Vigas-doblemente-reforzadas

1

INDICE I.

GENERALIDADES ..................................................................................................... 3

II.

ANALISIS ................................................................................................................... 4 2.1.

Fluencia total del acero ............................................................................................... 8

2.2.

Acero a compresión no fluye ...................................................................................... 9

III. DETERMINACIÓN DE LA CUANTÍA ......................................................................... 9 3.1.1

Cuantía balanceada ............................................................................................. 9

3.1.2

Cuantía máxima ................................................................................................. 13

3.1.3

Cuantía mínima del acero ..................................................................................... 13

IV. DISEÑO DE SECCION DOBLEMENTE REFORZADO.......................................... 15 V.

EJEMPLOS DE DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA ......................... 16

VI. COMENTARIOS SOBRE LA FLUENCIA DEL ACERO EN COMPRESIÓN ............ 22 VII. ANALISIS O VERIFICACION DE UNA SECCION DOBLEMENTE REFORZADA... 24

2

SECCIONES RECTANGULARES DOBLEMENTE REFORZADAS I.

GENERALIDADES

Se necesita diseñar vigas con acero en tracción y compresión, generalmente cuando la altura peralte viga no es suficiente, para que funciona como el diseño a flexión, de manera que el acero tome la tracción y el concreto la compresión. Por esta razón, la viga tomara la compresión con la zona del concreto especificada, más un refuerzo de acero diseñado para este fin. Este caso se produce cuando existe limitaciones en el peralte y el ancho de las vigas, y estas tienen luces o sobrecargas relativamente altas. La utilización de armaduras en compresión puede ser usado para reducir la deflexión de las vigas bajo carga de servicio (deformaciones a largo plazo), debido a que cuando el concreto comienza a fluir plásticamente, la fuerza de compresión en la viga tiende a transferirse del concreto al acero; por lo tanto, a disminuirse el esfuerzo en el concreto se reduce las deflexiones por flujo plástico. También podrán disminuirse las deflexiones inmediatas haciendo uso de acero en compresión. El acero en compresión en las vigas podrá utilizarse también para aumenta la ductilidad a la resistencia a flexión, debido a que cuando hay acero en compresión en una sección, la profundidad del eje neutro es menor porque la compresión será compartida por el acero y el concreto, luego la curvatura ultima de la sección con acero en compresión será mayor. Al analizar las combinaciones de cargas posibles y cuando intervienen en estas el sismo o el viento vemos que el momento puede cambiar de signo; por tanto, requieren refuerzo en ambas zonas (superior e inferior) de la sección. Conservadoramente ablando no es conveniente considerar el acero superior como refuerzo a compresión. Sin embargo, puede ser evaluado en caso de ser requerido. Sin embargo, hay casos en que se utiliza este tipo de armadura para reducir las deformaciones de los elementos a largo plazo (flujo plástico). Además, se emplearán para casos de momentos mínimos o como barras de soporte para los estribos. 1) Si el acero en tracción es tal que su cuantía es igual o menor que ρmin = 0.75 ρo, puede dimensionarse la influencia del refuerzo en comprensión y se analizara como viga simplemente reforzada en tracción.

3

2) Si la cuantía de la armadura de tracción es superior a 0.75ρo se necesita un análisis especial, que es motivo de este capítulo, en esta cosa (Estado) se presentaran 2 casos: a) Cuando el acero en comprensión llega a la fluencia en el instante de la falla. b) Cuando la acera en comprensión no alcanza la fluencia en el instante de la falla. En ambos casos supondremos en nuestro estudio que el acero de tracción llega a la fluencia; lo que es posible manteniendo la cuantía del acero en tracción por debajo de cierto límite denominado: “Cuantía balanceada” Por último, el acero superior es usado también apera satisfacer los requerimientos de momentos mínimos o para sujeción de los estribos.

II.

ANALISIS

De una sección con refuerzo a tracción y compresión: a) Se observa una sección de viga doblemente reforzada cuando se alcanza la resistencia a flexión. b) Inicialmente no se sabe si para el momento de diseño, el acero, tanto a tracción como a compresión, está o no en la resistencia a fluencia. c) Para analizar simplificadamente es conveniente asumir que todo el acero, está en fluencia. d) Modificar los cálculos si se verifica que parte o todo el acero no está en fluencia. Si todo el acero está en fluencia 𝑓𝑠 = 𝑓 ′ 𝑠 = 𝑓𝑦 donde: 𝑓𝑠 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓 ′ 𝑠 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛

𝑓 ′ 𝑠 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜

4

Sección de concreto doblemente armada a flexión: Compresión en el concreto: 𝐶𝑐 = 0.85𝑓 ′ 𝑐𝑎𝑏 Compresión del acero:

𝐶𝑠 = 𝐴′ 𝑠𝑓𝑦

Tracción del acero:

𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦

𝐶 = 𝐶𝑐 + 𝐶𝑠

𝐴′ 𝑠: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐴𝑠: 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛  Realizamos sumatoria de fuerza en la gráfica (d): ∑f = 0 x

