2 Sifat Kelengkapan Dan Interval Analisis Real

TUGAS ANALISIS REAL (Sifat Kelengkapan Bilangan Real dan Interval)

Dosen Pengampu: Dr. Elly Susanti, S.Pd, M.Sc

Oleh: Liny Mardhiyatirrahmah

(18811001)

Muhammad Gunawan Supiarmo

(18811009)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA MAGISTER UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2019

2.3 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2.3.1 Definisi Misal S adalah subset himpunan tak kosong dari ℝ a) Sebuah himpunan S dikatakan terbatas atas jika ada bilangan 𝑢 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑠 ≤ 𝑢 untuk semua 𝑠 ∈ 𝑆. Setiap anggota bilangan u disebut sebagai batas atas dari S. b) Sebuah himpunan S dikatakan terbatas bawah jika ada bilangan 𝑤 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑤 ≤ 𝑠 untuk semua 𝑠 ∈ 𝑆. Setiap anggota bilangan w disebut sebagai batas bawah dari S. c) Sebuah himpunan disebut terbatas jika memenuhi kedua batas, terbatas atas dan bawah. Sebuah himpunan disebut tidak terbatas jika tidak terbatas. 2.3.2 Definisi Misal S adalah subset himpunan tak kosong dari ℝ a) Jika S terbatas atas, maka sebuah batas atas u dikatakan supremum (batas atas terkecil) dari S jika memenuhi kondisi: (i) u adalah sebuah batas atas dari S, dan (ii) Jika v adalah sebarang batas atas dari S, maka 𝑢 ≤ 𝑣 b) Jika S terbatas bawah, maka sebuah batas bawah w dikatakan infimum (batas bawah terbesar) dari S jika memenuhi kondisi: (i) w adalah sebuah batas atas dari S, dan (ii) Jika t adalah sebarang batas atas dari S, maka 𝑡 ≤ 𝑤

2.3.3 Lemma Sebuah bilangan u adalah supremum dari subset himpunan tak kosong dari ℝ jika dan hanya jika u memenuhi kondisi: a) 𝑠 ≤ 𝑢 untuk semua 𝑠 ∈ 𝑆, b) Jika 𝑣 < 𝑢, maka terdapat 𝑠 ′ ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑣 < 𝑠 ′ 2.3.4 Lemma Sebuah himpunan terbatas atas u dari himpunan tak kosong S di ℝ adalah supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑠𝑐 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑢 − 𝑠 < 𝑠𝑐 .

Bukti. Andaikan u sebuah batas atas dari S dan memenuhi kondisi yang diberikan. Jika v < u dan kita ambil s = u − v > 0, maka berdasarkan kondisi yang dimiliki maka terdapat sebuah bilangan ss ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑣 = 𝑢 − 𝜖 < ss. Oleh karena itu v bukan batas atas S. Karena v adalah sebarang bilangan yang kurang dari u, kita simpulkan u = sup S. Sebaliknya misalkan u = sup S dan misalkan 𝜖 > 0. Karena 𝑢 − 𝜖 < 𝑢, maka u − 𝜖 bukan batas atas dari S. Oleh karena itu terdapat sebuah elemen ss dari S yang lebih dari u − 𝜖, yakni u − 𝜖 < ss. 2.3.6 Sifat Kelengkapan ℝ Setiap himpunan tak kosong bilangan real yang mempunyai batas atas akan mempunyai sebuah suprimum di ℝ.

Sifat

yang

sama

untuk

infimum

juga berlaku sehingga dapat

disimpulkan dari sifat supremum. Misalkan S sebuah subset tak kosong dari ℝ yang terbatas bawah. Jadi himpunan tak kosong 𝑆̅ = {−𝑠: 𝑠 ∈ 𝑆} adalah himpunan terbatas atas dan dengan sifat dari supremum menyebabkan 𝑢: − sup 𝑆̅ ada di ℝ. Maka dapat ditunjukkan bahwa −u adalah infimum dari S.

2.5 Interval Relasi pada ℝ menentukan sebuah koleksi dari subset-subset yang dikenal dengan interval. Notasi dan istilah untuk himpunan khusus ini sebagai berikut. Jika 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dan 𝑎 ≤ 𝑏, maka interval buka yang ditentukan oleh a dan b adalah (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Titik-tiitk a dan b disebut titik ujung-titik ujung dari interval buka (a, b), tetapi titik ujung tersebut tidak termasuk. Jika kedua ujung masuk di interval terbuka, maka interval disebut interval tutup. [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Himpunan [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} dan (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} disebut interval-interval setengah buka yang ditentukan oleh titik a dan b. Setiap interval di atas mempunyai panjang 𝑏 − 𝑎. Jika a = b, catat bahwa interval

buka yang bersesuaian adalah himpunan kosong (𝑎, 𝑎) = ∅, sementara yang bersesuaian dengan interval tutup adalah himpunan dengan anggota tunggal [𝑎, 𝑎] = 𝑎. Jika 𝑎 ∈ 𝑅 maka himpunan-himpunan yang didefinisikan dengan (𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 > 𝑎} dan (−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 < 𝑎} disebut himpunan buka tak hingga. Juga himpunan-himpunan yang didefinisikan dengan [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 ≥ 𝑎} dan (−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝑅 ∶ 𝑥 ≤ 𝑏} disebut interval tutup tak terbatas. Dalam kasus ini titik a disebut titik akhir dari interval ini.

