234301816-03-texto-escolar-trigo-4.docx

Tr i g o n o m e t r í a

Intelectum Trigonometría

I t

Indicador es

de logro

Unidad 1

Unidad 2

• Reconoce la posición final, inicial y el vértice del ángulo trigonométrico. • Identifica el sentido de giro del ángulo (positivo y negativo). • Aplica las equivalencias entre los sistemas de medición para calcular la medida del ángulo pedido. • Discrimina entre sistema sexagesimal, centesimal y radial. • Identifica los elementos de un sector circular para el cálculo de su área. • Calcula el área del sector circular identificando sus elementos y apli- cando sus propiedades. • Identifica al ángulo agudo dentro de un triángulo rectángulo y define cada una de las razones trigonométricas. • Determina las razones trigonométricas de ángulos agudos identifican- do sus elementos. • Reconoce los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. • Utiliza fórmulas de manera adecuada para la demostración de pro- blemas, usando las diferentes razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

• Discrimina entre ángulos de elevación y depresión. • Calcula el valor de los ángulos horizontales y verticales. • Determina ángulos de elevación y depresión en función a sus razones trigonométricas. • Identifica los pares ordenados, las intersecciones con los ejes y el ori- gen de coordenadas. • Calcula la ecuación de la recta así como su pendiente o el ángulo entre dos rectas utilizando puntos coordenados en el plano cartesiano. • Define cada una de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal. • Determina el valor de las razones trigonométricas de ángulos coterminales. • Identifica el cuadrante al cual pertenece cada ángulo y la forma de reducción. • Aplica los casos estudiados para la reducción de ángulos. • Identifica el cuadrante al cual pertenece el ángulo y realiza la reducción utilizando las relaciones dadas.

EL SONIDO Y LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En la física el sonido es el fenómeno de propaga- ción de ondas elásticas a través de un fluido que genera el movimiento ondulatorio de un cuerpo determinado. Por ejemplo cuando vibran las cuerdas de un charango, estas vibraciones producen un choque de las moléculas del aire unas con otras, ocasionando zonas de comprensión y descompresión atmosférica. Si continuamos rasgando las cuerdas, se van formando sucesiones de compresión y descompresión, y cuando estas sucesiones llegan al oído, producen una vibración en el tímpano que causa la sensación de sonido. La función matemática que mejor representa la propagación del sonido es la función seno.

Contenido: Unidad 1 • Ángulo trigonométrico Sistemas de medidas ángulares. • Sector circular. • Razones trigonométricas de ángulos agudos. • Resolución de triángulos rectángulos.

Unidad 2 • Ángulos verticales y horizontales. • La recta en el plano cartesiano. • Razones trigonométricas de ángulos en cualquier magnitud. • Reducción al primer cuadrante.

Unidad 3 • • • • •

Cincunferencia trigonométrica. Identidades trigonométricas. Ángulos compuestos. Ángulos múltiples. Transformaciones trigonométricas.

Unidad 3

Unidad 4

• Describe los elementos de una circunferencia trigonométrica (origen de arcos, origen de complementos y suplementos). • Representa gráficamente cada línea trigonométrica y analiza su va- riación. • Discrimina entre las identidades fundamentales (recíprocas y pitagóri- cas) y auxiliares. • Encuentra el valor de las identidades trigonométricas fundamentales y auxiliares, de un ángulo orientado. • Identifica las identidades de suma y diferencia de dos ángulos. • Demuestra igualdades de expresiones utilizando las identidades trigo- nométricas. • Reconoce las identidades de ángulo doble, ángulo mitad y ángulo triple. • Comprende la división de las transformaciones trigonométricas (de suma o diferencia a producto o viceversa).

• • • • • • • • •

Unidad 4 • Funciones trigonométricas. • Funciones trigonométricas inversas. • Ecuaciones trigonométricas. • Resolución de triángulos oblicuángulos.

Analiza las funciones trigonométricas e identifica el dominio y rango. Discrimina entre función par, impar, creciente, decreciente y periódica. Define las funciones inyectivas y sobreyectivas. Identifica cada una de las funciones inversas, y evalúa su domino y rango. Determina el dominio y rango de las funciones trigonométricas y de las funciones inversas dadas. Identifica los elementos de una ecuación trigonométrica y analiza su resolución. Calcula el valor de la variable, aplicando propiedades de razones trigo- nométricas y el valor de sus respectivos dominios. Nombra las relaciones dadas de la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes. Aplica la ley de senos, ley de cosenos, ley de proyecciones y ley de tangentes en la resolución de triángulos oblicuángulos.

unidad 1

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SISTEMAS DE MEDIDAS ANGUL ARES ÁNGULO TRIGONOMéTRICO Es el ángulo que se genera por la rotación de un rayo sobre un plano alrededor de un punto fijo llamado vértice. Si la rotación es en sentido antihorario, el ángulo se considera positivo; si gira en sentido horario, el ángulo se considera negativo.

Recuerda Si hay un cambio en el sentido de rotación, el signo del ángulo también cambia.

B Sentido antihorario +(+) O

OA: posición inicial

A

 

Sentido horario +(-)

-



OC; OB: posición final O: vértice del ángulo

Un ángulo trigonométrico puede adquirir cualquier magnitud sin restricción.

a, b: ángulos trigonométricos

C

+Ë

SISTEMAS DE MEDICIóN ANGULAR

-Ë

-3 < m+trigonométrico < +3

La medida de un ángulo puede estar determinada en diferentes sistemas, de los cuales se definen tres sistemas convencionales:

1. Sistema sexagesimal Tiene como unidad el grado sexagesimal (1°) donde: m+1 vuelta = 1º 360

; entonces m+1vuelta = 360°

Tiene como subunidades 1': minuto sexagesimal 1": segundo sexagesimal

Y se definen como:

Observación

1° <> 60' ; 1' <> 60" ; 1° <> 3600"

2. Sistema centesimal

En los sistemas sexagesimal y centesimal, los ángulos pueden denotarse:

g

Notación decimal

Tiene como unidad el grado centesimal (1 ) donde:

m+1 vuelta = 1g 400 Tiene como subunidades m 1 : minuto centesimal

; entonces g 400

Notación en ángulos,

m+1vuelta =

minutos y segundos

Y se definen como:

s

1 : segundo centesimal

g

m

m

s

g

3. Sistema radial Tiene como unidad al radián (1 rad) definido como la medida del ángulo al que le corresponde una longitud de arco igual al radio de la circunferencia, donde:

Algunos valores de p:

2 1rad p , 3,1416

=

; entonces m+1vuelta = 2p rad

p , 22

p,

(xyz, mnq)

g

s° t' u"

rg pm zs

Donde:

1 <> 100 ; 1 <> 100 ; 1 <> 10 s 000

m+1 vuelta

(abc, efg)°

3+ 2

s, t, u, r, p, z son enteros Además: t, u ! [0; 60H p, z ! [0;100H

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

5

RELACIóN ENTRE SISTEMAS

Importante Corolario • De la fórmula de conver- sión: S C = 9 10 =

Siendo: S: número de grados sexagesimales del ángulo q C: número de grados centesimales del ángulo q R: número de radianes del ángulo q

S° g C R rad



20R 

• Para las subunidades sexagesimales m+a = S° = 60S' = 3600S" S & n.° de grados 60S & n.° de minutos 3600S & n.° de segundos Centesimales g

m

= 100C = 10 s 000C C & n.° de grados 100C & n.° de minutos 10 000C & n.° de segundos m+a = C

Equivalencias (Método del factor común) m+1 vuelta

Fórmula de conversión S

g

= 180° = 200 = p rad

2

C

=

180

200

Ejemplo: Convierte 60° a radianes. ra A) Equivalencias: d

g

1. 180° = 200

180

=

R=  3



; dato: S = 60°

rad ` 60° =  3

g

Simplificando tenemos

9° = 10

Simplificando tenemos

27' = 50

Simplificando tenemos

81" = 250

g

2. 9° = 10 g 9 # 1° = 10 # 1 m 9 # 60' = 10 # 100 3. 27' = 50

m

m

m

Efectuar 1. Simplifica: E =

2S + 3C 2S -C donde S y C son lo convencional. C+ S

2. Calcula: A = -3 C- S siendo S y C lo convencional. 3. Calcula el valor de: E = 3S - C C- S

6

Intelectum 4.°



B) Fórmula de conversión: S R

Corolario de equivalencias

27 # 1' = 50 # 1 m 27 # 60" = 50 # 100

R

Para convertir un ángulo de un sistema a otro, tanto las equivalencias como las fórmulas de conversión pueden ser usadas.

60° = 60° # 1 = 60° #  180° rad 60° = 3

m

=

6. Simplifica: 7. Calcula: E =

2S + C - 3 C- S 20R + C + S   200R

siendo S y C lo convencional. 4. Halla el valor de m en:

siendo S, C y R lo convencional.

1 +1 = S

C

5. Reduce:

1

1

- m S C 2C + S

mc

C- S

+

8. Si S, C y R representan los números de los sistemas conocidos, calcula: S + C + E = 20R 2S - C + 40R ^S+ Ch+ 20R + 20R ^C - Sh  10. Expresa: rad en el sistema sexagesimal. 10 9. Reduce:

7

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

7

t

Problemas resueltos 1

Del ángulo trigonométrico, halla x.

4

Resolución:

(10 - 10x)°

Sean los ángulos a y b (a > b) Del enunciado: a + b = 40° 9° = 27° a-b= d g 10

g

(9x + 10) O g

30

n

Resolución:

& + b = 40°

Colocando el ángulo en sentido antihorario:

g

10) O

` El mayor ángulo mide 33°30’.

(9x +

g

Reduce: E = 2°3’ 3’

9°

Resolución:

5

& (9x + 10) = -(10 - 10x)°

Convertimos 2° a minutos sexagesimales: 2° d 60’ n = 2(60’) = 120’ 1°

(9x + 10) .d 10g n = -(10 - 10x)° 9(9x + 10) = -10(10 10x)

Factor de conversión

81x + 90 = -100 + 100x

Reemplazando en la expresión: _120’i + 3’ E = 2°3’ = 2° + 3’ = = 123’ = 41

190 = 19x & x = 10 2

3’

Convierte 11°15’ a radianes.

6

3’

& 11°15’ = rad 3

Calcula:  5° M = 12

4

4

Siendo: S y C lo convencional para un ángulo.

 rad 16

Resolución: Sabemos S = C 9

16

 rad = 180° 180° = ra c  rad = 12 15° d m 12 12

10 `M= 3 3

8k

2

18k - 10k

2_9ki _10ki 7 Simplifica:

Resolución:

= k & S = 9k / C = 10k

Reemplazando en la expresión: 3_10ki - 2_9ki = 30k - 18k = 12k M=

rad + 20g

3’

M = 3C - 2S 2S - C

11°15’ = 11° + 15’d 1° n = 11° + 1° = 45° 60’

3’

Simplifica:

Resolución:

45° d rad n 45 = rad 4 180° 4 # 180 

Factor de conversión

(+) a - b = 27° 2= 67° a = 33,5° = 33°30’

-(10 - 10x)°

g

g

La suma de dos ángulos es 40° y su diferencia es 30 . Calcula la medida del mayor ángulo en grados sexagesimales.

E = 2S - C + 40R C - S

Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo.

Resolución:

2

g g 20 = 20 c 9° m = 20 # 9° = 18° 10 10g

Reemplazando en la expresión: M= 10

_15°i + 5° _18°i

` M = 10 9

= 20° = 18°

9

Sabemos: S = C 9

= 20R = k & S = 9k, C = 10k y 20R = pk 10



Reemplazando en la expresión: 2_9ki - _10ki + 2_ki E=  10k -  9k _

i

_ i

= 18k - 10k + 2k = 10k = E 10 10k - 9k k ` E = 10

sECTOR CIRCUL AR Nota De la expresión: L = qR q es un valor numérico, por lo tanto, la unidad que defina aL será la misma a la del radio.

LONGITUD DE ARCO Es la medida de un arco, que a su vez, es una porción de circunferencia limitada por dos puntos y se calcula:

!

R

Ejemplo: Longitud de un arco (L) de radio 20 cm y rad como ángulo central. 2  L = a k (20) 2= L 10p ` L es igual a 10p: cm . Unidad de longitud del radio

Donde:

A

O

AB : arco AB

R: radio de circunferencia q: n.° de radianes del ángulo central L: longitud de arco

L= q .

L

rad

R B

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR Es la región plana que se encuentra limitada por dos radios y un arco. El cálculo del área de un sector circular se determina con las siguientes expresiones: A

Donde:

S RL R O

R2

R

=

L S=

rad S L

2

S=

B

2

S: área del sector circular q: n.° de radianes del sector circular R: radio

L2

L: longitud de arco

2

Propiedades 1. c b a

Demostración: Del gráfico: L1 = qa, L2 = qb; L3 = qc

E

C

Despejando q:

A L1 L3

rad

L1

L2

= = L1

B

`

D

Recuerda Sea el sector circular AOB

F

2. L1

S1

B

O

AOB:

a

L2

L3

=

b

c

=

c

rad rad

S2

De las expresiones de área: 1 S1 =

B L2

S1

área del sector circular AOB

=

; =

b

Demostración:

A

O

S

;

3L

L1 L2 L3 a = b =c A

! LAB : longitud de arco AB

a

2L

C

S1

=

L1

= 

`

2

r ; S2 =

=   S 2

1

2

r

2

1 r 2 2

2

S1 &

S2

=

1 r2 2

 =

S2

L2



Análogamente : rL1 = rL1 = rL2 & S1 = 2 = L1 S1 ; S2 S 2 rL 2 L2 2 2 2 S1 L1  = = ` S2 L2 

t

TRApECIO CIRCULAR Región formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos y de radios distintos. C

L1

B rad

O

Atención

Valor numérico del ángulo central L -L

A

Área del trapecio circular A = dL 1+ L 2 nh

S2

L2 L1 1

=

2

2

S1

h

A

S4

D

Se cumple:

ApLICACIóN DE LONGITUD DE ARCO

S1 . S3 = S2 . S4

Cuando una rueda gira sobre una superficie plana desde un punto A hasta una posición B se tiene:

¿Puedes demostrarlo? !Inténtalo!

A1



S3

A medida que la rueda gira, un radio genera un ángulo q.

r L

A

B

2

r

Observa que cuando el centro de la rueda avanza una longitud igual a 2pr, la rueda ha dado una vuelta.

2r

Para el cálculo del número de vueltas (n) usamos una regla de tres simple. 1 vuelta & (1)(L) = (n)(2r)

2pr n vueltas

`

n

L 2r Observación

L

En general El número de vueltas que da una rueda sobre cualquier superficie se calcula mediante la siguiente expresión:

LC

r

n =

B

v

c

También podemos calcular Lc (longitud recorrida por el centro desde A hacia B): Lc = qgr

L

nv: número de vueltas que da

Donde:

2r

la rueda desde A hasta B L : longitud recorrida por el

qg : número de radianes que gira la rueda

c

centro

A

r : radio de la rueda En consecuencia: Lc qg = qg = nv . 2p

Casos particulares

r rad

r A

LC

n v = _R- ri 2r

r R

LC

B

r

r

nv = R

rad

_R+ ri 2r

Problemas resueltos 1

Halla el área de un sector circular, cuyo ángulo central mide 36° y el radio 10 m.

Resolución:

Por la propiedad del trapecio circular: D

Resolució n:

A 10 m O

36°

O

q = 36° = 36°d rad r = 10 m



2

S= .r

h

C

B

4

Halla el área en la región sombreada. C A 4m 5m

B

4m

2

La figura sombreada es un trapecio circular. 3u

C

L2 = 5 m h= 4m

a+

a-b 3b

L1 + L2

L1 = 9 m

x 3 rad

A=d

B

5

D

r

Por dato: 3L!AB + ! LCD = 3(a - b) + a + 3b = 12 & 3a - 3b + a + 3b = 12 4a = 12 a= 3

2

3 = 4b 2 3 9 b= u 8

A R r

Finalmente: 3x= ab 2 3x= 3- 9 2 3

3 = a + 3b - a +b 2 3

x=

` x=

15

8

7m

C

Resolució n:

r

L1

A r

8 5 4

B

R-r

u

L2

L3 r B

4.°

n 4 = 28

nh = d

Halla el número de vueltas que da la rueda, al ir de A hasta C. (R = 10 m y r = 2 m)

Resolución:

3

9+ 5

2 2 2 Por lo tanto, el área sombreada mide 28 m .

2

Por propiedad, en el trapecio ABCD: _a + 3bi - _a - bi 3 =

D

Resolución:

A

10 Intelectum

9m

= 10

2

O

L -L 1 2 h

Entonces: = 8 2 = 6 = 2 rad 3 3

5

Si 3L!AB + ! LCD = 12 , calcula x.

2

L1

O

h

Por lo tanto: S = 10p m 2

L2

^10

` j = 5 2

n=

=

B



180°

rad

S 10 m

rad

h

A

7

r C

3

Halla q.

A O m

rad

3m 2m

B 3m

La longitud que recorre el centro: LC = L1 + L2 + L3 L1 = 1 . r = (p / 2)(2) = 

D 8

L2 = 2 (R - r) = (/ 2)(10 - 2) = (/ 2) 8 = 4 L3 = BC = 7 & Lc = + 4+ 7= 12

C

Lc & n.° de vueltas: n =

2r

12 =

= 12=

2(2) 4

3

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 1

11

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ÁNGULOSAGUDOS

t

DE

INTRODUCCIóN

Recuerda C

Triángulo rectángulo Son todos los triángulos en donde uno de sus ángulos es recto. Entre sus elementos tenemos: Catetos: AC = b / CB = a Hipotenusa: AB = c

A 

a

b A

B

c

Ángulos agudos: m+CAB = q / m+CBA = a b

c> a

c

C

a



c> b

B

Observaciones En todo triángulo rectángulo se tiene que sus ángulos agudos son complementarios es decir: a + q = 90° En todo triángulo rectángulo la medida de sus lados cumplen el teorema de Pitágoras. 2

2

a +b =c

Observación

2

Las razones trigonométricas no dependen del triángulo que contiene al ángulo, solo de su medida.