𝐶c = As1 f𝑦

; 𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝐶c = 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝐶c 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 = As1 f𝑦  𝑃𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 "𝑎" 𝑎=

As1 ∗ f𝑦 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . (𝑎) 0.85f´c ∗ 𝑏

 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 ∶

5

𝐴s = As1 + As2  𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 As1 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 (𝑓𝑦) As1 f𝑦 = (𝐴s − As2 ) f𝑦 As1 f𝑦 = A s f𝑦 − As2 f𝑦 … … … … … … … … … … … … … (𝑏)  Realizamos sumatoria de fuerza en la gráfica (e): ∑f = 0 x

𝐶s = T2

; 𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝐶s = A′s f ′ 𝑠 ,

T2 = As2 f𝑦

A′ s f ′ 𝑠 = As2 f𝑦  𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. (𝑏)𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶

A s2 f𝑦 = As . f𝑦 − As1 f𝑦

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐 (𝑏) 𝑙𝑜 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ A′ s f ′ 𝑠 = As f𝑦 − As1 f𝑦 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 ( As1 f𝑦 ) ∶ As1 f𝑦 = A s f𝑦 − A′ s f ′ 𝑠 … … … … … … … … … … … . . . (𝑐) Del equilibrio se tiene: 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑎𝑏 + 𝐴′𝑠𝑓𝑦 = 𝐴𝑠𝑓𝑦 ⇒ 𝑎 =

(𝐴𝑠 − 𝐴′𝑠) 𝑓𝑦 0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑏

 Del diagrama de deformaciones  El acero está en fluencia si ⇒ 𝐸 =

𝑓𝑦 𝐸𝑠

Luego: 𝜀𝑠′ = 0.003

𝑐 − 𝑑′ 𝑎 − 𝛽1 𝑑′ = 0.003 … … … … … … … … . (𝑖) 𝑐 𝑎

𝑑−𝑐 𝛽1 𝑑′ − 𝑎 𝜀𝑠 = 0.003 = 0.003 … … … … … … … … . . (𝑖𝑖) 𝑐 𝑎

6

𝑓𝑠′ = 𝑓𝑦 ⇒ 𝑠𝑖 ⇒ 0.003

𝑓𝑠 = 𝑓𝑦 ⇒ 𝑠𝑖 ⇒ 0.003

𝑎 − 𝛽1 𝑑′ 𝑓𝑦 ≥ … … … … … … … … (𝑖𝑖𝑖) 𝑎 𝐸𝑠

𝛽1 𝑑 ′ − 𝑎 𝑓𝑦 ≥ … … … … … … … … . . (𝑖𝑣) 𝑎 𝐸𝑠

 Como se asume todo el acero está en fluencia  Tomando momentos respecto al “As”  El “Mr” será: 𝑎 𝑀𝑟 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴′𝑆 𝑓𝑦(𝑑 − 𝑑′ ) … … … … … … (𝑣) 2 Sabiendo que: 𝑎=

𝐴𝑆 − 𝐴′𝑠 𝑓𝑦 … … … … … … … … . (𝑣𝑖) 0.85𝑓𝑐′ 𝑏

Cuando las ecuaciones iii y iv no cumplen la relación que se indica, el acero no está cediendo; y, lógicamente, la ecuación para “a” cambiara de esta manera: 𝐴𝑆 𝑓𝑆 − 𝐴′𝑠 𝑓𝑠′ 𝑎= … … … … … … … … (𝑣𝑖𝑖) 0.85𝑓𝑐′ 𝑏  Luego, eempleando el diagrama de deformaciones unitarias y por semejanza de triángulos tendremos que: c ∈c = c − d′ ∈ ′s 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 ∶ ∈c = 0.003 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 ∈c 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 ∈ ′s ∶ ∈ ′s = 0.003 ∗  De la figura “d” tenemos que :

a = β1 ∗ c

𝑎

𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑐 = β

(𝑐 − d´) 𝑐

1

Además:

7

𝑓𝑠′ = 𝜀𝑠′ 𝐸𝑠 = 0.003

𝑎 − 𝛽1 𝑑′ 𝐸𝑠 … … … … … … … … … … … (𝑣𝑖𝑖𝑖) 𝑎

𝑓𝑠 = 𝜀𝑠 𝐸𝑠 = 0.003

𝛽1 𝑑′ − 𝑎 𝐸𝑠 … … … … … … … … … … (𝑖𝑥) 𝑎

𝑆𝑖 f′s > f𝑦 ; 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 A′s 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 f′s = f𝑦 Tenemos:

𝑎 𝑀𝑟 = 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴′𝑆 𝑓𝑠′ (𝑑 − 𝑑 ′ ) … … … … … … … … . (𝑥) 2 En conclusión, obtenemos el momento resistente de diseño “Mr” para la viga con acero superior e inferior (doblemente reforzada)

2.1.

