Algebra Charles Lehmann

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C H A R L E S H. L E H M A N N Profeso* adjunto de Matemáticas, *Illc ^°°Per Union School of En¿incer¡ng

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-w i l e y , s . a

1 Concej )tos funt lamen tales 1.1. IN T R O D U C C IO N El estudian!'' qxie inicia un curso de álgebra en I.» universidad, ha estudiado anteriormente uno o dos cursos de álgebra elemental, rn los que se dio la mayor importancia a la mecanización de las Operaciones algebraica-» y a la obtención correcta de las soluciones. Poca o ninguna atención se puso entonce» en los fundamentos, estructura y natumleza del álgebra; es por esto que ni propósito de este capitulo rs considerar algunos tic esto» conceptos fundamentales del álgebra. En los artículos siguientes se da una exposición elemental de las ca­ racterísticas particulares del álgebra y de los fundamentos sobre los que descansa esta materia. Este estudio deberá ser. por necesidad, breve, pues un estudio detallado de la estructura del álgebra, sobre* una base lógica y rigurosa, realmente pertenece a tratados superiores. En el estudio de los conceptos fundamentales el lector necesitará utilizar sus conocimien­ tos previos de álgebra elemental.

1.2. LO S FU N D A M EN TO S D E L A L G E B R A Cada una de las diferentes ramas de las n ^temáticas tiene una estruc­ tura lógica construida a partir de ciertas proposiciones fundamentales conocidas como postulados. El estudiante ya ha visto un ejemplo de esto al estudiar la geometría elemental. Allí se deducen, en forma de teore­ mas, las propiedades de las figuras geométricas, tomando como pumo de partida ciertos conceptos primitivos elementales f introducidos sin defi­ nición), definiciones y postulados, siendo cada teorema una consecuencia lógica de uno o más de los teoremas precedentes o de los postulados. Análogamente, los fundamentos del álgebra descansan, como vamos a ver, en ciertos postulados fundamentales, conceptos primitivos y defi­ niciones. I

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Conceptos fundamentales

E l punto de partida de una determinada rama de las matemáticas está asociado con el significado de derlas palabras o expresiones básicas. Una palabra se d efin e describiéndola en términos de otras palabras que - a su vez son capaces de descripción posterior o bien son aceptadas como conocidas. Es evidente que este proceso nos conducirá a una palabra o palabras para las cuales no hay definición. Se hace entonces necesario suponer que tales palabras poseen significados que acordamos aceptar sin definición formal. Es en este momento cuando se establece la base para una ciencia deductiva tal como lo es el álgebra. Y a que no hay restricciones al empezar, estamos en completa libertad para escoger los términos que vamos a aceptar sin definición. Es natural, y es lo acostumbrado, restringir tal selección a los conceptos más senci­ llos y fundamentales y que, además, no conduzcan posteriormente a con­ tradicciones. El estudiante podrá recordar que su prim era experiencia con la aritmética fue contar el número de objetos de un conjunto, y que para este propósito se usaron ciertos símbolos designados por 1. 2, 3 , 4 , . . . t y llamados números naturales. Nosotros daremos a tales números el nombre de rateros y positivos. postulado 1. Admitimos la existencia de los números enteros y p o­ sitivos, los cuales se emplean al contar el número de objetos de un con­ junto y que se designan por ios símbolos I , 2, 3, 4 . . .

El siguiente paso en la experiencia del estudiante con la aritmética consistió en la determinación del número total de objetos al reunir do» o más conjuntos de objetos. Esto requirió la operación llamada adición. Kn particular, pura la determinación de! núm ero total de objetos en dos o más conjuntos del mism o núm ero de elem entos, se rmpleó la operación llamada m ultiplicación. Estas dos operaciones fundamentales conducen al postulado siguiente: p o s t u l a d o 2. Existen dos operaciones con los números enteros y po­ sitivos, llamadas adición y m ultiplicación, y designada* por medio de los slniltolos I y X respectivamente.

Tornando estos dos postulados como punto de partida es posible crear todo el sistema de números utilizado ri» el álgebra, tal como se bosqueja en el articulo siguiente. 1.3. S IS T E M A S D E N U M E R O S U SA D O S EN A LG EBRA Si can loa números entero» y |*>*itivos se efectúan los operaciones de ndirión y multiplicación los resultados obtenidos son también números

Sistema» de número» en Algebra

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enteros y positivos. Evidentemente, las dos postulados fundamentales del álgebra (Art. 1.2) restringen todo cálculo a los números enteros y positi­ vos y a las dos operaciones de adición y multiplii ación. Para quitar esta restricción, y satisfacer la necesidad de disponer de otro» números, como los números m*gntivos y las fraccionarios, se hace nccesnrio introducir otros conceptos. En su» c ursos de álgebra elemental el estudiante aprendió a utilizar letras para representar números. Según esto representemos por a y b a dos números «•uleros y positivos dados, los cuales vamos a sumar, y sea c su s urna. Entonces tenemos la igualdad y afirmamos que representa In solución del siguiente problema: D ados do» números enteros y positi­ vos a y b, hallar su suma c. (1 } a + b*= c Ahora consideremos el problema inverso, es decir, d ad a la suma c de dos números enteros y positivos a y b, y d ad o uno de ellos a, encontrar el otro b. L a ir so lución de este problema requiere la operación inversa de la adición, In c nal es llamada sustracción. Esta nueva o]x?ración se repre­ senta por medio drl símbolo y escribimos la solución en la forma (2 )

b *= c — a,

cu donde se afitina que 6 es el resultado de restar a de c. Por su experien­ cia anterior con los números el estudiante se dará cuenta de que las relaciones ( 1 ) y ( 2 ) son equivalentes, sirndo posible obtener una cual­ quiera de ellas a partir de la otra Fijémonos ahora en el importante hecho de que en un sistema de números restringido a los enteros y positivos es imposible restar un número mayor de otro menor. Para hacer posible la sustracción en este caso, se introducen los nuevos números llamados números enteros y negativos y designados por los símbolos — l. — 2. — 3 __ En particular, si restamos un número entero de sí mismo, obtenemos el importante número cero designado por el símbolo 0. Así. si a repre­ senta cualquier número entero, tenemos la relación (3)

a — a =0,

la cual podemos considerarla como definición del cero. Nótese que cero no es ni un número entero positivo ni un entero negativo. .Ahora vamos a considerar la operación de multiplicación ya postu­ lada. Sean a y ó las representaciones de dos números enteros dados que vamos a multiplicar entre si, y s-m c la representación de su producto. Entonces escribimos la igualdad H

I a X b = c Ji

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Conceptos fundamentales

en la cual a y b se llaman factores de c, y afirmamos que dicha relación representa la solución del siguiente problema: D ados dos números ente­ ros a y b, hallar su producto c. Consideremos ahora el problema inverso, es decir, d ad o el producto c de dos números enteros a y ¿>, y dado el factor a, hallar el otro factor b. La resolución de este problema requiere una operación que sea inversa de la multiplicación y es la llamada división. Escribimos la solución en la forma (5)

¿ =

a

que establece que b es el resultado de dividir c entre a. En la relación ( 5 ) , c se llama el dividendo, a. el divisor y b el cociente. Es importante observar que en un sistema de números limitado a los números enteros, no es siempre posiblr efectuar la operación de dividir. Así, si dividimos el entero 6 entre el entero 3, el resultado es 2, o sea otro entero. Pero si intentamos dividir el entero 5 entre el entero 3, la operación no es posible, ya que no existe ningún número entero que multiplicado por el entero 3 dé un producto igual al entero 5. Para hacer que en este caso, y en otros análogos, la división sea posible, se introducen nuevos números llamados números fraccionarios o fraccion es y que re­ presentan como se indica en el segundo miembro de la igualdad (5 ), lla­ mándose num erador al entero c y denom inador al entero a . Habiendo incluido las fracciones en nuestro sistema de números, la operación de dividir expresada en la igualdad ( 5 ) , es posible en todos los casos con una sola excepción, a saber, cuando el divisor a es cero. Más adelante veremos que en la operación de dividir está excluida la división entre cero. En consecuencia las igualdades (4) y (3) son equi­ valentes, siendo posible obtener una cualquiera de ellas a partir de la otra, siempre y cuando el diidsor a sea d iferen te de cero. Hasta este momento nuestro sistema de números está formado por los números enteros positivos y negativos, el cero y los números fraccionarios positivos y negativos. Estos números constituyen el sistem a d e los números racionales. Definición. Se dice que un número es racional si puede ser expresado en la forma p f q en donde (> es cualquier número entero positivo o ne­ gativo. o cero, y q es cualquier número entero positivo o negativo. I/js números enteros son números racionales. Por ejrmplo, ñ = r/¡ = etc. También el cero es un número racional ya que 0 = 0/fl en donde a es cualquier entero diferente de cero. Consideremos ahora el caso especial de la multiplicación en que todos

Sistemas de números en Algebra

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los factores que se van a multiplicar son iguales. Asi, si multiplicamos el número a por sí mismo, obtenemos el producir» aa, el cual general­ mente escribimos en la forma a7. En general, el producto de n factores, cada uno de ellos iguales a a, se escribe en la forma recibiendo el número entero y positivo n el nombre de exponente. En este caso decimos que hemos elev ad o el número a a la enésim a potencia, operación que reci­ be el nombre de potenciación. Esta operación se escribe en la forma (6)

a* = b,

y representa la solución al siguiente problema: D ados el número a y el número entero y positivo n bailar el número b que es la enésim a potencia de a. Consideremos ahora el problema inverso, es decir, dados el número b y el entero y positivo « hallar el número a cuya enésim a potencia es igual a h. 1 .a resolución a este problema requiere una operación que es inversa de la potenciación, llamada radicación. La solución se escribe en la forma (7)

o= v T t

la cual establece que a es una raíz enésim a d e b. Por esta razón la ope­ ración de radicación también es llamada extracción de una raíz. En la igualdad ( 7 ) , el símbolo se llama rad ical y el entero n se llama indice d e la raíz. Hemos llegado ahora a una importante etapa en el desarrollo del sistema de números usados en álgebra. Las operaciones de adición, sus­ tracción, multiplicación, división y potenciación, cuando se aplican a números racionales producen resultados únicos que son también números racionales, es decir, no requieren ampliación del sistema de números. Sin embargo, esto no es cierto para la radicación. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 no tiene un resultado único pues puede ser + 2 ó — 2 ya que (— 2 )* = 4, o sea, lo mismo que ( + 2 ) #. En este caso los resul­ tados aunque no son únicos son todavía racionales. Sin embargo conside­ remos ahora la raíz cuadrada positiva de 2, la cual puede ser escrita simplemente como \/2. No es difícil demostrar que este número no puede ser expresado en la forma p ! q de modo que llene el requisito de la defi­ nición de número racional. Un número como ¿ste se llama irracional. El sistema de números racionales, junto con todos los números irracionales ]M)Mt¡vos y negativos constituyen el sistema d e números reales del álgebra. Investigaremos ahora la última ampliación de nuestro sistema de nú­ meros. Hemos visto que la radicación nu sería posible en algunos casos si nos limitáramos al sistema de números racionales. Fue esto lo que nos

Conceptos fundamentales

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hizo añadir ios números irracionales a nuestro sistema numérico. Podemos observar también que en nuestros ejemplos anteriores se han utilizado únicamente la raíz cuadrada de números positivos. Para que la radica­ ción comprenda todos los'casos., debemos considerar también la extrac­ ción de raíces de números negativos. Por ejemplo, tratemos de hallar la raíz cuadrada de — 4. es decir, queremos hallar un número a tal que a 7 = — 4. Como una propiedad fundamental del sistema de los números reales es que el cuadrado (o una potencia par) de cualquier número real (positivo o negativo) es un número real positivo, resulta evidente que el número a no puede pertenecer al sistema de números reales. Para hacer posible esta operación es necesario introducir una nueva clase de números. Sea c cualquier número positivo lo cual equivale a que — c sea un número negativo y que ± V — c no sea número real. Podemos escribir (8 )

i r \ ^ c = ± V 7 V '— T .

En esta relación — Ve es un número real, lo que significa que si que­ remos dar algún significado a ár V —c. debemos dar significado o sea definir, a V^—1 . Definición. L a cantidad V — 1 se llama la unidad imaginaria, la cual se representa por medio del símbolo y tiene la propiedad de que i* = — 1 . Según esta definición la relación (8 ) puede ser escrita en la forma

± V — C = ± V ci. Ya que ir: Ve* es un número real, lo podemos representar por medio del número real b resultando que bi representa una nueva «lase de nú­ meros que definimos así: Definición. Un número de la forma bi, en donde b es cualquier número real e » es la unidad imaginaria, se llama un núm ero imaginario puro. M ás adelante encontraremos números que constan de la suma de un número real con un número imaginario puro. Son los números comple­ jos que se definen así: Definición. Un número de la furrna a 4 bi, en donde a y ó son nú­ meros reales c i es la unidad imaginaria, se llama un núnttro coinpit jo. Debido a todo lo anterior podemos decir ahora cpie para hacer |»ostblet en todos los casos los seis operaciones, fue necesario amplinr nuestro sistema de números hasta la inclusión de los números complejos. Pero

Las operaciones algebraicas

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podemos hacer una observación muy significativa respecto al número complejo a *1 bi, Si a 0 pero b / 0, a bi loma la forma bi, lo cual significa que los números imaginario» puros son un caso especial de los números complejos. Si b = 0, a 1 ¿»i loma la forma a , y por lo lomo representa un número real. Según este punto de vista un número real es simplemente un cuso particular de un número complejo, por lo cual se dice que el conjunto de todos los números reales es un subconjunto del conjunto de números complejos. Aunque a menudo tendremos ocasión de hacer una distinción precisa entre números reales y complejos, consi­ deraremos, en virtud de nuestra última afirmación, que el sistema de números usado en el álgebra es e l de tos núm eros com plejos,

1.4. lA S O PERA C IO N ES A LG EBRA IC A S Las seis operaciones que hemos visto en el artículo anterior: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación, son las operaciones algebraicas. Estas operaciones son de gran importancia nn solo en álgebra sino también en cualquier otra rama «le las matemáticas «londe puedan ser usada*. Estas operaciones están sujetas a ricrtns res­ tricciones o condiciones llamadas propiedades o leyes. Es esencial para poder obtener resultados correctos, aplicar las operaciones de acuerdo con estas leyes. El uso inadecuado de las operaciones algebraicas es probable­ mente la causa de la mayor dificultad con que se encuentran no solo los estudiantes de álgebra sino también los de otras ramas de las mate­ máticas. Esta es la razón por la cual todo ri siguiente capitulo se ha dedicado al tema de las operaciones algebraicas. En los artículos procedentes hemos observado que para hacer posibles en todos los casos las operaciones algebraicas, fue necesario ampliar nues­ tro sistema de los números enteros y positivos, postulando originalmente, a los enteros y negativos, cero, fracciones, números irracionales y final­ mente números complejos. Es natural que el estudiante se haga ahora la siguiente pregunta: ¿Será necesario introducir algún nuevo tipo de núme­ ro diferente de los números complejos al efectuar las seis operaciones algebraicas con dichos números? La respuesta es no. pues más adelante veremos que la aplicación de las operaciones algebraicas a los números complejos siempre nos dará resultados que son también números comple­ jos. Esto se expresa diciendo que el sistema o conjunto de los números complejos es cerrado respecto a las seis operaciones algebraicas, o lo que rs lo mismo, que el sistema de números complejos es adecuado para la aplicación de todas las operaciones algebraicas.

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Conceptos fundamentales

1 3 . E ST R U C T U R A D E L A LG EBRA Es imposible dar una respuesta concisa y al mismo tiempo satisfacto­ ria a la pregunta: ¿Q ué es el álgebra? Cualquier intento en este sentido estaría lejos de dar al estudiante un concepto adecuado de la materia en cuestión. Sin embargo, estamos ahora en condiciones de establecer cue el álgebra tim e una estructura caracterizada por (1 ) Un conjunto determinado de ■ambolos que r epresentan números complejos. (2 ) Un conjunto determinado de operaciones que se pueden efectuar con los símbolos ( 1 ) , y que son las seis operaciones algebraicas. (3 ) I*as propiedades o leyes de las operaciones ( 2 ) . Los dos prim er» puntos han sido ya considerados en los artículos 1.3 y 1.4 respectivamente, el punto (3 ) será estudiado en el capítulo si­ guiente. Evidentemente, resulta que d álgebra tiene una estructura muy sen­ cilla. Veremos en todo lo que sigue que todos los temas y problemas con­ siderados en el álgebra resultan de sujetar los símbolos ( 1 ) a las opera­ ciones (2) de acuerdo con las propiedades (3 ).

1.6. N A TU RA LEZA D E L A LGEBRA Es natural, y es lo acostumbrado, presentar ¡nicialrncnie al estudiante los teínas del álgebra como una generalización de los de la aritmética. Así es como el estudiante se encuentra por primera vez con los números negativos. También aprende a usar las letra» como una representación de los números y pronto se da cuenta de la ventaja de representar con In Icnrn x, o con cualquier otra letra, la cantidad desconocida al resolver ciertos problema». Ahora veremos que estas ideas sun ejemplos de la estructura del álgebra. Podemos resumir lo expuesto en ene capítulo caracterizando la uaturaUsa dri dlfítbra en la siguiente definición. Definición fundamental. Se dice que un proceso matemático es tf/grbraico si contiene una o varia» de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación aplicadas una o varias veces, en cualquier orden, a números complejos cualesquiera o a sím­ bolos cualesquiera que representen número» complejos.

Nutunilezu de! Algebra

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(Jomo un ejemplo de cita definición consideremos la expresión !¿xa 3x y 4y*. Esta expresión es algebran a porque ha sitio formada aplicando operaciones algebraicas a números y a letras «pie representan números. Como otro ejemplo consideremos la ecuación cuadrática íía® 4*

hx -f* c = 0,

a

0.

El estudiante que ha estudiado esta ecuación recordará que su solución está dada por Ja fórmula — b ±. V b* — 4ac T a ---------Esta solución es algebraica ya que contiene operaciones algebraicas efectuadas con números. Es interesante observar que en el cálculo de esta fórmula intervienen las seis operaciones algebraicas. Terminaremos exponiendo brevemente otro tema que arroja luz adi­ cional sobre la naturaleza del álgebra. Cuando
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Conceptos fundamentales

Existen muchas otras Algebras, aparto do las dos citadas anteriormente, pero su estudio cae fuera del propósito de este texto y corresponde a tratados más superiores. Para distinguirla de cualquier otro tipo de álge­ bra, la materia que vamos a estudiar en este libro recibe generalmente el nombre dr álgebra dr. los números com plejos.

2 Operaciones algebraicas 2.1. IN TR O D U C C IO N En este capitulo se tratará de las operaciones algebraicas (Art. 1.4) y de la manera de efectuarlas. Destaquemos, una vez más, la gran im­ portancia de aprender a efectuar bien tales operaciones. La habilidad para manipular las expresiones algebraicas, con precisión y rapidez, es un requisito primordial para progresar satisfactoriamente en las aplica­ ciones del álgebra. T a l habilidad se adquiere principalmente por medio de la práctica. Por lo tanto, se insiste en la gran conveniencia de. que el estudiante resuelva el mayor número posible de lo* problemas contenido* en las series de ejercicios de este capitulo.

2.2. E X P R E SIO N A LG EBRA IC A , T E R M IN O . PO LIN O M IO De acuerdo con la definición fundamental tle proceso algebraico (Art. 1 .6 ), el resultado de un proceso de dicho tipo «o llama expresión algrhraica. .Así, 3 *, y I s es una expresión algehraira porque se obtiene efectuando operaciones algebraicas con el número 3 y las letras x, y y z, las cuales representan números. Otros ejemplos de expresiones algebraica» son 6.r* - 7 * -f 8 , 2a l-

+

Ve

2

b 1 y *• — 5x* +• 7 La representación más sencilla de. un número se hace por medio de cifras o de una literal. Asi, por ejemplo, la cifra .r> ó la literal b. La más rimple dr las expresiones algebraicas en la» que intervienen más de un número o literal, se obtiene combinando estos números y letras por medio tle cualquiera de las operaciones algebraicas, con excepción de la adición y la sustracción. Los siguientes son ejemplos de esta ríase de expresiones 11

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Operaciones algebraicas

algebraicas: 5xy, 2a 'b , 3jc/2y, 4 V OC. Cada una de ellas se llama térm ino algebraico. Cualquier factor de un termino algebraico se llama coeficien te de los factores restantes. Asi, en el término óxy, 5 es coeficiente de xy y 5x es coeficiente de y. Sin embargo, generalmente conviene considerar como coeficiente solamente a un número o una letra Por lo tanto, 5 es coefi­ ciente (numérico) de x y en el termino 5x> y b es el coeficiente (literal) de xy en el término bxy. Los términos algebraicos que difieren únicamente en sus coeficientes se llaman términos sem ejantes. Por ejemplo bxy y — 7xy son términos semejantes. Si las literales de un término algebraico están combinadas solamente |xir medio de la operación de multiplicación, se dice que el término es racional entero. Por ejemplo, los términos 5xy, ■ % x2 y V baW c3 son todos racionales enteros. Observamos que los exponentes de un término racional entero son números enteros y positivos. Se entiende por g rado de un término racional cutero a la suma de los mencionados exponentes. Por ejemplo, 5xy es de grado 2 , */¿x" es de grado 2 y V 5 a b *c9 es de grado 6 . Un solo término algebraico se llama m onom io. Si dos o más expre­ siones algebraicas están enlazadas por los signos I- o •—, la expresión resultante se llama sum a algebraica. Una suma algebraica de dos térmi­ nos se llama binomio y una de tres términos es un trinomio. En general, una suma algebraica de dos o más términos se llama m ultinom io. Por ejemplo, el multinomio 4x= — 2 *V 'y - f y*¡2 consta de los términos 4x*, 2 x V y e y*/2. Obsérvese que ¡os térm inos d e un m ultinom io están sepa­ rados p or los signos 4- o — . El tipo particular del multinomio formado solamente por términos racionales enteros se llama polinom io. Son ejemplos de polinomios: 2x* 4- 3xy 4- y2, V 2z* — %z 3 + 4z — 8, y 3 .*4 4- 4x* — 2xs — 8x 4- 5. Se omiende por grado de un polinomio el grado del término de mayor grado. Asi, los tres polinomios anteriores son de grados 2, 3 y 4, respectivamente. Si todos los términos de un polinomio son del mismo grado, se dice que es hom ogéneo. Por lo tanto, el primer polinomio es homogéneo, pero el segundo y el tercero no lo son. En este capitulo consideraremos únicamente las operaciones algebrai­ cas con expresiones algebraicas del tipo anteriormente descrito. Además, si hay alguna observación mi sentido contrario, consideraremos que dichas operaciones se aplicarán únicam ente a números rrales. Posteriormente ba­ rrillos un estudio especial de los números completos {Capitulo 8 ).

Adición

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2.3. A DICIO N La adición es una operación que se caracteriza por los siguientes cinco postulados llamados propiedades o leyes de la adición. (1) L ey de existencia. L a adición es siem pre posible. Es decir, siem­ pre es posible efectuar esta operarión con dos o más números, y el resul­ tado es también un número. (2 ) L ey d e unicidad. L a adición es única. Es decir, dados dos núme­ ros cualesquiera a y b existe un solo número c tal que a + b = c. El número c es la sum a de a y b. (3 ) L ey conm utativa. L a adición es conm utativa. Esto es, si a y ó son dos números cualesquiera, entonces a I b = b + a. En otras palabras 'a suma de dos (o más) números es independiente del orden de los sumandos. E jem p lo : 2 - 5 = 5 — 2. (4 ) L ey asociativa. L a adición es asociativa. Esto es, si a, b, c son tres números cualesquiera entonces {a + b ) + C + En otras palabras, la suma de tres (o más) números es independiente de la manera en que éstos se agrupen. E jem p lo : (2 + 5 ) + 8 = 2 + (5 + 8 ). (5) P rop ied ad aditiva de la igualdad. Si a, b, y c son números cua­ lesquiera tales que a = b. entonces a + c b — c. El lector podrá reconocer en esta propiedad al conocido axioma que dice: si a números iguales se añaden números iguales residían sumas ¡guales. Estas leyes pueden ser generalizadas a cualquier número de sumandos. Al describir la ley asociativa de la suma usamos un sím bolo d e agru­ pación llamado paréntesis que se representa por el símbolo { ). El pro­ pósito de este símbolo es indicar que todos .os términos encerrados en él deben ser considerados como un solo número. Otros símbolos de agrupación son: el paréntesis rectangular [], la llave { ), y la barra o v in cu lo ------ , la cual se coloca arriba de las cantidades que se van a agru­ par, como, por ejemplo, en 2 5 + 8. I.,a suma de expresiones algebraicas cuyos términos son todos positivos se efectúa exactamente como en la aritmética. Sin embargo si algunos de los términos son negativo» el proceso requiere un método espcciaL Ya que los números negativos se introducen para hacer posible la sustracción en lodo» los cato» (Art. 1.3), es preferible diferir la consideración de los problemas de adición algebraica hasta después de estudiar la sustracción.

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Operaciones algebraicas

2.4. SU STR A C C IO N En el An. 1.3 describimos la sustracción como la operación inversa de la adición. L a sustracción queda defin ida bajo la siguiente rtiPOTKsrs. Dados dos números cualesquiera a y c, existe un número b y solo uno tal que (1 ) a 4* b — e. Este número b está dado por la igualdad (2 )

b = c — a,

que se lee “b es igual a c menos a" y en la cual diremos que b es la d ife­ rencia obtenida al restar el sustraejtdo a del m inuendo c. E jem p lo :

5 + 2 = 7, siendo 2 = 7 — 5.

También podemos decir que b es el número que debe ser sum ado con a para producir el número c. Así, de (1) y (2 ) obtenemos la relación (3 )

a + (c — a ) = c.

La sustracción tiene la siguiente propiedad: P ropiedad sustractiv a d e la igualdad. Si a, b y c son números cuales* quiera tales que a b , entonces a — c = b — c. El estudiante reconocerá esta ley como el conocido axioma que dice: si se restan números iguales de números ¡guales las diferencias son iguales. Es importante observar que según la hipótesis hecha anteriormente el resultado de la sustracción es único. Ahora veremos cómo se puede hacer posible la operación de restar en cualquier caso. Para ello veamos primero lo que significa la expresión “ un número es m ayor que otro ’. Definición. Se dice que el número x es m ayor que el número y, si x — y es un número positivo. Entonces escribimos * > y, que se lee **X es mayor que y". E jem p lo:

7 > 5, ya que 7 — 5 = 2, siendo 2 un número positivo.

La relación x > y implica también que y es m enor que x, escribién­ dose y < x. Estas dos relaciones son, por supuesto, equivalentes. Haciendo referencia a la anterior relación ( 2 ) , resulta que se deben considerar tres casos. (I) a < c. Entonces b = c — s es un númrro positivo. Este caso co­ rresponde al caso aritmético ordinario en que se resta un número de otro mayor.

Sustracción

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(II) a c. En este caso fe = ¿ — a = c — c =■ 0 por definición de cero (Art. 1.3). Por lo tanto, de (1) tenemos a -f 0 = c y luego, por la ley conmutativa de la suma (Art. 2 .3 ), tenemos (4)

«z4- 0 = 0 4 - a = a,

lo cual expresa una importante propiedad del cero. (111! a > c. En este caso se trata de restar un número de otro menor. Esta es la primera desviación importante respecto a las operaciones aritméticas. De a > c se concluye que a — c = p, en donde p es un número posi­ tivo, de modo que la expresión c — a de la relación ( 2 ) no tiene sentido en un sistema restringido a los números enteros y positivos. Para hacer posible la resta en este caso definim os a c — a en la relación ( 2 ) como un número negativo y escribimos c — a = — p,

(5 )

c — a = — {a — c ) . t

Como un ejemplo de la relación (5) tenemos

éti

Lr

-

5 — 7 = — (7 — 5) = — 2. En el caso particular en que c = 0, el número negativo c — a que hemos definido toma la forma 0 — a, que se abrevia escribiendo — a y v llama el negativo d e a. Esto es. (6 )

0 — a — ■—a.

El número positivo p se escribe a veces +/>, leyéndose “más p" para hacer destacar el signo positivo. El número negativo p, que se lee “me­ nos p n siempre va precedido del signo negativo. Si p es cualquier número positivo, es conveniente llamar a — p su núm ero negativo correspondiente. Así, - -5 es el número negativo correspondiente a 5. El valor absoluto de cualquier número a, se representa por a|, y sig­ nifica su valor aritmético ordinario sin considerar el signo. Por ejemplo 5\ 5 y |— 2 = 2. Evidentemente, cualquier número positivo y su número negativo correspondiente tienen el mismo valor absoluto. Al hablar de los números con signos hemos usado los signos positivo y negativo como signos de cualidad qu e denotan “ núm ero positivo” o “ núm ero negativo*\ Sin embargo estos mismos signos han sido usados previamente como signos de operación. Este doble uso o significado de lo» signo» positivo y negativo queda justificado con los teorema» siguientes.

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Operaciones algebraicas

Teorema 1. L a rum a d e cualquier núm ero positivo con tu correspon­ diente núm ero negativo es cero. he mostración . Sea a cualquier número positivo, de modo que —a es so número negativo correspondiente. Entonces por la anterior rela­ ción ( 6 ) ,

(0 — a ) .

a +- ( —a ) = a

Si ahora hacemos c — 0 en la relación ( 3) , que es la definición de sustracción, tenemos a 4* JO — a ) = 0. de modo que el secundo miembro de la igualdad anterior se anula. Por lo tanto, a + i —a ) — 0, como se quería demostrar. Un ejemplo sencillo de este teoiema es 5 4- ( —5 ) = 0. '1 coran a 2. L e operación dt sumar uk núm ero negativo es equ iva­ lente a le opt ración d e resta* un núm ero positivo que tenga el mismo valor absoluto. Dt.MosTR.snt» *x. Sea a un número cualquiera y b un número positivo, de modo que — b es su número negativo correspondiente. Vamos a probar que (7 )

c — ( — b ) = a — b. Por la ley de unicidad de la adición (A rt 2.11),

(8)

« + ( - b ) » e.

Añadiendo b a ambos lados (propiedad aditiva »lr la igualdad, Ar­ tículo 2 .3 ),

(a + ( _ b ]] + b « c + b. do donde, por la ley asociativa, a + [(

h)

Por el teorema I,

(— h) *t* b

Luego,

a *f 0 = c 4* b,

y por ( 4 } t

I b\

c I b.

0.

a = c + b,

y por las relaciones ( I ) y ( 2 ), tenemos (9 )

c = a — b.

IX? las igualdades ( 8 ) y (9 ) obtenemos (7 ) que es lo que »c (pieria de­ mostrar. También se puede establecer, por medio del teorema 2 y d«- la defi­ nición de sustracción, el teorema siguiente: Teorema 3. L a operación d e resten un núm ero negativo es equiva­ lía t e o la api ración de sum ar un número positivo del mismo valor absoluta.

Sustracción

17

Es decir, si a os un número cualquiera y b es un número positivo, tiendo h mi número negativo correspondiente, entonces a

(

b)

a

b

la demostración de este teorema se deja romo ejercicio. Ahora estamos tu situación de caracterizar completamente la opera­ ción de la adición algebraica. Teorema 4. Si a, b y p a 4 h so ti tres núm eros positivos, de m odo ijur o, — b y — p reprr tenían, respectivam ente sur números negativos correspondientes, entonce* . n la adición alg ebraica son válidas (as siguíenles relaciones: I. H. 111.

a 4 b = p. a *h (• /») a b = —(a 4 b ) c — p, Si a > b, entonces « ** ( —b ) =-= a — b, Si a < b, entonces a f (— i») = a — b = — (6 -

a ).

I-i relaciónI es aritmética y es pai te de la hipótesis. Las relaciones II y III son consecuencia del teorema 2 y de la relación (5 ). Estas relacione» pueden ser enunciadas como sigue: I y II. Para sumar dos números de signos iguales túmcuac sus valores absolutos y antepóngase a U suma el signo román. I II . Para sumar dos números de signos contrarios réstese el de me­ nor valor absoluto del de mayor valor ab »lu to y antepóngase a la dife­ rencia el signo del número que tenga mayor valor absoluto. Ejemplos:

2 + 5 = 7. (— 2; -

( —5 ; = — 2 — 5 = — {2 + 5 ) = — 7.

(—2) -W 5) = —2 + 5 = 5 — 2 = 3. (2) -4 (—5) = 2 — 5 = — (5 —2) = —3. 1-as relaciones de! teorema 4 pueden sci generalizadas a tres o más números. Como una consecuencia directa de los teoremas 2. 3 y 4, se establece ej siguiente procedimiento para restar: Teorema 5. l¿s operación de resta* un núm ero d e otro consiste en cam biar e l signo d tf ju tfreen d o y fuego p roced er com o m la ruma aigebiaira (T e o r e m a 4', Ahora podemos observar una sencilla pero importante propiedad que relaciona a los números ¡roBtivo* y negativos y el cero. Sea a un número positivo y por lo tanto — a un númrro negativo. Por la relación ( 4 ) :

IB

Operaciones algebraicas

a 4- 0

a,

de donde, por la definición de sustracción, relación ( 2 ) , tenemos ( 10 )

a — 0 = a.

Por el teorema 3,

0 — (— a) = 0 + a

de donde, por la relación ( 4 ) , resulta:

0 — (— a ) — i .

(ti)

Ahora, de la definición anterior de “mayor (pie’’ se concluye de (10) que ( 12 )

a > 0.

y de ( I I ) , que 0 > — a , o sea,

(13)

-a< 0.

De las relaciones (12 y (13) tenemos: Teorema 6. Un núm ero positivo es mayor que cero y un número ne­ gativo es m enor que cero. De este teorema se infiere que el cero no es ni un núm ero positivo ni un número negativo. Consecuentemente, con el nombre números no nega­ tivos designamos a lodos los números positivos y ai cero. Si a es un núme­ ro de esta clase (no negativo) escribimos a ^ 0, que se lee "a es mayor o igual que cero1'. Ahora veamos unos ejemplos de operaciones de adición y sustracción algebraicas. Ejemplo 1. Calcular la suma de las siguientes expresiones algebrai­ cas: xB 4- 2 x*y — 4xy2. 2** — \x2y 4* 3ya, 2 x -f — 4y :. solución .

Primero escribimos las expresiones de modo que los tér­ minos semejantes queden en columna. Luego aplicamos las leyes de la suma enunciadas en el Teorema 4. El resultado ps el siguiente: x a + 2x2y — 4 xy2 2 * a — 4<*y + 3>s 2 x f — 4y* Suma - 3x 3 — 2x2y — 2xys — y* Ejemplo 2. Hallar la diferencia obtenida al restar a 3 — 3as + 4a — 7 de 2a* 4- a 3 — 3a — 5. solución . Escribimos el sustraendo debajo del minuendo de modo que los términos semejantes queden en columna. Entonces, consideran­

Sustracción

19

do que el signo de cada termino del sustraendo cambia, sumamos los términos semejantes de acuerdo con el Teorema 5. Minuendo Sustraendo Diferencia

2a 3 4- a 2 — 3a — 5 «* — 3a 2 4* 4 a — 7 a 5 4* 4a* — 7a 4* 2.

Si al lector le parece más sencillo, al escribir el sustraendo se puede cam­ biar el signo de cada término y luego sumar. La adición y sustracción de expresiones algebraicas a menudo requiei' n el uso de símbolos de agrupación (Art. 2 .3 ). L a simplificación de tales expresiones requiere quitar estos símbolos. Según nuestros resultado» anteriores tenemos el siguiente procedimiento para manejar una cxprelión algebraica que está encerrada entre paréntesis. Un paréntesis precedido del signo más puede suprimirse sin hacer ningún otro cambio. Un paréntesis precedido del signo menos puede suprimirse cambiando el signo de cada uno de los términos encerrados en él. Si una expresión contiene más de un símbolo de agrupación puede uuunc cualquier orden para suprimir dichos símbolos. Sin embargo, es i . tu i alíñente más sencillo suprimir un símbolo de agrupación en cada paso, suprimiendo cada vez el símbolo que no tiene en su interior otros símbolos de agrupación. Ljrmplo 3. Simplificar la expresión: 5 a — (2a — (4a 4- 2b - [a — 3 6 ])). solución .

Suprimiendo primero el paréntesis rectangular tenemos 5 a — ( 2 a — {4a + + a — 3 b }) = 5 a — (2a — 4a — 2b — a + 3 6 ) = 5a — 2a + 4a - 2b + a — 35 = 8a — b.

Al adquirir práctica, el estudiante puede efectuar dos o más pasos a la uv acortando considerablemente la simplificación. EJERCICIOS. GRUPO 1. En i idn uno dr lo» ejercido# 1-5 calcular la suma de la* expresiones al^ebraiim dula» 1

2«" — 2
2

3
2 4»rta— 3v rel="nofollow">n 4- 2n;, 6mu 3. *» 4xy + 3>», 4 1«» II*1» f 9.».

Y ra I 2cJ

24, 3c

- 4b\ 2ab ' —

2n* + 5, Sn'» —3 — 2m*.

4 '¿xy — 2>•*, 2xy -r» + Sr’1 - fi, 2*»

-j 2*8

Síi / -24», r» •» +4

7 x - f - 5.

2c | 24».

Operaciones algebraicas

20

En cada uno de los ejercicios 6-10 hallar la diferencia obtenida al restar la segunda exprrsión dr la primera. 6. 3a 2b 4- 4 c - d. 2a f b — 3c - d. 7. ,a — 4x2 + 2 r - 5 , — x3 4- 2** — 3x — 3. fi. — 3c -b + 3c b - — b*, c* — 4a26 4- 2cós 6*. 9. 2a 4- 4by — 2cys 4- ¿>3, 2rfy» — 26> — a 4- 3ey* 10. ro4 4- 6ro3 — ?m ; 4 8.a:— 9, 2r«r: 1 3 m ¿ 4rw 3. En

los ejercicios 11-15, A — x* 4- 2x2 —3 * 4- I, R = 2 *3 -

x2 4- 4 * — 7,

y C - x» 4- x* — 6x — 2. 11. 12. 13. 16. es igual

Calcular A 4- B — C. 14. Calcular B — A — C. Calcular A — B 4- C. 15. Calcular B — A — C. Calcular A — B ■— C. Demostrar que la suma de todas las expresiones en los ejercicios 11-15 a la expresión en el ejercicio II.

En cada uno de los ejercicios 17-21, simplificar la expresión dada. 17. 5 — {2 4- 3 — (4 — 3 — ~2) 4- 15 -- 3 ]}. 18. 4 4 -1 5 — {6 - 9 4- {7 — 2 ) ) — (12 — 5)]. 19. x 4- 2y — (4y — x |- [3x — 2>] — { 2 * — 2y ) }. 20. 4 * — 1 6 5 -f ( 2 * — [36 4- a

b | 4aH].

21. m f 2 * — (3 n i— 2m 4 n — ( 2 n — [m 4 n ])). 22. [a) Hallar rl número que debe añadirse a — 8 para que la suma sea igual a 15. (5 ) Encontrar el número que debr añadirse a 7 para que la suma sea igual a — 3. 23. '« ) Hallar el número que debe restarse de 4 para que ia diferencia sea 6. (5 ) Encontrar el número que debe restarse dr - -11 para que la diferencia sea 4. 24. (a) Hallar el número que al restarle 8 se obtenga — 2. (6 ) Encontrar el número que a! disminuirle — 7 resulte 4. 25. Hallar la expresión que drbe sumarse a 3a — 2b 4c para obtener 2a 4- 36 — 2c. 26. Encontrar la expresión que debe restarsr de 4x 4- 2y — 7 para que la diferencia sea igual a 3x — y 4 5. 27. Encontrar la expresión que debo disminuirse er. 2m — 2n I 3p para ob­ tener ur.a diferencia igual a -Irn 4- n 2p. Cada uno de los ejercicios 28-31 se refiere a un problema de sustracción. 28. El minuendo es 2a¿ 4 2a6 62; la diferencia es a 3cb — 262. Hallar r| sustraendo. 29 El Sustraendo es x 1 4- 3x - 7 ; la diferencia rs 3x5 — 3x 1 4. Encontrar el minuendo. 30. La diferencia es x2 4- 2 x y — 3>2; el minuendo es 3x2 -2 x y 4- y ¿. Hallar rl sustraendo. 31. La diferencia es a3 f 3a2a 4- 5 ; el sustraendo es 2a3 — 2a2 a — 5. Hallar el minuendo. 32. Por medio de la definición de "mayor que" comprobar las siguientes re­ ta* iones: 9 > 2 : — 2 > 9 : 2 > — 9. 33. Si a es un número positivo, comprobar las siguientes r e la c io n e s : — 3a > — 5 a ; a > — 2a; — 4 a < —a. 34. Ampliar a trts o ruAs números la ley de unicidad de la adirión

Multiplicación 35. 36. 37. luto es 38. 39. 40.

21

Ampliar a tres o más números la ley conmutativa de la adición. Generalizar a cuatro o más números la ley asociativa de la adición. Demostrar que la suma, de cualquier número negativo con íu valor abso­ igual a cero. Demostrar el Teorema 3 del Art. 2.4. Dar una demostración detallada del Teorema 4 del Art. 2.4. Dar una demostración detallada del Trorrma 5 del Art. 2.4.

2.5. M U L T IP L IC A C IO N Como se observó en el Art. 1.2. la multiplicación, al igual que la adición, es una de las operaciones postuladas en el álgebra. Se le carac­ teriza por medio de cinco propiedades o leyes análogas a las de la adición (Art. 2.3). Al enunciar estas leyes observemos que el signo de multiplii .ir X o •generalmente se omite al tratarse de dicha operación efectuada con letras. Es decir, a X b , a •b y ab tienen el mismo significado. ( 1) L ey d e existencia. L a m ultiplicación es siem pre posible. Es de­ cir, siempre es posible efectuar cst3 operación para dos o más números cualesquiera y el resultado es también un número. (2 ) L ey d e unicidad. L a m ultiplicación es única. F.sto es, para dos números dados cualesquiera a y b, existe un número c y sólo uno tal que ab c. El número único c se llama el producto de a por h, siendo a y b mis factores. I/>s factores a y b reciben también los nombres de multipli­ cando y m ultiplicador, respectivamente. (3 ) L ey conm utativa. L a m ultiplicación es conm utativa. Esto es, si a y b son dos números cualesquiera entonces ab = ba. En otras palabras, rl producto de dos (o más) números es independiente del orden en que •■f efectúe la multiplicación. E jem p lo ;

2 X 5 = 5 X 2.

(4 ) L ey asociativa. L a m ultiplicación es asociativa. Es decir, si ■; b y i. son tres números cualesquiera entonccsía b ) c = a { b c ) . En otras p (labras, el producto de tres (o más) números es independiente del orden en que se les agrupa. E jem p lo :

( 2 * 5 ) 8 = 2 (5 -8 ).

(5 P ropiedad m ultiplicativa de la igualdad. Si a, b y c son números cualesquiera tales que a = b entonces a c = be. Rl lector reconocerá en esta propiedad al conocido axioma que dice que si números iguales se multiplican por números iguales b s productos remitan iguales.

22

O peraciones algebraicas

La multiplicación y la adición están relacionadas |»or medio dr la importante propiedad siguiente: P ropiedad distributiva. L a m ultiplicación es distributiva con respecto a la adición. Es decir, s a, b y c son tres número» cualesquiera entonces a (b c) *= ab •f ac. E jem p lo :

3 (2 4- 7) = 3 X 2 + 3 X 7.

Ellos leyes pueden ser ampliadas a cualquier número de cantidades. Ahora deduciremos algunas de las propiedades fundamentales de la multiplicación. Empezaremos extendiendo la propiedad distributiva. Teorema 7. L a m ultiplicación es distributiva con respecto a la sus­ tracción. Pista r.r, para tres números cualesquiera a, b, c, a ( b — c) = cb — ac. DKMOSTRAQION. Sea (l)

b — c ~ x.

Por lu definición de sustracción (Art. 2 .4 ), b = c + x. Por la propiedad multiplicativa de la igualdad {51, ab = a ( c + jr), y por la propiedad distributiva que acabamos de enunciar, ab = a c + ax, y. por la definición de un tracción ax ~ ab — ac. Sustituyendo x por tu valor dado en ( 1) , a { b — c) = ab — act como se quería dem ostrar 1 eorenia 8. E l produ cto d e cualquier núm ero por cero es igual a cero. demostración .

Si n
cero (Art. 1.3), a •0 = a [ b — b) « ab — ab - 0, como se quería demostrar.

(por el Teorema 7). (por la definición de cero),

Multiplicación

23

En los dos teoremas siguientes vamos a establecer la ley de los signos de la multiplicación. Para ello necesitamos »•! siguiente postulado: postulado .

El producto de dos números positivos es un número po­

sitivo. Teorema 9. E l producto de un núm ero positivo por un núm ero nega­ tivo es «a núm ero negativo. demostración . Sean a y ¡i dos números positivos cualesquiera, y por lo tanto, — b un número negativo. Sea

a ( — 6 ) 3= *.

(2)

Por la propiedad aditiva de la igualdad lArt. 2 .3 ), a { — &) + a b ® * 4* ab, y por ia propiedad distributiva,

«({— 6) + A) = x ú ab, Pero, por la definición de cero, ( b) +■ b 0. Por lo tanto, a ■0 «= x + ab. Por el Teorema 8, 0 = x + ab, de donde, por la definición de sustracción x = 0 — ab, y. por la relación (6 ) del Art. 2.4, x = — a b , de modo que «le (2) a ( b) 3 — ab. Y come» a y h son ambos positivos, por ci postulado resulta que su prndu< lo ub «*» positivo, y, por tanto, — ab es un número nrgativo, como s< quería demostrar. Teorema 10. E l produ cto d>- dos núm eros negativo* es un número

positivo, t>r.MOSTRACION. Sean c y b dos números poativos rualeaquirra y, por » tanto, a y — b dos números negativos. Sea

( ~ * } ( - 6 ) 4* a { - b ) = x + a ( — 6 ). Poi la propiedad distributiva y el Teorema 9, + o) = x - * b .

Operaciones algebraicas

2Í

clr donde, por la definición de cero, (— b ) *0 = x — ab. Por el Teorema tí, 0 = .v — a b , tic donde por la definición de sustracción, 0 I a b x; y por la relación ( I) del Arl. 2.1. ab =- x, de modo que, por ( 3) , (— a ) (— b) ab. Y como a y b non números positivos, ab será positivo (según nuestro postulado anterior) con lo cual el teorema queda demostrado. Gomo consecuencia de los Teoremas 9 y 10 tenemos la siguientr rrgln: Regla de los signos de la imiltiplicaeión

1 . El producto de do» números de signos iguales es positivo; el pro­ ducto tle dos números de signos contrarios es negativo. 2 . En general, el producto de un número cualquiera de factores es positivo si no hay factores negativos o hirn si el número tic factores nega­ tivos es p a r ; el producto será negativo si el número de factores negativos es impar. E jem p los: 2 X 5 = 10. (2 ) ( — 5) = - ( 2) { 5) -1 0 . (— 2 ) (- 5) = 4 -{2 ) (5 ) 10. ( 2 ) ( — 3 ) ( — 5) =j “**(2) (3 ) (5) 30. ( 2 ) ( 3 ) ( 5 ) es - -(2 ) ( 3 ) ( 5 ) 30. Ahora podemos establecer un teorema muy importante del cual hare­ mos uso más adelante. Este teorema es el recíproco del Teorema 8. y su enunciado es como sigue: Teorema 11. S i e l produ cto d e dos números es igual a cero, p or lo m enos uno d e los ¡actores es igual a cero. demostración .

Sean a y b dos números tales que ab — 0.

Si a = 0, el teorema queda demostrado. Supongamos a 0 (léase "a no es igual a 0” ) ; entonces, deberemos demostrar que b = 0. Tornemos como hipótesis lo contrario de la conclusión deseada, o sea, b 0. Ya que ahora se supone que tanto a como b son diferentes de 0 resulta, por el Teorema 6 'A rt. 2.4 j , rada uno de estos números debe ser positivo o negativo. Entonces, por la regla de los signos si coinciden en signo ab »rnL positivo, y si tienen signo distinto, a b será negativo. Pero esto con­ tradice nuestra hipótesis de que ab =- 0. Por k» tanto, nuestro supuesto de que b 0 es falso, con lo cual queda demostrado el teorema. Corolario. S i el produ cto d e dos o más factores es igual a cero, por lo m enos uno d e los factores es igual a cero.

Multiplicación

25

Consideremos ahora la multiplicación de expresiones algebraicas. Al efectuar esta operación resulta conveniente calcular los términos del pro­ ducto por medio de las llamadas leyes d e los exponentes. Ya hemos dicho, al estudiar la potenciación (Art. 1 .3 ), que la notación a", en donde a es cualquier número y « es un número entero y positivo que se llama rxponrnU , representa el producto de n factores todos iguales a a, diciéndose que e* es la enésim a potencia de a. En particular, se acostumbra omitir rl exponente 1 , y las potencias r y a 1 reciben los nombres de cuadrado de a y cu bo d e a, respectivamente. Por ahora necesitamos solamente las tres siguientes leyes de los exponentes, en donde a y b son dos números cualesquiera y m y n son números enteros y positivos. l.

= o "*". 2a 2a = 2*. (« -)• = a— . (2 3) ’ = 2*. [a b )'* = a~b~. (S •2 } a = 3* • 2\

E jem p lo : I I. E jem p lo : m . E jem p lo :

Estas leves se demuestran con gran facilidad. Por ejemplo, para la í, tenemos, por la ley asociativa de la multiplicación. ama* = (a •a • a . . . hasta m factores» [a * a * a . . . hasta n factores) a •a •
{«0 (c)

(2« U 0 ( - 3 d M ) ; (-3 **« > )• ;

(b) (d)

( - 2^ ) * .

SOLUCION.

(a ) (b) (c ) (d i

i2«*7»)(- 3a b ¿) 6a* b*. ( i-/ 2 #*} (xyi* 8*1 (•• - 3 r o V )2 ‘ (~ -3) J ( mJ ) 2(u s) 2 = 9 m V . (- 2p'q\* ( - 2 ) 1( / > W ■ tí/Zv/’.

Consideremos ahora el producto de un monomio y un polinomio. El procedimiento utlliyadn en imti conseruencia inmediatn de la propiedad distributiva. Ejemplo 2.

Elet iii.ii el producto rt*b[2ax

3by

2ab''),

2r>

Operaciones algebraicas SOLUCION.

Por la propiedad distributiva,

a -b {2 * x — 3by — la b * ) = (a2b ) ( 2 a x ) — (a * b )(3 b y ) — (a*b) (2ab*) = 2 a^bx — 3a -b *y — 2a'b 3. Finalmente, consideremos el producto de dos polinomios. Se aplica también la propiedad distributiva. En efecto, consideremos por sencillez, el producto de dos binomios. Entonces, por la propiedad distributiva, (a — b) [x + y) = {a + b ) x +• (a + b ) y y aplicando nuevamente esta propiedad, = ax + bx -f ay + by. Asi vemos, corno se notó en el Ejemplo 2, que el producto de dos expresiones consta de la suma algebraica de los productos obtenidos al multiplicar cada término del multiplicando por cada término del mul­ tiplicador. En la práctica es conveniente escribir el multiplicador debajo del multiplicando, estando ambos ordenados según las potencias descen­ dentes de una cierta literal, y luego colocar los productos en columnas de modo que los términos semejantes aparezcan uno debajo de otro para facilitar la súma. Este procedimiento se aplica en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3. Multiplicar x3 + xy -

2y3 por 3y3 — 2xy + x2.

solución . Se escribe el multiplicando y el multiplicador ordenados según las potencias descendentes de x y se dispone la operación como sigue: x- + xy — 2 y* multiplicando x7 — 2xy — 3y? multiplicador

( 1) (2 ) (3 ) Producto

x*+ 2* y — 2x*y — 2 x * f - f i x f Zjpyt* + 3xy* — &y* x * — x *y — x Jy'¿ - I - 7a;/1

(¡y!.

Las filas (1) , (2 ) y (3 } se obtienen multiplicando cada término por X7, — 2 xy, y 3y*, respectivamente. E l producto es la suma algebraica de estos tres productos. NOTAS 1. Las operaciones algebraicas pueden ser comprobadas parcialmente sustituyendo las literales por valores numéricos. Asi, en el ejemplo ante­ rior, si hacemos x = 2 y y = 3, obtenemos los siguientes valores: Multiplicando = 4 + {2) (3) — 2( 9) = — 8. Multiplicador = 4 — 2 ( 2 ) (3) f 3(9) = 19. Producto = 16 — ( 8 ) ( 3 ) — (4 ) (9) + 7( 2) (27) — 6( 81) = - 1 5 2 , y ( — 8 ) (19) = — 152.

Productos notables

27

2. Si tanto el multiplicando como el multiplicador son polinomios homogéneos entonces el producto es también un polinomio homogéneo, tal como se ha visto en el ejemplo anterior.

2. (i. P R O D U C T O S N O TA BLES

En la lista siguiente aparecen algunas de las fórmulas de productos notables que son útiles en diversos problemas de multiplicación y de factorización. Se recomienda que el estudiante memorice estas nueve fórmu­ las, todas las cuales pueden establecerse por multiplicación directa. 1. (a — b } a = a 1 4- 2ab 4- b2.

2. { a — b )* = a3 — 2ab + b\ 3. (a — b} (fl — b) — a 1— bs. 4. — a) (x 4 6 ) = x ¡ 4- (a 4 b ) x 4- ab, 5. (<j .v 4 b) (ex 4 d ) — acx'£ 4- (a d — be).x 4- bd.

6. [a + b) * = a3 + 3o?b 4 3ab* + b3. 7. (n — b ) s = c 3 — 3a-b 4- 3ab* — b*. 8. [a 4 b) (a B— ab 4- b*) = a i 4- b3. 9.

(a — b) (a" 4- ab 4 b 2) = a* — b3.

Utilizando doble signo es posible combinar ciertos pares de dichas fórmulas en una sola. Por ejemplo, los tipos uno y dos pueden expresarse conjuntamente así: {a dt b ) 2 = á 2 ± : 2ab 4* bz. Kl tipo 1 se obtiene utilizando los signos superiores y el tipo 2 por medio <1. los signos inferiores. Una observación similar es aplicable a los pares ti y 7, y 8 y 9. Algunas de estas fórmulas pueden enunciarse fácilmente con palabras. Poi ejemplo, el producto notable del tipo 1 dice: El cuadrado de la «muía de dos números cualesquiera es igual a la suma de los cuadrados dt* dii líos números más el doble de su producto. Al llegar a este punto conviene hacer resaltar la importancia de una habilidad que el estudiante debe adquirir lo más pronto posible. Es la di saber reconocer form es m atem áticas y saber generalizarlas. Así, ya que t i producto notable de tipo l es aplicable para obtener el cuadrado de la suma de dos números ti expresiones cualesquiera, las cuales pueden tslai representadas por una gran variedad de formas, conviene saber aplit nrlo ni lo* diferentes casos ya que la operación a efectuar es la misma. Ejemplo 1. (ialcular [x 1 4 2x 4 y —3]*.

Operaciones algebraicas

29

SOLUCION, [x 1 - 2x + y — 3]* = [ ( x* + 2x} 4- ( y — 3 }]* Por el tipo 1 , = (*= 4- 2 * ) * - 2[x= + 2 x ) ( y - 3 ; - .> — 3 }* = (*• 4 - 4 * * + 4 * * j + :2r=>— 6 r — 4x y — 12x) + (y* — 6y 4 - 9 ) = x 4 + 4x* 4- 2x*y 2 *s - 4*> + y2 — 12x — 6y 4- 9. Análogamente, el estudiante debe observar que e! tipo 3 se refiere al producto de la «urna y la diferencia de unas mismas dos cantidades. Ejemplo 2. Encontrar el producto de x 4- y — 2 y x — y 4- 2. solución . Naturalmente podemos obtener este producto por mul­ tiplicación directa, como en el ejemplo 3 del A rt 2 J . Sin embargo, tam­ bién podemos escribir

[x 4- y — 2)(x — y - 2) = [* + (y — 2)Jar— (y — 2}] Por el tipo 3, Por el tipo 2,

= x3 — (y — 2 )* = r — (y 2 — 4y 4- 4)

= * l_ y = + 4y— 4. Ejemplo 3. Calcular (3 x * — 2y}*. solución .

Por el tipo 7, tenemos

(3 ** — 2y )a « (3 j t )* 3 ( 3 x ‘ )M2y) = 27x0 - r) l.v’y f .% * y

3 (3 x * )(2 y )" Ry".

(2y ) 6

Finalmente, consideremos el cuadrado «ir un polinomio cualquiera. Por multiplicación directa, tenemos (a 4- 0 4 c )8 /ia I b'J 4- c v 4- 2ab 4- 2ac 4- 2be. Este resultado es un caso particular del teorema siguiente: IVnrruin 12. E l cu adrado dt un polinom io cualquiera es i ¡¡nal a la suma de los cuadrados de. cada uno de sus térm inos, más t i doble ducto de cad a térm ino con cada uno d e los térm inos que le siquen. Este teore ma puede demostrarse por un método llamado inducción ma­ tem ática que será estudiado miis adelante. El estudiante observará que los tipos I y 2 son casos especiales dr este teorema. Asimismo notará que este teorema se puede usar para obtener el resultado del ejemplo 1 . EJERCICIOS. GRUPO 2 En rada tino de los ejorcirloji |.|.1 hallar rl I. (B«8¿0( 2. 3. * > * (* » _ 2y 4). 4. 3. («a t 2 a 6 ~2é «) ( 3« 76). t>.

proclmio indicado. (—afc»c)(3a«*s){2«óf1J. (2 *8 | 2y*). (#* 3xy y«){2x — 3> ■2).

pro­

Operaciones notables 7. y h -

(«9 - 2 ob 4 *Hi9¡ ( a

2Í>). (Comprobar <•’, resultado haciendo n •

29 2

3.

B. (x9 4 y8 I xa

*>

ar«— >x)(je l j +

9. (m* «t1 4* m —- 1 )(r • t*»9 10. (2 • Sx* * * ) (ir8 ■ 1 4 4 *).

ni

«). I).

11. (x 4 «)(>• + /t>(« I- n). 12. <x8 - x - l ) 8(x« I x | 1). 13.
17. Demoitrar que I » ley * ownuiativu dr !u multiplicación puede v r amplia­ da para rt producto de trn o ttiA» número» III. Demostrar que l.i ley asociativa d« la multiplicación puede »«~ ampliada para el producto dr cuatro o mi» número* 19. Demoitrar que la prop rdeul distributiva puede ser ampliad * | rel="nofollow">.ira el pro(lucio de cuatro o más número*. 20. Demostrar el corolario riel Teorema II ( Art 2 .3 ). 21. Comprobar lo» ejemplo» Munériro* rindo* pura iluitrox la* leye* de lo» •xpnnratri I. II y III (Art. 2.3). 22 Demostrar la* leyrt de lo» rx|*o:)ente« II y III (Art. 2 .3 ), 2.1 Dar ejemplo' que muestren I* diferí i» ¡i entre la* leyes tic .o» exponen les I y 11 (Art 2 .5 ). 24. Descostrar que b ley «Je los exponenle? I puede genera.harsc a trcc o máf factores, ea decu, demoitrar que ¿ 'a ' » ' . . »r = 25. Demostrar que la ley de los expórtenles I I I puede r t n r r ilr jt t e a tres a m is iactores, es decir, demostrar que [ebe . . : ] " — a " ó * r * . r". 26 Demostrar que la ley de los exponentes II I puede generalizarse en a for­

ma

...) * =

.. .

27. Demostrar que el producto de do* polinomios hoir.oeér.eo» es también un polinomio homogéneo y que el grado del produelo es igual a la rama ¿e los grado? d« l multiplicando y el multiplicador. Lo* ejercidos 28-34 se refieren a los nueve tipos de produru» notables raeni Ornados o í el Art. 2.6. 28. Comprobar por multiplicación directa los tipos 1, 2 y 3. 29. Comprobar per multiplicación directa los tipos 4 y 3. 50. Comprobar por multiplicad!*n directa los tir.oi 6 y 7. 51. Comprobar por rcultip!¡camón directa los lipes 8 y 9. 52. Enunciar con palabras los tipos 2 y 3. 35. Enuncbr con palabras los tipos 6 y 7. 34. Utilisando dobles signos expresar en un solo enunciad:: la ) los tipos 6 y 7 ; (b ) loe tipos 8 y 9. 33. Comprobar el resultada riel ejescplo I drl Art. 2.6 utilizando d Teore­

ma 12. En kn ejercicios 36-50 calcular a» rx]i re «iones duda* por medio dr las formas tipo y del T ro reata 12 drl Art. 2 A 36. (2*« — 3y*)»

30

Operaciones iilgt-hraicas 37. 38. 39. 40. 41. 42. •t.1. 44. 4V 48. 47. •1». 49. 30.

2.7.

(«a (a* + 3 )(< i« - 3}. [ax ♦ ** }(» * — *y). (** ■ X i i) ( * * 4 * •I b c){a I b 1 <). ;« (2.r 1 5)(34r — 2). <4* - 2 X 3 * 4- 2). 4 rf*)*. (9m ~ 2n»)« (• t 1)(#»•* !)(*«■ 1). <** + * 1 l ) [ * s x t !)<*« (a
D IV ISIO N

En el Art. 1.3 describimos la división como la operación inversa de la multiplicación. La división «c d efin e indirectamente por medio del postu­ lado siguiente: I’obtijlado . Dados dos números cualesquiera a y c, a /■ 0, existe un número b y sólo uno tal que (1 a b — c. Este número b está dado por la igualdad (2 )

b = -, 0, a que se lee "b es igual a c dividido entre a ”, y se dice que ó es el cociente obtenido al dividir el dizádendo c entre el divisor a. E jem p lo :

5 * 2 = 1 0 , de donde 2 = »%.

También podemos decir que b es el número por el que hay que multipli­ car a para obtener d producto c. Asi. de ( ! ' y (2) tenemos la igualdad (3 )

a - = c, a^ O . a sota . En ia relación (2 , la operación de dividir fue indicada por medio de una línea horizontal. También puede utilizarse con una línea oblicua o con el símbolo -5- o simplemente con dos puntos:. Asi, - e ¡ a , a c 4- a y c : a tienen el mismo significado. P rop ied ad divisara de la igualdad. Si a , b y e son tres números cuales­ quiera tales que a = b y e M 0, entonces a j e — b /c .

División

31

El estudíame reconocerá en esta ley al conocido axioma que dice: si números iguales son divididos entre números iguales, no nulas, los co­ cientes son iguales. Es importante notar que según el postulado enunciado el resultado de la división es única. También importa observar que la división es posible en todo caso excepto cuando el divisor es cero. Esto es consecuencia del teorema siguiente: Teorema 13. L e división tntre erro es im poñble. u t mostración . Al definir la división por medio de la igualdad ( I ». o sra, (l) ab = c, * parificamos que el número b es único siempre que a yL 0. Supongamos, contra esta definición, que a — 0. Ya que no hay restricciones sobre el número c tenemos dos casos. C aso ( ¡ ) . c — 0. En este caso la igualdad (1) toma !a forma (4 )

a b = 0.

Pero si a = 0, b puede ser cualquier número (Teorem a 8, Art. 2.5). y «•sto es contrario a la condición de unicidad de b. C aro (2 ). c # 0. En r« e caso, si ia rriación (1 ) es a = 0, también . debe icr igual a «ero, por el Teorema B (Art. 2 .5 ), lo cual es una con­

tradicción. Tor tanto, en ambos casos, el suponer que a = 0 conduce a contra­ dicciones, lo que demuestra el teorema. El teorema anterior no significa que no se pueda dividir el cero entre otro número. En r.vlc caso tenemos: Teorema 14. Si cero sr divide entre cualquier número no nulo, el •ociante es cero.

Di'.mostración. Para

c

; 0 en la relación (I) tenemos ab “ 0.

(4)

Ya que a / 0, como consecuencia del Teorema 11 (Art. 2.5) resulta que h 0. Esto es, en la igualdad ( 2 ) , b c fa 0¡ a 0, romo se quería

demostrar. Para el caso particular en que c (3) de donde

a / 0, de la relación (1 ) resulta

ab « a, a b “ - .

a

32

Operaciones algebraicas

En « l e raso el cociente b es La unidad que se rrprevrnta por I, o sea r! símbolo del rutero positivo uno, y podemos escribir

a de « l a igualdad y de ( 5 ) tenemos las relaciones a •1 = a ,

a a s - ,

l •a = a , y

P.u.i el caso particular en que c — J, la agualdad (1, exprrvi que (6 )

ab = 1.

En este, caso el cociente de b se llama el reciproco d e a, y se escribe b = -, a

n

de? esta igualdad y de '6 ) se obtiene ez*a

0, 1.

De estos resultados se deducen las siguientes propiedades: Propiedades lie la unidad 1. El resultado de multiplicar o de dividir cualquier número por la unidad es igual al mismo número. 2. El producto de cualquier númrrn no nulo por su reciproco es igual a la unidad. Ahora vamos a establecer .u c«*gla dr los sgnos de la división. Para esto utilizaremos las igualdades (1 ) ( 2 ) , n decir, (1 ) (2 )

a b = e, b = -, a

a ¡¿ 0.

Por la regla de los signos di* la multiplicación (Art. 2 .5 ), si en (1) son a y c ambos positivos, o ambos negativos, entonces b debe ser positivo. Asimismo, si a es positivo y c es negativo, o ti a es negativo y c positivo, entonces b debe ser negativo. Luego, de la igualdad (2) se deduce la siguiente r«3»la: Regla de los signos de la división El cociente de don números « positivo o negativo según el dividendo y el divisor tenga» signos iguales o contrarios,

División

33

Por lo tamo, si a , b y c non todo» positivo*, podemos escribir . —c c c —b — -------- ------ --- -------. b = - -- ---- ; a —a a a —a Teorema 15. E l produ cto de dos cocientes a ¡b y c j d es otro cociente, d ad o por la igualdad a c ac b 'd

Vd'

dem ostración . Por las leve* asociativa y conmutativa de la multipli­ cación (Art. 2 .5 ), tenemos

y por la relación (3 ) = ac, dr donde, por la ley divisara de la igualdad a

Corolario 3.

ac

l" d ~ T d ' ac a c

Corolario 1. Corolario 2.

c

bd ac b a b

~d~b'

a c - • c— a - . b b a 1 1 T V

a

b'

Esto es, dividir entre un núm ero es equivalente a multiplicar por su ten proco. También, como consecuencia del Teorema 15, paia m entero y po­ sitivo tenemos,

(;y

a a a , a •a •a . . . (m factores) a" = - • - •- . . . (m factores) = . -— ----= b b b b •b • b . . . (m factores) bn

Lo is.?»*¡íir a que ahora podemos añadir a Jas tres leyes de los impe­ l i r m e * del Art 2.5 las siguientes: L ey de los ex ponentes IV .

m entero y positivo.

También podcmoi obtener la / * y de lo r exponentes V. Para s ^ O y m y n entero* y positivos tales que ro > nt a-

°

36

Operaciones algebraicas solución .

La operación se dispone como sigue: Xa — 2jc>* 4* 3y* = cociente

x2 - f xy — 2>’ ) > — — x V + 7xy* — 6y* x* 4 x»y— 2x*y* — 2 x > 4 x3/ 4 7xy> — 2x% y — 2 x *y 4 4 x f 3 x * r 4- 3 * / — 6 / 3 x V 4- 3x^ — 6 / Se recomienda que el estudiante compare esta operación con la co­ rrespondiente operación de multiplicación dada en la solución del ejem­ plo 3 del Art. 2.5. Si el residuo es cero, como en este ejemplo, la división se llama exacta y se dice que el dividendo es exactam ente divisible entre el divisor, el cual recibe d nombre de divisor exacto o fa cto r del dividendo. Si en una división A es el dividendo. B el divisor, Q el codente y R el residuo tenemos: Si R = 0, la división es exacta y escribimos

de donde A = BQ. Esta ¡gunldnd muestra que la división exacta puede comprobarse verifi­ cando que el dividendo es igual al producto del divisor y el cociente. Si R 0, la división puede convertirse en exacta si el dividendo ori­ ginal es diminuido en R. Entonces escribimos = Q de donde (7)

A

R = B(¿

y

A *= B(¿ 4- R.

La relación (7) muestra que cualquier división puede ser comprobada verificando que el dividendo es igual al producto del divisor por el co­ ciente más el residuo. Si dividimos la relación (7) entre B, obtenemos A (B)

B

R Q +

II

División

Kjanplo 4. Dividir a 9

37

3a* *f *1a — 7 entre a* + a — 1.

sol.uciioN. I.n operación se dispone como ligue: a

4

cociente

a" -Ha — I ) o« — 3á“ + 4« — as -f- a" — a —4a* + 5a - 4a* — 4a + 4 9a —

1 ea r e s id u o .

IM acúcalo con la relación ( 8 ) , podemos escribir el resultado nsí: a* — 3a'J + 4 a — 7 .1 +• "I a" a — «1 1.1 •ilón (7 ).

estudiante debe comprobar el resultado por medio de In reln-

I |l lt< ¡ICIOS. GRUPO 3 M «'«da uno «le lo» ejercicios 1-22, efectuar In diviiión indicada y comprobar •I n «ultudo.I ( 8 M*y*t*) + (— 4x *>*«). «4a 4 x » — 84=x *>) -i- ( 24* * ) . 1 5 . ( 2 x * 4- xy — 6 X5; -r (x + 2> 1I S

7.

{ U * — lOab + 3V ) +

9

(m * — n*) + (m + KJ.

—

2. (— -5- ( — 5 4 . { l a ' m x ' y ) -f 6 o - n y s *) - \2 e r y \ . 6. — y ») + (x — y ).

3. («» + 5») ■*■{•- 4). 10. (m «— * * ) -

M b ' + j* ) + b + jl. 12. (* * — y*) II U * — 5x*>— 8xy= — 2y») -i- (3x + y). í

M

( a * — 4.H - S
IV

(2 a * —

e>b —

6 a*4* +

7«5* — 2 4 *) +

( « — ■ ;.

( * — y).

í a : + * 4 — 2 4 » ;.

[2x- -f 5x« — 5 jH - 2x= 4- ? x — 6 ; - [2*= -i- x — 2 J. P .I 2x « 4- i x y — 2>*— 2x + 6 y — 4 ) -i- (x - 2> — 2 ). >• ( * » _ Sjra - * _ 5 ) - > _ 2 ) . | 19 ¡4 a * - 2« * — 4 e * 4- 3a — 7 ) 4* ( 2* — 1).

I 20 II ü f Pa*U«

(x»

— 3 * + 4 ) + (jr* — x + 2 ). — «*4— afc* + 4*) + (•* 4- ab +b*). (,* 4- 2x» 4- 3x* — 4x - 2) + ( * ’ + x* — x + 1). Kf«olver rl ejemplo 14 amerando r| dividendo y el divisor según las poascendentes de a. 2x*

- 2 * Resolver el ejemplo 16 ordenando el d:\-idendo y el divisor sejpin as pt»*«*•»•• ascendente * de x .

■ t3 Comprobar el ejemplo 15 haciendo a—2 y 4 — 1. .'»• Comprobar r| ejemplo 17 har sendo x — 1 e y — I. 17 En una división exacta el dividendo ea a» 4 3x»> 4- *>* — 2^ * el oo.«.|Ur es «• 4 Mf — >*. Hallar el diviaor

Operaciones algebraicas

58

28. En una división exacta, el dividendo es x * — >* y el cociente es x3 +■ x*y + xy3 4- y 1. Hallar el divisor. 29 Demostrar q w 1 x — 5 es un factor de — 3 :x — 5:'*. 30. Demostrar que c + 4 f í « j b factor de «2 — 6* — íb e — — 2, hallar el otro factor. 32. S i a2 + 2a — 1 es un factor de 2c* — 3 * 3 — 6«2 — 3o + 2 . hallar el otro factor. 33. En una división el dividendo es c3 — 2c- 4- o — 3, el divisor es a + 3, y el cociente « c 2 + 5 a — 16. Calcular el residuo Sin efectuar la división. 34. E n una división d dividendo es x * — 2 x * — x 2 — x — 1, el divisor es x* 4- x + 1, y d residuo es x — 2. C alcular el c o d rc tr. 35. E n una división t í dividendo es x 4 — 2x* — x * + 2x2 — x — 2 , el cocien­ te es x2 — 2 x — 2, y el residuo es 3x2 + 7x — 4. H allar el divisor. 36. E n una división el divisor es x 2 4- I , d cociente es x 2 + 2x — 2, y el residuo es — 4x — 1. H allar d dividendo. 37. Demostrar los Corolarios 1, 2 y 3 del Teorem a 15 -[Art. 2 .7 }. 38. Demostrar d Teorem a 16 (Art. 2 .7 ). 39. S i un polinomio homogéneo es exactamente dr.sstble t t ü e etn» polinomio homogéneo, demostrar que el cociente es también un polinomio homogéneo cu>-o grado es la diferencia entre los grados d d dividendo y el divisor. 40. Demostrar que la un alad está relacionada con las operaciones de multi­ plicación y división en una forma que es análoga a la relación d d cero respecto a las operaciones de suma y resta.

2.8. CA M PO D E N U M ER O S Anticipándonos al análisis de la operación de f acto rizar iún que apare­ ce en el articulo siguiente, consideremos ahora un importante concepto de las matemáticas, a saber, el concepto de cam p o (Ir números. Definición. Se dice que un conjunto de números forma un cam po dt números si la suma, diferencia, producto y cociente (excluyendo la división entre cero) de dos números cualesquiera dd conjunto (sean iguales o diferentes), son también ciernen tos dd mismo conjunto. Loa siguientes conjuntos de números son ejemplos de campos de número*: (1) (2) (3)

'lodos los número* racionales. Todos los números reales, Todos los números complejos.

Consideramos ahora el tipo 3 de los productos notables mencionados en el Art. 2.6, es decir, (a + b )(a

b)

a1

b\

I\titnri/.ic¡/>M

*9

Aquí, dados los factores a * h y a b, obtenemos su producto •i b*. Recíprocamente, dada la expresión a'J b‘J, o sea la diferencia di- lo* cuadrados de dos números, podemos expresarla como producto de •i I b y a b, o sea la suma y la diferencia de los dos númetos. Como ioMM « urmia de
I).

(2 ) x ¡ 2 xa — ( V 2 )* — (* (3 ) * » + I =r *■ — i’ = + siendo i

V — I e i*

V J) (x 0»

V 2 ).

- I (Art. 1.3).

A lora nos preguntarnos ¿hasta dónde podemos prolongar Ja faetón* fanón? Aunque «• puede faetorizar mrli/ando números de los tres cainl"w citado*, en general limitaremos nuestra* factoriracioncs al campo de I*•1 uúmcixn racionales. Es decir, nuestro* factores serán expresiones racio* ii.de* y enteras con coeficiente* racionales. Asi, faetón/iremos o* — b 9, lomo hemos indicado pero no intentaremos continuar tratando de faclon/ar, por ejemplo, n b en la forma

a — A= (Va -I- Vfr)(Va — Vb). Una expresión algebraica que es igual al producto de dos o más fac­ ióte» * n un determinado campo de números se dice que es reducible en ese Campo y. en el caso contrario, sé le llama irreducible. Así, en nuestros ti ' ejemplos anteriores. ( I ) es redurible en el campo de los números r * .orales, pero (2) no .o c í L a expresión {3» es irreducible, en el campo loa números reales. t oa propiedad o teorema que es verdadero en un campo de números pn- de no serlo en otro campo.i

i9

FA C TO RIZA C IO N

llrmos visto que el problema de la multiplicación consiste en obtener •I producto de dos o inás expresiones dadas, las cuales se llaman los fa ció tet de ese producto Ahora, vamos a estudiar el problema inverso, •I i» Comiste en obtener los factores de un producto dado. De acuerdo ron b dicho en el articulo anterior limitaremos tales fact orízar iones al campo «!•' lm números racionales. Consideremos aquí la fartnri/ación de ciertos tipo» de polinomios que •rin usados en problemas posteriores. La mayor parle de estos tipos de

40

Operaciones algebraicas

íactorización tienen su fundamento en las fórmulas de productos notables del Alt. 2.6. (1) M on om io fa cto r com ún. Si cada término de una expresión con­ tiene un monomio que es factor común, ese monomio es un factor de toda la expresión como consecuencia directa de la propiedad distributiva (A rt 2 .5 ). En general, al factorizar cualquier expresión, conviene separar el factor común de todos los términos, en caso de que lo haya. Ejemplo 1. Factorizar: solución ,

( * ) 2a b lx* — 4a b 2xy — 6afc^J . (b ) 3m*n* + 3msn* — 6mn.