CÁLCULO DE LAS RAzONES TRIGONOMéTRICAS

D

Para ángulos agudos, el cálculo de las razones trigonométricas se realiza con el ángulo contenido en un triángulo rectángulo y estableciendo la relación entre la medida de sus lados tomados de dos en dos. Nombre Cateto adyacent e

Cateto opuesto

a

b

seno de theta coseno de theta tangente de theta



c

Hipotenusa



Definición senq =

E

= tan

cateto opuesto = a hipotenusa c cateto adyacente

cosq =

hipotenusa

=

A

C

BC AC

=

ED AD

b c

cateto opuesto tanq = a cateto adyacente =b

cotangente de theta cotq = cateto adyacente = b cateto opuesto a secante de theta

hipotenusa secq = c cateto adyacente= b

cosecante de theta

hipotenusa c cscq = cateto opuesto =a

Razones trigonométricas recíprocas Si el producto de dos razones trigonométricas de un mismo ángulo es igual a la unidad, estas se denominan recíprocas. De las definiciones de razones trigonométricas observamos: senqcscq = 1

B

1 sen= csc

csc=

1

sen 

Nota Sean x e y ángulos agudos, si se cumple: senxcscy = 1

cosqsecq = 1

1 cos= sec sec= 1 cos

tanqcotq = 1

1 tan= cot cot= 1 tan

cosxsecy = 1 tanxcoty = 1 &x=y

Razones trigonométricas de ángulos complementarios Las razones trigonométricas de todo ángulo, son respectivamente iguales a las co-razones de su complemento.

Recuerda co˗razón seno

senq = cos(90° q) RT(q) = co-RT(90°- q) tan= cot(90° - q) secq = csc(90° - q)

coseno tangente

Triángulos rectángulos notables

cotangente secante

cosecante

53°

45°

60°

2a

2a

a

a 37°

45°

a 3

Otros triángulos notables: 143° 2 a 3a

127° 2 a

5a

cos

tan

cot

sec

csc

30°

1 2

3 2

1 3

3

2 3

2

60°

3 2

1 2

3

1 3

2

2 3

45°

1 2

1 2

1

1

2

2

37°

3 5

4 5

53°

4 5 7 25

3 5 2 4 25 7 25

16°

53°/2 2a

5 2a

74°

82° a

24a

4a

a

sen

Observación

37°/2

74°

25a 16°

30°

10a

3a

5a

2 4 25

3 4 4 3 7 24 2 4 7

5 4

4 3 3 4

5 3 5 4

5 3 2 5 24 2 5 7

2 4 7 7 24

2 5 7 2 5 24

8° 7a

Efectuar  Halla: sen

 Calcula: cos

 Calcula: tan

 Calcula: cot 

13

6 

2





8

 Calcula: csc 

 Calcula: sen





4.°

 Calcula: tan

4 2

18 Intelectum

4

3

 Calcula: sec

3

17

2

8

1

2

5 

2

7a

t

Problemas resueltos 1

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, calcula H = senA tanC secA

Resolución: B

Resolución: co

a

senA =

7 # 4 = 28

=

A

h b tanC = co = c ca a h b

b

c

A

Luego:

secA =

= B ca c Reemplazando en la expresión: a c b abc = H= a ka kd n = 1 b a c abc

a

M = tan(4x + 3°) tan(2x - 9°) M = tan67°tan23° Además, 67° y 23° complementarios & tan23° = cot67° Luego: M = tan67°cot67 Por propiedad de razones recíprocas: M = 1

1 Si cot= expresión:

3

C

ABC notable de 16° y 74° x = 16° En M:

C

` H= 1 2

x

25 # 4 = 100

, halla el valor de la

tan3 + 3 B= ; (: agudo) 2

5

Calcula: cos

tan

Resolució n: Sabemos: tan= cot

1

1 d 3 n

=

A

1 = 3 & tanq =3

17

8 B

C



Reemplazando en la expresión: 3

_ 3i + = 30 = 5 3B= 2 _ 3i = 273+ 6 6

9 D

3

Si x < 60°; calcula M = (cos3x + sen(x + 2 10°)) Si se cumple: sen(x + 20°) = cos(x + 30°)

Resolución:

En el ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras:

Resolució n:

2 (17) = 2 BC

Dato: sen(x + 20°) = cos(x + 30°) 30° + x < 90° / x + 20° < 90° Por propiedad de ángulos complementarios: x + 20° + x + 30° = 90° 2x = 40° x= Luego: 20°

2

2

+8 2

2

BC = 17 - 8 BC = 15 Luego:

15 = 5 # 3

C

9= 3#

CDB notable de 37° y 53°: a = 37°

4

3

M = (cos3x + sen(x + 2 10°)) M = (cos60° + 2 sen30°) 2 1 1 M= d + n ` M= 2 2 1

B

4

` cosa = cos37° =



D

Del triángulo ABC: B

5

6

3 cot 37° cot60 + sec 45 + cot8 sec74 - 3 sec53 2 %

Calcula:

2

%

%

%

%

Resolución: = A

3 cot 37° cot60 + sec 45 + cot8 sec74 - 3 sec53 2 2 2 + 7 # 25 - 3 # 1 5 + M= 3 # 3# ^ 3 M = 3 + 2 + 25 - 5 %

M

28 x 100

Calcula: M = tan(4x + 3°) tan(2x - 9°)

C

M=

25

` M= 5

2

%

%

%

%

2 2 3 ; (: agudo), calcula: E = 8tan + 2

7 Si cos=

Resolución:

Resolución:

r2 3a

2 cos =

&

3

r2 - r1



ca

7

a 7 =

=

a 2

=

Reemplazando en la expresión: 2 7 7 E = 8d n + 2 = 8d n + 2 2 2 ` E = = 30 30

8

cot.

N

4

5k 37° 4k

& r1 + r2 = 5 Entonces: & r2 - r1 = (+) 3 r2 + r1 = 5 2r2 =8 r2 = 4

5 En la figura adjunta: tana =

3k = r1

5k r1 + r2

4k

2

= 4

8

r1

Por semejanza:

7 2

r1

r2

M

a 2

c o tan=

a 7

37°

r2

. Si BN = 2AN, calcula

& r1 = 1 Luego:

C

2

2

2

2

r1 + r2 = 1 + = 17 4



A

N

10 Si senq = 0,6: (q = agudo), calcula:



B

F = tand 90° 2

Resolución: C

tan= 5 8

-  + -  n cot d 180° n + sec(90° - q) 2

Resolución: C

5k

& 

A

5n



d

N

2d

8k

B A



4n

8 Del gráfico: 3d = 8k & d = 3

k

` cot= 16 15 9

5k

16

B

El ángulo es agudo, además: senq = 0,6 = 3 5

2 k 3d n

2d Piden: cot=

16k

8

3n

=

2

Del gráfico, halla r además MN = 4. 1

5k

2

=

15k

15 +r

2

=

ABC notable de 37° y 53° & q = 37° En F: . Siendo tangen F = MyN cia, tand puntos de

90° -  n + cot d 2

180° - 

2

n + sec(90° - q)

r2 r1 37° M

N

F = tand 90° 37° n + cot d 180° 37° n + sec(90° 37°) 2 2 53° + 143° F = tan cot + sec53° 2 2 F= 1 + 1 + 5 2

3

` F = 2,5

3

t

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DEFINICIóN Es el procedimiento mediante el cual se determinan los elementos desconocidos de un triángulo rectángulo a partir de otros elementos conocidos. En este caso, básicamente se tratará de calcular los lados desconocidos de un triángulo rectángulo en función de un lado y un ángulo, ambos conocidos. Se presentan tres casos los cuales son:

CASOS Conocidos un ángulo agudo (q) y la hipotenusa (h)

C h

De la figura: x = senq & x = hsenq h

x

h y

La resolución de triángulos rectángulos permite calcular los elementos de un triángulo isósceles ya que se puede descomponer en triángulos rectángulos, así como también los elementos de trapecios, rombos y rectángulos.

a

a



 2acos

y = cosq & y = hcosq



A

Importante

a

B

Conocidos un ángulo agudo (q) y su cateto opuesto (a)

asen

 a

De la figura: x = cotq & x = acotq a

a

y = cscq & y = acscq

a

asen



a



A

x



B

asen

y

C

Conocidos un ángulo agudo (q) y su cateto adyacente (c) C y

x

De la figura x = tanq & x = ctanq c y c

= secq & y = csecq Nota



A

c

B

ÁREA DE UNA REGIóN TRIANGULAR B

S = ab

a

sen

2 S

C

Del gráfico:



b

El área de una región cuadrangular está dada por el semiproducto de sus diagonales multiplicado por el seno del ángulo que forman dichas diagonales.



d

D S

A

S=

S: área de la región triangular ABC Ejemplos:

Dd sen 2

Resolución: DEB: m+DBE = m+BAD = a, además: BD = DEcsca BD = acsca

1. Del gráfico, determina x en términos de a y a. B E

ADB: AB = BDcsca x = (acsca)csca 2 ` x = acsc a

x a 

A

Atención

D

G

Resolución: ACD: AC = ADsenq AC = nsenq

2. Según el gráfico, halla x en función de n, a y q.

Resolver un triángulo rectángulo es hallar los valores desconocidos de sus lados y de sus ángulos. Para resolver un triángulo rectángulo es necesario conocer un lado y uno de sus ángulos agudos. Con estos datos, basta aplicar la relación de las razones trigonométricas.

A 

ABC: BC = ACsena ` x = nsenqsena

nB x



D

C

3. Del gráfico, calcula x en términos de b y a.

Resolución: BDC: m+DBC = m+EAD =  BD = BCcosa BD = bcosa

B x bE

BED:



A

C

D

m+BDE = m+EAD =  EB = BDsena ` x = bcosasena

Efectuar 1. Del gráfico, calcula tan.

2. Del gráfico, calcula sen.

26

3. Calcula sen.

5







40 2

4. En el gráfico, calcula: a + b, si tan= 4.

a

12

9

15

2 5. De la figura, calcula: a + b , si tan= 2 .  Del gráfico, calcula: sen+ cos 3

b

8 



b

a

17

6 

8

t

Problemas resueltos 1

Halla HE, en función de b y .

3

De la figura, calcula x.

B

C E

16° 37° x

3

1



A

H

C

b

Resolución:

A

Resolución:

Sabemos: ATACK + ATKCB = ATACB

B E

bsen



A

H

C

b

3x sen16° + x (1) sen37° 2 = 2 3x 7 x 3 d n+ d n 2 25 2 5

3 (1) 2

sen53°

3 4

d n

2 5

18x = 6 25 5 5

En el AHB: BH = (bcos)sen= bsencos En el HEB: HE = BHsen & HE = (bsencos)sen

` x=

3

4 Calcula: tanq + cotq

2

` HE = bsen cos 2

B

K

Si ABCD es un cuadrado.

Del gráfico, halla x.

B

B

C 2 1

C

m

3

x A



A

D

n

D

Resolución: Resolución:

B

B



C

m A



n

Del gráfico se tiene: n + xtan= msec xtan= msecn Multiplicando a todo por cot: x = mseccot- ncot ` x = mcsc- ncot

D msec

2

1 

x



C



2sen

3cos



xtan A

4sen

3 4sen

De la figura tenemos: 3cosq + 2senq = 4senq 3cosq = 2senq 3 = tanq 2 ` tanq + cotq = 3 + 2 = 13 2 3 6

D

unidad 2

ÁNGULOSVERTICALES Y HORIZONTALES Ángulos verticales

Nota El ángulo formado por dos líneas visuales se denomina ángulo de observación.

Se denomina ángulos verticales a aquellos contenidos en un plano vertical. Cuando se desea realizar alguna observación, ya sea de objetos o puntos, utilizamos dos términos muy comunes: ángulo de elevación y ángulo de depresión:

: ángulo de elevación : ángulo de depresión

Veamos algunos ejemplos: 1. Desde lo alto de un muro de 8 m de altura se observa las partes alta y baja de un poste ubicado al frente, con ángulos de elevación y depresión de 45° y 30°, respectivamente. Halla la altura del poste. Resolución:

Piden: H Del gráfico: H = 8 3 + 8 H = 8( 3 + 1) m

: ángulo de observación

Importante • De no indicarse la altura del observador y no siendo esta altura la incógnita del problema, entonces se deberá considerar que se está observando desde un punto del suelo.

2. Una persona de 1,5 m de estatura observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° la base, y con un ángulo de elevación de 60°, la parte superior. Calcula la altura del árbol. Resolución: Piden: h Del gráfico:

• En todo problema se recurre a la formación de triángulos rectángulos.

h= 3 . 3 + (1,5) (1,5) h = (1,5)(3 + 1) h = (1,5)4 h= 6m

Ángulos horizontales Se llama así a aquellos ángulos contenidos en un plano horizontal.

Rosa Náutica Es un diagrama ubicado en planos horizontales y diseñados en base a la ubicación de los puntos cardinales que son: Norte (N), Sur (S), Este (E) y Oeste (O). El punto oeste tambien suele representarse por la letra W.

La rosa Náutica se emplea para localizar la posición de objetos o personas ubicados en el plano horizontal mediante los rumbos y direcciones establecidas en ella.

t

La rosa Náutica contiene a las 32 direcciones notables de la brújula, las cuales son obtenidas trazando bisectrices a partir de las direcciones principales, siendo el ángulo que forman 2 direcciones notables consecutivas de 11°15'.

Observación Direcciones principales: N

N      

O

O

E

E S

Direcciones secundarias: N

S

NO

NE

O

m+= 11°15' Se puede notar que la rosa Náutica tiene 32 direcciones, todas distanciadas 11°15'. La dirección NE es equivalente a escribir N45°E y viceversa, la dirección S1/4SO es equivalente a S11°15'O, la dirección NO1/4O es equivalente a N56°15'O y viceversa.

E

SO

SE S

Dirección Es la línea recta sobre la cual se encuentra la persona u objeto con respecto a una rosa Náutica, quedando determinada dicha dirección por su rumbo.

Rumbo Es el ángulo agudo horizontal que forma la dirección de la persona u objeto con respecto al eje norte-sur, cuando esta se desvía hacia el este (E) u oeste (O). Observación

N A

O

P



E

El rumbo de A con respecto a P es al este del norte. La dirección de A con respecto a P es N  E (norte este).

S

Es incorrecto indicar la dirección de las siguientes formas: NE20°, E20°N, O30°S, SO40°, 45°NE, N150°E, S270°O y otros. Se debe indicar partiendo del N o S hacia el E u O, y el ángulo  debe ser menor que 90°.

Ejercicios de aplicación

1. La distancia entre dos edificios es de 60 m. Desde 2. Un submarino desciende verticalmente 100 m y luego recorre 200 m en línea recta inclinada 30° la azotea del menor de los edificios, cuya altura respecto al nivel del mar; desde este punto es de 40 m, se observa la azotea del otro, con un regresa al lugar de partida en línea recta y con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del ángulo de elevación . Halla tan. edificio más alto? Resolución: Resolución: Interpretando los datos:

Nota

tan 60° = x - 40 60 x - 40 = 60tan60° x = 40 + 60 3 x = 20_2 + 3 3 i m

20 Intelectum

4.°

tanq = 100 + 200 cos 60° = 200sen60° tan=

1 + 100 200c 2 m

En todo problema donde incluyen ángulos verticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar diagramas

3

tridimensionales para tener una mejor visión y ubicación del problema.

` tan= 2 3 3

200c

2

m

trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2

19

Problemas resueltos 1

Dos observadores que están en una misma línea con la base de un edificio, observan la parte más alta de este con ángulos de elevación de 30° y 53°. Si los observadores están distanciados 39,28 m, calcula la altura del edificio. (Considera: 3 = 1,732)

3

¿Cuál es la medida del menor ángulo formado por las direcciones N20°O y S80°E?

Resolución: N N20°O

Resolución:



20°

E

O 80°

S8

S

1 4h tan30° =

3h + 39, 28

732

2

&

& El menor ángulo que forman estas direcciones es: = 20° + 90° + 10° ` = 120°

4h

=

0°E

3h + 39, 28 = 39, 28 = 10 &h 3, 928 ` 4h = 4(10) = 40 m 1,

4

Ana divisa a Sandra en la dirección N30°E y a Mely hacia el este a 80 m de distancia. Si Sandra divisa a Mely en la dirección S60°E. ¿Cuál es la distancia entre Sandra y Mely?

Resolució n:

Desde un punto en tierra se divisa la parte alta de una torre con ángulo de elevación . Si la distancia de separación se reduce a la mitad, el nuevo ángulo de elevación es el complemento de . Halla la distancia inicial de separación, si la altura de la torre es 5 2 m.

N Sandra E 30° 60°

O

O

Resolución:

x

S

N

30°

60° E Ana

30° 80

Mely

S

Del gráfico: x=k 3

k

Tenemos:

60°

& 2k = 80 k = 40

30°

x= k 3 ` x = 40 3 m Dos ciudades A y B están separadas 20 km, además B se encuentra al este de A, una ciudad C se encuentra al sur de B y a una distancia de 25 km de A. Halla la distancia entre B y C y cuál es el rumbo de C respecto de A. 80 = 2k

+ = 90°

5 

5 2

Resolución:





d/2

N d/2 20

A

Utilizando razones trigonométricas tenemos: tan= d/2 = 5 2 & d = 5 2



B E x

Además, del triángulo rectángulo se observa: tanq = 20 = 4 & q = 53° 15 3 ` El rumbo de C respecto

5 2



d

10 2

de A es: S53°E.

d 2

d = 50 Ç 2 2

d = 100 & d = 10 m Luego, la distancia inicial de separación es 10 m.

