10a.-estructuras-laminares

ESTRUCTURAS LAMINARES

1

ESTRUCTURAS IV

ESTRUCTURAS LAMINARES JUAN PÉREZ VALCÁRCEL Catedrático de Estructuras E.T.S.A. de La Coruña E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

2

ESTRUCTURAS IV

ESTRUCTURAS LAMINARES ‰

Conceptos generales de láminas.

‰

Láminas de revolución.

‰

-

Láminas en estado de membrana.

-

Flexiones de borde.

Láminas de traslación. -

Láminas en estado de membrana.

-

Láminas largas.

‰

Paraboloides hiperbólicos.

‰

Flexión general de láminas.

‰

Deformación inextensible.

‰

Pandeo.

‰

Modelización en elementos finitos.

E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

3

ESTRUCTURAS IV

Hipódromo de la Zarzuela. Madrid. Arq.:

Ing.: Eduardo Torroja.

Vista de las láminas de cubierta. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

4

ESTRUCTURAS IV

Teatro de la Ópera de Sydney Arq.: John Utzon

Ing.: Owe Arup

Idea básica E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

5

ESTRUCTURAS IV

Teatro de la Ópera de Sydney Arq.: John Utzon

Ing.: Owe Arup

Vista general E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

6

ESTRUCTURAS IV

Teatro de la Ópera de Sydney Arq.: John Utzon

Ing.: Owe Arup

Vista general E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

7

ESTRUCTURAS IV

Teatro de la Ópera de Sydney

E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

8

ESTRUCTURAS IV

Teatro de la Ópera de Sydney

E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

9

ESTRUCTURAS IV

Teatro de la Ópera de Sydney

Detalle de la cubrición E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

10

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS.- CONCEPTOS GENERALES PLACAS

Mecanismo resistente principal:

Qx

Mx

Flexión

Qy q

M xy

Myx

M yx

My

My

Mxy

Qy

LÁMINAS

Mecanismo resistente principal:

Tracción -compresión

El mecanismo resistente de las láminas en estado

Nx

Mx Qx

Qy N yx N y

Qx Nxy q

Nyx

Ny Qy

de membrana es mucho más efectivo que el mecanismo de flexión.

Nxy Qx

ANALOGÍA Elementos unidireccionales

Elementos bidireccionales

VIGAS

PLACAS

CABLES o ARCOS

LÁMINAS

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Nx

ESTRUCTURAS LAMINARES

11

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS.- CONCEPTOS GENERALES

z

Superficie media de la lámina f(x,y,z) = 0

x 2 + y2 + z 2 = r 2

x

y

Espesor medio de la lámina (puede ser variable)

z

e = t(x,y,z)

a ⋅ x 2 + b ⋅ y2 + c ⋅ z 2 = d x

y

z

a ⋅ x 2 + b ⋅ y2 + c ⋅ z = 0 x

y

z

a ⋅ x 2 - b ⋅ y2 + c ⋅ z = 0 x

y

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ESTRUCTURAS LAMINARES

12

ESTRUCTURAS IV

PLANTEAMIENTO GENERAL DE LOS ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS LAMINARES. Superficie media de la lámina

f(x,y,z) = 0

Espesor de la lámina (puede ser variable)

e=t(x,y,z)

ESFUERZOS EN LÁMINAS. z

Se define un elemento

xz

yz dz

z

radios de curvatura en ambas direcciones.

+h/2

z

la superficie de la lámina. Se definen los centros y

dz

dx

dy

diferencial (dx,dy) sobre

y

y

yx

xy

x -h/2

+h/2

-h/2

x y

ry Esfuerzos contenidos en

Esfuerzos de

el plano de la lámina

Membrana.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

13

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS EN LÁMINAS. z

dx

dy yz

xz

dz

z +h/2

xy

yx

y

y

x

x

-h/2

Ny

Nx

1 t/2 ⋅ σ ⋅ z ⋅ dz ⋅ ds dx ∫− t/2 x 1 t/2 My = ⋅ σ y ⋅ z ⋅ dz ⋅ ds dy ∫− t/2 1 t/2 Mxy = ⋅ τ ⋅ z ⋅ dz ⋅ ds dx ∫− t/2 xy 1 t/2 Myx = ⋅ τ ⋅ z ⋅ dz ⋅ ds dy ∫− t/2 yx 1 t/2 Qx = ⋅ τxz ⋅ dz ⋅ ds dx ∫− t/2 1 t/2 Qy = ⋅ τ ⋅ dz ⋅ ds dy ∫− t/2 yz Mx =

Esfuerzos de flexión

z Qy

Qx

dx

dy Mx

My

dz

y

Esfuerzos de membrana 1 t/2 ⋅ σ x ⋅ dz ⋅ ds Nx = dx ∫− t/2 1 t/2 Ny = ⋅ σ ⋅ dz ⋅ ds dy ∫− t/2 y 1 t/2 Nxy = ⋅ τ ⋅ dz ⋅ ds dx ∫− t/2 xy 1 t/2 Nyx = ⋅ τyx ⋅ dz ⋅ ds dy ∫− t/2

Qx

y

z +h/2

x Qy

x

-h/2 Mx

My

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ESTRUCTURAS LAMINARES

14

ESTRUCTURAS IV

Cálculo del elemento de longitud ds z

ds = (rx + z) ⋅ dϕx pero dϕx =

dy

ds = z

ds dx

y

dx rx

rx + z ⋅ dx rx

Si consideramos que

⎛ z⎞ ds = ⎜ 1 + ⎟ ⋅ dx r ⎝ x ⎠ o bien

x

x

z<
⎛ z⎞ ds = ⎜ 1 + ⎟ ⋅ dy ⎜ ry ⎟⎠ ⎝ CRITERIO DE SIGNOS +M x

+N xy +N

+Nyx

z

x

dx

dy y +N y

+M +N

+Nyx

xy

+Qy

+Q x

dy

y

x

+M

x +M

xy

+Q y

xy

+M x

y +N

+M

dx

+My

x +N xy

z

+M y

xy

+Q x

Cada esfuerzo será positivo si la componente de la cara frontal coincide con el sentido positivo del eje. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

15

ESTRUCTURAS IV

PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Z.dx.dy

N x.dy

( Q y+ ( N y+

Qy

dy ).dx y Ny dy ).dx y

Qx.dy

Qy.dx

Qx .dy

x

y

Qx

( Q x+

x

x

dx ).dy

Nx

( N x+

dϕ

Qx dx ).dy x

N x.dy

N y.dx

z dx

dy

( Qx +

x

(N x+

Nx x

dx ).dy

=0 (inf. 2º orden) y

dx ).(dy +

x

d ϕy /2

dx)

d ϕ y /2

dϕ

y

∑F

Ecuación de equilibrio eje z

z

=0

Proyectamos las fuerzas del plano Ozx sobre el eje z ∂N ∂Q x ⎞ dϕ dϕ ⎛ dϕ ⎛ ⎞ Z ⋅ dx ⋅ dy − ⎜ Nx + Nx + x dx ⎟ ⋅ dy ⋅ sen x − Q x ⋅ dy ⋅ cos x + ⎜ Qx + dx ⎟ ⋅ dy ⋅ cos x ∂x ∂x 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

16

ESTRUCTURAS IV

Además habría que proyectar las fuerzas del plano Ozy sobre el eje z dϕ ∂Ny ⎞ ∂Q y ⎞ dϕ dϕ ⎛ ⎛ − ⎜ Ny + Ny + dy ⎟ ⋅ dx ⋅ sen y − Qy ⋅ dx ⋅ cos y + ⎜ Q y + dy ⎟ ⋅ dx ⋅ cos y ∂y ∂y 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sen dϕ ≈ dϕ ; sen dϕ / 2 ≈ dϕ / 2 considerando que cos dϕ ≈ 1 ; cos dϕ / 2 ≈ 1 resulta ∂Nx ⎞ ⎛ ∂Ny ⎞ ⎛ Z ⋅ dx ⋅ dy − ⎜ Nx + dx ⎟ ⋅ dy ⋅ dϕx − ⎜ Ny + dy ⎟ ⋅ dx ⋅ dϕy − ∂x ∂y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂Qy ⎞ ⎛ ∂Q x ⎞ ⎛ −Q x ⋅ dy + ⎜ Q x + dx ⎟ ⋅ dy − ⎜ Q y + dy ⎟ ⋅ dx = 0 ∂x ∂y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dividiendo por dx.dy ∂Q y ⎛ ⎞ dϕy ∂N x ∂N y ∂Q x ⎛ ⎞ dϕx − ⎜Ny + + + = 0 Z − ⎜Nx + dx ⎟ ⋅ dy ⎟ ⋅ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎝ ⎠ dx ⎝ ⎠ dy Como dϕ y dϕx 1 1 = ; = dx rx dy ry ∂Q y ⎛ ⎞ 1 ∂N x ∂N y ∂Q x ⎛ ⎞ 1 − ⎜Ny + + + = 0 Z − ⎜Nx + dx ⎟ ⋅ dy ⎟ ⋅ ∂x ∂y ∂x ∂y ⎝ ⎠ rx ⎝ ⎠ ry De las 6 ecuaciones de equilibrio

∑F ∑M

x

x

= 0

;

= 0

;

corresponde a

∑F ∑M

∑

y y

= 0

;

= 0

;

∑F ∑M z

= 0 z

= 0

; ;

Fz = 0

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ESTRUCTURAS LAMINARES

17

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN ESFUERZOS NORMALES

ESFUERZOS TANGENCIALES

Nϕ .ro.d θ Nθ .r1 .d ϕ

Nθϕ .ro.d θ

θ

dϕ

( Nθ +

( Nϕ +

Nϕ

ϕ

Nθϕ .r1.d ϕ

ϕ

Nθ θ

r1 .dϕ

r1 .dϕ

dθ ro .d

ro .d

( Nθϕ + d ϕ ).ro .d θ

Nθϕ

ϕ

ϕ dϕ

( Nθϕ +

d θ ).r1 .d ϕ

Equilibrio de fuerzas

dθ ro

θ

Nθϕ

θ

dθ ).ro .d ϕ

dϕ).ro .d θ

ro ⋅ dϕ ∂Nϕ ⋅ d ϕ) ⋅ ∂ϕ Esf. por ud long. Long. (Nϕ +

ro

r2

Radios de curvatura Radio en sentido meridiano r1 ro

Radio en sentido paralelo

r2

Radio de curvatura horizontal

α = d θ ⋅ cos ϕ

r2 =

d

z x

y

r0 sen ϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

18

ESTRUCTURAS IV

Ecuaciones de equilibrio Fuerza exterior

F(x,y,x)

