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ière 1

Partie: VIBRATIONS

Chapitre 5: Mouvement à plusieurs degrés de liberté Dr Fouad BOUKLI HACENE EPST TLEMCEN ANNÉE 2015-2016

Objectifs: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Les équations différentielles d’un mouvement couplé Les différentes solutions du problème La notion des modes propres Le phénomène du Battement Le mouvement forcé à plusieurs degrés de liberté Notions de « Résonance et Antirésonance » Quelques Applications



Définitions:

 On définit les systèmes à plusieurs degrés de liberté par les systèmes qui nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes.  Le nombre de degré de liberté

Détermine le nombre des équations différentielles

 Les modes propres du mouvement.

 Il existe deux types de systèmes :

Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés: comme le montre la figure 1.5:

Figure 1.5 : Mouvement oscillatoire non couplé à deux degrés de liberté

 On considère des petites oscillations devant la longueur du ressort,  Il existe deux degrés de liberté : x1 , x 2  Le Lagrangien du système s’écrit alors: 2

2 1 1 L   mi xi2   ki xi2 2 i 1 i 1 2

 Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés: Le système différentiel s’exprime alors:  d L L  0   dt x1 x1  d L L   0    dt x2 x2



 m1x1  k1 x1  0  m2 x2  k 2 x2  0

 On obtient un système différentiel découplé qui s’exprime comme suit: 2  k1 2 k1  x1  01x1  0 2 avec 01  ,02   2 m1 m1  x2  02 x2  0

 Les deux solutions des sous-systèmes sont indépendantes de la forme:  x1 ( t )  A cos( 01t  1 )   x2 ( t )  B cos( 02t   2 )

 Pour un système forcé, on a le modèle représenté dans la figure 2.5 comme suit:  Les équations différentielles du système sont données comme suit:

 mx1  x1  kx1  F1 (t )  mx2  x2  kx2  F2 (t )

Figure 2.5 : Mouvement Forcé non couplé à deux degrés de liberté

 Système complexe : C’est un système constitué par plusieurs sous-systèmes couplés comme le montre la figure 3.5:

Figure 3.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté

 Le Lagrangien du système s’écrit comme suit: 2

1 1 1 2 2 2 L( x1 , x2 , x1 , x2 )   mi xi  k ( x1  x2 )   ki xi2 2 2 i1 i 1 2

 Le système différentiel s’écrit: d L L ( ) 0  dt x1 x1 d L L ( ) 0 dt x 2 x 2

 m x  ( k 1  k )x1  kx 2  0  1 1 m2 x2  ( k 2  k )x 2  kx 1  0

 Les pulsations propres : On considère les solutions du système de types sinusoïdales  x1 ( t )  Ae j (  pt  )  j (  p t  ) x ( t )  Be  2

o En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant : 2  ( m1 p  k1  k ) A  kB  0  2 (  m   2 p  k 2  k )B  kA  0 

o Le système admet des solutions non nulles si seulement si:

det  0 D’où :

 m1 2p  k  k1 k

k 

m2 2p

 k2  k

o L’équation paramétrique s’écrit

 4p  ( 12  22 ) 2p  1222 ( 1  K 2 )  0

0

o On définit les constantes suivantes comme suit: k1   m1 2 1

k2   m2 2 2

et

k2 K  (k1  k )(k 2  k ) 2

Ou K est appelée le coefficient du couplage, o Les deux pulsations propres sont :  2 12  22 1 2 2 2 2 2 2    (    )  4 K   1 2 1 2   1p 2 2  2 2    1 2 2 2 2 2 2 2 1 2  2 p   (    )  4 K   1 2 1 2  2 2 

o La solution générale su système s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres, comme suit :  x1 (t )  A1 cos(1 p t  1 )  A2 cos(2 p t   2 )   x2 (t )  B1 cos(1 p t  1 )  B2 cos(2 p t   2 )

o Il existe 6 constantes à déterminer:

A1 , 1 , A2 ,  2 , B1 , B2 o Afin de simplifier le nombre d’inconnu; On détermine les rapports d’amplitudes aux modes propres:

 p  1 p , A1 / A2   p  2 p , B1 / B2

 Il existe plusieurs types de couplage:

Figure 4.5 : Couplage équivalent, Résistance-Force de frottement

Figure 5.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort

Battements : On étudie le couplage de deux systèmes mécaniques identiques représentés dans la figure 6,5 comme suit:

Figure 6.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux sous-systèmes identiques

 Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit:  mx1  2kx1  kx2  0  mx2  2kx2  kx1  0

 Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :  x1 ( t )  Ae j (  pt  )  j (  p t  ) x ( t )  Be  2

 En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant : 2  (m p  2k ) A  kB  0  2 (  m   p  2k ) B  kA  0 

 Le système admet des solutions non nulles si seulement si: det  0

D’où:

 m 2p  2k k

k 

m 2p

 2k

0

 Alors on obtient l’équation paramétrique suivante : ( m 2p  2k )2  k 2  0

 Après calcul, on obtient les deux pulsations propres :

k  2  1 p  m  k 22 p  3 m 

 Les solutions générales sont de la forme suivante:  x1 (t )  A1 cos(1 p t  1 )  A2 cos(2 p t   2 )   x2 (t )  B1 cos(1 p t  1 )  B2 cos(2 p t   2 )

 On étudie les rapports d’amplitude pour chaque mode propre ; On a ainsi:  Pour:  p  1 p 

k m

(m12p  2k ) A1  kB1  0

 A1  B1  A

Figure 7.5 : Etat du système pour le premier mode. « En phase »

 Pour:  p  2 p

k  3 m

(m22p  2k ) A2  kB2  0

 A2   B2  B

Figure 8.5 : Etat du système pour le deuxième mode. « En opposition de phase »

 Les solutions générales deviennent alors:  x1 (t )  A cos(1 p t  1 )  B cos(2 p t   2 )   x2 (t )  A cos(1 pt  1 )  B cos(2 p t   2 )

 On peut réécrire les solutions générales sous la forme matricielle:  x1 (t )  1 1  A cos(1 p t  1 )         B cos(  t   ) x ( t ) 1  1 2 p 2  2            P V Avec:

 V : représente le vecteur des modes propres

P :représente la matrice de passage

 En appliquant les conditions initiales suivantes :  x1 (t )  C   x2 (t )  0

x1 (t )  0 x2 (t )  0

 On obtient les quatre équations:  A cos 1  B cos  2  C   A cos 1  B cos  2  0

 A1 p sin 1  B2 p sin  2  0  A1 p sin 1  B2 p sin  2  0

 On somme et on soustrait les deux membres de chaque équation ; on aura :  2 A cos 1  C  2 B cos  2  C

D’où :

 sin 1  0    sin  2  0  

C 2 cos 1 C B 2 cos  2

 2 A1 p sin 1  0  2 B2 p sin  2  0

A



       1 2 2 

et

AB

C 2

 Alors la solution générale s’écrit comme suit:

 

C  x ( t )  cos 1 p t  B cos 2 p t  1 2  C  x2 (t )  cos 1 p t  B cos 2 p t 2 

 



 1 p t  2 p 1 p t  2 p   x ( t )  C cos t cos t  1  2 2      x (t )  C sin 1 p t  2 p t sin 1 p t  2 p t  2    2 2   

 On pose les constantes suivantes:

 

1 p t  2 p 2

et  

1 p t  2 p 2

 x1 (t )  Ccos t cos t    x2 (t )  Csin t sin t 

 Alors les amplitudes s’expriment comme suit:

 On constate que l’amplitude est modulée.  Ce phénomène est appelé les battements ; Figure 9.5 : Phénomène les battements Où « Modulation d’amplitude »

Mouvement oscillatoire forcé à deux degrés de liberté:  On applique une force extérieure de forme sinusoïdale au premier sous système qui s’exprime comme suit:



F (t )  Re F0 e jt



 Les équations différentielles du mouvement s’écrivent comme suit : d L L ( )  F (t ) dt x1 x1 d L L ( ) 0 dt x 2 x2



mx1  2kx1  kx2  F (t )  Re F0 e jt  mx2  2kx2  kx1  0 



 Les solutions particulières sont de la forme:

j ( t  )  x ( t )  x ( t )  Ae  1 1p  j ( t  ) x ( t )  x ( t )  Be  2p  2

 On obtient un système linéaire forcé suivant :