S

C

Del gráfico: x = 25 2 - 202 x = 225 & x = 15 km

t

La rectaen el plano cartesiano la recta Una recta es el conjunto de puntos en el plano cartesiano, que posee una orientación y además tomando dos puntos cualesquiera su pendiente no varía. Elementos: Dada la recta L:

y (0; b)

L (x; y)

I. Intersección con el eje x: (a; 0) II.Intersección con el eje y: (0; b) III.

Punto de paso: (x; y) (a; 0)

O

x

Observación La pendiente será positiva si el ángulo de inclinación es agudo.

Ángulo de inclinación de una recta

El ángulo de inclinación es aquel ángulo que es formado por una recta con el eje de las abscisas. Se mide desde el eje de las abscisas hasta la recta, en sentido antihorario, y su valor va desde cero grados 0° hasta 180°.

y L

y

L





0° # # 180°

Ángulo de inclinación

x

Si: 0° < < 90° & m > 0

x O

La pendiente será negativa si el ángulo de inclinación es obtuso.

Pendiente de una recta

y

Sean A(x1; y1) y B(x2; y2), dos puntos cualesquiera de una recta, entonces la pendiente de esa recta se calcula aplicando la siguiente fórmula: y



y2

x

L

B

y2 - y1 y

y11

A



m= x -x 2



O

x -x 2

1

x1

Si: 90° <  < 180° & m < 0

y2 1

x

x2

También podemos definir a la pendiente de una recta como la tangente de su ángulo de inclinación: m = tan Ejemplo: El ángulo de inclinación de una recta es 37°, y además pasa por los puntos (4; 3) y (n; 12), calcula el valor de n. Resolución: Por dato sabemos que el ángulo de inclinación mide 37°; es decir: m = tan37° & m = 3/4 Además, conocemos dos puntos de paso de la recta,

32 Intelectum

4.°

L

Reemplazamos el valor de la pendiente y obtenemos:

3 = 12 - 3 & 3n - 12 = 48 - 12 (4; 3) y (n; 12), luego:

n- 4

4

3n = 48 ` n = 16

m = 12 - 3 n- 4

Posiciones relativas de dos rectas I. Rectas paralelas Si dos rectas son paralelas, entonces los valores de sus pendientes son iguales. Es decir:

Atención Para cualquier recta perpendicular al eje x, incluyendo al eje y, ya que su ángulo de inclina-

Si: L1 // L2 & m1 = m2

II. Rectas perpendiculares Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a -1. Es decir: Si: L1 = L2

& m1 . m2 = -1 y

y

ción es de 90° y la tangente de este ángulo no está definida, la pendiente no existe.

L1



L2

L2

L1



x

O

x

O

Ecuación de la recta La ecuación de una recta puede ser expresada de diferentes formas, tomando en cuenta su ubicación geométrica o los datos que tengamos de ella. I. Conociendo un punto de la recta y su pendiente.

II. Conociendo dos puntos de la recta.

y

y

L

L

Nota

A

Para toda recta paralela al eje x el valor de su pendiente siempre es igual a cero.

B (x2; y2) (x1; y1) A (x1; y1)

y

x

O

L

y - y1 = d y 2 - y1 x 2 - x1

y - y1 = m(x - x1)

x

O

x

O

n(x - x1)

m=0

III. Conociendo los interceptos de la recta con los ejes coordenados. Recuerda

L

IV. onociendo el intercepto de la recta con el eje de ordenadas y su pendiente (m).

y

y (0; b)

La pendiente de cualquier recta es un número real, es decir, puede tomar un valor positivo, cero o negativo.

L (0; b)

(a; 0)

x

O

O

x+y = 1 a

b

y = mx + b

Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta está dada por:

Ax + By + C = 0 trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2

21

Donde su pendiente es igual a: m = - A B y B! 0

34 Intelectum

4.°

t

Distancia de un punto a una recta Dada la recta L: Ax + By + C = 0 y el punto P(x1; y1), la distancia que los separa se calculará así: P d

Importante

Ax + By + C L

1

d(P; L )

1

Ecuación de la recta paralela al eje x.

A2 + B2

=

L // eje x y

Ejemplo: Halla la distancia del punto (3; 4) a la recta L: 4x + 3y + 1 = 0.

L

Resolución: Dado el punto (3; 4) y la recta L: 4x + 3y + 1 = 0, la distancia entre ellos será: 4(3)+ 3(4)+ 1 2 =5 = 5 2 2 4 +3 d(P; L ) = 5

Ángulo rectas

entre

a x

O

y=a

; a!R

Ecuación de la recta paralela al eje y. L // eje y

dos

y

Cuando dos rectas orientadas se intersecan se forman 4 ángulos, a cada uno de estos ángulos se les llama ángulo entre dos rectas. Al conocer la pendiente de cada uno de las rectas intersecadas, el ángulo formado entre ellas se calcula utilizando la siguiente fórmula:

L

L1 L2

=

m -m 1

1+ m . m 1

tan 

2 O 2

x

b

y=b

; b!R

Donde: m1 es pendiente de L1 m2 es pendiente de L2 Ejercicios de aplicación 1. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3; 2) y (2; -1).

Resolución: La distancia d(P; L ), es:

Resolución: Recordemos: y -y m= 2 1 x -x 2

1

Reemplazamos para los puntos (3; 2) y (2; -1): 2 -(-1) m= = 2+ 1 = 3 3- 2 3- 2 ` m= 3 2. Halla la ecuación de la recta, cuyo ángulo de inclinación es 53° y pasa por el punto (2; 3). Resolución:

3. Halla la distancia del punto P(2; 3) a la recta L: -3x + 4y + 4 = 0.

d(P; L ) = d(P; L ) =

Ax + By + C 1

1

2

A + B2 (- 3) (2)+ (4)(3)+ 4 2

(- 3) + (4)

2

- 6 + 12 + 4 = 10 5 25 Pendiente: m = tan= tan53° & d(P; L ) =

Nota La

ecuación

de

los ejes

coordenados es: Ecuación del eje x:

trigonoMetrÍa - teorÍa uniDaD 2

m= 4 3

23

` d(P; L ) = 2

y =

Ecuación de la recta: y - y0 = m(x - x0) (y - 3) =

(x - 2) 43 3(y - 3) = 4(x - 2) 3y - 9 = 4x - 8 & L : 4x - 3y + 1= 0

24 Intelectum

4.°

0 Ecuación del eje y: x=0

Problemas resueltos 1

Demuestra que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1.

Intercepto con el eje x: (a; 0); reemplazamos en (I). 0=

Resolución: Tenemos dos rectas perpendiculares L1 y L2 de pendientes m1 y m2 respectivamente.

(x1; 0)

` a= - 2

Con el eje x: (-2; 0) Con el eje y: (0; 3)

C (x2; 0)

A

& 3a + 6 = 0

Los interceptos son:

L1 (x; y)

2

Intercepto con el eje y: (0; b); reemplazamos en (I): b= 6 & b= 3 2

y

B

3 (a) + 6

3

O

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2; 4) y B(3; -2).

x (x2 - x1)

Resolución:

L2

Hallamos la pendiente: _- 2i - _ 4 i m= = - 2- 4 = - 6

Las pendientes son: y y m / 2= m1 = x - x1 x - x2

_ 3i - _ 2i

y2 (x - x1 ) (x - x2 )

m1 . m 2 =

Como A y B pertenecen a la recta, podemos tomar a uno de ellos como punto de paso, entonces: Sea A(2; 4) el punto de paso y m = -6. Ecuación de la recta: y - y0 = m(x - x0)

En el triángulo ABC 2

2

tenemos: (AB) + (BC) = (AC)

2 2

2

a _x - x1i 2 + _y - 0i k +a 2

3- 2

2

2

2

2

(y - 4) = (-6)(x - 2) y - 4 = -6x + 12 & L: 6x + y - 16 = 0

_x - x2i + _y - 0i k = (x2

-x1)

2

2x + 2y - 2xx1 - 2xx2 = -2x2x1 2

2

y = -x - x2x1 + xx1 + xx2 2

4

Halla la ecuación de la recta L2. (4; 8)

2

y = -(x - x(x1 + x2) +

L1: x - y + 2 = 0

2

x2x1) y = - (x - x2)(x - x1) y

y

= -1 n x - x1 x - x2 1 4 2 4 31 4 2 4 3 d

nd

m1

m2

` m1 . m 2 = - 1 2

Halla los interceptos de la recta L: 3x - 2y + 6 = 0, con los ejes cartesianos.

Resolución: L : 3x - 2y + 6 = 0 y= 6

3 (x) + ... (I) 2

L2

Resolución: Sean las pendientes de las rectas L1 y L2, m1 y m2, respectivamente. L 1: x - y + 2 = 0 & y = x + 2 & m1 = 1

& m1 . m2 = -1 Como: L1 = L2 Reemplazando: (1) . (m ) & = -1 m 2

2

y

L2 tiene un punto de paso: (x0; y0) = (4; 8)

L

Ecuación de la recta L2:

(0; b)

y - y0 = m2(x - x0) (y - 8) = (-1)(x - 4) (a; 0)

O

x

y - 8 = -x + 4 ` L2: x + y - 12 = 0

t

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Ángulo en posición norMal Un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen de un sistema coordenadas y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. Observa el siguiente gráfico:

Atención y

Lado final

Lado inicial



y

! IC; > 0 ! IIC; > 0 ! IIIC; < 0

 

x



x

O

 es un ángulo en posición normal.

Del gráfico, a, q y b son ángulos en posición normal.

Además, cuando un ángulo está en posición normal el lado final puede estar en alguno de los cuatro cuadrantes, en cambio si está sobre alguno de los ejes coordenados se llamará ángulo cuadrantal.

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal Sea el punto P(x; y) en el lado final del ángulo , un ángulo en posición normal, las razones trigonométricas son:

sen=

ordenada = y radio valor

csc= radiovector = r ordenada y radiovector = r sec= abscisa x abscisa = x

r

cos= abscisa = x radio vector r

cot=

ordenada = y tan= abscisa x

ordenada

Importante

y

razones trigonoMétricas De Ángulos cuaDrantales

Si el giro del ángulo es en sentido antihorario, el ángulo es positivo y si es en sentido horario, el ángulo es negativo.

Las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales se detallan en el siguiente recuadro:

Ejemplo: Calcula: E =

sen 3



RT m+

sen

cos

tan

cot

sec

csc

0°

0

1

0

ND

1

ND

90°

1

0

ND

0

ND

1

180°

0

-1

0

ND

-1

ND

270°

-1

0

ND

0

ND

-1

360°

0

1

1

ND

0 ND ND: no definido

+ cos+ sec2+ cos

2 csc

 + tan 2

Recuerda y P(x; y)

y r

O

x abscisa

r= 2 y

x +

2

ordenada x

;r> 0

2

Resolución: Notamos que en E los ángulos están expresados en radianes y cada uno de ellos representan un ángulo cuadrantal, reemplazando sus valores tenemos:

sen/2 = 1

cos= - 1 tan= 0

sec2= 1 cos3/2 = 0

csc/2 = 1

(1) + (0) 1 E= = 1 1

Reemplazamos estos valores en E: E=

(1)+ (- 1) + (1)+ (0)

Ángulos coterMinales Dos ángulos trigonométricos son coterminales si tienen el mismo lado inicial, lado final y vértice. La única diferencia entre ángulos coterminales es el número de vueltas. Observación Los valores de las razones trigonométricas de los ángulos 0° y 360° son equivalentes por ser ángulos coterminales.

Los ángulos coterminales cumplen las siguientes propiedades: a) La diferencia de dos ángulos coterminales es un número que se representa por 360°k, k es entero, es decir: sean y dos ángulos coterminales, se cumple:

- = 360°k; k ! Z b) Siendo y ángulos coterminales, y en posición normal, como se muestra en el siguiente gráfico: y

sen=



r y tan=

Las equivalencias de los ángulos cuadrantales en radianes son:  = 90° ; 180° =  2 3 = 270° ; 2 = 360° o 0° 2

= sen & sen= sen = cos & cos= cos

= tan & tan= tan x Se cumple de la misma manera para las demás razones trigonométricas.

P(x; y)

Recuerda

r x

cos=

x



r

y

Ejemplos de aplicación 1. Si los puntos (3; 6) y (b; 10) pertenecen al lado final de un ángulo que se encuentra en posición normal, halla el valor de b.

Resolución: se encuentra en posición normal. x = 2; y = 3 & r = 13 y

Resolución: Como ambos puntos pertenecen al lado final del mismo ángulo, sus razones trigonométricas son iguales.

sen=

=

3 $ _ 13 i 13 _ 13 i

r y

Si llamamos al ángulo, entonces: 6 10 tana = = 3 b b= 5

(2; 3)

r 

x

O

2. Si ! IVC y sen= -24/25. Halla el valor de: M = csc- cot

` sen= 3 13 13

Resolución: 2 2 2 Se cumple: x + (-24) = (25)

- 12

y

N = csca + cota

Atención

2

En los dos casos, ambos ángulos son coterminales.

x



O

25

x = 625 - 576 2 x = 49 x x= 7

Resolución: cosa = x = - 12 , entonces: x = -12, r = 13 r 13

-24

y 

x



y

Piden: M = csc- cot (r - x) (25 - 7) M= r - x & M= = = 18 = - 3 y y y - 24 - 24 4



y

x

-12 13

3. Halla sen, de la siguiente figura: b)

y

y

Se cumple: y = - 132 - 12 2 y= - 5

(2; 3)

 

x

Nos piden:



0

x

N = - 13 + 5 12

5

=-1

5

t

Problemas resueltos 1

Dos ángulos coterminales están en la relación de 4 a 13. Halla la suma de ambos, si el mayor es el máximo ángulo menor que 800°.

Pero el punto (a - 1; 1 + a) ! IC, por lo tanto la abscisa y la ordenada deben ser positivas, entonces: a = 3 .

Resolución: Sean y los ángulos ( > ):

x = a - 1 = 3 - tan= y 1 = y= 1+ a= 1+ x 3

  4

13 =

= 13k =k& = 4k

Como son ángulos coterminales, deducimos: - = 360°n 13k - 4k = 360°n 9k = 360°n & k = 40°n; n ! Z - {0} 2

Respecto al mayor ángulo:

13k < 800° 13(40°n) < 800° 520n < 800° n < 1,53 & n = 1

T= 2(tan 4

3 ) = 2((2 + 3 ) - 3 ) = 2(2) = 4

y (a + 1; 1 - a) 2 5



Resolución: Para calcular el valor de a, aplicamos:

Resolución:

2

2

2

2

830° = 360°(2) + 110° & 830° ! IIC & sen830° (+)

570° = 360°(1) + 210° & 570° ! IIIC & cos570° (-)

2

Luego: x = a + 1 = (-3) + 1 = -2 y = 1 - a = 1 - (-3) = 4

(+)

1450° = 360°(4) + 10° & 1450° ! IC & sec1450° (+)

Nos piden: y R = tan+ cot= a k + d x n = d- 4 n + d- 2 n x y 2 4 1 5 R= - 2- = 2 2

Reemplazamos los valores para M y N:

5

De la figura mostrada, calcula tan, si AM = BM.

3 ).

O

2

Pero el punto (a + 1; 1 - a) ! IIC, por lo tanto la abscisa debe ser negativa y la ordenada positiva; para que eso se cumpla: a = -3

(-)

1150° = 360°(3) + 70° & 1150° ! IC & tan1150° (+)

(a - 1; 1 + a) (3 - a; a + 3) x

(radio vector)

(a + 2a + 1) + (1 - 2a + a ) = 20 2 2a + 2 = 20 2 a = 9 & a = !3

1236° = 360°(3) + 156° & 1236° ! IIC & tan1236° (-)

y

2

& (a + 1) + (1 - a) = _2 i5

740° = 360°(2) + 20° & 740° ! IC & cos740° (+)

Calcula el valor de T = 2(tan -

2

x +y =r

Descomponemos los ángulos, para que nos resulte más fácil determinar a qué cuadrante pertenecen.

(+) (-) (-) (+) (-) (-) = = (+); N = = = M = (-) (+) (+ (-) (+) (+) ) (-)

x

O

/ N = tan 1150° . cos 570° csc 780° . sec 1450°

780° = 360°(2) + 60° & 780° ! IC & csc780°

3

Del gráfico, halla: R = tan+ cot

Calculamos la suma: + = 13k + 4k = 17k = 17(40°n) + = 17(40°)(1) ` + = 680°

278° = 360°(0) + 278° & 278° ! IVC & cot278°

= 2+

Reemplazando en la expresión:

Indica el signo de las siguientes expresiones: 740° . tan M = cos 1236° sen830° . cot 278°

3

3+1 3+ $ 3 - 1 ^ 1h 3+1

y 

O

A(4; 0) M B(0; -2)

x

Resolución: y tan= , del

Resolución: M punto medio de extremos A y B.

gráfico: x a+ 3

0M;= d 42+

1+ a

tan= = 3- a a- 1 (a 2+ 3)(a - 1) = (3 - a)(1 + a) & 6 = 2a 2

3= a & a= ! 3

0 + (- 2) n = (2; -1) M pertenece al lado2 final del ángulo a (a en posición normal). y -1

tan= 2

x

=

=-1 2

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE casos Recuerd a

Se presentan los siguientes casos:

 Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean de la forma: 90° + ; 180° ! ; 270° ! ; 360° – 

sen csc (+ )

Todas positivas

tan cot (+ )

cos sec (+)

RT f

180° !  p = ! RT () 360° - 

90° +  RTf ()) 270° p!  = ! (CO RT Para determinar el signo (+) o (-) del segundo miembro se asume que a sea agudo, con el fin de determinar el cuadrante del ángulo del primer miembro y así establecer el signo que le corresponde a la razón trigonométrica de dicho ángulo. 

