12.10-nicholson.docx

RESOLUCION DE PROBLEMAS DEL CAP. 12 12.1 Supongamos que la frontera de posibilidades de producción de pistolas (x) y de mantequilla (y) está determinada por: x2 + 2y2 = 900. a.- Dibuje esta función. X = 0  (0)2 + 2y2 = 900 2y2 = 900 y2 = 900/2 y = (450)1/2 y = 21.21 Y = 0  x2 + 2(0)2 = 900 x2 = 900 x = (900)1/2 x = 30

1

a.- Si los individuos siempre prefieren combinaciones de consumo en las que y = 2x, ¿cuánto x y cuánto y se producirá? x2 + 2(2x)2 = 900 x2 + 2(4x2) = 900 x2 + 8x2 = 900 9x2 = 900 X = 10 Y = 2(x) = 2(10) = 20 Y = 20 b.- En el punto descrito en el inciso anterior, ¿cuál será la TTP y, por tanto, ¿cuál será la proporción de precios que lleve a que ocurra la producción en ese punto? (Podemos aproximar ésta pendiente considerando pequeñas variaciones de x y y en torno al punto óptimo.) TTP=? Si x = 9, en la frontera de posibilidades de producción X2 = 92 = 81  900 - 81= 819 819

y=√

2

= (409.5)1/2 = 20.2361

Si x=11, en la frontera de posibilidades de producción X2 = 112 = 121  900 – 121 = 779

2

779

y=√

2

= (389.5)1/2 = 19.7357

Entonces tenemos que la TTP tendría el valor de: −

∆x −(−0.50) = = 0.25 ∆y 2

c.- Muestre su solución en la gráfica del inciso a. TTP = 0.25 12.2 El objetivo de este problema consiste en analizar la relación entre los rendimientos a escala, la intensidad de los factores y la forma de la frontera de posibilidades de producción. Supongamos que hay ofertas fijas de capital y de trabajo que debemos asignar entre la producción del bien x y la del bien y. La función de producción de x está determinada por: x = kα lβ y la de y por:

y = kγ lδ,

donde los parámetros α, β, γ, δ tendrán distintos valores a lo largo de este problema. Recurriendo a su intuición, a una computadora o a un planteamiento matemático formal, derive la frontera de posibilidades de producción de x y de y en los casos siguientes: a.- α = β = γ = δ = 1/2. o X = K1/2*L1/2 3

dx/dK = 1/2 (K-1/2*L1/2) = 0 

…………(1)

dx/dL = 1/2 (K1/2*L-1/2) = 0 

…………(2)

(1) = (2) 1/2 (K-1/2*L1/2) = 1/2 (K1/2*L-1/2) L=K o Y = K1/2*L1/2 dy/dK = 1/2 (K-1/2*L1/2) = 0 

………….(1)

dy/dL = 1/2 (K1/2*L-1/2) = 0 

………….(2)

(1) = (2) 1/2 (K-1/2*L1/2) = 1/2 (K1/2*L-1/2) L=K b.- α = β = 1/2, γ = 1/3, δ = 2/3. o X = K1/2*L1/2 dx/dK = 1/2 (K-1/2*L1/2) = 0 

…….(1)

dx/dL = 1/2 (K1/2*L-1/2) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 1/2 (K-1/2*L1/2) = 1/2 (K1/2*L-1/2) L=K 4

o Y = K1/3*L2/3 dy/dK = 1/3 (K-2/3*L2/3) = 0 

…….(1)

dy/dL = 1/3 (K1/3*L-1/3) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 1/3 (K-2/3*L2/3) = 2/3 (K1/3*L-1/3) L = 2K c.- α = β = 1/2, γ = δ = 2/3. o X = K1/2*L1/2 dx/dK = 1/2 (K-1/2*L1/2) = 0 

…….(1)

dx/dL = 1/2 (K1/2*L-1/2) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 1/2 (K-1/2*L1/2) = 1/2 (K1/2*L-1/2) L=K o Y = K2/3*L2/3 dy/dK = 2/3 (K-1/3*L2/3) = 0 

