2 y K1, y perdiendo energía cinética hasta su detención. ~.3.3.

Ejemplo

~e a una máquina rotativa con un gran volante de inercia, un motor de par constante Q.v, una fuerza de rozamiento seco constante Q,0 , y una carga Qc de magnitud propor·ional al cuadrado de la velocidad de giro w, de forma que el par resistente total es

QR (w) = Qro: + Qc(w).

QM == 400 N · m Q, == 57 N · m 0,

Qc == 0,015958

·a/

N ·m

estando w expresada en rad/s. Se pide: 1.

Dibujar las curvas características de par motor y resistente. Indicar si existen puntos de funcionamiento , calcular su posición y describir su estabilidad.

2.

Se ha observado que, si se desacopla la carga y se desconecta el motor, la máquina empieza a pararse debido al rozamiento. Su velocidad disminuye en 80 r.p.m. a lo largo de 20 vueltas. Calcular el valor de la inercia del volante.

3.

Supóngase que la máquina disminuye su velocidad a la mitad y entonces, vuelven a acoplarse la carga y conectarse el motor simultáneamente. Describir y justificar si se alcanza una nueva velocidad de régimen estable y cuál sería su valor.

4.

Calcular cuánto tiempo tardará en pararse totalmente la máquina desde su velocidad de régimen (calculada en el primer apartado) si se desacopla la carga y se desconecta el motor.

7. 3. 3. 1 Curvas características y puntos de funcionamiento En la Figura 7.21 se muestran las curvas características motriz (azul) y resistente (roja), donde en color morado se representa el par resistente generalizado debido al rozamiento.

271

Máquinas y Mecanismos

800

600 - -

200

1---==-=--- -' - -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- o

50

100

150

200

(J)

Figura 7.21. Curvas características de la máquina rotativa

Existe un punto de funcionamiento estable en régimen permanente donde se cortan 12-curvas de par motor y par resistente. La velocidad de régimen será

QR(úJ) = QM

=> 57 + 0,015958·w 2 = 400N·m

[7.24,

Resolviendo la ecuación anterior se obtiene la velocidad de régimen.

400-57

- --

=

0,015958

146,608 rad / s = 1400 rpm

[1.r:

7. 3.3.2 Volante de inercia Suponiendo que la inercia del volante Jv es muy grande comparada con la lner ~ Generalizada del mecanismo, su valor puede obtenerse aplicando el Teorema de Fuerzas Vivas entre los dos estados cinemáticos indicados. El desplazamiento total en el intervalo es

ó.q = q 1 - q; = 20 vueltas = 40 · 7í rad

[7.26,

Las velocidades correspondientes a los instantes inicial y final son /

{¡¡

272

=

{¡

111

=

l46,608rad / s

[7.r:

Regulación de máquinas cíclicas

q¡

= (1400 - 80) rpm = 138,23 rad / s

La aplicación del Teorema de las Fuerzas Vivas implica (

fº

1 I ·2 dq = 2· v · q¡

T

1 I ·2 -2· v ·q¡

-

Q

A 1 I (.2 ·2) roo •LJq = 2· v ·\q¡ - qm

[7._ ]

Resolviendo, el valor del volante de inercia resulta

J

-2·Q,0 2 ·f1q

= V

•

=

•2

2 -

q¡

qm

-2·57 · 125,664 2 -146608 2 13823 ' '

=

6

k · m2

[7.29]

g

7. 3.3.3 Nuevo punto de funcionamiento Obsérvese que en todo el tramo de velocidad inferior a la de régimen el par motor es superior al par resistente; por tanto, cualquier condición de funcionamiento en este tramo implicará un aumento de la velocidad. En consecuencia, se volverá a alcanzar el punto de funcionamiento estable a la misma velocidad de régimen anterior 1400 rpm.

7.3.3.4 Tiempo de parada En las condiciones indicadas, el par y la inercia generalizados son constantes, por lo que el movimiento será uniformemente acelerado. La aceleración puede calcularse como

QT

o. = -

I

V

- 57 2 = - - = -9 5 rad / s 6

[7.30]

'

El tiempo transcurrido hasta la parada de la máquina será W ¡ -W¡ W¡

=

W ¡ + O. · /'),.{

ft..t = - - 0.

0-qm

o.

=

0-146,608 = l

-9,5

543

'

s

[7 .31]

273

Capítulo 8

Transmisiones , . mecan1cas

8.1. Introducción Como se ha señalado en diversas ocasiones, desde el punto de vista práctico puede afinnarse que el movimiento de rotación es el más ampliamente utilizado en la industria. Los motivos que lo justifican son de diversa índole pero fundamentalmente puede indicarse que se debe a que siempre han sido fáciles de generar (ejemplos: norias, molinos, máquina de vapor, motor eléctrico, etc ... ) y a que están asociados a procesos continuos. En este tema se estudiarán desde un punto de vista geométrico, cinemático y dinámico los dispositivos más utilizados para transmitir el movimiento de rotación entre diferentes barras de un mecanismo. Atendiendo al modo en que se transmite el movimiento, estos dispositivos pueden clasificarse en: 1.

Transmisiones por rozamiento, en las que se utiliza la fuerza de rozamiento que aparece entre dos elementos para transmitir cierta potencia. Estos dispositivos pueden subdividirse a su vez, atendiendo a la existencia o no de un elemento intermedio de transmisión en: o

Con contacto directo . Son los denominados rodillos de fricción y su uso exige cierta proximidad de los ejes entre los que se transmite el movimiento de rotación.

Máquinas y Mecanismos

o

2.

Con enlace flexible. Son las correas y se utilizan cuando la distancia entre los ejes en movimiento de rotación no aconseja el uso de los rodillos de fricción.

Transmisiones por engrane, en las que se utiliza la interferencia entre cierta formas geométricas de las barras en contacto para la transmisión de la fuerza. Este tipo de transmisiones también se pueden subdividir atendiendo a la existencia o no de un elemento intermedio: o

Con contacto directo mediante dientes. Son los engranajes y se utili zan cuando los ejes están próximos.

o

Con enlace flexible. Son las cadenas y se utilizan cuando la distanci:i. entre ejes es algo mayor. En este apartado se incluyen también las denominadas correas dentadas puesto que el mecanismo de transmisión de potencia es análogo al de las cadenas.

8.2. Ruedas de fricción Aunque existen diversas tipologías, su tratamiento es muy similar al de engranajes q e se abordará en profundidad posteriormente. Por ello, sólo se considerará el caso e rodillos cilíndricos como el de la Figura 8. 1.

Línea de contacto

Superficie de rodadura Figura 8.1. Ruedas de fricción

276

Transmisiones mec-árucas

En primer lugar, se realizará el análisis cinemático. Asumiendo que se dan las ondiciones de rodadura sin deslizamiento, es evidente que el módulo de la velocidad de un ( punto A de la línea de contacto será el mismo para ambas ruedas, en consecuencia

[ . l] Por lo tanto úJ3

r2

úJ2

r3

[8 .2]

Considerando los sentidos de giro, para la figura mostrada sería . úJ3 r2 1=-=-úJ2 r3

[8 .3]

Exactamente la misma relación se cumple para las aceleraciones angulares. La relación de transmisión Salida/Entrada se designará por i. A continuación, se expone el análisis dinámico. La transmisión de potencia se lleva a cabo mediante la fuerza de rozamiento que aparece entre los rodillos cilíndricos, debida a la fuerza normal aplicada y al coeficiente de rozamiento del material que los constituye. Mientras el par resistente no supere el máximo que se puede transmitir, el sistema funciona de forma que existe un par de rodadura sin deslizamiento entre los rodillos . En caso de superarse la fuerza de rozamiento se produce un deslizamiento relativo entre los mismos. La fuerza de rozamiento y, consecuentemente, la capacidad de transmisión de potencia, puede modificarse cambiando la fuerza aplicada entre los rodillos. Sin embargo, dicha fuerza está limitada por la resistencia del material de los rodillos ya que, al aumentar la fuerza, la resistencia del material puede ser superada por las tensiones desarrolladas en el contacto (tensiones de contacto de Hertz). En la Figura 8.2 se ilustra lo mencionado anteriormente. Supóngase que el accionamiento es por la barra 2, esto es, el motor que la acciona le comunica un par T2 y un movimiento en el mismo sentido; y la utilización es por la barra J, donde existe aplicado un par T3

277

Máquinas y Mecanismos

opuesto al movimiento. Se muestra así mismo el diagrama de sólido libre de la rueda de entrada. Asumiendo por simplicidad condiciones estáticas, del sumatorio de momentos para e diagrama de sólido libre, se tendrá que

[8.-1] de donde

[8.5,

Accio11amie11to

Utilización

Figura 8.2. Transmisión de la potencia y diagrama de sólido libre de la rueda de entrada

El problema es que esta fuerza es la de rozamiento y su módulo está acotado superic·mente, de modo que

[8 ..

siendoµ el coeficiente de rozamiento estático.

278

)

Transmisiones mecánicas

Como se ha indicado anteriormente, si T2 / r 2 supera el valor límite que puede sumi1nistrar el rozamiento, las condiciones de rodadura sin deslizamiento ya no se manten( drán por más tiempo. Considerando ahora el diagrama de sólido libre de la rueda de salida mostrado en la

Figura 8.3, se tendrá que

[8.7] Esto es

[8.8] que se puede escribir como

[8.9]

Observar que coincide con la inversa de la relación de transmisión, i.