Sering adalah baik untuk menuliskan R dalam sebuah interval tak hingga. Dalam kasus ini kita tuliskan (−∞, ∞) = 𝑅 dan kita tidak mempunyai titik ujung dari (−∞, ∞). 2.5.1 Teorema Karakteristik Interval Jika S adalah sebuah subset dari ℝ yang terdiri paling tidak dua poin dan memiliki sifat jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dan 𝑥 < 𝑦, maka [𝑥, 𝑦] ⊆ 𝑆, maka S adalah sebuah interval.

Bukti. Ada empat kasus: (i) S terbatas, (ii) S terbatas atas tetapi tidak terbatas bawah, (iii) S terbatas bawah tetapi tidak terbatas atas, dan (iv) S terbatas atas dan juga bawah. Kasus (i): Misal 𝑎 ≔ inf 𝑆 dan 𝑏 ≔ sup 𝑆. Maka 𝑆 ⊆ [𝑎, 𝑏] dan akad dibuktikan bahwa (𝑎, 𝑏) ⊆ 𝑆. Jika 𝑎 < 𝑧 < 𝑏, maka 𝑧 bukan batas bawah dari S sehngga terdapat 𝑥 ∈ 𝑆 dan 𝑥 < 𝑧. Juga, z bukan batas atas dari S sehingga terdapat 𝑦 ∈ 𝑆 dan 𝑧 < 𝑦. Oleh karena itu, 𝑧 ∈ [𝑥, 𝑦], sehingga sifat jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 dan 𝑥 < 𝑦, maka [𝑥, 𝑦] ⊆ 𝑆, menunjukkan bahwa 𝑧 ∈ 𝑆. Karena z adalah sebarang anggota dari (a, b), maka disimpulkan bahwa (𝑎, 𝑏) ⊆ 𝑆. Jika 𝑎 ∈ 𝑆 dan 𝑏 ∈ 𝑆, maka 𝑆 = 𝑎, 𝑏]. Jika 𝑎 ∉ 𝑆 dan 𝑏 ∉ 𝑆, maka 𝑆 = (𝑎, 𝑏). Kemungkinan lainnya adalah 𝑆 = [𝑎, 𝑏) atau 𝑆 = (𝑎, 𝑏].

Kasus (ii): Misal 𝑏: − sup 𝑆. Maka 𝑆 ⊆ (−∞, 𝑏] dan akan dibuktikan bahwa (−∞, 𝑏) ⊆ 𝑆. Untuk, jika 𝑧 < 𝑏, maka terdapat 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑧 ∈ [𝑥, 𝑦] ⊆ 𝑆. Oleh karena itu (−∞, 𝑏) ⊆ 𝑆. Jika 𝑏 ∈ 𝑆, maka 𝑆 = (−∞, 𝑏], dan jika 𝑏 ∉ 𝑆, maka 𝑆 = (−∞, 𝑏).

2.5.2 Sifat Interval Bersarang Jika 𝐼𝑛 = [𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 ], 𝑛 ∈ 𝑁, adalah sebuah barisan bersarang dari interval terbatas dan tertutup maka terdapat sebuah bilangan 𝜉 ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝜉 ∈ 𝐼𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Bukti. Karena interval-interval itu bersarang, kita punyai In ⊆ I1, ∀n ∈ N, sedemikan sehingga an ≤ b1, ∀n ∈ N. Oleh karena itu himpunan tak kosong {an : n ∈ N} terbatas di atas, dan kita misalkan ξ adalah suprimumnya. Jelas bahwa an ≤ ξ, ∀n ∈ N. Kita klaim juga bahwa ξ ≤ bn, ∀n. Ini dapat dijelaskan untuk sebarang n, bilangan bn adalah batas atas dari himpunan {ak : k ∈ N}. Kita perhatikan dua kasus. (i) Jika n ≤ k, maka karena In ⊇ Ik, kita punyai ak ≤ bk ≤ bn. (ii) Jika k < n, maka karena Ik ⊇ In, kita punyai ak ≤ an ≤ bn. (Lihat gambar 2.5.2 di buku). Jadi kita simpulkan bahwa ak ≤ bn, ∀k, sehingga bn adalah batas atas dari {ak : k ∈ N}. Oleh karena itu ξ ≤ bn untuk setiap n ∈ N. Karena an ≤ ξ ≤ bn, ∀n, kita punyai ξ ∈ In, ∀n ∈ N.