…….(1)

dy/dL = 2/3 (K2/3*L-1/3) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 2/3 (K-1/3*L2/3) = 2/3 (K2/3*L-1/3) 5

L=K d.- α = β = γ = δ = 2/3. o X = K2/3*L2/3 dx/dK = 2/3 (K-1/3*L2/3) = 0 

…….(1)

dx/dL = 2/3 (K2/3*L-1/3) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 2/3 (K-1/3*L2/3) = 2/3 (K2/3*L-1/3) L=K o Y = K2/3*L2/3 dy/dK = 2/3 (K-1/3*L2/3) = 0 

…….(1)

dy/dL = 2/3 (K2/3*L-1/3) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 2/3 (K-1/3*L2/3) = 2/3 (K2/3*L-1/3) L=K e.- α = β = 0.6, γ = 0.2, δ = 1.0. o x = K0.6*L0.6 dx/dK = 0.6 (K-0.4*L0.6) = 0 

…….(1)

dx/dL = 0.6 (K0.6*L-0.4) = 0 

…….(2) 6

(1) = (2) 0.6 (K-0.4*L0.6) = 0.6 (K0.6*L-0.4) L=K o y = K0.2*L1 dx/dK = 0.2 (K-0.8*L1) = 0 

…….(1)

dx/dL = 0.2 (K0.2* L0) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 0.2 (K-0.8*L1) = 0.2 (K0.2) L=K f.- α = β = 0.7, γ = 0.6, δ = 0.8. o x = K0.7*L0.7 dx/dK = 0.7 (K-0.3*L0.7) = 0 

…….(1)

dx/dL = 0.7 (K0.7*L-0.3) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 0.7 (K-0.3*L0.7) = 0.3 (K0.7*L-0.3) L=K o y = K0.6*L0.8 dx/dK = 0.6 (K-0.4*L0.8) = 0 

…….(1) 7

dx/dL = 0.8 (K0.6* L-0.2) = 0 

…….(2)

(1) = (2) 0.6 (K-0.4*L0.8) = 0.8 (K0.6*L-0.2) L = 1.3K

¿Los rendimientos crecientes a escala siempre dan lugar a una frontera de posibilidades de producción de forma convexa? Explique su respuesta. 12.3 El país Podunk sólo produce trigo y telas, empleando como factores tierra y trabajo. Ambos bienes se producen con funciones de producción con rendimientos constantes a escala. El trigo es un bien que necesita una cantidad de trabajo relativamente intensiva. a.- Explique, en palabras o con diagramas, cómo el precio del trigo respecto al de la tela (p) determina la proporción de tierra a trabajo en cada una de estas dos industrias.

8

b.- Supongamos que p está determinado por fuerzas externas (como ocurriría si Podunk fuera un país “pequeño” que comerciara libremente en un mundo “grande”). Emplee la caja de Edgeworth para demostrar que si la oferta de trabajo aumenta en Podunk la producción de tela aumentará y la producción de trigo disminuirá.

12.4 Supongamos que dos individuos (Santiago y Juan) disfrutan, cada uno, de 10 horas de trabajo que dedican a la producción de helados (x) o a la de caldo de pollo (y). La función de utilidad de Santiago está determinada por US = x 0.3 y 0.7 , mientras que la de Juan está determinada por UJ = x 0.5 y 0.5 . A estas personas no les importa si producen x o y, y la función de producción de cada bien está determinada por x = 2l y = 3l