Fluencia total del acero

𝑎 𝑀𝑢 = ∅ [0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴′𝑆 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑′ )] … … … … … … … … . (𝑥𝑖) 2 Donde: 𝑎=

(𝐴𝑆 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦 … … … … … … … … … … (𝑥𝑖𝑖) 0.85𝑓𝑐′ 𝑏

Para el equilibrio 0.85𝑓𝑐′ 𝑎𝑏 = (𝐴𝑆 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦 se tiene:

𝑎 𝑀𝑢 = ∅ [(𝐴𝑆 − 𝐴′𝑠 )𝑓𝑦 (𝑑 − ) + 𝐴′𝑆 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑 ′ )] … … … … … … (𝑥𝑖𝑖𝑖) 2 Para que el acero a compresión fluya: 𝜀𝑠′ = 0.003

𝑐 − 𝑑′ 𝑎 − 𝛽1 𝑑′ 𝑓𝑦 = 0.003 ≥ … … … … … … … … … … … … … … . (𝑥𝑖𝑣) 𝑐 𝑎 𝐸𝑠

Se necesita que: 𝑎≥

0.003𝐸𝑠 𝛽 𝑑´ … … … … … … … … … . (𝑥𝑣) 0.003𝐸𝑠 − 𝑓𝑦 1

Para que el acero esté cediendo: (Ec. xiii = Ec. xiv)

8

(𝐴𝑠 − 𝐴´𝑠)𝑓𝑦 0.003𝐸𝑠 ≥ 𝛽 𝑑´ 0.85𝑓´𝑐. 𝑏 0.003𝐸𝑠 − 𝑓𝑦 1 Haciendo: 𝜌 =

𝐴𝑆 𝑏𝑑

𝐴´𝑠

𝜌´ =

𝑏𝑑

𝜌 − 𝜌´ ≥

2.2.

0.85𝑓´𝑐𝛽1 𝑑´ 𝑓𝑦𝑑

𝑥

0.003𝐸𝑠 0.003𝐸𝑠−𝑓𝑦

… … … … … . . (𝑥𝑣𝑖)

Acero a compresión no fluye 𝑓´𝑠 = 𝐸´𝑠 𝐸𝑠 = 0.003

Luego:

𝑓´𝑐

𝑑´

𝑎−𝛽1 𝑑´ 𝑎

𝐸𝑠 … … … … … … . . (𝑥𝑣𝑖𝑖)

6000

𝜌𝑀𝐼𝑁 = 0.85𝛽1 𝑓𝑦 𝑥 𝑑 𝑥 6000−𝑓𝑦 + 𝜌´ 𝑎

Donde: 𝑀𝑢 = 𝜙 [0.85𝑓´𝑐𝑎𝑏 (𝑑 − ) + 𝐴𝑠 𝑥 𝑓´𝑠(𝑑 − 𝑑´)] … … … … … (𝑥𝑣𝑖𝑖𝑖) 2

𝑎=

𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓𝑠 … … … (𝑥𝑖𝑥) 0.85 𝑓´𝑐𝑏

Reemplazando xix en xviii

𝑎

𝑀𝑢 = 𝜙[(𝐴𝑠 𝑓𝑦 − 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠) (𝑑 − 2 ) + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´)]

III.

DETERMINACIÓN DE LA CUANTÍA 3.1.1

Cuantía balanceada

Se denomina así a una cierta cuantía ideal que hace que la viga inicie la falla simultáneamente por fluencia del acero en tracción y por aplastamiento del concreto en la zona en compresión. En el estado ideal supondremos que, al iniciarse la falla, el acero en tracción a alcanzado justamente el “punto de influencia”, el acero en compresión puedo o no haber alcanzado la fluencia, nosotros supondremos en la deducción de las ecuaciones que no ha llegado a la fluencia. Para este caso:

9

a) El acero a tracción cede para evitar una falla frágil. b) El concreto alcanza simultáneamente una deformación a compresión de su fibra extrema de 0.003 c) De los triángulos semejantes de la fig. (b), se tiene:

𝜀𝑠 = 0.003 𝑎𝑏 =

𝑑 − 𝑐𝑏 𝛽1 𝑑 − 𝑎𝑏 𝑓𝑦 = 0.003 = 𝑐𝑏 𝑎𝑏 𝐸𝑠

0.003𝐸𝑠 𝛽 𝑑 … … … … … … … . . . (𝑥𝑥) 0.3𝐸𝑠 + 𝑓𝑦 1

 Por equilibrio 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 "𝑑" 𝑦 "𝑒" ∑ 𝑓𝑥 = 0 𝑇 = 𝐶𝐶 + 𝐶𝑆 , Donde:

𝑇 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦

𝐶𝐶 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎 𝐶𝑆 = 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝐴𝑠 𝑓𝑦 = 0.85𝑓´𝑐 𝑏𝑎𝑏 + 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 … … … … … … … … … … … … … … . (𝑥𝑥𝑖)  𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠

10

𝐶𝑏 ∈𝑐 0.003 = = … … … … … … … … . . … … … . . … . (𝑥𝑥𝑖𝑖) 𝑑 ∈𝑐 +∈𝑦 0.003 +∈𝑦 𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑓𝑦 = 𝐸𝑠 ∈𝑦 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 ∈𝑦 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ ∈𝑦 =