90°

2  

90°  180° 

0°

180° 360°

Not a Tenga en cuenta que al reducir un ángulo al primer cuadrante no siempre el ángulo agudo, final es notable.

180°  270° 

2   



270°  360° 

 

3

3  2

2 2

0 2

3 2

270°

Ejemplos:

Ejemplo: sec100° = sec(90° + 10°) = -csc10° cot250° = cot(270° 20°) = tan20°

Reduce al primer cuadrante. 1. sen(180° - ) = sen 2. tan(360° - ) = tan 3. cos(180° + ) = -cos 4. sec(360° - ) = sec

5. sen(90° + ) = cos 6. sec(270° + ) = csc 7. cos(90° + ) = -sen 8. cot(270° - ) = tan

b) Para razones trigonométricas cuyo ángulo es de la forma 360° n + / n ! Z RT(360°.n + ) = RT() Ejemplo: csc1020° = csc(2 # 360° + 300°)

Observación Si al efectuar una reducción, todavía no se llega al primer cuadrante, entonces se prosi- gue como en el primer caso.

Ejemplos: Reduce al primer cuadrante. 1. cos755° = cos(360° # 2 + 35°) = cos35° 2. csc3965° = csc(360° # 11 + 5°) = csc5°

3. tan1172° = tan(360° # 3 + 92°) = tan92°

= csc300° = csc(270° + 30°)

= tan(90° + 2°) = -cot2° 4. sec5600° = sec(360° # 15 + 200°) = sec200° = sec(180° + 20°) = sec20°

c) Para razones trigonométricas de ángulos negativos

sen(-) = -sen cos(-) = cos tan(-) = -tan

= -sec30° = - 2 33

Ejemplos: Calcula el valor de las siguientes

t

2. sec(-37°/2) = (sec37°/2)

RT: 1. tan(-53°/2) = -tan(53°/2) =- 1 2

= 1 0 3

3. sen(-1185°) = - sen1185° = - sen(360° # 3 + 105°) = - sen105° = - sen(90° + 15°) = - cos15° 6 + 2n 4

= -d

cot(-) = -cot sec(-) = sec csc(-) = -csc

Nota Propiedades

4. cot(-1784°) = - cot1784° = - cot(360° # 4 + 344°) = - cot344° = - cot(360° - 16°) = -(-cot16°) = 24 7

adicionales: sen(- ) = -sen(- ) cos(- ) = cos( - ) tan( - ) = -tan(- ) cot(- ) = -cot( - ) sec(- ) = sec( - ) csc( - ) = -csc( - )

Propiedades 1. Si: + = 180°

Ejemplos: sen37° = sen143° cos45° = -cos135° tan60° = -tan120°

Se cumple: sen= sen ; cos= -cos ; tan= -tan Demostración:

! IIC

= 180° -  & cos= cos(180° - ) cos= -cos 2. Si: + = 360°

Ejemplos: sen315° = -sen45° cos300° = cos60° tan307° = -tan53°

Se cumple: sen= -sen ; cos= cos ; tan= tan Demostración:

! IVC

= 360° -  & sen= sen(360° - ) sen= -sen

Recuerda Para determinar el signo (+) o (-) del segundo miembro, debemos analizar en qué cuadrante cae el ángulo que se va a reducir.

Ejemplos de aplicación 1. En un triángulo ABC, reduce: 2. Calcula P: ta n

cos 2A 2B T=

_ + cos + 2C

i

A+ C d n

2

P = tan tan 5- tan 7- tan 11 + 12 12 12 12 Resolución:

B cot

2

Resolució n: Dato: A + B + C = 180° 2A + 2B + 2C = 360° / A + B + C = 90°

Realizamos reducción del primer cuadrante: 7 5 5 tan

12

= tan c-

12

m = - tan

= tan  tan 11 = tan `12 12 j 12

12

2

2

2

2A + 2B = 360° - 2C A C B 2+ 2 = 90° -2 /

Reemplazamos: P = tan tan 5- - ctan m - `- tan j + 12 125 12 5  5 12 

Reemplazand o: B tan 90° d cos _360° 2Ci 2 T= n

cos + 2C

cot cot B 2 2 B T = cos 2C + 2C cos = 1+ 1 =2 cot

2

P = tan + tan + tan + tan 12 12 12 12 = ; + 5 E P

2 tan

12

tan

12

B Pero: tan = tan 15° = 2 - 3 12 tan 5= tan 75° = 2 + 3 12 Luego:

P= 262 P= 8

3 + 2+

3@

Problemas resueltos 1

Calcula: A = sen810°cos1200°tan1215°

5

sen (+ 2) tan (2+ E = 3) cos (2+ ) tan (4+ 3)

Resolución: A = sen(2 # 360° + 90°)cos(3 # 360° + 120°)tan(360° # 3 + 135°) A = sen90°cos120°tan135° A = sen90°cos(180° - 60°)tan(180° - 45°) A = 1 (-cos60°)(-tan45°) 1 1 A = d- n (-1) & A = 2 2 2

Resolución: Dato: + = 90° Entonces: sen (90° + ) tan (180° + ) E = cos (90° + ) tan (270° + ) (+ cos ) (+ tan E= sen cosd cos n ) = (- sen) (- cot ) sena cos  k sen

Calcula: 3

3

Siendo y complementarios, simplifica:

3

E = cos 10° + cos 55° + cos 170° + 3 cos 125°

Resolució n:

E=

3

3

3

3

3

sen  sen(90° - ) = = cos  cos

3

E = cos 10° + cos 55° + cos (180° - 10°) + cos (180° 55°)

cos

cos

E= 1

3

E = cos 10° + cos 55° + (-cos10°) + (3

3

3

3

cos55°) E = cos 10° + cos 55° - cos 10° 3

cos 55° 6

E= 0 3

Si a + b = 90°, calcula el valor de:

Simplifica:

3sen_2a + bi + 4cosa E= 4cos_2b + ai + 3senb

E = sen100° + cos350° - sen170° - cos280°

Resolución: 3sen_90° + ai + E = 4cosa 4cos_90° + bi + 3senb

Resolución: sen_90° + 10°i + cos _360° -

E= 10°i

E = 3cosa + 4cosa = 7cosa

- sen_180° - 10°i - cos_270° + 10°i

- 4senb + 3senb

E = cos10° + cos10°

E = 2cos10°

7cos_90° - bi

7senb

- senb

- senb

E=

- sen10° - sen10°

E= -7

& E = -cot10°

- senb

- 2sen10° 4

Si tan25° = a, calcula: tan155° - tan115° M= tan155° + tan115°

30 Intelectum

4.°

7

Simplifica:     A = tan 2 + tan 5 + tan 8 + tan 11 13 13 13 13

Resolución: M= 25°i

tan _180° - 25°i - tan _90° +

Resolución:

A = tan 2 + tan 5 + tan 8 + tan 11

tan_180° - 25°i + tan_90° + 25°i M = - tan25° + cot25° - tan25° - cot25° Reemplazando: tan25° = a / cot25° = 1 a

13

2 M= a 1 a2 + 1

13

13

Propiedad: si + = rad & tan= -tan 2+ 11= &

2 - = tan 13 5

13 13 5

- a2 - 1 - a+ 1 - a2 + a M= - _a2 + 1 - a- 1 1i a = a = 2 -a -1 a

13

11 tan 13 8

8

+ = & tan = - tan 13 13 13 13 Reemplazando:     A = tan 2 + tan 5 - tan 5 - tan 2

13

13

13

13

A= 0

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

37

unidad 3

CIRCUNFERENCI A TRIGONOMÉTRIC A DEfINIcIóN Es aquella circunferencia canónica, cuyo radio tiene como longitud a la unidad. Observemos el siguiente gráfico y sus elementos. y B1

P 

A' R = 1 O -1

 

A 1

x



B' -1

O(0; 0): origen de coordenadas. A(1; 0): origen de arcos. B(0; 1): origen de complementos de arcos. A'(1; 0): origen de suplementos de arcos.

Importante A la circunferencia trigonométrica, también se le conoce como circunferencia unitaria ya que su radio es igual a 1; es decir: 2

2

x +y =1

: arco positivo (sentido horario). : arco negativo (sentido antihorario).

R

Del gráfico el punto P y R son los extremos de arcos, a su vez estos arcos se encuentran en posición normal.

LÍNEAs TRIGONOMéTRIcAs Como sabemos, la circunferencia trigonométrica tiene de radio a la unidad, las razones trigonométricas se representarán mediante segmentos de recta que se les denominará líneas trigonométricas.

Línea trigonométrica seno El seno de un arco en la CT se representa mediante la ordenada del punto que está en el extremo del arco. y

Observació n En toda CT se cumple que el arco y el ángulo central corres- pondiente, se cumple que nu- méricamente son iguales. y

P(x1; y1) 

Del gráfico:

sen O

A sen

x

B 

sen= y1 / sen= y2

B'

RT(rad) = RT() ! R

Ejemplo: Halla la variación de la expresión: P = 3senx + Le sumamos 1: 1 -3 + 1 # 3senx + 1 # 3 Resolución: +1 Sabemos que para el seno se cumple: -2 # 3senx + 1 # 4 -1 # senx # 1; 6x ! R -2 # P #4 Multiplicamos a esa expresión por 3: Luego, tenemos: P ! [-2; 4] -3 # 3senx # 3

Línea trigonométrica coseno El coseno de un arco en la CT se representa mediante la abscisa del punto que está en el extremo del arco. Q(x2; y2)

A

O

Variación: -1 # senx # 1; 6x ! R



R(x2; y2)

 rad

A'

y cos O

x

Enton ces:

P(x 1; y1 )

cos= x1 / cos= x2 Variación: -1 # cosx # 1; 6x ! R

cos x



Nota Variación analítica del seno. Variación IC IIC IIIC IVC angular Función seno

(+) (+) (-)

(-)

Ejemplo: Nota

k = 1 cosx + 1 3

Halla el máximo valor de:

Variación analítica del coseno. Variación angular

IC IIC IIIC IVC

Función coseno

(+) (-) (-)

(+)

Resolución: Por teoría sabemos que: -1 # cosx # 1 1 1 1 Dividimos entre 3: - # cosx # 3 3 3 1 1 1 Sumamos 1: - + 1 # cosx + 1 # + 1 3 3 3 2 # #4 k 3 3 Por último tenemos: k ! [2/3 ; 4/3]

Línea trigonométrica tangente La tangente de un arco en la CT es la ordenada del punto de intersección, entre el eje de la tangente y la prolongación del radio que contiene el extremo del arco.

Nota Variación analítica de la tangente.

y

Entonces:

M(1; y1)

Variación IC IIC IIIC IVC angular Función (+) (-) (+) (-) tangente

tan= y1 / tan= y2





Variación:

x

O

 -3 < tanx < +3; 6x ! R - $^2k + 1h .; 2 k! Z

tan P(1; y2 )

Ejemplo: Determina la variación de: M = 2tan- 3;

si ! IIIC

Resolución: Por dato sabemos que ! IIIC, analizamos el siguiente gráfico: y

+3

Entonces: 0 < tan< + 3 0 < 2tan< + 3 -3 < 2tan- 3 < +3 -3 < M < +3 Por lo tanto, la variación de M será: M ! G-3; +3H

tan 0 O

x



Línea trigonométrica cotangente

Nota Variación analítica de tu cotangente.

La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.

Variación angular Función cotangente

IC IIC IIIC IVC

y

R(x1; 1)

1)

Entonces:

Q(x2;

cot= x2 / cot=

(+) (-) (+) (-) 

O

40 Intelectum

4.°



x

x1 Variación: -3 < cotx < +3; 6x ! R {k}; k ! Z

t

Línea trigonométrica secante La secante de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.

Nota Variación analítica de la secante.

y

Entonces:

Variación IC IIC IIIC IVC angular

sec= x1 / M(x2; 0)

N(x1; 0)



O

Función secante

sec= x2 Variación:

(+) (-)

(-)

(+)

1 # secx 0 secx # -1 6x ! R - $^2k + 1h .; k ! Z 2

x 

Ejemplo: Halla la extensión de: B = 2

3sec x + 5 Resolución: Sabemos que la variación de la secante es: secx # -1 0 secx $ 1 Elevamos al cuadrado y multiplicamos por 3: 2

sec x $ 1 2

3sec x $ 3 2

3sec x + 5 $ 3 + 5 2

3sec x + 5 $ 8 B$ 8 Luego, la extensión de B es: [8; +3H Nota

Línea trigonométrica cosecante La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y. y

Variación analítica de la cosecante. Variación angular

P(0; y1)

Entonces:

O

Función

csc= y1 / csc= y2





x

IC IIC IIIC IVC

cosecante

(+) (+) (-) (-)

Variación: 1 # cscx 0 cscx # -1

Q(0; y2)

6 x ! R - {k}; k ! Z

ARcO cUADRANTAL Los arcos cuadrantales son aquellos arcos dirigidos en posición normal, cuyo extremo coincide con algunos de los puntos de intersección de los ejes con la CT. Ejemplos: y

y

y

y

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

41



/2

O

x

O

x -

42 Intelectum

4.°

x

O

x

O -3/2

Problemas resueltos 1

Ordena de menor a mayor; utilizando la circunferencia trigonométrica.

Resolución: Usaremos valores positivos por tratarse de distancias.

sen5°; cos10°; sen120°; cos170°

y

cos 1

En el triángulo rectángulo AOB:

Resolució n:

B sen

Graficamos los ángulos y las razones trigonométricas en la CT:

-1 A |-1|

O 1 x

y 120° 170°

CT

1

-1

cos10°

cos170°

0

3P - 1

sen5 °

5°

-1

2 2 (AB) = (|- + (sen) 2 1|) ` AB = 1 + sen2 



1

x

4

Si ! IVC, determina la variación de P, en: tan=

2

Resolución: Como ! IVC, se tiene: -1

Del gráfico, tenemos: cos10° > sen120° > sen5° cos170° < 0

1 +3 CT -1

Luego ordenamos: cos10° > sen120° > sen5° > cos170° 2

Luego: 0 > tan> -3 0 > 2 tan> -3 1 > 2tan+ 1 > - 3 1 > 2 tan + 1 > - 3

y

1

Halla la variación de k, si: k= 23sen

x

3 3 1 & > >-3

tan

P 3 ` P ! G-3; 1/3H

O

-1

-3

2 5

Resolución:

En la CT mostrada, calcula el área sombreada. y

Sabemos: -1 # sen# 1 Formamos la expresión k: Multiplicamos por 3: -1 # 3 # (sen) # 3 # 1 # 3 -3 # 3sen# 3 Multiplicamos por (-1): -3#(-1) $ (3sen)#(-1) $ (3)#(-1) Cambia el sentido Sumamos 2:

3 $ - 3 sen$ - 3 5 $ 2 - 3 sen$ - 1

Dividimos entre 2:

5 $ 2 - 3sen $ - 1/2 2 2

Al final tenemos:

5/2 $ k $ -1 /2 ` k ! [-1/2; 5/2]

CT 

x

Resolución: Para hallar el área sombreada la dividimos en dos triángulos rectángulos: y CT

3

En la circunferencia trigonométrica halla AB, en términos de . y 1

A2 cos cos sen

A1

sen 

x

B -1 A

O



CT 1 x

-1

ATotal = A1 + A2 sen_2cosi AT =

2

sen_2cosi +

2

AT = sencos+ sencos= 2sencos AT = 2sencos

t

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEfINIcIóN Son igualdades entre razones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor de la variable angular en cuya razón trigonométrica que interviene se encuentra definida. Importante

IDENTIDADEs fUNDAMENTALEs A continuación analizaremos las 8 identidades trigonométricas fundamentales divididas en tres grupos: identidades recíprocas, por división y pitagóricas.

Estas identidades se desprenden de las identidades recíprocas:

Identidades recíprocas cscsen= 1

seccos= 1

... (I)

... (II)

tancot= 1

sen=

... (III)

1

csc=

csc

1 sen

1

Demostración: Para demostrar la identidad recíproca (I) tomaremos como referencia el primer cuadrante de la circunferencia trigonométrica.

sec=

tan=

1 cos=

cos

1

sec 1

cot=

cot

tan

P a

1

sena

a

O

R cosa

Por definición de razón trigonométrica: csc= OP PR = 1

1

& cscsen=

sen

Además tenemos que analizar el cociente y los valores admisibles para .