~ ~ 2  (  m   2 k ) A  k B  F0  ~  ~ 2 (  m   2 k ) B  k A 0   ~ ~ Avec A  Ae j B  B e j

 les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :  F0 k F0 k 2  2 (    ) 0  m   2 k A  m m  2 2 2 2  (  1 p )(  22 p )  m  2k k  k  m 2  2k    m 2  2k F0  F0 k  2 k 0 m  B  2 ( 2  12p )( 2  22 p )  m  2k k  2   k  m   2k 

 On obtient deux phénomènes:  La résonance

A   quand  B  

 Anti résonance

A0  quand  B  cons tan te

  1 p

  2 p

k  m

La figure 10.5 illustre bien les phénomènes de résonance et d’antirésonance

Figure 10.5 : Phénomène de résonance et d’anti-résonnance à deux degrés de liberté

 Application:  En appliquant la force de frottement au système à deux degrés de liberté ; on éliminera les singularités au niveau des modes propres.

 c’est l’une des applications les plus intéressantes en régime forcé. on peut citer comme exemple ; l’amortisseur de FRAHM

Le modèle mécanique est donné comme suit

figure 11.5 : Modèle mécanique de l’amortisseur de FRAHM

 Les nouvelles équations différentielles du mouvement: d L L ( )   Fext dt x1 x1 i d L L ( ) 0 dt x2 x2



mx1  (k  K ) x1  Kx2  F (t )  x1  Mx2  Kx2  Kx1  0 

mx1  x1  (k  K ) x1  Kx2  F0 cos t  Mx2  Kx2  Kx1  0   En régime permanent, En remplaçant la forme des solutions particulières:

x1 p (t )  Ae i (t  )

et

x2 p (t )  Be i (t  )

 En remplaçant dans le système différentiel, on obtient un système linéaire comme suit:





2 ˆ   m   p  (k  K )  i A  KB  F0  2 ˆ ˆ 0  K A   M   K B  p 





 Les modules d’amplitudes des solutions particulières s’écrivent alors comme suit: K  2    ˆ F0 M A  K K k  K m  4 2 k  K 2      (  )   i  (   )    m M M m m M   F K   0 m M  Bˆ   K K k  K  4 2 k  K 2     (  )   i  (   )    m M M m m M 

 La masse m est immobile lorsque la pulsation de la force extérieure est égale à :

a

2

K  M

 D’où l’amplitude A est nulle dans ce cas.

 Dans ces conditions, un tel dispositif est appelé Un étouffeur dynamique de vibrations

 La figure illustre les phénomènes de résonance et d’antirésonance

Figure 42.5 : Phénomène de résonnance et d’antirésonance

Figure 12.5. : Application technique de l’amortisseur de FRAHM où l’Etouffeur dynamique

 Il est efficace pour une bande de fréquence très réduite.

 En effet ; la masse m doit être plus faible que la masse M qui doit être amortie

 On peut citer d’autres exemples d’applications : l’oscillation des véhicules

Pour 3 degrés de liberté:

On a le système mécanique à trois degrés de liberté couplé comme suit:

Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté  Pour l’énergie cinétique on a :

1 1 1 2 2 Ec  m1 xi1  m2 x2  m3 x32 2 2 2

L’énergie potentielle est Calculée comme suit:

1 1 2 E p  k( x1  x2 )  k( x2  x3 )2 2 2

 Le Lagrangien s’exprime alors: 3

1 2     L( x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 )   mi xi  i 1 2 1 1 2  k ( x1  x2 )  k ( x2  x3 ) 2 2 2  A partir du modèle de Lagrange, le système différentiel s’écrit comme suit : d L L ( ) 0 dt x1 x1 d L L ( ) 0 dt x 2 x 2 d L L ( ) 0 dt x 3 x3

mx1  kx 1  kx 2  0    2 mx2  2 kx 2  kx 1  kx 3  0  mx3  kx 3  kx 2  0 

On obtient un système différentiel couplé à trois inconnus, On considère les solutions du système de type sinusoïdales;  x ( t )  Ae j(  pt  ) 1   j (  pt  ) x ( t )  Be  2  x ( t )  Ce j(  pt  )   3

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :

 ( m 2p  k ) A  kB  0  2 (  2 m   p  2 k )B  kA  kC  0  ( m 2p  k )C  kB  0 

On peut réécrire le système linéaire sous la forme matricielle:

  m p2  k  k   0 

 A   0  0     2  2m p  2k ) k  B    0  k  m p2  k  C   0  k

 Le système admet des solutions non nulles si seulement si

det  0  On obtient l’équation paramétrique suivante: 2 ( m p

k

2 )[( m p

 k ) k ] 0 2

2

 Donc les pulsations propres sont déterminés comme suit:

k  2  1 p  m  2  2 p  0  2 2k 3 p  m 

 Ainsi les solutions générales s’écrivent en fonction propres comme suit

des modes

 x1 (t )   A cos(t   )       x2 (t )   . B cos(t   )   x (t )  P  C cos(t   )   3    Où P est la matrice de passage qui relie les solutions générales en fonction des modes propres,

 Les éléments de la matrice de passage sont les composantes des vecteurs propres associés à chaque mode propres,

k  Pour le premier vecteur propre associé à la valeur propre:   m  2 2 1p

Est:

V1

 (m1 p  k ) A1  kB1  0C1  0  2 (  2 m   1 p  2k ) B1  kA1  kC1 0  0 A  (m 2  k )C  kB  0 1p 1 1  1

 B1  0   A1  C 1  B 0  1

1   V1  0   1  

 Pour le deuxième vecteur propre associé à la valeur propre: 2 p  0 2

Est:

 V2

 (m22 p  k ) A2  kB2  0C2  0  2 (  2 m   2 p  2k ) B2  kA2  kC 2  0  0 A  (m 2  k )C  kB  0 2 2p 2 2 

 A2  B2    B C 2  2

1   V2 1 1  

 Pour le troisième vecteur propre associé à la valeur propre: 

Est:

 V3

 (m32p  k ) A3  kB3  0C3  0  2 (  2 m   3 p  2k ) B3  kA3  kC 3  0  0 A  (m 2  k )C  kB  0 3 3p 3 3 

 A3   B3    B  C 3  3

1   V2   1 1  

2 3p

2k  m

 La matrice de passage s’écrit alors :

   V1 V2 V3

   1 1 1   P   0 1  1  1 1 1     La solution générale s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire des modes propres comme suit :

x1 (t )  A cos(t   )  B cos(t   )   x2 (t )  B cos(t   )  C cos(t   )   x (t )   A cos(t   ))  B cos(t   )  C cos(t   )  3

 Couplage mutuel: Soient deux circuits identiques de résistances négligeables, figure 14.5. Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de couplage:

M k Lind

Figure 48.5 : Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C

 Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2,

 Les deux équations différentielles du système s’écrivent:  Circuit 1   Circuit 2  

q1  Lind Cap q2  Lind Cap

 

di1 di2 M 0 dt dt di2 di1 M 0 dt dt

 En introduisant M k  le couplage: Lind

 Circuit1   Circuit 2

 

02

1  Lind C ap

1   02 q1  kq 2  0 q 2   02 q 2  kq 1  0 q

 On obtient un système différentiel couplé

 En posant les nouvelles variables généralisées:

 S ( t )  q1( t )  q2 ( t )  D( t )  q1( t )  q2 ( t )  On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :   02 S 0  S  1 k  2    0 D  0 D  1 k  Il existe deux pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit:  

 

0

1 k

et

  

0

1 k

 Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t): k0  q ( t )  q cos t cos 0 t 1  1 0

2

 k0  q2 ( t )  q10 sin t sin 0 t 2 

Avec  

 La nature du mouvement : les battements

Figure 50.5 : Phénomène : les battements où « Modulation d’amplitude »

k0 2

 Ce qu’il faut retenir!  Les systèmes à plusieurs degrés de liberté nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes  Le nombre de degré de liberté détermine le nombre des équations différentielles ainsi que les modes propres du mouvement.  Il existe deux types de systèmes:  Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés Les Solutions sont découplées  Systèmes couplés par plusieurs sous systèmes Les Solutions sont une combinaison par plusieurs modes propres

 Les Battements sont régis par deux mouvements oscillatoires harmoniques de même direction se superposent,

 si les fréquences sont proches, la vibration résultante est un mouvement oscillatoire non harmonique, dont l'amplitude varie périodiquement dans le temps

 Le phénomène de résonance se manifeste lorsque la réponse d'un système est au maximum à excitation constante  Le phénomène d’Antirésonance se manifeste lorsque la réponse d'un système est au minimum à excitation constante