1900_getaran Mekanik

Iengkapi pemrograman dan simulasi dengan d

i

MATLAB

Ramses Y. Hutahaean

OEM&IEI(AI\[II(

Ramses Y. Hutahaean

Penerbit ANDI Yogyakarta

I Gelnron Mekonik

den Kearsiprn Propinsl Jawa Time

Oleh: Rsmces Y. l{ulshneqn Hok Cipto @ 2OI

: :

Editor Setting Desoin

2

Cover

Korektor

pcdo

roll[, IK Badan Ferpus[ekenn

Penulis

Fl. Sigil Suyontoro

Sri Mulctnto

: Bowo : Erong

f

Aktor Sodewo

Hok Cipto dilindungi undong-undong. Dilorong memperbonyok otou memindohkon sebogion otou seluruh isi buku ini dolom bentuk opopun, boik secoro elektronis moupun rnekonis, termosuk memfotocopy, merekom ofou dengon sisiem penyimponon loinnyo, tonpo izin ter?ulis dori Penulis. Penerbir: c.V AN )| OFFSEr (Penerbil ANDI) Jl.8eo 38-40,Ielp.(O2741 56I881 (Hunting), Fox. lO274) 588282 Yosyokorto

55281 Percetokon: ANDI OFFSET JI. Beo

KATA PENGANTAR

77s-s>sW?/H?

38-40,Ielp.

(O2741 561

881 (Hunting), Fox. (O274\ 588282 Yosyokorto

5528r Perpudakocn Nosionnl: Katolog dalsm Terbilon {KDT)

tidak dibahas gelaran nonlinier dan getaran sisten: kontinum.

Pemrograman dan simurasi dengan rnenggunakan MATLAB rebih ditonjolkan pada buku ini. Dengan demikian dlharapkan aengan merakukan simulasi komputer, mahasiswa dapat nremahami getaranidi samping masih banyak perguruan tinggi di Indonesia yung-krrung atau tidak memiliki fasilitas laboratorium geraran.

- Pada kesempatan ini penulis ntengucapkan terirnakasih yang sebesar-besarnya kepada Istri dan anak penuris atas pengertian dan kesabarannya aras kekurang-perhatian p"nrlir pada saat penllisan buku ini ini.

Hutohoeon, Romses Y.

Getoron Mekonik/ Romses Y. Hutohoeon;

- Ed. l, - Yogyokorto:ANDI, 21 20 19 t8 17 16 15 14 x + 374 hlm .; 16 x 23 Cm. tog87$5432. l58N: 978 - 979 - X) - 2776 - 4 l. Judul

Buku ini disusun karena adanya kekurangan literatur daram mata kuliah Getaran Mekanik, di samping juga nrasih raryat rurusan perguruan tinggi yang kurang memaharni masalah getaran. Buku ini disusun dengan penguatan pada dasar_dasar getarai sehingga dapat menjadi pondasi untuk memelajari getaran lebil lanjut. pada" buku ini

13

t2

Semoga buku ini dapat bermanfaat bagi nrahasiswa. penuris sadar bahwa masih ada banyak kekurangan datam buku ini. oleh karena itu segala saran dan kritik akan penulis diterima dengan senang hati.

Tembagapu

l. Mechonicol Vibrotion DDC'21 z 62o.3

ra,20ll

tv

Getaran Mekanik

DAFTAR ISI

PENGANTAR............ DAFTAR ISI............. BAB I PENDAHULUAN l.l Komponen Sistem Getaran 1.2 Gerakan Harmonik dalam Bentuk Vektor 1.3 Gerak Periodik Deret Fourier.................. KATA

1.4

.......iii ......................v ...............1

........................1 ....................9 .................... l3 1.3.1 Mengubah Domain Waktu ke Domain Frekuensi ................23 1.3.2 Bentuk Eksponensial Deret Fourier....... ............26 Soal-soal untuk Dikerjakan........... ..........29

BAB II SISTEM SATU DERAJAT KE88BASAN...........................31

2.1 2.2

Pendahuluan ................ Getaran Bebas......... 2.2.1 Persamaan Gerak - Metode

Energi Ekuiva1en............... 2.2.3 Persamaan Gerak - Hukum Newton 2.2.4 Redaman Kritis..... 2.3 Getaran Paksa......... 2.3.1 EksitasiHarmonik 2.3.2Metode Respons Frekuensi... 2.3.3 Metode lmpedansi 2.3.4 Fungsi Transfer.... 2.2.ZKekakuan

.........31 ..............32

.................,32 ........34 .................40

.......49 ..............67 .......68 ..........72 .......72

........74

2.3.5 Resonansi, Redaman dan Lebar Pita Kurva

(Bandwidth)........... Imbang 2.4.1 Kecepatan Kritis Poros.......... FRF

.................75

2.4

Massa "fak

2.5 2.6 2.7 2.8

.........79 2.4.2 P engaruh Kekakuan lJarrta lan dan Tumpuan....................,... 8 I Getaran Mesin Torak......... ......................83 Isolasi Getaran dan Transmisibilitas .......88 Gerak Harmonik Tumpuan... ...................92 Respons Terhadap Eksitasi Periodik .......96 2.8.1 Deret Fourier ...............96

...............76

Getaran Mekanik

VI

fmpuls Konvolusi

2.8.2 Respons Terhadap 2.8.3 Integral

2.9

2.8.4Respons'ferhadapFungsi'['angga.......

Transien 2.10 Transformasi Laplace Getaran

2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4 2.10.5 2.10.6 2.10.7 2.10.8

2.ll

2.12

............ 104

.....107 ............108

................ I 14

.........117

........... ..... t 18 Menguraikan Bentuk Pecahahan Parsial ......1l8 Penguraian Pecahan Parsial untuk Kutub Berulang .........12O Transformasi Laplace Beberapa Fungsi ........121 Fungsi Pulsa .......... .....................127. Fungsi Impuls ..............J.... ..........123 Sifat-sifat Transforrnasi Laplace ...................123 Konsep Pole dan Zero

Penggunaan Translormasi Laplace untuk Persamaan

Dit-erensial.

..............129

Simul'asi Sistem Satu Derajat Kebebasan dengan Menggunakan 2.1l.l Getaran Bebas 2.11.2 Getaran Paksa Tidak

-.................143

2.ll.3

................... 145

Matlab Teredam Teredam.....

Getaran, Paksa

Soal-soal untuk

Teredarrt-.............

Dikerjakan...."......

........140 .............141

........150

BAB trII SISTEM DENGAN DERAJAT KEBEBASAN LEBITT DARI SATU........ "....-...........r57

3.1 Fendahuluan................ .......157 3.2 Persanraan Gerak......... .......157 3.3 Getaran Bebas Tidak Teredam .............. 159 3.4 Koordinat Umum dan Koordinat Kopel ................... 190 3.5 Koordinat Utama ................193 3.6 Analisis lvlode: Getaran Transien Sistern Tak Teredam".........-... 199 3.7 Sistern Semidefinit ..............2A3 3.8 Sistern Roda Gigi.. .....-.-......206 3.9 Getaran Faksa ....................-209 3.10 Simulasi dengan Menggunakan Matlab ...................217 .........218 3.10.1 Getaran Bebas ...".220 3.rc.2 Simulasi Getaran Paksa......... ........227 3.11 Soal-soal untuk Dikerjakan...........

Oaftar lsi

vIt

BAB IV BERBAGAI METODf, UNTUK MEMPEROLEH

FREKUENSI NATURAL ............... ......................231 4.1 Pendahuluan................ .......231 4.2 Persamaan .......231 4.3 Metode Rayleigh.... .............235 4.4 Metode Hozler........ ............23g 4.5 Matriks Transfer................245 4.6 Metode Myklestad-ProhI............ ...........251 4.7 Soal-soal untuk Dikerjakan........... ........256 BAB V SISTEM DISKRIT.. ....259 5.1 Pendahuluan............... .......25g 5.2 Persarnaan Gerak: Sistem Tidak Teredanr..... ...........25g 5.3 Getaran Bebas Tidak Teredanr, Mode Utama ..........266 5.4 Ortogonalitas Vektor Eigen ........ ..........270 5.5 Koordinat Normal....... ........272 5.6 Teori Ekspansi.............. ......273 5.7 Sistem Ser:ridefinit ..............275 5.8 Iterasi Matriks...... ...............27g 5.9 Getaran Paksa Sistern Tak Teredanr.... .....................2g6 5.10 Sistem dengan Redaman Proporsional................. ....2gg 5.1 I Orthogonalitas Mode Sistem Teredam ....................300 5.12 Getaran Paksa Teredanr (Modal Analysis)... ............302 5.13 Metode Runge-Kutta ................. ............304 5.14 Soal-soal untuk Dikerjakan......... ..........313

BAB VI ANALISIS GETARAN DENCAN MENGGUNAKAN METODE f,LEMEN HINGGA.. .....,,,317

6.1 6.2 6.3

................

Pendahuluan Penurunan Matriks Kekakuan Elemen dengan Menggunakan Pendekatan 6.2.1 Elemen

.......317

Langsung................

6.2.2Blemen

Truss....... Balok

......317 ......319 ............322

Penurunan Matriks Massa dan Kekakuan dengan Menggunakan Fungsi .......325 6.3.1 Matriks Massa Elemen .................326 6.3.2 Matriks Massa Elenren .................326 6.3.3 Penurunan Matriks Kekakuarr dari Energi Regangan... ......3216.3.4 Elemen Rangka dengarr 6 Derajat Kebebasan ....................329

Perpindahan Truss......... 8a1ok.........

vlll

6.4

6.5

Getaran Mekanik

Merakit Matriks Kekakuan dan Massa.. 6.4.1 Merakit Matriks Struktur Plane Truss 6.4.2 Merakit Matriks Kekakuarr Global 6.4.3 Mereduksi Matriks 6.4.4 Menentukan Kondisi Batas......

6.4.5 Penomoran Node Soal-soal untuk Dikerjakan

DAFTAR

PUSTAKA

...........

BAB I

...................332 .............332 .................337 .....338

PENDAHULUAN

.....340 .......343 ........360 ..................365

1.1 Komponen

Sistem Getaran

Komponen dalam suatu sistem getamn diilLrshasikan dalam Canrbar

tediri dari nlassa,

Ll,

pegas, peredarn, dan gaya eksitasi. Ketiga komponen yang

pertanra adalah sistenr secar? fisik. Sebagai contoh, dapat dikatakan bahwa sistem getaran terdiri dari suatu massa, suatu pegas, dan suatu peredam seperti ditunjukkarr pada Gambar l.l. Energi dapat disimpan di dalam nlassa dan pegas dan diserap oleh peredam dalam wujud panas. Energi masuk ke

dalarn sistenr melalui penempan gaya eksitasi yang dikenakan pada nrassa yang ada pada sistenr itu.

,T..$ Posisi keseimbaugau

statik

i"*

J--

Ptredant

Io"'eksirasitir)

Perpindahan s

Guafiar I. I Kontpouet t-koultouan

s

is

lam gctanur

Getaran Mekanik

Massa diasumsikan sebagai benda tegar. Besarnya energi kinetik tergantung dari rnassa dan kecepatan benda tegar tersebut. Dari hukum Ne-wton kitu k"tuhui bahwa hasil perkalian produk dari massa dan

Pendahutuan

Yang mana F. adalah g^ya yang bekerja pada pegas dan konstanta pegas dalarn satuan SI adalah N/m.

kj

x:

-tr

(l.l)

lni

Dari persamaan 1.1 dapat kita ketahui bahwa gaya Fm adalah berbanding lurus dengan percepatan i, sepefti ditunjukkan pada Gambar 1'2'

r

adalah

ts

percepatannya adalah gaya yang bekerja pada massa, dan arah percepatannya adalah searah dengan arah gaya yang bekerja.

F,,, =

k

lr

rrt F* I

n2

<-o-{nn/-i-;

r-;'

ken:i riugan{slope} nr Da*rah

F*

lini*r

Gamhnr 1.3 Konrponen pcgas

----------}-

Kerja yang dihasilkan ditransformasikan dalam bentuk energi potensial, di mana energi potensial tersebut disirtpan pada pegas; sedangkan konstanta pegas k adalah gaya pei unit deformasi (pembahan panjang). Gambst" 1.2 Kotnlxttrctt,trussl

Kerja adalah gaya dikalikan perpindahan, di mana perpindahan tersebut massa. searah d.ngu" u.ut goyu. Kerja ditransformasikan ke energi kinetik jika energi kinetik Jika energi kinetik bertambah maka nilai kerja positif, dan berkurang maka kerja adalah negatif. Gaya Pegas mempunyai sifat elastis, senrentara massa pegas diabaikan'

yung *t"4a pada pegas akan menyebabkan perubahan panjang pegas gaya i"rrfUut. Jika pegas berrambah panjang maka gaya yang bekerja adalah tarik, sedangtan .lita pegas bertambah pendek maka gaya yang bekeda adalah guyi t.t un. Untut pegas linier berlaku hukum Hooke, di mana perubanln panjang sebanding dengan gaya yang bekerja' Pada Gambar l'3 ditunjukkan iuatu pegas yang mengalami pertambahan panjang xt - xrsetelah diberi gaya tarikan F.. untuk pegas linier berlaku persamaan berikut:

4=k(r,-r,)

Peredam c tidak nremiliki massa ataupun elastisitas. Gaya redaman akan muncul jika ada kecepatan relatif antara kedua ujung peredam. Kerja atau energi yang masuk akan dikonversikan dalam bentuk panas. Untuk peredarn viskus, gaya redam sebanding dengan kecepatan relatifkedua ujung peredam seperti ditunjukkan pada Gambar 1.4, sedangkan hubungan antara gaya yang bekerja pada peredam dengan kecepatan relatif kedua ujung peredam

ditunjukkan pada persanraan:

Fn

=r(*.-*,\

di nrana F6 adalah gaya yang bekerja pada peredam dan c1 adalah konstanta peredanr dalam satuan S[, yang dalam hal ini adalah N.s/m Energi memasuki sistern jika diberikan gaya eksitasi (gaya rangsang). Gaya eksitasi dapat diberikan rnelalui massa atau gerak eksitasi pada fondasi. Gaya eksitasi tersetrut merupakan fungsi terhadap waktu, atau gaya kejut. Di

dalam permesinan gaya eksitasi umumnya akibat adanya ketidakseimbangan pada komponen berputar sepcrti yang terjadi pada poros atau turbin. Gaya yang dapat n-cnyebabkan sistem bergetar dinamakan gaya eksitasi.

Pendahutuan

Getaran Mekanik

ke

Jika sistem tidak mengalanri redaman maka tidak ada energi yang

rrririugan (siope]

diserap oleh sistem. Kondisi awal pada sistenr akan menyebabkan sistem berosilasi dan untuk sistem getamn bebas tidak teredam. Sistem tersebut

akan berosilasi derrgan amplitudo yang sama tanpa ada pengurangan Fa

{-

amplitudo. Dengan kata lain, sistem terscbut akan berosirasi dengan g.ruk n yang sama tanpa terpengaruh pada bertanrbahnya waktu. Tetapi untuk sistem yang mengalami rcdaman, sistem tersebut pada awalnya akan berosilasi dan mengalami pengurangan amplitudo hingga sistem tersebut berhenti berosilasi pada saat tercapai kondisi kesetimbangan statik.

Fa

Gtmlnr

Gerakan harmonik sederhana adalah bentuk yang paring sederhana

1.4 Korttltottcn peradcun

gerak periodik. Akan ditunjukkan di dalam bab-bab yang selanjutnya, yaitu (l) gerak harmonik adalah juga dasar untuk analisis yang rebih rumit yang

Suatu sistem dinanrakan bergerak periodik jika sistem tersebut bergerak berulang-ulang dengarr gerakan yang sama untuk interval waktu yang sama sepefti ditunjukkan pada Gambar 1.5. l'}ada gambar itu ditunjukkan bahwa

nrenggunakan transformasi Fourier, dan (2) analisis keadaan tunak (stedi) dapat disederhanakan dengan vektor-vektor untuk mewakili gerak harmonik. Kita akan mendiskr"rsikan gerakan harmonik sederhana dan manipulasi vektor dalanr beberapa detil di dalam bagian ini.

waktu minimum yang dibutuhkan untuk mengulang gerakan yang sama dinamakan periode T. Dengan kata lain, periode T adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu gerakan dalam satu siklus.

Suatu gemk harmonik sederhana adalah suatu gerak bolak-barik. Itu dapat diwakili oleh fungsi lingkamn, sinus atau cosinus. perhatikan Gambar

Suatu sistenr dinamik dapat diatur sedemikian dengan kondisi awal. yaitu suatu gangguan yang diberikan pada waktu t : 0. Jika tidak ada lagi gangguan atau gaya eksitasi setelah waktu t : 0 maka gerak osilasi sisten-t tersebut akan mengalami getaran bebas. Kondisi awal tersebut merutrrakan energi input. Jika pada kondisi awal pegas terdelbrmasi, maka input energi berupa energi potensial. Jika massa m diberikan kecepatan awal maka input energi berupa energi kinetik.

1.6

di mana suatu titik P bergerak pada surlbu horizontar. Jika jarak op

adalah:

oP = x(t)=

X

co.s ot

(1.2)

t : waktu, ro :konstanta dan X : konstanta, maka gerak p terhadap titik o adalah gerak sinusoidal atau harmonik sederhana. Karena yang mana

Peiioda T

fungsi lingkamn akan berulang setiap 2n radian, maka satu sikrus akan tercapaijika oT = ?r yang mana: D

Perioda T=2o r/siklu.;

(1.3)

a)

\lraktu

Frekuensi

t

a

Gamhor 1.5

l

1l

f =!siklur/s, .T

utuu Hz

adalah frekuensi lingkaran dalanr satuan rad/s.

(1.4)

Getaran Mekanik

Pendahuluan

Penjumlahan dua fungsi harmonik yang mempunyai frekuensi yang sarna tetapi beda fase juga menghasilkan fungsi harmonik dengan frekuensi yang sarna. Sebagai contoh, penjumlahan fungsi harmonik xt= Xrsinatl dan

x,

= X z sin{rot + Q) adalah:

x: = X r sitt tot + X, sin(tot + Q) - X t sirt cot + X,(sin att cos Q + cos tot sin Q)

x = xt +

=

Gmthar

1..6a

(X,

+

X,

cos Q)sirt rot +

X,

sin Qcos att

=Xsin(or+a) di mana

z

* = ,l(x , sitt Qf + (x , + x, cos Q)2

s

a=tan-t((x, * xrcosS)/ xrsinQ)

L

E

.s

Sedangkan penjumlahan dua fungsi harmonik yang berbeda frekuensi adalah tidak harmonik . Sebagai contoh, kita jumlahkan x1 dan x2 sebagai berikut:

a

Gntttbor l.6h

x = xt + xz = X cos at + X cos(rrt+

Jika x(t) menunjukkan pelpindahan suatu massa dalam sistem getaran, maka kecepatan dan percepatan diperoleh dengan mendiferensiasikan x(t) terhadap waktu. yaitu:

Perpindahanx=X crts at Kecepatan -dt

(

* = +=-coX sirt ail

l.s)

(1.6)

=

Xlcos at

+

c\t

cos(ro+r)l]

= 2 X ,'or!,

2

,',,1

\

,*!), 2)

Bentuk gerakan hasil penjumlahan kedua fungsi harmonik tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.7. Pada saat amplitudo mencapai nilai maksimum. dinamakan hentakan. Frekuensi hentakan fu diperoleh dari amplitudo maksimum kedua fungsi harmonik tersebut, yaitu:

Perpindahan

il=+

= -0)2

X

cosatt

(1.7)

Dari persamaan tersebut dapat kita ketahui bahwa kecepatan dan percepatan gerak hamronik sederhana juga berupa gerak harmonik dengan irekuinsi yung srn,r. Sudut fase kecepatan mendahului 900 dibandingkan dengan perpindahan, dan lxrcepatan nrendahului 1800 dibandingkan dengan perpindahan.

Ganlxt

1.7

Getaran Mekanik

(t)+C O

^ Jr,=Jz-Jr= Contoh

2"

'r:2" E

(1.8)

l.l

Suatu t'ungsi harmonik dinyatakan dalam bentuk persamaan .r(r) = X cos(50t + ry)nun. Jika kondisi awal ,(0)= 6.0,rm dan i(o)= 4oonunl.r , carilah: (a)

Konstanta X dan

(b)

Ekspresikan x(t) dalam bentuk persamaan

rY.

Pendahutuan

yang dapat diuraikan menjadi:

,(r) = t 0 cos 50t cos(tt.ozzs) - l0 sin 50t ,(r)= 6cos 50t -B.rrrr Sot

7.2 Gerakan Harmonik

dalam Bentuk Vektor

Suatu gerak harmonik dapat juga disajikan dalam bentuk vektor X yang berputar dengan kecepatan sudut tetap, dengan besar rnagnitudo vektor yang konstan, Xe. Pada Gambar 1.6 ditunjukkan perpindahan titik P dari titik O sepanjang surnbu x adalah OP =-t(r)= X,,cosrot. x(t) merupakan proyeksi terhadap sunrbu x. Dengan cara yang serupa, proyeksi vektor berputar X terhadap sumbu y adalah OQ - yQ) = Xo sitt rot .

vektor berputar

*(l)= Acosrot+Bsinatt Solusi

X

Dari kondisi awal x(0) = 6.0mm diperoleh:

x(O)=

X cos(50*0+y)=6

X costY=6

(n)

Dari kondisi awal *(O)= 100mm diperoleh

t(o)= -5ox X sinY = -6 Persamaan

sin(50* o +rY)=

(**) dibagi persamaan (*)

:

41111

(**) menghasilkan:

x sitttlt ranu/ -B = -0.9273 = 6 X clsv/=

Gomhu I.8a Vakktr ltcrpuktr

rnd ;(/ l= -f, coxrrl

ytf )= .(o

r-rn

Kemudian dengan menggunakan (*) diperoleh:

X

=6 / costy = lg

maka

x(r) =

to

sin(0.9273)

cos(5ot -0.9273\ttrrtr Goubor l.8h Gcruk lrurnonik

rrl

Getaran Mekanik

10

Pendahuluan

'41

Jika sumbu x adalah sumbu real dan sumbu y adalah sumbu imajiner, maka vektor X dapat disajikan dalam bentuk persamaan:

X=Xocos0t+jXosinatt di mana X6 adalah panjang vektor

,

(1.e) dan

.i =

J7

merupakan

}(}

urit imajiner.

P€rsamaan 1.9 dapat dinyatakan dalanr bentuk:

x = Re[Xn

""*

l* wlx on"'' ]

(1.r0)

-x*

mana Re menotasikan komponen real dan Im merotasikan komponen irnajiner. Diftrensiasi fungsi harmonik juga berbentuk vektor sehingga diferensiasi vektor X men ghaasilkan :

di

d n-d (r -i^)=iaX,,ei,n =.jax u" ,lt '* - ,lt \"

Gambur 1.10 Gerutkun hurmonik

(l.l l)

# - = fitr,""n)= -r' x,,,,ui'* = -at' x Dari persamaan l.l I diketahui bahwa setiap diferensiasi adalah sama dengan mengalikan vektor dengan .jat. Karena perkalian vektor dengan j

Jika perpindahan harmonik x(r) = X,,coscDt maka hubungan antara perpindahan dan kecepatan dan percepatannya adalah:

Perpindahan

Kecepatan

*

=

RulXou",)= X,

cos

at

* = FteLjri,X u" "' )= -ax,,sin

adalah ekuivalen dengan penambahan lase 90", maka setiap diferensiasi akan menghasilkan vektor yang bertanrbah 90".

a.lr

- ToXorot(a + 900) percepatan

;

= Re[Qar)' X on "n f=

-r'

x,, cos ot

* ,'Xorot(a + lB0o) Fungsi harmonik dapat dijumlalrkan secara grafis dengan penjumlahan Xr dan X: masing-masing adalah gerak harmonik

vektor. Vektor

Ico s(at Resultan vektor X adalah:

lX,l

cos crtt aan

X= -c>-X

Gsmlrqr 1.9 Vektor posisi, keceputon dan percepatan

lX,

+a)

seperti ditunjukkan pada Gambar 1.1 la.

Getaran Mekanik

12

Pendahuluan

Sedangkan sudut fase adalah:

Karena

13

X;

dan X2 saffia-sama belputar dengan kecepatan sudut yang

sama atmaka akan terdapat sudut fase yang besamya tetap. Untuk memudahkan biasanya kita anggap at = 0 sebagai referensi untuk mengukur sudut fase. Vektor Xr, X: dan hasil penjumlahan kedua X

, lx,lsina 0=tatt-,WFI_W . lX.lsina

ditunjukkan pada Gambar 1.8b. Jika vektor X2 dituliskan maka bentuknya

0=tatt-,ffiF;

adalah:

x , =lx

,le;Qu+a) = frx ,le

i"

I i,, = (x,lco,

a + jlx ,lsin ali,n

Fungsi harmonik dapat dijumlahkan secara aljabar, yaitu dengan penjumlahan vektor. Misalkan kita akan menjumlahkan X, =lX,lcosr,x dengan

Xr=lX..lco{a+a),

nraka hasil penjumlahan kedua vektor

tersebut adalah:

x

x,

=lx ,1u,,, +lx ,lei@,*",

=

x,*

=

(lx,l +lx,lcos a + ilX,lsi n a) e i'''

= lxle ilt e i'' =lxle

*

l.(l".ru{*r+P}

=

(l*,|+lx rlei")ei.,

i@r* o)

dimana:

*

|x1=

Gomhar 1.1Itt

P=lan

_r

lx,lsin a lx,l * lx,lcos a

Karena fungsi harmonik yang diberikan adalah sepanjang sumbu real, maka hasil penjumlahannya menjadi:

lrrlxiu

rz

x = ne[lxl u it,"*o) f=lxlcos(att + p)

1.3 lrrlct'sa Gombor

I.l lh

Gerak Periodik, Deret Fourier

Josep Fourier mempublikasikan sebuah karya tulis pada tahun 1807 di Akademi llmu Pengetahuan di Paris. Karya tulis tersebut adalah deskripsi matematik untuk masalah konduksi panas. Berdasarkan ide tersebut, bentuk

Getaran }lekanik

14

Pendahutuan

15

fungsi periodik sembarang dengan periode T dapat dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut:

r {4 = * i,{o,,cos nat + h,, sitt ttot) ? di mana koefisien

as, a,, dan b,, untuk fungsi

Siaynl S*tam Eonrain

*iltil

(r.12)

periodik FO diperoleh dari: 1

2n O)=T

xtti 0

ao

)r =illo F(t)dt

a,,

)r =:llo F{t)uts

b,,

(

ntodr

)r =illo F (t\sirr trrotdt

n= 1,2,.......

l.l3)

-t

*-

(1.14)

::

...

:i *i---*"-"i-^ i: ll

ii

(l.ls)

n=l

-3

02

{

Dapat dicatat bahwa koefisien peftanra aq merupakan dua kali rata'rata fungsi (t) pada satu periode. Ekspansi deret Fourier, suatu gelonrbang periodik akan menghasilkan sejumlah bentuk gelombang sinuVcosinus atau eksponen kompleks, yang

jika dijumlahkan akan

menghasilkan bentuk gelombang yang semakin mendekati bentuk gelornbang periodik yang sesungguhnya. Sebagai contoh, kita akan menguraikan suatu gelombang segiempat dalam bentuk deret Fourier. Akan kita perlihatkan berbagai jumlah ekspansi yang dihasilkan jika kita menggunakan ekspansi deret Fourier itu.

Contoh 1.2

Suatu gelombang segiernpat dapat dianggap sebagai kumpulan

81

0€ S8 Gomhar

Karena periode

1

t2

14

t6

I.l2

T= I detik maka:

"tzta

a=-=zJr T

Koefisien Fourier dicari dengan cara sebagai berikut:

*o

=Zl

rqtyat

.'=*l'i'at-

t,za) -0

gelombang yang berbentuk sinusoidal:

lx(t)=z ,(t\=[ \,, \

\x( t 1 = -2

dt- jrz

untuk 0
"'=1(T'

untuk

,,=11* ,*t'r\it, -*, ,,,-.,{,,)

0'5


'Ir.

cos(na')

cos(narr) dt)

18

Getaran Mekanik

16

" =+(* 'i"(''il:i, ",

=

rr,t(2 rr)lo,'

1(

Dengan cara yang sama diperoleh:

-*

rr,,(*r)l"r)

ur=*

- sin (z rt\1,'0,) = o

.t(l)=

I /o.s

=;U, t(

+lt,

sin(na,t)

)

u,=;l-T u, =

:(

. _B ut --

lt

-

?*

O5=0

.r(r)=

Koefisien untuk del et sinus: u,,

"o,

;

dt

t

-

.lor t cos(",/)lo *

2,

(z,tt\ll,'

+

"o,

sin(natrt)

1,2

(t

b.r=o

:

br=

n

,1r,,=g

dan ur=*

Maka masing-masing bentuk gelonrbang pada deret Fourier:

Dengan cara yang sanra didapatkan:

O2:01:8.1:

17

Pendahuluan

sin

<'
('ostrio,l+ bt sinot

+,..+ b,, .riz nol

2ol

L ,iu 2r,* L

sitr6r, -

fr

sin

l0rr *

J-

,;u

14r1

*-{.r;, lSrr+ 9r

dt)

*rtr,,\lirr)

n, cos@t + il,

Sekarang akan kita gambarkan gelombang x(t) dengan menggunakan 3, 4 dan 5 suku dari persamaanl asirrlonl

ot\1,',,,,\

!sin2a , 4-

T

t,

=

u, =

+l-+,,, *(

-

(,,,41it,' .

z$

*,,,, e ^lll,,)

I

't

"t

*, (a ot)li' *'o, (t ot\',,.)

+r[ 0

b, =0

,, u,

=

il-*

=*(

n,,{s,,41,',0'

-o,, (6,rt)li'

+

"o,

*

*

( ort)1,',,

.(r)=

",,(r,,,)1,,J

1.;,,r, *1.u,u, ft'fi

+asinl0a 5n

waktu

(s)

4

0

\ Gambor 1.13 Gombor ilusttusi donmin.fi'ekuensi dun domoin waktu gelombong scgicutptrt

Getaran ltlekanik

18

"

;[rnA

'"ll

; 1l

I

ii1,ii--1'",14 -|

lr

i

I- -]EW -ll

---

2 1.5

""[.]...l.iirr[._..j._ "t,.[liili,, r

i I i lr i!y1i-

lj[

.'LJ''V:

-

n^t

t I

o.5 o

I -r 'l:

I

I

-o.5

il

{-.iIl'-t

-1

-1.5

il-

t

-2

.2.5L o

dutgon 3 suku

sitr2n,**

I

1

Gambar 1.14 Bentuk gelontbang segiernpot dulun bentuk derel Fourier

.r(,)=*

19

D6r€r Fourier d€qan 5 suku

2.5

ll

l

Pendahutuan

sint0tr,*J-

si,tbrr+L

r1, l4nt

Gomlnr 1.16 Bentuk gelombong scgiatnpot dalam bentuk dcrel Fow'icr dengtur 5 suku

Dalam domain frekuensi bentuk fungsi periodik segiempat diperlihatkan dalam bentuk spektrum frekuensi sepefti ditunjukkan pada gambar berikut:

I

1

1T

o.5 o

I

io t -o.5 8

't -l.5

irI

-2

s

f;

-2.5t

o

I 9z

Gnmbar 1.15 Bentuk gelonrbutg segicnrpot dulam bcntuk deret Fourier dengon 4 suku

.r(r)=

8' 7r

r;n

- sin6rl +-stn 2nt+ 88 5z 3tr 8 1 --:--5i11 14 rt 7r

Frequencv{ rad

l0 +

zt

8 9r

Gombar 1.17 Bcnluk donmin.fi'ekrensi untuk gelontbang segiempat

sin l8 at.

sl

Getaran Mekanik

2A

Contoh 1.3

Pendahutuan

21

Dengan cara yang sama didapatkan:

Suatu gelombang segitiga dapat dianggap sebagai kumpulan gelombang yang berbentuk sinusoidal :

12= ZJ= 8a: a5:0

Koefisien untuk deret sinus: 2

b, = 10.5t

sin

rt

I

dt

E

0 2

b2 =

sin

2rt

sin

3trt dt

dt

:+-

0

-/l

----"/*-t

[0.5t

/.1

2

b, = !0.5t 0

I 2r I 3r

I b,=-L , b.=J ' 4r 5tr Gomhor 1.18 Gelombuug scgitigtt

b6

x(t)=9.5*, untuk 0
"

=-+ 6tr

x(r)=

)r a,=*l F(t)dt

nlr

Maka dengan menggunakan deret Fourier diperoleh:

2n a).f=-=7r ,T Koefisien Fourier dicari dengan cara sebagai berikut:

dan b,, =-L

!-l- sitrrt-! ,i,,:rt-! lE213r

Dengan menggunakan

sitt3rt-... - I

-n|f

sut,tlI

MATLAB:

clear

n=input ( 'jumlah koefisien' t=0:0.001-:10;

Io

)

w=t/2;

"'="li:'

u')=il''=

yy=yy+y;

,

a, = 10.5t

cqs

trl cil - 0

cos

2trl dt - 0

2

a, =

10.5t 0

'

for j-1:n c(t)=L/pi/j; y=-c (j ) *sin (pi*j *L) ;

end

plot ( t,yy) grid title( ['Gelombang segitiga dengan jumlah koefisien 'num2str(n) ' '] ) x1abel ('waktu t') ylabel (' zunplitudo ')

Getaran lrtekanik

27

&lombang

2

3

aqltigs

o

Fendahutuan

23

&ngan iumlah k€fiai€n.5

*.rL..

t

7

6

Gombor 1.19 Gelomlxrng scgitiga dengan nrcnggunokut 5 koa/isien Fourier

Gambar

I.2l

Geloubong segitiga dutgcur 30 koefisien Fourier Golonrbere sqttiga

&.rgar! irrnt&lr ko6tslqr

i@

_-_-_,irlil rv

ii

J i.-

i:i

tl ----i----

Gambor 1"22 Gelonrkrug segitiga ilutgan l(N koeJisien Fourier

1.3.1 Margubah Dqnaer Wdfrr t(e Domah Frdqrensi Gambar 1.20 Gelamkutg segitiga dengun mengguna*an l0 koefisien Fourier

untuk nrencari konrponen sinus dan cosinuq kita dapat menggunakan MATI-AB:

r{,)cosnatrtdt ", =lT

tt = 1,2,.......

Getaran Mekanik

24

)r U,,=;lF(r)sitnat.,,tdt

Pendahutuan

25

n=1,2,.......

Kita akan melakukan simulasi

menggunakan

MATLAB. Misalkan

suatu fungsi:

f

(t)

=

5* sin( 2rt ) - Bx sin( 5rt ) + l0* cos(7 rt ) - 5* cos( 4rt

)

akan kita simulasikan dalam domain frekuensi menggunakan transformasi Fourier:

Gonbor 1.24 Fungsi /(t) tktluu rknruin tvoktu

t=0:0.01,:20; f=5*sin ( 2*pi*t ) -8"sj.n ( 5*pi *t ) +10*cos

5*cos

--|-----I

I I

(4*pi*t)

ff= (conj ( ffE ( t) ) / (lensth (L) /2) figure ( 1 )

subplot

(

211

(

7

*pi*t ) -

;

)

;

)

plot ( [0: length (t) /2-

1l / (length( f f ) *0.01) *2*pi, reat (f f (f : lengrh

axis ( t0 25 -10

121

(tt) /2)')

I

)

Koef isien Cosinus ,) ('amplitudo,) xlabel (' Frequensi rad/s ') grid

tit.le('

y1abe1 10

15

Frequensi radls

Gomhor 1.23 Fungsi .l(t) dolun domain Frekuensi

subplot (212 )

plot ( [0: length (t) /21l / (lensth(f f ) *0.01) *2*pi, i_mag(f f axis(t0 25 -10 l-21) x1abel (' Frequensi rad/s ,)

ylabe1 ( 'Amplitudo'

)

title(' Koefisien Sinus ,) grid figure ( 2 ) plot(t,f) axis(t0 8 -20 301) grid

(i": lengrh

(tt) /21) )

Getaran Mekanik

26

xlabel ('Waktu t')

y1abe1 ( 'Amplitudo'

Pendahur,tuan

Contoh 1.4 )

tit.le( ' Fungsi- f (t) dalam domain waktu ')

Jika suatu fungsi x(t) dalam domain waktu adalah:

r(t)= 1.3.2 B€ntuk Eksponenslil Dde/.. Fourier Perhatikan dua suku pada persamaan l.l2 yang terkait dengan frekuensi n(D. Persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk: cr,, cos nol+ 6,, sin n a

-

= c,tcos(rlar

d,,)

5 * sin( 2nt )

dan

d,, = tan-r(h,,1o,,)

- 8*

5rt )

di mana

cos(2rt - n / 2\

dan cos( 5 trt ) = cos (5 zrt

dimana

1. 2.

cos(

maka kita dapat menyatakan dalam bentuk notasi faser sebagai berikut:

sin( 2 nt ) =

dimana

cr=

27

- 0)

maka c,, adalah

amplitudo dan o,, adalah sudut fase.

Dengan mengingat persamaan Euler

cos nat .silr

nat

= =

ejilot + e-

.

sin( 2nt ) =

cos(2rt -

tr

/ 2) =

ittot

2

ccts( 5rt

ejilot _ e-jild

2j

Jikan:0,maka c,, =uol2

) = cos(5n - 0) ="i5tr

Sehingga fungsix(t) menjadi dan

d,,=4.

Dengan menggunakan notasi vektorial maka fungsi periodik yang ditunjukkan persamaan I . l2 dinyatakan dalam bentuk:

r(r) = Lr,,n't''n-o'' =Ld,,u l=0 u=0

""n

di mana v,, = c,,e-io" adalah fasor dan komponen harmonik pada frekuensi na . Grafik c,, terhadap frekuensi dinamakan spektrum frekuensi dan grafik

4,, terhadap frekuensi dinamakan spektrum fase dari fungsi F(t).

x(r) = 2.5 * (eiz''-"r z *

u-

*-o- i5r

'

;

i(2tt-r"r)-,

* (ei5,t + e-.isn)

Dengan menggunakan transformasi Fourier kita dapat mengubah domain waktu ke domain frekuensi. Untuk lebih detailnya, silakan pelajari literatur yang menyangkut transformasi Fourier, yang dalam buku ini tidak dibahas. Domain frekuensi fungsi X(f) adalah fungsi dua sisi, tetapi dalam aplikasi biasanya hanya sisi kanan (positif) saja yang ditampilkan. Oleh sebab itu domain frekuensi X(t) dinyatakan dalam grafik seperti berikut:

Getaran Mekanik

28

Pendahutuan

J.

*rnpliruds

Suatu fungsi. harmonik dinyatakan dalam bentuk persamaan *Q)=X"ot(tSOr+ y)nt,n. Jika kondisi awal x(O)= 20.0mm aan i(0) =6O0mm/ s,carilah:

a) b) rl

29

Konstanta X dan

Ekspresikan x(t) dalam bentuk persamaan:

"v(t)= 4.

A

cos tot +

B

sin

ot

Carilah junrlah aljabar dari gerak harmonik x1 dan x2,

x = xt * xz = 6 sin(att =X 5.

qr

-

2tr / 3)+

B

sin(cot + tt / 3)

sin(ot +V)

Suatu fungsi periodik dinyatakan dalam bentuk persamaan

x= xt + xz =6

sin

2ttt + Ssin6nt

Gambarkan x vs t dalam rentang 0 < 6.

2,

Carilah periode dari tungsi

a) x=6sin4t+Bsin6t b) x=6sin2 4t

Gomhor 1.25 Spektnm .fi'ekuansi timgsi x(t)

1.4 Soal-soal untuk Dikerjakan l. Jika suatu perpindahan harmonik dinyatakan ,r(l)= 20sin(40t-n/3)mm, di mana t dalam satuan

7.

Ekspresikan bilangan kompleks berikut dalam bentuk:

a. t*jJi

dalam secon

(detik) dan sudut fase dalam satuan radian, carilah:

b' r-.iJl

a. b.

c. (r .;"tr[r - jJi)

Frekuensi dan periode gerak. Perpindahan, kecepatan, dan percepatan maksimum.

Perpindahan, kecepatan, dan percepatan pada t = 0 dan pada I .4 s.

Ulangi soal No.1 untuk .r(r) =

I 20

f < 3s

sin(2\t - r / 2)mnt

8. [=

d. *t e.6j

Ekspresikan bentuk gelombang periodik berikut daram bentuk deret Fourier:

Getaran lrtekanik

30

'h r-L h r-r3:

:3;5i

(b)

BAB II SISTEM SATU DERA.IAT KEBEBASAN

2.L Pendahuluan idi Gel,rmbangti sinus

Agar dapat memelajari getaran, kita terlebih dahulu harus mengetahui sistem satu derajat kebebasan yang merupakan dasar untuk memelajari masalah

getaran secara

lebih mendalam. Berbagai contoh sistem satu

derajat

kebebasan disajikan dalam bentuk Gambar 2.1.

\ \) Wt/ljr:tit

t-t-

JL Gambar 2.1

Analisis getaran dapat dilakukan dengan bantuan matematika, yaitu lewat hukum gerak Newton, persamaan energi, metode respons frekuensi, dan metode superposisi.

Getaran Mekanik

32

Sistem Satu Derajat Kebebasan

2.2 Getaran Bebas

7 = !m*2

Getaran bebas adalah sistem yang bergetar bukan karena ada gaya eksitasi (gaya penggetar), tetapi karena kondisi awal, yaitu benrpa sinpangan awal

r(0)

atau kecepatan awal

33

i(0).

Getaran bebas secara umum adalah getaran

(2.3)

Energi potensial yang terkait dengan persamaan 2.1 adalah regangan pegas yang diakibatkan oleh perpindahan massa. Maka energi potensial neto

sistem terhadap keseimbangan statik adalah:

bebas tidak teredam dan getaran bebas teredam. Dalam kanyataannya,

U =j1,rg + kx)dx - tngx = +k

getaran bebas tidak ada yang tidak teredam.

0

2.2.l

Persamaan Gerak

- Metode Energi

energi. Perhatikan sistem pada Gambar 2.2 yang akan diatur mtuk mengalami suatu gerakan. Total energi sistem tersebut adalah jumlah energi kinetik dan energi potensial. Energr kinetik T dikarenakan oleh kecepatan massa, dan energi potensial dikarenakan energi regangan pegas U pada saat mengalami deformasi. Untuk sistem yang konservatif, energi mekanik akan tetap konstan dan turunan terhadap waktu harus bemilainol.

*

U

:

(Energi total) = konstan

*(,.u)=o

(2.4)

Substitusi persamaan 2.3 dan2.4ke persamaan 2.2 menghasilkan:

Persanraan gerak suatu sistem konservatifdapat diperoleh dari pertimbangan

T

'

*(

+,,,r'

+j/.r')=(

Karena kecepatan

*(r)

mi + lcx)* =0 tiOat berharga nol maka diperoleh persamaan

gerak:

nd+kx=0

(2.s)

(2.r)

i+tl2rx=0

(2.6)

(2.z',)

dimana o,t, =k/m. Solusi persamaan 2.(r adalah:

T**

x = At cos cotl + A, sirt to,,t

I

(2.7)

I

di

Panjang peSiu sebelwr drben

mana A.1 dan A,2 adalah konstanta sembarang yang diperoleh dengan mengevaluasi kondisi awal, yaitu sinrpangan x(0)dan kecepatan awal i(0).

bebm

Persamaan 2.7 juga dapat disederhanakan menjadi:

l__

x=A

Defleksi statis

T-

sin(o4,t+V)

(2.8)

di mana

Gombor 2.2

Untuk menurunkan persamaan gerak untuk sistem pada Gambar 2.2,hta asumsikan perpindahan massa x(t) diukur dari posisi kesetirnbangannya dengan mengabaikan massa pegas. Oleh sebab itu energi kinetik sistem adalah:

v =tan-t (,1, t ,lr) Dari persamaan 2.8 terlihat jelas bahwa ketika sistem sudah bergetar maka sistem tersebut akan bergetar harnronik, dan amplitudo A tidak berkurang dengan berjalannya waktu. Sistenr tetap bergetar berdasarkan hukum

Getaran Mekanik

34

kekekalan energr, yang nmna energi tersebut tidak berkurang tetapi tersimpan pada komponen massa dan pegas. Perubahan energi antara komponen tersebut adalah frekuensi alami (frekuensi pribadi) sistem.

r -@,

Sistem Satu Derajat Kebebasan

FI, lr+1,

FI,

ZlL

k1

l"*''

t

(2.e)

35

Fl. /,

2.2.2 Kekakuan Ekuivalen Beberapa bentuk susunan pegas tertentu dapat dijadikan pegas dengan kekakuan ekuivalen. Berikut ini beberapa konfigurasinya.

Pegas seri

I

I

-:--=-Tr-t

k,u &

W

[r

kr

kr

Sedangkan defleksi pegas

,- -

Fl ,

(t,+t.)r,

. r- -

I

*/,

r

+

dan pegas 2 adalah sebagai berikut: Fl ,

(,+t.)k.

Dengan menggunakan relasi geonretri diperoleh hubungan sebagai

b2'

berikut:

Pegas paralel

I

.tl

#* =,tl +F:

r(=rr*{3-]!l, t-*tz

Pegas paralel yang dihubungkan dengan satu batang yang diabaikan massanya:

Dengan rnensubstitusikan x1 dan x2 pada persamaan tersebut diperoleh:

r(it,+t'),*,)

.. .'_-]-----.--

(1,+lr)'k,k,

karena kn, = F /

r Penurunan pegas dengan konfigurasi ini diturunkan sebagai berikut ini. Dengan menggunakan persamaan kesetinrbangan statik, diperoleh gaya gaya yang bekerja pada masing-masing pegas:

x

maka kekakuan ekuivalen diperoleh:

,- _k,kr(t,+tr)' "'11',1q*t'rk,)

Contoh 2.1 Pada Gambar 2.3 ditunjukkan sistenr getaran yang terdiri dari sebuah pegas dan silinder dengan massir ln. Dengran menggunakan metode energi, turunkan persarraan gerak sistem tersebut dan juga li'ekuensi pribadi sistem tersebut.

36

Getaran Mekanik

Sistem Satu Derajat Kebebasan

atau

)md

37

+ k0 = 0

maka frekuensi pribadi sistem adalah:

Gombtr 2.3 Solusi: Peftama-tama kita tentukan dahulu energi kinetik sistem tersebut. Silinder tersebut bergemk rotasi dan bergerak tmnslasi sehingga energi kinetik sistem adalah:

Pada Gambar 2.4 ditunjukkan sistem getaran yang terdiri dai Z pegas, silinder dengan massa m dan massa m2 yang bergerak translasi. Dengan menggunakan metode energi, turunkanlah persarnaan gerak sistem tersebut dan juga frekuensi pribadinya jika diketahui k': k, k2:2k, m;:m, dan m2: 2 m.

T=T.nri T,otn"i

di mana

7:

*

Tt ru.lu.i

=iJor'=+Jo02

Tr,.nr"k,ri

= !n*) = !nR202

Jo = jnR'

dan * = 0R, maka energi kinetik total adalah:

!nR202 +!mR202

=]nR202

= ib,

Gombor 2.4

Solusi Pertama-tama kita tentukan dahulu energi kinetik sistem tersebut. Karena

silinder itu bergerak rotasi dan translasi, maka energi kinetik sistemnya

Energi potensial pegas adalah:

u

Contoh 2.2

adalah:

T:T-m.i

=+k(Rz)'? T,oro"i

= +kR2 02

Kemudian dengan mensubstitusikan T dan U ke persamaan, maka akan diperoleh:

fi(*,un'e'

+!kn2e2)=o

]mRzi) + kR20 =o

mana

Tro,rrlr.i

=iJor'=+Joe2

Tt,ou"tasi

di

*

= 4(m, + mr)*2 =

Jo = !m,R2 = !mR2 dan .t =0R .

kinetik total adalah:

7=

]mR2 02

tmR202 +)mR202

=tntR202

Dengan demikian energi

Getaran Mekanik

38

SoIusi

Energi potensial pegas adalah:

g

=

Pertama-tama kita tentukan dahulu energi kinetik sistem tersebut' Silinder bergerak rotasi dan ffanslasi. Jika kita misalkan kecepatan sudut

)k,x2 +tkrxz

tersebut

silinder relatif terhadap titik P adalah 0 , dan kecepatan sudut silinder relatif terhadap O adalah V ,makadiperoleh hubungan:

=+k(Re)') =*kR202 Kemudian dengan mensubstitusikan T dan U ke persamaan, diperoleh:

fi(i,,,n'

o'

+

lmd

vRr=e(R-Rt) .

(n-n,)

''

ir=0' ,RI

) rn' e' ) = tt

=e(ntn,-l)

lmR26+3kR20=0 atau

39

Sistem Satu Deraiat Kebebasan

+ 3k0 =A t\ t\

maka frekuensi pribadi sistem adalah:

i\

I

/r)

ii:

t6k

'r=l^

!

I i

.--.i-*x'

Contoh 2.3 Pada Gambar 2.5 ditunjukkan sebuah silinder dengan massa m dengan jariR1, menggelinding tanpa slip pada permukaan lengkung dengan jari-jari R. Dengan menggunakan metode energi, turunkanlah persamaan gerak

jari

sistem sekaligus dengan frekuensi pribadinya.

NatE

A,taJiruknet,fltrlw dW* d tpelal ar i p& reFrurs, (aJ

Energi kinetik silinder: T=T.turi T,oto,i

Gambar 2.5

*

=

Tt"a,*lasi

lJov'

=+Joe2

(nt n, - t)'

,f -xr

S

40

Getaran Mekanik

/-

Tt*,.rusi

Sistem Satu Derajat Kebebasan

\r

41

--1--

=+rrloP?)'

=+rkn - n,)dF maka energi kinetik total adalah:

T=

*

Joo'(ntn, -1)'* +*l@-n,)al'

I

F:f

Energi potensial silinder adalah:

l;:.isisetimbang

(1= mg(R-R,X1 -co.so) Kemudian dengan mensubstitusikan

T dan U ke persamaan itu

maka

diperoleh:

fi(L,e'1nr

R,

-t)' +4u,1(R- R,)e)' +,tg(R - R,)(t -

cos

fl)=o "t^

Karena sudut 0 <<, maka

x"x

sin? x 0

ii* J(R-R/) ,28 ,e=o

Gsmhor 2.6

Dari diagram benda bebas itu diperoleh persamaan kesetimbangan:

Dengan demikian frekuensi pribadi sistem adalah:

nd =l(Gaya),

(2.10)

Gaya yang bekerja adalah gaya pegas kx. Oleh sebab itu persamaan 2'10

menjadi:

mi+

2.2.3 Perwtnan Gerak - Hukum Naryton Hukum Newton untuk gerak dapat digunakan untuk memperoleh persamaan gerak satu derajat kebebasan. Model yang umum untuk sistem satu derajat kebebasan ditunjukkan pada Gambar 2.3. Gambar tersebut menunjukkan sistem getaran bebas tidak teredam. Dari diagram benda bebas massa m dapat diketahui gaya-gaya yangbekerja pada massa tersebut merupakan gaya pegas lor dan gaya inersia .

rri

l<x

=0

(2.1

l)

atau

i + alx:0 di mana

x = Perpindahatt ilrussa

..

d2x

-:; dt' ,k (l'=-

.t' =

nt

= PercePulutt ttrusso

(2.12)

42

Getaran Mekanik

$h tli

Persamaan 2.10 adalah persamaan getaran bebas yang merupakan persamaan diferensial orde 2. Dari solusipersamaan 2.10 diperoleh:

x= Ar cosa,,t + A, sin

a,,t

(2. 13)

I I

di mana Ar dan A2 adalah konstanta yang diperoreh dari kondisi awat x(0) aan

i(0).

Persamaan (1.2) dapat dinyatakan dalarn bentuk:

x=A di

mana

sin (a4t+y)

e=,{4 a;

adalah amplitudo gerak dan

(2.14\

f=0"=' E -i|- zo\l-,,,

L"

H:

(2.

rs)

(2.16)

Getaran Bebas Teredam

Gmbor 2.7

di mana A dan s adalah konstanta, penurunan persamaan terhadap waktu t, sehingga diperoleh:

*=d (An''\=, dt\ t

(2.1e)

Ae"

Dari substitusi ke persamaan 2.18 hingga 2.10

(2.20) ke persamaan 2.17

,rrr2 +cs +k =o

Getaran bebas teredam adalah sistem yang berosilasi akibat diberi kondisi awal berupa simpangan awat x(0) atau kecepatan awal *(0), ai mana

(2.2r)

Persamaan 2.21 dinamakan persamaan karakteristik, di mana akar-akar d iperoleh :

persamaan tersebut

osilasi tersebut akan mengecil amplitudonya. perhatikan diagram bebas benda bebas sistem yang mengalami getaran bebas tereda- yung ditunjukkan pada Gambar 2.7.

,,.,

=L(-"x

Maka dari solusi persamaan2.lT diperoleh:

Dari persamaan keseimbangan diperoleh:

(2.17)

x= Ap''' * Are':t

(2.22)

di mana Ar dan A2 adalah konstanta yang diperoleh dari kondisi

Dari solusi persanxran 2.17 diperoleh:

x = Ae"t

1,,*

diperoleh:

.f,,

na+c*+kx=0

*l

1",

x=5U"")="'Ae"

Sedangkan periode osilasi adalah:

r=!

r+

I *.,.,

V=tan-t(,l,t,lr)

adalah sudut fase. Persamaan 1.4 nrenunjukkan bahwa jika sistem tersebut sudah bergerak sehingga akan bergetar dengan gerak harmonik sederhana, dan amplitudo tidak berkurang dengan bertarnbahnya waktu t. Frekuensi getaran sistem dapt dinyatakan dalam satuan Hz(herzt).