Observación

Debes tener en cuenta que: P(cos; sen)

Es decir: sen! 0 & ! n, n ! Z

y

r=1 

Por lo tanto: cscsen= 1 ; 6 ! R - {n}; n ! Z

A

0

Analizamos la identidad recíproca (II); del gráfico anterior y por definición de la razón trigonométrica tenemos: OP 1 sec= OR

=

cos



Analizando el cociente: cos! 0 & ! (2n + 1) Por lo tanto:

(cos; sen) = (x; y)

& seccos= 1

 2

; n! Z 

x

seccos= 1 ; 6 ! R - (2n + 1)

; n! Z

2 Por último analizaremos la identidad (III); nuevamente observaremos el gráfico anterior y por definición tenemos: tan= PR / cot= OR & cot= 1 & cottan= 1 OR PR tan 

Luego:

 tan ! 0 & ! n ; n ! Z 2 Luego: n cottan= 1 ; 6 ! R - ( ); n ! Z 2 Importan te

Identidades por cociente

De las identidades pitagóricas tenemos también las siguientes identidades: 2

2

csc - cot  = 1 2

2

sec 1

tan= sen

tan =

Demostración:

cot= cos  sen

cos 

y

sen

2

sec  - 1 = 2

tan  2

2

csc - 1 = cot  2

sen = 2

-

1 2

cos  cos  = 1

Tomando en cuenta que: (x; y) = (cos; sen) tenemos: tan= = x cos  Luego: cos! 0 & ! (2n + 1) ; n ! Z 2

2

- sen 

tan= sen cos 

Por lo tanto:

; 6 ! R - (2n + 1) ; n ! Z 2

Por lo anterior tenemos: cot= x = cos  y sen Luego: sen! 0 & ! n; n ! Z Por lo tanto:

cot=

cos  ; 6  ! R - (n); n ! Z sen

Identidades pitagóricas 2

2

2

sen + cos = 1

2

tan + 1 = sec 

2

2

cot + 1 = csc 

Demostración: Tomando en cuenta el gráfico anteriormente mostrado tenemos: 2

2

PR + OR = 1 & sen2+ cos2= 1 ; 6 ! R 2

De la identidad anterior, la dividimos entre cos : 2 2 2 2 sen  + cos  = 1 & tan + 1 = sec  e o 2 2 cos  cos2 cos   En este caso la restricción será para cos : cos ! 0 & ! (2n + 1)  , n ! Z 2 2 2  & tan + 1 = sec , 6 ! R - (2n + 1) ; n ! Z 2 2

Observación De la identidad pitagórica: sen

2

Por último dividimos a esa misma identidad entre sen :

2

=2 1 cos 

e

= (1 - cos)(1 + cos) 2

2

sen2  + cos2  = 1



sen2

sen2 

sen2 

2

o

2

& 1 + cot = csc 

2

cos = 1 - sen  = (1 - sen)(1 + sen)

2

2

La restricción sería, por este caso para sen : sen ! 0 & ! n; n ! Z

2

2

& 1 + cot = csc ; 6 ! R - (n); n ! Z

En los siguientes ejemplos mostramos las diferentes aplicaciones de las identidades.

1. Simplifica: E

sentan + cos  cos cot + sen

t

Resolución: Siempre es conveniente usar las expresiones en función a senos y cosenos. 2 2 2 sen` senj + sen  + cos sen + cos  cos   cos  cos  E= = cos  = cos2  + sen

cos j + ` sen cos  sen Identidad pitagórica

E= )

6 4 44 7 4 24 8 2 sen(sen + cos 2

2

cos (cos + sen ) 1 4 44 2 4 4 3

cos + sen  sen

sen

2

Observación De los ejemplos dados. observamos que las identidades son utilizadas para diferentes tipos de problemas:

= sen= tana cos  Identidad por cociente

• Problemas para demostrar. • Problemas para simplificar. • Problemas condición.

Identidad pitagórica

2. Demuestra: sec4 - 1 - 1 = 2 sec  tan2 

con

alguna

Resolución: Para demostrar esta igualdad, trabajaremos reduciendo el miembro de la izquierda. Identidad pitagórica

6 44 7 44 8 2 2 sec4 - 1 - 1 = (sec - 1)(sec + 1) - 1 2 2 tan tan   2

2

 sec4 - 1 - 1 = (tan )(sec + 1) -1 2 2 tan tan   2

Simplificando tan , tanto en el denominador como en el numerador, concluimos: Nota

sec4 2- 1 - 1 = sec2 + 1 - 1 = sec2  tan 

Para la demostración de identidades se sugiere seguir los siguientes pasos:

1 - 1 = sec2  ` sec4 2 tan 

• Se escoge el miembro más operativo. • Se transforma la expresión a senos y cosenos (en general). • Se utilizan las identidades fundamentales.

2

3. Si tan+ tan = 1 calcula: P = cottan Resolución: Multiplicamos la expresión dada por cot: 2

(cot)tan+ (cot)tan = (cot) . 1 (Aplicamos Identidad recíproca) 1 + tan= cot & tan= cot- 1 ... (1) Observación

Nos piden calcular: P = cot- tan= cot- (cot- 1) = 1

La demostración de cada una de las identidades auxiliares se realiza utilizando las identidades fundamentales.

IDENTIDADEs AUxILIAREs Las siguientes identidades son muy utilizadas:

4

4

2

1. sen + cos = 1 - 2sen . 2

6

6

cos  2. sen + cos = 1 2

2

3sen . cos 

2

3. (1 ! sen! cos) = 2(1 ! sen)(1 ! cos)  tan+ cot= sec. csc 2

2

2

2

 sec + csc = sec csc 

1

Demuestra: [sec+ tan- 1][1 + sec- tan] = 2tan

4

2

Hemos agrupado de tal manera, que se forme una diferencia de cuadrados, observa:

2

2

2

2

2

1 + tan - tan + 2tan- 1 = 2tan

E = 1 + cos x -

4

senx

=

Simplifica la expresión:

1

647 48

1 - sec x (1 + cos x) 1 - sec x - sec x cos x Y= = 1 - csc x - csc xsenx 1 - csc x (1 + senx) 14243

1 - cos x

1

Y = 1 - sec x - 1 = - sec x = sec x

Multiplicamos en aspa la expresión dada: (1 + cos x) (1 - cos x) - (senx) (senx) E= (senx) (1 - cos

1 - csc x - 1 1 Y = sec x = csc x

x) 2

2

(1 - cos x) - sen 

Recordemos la siguiente identidad pitagórica: 2

sen x = 1 - cos x

csc x

- csc x

cos x = senx tan x 1 = cos x senx

` Y = tanx

(senx) (1 - cos x)

2

1 4

Resolució n:

Resolució n:

E=

=

1 - sec x^1 + cos Y = xh 1 - csc x^1 + senxh

Simplifica: senx

2

sen cos 

Por lo tanto, se demuestra que: [sec+ tan- 1][1 + sec- tan] = 2tan 2

1

R=

sec - (tan- 1) = 1 + tan - (tan - 2tan+ 1) Entonces agrupando términos semejantes:

2

Reemplazamos: 1 + 2sen2cos2= 1 2 2 2 2sen cos = 1 - 1 = 1 2 2 2 2 sen cos = 1 4 1 4 Nos piden calcular:

Tomando en cuenta la nota dada anteriormente escogeremos el miembro de la izquierda por ser más operativo: [sec+ tan- 1][1 + sec- tan] [sec+ (tan- 1)][sec- (tan- 1)]

2

2

2sen cos = 1 Por dato: 4 4 sen + cos = 1

Resolución:

2

4

sen + cos +

5

Si: secx + tanx = 4 calcula: T = 15cotx + 17cosx

Reemplazamos en E; obtenemos: 2

2

sen x - sen x E = (senx) (1 - cos x) = 0- cos x) (senx) (1 E= 0 3

4 4 Si: sen + cos = 1 2

calcula: 2 R = sec + 2 csc 

Resolución: Sabemos por identidad pitagórica: 2 2 sec x - tan x = 1 (secx + tanx)(secx - tanx) = 1 (4)

& secx - tanx =

Se forma el siguiente sistema: secx + tanx = 4 ... (I) 1

1 4

Problemas Resolución: Expresamos a R, en función de senos y cosenos: Identidad pitagórica

1

R=

6 4 44 2 7 4 4 28 = sen + cos 

1

+

cos2 

sen2 

R = 1sen2 cos 

4 Sumando (I) y (II): 1 = 17 2secx = 4 + 4

8

4secx = 17

cos2 sen2 

2

... (II)

secx - tanx =

8

& cosx =

17

& tanx = 15 & cotx = 8

Restando (I) y (II): 2tanx = 4 - 1 = 15

4 Sabemos que: 2

2

2

(sen + cos ) = (1) 4

2

2

2

sen + 2sen cos + 4

cos = 1

4

8

15

Reemplazamos los valores en la expresión: T = 15cotx + 17cosx = 15 c 8 m+ 17 c 8 m = 8 + 8 15 17 ` T = 16

t

ángulos compuestos Cuando estudiamos trigonometría nos encontramos con expresiones como: sen(+ ) y cos(- ). Es importante escribir estas expresiones en términos de sen, cos, seny cos. Puede resultar muy tentador reemplazar: sen(+ ) por sen+ sen y sen(- ) por cos- cos, pero esto es un error, para ello basta tomar: 3+1 Entonces:       

=

y =

3

6

sen ` 1

3

+

6

cos  -  ` 3 6j

j = sen

cos

 6

2

=

=

sen ;

3

; cos

2

 3

3

+ sen

- cos

 6

6

=

=

Atención

2

1-

3

Aquellas identidades que se deducen de las identidades de la suma y de la diferencia de dos ángulos se llaman identi-

2

IDENTIDADEs DE LA sUMA y DIfERENcIA DE DOs áNGULOs Identidades de la suma de dos ángulos sen(+ ) = sencos+ cossen cos(+ ) =

dades auxiliares, estas son: • sen( + )sen(- ) = cos2 - cos2

Identidades de la diferencia de dos ángulos

• cos( + )cos(- ) = cos2 - sen2 sen (+ ) • tan! tan= cos cos 

sen(- ) = sencos- cossen cos(- ) = coscos+

coscos- sensen

• cot ! cot =

sen (! ) sensen

sensen

tan+ tan tan(+ ) = 1-

tan(- ) =

tantan

tantan

tan- tan

• tan! tan!

1+

tan(+)tantan=tan(! )

Ejemplos: 1. Calcula sen82° Resolución:

2. Calcula cos82°

3. Calcula

Resolución:

tan8° Resolución:

sen82° = sen(45° + 37°) = sen45°cos37° + cos45°sen37° = 2 .4 2 .3 2 5 + 2 5 = 7102

pROpIEDADEs 1. Siendo f(x) = asenx + bcosx; x ! R se cumple: 2

2

- a + b # f (x) #  Si: A + B + C =  se cumple:

2

a + 2 b

cos82° = cos(45° + 37°) = cos45°cos37° - sen45°sen37° 2 4- 2 3 = . . 2 2 5 = 2 10

5

tan8° = tan(45° - 37°) = tan 45° - tan 37° 1 + tan 45° tan 37° =

1- 3 4

3 1 + 1. 4 = 1 7

3. Si: A + B + C =  2 se cumple:

cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC tanAtanB + tanBtanC + tanCtanA = 1 tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC cotAcotB +

cot

BcotC + cotCcotA = 1 Nota También se puede usar: cot+ cot+ cot37° = cotcotcot37°

Ejemplo Calcula "x" Resolución: + + 37° = 90° & tantan+ tantan37° + tan37°tan= 1 5 3 2 5 3 2 + . . + . = 5 2+ x 2+ x 4 4 5 & x = 87 14

37° 

5

1 

2

x

23

= 7

4 (2 + x) 10

5+ x+2+ 4 = 5.x+2.4 2 5 3 2 5 3 23 + x + 2 = 10 x + 2 d n 6 5 3 5 23 = 7 x + 2 d n 6

3 5 115

x+2=

14 87 x = 14

1

Calcula: E = 5sen(37° + x) - 3cosx

5

Resolució n:

Resolución:

E = 5(sen37°cosx + cos37°senx) - 3cosx E = 5( 3 cosx + 4 senx) - 3cosx 5 5 E = 3cosx + 4senx - 3cosx

Por propiedad: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC

Como: A + B + C = 180°

& tanAtanB = 4

Si: sen(x + y) = 3sen(x - y), calcula: E = tanxcoty 6

Resolució n:

...(1)

Reemplazando el dato en (1): 3tanC + tanC = tanAtanBtanC 4tanC = tanAtanBtanC

E = 4senx 2

En un triángulo ABC se cumple: tanA + tanB = 3tanC Calcula: tanAtanB

senxcosy + cosxseny = 3(senxcosy cosxseny) 4cosxseny = 2senxcosy

Si: tan+ tan= 1 y tan(+ ) = 4 3 calcula: tantan

Resolución: tan(+ ) = 4

senx cos y 2 = cos xseny

3 tan+ tan 4 = tan(+ ) = 1 - tantan 3

& E = tanxcoty = 2

...(1)

Reemplazando el dato: tan+ tan= 1 en (1): 3

Calcula: A = 2sen50° 4cos40°sen10°

1 4 1 - tantan = 3 & 3 = 1 - tan tan  4 3 = 1

Resolución: A = 2[sen(40° + 10°) - 2cos40°sen10°]

& tantan= 1 -

A = 2[sen40°cos10° + cos40°sen10° 2cos40°sen10°] A = 2[sen40°cos10° - cos40°sen10°] A = 2sen(40° - 10°) = 2sen30° = 2 c 1 m 2 A= 1

7

4

4

Calcula: tan 

53°

4

Calcula: cos 25° + E=

3 sen25°

Resolución:

sen10° + cos



4k = 2

10°

Resolución:

4k

2; 1 cos 25° + 3 2 2 sen25° E= 2 ; + E=

1 sen10°



3k

53°

tan=

6k

3

3k

E 1 cos 10° E 2

2

26cos 60° cos 25° + sen60°sen25° @ 2 6cos 10° @ 45°sen10° + sen45° cos

+ = 53° = 53° -  & tan= tan(53° - ) =

tan53° - tan 1+ tan53°tan

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

41

Problemas 34 - 32 E= =

2 cos ^60° - 25°h 2 sen^45° + 10°h

E= 2

40 Intelectum

2 cos 35° sen55°

tan=

` tan=

4.°

23

32

= = 17 1+ 4 . 8 1+ 9 2 3 3 9 6 17

t

ÁNGULOS MÚLTIPLES

IDENTIDADEs DE áNGULO DObLE • sen2= sen(+ ) = sencos+ cossen & sen2= 2sencos • cos2= cos(+ ) = coscos- sensen

Observación

& cos2= cos2- sen2 • cos2= cos2-

2

2

2

2

cos2= cos - (1 - cos )

= (1 - sen ) - sen 

2

1 + tan 

2

& cos2= 1 2 2sen 

& cos2= 2cos - 1

• tan2= tan(+ )

2 2

1 - tan 

tan+ = tan  1tantan &  tan  tan2= 1 - tan2  Ejemplos:

2tan

Además: 2 2 • cos2= cos - sen  2 sen 

En la figura que se muestra podemos hallar las RT del án- gulo doble en función de tan.

4

1. Si tan=

5 Resolución:

, halla sen2.

41



4

sen2= 2sencos sen2 = 2  4 . 5 41 41 sen2 = 40 41

5

2. Si sen= 5 , calcula cos2. 13

Nota 2

De las identidades de ángulo doble se deducen:

cos2= cos -

Resolución:

2

sen  12 13

5

2

cos2 = c m - c m 13 13 144 - 25 = 119

5

cos2 =



169

2

12

2

3. Si: tan + 5tan= 1, calcula tan2. Resolución: 2

Del dato: 1 - tan = 5tan Luego:

tan2=

169

169

cot + tan= 2csc2 cot - tan = 2cot2

tan  2 1 - tan  2 tan 

2

tan2= ` tan2=

5 tan  25

IDENTIDADEs DE áNGULO MITAD 2

cos= 1 - 2sen

2 2sen  = 1 - cos 2

Observaci ón

 El signo + o - depende del cuadrante en el cual se ubique el ángulo mitad y de la RT que lo afecte. Ejemplo:

sen

2

cos= 2cos 1

2

tan sen   = 2 2 = cos  2

1 + cos



2 2 2cos  = 1 + cos 2

1 - cos  =!



-

2

  &

2

cos

2

=

&

2

2

2. Si: cos=

Resolución:

0° < ° < 90° & 0° < < 45° &

90 < x < 180° & 45° < x < 90° 2 & x ! IC 2

2 cos  2

` sen x = 2

=

1 - c- m 3

1 - cos x =

1+ 1 8

2

2

5 3 =

5

2

6

30 6

6 .

6

• sen3= sen(+ 2) = sencos2+ cossen2 2 = sen(1 - 2sen ) + cos(2sencos) 3 2 = sen- 2sen + 2sen(1 - sen ) &

3

sen3= 3sen- 4sen 

• cos3= cos(+ 2) = coscos2- sensen2 2 = cos(2cos - 1) - sen(2sencos) 3

2

= 2cos - cos- 2(1 - cos )cos &

3

cos3= 4cos - 3cos

+  • tan3= tan(+ 2) = tan tan2 1 - tantan2 tan+

• sen3x = senx(2cos2x + 1) • cos3x = cosx(2cos2x - 1)

42 Intelectum

2 =

` cos  = 3 2 4

2

4.°

2tan

1 - tan2 =  1 tan 2tan 1 - tan2  • 4senxsen(60 - x)sen(60 + x)



9 8 2

2

3 =

2



= 1 + cos  + 2

IDENTIDADEs DE áNGULO TRIpLE

De las identidades de ángulo triple se deducen:

/ 0° < < 90°; calcula cos

8 Resolución:

Nota

Not a

1 + cos  

3 calcula sen x . 2

=

 cot cot=  2csc+

=

1 / 90° < x < 180°,

1. Si: cosx = -

2

 tan cot=  2csc-

2

1 - cos 

!

sen x =+

De las identidades de ángulo mitad se deducen:

tan

!

1 - cos  2 1 + cos  2

Ejemplos: 2

Si x ! IIIC & cos b x l es (-)

2

&



4

! IC

.