Proyección de fuerzas sobre los ejes x,y,z Proyección sobre el eje x

X ⋅ r0 ⋅ dθ ⋅ r1 ⋅ dϕ+

∂Nθϕ ∂ϕ

⋅ dϕ ⋅ r0 ⋅ dθ+

Tangente al paralelo ∂Nθ ⋅ dθ ⋅ r1 ⋅ dϕ+ ∂θ

∂N dθ ⋅ cos ϕ dθ ⋅ cos ϕ + Nθϕ ⋅ r1 ⋅ dϕ ⋅ +(Nθϕ + θϕ dθ) ⋅ r1 ⋅ dϕ ⋅ =0 2 ∂θ 2 -------α/2 ≈ sen α/2 Eje x Eje y Eje z

∂Nθϕ

∂Nθ ⋅ r1+ Nθϕ ⋅ r1 ⋅ cos ϕ =0 ∂θ ∂N Y ⋅ r0 ⋅ r1 + ⋅ r + ϕ ⋅ r - N ⋅ r ⋅ cos ϕ =0 ∂θ 0 ∂ϕ 0 θ 1 Nθ Nϕ + =Z r2 r1 X ⋅ r0 ⋅ r1 +

∂ϕ ∂Nθϕ

⋅ r0 +

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ESTRUCTURAS LAMINARES

19

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANAS DE REVOLUCIÓN SIMÉTRICAS DE FORMA Y CARGA En este caso

X

1.- x = 0

X

X X

X

La membrana giraría 2.-

∂ =0 ∂θ

3.-

Nθϕ = Nϕθ

X

Puesto que los esfuerzos serían simétricos y contrarios, lo que es imposible. El sistema se reduce a

Eje x

Se anula identicamente ∂N Y ⋅ r0 ⋅ r1 + ϕ ⋅ r0 - Nθ ⋅ r1 ⋅ cos ϕ =0 ∂ϕ Nθ Nϕ + =Z r2 r1

Eje y Eje z

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ESTRUCTURAS LAMINARES

20

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA ESFÉRICA CON CARGA SIMÉTRICA Pϕ

Nϕ

ϕ Nϕ .sen ϕ

ro

Nϕ

ϕ

Nϕ

a

ϕ Nϕ

Nϕ Nϕ

La resultante de las cargas exteriores Pϕ se equilibra con las componentes verticales de Nϕ Pϕ = -Nϕ ⋅ senϕ ⋅ 2π ⋅ r0

→

Nϕ = -

Pϕ 2π ⋅ r0 ⋅ senϕ

De la ecuación de membrana N Nθ + ϕ =Z r2 r1

→

Nθ = a ⋅ Z - Nϕ Nθϕ = 0

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ESTRUCTURAS LAMINARES

21

ESTRUCTURAS IV

CÚPULA ESFÉRICA SOMETIDA A SU PROPIO PESO Pϕ

ro

Nϕ

ϕ

-g.cos ϕ Nϕ

Nϕ a

ϕ

g

ϕ

La resultante de las cargas exteriores Pϕ será el peso propio por m2 multiplicado por la superficie del casquete esférico situado por encima del ángulo ϕ Pϕ = g ⋅ 2π ⋅ a.h = g.2π ⋅ a2 ⋅ (1-cosϕ ) Pϕ

2π ga2 (1-cosϕ) a⋅g =2π ⋅ r0 ⋅ sen ϕ 2π a ⋅ (1-cos2ϕ) 1+cosϕ a⋅g Nθ = a ⋅ Z - Nϕ Nθ = - a ⋅ g ⋅ cosϕ + → 1+cosϕ Nϕ = -

2

=-

Nθϕ = 0

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ESTRUCTURAS LAMINARES

22

ESTRUCTURAS IV

DIAGRAMA DE ESFUERZOS SOBRE UNA CÚPULA ESFÉRICA

-a.g/2

-a.g/2

-

N

N

ϕ=0

+ -a.g

+a.g

ϕ=

π 2

⇒ Nϕ = -

a⋅g 2

⇒ Nϕ = -a ⋅ g

; Nθ = -

a⋅g 2

; Nθ = +a ⋅ g

Los esfuerzos Nϕ son siempre de compresión. Los esfuerzos Nθ son de compresión para pequeños ángulos y de tracción para grandes valores de θ. El ángulo límite de compresiones es la solución de :

Nθ = - a ⋅ g ⋅ cosϕ +

a⋅g =0 1+cosϕ

cos 2ϕ + cosϕ - 1 =0 ⇒ cosϕ = 0,618

ϕ = 51º50'

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ESTRUCTURAS LAMINARES

23

ESTRUCTURAS IV

CÚPULA ESFÉRICA SOMETIDA A NIEVE p

Pϕ

-

Nϕ

-

ro

Nϕ

-p.cos 2 ϕ

ϕ

Nϕ

Nθ

Nϕ

45º

a

ϕ

p.cos ϕ

ϕ

+ Diagrama de esfuerzos a⋅p a⋅p ϕ=0 ⇒ Nϕ = ; Nθ = 2 2 π a ⋅p a ⋅p ϕ= ⇒ Nϕ = ; Nθ =+ 2 2 2

Pϕ = g ⋅ π ⋅ r0 2 = g.π ⋅ a2 ⋅ sen2ϕ) Pϕ π p ⋅ a2 ⋅ sen2ϕ a⋅p ==2 2π ⋅ a ⋅ sen ϕ 2π a ⋅ sen2ϕ 2 Nθ = a ⋅ Z - Nϕ Nϕ = -

a⋅p a⋅p a⋅p ⋅ cos2 ϕ + =( 2cos2ϕ-1) 2 2 2 a⋅ p Nθ = cos 2ϕ 2 Nθϕ = 0

El ángulo límite de compresiones es la solución de:

Nθ = -

a⋅p ⋅ cos 2ϕ = 0 2 ⇒ ϕ = 45º cos 2ϕ = 0

Nθ = -

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ESTRUCTURAS LAMINARES

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ESTRUCTURAS IV

CÚPULA ESFÉRICA SOMETIDA A VIENTO θ = −π/2

θ =0

ϕ = −π/2

θ=π

ϕ =0

viento

ϕ=π

θ = π/2

Los esfuerzos de membrana serán (según Flügge)

Se supone una acción simplificada del viento, normal a la superficie y de valor: X=0 ; Y=0 ; Z=-p sinϕ cosθ Nϕ

N θϕ

θ=0

-2/3 ap

θ=π/2

a ⋅ p (2+cosϕ)(1-cosϕ)cosϕ ⋅ cosθ 3 (1+cosϕ) senϕ

Nθ =-

a ⋅ p (3+4cosϕ+2cos 2ϕ)(1-cosϕ) ⋅ cosθ 3 (1+cosϕ) senϕ

Nθ

a

a

Nϕ =-

-ap

θ=0

Nθϕ =-

a ⋅ p (2+cosϕ)(1-cosϕ) ⋅ senθ 3 (1+cosϕ) senϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

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ESTRUCTURAS IV

CÚPULA ESFÉRICA SOMETIDA A VIENTO (EXPERIMENTAL) VIENTO

b 60º

90º

120º

150º

180º

α=0 a

b

a

180º

A (2.45)0.5

(1.65)0.7

90º

(0.25)0.5

30º (0.25)0.5

0º

(0.25)0.5

+(1.0)1.0

+(0.1)0.55

0º

c d

B 180º

0º b

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ESTRUCTURAS LAMINARES

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ESTRUCTURAS IV

CÚPULA ESFÉRICA CON LUCERNARIO h

Nϕ

ϕ0 ϕ

Peso propio

Nieve

Pϕ=2π a h ⋅ g = g ⋅ 2π a2 (cos ϕ0 − cos ϕ)

Nϕ =-

ag (cosϕ0 -cosϕ) sen2ϕ

Nθ =-a ⋅ g ⋅ cosϕ + Nθϕ =0

Pϕ= π ⋅ a2 ⋅ (sen2ϕ - sen2ϕ0 ) Esfuerzos lámina

Esfuerzos lámina

ag (cosϕ0 -cosϕ ) sen2 ϕ

Nϕ

a

Nϕ =-

a ⋅ p ⎛ sen2ϕ0 ⎞ ⋅ ⎜1 ⎟ 2 ⎝ sen2ϕ ⎠

Nθ =-

sen2 ϕ0 ⎞ a⋅p ⎛ ⋅ ⎜ cos 2ϕ + ⎟ 2 ⎝ sen2 ϕ ⎠

Nθϕ =0

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a

ESTRUCTURAS LAMINARES

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ESTRUCTURAS IV

CÚPULA ESFÉRICA CON LUCERNARIO : CARGA DE BORDE W

ϕ0

W sen ϕ 0

Wctg ϕ 0

w

a

ϕ0 ϕ

Nϕ Carga del lucernario

a

Nϕ

Pϕ=2π a senϕ0 ⋅ w Nϕ =-

Esfuerzos lámina

ϕ0

2πa senϕ0 ⋅ w w senϕ0 =2πa senϕ ⋅ senϕ sen2 ϕ

Nθ =a ⋅ Z - Nϕ =- Nϕ =

w senϕ0 sen2 ϕ

Nθϕ =0 E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

28

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CÓNICA CON CARGA SIMÉTRICA p

Pϕ Nϕ

Pϕ

a

ϕ xo

Nϕ

α

Nϕ

α

a

α

g

α

α

Peso propio

xo

Nϕ

-g.cos ϕ

Nϕ

Nϕ

-p.cos 2 α

Nϕ

a

α

α

p.cos α

α

Pϕ=π ⋅ x ⋅ a ⋅ g=

π ⋅ x2 ⋅ g cos α

Pϕ xg πx 2 g Nϕ ===2πx ⋅ senα 2πx ⋅ senα cos α sen2α Nθ Nϕ x + =Z ⇒ r2 = ⇒ r2 r1 senα Nθ ⋅ senα Nϕ + =Z x ∞ Nθϕ =0