9

donde l es el total de horas de trabajo dedicado a la producción de cada bien. Con esta información diga, a.- ¿Cuál debe ser la proporción de precios, Px ⁄Py ? Este problema introduce un modelo de equilibrio general con una frontera de posibilidades de producción lineal. Por lo tanto, la relación de precios es fija, pero las demandas relativas determinan los niveles de producción actual. Debido a que las funciones de utilidad son Cobb-Douglas, el problema puede ser más fácil de trabajar utilizando un enfoque de presupuesto compartido. Px ⁄Py = 3⁄ 2

b.- Dada esta proporción de precios, ¿cuánto x y y demandarán Santiago y Juan? (Pista: en este caso iguale el salario a 1.) Si el salario es igual a 1, el ingreso de cada persona es 10. Smith gasta 3 en x, 7 en y. Jones gasta 5 en x, 5 en y. x

y

8

12

Ya que 2 + 3 = 20, y las demandas son x = P , y = P x

Tenemos,

8 2Px

12

8

y

12

+ 3P = 2P + 2P = 20, o Px = 1⁄2, Py = 1⁄3 x

x

x

Así Smith demanda 6x, 21y. Jones demanda 10x, 15y.

10

c.- ¿El trabajo cómo debería quedar asignado entre x y y para satisfacer la demanda calculada en el inciso anterior? La producción es x = 16, y = 36. Se asignan 20 horas de trabajo: 8 a la producción de x, 12 a la producción de y. 12.5 Supongamos que sólo hay tres bienes (𝑥1 ,𝑥2 y 𝑥3 ) en una economía y que las funciones de exceso de demanda de 𝑥2 y 𝑥3 están determinada por 𝐸𝐷2 = −3 𝑝2 ⁄𝑝1 + 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 1 𝐸𝐷3 = 4 𝑝2 ⁄𝑝1 − 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 2 a.- Demuestre que estas funciones son homogéneas de grado cero en 𝑝1 , 𝑝2 𝑦 𝑝3 Las funciones son obviamente homogéneas de grado cero desde la duplicación del 𝑝1 . 𝑝2 𝑦 𝑝3 donde no cambian el 𝐸𝐷2 o 𝐸𝐷3 b.- Aplique la ley de Waldras para demostrar que si 𝐸𝐷2 = 𝐸𝐷3 = 0, 𝐸𝐷1 también de ser igual a 0. ¿También puede emplear la ley de Waldras para calcular 𝐸𝐷1 ? Los estados de la ley de Waldras: ∑ 𝑝𝑖 𝐸𝐷𝑖 = 0 𝑖

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∶ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐸𝐷2 = 𝐸𝐷3 = 0 −3 𝑝2 ⁄𝑝1 + 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 1 = 4 𝑝2 ⁄𝑝1 − 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 2 𝑝1 𝐸𝐷1 = 0 𝐸𝐷1 = 0 Se puede calcular 𝐸𝐷1 como 𝑝1 𝐸𝐷1 = −𝑝2 𝐸𝐷2 − 𝑝3 𝐸𝐷3 𝑝1 𝐸𝐷1 = −𝑝2 ( −3 𝑝2 ⁄𝑝1 + 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 1) − 𝑝3 (4 𝑝2 ⁄𝑝1 − 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 2) 1

(3𝑝2 2 − 6𝑝2 𝑝31 + 2𝑝3 2 + 𝑝1 𝑝2 + 2𝑝1 𝑝31 ) 𝐸𝐷1 = 𝑝1 2 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐸𝐷1 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛. 11

c.- Resuelva este sistema de ecuaciones para los precios relativos de equilibrio 𝑝2 ⁄𝑝1 y 𝑝3 ⁄𝑝1 ¿Cuál es el valor de equilibrio 𝑝3 ⁄𝑝2 ? 𝐸𝐷2 = 0 𝑦 𝐸𝐷1 = 0 Se puede resolver simultáneamente por p2 /p1 y p3 /p1. Rendimientos de algebra simple: 𝑝2 =3 𝑝1 𝑝3 =5 𝑝1 Cuando 𝑝1 = 1 𝐸𝐷1 = 𝐸𝐷2 = 𝐸𝐷3 = 0 −3 𝑝2 ⁄𝑝1 + 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 1 = 4 𝑝2 ⁄𝑝1 − 2 𝑝3 ⁄𝑝1 − 2 = 𝐸𝐷1 1

(3𝑝2 2 − 6𝑝2 𝑝31 + 2𝑝3 2 + 𝑝1 𝑝2 + 2𝑝1 𝑝31 ) = 𝑝1 2 Se tiene 𝑝2 = 3, 𝑝3 = 5 el absoluto de precios.