𝑓𝑦 𝑓𝑦 = … … … … … … … … … … … … … … . . … . (𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖) 𝐸𝑠 2𝑥106

 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢 (𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖 )𝑒𝑛 (𝑥𝑥𝑖𝑖) : 0.003

𝐶𝑏 =

0.003 +

𝐶𝑏 =

𝑓𝑦 2𝑥106

∗𝑑

6000 ∗𝑑 6000 + 𝑓𝑦

 𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑎𝑏 = 𝛽1 ∗ 𝐶𝑏  𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐶𝑏 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 𝑎𝑏 = 𝛽1 (

6000 ) ∗ 𝑑 … … … … … … … … … … . . … … . . (𝑥𝑥𝑖𝑣) 6000 + 𝑓𝑦

 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. (𝑥𝑥𝑖𝑣) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. (𝑥𝑥𝑖 ), 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 ( 𝑏𝑑𝑓𝑦 ), 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶

𝐴𝑠 𝑓𝑦 0.85𝑓´𝑐 𝑏 6000 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 = 𝛽1 ( )∗𝑑+ 𝑏𝑑𝑓𝑦 𝑏𝑑𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝑏𝑑𝑓𝑦  𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝜌´ =

𝜌𝑏 = 0.85

𝐴´𝑠 𝑏𝑑

, 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑟𝑖𝑎 ∶

𝑓´𝑐 6000 𝑓´𝑠 𝛽1 ( ) + 𝜌´ … … … … … … . . … … … … (𝑥𝑥𝑣) 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝑓𝑦

 𝑃𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ∑ 𝑓𝑥 = 0 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 " d" 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶

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0.85𝑓 ′ 𝑐 𝑏 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 0.85

𝑓′ 𝑐 . 𝑏. 𝑎𝑏 = 𝐴𝑠 𝑓𝑦

 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (𝑏 ∗ 𝑑) 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 ∶ 𝐴𝑠.

1 𝑓′ 𝑐 1 = 0.85 . 𝑏. 𝑎𝑏 . 𝑏𝑑 𝑓𝑦 𝑏𝑑

 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 ∶ 𝜌𝑏 =

𝐴𝑠 𝑏𝑑

6000 𝑎𝑏 = 𝛽1 ( )∗𝑑 6000 + 𝑓𝑦

⋀

 𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 𝜌 ̅̅̅𝑏 = 0.85

𝑓′ 𝑐 6000 1 . 𝑏. [𝛽1 . ( ). 𝑑] . 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝑏𝑑

𝑓′ 𝑐 6000 𝜌 ̅̅̅𝑏 = 0.85 . [𝛽1 . ( )] … … … … . . … … … … … … . . (𝑥𝑥𝑣𝑖) 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. (𝑥𝑥𝑣𝑖)𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢. (𝑥𝑥𝑣) 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶

𝜌𝑏 = 𝜌ҧ𝑏 + 𝜌′ .

𝑓′𝑠 … … … … … … … … … … … … … . . … … … . . (𝑥𝑥𝑣𝑖𝑖) 𝑓𝑦

Donde:

𝜌 ̅̅̅𝑏 = 0.85

𝜌´ =

𝑓′ 𝑐 6000 . [𝛽1 . ( )] 𝑓𝑦 6000 + 𝑓𝑦

𝐴´𝑠 𝑏𝑑

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3.1.2

Cuantía máxima

El código ACI limita la cuantía a una cuantía máxima permisible para el diseño de vigas doblemente reforzadas según la siguiente expresión: 𝜌 ≤ 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝝆𝒃 + 𝜌′ ∗ 3.1.3

𝑓′𝑠 𝑓𝑦

Cuantía mínima del acero

ᵋu = 0.003

0.85f´c A´s 𝑓´𝑠𝑟

A´s

d´ a

c

𝜀´sr

d

𝜀 > 𝜀

d-a/I

s

As 𝑓𝑦

As (a)

(b)

(c)

FIG.4

13

y

De la FIG.4(b), por equilibrio: -0.85f´c ab – A´s f´sr + As fy = 0 𝝆=

𝑨𝒔 𝒃𝒅

𝝆´ =

𝑨´𝒔 𝒃𝒅

𝝆 𝒃 𝒅 𝒇𝒚 = 𝟎. 𝟖𝟓𝒇´𝒄 𝜷𝟏 𝑪𝒃 + 𝝆´ 𝒃𝒅 𝒇´𝒔

(4)

En la ecuación (4) suponemos que todas las cantidades son conocidas y tienen un valor constante, con excepción de 𝝆 y f´sr, que son variables. Al incrementar 𝝆 , f´sr se incrementa también, llegara el momento en que f´sr toma el valor de fy; al valor correspondiente de 𝝆 lo denominaremos 𝝆min y la ecuación tomara la forma:

𝝆min = 0.85 𝛽1

𝑓´𝑐 𝑐 𝑓𝑦 𝑑

+ 𝜌´ (5)