⇒

Nθ =

x⋅Z xg ⋅ cosα =senα senα

Nieve

Pϕ= π ⋅ x 2 ⋅ p

πx 2p xp =2πx ⋅ senα 2senα x ⋅ p ⋅ cos2 α Nθ =senα Nθϕ =0 Nϕ =-

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ESTRUCTURAS LAMINARES

29

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CÓNICA CON LUCERNARIO

Peso propio p

p

g ⋅ (x 2 -x 0 2 ) x ⋅ sen2α g ⋅ x ⋅ cos α Nθ =senα Nθϕ =0

Nϕ =Pϕ

xo Nϕ

α

Nϕ

Nϕ

α

a

α

x

Nϕ

-g.cos ϕ

Nϕ

Pϕ

xo

x

g

α

α

-p.cos 2 α

Nϕ

a

α

p.cos α

α

α

Nieve p ⋅ (x 2 -x 0 2 ) 2x ⋅ senα p ⋅ x ⋅ cos2 α Nθ =senα Nθϕ =0 Nϕ =α

wctg α

Nϕ

w

α

xo

x

Nϕ Nϕ

w sen α

Carga de borde

Nϕ

α

Nϕ =-

a

Nϕ

α

a

α

α

w ⋅ x0 x ⋅ senα

Nθ =0

α

Nθϕ =0

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ESTRUCTURAS LAMINARES

30

ESTRUCTURAS IV

LÁMINA ESFÉRICA DE FORMA TRIANGULAR Esfuerzos de membrana referidos a los ejes x,y

y A

C o

x

Nx =-

p ⋅h ⎛ 3x ⎞ h2 + 4x 2 ⋅ ⎜1 + ⋅ 4 ⎝ a ⎟⎠ h2 + 4y2

Ny =-

p ⋅h ⎛ 3x ⎞ h2 + 4x 2 ⋅ ⎜1− ⎟⋅ 4 ⎝ a ⎠ h2 + 4y2

Nxy =

3 p ⋅h y ⋅ ⋅ 4 4 a

En el borde AB donde x=-

B a/3 a

a 3

⇒

Nx = 0

el borde trabaja como un arco sometido a los esfuerzos que le trasmite la membrana.

h a

En este tipo de cúpulas se producen siempre grandes esfuerzos en los apoyos.

a/3 E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

31

ESTRUCTURAS IV

CÚPULA FORMADA POR SECTORES CILÍNDRICOS

F

ϕ x

ψ ϕ

x

Esfuerzos de membrana

Nϕ =-p ⋅ a ⋅ cos ϕ Nxϕ =-2 ⋅ p ⋅ x ⋅ senϕ

La fuerza en las uniones es

⎡ ⎤ ⎢ x2 1 sen2 ϕ-cos2ϕ ⎥ 2 π 2 ⋅ Nx = p ⋅ a ⋅ ⎢ 2 senϕ+tg ⋅ cosϕ ⋅ (1-6sen ϕ ) + ⎥ π n 1+cosϕ ⎥ ⎢a cos2 ⎣ ⎦ n π tg 2 n F= - 2p ⋅ a ⋅ ⋅ (1 - cosϕ) ⋅ ( sen2 ϕ - cosϕ ) sen ψ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

32

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS DE FLEXIÓN EN LOS BORDES El estado de membrana es incompatible en los bordes. Es necesario un elemento exterior de borde. Incompatibilidad de deformaciones borde-membrana → Esfuerzos de flexión

BORDE INFERIOR EN CÚPULAS DE REVOLUCIÓN Se coloca un anillo de borde

Fuerza radial en el anillo H = Nϕ ⋅ cosϕ Tracción sobre el anillo (radio r0)

Nϕ

T = H ⋅ r0 = Nϕ ⋅ cosϕ ⋅ r0 Deformación del anillo: Siempre en tracción

H

ε=

V

Nϕ

N ⋅ cosϕ ⋅ r0 σ T = = ϕ E E⋅A E⋅A

La deformación de la lámina puede ser de tracción o de compresión 1 ε= ⋅ (Nθ - ν ⋅ Nϕ ) E ⋅t

Ambas deformaciones deben ser compatibles:

•

No es posible en estado de membrana

•

Se producirán flexiones en los bordes

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ESTRUCTURAS LAMINARES

33

ESTRUCTURAS IV

EJEMPLO: Cúpula esférica sometida a su peso propio ϕ < 51º 50'

La incompatibilidad de deformaciones origina esfuerzos de flexión en los bordes de la lámina. δ

H

H

Métodos constructivos para reducir la perturbación de borde:

φ

•Aumento local de curvatura. •Aumento local y gradual del espesor.

ϕ > 51º 50'

•Compensación de los esfuerzos en el anillo. δ

H

φ

H

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ESTRUCTURAS LAMINARES

34

ESTRUCTURAS IV

ANILLO SUPERIOR EN LÁMINAS CON LUCERNARIO Compresión sobre el anillo w.ctg ϕ0 w.ctg α

w sen α

α

α

w r1

w α

r0

N = q ⋅ r0 = w ⋅ ctgϕ0 ⋅ a ⋅ senϕ0 = N = a ⋅ w ⋅ cosϕ0 La curva de transición modifica los radios de curvatura y por ello la ecuación de la membrana Nϕ = -

α ' = ϕ'

w senα

Nθ = Z ⋅ r2 + r2

ϕ0

a ϕ'

ϕ

Nϕ

Nϕ

w r ⋅ 2 senα r1

Si r1 y r2 son de distinto signo la compresión del anillo puede igualarse a la de la lámina Compensación de flexiones

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ESTRUCTURAS LAMINARES

35

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS DE FLEXIÓN EN DEPÓSITOS CIRCULARES Depósito cilíndrico

Esfuerzos de membrana

r

Pϕ = γ ⋅ z Nϕ = 0 Nθ = γ ⋅ z ⋅ r

z

δ

H Nθ

Mϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

36

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS DE FLEXIÓN EN DEPÓSITOS CIRCULARES Ecuación diferencial

Solución

D⋅

d4 δ E ⋅ t + 2 δ = Pr dz 4 r

r2 δ = C′ ⋅ e − λ ⋅z ⋅ sen ( λ ⋅ z + ω1 ) + C′′ ⋅ e λ⋅z ⋅ sen ( λ ⋅ z + ω2 ) + ⋅ Pr     E t

 ⋅  Onda amortiguada

Onda creciente

Solución particular

Se compone de una onda amortiguada, una exponencial creciente y una solución particular de la e.d. completa.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

37

ESTRUCTURAS IV

PERTURBACIONES DE BORDE Lámina de revolución

Mϕ

ψ

ϕ

ϕ

Ecuación diferencial

d4 ψ + 4 ⋅ χ4 ⋅ ψ = Z′ dϕ 4

siendo

χ=

4

3 ⋅ r14 r22 ⋅ t 2

y para láminas esféricas

χ=

4

3⋅ a t2

La solución general cuando no se interfieren los bordes será:

ψ = C ⋅ e − χα ⋅ sen( χ ⋅ α + w ) Siendo α el ángulo medido desde el borde

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ESTRUCTURAS LAMINARES

38

ESTRUCTURAS IV

PERTURBACIONES DE BORDE Lámina de revolución

ψ = C ⋅ e − χα ⋅ sen( χ ⋅ α + w ) M ϕ = Momento flector de perturbación Mϕ = Qy =

χ E ⋅ I dψ E ⋅ t 3 dψ E ⋅ t3 ⎛ ⋅ =− ⋅ =− ⋅ 2 ⋅ ⋅ C ⋅ e − χα ⋅ sen⎜ χ ⋅ α + w − ⎝ 12 ⋅ r1 dϕ 12 r1 dϕ r1 1 dMϕ E ⋅ t 3 d2 ψ E ⋅ t3 χ2 ⎛ ⋅ =− ⋅ = − ⋅ 2 ⋅ C ⋅ e − χα ⋅ sen⎜ χ ⋅ α + w − 2 2 ⎝ 12 ⋅ r1 d ϕ 6 r1 r1 d ϕ

π⎞ ⎟ 4⎠

π⎞ ⎟ 2⎠

Superposición de dos estados tensionales en la lámina: Estado ‘ : Es el estado de menbrana. Estado “ : Es el estado tensional producido por la perturbación de borde.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

39

ESTRUCTURAS IV

ESTADO “ La perturbación sobre la lámina de revolución la provoca una fuerza H” que se descompone en Qϕ y en N”ϕ

Qϕ

N′′ϕ = Q ϕ ⋅ ctg ( ϕ ) Aplicando a este estado la ecuación de membrana generalizada

N′′θ =

N''ϕ

r2 dQϕ ⋅ r1 dϕ

N′′θ = −

ϕ

ϕ

H"ϕ

3⋅ π⎞ E ⋅ t 3 r2 ⋅ χ 3 ⎛ ⋅ 3 ⋅ C ⋅ e − χα ⋅ sen⎜ χ ⋅ α + w − ⎟ ⎝ 4 ⎠ 3 ⋅ 2 r1

Y de la figura anterior

H′′ = Hϕ =

Qϕ sen(ϕ )

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ESTRUCTURAS LAMINARES

40

ESTRUCTURAS IV

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD PARA LA VIGA DE BORDE Lámina

Tensiones primarias (de membrana)

Tensiones secundarias Perturbaciones de borde

σ′θ =

N′θ t

ψ′ = 0

σ′′θ =

N′′θ t

ψ′′ = C ⋅ e − χα ⋅ sen ( χ ⋅ α + w )

Viga de borde Tensiones de torsión

σ′v =

H′ ⋅ r0 ∆t

ψ′v = ( H′ a − V ′b ) ⋅ ϕt Tensiones de torsión H′′ ⋅ r σ′′v = − ∆t ψ′′v = Mϕ + H′′ a ⋅ ψt

(

Condiciones de compatibilidad Equilibrio de tensiones

σ ′θ + σ ′′θ = σ v′ + σ v′′

Igualdad de deformaciones

ψ ′ + ψ ′′ = ψ v′ + ψ ′′v

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)

ESTRUCTURAS LAMINARES

41

ESTRUCTURAS IV

CASOS DE RESOLUCIÓN SIMPLE ψ=0

1.- Viga de borde rígida

ψ=0

ψ = C ⋅ e− χα ⋅ sen ( χ ⋅ α + ω )

⇒

2.- Viga de borde muy flexible Mϕ = −

⇒

ω=0

Mϕ = 0

E ⋅ t3 χ π⎞ ⎛ ⋅ 2 ⋅ ⋅ C ⋅ e −χα ⋅ sen ⎜ χ ⋅ α + ω − ⎟ 12 4 r1 ⎝ ⎠

⇒

ω=

π 4

Y con estos valores de ω entramos en la primera ecuación

σ θ′ + σ ′′θ = σ v′ + σ v′′ Siendo

σ ′θ =

α=0

por corresponder al borde.