43

Sistem Satu Derajat Kebebasan

(2. l 8)

awal. Sekarang kita akan menyusun kembali persamaan 2.17 dalam bentuk lain dengan mendefinisikan:

k,

-=0)' ,n

(2.2t1

44

Getaran Mekanik

dan

a tn

(2.24)

2Jknt

di mana rrr,, adalah frekuensi alami (frekuensi pribadi) sistem dan ( adalah faktor redaman. Karena m, c dan k adalah bilangan positif maka ( juga merupakan bilangan positif. Dengan menggunakan definisi o,, dan ( maka

sr

di

z=

(2.2s)

Are-@"'+

i'"W t * Arg-('ul-'i''W'

Den gan mendefi nisikan frekuensi

Persamaan 2.21 menjadi:

+2(a4,s+ro2, =g

(2.28\

S2

sehingga diperoleh solusi homogen:

x=

., i+2(to,,*+toi,x=0

-(0,, x ito,,1l I -

mana j =J-l

persamaan 2. I 7 menjadi:

i

( <1

Dari persarnaan 2.27 diprolehakar-akar berbentuk bilangan kompleks: c

r-

-

Krsuslz

= 2(@,,

45

Slstem Satu Derajat Kebebasan

(2.29a)

pribadi teredam:

'o =',,rfi:/

(2.26)

(2.zeb)

dan dengan menggunakan formula Euler:

di mana er.io s

t.2 =

-{0,,

x a4,r[-S' -

t

(2.27)

kita dapat mengetahui secara jelas bahwa perilaku sistem ditentukan oleh akar-akar persamaan 2.25, di mana akar-akar persamaan tersebut tergantung dari nilai parameter ( seperti ditunjukkan

maka persamaan 2.29 dapat dituliskan dalam bentuk:

Dari persamaan

pada Gambar 2.8.

=cos0+ jsin0

y,

_ s-((ot (Arn,.,,,

* Are- i.,t )

(2.30)

atau

x = g-io'/

Karena

lU, *

Ar)cos

x(t) adalah

cD,tr

+

j (At - Ar)sin o4t)

besaran

(2.31)

real, maka koefisien (e,

i (e, * Ar) jueaharus real. Maka Ar dan A: merupakan

+

4)

dan

pasangan konjugasi

kompleks maka persamaan2.3l dapat dituliskan kembali dalam bentuk: 1s

= s-iout lB, cos tttot +

B,

sin a4,tl

(2.32a)

atau

x=

Be-qo,,t

,in(r,,r[r

= Ss-iro,,r sin(root + Gamhsr 2.8 Letak ukar-aktr personout kcuukteristik untuk berbagai nilai

$

S' t * ry)

y)

(2.32b)

46

Getaran Mekanik

47

Sistem Satu Derajat Kebebasan

atau

di mana

B_ ai

6

+ a'),

v =tan-t (a,

x ln ge,r',T

t nr)

* (o,,7

yang mana ora adalah frekuensi getaran sistem teredam. Konstanta B dan y diperoleh dari kondisi awal, perpindahan x(0) dan kecepatan ;(O) pada saat waktu t = 0. Persamaan 2.32 dapat disederhanakan menggunakan variabel kondisi awal xo dan

io , yaitu

x0 = x (0)

-

"-

la,

cos

=

2 tr( _-2-

"lt -

(216\

('

Untuk nilai

(

yang kecil, secara umum untuk kasus praktis, persamaan

2.36 menjadi:

sebagai berikut:

('u"(o)

- ln(etp((r,,7))

S x2r{

ro (0) + B, s i n coo (0)f

diperoleh Br = xo Dengan cara yang sarna diperoleh:

x cG,

D _*u*(cou*,,

Dt

'

--

-c

6 D c

.E

C)(t

o

(L

Dengan mensubstitusikan B1 dan 82, persamaan 2.32menjadi:

a

-

u-e,o,,r[ro

.orrr, *

latol

*u-r C0,,xu rin

rrrl

(2.33) Gaofiar 2.9

Biasanya kita dapat memperoleh harga ( dari eksperimen, yaitu berdasarkan pengurangan logaritmik 6. Pengurangan logaritmik adalah perbandingan dua respons maksimum:

6:lnL

(2_34)

Untuk ailai ( yang kecil, pengukuran lebih sulit dilakukan karena dua amplitudo yang berurutan memiliki beda yang sangat kecil. Oleh sebab itu untuk redanran ( yang kecil, pengukuran rasio redanran dilakukan denpn rnernbandingkan arnplitudo terbesar dengan amplitudo beberapa periode berikutnya- Misalkan untrk q periode, maka:

x2

exp(-(a,,t,) 6*ln exp(-(o,,t, +T)

x'

ln (2.3s)

x

=q(a,tT

!*q

=

2nC lt

{2.37)

48

Getaran Mekanik

maka

2.2.4 Redarnan lkitis

I *' (= ' 2n q1,, xt*, Kasus 2

(2.38)

!,2 =

Koefisien redaman kritis c. adalah suatu angka redaman pada sistem yang dapat menyebabkan redaman kritis, yaitu (: 1. Dari persamaan 2.24, jika

(=

zl=1

Kasus ini jarang terjadi pada sistem mekanik. Kasus ini adalah redaman kritis. Akar persamaan karakteristiknya berupa akar kembar, yaitu: s

49

Sistem Satu Derajat Kebebasan

-0,

(2.39)

1, diperoleh:

c, =

(2.42)

Sedangkan faktor redaman dapat didefinisikan sebagai:

/c

9Sehingga respons sistem ini adalah:

(2.43) cc

Contoh 2.4

x=fi,g-({"t+B,le-""t

=e-r/ (B: +

2Jti

Q'40)

Bl)

di mana B13 dan Ba diperoleh dari kondisi awat x(0) dan

Ulangi Contoh 2.1 dengan menggunakan Hukum Newton.

i(0):

Kasus3:(>l Kasus ini juga jarang te{adi pada sistem mekanik dan tidak ada osilasi. Bentuk solusi untuk sistem ini adalah:

r:ir::X=Bp-?r,,,*to,,!i--t,+B,g-*u,,,-to,,tt{--tt

(2.41) Gombnr 2.1I

Pada Gambar 2.10 ditunjukkan bentuk respons untuk ketiga kasus redaman €

<1,(:

I dan (> l.

Solusi

Kita gambarkan dahulu diagram benda bebas silinder, di mana gaya-gaya yang bekerja adalah gaya pegas kRe, di mana perlambahan panjang pegas adalah R0, dan gaya inersia n 0R , di mana percepatan translasi titik O adalah AR ,dunmomen lembam ./nd .

x

;(oi 1

0.5

0

-0.5

-1

Gamhor 2.10

50

Getaran Atekanik

pada

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Dari diagram bebas dan dengan menjumlahkan momen yang bekerja titik Q diperoleh:

Solusi

t o6 + (rn6 n) R = y(torst) o

terhubung pada engsel O. Kecepatan sudut rotor adalah konstan sebesar O dan efek gravitasi diabaikan. Tiap elemen dq mengalami gaya sentry-

asumsikan baling-baling mempunyai Inilssa yang seragam dan

panjang. Dengan dernikian momen terhadap gaya sentrifugal pada elemen dq adalah:

PcEos

e

Kita

fugal On,paq yang mana p adalah massa baling-baling per satuan titik O yang diakibat-kan

toii+ (rndn) (kRo) R=o ,*,fo,,.*aa.r'o Co.ta inersio th(t titik di rnana Jo = ! mR). Diperoleh persamaan gerak:

dM o

!mRr6+mRlii+kRt0=0 di mana atau

51

]m6+k0=A

=(o' n, paq)(q sinl)

fi,

=

ft + c1 cosg

Kemudian dengan mengintegrasrkan dM

maka frekuensi pribadi sistem adalah: !

3k

po: (sin0)(x

+

q

cos0)t

clq

=

Contoh 2.5 Efek medan sentrifugal Sebuah baling-baling helikopter dan rotor terlihat pada Gambar 2.12. penyederhanaan, turunkan persamaan gerak baling-baling tersebut.

o diperoleh momen:

=pO:

(r,rq(+.

{):(

ll. L)t

nt

[2

*rrrt)

3)

di mana sin? x 0 ,cos9 = I dan m:pl. Sedangkan r'nomen inersia massa baling-baling terhadap O adalah Jo:mL213.

Dengan menggunakan asumsi untuk

\i

,,4.d

Rotor

Q'x,/dq

I

-/

I

Jf

I

dm=

'(

v

/ lr\(") -*t-"

Nq

Dengan menjumlahkan momen terhadap

r{e +n,o2(+-*)' /- l\() --

\"r--

d+ Gombar 2.12

e:(, -ff)t

=o

=o

titik O diperoleh:

Getaran Mekanik

52

Contoh 2.6 Pada Gambar 2.12 ditunjukkan suatu sistem yang bergetar. Jika massa batang diabaikan dan massa m terletak pada ujung batang, turunkanlah

53

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Dari diagram bebas dan dengan menjumlahkan momen yang bekerja pada titik O, maka diperoleh:

(u,6t)t =l(torsi)o

persamaan gerak dan frekuensi pribadi sistem.

mt d + (* tt Karena

sind

,,,i

6 +(

-0

!t

[4

sin e)(!

L

0)

cos

dancos9 =

-

Qng)(r

sin

0) = 6

I , maka diperoleh persamaan

gerak:

-,,,gt)o -) =tt

Kekakuan dan massa ekuivalen:

I

tc",

Gomhar 2.13

=)*t) - tttgLittt",, = tttL2

maka frekuensi pribadi sistem adalah:

Solusi

Kita gambarkan dahulu gaya-gaya yang bekeda pada diagram benda bebas. Kita asumsikan massa m bergerak ke kiri, maka pegas akan bertambah panjang sebesar A : 0.5 L sin 0. Karena sudut 0 kecil, maka sin d = 0 dan pegas akan bertambah panjang A : 0.5 L 0. Gaya yang bekerjapadapegas 0.5 kL9

-_

fi. d.

d

E

'r=l* Contoh 2.7

Pada Gambar 2.13 ditunjukkan suatu sistem yang bergetar. Jika massa batang diabaikan dan massa m terletak pada ujung batang, turunkanlah persamaan gerak dan frekuensi pribadi sistem.

\

{-

_-_1/,\/'\

CI.:&Id,

k

_

*--}

r.5l,ld

+

0.5PIfi I I

l* S.JLS

Gambor 2.14

Getaran lVtekanik

54

55

Slstem Satu Derajat Kebebasan

Solusi

(lontoh 2.8

Kita gambarkan dahulu diagram benda bebasnya.

l'ada Gambar 2.15 ditunjukkan suatu sistem yang bergetar. Jika massa batang diabaikan dan massa m terletak pada ujung batang, turunkanlah pcrsamaan gerak dan frekuensi pribadi sistem.

I

/

r'o''

mg

Dari diagram bebas dan dengan menjumlahkan momen yang bekerja pada titik O, dengan mengabaikan {,ngYrtcosd) yang merupakan kondisi gaya pada keseimbangan statik, diperoleh:

sin

Karena sing

nv

o\(4

0

,

Solusi

Kita gambarkan

(,*6t\t =f(torsilo mE 0 + (* kL

Ganbor 2.15

dahulu gaya-gaya yang bekerja pada diagram benda

bebas.

fo

L cos o'l = o

cos9

r

\r=i trl

1, dan dengan mengabaikan komponen

statik rlg L, maka diperoleh persamaan gerak:

,ut'ii +!*tjo =a

$.5

4

kLo

+-+I

I I

Kekakuan dan nrassa ekuivalen:

I I

I

,l-

i-

*, =)*E i nroo = y[2

mLO

maka frekuensi pribadi sistem adalah:

-,

l

-/

a.o.o

!n8

asumsikan massa m bergerak ke kanan, maka Pgas akan bertambah panjang sebesar A : 0.5 L sin 0. Karena sudut 0 kecil' maka sind nv 0 , dan pegas akan bertambah panjang A = 0'5 L 0, dan gaya

Kita

yang bekeda pada pegas 0.5 kLe

.

56

Getaran Mekanik

pada

Dari diagram bebas dan dengan menjumlahkan momen yang bekerja titik O akan diperoleh:

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Solusi

(,,fit)L =Z(torsi)o mL'

Karena

ii

+ (4

sin 0

x

,?t

kt s in e)(! L

0

dancos 0 =

cos

^1

0) + (tttg)(L

sirt 0)

=

t I

+

ntgL

,

\ "c6"

maka diperoleh persamaan gerak:

tn",, =

I

I

/

/" fo

i,,J

F;

tl*

Dari diagram bebas dan dengan menjumlahkan momen yang bekerja titik O, diperoleh:

pada

l,o6 +(,,

i u)(i).

t+ rue)t* L) * (i e r) rc)(i L) = 0

Contoh 2.9

AB dengan letak pusat massa (cG) dan massa m, ditumpu oleh dua buah pegas dan tunrpuan di O, jika k, : 2k, dan kz : k, turunkanlah persamaan gerak sistern dan frekuensi pribadi sistem jika Sebuah balok

Jcc

I

=-ntt

.

*,: * +16r:\a) * *1tro,: e) * (g rE e) = o \12

,,(

J*,rg *!2ko =o

48

16

Kekakuan dan massa ekuivalen:

.

k",

t9.

=Gk;

tna(t

7

=-ttt

maka frekuensi pribadi sistem adalah:

E fr?k ''=l*=l^ Gambor 2.16

o,B_0

]t,re

rttt'

maka frekuensi pribadi sistem adalah:

',,=

\tb

,

Kekakuan dan massa ekuivalen: I :;kE

L;

-u I -f

s

,,ttd +(4or' *,,,gr\o " ) =o \4

k",t

57

Getaran Mekanik

Contoh 2.10

Kondisi awal x(0)

Suatu massa 25 kg ditumpu oleh pegas dan peredam, kekakuan total pegas adalah l0 kN/m dan redaman 140 Ns/m. Jika sistem mula-neula dalam keadaan diam pada kondisi keseimbangan statiknya dan kemudian massa diberi kecepatan awal 100 rnm/s, hitunglah: (a) Kecepatan dan perpindahan dalam fungsi waktu. (b) Gambarkan kedua jenis respons tersebut menggunakan MATLAB.

0

:0,

maka:

"x(o) = do lB, cos o +

B, sinol= o

Diperoleh Br = 0 Kondisi awal

,(0) r(

59

Sistem Satu Deraiat Kebebasan

(t)

*(0) =lWmmls,

= l00mm / s = -2.s10 +

l\|mtn/s= lg-88: )

maka:

B, sin0] +t l.Bl0

+ B, cos0l

B:=5.05

Jadi respons posisi dan kecepatan massa adalah:

x = 5.05e-2'8t sin l9-Bt

* Gantbsr 2.17

= -2.8e-r'8'ls.0s s;n I o.8t|+ t 9.Be-t

*-

e-]8t

*=

lole-2'8' stn(19.8t

(-tl.llsin

Dari persamaan 2.24, 2.29 b dan 232 diperoleh:

t=-L=L-tttJ - 2'lkm 2J I * l0' * 25 E E '.4

c

,u =r,r[Q

=2g,[t4Ji=]9.8

ratt/s

Kemudian dari persam aan 2.32 diperoleh: x = s-)'8t lB , cos I 9.8t + B, Dengan mengingat

* : -2.8e4'8t +I

sin I

9.8t)

furl = u'v + v'u rnaka:

lB, cos l9.Bt + B,

9.8e-t'8'

-0.141) respon posisi (mm)

=20 rad/s

0u=

sin I

9.Btf

f-n , sin t o.8t + B. cos I 9.8t1

E E

c q o o

Y

15.05 cos

t9.Bt + l00cos 19.8t)

atau

Solusi

t'

19.stl

60

Getaran Mekanik

t=0:0.01:1.8;

*t) . *sin(19. 8. *t) ; xx=101*exp(-2.8. *t) . *sin(1"9. 8. *t-0 .L41l

J*o#

x=5. 05*exp (-2.8.

subplot

(

211

r--**.,

;

)

plot ( E, x) grid title('respon posisi (mm) ') ylabel ('Posisi (mm) ,) xlabel ('Waktu t,) subplot

(

212

*----J

y1abe1 ('Kecepatan (mm/s) ,) xl"abel- ( 'Waktu t.')

I

_.

s.a.s

Y

n19

'

r)

:i *Ia

)

Dari diagram bebas dan dengan menjumlahkan mofiten yang bekerja pada titik A dan mengabaikan momen akibat gaya statik mg 0.5 L cos 0, diperoleh:

2.ll

AB dengan letak pusat massa (CG) dan massa m ditumpu oleh dua buah pegas dan tumpuan di O. Jika kr :2k, dan kz : k, turunkanlah persamaan gerak sistem dan frekuensi pribadi sistem jika Sebuah balok

J--=' Lv

f

l*

)

plot ( t, xx) grid t.itle ( 'respon kecepatan (mm/s

Contoh

61

Sistem Satu Derajat Kebebasan

I

J ro 6 + (0. s r t

rd)

(rt.

s

L) + (0. z s' r e) (0. 7 s L) + (0. z s nte) (0. 7 s L) = 0

!,nr;ij*Lde*Ltte=o 16

3

16

Persamaan gerak menjadi:

,111:.

12

!u,E

*2"0 *Lke =o

31616

Kekakuan dan nrassa equivalen:

ql krr=ik :

tn",,

='fit

maka frekuensi pribadi sistenr adalah:

1k.,,

.

Gombor 2.18

tersebut.

t

Contoh 2.12

Solusi Pertama-tama

zl

''=l*=l*'

:::::ili::I:i:.,

I

kN/m, L: 3 m dan c :300 Ns/nr, massa m = 60 kg. Balok diberi simpangan awal 50. Hitunglah resporrs kecepatan dan posisi sistem dan gambarkan grafiknya.

Jika diketahui pada Soal 2.10,

kita gambarkan dahulu diagram benda bebas

sistem

k:32

Getaran Mekanik

62

63

Slstem Satu Derajat Kebebasan

Solusi

0

='2.436*

0'0873 + 29.9* B,

Dari soal sebelumnya diperoleh: tttcq

t60

=-ttt =7Of

=

20

9 9. =7," =--300 "",

'-

B. kg

Maka respons posisi dan kecepatan balok adalah: Ns

/

/ 16 =!1tr,r* 16'

k., (q=!k

ru =

rtt)=

l(t8.75

t8

Ns

/

nr

g

6

A

Dari persamaan 2.24, 2.29 b dan 2.32 diperoleh:

a't6t

fB, cos 29.9t + B.

sin

cos 29.9t + 0.0071 sin 29'9tf

-

u-2'4r6r

l0.0Lz3

cos 29.9t

+ 0.A07 I

I sin 29'9tl

=

-0.2

I

3e-:

ur"'

sin (29.9t

+

I'4s95) + 2'6 1 9e

4 2

=29.9 rad/s

0 -2

Kemudian dari persamaan 2.32 diperoleh: u*)

lO.0Az3

6

(- =L=-gJL-=o.ost2 2,lkm :Jl.g"t01 *60

-

"-)'a36t

0 = 0.0876 e-' "o' sin (29-9t + t '4s95)

,, - F; - FZ=30 rart/s ''=lG=ljo,,,

,, =r,rftj =io,{tat&tf

-

otau

kN / rn

nraka frekuensi pribadi sistem adalah:

g

2.436* 0.0873 =0.007 t 29.9

4

29.9t!

Kemudian kita turunkan x(t) terhadap waktu t, diperoleh: 0 = -2.436e-:1tat fB, +29.9e-t'436'

Kondisi awal 0(0 )

0{0\ =

"-o

cos

f*n,

29.9t +

B,

29.9tf

sin zo.9t + B, cos

€

9o

29.9tf

o

: 50 =0.0873 rad,

{.8, cos0 + B,

sin

6-1 o

maka:

sin?)=0.0873

-+

o o o^

Br =0.0873 0.8

Kondisi awal 010 S = 0 rad /s , maka:

0(0)=0 =-2.$5f0.0B73cos

29.9t

Waktu t

+0)+ 29.9f0

+

B,cos29.9tl

: a3n'

cos (29'9t

+ t'4895)

64

Getaran Mekanik

65

Slstem Satu Derajat Kebebasan

Solusi

UsingMATLAB

clear clf

nL0

t=0:0.01-:1.8;

e=0. 0876*e>cp(-2.436. *E) . *sj-n (29.9. *t+1.4895)

*180/pi;

qg1=-0.2134*exp (-2.436. *t) . *sin ( 29 .9 . *t+1.4895) qq2=2.519*exp (-2.436. *t) . *cos (29.9. *t+1".4895) ;

;

0.8.0

qq=qqL+qq2;

subplot

(

211

)

plot ( t, q) grid t,it1e('respon posisi (derajat) ,) y1abe1 ( 'Posisi" (deg1 ' ) xLabel ('Waktu t') subpl-ot (212 )

) --klo J

titik o, Dari diagranr benda bebas dan penjumlahan momen terhadap

plot ( t, SS) grid title('respon

diperoleh:

kecepatan (radls ') y1abe1 ( 'Kecepatan (rad/s) ' x]abel ('Waktu L') )

Contoh 2.13

(u,6

persamaan gerak dan frekuensi pribadi sistem.

=2(Monten\,

nij ii + (+,m)(+ r'"s Karena

Pada Gambar 2.16 ditunjukkan suatu sistem yang bergetar. Jika massa batang diabaikan dan massa m terletak pada ujung batang, turunkanlah

r)t

sind = 0

dan

e) + (l

rLe)(l

L

"o'

e) = o

cosa E 1, maka diperoleh persamaan gerak:

tnlj6+tcto+f,kI)o=o Atau tnii +$c0 ++ke =0 maka frekuensi pribadi sistem adalah:

=

2

[k

'' stl; Contoh 2.14 pada Gambar 2.17 ditunjukkan suatu sistern yang bergetar. Jika massa

pribadi sistem' batang diabaikan, turunkanlah persamaan gerak dan frekuensi

Gamhor 2.19

66

Getaran Mekanik

67

Sistem Satu Derajat Kebebasan

{r,,

n' + r,,"'

+

2 n

r

rd

\

d = (n t, g)(c7)

- ("ue)Qr) - (ko9)(o\

(,,,,o' +,r,c' + tttrcl')E + cf 6 *{tto' - ,,,,g")0 =0 maka frekuensi pribadi sistem adalah:

0r=

2.3 Getaran Paksa Getaran paksa adalah sister11 yang bcrgctar karena ada gaya luar yang bekerja pada sisiem tersebut. Secara Llntunl sistcnr satu derajat kebebasan yang

Goafiar 2.20

mengalami gaya ltrar dimodelkan seperli ditunjukkan pada Ganrbat 2.21.

Solusi

Kita gambarkan dahulu diagram benda bebasnya.

,rcS.=tr,;,re.,.:.=:r.#il'

-

ka0 m2cii

t 1*

1,,

{i

mraO

,l

I*rd? /

itt+

L." 8.o.s I

,1

I F xirt

?n x, .r.

*I

Jod

=\(torsi)o

d

iperoleh

2.21

Dari diagrarn bebas kita Peroleh:

Dari diagram benda bebas dan penjumlahan momen terhadap titik O dengan mengabaikan komponen statik

i

"t.-f Gsmhu

cb€

rir

:

mi+c*+kt=

FQ)

(2.44)

di mana F(t) adalah gaya luar yang merupakan fungsi waktu t' Gaya F(t) dapat berupa gaya harnronik sederhana, pcriodik atau acak'

68

Getaran Mekanik

2.3. 1 Eksitasi Harmonik

Dari persama an 2.5

Untuk gaya luar harmonik, kita misalkan:

r(t)=

69

Sistem Satu Derajat Kebebasan

I

dapat diperoleh:

ctocos $

SttlQ

(2.s3)

=:--k

Fsinatt

di mana F adalah amplitudo gaya dan

o

adalah frekuensi gaya F dalam rad/s yang juga merupakan frekuensi sistem angular. Persamaan 2.44 menjadi:

nti+ci+kx=Fsinat

(2.4s)

-,naKemudian kita

(2.46)

di mana X adalah amplitudo getaran dalam keadaan stedi. Dengan demikian diperoleh:

ke

persamaan 2.52,

sehingga diperoleh:

,

CUJ IU -

Solusi khusus atau solusi dalan, keadaan stedi adalah:

xr=Xsin(at-d)

substitusikan persamaan 2.53

F

k-mot)

(2.s4)

X (k_,ra,). +",co,

di mana F, X dan (k

Sekarang

- rrr')'

*

"'

,'

adalah besaran positif.

kita perhatikan persamaan 2.53 dan 2.54. Dari kedua

persamaan tersebut ditunjukkan bahwa:

*p = a)x cos(rt -

d\

Q.47)

io=-afxstn(a-S)

e.4B)

Substitusi persaman 2.46,2.47 dan 2.48 ke persamaan 2-45 sehingga diperoleh:

-rru) X sin(rot -

Q) + croX

cos(at -

Q) +

kX sin(att

o<

untuk

sin/>0 cos/ > 0

- 0) = F sincot (2.49) maka 0

atau

(*-,rr')x sin(a -O)+ caX cos(cot -O)= F sinail l"ororq-(*-utro:)siu0)X

cosatr

*l(* -,,,rt)x

(D>

untuk

Persanraan itu dapat diuraikan rnenjadi:

(2.50) cos{+croX sirt0- Ffsinrot =0

.O.i

sinQ>0 cosQ<0

_7t -
maka Daripersamaan 2.50 untuk sembarang waktu t, diperoleh:

cacosQ [@

-(k -

rttcot)sirtQ

- *r')cos/

=0

+ c@sirl OIX

-F

=o

(2.51)

xrr"nu", < Q <

(2.s2)

tan$ =

trmaka sudut fase dapat diperoleh dari persamaan 2'51:

ca k

-

mat2

(2.55)

Getaran Mekanik

70

Dengan menggunakan persanlaan identitas:

cos2Q+sin2p=1 dan dari persamaan 2.51 dan persamaan 2.52 diperoleh:

(2.s6)

l(*

-,,,r')'

*

"','

atau dengan mensubstitusikan dengan nrendefinisikan

klm=d,

r = a / o),,, tlaka

dan

atc/k=Z(ala,,

dan

persamaan 2.56 menjadi:

F/k fr-'T-,eq

(2.57)

dan persamaan 2.55 menjadi:

. , /Lr ": d=lcttt' ' l-r' 1P

di mana R adalah faktor pembesaran Qnugifiution.faclor):

Gam

(2.s8)

bor 2.23 Faktor pembcst ruut-vsa'asio fi"ekuens i

Solusi Umum

SolusiumumuntuksistemyangditunjukkanGambat2.2ladalahpen-

da1 solusi khusus yang mana solusi homogen iurnfuflun solusi homogen solusi khusus diperoleh dari diperoleh dari persamiun Z'3O, sedangkan persamaan 2.46' HasilnYa:

x=xtt+xP E

1-

ti

I

trs-iro"r sin(ant

*,y) * x sin(at -

$)

(2'59a)

5

B

a

atau

I

*=

"-o'.'lrocosa),tt..U#*.in,e,']+

di mana solusi homogen: *n

Gomhor 2,22 Kut'r,o Fulgsi Respons Frekuensi (FRF) Fukor pe n t bauu'tt t t -t s-ras i o./ic k rcn s i

=

n-"'l*o cos,),tt . bt#^tin',,']

Xsin(ar

-ll)

Q5%)

Getaran Mekanik

72

massa' maka gaya pegas adalah Gaya pegas berlawanan denganperpindahan gaya redanran dan gaya inersia' kX. Serupa dengan iui'Jrstu" maka Masing-masing gava tersebut

dan solusi khusus:

xo=xsin(ot-p)

nrasing-masing

adalan'l;;i^E tji'"x'

digambarkan pada Gamba

r

vektor-vektor 2'24a' Dengan men[gunakan

menjadi: teisebut maka persanraan 2'61

2.3.2 l'ldtcd,*^ Respons Frektrcrsi Metode respons frekuensi merupakan suatu analisis harmonik. Sebuah gaya

(-mat'

+

icat+ k)N

Q'62)

=F

eksitasi sinusoidal dikenakan pada sistem dan respons keadaan stedi dapat diuji

pada daerah frekuensi terlentu. Untuk sistem linier, gaya eksitasi maupun respons sistem akan berbentuk sinusoidal dengan frekuensi yang sama, dan dapat dibuktikan dengan teori persamaan diferensial. Metode tersebut secara umum digunakan untuk pengukuran getaran sehingga kita dapat dengan mudah memperoleh spektrum Fourier dengan bantuan instrumentasi alat getar dan komputer. Teknik pemodulasian dapat dijadikan prosedur umum untuk memperoleh data respons frekuensi yang merupakan karakteristik sistem.

Persamaan2.62dapatdigambarkandalambentukpoligongayaseperti diperoleh:

persamaan2'62 ditunjukkan pada Ganrb'a i Z'zZU'Dari

Metode impedansi mekanik adalah suatu analisis harmonik. Metode tersebut menunjukkan bahwa fungsi sinusoidal suatu percamaan gerak yang dapat dianggap sebagai vektor yang berputar seperti yang telah dibahas pada Bab l. Pefiama-tama kita akan menyajikan gaya pada sistem sebagai vektor dan kita akan menurunkan impedansi mekanik sistenr berikut komlrcnen-komponennya.

k

x

dengan

(t -,u,0' / k\- +\uo/ k)-

r = o)lo),,

X

F/k

I

_R

= 4-

t

- r: l- +(zE

(2.60) di mana

(2.61)

- Xeikx-t)

di mana veklor gaya adalah F = Fei'' dan vektor

+ Jca)

(2.63)

={s-io

F/k

f=

Dengan menggunakan bentuk vektor untuk gerak harmonik, persamaan (2.60) dapat dituliskan dalan, bentuk:

nti+c*+kx=Fei'n

-ma-

-

dimana

Persamaan gerak sistem satu deralat kebebasan pada Gambar 2.21 dan respons sistem dalam keadaan stedi adalah:

x=xsin(ox-Q)

)

x =lxl=

2.3.3 Metode Impedansi

mi+c**kx= Fsinat

F

?-

A-

i= tx =_tat{t

X =-y"ikut-p), di rnrru F dan X adalah magnitude atau fasor dari F dan X. Sedangkan kecepatan dan percepatan massa m adalah jcrrlX dan --o2X.

rh

atau

0=tan perpindahan adalah

(2.@)

.I

pada seperli yang telah didehnisikan faktor Pembesaran adalah R di mana

persamaan 2.57.

74

Getaran Mekanik

Slstem Satu Derajat Kebebasan

75

Dengan menggunakan metode impedansi, diperoleh:

|{i,)= (k-u,r')* ion = c{jat\

(2.ffi)

Di mana G(or) merupakan fungsi transfer sinusoidal yang merupakan fungsi terhadap frekuensi ol.

2.3.5 Reonansi, Rdaman dan Lebar Pita Kurva FRF (BanAflidft) Dari kurva fungsi req)ons frekuensi (FRF) yang ditunjukkan pada Garnbar 2.22 terlihatbahwa puncak resonansi merupakan fungsi dari redaman. Dapat (a) Vektor gaya

(b) Poligon vektor gaya

ditunjukkan bahwa puncak kurva resonansi terjadi pada

Garubor 2.24 Veklor galto eksitasi, pegos, rctlamon dan inet.sia.

2.3.4 Fungsi Transfer Fungsi transfer adalah suatu model matematik yang mendefinisikan hubungan input dan output pada suatu sistem fisik. Jika sistem rnenerima

( < 0.1, rnaka puncak kurva terjadi pada r diperoleh faktor pembesaran :

=I

r = Jl q

I

P =- f a,

-_na.\

Gsmbar 2.25 Secam umum hubungan input dan output adalah:

Fungsi Transfer -outPut Input

Sebagai contoh

kita perhatikan sistem pada Gambar 2.21, di mana

rni + c*+ fx = F(t)

tr (2.6s)

Jiku

(2.67)

.,

input tunggal dan output tunggal, maka sistem tersebut dapat dirnodelkan menjadi diagram blolg seperti ditunjukkan pada Gambar 2.25. Respons sistem x(t) disebabkan sebuah eksitasi F(t), yang daram har ini x(t) adalah ouQutdan F(t) adalah input sistem.

persamaan gerak sistem tersebut:

.

sehingga dari persamaan 2.57

t r1

Gambsr 225 Kune FRF berikut Bandwidtlt dan tilik

(o'(oa %

cluya

76

Getaran Mekanik

Redaman pada sistenr dapat diketahui dari ketajanran puncak kurva FRF

$e ft.f ;sitt

di dekat titik resonansinya dan dapat diukur dengan ukuran lebar pita kurva FRF di dekat daerah resonansi. Pada Gambar 2.26 ditunjukkan lebar pita kurva FRF (banclwidtlt), di mana rasio frekuensi adalah r =0/{0,, sedangkarr 11 dan 12 adalah letak titik t/z daya, yaitu di nrana faktor pembesamn R di r1 dan 12 adalah ft = 4,*, / Ji . Kentudian kita substitusikan persanlaan tersebut pada persamaan 2.64 dan dengan memasukkan Ru,,, = I / 2( yangditunjukkan oleh persamaan 2.23kita menrperoleh:

(+)(#)

1 k

(2.68)

t-t'')2 +(zE ,')'

Gambor 2.27 Model ketidakscinbungott poda mesin betputar

Dengan mengasumsikan ( < 0.1, dari persamaan 2.68 diperoleh:

Perpindahan massa ( M-m) adalah x(t). Oleh sebab itu persamaan gerak sistemnya menjadi:

rr.t=l+(

(u - rt) x * r,fi$

Maka lebar pita kurva resonansi: Bandwidth rz

- rr -'t@,,-

o'

=

2(

(2.Gg)

+

e

(2.70)

sitt ot) + c* + kx -- o

Dengan menyusun kembali persamaan 2.70 maka diperoleh:

@,,

Suatu turbin nrotor lish'ik nrerupakan mesin dengan komponen berputar. Massa tak imbang dapat terjadi pada sual.u rotor jika pusat massanya tidak terletak pada sumbu putar. Ketidak-seinrbangan me adalah suatu massa ekuivalen dengan eksentrisitas e. Pada gambar ditunjukkan suatu model mesin berputar dengan massa total M dengan ketidak-seimbangan me. Massa eksentrik m berputar dengan kecepatan sudut ar dan perpirrdahan veftikalnya adalah (x + e sin ort). Mesin tersebut dibatasi geraknya hanya dalanr arah veftikal dan merniliki satu

(2.71)

M * + ci + kx = ntecl2 sin rot

2.4 Massa Tak Imbang

derajat kebebasan.

77

Slstem Satu Derajat Kebebasan

atau dengan

F", = tneo)2 maka persamaan

2'71 menjadi:

M i+ci+kx=F",,sinrrat Dari

persamaan

2.63, amPlitudo

respons

harmonik

adalah:

lrl= (2.72) atau

lxl=+* dalam bentuk non-dimensional, dengan r = o)1a,, dilakukan penyederhanaan. Persama an 2.7 2 menj ad i :

, a:--klm,

tlznt

Getaran Mekanik

78

MX tne

2.4.L (2.73)

- ,"'p = +

(2(

I

li

Kurva persamaan 2.73 digan'barkan pada Gambar 2.28. Untuk kecepatan rendah r<<1, gaya meor2 adalah kecil dan arnplitudo getaran mendekati nol, pada saat resonansi r:l maka faktor pembesaran adalah

R=1/(2()

dan amplitudo getaran X

=me/(2(M) .Maka

amplitudo

getaran pada saat resonansi dibatasi hanya oleh adanya redaman dalam sistem. Massa (M-m) adalah 900 berbeda fase terhadap massa tak imbang m. Sebagai contoh, ketika massa (M-m) bergerak ke atas dan berada pada posisi keseimbangan statiknya, massa tepat berada di atas pusat rotasinya.

K*ryirrn ltitis Poros

yang Banyak kasus dalam aplikasi mekanik adalah masalah getaran Pada ditimbulkan oleh sistem poros dengan piringan yang tak imbang. poros. Kecepatan tengah di yang terletak gambar ditunjukkan suatu piringan fotis terjadi pada saat tecepatan rotasi poros sama dengan frekuensi pribadi poro, dulu- arah lateral. Jika poros mempunyai distribusi massa dan derajat llastisitas di sepanjang poros tersebut maka sistem ini mempunyai massa poros kebebasan lebih dari satu. Untuk kasus ini kita asumsikan diabaikan dan kekakuan arah lateral k'

Untuk kasus pada kecepatan tinggi r>>1, massa (M-m) mernpunyai arnplitudo X me I M . Dengan kata lain, amplitudo berharga konstan =

secara independen dan bukan tergantung dari frekuensi eksitasi atau redaman pada sistem. Dan beda fasenya sebesar 1800, yaitu jika massa (M-m) berada pada puncak posisi, maka massa m tepat berada di bawah pusat rotasi.

Firinpan

/

oE

ve .Q

!

Gsmhsr 2.29

massa m Panilangan atas posisi umum piringan berputar dengan rnassa pusat lokasi G adalah mana ditunjukkan pada Gambar 2,29 di mengDengan rotasi' pusat piringan. G adalah pusat geometri dan O i.ur#iUn guyu ,udu-an, seperti gesekan udara, arahnya berlawanan

pusaranporos,yangsebandingdengankecepatanliniettitikPdankita *.s €+

6-r

poros. rnengabaikan kei
s.o

80

Getaran Mekanik

Sistem Satu Derajat Kebebasan

81

atau 2

lrl=yR rr k Kemudian dengan mensubstitusikan r = o) I o),, dan lalu dilakukan penyederhanaan, persamaan 2.75 menjadi:u --t

e

Gsmbar 2.30

ol, =k lm

,

(2.76)

(r-,'l

+(26)'

Dengan menguraikan gaya-gaya dalam arah x dan y, diperoleh:

d2,

2.a.2

,,,1(x

+ ecos ot)

d2, ,,,fu(t

+ ecos ot) =

= -kr - c*

nfi + ci + kx: mea) my + cjt +

qlan$ Kekakrnn Bantalan dan Tumpuan

Pada Gambar 2.31 ditunjukkan suatu susunan puli yang diturnpu oleh suatu bantalan dan bracket, di mana dalam hal ini kekakuan dalam arah vertikal lebih kecil dibanding kekakuan arah lateral, k...,, k,r,. Elastisitas bantalan

-ky - cj,

akan menyebabkan sistem lebih fleksibel dan kecepatan kritis akan lebih kecil.

cos alt = F",, cos tot

lu = nteco2 sin ail = F",,

P

sitt

tot

Dengan menggunakan metode impedansi, persamaan di atas menjadi:

(k-r'rt+ian)V=r,., (k

- co2 m + ic,rc)l

= F,.,,ei"'

(2.74\ 2

Sudut fase nl2 pada persamaan kedua menunjukkan bahwa perpindahan x dan y adalah berbeda 900. Hal ini membuktikan bahwa amplitudo X dan y adalah sama besar.

Karena kedua gerak harmonik x(t) dan y(t) besamya sama, dengan frekuensi yang sama dan berbeda fase 900, maka penjumlahan kedua respons tersebut akan berupa lingkaran sehingga gerakan P berbentuk lingkaran dengan jari-jari u terhadap pusat rotasi O, sehingga diperoleh:

X=Y=

_nrco' k

D

(2.7s)

Gombor 2.i1

Kita dapat menyederhanakan model sistem yang diperlihatkan pada Garnbar 2.32. menjadi suatu susunan puli yang ditumpu oleh pegas yang diletakkan pada suatu rangka tegar. Kekakuan ekuivalen k** dan k, adalah kekakuan ekuivalen susunan poros, bantalan dan bracket. Posisi umum piringan ditunjukkan pada Gambar 2.32 di mana P adalah pusat geometrik dan G adalah pusat massa. O adalah pusat rotasi sistctn terhadap posisi keseimbangan statik.

82

Getaran Mekanik

Kita asurnsikan sistem tersebut tidak teredam sehingga

persamaan

Sistem Satu Derajat Kebebasan

83

Kita akan memeriksa kondisi kecepatan di bawah dan di atas kecepatan kritis:

geraknya menjadi:

l.

mi + krrx = mea)2 cos1t my + kr,r,x: mec02 sinat

Kasus

(2.77)

co((Dnx

dan

cD

(

rDny

titik P berotasi dalam arah yang sama seperti

Pirir,lgan dan

ditunjukkan pada Gambar 2.33a. Pada gambar sisi yang lebih berat pada marking dan pasak ditunjukkan sebagai identifikasi.

2.

Kasus o)n*)

o)

)

q)ny,

di mana o)r*

) 6)uy

Piringan dan titik P berotasi dalam arah yang berlawanan dengan kecepatan yang sama seperli ditunjukkan pada Gambar 2.33b.

3.

Kasus

o)

)

oJnx,

dan (l)

) (D,,y

Piringan dan titik P berotasi dalam arah yang sama dengan kecepatan yang sarna seperti ditunjukkan pada Gambar 2.33c.

-A. \ /..t .z'\t|

/r\'

r

l-( r)-l/''.

k.,.,*kr.r,

maka persarnan 2.77 meng;rndikasikan bahwa

sistem memiliki dua frekuensi pribadi sehingga terdapat dua kecepatan kritis.

Kita definisikan:

r.r=a)/cLu.y

z-T-r

\''

tr".4,,

.(@I ln(gI;.

Gambor 2.32

Karena

--4-

\.

r'-\

I

,

'6'?1:Y \ --F_ "1" '/r

l

ai -(S.) i.tgil -(Sri"9r, , -"T i ]*'/, l{ 't'r-)J ,/r '. / ^r\'.*./

3.--(

c] < 6)rx

, tr=al/or, , Tu.r:di-1 * ,

al

dan

"

-=-

2

dan

lr-r:l

Y e

ri

=F:A

--r-. I

'(.-di). 't{-/ :

o}aa rel="nofollow"> (r) > (r)m

(,) {: (|\!

:--l-

I

-

-r*-i

'60) \E/: (D

> CLr

(D

:'(Dnt

Gambar 2.33

Fn, = mea)2 . maka dari persamaan kita peroleh rasio amplitudo:

Arr

I

({'dJ

\ir',/r t.4.\.if.,/

2.5 Getaran Mesin Torak (2.t8)

Kedua gerak harmonik x(t) dan y(t) mempunyai fiekuensi yang sama dan beda fase 900. Karena anrplitudonya tidak sama maka penjumlahan kedua gerak tersebut berupa elips terhadap titik O. Dengan mengabaikan redaman maka sudut fase adalah 00 untuk kecepatan di bawah kecepatan kritis, dan 1800 untuk kecepatan di atas kecepatan kritis.

Suatu mesin bolak-balik atau torak dimodelkan pada gambar di bawah ini di mana gaya-gayayangbekerja adalah gaya pada torak:

'( ott +9sitt2ot) lsin. L )

Fp = maeo'

(2.tel

84

Getaran Mekanik

dimana

dan gaya pada engkol:

Fc =

l?l

85

Sistem Satu Derajat Kebebasan

f, = *ro*'f*

ilt Bea)2

xr=

(2.80)

,t€0)2

(r -

*l*|r*

u,r')'

(2.84)

.,Af

I ' =-tan-',k-D-t,t

DanQ, dan

jika x.(t) adalah respons akibat gaya sekunder maka:

,,(r)= x.sin(Zat-Q") dimana

[-'q--i \/ \/

(e/ L)m,,eatl

Ff

= ,rree€r1

(r,

-,,,(zr)')' + ("(z,o\)' ,ilne'a'

Gmrbor 2.34

Jika gaya pada engkol telah diseimbangkan maka gaya ekuivalen pada sistem adalah hanya gaya inersia torak, yaitu:

F", = ntoea)2 (rrr

r, * 9ri, 2rt)

(2.81)

+ c* +

kr = rruec,)'(ri,

,t

*9

sedangkan respons dalam keadaan

ri, zrt)

(2.82)

stedi dapat ditentukan

dengan

mensuperposisikan respons akibat komponen gaya primer mBea2

sinalt

dan gaya sekunder

9oru"rt sin}ot. Jika x,,(t) adalah respons L

akibat gaya

primer maka:

*r(t)=Xrsin(at-$r)

(2.83)

2coc dan d y-s=-tan-t' --" k-4dlzttt

,(/)= r,(r)+ r,(r) =

maka persamaan gerak sistenr:

n*

(2.85)

x

usin(att

-/ r)* x,sin(zatt -P,)

Contoh 2.15 Jika suatu mesin torak dengan massa ekuivalen torak ms : 2kg, dan massa total mesin adalah 30 kg, kekakuan k: 180 kN/m, dan redaman c = 300 Ns/m, jari-jari engkol adalah e:0.07 rn, dan panjang conecting rod L = 0.28 m. (a) Hitunglah respons sistem dalam fungsi frekuensi (l). (b) Jika putaran mesin torak 1000 rpm, gambarkanlah respons sistem dalam domain waktu. (c) Ulangi soal b untuk putaran mesin torak 1800 rpm

Getaran Mekanik

Solusi

87

Sistem Satu Derajat Kebebasan

maka respons sistem:

Amplitudo respons primer:

X_

'

nt

*Q)= *,'ft)* *"Q) = x ,sin(cu

ueto'

-

x, sin(2ax - Q")

0r)*

J1t-,,,r'1'*1tty O.74rrf

J(,.t "

0 Yt'= -ran ,

.t

tos

respon primer sistim

- Qorslr'f ; (3ooru, /r,)rf

N t nt

I 1

*[

tnt) l.gxlo5 N lm-(:otg)a,,= atQOONs

t__

I ,I E

c

@

Amplitudo respons sekunder:

E

'oI

nte'al'

ql(r

-t,,r')'

gL 0

+(zca)'

_

*[

0.14a2

0.2sl].s x trs N / ttt -(t zokg)o')' +((ooax, / ,n)a\' 0, =

-tan-t

a{oooNs t m\

l.8xt05

N/

kecepatan radls respon sekunder sistim

*lE

c

Io P

m-(t2oks)r',

:l I

*oU) = x, sin(att

0r

-

0

Sr)

60

80

100 ln

kecepatan rads rsspon motor lorak putaran

di mana

10

mrrea'

Xo=

5

+(ra\' {tr -,nr')' dan 0o' = -tan-t , *, k-a-tn

l(r

-,,*')'

+{"o\' o E

B

-5 -10

-15

o.15

0.2

u/aktu doiik

1OOO

]pm

140

88

Getaran Mekanik

respon motor torak putaran 1800 rpm

Sistem Satu Derajat Kebebasan

89

Jika gaya eksitasi adalah harmonik maka besar dan sudut fase gaya cksitasi F"q dan gaya lainnya diilustrasikan pada Gambar 2.36. Sudut lase y sudut lhse gaya yang ditmnsmisikan. Dengan nrenggunakan persamaan 2.87, rruka gaya yang dihansmisikan adalah:

Fr = kV

+

.jarV

=

k + .jox

k-a2m+.jar

F

(2.88)

Rasio amplitudo antara gaya yang dil'ansmisikan dan gaya penggetar l;.o dinamakan transnrisibilitas TR. Dari persamaan di atas diperoleh:

TR_

t+(zq.\'

- r')' +(zE'\' dimana r = ol a),, dan co/ k =2(r

waktu detik

2.6 Isolasi Getaran dan Tmnsmisibilitas Suatu mesin seringkali ditumpu oleh pegas dan peredam seperti ditunjukkan pada Gambar 2.35, dengan tujuan untuk mengurangi transmisi gaya antara pondasi dan mesin. Jika suatu gaya harmonik diberikan pada massa m dan defleksi pada pondasi diabaikan, rnaka persamaan gerak sistem adalah:

mi + c* + kx = F", sinail

(2.86)

dan gaya yang ditransmisikan adalah penjurnlahan gaya pegas l<x dan gaya redanran c*,maka:

Gaya yang

di

transmisikan = la + ci

t

,/UAmprli66.E

(2.87) Gomhor

tr'eel

2.i6

Persamaan 2.88 diganrbarkan pada pada

Gambar 2.37. Perhatikan kurva

r =J-2 ,ditunjukkan bahwa gaya yang ditransmisikan lebih besar dari

gaya penggetar pada daerah rasio frekuensi di bawah

ditransmisikan lebih

, = Ji

kecil dari gaya penggetar untuk

, dan gaya yang

,, Ji .

Untuk

kecepatan mesin yang konstan, amplitudo gaya F"o juga akan konstan. Maka

gaya yang ditransmisikan sebanding dengan TR sehingga akan lebih baik

jika kita mengoperasikan mesin dengan kecepatan konstan pada Gambar 2.35

a,

Jlrr,,

-

90

Getaran Mekanik

91

Slstem Satu Derajat Kebebasan

---I

I

----t---

-.'r- - i -

--LI

--tI

I

--t--

__LI I

_r_ _ L ,

L_

_

I

tr

I

F o^

F

E '.4

t,oo (!

a

E ro'

I

--l-

-_r--i --T_-

o,

E

co g

.9

-

ca

--:A t/'

o 6

F

,..

I

-_ -i- - r _ -r- - I - -t - T - -t- - ts --i__L-

-,- k -

,/.

7t-

r-

tt |,..-,-.t .--1' t ll ll

T

I

tI

I

i'l

I I

I

-t-

-a-

I I

lr tl

I ,

t0-'

-1 .r

1oo

oo

Rasio frekwensi r

rasio lrekwensi r

Gamhsr

Gombur 2.38

2.i7

Untuk mesin kecepatan bervariabel, gaya penggetar F"o adalah akibat tidak imbang me, yaitu me{D', di mana ot adalah frekuensi operasi. Mari kita definisikan suatu gaya konstan, F,, = meco|. Kemudian kita substitusikan Fe(t

: nlea)'

ke

Pengurangan transmisi gaya pada gedung sangat diperlukan. Sebagai contoh, peralatan mekanikal untuk gedung tinggi kadang ditempatkan pada atap atas ruang paling atas. Reduksi gaya yang ditransmisikan adalah:

persamaan 2.88, dan kemudian membagi kedua sisi

Reduksi

F--

F"

I -TR Gu,a--:!----!-= ' Fc,t

(2.e0)

persamaan dengan F,, dan dilakukan penyederhanaan, sehingga diperoleh: FT

F

,' ,F +Q(t

(,-,')'

mana F* dan FT adalah amplitudo gaya eksitasi dan gaya yang ditransmisikan. Dapat kita simpulkan dari Gambar 2.38 bahwa frekuensi pribadi yang rendah dan redaman yang rendah lebih diinginkan untuk isolasi dan r > tr maka TR:ll(i-l), getaran. Dengan mengasumsikan (:0

di

=

,'(rR)

(2.8e)

*(zE")'

Maka untuk kasus ini gaya yang ditransmisikan dapat saja tetap besar meskipun dengan transmisibilitas yang rendah. Persamaan 2.89 digambarkan pada Gambar 2.38.

sementara reduksi gaya menjadi:

r- -2 - =+' r'-l

Redul<si Gaya

(2.e1)

"--.:.".-

Getaran Mekanik

92

Karena

,2 = (a L,,),

,

ai, = k I nt dan defleksi statik 6., = mgk,

cty

maka persamaan di atas menjadi:

Recluksi Goyn ='t

1x(r)

!" - 2g

@'6r,

-;

*Ly -.x

I

I

AI ___L

(2.e2)

-g

\*

Persamaan 2.92 digambarkan pada Gambar 2.39:

-]-_-_+, lllr'ltr,n lt _*fo' L*-*--+----J

+ vft) ___L'

I I

I Itti

Gumbu 2'40 Persamaan 2.93 disusun kembali menjadi:

ti

(2.e4)

nti+c*+kt=(ry+cj'

E

d

Dengan menggunakan metode inrpedansi

E

, =7"i''

dan gaya ekuivalen

f;

adalah:

lry + to'

at",r. defl@rio mm

i'' ={,ei^

(2.es)

Dengan
to'

(k

Gombor 2.39

- ,'

,,, + .1r,tc)V =

(k + .iatc)v

atau:

2.7 GerakHarmonik Tumpuan Bentuk ilustrasi lain adalah suatu sistem yang diberikan eksitasi di mana tumpuan sistem tersebut mengalami gerak harmonik. Pada gambar berikut ditunjukkan suatu sistem yang tumpuannya mengalami gerak harmonik y(t), sedangkan perpindahan massa m adalah x(t). Gaya pegas yang bekerja adalah k(y-x) dan gaya redaman - *) .

"(t

Dengan menggunakan llukum Newton II, diperoleh:

mi-c(j,-"t)- r(y-r)=o

ci = (k + .i t rc)Ve

k+1ac =T _-X-ilr-al V- t-rDt,,t+.i@c Y

(2.e6)

di nrana X Y

(2.e3)

Y-0=tan-t 2(r-tatt-t

(2.e7)

94

Getaran Mekanik

Sistem Satu Derajat Kebebasan

95

yang ditransmisikan

ke massa m adarah merarui pegas k dan laya peredam c. Dari persamaan 2.93 diperorerr jumrah gaya-gaya ter:."Br, adarah ffii,rr* = nta' X. Jika gaya tmnsmisi nraksimum F7,,,* maka:

Kita akan melakukan asumsi:

,

Fa*,"

Yy

,X

lll(D--

(2.e8)

Kemudian dengan membandingkan maksimum pondasi, kita peroleh

l,,o* =

ary,

Fr,o^

dengan

percepatan

(2.ee)

Kemudian dengan membandingkan

Y

X

Kekakuan roda dianggap tak hingga sehingga ketidakrataan jalan langsung ditransmisikan ke sistem suspensi.