279

Máquinas y Mecanismos

f'11 j 23

A

F,.oz

Figura 8.3. Diagrama de sólido libre de las ruedas

Las características de este tipo de dispositivos son : •

Es un sistema muy sencillo y la transmisión de movimiento es uniforme.

•

Su utilización exige que los ejes estén muy próximos y las fuerzas a transm i > sean relativamente bajas.

•

Existe posibilidad de deslizamiento relativo entre los rodillos lo que signi fi :: que debe desestimarse su uso cuando dicho deslizamiento resulte contraproc!-cente (ejemplo: sistemas de posicionamiento).

•

Las condiciones de rozamiento pueden ser muy variables a lo largo de la del dispositivo debido a la suciedad, desgaste, etc. y, por tanto, la fu transrn iti r.

Por todo ello, su empleo en elementos de máquinas es muy limitado.

8.3. Mecanismos de correa 8.3.1. Tipos y características Los mecanismos de correas y poleas (Figura 8.4) se emplean para transmitir m miento de rotación entre dos ejes, tanto si son paralelos corno si no. En este tipc elementos no se incluyen las correas dentadas cuyo comportamiento es más sim ilar de las cadenas. En función de su geometría transversal , los dos tipos de correas más utilizadas son planas y las trapezoidales.

280

J

Transmisiones mecánicas

En este dispositivo, el movimiento de rotación del eje de entrada se transmite mediante as fuerzas de rozamiento que aparecen entre la polea de entrada y la correa, y entre la torrea y la polea de salida. El modo de funcionamiento de las correas planas difiere (-ignificativamente del de las trapezoidales. En las primeras la fuerza de rozamiento está asociada a la fuerza de contacto entre la correa y la polea debida a la tensión de la orrea (obtenida generalmente mediante un rodillo tensor). En el caso de correas trapezoidales, como consecuencia del acuñamiento de la correa dentro de la garganta de la polea, aparecen fuerzas de rozamiento elevadas incluso con tensiones de la correa relarivamente bajas.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 8.4. Diversos tipos y disposiciones de correas: (a), (b), (c) correas planas, (d) correas trapezoidales; (a) correa abierta, (b), (c) correas cruzadas.

La capacidad de transmisión de potencia está directamente relacionada con la fuerza de rozamiento entre polea y correa. Otro de los aspectos importantes a señalar es la aparición de importantes efectos inerciales cuando la velocidad de funcionamiento del dispositivo es elevada, que genera tensiones adicionales en la correa (limitando la máxima tensión de utilización) y disminuye la presión de la correa sobre la polea (y con ello el máximo par que puede transmitir).

281

Máquinas y Mecanismos

Las dos principales ventajas que aportan este tipo de mecanismos se pueden resum ir en: •

Permiten la transmisión del movimiento de rotación de modo uniforme y económico entre ejes notablemente alejados, donde el uso de otros sistemas, tale como los engranajes, no es adecuado.

•

Dotan de cierta flexibilidad a la transmisión lo que permite absorber sobrecargas y choques sin que se produzca rotura de elementos (normalmente se produce un deslizamiento entre la correa y la polea). En este sentido se suelen utilizar corno /imitadores de par.

Las principales desventajas que afectan a este tipo de mecanismo son: •

La fuerza de rozamiento entre polea y correa limita la máxima potencia transmitida y, en caso de superarse dicha potencia máxima, se producen desliz.amientos que llevan asociados relaciones de velocidad variables.

•

La velocidad máxima de utilización está limitada por los efectos inerciale:: que tienden a separar la correa de la polea y, por tanto, a reducir la potenc 1~ transmitida.

•

Son mecanismos que requieren de un espacio considerable.

•

Existen problemas de tensado y de posibilidad de salida de correa de la poleen el caso de correas planas.

8.3.2. Longitud de la correa Se considerará en primer lugar el caso de la correa abierta y a continuación el de correa cruzada. Sea el sistema de correa abierta de la Figura 8.5.

\

J r1 Figura 8.5. Correa abierta. Determinación de la longitud de la correa

282

Transmisiones mecánicas

La longitud, L, de la correa vendrá dada por

I

L=2·(B2C2 +C 2C 3 +C3B3)

[8 .1O]

\donde

B 2 C 2 = ( ; +q)} r2 [8.11]

C 3B 3 = ( ; - q)} r3 C 2C 3 = r 1 • cos((b) Por lo tanto se tendrá que L=2 { ; +q)} r 2 +2·r1 ·cos((b)+2 { ; - q)} r 3

[8.12]

De la Figura 8. 5 se deduce que

[r -

r3 ) sen((b)= r2 - r3 ~ q) = arcsen - 2- r1

[8.13]

r1

En el caso de las transmisiones por correa abierta, el ángulo rjJ suele ser muy pequeño, en cuyo caso se puede llegar a la siguiente expresión aproximada para el cálculo de la longitud de la correa

L=

7r .

h + rJ + 2 . r1 + (r2 - r3)2

[8 .14]

r1

En la Figura 8. 6 se aborda el caso de la correa cruzada. De un modo similar a lo visto anteriormente, la longitud de la correa vendrá dada por

L=2·(B 2C 2 +C 2A3 +A 3B 3)

[8. 15]

donde

B 2 C 2 = ( ; +q)} r2

B3A3 = ( ; + q)} r3

[8.16]

C 2 A 3 = r 1 • cos((b)

283

Máquinas y Mecanismos

r1 Figura 8.6. Correa cruzada. Obtención de la longitud

En este caso el ángulo sen

() r+r
=-

2 3 --


que no es necesariamente pequeño, se podrá obtener corno

(r+r)

3 =>
~

~

En definitiva, la longitud de la correa vendrá dada por

L = 2 · r1

•(

~ +
1 •

cos(
•(

~ +
[8 .1

8.3.3. Relación de transmisión Asumiendo que el espesor de la correa es despreciable frente a los radios de las poky que no se produce deslizamiento entre correa y poleas, la relación de transrnisiór .::"' podrá obtener de la igualdad de arcos recorridos por la correa en ambas poleas a pa.:de la relación

[8.' Para las dos configuraciones consideradas (correas abiertas y correas cruzadas) er Figura 8. 7 se indican las relaciones de transmisión. Observar que mientras en el de correas abiertas las dos poleas giran en el mismo sentido, en el caso de correas ~ --) zadas las poleas giran en sentidos opuestos.

284

Transmisiones mecánicas

.

úJ3

1= -

úJ2

r2

=-

.

úJ3

1= -

úJ2

r3

r2

= - -

r3

Figura 8.7. Relación de transmisión en mecanismo de correas

8.3.4. Fuerzas en correas Sea el diagrama de sólido libre mostrado en la Figura 8.8, donde se aprecia la polea tractora (par motriz D y la acción ejercida sobre la misma por la correa. Las fuerzas (denominadas tensiones en correas) son F 1 y F 2, con F 1 > Fi, y ()es el ángulo abarcado por la correa.

Figura 8.8. Fuerzas en correas

Si se considera un diferencial de correa, en el diagrama de sólido libre de la misma se aprecia que, junto con las tensiones comunicadas por la parte eliminada de la correa,

285

Máquinas y Mecanismos

aparecen la reacción normal de la polea sobre el diferencial de correa y la fuerza de rozamiento (Figura 8. 9).

F+dF

normal

F Figura 8.9. Acciones sobre un elemento diferencial de correa

Sumando las fuerzas en la dirección normal, se tendrá que

R = (F + dF)· sen( d:) +F. sen( d:)

[8.:

Como sen(dB I 2)-:::::, dB I 2 , la reacción sobre la polea, despreciando términos di fer ciales de orden superior, vendrá dada por

R=F·dB

[8.: 1

Sumando las fuerzas ahora en la dirección tangencial

(F + dF)·co{d:)-µ · R- F · co{ d: ) =O

[8.::

de donde, considerando que cos(dB / 2)-:::::, 1 , se tiene que

dF=µ·R Sustituyendo [8.21] en [8.23] resulta

dF=µ·F·dB

286

[ -

Transmisiones mecánicas

Debe de tenerse muy presente que, al estar acotada superiormente la fuerza de rozamiento, este diferencial de fuerza constituye un valor máximo. ( Integrando la expresión anterior entre los límites de contacto de la correa con Ja polea

f

F, F2

dF = rº . de F Jo µ

resulta [8.26] o lo que es lo mismo [8.27] Si se considera ahora la relación entre el par y las fuerzas (tensiones) en la correa, se tendrá que [8.28] Sustituyendo [8.27] en [8 .28] , la relación entre el par T, la fuerza en la correa F 1, el coeficiente de fricciónµ y el ángulo de abrazamiento ees

T

=

F1 ·

(1- -e 1 ) ·r µ- B

[8.29]

El valor anterior sería el par máximo que podría transmitir el sistema, compatible con las condiciones de no deslizamiento entre correa y polea. El ángulo B puede calcularse considerando la relación de ángulos de la Figura 8.8

n

e

2

2

-=-+r/J y que

<jJ

[8.30]

puede obtener de las expresiones [8.13] u [8.17] .