(a ) 2a6axJ — 4a6axy + 6a¿r>- = 2a6s> * — 2xy + 3y*). (b) 3m: n* 4* 3m*as — 6mn = 3m n(m «* + man — 2 ) .

(2 ) T rin om io qu e es un cu adrado perfecto. Los Tipos 1 y 2 de los productos notables del Art. 2.6, (a ±; 6 ) a = a 1 ± . l a b 4* 0a, sugieren la forma de factorizar un trinomio equivalente al cuadrado de la suma o la diferencia de dos cantidades. Ejemplo 2. Factorizar 9a* — I2 *y — 4y3. solución .

9a1 -

\2xy + 4y*

(3 a)* 2 (3 a ) (2y) 4* (2y)* « ( 3x — 2y) *.

(3) D iferencia de dor cuadrados. L a forma de factori/.ar queda su­ gerida en este caso por el tipo 3 de los productos notables del Art. 2.6, (a 4- b) {a

b) = a3 — ó1,

lo cual no» dice que la diferencia de los cuadrados de dos cantidades tiene dos factores, uno rs la suma de ellas y el otro su diferencia. Ejemplo 3. Factorizar 4a4AB — 256*y\ solución .

4 a V — 256V = ( 2 a V ) « — (56V ) ■ = ( 2 a V 4- 56V ) (2a**•

5 6 y ).

(4) T rinom io genera/. Consideremos cualquier trinomio que no »ca un cuadrado perfecto. La fonna de sus factores se deduce del tipo 5 de los productos notables del Art. 2.6. ( oa 4- 6 ) ( ca 4- d ) ce acx* 4- { ad 4- b c ) x 4- bd. Suponiendo que rl trinomio dado sen faclnrizable, nuestro problema consiite en obtrner cuatro números a, 6, c y ti tale» que a y c sean factores del coeficiente do **, 6 y d sean factores del término constante y la suma de los

Facrurizición

41

producto* cruzados a d y be sea el coeficiente de x. Estos números se obticiii o mediante ensayos. Ejemplo 4. Factorizar 6x* — 11 x — 10. SOLUCION. Como primer ensayo escribirnos dos pares de números cu­ yos producios sean el 6 y el 10, en dos columnas separadas, o sen

6

x5

1 - 2

y tomamos la suma de los productos cruzados: 6 (— 2) 4* 1(5) = — 7. Ya que la suma de los productos cruzados debe ser — 11 (coeficiente de \) ir hace necesario utilizar una diferente selección de factores, por ejemplo: 2 * - 5 -II, pu,i la cual la suma de productos cruzados es 3( 5) + 2 (2 ) = I’or tanto, los factores buscados son 3* 4* 2 y 2x 5.

11.

HUTAS

1. Si el coeficiente de ar es la unidad, como en el tipo 4 de los pro­ ductos notables del Art. 2.6, entonces el proceso es más sencillo, pues solo oii.tiste en determinar dos números cuya suma y producto son conocidos. 2. Si los factores de un trinomio de segundo grado no pueden obteii« •* por ensayos, se verá que se les puede encontrar con un método que «•multaremos más adelante y que está relacionado con la función cua­ drática. (5 ) Polinom io d e cuatro términos. Algunos polinomios de cuatro tér­ minos pueden ser ordenados y agrupados de modo que presenten un fac­ tor común. Ejemplo 5. Factorizar 12x>* + 3 y — 8x — 2. SO L U C IO N .

12*v 4- 3y — 8x — 2 = 3y(4x - 1) — 2 { 4 x + 1) = (4x + I ) ( 3 y — 2 ).

(6 ) Polinom io que es un cu bo perfecto. En este tipo nos liinitareal caso en que el polinomio dado es el cubo de un binomio. La forma dr un polinomio así, corresponde a los tipos 6 y 7 de los productos no­ table* del Art. 2.6, iikm

(a ± ó ) ' = a 1

3d*b 4- 3<sb* ± 6*.

■12

Operaciones algebraicas

Ejemplo 6. Factorizar Sx3 — 36*=y + 5 4 * /

27/.

solución . El hecho de que este polinomio puede ser un cubo per­ fecto queda sugerido al observar que los términos primero y último son cubos perfectos, es decir, ( 2 * ) 3 y (— 3>*)3. Entonces escribimos el poli­ nomio dado en la forma del cubo de un binomio que acabamos de men­ cionar

8 **

36/y-H5 4 * / — 2 7 / = ( 2 * ) 3— 3 ( 2 * ) a(3y) + 3 ( 2 * ) (3y )*— (3y)3 = (2 * — 3y)*.

(7 i Sum a y diferen cia d e dos cubos. En este caso los factores se de­ ducen de los tipos 8 y 9 de los productos notables del Art. 2.6, (a ± b ) (a2 z f ah + b2} = an ± b3. Ejemplo 7. Factorizar 8*® + 27/ . solución .

8*n - 27/

(2 *2) 3 + (3y) 3 = (2** + 3y ) :[2x']> — [2*>J [3/ + [3y]2) = (2 * 2 + 3y) {Arx* — 6x=y + 9 / } .

nota 3. M ás tarde probaremos por inducción matemática (Capítu­ lo 7) que si n es un número entero y positivo entonces:

x" + / tiene el factor * + y cuando n es impar, x n — y" tiene el factor * — y cuando n es impar o par, x n — / tiene el factor * + y cuando n es par. En todos los ejemplos anteriores las expresiones dadas pueden reco­ nocerse fácilmente como pertenecientes a una determinada forma tipo. Sin embargo, a veces sucede que una expresión dada, que aparentemente no pertenece a un tipo determinado, puede reducirse a él. haciendo algu­ na transformación, tal como ordenar los términos o sumar y restar un término adecuado. Este proceso se ha utilizado en los siguientes ejemplos. Para resolver estos problemas se requiero mucha habilidad a fin de reco­ nocer- las formas matemáticas fundamentales como ya se mencionó en el Art, 2.6. Ejemplo 8. Factorizar a'¿ + 2ab + h 2 — 3« — 3b — 4. solución . Los primeros tres términos representan [a + b V , y los •los siguientes equivalen a — 3 (a + b ) . Esto sugiere que tenemos un tri­ nomio general i.tipo 4) utilizando en lugar de * la cantidad a + b. En consecuencia escribimos a2

+ 2a b + b* — 3a — 3b — 4 = (a + 6 )* — 3 {a + b ) — 4. = {[a + b\ + 1) ([,o + bj — 4) = (a + b + l ) ( « + b — 4 ).

43

Mínimo común múltiplo

Ejemplo 9. Factorizar x4 I \x2

16.

nolucion. Si d segundo término fuera Sx\ tendríamos un cuadrado p ,recto . Esto sugiere añadir 4x2, y para conservar la igualdad, restar I • |,ii expresión resultante será entonces factorizablc:

x L -f 4 jc2 4- 16 = x4 + 6x* + 16 — 4** = (x* + 4 ) * — (2 * )* N por el tipo 3 = (x 3 ~ 4 4- 2x) (x= + 4 — 2x) .

2 10. M IN IM O C O M U N M U L T IP L O l

n polinomio que es divisible exactamente entre otro se llama un

•nilt¡plo de esc último. Por ejemplo, x * — y* es un múltiplo de x + y. Un polinomio que es múltiplo de dos o más polinomios se llama m iltifili tom un de estos polinomios. Por ejemplo x* — y* es un múltiplo común de x 4 y y x — y. Evidentemente, dos o más polinomios pueden tener más de un múl(lp¡«i común. Aquel múltiplo común de dos o más polinomios que tiene rl menor grado posible se llama el m ínim o común m últiplo de dichos IHilmomios y generalmente se le designa ron la abreviatura M.C.M. Ea determinación del M .C.M . es una consecuencia de la definición, rv cu-i ir, el M .C.M . de dos o más polinomios es igual al producto de todos li. factores diferentes de estos polinomios, tomando rada factor con el m.txiino exponente con que aparezca. Va que más adelante tendremos que utilizar el M .C.M . de dos o más piilmomios, explicaremos su determinación por medio de un ejemplo. Ejemplo. Hallar elM.C.M . de x ' — f ,

x2 •+ 2xy + y\ y x8 + y*.

SOLUCION. Primero escribiremos cada polinomio en torma factor izada: ** — >•*= ( * + y) ( * — ?)• Xa + 2xy I- y2 = (x — y)*.

I

*« + y» =

(x

-f

y ) {x*

— xy +

y7).

I ,i>» ím torca diferentes son x + y, x — y y x2 — xy + y*. El mayor expo­ de x y es 2 y el de los otros factores es 1. Por lo tanto.

lió m e

M .C.M . = (x + y )a(x — y) (Xa — xy +• y*). nota .

toi izada.

Generalmente conviene conservar el M .C.M . en su forma far-

44

Operaciones algebraicas

E JE R C IC IO S . G R U P O 4

En cada uno de lai rje rr k io f 1-30 («ctonzar la a p n a i f o dada.

1 2 **y *— 6x> s3. 85-m’ + 24é-mn - IH¿-n2. 3. x2 4- 2 xy + y2 — a2. 7. m2 — b2 — 2mn f ji j . 9. 6a2 + 5a 6. 11. 12*2 — 2 9 * + 15. 13. 10,n2 — 13mt, - 3n2. 13. x3 4 2xy + y3 -f- x + y — 6. 17. x3 — 3x — 2 xy — 6 y. 19. •\a3mx t- 8 Gznx — 2a*my 4attty, 21 8xs — 12x*y + (xty- — y*. 23. asb« 27c*d*. 25.

1 + my — jr2 —

ct>*.

27. * * 4- x« 4- 1. 29. 4 * 2y* — + y2 — * * ) * .

2. I6*<1— 24*-b + 96*. 4. r, 8. 10. 12.

14. 16. 16. 20.

Da» 4*. a2 4 ¿»J — c2 — 2a6. Xa - x — 20. f>b3 I 135 — 28. 2x* ■+ 3x> — 2 y3. 2 a» t- ah — 63*. *» — 2xy + y 3 4- 6 * — 6y + 8. 3ax* — 6fc> 4 9ay — 2bx*. x* 4 6**y + 12x>* 4 Üy3. «X3 - - 6 iy*.

22. 24. fl* — t * . 26. X* ~ * 4 - 1 . 2 8 . a* 4 fc« — 7c*b‘. 30. 8 — 8 * » + X « — jr»

En cada uno de k» ejercid o * 31- J 9 . hallar el M C M. d r Ia< expresiones dadas

y expresar el resultado en la forma fa rto rio d a . 31. ■¿x'- - Sx — 2 . 6x2 — 7x - 2. 32 6x*. 3xy», 12x*y. 33. *- 4 ah — 2 6a. 3a2 4 4 c é — 4b* 34. x « - 1. x* 4 - 1 , 2 * * + 2 . 33. * 2 - - x — 2, x 2 - 4x 4 3, x» 4 x 6. 36 2x* - — ■«xy + 2«x — 4cy, 6x> V2by —" 12>J i tibx, 3xy + lab 4- Soy y 3b». 37. x < - 16, x" | 3x 4 6, x 3 x — 6. 38. X — y , - y», ** — y*. 39. 2n»> 1 W* — Sro, m* n m 4* mn, 2m= x 2m n 4 3m -t 3n 40. Demostrar que el método usado en aritm ética para o btrnrr el M C.M dr

do» o más iiúmrnw rs r| misino que el que se emplea en álgebra para obtener el M.C.M. de dos o más polinomios.

2.11. FR A C C IO N E S SIM PLES Una fracción es d cociente indicado de dos cantidades, Por ejemplo, si es el dividendo y ti es el divisor (no n ulo), el cociente A /B es una fracción, recibiendo A el nombre de num erador y B el de denom inador. Las operaciones con fraccione* se efectúan en álgebra del mismo modo que en aritmética. Sin embargo, usaremos expresiones algebraicas en lu­ gar de números y además se considerarán tanto cantidades positivas como negativas. V.i que las fracciones tienen su origen en la operación de divi­ dir, los resultados dd Art. 2.7 tendrán aplicación inmediata. Por ejemplo, la regla de los signos de la división es aplicable directamente a las frac­ ciones.

45

Fracciones simples

U n í fracción algebraica sim ple es aquella en que el numerador y el denominador son expresiones racionales m ieras. Son ejemplos de fraci limes simples: 2 x -f- 1

x— 1 jc1

#*— 2 * T 2

r. y —

______________

1

+ x + 4

Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor (pie el grado del denominador, y *c llama im propia ai el grado del numerador rs mayor o igual que el grado del denominador. Por ejemplo, a— 1 * * — 2x + 2 v ___________ son fracciones propias, mientras que --------— ----

7 »

M

y

j c, +

*

+

4

*

^

¿

jr* — 2jt + 2 y —.-------------- son fracciones impropias. * + 1 I Ina fracción impropia puede escribir** como la suma de un polino­ mio y una fracción propia. Así, como vimos en «*1 ejemplo 4 dd A n. 2.7, 9a — II a3 — 3a2 4* 4a — 7 = a — 4 *+• o* + 0— i ” ‘ a* f- u — 1 K1 siguiente teorema es fundamental para operar con fracciones. Teorema 18. E l calor de una fracción no varia u el num erador y el ,1r nom inadót ir multiplican dividen) por una m im a cantidad no nula, DRMOSTRacion. Por definición y propiedad de la unidad ( A lt 2 .7 ), tenemos a

a

b ~ b

j

a c ~ b

c

ac

y por el Teorema 15 (Art. 2.7)

be

Y a que la división entre un número es equivalente a la multiplicación ,„>r su recíproco (Teorema 15, Corolario 3 ), por la primera parle de la demostración tenemos: 1

a

a 'd _ d

i“ V h 'd

d

Del Teorema 18 resulta I s y d e lo i ex p o n en to V I. S i a ^ O y m y n s o n enteros positivo» ta­ los que a < n

*

Operaciones algebraicas

46

En efecto: por ni Teorema rador y el denominador entro a m/ a n = 3 (por la definición como a m/o" = a " por la ley

18, a * j a * no varía si dividimos el nume­ a"'. Enlomes el numerador queda como de unidad), y el denominador queda de los exponentes V (Art. 2 .7 ).

Ahora consideremos, en este orden la simplificación, adición y sustrac­ ción, y multiplicación y división de fracciones, ( i ; S im plificación d r fracciones. Se dice que una fracción está re­ ducida a sus térm inos más sencillos o totalm ente sim plificada, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirle a tus términos más sencillos dividien­ do el numerador y el denominador entre los factores que tengan en co­ mún, de acuerdo con el Teorema 18. Ene proceso se llama también can­ celación de factores comunes. Ejemplo 1. Simplificar a fracción

^

2x -

~x

4x* — 8x* — I2x*

soluciok . Primeramente factor i/aremos el numerador y el denomi­ nador y luego cancelaremos los factores comunes a ellos:

2** — 2x 4 a 4 - « r3 I2x

2x(jr* — 1) 2 x (x + ! ) ( * — 1) 4x*(x* 2x - 3) ~ ( 2 * ;* ( x + í } ( x — 3) .«— 1 = 2 x [ x - 3)

(2) Adición y sustracción. Si dos fracciones tienen denominador co­ mún entonces tu suma o diferencia se obtiene como una consecuencia inmediata del Teorema 17 (Art. 2 .7 ). Esto es, (1)

a - ± m

b — m

a ± b m

.

Este método puede ser ampliado para obtener la suma algebraica de tres i) más fracciones que tengan un denominador común. Si do* fracciones no tienen un denominador común, entonces pueden ter transformadas en otras fracciones equivalentes que sí lo tengan, lo cual permite operar como en el caso anterior. Asi, t b y d son diferentes, entonces, jxir el Teorema 18, a o h Por ( I )

c

cd

bd

bd bd a d d: b e bd

*

Fracciones simples

•17

Al transformar dos o «más fracciones dadas en fraccione» equivalentes con drr.nminador común, conviene usar su menor denom inador com ún, que «•* el M.C.M de lo» denominadores (Art. 2 .10). Ejemplo 2. Calcular la suma de las fracciones: x—3

x

,

Xa— 1

3 x~r

1*

solución .

El menor dwsominador común es (Art. 2.10) ( * - - ! ) » ( * + I). I a transfoimarión de cada fracción en otra equivalente cuyo denomina­ dor mu el menor denominador común se efectúa como sigue: x (X - - ] } '

*_ 3

x (x 4- 1) <* —

_ 1)

x2 4- x ( x — \)2(x -I- 1) •

( x — 3) (a — 1 ) _ ** — 4 x 4 - 3 i)(jt— j) [x— iy { x - i ) .

3 3 ( x — 1}* 3x* — 6x I 3 S " + l " ( * + l ) ( * — D 2 ~ ( x — 1)*(* IJ * x— 3

x

1

_______H

{JC— 1)*

3

X* — 1 "** x -*1- l

3) + Sx- — 6x 4 - 3 (x -n V x -l)

3** — * ”

< *— ! ) * ( * - 1 )

‘

l a la práctica resulta suficiente escribir sólo las dos últimas igualdades ¡3 ) M ultiplicación y du in ón .

Por el Teorema 15 (Art. 2 .7 ),

a c

ac

h d

bd

dice: el produ cto d e dos fraccionas rs otra fracción cuyo num erador y den om in ador son. respectivam ente, «/ producto d e los num eradores y el producto de los denom inadores d e fas fracciones dadas. F.l problema de obtener el cw icntr de dos fracciones se reduce al de hallar el producto de do» fracciones, puesto que la división entre un número (no nulo) es equivalente a la multiplicación por su reciproco 'Teorema 15, Corolario I). Veamos cómo m: obtiene el recíproco de una fi-unión. Represéntenlo* por r el recíproco de la fracción a fb . Entonces, ya que el producto de ■ualqnier número no nulo y su recíproco es igual u l.i unidad (Art. 2.7) , tenemos

IB

Operaciones algebraicas

De esto relación, aplicando las leyes multiplicativa y diviaora do la igual­ dad resulta: Multiplicando por b ,

a •r = b, b r = -. a

Dividiendo entro a,

Esto es, el recíproco de una fracción es otra fracción con el num erador y el denom inador intercam biados. Se dice que el recíproco de una fracción se obtiene invistiendo la fracción dada. Por lo tanto, ¿7 cociente de dos fraccion es es inual al producto del dividendo p or el reciproco d el divisor, «rato es,

„.

,

-

...

Ejemplo 3. Dividir 1

a

c

a d

ad

b

d

b e

be

x* + x - - 6

x* — 4

, , — * entre x "— 1

. , . x I I

8oi.ucioN. Gomo se acaba de indicar, invertimos el.divisor y luego procedemos como en la multiplicación:

x*4-x — 6 * •— 1

x» — 4 *■ + * — 6 + T + T e= * • - !

x\

1

' x«

—4

_ (x* + x — 6>(x + 1) (x* — l ) ( x * — 4) * Ya que se acostumbra simplificar los resultados, faetón/aremos el nume­ rador y el denominador y resulta:

( * + 3 ) ( x — 2)(x4*l) rx + i ) ( x _ i ) ( x +

2) (x

—

_

2)

x 4- 3 (x —

1J ( x

+

2J

*

2.12. FR A C C IO N E S COMPU ESTA S U na fracción com puesta es aquella que contiene una o más fraccio­ nes ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejem­ plos de fracciones compuestas: x 4- 2 3 x2 — 1 x 4- 1 2x — 5

x3 4 - 2 * — 3

Y

x 4* 2 2x* — 3x — 2 i 4 *

2 x 4* 1

Se entiende por sim plificación de una fracción com puesta su trans­ formación a una fracción simple, reducida a sus términos más sencillos,

Fracciones compuestas

-49

que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos. Uno comiste en transformar el numerador y el denominador en fracciones simples ( « e s necesario) y luego proceder como en la división de fracciones ( Art. 2.11). h. otro método, que generalmente es el más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador oritfinaJes por el menor denominador común de todas las fracciones, de acuerdo con el Teorema 18 (Art. 2.11J. x -2 x= — 1 * + 1 Ejemplo 1. Simplificar 2x — 5 x* -r 2x — 3 solución . Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra: * + 2 3 x —2 3 (x — i: a *— l X—1 X *— 1 + ( x - 1 ) > — l ) 2x — 5 ' 2x — 5 x* ■+ 2x — 3 (x 4- 3) ( x — 1)

4 *— 1 (x + i : ( x — 1) 2x — 5 (x + 3} ( x — i)

4x — 1 (x + 3 ) (x — 1) _ ( 4 x — 1) (x + 3) “ (x -M M x — l) ’ 2x — 5 ~ ( x + l ) ( 2 x — 5) x± 2 _ c. 2x* — 3jc - 2 Simplificar ------------^-----

................. . Ejemplo L

1 solución .

£TF \

Ahoia aplicaremos el a*gtmdo método.

Como 2x* — 3x — 2 = (2 x 4 - l ) ( x — 2 ), resulta que el menor deiHiminador común de las fracciones del numerador y el denominador es (V,v I l ) ( x — 2 ) . Por lanío, muliiplicando el numerador y el denomi­ nador ¡Mir (2x I I ) ( x - 2 ) , tenemos L

•

í _ t 2_

2

__4_

x + 2 *4 *2 (2x 4* l ) ( x — 2) — 4 {x — 2) ~ ( x — 2) (2x — 3) *

' 2x 4- I l

Jl R í ¡IC IO S . G R U P O S

•’ ± “b Ma — frü • *'-Y i 'l r 1 ' 2* - ** — #• JC* - 3* 4- 2 '

* # t- U *• 3 12* 3 • «• 2 ad 1 2b, \bd 4. u9c 1 4dbe I- 4 m1 '."i 0. m»» i*m> d* * 2.

a»

50

Operación?» algebraicas

En cadn Uno de lo» ejercicios 7 y H, nepresar la fracción impropia duda romo la suma de un polinomio y una fracción propia 7.

Xa

4a»— 2a I I *» ♦ I

8. -a ' » 2 a + I

Rn cada uno «Ir lo» ejercicio» 9 y 11) truniformnr la expresión dada en una (ram ón impropia. !>. a» - a i- I I- - — ¿ . a— I

10. a» I 2» I 2 I * — - . x“ — 2

Er. ruda uno dr lo» ejercido» 11-20, efectuar la imiu» algebraica indicada, _1 ,1‘

*

13. 13.

1 - J . ______ 1 ~ T ' ■

| 1

X

1— * l - x 3* 2 + * * 2 — » "« « — 4 * o • 1 2 **— 1

« » -« • » I 1 16. (a

17 .

III.

•_____ + c)

(• — * ) ( ' — * ) *

~ _____ £-------- .

.¿)

e)(b

(c

a)[c

»■

b)

<*


ó) ( a — r )

r *

** — 2 « *— 1

l

ó)

b

(b

á* (
_

tfc — c ) ( «

(o — ó ) (a

2 . -JP -- + r/l — 1 m>

1 1

m

• 4- 1 2 u. 14. « — 1 * n- 1 1 i — 1 4 .— Í

________ 1

b)(„

m

12.

t

X

(n

a)

* ± y ____a.

i9

íA j l X y— * ]U — *) + Ü - a ) ( a — 7 )

20

* - c •* — ( * — «)*

- < f f ó - e)

* + *

(x -y )ly -l)

+

b ' — le — a)*

— * e* — (« — ó )* *

Er. cada uao «le kn ejerrteiot 21-28. efectuar la operación indicada y «implificar, «i es posible, el resultado. 21. 23.

25.

5 x ‘> 3

9¿-b '

lO x j1 *

" . a — a x-

( * V«

— 4x +

28.

x2 — x* —

( « - » > • Xa

24

ix Z 9x’ x* — r 3

* •' 3

x2 — 5x + 6

x 2 4- 5 r + 6 27

oo ^

x- +

1

x 4- 1

2x= — 3 r

X2 +

XT

(X

> )2 - . * 2

---- XZ

26.

x — 6 .

x* + x — 2 + .

X tx -

i= ) a )

( .

V

x- +

x +

X2 0 2 — 40= * 2x +

iy

* — y

(i+ i) b ) *

V.

I

X» — x a — 6 x * xy

-jr= — yt

X ]* — >* ' ( a — r ) * —

•

29. Demostrar que rnultiplirar una fracción por una cantidad es equivalente a m ultiplicar su numerador por esa cantidad. ID. Demostrar aue dividir una fracción entre una cantidad no nula es equiva­ lente a multiplicar su denominador po: esa cantidad. En cada uno de los ejercid o* 31-34. ronvrrlir en fraccione» simples las frac­ ciones compuestas dada» En geometría analítica se presentan fracciones de cate tipo al calcular el ángulo de cko rectas.

51

Exponen tes

SI.

4 3

2 9

32.

4 2

'T i 5

5)

3 7 2 5 3

34.

1 ~ 2 "7

2 1 3*5 2 1 1_ 3 5 5 8

1 3 5 I 1 --------6 3

Kn rada uao ce loi ejercirm* 35-45 siicplificar t» fracción ron y uaia dada.

1 1

I» i l ! -4 * 37

36.

I

y 4 * * —i * + r M* 4 X — 2 39

x-

r

—

—

fe

40

1—

1 11 i x I

42

I t

1

m— a

x- - 5jt t 6 x* 9

41.

a

•n* — n* 38. m- — 2 n « -f a ; TK- -- BU__

* ♦y

* —)

b

1 6=

* +

l X

I +

1 4- x 1— *

x* 4 y» - >*

43.

I_ 1

x'i — y»

) li

x +•

1 '

I I X I »X

L

(i \X *

1 , U| 14 I X ■ - « /

fiL ti-JE í) V « -* • + */

VI ». K XI'O N EN TKS V.» hemos visto las seis leyes relativas a lo* expórtente** (A rK 2.5, 2.7, •• l I i,iii irnetanos a conlinu.iriAn para fácil referencia.

Opcrsciones algebraicas

52

L

o - a" = fl" + *

II.

(« -)• = a mm. (a & )- = a " b m.

III. IV. V. V I.

(i)’ o-

aan a*

am ~ bm' = a -— . 1 a»—■

rx > n. n < n.

Debe tenerse muy en cuenta que estas leyes han sido establecidas so­ lamente para exponentes enteros y positivos. Si se quiere que estas leyes sean también válidas para exponentos que no sean números enteros y po­ sitivos, es necesario establecer el significado que *» debe dar a los expo­ nentes negativos. Sea q un número entero y positivo y por tanto 1f q una fracción posi­ tiva. Consideremos ahora el significado que debe tener 1f q como expo­ nente, es decir, el significado de a 1^ cuando a ^ O . Para que la ley de exponentes I sea válida para este exponente fraccionario, deberá verifi­ carse que ¡a d o r . . .«tirmhw*

= a

(i)’

= a.

Esto es, tiene que tener la propiedad de que su potencia de grado q sea igual a a. Entonces definimos a*/* como una raíz da índica q de o, y escribimos qUh

y ¡ <*,

en donde el símbolo V se llama signo radical y el entero q es el Indice d e la raíz (véase A lt 1,3). Para q 2 es costumbre omitir el Indice, correspondiendo a la operación llamada raíz cuadrada. nota. Veremos más adelante que cualquier número (excepto cito ) tiene q raíces distintas de índice q, y esta es la razón para referimos a a lh como "una" raíz de índice q de a. Por ejemplo, el número I tiene dos raíces cuadradas: + 2 y - 2. Para evitar ambigüedades asignaremos a a ^ f un valor único llamado la raíz principa!, o valor principal de la raíz, que está definido como sigue:

Hl índica q es par. Si a es positivo, existen dos raíces reales lie igual valor absoluto y de signos contrarios. En este caso la raíz principal «-a la

Exponentos

53

raíz positiva. Por ejemplo, rl valor principal de la raí/, cuadrada de 4 rn 2, y se representa por 4'* y lu raíz cuarta de 81 es 13, y se repré­ s a la por 81^. El Índice t¡ es im par. Si a es positivo, existe solamente una raí/ real ipir es positiva y que se toma como la raíz principal. Si a es negativo existe una raíz real negativa que se toma como la raíz principal. Por ejem­ plo, el valor principal de la raíz cúbica de 8 es 4-2, que se representa |M>r II'*; el valor principal de la raíz cúbica tle 8 es — 2, «pie se repre­ senta por (— 8 )^ . En general, « p y g son enteros y positivos, para que se verifique la ley de exponentes II deberemos tener que

de donde, jK>r definición, flt/s = «••lo ti, oPl* significa la raíz de Indice q d e la potencia d e grado p de a. t lomo antes, limitamos el valor de la raíz a la raíz principal. 8*4 = ^ 8 » = = 4. E jem plo. Observemos además, que por la ley de los exponentes I I podemos ■•rribir a " ' = («*'*>* = ({/ « )* , rsto es, significa también la potencia de grado p de la raíz de índice q de e. En otras palabras, si usamos solamente la raíz principal, una po­ te rx a de exponente fraccionario se puede calcular efectuando la poten•i.» y la raíz en cualquier orden. Así, en el ejemplo anterior, podemos escribir también 8 * = ( t f 8 ) * = ( 2 ) * = 4. Por lo tanto, en un expon en te fraccion ario el num erador significa una fioter.ria y e l denom inador una raíz. Para que la ley de los exponentes I sea válida para el exponente cero, «lehemos tener, para m = 0, •a” =

= a\

d donde, por las definiciones de división y de unidad (Art. 2 .7 ),

Operaciones algebraicas

u

Es decir, cualquier nú turro no nulo a fecta d o del exponente cero *s igual a la unidad, E l sím bolo 0" »w está d efin ido. Consideremos ahora «I significado de los exponentes negativos. Sea m un número entero y positivo y, por tanto, — m un número entero y nega­ tivo Entonces, Miponimdo que la ley de los exponentes I. sea válida para exponento negativos, tendremos:

a" •a m = cm~ m = a* — 1, de donde y

a~ m — — , ü^O . am 1 a“ = —— , « # 0 . a

Esto es, el H enificado de un exponente negativo qu eda d ed o por la igualdad I a m= — , a t¿ 0 . Por tatito, n i una fracción, cualquier factor puede ser transpuesto del numerador al denominador y viceversa siempre que se cambie el aguo de su cxponrntc. Por ejemplo

_ a:bx

xf~ *

Ya hemos establecido el significado de loi exponentos fracciona rio* cero y negativo, o sea de todos los exponentes racionales. Puede demos­ trarse que estos significados son compatibles ton las seis leyrs tic los exponentos. Más adelante consideraremos los exponentos irracionalt \ (Capitulo 16). Las operaciones algebraicas ton potencia* de exponentos fraccionario* se efectúan exactamente en la misma forma que si lt*s cxponrntrs fuesen números enteros y positivos Veamos algunos ejemplos Muchos problemas con potencias son problemas tlr simplificación. En general, consideraremos que una expresión dada está «unpll(irada mando está escrita en su furnia más simple, oslando (odas las fracciones simpli­ ficadas y todos los exponentes fraccionarios reducido» a it.s términos m «s sencillos ( Art. 2.11). Ejemplo 1. Calcular (a) ( —2 7 )'*; (b } ( 3 2 ) * ; (c solución .

(b )

(c)

fa> t — 2 7 ^ = | (-2 7 \ ^ p

6 4 * *8 *

<— 3 ¡* = 9.

( 3 2 } * = (3 2 * )* = ( 2 J * = 4. 6 4 * -8 “ * - * * * a*

4 (8 **

4

27 =

I

55

F* pudentes

Ejemplo 3. Multiplicar

— & +■ y * por x1* + y'* - x ^y.

hoi ijci ON. Acpií procederrmo* como en los exponentes enteros (véase . I ejemplo 3 cli l Art. 2 .5 ). I.a operación se dispone como sigue:

Xy-H—jC* 4 y* x * 4 yW 4- x ~ ^ y

x^y~^ — x + x x 'ty 1 y XVjy'A — y — X -W * jflíy ‘A

4 x fy fi

+ xr-' V i *

Ejemplo I. Expresar como fi acción compuesta y simplificar a~'xb 2 + a r 2b~ 1

A O l.C C IO N .

a ifc ’ -f- a

*

Multiplicando el numerador y

o tr i

_

<¡?b i

a ~f ¿> ____ 1^

I JF R C IC IO S . G R U P O 6 1 O riD oilnr que el s p ú l in d o dado al expor.enle erro er. el Art. 2.11 ex
2 Orina tirar que el ugn:firada ¿ado .i k»« exponenlr» r.e fjtiv » en el AM 2 13 »• compatible con b f leyes de lo» exponenlri Il-V I. F.n cada uno de kw Ejercicio* 3-10 calcular la expresión dada 3.

I6 V

7. ( W * .

4.

(— 8

3

23

V.

6

2 a.

t o w » ; 1'»

5*

En cada uno dr luí Ejercicio» 11-18 simplificar lu expresión dadt» v escribir con expunentea positivo».

el resuludu

56

Operaciones algebraicas

II. (2«* + to-ij-Y», l+. 17. Fn 19. 21. 23. 23. 27.

r 27 'a -i*a -j Vi

I2. (- 8(x#> ■)V»]V». .

13. lW, (« (m ,)V»)V*r.

»n«V» /' 3«’.'•«Vi \ a I j. 16. 9 tiV ‘ (. b * )

B*» \ I V. l m / + V 27y» ) \ ,8- <3* aula uno de lo» Ejercicio» 19-27 hallar el producto indiendo. (V/i 4 yV»>( *V» — f h ). 20. (jfh 4 yVi)». (jfVi 4 *-V«)» 22. (* 4 * >)<* — **»). — yVi)». 24. (jrV. 4 yV.)» («'<’•-i- *V»6'/aAV»J(a1'i *’/»), 26. (a*— I 4 a^Jía" | l 4 « >). («•«- m« | rwV»- m mV» — m*)(mV» 4 *»•).

Kn cada uno de loi Ejercicio» 28-32 efectuar la dlvbi6n indi* udn y comprobar el multado. 28. (* — y) 4 (xV t_/ fc). 29. (* |-y) (x'k 4 yV»), 30. — *-»•/») - (*V a-"/*). 31. < « • ',_ ,) —je'/»), 32. ( * % - xr/» - 8 * 4 9jt*/* — 7*Vi -r 6.e ■'•) +■ (*•/• 4 2*V» — 3). I.n cada tino de loi Ejercicio» 33-40 •implilic.tr la •xpreaión dada. 33. 33.

37.

L * v * *

+

*

2(¿ry) • 4 y *

34. 3fi.

8 -— 2jr* 4

3S

( £ ) * . ( ,£ ) * . ( £ ) * .

39

Lx-’. I / ; ] ' * [ fr = T í] '+<*-* + r ‘)’.

40

<* — * *}(> — > *7 4 (qyl“*

*» 4 y» - .>-» + y »)

2.14. RA D IC A LES «r— La expresión -y o, que representa la raí/ principal de índice q de o, se llama radical, y la cantidad a que aparece hajo el sitpio radical se lla­ ma radicando o rubradical. Al índice de la raíz, q, se le llama también orden del radical. En el Art. 2.13 establecimos, por definición, que a«'f

c

Radicales

57

i*» cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias. Por unto, las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes (Art. 2 .1 3 ), sobrentendiéndose que toda raíz utilizada «a la raíz principal. De estas leyes relativas a los exponentos obtenemos las siguientes leyes, de ¡os radicales: |

- f - -» r -rr-ya • \ b = \ a o .

Estas leyes las utilizaremos para simplificar radicales y para efectuar «un ellas las diversas operaciones algebraicas. Debe observarse que si m y n v>n números pares, los subradicales a y b deben ser números no negativos. (1 ) Sim plificación. Se dice que el radical simple -y a está simpliIn a d o cuando satisface las siguientes condiciones: (a ) El subradical no contiene factores afectados de exponentes ma­ sones que el índice q de! radical. (b ; El subradical no contiene fracciones. (c) El Indice del radical rs rl menor posible. Ejrmpln I. Simplificar: (a ) solución ,

(a )

(b)

• (r)

27.

= \V2*a~a\ \ faJ

Por la ley I, 2a $ a*. (I») Por la ley II

Por la ley I,

/27

V 27

■IV'T V2 '

Kl siguiente paso consiste en quitar el radical del denominador, opera* cidn que se conoce con el nombre de raconalización drl denom inador. Para esto se multiplica el numerador y el denominador por V2^ Resulta:

58

Operaciones algebraica*

3V T^

Por la ley I,

1

^

Este m ultado puedo m*r obtenido más dim lamente como sigue:

. /27 /27 _ V 2 7 _ V V27 27

V V 22 _ V V54 54

Y 22

V2 V'2 ”

V V22 Vi

V V2 2

22

V 9 •ti

3

2

2

V 0.

Debido u que la racionalizarión de denominadores tiene gran impor­ tancia, lo estudiaremos con mayor detalle en el inciso ( I ;. (c)

= VT*

3* = 3*

V 3.

(2) Adición y sustracción. Se dire que dos radicales son sem rjantts si después de que han sido simplificados constan del mismo tubradical y el mismo índice. Por ejemplo, 3 ^ 7 * y 2 ^ 7 son radicales wmrjanlrt, La suma algebraica de radicales semejante» se efectúa como la de términos semejantes, o sea se multiplica la suma de sus coeficientes |x>r el radical común. Ejemplo 2. Calcular la suma indicada: I Vr2

2 V I8 » 1V 32

V5Q.

soluciok . Primero simplificaremos Ico términos, en caso de que sea posible. Asi tenemos.

4 V 2 — 2 V l 8 + 3V32~— V'IÓ = \ V 2 — 2V*9"*"2 - 3 V I 6 - 2 — V 25 r 2 = 4 V 2 — 6 V 2 + 12V 2 — 5 V 2 = 5 V 2 .

(3 ) M ultiplicador: y du iú ón . Para multiplicar dos radicales primer se reducen al mismo índice, en raso de que sea necesario, y luego se apli­ ca la ley 1. Ejemplo 3. Multiplicar X<2 por V'T. soLt. cion . El M .C.M . de los índices 3 y 2 es 6. Por tanto, convertí remos cada radical al índice 6. Así resulta: V 2 = 2» = 2» = f T V J = 3 ’’ = 3 * = V TT De donde, Por la ley I,

^

V 3= ?T - f 2 f = t * * 27 = ? I0B.

R a d ica le s

La multiplicación de expresiones de dc« o más términos, va sea que algunos o todos contengan radicales, se efectúa igual que con expresio­ nes algebraicas ordinarias t Art. 2.5 . El producto de los radicales se efec­ túa como acabamos de indicar. Ejemplo 4. Multiplicar 3 V r -r 2 V y por 2 V x — 3

y.

SOLUCION. Se ordenan la* expresiones y se prorede como en la mul­ tiplicación ordinalia. La operación se dispone como sigue:

3\'T + 2\'7 2V7 — 3\jy 6x 4- 4 V x v

6x — b y x y — 6 y. Para dividir un radical entre otro se reducen, si es necesario, a) mis­ mo índice y luego se aplica la les II Ejemplo 5. Efectuar las divisiones indicadas:

e» un radical no simplificado Por tanto, procederemos como en el ejem­ plo 1 (b) racionalizando rl denominador.

V T _ V 7 -V T V 2 ~ V 2 •V T ”

V I? 2

(c i l'i.rnsformando ambos t adir ales al Indice 6 tenemos,

V3

i/9

Si el dividendo consta de varios términos y rl divisoi rs un solo radical entonces U división se efectúa dividiendo cada término del dividendo •ñire el divisoi Pero si el divinoi consta ele dos o más términos, y por lo menos tino de ésto» e* un radical, entonces conveniente racionalizar el divisor.

60

Operaciones algebraicas

(4) nacion alización d el denom inador. S¡ deseamos calcular 1/V2 utilizando 1.414 como aproximación de V 2 , entonces debemos dividir la unidad entre 1.414. Pero si pritncro raciona!í/amoa el denominador, corno en los ejemplos I (b ) y 5 { b ) , la operación aritmética es más sencilla, pues resulta:

1

—— —

V2

VT 2

1.414

SS ------

0.707.

2

En general, racionalizar el denom inador de una fracción dada signi­ fica transformar esa fracción en otra equivalente cuyo denominador sea rarional. Ahora veremos el caso en que el denominador de la fracrión es una expresión de dos o más término* que contienen radicales. Se dice que una expresión con radicales es un factor d e racionalización de otra expresión con radicales si su produrtn c* racional. Por ejemplo, Va

V E y V a 4 V b s<*n factores de racionalización, uno del otro, pues ( V 7 - V b ) { V E 4- V b ) = a — b. Veamos el uso de los factores de rae ¡o naJ i/ación. Ejemplo G. Dividir V 2 2 entre 2X^3 solución .

I VTT

El problema equivale a racionalizar el denominador de

la fracción

V22 2 V 3 + V TT Es obvio que un factor de racionalización para este denominador es 2VT^— V i l . Por tanto, tenemos

V22 2 V 3 - VTT

V 22

2V3— VTT

2 V i - V i l 2 V 3*— V T T 2 V 66 — n v T 1 2 — 11

= 2V66 — n v T

El proceso de racionalización puede repetirse si así k) requiere el problema. Ejemplo 7. Racionalizar el denominador d e --------------------—. 1 + V T— V3 solución . Y a que para este problema no disponemos de un factor de racionalización primero multiplicaremos el numerador y el denomina­

Radicales

61

dor por 1 + ' V 2 + V S , obteniendo asi una racionalización pardal, y luego efectuaremos una segunda racionalización. Asi: I

_________1_____________ 1 + V *2 + V 5

1+ V 2 — V 3

(1 + V 2 ) — V S ’ (1 + V 2 } - V T

1 + V2 + V3 v 2

i - V z - VT (i + V 2 ; » - 3

~

¡v f

V2 + 2 + Vé

v f

¡

•

E JE R C IC IO S. G R U PO 7. 1. Por medio de la» leyes de los exponerles del Art. 2.13, demostrar Lis leyes •obre radicales dadas en el Art. 2.14. 2. Si m y b son números enteros y positivos, demostrar que

i'a m ■= ( t flT“. 3

Si m, 1 y p son números enteros y positivos, demostrar que

En cada uno de los ejercicios 4-11 simplificar el radical dado. 4.

V a??

5.

V — 27*'.

6.

^ 3 2 -n V .

8

Vi*

9

\~TTm

10

^ 5”*‘

7. V 4 5 « V .

M-i'**-

F.n rada uno tír los Ejercicios 12-15, hallar I.i suma indlcad.i. 12. V ¿ $ — V+5 -

4- 2 ^ T 2 £

13 .

VíT—2^5*+- V8—V5aT

11

\’ ¿8 f 2 11/ - — * 7

4

+ *457

15. ^ 4 fl I- 2
17

16.

nVó'MVSV

19. ( V T s ) 1- ( V T ).

III

< ^ )íV 3 }.

20.



3

22.

( »V'2 -» 2 V 3

.

21. (

24.

V í — 2V S

26.

(2 V *

2B.

V 7 + vTi • V I

SO.

\V7 , V 2 2 •

VT) + (^T).

23. I I V 2 l 2 V i —

V 5) V 5.

23. ( V «

-V 2 ) V ?

2V 5 —

V*) V 3 . V¿) + 1/2.

27. ( 3 V 2 — 2 V s j« .

s V y )«

7 iT

29.

(V s

v m

f 7—v4'2.

31.

tV 2

Vs

32. Cali idar el valor dr r* 1 2a 33. Cal» otar 1 1 valor de 2*1

1

2 cuando a 1*

3 111*1100 M-

1 3

\ 7 )tV § - V S — V T ). V'S. i- V is

Operaciones algebraicas

62

En cada ano de los Ejercicio* 34-43. racioaaiizar el denominador. 35.

34. — ^ . V 7— 3

37

. V i-V i

38

36.

2 f V i 4- V $

V 3— V 2

42

V 3 +

V 2 + V T 4 V'5

V iT -^ j 4i. V Vi— v í +V + VI vT—yT—yT V 2 + V'5 — VV

40. VV ^ I 4- V * VT^T— Vi V 2— VT— V5 V T -

2 — Vo

5 + ¿V S I 39.

Va — V * i

v '5

5 ~~ 2JT5 — 2 V 4 — x*

44. Simplificar

1

V'-T

\a

45. Simplificar

V U— 'x 4- 1>*

*s

i

V 4 — xJ

a

i

X

4- l

V « J - nb

Vi a — X»—

i : ____+ I

2 J 5 . CXINDICION N ECESA RIA Y SU F IC IE N T E Consideremos abora el significado de la expresión ‘ condición necesa­ ria y suficiente" que M‘ utiliza frecuentemente en matemáticas. Primero veremos In «pie significa ella frase por medio de un ejemplo. Recordemos el liguicnre teorema de I.» geometría elemental. Si un triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Este teorema afirma cine si un triángulo es isósceles, ntcesariam enh se infiere que los ángulos opuestos a los lados iguales son iguale». l*ot lo tanto, la existencia de dos ángulos iguales es una condición necesaria fiara que el triángulo sea isósceles. Pero el reciproco dr este teorema también es verdadero, es decir: Si dos ángulos de un triángulo »0n iguales, los latios opuestos a estos ángulos son también igu.xlr*. lo que equivale a dreit que el triángulo es isósceles. Esle teorema afirma que la existencia de «los ángulos iguales es sufi­ ciente para que «•! triángulo sea isósceles. En consecuencia, decimos qur la existencia dr «los ángulos iguales «*s una condición inficiente para que el triángulo sea isósceles. Entonces podemos combinar ambos teoremas cu «I siguiente enunciado único: Una condición necesaria y cufie ¡ente para «pie un triángulo s e a isósceles es que dos de m is ángulos sean iguales Una frase equivalente que con frecuencia sustitnyp a la anlrrioi n

Condición netos,iría y suficiente

6.3

"rí y sólo si”. Así, por ejemplo, d teorema antnrior puede enunciarse asi: Un riángulo ••» isósceles si y sólo si clon de su» ángulos son iguales. En general, si ln hipótesis A de un teorema implica la valide/ de una conclusión B, entonces II es una condición necesaria para A. Si, ademó*, n i iprocamentc, B implica la valide/ «le A, entonces B es una condición sufirirntt para A. En el Art. 2.5 establecimos el Teorema fl y su recíproco rl Teorema 11, lo» cuales volvemos a enunciar aquí: Teorema H. E l producto dr cualquier núm ero por e n o es igual a erro. Teorema I I. Si rl producto dr dos núm eros rs igual a erro, uno por lo nti nos d e rsios números es igual a erro. Podemos combinar estos dos teoremas en el siguiente enunciado único: l na condición necesaria y suficiente para (pie el producto de dos míme­ lo* sea cero «•« que por lo menos uno de los facture* sea igual .» cero. La generalización del Teorema 11, que enunciamos en forma de co­ rolario, es de tanta importancia para la resolución de ecuaciones, que volvemos a enunciarla en íonr.a de teorema en la siguiente forma: Teorema 19. El producto d e dos o más ¡actores rs igual a erro si y sólo si pot lo m enor uno de estos factores rs igual a cero. M ás adelante tendremos ocasión de hacer uso frecuente de este toorana Consideremos ahora el concepto de condición necesaria y suficiente • - T . relación con el significado del termino definición. Dar la definición dr no oh jeto significa describirlo de tal modo que se le pueda identificar con toda precisión entre todos los objetos de su dase. Analizando cuidacosarnente esta afirmación se concluye que: Una definición expresa »n-,n m ndiciór. necesaria y suficiente para la existencia del objeto definido. Por ejemplo, supongamos que estamos definiendo una expresión alge­ braica de tipo A por medio de una propiedad característica P que .-I posrr. Entonces, en el conjunto de todas las expresiones algebraicas, una expresión es de tipo A si y sólo rí posee la propiedad P. Corno caso particular consideremos la definición de número racional, dada en el Art. 1.3. como el número que tiene la propiedad caraoterísli« a P de que se puede expresar en la forma p ¡ q en conde p es cualquier i* antro entero, pos-.tivo o negativo, o cero, y q es cualquier número entrro positivo o negativo. Esto significa que todo número racional tiene la propiedad P. y recíprocamente, lodo número que tiene la propiedad P r% un número racional. Para hacn destacar esta característica podemos volver a enunciar nuestra defunción como sigue: L’n número es racional O y sólo si puede ser expresado en la forma p / q , en donde p es cualquier

64

Operaciones algebraicas

núm ero entero positivo o negativo, o cero, y q es cu alq u ier nú m ero entero positivo o negativo. C o n fo rm e avancem os en nuestro estudio del á lg eb ra tendrem os nuevas ocasiones p ara establecer diversas cond iciones necesarias y suficientes.

2.16. R E SU M E N F.n este cap ítu lo hem os estudiado las seis op eraciones alg eb raicas apli­ cad as a núm eros reales y a varias expresiones alg eb raicas q u e representan núm eros reales. S in em bargo no hem os considerado los núm eros com plejos, ya que, com o an tes se indicó, harem os un estudio especial de dichos n ú ­ m eros en un ca p ítu lo posterior. E n los dem ás cap ítu los estudiarem os diferentes tem as y aplicaciones en los q u e constan tem ente se hará uso d e las operaciones algebraicas. E l estudiante n o debe v a cila r en volver a este cap itu lo siem pre q u e tenga alguna duda sobre el proced im iento co rrecto p a ra efe ctu a r alguna op era­ ción algebraica. C e n a m o s este ca p ítu lo con un grupo de eje rcic io s diversos los cuales, en general, son un poco m ás d ifíciles q u e los d e los grupos anteriores. El lecto r en co n tra rá q u e e n algunos de estos e jercicio s se pone a prueba su habilid ad m atem ática. E JE R C IC IO S. G RU PO 8 1. Si a > b y b > c, demostrar que a > c. 2. Si a y 6 son dos números diferente*, demostrar que si a > b el número x — — — , es mayor que a y menor que b. Esto es, si a > b, demostrar que 3. En el ejercicio 2, si a < b, demostrar que a < x < b c + d a. e a 4- b 4. Si demostrar q u e -------- — -------- - . c— d b d a— b a i 4- ao + ca c q; a i fl3 r demostrar b i f b ¿ + b>. bt bz bs 6. Hallar el paso incorrecto en la siguiente demostración: Sea a = b. á 2 — cb. Multiplicado por a Restando a7 — b 7 *• cb - b*. Factomando [a f- 6 ) ( « — b ) = b ( a — 6 ). a — b — b. Dividiendo entre a — b b 4- b - b. Ya que n •» b 2b - b, o sea 2 - 1. de donde 7. Mostrar cómo se usa 1.a propiedad distributiva en la multiplica'ión arit­ mética de 47 por 32.

65

Resumen

8. Si j — a -f- b c. demostrar que i ( j - 2a) ( f — 2 6 ) -f í ( j — 26) ; f — 2c) \ j (i 2c) [ s — 2a'i ■= (s — 2a) (i — 26) ( j — 2r) — 8«j 6 í . 9. l.as operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, divi­ sión y potenciación se llaman operen ion t i racionales. Justificar el uso de este nom­ bre demostrando que si se efectúan con números racionales una o varias de estas operaciones los rcsu'tados son también números racionales, 10. Factorizar 2a* — 6a -)• c b — 3a 36 2. 11. Factorizar 3 ** — 5xy— 2y* — 7x + 7y — 6. 12. Factorizar a* f 4. 13. Si n es un número entero y positivo mayor que I. demostrar que o1 a •’» dis isiblr exactamente entre 6. 14. Hallar el M.C.M. de *= + x — 2, x* — 13x -I- 12, y x* t 3 ** lOx — 24. 13. E l máxim o común divisor (M .C .D .) de dos o más polinomios es el polinouti. de mayor grado que es divisor exacto de cada uno de ellos. Hallar r| M.C.D. v el M C M. de ax* - ay5 y ax': + a x y — 2ay¿. 16. Sea // el M.C.D., y I. el M.C.M. de dos polinomios cualesquiera P y Q. Dmaitrmr que // X /. = P X Q. Comprobar este teorema en el Ejercicio 15. En los Ejercicios 17-19, p, q. r y s son números enteros y positivos. 17. Demostrar que (■«•}{•'.") IB. Denwwtrar que ■= aprii'. a't'1 19. Drmostrar que — = a*!* ’!'.

20. Mostrar por medio de un ejemplo que, si no nos limitamos al uso de las rali « s principales, entonces la potencia de exponente p de la raíz de Indice de un número no siempre es igual a la raíz de índice <j de su potencia de exponente. 21. Determinar rual de los números es mayor, sin utilizar tablas de ratees: (a ) \/5 o. t 'T Í

(b ) t f T ? o V K

22. Si el valor de V 2, correcto con 7 decimales es 1.4142136. calcular el s.dur correcto de l / { \ ^ 2— 1 ron 7 driimales.

23. Si el valor de V 3. correcto con 7 decimales es L.7320508. calcular el \.Jor corrretu de 1 / (2 — V 3 ) con 7 decimales. 24. Demostrar que V '2 es irrac ional utilizando el siguiente procedimiento. Se •upnne, contra el resultado deseado, que \n2 es racional de modo que se pueda i o ri'iir I.» igualdad \ 2 => u/6, siendo c y 6 números enteros que no tienen factor < • M ilán entero. Demostrar que esta igualdad da lugar a ur.a contradicción. 25. Demostrar que \ »Tes irracional. — , y determinar el factor 1— V2 + V 3 d racionalización necesario para obtener el resultado en un solo paso. 26. Racionalizar el denominador de

27

Raí ionalÍ7.ir el denominador de ------------.

28

R a< ionulirar el denominador de -----tfx

29

1— ? !

i

Raí inutilizar rl denominador d e ------i/3 ^

*7

1/2

66

Operaciones algebraicas 30. Encontrar el factor de rarionalicuión para V * — \Vy.

31. Hallar la raía cuadrada positiva de 29 — I 2 \/j dando el resulrado en forma de una expresión con radicales simplificados 32. Hallar la raíz cuadrada Dositiva de 5 4- 2 V*6 dando el resultado en forma de una expresión ron radicales simplificados 33. Si a f ó son números políticos. rxplú ar en qaé consiste el error al afirmar que V — • —6 “ \ 'cb . «Cuál es el enunciado correcto? 34. Mostrar por medio de ejemplos, que una condición puede ser necesaria sin ser rafirienle, r v ic e s r rt 35. Mostrar, |»or metLo de ejemplos, que puede haber mis de una condición necesaria y suficiente para la validez de un teorema.

3 Concepto de función 1.1, IN T R O D U C C IO N F.n este capitulo estudiaremos el «unificado del término ¡unción, «Ir importancia fundamental en las matemática*, Primero consideraremos el . - ni cjiio de función en su forma ggcneral y, más adelante, el lector l i l i servará que este concepto e» susceptible de desarrollarse en diversas

direcciones.

\2

C O N STA N TES Y V A R IA B L E S En una expresión o relación o en el desar rollo de un p roblem a determ i-

ii.ido «- presentan dos. cipos de ca n tid a d e s: r o p ta n te s y san ab les. D efin ir io n e s . U n sím bolo q u e representa un valor fijo se lla m a una 4

u n t a n t e ; un sím bolo q u e puede representar d iferentes valores se llam a

tilín la n a b ie . E l co n ju n to de valores que puede to m a r u n a variable li.una el d o m in io de la variab le. fifr t n p ío . C onsiderem os la fórm u la C

íc

2 r r . que nos da la longitud

it» l.i circu n feren cia C de rad io r. E n esta expresión C y r pueden tom ar •I., isos valores [relackm adce e n tre s í) y, por tan to , son variables, pero las «.u n id ad es 2 y r q u e lim e n siem pre el m ism o valor, son constantes.

Hay dos tipos de constantes: absolutas y parámetros. Una constante ahutluta es aquella que en todos los problemas tiene siempre el mismo valor Por ejemplo. 2 y * son constantes absolutas. Un parám etro es una i m itante que consrrva el mismo valor en un problema particular o sitúam ío drteiminada, pero que puede tener un valor diferente en otro pro­ blema o situación Por ejemplo, en la expresión car + b, de los polinomios de primer grado, x puede tomar diferentes valores, pero a y b son const antes para cada caso. Asi en 2a f 5, e = 2 y b — 5 ; en x — 4, es a — I y h ■—4. Luego, a y b son parámetros.

68

Concepto de función

3.3. D E FIN IC IO N D E FU N CIO N S i dos variables x y y están relacionadas d e tal m odo qu e para cada valor adm isible d e x ( dentro de su d om in io), le corresponden uno o más valores d e y, se d ice qu e y es una función d e x. E jem p lo. La relación y = 2x ~ 5 nos expresa a y como función de x, ya que para cada valor que se asigne a x queda determinado un valor correspondiente de y. Para esta función particular el estudiante puede obtener fácilmente varios pares de valores correspondientes como los da­ dos en la tabla siguiente: x |0 1 2 —1 —2 —3 >•5 7 9 3 1 —1 Observaremos que se pueden asignar a x los valores que se deseen, pero que los valores resultantes de y depen den de los valores dados a x. Por esta razón x recibe el nombre de variable independiente y y el de varia­ ble dependiente. El lector observará que el concepto de función implica dependencia de una cantidad con respecto a otra. 'I’ales relaciones se presentan en una gran cantidad de casos. Por ejemplo, en la fórmula ya citada. C — 2 -r , la longitud de la circunferencia C es función de su radio r, es decir, la longitud de una circunferencia depende del valor de su radio. En nuestra definición de función mencionamos los valores admisibles asignados a x. La razón por la cual se usa la palabra admisible es que en una relación funcional dada, la variable independiente no puede tomar cualquier valor. Ejemplos. I. En la función x ¡ { x — 1 }. a* puede tomar cualquier va­ lor excepto I, pues la división entre cero es una operación imposible (Art. 2 .7 ). 2. Si en la relación y - V a, limitamos los valores de y a los números reales, entonces no podemos asignar a x valores negativos. Se dice que una función de x está defin ida para un valor particular de x siempre que tenga un valor numérico determinado para ese valor de x. En los ejemplos anteriores, la función de X ¡ ( x — 1) no está definida para x = 1. Asimismo, para valores reales de y, la función X'lc solo está definida para valores no negativos de x. 3.4. T IP O S D E FU N CIO N ES Si a cada valor de la variable independiente 1c corresponde un solo valor de la función, esta recibe el nombre de función u n iform e; si le co-

Notación de las funciones

69

rrnsporiden más ele un valor se le llama función m ultiform e. Asi, en t 2x + 5 , y es una función uniforme de x porque para cada valor x queda determinado uno y sólo un valor de y. Pero en la relación y ± V x — 1 . y es tina fundón multiforme de x ya que para cada valor asignado a x quedan determinados dos valores correspondientes de y. Si la variable y está expresada directamente en términos de la variablr x, se dice que es una función explícita de x. Asi. en relación v 2x + 5, y es una función explícita de x. Si las variables x y y aparc, en en una relación pero ninguna de las dos está expresada directamente . u términos de la otra entonces se dice que cualquiera de esas variables es tu.a ¡unción im plícita de la otra. Por ejemplo, en la relación x + y = 5, i i una función implícita de x y x es una función implícita de y. Supongamos ahora que x y y ésten relacionadas de modo que y sea niin función explícita de x. Si se puede transformar de modo que x quede expresada como una función explícita de y, entonces se dice que ••m.i última función es la función inversa de la función original. Por ejemplo, de la función y = 5 — x se deduce inmediatamente su función inversa x = 5 — y. Otra distinción entre los diversos tipos de funciones es el número de t ,triablcs independientes. En el Art. 3.3 se limitó la definición de función ii una sola variable independiente. Sin embargo, podemos tener funciones •Ir dos o más variables independientes. Por ejemplo, en la relación $ Xa — y-, la variable dependiente z es una función de las dos variables independientes x y y. Aquí podemos asignar a x y y valores independientes unos ile otros. Esta clase de funciones se llaman funciones d e varias vañ ablei. Al igual ouc en las funciones de una variable, existen funciones dr varias variables uniformes, multiformes, explícitas, implícitas e in­ versas.

U

N O TA CIO N D E LAS FU N CIO N ES

Por conveniencia, hemos estado usando la letra y para representar una lo »ión de x. Por ejemplo, en y = 2x H 5. Sin embargo, también podemos ovil el símbolo f { x ) en lugar de y, escribiendo ( I)

y — f( x ) = 2x 4- 5,

i*n donde f[ x ) se lee “ función / de x" o simplemente “f de x”. Pero este ilinl«olo tiene otro uso muy importante. Si deseamos expresar el valor de »'M.i función cuando la variable independiente x tiene un valor particular, digamos n, entonc es simplemente sustituimos x por a. Por ejemplo, para

70

Concepto de función

la función dada por la relación ( I ) tenemos ¡ ( a ) = 2a + 5. Análoga­ mente. para la misma función, tenemos

/(O) = 2(0) + 5 = 5, /(— 1) = 2 ( — I . + 5 = 3, etc En un problema particular j ( x ’ representa una función determinada Pero si en un mismo problema es necesario usar más de una función entonces, para distinguirlas. recurriremos a diferentes letras tales como ^ . t y £ (*)• Por ejemplo, para distinguir la función (1 ) ce otra función de x, como x : + x — 1 . podemos escribir F { x ) = xs + x — |. También podemos extender este mismo simbolismo o notación funcio­ nal a las funciones de varias variables. Por ejemplo, si z - x- — xv — 2 -f, podemos escribir

de donde

* = Kx>y) = ** —*y + 2>-, f [ a , b ) = «* — ab + 2b\

/(y,*) = f — y* + 2x\ H 2 .3 ; = 2= — {2 i (31 - 2 ( 3 := = 16, etc. Además, de acuerdo con «tía notación de Ins funciones, s¡ y es una función explícita de x, podemos escribir y f{x\ de donde podemos obtener su función inversa y repretentarln simbólicamente en la forma x ¿ (y ). También si x y y ion funciones implícitas una de otra, como e n la relación x I y 5 - ü, podemos indicar esto con la notación F ( x .y ) = 0. X * f l _ /(2? 4 - F ( l ) E jem p lo !. Si /(ar) , hallar 7 = i yFW * + i 1 - / ( 2 ) * F (l) SOLUCION.

] ) e a c u e rd o co n lo clic lio :

2+1

m + F( 1 ) 1— t(2)-F[\)

2 - 1

{

solución .

"T+T

2+1 2-

Ejemplo 2. Si ¡(y) = ^

1

y

6+1

1

~~ ' 2 3 3 ** ~

l ’I + I | y gíy)

i

- - ( , calcular f\X[y)).

I.a expresión ¡[n[y)\ se Huma una función de (unción

71

Notación de U* funciones

.Mignilira que cada valor de y en la expresión que da f(y) del».- reempla­ zarle por

Así leñemos,

1 vTT y + I _ y + I ------ í----------- - - | - {y !F I y - - ± f = l y '

„ , \i 1

( y + 1)’

1

EJERCICIOS. GRI PO !> I. F.l volumen V tír un cono circular recto ilc radio r y altura h, e*t.t «Indo la fórmula V VfrVf*h Expresar: (a) la altura h ionio unn función rxpllclta i r V y t; (b) el radio t romo una fundón explícita de I y h. U. Kl periodo de oscilación 7 de un pfndulo de laogllud L está dado |»**r U ir i >ii nii l.i T - ¿ir |/ — , ru donde « e» la aceleración conatanle debida h la graveil. d Exprnar /. romo función de 7*. 1 Expresar la longitud d de la diagonal de un cuadrado como función de •o área A I En un circulo de radio r la longitud C de la circunferencia está dada por fórmula C 2»r y H Ama A |K>r la lónnul» A vr*. Expresar el área «mu» (unción de la longitud de lu circunferencia. 5. Si /(x) - jfl— x 4- I,calcular 6. S i ¡ ( x ) -

x* -

5x= K

—3),/ ^

calcular / ( I >, /<

) •

1 ). /< 2 ) , f ( — 2 ) .

7. Si /(*) «- x ~ - demostrar que /(«) = f ^ -j-) r **ue ¡ {~ ^ 8. Si g(x) =* a* - x* — x: + 2. demostrar cue « 9

*‘ n '

.x) - g[x).

Si ^¡jr) — V ? + 9. bailar * lV '7 ) ,# ( 4 ) f ájO).

10 Si F{x) * a** — 3a - I. calcular F

+n - - j

y

F

—-- 5 ¡ •

||. Si f{jr¡ - —— . obtener / (V 2) en su forma simplificada, a— I 12

y 4* 2

Si f\y) = ----- - r y—i

¡f-í \ 4- * |y)

hablar — 1^ —

2 + /(>) *(>) pliítcada.

13. Si F i x . y ) -

y— 2

= ----- r » i +■1

,

.

y expresar el resultado en su forma mas ura-

2a + 3 x y — 2y*p

calcular F . l , 2], F t—1, —2 ;, F(2.3). F i—2,—3] 14. S i F t.x .y ) - a» + x » j - a>* + jr*. demostrar i|ue F i y j ) ** F i x , y ] y que P \ — x , — ; ) “

u 4- y 15. Si C { x .y \ ---------* —y

ralcular G ( V 3, V 2 ) en ra lonna mi» simplificada

F,x,y).

Concepto de función

72

16. Si / (*} - jrs - 5x — 2,

/Jjr + * ! — / » u b :r n r r ----------------------------

. Esta operación es nK euiú en el rikulo di­

ferencial, como uno de lo* pasos para obtener ¡a derivad* d e f ( * ) . m

1

..

/(* “ *1 — f( * ) h

17. S: Í[x ) - — — .o b t e n e r ------------------------ .

r + I

18. Si F ( x , y 5 = x» — 5 x ?7 + 3xy* — 3y». cenxMtnu que f ¡ i r , 1/,' — í * F [ x ,y ) . 19. (¿cncralizar el Ejercicio 18 demostrando que c F>,x, y) =» »,x* + «.x* '> V — «*■»xy*'1 + •«>', en donde las a» son r o n s t a n te s , entonces P (k x ,k y j — k * F Í x ,y ) . Esta es la prueba de koraogem eia*d d e una fmncicK y mues­ tra que F [x , y) es un polinomio h o w g tw a de grado n (Art. 2 2 ). 20. Si F \ x ,y ) - 4x= - 9y*, demostrar que F \ x ,y ) - F ( — x ,y ) — F { x , — y ) — F ( — * .> ) . E scás igualdades se uian en geometría analitica para determinar diversos upo* de simetría de curvas. 2x — 1 _______________________ 21. Si y — /(*) — ------- r demostrar que x — J(y\ .

22. Si x — gly)

3x — 2 5r + 4

, demostrar que y — g(x).

23. Si />) — ------- , demostrar que fl/tx). — x. 2x — 3 ^ —2 24. Si g [y ) . demostrar que gif {>•)] — y. Sy — 4 25. SI y — /(x) - ~

3.6.

t , hallar /(y) rn términos de x.

C L A SIFIC A C IO N D E LAS FU N C IO N ES

Kn «*l Alt, 3.4 rsituli.tinos diversos tipos dr funciones. Aluna comi­ dera reino* la clasificación do las funciones atendiendo a su form a. Definición. Se dice que una función de una variable x es algebraica »i x esta sometida a un número finito «1c una n varias de las seis operacio­ nes del álgebra. Son ejemplos di* funciones algebraicas de x : x > -2 x + S ,- £ f £ 2 ¡ < Y

'0 '3 7 + T

nota I. Se recomienda que el lector compare esta definición con la dada en el Art. 1.6 . Ksla definición de Iris funciones algebraicas es suficiente para el propósito de este libro y también para casi todos los problemas que puedan presentarse al lector en sus estudio* posteriores. .Sin embargo, debe ndver-

73

Clasificación de las funciones

tiñe íjiic* rsta definición no incluye a toda* las función» algebraicas,
is una función racional de x. Una expresión algebraica que no puede ponente en la forma (1 ), se x V'2 4- xa llama función irracional. Por ejemplo, V x I I y ----- ---------- I
ir -b 1

i iones irracionales. Las tres definiciones anteriores pueden generalizarse inmediatamente a funciones de varias variables. Por ejemplo, 2ar 4* 3x y — íy 3 es una 2x*-f- 3xy— 4y* es una función racional función entera de x y de y; r* 4- 3 x y — 2y* de x y de y ; y V x 4- y es una función irracional de r y de y. Supongamos ahora que x y y están relacionadas implícitamente en la forma (2 )

4- f?s( x ) > ~ - * 4 > ... 4 / ? „ ,( * ; y 4- R m’x ) = 0.

«n donde m es un número entero y positivo y /f tx ). /?: f x ; t — . Rm[x) win funciones racionales de x Si la relación entre dos variables x y y es dr la forma ( 2 ) , o puede lograrse que tome tal forma, entonces se dice que y es una función algebraica de x. Por tanto, cada una de las relaciones

, y x** 4- y'»* =

I expresa a y como función

algebraica de x kota 2. F.n tratados superiores se demuestra que si la ecuación Í 2 ) r» m 5, entoners es imposible expresar a y explícitamente en términos de x por medio de una fórmula general que utilice un número finito de

7-1

Concepto de función

una o varias de b s seis operaciones dd álgehra. Pero, aún en este caso, se dice que y es una función algebraica de x. Esta es la razón por b cual en b Nota 1 afirmamos que nuestra primera definición no inclub a ¡ o d a b s funciones algebraicas que estar, cadas por la segunda definición. Sin embargo, como ya indicamos, la primera definición será suficiente para nuestro estudio. Todas las funciones que no son algebraicas reciben el nombre de [uncione* ¡roseen Jtn tes. Son ejemplos de tales funciones las funciones trigonométricas, logarítmicas y exjionciicialrs.

3.7. S IS T E M A DE COO RDEN A DA S U N ID IM EN SIO N A L Vamos ahora a dar un nuevo dignificado a las propiedades de los números reales introduciendo b ¡dea de correspondencia entre un punto, como figura geométrica, > un número real. Consideremos {Fig. 1 . una P

O

A

P

X'----------1------------------------ c-------1----------------- !------------1x)

(Q)

<1>

M

Fie. 1. recta X'X cuyo Mentido positivo va. de izquierda a deracha, como se indi­ ca con la flecha, y tomemos un punto fije* O sobre esta recta. Adoptemos una determinada unidad de longitud; asi, si A es un punto sobre X'X distinto de O y a la derecha «Ir O entonces la longitud OA puede ser considerada como unidad de longitud. Si P es un punto cualquiera sobre X 'X a la d erech o de O, tal que la longitud OP contenga a nuestra unidad de longitud x veces, entonces decimos que ul punto P Ir corresponde el número positivo x Análogamente, si es un pumo cualquiera sobre X'X situado n la izquierda de O y tal que OP* contenga a nuestra unidad de longitud xf veces, entonces decimos que ul pumo P' le correspondí el número negativo x'. De este modo cunlquiei número real x está repre­ sentado por im punto P sobre la recta X'X. Y, recíprocamente, cualquier punto P sobre la recta X 'X representa un número real x, cuyo valor absoluto es igual a la longitud de O P y cuyo signo es positivo o negativo según que P esté a la derecha o a la izquierda de <>, respectivamente En consecuencia, liemos construido un esquema que muestra una correspondencia biunivoca entre puntos y números rea Ir*. Este esquema se llama sistema di coordenadas o recta numérica y es un concepto fun­ damental de la Qeamctrfo analítica, introducido m II» 17 poi el matrmá

Sistema üc coordenados rectangulares

75

tico íranees René Descartes (3 59fi-1650) Un «•! u » particular «pie lie­ mos considerado, debido a que lodo» Ir* puntos están sobre una recta, el •isternn sr llama sialcfnn di coordenada* lineal o sistema de coordenadas unidimensional. Refiriéndonos a I.» figura i, la recta X 'X recilu; el nom­ bre de * je y el punto ( f el «le origen del sistema de i «ordenadas. El número reaJ x que cor resúmele al punto ¡‘ xe llama coorden ada« «l«*l punto I* y se representa ¡ mm ( jcí. De acue rdo ron los convenios adoptados re­ sulta obvio que la coordenada del origen es (o) y la del punto A es (I ). Se dice que <*1 punto P con su coordenada (x ) es la representación geo­ m étrica o u n ifica del número real x, y que la coordenada ( * ) es la repre­ sentar i¿n an alítica del punto P. Además observamos que esta correspondencia es única, pues a rada número real !«• corresponde un punto y solamente uno en el eje, y a cada punto del eje le corresponde un número real y solamente uno. El lector o ble rv ¿uá que en este sistema de coordenadas solamente se consideran los números reales. I«» representación geométrica de los números complejos será estudiada más adelante (Capitulo 8 ). Abura estamos en condiciones de dar una interpretación geométrica del concepto di mayor y menor de dos números algebraicos (Art. 2 .4 ). .Sean a y b los números reales que representan las coordenadas respectii.i.s de los puntos P y (¿. Si en la recta numérica el punto /* está a la derecha, dd pimío Q entonces a > b. Recomendamos que el lector compruebe esta afirmación utilizando varios pares cíe números reales, tanto positivos como negativos. Finalmente diremos que un sistema de coordenadas lineal es un nitdio muy conveniente para representar lew números reares que forman el dominio de una variable (Art. 3 .2 ). Pero si se trata de representar una función (Art. 3 .3 J resulta que deberemos añadir algo más al sistema, para poder representar los valores correspondientes de la función o vanabie dependiente Es decir, que para la representación geométrica de una función se hace necesario considerar otra dimensión.

3 3. S IS T E M A D E COORDEN ADAS REC TA N G U LA R ES En un sistrnia dr coordenadas lineal un punto está limitado a estar sobre- una recta, e; eje. Ahora consideraremos un sistema de coordenadas en el que un punto puede ocupar cualquier posición en un plano. Esto se llama un sistema de coordenadas bidim ensional o sistema de coorde­ nadas m e l piano. Existen varios tipos de sistemas de coordenadas en el plano y el que usaremos nosotros se llama sistema d e coordinadas rec-

-»6

Concepto de función

¡angulares ffig. 2 ! . Consiste en lo siguiente: se trazan dos rectas dirigi­ das y perpendiculares. X 'X y Y'Y, llamadas r jes d e coordenadas. La recta horizontal X 'X se llama eje X , la recta vertical Y'Y eje Y , y su punto de intersección O se llama orinen. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatm regiones llamadas cuadrantes, numeradas como se muestra en la figura 2. T a l como indican las flechas, la dirección positiva y del eje X es hacia la derecha y la di­ rección positiva del eje Y es hacia arriba. I Í + .+ ) Por medio de este sistema cualquier B ---- -y/Yx.y) i punto P del plano puede set localizado • con precisión. En efecto: tracemos PA X" O A perpendicular al eje A' y P fí perpendi­ cular al eje Y. La longitud del segmen­ to O A se representa por x y se llama IV < + .-> ¡a a b jd s a de P ; la longitud del segmen­ to O B se representa por y y se llama Y* Fw. 2. la orden ada de P. Los dos números rea­ les x y y reciben rl nombre de coord e­ nadas de P y se representan con el símbolo (x , y ). I-as abscisas medidas a lo largo del eje A' haría la derecha de O son positivas, y hacia la izquier­ da negativas; las ordenada* medidas a lo largo del eje >’ hacía arriba de O son positiva! y hacia ahajo negativa*. Lo» signos de las coordenada» en los cuatro cuadrantes se indican en la figura 2. Evidentemente a cada punto P del plano le corresponden un pui tle coordenada* ( x , y ) y solamente uno. Reciprocamente, todo par de coor­ denadas ( x ,y ) determina un punto en rl plano de coordenadas y sola­ mente um». Si x sjé y el punto ( x , y ) es diferente del punto ( y ,* ) . En consecuen­ cia os importante es« tibie las coordenada» en rl ‘orden correcto, debiendo escribir primero la abscisa y después la ordenada. Por este motivo un par de coordenadas en rl plano recita* rl nombre de par orden ado de nú­ mero* reales. Como resultado dr lo que acabamos dr decir un sistema d e in orden adas rectangulares en un plano establece una correspondt ncia hiunivoca entre ca d a punto d el plano y un par orden ado de números reales. El trazai un punto dados sus coordenadas se llama localizar el punto. Por ejemplo, para localizar rl punto { 5, ti), primeramente obtene­ mos rl punto A en el eje X que queda .5 unidades .t la izquierda de O ; en seguido, a parlii de A y sobre tina recta paralela til eje Y, llevamos 6 unidades bajo rl eje .Y. obteniendo asi rl punto /'( 3, l»i Esto »«•

Representación gráfica de funciones

77

muestra en In figura 3, en la cual han sitie* localizado», además, los punto» ( 2 ,6 ) . ( - 6 ,4 ) y (4, 2). luí operación de localizar puntos so facilita utilizando papel coorde­ nado rectangular rl cual está dividido en cuadrados ¡guales por medio

Fw

3.

de lincas paralelas a los ejes de coordenadas, tal como se muestra en la figura 3. Es recomendable que el lector emplee papel coordenado siem­ pre que se requiera trazar una gráfica con precisión. De nuevo el lector observará que este sistema de coordenadas no hace referencia a los números complejos. Por lo tanto, si una coordenada de un punto es un número complejo entonces dicho punto no tiene repre­ sentación en el sistema de coordenadas rectangulares.

