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ARITMÉTICA CEPRE UNI

REGLA DE TRES

REGLA DE TRES Es un método de resolución basado en la teoría de magnitudes proporcionales. Los datos y la incógnita pertenecen a magnitudes que pueden ser directamente o inversamente proporcionales. Clases:

Directa Simple Inversa Regla de tres Compuesta

REGLA DE TRES SIMPLE: En este método intervienen solo dos magnitudes, que pueden ser directa o inversamente proporcionales. . a) REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Intervienen dos magnitudes A y B que son directamente proporcionales

A

D.P.

B

a1 . . .

b1

x ...

b2

Determinación de x Como A D.P. B, entonces: Luego

𝒙 𝒃𝟐

=

A = constante. B

𝒂𝟏 𝒃𝟏

→ 𝒙=

𝒂𝟏 . 𝒃𝟐 𝒃𝟏

b) REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Intervienen dos magnitudes A y B que son inversamente proporcionales .

A I.P. B

Determinación de x Como A I.P. B, entonces: Luego

𝑎1 . . . 𝑏1 x … 𝑏2 A x B = Constante

𝒙. 𝒃𝟐 = 𝒂𝟏 . 𝒃𝟏

𝒂𝟏 . 𝒃𝟏 → 𝒙= 𝒃𝟐

REGLA DE TRES COMPUESTA: Esta basado en la propiedad fundamental de las proporciones. Intervienen mas dos magnitudes directa y/o inversamente proporcionales Disposición: Datos Pregunta

A

B

C

D

𝑎1

𝑎2

𝑎3

𝑎4

x

b2

c2

Supongamos que la comparación resultó: A

DP

B (cuando C y D son constantes)

A

IP

C (cuando B y D son constantes)

A

DP

D (cuando B y C son constante)

Luego :

A×C = K B×D

d2

Problema de aplicación: Si 9 obreros pueden cavar una zanja de 120 m de longitud en 20 días. ¿Cuántos obreros 25% mas eficientes se necesitarán, para que en 15 días caven otra zanja doblemente mas dificultosa de 200 m de longitud? OBREROS

TIEMPO

9 obreros x 1 x obreros x 1,5

20 días 15 días

AVANCE DE LA OBRA 120 m 200 m

𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒍𝒍𝒍 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎

DIFICULTAD

(𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑫𝑫 𝑳𝑳 𝑶𝑶𝑶𝑶) . (𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫) =𝑲 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 (𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬)(𝒏𝒏 𝑫𝑫𝑫𝑫) (𝟏𝟏𝟏) . (𝟏) (𝟐𝟐𝟐) . (𝟐) = 𝟗 (𝟏)(𝟐𝟐) 𝒙 (𝟏, 𝟐𝟐)(𝟏𝟏) 𝒙= 32 obreros

1 2

Problemas ilustrativos

1. Una ama de casa compra 5 kg de azúcar, si 2 kg cuestan 5,60 soles, ¿cuánto pagará la señora? RESOLUCIÓN

masa 2 kg 5 kg

La masa de azúcar es DP al costo, luego 𝟓 𝑿

=

𝟐 𝟓,𝟔𝟔

→ 𝑿 = 14 soles

Costo 5,60 x 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪

=𝑲

2. Un acróbata utiliza una bicicleta cuyas ruedas tiene 3 y 5 metros de perímetro, una de ellas da 120 vueltas más que la otra. ¿Cuantas vueltas dará la rueda de mayor longitud? RESOLUCIÓN La rueda que da más vueltas es la que tiene menor longitud de arco LONGITUD

N° DE VUELTAS

3 M etros

x+120

5 M etros

x

La longitud de arco es IP al número de vueltas, luego 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 . 𝐍° 𝐃𝐃 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 = 𝑲 𝟑. 𝑿 + 𝟏𝟏𝟏 = 𝟓 𝑿

→ 𝑿 = 180 metros.

3. Dos personas A y B han hecho dos obras distintas empleando el mismo tiempo de t horas. Si A hace la obra de B, demora 25 horas, mientras que si B hace la obra de A demora 64 horas. Determinar el valor de t. RESOLUCIÓN Sea e la eficiencia de cada obrero y t el tiempo en que acabarían la obra

A

t

B

eB tB=64 h

eA. tA=25 h

t

La eficiencia de cada obrero IP al tiempo en que acabarían la obra, Luego

𝒆 .𝒕 = 𝑲

𝒆𝑨 . 𝒕 = 𝒆𝑩. 𝟔𝟔 𝒆𝑩 . 𝒕 = 𝒆𝑨. 𝟐𝟐

Resolviendo 𝒕 = 𝟓 𝒙 𝟖 = 𝟒𝟒 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉

4. Un acróbata utiliza una bicicleta cuyas ruedas tiene 3 y 5 metros de perímetro, una de ellas en 10 segundos da 120 vueltas más que la otra. Si el alambre en que se moviliza ubicado a cierta altura tiene una longitud de 100 metros, ¿qué tiempo en segundos tarda en ir y volver 13 veces por el alambre? RESOLUCIÓN La rueda que da más vueltas es la que tiene menor longitud de arco LONGITUD

N° DE VUELTAS

3 M etros

x+120

5 M etros

x

La longitud de arco es IP al costo, luego 𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳𝑳 . 𝐍° 𝐃𝐃 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 = 𝑲 𝟑. 𝑿 + 𝟏𝟏𝟏 = 𝟓 𝑿

→ 𝑿 = 180 metros.

𝟏𝟏𝟏 𝒙 𝟓𝟓 … … … … 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 … … … … 𝒕

𝟖 𝟗

Resolviendo 𝒕 = 𝟐𝟐 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔

5. Un grupo de 21 obreros han hecho en 12 días, de 8 horas diarias, una obra de 360 m3. ¿Cuántos metros cúbicos harán otro grupo de 40 obreros, 20% más eficientes que los anteriores en 7 días trabajando 10 horas diarias? RESOLUCIÓN OBREROS

TIEMPO

N° horas/diarias

AVANCE DE LA OBRA

21 obreros x 1

12 días

8 h/d

360 m3

40 obreros x 1,2

7 días

10 h/d

x

(𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑫𝑫 𝑳𝑳 𝑶𝑶𝑶𝑶) =𝑲 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 (𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬)(𝐍° 𝐡𝐡𝐡𝐡𝐡/𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝)(𝒏𝒏 𝑫𝑫𝑫𝑫)

(𝟑𝟑𝟑) (𝒙) = 𝟐𝟐 (𝟏)(𝟖)(𝟏𝟏) 𝟒𝟒 (𝟏, 𝟐)(𝟏𝟏)(𝟕)

𝒙 = 𝟔𝟔𝟔 𝒎𝟑