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Resolución de problemas del capítulo 3 “Aproximaciones y errores de redondeo” 1. Convierta los números siguientes en base 2 a números en base 10: a) 1011101

26 25 24 23 22 21 20 1

0

1

1

1

0

1 1x1= 1 0x2= 0 1x4= 4 1x8= 8 1x16= 16 0x32= 0 1x64= 64 93

b) 101.101

1𝑥22 + 0𝑥21 + 1𝑥20 . 1𝑥2−1 + 0𝑥2−2 + 1𝑥2−3 4 1 5. 2

1

+0

+ 1.1𝑥 ( )

+0

1 + 8

2

1

1

4

8

+ 0𝑥 ( ) + 1𝑥 ( )

5.0,625 5,625 c) 0.01101

0𝑥20 . 0𝑥2−1 + 1𝑥2−2 + 1𝑥2−3 + 0𝑥2−4 + 1𝑥2−5 1 1 1 1 1 0.0𝑥 ( ) + 1𝑥 ( ) + 1𝑥 ( ) + 0𝑥 ( ) + 1 ( ) 2 4 8 16 32 0.0 + 0,25 + 0,125 + 0 + 0,03125 0.0,40625 0,40625

2. Realice su propio programa con base en la figura 3.9 y úselo para determinar la épsilon de máquina de su computadora.

Según el MATLAB: Abrir el MatLab Click en la Command Window Escribir eps Finalmente se tiene el resultado

3. Evalúe 𝑒 −5 con el uso de dos métodos

𝑒

−𝑥

𝑥2 𝑥3 =1−𝑥+ − +⋯ 2 3!

𝑒 −𝑥 =

1 = 𝑒𝑥

1 𝑥2

𝑥3 1 + 𝑥 + 2 + 3! + ⋯

Y compárelo con el valor verdadero de 6.737947 × 10–3. Utilice 20 términos para evaluar cada serie y calcule los errores relativos aproximado y verdadero como términos que se agregaran. Solución: Estimación 1: 𝑒 −5 = 1 𝜀𝑡 =

6.737947𝑥10−3 − 1 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −14741.315%

Estimación 2: 𝑒 −5 = 1 − (−5) = 6 6.737947𝑥10−3 − 6 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −88947.895% 𝜀𝑎 =

6−1 𝑥100% 6

𝜀𝑎 = 83.333%

Estimación 3: 𝑒 −5 = 1 − (−5) +

(−5)2 = 18.5 2

6.737947𝑥10−3 − 18.5 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −274464.3443%

𝜀𝑎 =

18.5 − 6 𝑥100% 18.5

𝜀𝑎 = 67.56756% Estimación 4: 𝑒 −5 = 1 − (−5) + 𝜀𝑡 =

(−5)2 (−5)3 − = 39.333 2 3!

6.737947𝑥10−3 − 39.333 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −583653.478% 𝜀𝑎 =

39.333 − 18.5 𝑥100% 39.333

𝜀𝑎 = 52.9657%

Estimación 5: 𝑒 −5 = 1 − (−5) +

(−5)2 (−5)3 (−5)4 − + = 65.3744 2 3! 4!

6.737947𝑥10−3 − 39.333 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −970149.5434% 𝜀𝑎 =

65.3749 − 39.333 𝑥100% 65.3749

𝜀𝑎 = 39.8347%

Estimación 6: 𝑒 −5 = 65.3744 −

(−5)5 = 91.4165 5!

6.737947𝑥10−3 − 91.4165 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −1356641.156% 𝜀𝑎 =

91.4165 − 65.3749 𝑥100% 91.4165

𝜀𝑎 = 28.4867%

Estimación 7: 𝑒 −5 = 91.4165 +

(−5)6 = 113.1178 6!

6.737947𝑥10−3 − 113.1178 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −1678717.005% 𝜀𝑎 =

113.1178 − 91.4165 𝑥100% 113.1178

𝜀𝑎 = 19.1846%

Estimación 8: 𝑒 −5 = 113.1178 −

(−5)7 = 128.6187 7!

6.737947𝑥10−3 − 128.6187 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −1908770.758% 𝜀𝑎 =

128.6187 − 113.1178 𝑥100% 128.6187

𝜀𝑎 = 12.0518%

Estimación 9: 𝑒 −5 = 128.6187 +

(−5)8 = 138.3068 8!