De la FIG.4(c), cuando A´s ha llegado a la fluencia , 𝜺´𝒔𝒓 = 𝜺𝒚 𝜀𝑢 𝜀𝑢 − 𝜀𝑦 = 𝑐 𝑑´ 𝑐=

𝑐=

0.003 𝑑´ 0.003 − 𝑓𝑦/𝐸𝑠

𝑐=(

𝜀𝑢 𝑑´ 𝜀𝑢 − 𝜀𝑦 6,000 ) 𝑑´ 6,000 − 𝑓𝑦

Reemplazando en (5): 𝝆´𝒎𝒊𝒏 = 𝟎. 𝟖𝟓 𝜷𝟏

𝒇´𝒄 𝟔, 𝟎𝟎𝟎 𝒅´ ( ) + 𝝆´ 𝒇𝒚 𝟔, 𝟎𝟎𝟎 − 𝒇𝒚 𝒅

(III)

Si la cuantía de la armadura de tracción es menor a este valor límite, la tensión del acero en comprensión en el momento de la rotura es inferior a la tensión de la fluencia.

14

IV.

DISEÑO DE SECCION DOBLEMENTE REFORZADO

Sea el “Mu” el valor del momento ultimo actuante en nuestra sección de viga, el diseño de secciones doblemente reforzadas se parte asumiendo un valor de cuantía para la parte de acero en tracción que equilibra al refuerzo en compresión del concreto. 𝜌1 =

𝐴𝑠1 𝑏𝑑

→

𝐴𝑠1 = 𝜌1 𝑏𝑑

𝐶𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑎"𝑦 𝑒𝑙𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑀𝑢 𝑃𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 𝑎=

𝐴𝑠1 𝑓𝑦 0.85 𝐹´𝑐 𝑏

𝑃𝑜𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎 ∶ 𝑀𝑢1 = ∅𝑀𝑛1 = ∅ 𝐴𝑠1 𝑓𝑦 (𝑑 −

𝑎 2

)

Es posible que Mu sea suficiente para soportar el momento ultimo actuante en todo caso se trenda que: 

Si

𝑀𝑢 ≤ 𝑀𝑢1

→ no necesitamos acero en compresión.



Si

𝑀𝑢 > 𝑀𝑢1

→ si necesitamos acero en compresión.

Para el caso que necesitemos acero en comprensión, procederemos a calcular la cantidad de acero en tracción adicional para compensar el momento último remanente, es decir:

𝑀𝑢2 = 𝑀𝑢 − 𝑀𝑢1 𝑀𝑢2 = ∅𝑀𝑛2 = ∅ 𝐴𝑠2 𝐹𝑦 (𝑑 − 𝑑´) 𝐴𝑠2 =

𝑀𝑢2 ∅𝑓𝑦 ( 𝑑 − 𝑑´)

15

𝐸𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑒𝑟á 𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎 𝐴𝑠2 ∶ 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 ∶ 𝐶𝑠 = 𝑇2 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶

𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 = 𝐴𝑠2 𝑓𝑦 𝑀𝑢2 = ∅ 𝑀𝑛2 = ∅ 𝐴´𝑠 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´)

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 " 𝐴´𝑠" 𝐴´𝑠 =

𝑀𝑢2 ; 𝑓´𝑠 ≤ 𝑓𝑦 ∅ 𝑓´𝑠 (𝑑 − 𝑑´)

(𝑡/𝑐𝑚 2 )

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟á 𝑝𝑜𝑟 ∶ 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2

V.

EJEMPLOS DE DISEÑO DE VIGA DOBLEMENTE REFORZADA

PROBLEMA Nº 1 Cálculo del área de acero para un momento dado. As

=?

A´s

=?

b

= 25 cm

Mu

= 30 T - m

d

= 45 cm

fy

= 4200 K/cm2

16

d´

= 4 cm

= 210 K/cm2

f´c

Hallar MMAX que puede tomar esta viga con acero en tracción solamente Solución: Encontrar:

𝑝𝑏 ⇒ 𝑝 max = 0.75 𝑝𝑏 𝑓´𝑐

0.85 𝛽1

𝑓𝑦

x

600 600+𝑓𝑦

= 0.85 x 0.85 x

210 4200

x

600 6000+4200

𝑝b = 0.02125 𝑝MAX = 0.02125 X 0.75 = 0.01594 As = 𝑝MAX x b x d = 0.01594 x 25 x 45 = 17.93 cm2 𝐴𝑠 𝑓𝑦

17.93 𝑥 4200

a = 0.85 𝑓´𝑐 𝑏 = 0.85

𝑥 210 𝑥 25

= 16.88 cm

𝑎

16.88

2

2

Mmax = ∅ as fy (𝑑 − ) = 0.9 x 17.93 x 4200 [ 45 − (

)]

Mmax = 2477868.5 T – cm = 24.78 T – m Mu = 30 T – m > Mmax = 24.78 T – m ∴ usar acero en comprensión Por lo tanto sabemos que Mu = M1 + M2; M2 = MMAX ∴ M1 = Mu – M2 = 30 – 24.78 = 5.22 T – m M1 = ∅ As1 fy (d – d´) 𝑀1