12.6 Supongamos que Robinson Crusoe produce y consume pescado (𝐹) y cocos (𝐶). Supongamos que durante determinado periodo ha decidido trabajar 200 horas y le es indiferente emplear su tiempo pescando o recogiendo cocos. La producción de pescado de Robinson está determinada por 𝐹 = √𝑙𝐹 Y la de cocos por 𝐶 = √𝑙𝐶 , Donde 𝑙𝐹 y 𝑙𝐶 son la cantidad de horas que dedica a pescar o a recoger cocos. Por tanto, 𝑙𝐶 + 𝑙𝐹 =200.

12

La utilidad que obtiene Robinson de los pescados y los cocos está determinada por 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = √𝐹. 𝐶 a.- Si Robinson no puede comerciar con el resto del mundo, ¿Cómo decidirá su trabajo? ¿Cuáles serán los niveles óptimos de 𝐹 y 𝐶? ¿Cuál será su utilidad? ¿Cuál será la 𝑇𝑇𝑃(de pescado de cocos)? 𝑃𝑃𝐹 = 𝑓2 + 𝑐2 = 200 𝑑𝑐 𝑓 𝑅𝑃𝑇 = − = 𝑑𝑓 𝑐 𝜕𝑈 𝜕𝑓 𝑀𝑅𝑆 = 𝜕𝑈 𝜕𝑐 0.5𝑈 𝑐 𝑓 𝑀𝑅𝑆 = = 0.5𝑈 𝑓 𝑐 Para la eficiencia, establecer 𝑀𝑅𝑆 = 𝑅𝑃𝑇 𝑐 𝑓 = 𝑓 𝑐 𝑓=𝑐 2 𝑃𝑃𝐹: 2𝑐 = 200, 𝑐 = 10 = 𝑓 = 𝑈 𝑅𝑃𝑇 = 1

b.- Supongamos ahora que se abre el comercio y que Robinson puede comerciar sus pescados y cocos a una relación de precios de 𝑝𝑓 ⁄𝑝𝑐 =2/1. Si Robinson sigue produciendo las cantidades de 𝐹 y de 𝐶 del inciso anterior, ¿Cuánto decidirá consumir dala la oportunidad de comerciar? ¿Cuál será su nuevo nivel de utilidad? La demanda: 𝑃𝑓 = 𝑃𝑐 =

2 1

𝑀𝑅𝑆 = 𝑐/𝑓 asi que 𝑐 = 2𝑓

Presupuesto: 2𝑓 + 1𝑐 = 30 13

El valor de la producción. Sustituyendo de la ecuación de la demanda: 4𝑓 = 30𝑓 30 𝑓= 4 𝑐 = 15 𝑈=√

15(30) 4

𝑈 = √112.5 Una mejora en (A) se le llama “efecto de la demanda”

c.- ¿Cómo cambiaría su respuesta del inciso anterior si Robinson ajustara si producción para aprovechar los precios mundiales? 2

Conjunto 𝑅𝑃𝑇 = 1 𝑓 = 2𝑐 PPF: 5𝑐 2 = 200, 𝑐 = √40, 𝑓 = √160 Se gasta 5√10 en f Y en 5√10 𝑒𝑛 𝑐 𝑐 = 5√10 𝑓 = 5√10/2 𝑈 = √125 Mejora adicional, a esto se le llama “efecto de especialización de la producción” d.- Elabore una gráfica con los resultados de los a, b y c.