6.737947𝑥10−3 − 138.3068 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −2052554.911% 𝜀𝑎 =

138.3068 − 128.6187 𝑥100% 138.3068

𝜀𝑎 = 7.004%

Estimación 10: 𝑒 −5 = 138.3068 −

(−5)9 = 143.689 9!

6.737947𝑥10−3 − 143.689 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −2132433.842% 𝜀𝑎 =

143.689 − 138.3068 𝑥100% 143.689

𝜀𝑎 = 3.7457% Estimación 11: 𝑒 −5 = 143.689 +

(−5)10 = 146.38 10!

6.737947𝑥10−3 − 146.38 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −2172371.823% 𝜀𝑎 =

146.38 − 143.689 𝑥100% 146.38

𝜀𝑎 = 1.8383% Estimación 12: 𝑒

−5

(−5)11 = 146.38 − = 147.603 11!

𝜀𝑡 =

6.737947𝑥10−3 − 147.603 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −2190522.752% 𝜀𝑎 =

147.603 − 146.38 𝑥100% 147.603

𝜀𝑎 = 0.8285% Estimación 13: 𝑒 −5 = 147.603 + 𝜀𝑡 =

(−5)12 = 148.1126 12!

6.737947𝑥10−3 − 148.1126 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −2198085.887% 𝜀𝑎 =

148.1126 − 147.603 𝑥100% 1148.1126

𝜀𝑎 = 0.3440%

Estimación 14: 𝑒 −5 = 148.1126 −

(−5)13 = 148.3086 13!

6.737947𝑥10−3 − 148.3086 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −2200994.785% 𝜀𝑎 =

148.3086 − 148.1126 𝑥100% 1148.1126

𝜀𝑎 = 0.1321%

Estimación 15: 𝑒 −5 = 148.3086 +

(−5)14 = 148.3786 14!

6.737947𝑥10−3 − 148.3786 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −% 𝜀𝑎 =

148.3786 − 148.3086 𝑥100% 148.3786

𝜀𝑎 = 0.0471%

Estimación 16: 𝑒 −5 = 148.3786 − 𝜀𝑡 =

(−5)15 = 148.4019 15!

6.737947𝑥10−3 − 148.4019 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −2202379.479%

𝜀𝑎 =

148.4019 − 148.3786 𝑥100% 148.4019

𝜀𝑎 = 0.0157%

Estimación 17: 𝑒

−5

(−5)16 = 148.4019 + = 148.409 16!

𝜀𝑡 =

6.737947𝑥10−3 − 148.409 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −2202.484% 𝜀𝑎 =

148.409 − 148.4019 𝑥100% 148.409

𝜀𝑎 = 4.784𝑥10−3 %

Estimación 18: 𝑒

−5

(−5)17 = 148.409 − = 148.4111 17!

𝜀𝑡 =

6.737947𝑥10−3 − 148.4111 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −2202516.019% 𝜀𝑎 =

148.4111 − 148.409 𝑥100% 148.4111

𝜀𝑎 = 1.4149𝑥10−3 % Estimación 19: 𝑒 −5 = 148.4111 + 𝜀𝑡 =

(−5)18 = 148.411 18!

6.737947𝑥10−3 − 148.411 𝑥100% 6.737947𝑥10−3

𝜀𝑡 = −2202514.535% 𝜀𝑎 =

148.411 − 148.4111 𝑥100% 148.411

𝜀𝑎 = 6.738𝑥10−5 %

Estimación 20: 𝑒 −5 = 148.411 +

(−5)19 = 148.411 19!

6.737947𝑥10−3 − 148.411 𝜀𝑡 = 𝑥100% 6.737947𝑥10−3 𝜀𝑡 = −2202514.535% 𝜀𝑎 =

148.411 − 148.411 𝑥100% 148.411

𝜀𝑎 = 0%

4.