N′θ t

σ ′v =

Nϕ ⋅ cos ϕ ⋅ r0 t

3π ⎞ N′′θ E ⋅ t 2 r2 ⋅ χ 3 ⎛ =− ⋅ 3 ⋅ C ⋅ e − χα ⋅ sen⎜ χ ⋅ α + w − ⎟ ⎝ 4⎠ t 3 ⋅ 2 r1 Qϕ H′′ = senϕ H′′ ⋅ r0 σ v′′ = − π⎞ E ⋅ t3 χ2 ⎛ ∆t Qϕ = − ⋅ 2 ⋅ C ⋅ e − χα ⋅ sen⎜ χ ⋅ α + w − ⎟ ⎝ 2⎠ 3 ⋅ 2 r1

σ ′′θ =

Valores que sustituidos en la ecuación de compatibilidad permiten calcular C. Sustituyendo este valor en las fórmulas anteriores obtenemos los esfuerzos que se producen. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

42

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS x

dx

rd φ

φ

dφ

Nxϕ

x

dx

z x

Nxϕ

Nx

Nx +

Nϕ

Nxϕ +

y Nxϕ +

Nxϕ dx x Nxϕ dϕ

ϕ

Nx Nϕ +

Nϕ

ϕ

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dϕ

ESTRUCTURAS LAMINARES

43

ESTRUCTURAS IV

Nx

Nx +

Nϕ

x

z

dx

y

z

Nxϕ

x Nxϕ

Nxϕ +

y Nxϕ +

Nxϕ dx x Nxϕ dϕ

dϕ

dϕ

2

2

Nϕ

Nϕ

Nϕ +

ϕ

ϕ

dϕ

Nx Nϕ +

Nϕ

ϕ

dϕ

dϕ

Proyectando sobre los ejes Eje x

⎛ ⎞ ∂Nxϕ ∂Nx ⎛ ⎞ ⋅ dx − Nx ⎟ ⋅ r∂ϕ + ⎜ Nxϕ + ⋅ dϕ − Nxϕ ⎟ ⋅ dx + X ⋅ r ⋅ d ϕ ⋅ dx = 0 ⎜ N x⋅ + ⎝ ⎠ ∂x ∂ϕ ⎝ ⎠ ∂Nxϕ ∂N x ∂Nxϕ ∂N x ⋅r + + X⋅r = 0 ⋅ dx ⋅ r ⋅ dϕ + ⋅ d ϕ ⋅ dx + X ⋅ r ⋅ d ϕ ⋅ dx = 0 ∂x ∂ϕ ∂x ∂ϕ

Eje y

∂N ϕ ∂Nxϕ ⋅ dϕ ⋅ dx + ⋅ dx ⋅ r ⋅ dϕ + Y ⋅ r ⋅ d ϕ ⋅ dx = 0 ∂ϕ ∂x

Eje z

2 ⋅ Nϕ ⋅ dx ⋅

dϕ − Z ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dx = 0 2

Despreciando infinitésimos de tercer orden

(1)

∂Nϕ ∂N + r ⋅ xϕ + Y ⋅ r = 0 ∂ϕ ∂x

(2)

Nϕ − Z ⋅ r = 0

(3)

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ESTRUCTURAS LAMINARES

44

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS

Nxϕ

x

dx

z x

Nxϕ

Nx

Nx +

Nϕ

Nxϕ +

y Nxϕ +

Nxϕ dx x Nxϕ dϕ

ϕ

Nx Nϕ +

Nϕ

La resolución del sistema es teóricamente inmediata 1

∂Nxϕ ∂N x ⋅r + + X⋅r = 0 ∂x ∂ϕ

de 3

Nϕ = Z ⋅ r

2

∂N ϕ ∂N + r ⋅ xϕ + Y ⋅ r = 0 ∂ϕ ∂x

de 2

1⎛ ∂N ϕ ⎞ Nxϕ = − ∫ ⎜ Y ⋅ r − ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ ) ∂ϕ ⎠ r⎝

de 1

∂Nxϕ ⎞ 1⎛ Nx = − ∫ ⎜ X ⋅ r − ⎟ ⋅ dx + C2 (ϕ ) ∂ϕ ⎠ r⎝

3

Nϕ − Z ⋅ r = 0

Las funciones C1 (ϕ ) y C2 (ϕ ) se determinan por las condiciones de contorno. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ϕ

dϕ

ESTRUCTURAS LAMINARES

45

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS

Nϕ 2 Nϕ 1

NOTA: De la tercera ecuación de equilibrio

Nϕ = Z ⋅ r Existen esfuerzos Nϕ en los bordes que deben ser contrarrestados con fuerzas exteriores si se desea mantener el estado de membrana. Soluciones: - Nervios de borde. - Pretensado. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

46

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS.- CONDICIONES DE CONTORNO Se establecen casi siempre en términos de desplazamientos por lo que es preciso estudiar el problema elástico en un elemento de lámina.

B A w

B'

A'

D

v u

D' C

C'

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ESTRUCTURAS LAMINARES

47

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS.- CONDICIONES DE CONTORNO dx u+

u A

u x

dx

B

v

v+

A'

v x

dx

B'

ds=rdϕ

ε'φ v+

v

φ

dϕ

=

2 π r-2 π (r-w) 2π r

w r

w

D

C

=-

C' D' u+

u

φ

dϕ

dϕ

rdϕ

Ecuaciones de deformación

Aplicando la ley de Hooke

∂u ∂x 1 ⎛ ∂v ⎞ εy = ⋅ ⎜ − w⎟ r ⎝ ∂ϕ ⎠

E ⋅ ε x = σ x − ν ⋅ σϕ

εx =

E ⋅ εϕ = σϕ − ν ⋅ σx G ⋅ γ xϕ = τ xϕ =

1 ∂u ∂v γ xϕ = ⋅ + r ∂ϕ ∂x

E ⋅γ 2 (1 + ν ) xϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

48

ESTRUCTURAS IV

Ecuaciones de deformación

∂u ∂x 1 ⎛ ∂v ⎞ εy = ⋅ ⎜ − w⎟ r ⎝ ∂ϕ ⎠

Aplicando la ley de Hooke E ⋅ ε x = σ x − ν ⋅ σϕ

εx =

E ⋅ εϕ = σϕ − ν ⋅ σx (1)

G ⋅ γ xϕ = τ xϕ =

1 ∂u ∂v γ xϕ = ⋅ + r ∂ϕ ∂x Pero

N= σ⋅t

E ⋅γ 2 (1 + ν ) xϕ

N = Esfuerzo por unidad de longitud. t = Espesor de la lámina. Sustituyendo en (1)

1 Nx − ν ⋅ Nϕ E⋅ t 1 εϕ = Nϕ − ν ⋅ Nx E⋅ t 2 (1 + ν ) γ xϕ = ⋅ Nxϕ E⋅ t

εx =

(

)

(

)

∂u 1 = ( Nx − ν ⋅ Nϕ ) ∂x E ⋅ t ⎞ 1 ⎛ ∂v 1 − w⎟ = ( Nϕ − ν ⋅ Nx ) ⎜ r ⎝ ∂ϕ ⎠ E⋅t 1 ∂u ∂v 2 (1 + ν ) ⋅ + = ⋅ Nxϕ r ∂ϕ ∂x E⋅t

Al imponer condiciones de contorno a u, v, w pueden obtenerse las correspondientes ecuaciones para Nx , Nϕ , Nxϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

49

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA DE DIRECTRIZ CIRCULAR. SOLUCIÓN POR SERIES Ecuaciones de equilibrio

Estas ecuaciones son fáciles de integrar si es posible poner las fuerzas exteriores de la forma: ∞

X = ∑ n Xn ⋅ cos ( nϕ )

Nϕ = Z ⋅ a

1

⎛ 1 ∂Nϕ ⎞ Nxϕ = − ∫ ⎜ Y + ⋅ ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ ) a ∂ϕ ⎠ ⎝ ⎛ 1 ∂N ⎞ Nx = − ∫ ⎜ X + ⋅ xϕ ⎟ ⋅ dx + C2 ( ϕ ) ∂ϕ ⎠ a ⎝

∞

Y = ∑ n Yn ⋅ sen (n ϕ) 1

Xn Yn Zn Son funciones sólo de x

∞

Z = ∑ n Z n ⋅ cos ( nϕ ) 1

Y sustituyendo estos valores: Nϕ = ∑ n Zn ⋅ cos ( nϕ ) ⋅ a Nxϕ = − ∫ ∑ n ( Yn ⋅ sen (nϕ ) − n ⋅ Z n ⋅ sen ( nϕ ) )dx + C1 ( ϕ ) ⎡ ⎛ 1 dC1 ⎞ ⎤ n Nx = − ∫ ∑ n ⎢ X n ⋅ cos ( nϕ ) − ⋅ cos (n ϕ) ⋅ ⎜ ∫ ( Yn − n ⋅ Zn ) ⋅ dx + ⋅ ⎥dx + C2 ( ϕ ) a a dϕ ⎟⎠ ⎦ ⎝ ⎣ Ecuaciones que pueden integrarse más fácilmente haciendo ∞

C1 ( ϕ ) = ∑ n A1n ⋅ sen ( nϕ ) 1

∞

C2 ( ϕ ) = ∑ n A 2n ⋅ cos (nϕ ) 1

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ESTRUCTURAS LAMINARES

50

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA DE DIRECTRIZ CIRCULAR. APLICACIONES 1.- Carga en forma de funciones circulares X=0 Y = Yn ⋅ sen (nϕ )

Yn = cte

Z = Zn ⋅ cos ( nϕ ) En tal caso

Nϕ = Z n ⋅ cos ( nϕ ) ⋅ a Nxϕ = − sen (nϕ ) ⎡⎣ ( Yn − nZn ) ⋅ x − A1 ⎤⎦ Nx =

⎤ n n ⎡ x2 ⋅ cos (n ϕ) ⋅ ⎡⎣ ∫ ⎡⎣( Yn − n ⋅ Zn ) ⋅ x − A1⎤⎦ ⋅ dx + A2 ⎤⎦ = ⋅ ⎢ ( Yn − n ⋅ Zn ) ⋅ − A1 ⋅ x + A 2 ⎥ ⋅ cos ( nϕ ) 2 a a ⎣ ⎦

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ESTRUCTURAS LAMINARES

51

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA DE DIRECTRIZ CIRCULAR. APLICACIONES Ejemplo.- Tubería sometida a su peso propio

X=0 Y = g ⋅ senϕ Z = −g ⋅ cos ϕ

Esfuerzos

g sen ϕ

g cos ϕ

Cargas exteriores

Nϕ = − g ⋅ a ⋅ cos ϕ

ϕ

Nxϕ = − senϕ ⋅ ⎡⎣( g + g ) ⋅ x − A1 ⎤⎦ = − 2 ⋅ g ⋅ x ⋅ senϕ + A1 ⋅ senϕ

g

Nx =

⎡ ⎤ x2 1 ⋅ cos ϕ ⎢( g + g ) ⋅ − A1 ⋅ x + A 2 ⎥ = a 2 ⎣ ⎦

=

g 2 A A ⋅ x ⋅ cos ϕ − 1 ⋅ x ⋅ cos ϕ + 2 ⋅ cos ϕ a a a

Condiciones de contorno.- No están coaccionados sus extremos x=0 Nx = 0 x=l Los esfuerzos serán