3.

Roda bergerak mengikuti permukaan jalan yang dianggap

Jika kondisi jalan merupakan fungsi sinusoidal

maksimum pondasi, diperoleh: lrrz

2.

sinusoidal.

4,r*

dengan

^ v l--| =--Hz 3600 L

perpindahan atau

kt'2 (2. t00)

-=lll Y

di mana tn0)2 = k(at / at,,), =

kr,

o=2r v lract/s 3600 L

Sedangkan jika amplitudo kekasaran jalan adalah Y, maka eksitasi pada sistem kendaraan adalah serupa dengan sistem pondasi yang bergerak mengeksitasi sistem, sehingga kita dapat menerapkan persamaan 2.96 untuk

Sistem Suspensi Kendaraan

memperoleh respons sistem.

Sebuah kendaraan adalah.sistem kompleks dengan multiderajat kebebasan. Sebagai pendekatan awal, Gambu, ).ql a"pui aArggrp'r"U.g.i model kendaraan

Contoh 2.16:

yang bergerak pada permukaanjuLn yung bergelombang.

L m/ siklus, dan

kecepatan kendaraan adalah v km/h, maka frekuensi eksitasi adalah:

-

-

Kendaraan tersebut dibatasi sehingga merupakan sistem dengan satu derajat kebebasan dalam arah vertikal.

dan

F.-,,- X y*,, = lll- Y = nl

Fr**

l.

Jika suatu trailer dengan massa dalam keadaan beban penuh 1200 kg dan beban kosong 300 kg. Konstanta pegas 500 kN/m. Faktor redaman e 0.4 pada beban penuh. Kecepatan trailer adalah 72 krn/h. Sedangkan kondisi jalan adalah sinusoidal dengan 4 m/siklus. Hitunglah rasio amplitudo dalam keadaan penuh dan dalam keadaan kosong.

:

Solusi Frekuensi eksitasi adalah:

at=

Gambar 2.41

2n v lroa /, = 2o 72 lrad /, = 3r.4 rad / s 3600 L

3600 4

96

Getaran Mekanik

Koefisien redaman c = 2(,[kri, karena c dan k mempunyai nirai tetap, maka ( merupakan firngsi massa m. Maka faktor redaman daram keadaan

Sistem Satu Derajat Kebebasan

97

Seperti telah dijelaskan bahwa bentuk fungsi periodik sembarang dengan periode T dapat dinyatakan dalam bentuk deret sebagai berikut:

penuh adalah:

5full -5*osons

Flekrrerrsi

W =,.nffi

prihnrli

o,=Jk,^

h,,(+ += .$l== ' -+ J[-r,t' +t-rf -ll

r=

r (t) =?

,["r"*

J sott

I

BeU:ur

=0.,

pelrrlr

ir',,="6,*uoorr* = l0 llr.rd.s

I

r=.llJ,tir.Jl=15.t

di mana

ar

= 2tr

,2,@,,cos

I f*1lu,

t{osong

lrrr,=/sn9u00.100

=J0Elrad.s

I r=3l.J,l0St=0:69

jI x_ x- il+,3'0++15-rr ,rr*,1o.+-rs-,r I| x* ,fi1;2+o.s+g769,r "[*,,,*os.fiF r-ffi t=ffi I l

(2.101)

+ b,, sirt rta4.t)

dan b,, untuk fungsi periodik F(t) diperoleh dari:

a,,

7T

ao

|

nort

/T

di mana koefisien aj,

F Q)dr =*l Itt

n,, =

Zl

I

=O87r)i

*

0,,

r

(2.102)

1t)cos na rrclr

=]T r (,)sin na,rttt

n = 1,2,.......

(2.103)

n = 1,2,.......

(2.104)

I =lZ:3

Jika gaya periodik F(Q dikenakan pada suatu sistem satu derajat

2.8 Respons Terhadap Eksitasi Periodik 2.8.7Dqet Fotrier Pada sub-bab sebelumnya telah kita pelajari respons sistem satu derajat kebebasan terhadap eksitasi harmonik. Eksitasi harmonik dengan frekuensi w juga periodik, yang gelonbangnya berulang-ulang dengan interval waktu T:2plw, di mana T adalah periode eksitasi. Bentuk lain dari eksitasi periodik belum tentu berbentuk harmonik, seperti diilustrasikan pada Gambar 2.42. Fungsi (t) tersebut adalah periodik tetapibukan harmonik.

kebebasan, maka dengan menganggap bahwa gaya periodik tersebut adalah beberapa input gaya dengan sejumlah n gaya harmonik yang diuraikan dengan menggunakan deret Fourier, maka persamaan gerak sistem menjadi:

tni + c* * kx =? J

* t @,, cos u{Drt + b,, sitr trcort) rt=l

(2.10s)

Respons stedi akibat tiaptiap kornponen gaya eksitasi dapat dihitung dengan prinsip superposisi : ct,t

*=oo *9 2

. Qtt

k

cos

,7-t

(nrt,.

- 0,,)t + h,, sin (nco, -

I.

oJ(, -,,-''-')'

+ (zq

t

Q,,\t

(2.106)

,)'

, 2(rtr

= lotl' -l------;--;

l-tr-r-

Contoh 2.17 Pada Gambar 2.43 ditunjukkan suatu cam menggerakkan suatu sistenr massa-pegas. Jika maksimum Gombar 2.42

sedangkan massa

m:25

xl(t):20 mm, dan kecepatan sudut cam 90 rpnr k1:[= 6 kN/m, dan koefisien redanran c

kg, dan

Getaran Mekanik

0.2 kN.vm, hitung dan gambarkan respons x1(t) dalam keadaan stedi ( solusi khusus ) dengan menggunakan 100 koefisien Fourier.

A

_[ x,*.

99

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Koefisien Fourier dicari sebagai berikut:

o,

=|i r(t\at

oo

= sl'i'

o,

= 3l't' 3ot cos3rtdt)=o

b,,

F(t)sinnotrtclt =*l lo

30, o,)= 45r'l'0" = 20

r )T

rr

= 1,2,.......

Dengan cara yang sama didapatkan:

?2: ?1,:44= Gombar 2.43

Koefisien untuk deret sinus:

SoIusi

Kita uraikan dahulu eksitasi dengan menggunakan deret Fourier:

x,lt)=;tI

t

or 3tr

3

maka periodeT "t',

(r) =

3nr clr = -20

Lta

.20

b,,

t?

7t

Maka dengan menggunakan deret Fourier diperoleh:

)l*,1, urttuk =

sirt

0

,,(r)=,0-+

:2/3 detik maka:

x,(t)=72gt

3ot

sft

6rt crt =-20 br=3130t sirr 1_

),--gg7" '60 =3n )r)a7

b, = 3"!t

)/r

urttuk 0
I

O5=0

3ot

untuk

o

=


sitr3nt-2L

sin6r,-# sitrert- #

sin3nx

Lri,,3uot to-l-t lf n=l 11

0
Sekarang kita akan turunkan persamaan gerak dari diagram benda bebas dipeuoleh:

3

tttl + c*+

(t + k,)x t,

= k,x, , t\,(t) =

(

$lriusurt) k,l .\ I tl -trEtn )

100

Getaran Mekanik

rlx

Sistem Satu Derajat Kebebasan

101

,0)=ffi

_{

sin!nn*Q,)

k\

l

-

dari datadata yang diberikan:

l.' *l Jx,*,r

o, 31 3r f =J =:-:-= - - =0.43 coil (Dn 21.9

+ I

I

dan

"{:,t.x,-s}

c r* s;ffi-

Respons akibat eksitasi konstan adalah:

(k + k,) Respons dari eksitasi frekuensi harmonik nro adalah:

lx,,l= ltr

(k + k,)

x, =lX,,lsin (3nrt *

+(zqn

= 0.1 826

l:

t,(/)=5-t

0.157n

ojnih--,

il

'

100

sin(3nrt-Q,,)

nrrllt -o.t84en: )-*(o t57* n)'

Sedangkan solusi umum diperoleh dengan menambahkan solusi homogen

Q,,)

dimana

-

Q,=tatrt(f#)

*Ir, =ffi-f

[ys-i-,/ sin(as,,t + y)

Dengan bantuan

MATLAB akan kita bandingkan solusi khusus

300, 1000 dan 10000 koefisiean Fourier:

maka respons sistem adalah:

x(r)=ro

. tutt-t =

Q,,

t

+(2En

atau

2.,fi:"to'.25

. t 2(rtr Q,,=lcltl' --l-tt-r--

10k,I

-2ok

-

lx,,lsin

Qr,rt-0,,)

dengan

't02

Getaran Mekanik

Gslombang segiliga

&nFn

iumlah ko€{sien

Slstem Satu Derajat Kebebasan

101

Gelombang segitiga dengan jumlah koelisien

m

lOOOO

IB

E10

f

1.5

2

2.5

3.5

waklu t 5.

Resp@ sistim dangan iumlah koetisien

3OO

Resrcn sislim dsn$n iumlah k@fisien

04

l OOOO

5.03 5.O2

I t

5.Ol

4.99 4.94 4.97 4.96

r

o

1.5

2

2.5

waktu I

3

3.5

4

33

5.5 5.4 5.3 5.2 5.1 5

Rsspn

Bistim &roan

iumlah kGtisien

tlm

Penggambaran grafik dengan menambahkan solusi hornogen diserahkan pada pembaca sebagai latihan. Hasil yang lebih akurat adalah dengan menggunakan metode Runge Kutta yang akan dibahas pada Bab 5.

cfear c1f n=input ( ' juml"ah koef isien' t=0:0.001:4;

)

rrY=10;

for j=l;P c (jl =20 /pi/ j ; y=-c ( j ) *sin(3*pi*j*t) yy=yy+y;

end

figure ( 1 ) plot ( t, w)

;

1A

Getaran Mekanik

grid t.itle( ['Gelombang segitiga dengan jumlah koefisien 'num2str(n) ''l ) xlabel ('waktu t'i ylabel (' Amplitudo') ?Menghitung respon sisLem xx=5; zet=0 .L826;rr=0.43; for j=1 3n ff=atan (0. 157* ) / ()--0. 1849*j ^2) ) ;

x=-100/j/pi/sqrt((1-

0. 1849*j ^21 ^2+ ( 0. l-57 *n) ^2) *sin

(

xx=xx+x;

3

6(t-r)=o untuk t*r !i*6(t-r) at - t Perlu dicatat bahwa dQ

(2.rotJ)

- r)

adalah satu

ditranslasikan sepanjang sumbu waktu dengan sebesar

unit impuls

yang

t'

*j "pi*t-f f ) ;

end

figure ( 2 ) plot ( t, xx) grid title ( [ 'Respon sistem 'num2st.r(n) ''l ) xlabel ('waktu t') ylabel('Amplitudo')

dengan

Respons sistem terhadap sebuah unit impuls dengan kondisi awal nol dinamakan respons impuls. Suatu sinyal segi empat dengan durasi waktu T6 dan tinggi l/Te ditunjukkan pada Garnbar 2.44a. Luas pulsa atau sinyal ini adalah I unit. Untuk memperoleh satu unit impuls, mari kita definisikan suatu pulsa dengan lebar Te mendekati nol dengan luas pulsa tetap satu unit. Dalam bentuk limit, kita dapat mendefinisikan satu unit impuls 6(t) yang didefinisikan dalam hubungan:

(2.107)

Impuls tersebut terjadi pada t : 0 seperti ditunjukkan padaGambar 2.M. Jika satu unit impuls terjadi pada waktu t : r, maka dapat didefinisikan dalam hubungan:

t

t

(!

lr.akln I

Gamhor 2.44

2.8.2 Respons Terhadap Impuls

6(r)=0 untuk t*0 [i-6(t) at - t

$,akiu

jumlah koefisien

Secara matematis sebuah unit inrpuls harus memiliki lebar nol, satu unit luas dan tinggi yang tak hingga. Maka terlihat bahwa suatu unit impuls tak dapat direalisasikan dalam penempan. Pada pengujian pulsa pada sistem nyata, suatu eksitasi dapat dianggap sebagai suatu impuls jika durasinya sangat pendek dibanding periode natural sistem ( l/f,, ).

:

Dari persanraan

2.44, persamaan

gerak sistem dengan eksitasi

r0=a0 adalah:

(2.10e)

mi + c* + ltt =5Q\

Dengan asumsi sistem dalam keadaan diam sebelum diberi unit imPuls 6(t), yaitu kondisi awal:

,(r-)=*(o-)=o

(2.rro)

Karena 6(t) diberikan pada waktu t = 0, maka 6(t) sudah berakhir Patla

waktu / >

0*.

Dengan demikian maka:

Pada sistem tidak ada gaya luar yang bekerja pada

/

)

0*

Energi input akibat 6(t) menjadi kondisi awal pada F0*.

.

106

Getaran Mekanik

Untuk mendapatkan kondisi awal pada t persamaan 2.109 dua kali untuk selang waktu

,,1.'(0.

)-.'(r-)).

= 0*, kita integrasikan

0- < t < 0* sehingga

t:, cx dt + 1ffl *r dt dt = 11fl d1t)

at rtt (2.lll)

Dari persamaan 2.107, integrasi peftama E(t) menghasilkan konstanta dan integrasi kedua untuk selang 0- < t < 0* adalah nol. Maka sisi kanan persamaan tersebut adalah nol. Jika x(t) tidak menjadi tak hingga, maka integrasinya untuk area interval infinitesimal juga nol, sehingga diperoleh: ",

rikax (o- = o seperti ditunjukkan persamaan z.ll1,maka )

_r

Sekarang integrasi satu kali persamaan 2.107 untuk interval menghasilkan:

)] + fft

*x

at = lit

(ot ) = o . 0- < t s0*

d(t)

at

Dari persamaan 2.107, sisi kanan persamaan ini adalah berupa unit. suku ketiga sisi kiri persamaan adalah nol jika x(t) tidak menjadi tak hingga. Suku kedua adalah nol seperti dijelaskan di atas. Dengan demikian:

*l*(o- )-.r(, ))* r, * o = t

(2.n3)

Untuk , (0- - .t (r- = o pada persamaan 2.110, kondisi awal pada ) ) f=0* akibat unit impuls pada t:0, adalah:

,(0.)=6

dan

.*(r')

ini

Persamaan homogen yaitu:

mt+cx+ kx=

nt

r(o-)-.*(, )=0,

I = odtll u-;'u't sin root,

I It(t-r\/ \

a)trnt

dimana

"-{'u"{t-'l

t>0

(2.116)

6(-t) terjadi pada t : r,

Jika suatu unit impuls terlambat selama t, yaitu:

sitrcD,t(,-r),

hQ-r)=O,

r>r

maka respons akan

(2.n7)

t
(2.1r5)

.1(r")= 0 dan.t(r.)= I / n,

2.8.3 Integral Konvohrsi Kita perhatikan Gambar 2.45. Pada gambar tersebut ditr,rnjukkan suatu gaya F(t) yang bekerja pada sistem. Jika kita anggap fungsi FO terdiri dari pulsa yang berurutan maka kita akan mulai melakukan analisis dengan mengambil satu elemen pulsa dengan lebar At dan tinggi F(t) di bawah kurva FO pada t : t. Jika elemen tersebut kita anggap suatu pulsa pada waktu r, di mana luas pulsa tersebut adalah F(r)Ar, respons sistem terhadap suatu pulsa adalah

hasil kali produk unit respons impuls dan kekuatan pulsa,

hQ-r\f(r)Atl .

dan m konstan

maka sebuah impuls akan menyebabkan suatu

perubahan, yaitu kecepatan awal. Dapat ditunjukkan bahwa solusi dari persarnaan 2.lls,respons terhadap impuls, h(t), adalah:

yaitu

Dengan metode supetposisi, kita jumlahkan respons

tiaptiap pulsa yang berurutan sehingga diperoleh:

x(r)=ZnQ-r[r'(')ar] r{r)

(2.n4)

adalah ekuivalen dengan persamaan 2.109,

0

Dengan kondisi awal

dan

=t/

n(t\

(2.n2)

["(o' )- "(r- )f+ o + o = o

,,li(0.)-r(r-)]."[,(r.)-,(,

107

Slstem Satu Derajat Kebebasan

r(r)

(2.1 I 8)

108

Getaran Mekanik

Karena A r mendekati nol, maka penjumlahan tersebut menjadi integral konvolusi.

x(r) = lor (r)n(t -

:fiil,

r)dt

{r)e-4'+,('-') sirt coo (,

-

r)

(2.1 1e)

dt

.r(r)=

l;F(t -r)n(r)ar

(2.120)

Dengan kata lain, bahwa respolls suatu sistem lrnier terhadap eksitasi sembarang merupakan konvolusi resporls impulsnya dan eksitasi. pernyataan ini dinamakan Theorema Borel.

Jika kondisi awal tidak nol maka solusi unrum diperoleh dengan menjumlahkan solusi khusus (respons dalam keadaan stedi) dengan solusi homogen sehingga diperoleh

*Q)=

"-;"1r,,costo,tt L

*

Sedangkan fungsi tangga yang digeser sepanjang sumbu menjadi tr(t-t) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.46:

u(t-r)=lo mi+ ci

Yang merupakan repons sistem terhadap input f(t) dengan kondisi awal nol. Bentuk altematif persamaannya adalah:

)=lo

sebesar t

untuk t
* lce =l

Q.123)

maka kondisi awal sistem yang dikenakan satu unit fungsi tangga

i(o)=o dan.'(0.)=t/k

Q'124)

Dengan memasukkan kondisi awal pada persamaan 2.121 maka diperoleh: t-

rk)= ,-*',,'lxo

cos

,,,,

* Io)ffEu.in

,,,r] * IrGy,Q - ,Yc

:

*" + (a"'t"

@,t

rin

r,,rl | r(r)n(t ., ' '._l+ J';

r\tr

Q.121)

Respons sistem terhadap satu unit fungsi tangga dengan kondisi awal nol dinamakan respons indicial. Suatu fungsi tangga u(t) ditunjukkan pada Gambar 2.45, di nrana fungsi tangga tersebut adalah:

lt

t

adalah:

*Q)= Ir(,)nQ

I =Drffi

2.8.4 Respons Terhadap Fungsi Tangga

,\ uv

109

Sistem Satu Derajat Kebebasan

untuk t>0 utttuk t
-,Y,

lr(r\n-e",t'-')sin ,rQ

''

x(r)= lr(r)n(t -

r\tr

I o,,,, .)sin - Daffi't lpyu

(2.122)

-r) ar (2.12s)

cd,,

Q

- r) ar

Hasil integrasi merupakan unit respons indisial yang ditunjukkan pada persamaan 2.125:.

,,, (r) =

o)"

-

('oo cosa4t

W

e-e''"t

* (o"sin ar"l)

(2.126\

karena: lVnktu t

@,t=auJ;4'

dank =md,',

s

110

Getaran Mekanik

maka

Sistem Satu Derajat Kebebasan

111

TABEL I

cl.t cosa,tt + (o1,, sin cD,rt = a,, sin(a,,t + Q)

hrdlogt",tilrrd Sldfti (i.rdi l,rmi drn t.ienrli Ro(.t'| Slrtln {;.rrili.L.u rs

simt;l

0=tan

I

lVilrr

*ro(g'ri

+ co=o)= ka4,

(2.127)

trriiiir

Sl.(h G.rnli Rff*!loMl s:ilri:rtr

sI

li..qtntt,

irI

i

I

,

Psr(rpntill

I

lliusr, Irlueu rr.rria

siituiiii

I

lg

llgsri'

3ta rad rod'dec rad'icc; nr lt'.*e(

t

I

I Perpirx&rlran I

Sriurn

snrtrrn sr J

ftil lrtl'r rarl

ri

r# [c

I or&(ia

Dengan mensubstitusikan persamaan 2.127 pada persamaan 2.126, diperoleh:

;

!'alito. lrdiw{0

i

liorst;rxr

Ptts

i ilx:"{, Iiusr

*,,(t) =

at,

-

lft{{xlru :lq*rt* i

e-*ql a,, sin(o,,t + 0)

(2.128)

kr,

: EiNrgr :

i,,.

Knklil

ei l;a"i,"i"i

atau

,ot" I

Iircltcrwi Alani

(2.12e)

Respons sistem akibat sembarang gaya input F(t) merupakan superposisi seluruh respons akibat masing-masing fungsi tangga, sehingga:

x(t)

=

r

(0)x,,(t)+ lor' (r)x,,(t -

di mana f'(r)

r)

merupakan diferensiasi

dr

f'(r)

(2.130) terhadap waktu

t di t : t.

c k i =,a 4lt F( i-ia:'

lhfrtr

'

lbrrcs

r.N

TI

*l{tr

J

I * ]*ii'

lb.rrcrxl tb- i'rd ir lLrr irt lbisec u llrrre( tr lbr

t = li'

ir

.,

u=

lirltr;

!r*

;, r\

.l-m N

tf ii)

,q - .'):,,t

rn'l

2F

Il';

!.-

ar"i

llrscr'irr

sN rr

lttr,rr

Nrr

|.

llr-

lr4

N=ur

lce

r

.ti

lr'o

+Ai l.rilr

o;Ni;nl

il

Nur rnrl

ru

lh.

Hi

H!.

N.ur 18

*ur lil rr

lri rrtl

hg.uri

s

rul.-

, .1

J J-nr N

_tri

',:nfr..

rlart.r

'r

iu

kg.$:

- -ir.iii Il?.

Contoh 2.18 Suatu peti dijatuhkan dari ketinggian H. Hitunglah gaya malsimum yang ditransmisikan ke benda m ketika peti tersebut menumbuk lantai. Asumsikan terdapat celah yang cukup antara massa m dan peti sehingga tidak terjadi kontak antara peti dan massa m.

Persamaan 2.130 direferensikan sebagai Duhamel's integral atau integral superposisi.

I

I X1

E

Gumhflr 2.47

Getaran Mekanik

112

113

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Karena sistem ini tidak teredam, maka persamaan (iv) menjadi:

Solusi Jika x(t) adalah jarak relatif antara massa m dan peti, dan dari fisika dasar telah kita ketahui bahwa:

to=r[2H / g adalah waktu yang dibutuhkan peti dari ketinggian H hingga jatuh di lantai. Dengan mengasumsikan saat menumbuk lantai peti tersebut tetap dalam keadaan kontak dengan lantai. Kita akan memisahkan interval waktu pada saat jatuh bebas hingga menyentuh lantai dengan interval waktu setelah peti menyentuh lantai. Selama jatuh bebas, perpindahan mutlak massa m adalah Maka persamaan gerak massa m diperoleh:

*(* + rt,)= -k*

atau

(,

+ x, )

.

* = -L,1;u lolo,,lr-rl

sitt

ro,,(t

- r) ar

@,,

=-LS,oriuo,,(t @,,

=

-4Q o;,

-

cos

-r) ar

(v)

a,,t)

Dimulai waktu peti menumbuk lantai pada t: h, pada sistem tersebut tidak ada gaya luar yang bekerja. Dengan mendefinisikan kembali waktu dimulai dari tumbukan, maka kondisi awal sistem adalah:

(i)

mi + kx = -rttir

x(o) = *(t o) =

-ht' -

cos a,,t

*(tr)+

Sto = Sto

-Lsin @,,

dimana

x,=\gt2atauir=g

t(0)

=

o)

a,,to

Maka persamaan geraknya menjadi:

i+c,fx=-g

(ii)

Jika peti tersebut dalam keadaan diam sebelum jatuh, maka kita peroleh kondisi awal nol. Dengan menerapkan persamaan 2.121yang mana F(t):-g

diperoleh:

diperoleh:

x(r)=

x=o+ LCdn?-r)ar

(i

ii) =

di mana h(t-t) diperoleh dari persamaan 2.120.

*=_

) Oan i(lo ) diperoleh x(t) di atas dan gt6 adalah kecepatan peti pada saat Fta. Dengan menerapkan persamaan 2.121 dengan F(0F0, di mana x(lo

I ao

_ I s-;,,,J,-,) sinra,,Q

Jt

r)dr

I *r,-cos,),,t,

)"o sa),,t

+(rr,

- cos ar,,tu ) cos ,,, .(*-4(1 o;

- Lsinr,,rr)*,"rrrr) 4.i,

at,,t

o)sinat,,t

(iv)

Gaya maksimum yang ditransmisikan ke massa /r?(i,,* ) = t X, di mana X adalah amplitudo x(t) diperoleh dari: (t

-

cosa4,t or)'

.(*

-

fi

m

adalah

,i,,,,,)

------.------...

Getaran Mekanik

114

X=\,1, t'

Jika eksitasi dikenakan pada pondasi seperti ditunjukkan pada Gambar 2.48b,maka persamaan perpindahan relatif x(t) antara massa m dan pondasi

'

adalah:

mi + c* + kx = -od,Q)

Maka gaya maksimum yang ditransmisikan adalah:

Gaya=kx

t15

Sistem Satu Derajat Kebebasan

=4 o;

di

mana

Q.r32)

x(t)=*r(t)-x,(r) ai -un, ,,(l)

dan x,(r) adalah gerakan

absolut seperti ditunjukkan pada gambar. Dengan menerapkan persamaan (2.119) diperoleh:

2.9 Getaran Transien kejut merupakan salah satu dasar pertimbangan insinyur. Getaran yang ditimbulkan oleh mesin yang beroperasi dalam keadaan stedi secara umum berbentuk gelombang periodik. Hal ini telah kita diskusikan pada bab sebelumnya. Getaran akibat beban Perancangan peralatan terhadap beban

,(/): -[*,(r)nQ-r\t

(2.r33)

Sebagai ilustrasi, kita misalkan bahwa pulsat/z sinus F(t) dikenakan pada massa m, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.48.

kejut atau transien umulnnya bersumber dari luar mesin atau perubahan operasi mesin secara tibatiba. Jika kita tidak mendesain secara tepat maka beban kejut, atau transien, akan menyebabkan kerusakan pada mesin. Suatu beban kejut merupakan eksitasi transien dengan durasi yang pendek dibandingkan periode natural sistem yang berosilasi. Respons transien akibat eksitasi transien telah kita diskusikan pada subbab sebelumnya. Pencatatan hasil uji getar, dengan bentuk domain waktu, tidak dapat digunakan langsung oleh desainer. Spektrum kejut merupakan metode yang

ta=1ll o

paling utama untuk mengurangi data pengujian dan lebih berguna untuk

Gnmbor 2.48

pertimbangan desain.

Jika sebuah beban kejut F"rQ) adalah perubahan tibatiba pada mesin seperti diperlihatkan pada Gambx 2.40. Persamaan gerak adalah identik dengan persamaan 2.M. Dengan mengasumsikan kondisi awal nol maka respons x(t) dari persamaan 2.119 adalah:

x(r)= Ir",,G)nQ

- rYt,

di mana:

hQ)=

| ,-6""'sin, ot

a)dm

V,rakht

Gaya F(t) disajikan dalam bentuk persamaan:

r(,)

=

{o';"'''

'",1i,!,,,00

(2.134)

::;,"

Untuk 0 < f < /n, respons sistem adalah: (2.131)

*

=(D,,lll ' I ro sirr ar '!

sirt

at,,(t

- r)rtr

(2. r 3s)

Kemudian integrasi persamaan tersebut menghasilkan:

F^

(.

x = --fJl---;\l sin al tn\(D; - o- )\

o. --srn a,,

')

ar,,l

I

)

(2. I ttr)

Getaran Mekanik

116

*

Dengan menyamakan

= 0 untuk memperoleh x,,r^. diperoleh:

Dengan caft yangsama,

1,,, adalah waktu pada saat x(t) bernilai maksimum, dengan menggunakan identitas trigonometri diperoleh:

{D|,,,

- cos

a,,t,, =

-2 sin}( o)+

o)il)t,,,

sin}

(ro-

@,,)tu,

coil x.

Jika

,

a

/,,, = 2nn

n=bilungun bulul

a,t+a)|

\

sin rt,,, = ri,r(2r, = rin(

=

slllI+r

i

,(r)=

(2.13e)

'' =

r,,,(r,, *

ffi)=

[ 2nr . = -Jrrrl+r

ff)

=-.4L-[, tttlcoi ro'

I = Fo/k l-r xu,

-

diperoleh:

(z.r4r)

)\

0,,

)

,

l+r

F,, ( sin a,,t - sin r,.,,, (/,, a, * a hrtr,l

=

Fnr (.n srn i6, -q I -

x2rtT ,t_ Folk-----:-wvor'-l

+ 0)

2.

,irr2,ro,

(2.t42)

t'= t -1,, ,

sehingga

kita munculkan

pusat

oi,=klm, r=ala),,dan

(2.140)

cos

a;,,''*('

*'o'

a)'i"','')

(2.t44)

Nilai maksimum x(t) dapat dinyatakan dalam bentuk:

2nmo (o,t

rY'

@,to = fi I r ,persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi:

\

a)t,,,,dan o,', =k/m,makadari persamaan

* 9lrr

r(r)nQ -

sumbu baru pada sumbu waktu. Dengan

'

=-sin

["

Kemudian kita misalkan

2.136, diperoleh:

r*

- o)

Batas atas integrasi adalah ta, karena F(U:O untuk t>to, maka dengan melakukan integrasi, dan juga substitusi cDto:7r, kemudian disederhanakan, akan diperoleh:

I l\= ri,,z,,o(/ -1.'| 2,,o'* l+r) /+r

Karena sino),,t,,,

o,,

Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut, kita dapat memilih nilai n untuk memperoleh x,,** terjadi pada t,,, = 2nr l(at,, + al).

(2. l 38)

/( rrt,, + at),dan r = o)/ to,,, maka ((D,,z,,r\ .2ttr

srr, 0,t,, = slnl

: 2nr / (

Untuk t)t6, respons sistem diperoleh dari persamaanZj}0,yaitu:

Sehingga diperoleh:

1,,=*2nr

t,,,

x,,

di mana

cos

jika

I ri,r2rro, = Fo/k l+r l-r

(2.137)

cosatilt -coSa,,t,,, =0

117

Sistem Satu Derajat Kebebasan

(2.14s)

2r

10 Transformasi Laplace

Persamaan di ferensial dapat di selesaikan den gan men ggunakan tran sfonna s i

Laplace. Keunggulan metode ini adalah dapat diketahui solusi eksak dan solusi homogen secara simultan, yang artinya respons suatu sislcrrr tlirprti diketahui langsung, baik respons transien maupun respons dalatrl kcittlurrt stedi.

118

Getaran Mekanik

LangkahJangkah pemecahan persamaan diferensial dengan mengguna-

kan transformasi Laplace adalah dengan metransformasikan tiap-tiap suku persamaan diferensial pada domain s sehingga diperoleh persamaan aljabar yang kemudian disederhanakan dalam bentuk pecahan parsial sederhana. Langkah terakhimya adalah mentransformasikan kembali persamaan tersebut ke dalam domain waktu.

Sistem Satu Derajat Kebebasan

119

Kz=limG-pr)r(r) s) Pt

K,, Contoh

lim (, = s)pua

p,, )

fG)

I

Berilet ini adalah suatu persamaan dalam domain s yang akan diuraikan dalam bentuk pecahan parsial sederhana:

2.10.L Konsep Pole dan Zerc Pole atau kutub adalah suatu kedudukan atau bilangan yang menyebabkan

harga suatu fungsi adalah tak hingga, sedangkan zero adalah suatu kedudukan atau bilangan yang menyebabkan harga suatu fungsi berharga

F(s)

2s+l s2 +7 s

:

+12

Persamaan tersebut mempunyai pole sebagai berikut:

nol. Misalkan suatu fungsi F(s) sebagai berikut:

F(s)=ffi

(2.146)

s2 +7 s +12=0 (s+3) (s+t) =s sehingga diperoleh:

dimana N(")=G-r,X" -rr).......... (" -r,,) o(")=("-p,X, - p,\........ (, - p,,) Dari persamaan di atas terlihat bahwa F(s) dan p;...n, adalah pole pada fungsi F(s)

21..n,

Pr:-l

Persamaan tersebut kemudian diuraikan menjadi

adalah zero pada fungsi

,',-,_ N(r) _ -r,X, - r.)................(" r.(Jr_rO_ffi

r,,,)

di rnana

Kr = lim(r-p,)rG) s+pt

2s+1

=

(s+a)(s+3)

F(s)=,K', ,K', -\-/ (s+3) + (s+a) (2.t47)

maka bentuk pecahan parsialnya adalah:

di mana

K,=

""''(r-p,)

:

sehingga bentuk pecahan parsial persamaan tersebut adalah:

Jika persamaan di atas diuraikan kembali, hasilnya sebagai berikut:

r' ,*, K' , * F(s)=,(r-p,) '\-' G-pr)

F(s)

.

2.L0.2 Mergumilnn B€ntrrk Paahahan Parsial

G

danp2:4

(2.148)

K,=

!!r!,

!y,

Kt=;

_.r

(s+3)

2s+l (s+a)(s+3)

2 s +l (s+a)

-=

2 *-3 +l (-3

+

t)

Getaran Mekanik

120

K,=

!!!]o

(s+a)

aarrt

-

2 *-4

secara umum formulasi transformasi Laplace adalah mentransformasi-kan fungsi (t) dalam domain waktu menjadi fungsi F(s) dalam domain s yang ditunjukkan dalam formula berikut:

+l

(-t+S)

_7

Kr= '

--7 -1

F(,)=LVQ)l=ifQ)u

--

I

-

''

a,

(2.rsr)

0

maka diperoleh: Lr-

121

2.L0.4 Tmrsformasi Laplace Beberapa Fungsi

(s+a)(s+3)

2 s +l (s+3)

,. --/ i--t l\r

2s+l

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Berikut ini contoh transformasi Laplace dari beberapa fungsi:

57 +3) (s

l.Transformasi Laplace dari fungsi step. (s + a)

tlt)

2.10.3 Pengumian P@ahan Parsial unhrk Kutub Benrlang

h

Yang dimaksudkan kutup (pole) berulang adalah pada suatu kedudukan ditemukan dua atau lebih pole seperti yang ditunjukkan pada persamaan berikut: (2.14e)

Gombor 2.49 Fungsi step dolun doruain waktu

(2.1s0)

Fungsi (t) tersebut dapat dituliskan dalam bentuk h1t;:1", u(t) di mana u(t) merupakan suatu unit step. Dengan demikian transformasi fungsi step tersebut adalah sebagai berikut:

C, = fg1(s -

r)' n(")

c,-,=*[fu-,f .(,!

r(s) = L dengan

=lT[;#('

-,"), o(')]

rr(r)]

=in u-"' rtt 0

memisalkan st: - q s dt: dq

maka

dan c,_r

lo

(tt =

-!!!s

(z.tsz)

Getaran Mekanik

122

maka persamaannya menjadi

r(s)=-!i,o h

-_-l

a

:

Slstem Satu Deraiat Kebebasan

123

2.10.6tu8$ Irnnrb Pemodelan fungsi impuls adalah dengan mengasumsikan bahwa rentang waktu b dalam fungsi pulsa mendekati harga nol sehingga transformasi Laplace dari fungsi impuls adalah:

ctq

,I

e-"1*

(2.153)

Llr Tpsl L ,_n,af=t =q,-oltrs

r(s)=

_h

(2.lss)

tiu,l

J

2.10.5 Fungsi Rrlsa

Jawab psrsamaan tersebut tidak terdefinisi

Fungsi pulsa dimodelkan sebagai fungsi yang mempunyai harga

h

yang

sehingga dengan

menggunakan nretode L'hopital akan didapatkan:

konstan dalam rentang waktu t4 seperti digambarkan sebagai berikut:

r(s)= Ltk f

tlr)

Qn

rr^l %,,(*(t = ro-of /,t,olrs l [/."e-'' ll-k liml '--= ro-of s l

r-'*))f

h

(2.1s6)

2.7A.7 Sifat+iht Transforrrnsi Laplace Si

Gambor 2.50 Fungsi

pilsa

Translasi ReaI

Transformasi Laplace dari fungsi pulsa adalah sebagai berikut: to

r(s)

=

lo"

fat-si fat transformasi Lapl ace adalah sebaga i berikut:

Dalam hal ini adalah sifat pergeseran (slrifting) dalam domain real seperti terlihat pada gambar. Fungsi (r) dimulai pada saat t : t
-t'dt

hubungan:

0

t=t-to dan (t) (2.1s4)

), tr,

]

= f(t-to)

Getaran Mekanik

Sistem Satu Derajat

125

Kebebasan

124

Laplace dari Dengan demikian transformasi

f(t)

Turunan Transformasi Laplace Suatu

turunan pada suku-suku umurrr:lya mempunyai Persamaan diferensial diferensial yang mengpersalnaannyu, ttAungtui"pt-ny"tttuiu"-.pttsu*uun waktu'ryenggunakan setiap tutunun t"'hudap gunakan ounr,o'nlu'iiuflice adalah: litt'uflui' integrasi tiap-tiap suku

adalah:

L lr(,)) --\ 71,1'-"' a' =\ y(r)e-"'

operator D. Sepertr

luctv=uv- [uclu

lh

=i

fG)u-s(4'+r)

tlr

Kita misalkan:

lh

u a

= e_,d I

"iutl

dt

fGy_,, d,

o

=(t)

dan

v = -e'"/s

maka

ar=

dan

dY= g-'t dt

fiV\V,

tak hingga diperoleh: Dari integrasi dari 0 hingga

-!

*rr4?1, f (,\u-* n, =

.!\ !ulQ)e' dt

0

=

' _ f (o) .t ;-;-1

T:O

t*0

l-to

ctt

I

rl{g) il]

maka diPeroleh:

sualu fungsi Gtmbnr 2,51 Pcrgeseran u'aktu

LV'Q\l=s r(s)-

7(o)

(2'1s8)

menyelesaikannya awal fungsi f(t). Dengan di mana f(0) adalah harga

*!

fGY-" d, =-! f QY'''

r(s) =

{(a\ .lifar(')1,-" ,i,L dt

at

maka akan diPeroleh:

Laplacc memperoleh transformasi tiTi,kll,lap-at yang cara Dengan lebih sehingga diperoleh: untuk turunan o''dt'2 alu

0

maka

L$ Q\l= LV d -to )]= e-'"' F(s)

Q.rs7\

(o) LV" O\= s' F(s)-' /(o) - /' -tf,lt"k)l='" r'G)- 'r(0)- "r'(0)- 'f"(o)

"

126

Getaran Mekanik

Llf'

(,)]=

"'

.F(s)

Faktor Skala

-s"-/ "f (0)-.......-.f'(0)

Transformasi Laplace fungsi f(at) adalah:

t

Perkalian dengan

127

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Transformasi Laplace suatu fungsi yang dikalikan dengan variabel waktu t

LV (,it=*{;)

adalah:

Hal tersebut diperoleh dengan membuktikan bahwa:

Lb r@l: _*ral

i.(;)= If

Hal tersebut diperoleh dengan membuktikan bahwa:

-

*

rG)=

Kemudian dengan mengganti

-* f ,Ale-,, ctt = [ bf Q)lu-", o,

t

dengan at sehingga dt digantikan a dt,

maka diperoleh:

Dengan cara yang sama maka secara umum dapat ditunjukkan bahwa:

LQ,)=#

,o" $ .t,4,

(2.lse)

(2.161)

i"[;)= f r(oi"-",at Transformasi Laplace Suatu Integral

Perkalian dengan e"t

Dalam pemecahan persamaan diferensial sangat perlu juga kita mangetahui transformasi Laplace setiap integral terhadap waktu- Jika

Transformasi Laplace suatu fungsi yang dikalikan dengan e"tadalah:

misalkan:

LV- f!il=F(s-a)

u= lf?)at

Hal tersebut diperoleh dengan mengganti s dengan s-a sehingga dalam maka

bentukumum:

r(s - ,)=

t

ffr\r-('-o),

s1

"=

v= -e-"' / s

f(i

-!llrAV,h-",t,

= fb,, f?\e-",at

=

Dengan cara yang sama maka secara umum dapat ditunjukkan bahwa:

v= e-"' dt

-''i

!*! [r(')a4? * f Q)n" a,

0

sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(2.160) Contoh lainnya adalah:

LG* sin(ar))=

(s

-a)' + a'

Lllror,l=+.IPl,,

(2.t62)

Transformasi Laplace Suatu Integral Jika k adalah konstanta suatu variabel bebas dari t maupun s, maka tlcngrttt mengikuti persamaan (2.1 52) diperoleh:

Getaran Mekanik

1?8

L[r't@l= k LVO]

Slstem Satu Derajat Kebebasan

2.10.8 Penggunaan Transformasi laplace untuk Persarnaan Dferensial

=rr(s)

Contoh 2.19

Sifat lainnya adalah:

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut dengan kondisi awal

LV,@t f,(t)l=qG)tqG)

(2.163)

dt'

Untuk mendapatkan teorema nilai akhir, tuliskan dahulu transformasi Laplace dari turunan yang berbentuk:

If'Qb-"

If

diferensial tersebut, yaitu sebagai berikut:

y(0) -y,(o) r. Ll{9)=.,'),(,)-, ,t,'

r(r)- f (o)

I

l

di mana

y'(0):l

dan y(0)=0 nraka:

Ll{+91=',r(,)I ,t,' I

maka

rQ\: =l'igri- r@)

/

2. z[u

diperoleh

l,igf@=

tSr,(t)= t2

Tahap pertama adalah mentransfotmasikan tiaptiap suku persamaan

Jika s mendekati nol, maka e-":1, sehingga:

0

+

dt

Solusi

r(s)-7(o)

'Qb-" a, = l,jJ,

y'(0):1,

dan y(0) = 0,

{9*sd'!'\

Teorema Nilai Akhir

a, =s

129

lll,rG)

Q)e)

u1, v(,) - y(o)) dt l = I "l')l =

B.r r(.r)

3. Llrsylt))= rs v(') Teorema Nilai Awal

Untuk mendapatkan teorema nilai akhir, kita tuliskan dahulu transformasi Laplace dari turunan, kemudian kita asumsikan harga t mendekati nol. Dengan cara yang sama diperoleh:

,t*i/(r)=

lgrr(r)

4. Lpz1=!2 Sehingga transformasi Laplace secara keseluruhan dari persamaan diferensial di atas menjadi seperti berikut:

s'r(s)-l

+Bs

r(s)+/5 Y(') = t2 s'

Getaran filekanik

130

Kemudian dengan memisahkan fungsi Y(s) akan diperoleh:

(s2+8s +rs )r(s) (s2+8s +ts )r(s)

L Y,= '-62 =3

=I*,

K,

=,f

=

!!!,

(s + 5)

s+12

s(s+3)(s+5 )

I' _J-:- -5 + 12 '-'-j(-j+J )

s+12 --l \ r(s)=;5]-.8r;O

131

Sistem Satu Derajat Kebebasan

7

lo

Maka bentukpecahan parsial persamaan tersebut adalah:

r(s)=*fu.#il

atau

Maka dengan melakukan invers atas ffansformasi l.aplace Sehingga dapat diketahui dengan mudah bahwa pole persamaan di atas pz:-3 dan pr:-5, kemudian persamaan tersebut adalah 3 buah, yaitu, pr disederhanakan menjadi pecahan parsial sederhana:

diperoleh:

{,

Ir(s)=K,*.fr.+,Ki, ' \"/ - r (r+3) ' (s+5 )

akan

y

(,)

y(t)

=

",

(*) - L'

=1-1"''

t,t,fu) lfu).

**"'"

di mana Kr, Kr dan K3 diperoleh sebagai berikut:

Kr

Kt

=lim ;;; "s

Contoh 2.20

s+12

s(s+3)(s+J

;;:o (s+3)(s+5

)

)

(0+s)(0+s

' =!2:4 15 5

v,

Kr=l!!, K2

)

ry* df

:

10,

Bd' ,!') + t Sy(t\=o dt

Solusi

tr.r)"1,'ffi;J

-3+ l2

--t(-;+s

dan y(0)

0+ l2

s+12

= lint

Selesaikanlah persamaan diferensial berikut dengan kondisi awal y'(0)=0,

)

Tahap pertarna adalah mentznsformasikan tiaptiap suku persamaan diferensial tersebut sebagai berikut:

r. Ll+91=,'v(,)-, ' I'lt'j

/(o) -v'(o)

di mana y'(0) =0 dan Y(0):10 maka:

132

Getaran Mekanik

s+-)1r*s;$lL 1s+3)(s+5 )

Kz=lint-

tlry)=s2),(s)-1os 2.

rl'ff)=rt, =

r(,)-

K.=,30 .=-15 ' (-5+3 )

y(o))

Maka bentuk pecahan parsial persamaan tersebut adalah:

r(s)=6-6

B.r r(s) - so

3. Llrsyp)f= ts r(')

Maka dengan melakukan invers transformasi Laplace akan diperoleh:

Sehingga transformasi Laplace secara keseluruhan persamaan diferensial di atas nrenjadi:

v(,)

s'r(r)- los + 8s r(s)- 8o + l s r(s)=

=r,(dh)-t,idb)

p

Kemudian dengan memisahkan fungsi Y(s) diperoleh:

Y(t) =25e-3'-l5e-s' TABEL 2

(r' * sr+ rs )r(s)= los + 8o

r(s)=iffi

SIF.{T-SIFAT TR\NSTORIIASI L\?L.\CE

Sehingga dapat diketahui dengan mudah bahwa pole persamaan di atas

adalah

2

buah, yaitu, p1

:-3

dan p:

:-5.

Persamaan tersebut kemudian

disederhanakan menjadi pecahan parsial sederhana:

No

Furgsr \\'alitu

Translblr:rasi

I

k t1t)

k F(st

Jiu)*7i(r) )

"/",i|

)

f'i.tl 5

l"'

(t!

di mana Kldan K2 diperoleh sebagai berikut:

1o' * 8o

littt (,\" *, _, J) *:.r (r + 3)(.s + 5 )

K' ------50 (-3+5

)5

J'lltl

6 ,1

E

t s

J''{r)

v(")=#.dtl K, =

133

sistem satu DeraJat Kebebasan

iitl t' fvl

e"

littix

Fis)

9

l0

lltl= fV-tsl t

i b

fti.tslt- i)ai

aplace

irtttiF Fl(sl:r

F, is)

- ti(t)

:r risi- :-:-[o)- /''{li

;' r(s)- r"-' /{o!-.. ... *r"iu) r[.rl ,'i{)itt) .l'^''1Ol .L .e-l:

I

Fi; *a'l t..-

rf *

p(.sl

es

)

L

.""" Fi.rl F(slG(ri

134

Getaran Mekanik

TABEL 3

Contoh 2.21

TRANSFORMASI LAPLACE No

.{it

I

6(r)

2 3

Dengan menggunakan transformasi Laplace, carilah respons sistem jika sistem dari dalam keadaan diam tibatiba diberi beban statik sebesar Fe

nol. Gambarkan juga sistem jika Fo: 100 N, k:I000 N/m; c:500 Ns/m.

Asumsikan bahwa seluruh kondisi awal adalah

F(s)

t

respons

I

l/s l/ s2

u\t l

t

Fs

I

I 4

s-a

e'

l]5

Sistem Satu Derajat Kebebasan

nl

5

F

F

nl

--------;;r ts- al

6

7

tres t)

-a'-----'T

sin(ot)

s +d

7;r s

6

cos(tot)

Gombor 2.52

dt

I

Solusi

t;;7;i

c* rin(ot)

Persamaan gerak sistem adalah: r0

,'s-a7;T

cd cos(ot)

*$=*n{" stn*,^li7(t 4t- (' t-+d{" ./t - (' dimafla

i{


arf

rfd;I ol

;Gr;Teo:Wl

i(
,rni",.f7lTs

{

7.

,1nios,$1{t* at

a-64s-lr

$4*' ,lt - {' 0-cos'r

,

i6
_

or

,(

5


dr2

V;T'kt,-7{

ci+kx=Fo atau

ci

+ kx =Fo

Ll +1= =,"x(,) L" dt) "(,x(,)-,(o)) Llrarl-tx(')

LPI=lts maka

L("*+

ftx) =

L(r,)

Getaran Mekanik

136

(cs +

r)x(s)=

aD

plot ( t, x)

y1abe1 ( 'resPon xlabel (' WakEu

s

grid

maka

x(r)=

137

Sistem Satu Derajat Kebebasan

sistem t ')

'

)

4 's cs+k

dalam bentuk pecahan parsial, maka X(s) menjadi:

x(s)=Ku*,K= -'\"'/

s'(cs+k)

di mana Kr, Kz dan Kr diperoleh sebagai berikut:

F') s , . s+o s(cs + k) T:D Ko - lip- '-!- -' o s+0 6,5 .u,/g k Ko = litlt

K,=

!/'trrrrrrr .-/--. ooggsi---t / .':--l I I 'E '1 Slltrrrrrrr =llrlllrlll I B I l, I s | /' =O.OSSSI, --1,- --F.-

-*--l

I i

I

I I I I ---1----F---

|

I

|

L-|

I r

I |

-

I I I

I

i

I I | I

-F---i I I | I F --!

|

:

I

|

---L---r----L---l |

|

I

I |

1 I

I I

I I

!

I

I

I

I

I

I I

i

l;rrrrrrr

!tllllill lilllllrll o.ogge[J -*'| I'ttlrlll li , l/ , ^*"t

K.tin, L=-'F" I s+-k/c

---L---]--I llllllll

l/,rrrrrrrr L 0.5

r r I

1

!

I

1.5

2

r

I

I I

I

25 Waktu t

k

Maka bentuk pecahan parsial persamaan tersebut adalah:

Fo x(s)=*-ffi cF,

Contoh2.22

jika Dengan menggunakan transformasi Laplace, carilah respons sistem sistJm dari dalam keadaan diam tiba-tiba diberi beban statik sebesar Fe

Maka dengan melakukan invers transformasi Laplace diperoleh:

x(r)= L'lx(,))=

L't+;t ll'; ; ;,]=+k -*;i' - L/r, ck(s+ktc)) ck

clear F=100; k=1000; c=500;

t=0:0.001:5;

r I I

I I I I i----F--

trlllllll 1l(Llllll

,!X',,G'. o)r-6f6 S

|

I '

--r----F

x=F. /k-F . / c. /k.

*exp(-klc. *t)

;

Gambor 2,53

138

Getaran Mekanik

r39

Sistem Satu Derajat Kebebasan

maka

Solusi Persamaan gerak sistem adalah:

x(s) =

mi+c*+kx=F

Fo

ms s'+2(a,,s+ol,',

untuk mencocold
atau

,, c-.- k =-Fo -r+--r+-r mmm

'"- , matls

x(s)=

_Fo

=?

s2 + 2{a4,s +

c,l,

,rt

frs s2 + 2(at,,s + atj

karena

Kemudian kita lakukan invers transformasi Laplace sehingga diperoleh:

@i,=k/m 2(a4,=k/m

,0):r(*?ffi) x(r)=t'(*=61

maka

i

+ 2(a,,* +

"l#)= Llze,,,

,,',*

=L m

rnaka respons sistem adalah:

,'x(") r'(o) = "'x(s) ",(o)-

ff)=

rt,,,

1,*(s)

-,(o)

=+[t

= 2(a,,sx (s)

dimana

tb:*l=,:x(') LI5-l=L ,r,.t

-

#

"

E*,

uin(,,,{r t' t * e))

0=cos-tC G.t)

Contoh 2.23

ln )

Ulangi soal di atas. Jika sistem diberi kondisi awal ,(O) = dan tidak ada gaya statik yang beke{a.

maka

Lb*2(a,,*+ al,*)=

*Q)

Xr, x(0)= 0

,

Solusi

"(+)

(,' *25r,,, + atl)x(r)=&MS

Persamaan gerak sistem adalah:

mi + c*+ kr =0 dengan cara yang sama dengan contoh soal sebelumnya, persamaan gcntl dapat dibentuk menjadi :

140

Sistem Satu Derajat Kebebasan

Getaran Mekanik

141

i + 2(a,,* + atjx =0 Kemudian dengan menflansformasikan persamaan tersebut dengan menggunakan transformasi Laplace,

L(i

+ zEa'

d

iperoleh

t----- rel="nofollow">

:

I

*.'

o

]:;tl'# i;?i{:;i!i#;; :(') fr' *25r,,, + r]lx(')= (s + Z(at,)Xo xG)= xo

s +Z(at,, s2 +2(al,,s + a4

Gsmhu 2.54

Agar sesuai dengan tabel maka persamaan tersebut menjadi:

x(")-

sS@; 1

o-

xo *(r) xo

) (p;

I

-

xQ)=

s1 + 2(a,,s +

a:

_2( to,,

,; ) s'

+ 2(at,,s + at;

+"G#;a).r'(r#=) "-s""'l*,

ror r,,,

*4|!,iu

Kemudian kita akan melakukan simulasi dengan menjalankan progrcm Pada program dimasukkan nilai redaman struktur 0.002 h karena pada umumnya dan dengan data-data kekakuan k: 9000 N/m, massa m = 10 kg; redaman =0: kita akan mencoba beberapa tipe simulasi.

simldof.

2.L7.7 Getaran Bebas Teredam

Kita akan coba dengan simpangan awal 80 mm dan dengan redaman l0 Ns/m,40 Ns/m dan 80NVm.

