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Euler - Lagrange Modelos Eléctricos y Electromecánicos

Modelado y simulación de sistemas mecatrónicos M. en C. Juan Carlos Guzmán Salgado UPIITA - IPN

Introducción Los sistemas mecánicos guardan muchas similitudes con los sistemas eléctricos; esta circunstancia permite que las ecuaciones de Lagrange, obtenidas considerando sistemas del primer tipo, puedan ser aplicables a sistemas de la segunda clase. Para ver esto, se hace enseguida una compilación de algunas de las principales relaciones de la electricidad, el electromagnetismo y los circuitoseléctricos. 1. El flujo electromagnético Φ y la corriente i que lo produce guardan la relación Φ = Li

(1)

donde L es una constante que depende de factores geométricos y de entorno llamada inductancia. Un componente eléctrico que se comporta según (1) también recibe el nombre de inductancia.

2. Los cambios de flujo electromagnético originan potenciales eléctricos, ambos están relacionados por la Ley de Faraday uL = −dΦ/dt donde uL denota el voltaje en los terminales de la inductancia a raíz del cambio de flujo. Considerando (1), la ley de Faraday puede expresarse en la forma uL = −L di/dt

(2)

3. En elementos resistivos el voltaje uR entre los bornes del componente y la corriente i que circula por él obedecen la Ley de Ohm, que se enuncia como uR = Ri

(3)

donde R es una constante que depende del componente denominado resistencia.

4. El voltaje uC entre los terminales de una capacitancia y la carga q que se encuentra en sus placas siguen la relación (4)

donde C es una constante que depende de la geometría y el entorno denominada capacitancia. Si se considera que la corriente se define como la variación temporal de carga, es decir (5) entonces, de forma alterna, (4) se expresa en los términos

(6)

5. Las leyes de Kirchhoff establecen dos relaciones matemáticas fundamentales en el análisis de circuitos eléctricos. Ley de la Malla: ”la suma de los voltajes en todo lazo cerrado de un circuito eléctrico es nula”. Ley del Nodo: ”la suma de las corrientes en todo punto de un circuito eléctrico es nula”.

Para los sistemas eléctricos la energía cinética, energía potencial y la resistencia se definen como sigue en función de la carga eléctrica:

L

C

R

F

Energía potencial, representa las fuerzas potenciales de interacción, como las fuerzas de los resortes, voltajes en capacitores y la gravedad.

Energía cinética debida a las masa, inercias e inductancias

representa los voltajes y fuerzas externas aplicadas al sistema que actúan a lo largo de la iésima coordenada.

representa las fuerzas de fricción en el sistema, como fricción y resistencias eléctricas.

Se obtiene ………… (1)

que es conocida como la Ecuación de Movimiento de Lagrange. Donde

Lagrangiano

Método de Lagrange En el método Lagrangiano no tenemos que preocuparnos de la fuerzas de restricción o de las fuerzas de interacción entre elementos del sistema ni de los cambios de coordenadas.

 

Las ecuaciones se pueden encontrar siguiendo unos simples pasos, 1.

Identificar el conjunto mínimo de coordenadas generalizadas consistentes con las ligaduras,

2.

Expresar la energía cinética y potencial en términos de las coordenadas generalizadas y de las velocidades generalizadas,

3.

Expresar las fuerzas de fricción y fuerzas externas,

4.

Obtener la función del Lagrangiano,

5.

Diferenciar parcialmente respecto a y

6.

Escribir la ecuación (1) para cada coordenada generalizada,

,

.

F=

.

.

.