A2 = 0 g ⋅ l − A1 ⋅ l = 0 ⇒ A1 = g ⋅ l 2

Nϕ = − g ⋅ a ⋅ cos ϕ Nxϕ = g ⋅ senϕ ⋅ ( l − 2 ⋅ x ) Nx = −

g⋅x ⋅ (l − x ) ⋅ cos ϕ a

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ESTRUCTURAS LAMINARES

52

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA DE DIRECTRIZ CIRCULAR. APLICACIONES Ejemplo.- Tubería en carga

H-a cos ϕ

X=0 Y=0 Z = γ ⋅ ( H - a ⋅ cos ϕ )

Siendo H la altura piezométrica

ϕ

Condiciones de contorno.- No están coaccionados sus extremos x=0 Nx = 0 x=l Los esfuerzos serán

Nϕ = γ ⋅ a ⋅ (H − a ⋅ cos ϕ ) ⎛l ⎞ Nxϕ = γ ⋅ a ⋅ ⎜ − x ⎟ ⋅ senϕ ⎝2 ⎠ 1 Nx = − ⋅ γ ⋅ x ⋅ ( l − x ) ⋅ cos ϕ 2

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ESTRUCTURAS LAMINARES

53

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANAS CILÍNDRICAS PARA CUBIERTAS

X

Para que funcione en estado de membrana debe cumplirse que los tímpanos sean: - Infinitamente rígidos en su plano. - Infinitamente flexibles en los planos ortogonales al suyo.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

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ESTRUCTURAS IV

MEMBRANAS CILÍNDRICAS PARA CUBIERTAS.- TÍMPANOS

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ESTRUCTURAS LAMINARES

55

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA SOMETIDA A SU PROPIO PESO

Y

X=0 Y = g ⋅ senϕ Z = −g ⋅ cos ϕ

Z

ϕ

g Nϕ = Z ⋅ r ( ϕ) = −g ⋅ r ⋅ cos ϕ ⎛ ⎛ ∂r g ⎡ ⎤⎞ 1 ∂Nϕ ⎞ Nxϕ = − ∫ ⎜ Y + ⋅ ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ) = − ∫ ⎜ g ⋅ senϕ − ⋅ ⎢ −r ⋅ senϕ + ∂ϕ ⋅ cos ϕ⎥ ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ) = ∂ϕ r r ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎠ ⎝

∂r ⎞ ∂r ⎞ ⎛ ⎛ g 1 − ∫ ⎜ 2 ⋅ g ⋅ senϕ − ⋅ cos ϕ ⋅ ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ ) = − g ⋅ ⎜ 2 ⋅ senϕ − ⋅ cos ϕ ⋅ ⎟ ⋅ x + C1 ( ϕ) = -K ⋅ x ∂ϕ ⎠ ∂ϕ ⎠ r r ⎝ ⎝  

K

Para determinar la constante de integración C1 se aplican las condiciones de simetría.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

56

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA SOMETIDA A SU PROPIO PESO Determinación de C1(ϕ) .- Como Nxϕ ha de ser simétrico respecto a un plano perpendicular a la directriz en x = 0 X

X=0

x=0

⇒

Nxϕ = 0

⇒

C1 ( ϕ) = 0

Cálculo de Nx ⎛ 1 ∂Nx ϕ ⎞ Nx = − ∫ ⎜ X + ⋅ ⋅ dx + C2 ( ϕ) r ∂ϕ ⎟⎠ ⎝ Una vez calculado Nxϕ se sustituye en esta expresión. C2(ϕ) se determina por las condiciones de contorno.

Si la membrana es simétrica y no existen fuerzas exteriores en dirección x puede obtenerse una expresión muy útil de Nx ∂ N ⎛ ⎞ K x ⎛ ⎞ ⋅ ∂ 1 1 ( ) ⋅ dx + C ϕ = 1 ⋅ ∂K ⋅ x 2 + C ϕ xϕ Nx = − ∫ ⎜ X + ⋅ ⋅ dx + C = − ⋅ ϕ ( ) ⎟ 2 2( ) 2( ) ∫ ⎝⎜ r ∂ϕ ⎠⎟ r ∂ϕ ⎠ r ∂ϕ 2 ⎝

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ESTRUCTURAS LAMINARES

57

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA SOMETIDA A SU PROPIO PESO Aplicando las condiciones de contorno L ⇒ Nx = 0 2 1 ∂ K x2 ⋅ + C2 ( ϕ) = 0 Nx = ⋅ r ∂ϕ 2 x=±

1 ∂ K L2 ⋅ C2 ( ϕ) = − ⋅ r ∂ϕ 8

⇒

⎛ L2 x 2 ⎞ 1 ∂ K ⋅ ⋅ Nx = − ⎜ − 2 ⎟⎠ r ∂ϕ ⎝ 8 Los esfuerzos finales sobre esta lámina serán Nϕ = Z ⋅ r ( ϕ) = −g ⋅ r ⋅ cos ϕ Nxϕ = - K ⋅ x

⎛ 1 ∂r ⎞ K = −g ⋅ ⎜ 2 ⋅ senϕ − ⋅ cos ϕ ⋅ ⎟ ∂ϕ r ⎝ ⎠

Siendo

⎛L x ⎞ 1 ∂ K Nx = − ⎜ − ⎟⋅ ⋅ 2 ⎠ r ∂ϕ ⎝ 8 2

2

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ESTRUCTURAS LAMINARES

58

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA SOMETIDA A NIEVE X=0 Y = g ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ

p

Z = −g ⋅ cos2 ϕ

p.senϕ cos ϕ p.cos2ϕ

ϕ

Nϕ = Z ⋅ r ( ϕ) = −g ⋅ r ⋅ cos2 ϕ

p

⎛ p ⎡ ∂r ⎤⎞ Nxϕ = − ∫ ⎜ p ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ − ⋅ ⎢ 2r ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ − ⋅ cos 2 ϕ⎥ ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ ) = r ∂ϕ ⎣ ⎦⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ p ∂ r p ∂r ⎞ − ∫ ⎜ 3 ⋅ p ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ − ⋅ cos2 ϕ ⋅ ⋅ dx + C1 ( ϕ) = p ⋅ ⎜ − 3 ⋅ p ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ + ⋅ cos 2 ϕ ⋅ ⋅ x + C1 ( ϕ) = -K ⋅ x ⎟ r ∂ϕ ⎠ r ∂ϕ ⎟⎠ ⎝ ⎝   

Como en el caso anterior Nx =

K

⇒

x=0

1 ∂ K x2 ⋅ ⋅ + C2 ( ϕ) = 0 r ∂ϕ 2

⇒

Nxϕ = 0

⇒

C1 ( ϕ) = 0

⎛ L2 x 2 ⎞ 1 ∂ K ⋅ ⋅ Nx = − ⎜ − 2 ⎟⎠ r ∂ϕ ⎝8

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ESTRUCTURAS LAMINARES

59

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CILÍNDRICA SOMETIDA A VIENTO X=0 Y=0 Z = ± w ⋅ senϕ

-w.sen ϕ w w.sen ϕ

ϕ

Nϕ = Z ⋅ r ( ϕ) = − w ⋅ r ⋅ senϕ ⎛w ⎡ ∂r ⎤⎞ ⎛ w ∂r ⎞ Nxϕ = − ∫ ⎜ ⋅ ⎢ −r ⋅ cos ϕ − ⋅ senϕ⎥ ⎟ ⋅ dx + C1 ( ϕ ) = ⎜ w ⋅ cos ϕ + ⋅ senϕ ⋅ ⎟ ⋅ x + C1 ( ϕ) = -K ⋅ x r ∂ϕ r ∂ϕ ⎣ ⎦ ⎝ ⎝ ⎠  

⎠ K

Como en el caso anterior Nx =

⇒

x=0

1 ∂ K x2 ⋅ ⋅ + C2 ( ϕ) = 0 r ∂ϕ 2

Nxϕ = 0

⇒

C1 ( ϕ) = 0

⎛ L2 x 2 ⎞ 1 ∂ K ⋅ ⋅ Nx = − ⎜ − 2 ⎟⎠ r ∂ϕ ⎝8

⇒

En la cara de sotavento cambia el signo de w en todas las fórmulas. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

60

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS EN EL BORDE La tracción sobre el nervio de borde será la resultante de los esfuerzos desequilibrados Nxϕ

Nxϕ +

l

N = − ∫x2 Nxϕ ⋅ dx

-

N x L/2

Si la tangente a la lámina es perpendicular al borde

ϕ=

π ⇒ cos ϕ = 0 2

Nϕ = 0 90º

Nxϕ = −g ( 2 ⋅ senϕ − 0 ) ⋅ x = −2 ⋅ g ⋅ x l ⎛ l2 ⎞ N = − ∫ 2 Nxϕ ⋅ dx = g ⎜ − x 2 ⎟ x ⎝4 ⎠

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ESTRUCTURAS LAMINARES

61

ESTRUCTURAS IV

La ley de tracciones es simétrica. Ley de N

Se ve que N es siempre positivo por lo que el borde está siempre traccionado. Para que se mantenga el estado membrana es necesario pretensarlo acuerdo con la variación de N.