8.4. Mecanismos de cadena 8.4.1. Características Los mecanismos de cadena y rueda dentada (Figura 8.1O) se encargan de transmitir un movimiento de rotación entre ejes paralelos, por medio del empuje generado entre los dientes de las ruedas y los eslabones de la cadena. Frente a los mecanismos de correa, los mecanismos de cadena no presentan limitación de potencia transmitida por apari-

287

Máquinas y Mecanismos

ción de deslizamiento. Con el fin de poder aumentar la potencia transmitida existen en el mercado cadenas dobles y triples. La distancia entre ejes que permiten salvar los mecanismos de cadena nunca podrá superar a la cubierta por los mecanismos de correa debido, fundamentalmente, a Ja mayor masa de las cadenas y los problemas que ello supone, sobre todo los relacionados con las fuerzas de inercia. Ten sora

Tensora

) Motri z

Tensora

Tensora Figura 8.10. Diversas disposiciones de cadenas

En estos sistemas aunque no juega un papel importante Ja tensión de Ja cadena, es necesario que no se produzcan muchas fluctuaciones, sobre todo en el ramal conducido debidas fundamentalmente a alargamientos permanentes de la cadena sometida a las~ cargas de funcionamiento. Esto se evita con rodillos tensores en el ramal conducido como se muestra en la Figura 8.10.

288

Transmisiones mecánicas

Una de las características más peculiares de este tipo de dispositivos es la aparición de fluctuaciones de la velocidad de salida para velocidades de la rueda de entrada constan1,es, corno consecuencia del efecto de cadena que se estudiará posteriormente. Otro de \ !ºs aspectos a considerar en su utilización es la mayor rigidez que presentan estos sistemas frente al de correas con todas las ventajas e inconvenientes que ello supone. Al igual que ocurría con las correas, la máxima velocidad de funcionamiento queda limitada por la aparición de efectos inerciales en la cadena, aunque es importante señalar que en este caso son mayores porque la masa de la cadena por unidad de longitud es mucho mayor.

8.4.2. Nomenclatura En la Figura 8.11 se muestra la nomenclatura habitual en este tipo de mecanismos .

.~··

Circunferencia de cabeza

.···

Figura 8.11. Nomenclatura empleada en los mecanismos de cadena

La circunferencia primitiva, de radio primitivo Rp, es la que pasa por el centro de las articulaciones de los eslabones cuando estos engranan con la rueda; esto es, la circunferencia que pasa por los vértices del polígono según el cual la cadena se adapta a la rueda. Si se denota por Z el número de dientes de la rueda, el paso circular o paso medio Pe que se mide sobre la circunferencia primitiva, vendrá dado por la expresión

p

e

= 2·n·Rp Z

[8.31]

289

Máquinas y Mecanismos

El paso de cadena, t, se mide entre el centro de los ejes de un eslabón, ver Figura 8.12.

o

/

/

' ..,.

-~---· Figura 8.12. Paso de cadena

El paso angular, a, vendrá dado por la relación 112

sen(a) =

(8.32]

Rp

Para que dos ruedas formen parte de un mismo mecanismo de cadena, deben de tener e mismo paso circular. 8.4.3. Relación de transmisión Teniendo en cuenta que no existe deslizamiento entre ruedas y cadena, la relación velocidades vendrá dada en términos de los radios primitivos Rp2 y Rp3 por

m2 • Rp 2

=

m3 • Rp 3

~

(8.r ]

Corno ambas ruedas deben de tener un mismo paso circular, la expresión anterior quedará corno sigue W3

Rp2

m2

RP3

Z2 Z3

(8.J.:.]

Ahora bien, la cadena se adapta a la rueda formando una poligonal. Esto es la caus que se produzcan pequeñas variaciones en la relación de velocidad, que se conoce rno efecto cadena (Figura 8.13). A continuación se evaluará dicho efecto.

290

Transmisione

( ; =o

; = a/2

; =a

Figura 8.13. Efecto cadena

El diámetro o radio eficaz oscila entre un valor máximo igual a las magnitudes primitivas y un valor mínimo igual a

d~ = d 0 · cos(a)

[8.35 )

Si la velocidad angular de accionamiento, m, es constante la variación del diámetro eficaz dará lugar a una variación en las velocidades de la cadena desde un valor máximo

do 2

[8.36]

V max = O J · -

hasta un valor mínimo vmin

= OJ ·

d; ·

cos(a)

[8.37]

Se pueden considerar las siguientes variaciones en el módulo de la velocidad de la cadena. Si se denota por L1S el espacio recorrido por la cadena, se tendrá que

·sen(~)

M =do

2

[8 .38)

Además, el diámetro primitivo puede escribirse según [8.32), como t

do= - sen(a)

[8 .39]

La distancia recorrida por la cadena se podrá poner como M = !_ . sen(9') 2 sen(a)

[8.40]

291

Máquinas y Mecanismos

Derivando respecto al tiempo la expresión anterior (recordar que en este caso t es la longitud de un eslabón), se tendrá que v = !_ .

cos(~) . ~ = !_ . cos(~) . úJ

2 sen(a)

2 sen(a)

Para ~ = o~ V= vmax =

Para ~=a~v=vmin

t

[8.41 ]

. úJ

2·sen(a)

= t·cos(a)

·ú)

2 · sen(a)

Derivando de nuevo respecto al tiempo, se tendrá la expresión correspondiente a la aceleración (suponiendo m constante) - t · m 2 · sen(q>)

[8.4~ ~

a=-----~

2 · sen(a) Para 'f',¡. = O ~ a = a mm. = O Para

,¡.=a~a=a max '!'

t . úJ2 =--2

Con todo lo expuesto anteriormente se puede obtener la expresión correspondiente a .::. relación de transmisión en los mecanismos de cadena. Sea una rueda conductora 2. de ángulo de eslabón 2 ·a, la velocidad del punto de la cadena justo antes de abandonar e contacto con la rueda será

t

V 2 --· - 2

cos({/)2 ) sen(a 2 )

·úJ 2

Para una rueda conducida 3, se tendrá que

t cos(~3 ) · ·úJ 2 sen(aJ 3

V3 - -

Instantáneamente se cumple que v2 = v3 , de donde se tendrá que

. w3

¡- -

- w2

-

sen(aJ cos({/) 2 ) ·--sen(a 2 ) cos(q>J

[8.4::

Obsérvese que la relación sen(aJ!sen(a 2 ) es constante mientras que la relación los cosenos varía, dado que

292

.J

Transmisiones mecánicas

(

[8.46]

Por consiguiente, si m2 es constante m3 no lo será y viceversa. La relación entre los ángulos girados f/J2 y f/J3 depende de la distancia entre centros de las ruedas y del número de dientes.

8.5. Mecanismos de engranaje 8.5.1. Tipos y características Los engranajes, en la Figura 8.14 se muestran algunos ejemplos, constituyen el tipo de transmisión más utilizado, tanto entre árboles paralelos como entre árboles cruzados o que se corten, y sirven para una gama de potencias, velocidades y relaciones de transmisión muy amplia. Se pueden destacar las siguientes ventajas de las transmisiones por engranajes: •

Relación de transmisión constante.

•

Elevada fiabilidad y larga duración.

•

Dimensiones reducidas.

•

Elevado rendimiento.

•

Mantenimiento reducido.

•

Capacidad para soportar sobrecargas.

Por contra, son destacables los inconvenientes siguientes: •

Coste elevado.

•

Generación de ruidos durante el funcionamiento .

•

Transmisión muy rígida, se requiere en la mayoría de aplicaciones un acoplamiento elástico para la absorción de choques y vibraciones.

293

Máquinas y Mecanismos

Figura 8.14. Diversos tipos y disposiciones de engranajes

8.5.2. Ley General del Engrane La Ley del engrane estudia las condiciones geométricas bajo las cuales se produce una relación de transmisión constante. En la Figura 8.15 se representan dos superficies curvas engranando. La normal com úr a los perfiles en contacto en el punto C, corta a la línea de centros 0 2 0 3 en el punt

P. La velocidad de C2 tendrá una componente en la dirección de la normal al contac

v¿

~

y otra en la dirección de la tangente v~2 ' dándose una circunstancia similar en e

punto C 3

(v~3 , v~ 3 ) . Si

bien las componentes tangenciales respectivas no tienen

porqu~

ser iguales, las componentes normales de las velocidades sí que lo serán, dado que puede haber penetración ni despegue entre los perfiles; esto es

) 294

Transmisiones

(

normal

Figura 8.15. Contacto entre dos perfiles engranando

Si suponemos el punto A de la Figura 8.15 como perteneciente a la barra 2 y el punto B perteneciente a la barra 3, es evidente que VA

= úJ 2 . 0 2A

Vs

=W3 ·03B

(8.48]

295

Máquinas y Mecanismos

Además, por el Teorema de las Velocidades Proyectadas en sólidos rígidos se tendra que n

VC2 =V A

[8.49, Por lo tanto, teniendo en cuenta [8.47], [8.48] y [8.49], y dada la semejanza de lo: triángulos 0 2AP y 0 3BP, se podrá poner que

- - - - =- - - w2 0 3 B 0 3 P r3

[8.50,

Luego la condición necesaria para obtener una relación constante de velocidades es q = el punto P, denominado punto de paso o primitivo, sea un punto fijo de la línea e centros.

Ley fu ndamental del engrane: La relación de velocidades de un par de superficies qu"' engranan será constante si y sólo si la normal común a los perfiles en el punto de cortacto intersecta a la línea de centros en un único punto. Los pares de perfiles que cumplen esta Ley se denominan conjugados. Siempre e: posible encontrar el perfil conjugado de uno dado. En la práctica se ha empleado u: número limitado de perfiles conjugados. Estos son: •

Perfil cicloidal. El más antiguo, en estos momentos prácticamente no se emplea.

•

Perfil de evolvente. Con enorme diferencia el más utilizado en la actualidad.