3.H. R E P R ESE N TA C IO N G R A FIC A DE FU N CIO N ES Veamos ahora cómo se utiliza el sistema de coordenadas rectangulares para dar una te presentac ion geométrica o gráfica de una relación fun­ cional. Este método lim e la vm taja de que proporciona visualmmte un diagrama del rompoitamirnlo d'- una función dada de una variable

78

Concepto de función Consideremos la función

y /(*),

U)

que establece que la variable y depende de la variable independiente x. Esto significa que para cada valor asignado a * , pueden sor determinados uno o más valores correspondientes de y. Cada par do valores correspon­ dientes de * y y satisfacen la ecuación (1) . Tomemos ahora cada uno de estos pares de valores n ales como coorden adas (x , y ) d e un punto en un sistem a de coorden adas rectangulares. Definición l. El conjunto de todos los puntos, y sólo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación { 1 ) se llama el lugar geom étrico o gráfica d e ia ecuación. Definición 2. Todo punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación ( 1 ) se dice que perten ece al lugar geom étrico d e la ecuación. Esto es, si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación enton­ ces ese punto pertenece al lugar geométrico de la ecuación, y recíproca­ mente, si un punto pertenece al lugar geométrico de una ecuación sus coordenadas satisfacen la ecuación. Naturalmente esto corresponde al enunciado de una condición necesaria y suficiente (Art. 2.15). Ya que las coordenadas de los puntos de un lugar geométrico están restringidas a satisfacer a su ecuación, entonces, en general, dichos pun­ tos quedarán localizados en posir iones que determinan una trayectoria definida llamada curva, gráfica o lugar geométrico. Ejemplo I. Trazar la gráfica de la función 2.t + 5. solución . Hagamos y 2.t -f 5. Ya que hay un número infinito de pares de valores correspondientes de x y y que satisfacen esta ecua-

Y

X

Fio. t.

*

y

0

5

1 2 —1

7 9 3

—2

1

—3

-I

Representación gráfica de funciones

79

ción, seleccionaremos solamente un número adecuado para dar una idea de ¡a gráfica, como se muestra en la figura 4. Cada par de valores co­ rrespondientes, tomado como las coordenadas de un punto, se localiza como se ha dicho. Luego se traza una curva que una estos puntos la cual constituye la gráfica de la función dada. En este ejemplo resulta que los puntos están en una línea recta. Utilizando la geometría ana­ lítica puede demostrarse rigurosamente que la gráfica de esta función es una recta. Ejemplo 2. Trazar la gráfica de la función x 1 - - 8.t¿ + 15x. SOLUCION. Hagamos y x ’J 8x* -f 15x. Asignando algunos valo­ res a x y calculando los valores correspondientes de y, obtenemos las coordenadas de un número adecuado de puntos (fig. 5 i. Localizando y *

y

0

o

1

h 6

2

3 X

0

4

5 6 —I

—4

I

D 18 I— 24

Fio. 5. ritos puntos y trazando una curva que los una, obtenemos la gráfica que aparece en la figura 5. Al hacer esto, se supone que la línea que une dos puntos sucesivos es un trazo de curva sin más condición que la de pasar por los puntos seleccionados. Aunque esto es cierto en la gráfica p.u tit ular que estamos considerando, no lo es necesariamente para las gráficas de todas las funciones algebraicas. Sin embargo, para las funi iones dadas por polinomios de una sola variable, de las cuales es un ejemplo esta función. la gráfica es siempre una curva continua como se drinucstra en cálculo diferencial. Conviene ahora introducir un concepto muy importante, a saber: el de erro di una función. Entendemos por un erro dr ¡ ( x ), aquel valor de » que hace cero el valor correspondiente: de /(#)• Por ejemplo I es un

80

Concepto de función

cero de la función 2x •- 2. Gráficamente los ceros reales de f ( x ) son las abscisas de los puntos en donde la gráfica corta al e je X. En la figura 5 se observa que los ceros reales de la función x* — 8x* + ló x son 0, 3 y 5. Más adelante veremos que la determinación de los ceros de las fun­ ciones es uno de los problemas básicos del álgebra. n o t a . El lector observará que hemos restringido la representación gráfica a las funciones algebraicas de una sola variable. Para funciones de varias variables el problema se vuelve algo complicado. Por ejemplo, para funciones de dos variables independientes se requiere un sistema de coordenadas tridimensional. Esto es un problema de geometría analítica del espacio y no se tratará en este libro.

E JE R C IC IO S. G R U P O 10 En cada uno de los ejercidos 1-18 trazar la gráfica de la función dada. 1. X. 2. a 4- 1. 3. 2a — 1L 4. 5. A*. 6. X*. 7. 2a 2 — I. 8. 9. 4 — A*. 10. \ '4 — A*. 11. — V T — A*. 12. 13. - 1. 14. A* - 5a . 15. A2 — 4a + 16. 1 - 4 a - -A ». 17. tr» -A. 18. A:< 4 A.

\/ a 2 — 1 l.

cada uno de los ejercicios 119-27 construir la gráfira de la ecuación dada. 20. A--- y - i 23. y - A* - 1. 26. y = A* — 4 a.

21. A 24. A2 4 y - 9 . 27. A’ + y = 8. 1 O

y

19. a 4- -* 1. 22. y - 2 = 0. 25. a= - y2 - I .

T

E r.

A*. 1 — A2,

Er. rada uno de los ejercicios 28-33 trazar la gráfica dr la función dada y hallar sus teros reales. 28. 1. 31. a = + 2a — 2.

29. *2 — x — 2. 32. a " 4- 2a * — a

2.

30. x1— 2 a — 4. 33. a 3 — 3 a * + 2a .

En cada uno de los ejercicios 34 y 35 comprobar por medio de una gráfica que la función dada no tiene ceros reales. 34. a * 4- 5.

35. a * — 2a + 3.

4 La función lineal 4.1. IN T R O D U C C IO N Al final del capitulo anterior hemos dicho que la determinación de los ceros de las funciones es uno de los problemas fundamentales del álgebra. Por ejemplo, tal es el caso de la función racional entera de x de grado n, floJ*" -f a i*n"‘ +

+ . . . — a m-,x — a Ñ,

a,» ^ 0.

«•:* donde n es un número entero y positivo y a,., a u . . . , a n son constantes cualesquiera, siendo =¿ 0. En este capitulo consideraremos el caso par­ ticular en que n I. I.a función toma entonces la forma (I)

o 0x + fli,

fla

0.

Como se dijo anteriormente, en el Ejemplo I del Art. 3.9, en geometría analítica se demuestra que la gráfica de la función (1 ) es una recta. En consecuencia es apropiado dar a la función ( 1 ) el nombre de fu n dón lineal.

1.2. LA EC U A CIO N Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. Esas expresiones v llaman m iem bros de la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación x* 4- 4 = 5x, lo expresión x • + 4 recibe el nombre de prim er m iem bro y 5 * se llama el mgu ndo m iem bro. Consideraremos dos ti|*>s de ecuaciones, la ecuación idéntica o iden­ tidad y la ecuación condicional o ecuación. MI

82

Lj función lineal

Una ecuación idéntica o identidad, es una igualdad en la cual ambos miembros son iguales para !od oi los valores de las variables para los cua­ les estén definidos los miembros. En una identidad el signo = se suele sustituir pbr el símbolo = . que se lee “idéntico a”. Son ejemplos de identidades (»•

b)

a - — 2a b - b=, I

;2)

La igualdad (1 ) es verdadera para todos los valores de a y b ; la (2] es válida para todos los valores de x exrepto 1 . Una ecuación con dicion al. o simplemente una ecu ación , es una igual­ dad en la cuai ambos miembros son iguales solamente para cienos va­ lores particulares de las variables. Son ejemplos de ecuaciones condi­ cionales <3;

x* — 5 c + 4 = 0.

(4 :

x + y = 5.

La igualdad (3 ) es verdadera solo para x = l y r = 4, y no lo es para ningún otro valor de x. La (4 ) es verdadera para un número infinito de pares de valores de x y y, pero no f>
Si una ecuación se reduce a una identidad para ciertos valores par­ ia ulares asignados a las variables, entonces se dice que la ecuación se satisface para dichos valorea. (Véase Art. 3.9.1 Por ejemplo, la ecuación (3 ) se satisface cuando se le asigna a x el valor I, ya que la ecuarión se reduce entonces a la identidad 1 i I 1 0. Análogamente, la ecua­ ción ( I se satisface par.» a I y y I. ya que entonce» se reduce a la identidad 1 I I 5. Todo número que satisface a una ecuación con una incógnita recibe el nombre de r<*í: o solución de esa ecuat ión. Asi, por ejemplo, I es una raí/ de la ecuación (3 ). Si pot olía paite escribimos /(.r| - a‘ .ir I I 0.

licuaciones equivalentes

84

Kumita que, además, 1 <*s un cero de /{*) (Art. 3 .9 ). En general, un i tro de la función f ( x ) n una raíz o solución tic la ecuación /{.x) 0. Un conjunto de valorea de las incógnita» que satisface a una ecuación con do» o má» incógnitos o variables, se llama una tolución de esa

ecuación.

Por ejemplo, x 1, y 4 es una solución de (4 ). Evidentemente la ecuación (4 ) tiene muchas soluciones (Art. 3 .9).

1.3. EC U A C IO N ES E Q U IV A L E N T E S F.n este articulo ruis limitaremos a considerar ecuaciones con una incógnita x, que representamos asi: (I*-

/ ( * ) * 0.

Estudiaremos cómo *• hallan las raíces de. ( 1 ) , lo cual se llama resolver l.i n ustión. El método general consiste en transformar (1) en otra ecua­ ción, ]8ir ejemplo (2) F [ x ) = 0. • iy.is ralees puedan obtenerse con más facilidad que las de la ecuación ( I . Es obvio que este procedimiento es aplicable si. y sólo si. las raíces •Ir l.i ecuación (2 ) son las miquis que las de la ecuarión { 1 ) ; en dicho •aso estas ecuaciones reciben el nombre de eqw calen les. Por ejemplo x — 2 = 0 y 2 * = 4 vm equivalentes, ya que ambas :ie»n n como única raíz al número 2. Pero x — 2 = 0 y s r — 4 = 0 no ton •ufuir. aU nles porque la primera ecuarión tiene como única raíz al nú­ mero 2 mientras que la segunda tiene dos raíces r r 2. A continuación consideraremos las operaciones que pueden efectuarse rn una ecuarión daca para obtener una ecuación equivalente. Podemos .fe ordar que en el Capitulo 2 establecimos propiedades de las ígualda<1 para cada una de las cuatro operaciones siguientes: adición, sustrae»»'W», multiplicación y división. Utilizando estas propiedades podemos •l'mostrar que una ecuación dada puede transformarse en otra equiva­ lente jior medio dr malquiera de las siguientes operaciones: 1. Si se suma o se resta una misma expresión a ambos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada. 2. Si ambos miembros dr una ecuación se multiplican por. o se divi­ den entre la m Lm a (on -:an t, no nula, la ecuación resultante es cquivahiiIi a la dada. Krq>erto a la oj>rt ación I, consideremos qur la expresión * ( * ) se

H-í

I.a función lineal

suma a ambos miembros de ( 1 ) obteniéndose, por la propiedad aditiva de la igualdad, la ecuación (3 )

/ (*)

+ £ ( * )

=

*(*)♦

Sea r una raíz de (L ), de modo que f ( r ) = 0 . Sustituyendo r en lu­ gar de x en ( 3 ) , obtenemos la identidad

0 + g(r) - g W , lo que significa que r es una raíz de (3 ). Recíprocamente, sea s una raíz de ( 3 ) . Se obtiene la identidad f(s) + g ( s ) m g l s ) , y por la propiedad sustrae tí va de la igualdad tenemos la identidad / M - 0, lo que significa que s es también una raíz de {1 ). Por tanto, las ecua­ ciones {1 ) y (3 ) son equivalentes. En forma análoga podemos establecer la validez de las otras opera­ ciones que conducen a ecuaciones equivalentes. Sin embargo, se debe notar que hay cierta diferencia entre estas operaciones, a saber, que en la adición y la sustracción podemos sumar o restar cualquier expresión, la cual puede incluir tanto variables como constantes, pero en la multi­ plicación y división sólo podemos multiplicar por, y dividir entre, cons­ tantes no nulas. Si ambos miembros de una ecuación dada se multiplican por una expresión que contenga la variable, la nueva ecuación puede tener una O más raíces que no son raíces de la ecuación dada. Estas nuevas raíces se llaman raíces extrañas y la nueva ecuación se llama redundante con respecto a la ecuación dada. Como ejemplo consideremos la ecuación (4 )

* = 3

que tiene la raíz 3. Si multiplicamos ambos miembros por x — 2. obte­ nemos la ecuación

(5)

jc(jc —

2) = 3 ( * — 2}

que tiene las raíces 2 y 3. Por tanto, las ecuaciones {4 ) y (5 ) no son equi­ valentes, 2 es una raíz extraña, y la ecuación (5) es redundante con respecto a la ecuación (4 ) Observemos otro caso: Si ambos miembros de (4 ) se elevan al cua­ drado, obtenemos la ecuación x* = 9 cuyas raíces son tí: 3. I/> que sig­ nifica que esta operación lia introducido la raíz extraña 3.

La ecuación lineal o de primer grado

85

Si ambos miembros de la ecuación dada se dividen entre una misma expresión que contenga la variable, la nueva ecuación puede tener una o más mices de menos respecto a la ecuación dada. En este caso se dice que la nueva ecuación es defectuosa con respecto a la ecuación dada. Como ejemplo dividamos ambos miembros de la ecuación (5) entre .v 2. Obtenemos la ecuación ($ x = 3. . 1.a ecuación (5 ) tiene las ralees 2 y 3 pero la ecuación (6 ) es defectuosa con respecto a la ecuación (5 ) pues sólo tiene la raíz 3. En consecuencia, debe tenerse cuidado cuando se efectúen operacio­ nes en una ecuación dada, para que no se introduzcan raíces extrañas v para que no se pierdan raíces válidas. Para esto conviene que el estu­ diante tome como norma la com probación de cada raíz en la ecuación originalt por sustitución directa. Finalmente consideremos una operación muy sencilla y muy usada en la resolución de ecuaciones. Sea, por ejemplo, la igualdad (/ '

a -¥ b — c — d,

en donde a. b , c y d son términos. Por la propiedad aditiva de la igual­ dad, si añadimos d a ambos miembros obtenemos la nueva igualdad '8 >

a 4* b 4* d = c.

Comparando (7 ) y ( 8 ), vemos que el término d ha sido transpuesto del segundo miembro al primer miembro, cambiando su signo. Además, v restamos b de ambos miembros de ( 7 ) . obtenemos la nueva igualdad

(9 '

a = e — d — b.

Comparando (7 ) y ( 9 ) , vemos que el término b ha sido transpuesto del primer miembro al segundo miembro, cambiando su signo. En conse­ cuencia: R egla d e transposición d e térm inos C ualquier térm ino puede trans­ ponerse d e un m iem bro al otro d e una igu aldad y, por lo tanto, de una •citación, con la condición de que se cam bie su signo. •1.4. LA ECU A CIO N LIN EA L O D E P R IM E R G RA D O , CON UNA IN COG N ITA Si la función lineal de una variable (Art. 4 .1 ), se iguala a cero, te­ nemos la ecuación de prim er grado, o lineal, con una incógnita: (I)

a x 4- b = 0,

a =£0,

en donde a y b son constantes arbitrarias.

86

La fu n c ió n lin e a l

Como primer pane para l.i resolución «le* rsta ecuación transponemos b al segundo miembro, obteniendo asi la ecuación equivalente (ix = —b. Después dividimos ambos miembro* entre a, obteniendo otra ecua­ ción equivalente que es la solución de la ecuación dada: b a Si este valor de x se sustituye en (1 ) obtenemos la identidad f ¿ = - 6 + fc * O. Teorema I. I.a tcitación lin te l ron una incógnita ax 4 h = 0, . . tu n e ¡a solución única

a

0,

b x = ----- . a

Por tanto, para resolver una ecuación de primer grado con una in­ cógnita se transponen, si es necesario, todos los términos que contienen la incógnita a un miembro de la ecuación y todos los términos conoci­ das ni otro miembro de la ecuación. Ejemplo I.

Resolver la ecuación ax 4* b-

a : i bx, a / b.

Hoi.uoioN. Por supuesto, aquí se sobrentiende que la incógnita rs x y que, por tanto, todas las otras letras representan constantes conocidas. Entonces procederemos como sigue: Por transposición,

a x — bx = a a — ó3. (a — b ) x = a 1

Farlori/ando Dividiendo entre a — b , si a

bf

b*

x — a 4 b.

C om probarem os nuestra solución por sustitución directa de la rol/ a 4 ó en la ecuación original. Así obtenemos a l e +• t i 4* b3 — a ‘ 4* b { a + b ) , o sea la identidad Ejemplo 2.

a~ 4- «26 4- bs = c 5 4- a b + b*.

5 10 I Resolver la ecu a ció n ----------------------- = --------- . x + 2 Xa — 4 2— x

* o m :ck >n. Una ecuación con fraccion es, como ésta, requirrr que primrramrnir se suprim en los denom inadores multiplicando ambo* mirra.

K7

La ecuación lineal o de primer grado

lum por rl menor denominador común dr las fraccione* lArt. 2 .1 1 ). S» •*. menor denominador común es un número, entonce* la ecuación ir ­ án) tan te rs equivalente a b ecuación dada, pero si el mrnoi denomina­ dor común contiene la incógnita, rs |x>¿ble que se initodu/rjii raíces extraña* (A»t. 4 I) que son los ceros del menor denominado! común. En estr problema la» posibles raíces extrañas son ± 2 . Multiplicando ambos miembros de b ecuación por ** 3 que e> el menor clrnominador común, obtenemos — 2 J — 10 = 1 [— x — 21, 5x — 1 0 — 10 = — x — 2, 6 * = 18. de donde

x = 3.

En este caso, 3 no es una raí/ extraña, pero, para proceder i on ecía­ mem e. debe comprobarse en la ecuación dada. Esto se* deja cottm ejer. icio pura el estudiante.

EJERCICIOS. ClRl 1*0 II En ruda uno dr l«» ejercicios 1-20. resolver la ecuación dada y comprobar la

auludóo. 2 = 3 — 2*. 1. 3 * x 3* x—6 s 2 2 5 5. 3 * — { * 4 3 } 4 4 * ) - { « - 2xJ - 3*. 7. 2(2x

!S. 15. 17. 19.

X

X

« + J

c

b

a

x— 1 1

1

s

7

6 *

4* ~

3 *

(4 - I* + l ) | - 4 * - 13.

xx — t

bx — d = 0.

‘ — = — . a a 4 b x 4- b 14 (* » IJtx — 2} - *- + 6

( * h afc)»

* i t 3

* + 2 1* — 3 l i l i

14.

2

4'

8

3x -

2 — 3*

n

[x 4- •=)<x - *« ) 3 2*

- 1 1

11.

2* -

x- 3

10 «< - é» - ■*— h*

[n¿ + * ) * + íw» — n)x -

x 1

9.

2. 4

1*

X

¿

1

1

2

x 4 3 * » b

x

x 4- t

x— b

x + b

x

n« k b>

b

a—b

2 bx

i

2M *

X

En cada uno dr los P.jrn lelo» 21*24, resolver la r* unción dada, primero para » rn irruimos de x, y 1iic-jc*> |wr.i * en lórmiltni dr y {dicho de otro modo: des­ pejar la y en función dr la * y u la * rn función dr la y). 21. 23,

3* - 2v - 6. htc f ay — nb

22

4*

24

rn f by | r - f l .

Sy - 10.

88

La función lineal

En cada uno de los Ejercicios 23-28 despejar la letra indicada en función de la* letras restantes. 25. A - />(! + rt) ; t. 27. j - r0 4-

26. a.•n

a, + ( n — 1)d; d.

+ -Jgf2; v„.

29. Demostrar que las ecuaciones V * -4- 1 ■= V * V V x — 1 tienen solución. 30. Demostrar que la siguiente ecuación no tiene solución: x —i ^ ^ ar — 1

x— 1 x + 1*

4x2

—I

31. Resolver y comprobar:------ — x— 7 x

\ 'x -f I no

6

x

3

x

2

32. Demostrar que si de ambos miembros de una ecuación se resta la misma expresión, la ecuación resultante c* equivalente a la ecuación dada. 33. Demostrar que si se multiplican ambos miembros de una ecuación por un mismo número no nulo, la ecuación resultante es equivalente a la ecuación dada. 34. Demostrar que si ambos miembros dr una ecuación se dividen entre r! misino número, no nulo, la ecuación resultante es equivalente r» la ecuación dada. 35. Demostrar que es imposible que la ecuación lineal ax — b = 0, <»=*=0, tenga dos soluciones distintas.

4.5. PRO BLEM A S Q U E SE R E S U E L V E N POR M E D IO DE UNA ECU A CION LIN EA L Es posible resolver una gran variedad de problemas por medio de ecuaciones de primer grado con tina incógnita. El procedimiento consiste. generalmente, en representar con una letra, por ejemplo x, la cantidad desconocida (o una de las cantidades desconocidas'. El siguiente paso consiste en obtener una ecuación que contenga a x y que traduzca alge­ braicamente las condiciones del problema. El paso final será la resolu­ ción de esta ecuación. En todo este proceso es importante que el estu­ diante tenga en cuenta que la letra x siempre representa un rtúmrro. Tam ­ bién es importante comprobar ia solución viendo que satisface las con­ diciones del problema. Ejemplo 1. Cierto trabajo puede ser efectuado por A en 4 días, y por Ü en 6 días. ¿Cuánto tiempo necesitarán para hacer todo el trabajo juntos? solución .

Sea x = número necesario de días.

Entonces - = paite del trabajo que pueden hacer ambos en un día, x

Problemas que se resuelven por medio de una ecuación lineal

89

• = parte del trabajo que puede hacer A en un día. 4 i

parte drl trabajo que puede hacer B en un día,

Por lo tanto

COMPROBACION. En 2% días, la parte del trabajo hecha por A es •i,£ = % , y la parte hecha por B es 1 % • V« = % ; 1» suma de estas partes e3 % •*- % 1, o sea, el trabajo completo. Ejemplo 2. Una mezcla de 16 litros de alcohol y agua contiene un 25 por ciento de alcohol. ¿Cuántos litros de alcohol deben añadirse para obtener una mezcla que contenga el 50 por ciento de alcohol? s o l u c ió n . Sea x — número de litros de alcohol que deben añadirse. Entonces 16 + x número de litros de la nueva mezcla. En la mezcla original hay \\ *1 6 4 litros de alcohol. Entonces 4 4 - * = número de litros de alcohol en la nueva mezcla.

4

Por tanto

8 f 2* = 16 — .v,

de donde o sea *

+ x _ 1

16 - * “ 2 '

8

número de litros de alcohol que deben añadirse.

comprobación. Volumen de la nueva mezcla 16 — 8 24 litros. Contenido de alcohol en la nueva mezcla = 4 4 - 8 = 1 2 litros 50 rf c de 24 litros.

E JE R C IC IO S. G R U P O 12 Al resolver los problemas siguientes se recomienda que se compruebe el resul­ tado (o resultados). 1. Un alambre de 21 m. se divide en dos partes, dr «al modo que la longitud de una de ellas es las trrs cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar tu longitud de rada parte. 2. El denominador dr una. fracción excede al numerador en dos unidades. Si cada termino dr La fracción se aumenta en cinco unidades, la nueva fracción r» Hallar La fracción. 3. Encontrar Irrs enteros consecutivos ruya suma sea igual a 21. •1. Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma tea igual a 36. 5. Hallar do» números cuya suma sea 24 y cuya diferencia sea 6.

90

La función lineal

b. Hace ocho años un hombre tenia 7 veces la edad de su hijo, pero ahora tiene solo 3 veces la edad de su hijo. Hallar las edades actuales de ambos. 7. Si 'Á de la edad ce A se aumenta en ■/< la edad que tenía hace 10 años, entonces la suma es igual a de la edad que tendrá dentro de 10 años. Calcular la. edad actual de A. 8. Dividir el número 40 en dos partes tales que si e) rocíente de la mayor entre la menor se disminuye en el cociente de la menor entre la mayor, entonces la diferencia es igual al cociente de 16 entre la parte menor. 9. Dividir el número 72 en tres partes tales que Vi de la primera .-laric, de la segunda parte y V\ de la tercera parte, sean ¡guales entre sí. 10. El dígito de las unidades de un número de dos cifras excede al dígito de las decenas en 5 unidades Si los dígitos se invierten y e nuevo númrro se divide entre el número orieinal el cociente es óíj. ¿Cuál es el número original’ 11. S el lado de un cuadrado se disminuye en I m., su área disminuye en Sí) m- Calcular la longitud del lado del cuadrado original. 12. La longitud, en metros, de una habitación es ei triple de su ancho. Si la longitud se disminuye en 5 m. y el anrho se aumenta en 2 ni., el área del cuarto no se altera. Calcular las dimensiones de la habitación. 13. Cierto trabajo puede ser efectuado por A en 3 horas, por B ph 4 horas y por C en 6 horas. ¿Cuánto tiempo necesitarán para efectuar el trabajo juntos? 14. Una llave puede llenar un tanque rn 2 horas, una segunda llave puede llenarlo en 3 horas, y otra llave puede vaciarlo en 6 horas. Si el tanque está ¡n¡chímente vacio v se abren simultáneamente ias tres llaves, ¿cuánto tiempo se necesitará para llenar el tanque? I .4 y B trabajando juntos pueden hacer cierto trabajo en 8 horas, y .4 solo puede hacerlo en 12 horas, ¿cuánto tiempo necesitará fí para hacerlo solo? 16. A puede pintar una rasa ei H di.is y B puede hacerlo en 6 días, ¿cuánto tiempo necesitará B para terminar el trabajo después de que ambos han trabajado juntos durante 3 días? 17. A puede hacer un trabajo en 4 horas y B purdr hacerlo en 12 horas. B empieza el trabajo pero cierto tiempo después lo reemplaza A, requirió rulóse para todo el trabajo un total de l> horas. ¿Cuánto tiempo trabajó B? 18. L'na tripulación puede remar con una velocidad de 9 Km por hora rn agua tranquila. Si necesitan el ¿oble de tiempo para remar una cierta distancia contra la corriente que para hacerlo en la dirección de la corriente, calcular la velocidad dr la corriente. 19. A y B parten al mismo tiempo de dos poblaciones distintas caminando el uno hacia el otro. S: B camina I Km por hora más aprisa que .4. entonces se encuentran al cabo de 6 horas. Si A camina con la misma velocidad que B, enton­ ces se encuentran al cabo de 5*4 horas Calcular la distancia entre las dos po­ blaciones 20. Un bote de motor puede navegar 10 Km corriente abajo en el mismo tiem­ po en que navega 6 Km rorricnle arriba. Si su veloc idad disminuye 4 Km por llora en ambos sencidos, entonces su velocidad ruando va corriente abajo es el doble que cuando navega corriente arriba. Calcular la velocidad que lleva ruando na­ vega corriente abajo. 21. .4 puede caminar cierta distancia en 20 minutos y B puede caminar la misma, distancia rn 30 minutos. Si .4 parte 5 minutos después que B, ¿cuánto tiem­ po habrá estado caminando B antes de qur lo alcance A?

La ecuación lineal con dos variables

91

22. ¿Cuánta» litros de alcohol de concentración del 20% y cuántos de con­ centración del 30% deberán mezclarse para obtener 100 litros de alcohol de con­ centración del 25% ? 23. ¿Cuánto» kilogramos de un mineral que contiene un 60% de plata pura y cuántos de un mineral que contiene un 90% deberán mezclarse para obtener 6 Kg de aleación que tenga un 00% de plata pura? 24. ¿Cuántos litros de crema con 25% de grasa deberán añadirse a 80 litio* de leche con 3% de grasa para obtener una mezcla qur contenga 5% de grasa ? 25. Un tanque contiene 100 Ktr de salmuera con un contenido de sal del 5 % ¿Cuántos kilogramos de agua pura deben evaporarse para obtener sa.muera con uti contenido de sal del fi% ? 26. ¿A qué horas entre las 3 y las 4 quedan sobrepuestas las manecillas de un reloj? 2?. ¿A qué horas entre las 3 \ la* 4 quedan opuestas las manecilla» de un reloj? 28. ¿A qué horas rntre las 4 y las 5 forman un ángulo recto las manecillas de un reloj? 29. A y R juntos pueden pavimentar una banqueta en 2 dias: B y C juntos pueden hacerlo en l*f, día»; y A y C juntos en 1Vi días. ¿E n cuánto tiempo puede hacerlo cada uno el trabajo? 30. Un niño tiene cierta cantidad de dinero. Si se rompra 10 lápices le que­ darán 10 centavos; si compra 4 cuadernos le quedarán 20 rentavos: y si compra 4 ¡ápices y 3 cuadernos le quedarán 10 rentavos. ¿Cuánto dinero tiene?

4.0. LA ECU A CIO N LIN EA L O DE P R IM E R GRADO CON DO S V A R IA B L E S O IN C O G N ITA S L a ¡unción lineal con dos variables se representa por la expresión ax

by + c,

a b ^ 0,

en donde a, b y c son constantes arbitrarias y la restricción ab 0 signi­ fica que ni a ni b son iguales a 0 (Teorema 19, Art. 2.15). Si esta función se hace igual a cero, leñemos la ecuación de primer ¡irado o lin eal con dos variables o incógnitas, (1)

a x — by 4- c = 0,

ab

0.

Despejando primero y y después x obtenemos las ecuaciones equivalen tes a c y = b¥= 0, (2) (3)

b c x = ----- y ------ , a a

a = £ 0.

Como ya se ha observado (Art. 4 .2 ), cualquiera de estas tres ecuacioncs tiene un númrro infinito de soluciones. 'Pales ceuacionrs se dice

92

La fundón lineal

que son indeterm inadas. Al resolver un problema práctico, debemos ob­ tener un resultado único que. evidentemente, no puede lograrse con una sola ecuación con das incógnitas. Pero supongamos que, además de la ecuación ( 1 ' , tenrmos otra ecuación lineal en x y y. Entonces podremos despejar y de esta segunda ecuación e igualar al valor de y dado por (2 >. Obtendremos as: una sola ecuación en la única incógnita x , que tendrá una sola solución (Teorem a I, Art. 4 .4 ). Análogamente despejando x de la segunda ecuación y usando ( 3) , podremos obtener una sola ecua­ ción en y con solución única. Por tanto resulta que. para tener una solución única en problemas con dos o más incógnitas, es necesario tener dos o más ecuaciones linea­ les. Un conjunto de ecuaciones de esta clase forman un sistema de ecua­ ciones lineales.

4.7. SIST E M A D E EC U A CIO N ES L IN EA LES Consideremos ci sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables,

(1)

a,x 4* ó,y —c, = 0,

a:bt=^ 0,

(2 )

a 2x 4 b .y + c j = 0 ,

<¡zbz =¿= 0,

en donde se y y representan simultáneamente los mismos números en am bas ecuaciones. Por esta razón las ecuaciones reciben también el nom­ bre de simultáneas. Un par de valores x y y que satisfacen a ambas ecua­ ciones se llama una solución com ún del sistemo. Un sistema que tiene solamente una solución común se dice que tiene una solución única. Si el sistema tiene una solución única, ésta puede obtenerse elim i­ nando una «le las incógnitas y luego resolviendo para la otra. Existen varios modos de efectuar la eliminación. Un método «*s el tle sustitución, tal como se indicó en el articulo anterior. Otro método, llamado de sumas o restas, es el que darnos a continuación. Si multiplicamos las ecuaciones ( I ) y (2) por las constantes arbitra­ ria» o parámetros k¡ y As, obtenemos las ecuaciones equivalentes -f- ó,v + c ,) k i { a , x 4- b ty I- ct )

0, 0.

Sumando estas ecuaciones tenemos

M*!*

f)-.y + ¿i) +

* ¿»*y ¿i)

o,

o también (3 )

(* ,« , 4- Ata : ) x 1- { A

4 ktb t )y 4 ( * t«i 4 k*Ci)

0,

Sistema «le ecuaciones lineales

93

en donde Ai y A, pueden tomar valores cualesquiera con tal de que no sean simultáneamente nulas, h a ecuación (3 ) recibe el nombre de com ­ binación lin eal de las ecuaciones (1 ) y (2) . Supongamos ahora que el sistema formado por (1 ) y (2) tenga una solución única, digamos x y = yt. Entonces, de las ecuaciones (1) y (2) se deduce (4) a tx t + + c t = 0, (3)

«8*1 +

Si ahora hocemos x (3) se reduce a

x, y y

+ e* = 0. y, en (3) , encontrarnos que por (4) y

A» •0 + k , •0 s 0 f lo cual es válido para todos los valores de Ai y A*. Por tanto, uno solución únim de (1 ) y (2 ) tam bién nt solución de (3). Para lograr obtener la solución n partir de ( 3) , sólo será necesario calcular los valores de A, y A3 que eliminen a una de los variables. Así, para eliminar y de ( 3) , calculamos los valores «le A, y A* de modo que A|ó| = Ejemplo l, Resolver el siguiente sistema, comprobando el resultado anallliuunrntc y irazaudti m a gráfica. 3 x — 2y = 1,

2x 4- 3y = 18.

solución . Si multiplicamos la primera trcuación por 3 y la segunda por 2. obtenemos respectivamente las ecuaciones equivalentes,

9x — 6y = 3, 4x + 6y = 36. Sumando

13x = 39, de donde x = 3.

Análogamente, podemos obtener y por medio de una combinación lineal adecuada. Sin embargo, es más sencillo sustituir x = 3 en la pri­ mera ecuación y resolver para y. Asi tenemos, 9

— 2y = 1, de donde y — 4.

Por tanto, la solución es x = 3, y = 4. L a comprobación analítica se hace sustituyendo la solución en cada una de las ecuarior.es dadas. Asi se tiene 3 ( 3 ) — 2 ( 4 ) = 9 — 8 = I, 2 ( 3 ) - 3( 4) = 6 + 12 = 18. En el Art. 3.9 vimos que la gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una linea recta. Las gráficas «le las dos ecuaciones dadas se

La función lineal

94

han trabado en la figura 6. Su punto de intersección tiene las coordena­ das ( 3 . 4 ) , que representan la solución común de las dos ecuaciones dadas. Las gráficas indican que esta solución es única. Hasta ahora solamente hemos con­ siderado sistemas que tienen una solu­ ción única. Sin embargo, existen siste­ mas como jr + y = 3.

x + y= 2

que no tienen solución común. Y hay otros, como el sistema x + y = 2,

2x -f* 2y = 4

5.


(6.1

+ bt)' = ctt

axbx^ o.

(7)

«s* 4- b,y — c3t

a 3b2 ^6 0.

Para eliminar y, multiplicamos (6) por b¿ y '7.) por b z, y luego res­ tamos, obteniéndose a tb :x — a-ibxX b2r x — b xc-., __ b^Ci — b\C-t (i\b. — a¿b,

de donde

Análogamente, eliminando x obtenemos _ ^

~ fljfi a,b-, — a ¿b t '

Por supuesto, esta solución es válida solamente si a xb2 ~ a , b x z£Q. Si sustituirnos estos valores de x y y en el primer miembro de (6 ), obtenemos: a b->c i b,¿: ^ ^ a xc 2 — a 3C\ a \i>. - a h , a xb . — a¿bx

a xb , c x — a xb xc i ~ üxb xc2 — &2b xc x Otba - -a -¿bx

cx(axb2—fl-jb,) __ “

a xb3 — Otbx

~ ‘h

esto es, la solución satisface a ( 6) . En forma análoga puedr demostrar»* que la solución satisface a (7) . Por lo tanto, la solución es única \ el sistema se llama compatible.

Sistema de ecuaciones lineales

95

Ahora investigaremos lo que sucede cuando a,fe2 — c2fe, = 0, o sea

«ifea = «afei

y

ai

fe, fea*

.Sea a,/
cu c-¿,

a,bl a.b ,

0. 0.

tune ia solución única fe,r, o,fe,

fe,«r, c,fe-_ ’

ÚlC9 — OiCy a, fe.

solam ente si /a,fe, — c^fe, / 0. En este caso se Hice que el sistema es com ­ patible. Si a,fe, — «..fe, 0. entonces el sistema no tiene■ solución y se dice que rs in com patible, o bien tiene un núm ero infinito d e soluciones, ) st dice qu e es depen dien te. NOTAS

1. Se pueden obtener resultados análogos a este teorema para el caso general de un sistema de n ecuaciones lineales con *, incógnitas. Sin em­ bargo, la clise usión de este caso se pospondrá hasta llegar al estudio de los determinantes.

96

La función lineal

2. Se aconseja ai estudiante que no use las fórmulas dadas en el teorema 2 para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Es preferible emplear el método de eliminación explicado en d ejemplo 1. Ejemplo 2. Analizar la naturaleza de la solución del sistema x — 2y = 4,

2x — Ay = — 3

y comprobar el resultado gráficamente. solución*. Si intentamos eliminar cualquiera de las dos variables re­ sulta que la otra variable también se elimina. Cuando esto ocurre, el sistema debe analizarse con más detalle. Así. si multiplicamos la primera ecuación por 2, obtenemos la ecuación equivalente 2jc — Ay = 8 , la cual, sin embargo, contradice a la segunda ecuación del sistema. Por lo tanto el sistema es incompatible, es decir, no tiene »Iución. Las gráficas de las dos ecuaciones dadas (fig. 7} muestran que se trata de dos rectas paralelas, es decir, que no tienen ningún punto común: esta es la comprobación geométrica de que no hay solución para el sistema dado

Ejemplo 3. Analizar la naturaleza de la solución del sistema x — 2y *= 4,

2 jc — Ay = 8

s o l u c i ó n . Si multiplicamos la primera ecuación por 2, obtenemos la segunda ecuación. Por lo tanto sistema dado es dependiente y tiene un número infinito de soluc iones Siendo equivalentes ambos ecuaciones, están representadas |>or una sola recta, la inferior en la figura 7. K1 método de eliminación usado paca obtener la solución de un sis­ tema de ilcnc ecuaciones lineales puede srr extendido inmediatamente a sistemas de tres o ni ís ecuaciones. Ejemplo ‘I. Resolver y comprobar el sistema

v 2y — i e= 2, 2x — y + x = 3, 2x - 2y — x = 3, solución . Podemos reducir el sistema dado a un sistema dr dos ivua•iones con dos variable», eliin nnndn una de rilas, digamos .*. Asi, Human­ do la* ecuaciones primera y segunda, tenemos

3 * 4 y *a r»(

Problema» que pueden resolverle por un sistema de ecuaciones linéale# 97 y sumando las ecuaciones segunda y terc era, tenemos •1 * — y - 6 . Resolviendo este sistema se obtiene I, y 2. Sustituyendo estos va­ lores de x y y en la primera de las ecuac iones dadas, «Multa 1 + 4 — s = 2 o sea

x s= 3.

Por tanto, la tulución es a I, y = 2 , r 3. Debe comprobarte la solución por sustitución directa en cada una de la* ecuaciones dadas. Veamos ahora alguna» conclusiones y observaciones importantes. N O TA S

3. De los ejemplos anteriores inferimos que para que un problema ríe n incógnitos tenga solución única se requiere un sistema de n ecuacione» independiente i, 4. Observamos que en un sistema de 2 ecuaciones independientes, podemos eliminar 1 variable, y que en un sistema de 3 ecuaciones inde­ pendientes podemos eliminar 2 variable». En general, la elim inación de n tariablcs requiere u + 1 ecuaciones in depen dienteí. 3. Hasta ahora el número de ecuaciones en un sistema lineal dado lia sido igual al número de incógnitas. Si el número clr ecuaciones difiere del número de variables, entonces el sistema requiere métodos especiales. Algunos caso» particulares de dichos sistemas se estudian en el capitulo sobre determinantes, pero la teoría completa requiere estudios superiores.

1.8 . P R O B L E M A S Q l 'E PUEDEN R E S O L V E R S E PO R M ED IO

DE UN S IS T E M A D E EC U A CIO N ES LIN EA LES Mucho» problema» que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocida» pueden ser resueltos por medio de un sistema ti** ecuaciones lineales. Las cantidades desconocidas se representan con letra», por ejemplo x, y, etc., y se establece un sistema de ecuaciones que «atafagan las diversas condiciones del problema La resolución de este %i»trma conduce a los valores de las incógnitas. Veamos varios ejemplos. Ejemplo 1. El costo total de 5 libro» de texto y 4 plumas es de $ 32; •I tosto total dr. otros 6 libros de texto iguales y 3 plumas es de $ 33. Hallar el costo de cada artículo. SOLUCION. Sea x = el costo de un libm de texto en pesos, y y = el ct»lo de una pluma en pesos.

9H

La función lineal

Según el problema obtenemos la* dos ecuaciones 'jx I 4y Sx I 3y

32, 33.

La solución de este sistema es x ~ 4, y 3, es decir, el costo de cada libro de fexlo ex $ 4 y el costo de cada pluma c* $ 3. Estos resultados pueden comprobarse fácilmente. Asi, el costo de 5 libros de texto y 4 plumas e* igual a 5 (4 ) I 4 (3 ) = $32 y el costo de li libros de texto y 3 plumas es igual a 6 (4 } + 3 (3 ) - $33. Ejemplo 2. Ilallnr dos números tales que la suma de? sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus reciproco» sea 1. solución .

Sea x y y

número menor número mayor.

I.a suma y la diferencia de sus recíprocos son, respectivamente, i + ‘ -s .

*

y

i Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utili­ zando como incógnitas I/x y 1/y. Asi, sumando las dos ecuaciones te­ nemos

2

- = 6, x de donde

2 = 6* y x = %.

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos 2

y de donde

2 = 4y

y y = *

Por tanto, los dos números son Vi y Vi. Se deja como ejercicio la comprobación de estos resultados. nota. Se notará la semejanza del sistema dado con un sistema lineal si hacemos u = 1 j x y o = 1 ¡y, ya que asi el sistema toma la forma:

» + « = 5f a — v = 1.

Problema* que pueden resolverse por un sistema de ecuaciones lineales 99

E JE R C IC IO S. G R U PO 15 En cada uno de k>» ejercicio* 1-6 resolver el sistema dado, y comprobar el resultado gráficamente. 1. 3 x — y =* 2, 3 2 x — 3y = 9, 5. 9x 4- 7y — 0,

2x + 3y - 5. 3x 4- 4y = 5. 5x — 9 r » 0.

x 4- 4> 7, S x 4- 2y = 0, 6. 2x — l l y = 4, 2. 4.

2x 4- 3y - 4. 2x 4- 5 y - 11. 4x 4- 7y = 8.

En cada uno de Uo* ejercidos 7-10, arabiar ¡a naturaleza de la solución dd sistema dado y comprobar el resultado gráficamente. 7 3x + y - 5, 6* 4- 2y - 7. 9 2x — 6y = 2. x — $y = 3.

8. 4x — 2y - 4, 2x — y - 2. 10. 7x + 2y - 1, 2!x 4 6y - 3.

En cada uno de los ejercicios 11-17 resolver d ¿uenu dado y comprobar el resultado. 1 2 2 1 7 2 3 3 4 3 1 II. - + - - 1 , ------- « ------ . 12. ----------- ----------------x y * y 4 x 2y 2 3x y 3 13. —4- - — 3 , -------— = —2. 9

b

2 u

15. x - y - 7 . > 16. 4x - 2y — 7r 1 2 7 1 17. x y 6 y 18. Comprobar que

b

14. sx — by = r, ex + Ay — *.

£ = 5. x - c = 6. 3, x — y — 5* — l. 2x - 4y 4- s - 3. 2 2 2 1 7 s 3 x £ 6

la aahicián única d e un filtrara fiado rn d Teorema (Art. 4.7), satisface a la ecuación (7),

19. En el dilema del lYorrm.i 2 fArt. 4.7) demostrar que si c, y c, ion •nilms nulas, entonce* d dilema liene la solución * — 0, y — 0. Rn «te tino el lístenla se lluniu homogéneo. 20. Sean «,x ó, — 0 , 0. y a,x ú3 — 0 , a? / 0, do» ecuaciones linéa­ le» con una incógnita. Demodrar que una rondición necesaria > suficiente pam que citas ecuurionri loan compatibles ki qur «,5^, - 0. En cada uno de luí ejercicios 21*30, resolver y comprobar los resultados.

21. Si el numerador de una fracción dada le uumrntu en 1, la nueva fracción es »¡ rl denominador ie disminuye en I, la nueva fracción es Vi. Hallar la fracción. 22. l.'no eumn de dinero sr repartió en cantidades iguales entre cierto número de niños Si hubicru babído do» nllios más, •ada uno habría recibido $ 1 menos; si hubiera bullido dos nidos menos, coda uno habría rrcihido S 2 mi*. Hallar el número de niños y la cantidad recibida |»or cada una. 23. Un número de d»s cifras r» igual a 8 veres la suma de sus dlqitoa; si los dígito» se invierten, el número resultante es 45 unidades menor que el número original. Hallar rl número original. 24. La temperatura C medula rn grados centígrados es una función lineal de la Irmpei iturn F medida en grados Pahrenhcit, y puede ser representada por la i elación C - oF | h. m donde o y ó ion constante*. Determinar estas constan* ir», y por tanto la relación, utilbando lo» hechos dr que rl punto de congelación para rl agua e* 0*C y 32 F y que rl punto dr ebullición r» IO0"C y 212* H. 23 Un lien recorro drrla distancia con velocidad constante. Si r»u velocidad

100

La función lineal

se aumenta en 10 Km por hora, entonces el viaje requiere I hora menos: si la veloridad se disminuye en 10 Km por hora, entonce* el viaje requiere horas más. Calcular la distancia recorrida y la velocidad del tren. 26. Si el ancho dr un terreno rectangular se aumenta 10 metros y su longi­ tud se disminuye 10 metros, entonces el área aumenta 400 ma. Si el ancho dis­ minuye 5 m y la longitud aumenta 10 m, entonces el área disminuye 50 m2. Calcular las dimensiones del terreno, 27. Cierta línea recta está representada por la ecuación lineal a x -f by — 7, en donde a y b son constante** (Art. 3 .9 ). Calcular a y b si Las coordenadas de dos de los puntos de la recta son (2,1) y (— I. 3 ). 26. En geometría analítica se demuestra que una circunferencia puede repre­ sentarse por la ecuación x - - >,a + Dx 4- E y + F — 0 en donde D , E y F son constantes. Determinar los valores que deben tener estas constantes para que la circunferencia pase por ios punto* ( 0 ,0 ) , ( 3 , 6 ) , ( 7 ,0 ) . 29. A y B juntos pueden hacer cierto trabajo en 1% días, A y C juntos pueden hacerlo en 1% días, ñ y C juntos pueden hacerlo en 2% días. Calcular el número de días en que cada uno puede hacer el trabajo por separado. 30. La suma de los digitos de un número de tres cifras es 6. Si se intercam­ bian los dígitos de las centenas y las decenas el número resultante es 90 unidades mayor que el número original. Si se intercambian los digitos de la* decenas y las unidades el número resultante es 9 unidades mayor que el número original. ¿Cuál es el número?

5_ La función cuadrática 5.1. IN T R O D U C C IO N Continuamos nuestro estudio de las funciones enteras en x con el caso particular en que el grado es 2. Entonces la función se llama función cuadrática de x y generalmente se le escribe en la forma ax 2 + b x 4* c ,

0,

en donde a, b y c son constantes. Esta función es de gran importancia y sp presenta frecuentemente no solo en álgebra sino también en otras ramas de las matemáticas, en física y en ingeniería. 3.2. LA EC U A C IO N C U A D RA TIC A O D E SEGUNDO G R A D O CON UNA IN C O G N ITA Si la función cuadrática de x se iguala a cero, entonces obtenemos la ecuación cu adrática can una incógnita. ( 1}

ax¿ — bx + c = 0,

a ^ 0,

en donde c, h y c son constantes. La ecuación (1 ) también se conoce como la form a canónica de la ecuación de segundo grado. Por resolución de (1 ) se entiende la determinación de sus raíces (Art. 4 .2 ). Se empican comúnmente dos métodos: el de factor ¡-¿ación y el de aplicación de una fórmula. 5.3. R E SO L U C IO N PO R 1-A U TO RIZA CIO N El primer paso para resolver una ecuación de segundo grado por cual­ quier método es escribir la ec uación en la forma canónica, si es que no está ya en dicha forma, o sea en la forma (I)

ax1 + bx f c c O , 101

0.

102

La función cuadrática

El primer miembro de (1 } es un trinomio general de segundo grado que puede ser factorizado en dos factores lineales (Alt. 2.9. tipo 4 ) . Y a que el producto de estos dos factores es igual a cero, calcularemos los valores de x que anulan a cada uno de ellos, para lo cual igualaremos a cero cada factor (Teorema 19. Art. 2 .1 5 }. Por tanto, la resolución de ( 1 ) se reduce a la resolución de dos ecu acion es lineales equivalentes c ella (Art. 4.3, 4 .4 ). En la ecuación ( 1 ) , la tínica restricción sobre las constantes a, b y c es que a^¿= 0. Por tanto, tanto b como c o ambas, pueden ser cero. Pri­ meramente consideraremos estos últimos casos. Si c = 0, la ecuación (1 ) se reduce a

(2)

ojt

+ b x = 0,

que inmediatamente puede factorizarse a s x [ a x - b ' , = 0,

que equivale a las dos ecuaciones lineales x = 0,

ax 4- b — 0,

con las soluciones 0 y — o ' a , que son las ralees de ( 2 ). Análogamente, podemos demostrar que si b 0, entonces las ralees ion rfc 1/ — , y si 0 c 0, entonc es ambas ralees son cero. r « Veamos con un ejemplo el caso en que b ¿ 0, c /- 0. Ejemplo. Resolver por factori/ación la ecuación (3 )

2 ( * + l ) * — * = 4.

»o!. ugion. Primer amen tu escribimos la ecuación (3 ) en la forma ca­ nónica (4 )

2-r1 -f 3x — 2 = 0.

I'arto rizando el primer miembro, tenernos ( 2 * — l ) ( * + 2 ) = 0. Igualando a cero cada uno de los factores lineales, resulta

2* — 1 = 0

y

x + 2 = 0,

de donde jr = % y x = — 2, respectivamente. Por tanto, las ralees bus­ cadas son Va y — 2.

Resolución por medio de una fórmula

103

Como ya si* observó {Art. 4 .3 ), la solución de una ecuación debe com­ probarse siempre por sustitución directa en la ecuación original. Así, para ala sustitución en la ecuación (3) nos da

9 1 4 2 ~ 2 = 4; ( — 2 ) ■* 2 + 2

y paca x = — 2, nos da 2 (- 2 — 1 ) “ muestra que ambas raíces son correctas.

4. Lo cual dr-

5.4. R E SO L U C IO N PO R M E D IO DE UNA FO RM U LA Si el primer miembro de una ecuación cuudrádcn que está en la forma canónica puede fac torl/arse fácilmente, entonces éste «-s el método de resolución que debe seguirse. Por otra parte, la resolución de una cctia«lón cuadrática siempre puede hacerse por el método llamado de com ­ putar un cu adrado. Este método i** siempre aplicable aun cuando la so­ lución no pueda obtenerse fácilmente por factorización. Veamos un ejemplo. Ejemplo I. Resolver la ecuación

2*1 — 2x — 1 = 0 . SOLUCION. E l primer miembro no puede f arte ruarse en factores li­ neales con coeficientes racionales. Por tanto, utilizaremos la operación de completar el cuadrado, como sigue: Se transpone el término constante al segundo miembro de la ecuación dejando en el primer miembro los términos que contienen la incógnita. Es decir

2x* —2x= 1.

Se divide entre 2, que es el coeficiente de jr , obteniéndose xs — x = ~ .

2

Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto le añadimos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. O sea. Ir añadimos R iy i ( - ^ J = - a ambos miembros, obteniendo

* - , + ! = 3 4

H

)‘ 4

4

10 i

L a fu n c ió n c u a d rá tic a

Extrayendo la raíz cuadrada en caca miembro obtenemos

1

X

de donde

--------=

2

x =

V3

d r ——- ,

2

I ± V3

1 + V i t — V3 , lo cual puede compro­ Por tanto, las raíces son ----------- y -----barse por sustitución directa en la ecuación original. Ya que el método de completar cuadrados se puede aplicar a cual­ quier ecuación, podemos emplearlo pañi obtener las mices de la ecuación general de segundo grado representada en forma canónica y luego usar la solución obtenida como una fórmula. Asi: ax2 — bx + c = 0,

0.

a

si transponemos c al lado derecho y dividimos todos los términos entre a, obtenemos b c x 2 + - x » ------. a a Para completar el cuadrado, añadirnos ¡m° s ( A ) - a ambos miembros.

b

X*

— -

a

X

b*

e

b2

4aa

a

4 a-

+ ------ = -------- T

— 4cc 4a 2 Extrayendo la raíz cuadrada resulta b

± V b* — 4ac

X + 2 a = ------- 2 a de donde

x

- b ± V'b‘ 2a

4ac

lo cual se conoce como la fórm ula di la ecuación de segundo grado. Reciprocamente podemos demostrar, por sustitución directa, que cada uno de estos dos valores de x satisface la ecuación c anónica original. En consecuencia:

Resolución por medio de una fórmula

105

Teorema 1. L a ecuación de segundo tirado con una incógnita ax 2 + bx -r c = 0 ,

f l^ O ,

tiene ¡as soluciones -b d= VÜ* — \nc Ejemplo 2. Resolver la ecuación x 4- 1 X

1 =

---- 1

X

solución . Primeramente quitaremos denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación por el menor denominador común ( x — l ) ( x — 2 ) . Resulta: X3 —

X

— 2—

X2

+ 3x — 2 = X* — X.

Simplificando y ordenando los términos, obtenemos la ecuación en su forma canónica _ 3 * + \ = 0. Va que el primer miembro no puede ser factorizado en factores lineales con coeficientes racionales, utilizaremos la fórmula del Teorema 1. En este caso a = 1, b — - 3, c = 4, de modo que — b dr V b- - 4 ac

2a

3 dr V 9 '

2

16 _ 3 db V 7t 2

Como las únicas raíces extrañas posibles son 1 y 2, que no satisfacen la ecuación, las raíces buscadas son ------------- , que, para mayor seguridad. deben comprobarse en la ecuación original. Existen muchos problemas que pueden resolverse por medio de ecua­ ciones cuadráticas. Ejemplo 3. L'n tren recorre 300 Km con una velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido 10 Km por hora mayor, el tiempo empleado hubiera sido 1 hora menos. Calcular la velocidad del tren. solución . Sea x la velocidad del tren en kilómetros por hora. Tiempo necesario para el viaje a la velocidad original 300/x horas. Tiempo necesario para el viaje a la velocidad modificada = 3 0 0 / + 10) horas. 300 300 •• X x 4 10

106

La función cuadrática

Quitando denominadores y ordenando los términos, como en la forma canónica, tenemos x 2 + 10* — 3000 = 0. Factor-izando, ( * -I- 60) ( * — 50) 0, de donde * = —60, 50. El valor * 5 0 satisface a la ecuación original y las condiciones del problema. El valor * 60 satisface a la ecuación original pero como no sa­ tisface las condiciones del problema es rechazado. Al resolver problemas por medio de ecuaciones cuadráticas, resulta que a veces ambos valores satisfacen las condiciones del problema y, por tanto, hay dos soluciones; en otros casos sólo uno de los valores es aceptable, como en el problema presente. E JE R C IC IO S. G R U P O 14 En cada uno de los ejercicios 1-24, resolver i;i ecuación dada por factorización, y si no es posible hacerlo, usando la fórmula Comprobar las raíces por sustitución en la ecuación original. 2. *2 — * — 12 - 0. 4. 6«a 1 s — 2 - 0. 6. 2 (x 4 1)2 — 4 - x (x + 3 ). 8. (> + 1 ) 2 - 3 0 . 4- 1) - 4 . 3* 5 2{x 4- 4) 10. 9. x 4- 1 2x — 3 ' * - 3 + * - l U 12. Xi — 2x - ' 2 - 0 . 11. x- — 2* — 1 - 0. 13. 9u* — 12« — 1 - 0. 14. 4 t 2 — V¿v 4 - 1 1 - 0 . 16. ( * + 2 ) ( x — 1} - * 4 - 3 . 15. 2(x + 2 )* (x l ) 2 = 2 * + 7. 18. 3 (x 1- I ) 2 - (x 4- 4 ) 2 — 12. 17. (x — 5 ) ( * + 1) = 2 ( * - 2 )L 7 10 20. 9> — 12 4------- 0 19. z 4- — — 6. t y (« 2 4- b2)x -t- cb — 0. 22. x ¿ — 2ax 4- a- 4 b2 — 0. 21. cbx~ 23. x- —■2bx + b" - a — 0. 24. 4*2 — 4a* 4- a2 ■■ b'2. 25. En el Teorema 1 (Art. 5 .4 ), demostrar que cada una do las raíce» oblenidas satisface la ecuación original. 26. De la ecuación * * •— a* obtenemos las ecuaciones = ^ n . que general­ mente se escriben romo r Demostrar que la solución rs idéntica en los dos casos. 27. La longitud de un cuarto es 5 metros mayor que su ancho el área es 150 m*. Hallar sus dimensiones. 28. A y B juntos hacen un trabajo en 1% horas y A puede hacerlo en 2 horas menos que B. Calcular los tiempos en que A y B pueden hacer el trabajo sepa­ radamente. 29. Un tanque puede vaciarse utilizando dos válvulas en 2 horas. ¿Cuánto tiempo se necesitará para vaciar el tanque con «ada una de las válvulas por sepa­ rado si una de ellas puede hacerlo en 3 horas menos que la otra? 1. x* — 3 * 4- 2 - 0. 3. 3y* + 2y — 1 « 0. 5. ( * — 2 ) 2 4- 2 - * . 7. ( * — 3 ) ( x * 2) - 6.

Propiedades de la ecuación cuadrárica

107

30. Un caerlo de un triángulo rectángulo es 17 cm mayor que el otro, y la hipotenusa mide 25 cm. Calcular las longitudes de los catetos. 31. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $ 6 0 0 en partes iguales. Si hubiera habido 20 miembros más, ei costo para cada miembro hubiera «ido $ 1 menos. Calcular el número de miembros dol club. 32. Hallar dos números cuya suma sea 12 y cuyo producto sea 35. 33. En física se demuestra que la distancia í (en metros) recorrida por un cuerpo en su caída libre en el vacio está dada por la fórmula s ■= vjt -fen donde v0 es la velocidad inicial del cuerpo (en metros/seg.), / es el tiempo dr descenso (en seg.) y g es la aceleración constante debida a la gravedad (en metros/seg.2). Calcular el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacio si su velocidad inicial es 18 metros/seg. y g es 9.8 metros/seg.3 34. Despejar l de la fórmula del rjcrcicio 33 y explicar por qué sólo puede admitirse en la solurión uno de los signos del radical. 35. Las aristas de dos cultos difieren en 2 cm y sus volúmenes difieren en 218 crns. Caicular la arista de cada cubo.

5.5. PRO PIED A D ES D E LA ECU A CION C U A D RA TIC A Si las raíces (le la ecuación general de segundo grado { 1)

ax2 + bx + e = 0.

a ■=/=■0,

se representan por rx y r2. por el Teorema 1 (Art. 5.4) tenemos: /0> ™

r1

_ — b 4- \ rb l — 4
_ — b — y /V — 4oc 2a

Consideremos ahora la uaturale/a de estas raíces cuando los coeficien­ tes de (1) son reales, es decir, cuando a, b y c son números reales. Es evidente que las raíces dependen del signo de la expresión b l — 4oc que aparece como subradical. Así, si b* — 4ac > 0, r. y r¡. son reales y dife­ rentes; si bz — 4a c = 0 , r, y r2 son reales e iguales; y si b3 — 4ac < 0 , TXy r¿ son complejas y diferentes. En este último caso las dos raíces com­ plejas difieren solamente en el signo del término imaginario, es decir, si una de las raíces es de la forma m -r ni, entonces la otra raíz es de la forma m - ni, en donde i = V — 1. Tales raíces reciben el nombre de números com plejos conjugados. La expresión ó* — 4or se llama el discriminante de la ecuación cua­ drática ( 1 ). Resumimos los resultados anteriores en el siguiente teorema: I rorrtna 2 . Si los coeficientes a, b y c d e la ecuación cuadrática ax* + bx 4- c = 0,

fl ^ 0,

l.n función cundrAtica

IOH

jf>r» núm eros reales y, en consecuencia, tam bién es un núm ero real el discrim inante l) b8 Iyk resulta: si D > 0, las taires son reales y di­ feren tes; si l) 0, las ralees son reales e igu ales; y si D < 0, las ralcr s son números com plejos conjugados.

Corolario. S i a , b y c son números racionales, las ralees serán ració­ nale.» solam ente si l) es un cuadrado p erfecto no negativo. nota.

Si el disrrimintinic l) no es negativo pero no es un cuadrado

perfecto, las raíces son expresiones con radicales ile la forma m ♦- V'r»» y rn

Vrt que se llaman binom ios irracionales cuadráticas conjugados.

Ejemplo I. Determinar la natumlwtu de las ralees de la ecuación 2** + 5x — 3 = 0. SOLUCION. El discriminante h* 4ac 5“ 1(2) ( 3) = 2 3 -f 24 49 > 0. Por tanto, por el Teorema 2, las ralees son reales y diferente». E l estudiante puede verificar esto fácilmente efectuando el cálculo com­ pleto de las raíces. Este ejemplo corresponde también al corolario del Teorema 2. Ya que las ralees (2) de la ecuación cuadrática general (1) están expresadas rn términos de los coeficientes, la suma y el producto de las raíces también pueden expresarse en términos de los coeficientes. Para la suma tenemos, r» -r r, =

—b + \'b: — 4ac

— b — Vó* — 4cc 2a

y para el producto. fifi

-(

—b

4-

Y 'V — 4 c c V — A -

\ 'b* — 4<jrc\ _ 4oc

2a

2a

)C

}\

7

c

4 a* “ a ’

Enunciamos estos resultados en el teorema siguiente: Teorema 3. En la ecu ador, general d e segundo grado asr + o x 4- c — 0.

a

0,

la suma d e las r a c e s es —b ¡ a y e l produ cto es c ja . Ejemplo 2. Calcular el valor de k en la ecuación (A 4- l ; x ¡ — [k 4- 8 ix 4* 10 = 0. para que la suma de las ralees sea *¿. solución . Por el Teorema 3, la suma de las raíces es igual al coefi­ ciente de x cambiado de signo, entre el coeficiente de x*. Por tanto.

k - 8 k -

1

2 * 4- 16 = 9* 4- 9 y * = 1.

Propiedades de la ecuación cuadrilica

109

El estudíame debe comprobar el resultado efectuando el cálculo com­ pleto de las raíces. Ejemplo 3. Hallar el valor de k en la ecuación ( k — 1 )** — 5x *f — 7 = 0. para que una de las raíces sea el reciproco de la otra» soLuctOK. Sea r una raíz. Entonces la otra raíz será 1/r y su produc­ to es l. Pero el producto de las raíces es también [3k — 7 ) / ( 4 — 1 J. Por tanto. (3 * — 7 ) / ( * — 1) = 1. 3 * — 7 = k — l y k = 3. La comprobación de este resultado se deja como ejercicio. Veamos ahora el siguiente teorema que es de gran importancia. Teorema 4. S i r es una rali d e ¡a ecuación cuadrática general ax- + bx -r c = 0 , entonces x — r es un fa cto r d el prim er m iem bro y reciprocam ente. d f mostración . Sea f(x) = a r + bx — c. Ya que r es una raíz de f [ x ) = 0. podemos escribir

f ( r ) = ar1 + br + c = 0. Restando, tenemos: f ( x ) — /(r) = arr + bx — c — (ari o sea, de donde, que

¡(x ) — 0 f { * ) =■

br + e)

a {x * - - r f ) -f- b (x — r).

(x — r)[a (x + r) + ¿>J,

i k >s dice que (x r) es un f a c t o r d e / (x). Recíprocamente, si (x — r) es un factor de / (x), podemos escribir

/ (*)

: (x — r ) P ( x ) ,

en donde P (x ) es el otro factor. Para x — r esta última relación una dice (|iic f[ r ) 0, por rl Teo­ rema 19 (Art. 2 .1 5 ), lo cual significa que r es una raíz de /(x) = 0, tal como se quería demostrar. Ya que r, y r, dadas por (2 ) son la» raíces de la ecuación cuadrática general ( 1 ) , se concluye, por rl teorema anterior, que x r* y x — r„ mui factores de ox* + bx I c. Y como el producto de estos'factores es

— x* 4* - x 4 - = - («x* I bx + c ), a a a

lio

La función cuadrática

podremos escribir la función cuadrática en forma factorizada así (3 )

a ** + bx + c = a { x — r ,) ( x — r¡).

La relación (3) sugiere un método para factorizar cualquier trinomio general (Art. 2.9, tipo 4 ) , que vamos a explicar en el ejemplo siguiente. Ejemplo 4. Factorizar 6x* — 5x — 6. soluuion .

Las raíces de ó *2 — 5 * — 6 = 0 son 5 ± V'25 4- 144

5 ±13

3

2

Por tanto, los factores de 6x2 — 5 * — 6 son

6

+ í ) = í 2* - 3)*3* + 2»■

L a ecuación (3 ) es particularmente útil cuando se desea determinar si una expresión cuadrática dada es reducible en un campo de números particular (Art. 2 .8 ). Ya que el campo queda determinado por la natu­ raleza de las raíces r, y r3, todo lo que necesitamos hacer es calcular el discriminante (Teorema 2 ). Ejemplo 5. Averiguar si la expresión cuadrática x1 no reducible.

2x 4- 2 es o

sollcion . El discriminante es b: 4ac = 4 — 4 ' 2 = —4 de modo que los ceros de la expresión dada son números complejos conjugados. Por tanto, la expresión es irreducible en el campo de los números reales.

Ya hemos visto que la ecuación cuadrática tiene dos raíces. Ahora investigaremos la posibilidad de que existan más de dos raíces. Suponga­ mos que la ecuación ( I ) tiene también la raí/ r diferente de r, y de r¡. dadas por ( 2 ) . Sustituyendo x por su valor r en (3) tenemos ar'1 4■ br + c = a [ r — r,) ( r — r2) , donde todos los factores del segundo miembro son diferentes de cero. Por el Teorema 19 (Art. 2.15), ar* + br + c= ¿ 0 , es decir, r no puede ser raíz de la ecuación (1 ). De aquí el siguiente teorema: Teorema 5. L a ecu ación cuadrática ax 2 -f bx 4- c = 0,

a

0,

tiene únicam ente dos raíces r, y r* que están dadas por las fórm ulas ( 2 ).

Propiedades de la ecuación cuadrática

111

Hasta aquí hemos resuelto el siguiente problema: Dada una ecuación de segundo grado, calcular sus raíces Ahora consideraremos el problema inverso: Dadas las raíces de una ecuación cuadrática, hallar la ecuación. Ejemplo 6. Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son % y %. s o

l

u

c

i ó

n

.

La ecuación puede expresarse primeramente en la forma

Efectuando operaciones

Multiplicando por 12, para quitar denominadores, resulta 12jc* — 25a: + 12 = 0 que es la ecuación buscada. Esta ecuación también puede obtenerse utilizando las fórmulas que dan la suma y el producto de las raíces. E JE R C IC IO S. GRUPO 15 En cada uno de los ejercicio» 1-fi determinar la naturaleza, suma v producto «le las raíces, sin resolver la ecuación dada. 2. x* - 4x + 4 - 0. 4. (x f l)^ - x — 1. x 4 1 _ 3x — 1 6X— I x 4- 1

L. x* + * — 6 - 0. 3. x * — 2x - 3 = 0. 5. x 4- - — 4. x

En rada uno de los ejercicios 7-12. determinar el valor o valorrs de k para que la ecuación dada tenga raíces iguales. 7. kx- 4 8x - 4 - 0. 9. x* + jfcx 4* 8 - *. 11. ( * 4 4 } x * — 1 - (2 ¿ + 2 )x — A.

B. x* — 3Ax + 9 - 0 . 10. x= - 3A + 1 - (A + 2)x. 12. {k — 1 )* * — 2Ax -1- k- — 0.

En cada uno de los ejercicio» 33-18, hallar la ecuación que tenga las raíces indicadas. 13. 3 ,4 . 16. 1 4 i, 1 — i.

14. %, — 17. 1 4 V 5 , 1

V 5.

15. v T . — V T . 18. 2 • 3». 2 — 3r.

En « ada uno de los ejercicios 19-22, estudiar la reducibilidad de la expresión «uadráttra dada, y hallar lo» factores, sin restringir el campo de número» usados. 19. ** — 7* - 10. 21. x» + 2 * - 3.

20. x» 4 4x + 1. 22. 2x* — 2x J- 5.

112

La función cuadrática

¿3. Si una raía de la ecuación A* - 2 *> 0 es I , caleuUr el valw de * y la otra rala. 24. Calcular el valor dr A para qui la iunia de las ralees de la ecuueión 2Ajt* _ (122 + 1 ) * + 1 2 — 0 te» 7. 25. Hallar el valor de A para que rl producto de las ralees de lu tvu.n ion (A 2 ) * * — 5 * + 2A — 0 sea 6. 20. Calcular los valores de A par.» <|Ur una raíz de la ecuación (A» Illa9 3(A - l ) a r - ok = 0 sea 2. •??. Calcular el valor de A para que una rala de la ecuación i * 2 ♦ ( i -- I |a: 12 — 0 sea d negativo de la otra. 28. Hallar el valor de A ro la ecuarión JA + 2 )x z - Iftr » J t » 0 para que las dos ratee* sean número* reciproco* 29. Si la » + < — 0 es igual a fc'/s* — 2r/s.

licuaciones de forma cuadrática

5.6.

113

EC U A C IO N ES DE FO RM A C U A D RA TIC A Hasta ahora liemos considerado la ecuación cuadrática general a x 2 — bx + c = 0.

( 1)

c / 0,

con ce la incógnita es directamente !& variable x Sin embargo, si la in­ cógnita una función dr x, digamos f\ x ), entonces ( 1 ) puede escribirse simbólicamente en la forma

«s

(2 )

«(/(.*)]9 4- b [f (x ) ] + c = 0,

«

0,

y una ecuación como (2) se llama de form a cuadrática. Es evidente que para que una ecuación sea de forma cuadrática se requiere que sólo aparezcan en ella /(#) y hi cuadrado. Por tanto, por medio «Ir una sus­ titución adecuada, la ecuación ¡ 2 ) puede transformarse a la forma (IV . Por c-ernpk*. la ecuación

je* — 7jt + 12 = 0. que es una ecuación de cuarto grado, no es dirre lamente una ecuación cuadrática pero es clr forma cuadratura ya que. si lucernos y = x*. resulta la ecuación >f — 1y -I 12 = 0. Al resolver esta ecuación »c,obtienen dos valores de y, qo~ podemos igualar, cada uno de ellos, a vv. y de estas dos ecuaciones podemos obtener las cuatro raíces de la ecuación dada. Ejemplo I. Resolver la ecuación ,v4 solución .

Hagamos y

Factor izando Por tamo, y = 4 y y

7x* + 12

0.

x* La ecuación dada torna la forma

y» — 7 , + 12 = 0. ( y — 4,1 ( y — 3) = 0. 3, dr donde tenemos x* = 4,

x = ±2,

x* = 3,

x = ± VT

vm las cuatro soluciones <1«* la ecuación cada. Esta ecuación también puede resolverse fácilmente por factorización.

l'vas

, 3 /vv .j. 1 \ Ejemplo 2. Resolvei la w ación — -i---i— : 2x— •= 7. —---X x3 1 I noi.uGiON. Esta ecuación no es directamente de forma cuadrática, y ti tprir unios denominadores obtenernos una ecuación de cuarto grado que

I.a función cuadrática

114

tampoco es de forma cuadrática. Sin embargo, podemos observar que la ecuación dada contiene expresiones reciprocas, en cuyo caso se transfor­ mará en una ecuación cuadrática utilizando una sustitución adecuada. En efecto, hagamos x* + 1 y - ---------- X Entonces la ecuación dada *_• transforma en

3 y -r-= 7 .

y

Multiplicando por y

3y* — 7y -r- 2 = 0.

(y— 2 )(3 y — 1)

Facto rizando

= 0,

y = 2. H-

de donde

y = 2,

Para

x8 + 1

n

-----= 2, X

* “ — 2* + 1 = 0,

de donde

y

x = 1, 1. X2 + l 1 y = ñ 3* x 3’ 3x= — * + 3 = 0. 1

Para de donde

Por la fórmula de la ecuación cuadrática x =

1 ± l V I — 36

Las raíces buscadas son 1,1,

1*

1 ± V35 i~

V 35Í

Algunas ecuaciones q u e con tien en rafeen t uadrac.is pueden ser de forma cuadrática. En relación a esto importante señalar un convenio establecido respecto a los signos de los radicales Debo entenderse, como un convenio d e notación, que si no hay signo escrito antes de una raiz cuadrada indicada, esto significa siem pre la raíz cuadrada positiva. Si se desea la raíz cuadrada negativa, debe ponerse el signo menos delante del radical. Según esto, la raíz cuadrada positiva de una cantidad x se es­ cribe V x , la raíz cuadrada negativa se escribe

V x , y am bas raices se

escriben d: V x. Ejemplo 3. Resolver la ecuación x* + 3x — V x * + 3 * — 1 — 7 = 0. solución . Para resolver esta ecuación drlwmos rlirninar el radical. Un método consiste en transponer el radical al srgundo miembro y luego

Ecuaciones con radicales

115

elevar ambos miembro* al cuadrado. Sin embargo, esto conduce a una ecuación de cuartn grado que no está en forma cuadrática. Además, la operación de elevar al cuadrado porde introducir raicea extrañas ( Artico¡o 4 3 ) .

También podemos proceder como sigue: Aunque no podemos alterar el subradical x 2 I 3x — 1, lindemos escribir la ecuación dada asi: Xa I

— 1 — V x * 4- 3x — l — 6 = 0.

Sea y = V x a 1 3 x — 1. la miz cuadrada positiva. Entonces Factorizando de donde

y* — y — 6 = 0. [y — 3 ) (y — 2) = 0, y = 3, — 2.

De acuerdo ton nuestra sustitución, y sólo puede tener valores posi­ tivos. Por tanto Elevando ai cuadrado de donde Facto rizando de donde

Y^r* +* 3 * — 1 = 3 . x* 4- 3 x — 1 = 9 , x* + 3x — 10 = 0. ( x — 2 ) 'x + 5 ) = 0, x = 2, — 5.