+

de de

esquema de pretensado Nervio de Borde

Otra forma mejor Nervio de Borde

El borde tiende a subir contrarrestando también Nϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

62

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA CIRCULAR Particularizando las fórmulas anteriores para r = cte Peso propio Nϕ = - g ⋅ r ⋅ cos ϕ Nxϕ = - 2g ⋅ x ⋅ senϕ Nx = -

Nx

ϕ

L/2

Nϕ

Nieve

0

Nϕ = - p ⋅ r ⋅ cos2 ϕ

L/2 0 gr

ϕ

1 g 2 ⋅ ( L − 4 ⋅ x 2 ) ⋅ cos ϕ 4 r

3 ⋅ p ⋅ x ⋅ sen2ϕ 8 3 p Nx = - ⋅ ( L2 − 4 ⋅ x 2 ) ⋅ cos ϕ 8 r Nxϕ = -

3g 2 2 (L -4x ) 8r

Viento

r

3gx

r

Nϕ

Nx

Nx ϕ

Nϕ = - p ⋅ r ⋅ cos2 ϕ

3 ⋅ p ⋅ x ⋅ sen2ϕ 8 3 p Nx = - ⋅ ( L2 − 4 ⋅ x 2 ) ⋅ cos ϕ 8 r Nxϕ = -

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ESTRUCTURAS LAMINARES

63

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANA ELÍPTICA q= b

qϕ

2

q es un parámetro que depende de ϕ

a

Haciendo operaciones se obtiene

r

ϕ

a⋅b ⋅g a ⋅ sen ϕ + b 2 ⋅ cos 2 ϕ 2

GEOMETRIA DE LA ELIPSE O O'

q3 ⋅ g ⋅ cos ϕ a⋅b ⎡ 3 ⋅ ( a2 − b 2 ) ⋅ cos2 ϕ ⎤ Nxϕ = −g ⋅ x ⎢ 2 + 2 ⎥ ⋅ senϕ a ⋅ sen2 ϕ + b 2 ⋅ cos2 ϕ ⎥ ⎢⎣ ⎦ 2 2 2 ⎡ ⎛l ⎞ 2⋅ a ⋅b 3⋅ (a −b ) ⎛ ⎞⎤ 1 2 ⋅ q2 + ⋅ ⎜ cos2 ϕ − 2 ⋅ sen2ϕ ⎟ ⎥ ⋅ cos ϕ Nx = − ⋅ g ⋅ ⎜ − x 2 ⎟ ⋅ ⎢ 3 2 a⋅b⋅q b ⎝4 ⎠ ⎢⎣ q ⎝ ⎠ ⎥⎦ En la membrana elíptica se producen casi siempre tracciones en Nx por lo que en general tiene mayores distorsiones de borde. Nϕ = −

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ESTRUCTURAS LAMINARES

64

ESTRUCTURAS IV

COMPORTAMIENTO COMPARATIVO ENTRE LÁMINAS CIRCULARES Y ELÍPTICAS -Nϕ

-N x

L/2

-N xϕ N xϕ

r O

-Nϕ

-Nx

L/2 b

a

-Nx ϕ N xϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

65

ESTRUCTURAS IV

COMPORTAMIENTO COMPARATIVO ENTRE LÁMINAS CIRCULARES Y ELÍPTICAS -3.83g(

L2 - 4x 2 ) 8a

-1.5ga

Nϕ x

b=2/3a

b

Nx

a

-2.86g(

Nϕ

L2 - 4x 2 ) 8a

-2gx

-1.225ga

Nϕ x

b=a 2/3

b

Nx

a

-2g(

Nϕ

L2 - 4x 2 ) 8a

-2gx

-ga

b=a

b

Nϕ x

Nx

a

Nϕ

-2gx

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ESTRUCTURAS LAMINARES

66

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANAS DE DIRECTRIZ PARABÓLICA

g⋅a cos2 ϕ Nxϕ = g ⋅ x ⋅ senϕ Nϕ = −

Nx =

g ⋅ ( L2 − 4 ⋅ x 2 ) ⋅ cos4 ϕ 8a

Siendo g = carga/m2 y la ecuación de la parábola y=

4⋅ f ⋅ (L ⋅ x - x2 ) L2

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ESTRUCTURAS LAMINARES

67

ESTRUCTURAS IV

MEMBRANAS DE WIEDEMANN

Tiene por ecuación en coordenadas intrínsecas r =

a=b 2b a= π

Si Si

→ Circunferencia.

a π γ+ 4

⋅ ( γ + cos ϕ )

Siendo

→ Cicloide. Los desplazamientos de borde son menores por lo que es posible una mejor aproximación al estado de membrana. Se usan muy poco por dificultades constructivas.

Esfuerzos por peso propio Nx Nϕ

Nϕ x

Nx

Nϕ a 2

π 1 2 ⋅b − a γ= ⋅ 2 a−b

b r

ϕ π

a 2

π

a 2

N xϕ

Nieve

Peso propio Nϕ = - g ⋅ a ⋅ cos2 ϕ

Nϕ = - p ⋅ a ⋅ cos2 ϕ

Nxϕ = - 3g ⋅ x ⋅ senϕ

Nxϕ = - 4 ⋅ p ⋅ x ⋅ senϕ ⋅ cos ϕ

Nx = -

3 g 2 ⋅ (L − 4 ⋅ x2 ) 8 a

Nx = -

1 p 2 ⋅ (L − 4 ⋅ x2 ) 2 a

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ESTRUCTURAS LAMINARES

68

ESTRUCTURAS IV

ARMADO DE MEMBRANAS CILÍNDRICAS Nϕ Nx Nxϕ

z x

Nxϕ

y

Nx

Nxϕ

Nxϕ

Nxϕ

θ

θ Nϕ

Nx

Nϕ -N xϕ

El óptimo teórico se obtiene siguiendo las isostáticas de tracción. Pueden obtenerse con el círculo de Mohr. Estas isostáticas son alabeadas. Modernamente todas estas láminas se arman con mallas electrosoldadas. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

69

ESTRUCTURAS IV

CÁLCULO DEL TÍMPANO

Nxϕ

-N xϕ

Se calcula sometido al esfuerzo − Nxϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

70

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS LARGAS: ASIMILACIÓN A VIGA Distribución de tensiones en la lámina

Zona de COMPRESIONES

Zona de TRACCIONES Z

t Z'

h Zo b

ϕ

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ESTRUCTURAS LAMINARES

71

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS LARGAS: ASIMILACIÓN A VIGA Características geométricas (según Gibson y Cooper) Posición del c.d.g.

2 c.d.g.

A ⋅ z + A2 ⋅ z2 z0 = 1 1 = A1 + A2

1 Z2

r.cos ϕ ϕ

h⎞ r ⋅ senϕ ⎛ 2 ⋅ b ⋅ h ⎜ r ⋅ cos ϕ − ⎟ + 2 ⋅ ϕ ⋅ r ⋅ t ⋅ 2⎠ ϕ ⎝ 2 ⋅b ⋅h + 2 ⋅ ϕ ⋅ r ⋅ t

h⎞ ⎛ b ⋅ h ⎜ r ⋅ cos ϕ − ⎟ + r 2 ⋅ t ⋅ senϕ 2⎠ ⎝ = b ⋅h + ϕ ⋅r ⋅ t

Z1 o

Iz = I10 + I20 − ( A 1 + A 2 ) ⋅ z 02

Momento de inercia

2 ⋅ b ⋅ h3 h⎞ ⎛ + 2 ⋅ b ⋅ h ⋅ ⎜ r ⋅ cos ϕ − ⎟ ⎝ 12 2⎠

Nervio:

I10 =

Lámina:

⎛ ϕ sen2ϕ ⎞ I20 = 2 ⋅ r 3 ⋅ t ⋅ ⎜ + ⎟ ⎝2 4 ⎠

Total:

Iz = I10 + I20 − (2 ⋅ r ⋅ t ⋅ ϕ + 2 ⋅ b ⋅ h) ⋅ z 02

2

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ESTRUCTURAS LAMINARES

72

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS LARGAS: ASIMILACIÓN A VIGA Características geométricas (según Lundgren) Posición del c.d.g.

η = r − z0

2 c.d.g.

⎡ ϕ2 η=r⎢ ⎣6

1

Siendo

Z2

r.cos ϕ ϕ

⎛ ϕ2 ⎞ C1 ⋅ C2 ⎤ ⋅ ⎜1− ⎥ ⎟+ 20 ⎠ 1 + C2 ⎦ ⎝

ϕ3 ⎛ ϕ2 ⎞ h ⎜1 − ⎟ + 3 ⎝ 10 ⎠ 2 ⋅ r b⋅h C2 = r ⋅t⋅ϕ C1 =

Z1 o

ó

C2 =

2 ⎡ϕ5 ⎛ ⎤ ϕ 2 ⎞ C2 ⋅ C ⋅ ϕ 1 ⎛ h ⎞ Iz = 2 ⋅ r 3 ⋅ t ⎢ ⋅ ⎜ 1 − ⎟ + 1 2 + ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ C2 ⋅ ϕ ⎥ 7⎠ 1 + C2 12 ⎝ r ⎠ ⎣ 45 ⎝ ⎦ Mz Nx = σ ⋅ t σ= ⋅z Iz

Momento de inercia Esfuerzos En la lámina En el nervio

Nx = N=

Mz ⋅ t ⋅ z Iz Mz Iz

h ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ z 0 + − r ⋅ cos ϕ ⎟ ⋅ b ⋅h N 2 ⎝  ⎠ Área nervio Dis tancia a la fibra neutra

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A0 r ⋅t⋅ϕ

ESTRUCTURAS LAMINARES

73

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS LARGAS: ESFUERZOS TRASVERSALES Nxϕ

h

p z

ds

2

h

N2 1 Nxϕ .d x

2 dx

eje neutro c.d.g.

h

Nxϕ +

ds N 1

Nxϕ dϕ

ϕ

1

Nxϕ =

Se define un cortante específico como suma de tensiones tangenciales

V ⋅ Sz 2 ⋅ Iz

Siendo:

∂ Nxϕ ∂x Se descompone en

V = Cortante sobre la viga asimilada.

Componente vertical

Sz = Momento estático.

Componente horizontal → Produce flexiones

Ve =

→ Equilibra la carga exterior

Iz = Momento de inercia. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

74

ESTRUCTURAS IV

LÁMINAS CILÍNDRICAS LARGAS: ESFUERZOS TRASVERSALES

Nxϕ

Nxϕ

x

pϕ hϕ

x

hϕ = p ϕ ⋅ ctgϕ pϕ

hϕ

eje neutro

c.d.g. Nxϕ +

Nxϕ dϕ

ϕ

ϕ ϕ

k

Los momentos producidos serán (según Lundgren) Lámina circular interior q ⋅ r2 Mϕ = ⋅ (7ϕk 6 - 75ϕk 4 ⋅ ϕ2 + 105ϕk 2 ⋅ ϕ4 - 21ϕ6 ) 336 ⋅ ϕk 4

ϕ = ϕk ϕ=0

Lámina circular aislada Mϕ = -

2 q ⋅ r2 ⋅ ( ϕk 2 - ϕ ) ⋅ (3ϕk 2 - ϕ ) 16 ⋅ ϕk 4

ϕ=0

1 ⋅ q ⋅ r 2 ⋅ ϕk 2 21 1 Mϕ = ⋅ q ⋅ r 2 ⋅ ϕk 2 48

Mϕ = -

Mϕ = -

1 ⋅ q ⋅ r 2 ⋅ ϕk 2 16

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ESTRUCTURAS LAMINARES

75

ESTRUCTURAS IV

PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS

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ESTRUCTURAS LAMINARES

76

ESTRUCTURAS IV

PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS

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ESTRUCTURAS LAMINARES

77

ESTRUCTURAS IV

ESTUDIO DE LÁMINAS EN PROYECCIÓN SEGÚN UN PLANO p =

El espesor se considera constante o suavemente variable. Las cargas sólo tienen componente vertical

z() p

Ny +

Ny y

dy

Nx

Nx +

x

dx

dx cos

p = p(z)

dy

Ny

cos Nx

x

1.- Los esfuerzos se pasan a esfuerzos. 2.- Se proyectan las fuerzas sobre xy. 3.- Se obtienen los esfuerzos proyectados.