522000

As1 = ∅ 𝑓𝑦 ( 𝑑−𝑑´) = 0.9 𝑥 4200 (45 − 4) = 3.37 cm2 (As1) es el área de acero adicional requerida por la viga de iguales dimensiones con acero en tracción solamente. Además, (As1) es también el área de acero necesaria en comprensión, y se incrementará de acuerdo a las normas. 𝑝MAX 0.75 (𝑝b + p´); ⏟ 𝑝𝑀𝐴𝑋 𝑏𝑑 = ⏟ 0.75 𝑝𝑏 𝑏 𝑥 𝑑 + ⏟ 0.75 𝑝´𝑑 𝑥 𝑑 𝐴𝑠

𝐴𝑠𝑏

A´s = 3.37 = 4.49 cm2 ⇒ usar 2 ∅¾” = 5.68 cm2

17

𝐴𝑠1 𝑥 0.75

Área de acero total en tracción: As = As1+As2 = 3.37 + 17.93 = 21.30 cm2 Verificar que el acero en comprensión fluya en rotura de acuerdo al criterio supuesto. 𝑝´ =

𝐴´s1 𝑏𝑑

=

4.49 25𝑥45

𝑝MIN = 0.85 𝛽1

𝑓´𝑐 𝑓𝑑

= 0.004 x

𝑑´ 𝑑

𝑝MIN = 0.85 x 0.85 x

x

6000 6000−𝑓𝑦

210 4200

x

4 45

x

+ 𝑝´ 6000 6000−4200

+ 0.004

𝑝MIN = 0.011 + 0.004 = 0.015 𝑝MIN =

𝐴s 𝑏𝑑

21.30

= 25 𝑥 45 x 0.019

𝑝MIN = 0.015 < 𝑝 = 0.019 ∴ Cumple

PROBLEMA N° 2 Para la sección de viga de momento negativo, que se muestra en la figura determine el momento confiable:

Estribo de ∅

3 8

f´c = 420 Kg/cm2 Acero fy = 2800 Kg/cm2

18

Mu=??? Solución: d = 40 - 6.22 = 33.78 cm d’ = 6.22 cm a)

Asumimos que 𝐴´𝑠 esta en fluencia, f ′ s = f𝑦

(20.28 − 15.21) ∗ 2.8 As ∗ f𝑦 − A′ s ∗ f ′ 𝑠 𝑎= = = 1.33 𝑐𝑚 0.85f´c ∗ 𝑏 0.85 ∗ 0.42 ∗ 30

f ′s = 6 ∗

(𝑎 − β1 ∗ d´) (1.33 − 0.75 ∗ 6.22) = 6∗ = −15.05𝑇/𝑐𝑚2 𝑎 1.33

f ′ s No está en fluencia

0.85f´c ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 + A′ s ∗ f ′ 𝑠 = As ∗ f𝑦

0.85f´c ∗ 𝑏 ∗ 𝑎2 + 6 ∗ A′ s ∗ 𝑎 − As ∗ f𝑦 ∗ 𝑎 = 6 ∗ A′ s ∗ β1 ∗ d´

0.85f´c ∗ 𝑏 ∗ 𝑎2 + (6 ∗ A′ s − As ∗ f𝑦 ) ∗ 𝑎 − 6 ∗ A′ s ∗ β1 ∗ d´ = 0

0.85 ∗ 0.42 ∗ 30 ∗ 𝑎2 + (6 ∗ 16.21 − 20.28 ∗ 2.8) ∗ 𝑎 − 6 ∗ 15.21 ∗ 0.75 ∗ 6.22 = 0

10.71 ∗ 𝑎2 + 34.48 ∗ 𝑎 − 39.75 = 0

19

𝑎 = 4.9 𝑐𝑚

f ′s = 6 ∗

(𝑎 − β1 ∗ d´) (4.9 − 0.75 ∗ 6.22) = 6∗ = 0.29 𝑇/𝑐𝑚2 𝑎 4.9

𝑀𝑛1 = (As ∗ f𝑦 − A′ s ∗ f ′ 𝑠 ) 𝑓𝑦 (𝑑 −

𝑎 2

)= (20.28 ∗ 2.8 − 15.21 ∗ 0.29) (0.3378 −

=16.41T.m

𝑀𝑛2 = 𝐴𝑠2 𝐹𝑦 (𝑑 − 𝑑´) = 15.21 ∗ 0.29 (0.3378 − 0.0622) =1.21 T.m 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛1 + 𝑀𝑛2

𝑀𝑛 = 16.41 + 1.21 = 17.62 − − − − > 𝑀𝑛 = 17.62 𝑇. 𝑚

𝑀𝑢 = ∅ 𝑀𝑛 = 0.9 ∗ 17.62 = 15.86 𝑇. 𝑚

PROBLEMA N° 3. Sea: Una Viga 30 x 60 cm Momento último actuante = 50 ton.mt Concreto f´c = 210 Kg/cm2 Acero fy = 4200 Kg/cm2 Determinar el As requerido. Solución:

20

0.049 2

)

Primero determinamos la máxima capacidad resistente de la viga resistente de la viga simplemente reforzada (0.75𝜌𝑏 ). De la tabla de Ku-𝜌 para f´c = 210 Kg/cm2 Valor máximo de 𝜌 = 0.0162 para Ku= 49.53 Momento máximo con 𝜌 = 0.75𝜌𝑏 𝑀𝑢 = 𝐾𝑢 𝑏𝑑2 Como sabemos que el refuerzo va a ser importante trabajamos con 2 capas de acero, lo cual conlleva a considerar:

𝑑 = (ℎ − 9)𝑐𝑚 = 60 − 9 = 51 𝑐𝑚 𝑏 = 30 𝑀𝑢 = 49.53 𝑥 30 𝑥 512 = 3860000 𝑘𝑔 𝑐𝑚 𝑀𝑢 = 38.6 𝑡𝑜𝑛 𝑚𝑡 𝐴𝑠 = 0.0162 𝑥 30 𝑥 51 = 24.78 𝑐𝑚 2 Como el momento aplicado es 50 ton x mt, y como con el refuerzo máximo en tracción sólo se resisten 38.6 ton x mt, debe recurrirse a refuerzo adicional superior e inferior con el fin de resistir el remanente. 𝑀𝑢 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 50 − 38.6 = 11.4 𝑡𝑜𝑛 𝑚𝑡

𝑀𝑢 = 𝐴´𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − 𝑑´)∅ 1140,000 = 𝐴´𝑠 4200 (51 − 6)0.9 𝐴´𝑠 = 6.70 𝑐𝑚 2 Por tanto para resistir un momento de 50 ton x mt, se requerirán 𝐴𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = 24.78 + 6.70 = 31.48 𝑐𝑚 2

21

𝐴𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 = 6.70 𝑐𝑚 2 Se puede verificar si 𝐴´𝑠 fluye: 𝑝=

31.48 = 0.0206 30𝑥51

𝑝´ =

6.70 = 0.0044 30𝑥51

𝑝 − 𝑝´ = 0.0162 𝑝 − 𝑝´ ≥

𝑝 − 𝑝´ ≥

0.85 𝑓´𝑐 𝐵1 𝑑´ 6000 [ ] 𝑑 𝑓𝑦 6000 − 𝑓𝑦

0.85 𝑥 210 𝑥 0.85 𝑥 6 6000 [ ] 51 𝑥 4200 1800 𝑝 − 𝑝´ ≥ 0.01416

Para que 𝐴´𝑠 fluye ( p – p´) debe ser mayor a 0.01416 y en ese caso se ha obtenido (p – p´) = 0.0162 con lo cual se comprueba que si está fluyendo.

VI.

COMENTARIOS

SOBRE

LA

FLUENCIA

DEL

ACERO

EN

COMPRESIÓN Generalmente cuando uno recurre al refuerzo adicional, luego de haber sobrepasado el máximo refuerzo en tracción, se encuentra que el acero en compresión fluye. Cuando se adiciona refuerzo superior e inferior por encima del acero en tracción que representa el 0.75 𝑝𝑏 se cumplirá que: 𝜌 − 𝜌´ = 0.75𝜌𝑏 (𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) Y si usamos 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔/ 𝑐𝑚 2 se tiene: 𝜌 − 𝜌´ = 0.0162 Examinando la expresión

22

𝜌 − 𝜌´ ≥

0.85 𝑓´𝑐 𝐵1 𝑑´ 6000 [ ] 𝑑 𝑓𝑦 6000 − 𝑓𝑦

Que asegura la fluencia del fierro en compresión y efectuando números con diferentes peraltes de vigas se tiene los siguientes resultados: ℎ = 20

𝜌 − 𝜌′ > 0.0212

(d = h -3)

ℎ = 40

𝜌 − 𝜌′ > 0.0212

(d = h -6)

ℎ = 50

𝜌 − 𝜌′ > 0.0164

ℎ = 60

𝜌 − 𝜌′ > 0.0133

ℎ = 70

𝜌 − 𝜌′ > 0.0112

ℎ = 80

𝜌 − 𝜌´ > 0.0097

ℎ = 90

𝜌 − 𝜌′ > 0.0086

Con lo cual se concluye que siempre estará fluyendo el fierro superior a partir de vigas con peralte de 55 cm, siempre y cuando se haya colocado este refuerzo por encima del 0.75𝑝𝑏 traccionado. En el caso que teniendo 𝑝 = 0.5𝑝𝑏 se adicione fierro en compresión (equilibrado con otro adicional en tracción), y que por tanto se cumpla que (𝜌 − 𝜌′) = 0.5𝑝𝑏 , se tendrá que el fierro en compresión fluye recién para vigas de más de 70 cm de peralte, siempre para el caso de 𝑓´𝑐 = 210 𝑘𝑔/ 𝑐𝑚2 . En muchos casos se recurre a colocar acero en compresión independientemente a necesitarlo directamente por cálculo, como es el caso del refuerzo corrido en vigas por condiciones de armado o detallado, y por condiciones exigidas para elementos sismo – resistentes. En estos casos es muy posible que el refuerzo en compresión no esté fluyendo.