Ya que estos dos valores satisfacen la ecuación original, son las solu­ ciones buscadas. Si, m contra de nuestra sustitución, igual-unos el radical a — 2, obIrnemoa dos soluciones extrañas. 3.7 EC U A CIO N ES CON RA D IC A L E S Una ecuación con uno o más radicales que contienen la incógnita se llama una ecu atión con radicales. Sólo consideraremos aquí ecuaciones en las que entran raíces cuadradas y cuya resolución dependa de ecuacioi*-» lineales o cuadráticas. Son ejemplo* de tales ecuaciones V x~^6 - V x — 2 — 4 = 0

y

V x 2 — 3x + 4- = 2.

Para resolver una ecuación con radicales debemos eliminar los radi­ cales por racionalización. El procedimiento general rs transformar la •citación dada de modo que un radical aparezca sólo en un solo miem­ bro de f.i ecuación. AI elevar al cuadrado ambos miembros se eliminará «•»lr radical. Este método, conocido como aislam iento
2 —4 = 0

I.íi /unción cuadrática

116

sclucion Primero aislaremos un radical, digamos V x poniéndolo .ti segundo miembro. Así tenemos:

2, trans­

V T T " 6 — 4 = — V x — 27 Elevando al cuadrado x 4 6

B V x + 6 + 16 = x — 2.

Aislando el radical y simplificando — 8 \ x + 6 = — 24. Dividiendo entre —8

V x 4 - 6 = 3. x 4- 6 = 9 ?

Elevando al cuadrado de donde

x = 3.

Por sustitución directa encontramos que este valor de x Mtinfiu:«: a la ecuación original y, por tanto, es la solución. nota. En uno dr los pasos de la solución anterior hemos dividido ambos miembros de la ecuac ión entre — 8 . Algunos estudiantes omiten este* paso; y, en
Ya que la resolución de ecuaciones con radicales requiere elevar al cuadrado, es muy importante comprobar en !a ecuación original, '.odas las soluciones obtenidas, para identificar las posibles raíces extrañas {A lt 4 .3 ). Algunas ecuaciones con radicales no tienen solución, como pued*- verse en el «guíente ejemplo. Ejemplo 2. Resolver la ecuación V e SOLI CION. Transponiendo V x

3-

Elevando al cuadrado x — 3 — ‘IV' x

3 2

3

V 2 x r 2 = 2.

V2a T 2 .

1

2x I 2.

Aislando el radical y simplificando

—4Vx—3 = * + l, Elevando al cuadrado Í6x Transponiendo x 2 — I4x Resolviendo

111 .v 2x •! I. lí) — (l. x - 7, 7.

Si sustituimos 7 en lugar de x en ía ecuación original, obtenemos V 7 — 3 — V 14 4 - 2

2 - 4 =jfc 2.

Por lo tanto, la ecuación dada no tim e solución.

G r ific j de la función cuadrática

117

E JE R C IC IO S . G IU 1*0 16

En caca, uno de lo» ejerrxio» 1-15 resolver la ecuación cada axno ecuación de forma cuadré*.t a 16 (1. 1. x * — I7.r> 3. x 4- *Vi 6 • 0. 5. 2xV» + 2x 5 - 0. 7.

l*+; J

9. 2 *’ - 2 X Jl.

+ 4r x5

*

+

2

2. 2x4 + 17x5 — 9 - 0. 4. x'b— 3x!/« 4-2 = 0. 6. xw» 4- 2x-V« - 3 = 0.

J

-i.

13. *= + 2* -f v'x» - 2 * * 10

- ( x~ ] Y <(* 1 3 l x ! 4l , 1 1 10 x2------ — c5 ------ - . ax12. 2xa

1.

v'x -Jl/ * * I t—3 » X ♦ 3

*

l2'

2x 4- V x* — x

20 - 0.

i • V i+ >

En cada orto de k« ejercí* é>r 16-23, rcsohTr la ecuación con radicales » com­ probar si aparecen raíce* extraña*.

16

V*

17. \fx \ i

~2 + V7T~~7 - 5.

18. Va-»"— 3* - 4 - 2.

i)

20* V 1 + V * - V ó * - 2.

2i. V *

22. V2#— 1— V8-* 1 10+ V * 23 Vx l“I f V T

7-

V x I 7 - 5.

vx I 2 Vi

' — 5. *

V » — i.

1 - 0.

V * + 8 •Q.

F.n rudo uno de 3o* ejercicios 24 y 2.», rae lon.il izar 1» ecuación dada, es decir. U iriiJormada en una ecuación lia radicalr*.

24 VT 4- v 7 = I. 25 V'T7 — 3 )* + y* 4- V fx 4* 3}= *4* y» - 10.

.18. (.RAUCA DF IA FUNCION CUADRATICA l a gráfica de* la función cuadrática ax* + b x + e, a 7- 0 , se obtiene ¡Kunljndo esta expresión a y y calculando lo*, valores reales correspon­ diente* de x y y por medio de la ecuai ión

31

ax1'

bx \ c .

n / 0.

118

Ij» función cuadrática

Los pare» de números obtenidos son las coordenadas de los puntos que, al trazar una curva continua que pase por ellos, nos dan la gráfica buscada (Art, 3 .9 ). La gráfica tiene la forma representada en la figura 8 y recibe el nombre de /.arábala. En geometría analítica se demuestran diversas propiedades de la parábola. Por ejemplo, si a > 0 la curva *• abre hacia arríha (Fig. 8 (a) ) y si a < 0. la c u n a se abre hacia abajo (Fig. 8 ( b ) ) . Además, la curva es simétrica respecto a tina parábola al eje O >' que se llama el eje de la parábola. El punto V de intersección del eje y

y

con la parábola es el vértice. Si o > 0, V recibe el nombre de punto m ínim o y su coordenada y representa el valor mínimo que puede tomar la función cuadrática. Si a < 0, V ge llama /junto m áxim o y su ordenada y representa el valor m áxim o que puede alcanzar la función cuadrática. Todos estos resultados, que se demuestran en geometría analítica, pueden resumirse en el siguiente teorema: Teorema 6 . L a función cuadrática (1)

ax* + bx + e ,

a ^ 0,

se representa g ráficam en te por m edio de la parábola (2 )

y = ax1 + bx 4* c,

cuyo eje es paralelo ( o coincidente con) al eje Y, y cuyo vértice es el punto ( —b/2a, r — b * /4 a ). Si a > 0, la p arábola (2 ) se abre hacia arriba y su vértice es un punto m ínim o, teniendo la función cuadrática ( 1 ) un valor m ínim o igual a c — b'/A a para x = —6 / 2 a. Si a < 0, la parábola (2 ) se abre hacia a b a jo y tu vértice es un punto m áxim o, teniendo la función cuadrática ( 1 ) un valor m áxim a igual a c - b9/Aa p ara x = — b j l a .

G r lfic i d e la función cuadrática

y

y

y X

0 1 2 —1 _2 -S

7 2 4 8 2 4 8

Fio. II.

119

120

1.a función cuadrática

Los valorea máximo* y mínimos serán estudiados en el articulo si­ guiente. Ahora veremos algunos ejemplos de la interpretación geométrica do '.os ceros de una función cuadrática. Ejemplo. Tra/tir la gráfica y determinar los ceros de cada una de las siguiente* funciones: (a i r= — x — 2

ib ) x* — 4x 4- 4.

(e) x2 + jc + 2.

S O L U C IO N ( j ) I L ig a m o s y sr — x 2 y c a l e c e m o s la* c o o r d r n a d s s de un número adecuado de puntos como se muestra en la tabla de la figura 9. l a gráfica ( Fig. 9 . corta al eje X r-n x — — 1 y * 2 siendo estos números lo* cero* de la función dada o raíces de ia re nación —x—2 0. 1 .a gráfica muestra también que b fundón c* positiva para todos los valores de x menores que 1 y mayores que 2, y que es negativa para tocios los valores de x entre 1 y 2. [b) Para y x’ 4* 4 obtenemos la tabla de valores y I.» gráfica dadas por la figura Id Kn este raso la curva no corla al eje .V pero es tangente en el punta en que x 2. Este punto de tangencia indica que aunque hay dos cero*, timbo* son iguales a 2. En otras pulabras, las raíces de x ‘ 4 jt I I 0 son ambas iguales a 2. La función dada es positiva para lodo valor real de x excepto x = 2 . V ’ De y x 1 x 1 2 obtenemos Ja tabla de valores y la gráfica mostradas en la figura I I . En este «uso la curva no corta ni es tangente al eje X . Por tanto, no hay ceros reales. L u raíces de x¿ — x — 2 = 0

son lo* números complejos conjugados

Ademáis b gráfi­

ca muestra que la función dada es positiva pora todo valor de x 5.9. M A X IM O S V M IN IM O S Ahora consideraremos la determinación algebraica de los valores ex­ tremos (máximos y mínimos) de la función cuadi itira ax* 4- bx 4- c, a i 0, en donde a , b, c y x son números reales, Primeramente observaremos que el cuadrado de cualquier número real o es (ero o es positivo. Por tamo, rl ¡o lor m ínim a del cuadrado de una expresión real es cero. Transformemos b función cuadrática completando cuadros. Resulta:

M ni uno» y m ínim os

121

de donde (1 )

Para ::r.a función ro.uli.ilif a d.ida a, b y c sor. consm ntr i y .\ pi .1 única variable. Por lo tanto, el valor ce y queda determinado >or el va­ lor asignado a x. Examinemos aluna la relación ( t ) para Ion do* casta siguientes; a > O y a < 0 . a > 0. En este taso y no posee valor máximo (fin ito), ya que puede hacerse tan grande como se quieta asignando a x un valor absoluto sufi­ cientemente grande. Pero si tiene un valor mínimo cuando

o sea, x = — ó /2 a . Este valor mínimo es c — b*fAa. a < 0. En rste c a n y no tiene valor mínimo (finito], ya que puede hacer*- tan pequeño como sr quina asignando a x un valor absoluto su­ ficientemente grande. Pero si tiene un valor máximo cuando

o sea. para x = — h i l a F.str valor máximo es c — b 3/la _ Us os resultados que concuerdan cor» rl Teorema ti (Art. 5 .8 ), se re­ sumen en • teorema siguiente: Teorema 7. L a fu n ción cuadratín! ax* I bx I c, a / 0, en donde a. I» y c son constantes reates, tiene un valor m áxim o o mínimo igual a * b*¡\a cuando x :r b¡2a. Este ta lo r es un mínimo cuando a > 0 V •' m áxim o cuando a < 0. La utilidad de este teorema está en el hecho de que puede ser usado p.it.1 rrsolvt-r cualquier problema de máximo* y mínimos que dependa de un í (unción cuadrática de una variable El problema general de la dct» mir ación de máximos y mínimos pura una función cualquiera perte11 re al calculo diferencial y no se con*idrrará aquí. Ejnii|ilo I. Calcular el valor máximo o mínimo de la funcióo cuadrática 6 t x — x5. Comprobar el resultado gráficamente. SOI 1 CK»N. Ya que el coeficiente de x 1 es negativo, la función tiene un m iximo qur puede obtenerse por sustitución directa m la» fórmulas del l.n o m a 7. Así, para n — — 1, b I, < 6 el valor máximo es b (i Sin embargo. 2a 2 2

l a fu n c ió n c u a d rá tica

122

en caso de que el estudiante olvide estas fórmulas, siempre puede recu­ rrir, para obtener el resultado, a completar cuadrados como se hizo en la demostración del teorema 7. La gráfica de la función se mues­ tra en la figura 12. En ella se indican el punto máximo y los ceros.

y

Consideremos ahora un problema típico de máximos y mínimos que de­ pende de una función cuadrática. Ejemplo 2. La suma de dos nú­ meros es 8 } Cuáles son estos números si la suma de sus cuadrados debe ser mínimo? s o l u c ió n

.

Sea x uno de los números. Entonces

8

—x

—

segundo

número. El procedimiento general en problemas de este tipo consiste en ex­ presar la cantidad que se desea que sea máxima o mínima como una función de una sola variable. Así, si S representa la suma de los cua­ drados dr estos números, escribimos *» + {8

S

2 * * — 1 6 * + 64.

x )*

Por el Teorema 7, S tiene un valor mínimo cuando b .Y = ---— = 2o

— 16 4

Por tanto, los números buscado* son 4 y 4. Como se observó en el ejemplo 1 , si el estudiante olvida las fórmulas del Teorema 7, siempre puede resolver el problema completando cua­ drados. Se deja como ejercicio la comprobación gráfica de este problema. EJERCICIOS. GRUPO 17 En rada uno d a d a ,

d e

c o m p r o b a n d o

los r l

e j e r c i c i o s

m

u l l a t l u

1*6

C A l r u l .t r

r l

m

á x i m

o

o

m

í n i m o

« r i f i * á m e n l e ,

I.

4*» + 16* 4 19.

2. 24» — 3jr« -

3. y

*» — 6* 9, 3 -f 2# — a*,

4. 4* — 2** — 3. 6. 3 4 2* 4- *».

47.

de In

f u n c i ó n

La ecuación de segundo grado con dos variables

123

En rada uno de lúa ejercido* 7-12, calcular lo* valore» de x paro lo» rúales lu fundón dad» e» |mwíiívn, negativa, nula, máxima o mínima. Comprobar gráfiramente lo» resultado».

7. x* -3* » 4.

8. 3—

9.

10. 2x — x« — 1.

— 2 * -f 1.

—2**.

II. a’ x \ \ 12. X - X* 2. 13. F.n el mismo siitrma de coordenada» representar gráficamente la» tre» fun­ cione» * a - x — 6, x* — x — I , x3 - x + 4, y observar el rícelo produddo por la variarión del término constante. En los ejercicios 14-20 reiolver y comprobar gráficamente el multado. 14. Dividir el número 12 en do* parles tales que su producto se» máximo.

15. Calrul.tr el número que excede a su cuadrado en la mayor cantidad posible. 16. El perímetro dr un rectámmlo es 20 cm. Calcular su* dimrniione* para •jup su área ira máxima. 17. Iai suma dr la» longitudes tlr los catetos de un triángulo rectángulo es enlutante e munl a 14 un. Culrul.it !a* longitudes de lo» tálelo» para que el árra del triángulo sea máxima. IB. Demostrar que entre todo* lu» rectángulo» que tienen un ntiimo perímetro, rl que tiene mayor Area e« el cuadrado. 19. Un terreno rectangular, con uno de su» lado* en la orilla de un río, v.t ■i ser cerrado en tu» otro» tres ludo» utilizando 100 metro» de cerca de olambre. Calcular la» dimrniionrx drl terreno paro que tu área ira máxima. 20. Kn mecánica *e demuestra que el momento flexor, a una distara ¡a de x metro> de uno de los soportes, para una viga simple dr longitud / metros ron carga uniforme de se kilogramos por metro, está dado por la fórmula M — tex-U — V írrv Demostrar que el momento flexor alcanza su valor máximo en el centro de la viga. En cada uno de los ejercicios 21-23 > — ex - 4* áx + c es una función cuadrá­ tica cuyos cero» son rl y ra . 21. Si r, y r , son reales y diferente», y r , > rr demostrar que y tiene tí miuno itgso que c cuando x > r , y x < r, y que tiene signo contrario a a cuando

rl > x > r t. 22. Si r, y ra *on reales e iguale», drrocitrar que y tiene el mismo signo que a ruando x ^ r,. 23 5* Cj y r . » n número» complejos conjugados, demostrar que y tiene H mismo sigttu que » para lodo valor de x. 24. Hallar la expresión que representa al conjunto de funciones cuadráticas dr x con valor máximo igual a 4 cuando x — — 2. 25 Hallar la expresión que representa a! conjunto de funciones cuadrática» dr x con valar mínimo igual a 5 cuando x = 3.

5.1G. LA EC U A CIO N D E SEG U N D O GRA D O CON D O S V A R IA B L E S La ecuación general de segundo grado con dos variables x y y s e re­ presenta por O)

ax1 —bxy +
124

La función cuadrática

en conde los coeficientes a, b , c, d, e , y / sor. constantes, con la restric­ ción de que por lo menos uno de '¿os tres coeficientes a, b y c sea diferente de cero. Ya que la ecuación (1 ) es una relación entre las variables x y y, ten­ drá. en general, una representación gráfica (Art. 3 .9 }. En geometría analítica se demuestra que la gráfica de ja ecuación ( l ) , si es que existe en coordenadas reales, es una curva de las llamadas secciones roñicas o uno de sus casos límites que pueden ser un punto, una recta o un par de rectas. El tipo de sección cónica representada por ( i ) depende de los coefi­ cientes* Para poder obtener la gráfica y las propiedades de estas curvas con mayor facilidad, la ecuación se transforma a otras más simples. A continuación darnos algunas de estas ecuaciones simplificadas, junto con sus gráficas.

La circunferencia L a ecuación r + y = r representa una circunferencia con centro en el origen y radio r (Fig. 13). La parábola La ecuación x = ayby 4- c, a ^ 0, representa una parábola (F i­ gura 14) cuyo eje es horizontal y que se abre hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierda si a < 0. El punto V es el vértice. Ya hemos visto (Art. 5.8) que la ecuación y = ax- 4- bx 4- c, a 5*= 0. representa una parábola cuyo eje es vertical y que se abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. La elipse La ecuación ax* 4- by* = c. en donde a, b y c son lodos positivos, representa una elipse (Fig. 15). En el caso particular en que a b la ecuación representa una circunferencia.

Sistemas de ecuaciones de Segundo grado

125

I.a hipérbola La ecuación axby 1 = c, en donde a y b son positivos y presenta una hipérbola (Fig. 16).

re­

Cada una de las cuatro curvas descritas puede obtenerse como inter­ sección de un plano con un cono circular recto. Las ecuaciones cuadráti­ cas con dos variables cuya forma difiere de ios tipos mencionados tienen gráficas de aspecto semejante a las mencionadas pero en diferente posi­ ción respecto de los ejes de coordenadas.

5.11. S IS T E M A S DE EC U A CIO N ES D E SEG U N D O GRADO Consideremos ahora un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos variables, que es un problema análogo al ya estudiado de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables 'Art. 4 .7 ). Sea el sistema (1 ) (2)

/?|jc2 + b .xy

Ciy2 + d .x + e ,y + /, = 0.

a .x 2 -f bsxy + c¿yl - f d-¿x + e jy + /2 = 0 ,

en donde los coefic ientcs tienen las mismas condiciones que se especifica­ ron para los ele la ecuación (1) clel Art. 5.10. Una solución de este sis­ tema puede obtenerse eliminando una variable, digamos y, y luego des­ pejando x. Asi, podemos despejar y de la ecuación (1) en términos de x, utilizando la fórmula de la ecuación cuadrática, y considerando a * como parte de los coeñc ¡entes. Si luego sustituimos este valor de y en la ecuación (2 i y racionalizamos el resultado obtenemos, en general, una ecuación de cuarto grado en x la cual, como se verá en un capitulo posterior, tiene cuatro soluciones. Ya que basta ahora no hemos estudiado la resolución general de ecua­ ciones de cuarto grado, lo que haremos en este capítulo será restringir nuestro estudio a cienos sistemas de tipo especial cuya resolución com­

126

L a fu n d ó n c u a d r á tic a

pleta puede efectuarse utilirando solamente ecuaciones lineales y cua­ dráticas.

5.12. S IS T E M A S Q U E C O M PREN D EN UNA EC U A CIO N LIN EA L Si una ecuación es de primer grado y la otra es cuadrática, la resolu­ ción del sistema puede efectuarse despejando una de las incógnitas en la ecuación lineal y sustituyendo el resultado en la ecuación cuadrática. Este es un método que se usa con frecuencia en matemáticas y que puede describirse como la sustitución d e una relación sencilla en otra más com ­ plicada,, Ejemplo. Resolver el sistema (1 )

* — y = 2,

(2 )

* * 4 - y* = 4,

y comprobar gráficamente los resultados. so lu c ió n . De la ecuación ( 1 ) , y = x — 2. Sustituyendo este valor de y en ( 2 ‘) tenemos x s + Xa — 4x + 4 = 4, dr donde 2x* — 4x = 0, o sea, x (x — 2 ) = 0,

de modo que las raíce* son x = í), 2. Los valores correspondientes de y iw obtienen de ( 1 ) . Así, para ,t = ü resulta, y -2, y para x 2 resulta y 0. Vemos entonces que el sistema tiene dos soluciones que son: x .= n. y - — 2 y x - 2, y = 0. Cada solución se comprueba sustituyendo en cada una de las ecuaciones dadas. La gráfica de la ecuación (1 ) es una recta y la gráfica de la ecuación ( 2 ) «9 una circunferencia de radio 2 con centro en el origen Estas grá­ ficas se muestran en la figura 17. Una solución real de una ecuación ron dos variables representa las co­ ordenadas de un punto de la gráfica de la ecuación (A lt. 3 .9 ). Por tan­ to, una solución real r o má n a las dos ecuaciones representa las coordena­ das de un punto que está en ambas gráfica», es decir, representa las c o o r . drnndat de su punto de int¿exección.

SÍMcmas de ecuaciones de la forma a.v* + b y ‘

127

c

La» soluciones comunes encontradas nos dan, por tanto, los punios de intersección (0, 2) y (2, 0 ) , como se muestra en la figura 17. Consideremos ahora el caso en que no hay soluciones reales distintas. Supongamos el sistema formado por la ecuarión (2) y la ecuación lineal (3)

x— y

2 V 7 = 0.

Por el miaño método anterior encontrarnos que el sistema tiene dos solu­ ciones, ambas igual*'.* a x = - V 2 , y = V 7 . Esto indica que sólo existe un punto de intersección de las gráficas ( 2 ) y ('i), es decir, que el punto (— V*2, V 2 ) es un punto de tangencia y que la recta (3) «*s tangente a la circunferencia ( 2 ) como se muestra en la figura 17. Finalmente consideremos el sistema formado por la ecuación (2) y la ecuación lineal (4)

x — y 4* 4 = 0.

En este caso, las soluciones del sistema son x = 2

V 2 i, y

2 d V2i

y x 2 — V 7 i , y = — 2 - V 7 i. Estas soluciones son ambas comple­ jas y. ya que sólo pueden representarse las coordenadas reales, esto sig­ nifica que la recta (4) y la circunferencia (2 ) no se cortan, tal como se muestra en la figura 17, Asi hemos ilustrado el comportamiento olgehrauuj y geométrico de un sistema que consta de una ecuación cuadrática y una lineal, ambas con dos variables. n o t a

d o

g ra d o

.

Al se

o b te n e r

d e b e

la s s o lu c io n e s

te n e r

c u id a d o

d e

se i n t e r c a m b i a n v a l o r e s s e p u e d e n les s e i d e n t i f i c a r á n s u s t i t u y e n d o e n

g c

u n

s is te m a d e e c u a c io n e s d e s e g u n ­

a p a rc a r o b te n e r

lo s

v a lo r e s

s o lu c io n e s

e l s is te m a

c o rre c ta m e n te .

in c o rr e c ta s

la s

Si

c u a ­

original.

5.13. S IS T E M A S D E EC U A CIO N ES DE LA FO R M A ax - + b y - = c Si caca ecuación de un sistema es de la forma a r + b 'r = ct entonces el sistema se resuelve primeramente como un sistema lineal rn r s y y5 (Art. 4 .7 ). Los valores buscados de Y x y y se obtienen luego j>or una sim­ ple extracción de raíces cuadradas. (1 )

x’ + 4y* = 8 ,

(2 )

2x* — y* = 7.

y comprobar el resultado gráfica­ mente

Fia. 18

La función cuadrática

128

solución . Primero resol veremos rl sistema dado considerando que las incógnitas para r y y*. Asi. multiplicando ;2 i por 4, tenemos

(3 ) 8a3 — 4>- = 28 Sumando (1 } y ( 3 ) , 9ar = 36, de donde x* = 4 y x = -±2. Sustituyendo este valor de a* en ( 2 ) , tenemos y- = 1 y y = zr I. El estudiante debe tener el cuidado de observar que aquí hay real­ mente cuatro soluciones en lugar de dos. ya «pie caca valor de x puede ser apareado con ambos valores de y. Las cuatro soluciones se muestran en la siguiente tabla: X

2

2

— 2

— 2

y

1

— 1

1

— 1

La interpretación gráfica de las soluciones aparece en la figura 18. E JE R C IC IO S .

G R U P O 18

3. 5; 7. 9 II

PO

* 4 y 2. x* y* - 4. >“ - *> 3* y - li - 0, 2* + y - 4, 4. x> + y » - l a — 6 y H O. y3 4* * 0. 2* — »>■ - 3, 6. a y 4- l - 0, >•«- Bx — 0, 2a* - S>'“ - 5. * + y — 5, B. 2a — y + 2 - 0, q y. 9 >» - 4a. * + y - i. * — y - 0, 10. a» - 2ay 1 y» 2a 2y 1 0 •¿x* - x'r + 2y* - 3. Encontrar los valore* qut debe lomar K para que la rr»m y — * 1- k M*a V f ai

1.

ro

Er. c a la uno de los ejercicios 1-10. resolver el sistema codo y comprobar ará­ ñe a mente los resultados.

tángeme :v ln circunferencia

I y3

• '¿y I 1H

0

— •s 1

12. t .iloil.u rl valor que «Irbr tomar K para que U recia a I y K «en tan­ genle n ln parábola j-a 8a. Kn cada uno de lo* ejrrcicloi 13-20, resolver rl dilema dado y comprobar gráíiramrntr lox resultado». a " - y 3 - 3, 14. 4, 13. a3 4- y* •ly3 *» - 4. 16. a 3 » 4 y MI. IV U “ | By3 - 36 a3 l y* 9 * u 1 4 y3 36 IH. x > i y* - 2. x'1 1 y» - 16, 17 2y* • a a 4. *>a» I6y* 144 9 19 a* 4 y» - 1. 20» *3 1 >• * 1, | y* - 4 a* - y* - 4.

SiMcitu.N de ecuaciones de la forma /jxs -f bxy -f rjr*
129

21 (.¡aladar «l<« niimerut podtivoa «ales qur lu suma de sm cuadrados m u 29 y !•» diferencia nx I K »r.i tangente a la parábola y3 Ipx.

3.14. SISTEMAS DF. ECUACIONES DE I.A FORMA ax* + b x y I r y * = d

Si ambas ecuaciones carecen de los términos de primer grado, la so­ lución puede obtenerse por cualquiera de los dos métodos que oe expli­ can en loa ejemplos siguientes.

Ejemplo, Resolver el sistema (1)

x1 — xy + y* s= 3,

(2)

#“ + 2xy — y =¡ |,

y comprobar gráficamente los resultado*. solución. M é to d o 1. E lim in a c ió n d r l lérmiw in d e p e n d ie n te . Para eliminar el término independiente multiplicaremos la ecuación J2) por 3, obteniéndose

(3 )

3ar 4- Bxy — 3 y5 — 3.

Restando miembro a miembro las ecuaciones '1) y (3) tenemos, 2x- + 7xy — 4^ = 0,

ecuación que, por no tener termino independiente, puede íactorwarse como sigue:

Í2* — y ) (x + 4y) = 0, de donde obtenemos las dos ecuaciones lineales (4) 2x— y = Q y - 2x, (5)

x + 4)‘ = 0

y = — í.

As» hemos reducido d sistema dado a dos sistemas más sencillos, cada uno de los cuales comprende una ecuación lineal (Art. 5.12;. Asi. resol­ viendo el sistema formado por la ecuación (4) y cualquiera de las ecua­ ciones (I) o (2), obtenemos r = ± 1 y, por lanío, los valores correspon­ dientes de y están dados por y = 2x = ± 2. Análogamente remitiendo el

La función cuadrática

130

sistema formado por la ecuación ( 5 ; y cualquiera de las ecuaciones (1 ) o (2 ) encontramos x = =tV-VT. Los valores correspondientes de y están dados por

y

=

x=

— -

^

VT —y .

En consecuencia, las cuatro soluciones

buscadas son ( L 2 ) , ( — 1, — 2 ) .

V T , ------y ) ,

~v

-y )•

EsUij soluciones se muestran en la figura 19 en donde la elipse es la gráfica de ( l ) y la hipérbola es la gráfica de (2 ).

F io .

A{¿ lod o 2. Uso de la rustítac ion y — v x . S¡ efectuamos lu sustitución u x en las ecuaciones ( I ) y ( 2 ) , obtenemos, respectivamente

y (

6

19

)

(? )

Xa

vx*

*« + 2

3

I.'ax a

*

*

Xa *

3 v 4 V* '

1 -

+

Igualando cros valores de a*, resulta

3

_

1 — !> — «/* de donde osea,

l 1 + 2» — V* 1

3 + 6» — 3u* = 1 4 t a — 7o — 2 «= 0

cuyas «olutiones ion t-1= 2 y v

- 'i.

— v

+

V*,

Otros sistemas

Í3I

Si sustituimos v — 2 en cualquiera «Ir las relaciones (6) o (7) obte­ nemos x1 = I de donde x t i , y los valores correspondiente* de y que­ dan dados por y - t.x 2x = ± 2 . Análogamente si sustituimos = — Vi en rualqiiiera de las relaciones (6) o ( 7 ) , encontramos xa y% de donde .»

■±y¡\/Y, y los valores correspondientes de y quedan dados por -v

« = - -

x

=

VT

.

Esto» resultado» concuerdan con los obtenidos por el primer método. El significado geométrico de la sustitución y = vx sr da en la figura 19 |K>r medio de las rectas tic trazos cuyas ecuaciones son y 2x y x

I* — nota. Si cualquiera de las ecuaciones del sistema tiene su término intic pendiente igual a cero, esa ecuación puede fnctorizarse inmediata* mrnte como hemos explicado en el primer método.

r» 15. O T R O S S IS T E M A S Existen otros sistemas de ecuaciones cuyas soluciones pueden obtenerr utilizando una ecuación cuadrática. Algunos de estos sistemas son los que damos en este artículo. Una ecuación coa dc«s variables x y y se llama simétrica con respecto n rúas variables si la ecuación no se altera al intercambiar x con y. K|«*mplos de tales ecuaciones son x — y = 3 y x3 + xy + y5 = 7. Un •i lema de dos ecuaciones, ambas simétricas con respecto a x y y, puede Jfesolvrrrse por medio de una sustitución, tal como se muestra en el si­ guiente ejemplo. Ejemplo 1. Resolver el sistema (1)

x * - y * — x — y = 2,

(2)

x y + x + y = 5. Si e n l a s n+pyy=i¡ — v

•O Lt cro N .

*

(u +

e c u a c io n e s

(1 ) y (2 ) hacemos

o b te n e m o s,

r e s p e c tiv a m e n te ,

(4]

s u s titu c io n e s

— o ) * — (u 4- o ) — (a — c) = 2 . tu = o) ( t i — o) 4* (ti f ) 4- (u — o } = 5 .

I >r*pués de simplificar, resulta

(5)

la s

u*+

t. = l,

i.* — w» + 2u = 5.

L a fu n c ió n c u a d rá tic a

132

Sumando, se elimina c*, y obtenemos

2u2 + u — 6 = 0, cuyas soluciones son

a — — 2, % .

Sustituyendo u = — 2 en cualquiera de las ecuaciones (3 i o (4 ) ob­ tenemos v = dfc V 5 i, y para u = % obtenemos e = soluciones se muestran en la siguiente tabla:

■

—2

V

V5»

x

—

«

y

-

*

+■

2

-

V

—

K

2

—V íi

a

—

5 i

o

—2 — V 5Í

—

2

—2

—

^

Las cuatro

V

5 »

V*5í

4 *

—

2

1

1

2

También pódanos obtener la solución de algunos sistemas en los que alguna de las ecuaciones es de grado mayor que dos. Ljcmpio 2. Resolver el sistema (5 )

jrn - y , = 9,

(6 )

jfB— x y - y ’ = 3.

aOLl'ClON. Observemos que en este sistema la ecuación (5) es divi­ sible entre la (6 ). Dividiendo miembro a miembro resulta: (7)

x + y * 3.

Como en el Art. 5.12, podemos obtener la solución resolviendo el sis­ tema de ecuaciones (5 ) y (7) o el sistema de ecuaciones (6 ) y ( 7 ) , Se tlrja como ejercicio comprobar que rn .unbm casos las soluciones son ( 1 , 2 ) y (2, I). A veces e*s posible resolver un sistema efectuando transformaciones adecuados. Ejemplo 3. Resolver el sistema (0 ) (9 )

*" + y* » 13, xy = —6.

aoi.t'cioN. Este sistema puede resolverse por los métodos drl Art. 3.14 y también por el explicado en el ejemplo I sobre sistemas simétricos. Abora consideremos otro método.

O tro s sistem as

153

Si multiplicamos la ecuación (9) por 2 y agregamos y restamos el resultado a la ecuación ( 8 ) , obtenemos las ecuaciones x* -I 2xy + y* = 1, x* — 2xy I y* 25. Extrayendo raíz cuadrada n ambos miembros, tenemos x -f y = ± : l t x y = ±5. Utilizando todas la* posible* combinaciones de signos obtenemos cua­ tro sistemas de emocione» lineales de los que se obtiene 2x 6. - 6, 4, 4 2y = — 4, 4, 6. 6

/.

x = 3, — 3, - 2 , 2, y * — 2. 2, 3, — 3.

IV donde la» solucione» son (3, — 2 ), ( — 3, 2 ) , ( —2, 3 ) , (2, i

ii : rc: ic: io s . g r u p o

3 ).

19

Km r.id.t uno dr l<* ejercicios 1-6 resolver el siitema «lado por uno de los inédrI Art. 5.14 y comprobar lo» multado» urálicamente,

- 3, —2 3. * * - > * = a. »= - xy * 5. >s— — 1.

x*

+

y»

2.

jfS —

4 .

r>

*y

4 -

2 y »

1 6 .

x ‘

6.

— +

j.»

=

8 ,

*r

- 3

.

+ r= 3 x y

—

B ,

-

2 8 .

xy + , * « 7 , 2 y * 4 r> -é S x = 1 7. * s— * y — t2 - u 7 En relación al método 1 del ejemplo drl Art. 5.1-4, explicar por qué loi I p»'i latios ion los mismo* al runtiderar los sitiemos formados por cada una de las | ti -••riones lineales J4 J y (5 ) con cualcuirra de las ecuaciones dadas ( I ) o ( 2 ) . B En relación can el método 2 de. rjcmpio del Art. ¿ 1 4 . explicar por «jué I|ms multado* son lo* rcünxH al sustituir ¡os valore» de t en cualquUrc de La ecuaJt1

(6)

1 6,

4-

a (7).

*» Revolver el ejemplo 2 por el método del ejemplo I del Art. 5.15. I 10. Resolver el ejemplo 3 del Art. 5.15 por k» métodos úei An. 5.14. u Resolver el ejemplo 3 del Art. 5.15 por el método del ejemplo 1 del

t

n .vi».

U 14

Resol* er “el 2ejercicio por el método 1 -del7.Art. 5.15. 15. del ** 4 r3 * + 2 f - 1 23, x» -ejemplo >* + xy 11 Resolver el ejercicio por el método del +ejemplo »> - 1 v > » — x3y del - 3 .Art 5.15 •« rada uno ejercicios resolver el sistrma Itl x* 4 y* —de 2jt los — 2> - 14, 14-17, 17. x« 17. dado por el método 4 ejemplo Art. 5.15 V 1+de| i + )r + i -y acomprobar los resultados. » + ? - ! . V

Revolver el ejemeio 15 por los roétodoi del Art 5.14

La funcióa duadriricx

134

Ea rada une de los ejercicios 19-27 resolver «I sistema cado por cualquier método adecuado y comprobar lo» resultado*. 19.

20

x* + y5 - 25. xy - - 12 . = 56.

2 1.

x* + xy + y5 - 28. 1

40x*y*

8x7.

8

1

25. x= - y* * + r -

«

$

23. 2V2 — xy — x* — 44,

x» + 7 a -

28.

* + J “ 4. 22 . ** + r* x* — xy f r ' = 24. * * + r ' - 9xy. x - > - 6. 26 x : + x -= 6y, jH + l - 9y.

x J + 7= — 4 * — 67 + 8 - 0. 3 x *+ 3 > * 4- 1 2 x — 16y— 10 - 0. 28 HaQar do* números positivos cuya suma aumentada de su producto dé 34, y cuya suma, de cuadrado* disminuida de su suma dé 42. 29. Hallar dos números positivos cuya suma e* igual a »u producto y cu ja suma aumentada en la rama de sus cuadrados e» igual a 12 . 30. A y B corren en una carrera de 1 Km. tarando D por 1 nunuto. Luego repiten la competencia, aumentando A su velocidad en 2 Km por hora y dismi­ nuyendo B su velocidad en la misma cantidad; de este modo .4 gana por 1 minuto calcular la velocidad de cada uno en la primera competencia 27.

6

_

Desigualdades e inecuaciones 6.1. IN TR O D U C C IO N Hasta ahora heniof estudiado rl concepto de desigualdad en relación OOn la sustracción y la introducción de los números negativos (Art. 2.4). .Sin embargo, no hemos tenido ocasión de examinar la.s propiedades de las desigualdades. El estudio formal de esas propiedades corresponde a este capitulo. El tema de las desigualdades es de gran importancia, según veremos en muchas panes del álgebra, y también, observaremos ciertas analogías entre igualdades y desigualdades. Al concepto de mayor y menor entre dos números corresponde el de orden ación . L e relación d e orden q u ed a restringida a ios números reales y se puede interpretar geométricamente en un sistema coordenado unidi­ mensional (Alt. 3.7 J . En otras palabras, todo nuestro estudio con des­ igualdades se lim itará a los números reales. No tiene sentido decir que un número complejo es mayor o menor que otro. Aunque ya hemos dado algunas definiciones de términos y símbolos asociados con las desigualdades, las vamos a repetir, por comodidad, en los siguientes artículos.

6.2. D E F IN IC IO N E S Y T E O R E M A S FU N D A M EN TA LES Hemos definido una ecuación como una igualdad entre dos expresio­ nes (A rt 4 .2 ). Si dos expresiones son desiguales, tenemos una desigualdad, diciéndose que una de las expresiones es mayor o menor que la otra. 135

136

Desigualdades e inecuaciones

El número real x se dice que es m ayor que el número real y siempre que x — y sea un número positivo. Entonces escribimos x > y que se lee ux es mayor que y ”. Así. 2 > 3, pues 2 — (— 3) = 5 es un número positivo. Se sigue de esta definición que el número real y es m en or que el número real x siempre que y — x sea un número negativo. Entonces es­ cribimos y < x que se lee “y es menor que x”. Asi, 5 < 7, pues 5 7= — 2 que es un número negativo. El estudiante debe observar que, para ambos símbolos de desigualdad, la cantidad mayor queda siempre en el lado hacia el cual se abre el sím­ bolo, mientras que el vértice apunta hacia la cantidad menor. También vamos a introducir otros dos símbolos útiles: a ^ b, que se lee “a es ma­ yor o igual que ó ", y que se lee "c es menor o igual que a \ En particular, la desigualdad a ^ 0 es un modo conveniente de afirmar que a representa a todo número no negativo. Se dice que dos desigualdades tienen el m ism o sentido si sus símbolos apuntan en la misma dirección; en caso contrario tienen sentidos opuestos. Por ejemplo las desigualdades a > b y c > d tienen el mismo sentido, pero las desigualdades a > b y c < d tienen sentidos opuestos. Anteriormente hemos observado que existen dos tipos de ecuaciones: ecuaciones idénticas o identidades y ecuaciones condicionales o simple­ mente ecuaciones (Art. 4 .2 ). Análogamente, hay dos tipos de desigualda­ des, desigualdades absolutas y desigualdades condicionales o inecuaciones. Una desigualdad absoluta o incondicional es aquella que tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables para los que están definidos sus miembros. Son ejemplos de desigualdades absolutas 5 > — 7 y x~ 4- I > 0. Una desigualdad condicional o inecuación es aquella que tiene el mis­ mo sentido solo para ciertos valores de las variables, tomados entre los valores para los que sus miembros están definidos. Son ejemplos de des­ igualdades condicionales o inecuaciones x — 2 < 3, válida solo si x < 5; x 2 > 4, válida solo s i x > 2 ó s i * < — 2. Las desigualdades absolutas y condicionales se tratarán en artículos subsecuentes. Ahora estableceremos algunas de las propiedades fundamen­ tales de las desigualdades en general.

Teorema I. E l sentido de una desigualdad no se altera si se suma o se resta a am bos m iem bros la misma can tidad, es decir, si a > b, entonces a ± c > b ± c.

Definiciones y teoremas fundamentales demostración*.

Por la definición de

a

>

b,

137

tenemos

b = p , un número positivo a + í — (ó 4- e ) — p ,

a

de donde

de lo cual, por la definición de “mayor que” +

a

c

>

4-

b

c.

Análogamente se puede demostrar que a

Corolario 1.

—c >

— c.

b

C u a lq u ie r térm in o p u e d e tran sponerse d e un m iem bro a

otro d e una d esig u a ld a d con tal q u e se le c a m b ie su signo.

Por el Corolario 1 podemos transponer todos los términos de una des­ igualdad a un sólo miembro. Como consecuencia tenemos: Corolario 2. T o d a d esig u a ld a d p u e d e red u cirse a una d e las form as > 0 o A < 0, e n d o n d e A es u n a exp resió n alg ebraica. La importancia de este Corolario 2 está en que, según el Teorema 6 (Ati. 2.4), la resolución de una in ecu a ció n siem p re p u e d e red u cirse a

A

la d eterm in a ció n d e l sign o ( y no la m a g n itu d ) d e u n a exp resió n .

Teorema 2.

F.l sen tid o d e una d esig u a ld a d no se a lle ra si am bos

m iem bro s se m u ltiplica n por, o se d iv id e n en tre, la m ism a c a n tid a d po si­ tiva . lis d e c ir , si a

>

demostración.

b

y c > 0,

De a

a b

> =

b, p,

en ton ces ac

de donde

—

be

y a je >

b jc .

tenemos un número positivo.

Multiplicando ambos miembros por ac

>

be = p e, ac

c,

tenernos

un número positivo >

be.

Análogamente, puede demostrarse que a

b

c

c

Con una demostración similar a la del Teorema 2, se establece el si­ guiente teoremas Teorema 3.

1

í i l sen tid o de una d esig u a ld a d se in v ie rte si am bos m iem ­

bros se m u ltip lica n p o r, o se d iv id e n en tre, la m ism a c a n tid a d n ega tiva. F i l o es, si a

>

b y c < 0 , en ton ces a c

<

be y a j e

<

b jc .

138

Desigualdades e inecuaciones

Teorema 4. S i se sum an m iem bro a m iem bro dos desigualdades del mismo sentido, las sum as serán desigualdades del m ism o sentido, esto es s i a > b y c > d , entonces a +■ c > b + d. d e m o s t r a c ió n . De a > b, a - fe p, un número positivo. De c > d, c — d q, un número positivo. Sumando, a 4- c — 'fe — d ) = p q , un número positivo. Luego, a + c > fe + d. Corolario. Si a, > fe: , a- > fe2, a3 > fe,,. . . , a n > fe„ entonces + «a + a3 + . . . + a m> fet + fe, + fe, 4 * . . . + fe,. Teorema 5. Si de tres cantidades, fez prim era es m ayor qu e la segúnda y la segunda m ayor q u e la tercera, entonces la prim era es mayor que la tercera, es decir, si a > fe y fe > c, entonces a > c. 1.a dvmostración de este teorema es análoga a la del Teorema 4 y se deja como ejercicio. Teorema 6. S i dos desigualdades entre números positivos tienen el mism o sentido, se pueden m ultiplicar m iem bro a m iem bro y los produc­ tos serán desigualdades en el mismo sentido. Es decir, si a, b , c y d son todos positivos y a > fe y c > d, entonces a c > bd. d e m o s t r a c ió n

( 1)

. Si c > 0 y a > fe, del Teorema 2 resulta: a c > be.

Análogamente, ya que fe > 0 y c > d, (2 )

be > bd. (l)> (2 ) y el Teorema 5, tenemos ac > bd.

Corolario 1. S i a¡, a * , . . . , b lf fe2, . . . son cantidades positivas y fli > fei, a- > fej. a , > b3, . . . , a n > fe„, entonces a ta saa . . . an > fe,fe2fes . . . fe„. Corolario 2. S i a y b son am bos positivos, a > fe. y n es un número entero y positivo, entonces a " > fe".

Corolario 3. Si a y fe son am bos positivos, a > fe, y « «cy urz número y positivo, entonces fl,/n > fe1-'" (raíces principales). Corolario 4. S i a y b son am bos positivos, a > b, y n es un número entero y positivo, en ton ces ar* < fe-".

Desigualdades absolutas

139

E JE R C IC IO S. G R U PO 20 1. Completar la demostración del Teorema 1 (Art. 6.2) demostrando que si a > b. también es a — c > b c. I. Demostrar el Corolario 1 del Tccrcina 1 (A lt. 6 .2 ). 3. Demostrar el Corolario 2 del Teorema I (Art. 6 .2 ). 4. Completar la demostración del Teorema 2 (.Art. 6.2) demostrando que si a > b y c > 0 . entonces a / c > b /c . 5. Demostrar el Teorema 3 (Art. 6 .2 ). 6. Demostrar el Corolario del Teorema 4 (Art. 6 .2 ). 7. Comprobar por medio de ejemplos que si a , b, c y ¿ son todos positivos y a > J y í > b d. 8. Demostrar el Teorema 5 ( Art. 6.2). 9. Si « > b . b > c y c > d. demostrar que a > d. 10. Si * > b e, C > d y b > 0, demostrar que a > bd. 11. Si a < b y b < c, demostrar que a < c. 12 Demostrar el Corolario 1 del Teorema 6 (Art. 6 .2 ). 13. Demostrar el Corolario 2 del Teorema 6 (Art. 6 .2 ). 14. Demostrar el Corolario 3 del Teorema 6 (Art. 6 .2 ). 15. Demostrar el Corolario 4 del Teorema 6 (Art. 6.2,'. 16. Comprobar por medio de ejemplos que el resultado de Teorema 6 no es necesariamente válido si a , b, c y d no son todos positivos 17. Comprobar por medio de ejemplos que si a, b, c y d son todos positivos y o > 6 y c > < / , n© necesariamente se sigue que ü Jt > b /d 18. Si cada una de dos cantidades e$ mayor que La unidad, demostrar que su producto es mayor que la unidad. 19. Utilizando el resultado del ejerririo 18, demostrar el Teorema 6 (Art. 6 .2 ). 20. Si y b son positivos y > drl Corolario 2 del Teorema 6 (Art. 6.2) se sigue que a- > b2. Enunciar y demostrar el reciproco de este teorema.

a

a b,

6.3. D ESIG U A LD A D ES A BSO LU TA S Como ya hemos indicado, una desigualdad absoluta es analoga a una identidad. Su validez se establece por medio de una demostración analí­ tica, utilizando uno o varios de los principios fundamentales estudiados en el Art. 6.2. Para la demostración directa de una desigualdad absoluta se parte de alguna desigualdad conocida y luego se procede por pasos lógicos hasta llegar a la desigualdad deseada. Sin embargo, a veces no resulta fácil averiguar la desigualdad que debe, tomarse como punto de partida. En­ tonces, generalmente, es posible hacer un análisis de la desigualdad que se quiere demostrar transformándola hasta obtener una relación más sen­ cilla. En este caso la (irm oitración directa equivale a tomar en orden in­ verso los pasos del análisis. Este procedimiento se muestra en el ejemplo siguiente:

•K*

Desigualdades e inecuaciones

Kjrtuplo 1. Si

.

a y b son números positivos desiguales, a' — t* > a% b -f ab‘.

demostrar que

SOLUOTON. Va que no resulta fácil averiguar de que desigualdad po­ demos partir, transformaremos U d«*si¿ualdad dada. a k a l is is

.

Primeramente fartori/aremos el segundo miembro y escri­

biremos

ab(a + 6 ). Ya que ay b ion ambos positivos, a + b será positivo y, por el Teorema (Art. 6 .2 ;f podremos dividir ambos miembros entre a — b sin alterar rr* + &* >

2

el sentido de la desigualdad. Esto es

a' —ab — 6* > ah. Transponiendo ab ai primer miembro (Corolario 1, Teorema I. Ar­ ticulo 6 .2 ), tenemos

a•— 2ab o «***,

6* > 0,

(« — f c ) * > 0 .

Sabemos que esta última relación rs siempre verdadera, pues a b, de donde a b 0 y (a — 6 ) * > 0 . Por tanto, para h demostración que buscamos pai tiremos de esta última desigualdad.

(a — b) * > 0. a * — 2 ab + 6* > 0.

DF.MOSTRACION.

de donde Irasponiendo — ab al segundo miembro (Corolario I, Teorema I, Ar­ tículo 6 .2 ), tenemos

ab + h* > ab. Multiplicando ambos lados por a 4- b (Teorema cs —

2. Art. 6 .2 ), obtenemos

el resultado deseado

a* +

bl > a'b T ab■

Sin embargo, para algunas desigualdades absolutas el método de aná­ lisis no conduce fácilmente a una desigualdad conocida. En tales casos habrá que hacer tanteos para ver si algtnms desigualdades conocidas pueden conducir al resultado deseado. Veamos un ejemplo. Ejemplo 2. Si que

a y b son dos números positivos desiguales, demostrar +

bs +

I >

ab + a + b.

s o l u c ió n . En este caso, un análisis de la desigualdad no sugirrr una determinada relación conocida. Sin embargo, las tres expresiones (a b)*.

Desigualdades absolutas

Mi

¡a 1: *. y (b I ) * contienen a tocios los términos de la desigualdad. Además, ya que a ^ b. {a — * ) * es positivo. Por olía pane, aunque a o b pueden »cr igual i l . n o pueden serlo al mismo tiempo, pues c b Luego, por lo menos una de las expresiones \a — 1)* y (b 1 ,* debe v r siempre positiva, siendo ambos siempre no negativas. Así, esta justifi­ cado lomar la suma de esta» trr» expresiones como positivas, es decir:

(« — *)■ + (a -

L)a 4- {b — l ) s > O,

esperando que esta relación pueda conducir a! resultado deseado. Ha­ ciendo o]x*raciones, tenemos

- 2ab + b>

á1

nJ

2a

+ 1 +6*—2b 4-l >0.

Reduciendo términos, 2«’ 4- 2b* ¥ 2 2a b — 2a 2b > 0. Dividiendo entre 2 (Teorema 2, Art. 6 .2 ),< r + ó' • I ab a b > 0. Tninsponiendo (Corolario I, Teorema I, Art. 6 .2 ), a* -r fe2 + I > ab I a f b , romo se quería demostrar. E JE R C IC IO S .

G R U P O 21

I. Dcrooitrar «|itr la suma «le cualquier número positivo (excepto la unidad) irríproco, r» mayor que 2 . 2 Si a y b son doi nútnrto» positivos desieunlcs, demostrar que

oon

mi

o

•+

b

2 * 1

2 i

S i

o

b

y

in d e p e n d ie n t e *.

S i

c

s o n

c e !

b

y

p o u t iv o s

C o r o la r io s o n

c

y

3

d e l

n ú m e ro s

>

¿ T fc 6 .

d m

it r . r if

r e o fe n s a

p o s it iv o *

6

\ r• > V b

q u e

( A r t .

p o r

u n

m é to d o

+

b/m* >

6 .2 ) .

d e s ig u a le s ,

d e n w o trw

q u e

* / 6 3

l/o - 1/6.

5. Si c y b

s o n

n ú m e ro *

p a s it is t H

d e s ig u a le s ,

d e m o s tra r

4 **/«.

o V fc

.

6

S i

c

y

¿

7 .

S i

o

y

6

»

S i

s o n

n ú m e ro s

p o s it iv o *

d e s ig u a le » ,

d e iu o * lr a r

q u r

•

4

á1 —

6=

♦

s o n

b

o .

e

y

n ú m e ro s

io n

p o s it iv o s

n ú m e ro *

y

o

p o s itiv o *

>

6 .

c ie r n o t i r a r

d e m o s tra r

q u r

6

>

6*

q u e

^

fo

♦

6

-

* )*

2

\ ’ o 6 .

0 —

6

^

¿

>

*

«*

r 3 . 9 .

ti +

S i

S i* - I I .

« . 6

y

¿

s o n

n ú m e ro »

p o s it iv o »

d e s ig u a le s ,

d r n u n t r a r

«yac

o s

4

6 ’

f be.

üí

1 0 <

i

q a e

S i

o ,

6

4

6 *

4

e3 } .

« ,

6

y

S i

y

r

s o n

r

s o a

n ú m e ro *

n ú e s e ro *

p o s itiv o *

p o s it iv o s

d e s ig u a le s

d e s ig u a le s ,

d e m o s tra r

d r im

n t r a r

q u e

( o

4

r*

b

4

>

O *

q u e

(o + 6)(6 4 e ) ( e f o) > h a le .

12. Si o y 6 son números positivo! desiguale*, demostrar que (o

i 6 ')(« I b)

> {«3 4 6«}*. 13. Si o y 6 son números desiguale*, drmoatrwr que « * • ' • ' > »"6 » * h ‘-

I 12

Desigualdades c inecuaciones

14. Si a y fe ion números driigualri, drmoMr.tr que (a* | &*)(a* • ¿»*) > (a* ••• 15. Si o, 1 y f ion números positivo» drdgualea, demosImr que a b [a I 5) |- b c (b c ) ) cn (c a) > fíabe. 16. Si a y h ton números positivos y a > b, demostrar que a ‘ b * < 4a* — Aa»b 17. Drtrmiinnr los valore» de i para los rúale» a* 4 I > a'J 4 a. 16. Si a y b son número» positivos, deirrmin.tr cuál de la» dos siguientes ex, a 4 2b a + fi presiones es l.i m.iyor o a 4 3*
Si a, b, c y ti son números positivo» desiguale», y


-

a f c >

-------

c >

-

b

d

.

b b \ d d 20. SI a, b, M y y son números podtivos desiguale» tules que a* 4 b * x 3 *• y8 — I, drmostrnr que rur +■ by < 1 .

I y

21. Si a, b, c, x, y y i son números |H>ut¡vo» desiguale» tales que a* 4 6a f * ” 1 y * ' f y1 I ■ 1 , drmoítrar «jue <jjt I by i tx < 1 . 22. Si u, b y r »on números positivos driigualeo, drmostrnr que 2 (a* b* •• ca) > o-b | b'Ja ¿ V |- c'Jb i- eva n3c, Sugérgncia: Use el resultado del Ejemplo I (Art. 1».3). 23 Si n, h v r »an númrros positivo* tlmigual'f, demostrar que (n -*■ b r}* 4 (b i- c a )8 -1 ( { + » + be + ra. Sugerencia: Use el resultado

del ejercido 9. 24. Si «, b, c, x , y y z *on números positivo» desiguale». demostrar que («J + 6* f « • ){** -i* J * + * * ) > [ex + by 4 c z >*. 25. Si a, b y c son número» positivos dratgu.»>». demostrar que •* 4 b- f f * > 3afcr. Sugerencia: Use el resultado del Ejercido 9.

&4. IN EC U A C IO N ES D E P R IM E R G RA D O O LIN EA LES En este capitulo consideraremos solamente inecuaciones con una sola variable, digamos x. Entonces el problema consiste en determinar d do­ minio de valores de la variable x para los cuales es válida !a desigualdad; este dominio recibe el nombre ce solución de la inecuación. Si la variable x entra solamente en forma de primera potencia, la inecuación se llama de prim er grado o lineal. I-a resolución de una inecuación lineal es muy sencilla y análoga a la resolución c e una ecuación lineal con una incógni­ ta (Art. 4 .4 ). Ejemplo. Resolver la inecuación lineal x — 1 > 3 * + 5, y comprobar el resultado gráficamente. solución .

; 1)

Debemos encontrar los valores de x para los cuales r - l > 3 * + 5.

Inecuaciur.es de segundo grado o cuadráticas

143

Como en las ecuaciones lineales, transponemos todos los términos en x a uno de los miembros y todos los términos conocidos al otro miembro. Asi obtenemos — 2 * > 4. Dividiendo entre — 2 resulta x < — 2. (Teorema 3, Art. 6 .2 ). Esta es la solución buscada, la cual afirma que la desigualdad ( I ) es válida para todos los valores de x menores que — 2. Para establecer la representación gráfica de este resultado, transpo­ nemos todos los términos de {1 ) al primer miembro, obteniéndose la desigualdad equivalente (2 )

— 2x — 4 > 0.

Aquí tenemos el primer ejemplo dd significado del Corolario 2 dd Teore­ ma I (Art. 6 .2 }. La desigualdad (2) nos dice que para todo valor de x menor que — 2 la fu n c ió n lineal — 2x — 4 es positiva. lar gráfica de esta función lineal es la recta (Art. 3.9) representada en la figura 20. Allí ve­ mos que H tero de la función es — 2 y que para lodo valor de x menor que 2 le corresponden puntos de la recta situado* encima del eje X,

6.5. IN EC U A C IO N ES D E SEG U N D O GRA D O O C U A D RA TIC A S En el Capitulo 5 consideramos la resolución de la ecuación cuadrá­ tica con una incógnita, o sea, la determinación de los ceros de una fundón cuadrática. Entendemos por resolución de una inecuación «le si-gundn grado con una variable, digamos x, la determinación de aquellos valores «Ir x para los «nales es válida la desigualdad, es decir, aquellos valores de x para los cuntes la fundón Cuadrática «o es igual a cero sino positiva o negativa según lo requiera la desigualdad. Ya hemos visto que, cuando es posible, lina ecuación cuadrática se resuelve por factonzación. Análogamente, para resolver una inecuación cuadrática, ftu torutnrermu, »i <*» posible, la función cuadrática y deter­ minaremos sus ceros, los cuales, aunque no mn soluciones de la desigual­

144

Desigualdades e inecuaciones

dad, son sin embargo los valores críticos de la solución, como se explica a continuación. Consideremos primero la función lineal en una variable, x r. en donde la constante r es el cero de la función. Si asignamos a x un valor ligeramente mayor que r, la función será positiva; si asignamos a x un valor ligeramente menor que r. la función será negativa. En otras pala­ bras. para valores de x anteriores y posteriores a r el signo de la función cambia. Por esta razón r es apropiadamente llamado el valor critico de la función x r. Análogamente, de los dos factores lineales de una función cuadrática, podremos disponer de sus dos valores críticos. El primer paso en la resolución de una inecuación cuadrática es trans­ poner, si es necesario, todos los términos a un solo miembro de la des­ igualdad, produciéndose una relación del tipo (1)

a x 1 + bx -f c > 0.

La ventaja de esto es que ahora no nos interesa la magnitud del primer miembro de ( I ) sino sólo su signo (Corolario 2, Teorema I, A lt 6.2). Factor izando este primer miembro (fórmula ( 3 ) , Art. 5 .5 ), tenemos (2 )

« ( * — * * ) ( * — r*) > 0,

en donde r, y r. son los valores críticos. Supongamos primero que x es mayor que r,, haciendo el factor x — r, positivo. Si este mismo valor de x también hace positivo al otro factor x — r2 entonces su producto (incluyendo a a > 0) será positivo, y la desigualdad (2) se cumplirá, siendo correcta nuestra hipótesis y resul­ tando x > r, como solución de la desigualdad ( 1 ) . Sin embargo, si este valor de x hace que x ra sea negativo, el producto será negativo, la desigualdad no se cumplirá y nuestra hipótesis será falsa, siendo la solu­ ción de la desigualdad x < r,. Fácilmente se comprueba que se obtienen los mismos resultados si se supone inicialmente que x es m enor que r,. Se razona de una manera análoga' para el otro valor crítico r2. Las dt*s des­ igualdades resultantes forman la solución de la inecuación (1 ). Veamos la aplicación de este procedimiento a un ejemplo particular. Ejemplo I. Resolver la inecuación 3x* — 2 * — 2 < 2x* — 3x 4- 4, y comprobar el resultado gráficamente. solución . Primero transponemos todos los términos a un solo miem­ bro, digamos el primero, y obtenemos la desigualdad equivalente

x* + x — 6 < 0.

Inecuaciones de segundo grado o cuadráticas

145

Fartorizando tenemos

(* — 2)(* + 3) < 0 , y los valores críticos son 2 y —3. Primeramente supongamos que x > 2. Entonces para valores de x ligeramente mayores que 2, ambos factores son positivos y su producto es positivo., que es un resultado contrarío a la condición de la desigual­ dad. Por lo tanto, nuestra hipótesis de que x > 2 es falsa; siendo la solu­ ción correcta x < 2. Nótese que si inicialmente hubiéramos supuesto que x < 2, entonces para valores de x ligeramente menores que 2, el primer factor seria negativo y el segundo positivo, siendo su producto negativo, con lo cual la desigualdad se cumpliría. Análogamente, supongamos que x > — 3. Entonces, para valores de x ligeramente mayores que — 3, el primer factor es negativo y el segundo positivo, siendo su producto negativo, con lo cual la desigualdad se satis­ face y la solución es je > — 3. En consecuencia, la solución completa es x < 2, x > — 3, es decir, la desigualdad dada se cumple para todos los valores de x menores que 2 pero mayores que — 3. Esta solución puede escribirse en la forma

2 > x > — 3, que representa a todos los valores de x entre — 3 y 2. Estos valores están representados gráficamente en un sistema coordenado uni­ dimensional (Art. 3.7) en la figura 21. La gráfica de la función cuadrá­ tica x2 + x — 6 se muestra en la figura 22 de acuerdo con lo dicho en el Art. 5.8. En esta gráfica se observa que los ceros de la función con x — 2. — 3 ; también se observa que la curva está por encima del eje X para x > 2 y < 3. y por debajo del eje X para valores de x entre — 3 y 2. Este método para resolver una inecuación utilizando sus valores crí­ ticos puede emplearse para cualquier expresión algebraica que sea íac-

146

Desigualdades e inecuaciones

torizable en factores lineales reales, corno se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Resolver la inecuación ( * + í ) ( x — 2 ) { x — 3) > 0 . . Los valores críticos son — 1, 2 y 3. Como en el ejemplo l, probamos cada uno de ellos suponiendo valores de x ligeram ente ma­ yores que el valor critico. Asi obtenemos los signos correspondientes a to­ dos los factores, el signo del producto y la solución resultante, como se indica en la siguiente tabla. s o

l

u

c

i ó

n

Hipótesis X> —1 x> 2 x> 3

Signos de los factores

Producto

Solución

— 4+

>o < o > o

x > —1 x< 2 x> 3

- t-

*r -

— — 4-

Por lo tanto la solución completa puede escribirse en la forma — 1 < * < 2,

x > 3.

1

1

Estos valores se muestran gráfi­ camente en la figura 23.

h ¡iu 0

1

2!

i 3

1. La solución también Fio. 23 puede obtenerse fácilmente llevando en una gráfica los valores críticos, como en la figura 23, y luego proban­ do el signo de la desigualdad dada para valores de x en cacia uno de. los intervalos x < — 1, I < x < 2. 2 < x < 3, x > 3. Se recomienda que el estudiante obtenga la solución por este método y que también lo apli­ que al ejemplo 1. Ahora consideraremos el caso de una inecuación de segundo grado que no puede factori?arse en factores lineales reales. Aunque de ordinario limitamos las factorizaciones al campo de los números racionales (Artícu­ lo 2 .8 ), aquí incluiremos a los números irracionales porque son números reales. Por ejemplo, es fácil ver que la solución de la inecuación n

o

t a

x5 > 0 está dada por las desigualdades x > \'r5, .v < — V 5 . Por tanto, nos limitáronlos ahora a la consideración de funciones cuadráticas que son irreducibles en el campo de los números reales. Supongamos que la función cuadrática ax* 4- bx + c, a =¿= 0 tiene su discriminante bz — 4a c < 0, lo que significa que la función es irreduci­ ble en el campo de los números reales (Teorema 2, Art, 5 .5 ), Comple­ tando el cuadrado en x, obtenemos (relación (1 ) Art. 5.9)

Inecuaciones de segundo grado o cuadráticas

147

ax* + bx f c = o

sea ax2 + bx

(3)

c —

En el segundo miembro de valor de x. Además, ya chic b2 — 4 0. y, por tanto, 4 ac — b2 -----tiene el mismo signo que a. En consecuencia, para todo valor de x, el segundo miembro de (3) es positivo si a > 0 y es negativo si a < 0. Resumimos estos resultados en el teorema siguiente: Teorema 7. Si la función cuadrática a^ 0

ax* + bx + c,

tiene su discrim inante b2 — 4 0 y es negativa si a < 0. n o ta 2. Este teorema es muy útil siempre que uno o más factores »n una inecuación sean funciones cuadráticas irreducibles. Cada uno de dichos factores puede ser suprimido sin ningún cambio en el resto, excep­ to en el caso tic que se trate de una función negativa pues entonces hay que invertir el sentido de la desigualdad.

Ejemplo 3. Resolver las inecuaciones (a)

x3 + 2x + 5 > 0.

0 >)

2x

v

xz

2 < 0,

comprobar los resultados gráficamente.

{S O L U C IO N . Ya que ambas funciones tienen discriminantes negativos, concluye, de acuerdo con el Teorema 7, que la función (a) es positiva para todo valor de x, por tener a > 0 ; y la función (b ) es negativa para lodo valor de x ya que a < 0. También podemos ver esto complementando cuadrados. Asi tenemos

x3 -I 2 r + 5 = (x + 1 )2 4* 4 > 0 para todo valor de x. 2x

xs

2 = — (x 9 — 2x 4- 1} — 1 - — (x — 1 ) * — 1 < 0

par4 todo valor de x.

148

Desiguildades e inecuaciones

Por tanto, ambas desigualdades se cumplen para todo valor de x. Si los símbolos de desigualdad estuvieran invertidos ninguna de las dos des­ igualdades tendría solución. Las gráficas de estas dos funciones están dadas en la figura 24. Finalmente, consideraremos un tipo de inecuación que, aunque no es cuadrática, puede resolverse utilizando valores críticos. Kjempln 4. Resolver la inecuación 3

I

x + 2

x— I

solución . Si el símbolo de desigualdad se reemplazara por el de igualdad, tendríamos una ecuación con fracciones cu vas soluciones se e n c o n tr a r ía n multiplicando ambos m irinbn* por el menor denominador común (x + 2 ; ( x — 1 ). El estudiante purdr sentirse inclinado a proceder de la misma manera con esta inecuación, pero si lo hace, encontrará dificultades. Esto es debido a que si no conocentos el siena de un multiplicador variable, entonces no podemos decir si el sentido de la desigualdad se conserva o se al­ tera (Teorema 3, Art, 6.2). Por tanto, nunca debemos multiplicar por, o divi­ dir entre, un factor variable ambos miembros de una desigualdad, a me­ nos que dicho factor conserve el mis­ m o ñuño en todo el dominio en que Fio '¿4 está definido {Teorema 7 ). Como es usual, nuestro primer p ú a consistirá en transponer todos los términos a un solo miembro de la desigualdad, o sea

3 x

J 2

x

1

>0.

El siguiente paso no será multiplicar por el menor denominador común «no sumar ambas fracciones usando su menor denominador común. Esto nos da 2x — 5 >0. (x + 2) {x — h Izis valores críticos son %, 2 y l. Para cada valor critico, supondre­ mos que a toma valores ligeramente mayores o menores que «*sr valor, y

inecuaciones de segundo grado o cuadráticas

149

entonce* observaremos cómo afectan estos valores en los signo* del nume­ rador y denominador obteniendo el signo de la fracción. Los resultados wr m uestran a continu ació n en form a de tab la. Signo» del mimrrndor y dr 1 denominador

+

x>

2

>0

4-1

+

A> %

+

Solución *> « > ¿

>0

' -f

*> \

Signo dr la fnu rió»

V 1

Hipótesis

<0

+

*<

1

Por tanto, la solución completa es x > 'jíj, — 2 < x < 1. Se recomienda que el estudiante represente gráficamente estos resul­ tados, y que además resuelva esta inecuación > el método descrito en la nota 1 del ejemplo 2. j

o i

EJERCICIOS. GRUPO 22 En probar L 3.

cadA uno dr los ejercidos 1-6, resolver l.i inecuación lineal dadu y romel resultado gráfirurnriur, x — 5 > 3 — X. 2. x + 4 < 3. 2 x + l < 3 x — I. 4. 4* 4- 10 > 4 — 2*.

5- * — ? * > 2 x - * ¿ .

6. x - V ¿ < 2 + ^ .

F.n cada uno dr los ejercidos 7-10. determinar los valores de x para los cuales la •jr.ríón cuadrática dada es positiva, negativa y nula y comprobar tos resulta­ dos gráficamente

7. 9.

2 4- x — x3. x» + 4x 4- 6 .

8. x" — 6x 4- B. 10. 4x — x1 — 5.

En roda uro de los ejercerías 11-20. resolver la inecuación dada y comprobar gráficamente e! resultado.

|| x5 — x — 6 > 0. U. Sx^ 4- R* 3 > * * — 3*. 15.

x-

17

2 * 1 — 4 * — 3 < 3*-’ 4 2.

+

12* -

6 0 >

10 — 2 *.

19. x* + 8» — 11 < 2x* - 5.

12. x* -t- 5x 4 < 0. 14. 2x* 4- 5* — I < 2 * 4- I. 16.

1 2 » + *-' — 3 0 >

18

* * — 6* - 25 < 1 1.

2x= 4

7.

20. x* — 8* +- 8 > 4 — 4*

En «a da uno de los ejercicios 21-24, determinar los valores de * pora los cuales el rada al dado representa números reales.

21. V * — 7. 21 V * — 16.

22. V *» + 16. 24. V » * 4- * — 12.

En rada uno de los rjerrxios 25 y 26, determinar los valores de k para lo* rúales b i raíces de la ecuación cuadrática dada son nales y diferentes.

25.

4 i » - * » 4 I - 0.

26

*•» 4- 2á« — 5 - 0.

Desigualdades e inecuaciones

150

En cada uno de los ejercicio* 27 y 28, determinar los valores de k para los cuales las raíces de la ecuación cuadrática dada son compleja*. 27. *» + Jtx — k - 0 . 28. (k + I ) * * — 2kx - 1 = 0 . En cada uno de loa ejercicios 29 y 30. determinar los valeres de k para los cuales el sistema dado tiene dos soluciones reales y diferentes. 29. x — 2y 4- k - 0. 30. * 4- 2y + k = 0, — 2x 4- 6> + 9 - 0. x 2 + >•= = 5. En rada uno de lo* ejercicios 31*50, resolver la inecuación dada. 32. ( x + I ) (2x — 1) yx + 3 ) < 0 . 31. * {x + 2 ) ( ¡r — I ) > 0. 34. xs 4- x2 — 4x — 4 > 0 . >— 2* * — x + 2 < 0 . 33. l ) ( x — 4) < 0. 36. (x 4- 2) (x — 1 ) * ( * — 4) < 0 . 35. { * f 2 ) (x 37. { * * 4- * + l ) ( * — 1) > 0 * 38. {x* 4- 2x + 4 U * 2 — * — 2) < 0. 39. (x= - 2x — 3) (3x — 4 — x*} > 0. 40. (x - 2 - * * ) ( * « 4- 2x — 8 ) < 0 . *4-3 x + 2 41.

43. 45.

x— 1 *4-3 x—4

42.

> I*

44.

1

3

¿x — 2

47. — X

49.

<0.

I

2*

> —

40.

4- I

X 4- 2 * * 4- * + 1

48.

*

x ( x — I ) (x — 2 )

>0.

50.

x— 4 2 ■

>0.

■■ ■ - - 4

x— 2 x *— 4

1 — x2 6

* 4- 1

>2.

3

x 4- I

2

x

x— I '

5

* — I

> —2. >6.

(i.6. O TRA S IN EC U A C IO N ES En este artículo consideraremos algunos tipos adicionales de inecua­ ciones. Primeramente nos referiremos a inecuaciones que llevan el valor absoluto (Art. 2.4) de una expreisón, por ejemplo, la |x — l 1 < 1. Tales inecuaciones se pueden presentar en la determinación del llamado inter­ valo d e convergencia de una serie potencial. Ejemplo 1. Resolver la inecuación

solución .

Esta inecuación significa exactamente que — I < x — I < 1.

L a resolución de la inecuación —1 < x— I conduce inmediatamente al resultado x > 0.

Otras inecuaciones

151

Análogamente, la resolución de la inecuación x— 1< 1 resulta ser x < 2. Por tanto, la solución de la inecuación dada es 11 < x < 2. En el siguiente ejemplo se considera una de las propiedades funda­ mentales del valor absoluto. Ejemplo 2. Si a y b son números reales cualesquiera, demostrar que \a + b ^ |a| + |b|. SOLUCION. Por supuesto, esta desigualdad puede demostrarse consi­ derando los diversos casos posibles: a y b ambos positivos o ambos nega­ tivos; a positivo y b negativo, y viceversa; y las diversas combinaciones en que a, b o ambos son cero. Sin embargo, aquí daremos otra demos­ tración. Supongamos en contra de lo que requiere la desigualdad, que

|a + ¿| > a| + |ó|. Elevando al cuadrado ambos miembros (Corolario 2, Teorema 6, Art. 6 .2 ], tenemos a5 + 2ab + ó3 > a2 4- 2\a\ • \b\ - b2 de donde

ab > a| • |b ,

lo que no es verdadero para todo valor de a y b. Esta contradicción mues­ tra que nuestro supuesto es falso, con lo cual queda demostrada la des­ igualdad dada. A continuación consideraremos desigualdades con radicales. En algu­ nas de estas inecuaciones debe tenerse sumo cuidado con los signos. Tam ­ bién se debe considerar que se está trabajando exclusivamente con nú­ meros reales. Ejemplo 3. Resolver la inecuación

V x — 1 4- 2 > 0. s o l u c ió n . Siguiendo el m é to d o empleado al resolver ecuaciones con radicales aislaremos el radical:

V x — 1 > — 2. No podemos elevar ahora al cuadrado, pues los dos miembros no son ambos positivos (Corolario 2, Teorema 6, Art. 6 .2 ).

152

Desigualdades e Inecuaciones

Si elevamos al cuadrado la inecuación original, obtenemos * — 1 + 4V \ *_ i + 4 > 0 o sea,

x 4- 3 + \ V x — I > 0,

y si* nos presenta la misma dificultad que antes. Examinando con más detalle la inecuación dada, observamos que por ser el termino 2 mayo» que tero, la única restricción para el radical Vx I es que tepresente un número real no negativo. Esto significa que x — 1 ¡si 0 ó X ^ I, «pie |xir tanto, es la solución. EJERCICIOS. GRUIK) 23 En cada vino de loe ejer» irios l-H, resolver la ines um ión dada.

1 . 1*1 < 2 . 5. 9

2.

*1 > 5 .

3. |*

2| < 1.

4. |* 4 2| > 1.

*I

*■ i < i ~ | < 1. s n 1. 4 - 2 < 1. 0. Drinaitrni' la ilr*it|u«lcliul del rjrmpio 2 (Art. 6 .6 ), roiisitlrrnndo lo» di |*

3| < L.

6.

versas mías |M»il>lr». 10. Si a y b ion muñera» reales cualesquiera, demostrar que ||2r |n ¿|.

En

cada uno de .'o* ejercicios 13-22 resotar la inecuación dada.

13.

V T T T > 2.

i*.

15.

V x — l < 1.

16. \/jr — 2 4 l > 0.

17.

1

V 7 fi

<2.

19. V 7 7 T + \ G > 5.

21. V a * + 7 — V x — 2 > 3 . .

V i — * > 2.

18. — - - > 2 V x— 1 ______ 20 V * ~ 4 — W I > 1. 22. V * - 7 — v * — I > 2 . a + b

23. Si a j b son curren» positivos diíerenle*, demostrar que

j—

-----> V ab. 2

24. Si i y b son números positivos diferentes, demostrar que V' ab > ____ a -f b 25. Si a y ó son números positiva», demostrar que a { 4 i : < ¿ + b. 26 Si « y b tan números positivos, demostrar que V a I i < V * + X'b. En cada uno de los ejercicios 27-30 verificar la desigualdad dada sin utilizar tablas de raíces cuadradas 27. V 7 + V S • > v T 9 . 29.

V » + V 6 < 2 + VTT.