•

Perfil Novikov. Sólo se emplea en aplicaciones muy comprometidas.

8.5.3. El perfil de evo/vente En la Figura 8.16 se muestra de forma intuitiva como se genera una curva de evo/ve te. Se tiene una cuerda enrollada sobre una circunferencia (círculo base), al desenroll.,r la cuerda manteniéndola siempre en tensión, el punto Mo en contacto con el círcu base pasa por los puntos M y M 1 trazando una trayectoria denominada curva evolven e del círculo base. Otra forma de construcción del perfil de evolvente es el siguiente: si se hace rodar s deslizar una recta sobre un círculo, un punto M cualquiera de dicha recta describe U!_ curva denominada evolvente del círculo. \

A partir de la construcción anterior, se podrían obtener dos perfiles de dientes, uno pam ) la rueda conductora y otra para la conducida que cumplieran con la Ley fundament" del engrane enunciada con anterioridad.

296

Transmisiones mecánicas

( \ \, \ \ \ \

\

\

! ! ! !

' \~! - · - ·-· - · ~. - ·-·- ·-·-·- ·- ·-·-· -' ·-·-·- ·- ·-·- ·- -·-·- -·- -·-·'\

/

Círculo base Figura 8.16. Generación del perfil de evolvente

En la Figura 8.1 7 se pueden apreciar los círculos base y los círculos primitivos que son tangentes entre sí en el punto de paso P. La recta AB se denomina línea de acción y posee la importante propiedad de que los sucesivos puntos de contacto entre una pareja de dientes que engranan se encuentran siempre sobre la citada recta (Figura 8.18). De esta forma, si no existiera rozamiento entre los dientes en contacto, la fuerza con la que un diente empuja a otro se encuentra sobre la línea de acción. El ángulo formado por la línea de acción y la normal a la línea de centros se denomina ángulo de presión, a. Una propiedad importante de los dientes con perfil de evolvente es que este ángulo de presión es constante y, por consiguiente, la fuerza lleva siempre la misma dirección. Así mismo se puede establecer la relación existente entre los radios base

h

2

,

r 63

),

los

radios primitivos (r2 , r 3 ) y el ángulo de presión antes citados rb

r = ---

cos(a)

[8.51]

Por último indicar que los puntos de tangencia de la línea de acción con las circunferencias bases se les denomina puntos de interferencia (puntos A y B de las Figura 8. 17 y Figura 8.18).

297

Máquinas y Mecanismos

El único parámetro que caracteriza una evolvente es el radio del círculo base (radio base). La normal al perfil de evolvente, que coincide con la línea de acción, es siempre tangente al círculo base.

_

Engrana1J·e conductor

i ro ,~

/

/

(

Círculo primitivo

3 Círculo base

Engranaje conducido Figura 8. 17. Engrane de dos perfiles de evolvente

)

298

Transmisiones mecánicas

3

( Circunferencia base

Circunferencia base 2 Figura 8.18. Línea de acción

8.5.3.1 Definición del perfil de evo/vente en coordenadas polares De la Figura 8.19 pueden deducirse las relaciones geométricas que caracterizarán al perfil de evolvente. Sea el triángulo OTM, dado que es rectángulo se cumplirá que

[8.52] y por tanto

[8.53] Ahora bien, considerando que el arco QT, por construcción de la evolvente, tiene una longitud igual a PM, se tendrá que PM = rb ·[evol(B) + e]

[8.54]

expresando los ángulos en radianes. Igualando las expresiones [8.53] y [8.54] se obtendrá la expresión matemática de la función evolvente evol(B) = tg(B) - B

[8.55]

299

Máquinas y Mecanismos

/

/ /

/

C'írc11/o hase

o Figura 8.19. Características geométricas del perfil de evolvente en un punto genérico M

Además es inmediato que

OM=-rb_ cos(B)

[8.56)

Por tanto, para cada valor del ángulo B se podrá obtener el ángulo evol(B) que formara la recta OM con el punto del círculo base elegido para situar el diente. La distancia O.\; permitirá definir la posición del punto considerado. Cabe resaltar que los valores de PM corresponden a los radios de curvatura de los di ferentes puntos del perfil de evolvente, jugando en consecuencia un papel relevante a la hora de determinar mediante la expresión de Hertz el valor de la presión en el punto de contacto. En la Figura 8.20 se muestra el vector OM que define el perfil de evolvente y la expresión de su módulo r(B) y orientación qí(B), que representan sus coordenadas polares.

300

Transmisiones mecánicas

y

!

( M

Q

X

r(B) =

rb cos(B) { rp(B) = evol (B) Figura 8.20. Perfil de evolvente en coordenadas polares

8. 5. 3. 2 Espesor del diente con perfil de evo/vente En la Figura 8.21 se representan las características geométricas del perfil de evol\'ente en el punto primitivo o de paso P, al cúal le corresponde un valor B =a de la Figura 8.19.

Seas el espesor del diente medido sobre el círculo primitivo, de la Fig ura 8.21 e deduce la siguiente relación entre ángulos

s/2 =LOQP + - s = evol(a ) + - s L.OQE =LOQP+r

2·r

2·r

[8.57]

También se tendrá que !..!!.._ = (L OQE) · rb

2

= [evol(a) + _s_] · r b 2·r

[8.58]

Por lo que el espesor del diente en la base será [8.59]

301

Máquinas y Mecanismos

Circulo hase

/

¡' /

o Figura 8.21. Características geométricas del perfil de evolvente en el punto primitivo P

Considerando que la diferencia entre los ángulos L..OPE (Figura 8. 21 ) y L..OME (Figura 8.19) se puede obtener de dos modos diferentes, se tendrá

2 2 L..OPE - L..OME = evol(B) - evol(a) =s 1- __ sM_l_ = -s- - _ sM_ OP OM 2·r 2·0M

[8.60]

de donde se tiene sM = 2 · OM ·

= OM ·

(-s2·r

+ evol(a ) - evol(e)) =

[~ + 2 · (evol(a)-evol(B))] =

= r · co(()) ·

cose

[8.61 ]

[!... + 2 · (evol(a )- evol(B))] r

8.5.3.3 Variación de la distancia entre centros

En la Figura 8.22 se muestra un par de engranajes con centros en 0 2 y 0 3 , siendo P el punto de paso o primitivo.

302

Transmisiones mecánicas

El par de dientes en contacto lo están en el punto C y la relación de velocidades angulares será igual a

(

i =!!!J._ = 02 p w2 0 3 P

[8 .62]

Si el centro del engranaje 3 se mueve hasta O~, el contacto se producirá sobre el punto C '. La normal a los perfiles de los dientes es tangente a los círculos base e intersecta a la línea de centros en el nuevo punto P '. Los triángulos 0 2 P B y 0 3 PA son semejantes. También lo son los triángulos 0 2 P'B' y O~ P' A ' .

....,o. ;\..

\~\ \\

\\\\ \

'\

\\

\ \\ \

.

.....\

\\\

\\ \

\\ \,\ "\ \. • '.:!:...

' o,

Figura 8.22. Influencia de la distancia entre centros en la relación de transmisión en dientes con perfil de evolvente

303

Máquinas y Me canismos

En consecuencia

[8.63]

y Pero como A · a~ = A03 y s ·a ; = B0 2 se tiene que

0 P

0 P'

0 3P

O~P ·

.

2 2 -=-=/

[8.64]

Como se aprecia, la relación de velocidades no varía cuando se modifica la distancia entre centros. Esta característica propia del perfil de evolvente es muy positiva ya que permite jugar con diferentes distancias entre centros (y por tanto el tamaño de los engranajes) sin variar la relación de transmisión, aunque sí se modifican los diámetro primitivos y el ángulo de presión.

8.5.4. Normalización de engranajes Para asegurar la intercambiabilidad de los engranajes y minimizar el número de herramientas de corte necesarias para tallar engranajes, se estableció una normativa referente a los engranajes cilíndricos de dientes rectos. 8.5. 4.1 Nomenclatura de los dientes de engranaje con perfil de evo/vente En la Figura 8.23 se muestran las diferentes partes de un engranaje con perfil de evolvente. Se define el paso circular como la longitud del arco comprendido entre los fl ancos homólogos de dos dientes consecutivos, medida sobre la circunferencia primitiva.

[8.65 ]

Jr · d z

p=-

Para simplificar este parámetro (el paso circular es un número irracional) se define e módulo como

p d m=-=-(mm) 7r

[8.66]

z

Es condición necesaria para que dos ruedas engranen que tengan el mismo paso circular y por tanto el mismo módulo. Así mismo, el módulo es una medida del tamaño de diente y por lo tanto de su resistencia.