23

VII.

ANALISIS O VERIFICACION DE UNA SECCION DOBLEMENTE REFORZADA

Es posible que el diseñador se encuentre con un diseño dado, en el cual se tienen refuerzos en tracción y compresión en una misma sección, y se requiera conocer el momento resistente y si el refuerzo está fluyendo o no. En estos casos se deberá plantear una ecuación por equilibrio y otra por deformaciones tal como se indica en el siguiente caso: Viga de 30 x 60 cm. (ver figura) con 3 ∅ 1´´ en tracción y 2 ∅ 3/4´´ en compresión

Se tiene: 𝐴𝑠 = 15𝑐𝑚 2

𝐴´𝑠 = 5.68𝑐𝑚 2

Por semejanza de triángulos: 0.003 𝐸´𝑠 = 𝑐 𝑐−6 De donde: 0.003 ∗ 𝑐 − 0.018 = 𝐸´𝑠 ∗ 𝑐

24

𝑐(0.003 − 𝐸´𝑠) = 0.018

𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 " 𝑐 " 𝑐=

0.018 0.003 − 𝐸´𝑠

𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 ∶ 0.85 𝑓´𝑐 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝐴´𝑠 ∗ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 0.85 𝑓´𝑐 ∗ 𝑏 ∗ (0.85 𝑐) + 𝐴´𝑠 ∗ 𝑓𝑠 = 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 0.85 ∗ (210)(30)(0.85 𝑐) = 15 ∗ 4200 − 5.68 ∗ 𝑓𝑠 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 " 𝑐 " 𝑐=

𝑃𝑒𝑟𝑜 𝐸´𝑠 =

63000 − 5.68 𝑓𝑠 4551.75

𝑓𝑠 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∶ 𝐸𝑠 𝑐=

0.018 0.018(2000.000) = 0.003 − 𝑓𝑠/2000.000 6000 − 𝑓𝑠

𝑐=

3600 6000 − 𝑓𝑠

𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∶ 63000 − 5.68 𝑓𝑠 3600 = 4551.75 6000 − 𝑓𝑠 5.68 ∗ 𝑓𝑠 2 − 97080 ∗ 𝑓𝑠 + 214137000 = 0

25

𝑓𝑠 = 2601.8 𝑘𝑔/𝑐𝑚 2

𝐶𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑑𝑜 𝑓𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠: 𝑐=

3600 = 10.59 𝑐𝑚𝑠 6000 − 2601.8 𝑐 = 9.0 𝑐𝑚

El momento resistente de la sección, considerando los 3∅1´´ en tracción y los 2∅3/4´´ en compresión lo obtenemos tomando momentos, por ejemplo, en el punto de ubicación del área en tracción. 𝑎 𝑀𝑢 = (0.85𝑥𝑓´𝑐 𝑏𝑎 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠 𝑓𝑠(𝑑 − 𝑑´))∅ 2

9 𝑀𝑢 = ((0.85𝑥2)10𝑥30𝑥 (54 − ) + 5.68𝑥2601.8(54 − 6))0.9 2

𝑀𝑢 = (2385652.5 + 709354.75)0.9

𝑀𝑢 = 232785506.5 𝑘𝑔𝑥 𝑐𝑚 = 27.8 𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚𝑡

𝑆𝑖 ℎ𝑢𝑏𝑖é𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜, 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟í𝑎𝑚𝑜𝑠 ∶

𝑎 𝑀𝑢 = (𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) + 𝐴´𝑠 𝑓𝑠(𝑑 − 𝑑´))∅ 2

9 𝑀𝑢 = (15𝑥4200)𝑥 (54 − ) + 5.68𝑥2601.8(4.5 − 6) ∅ 2

𝑀𝑢 = (3118.500 − 22167.33)0.9

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𝑀𝑢 = 27.8 𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚𝑡 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟í𝑎 𝐴𝑠 = 3∅1´´ = 15𝑐𝑚 2 𝜌=

𝐴𝑠 15 = = 0.00925 𝑏𝑑 30𝑥54 𝐾𝑢 = 31 𝑀𝑢 = 31 ∗ 30 ∗ 542 𝑀𝑢 = 27.11 𝑡𝑜𝑛. 𝑚𝑡

Con lo cual se comprueba que, en estos casos, cuando el refuerzo en compresión no ha sido colocado como un requerimiento de cálculo (cuando se excedía la máxima cuantía de acero en tracción), no es importante en la determinación del momento resistente, por lo que comúnmente en los diseños se evalúa el requerimiento del requerimiento del refuerzo en tracción sin tomar en cuenta el acero en compresión. Que por motivos de armado se coloca en la misma sección donde se está haciendo el diseño.

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