= sen3x • 4cosxcos(60 - x)cos(60 + x) = cos3x • tanxtan(60 - x)tan(60 + x) = tan3x

3

& tan3= 3 tan - tan  2 1 - 3 tan  Ejemplos: 3

1. sen27° = 3sen9° - 4sen 9 3 2. cos51° = 4cos 17 3cos17° 3 3. cos15x = 4cos 5x - 3cos5x

3

4. tan63° = 3 tan 21° - 2tan 21 1 - 3 tan 21 3

5. tan9= 3 tan 3- 2tan 3 1 - 3 tan 3

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

43

t

Problemas resueltos 1

Simplifica: E = cosxcos2xcos4xcos8x

4

Resolución:

E = 2senx (cosxcos2xcos4xcos8x) 2senx sen2x E= cos2xcos4xcos8x 2senx ^2sen2xcos 2xhcos 4x cos 8x E= 4senx 2sen4x cos 4x cos 8x = sen8xcos E= 8x 8senx 8senx E = 2sen8x cos 8x = sen16x 16senx 16senx

Resolución: 2

3+ 1

W= 2sen2xcos2x W = sen4x Reemplazando x = , tenemos: 8 ` W = sen` j = 1 2 5

Del gráfico siguiente, halla a. sen80°

x =

23 + 1 senx 2

2

W = 4senxcosx(cos x - sen x) W = 2 . 2 senxcosxcos2x

Utilizando la fórmula: E= 2 3 cosxcos2xcos2 xcos2 x E = sen2 sen16x

Si: x = , 8 3 3 calcula: W = 4senxcos x - 4sen xcosx

16senx



1 + cos80°

Simplifica: A = tan+ 2tan2+ 4tan4+ 8cot8

Resolució n: sen80°

Resolución: Sabemos que: 

2cot2x = cotx - tanx

1+ cos80°

A = tan+ 2tan2+ 4tan4+ 4(2cot8) A = tan+ 2tan2+ 4tan4+ 4(cot4tan4) A = tan+ 2tan2+ 2(cot2- tan2) A = tan+ 2cot2 A = tan+ (cot- tan) = cot A = cot 3

sen80° = tan 1 + cos 80° 40° = tan & 2sen40° cos 2 1 + 2 cos 40° -1 Simplificando: sen40° = tan cos40° tan40° = tan& = 40°

Halla x:

5

 

Resolución: Del gráfico: 9 tan2= x

4 / tan=

x

4 x

6

Si: sen2x = 0,4; 4 4 calcula E = sen x + cos x

Resolución: sen2x = 0,4 = 2 5 2 2 2 2 2 4 _2senxcosxi = d & 4sen xcos x = 25 5 Sabemos que: n 2

(sen x +

2 2

2

cos x) = 1

Por identidad: tan2 2tan = 1 - tan2  2 4

4

8

c m

9 = x

x & 1 - 24

x

= 2

x - 16

9 = 8x x x2 - 16

c m

2 x x 2 2 & 9x - 144 = 8x & x = 144 12 2

` x=

2

2

4

sen x + 2sen xcos x + cos x = 1 4 4 4sen2 x cos2 x m=1 sen x + cos x + c J 4 N2 K 25 4 4 4 4 2 O sen x + cos x = & sen x + cos x = 1 2 O 25 +K 1 K O 1 L P 4 4 23 sen x + cos x =

25

= 0,92

7 Calcula: A = csc5° + csc10° + csc20° + cot20°

Resolució n: Sabemos que: cot x cotx = cscx + `2j A = csc5° + csc10° + (csc20° + cot20°) A = csc5° + (csc10° + cot10°)

11

Como: sen= - 5 & cos= - 2 3 3 -2 1+ c m 3  & cos 2 = = 1 2 6 1 ` sec  6 = =  2 cos 2 Calcula:

A = csc5° + cot5° A = cot2°30’ 8

3 20° + cos3 E = cos 40° cos20° + cos40°

¿A qué es igual

Resolución:

Resolución:

4E = 4 cos 20° + 4 cos 40° cos 20° + cos 40° Utilizando las fórmulas de degradación:

E = secx + tanx – cot`45° - x j? 2

3

E = (csc(90° – x) + cot(90° – x)) – cot`45° 2 xj Sabemos que:

4E = 120°h

csc+ cot= cot 2 E = cotc 90° - x m – cot`45° xj

4E =

2 2 E = cot`45° - x j – cot`45° xj 2 2 E= 0  9

Si cot cosθ.

2

=

3 cos 20° + cos 60° + 3 cos 40° - cos cos 20°60 +° cos 40° 3^cos 20° + cos 40°h cos 20° + cos 40°

& 4E = 3

3 4 3

12 Simplifica:

E = cos x - cos 3x

3 =-

cot  = ! 2  3

2

cos 20° + cos 40°

` E=

2

3

, halla

sen x + sen3x

Resolución: 3

Resolución:

-

^3 cos 20° + cos 60°h + ^3 cos 40° + cos

4E =

` j

3

1 + cos 1 - cos  1 + cos  1 - cos 

9 = 1 + cos  4 1 - cos 

& c- m = 2 c-

^ h E = cos3 x - 4 cos x - 3 cos3 x ^ h sen x + 3senx - 4sen x

1 +2 cos 

1 - cos 

3

m

3

E = cos x3 - 4 cos x + 3 cos3 xx sen x + 3senx - 4sen 3 ^ 2 h E = -3 cos x + 33cos x = 3 cos x - cos2 x + 1 3senx - 3sen x 3senx^1 - sen xh

9 - 9cos= 4 + 4cos 5= 13cos 5=

44 Intelectum

23

3

E

4.°

3 cosx^sen2 xh ^

2

senx h

=

cos x

= tanx

3senx cos x

cos= 13

1  10 Calcula sabiendosec que: 2, 5

13 Sabiendo que: sen(60° - ) =

Resolución:

3

, calcula: F = sen3



Resolució n:

Como: !

sen= 

3

, ! - ; -

2

& ! IIIC 2 Además: -1 1 -  & - 1  1 -  2 2 2 4

&  2 ! IVC

- ; -

Haciendo: x = 60° -  & senx = 1 ; además: = 60° - x 3 Luego: sen3= sen3(60° - x) = sen(180° - 3x) 3

sen3= sen3x = 3senx - 4sen x 1 1 3 & F = sen3= 3c m - 4c m 3 3 ` F = 23 27

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

45

t

TRANSFORMACION ES TRIGONOMÉTRICAS Las transformaciones trigonométricas son utilizadas para convertir sumas o restas de razones trigonométricas en producto y viceversa. Las transformaciones trigonométricas se dividen en:

TRANsfORMAcIONEs DE sUMA O DIfERENcIA A pRODUcTO

^A + Bh ^ A - Bh senA + senB = 2sen Bh . cos 2 2 ^A + Bh ^A - Bh senA - senB = 2cos .sen 2 2

cosA + cosB = 2cos cosA-cosB=-2sen

Observación

^ A + Bh

2

^ A + Bh

2

. cos

.sen

^A -

2

^ A - Bh

Las transformaciones trigonométricas solo se aplican en caso de tener una suma o dife- rencia de senos o de cosenos, no hay identidades especiales para otros casos.

2

Ejemplos: Transforma a producto: a) sen100° - sen50° = 2cos

^100° + 50°h

2

.sen

^100° - 50°h

2 Importante

= 2cos75° . sen25°

b) cos70° - cos80° = -2sen 80°h

^70° + 80°h

.sen

Para realizar las demostraciones de cada una de las transformaciones se deberá usar las identidades de ángulos compuestos.

^70° -

2 = 2sen75° . sen5°

2

Propiedades Sea A + B + C = 180°, se cumple lo siguiente: senA + senB + senC = 4cos A . cos B . cos C 2 2 2 sen2A + sen2B + sen2C = 4senA . senB . senC

cosA+cosB+cosC=4sen A .sen B .sen C + 1 2 2 2 cos2A + cos2B + cos2C = - 4cosA . cosB . cosC - 1

TRANsfORMAcIONEs DE pRODUcTO A sUMA O DIfERENcIA

2senA . cosB = sen(A + B) + sen(A - B) B)

2cosA . cosB = cos(A + B) + cos(A -

2cosA . senB = sen(A + B) - sen(A - B) B)

2senA . senB = cos(A - B) - cos(A +

Nota Identidades auxiliares 2

Ejemplos: Transforma a suma o diferencia: a) 2cos7a . sen5a = sen(7a + 5a) - sen(7a - 5a) = sen12a - sen2a

2

b) 2cos3q . cos2q = cos(3q + 2q) + cos(3q - 2q) = cos5q + cosq

cos A + cos B = 1 + cos(A + B) . cos(A - B)

2

2

sen A + sen B = 1 cos(A + B) . cos(A - B)

Propiedades adicionales 

3

cos

2n + 1 + cos

+ cos

2n + 1

2

Recuerd a Veamos la siguiente propiedad:

cos

Si: A + B + C = 180°, entonces: tanA + tanB + tanC = tanA . tanB . tanC

+ cos

4

2n + 1

+ cos

^2n - 1h

5

2n + 1

2n + 1

+ ... ^2n + 1h

6

+ cos

2n

2n + 1

+ ... + cos

=

2

1

2n + 1

=-

2

Aplicaciones de las transformaciones trigonométricas: 1. Factoriza: M = cos8x - cos7x . cosx - cos10x . cos2x

Reemplazamos en M: M=cos8x 8xh

Resolución: M=

cos7x . cosx = 2 cos 7x. cos x = cos 8x + cos 6x 2 2 cos3x) cos10x.cos2x= 2 cos 10x. cos 2x = cos 12x + cos 8x 2 2 2. Simplifica la expresión: sen10cc + sen20c + sen30

Resolución: Agrupamos convenientemente: (sen30° + sen10°) + sen20° M= (cos 30° + cos 10°) + cos

2 = 2sen20°cos10° 3. Calcula el valor de: sen5x+ sen3x

m

cos

30c - 10c c

m

2

2

2

(2cos8x - cos8x - cos6x - cos12x - cos8x)

M = - 1 (cos6x + cos12x) = - 1 (2cos9x . 2

2

M = - cos9x . cos3x

sen20°(2 cos10° + M = 1) cos 20°(2 cos10° + 1) sen20° M= cos 20° ` E = tan20°



P=

cos x P = 22sen4x. x cos 4x . cos & P = tan 4x P = sen 4x cos 4x

denominador de la expresión dada:

Reemplazando el valor de "x" tenemos:

, cuando: x = rad cos 5x + cos 3x 12 Resolución: Transformamos a producto el numerador y

2senc 5x + 3x m . cos c 5x - 3x m

4.°

2

2sen20° cos10° + M = sen20° 2 cos 20° cos10° + cos 20°

Transformamos a producto: a) sen30° + sen10° c

^cos 12x + cos

Reemplazamos a y b en (1):

20°

30c + 10c

-

b) cos30° + cos10° 30c + 10c 30c - 10c c m cos c m = 2cos 2 2 = 2cos20°cos10°

M= cos 10c + cos 20c + cos 30c

=

^cos 8x + cos 6xh

1

Transformamos de producto a suma:

46 Intelectum

1

P = tan81` p jB & P = tan p 12 3

P=

2 2 5x + 3x 5x - 3x 2 cos c m . cos c m

2

`P=

3

2

4. Simplifica: P = sen2x + sen4x + sen6x + sen8x Resolución:

P = 2sen5x(cos3x + cosx) P = 2sen5x(2cos2x . cosx) P = 4sen5x . cos2x . cosx

Agrupamos de manera conveniente y obtenemos: P = (sen2x + sen8x) + (sen4x + sen6x) P = 2sen5x . cos(-3x) + 2sen5x . cos(-x) P = 2sen5x . cos3x + 2sen5x . cosx

TRIGONOMETRÍA - TEORÍA UNIDAD 3

47

t

Problemas resueltos Simplifica: cos 5x + cos 3x + I = cos x sen5x + sen3x + senx

1

4

Resolución:

Resolución:

I=

. sen7x + 2sen3x . cos 8x N = 2 cos 2x 2 2

2 cos c 5x + x m . cos c 5x - x m + cos 3x 2 2

N=

2senc 5x + x m . cos c 5x - x m + sen3x 2

Si: x = 3, calcula: N = cos2x . sen7x + sen3x . cos8x 20

sen^7x + 2xh + sen^7x - 2xh 2

sen 3x + 8x + sen 3x - 8x

2

+

2 cos 3x . cos 2x + cos I = 3x 2sen3x . cos 2x + sen3x

+ ^

h

2

^

h

sen11x + sen^- 5xh N = sen9x+ sen5x+ 2 2

cos 3x^2 cos 2x + 1h I = sen3x ^2 cos 2x + 1h

N = sen9x+ sen5x+ sen11x - sen5x 2

& I = cot3x N = sen9x+ sen11x 2 2

Calcula: M = sen55°. cos5° + sen35°. sen5°

2senc 9x + 11x m . cos c 9x - 11x m 2 2 N= 2 N = sen10x . cos(-x) = sen10x . cosx

Resolución:

M = 2sen552° .cos 5° + 2sen352° . sen5° M=

   N = senc10 . 3 m . cos c 3 m = senc 3 m cos 27° 20 2 20 14243 -1 & N = -cos27°

sen^55° + 5°h + sen^55° - 5°h 2 cos ^35° - 5°h - cos ^35° + 5 °h +

2

5

M = sen60° + sen50° + cos 30° - cos 40° 2 3 + sen50° 3 - sen50° + M=

2

A=

2

a - 2senc a - 3b + 3a - b m . senc

2

I= 14sen10°sen70° 2sen10°

Resolución: 1 - 2^2sen10°sen70°h 2sen10°

1 - 2^cos ^10° - 70°h - cos ^10° + I= 70°hh 2sen10° I=

1 - 2^cos^- 60°h - cos 80°h 2sen10°

6

-3 - 3 b ^ a bh m

2 2 2sen2c 2a + 2b m . cos2 c 2a - 2b m

A=

Calcula:

I=

cos^a - 3bh - cos^3a - bh sen2a + sen2b

Resolución:

& M = 23 3

Simplifica:

A=

sen2^a - bh.sen^-^- a - bhh sen^a + bh . cos^a - bh

A=

2sen^a- bh . cos ^a - bh . sen^a + bh & A = 2sen(a - b) sen^a + bh . cos^a - bh

Simplifica la expresión: T = 3 + 5sen23°

Resolución: Factorizamos (5) en la expresión a reducir: 3 T = 5; 23°E 5 se n +

I= 80°

1 - 2^cos 60° - cos 80°h

= 1 - 2 cos 60° + 2 cos

2sen10° 2sen10° 1 1 - 2c m + 2 cos 80° 2 I= 2 cos cos = 80° = 80° 2sen10° 2sen10° sen10° sen10° I= 1

sen10°

& I=

T = 5[sen 37° + sen 23°] Transformamos a producto: T = 5;2senc 37° + 23° m . cos c 37° - 23° mE 2 2 T = 10sen 30° cos7° 1 T = 10c mcos7° ` T = 5cos7° 2

unidad 4

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ConCeptos previos Noción de función Sean A y B conjuntos diferentes del vacío, se llama función f al conjunto de pares ordenados (x; y) tales que para cada x ! A existe uno y solo un elemento y ! B.

Observación A la notación y = f(x) se le llama regla de correspondencia o dependencia funcional, y se lee: “y igual a f de x”, donde: y: variable dependiente. x: variable independiente.

2

f(x) = {(x;y) ! R / y = f(x) 6 x ! Domf}

Dominio de una función Es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por: Domf = {x ! A / (x; y) ! f}

Rango de una función Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por: Ranf = {y ! B / (x; y) ! f}

Gráfica de una función Se denomina gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos en el plano cartesiano cuyas coordenadas satisfacen la condición y = f(x). Ejemplos: 1. Calcula el dominio de la función: 2 f(x) = senx Atención Para reconocer si una gráfica es función, toda recta vertical tendrá que cortarla en un solo punto. Ejemplo:

y

sen3x

+

Resolución: Para que f(x) exista, sen3x ! 0 & 3x ! 0, p; 2p, 3x ! np; n ! Z n & x! 3 3  ` Dom = R - % n /; n ! Z

2. Halla el rango de la función: 9 + sen3x f(x) = 4

Resolución: Se sabe que: -1 # sen3x # 1 8 # 9 + sen3x # 10 2 # 9 + sen3x # 5 4 2 5 ` Ranf = <2; 2 # f(x) # 2 5 2 F

f(x)

3. Construye la gráfica de la siguiente función: 2

x

f(x) = x - 4 Resolución: Es claro que Domf = R, luego tabulamos algunos valores para hallar la gráfica.

“f(x) sí es función”

x -3 -2 -1 0 1 2 3

48 Intelectum

4.°

y 5 0 -3 -4 3 0 5

y4 3 2 1 -3 -2 -1

-1 -2 -3 -4

x 1

2 3

t

tipos De FUnCiones Función par Una función es par si:

f(x) = f(-x), 6x / -x ! Domf

Ejemplo:

y

2

f(x) = x - 2

Otros ejemplos de funciones pares son: y= cosx y = secx

2 1

Hallamos f(-x):

x

2

f(-x) = (-x) - 2 2 =x -2 = f(x)

Observación

-2 -1

-1

1

2

-2

Función impar Una función es impar si: f(-x) = - f(x), 6x / -x ! Domf Ejemplo: f(x) = x

y

3

Hallamos f(-x): 3 f(-x) = (-x)

x

3

Observación Otros ejemplos de funciones impares son: y = senx y = tanx y = cotx y = cscx

= -x = - f(x)

Función creciente Una función es creciente en un intervalo de su dominio, si para todo par de números x1, x2 de dicho intervalo se cumple: Observación

x1 < x2 & f(x1) < f(x2)

Función decreciente Una función es decreciente en un intervalo de su dominio, si para todo par de números x1, x2 de dicho intervalo se cumple:

Una función creciente tiene una gráfica que sube de izquierda a derecha, mientras que una función decreciente tiene una gráfica que cae de

izquierda a derecha.

x1 < x2 & f(x1) > f(x2)

Función periódica Una función es periódica, si existe un número real T ! 0, tal que para cualquier x de su dominio se cumple: f(x + T) = f(x), 6x, x + T ! Domf Ejemplo: Halla el periodo principal de: f(x) = senx Resolución: f(x + T) = sen(x + T)

sen(x + T) = senx senxcosT + cosxsenT = senx

Hacemos: cosT = 1 / senT = 0 + & T = 2kp; k ! Z T = 2p; 4p; 6p ` El período principal es 2p.