𝑓(𝑥) =

1

(1−3𝑥 2 )2 X=0,577

𝑓(𝑥) =

1 (1 − 3(0,577)2 )2

𝑓(𝑥) =

1 (1 − 0,998787)2

Usando 3 dígitos: 1 (1 − 0,99)2

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) =

1 0,0001

Usando 3 dígitos: 1 𝑓(𝑥) = 0,00 𝑓(𝑥) =

1 0

El lector llegaría a esto lo cual es una inconsistencia ya que no existe un número que multiplicado por cero nos de 1 Ahora evaluemos con 4 dígitos

𝑓(𝑥) =

1 (1 − 0,9987)2

𝑓(𝑥) =

1 0,00000169

Usando 4 dígitos: 1 𝑓(𝑥) = 0,000 1 𝑓(𝑥) = 0 El lector llegaría a esto lo cual es una inconsistencia ya que no existe un número que multiplicado por cero nos de 1 5. a) y=𝑥 3 − 7𝑥 2 + 8𝑥 + 0.35 Resolviendo aritméticamente con 3 dígitos con corte DATO: x= 1,37

REEMPLAZANDO: Y=0,743

S1= 𝑥 3

S1= 1.373

S2= S1 – 7𝑥 2

S2=1.373 7(1.37)2

S3=S2+8𝑥

S2=1.373 (4,10)

S4=S3+0,35

S3=1.373 (4,10)+ 8(1,37) S3= 1.373 (0,162) S4= 1.373 (0,162) + 0,35

FORMULA: %ERROR= %ERROR=

(𝑆4−𝑌) 𝑌

𝑥 100%

(0,766−0,743) 0,766

S4= 0,766

𝑥 100%

%ERROR= 0,031%

b) y=[(𝑥 − 7)𝑥 + 8]𝑥 + 0.35 Resolviendo aritméticamente con 3 dígitos con corte DATO: x= 1,37 S1= 𝑥 − 7

REEMPLAZANDO: Y=0,743 S1= 1.37 - 7

S2= S1 x

S1= (1,37)(-4,10)

S3=S2+8

S2= (1,37)(-4,10) (1,37)

S4= S3 𝑥

S2= (1.37)2 (−4,10)

S5= S4+0.35

S3= (1.37)2 (−4,10) + 8 S3= (1.37)2 (0,162) S4= 1.372 (0,162) (1,37)

FORMULA: %ERROR= %ERROR=

(𝑆5−𝑌) 𝑌

𝑥 100%

(0,766−0,743) 0,766

𝑥 100%

S4= 1.373 (0,162) S5= 0,766

%ERROR= 0,031% 6. Calcule la memoria de acceso al azar (RAM) en megabytes, que es necesaria para almacenar un arreglo multidimensional de 20 × 40 × 120. Este arreglo es de doble precisión, y cada valor requiere una palabra de 64 bits. Recuerde que una palabra de 64 bits = 8 bytes, y un kilobyte = 210 bytes. Suponga que el índice comienza en 1. 96000 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑠 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 Teniendo en cuenta:

7. Y =𝑥 2 − 5000,002𝑥 + 40 Resolviendo aritméticamente con 5 dígitos con corte DATO: x1= 3,12

REEMPLAZANDO: Y= -15580

S1= 𝑥 2

S1= 3,122

S2= S1 – 5000,002𝑥

S2= 3,122 − 5000,002(3,12)

S3=S2+40

S2= 3,122 (-1601,5) S3= 3,122 (-1601,5) +40 S3= −15579

FORMULA: (𝑆3−𝑌)

%ERROR= %ERROR=

𝑌

𝑥 100%

(−15579−(−15580)) −15580

𝑥 100%

%ERROR= 0,008%

DATO: x2= 3,13

REEMPLAZANDO: Y= -15580

S1= 𝑥 2

S1= 3,132

S2= S1 – 5000,002𝑥

S2= 3,132 − 5000,002(3,13)

S3=S2+40

S2= 3,132 (-1596,4) S3= 3,132 (-1596,4) +40 S3= −15628

FORMULA: %ERROR= %ERROR=

(𝑆3−𝑌) 𝑌

𝑥 100%

(−15628−(−15580)) −15580

%ERROR= 0,014%

𝑥 100%

8. ¿Cómo puede emplearse el épsilon de la máquina para formular un criterio de detención es para sus programas? Dé un ejemplo.

Del ejemplo 3.4 y 3.5 dado por el libro 1 × 21 + 1 × 20 = 3 1 × 2–1 + 0 × 2–2 + 0 × 2–3 = 0.5 +0.5 × 2–3= 0.0625

Aplicaos la fórmula del épsilon E(épsilon) = 2^(1–3) = 0.25

La diferencia de 0.015625 = 0.25 0.0625