RedamanC=10Ns./m >> simldof

r,,r) *

2.11 Simulasi Sistem Satu Derajat Kebebasan dengan Menggunakan Matlab Pada subbab ini akan kita simulasikan sistem satu derajat kebebasan dengan menggunakan bahasa penrograman MATLAB. Kita akan gunakan model sistem tidak balans sepefti ditunjukkan pada gambar berikut:

OGRAM

ANIMASI SINGLE DEGREE OF FREEDOM : Ir.Ramses Y Hutahaean M.Eng Oleh

***************************************************** 'fumlah data ? 3200 Kekakuan pegas ? 9000

Redaman ? 10 massa ? 10

Amplitudogaya(N)? frekuensi getar ? 0 kondisi simpangan awal kondisi kecepatan awal

0

( mm )? 80 (nun/s) ? 0

142

Getaran Mekanik

Sistem Satu Derajat Kebebasan

143

Respmse

I-

I

2.11.2 Getamn Paksa Tilak T€redarn Kita akan coba getarkan dalam frekuensi 10 rad/s, 20 rad/s,30 radls, dan 50

0.6

rad/s.

Frekuensi 10 rad/s >> simldof

******************************************************

/t/ ll'

*

0.5 1 't.5 Redaman C :40 NVm 0

2.5

3

3.5

4

4.5

Besponso

-

.0.6

ltr - - - r- - - -,-

T

SINGLE DEGREE OF

FREEDOM

OIeh : fr.Ramses Y Hutahaean ****************************************************** 'Jumlah data ? 8000 Kekakuan pegas ? 9000 Redaman ? 0 massa ? 10 Amplitudogaya(N)?100 frekuensi getar ? 10 kondisi simpangan awal ( mm ) ? 0 kondisi kecepatan awal (mm/s) ? 0 *

I

2

PROGRAM ANTMASI

M.Eng

Uobdme Fme

li

0

0.5

Redaman

C:

80

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

NVm 7E9t0lt1213l/at516 Besporse

I

lln,

l/v

.0.0s

\/i

0

i'

R6Donse

I I

78910111213t41515 I

I I

I

0.s

1.522.533.5

dari hasil pemantauan simulasi dapat terlihat bahwa antara gayu tltn respons tidak ada perbedaan fase.

144

Getaran Mekanik

Frekuensi 20 rad/s thbolafte Foce r00 50

Sistem Satu Derajat Kebebasan

145

Pada kondisi ini amplitudo mencapai nilai maksimumnya dibandingkan frekuensi lain. Hal ini disebabkan frekuensi eksitasi sama dengan frekuensi pribadi sistem, dan karena ada redaman struktur maka beda fase

adalah 900.

0

Frekuensi 45 rad/s

-50 100

0.04 0.02 0

o.02

,Vi',/VlV'WtiW

.0.04

dari hasil pemantauan simulasi dengan frekuensi gaya eksitasi 20 rad/s dapat terlihat bahwa antara gaya dan respons tidak ada perbedaan fase. Tetapi dibandingkan dengan frekuensi eksitasi 10 rad/s, amplitudenya meningkat.

Frekuensi 30 rad/s

Pada kondisi ini amplitudo mengecil dibanding frekuensi lainnya sehingga pada umumnya secara praktek diinginkan frekuensi eksitasi yang lebih besar dari frekuensi naturalnya. Karena ada redaman stnrktur maka beda fase adalah mendekati 1800. Secara teoretis untuk sistem yang tidak teredam, beda fasa antara gaya dan respons adalah 1800.

2.11.3 Getanan Paksa Teredam Kita akan coba getarkan dalam frekuensi 30 rad/s dan 50 rad/s. Kita akan pilih c:30 NVm dan gaya tak balans 40 N.

-30 rad/e >> simldof * * * *

PROGRAM

ANIMASI STNGLE DEGREE OF

Oleh

**********************************************i

FREEDOM

: Ir. Ramses Y HuLahaean tr

M. l.irrry I t a a.

14

Getaran Mekanik

Jumlah dat.a ? 5000 Kekakuan pegas ? 9000

Sistem Satu Derajat Kebebasan

147

LISTING PROGRAM

Redaman ? 30 massa ? 10

t

Amplitudogaya(N)? frekuensi getar ? 30 kondisi simpangan awal kondisi kecepatan awal

40

(

srMlDoF

disp

I

* * * * * * * * * * * * * **

)? 0 (mm/s) z 0 mm

Unbalme Force

disp I * FREEDOM disP I *

* * * * * * * **

* * **

PROGRAM

*******

**

* * ****

ANIMASI SINGLE DEGREE

H6pqtse

**

**

************************

** ** **

clear n=input(',fumlah data ? ') k=input (' Kekakuan pegas ? cc=input (' Redaman ? ') ;

r\.

ck=0.001*k; c-cc+ck; m=inpug('massa ? ,l;; t=0 . 0;

dt=0.0015;

ff=input 'Amplitudogaya(N)? ww=input ' frekuensi getar ? '); xx=input 'kondisi simpangan awal

,);

yy=inpuE('kondisi kecepatan awal

(mm/s)

(

rnm )?

x=xx. / l-000;

y=yy. /1000;

for i = l-:n;

2

2.5 Respdrs6

t,1=t; x1=x; y1=y;

f 1= ( f f *cos (ww*t1)

t t2=t+dt/2;

-c*y1 -k*x1

) /m,.

x2=x+y1.*dt/2; y2=y+fL*dL/2; 12= (f f * cos (ww* t2 ) -c*y2-k*x2) /m; Dari grafik tersebut carilah secara grafis beda fasa dan bandingkan dengan perhitungan manual.

I

t3=t +dt/ 2; x3=x+y2.*dt/2; y3=y+f2

OF

*r

c1f

34567

* * * * * * * t

Oleh : Ir.Ramses Y Hutahaean

M. Eng

disp

* * * * * * **

.*dt/2;

?

**

** * *

|

148

Getaran Mekanik f 3= (f f *cos (ww*t3 ) -c *y3

-k*x3

) /m,-

L=1; Yr1-=Yryr/L; X1= [xyBox ( : , 1) ] +1; Y1= [xyBox

t.4=t+dt; x4=x+y3 . "dt;

t=t+dt;

y=y+dt/6. * (fL+2 .*f2+2 *f 3+f4); x=x+dt/6 . * (y1,+2 . *y2+2 *y3+y4),.

tt(i)=g; xx(i)=x; Yy(i)=y; dx (i) =-0. 08*cos (ww*t) (

i

)

=0 . 025*sin (ww*t

ffk (i) =ff *cos (ww*t),-

for j = 1:lengLh(YY) tk(j)=tt(j); fk(j)=ffk(j); Yk(j)=xx(j); psx=pegasl- ( :,

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 1.00

xyBoxat ...

0.00 0.00 0.00 0.3 0.3 0.00 0.3 0.3

)

* (l-+yr1 ( j ) )

;

;

xd1=ddx+ytz(j ) ; xd2=ddx+)ry (j ) +dx (j ) ; ;p1= [psx;xx1 ] ; xxd= [xd1 ;xd2) ;

yp1=[psy;Y1]; wd=[ddy;ddy+dy( j)]; pxt= [ 0 ; 0 ; 0 ; xp1 ] ; pyt= [ 0 .2 ; 0. 3 ; 0 . 2 5 ; yp1] ; if ff==0 subplot(211) l=p1ot (tk,yk,'k-','EraseMode','background' set (h,' lineWidth', 1) ; axis ( [0 n*dt -1.1*am 1.1*am] )

0.25 0.25 0.275 0.225 0.275 0.225 0.275 0.25 0.2s1

o.25 0.20 0.30 0.30 0.20 0.20 0.20 0.251 ;

1-)

psy=pegasL(:,2) xxt=X1+)4/(j);

end

pegasl=t ...

(: ,21 ) ;

ddx=1 . 15; ddy=g . 25. am=max(xx) ;

y4=y+f3 . *dt; f4= ( ff*cos (ww*t4) -c*y4-J<*x4) /m;

dy

149

Sistem Satu Derajat Kebebasan

)

title('Response') grid tdrawnow

subplot(212)

6=ploE (pxE , pyt, ' k'

EraseMode','background' ) ; set (h,' lineWidth', 3) ; axis(1,0 2.3 0.15 .351)

axis off drawnow

else subplot (311) 6=p1ot (tk, fk, 'k-' , 'EraseMode' seL (h, 'lineWidth' ,1) ;

backqr'
)

;

150

Getaran Mekanik

axis ( [0 n*dt -1.1*f f ]-.l-*f f I )

title('Unbalance Force' Baxis (1.0 2.5 0.1 .51 )

3.

)

subplot(312) 1=ploE

(tk,yk,' k-','EraseMode','background,

set (h, ' linewidth' , 1) axis([0 n*dt -1.]-*am 1.1*aml)

Slstem Satu Derajat Kebebasan

)

;

,.

Suatu massa

m

151

ditempatkan pada batang tegar yang massanya

diabaikan, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.56 a. Jika (a) Batang AB dianggap tetap berada pada posisi horizontal, pada saat massa m berosilasi vertikal. (b) Batang AB dapat berotasi, karena pada titik A dan B rnerupakan sambungan engsel.

k1

title('Response') taxis off

k..

Edrawnow

subplot(313) fi=plot (pxt, pyt, ,k- , , xxd, yyd, ,o','EraseMode','background' ) ; set (h, 'lineWidth' ,3 ) ;

axis(10 2.3 0.15 .351) axis off

drawnow

end

u

b oombar 2.56

4. Pada Gambar.2.56 b ditunjukkan suatu silinder dengan massa m, dan

end

2.12 Soal-soal untuk Dkerjalon

l.

t)-r

Hitunglah frekuensi pribadi sistem getaran bebas tidak teredam untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.55 a

2. Hitunglah frekuensi pribadi sistem getaran bebas tidak teredam untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.55 b

Gombar 2.55

momen inersia polar J. Empat buah pegas dihubungkan pada silinder tersebut seperti ditunjukkan pada Gambar 2.56 b. Tentukanlah persamaan gerak getaran bebas dan frekuensi natural sistem tersebut.

AOB di mana pada titik A ditempatkan massa m. Tentukanlah persamaan gerak dan frekuensi natural sistem jika (a) Massa rangka AOC diabaikan (b) Rangka AOC mempunyai flloSSo rn1 dan momen inersia massa J1, dan pusat massanya terletak di titik O.

5. Pada Gambar 2.57 a ditunjukkan suatu rangka

Gombnr 2.57

Getaran Mekanik

152

6.

Pada Gambar 2.57 b ditunjukkan suatu piringan yang digantung kawat baja dengan panjang L, sedangkan jari-jari piringan tersebut adalah R.

153

Slstem Satu Derajat Kebebasan

9,

-furunkan persamaan gerak sistem pada gambar (2.59) dan tentukan respons sistem tersebut.

Tentukanlah persamaan gerak piringan tersebut untuk gerak osilasi piringan yang berotasi terhadap pusat massanya.

Y = Jt sin rtr'

7. Pada Gambar 2.58 a ditunjukkan

suatu batang yang ditumpu oleh lainnya diletakkan massa m. Jika massa engsel di titik O dan di ujung

batang tersebut diabaikan, carilah:

a)

Persamaan gerak sistem.

b) Jika c:200 Ns/m, k= 4 kN/m , m = I kg dan L =0.9 m, hitunglah respons sistem jika batang tersebut diberi simpangan awal. 0o =0'4rad

Gombor 2.59 10.

Ulangi soal No. 9 dengan menggunakan transformasi Laplace.

ll. Kerjakan soal No.7 dengan menggunakan

transformasi Laplace.

12. Kerjakan soal No.8 dengan menggunakan transformasi Laplace. 13.

Hitunglah respons sistem yang diberi gaya eksitasi F sina;/ seperti ditunjukkan pada gambar berikut jika: (a). Seluruh kondisi awal nol (b). Kondisi awal d(0) =

0 dan 0(O)= q

(c). Kondisi awat 0(0) = 0o dan a(O) = b

F sin dt

_t

Gsmhsr 2.58

8. Pada gambar 3.4b ditunjukkan suatu batang AB yang ditumpu

oleh

engsel di titik O dan dicarilah:

a) b) c)

O

Persamaan gerak sistem

l-'

t

Frekuensi pribadi sistem tersebut

Jika kondisi awal sistenr O(O)=0 dan B(o)= I/0, tentukanlah respon sistem tersebut.

Gambor 2.60

154

14.

Getaran lrtekanik

Pada Gambar 3.64 ditunjukkan suatu model sayap pesawat. jika seluruh

Tentukanlah persamaan gerak sistem dan respons sistem kondisi awal adalah nol. 15.

Ulangi soal No.

@ e(o)=00 (b) d(0)

=0

14

dan

Sistem Satu Derajat Kebebasan

155

18. Tsntukanlah persamaan gerak sistem seperti ditunjukkan pada gambar berikut dan tentukan respons dalam keadaan stedi.

jika kondisi awal

0(0)=s,

dan e(01= eo.

I6. Hitunglah respons sistem dalam keadaan stedi untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar 2.61 berikut. Jika m = 5 kg, k:10 kN/m ;

c:700

Ns/m, dan

L:

I m.

! =Y silr art Gtmbsr 2.62 19. Pada gambar 2.63 ditunjukkan suatu sistem massa-pegas yang mengalami gaya periodik dengan 0.1 detih dan arnplitudo 1 mm. Jika rnassa m = 25 kg, dan kr= k 6 kN/m, dan koefisien redaman c 0.2 kN.Vm. Hitung dan gambarkan respons x(t) dalam keadaan stedi dengan menggunakan 100 koefisien Fourier.

T: -

:

Gsmbor 2.61

17. Kerjakan soal No. l6 dengan menggunakan transformasi Laplace jika:

(a). Seluruh kondisi awal adalah nol. (b). Kondisi awal

9(0)= 0 dan e(O)=

q

(c). Kondisi awal d(0) = 0o dan a(O) = 9. tte rtl i;it at

Gombor 2.63

:

Getaran Mekanik

156

BAB III

20. Carilah persamaan gerak dan respons sistem dalam keadaan stedi untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar 2.64 berikut jika massa tak imbang pada motor adalah me.

SISTEM DENGAN DERA.IAT KEBEBASAN LEBIH DARI SATU

3.1 Pendahuluan II telah kita pclajari sistem dcngatl satu derajat kebebasan. Karena secara konsep tidak ada perbedaan tlendasar antara sistem satu derajat kebebasan (Singte Degrae of'Frcuknt) dengan sistem dengan dua atau lebih derajat kebebasan, maka kita akan rnetrperkenalkan sistem dengan multiderajat kebebasan dengan sistetr yang sederhana dahulu, yaitu sisterrr dengan dua derajat kebebasan. Untuk mernperoleh solusi numerik dari sistem dengan derajat kebcbasan lcbih dari dua akan kita lakukan dengan Pada Bab

Gombor 2.64

21. Carilah respon sistem untuk soal No. 20 jika c =50 N Vm, me:0.01 kg.m dan kondisi awal

l=

lm, k=3000 N/m,

program komputer.

a. ,(0)= 0 dan *(o)=0

b. x(0)=0.01 m 22.

dan

Dengan Menggunakan untuk soal no 21.

*(0)=o

MATLAB,

gambarkan kurva FRF sistem

n

derajat kebebasan diuraikan oleh satu set n persamaan diferensial orde dua. Jumlah ll'ekuensi pribadi sistem adalah sama d.ngun jumlah derajat kebebasan sistem tersebut. Tiap mode getar terkait dengan masing-nrasing frekuensi pribadi. Jika persamaan gerak sistem tersibut terkopel maka gcrakarl nlassa tcrtentu adalah kombinasi gerakan Suatu sistent dengan

mode dari masing-masing irrdividLr. Jika persamaan-persamaan tersebut tidak terkopel maka setiap mode getar dapat diLgi sebagai sistem satu derajat kebebasan yang rtrandiri. gerak frekuensi kita diskusikan akan berdasarkan hukum Newton II, dan kemudian

Kita akan mulai pernbahasan dengan menurunkan persamaan

pribadi, koordinat kopel dan translbrnrasinya, analisis modus getar darr p"n.rupunnya. Metode koefisien pengaruh akan diperkenalkan kemudiart pada bagian akhir bab ini.

3.2 Persamaan Gerak Persamaan gerak sistem dengan dua dcrajat kebebasan tttcrttpitkittt strirltr

sistem yang diperlihatkan pada Gaurbar 3.1. Kita daltat tttctttttlttrkrtttttt'r

Getaran Mekanik

158

dengan menerapkan hukum NeMon IL adalah redaman viskus dan perpindahan

Kita asumsikan bahwa redaman x;(t) dan x2(t) diukur dari posisi keseimbangan statik. Dengan menjumlahkan gaya-gaya dinamik yang bekerja pada tiaptiap massa akan diperoleh:

matriks kekakuan,

{x}

adalah mahiks perpindahan dan {F(t)} adalah matriks

(3'1)

3.3 Getaran Bebas Tidak Teredam Suatu sistem dinamik mempunyai jumlah frekuensi pribadi yang sama dengan jumlah derajat kebebasannya. Misalkan, untuk sistem dengan 5 derajat kebebasan, frekuensi pribadi sistem tersebut ada lima. Gerakan

otu) I

IIlr

sistem secara umum merupakan superposisi dari mode-mode getar sistem. c,(.i-,

L

c(i', Ilb

r-'

*,+

(3.2b)

gaya eksitasi.

- c-i, - kr, = F,Q) G. + k)r, - c*, - kx, = ir|)

t

o

;l [:].[-'_l- ;S[;]=[;[;]1,,,",

di mana [M] adalah matriks rurssa, [C] adalah matriks redaman, [K] adalah

m,*, +(", + r)i, + (k, + fr).r,

.',t-;

[;l.["']"

lMlltil+ [c]{i} * [r]{q} = {o(,)}

Persamaan tersebut kita susun kembali menjadi:

")*r+

l';,ll atau

m,I, =-krxt -k(r, -xr)-c,*, -"(*, **r)+ F,(t) rttrf, = -ktxz - k (*, - x,) - cr*, - r(*, - *,) + Fr(t)

nt,i, + (", +

159

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

rr(r)

L

kr ,i

I

rir

'

cri:,

/rrx.,

Gqnthor 3.1

di mana F1(t) dan F2(t) adalah gaya eksitasi terhadap massa I dan massa 2. Dari persamaan (3.1) kita ketahui bahwa kedua persamaan tersebut terkopel karena pada persamaan yang berisi m1 terdapat suku yang berisi x1 dan x2. Hal yang sama juga terjadi pada persamaan yang berisi m2. Suku kopel pada persamaan pertama adalah

-("*=+kr).

Hal yang serupa dengan suku

kopel pada persamaan pertama adalah - (ci, + rtx, ). Dengan kata lain, gerak massa 1, x1(t) dipengaruhi oleh gerak massa 2, x2(t),dan sebaliknya. Dalan'r bentuk matriks, persarraan 3.1 kita susun kenrbali menjadi:

Gonbar 3.2

untuk getaran bebas tidak teredam, redaman dan gaya eksitasi

pada

Gambar 3.1 disederhanakan menjadi seperti diperlihatkan pada Gambar 3.2 sehingga persamaannya bergerak menjadi :

l';

,l,l

[lt].[-:l- r,:r7t:]=tl

..'],

160

Getaran Mekanik

Persamaan 3.3 adalah tersebut adalah:

linier dan honrogen sehingga solusi persamaan

(3.4)

I, = B,etl

di mana Br, B: dan s adalah konstanta. Karcna sistem tersebut tidak teredam, nilai s adalah imajiner s =+.ja. Dengan menggunakan rumus Euler cosalt

* Tsin ol .

maka solusi persanraan

di

atas adalah harmonik

dan solusi umum terdiri dari konrponen harmonik, sehingga:

(3.s)

+y)

mana A,, A: dan r1r adalah konstanta dan rrt adalah frekuensi pribadi sistem. Dengan mensubstitr.rsikan persanraan 3.5 ke persamaan 3.3, dan kemudian nrembaginya dengan sin(rrv +y), dun disederhanakan maka

di

akan diperoleh:

(r + r, -kA,

to' ,,t,)

ai,

l, - kl, = tt (3.6)

+(t * t, - (o',,,,) A, = tl ,A1

dan A2 dinamakan determinan

A(o\=ln**'-.to't't' \ '' |=o | -t, k + k, - ,o' ,,,,1

[I]=11,:,f'"'*"

e:)

Dengan mengumikan deternrinan persamaan tersebut dan disusun

.. -Eel*'

* o,* k*t, *k,k, ilt2 )lr, \ ,rr

t

+v,).l:1,',f i"(''t +w,)

(3.e)

Penjelasan subskrip ganda pada amplitudo adalah subskrip pertama nrenunjukkan koordinat, dan subskrip kedua menunjukkan fiiekuensi.

o = az

.

Amplitudo relatif komponen harmonik persamaan (3.9) diperoleh dengan mensubstitusikan ro,dan a2 pada persamaan 3.6. sehingga diperoleh:

4,,

A, A,

_

-k+kr-ol k k+k,-olm,

m,

_k+kr-rozrrtt,

k+k,-cojm,

frekuensi pribadi

+ k,k + nttilt2

k,k

-o

(3.8)

at,

ku,uz

=r,,, =

I

uzt ur _r,,, _ I

(3.r0)

dan ar, . Dengan demikiarr persamaan 3.9 menjadi:

[;;J=1,!,,)o,sitt(ro,t

+w)+1,',,)o"sirt(ro't+v')

(3'1r)

di mana An,Arz.Vt dan t//, adalah konstanta integasi, yang diperoleh dari kondisi awal. Terdapat 4 konstanta karena sistem irri dinyatakan dalam dua persamaan diferensial orde 2. Perlu kita catat bahwa:

L

Dari persarnaan homogen 3.10, kita hanya nremperoleh bandingan l: u1 dan l: u2.

2.

Amplitudo relatif pada fi'ekuensi pribadi yang diberikatt atlalah

kembali, diperoleh: o

a,. Dengan cara

Dengan mendefirrisikan amplitudo relatif antara x1 dan x2 pada tiaptiap

karakteristik. Jika A(a,r) disamakan dengan nol, maka akan kita peroleh persamaan frekuensi sistem yang mana akan kita peroleh frekuensi pribadi sistem. Persamaan terscbut adalah:

-(

a,l, daa

, yailu roi

superposisi, solusi persamaan 3.5 adalah:

A,, _

Determinan A(ar) Aengan koellsicn

,uo

sehingga diperoleh frekuensi pribadi

Sebagai contoh, A12 adalah anrplitudo x1(t) pada frekuensi

xt = Arsh(att +y) xz = Azsit(rot

161

Solusi persamaan 3.8 berupa dua nilai real dan positif ro2 dan

xt = BPt'

sia -

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

invariant. tanpa dipengaruhi korrdisi awal.

pcr-

162

Getaran *lekanik

Mode utama getaran te{adi jika sistem tersebut diberi gangguan pada salah satu frekuensi pribadinya seperti ditunjukkan pada Gambar 3.2. Sebagai contoh, mode pertama terladi jika A,: :0, sehingga:

[;l]=[,1]'

,,si,,(ro,'l+v,) atau

e [:]=[;l;], ,(t)=t't, n,(t)

t2)

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Contoh 3.1 Untuk suatu sistem pada Gambar 3.3 diketahui m1:m2:m, dan k1=k2=k. Jika kondisi awal ,, (0)= t ,x,(O)=A ,*r(O)= t,*,(0)=0, hitunglah: (a) Frekuensi pribadi sistem (b) Vektor peryindahan {x}.

| *,

di mana {u}1

adalah vektor Eigen. Vektor Eigen tersebut menunjukkan ampitudo relatif atau rnode getar x1(t) dan x2(t) pada o): o)r.Dengan cara yang sama mode kedua te{adi jika Arr :0, sehingga:

[l ] = l:,)'' [;]=

jl' .',

sin(to't + v') atau

l::,:,)''(r)

=

{,}'

p' (r)

(3.13)

Fungsi hamronik x1(t) dan x2(t) persamaan 3.I ldapat dinyatakan dalam bentuk:

[r l:[ ' L'r-l 1", i)11:,::;:,[?,',:y:,\)=lr:,: i:,ll';,'*',\]

(3.14)

(3.14a)

di mana matriks modus getar [u] adalah:

ld =11;", :,,,,)=1,:,,1 ]

o4k,3k:+-:;=0

7114

-J12n,

ilt-

dengan menggunakan mmus abc diperoleh:

,i,=*.:l(#| ,(#)

atau

{*l =[,)lpl

Solusi: Dari persamaan 3.8 diperoleh:

yang mana {u}2 adalah vektor Eigen pada nrode kedua.

,1,=!tl Jtor,-m=2krk trl 2m m t,t ,k=-= tn

a); (3.r4b)

0)t =

rl|/ *

,3k )a)2=*k/* ='*

ar2,

atau

tn

b'l=b,,1=

[{,},

{,}, ]

(3.14c)

163

Kemudian kita substitusikan ke persamaan 3.10:

t _k+kr-rolm, -2k-(k/nt\m -, ut

164

Getaran Mekanik

t 2k -(3k / ur)nt tuz k

Dengan menguraikan persamaan 3.16 diperoleh:

--t

Maka vektor perpindahan x diperoleh dengan

menerapkan

[r, :

[,

, ll

Lr,-] [t

o,, sin(a,,,r + w,)l

Lr]=l,

tfl

u*af {.r(O)}=

{t

0} diperoleh:

A,,sirty,f

t)1a,,i,,',y',)

0 = 4,, sirtty ,

-

Kemudian kita cari

-

dan

A,, sittry,

I

sehingga diperoleh:

,n=0,1,2,...

A,,'i,t,y,1 tl

t

)=il,

I

llll

-rlLr]

tl t] =, 1,.1

atau

A,,= I " 2 sitrry ,

I dan A,,= '' 2:;itrty,

Sedangkan dari konilisi awat

^l/sutV/t

[o-l _ Dengan cara yang sama diperoleh:

Lr.l-

[t

L,

{.t(o)}

: {o

(/} , diperoleh

:

t ll o,A,,c'osy,l -t )1rqA,,,,,,,y, )

Lalu kedua sisi persanraan 3.16 dikalikan dengan invers (u) atau u-r:

2.ir,r/,

= [;] [1 :)l':,1: :,::,!,:,)

Dengan cara

A,,=A,=l/2

l,t,, ri,,,y,

A11 sebagai berikLrt:

Kernudian dengan nrerrggunakan kondisi {;(o)} = {o o} diperoleh:

,

0

cos!/r =0.

Cara lain untuk memperoleh konstanta integrasi adalah dengan

=2A,,sitrty,

t_l n'' -

t

V, 2

corA,, c}s t// 1 +

menggunakan manipulasi matriks, yaitrr dengan mengalikan kedua sisi persamaan 3.15 dengan invers (u) atau u-r sehingga diperoleh:

I = A,, sittty , + A,r.tirtty , 0 = A,,sittt/t, * 4,, siutlt, +

=

tl,/

Vr=Vt=(tt+ \L

(3'rs)

I = A,, siuty, + A,, sittry,

Arr

0 = ttl,A,, c}s

t + to,4,, cos

yang sama diperoleh utst// t =

Dengan rnenguraikan persarllaan 3. I 5 diperoleh:

I

t//

Karena Arr dan ror tidakberlrarga nol, maka

-t)lA,=sin(a,,,t +,/r.))

kemudian dengan nremasukkan kondisi

It.l_[t

0 = al, A, , cls

0 = 2to,A,, clst// t

persamaan 3.14:

.l

r65

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

awal

l:,11 :,:;,i:,)= diperoleh cos \/r (3.16)

:

Vt =Vt=(tt+

coS

ll', r.l.r2

:

r,l [;]

=

[;]

0 sehingga diperoleh:

l\L,,n=0,1,2,...

166

Getaran Mekanik

dan Art=Arz=l/2

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

atau

Kita juga dapat menggunakan MATLAB. Pertama-tama kita gabung dahulu persamaan 3.15 dan persamaan 3.16 menjadi matriks. Hasilnya adalah matriks berikut;

ltl lt t o

|,| |, -t o lol-lo o t Lrl lo

o1l A,,sittry, I oll a,,i,,,y, I

tllo,A,,,u,,y,l

o tl,)1,,,0ii,,;,;,)

[l]

=i[i],^

ff , 4l!,)'.' ff

,

Dan gerak masing-masing massa dinyatakan dalam:

xt=0.5 (rot"[t t* t*"ot"[*it) xz=a.5

("ottfit* t-"otrfskt*

t)

Kita notasikan persamaan dalam bentr.rk:

[r][c]

[,a]= sehingga

[c]

[a]-/[;]

=

\_ \ o.5.or

Dengan demikian pada MATLAB kita peroleh:

A=t1;0;0;01;B=[1 1 0 0;1 -1 0 O;0 0 1 j_;0 0 1 -1]; >> inv (B) *A ans = 0.5000 0.5000

Jt r,

r

o

N c G a 6 E c .E

0 0

o

sehingga

c

[o

sl I A,, sittty, =0.5 f

01234

I A,,ri,,,y,=o.sI t''-llrrl o l-l o,A,,crsty,=ol

Waktu (detik)

tn1

Gunbor 3.4

L,I 1r,o,,"o.,,y,=s)

Penggunaan

Dengan mudah kita peroleh konstanta-konstanta tersebut. Jadi hasil respons sistem adalah:

[;:1=

:1"f",,(ff,*,/

2).

j[],],'[ ff,.,/2)

MATLAB:

t=0:0.01:2*pi;

x1l_=0.5. * (cos (pi. *t) ) ; x12=0.5.* (cos (sqrt (3) . *pi. *t) ) ; x1=xl-1+x12; x2t=0.5. * (cos (pi. *t) ) ; x22=0. 5. * (-cos (sqrt (3) . *pi. *t) ) ;

167

168

Getaran Mekanik

x2=x21+x22;

figure

rcndah dari kekasaran jalan yang ditransmisikan ke badan kendaraan' Karcna

(1)

subplot

(

211

169

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

)

plot (t,x1, t,x11,, r--', t,xI2.'r:, ylabel (' Perpindahan x1, ) xlabe1 (' Waktu (detik) ' ) axis ( [0 2*pi -1 1] ) subplot(212) plot ( t,x2 , t,x21_, , r--, , L,x22, ,r: ylabel (' Perpindahan x2' ) xlabel (' Waktu (derik) , ) axis ( [0 2*pi -1 1] )

)

'

)

adanya perbedaan fi-ekuensi pribadi yang besar antara roda dan badan kendaraan, maka kita akan mengabaikan kekakuan dan massa roda, seperli ditunjukkan pada gambar berikut:

_t r

^r-L 1tl

,J,

s+l_,ri

-_--.I.

Contoh 3.2 Suspcnsi Kendaraan Sebuah kendaraan mobil ditunjukkan sccara skematik pada Gambar 3.5. Tentukan frekuensi pribadi badan kendaraan tersebut.

Gomltar 3.6

Dengan mengasumsikan gerak osilasi yang kecil, maka persanraan gerak dalam koordinat x(t) darr 0(t) diperoleh dengan memperhatikan

diug,rt

benda bebas pada Gambar 3'7 sehingga diperoleh:

rtt.i

-aa.ro,

+tt I

* Gambar 3.5

d.o.ii

Solusi Sebuah

I,, T, '

tr',(.r-r-I,di

mobil mempunyai banyak dcrajat kebebasan. Untuk

penyederhanaan, kita berasumsi bahwa badan kendaraan bergerak pada bidang kertas

tlan gerakan kendaman tersebut kita batasi hanya terdiri dari (l) Gerak vcrlikal badan kendaman, (2) Gemk rotasi pitching dari badan kendaraan, dun (3) Gerak vertikal roda walaupun sebenamya sistem kendaraan tersebut ttrmpunyai lebih dari dua demjat kebebasan. Ketika frekuensi eksitasi kntcna kekasaran jalan adalah tiuggi, nraka roda akan bergerak naik furun rlertgun cepat tetapi hanya sebagian kecil dari gerakan ini yang tltlrnnsnrisikan ke badan kendaraan. llal ini disebabkan oleh frekuensi Plrlxrdi badan kendaraan yang rendalr, sehingga hanya bagian frekuensi yang

Gunhu 3.7

n* =l(Ga1,a)., tni = -k r @

- L,o) -

k, (* + Lro)

Kita susun dalant bentuk:

- L,0)+ ft, (x + L2e) = 0 tni +(k, + kr)x -(k,L, - krL,)o =o

tnV + k,

(x

.,-----..1

170

Getaran Mekanik

Sistem dengan Deraiat Kebebasan Lebih dari

k,

dan

Jo

=k,(*- Lp)Lt -kr(*+ L,0)L,

=

k,L:,

Kita susun dalam bentuk: +

k,L1)t =o

2000 kg

,nri

+k.L:.

Persamaan frekuensi sistem

.

2000

(3.tg)

di

I A,. --t':=1

=

12500

rad / s rad / s

x _ ktlt-k2L: @ k, + k" - 0)'ttt

Jo

- t, )-

z\')

Rasio amplitudo diperoleh dengan menguraikan persamaan 3.17:

,4

atau

)

Contoh 3.3 Sebuah mobil dengan massa 2000 kg, dengan jarak antar roda 3.5 m, dan pusat massa terletak 1.5 m dari roda depan. Radius girasi kendaraan adalah 1.4 m. Konstanta pegas bagian depan dan belakang masingmasing adalah 40 kN/m dan 50 kN/m. Hitunglah (a) Frekuensi pribadi sistem, (b) Mode getar (c) Gerak x(t) dan 0(t) kendaraan tersebut.

Solusi

Dari datadata yang diberikan dan persamaan yang diperoleh dari contoh 3.2, diperoleh:

l.ss

ll0.0l

atas dan kemudian

--L-------- r

,1 *![ ,

+

,i, =llts *zt r,[gs *r1\xoo)={i:;::,

menyelesaikan persamaan tersebut maka diperoleh:

-

_t(qoooo\(soooo\(r.s (2ooo)(3e20)

ini adalah:

k:L:-ktLt A(ot)=lr,*t,-0)t"' \ '/ l=, |tr.t.-t,L, r,ti+krLi-rr,Lol

2Lm

t,f

(3.17)

i,";'']{;}= {;}

Dengan menguraikan detemrinan persamaan

-,,

3920

qk,k,(L,+

:,){;l*l-60,,,*-n;,,,1

nt2

(40000)(t.5)' +(sttooo)(2)'

tn

diperoleh:

-'rr:i

=45

j92g kg Q000ks)(l .4nt\2 =

=

171

ktLt - k:12 _U0000)U.s)-(50000)(2) _ 20

Kita susun kedua persamaan tersebut dalam bentuk matriks sehingga

/,_t' = -l

N/m+50000 N/nt

Jo

lod -(tc,t, - k,L,)x +(tt,t),

l';

_ 40000

,n

Joii =L(Momen)o Joii

+k,

Satu

x _ (k,L, -krLr)/ nt @ (k,+k,)tnt-oi.: Maka mode pertama:

x =-

-o

45

-20

-

18.745

= -0.761

Mode kedua:

x

-20

@ 45 - 100.255 =

0.362

Getaran Mekanik

172

I

le)=l-tto.zor1

-

I

t

t

l_l

j[

l-rl I t

=l-,.r,0,

Sedangkan kecepatan

1

;2 !=[1 1 0

'i-r.ztlt

t. .lt

A=[0.01;0;0;0

atau

tol =[a]

, -l|- A,, sitttY , 0 ll 'a,' sin'Y ' t ll a,A,, cosY ,

.l

o tt L I l-,,,0, 2.7624 t 0 I o l-l o 0 -t.3t4t 2.7624)La'A,'cosY') , L,

lo.otl Maka gerak x(t) dan 0(t) diPeroleh:

t- \ Lt/0'3621

t73

@

Sistem dengan Derajat

0

2.7624 o o;o o

1-

I

I

l-;o o -

t-.3141 2.'1624 I), >> inv(B)*A ans =

l[A,,sitt(r't,r+w,)l :.za:t)1,a,. sitt(ro,r *w

)l

0.0068 0.0032

-t(r) a^, A(r)

0

t't=[]]

=1

0

, ',,,, , ir,,)l::,l::,T,t\,"..'ri,'r)

Maka:

o.tnasl I o.ootrl

dimanaA,,,Ar:,y1dan\lzadalahkonstantaintegrasiyangdiperoleh

I

dari kondisi batas'

I,

Contoh 3.4

dan [;[li]=[;]

/

l[A,,sitttY,l

I , i=l-r.s,o, :.ru2t)la,''i"'v')

:,,,,

I I

l=1 ,u,,r,,,,,,,v,1

o,,,.'""Y')

Vt=Vt=(tt+ l\L

, ,tt=0'l'2""

maka

(i)

Ar

r = 0'0068

Att =0'0032

Dari kondisi awal kedua diPeroleh:

l;)=1,

,

nol maka diperoleh cos tYr Karena c01,cD2'A11dan A12 tidak berharga cos r{2 = 0. Dengan demikian dipcrolch:

Dari kondisi awal pertanra diperolelr:

lrt.otl I t

A,, ,i,trY

I A,. sittrv ,

Io )lr

GambarkanresponssistempadaContoh3.3jikadiberikankondisiawal:

=l"o'0"') t;[]l

I

1,,,)l::|^i';,'I'!,:,)

Oleh sebab itu respons sistem adalah:

(iD

l-,*l I

untuk memperoleh konstanta

Kita akan nrenggunakan MATLAB persamaan integrasi, yaitu denfan ,r'tenggabungkan dahulu p.rta*uun (ii) dalanr bentuk matriks:

(i)

dan

t

lr)=l-,.t,0,

1

l[0'0068;;itt(4'33t+t/2)) z.zozt1lol032 sitt(t0'0tt + r / 2))

:

Getaran Mekanik

174

175

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dgri Satu

grid Bespon Sistim Kendaman

subplot(212)

plot ( t, qS)

y1abe1('Respon rotasi massa (rad)' xlabel (' Waktu t (detik) ') grrid

)

Contoh 3.5

34 Waklu I (detik)

pada gambar berikut ditunjukkan suatu double pendulum. Turunkan persa;an gerak sistem teisebut dan bagaimana untuk memperoleh frekuensi naturalnya.

0.02

6

I

o.or

E 'v;

o

c

$-o,or

E -0.02

Gaufiu 3.9

Waktu t (delik)

Contoh 3.8 Penggunaan

MATLAB

Solusi pertama-tama kita gambarkan dahulu diagram benda bebasnya.

clear all clf t=0:0.01:2*pi; g= [1 1 ; -1, .31,41 2 .7 624) ; for i=1:length(t); B= [0.0068. *sin ( 4.33 . *t (i ) +pi/2 ) ;0.0032. *sin (10.0]-. *r(i)+pi/2)); Q(:,:,i)=A*B; xx(i) =Q(1,1, i) ;ss(i) =Q(2,1, i) ;

t'

F.

{.}

end

figure

./

(1)

subplot ( 211 ) plot ( t, xx) yIabel ( 'Respon pusat massa x

(m) ') (' Waktu t (detik) ' ) tiLIe ( ' Respon Sistem Kendaraan ')

x1abe1

g

/

5kltl2

,ttl.'(i,

176

Getaran Mekanik

Dari diagram benda bebas nlassa I diperoleh:

A = rri L2 ; n =

Jo,0, =L(Mornen)o,

maka

ni) 6, = -(o.srue,)(0.s L) -(o.sr'r.(0, - o,))(o.sL)- mgLz,

olt = -Br

mI) 6,

+(o.srt + tngt)o, -0.25kt 0. = 0

Dari diagram benda bebas massa

1

(i)

Jo16, =L(Monrcn)r,, ,n

t

6, = -

(0. s tiLl,)

-(*t

tn + 2trt2

(o s L) +

(0. s t t

(0, * e,))

(0. s

t) * ntgLl,

=0

(ii)

l"'';,,:r)11,1.1"'::,;-::;',,-::,':::,r,)1il=l';) Dengan mensubstitusikan 0t = -ci

@r

dan

(iii)

6: = -d @:pada

+rtrgL-tttL:ro: -0.J5kL: l["rl=[r-l 0.5k1:

+rtgL-tttL:ot:llr."l=Lrl

(iv)

A(o\=lo's*t'

|

ttrgL-

tttt'o:

-,.:s*t

-0')5ht)

I

o.skL' + ,,,ir"- ,,,rt rr'l=

o

(v)

+ ttulkL + i- k' L' t6

100 N/m ; g b. Mode getar

: l0 m/s'

tn2

B=

-(kL',tt + 2nl gL)=

L2

=

rtr2

g2 + rttgkl *

"

maka persamaan

-3

f' )F t6

(vi)

ks2

=

ni

/

nl

;

;

s2

200kg2 ntz

/

sa

menjadi:

0.0laa -iat2 + 200=0

oi =lO}rtul /sdan ati =200rad I s

b. Untuk memperoleh mode getar, kita tinjau kembali persamaan (iv) dan kemr'rdian dengan mensubstitusikan Q - -a'@,, maka -rimL2@, +(0.sru' + rngt)@, -o.25kl:@, =o maka diperoleh

@,

Dengan menguraikan deteminan persamaan (v), diperoleh:

-(*t,,,+2trt)gL)at +,,t'gt +ttrgkl*lFt

=0 (vi)

0.25k1:

=-

q- i.sM +nrgL-ro'nrE untuk arr = ,i = t 00 rscl / s -!-=

nt2L'a/

s2

persamaan (i) menjadi:

Persamaan frekuensi sistem ini adalah:

*

=

--1o.srg)' (o.z,n)' =0.01kg2

A=

diperoleh

(iii), diperoleh:

-o.zsttt

ttt2

Contoh 3.6

C

|

=

2A

Kemudian persamaan (i) dan pcrsauraau (ii), kita susun dalam bentuk matriks:

lo.stt)

C

a. Dari data-data diPeroleh:

,nlli), +(o.stl +rngt)o, -0.25kL:0,

persamaan

gL);

Jika diketahui m:0.5 kg, L = 0.2 m ; k hitunglah: a. Frekuensipribadi sistem

diperolch:

177

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

I 3-o.o2ro:

Frekuensi pribadi diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (vi), tlcngan memisalkan:

-....-..'--."........-a

178

Getaran A{ekanik

o,= I o: 3 -0.02(t00) -, untuk arr = ri = 200 ratt / s @, @: -=-

I 3 _0.02(200)

-_

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Percepatan filosSa trll

I

A,, = i)rl, Percepatan ilESS& fil2i

Ar,? = A,,,r+

-

-+

A,n2r

nt = drlr+

O2L2

LLI

Maka vektor mode getar diperoleh:

LL'

ma|,a gaya gaya inersia yang bekerja pada m, dan m2 adalah seperti ditunjukkan pada gambar diagram benda bebas berikut:

*=f' -1)t1 L1

Contoh 3.7 Pada garnbar

berikut ditunjukkan pendulum ganda yang terdiri dari rrsSSzl ryrl dan m2, sedangkan massa batang L1 dan L, aiuuui[un, (a) Turunkanrah persamaan gerak sistem. (b) Hitunglah frekuensi natural sistem tersebut.

")

)J

r-'

L

I

rn.lg

Dagram benda bebas massa

m2:

Gombor 3.10

r

Solusi Pertama-tama

kita lakukan dahulu

179

,,., analisis kinematika dengan mencari

Frcrcepatan massa m1 dan m3 sebagai berikut:

(r,0, * r,,,1

)

r80

Getaran Mekanik

I!!gq

dengan Derajat Kebebasan Lebih darj Satu

I8t

l)iagranr benda bebas massa mr: 0

,L

Dengan nrensubstitusikan d, ' -c,t'@, akan diperoreh persanraa, liekuensi, yaitu derrgan nrenyanrakan deternrinan dengan nol:

(l

/\ rrr,i,d,

1,,,,gL,

|

nt,L,i,,r, (i,iti * t,ri

I i,

+ ttt,gL, -

|

)

-ro-

\

(rtt,L,,

ro:

m.L,L_

+ ttt,L:,) '/ -rr, ,,t.L,L, Ll=0 _ro: ttt.Li, + rtr,gLrl

sehingga diperoleh:

*,lL,i,+ L,i,).. l"

^T

;

aa trt, L,

I

I

L, - ai (nt, gL. + rrt, gL. + rtr, I_, g + ru,L, g) + nt, g,

*

ttt,g) =

Q

Frekuensi natuml diperoreh dengan r,encari akar-akar persamaan frekuensi:

mrdDC tu1,J* nr.,,

Persamaan gerak untuk nlassa nr1 diperoreh dengan menjumlahkan momen terhadap titik Or dari diagranr bcid.a

U.Uur,,-o..u'.n,, aun ruru

inersia yang bekerja pada nrl adalah nt,L,i), ditambah guyu sambungan batang L1.dan.L2, sedangkan gaya

,.uf.ri

Orrl

statik adarah berat mlg ' ditambah reaksi venikalsanrbungan Uoting't_,1un I_r, yuitr rrg.' (nt,L,6, + r,,(L,b, + r,i),))r, +(nt,g

mrl,(L,6,

+

tri),)*

+

Jika m,=2m,

rrtrL,Lri), +,rt,L,,ij, + nt,gL,e, =g

. =g--:-3 tJ7,

toi ,

)la,)

| ,, ''

,,,,1rr,]l?,1=o

505

S I-

ol-L= 5.44959-

Dengan mentasukkan nilai ,rassa

r-r.r1

persamaan gerak diperoleh:

f

3nL 2tttLfl 0,1 I s,,,o o

lz,,,t 2,,,1)Li,).L

nt.L) "',,-lti ttt,L,L,lly,l.lnt,1sL, + nt.g,

l',,,r|i,"'

-L

r,ti, = 0.5

Kedua persamaan tersebut kita susun dalam bentuk matriks: +

hitr-urgrah fiekuensi naturar dan nrode

nraka

m,Lid, + m,L)6, + rtt,L,L,ii, + (rrt,gL, + rtt,gL,)e, =g Persamaan gerak untr'rk m.as:a nrz diperoreh dengan meniumrahkan momen terhadap titik massa nr1 dari diagianr'trena" U.i"r".rr;;;

Ittt,Li

L;L2=L,

Dengan menggunakarr hasil dari corrtoh scbclunrnya. diperoleh:

trt,g)L,0, =0

ttt,gL.o, =0

1111=l-r1,

getar sistem tersebut.

110,1

o' r;,,r)L;,)=

kemudian dengan nrensubstitusikan Q

*_

o

_ro, @,, diperoleh:

-3mLo)@, - 2rrrLro:O, + 3rrryO, =0 atau

cla, m2, panjang L1 dan L2 pada

182

Getaran Mekanik

@,

_39-2Lat'

@2

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

181

Solusi

3Latl

Persamaan gerak untuk massa

kemudian kita substituslkan

al

- kr(x, -.r,)=0 rtt,i, +(le , + k,)x, - k,x. =0 m,i,

=0.5505 g / L , diperoleh:

@,

_3*g-2*0.5505g _t t< @2- 3ruJ5o|s =t't)

l:

+ k,x,

(i)

Persanraan gerak untuk massa 2:

maka mode getar untuk mode peftama adalah:

rtt,i,

- ",) - kr(.r., -,r-, ) = P rtr.I. - k,x, + (tr, + trr).r, - kr.ri : (/

[r),=1|,r)

+fr_,

(r-,

(ii)

Persamaan gerak untuk rnassa 3:

Kemudian kita cari untuk mode kedua:

2* 5.44e5g {?\ =1* g.=-o.4B3l 3* 5.44959 l@, ), maka mode getar untuk mode kedua adalah:

u,=l-olu,,f

tttri, - krx, + krx, =0

(iii)

Ketiga persamaan tersebut kita bentuk dalant nratriks:

lm,

ll

o ol[i;/l lr,+t, -k, o)l*,1 [ol "; ,l]i;l.L o'::' il'lt;;l=t;l (v)

i'

Jika rn1:m2:n'13:r11, dan k1=k3:k, k2:2k, maka persamaan

maka matriks mode getar adalah:

t l,l=[ Lr

I

-l

L|.t5 -0.4$2)

Contoh 3.8 Turunkan persamaan gelak, mode getar dan frekuensi natural untuk sistem pegas massa 3 derajat kebebasan sepefti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

lm

ll

o offi,I [,* -2k oI[',1 lrl

";

;li;l.l-l,o

:l ilt;l=ul

Kenrudian kita substitusikan .x,

=X,ei"o dani, =-a)2X,ei'*

persanuan di atas, diperoleh: |

3k

(iv) menjadi:

o

-,,,r' -2k

| -zr

L,

3k

- rttto) -k

-k

r

I tr, l]

I

-,,,r')li,)

Persamaan frekuensi diperoleh:

,' -?(L),'

. ,o(:,)'

l'ol

x. l-= ]a I

,' - r(!:)' =o

L,i

pada

184

Getaran Mekanik

nraka

F-rekuensi pribadi sistem adalah:

,i' =o.zsu(!L) :ai./ = t.636.7( - !L\ \m)

02,

[r,/

L\ =5.tul(yrtt

Kita juga dapat nremeriksa hasilnya dengan menggunakan MATLAB:

roots(11 -7 L0

k

-21],

I

5.1,249 .6367

Frekuensi

0.2384 Mode getar diperoleh dengan rnembandingkan X1 dan X2 kemudian X2

X: untuk masing-nrasing frekuerrsi.

ri

Frekuensi

= tt.zsu( L\

\m)

Kita gunakan persamaan (i) untuk nrembandingkan X1 dan X2, dan dengan nrensubstitusikan x, = X ,e i'* dan i, = -(o2 X ,e i'* pada persamaan (i) tersebut akan diperoleh:

(tt, * tt, -,n,ar' ) X, *

krx, = 11,

t

I ,,=l

=

L

dan

X, _k-nro2 _k-0.2384k =0.76t6 x3 k Maka mode getar perlanra adalah:

)

ans

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

r

10.7242* 0.76t

,:=t

x'=

2k ,= 2k ""X2 3k-nrco2 3k-t.6367k=r.467 X, _k-nra2 _k-t.6367k =_0.6367 xskk Maka mode getar kedua adalah:

t I uz=1 l/t.467 ll,,l It rlt.doz*

X2

2k

11

3k

2k

- nta2

3k -0.2384k

Frekuensi a', =

5. t

l=10.68t',

-0.6367)) l-t.rtnta)

Ul( L\ [,,r

-

krx, + krx, =0

-,nro' x -, -

kx,

+

lcx, = 11

/

Dengan cara yang sama: = 0.7242

Dengan menggunakan persarraan (iii), dan dengan cam yang sama diperoleh: rtt-ri-,

l.sts r)

osaz(L)

maka

xt

6))

Dengan cara yang sama:

sehingga diperoleh:

(st -,nat') x 1 - 2trx, =

lr/l

t/0.7242 f=]r.rrrui

xt

2k

=-: -X2 3k-nta2 ,x, -k-ya2 xskk

2k

3k-5.t249k

= -0.9412

-k-5.1249k =-4.t249

185

186

Getaran Mekanik Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari

Satu

fil

Maka mode getar kedua adalah: Dengan menggunakan prinsip sr.rperlrosisi mocle, gerak sistem adalah:

,,={ trlyttz \={-, 1,r,,1 p rfo.ttrz*

-4.t24qJ [,,.:szo

I r

t,)

)

=

Maka vektor mode getar:

,

{

I

t s'yt1f* ,, ,,,,1.,t + yr,) *{

u.8t3t)

It

rl *,. ,,nr,,t + v:)

l_r.oz0o)

Ir

I

+l_t.oozsl x,, sin(art

=l ,.r'rou o.o!u,, -, l,orr1

+v)

I o.tszo )

Ir.arst -r.o7o(t 0.2s76 ) It

,,.olu,

di mana X,,, X,:, X13 dan Vr,

|r.r-:-I L_#"[,r4. I :srrs

r[:, \r: diperoleh dari kondisi

awal.

llodc ke I

ltlodc kc ?

Nlodc kc 2

Irloele kc J

llode

untuk memahami nrode getar, pada bagian akhir bab ini ditunjukkan simulasi getaran sistem dua de.ajat kcbelasan d"rg*';;ggurat"n MATLAB.

ke 3

Contoh 3.9 Tentukanlah persamaan getar untuk sistenr seperti ditunjukkan pada garrrhir' berikut. Batang CD dianggap benda tegar dlnga, ,nu".ru ;r; inersia massa J,.

e;l

nr(,rlrcu

188

Getaran Mekanik

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Kemudian

kita gambarkan diagranr

189

benda bebas masing-masing

komponen sistem, sebagai berikut:

ktx

- 101

t 1

t

+

,f (.r

I kLx

*

I

t L0)

f

*'l'-

rnrlii i7

- i, dl

'ol

Gonhor 3.12

Solusi Kita sederhanakan dahulu sistem menjadi seperli terlihat pada Gambar 3.13. C:

IsilP,,td I

Gtmlnr 3.14 Persamaan gerak untuk batang CD adalah:

lM-=0 t

(r, *,,,,(r'), p.d.d

+ k,o

* k(x - Lo) r

=,

Kita misalkan:

l,+n,,(1)'="

1-

Joi)+k,0-kL(x-L0)=s

rii

Sedangkan persanman gerak untuk fl1?SSo Gomhur 3.13

rttri+k(x-L0)=O

11121

190

Getaran Mekanik

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

191

dalam bentuk matriks, ntaka persarnaan gerak sistem adalah:

t,

o

i;1*l t, * r,r;' -rt)l ol _t rl

U ,,lL']*l -r, l

1l

* ll,l=Lrl

dengan cara yang sanra dengan contoh scbelumnya. diperoleh persamaan frekuensi:

A(o\ =lt,

+

rt - J,,ro:

|

Jotn,coa

k

-tiL

-(rttrli,

+

-kr-

I

l=0 - mrril

rttrkt + J,,k)ri +

b

lili, =Q

Gombar 3.15

Mode getar dapat diperoleh dcngan prosedur seperti contoh sebelumnya. Kita cari dahulu perbandingan lesponsnya.

ekL x

k, + kL2

-

Pemilihan tersebut sangat mudah, walaupun sembarang. Kita akan menguraikan sistem pada Cambar 3.15 dengan menggunakan vektor perpindahan {;r, 0\ ,{*, d} dan {r', 0l . Berdasarkan Ganrbar 3.15a dan dengan asumsi osilasi yang kecil, maka persamaan gerak dalam koordinat (x,,0):

rtti, = -1i, (x,

J,,to)

-

L,0) - k, (* , + Lr?)