) 304

Transmisiones mecánicas

~

Círculo de cabeza

Círculo de pasu

Círculo de pie

Radio base (r J Radio primitivo (r)

Figura 8.23. Nomenclatura y parámetros de engranajes

También se define el paso base como la longitud de arco entre los flancos homólogos de dos dientes consecutivos, medida sobre la circunferencia base. Por las propiedades del perfil de evolvente, el paso base coincide con la distancia entre los flancos homólogos de dos dientes consecutivos medida sobre la línea de acción o cualquier otra normal común. El paso base está relacionado con el paso circular a través de la expresión p 6 = p · cos(a)

[8.67]

Se denomina círculo de cabeza al que pasa por el extremo exterior de los dientes y círculo de pie o de fondo al que lo hace por el fondo. El círculo de pie no suele coincidir con el círculo base. En un engrane la rueda tiene un círculo base más pequeño que su círculo de pie, por tanto, el perfil del diente resulta todo de evolvente, excepto en el acuerdo de fondo del diente. Por otra parte, el diámetro del círculo base del piñón es mayor que el diámetro del círculo de fondo, por tanto, la porción del perfil por debajo del círculo base no puede ser de evolvente. A la distancia entre la circunferencia de cabeza y la circunferencia primitiva se le denomina adendo, y a la distancia entre el círculo primitivo y el de pie se le denomina

305

Máquinas y Mecanismos

dedendo. La altura del diente (h) es la suma del adendo y del dedendo. En la zona del adendo la superficie del diente recibe el nombre de cara, mientras que en la zona del dedendo se le denomina flanco. Una norma especifica las relaciones entre adendo, dedendo, profundidad de trabajo, espesor de diente y ángulo de presión para obtener la intercarnbiabilidad de las ruedas de cualquier número de dientes, siempre que tengan el mismo módulo o paso circular. La norma ISO utiliza el módulo como parámetro de normalización, mientras que la norma AGMA (American Gear Manufacturers Association) utiliza el paso diametral (Pd), que es la inversa del módulo expresado éste en pulgadas. Cuando se normalizaron las herramientas de corte se adoptó un ángulo de presión de 14,5º. Actualmente el ángulo de presión más utilizado es 20º y en algunas aplicaciones 25º. Por ejemplo, para la norma ISO y un ángulo de presión de 20º están normalizados los siguientes módulos: 1; 1,25; 1,50; 1,75; 2; 2,25; 2,50; 2,75; 3; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20 (mm) Para la norma ISO y un ángulo de presión de 20º las proporciones de los dientes normales son las siguientes: •

Adendo: J,OO·m

•

Dedendo: J,25 ·m

En ocasiones también se emplean dientes no normalizados en los que el adendo es menor (dientes cortos) o mayor (dientes largos) al estándar.

8.5.5. Generación de los dientes Cuando están engranando dos ruedas, los dientes de una de ellas van ocupando, en e: transcurso del movimiento relativo, los huecos entre dientes de la rueda opuesta, manteniéndose tangentes los perfiles en el punto de contacto. Esta característica se util izz para tallar los dientes sobre una rueda. Si en un engranaje se transforman los flancos en filos de corte y se le da simultáneamente un movimiento de corte perpendicular al plano de giro del engranaje, un rnO\ miento de rotación similar al que tendría si estuviera engranando y se le pone en cor.tacto con la rueda a tallar, de manera que ésta posea el movimiento que e correspondería en el engrane, se obtendrá un tallado de los dientes por un procedirn ier.to que se denomina generación. Lo habitual es utilizar corno herramienta generadora una cremallera, corno la mostrad::.~ en la Figura 8.24, ya que sus flancos rectilíneos pueden definirse con mayor precisió ;/ A partir de una sola cremallera es posible tallar ruedas de diferentes números de dieT'-

306

Transmisiones mecánicas

tes, pero todas con el mismo paso, tamaño y tipo de diente y, por lo tanto, compatibles entre sí.

~La línea de referencia es una recta en relación a la cual se definen las dimensiones del diente. Normalmente, la línea de referencia suele estar a la altura en la que el espesor del diente es la mitad del paso circular. 3, 1416

linea de referencia

1,5708

1,5708

Cremallera de referencia Figura 8.24. Cremallera generatriz

La necesidad de intercambiabilidad ha dado paso a la normalización de las dimensiones de los dientes y del ángulo de presión. Si al tallar un engranaje se utiliza una cremallera generatriz normal y se hace coincidir la línea primitiva con la de referencia, se obtendrá un engranaje normal. El paso, módulo, ángulo de presión y diámetro primitivo de la rueda durante el tallado, se denominan de generación. En la Figura 8.25 se muestra la relación entre los parámetros de generación y los de funcionamiento del engranaje resultante. Los diámetros primitivos y de base de la rueda vendrán dados por

d=m·z

[8.68]

d b = m · z · cos(a) siendo m y a el módulo y el ángulo de presión de la cremallera generatriz.

307

Máquinas y Mecanismos

_.............-·--·················-.........,__ Círculo primitivo

,/~:rculo ./

··.\. \\

base

!Í

d =n1. -7

\,:

Rueda sin deslizar una sobre otra

·-...

a

Cremallera generatriz

rr.m

Figura 8.25. Relación entre los parámetros de generación y los de funcionamiento

Los engranajes cilíndricos de dientes rectos tallados con herramientas estándar sor. intercambiables si se verifica que:

•

Los módulos de las herramientas con las que han sido tallados son iguales .

• •

Los ángulos de presión de generación son iguales .

•

Los engranajes tienen los mismos adendos y dedendos . El espesor del diente a la altura del círculo primitivo es la mitad del paso circular.

8.5.6. Continuidad en el engrane Los dientes de una pareja de engranajes entran por primera vez en contacto cuando e círculo de adendo del conducido intersecta a la línea de acción, punto A, y finaliza en _ intersección del círculo de adendo del conductor con la línea de acción, punto B, tal _ como se indica en la Figura 8.26.

308

Transmisiones mecánicas

Conducida

c

Conductora

o] Figura 8.26. Contacto entre dientes

Se define la relación de contacto en los engranajes con perfil de evolvente como

AB arco de acción - -------p 6 - arco de paso base

r - e -

[8.69]

siendo AB la distancia recorrida por el punto de contacto sobre la línea de acción, que coincide con el arco recorrido sobre el círculo base por definición de evolvente, y p 6 el paso base. Por un lado, el numerador de [8.69] puede obtenerse a partir de los triángulos rectángulos 0 2 T2 P y 0 3 T3 P. Se tienen las siguientes relaciones

T2 P = r 2 · sen(a) T3 P = r3 · sen(a)

[8.70]

309

Máquinas y Mecanismos

Por lo tanto [8.71]

T 2 T3 =(r2 +r3 )·sen(a)=c·sen(a)

siendo e la distancia entre centros. Además, consideremos los triángulos rectángulos 0 2 T2 B y 0 3 T3 A , en los cuales se debe de tener en cuenta que [8.72]

0 2 B = r2 +a 0 3 A = r3 +a

siendo, en ambos casos, la suma del radio primitivo correspondiente más la longitud de adendo. Del triángulo 0 2T2B se tendrá que

T2 B=~0 2 B 2

-02 T/

=~(r2

+a)

2

- rb~

[8.73]

y lo mismo para el segundo triángulo 03T3A T3 A

= ~03 A 2

-

0 3 T/

= ~(r3 + a) 2 - rb~

[8.74]

Por último, se tendrá en cuenta que el arco de acción es

AB = T2 B + T3 A - T2 T3

[8 .75]

=

=~h +a)2-rb~ +~(r3

+a)

2

-rb~

-c·sen(a)

Por otro lado, el paso base vendrá dado por

Pb =

[8.76]

2 · n · rb z

Por lo tanto, la relación de contacto [8.69] vendrá dada por

+~(r3

+ a)

2

-rb~

- c·sen(a)

[8.77]

2 · 7í · rb2 Cabe observar que el denominador sería exactamente el mismo si se planteara para el engranaje 3, ya que ambos engranajes tienen el mismo módulo.

/

Cuando el arco de acción es igual al paso base, la relación de transmisión es igual a uno. Lo anterior quiere decir que cuando un diente empieza justo el contacto en A, el

310

Transmisiones mecánicas

anterior termina simultáneamente su contacto en B. De modo que durante la acción desde A hasta B, habrá exactamente un par de dientes en contacto.

A! el arco de acción es mayor, pero no mucho más, que el paso base, cuando un par de

dientes entra en contacto, otro par ya en contacto no habrá llegado todavía a B. Así pues, en un corto lapso de tiempo habrá dos pares de dientes en contacto, de forma que a medida que avance el movimiento de los engranes, el primer par de dientes debe salir del contacto dejando sólo un par de dientes en contacto. Si el arco de acción es menor que el paso base, la relación de contacto tendría valores inferiores a la unidad con lo que no existiría continuidad en el contacto.

Así pues, la relación de contacto se puede considerar como el valor promedio del número de pares de dientes en contacto. Una pareja de ruedas con gran relación de contacto puede transmitir potencias grandes por repartir las fuerzas entre varios dientes. También las relaciones de contacto grandes originan menos ruidos cuando los engranajes funcionan a velocidades elevadas. Por lo general, los engranes deben diseñarse con relaciones de contacto superiores al menos a 1,2. Esto es debido a que las inexactitudes en el montaje podrían reducir aún más la relación de contacto, acrecentando la posibilidad de choques entre los dientes, así como elevando el nivel de ruido. Como valor usual de relación de contacto se suele tomar 1,4.

8.5. 7. Interferencia La interferencia es un problema característico del perfil de evolvente, y se produce cuando alguna circunferencia de cabeza intersecta a la línea de acción más allá de los puntos de interferencia (puntos de tangencia de la línea de acción con las circunferencias bases). En ese caso, el contacto de la cabeza de los dientes de una de las ruedas debería producirse con una parte del perfil de la otra rueda situada por debajo de la circunferencia base. Sin embargo, por debajo de la circunferencia base no se puede definir el perfil de evolvente. Si se intentaran engranar las ruedas, la cabeza de una rueda penetraría en la base de la otra, condición que no puede darse y por tanto se produciría un bloqueo. A este fenómeno se le denomina interferencia geométrica (Figura 8.27). Si durante el proceso de generación de una rueda existen condiciones de interferencia el útil penetrará en la base del diente tallado dando lugar a la denominada interferencia de generación (Figura 8.28). Hay que resaltar que en estas condiciones, aunque durante el engrane no se produciría un bloqueo, tampoco se comportaría como un perfil con las propiedades del de evolvente. El rebaje producido debilita la resistencia del diente. Por lo tanto, la interferencia es un fenómeno no deseado que debe evitarse.