Ny

dx Nx dy Nx +

Nx x

dx

y

Ny

Ny +

y

dy

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ESTRUCTURAS LAMINARES

78

ESTRUCTURAS IV

Veamos estos tres pasos:

dy dx Ny cos ψ cos ϕ dy dx ⋅ cos ϕ ⋅ cos ψ Ny 2.- Nx cos ψ cos ϕ cos ϕ cos ψ = Nx = Ny 3.- Nx Ny cos ψ cos ϕ Los esfuerzos tangenciales serán: dy 1.- Nxy cos ψ dy ⋅ cos ψ 2.- Nxy cos ψ cos ψ No sufren variación. = Nxy 3.- Nxy cos ψ Las ecuaciones de equilibrio con respecto a x e y se obtienen en proyección. ∂Nx ∂Nxy + =0 ∂x ∂y Los esfuerzos normales son:

Proyectando el elemento sobre OZ

∂z ∂x ∂z tgψ = ∂y

1.-

Nx

∂Ny ∂Nxy + =0 ∂y ∂x

tgϕ =

Nx ⋅

∂2 z ∂2 z ∂2 z + 2 ⋅ Nxy ⋅ + Ny ⋅ 2 = −Z 2 ∂x ∂x∂y ∂y

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ESTRUCTURAS LAMINARES

79

ESTRUCTURAS IV

Definimos la función de Pucher análoga a la de Airy en elasticidad. Nx =

∂ 2φ ∂y 2

Ny =

∂ 2φ ∂x 2

Nxy = −

∂ 2φ ∂x∂y

Esto simplifica los cálculos en muchos casos. Los más importantes son a.- z = f1 (x ) + f2 (y) Es una función de variables separadas fácilmente resoluble. Las membranas de traslación tienen esta forma con un cambio de ejes adecuado. b.- Paraboloide hiperbólico z = k⋅x⋅y ∂2 z =0 ∂x 2

∂ 2z =0 ∂y 2

∂ 2z =k ∂x ∂y

Utilizando la función de Pucher c.- Paraboloide elíptico ∂2 z 2 = ∂x 2 a 2

z=

∂ 2z 2 = ∂y 2 b 2

−2

∂ 2φ ⋅k = − Z ∂x∂y

x 2 y2 + a 2 b2

∂ 2z =0 ∂x ∂y

2 ∂ 2 φ 2 ∂ 2φ ⋅ + ⋅ = −Z b 2 ∂x 2 a 2 ∂y 2

Ecuación elíptica del tipo Poisson que permite numerosos métodos de resolución. El proceso de cálculo es siempre

z = f ( φ)

→

Ni

→

Ni

Ni e Ni ⋅ l

→

Tensiones Armadura

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ESTRUCTURAS LAMINARES

80

ESTRUCTURAS IV

LAMINAS EN PARABOLOIDE HIPERBÓLICO z

f2 f1

y

a

x

b

ECUACIÓN DEL PARABOLOIDE HIPERBÓLICO PARÁBOLAS

z = K1 ⋅ x 2 + K2 ⋅ y2 = -

f1 f ⋅ x 2 + 22 ⋅ y2 a2 b

Ecuación canónica. Haciendo un giro de ejes z = k⋅x⋅y x

HIPÉRBOLAS

y

k=

f a⋅b

z=

f ⋅x⋅y a⋅b

f

z E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

81

ESTRUCTURAS IV

CARGA POR UNIDAD DE PLANTA Sistema de cargas X=0 Y=0 Ecuaciones de equilibrio ∂ Nxy ∂ Nx + =0 [1] ∂y ∂x ∂ Nxy ∂ Ny + =0 [2] ∂x ∂y 2 2 ∂ z ∂ z ∂ 2z ⋅ Nx + 2 ⋅ Nxy ⋅ + 2 ⋅ Ny = − Z 2 ∂x ∂x ∂y ∂y

Z=g

[3]

z = k⋅x⋅y

de [3] Nxy = Nxy

[1] [2]

g =− 2 ⋅k

∂ Nx =0 ∂x

Nx = f1(y )

∂ Ny =0 ∂y

Ny = f2 (x )

Nx = f1(y ) ⋅

1 + z x2 1 + z y2

Ny = f2 (x ) ⋅

1 + z y2 1 + z x2

Siendo

zx =

∂z ∂x

; zy =

∂z ∂y

El peso propio puede asimilarse a g cuando k sea pequeña ( k ≤ 0.04) es decir cuando el paraboloide es poco alabeado. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

82

ESTRUCTURAS IV

SISTEMAS DE CUATRO PARABOLOIDES A

TRACCIONES

Nxy = Nxy = −

COMPRESIONES

B

Nx = f1(y )

C

x

Ny = f2 (x )

D

y

Condiciones de contorno x=0

Nx = 0

como f1 es sólo función de y De la misma forma

(Borde libre)

Nx = 0

en toda la lámina.

Ny = 0

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g 2 ⋅k

ESTRUCTURAS LAMINARES

83

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS EN LOS BORDES x

Los esfuerzos Nxy no se equilibran en los bordes.

-Nxy N xy

Es necesario construir un nervio sometido a los esfuerzos -Nxy

x

Nervios exteriores

y

g V= ⋅x 2 ⋅k

N xy

Tracción y

Nervios de unión de los paraboloides (dos bordes) V′ =

2⋅g ⋅y 2⋅k

V′ =

g ⋅ y Compresión k

-N xy

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ESTRUCTURAS LAMINARES

84

ESTRUCTURAS IV

CARGA UNIFORME POR UNIDAD DE SUPERFICIE DE LÁMINA

Si k ≤ 0.04

puede tomarse como carga uniforme en planta.

Z = g ⋅ 1 + k 2 x 2 + k 2y 2 = g ⋅ A Si k > 0.04 Sustituyendo en [3] 2 ⋅ Nxy ⋅ k = −g A g⋅ A Nxy = Nxy = − 2 ⋅k

Sustituyendo en [1] y [2]

∂ ⎛ g⋅ A ⎞ ⎟ ⋅ dx 2⋅k ⎠ ∂ ⎛ g⋅ A ⎞ Ny = ∫ ⎜ ⎟ ⋅ dy ∂x ⎝ 2 ⋅ k ⎠

Nx =

∫ ∂y ⎜⎝

E integrando

[ [

( (

g ⋅ k ⋅ y ⋅ ln 2⋅k g ⋅ k ⋅ x ⋅ ln Ny = 2 ⋅k Nx =

)] A + k ⋅ y) ] + f (x ) A + k ⋅ x + f1 (y) 2

Condiciones de contorno:

(

)

g ⋅ k ⋅ x ⋅ ln 1 + k 2x 2 2 ⋅k

(

)

1 + z x2 1 + z y2

1 + z y2 1 + z x2

x=0

Nx = 0

f1 (y) = −

g ⋅ k ⋅ y ⋅ ln 1 + k 2y 2 2 ⋅k

y=0

Ny = 0

f2 (x ) = −

Y como siempre

Nx = Nx ⋅

Ny = Ny ⋅

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ESTRUCTURAS LAMINARES

85

ESTRUCTURAS IV

y

30

ARMADO DEL PARABOLOIDE EN PARAGUAS INVERTIDO (Ejemplo real) 30

13

60

7.5

A VIGA DE BORDE ( COMPRESION )

B

A'

B' 670

VIGA DE BORDE ( TRACCION ) SECCION AA'

30

275

670

285

60

SECCION BB'

1460

6.5

VISTA DIAGONAL

30

13

60

6.5

7.5

VIGA DE BORDE ( COMPRESION )

VIGA DE BORDE ( TRACCION )

SECCION BB'

SECCION AA'

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ESTRUCTURAS LAMINARES

86

ESTRUCTURAS IV

CARGA PRODUCIDA POR UN RELLENO UNIFORME

x

Z = γ ⋅ z = γ ⋅k ⋅ x ⋅ y

γ 2 ⋅ x + f1 ( y ) 4 γ Ny = ⋅ y2 + f2 ( x ) 4 γ Nxy = Nxy = − ⋅ x ⋅ y 2

y

Nx =

Condiciones de contorno x=0

Nx = 0

f1 (y) = 0

y=0

Ny = 0

f2 (x ) = 0

El problema del desagüe .- El relleno uniforme accidental por agua debe evitarse por desagües de emergencia. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

87

ESTRUCTURAS IV

PARABOLOIDE DISIMÉTRICO

Los esfuerzos tangenciales son distintos en las cuatro hojas. Se producen flexiones en el apoyo. La ejecución ha de ser muy cuidadosa. A veces se equilibra regruesando las hojas más cortas. NOTA: En general estas estructuras tienen desplazamientos verticales fuertes que hay que permitir E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

88

ESTRUCTURAS IV

PARABOLOIDE SOBRE DOS APOYOS z = k⋅x⋅y a 2 b y= 2 x=

h

z=

h a b = k⋅ ⋅ 2 2 2

k=

2⋅ h a⋅b

Los esfuerzos son idénticos a los casos anteriores Nxy = Nxy = − x b

y

a

g⋅ A 2 ⋅k

g ⎡ ⋅ k ⋅ y ⋅ ln 2 ⋅k ⎣ g ⎡ Ny = ⋅ k ⋅ x ⋅ ln 2 ⋅k ⎣ Nx =

( (

) A + k ⋅ y )⎤ + f ( x ) ⎦

A + k ⋅ x ⎤ + f1 ( y ) ⎦ 2

Condiciones de contorno A = 1 + k 2 x 2 + k 2y 2 a 2 b y= 2 x=

Nx = 0 Ny = 0

f1 (y) = −

⎛ g ⎡ k 2a 2 k ⋅ a⎞ ⎤ ⎟⎥ ⋅ ⎢k ⋅ y ⋅ ln⎜⎜ 1 + + k 2y 2 + 2 ⋅k ⎢ 4 2 ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎦ ⎣

f2 (x ) = −

⎛ g ⎡ k 2b 2 k ⋅ b⎞ ⎤ ⎟⎥ ⋅ ⎢k ⋅ x ⋅ ln⎜⎜ 1 + + k 2x 2 + 2 ⋅k ⎢ 4 2 ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎦ ⎣

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ESTRUCTURAS LAMINARES

89

ESTRUCTURAS IV

Problemas

-Inestabilidad Necesita unos soportes resistentes a flexión

-Importantes esfuerzos horizontales en los pilares No basta que los pilares resistan sino que ha de asegurarse que su desplazamiento sea pequeño