J,i) = k,(x, - L,0)

3.4 Koordinat Umum dan Koordinat Kopel

(3.20)

t, - k,(*, + L,o) L,

Kemudian dengan menyuslrn kcrnbali persamaan 3.20

Bentuk ufirurrr persamaan gemk sisterl dua derajat kebebasan tidak teredam

akan

diperoleh:

adalah:

=

(3.re)

l':,:,:,:'i,i,:,:,){i,}.li,: fi ]i; i {l} Dari persamaan tersebut ditunjukkan bahwa sistem tersebut digambarkan oleh koordinat xr dan x2. Sedangkan komponen kopel di dalarn persamaan adalah n112, n'121, k12 dan k21. Kita akan menunjukkan bahwa nilai elemen dari mah'iks M dan K tergantung pada koordinat yang dipilih. Suatu sistem yang bergetar dapat digarnbartan lebih dari satu set koordinat ruang

di

mana tiap set dapat disebut sebagai koordinat umum. Kita sering menggunakan perpindahan dari posisi kesctimtrangan statik massa dan rotasi terhadap pusat massa sebagai koordinat.

l'; :l{rt}.l-,rl,,. !;,,,,'i :i: : [,'i'']{; i

=

{;},,,,,

Pada persamaan tersebut tcrlihat bahwa komponen

-(k,L,-krLr)

kopel

terdapat pada rnatriks kckakuan, sehingga sistem tersebut

dinamakan terkopel statik. Jika suatu gaya statik bekerja melalui pusat nrassa CG, nraka benda tersebut akan berotasi sebanding translasi dalant arah x1. Demikian juga jika suatu torsi dikenakan pada titik 1, maka benda tcrsclrut akan beftranslasi sebanding dengan rotasi dalam arah 0. Sekarang kita per-hatikan Gambar 3.15b,

pilih adalah

(*.,0).

di mana koordinat ylng krtl Jarak e dipilih sedemikian dengan konrlisi krt , k,t I

Getaran Mekanik

192

Jika suatu gaya statik dikenakan pada titik 2, maka gaya statik tersebut akan menyebabkan perpindahor X2, dan benda tersebut tidak akan .berotasi. Sedangkan pada saat mengalami getamn, gaya inersia mi, akan melalui pusat massa CG dan akan menghasilkan momen

nti,e

terhadap

titik 2, dan

akan menimbulkan rotasi 0. Dan rotasi 0 terhadap titik 2 akan menyebabkan perpindahan sebesar di titik pusat rnassa cg (center of gravity) dan

e0

menyebabkan gaya dinamik.

,,,u4 dulu*

Persamaan gerak dalanr koordinat

nt|,

=

-k, (x,

arah x2. Sistem

(*.,0)

ini

dinamakan terkopel

(3.22)

., ]{

;

=

}

{;}

Terakhir, l
Im ntl,)fi,)lt<,+tt, k,L)lr,l tol 1,,,t, ,,' )\il*l'

r,r' ,i,t )\;l=\t

Untuk sistem dengan koordinat

(*r,0),

lq,

(3.2s)

atau

(3.26)

",)l'::,)

pada persam aan 3 .25 dan persama an

3

{r}

aon

{x} a"ngun {q\ du" {t1\

.26, d iper oleh:

(3.27)

(3.23)

3.5 Koordinat Utama (*r,0).

Q,4)

persamaan gerak sistem adalah

terkopel statik dan dinamik. Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa matriks M dan K adalah simeh'i, yaitu m12 : m1; dan kr: : k:r. Matriks simetris tersebut menunjukkan bahwa perpindahan diukur dari posisi tetap.

Contoh 3.10 Perhatikan sistem pada Ganrbar 3.15. Jika koordinat umum (umum) diasumsikan (lt = Xr dan tlt -.tr, -x,, yaitu q2 sebanding dengan gaya pegas. Carilah persamaan gerak sistem tersebut.

r.]L', j ) [-t' 'l[',.1

lo,1=l

-;1.] t;:]=[;] l':,::,,1] [,1].[f,

Kemudian dengan nlenyuslln kembali persarnaan 3.22, diperoleh:

r:]i ; l . [o' ;^' o,,i:^

Koordinat {q} aun {r}ainuurngkan dengan relasi:

Kemudian dengan mengganti vektor

- Lr?) - kr(x, + Lr?) - ,,,"6

191

Solusi

[;l]=[:,

adalah:

J zir = k,(r, - Lto)L - kr(", + Luo) L, * nrci,

l',',,',"

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Telah kita ketahui dari sub-bab sebeh.rmnya bahwa elemen matriks K dan M tergantung dari koordinat yang kita pilih. .lLrga dimungkinkan untuk memilih salah satu koordinat khusus, yang merLlpakan koordinat utama, sehingga tidak ada komponen kopel dalarn persallaan ger"ak sistem, di mana pada kondisi ini matriks M dan K menjadi diagonal sehingga setiap persamaan tidak terkopel tersebut dapat diselesaikan secar? terpisah (independen). Dengan kata lain, ketika suatu sistern dibentr-rk dalam koordinat utama, maka p".ru.uun gerak menjadi tidak terkopel, dan mode getaran secara matematis menjadi terpisah. Dengan demikian tiap-tiap persamaan tak terkopel dapat diselesaikan secam terpisah, seperti sistem dcngan satu derajat kebebasan.

Kita asumsikan sebuah sistent dua derajat kebebasan yang tidak terkopel dengan koordinat utama {p}. Persamaan yang terkait dengan persamaan (3.27) adalah:

l'';

,,i,,)li:,7.1r; -1] [;l]=[3]

(3.21()

194

Getaran Mekanik

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

r

Kemudian dengan menguraikan persamaan 3.28 diperoleh:

m,,ji, +k,,p,=0

0-

0

(3.2e)

nbrp. + k."p. =0

195

,42

l-'..-.-

Solusi kedua persanman tersebut adalah:

pt=Att pz =

sin (o,t+ty,\

(3.30)

Atz sin (ro,t + tyr)

di mana a, = ,! k,, / ttt,, dan a. = li,. I tn' , A1, Al2,

ty1 dan

ry2

Persamaan gerak sistem:

merupakan konstanta. Sekarang jika kita pilih koordinat unturl {q} untuk sistem yang sama sehingga persamaan gerak menjadi terkopel. Dari persamaan (3.14) persamaan gerak dengan koordinat {q} adalah:

sirt(r,t,r + w

) +l',',,:,:,10, sirt(co,t + v,)

l?,)=l:,:,7^ di mana {u,' u21} dan {u;2

(3-3r)

u22} adalah vektor modus getar untuk masing-masing frekuensi rrll dan ro2. Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (3.30) ke persamaan (3.31) dan kemudian menyederhanakannya akan diperoleh:

-l[a' = Lo,.l

[",,

Lr,,

",,.l[P,l

,,,,

ilp,.l

(3.32)

=[r){p\ dan

{p} = [,,]- {q}

nd, + 3kr, - 2kr, =11 nd, + 3kx, - 2ks, =11

(3.33)

(*)

dengan cara yang telah ditunjukkan pada contoh sebelumnya maka persamaan gerak dapat juga dilrentuk menjadi:

=o

(s*

-,rr')x

(st,

-,ur') x 2 - 2lcx, =

1

- 2kx,

(**)

11

atau dalam bentuk rnatriks:

[t"t- a'lu))\x] di rnana

atau

{ql

Solusi

r'r=[jj-

=

{o}

(**{')

-::), w]=1";,'1,,),,n=W,l

Persamaan frekuensi

Contoh

3.ll

Tentukanlah koordinat utama untuk sisteur pada gambar berikut jika diketahui fl"I1:In2:r110 dan k1=k3:k. k::2k.

- rtttD' r\=l3k -\*'' a(

I -zr

diperoleh

,6k,5k) 6f -JJ!11; +1=0 til t,l'

3k

-2k =, I

-

tnro2l

196

Getaran Mekanik

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

dengan menggunakan runtus abc. diper"oleh:

,k atl =:- ) ilt

,5k at2, =!::) ln

0), =

0))

'l-t

1

[;]=[1

*

!,)l';,)

Transformasi

p, =l(x, - *r),

=Jiu *

x,l -J, -, *r1,,,-,,,,=7;;= '

lxI

dan

{p} tidak terkopel.

adalah:

mx,+2kt,-kt=0 mi,

+ 2kx,

m(:t, -

- -l

maka matriks mode getar adalah:

-

lrx, =11

I

/,r(;, + xz)=0

t,) + 3k(x, -

xt) = 0

Persamaan gerak sistern koordinat vehor lpI di ntana:

pt=xr +;r,

t1

lrl=l L 'J lt -t)

dan

tidak terkopel diperoleh dengan memilih

p,:xt-x)

Contoh 3.12

Jika vektor perpindahan koordinat utanta adalah:

Pada gambar berikr-rt ditunjukkan suatu sistern dua derajat kebebasan. Jika Ilrl:r1r2 4, dan kr:100 k::60. k::80, tenlukanlah:

:

a. b. c.

n\ =1"'1 lttz )

rnaka

{r} = [r]{p}

n pt = j ft, + x, )

Dengan menjumlahkan dan mcngurangkan kedua persamaan tersebut

lro=ro,

{

nrenunjukka

persamaan gerak dengan koordinat

m(t,+xr)+

It

li;,)=:l', r,]tl]

diperoleh:

dan

'l x.lz

di atas

Persamaan gemk sistenr dengan koordinat

Kemudian kedua nilai fi'ekuensi tcrsebut kita substitusikan ke persamaan (**), untuk menrperoleh perbandingan X;/X2

X,I

dan

197

atau

{p}

=

[r]-' {.'}

Frekuensi natural sistem

Mode getar Koordinat utama

0rl

0, "+2

t-

dimana

t4'=ll', :,) atau Gomhor 3.17

Getaran Mekanik

198

Solusi

3.6 fuialisis Mode: Getaran Transien Sistem Tak Teredam

Persamaan gerak sisten-r adalah:

l)engan menggunakan persan]aan 3.2b untuk sistem tidak teredam, diperoleh:

[t"t- a'lu))lx]

= {o}

dimana

;:||,

r4=l'-l!u,

l.

Persamaan tersebut dapat kita bentuk menjadi tak terkopel menggunakan matriks nrodus [u] dan disajikan dengan koordinat {p} seperti ditunjukkan pada contoh,

2.

Tiap{iap persamaan tak tcrkopcl dapat diselesaikan

*,\

tx\ _l lx,l

wt=ll, '));

3.

qrrt -do A(a) =l \ " -ao l4o-4cotl =,, | den gan

@t =

az

-

I

I

nremecahkan persa nlaan l-r'ckuensi di peroleh

4.7216

=7.26

rocl / s

Kemudian dengan caru yang sama diperoleli mode getar:

Ir

tl -o.s47t)

Jika vektor perpindahan koordinat utama adalah:

( ) lp,f lrj =lo,)

Matriks modus sistem tak teredam dapat diperoleh dengan menggunakan metode yang telah dijelaskal sebelunrnya. Dari persamaan (3.34\, persamaan getaran bebas adalah: +

[r]{o}

(3.3s)

= {o}

Mode utama terjadijika sistem diberi gaya harn,onik dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi pribadinya. Sedangkan percepatan Qi adalahtj,

{rj} =

- _r, ,1, atau {4} = _0)2 {r7} , kcnrurdian

-r'

dengan mensubstitusikan

akan diperoleh: {r7}padu persamaan 3.35 nraka

l-r,r+(]{,/}={o}

(3.36)

Karena sistem tersebut pada mode utanta, maka vektor {q} juga nrerupakan vektor modus pada li'ekr-rensi co. Karena persamaan 3 -36 merupakan satu set persamaan aljabar homogen, maka solusi diperoleh jika

maka

{r}

:

Dengan menggunakan transl'orrnasi koordinat, solusi dapat disajikan dalam bentuk koordinat {p} atau koordinat {q}'

lu1{ti\

rnd / s

l"J=lt.taos

secara

terpisah ( indepentlerrt) seperti sistenr satu derajat kebebasan'

Persamaan frekuensi: h ao

(3.34)

lM){,i\+ [r] {+} = {o(,)}

detetminan karakteristik A(rrr) bernilai nol, maka: =

[r]{p}

atau

{p} = [,,]-' {.'}

tfu)=lx -a'ul=o

(3.37)

dimana

lul-'

_lo.atza

0.4%21

lo.sszz

-0.4%2 )

Contoh 3.13 Pada Gambar 3.18 ditunjukkan suatu sistcm dengan tiga derajat kcr^uhitsrttt' Tentukanlah persan'Iaan gerak dan vektor mode getar sistem, jika tlibcrrklrr data-data sebagai berikut:

200

Getaran Mekanik

m,-2 kg;ntr=3 kg:ut.,=2 kg k,=kz=800 N/m;kr-kr=t000 N/m;ko -ko=600 N/nt

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

201

Kita masukkan data-data sehingga diperoleh:

lt 0 0)1.,=,) | uoo -t000 -amllx,l [q(,tl lo 3 0llr.l*l -t000 :800 -t00ul]'.1=]q.t,ll

lo o :.llt, I l-arn -t000 Kita telah ketahui bahwa

ii

= -a2

)l*;) lo,(,)]

:xru

i.

Kita substitusikan persamaan itu

pada persamaan di atas sehingga diperoleh bentuk: I

Solusi

Dari detenninun

Persamaan gerak tiap-tiap massa adalah:

rtr,i, + k,x, +/r., (.r,

-

(,)

): er(r)

menjadi:

ri, + (t,

trtri., +

(k,

+ k, + k r) +

x

ktx,

-

krxt =

r-

i-.r.rr

-

/rr.r..,

ka.\r

-

f,.,.r; =

k, + /r, )x-,

-

F,(t)

= F,

* r'l

lr,(,)J

diperoleh persamaan frekuensi:

3.0433 x I 06

ri

I

- (,)" = 0 o::37.7581 rercl / si + 3.2333 x

0'1

coa

gaya:0 sehingga:

l:+oo-zrt -tooo *(too I rx,l lo) | -,ooo J800 - -trtt: - t000 l] ., | = ] , I | --ooo - tot)o 22oo --,,r' ] .r, J [r] [

Kita akan cari solusi homogen atau {rr}, dengan mensubstitusikan ati juga dan X1 =l sehingga diperoleh:

(l)

Fr(t)

Itzza.T

atau dalam bentuk nratriks:

l-,ooo

1,,, o ollil

+k.,+k, -k, lk, k.+k,+k, I o n, o l{r,l+l -kj lo ; ,,ult',j | -0, -k5 r,.!,.r,fl),}

-

-

Solusi homogen diperoleh dengan nrernbuat matriks

Kemudian persamaan gerak masing-nrasing massa kita susun kembali

-

t0()()

or =17.6535 rud / s, 03 = 38.6779 rutd / s

tttri, + kox., + lro (x, -;r,) + ft., (f -.rr) = Fr(t)

rtt,i, + (k, + k, + kr)x,

lr<

6.ri467 x I 08

xr) + kr(.r, -.r., ) = p,

rrtri, + lcrx, + kr(x, - x,) + kr(r, -,r-,

-

| | -aoo -tooo 22oo-:,r' jl.,l

Gombor 3.lB

nt

:r'

-600 l [ ,., ] [C (,)l -rooo 2s00--to: -t000 l] ',f=]q.i,ll

urn -

-tooo -600lltl t86s.t -tooo

| -600 -t000

{ifi}

t 576.7

Iol

l]",f =]rf

)lx t)

diperoleh

- I 000 X 2 - 600 X 1 = - I 7 7(t.7

l865.lX2*l000Xt=1000

l0)

Getaran Mekanik

ntaka

Slstem dengan Derajat Ke ebasan Lebih dari Satu

Xr=l.l2l6 : Xt=l.09lB

diperoleh

{ul, ={t

t.t2t6

[Ml ["]{7l+[r]

t.o9tBl.

tol,=lt t.3o5z {u}, =

{l

["]'

*2.e2zrl

[u]

(3.3tt)

[rr]{21 = {o(r)}

Kemudian persamaan (3.38) dikalikan dengan

Dengan cara yang sama diperoleh:

203

[,11i;l+ [r,]''

[r]

[r]',

diperoleh:

[,] { p} :f',f' {O(41

atau

-o.s6s -o.uetl

I'M,f{nl *['r, ]{i,} = {or(,)}

(3.3e)

maka nTatriks modal adalah:

I r

t

tl

-2.s2zr

-0.s6e -o.Be t )

[,,]=[{r}, 1,,1, {,,},]=1,.,r,n t.sisz I

t .o:t

ts

di mana I

Secara umum persamaan gerak sistent tidak teredam dapat dibuat rnenjadi tidak terkopel derrgan menggunakan relasi orthogonal yang akan dijelaskan pada Bab 5. yaitu:

[u]'u[u]=l'*,) [ul' x[u)= ['u,] Dengan demikian untuk soal tersebut:

[u)'

u[u]=[,r,] =["'i'

lo

,,

zsltoa o

[rr]'r[r,]=['t,] =1":n ri'r*

lo

di

o

3.7 Sistem Semidefinit Kasus khusus pada suatu sistem adalah jika satu akar persamaan frekuensi tidak ada. Ketika salah satu fi'ekuensi natual sistem adalah nol, maka tidak ada gerak relatif pada sistem. Sistem dapat bergerak sepefti benda tegar dan disebut sistem senride fi nit. Pada Gambar 3.19 ditunjukkan dua sistcm semidefinit, sistem rektilinier yang terdiri dari sejumlah massa yang dihubungkan oleh pegas. Sistem ini dapat digunakan untuk memodelkan sistem kendaraan rel. Sedangkan sistem rotasional nrerupakan model rnesin disel, rlesin propeler. Salah satu piringan merupakan model propeler dan yang lainnya adalah roda daya sementara piringan lainnya ekuivalen dengan n'tassa bolak-balik pada mesin.

0l 1 ,.rrr)

o1 0l 4450)

adalah t"nsposc dari nratriks modus [r]'sedangkan [',r2,] aun [tl(, ] adalah matriks diagonal. Dengan mensubstitusikan {,1}= [,r]{p} daripersamaan (3.33) ke persamaan (3.35), diperoleh:

mana

{n(,)} =Luf' {O(nl

brl'

Gamhor 3.19

Getaran Mekanik

Sekarang kita akan memodelkan suatu set motor-generator listrik yang disajikan dalam bentuk sistem dr-ra piringan seperli ditunjukkan pada Gambar 3.20 a.

1,

-

tm*-:-J _rA V VA-. zz--:=:-:-:---jE?/*.

lil

or*

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

a2 = 0 dan ,o' = k,(l t l, + I / J r). Dengan menggunakan prosedur untuk mencari mode getar, maka amplitudo relatif pada mode utama adalah:

Akar-akar persamaan tersebut adalah

I @,_ k, _k,-,otJ, -! =l-r.r.r, @: k,-r,t:J, t

"hu1^rlihrdn

\,

:. -

U

utrruk a=0

rrtrtuk

,=.{t,gtl,* rOQ'M)

Jikaro = 0 dan Or /@, maka kedua piringan tersebut tidak mempunyai gerak relatif sehingga susunan sistem tersebut berotasi seperti benda tegar.

e:

u

Dalam

b

hal ini sistem

,=rtt,@1,+tt11

oombu 3.20 Rotor J1 dan J2 dihubungkan oleh poros dengan konstanta k,. Dengan nrenjurnlahkan torsi untuk tiaptiap rotor terhadap sumbu poros, diperoleh persaltaan gerak sebagai berikut:

tersebut bergemk dalam mode nol. Jika maka piringan tersebut bergerak dalam arah ber-

lawanan seperli ditr-urjr-rkkan dalam bentr"rk mode:

{O,

@rl =

{J,

-J,}

.

Contoh 3.14 Pada Gambar 3.21 ditunjukkan suatu sistenr definit yang terdiri dari tiga

J,6,+k,(0,- 0r)=o J16r+k,(0r-0,)=0

(3.40)

buah massa dan 2 pegas. Tentukanlah persamaan gerak dan frekuensi pribadi sistem tersebut.

Dalam bentuk matriks, persarnaan di atas menjadi:

J,6, +k,(0, J 16r +

-or)=o

k,(0r - 0,) = o

(3.41)

Gmtlttr 3.21

l';:,)l?,1.1:r-:lll,l=l|,l Dengan mensubstitusikan @, diperoleh persamaan Ii ekuensi

-''L

' I t,

A(r)=lk' \ ''

Solusi

- -rt@, di mana @,=0,sin(alr), (3.42)

Kemudian dengan menguraikan deterrninan persamaan frekuensi tersebut diperoleh:

,'1,'-(*.L))-'

- xz)=0 mrir+k,(xr-x,)+kr(xr-x:)=0 tn,i,

:

k,-a'Jrll=,,

Persamaan gerak masing-masing massa adalah:

+

(3.45)

mrir+kr(xr-xr)=0 Dalam bentuk matriks, persamaan di atas menjadi:

lmr (3.43)

k,(*,

ll

o ol[;,1 lr, -k

"i; ,llt;J.l-:

o'loo,'

o1l-,1 lrl

*]1:l=1;l

(146,

Getaran Mekanik

206

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari

Satu

7o7

Dari persamaan tersebut dapat diperoleh persamaan frekuensi sebagai berikut:

It, - ,tt,tD' o@)=l I

-kt 0

-k

.,1.0 -(lr*L* j.*!)r, r,, ttt-] tttl n, ) [ (.

I

I

,,,,a' l=O m,a2l k, -k, -

k,+kr_

Dari persamaan frekuensi tersebut

,,1,0

o -k?

t

d

iper oleh

*( (

(3.47)

T

:

k,t',

Gomhor 3.22

* k,k,*

rrr,zr-, ttttttt.t

o,o, ttt,rut

Solusi

)I=,

))

.1.l.1,, +k,k,(-J-* t .--L'l] -lo,(l-* ttt,' I) *0,(\,,,_' ' ttt, )) \,,t/r,-, ttttttt] t,t.ttt.r )) L \,rr,

Akar-akar persamaan frekuensi tersebut merupakan frekuensi natural sistem di mana salah satunya adalah nol. Dengan cara yang sanra dengan contoh sebelumnya

x,

=

di

peroleh perband

in

gan ampl itudo.

(3.48)

X, _kr-m.ral

x3

(a) Poros I dan poros 2 mempunyai kecepatan putaran yang berbeda. Jika Nr adalah junrlah gigi pada r"oda gigi yang terhubung poros 1 dan N: adalah jumlah gigi pada roda gigi yang terhubLrng poros 2, tnaka dengan memilih poros

I

sebagai referensi, maka inersia ekuivalen poros 2 adalah:

(3.4e)

J)="'J, di mana n adalah rasio roda gigi:

n=NrlNz

(3.s0)

Sedangkan kekakuan ekuivalen poros 2 adalah:

k,

,2 A2 Kt-ntt0)

Prmgart

Pasangar roda gigi

k2

Mode getar diperoleh dengan menjadikan X1:1, kemudian disubstitusikan masing-masing nilai ketiga frekuensi natural sistem.

ki,

:

n2

(3.s 1)

k,,

dengan mengabaikan efek inersia roda menjadi:

gigi maka sistem disederhanakan

J1

f(Jz

3.8 Sistem Roda Gigi Dua buah poros yang dihubungkan oleh sepasang roda gigi. Hitunglah frekuensi sistenr jika (a) Efek inersia pasangan roda gigi diabaikan (b) Efek inersia Jz dan Jr diperhitungkan.

k_o

Kedua poros tersebut terhubung seri maka kekakuan ekuivalen adalah:

l1l '__ _*____ k"o k,, ki=

alau

k,,,t

,tt k,,k,, = ---------------=k,, + ntk,.

(1s2)

Getaran Mekanik

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

3.9 Getaran Paksa

Sedangkan frekuensi pribadi diperoleh dengan cara seperti contoh:

llentuk umum persamaan gerak suatu sistem dengan dua derajat kebebasan telah ditunjukkan pada persamaan 3.3. Jika gaya eksitasi yang bekerja adalah

A=

(3.s3)

r,6il

harmonik, maka persamaan dapat diselesaikan menggunakan metode impedansi. Perhitungan numerik untuk sistem dengan redaman lebih sulit, tetapi kita dapat menggunakan perhitungan dengan komputer.

(b) Jika efek inersia roda gigi diperhitungkan maka terdapat 4 piringan pada sistem. Momen inersia massa J.r dan Ja dapat dikombinasikan sehingga momen inersia yang ekuivalen dengan pasangan roda gigi tersebut adalah:

Jn=Js+rr2J,

(3.54)

maka sistem dapat disederhanakan menjadi:

Dengan menggunakan metode impedansi,

harmonik mahiks

{F} untuk gaya umum {Q(t)}, di

{F} ."",pukan

fasor

{F}.

kita substitusikan vektor

mana

{F'}={F}ri',

Semua komponen harmonik vektor

dan

{F}

mempunyai frekuensi
untuk masing-masing fiekuensi dan disuperposisikan. Sedangkan {X} adalah respons harmonik, di mana {x} = Dengan menerapkan

lVlu,''.

metode impedansi dan memfaktorkan

T

ul:,:;,

ei''

. persamaan3.2menjadi:

i,:,)l!r,1.',1?, ?:,ll1;,).U:, l;] [#,] =[i,]

(3 s6)

atau

lr -,'u * i,,f,) l7l =lFl

dan persamaan gerak sistem:

J,i,+k,,(0,-00)=o

Persamaan di atas dapat disajikan dalam bentuk alternatif, yaitu:

J oi, + k,,(0* - e,) + k,r(0* J rir + k,r(0r - 0,,) = 0

-

0r) = o

k,.-a-tu,.+.itu.,-l lk,,-r'.u,,,+.iactt lkr,-tim.,+ jex:t k.,-o-m,,* i^',,J

Dalam bentuk matriks, persamaan di atas nrerrjadi:

l; :.';l?.1.[];:, o t,)la,J

lo

L,

[j,l=|-I,l,r.rrl lVr)

LFr-l

atau

-k,, k,, + k,, -k,

z

i,)lil1il

l:,: ;:l [l]=[i,]

(3ss,

Dengan cara yang sama dengan contoh sebelumnya, diperoleh mode getar dan frekuensi natural sistem.

atau

z(,,,) l7lt=lFl

(3.5tt)

210

Getaran Mekanik

Sistern dengan Derajat Kebebasan Lebih dari

211

lx -,'u * iN) {7}={F}

dimana zii =

kii

Z(a\

- to'rt,, + iMii

unhrk

ij=l,l

di mana

lr,, o 01 u=lo t't2 ol

adalahmatriks impedansi.

lo o u,,)

Solusi

ft) terdiri dari amplitudo dan sudut fase respons relatif terhadap gaya eksitast Fl Dengan mengalikan kedua sisi persamaan 3.58 dengan

fc,+c, -c't o1 c = | -c,2 + ct -.r,

z(r\u ,diperoleh:

Io

(3.5e)

lV}=21,y'lF]1

Untuk sistem dengan dua derajat kebebasan, pers:Imaan 3.59 secara eksplisit dapat dituliskan dalam bentuk:

V, -zrrFt

-=,:F:

I-.

--z,Ft+=,,7:

t(r)

(3.60)

(3.61)

t(to)

Persamaan 3.57 hingga 3.59 dapat diterapkan untuk sistem dengan n derajat kebebasan.

Contoh 3.15

_]

r

frf

={.T-}

Matriks impedansi adalah:

z(a)=lx-r'tt*.iN) atau

l$,

Pada Gambar 3.23 ditunjukkan suatu sistem dengan Carilah respons sistem tersebut dalam keadaan stedi.

ct*

k2 IIlr

I

-c., .rl I

dan

z;:F: dan I_. _-:,,Ft.*=,,F: =z:rF, .

kr

c'2

lk,+k, -k2 o1 K=l -k2 k,+k, -ft, I o -k.t &.,

Dari persamaan 3.60 kita ketahui bahwa zrrzzz.-z,z,rrnervpakan determinan Z(a\,maka:

j,

Satu

rvt

I

?

3 derajat kebebasan.

sul (if YYY

t,l

t'.)' -k, - joc,

* i,u(t',

+

to: trt,

-kr- jrx, (t . + k,)+ jo(c, + c.,)- o -k, -

lllr

k, + jox., -

rut

MATLAB kita peroleh fungsi respons lickucrrsi I N. Datanya adalah sebagai lrrikrrt,

akibat gaya pada nrassa 2, dengan gaya

I

rr,l

lV\=21,1-'{F\ dengan menggunakan

Gambor 3.23

jtr,

m.

o) -k,- jax,

sedangkan amplitr.rde respons sistem adalah:

Va

-l- III:

z(to)=l [,

*

'212

Getaran Mekanik

nr1:l ; mz:2, n't-j:l, k1=250;k::400,k.,:300; c1:10; cz =5 matriks massa redaman dan kekakr.ran adalah:

,

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

ica:I5. Maka

Respon massa

I

213

akibat gaya 1N pada massa 2

o) lts -i o1 lt o =lo 2 ol, c=l-i 20 -/il, o t)

L0

lo -ts

tsI

6so -400 0 1 -4oo 7oo 4oo

"=f o -3oo kan

I

3oo

)

Kita akan mencari respons dalam domain frekuensi dengan menggunaMATLAB, dengan listing prog?m sebagai berikut:

c1f

Respon massa 2 akibat gaya 1N pada massa 2

cl-ear k1=100;k2=k1;k3=1. 5*k1 ; k4=k1 ; k5=] .2*kL; k6=k1,. K=[k1+k4+k6 -k4 -kG;-ka k4+k5 -k5;-k6 _k5 k3+k5+k5];

M=[0.5 0 0;0 1 0;0 0 j_.5];

c1=0. 001*k1 ; c2=0;c3=0. 001*k4 ; c4=0. 0012*k2;c5=0;sg= 0

.002*k2;

C=[c1+c4+c6

w=0:0.01:60;

-c4 -c6;-c4 c4+c5 -c5;-c6 -c5

F=[0;1;0]; for i=1: length (w) D=-w( i) . ^2. *M+sqrt (-1) . *w(i) XX=inv (D) *F;

c3+c5+c5],.

. *C+K,. 30

x1(i)=abs(XX(1,1 x2(i)=abs(XX(2,1 x3{i)=abs(XX(3,1

Gqmhar 3.24

Contoh 3.16

end

subplot

(

semilogy

211 ) (w, x1

Litle('Respon

)

massa

subplot(212) semilogy (w, x2 )

1 aki-bat gaya 1N pada massa 2')

title('Respon massa 2 akibat gaya 1N pada massa

2,1

Misalkan suatu mesin berputar pada kecepatan konstan yang kecepatannya dekat dengan frekuensi pribadi, maka akan tin,bul getaran yang tinggi, yang disebabkan kondisi resonansi, dan jika sistem orisinil terdiri dari rtoSSs flr1 dan kekakuan k; dan jika tidak dimirngkinkan untuk mengubah m1 dan k1,

jika efek gaya sekunder diabaikan, (a) Tunjukkan bahwa peredam dinanrik yang terdiri dari m2 dan k2 dapat mengatasi masalah getaran. (b) Ganrbarkan kurva respons sistem jika diasumsikan rn2/nr1:0.2. (c) Selidiki efbk rasio massa mr/mr.

214

Getaran Mekanik

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Dari persamaan pada frekuensi

dihasilkan

J4,

*,,,,.,

Vt

at=

(iii) diketahui bahwa amplitudo

rtf, t ,U.

215

Xt

al
bernilai nol

Jika kita tentukan kllm;k2/m2, maka akan

langmendekati nol pada fukuensi resonansi sistem orisinil.

(b) Persamaan fiekuensi yang diperoleh dari persamaan menjadi:

ry..' k,k,

-l(r*

Ll.

k, k,

) "r, *'rr, l.r, k,

)

k,

l

(ii)

diuraikan

+r=o

Karena k, / kt = ilt, / m,, dan rasio frekuensi didefinisikan , = olrtFJ r\ = *tJ - ,rrr. Maka persamaan frekuensi dapat disederhanakan nrenj adi Gamhar 3.25

ra

Solusi

ttt,i, + k,x, + kr(*,- x,)=

tu,i, +k, (r., - x,)

m,')r:

+

I

=o

bentuk: F",,

sinal

=0

(i)

Dengan menggunakan metode impedansi dan gaya eksitasi yang bekerja

adalah harmonik. kita substitusikan

xi=Viei'n

pada persamaan gerak.

Dari persamaan (i) diperoleh:

lr,**,-aitn, -k. -t,

k, - ot

ttt.

I )

[;] tll

(i

i)

Dari persarnaan (ii) diperoleh:

x,

+ m, /

(v)

Dari persamaan (iii) dan (iv), maka respons sistem dinyatakan dalam

Persamaan gerak sistem adalah:

L

-(2

:

I

=4-(r.-r',,,r)q,, a@|-

(iii)

dan

I

*'=i-1r'ro'."'

(iv)

v, D ttt.nl ,'q

I ra

-r:

-(2+m./m,\i +t

-=V' I k, r'-(2+m./m,)r: +t \,/ -=

216

Getaran Mekanik

t?€sFsF

hlw{*r} il**$t*

ra$rd

rrvt** U.:

r) title ( ' Kurva Rasio massa vs rasio frekuensi') axis([0 1 0.5 1.71) grid ylabel ( 'Rasio tunplit.udo' )

,'i

*

{'.

xIabel ( 'Rasio Frekuensi'

.$

.6

217

f j-gure (2 ) plot (m12,

......!t..

,l

Satu

plot (r,A1, r,A2, 'r-. ' ) tit.le(' Respon harmonik dengan rasio massa 0.2') axis(t0 3 -6 4l) grid y1abe1 ( 'Rasio Amplit.udo' ) xlabel ( 'Rasio Frekuensi' ) m12= (r .^4+t) . /r.^2-2;

I

n

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari

)

u F3s*is

frsl'*rriil

r

- ot

Jf,Ti

Catatan Terhadap sistem yang berputar pada kecepatan t"esonansi biasanya dilakukan

penambahan massa atau pengurangan kekakuan struktur dengan batasan selama kekuatan struktur dapat menahan beban statiknya.

kuBa Rsrrq mossa vs raiilo frtlhwBn€l

Jarang sekali kasus penambahan peredam dinamik sepefti pada contoh.

14

3.10 Simulasi dengan Menggunakan Matlab -*

Pada sub-bab

ini

akan disin-rulasikan sistem satu derajat

kebebasan

menggunakan bahasa penlogr"man MATLAB. Kita akan gunakan model sistem tidak balans seperli ditunjukkan pada gambar berikut:

61 e 0.8

o o'1 il ? o'3

o

tu*,oo",1""uJ

"

r1.r

o-a

clear all clf

r=0:0.005:3; A1=(1-r.^2) . / (r.^4- (2+0.21 .*r.^2+Ll A2=1. / (r.^4- l2+0.2\ .*r.^2+1,1 ; figure ( 1 )

;

Gomhtr 3.26

Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Getaran Mekanik

218

Kita kemudian akan melakukan simulasi dengan menjalankan program sim2dof. Pada progam dimasukkan nilai redaman struktur 0.002 K, karena

Response

pada umumnya dan dengan data-data kekakuan:

kr

k: :4kN /

:5kN / m;

mt= l0kg

rtt

m, = l9kg

'

Maka dengan menggunakan cara-cata seperti pada contoh sebelumnya dengan menguraikan diagram benda bebas dan kemudian menurunkan persamaan gerak diperoleh matriks massa, kekakuan dan redaman sebagai

2

2.5

berikut:

ro 01 L0 t0 )

I qooo -4ooo1 l-4000 4000 )

I

Dengan melakukan perhitungan yang telah dijelaskan maka akan kita peroleh frekuensi natural

or = l3.35rud /

s

:

dan

a\

= 33.5rad / s

Kemudian akan kita lakukan simulasi dengan kondisi awal

dan mode getar:

'

rro = l00rn m dan

I rl

dan

u.={ '

/

l-0.5s42

u.8042 )

xzo

='L00nun

}

Response

)

3.10.1 Getaran Bebas Dengan nrenggunakan prograrn sim2dof, kita akan coba dengan sirnpangan awal 80 inrt pada massa l, dan simpangan awal nol pada massa 2, yang dinotasikan xro = l00

rltrl

dan x,o = 0 tput

rel="nofollow">> sim2dof Jumlah data ? 4000 Amplitudo gaya pada massa 2( N ) ?

frekuensi getar ? Skala aniinasi ? 3

Simpangan Kecepatan Simpangan Kecepatan

0.5

I

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0

awal ml- ? awal m1 ? awal m2 ? awal n12 ?

100 0 0

0

.."-........,-...<

Getaran Mekanik

220

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Frekuensi Getar

3.LO.2 Simulasi Getaran Paksa Dengan menerapkan metode sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa frekuensi natural sistem adalah att=l3.35rud/s dan at,=33.5rad/s. Kita akan melakukan sinrulasi getaran paksa sistem 2 derajatkebebasan pada frekuensi eksitasi or = I 0 md/s, ot = 13.4 radls, rrJ = 20 rad/s, ro = 34 rad/s dan

ctl

o

3.4 rad/s

o246810121416

= 50 rad/s. Frekuensi Getar

co= I

7'lt

Re6poN€

r.tr=

l0 radls

>> sim2dof Jumlah data ? 4000 AmpliEudo gaya pada massa 2( N ) ? 100

frekuensi getar ?

10

Skala animasi ? L.4 Simpangan awal ml ? 0 Kecepatan awal m1 ? 0 Simpangan awal m2 ? 0 KecepaLan awal m2 ? 0

Amplitudo getar adalah sangat besar karena dekat dengan frekuensi natural pertama sistem. Terlihat bahwa perbandingan amplitudo x2 terhadap x1 adalah mendekati

o

,"1 "} ' ={u.8042 )

,,,

,

Frekuensi Getar co=20 rad/s

68 Response

Pada kasus ini tidak ada beda fasa antara respons dan gaya eksitasi, sedangkan mode getar dapat diperiksa dengan cara yang telah dijelaskan dan contoh soal. Dalarn hal ini karni serahkan pada pembaca untuk memperoleh mode getar dan bandingkan dengan simulasi.

Getaran Mekanik

272

Frekuensi o=34 rad/s

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

2?_3

I-ISTING PROGRAM ANTMASI2 DERAJAT KEBEBASAN Unbalarce Force

t sim2dof

tProgram Aninrasi

ini

menggunakan metode Runge

Kutta

disp ' ****************************************************** diSP I * PROGRAM ANIMASI TWO DEGREE OF FREEDOM *r

345 Fespoose

disp I *

OIeh : RamsesYHutahaean

*r

disp

I

****************************************

**

*******

** * *

c1f

clear n=input('Jumlah data ? '); t=0 . 0; dt=0 . 001; Dan terlihat bahwa perbandingan amplitudo x2 terhadap xr adalah mendekati

,. ={ '

/ i

14=[10 0;0 10];K=[9000 -4000;-4000 4000]; C=0.002. *K; xl-0=input 'simpangan awaf m1 ? ') ;

l-0.5542 )

o

ff2=input(' Arnplitudo gaya pada massa 2( N ) ? '); ff= [0 ; ff2) ; ww=input (' frekuensi getar a ') ; sc=input (' Skala animasi ? ') ;

o=50 rad/s. Unbalame Folcs

2

2.5 Responss

vl-0=input 'Kecepatan awal m1 ? '); x20=input 'Simpangan awal m2 ? '); v2 0=input 'KecepaLan awal m2 ? '); y= [xL0 ;x20) . / ]-000 ; v- [v10 ;v201 . / 1000;

for i = l-:ni t1=t; xl-=x; v1=v;

f 1=i-nv(M) * (

t

l0;ff2*sin(ww. *t1)l -C*v1-K*x1)

t2=L+dL/2; x2=x+v1.*dL/2; v2=v+fL*dt/ 2; f 2=inv(M) * (sin

t

L3=L+dt / 2 ;

(ww.

*t2 ) . *ff -C*v2-K*x2l

;

|

224

Getaran Mekanik

xYBox2=t

x3=x+v2.*dL/2;

v3=v+f2.*dt/2; f3=inv (M) * ( sin

(ww. *t3

)

*ff-C*v3-K*x3

)

1.30 1.30 1.30 1.6 1.6 1.30

;

t4=t+dt;

x4=x+v3 . *dt; v4=v+f3 . *dt; f4=inv(M) * (sin(ww.

t=t+dt;

*t4) . *ff-C*v4-K*x4);

v=v+dt/6 . * (ft+2 . * f2+2 . *f3+f4 ) ; x=x+dt/ 6 . * (vl+2 . *v2+2 . *v3+v4);

(i ) =v (1 , 1) wv2(il=v(2,11 xx1(i-)=x(1,1) xx2 (i) =x(2,1)

0.20 0.30 0.30 0

.20

0.201;

(xx1) ;max (xx2 ) ] ;

am=max(aa);

/L;

:, t)

] +L ;Y2= [xyBox2 (

I

:,2) l;

ddx=1.15; ddy=9.25,

=0. 08*sin (ww*t ) ; dy( i I =-0. 025*cos (ww*t. f fk(i) =tf.2*sin(ww*r) ; end

p=length(xx1); for j=1'P tk(i ) =Lt (j

)

fk(j)=ffk(j);

0 .225 0 .2'7s

0.25

0.251;8 panjang pegas

)

;

yykl ( j ) =xx1 (j ) ;wk2 (j ) =xx2 (j ) ; psxl=pegasl ( : ,1) * (l-+xr1 ( j ) ) ; p="2=p"g"s2 ( ;,1) * (1+xr2 (j ) ) + (0' 3+max(psxl-) s12q(psxl )); psyl=pegasl(:,2);

0.25 0.2s 0.27s 0.225 0 .275

pegas2=pegasl;

1

psy2=PsY1; cx1=X1+sc*xx1 (j ) ; cx2=x2+sc*xx2 (j ) ; xp1= [psx1 ; cx1] ; xP2= [Psx2 ;cx2); ypJ.= [psy1; Y1]

xYBoxl=t ...

0.00 0.00 0.00 0.3 0.3 0.00 0.3 0.3

Q.25

X2= [xyBox2 (

dx(i)

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 1.00

...

xr2= {xx2-xxL) /L; x1= [xyBoxl ( t ,1) ] +1;Y1= [xyBoxL(: ,2)

wvl-

Pegasl=t ...

aa= [max

L=1; xr1=xx1

tt(i)=t;

225

Slstem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

.25 0 -20 0

0.30 0.30 0.20 0.20 0.20 0.251 ;

1rp2= [psy2

;Y2)

; ;

sy= [max (xp2 ) -0 . ]-5+dx (j ) I

;

uy=[0.25+dY(j) ];

pxt=[0;0;0;xP1;xP2); pyt=

[o

.2 ; O. 3 ; 0. 25 ;yp1- ;Yp2)

if ff2==0

;

)

*ones

(

226

Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

Getaran Mekanik

subplot. (211) 6=p1ot (tk,Wk1,'

3.11 Soal-soal untuk Dikeriakan

k-', Lk, y1yk2,' r.','EraseMode','background' ) ; set (h,' lineWi-dth', 1.2) ; axis ( [0 n*dt -1.1*am 1.1*am] ) tiLle('Response') 1f j=-p grid

l.

Untuk sistem seperti ditunjukkan pada gambar berikut, tentukanlah (a) Persamaan gerak sistem. (b) Frekuensi natural. (c) Mode getar. fn1=2lr ltllz = ITll k;:k3=k; kz:Zk.

end

subpl,oL (2121

[=p1ot (pxt, pyt, 'k','EraseMode','background'

);

Gmthsr 3.27

set (h, 'lineWidth' ,3 ) ; axis ( t0 4 0 .1 .32) )

2.

axis off

Untuk sistem seperti ditunjukkan pada gambar berikut, tentukanlah (a) Persamaan gerak sistem. (b) Frekuensi natural' (c) Mode getar'

drawnow

else subplot (311)

5=p1ot (Lk, fk, 'k' , ' EraseMode ' , 'background' ) ;

set (h, 'lineWidth' ,1) ; axis ( [0 n*dt -1, .1-* f f2 L -t* f f2] ) title ( 'Unbalance Force ' ) subplot(312) h=p1ot (tk, Wk1 , 'k- ' , tk,yyk? , 'r-

.','EraseMode','background' ) ; set (h, 'lineWidth' ,1) ; axis ( [0 n*dL -1.1*am 1.1*am] ti_t1e('Response')

Gombsr 3.28

(a) 3. Untuk sistem seperti ditunjukkan pada gambar berikut, tentukanlah getar' (c) Mode natural' (b) Frekuensi Persamaan gerak sistem.

)

subplot(313)

h-plot (pxt, pyt, 'k- ' , uxdx(j ),0 -25,'bo',ux,uy,' ro','EraseMode','background' t set (h,' lineWidth', 3) ; axis(t0 4 0.1 .321) axis off

o.5L

);

drawnow

I pause(0.01)

end end

Gombur 3.29

228

4.

Getaran Mekanik

Jika pada sistim gambar 3.29, diketahui k:1000 N/m, m:l kg, L:0.5m gambarkan kurva FRF jika diberikan gaya eksitasi pada massa 2m, F, = 50 sin at

Sistem dengan Derajat Kebebasan Lebih dari Satu

7.

et (0) = e, (0) =

Dengan menggunakan MATLAB, gambarkan kurva FRF sistim tersebut. 5.

Untuk sistem seperti ditunjukkan pada gambar berikut, tentukanlah (a) Persamaan gerak sistenr. (b) Frekuensi naturar. (c) Mode getar.

Jika pada sistim Ganrbar 3.31, diketahui k=1000 N/m, :0.012 kg.m dan kondisi awal

0

279

m;:l

kg. rrc

dan 0, (o) = e, (o) = o

Dengan menggunakan MATLAB, gambarkan respon sistim tersebut.

8.

Pada gambar berikut ditunjukkan suatu sistem di mana pada massa 2 terdapat massa tak imbang me. Jika kondisi awal nol, tentukanlah (a) Persamaan gerak sistem. (b) Frekuensi sistem natural.

ao

Gsnthtr 3.32 9.

Jika pada sistinr gambar 3.32, diketahui k':3ggg N/m, k2:2500 N/m, k::3000 N/m, m1:2 kg, m2:3kg, ffie :0.01 kg.m dan kondisi awal

*,(0)=rr(0)= 0 Pada gambar berikut ditunjukkan suatu moder arat untuk praktikum getaran sistem dua derajat kebebasan di mana pada salah satu massa diletakkan massa eksentrik, dengan eksentrisitas me. Tentukanlah (a) Persamaan gerak sistem. (b) Respons sistem daram keadaan stedi.

*,(0)=,t, (o)=0

Dengan menggunakan MATLAB, gambarkan kurva FRF sistim

Gombtr 3.30 6.

dan

tersebut. 10.

Ulangi soal no 9, jika

:

a. x,(0)=0,

=0.005 rr dan i'l (0)= *,(0)=0

,., (0)

b. *,(0)=r.,(0)= 0, I

l.

dan

*,(0)= 0.4 ttt, ir(O)= 0

Pada gambar berikut ditunjukkan suatu sistem di mana pada pondasi

terdapat eksitasi berbentuk gelombang segitiga. Hitunglah respons kedua massa tersebut. Gambarkan juga bentuk responnya jika m: l0 kg, x1(t) = 2 nrm; T:0.2 detik. IIlr Gombor 3.31

230

Getaran iltekanik

BAB IV BERBAGAI METODE

UNTUK MEMPEROLEH FBEKUENSI NATURAL Gaafisr 3.33 12. Ulangi soal No. I I untuk

T:l

detik dan

T:4 detik.

13. Pada gambar

berikut ditunjukkan suaru mesin torak yang diletakkan nrenggunakan data-data seperti pada contoh soal pada Bab 2, yaitu massa ekuivalen torak mB = 2kg, dan massa total mesin adalah 30 kg, kekakuan k = I B0 kN/m, dan redaman c : 300 Ns/m, jari-jari engkol adalah e=0.07 m, dan panjang conecting rod L = 0.28 m. Jika efek gaya sekunder diabaikan, (a) Hitunglah respons sistem dalam fungsi frekuensi o. (b) Jika putaran mesin torak 1000 rpm, gambarkanlal, respons sistem dalam domain waktu. (c) Ulangi soal b untuk putaran mesin torak 1800 rpm.

di atas pondasi mesin dengan

J"iq

Frekuensi natural suatu sistem getaran merupakan salah satu per-timbangan utama dalam analisis dinamik. Ada banyak nretode yang dapat digunakan untuk mencari frekuensi natural. Metode Rayleig yang disederhanakan dan persarumn frekuensi telah kita uji pada bab sebelumnya. Teknik atau metode tambahan akan dibahas pada Bab 5 dan Bab 6. Pada bab ini akan disajikan (l) Metode sederhana yang dapat dilakukan dengan perhitungan manual. (2) Teknik matriks transfer yang digunakan untuk struktur besar dan masalah yang rumit yang mana kita harus menggunakan bantuan komputer'

4.2

,'*:l t4li,:3

4.1 Pendahuluan

Dunkerley mengemukakan pendekatan untuk memperoleh frekuensi natural dari sistem multirotor. Hasil perhitungannya akan baik untuk sistem dengan mengabaikan redaman dan frekuensi harmonik akan lebih tinggi.

l:1,3

I\I

kr.

Persamaan

Perhatikan sistem getaran bebas sistern tak teredarn. Dengan menligunakan koefisien pengaruh dari persamaan li2,'3

Gonbur 3.34 14. Ulangi soal No. 13 dengan memperhitungkan efek gaya sekunder dan dengan menggunakan MATLAB gambarkan respon sistim tersebut.

{q\ =1d,,) {-rtrQ\

(4 l)

di mana {q} adalah vektor perpindahan, [d;l adalah matriks fleksibilitas. tlarr l-,r4\ adalah vektor gaya inersia. Pada sebuah mode utanra gclrttittt,

232

Getaran Mekanik

defleki {q}

adalah harmonik dengan

liil : {-.tnl.

Dengan mensub-

stitusikan persamaan tersebut pada persamaan di atas maka akan diperoleh:

{d =1a,,1 {,',,,q1

(4.2)

Mari kita ilustrasikan nretode tersebut untuk sistem dengan dua derajat kebebasan. Dari persamaan 4.2 diperoleh:

Berbagai Metode Untuk Memperoleh Frekuensi

1",)=l:;,:',:,,:,)15 ::,',i,) Kemudian kita bagi persamaan tersebut dengan rrl2 dan kita

r l)fa) *-L=o -ld.a)l;)*w=o l;)

@.7)

Dengan menyamakan koefisien lltti2 pada persamaan 4.6

dan

persamaan 4.7 diperoleh:

!.!={l(D;

,,ttt,t

ll

+d,,ttt,

Jika frekuensi or1 lebih kecil dari rlt2, I :;=tl

SUSUN

233

( r\' (

ot

(4.3)

Natural

(Di

ffok? I /

a2, << I

/

ai

dan

,,m,+tl ,,m,

kembali sehingga diperoleh: Persamaan ini merupakan persamaan Dunkerley. Sedang untuk sistem multi derajat kebebasan, persamaan tersebut menjadi:

l*'0,,"', -rt,,rtt, lIn,.1-rr, =L'-l

|

-r,,u,,

\

(4.4)

- n,,,,,,)L"l

-

-ct

"

(4.s)

.tn:I= iiltli

di mana u,,u,.(rt,,tt..

-tt,,tt.,\=0

atau

i

akibat satu unit gaya

--Kii= --; oi;


frekuensi natural suatu sistem pegas-massa ekuivalen.

Maka bentuk altematif persamaan Dunkerley adalah: (4.6)

Kita asumsikan o1 dan ol: adalah frekuensi natural. Dengan menfaktorkan persamaan4.6 maka akan diperoleh:

(t-ll [+-4)=, ,i )-" [,' ,i ) l,'

(4.8)

i=t

pada lokasi yang sama, kuantitas d;;m;; karena aksi mi; saja, sedangkan efek inersia massa yang lain diabaikan. Karena d;; merupakan kekakuan yang berbanding terbalik dengan k1;, maka: d

atau

(*)' -(tt,,nr, *u..,,)(+)*

+d,,,,nt,,=ld,,ttt,

Koefisien pengaruh dir adalah defleksi di titik

""" "ttt' lr, , =' -,,,,,,,, ) - t,,,,,,]L;1.J

l4

.,tn, +........

(Di

Sehingga persamaan fi'ekuensi sistem adalah:

A(a\ =l''

li :;=d,,ut,+cl

I i] I I I --i-;*--;*........*-;-= I--toi; aru i=t ai oi t oi:

(4.t))

Contoh 4.1 Sekarang akan kita coba mencari frekuensi natural suatu balok kantilcvcr seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Getaran Mekanik

234

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi

+IL

Natural

---p

215

ll

#l

0

Gambar 4.2 Gemthar 4.1 Balok kontilcver

Elemen massa balok pada gambar adalah:

dm=

,

p

r*,

r:fiP

-(;)'

[,[;)'

L*1,,,,,

33

=-iltx 2g0

)l'

tttl'\

3El ,.2 *nor-=Er,^uu

,,1

Kemudian dengan menyamakan energi kinetik rnaksimurn dengan energi potensial maksimum, diperoleh:

Sedangkan fiekuensi natural balok kantilever dengan massa rn adalah: o2,,

= I2.724 trlL

33 ,, 7*nrurx,,,,.,

=

l3EI

jl

Jika m1=2m, maka diperoleh:

* mL' =0.7453"'LEI ati 3El 12.72 EI ,

xi,,n.,

ET

"'

I ut,l;' mt ati 3EI I 2.72 EI 1-

33 -, l3EI ) =17;xi"' V5trt*i"n'

"

nttL

Den gan men ggunakan persamaan Dunkerley, diperoleh:

2E

a2 = 12.72

3EI , =---i

oir

.)