Nota El número T se denomina periodo

principal, si es positivo y mínimo entre todos los períodos positivos.

FUnCiones triGonoMétriCAs Son el conjunto de pares ordenados (x; y) tal que la primera componente es un valor angular expresado en radianes y la segunda el valor obtenido mediante una dependencia funcional. Not a

Función seno

Función sen 7x sen ax

-

 7

2

f = {(x; y) ! R / y = senx; x ! R} Tabulando valores

k

Dominio R Rango [-1; 1] Periodo(T) 2/7

R [-1; 1] 2

x

-p

-  2

0

 6

 4

 3

 2

p

3 2

2p

5 2

y

0

-1

0

0,5

0,7

0,8

1

0

-1

0

1

Gráfico y 1 p

-p

-p

p

2

2

3p 2

2p

5p x 2

T = 2

Análisis del gráfico: • Dominio: Domf = R • Rango: Ranf = [-1; 1] • Período: T = 2 • Función impar: sen(-x) = -senx • Curva: senoide

Función coseno 2

f = {(x; y) ! R / y = cosx; x ! R} Tabulando Nota Función

valores 2

cos x

2+ R

cosx Dominio

-

2

x

-p



0

 6

 4

 3

 2

p

3 2

2p

5 2

y

-1

0

1

0,8

0,7

0,5

0

-1

0

1

0

R Rango

[0; 1]

[1; 3]



2

Periodo(T)

Gráfico y 1 -p

-p

p

p

3p 2

2p

5p 2

x

Análisis del gráfico: • Dominio: Domf = R • Rango: Ranf = [-1; 1] • Período: T = 2 • Función impar: cos(-x) = cosx • Curva: cosenoide

2

2 -1

Periodo(T): 

Nota

Función tangente 2

2

f = {(x; y) ! R / y = tanx; x ! R - (2n + 1) ! Z}



;n

Función: 7tanx Dominio: R - (2k + 1) ; k ! 2 Z Rango: R

Gráfico y

triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4

51

• Dominio: Domf = R -%(2n + 1) 2 /; n ! Z • Rango: Ranf = R

Analisis de gráfico: -p 2

0

p

2 T=

50 Intelectum

4.°

p 3p

2p 2

5p x 2

• Periodo: T = p • Función impar: tan(-x) = -tanx • Curva: tangentoide

t

Función cotangente 2

f = {(x; y) ! R / y = cotx; x ! R - np; n ! Z} Gráfico y

-p

-p 2

p

0

2p x

p

3p 2

Nota

Análisis del gráfico: • Dominio: Domf = R - {np}; n ! Z • Rango: Ranf = R • Periodo: T = p • Función impar: cot(-x) = -cotx • Curva: cotangentoide

2

2

Función: cot x Dominio: R - {n}; n ! Z Rango: [0; +3H Periodo(T): 

T=

Función secante 2  f = {(x; y) ! R / y = secx; x ! R - (2n + 1) ; n ! Z} 2

Gráfico

Análisis del gráfico: • Dominio:

y

0

-p

-p

p p

2

3p

2p

x



Domf = R - {(2n + 1)

2

Nota 2

Función: sec x

}; n !

Z • Rango: Ranf = R - G - 1; 1H

2 2

Dominio: R - %(2n + 1) /; n ! Z 2 Rango: [1; +3H

& secx ! G-3; -1] , [1; +3H • Periodo: T = 2p • Función par: sec(-x) = secx • Curva: secantoide

T = 2



Periodo(T): 

Función cosecante 2

f = {(x; y) ! R / y = cscx; x ! R - {np}; n ! Z} Gráfico y 1 -p

-p 2

3p 2

p p

0

2p

x

2

-1

Análisis del gráfico: • Dominio: Domf = R - {np}, n ! Z • Rango: Ranf = R - G-1; 1H & cscx ! G-3; -1] , [1; +3H • Periodo: T = 2p

 Función: csca9x - 4 k

k  Dominio: R - ' + 1 ; n ! Z 9 36 Rango: R -G-1; 1H 2 Periodo (T): 9

• Función impar: csc(-x) = -cscx • Curva: cosecantoide

T= 2

Ejemplos: Función

Dominio (k ! Z)

Rango

T

y = 3senx

R

[-3; 3]

2

y = 2 + 3senx

R

[-1; 5]

2

R



y = 7tanx

R-(

(2k + 1)  2 2

Nota

y = cscx

R - {k}

R - G-1; 1H

2

y = 7cscx

R - {k}

R - G-7; 7H

2

y = 13 + cscx

R - {k}

R - G12; 14H

2

y = 13 + 5cscx

R - {k}

R - G-8; 18H

2

Problemas resueltos 1

Calcula las coordenadas del punto P. y

5 y= cosx

Determina el dominio de:  f(x) = 11secax - k 4

Resolución:

P

Función de referencia: y = secx  Domf = R - %_2n + 1i / n ! 2 Z/

x

-p 4

-1

x-

Resolución:



  = (2n + 1) + 3 n  2  4 + = d

Sea el punto P = a- ; 4 ak.

x = np + 2 4 x = (4n + 3) 4

  a = cosa - k = cos 4 4 a=

Domf = R - {(4n + 3)

2 2

2

 2 ; n 4 2

6

Determina el dominio y rango de: f(x) =

2

 csc4x: 4x ! kp & x ! k 4 De (1) y (2): x ! k 4

csc 4x

4 ...(2)

Reduciendo: 1 3d

Hallar el máximo valor de: f(x) = cosx(cosx - 4) + 7

f(x) =

f(x) = cos2 x - 4 cos x + 7 f(x) = cos2 x - 4 cos x + 4 +3

n

cos2x d

1 n sen4x

= 3sen4x = 6sen2xcos2x cos2x

cos2x

f(x) = 6sen2x - 1 < sen2x < 1 - 6 < 6senx < 6

2

f(x) = (cosx - 2) + 3

& Ranf = G-6; 6H - {0}

Luego: El máximo valor de f(x) es 12.

Halla el periodo de la siguiente expresión:  24x -  n + G(x) = sena - 48xk + 5 send cos d 3

Halla el dominio de la función:

Resolución:

7

2

1 # (cosx - 2) # 9 2 4 # (cosx - 2) + 3 # 12

52 Intelectum

...(1)

 & Domf = R - ( k / k ! Z2 4

Resolución:

4

4

!

Restricciones:   sec2x: 2x ! (2k + 1) & x ! (2k + 1)

-1 # cosx # 1 & 0 # |cosx| # 1 0 # 3|cosx| # 3 4 # 3|cosx|+ 4 #7 & Ranf = [4; 7]

Como: -1 # cosx # 1 -3 # cosx - 2 # -1

/n

Resolución:

Dada la función definida por: f(x) = 3|cosx| + 4, 6 x ! R Halla su rango.

Resolución:

3



4

3 sec 2x

Z} ` P =d-

n

4.°

Dato:

12x 7

n

f(x) = 3tana2x 3  k

Resolución: 

2x -

3

 

= (2n + 1) = np + 2

2  5

 2x = np + 3 x = n+ 5 2

2

 G(x) = sena - 48xk + 3 cos d

24 - n + x 5 send 5

T1 Se deduce que: 2 

T2

T =

+ = np +

1

=

T

48 &

1

24 =

6

12 + 5 n Domf = R - ( /n! Z 2 12

;

5

24/5 T

12 & =

MCM 7) (; 5;

MCM(T1, T2, T3) =

MCM (24; 12; 6)

7

n

T3

2

2

12x

2

;T 3



2

7

12

6

=

= 7



6 35 35 = & T = G(x) 6

triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4

53

t

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERS AS ConCeptos previos Antes de estudiar las funciones trigonométricas veamos las siguientes definiciones:

Nota f: X Y

Función inyectiva Una función es inyectiva cuando cada elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual está asociado. Es decir: f(x1) = f(x2) & x1 = x2

X

Función sobreyectiva Una función f: X " Y, es sobreyectiva si y solo si para todo y ! Y existe por lo menos un x ! X tal que f(x) = y.

Y x1

y1

x2

y2

x3

y3

& f es inyectiva X

Función inversa Si una función es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva), entonces existe una función inversa.

Y a

b

Las funciones trigonométricas por ser funciones periódicas no son inyectivas, pero podemos restringir su dominio para así conseguir las funciones inversas.

f(X) = Y & f es sobreyectiva.

FUnCiones triGonoMétriCAs inversAs Las restricciones de las funciones trigonométricas son: Función (F)

Dominio (F)  

y = senx

9- ;

2 2

Rango (F) [-1; 1]

C

y = cosx

[0; p]

y = tanx

- ;  2 2

G-3; +3H

y = cotx

G0; pH

G-3; +3H

70;

y = secx

7-

y = cscx

    , ; A 2 2

 2

[-1; 1]

; 0 , 0;



G-3; -1]j[1; +3H

C

G-3; -1]j[1; +3H

2

Tomando en cuenta estas restricciones definimos las funciones inversas de las funciones trigonométricas

Función seno inverso o arco seno

Función coseno inverso o arco coseno

y

Recuerda La gráfica de una función inyectiva es intersecada por cualquier recta horizontal en solo un punto. Ejemplos: y

h(x)

y y = arcsenx

/2



Dominio: [-1; 1]

x

Dominio: [-1; 1] Rango: [0; p]

1

-1

x

/2

Rango: 9- ;  2 2

-/2

Ejemplo: Determina el valor de las siguientes expresiones: 3

& h(x) no es inyectiva

y=

y

g(x)

arccosx

-1 1

2 2. arccosd- 3 n

x

x

1. arcsend

2

a= arccosd-

n

3

q = arcsend n 2 3



& senq =

, q ! [-

2

2

3

;

2

] `q=

3 n 2

5

3

 & cosa = 2

& g(x) sí es inyectiva

; a ! [0; p] ` =

6

Función tangente inversa o arco tangente

Importante

Función cotangente inversa o arco cotangente

y

Para las inversas de las funciones trigonométricas se cumple:

y

/2



Dominio: R

y = arctanx

arccos(-x) = p - arccosx arctan(-x) = - arctanx arccot(-x) = -p - arccotx arcsec(-x) = p - arcsecx arccsc(-x) = -arccscx

x

Rango:

-/2

- ;  2 2

Ejemplo: Determina el valor de las siguientes expresiones: 1. arctan(-1) b = arctan(-1)  - ; 2 2

& tanb = -1; b ! ` b=-

Not a Hay diferentes formas de representar una función inversa, por ejemplo:

Dominio: R y= arccotx

Rango: G0; pH

/2

x

2. arccot_ 3 i

f = arccot_ 3 i & cotf = 3 ; f ! G0; ` pH f =  6

 4

Función secante inversa o arco secante

Función cosecante inversa o arco cosecante

y -1

sen x = arcsenx -1 cot x = arccotx La notación inversa -1 y = sen x no debe confundir1 se con , es decir: senx

y = arcsecx



sen

!

/2

G-3; -1] , [1; +3H /2

x -1

y

Dominio:

1

-1

1

Rango :   70; , ;  A 2

y= arc

cscx Dominio:

G-3; -1] , [1; +3H

1

1

x

Rango:

-/2

-



2

9- ; , 0; 0

senx Esto es, para todas las funcio- nes trigonométricas inversas.

Ejemplo: Determina el valor de las siguientes expresiones:

1. arcsec_- 2 i

a = arcsec_- 2 i & seca = - 2 3 `a= 4

2

2 2. arccscd

3

3n

b = arccscd 2 3n 3 & cscb = 2 3 3

`b=

 6

Propiedades 1. FT[arcFT(n)] = n; n ! Dom (arc FT) • sen(arcsenx) = x; x ! [-1; 1] • cos(arccosx) = x; x ! [-1; 1]

Recuerd a propiedad

• tan(arctanx) = x; x ! R

arctan(a) + arctan(b) a+b = arctan c m + k 1 - ab

• sec(arcsecx) = x ; x ! R - G-1; 1H

56 Intelectum

4.°

2. arcFT[FT] = ; 6! Ran(arcFT)   • arcsen(senx) = x; x ! - ; 9 2 2 • arccos(cosx) = x; x ! [0; ] -  ;  2 2 %2 / • arcsec(secx) = x; x [0; p] ! • arctan(tanx) = x; x !

 2

C

Donde: Si: ab < 1 & k = 0 Si: ab > 1 y a > 0 / b > 0 &k=1 Si: ab > 1 y a < 0 / b < 0 & k = -1

• csc(arccscx) = x ; x ! R - G-1; 1H • cot(arccotx) = x ; x ! R También se cumple:  • arcsenx + arccosx = , si: x ! [-1; 1] 2 • arcsecx + arccscx = , si: x ! R - G-1; 1H 2

  • arccsc(cscx) = x; x ! - ; - {0} 9 2 2 • arccot(cotx) = x; x ! G0; pH

 • arctanx + arccotx =

2

, si: x ! R

triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4

57

t

Problemas resueltos 1

Determina la gráfica, el dominio y el rango de las siguientes funciones inversas. a) y = 2arcsenx b) y = 4arccos x 2

Luego: 1 1 = arctand n & tanq = d n 5 5

Resolución: a) y = 2arcsenx Sabemos que el dominio es: [-1; 1] # arcsenx #  Para hallar el rango hacemos: - 2  2

a

1

2



5

1

& senq =

Multiplicamos por 2: -p # 2arcsenx # p y Entonces: Rango: [-p; p] La gráfica es:

26

.

26 = 26

26 26

Por lo tanto: A = - senq = - 26 26

y

3



y=

Calcula: arctan 3 Q=

2arcsenx -1

2 arctan_- 3i

x

1

Resolución:

-

Piden:

b) y = 4arccos x 2

arctan 3 Q = 2 arctan_3i Sabemos: arctan(-x) = -arctanx, si: x ! R Como 3 ! R, entonces: arctan(-3) = -arctan3

Hallamos el dominio: -1 # x # 1 & -2 # x # 2 & Dominio: [-2; 2] 2 Hallamos el rango: 0 # arccos x # p & 0 # 4arccos x # 4p & Rango: [0; 4p] 2 2 y La gráfica es:

Reemplazando en la expresión Q: arctan 3 1 =& Q= 2 2_- arctan 3i ` Q= - 1 2

y 4

4 2

-2

2

2

y= 4 a r c c o s x 2

Calcula: V = sen(arctan 3 + arccsc2)

Resolución: V = sen( arctan 3 + arc csc 2 )

x

 3

Determina al valor de A 1 si: A = sen<arctan d5 nF

 6

2+    V = sena + k = n 3 6 6 send 3

Resolución: Sabemos por propiedad que: 5

2

&a =5 +1 a = 26

V = sen

 = sena k & V = 1 2

6 Calcula:

3

1

2

arctan(-x) = - arctanx sen(-x) = - senx Aplicamos esto en A y obtenemos: 1 A = sen<- arctan d 5 nF

1

A = - sen<arctan d nF



5

R = arctand n + arctand n 4 7

Resolución: J K R = arctanK

3 1 + 4

N O O+ n

7 K 1- 3 #1 O 4 7P L 3 < 1& n= 0 28

J 21 + 4 J 25 N N K 28 K 28 O O R = arctanK O = arctanK 25 28 - 3 O+0 K O K O L 28 L 28 P P  R = arctan1 & R = 4 6 )

8

M= sen_arctan

5 icos_arccot 2 2 i

Resolución:

Piden: M = sen(arctan 5 ) . cos(arccot 2 2 ) Sea: arctan 5 = & tan= 5 arccot 2 2 = & cot = 2 2

Calcula: P = tan(arctan 3 + arctan 1 5

Calcula:

4

Resolución: Piden:

6

3

1 P = tan(arctan + arctan ) 53 4



1 Sea: = arctan + arctan 5 4 Por propiedad: J 3 +1 N K 5 4 O = arctanK O+ 3 1 k K 1- . 5 4 O L P 3 1 3 Como: . = < 1& k 5 4 20 =0 J 17 N K O & = arctan 20 + _ 0i K 17 O K O L 20 P & = arctan1 & tan= 1

Reduce: 2 2 S = sen (arccos 1 )sec (arctan 2 ) 3

3 2 2

Entonces: M = sen() . cos() = sen. cos 5 & M=

6

d

n.

d

2 2 n = 2 15 3

9

2 15

9

` M= 9 Calcula:

= arctanfcos farctan f

Sea: = arctan 5 

2

2

5 sendarctan

2

& tan= 3

2 & sen=

2

2

3

2 3

S = sen darccos 1 nsec (arctan 2 )

4.°

nppp

De la expresión:

Luego:

56 Intelectum

3

Resolución:

Resolución:

3

2

5 sendarctan

3

Piden:

1



1

= arctanfcos farctan f

Entonces: P = tan() = 1 ` P= 1

7

5

5

nppp

2

= arctan(cos(arctan( 5 . sen))) Sea: 1 1

= arctandcos darctan d 5 .

