1-traitement Du Signal

Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN

Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

H. Benoit-Cattin

1

Plan •1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier, Laplace, Z (1h),TD •2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage, quantification, restitution (2h), TP •3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD •4. Filtrage numérique (5h),TD,TP •5. Filtrage adaptatif (2h), TP •6. Architecture des DSP (2h), TP •7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP

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1. Les transformées du TS •Transformée de Fourier –Définition –Échantillonnage et périodisation –Signaux de durée limitée et signaux périodiques –Signaux échantillonnés de durée limitée –Signaux discrets •Transformée de Laplace –Définition –Relation avec la transformée de Fourier •Transformée en Z –Définition –Relation avec la transformée de Fourier –Relation avec la transformée de Laplace

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1.1 Transformée de Fourier (1811) •Définition

+∞

X( f ) =

∫ x(t ) exp( − j 2π f t )dt

, t ∈ R, f ∈ R

−∞ +∞

x (t ) =

∫ X ( f ) exp( j 2π f t )df

, t ∈ R, f ∈ R

−∞

•Quelques propriétés –Linéarité –X(f) ➫ module |X(f)|, phase Arg[X(f)] –x(t) réel ⇔ Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire –x(t) réel pair ⇔ X(f) réel pair –x(t) réel impair ⇔ X(f) imaginaire impair –x(t)*y(t) ⇔ X(f).Y(f) et x(t).y(t) ⇔ X(f)*Y(f) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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•Quelques relations

–x(t)*δ (t-t0)= x(t-t0) ⇔ X(f) exp(-2jπ f t0) –x(t) exp(2 j π t f0) ⇔ X(f-f0) –x*(t) ⇔ X*(-f) –x(at) ⇔ |a|-1 X(f/a) –dnx(t)/dtn ⇔ (2 j π f )n X(f)

•Signaux importants –δ (t) ⇔ 1

–1(t) ⇔ ½ δ (f) + 1/(2 j π f ) –cos(2π f0t) ⇔ [δ (f-f0) +δ (f+f0)]/2 et sin(2π f0t) ⇔ [δ (f-f0) -δ (f+f0)]/2j –Σ δ (t+nT) ⇔ Fe Σ δ (f+kFe) avec Fe=1/T –Rect(t) ⇔ 2a.Sinc(π fa) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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λ λ ο ν ν α γ ε

ε τ

π ρ ι ο δ ι σ α τ ι ο ν

•Échantillonnage idéal... +∞

xe (t ) = x (t ) δT (t ) = x (t ) ∑ δ (t − kT ) = k =−∞

+∞

∑ x[ kT ]δ (t − kT )

k =−∞

•...Transformée de Fourier... 1 1 +∞ k X e ( f ) = X ( f ) *δ1 ( f ) = ∑ X ( f − ) T T k =−∞ T T

➫ ... périodisation en fréquence.

Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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ε

δ υ ρ ε

φ ι ν ι ε

σ ι γ ν α υ ξ

Transformée de

x(t)

0

ε τ

X(f)

Fourier

T

t

f

Transformée

Echantillonnage X e (f)

inverse de

x T (t)

0

π ρ ι ο

en fréquence

Fourier

T

2T

0

1

2

f

T T

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 χ η α ν τ ι λ λ ο ν ν  σ

δ ε

δ υ ρ  ε

φ ι ν ι

N −1

xe (t ) = ∑ x[ k ] δ (t − kT ) 0

Transformée de

x e (t)

0

X(f)

Fourier

NT

t

0

1 T

Périodisation Transformée

Echantillonnage X e (f)

de Fourier

x Te (t)

0

f

NT

2NT

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0

en fréquence

1

1

NT

T

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f

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ε

δ ε

Φο υ ρ ι ε ρ

δ ε σ

σ ι γ ν α υ ξ

•Signal discret x[k] •Transformée de Fourier discrète, périodique X( f ) =

+∞

∑ x[ k ]exp( −2 jπ f k )

k =−∞

Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½

•Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te X( f ) =

+∞

∑ x[ kT ]exp( − j 2π f k T )

k =−∞

e

e

Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2

•Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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δ ι σ

1.2 Transformée de Laplace (1820) Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier

•Définition +∞

∫ x(t ) exp( − j 2π f t ) exp( −rt )dt

X( f ) =

−∞

en posant : s = r + j.2π . f = r + j.w +∞

X ( s) =

∫ x(t ) exp( − s t )dt

, t ∈ R, s ∈C

−∞

x(t ) =

+∞

∫ X (s) exp( st )ds

, t ∈ R, s ∈ C

−∞

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σ

δ ι φ φ ρ ε ν τ ι ε λ σ

ε τ

Λα π λ α χ ε

Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t)

dy (t ) d N y (t ) dy (t ) d M y (t ) q 0 y (t ) + q1 + .... + q N = p 0 u (t ) + p1 + ... + p M N dt dt dt dt M

y=

Causal : N ≥ Μ

P (λ ) ⋅u Q (λ )

zéros

•Fonction de transfert H ( s ) = TL(h(t ))