311

Máquinas y Mecanismos

Conductora

adendo '···,···-............_ primitivo base dedendo

Conducida Figura 8.27. Interferencia geométrica

El problema de la interferencia desaparece al aumentar el número de dientes de lo: engranajes, pero esto sólo puede lograrse en la práctica aumentando el tamaño de las ruedas si se tiene en cuenta que las ruedas deben ser aptas para transmitir una cienz. potencia, lo que implica un tamaño de diente, o un módulo, definido. De esta forma. las ruedas se hacen mayores, lo que raramente es deseable, y se incrementa la velocidad er el punto primitivo. Esto a su vez lleva consigo ruedas ruidosas y reduce ligeramente la transmisión de potencia. También es una solución aceptable para eliminar la interferencia utilizar un ángulo de presión mayor, que origina una circunferencia de base menor, con lo que el diente tiene un perfil de evolvente más largo. Se deduce de esto último que las ruedas con mayor ángulo de presión pueden ser más pequeñas puesto que necesitan menos dientes, est ha favorecido el uso de ruedas con ángulo de presión de 25° en algunas aplicacione .

312

Transmisiones

=·

aun cuando las fuerzas de fricción y las cargas de aplastam iento sean mayores relación de contacto menor.

feas

~

la

/

Figura 8.28. Interferencia de generación

A continuación se deducirán expresiones para determinar el número de dientes que debe de tener un engranaje para evitar la interferencia. Se considerarán los dos procedimientos básicos de generación de engranajes: mediante cremallera y mediante engranaje de corte.

8.5. 7.1 Generación mediante cremallera de corte En primer lugar se establece la condición límite; esto es, la línea de adendo de lacremallera pasa por el punto de interferencia del engranaje a tallar. Del triángulo rectángulo 0 2PEE (engranaje) de la Figura 8.29 se tiene que

PE E = r·sen(a)

(8.78]

Del triángulo rectángulo PEcD (cremallera) se tendrá que

k·m

PEc

=-sen (-) a

(8.79]

siendo k = 1 para dientes normales y k = 0,8 para dientes cortos. Para que no exista interferencia, PEE de (8.78] debe ser mayor que PEc de (8.79], por lo que se tendrá

k ·m ( ) -( -) ~ r · sen a sen a

(8.80]

313

Máquinas y Mecanismos

Círculo Círculo primitivo

Cremallera generatriz Figura 8.29. Interferencia. Generación mediante cremallera de corte

Como el radio primitivo puede expresarse como r = m · z E / 2 , sustituyendo en la expresión anterior, se tendrá que

m·z E -k·m -- ~ -- ·sen () a sen(a) 2

[8.81]

Por tanto, el número mínimo de dientes del engranaje para evitar la interferencia de generación con una cremallera de corte deberá cumplir la condición siguiente

2 ·k z E> - 2 . - sen

[8.82]

(a)

8.5. 7.2 Generación mediante engranaje de corte En este caso se parte del número de dientes del engranaje que se desea tallar (z 2 ) y se desea detenninar el número de dientes que podría tener el engranaje de corte (z 3 ) para que el engranaje tallado no presente interferencia. Tal como se muestra en la Figura 8.30, la situación límite se producirá cuando el círculo de adendo del engranaje de corte pasa por el punto de interferencia T2 , del engranaje tallado. Observar que el engranaje de corte es mayor que el tallado (z 2 < z 3 ). Tal y como se vio en el apartado de continuidad durante el proceso de engrane, la distancia entre los puntos de interferencia viene dada por [8.83 ] /

314

Transmisiones mecánicas

Engranaje tallado

--.---------__,,,._o]

primitivo

e

01

Engranaje de corte Figura 8.30. Interferencia. Generación mediante engranaje de corte

Del triángulo rectángulo 0 3T2 T3 , se tendrá que

0 3 T2 =

~03 T/

+ T2 T/

=

~rb~

2

+ c ·sen

2

[8.84]

(a)

Además, el radio de cabeza del engranaje conducido puede escribirse como

0 3 T2 = r3 + a = r3 + k · m = -m ·Z3 - + k ·m =m · 2

(Z3 --:¡ + k )

[8.85]

Igualando 0 3 T2 [8.85] con 0 3 T2 [8.84], se establecerá la condición límite. Por lo tanto, se tendrá que

m { z~ + k)= ~rb~ + c

2

2

[8.86]

·sen (a )

Como

rb 3

= r3 · cos(a) = m. z 3

e= r2 + r2

2

• cos(a)

[8.87]

= m · ( z2+Z3) 2

315

Máquinas y Mecanismos

Sustituyendo [8.87] en [8.86], se tendrá que

m· (

Z3

2

+k ) =

m·Z3

(-

2

-·cos(a))

[8.88]

2+m 2 · ( Z2 +Z3 )2 ·sen 2 (a) 2

Elevando al cuadrado Ja expresión anterior y despejando z3 se obtendrá el mayor número de dientes que puede tener un engranaje de corte para tallar un engranaje con z 2 dientes sin interferencia.

z~ ·sen 2 (a)-4 ·k2

[8.89]

Z3~ 4·k-2·z ·sen 2() a 2 Nótese que en algunos casos, el número de dientes z3 puede ser negativo y por tanto la expresión anterior deja de ser válida. En la Tabla 8.1 se muestra un cuadro resumen de las condiciones que deben cumpl ir los números de dientes de los engranajes (de corte y tallado) en función del procedimiento de generación empleado para que el engranaje tallado no tenga interferencia. Se ha considerado perfil de evolvente con ángulo de presión 20°, para dientes normales ) cortos. Desde un punto de vista práctico, para dientes con perfil de evolvente normales y estándar, se considera que el mínimo número de dientes de un engranaje sin interferencia son 12 dientes. Recordar que en la expresión [8.89] z 2 debe ser menor que z 3 . Tabla 8.1. Condiciones del número de dientes de los engranajes de corte y tallado para que no exista interferencia de generación

Cremallera de corte

Engranaje de corte

a =20°

k Z2,min

316

a= 20°

1,00

0,80

17

14

k = 1,00

k = 0 ,80

zz

Z3,m.ax

Lmax

zz

Z3,max

Lnwx

13

16

1,23

11

18

1,64

14

26

l ,86

12

36

3,00

15

45

3,00

13

108

8,31

16

101

6,31

17

1309

77,00

Transmisiones mecánicas

/

8.5.8. Otros perfiles conjugados Tal y como se ha indicado previamente, el perfil de evolvente es con diferencia e l más empleado hoy en día en los engranajes. Sin embargo, existen otros perfiles conjugado entre los que cabe destacar: •

El perfil cicloidal.

•

El perfil Novikov o Wildhaber-Novikov.

Una cicloide es la trayectoria trazada por un punto de una circunferencia que gira sin deslizar sobre una recta. Los engranajes con perfil cicloidal se emplearon con profusión en el pasado, en la actualidad su utilización se limita a aplicaciones en relojería e instrumentación en la que las relaciones de reducción sean muy grandes. Si se comparan los perfiles cicloidales con los de evolvente, la principal ventaja de los perfiles cicloidales reside en que en ellos no se producen fenómenos de interferencia. En los mecanismos antes mencionados el piñón tiene un número muy pequeño de dientes y en consecuencia, los fenómenos de interferencia son críticos. Cicloidal

Novikov

Figura 8.31. Perfiles cicloidal y Novikov

Como principales inconvenientes de los perfiles cicloidales frente a los evolventes se puede mencionar que en los cicloidales existe una única distancia entre centros teórica para la cual la relación de velocidades angulares se mantiene constante. Otra desventaja

317

Máquinas y Mecanismos

de los cicloidales es que los flancos de la cremallera de generación no son rectos, con lo cual su fabricación es más costosa. Por último mencionar que el ángulo de presión en los engranajes cicloidales no se mantiene constante, por lo que en ausencia de rozamiento, la dirección de la fuerza transmitida entre los dientes será variable. Ello podrá dar lugar a la aparición de vibraciones, ruidos y roturas por fatiga. Los engranajes con perfil Novikov están constituidos por arcos de circunferencia con curvaturas de distinto signo. Estos engranajes no están afectados por fenómenos de interferencia y su principal ventaja reside en su capacidad de carga, que se estima el doble que la de un engranaje similar con perfil de evolvente. Estos engranajes son sensibles a la modificación de la distancia entre centros.