U =lb'u,,,.,

:l-

Frekuensi pribadi balok kantilever dengan massa terkonsentrasi pada ujung bebas adalah:

dC

=i + o{+

Solusi

=

rilL'

Contoh 4.2

Carilah frekuensi natural suatu balok kantilever yang pada ujungnya terdapat massa terkonsentrasi m1.

-

2nrE

ot= l'l5B

4.3 Metode Rayleigh Pada Bab 2 dan Bab 3 kita telah menerapkan metode Rayleigh untuk sistcnr satu derajat kebebasan. Metode yang sama juga dapat digunakan pada sistcm

diskrit. Metode tersebut digunakan dengan asumsi (1) Sistem tersebut adalah konservatif, dan (2) pada mode utama, energi potensial maksimunr adalalr sama dengan energi kinetik maksimum.

Getaran Mekanik

236

Suatu sistem diskrit mempunyai mode getar sebanyak derajat kebebasannya. Hal penting yang perlu dilakukan adalah mengasumsikan mode dinamik atau vektor mode getar untuk memperkirakan frekuensi naturalnya. Secara umum metode Rayleigh digunakan untuk memperoleh frekuensi fundamental karena vektor modus getar untuk frekuensi yang lebih tinggi lebih sulit untuk diperkirakan. Jika bentuk modus yang diasumsikan adalah bentuk modus dinamik eksak maka frekuensi yang dihitung juga akan eksak. Jika modus yang diasumsikan tidak eksak maka hal ini ekuivalen dengan penerapan penambahan batasan pada sisten-r getar sehingga frekuensi yang dihitung akan lebih tinggi dibanding frekuensi sebenamya. Dengan demikian metode Rayleigh cenderung menghasilkan nilai frekuensi yang lebih tinggi dari yang sebenamya. Pada Bab 5 dan Bab 6 akan ditunjukkan suatu asumsi tepat sehingga memberikan hasil perhitungan yang

iMetode Untuk

237

Frekuensi NaturaI

asumsikan bahwa massa poros pada Gambar 4.3a diabaikan. Energi potensial sistem adalah energi regangan pada poros, yang merupakan ke{a yang dilakukan oleh beban statik. Energi potensial maksimum U,,o.

Kita

adalah:

(4.10)

Uur* = !(m,y, + tlt)Y1 + m3Y3)

di mana m;g adalah beban statik dan yi adalah defleksi pada rotor i. Untuk sistem yang berosilasi harmonik, energi kinetik maksimum T,,,, akibat rotor adalah:

4uo* =

)(,,ri

+nLY:*"',Yi)

(4.11)

di mana at adalah frekuensi osilasi. Dengan nrenyamakall u,,* dengan T,,r'

memuaskan.

dan dilakukan penyederhanaan, dipetoleh:

. g(,ury, + ttl,y1 + m3y7) @=@

(4.tZa)

atau

nrrS

r:13$

l!l; $

(4.12b)

Perlu dicatat bahwa persamaan tersebut diturunkan dari poros dengan defleksi lateral. I1l1$

Contolt 4.3 Suatu poros berpenampang seragam dengan dua piringan ditumpu bantalan

pada kedua ujungnya seperti ditunjukkan pada Gambar c Gamhor 4.3

Biasanya defleksi dinamik diperkirakan dari defleksi statik. Anggapan ini tidak selalu benar. Perhatikan suatu sistem multirotor yang ditunjukkan pada Gambar 4.3a dan defleksi statik terkait pada Gambar 4.3b. Tetapi untuk ii.t"m yang bergetar pada frekuensi dasamya, maka bentuk defleksi yang terjadi adalah seperti ditunjukkan pada Gambar 4.3c.

44,

Asumsikan

defleksi statik sama seperti ditunjukkan pada Gambar 4.4b. carilah frekuensi dasar sistem tersebut.

238

Getaran Mekanik

Berbagai i,letode Untuk Memperoteh Frekuensi

Natural

2]9

Perhatikan suatu sistern definit seperti ditunjukkan pada Gambar 4.5. Persamaan gerak sistem adalah:

60 kg 40

kg

J ,6, = -k,t(q

- CI2)

J 2ii2 = -k,, (0,

- e,)-

J

(4.13)

k,2(02

-

q)

,6, =-k,2(q -e2)

Kita assumsikan bahwa sistem bergetar harmonik pada salah satu mode getar utamanya dan kemudian kita substitusikan d, = @i

sin

ail,

sehingga

diperoleh:

-to'J

,@,

=-k,,(@, -@r)

-ro' J r@, -- -k,, (@, - @,) -

k, 2

(q - @t)

-at'J ,@r=-k,:(@r*@r)

Gomhsr 4.4

Dengan mengabaikan rrulssa pofos dan menerapkan persamaan 4.9, diperoleh:

,,

_ ,.u _loo(o.oz)

loo1o.oz1' at

= 128.2 rad / s

ts* (o.tz\7t o-' + 4o * (o.tz)')t (16 +

= r 6434

atau 1225 rym

Gombor 4.5

Penjumlahan persamaan gerak tersebut menghasilkan:

4.4 MetodeHozler Metode Hozler adalah suatu metode sistematis dengan menggunakan tabulasi. Metode ini dapat diterapkan secara luas, dapat diterapkan untuk sistem gerak linier maupun gerak rotasi, teredam atau tidak teredam. Prosedumya dapat diprogram dengan menggunakan komputer.

Metode ini mengasumsikan frekuensi perkiraan. Solusi diperoleh jika frckuensi yang kita perkirakan nremenuhi kondisi batas. Biasanya kita akan melakukan proses iterusi (tt"ial and en'or) akan kita peroleh frekuensi dasar. 'l rbulasi juga akan menghasilkan mode getar sistem.

J.

lJ,@,at' =0 Untuk poros dangan n piringan, maka persamaan menjadi: x.

lJ

,@,ri =0

Untuk memulai tabulasi, (l) Kita akan mencoba memilih suatu frekuensi coba-coba dan kita pilih @r = I . (2) Hitung @2 dangan

240

Getaran Mekanik

menggunakan persamaan perlama.

(3) Hitung @,

dengan menggunakan

persamaan kedua.

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi

Contoh 4.4

&

@:=@,-ro'J t@t/ktt

-

r'

241

Carilah frekuensi natural dan tentukan juga mode getamya untuk sistcnr yang ditunjukkan pada Gambar 4.8.

@r=l

@, = @t

Natural

(J t@t + J,@,)/ k,,

@r,@: dan @: kita substitusikan pada persamaan 4.11 untuk memeriksa apakah kondisi batas terpenuhi. Jika tidak terpenuhi maka nilai ro yang baru kita asumsikan dan proses diulang. Persamaan yang kita gunakan untuk memperoleh @: dan @.r dapat kita generelalisasi untuk sistem dengan n piringan sebagai berikut:

Nilai

@,=@i-r- .9-*lL,o, Kr(

1-11

Gnrnbor 4.8

Datadata:

j=2,3,......,n

i=t

Jika frekuensi yang dipilih bukan frekuensi natural maka persamaan 4.12 tidak terpenuhi sehingga akan ada torsi residu pada piringan terakhir. Hal ini ekuivalen dengan suatu kondisi stedi getaran paksa. Suatu tipe torsi residu vs co' ditunlukkan pada Gambar 4.6.

kg.*'; J3 = 0.5 kg.m2; J,r:0'1 kg'm2 : kr = 15 kN.m/rad; ktr :30 kN.rr/rad; k11 15 kN'm/rad; Jl

:0.5

kg.*';

Jz:0.1

Solusi Tidak ada prosedur standard untuk menentukan perkiraan awal frekuensi. Sebagai suatu perkiraan awal (initiol triol), kita asumsikan suatu sistem ekuivalen yang terdiri dari Jr dan (Jr+J4) yang terletakpada kedua unjung poros. Sedangkan poros tersebut mempunyai kekakuan k11 dan k,2 yang terhubung seri.

k,=

t03

= l/k,,+l/k,, l/15+l/30

l0

kNm

/ rad

dari persamaan4.46,maka frekuensi trial (perkiraan awal) adalah: Gombor 4.6 Torsi rcsidu vs

k,/J,+k,/(lr+lr)

ri = =

Gombor 4.7

191.5

reul / s

242

Getaran Mekanik

Kemudian kita akan n'relakukan langkah-langkah berikut:

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi

(bico=tS9 rntl

:

Kolom 3: Hitung J,@,ot2

I !

I rad

:18336lkN'nt

Kolom 4: Jumlahkan angka-angka di kolom 3

:

Kolom 6: Kolonr 4 dibagi kolom 5

.l

4

:

18.3361 kN.m

kr

I r.3(i0,r

l1.B6t)i

l 190:

-0.(i$

I ?. I

ig,l

I5 30

0..(::6

.t.:156

l.s

J@tt2

0.5000

l.0t)00

0.1000 0.5 000 0 1000

-0.1907

-lb-s'-rr,r,r,

.T

1.2224 rad

56

kN

ri

J ,@,

/ k,,

6: Kolom 4 dibagi kolom 5 -

I.0000

0.lii0ri

-0.1$-l"t

f

0.5000

-0.:-,5-18

4

0.1000

-1.001

0

Jtrf()'

k,

f r,0,r'

l$.ll6l

l5

l.ll-1{ 0,58{0

-1,1.186:

Il.i195 l.:Jl I

j0

It

0,

.J,615?

.0.8919

1.0000

l$.3J61

1

0.l00tf

-0.1131

-0,s156

)

0,5000

-0.$061

0.1000

.0.9$$:

0ti

0.1361 Tor'si resirhr

5

\ JtJl(r'

lir

1s-tci,rf

l -ll.l09l i

-.1.,i: Bt

5

I - :(i6l

l-r

I

l=

.r0

0. 5 ?r)-l

1109

L r(tl5 0 14lE

l5

l3+.1

0.1+63

Tolsi lesirlu

rrd

r.0n00

l?.8:lt

l

0.5000 0.1000

-t

0.5 00{J

-0 1901 -0.:615

J

0.

l00fi

-0.9999

5-..(:)ra2

l.:r

l5

l

-0 6186

,l

0.

-li.6lll

l:851I l1 l?15 J. (i l.i

--1.:699

-0 00sri

JQ)

trt2

1-.-rc),r, lr-

,.I

-(

{.r

t5

l90l

i::4

0.3_r:l Tc,r'sr resirlu

Dari tabel terlihat bahwa baris ke 4 dan kolom ke nilai terkecil adalah pada tabel d. Dapat kita simpulkan bahwa frekuensi natular peftama adalah @r = 188.95 rad I s. Kemudian kita akan mencari frekuensi natural kedua

c,rll{.]S

rad'

I

h, ,-t

0.5000

I

-(r. (i5

0

gurakiil ro=I9l.i Lad'

YJ0rrr2

I

r6{il

J

di

J

-{r

dan ketiga dengan cara yang sama.

Kita akan melakukan iterasi dengan menggunakan rrl=191.5 radls

-^l

,'Ql0t2

0.-iti(i0

I

(17.5205 kN.nr/30

Pada baris ke-3 dan ke4, kita lakukan hal yang sama. Dari tabel (a) terlihat bahwa torsi residu adalah : -0.8919 kN.rrr. maka kita akan mencari nilai lainnya, yaitu ro:189 rad/s sehingga dipcnrlelr torsi residu -0.0255 kN. Kita ulangi proses hingga torsi residu mendekatr rrol.

dengan me

1

o

I

l8S.9,r

kN.m)=9"534 tu.

me iteluqi ial fiita akal melaliukan

-

-_1.5?ll

).

nt

Kolom 4: Jumlahkan angka-angka pada kolon, 3 : 18.3361-0.8156: 17.5205 kN.m

Kolom

t63-l

-0.1199?

b-

Kolom 2: @: = @, - Pwttiran k,, atau @, = @, Kolom 3: Hitung J r@rtt2 = -0.8I

-0.

l: -r. (ii l:

frFlXS.! 138--{ r'a{[s r'at}

Baris 2:

.l

\

!/(:r(rr-

CI

,.I

Kolon'r 2: Asusmsikan@1

1

24J

s

I

Baris 1:

Natural

I

o

(t.5000

0.r000 3

0.5000

.l

0.10(r0

-4.9998 2,1.996i

1=-r,lnf kr-

89.9940

l5

5.9996

().00?3

30

0.t)00:

15

4-19.911,1

-4{9.94$;-i,"0i ?:

-79.9966 Torsi residu

J@al

YJG)ro2

\

l-lr,r' b-

89.99-{0

-E9.9869 .449.95 JS

Jtr(rr'

rad, s

0.

l81J

1.0000 ..1.9996

\

k

JQ)ro2

J

o

!.

Tolsi rexidu

,.1

1.0000 - 15.8103

_1

0.5000 0. I 000 0.5000

1

0. I 000

- t -0022

I 3

:.36:l

,

{,

I

S{l

-i9?.33 l5 595.6,11S --s0.5

jl?E

:53.1-151

1J

-5.{5.1?64 50.4564

i0

-{,.0;6:l

l5

16. s t

0.i

-1S.1115

3.i6l.l Totsi trsirltr

244

Getaran Mekanik

Akan lebih mudah jika kita menggunakan program MATLAB. Kita kemudian bisa melakukan zoottt rr pada grafik yang dihasilkan. 1500

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi

y1abe1

grid

(' Torsi residu '

Natural

141

-.,

)

A=find(res<1&res>-1) f or k=L: length (A) ww(k) =ofleg(A(k) ) ; rres (k) =res (A (k) ) ; end B=

tm

l,------

'

]

4.5 Matriks Transfer

:l

$00

=

[ww' rres

Kita akan memperkenalkan konsep veltor keadaan dan matriks transfer dan kemudian menerapkan teknik penyelesaian tipe Hozler. Suatu vektor keadaan adalah sebuah kolom yang terdiri dari sejumlah bilangan. Setiap variabel, atau sebuah elemen pada vektor keadaan, dinamakan variabel

=(ll (0

& ()

FU

keadaan.

"5m

Tipetipe variabel dalam satu masalah dan keterkaitannya dengan vektor keadaan ditunjukkan pada Gambar 4.9. Sebagai contoh, variabel dalam contoh terakhir adalah @ dan torsi T. Vektor keadaan yang terkait pada

I

bentangan n adalah: .rmG

lm

?00

3f0

40t)

6ffi

68il

7m

8m

Ftek'rrensi. radls

tHozler Method clear all t.h1= 1 ;

(4.14\

lzl,, =[?],, Jika dikombinasikan dengan

geseran

dan lenturan maka vektor

keadaannya menjadi:

ome$=lQQ:0'052730;

for i=L:length(omeg)

kt1=15000 ; kE2=30000 ; kt3=15000 ; J1=0 . 5; J2=0. 1; J3=0 . 5; J4=0 . 1; th2 ( i) =th1-omeS (i) . ^2*JL. *th1 . /kt]; th3 (i) =Eh2 (i) omeg( i) .^2.* (J1 . *thl-+,f2. *th2 (i) ) . /kt2;

th4(i)=th3(i)-

omeg( Ll .^2. * (J1. *th1+,f2. *Lh2 (i) +J3. *th3 (i) ) . /kt3; res (i) =omeg(i) . ^2. * (J1. *th1+J2 .*tL.2(i) +J3. *th3 (i) +

.r4.*rh4(i))./1000;

end

plot.

(omeg,

res)

xlabel (' Frekuensi , rad/s ')

,r,li)

(4.1s)

di mana Y, (), M dan V adalah komponen vektor keadaan, yang terdefinisi pada Gambar 4.9. Orde elemen dalam vektor keadaan adalah sembarang.

246

Getaran Mekanik Berbagai Metode Untuk Memperoleh Frekuensi

[r)r"

Natural

247

t

iII

l---+ F 4x

jt{ = lWorrrcu

F = Ga:"a

X = Pcr?indahan

(") {z}"

(.,= Slop*

l.bl 1zl,

= |"1"] ll. LJ'

I

I1It'

r"---:infl T

*

Torsi

,',r1,

=

ii+ lll'

1'= Gala gc*r

0 = Fcrpindahan

(r)

=l:;,

X = D
{d} Fr.

[l],

=

[;]

Combar 4,9 l/eklor keadaon dan ga1,o wnum dun petpindehon .lzl.L t" rn_t

lzlxta-t t-

rotL tz t:,

Suatu matriks transfer adalah variabel keadaan dari satu segman ke lain. Suatu sistem kompleks, seperti struktur, dapat dibagi dalam

segmen

bentuk elemen hingga. Sedangkan untuk suatu sistem kontinu dapat dilakukan pendekatan dengan sistem diskrit ekuivalen. Suatu segmen tipikal yang terdiri dari pegas k dan massa m, Pegas kn terletak di sebelah kiri massa m pada segmen n. Superscrip L dan R menyatakan sisi kiri dan sisi kanan massa m,,. Dengan demikian matriks transfer suatu segment terdiri dari dua bagian, (l) Medan matriks transfer dari komponen elastis, yaitu k,, dan (2) Massa inersia, yaitu m,,. Medan matriks transfer k,, terkait dengan vektor keadaan

lZli,_,

dan

lZ\1,. Dari Gambar 4.l},persamaan gaya pada

span tersebut adalah:

F,! =F,l-, dan F,l-,=k,,(Xl

-X:-,)

Dalam bentuk matriks, persamaan

di

(4.16)

atas dapat dinyatakan sebagai

berikut:

tatl

tL l"

l;)"

=l;

(4.t7)

",0),,1;)-,

Titik matriks transfer pada stasion n terkait dengan vektor lZ\!,

{Zli

Va"e terletak pada sisi

kiri dan sisi

aan

kanan massa m,,. Dari Gambar

5.10c, persamaan gaya untuk massa m,,, adalah:

F: -F,: =n't,,r,,

lhr

ff-,

*-'1*'rn,tn*-] *

ri L xL

l*-

t,

(4.18)

Untuk gerak harmonik pada frekuensi or, diperoleh:

.1j

F,! =F-aittt,,x,,

(4.1e)

Perpindahan massa m,, adalah: mn

F,l-i-s.-]
l* xl Gmthtr 4.10

,*.Y:

Xl =Y!

(4.20)

=Y,,

Dengan mengkombinasikan dua persamaan terakhir, diperoleh:

lxl*= I t

o1

lxf'

L.-1,,

,-1,,

L.-1,,

l-r',,,

(4.21)

248

Getaran Mekanik

Matriks transfer, yang merelasikan vektor keadaan

{X

F}R,-,

lX Fll, pada segmen n, diperoleh dengan mensubstitusikan {X

Dengan bantuan dan

Ff;,

dari persamaan 4.17 ke persamaan 4.21.

=l_:,,,,

[x].

=

Lal,,

r

-

r,t2

rtt

t

*),,1r

ans

(4.22a)

w

= 11

2

t lo1-_l =L-r', L.l,

),,-,

MATLAB

-L/2*w^2)

Station

t/k l[xl^

l-rr',,,

>> syms

t {

',fl', ",r)l;)-,

lx1-_l t

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi Natural

I t

t/k flelt

-tozr

=l-0.,r' t

atau

lzli,

=

H,,lZll,_,

(4.22b)

di mana H,, adalah sebuah matriks transfer. Untuk sistem pegas massa pada Gambar 4.10. H,, didefinisikan dengan nrenrbandingkan persamaan 4.18 dengan persamaan 4.19. Dengan menggunakan cara seperti pada persamaan

4.18, vektor keadaan

{Z\!,

aapatdirelasikan dengan vektor

{Z\!,

yangada

pada kondisi batas, sehingga diperoleh:

lzll, =\u,,

H,-r

H

z

n,llz\i,

(4.23)

Contoh 4.5

t/tsooo -

o. tr,t2

kg..';

J2

= 0.1

kg.*';

J: = 0.5

Karena sistem ini adalah semidefinit maka k1=0 dan kita definisikan k2=\1 15 kN.m/rad; k3:kp:30 kN.m/rad dan h:k,: = 15 kN.m/rad;

I

lrl^ =l ' ')l?)', =l-,',,, Lr.l, l-,'L

lt;l =l-;,,,)

1

)

) *w^2 ]

Station 3

t/k 1lof" =t t t-to2Jtr),lr), =l-r't t7l, t/3oooo flof" I t =l-o.rr' Z3 =[1

:

t

t sooo) l-o.rr'

[ -1l10*w^2-1"/2* (1-1l150000*w^2

23

kg.tn'; J+ = 0.1 kg.m2

/

lt

l--l-l30000*w^2l

t

r-.o.Satt

Solusi

Station

r),lr),

Z2=

Kerjakan contoh 4.4 dengan menggunakan cara matriks transfer. Jr :0.5

r

t t

, t00,,,,,)1, ),

1/30000;-0.5*w^2 1-0.5*w^2 /30000)*22

1--1 / L87 s}*w^2+l- / 90000 00000 *w^4 l *w^2+3 / 10000 O*w^4-L / 780 00000000 *w^6 l -11 / 10

Station 4

t t/k l[ol^ lel-_l =l-r', t -rir r t),lr), 1..1, t t/ttooo .l ["-|=[ tr' I -o.lto2 / t5ooo )J l-0.

)4lr

t49

Getaran Mekanik

>> z4=simple ( [1 1/1-5000; -0.1*w^2 10.1*w^2/150001*Z3l

1

/ 375

00

/9000000000*w^4-

000 OO*w^ 6+1 / 27 0000 000 000

0000

,l*

(D

(rad,'s)

r),

*w^8 l

r- t.2667(t0')r'*2.ttt(to ")r' - s.zotz(rot5)o''

lej- -l-,.2r' [

L'-1,

+

rf

J+

ff

pada sisi

adalah nol, maka:

= 3.787 (t 0-t6 )rru

-

z.oooz

(t

o-'o)ruo + 4.2667 (t 0-'

)rr' -

t

.2co: = 0

Persamaan polinom tersebut kita sederhanakan menjadi:

s.787(10-'o)oo - z.dooz(to-t2)r,t4 Dengan menggunakan

+

t.2667(t0-')r' -

1.2

=0

MATLAB:

>> roots(t3.7037e-L6 0 -2.6667e-10 Q 4-2667e-5 0 1,.2)

ans

+l 1)z

1

89j

t:1.

-fi r-6'O

-

.0.000-l

1.0000

1.0000

-1.9999

-s9.99S6

-0.00 17

449.9S7?

0.00s9

l.-r6:8

.1.0106

-50.501:

0.-i66r

s.161

t,0000 -ai r I 60\

710.15

r),

04=710.15rud /.t

-

1?. I 6S9

- 15. S

107

515.10Jj

1l

OOO a

4.2007(t0')r' - 2.6667]t0 t")al' + 3.7r.t7(t0'")r' )

Untuk sistem semidefinit, kondisi batas untuk torsi luar kanan piringan

-l

u'..l*

2 51

-1.569-! --i.0000

17.

MATLAB diperoleh bahwa:

o'l* -0.

1.0000

I88.91.1

.ll-1.161

dari hasil perhitungan

racl/s i a)2=424.26|rad/s i

or=188.924

L4=

1-19l150000*w^2+L9 t 1 / 27 0000000000000 *w^6 l | -6 / 5*w^2+2 / 468'15*w^ 4-

Frekuensi NaturaI

i Metode Untuk

I

=

710.1552 -710.1552 424.2607 -424.2507 t_88.9238

-188.9238 Maka frekuensi natural sistem adalah:

4.6 Metode Myklestad-Prohl Myklestad-Prohl men gembangkan suatu metode tabulasi untuk memperoleh mode getar dan frekuensi natural sistem, seperti sayap pesawat terbang. Dalam diskusi ini kita akan menggunakan cara matriks transfer.

Suatu balok atau poros dapat dibagi dalam segmen-segmen. Suatu bentuk tipikal segmen talok ditunjukkan pada Gambar 4.12, terdiri dari suatu span tidak bermassa dan sebuah

titik

massa'

Perhatikan diagram benda bebas dari balok penampang seragam dengan

panjangLpada'punnsepertiditunjukkanpadaGambar4'll.Sebagai persyaratan keseirnbangan, maka berlaku:

v,! =v,!-, dan M! = MX-, -

L,,v,f-,

(4'24)

masing-masing adalah momen dan gaya geser yang terkait. Berdasarkan Gambar 4.11 dan dari mekanika material, perubahan slope O akibat momen M !, aangaya geser Y,! adalah

di mana M

@:

-

dan

@:-,

kngan

V

=(*),,* : .(ff),,r,:

mensubstitusilan

M!

dan

(4.25',

V,! dari persamaan 4'24

persamaan 4.25 dankemudian disusun kembali, maka akan diperoleh:

s

patla

252

Getaran Mekanik

@t;

=ox-,.(*) ,: ,-(*),,,r,r,

Itr

r.i

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi NaturaI

(4.26)

v

TLL

nls

':

01L EI 00 I 00 0

2Et _L

YV-"]/ rzl

M

r p

dan torsi T,

=M: -o'J,,o,!

(4.30)

dan Y,! =Y,R

(4.31)

Dari persamaan 4.30 dan persamaan 4.3 I diperoleh matriks transfer sebagai berikut:

Perubahan defleksi Y pada span tersebut adalah:

.(*),,, l, .(ff),r,:

(4.27)

suku pertama di sisi kanan persamaarl menunjukkan defleksi akibat slope awal pada span. Suku kedua adalah defleksi ukibut momen dan suku ketiga adalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya geser. Deformasi akibat

M,l

dan

v,!

dari

persamaan 4.24padapersamaan 4.27 dan disusun kenrbali, diperoleh:

(4.28)

Medan matriks transfer yang diperoleh dari persamaan 4.24,4.26 dan

4.28 dalam bentuk matriks adalah:

(4.2e)

Untuk benda tegar yang bergerak, kita ketahui:

Gombor 4.1I

_(*),,r,r,

o

Dengan mengabaikan gaya

Y,l =Y,l -a2m,,Y,! dan Ml

'

o: =a:

y,, =yf_, + L,cD,l_,.(*),,_,

I

Y

persamaan untuk geseran dan momen adalah:

T

gaya geser dapat diabaikan. Dengan nrensubstitusikan

t

-o2nt,,Y,! dan - o'J,,A!,.

I,

'lL'n flffi,,,

y:_, = L,{),!_,

6EI

Untuk menurunkan persamaan matriks transfer itu, perhatikan diagram benda bebas m,, yang ditunjukkan pada Cambar 4.1l. Beban inersia adalah

.,p

y: -

I

L,

2EI

o

l't

l;1' | ', I

I _t

o,

0,,

lul-l o -co'J t l, ),, l-,'u, o 0

t)lilt

(4.32)

Matriks transfer untuk segmen n diperoleh dengan mensubstitusikan vektor keadaan dari persamaan 4.29 pada persamaan 4.32.

t _r: t L 2EI 6EI ii,1 L or -L'

", o lrl=l o -o:r ,ol [;]"=l

l, ),, l-,,',,,

00 o o ,). 00

EI I 0

2EI

-L I

Irl" lnl l, ),,-,

@.33a)

254

Getaran Mekanik

Y

t

L

E 2Et

t

L

(P

M

v

Y

Matriks transfer ke-l:

@

(4.33b)

crirakukai denla,

Beberapa sifat kondisi batas balok adalah sebagai berikut:

Bebas

Y

Jepir

0

t

-02 llrl

l-zoru' -4co: -t.33xt0a t+8.89xtou*') lv

penerapan persamaan yang berulang, sama halnya dengan persamaan 4.20.

I"

ol 'o 7':,::,^, 1,,1,1)i," I [;]^ [;l'=l

o o lrl I lv ),

Persamaan tersebut adarah persamaan rekuren yang analog dengan persamaan 4.19. Dengan demikian penyeresaian dapat

a

,15

Solusi

-L' 6Et

-L' EI 281 o -o:J t-ru'J-L -L*rrr.l L' EI 2EI -o:rn -ro:ntL -ru,r,L t*rurnrl

Tumpuan sedet{rarra

Berbagai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi Natural

0

v v

0

(!

I,t

V

o o o

\,t

0

)o

Matriks transfer ke-2:

Ir-l* I t

l-l :l to lrl I

4.r7xr0-5

0.s

-6.944x10-6

l[r'l^

t.6667t,-004 -4.t7xt0-5 ll ,

t

t

o

-os "l -8.33xt0-1c-004 t+t.389xto'r')lr ),

l, ), l-zo*' -tlut:

i

ll

Daribentuk

{z\: = n,a,{zll =lallz\i diperoleh

l- I H,, H,, H,, H,.l[ o I I, 1",, ;,:, o','o ll o =1r,,, Ir

Contoh 4.6 Pada Gambar 4.12 ditunjukkan suatu struktur. Dengan menggunakan matriks transfer, carilah frekuensi natural struktur tersebut.

I lrl ln

"; H,. H,, ,,,11*"1

)= ln,, H u, H o, ,,,)Lr,

Dari kondisi batas, maka

U!

I

)

aan Zr^ bemilai nol karena pada ujung

bebas tidak ada gaya dan momen luar yang bekerja, sehingga:

ISS::mr

M! =0=HrrMo+HrrVo 5** *un Gambar 4.12

V! =O=HotMo+HooVo Persamaan tersebut dibentuk dalam matriks:

[H.,, H,01 IMr1 lol loo,, ,,,) lr, l=lo)

256

Getaran Mekanik

maka detenlinan mah"iks H harus berharga nol, sehingga:

3.

lH,, H,ollMol lol

4.

ro: l-0.00:sa' -7.4x l0 to' 1.67 x

l0

a

e

I

dan No.

2

dengan menggunakan rrctotlc

-0.7 5.2x

l0

r

- 2.27x l0

5

ot:

Derrgan menggunakan metode Hozler, hitunglah frekuensi natural tlarr

mode getar untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar berikut. dimanaJ,=2 kg.nt2 ,Jt=Jt,Jr=2J,dan k,, =k,t = l20Nn/rutl

maka

t*

Kerjakan soal No. Rayleigh.

lr,, ,,,) ln, )=lo) II

?\l

lq@qgai Metode Untuk Memperoteh Frekuensi Naturat

I

l=tt

to: + I + l.2J4x t0-eaal

diperoleh 1.42 x l0-8 ao

-0.001ti

+

I =0

Frekuensi natural

a\ = 31.85 rad / s dan o, = 263.47 rod / s 5.

4.7 Soal-soal untuk Dikerjakan

l.

Gumbnr 4.15

di mana Jt=3 kg.trt2, J.r=Jt, J.=Jt=2Jt

Dengan nrenggunakan metode Dunkerley, hitunglah frekuensi dasar struktur pada gambar berikut. di mana massa poros diabaikan. Asumsikan m1:m2 dan L2:2L1.

\\'l A

*s. NIY )r, I . r<€i-l

Dengan menggunakan metode Hozler, hitunglah frekuensi natural dan mode getar untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar berikut, k,

r = k,t = I 20 Mn

dan

/ ratl, li,o = 2k,,

i I

Gouthor 4.1i 2.

Dengan menggunakan metode Dunkerley, hitunglah frekuensi dasar struktur pada gambar berikut, di mana massa poros diabaikan. Asumsikan m1:2m2 dan L1=L3= 0.5L2.

l:

Gomhor 4.16 6.

Gamhor 4.11

Ulangi soal No. 5 dengan menggunakan metode Transfer Matriks.

258

Getaran Mekanik

BAB V SISTzu DISKRJT

5.1

Pendahuluan

Sistem diskrit atau sistem dengan derajat kebebasan jamak telah dijelaskan 3. Pada bab ini akan diberikan konsep tambahan untuk memberikan pemahaman yang lebih baik. Kita akan memperkenalkan persamaan Lagrange untuk memperoleh matriks massa M dan matriks

pada Bab

kekakuan K.

5.2

Persamaan Gerak: Sistem Tidak Teredam

dislrit yang diperkenalkan pada bab sebelumnya diturunkan dari hukum Newton IL Pada bab ini kita akan menggunakan

Persamaan gerak suatu sistem

p€rsarnzum Lagrange untuk menurunkan persamaan gerak sistem.

Persamaan Ligrange

untuk gerak getaran bebas untuk

sistem

konservatif adalah:

a(ar) ar " |--

dt\0i1,

l-:-

au

tl-J-1fl

) 0q, )tt,

(s.1)

di mana q;adalah koordinat umum, i:|,2,.. .., tr, T adalah energi kinetik dan U adalah energi potensial. Energi potcnsial U dapat dinyatakan dalam

'=;i,i,kii';'(t

i

(s.2)

{q}:{0} adalah posisi kesetimbangan dengan Ue--0. Sedangkan matriks kekakuan K =V,,J adalah simetris. Dengan demikian berlaku: yang mana

Kr=Kalauk;i =ki;

(s.3)

760

Getaran

Keadaan kesetimbangan

Mekanik

{q}:{0}dinyatakan stabil atau tidak stabil

tergantung dari meningkat atau menurunnya energi potensial U ketika {q\*0. Kita hanya akan memperhatikan sistem stabil saja. Jika energi potensial U selalu nreningkat untuk {q}* 0, maka U dinyatakan sebagai suatu fungsi definit positif kuadratik. Energi kinetik dapat dinyatakan dalam bentuk:

'rst'erl

761

'Di"l:;"::

dimana H =M-tK ' Bentukalternatif lainnyaadalah:

c{t1l +Iql ={o\

(5.e)

dimana

G=K-tM=H-t Contoh 5.1

(5.4)

, =:r1o,,tt,,,i,i1,

Kita akan menggunakan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa koefisien inersia m;;juga merupakan furrgsi dari koordinat {q}. Jika hal ini terjadi maka produk rronliner akan ada pada persamaan gerak. Karena osilasi yang terjadi terhadap kesetimbangan {q}:{0} diasumsikan kecil, maka mi1 terhadap kesetimbangan {q} adalah konstan dan independen terhadap koordinat 1ql. Hal ini akan nrenyebabkan energi kinetik menjadi fungsi {ri} sa;a dan suku OT lOq,pada persamaan (5.1) adalah

Sekarang akan

kita ilustrasikan persamaan Lagrange untuk sistem yang

sangat sederhana. Turunkan persamaan gerak untuk sistem yang ditunjr-rkkan pada gambar berikut: :-;.;t,t

, !

I,

nol. Matriks massa M adalah simetri, sehingga:

M7' = M

atau

tn,, =

Dt

(s.s)

i;

merupakan

Karena energi kinetik T.s€lalu bemilai positif maka T fungsi definit kuadrat dari fi). Energi kinetik dan energi potensial dapat disajikan dalam bentuk notasi matriks

bcrikut:

r = 1141, ul,il U

= ilqf Xti

(5

Gsmhor 5.1

Sofusi Fungsi energikinetik dan energipotensial adalah:

r -+

6)

u =+k

' T dan U

(s'ro) pada persamaan 5.1, sehingga

diperoleh: ,t

.(

a(+,,,t')

(5.7)

fr{',rr)+

Persamaan 5.7 juga dapat disederhanakan menjadi:

(s.8)

I*

,//[ ai' )

mengabaikan 0T ldq, sehingga persamaan gerak sistemnya adalah:

Itll+nlq\=lo\

dan

Kemudian kita substitusilon

Persamaan getaran bebas sistem diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (5.6) ke persamaan (5.1), kemudian dilakukan diferensiasi dan

u {t1l+ r{q} = {o}

i

tat

u(i^' ) ur

=,

=o

atau

n*+kr=0

(5. r r )

762

Getaran Mekanik

Contoh 5.2

Energi kinetik sistem adalah:

Pada gambar berikut ditunjukkan suatu pendulum yang berputar dengan kecepatan sudut tetap Q. Jika massa batang yang menghubungkan titik o

dengan massa

t6l

Sistem Diskrit

m diabaikan, dengan menggunakun per.u,nuan energi,

turunkan persamaan gerak sistem tersebut.

7

=4m(*' + j,r)+!rnt 02 sint 0

(.5.

t2)

(5.

l3)

Energi potensial sistem adalah:

(J = rtt!): Lsitr 0(Lsitr 0) +

ntgl

IJ=mQ]Esin20+ntgt di mana.x = L sin 0 dan y =

L(] -

cos

0)

maka r =?Lcos0 dan !, = L0sin0 Kemudian kita substitusikan kedua persamaan tersebut ke

T

dan U

sehingga diperoleh:

u)

7 =!ml|02 +tmL2 Q2 sin2 0

(s.14)

U = mgL(l - cos 0)

(5.1s)

Kemudian terapkan persamaan Lagrange masing suku persamaan 5.1 menghasilkan:

Gqnhor 5.2 Solusi Pertama-tama kita gambar dahulu gaya-gaya yang bekerja pada diagram benda bebas tersebut.

di mana diferensiasi masing-

Suku pertama:

a(ar) ,l , " l "' l=:( ,,,te)=rnL2ii

dtldQ,

)

dt t

(s.16)

Suku kedua:

-aT 0q,

= -tttL\ {)2 sitro cos o

atau karena

ndllLirirrd

-aT 0q,

(5. l 7)

d = sin 0 dan cosd ly l, maka persamaan tersebut menjadi:

=-tnl2e2o

fi-*ii

Suku ketiga:

aU _dlrnlL(t-,'o.s0\) =nryLsino

oq,

ao----!)

(s.18)

Getaran Mekanik Sistem Diskrit

Tllu-ngIumaan gerak diperoreh derrgan nrensubstitusikan

5. 16, 5. 17, dan 5.18 ke pcrsan-raan 5.1 ,

nL2

ii +(rilgl - rnLt ez)e

persanraan

sihingga tliperoleh:

=o

265

maka

*t

(s. l e)

=

* + ?Lcos

0

dan

y, = L0

sin

0

Kemudian kita substitusikan kedua persamaan tersebut ke

Contoh 5.3 Turunkan

p€rsan'laan gerak sistem seperli ditunjukkan pada gambar berikr_rt ini. Asumsikan osirasi ya,g terjadi aaatan kecir ian p"g^ praili.ten.,aartutr

pegas linier.

T dan U

sehingga diperoleh:

7 =)Qn+ m,)*2 +)m,l|02 + m,Li?cos0 U

=*b'+

jk,02

+

(5.21a)

m,gl(l -cos0)

(s.2rb)

Persamaan gerak diperoleh dengan nrensubstitusrkan persamaan 5.21 ke persamaan 5.1, untuk 4r = x diperoleh:

*lt

,

+

(tn + m,)

untuk

r7,

=0

*' + trt ,L2 o2 cos o)+ br = 0

,rt

,)

i

+ tn,L(6 cos e

-

dtL

Solusi

(s.22)

nt,L*6sitt0 + nt,gLsitt0 + k,0 =0 t

m,E i) + m,L.i cos 0 + m,gLsitr 0 + k,0

Gamhtr S.j

=0

(5.23)

5.22 dan 5.23 adalah persamaan non-linier. Untuk sudut osilasi yang kecil, kita asunrsikan sinl * 0 dan cosd = (l-e' tZ), Persanraan

Kita uraikan dahulu energi kinetik dan energi potensiar sistem, yang nmna: Energi kinetik:

=!m*2

+

jtn,(*i + i,i)

(5.20a)

Energi potensial:

U

0) + kr = 0

diperoleh:

Ll,,t,r'e + ttt,L.tcrx0l+ t t )

T

02 sitt

dalam notasi matriks:

.=+[*

=*fu' +|k,02 +t,ttgyt

Dengan menggunakan koordinat unrum

kemudian dengan nrensubstitusikan asumsi tersebut pada persamaan 5.21 dan dengan mengabaikan orde di atas ordc kctiga. T dan U dapat dinyatakan

(s.20b)

{r

xt = x + Lsin0 dan !t = L(l _ cos 0)

n)1"":,,':r"

;'i]

[;]r,"

sehingga persamaan gerak menjadi:

u

=llr

^li,

d} , diperoteh:

l*,:,,';'":::;)li).l:,,,,,r'l-*o,][;]=[;]

,,,r!l*r][;]

266

Getaran Mekanik

Alternatif lainnya adalah menggunakan persamaan 5.22

dan

{q} =

persamaan 5.23 secara langsung.

5.3 Getaran Bebas Tidak Teredam, Mode Utama

767

Sistem Diskrit

I

i=l

{/}, sin(a;,r *

v,

)^=t

(5.30)

{O\, P,

i=l

atau

{q\ =lo){p\

Persamaan gerak getaran bebas untuk sistem konservatif ditunjukkan pada persamaan 5.8. Untuk mencari solusi harmonik, kita asumsikan: atau

{q} = {,r}sin

(rt +,y1^=1"1rp1

(s.24)

di mana {Q}adalah vektor Eigen atau vektor mode, ro adalah frekuensi pribadi, ry adalah konstanta dan pQ)= sin(a/ + y) to-ponen harmonik. Dengan mensubstitusikan persamaan 5.24

ke

persamaan

5.8

dan

disederhanakan, diperoleh:

lr'r -

uilOl =

{o\

(s.2s)

(5.3 1 )

{p\ =lo)-' {q\ Pernyataan

ini

menunjukkan bahwa gerak

{q} au" massa diskrit

pada persamaan merupakan superposisi mode utama p;(t) seperti ditunjukkan getar Qnodal mode 5.27'dan 5.28. Tiap mode adalah harmonik. Matriks nmtrix) [Q] adalah sebuah kombinasi vektor mode getar {u}; seperti menunjukkan seluruh mode getar pada persamaan 5.31.

ditunjuktan

[Q]

suatu sistem linier.

di mana I adalah matriks unit. Selanjutnya kita akan mendefinisikan:

)" =

(s.26)

(o2

di mana L adalah nilai Eigen. Dengan demikian persamaan 5.25 menjadi:

Vr-ul{o\={o} yang merupakan satu set persamaan homogen simultan.

(s.27)

fi. =V,f - Hl

Contoh 5.4 Jika Untuk suatu sistem pada Gambar 5.4 diketahui m1=n2=n, dan kr:kz:k'

dinamakan karakteristik determinan. Untuk memperoleh solusi persamaan 5.Zl,t'tta akan menyamakan A2 dengan nol.

M"=V"I-fl|=o

(s.28)

Vektor mode Qnodal vector) {u} pada persamaan 5.27 n-renyatakan amplitudo relatif massa diskrit pada frekuensi pribadi ro. Bila frekuensi {r):{D$ maka perMmaan 5.27 menladi:

lt""r

-a]{r},

=

{o}

6.zs)

di mana {0}, adalah vektor mode getar Qnodal vector) terkait dengan nilai eigen 1",. Solusi umum persamaan 5.8 diperoleh dari superposisi solusi harmonik persamaan 5.24. Dengan memperhitungkan seluruh mode getar maka akan diperoleh:

,*r(0)=0,

dengan meng(b) vektor gunakan koordinat utama, hitunglah (a) Frekuensi pribadi sistem perpindahan {x}.

kondisi awal *,(0)= I ,xr(o)=0 ,*r@)= I

Gambar 5.4

768

Getaran Mekanik

Solusi homogen r-urtuk sistem dengan satu deraiat kebebasan adalah:

Solusi Penurunan persamaan gerak diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Daripenurunan persamaan itu diperoleh persamaan gerak:

[; ;]tl l.L:rr ;:)l:,1

=

[:]

Dengan menggunakan metode yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka matriks n-rode adalah:

pr = Ar cosatl + A,

ir

sinro,,t

= -oAr sin a),,t + aA, cos a),tt

Pz = Brcos0),,t + B,sinat,,t

i,

= -oB r sin at,,t + alB, cos a,l

nraka

p, = Arcosco,l

w=1" :,1 Transformasi matriks massa dan kekakuan menghasilkan mah-iks diagonal:

Ar=0'5

, Az=0

maka

S'u,)=lo)'

tMl lo)=l'';

['o,]= l,,l'lKl

Pr

:,,,7

:,,1{i,}.l'

:

irl{i,}

=

t.

{ll

maka persamaan menjadi dua buah persamaan satu derajat kebebasan yang independen: nfi), +lqt,

=0 np, + 3lqt, =g

=0'5 '"' ^lL' Y rlt

dengan cam yang sama diperoleh:

lil=l': :rl

maka persamaan getaran dengan menggunakan koordinat utama:

l'';

th,)

Sistem Diskrit

pt =0.5 ,n,

^lL, T,,'

lil=',1',,)"' karena

[i;. j

I

i ] -"

I

tr)

{x}= fu]{p} ,"utu,

= {l} [; :]l;:,)=

:l

:,71',,)*' [u;

. il', l,l[i]-,I ,[r,,)

Maka respons sistem diperolelr:

{"r(o)}

=

{l

o} , diperoleh:

{r(o)} =I;rl-'

1,1 =

I''} lo.sj

[l

=

]

iu] -, [,F,)

.

:l:,)*'t,tr

)

770

Getaran Mekanik

5.4 Ortogonalitas Vektor Eigen Tanpa komponen kopel, matriks

M menjadi matriks diagonal

komponen diagonal m;;. serupa dengan hal tersebut, matriks

menjadi matriks diagonal

['",]

dengan

l,r,) K

direduksi

A""ran komponen diagonal k;;. Maka

Sistem Diskrit

I

ll

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan 5.34 dan pcrsarn:rlrr 5.35 pada persamaan 5.37, dan memfaktorkan p,, dan disederhanakarr. diperoleh:

1,u{O,l= r{0,\

(s.3lt)

dengan cara yang sama diperoleh:

persamaan gerak, sistem yang ditunjukkan persamaan(5.7) menjadi:

7'ru,){il+['r,]{p}={o}

6sz)

l,u{0,}= r{0,\

(s.3e)

kemudian dengan mengalikan persamaan 5.38 dengan transpose matriks

atau m,,p,,

+kiipii

=0 untuk

{O,l' ,dan ditranspose

i=1,2,3,....,n

di mana {p} adalah koordinat utama. Dengan demikian setiap mode

getar

dapat diperlakukan seperli sistem getaran satu derajat kebebasan yang independen.

Untuk membuat persamaan gerak menjadi tidak terkopel, kita perhatikan persamaan (5.7).

ru{A}*r{q}=

{o}

(s.33)

kita ketahui {ql={Q,}p,. Maka untuk mode ke

r,

(5.40)

kemudian dengan mengalikan persamaan 5.39 dengan transpose matriks

U, )'menghasilkan: rrr {0"\

= {0,\' r<{0"\

(5.41)

Dengan mengurangkan persamaan 5.40 dengan persamaan 5.41 dan dengan mengingat matriks M dan K adalah simetri, diperoleh:

(1, - t"){0,\' u{O"l = o

(s.42)

Karena ),,. + ),", maka

diperoleh:

{ql =

{O,l' t t{O,l = {O,l' x{O"l

t"{0,\'

di mana M dan K adalah simetrik. Pada mode utama, sistem tersebut dieksekusi dengan gerak harmonik yang sinkron. Untuk mode ke i. persamaan (5.31)

l,

persamaan tersebut maka:

{0,}p,

(s.34)

Karena p, adalah harmonik pada
adalah

P, = -1,'P,. di mana )", =

ai

(s.3s)

to,\'u{o,l=o ,r*s

(s.43)

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan:

{0,\'x{0,\=o ,r*s

(s.44)

Dengan mempertimbangkan seluruh mode getar akan diperoleh:

=

k,.,. /

m,,.. Dengan cara yang sama, untuk mode ke

s,

diperoleh:

lOl'u[d= ['M,] ou, lOl'rlOl= [',.,]

(5.4s)

{ql = {o"lp,

(s.36)

di mana [u] adalah matriks vektor Eigen atau mode. [tAZ, ]au" ['r<, ] adatatr matriks diagonal. Untuk meniadakan kopel (uncouple) persamaan (5.33),

b, =-1,P"

(s.37)

kita substitusikan {q}

:lOl{p\

pada persamaan (5.31) sehingga diperoleh:

272

Getaran Mekanik

Mlol{r} + x[6]\pl ={o\

(s.46)

Dengan mengalikan persamaan tersebut dengan 161'

fQ)' uku"diperoleh:

?lt

Sistem Diskrit

Jika kita menginginkan matriks massa menjadi sebuah nratriks ttrrit l. maka dengan menerapkan persamaan 5.49 diperoleh:

rpt,

u rp){r,

=ti;;,y}i(,fl

u [o)li\ *lo)' x[o]{pl = \ol

atau

ld'tt[O]=['M,]

Karena (s.47)

S'u,)li\*[r,]{r}={o}

:,,

adalah diagonal,

*uku [',r,]

diperotetr

dengan menggunakan relasi: (s.s 1)

5.5 Koordinat Normal

*=zi'',,d,J,,

Koordinat utama {p} kita normalkan untuk memperoleh koordinat normal

Energi kinetik dan potensial dalam koordinat nornml {ry} adalah:

{ry}. faOa contoh 3 kita pilih elemen perlama dari vektor {4, } rorrru dengan satu unit. Teknik lain untuk melakukan normalisasi adalah dengan memilih koordinat normal {r7}yung dapat menyebabkan matriks diagonal [tr,] menjadi sebuah n,atriks unit I. Terkait dengan hal tersebut maka matriks

[tf,

]lrgu lif
menjadi diagonal dengan

fu]

li

= ati sebagai elemen diagonalnya.

adalah matriks mode yang terkait dengan koordinat

r =l\ql' u {ql =!{,il'lpl' ulp)\q1=i{ril' u =i{ql' r\q\ =!{,i'lpl' x[p)ti =i{,il' di mana

A

adalah matriks diagonal dengan

A"

{n\

,r{,i

(s's2)

sebagai elemen diagonal-

nya, di mana:

{q}

dan

koordinat utama {p} dan kita misalkan juga [r] adalah matriks nrode yang dinormalisasi yang terkait dengan koordinat {q} dan koordinat normal {r'1},

n =lvl' xb,]

(s.s3)

atau untuk sistem n derajat kebebasan:

maka berlaku hubungan:

{ql =lOl{p\dan {q} =

[l]

b,krl

(s.48) (5.s4)

aapat diperoleh dengan mengalikan

[4] a.ngun tiap

vektor moae fu, ],

yaitu faktor konstanta normalisasi n,, yaitu:

{p,}= lQlt"

atau

(s.4e)

[p]= [f][',,,]

di mana [trr,] aOatan matriks diagonal dengan r*,

S:

5.6 Teori Ekspansi 1,2,3;..., n

sebagai

elemen diagonalnya.

Dengan menggunakan transformasi persamaan (5.48), persamaan gerak (5.47) menjadi:

l,)' ufl,l{n\*l,pl' r[p]{ry}=

{o}

(s.s0)

Pada bagian sebelumnya telah kita ketahui bahwa gerakan massa diskrit

adalah kombinasi linier dari mode utama. Hal ini menunjukkan bahwa vektor mode adalah satu himpunan linier independen.

Vektor mode adalah linier independen jika satu vektor tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier terhadap yang lain. Secara matenratis,

Getaran Mekanik

274

satu himpunan

n vektor

{"|,{"\r{"\t

{"},,

adalah bebas linier jika

t 2 c 3........c,, tidak nol, sedemikian

rupa sehingga:

c

",{ul,

+c,{u\. +c,{u}r+........ +",,{u|,,=i,",{r},

={o}

Kemudian dengan mengalikan persamaan tersebut dengan

(5.55)

l")'U

,

i,",fu)'u {r},

{o}

(s.s6)

Sifat ortogonal pada persamaan 5.44 menunjukkan bahw^

ftrli

ltntll

tegar. Karena sistem tidak ditahan atau dikendalakan oleh rangka tctalr ( stationary franre), energl potensial U adalah fungsi kuadrat semidellnit positif dari koordinat general q. Sistem dapat dijadikan definit positil' dengan menggunakan sifat ortogonal dengan menghilangkan mode nol.

Jika {u}o adalah vektor mode untuk mode nol dan pada mode nol tersebut sistem dianggap sebagai benda tegar, sedangkan untuk gerak benda

dihasilkan: =

5.7 Sistem Semidefinit Pada bab terdahulu telah ditunjukkan sistem semidefinit untuk gerak

sekurang-kurangnya satu dari himpunan konstanta c

il5

Sistem Diskrit

l,t{r\,

tegar berlaku Qr=Qz=....= Q,,, rnaka {a}oterdiri dari elemen yang bernilai sama. Dari relasi ortogonal pada persamaan 5.43, diperoleh:

{u\[

(5.59)

u {u\ =o untuk i * o

\i.)

adalah nol hanya

jika r + s. Artinya, persamaan di atas tidak terpenuhi jika r:s, kecualijika c, = 0 untuk S : l, ...., n. Dengan kata lain, semua c pada

Kita asumsikan matriks M adalah diagonal dengan memilih koordinat seperti ditunjukkan pada bagian sebelumnya. Dengan mengabaikan

persamaan 5.55 adalah nol dan vektor mode adalah bebas linier.

konstanta pada {rz}o , persamaan kendala dari persamaan di atas adalah:

Karena vektor mode adalah bebas, maka vektor sarna dapat dinyatakan seperti kombinasi

{V\

paaaruang yang

linier {a},. Untuk s:1, .....,

n,

-ll.

lm,,q, i=l

=o

(5'60)

adalah:

ir, {r}" lrrl = s=1

Contoh 5.5 atau

{Yl

=

[rJ{"}

(s.s7)

di mana cr, c2, ...,c,, adalah konstanta. Tiap nilai c. menunjukkan derajat partisipasi dari {u}, pada ekspansi vektor {f'}. Hut ini dikenal sebagai

Carilah matriks n,ode untuk sistem semidefinit seperli ditunjukkan pada gambarberikut: \

j

/

teorema ekspansi.