2.5.3 Teorema Jika In = [an, bn], n ∈ ℕ, adalah sebuah barisan bersarang dari interval terbatas dan tutup sedemikian sehingga panjang bn − an dari In memenuhi inf{bn − an : n ∈ ℕ}= 0, Maka bilangan ξ termuat dalam In, untuk semua n ∈ ℕ unik. Bukti. Jika 𝜂 ≔ inf{𝑏𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ} maka argumen ini sama dengan pembuktian di 2.5.2 yang bisa digunakan untuk menunjukkan bahwa an < η, untuk semua n, sehingga 𝜉 ≤ 𝜂. Kenyataannya dapat ditunjukkan bahwa x ∈ In, untuk semua n ∈ N jika dan hanya jika 𝜉 ≤ 𝑥 ≤ 𝜂. Jika kita punyai inf{bn − an : n ∈ ℕ}= 0, maka untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat sebuah 𝑚 ∈ ℕ sedemikian sehingga 0 ≤ 𝜂 − 𝜉 ≤ bm - am < 𝜀.

Karena ini memenuhi untuk semua 𝜀 > 0, maka menurut

teorema 2.1.9 disimpulkan bahwa η − ξ = 0. Oleh karena itu kita simpulkan bahwa ξ = η yang hanya sebuah titik yang termasuk dalam In, ∀n ∈ N. 2.5.4 Teorema Himpunan ℝ dari bilangan real itu tidak dapat dihitung. Bukti. Akan dibuktikan bahwa interval 𝐼 ≔ [0,1] adalah sebuah himpunan yang tidak bisa dihitung. Ini menyatakan bahwa himpunan ℝ adalah himpunan yang tidak bisa dihitung, jika ℝ dapat dihitung, maka subset I juga dapat dihutung (teorema 1.3.9). Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Asumsikan bahwa I dapat dihitung, maka kita dapat menghitung satu persatu himpunan sebagai 𝐼𝑛 = {𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 }. Pertama-tama kita pilih subinterval tertutup 𝐼1 dari I sedemikian sehingga 𝑥1 ∈ 𝐼1 , maka pilih subinterval tertutup 𝐼2 dari 𝐼1 sedemikian sehingga 𝑥2 ∈ 𝐼2 , dan seterusnya. Dengan cara ini, kita memperoleh interval terttutup tak kosong 𝐼1 ⊇ 𝐼2 ⊇ ⋯ ⊇ 𝐼𝑛 ⊇ ⋯ Sedemikian sehingga 𝐼𝑛 ⊆ 𝐼 dan 𝑥𝑛 ∉ 𝐼𝑛 untuk semua n. Sifat Interval bersarang pada teorema 2.5.2 menyatakan bahwa terdapat 𝜉 ∈ 𝐼 sedemikian sehingga 𝜉 ∈ 𝐼𝑛 untuk setiap n. Oleh karena itu 𝜉 ≠ 𝑥𝑛 untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, ditunjukkan bahwa

perhitungan dari I tidak dapat diselesaikan dengan mendaftar anggota dari I seperti yang dinyatakan. Jadi, I adalah himpunan yang tidak dapat dihitung. 2.5.5 Teorema Interval Unit [0,1] ≔ {𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1} bukan tidak dapat dihitung. Pembuktian kontradiksi. Jika menggunakan fakta bilangan riil 𝑥 ∈ [0,1] memiliki decimal representasi 𝑥 = 0. 𝑥1 = 0. 𝑏11 𝑏12 𝑏13 … . . 𝑏1𝑛 𝑥2 = 0. 𝑏21 𝑏22 𝑏23 … . . 𝑏2𝑛 𝑥3 = 0. 𝑏31 𝑏32 𝑏33 … . . 𝑏3𝑛 𝑥𝑛 = 0. 𝑏𝑛1 𝑏𝑛2 𝑏𝑛3 … . . 𝑏𝑛𝑛 kita buat 𝑦1 : = 2 jika 𝑏11 ≥ 5 dan 𝑦1 : = 7 jika 𝑏11 ≤ 4 dengan cara umum 𝑦1 : = {

2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑏11 ≥ 5 7 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑏11 ≤ 4

Setelah itu 𝑦 ∈ [0,1] sebab 𝑦𝑛 ≠ 0,9 𝑛 𝜖 ℕ, karena 𝑦 dan 𝑥𝑛 , maka 𝑦 ≠ 𝑥𝑛 untuk 𝑛 𝜖 ℕ. Hal tersebut kontradiksi dengan hipotesis.