8.5.9.Acciones entre dientes con perfil de evo/vente En ausencia de rozamiento, la fuerza de contacto entre dos perfiles de evolvente engranando estará dirigida a lo largo de la normal a las superficies en el punto de contacto. Por lo tanto, en ausencia de rozamiento, la fuerza de contacto estará siempre a lo largo de la línea de acción. La orientación de la línea de acción se describe por el ángulo de presión a , denominado así porque describe la dirección de la presión (fuerza) entre lo dientes de los engranajes. Se puede considerar que la transmisión de fuerzas en engranajes cilíndricos de diente rectos se realiza en el punto primitivo y es normal a las superficies de los dientes en contacto. Así, si T1 y T2 son los pares aplicados en ambos engranajes con ángulo de presión a y diámetros primitivos d 1 y d2 , la fuerza actuante descompuesta en fuerza tangencial y radial es

F=Í=l I

F, =

d 1/ 2

d2/ 2

[8.90]

F, ·tg a

El cálculo del par torsor en un eje se puede realizar a partir de la potencia transmitida

(Pot) si ésta es conocida Pot = T · w

~

T

= Pot

[8.91 ]

(J)

J

318

Transmisiones mecánicas

F,

Figura 8.32. Fuerzas actuantes en engranajes cilíndricos de dientes rectos

8.6. Trenes de engranajes Un tren de engranajes es un sistema de ejes y ruedas dentadas que incluye más de dos ruedas. Las principales razones para su uso son: •

Transmisión de movimiento entre ejes distantes.

•

Obtención de relaciones de transmisión no posibles con dos ruedas.

•

Obtención de elevadas relaciones de transmisión con un buen rendimiento.

Cuando sólo existe un engranaje por eje, es decir, no existe una misma barra con más de un engranaje, se denominan trenes simples y en caso contrario trenes compuestos. A los trenes de ejes fijos se les denomina trenes ordinarios y a los de ejes móviles

trenes planetarios o epicicloidales. 8.6.1. Trenes ordinarios o de ejes fijos En la Figura 8.33 se representa un tren ordinario, donde los engranajes se representan por su círculo primitivo. La relación de transmisión del tren es la relación entre la velocidad angular de salida y la de entrada (en ocasiones también se define a la inversa), que coincide con la relación de los ángulos de salida y entrada. De las relaciones anteriores se deduce que

j

=:: =:: :: :: =(-:; }(-::}(-:: )=-::

[8.92)

donde el signo indica si los engranajes giran en el mismo sentido (+) o en sentidos contrarios (-). En los trenes simples la relación de transmisión sólo depende de la rueda de entrada y de la de salida, siendo la misión de las ruedas intermedias cambiar el sentido de rotación y llenar el hueco entre los ejes de entrada y salida.

319

Máquinas y Mecanismos

~]--+--'___ 2-+-~~-3~-t----111~ Figura 8.33. Tren ordinario simple. Representación en alzado (arriba) y planta (abajo)

En general la relación de transmisión de un tren ordinario simple es

¡=

± z entrada

[8.93]

Zsalida

Nótese que en los trenes ordinarios simples todos los engranajes deben de tener el mismo módulo. Cuando se trata de engranajes cilíndricos de dientes rectos el tren simple es coplanar. Cuando se requieren grandes relaciones de transmisión el uso de trenes simples no es práctico porque exige una rueda de gran tamaño. En este caso se utilizan los trene compuestos. En la Figura 8.34 se representa un tren compuesto, donde se aprecia que las ruedas 2 ~ 3 y las ruedas 4 y 5 giran con la misma velocidad angular al formar parte de la misma barra. La relación de transmisión vendrá dada por

[8.9-( .

l =- -

Z1 ·Z3 ·Z5

---

Z2 ·Z4·Z6

Las ruedas que estén engranando tendrán el mismo módulo, aunque diferentes parejas de engranajes pueden tener diferentes módulos. En general , en trenes ordinarios compuestos la relación de transmisión es

320

Transmisiones mecánicas

/

i= ±

producto de Z conductores

[8 95]

producto de Z conducidos

·

( La relación de transmisión es positiva cuando el número de ejes intermedios es impar y negativa cuando es par.

..·······:___.:_·---.......... 5

.:'.

"'

//

.....

~ 4)

•...

l

/

6

/

----·--·-·-·"······".......

~11

4

-1~ 1---- - - - - 1 * 5

Figura 8.34. Tren ordinario compuesto. Representación en alzado (arriba) y planta (abajo)

La utilización del tren de engranajes compuesto permite obtener relaciones de transmisión muy grandes. También pueden obtenerse relaciones no construibles con dos ruedas, por ejemplo

.

27. 35

945

23. 29

667

l=---=--

[8.96]

que es una relación de transmisión pequeña pero la fracción es irreducible y no pueden construirse engranajes con tan gran número de dientes. Si el tren compuesto se construye con engranajes cilíndricos de dientes rectos todas las ruedas deben estar en planos paralelos.

8.6.2. Trenes de ejes móviles. Fórmula de Willis Los trenes planetarios o epicicloidales permiten obtener una gama más amplia de relaciones de transmisión en menor espacio. Según la disposición de los ejes pueden ser:

321

Máquinas y Mecanismos

•

Planos: todos los ejes son paralelos.

•

Esféricos: No todos los ejes son paralelos.

Los trenes construidos con engranajes cilíndricos de dientes rectos son necesariamente planos. Un tren planetario simple está formados por: •

Rueda central.

•

Rueda planetaria.

•

Brazo porta planetas.

Rueda central Rueda planetaria

r

Figura 8.35. Componentes de un tren planetario simple

En un tren planetario simple (Figura 8.36) puede haber dos ruedas centrales: una interna a los planetas, denominada sol, y otra externa a los planetas, llamada corona. Todas las ruedas del tren planetario simple tienen el mismo módulo. Desde el punto de vista constructivo, un tren planetario tiene varios planetas distribuidos uniformemente alrededor de la rueda central. Todos los planetas están articulados al mismo brazo porta-planetas, por lo que el movimiento de los ejes de los planetas es el mismo (simplemente están desfasados unos de otros). Es por ello, que para su análisis cinemático basta con considerar las restricciones al movimiento que impone un sol o planeta.

) 322

Transmisiones mecánicas

Corona~

(

¿ planetas Sol

Figura 8.36. Tren planetario simple. Nomenclatura. Representación en alzado (izquierda) y perfil (derecha)

Un tren planetario compuesto (Figura 8. 37) consta al menos de dos ruedas planetarias montadas sobre un mismo eje, pudiendo engranar cada una de ellas con una rueda central (o una corona) diferente. El eje de las ruedas planetarias es guiado por el brazo porta-planetas.

Corona~

¿ planetas Sol

U

~ lj_ ~

--

L.....-'LJ

n

Figura 8.37. Tren planetario compuesto. Nomenclatura. Representación en alzado (izquierda) y perfil (derecha)

323

Máquinas y Mecanismos

Todos los trenes planetarios son mecanismos de 2 grados de libertad. Normalmente de los tres ejes coaxiales se fija uno, utilizando los otros dos como entrada y salida respectivamente. Para calcular la relación de transmisión de un tren planetario se emplea la fórmula de Willis. Considérese el caso de la Figura 8.38.

Figura 8.38. Tren planetario simple. Velocidades angulares de las barras

Supónganse conocidas

lü31

y m41 , y se desea calcular m21

•

En este caso, como v 8 = m4 • r4 t:. O no puede establecerse la relación directa lü2 r3 -t:.-lü3 r2

[8.97]

ya que, proyectando sobre el eje vertical

[8.98] Sin embargo, si se analiza el movimiento del tren desde un sistema de referencia ligad a la barra 4 {A 4 - X 4 Y4 Z 4 }, las velocidades relativas de los ejes de todos los engranajes son nulas, esto es V A/ 4 =V3 ¡ 4

= Ü

[8.99]

De este modo, sí puede establecerse que

J [8. lOOt

324

Transmisiones mecánicas

donde w24 y w34 son las diferencias de velocidades angulares (ver Apartado 2.3.2) /

W24 = W21 -W41 W34

= W31 -W41

[8.101]

Dividiendo entre sí ambas expresiones se obtiene W24

W21 - W4¡

W34

W31 -W4¡

[8.102]

luego Z3

W21 -W4¡

Z2

W3¡ -W4¡

[8.103]

de donde puede despejarse Z3 W21 =W4¡ - - · ( W3¡ -W4¡) Z2

[8.104]

De forma general la fórmula de Willis se expresa como W ss

W s -WB

W EB

WE - WB

[8.105]

siendo

ws : velocidad angular del engranaje considerado como saliente wE: velocidad angular del engranaje considerado como entrante

w8 : velocidad angular del brazo

w

__Jj}__:

relación de velocidades salida/entrada relativas al brazo

W EB

Los engranajes definidos como de salida (S) y de entrada (E) deben estar montados sobre ejes paralelos y deben engranar necesariamente con engranajes montados sobre el brazo porta planetas (B).

8.6.3. Trenes diferenciales Un tipo de trenes planetarios muy utilizado son los trenes diferenciales. Un esquema típico de un tren diferencial automotriz se representa en la Figura 8.39.

325

Máquinas y Mecanismos

El engrane anular actúa como soporte planetario y se puede calcular su velocidad angular al igual que para un tren de engranajes ordinario. Los engranajes 2 y 3 están conectados respectivamente a las ruedas motrices. Cuando el automóvil se mueve en línea recta, ambos engranajes giran a la misma velocidad y además no hay movimiento relativo entre los planetas (/)y dichos engranajes.

Eje motri:

Engranaje anular

A la rueda

Engranajes planetarios

Figura 8.39. Esquema de un diferencial de engranajes cónicos

Cuando el vehículo describe una curva, la rueda interior a la misma debe girar más despacio que la exterior. El diferencial permite que exista esta diferencia de velocidades; sin este elemento una o las dos ruedas patinarían. Para ello, los engranajes planetarios (1) giran en torno a sus propios ejes, permitiendo con ello que los engranajes 2 y 3 lo hagan a velocidades diferentes. Así pues, el propósito de un diferencial es establecer una diferencia entre las velocidades de las dos ruedas, entregando potencia a ambas.