Nilai

b\i et

c, diperoleh dengan perkalian awal persamaan 5.57 dengan

atau

{il}l K

.

Dengan melrggunakan relasi ortogonal, diperoleh:

{rl!,lrl atauc - {r\i "' {,}l Mlu\, {,}: K{,}, xlr'\

(s.s8) J Gumbar 5.5

Getaran Mekanik

276

Solusi

Kita sederhanakan dulu modelnya menjadi seperti pada gambar berikut:

)il

Sistem Diskrit

Sistem tersebut definit positif dengan matriks M dan K yattg bilttt Dengan mendefinisikan p = k, / J maka persamaan gerak terkait adalalr:

l' )li,:,1.,s' il[;: ]

=

t;l

Maka dapat kita tunjukkan bahwa persamaan frekuensi adalah:

rJl

A(r) =l')

3(). p\(A -':,^^ _i rl= - -

untuk ), =

p,

Dari persamaan 5.60 diper oleh:

mtflt +,tt,,q, + Karena ilttt

=

ttt,1

=

fil"t-tqJ

trt-tr

o

=0

=./

, maka persamaan

=*rr, Ur{

' )lri ' )Ui,)

, =llr, Qt r[; ', -11!: =11r,

maka

[;:]=[jl

Matriks 3 x 2 tersebut dinanrakan matriks kendala (constraint nrutrix) sehingga energr kinetik T dan energi potensial U menjadi:

, =![r, U,lU

maka vektor mode diperoleh sebagai berikut:

dapat dinyatakan:

':)t;:)

[r

o

,, __(zt-sp) _sp 0 7-p tlz

q, = -Q t - Q:, kemudian dalam bentuk matriks

[;,]

p)=

(t- n)at +Qt"- 5p)q, =o

di atas menjadi:

8t+Q:+Q.t=0 atau

3

q

^l',

il[;,]

kemudian kita cari

: -l-

0=

-1 ' oleh

sebab

itu vektor mode

['l

[r,], =l o L-/l I

o

untuk )" =

q,

t:)lt':)l;;1

yaitu 8t

untuk mode ke-l adalah:

llt':)l!;) ,-?;

q3,

3

p,

maka vektor mode diperoleh sebagai berikut:

__(zt.-sp) __ p _

).-p

Qz maka

[;:]

=

[j,]

l

2P -2

778

Getaran Mekanik

Kemudian kita cari qr, yaitu Qs=-l-(-2)=1. Dengan demikian vektor mode untuk mode ke I adalah:

[u], =l -z

persarn:lan tersebut kemudian kita substitusikan pada persamaan 5.8 dan persamaan 5.9, kemudian dilakukan penyederhanaan, diperoleh:

Tlul

[,-l

){"1=

{u\,

lt t tl {,},]=1, o -rl

ofr,}

(s.62)

5.61 akan menghasilkan frekuensi dan mode yang tertinggi, sedangkan persamaan 5.62 akan menghasilkan frekuensi dan mode yang terendah.

lt -t t)

rtt$rlc rrol

{Z},

kita gunakan

persamaan 5.61. Asumsikan vektor seUagai bagian dari vektor mode seperti ditunjukkan pada

Sebagai contoh, sembarang

,r*

(s.6r )

Persamaan yang manapun di antara kedua persamaan tersebut dapat digunakan untuk memulai iterasi. Iterasi dengan menggunakan persamaan

sehingga vektor mode adalah:

[u)=Uu],

l,l

=H

I

L,l

)79

Sistem Diskrit

persamaan 5.57, sehingga dihasilkan:

lrl o = i,",lul,

(s.63)

di mana ci melupakan konstanta. Berikutnya, bentuk urutan vektor adalah utodc ptrtallta

sebagai berikut:

{rlo, {r\, = H lvl,, Iv\,= H \v\, = u' \v}0, \

,,,o,1*

substitusikan persamaan 6.55 pada lrrsamaan gunakanrelasi 2{a} = H lul, diperoleh:

k..t,,"

lvl, = H llr\ o = i,r,r{,,},

5.8 ltemsi Mabriks Metode ini menghasilkan satu frekuensi dan vektor mode dalam waktu yang sama. Proses iterasi dimulai dengan mencoba frekuensi yang lebih rendah atau lebih tinggi dan dilakukan berulang sehingga diperoleh harga yang mendekati, kemudian kita ulangi prosesnya untuk memperoleh mode yang lain.

lika pQ) merepresentasikan natural

a

{"\p

lV\, = H' {V\o=i,",r'{,r}, lv\ " = H' lvl o = f,c,H'

t,",t,

lrl,

= i,c,A.,H

{u} , =

dan dengan meng-

i,c,li

{t\, =i,c,7l

\ul,

(5.65)

lu\ ,

sebuah mode utama pada sebuah frekuensi

dan {a} adalah vektor mode yang terkait sehingga vektor

perpindahan {q\ =

=

6.54

(s.e)

dan {ri\ = -r'fu\p

: -1fu\p.

Persamaan-

sehingga diperoleh:

Ir'\, = H' lv\ o = c,li

lu\ ,

(s.66)

Getaran Mekanik

280

Jika iterasi lebih dari satu ditampilkan maka dapat ditunjukkan bahwa:

{/},., = c/.i.'ftl,

=

l,{Yl"

(s.67)

Dengan demikian nilai Eigen pertama

{,r},

).,

dan vektor mode yang terkait

Ouput diperoleh. Mode kedua diperoleh dengan meniadakan mode

pefiama p,. Persamaan gerak dimodifikasi sedemikian dan proses iterasi kita ulangi. Untuk meniadakan mode pertama, perhatikan transformasi:

lql=h'\p\

dan

{p} =Iul'' {q}=[,]{,/}

dengan menggunakan persamaan kendala

Pr =Vt

fl

t+

Vt2(l 2

281

Sekarang H1 dapat digunakan pada persamaan 5.61 untuk iterasi mode kedua karena rnode pertama sudah ditiadakan. Persamaan 5.64 hingga persamaan 5.67 dapat digunakan untuk proses iterasi seperti yang dilakukan sebelumnya.

Sedangkan karena hanya

u

{r},

pada persamaan 5.69 tidak dapat ditentukan langsung, yang diperoleh, tetapi

[rr]-' = [r] u.tun, diketahui. Dari

sifat relasi ortogonal pada persamaan 5.43, diperoleh:

lu

f'

u

[,, ]

= [:tz -]

(s.72\

(5.68)

di mana

pr = 0, diperoleh:

adalah diagonal. Kenrudian dengan nrcngalikan kcdua sisi

['r,]

persamaan (s.6e)

+........ + V,,,q,, = 0

Sedangkan koordinat tidak berubah, maka:

di

depan dengan

['r.]-'

dan dan kenrudian dikalikan di

belakang dengan [rr]-' , diperoleh:

['r.]-'lul' u =[u]-/=[u]

Qi=8i ........tntuk i=2,3,......,rt Dua persamaan terakhir dapat dinyatakan dalam notasi matriks. Untuk mengilustrasikan dua persamaan terakhir, kita gunakan matriks 3 x 3, sehingga:

karena

['r,]

(5.73)

adalah diagonal n'nka baris pertanra persamaan ini

menghasilkan:

fr,, vrr

":il[;i]

l'i

Sistem Diskrit

v,,,f=(konstcmta) Iu)', u

(5.74)

sehingga matriks S pada persamaan 5.70 dapat diperoleh.

li;'tr)1,,)

Contoh 5.6

Tentukanlah frekuensi natural dan vektor mode untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar berikut:

lt,1=l't'iT] li,'.t)lt) utuu

{q}=

di mana

S,

(5.70)

{q}

51 yang didefinisikan

di atas dinamakan matriks pembersih.

Matriks H pada persamaan 5-61 dimodifikasi oleh

31 untuk memperoleh

matriks baru Hs.

H'=V15'

Gsmhu 5.6

(s.7r)

Getaran Mekanik

Solusi

28r

Sistem Diskrit

Konstanta 18 dihilangkan kemudian iterasi kedua menghasilkan:

[e 6 41[

Persamaan gerak sistem adalah:

:: l'; l,;ltll .l::r :;lo o ,,1[ii ).1-;r

s all.roazl=lzz.sl= lt 6 Bll. / ) lte .] L t

{rl, =16

_lo,.,r r'l ::)L:)=L;]

daripersamaan 5.8 dan 5.9, kita ketahui bahwa G = K-t

M

, maka:

lagi, yaitu:

r ) lrurnf [ ' I [a o 6llttmol=l ll 22.5 l=te.tt7lt.t86ll lv\r=16 9

sr -2k o f-'f ttt o 01 ttt ol G =l-2k ' 4k -ro I, lo I l0 -2k 3k)10 0 ml

14

ts641

"!-16 9 ol = t2kl 14 6 B)

\vl,=16 e 6 lr.tsotl=l

I

14

41

It t oll,l =*t"\ lt6s)

;

di mana

^.

=#

I

6 s)l I 1,, [a I o 4f[ t ) ltt.rrz)

I

Dengan menggunakan persamaan 5.62 diperoleh:

6 ,l |

22.s

l=te.tttlt.taatl

; J I ,, I

{r\,={t t.t86t

/}

clear

Gtul=*t4 {t t l} t""u* sembarang untuk mernulai

proses iterasi. Dari persamaan 5.(A kita peroleh:

lterasi pertarna men ghasilkan

6=[854;696;4681; V(:,:,1)-G*[1 11].';

. /V(1 ,1); k=2:10 V( :, :,k) =G*W( :' :'k-1) ; W( :, :,k)=Y1 :, :,k) . /V(1,1,k)

W(:,:,l-)=V(:,:,11

for

end

lvl, =G{vl, Dari persamaan 6.53 kita peroleh:

"'

L, l

rnaka karena pada proses iterasi sudah tidak ada perubahan lagi, kita peroleh nrode pertama,

dengan lebih cepat:

pilih {f }. =

L, l | r I

Dengan rnenggunakan MATLAts, kita dapat melakukan proses iterasi

atau

Sekarang kita

)

Kenrudian konstanta 19 kita abaikan. Kita ulangi prossesnya hingga iterasi keempat dan kelima nrenghasilkan angka iterasi yang tidak berubah

I

I-s 6

I I lrYl I t I tolr.raol

lr::l{i} lijl

"['

:T'1

*trt=ts.ll7{a} ll

;

Getaran Mekanik

Sistem Diskrit

Kemudian:

1. '

I t9.t

t7

I 2k

^t

..t' -

il{l

Kita lakukan proses iterasi yang serupa dengan proses

atau: )

i liii

=li !iii)= -7 4sssl-ol,,,f L-0.70ts) [a t.zis6 a )lrJ ls.zssa ]

,,,, =13

mtr,

l2k

,

t

l9.ll7ttt

Setelah iterasi ke 14 diperoleh:

0.6277 k

l-rl

,tt

Mode peruama dapat di-supresi dengan kendala P, = 0 sepefti ditunjukkan persanman 5.69. Nilai v;; dan v;; diperoleh dari persamaan 5.74 sebagai berikut:

lr,, vz v,,)''=ft l.l.6t ,l::;i,:; Konstanta pada vektor

[r]ttit

i,,)=,,1,,'r:,)

abaikan sehingga sweeping maffiks dari

Dari persamaan 5.71, matriks Gr adalah:

+l[o -r.r86r -'] [o -34888 -4-l [s o 0l=10 1.8834 0l G,=GS, =16 e 6ll0 I l+ o slfo o I]Lo t.2ss6 4) {t 1 l}

secara sembarang untuk memulai

proses iterasi. Dari persamaan5.64 kita peroleh:

Iterasi pertama menghasilkan:

{v\, =G,tv\o

L-,1

tu\r=ll o -l\ Sedangkan frekuensi natural mode kedua diperoleh dari:

-

, l2k

3k

4ttt

trt

n,=Utl=-=-

t t*6t ,l[, o o1 -t t*6t -1-l It lo t ollo r ol=lo t ol s,=lo -t L, , r)loot)[, o t)

pilih {f }. =

lv\,0=olol maka karena pada proses iterasi sudah tidak ada perubahan lagi, kita peroleh mode kedua:

persamaan 5.70 adalah:

Sekarang kita

sebelumnya.

Mode pertama dan kedua di-supresi dengan kendala Pr = Pt

Vektor

[r,]'' orn [v,]''

=0'

alperoleh dengan menggunakan persamaan 5'74

seperti kita lakukan sebelumnya.

01 [t.l o lr, vzz ,,,1' =lt o -\lo ottt m) l=rl o L-/] [a lm o

I

konstanta m diabaikan sehingga diperoleh sweeping matriks dari persamaan 5.70, adalah:

Ir t.t86t tllo o o) lo o

t

I ornrl

i -, ; ; -,ll; "'-L;; ;)t;ot)L;o tl ,. =l

,,1=lo ,,

Getaran Mekanik

286

Dari persamaan 5.71, maka matriks G2 adalah:

lo -3.48ta -4110 o t 1 lo o t.ss2s1 6. = 6,s, =1, t.88t4 o llo o -,.nuorl=1, o -r.,rtul

lo

Sekarang kita

t.2ss6 t)Lo

pilih

{lrl,

=

o t )L,,0

{t I l}

t.aazs)

secara sembarang untuk memulai

proses iterasi. Dari persarnaan 5.64 kita peroleh:

Iterasi pertama nrenghasilkan

;il;r"d". M{ii\*r{./}={C(,)}

persamaan Kita gunakan transfonnasi koordinat {q}= [.,']{'l} dari sehingga (5.48) yang menghubungkan {q} dengan koordinat normal {r1} persamaan 5.75 nrenjadi:

dengan nrengingat

Io o t.Bs2B1{t) lt.aazel I t I t7slllrl=l-r. t75l= t ss2,l-t.686zl Vl,=lo ' '2 [, 0o -3t ssza )lt) [, rrrrJ [ , .] Karena pada proses iterasi sudah tidak ada perubahan lagi, kita peroleh mode ketiga:

sedangkan frekuensi natural mode kedua diperoleh dari:

12k

'

t.

teot

lt-t

dan

lp)' Xlpl= A, maka persamaan

gerak menjadi:

lii\ + tfu\

=17,1'

{o(,)}itr(,)}

(s.77)

Karena adalah vektor gaya eksitasi yang dinormalisasi. (5'17\ dapat dituliskan Aadalah diagonal dan A, = a)? , maka persamaan

di mana tlr(r))

ii,+atiq,=lv,(l) untuk i= l'2'"""n

(5'78)

kebebasan yang independen' diperoleh:

ilt

ry,

,,

ltlp)=I

fyl' , aun

Persanraandiatasdapatdiperlakukarrseperlisistenrsatuderajat Daii persanraan (2'120)' solusi hornogen

6.374k

l.BB?Bw

ltl''

Sehingga matriks mode sistem adalah:

ful=l

(s'76)

{o(')}

nTenjadi:

, = lt -t.6867 t}

Irttl

(s.7s)

dengan Kenrudian dengan mengalikan p€rsamaan tersebut

Setelah iterasi kedua diperoleh:

. , A,=o;=-

gerakan-gerakan getar. Resultan gerak diperoleh dengan nlensuperposisikan konservatif: sistem Sekalng kita perhatikan persamaan gerak

u[pl{ii\ * rlal{,il=

:

{rr\,: c,{rr\,

{u}

287

Sistern Diskrit

(r) = it,,(t -

r\N,(r)ar

(s.7e)

0

-r.6s671

t)

,

5.9 Getaran Paksa Sistem Tak Terdam Metode analisis mode getar mentransfomrasikan persamaan simultan sistem diskrit menjadi satu set persamaan diferensial orde 2 yang independen. Tiap l^*rsamaan tak terkopel pada koordinat utama p;(t) menunjukkan suatu mode

di mana /r,ft)

persamaan adalah req)ons irnpuls terhadap sistem' Dari

(2.116),respons impuls untuk sistem tak teredam adalah:

h,(t\

=

-!-

sitt roit

(s.80)

Dengannrengkonrbinasikanduapersanraanterakhirdiperolehrespons transien dengan kondisi awal nol'

Getaran Mekanik

ry,(t) =

*'!*

(t)sirt co,(t

- c)tr

urttuk i = 1,2,.....,n

Sistem Diskrit

289

(5.81)

untuk menrperoleh solusi honrogen, pertama-tama kita cari kontribusi kondisi awal terlradap eksitasi pada mode nomral. Kondisi awal orisinil

adalah {q(0)}

til

dan {.i(O)}

Dengan menggunakan

fiansfornrasi

= lOl-' {q }, diperoleh:

{a(o)} =[ol-'{.r(o)} dan {4(n)} =[ol-' lq(o)l

(s.82)

Jika t7,, dan t),r, adalah kondisi awal dalam koordinat normal untuk mode ke-i. Maka solusi homogen akibat kondisi awal adalah:

ry,(t) = ryio cos oit *

L,i,o

0l----

(s.83)

sitr to,t

&)i

o

L* r,

Gambor 5.7

kr=kr-ks=k;kr=ka=2k; lll,

=111,

= lll itttt - 2m i

+ko

eksitasi

lrersafiuun 5.81 dan reslrcns akibat kondisi awal persanraan 5.83.

t . .., +:tii(0)sina,t a'i

-t. k.+k,+k, -k5

. ii

l{l} {i[}

(s.84)

:

Solusi umum dalam koordinat general respons tiap-tiap mode, sehingga:

':'; l]{i}.[-ti,

['l'

,t,(t)=AIrr (t)sitta,(t -r)tr + r;,(O)cosa4t

=F,{a,ln,(t)

t,

Solusi

Solusi umum adalah penjumlahan respons akibat gaya

{a(r)}

.r:r

o l-'----

untuk {q}

Kemudian kita masukkan harga

i=1,2,.....,n

merupakan superposisi

utau {r7(r)} =brlfufu)l

(s.8s)

Jika eksitasi hansien berbentuk senrbarang nraka hanya solusi formal yang ditunjukkan pada persamaan 5.85 yang dapat disajikan.

Contoh 5.7

Dengan menggunakan parameter mode, carilah rcsg)ns sistem yang ditunjukkan pada ganrbar berikut. Jika pada nnssa ml diterapkan guyu F sin att .

f,n o o1ti,) lst j I o 2nt , llr, l.l-ro

l, ,

,,,llt,J l-ro

Untuk mencari mode getar, k

{r}= o,

kemudian dengan mensu

;sa

dan kekakuan sebagai berikut:

-2kf

-

u,r' -2k

| -zr | -ro

5k

-k

-0 3k-

tr, sirrlrl

I

sanrakan vektor gaya dengan nol,

usikan

-;

- 2nu,i

x,l

=t 't ;l l1;:]

persamaan frekuensi:

ls*

{

{x}= {X}sirrct,

diperoleh

Getaran Mekanik

o tvt,,, 0 ['r,] =| o 49.0193nt o o t.3a92ttt) I o

-l

Dengan menyamakan determinan persalraan frekuensi, diperoleh persamaan polinom: 2nt3c,t6

-

2lnr2kro4 + 57k2mro2

291

Sistem Diskrit

| 4.

- 30kj =0

I

Dengan mencari akar-akar persarnaan polinom diperoleh frekuensi natural sebagai berikut:

,l

=9.691141 til

,

tol =

3.3786L, ilt

,i

['".

=6.431tL

Dengan memasukkan nilai frekuensi natural perlama pada persamaan gerak diperoleh:

- 2kX 2 - 2kX, = g -2W,+3.6192kX2-kXr=g

[u]'[,
['".]

=l o I o

1

I

sedangkan

I

Kemudian kita masukkan nilai X;=1

o.8ee5 t.Jss4 fl o 1 -3 7t23 4.5230 ll t,r,,, -0.t872 -0.52s4)l ) I o.ssss 1

t

[,,]'[r]=lr

Itt t I

o

Ir

{,,},=lo.stttsl

lt.zsst )

=F

,irt

I

attl -3.71 231

Mode getar kedua dan ketiga diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi natural kedua dan ketiga pada persamaan gerak sehingga

l-o.,urr) maka persamaan gerak sistem tidak terkopel adalah:

diperoleh:

lu\,

o t6s.6tstk o o 8677k)

lz.aosst o

nt

4.3096kX t

] =

=l

-r ), rrlo*

I t.szso

I

{,,},

=

o l[r,l o lt.rotn o ll'i.l o 4e.ote3n I o t.3ae:nt) [;,,J I o o 'l [r,l o l:.aost* lo.aoos] +l 0 l65.6t5lk 0 llP l=Fsitrtotl-3.71:31 o a.azzr) [r,J l-o.raz:) I o

| -o',urrf L

-0.5284

)

Matriks mode:

tt

t

t

I

P1=lrt.t:t:ts -3.7t23 -o.ts72l It.zsst 4.5230 -0.5284 )

Respons sistem dalam keadaan stedi adalah:

Pt=

Matriks massa dan kekakuan yang tidak terkopel adalah:

['r.] = [,,]'lu)ll

atau

0.8995

2.8953k

-

F

sitt tot

4.l94ttrto?

292

Getaran Mekanik

Pt=

Sistem Diskrit

293

0.3I07 F sin att

rlt

resprmasa

-@r,)')

I I

/\il -

I rl

Pz=-

rlt

sin att

-@rol')

I I

0.002l6 F sin a

l

.,,\

iti ii

I-s=-Tli

tlt-(ot

I

F/k

Dengan cara yang sarna:

0.0024F

1

lx,l

'-- -l

I

\i,,

I

I

I

a4)

I

)

I I

sehingga respons sistem adalah:

-l 2

2.5

{,} [,][p] =

I =l o rl,r* -3.7123

l,-rtt,

4.5230

frlrri:i

-t:x:)li,l

o/,[k/ rn

-t

resPmmassa2

lxrl -

I

I

I

maka

xt=Pr+Pt+Pt 0.3I 07

F

sirt

tot

0.0024

F

sin

att

0.002I6 F

sitt

at

*lt -@r a,)') rlt -@r.)'f rlt -@r ag') ol =a.69olL, ,', = 3.3286L; a: =(t.a3l ,il til 3.7123

p, -0.1872 p,

= 1.2554 p, + 4.5230

p, -0.5284 pt

xt =0.8995 pr -

\

lLnl

tot ___--_____-_i..-_,___,, I _---_-.. --

0.5

1

.

I

t.5

2

2.5

ail,fk / nt

Gombar 5.8 Kutt'u.liutgsi tvslnnstiakucttsi tuttuk sisletn padu Ganthor 5.7

Getaran Mekanik

Sislqm Diskrit

Contoh 5.8

ulangi contoh seberunrnya' Jika pada massa I.dan nrassa 2 diterapkan gaya seperti ditunjukkan oada gambar,'"r:r*, ,= 40, m = Z, a"ngun ni.ngguna_ kan koordinat nonrrar, carirah i.l".i.n aun ganrbarkan grafiknya nrana kondisiawal

sedangkan nrode nornral dari contoh sebelunrnya adalah:

t 1r lt [u]=lo.s:t:ts 23

*rr-rr

di (o)= 1'*,@)=;,;i;, =0 .it(0)=i,(0)= i.,(0)=s L

-r,

-3.7

_0.,

t

urr

l

It.zsst 4.s2Jo _o.rrro l kita akan menormalir

;;;ffi , ;;iffi ,T:[[',,**'' rerlebi h u kita z o ol i,l I too --80 -.tril I l;, o; ,;Hi,l.l_;; ;;; _:;i,lr,l=/;l

rrkt';

dahu

I

car

I

Ul--* I

1'r o l*

.",

o f-------- .r,

lo

ll,r,J l._uo _40 ,;;,ll:,1=

l'; I

Sedangkan mode nornml dari contoh sctrclunrnya adalalr:

t

It

1r

[r]=lo.s:,ts _3.7t23 _,iurrl Lt.2ss4 4.s230 I

ti

_2k

i

Dengan cara yangsanra diperoleh:

j)fi.{t

_2A

dengan memasukkan nilai m dan k, persanraan gemk nrenjadi:

E;f,It]

l

rt, =Q.J45j

Dari contoh sebelunrnya telah kita peroleh:

o ,tl{r,l I sr lm i;:llil.[_;r

nl(ru,,ul, +,tt,ruj, +,ur,ur,,)

=

=ul(Z* tt +4*0.8gg52 +2* t.2s5a2)

Ganh,r 5'9

sorusi

_o.szat

.l-:::':i:i#l ff]

/?, =

Q.161

dan

n, = 0.60g7

Matriks mode normal adalah:

[r,l=[,] [.,,]

rr I t

t

1

l[ 1o)=lo.Bees _3.7t2J _o.,urrll It.zsst 4.s230 _,,.rruo

0.3453

0

ll oo

o.toto o.o,,rr-l lo.stss _0.j749

=10.3106

Lo.433s o.4s6a

_o.t ts:,,1

_o.sz ra

]

0

0.t01

ol

ol

o.oou,l

i

konsranra

296

Getaran Mekanik

dan persamaan gerak dengan koordinat nonnal adalah:

{,r}* n{,r} =lpl'{Ot l}l{lrr(,)}

297

Sistem Diskrit

Respons sistem tidak terkopel adalah:

ry,(t)=*'t *,(r)sirr

di mana

I

[al'

t

s.toso

x[tl= A=l

o

01

o

0l

67.s784

0

L0

t2B. (,046)

Io.ussr, +o.3ro6F,f

lNl=[p]' [r] =l

to t Ft

-0.374eF2 lo.aoaz r, -0. t t3eF, ) o.

I

atau

n + 0.3 t o6 F, ar, (t) = 0. t 0 t q - 0.374eF2 maka persamaan gerak sistem tidak terkopel adalah:

ii, + I 3.8096rt r =0.34534

ij,

ii, +128.6046t7, = 0.6087F,

=0.101\ -0.3749F2 + iit 128.6046t7, =0.6087 4 -0.1 139F2

Kondisi awal untuk sistem tidak terkopel adalah: {rr,

}=

b,l'tql

( t.zzzt ) {qol =l_t.ozsa ,

rI

lo.zoov

)

to,t

urttuk

i=1,2,.....,rt

- 0. I 139F,

maka frekuensi natural sistem adalah: @r

= 3.7161 co, =

8.2206 0t = I 1.3404

Kondisi awal untuk sistem tidak terkopel adalah:

( t.zzzt L,l-'

{q}

ln,\

| 0.266e ,t,k)

=*

lr,

(lr, in

)

=l-,.urtul at,Q

)

- rY, + ry,(o)cos a4t

ar = 3.7161 to, = 8.2206 at = I 1.3404

+ 0.3 I 06 F,

+67.5784Qt

q,(o)crs

7, + 13.8096q, = 0.3453F1+ 0.3106fl, ii, +67.5784t1 = 0.1014 -0.3749F,

= 0-3453

Nr(r) =0.60874 -0.t t3eF2

+

a)i

{,r, } =

N,(t)

- r\tr

I +-rii())sinot,t :

{ql=lp[d ,lA' rlpl= A dan tpl'{g@l!{nft)}, sehingga

to,(t

,,O=[1"['

0.3453* 4* sitr,,,(t

- t)tr *'i'a.ttoa1t0-4lr)sino,(r - r]rr] +q,(o)cos ro,t

ry,

(t)

=

(o.toott -

0.

j2a9)(cos(to,t)-

Untuk koordinat normal kedua:

cos(at,t

-0.929))+ q, (0)cos to,t

Getaran Mekanik

298

=;

ry,Q)

jL, r, * 4 * sin a,,. (r - r\t, -' ['

io.:z+06

o

-

Sistern Diskrit

299

-,X,]

4ot)sin

r,,,.

(t

+

ry.

(o)cos ra,r

dan ..is

"tl f =

["it.6087

I

*4 *sin a,,(r r\t r r r rs(r o - 4or)sin a,,(r - r)/.1 Jo. + 7. (o)cos ar,l

rel="nofollow">0.25detik, gerak benda adalah akibat kondisi awal ryto(t =0.25),4roQ =0.25)i 4zo(t =0.25),fi,r(t --0.25) dan rlro (t = o. 2 5),fi ,o (t = o. 2 5), Sedangkan untuk I

diperoleh:

q,o(t =0.25)=o.2ot 3

5.10 Sistem dengan Redaman Proporsional

,tro(t :0.25)=-1.3055

;

ryto(t

=0.25):

1.6333

i,oQ = 0'25)= -7'3880 ttroQ = 0.25)= -6. 1304

,

7rrQ = 0.25) = -20.4484

Sedangkan respons sistem setelah 0.25 detik adalah: ryt

(t) = ry,,,(o)cos a,r

,t, (t) = 0,,,(o)cos at,t ryr(t) =

*J-

'i,,,(o\sin

a)l

*J-,i,,,(o\sitt

ryr,,(o)cos dtrt *J-,i,,,(o)

co,t

at.t

a)l

1,*,

I

u

{,il + o{4\ + x{q\ = {g@\

(5.86)

di mana M adalah matriks massa, D adalah matriks redaman, dan K adalah matriks kekakuan. {Q(t)} adalah gaya general dan {q} adalah koordinat general. Redaman proporsional D dinyatakan dalam persarnaan:

di mana

cr

(s.87)

dan B adalah konstanta.

Untuk melepaskan kopel persamaan tersebut, kita persamaan (5.87) dan translbrmasi

{q\:Ur[rt\

substitusikan

pada persamaan (5.86),

sehingga diperoleh:

o.sqss

o.lo to

=lo.r,on

-o.i74e

aotz flt,) -0.t t3el\ry,1

1,.,I lotsss

o.4s68

-o.nta)17,J

I

Perhatikan persamaan gerak dengan redaman berikut:

D:aM+FK

{.\ =lp[ry\

I

kecuali jika sistem tersebut mengalami redaman proporsional.

sitt to,t

Secara umum respons sistem adalah:

[*,

Jika suatu sistem nrengalami redaman maka analisis mode seperti dijelaskan

pada subbab sebelumnya tidak dapat diterapkan. Persamaan gerak tidak dapat uncouple (takterkopel) dengan matriks mode sistem tak teredam.

o

ulpl{n\ +laM + pxfurl{4\ * xlpl{,t\ = {90\

(s.88)

Getaran Mekanik

di mana h\

adalah koordinat normal. Kemudian dengan mengalikan

persamaan tersebut dengan

liil +lar + BA)lnl * ,rlryl

lt,l' ultl= =11,1'

1 oan

[l]'

K[pl= A

Kemudian kita asun,sikan solusi persamaan 5.94 dalam bentuk:

lO(,),11r,,1r1)

di mana y adalah bilangan kompleks dan {qr} adalah vektor mode dengan elemen kompleks. Substitusi persamaan 5.95 pada persamaan 5.94

(s.se)

menghasilkan: [22

+

BAlfi, + olq, = ry, (r)

untuk

- a]{v}=

f Orthogonalitas

- a1=o

(s.e7)

Vektor mode {Y} diperoleh dengan mensubstitusikan nilai Eigen g pada persamaan 5.96 dan dilakukan penyelesaian persamaan aljabar

Mode Sistern Teredam

Persamaan gerak sistem dengan redaman viskus dapat ditakterkopelkan dengan mereduksi persamaan gerak menjadi persamaan diferensial orde satu. Kita perhatikan persamaan getaran bebas dengan redaman viskus, di mana matriks M, C dan K merupakan matriks simetri dengan orde n.

Mlq\*clql+ xlq\={ol Persamaan direduksi dengan menggunakan vektor keadaan 2n

(s.e6)

{o}

Sehingga persamaan karakteristik adalah:

i = 1,2,.....,rr

^(y)=lt 5.f

(s.es)

maka

atau

i,+Ia

301

{v\= lvlu'

:

dengan mengingat

[p]'ou,

Sistem Diskrit

(s.e0)

x

1,

yaitu:

homogen. Matriks mode orde 2:

[v\=Uv,l

lY)

tv,l

adalah suatu kombinasi linier dari vektor eigen

(s.e8)

{Y,,,1)

Sekarang akan kita buktikan bahwa vektor mode {W} adalah orthogonal relatif terhadap matriks A dan B. Dengan mensubstitusikan persamaan 5.95 pada lrrsamaan 5.93 dan difaktorkan terhadap er,

{,}=

(5

[;]

er)

dapat ditunjukkan bahwa persamaan (5.90) dapat dinyatakan dalam bentuk:

lt

Y)IX).1-Y

ll[;] [l]

(s.e2')

yA{Yl

+

nlvl

dilrroleh: (s.ee)

={ol

Substitusi y, dan y. untuk mode ke

r

dan s pada persanraan tersebut,

menghasilkan:

y,AlY,l + olv,l ={o\ y"A{Y,l+o\Y"}={o}

(s. r00)

atau

eli,l * alyl

=

lol

Kemudian dengan mengalikan persamaan tersebut dengan mendefinisikan

(s.e3)

{V,

}'

aun

kemudian ditranspose, dan kemudian nrengalikan persamaan kedua dengan

l-r

dan

H =-A-t B diperoleh:

li,\-nlvl=lo\

Kemudian dengan nrengalikan persamaan pertama dengan

(s.e4)

{v, }',

diperoleh:

A{Y,\ * tY,\' o {v,.1 = lol y tY,.\' A{Y "l * {Y,.1' o {v "l = lol " r,. {Y,.1'

(5.10r)

302

Getaran Mekanik

Perbedaan kedua persamaan tersebut menghasilkan:

(y,.

-y)lY,l' AIy,l =o

Sistem Diskrit

atau

(s.102)

Maka dapat disimpulkan:

alyl* B{yl = {s(,)} di mana

{v,l'A{v,l=6 , r*s

303

(s.103)

tf(r))

adalah vektor eksitasi 2nx 1.

Persamaan 5.108b dapat dilepaskan kopelnya dengan menggunakan

matriks mode getar

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan:

(5.r08b)

[Y].

Dengan memisalkan vektor keadaan

{z}

dalam

bentuk persamaan:

{y,l' B{y,l =o

, r*s

Dengan menggunakan matriks mode

(5.104)

lyl

[Y] diperoleh:

=lvll,)

atau

{,}

:[rJ-'{y}

(s.l0e)

Persamaan (5. I 08b) menjadi:

[v]r e[v]=[,a]

(s.1

[v]r n[v)=['r,]

(s.106)

0s)

alv| lzl + o lv|{,} = {s(,)}

(s.r r0)

dan

di mana [t,a,

]

aun

Dengan mengalikan persamaan tersebut dengan

['a]{r}*['a]{,} =lvl'

[tA, ] aaaun nrarriks diagonal.

a,,2,

secara umum teknik analisis mode getar untuk sistem dengan redaman viskus adalah serupa dengan sistem tak teredam, kecuali bahwa nratriks mode [Y] diterapkan untuk mereduksi persamaan. peftama-tanra kita lepaskan kopel persamaan gerak untuk menrperoleh solusi khusus akibat eksitasi dan kemudian kita cari solusi homogen akibat kondisi awal.

(5.90) menjadi: (s. r 07)

Seperti ditunjukkan pada persamaan (5.92) dan (5.93), persamaan dapal direduksi menjadi persamaan diferensial orde satu:

+b,,2,=

N,(t)

(s.ur)

i = 1,2,....,2n

Maka persamaan gerak tersebut tidak terkopel. Lebih lanjut dari r:s=I, diperoleh:

persamaan 5. 1 01, untuk

bii =

-/ aii

(5.112)

2i-lizi=*r,r,r ;

(5. I 08a)

i=t,2,....2tt

(s.113)

Solusi khusus persamaan 6.92 diperoleh dengan menerapkan secara langsung integral konvolusi.

2,=J-'1"r,1'.4N,(r)

';1il=[,1,,]

{s(,)}={n(,)}

Sehingga persamaan 5.1 I I b dapat discdcrhanakan lcbih lanjut menjadi:

Jika gaya eksitasi {Q(t)} diterapkan pada sistem, persamaan gerak

w r)u).1-y

diperolen:

atau

5.12 Getaran Paksa Teredam Modal Analysis)

u{ql*c{al* K{ql:{s\l

[Y]',

aii

rtr

urttuk

i=1,2,.....,n

o

di mana er" / a,, adalah respons irnpuls dengan kondisi awal nol.

(5.114)

304

Getaran Mekanik

Kondisi awal dalam koordinat formasikan

lrl =[vl-' lyl =lvl',

lq

{z}

f]

Sistem Diskrit

i=!

diperoleh dengan mentrans-

, sehingga:

30s

(s. r 20)

maka:

l,(o)l =tyl-' fu(o)l =[yl-,L:,[?r]

j,=i=g(x,i,r)

(5.t rs)

(s.r2l)

atiau

Jita z,o persamaan (5.1

z i=

Z

adalah kondisi awal pada mode

I,

ioe/,' urttuk

i = 1,2,....,2n

(s.l l6)

solusi umum dinero]elr dengan menjumrahkan sorusi persamaan (5.r r4) dan persamaan (5.116). sorusi daiam koordinat tqf aip.rrr.h dengan menggunakan transformasi persamaan (5. I 09).

.

u*u,

(5.1

frfi={ro)}=[v]{,(,)}

l7)

5. 13 Metode Runge-Kutta cara lain untuk mendapatkan respons dari struktur secara teoretis dan dengan hasil yang akumt adarah dengan menggunakan metode ,nt.gru.i numerik Runge-Kutta.

Fungsi dari metode

ini adalah menyeresaikan persamaan diferensial tjngkat satu. untuk persalyn- dinamik dengan persamaan diferensiar tingkat dua, persamaan tersebut diubah menjadi p.riuruun diferensial tingkat safu. sistem dinamik dengan satu derajat kebebasan memiliki persamaan

diferensial tingkat dua sebagai berikut:

mi+c*+l"c=fQ)

'i =*lf"(,)-, *

Kedua suku x dan y di sekitar x; dan y; dapat dinyatakan dalam deret Taylor. Dengan menganrbil pc,tambahar., *rkt, h: At, Jidapat:

.=-,*(#),r-'(#)

,+. !=! *(#),.(#),+.

(s.122)

Dengan nrenggunakan deret dari persanraan (5.122), dapat diambil turunan peftanra sebagai tata-rata kenriringan sehingga turunan yang lebih tinggi dapat dihilangkan:

r

( =,tr, + !!!\"' ,,

' \dt ),

(s.123)

!=! +(*):'^ D.rngun menggunakan metode simpsorr, .h menjadi:

rata kemiringan daram intervat

(5.1l8)

Kemudian persamaan gerak tersebut disederhanakan menjadi

(#);'

:

- kx J= s(.r,*,r1

Dari persamaan tersebut diketahui bahwa percepatan fungsi terhadap

i = s(*,y,r)

maka solusi homogen

l5) dinyatakan dalam bentuk:

g(x,i,t),kemudian kita

(s.l le)

f

=

*le)

.Metode Runge-Kutta -bagian tengah

dari

merupakan

tentukan terrebih dahuru

. o(#),

.o.e)

(s.t24)

.,1

menggunakan persarnaan

5.124 dan

persamaan tersebut menjadi

z

nrengubah

bagian sehirrgga mempunyai empat pamnreter. Dengan memasukkan nilai zt = t, maka kitir dapat n'renghifung kecmpat parameter tersebut dengan menggunakarr

persamaan berikut:

Getaran Mekanik

306

x'

v --

\=t, -x

!l -l

+-

f, =',

"f

f,r-x

.,, lt

0r

,2

Kutta, gambarkan respons sistem dalam domain waktu. Jika kondisi awul lSnun dan t(0)= 200mm/ s ;

-f --4

S, - 6t{.-Y,,i!

"(o):

}

=SE,'f.,tl

l'r=yr*C,.f

or =s{?i,&,/al

i!=.y,+01-Jt

ua

lot

Sistem Diskrit

* .J J,.

'.nl-|

l___t

I

X{=3,+FlJr

io =r, +-tr

:1

glJr,"I

r:Ij

!

(s.

:ul

ff"

l2s)

Dari persarnaan itu terlihat bahwa empat nilai Y; dibagi enam merupakan rata-rata kenriringan dx/dt , dan empat nilai Gt dibagi enam

io =

merupakan rata-rata kemi rin gan dyldt.

Solusi

= xo

(s.t26)

*(to)=io=lo

Substitusi kondisi awal pada persamaan (....) , respons shuktur sistem getaran sebagai fungsi waktu untuk setiap interval h atau (At) dapat dihitr,rng

+h) = x(t,,\+!t,$,

*{rt,, +

h) = *{t,,1 * ln1n,

I(r,,) = llt1,,,)

Gaya eksitasi yang bekerja adalah:

_,\ I[4sinax " L0

Fkl= \/

untuk ot,,

di mana

dengan menggunakan persamaan:

x(t,,

\l'aktu I rrt

Gumhar 5.10

Dengan kondisi awal:

x(tr)

,r/

+ 2Y, + 2Y,

l9t l^ l2r tn=-T

a=

+Yo)

+ 2F, + 2F, +

F,\

(s.127)

" 2 =:--=0.1t 2l0r

Persamaan gerak

- ci{t,,)-kn(r,,)]

si

stem

:

mi+ci+r*=F(() Tahap-tahap pembuatan program adalah dengan membuat persarrrlanpersanuan yang akan dimasukkan ke dalarn program yang ditampilkan, dan kita mulai dengan nrenrbuat tabel sebagai berikut:

dengan

h= At

*{t,,\ = y{t,,) T

Contoh 5.9

diberikan gaya t/z

Suatu sistem pegas-peredam-massa F = 200 sin(l\rt). Jika kekakuan pegas le6

xt*x,

rt=L sinus,

kN/m, konstanla redaman

c:150 N drn, dan massa m:20 k& Denpn menggunakan metode Runge-

J,l

.-

T,-1.+-

-. = r_ + }. J{{

T"=1,+1

ar=r.+t.-

Tt=li+Jt

.Y.

o,

Yt ,'" Y,

=

ilz -

.Jf

-

=;, +)lr-ll

.f, .

.y..-
l,r -

i'a=.t,+C:-lt

a3

[7'{i ).-c}j -.1:{t1/

Ltllil-

cY2

*

*xr)t

ft m

=lfl?tl - *1 - kxrl/,t;

oo =

[jlro\-

ct'o

-

t]'

olt m

Getaran Mekanik

308

Sistem Diskrit

309

I EZ=t+dt/2; x2=x+y1.*dL/2; y)=y+fL*dL /2;

e E

fl= (ff*sin (10*pi*t2l -c*y2-k*x2)

Io

B

/m;

t

E

t3=t+dt./2; x3=x+y2.*dt/2; y3=y+f2.*dt/2; f 3= ( f f *sin ( 10*pi*t3) -c*y3-k*x3 ) /m; t4=t.+dE; x4=x+y3. *dL; y4=y+f3 . *dt; f4= ( f f *sin ( 10*pi *t4 ) -g*y4-k*x4) /m; t=t,+dE;

y=y+dt/5.* (fL+2.*f2+2. *f3+f4) ; x=x+dt,/6 .* (yL+Z.*y2+2. *y3+y4 ) ,.

c1f

clear n=input('Jumlah data ? '); k=6000; c=150; m=20; t.=0 . 0; dt=0 .001-"pi;

xx=input ( 'kondisi simPangan awal ( mm )? ')i x=xx. /L000; (mm/s) ? ') ; $f=inpuE (' kondisi kecePatan awal y=yy. / 1000 ;

for i = 1:ni if E>0.1*pi I t==0.1*pi else

ff=O;

ff=200;

end t.1=E;

x1=x; Y1=y; f 1=(f f *sin(10*pi*t1) -c*yl--k*x1) /m;

Et(i)=g; xx(i) -x; yv(i) =v' end

subplot (21L)

fu=p1ot(tt,xx. *1000) set (h,' linewidth', 2),'

xlabel('Waktu E ' ) ylabel(' Amplitudo (mm) ') grid subplot

(

212

)

(tt,ylr. *1000) set (h, 'lineWidth' ,2) ; xlabef (' Waktu t ' ) y1abe1 (' respon kecepatan (m/s) ') grid 5=p1ot

Contoh 5.10 Jika suatu sistem 3 derajat kebebasan diberi gaya pada massa I dan massa 2 seperti ditunjukkan pada Cambar 5.1 l. Carilah respons dalam domain waktu dengan menggunakan MATLAB, di mana matriks massa adalah .... dan kekakuan:

Getaran Mekanik

310

lz o oll:t,)

[rl=lotol)|,l i lo o zl[.',]

I zoo

Sistem Diskrit

x1=x;

-80 -8ol [ri I

[,(l =l -r,

204

L-ao

-40

311

Y]-=y;

if t==0 .25 | t>0 . 25

,';)l:,J

else

F:{ij

cf1=0; cf2=0; cf]-=4; cf2=1;

rrL end

ccf 1 ( i ) =cf l- ; ccf2 (i) =cf2 ; f l-=inv(M) * ( [cf ]-*4;cf2x (l-0-40. *t1) ;01-K*x1)

0^:-r

0

:s

L2=t+dL / 2 ; x2=x+y1 .*d.L/2; yZ=y+f 1"* dt / 2 ; f2=inv (M) * ( [cf t t3=t+dt / 2; x3=x+y2 .*dL/2;

Gamhor 5.11

SoIusi Persamaan gerak sistem adalah:

lz 4o ollr, I oll,r,

[2oo -80 -so.lfx,I it, I 1+l-so 2oo -40 ljr, l=J4l

lo [o o ,]lr,J L-ro -40 r20ll,,;l

y3=y+f2.*dt/2; f3=inv (M) * ( [cf1*4 ; cf2* ( 10-40 . *t3);01-K*x3)

lrl

t4=t+dt;

x4=x+y3 . *dt;

y4=y+f3 . *dt;

Kita akan menggunakan nretode Runge-Kutta,yang diterapkan dengan menggunakan MATLAB seperti berikut ini:

f4=inv(M) * ( [cf1*4 ;cfZ* (10-40. *L4);01 -K*x4) t=t+dt.,' y=y+dt,/5 .* (fL+2.*f2+2. *f 3+f 4) x=x+dt/6. * (y1+2 .*y2+2. *y3+y4)

clear all clf dE=0 . 001; 14=[2 0 0;0 4 0;0 0 2];K= i200 -80 40 L20); x10=input ('Simpangan awal- ml- ? ) y10=input ( 'Kecepatan awal m1 ? ) x2O=input ( 'Simpangan awal m2 ? ) y20=input ( 'Kecepatan awal m2 ? ) x30=input ( 'Simpangan awal m3 ? ) y30=input ( 'Kecepatan awal m3 ? ) 1= [x10 ;x20; x30] ; y= [y10 ;y20; y301 ; t=0 . 0; for i = 1:8000; r- 1 =r .

1*4;cf2* (]_0-40. "t2);01 -K*x2)

-80;-80 200 -40;-80 -

Et(i)=g; t yyL(i)=y(1, r) yy2(il.=y12,

1)

xx1(i)=x(1, 1) xx2(i)=x(2, 1) xx3(i)=x(3, t) end f

igure

(

1- )

(tt,xx1, 'k-' t.t, xx2 , tt, xx3, 'rxlabel ('wakEu(s) ') ylabel ( 'simpangan' ) gtexE ( 'xL' ) ploE

'

)

Getaran Mekanik

312

gtext ( 'x2'

313

5.14 Soal-soal untuk Dikerjakan

)

gtext('x3') axis(t0 5 -4 4l)

l.

grrid

figure ( 2 ) plot (tt, yy1 , 'k-- ' , tt,W2 , :L.t,W2, 'rx1abe1 ('waktu(s) ') ylabel ( 'Kecepatan' ) axis ( t0 5 -20 201 ) grid

Sistem Diskrit

'

Dengan menggunakan persamaan Lagrange, turunkanlah persamaan gerak sistem yang ditunjukkan pada gambar berikut: Q! -.r-

)

Gombor 5.12

)

Pada gambar berikut ditunjukkan suatu piringan yang berputar dengan

massa m. Sedangkan massa m; ditahan agar tidak bergerak radial, dengan mengabaikan gesekan antara massa m1 dengan pengarahnya. Turunkan persamaan gerak untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Io sirr rr! k lll

1

Gtricle

Gambor 5.13 3.

m ditumpu oleh 3 buah pegas, seperti ditr'rnjukkan pada gambar berikut. yaitu pada posisi keseimbangan statiknya. Kita asumsikan bahwa massa m bergerak pada bidang gambar, dan m = 1.5 kg, k,:400 N/m, k:: 900 N/m dan kr :1200 N/m. Carilah: Suatu massa

314

Getaran Mekanik

a. Frekuensi natural sistem.

Sistem Diskrit

5.

b. Arah getar dalan'r mode utama.

315

Perhatikan sistem getamn tidak teredam yang ditunjukkan pada gamhar

berikut,

di mana

nt, = 5, ttt,

:/

dan k, = 26, kz = 10 k: = 14 .

Tentukanlah:

a.

Nilai Eigen l. dan persamaan karakteristik l,a/ - Hl = 0 , ai manaH =M-'K.

b. c.

Matriks nrode getar [u]. Persamaan tidak terkopel dalam koordinat normal.

Gamfutr 5.14

4.

Perhatikan sistem getaran tidak teredam yang ditunjukkan pada gambar berikut, dimana:

ffir =5, qfi,

=)

dan fr,

=26,

kt:10,

tentukanlah:

a.

Nilai Eigen l" dan persamaan karakteristik l21 manaH = M-tK

b.

Matriks mode [u]

c.

Persamaan tidak terkopel dalam koordinat normal.

6.

Tentukan matriks mode untuk sistem torsional yang ditunjukkan pada gambar berikut, di mana:

Jt =lO, J, =8,J, = 5 dan k,, =26, k,, =l0,k,r = 14,

- Hl = 0, Ol

J1

Gomhor 5.17 7.

Ganlxr 5.15

Tentukanlah persan'raan getaran tidak terkopel untuk soal No. 6 dalam bentuk koordinat normal.

316

Getaran Mekanik

BAB VI ANAUSIS GETARqN DENGAN MENGGUNAI&\N METODE ELEMEN HINGGA 6.1 Pendahuluan Dengan berkembangnya kompleksitas struktur, metode klasik tidak lagi mumpuni untuk mendapatkan hasil yang akurat dalam proses desain. Dengan semakin berkembangnya teknologi konrputer maka kita memerlukan metode yang kompatibel dengan teknologi komputer. Gagasan dari metode elemen hingga adalah membagi suatu struktur yang konrpleks dan besar

menjadi ratusan hingga ribuan elemen, di nrana tiaptiap elemen struktur tersebut merupakan bagian dari suatu shuktur kontinu, ken,udian elemenelemen tersebut dirakit menjadi suatu kesatuan dalam bentuk matriks dengan ukuran matriks yang sangat besar. Tentu saja perhitungan secara manual tidak dapat dilakukan. Dengan bantuan komputer, matriks dengan ukumn besar pun akan dapat dihitung dengan mudah.

6.2

Penumnan Matriks Kekakuan Elemen dengan Menggunakan Pendekatan Langsung

Kita akan

menurunkan matriks kckakuan clemen batang aksial yang ditunjukkan pada Ganrbar 6.1. Kita akan melakukan penurunan matriks tersebut dengan dua tahap. 'l'ahap peftama kita menurunkan suatu ekspresi perpindahan aksial pada sembarang titik pada elemen tersebut sebagai perpindahan nodal. Pada tahap kedua, kita akan menggunakan ekspresi tersebut untuk merelasikan perpindahan nodal dengan gaya nodal.

Getaran Mekanik

318

l*ut{.r}

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

Hingga

319

atau

lll

F6

(6.s)

u(x)=[t - x r t,,,1{',i,,1,} atau dalam bentuk yang lebih umum:

u(x)=[n]{r}

(6.6)

Gornhsr 6.1

Kita akan

mengasumsikan bahwa kekakuan aksial adalah konstan sepanjang elemen sehingga persamaan diferensial untuk perpindahan aksial adalah:

enlp=o

0<x
(6.1)

di mana c1 dan bahwa pada

nodal u1

,

(6.2'.)

c2 adalah konstanta integrasi.

x:0,

perpindahan aksial

a(x)

Dari Gambar 6.1 kita ketahui

adalah sama dengan perpindahan

dan pada x=L perpindahan aksiat

u(x)

adalah u2. Dengan

demikian kita peroleh:

u(O)=ut

=c2

dan rr(Z)

u. -u, --t _--z

L

=ctL+c2 =ttz

.

perpindahan a,(r) yung terkait dengan gaya nodal pada kondisi batas adalah:

^' *1,=o=

-''' ^' #1,=,.='"

(6.7)

nrL*=-F,t;AEL/=F,,

(6.8)

Persamaan 6.8 dapat disusun kembali dalam bentuk matriks:

(6.e)

1r)\ul ={a\

(6.3)

{,} ={;:]}

'

{e}

={l:,}

peroleh kekakuan batang aksial:

yaitu:

(,-i).,*i,u,

aan

yang merupakan perpindahan nodal darr gaya nodal. Dengan demikian kita

danC,=Ut

Kemudian c1 dan cz kita substitusikan pada persilmaan 6.2, sehingga diperoleh perpindahan aksial di sembarang titik sepanjang elemen batang,

u(x)=

,rr\'

di mana

Solusi persaffumn adalah:

"'-

: fu,

Jadi, dengan menggunakan persamaan 6.7 akan kita peroleh:

Dengan melakukan dua kali integrasipersamaan 6.1 akan diperoleh:

a(x)= ctx+c2

di mana [N] adalah fungsi bentuk untuk batang aksial dan u

(6.4')

. AEI k=""1

t -tlI

(6.10)

LL-t t)

6.2.1 Elernen

Trur.ss

Elemen truss atau batang aksial 2 gaya adalah elemen yang mengalami gaya

aksial saja. Untuk batarrg aksial yang berada pada bidang xy, vektor perpindahannya menj adi

:

Getaran Mekanik

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

Hingga

321

jika elemen truss berorientasi sudut sebesar 0. Dalam hal ini sistem koordinat Rr terdiri dari sumbu i Oun sumbu !, Sekarang kita perhatikan

[,,,1

{,}={'' i

(6.1l)

sedangkan sistem koordinat R: terdiri dari sumbu x dan sumbu y.