2a

V 2 - V e < VTy

so. v i —v i > V i—Via

Inducción matemática Teorema del binomio 7.1. IN TRO D U C C IO N Como lo indica el titulo, este capitulo consta de dos temas distintos. 1.a razón es que el teorem a d el binom io se demuestra por medio de un método conocido como inducción m atem ática o inducción com pleta. No se debe pensar que la inducción matemática sea solamente un método para la demostración del teorema del binomio. Veremos que existe una gran variedad de proposiciones y fórmulas que pueden demostrarse utili­ zando la inducción matemática. De Iteclio, en el capitulo siguiente se empicará la inducción matemática para demostrar una importante pro­ posición conocida como el T run ma d e De M uirte. 7.2. N A TU RA LEZA DK LA IN D U CCIO N M A TEM A TIC A En ve/, de introducir desde el principio el enunciado formal «le la ley de inducción matemática, ¿malizaremos un ejemplo muy sencillo para mostrar el mecanismo lógico en que se apoya este método de demostrar ión. Conoideromos la suma Sn de los primeros n números impares, es decir,

Sn

1 + 3 + 5 + . . . + (2n — I ) ,

en donde 2n 1 representa el en ¿timo término de la suma. Escribamos directamente la suma para los primeros cuatro casos: n = r. n n -

I, S¡ = 1. 2. .VB 1 + 3 I = 2*. II. Sn I 3 r> - 9 :i8. 4, A\ I + 3 • 5 7 - 16 I1 J

4».

154

Inducción matemática. Teorema del binomio

Hemos indicado aquí que, en cada caso, la suma es igual al cuadrado del número de términos sumados, de lo cual resulta obvio inferir que la suma de n términos es p r'jbab lrm m u igual a v . Nótese que no hemos demostrado esta relación para la suma de un número cualquiera de tér­ minos, sino que simplemente hemos comprobado que es verdadera hasta n igual a 4. En el método de inducción matemática se supone que la relación es verdadera para cierto valor de n, digamos k , y luego hay que demostrar apenándose en esta hipótesis, que la relación es también verdadera para A 4- 1 que representa el siguiente valor posible de o. Si se logra esta de­ mostración. se completa con el razonamiento siguiente: Ya que la rela­ ción resultó verdadera para n = I , dd paso inmediatamente anterior se sigue que es verdadera para n — 2; análogamente, si vale para n = 2, entonces vale para n = 3, y así sucesivamente para todo valor entero positivo de n. Utilicemos la inducción matemática para completar la demostración de la relación

(1)

1 + S + 5 + . . . + { 2 » i — l ) =«t*. Supongamos que 11) es verdadera para n = A, es decir,

(2 )

1 + 3 + 5 + . . . + <2A — 1) = A*

lo que representa nuestra hipótesis Añadamos ahora el término orden A + 1, o sea, 2(A + l) — 1 2A I I, a ambos miembros de ( 2 ) . Obtenemos la igualdad

(3)

1 + 3 4 5 + . . . + (2A

I ) + (2A + I ) = A* + 2A f 1 = (A • 1 )#.

La iguald.nl ( 3) , qu e solam ente r r verdadera si (2) es verdadera, representa la verificación de la relación ( I ) para n = A I I. Por tanto, hemos demostrado que si la rrlarión ( I ) es verdadera para r: - A, enton­ ces es verdadera para n = A I I El razonamiento continúa como ya se indicó: ya que la relación ( I ) resultó verdadera p ira n 1, se sigue de (2) y (3 ) que también es verdadera para n 2. Análogamente, si ( I } vale; ¡Kira n 2, entonc es vale para n = 3, y así sucesivamente para todo* los valores enteros positivos de u. Por comodidad y facilidad para consultas posteriores, damos ahora un enunciado formal del método de inducción matemática, Inducción matemática La inducción matemática, o inducción completa, es una forma de razonamiento que puede usarle pata demostrar relacione* o proposiciones

Ejemplos de inducción mntcmáticii

155

cinc dependan de una variable, digamos n, que solo admite valores ente­ ros y positivos. El método de inducción matemática para demostrar una relación particular consta, en esencia, de los tres siguientes pasos: 1. Comprobar que la relac ión es verdadera puní rt = I, o para el primer valor admisible de n. 2. Partiendo de la hipótesis de que la relación es verdadera para cierto valor ele n, digamos k, demostrar que también es verdadera para n k 4* 1. 3. Comprobado que la relación es cierta para n 1 en el paso I, del paso 2 *e sigue que también es cierta para n = 2. Análogamente, si la relación es derla para n 2, entonces es d erla para n 3, y así su­ cesivamente para todos los valores enteros y positivos de n. Ifagamos destarar que los pasos I y 2 son am bos esenciales para la validez de !n demostración. El paso 3 es solamente una consecuencia lógica de los pasos l y 2. nota. A continuación damos dos ejemplos en que una relación re­ sulta falsa porque no satisface simultáneamente los pasos I y 2. Primero consideremos la relación * 1 + 3 4- 5 + . . . + ( 2 a — I) = «.

Es obvio que esta relación es válida para n = I, satisfaciendo por lo tanto el paso 1. Pero es fácil demostrar que no satisface el paso 2. En consecuencia, la relación (4 ) no se cumple para todos los valores enteros positivos de n. Consideremos ahora la relación (51

1 + 3 + 5 + . . . + (2 n — l ) = n * - M .

Se puede probar fácilmente que esta relación satisface el paso 2. Pero no satisface el paso I y, por tanto, no es válida para ningún valor entero y positivo de it.

7.3. E JE M P L O S D E IN D U CCIO N M A T E M A TIC A En este articulo damos vario* ejemplos y una amplia colección de cjerricios de inducción matemática. Ejemplo I. Por el método de indurdón matemática, demostrar la relación (1 ) 1* + 2* 4- 32 + . . . + n* = % n{n + l } ' 2 n + I ) , en donde n es cualquier número entero y positivo

156

Inducción matemática. Teorema del binom io

solución . Efectuaremos, en orden, cada uno de los tres pasos men­ cionados en el Art, 7.2. 1. Sustituyendo n = I obtenemos

+ I ) ( 2 + I) = i / . 2 - 3 = 1. Luego el paso 1 se satisface. 2. Suponiendo que {1 ) es verdadera para n do que la siguiente relación es verdadera: (2)

k, es decir, suponien­

I a + V + 3* + . . . + ** = % k (k + l ) (2A + 1 ).

Sumando a ambos miembros de {2 ) (k + l ) s, que es el término de orden k + I. Se obtiene: (3 )

i* + 2* + y + . . . + *= + ; * + i ) * = % k {k •+ 1) {24 + 1) -

(A + 1)*.

Ahora debemos probar que el segundo miembro de (3) es idéntico al segundo miembro de (1 ) cuando se reemplaza n por A + 1. Asi, sacan, , * + l do tactor común a — -— tenemos 6 % k (k 4* I ) (24 + I ) + (A + 1)* I) + 6 ( * + l ) l k + I k + 1 = —- — [2A* + 7A + 6J = — — (k -f 2)(2A + 3) o 6 = ^ [ { A +

1) + I P ( A + 1) + I].

Esta última expresión es idéntica al segundo miembro de ( I ) cuando n se reemplaza por A + 1. Por tanto, hemos demostrado que si ( I ) es ver­ dadera para n k , también es verdadera para n = k — ]. 3. Ya que ( I ) es verdadera para n = I según el paso 1. se sigue del paso 2 que ( ! ) es verdadera para tj 2. Por la misma razón, si es ver­ dadera para n 2, entonces lo es para n = 3, y asi sucesivamente para todos los valores enteros positivos de n, como se quería demostrar. Ejemplo 2. Por el método de inducción matemática, demostrar que x2* — y2m es exactamente divisible entre x - y para todo valor entero positivo de n. solución . I. Para n = 1 tenemos ( * ’ — y * ) / ( x lo cual se cumple el paso I .

y) = x __y. con

Ejemplos de inducción matemática

157

2. Ahora debemos probar que si x2* — y21 es divisible exactamente entre x -f y, entonces x2i+i y2* " 2 también es divisible exactamente en­ tre x — y. Existen varias maneras de demostrarlo. Utilizaremos el método muy natural de dividir x2l+2 ytt+2 entre x + y. Por división algebraica ordinaria (Art. 2 .7 ), tenemos ^2*+2 _ y » + 2 _ = *2*-»

x ¿ky +

.t2 y _ y 2 t + 2 x + y

en donde la división se ha desarrollado justamente lo necesario para per­ mitir el uso de la hipótesis que consiste en que x2k y2* es exactamente divisible entre x + y. En efecto, el resto je2 y _ ^ * + 2 = >¿ ( x2* — >5*), es, según nuestra suposición, exactamente divisible entre .t + y, y por tanto la división de x2k+¿ y2fc+í entre x + y es exacta. Luego el paso 2 también se cumple. 3. Aquí repetimos las frases usuales que completan la demostración para todo valor entero y positivo de n. n o t a . Muchas de las dificultades encontradas en el paso 2, d e una demostración por inducción matemática, pueden evitarse si el resultado de sustituir n por k 1 se transforma de modo que permita el uso de la hipótesis para n = k. Se recomienda que el estudiante observe este hecho en el ejemplo anterior.

E JE R C IC IO S. G R U PO 24 1. Demostrar que la relación (4 ) del Art. 7.2 no satisfacp rl paso 2 del método de inducción matemática. 2. Demostrar que la relación (5 ) del Art. 7.2 satisface el paso 2 del método de inducción matemática. 3. En el ejemplo 2 del Art. 7.3. efectuar el paso 2 utilizando !a identidad

/*) + /»(** — >*). 4. l>einostrar que x1" -* -f y*"'1 es exactamente divisible entre x — >• para todo valor rntrro positivo de n, efectuando el paso 2 como en el ejemplo 2 del Art. 7.3. 5 Efectuar el paso 2 de| rjercicio 4 utilizando la identidad

r“ " l /••• = * V 4“'

y” ’) — y*“ <** — / ).

6 . Demostrar que r" — y* rs divisible exactamente entre x

>• para todo valor entero positivo de n, efectuando el paso 2 como en el ejemplo 2 del Art. 7.3. 7 Efectuar rl paso 2 drl cien icio 6 utilizando la identidad

x*'*— y*'1 = #(•** — y*) +■

y).

En cada uno dr los ejercicios 8-39, demostrar por rl método de inducción mateuiálica la relación o proporción dada, siendo rt un número entero y positivo. a {n + 1 ) 8.

M

- 2

+

3

+

. . . - r n

2

*

hk

Inducción matemática. Teorema del himmiio

9. 2 + 4 + 6 + . . . + 2n - n(n 10. I + 4 + 7 + . . . + (3n 11. 3 + 6

1).

2)

(3ft — I).

3n -% «{»» + l).

12 . 3 I- 10-1- 15 + . , . + 3n — 'Vjn(n + I ). 13. « M a - d) I (a + 2d) + . . , + [« + <« — 1)^1 - <;[2a + (n

14. 2 4- 2 * + 2 * I 13. 3 + 3* + 3* -f 1+515*

16

17. 1 + i

+ 2“ — 2(2 "— I). f 3"-%(r i).

I

f 5 - * - >4{5" -i).

i . 42*

2

l)d j.

^ j p " 2 “T 7

la. a + ar + ai* |-

i— r 19. 1* -I 3* + 5 ' •» . ■ * (2n— 1)* •• ^ (4n*— 1). 21) .

i ' + r + 3* + . . + n* • ~ ( n 4- 1)*.

21 . (I + 2 + 3 + .

+ ")*-"-<'» l 15*.

22 . i* + s* + :»• í . .

143

23.

(2n —1)' — nV2n* - 1) .

b -4- . . . I - - ( n + 1)

24.

1 2

25.

1 3 -

(n + 1) (n 4 2).

b

¿

4 2 - 3 + 3 4 + . . . + « ( • + 1} — ~ ( n + l ) ( n + 2) ,

2 - 4 + 3 - 3 - . . . + n i * + 21 - | ( » f

1 )< 2 b + 7 J .

6

26. 2 - 5 — 3 - 6 + 4 - 7 — . . . + (n — ) ) ( * + 4 } = • - (>i + 4 ) ( « + 5 } . 27.

1 - 2 * 3 + 2-3

4 4-3-4

5 + ...

+ * ( n + 1) (j* 4 - 2 ' "(« *

1

28.

1 2

29. 30.

+

1 *3

1

1 *3

1

1

2 -3

3

4

' 3 -5

5

7

+ — + 2 -4 3 -5 2 • 2* 3 - T

I « (» + 1 ) «l -r- 1 1 .. + :2 í i — 1)(2« + 1)

! ) ( • + 2 ) { « 4- 3 ) .

+ ... +

I

b

2» - 1

(3 « + 5 )

4 (R - l ) í « + 2 :

«(» ~ 2)

31.

1 • 2

32.

1 1 4 - 2 - 3 * - 3 - 5 * + . . . + « ( ‘¿ «i— 1 )* = * ; n + D t S * ' — 2 b — 1 ).

3 3 .

I

3 4 .

S :

• 3

3 5 .

2 ** —

+

4-

3

a y b 1

• 3 * s o n

e s

4-

5

• 3*

n u m era

¿ ¡ v is ib le

-

. . .

4-

. . .

e n tre

1 5.

3 6 .

2**

-*■

5

es

d iv is ib le

e n tre

S .

3 *

+

7

es

d iv is ib le

e n tre

8 .

+

* » V

4-

p o s itiv o *

3 7 .

3 8 .

+

+

n

• 2 *

(2 b t a le »

-

—

{n

—

1 ) S *

que •

>

1 )2 ~ *

{ b

b,

—

4 -

2 .

1 > 3 - J +

e n to n c e »

« x* >

3 .

bm.

Teorema del binomio

159

3 9 . ----------- * * - * — xmtj + *• Y — . . . — jr/mi - Y *1, n impar.

■» 4- >

40. Demostrar d tcorenia 12 del Art. 2.6 por d método de inducción ma­ temática.

7.4. T E O R E M A D E L B IN O M IO El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio» con la cual se pueden escribir directamente los términos d d desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. Para formamos una idea de la estructura del desarrollo de [a + b I", en donde n es un número entero y positivo, escribiremos el resultado para los primeros cuatro valores de n. A», por multiplicación directa, tenemos [a + b ) ' = * + b ,

[a + b)* = a: ^2ab + b\ [a + b )» = a* - 3c*b + 3a b 3 + b\

(ti + 6 ) 4= í * + 4a ¿ 4- 6
160

Inducción matemática. Teorema del binomio

(anda en la determinación de coeficientes. la explicaremos con más detalle aplicándola al desarrollo de {a 4- b )* . El coeficiente del tercer tér­ mino se obtiene del segundo como sigue: se multiplica el coeficiente 4 del segundo término por el exponente 3 de a y este producto se divide 4X 3 entre el exponente I de b aumentado en 1. Es decir. = 6, que 1+ 1 es el coeficiente del tercer termino. Análogamente, de este coeficiente 6X 2 obtenemos-------- = 4, que es el coeficiente del cuarto término, y así su­ 2 4- 1 cesivamente. Antes de intentar escribir la fórmula para el desarrollo general de [a 4- b) es conveniente introducir la siguiente definición: Definición. Por el símbolo n!, llamado factorial de n, se entiende el producto de todos los números enteros y positivos consecutivos de 1 a n. Es decir. (lj

n! = 1 •2 •3 . . . i». 4! = 1 •2 •3 •4 = 24.

E jem plo.

Como generalización, con frecuencia resulta útil disponer de un valor para 0 ! que n o está definido en la relación (1) siendo n un entero posilivo. Para encontrar un significado a 0! observemos lo siguiente: De (1) tenemos

(2)

ni = n(n — 1)1 De la relación ( 2 ) , para n = 1 tenernos 1! = 1 (0 )!

Y para que esta relación sea válida establecemos la siguiente definición o convenio: 0! = 1. n o t a 2. Factorial de n se representa a veces con el símbolo n. Sin embargo, nosotros utilizaremos el símbolo n!.

Si ahora supom tnos, que para cualquier valor entero y positivo de n, el desarrollo de (a — b ] " tiene las mismas características que observamos para n = 1. 2, 3, 4, podemos escribir n ,. n ( n — 1} „ „ n [n — 1' ( n — 2 ’ (a + b ) * = a" 4* —a" lb ■ a" ¿o ¿ 4--------------o"-

I

1* 2

1-2-3

Demostración del teorema del binomio

ló l

que con rl símbolo de n!. püede escribirse así: (3) n (n — í ) ( n — 2 ) _ lL, --------------------------- a*— 3!

■ f . . . + b*, en donde el término de orden r ral n -

I ) . . . i> — r + 2) a n—r-H/y 1

se conoce como el térm ino ««rural. La fórmula o relación (3 ! recibe rl nombre tic teorem a d el binom io para exponentes enteros y jxjsíIívos. Esta relación ya ha sido comprobada para ti = 1 ,2 , 3, 4. Ahora surge la pregunta, ¿será válida para todos los valores enteros y positivos de n? La respuesta es afirmativa, tal como se demuestra, por inducción matemática, en el artículo siguiente.

7.5.

D E M O ST R A C IO N D E L T E O R E M A D EL B IN O M IO

Por comodidad, volveremos a escribir la fórmula dei binomio, inclu­ yendo tanto el término de orden r ] como el de* orde n r. Asi tenemos

n (n — l ) . . . { n -

r + 2)

rz" ' Hfc' 1

+ . . . + n ab“~ 1 + ó". Vamos a establecer la valide/ de la relación (1) para tocos los va­ lores enteros y positivos de n por medio del método de inducción mate­ mática. En el artículo anterior, al comprobar que ( l ) se verifica para n = 1, se lia establec ido el paso I de la demostración (Art. 7.2). Para demostrar el paso 2 suponemos que (1) es válida para n = k, o sea que se- verifica la igualdad

162

Inducción matemática. Teorema del binomio

(2 )

(a + b) * = a* + k a *~ lb + . . .

flt_ r+26r_ 2 (r — 2)! + U (A: r —2) ¿—r+i^r—t ( r — 1)! + . . . + kab*~ ' + fr*.

Multiplicando ambos miembros de (2) por a -+- b, se obtiene {a 4ej\ el primer miembro. En las dos siguientes lincas escribiremos, en orden, el producto del segundo miembro de (2) primero por a y luego por b. (3 )

«*+* + ka'b + . . . +

+ 2 - nk~’ ^ b^> + . . . - ni

w n'b - . . . - ^

----1]t7_7(2 ). ■ r -+ -3! a1” ’ * 2* ' " 1 + . . . + A«4* + &*+'.

Sumando (3) y (4), obtenemos como segundo miembro de ( a — fc)fc+1, a k+l + (A + I ) a kb

_ r ¿ q - i ; . . . ( á— r - 2 ) “ L (**-1 )1 + . . . + (A + 1} a b k +

A(A-l)...(A-r+3:1 ( r ~ 2)! J

2

,

El coeficiente del término de orden r de esta última expresión puede ser simplificado como sigue: k { k — I) . . . (A- r — 2) k { k — 1> . . . (A — r + 3 ) fr— li! h
—

1 Í ...Í A — r + 3 ) r/ , ( r — 1)1 +

,

[ k +

1)A(A— 1 ) . . . (A— (r — 1 }!

*

r + 3)

Por tanto, escribimos finalmente

(5)

[a + * )* + ! = a*+« + (A - l)a*& 4-

# — (*

+ ...+

!)* • « » (* y ~~ 3) at_ f+26r_ , ( r — 1)! ( * + I )a b k + ól + l.

Comparando ( I ) y ( 3 ) , y particularmente los términos de orden r, vemos que (5 } es precisamente el resultado que se obtiene al reemplazar n por k + 1 en { L). Por tanto, liemos demostrado que si el teorema del

Demostración del teorema del binomio

163

binomio (1 ) es válido para n = k , también es válido para n = k -r 1. Asi queda demostrado el paso 2. Utilizando el argumento acostumbrado del paso 3, se concluye que el teorema del binomio (1 } es válido para todos los valores enteros y positivos de n. N O TA S

1. Debe tenerse en cuenta que hemos demostrado el teorema del binomio sólo para valores enteros y positivos del exponente. Por métodos superiores se demuestra que el desarrollo del binomio ( a + b ) m también es válido para valores fraccionarios y negativos de n, siempre que el valor absoluto de b / a sea menor que la unidad. En este caso el número de términos es infinito, es decir, el desarrollo continúa ¡ndefinidamente y se tiene lo que se conoce como una serie infinita. 2. En la quinta característica del desarrollo del binomio (Art. 7.4), observamos cierto tipo de simetría en los coeficientes de los términos. Esta simetría se muestra claramente en el siguiente arreglo triangular conocido con el nombre de triángulo de Pascal, que da los coeficientes de los términos del desarrollo de (a + b ) " para valores enteros y positivos de r. Estos coeficientes se llaman coeficientes binom iales o binómicos. n n n n n n

= = = = = =

0 1 2 3 4 5

1 1 1 3

1 4

1 1

5

1 2

1 3

6 10

1 4

10

5

En el triángulo de Pascal observamos que los elementos en los extretnoa de cualquier fila son la unidad, ya que los coeficientes de los términos primero y último son iguales a 1. Cada elemento interior puede obtenerse como la suma de los dos elementos que aparecen en la fila inmediata superior y a la izquierda y derecha inmediatas de ese elemento. Así para ri 4, el segundo coeficiente 4, es la suma de los elementos 1 y 3 de la lila anterior que se encuentran inmediatamente a la izquierda y a la de­ recha de 4, respectivamente; análogamente, el tercer coeficiente 6 se obtiene como suma de los elementos 3 y 3 de la fila anterior, etc. Esta relación entre los coeficientes del desarrollo del binomio será demostrada ■•ii un c apítulo posterior al tratar de perm utaciones y com binaciones. Veamos ahora algunos ejemplos de aplicación del teorema del bi­ nomio, E jem p lo 1. Desarrollar por el teorema del binomio ( a 4- 2b ) ñ.

Inducción in¡i(cmá(ic¡i. Teorema del binomio

164

s o l u c i ó n . Empezaremos «•«libirncio el primor termino demos enuibii inmediatamente lodos los término» que siguen, incluyendo los coeficientes, de acuerdo con las características «Irl desarrollo mencionadas en d Alt. 7.4. Asi tenemos:

(a I 2 6 ) n

a\\- 5fl»(26> + J 't * « * (2 6 )'

-1

■ b - ~ ^ d ( 2 f r ) 4 4 - í j Í (2Éí)a

a° 4 5 a * (2 b ) f 10a (26)» 1 I0tftt( 2 6 ) 9 - 5n(26) ‘ I (26)*. Nótese que hemos conservado el término 26 encerrado en paréntesis paru que no interfiera «orí la formación corréela de los coeficientes binomi.ües, Luego podemos efectuai las potencial de 26 y obtener la forma final: (a I 2 6 ) ’* a9 I I0o*6 40«fl6 8 4* 80«as6* 4 80o6* f 326 \ Ejemplo 2. Desarrollar

(2 a \x’

,V 2a )

aot.ucioN. En este desarrollo es aconsejable encerrar am bos términos en paréntesis, ya que aquí no solo nos interesa forma i correctamente los coeficientes binomiales, sino también obtener correctamente los exponentes finales y los signos de cada término. Por tanto, escribimos el desarrollo en varios pasos, como sigue:

© -£ )•=

2/2 « V r V

6 3

U

A

2a )

4-1/ 4

[

2a)

16a* 8 a3 x= „ 4 * r x* 2a x* x4 = ---------- 4 ------•— 4 - 6 ----- •----------4 — *------4 - ------x* x“ 2a x4 4
l6 a :

~ ”?

7.6.

_

x* ^

x*

o* + l ü * *

xr

EL T E R M IN O G EN ER A L Ya hemos obsei vacio (Ari. 7.4 ■ que en el desarrollo de ( c + 6 )* , el

...

t i ;

__ .

te r m in o

,

d e

,

o rd e n

r

=

n (n — 1' . . . (n — r 4- 2 ) -------------^ ----- — ------------ a * ~

...

,

, ♦ 16 , ~ , ,

If*S

El término general

se ¡lanía el térm ino ^enrral. Esta es una fórmula muy conveniente para obtener cualquier termino del desarrollo de ¡a potencia de un binomio sin calcular los términos anteriores. Nótese que en ( 1) el coeficiente tiene rl mismo número de factores tanto en el numerador como en el denomi­ nador, »s decir, r — l factores. S e sigue de (1 '• que el término que contiene b' es el término de orden r — 1 o sea (2*-

término de orden r + I

n(n

« *-K

que frecuentemente es llamado término genera] en lugar del término (1 ). Aunque cualquiera de estas formas puede usarse para obtener un término particular del desarrollo, por ahora utilizaremos la forma ( 1 ) . M is ade­ lante tendremos oportunidad de utilizar la forma ¡2 ) cuando estudiemos los coeficientes binomiales en términos de números combinatorios. Ejemplo I . Obtener el cuarto término del desarrollo de {a + 2b *. solución .

Utilizando la forma i I ) , tenemos

ruarlo término de i a + 2 6 ) ' = ----------a r ',2 b * = 10ta*(BÍr3> = m a-b\ 1-2-3 (VAüm el ejemplo 1 del Art. 7.3). Ejemplo 2. En el desarrollo de

^

, obtener el léimino que

• ontiene a:". solución . Estr problema difiere del anterior rn que no sabemos el íudeii di l término que busca. Por tanto, representaremos por r el orden dii ténnino. De acuerdo ton la furnia ( I ) ,
de ni coeficiente, contiene

'• 1 ^

^ 1^

lo que significa que ti

e* ponen le de v en este término es 2 (1 0

r) i- r — 1 = 20 — 2r 4- r -

I = —r f 19.

Y.» que nos interesa que el exponento de x sea 14, se debe tener r I 10 II , do donde > 3, O sea, que el ténnino buscado es el , ( xy\° .pumo término de ( ¿x1 J

9 •8 •7 •6 / — ■ - ■ (2 **)*^ -

1 2 6 (3 2 *“ )

vv (> 252* ' y .

Inducción matemática. Teorema del binomio

166

E JE R C IC IO S . G R U P O 25 En cada uno de los ejercicios 1-14, efectuar el desarrolla indicado. I.

2.

(3 a — ¿ )« . V e»

7.

(H )‘-

5.

1

*

c*

4.

8.

10. (a \H> 1 b V a ) * . 13.

(a 4- b — e ) K

( * — 2y )*. ( * * -l- *•/*)«.

2 y

( a‘

11. { ¿ b — a *'»)*. 14. ( I + x ) 4 - !

3. 6. 9.

( x 4- Sy)«. (x¿ — x * ) *. / xVs y y \~y

~7k) '

12. ( V s — V z ) 4-

En cada uno de los ejercicios 15-26, escribir y simplificar los primeros cuatro términos del desarrollo de la potencia del binomio. 15.

(2a — 6 ) ’ .

16.

17.

18.

(•♦sr-

19.

20.

21.

{1 + x ) - K

24. (1 +

22.

(-i)* ( l 4- *)*> .

23.

(I +

(1 — ■*)"* 25. ( 1 — Jr*)V*. 26. (1 4- x)V*. el resultado del ejercicio 21 dividiendo 1 entre 1 4- x. el resultado drl ejercicio 22 dividiendo 1 entre 1 + x *. (1 .0 1 )* desarrollando (1 4- 0.01) 3. (0 .9 9 )3 usando el desarrolla de un binomio.

jc)Vs.

27. Obtener 28. Obtener 29. Calcular 30. Calcular

31. Calcular V '0 .9 9 , correcto con tres decimales, usando el resultado del e je r­ cicio 25. 32. Prolongar el triángulo de Pascal, dado en el Art. 7.5, para n — 6, 7, 8. 33. Demostrar que el coeficiente del término de orden r de (a — ó )" , dado por la relación (1 } del Art. 7.6, puede escribirse en la forma

34. Demostrar que por la relación (1 ) del pero que la forma dada 35. Demostrar que

(tt — r + I ) ! ( r — 1) 1* el coeficiente del término de orden r de (a 4dado Art. 7.6, es válido para todo valor de r, excepto para 1; en el ejercicio 33 si es válida para r 1. el coeficiente del término de orden r ~ I de (a 1 -5 )" ,

b)*,

dado por la relación ( 2) del Art. 7.6, puede escribirse en la forma

n!

------------ . r l(B — r ) l 36. Demostrar que la suma de los coeficientes en el desarrollo de («i I ó )" es igual a 2". 37. Verifique, en el triángulo de Pascal, la propiedad de los coeficientes del desarrollo del binomio dada en el ejercicio 36. E n cada uno de los ejercicios 38-49, obtener solamente el término o términos indicados en el desarrollo correspondiente. 38. Cuarto término de { a 2 6 )*. 39. Octavo término de (x't* 4- yV*),s 40.

Quinto término de ^ x 4- ^ ^

(a

.

y*

41. Séptimo término de ^ ^----- x \

.

Hl término general 42. Término central de ^

EJH 43.

j

167

.

6 \ ‘«

(a

rérraino central de I -------- 1 Vb a)

44. Lo 5 dos términos centrales d e ^ —----- y\

.

45. Los dos términos centrales de (al* + Vi)11. 46. Término en a 1 de

+ 9b J

3y\»»

2x

(

— 3

.

.

y lx )

48. Término independiente de * de

/2x

3 y — ~ J

.

/ xV* yV« \ >« 49. Término independiente de x de ( —— 4* —— J .

\ y’lt

50

Xi» /

Demostrar que el término central en el desarrollo de (1 4 1 •3 - 5 . . . (2u — 1) criblne en la forma

n!

2"x\

x )u puede es-

8_ N úmeros complejos 8.1. IN T R O D U C C IO N Cor. pocas excepciones, hasta ahora nos heñios limitado al uso del Materna de números reales. Sin embargo, \a hemos observado la necesidad de los números complejos. De hecho, en nuestro primer estudio de ios números (A rt. 1.3», llegamos a la conclusión de que d sistema de los nú­ meros complejos debía ser considerado como el general del álgebra. El propósito de este capitulo es hacer un estudio formal de los números com­ plejos y sus propiedades. Lo estudiado hasta ahora es suficiente para desarrollar muchas de las n|►elaciones con números complejos, pero debido a. que es muy útil y conveniente introducir el uso de la forma trigonométrica de un número complejo, se requerirá además algún conocimiento de trigonometría pla­ na Kn el Apéndice I hemos incluido, con este propósito, las definiciones y fórmulas de trigonometría que son necesarias. Kn capítulo» anteriores se han dado definiciones y he han hecho co­ mentarios en relación con los números complejos. Por comodidad, y para hacer un estudio completo, varios de eso» enunciados se repetirán en el siguiente articulo,

M.2. D E FIN IC IO N E S Y PRO PIED A D ES Resolver la ecuación cuadrática aj 1 0, es buscar un número que satisfaga la condición de que x* I, que es un número negativo. Pero según la regla dr los signo» de la multiplicación de números reales (Alt, 2,.rJ ), sabemos que todo número real tiene la propiedad de epte sil rundí ado es un número real no negativo. 169

170

Números complejos

Por tanto, el número x que es solución de xs + 1 = 0 no puede ser un número real. Para que sea posible la resolución de la ecuación, intro­ ducimos un nuevo número dado por la definición siguiente: Definición. La cantidad V-— 1 se llama la unidad im aginaria. Se la representa con el símbolo i y tiene la propiedad de que r = — 1. Para representar la raíz cuadrada de un número negativo distinto de — 1, introducimos una nueva clase de números definidos asi: Definición. Un número de la forma bi, en donde b es cualquier nú­ mero real e * es la unidad imaginaria, recibe el nombre de núm ero imagi­ nario fruto. En relación con nuestro estudio de la ecuación cuadrática (ArL 5S ) , vimos que bajo ciertas condiciones las raíces de tal ecuación son números expresados como la suma de un número real y un número imaginario puro. En consecuencia tenemos: Definición. Un número de la forma a + bi, en donde a y b son nú­ meros reales e í es la unidad imaginaria, se llama un núm ero com plejo. Si a = 0 pero b =£ 0, el número complejo a + bi toma la forma bi lo que significa que los números imaginarios puros son un caso particular de los números complejos. Si b = 0, el número complejo a I hi toma la forma a, que es un nú­ mero real. Podemos recordar que a rste respecto, al final del Art. 1.4, ya dijimos que un número real es simplemente un caso particular de un número complejo; en consecuencia, el conjunto de lodos los números reales es un subconjunto del conjunto de los números complejos. Definición. Se dice que dos números complejos a I bi y c +• di son iguales si y sólo si a c y b <1. Como una consecuencia inmediata de esta definición, se tiene que a 4- bi 0 solamente si a = 0 y b = 0. Veamos una aplicación de esta definición. Ejemplo. Hallar los valores reales tic r y y que cumplen con la si­ guiente igualdad: x* + 2y* -I- xH

yt = .vy -f 7 + Sí.

solución . Primero ordenamos los términos de modo que rada miem­ bro sea un número complejo en la forma a 4* bi. Asi tenemos:

(** + 2y8) 4- (x + y ) i *= (jcy + 7) «f .3i.

171

Operaciones fundamentales

Ahora, por la definición de igualdad de dos números complejos, igua­ lando las parles rral«*s c imaginarias entre «i, tenemos

xi q. 2y» = Xy + ' 7, Por el método del Art. 5.12 se calcula inmediatamente que las solu­ cione» de esto sistema son x = I , y = 2 y x l VÍi V = Vi» nuc correspon­ den a los valores buscados. Hrmos observado anteriormente (Art. 6.1) que la relación de orden tle los números reales no es aplicable a los números complejos, es decir, no tiene sentido hablar de que un número complejo es mayor o menor que otro. En consecuencia, no se puede asignar un signo a un número complejo dado (Art. 2 .4 ). Pero sí rxiste el negativo de un número com­ plejo. dado por la siguiente definición; Definición. El negativo del número complejo a I hi es Por ejemplo, — 5t es el negativo de 5i y 4 - ’M es el negativo de

a bi. -4 + 3».

Finnlmente tenemos: Definición. Dos números complejos que sólo difieren en el signo de sus paites imaginarias se llaman número* com plejos conjugados. Así. a + b i y a — b i son números complejos conjugados.

8.3. O PE R A C IO N E S FU N DA M EN TA LES Las cuatro operaciones de adición, sustracción, multiplicación y divi­ sión se llaman las operacion es fundam entales. Cuando estas operaciones *• aplican a números complejos sus definiciones son tales que obedecen todas las leyes del álgebra, tal como se mencionaron en el Capítulo 2 para números reales, con dos excepciones. Una excepción se ha observado ya, a saber, que i2 = — 1, que es una propiedad que no poseen los números reales. La otra excepción es la ¿guíente ley de los números reales: Para a > 0

y

b > Q ,V a •V ó = Vafe.

Esta ley no es válida para los números imaginarios. A s tenemos. para

a > 0 y b > 0,

- V ^ b rjt V (— a )

El resultado correcto se obtiene corno sigue:

b ) = V hb.

172

Números cumple ja»

l\ua evitar este n ro i siempre escribiremos los números c omplejos en lu forma a I b i, la cual se llama a veces la form a canónica, y harrmos operaciones con i como ron cualquier olía literal, reemplazando al final las potencias de í como sigue: i1, i ¿9 , i í, i* f»8) 8 (— 1)" = I, i' - i* •i i, etcétera. Ahora vamos a dar las definiciones tic las cuatro opri.n iones feniciamentales para doa números complejos cualesquiera « W y t I- di, so­ brentendiéndose* que el resultado linal también quedará expresado en la forma canónica de un número complejo, fl Adición. Para sumar dos (o in.W; números complejos, se suman separadamente las partes reales e imaginarias «leí mismo modo como se reducen los términos semejantes en la adiriún de expresiones algebraicas ordinarias (Art. 2 .1 ). Así tenemos: o sea

( íi I b i) 4~ {r I di) ( a 4- b i) + ( r I- di)

« 4 i •f tu | di, ( a I c) 4- ib *f d )i,

esta última igualdad constituye la drfinición farra la ruma de dos número* c o m p le j o s .

(2.1 Sustracción, Pan» rrstai un número complejo, de otro, se restan las paites reales c imaginarias separadamente. Asi tenemos: o sea

(a + b i) — (c 4- flV) a — c 4- b i — d i. (fl + bi I — (c 4- d i) — (a — c 4- i b — d ) i,

y esta última igualdad constituye la drfinición de la diferen cia d e dos crim n os com plejos. (3 ) M ultiplicación. El producto de dos números complejos se obtie­ ne multiplicándolos como binomios ordinarios y luego reemplazando i* por — I. Asi tenemos, o sea

( a + bi •( c -r di) = a c + a d i +- bez + b d p t id + b i} ( c 4- di) [ac — b d . — ia d 4- b c fi.

siendo esta igualdad la definición de! produ cto dr dos números com plejos. <4; División. Para expresar el cociente de dos números complejos como un solo número complejo, utilizamos un proceso análogo a la racio­ nalización de un denominador con radicales en una fracción (Art. 2.14}. En este raso, utilizamos el conjugado del denominador en lugar del fac­ tor de racionalización. Asi tenemos a 4* bi c 4- di

a 4 bi c c 4- d i c a c — ad i í*

— di — di 4• bei — b d r — d*i*

[ac + b d ) 4- ( b e — ad\i r*

4*

d s

173

O p e r a c io n e s fu n d a m e n ta le s

a r b: c + di

ac — bd c* 4- d*

be —ad tr + d-

c + di

i,

0,

sendo esta última igualdad la definición d e i cociente Jr dor números com piejos. Al efectuar las operaciones fundamentales con números complejos, se recomienda no utilizar las definiciones anteriores como fórmula En iugar de esto, se deben usar los métodos empleados en la obtención de estas de­ finiciones. como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Efectuar la operación indicada en cada una de las si­ guientes expresiones y dar el recitad o en la forma canónica: ¡a ) (b ;

3 + 2 V — 2 — 2 : V — 3 — 1» + 2 » — 4. {2 + 3 fj (2 — 3*; (1 + 2 i) . so l '. cion .

(a ; Siempre que sea necesario expresamos primeramente todos los términos imaginarios en la firma b i . A.Ú tenemos.

3

- 2 ^ —2

2 ( V ^ S — 1; - 2i — 4 = 3 - 2V2¡¿

2 (V 3 » — 1 ) 4 -

2« — 4 = 3 4 2 V 2 i — 2 V 3 ¿ 4- 2 - 2» — 4 = (3 - 2 — 4 ) + ( 2 V 2 — 2V '3 4- 2 )t = 1 4- (2\/2 — 2\r 3 4 -2 )» . (b) A<111 i los dos primeros factores forman un producto notable í Ar­ tículo 2.6) y podemos cstriblr (2 I 3») {2 — 3 i ) ( l 4-2/;-

(4 J( i * ) ( l 4 2i)= - (4 13(1 4 2i) 13 4 26».

91

I J J ( l 4 2i)

Ejeni|>lu 2. Calcular ( V 3 — i)* ulili/ando el teorema del binomio y expresar el resultado en la forma canónic a solución . Al desarrollar por el teorema (1(4 binomio consideraremos a i como una literal ordinaria y, ai final, reemplazaremos las diversas po­ tencia-. de i por sus valores. Así tendremos:

(3'ó

i)•

(3V,)“ f6(Vó)*(- i) 4- 15(3V,)4{ «¡9 4 20(3Vi)»( -i)» I- I5 (3 'ó )*(- « ) « + 6 ; s ,» ) ( — I ( ,'5 •* 3» — (, •3aV'3i 4 15- 3*t* — 20 •3V^3s» 4

ir»-3i 4 6 V 3»5 - i'

27

4

6 0 V 3 Í 45

I

4 45

6V 3i

34 V*3í (27

135

135

I ) I ( —5 4 V 3 4- 6 0 V 3 — 6 V 3 ) i = —64.

Nóten* que hemos minado * También observemos que V'3

«‘ * i

i c i"

i ‘ •ia

i n:*ulta ser la raíz sexta (le

í7 ¡ — l. 64.

274

N lim en» o unpiejos

Ejemplo 3.

E xp resar----------------------— en la forma canónica de los K l—« 2 + 2i números complejos. solución . Aquí operaremos separadamente con cada una de las frac­ ciones. Aplicando el mismo método que ha conducido a la definición del cociente de dos números complejos, aquí multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Así tenemos:

(1 + 0(l+¿) _ 1 + 2 i +

? _ 2¿ ( 1 — * 5 ( 1 + i) 1— r 2 ~ (2 — ¿ ) (2 — 2i) _ 4 — 4» — 2r + 2 r _ 2 — 6i (2 + 2¿)(2 — 2») 4 — 4r* 8

1+ « 1— i 2—i

2

2¿

+

£

3 .

4

4*

1+« 2— i . (\ 3 \ 1 , 7 . Por lo tanto ----------------------- = « — I --------- : 1 = ------ + - i . I — í 2 + 2i \4 4 / 4 4 E JE R C IC IO S. G R U PO 26

En cada uno de ios ejercicio* 1-8, calcular los valores reales de * y y que cum­ plen coa la relación dada. 1. — 3». 2 . 3* - 2>> - 6 + 4i. 3. * 4 3y 4 ( 2 * -3 y — 9 ) i - 0. 4. 2 * - y 4 (3y — 2 * ) » - 2 — 2i . 3 . (* 4 yi)* . 3 — 4i. 6 . (* — >0 * ------- 8 — 6 í. 7.*» 4y 4 (2y * ) í - 2 i. B. #« 4 y» — 2 4 (* 4 3y — 2)1 - 0. E n rad a uno de lo« cjrn icio» 9 -3 4 , «ar el resultado r n 1a form a canónica.

9.

(I

II.

—

'

4

V —16.

V -16a» I í V

4a*

17. (3 4 2í){3 — 21}» 19. (I I i )(l 21. (V 3 4 22. ( V - 1 4 23. ( 1 — 0 * . 5

26. — :i. /= 3

50 l

V ^ 4 ) — (3 — V = 3 ) .

13. V —<** 4 - V ^ 4 a a — í V 2 3 16.

la* operac

i) 4_(3 — 2i). 10. (4

4

<2 t-

13.

rfcrliiar

V

V-

12.

indicada» y rxprr-

<J •70. (3 4

2 i) — ( 6 — 4t).

14. 2\/^36 — V —Í 5 4 7. 9a» if-

27.

18. (4 20( 1 4 30.

2 — \T_ Í H V ' — 3 2 V ¿XV^ í »•

ión*»

10(3 20

\ V V

I 4f). (3-

0 ( 2 í)(7 i).

2 4 \ f ■ I). 24 v 3). /

i-iw - ”

\Í2 Viy

( - r + *3 28. ------ . 2— »

t

O

Representación rectangular

33. ( ! + ¿ ) - > — 35. Demostrar que el número complejo — 7x | 12a* — 8 * — 8 - O. 36. Demostrar qur rl número cutnplrjo ecuación drl ejerricio 35. 37. Drmoilrar que cada um» dr los

175

H, I 4- V 3i ra una raíl de la ecuación 1

V S» también ci uru» ral* de I.»

número» complejo» — V6 4-

Y

*on una ral* cúbica de la unidad. 38. Drmoilrar que cualquiera de la* tina ralee» cúbicas complejas dr la uni­ dad, menrionadnii en el rirrcieic» 37, e* igual al cuadrado de la otra. 39. I’or fa» toruución, obtener luí cuatro raicea de la ecuación x* 16 — 0 y demostrar que tu «unía ea igual a cero. 40. Demolírar que el número complejo a + b i r» igual a cero i¡ y aólo ai a — 0 y b — 0, 41. Denioilrar que la aurna de cualquier número complejo con su negativo ea igual a cero. 42. Deinoalrar que la opomclón dr realar un número complejo s, de olio nú­ mero complejo xa ea equivalente a la operación de Mimar «„ al negativo de i v 43. Si n y A encero» |K>ait¡voi laica que « • U - ra, en donde m — 1, 2 ó 3, demostrar que i* ■» i". 44. Si lauto a como b ton número» |»uaitivo», drrnuilrar que • \/o"» — b b o u

- * V 3 j, (—VV){—V —fc) - Vübi, V —«(—v ^ é ) - Vfló. 45. Obtener deíüuciona para la suma. diferencia, producto y cocieate de do* números imaginarias puros Su y di. en forma análoga» a Las definiciones dadas pan» números complejos s + b i y c + d i ¡Arl. 8 .3 ). 46. Si el número complejo c -f d¿ # 0. demostrar que d + que, por tacto, el resultado obtenido en la definición del cociente de dos número» complejos ( A n 8.3} es válido. 47. Demostrar que el conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la turna de dos conjugados. 48. De roa i trac que el conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de sus conjugados. 49. Demostrar que la suma y el producto dr dos número» complejos conjuga­ dos producen números reales y que su diferencia es un número imaginario puro. 50. Demostrar que si la suma y el producto de ¿os números complejos son números reales, entonces dichos complejos ton conjugados.

&4. R E P R E SE N T A C IO N R EC TA N G U LA R Hemos visto anteriormente que los nútnrros reales pueden represen­ tarse geométricamente como puntos en una línea recta (Art. 3 .7 }. Pero tratándose del número complejo x + y», se hace necesario representar tanto al número rral x como al número imaginario puro Esto puede haierse usando un sistema de coordenadas rectangulares (Art. 3.8), re-

176

Números complejas

presentando en el eje .V a los números reales y en el eje Y a los números imaginarios puros. Así. como se indica en la figura 25. el número com­ plejo x +■ y: queda representado gráficamente por rl punto P, el cual está a una distancia de x unidades del eje Y y a una dislanc:a de y unidades del eje X . Ya que el conveno de signos para rl sistema de coordenadas rectangulares dehe conservarse, entonces rl punto P tiene romo coorde­ nadas rectangulares al par de números te ale i (x .y ). Bajo esta base ohtrnemos los puntee P u P P 3 {fig. 2 5 J que representan, respectivamente, a los números complejo» 2 — 3t. 1 4 - 3¿, 2i. S e acostumbra referirse al eje X con el nombre de e je d e ios número* realt s y al eje )' con el dr e je de los núm eros im agínanos.

Debido a esta representación, el número complejo x 4 yi, que dijimos sr llamaba la forma canónica de un número complejo (Art. 8 .3 ), ahora puede también recibir el nombre dr ¡orina rectangular. K*tr último tér­ mino t s particularmente conveniente cuando sr desea distinguir entre la representación rectangular de un número complejo y su representación polar, que estudiaremos en ej artlrulo siguiente*.

Kcprvsentiición rectangular

177

Nota I Va que los mimen» reales non de una naturaleza diferente a la A poi f, equivale a dar a O A un giro de 90° alrededor de O en sentido contrario a las manecillas del • reloj, dr* modo de que queda en la posición O B, en el lado del eje Y, rrB presentando el pumo H la cantidad / ; X I = j. Análogamente, aplicando / \ A\ a <)f!, obtenemos el segmento dirigido - i 1u 'i O C en el lado negativo del eje X . en \ : \ v donde el punto C representa la canti­ S —_ dad / X ; = y . De la misma manera, D J* aplicando ) a O C , obtenemos O I) m el Lulo negativo del eje Y, representando Fio. 26. el punto I) la cantidad / '< r = f . Fi­ nalmente, aplicando ; a O D , volvemos a la (rosetón inicial O A, lo que significa que el punto A también representa a la cantidad j X j* — }*. Ahora podemos determinar la naturalr/a del operador j considerando las diversas posiciones que toma el segmento unitario dirigido O A en el «vudio anterior. Ya que A reprrs**nta I en el eje X , C representa — I. es decir, y = — 1. Análogamente H representa ; en el eje Y. entonces D representa —j , es de* ir j 3 ). Para el punto A tenemos también y = I. Pero todas estas relaciones son precisamente las propiedades de la unidad imaginaria i, por k» tanto el ojicrador j y la unidad imaginaria i son idén­ ticos: rsto explica por qué los mimen» ¡marinar ios puros se representan por puntos rn **1 eje Y. Oonvdrrrrnos ahora la rr^rzif R/coon g to m rln ca d» ¡a ¿urna d e dor Hiintrroi com p lejoi. Krpresentemm con k» puntos / ',¡a, b ) y P ~ (c.d) 'os números complejos a + hi y e -F di, respectivamente, romo #• muestra

17B

Número» complejos

en 1h figura 27. Unamos cada uno de estos puntos con el origen O y completemos t:l paral elogramo O P tPPt «pie* tiene a O Pi y O Pt como la­ dos adyacentes. Sean A, fí y C, respectivamente, los pies de las perpen­ diculares bajadas de Pt , P u y P al eje X , y trácese P J ) perpendicular a PC. Por geometría, los triángulos rectángulos O P JL y P tPD son iguales resultando OA P%D HC y AP* = DP. Entonces tenemos: O C = OH \ ü(¿ = OH + P XD = OH - OA

,2 + c.

CP =» C P d DP = M\ I AP, = b f d. Por tanto, el punto P representa al número complejo (a -1- c) + (b ~ d )i, que es la suma de los dos números complejos a I- b¡ y c + di. Para efectuar gráficamente la sus­ tracción de un número complejo de Y otro, digamos c +- d i de a -f* bi, suma­ mos los números complejos a bi y — c — di, usando el método que acaba­ mos «le describir para la adición. Se deja como ejercicio trazar una figuro análoga a la figura 27, que represente la diferencia «le dos números complejos «lados. nota 2. Quien en física haya estudiado la suma de dos vectores por medio de un paraldogramo. reconocerá que esa operación es idéntica a la representación geométrica de la suma de dos números complejos. Se nota entonen que los números complejos y los vectores están intimamen­ te relacionados. MÓ3 adelante trataremos este pumo (Art. 8 .8 ). nota 3. La representación geométrica del producto y el cociente de dos números complejos, puede hacerse rn coordenadas rectangulares por medio de construcciones geométricas especiales. Sin embargo, como se muestra en el siguiente articulo, estas operaciones se estudian con más facilidad usando otro tipo de representación, conocida como la forma polar de un número complejo.

8.5. R EP R ESE N TA C IO N POLA R Ahora introduciremos la forma trigonométrica de ios números com­ plejos, que presenta cieñas ventajas especiales sobre la forma rectangu­ lar. En la figura 28. sea P el número complejo x +■ yi. Tracemos el seg­ mento O P que une P con el origen > representemos su longitud con r.

Representación polar

179

Tracemos la perpendicular PA de P al eje X , y llamemos 0 al ángulo POA. Entonces, por trigonometría .'Apéndice I ) , en el triángulo rectán­ gulo OAP tenemos: (1 )

x = r eos 0,

{2 )

r = V jt ‘ r y*t

(3 )

tan 0

x

}

y = r sen 6, r > 0,

x^O .

De la relación ( 1 J podemos escribir (4 j

x + yi = r(cos 0 + i sen $ ) .

El segundo miembro de (4) » llama la form a polar del número romplcjo. L a longitud r se llama m ódulo o t alar absoluto del número comple­ jo y es siempre una cantidad no negativa cuyo valor está daco por (2 ). El ángulo 0 se llama am plitud o el argum ento del núiiK-m complejo y, a menos que se especifique kj contrario 0 quedará restringida al dominio 0 < S < 360°. nota 1. El módulo r se llama también raior absoluto (Art. 2.4) del número complejo y podemos escribir r = |x + iy|.

Para un número complejo particular, el argumento 0 tiene un valor único que es no negativo y menor que 360°, y que puede determinarse por las relaciones ( I ) . También puede determinarse por la relación (3) y el cuadrante a que pertenece 0. Observemos que la rrlarián (3) tiene la restricción x / 0. Si x 0 el número complejo x yi toma la forma de un número imaginario puro, de modo que ti = 90° si y > 0 y ó = 270° si y < 0. Es evidente que un número complejo y su representación gráfica quedan determinados en forma única para valores dados «Ir r y ti. En este artículo y en el siguiente consideraremos las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación de números complejos •lados en la forma polar. Por tanto, si nos dan números romplcjos en la Inrma rectangular i*s muy importante saber obtener correctamente sus formas polares. Veamos un ejemplo. Kjrmplo I. Obtener el módulo, el argumento y la forma polar del número complejo 2 I 2». molucion. Puní reducir la posibilidad de error, siempre es preferible empivai por representar gráficamente el número complejo dado, como »r muestra en la figura 29. Entonces su módulo es

,

W

+ 7

Va * 4 I

2\r 2,

Números complejos

IHO

Para el argumento 0 tennno»

Uin 0

y /»f *= 2/—2 =

y

1,

de donde, ya que H c» un ángulo del segundo cuadrante, resulta H ^ I3 5 2. La forma polar de — 2 -♦* 2i es, pues, 2Vr2(co» 135° 4- í sen 135°). (Jomo comprobación, podemos cal­ cular las funciones trigonométricas que aparren» en esta forma polar y ver que se obtiene la forma rertangulai dada. Esto se deja torno ejercicio pnru el estudiante. Ahora consideremos el |ir(Hlutto de dos número» complejos en la for­ ma polar, Tendremos: j r i (ro s H, f i sen ;Ur( (cos 0. f » a e n 0 v)] r,rífeos H eos tí-, f i roí 0, sen l9t I i sen <9, rm ti, I r sen 0, sen V,) r,»r*u[ Jco» 0, eos 0 4 - sur tí, sen í9e) - i(sen tí, ros tí¡ I t os 0, sen fit ) | r1ri[oo$($i + 0*) i sen {tí: 4- 0a)), recordando las fórmulas para funciones trigonométricas de «urnas de ángulos (Apéndice I). Enuncian*.*»* este resultado en el teorema siguiente: Teorema 1. E l m ódulo d el produ cto d' dtu número* com plejos es igual al produ cto de su* m ódulos y e l argum ento d e l producto t* igual a le suma dr los argum entos. Corolario. E l m ód u lo de i producto d e iré* o m ar números cumple jos ts igual al produ cto d e los m ódulos dr ¡os {a d o res y *1 argum ento del producto es igual a ia sum a d e los argum entos dt los factorr«. K j r m p l o 2. Cale ida i el produrto de It* números complejos 3 'eos 4 5 ' -4- i sm 45c ) y 2 feos 30° f i sen 40o » indicando gráficamente el ptoceso.

*

soli ckin . Por el Teorema 1. tene­ mos: módulo del producto = 2 * 3 = 6. y argumento = 45* - 30" = 75". Por tanto, el producto en la fonna polar « el número complejo 6 1eos 75° + i sen 7í»: |. Ian iCMdtado- se muestran en b figura (II en donde lo» punto» /*,.

Representación polar

IBI

P y P representan el primer factor, segundo factor y producto, respec­ tivamente. Consideremos ahora el cociente de dos números complejos en furnia polar. Tendremos: r, |cos 0 t + ssen tfit ri r..(cosé t s e n f ¡) r2 eos 0, eos 0 , — rs _ rt eos 0, eos 0 ¿ r+

eos 0, 4- i sen ^ eos 9~— i sen üz eos + i srntf= eos — i sen 8; i eos 6, sen 0Z i sen 0, eos 4 - — i sen5, sen 9. c o r 0 t — r sen' í : sen 0, sen »- -f i {ten 9 , eos 0¡ — eos A, sen 6S) eos3 0» + scn~ 9~ = 1

- — Í C M ( * t — » , ) + i i m ¡ í , - » „)],

u |»or las fórmulas de las funciones trigonométricas para diferencia de án­ gulos f Apéndice I ) . Enunciamos este resultado en el teorema siguiente: Teorema 2. E i m ódulo d el cocien te d e dos números com p lejos es i"ua/ a i m ódulo d el dividen do dividido entre e l m ódu lo d el ¿irisar, y la am plitud d t l rocíen te es igual a la am plitu d d el d iz id m d o menos la del divisor.

Ejemplo II. C alcular el cociente indicado y expresar el resultado en l.i 1orina rectangular: 4 (eos 7j ° I i sen 7 5 °) + 2(cos 4 5: s o l u c ió n .

t sen 4 5 °).

Por el Teorema 2,

1(00175° 1 i sen 75°) ! . sen IT» I

-(ro s (7 3 °

4 3 °)

2 (eos 30° - i sen 30°

i sen (75=

15a) |

V 3 + ».

Sr deja como ejercicio la interpretación geométrica. nota 2. Si l.i amplitud de un número complejo es un Angulo notalile tal como 10 ó 45°, o un múltiplo de estos ángulos, entont es la forma Im>l.ii puede transformarse inmediatamente a la forma rectangular, y vi» i eventa Pero para otros ángulos, debe utilizarse una tabla de funciones trigonométricas naturales (Apéndice I I) .

I.JMUÜtlIOS. GRUPO 27 lín l ii I.i uno «Ir loa rjerrlcu*» t ') repiMfiitur geoiuétricanirnir rl número rom* l»l* Jo Hndn. tu con|vig»do y «o nritutlvo

Números complejos

182

1. 1 4- 3i. 4. 4 — 2t.

7. V —9 4- 1.

3. — 1 — 2i. 6. 5 4 9. 2»— 7.

2. —2 4 2». 5. 3«. 8. —3.

En cada uno de lo* ejercicios 10-23 efectuar las operaciones indicadas tanto al ge braíc;miente como gráficamente. 10. (1 — 0 4 (2 4 3 0 H . (3 + 2«) 4 (— 2 — i). ____ 12. ( — 2 — V = 4 ) 4 (5 — 2«). !4 . { — 1 4- 2Q — (2 — 3Q.

(4 4- V —9) + (1 — V — 16)

13. 15.

(3i 4 2 ) — (3 4 2«).

lfi (6 4 y / —~9) — ( 3 — V — 4 ). 17 (3 4 2 0 4 5. 18. (S 4 2r) — 5. 19. ( 2 — 7 0 + 4¿ 20. (5 4 i) 4- (— 3 — 2 0 4 (I 4 3 0 21. (2 — 4 0 4- (6 4- i*) + (— 7 — *).

22. (8+ i)-*- (1—30—(6—20. 23.

(4 — 2 0 — (2 + 0 + (— 2 — »).

En cada uno de lo» ejercicios 24-32. calcular el módulo y el argumento y hallar la forma polar del número complejo dado. 24. 1 4 - í.

25. — 2 4- 2 V 3 ¿

26. 3 — J V § í .

27. 30.

28. V 2 4 - V 2 '. 31. — 4 — 4 V 3 í.

29. — 7. 32. 3Í.

— V 3 — í. 2 V 2 — 2 V 2 *.

En cada uno de Jo» ejercicios 33-36, calcular el producto indicado, utilizando el Teorema I del Art. 8.5, y expresar el resultado en forma rectangular. 33. 2 (eos 30° 4- i ten 3 0 ° ) •3ícos 60c + 34. S lc o s íS * 4- í sen 4 5 *} • V é te o s 90c 35. 4{cos I8f>" 4 t sen 180“) •Vi(cos30° 36. (eos 20° 4- * sen 2 0 ’ ) •4(cos 100- 4

i sen 6 0 ° ). 4- » sen 90a ). 4- * sen 3 0 a). i sen 100°).

En cada uno de los ejercicios 37-40 obtener el cociente indicado, usando el Teorema 2 del Art. 8.5, y expresar el resultado en forma rectangular. 5 (eos 135a 4- >srn 135a ) 3(cos 130a - .s e n 130a) 38. 37. eos 45° 4- i sen 4 5 a 2 (eos 70° 4- i scn70e ) + (cos 70a 4- i sen 70* ) 6 (eos 220a 4- 1 sen 2 2 0 a} 40. 39. 3(eos 4 0 a - . sen 40a ) * ' ” 2 (eos 5 0 “ - 1 sen 50“ ) ’ 41. Mostrar cómo puede generalizarse el método para obtener gráficamente la suma de dos números complejo», al caso de la suma de tres o más números complejo*. 42. Construir una figura que muestre el método gráfico para obtener la dife­ rencia de dos números complejos. Explicar detalladamente cada paso como se hizo en el problema análogo de la adición (Art. 8 .4 ). 43. Si el punto P , representa un número complejo y el punto P, representa el negativo de ese número, demostrar que el segmento de P ,P 2 pasa por el origen O y queda dividido por O en dos partes iguales. 44. Demostrar que si un número romplejo es igual a cero, entonces su mó­ dulo es cero, y recíprocamente. 45. Demostrar que un número complejo y su negativo tienen rl mismo módulo. 46. Demostrar que un número complejo y su conjugado tienen el misino módulo.

Potencias y ralees

183

47. Demostrar algebraicamente que el módulo del producto de dos números complejos es igual ai producto de sus módulos. 48. Demostrar algebraicamente que el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de sus módulos. 49. Demostrar que s: dos números complejos son iguales, entonces sus módu­ los son iguales pero que el recíproco no es necesariamente verdadero. 50. Demostrar el Corolario del Teorema 1 (Art. 8.5). 51. Multiplicar cualquier número complejo dado en la forma polar por la unidad imaginaria i dada en la forma polar y mostrar que el argumento del pro­ ducto excede al del número complejo dado en 90*. Comparar este resultado con la definición del operador dada en el Art. 8.4. En cada uno de los ejercicios 52-55 r, y z2 representan, respectivamente, los números complejos a , 4- y,i y x2 4 y,i. 52. Demostrar gráficamente que el módulo o valor absoluto de la suma de dos números complejos es igual o menor que la suma de sus módulos o valores absolutos, es decir

«i + *2IS Kl + *slSugerencia: La suma de do* lados de un triángulo es mayor que el tercer lado. 53. Demostrar gráficamente que el módulo o valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es mayor o igual que la diferencia de sus módulos o valores absolutos, es decir

l*i — **1 2= l*i — kal54. Demostrar algebraicamente el resultado del cjerricio 52 (véase el ejemplo 2 del Art. 6 .6). 55. Demostrar algebraicamente el resultado del ejercicio 53. (Véase ejercicio 11 del grupo 23, Art. 6.6.)

8.6. P O T E N C IA S Y R A IC E S Ahora consideraremos las dos operaciones algebraicas restantes, la po­ tenciación y la extracción de raíces, aplicadas a números complejos. Ya que la potenciación es un caso especial de la multiplicación (Art. 1.3), podemos utilizar el Teorema 1 del .Art. 8.5 referente a la multiplicación de dos números complejos. Como consecuencia de este teorema tenemos que si los dos números complejos son iguales a r(cos $ + i sen 0 ), enton­ tes su producto está dado por la relación [r(cos $ + i sen $)}* = r*(cos 20 + í sen 20). Es fácil también ver que [r(cos 9 + *se n 0 )]3 = r9(cos 30 + i sen 3 0 ). l/i que nos hace pensar que para cualquier número entero y positivo n tendremos (I) [r(co«0 + »»en 0)]* r"{cosn0 +• i sen ni?)

Números complejos

\M

I«r relación ( l ; «• llama el teorem a dt De M o h r e que vamos .» de­ mostrar usando el método de inducción matemática {Art. 7 .2 ). lis obvio que la relación »*s cierta para n 1. Suponiendo ahora que sea cierta para n k, tenemos

(2)

[r(ros0 i i sen 9\ k r*(co» k9 ■ i sen k9).

Multiplicando ambos miembros de (2 ) jmr r(co s0 + i sen 9 ), se ob­ tiene (3,i

r (eos 0 -f a srn ^

r

*

H[cos(A 4 1)0 I i sen (á + Ii0|,

donde el segundo miembro de (3 ) es una consecuencia del Teorema I del Ait. 8.5. Pero la relación (3 } que se obtuvo directamente de la relación (2) es la misma que se obtiene de la relación ( I ) cuando n si* reemplaza por t I I. Por tanto, liemos demostrado que si se supone que (1) es válida para n — k, entonces también es válida para n k 4 1 . Y como (1) es válida para « I, entonces vale para rt 2 ; m vale para n 2, entonces sale para n 3, y asi sucesivamente para todos los valores en­ teros y |Misil ivos de n, tal como se quería demostrar. De aquí el teorema siguiente: Teorema 3. (T e o r e m a de D e M a tó te). S i n es cu alqu ier núm ero en­ tero y positivo, y d r y son. respeciv.am tn te, ti m ódulo y ti argum ento o am plitud de cualquier número com plejo, entonces [ric o s0 +- í sen #)]• = r"(cos nff + i sen n 0 )t es decir, si n es un entera positivo, e l m ódulo de la enésim a potencia de un núm ero com p lejo es igual a la en tú m a potencia d el m ódulo de ese num ero, y la am plitud d e la ené'im a poten cia es igual a n veces le am ­ plitud d el número. Ejemplo I. Calculai [ V ^ — r) * toando el Teorema de De Moivre y expresar el resultado en la forma rectangular. SOLUCION. Este problema es el misino que se resolvió por medio del teorema del binomio en el ejemplo 2 deJ Art. 8.3. Comparando con ese ejemplo podremos apreciar la ventaja de utilizar la forma polar de 1» números complejos. Primero expresaremos V 3 i en la forma polar v luego aplicaremos el Teorema de De Moiv re. Asi tenemos [ V T — i .- = [2< c« 330° - r sen 330° \ Por el Teorema dr De Moivre = 2*(cos 1980° + i sen 1980° . por trigonometría =■ 64 (eos 180° + i sen 180°). *» 6 4 v- I + ü i = —64.

185

P o t e n c ia s y ra íc e s

Consideremos ahora la radicación o extracción de raíces de un núme­ ro compiejo. Sean n un número entero y positivo, r un número positivo v r1'" su raí* principal en ra m a que rs también un número positivo único i Articu­ lo 2 .13*. Consideremos un número complrjo con módulo r1*'* y amplitud . / e 1\ 8 'n de modo que su forma polar sea r1'* ( eos - 4- i sen - ) . 1.a enésima

V

r*

*/

potencia de este número se ni r(cos 0 4- i sen H según el Teorema 3 •Teo­ rema de De Moivre es decir. r{cos 0 4- i sen 0 1 Extrayendo la rair enésima en ambos miembros tenemos (4 :

[n eos H 4- i sen

= r,,#^ co s- — rs c n ^ V

lo que significa que el Teorema de De Moivre es también válido para el exponen te 1/n que representa el reciproco de cualquier entero positivo. La fórmula (4) asi obtenida, nos da solamente una raíz enésima del número complejo. Ahora veremos romo pueden obtenerse todas sus raí­ ces enésima*. Krcordcmos que los valores de la» funciones trigonométrica* de un ángulo cualquiera no *• «Iteran si el ángulo aumenta o disminuye en un múltiplo entero positivo de 360°. Por tanto, para cualquier miníe­ lo complejo, si k es un número entero no negativo podemos escribir r(cos 0 4- i sen 0)

r eos {0 I k •360 ) 4* i sen [0 I k •3 6 0 ’ l |,

en donde el segundo miembro «s llamado a voces la ¡orina p olar com ple­ ta o f-rrurat del número complejo, Extrayendo la ral/ enésima en ambos nurmbriw «le acuerdo con la fórmula ( 4 ) , tenemos (3)

0 4- k •360= , tí k •360° s ---------I i sen ■ n n Si en (5) lia« cutos k 0 , 1 , 2 , 3, . . . , w I sucesivamente, obtenemos las siguientes n raleo enésimn» distinta» de «•(eos0 I i -u-n V). [rfcosfl I í jen tí)

r

t/-[(r o

]■

Para 0.

dZ-Tcos ■4 »sen h

:]■ 360° 1

I 360 I

i ven

« J'

186

.

Números complejos

0

xtr

$+ 2-360°.

0 + 2 -W 1

k = 2,

•l/" e o s ----------------- + i se n -------------------

, , k = n — 1,

w .r « + ( « — 1)360= , . H + ( « — 1)360°1 r,/B eo s------ 1--------- ¿--------- H s sen------- ---------- ¡-------

L

«

L

«

»

t

J'

«

J

Kstas n raíces son todas diferentes debido a que los argumentos o am­ plitudes de dos cualesquiera de ellas difieren en menos de 360°. Además, no'hay más que « ralees distintas deludo a que al asignai a k valores ma­ yores que n — 1, obtenemos de nuevo las misinos raíces. Así, por ejemplo, para A n, la raí/ toma la forma r '^ c o s ^

-f 360' ^

i sen ^ - + 360°

que rs idéntica a la raíz obtenida para A 0. Además observamos, que ya que todas las n raíces tienen el mismo módulo r'/" y que para valores sucesivos de A las amplitudes difieren en 360° / n , entonces la representación unifica de estas raíc:i*s consiste en pun­ tos igualmente espaciados en la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es igual al módulo común r,/n. Los resultados anteriores se rt-umen en el teorema siguiente: Teorema 4. T o d o número {ex cep to el cero )t r e d o com plejo, tiene exactam ente n raíces enésim as diferentes. S i el m ódu lo y el argum ento d e un núm ero cualquiera se representan con r y í , respectivam en te, entonces ¡as n raíces estén dadas por la ex­ presión.

+ A* 360° , .

0 -*-A-360*1

rl n coa--------------------- p f s e n-------------------

L

"

"

J

en donde rifm representa la raíz enésim a principal d el núm ero positivo r, y k lom a sucesivam ente los valores 0. 1. 2 , __ , (n — 1). G ráficam en te estas raíces son ¡os vértices d e un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen y d e radio r>/«. Con esto se ha demostrado que el Teorema de De Moivre es válido cuando el exponente n es cualquier número entero y positivo o el recípro­ co de cualquier número entero y positivo. Puede demostrarse que también es válido cuando n es un entero negativo cualquiera o un número racional cualquiera. Las demostraciones para estos dos últimos casos se dejan como ejercicio.

187

Potencia» y raíces

nota 1. El Teorema de De Moivre es válido para cualquier expo­ nente n, real o complejo. La demostración para valores de n no raciona­ les es un tema fuera del alcance de este libro.

Ejemplo 2. Calcular las cuatro raíces cuartas cié — 8 + 8V Si y representarlas gráficamente. solución*. Primero obtendremos la forma polar del número complejo dado. Resulta:

— 8 - 8 V3¿ = 1 6 (eos(1 2 0 ° + isen 1 2 0 °;, y usando la forma polar general, tenemos —8 + B V l i = I6[cos(120= + Jfc-360=J + i sen [120° + 4 - 360°)]. Por el Teorema 4, la expresión para las raíces cuartas es 1 2 0 ° + ¿ -3 6 0 ° , . 120= - k -3 6 0 ° ---------- -------------- 1- i sen ----------- -----------= 2[cos (3 0 ° + k •9 0 °; - ¿sen (305 - k •90o» . Asignando sucesivamente a 4 los valores 0, 1, 2, 3, obtenemos las cua­ tro raíces pedidas: y 2 (eos 110° + i sen 30°) = V S I i, 2 (eos 120° + ¿sen 120°) = — 1 b V 3 i, 4 = 2, 2 (eos 210° + i ten 210°) = — V s 4 = 3, 2 (eos 300a -I- i sen 300°) = I

i,

X

P%

V3».

Estas raíces están representadas grápin 3] íicainentc en la figura 31 por los pun­ tos Pc, P i, Pt, P 3, en donde los subíndices coinciden con los valores asignados a k. Estos puntos están en la circunferencia con centro en rl origen O y radio 2, que es d módulo común a las raíces. Además, se observa que estos puntos son los vái tires de un cuadrado inscrito en el circulo. Ejrtnplo 3. Calcular todas las raíces «le la rcuai ión x* — 1 = 0 usan­ do dos lodos: (a) por el Teorema de De Moivre y (b ) algebraica­ mente.

IKK

Núm eros complejos

.s om « ion . (¿i) I,.i solución do «*.»»;» ecuación requiere la detmninu(ión do las trox raicé» cúbica» de la unidad. l*or tanto, procederemos como en el ejemplo anterior. Así tenemos I

I (eos 0 o I ím ?i i 0 6 J

eos k •360° f í «*n A•360°.

Por el Teorema I-, la fórmula «pie da las rafees cúbicas i-s «os

A •360° 3

. k •360° i sen----3

co«A*l 2l )

- ¿sen k • I2U°.

l.as tres raiivx cúbicas serán A

0,

eos l>° 1

i «*n 0°

1.

1 V i roa 120° 1 r «en 120r; = - - - 1 0Sm T ’• V:\ 1 k — 2. coa 240 4 i sen 240" — — ». 2 2 (I») I.a ecuación Je* I 0 puede resolvente inmediatamente por factorización. Asi leñemos (x I >(x* -I x 1 I > I). El primei factor da la raí/ x 1. Igualando a cero el segundo factor y utilizando la fórmula de la rettación de segundo grado, tenemos A = 1,

—1 ± Vi —4

1

2

2

V§.

x — --------------------- = ------- ± l ------ r.

2

nota 2. Hemos visto que si aplicamos cualquiera de las seis opera­ ciones del álgebra a los números complejos, el resultado es siempre un número complejo, es decir, el sistema de los números complejos es sufi­ ciente para nuestra álgebra. En relación con ésto se aconseja que el estu­ diante vuelva a leer el último párrafo del Art. 1.4.

E JE R C IC IO S. G R U P O 28 En lo» ejercicio* de e*te grupo los am pliitdí* o arrúmeme* » n ángulo* no­ table* cuya* funcione* trigonométrica» pueden calcularse un el uso de u b b i Lo» resultado» finales pueden pasarse a b forma rectangular o dejarle en ia furnia potar. En rada uno d-- lus ejercicio* 1-12. c a lr jL r !a potencia indiada usando el Troten-a de De Mo¡vre. I.

{2 (cc* 15* 4-

3.

{V 'Stcu s 15' + Í * e n l 5 ') f

4. |2:co»45* - t r n i i ' )|«.

5.

p / s je o r 2 0 ' + iim 2 D * ) }s.

6. (2H (cos 150* + * t m I5 0 ‘ }J».

7. ( I + *)•.

«»ra 15*)]*.

8

2. I y T jc o s 30" - »sen 30’ Jp .

(— I + V3*1‘ -

*

C« — «I"*-

Grupos

189

En cada uno de los ejercicios 13-18, calcular la potencia inriiradj usando :»i fl tto trn u del biroroio; (b ) el TwrwD* ifc l> Moivrr. 13.

( I — V 3 fi» .

16. (%- Vty)r.

14.

17.

(— 1 - í) ‘ -

I - V3i»a-

15.

: V T — i) \

18- (—1 —V3il‘-

Er. cada uno de los ejercicios 19-31. calcular la» raíces «jar se indican y repre­ sentarlas gráficamente.

19. L u I m raíce» cúbica» de — 27.

2a

Las tres ratees cúbicas de B {co s60* + i sen 60 ).

21. L is tres raíces cúbicas de —2 ♦ 2» 8 — HV3». 22 . Las cuatro raíces cuarta» de 23. Las cuatro ralees cuartas de — 4. 24. Las ruatro caires ruanas de 4 - 4 VS». 25. Las cinco raicr» quinta» de 32. 16 16\ * ii. 26. Las cinco ralees quintas de 27. La» seis raíces sextas ce 27i. 28

La» iri» ratees sextas de I f V 3 L

29

La< ocho raíces octavas de

30.

Las ocho raíces octavas de — --------- i.

31

La* nueve raíces nocena» de — i.

I2B -f I2 8 V JÍ-

.

V S. 2

En cada uno dr los ejercicios 32-37 ralrular toda» las raí res de la ecuacióo tf.rtf* litando el T enrrwa i U í)r VíortTc y también »l*rbra»ra/r.er.ir. 32 35. IH. reuní I :19. númrro ID, númrro

* n \ H • 0. «' 1 0. Explicar por qué (Art 8 .6). llrmostrar qur rl entero negativo Demostrar qm rl radotuil fl/if,

33. x- ■ I 0. 34 a1 64 0. 36. a* 16 0. 37. a 1 • 27 - 0. «I número cero rstá excluido en rl enunciado drl leo» Teorema dr lie Moivrr c» válida mando n r» cualquier tn, Teorema dr l)r Moivrr r» válido cuando * M Cualquier

B.7. G R U P O S Km este Articulo da mitos una breve y elemental introducción ul ionrepto di gittpo de gran importancia en las matemáticas superiores. Definición. Se dice que un conjunlo de clementu» forma un grupo con re»pecio ¿i una determinada operación (rrprcwniada pot «•! símbolo n vi n im elementos y solamente ellos, cumplen los cuatro postulado» siguíenles: I C m a d u r a . Si a y h «un dos elementm rtinlmpjieni (no necesaria­ mente diferente* i di I conjunto, entonce» o o b e» un elemento único del i ntijunto.