14

12.7. Consideremos una economía que solo dispone de una técnica para la producción de cada bien.

a.- Supongamos que la tierra es infinita, pero que el trabajo es igual a 100. Escriba y dibuje la frontera de posibilidades de producción. o Restricción laboral A + T = 100 (Ver el gráfico abajo) b.- Supongamos que el trabajo es infinito pero la tierra igual a 150. Escriba y dibuje la frontera de posibilidades de producción. o Restricción de tierra 2A + T = 150 (Ver el gráfico abajo) 15

c.- Supongamos que el trabajo es igual a 100 y que la tierra es igual a 150. Escriba y dibuje la F.P.P. (sugerencia); ¿cuáles son los puntos de corte con los ejes de la F.P.P.? ¿Cuándo se emplea plenamente la tierra? ¿El trabajo? ¿Ambos? o La línea gruesa en el gráfico de abajo satisface ambos puntos. d.- Explique por qué la frontera de posibilidades de producción del inciso anterior es cóncava. o Es cóncavo porque debe satisfacer ambas restricciones. Dado que el RPT = 1 para la contraposición laboral y 2 para la restricción de la tierra, la frontera de posibilidades de producción de la parte (c) muestra un RPT creciente, por lo tanto, es cóncavo. e.- Dibuje el precio relativo de los alimentos en función de su producción en el inciso “c”. o La restricción se interseca en A = 50, T = 50 A < 50 A > 50

dT dA dT dA

= −1

entonces

= −2

entonces

PA PT PA PT

=1 =2

f.- Si los consumidores insisten en intercambiar cuatro unidades de alimentos por cinco unidades de tela, ¿cuál será el precio relativo de los alimentos? ¿Por qué? o Si para consumir

dT dA

5

= −4

entonces

PA PT

5

=4

g.- Explique por qué la producción es exactamente igual en el caso de una relación de precios de

PA P ⁄P = 1.1 que una de A⁄P = 1.9 T T

16

P

o Si PA = 1.9 T

o

PA PT

= 1.1 todavía elegirá A = 50, T = 50, ya que toda la línea

de precios es “tangente” a la frontera de posibilidades de producción en su pendiente. h.- Supongamos que también es necesario disponer de capital para producir alimentos y telas y que los requisitos de capital por unidad de alimentos y unidad de telas son respectivamente de 0.8 y 0.9. Hay 100 unidades de capital disponible. ¿Cuál es la curva de posibilidades de producción en este caso? Responda el inciso “T” en este caso. o 8A + 9T = 100 Restricción de capital: T = 0 A = 125 A = 0 → T = 111.1

La misma F.P.P., ya que la restricción de capital no es vinculante. 12.8. En Ruritania hay dos regiones: A y B. En las dos regiones se producen dos bienes (x, y). Las funciones de producción para la región A están determinadas por: xA = √Lx 17

yA = √Ly Lx y Ly son la cantidad de trabajo dedicada respectivamente, a la producción de “x” y “y”. El trabajo total en la región A es igual a 100 unidades. Es decir: Lx + Ly = 100 Empleando una notación similar para la región B, las funciones de producción están determinadas por: 1

xB = 2 √Lx 1

yB = 2 √Ly También hay 100 unidades de trabajo disponible en la región B: Lx + Ly = 100 a.-Calcule las curvas de posibilidades de producción para las dos regiones. o xA2 = LxA , yA2 = LyA , xA2 + yA2 = LxA + LyA = 100 Lo mismo para la región “B” así 4xB2 + 4yB2 = 100 b.- Cuál condición se debe cumplir para que la producción de Ruritania sea asignada eficientemente entre las dos regiones (suponiendo que el trabajo no se puede desplazar de una región a otra). 

RPT´s deben ser igual.