= arccos 3 & cosa =

= arctan(cos(arctan 2 ))

3 = arctan 2 & tanq = 2

Sea: arctan 2 = & tan= 3

2



Entonces: 2

5

2

& cos=

2

1 3

1

S = sen ()sec ()

nnn

2

S = (1 - cos )(1 + 2

tan ) 1

2

2

S = f1 - d n pa1 3 +_ 8

Entonces: = arctan(cos)

2i k

8

8

& S = d n_3i = 9

` S=

3

3

= arctand 1 ` =



n

6 = 

3

6

triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4

57

t

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Nota

DeFiniCión Son igualdades condicionales que presentan funciones trigonométricas ligadas a una variable angular y se cumplen para un conjunto de valores angulares que hace posible la igualdad original. Ejemplos: • senx = 1 2

• tan5x = 1 3

• seca 4

x

1 2

2xk =

• sen(e ) =

3

• tanx + tanx = 2

2

x

• e = senx

3

+ x k = -1 • csca 5

• cot(x + 18°) = 1

• cos2x =

No son ecuaciones trigonométricas: 1 • xsenx = 2

2

eCUACiones triGonoMétriCAs eleMentAles

Observación

Son ecuaciones de la forma:

Se denomina ecuación trigonométrica no elemental a aquellas que no tienen la forma: FT(Ax + B) = N

FT(Ax + B) = N Donde: FT: función trigonométrica

x: variable angular

Ejemplos: 3 1 • sen x = 8 • cos2x + 1 = sen3x

N: valor admisible

Además A; B y N constantes con A ! 0 Ejemplos:  • senax + k 3 =

2 2

 • cosa2x + k = 4 1

• tanx + tan2x = tan3x

 • tana5x - k 9 =

• cota4x + 1



x • seca k = 2 9

3 2

• csc(x - p) = 5

k=

5

vAlor prinCipAl De UnA eCUACión triGonoMétriCA eleMentAl Es aquel valor que pertenece al rango de la función inversa. Sea la ecuación trigonométrica:

Atención Se denomina valor principal (VP) al menor ángulo positivo o mayor ángulo negativo que satisface la ecuación trigonométrica elemental.

FT(Ax + B) = N & VP = arcFT(N) Donde: • senx =

3

Ejemplos:

FT

2

sen

Ejemplos:

• cosb x l =

VP  

9-

& VP = • cos4x = 1 & VP = 0

; C 2 2

cos

[0; ]

tan

- ;  2 2

3 & VP = 

 3

 • tan5x = -1 & VP = 4 1 2 • cos7x = - & VP = 2 3

• tanb2x +



l =

8

2

6

 • senb3x - l = 2 & VP = 2 5 4 -

3 & VP =  4

3

solUCión De UnA eCUACión triGonoMétriCA Es un número real (ángulo expresado en radianes) que satisface la ecuación trigonométrica dada. Ejemplos: Observación  El valor x1 = denomina se 6 solución principal (SP), ya que es el menor valor no negativo que satisface la igualdad original.

1. Resuelve la siguiente ecuación: senx = 1 : para x ! [0; 2p] 2 Resolución: Analizando en la CT: y

Del gráfico se observa que los valores que

x2

x1 1/2

satisfacen senx = 1 , son: 2  x =  6 y x 2= p - 6 = 56 1

1/2 x

` Las soluciones son:

 5 6 y 6

2. Resuelve la siguiente ecuación: cos2x = 0 Resolución: Haciendo un cambio de variable 2x =  & cos= 0 Analizando en la CT: y

; 5; 9; ...

2 2 2 x

Observación  ;n!Z 4 Se denomina solución general (SG), ya que es la reunión de todos los valores angulares que hacen posible la igualdad original. El valor x = (2n - 1)

3; 7; 11; ... 2 2 2

Del gráfico se observa que todos los valores de  son: ; 3; 5; 7; ... 2 2 2 2 Los cuales en forma general se expresan como:  q = (2n - 1) ; n! z 2  Luego: 2x = (2n - 1) 2  Entonces: x = (2n - 1) ; n ! Z 4

expresiones GenerAles Para el seno:

Para la tangente:

k

EG = kp + (-1) VP

Para el coseno:

E = 2kp ! VP G

EG = kp + VP

ConjUnto solUCión o solUCión GenerAl De UnA eCUACión triGonoMétriCA eleMentAl Es el conjunto de todos los valores angulares que satisfacen una ecuación trigonométrica. Para hallar la solución general se seguirán los siguientes pasos: a) Se halla el VP de la ecuación y se reemplaza en la expresión general correspondiente. b) Se iguala el ángulo (Ax + B) en la expresión general hallada, de donde se despeja la variable (x) obteniéndose así el conjunto solución.

60 Intelectum

4.°

t

Problemas resueltos 1

Indica el conjunto solución: 1 senx =

5

2

Resolució n:  senx = 1 VP = 2 & 6

Resolución: cos2x = 2 2  4

k

EG = kp + (-1) VP & EG = kp + (-1) 2 1

k

6



;k! Z



Determina la solución principal de: senx + cosx =

2x = 2kp ! VP = 2kp ! 4  x = pk ! , k ! Z 8  

Resolución: 2 d +

2 senx

2 cos x = 1 n 2

2

Si k = 0 & x = !

=  &x= 4 4 0

senx - cosx +

1 cosx

8

 Tenemos que 17 es mayor de 2p, por lo tanto, las soluciones 8 comprendidas en [0; 2pH son: ( ;

9 15 ; 2 8 8

7; 8 8

1 k =

y x2 =

 y x = p + = 9 8 =  8 7 4 8 8  17  15 Si k = 2 & x5 = 2p y x6 = 2p + = 8 8 8 = 8

Resuelve: senx - cosx + secx = cscx, x ! [0; 2p]

Resolució n:

, x1 = -

Si k = 1 & x3 = p -

` Solución principal es 0. 3

8



8

  2 senax + k = 1 & senax + k = 2 4 4 2 x+

Resuelve la ecuación: 2 cos2x = , indica las soluciones comprendidas en 70; 2 . 2

,x!

2

senx senx -

1

= cos x -

1

senx cos x - cos2 x 2 sen2 x - 1 - sen2 & cos x senx = x cos senx = 1 cos x x 3

3

cos x = sen x & senx = cosx

6

Indica la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación: sen5x = - 3 2

Resolución: 3



3

& tanx = 1 ` x!

 5 ; 4 2

(4

& VP = arcsend-

sen5x = 2 Luego:

k

4

Resuelve: sen6x - sen4x = 2senx Indica la solución general.

Resolución: Sabemos:

xG = kp + (-1) a5x = kp - (-1) x! (

k

k

- _- 1

+   

 3

k

 k; k ! Z 3



; k ! Z2 - 

2

n= -

3

5 i

15

sena - senb = 2cosd

2

n . send

2

& sen6x - sen4x = 2senx 2cos5xsenx = 2senx 2senx(cos5x - 1) = 0 senx = 0 0 cos5x = 1 x = kp, k ! Z 0 5x = 2np, n ! Z  x = 2n , n ! Z 5 El conjunto solución es: CS = {x/x = kp, k ! Z} , {x/x = 2n, n! Z} 5

n

Evaluando:

 k= 0 & x= = -12° 415 = 48° 15  k= 2 &x= = 60° 3  k = 3 & x = 2 = 120° 3 k= 1 & x=

Piden: 48° + 60° + 120° = 228°

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS MétoDo GenerAl Recuerda Un triángulo oblicuángulo es aquel triángulo que no está formado por un ángulo de 90°.

Para la resolución de triángulos oblicuángulos utilizaremos cuatro leyes trigonométricas: ley de senos, ley de cosenos, ley de tangentes y la ley de proyecciones.

I. Ley de senos En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. B a

c

a b c = 2R senA = senB = senC

R A

C

b

Demostración: Sea ABC un triángulo cualquiera. Trazamos las alturas h1 y h2 desde C y B, respectivamente. h1 asenB = bsenA & h1 = senA = b bsenA Importante

h1 senB = & a h1

B

De la ley de senos, tenemos: a = 2RsenA

b=

2RsenB c = 2RsenC

h2

senA =

h1 A

C

b

senC =

h2

asenC = csenA

c & h2 = csenA

h

h

2

a

&

2

a

asenC =

c

senA

=

Luego, de (1) y (2), obtenemos: Además, del siguiente gráfico tenemos: B

O

b

A

b/2

b/2 P

Ejemplo:

b

senA

=

c

senB

Del triángulo APO: b 2 b = senO = R 2R Además: m+B = m+O & senB = senO =

a

C

R: circunradio

...(2)

senC

a

R

...(1)

También:

a

c

a b senA = senB

= asenB

Por lo tanto:

senA

senB

senC

& 2R =

2R

b =

=

b

senB

c =

senC

senA

= 2R

senB

senA

De la ley de cosenos tenemos: b 2 + c2 - a 2

Importan te triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4

61

Resolución:

En un triángulo ABC

C

= 3x; c = 4x; calcula: M = +

senC

cosA =

-

senC 2

a +c -b

cosB =

2x

2

De igual manera tenemos: senB = b

3x

senC

2ac 2

cosC =

senB

2bc 2

2

a = b & senA = a senA senB senB b

De la ley de senos se sabe que:

se tiene: a = 2x; b

a

2

a +b -c 2ab

A

4x

4.°

a

B

Luego: M =

60 Intelectum

b

b

+

c

-

c

2x

=

3x

/ senA = a c

3x

+

2x

4x

-

senC c 2 1 11

4x

=

3

+

4

=

12

t

II. Ley de cosenos En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos; menos el doble del producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman. Atención

C

A 2

2

2

2

a = b + c - 2bccosA

Para realizar la demostración de las otras dos relaciones, solo bastará colocar los ángulos B y C en posición normal, el resto se realiza de manera análoga.

a

b

B

c 2

2

2

b = a + c - 2accosB

2

2

c = a + b - 2abcosC

Demostración: Realizaremos la demostración para el primer caso, con los demás casos se procederá de manera análoga. Del triángulo: 2

B c

2

a =h +m

n

m

A

...(1)

Del triángulo AHB: senA = h & h = csenA ...(2) c n cosA = & n = ccosA c Además: b = m + n & m = b - n = b - ccosA ... (3)

a

h

2

H b C

Luego reemplazamos (2) y (3) en (1): 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a = bcosC + ccosB

c cos A a = c (sen A + cos A) + b - 2bccosA 2

Para la demostración de las dos proyecciones restantes debes tomar en cuenta los siguientes gráficos:

2

a = (csenA) + (b - ccosA) = c sen A + b - 2bccosA + 2

Observación

A

& a = b + c - 2bccosA c

b

Ejemplo: Del gráfico, calcula x:

B

Resolución: A

Aplicamos ley de cosenos:

60° 6 7

B

2

x

C

2

2

x = 196 & x = 14

III.

Ley de proyecciones

En todo triángulo se cumple que cada lado es igual a la suma de las proyecciones de los otros dos lados sobre él. B c A

a = bcosC + ccosB

a

b

b = acosC + ccosA

a

C

n

c = acosB + bcosA

2 x = _6 7i + _4 i7 - 2_6 7 i_4 7 icos60° x2 = 36 . 7 + 16 . 7 - 48 . 7 . d 1 n 2

4 7

m

C

c = acosB + bcosA

C b

A

m

a c

n

B

Demostración: Dado el triángulo ABC, trazamos BH perpendicular a AC. Not a

m B

En todo triángulo, respecto a sus ángulos se cumple:

En el triángulo AHB: cosA =

c

a

En el triánguo BHC: cosC =

A

c

B

A

b

C

a

m H

1. seno:

sen

sen

B 2 C 2

B 2

^p - bh^p - ch bc

AC = b = 25cos16 + 10cos53° 25

10

=

2. Coseno: A cos = 2 cos

Resolución: Aplicando proyecciones tenemos:

B

=

=

C cos = 2

^p - ah^p - ch ac

A

53°

b

24 16°

tan

tan

A 2 B

=

IV. p^p - ah bc

+ 10

5

& AC = 30

Ley de tangentes

En todo triángulo se cumple que la suma de dos de sus lados es a su diferencia como la tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados es proporcional a la tangente de la semidiferencia de los mismos ángulos. Es decir:

p ^p - b h ac p^p - ch

B

ab

tan d

c

^p - bh^p - ch p^p - ah

a

tan d

A+ C n 2 = a+ c

2 tan d A C

n

n

2 tan d B

b

p^p - bh

A+ B 2

= a+ b a- b tan d A B

A

=

C tan = 2

25

3

b = 24 + 6 = 30

^p - ah^p - ch

2

b = 25

C

^p - ah^p - bh ab

n 3. tangente:

& n= acosC

Ejemplo: Dado el siguiente triángulo calcula AC.

p: semiperímetro p= a+b+c 2

A sen = 2

a

& m = ccosA

Además: b= m+ n & b = ccosA + acosC

C

n

b

c n

C

n

^p - ah^p - bh p^p - ch

a- c

+C 2

tan d B 2 C

= b+c b- c

n

Demostración: Para realizar esta demostración empezaremos recordando la ley de senos y propiedades de proporcionalidad. a = b & a = senA senA senB b senB Luego:

a + b = senA + senB a- b

Aplicamos transformaciones trigonométricas:

66 Intelectum

4.°

senA - senB

a+ b

a- b

2sen d A

= 2 cos d

A+ B

+B . cosd A Bn 2 n 2

A+ B2

n.send A - B

2

= tan d n

A- B

n . cot d

2

n

2

Las demás igualdades se demuestran de forma análoga.

triGonoMetrÍA - teorÍA UniDAD 4

63

t

Problemas resueltos 1

2 En un triángulo ABC, AB = 3; AC = 5 y cos A = 5 . Halla el valor de BC.

Resolución: Del gráfico tenemos:

Resolución:



Por ley de cosenos, tenemos: 2

2

2

(BC) = (AB) + (AC) - 2(AB)(AC)cosA 2

2

2

x = 3 + 5 - 2(3)(5)cosA 2 x = 9 + 25 - 30cosA

B

2 x2 = 34 - 30d n 5 2 x = 34 - 12 = 22

sen40°

x

a

b

=

/

sen80°

a =

sen_+ 40°i

sen80° / b = b = sen40° a sen_+ 40°i a sen sen80° = sen_+ 40°i sen40° & sen

C

5

Del siguiente triángulo:

& sen40° = 2sen40° cos 40° sen sen_+ 40°i

N

sen(a + 40°) = 2senacos40° sen(a + 40°) = sen(a + 40°) + sen(a 40°) sen(a - 40°) = 0 a - 40° = 0°

m

p

M

P

n

` a = 40°

Halla el valor de: k = m n cos P cos N

4

Resolución: Por ley de cosenos tenemos: 2

p = m + n - 2mncosP p2 - m2 - n2 & =ncosP

En un triángulo MNP de lados m, n y p, respectivamente, se cumple: 2 2 2 m + n + p = 16 Calcula: R = npcosM + mpcosN + mncosP

Resolución:

2m 2

2

2

n =m +p 2mpcosN m2 + p2 - n 2 & cosN 2mp =

Por ley de cosenos, tenemos: 2 2 2 m = n + p - 2npcosM

Reemplazamos en “k”.

& npcosM =

k = m - n cos P cos N 2

2

p -m -n k= =

m+

k=

2

2

2 + p2 - m2 2m n2

2

_m + p - n ip

=p

& mpcosN =

2

n2 + p2 m2 2

...(1)

m2 + p2 n2 2

...(2)

2m

2m

2

2

2npcosM = n + p - m

m2 + p2 n2 2mp 2

80°

40°

sen

A

2

 +

Por ley de senos:

3

` x = 22

2

a

40°

b

2

a

b

&k m2 + p 2 - n2

m2 + p2 n 2 2mp

m2 + n2 & mncosP ...(3) p2 2 = Reemplazamos (1), (2) y (3) en R:

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

R=

n +p -m +m +p -n +m +n -p 2

R=

2 2 2 m +n +p = 16 2 2



80°

2

n +p -m m +p -n m +n -p + + 2 2 2

Del gráfico, calcula .

40°

2

R=

` R= 8

2

2

2

2

2

2

5

Del siguiente gráfico:

Reemplazando (2) en (1): x = 2a d 7 n & x = 14 a

B 5 53°

30°

C

7

8

A

Calcula AD, si: B

53°

8



D

A

Halla el valor de BD.

1 D

Resolución:

Resolución:

Sea: AD = x, m+ACD = q = m+BAD

▪ Del gráfico, tenemos:

B

30° x

C



m

5 53° A

8



B

A

C





1 D

x

8

Luego por ley de senos: x = 1 & = sen x sen sen sen

53° D

9 & 9 = sen sen x sen x 9 Igualando: = & x 2 = 9 1 x x = sen

En el triángulo ABC aplicamos ley de proyecciones. m = 5cos53° + 8cos30° 3

3 m = 5d n + 8d n = 3 + 4 5 3

8

2 En el triángulo BCD aplicamos ley de senos. x m sen90°

C 

` x= 3 En un triángulo rectángulo ABC uno de los catetos es igual a la proyección del otro sobre la hipotenusa. Halla el seno del menor ángulo.

=

Resolución:

sen53° x = 3+ 4 3 1

Sea el menor ángulo.

4 5

La proyección de AB sobre la hipotenusa es AP, por dato: AP = BC = a

` x = _15 + 20 3

B

i

4 c

6

En la figura, halla x.



B A

 

7

a

En el

P A



x

Resolución: En el ABC, aplicamos ley de senos:

C

En el

4.°

a

P

APB: a = cos & a = ccos c ABC: a = tan & a = ctan c

Igualamos estas dos expresiones: ccos= ctan & cos= tan

64 Intelectum

a

C

sen

2

2

a_2sencos a x i sen = sen2 & x = sen

cos=

& x = 2acosq (1)

...

sen + sen- 1 = 0 & sen= !

...(2)

Como es agudo & sen=

En el

BPC: cosq = 7 a

cos

& cos = sen & 1 - sen = sen

2

5-1 2

-1

1 - 4 (- 1) 2