190

Números complejos

2. A sociatividad. Si a , b y c son tres elementos cualesquiera del con­ junto, entonces [a o b ) o c = a o (b o c) 3. Iden tidad. Existe un elemento e en el conjunto, llamado el ele­ mento identidad, que tiene la propiedad de que para todo elemento a del conjunto a o e. = e o a = a. 4. Inversos. Para todo elemento a del conjunto, existe un elemento d que también es del conjunto y que tiene la propiedad a o d = d o a = c. El elemento a ' se llama el inverso de a. Como una señal de la importancia del concepto de grupo en el aná­ lisis matemático y en la geometría ¡jodemos mencionar que los elementos de un grupo pueden ser no sólo números ordinarios del álgebra sino también matrices, cuatcrniones, vectores, sustituciones, transformaciones, etcétera. Un ejemplo muy sencillo de grupo es el conjunto de todos los núme­ ros enteros positivos y negativos y el cero, siendo la operación de grupo la adición. Así, si a y b son dos números enteros cualesquiera, entonces a + b es un número entero único 'Art. 2 .3 ), con lo cual se satisface el Postulado 1. El Postulado 2 se satisface debido a que la adición es aso­ ciativa (Art. 2 .3 ). El número cero es el elemento de identidad único, ya que cero es el único número con la propiedad de que para todo número entero a , a — 0 = 0 — a — a (Art. 2 .4 ). Por tanto, el Postulado 3 se satisface. Finalmente, el Postulado 4 también se satisface ya que todo número entero tiene como inverso a su negativo correspondiente; es decir, si a es cualquier número entero, entonces a + (— a) = ( — a) + a = 0 (Art. 2.4, Teorema 1). Como el número de elementos de este grupo es infinito, se llama un grupo infinito. Veamos ahora un ejemplo de grupo finito. Ejemplo. Demostrar que las tres raíces cúbicas de la unidad forman un grupo con respecto a la operación de multiplicación. solución .

En el ejemplo 3 del Art. 8.6, encontramos que las tres

V5 \':i raíces cúbicas de la unidad son 1, — Vj> 4- — i, y — y2 ---------i, 2 2 Es fácil comprobar que cualquiera de las dos raíces cúbicas complejas de la unidad es igual al cuadrado de la otra (ejercicio 38, grupo 26, Art. 8 .3 ). Por tanto, si una de estas raíces cúbicas complejas se repre­ senta por
Grupo*

191

multiplicación, comprobando que se satisfacen los cuatro postulados de la definición de grupo. 1. El producto de cualquier par de raíces cúbicas de la unidad es también una raíz cúbica de la unidad. Es decir, 1 X » = « , 1X «’ = <»*, « X *>* = «o* = 1. 2. La ley asociativa es válida, ya que (1 Xo, ) X « 2 = l X (« X a.*) = «,*. 3. Es evidente que el elemento identidad es 1. 4. El inverso de cada elemento es su recíproco, y estos recíprocos tam­ bién son elementos de grupo. Es decir

(Jomo es natural, el producto de cada elemento por su inverso es el elemento identidad I. Como el grupo está formado por tres elementos es un grupo finito.

8.8. V E C T O R E S En este articulo estudiaremos brevemente el tema do vectores que, romo ya hemos dicho (Art. 8.4, Nota 2 ) , está intimamente relacionado con el de los números complejos. En física un vector es una cantidad que posee magnitud y dirección. Son ejemplos de vectores la fuerza, la velocidad y la aceleración. Un vec­ tor puede representarse gráficamente por un segmento de recta dirigido cuya longitud, según una escala adecuada, represente la magnitud del vector. Ya que aquí sólo consideraremos vectores coplanares, es decir, vectores situados en el mismo plano, utilizaremos el plano del sistema de co­ ordinadas rectangulares romo el plano común. Así, como se muestra en la fi­ gura 32, el segmento de recta OP diri­ gido del origen O al punto P representa un vector cuya longitud OP = r indica su magnitud. La dirección 1 del vector está dada por el ángulo í que el seg• En realidad L dirección b da b ttela «|ue forma el ángulo $ ron el eje -V y nobre t ila Re tliitini(urn «|<>n «rtfídoi uno «Ir I «italrt rt OP. o r

192

Nlimero# complejo»

momo dirigido OP forma con l.i paite pomtiva del eje X La calxy.a de Hedía da el sentido de la dirección r indica que rl vector está dirigido de %u ¡tunta inicial u orijir.it O a mi punto ¡inai o tx trem o 1 .a proyec­ ción del verter sol»rr el eje .V, o sea el Memento dirigido O A a , se llama la tomfi'itirnti horizontal, y la proyección *obre el eje o sea el segmento di­ rigido OH y, es l.i com ponentr ver­ tical. Fu» 13, Dada la forma anterior de orientar un vector, con su origen en el origen de coordenadas O , es evidente que queda completamente determi­ nado por l.i posición ile su extremo P. Poi olía parir, según vimos ante­ riormente, el punto /* queda determinado en formu única como repre­ sentación geométrica de un número complejo. En la forma rectangular (Art. 8.1 , representa el número complejo a I yi, en donde x es la componente horizontal y y es la componente vertical di un vector repre­ sentado por el segmento de recta dirigido de longitud \'jc“ + yJ, En la formn polai ( Art. 8.5),/* representa el número complejo r(cosfl I i sen V) en donde el módulo r corresponde a la magnitud del victo» y la ampli­ tud 0 da su dirección con respecto a la parte positiva del eje X Poi tanto, se concluye que ?¡ el origen del sector es el origen del sistema de coor­ denadas rectangulares, el vector queda completamente determinado si se conoce cualquiera de los pares de números (jr. y) o {r.V ], en donde la? literales tienen rl significado anteriormente mencionado Por tanto, se puede designar un vector por cualquiera de esto» dos pares de números. Se dice que dos vectores son ¿guates siempre que estén representados por dos segmento? de recta dirigidos de igual longitud, dirección y sen­ tido. Por lo tanto, cualquier vector a situado en cualquier lugar del plano dr coordenada* |>urde reemplazarse |»or un vector representado por un segmento de recta dirigido paralelo r igual en longitud al segmento de recta dirigido que representa a a, ron el mismo sentido, pero con su ori­ gen en el origen de coordenadas. Entonces podren*»* representar este vector con uno cualquiera de los do> pares de números (x . y: o i r , ( h . C onsÉderenios ahora los vectores a y b con ]o> «•\trrti»os re*pectivos /’, y P peto con el mismo origen O , como se muestta rn b figura 13. I ra­ cemos el segmento de recu P ,P pjr.ilek> y de igual longitud que O P- de modo que el segmento de recta P%P con oiigt-n en P, umbién represente al vector b. El punto V es entonce? el extremo del vector « representado por el segmento de recta dirigido t)P , dt fin ido como la •urna de !c»s vec­ tores c \ b. es decir. .%= a b. Si el estudiante compara esta definición

195

Vectores

con lo estudiado en el Art. 8.4. Fig. 27. observará la analogía entre la adición de vectores y la de números completo». También notanxvs que trabando el segmento de recta P P se completa un paralclogramo. Esto forma la base de .a llamada ley d el patalelogram o para la adición de dos vectores. Ejemplo. Hallar gráfica y analíticamente la suma de los vectores <2( 6, 30* > y ó»'4.6 0 ° ). solución . Para la suma gráfica seguiremos el método que acabamos de explicar. Primeramente (Fig. 34; trabaremos los extremos P ,( 6. 30~)

y P j( ‘\, 50° i de los vectores ciados a y b, rrspmivamente, y luego comple­ ta n-tn os el para lelogi amo de Indos contiguos OP i y OP ¡. Esto no» da rl extremo P del vector suma OP. Por trigonometría, las componentes horizontal y vertical del vector ncntos hori­ zontal y vertical del vector suma OP con 3VÍ3 I 2 y 3 4 2 V 3 , rcspeclivamente. En consecuencia, la magnitud y di arció n , respectivamente, del vector suma OP mui:

r

y¡x¡ 4- r

0

are Uní

y

v

^ {3 V /3 - arelan

> 2 ¡*

3 1• 2 V 3

3V 3 I 2

f (3 4- 2 V 3 )» I l 0 .ri6'.

9.673,

194

Números complejo»

Se dice que un vector rs el negativo de otro vector si ambos son pa­ ralelos y tienen la misma magnitud pero sentidos opuestos. Para restar el vector b del vector a, sumamos el negativo de b con a, es decir, a — b = a + ( — b ), o sea que la diferencia a — b de dos vectores es igual a la suma a — ( —b ) . Por tanto, podemos obtener la diferencia de dos vectores por medio de una suma equivalente usando el método que .u abamos de explicar. En resumen, resulta que aun en un estudio tan breve como el que acabamos de hacer se nota la íntima relación que existe entre los vec­ tores y los números complejos. Esta relación ve aprovecha en muchas aplicaciones, como, por cjrrnplo, en la teoría de rirruitos ce corriente alterna. Las propiedades y aplicaciones de los vectorrs forman un campo muy amplio y de gran importancia, deudo el objeto de los tratados de análisis vectorial.

8 3 . FU N C IO N ES D E UNA V A R IA B L E C O M P L E JA Finaltramos este capitulo con algunas notas breves sobre las funcio­ ne* de una variable compleja. En el Art. 3.3 definimos a y ( runo una función de una variable real. Si x se restringe a que tome valores reales, décimo» que y es una función d e una variable real. Sin embargo, si tene­ mos una relación funcional en la cual la variable independiente puede tomar tanto valores reales como valores complejos, decimos que tenemos una {unción de una variable com pleja. Se acostumbra expresar rita rela­ ción en la forma H)

« '= / < * ) ,

rn donde z = x — y i siendo * y y variables reales e i la unidad imagina­ da. Se ligue que, en general, iv puede escribirse en forma de dos expre­ siones que rontirnen las variables x y y, llevando una de dicha* expresooes coeficientes reales y la otra coeficientes imaginario». El* rihimoa esto rn la forma f 21

» = u (x ,y )

(*,}• ),

en donde tanto u como v son fundones de las variable» reales x \ y, Ejemplo. Si w = x* en donde x = x + yi, brillar la* funciones « ( X ,y) y v ( x ,y ) definidas en la rrlariún ( 2 ’ .

Funciones de una variable compleja SOLUCION',

195

w = z: = (x — yi)* = x : — 2xyi — y* = x* — f

+ »( 2x y ).

siendo

u [ x ,y ) = x * — y9,

y

» ( * , * ) = 2xy.

Ahora enmieWaremas algunas de las diferencias entre las funcione» de una variable real y las de una variable compleja. F.n el Alt. 3.9 estu­ diamos la representación gráfica de la función y = f ( x ) localizando pun­ tos en un sistema de coordenadas rectangulares, utilizando el eje X para valores reales de la variable x y el eje Y para valores reales de la variable y, Pero la cosa varia al tratar de representar gráficamente la función w - j( z ) dada por la ecuación (1 ). En este caso a rada valor de la va­ riable independiente z = x 4- yi, le corresponde un punto del plano *y o plano r (A lt. 8 ,4 ) , con lo cual no queda lugar para re; esentar los valorea correspondientes de la función w. Para resolver este inconveniente hay que crear otro plano de coordenadas, llamado el plano uv, o plano w , de m uerdo con la notación de la relación ( 2 ) . Es decir, del mismo modo que se localiza el punto ¡ = * + yi como un punto con las coordenadas reales (x, y} en el plano z, así se representa el punto correspondiente u +• ni como el punto con coordenadas reales (u , ti) en el plano a». Esto significa que la representación gráfica o geométrica de la función w = /(~) se estudia como una corrrsjxmder.ua m ire puntos de los pla­ nos r y w. Con definiciones y restricciones adecuadas, esta correspondencia se conoce con el nombre de te prese ila c ió n conjotrne y es de gran imj>ortancia en la teoría y aplicaciones de funciones analíticas de una variable com pleja Quien haya estudiado logaritmos recordad que en la relación y = log x. el número x rstá restringido a tomar valores positivos, es decir que sólo se consideran logaritmos de números positivos. Pero en la teoría de funciones de una variable ctjmplej.i *• muestra que también existen los logaritmos de los número* nrgjtivos; de hecho se demuestra que existen logaritmos tanto de números reales como de números complejos. Algo análogo ocurre en trigonometría. En la trigonometría elemental las diversas funcione» trigonométricas están restringidas a valores reales del ángulo. Asi, cu l.t relación y sen x, el ángulo x só'.o puede tomar valores reales y el valor de y nunca puede ser en valor absoluto mayor que la unidad. Desde este punto de vista el ángulo x no tiene significado en la relación sen x 2. Pero si se admite que x puede tomar cualquier valor, real o complejo, entonces esta última relación tiene un significado preciso en el campo de la» funcione» de una variable compleja.

Números complejo*

1%

Existen muchas otras diferencias entre fundones de variable real y funciones de variable compleja, pero los pocos ejemplos que acabamos de mencionar son suficientes pura mostrar que la teoría de funciones de va­ riable compleja ha servido para unir muchos conceptos que anterior­ mente se consideraban desconectados. El admitir que la variable inde­ pendiente puede lomar valores cualesquiera, reales o complejos, conduce a una generalización de un concepto ya que da lugar a resultados más generales cuya existencia sería de otro modo desconocida. La teoría de funciones de variable compleja es de gran importancia en los estudios superiores y es la base para la resolución de muchos problemas de la física maternatii a. especialmente dr hidrodinámica, calor y electricidad.

E JE R C IC IO S. GRUPO 29 1. Demostrar *fu* e! conjunto «Ir lodo» los números, positivo», negativos y cero, forman un erupo infinito con imperio • la operación de sustracción. ¿ Demostrar que el conjunto il*l rjeicicio | do forma un grupo con respecto a ia multiplicación. 3. Demostrar que r) conjunto dr todos los números reales forma un grupo con respecto a la adición pem no con respecto ■ la multiplicación. 4. Demostrar que el ron»unto de todos tos númrros rarionales positivos forma un grupo con respecto & la multipiicacián. '» Deiumirur que el conjunto de todo» los númeroi rtubn.ilrs forma un grupo con respecto a la adición. (i El postulado 1 de la definición de grupo estable» «• qu<- lo» do» elrmento» qur se combinan con I» operación de grupo no deben ser necesariamente dlíercnle», Si lu operoción de grupo es la multiplicación, esto implica qur rl cuadrado dr cuuU|uirr elemento también dd>e ser un elemento de grupo Comprobar rite hecho rn el grupo del ejemplo del Are. 8.7 demostrando que rl cuadrado de cual­ quier elemento del erupo es también un elemento del grupo 7, UrutoMrur que las cuatro ralrcs cuartas de la unidad fonoan un gru|io •on m perto u In multiplicación. B. Uemostrar que todas las potencia* enteras (exponerles positivos y nrgutimm } dr la unidad imaginaria : forman un grupo con respecto a la multiplicación. 9. Demostrar que el elemento identidad e de un grupo es único. S u g r r t n a n : Suponer que hay dos elementos identidad jr demostrar qur drt«n ser idénticos. 10. Demostrar que para lodo elemento a de un grupo, tu inverso a* es único Suponer que c liene do» inverso* y demostrar que clrben ser idénticos F.n los ejercicio* 11-16 1. *.*. o2 representar, las tres iú J u c ji de I* unidad 11 Demostrar qoe I + « 4 0.

ratees

Sagfrneim .

I¿. Empleando el resultado del cjerrido 11, demostrar que ¡I 4- u )1 13 Empleando el resultado ¿el ejercicio 11, demostrar qur (] u5) ' — o.

ton

q u e

1

—

I / ts

4-

1 / ir

*

I

M

D e m o t lr a r

IT» 16

Drroo»irar qur 1 + w - 1/s =■ 0. Si iV e« cualquier número real, demostrar que !a« Irrt r*kr» cúbicas dr .V

0 .

Y ^-Vss5, en donde tjV.V es la rale cúbica principal de S .

197

Funciones de una variable compleja 1 7.

S e g ú n

l < u n id a d

e l

T e o r e m a

4 —

co *

S i

e»

m

4

( A r t .

8 .6 ) ,

la

íó m

u J a

la

r a il

m

k

• 3 6 0 * ----------- +

i s e n

w

e n in a

• 3 6 0 *

-

. .

n

c o r r a p o n d ie n t r

a

4

w

—

c o

. 0 ,

*

1,

e s

.

------------

í

4

—

3 6 0 '

D e m o s tr a r

q u e

d a d

d a d a *

e s tá n q u r

la *

18.

p a ra

■

4

—

r a le e » e!

d e

2 , 3 . 4 ,

e n é s im a s

r e s u lta d o

In i

, b

¡te

f

n

t a ir e *

e n tú m a *

d r

r a íc e *

d e

b

d e l

1 ,

la s

. 2

, . . . .

a

—

I.

d e c ir ,

n ------------ .

u n id a d

d e

s u c e s iv a s

r a le e *

r e s p e c t iv a m e n t e . v ie n e n

e j e r c id o

e n é s im a s

t i,

n

—

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p ( x ,y )

9_ Variación de funciones 9.1. IN TR O D U C C IO N En una relación funcional, como y = f ( x ) , hemos visto que un cam­ bio en la variable x va generalmente acompañado por un cambio en la variable y, y viceversa. Entonces decimos que y varia con x o que x varía con y, y nos referi­ mos a esta correspondencia con el nombre de variación funcional. Existe una gran variedad de formas de variación funcional. Aquí estudiaremos primero ciertos tipos determinados de variación a los que se les puede aplicar el nombre de variación especial o variación propor­ cional. Estos tipos son especiales en el sentido de que siguen una ley o relación determinada que, en general, puede expresarse fácilmente con palabras y en forma de ecuación. Estas clases de variaciones se presentan con frecuencia en geometría y en física. Por ejemplo, la variación del Area de un triángulo guarda una relación fija con respecto a las variacio­ nes de la longitud de la base y de la altura. E n el artículo siguiente vere­ mos los fundamentos para la resolución de problemas en los que inter­ vienen funciones cuya variación es especial. 9.2. D E FIN IC IO N E S Y PRO PIED A D ES La razón de un número y a otro número x, no igual a cero, se defin e como el cociente yf x. Es importante observar que la razón es un número abstracto pues proviene del cociente de cantidades homogéneas. Asi, por ejemplo, la razón de 3 cm a 2 m es 3/200. Se dice que la variable y es directam ente proporcional a la variable x si la ra/ón de dos valores correspondientes cualesquiera de y y x es cons­ tante, es decir, si y fx = k, o sea, si

0)1

y = kx> 199

Variación de fundones

200

en donde la constante k se llama constante de proporcion alidad o cons­ tante d e variación. E jem plo. La longitud C de una circunferencia es directamente propor­ cional al radio r, ya que C = 2r r en donde 2» es la constante de pro­ porcionalidad. Se dice que la variable y es inversam ente proporcional a la variable x si y es directamente proporcional al reciproco de x. En este caso escri­ bimos

siendo k la constante de proporcionalidad. E jem plo. La intensidad de iluminación / sobre una superficie es in­ versamente proporcional al cuadrado de la distancia d entre la superficie y el foco luminoso, es decir. I = k f d \ en donde á es la constante de pro­ porcionalidad. Los dos casos de variación especial que acabamos de ttirncionar com­ prenden solamente dos variables. Pero también se presentan problemas de variación en los que aparecen más de dos variables. En este caso, se dice que una variable ¡a rla conjun tam en te co a dos o más variables si es directamente proporcional a su producto. Por ejemplo, se dice que te varia conjuntamente con x, y y x tú ut = kxyz, en donde k es la constante de proporcionalidad, Además, si u varía conjuntamente con x, y y \}z de modo que a*

•, entonces decimos que te e» directamente proporcional x a x, directamente proporcional y a y e inversamente proporcional a x. Este último tipo mí llama a veces variación com bin ado aunque evidentemente es un caso particular de la variación conjunta. Una propiedad importante de la variación conjunta viene dada por el teorema siguiente, Teorema 1. S i z es dircclam enlr proporcional a x, cuando y r.r cons­ tante, y si x e s tam bién d ilectam en te proporcional a y cuando x es cons­ tan te, entonces z es directam ente proporcional al producto xy. DEMOSTRACION.

(3)

I )c la primera parte de la hipótesis sr deduce

x — k xx,

y constante.

Supongamos que : cambia a algún otro valor, digamos cambia al valor correspondiente xp de modo que (4 )

x ■ kiX*.

y que x

Definiciones y propiedades

201

Dividiendo miembro a miembro (3) entre ( 4 ) , tenemos ( 5)

i “ 7 De la segunda parte de la hipótesis

6

z — kjy.

( )

x constante

Ahora, mientras que x conserva su valor x' hagamos que y cambie a / . El valor de ¿ pasará de : a de modo que poi (6 ) tengamos

Multiplicando (5 ) y (7 ) miembro a miembro, tenernos i

xy

¿

x'V

0 sen

Mamando A a la cantidad (untante

e

obtenemos

i - kxy. como se quería demostrar. Corolario. Si : « directam ente proporcional a x cuando y es com ían te, y ñ z es inversam ente proporcional a y cuando x es constan:?, entonces x z :
202

Variación de funciones

9.3. P R O B L E M A S D E V A RIA CIO N PR O PO R C IO N A L A continuación vamos a ver diversos problemas de variación propor­ cional. Para la resolución de tales problemas, primero se estribe la lev- de variación correspondiente en forma de una ecuación que contenga la constante de proporcionalidad k. Luego se determina el valor de k usan­ do los datos, obteniéndose asi una relación con la que se puede calcular la cantidad que se busca. Este método es el que se aplica en los dos ejem­ plos siguientes. Ejemplo I. m es directamente proporcional a a y al cuadrado de y y es inversamente proporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, y = 6, y z - — 3. calcular so cuando x = 5 . y = 4. z = 2. soluciok . Primeramente escribiremos el tipo dado de variación en forma de una ecuación

tt = **>*

ÍD

en donde k es la constante de proporcionalidad que es lo primero que hay que calcular. Sustituyendo en esta ecuación los valores dados de so, x , y y z, tenemos k •2 •6“ li = ----------3» de donde k = 3. La relac ión (1 ) se puede escribir ahora en la forma 3*y« u. m ■------. x* Por tanto, para x — 5, y = 4 y t w

2, tenemos

3 •5 •4 “

30.

2a

Ejemplo 2. La presión P del viento sobre una superficie plana verti­ cal es directamente proporcional al área A de la superficie y al cuadrado de la velocidad v del viento. Si una velocidad tlel viento de 20 Km por hora produce una presión do 10 Kg por decímetro cuadrado, calcular la velocidad del viento que producirá la presión de 360 Kg jK>r metro cuadrado. S0 U.T.10N. I.a ley de variación viene dada por la ecuación (2 )

P « kAv\

Problemas de variación proporcional

203

Sustituyendo loe datos en ( 2 ) , tenemos

10 = 4 - 1 - 20*. de donde k =s 1/40. La relación (2 ) puede escribirse en la forma P = — Av*.

40

Al calcular v usando esta úliiina relación debe tenerse cuidado ele emplear las unidades adecuadas, pues la musíante de proporcionalidad k se obtuvo bajo el supuesto de que v está en Km por hora, P en Kg y A en decímetros cuadrados. Por tanto, rl Area de un metro cuadrado debe cambiarse a 100 decímetros cuadrados. L a velocidad que se busca la obtendremos de la fórmula:

360 de donde

—- •100 •Va 40

o = 12 Km por hora.

En los problemas de variación proporcional generalmente c* útil calcu­ lar la constante de proporcionalidad a fin de obtener una fórmula que siiva para obtener valores numéricos. Sin embargo, rn algunos casos la constante no se pide o no se puede obtener. Esto sucede, por ejemplo, si solamente ser desea saber el efecto que tiene sobre una variable el cam­ bio de otras variables. Ejemplo 3. La resistencia eléctrica R de un alambre de sección trans­ versal circular es directamente proporcional a la longitud L e inversa­ mente proporcional al cuadrado del diámetro d del alambre. Calcular el porcentaje de variación en la resistencia de un alambre dado si la longitud aumenta un 40 por ciento y el diámetro un 30 por ciento. SOLUCION. La ley de variación queda expresada por bk > * en donde la constante de proporcionalidad k depende de la naturaleza del material del alambre. Llamemos R¡ al valor de R , que se obtiene al sustutir L por 1.4L y d por 1.3d. Sustituyendo estos nuevos valores en (3) resulta (3 )

(4)

R

*n -4 D

1 “ (1.3d ) * *

en donde k tiene el mismo valor que en ( 3 ) . De (3 J y (41 obtenemos R t _ lA L d * _ 1.4 = 0.828, R 1.69
Variación de funciones

20-1

de donde

= 0.828/?, es decir, la resistencia d ecrece en un 17.2 por

ciento, ind epend ientem ente del m aterial del alam bre. E JE R C IC IO S. G R U PO 30 1. Si y es directamente proporcional a x, y y — B ruando x ■— 4, hallar y cuando x =- 7. 2. Si y es inversamente proporcional .» x, y y = 3, cuando x 5. calcular x cuando y — 5. 3. Si £ e s directamente proporcional a x c inversamente proporcional a y, y r - 2 ruando x = 3 y y — 9, calcular r cuando x - — 10 y y — 12. 4. Si y es inversamente proporcional a x* -f 1, y y — 2 cuando x = 2, hallar el valor de > cuando x — ± 3 . b Si a- es directamente proporcional a x y y, c inversamente proporcional al cuadrado de z, y si «.• =* 20 cuando * — 6. y — 5, y c — 3, calcular y cuan* do x — B. z = 2 y t v — 24. 6. Si r es directamente proporcional a ( x — y )/ (x 4- y ), y : * 2 cuando x — 7 y y *■» 5, calcular x cuando y = 3 y z ** 6. 7. y es directamente proporcional a la suma de dos cantidades, la primera de las cuales es directamente proporcional a x y la segunda inversamente propor­ cional a x. Si y = 3 cuando x —2. y y — 7 cuando x 3. hallar la relación fun­ cional entre x y y H. > es directamente proporcional a I.» diferencia de dos cantidades, la pri­ mera de las cuales (el mintiendo) es inversamente proporcional a x y la segunda es inversamente proporcional a x*. Si y 12 cuando x — 1, y y — 4 cuando x = 2. hallar la relación funcional entre x y y. 9. y es directamente proporcional a la suma tle tres cantidades, la primera de la* cuales es directamente proporcional a x a, la segunda es directamente pro­ porcional a x 2, y la tercera es directamente proporcional a x. Si y —•4 ruando x ~ I» V “ H cuando x = 2, y y — 10 cuando x — — I, obtener la relación funcional m ire x y y. En cada uno de los ejercicios 10*15 demostrar el teorema enunciado. 10. Si x es directamente proporcional a y y y es directamente proporcional a z, entonce* x y i son directamente proporcionales. 11. Si x rs inversamente proporcional a y y y es inversamente proporcional a z, entonces x y z son directamente proporcionales. 12. Si x es directamente proporcional a * y y es directamente proporcional a z entonces x ± y y z son directamente proporcionales. 13. Si x es directamente proporcional a z y y es directamente proporcional a z, entonces V xy y r son directamente proporcionales. 14. Si x es directamente proporcional a'y entonces x* es directamente propor­ cional a >*. 15. S: x es directamente proporcional a y y ti es directamente proporcional a entonces x u y yv son directamente proporcionales. 16. Demostrar el corolario del Teorema I del Art. 9.2. 17. Generalizar el Teorema I del Art. 9.2 demostrando que si z es directa­ mente proporcional a cada una de las variables x ,,x 2......... x„. por separado, lo­ mando en cada caso las variable* restantes romo constantes, entonces z es direc la­ mente proporcional al producto de x , x x„.

Problemas de variación proporcional

205

18. La distancia recorrida por un rurrpo que parir del reposo y cae libre­ mente en el vacío es directamente proporciona: al cuadrado del tiempo de descen­ so. Si el cuerpo desciende: 4.45 metros en el primer segundo, calcular la distancia recorrida en los primeros 4 segundos. 19. Para un cuerpo que rae tal como se especificó en e| ejercicio 18, la velo­ cidad adquirida es directamente proporcional al tiempo de descenso. Si un cuerpo adquiere la velocidad de 20 metros por segundo al final de 2 segundos, calcular el tiempo necesario para que el cuerpo adquiera la velocidad de 55 metros por segundo. 20. La ley de Boyle establece que a temperatura constante, d volumen de una masa gaseosa es inversamente proporciona a la presión a que está sujeta. Si una determinada masa de gas tiene un volumen de 140 cm3 bajo una presión de 20 Kg por metro cuadrado, calcular su volumen cuando la presión es de 35 Kg por me­ tro cuadrado. 21. El periodo de oscilación de un péndulo simple es directamente proporcio­ nal a la raíz cuadrada de su longitud. Si el periodo de oscilación de un péndu.o de 1 metro de longitud es 2 segundos, calcular el |»eriodo de oscilación para un péndulo de 4 metros de longitud. 22. El volumen de una masa, gnseosa es directamente proporcional a la tempe­ ratura absoluta c inversamente proporcional a ia presión. Si el volumen rs 0 3 m cuando la temperatura, es 3(>0C y la presión es 1 Kg por centímetro cuadrado, calcu­ lar el volumen cuando la temperatura es 3 2 0 :' y la presión es 1.5 Kg por centí­ metro cuadrado. 23 La carga de trabajo S de una viga horizontal de sección transversal rec­ tangular apoyada en ambos extremos, es directamente proporcional al ancho ó y al cuadrado de su espesor d e inversamente proporcional a la distancia L entre los sopones. Una viga con b igual a 10 cm y d igual a 20 cm soporta una carga de 80 Kg siendo la separación entre los soportes igual a 6 metros. Calcular la carga de trabajo para la misma viga cuando se le voltea de modo que b sea igual a 20 cm y d igual a 10 cm. 24. La ley de Ohm establece que la corriente que fluye por un conductor eí directamente proporcional a la fuerza electromotriz e inversamente proporcional a la rfíistencia. Si la resistencia decrece un 10 por ciento, calcular el porcentaje ile cambio en la fuerza electromotriz necesario para aumentar la corriente en un 20 por ciento. 25 El área lateral de un cilindro circular recto es directamente proporcional al radio de su base y a su altura. Si el nidio aumenta un 20 por ciento, calcular el porcentaje de cambio en la altura para que el área lateral permanezca la misma. 26 El empuje en ei ala de un aeroplano es directamente proporcional al área del ala y al cuadrado de la velocidad del aeroplano Calcular el porcentaje de cambio en el empujr si el área del ala decrece un 25 por ciento y la velocidad aumenta en un 25 por ciento. 27 El volumen de un cono circular recto es directamente proporcional al cuadrado del radio de su base y a su altura. Si el radio aumenta un 10 por ciento, hallar rl pon enlaje de cambio en la altura para que el volumen no varié. 28. La iluminación en una pantalla es directamente proporcional a la inten­ sidad del foro luminoso « inversamente proporcional a| cuadrado de la distancia riel fino. Cal» ul.ir el pan enlaje de cambio en la iluminación si la intensidad del loco aumenta uu 20 por ciento y la distancia al foco aumenta un 10 p°J ciento.

204

Variación de funciones

de donde R x = 0.8287?, es decir, la resistencia decrece en un 17.2 por ciento, independientemente del material del alambre. E JE R C IC IO S. G RU PO 30 1. Si y es directamente proporcional a x , y y = 8 cuando x = 4. hallar y cuando x ■— 7. 2. Si y es inversamente proporcional a x, y y — 3, cuando x 5, calcular x cuando y 5. 3. Si z es directamente proporcional a x e inversamente proporcional a y, y i — 2 ruando * = 3 y y « 9, calcular r cuando x = 10 y y = 12. 4. Si y es inversamente proporcional a xI. y y — 2 cuando x — 2, hallar el valor de y cuando x — 2:3. 5. Si a. es directamente proporcional a x y y, r inversamente proporcional al cuadrado de z. y si ;v = - 20 cuando x = 6, y = 5, y z = 3. calcular y cuan* do r = B, : = 2 y w - 24. 6. Si z es directamente proporcional a ( * — y ) / ( x y ), y z — 2 cuando Jf = 7 y y “ 5, calcular x ruando y ■» 3 jr * ■*’ 6. 7. y es directamente proporcional a la suma de dos cantidades, la primera de las cuales es directamente proporcional a x y la segunda inversamente propor­ cional a x. 8 ¡ y « 3 cuando x —2. y y — 7 cuando x — 3, hallar la relación fun­ cional entre x y y. 8. y es directamente proporciona! a la diferencia de dos cantidades, la pri­ mera de las cuales (e! minuendo) es inversamente proporcional a x y la segunda es inversamente proporcional a *=. Si y =* 12 cuando x — 1, y y — 4 cuando x *= 2. hallar la relación funcional entre x y y. 9. y es directamente proporcional a la suma de tres cantidades, la primera de las cuales es directamente proporcional a x'{, la segunda es directamente pro­ porcional a y la tercera es directamente proporcional a x. Si y = 4 mando x - t, y — 14 cuando x = 2, y y =* 10 cuando x — — 1, obtener la relación funcional entre x y y. En cada uno de los ejercicios 10-15 demostrar el teorema enunciado. 10. Si x es directamente proporcional a y y y es directamente proporcional a z. entonces x y z son directamente proporcionales. 11. Si x es inversamente proporcional a y y y es inversamente proporcional a z, entonces x y x son directamente proporcionales. 12. Si x es directamente proporcional a : y y e s directamente proporcional a z entonces x ± y y i son directamente proporcionales. 13. Si a es directamente proporcional a z y y es directamente proporcional a t, entonces V *> y z son directamente proporcionales. 14. Si x es directamente proporcional a'y entonces x%es directamente propor­ cional a y\ 15. Si * es directamente proporcional a y y es directamente proporcional a v, entonce» acu y yv son directamente proporcionales. 16. Demostrar el corolario del Teorema 1 del Art. 9.2. 17. Generalizar rl Teorema 1 del Art. 9.2 demostrando que si z es directa­ mente proporcional a cada una de las variables r , , * . , . . . , * , , por separado, to­ mando en cada caso ¡as variables rr»tar.trs como constantes, entonces : es directa­ mente proporcional al producto de JE,, x.¿......... x„.

u

Problemas de variación proporcional

205

18. La distancia rerorrida por un cuerpo que parte del reposo y cae libre­ mente en el vacio es directamente proporcional al cuadrado del tiempo de descen­ so. Si el cuerpo desciende 4.45 metros en el primer segundo, calcular la distancia recorrida en los primeros 4 segundos. 19. Para un cuerpo que cae tal como se especificó en el ejercicio IB, la velo­ cidad adquirida es directamente proporciona, al tiempo de descenso. Si un cuerjx) adquiere la velocidad de ¿0 metros por secundo al final de 2 segundos, calcular el tiempo necesario para que el cuerpo adquiera la velocidad de 53 metros por segundo. 20. L a ley de Boylc establece que a temperatura constante, el volumen de una masa gaseosa es inversamente proporcional a la presión a que está sujeta Si una determinada masa de g.u tiene un volumen de 1+0 cm* bajo una presión de 20 Kg por metro cuadrado, calcular su volumen cuando la presión es de 35 Kg por me­ tro cuadrado. 21. El período de oscilación dr un péndulo simple es directamente proporcio­ nal a la raíz cuadrada de su longitud. Si ei periodo de oscilación de un péndulo de : metro de longitud es 2 segundo:., calcular el periodo de oscilación para un péndulo de + metros de longitud. 22. El volumen de una masa gaseosa es directamente proporcional a la tempe­ ratura absoluta e inversamente proporcional a la presión. Si el volumen es 0.3 m* cuando la temperatura es 3 0 0 ' y la presión es 1 Kg por centímetro cuadrado, ral« li­ tar el volumen cuando la temperatura es 320° y la presión es 1.5 Kg por centí­ metro cuadrado. 23 La carga de trabajo $ de un3 viga horizontal de sección transversal rec­ tangular apoyada en ambos extremos, es directamente proporcional al ancho b y al cuadrado de su espesor d c inversamente proporcional a la distancia L entre los soportes. LTna viga ron b igual a 10 cm y d igual a 20 cm soporta una carga de H0 Kg siendo la separación entre los soportes igual a 6 metros. Calcular la carga de trabajo para la misma viga cuando «c le voltea de modo que b sea igual a 20 cm y d igual a 10 cm 24. La ley de Ohm establece que la corriente que Iluye por un conductor es directamente proporcional a la fuerza electromotriz e inversamente proporcional a la resistencia, Si la resistencia decrece un 10 por ciento, calcular el porcentaje de cambio en la fuerza electromotriz necesario para aumentar la corriente en un 20 por cierno. 25. El área lateral de un cilindro circular recto es directamente proporciona: a! radio de su base y a su altura. Sí el radio aumenta un 20 por ciento, calcular el porcentaje de cambio en la altura para que el área lateral permanezca la misma. 26. El empuje en rl ala de un aeroplano es directamente proporcional al área dei ala y ni cuadrado de la velocidad del aeroplano. CalcuLar el porcentaje de cambio en el empuje si el área del ala decrece un 23 por ciento y la velocidad aumenta en un 23 por ciento, 27. E| volumen de un cono circular recto es directamente proporcional al cuadrado del radio de su base y a su altura. Si el radio aumenta un 10 por ciento, hallar el porcentaje dr cambio en la altura para que el volumen no varíe. 28. La iluminación en una pantalla es directamente proporcional a la inten­ sidad del foco luminoso c inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del foco. Calcular rl imrcentajr de cambio en la iluminación si la intensidad del foco aumenta un 20 |»or ciento y la distancia ni foco aumenta un 10 por ciento.

206

Variación de funciones

29. I.» frecuencia de vibración de una cuerda en tendón ea directamente pro­ porcional A I a r a i x cuadrada dr l a tención e inversamente proporriotuil al producto de la longitud por el cbimrlru de la cnerda, t'íalcular el porcentaje de cambio rn la frecuencia «i la tendón aumenta un 20 por rirnto, la longitud aunirnt.» un 13 |K»r ciento, y eJ diámetro disminuye un 10 por cirnto. .10. La ley de la gravitación dr Nrvvton establece que la Tuerza de Atracción entre do» cuerpos e* directamente proporcional al producto dr sus masas c inver­ samente proporcional al cuadrado de su distancia. Si una masa uumenta un lü por ciento y la distancia entre la» masas disminuye un 10 por rirnto, calcular el |»orrentnje de cambio en Ia otra m a s a pora que la fuu t a dr atracción tenga u n Au­ mento de un 10 por cirnto.

9.4.

V A RIA C IO N EN IA S FU N C IO N ES A LG EBRA IC A S

Ahora consideraremos un tipo tn/it general de variación, represen­ tado por las fuñe iones algebraicos. Sea, por ejemplo, la ecuación 4. x y ■*- y s 4, que define n y como una función implícita dr ar. Es inqiosihlc expresar la Iry de variación entre las variable* x y y por medio de una proposición sencilla, tal como «• hizo en los problemas de varia­ ción proporcional estudiados en lo» articulo» anteriores. Sin embargo, podemos obtener una ¡den bastante clara de la relación de variación en­ tre a y y utilizando la gráfica de la función. Ya hemos estudiado b representación gráfica de fundones de una sola variable, y se recomienda que d estudiante vuelva a leer el Art. 3.9. Antes de emprender la construcción de la gráfica analizaremos las funciones de dos variables x y y. A esto se le llama “discutir” la ecuación y presenta diversas ventajas. Generalmente sirve para reducir el trabajo que representa el calcular las coordenadas de los puntos de la gráfica. También nos puede ayudar a evitar grandes errores en d trazado de la gráfica en lre los puntos señalados. A continuación se describen algunas características de una discusión de este tipo. El primer pato en la discusión de una ecuación es hallar, s las hay. las in iercep d on tr de la gráfica con los ejes de coordenadas. Llamamos intercepción de una curva coa el eje A* a la abscisa dd punto donde la curva corta al eje X , c intercepción de una curva con el eje Y a la orde­ nada del punto en que la curva corta al eje Y. El método para obtener las intercepciones resulta obvio en virtud de las definiciones. En efecto, ya que la intercepción con el eje X es la abscisa de un punto del eje X , la ordenada de ese punto es cero; por lo tanto, bastará hacer y = 0 en la ecuación de la corva y resolver la ecuación resultante. Los valores reales de x que sean solución de la ecuación nos darán las intercepciones con el eje X . Análogamente, haciendo x = 0 rn la ecuación de la curva,

Variación de las funciones algebraicas

207

las soluciones de la ecuación resultante para valores r e a la de y nos darán las intercepciones con el eje Y. Es impórtame observar que las intercep­ ciones con el eje .V corresponden a los ceros reairr (Art. 3 9 ) * Un aspecto de mucha importancia en la discusión de una ecuación es obtener la extensión de sil gráfica. Con este termino se designa a la determinación de los dominios de los valores reales que pueden tomar las. variables * y y en la ecuación de la curva. Esta información es útil por dos molivios: ( I ) D a la situación general de la gráfica en el plano de coordenadas. (2] Indica si la gráfica es una curva cerrada o se extien­ de indefinidamente. Como veremos pronto, los dominios de los valores reales de las variables x y y se determinan sencillamente despejando y de la ecuación dada en términos de x y despejando x en términos de y. Ejemplo I . Discutir la ecuación ar gráfica.

xy + y* = 4 y construir su

s o l u c ió n . Haciendo y = 0 en la ecuación se obtiene a* = 4 de donde x = ± :2 . son las intercepciones con el eje .V. Análogamente, haciendo x = 0 se obtiene y = :± 2. que son las intercepciones con el eje Y. I.as intersecciones son los puntos ( 2. 0 ) {— 2, 0 ) y ‘ 0. 2 ) ( 0. —2 ». Para poder determinar la extensión de la gráfica de.qjrjaranos de la ecuación y en términos de x y también v en términos de y. Primeramente escribimos l.i ecuación dada en la forma

y1 4- x y 4- x* - 4

0

lo cual puede considerar»* tonto una ecuación cuadrática en la variable y, tomando a x como una constante. Entonces por la fórmula de la ecua­ ción cuadrática tenemos a*

-r V x u 5

X * v 'ifi

(O

\x- 4- lti

3x»

Ahora bien, ya que únicamente nos interesan valores reales de x y y, se concluye de (l i que drbe ser lli 3x* ^ 0, Por los métodos del C a­ pítulo ti (Art. 6 .5 ), encontramos que esta relación es válida cuando x está restringida al dominio de valores chulos |*»r

—% \/ 3

V.V3-

* l..i diferencia entre intercepción r intersección es <|Ur las imercepciones con rl eje X luí ubu ii.u dr luí * OOrdcnadai de lo* puntos il«* mu iserrióii dr l.i curva
210

Variación de funciones

x ~ — 1; y debajo del eje A' entre las rectas x ■= 1 y x = — I. Eviden­ temente la gráfica es abierta. Las coordenadas de los puntos marcados pueden obtenerse de ( 2 ) , piara valores de x dentro de los intervalos ya mencionados. Los pares de valores correspondientes están Gados en la tabla de la figura 36. Las asíny

Fw. 36.

totas están representadas ton lincas de trazos. Conviene observar la ven­ taja
Variación de la* fundones algebraicas

211

la determinación de simetría, puntos máximos y mínimos, puntos de in­ flexión y otros puntos que puedan ser importantes para la construcción de la curva. Conviene además ohsrrvar que a veces, en ciertos problemas, se dispo­ ne de un conjunto de pares de vaJorrs correspondientes, obtenidos por observación, pero no se conoce la ecuación. La gráfica de tales observa­ ciones c» frecuentemente de gran utilidad para deducir conclusiones im­ portantes sobre el conjunto de los datos. Lsto es lo que suele ocurrir en trabajos experimentales, estadísticos y adaptación de curvas. EJF.R CIG IO S. G R U PO 31 Kn cada uno de luí si|(uirntrt ejercicios discutir la ecuación riada y construir I* grSticn rormporidimte.

y*

xy —

x y i y7 y3

1.

Í'í II *k 1

S

+ x* + x» +

Xa

d 1

y* +

4- n y i

d 1 TÍK

Xa

9x3 | 4y» - 36, 9x3 - -4y> - 36 x* 4x* y* — 2y— 2 ** 4 x3 — 9x — í y x3 — y * - 0. -

- 0. - 0. j» - -* f y» — 1. xa — xy — 3 y * - 1 x=jr-—4y — * - 0. - xy — 2> — 1 « 0. ^: r — 4x= — 4y= - 0. y * - ( * — l > ( x - 2). > * - * ( * + U ( * - 2). ’ X

4. 6. «. 10. 12. 14. ié 16. 20.

T

xa —

A .

1

x* 4- y* • 4. 4*’ ■4 9 y 7 - 36. ♦y* — 9 * * - 3 6 . 6* 1 y’ - t). BXa - — > - 0 . d 1 h 1 »r

1. 3. 3. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.

— 4> + 4 = (

22. xr ~ - 9 x — y — \ = ( 24. x'- — xy + yy - 0. 26. r= - x (x — l)*28 r* - ( x — ! ) { * — 2)

30. r * xJx 4- 2)=

10 Progresiones í a i. INTRODUCCION En « t e capitulo estudiaremos las propiedades de cienos conjuntos especiales de números. Se les considera especiales en el sentido de que los elementos o términos se forman ordenadamente siguiendo una determinada ley. Por ejemplo, los elementos del conjunto formado por los « números,

(i;

3, 5,

7,... ,2n + I,

se obtienen en forma ordenada multiplicando el número onlen del término por 2 y aumentando el resultado en I. término es 2 ( 0 1 1 = 3, el segundo término es 2 (2 ) 1 I término es 2 (3 ) I I -3 7, y asi sucesivamente. Los conjuntos de este tipo tienen tal importancia que se bre especial de suetsionet.

que indica el Asi el primer i= 5, el tercer les da el nom­

Definición. Una sucesión de números es un conjunto orden ado de números formados de acuerdo con una ley dada. El requisito esencial p i n que exista una sucesión es que exista una ley o fórmula con la cual sea posible obtener cualquier elemento dr la sucesión. Por ejemplo, si un representa el enésimo término de una suce­ sión, entonces debe existir una expresión para a„ en términos de ti, es decir, dicho término enésimo debe ser una función de rt. Así, en el ejemplo dudo anteriormente, um 2 n I l r la cual es una fórmula que nos per­ mite obtener cualquier término de la sucesión. Si una sucesión tiene un último término se le llama sucesión fin ita; en caso contrario, es decir, si el número de términos rs ilimitado, se le llama sucesión infinita. nota . La suma indicada de los términos dr una sucesión recibe el nombre de serie; una serie puede ser finita o infinita según que la suee-

21*

Progresiones

214

sión que la forma sea finita o infinita. Las series infinitas son objeto de estudio especial en los tratados de cálculo diferencial y también son de gran importancia en la Teoría de funciones. En los siguientes artículos estudiaremos tres tipos diferentes de suce­ siones finitas y un tipo de sucesión infinita.

10.2.

P R O G R E SIO N A R IT M E T IC A

Definición. Una progresión aritm ética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene aña­ diendo al término anterior un número fijo llamado la diferencia de la progresión. Un ejemplo de progresión aritmética es la sucesión (1 ) del Art. 10.1. De acuerdo con la definición, una progresión aritmética puede escri­ birse en la forma (1 )

au

ai +• d,

a, 4- I d ,

a, 4-3rf,

en donde a, se llama prim er térm ino y d es la diferencia. Si a n representa el enésimo termino de la sucesión (1 ), entonces el segundo término es a 2 a x + d, el tercer término es a 3 = a, + 2d, el cuarto término es a, = a. 4- 3d, y en general, el enésimo término es (2 )

a„ = a, + ( a — I )d .

Ahora vamos a obtener una expresión para la suma r„, de los n pri­ meros términos de la sucesión ( 1 ) , es decir, para la suma (3 )

i , = a, + (a s + d ) + (a, 4- 2d ) + . . . + — 2d) 4- ( a * — d) 4- an.

Escribiendo los términos del segundo miembro de (3 ) en orden in­ verso, tenemos4 (4 )

Sn = a» + (a» — d ) 4- (an — I d ) — . . . — (a , + 2d ) T (a t 4- d) 4-

ca.

Sumando miembro a miembro (3) y ( 4 ), tenemos 2*1, -

(a, *r a .) + (a! + a n) -r (a, + a„) + . . . + («i + a») 4- (a , + a n) 4- (a, — a„) = n (a i 4- a .)

Progresión aritmética

215

de donde (5 )

=

n

*

+

Este resultado nos dice: Teorema I. S i en u n a progresión

a-

a ritm ética

es e l p rim e r térm in o ,

an es e l en ésim o térm in o , d es la d ife r e n c ia y sm es la sum a d e los n p ri­ m eros térm in o s, en ton ces tenem os las dos rela cio n es in d e p e n d ie n te s

On = a, 4- (n — l ) d , y

Sn = £ (<*! + fl»).

Utilizando estas dos relaciones podemos obtener una segunda para sn que puede reemplazar a la relación (5): (6)

^ [2«i 4- ( n — 1 ) 4

La demostración del Teorema 1 puede efectuarse en forma rigurosa usando el método de inducción matemática (Ar*. 7.2). Es importante observar que los cinco elementos: a ,, a M, d , n y sn, de una progresión aritmética están relacionados por medio de dos fórmulas independientes. Por tanto, si se conocen tres cualesquiera de dichos ele­ mentos, pueden calcularse los otros dos. Ejemplo I. En la progresión aritmética 3, 5. 7, 9 , . . . , calcular el término de lugar doce y la suma de los primeros doce términos. solución. En esta progresión a, el Teorema 1,

= y

+ {n n

3;

d =

2,

n

= 12. Por tanto, por

\ ) d = 3 + II - 2 = 25,

íi 2 = - (a» + an) =

12

(3 + 25) = 168.

Ejemplo 2. En una progresión aritmética a, = 2 y d = 3. ¿Cuántos términos deben tomarse par3 que la suma sea 155? solución. En este problema sal>emos que a . = 2 , d 3 y r* = 155, y deseamos hallar el valor de n. Ya que no conocemos el valor de a n, será conveniente utilizar la fórmula (6) que da y resulta: 155 = £ [ 2 - 2 + ( n - l ) 3 J ,

310 = 4n 4- 3n4 — _______________ 3n2 4 - n — 310 = 0. Factorizando, (Sn + 31) (ti— 10) = 0 , 31 de donde n = ---- ~ i 10

.

216

Progresiones

Va que n debe ser un número entero y positivo, el número de términos buscado es 10 . En una progresión aritmética lo» términos que están entre dos térmi­ nos dados a y ó se llaman m edios aritm éticos entre a y b. Los términos a y /i reciben el nombre de extrem os. Por ejemplo, en Ja progresión arit­ mética 3, 6, 9, 12, 15, 1 8 . . . . , los medios aritméticos entre los extremos 6 y 18 son 9, 12 y 15. La manrra tomo se interpolan un número dado de medios aritméticos entre dos números dados se murstra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3. Interpolar cinco medios aritméticos entre 9 y — 3. holugion. Debemos encontrar cinco números como extremos, formen una progresión aritmética. solamente hallar la diferencia d de una progresión nos con «, = 9 y o T = — 3. Para ello, sustituyendo

tenemos de donde

que con el 9 y el — 3 Por tanto, necesitamos aritmética de 7 térmi­ en la relación

(n — l;d , — 3 a 9 + 6d, d = — 2.

Por tonto, los cinco medios aritméticos entre 9 y — 3 snn: 9 — 2 — 7, 5. 3, 1, 1. Como comprobación observemos que al añadir J = —2 al último medio aritmético — 1, obtenemos — 3 que es el segundo extremo. Si se interpola un solo medio aritmético entre dos números dados, éste se llama su m edia aritm ética. Sea A la media aritmética de los núme­ ros a y b, lo cual significa que a. A, b están en progresión aritmética. En­ tonces. su diferencia común será d = A — a = b — A, de donde

2A = a - r b,

es decir, la m edia aritm ética de dos números dados r< igual a la m itad de su suma. L a media aritmética también recibe frecuentemente el nombre de promedio. E JE R C IC IO S. G R U PO 32 En cada uno de km ejercidos 1-6 hallar < *• > -. en la progresión ariunétita dada para el número indicado de términos.

1. 2 ,6 , 10, ...h a d a 11 términos. 3. 9, 7, 5 , . . . hasta 14 términos. 5. — 8, — 0- 3,

2. — 3, — I, I , . . . hasta 9 términos 4. 10, 9, 8 , . . . hasta 20 términos.

3, . . . hasta 16 términos. . hasta 24 términos.

Progresión aritmética

217

En c«uia uno dr lo» ejercicios 7-14 se dan tres «Ir los cinco elementos de una progresión aritmética Calcular los otros dos elementos. 7. a, - 5. d -------3. n - 8. 8. *\ — - 3 , « * - 8 , r . = 3 0 . 29. r. - 2 2 5 . d - 2. -------28. 10. <*„ 9. s , - i i , ¿ - — 2, 12. « - ll.rf - 2, ta -------44. 11. a , - 30, a , ------ 10, r„ - 90 13. «t - 45, d -------S. i . - 357. 14. a . - 9, d - 3. i , - —66. 15. Hallar la suma «Je tocto los múltiplos positivu* «Je 3 qur son menores que 20. 16. Calcular la suma dr todos los múltiplo» positivos de 5 que son menores que 100. 17. Obtener la inedia aritmética de 7 y -—11, 18. La media aritmética de dos números es 6. Si uno de los números es 21, calcular el otro número. 19. Interpolar cinco medios aritméticos entre 4 y 8 20. lntrrpolar siete medios aritméticos entre 5 y I 21. Interpolar anco medios aritméticos entre 12 y 4. 22. Interpolar dos «urdios aritméticos entre I 4 V' 2 y 1-— 2 ^ 2 . 23. El tercer término de uca progresión aritmética es 3 y el octavo término rt 2. Hallar la ditrrrn. i* y el sexto término. 24. El cuarto término de una progresión aritmética es 11 y d undécimo tér­ mino es 21. Calcular rl primer término y la suma de los primeros quince términos 25. El quinto término de una progresión arilmét» n es 2 y el noveno término rs — 10. Obtener el séptimo termino y la suma dr los primeros 12 términos. 26. El sexto término dr una progresión aritmética ps 9, y el duodécimo tér­ mino es — 33. Hallar la diferencia y la suma de lo» primeros diez términos.

27. Demostrar el Teorema l del Art. 10.2 usando el método de inducción matemática. 28. Si te interpolan s medie* aritmético» cntrr 4 y b, demostrar qur ü dife­ rencia viene dada por i — ib — « )/ (« 4 I }. 29 Calcular b rama de los a primeras números enteros y positivos impares. 30 Hallar b suma de t o r. primeros números enteros y positivos pares 31 Calcular la suma de los 2« primeros números enteros y |M«iÚvo». Com­ pruebe r| resultado combinando los resultados de los ejercicios 29 y 30. 32. Obtener el término central «Ir la progresión aritmética «leí ejercicio I. 33. Calcular rl término central de 1 1 progresión aritmética del ejercí» io 2. 34. Hollar lo» dos términos cenlrulrs de la progresión aritmética del ejer­ cicio 3. 35 Calcular los dos término» central?* de b progresión aritmética drl ejer­ cicio 4. 36 Hallar c| término central dr una prwgresón aritmética de « términos cuyo perner término r* c , y cuya diferencia ai d , tiendo s un número «.upar. Demos­ trar que r| término mencionado es igual a *m/n. 37. Calcular los dos términos centrales de una progresión aritmética de n términos cuyo primer término es «, y ruya diferencia es d, siendo m un número par. Demostrar que la suma de dichos términos es 2ín/n . 38. Usar t o resultado» de los ejercidos ttí y 37 para comprobar los resulta­ do» de los ejercicios 32-33. 39. Calcular la suma de la sucesión I, -3 , 5} — 7, 9, —1 1 , . . . hasta 2n

términos. 40. Hallar la »uma dr b raresión I, - -*2, 3, - 4, 5, —6 , . . . baila 2n términos

218

Prngrcaiooc»

41. Demostrar que la suma de 2a ♦ 1 número* enteros consecutivos cuales­ quiera ei divisible entre 2o + 1. 42. Si rada uno de los términos de mu progresión aritmética se multiplica por una misma cantidad, no igual a cero, demostrar que la sucesión resultante es también una progresión aritmética. 43. Un cuerpo en raída libre recorre uproxirmiduinenlr 4 9 metros en el pri­ mer srgkindo, y en cada srgundo subsecuente recorre 9,8 metros más que en el segundo anterior. Se deja caer una piedra de lo alto dr una torre y se observa que tarda 4 segundos en llegar al suelo; hallar l.i altura de I > torre y la distancia re­ corrida por la piedra en el último segundo. 44. La suma de tres números en progresión aritmética es 21 y el producto «Id primero y el tercero es 33. Hallar los númrroa. (Sugfrtnrio,' Representar los número* por a — d , a , a 4- «/.) 45. Un número está formado por runtro dígitos rn progresión aritmética. La suma de todos los dígitos es 16 y la suma dr los últimos do» dígitos et. 12. ¿Cuál rs el número?

10.5.

P R O G R E SIO N G E O M E T R IC A

El estudiante observará que em ir rite artú tilo y rl precedente existe una marcada analogía. Definición. Una progresión í’rnr>;/.*rica rs una sucesión de números tal que cualquier término posterior al primero ir obtiene multiplicando el término anterior por un número no nulo llamado razón r/c la progresión. Un ejemplo de progresión geométrica es: 1, Vfc, De acuerdo con la definición, una progresión geométrica puede es­ cribirse en la forma (1)

«i,

* i rJ

«i t4, . . ,

en donde a, recibe t i nombre de primer término y r es la razón. Si a„ representa el enésimo término de la sucesión ( I ) , entonces «2 = a.r, e.ra, y en general, el enésimo término será (2 )

G, = G-r*-3

Ahora vamos a obtener una expresión para la suma \m, de los n pri­ meros término» de la sucesión ( 1 ), es decir, para la suma (3 }

in =

+ a tr 4- e^r5 + . . . +

+ Gif*'1.

Multiplicando ambos miembros de (3 ) por r, obtenemos (4 }

rr. = a ,r +

+ . . . — d1r#“2 + Cjr*-* + a,rm.

Restando miembro a miembro (4) de ( 3 ). resulta j,

o sea

1

- r.(H =

a, —

a , r n,

f) = « i { 1 — r*),

219

Progresión geométrica

de donde Sm =

(5)

«id — I— r

’

r * 1.

Teorema 2. A* ¿n una progresión gr ométrica a, n // [irirntr término, tu *s el enésimo término, r « la razón y sm es la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independien!ts a m= _ a,( ! - > * ) í,_ 1— r *

y

r^ l.

De la primera igualdad obtenemos ram — «i|f* que al sustituirse en ia segunda nos da la siguiente fórmula que puede reemplazar a la rela­ ción (5) :

rspfcl.

( 6)

La demostración del Teorema 2 puede efectuarse en forma rigurosa usando el método de inducción matemática (Art. 7 .2 ). Es importante observar que los cinco elementos 4it a n, r, n, y sn. de una progresión geométrica están relacionados por medio de dos fórmulas independientes. Por tanto, si se conocen tres cualesquiera de dichos ele­ mentos, pueden determinarse los otros dos. Ejemplo 1. En la progresión geométrica 1, 2. 4 , . . . , hallar el séptimo término y la suma de Iw ¿etc primeros términos. solución . En esta progresión, a x = 1, r = 2, n = 7. Por tanto, por el Teorema 2,

a, =

= l •2* = 64, 1 ( 1 - 2 ’) _

y

1-2

7

~ IZ7-

Ejemplo 2. En una progresión geométrica el primer término es 4, el último es 30% , y la suma de los términos es 03% . Hallar la razón y el número de términos. 243 solución . En este problema sabemos que a x = 4, a„ 30% — ^ y j„ = 83% =

- - y deseamos calcular r y n. Ya que se desconoce tanto r

como « usarrmo* la relación t’6 ) : *•

fl i — re, I—r *

220

Progresiones

243 4 ---------r

8

Sustituyendo,

665 B

Multiplicando por B (l

r ) , ic obtiene 665

de donde

1— r

— 422r = —633

665r

32 — 243r,

3 f ” 2'

Sustituyendo m an = aif*"*, 243

tenemos tle donde

Por tanto

-d)"

8 243

(sr-

32

n

(I)' (I)'' 1=5

6.

En una progresión geométrica lo* término» entre dos términos dado» a y b reciben el nombre de m edios geom étricos entre a y b. l» s términos a y b se llaman extrem os. El método para interpolar medios geométricos entre dos números dado.» se muestra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3. Interpolar cinco medio» geométrico» entre V4 y 16. solución . Debemos encontrar 5 número» tale» que, con VA Y 16 como extremo», formen una progresión geométrica. Por tamo bastará determi­ nar la rarón r de una progresión geométrica de 7 términos en la que a « = !-4 >' a r = 16. sustituyendo en la relación

a, = tenemos de donde y

16 = \\i*% r* = 64, r = 2.

Los 5 medios geométricos son V4 - 2 = *4r H * 2 = 1, 2, 4. 8. C o n » com­ probación observamos que al multiplicar el último medio geométrico 8 por la ra/ón 2, obtenemos 16, que es el segundo extremo. nota 1. Hemos visto anteriormente (Air. 8.6, Teorema 4) que todo número (excepto el cero) tiene exactamente n raíce» enésimas distintas. Por tanto, en el ejemplo anterior hay realmente seis valores distintos para r y, en consecuencia, sei* conjunto» distintos de medios geométricos. Sin embargo, para nuestro propósito es suficiente, a menos que se especifique k> contrario, limitamos a progresiones geométricas cuyos términos sean

Progresión geométrica

221

reales y únicos. Esta simplificación se obtuvo en el ejemplo anterior al tomar como valor de r úniramente la raí/ principal d e 64 ( Art. 2.13). Si se interpola un solo medio geométrico entre dos números dados se obtiene la m ed id a geom étrica. Sea G la medida geométrica de dos núme­ ros dados a y b , lo que significa que a, G , b están en progresión geomé­ trica. Entonces la ra/ón será G b de donde

G7 = ab,

y

G = ± \ra b ,

es decir, la m edia geom étrica de dos núm eros dad os es igual en oidor a b ­ soluto a la raíz cu adrada d e su producto. L a m edia ceom rlrica tam bién se llam a m edia proporcional. nota 2. En la nota 1 acordamos que, a menos que se especificara lo contrario, los términos de una progresión geométrica se considerarían como reales y únicos. Luego, para que la media geométrica G de c y b sea real, a y ó deben tener el minno signo.Además, para que G tenga un valor único, convendremos endar a G signo común a o y ó. Así, por ejemplo, la media geométrica cíe 3 y 48 es 12; mientras que la inedia geométrica de — 3 y - 18 es — 12. Obsérvese que en ambos casos r 4, que es la raí/ cuadrada principal de 16.

E JE R C IC IO S. G RU PO 33 En cada uno de lo» rjerciric* l-f», hallar
I.

2,

4, H, . . . llanta 10 término* 2. 3, 6, 1 2 ,. .. ha«tn 7 término*

3. I, 4, 1 6 , . . . ha»ta 7 término». 3. >HI, 24, 1 2 , , . halla I* término»

4. 3, l». 1, M»,. . . hiuta 8 término*. 6 2, %, . hn*t« 7 término».

F.n rada uno de lo» ejrnlrio* 7-12, *r dan lir* dr !t>» cinco elnnrnto» de una proKrriión grométrlra. Calcular lo» otro» do» fírmenlo». 7 9. I I .

« i

""

1.

a »» “

<»,

—

2 ,


r

-

2 ,

¿ T

-

fl

* ,

“

2 ,

• •

6

1 0 .

a *

-

7 2 9 ,

-

7.

1 2.

n

t

—

• -

6 4 ,

6 3 3 ,

k

«

-

6, r

« i n

—

------------ 1 0 2 4 . r

* 3 ,

Vi, a.

»„ *■

n

-

-

ID

1 0 9 1

Ib.

13. Intrrpolor Irri medio» geométrico* entre Ib y Via. 14. Inlrrimlar cuatro mrdioi Krw*r.étrirui entre *4» y 27. 13. IntrqMihir dn«o medio» geométrico» entre I4t Y 8. 16. Interpolar trr» medio* ncométrico» rntrr 2 y fl. 17. Hallar la media groinétrica dr y y». II». l.ii media geométrica de din número» positivo* r» 4. Hallar lo» número» *1 uno de rilo» r» rl ruádruplo del otro 19. F.I tercer término ilr mm proarcdrtn K^'iuétrira r» 3. y el «éptimo término r* ‘Vjo. Calmlar la rosón y rl primer término.

Progresiones

222

20. El argundo término dr una progresión geométrica c» IB, y rl quinto término c» *%. Calcular rl sexto término >• la suma de loa cinco primero» término». 21. El trrrcr término «Ir una progresión geométrica r» 9 y el sexto término Ct 243. Hallar rl séptimo término y la suma de lo» piimrnw iris términos. 22. Demostrar el Teorema 2 del Art. 10.3 por inducción mntrmátira. 23. La» fórmula» para r„. dados por Luí rrlncionri (5 ) y (6 ) del Art. 10.3, no son válidas para r » I. Obtener la fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica cuya primer término es nx y cuya rosón n r - I. 24. Demostrar que ti cada término de una progrriióri geométrica «o multi­ plica por una constante no nula, la lurnión resultante n también una progmión geométrica. 2.V Demostrar qur si le alternan km signo* de lo» términos de una progresión geométrica resulta otra progresión geométrica. 26. Si rada término de una progresión geométrica sr resta del término si. guienle, demostrar que las difrrrnnas sucesivas forman otra progresión geométrica. 27. Si cada término dr una progresión geométrica es rlevndo a la misma po­ tencia entera y positiva, demostrar qur la «urrsión multante es también una progrrsión geométrica. 28. Demostrar que loa recíprocos dr los términos dr una progresión geométri­ ca forman también una progresión grométrira. 29. Una bomba para extracción do airr rx pulía en cada movimiento la dé­ cima purtr del aire de un tonque. Calcular la fracción del volumen original de aire que queda en rl tanque, al lina! de ocho movimientos. 30. La masa de un péndulo rrcorrr 16 mi durante la primera oscilación. En cada una de los oscilaciones siguientes la masa recorre de la distancia recorri­ da en la oscilación anterior. Calcular la distancia total recorrida por la masa ru seis oscilaciones. 31. Un rrcipirntr contiene 36 litros de alcohol puro. Se sacan seis litros y se reemplazan con agua. Si esta operación se efectúa seis veces, calcular la can­ tidad de alcohol puro que queda en el recipiente. 32. Una pdota dr hule cae de una altura de 20 metros y rebota ascendiendo coda vea hasta una cuarta parte dr! ascenso anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota cuando p m en el suelo por sexta vez. 33. La media aritmética de dos números positivos diferentes es 3 y su media geométrica es 4. Calcular los números. 34. L a suma dr tres números en progresión aritmética es 15. Si estos núme­ ros se aumentan en 2, 1 y 3, respectivarnenle. las sumas quedan en progresión geométrica. Calcular ku números. 35. Si tres números diferentes a , b y c están en progresión geométrica, demos­ trar que 1/(6 — « ) , 1/26, y 1 / (6 — c j c jtin en progresión aritmética.

10.4.

P R O G R E S IO N A RM O N ICA

En este artículo consideraremos una sucesión de números especial. Definición. U na progresión a r m ó n ic a es una sucesión de números cu­ yos recíprocos forman una progresión aritmética.

Progresión armónica

223

1 1 1 1 Por ejemplo, la sucesión es una progresión annó¿ 4 o 2n nica ya que 2, 4, 6 , . . . , 2 * , . . . es una progresión aritmética. De esta definición resulta evidente que los problemas de progresio­ nes armónicas pueden resolverse considerando en cada caso la progresión aritmética correspondiente, tal como veremos en los ejemplos que damos a continuación Sin embargo debe observarse que no hay fórmulas gene­ rales para el enésimo término o la suma de n términos de una progresión armónica. Ejemplo 1. El segundo término de una progresión armónica es ^ y el octavo término es Ifo - Calcular el quinto término. SOLUCION*. Resolvemos este problema considerando la correspondien­ te progresión aritmética en la cual a 3 = 5 y o, = 23. Por la fórmula del Art. 10.2, a * = a . + (« — 1 )d f tenemos

5 = a t + d, 23 = a, -f Id .

y

Restando, obtenemos 18 = 6J , de donde d = 3 y a , =■ 2. la irgo, a6 = n t gresión armónica es V i* En una progresión armónica los términos que están entre dos térmi­ nos dados a y b se llaman m edios arm ónicos entre o y b. El método para interpolar medios armónicos entre dos números dados se explica en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2. Interpolar cuatro medios armónicos entre

y

holugion. Por 1í *s términos del Art. 10.2, encontramos que los cua­ tro medios aritméticos entre 7 y — 3 son 5, 3, 1 y I. Luego, los recípro­ cos de estos números nos dan los cuatro medios armónicos buscados

«/.. i y —1. Si se interpola un «do medio armónico entre dos números dado» se obtiene la mtidia arm ónica. Sea // la media armónica de dos números dados n y b, lo qur significa que a, //, b están en progresión armónica. Por tanto,

,

,

están en progresión aritmética cuya diferencia es i — 1= 1 U a h

1 ti

Progresiones

224

b + a

2

- V H a

de donde

y

b

H

ab

2

b 4* a

H

ab

la b a 4* b

Hemos visto anteriormente {Art. 10.2'» que la media aritmética A de dos números dados a y h es a -f b *4 =

2

Para evitar un error muy frecuente, el estudiante debe observar que la media armónica de dos números dados 7io es igual al recíproco de su me­ dia aritmética. Existen varias relaciones interesantes entre las medias aritmética, geo­ métrica y armónica de dos números dados. Por ejemplo, puede demos­ trarse fácilmente que la media geométrica de dos números es también la media geométrica de sus medias aritmética y armónica. También se deja como ejercicio la demostración de que para dos números positivas dife­ rentes, la media aritmética es mayor que la media geométrica la cual, a su vez, es mayor que la inedia armónica. Resumimos estas propiedades en el teorema siguiente. Teorema 3. Si A . G y H ron la m edia aritm ética, la m td ia geom étri­ ca y la m edia arm ón ica, respectivam ente, de dos números positivos d ife­ rentes a y b , se verifica que a~ b

G = V ab,

// =

la b a + b ’

estando A, G y H relacionados por c r ■= AH,

A > G > H.

EJERCICIOS. GRUPO 34 1. El tercer término de una progresión armónica rs <3 y el sexto término es Calcular el noveno término.

2. El segundo termino de una progresión armónica es 3 y el quinto término Hallar el octavo término. 3. Los tres primeros términos de una progreuón armónica son Vá, Calcu­ lar los términos sexto y octavo. 4. Los tres primeros términos de una progresión armónica son -4$, t, I. Hallar el noveno término. rs

Progresión armónica

225

5. Interpolar tres medios armónicos entre 2 y 1. 6. Interpolar cuatro mrdios armónicos entre —% y 1^3. 7. Interpolar cinco medios armónicos entre 7 y 1. 8. Hallar la media armónica de 3 y 9 9. Calcular la media armónica tic r H y y x — y. 10. L a media aritmética de dos números es 8 y su inedia armónica es 6. ; Cuá­ les son los números? 11. La media armónica de dos números es *94 y su media aritmética es 4. Hallar los números. 12. La media armónica de dos números es y su media geométrica es 6 Calcular los números. 13. Determinar el valor de x para que x, x 6 y x — 8 formen una progre­ sión armónica. 14. Determinar los valores de x y y sabiendo que x , 4. y están en progresión aritmética y que y, 3, x están en progresión armónica. 15. Tres números están en progresión armónica siendo el tercero el doble del primero. Si el primer número se disminuye en 1, el segundo se aumrnta en y el tercero se aumenta en 5, los resultado* están en progresión geométrica. ¿Cuáles son los tres números? 16. En el Teorema 3 (Art. 10.4), demostrar que G's AH. 17. En el Teorema 3 (Art. 10.4). demostrar que A > G > H. 18. Si a . b. c están en progresión aritmética y o . c, d están en progresión armónica, demostrar que &d *= be. 19. Si H es la media armónica de a y b. demostrar que

I

1

1 1

+ H — b = a '' b ' 20.

Si a 2, ó 2, c2 están en progresión aritm ética, demostrar que b -|- c, c + a,

a 4 b están en progresión armónica. 21. Si a, b, c están en progresión armónica, demostrar que

a

b

e

b 4- c ’ rt 4- f " o-4 • b también están en progresión armónica. 22. Si a, b, c están en progresión armónica, demostrar que 2o — b

2

2c — b

b ’

2

*

2

están en progresión geométrica. 23. Si n, b, c están en progresión armónica, demostrar que a, a — c, a b, también están en progresión armónica. 24. Si a es la media aritmética de b y c, y b es la media geométrica de i y c. d r mostrar que c es la media armónica de a y ó. 25. Si c. b, c están en progresión arm ónica demostrar que

c a + b— c también están en progresión armónica.

226

Progresiones

10.5. P R O G R E SIO N G E O M E T R IC A IN FIN IT A Hasta a q u í hemos considerado solamente progresiones finitas. Ahora estudiaremos las progresiones geométricas infinitas, es decir, aquellas en que el número de términos es ilimitado. Para este propósito se requiere conocer el concepto de lim ite, que es de importancia fundamental en las matemáticas. Definición. S e dice que la variable x tiene comb limite la constante k, si y sólo á, el valor absoluto de la diferencia entre valores sucesivos de a y el número k , es decir x — A|, puede llegar a ser, y permanecer, menor que cualquier número positivo dado de antemano, por pequeño que éste sea. Las notaciones usadas para límite son: Km x = k

o

x - * k,

la primera se lee “el límite de x es k, y la segunda*'* tiende a k'\ nota 1. El estudiante se encontrará más adelante con la definición general del concepto de límite cuando emprenda el estudio del cálculo diferencial Sin embargo la presente definición satisface nuestras necesi­ dades actuales.

En diversos temas de matemáticas elementales se aplica el concepto de límite. Por ejemplo, si i onuideramos el perímetro de un polígono inscrito en una circunferencia y hacemos que aumente el número de lados, los perímetros de los polígonos resultantes tienden hacia la longitud de la circunferencia. Esto es, aumentando el número de lados suficientemente, podemos lograr que el valor absoluto de la diferencia entre el perímetro y la longitud de la circunferenc ia resulte menor «pie cualquier número positivo dado de antemano, por pequeño que éste sea. En este ejemplo la variable x de nuestra definición está representada por los diversos va­ lores del perímetro P, y la constante k está representada por la longitud de la circunferencia C. Entonces podemos escribir (1)

Km P = C.

También consideraremos el caso en que una variable aumenta en furnia ilimitada. Un ejemplo srnrillo corn*s|K>nde al caso de una suce­ sión infinita, o sea ron un número de términos ilimitados. Indicamos esto escribiendo « co, lo cual se lee " « tiende a infinito”. nota 2. Es importante que el estudiante comprenda que el .símbolo eo no rs un número. La notación n > » también puede interpretarse

Progresión geométrica infinita

227

como que al crecer n, dicha variable puede llegar a ser mayor que cual­ quier número dado de antemano por grande que este sea. F.l concepto de límite se utiliza muy a menudo en conexión con la variación de dos variables relacionadas Por ejemplo, consideremos la función I Supongamos que x tiende al limite I, entonces es posible demostrar que y tiene por límite En consecuencia escribimos lim -------*-♦ 1 1 •+■ x

I 2'

lo cual se lee “el límite de 1/(1 I x ) , cuando x tiende a l, es '/j¡\ En el ejemplo anterior que dio lugar a la relación (1 ), sea P„ el pe­ rímetro de un polígono de n lados inscrito en una circunferencia dada cuya longitud es igual a C, Si hacernos tender a infinito el número de Indos n, podemos escribir lim P n = C, *-*<*> que indica el proceso del paso al limite en formo más completa que la relación ( 1 ) . Consideremos ahora la función 1 Suponiendo que x se acerca cada vez más al número 1, es evidente que y aumenta; de hecho, tomando x suficientemente próximo a 1 podemos lo­ grar que y Vía mayor que cualquier número dado de antemano, por grande que éste sea. Entonces decimos que cuando x tiende a 1 , y ¿ende a infinito, y escribimos Ihn -------- = ce. »-• I 1 — x Paradójicamente, esta última igualdad es solamente un módo simbólico dr decir que no existe el límite. Como se observó anteriormente, d sím­ bolo oc no es un número, y esta igualdad sólo significa que al aproximar­ se rl valor de x a 1 la expresión 1 /( 1 — x ) aumenta, pudiendo llegar .i ser mayor que cualquier número por grande que éste sea. Ahora consideraremos algunos limites que son necesarios para estu­ diar una progresión geométrica infinita con primer término a, y con ra­ zón r. Primeramente, supongamos que d valor absoluto de r es mayor

Progresiones

228

que 1, a decir r| > 1. Entonces si J> es un número positivo, podemos escribir H = 1 + I1' |r" = (I f- p ) * — 1 I np *f /»,

de donde

en donde /’ es un número positivo que representa la suma de lo* términos restante* en el desarrollo del binomio (A lt. 7.4). En donde se observa que conforme aumenta n, aumenta también el término np, por lo cual rs po­ sible demostrar que lím ¡r*| - oo, y también (2 )

Itm

— eo,

|r| > I.