M

avec

P(s) H ( s) = =K⋅ Q( s)

∏ (s − z j =1

j

)

N

∏ (s − p ) i

i =1

pôles

Système stable ⇔ ||h(t)||1< ∞ ⇔ Re(pi) < 0 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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ν σ

ε ν τ ρ ε

Λα π λ α χ ε

ε τ

Φο υ ρ ι ε ρ

s = r + jw = r + j.2πf •Pour s imaginaire pur, s = jw = j.2et πfon retombe sur Fourier H(s)=H(f) •H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace •Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t)

s=j ω

1 H ( s) = s+a

ρ ϕ

un pôle en s=-a

-a

v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a

v = s + a = ρ . exp( jϕ )

1 H ( jω ) = exp( − jϕ ), ρ 1 H ( jω ) = et Arg ( H ( jω )) = −ϕ ρ

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1.3 Transformée en Z •Définition X ( z) =

+∞

−n [ ] x n z ∑

z = r e j 2πf

n = −∞

Somme de série... donc problèmes de convergence !

•Quelques propriétés –Linéarité –Décalage temporel x: [ n − i ]

T .Z .

← → z −i X ( z )

–Convolution : x1[ n] * x2 [ n] ← → X 1 ( z ) X 2 ( z ) –Multiplication par série z T .Z . n exponentielle : a x[ n] ← → X ( ) T .Z .

– Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

a

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µ ε σ

δ ι φ φ ρ ε ν τ ι ε λ σ

ε τ

Τ Ζ

y (n) + a1 y (n − 1) + ... + a P y (n − M ) = b0 x(n) + b1 x(n − 1) + ... + bQ x(n − N ) Y ( z ) + a1Y ( z ) z −1 + ... + a P Y ( z ) z − M = b0 X ( z ) + b1 X ( z ) z −1 + ... + bQ X ( z ) z − N Causal : N ≥ Μ

•Fonction de transfert −1

N

−N

Y ( z ) b0 + b1 z + ... + bQ z H ( z) = = =K −1 −M X ( z ) 1 + a1 z + ... + a P z H(z)=TZ(h(t))

∏ (z − z

j

)

j =1 M

∏ (z − p ) i

i =1

Système stable ⇔ |pi|< 1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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ο ν σ

ε ν τ ρ ε

Τ Ζ

ε τ

Φο υ ρ ι ε ρ

z = exp(j2pf) → on restreint z au cercle unité

X ( z)

z =1

=

+∞

∑ x[ k ]exp( − j 2π f k ) = X ( f )

k =−∞

f=1/4

Im(z) f croissante

On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité

f=0

f=1/2 -1

Re(z)

1

f=1

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ο ν σ

ε ν τ ρ ε

Λα π λ α χ ε

ε τ

Τ Ζ

Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné : +∞

X e ( s) =

∫ ∑ x[ kT ]δ (t − kT ) exp( − st )dt

−∞ k =−∞

=∑ =

+∞

∫ x[ kT ]δ (t − kT ) exp( − st )dt

+∞

∑ x[ kT ]exp( − ksT )

k =−∞

= X(z) avec z=exp(sT) En posant s

= r + jw= r +j2pf

on obtient z =exp(rT)exp(j2pfT) c.à.d une périodicite de 1/T dans le plan des Z

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Im(z)

Im(s) 6π Fe 4π Fe

k s = r + j 2π ( f + ) T k = −∞ ,...,0,..., +∞ , k entier

f=0 f=1

2π Fe Re(s)

0 -2π Fe

1

-4π Fe -6π Fe Plan des Z

Plan de Laplace Im(z)

Im(s)=ω

2π Fe=2π /T f=0 f=1 0

Plan de Laplace

Re(s)=r

0

1

Re(z)

Plan des Z

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Re(z)

ρ τ α τ ι ο ν 1 X ( z) = z+a

γ ο µ τ ρ ι θ υ ε

f=0 f=1

ϕ 0

λ α

|a|<1

ρ -a

δ ε

1

Re(z)

1 X( f ) = ρ

Arg ( X ( f )) = −ϕ Périodicité de X(f)

Plan des Z

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Τ Ζ

2. Chaîne de traitement numérique du signal •Chaîne de traitement numérique •Échantillonnage –Échantillonnage idéal : Th. de Shannon –Filtre anti-repliement –Échantillonnage réel •Quantification –Pas, niveaux, erreur et bruit –Quantification scalaire uniforme linéaire –Quantification scalaire non uniforme, loi de compression •Restitution –Restitution idéale –Restitution réelle