326

Transmisiones mecánicas

8.7. Ejemplos de trenes de engranajes /

8. 7.1. Tren de engranajes: ordinario y epicicloidal Sea el tren planetario de la Figura 8.40, donde se indica entre paréntesis el número de dientes de los engranajes. Todos los engranajes tienen perfil de evolvente y están normalizados con altura de diente normal. Se desea determinar los siguientes puntos: 1.

2. 3. 4. 5.

Si el módulo del engranaje 5 es m 5 = 2 mm, determinar la distancia entre los ejes de los engranajes 4 y 5. Determinar el módulo de los engranajes 2 y 3 (los ejes de los engranajes 2 y 5 son coincidentes). Determinar el diámetro primitivo, de cabeza, de fondo y base y el adendo y dedendo de los dientes del engranaje 3. Si el brazo no se mueve (m6 = O) y el engranaje 5 gira en sentido horario a 50 rad/s, determinar m2 en magnitud y sentido. Si el brazo 6 y el engranaje 5 giran en sentido horario a 150 y 50 rad/s respectivamente, determinar m2 en magnitud y sentido. 4 {28}

3 {30)

5 (20)

2 (18)

Figura 8.40. Ejemplo de tren epicicloidal compuesto

8. 7. 1.1 Distancia entre los ejes de los engranajes 4 y 5

La distancia entre ejes de los engranajes 4 y 5 es [8.106]

327

Máquinas y Mecanismos

8. 7. 1.2 Módulo de los engranajes 2 y 3 Teniendo en cuenta que la distancia entre centros de los engranajes 2 y 3 es la misma que la que hay entre los engranajes 4 y 5 [8.107)

8. 7.1.3 Dimensiones del engranaje 3

El diámetro primitivo de la rueda 3 vale

d 3 =m 3 ·z 3 =2 ·30 =60mm

[8.108]

El adendo y el dedendo para la rueda 3 de diente normal vienen dados por

ad 3

= 1,0 · m 3 = 2 mm

dd 3 = 1,25 · m 3 = 2,5 mm

[8.109)

El diámetro de cabeza es

dc 3

= d 3 + 2 · ad 3 = 60 + 2 · 2 = 64 mm

[8.11 O]

y el de pie

d P3 = d 3 - 2 · dd3

= 60- 2 · 2,5 = 55 mm

[8.111]

Finalmente, el diámetro base es

d 63

= d 3 · cos(a) = 60 · cos(20º) = 56,38 mm

[8.112]

8. 7. 1. 4 Velocidad de salida en un tren ordinario compuesto Si el eje 6 está parado (OJ6 =O) se tiene un tren de engranajes ordinario. Si además existen engranajes solidarios entre sí el tren es compuesto. Utilizando la definición de la relación de transmisión de un tren ordinario compuesto se obtiene la velocidad a la salida

OJ2

z 5 . z3

=-

-

Z4 · Z2

328

20. 30

· OJ2

= - - · 50 = 59,62 rad / s (horario) 18 · 28

[8.113]

Transmisiones mecánicas

8. 7.1. 5 Velocidad de salida en un tren epicicloidal compuesto Si el eje 6 es móvil se tiene un tren de engranajes planetario. Uti lizando la fórmula de

~illis

:: =::

= [-

;J -(-:: J ~ [8.114]

20-30 . = 150 + - - · (50-150)= 30,95 rad / s (horario) 18-28

8. 7.2. Tren de engranajes: ordinario y epicic/oidal La Figura 8.41 muestra un mecanismo de engranajes cuyos ejes de entrada y salida son, respectivamente, A y H. El engranaje A y el brazo portaplanetas son solidarios. Los engranajes D y E giran alrededor del eje A, pero no son solidarios con él C(60)

G(60)

d

8(20)

~

-----

H(20) - -.... ~ --177,1 Eje H

0(20) A(80)

Figu ra 8.41. Esquema del tren de engra najes

Se pide resolver los siguientes puntos: l.

Agrupar los engranajes en trenes ordinarios y/o epicicloidales, indicando si son simples o compuestos.

2.

Calcular el radio del brazo portaplanetas r6 conocido el módulo del engranaje E, mE = 1.

329

Máquinas y Mecanismos

3.

Calcular la relación de transmisión

úJH / úJA

indicando el módulo y sentido de

giro. Obtener el módulo y sentido de giro de la aceleración angular de la barra que contiene los engranajes D y E dada una aceleración angular del eje de salida

4.

aH

= 23,8 rad / s 2

en el sentido de la figura.

8. 7.2. 1 Clasificación de los trenes de engranajes En la Figura 8. 42 se han encuadrado dos tipos de trenes: •

Recuadro azul: los engranajes A, B , C y D forman un tren ordinario (todos los ejes son fijos) y compuesto (los engranajes By C tienen el mismo eje).

•

Recuadro rojo: los engranajes E, F, G y H forman un tren planetario o epicicloidal compuesto. Los engranajes F y G son planetas que giran alrededor del brazo portaplanetas (eje A), el engranaje E es la corona y el engranaje Hes el sol.

- --- .. ------ ........... ------ . ...

, ........................................... . ..

i

! Eje A

d

C(60)Í!

!i

8(20)

G(60) l

~ ~~--~~:'¡E H(201·-i-~--E-je-H ..." -r_] '.. --1

0 (20)¡¡ '•

A(80)

"

1¡

¡ :'

1 : : ~-----------------'

:

'

f1 :l ¡

: . . ------. -----.....................

' _. Figura 8.42. Clasificación de los trenes de engranajes

..' ......

8. 7.2.2 Radio del brazo portaplanetas El radio puede calcularse como

( [8.115]

330

Transmisiones mecánicas

8. 7.2.3 Relación de transmisión

I úJA

úJH

Aplicando la fórmula de Willis al tren planetario se tiene

[8.1 16] úJ Eb

siendo

úJ E - úJb

y

úJb = úJ A

úJ Hb

= úJ Hb

úJEb

úJGb

. úJ Gb . úJ l·'b úJFb

üJ E / úJ A

úJ E

= úJ E

úJ A

úJD

zH

úJEb

Además, sabiendo que relación

= - !si_ . 1. !....f_ = - 60 . 1 . 100 = - 15

üJ E = úJ 0

zF

20

20

[8.117]

y de la relación del tren ordinario, puede obtenerse la

como

. úJ D . úJ C . úJ B úJC

úJ B

= 1 . - z (' . 1. - z A = 1. - 60 . 1 . - 60 = 9

úJA

ZD

ZR

20

20

[8.118]

Sustituyendo estos resultados en la fórmula de Willis resulta úJ Hb

= -1 5 =

ú)H

úJ H - úJ A

---+

-

9 · üJA-úJA

úJEb

Es decir,

üJH

= - 15 (9 - 1) + 1 = -1 19

[8.1 19]

úJ A

gira 119 veces más rápido y en sentido contrario a

üJA .

8. 7.2.4 Aceleración angular de los engranajes O y E Del apartado anterior puede establecerse la relación entre las velocidades

üJE / üJH ,

que

es idéntica a la relación en aceleraciones a E /a H al-: = úJJ:: a H

ú)H

= úJf; .

úJA

úJA

úJH

Sustituyendo el valor de

= 9 ·-=-!_ = - 9 119

= 23,8 rad / s

aH

[8.120]

119 2

proporcionado, se obtiene la solución

-9 -9 2 a = - ·a = - · 23 8 = - 1 8 rad / s E

119

H

119

'

'

[8.121]

331

Alejandro Roda Buch

Dr. Ingeniero Industrial por la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) en 2006, realizó sus estudios en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la UPV. En la actualidad es Profesor Contratado Doctor del Area de Ingeniería Mecánica de esta universidad. Desde el año 2000 cuenta con una larga experiencia docente en asignaturas relacionadas con la Teoría de Máquinas y Mecanismos. Diseño de Máquinas y Vibraciones, todas enmarcadas en diferentes titulaciones de Grado y Máster relacionadas con la Ingeniería Mecánica. Ha dirigido numerosos Trabajos Fin de Grado y Máster y ha impartido diversos cursos a profesionales. Sus líneas de investigación se centran en la dinámica ferroviaria y en la tribología .

Vicente Mata Amela

Dr. Ingeniero Industrial por la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) en 1985, realizó sus estudios en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la UPV. En la actualidad es Catedrático de Universidad en el Area de Ingeniería Mecánica de esta universidad. Desde el año 1987 cuenta con una larga experiencia docente en asignaturas relacionadas con la Teoría de Máquinas y Mecanismos, enmarcadas en diferentes titulaciones de Grado y Máster relacionadas con la Ingeniería Mecánica. Sus líneas de investigación se centran en la cinemática y dinámica de robots y la biomecánica .

José Albelda Vitoria

Dr. Ingeniero Industrial por la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) en 2004, realizó sus estudios en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales de la UPV. En la actualidad es Profesor Titular de Universidad del Area de Ingeniería Mecánica de esta universidad. Desde el año 1994 cuenta con una larga experiencia docente en asignaturas relacionadas con la Teoría de Máquinas y Mecanismos, Comportamiento Mecánico de Materiales y Métodos Numéricos. todas enmarcadas en diferentes titulaciones de Grado y Máster relacionadas con la Ingeniería Mecánica. Ha dirigido numerosos Trabajos Fin de Grado y Máster. Sus líneas de investigación se centran en la acústica en conductos. los métodos numéricos y la optimización estructural.