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ESTRUCTURAS LAMINARES

90

ESTRUCTURAS IV

ESFUERZOS DE FLEXIÓN EN LÁMINAS Se producen

-Por compatibilidad de deformaciones en los bordes -Por condiciones de apoyo

Ecuaciones de equilibrio: ∂Nx ∂Nxy + +X = 0 ∂x ∂y

∂Nxy ∂Ny + +Y=0 ∂x ∂y

∂ Q x ∂ Q y Nx Ny + + + +Z=0 rx ry ∂x ∂y

D ⋅ ∇4 w −

Nx Ny − −Z =0 rx ry

El método general consiste en poner las ecuaciones en función de los desplazamientos, con lo que llegamos a una ecuación de octavo orden z = f1 (x ) + f2 (y) -Paraboloides de traslación D ⋅ ∇8 w +

r ∂4 w ⎞ E ⋅ t ⎛ rx ∂ 4 w ∂4w ⎟ =0 ⋅⎜ ⋅ +2⋅ 2 2 + y ⋅ 4 rx ⋅ ry ⎝ ry ∂x rx ∂y 4 ⎠ ∂x ∂y

-Paraboloide hiperbólico D ⋅ ∇8 w + 4 ⋅ E ⋅ t ⋅ K2 ⋅

z = K⋅x⋅y

∂4w =0 ∂x 2 ∂ y 2

La resolución de estas ecuaciones es siempre muy compleja

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ESTRUCTURAS LAMINARES

91

ESTRUCTURAS IV

CASOS SIMPLIFICADOS

PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS My = − 0'511 ⋅ z ⋅ l2 ⋅ q

My

−4

3

bordes empotrados

x

−4

M′y = 0'149 ⋅ z ⋅ l2 ⋅ q

bordes apoyados siendo

M'y

3

q=

K ⋅ l2 t

x

En general hemos de regruesar las zonas de la lámina donde pueden producirse flexiones y se colocará en ellas una armadura doble. E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

92

ESTRUCTURAS IV

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL 1ª aproximación -

N1

Estado de membrana

N12 = N21

N2

2ª aproximación -

z

y

Elemento de referencia

x

dx

dy

Elasticidad bidimensional Q1

M1 M2 M12

(1) 8 incógnitas

Q2

N1 N 12

N1 N2 N12 Q1 Q2 5 ecuaciones

∑Y = 0

∑M

∑M

=0

N 12

N 21

∑X = 0 x

N21

y

∑Z = 0

N2

M12

N2

Q2

Q1

N1

M1

M2

M2

M1

y

Fuerzas

=0

xy

3 ecuaciones (teoría de elasticidad) εx =

du z ⋅ R 2 d2 w w − ⋅ + dS2 R 2 + z dS22 R 2 + z

εy =

dv z ⋅ R1 d2 w w − ⋅ + dS1 R1 + z dS12 R 1 + z

γ xy =

M12

M21

(2) Introducimos 6 nuevas incógnitas y 3 nuevas ecuaciones 6 nuevas incógnitas u v w desplazamientos deformaciones ε ε γ x

M21

R1 ⋅ (R 2 + z) du R 2 ⋅ (R1 + z) dv ⎛ z ⋅ R1 z ⋅ R2 ⎞ d2 w ⋅ + ⋅ −⎜ + ⎟⋅ R 2 ⋅ (R1 + z) dS1 R1 ⋅ (R 2 + z) dS2 ⎝ R 1 + z R 2 + z ⎠ dS1 ⋅ dS2

Tenemos pues 8 ecuaciones con 14 incógnitas E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

Momentos

ESTRUCTURAS LAMINARES

93

ESTRUCTURAS IV

(3) Se aplica la Ley de Hooke con lo que se introducen 3 ecuaciones y 3 incógnitas 3 incógnitas

σ1

σ2

τ 12

3 ecuaciones σ1 =

E ⋅ εx + ν ⋅ εy 1 − ν2

(

)

σ2 =

E ⋅ εy + ν ⋅ εx 1 − ν2

(

)

τ 12 =

E ⋅ γ xy 2(1 + ν)

tenemos 11 ecuaciones con 17 incógnitas (4) Se relacionan las tensiones con los esfuerzos t 2 t 2 t 2 t − 2

N1 =

∫

M1 =

∫

−

R1 + z ⋅ σ 1 ⋅ dz R1 R1 + z ⋅ σ 1 ⋅ z ⋅ dz R1

,

N2

,

N12

,

M2

,

M12

Esto introduce 6 ecuaciones y ninguna incógnita por lo que llegamos a 17 ecuaciones --- 17incógnitas Por sustituciones sucesivas llegamos a un sistema de 3 ecuaciones diferenciales con 3 incógnitas (u,v,w). Este sistema es muy complejo y puede resolverse en ordenador por diferencias finitas.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

94

ESTRUCTURAS IV

DEFORMACIÓN INEXTENSIBLE Resistencia

---

teoría de membrana teoría de flexión

Rigidez

---

deformación inextensible

Ejemplos -Láminas cilíndricas Izado incorrecto

Izado correcto

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ESTRUCTURAS LAMINARES

95

ESTRUCTURAS IV

DEFORMACIÓN INEXTENSIBLE -Láminas esféricas Deformación inextensible

Pequeñas fuerzas laterales

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ESTRUCTURAS LAMINARES

96

ESTRUCTURAS IV

PANDEO DE LÁMINAS Pandeo de una barra

Carga crítica

N

Ncrit =

π2 ⋅ E ⋅ I Lk 2

NO depende de la resistencia del material Tensión crítica

σcrit =

π2 ⋅ E ⋅ I A ⋅ Lk2

Condiciones

σ

Hipérbola de Euler

σd ≤ σu σd ≤ σcrit

•La forma de la curva de pandeo se determina por cálculo variacional: La energía elástica es un mínimo.

Recta de Tetmajer

•El método variacional consiste en determinar la curva deformada que haga mínima la energía elástica. •En placas y láminas se estudian las configuraciones posibles de pandeo y se calcula la que supone el mínimo de energía.

λ E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

97

ESTRUCTURAS IV

PANDEO DE PLACAS. Casos posibles

Placa apoyada en cuatro bordes

1.- Se mantiene plana.

σ crit =

π2 ⋅ E⋅ t2 3 ⋅ 1 − ν 2 ⋅ b2

(

)

Placa en flexión cilíndrica

2.- Una semionda.

σ crit =

π 2 ⋅ E ⋅ t2 ⎛b l ⎞ ⋅⎜ + ⎟ 12 ⋅ 1 − ν 2 ⋅ b2 ⎝ l b ⎠

(

2

)

3.- Una onda

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ESTRUCTURAS LAMINARES

98

ESTRUCTURAS IV

Tensión relativa

σ/σcrit

COMPORTAMIENTO REAL DE LAS LÁMINAS EN PANDEO

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

Pandeo teórico

0.4

Pandeo en placas Pandeo en láminas perfectas

0.3

Pandeo en láminas con imperfecciones iniciales

0.2 0.1 0.0

0.0

0.2

0.4 0.6 0.8 Deformación relativa

1.0

ε/ε crit

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ESTRUCTURAS LAMINARES

99

ESTRUCTURAS IV

CARGAS CRÍTICAS EN LÁMINAS. Cilindro completo

σcrit =

E⋅t

r ⋅ 3 ⋅ (1 - ν2 )

Lámina cilíndrica.- Se define un parámetro K si

K≥

4 ⋅ π2

K=

σcrit =

12 ⋅ (1 - ν 2 )

t

b2 r⋅t

E ⋅ t2 K ⋅ b2 3 ⋅ (1 - ν2 )

r b

σcrit =

Lámina esférica

E⋅t

r ⋅ 3 ⋅ (1 - ν2 )

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ESTRUCTURAS LAMINARES

100

ESTRUCTURAS IV

CARGAS CRÍTICAS EN PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS. Fórmula de Reissner Pcrit =

2⋅E

3 ⋅ (1 - ν

2

)

⎛ t⋅f ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ a ⋅b ⎠

2

Con Pcrit en t/m 2

Correcciones a la fórmula de Reissner Pcrit = α ⋅ Pcrit(Reissner ) =

2 ⋅ α ⋅E

3 ⋅ (1 - ν2 )

⎛ t⋅f ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ a ⋅b ⎠

2

Siendo los valores de α Paraboloide en silla articulado

→

α = 0,26

Paraboloide en paraguas articulado

→

α = 0,41

Paraboloide en silla empotrado

→

α = 0,92

Paraboloide en paraguas articulado

→

α = 0,72

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ESTRUCTURAS LAMINARES

101

ESTRUCTURAS IV

CONSTRUCCIÓN DE LÁMINAS. ESPESOR Mínimo: Según EHE ƒLáminas plegadas 9 cm ƒLáminas de simple curvatura 7 cm ƒLáminas de doble curvatura 5 cm Máximo: Se estima en 10 cm ARMADO Simétrico respecto a la superficie mínima

5 con fcd en N/mm 2 fcd Fenómenos de retracción y fluencia

Cuantía mecánica mínima Razones:

ω = 0,30 +

Posibles cargas puntuales Armado en una capa: Posibles grietas Armado en dos capas: Mejor en general e imprescindible en los bordes Separación entre barras s < 3d armado en una capa s > 3d armado en dos capas Mejor diámetros delgados pero no demasiado → Problemas de puesta en obra (doblado) E.T.S. ARQUITECTURA DE A CORUÑA – DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN – Juan Pérez Valcárcel

ESTRUCTURAS LAMINARES

102

ESTRUCTURAS IV

CONSTRUCCIÓN DE LÁMINAS. HORMIGÓN 25 MPa ≤ fck ≤ 40 MPa Consistencia entre plástica y seca PUESTA EN OBRA Vibrado cuidadoso Desaconsejables los vibradores de aguja: Mejor vibradores de superficie Con grandes precauciones se pueden vibrar los encofrados o las armaduras ENCOFRADOS Tablas → Problemas de desarrollo de la superficie. Tablero contrachapado atornillado, no clavado → Mal acabado Lechada de cemento Arcilla Chorro de arena Se deben evitar dobles encofrados El desencofrado es siempre el momento más peligroso.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

103

ESTRUCTURAS IV

ENCOFRADOS

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ESTRUCTURAS LAMINARES

104

ESTRUCTURAS IV

CONSTRUCCIÓN DE LÁMINAS. GUNITADO Gran resistencia. Proyección directa sobre la armadura. Buena impermeabilidad. Alto costo.

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ESTRUCTURAS LAMINARES

105

ESTRUCTURAS IV

FIN ESTRUCTURAS LAMINARES

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