7- Teoria Dos Erros

TEORIA DOS ERROS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

PROFESSOR MAURÍCIO CARDOSO

Quando uma grandeza física experimental x é determinada a partir de medição o resultado é uma aproximação para o valor verdadeiro da grandeza. O objetivo da teoria dos erros nos permite obter: a) O melhor valor para a grandeza específica submetida à medição a partir dos dados experimentais disponíveis. Isto significa determinar a melhor aproximação possível para o valor verdadeiro em termos estatísticos. b) A incerteza no valor obtido, o que significa determinar em termos estatísticos o grau de precisão e confiança na medida da grandeza física.

Erros Estatísticos e Erros Sistemáticos Geralmente, ocorrem erros de vários tipos numa mesma medição. Estes erros podem ser agrupados em dois grandes grupos que são: os erros sistemáticos e erros estatísticos (ou aleatórios). Os erros estatísticos resultam de variações aleatórias nas medições, provenientes de fatores que não podem ser controlados ou que, por algum motivo, não foram controlados. Por exemplo, na medição de massa com uma balança, correntes de ar ou vibrações (fatores aleatórios) podem introduzir erros estatísticos na mediação. Os erros sistemáticos afetam igualmente todos as n medições xi. Isto é, o conjunto completo das n medições xi apresenta-se igualmente deslocada com relação ao valor verdadeiro. Os erros sistemáticos podem ser de vários tipos:

I.

Erro sistemático instrumental: Relativo à calibração do instrumento de medição. II. Erro sistemático ambiental: Erro devido a efeitos do ambiente a experiência. Fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade, luminosidade e outros podem introduzir erros no resultado de medição. III. Erro sistemático observacional: Erro devido a pequenas falhas de procedimentos ou limitações do observador. Por exemplo, o efeito de paralaxe na leitura de escalas de instrumentos. • Paralaxe: deslocamento aparente de um objeto quando se muda o pondo de observação.

Incerteza Padrão Final Ao se realizar um processo de medição, o ideal é que o instrumento de medida esteja devidamente calibrado e que tenha uma sensibilidade suficiente para permitir a observação de flutuações estatísticas. Alguns erros sistemáticos podem ser corrigidos e, com isso, melhorar os resultados finais da medição. Erros sistemáticos para os quais não é possível fazer correções são chamados Erros Sistemáticos Residuais e as incertezas correspondentes são denominadas Incertezas Sistemáticas Residuais.

As medidas na tabela abaixo foram realizadas utilizando-se de uma régua milimetrada. As medidas se referem ao comprimento de uma lanterna. Determine a medida média, acompanhada da incerteza padrão. 𝑳𝒊 (𝒎𝒎) (𝑳𝒊 − 𝑳ത ) 95,5 95,3 96,0 95,7 95,9

𝑳𝒊 − 𝑳ത

𝟐

Em primeiro lugar vamos calcular o coeficiente de incerteza sistemática residual (𝜎𝑠) 𝜎𝑠 =

1𝑚𝑚 2

= 0,5 𝑚𝑚

𝑳𝒊 (𝒎𝒎) (𝑳𝒊 − 𝑳ത )

𝑳𝒊 − 𝑳ത

𝟐

95,0

95,5 96,1 95,7 95,4

Média Aritmética ΣLi = 478,74mm ഥ = σ Li = 478,4 = 95,68 mm Li n

5

𝑳𝒊 (𝒎𝒎)

(𝑳𝒊 − 𝑳ത )

95,0

95,0 – 95,68 = -0,68

−0,68

2

= 0,4624

95,5

95,5 – 95,68 = -0,18

−0,18

2

= 0,0324

96,1

96,1 – 95,68 = 0,42

0,42

2

= 0,1764

95,7

95,7 – 95,68 = 0,02

0,02

2

= 0,0004

95,4

95,4 – 95,68 = -0,28

−0,28

𝑳𝒊 − 𝑳ത

Desvio Padrão Médio Σ(𝐿𝑖 − 𝐿ത )2 = 0,75 mm 𝜎𝑚 =

σ(𝐿𝑖−𝐿ത )2 𝑛(𝑛−1)

=

0,75 5(5−1)

= 0,1936mm

2

𝟐

= 0,0784

Incerteza Padrão Final 𝜎𝑝 = 𝜎 2 𝑠 + 𝜎 2 𝑚 𝜎𝑠 = 0,5 𝑚𝑚 𝜎𝑚 = 0,1936 𝑚𝑚

𝜎𝑝 =

(0,5)2 +(0,1936)2 = 0,5362𝑚𝑚

L = Lത ± σp ⇒ L = (95,4± 0,5) mm

Um metalúrgico realizou uma série de medidas do diâmetro de um cilindro metálico utilizando um paquímetro com a mesma precisão do paquímetro da figura. Tendo como base as medias da tabela, represente o diâmetro médio do cilindro, acompanhado da incerteza padrão. 𝑳𝒊 (𝒎𝒎)

24,55 24,50

25,01 0,05 mm incerteza do instrumento

24,36 24,50

(𝑳𝒊 − 𝑳ത )

𝑳𝒊 − 𝑳ത

𝟐

𝑳𝒊 (𝒎𝒎)

(𝑳𝒊 − 𝑳ത )

𝑳𝒊 − 𝑳ത

𝟐

24,55

-0,03

0,0009

24,50

-0,08

0,0064

25,01

0,43

0,1849

24,36

-0,22

0,0484

24,50

-0,08

0,0064

Média Aritmética ΣLi = 122,92 mm ഥ = σ Li = 122,92 = 24,58 mm Li n

5

Desvio Padrão Médio Σ(𝐿𝑖 − 𝐿ത )2 = 0,2470 𝜎𝑚 =

σ(𝐿𝑖−𝐿ത )2 𝑛(𝑛−1)

=

0,2470 5(5−1)

= 0,1111mm

Incerteza Padrão Final 𝜎𝑝 = 𝜎 2 𝑠 + 𝜎 2 𝑚 ⇒ 𝜎𝑝 =

(0,05)2 +(0,1111)2 ⇒ 𝜎𝑝 = 0,1218

L = Lത ± σp ⇒ L = (24,58± 0,12) mm