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c.- Calcule la curva de posibilidades de producción del país (suponiendo que el trabajo no se puede desplazar de una región a otra). ¿Cuál es el total de “Y” que puede producir Ruritania si la producción de X es 12? dy

dy

x

o RPTA = − d = yA x

A

x

x

x

RPTB = − d = yB , x

B

y2

por lo que, yA = yB , por lo tanto yA2 = xA2 (x2B ) A

B

B

pero xA2 + yA2 = 4(xB2 + yB2 ) por lo que sustituye YA2 rendimientos

xA2

yB2 yB2 2 (1 + 2 ) = 4xB (1 + 2 ) xB xB

xA = 2xB además yA = 2yB xT = xA + xB = 3xB

xT2 = 9xB2

yT = yA + yB = 3YB

yT2 = 9yB2

xT2 + yT2 = 9(xB2 + yB2 ) = 9. 100⁄4 = 225 Si xT = 12

xT2 = 144

yT = √225 − 14 = 9

12.9. Santiago y Juan han naufragado en una isla desierta. Cada uno tiene unas rebanadas de jamón (J) y de queso (Q). Santiago es muy quisquilloso para comer y solo comerá jamón y queso en una proporción fija de 2 rebanadas de queso por una Q

de jamón. Su función de utilidad está determinada por Us = min(J, 2 ) Juan es más flexible en sus gustos dietéticos y tiene una función de utilidad determinada por

19

UJ = 4J + 3Q. Las dotaciones totales son de 100 rebanadas de jamón y 200 de queso. a.- Dibuje el diagrama de la caja de Edgeworth que representa las posibilidades de intercambio en esta situación. ¿Cuál es la única relación de intercambio que puede prevalecer en un equilibrio cualquiera?

b.- Supongamos que Santiago tiene inicialmente 40J y 80Q. ¿Cuál será la posición de equilibrio? En este caso, 40 y 80 están sobre la curva de contrato, por lo que Gonzales tendría 60 y 120. c.- Supongamos que Santiago tiene inicialmente 60J y 80Q. ¿Cuál será la posición de equilibrio? Esto no está en la curva de contrato

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El equilibrio estará entre 40 jamón y 80 queso para Pérez y 48 jamón, 96 queso. Como Gonzales no aceptara cualquier trato que lo haga estar peor: UG = 4(40) + 3(120) = 520 Esto intercepta a la curva de contrato en 520 = 4J + 3(2Q) Entonces J=52 y Q=104 d.- Suponga que Santiago (que es el más fuerte de los dos) decide no sujetarse a las reglas del juego. ¿Cuál podría ser la posición final de equilibrio? Santiago aprovecha todo, esto se puede ver en el punto de arriba a la derecha en el gráfico. 12.10 En el ejemplo 12.6 cada individuo tiene una dotación inicial de 500 unidades de cada bien. a.- Exprese la demanda de Santiago y de Juan para los bienes X y Y como funciones de PX y de PY y de sus dotaciones iniciales. Q

o Santiago → min (J, 2 ) → J =

Q 2

→ J = 2Q

P = JPJ + QPQ Reemplazando en la restricción presupuestaria: Función de demanda:

{

P =J PJ + 2PQ 21

{

P =Q PJ + PQ o Juan → 4J + 3Q

UMg J (J) 4 PJ = = UMg J (Q) 3 PQ Reemplazando en la restricción presupuestaria: Función de demanda: P 3 { − Q=J PJ 4

{

P 3 − J=Q PQ 4

b.- Utilice las funciones de demanda del inciso anterior junto con la observación de que la demanda total de cada bien debe ser igual a 1000 para calcular la relación de precios de equilibrio,

Px ⁄P , en esta situación. ¿Cuáles son los niveles de y

consumo de equilibrio de cada bien por parte de cada persona? UJ = 4 ∗ (500) + 3 ∗ (500) UJ = 3500 Punto de equilibrio de Juan: 3500 = 10J → J = 350 Q = 700 22

Punto de equilibrio de Santiago: J = 650 Q = 300 c.- ¿Las respuestas a este problema cómo cambiarían con las siguientes dotaciones iniciales?

Explique por qué los resultados varían. Al variar las dotaciones iniciales, cambiará la cantidad de consumo del individuo, pero, no va a cambiar el punto de equilibrio que en este ejercicio es el 4⁄3; esta relación será la misma. Santiago es el que tiene control, por ende, el mercado es inflexible para Santiago.

23