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2.1 Chaîne de traitement numérique du signal •Avantages des systèmes numériques -Faibles tolérances des composants -Sensibilité réduite, Précision contrôlée -Reproductibilité, pas de réglage -Souplesse, nombre d’opérations illimité -Systèmes non réalisables en analogique -

•Inconvénients -Inconvénients des systèmes numériques -Source d’énergie nécessaire -Limitations en haute fréquence -CAN/CNA -Bande passante nécessaire importante

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ae− δ=18, Filtre Convertisseur g(t), bloqueur Système numérique tnr(t), pY fs*T g19,... 120,... []khxG H /zX ()SyrTf ...6, eh[n],H(z) E R traitement anti-repliement ...5, Echantillonneurect T ériodique inc17, R(f) 9, G(f) passe-bas de 12, 11, 13, 14, de et16, 15, 17, ∑ N/A A/N restitution

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•Filtre analogique anti-repliement –Eliminer les hautes fréquences

•(Echantillonneur-bloqueur) –Maintien du signal à l’entrée du convertisseur

•Convertisseur analogique numérique (CAN) –Convertir en binaire l’amplitude des échantillons

•Système numérique de traitement –Calcul sur la suite de valeurs binaires

•Convertisseur numérique analogique (CNA) –Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique

•(Filtre de restitution) –Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA

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2.2 Echantillonnage •Problème

Température Orage

Jour Nuit

Nuit

Temps

•Mesurer la température mais ... pour quelle application ? •Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique. •Combien de mesures par jour ? 1 ou ... 10100 (ou plus !) •Comment ne pas perdre ou déformer l’information «utile»

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ν τ ι λ λ ο ν ν α γ ε xe (t ) = x (t ) δT (t ) =

ι δ α λ

+∞

∑ x[ kT ]δ (t − kT )

k =−∞

1 1 +∞ k X e ( f ) = X ( f ) *δ1 ( f ) = ∑ X ( f − ) T T k =−∞ T T X(f)

x(t)

t

-FMAX 0 FMAX Xe(f)

xe(t)

T=1/Fe

t

-1/T -FMAX 0

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Périodisation en fréquence

f Filtre de restitution

FMAX Fe=1/T

2/T

f

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λ λ ο ν ν α γ ε

ι δ  α λ

: Τ η ο ρ µ ε

δ ε

•Si Fe > 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible

• Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre • On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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Σηα

ρ ε

α ν τ ι −ρ ε π λ ι ε µ ε ν τ •Pour éviter le repliement de spectre on élimine les fréquences contenues dans le signal analogique supérieures à Fe /2 •On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre antirepliement •Le filtre anti-repliement définit Fmax !

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τ ρ α τ ι ο ν

: στ ρ ο µ β ο σχ ο π ε

1 x (t ) = cos( 2πf 0t ) ←→ X ( f ) = [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] 2 TF

Fréquence d’échantillonnage Fe = f0+ε

Xe ( f ) =

1 δ ( f − f 0 + ( f 0 + ε )) + δ ( f + f 0 − ( f 0 + ε )) +.... 2 1 X e ( f ) = δ ( f − ε ) + δ ( f + ε ) +....... 2

[

[

]

]

Fréquence apparente ε

Xe(f)

-f0 -Fe −ε ε Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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f0 Fe 27

α ν τ ι λ λ ο ν ν α γ ε

ρ ε λ

•Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2 –Filtre anti-repliement non idéal –Filtre anti-repliement impossible (CCD) –Bruit de la partie analogique de la chaîne d’acquisition

•Effet de l’échantillonneur-bloqueur •Échantillonnage des signaux de fréquence proche de Fe/2

Fe > (2+k) Fmax Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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28

2.3 Quantification Réduction d ’un espace de valeurs Espace infini de valeurs → Espace fini de valeurs → niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux consécutifs → pas (plage) de quantification (∆ )

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ο υ

β ρ υ ι τ ) δ ε

θ υ α ν τ ι φ ι χ α τ ι ο ν

ε (t ) = xe (t ) − xq (t ) xe(t) : signal échantillonné non quantifié xq(t) : signal échantillonné quantifié

Le rapport signal sur bruit de quantification

( RS / B ) q

PS = PB

PS : puissance du signal m(t) PB : puissance du bruit de quantification Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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σ

δ ε

θ υ α ν τ ι φ ι χ α τ ι ο ν

•Quantification scalaire = échantillon par échantillon •Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur) • •Quantification uniforme = plage constante •Quantification non uniforme •Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)

