4. Linii Importante In Triunghi.pdf

4. LINII IMPORTANTE ˆIN TRIUNGHI 1. Bisectoarea ˆın triunghi. Centrul cercului ˆınscris ˆın triunghi Definit¸ie. Prin bisectoare ˆıntr-un triunghi ˆınt¸elegem bisectoarea unui unghi al triunghiului. Tot bisectoare ˆın triunghi numim ¸si segmentul determinat de un vˆarf ¸si piciorul bisectoarei care pleac˘a din acel vˆarf. Fiind dat triunghiul ABC, se noteaz˘a cu la , lb ¸si lc lungimile bisectoarelor din A, B ¸si respectiv din C. Teorem˘ a. Bisectoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersect¸ie se noteaz˘a, de obicei, cu I ¸si se nume¸ste centrul cercului ˆınscris ˆın triunghi. Distant¸a de la I la oricare dintre laturile triunghiului se noteaz˘a cu r ¸si se nume¸ste raza cercului ˆınscris ˆın triunghi. Teorem˘ a. Fiind dat triunghiul ABC, avˆand lungimile laturilor BC “ a, CA “c b ¸si AB “ c, atunci A A ppp ´ aq 2bc ¨ cos , unde cos “ . lungimea bisectoarei din A este dat˘a de formula la “ b`c 2 2 bc

2. Mediatoarea ˆın triunghi. Centrul cercului circumscris triunghiului Definit¸ie. Prin mediatoare ˆıntr-un triunghi ˆınt¸elegem mediatoarea unei laturi a triunghiului. Teorem˘ a. Mediatoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersect¸ie se noteaz˘a, de obicei, cu O ¸si se nume¸ste centrul cercului circumscris triunghiului. Distant¸a de la O la oricare dintre vˆarfurile triunghiului se noteaz˘a cu R ¸si se nume¸ste raza cercului circumscris triunghiului. Observat¸ie. ‚ Centrul cercului circumscris unui triunghi ascut¸itunghic se afl˘a ˆın interiorul triunghiului. ‚ Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic se afl˘a ˆın mijlocul ipotenuzei. ‚ Centrul cercului circumscris unui triunghi obtuzunghic se afl˘a ˆın exteriorul triunghiului.

Teorie pentru clasa a IX-a Geometrie ¸si trigonometrie: 4. Linii importante ˆın triunghi

´1´

Profesor Marius Damian, Br˘ aila

3. ˆIn˘ alt¸imea ˆın triunghi. Ortocentrul triunghiului Definit¸ie. Prin ˆın˘alt¸ime ˆıntr-un triunghi ˆınt¸elegem segmentul care une¸ste un vˆarf al triunghiului cu piciorul perpendicularei coborˆate din acel vˆarf pe dreapta-suport a laturii opuse. Fiind dat triunghiul ABC, se noteaz˘a cu ha , hb ¸si hc lungimile ˆın˘alt¸imilor din A, B ¸si respectiv din C. Teorem˘ a. ˆIn˘alt¸imile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersect¸ie se noteaz˘a, de obicei, cu H ¸si se nume¸ste ortocentrul triunghiului. Observat¸ie. ‚ Ortocentrul unui triunghi ascut¸itunghic se afl˘a ˆın interiorul triunghiului. ‚ Ortocentrul unui triunghi dreptunghic se afl˘a ˆın vˆarful unghiului drept. ‚ Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se afl˘a ˆın exteriorul triunghiului.

4. Mediana ˆın triunghi. Centrul de greutate al triunghiului Definit¸ie. Prin median˘a ˆıntr-un triunghi ˆınt¸elegem segmentul care une¸ste un vˆarf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vˆarf. Teorem˘ a. Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersect¸ie se noteaz˘a, de obicei, cu G ¸si se nume¸ste centrul de greutate al triunghiului. Centrul de greutate al unui triunghi se afl˘a, pe fiecare median˘a, la o treime de baz˘a ¸si dou˘a treimi de vˆarf, adic˘a, pentru 4ABC cu medianele GM GN GP 1 rAM s, rBN s ¸si rCP s, avem “ “ “ . GA GB GC 2 Teorem˘ a. Fiind dat triunghiul ABC, avˆand lungimile laturilor BC “ a, CA “ b ¸si AB “ c, atunci 2pb2 ` c2 q ´ a2 lungimea medianei din A este dat˘a de formula m2a “ . 4

Teorie pentru clasa a IX-a Geometrie ¸si trigonometrie: 4. Linii importante ˆın triunghi

´2´

Profesor Marius Damian, Br˘ aila