Consideremos ahora el raso en que r| < 1, es decir, Entonces si p es un número positivo podemos escribir

M de donde

1 1

I (1 4- /i}*

1 < r < 1.

I I /> 1 1 I I np + P " np

Aquí resulta que si R aumenta, también np aumenta, y I ¡np tiene por límite cero. Luego, lím r* ¡ = 0, y también (31

lím |otr*| = 0.

| rj< I.

Por el Teorema 2 (A lt. 10.3) en una progresión geométrica cuyo pri­ mer termino es a , y cuya ra/ón es r, la suma de lo* n primeros términos está cada por Sm

\ = 7~

Nos interesa ahora averiguar qué ocurre con s%al aumentar indefinida­ mente el número de términos n, dando lugar a una serse geom étrica infi­ n t a (Art. 10.1, N ota). Veremos que bajo ciertas condiciones s , puede tender a * o puede oscilar entre dos valores; m estos casos se dice que la serie es divergente. Sin embargo, bajo otras condiciones s„ puede tener un límite finito; este limite es, por definición, la sum a de la serie, dicién­ dose que en este caso la serie es convergente. Como ejemplo consideremos la progresión geométrica infinita 1

1

I

Progresión geométrica infinita

229

Es fácil establecer, por medio de la fótmula ( 4 ) , que para les n primeros términos de esta serie se tiene

Aquí resulta que cuando ti aumenta. I/(2""*1 tiende a cero y r» tiende a 2. Esto se representa como sigue: í«

= Km j , = 2 ,, t - t X

es decir, la suma de la serie infinita ( 5 ; es 2. y por tanto la serie es convergente. Nótese que la palabra “suma” no tiene aquí el significado ordinario que corresponde al resultado de sumar un número finito de números. n o ta 3. Es un ejercicio interesante representar geométricamente la serie (5) considerando un segmento de 2 unidades de longitud, cuyo ori­ gen sea el origen de coordenadas O y cuyo extremo sea el punto P en el lado positivo del eje A'. Sean P, el punto medio ce O P. P . el punto medio dr P ,P . P , el punto medio de P.P. y así sucesivamente. ¿Cómo hay que interpretar el significado de la longitud de OPn y dr la posición del pun­ to P„ conforme n toma los valores l, 2, 3 , . . . ?

Veamos ahora los valores de smpara los diversos valores de la ra/ón r. 1.a fórmula (4 ) no define a para r 1. En este caso la serie loma l.i forma:

fn de donde es decir, Si r

«i

ai 4-

a

f ...

na,,

r« = lím j * = co, es una sueesión sin límite» y la serie es divergente. I, la serie toma la íormn

Sn= ax— <7, 4-o, — a,

f- . . .

Si n es impar, r* a ,; si n es par, 0. Ya que esto es válido pata todos los valore» de n, se concluye que .i, oscila entre nx y 0. Una serie de este ti|Ni se denomina oscilante, y corresponde también a un caso de diver­ gencia. Ahora consideremos valores de la ra/ón r distintos de it 1. Para esto escribiremos la fórmula 1*1> en la forma: (6)

O, I r

11,1” I r '

r /- I.

l'r n j( ia ¡ o n n

230

•

S i |r >

a,r

1, se c o n c lu y e d e ( 2 ) q u e lím ------------- = m—x> 1 — r

oo, d e d o n d e , p o r ( 6 ) , re -

sulla: rK = lím Sn = oo, ■—00 por ]o que la serie es divergente. Finalmente consideremos el caso en que rj < 1. De (3 } se deduce que «if* lím -------- = 0 de donde, por ( 6 ; , resulta » - * I 1 ---T r«e = lím sm =

fl| l— r *

W< u

y la serie es convergente. Resumimos los resultados anteriores en el teorema siguiente: Teorema 4. Una progresión geom étrica infinita cuyo prim er térm ino es a, y cuya razón es r, es convergente p ara todos los valores de r tales qu e rj < 1, y su sum a está d ad a por

r„=■— lím i, = *x —, |rj< 1, oo I—r en donde n representa el núm ero d e términos. Ijs serie es divergente para todos los dem ás valores d e r. Ejemplo I. Una pelota de huir se deja caer de una altura de 4 me­ tros y cada vez rebota hasta una altura igual a una cuarta pane de la altura alcanzada en el rebote anterior. Calcular el valor de la distancia total recorrida por la pelota hasta que teóricamente quede en reposo. solución . En realidad, debido a la resistencia, la pelota v pora en un tiempo finito, pero después de un cierto número finito de rebotes la distancia recorrida será casi igual al valor teórico que corresponde a un número infinito de rebotes. L a distancia total recorrida teóricamente es igual a la suma de dos progresiones geométricas infinitas: Descensos: 4, I, y4, . . . , Ascensos: 1, y4, . . . Por el teorema 4, el valor buscado es

4

l

16

+ J - y , = ¥

4 + 3 = 6% m c,r0‘

Otro ejemplo de una progresión geométrica infinita lo forman las fracciones decimales periódicas. Tales fracciones decimales tienen un nú-

251

l'roj(rr»jóii xeoinéirir.« infinita

iiumi» ilimitCHlu ilc (¡ín u y «Ir c ierto lut-*;ir en adelante úpam e una cifra, o un conjunto de i ifrua, que si* repite prriódicánicnte. Son ejemplos de fruiciones definíales periódica* y de sus series geométrica* infinitas equi­ valente*:

3 3 0.333 . . . = — + - — + 10

3 — +

un)

1000

15 15 15 2.151515... = 2 f — + - - + — + . . . , 108 104 10° Una fracción decimal periódica puede abreviarse colorando puntos sobro lux cifras que se repiten. Así, en los dos ejemplo* anteriores podemos es­ cribir 0.3 y 2 1 5 , respectivamente. Es posible demostrar que toda frac•ión decimal periódica representa un número racional Ejemplo 2. Hallar la fracción común (número racional) equivalente ti la fracc ión decimal periódica 1.26. SOLUCION. Separamos 1.2, que es la parte que no se repite. Entonces pora 0.06 tenemos 0.06 en donde a t

6 + 6 -h - i 10* 10' 104

0.06 y r

De donde

=

,^

"

0.1, «i

0.06

l— r

I — 0.1

= ,i + i = 15

90

15*

5 + i = ü + i = 5 15 15 15

» . 15

Este resultado puede comprobarse fácilmente por división directa. E JE R C IC IO S. G RU PO 35 E n in f in it a

c a d a

u n o

d r

lo *

e j e r c ic io s

1 -6

I. 1 2 , 6 , 3 . . . . 3. 3. V 3 , I , . . V5 5- V ^ . I, E n

r a d a

u n o

d e c im a i

7. 0 7 . lt.

la

s u m a

de

la

p r o g r e s e n

g e o m é t r ic a

2. 9, — 3, l t . . . 4.

0.123.

d e

V Í , 2 — V T , 3 V 1 — 4S. . .

6 . 1,

5

f r a c c ió o

c a lc u la r

d a d a .

io s

e j e r c ic io *

p e r ió d ir a

d a d a

8. 2.5. 12. 3.201.

7 -1 4 y

1 1- x

h a lla r

c o m p r o b a r

I (I + * ) »

la

f r a c c ió n

e l

r e s u lta d o .

c o m ú n

*> 0. ( s j jiv a k n t t

9 . 0.35.

10

lii.

13. 0 4 5 Í ¿

14. 1 0 3 7 .

a

la

232

P ro g r e s io n e s

15. Comprobar quo t* correrlo el siguiente método para obtener la tracción común equivalente a una fracción «lc« iin.il periódica «I ida en la que »e repite so­ lamente una cifra (la cifra «le las décimas), Se» v la fracción decimal periódica dada. Se multiplica por 10, oblcnltndo 10*. o sea, 10 vece* la fracción decimal dada. Se resta la primera fruición de la segunda, obteniendo 9* que será una fracción decimal finita. Se divide entre 9 y ir simplifica si es necesario; el resul­ tado será la fracción común que se busca Apiñar este método para resolver el ejercicio 7. 16. Extender el método del ejen icio 15 al caso de una fracción decimal pe­ riódica pura (aquélla que el |xríodci empírea en la* décima») con período de dos cifras. Aplicar el método para resolver rl ejercido 9. 17. Extender d método de1 ejercicio 15 al caso de una decimal periódica pura con período de Irrv «¿Ira». Aplicar el método utilizándolo para resolver el ejercicio 14. 18. Una pelota de huir rae de ana altura de 9 metro* y cada vez rebota hasta una tercera parte de la altura alcanzad* m el rrUste anterior. Calcular la distan­ cia total recorrida por 1.1 pelota baila q i r leóriraineme quede cu reposo 19. Una pelota de bule rae de una altura de |0 metro» y cada ve* rebota hasta una quinta parte de la altura aleaneada er> r] nrlotr anterior. Calcular la distan­ cia total recorrida p«»r la pelota baila que teóricamente quede en reposo. 20. La masa de un péndulo recorre ft «m en la primera oscilación En rada oscilación subsecuente U mata recorre ** de la distaraia recorrida en la asolación anterior Calcular la distara ia total recurrida por l i masa del péndulo hasta que teóricamente quede rn reposo. 21. La «urna de una progresión geométrica infinita r» 21',*. el primer ter­ mino r» 16, hallui rl quinto término. 22 La suma dr una progresión geométrica infinita rs R l, Si la razón es luí llar el séptimo término. 23 De la definición de límite, demostrar que el límite dr una rotuluntc es l.i constante misma. 24. Por división directa demostrar que a ,/ (l — r) produre una »rri« ne*>métrica infinita cuyo primer término es a , y cuya razón es r. 25 iM noilrar que en una serie geométrica infinita convergente el enésimo término tiende a erro cuando n —> oc. A’o !a : Esta es una «omlñión necesaria pero no lufirirnir p ira la convergencia de cualquier serie infinita 26. Efectuar con lodo detalle la resolución dr! ejerri» io descrito en la Nota 3 ( Art. 10.5). 27. Kn In serie geométrica infinita I + % 4- <4 + . , , . determinar rl número ntnimo de términos cuya suma difiere de 2 en menos de 0.001. 28 Si a, 4, r están en progresión aritmética, demostrar que a1! 4 4 • » 6*(« I a ), 4 5) están en progresión aritmética. 29 Si ( « —» 4 ) / ( 4 — c ) — ñ f x , demostrar que «s, 4 y t están en progresión aritmética, geométrica o armónica, según que x — s, 6 o c, respe» tivamenlr

30. Si «, 4, e están en progresión aritmética; b, c} á están en progresión grométrica y c, d. t están « progresión anucurj. demostrar que <st t, • están rn pro­ gresión geométrica.

11 Teoría de las ecuaciones 11.1. INTRODUCCION Hemos llegado ahora a un tema muy importante del álgebra, pues vamos a considvrai el problema de la determinación de as raíces de mu ecuación algebraica de cualquier grado, lo cual constituye uno de los objetivos fundamentales de esta ciencia. En particular, este capítulo es­ tar.! dedicado a la ecuación entera racional de grado n: (1 )

a ,x n 'I- a , ar“ : + a sx" z + . . . + a ^ xx + o» = 0,

a n ¿ 0,

en donde n es un número entero y positivo y los coeficientes a ,, a, *on constantes cualesquiera. Nos referiremos a o., con el nombre dr c o efi­ ciente principal, siendo el coeficiente del término dr mayor grado. Para n = I , la ecuación (I rs la ecuación lineal o de prim er grado estudiada en el Capítulo 4; para n 2, la ecuación (Ij es la ecuación cuadrática o de segundo grado, estudiada en «• Capitulo 5. Por tanto, en este capítulo consideraremos ecuaciones drl tipo ( 1 ) para las cuales * > 3. Hemos visto anteriormente que la solución o soluciones de las ecua­ ciones lineales cuadráticas pueden expresarse rn términos de sus coefi­ cientes por medio de un número finito de una O in.is de las seis operacio­ nes del álgebra (Art. H , Teorema \\ Art. 5.4, l i orema 1 ). Una solu­ ción del tipo mencionado v llama solución algebraica (Art. 1.6, definición fu nd am ental)tam bién se le Minia solución por radicales. Existen solu­ ciones algebraicas de la ecuación (I > p a n n 3 (ecuación cúbica) y para n = 4 (ecuación de cuarto grado) ; sin embargo, estas soluciones son muy laboriosas de obtener y no muy prácticas para las aplicaciones ordinarias. En consecuencia, no las estudiaremos aquí. Además de esto, en los tratados superiores de álgebra se demuestra que para n s i 5, la ecuación general entera y tai ¡onal (1) no posee solución algebraica. (Véa­ se el Art, 3.6, Nota 2.) 235

2M

Teoría de las ecuaciones

Ya que no tenemos intención de explicar la resolución algebraica de la ecuación (1) pan» it = 3 y ti 4, y ya que no existe solución algebrai­ ca para n *>, resulta natural preguntar ¿en qué forma nos proponemos resolver una ecuación de grado mayor que 2? Sencillamente, la respuesta es que intentaremos obtener mediante tanteos, con un cierto grado de pre­ cisión, valores aproximado* de las raíces, que aceptaremos o rechazare­ mos, según lo que se obtenga al sustituirlos en la rcunción dada. Debido a que la raíz de tina ecuación puede variar entre un número ¡limitado de valons, es evidente que para que este método sea do valoi práctico deberrinos limitar en forma razonable rl campo de nuestros tanteos. Por trata razón, en los siguii-nu? artículos mostraremos cómo es posible, bajo cier­ tas condiciones, determinar el número, naturaleza y valores posibles de la» raíces, como pasos p reí iminarea a la determinación propiamente di­ cha de la solución de la ecuación dada.

11.2. EL PROBI.KMA ( ÍKNERAL Según rl articulo anterior salta a la vista (pie la discusión completa de las propiedades y resolución de la ecuación general entera y racional es u n problema complicado. Existen t r a t a d o s dedicados exclusivamente al estudio de la tcoria de ecuaciones. Ya que aquí disponemos de un solo capítulo para este tema, nos limitaremos a dar una. introducción a este interesante problema. Seleccionaremos aquellos puntos que serán de ma­ yor utilidad al estudiante, tanto para sus necesidades matemáticas actua­ les como para las que tendrá en el futuro. Más adelante, después de ad­ quirir conocimientos especiales de los temas del cálculo diferencial, el es­ tudiante estará en condiciones de proseguir el estudio de la teoría de ecua­ ciones en tratados superiores. En este articulo indicaremos brevemente la naturaleza y el alcance del capítulo. Aunque los coeficientes dr la ecuación general son constan­ tes cualesquiera, reaies o compiejas. nos limitaremos solamente a la reso­ lución de aquellas ecuaciones cuyos coeficientes sean reales. Además, para una ecuación dada, primeramente pondremos atención a la determina­ ción de las raíces reales, racionales e irracionales, y posteriormente, si es posible, determinaremos las raíces complejas utilizando los métodos ya estudiados. En los artículos que siguen cada teorema y cada procedimien­ to considerados, es presentado con estos objetivos en mente. Por comodidad, de aquí en acelante la ecuación general ( i ) del Art. 11.1 convendremos en representarla en la forma f(x ] — 0. en donde el primer miembro /(x ) , es un polinomio en x de grado n.

255

Teoremas del residuo y del factor

11.3. T E O R E M A S D E L R E S ID U O Y D E L FA C T O R A continuación obtendremos una proposición sencilla, pero sumamen­ te importante, conocida como el teorem a d el residuo. Antes de enunciar formalmente este teorema y de dar su demostración, veremos su signifi­ cado con un ejemplo. Si dividimos el polinomio / (*) = 3x! — 4x* — 2x — 7 entre jr* usan­ do la división algebraica ordinaria (Art. 2 .7 ), obtenemos el cociente Q (x ) = 3 r + 2x — 2 y d residuo R = — 3. Observemos que también se encuentra este último resultado si en el dividendo f[ x ) sustituimos x por el valor 2, o sea /(2) = 3 ( 2 ;* — 4 ( 2 ) * — 2 (2 ) — 7 = — 3. El hecho de que /(2} y el residuo R hayan sido ambos iguales a — 3 puede, por supuesto, deberse simplemente a una coincidencia en este caso particular. Pero vamos a demostrar que esto ocurre en todos los casos. Teorema 1. ( T eo rem a d el residu o). S i el polinom io j ( x ) se divide entre x — r, siendo r una constante in depen diente d e x, e l residuo es igual a f ( r)demostración . ( 1 )

/ ( x )

= s

Escribamos el polinomio /(x) en la forma

a 0X"

4 -

a ; * ' ' ' 1

4

. . .

+

4 *

n m,

a 0 =£

0 .

Entonces (2 ) f[ r) =
/(x) — /(r) »

flo{x* —

r") -

a ,( x ^

—

O

+ ...

4 d n.,(x

— r).

Ahora bien, puede demostrarse por inducción matemática que para todo valor entero y positivo de n, x" — t* es exactamente divisible entre x ~r. (Véase rl ejemplo 6, Grupo 24, Art. 7.3.) Por tanto, por (3) se concluye que f( x ) — f[ r ) es divisible entre x — r. Llamemos Q {x ) el cociente obtenido. Podemos escribir.

de donde

y

/(*) — f\r ) = ( * - r > G ( * ) , /(x) = ( * - r ) Q { x ) 4* /(r), K í L - Q (X) + J i í L . x— r X— r

es decir, rl residuo de la división de /(.«) entre x — r es igual a /(r), como se quería demostrar. Por medio del teorema del residuo podemos establecer otra proposi­ ción importante y útil llamada teorema del factor.

236

T e o r ía d e la s e c u a c io n e s

Teorema 2. (T eo rem a del ¡ a d o r ) . Si r es una raíz d e la ecuación t ntera ¡(x ) = 0, entonces x r es un fa cto r del polinom io j ( x ) f y vi­ ceversa. DEMOSTRACION. Y a que r es una raíz de f[ x ) 0, se deduce, por de­ finición de raíz, que f ( r ) 0. Por olía parte, por el teorema del residuo, el resto de la división de f( x ) entre x — r es R /(r). Luego, R = 0, es decir, la división es exacta y x — r es un factor de f ( x ) . Recíprocamente, si A' r es un factor de / ' * ) , resulta que a — r es un divisor exacto de /(x ) y el residuo R = 0. Por tanto, por el teorema del residuo, R /(r) - 0 y r es una raíz de f( x ) = 0. nota. Conviene notar que el Teorema 4 (Art. 5 .5 ), para una ecua­ ción cuadrática, es un caso especial del Teorema 2.

Ejemplo 1. Sin efectuar la división, calcular el residuo que se obtie­ ne al dividir el polinomio f(x ) = a* - 5x:l + 3xJ — 4 a — 7 entre a 4- 3. solución . Por el teorema del residuo, el resto que se obtiene al divi­ dir el polinomio dado / ( a ) entre x T 3 es

/{ - 3 ) =

3 ) 4 - 5 (— 31

4- 5 (— 3 )* — 4 (— 3) — 7 = «1 — 135 4- 45 4* 12 — 7 = — 4.

Se puede comprobar fácilmente este resultado efectuando la división. Ejemplo 2. Por medio del teorema del factor, demostrar que x — 5 es un factor de /{x) = x ’ — 8xJ 4 19x — 20. solución ,

x — 5 será factor de ¡ ( x ) si /(5)

/{5) = 5 * — 8 •5* 4" 19 •5 — 20 -

0. Y efectivamente

125 — 200 + 95 — 20

0.

Ejemplo 3. Por medio del teorema del residuo, demostrar que a" a" es divisible exactamente entre x — a para todo valor entero y positivo de n. solución .

/(*) = x" —

Por el teorema del residuo, el resto de la división de entre x a es /(a ) = a" — a" — 0. Luego la división

es exacta. Este resultado también puede obtenerse por inducción matemática. (Véanse ejercicios 6 y 7 del Grupo 24, Art. 7.3.)

11.4. D IV ISIO N S IN T E T IC A Como liemos visto en el articulo anterior, el teorema del residuo nos permite obtener el valor del polinomio f ( x ) para valores determinados de a sin hacer la sustitución directa. Pi ro esto requiere la división de un

D iv is ió n s in té tic a

237

polinomio entre un binomio, y la operación puede resultar bastante larga si se utiliza la división ordinaria. Hay un método para efectuar rápida­ mente esta división conocido como división sintética. Vamos a explicarlo efectuando la división del polinomio 3x* 4x* — 2x - 7 entre x — 2. Por división algebraica ordinaria (A rt 2 .7 ), la operación se dispone como sigue: 3x* + 2x + 2 (Cociente) x — 2j3x* — 4xa — 2x — 7 3x* — 2xa — 2.t 2xa — 4*

2x —7

4

2x — — 3 ( Residuo). Ahora procederemos a abreviar el esquema anterior tamo como sea posible. Y a que los polinomios se escriben ordenados de acuerdo con las potencias descendentes de .t, pocemos omitir tales potencias y conservar solamente sus coeficientes. Además, ya que el coeficiente de x en el divi­ sor es la unidad, el primer término de cada producto parcial es una repe­ tición del termino que está inmediatamente sobre él, y por tanto puede ser omitido. También, ya que el segundo termino de cada residuo parcial es una repetición del termino que está sobre él en el dividendo, puede ser omitido. Por comodidad, omitimos el primer término del divisor y colocamos el término constante a la derecha del dividendo. Además, ya que cada coeficiente del cociente, con excepción del primero, está repre­ sentado por el primer coeficiente del residuo parcial resulta que todo el cociente puede omitirse. Con todas estas omisiones la división se reduce a lo siguiente: 3 —4— 2— 7 —

|— 2

6 2 —4 2 — 4 —3

Puede escribirse ocupando menos espacio disponiendo el esquema en tres lincas y repitiendo el coeficiente principal en la tercera: 3—4 - 2 - 7 — 6— 4—4 3 4 2 I 2 3

|- 2

238

Teoría de las ecuaciones

Si cambiamos el signo del término que representa al divisor, podre­ mos sumar los productos parciales en lugar de restarlos. Esto es deseable pues el residuo obtenido como resultado de esta división es el valor de f ' x ) cuando el valor de x es 2 y no — 2. En consecuencia, la forma final de nuestra división queda como sigue: 3 — 4 — 2— 7 - 6 + 4 + 4 3 + 2 + 2 —3

[2

Ei cociente 3x2 — 2x + 2 se construye utilizando la tercera línea, y el residuo, separado de esta línea tal como * indica, es — 3. Regla para la división sintética Para dividir un polinomio f ( x ) entre x — r, se procede como sigue: En la primera linea se escriben en orden los coeficientes c ., a u a . , . . , e* del dividendo f ( x ) , y el número r separado y a la derecha. Si alguna potencia de x no aparece en f( x ) su coeficiente se escribe como cero. S e escribe el coeficiente principal c«, como primer término de la ter­ cera línea y se multiplica por r, escribiendo el producto en la segunda linca debajo de o,. Se suma n, ron el producto a,,r y se escribe la suma
Después de practicar un poco, el estudiante estará en condiciones He efectuar la operación de división «¡mélica, con gran rapidez. Ilustramos la regla en el siguiente Ejemplo. Por división sintética, hallar el cociente y el residuo de la división de 2x* 1 3xJ .v — 3 entre x -t 2. solución . Primeramente observamos que como el dividendo carece del término en x\ pondremos el coeficiente cero en esc lugar. Además, ya que vamos a dividir entre x h 2 x (2 ) X — r, deberemos tomar r 2. La operación se dispone como sigue:

División sintética

239

2 -H 3 + O — l — 3 — 2 4 + 2 f + 10 2— 1+ 2 5 1 +7 Por tanto, rl cociente rs 2.x' — x ¿ f 2 * — f> y el residuo es 7. E JE R C IC IO S. G RU PO 36 En tilda uno «Ir Un ejercidos 1-4 demostrar el enunciado (lacio por medio d<*l irorniM drl residuo sabiendo que n es un número entero y podtivo. 1, c" am r» diviiihle rxarlamcntc entrr * t a li nts par 2, c* t- /i" r» divisible exnrtnmrnlr rnlre x I « si * «*» impar 3, »* t nm no r% divisiblr exactamente entra x n si n rs par. 4, c* f a* no es divisible exactamente entre x a si « es par. En cnd.» uno de lo* ejtrririoi VIO hallar lo» valores tiue « ' piden drl polino­ mio dado usando la división sintética y «I teorema de residuo.

5, /(*) • 2c* —3ca I 3* fi. /(*)

7; ({2). /<— I )

-3c< — 3 * ' I 2c»

7x | B; / (1), /(— 2 ).

7. f[x) - x * — 2c‘ — 3*’ - -2 x — B; /(3). /(- t). B. /(je) - 2x* 3 c3 4 3c 2; /<•&), /(- Mi). 9. /(jt)- 9x* 3je* 4 2* I : / (M i), f { 0.1). 10. /<*} - jc* — 2 j»* H 3c

2| /(0.2), /(

0.1}.

En crula una dr lo» ejercicio» 11-1!» obtener el cociente y r| residuo usando la división sintética. 11. (x3 4- 4x* 7x — 2) + {x 4- 2 ). 12. (x* f 2** — I0x3 — I U - 7 ) -$■ <x — 3 ).

13. (xf — x* -í- *= — 2)

(x — 1).

14. (2 c 1— 14c3 4- 8c1 4- 7} > + J). 15. (4 jt* — 3x* + 3c - 7 ) + (x - V*). En cada uno de los ejercicios 16-20 averiguar, usando el teorema del factor f la división sintética, si el binomio dado es factor del polinomio dado 16 * — 1; / (*) = x* + 2x3 4c + I 17. a 4- 2 ; / (* ) - x* — Sx» - 2c* + 5 * - 9. 18 a - 3 ; f( x ) «= x> 4- - x * — lx - 4- 5 c — 3 19 x — 5 ; /(x) = x« — 5x* — c + 5 20. x — 2 ; / (*) - x « — 5x* - 3 ** — c* + 7. En cada uno de tus ejercicios 21-25 averiguar, usando el teorema dd factor y la división sintética si la c tu c ió s dada tiene la rail que se indica 21. ** — 9c= 4 26c — 24 - 0 ; c = 2. 22- x* 4- 5x> 4- 4x s — 7x — 3 - 0 ; ---------3. 23 2x* 4- 10 jt* 4- l l x 3 — 2c 4 5 - 0 ; c ------ 2. 24. 3c* — x* - 2x* — 4c3 4- Ja — 10 - 0 ; x — 1. 25. 5c* + 3c»— 2c* — 7 * 1 4- I = 0 ; x - I. En cada uno de k « ejercicio* 26-30 utilizar el teorema del factor y l» división sintética para obtrnrr el resultado que se pide. 26. Demostrar que * — 3 e* un factor de x 5 — 2x» — 23c 4- 60. y hallar lo» factores restantes.

T e o r í a d e la s e c u a c io n e s

240

27. Demostrar que x I y x +■ 2 son Tactores de x* 4 2x* — 7x8x + 12, y hallar los Tactores restantes. 28. Hallar, por tanteo, todos los factores reales de x 4 x:1 4 * * — 5 * — 3. 29. Comprobar que dos de las raíces de x l 4 x s — 16x2 4x -1- 48 = 0 son 2 y — 4. y hallar las raíces restantes 30. Hallar, por tanteo, todas las raíces de la ecuación ^ _ *» _ 2x¿ — 2x 4- 4 - 0. 31. Usar la división sintética para hallar el cociente y el residuo de 2ar*— 5x9 • 3x* — x 4 3 dividido entre 2* — I. Sugerencia: Efectuar la división sintética entre x — y luego dividir el cociente enínf 2. 32. Usar la división sintética para hallar el cociente y el residuo de 3a4 1 2x3 + 5x* — 5 * — 3 dividido entre 3x — I. 33. Usar el teorema del residuo para hallar r| valor de k que haga que el po­ linomio 3jc3 — 2-t3 - k x — 8 sea divisible exactamente entre x 2. 34. Hallar el valor que debe tener k para que el polinomio 2xs I kx3x - 4 sea divisible exactamente entre .e + I . 35. Hallar el valor que debe tener k para que al dividir x* 4 2x* — 3xf kx — 7 entre x — 2, el residuo sea 3. 36. Hallar el valor que debe tener k para que al dividir 4 *3 I Avr2 2x + 5 entre x — I, el residuo sea 5. 37. Hallar los valores de a y b que hagan que x — 1 y x 2 sean factores del polinomio x* -| cjc* bx — 2. 38. Hallar los valores de ¿ y b que haean que 2 y -3 sean raíces de la ecua­ ción x* 4 or5 4- ax'£ 4 bx -f 30 = D. 39 Demostrar que la ecuación entera f{ x ) 0 tiene la raiz .r - 1 si la suma de sus coeficientes es igual a cero. 40. Demostrar por inducción matemática que la regla para la división sintéti­ ca (Art. 11.4} tiene validez general.

11.5.

G R A FIC A DF. l'N PO L IN O M IO

Hemos considerado anteriormente la representación gráfica de fun­ ciones algebraicas (Arts. 3.9 y 9.4) y hemos apreciado sus múltiples ven­ tajas. Por este motivo ahora estudiaremos el problema general de la cons­ trucción e interpretación de la gráfica del polinomio / (*). Podemos re­ cordar que se mencionó (Art. 3.9) que por métodos de cálculo diferen­ cial se demuestra que la gráfica es una curva uniforme y continua. Pronto veremos que este hecho es de gran valor en la localización de los ceros 0 reales de f {x) y por tanto ¿e las raíces reales de la ecuación f(x ) (Art. 4 .2 ) .' Ejemplo 1. Construir la gráfica del polinomio (1 )

f ( x ) =.x4 — jc8 — 12^2 4- Bx + 24.

y localizar las raíces reales de la ecuación f ( x ) - 0.

Gráfica de un polinomio

241

solución . Primeramente obtendremos ias coordenadas de un número adecuado de puntos de la gráfica. Anteriormente las ordenadas se calcu­ laron por sustitución en f{ x ) de los valores asignados a x. Sin embargo, en muchos casos pueden obtenerse con menos esfuerzo utilizando la divi­ sión sintética. En este ejemplo, y en otros que se darán más adelante, se apreciarán algunas ventajas adicionales de la división sintética. La primera pregunta que se presenta es acerca de los valores que deben asignarse a x. General­ mente conviene empezar con los valores de x 0, — 1, ± 2 . etc., continuan­ do mientras nos dé información útil acerca de las raíces reales. Por ejem­ plo, para la función (1 ), obtenemos los siguientes pares de valores co­ rrespondientes:

x i 0 f x) 24

l 20

2 0

3 —6

4 56

—1 6

—2 — 16

—3 0

—4 120

La razón para no continuar más allá de x = _ 4 resulta clara de las di­ visiones sintéticas para x 4 y x = —4 . como se muestra a continuación. 1 — 1 — 12 + 8 + 24 + 4 + 12 + 0 - r 32 1 + 3 + 0 + 8 1+56

|4

i_

i_

12 +

8 +

24

[— 4

- 4 - 20 — 32 + 96 1 — 5 + 8 — 2 4 1 + 120

Para x = 4 todos los números en la tercera línea de la división sinté­ tica son positivos o cero. Por tanto, para un valor de x > 4 el residuo será positivo y mayor que 5 6 ; en consecuencia no existe un cero real mayor que 4. Análogamente, para x = - f todos los números en la tercera linea r la tabla de valores resulta que 2 y — 3 son ceros de f( x ) y. por tan­ to, son raíces de / (*) = 0. Además observamos que /(*) cambia de un valor negativo ( —6,i a mi valor positivo (56) cuando .v cambia de 3 a 4. Ya que f ( x ) tiene una o ática continua, esto significa que /(je) pasa por un valor nulo y que. ¡»or tanto, corta al eje .Y una vez por lo menos entre x 3 y x - 4. Esto •\ la ecuación /(.«) = 0 posee por io menos una raíz real entre 3 y 4. +«m un razonamiento análogo, vemos que ¡(x ) = 0 posee por lo menos una raíz real entre — 1 y — 2. laicalizando los puntos cuyas coordenadas aparecen en la tabla, y Ira/ando una curva continua que pase por dios, obtenemos la gráfica

Teoría de ecuaciones

242

mostrada en la figura 37. Y como en el articulo siguiente veremos que una ecuación de cuarto graco tiene exactamente cuatro raicé5. resulta que hemos hallado todas las rakes de f { x ) = 0. Y

En el ejemplo anterior estudiamos una ecuación cuyas raíces son todas reales y diferentes En seguida cónsul eraremos una ecuación cuyas ralees no son todas reales y no son todas diferentes. Si dos de las mices de una ecuación son iguales, decimos que existe una ra h d oble, si tres de las raíces son iguales m* habla de una rale triple, etcétera En general se dice que las ralees mencionadas están repetidas o que m u i raíces múltiple*. Si una ecuación tiene m mices iguales u r, entonces v dice que r es una tale d e m ultiplicidad w. En el siguiente ejemplo consideraremos una ecuación que tiene mices múltiples y raíces complejas. Ejemplo 2. Construir la gráfica del polinomio

(2)

/( *) = ( * + I )»{.v — 2» {** + * + 1),

y analizar las ra icn de f ( x ) - 0. aoLt'cioN. Generalmente el jiolinomio no está dado en forro:» fuetorr/adn como en ( 2 ) , pero frecuentemente r» posible obtener dicha

Gráfica de un polinomio

24.3

forma por tanteo», usando el teorema del factor y la división sintética. Tor l«»» métodos estudiados en el Capitulo 5 podemos demostrar que el factor cuadrátiro a3 - x 4- I es irreducible en el campo tic los números leales y que tiene como ceros a los números complejos conjugados I-

V 3*

La ecuación / {*)

() tiene pues la raí* doble — 1, a rafee

triple 2, y las ra ía s complejas conjugadas

I i V 3i

2

t onitruyamoj la gráfica de /(*) para ver lo que ocu nr con las railes múltiples. Para mayor precisión tomemos valores de x en intervalos de • i . »orno se muestra en l.t tabla que acompaña a la gráfica en la figura 3B.

Observamos que en el punto correspondiente a la raíz doble — I, la grále a rs tangente al eje A\ y no lo corta; esto es característico de una • »i/ múltiple de multiplicidad par. También podemos demostrar esto uuind) rl método de desigualdades (Capitulo 6 aplicando ai polinomio l< *) rn la vecindad del valor critico jt = — I Para x ligeramente mayor »• m o r que — |. el factor [x + 1 )s es positivo, el factor (x — 2>* es > el factor cuadrático x' 4- x + 1 es positivo. Por tanto. f{ x ) r» •»..ii vo y no c o r a al eje X en x = — I. También observamos que en el punto correspondiente a la raí/ triple • !-• ifica e» tangente al eje X y io c o r a en ese pimío; esto es cararu » tli o d< una raí/ múltiple de multiplicidad impar. Esto puede coini|Mr»t».irv aplicando el método de desigualdades a! polinomio í ' ai en la oil.iil del valor critico x = 2. Para a iberamente menor que 2, t • • I ) 1 r* positivo, Ja — 2 11 es negativo y Xa + x + I es positivo; por «ruto f ( x » es negativo Para x ligeramente mayor que 2. (x 4- 1 ) 2 es powii\i>, (x 2 )* es positivo y r + r - 1 es positivo: por tanto /{xI es

244

T e o r ía d e e c u a c io n e s

positivo. Ya que f( x ) cambia de signo aJ pasar de la izquierda a la dere­ cha de x 2. se concluye, por la continuidad de la función, que la gráfica deb<* cortar al eje A' en x = 2. Para el factor cuadra tico x2 + x 1, que es siempre positivo y que no posee ceros reales, no corresponden puntos sobre el eje X. Del análisis de estos dos ejemplos, hemos obtenido algunas conclusio­ nes importantes en relación a la gráfica de un polinomio y de la ecua­ ción entera racional correspondiente. Para fácil referencia proporciona­ mos un resumen de las propiedades mencionadas. La demostración rigu­ rosa de varios de estos enunciados podrá encontrarse en tratados más superiores. Características del polinomio f ( x ) con coeficientes reales y de la ecuación entera f ( x ) 0 Si en la división sintética de f ( x ) entre x — r, siendo r positivo, todos los números en la tercera línea son positivos o nulos, entonces f { x ) 0 no posee raíces reales mayores que r. Si en la división sintética de f(x ) entre x — r, donde r es negativo, los números en la tercera linea alternan en signo, entonces f ( x ) = 0 no posee ralees reales menores que r. Si a y b son dos números reales tales que f { a ) y f( b ) tienen signos opuestos, entonces la gráfica de /(*) corta el eje X por lo menos una vez entre x a y x fe, y la ecuación f ( x ) 0 tiene por lo menos una raíz real entre a y fe. Si r es una raíz real no repetida de f( x ) 0, entonces la gráfica de /{x ) corta el eje A en * r pero no es tangente a él en esc punto. Sea r una raíz real repetida de multiplicidad m de f ( x ) = 0. Si ni es par, la gráfica de /■'x ) es tangente al eje X en j r = r ju ro no corta el eje X en ese punto. Si m es impar, la gráfica de J { x ) es tangente al eje X en x r y corta el eje X en ese punto. E JE R C IC IO S. G RU PO 37 En rada uno de los ejercicios 1*14, construir la grifú a de) polinomio dado y hallar las raíces reales de la ecuación f'x ) 0.

1. /(*) - * a — 6*s 4- 11* — 6. 2 . /(*)

2 x ¿ — 5 * — t>. 3. /(*) = *» — 2x¿ Bx. 4. /(*} - * 3 x* * 2. 5. /(*} =* *4— 5*2 4 4.

6. /(*) - ** — 13*2 — 12*. 7. /<*} - *< — 3*2 ít. / (*) = *< — 2 *3

11*2 + 25* - 12. 12*2 ,. 2* - ||.

N ú m e r o d e ra íc e s

245

9. / (*) = x* —-3x* — 17*2 4 2 1 * + 34. 10. / ( * ) - * « — 4 * * + 7 * — 4 .

11. / (*)

~

X* +

4 ** + *= — 16x — 20.

12. /(*) - *4— 2x* — 4*= — 16*. 13. /(* ) - * n 4- *»

5*3

xt

H . /(*; = * » — * * — a*-- + 8*a -

a* — 4.

i 6 * — 16 .

Un cada uno de los ejercicios 15-18 trazar la gráfica de /(Jcj sin efectuar los producto* indicados. 15. /;*) - ( * — n * ( * + 2)3. 16 /(*) - * ( * + 3> »(* — 4)2. 17 / (*) - ( * -u 2 ) * ( * — !)» (*= + 1). Ul / (*) - ( * 4- 2 ) ( * — 2 ) 2( * 4 ) 4. I n cada uno de los ejercicios 19-23, resolver la ineruarión dada. I " *3 — 6*2 _ I I * — 6 > 0. 20. * 4 — 10** 4- 9 > 0.

21. * 4 -r 2 *3 — * — 2 > 0. 22. * 4 4- *3 — * - — 7* — 6 < 0. ‘ * * r* 2 *4 — 4 * :‘ + 4*2 - - 5 * 4- 6 > 0. .*1 l’oinando romo base la continuidad de la función polinomial / {* ), deiniitirar que si a y ¿ son dos números reales tales que f [ a ) y /(&) lienen el misino •Im'*". entonce» la ecuación / (*) — 0 o hien no tiene raíces reales entre a y b o tiene mi número par de raíces reales rnlre a y b. 23. Tomando como base la continuidad de la función polinomial / (* ), demos"•*» M"* *i c y ¿ son dos números reales tales que f i a ) y f ( í ) tienen signos con• ' entonces la ecuación f { x) 0 tiene un número impar de raíces reales •ion K y b.

li.K

N U M E R O D E R A IC ES

Y i hemos visto que la ecuación lineal tiene una sola raíz y que la m nación cuadrática tiene exactamente dos. Estos son casos particulares ............. .. general que dice que toda ecuación entera de grado n tiene r»m b'mente n raíces. Para demostrar esto primeramente necesitamos de...... . I teorema fundamental del álgebra. I mi n iu ó. (T eo rem a fundam ental d el álgebra). Una ecuación ent n a /) V' : 0 tiene por lo m enor una raíz, ya sea real o com pleja. I .» demostración de este teorema, conocido como el teorem a funda'frliUiW d el álgebra, requiere métodos que están fuera del alcance de este 'don l'm tanto supondrem os su validez y lo usaremos para establecer el o on mu \¡guien te: I •ni ruin 4. Una ecuación entera f( x ) = 0. de grado n, tiene exac­ tam ente n ralees.

Teoría de ecuaciones

24¿ demostración .

Representemos la ecuación entera de grado n en la

forma f1)

/ (*) = s©*" -f a ,**"' + a -* * '5 + . . . + a».,x + a n = 0,

a*

0.

Por el teorema 3, la ecuación ( I ) tiene por lo menos una raí*, diga­ mos ri. Por tanto, por el teorema dd factor (Art. 11.3, Teorema 2 !. x — r, es un factor de f í x ) , y podemos escribir f{ x ) = ( * — r ,) & ( * ) , en donde Q -.(x' es un polinomio de grado n — 1 con coeficiente prin­ cipal a ,. Por el Teorema 3, Qi [x ) = 0 posee por lo menos una rabt, digamos r2. Por tanto, por d teorema del factor, x — r: es un factor de Q i[ x ) t y po­ demos escribir / (ai *

( * — rx) ( * — rai( 2 * ( * ) r

en donde Q*(ar) es un polinomio de grado n — 2 con coeficiente prin­ cipal Oy. Continuando con este proceso n veces, obtenemos k factores lineales y un último cociente que será simplemente el coeficiente principal a*. Por tanto, podemos escribir (1 ) en la forma (2 )

f( x ) -. a n(x

r ,) ( x

r «) . . . ( A*

r„)

0

en donde rt, »2, . . . , rn son n míre* de la ecuación (1) . Ahora demostraremos que estas son las únicas raicé» dr { ! ) . Supon­ gamos que r, que representa un número diferente «Ir cualquiera de las raíces mencionadas, es también una ral/ de la ecuación (1) . Sustituyendo este valor en ( 2) , obtenemos / (*) m « n ( r — r»J (r

f») . . . ( f -

r„)

ü.

Pero esto es imponible porque todos los factores a ,, r - r,, r rv, . . . , r r* son distinto* de cero. Por tanto, la rnmción ( l ) tiene exac tórnenle n raíces, como se quería demostrar. nota . Cualquiera de las raíces de la ec unción ( I i puede* ser real o compleja, y cualquiera de clin» puede estar repetida. Una miz repetida de multiplicidad m se cuenta como m raíces.

lai furnia facton/ada de la ecuación entera, dada por la ecuación (2) , sugiere un método directo para constituí una ecuación de raíces dadas. I'.jeniplo 1. Constmir la ecuación entera que tiene las mices diíerentes I y ^ y la raíz doble 2.

247

Número de raicé»

«ou*aioK. El primer miembro de I.» ecuación buscada tiene lew- fac­ tores x 1, x + 3, y ( x - 2 ) * . Por tanto, !n ccuat iún c* o ie a

rt

(je— 1) (jt I- 3 ) ( * - 2 ) 3 = 0 x* — 2xa 7x* 4 - 2 0 * — 12 0.

En relación con la demostración del Teorema 4, para la primera rafee ó c f(x ) 0, se em t ibió ¡ ( x ) -m ( x —

tí

) Q 1' x ) ,

en donde (¿i(*)» es un polinomio de tarado n — I que corresponde al .« — 4 0, y hallar las raíces restantes. ¿SOLUCION. Primeramente comprobamos que 2 es una raíz usando la división ¿m élica: 1 - 1— 2— 6 — 4 - 2 —6 4 -8 4 -4 1 — 3 - 4 4 - 2 |+ 0

(2

I -cuación reducida es x' + 3 jt + 4.x 4- 2 = 0. Ahora utilizaremos esta r%u.irión, en lugar de la original, para comprobar q u e — 1 es u n a raíz. Asi obtenemos, por división sintética, 1 -3 ^ 4 4 -2 — 1— ^ 2 I 4 - 2 + 2 4-0

|— 1

l !-• £• r-d ! s afr-r;- !.» »•.: ación cuadrática r 1 2x * 2 0 1'4Ó-.. I ti. ' S ¡ ir ¡I- I , . I -.-Tin- ir- f.V . n t r p •: I.i f-’-ni, .» . . n s|*» dirnte, obtmii'-ndose los números complejos conjugados —1 -± i. ff

IM Teorema 4 se deduce el siguiente importante tcornna: Teorema 5. Si dos polinom ios, ca d a «no d e ellos de grado no mayor •I*' n. ion idénticam ente iguales, los coeficien tes de potenciar análogas •I» /<» variable ton iguales.

2-18

Teoría de ecuaciones

i*Fmomrac.ion . Sean los dos poliiioiiiios: P i(x ) a ax* 41 I . . -I nH .x I a n, P i(x ) = b,,xn 4- b tx* ' 4- . . . -í bn-\X 4- í>*. Ya que /’■(*) ■a/'u{ x ) , se concluye qur P ,(X )

P ,(x )m O ,

OM , (3)

(a„

b„)xM4- (a, — b t )x*-' I . . . L (fl*-,

A, . , ) * - a , — bm = í).

Ahora bien, por el Teorema 4, existen exactamente n valore» de x pura los cuales la relación (3 ) se cumple. Por tanto, para que la rela­ ción (3) sea una identidad, es decir, para que ie cumpla para todos lo» valore» de x, «pie naturalmente son más de n valores, los coeficientes de la relación (3 ) deben ser todos nulos. En otras palabras, debemos tener a0 — bn = 0,

de donde

u, — b\ : 0 , . . . ,

a„ = b 0t

a, «= b t l. . . ,

on —

- 0,

tí* = ó*,

como se quería demostrar. Corolario. Si dos polinom ios, cada uno d r ellos d e grado no mayor qu e n, son iguales para más de n calores diferentes d e la variablet los coeficien tes d e las potencias an áloga« son igualen y la igualdad es una identidad. Ejemplo 3. Hallar los valores de A, B, y C para que se verifique la siguiente identidad: 2x* — 3jc— 11 =

— 1) 4- B[x= - 3 x + 2> + C(x= 4- x — 1 ).

solución . Escribiendo el segundo miembro corno un polinomio en potencia de x , tenemos

2 ** — 3jc-

11 = (A 4- B + C x* 4- (3 B 4- C . x — A - 2B — 2C.

De acuerdo con el Teorema 5, para que esta identidad se cumpla, los coeficientes de las potencias análogas deben ser iguales. Por tanto, debe­ mos tener A 4- B 4- C. = 2,

3 £ 4- C = — 3,

— A 4- 2 5 — 2C = — 11.

La solución de este sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es A = 1, B = — 2 y C — 3, que son los valores buscados. E JE R C IC IO S. G R U PO 38 En o d a uno de !os ejercicio, 1-12. construir la ecuarión entera que tersa las raíces qur te indican.

Naturaleza de las raicé*

1 l . - l . 2. 4.

5 ,

7.

1= V I 2 ± V3

1 0

i

1 . 4 .

±

1

\ fz

±

i.

Z

M í.

5 .

i, i

8 .

I. 1.

1 1 .

2.

—

3. 2. —2. 4, - 3 .

—3.

i.

249

1 ±

- 2

5 ,

VT.

6.

—2.

9.

1 ± 2».

12.

,

*’ 2. *

2V2 2 3, 1. 1. 1.

±

’

,

=

2

i

En cada uno de loa ejercicios 13-20. comprobar que La ecuación dada tiene romo raicea ios valores indicados de r. y hallar las raíces restante». 13. * » - - 7 x - _ 6 - 0 , r - 3. 14. 3x» — X * — 3x + 1 - 0 , r - ! i 15 x 1 - —6x- + l l x — 10 - 0 , r - 2. 16 6 x ‘ — 41x* + 64x2 + 19x — 12 - 0 , T * 4 , — 17 *• — x* - - 9 x 5 ^ 3x + 18 - 0. r •- 3 , — 2. 18 2x* — Ix •— 14x5 + 2x + 4 - 0 . r — - - 2 . 19 x* -h 4 x ' — x * - Itxr — 2 0 - 0 . » - 1. — 5. 20. 3x« + l l x 3 34x5 + 46x — 12 - o, r - M u - 6 .

21. Comprobar que la ecuarión x* — l lx 5 - 12a + 4 — 0 tiene la raíz doble —2. y hallar las raíces restantes. 22 Comprobar que la ecuación 8a1 44 x4 + 94x*— 85xr + J 4 x — 5 — 0 tiene la raw Inplr U y hallar las raicé» restantes. En cada uno de lo* ejercicio* 25-25. bailar los valores de d . fl y C para qur se cumpla la identidad dada. 2y 5 * 4 I S A f * + 2) + B\x — I ) . 24. 7x* + 3 * B m A ( x * I x — 6 ) * B(x» 4- 4* + 3 ) + CU » a 2 ). 23. x 2 = 3 d (** + x + l ) » (flx I C )(x + 1).

11.7. N A TU RA LEZA DE LAS R A IC ES En cite articulo continuaremos tratando de reducir rl trabajo asocia­ do con la determinación de las ralees de una ecuación entera f(x ) 0. En particular, consideraremos varios teoremas con los que es posible obte­ ner alminn información acerca de lu naturaleza de las raíces antes de emprender la resolución propiamente dicha. Por ejemplo, el teorema si­ guiente trata de las raiccs complejas. Tcnrmin (i. Si un núnuro com plejo o I bi es raí: tic la ecuación m in a f ( x) 0 con coeficien te! reales, talon ees su conjugado a bi tam bién es raíz di la ecuación. demostración .

(II

Si se sustituye x |k>i a + bi en la ecuación dada:

o,,** 4- a ,x " * 4 . . . -1 a m ,x 4 a n =■ 0,

resulta que al calcular e l primer miembrn las potencias pares de bi pro­ ducirán números reales, mientras que las potencias impares de bi produci-

250

Teoría de ecuaciones

i.tn diversos múltiplos de la unidad imaginaria «. Representemos por A I.» suma algebraica d«* lodo» los número» redes que resultan de esta susti­ tución, y por fíi la suma algebraica de todos lo» números imaginarios rrsuliantes, en donde fí es un número real. Entonces, ya que a + bi es una raíz de ( I ), tenemos (2 )

A + m = 0,

en donde, por la definición de número complejo nulo (Art. 8 .2 ), debe ser (3)

A = 0

y

fi = 0.

Si ahora sustituimos x por a bi en el primer miembro de (1) , las potencias pares de bi serán las mismas que las potencias pares de 6», mientras que las potencias impares de b i .sólo diferirán en el signo de las potencias impares de bi. Por tanto, dando a A y fí el mismo significa^ do de antes, el resultado de esta sustitución será A fíi, y según ( 3) , podernos escribir A - fíi = 0. Por tamo, a demostrar,

bi es una raíz de la ecuación ( 1) , como se quería

Como una consecuencia inmediata de este teorema, tenemos los co­ rolarios siguientes: Corolario 1. U ne ecuación en tera con coeficien tes reales y de grado im par d ebe tener p or lo menos una raí: real. También podemos obtener del Teorema 6 otro res..hado muy impor­ tante. Representemos por a -± bi un par de raíces complejas conjugadas de la ecuación ' 1) . Entonces, por el teorema del factor 'Are. 11.3), * — ' . a b i ) y x — i a — bi) serán factores del polinomio f ( x ) . Por tamo, su producto (jt — a — bi) (x — a — bi) = x: — 2ax —
x * — 5x* + 7xr — 7x — 0 = 0,

hallar las raíces restantes.

Naturaleza de Las raíces

251

solocion . Por el Teorema 6 r el complejo conjugado 1 — 2i es tam­ bién una raí/ de ( 4*. Por tanto ( x — 1 — 2 í' [x — 1 4 2 m = x3 2x - 5 es un factor de; primer miembro de (4». Por división se encuentra que el otro factor es x5 — 3x — 4. Esto nos da la ecuación reducida x2 — 3x — 4 = 0 cuyas raíces son - 1 y 4. Dor tanto, las raíces buscadas

son I — 2x, — 1 y 4. Existe un teorema sobre raíces irracionales análogo al Teorema 6. Sean a y b dos números racionales y sea X b un número irracional. E n ­ tonces a — V b se llama binom io irracional cu adrática y e — V b se llama binom io irracional cuadrática con ju gado. (Veas.* nota. Art. 5.5t». Por un método análogo al empicado en la demostración del Teorema 6, puede establecerse el teorema siguiente: Teorema 7. S i un binom io irracional cuadrática a 4- V b a raíz de la ecuación entera f { x ) = 0 con coeficien tes raciónale?, entonces el bino­ m io irracional cu aar ático a — V b tam bién es raíz de la ecuación m o ta . Al final del Art. 2.8 sobre campos de números se afirmó que una propiedad o teorema que se cumple en un campo puede no cumplirse en otro campo. Los Teoremas ó y 7 son ejemplos de esto. Asi, en relación con el Teorema 6, si a f b i re una rar/ d e una ecuación entera cuyos coeficiente» no son todos números reales, entonces no necesariamente se sigue que el conjugado a bi también es raía de la ecuación.

EJERCICIOS. GRUPO 39 Rn cutía uno de la» ojeo ido» 1-12, w d in una. ralee» ür la rcuanén Hallar la» rntcni retíante»

1. Xa 4. Xa - - ♦ r | 6 - 0 ; 1 i, 4xa 1 I4x • 20 - 0; 1 4- 3i. 2. X ' 3. A* 6*' 1 14*a 14* 4* 3 0 ; 2 i. 4. X» 4 X-1 *I- Xa + 11x4* 10 * 0; 1 4 2 i. 3 - ü; VT. 5. A’ 1 X» - bx V 2. 6 x'1 6x* 1 7x 4 1 - 0; I 9x* + 27 x* - .33* 4- 14 0; 3 ♦ V ?. 7. X* 6x9 • 14* 4 12 - 0; l 8. X * 3xJ V* 9 X» 7x* 1 16* 32xa + 15* 2f> 0; i, 1 x» 4 6x • 2 - 0; V í . * - V 2. 10 X* x* - 3x* — 40** + I6x - 0; 2 1 V*2, 2 4* 2i Sx* + 26x’ II A*1 — 4x« flx* 77x'J 4 9()x 1 360 - 0; V>, 3«. X *' lx12 Ki| ruda uno de lo» ejercirio» 13-13, construir lu eruarión de menor gr ido con roefirlenu'* rculr», que iniRU lo» ratee» indicad*». 13. 2 4 4», 2» 13. 2 , 3 + L 15 I. 3. I I- 21

252

Teoría tic ecuaciones

En cada uno de los rjerricJot Ib-IN, hallar la ecuación de menor grado, con coeficiente» rarion.ile», que tenga la« r.»Wr* indicadas. 1 6.

1.

I

i

Vi

1 7.

2 ,

—

3 .

2

V

T

.

18.

V i,

I

V T .

En cada uno de lo* rjrrrin o t I *>-21, expresar el polinomio dado como p r ís te ­ lo de factores lineales y m.idritiros ron coeficientes reales. 19. Xa 3 j»> — 3a — 14. 21. je* — 2x* 6e» 7* - 4 .

20. ** 4- 2a» -»• je» + í»jr — 12.

En rada uno de los ejercicio* 22 y 23, expresar el polinomio dado como pro­ ducto de factores lineales y cu a d rilla » cotí coeficientes racionales. 22. x « - - x » 9x» + 3x I 18. 23. 2*« 9*» 4- 10*» 4- x 24. Demostrar el corolario | del Teorema (> (Art. II b). 25. Demostrar el Teorema 7 (Art. 11.6).

2.

11.8. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Continuando nuestro estudio sobre l.i naturaleza de las ralees de una ecuación culera, consideraremos un teorema muy importante conocido como la re^la d e tos signos de Descartes. Por medio de esta regla rs |K>s¡blc determinar ci número máximo de raíces positivas y negativas de tina ecuación entera con coefic ientes reales. Sin embargo, antes de estudiar este teorema será necesario establecer ciertos resultados preliminares. Primeramente consideraremos la determinación de las posibles raíces nulas de una ecuación entera, ya que tales raíces no son ni positivas ni negativas. Es claro que si una ecuación carece del término independiente, pero no del término de primer grado, entonces posee una sola raíz nula: si carece de los términos independiente y de primer grado, pero no del término de segundo erado, entonces posee dos raíces nulas, y así sucesi­ vamente. En general, si la ecuación tiene la forma c*x* 4- .7, jc**' 4- a-jc*"1 + . . . 4* am-rxr = 0,

tu ^ 0,

en donde el término de menor grado es a , . rjf . entonces la ecuación tiene exactamente r raíces nulas. En tal caso separamos estas r raíces nulas sa­ cando como factor a x y continuando el análisis ron la ecuación reducida de grado n - r. De aquí en adelante quedará sobrentendido que el pri­ mer paso en la resolución de una ecuación entera es la separación de las raíces nulas. Conviene agregar que una ecuación que contenga todas las potencias de x y el término independiente, recibe el nombre de ecuación com pleta, si no es así se 1c llama incom pleta. Sea f ( x ) = 0 una ecuación entera. Si sustituimos x por - x , obtene­ mos otra ecuación |(— x) — 0 cuyas raíces son las raíces de /(x) = 0 cotí signos cambiados. Y a que si x = r es una raíz de f [ x ) = 0 , entonces

Regla de los signos d e Descartes

253

— y = rf o sea, x — —r es una raíz de /(— x ) = 0. Ademas si >c sustituye x por — x en el polinomio f [ x ) , el nuevo polinomio /(— x) difiere de /(yj solamente en los signos de los términos de grado impar, considerán­ dose eí término independiente ¿ es que aparece, como termino de grado par (grado cero . Por ejemplo, consideremos la ecuación (1)

y* - 2X3 — 13x*— 14* + 24 = 0.

La ecuación cuyas raíces tienen igual valor absoluto que las de la ecua­ ción { 1 ) pero son signos contrarios rs (2 )

y* — 2x* — 13x* + I4x + 24 = 0.

Se comprueba fácilmente que mientras las raíces de (1 l son l , 3, — 2, — 4 : las raíces de (2 ) son — 1, — 3. 2, 4. Resumiendo, podemos decir que [rara transformar una ecuación dada en otra cuyas raíces tengan signos opuestos, sólo es necesario cambiar lo® signos de los términos de grado impar. Más tarde estudiaremos que este es un paso especial ce una transformación más general 1Art. 11.11 I . Sea /(y) un polinomio en x con coeficientes reales y ordenados según las potencias descendentes de y. Si dos términos, sucesivos ditieren en signo se dice que hay una variación en signo o simplemente una %'ariación. Por ejemplo, en el primer miembro de l.i ecuador» {I I, hay dos varia­ ciones, una de 2x* n 13#* y I » otra de 14* a 24. Conviene notar que se din: que hay una variación entre dos término® consecutivos aun cuan­ do falten alguna» potencia» intermedio». Por ejemplo, en el polinomio y* 2a ‘ I 3x 2, hay una variación de y’ a 2x\ otra de 2x* a ^x\ y otra de 3#** a 2. Rl propósito de la introducción del concepto «le variación e* que constituye el fundamento de la regla de lo* signo® de Descartes la cual enunciamos en Maguida en forma completa en el Teore­ ma 8. 1.a demostración se omite pues cae fuera del campo de este libro. Teorema 8. (E rg io de ¡ o í signos de D escartes). Si /(y) 1) t r una n naciót¡ m ie r a con coeficientes reales y sin mices nulos: 1. E l núm ero de ralees positivos de /(y) 0 es igual al núm ero de variaciones de f [ x) o es m enor i¡ue irte núm ero m un número por. 2. E l núm ero di mires negativas di /{x ) 0 es igual o! número de variaciónt •de /( x) o i s menor que rs ti núm ero en un número fiar. NOTA»

1. 1.a parte 2 de este teorema, que se refiere a las ralles negativas, es una eonset m in ia inmediata cl«* la parte I ya que las raíces positivas de /( y) : 0 son las raíces negativas de /{y) 0. 2. Este tcoiern.i también proporciona información merca del núme­

254

T e o r ía d e e c u a c io n e s

ro de raíces complejas. Si f ( x } = 0 es de grado n entonces tiene exacta­ mente n raíces (Teorema 4, Art. 1. 6) . Por tanto, el número de raíces complejas es igual a n menos el número de raíces positivas y raíces ne­ gativas. ('orno primer ejemplo de este teorema, consideremos la ecuación (I) , en la cual, corno ya se observó, hay dos variaciones y. por tanto, esta ecuación o bien tiene dos raíces positivas o no tiene ninguna. Además, ya que en la ecuación (2), cuyas raíces tienen signos contrarios a los de las raíces de la ecuación (1), hay dos variaciones, la ecuación (1) o bien tiene dos raíces negativas o no tiene ninguna. Ya que la ecuación (I) es de grado 4, puede tener cuatro, dos o cero raíces complejas. Entonces existen cuatro posibles combinaciones para las raíces de la ecuación (I), como se muestra en la siguiente tabla: Positivas

Negativas

Complejas

2

2

0

2

0

2

0

2

2

0

0

4

En este caso particular sabemos, por una comprobación anterior, que hay exactamente 2 raíces positivas y 2 raíces negativas. Bajo ciertas condiciones la regla de los signos de Descartes proporcio­ na una información precisa. Por ejemplo, si f ( x) tiene solamente I va­ riación, entonces f [ x ) 0 tiene exactamente 1 raíz positiva, ya que no podemos restar a 1 un número par dentro de los enteros positivos. Simi­ larmente, si f ( x ) = 0 tiene un número impar de variaciones entonces /(*) - 0 tiene por lo menos 1 raíz positiva. Observaciones análogas son aplicables a las raíces negativas. Observamos en la tabla anterior que en cada caso o no hay raíces complejas o hay un número par de ellas. Esto se debe a que las raíces complejas aparecen en pares (Teorema 6, Art. 11.7). Ejemplo. Por medio de la regla de los signos de Descartes hallar toda la información posible acerca de la naturaleza de las raíces de cada una de las ecuaciones siguientes: (a) (b) solución,

de donde

Xa + 3-v4 + 2** — x3— 3jc - 2 = 0. xa — 3jc5 — x3 — 6*= = 0.

(a) Primeramente escribimos

/ {*) = - 3 a-4 + 2*» — x2 — 3 * — 2 /(— x) = — x1 — 3x* — 2x3 — x* + 3 * — 2.

Regla de lo s signos de Descartes

255

f ( x) tiene solamente I variación. Por tanto, hay exactamente I raíz positiva. /(- x) tiene 4 variaciones. Por tanto, hay 4. 2 o 0 raíces negativas. Las posibles combinaciones de raíces positivas, negativas y complejas se muestran en la siguiente tabla en donde el número de raíces complejas se da en la tercera columna bajo *VV.

1 1

4 2

0 2

1

0

4

(b) Observamos que la ecuación dada posee 2 raíces nulas. Separan­ do el factor xz, tenemos de donde

/(*) = x f — 3xi 4 x* — x — 6 /( - x ) = x* + 3x* 4 x7 4 x — 6.

/ (*) tiene 3 variaciones. Por tanto, hay 3 raíces positivas ó 1 raíz positiva. f [ —x ) tiene 1 variación. Por tanto, hay exactamente 1 raí/ negativa. Las posibles combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y com­ plejas se muestran en la siguiente tabla: 0

4

—

c

2 2

3 I

1 1

0 2

E JE R C IC IO S. G RU PO 40 En rada uno de los ejercicios 1-16, hallar toda la información poiible acerca de la naturaleza de las mices dr la ecuación dada, por medio de la regla de Descartes.

I. 2r» 43. 3.

7. 9.

II.

4 2x— 3 - 0.

3** 4 9x= — 7x - 4. - 0. 2xn 4 3x* 4 2x¿ -f 9 - 0. * ’ 4 3x3 4 5* - 0. x* — 1 * 0 .

X* 4 I — 0. x» 2x* 5x*

13. 7x2 _ o. 15. x» x» 4+ 4xr 4x7— —6xB 6xB44 4x‘ 4x*— —88 =- 0n

2. xr* — 4x* 4 3x3 — r> = 0. 4. Q. 8. 10.

r* + 2x3 3x* 4 2x 4 2 - 0. x» 4 5x* | 2x'> 4 7x 4 1 = 0. 4x* — 3x 4 2x2 — x 4 2 - 0 .

** — 1 = 0. 12. r 4 1 “ 0. 14. x? 4 2x° - 3x* - 8x3

Ox - 0. - 3x" 4 9x:i - x* 4 5 - 0 . 17. Demostrar que la ecuación 3x5 — x* 4 2x — 6 0 tiene por lo menos do* raíces complejas. IB. Demostrar que la ecuación x* r 4xB + 2xs 1 9x-’ f 6 = 0 tiene por lo n rnDi cuatro raíces complejas.

19. Demostrar que la ecuación 4x* dos ralees compleja!.

16. 2x*

3x‘ — x

1Q

O tiene exactamente

256

Teoría de ecuaciones

20. D cm oU ta que la ecuación l f + 3x* — 2X2 6 = 0 lim e exactamente cuatro ralees «cmplrjits 21 F.3 i ecuación t * — I = 0, demostrar: u } r. c ts par, hay exactamente dos raíces reales ¡guales a —1 y n — 2 raíces complejas: (b ) si s es impar, hay exactamente una raíz real igual a — I y c — ! raíces complejas 22. En b ecuación i * + 1 ■ 0. dem arcar:
30, Si a «i unción /( x ) 0 no llene ralee» nulni, demostrar «pie « I númrn» dr ralees complejas r* por I*» menos igual a In diíerenriu entre el gruchi «le la «*«na­ ción y rl número total dr varíisnonn «le/Jjr) y /<- x).

11.9.

R A IC E S RACIONALAS

Consideremos ahora la determinación dr las posibles raíce» rac ionales tic tina ecuación entera. Para «* rel="nofollow">u propósito tenemos el siguiente t« ««r«Mna de gran importancia. Teorema 9. S i la fracción p f q , redu cida a «i mínima expresión, es una tais de la ecuación entera (I)

«.►*" I «i|*n 1 + . . . *h a n-iX +

0

con coeficientes enteros «* nulos pero con a„ / 0 y a„ / 0, entonces p es un divisor exacto de a„ y q es un divisor t xacto de c„. drmohtraoion.

(2 )

Ya que p f q es una raíz «Ir la ecuación ( I ) , leñemos

tj \ "

/ ih \ w" '

. )

*

*(J

í i, \

■i) +-'-+0'( j

)

1)

1 a»

0.

257

Kaíces racionales

Multiplicando ambos miembro* dr* (2! por qn, tenemos (3)

+ n-.p" 'q ■*- r. . + «/»-ipq" ' + o Hr/"

0.

Transponiendo a Hi¡n al segundo miembro dr (3 ) y sacando a p como factor del primer miembro, obtenemos (4)

p{Onp*~l I flip n'Jq +

. . — «« .f/1*'1)

«,»
Ya que p, q ,
fla-iM" 8 + ‘M *'*/

q ( a tp*-1

- a opu.

Si el mismo razonamiento sr aplica a la ecuación ( 5), encontramos que su firmólo independiente es a , ^ 0. en ton ce* tod a raíz racional es en tera y divisible exactam ente a a,. tos,

n o t a . El Teorema 9 también es válido cuando los coeficientes son -ar i onales en lugar de enteros. En efecto: basta multiplicar la ecuación por el mínimo denominador común de los coeficientes, obteniendo asi una ecuación equivalente con coeficientes enteros. Debe observarse que la importancia del Teorema 9 reside en el he­ cho de que restringe la búsqueda de las raíces racionales a un número limitado de posibilidades. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo I. Hallar todas las raíces de la ecuación. (6 }

2x4 — jt‘ — 4x= + IOjc — 4 = 0.

so lu c ió n . Primeramente aplicamos la regla de los signos de Descar­ tes. obteniéndose los resultados que se indican en la siguiente tabla:

+

—

r

3 1

I I

0 2

Después aplicamos el Teorema 9 para determinar las posibles raíces racionales p f q , usando como valores de p los factores del término inde­

258

T e o r ía

d e c o la c io n e »

pendiente —4 y como «'alore* de q loo factorea del coeficiente principal 2. Esto puede disponerse en la forma siguiente: f> = rirl, rfc2, :»-4 V- *1, ±2 Obtenemos asi las ocho posibles raíces racionales siguientes: ± rl, ± 74 ± 2 , —4. Al probar esto» valores encontramos que V2 y — 2 son raíces. Según los resultado* de la regla de l(*s signos de Descartes, habiendo en­ contrado una raíz negativa no es necesario probar otras posibles raíces negativas. F.n todos los casos, tan pronto como se encuentre una raíz, debe separársele inmediatamente y continuar a s pruebas con la ecuación re­ ducida. Conviene disponer Us divisiones sintéticas necesarias para estas operaciones como sigue: 2 — I — 4 +• 1 0 — 4 4- 1 0 — 2 4 -4 2 + 0 - 4 - 8 |— 2 — 4 - 8 — B

2—4 - 4 La ecuación reducida final c» 2rr* — 4rr +* 4 0 o bien x3 — 2 * + 2 = 0 cuyas raíces pueden encontrarse por la fórmula de la ecuación cua­ drática, obteniéndose 1 ± i. Por tanto, las raíces de ln ecuación dada (6) son: %, 2, 1 ± i . Con esto damos por terminado el estudio de la determinación de ral­ ees racionales. Por tanto, es conveniente hacer un resumen de los diversos pasos que deben darse para obtener las mencionadas raíces.

Procedimiento para la determinación de las raíces racionales de una ecuación Para obtener las raíces racionales de una ecuación entera con coefi­ cientes racionales, deben efectuarse loa siguientes pasos ro el orden in­ dicado: 1. Separar las raíces nulas, y efectuar los siguientes pasos con la ecua­ ción reducida resultante. 2. Aplicar la regla de los signos de Descartes (Teorema 8, Art. 11.8) para determinar la posible naturaleza y distribución de las raíces. Esta información debe usarse como guía en cualquiera de las pructxis de los pasos siguiente*. 3. Aplicar el Teorema 9 y su corolario (Art. 11.9) fiara determinar

259

Raíces racionales

Ja» posibles raíces racionales Probar estas posibles ralees, y cada ve* que encuentre una raía, separarla y continuar con la ecuación reducida. 4. Después de separar todas las raices racionales, la última •* nación redunda, si es que existe, posee solamente raíces irracionales y (o) raícrs compleja» Si esta ecuación reducida de grado es cuadrática, se rtsuelvc obteniéndose la totalidad de las raíces. ir

Ejemplo 2. Mollar todas las raíces de la ecuación (7)

*• 4 3*» — 13x* — 25x* + 50x= + 2 4 * = 0. S O L U C IO N .

I. Observamos que la ecuación (7 ) posee una raí/, nula. Separando esta raí/ obtenemos la ecuación reducida (8)

^ + 3*< — 13x* — 25 xa + 50x + 24

0.

Aplicando la regla de Descanes a la ecuación ( 8), obtenemos los re­ sultados indicados en la siguiente tabla + 2 2 0 0

—

3 1 3 1

c 0 2 2 4

3. Ya que el coeficiente principal de la ecuación ( 8 ' es la unidad, y que los coeficientes son todos m ieras, se concluye, del corolario del Teorema 9 (Art. 1J .9 ) , que cualquier raí/ racional debe ser entera y debe dividir exactamente al término constante 24 Por tanto, las posibles raíces racionales son: ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± f i, ± 8 , ± 12 , ± 2 4 . Probando estos números encontramos que 2, —3 y — 4 son raíces. La separación de estas raices y la obtención de la ecuación rrducida se indica a con­ tinuación: | 4- 3 — 13 — 25 4- 50 4 24 ¡2 + 2 +10 6 62 — 21

I +5—

3 — 31 — 12

|— 3

- 3 — 6 + 27 + 12

14- 2—

9— 4

-4

— 4 + 8 + 4

1— 2—

1

4. En el paso I encontramos I raí/ positiva y 2 raices negativas. Ahora bien, debido A los resultados de la regla de Descartes (Paso 2 }, debe existir olía raíz positiva y otra raí* negativa, Por tanto, estas dos raíces

Teoría de ecuaciones

260

deben ser irracionales. Comprobamos esla conclusión resolviendo ia ecua­ ción reducida x 2 — 2x — I - 0 cuyas raíces son l ± V 2. Las raíces de la ecuación dada son 0. 2. — 3. — K 1 rr V 2 .

EJERCICIOS. GRUPO 41 I .

D e m o s tr a r

E n

c a d a

e l

u n o

d e

lo s

2 .

2 a * —

9 a 3

4 .

4 a *

3 9 a *

—

c o r o la r io

—

d e l T e o r e m a

e je r c ic io s

1 2 jt —

- f

M

4

r -

2 -1 7 ,

-

4

9

¡ A

h a lla r

0 .

I d a

=

0 .

r t

1 1 .9 ) .

to d a s

la s

r a íc e s

3 .

3 a * —

4 a » —

5 .

2x> 4

—

a *

d e

2 a*

+

3 a ;

7 .

9 a*

+

1 5 a '—

8 .

4 x *

+

2 * *

- -

1 0 .

3 a *

4

5 a »

4

I I .

a * —

1 3 .

3 a* —

a -

1 0 a 3 —

—

1 2 a »

1 5

6 a » 4 l l a >

4

1 6 .

8 a*

1 7 .

8 a * —

E n c ió n

c a d a

a*

+

1 4 .

4 a*

1 0 a *

0 .

3 0

=

3 *

4

3 -

0 .

4

5 a *

—

2 a

+

4 a 2

—

2 8 a 3 — 4

+

4

2 8 a

u n o

-

4 1 a -

—

2 a 1 —

4 a 4

H a*

d e

¿x

1

1 43 a=

-

8

—

a

-

4

a '

4

1 2 x

—

—

9

7 a

4

1 4 a 3 —

8 a 3

4

3 7 a

9 a 3

4

a

lo s

-

9

4

=

=

0 .

3

4 a *

—

4 a *

-

5 a *

a

-

0 .

2 a *

—

3 a »

—

a 3 —

3 6

=

0 .

- 1 2 - 0 .

0

1

=

0 .

1 7 5 a

—

1 0 0

e je r c ic io s

4

d a d a .

0 .

0

S 4 a 6

=

0 . 1 2 .

-

1 2

0 .

0 .

3 6 a

3 4 a 3 —

=

e c u a c ió n

-

3 ó

la

3 5 a

1 8 * 2 3 ,

=

0 .

h a lla r

Las

r a íc e s

r a c io n a le s

d e

la

e c u a ­

n o

t ie n e

d u d a .

1 8 .

3 * -1 4

19.

a»

U a 3

2 0 .

2x"

2 1 .

a T —

2 2 .

1 2 a * —

3 a * 4

4 B x-

*

5 a 3

a 1* —

2 a*

3 a "

i

0.

H*«

—

6 a

I

1 2 a *

•

4

4

lx*

i

Ja*

-

4

a "

«»

1 3 a 1*

4

|

a*

-

0 .

6 a

—

3 a *

2 6 a a

I

0 . a

- 2 5 a 3

—

4

3

-

-

0

2

0 . .

23. 3a» 4 * 7 4 *° 4 a* 4 IOjH ^ 4a» 4- 4a* + 4 a - 8 - 0 . E n

n u la

r a le e s

2 4 .

a*

2 6 .

2 a *

2 7 .

a»

2 6 .

L a s

u n a

d r

4

2 9.

esta L a s

d is m in u y e

e n

c m

lo »

e je r c ic io s

S r d r

d o se

a s i

lu d a

d r

¿ 4 - 2 7 ,

-*•

4 * ‘

4 -

a*

6

0 .