Kita dapat menuliskan relasi antara koordinat R; dan R2, yang mana

[]l

berlaku:

dan vektor gaya menjadi:

Ir.,1

{u}=1".:

:";]{;:}

{;;}=[:::;

*"

(6.12)

I

{;; }

lr,J

=

(6.14)

l':;,; ::' ;){:',}

atau

Sehingga relasi gaya dan perpindahan untuk truss bidang adalah:

0 0 I t1 [r,l lcosr -sin7 cos,/ o : L]:L 1,,f=]sinr 0 cosy -sin7lll, l,, l | 0 o o sinT cosTJ[rrJ I

Il;1

=^,1',i;3)[::l

il;j 'l-; 3 ;'llr,l

(6.1 3)

Persamaan (6.13) hanya berlaku pada elemen truss dengan orientasi sudut 0o, sedangkan untuk matriks kekakuan dengan arah sudut orientasi sembarang dibutuhkan transformasi.

(6.rs)

I

LrrJ I

Persamaan di atas dapat kita sederhanakan menjadi:

{,}=[nl{,} yang mana

{a}

(6.16)

adalah matriks perpindahan dalanr koordinat lokal dan[R]

adalah matriks transfornrasi. Dengan cara yang sama, juga berlaku:

{o}=

tnl@}

to rzr

Kemudian kita sutrstitusikan persanman 6.16 dan persamaan 6.17 pada persarnaan 6.9 sehingga diperoleh:

vt

tnl{p}=

FInl{,}

Dalam kasus

ini

dapat kita buktikan bahwa

(6.18)

[n]-'

= [R]'setringga

persamaan 6. I 8 menjadi:

Gomhor

62

{0}=[n]'[r]tnl{r}

(6.re)

Getaran Mekanik

322

yang dapat kita sederhanakan, yaitu bahwa matriks kekakuan global adalah:

(6.20)

[0"] = [n]'[r'][n]

sehingga diperoleh rnatriks kekakuan global elemen truss bidang sebagai berikut: )

C;

"") -c;

k"l=+l L|

di mana c.y = cos

c.,

y

c:,

C.,

C

-

,,

?

-c .r c l'

c,

-c.,c;. ) - c;

dan c,,

=

sitt

)

c.;

1

c.;

c.rc,

- t.. t., I

"f]

Anatisis Ggle1q! !g!_gan Menggunakan Metode Elemen

Hingga

323

dengan mengintegrasikan persanraan 6.22 terhadap x diperoleh:

(6.23)

v(x)= f,c,xt +!c,.r) +c,x+co

di mana ci(i=1,2,3,4) adalah konstanta integrasi. Berdasarkan gambar 6.3, kita dapat memperol eh konstanta-konstanta integrasi sebagai berikut:

,(o):r,' (6.21)

,*)|,=

,,=r,;

v(n)=

u,,#,=,:r,

(6.24)

di rnana v1 dan v: adalah perpindahan nodal dan 0r dan 0z adalah rotasi nodal. Dari persamaan 6.23 dan persamaan 6.24 kita peroleh:

,(o)=

y

6.2.2flqwrBalok Kita akan menggunakan pendekatan yang sama untuk memperoleh matriks kekakuan balok yang nrengalami lenturan. Perhatikan suatu balok yang

c+

= vr

v(r)= f,c,Lt

:

mengalami lenturan pada Gambar 6.3.

r*1.=, = ct = o,

+*"rt

(6.25a)

+crL+cq=vz

\crL2 + c,L * c, =

(6.2sb)

(6.2sc)

0.,

Dari persamaan-persamaan tersebut di atas diperoleh konstanta integrasi sebagai berikut:

r

= pcryirvlnhau lntcral 0 = Suthtl lotlsi rrorhl

=$12r,+ 10,-2v"+ 10,\: ", =!1-3r,-210,+3v,i Cl =l't ct=0t

"(l

",

(6.26)

1rl

Dengan nrensubstitusikan persanraarr 6.26 pada persamaan 6.25, kita peroleh persamaan perpi rrdahan akibat lcn turan

,,(,)=

['

Gamhor 63

Untuk kekakuan lentur seragam, persamaan diferensial perpindahan v(x) adalah:

,,do'(*) =, dxo

10,)

,0<x
(6.22)

:

-,(;)' .,(;)'], .[; -,(i)' .(;)'],0 .[,(;)' -,(;)'],, .[-(;)' .(i)'],o

(6,27)

324

Getaran Mekanik

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen Hingga

,,#1,=,,=_,,

,,*P

,,,#.^=,=_r,,

!)

Persamaan 6.27 dapat dinyatakan dalam bentuk:

Perpindahan tersebut terkait dengan gaya nodal adalah sebagai berikut:

,,ry\,=,,=0,,

l?

,(,)=[r-*.7

(6.28)

* 2x2 .tr' 3x2 t'tj L2 r.--I-

2x3

L'

*.'1ll

(6.31)

-M. atau

Sehingga diperoleh:

n,,,

=ffU

u(x)= FrJ{,}

zv,

+6L0,'12v,

+

6Lo,)

di mana

u, =ff10r,+ 4Lo,-6v, + 2Lo2) (6.2e)

,,, =#Gl2v,-6L0,

,,

=

#@v,

+ 2Lo,

+

l2v,

-6lot)

to.lzl

6.3 Penunman Mahiks Massa dan Kekakuan dengan Menggunakan Fungsi Perpindahan

lrl{,} = {o\ di mana

f','l

', {ll

- 2x' . x1 3x2 2x3- x= 'll **2" -!t*T L'- L' t*T) L L, L'

N adalah fungsi bentuk, dan {u} adalah vektorperpindahan.

- 6v, + 4Lo2)

Persamaan 6.29 dalambentuk matriks adalah:

{o\ =

r

tl,rl L = [r

Persamaan umum untuk energi kinetik elemen adalah:

rlioal|),.,

(6.33)

di mana

qgn = n6,i dan {"(r,,)\= [n]{,(,)} 0t

y.,l M,)

(6.34)

sehingga energi kinetik menjadi:

Sedangkan:

6L -12 4t ,rr=#l'i: -6L -6L t2 2E _6L

(630)

r

=

)| o

= + ln

?)

di mana

al[ru] {,i 1r)} ]' [1r',1 { r 1r;}],n

(,)\'

[,,r] { ri (r)}

(6.3s)

Getaran Mekanik

t.

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

(6.36)

(5.41)

fu1= !na[rr]'[ru[rx

persamaan ini berlaku untuk elemen batang aksial dan elemen balok.

dengan

6.3.1 Mahiks Massa Elernen Tnrss Matriks massa elemen truss diperoleh dari: (6.37)

b")= !ptll'r]'[,ar]rn 0 [lf] = [t - / L x

pALl'

hl= rr6Lt2)

x

/ Ll,

(6.38)

untuk elemen truss. maka matriks elemen massa menjadi 4 x 4. Pada kasus ini, suku-suku elemen aksial kita ulang dalam arah verlikal sehingga matriks massa elemen truss nTenjadi:

lz o l ol ' o ll b't=#lo, ;l

l; [oro2|] [,u]

Zxt

-

I x"Tt

:l

,*E)',

tso 221 s4 -t311 ,tt,l ztt 4L? l3L 4/| Itrtl=-l 54 t 3L 56 -2211 l-tst 4t -221 4L' ) I

(6.42)

Matriks massa elemen balok dua dimensi dalam koordinat global adalah sama dengan matriks massa dalam koordinat fomf [7] =b"7.

6.3.3 Pem:n:nan Mabiks Kekalruan dari En€rgi Regangan

Kita akan mencoba nrenurunkan matriks kekakuan dengan menggunakan persamaan energi. Energi potensial untuk elemen batang dua gaya diperoleh sebagai berikut:

(6.3e)

u

aolau(*'',\f' =ll2L a,

sama seperti matriks kekakuan, matriks massa juga ditransformasikan dari koordinat lokal ke koordinat global. Dari hasil transfornrasi koordinat tersebut dapat dibuktikan bahwa matriks massa dalam koordinat lokal adalah sama dengan matriks massa dalam koordinat global.

[n]'[,,][n]=

2x2 x' 3x2

t

sehingga diperoleh:

'1

[rl=[,-T-.+

v--f-

'"LL1L1L3

diperoleh

L

[,]:

327

_

lnl= 0I pA[N]' [ru]ra

Dengan

Hingga

(6.40)

6.3.2 Mahiks Massa Elernen Balok Dengan menggunakan persamaan 6.37 kita dapat memperoleh matriks massa elemen balok.

L

=

!'1an

a,

.l

l,(,))' [rv']' {r, (r)} [ n']rrr

(6.43)

=*{u(,)l' [r]{rr(r)} di mana

p1 =,an'j1N']' [ru']rr, 0 di mana

fv')=l-ttt t/L)

(6.44)

328

Getaran Mekanik

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

sehingga diperoleh:

tot = ur'rll-i I

!)r,,,

t

/ Llctx

1,.01

(6.4s\

=+l:, i)

Selanjutnya kita akan melakukan langkahJangkah serupa, seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya untuk memperoleh matriks kekakuan gobal untuk elemen truss.

Kita akan coba menurunkan matriks kekakuan untuk elemen balok yang mengalami lenturan. Pada kasus ini {lV(.r)} merupakan vektor perpindahan nodal empat dimensi. Bentuk energi potensial elemen balok adalah:

u =li u,l

a'u(*.'i)'

2blar'l

6L -t2 or1 1,, 2tl EII 6L 4t

Lk".l=7l-,, -oL

=liu,fut,))'[N']'{u(t)}[r,r')'

ax

t2

(6.47)

-orl

6.3.4 Elernen Rangl{a dengan 6 Derajat Kebebasan Pada elemen rangka dengan 6 derajat kebebasan, artinya adalah tiga derajat kebebasan pada masing-masing nodal seperti ditunjukkan pada gambar berikut:

F,t

+L \f

4r I

vl

_f

$.46)

f,Jt

Gwthsr

=*t"Q)\' trl{,(,)}

329

lot 2t -61 4r: )

l[,

o*

-61

Hingga

6.4

di mana matriks vektor gaya dan perpindahan adalah:

di mana

llr

L

Irl= zr

[lu'l'll'b*

vl

0

[,l=

di mana

l2x46x6l2x

ln.l=l-*. E Lt --f

sehingga

-

t

L'

2 6x1 -7.7)

0l

u)

dan

lgl=

(6.48)

va 02

Dengan nengkombinasikan matriks kekakuan elemen batang aksial dengan maffiks kekakuan elemen balok 4 derajat kebebasan diperoleh matriks kekakuan elemen rangka 6 derajat kebebasan.

Getaran Mekanik

330

AE

0

0

L

6EI

I2 EI

----;-

-------:-

t:

L-

4EI L

[o-] = Symetric

0

0

L

I2

0-. AE L

----;-

L'

t

6Et

2EI

D

L

o

0

lo"J= tnl'

I r,ct, +

6El

t40

00 54 -t 3L I3L 4E 00 56

0 0 00 0 0 00 00 l0 0 c., c, 0 0 -c.r, c., 0 0001

- l2)c,c, -6Lc,l l

[ - r,ci

' |

(6.s0)

-22L

Matriks kekakuan dan massa rangka bidang dalanr koordinat global diperoleh dengan melakukan transfomrasi koordinat matriks kekakuan lokal elemen rangka, yang mana matriks transformasi tersebut dinyatakan dalam

c., c.r' -e )' c., 00 [n]= 00 00 00

12c2, (r,

-tzc; -(r, -12\,c, - 6k, I r,ci -tzci 6LC, [0,* ]= +l-(r, -12),c).

4Ii

bentuk:

ll

I

_-

I

lo--

(6.s1)

r,c2,

Dengan cara yang sama diperoleh matriks massa:

4Eo

Il

lo,)=#lSynrctric + t2c2, -utl,l 4r

L

0

[[f;l

[o^

di nrana

4EI

t400070 t56 22L

EI^l=

(6.4e)

---;L-

L,

S1'ntelric

331

adalah:

6Et

EI

--------=-

I2EI

ln1= PAL LJ42O

Hingga

Dengan demikian n,atriks kekakuan rangka dalam koordinat global

AE

0

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

-_l,,"i, lorrl= D

I

6Lc,.

+r\cl

-6Lc,

(r,

-r2\,c,

2L2

l

6Lc,

- r,ci, +t2ci -61C,

+l

I Sy,,,erric

l

4L2

di mana rt = AL2 / I , karcna matriks kekakuan sistem maka dalam hal ini V,l=b ,r1' .

bersi fat sinretrik,

sedangkan matriks massa rangka dalam koordinat global adalah:

r,,J= rnr, rmrnr =

[[;:; ] [:;^ N

$ sz)

di mana:

40ci

+156ci.

w,,l=#l' Syntetric

-16c,c,,

-22Lc,)

ru}cl +t56ci

22LC, 412 l I

332

Getaran Mekanik

lnri + 5aci

16c.,c,,

BLc,, I

16",",

70ci. + saci

-BLc,l

-t3Lc,

13Lc.,

-3t'

lni=#l |

Itqo"ir

l*ul=#l I

+ 156c;

V\c;

+ 156c1

333

Elemen-elemen tersebut dapat kita uraikan menjadi sebagai berikut:

f

-22Lc,l 412

Symerric

Hingga

)

22Lc,

-16c.,c,

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

j

t-rt

Karena matriks massa sistem bersifat simetrilq maka dalam hal ini:

-\ 0\

b"r,f=fu,r7' 6.4 Merakit Mabiks Kekakuan dan Massa

Gombor 6.6

6.4.1 Merakit Mahiks Stuktur Phne Tnrss Sebelum menggabungkan matriks kekakuan elemen ke dalam matriks kekakuan global, matriks kekakuan tiaptiap elemen harus ditransfornrasikan dahulu ke dalam sistem koordinat global. Contoh 6.1

Dari gambar terlihat bahwa node awal dari elemen 1 adalah node I dan node akhir adalah node 2, dan pada elemen 2 terlihat node awal adalah node 2 dan node akhir adalah node 3. sedangkan pada elemen 3, node awal adalah node I dan node akhir adalah node 3, yang dalam bentuk tabelnya adalah sebagai berikut:

Elemen

Node awal

Untuk menjelaskan pengglobalan matriks kekakuan elemen akan diberikan contoh dengan gambar berikut ini. 2 3

Put;angelem*n I =L1 Panjang elemen?

Panjangelemen3

*Ia *I":

fuas penampmg tiap el*men = ,\

Gamhar

65

2

Node akhir

Luas oenamoans

Panians

2

A

Lr

3

A

Lz

J

A

L3

Perlu diingat bahwa jumlah node pada struktur Gambar 6.6 adalah 3, sedangkan derajat kebebasan tiap-tiap node 2 sehingga jumlah total perpindahan jika struktur tersebut tanpa kondisi batas adalah 6. Dengan demikian matriks perpindahan yang belum direduksi adalah:

Getaran Mekanik

334

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

dan matriks ke kakuan global elemen

l'') )

Io o o

{,}=]"f t ' lr.. I })

Node2

l,,l

l;l i

AE

1,,

Node 3

kl, = 0

o ol s

-t o tlt

superskrip r-nenunjukkan elemen, subskrip menunjukkan

baris dan kolom, yang dalam hal ini

fti, = 0 adalah

baris kesatu dan kolom

l. Dengan demikian kl = O; kL =0; ftlo : 6t k), = o; k), = AE / Lt; k), : o;k)o = -AE / Ll

kesatu, kekakuan elemen

rr)=];.,f I

Lr'l sedangkan kekakuan tiaptiap elemen diperoleh sebagai berikut:

-ci -c,c,] T [r "i c,c,, . c; -:' c, _ci I lr "'') lo"l=+l L|-c; -c,c, ci c,c,. I c, c.,. cl I J L- ", ", - c;, maka

cos y = c*

: 0l dan c, = I

Dengan demikian matriks kekakuan elemen

o,

=0; kl, = -AE / Lt;

kto,

=0;ktou =AE/LI

I

adalah:

:,1 I

l0 -t 0 t)

y:

0o,

maka

c*

= l; dan cr:0

Ir I o -1 ol

no

; ;l 0 0

lu-)=fl:,; -tt L0

ol

F-

0_l

Perhatikan bahwa:

1.

Node awal pada elemen 2 adalah node 2 dan ini berelasi dengan u2 dan v2 , sehingga node awal mewakili matriks baris dan kolom 3 dan 4.

2.

Node akhir pada elemen 2 adalah node 3 dan ini berelasi dengan u3 dan v3, sehingga node akhir mewakili matriks baris 5 dan 6, dan matriks

oo

' 0 0l [o']=+l L r Lt 0 : 1O

kl,

=g

maka matriks kekakuan elemen 2 adalah:-

I

,rll3

=0; k), =0,; k), = 0;kio

Dengan cara yang sama, di mana sudut

Kita ketahui bahwa matriks kekakuan global adalah:

90u,

kl,

Matriks kekakuan elemen 2

Matriks kekakuan elemen I

y:

01 t

dalam hal ini:

lr,,'l lo,,l

di mana sudut

adalah:

lo t o -rl z

lo') =-LI 1,, o

dan matriks guyu uO-ututl'

lo..

335

1234

Node l

l,l I

I

Hingga

kolom 5 dan 6.

Getaran Mekanik

336

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

Jadi matriks kekakuan global elemen 2 adalah:.

1256

3456

lttt o -t of o o ol

l*'f L r =Elo t,l-, o t ol lo o o o) Matriks kekakuan elemen

[L ";

c.,c;, -ci -".", ll

[ "i

3

b,l=+l:;i _::", -'":i, ;.": l;

4

J

L-",

6

3

c.,

Hingga

",. -cl c.,c,. ci

-10

6.4.2 Mqal,it Mahiks Kekahran G,lobal

c,.

-

c] -.. c, I

c; -"," "'"; k3]= 4l C., L | -C.t -CrCr.

k,, = kl,

_-2-l -c;

C.,C,

I

L-",", -cl c,c,. c; l

+

kf,

tkrz = kl, + kf,

k,, = kl,

i

k,, = kL

ik'u = kiu

k'o = klo

I

Karena sifat simetris maka k12:k21

kr, = kl, + k1, ;kr, = klr ; krs =

kl,

lkru = klo

Karena sifat simetris maka ks3

\,

kr,

Node awal pada elemen 3 adalah node

I dan ini berelasi dengan u1 dan I dan2, dan matriks kolom

v1, sehingga node awal mewakili matriks baris

=klr+kl,

, kz: =krz

i

Karena sifat simetris maka

kin = kln

k1a:lq1

, k:4 =hz, k.u

=hr

1

=kfu+klu

dan2.

koo

2. Node akhir pada elemen 3 adalah node 3 dan ini berelasi dengan u3 dan v3, sehingga node akhir mewakili matriks baris 5 dan 6. dan matriks

kr, = kl, + kl,

kolom 5 dan 6.

:k31

ikre=klo+klo

kr, = kl,

Matriks kekakuan global elemen 3 didapat dengan mengingat:

ik:o = klo

;ko,

=kis

ikso = klu +

ikou=kiu

k]u

;koo =

t| + k|

337

338

Getaran Mekanik

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

Jadi matriks kekakuan global struktur tersebut adalah:

kf, kl, + kf, kl, + kl, kf, + kl,

kl,

kl, +

kl, kl, kl, k:,

{r}=

klo

ki,

kiu

kf

ki,

kl

klo + klo

ki5

kfo + klo

k;

k;' ki.

ki.

k!, + k], kf, + kl,

kl,

ki, kf., + kl, k;3 ki,

kl, kl, kl, kl,

kl,

+

k:o

klu + klu kju + klu Maka matriks kekakuan masing-masing elemen adalah:

Perhatikan bahwa matriks tersebut adalah simetris:

kl,

+kf,

kl.

kl, +kf, k!, + kl,

kL kl,

{r}=

+

kl.,

Elemen

klo

kL

kil

kl.

kl,

k]"

kl.

+

I

[o'] Elernen 2:

Atau ditulis secara lebih sederhana:

il. ,*-

Gl

ln

-,11 l( r ]+( t I

l.-'''-l

I \:rl

c.e o.o O

l/\l

rxr=i

O

leil

I

lcl .\.*

6) (} {t

t

(.r

,l

fil

o.c

l._l_,i+

\-:-/

rl)

olo t

Lt= LJj

(")-,

'f

\lt

-^t-*t (zj+(:il(:)+(i) \..-' vl 'v' ,/

-r'

t'

I

45u, dan L1

lo'7

o

-1

O

0

o

I

o

0

I

lo

I

I

56 01

,1

,,1

ol

3 4 5 6

Elemen 3:

I

tttt

/

Platiks

=

AEIO L l-t

I

olo tt l*('i)l O

r?)

Sebelum mereduksi matriks kita berikan nilai sudut y maka:

It I

Grl,e

f,i

t_)* tj"j I1.)+t.z

4

o I cl'r

tl-/ /r')

I

6.4. 3 Meredulsi

00 AE IO t0 :,1 L lo 00 ',)t," [, -t0

k;5

k].

2

lo

kl. ki, k;. ki, + k]' kl. + klo kl" + k|,

klo + klo

I:

= L2:L,

27'r) lttl

[o']

=

AE

tJ:

)7))

_l

.))ll

_t

ttlt 2)'r)

I

I

Hingga

339

Getaran Mekanik

340

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

atau

Hineea

341

1i

I

6

o:s:o I o'3s36

lt1=41 L r Ll-0.3536 [-o rrro

-

0.3s36 0.3536

-

0.3536 0.3536

-

I

0.3536

I

0.3536

2

0.3536

0.3536

0.3536

5

0.3536

0.3536

0.3536

6

Maka matriks kekakuan global adalah:

lo+o.ssso

I

0

t +0.3536

0+l

AEI I

{r}

0

o+0.3536

LI

Snpfiis

0 4.3536 -t 4.3536 0+0 -l 1+0 0

4.3536 4.3536 0 0

1+0.3536 0+0.3536

I I

0+0.3536

t

atau

I o.sssa osss6 I o.uro t.3s36 I

{r}

_AElq -Ll o

0 4

oa

o -t t0 o t

-t o l-ossso 4.3s36 o o I

u uto 4.3s36

Gambsr 6.7

1).3536 4.3536

4.3536 4.3536

-1 00

0

t.3536 03536

0.3536

llr

0

vl

vl

u1

{u\ =

v1

{a}=

0

u3

u3

v3

v3

Kita dapat meniadakan baris ke l, 3 dan 4, di mana pada baris tersebut komponen vektor perpindahan adalah nol. Demikian juga matriks kekakuan, yang akan meniadakan baris dan kolom yang terkait dengan kondisi batas, sehingga matriks kekakuan kita reduksi dengan meniadakan baris/kolom ke l, 3 dan 4. Dengan demikian matriks kekakuan direduksi menjadi:

0.3536

ii l\ )rt

6.4.4 Menentr*an Kondisi Batas Untuk menentukan kondisi batas perpindahan, perhatikan Gambar 6.7. Terlihat bahwa u1, u2 don v2 mempunlai perpindahan nol sehingga matriks perpindahan menjadi:

0

+

tr*I=s

0.353S

0..i-i36

{}

0.i5i(r

1.3536

0

*1

{}

0

t

i\

{}

"-l

ill

l'

- fl.-t):iS

* 0"3536 * 0.3536

*1

0

0.;151{i

0fl

0.3536

* 0""1536 * 0.3s36 *1 0

* 1.3536

0.3536

0.3536

0.3536

0

Getaran Mekanik

342

I t.:sro

l*l=

- 0.3536 -

lE o,-_t.67t7 l_ | @, =l " L \p

0.3536-l

r.3s36 0.3s36 4lt 0.3s36 l-0.3s36 0.3s36

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

0.3s36

Hingga

343

-r.lrrrr1

l-o.osot )

t

I

Dengan cara yang sama matriks massa struktur truss yang sudah direduksi adalah:

6.4.5Pqpmoran Node Dalam rrcnerrtukan matriks kekakuan global ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu:

o.aott o 0.2357) ,rnr, o ' o o.8os7 lul= oeLl 10.2357 o o.Bo47 ) I

I r

Dengan demikian persamaan getaran bebas untuk struktur huss tersebut adalah:

lul{q\+ [,<}{q]=

1.

Penomoran node pada suatu struktur truss adalah bebas.

Tiap-tiap elemen harus diperhatikan pada node berapa saja letak elemen tersebut.

Jumlah derajat kebebasan yang belum dibatasi pada struktur adalah junrlah node dikalikan jumlah derajat kebebasan tiaptiap node. Ukuran matriks kekakuan adalah jumlah derajat kebebasan kali jumlah

o

derajat kebebasan.

atau

Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut:

k]- *'[u]\{q\ = o Dari pcrsamaan kita dapat memperoleh persamaan frekuensi yang telah kita bahai pada Bab 3 dan Bab 4, sehingga diperoleh frekuensi nahlal dan mode getar sebagai berikut:

0.45st

E

''= t li

; @ =l-r:rrr) I s.atu )

E *r=r.t324 t li

;

@z

=l , ,:rrr1 l-o.zsod)

Gomhor 6.8

Getaran Mekanik

344

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

Hingga

345

Dari gambar kita dapat membuat tabel sebagai berikut: No

Node i Tenrpat

Elenren

bariVkolom

I

ul,vl ul,vl

baris/kolom

4 4

u4, v4

5

2

12,v2 u4,v4 u2,v2

5

u5 ,v5 u5 ,v5

2

rt2,v2

3

u3, v3

u3 ,v3 u5, v5

5

u5, v5

6

u6, v6

u3. v3

6

u6. v6

I

3

2

4

4

5

7 8

Tenpat u2,v2 u4, v4

I

2

6

Nodej

5

9

2

Karena jumlah node adalah 6 maka maffiks kekakuan adalah

Untuk elenren 3 dan selanjutnya diserahkan pada pembaca

sebagai

latihan sehingga diperoleh matriks sebagai berikut:

lzx

12.

u1 v1 u2

v!

u3 v3 r.|,1

uft

v4

vo

Penempatan Elemen I Perhatikan bahwa node awal elemen I adalah l, yang terkait dengan ul dan vl, dan node akhir terletak pada node 2 yangterkait dengan u2 dan v2.

u'l v1 u2

v2

v3 u4 v4 u5

v5

Dan matriks di atas dapat dipakai sctragai acuan dalam merakit matriks kekakuan global:

Penempatan Elemen 2 Perhatikan bahwa node awal elemen I adalah l, yang terkait dengan ul dan vl, dan node akhir terletak pada node 3 yang terkait dengan u3 dan v3.

k,,=kl,+kl,

. ktz = kl,

t Lt3

tku

--tlLtj

=

+

kl,

kl,

t Ltz -t2 -^t7

,krc = kl,

krr=ktrr+k2r,

lkzt = ktx

,kzo = klo

kemudian

krr=klr+k'1,+k5r, + k!r, ;kr, = k'r,

+

kl,

+

k5ro

+ k!r,

Getaran Mekanik

Dengan cara yang sama akan diperoleh seluruh komponen matriks kekakuan. Untuk nremkit matriks massa dapat dilakukan cara yang sama.

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

Elemen

Ar

=2A, Az=A,Ir=81

dan

Matriks kekakuan elemen

I

321: frrl-Efl48L -Vl

L^

J

lttr Matriks massa elemen

I I

PALI L,,,'fr = 4201 f

44 r'

I

t1B

Elemen 2

Guwhor 6.9

Mafiks kekakuan elemen

Solusi Stnrktur tersebut akan kita bagi marjadi dua elemen balok, di mana masing: masing balok mernpunyai 4 derajat kebebasan.

6L -t2 orl

4ti -61 ,,:

L^J-El-tz -6L t2

lo,

I

Ivlatriks nnssa elenren 2:

s4

-t 3L)

t

3L

t

s6

-3L2 -2211

I

l-tst 4t

-22L

tz 6L -t2 6L1 ,-- r-, stl ot 4I: -6L 2L'I Lr')=vl-" -61 t2 4Ll Lot 2L2 4L 4ri )

2Lz -GL 4t )

r -", otil zzt 4Ij f"t'-1= ,*l i4 t 3L

2:

I

I

-6Ll

I rso 221

_4BL

44L tq\ -26L1 st 26L -6rJ 26L 312 *441l, -6 r: -44 L BL, )

stz

l-261

L,1-EII 6L

t6t

_4BL

l:

I

I t2

48L

-96

-48L 96 t5t -4BL 32t

-eo

I

Persamaan gerak sistem.

Frekuensi natural dan mode getarnya.

l:

4BL

I t'a

Ir:I.Tentukanlah:

347

1

Contoh 6.2 Pada gambar berikut ditunjukkan suatu struktur balok yang terdiri dari dua buah balok yang berteda luas penampang dan momen inersia I,, di mana

Hingga

|

ot)

I

tsa

221

r- r-r orqil zzt 4t Lm' r| =.:-l 4201 54 t3L I

I

l-rst -it

54 t3L t56

-22L

-22L

4L2

Kemudian kita akan nrerakit matriks seperti berilut:

-t 3L 4L2

dan nrassa menjadi

Getaran Mekanik

348

48L 32 ri -4BL

96

48L

l*1=#

-96

4BL

0

0

-48 L

t 6L2

0

0

-12

6L

96+12

-48L+6L t6L2 -48L+6L 32Ij + at 0 -6L -12 2E 06L

-96 48L 0 0

2ri 12 -6L -6L 4I:

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

Hinqqa

349

-6L

Gqmhor 6.10 maka vektor perpindahan untuk struktur tersebut adalah:

atau

0

l*1=#

9(t 4BL -96 4BL 00 00 4BL 32ti -4BL t6t -9(t -4BL l0B -42 L -t2 4BL l6L2 -42L

0 0 -12 006L28

36L2

-61

0

6L

-61 2t

t2

_6

L

-6L 4I:

Dengan cara yang sama kita mkit matriks massa, yaitu dengan langkah

{,}=

v2 02

0 er

Kita akan mereduksi matriks kekakuan dan matriks massa dengan l, 2 dan 5. Maka matriks massa dan kekakuan yang

meniadakan barivkolom telah direduksi adalah:

sebagai berikut:

3t2 44L

t0B

lrl=# -26L 0 0

44L l0B -26L 00 BL2 26 L -6Ii 00 26L 468 -22L 54 -t3L -6t -221 t2t t3L 4L2 0 54 l3L I 56 -22L 0 -t3L 4t -22L 4l'?

Dari gambar berikut kita dapat mengetahui kondisi batas, di mana pada kondisi batas tersebut:

l*t=#

t08

-42

2L

Or1

-42L 6L

36t

E

zL2

lua

ldan 2LL2 4I: )

-22L -t3L1

[ut=ffi1-,,' l2I;' 4EI 412

l-tsL

o,t'

Persamaan getaran bebas struktur adalah:

luYr"l* [rJ{,,}=

{o}

dimana f,,f={}:} Ir,

J

l

Getaran i{ekanik

350

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

Hingga

351

dari persamaan gerak tersebut kita dapat memperoleh persannaan frekuensi:

Contoh 6.4

lr -;naf = t(a) yang berupa matriks

Pada gambar berikut

3 x 3, dengan

ini ditunjukkan suatu struktur frame dengan datadata

sebagai berikut:

menyamakan determinan persamaan

frekuensi tersebut sanra dengan nol kita peroleh frekuensi natural shuktur, dan dengan menggunakan metode yang telah kita pelajari pada Bab 3, kita juga memperoleh nrode getar struktur.

E=2xl?tt N/nt2

I Fl2xlo-6 tto

I z= lix lo-6 ,tt' A f 0.04

Contoh 6.3

A

10.03 ni

ttt2

Tentukanlah:

Jika struktur pada Gambar 6.10 dimodifikasi dengan penambahan pegas. bagaimana cara merakit matriks massa dan kekakuan, dan juga mencari

Persamaan gemk sistenl frekuensi natural dan mode getar sistem.

frekuensi natural stnrktur tersebut?

Fungsi respons fiekuensi akibat gaya eksitasi

I N dalarn arah x pada

node 2.

At,lt

Ilt

Gomhtr 6.1I SoIusi

Gsmlwr612

Untuk kasus ini perubahan yang terjadi hanya perubahan rnatriks kekakuan.

Kekauan pegas tarnbahan terkait dengan perpindahan v2 sehingga penambahan kekakuan akibat kekakuar, pegas adalah pada komponen

Solusi

Kia

matriks yang terkait dengan perpindahan v2, maka:

tentukan dahulu nomor elemen dan kondisi batas, node

I

dan node 4,

terkekang dalanr semua arah.

to8 -421 6L I I to o 01 l*t=# -421 368 zt l*41 o o ol 6L 2t: ,r)'1,,, o o) I t ts -421 6Lf =41-or, 36ti 2r ' l o, 2Lz 4L) I

El=Vl=fla=0

t:

352

Anatisis Getaran dgngan Menggunakan Metode Etemen

Getaran Mekanik

3.0036 x

Matriks Kekakuan Elemen I

106 0 0 3x l7e 106 0 -3.6x [o']= -3.6 x 106 0 0 --tx l1e -3.6 x 106 0 3.6x

-3.6 x 106

-3.6x

0

4.8x

0 -3x l1e 0 0 3x l|e 0

106

0 106

3.6 x

106

3.6 x I06

3.6 x

106

0

0

2.4 x 106

3.6 x

lrl=

106

x 106

-3.6

0

2.1 x 106 -1.6

=

0

-3x l0e

0

0

0

3.6 x 106

3.6 x 106

0

-3.6 x I06

3.6 x t06

0

3.6 x 106

4.8x t06

0

-3.6 x 106

2.4 x 106

-Jx l0e

0

0

3x l0e

0

0

0

-3.6 x 106

-3.6 x l0('

0

3.6 x 106

0

J.6 x 106

2.4 x 106

0

-3.6 x t 06

2.3x =

t0'

-3.6 x

106

or=87.867 rod /s, a: =331.84 rad / s |

4.8 x 106

1.5319x l0')

2.3x t06

2.018Bx 106

l.7xl06

1.5349x t0')

-2.0488x t0')

l.7xl06

I

l.7xl06

4.8x l0(

-l.7xl0(

2.4 x l0a

0.00t

l.l535xl0'

-1.5349x l0e

-2.3 x 106

-1.5349x!0')

2.0488 x t0')

-1.7x106

-1.7x106

1.8x l0a

LI535xt0"

1.5349 x l0')

1.5349 x t 0"

-2.0188 x t 0"

-1.7x106

l.7xl0r

2.4xI06

2.3x

106

-2.3 x

I 06

-2.Jx

106

[0)=

-0.036

I 0.749

-0.0t

Kemudian kita rakit mah'iks kekakuan dan kemudian matriks tersebut

kita reduksi berdasarkan kondisi batas geonretrik, sehingga matriks kekakuan globalnya adalah:

H

-3.6 x 106

2.4 x

-1.5349x

t0'

l0(

2.3 x l0n

2.0521x t0"

-1.9x106

-1.9x t06

9.6 x 106

rud /

s, 0s=3426

rud

@-t

=728.54 rud / s

/s ) cor, = 5609

ruul

/

s

dan mode getar struktur adalah:

1.1 535 x 10"

106

3.6 x 104

Frekuensi natuml dapat dicari menggunakan metode-nretode yang telah dijelaskan pada bab-bab sebelumnya. Kita akan menggunakan MATLAB, sehingga diperoleh:

2.3x l0n

-2.3x

0

-3.6 x 106

49.0286 78 0 0 _28.97 329.8286 49.0286 0 60. t7 t4 t4 49.02B0 49.0286 35.(t571 0 28.9714 -13.32t4 [u]= 78 0 0 435.0t7t 11.2629 Bt.7l4-1 0 60.17 l4 28.97 l4 14.2(t29 444.5257 12.257 t 0 -28.97t4 -t_t.-1714 ut.7t43 12.257t 64.257t

a4=2297.9

- 1.5319 x l0')

0

0

106

0

-1.5319x l|''}

l0' 0 0 4.1535x t0' -1.5349x t0' -2.3x 106 -3x

329.U2U6 0

0

3x l0e

l.l5-l5x l0')

106

353

Dengan cam yang sama dipercleh matriks massa global:

l?t

x

4.Bx

l0'

-Jx

3.6x

l0' 3.6x l0r 3.6 x 106 9.6 x 106 00 -.1.6x106 -3.6xt06 3.6x106 2.4xt0r

3.0036 x

0

Elemen 3

[o']

0

0'

3.6xl0r

0

Elenren 2

[o']

I

0

Hingga

111

t1

0.0832 -0.0288 -0.32 t

t.405 -9.559

26.382

0.438

-34.5 -t.8t3 t.0005 0.336 4.817 -0.8404 0.77 0.723 -t.692 -4.738 0.1813 -29.5 -5.65 -0. t478 -0.4686 0.8558

2

0.4522

0.97-15

Pada gambar berikut ditunjukkan respons sistem akibat gaya 1 N arah horizontal pada nodc 2, dengan mengasumsikan tidak ada redaman struktur.

t

Getaran Mekanik

354

roo

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

355

I

10'

I

N

o E o c

I

G l0c

rl

-_-- I I

N o 9 o c

I I

rl

o

E c

I I I

ro6

o 'c o E

o E < d 6 g

Hingga

1o'o

o o o E 6000

3000

1000

Frekwensi. rads

N po o c 6 10' E o E o G10 c o o o

:

cc

0

2000

1000

s00

4000

5000

Frekucnsi, rads

Gamhor

6.1

i

ResJnns ft'ekuansi dcngan reckunon

nol

Sedangkan kenyataannya bahwa pada stnrktur selalu ada redaman struktural, yang datam hal ini kita asumsikan bahwa redaman struktural adalah C

=0.0001 K

Gamhm 6.14 ResltonsJi'ekrcnsi dangun rulauon 0.0001 K

Dari kurva FRF tersebut dapat kita pahami bahwa operasi suatu mesin rotariberada di atas fiekuensi natuml p€flamanya.

disp(' ConEoh Soal Bab 7, Metode Elemen Hingga ') disp(' Oleh : Ramses Y Hutahaean ') clear all c1f

tMatriks

Massa

; M ( 1, 2l =A ;M ( L, 3 ) =49 . 0286 ;M ( 1, 4 ) =78 ;M ( 1, 5) =0;M(1,6) =0; yt(z ,21=329 .8286;M(2 ,3) =49 .0286;vll2 ,4 ) =0; M ( 2 , 5l =60 .1-7 L4

M ( L,

1-

I =329. 8286

;Nl(2,6)=-28.97]-4; M(3,3) =35.657L;M(3,4) =0;M(3,5) =28 -97t4;M(3,6) =L3.37L4;

Getaran Mekanik

356

(4, 4) =435 . 0171 ;M ( 4, 5 ) =14 .2629;M ( 4, 6) =81 .7 L43 ; 5, 5 ) =444 . 5257 ; M ( 5, 6) =\2 . 257 l; M ( 6, 6 ) =64 . 257 L ; t1(2 , 1" ) =M ( 1 ,21 ;M ( 3 , 1 ) =u ( 1 , 3 ) ; yl 13 ,2 ) =M ( 2 , 3 ) ; M (4, 1) =M ( 1, 4l ;M(4, 2) =M(2, 4) ;M ( 4, 3 ) =M ( 3, 4 ) ; M(5, L) =M(1,5) ;M(5,2 )=M (2,5\ ; M(5,3 )=M(3,5) ;M(5,4)=M(4,5 M

M(

);

M(

5, 1) =M( 1, 6 ) ;M (6, 2l =vt(2, 5) ;M ( 6,

3 ) =M ( 3, 6 ) ;M

(6, 4) =v114,

6

);M(6,5)=M(5,6);

tMatriks kekakuan K ( 1, 1 ) =3 . 0036e9 ; K (1, 2) 3e9; K (1,5) =0; K (1, 6 ) =0;

=0;

K ( 1, 3 ) =3 . 6e6 ; K

(1, 4l =-

K(2,2) =3. 0036e9 ;K(2, 3) =3.6e6;K12, 4) =0;K (2,51 =;K(2 ,6 ) =3 . 6e6; K (3, 3 ) =9 . 6e6 ; K (3, 4 ) =0 ; K ( 3, 5 ) =-3 . 6e6 ; K (3, 6) =2. 4e6 ; K(4,4 ) =4 . 1535e9 ;K(4, 5 ) =-1 . 5349e9 ;K(4, 6) =2 .3e6; K ( 5, 5 I =2 . 0524e9 ; K ( 5, 6) =-I. 9e6 ; K ( 6, 6 I =9 . 6e6 ; KlZ, l) =K ( 1, 2) ; K(3, 1 ) =r ( 1, 3 ) ; K(3, 2) =K (2, 3 ) K (4, 1 ) =K ( 1, 4) ;R(4, 2) =K(2, 4) ;K ( 4, 3 ) =K (3, 4 ) K ( 5, 1 ) =K ( 1, 5 ) ; K (5, 2l =K(2, 5) ;K ( 5, 3 ) =K ( 3, 5 ) K(s,4)=K(4,5 3 . 6e6

);

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

subplot ( 21- 1- ) semilogy (ww, xx1 ) xlabel- ( 'Frekuensi, radls ' ) y1abe1 ( 'Respons arah horizontal- node 2'

grid

subplot(212) semilogy (ww, xx2 ) xlabe1 ( 'Frekuensi, rad/s ' ) y1abel ( 'Respons arah verLikal node

grid

disp '

*

PROGRAM METODE ELEMEN HTNGGA

disp I

*

STRUKTUR PLANE TRUSS

disp I *

disp

I

FF=[1 0 0 0 0 0].'; for i=L: length(ww) X=inv( (K-ww(i) . ^2. *M) +sqrt (-1) xx1(i)=abs(x(1) );

penampang

8E=1e+11;

(' Jumlah Nodal ? 'l ; NF=input(' Jumlah Elemen ? ') ;8 Jumlah Elemen t Hubungan ant.ar node for i=1:NF ['E1emen ke ' num2str(i)] FF(i)=input (' nomor node awal ? ' ); LL(i)=inpuL (' nomor node akhir ? ' ); NN=input

ww=0:0.11-:3000;

end

I

trho=7800;8 Massa Jenis rho=r;

)

sqrt (DD) disp('Mode GeEar') W t Mencari Fungsi Respons Frekuensi

xx2(i)=abs(x(2));

I

**************************************************

AS=A;

;

end

disp ( 'frekuensi natural'

Oleh : fr.Ramses Y Hutahaean MT

clear I Data Material symsrAE tAS=10; t AS=luas

DD(i)=D(i,i);

2,)

I

?r\.

W( :,i)=V( :,i)' /V(l.'i)

)

di-sp *****************************************************

disp

lv, D1=sin (K, M) ; for i=1: length (V)

.*

(ww(i) . *C) ) *FF;

357

LISTING PROGRAM STUKTUR PLANE TRUSS

K(5,1)=K(1,6) K(6,2) =K(2,61 K(6,3)=K(3,6) Kl6 , 41 =11(4, 6 );K(6,5)=K 5,6); cc=input (' ioefisien redaman struktural thd kekakuan C=cc *K;

Hingga

end

t Koordinat nodal for i=1:NN ['Nodal ' num2sEr(i)

]

*

|

Getaran irlekanik

358

x(i)=input (' Koordinat horizontal ? ' ); Y(i)=input (' Koordinat Vertikal ? ' ); end

for i=1:NN ['kondisi nodal ke ' num2str{i)] l'tekan 1 = bebas, tekan 0 = terkekang' JH(i)=input (' arah horizontal ? ' ); JV(i)=input (' arah verEikal ? ' ); end N2=0,'

for i=1:NN; Nl-=N2+JH(i); PNI-(i)=N1; N2=NL+JV(i); PN2

(i

) =N2

NP=PN2 (NN)

; t untuk

membuat

matriks

NN

X

NN

for i=1:NN if JH(i)==6 PN1(i)=NPP; end

if .lV(i1==9

(i-) =NPP;

end end KK=zeros(NPP,NPP); MM=zeros(NPP,NPP);

for i=1:NF

tPanjang tiap-riaP elemen

H=x(LL(i))-x(FF(i) ); v=Y(LL(i))-Y(FF(i));

;

kl"2 =CS*SN*E*AS/L,' k13=-

k32=k14 ; k41=k14 ; k42=k24; k43 =k34 ; t Matriks Massa

m11=2 *rho*AS*L / 6;mL2=0; m13 =rho*AS*L/ 5; m14=0; m22=2*rho *AS *L / 6 ; m23 =0 ; ; m2 A=r|ro*AS *L/ 6 ; m33=2 *rho*AS*L/ 6 ; m34=0 ; m44=2*rho*AS*L/ 6 ; =m12 ; m3

MerakiE.

NPP=NP+L;

PN2

k11=CS^2 *E*AS/L

1

=m13 ; m3 2 =m2 3 ; m4 1 =mL 4 ; m42 =m2 4; m4 3 =m3 4 ;

Matriks Kekakuan Globa1

KK ( P1, P1) -KK ( P1, P]- ) +k11 ; KK ( Pl- , P2 ) =1111 (PL , P2) +kL2; KK ( P1, P3 ) =1111( P1 , P3 ) +k13 ; KK(P1, P4 ) =i411 (P1, P4 ) +k14 ; KK ( P2 , P1 ) =1111 (P2 , PL ) +k2l- ; KK (P2 , P2 ) =(11 (P2 , P2) +k22; KK (P2, P3 ) =KK (P2 ,P3l +k23 ; KK ( P2 , P4 ) =1111 (P2 , P4) +k24; KK(P3, P1 ) =611 (P3, Pl-) +k31 ; KK (P3, P2 ) =116 lP3, P2) +k32 ; KK(P3, P3 ) =KK(P3, P3 ) +k33 ; KK (P3, P4 ) =116 (P3, P4 ) +k34; KK ( P4, P1 ) -KK ( P4, P1 | +k4L; KK ( P4, P2 ) =1111 (P4 , P2l +k42 ; KK ( P4, P3 ) =611( P4, P3 ) +k43 ; KK ( P4, P4 ) =KK (P4, P4) +k44;

Merakit Matriks

massa KK(P1, P1) =YY(P1, P1)+m11,' MM ( P1 , P2 ) =1'11'1 (P)., P2 ) +m12 ,'

P3=PN1{LL(i)

MM(P1, P3 ) =MM ( Pl", P3 ) +m13,' MM(P1, P4 ) =MM( P1, P4) +m14 ; MM(P2, P1 ) =MM lP2, PL) +m21 ; MM ( P2 , P2 ) =MM (P2 , P2) +m22 ; MM (P2, P3 ) =vv ( P2, P3 ) +m23,' MM ( P2 , P4 ) =1'11'1 (P2 , PAl +m24; MM(P3,P1 )=ttll,l(P3,P1 )+m3 l-;

P4=PN2

l,rI,I ( P3 ,

L=sqrE {H^2+\1^21 ; SN=V,/L;

CS=H/L;

t

P1=PN1(FF(i)

);

P2=PN2(FF(i));

); (LL(i) ) ; t Matriks kekakuan tiap elemen adalah

Hingga

CS^2 *E*AS / L ; kL4= -CS * SN*E*AS/L ; k2 2 =SN^ 2 * E*AS,/L ; k23 =kL 4 ; k24= k22 ; k3 3 =k1 1 ; k3 4 =k1 2 ; k4 4 =k22 ; k2t =kL2 ; k3 1 =k1 3 ;

m2 1

,'

end

]

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

P2 ) -MM (P3 , P2 ) +m3 2 ;

MM(P3, P3 ) =1414( P3, P3 1 +m33 ; MM(P3, P4) =!4tr4( P3, P4) +m34 ;

359

360

Getaran Mekanik

MM (

P4, P1)

(P4,

P2 ) MM ( P4, P3 ) MM ( P4 , P4 ) MM

=1414 =1414

Hincea

P4, P3 ) +m43

;

l'-

{P4 , P4 ) +m44 ;

end

for i=1:NP for j=1:NP K(i, j )=KK(i, j

361

I

(P4 , Pl- ) +m41; (P4 , P2) +m42;

=1414 ( =1414

Analisis Getaran dengan Menggunakan Metode Elemen

i )

,'

end

end disp

I

disp '

I

MATRTKS KEKAKUAN ADALAH

:

Gnmhsr 6.15 '

a

J.

K

for i=1:NP for j=1:NP M(i,i)=MM(i,j); end

Pada gambar berikut ditunjukkan suatu struktur yang merupakan kombinasi dari frame dan truss. Turunkanlah matriks kekakuan dan matriks massa struktur tersebut. Turunkan juga persanraan getaran bebas struktur tcrsebut.

end

disp I disp ' MATRIKS MASSA ADALAH : lv, o1 =s1t (K, M) ; for i=1: length (V) W( :,i)=V( :,i) . /Y(l,il ; I

'

D(i)=5q15(D(i,i) );

end

disp'Frekuensi Natural adalah D

disp'Mode Getar

'

V

Gombor 6.16 4.

6.5 Soal-soal L

unh^rk

Dikerjakan

Pada gambar berikut ditunjukkan suatu struktur truss. Jika luas penampang dan modulus elastisitas masing-masing elenren adalah sama yaitu A, dan E, tentukanlah persamaan getaran bebas struktur tersebut.

2.

Ulangi soal No.l jika A:0.001 m', massa jenis p =TBOOkg/rttt, L : 0.6 m dan E : 200 Gpa. Hiturrglah frekuensi natural struktur tersebut.

Ulangi soalNo.l, jika E =2x

A

r

0.03

I

:=

15 x

l|tt

N / nt:

,I Fl2x10-6

t,t4 ,

ni

lo-o n/ , A := o.o4 ntt

dan

p=7B00kg/ nf

,

dan

carilah frekuensi natural struktur tersebut. 5.

Pada gambar berikut

ditunjukkan

suatu struktur, jika

E=2xl|tt N/ntr, I t=l2xt0-6 n/ , Af0.03 nt2 , I:=l|xlo-6 n/, A,=0.04 ni dan p=78o0kg/ nr' , dan

Getaran Mekanik

362

carilah (a) persamaan getaran bebas struktur dan (b) frekuensi

Anatisis Getaran dengan Menggunakan Metode Etemen

7.

Pada gambar berikut

ini ditunjukkan

suatu

Hingga

363

struktur f,rame. Data-

datanya adalah sebagai berikut:

natrural struktur tersebut.

E=2xlTtt N/ni

I t=l2xl0-6 n/ A F 0.03 ni I f l5xl0-6 ,tt' A ,=9.625 m' A .r=0.02 ,n' A C = B C =l ttt; C D = 1.2 rtt: dE =l ttr Tentukanlah:

a. b.

Gombar 6.17 6.

Pada gambar berikut ini ditunjukkan suatu struktur dengan E=2xlTtt N/ni. Carilah frekuensi natural struktur tersebut dengan memodelkan skuktur menjadi 4 buah struktur beant, dan kemudian memodelkan juga menjadi l0 model beam. Bandingkan

Persamaan gerak sistem, frekuensi natural dan mode getar sistem.

Fungsi respons frekuensi akibat gaya eksitasi pada node 2.

hasilnya.

150 nnn

n L*l

Gomhor 5.19

IOO

ITt_l i0

50 lurtr

ttrrtr

Permu4rangi BB

Peu*urpaug.d{ Gcmbsr 6.18

I N dalam arah x

364

Getaran Mekanik

DAFTAR PUSTAIG

1.

Hildebrand, Francis B. Advonced Coluilus Hall of hrdia, New Delhi 1977

2.

Hutalraean, Ilantses, Mekonisme dnn Dinamiko Mesin, Edisi revisi, Penerbit Andi, Yogyakarla, 20 I 0.

3.

Innran, Daniel

J, Enginecring

for

Applicatiozs, Prentice-

Vihrotiorrs, 3"1 Edition, Pearson

Education Inc, New Jersey, 2008.

of Vibrilion Annlysis,

4.

Meirovitch, Leonard, Eleuents McGraw-Hill, 1986

5.

Tse, Francis S. Morse, Ivan. Hinkle. Rolland, Mechfinicul Vibrntiort,2"d Edition Allyn and Bacon, Inc.,1978.

6.

Weaver, Willianr. Johnston R, Paul, Structurul D),nomics By Finite Elements, International Edition Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,1987

2"d Edition

366

Getaran Mekanik

BIODATA Ramses Yohannes Hutahaean

Lahir di Bandung l3 September 1g67, setelah di SMAN 70 Jakarta, pada

menamatkan pendidikan

tahun 1986, kentrdian nrelanjutkan pendidikan di Jurusan Teknik Mesin ITB, Setelah lulus pada tahun 1993, kemudian bekerja di PT.IPTN, sebagai load &

dynamics engineer, pada tahun 1995-1997, sebagai lead engineer pada proyek mobil Nasional, yang merupakan ke{asanta pemerintah Indonesia dan Australia, pada tahun 1997 bekerja di PT.Timor Rekayasa Rancang Bangun, sebagai senior mechanical engineer, dan pada tahun 1998 melanjutkan pendidikan magister di Jr_rrusan Teknik Mesin ITB, dan setelah menamatkan pendidikan Magister tahun 2001, kemudian bekerja di PT.TEAC Electronics Indonesia di Batanr, dan pengalanran di bidang penerapan teori getaran, adalah menerapkan predictive maintenance berdasarkan sinyal getaran untuk mengidentifikasi sumber getaran dan memperkirakan kerusakan konrponen - komponen mesin di Industri berat dan pertambangan.