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α τ ι ο ν

σ χ α λ α ι ρ ε

υ ν ι φ ο ρ µ ε

λ ι ν 

•Plage de quantification ∆ = cte •Niveau de quantification = milieu des plages •Nombre de niveaux : Nnq = dyn/∆ •Erreur de quantification : - ∆ /2 ≤ ε (t) <+ ∆ /2

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La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire : ∆/2

∆2 PB = ε (t ) = ∫ ε . f (ε ).dε = σ = 12 −∆ / 2 2

2

2 ε

où f() désigne la densité de probabilité de , supposée constante :

f (ε ) =

1 = Cte ∆

La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité. Si elle est de type gaussienne avec mmax =3

( 2mmax ) 1 2 2 PS = σ = mmax = 9 36

( RS / B ) q

2

2 PS 4 mmax 1 2 = = = Nnq ⇔ ( RS / B ) dB = − 4.77 + 6 N 2 PB 3 ∆ 3

Nnq=2N Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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33

δ ε

θ υ α ν τ ι φ ι χ α τ ι ο ν

δ υ

ΧΑΝ

•Plage d’entrée du CAN P •Nombre de bits en sortie N •Pas de quantification ∆ = P/2N

( RS / B ) dB

P = 6 N + 10.8 + 20 log10 ( ) σx

Pour P= 8 σ x (1 ech / 15000 > 4, σ on a :

x)

( RS / B ) dB = −7.27 + 6 N

Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio) il faut au moins N=16 bits.

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34

χ α τ ι ο ν

σ χ α λ α ι ρ ε

Quantification uniforme

ν ο ν

υ ν ι φ ο ρ µ

(RS/N )q est non constant (peut devenir très faible!)

 dépend de l’amplitude du signal Erreur de quantification non constante

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35

δ ε

χ ο µ π ρ ε σ σ ι ο ν

Compression (loi)

Quantification uniforme

Pré-traitement des valeurs et conservation d ’un quantificateur simple

Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs

Loi de compression logarithmique Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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ο µ π ρ ε σ σ ι ο ν

λ ο γ α ρ ι τ η µ ι θ υ ε

Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé : x =

Α, µ

m( t ) mc(t ) , y= m max mcmax

Les valeurs de A = 87.6 et µ = 255 sont normalisées. (RS/N )q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB

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σ ι ο ν

λ ο γ α ρ ι τ η µ ι θ υ ε

π α ρ

σ ε γ µ ε ν τ

L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion réciproques est impossible → Approximation par segments

1 1

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ι ο ν

δ ι µ π υ λ σ ι ο ν σ

χ ο δ ε σ

(Μ Ι Χ ,

CAN (q = 2n) m(t)

Echantillonnage

Quantification

Codage

fréquence fe

q niveaux

n bits

A chaque valeur échantillonnée et quantifiée

MIC

mot de n bits -code-

Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation Le codage de source est un traitement numérique, bien qu ’une loi de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !!

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39

Exemple : La téléphonie

L’utilisation d’un MIC à à compression par segments non uniforme (loi A) permet de coder les 256 niveaux de quantification par : n = log2 256 =8 bits

Fe=8 kHz D = 8 *8=64 kbit/s

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40

2.4 Restitution

ι ο ν

ι δ α λ ε , ι ν τ ε ρ π ο λ α τ ε υ ρ

ι δ α

Filtre de X (f)

x (t)

restitution

e

e

T=1/F

t

-1/T

-F

MAX

0

F

MAX

F =1/T e

f

2/T

e

X(f)

x(t)

t

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-F

MAX

0

F

f

MAX

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41

•Interprétation temporelle

xe ( t ) = ∑xe [ kT ]δ( t − kT )



1 k Xe( f ) = ∑ X ( f − ) T T

• Filtrage passe-bas 1 f T X e ( f )rect ( f T ) = X e ( f )rect ( ) = X ( f ) Fe Fe

t = = x(t ) xe (t ) * Sinc( ) T

t ∑ xe [ kT δ] (t − kT ) * Sinc( T )

t − kT x (t ) = ∑ xe [ kT ]Sinc ( ) T

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42

•Interpolateur idéal de Shannon

t − kT x (t ) = ∑ xe [ kT ]Sinc ( ) T

L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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ο ν

ρ  ε λ λ ε

(Χ Ν Α ), ι ν τ ε ρ π ο λ α τ ε υ ρ δ x(t)

•Cas N=0

t − T2 x (t ) = xe (t ) * rect ( ) T T

•Conséquences spectrale

t

T X ( f ) = T X e ( f ) Sinc ( f T ) exp( − j 2π f ) 2

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•Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0 Xe(f)

xe(t)

t

T=1/Fe

-1/T -FMAX 0

FMAX Fe=1/T

Filtre de restitution

2/T

f

X(f)

x(t)

t

-FMAX 0 FMAX

f

Filtre de restitution (analogique, passe-bas) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal

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