*

4

4

d e m o s tra r

2 a »

x*

2 5 . 2

-

q u e

la

r e iu ie ió n

d a d a

u n a

d im e n s io n e s

so

a u m e n ta

4

2 a ' —

3 a 3 —

4 a

+

3

-

0 .

0.

8 a

d e

1 - 2 - 0 .

r a ja

r e c t a n g u la r e n

la

s o n

m is m a

3

c m ,

c a n t id a d ,

5

e rn ,

e l

y

7

e ra .

v o lu m e n

se

S i

t u d a

t r ip lir a .

c a n tid a d .

e s ta s 4 4 1

lo n g it u d u n a

-

4

d im e n s io n e s

c o r ta n

lo s

a

4

d im e n s io n e s

d r

$ 0

a " 4 a *

u n a

7 0

d r

4 a " — —

rs tn s

C a l i s it a r

« « d a

u n o

r a c io n a le s .

c a ja

d e

u n a

d im e n s io n e s c m .

C a lc u la r

c u a d ra d o s y

6 0

c m

u b ir r t a

c u a d ra d o s

c a ja se e s ta

c u y o

c o r la d o s

a n c h a ,

r n

la s

s o n la

6

r m ,

m is m a

e s q u in a s

d o b la n d o

v o lu m e n ( d o »

e n

8

c m ,

c a n t id a d ,

y

12 r|

c m .

S i

v o lu m e n

c a n t id a d .

ig u a le » d r

r e c t a n g u la r

d is m in u y e

es

lo s

1 5 0 0 0

s o lu c io n e s ) .

d e

u n

c a r tó n

r e c t á n g u lo s c m 1*.

r e c t a n g u la r

la t e r a le s

C a lc u la r

In

y

d e

fo r m á n ­

lo n g it u d

d e l

Ralees

ir r a c lo n a le *

261

11.10. R A IC E S IRRA C IO N A LES Si una ecuación entera poicc raicea irracionales, éstn.i pueden deter­ minarse por diversos métodos. En este capitulo consideraremos dos de ••otos métodos, uno en el presente articulo y el otro en el artículo 11.12. Dada una ecuación entera con coeficientes racionales, primeramente aplicaremos el procedimiento dado pata obtener las mices racionales indii .ido -o * I Air

I

'» I

• ' . , . ii.

uto» todas las ratees nulas y (o) racio­ nales, y cualquier raíz irracional exis­ tente la obtendremos de la ecuación inducida. Si la ecuación reducida es i uodráiica ln> rair.es se obtienen fácil­ mente por medio de la fórmula corrcs|M)ndiente. Por tamo, en el siguiente es­ tudio supondremos que el grado dr la ecuación reducida es igual o mayor que H, En este CASO las ralees irracionales vendrán dadas en forma decimal, y el lirado ile precisión depende del número d' cifro» decimales obtenidas Este proceso es. pues, esencialmente, un método de aproxim ación. El método de aproximación que explicaremos en este artículo se lla­ ma interpolación lin eal Está fundado en la hipótesis de que un arco pr<|Ucño de una curva continua puede sustituirse por un segmento rectiliuro sin introducir un error apnedable. Naturalmente esto es sólo una aproximación, pero tiene la ventaja de que es posible mejorarla disninumm ío la longitud del arco considerado. Para explicar el método de interpolación linca! vamos a conáderar I# gráfica de una función polinomial f( x ) con coeficientes reales. Sean • y b do» números positivos muy próximos y tales que b > a. Supongamos ■I • f(a h > 0 , para x = e y que /(ó) = —k < 0 para x = b Enlo iu n f[x ] t i e n e un cero entre a y b (Art. 11.5). Esto se representa gráI* -un me e n la figura 39 en donde P [ a ,h ) y Q ( b , —k ) son dos puntos próximm de la curva. Los puntos A y B son respectivamente los pies de bu |«rrprndiculare» bajadas de P y Q al eje X . Sea R el punto de ¡ntero <•i ó n dr la prolongación de PA con la recta que pasa por Q paralela •d rji ,V Su|M>ngamos ahora que el arco de la curva de la gráfica de f[x ) i|i|f unr f y Q se sustituye por una linea recta, y sea C , entre .4 y B el pUlito m que AB corta al eje X . Entonces la abscisa x, del punto C es un valor iipniximado del cero dr /Jar) .situado m ire a y b. Este valor de

Teoría de ecuaciones

262

x, puede calcúlame fácilmente. En efecto: de los triángulos semejantes PA C y P R Q , obtenemos la relación AC

AP RP * a. AP = h, y UP

(0

M

Y como RQ

AH = b

k , obtenemos h ( b — a) h -f* k

AC _ h de dondo AC b—a /» A* Ya que a, b, h y k son cantidades conocidas, A C puede calcularse. Aña­ diendo esto valor a a, obtenemos el valor buscado de x t o sea la prim era aproximación de la raí/. Partiendo do esta primera aproximación, podemos repetir el proceso para obtener una segunda aproximación más precisa. E) proceso puede repetirse tantas veces como sea necesario hasta obtener el grado de preci­ sión deseado. Veamos un ejemplo de aplicación del método de la interpolación lineal. Ejemplo. Demostrar que la ecuación (2 ) f{x ) = — 5*> + 2 * -1- 6 = 0 tiene una ral/ entre I y 2, y calcularla con una cifra decimal. solución . Por división sintética encontramos f ( l ) = 4 y /(2) = — 2, lo que comprueba que la ecuación (2 ) tiene una raíz entre 1 y 2. En se­

guida trazamos la gráfica correspondiente como se muestra en la figu­ ra 4 tJ(a ), en la cual se han utilizado las mismas literales que en la figura 39. Entonces, de la relación (1 } tenemos AC

4

de donde A C = - = 0.6” . T _ 6* 3 Nuestra primera aproximación es, por tanto, x, = 1 — 0.6 = 1.6.

263

Transformación de ecuaciones

Para asegurar la precisión de la raíz buscada con una cifra decimal, repetimos el proceso para obtener una segunda decimal. A s encontramos /(1.6J = 0 .4 % y /{1.7) = — 0.137, de modo que la ecuación ( I ) tiene una rae: entre 1.6 y 1.7. La gráfica correspondiente aparece en la figura 40 {b ), en la cual se han utilizado de nuevo las mismas literales. Aquí « Q = 0.1, AP = 0 .4 % y R P = 0.137 - 0.496 = 0.633. Por tanto, por la relación J 1) tenemos A C _ 0 .4 % 5 T “ 0.633 '

de donde AC =

0.0496 0633

= 0.07+

Nuestra segunda aproximación es. pues, x- = 1.6 + 0.07 = 1.67. Por tanto, la raíz buscada, correcta con una cifra dtcimal, es 1.7. notas .

1. Debe proharsc cuidadosamente cada aproximación para asegurar*• de que la raiz cae entre dos valores consecutivos. Esto es especialmente importante en la primera aproximación, ya que allí es donde se considera d a n » de mayor longitud y donde, por tanto, se obtiene menor precisión. Así, por ejemplo, en un caso particular, la primera aproximación puede indicar que hay una raíz entre 1.6 y 1.7, pero la sustitución directa puede niostrat que la raíz verdadera está comprendida, por ejemplo, entre 1.2 y 1.3. 2. Aunque el método de interpolación lineal noa da cada vez más prrnilón al tomar aproximaciones sucesivas, »*s cierto que las operaciones aritmética* necesarias también aumentan considerablemente. Sin embargo, tute método tiene la ventaja muy apreciable de quo puede utilizarse también para aproximar las raíces irracionales de ecua­ ciones no algebraicas, e» decir, de ecuaciones trascendentes, tales como las ecuaciones trigonométricas y logarítmicas. El trabajo aritmético puede (educirse en d erla medida utilizando tablas de funciones y máquinas cali ulador as.

11.11. TRANSFC)RMAC3ION D E ECUACIC)NES Una tranrform arión es una o|iernción con la cual se cambia una relai ion o expniión en otra de acuerdo con una ley dada. En general el propósito dr una transformación es cambiar una relación dada en otra que tenga urin forma más manejable y útil. En particular, este artículo * dedicará al estudio de dos lijios de transformaciones con las cuales una •■i uación entera dada »e transforma en ot ra cuyas mices guardan una reía-

Teoría de ecuaciones

264

ción específica con las de* In ecuación original. I.as transformaciones que aquí damos servirán de* preparación para el estudio del articulo siguiente. Teorema 111. S i a partir d el segundo térm ino u- m ultiplican sucesiva­ m ente los coeficien tes tic la reuní ión •nitro (1)

o.,*" I eiiJC*’ 1 ■+■ a gx* *f . . . + a n.,x -\- a n — 0

por m , rn\ ma, . . . . m", la ecuación ( I ) se transform a en otra de la form a (2)

a ityn -f- mei,y 1 i-

y* * I . . . I m“

+ m"an

0,

cad a una de cuyas raíces es igual a m veces la raíi correspondiente di la ecuación ( 1). d e m o s t r a c i ó n . Cada ral/ y de la ecuación transformada (2) debe estar ligada con cada raí/, x de la ecuación dada (1) por medio de la relación y = m x ele donde x y/m. Sustituyendo este valor de x en (1) obtenemos

*• ( m )

1 «• ( m )

1 a* ( m )

+ ' " 4 a* 1 ( m ) + a*

Multiplicando por m", resulta la ecuación ( 2). Corolario. Para el caso particular en tjue m - l, las ralees de la ecuación (2 i tienen igual valor absoluto q u e las d e ¡a ecuación ( I ) pero con signos opuestos. n otas .

|. Al utilizar la transformar ión del Teorema 10, deben tomarse en cuenta las potencias de x que no figuran en la ecuación. Para esto se con­ sidera que tales términos tienen coeficientes nulos. 2. El corolario ya ha sido usado en conexión con la regla de los sig­ nos de Descartes (Art. 11.8'. Ejemplo i. Transformar la ecuación (3 )

Xa — 5x* — x + 5 = 0

en otra, cada una de cu\-as raíces sea igual al doble de la raíz correspon­ diente de la ecuación Í 3 ) . solución . Notamos que el término de segundo grado no aparece en la ecuación ( 3 ) . Por tamo, por el Teorema 10. la ecuación transfor­ mada es

/ — {2> 5>*— iI

— ( 2 : > + ( 2 : « * 5 = 0, o sea

y* — 10y* — 8y + 80 = 0.

265

T ra n s fo rm a c ió n d e ecu aciones

Puede comprobarse « l e resultado viendo que las raíces de (3) son - . y que las raíces de (4 ) son 2. 10, — 1 ±. V3*. El Teorema 10 también puede usarse para transformar una ecuación dada, cuso coeficiente principal sea diferente de la unidad, en otra cuyo coeficiente principal sea la unidad y que los coeficientes restantes sean enteros. Entonces podrá aplicarse a la ecuación transformada el corolario del Teorema 9 (A lt. 11.9). Veamos un ejemplo. Ejemplo 2. Transformar la ecuación ar* + lOx3 + 9x* + x — 1 = 0 en otra cuyas raíces sean iguales a las dr la ecuación (5) multiplicadas |**r el menor número que haga que d coeficiente principal de la nueva ecuación sea la unidad y que los coeficientes restantes sean enteros. so lució n .

Dividiendo (5 ) entre 8, obtenernos

Para obten er la nueva ecuación con coeficiente principal igual a la unidad y con lo» coeficientes reatantes enteros, el menor número por el que »e delien multiplicar las raíces de esta ecuación es 4. Por tanto, por el Teorema 1(1, la ecuación buscada es

(6)

x4 I 5x" -

IB.v9 4 Bx — 32 - 0.

l*or medio del corolario del Teorema 9 (Art, 11.9 ), w encuentra que le» i alces racionales dr (6) son los números enteros I y 2. Por tanto, las ralees racionales de la ecuación (3 ) son \\ y — */a Ahora considera remo» la transformación que forma la base del mé­ todo de aproximación que se discutirá en el artículo siguiente. •r I eorrnin II. L a ecuación entera (7 )

/{#)

avx* -

1 f a ***'8 f . . . 4- a„ ,x ■ a H

o p u n ir transform ar en la ecuación (II)

a uy" • R {y* • I tfay * 4 - . . . 4 R n ,>• 4- /f* - 0

0

266

T e o ría d e e cu a cio n e s

cad a una d e cuyas raíces es A unidades m enor que la ra í: correspondiente d e ia ecuación ( 7 ) , calculando los coeficientes R x, R l t . . . , R * com o sigue: S e divide /(je) entre x — A llam ando R 9 e l residuo. S e divide e l co­ ciente entre x — A, llam ando R ^., al residuo. S e continúa este proceso hasta com pletar n divisionesf a l últim o residuo le llam am os R ,. demostración . Cada una de las raíces y de ia ecuación transforma­ da (8 ) está ligada con cada raíz x de la ecuación dada ¡7 ) por medio de la relación y = x — A, de donde * = y + A. Sustituyendo este valor de x en (7 ) obtenemos

«>(y + h ) a + a x[y + A)—‘ — . . . + e«-,(y + A) + e , = 0,

(9 )

cada una de cuyas raíces es A unidades menor que la raíz correspondien­ te de la ecuación ( 7 ) . Para reducir la ecuación (9 i a la forma de una ecuación entera en y, podemos desarrollar las potencias de los binomios, reducir los términos semejantes, y escribir el resultado en la forma (10)

a^y* + A xy*~l + A-y*-* — . . . — A 9. ty + A m = 0.

Pero podemos determinar los coeficientes A x. As, — . Am de una manera más sencilla. Para esto, sustituimos y por x — A en ( 10 ) , obteniendo ( 11)

a . ( x — A)* 4* a i, — A)*-1 — — k)*~* I . . . + A*-x(x — A) -I An = 0.

Si dividimos el primer miembro de ( I I ) entre x — A, obtenemos un co­ ciente, y un residuo A n. Si dividimos este cociente entre x — h , obtenemos otro cociente, y un rrsidun A nX. Continuando este proceso basta com­ pletar n divisiones, obtenemos un residuo finid A%. Designando los residuos An, An.it por medio de ttn, R n, y sustituyendo estos valores rn la ecuación (10) , obtenemos la ecuación buscada (B) . NOTAS. 3. lai* divisiones necesarias para aplicar este teorema pueden dispo­ nerte como divisiones sintéticos, como puede ve»se en el ejemplo 3. 4. Di? este teorema se concluyen que si deseamos transformar una ecuación dada en otra ecuación cuyas ralees sean A unidades mayores que las ralees correspondientes de la ecuación dada, bosta disminuir las raíces de la ecuación dada rn A. Ejemplo 3. (12)

Transformar la ecuación je4 — 6x* + 5 * + 12 ->0

en otra cada una de cuyas raíce» sea dos unidades menor que la raíz co­ rrespondiente de la ecuación (12) .

Transformación de ecuaciones

267

SOLUCION. De acuerdo con rl Teorema 11, dividiremos meeaivamente entre x — 2. Usando división sintética el trabajo se dis()onr como sigue: 1

6

+

5

+

1 2

- 2—8— 6 1 — 4 — 31 6

+

2

Ha — 6

41

1 2

A.

2 I 4 0

-7

R x m ü.

Por tanto la ecuación buscada e» ( 1 3 )

—

7 j r

+

6

=

0 .

Puede comprobarse este resultado viendo que las raíces de (12) son 3, 4, — l y que las raíces de (13) son 1, 2, — 3. EJERCICIOS. GRUPO 42 En rada uno de loa ejercicios 1-7, hallar la ral* indicada de la ecuación «Inda correcta ron una cifra deriinal, usando el método de inier]>olación lineal. 1. x“ — 3a» + 3x - 5 - 0 ; 2 < * < 3. 2. X a — fia» + 12* 1 0 - 0 ; 3 < x < 4. 3. I a 1- 3 *“ 1 2x 7 — 0 ; 1 < je < 2. 4. xs , 3 *a — 2* 1 - 0 . Q < * < 1. 5. Xa — 3 x í 26x + 69 - 0 ; 2 < x < 3. 6. r* — 2x> + 21x — 23 - 0 ; 1 < x < 2 . 7. Xa — 6x* 4- 12x* — 7x —- 1 2 — 0 ; 3 < x < 4. 8. Por interpolación lineal. hallar la rab positiva de r * — 2x* — 3i® — 2x — 4 — 0 correcta con dos decimales. 9. Pee interpolación lineal, hallar b rala negativa de x* — 2x» — Sjt5 — 2» — 4 — 0 correcta con dc« decimales S u g rrm ci* Cam bur tai lignoi de las raíces y hallar la raí* positiva corres­ pondiente. 10. Por interpolación lineal, hallar la raíz positiva de 4x* — 4xJ + 7x* — 8x — 2 — 0 correcta con tres decimales 11. Comprobar el resultado del ejemplo 1 (A rt. 11.11). En cada uno de luí ejercicios 12-15, transformar b ecuación dada en otra curas rakes sean n veces las de la ecuación dada 12. x* — 2** — x -i- 2 - 0 : rn - 3. 13. 2x* + x* — 13a + 6 — 0 ; re - 2. 14. x * — xx 4 - x — 1 — 0 ; m — 3. 15. x» + 3a* — Jx — 14 - 0 : ct - — 2 16. Comprobar el resultado del ejercicio 12 calculando las raíces directamente. 17. Demostrar el corolario del Teorema 10 JArt. 11.11’ . En cada uno de los ejercicios 16-21, transformar la ecuación dada en otra cu­ yas rakes tenían lignoi opurstos con respecto a las de b ecuación dada. IB. x* — 4x* - I4x — 20 - 0. 19. 2x* — 6x* — 7x* 4 -1 2 — 0. 20. Sx* + 2x» — 9x + 2 - 0. 21. x* — 3x* 2x* — x + I - 0 .

268

Teoría de ecuaciones 22. Comprobar el resultado dej ejercicio 18 calculando las raíces directamente.

En cada uno de los ejercicios 23-26 transformar la ecuación dada en otra cuyas raíces sean iguales ;t las de La ecuación dada multiplicadas por el menor númrro que haga que el coeficiente principal sea la unidad y que los coeficientes retíante» sean enteros. 23. 25. 27. 28.

4 ** — 2 0 *3 + 9 * + 28 0. 24. 2x* — 3 * * — 14*2 + 2* + 4 - 0. 3*3 — * 2 _ 3 T , i - o . 26. 2x* — 9 * 3 - 10*-' f * — 2 - 0. Comprobar el resultado del ejercicio 23 calculando Las raíces directamente. Comprobar rl resultado del ejemplo 3 (A lt. 11.11).

En rada uno de los ejercicios 29-33, transformar la ecuación dada en otra cuyas raíces estén disminuidas en el número indicado. 29. 3 * s - 4 *35* - 12 - 0 ; I 30. 2*4 — 9** I 12* — 4 — 0 : 3. 31. *« — 2 * a *2 + 6* - 7 = 0 ; 2. 32. 2x* + 6 * ;‘ + 7 * 2 - 2 * - 2 = 0 ; 0.3. 33. 2 * 3 + 3*2 4- * — 1 = 0 ; 0.01. 34. Comprobar el resultado del ejercicio 29 calculando las raíces directamente. 35. Transformar la ecuación del ejercicio 29 en oura cuyas raices sean las de La ecuación dada aumentadas en I.

11.12.

M E T O D O DE H O R N E E

Ahora vamos a calcular las raíces irracionales por medio de un proce­ so conocido con el nombre de m étodo de aproxim ación de Horner. Este método sólo es aplicable a las ecuaciones enteras, pero tiene la ventaja de que los cálculos necesarios son más sencillos que los usados en el mé­ todo de la interpolación lineal (Art 11.10). La facilidad de cálculo es debida a que cada cifra de la raíz se determina individualmente. El razonamiento fundamental del método de Horner es muy sencillo. Supongamos que una ecuación entera dada f ( x ) = 0 tiene una raíz irra­ cional que, correcta con 3 cifras decimales, es 2.124. Para determinar esta raíz primeramente veremos que la ecuación dada tiene una raíz entre 2 y 3 (Art. 11.5). Después disminuiremos las raíces de / (*) = 0 en 2 unidades, obteniendo la nueva ecuación /.(*,) — 0 que tiene la raíz 0.124 (.Art. 11.11). Entonces hacemos ver que / -(*,) = 0 tiene una raíz entre 0.1 y 0.2 y disminuimos sus raíces en 0.1, obteniendo una nueva ecuación Í'.\X¿) = 0 que tiene la raíz 0.024. Repitiendo el j>aso anterior, mostra­ mos que /a(xs) = 0 tiene una raíz entre 0.02 y 0.03 y disminuimos sus raíces en 0.02, obteniendo una nueva ecuación /,.(*;,} 0 que tiene la raíz 0.004. Continuando este proceso, es jxjsible obtener la raiz con el número de cifras decimales correctas que se desee. Los detalles del mé­ todo los vamos a explicar en el ejemplo que sigue.

269

M é to d o d e H o rn e r

Ejemplo. Demostrar que la ecuación (1)

/(*) = x3 + 5** — x — 9 = 0

tiene una raíz entre 1 y del método de Horner.

2,

y calcularla con 3 cifras decimales por medio

solución. Por división sintética encontramos /(1) —4 y /(2) lo que significa que la ecuación ( 1 ' liene una raí/, entre 1 y 2 . Ahora disminuimos las raíces de la ecuación (I) en 1.

17

I + 5 — 1 — 9 ¡1 + 1+6 + 5 1 + 6 1 5 —4 + 1+7 T + 71 + 12

+ I L (+8

La ecuación transformada (2)

M *) =

+ 8 x S + 12x, — 4 = 0

tiene una raíz entre 0 y I que procederemos a determinar entre dos dé­ cimas sucesivas. Ya que la raíz de (2) es pequeña, su cubo y cuadrado son aún más pequeños, por lo que, para una primera aproximación, po­ demos despreciar los términos en x,B y x 2, obteniendo así la ecuación m odificada \ 2 x x — 4 = 0 que tiene la solución xx = 0.3*. Ya que esto es sólo una aproximación, debemos probarla en la ecuación (2). Por división sintética encontramos f\(0.3) 0.347 y ¡ t { 0 . 2 ) = — 1.272. Por tanto, la ecuación (2) tiene una raíz entre 0.2 y 0.3. A continuación disminuimos las raíces de la ecuación (2) en 0.2. Al efectuar esta operación conviene dejar espac io suficiente para las deci­ males necesarias, como se indica: 1 + 8.0 + 12.00 — 4.000 -¿-0.2 + 1.64 + 2.728 1 - 8.2 + 1 3 .6 4 1 1.272

02

+ 0.2+ 1.68 f l + 8.41 + 15.32

+ 0.21 1 |+8.6 La ecuación transformada

(3}

/,(*,) =

x¿*

+

8 .6 * 1 * + 15.32*,— 1.272 = 0

llrnr una raíz entre 0 y 0.1 que procederemos a localizar entre dos cen tésimiu sucesivas. De los últimos dos términos de (3), obtenemos la ecua­

270

Teoría de ecuaciones

ción modificada 1 5 .3 2 *,— 1.272 = 0 que tiene la solución xt = 0.08+. Por división sintética encontramos /,(0.08) = 0.009152 y /*(0.07) = —0.157117. Por tanto, la ecuación (3 ) tiene una raíz entre 0.07 y 0.08. Ahora disminuimos las raíces de (3 ) en 0.07: I + 8.60 4- 15.3200 1.272000 + 0.07 + 0.6069 - 1.114883 1 + 8.67 15.9269 0.157117 - 0 . 0 7 + 0.6118 1 - 8.74 +16.5387 + 0.07 l 1+ 8.81

10.07

La ecuación transformada (4 )

M * ,) = V

+ 8.8 lx s2 + 16.5387*3 — 0.157117 = 0

tiene una raíz entre 0. y 0.01 la cual debemos localizar entre dos milési­ mas sucesivas. De los últimos dos términos de ( 4), tenemos la ecuación modificada 16.5387*s — 0.157117 = 0, con la solución = 0 .0 0 9 *. Por división sintética encontramos (0.009) = — 0.007554361 y /s(0.01) = 0.009152. Por tanto, la ecuación (4 ) tiene una raíz entre 0.009 y 0.01. Ahora disminuimos las raíces de la ecuación (4) en 0.009. Se deja como un ejercicio mostrar que la ecuación transformada es (5)

/.(*«) = * 4S- 8.837*4* -1 16.697523*4 — 0.007554361 = 0.

De la ecuación modificada 16.697523** 0.007554361 = 0, obtene­ mos la solución * 4 = 0.0004+. En este punto, ya que la raíz de (5) es muy pequeña, la solución de la ecuación modificada es suficientemente precisa. Poi tanto, la raíz buscada es * = 1 + 0.2 - 0.07 + 0.009 + 0.0004

1.2794

y. con precisión de 3 decimales, es 1.279. NOTAS.

1. Por motivos de exposición, la resolución del ejemplo anterior se ha descrito en forma más extensa de lo necesario. En la práctica se puede hallar la solución en forma más breve, mostrando solamente las opera­ ciones de disminución de las raíces y omitiendo las ecuaciones transfor­ madas de cuyos coeficientes ya se dispone. 2. Es muy importante probar cada cifra sucesiva de la raíz buscada para asegurarse de que la raíz de cada ecuación transformada está entre dos valores sucesivos. 3. Conforme se avanza en la determinación de aproximaciones por

Método de Homer

271

el método de Homer, las raíces de las ecuaciones transformadas se hacen más y más pequeñas por lo que las ecuaciones modificadas se hacen más y más precisas y a menudo pueden usarse para obtener cifras decimales adicionales. 4. Para hallar una raíz negativa de /(*) = 0 por el método de Horner, se calcula la raíz positiva correspondiente de /{—x ) = 0 y se le cambia el signo. K JK RCICIO S. G R U PO 43 En cada uno de los ejercicios 1-6, hallar la raíz indicada de la ecuación dada. * orrecla con dos decimales, usando el método de Homer. 1 . X3 — 6x2 + 1 3 , - - 1 3 - 0 ; 3 < x < 4. 3x2 + 13 , ... 24 = 0 ; 2 < x < 3. 2. *3 3. X3 f lOx2 i 34x — 60 - 0 ; 1 < x < 2 . 4. X»- lOx* + 35 , 4- 50 - 0 ; — 1 > x > 47 = 0 . 3 < x < 4. 5. X3 4- 3 x » - 5 , 9xa + 24x - 19 - 0 ; 2 < x < 3 . 6 . X* En cada uno de los ejercicios 7-11, hallar la raíz indicada de la ecuación dada, «orrecla con tres decimales, usando el método de Homer. 7 x» 4- 3xa 4- x — 6 - 0 ; 1 < x < 2. 8. x» 4xa — óx - 20 = 0 ; — 2 > x > — 3. 9 x» I 4xa + 6x — 97 - 0 ; 3 < x < 4. 10 x« + 4x¿ 4- 7xa — 2 x — 21 - 0 ; 1 < x < 2. 11. x« — 6x> + 12** 4- l l x — 11 - 0 : 2 < x < 3. 12. Por el método de Homer, resolver el ejercicio 7 del grupo 42 (Art. 11.11). 13. Por el método de Horner, resolver el ejercicio 8 del grupo 42 (Art. 11.11). I-I. Por el método de Homer, resolver el ejercicio 9 del grupo 42 (Art. 11.11). 15. Por el método de Horner,resolver el ejercicio 10 del grupo 42 (Art. 11.11). 16 Demostrar que el uso de decimales puede evitarse en el método de Horrrr multiplicando por 10 las raíces de cada ecuación transformada. 17 A| determinar por el método de Horner la raíz de la primera ecuación li.mvonnada, puede obtenerse un resultado más preciso usando los tres últimos i- -minos de la ecuación como ecuación modificada. Aplicar ésto a la ecuación (2) del Art 11.12, calculando la raíz positiva de la ecuación cuadrática 8x,2 4 12x, - 4 - 0 . 18. Comprobar la ecuación transformada (5 ) del ejemplo del Art. 11.12. 19. Hallar la raíz positiva de x* — 2x3 — 9x2 — 4x — 22 - 0, correcta con iip » decimales, usando el método de Homer. 20. Hallar la raíz negativa de x ‘ 2xa 9x* 4x — 22 = 0, correcta con i decimales, usando el método de Horner 21 Hallar la raíz positiva de 4x4 — 19xa — 2 3 x — 19 — 0, correcta con 3 dei ¡males, usando el método de Horner. 22. Hallar la raíz negativa de 4x4 — I9x5 23* 19 — 0. correcta con 3 •Ir» ¡males, usando el método de Homer. 23 Por el método de Horner, calcular la raíz cúbica principal de 7, correcta con 3 decimales. Su¿tTtncia: Calcular la raíz positiva de xs — 7 — 0.

272

T e o ría d e e cu acio n es

En rada uno de los ejercido! 24-27, rakular la raíz principal indicada, co­ rrecta. ron 3 decimales, usando e¡ método de Horner. 24. ^ 7 5 . 25. i? — 35. 26. ^ l T . 27. f '2 7 . 28. Las dimensiones de una caja rectangular son 5 cm, 8 rm v 9 en:. Calcular |K»r el método de Horner la cantidad, la misma para todas, en cjue debe au­ mentarse cada dimensión para que el volumen aumente en 440 crrA 29 Se cortar, cuacados ¡guales en las esquinas de un cartón rectangular de 1.4 m de largo por I m de ancho, doblando los rcrtámmlos Laterales y formándose asi una caja abierta cuyo volumen es 0.1 m3. Calcular usando el método de llorner la longitud del lado de los cuadrados cortados (Dos soluciones.) 30. Por el método de Horner, encontrar las soluciones del sistema x- — y = 7, y I x - 11, correctas con 2 cifras decimales. Comprobar gráficamente los re­ sultados.

11.13. R E L A C IO N E S E N TR E LAS R A IC ES Y L O S C O E F IC IE N T E S Hemos visto anteriormente que la naturaleza y valor de las raíces de una ecuación entera dependen de sus coeficientes. Ahora obtendremos ciertas relaciones entre las raíces y los coeficientes del tipo mencionado de ecuaciones, relaciones que frecuentemente son útiles al tratar de hallar sus soluciones. Primeramente obtendremos varias igualdades a partir de sus raiccs. Así. por ejemplo, según el Art. 11.6, la ecuación cuyas raíces son y r, es { * — r.) ix — r3) = 0 o sea

Xa — (r, + r2) x -t* r,r-¿ = 0.

Análogamente, la ecuación cuyas raíces son r,, r3, y r, es o sea

( * — r i ) ( * — rs ) ( x — r,) = 0 x 3 — (r. + r a + r,)x * + (r,r, + rxra -f r2r3) x — r,r2ra

0.

De la misma manera, la ecuación cuyas raíces son r,, rS) r3 y r, puede escribirse en la forma x* ~

( r, + r¿- r3 - rj x3 + (r.r, - r,r;1- r ,r 4 + r ¿r a +

r-tr x+

r8r») x2

“ (r«rsr,-»-r,rsr,+ *,r»r« -I- r2r3r4) x — r,r2r3r4 = 0. I^a observación de estas igualdades descubre los siguientes hechos: 1. El coeficiente principal es la unidad. 2. El coeficiente del segundo termino es igual al número negativo de la suma de todas las raíces. 3. El coeficiente del tercer termino es igual a la suma de los produc­ tos de las raíces tomadas a pares.

.Relaciones entre las raíces y los coeficientes

273

4. El coeficiente del cuarto término es igual al negativo de la suma de los productos de las raíces tomadas de tres en tres. 5. El último término es igual al producto de todas las raíces, tomado con signo positivo o negativo según que el número de raíces sea par o impar. De estos hechos deducimos resultados análogos para la ecuación ge­ neral entera de grado ti. Por inducción matemática puede demostrarse que esta deducción es correcta: enunciamos el resultado general en el teorema siguiente: Teorema 12. Si r¡, r¿ . . . . . rn son lar n raíces de la ecuación entera xa + a i* * '1 — a..xH~: — . . .

4

= 0

cuyo coeficien te principal es igual a la unidad, entonces las raíces y los coeficientes están relacionados por las siguientes igualdades: a- - — (ft 4- r» 4 . . . 4 r»), a* = r,r2 4“ V * 4- . . . 4 rn l rH,
(—

. . . r n.

NOTAS.

1. Es importante obser\’ar que las relaciones del Teorema 12 sólo son válidas cuando el codicíente principal es la unidad. 2. Ahora se puede observar que el Teorema 3 (Art. 5.5) es un caso especial del Teorema 12 correspondiente a n = 2. Ejemplo 1. Resolver la ecuación 3x* 2x- — 2 7 * — 18 — 0 sabien­ do que una de las raíces es el número negativo de otra. SOLUCION. Representemos las tres raíces por rj, — r x y r2; su suma es igual a r2. Antes de aplicar el Teorema 12, dividiremos la ecuación dada entre I, para reducir a la unidad el coeficiente principal. Entonces la ecuación toma la forma _ 9x + 6 0. y la suma de las raíces es igual a %. Por tanto r2 %. Ahora, por medio de la división sintética reducimos la ecuación dada separando la raíz % : 3 — 2 — 27 4- 18 1% 4- 2 - 0 — 18 3 * 0 — 27 4- 0

274

Teoría de ecuaciones

L a ecuación reducida es 3x2 — 27 = 0, con las soluciones x = dr3. Por tanto, las raíces buscadas son %, 3, — 3. Ejemplo 2. I*is raíces de la ecuación x3 — 3xa + kx + 8 = 0, toma­ das en determinado orden, están en progresión aritmética. Hallar las raí­ ces y el valor del coeficiente A. so lu c ió n . Podemos representar a las tres raíces por a — d. a , a + d ; su suma es igual a 3. Por tanto, 3a = 3 y a = t , que es una de las raíces. Haciendo x = 1 en la ecuación dada, podemos obtener el valor de k y luego proceder a calcular.las dos raíces restantes como en el ejemplo 1. Sin embargo, es posible obtener estas raíces sin hallar previamente A. Ya que a 1, las tres raíces son 1 — d , í . 1 *f* d , siendo su producto 1 — d¿. Por otra parte, según la ecuación dada, el producto de las raíces es igual a — 8. Por tanto, 1 — cP = — 8 y ( í = ± 3 . Para d = 3 las raíces son — 2, 1, 4 ; para d — — 3 las raíces son 4, 1, — 2. Puede comprobarse fácilmente que k = — 6.

E JE R C IC IO S. G RU PO 44 1. Resolver la ecuación 4x3— I2x* ~ 3 * + 5 — 0 sabiendo que las raíces, en un determinado orden, están en progresión aritmética. 2. Resolver la ecuación x 3 -f 3xs — 6x ■— 8 = 0 sabiendo que las raíces, en un determinado orden, están en progresión geométrica. Sugtrettcia: Representar las raíces por a /r , a , ar. 3. Resolver la ecuación x3 — 9x2 4- kx — 24 — 0 y hallar el valor de k si las raíces, en cierto orden, están en progresión aritmética. 4. Resolver la ecuación 3x3 i kx2 — 7x + 3 = 0 y hallar el valor de k si las raíces, en cierto orden, están en progresión geométrica. 5. Resolver la ecuación 4 * 3 xs — I6x + 4 - 0 si una raíz es el negativo de la otra. 6. Resolver la ecuación x 5 - 10x2 4- 1 lx 4- 70 = 0 si la suma de dos de las raíces es 3. 7. Resolver la ecuación Xa — 2r= — i5 x — 36 — 0 sabiendo que tiene una raíz doble. 8. Resolver la ecuación 9x* - -45x* - 5 2 x — 12 — 0 si una raiz es el doble de otra. 9. Resolver la ecuación 3x3 -f I7x2 — 87x + 27 = 0 si una raíz es el reci­ proco de otra. 10. Resolver la ecuación x3 - '¿x2 5 * — 6 — 0 si una raiz excede a otra en 2 unidades. 11. Resolver la ecuación 2x3 I 9x2 -f- lOx 4 - 3 = 0 ú las raíces están en la proporción 1 :2 :6 . 12. Resolver la ecuación 2x* — l l * 2 — 7x 4- 6 — 0 si el produelo de dos de sus raíces es 3. 13. Resolver la ecuación x s — 2x5 — 5x + 6 — 0 si el cor ¡ente de dos de sus raíces es 3.

Relaciones entre las raíces y los coeficientes

275

14. Resolver la ecuación 5x> + 6x3 + i x — 8 — 0 sabiendo que tiene una raiz triple. 13. Resolver la ecuación 4x4 -f 28x:* + 33*2 — 5 6 * + 16 = 0 sabiendo que tiene dos raíces dobles. 16 Resolver la ecuación x* — Rx3 + 14x2 f- 8 x — 15 — 0 si las raíces, en cierto orden, están en progresión aritmética. Sugerencia: Representar las raices por n - 3 d , a — d, a + d, a 4- 3 d. 17. Resolver la ecuación 9x4— 63x3 + 53#8 + 7x 6 => 0 si una raíz es el número negativo de otra. 18. Escribir las relaciones del Teorema 12 (Art. 11.13} cuando el coeficiente

principal a? ^ I.

19. Demostrar que si en una ecuación entera falta el segundo término, en­ tonces la suma de las raíces es cero, y que si falla el término independiente una rnr lo menos de las raíres es igual a cero. 20. Considerando la ecuación x* 1 — 0, demostrar que (a ) la suma de las >i raíces enésimas de la unidad C9 igual a cero: (b ) el producto de las n raíces enésimas de la unidad es igual a — 1 .«i n rs par y es igual a 1 si n es impar. (Véase ejercicio 17 tícl grupo 29, Art. 8.9.) 21. Si rv r3 y son las raíces de la ecuación 6x3 1 lx 3 3x + 2 — 0, ca lcu la r — + — + — sin hallar directamente las raíces.

ri

^

r?

22. En el ejercicio 21, calcular r.2 + r33 + r32 sin hallar directamente las raíce». 23. Hallar la relación que debe existir rr.tre los coeficientes de la ecuación ' ' o*8 + éx + c - 0 si una de susraíces es el número negativo de otra. Com­ probar este resultado para el Ejemplo I dc-l Art. 11.13. 24. Hallar l.i relación que debe existir entre los coeficientes de la ecuación * ’ I as3 + bx -f- c ■» 0 si sus raíces, en cierto orden, forman una progresión geoti rtrica. Comprobar el resultado para el Ejercicio 2. 25. Demostrar el Teorema 12 (Art. 11.13) usando el método de la inducción n iitemática.

12 Fracciones parciales 12.1. IN T R O D U C C IO N K» el Art. 2.11 consideramos el problema de encontrar Ja suma de do-. o nuil fracciones algebraicas simples. E»ta suma resalló ser una sola lia clón cuyo denominador era el mínimo común múltiplo de Jos deno­ minadores de las fracciones dadas. Por ejemplo, podernos comprobar tái límente la siguiente suma: 1 (I)

x + í

(

2

2x— 1 _

5 jc5 - * + 2

x — I + Xa + 1 ~ t V — l> ( jc- -

11

En este capítulo \amo> a considerar el problema inverso, es decir, el «Ir descomponer u n j fracción dacb en la suma de fracciones más scnciII i* que se denominan sus fra cción *i parcialts. Por ejemplo, en la igual­ dad ( 1 ), las Irr* fracciones del primer miembro son las fracciones pan iaI les correspondientes a b írarrión del segundo miembro. El problema de I » descomposición de una fracción en fracciones parciales se presenta en •>ii;ut tamas de las matemáticas como, por ejemplo, en cálculo integral. liemos observado previamente (Art. 2.11) que una fracción impro|"tt puede expresarse como I;l suma de un polinomio y una fracción pro!••»» Ku lo que sigue se sobrentenderá que solamente trataremos de descomponer b s fracciones propia» simplificadas. Además, sólo considcr>nrmos fracciones en las que el numerador y denominador sean |>olinomiIon con coeficiente» reales. Yu que los denominadores de las fracciones i-.iMittlrs que rr van a determinar >on factores del denominador de b (m otón dada, mncluye que tal denominador debe tener factores lineá­ is o i uadráticos irreducibles con c«>eficientes reales, de acuerdo con ci Corolario 2 del Teorema 6 (An. 11,7). 277

Fracciona parciales

27B

12.2.

T E O R E M A FU N D A M EN TA L EN LA D ESC O M PO SIC IO N DE UNA FRA C C IO N EN FR A C C IO N ES PA RC IA LES

El método para descomponer una fracción propia en suma de frac­ ciones pardales se funda rn d siguiente teorema, cuya demostración se ocnitc por caer fuera del campo de este libro. Teorema. C ualquier fracción p rop ia, reducida a su mínima expresión, p u ed e expresarse co m o una 'urna de fraccion es parciales d e los siguien­ tes tipos: 1. A ca d a factor lineal a x rr b ou c aparezca una sola vez com o fa c ­ tor d el den om in ador, correspon de una fracción parcial d e la form a —— , en don de A / 0 es una constante, a x *- b 2. A cad a ¡ a d o r lineal ax *r b que aparezca k veces com o fa cto r d el denom inador, corrr rponde la cuma d e k fraccion es parciales d e la form a •4. i — -f --------- d *— _ * “ * [ax + b ) k 3 ax + b + ( « * + * ) * en don de A u A , , . . . , Ak son constantes y Ak 0. 3. A ca d a ¡actor cu adráú co a r + b x + c (irredu cible en el cam po de los números n a le s ) qu e aparezca una sola vez com o factor d el denoAx H m inador, correspon de una fracción parcial de la form a —— , r ax3 -I bx i c en donde A y B son constantes no sim ulldnram int* nulas. 4. A ca d a factor cuadrático ax3 I bx -f r (irreducible n i el cam po de los núm eros reales) que aparezca k veces com o factor d el denom ina­ dor, corresponde la sum a d e k fraccion es parciales d e la form a AjX + By ax8 — bx + c

A }x - fít ( a x s 4- bx *F c J 8

en donde A u B v, A :, B m ultáneam ente nulas.

...

+

A tx + Bu (a x 3 + ftjc + f ) 4 ’

, A*. Bk son constantes y AK y B* no son si­

NOTAS.

1. Si una fracción dada es impropia, primeramente debe expresarse como la suma de un polinomio y una fracción propio, aplicándose luego el teorema a la fracción propia. 2. Eos tipos de fracciones mencionados en el teorema se llaman frac­ ciones parciales simples. 3. El estudiante podría preguntar si existen fracciones parciales de la A x3 + B x + C forma ------------------------------ . La respuesta es afirmativa, pero ya no se ax3 + óx3 + e x + d

Facture* lineales distintos

279

Itala dr las fracciones parciales xinipka. Ya que estamos trabajando con

coeficientes reales, sr concluye, del Corolario 2 del Teorema 6 (A lt. 11.7), que r! denominador cúbico puede expresarse ya sea como producto de tres factores lineales o como producto de un factor lineal por un factor cuadrutico. Por tanto, la fracción mencionada puede expresarse como la suma de dos o trrs fracciones simples. El teorema enunciado nos da la form a de las fracciones parciales; nos queda el problema de determinar los valores de las diversas constantes qwo .quim ón en esos fraccione! En el resto de este capítulo explicaremos como se efectúa esta determinación por medio de ejemplos que compren­ den los cuatro tipos.

12.3.

F A C T O R E S L IN EA LES D IS T IN T O S

Aquí consideramos el problema correspondiente al tipo 1 del Teore­ ma del Art. 12.2.

, 5x + 1 Ejemplo. Descomponer ------- --— — —— — - en fracciones par( * — 1) (* +

l ) ( x + 2)

cinle» simples. so lu c ió n . Ya que los factores del denominador son todos lineales v diferentes, según el teorema anterior podemos escribir Li identidad

/1 .

_

J _______

(*—1)(* + l)(x + 2)

x —1

^

x+ 1

,

C

x+ 2’

«crido A , B y C constantes que deben determinarse. 1.a identidad (1 ) ta 'úlula para todos los valores de x exceptuando 1, — 1 y —2, pues pora rid a uno de estos valores el denominador *** anula. Quitando denomina­ dores de ( 1 ) , tenemos la identidad (2 )

5 x + l ^ , t < x + l ) ( * + 2) - B [ x — l ) ( x + 2) •f C ( * - l ) ( x + I)

•pie, en vista de la relación ( 1 ) . e* válida para todos los valores de x para 1, 1 y 2. Por tanto, por el Corolario drl I corroía 5 (Art. 11.6), la relación (2) es válida para todos los va­ lores de x incluyendo 1, — l y — 2. Existen dos métodos para determinar las constantes A, B y C .

••xcrpto, posiblemente,

—

—

método 1. Para determinar las tres constantes A, li y C, necesitamos • ecuaciones independientes que la* relacionen. Estas tres ecuarlones pueden obtenerse sustituyendo a x por tro» números distintos cualesquiera

Fraccione* parda leí

280

en la identidad (2), Sin embargo, este caso w* simplifica h sustituimos los valores de x que fueron excluidos de la relación ( 1 ) , es decir, 1. — 1 y — 2. pues con cada una de estas sustituciones eliminarnos todas las cons­ tantes con excepción de una. Así. para .y 1, la identidad (2 ) nos da 5+1 Similannente, para x

A { 1 + 1) {1 1 2 ) , de donde A = 1. I, la identidad (2 ) nos da

— 5 + I = A (1 — 1 ) ( — 1 + 2 }, de donde R = 2. Finalmente, para x

- 2, la identidad (2) nos da

— 10 - 1 = C*(— 2 — 15 (— 2 + 1 ), de donde C = — 3. Según esto la solui ion buscada es:

w

«>— 1> (ar — 1J (JT + 2)

t —1

*+ l

* + 2*

Una comprobación completa de este resultado se obtiene sumando las tres fracciones parrúilr* del segundo miembro c e ( 3 ) , como se estu­ dió en el Art. 2.11. método 2. En este método efectuamos operaciones en el segundo miembro de (2 ) y escribimos rl resultado como un polinomio en x. Esto es.

5 * • 1 mmA[xl + 3 * + 2) t R íjc* - x — 2) *r C (x’ 3 * + \ ~ { A + B - C ) x 2 + (3A + B U + 2A W

(4 )

l ) , o sea, C.

Ya que (4 ) es una identidad, se sigue, del leonina 5 (Alt. 11.6), que los coeficiente» de las potencias correspondientes de x deben ser iguales, asi obtenemos A + B - C = 0, 3.4 + fl = 5, 2 A — 2 B - C = 1. La solución de este sistema de ecuaciones (Art. 4.7) puede efectuarse íái ilmcntc, obteniéndose A = 1, B 2, C = — 3. que concuerda ton el re­ sultado obtenido por el Método 1.

12.4.

F A C T O R E S L IN E A L E S R E P E T ID O S

Veamos ahora un ejemplo que comprende al li|>o 2 del teorema del Art. 12.2.

ir 2 + 4x + 2

.

Ejemplo. Descomponer ------------------------- en sus Ir art iones parcui( jc — 4_i ( * I 3 1*

Ies simples.

^

281

Factures lineales repetidos

soll ' c io n . Estf problema comprende los tipos I y 2 drl tm m n a del A rt 12.2, poi lo cual escribimos la identidad

5**+ 4 *+ 2 _ ( * — 4 ) ( * 4* 3 ) *

A B C x — 4 + x - i - 3 + ( * + 3) **

Eliminando las fiarciones de ( 1 ) T tenemos la identidad (2 )

5x* 4- 4 * f 2 H i l ( í + 3 ¡ í -4 B ( x — 4 ) ( jt 4- 3) - C íjt — ♦ ),

la cual, por el mismo argumento usado en el ejemplo drl Art 12.3, es válida para todos los valores de x. También existen dos métodos para la determinación di* Isis constantes A. B y C. M ETODO 1. En este caso, debido a que un factor lineal está repetido, no es posible obtener inmediatamente las tres constantes por sustitución de ciertos valores como se hizo en el ejemplo del Art. 12.3. Sin embargo, podemos determinar de esta manera dos de las constantes. Así, para x 4 la identidad (2) nos da

fi() I 16 - 2 = A (4 + 3 ; s, de donde A I'aiu x

2.

-3 la identidad (2 ) nos da 45-12

2

C(

3

4 ; , dr donde C = — 5.

No existe un valor de x que puede sustituirte para eliminar simultá­ neamente A y C y obtener dr inmediato fí. Sin embargo, si usamos los \.dores de A y C ya obtenidos y algún valor sencillo de x, digamos 0. pxlemos obtener fárilmente fí. Asi, si sustituimos A = 2. C = — 5 y x 0 en la identidad ( 2 ) , Irnrmos 2 ^ 2 ( 3 ) B 4- fl(—4 ! (3) + (— 5} (— 41, 2 = 18 — 12i* + 20, \2B = 36. fí = 3.

de donde

Por tanto, la desconi|»osxión en fracciones parciales es 5 ** 4* í 2 ( * — 4) (# + 3)* "■ x — 4 +

3

5 ( * 4- 3 )* *

método 2. Aquí procederemos como en el Método 2 del Art. 12.3. Kfri tu ando operaciones en el segundo miembro de ( 2 ) , tenemos

3#1 -|- 4x + 2

A (x3 b 6x 4 - 9 )

«(.Va

.v — 12) + C ( x — 4 ),

n tea, 3x* I íx b 2

(A I /l)x* I (6/1

fí I C )x 4- 9 A — \2B -

1C.

282

Fracciones parciales

Igualando l«s coeficiente» de potencias corrcipondicntes de x, obtenenjos el sistema SA 9A

A + 0 - 5, B C « 4, 120 - 4 G s 2,

cuya solución es /! 2, 0 I, C do obtenido por el Método 1.

-5, que concuerda con el resulta­

E JE R C IC IO S. G R U PO 43

En aula uno de loa ejercído* 1-20, descomponer la fracción dada en »u« fracclone* pardalei simple» y comprobar el reiuluido. 3* 1 íí 7x _ 2. (x — 2 )(x 1 4 ) * ( 2 x ? 1) ( x —•3 ) ' x 9 9* -4- 7 4. js®— 9 * »8 4 2 * — 3 * 3x* — 5x - 5 2 16 — lOx* 6. {x 4 2 )(x 3 ){x | 5 ) * (*• — !) (*» — 4) * •2x» |- 14» f- 18 ~ » 4- 9 8. íx 3) {2x* — x 1) * * - 2*8—- 5* 1- 6 * x» *| 2x* | *■ 4 l lx " -4- 37x + 31 10. *2 4 x — 6 * x* 4 ¿r8 - 5x — 12 *

3*— 1 x8 4- 3» — 2 12. (x 4 l ) 8 * x » (2 x -I) * 9x* 4 16x= + 3* — 10 2** - 7*» 4 15* -I- 8 14. x»(x + 5) x (x 4 2 )» 3x* 4 10x8 — 5x 3x» + 4x- — 2 U — 103 16. (x — l ) 8(x 4 l ) 8 * (x — 3) (x» 4 5x* — 8x — 48) ‘ 2x» 4 3**— 15* — 8 4x« — 3x* 4 6x — 3 18. (x-4 2)(x> — 3x -4 2} * (x — l) ( x * — I)* * 2x» — 4x! — x 4 2 <x8 — * ) * xs 4 4x*— 15x>— 14*= 4 x - 24 * (x — 2 )8(x 4 l ) 8

12.5.

F A C T O R E S CU ADRA T IC O S D IS T IN T O S

Como ejemplo del tipo 3 del teorema del Art. 12.2, tenemos el si­ guiente: 3x* — j r -f 4x Ejemplo. Descomponer en sus tracciones (x2 -f ! ) { * * — * + ! ) parciales simples.

Factores cuadráticos discintos

283

solución . Ya que ambos factorrs del denominador de la tracción dada son irreducibles en el campo de los números reales, podemos escri­ bir la siguiente identidad, de acuerdo con el teorema del A lt. 12.2:

3x* — ar -f 4x

_

(Xa + ! ) ( * » — * + ! ) ”

Ax 4 B

Cx + D

**+l

x»_x+I*

Eliminando las fracciones de ( 1 ) , obtenemos la identidad

3x> — *= + 4* s ( . 4 x + £}(** — x 4 1) + [ C x ^ D ) ( x* 4 1).

(2)

Como antes, existen dos métodos para determinar las constantes A.

B.CyD. itx v o o o 1. En este método, en la identidad (2) sustituimos x por cuatro valores sencillos diferentes. Esto nos da cuatro relaciones indepen­ dientes que contienen las constantes. Asi: Para

x = 0, 0 = B - D.

Para

x = 1, 6 = (A 4 £ ) ( 1 ) 4 (C 4 D) ( 2 ) ,

o sea Para

A + B - 2 C ~ 2 D = 8. x = — 1, — 8 = i — A 4 B ) (3) 4 - { —€ 4 D ) ( 2 ) ,

o sea

3A — 3B - 2 C — 2D = 8.

Para

x = 2, 24 — 4 4 8 = {2A — B ) ( 3 ) 4 ( 2 C 4 Z > ) { 5 ) ,

o sea

6A 4 3B 4 10C 1 3/) = 28.

Se deja como ejercicio resolver este sistema y ver que la solución es A l, B -I, C e 2, D — 1. Por tanto, la descomposición en fraccio­ nes parciales es 3 * B— x» 4 4x x— ! ( x » 4 l)(x* — x 4 l ) " r * 4 r

2x 4 1 r ' - r + l ’

mivTodo 2. Es el misino que el Método 2 del artículo anterior. Efec­ tuando operaciones en el segundo miembro de ( 2), tenemos

3 * 8 - * » + 4x — A * — (A — £ ) * » 4 (-4 — £ ) x 4 / 1 4 C’x* 4 Dx' -I C x -f D, o sea

3x" — x* 4 4x

[A 4 C) x" — (A - B - D )x* + (A - B + C ) x + B + D.

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x, ob­ tenemos el sistema A 4 C = 3, A — B — D = 1, 4 — /i 1- C = 4,

/I I D = 0.

Fracciones parciales

284

cuya solución es .-I = 1, B = — 1, C = 2, D = 1. que está de acuerdo con el resultado obtenido con el Método 1.

12.6.

F A C T O R E S C U ADR A TIC O S R E P E T ID O S

Como un ejemplo del tipo 4 del teorema del Art. 12.2, tenemos el siguiente: ^ \x* 4- 13x* — 4x 4- 14 Ejemplo. Descomponer--------------------------------- en sus fracciones par-

(* — l){x *4 -2 J*

ciales simples. soLtJOON. De acuerdo con el teorema del Are. 12.2, podemos escri­ bir la identidad 4x‘ — 13jt — 4x — 14 __ A f Bx + C Dx 4- E (x — l ) ( a r + 2 ) s x— 1 ar 4- 2 ** ( x J + 2 ) - ’ Quitando denominadores resulta (2 )

Ax4 + 13x*— 4x + 14

A (x* + 2 )* + (B x + C ) ( x — l ) ( x * + 2) + (flx 4- F A {x — 1).

Existen los mismos métodos del articulo anterior para la determinación dr lat rnnslantes A , B, C , I) y E, mktooo 1, Ya hemos observado (Art. 12.3) que cuando aparece un factor lineal, es posible sustituir un valor particular de x y determinar inmediatamente una constante. Así pues, sustituyendo x I en la iden­ tidad ( 2 ). tenemos

27 = *M. de donde A

3.

Para las constantes restantes sustituimos a x por valores sencillos en la identidad ( 2 ). Así tenemos: para

x

0, A = 3, 14 = 3(4) + C7(— 1) (2 ) + E {

x

— 1, A = 3,

o sea Para

I ),

2C f E = — 2. 35 = 3(3) • + ( - « + C ) { — 2) (3) 4- ( - D + E ) [ - 2 ) .

o sea Para

6 5 — 6 C + 2/> — 2 E « 8 . x = 2, A = 3, 64 - 52

o sea

8 4- 14 = 3(6)» 4- (2B + C ) ( I ) ( 6 ) 4- (2D + E ) [ l ) , 12B 4 -6 C

21) 4 E

14.

Factores cuadriticos repetidos

Para

x = — 2, A = 3,

64 I 5 2 + 8 + 1 4 o sra D

285

3(6)» l (

2/H G ) ( -3) (6)

(

2D + E ) {

3),

36fl — 18C + 6 D — 3E = 30.

l a solución de este sistema de cuatro ecuaciones es H 1, (7 = I, 0, E — — 4. Por tanto, la descomposición en fracciones parciales rs 4#‘ 4- 1 3 **— 4 * 4* 14

( x — !)(*• +2)* mrtodo

3

v

!

* 4M. a 2

I

;.v-'

2. Efectuando operaciones en el segundo miembro de ( 2),

obtenemos 4a* -I- 13 a» — 4 a 4* 14 — 44osea ix * I I3x» 4 a -h 14 4I

A (x ' - 4a» I I) * Rx* -|- ( C - B )x ' (2/1 (?) a» I 2 [C — R) x — 2C 4- 1)a» {JC D) x — E, (A 4 B )x ' I (C — B ' f (4.4 4- 2 R C 4 /)) a» (2C 2R D + E )x I 4A 2C E.

Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de a, te­ nemos el sistema ,4 1/1 = C— B = 4.4 4- 2 5 — C + Z) = 2C — 2fl — í ) + £ = 4.4 — 2 C — E =

4, 0. I3; — 4, 14,

cuya solución es A = 3, B a l , C = l , D = 0 ,F = — 4. lo que concuerda con el resultado del Método 1. E JE R C IC IO S. G RU PO 46 En cada uso de lo* ejercicios 1-20 descomponer la fracción dada en tos frac* !pardales dm plis, y oamprohar el rrsullado.

11

3x* — 4x 4- 5 ( , — !)(* * + D * 2x> — 4x= - 4 x — 1 (*= - l} ( x » + 2 J * 2x’ 4- x + 3 x* -f 5 r: f 6 4x> f 3x2 _ |ar 3 lx 4- 1 ){x * - 2x — 3* 2x* + 4 x ' + 4a1 4- x — 6 x* 4- x* 4- l e 4- 2x* 4- 3x (*« 4 x 4 - n* *

5xi 4. Bx + 5 x* - 3x2 _ 3 , + 2 * 3x* -f x2 — 2x 2 ( x + 1} Car* 4- I ) • — I0x¿ — 24x — 48 (x - 2 ) (x — 3 J tx- 4 x + 2 ) 3x* —- 9x* + 8 x — 10 8. (x — 3 ) (x3 -2 x 2 — x — ti)* x- + ?x> — x= 4- 9x — 12 10. (x= 4- 3 » Jx3 — x 4- 22x* 4- tx* — 3 * s + 3x — 1 12. ( * * 4- 1 ) *

286

Fracciones parciales^ 13.

5x»— 13jH - 19x* — 22x»

llx — 4

( * * — x* + x )* 7** — l l x* + 12x* — H , + 27 14. <* — + 2 )* ¿x’ -f 9x> 4 3x* + Sx -r 4 15. x« + 2 ** + 1 — *jr* — "¡x* — -Ix3 - 10x= 4- 7 16. x* — 2x* + 1 3*r* — 5x* 4- &x* — Sx> - f 5x* 3x 4- 3 17. (x — 1) íjc« — 2x» + |J 2x? — ~x* — IQx* -— 16jH ~ IKj 3 — 16x= - l l x — 4 18. (x* + I }*•>* — * -f 1)» 2x» 4 x H I 3* r 4- IOr* 4- 29«» 4- 24x* 4 29x* 4- 18x= + I5x 4- 3 19. (*« + 3 ){x » -+- 1>» *• 4 4x* -f l i d - lfer» - 21*2 4 - 1 2 x 4 - 8 20. (x* + 2 ){x « + x 4 2)«

13 Permutaciones y combinaciones 13.1. I NTROD UCC IO N En n te capítulo estudiaremos los diversos arreglos y selecciones que «i posible Imcer con los elementos tlr un ron junto dado. Mientras que por una parte esto conducirá n la solución de problemas que son interesantes Isor si mismos, también veremos cómo los resultados que se obtengan so iplican para resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo, podre­ mos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos o placas difertntrs de automóviles, se pueden formar utilizando un conjunto dado de ••tras y dígitos. Además, por estar relacionado con el estudio de las com­ pilaciones, volveremos a ver los coeficientes del desarrollo del binomio y el triángulo de Pascal (Ans. 7.5 y 7 .6 ). Finalmente, uno de los propósi­ t o más importantes de este capítulo es el de estudiar ciertos temas indiqicnsablcs para poder comprender y resolver las problemas de proba­ bilidades que daremos en el capítulo siguiente. 13.2. T E O R E M A FU N D A M EN TA L Definición. Cada uno de los diferentes arreglos que pueden hacerse con una parte de los elementos, o con todos los elementos, de un conjun­ to, se llama una perm u iación .' Conviene observar que el orden es una característica de especial im­ portancia en una permutación. Cuando variamos el orden de los elemen­ to» de una permutación, se dice que perm utam os dichos elementos. Por ejemplo, los diferentes arreglos o permutaciones que pueden ha• Muchos autores distinguen entre permutación y variación. En una pencutaartr se les llama variación. 287

288

Permutaciones y combinaciones

cerse con las tres letras a, b, c, tomándolas de dos en dos, son seis, a saber: a b , ac, ba, b e , ca , cb. En el artículo siguiente deduciremos una fórmula que permite calcu­ lar el número de permutaciones que pueden hacerse con n elementos tomados de r en r. La demostración de dicha fórmula se basa en el si­ guiente teorema, conocido como el teorem a fundamenta!. Teorema 1. (T e o r e m a fu n d am en tal). Si una acción p u ed e efectu arse d e una d e p m aneras diferentes, y si después de qu e esta acción ha sido efectu ada de una d e esas m aneras, una segunda acción puede efectuarse de una d e q m aneras diferentes, entonces el núm ero total d e maneras diferentes en qu e las dos accion es pu eden efectuarse siguiendo el orden m encionado es pq. DEMOSTRACION. Para cada una de las p maneras diferentes en que puede efectuarse la primera acción, corresponden q maneras diferentes para efectuar la segunda acción, es decir, existen q maneras diferentes de efectuar las dos acciones para cad a manera de efectuar la primera acción. Por tanto, para las p maneras en que puede efectuarse la primera acción, corresponden p q maneras diferentes para efectuar las dos acciones.

Corolario 1. Si una acción pu ede efectuarse de p maneras diferentes, y una segunda acción p u ed e efectuarse d e q m aneras diferentes, y una tercera acción p u ed e efectu arse d e r m aneras diferentes, y asi sucesiva­ m ente, entonces el núm ero testal d e m aneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas accion es en e l orden m encionado es p q r . . . Corolario 2. S i x acciones pueden efectuarse sucesivam ente d e p m a­ neras diferentes cad a una, entonces el núm ero total de m aneras diferentes en que pu eden efectu arse las x acciones sucesivam ente es px. Como ejemplo del Teorema 1, consideremos el caso ya mencionado de obtener las seis permutaciones de las tres letras a, b, c, tomadas de dos en dos. Podernos considerar este problema como dos acciones suce­ sivas consistentes en llenar dos lugares o posiciones en orden. El primer lugar puede llenarse en tres formas diferentes usando cada una de las letras a , b , c. Después de que se ha llenado el primer lugar, quedan dos letras para el segundo lugar, el cual puede por tanto ser llenado en dos formas diferentes. En consecuencia, por el Teorema 1, ambos lugares pue­ den llenarse en 3 X 2 — 6 formas diferentes. Como ya hemos dicho, en el siguiente articulo se deducirá una fórmu­ la para calcular el número de permutaciones. Sin embargo, muchos pro­ blemas pueden resolverse sin recurrir a esa fórmula simplemente usando el Teorema y sus corolarios poi medio de la consideración de las diversas

T e o r e m a fu n d a m e n ta l

289

acciones que deben efectuarse como lugares o posiciones que deben llervarsc en orden. Veamos como se aplica este procedimiento por medio de algunos ejemplos. Ejemplo 1. Existen cinco carreteras entre las ciudades A y B , y cua­ tro carreteras entre: las ciudades B y C. Hallar el número de formas dife­ rentes en que una persona puede viajar de A a C pasando por B. s o l u c ió n . Primeramente trazamos dos líneas horizontales. —•, — , p.ir.i indicar los dos lugares que deben llenarse. El primer lugar puede llenarse de cinco formas distintas ya que la primera acción, que es viajar «le A a B, puede efectuarse en cinco formas distintas. Análogamente, el m t/i indo lugar puede llenarse de cuatro formas distintas ya que la segun­ da acción, que es viajar de B a C, puede efectuarse en cuatro formas dis­ tintas. Nuestros dos lugares aparecen ahora como sigue: 5, 4. Por tanto, |N.r el Teorema 1, el número buscado de formas diferentes es 5 X 4 = 20.

Ejemplo 2. Hallar el número de enteros diferentrs de tres cifras que l> «drn formarse con ios dígitos 2, 3. 5, 7, en los casos siguientes: (a) no m- permite la repetición; (b ) se permite la repetición. holucion. (a) Consideremos, como en el Ejemplo 1, que tenemos ti . lugares para ser llenados. El primer lugar puede llenarse de cuatro limii.i* diferentes. Habiendo llenado el primer lugar, el segundo lugar puede llenarse de tres formas diferentes usando cada uno de los tres digi|ux i estantes. Habiendo llenado los dos primeros lugares, el tercer lugar puede llenarse de dos formas diferentes con cada uno de los dos dígitos fritantes. Nuestros tres lugares aparecen ahora como sigue: 4, 3, 2. Por ti'uto, por el Teorema 1, el número pedido es el producto 4 X 3 X 2 = 24.

(I>) Si se permite la repetición, los tres lugares aparecen como sigue: •I, I I, y el número pedido es el producto 4 X 4 X 4 = 64. Ejemplo 3. ¿Cuántos enteros son pares en el ejemplo 2 (a ) ? noLuctON. Para los números pares, el tercer lugar (las unidades) ■I- i leñarse con el dígito 2. y esto sólo puede hacerse en una sola forma. I :•o iderando los tres dígitos restantes, el primer lugar (las centenas) punir llenarse de tres formas diferentes, y el segundo lugar (las decenas) punir llenarse de dos formas. Por tanto, por el Teorema 1, el número toirtl de enteros pares es 3 X 2 X 1 = 6. t| l K( IC IO S. G RU PO 47 1

Demostrar rl Corolario 1 del Teorema 1 (Arl. 13.2).

.’

Demostrar el Corolario 2 «1«T Teorema 1 (Alt. 13.2).

290

l ’c r m u t a d n n r *

y combinaciones

3. Resolver el Ejemplo I (Art. 13.2) «i ir per mito lu repetición 4. Un rdifido tirnr 6 purrias. ¿ En cuántas forma» diferente» puede un.* per»on¡i entrar al edificio (Aliénelo |»ur una puerta diferente dr !n qur ut¿ ni entrar? 5. Hallar rl nútnrro dr arreglo» diferente* que purden formarle ron la* 4 letra» a, b, c, d , tomándolas dr 3 en 3. 6. Un rlub tiene 12 miembro» y se v.» a elegir un presidente, un vicepresi­ dente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas candida!urua diferentea purdrn for­ mante ai cualquier miembro del rlub e* rlridhle para cualquier rargn? 7. Rrsolver el ejercicio 6 ai solamente do» miembro» determinados son elegi­ bles |wr.i presidente pero también »on elegible» para los driuAs canto». 8. Rriolvrr el ejercicio 6 »i solamente do» miembro» determinado» tan ele­ gible» para prrsidrntr pero im» son elcgiblr* para otro* cantos. 9 Hallar cuántos números entero» diferentes de dos cifra» se purden formar con los digitoa 1, 2, 4, 7, 0, ai (¡i) nr> se |tcrmitr la repetición; (b ) se permita la

repetición. 10. Rn r| ejrrctcio 9 hidlnr rl número de entrrm pitre* e Impares qur purdrn formarse si (a ) ae permite la repetición; (b) no se prrmitr ]n repetición. 11. Se forman señale» colocando bandera* de diferentes colores una «obre otra en un asta. Si ae tienen 3 bandera» diírreiitrt, hallar el número de srfinlr* qur pueden formarse (a ) 3 de la» bandera»; (b ) 4 de la» bandera»; (r.) todas las liandrras. 12. Kn el ejereicio I I , obtener el número tota! de trflulr» qur pueden for­ marse uumdo una o más dr lu* ó bandera». 13. Al tirur una moneda llainnmno» a las dos diferentes forma» en que puede caer, cara y sello. Encuentre rl número de diferentea forma» en que purden caer loa siguiente* números de monedas: (a ) 2 monedas; (b ) 3 moneda»; (c ) n monedas.

14. Las caras de un dado catán numeradas del 1 a 6 y, por tanto, cuando se tira puede obtenerse uno cualquiera de los »oi* diferente» resultados. Hallar el número de resultados diferentes que pueden obtenerse cuando »e tiran lo* siguien­ tes números de dados: (a) 2 dados; ;b) 3 dados; (c) % cado». 15. Si cada uno dr «s dados titee / cara» numeradas de 1 a /, encontrar el número de forma» posibles que perder, aparecer al ser tirados. 16. HaDar d número de palabra» de cuatro letra» (no necesariamente pro­ nunciables) que purden formarse con diez letras diferente» del alfabeto si taj no se permite la repetición; (b) se permite la repetición. 17. Obtener el número de palabrea de cuatro letras que pueden formarse coa 7 consonantes diferentes y 3 vocales diferentri si la» consonantes y vocales deben ir altercadas y no se permite la repetición. 18. Resolver el ejercicio 17 si se pemme la repetición. 19. En un cierto Estado las placas ce automóviles constan de 5 lasare*, los 2 primeros se llenan con cualesquiera de Lu 26 letras del alfabeto y los 3 último» se llenan con cualesquiera de los -10 dígitos del 0 al 9 inclusive, con la excepción de que el cero no puede usarse en d tercer lugar. Calcular el número total de placas diferentes que pueden formar»- si no se permite la repetición ni de letra» ni de dígitos. 20. Resolver el ejercicio 19 ú se permite la repetición tonto de letras cunto de dígito». 21. Se tienen números telefónicos que constan ce 7 l igare» cada uno. Los pri-

N um en) de permutaciones

291

meros, 2 hicares te llenan con do* cualesquiera de 24 de las letras del alfabeto y los últimos 5 h ia rrs te llenan con o u le s q u x n de los 10 dígito* del 0 al 9 inclu­ sive, coa la excepción de que el cero no puede usarse ci en el tercero ni en el cuarto lugar. Calcular el total de números diferentes que pueden formarse si no se permite la repetición ni ce letras ni de dígitos. 22. Resolver el ejercido 21 si solamente se permite la repetición de dígitos. 23. t De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en uní fila de B ¿lias? 24. Resolver el ejercicio 23 *¡ las 5 personas deben matarse en ¿lias con­ secutivas. 23. Determinar cuántos número» enteros y podtivos menores de 5000 pueden formarse con los 8 dígito», del 0 al 7 inclusive, u no se permite la repetición.

13.3.

N U M E R O D E PE R M U TA C IO N E S

Se usan varios símbolos para representar el número de permutaciones dr n objetos diferentes tomados de r en r. Aquí usaremos el símbolo n, r ) , el cual resulta muy apropiado ya que el número de permutacio­ nes es una función de n y de r. Teorema 2. E l núm ero d r per xv.ulación a d r n objetos diferentes to­ rnados de r en r este d ad o p or ¡a jar muta (Il

P (n , r ) es n [n — 1) (« — 2) . . . (ti — r I- 1 ), r 2a n.

oh mostración. El valor tic P (n , r) rs igual al número total de for­ tín ' e n que pueden llenarse r lugares con n objetos diferentes. El primer limar puede llenarse de n formas diferentes, ya que en este punto todos los n objetos están disponibles. El segundo lugar puede llenarse de rt— 1 (urinas diferentes con los n I objetos restantes. Análogamente, rl ten er Im m i |niedc llenarse de rt 2 formas diferentes, y así sucesivamente, i limtiuiiondo este proceso, finalmente vemos que el lugar r puede 11cnsise tío n ( f - 1) = n r + 1 formas diferentes. Entonces, por el tioMina fundamental (Teorema I, Art. 13.2) el número total de furnias rst.í dado por la fórmula ( 1 ). ( lorolario. E l núm ero total de perm utaciones d r ri objetos diferentes lo m ados d e n en n está d ad a por

P (n , rt) = n (n — 1) (n — 2) . . . I = a ! (Art. 7.4) Ejemplo 1. ¿Cuántas diferentes quintas de basket boíl pueden forhay 7 jugadores disponibles para jugar cualquier posición?

iii um m

«OUJOION. Por supuesto este problema puede resolverse aplicando •I teorema fundamental dudo en el Art. 13.2. Sin embargo, también po-

292

Permutaciones y combinaciones

tiernos considerar que el rcsullndo es igual al número de permutaciones de 7 objetos tomados «le 3 en 5, el cual, por el Teorema 2, es

P (7,5)

7 -6-3 4 3

2520.

Clonti deremos aliora el caso de la determinación del número de per­ mutaciones de n objetos que no son todos diferentes. Por ejemplo, deter­ minemos el núme ro P de permutaciones de las cinco letras a, a, a, b, c, tomadas dr 5 en 5. Cada una de estas P permutaciones contiene las tres letras idénticas a, a, a. Si estas tres letras fueran diferentes entre si y dife­ rentes de las letras restantes b, c, entontes podrían permutarse entre ellas mismas en 31 formas diferentes por cada una de las P permutaciones, y las cinco letras diferentes podrían entonces permutante en 51 formas Por tanto P * 3 l - 5!, de donde P

^

20.

El caso general está dado por el teorema siguiente: Teorema 3. S i P rep resa lia el núm ero d e perm utaciones distintas de n elem entos lom ados d>- n en it, a t d on de hay un prim er tipo d e p o b je ­ tos iguales entre si, t¡ objetos iguales entre si dt un segundo tipo, r objetos iguales entre si de un tercer tipo, y asi sucesivam ente, entonces. ( 2)

P

__n ! p ! q ! r ! __

dksíos ntACioN. Si sustituimos los p primeros objetos iguales por p objetos diferentes entre & y diferentes de los objetos restantes, entonces de cada una de las P permutaciones obtenidas podemos obtener p\ per­ mutaciones diferentes permutando los p nuevos objetos entre ellos mis­ mos. Por tanto, de las P permutaciones originales obtenemos P ■p\ permu­ taciones conteniendo cada una q objetos iguales entre sí, r objetos iguales entre á . etc. Análogamente, sustituyendo los q objetos iguales por q objetos diferentes, obtenemos P p\q\ permutaciones, conteniendo cada una r objetos iguales entre sí, etc. Continuando este proceso finalmente obtenemos P •f i i q l r ! . . . permutaciones, cada una de ellas formada con n objetos diferentes. Por otra parte, por el corolario del Teorema 2. el nú­ mero de tales permutaciones es ni. Por tanto, P •p !g !r !__ = n !, de don­ de resulta la fórmula ( 2 ).

Ejemplo 2. Calcular el número de permutaciones diferentes que pue­ den formarse con las letras de la palabra acacias, tomadas todas a la vez. s o l u c ió n . L a palabra contiene 7 letras, de las cuales 3 son a, 2 son c , y el resto diferentes. Por tanto, por el Teorema 3 e l número de permu7! 7 -6 •5 * 4 - 3 •2 tac iones diferentes es = 420. 3!2! 3-2-2

N ú m

e r o

d e

p e r m

u t a c io n e s

293

Ahora consideraremos el número de arreglos de n objetos diferentes jlr»*dedc«r de un círculo. Cada uno de tales arreglos se llama «ana perm u ­ tación circular o cíclica. Primeramente considerrnros a los n objetos dis­ tintos ordenados en linea recta y designemos a uno de ellos con Af aquí tenemos arreglos diferentes según que A este al principio o al final de la línea, conservando en cada raso su posición los r. — 1 objetos restantes. Sin embargo, esto no es aú en una permutación circular, pues entonces la podciún de A puede considerarse fija y los n — 1 objetos restantes puedrn arreglarse en (n — 1 )! formas diferentes con respecto a A. De aquí •*. teorema siguiente: Teorem a 4. lu núm ero dt perm utaciones circulares d e n objetos dt¡-'en tes es igual a (n — 1 } ! Ejemplo 3. Un grupo formado por 3 muchacha* y 3 muchachos van •i senta rse de modo que ellas queden alternadas con ellos. Calcular de cuántas formas pueden hacerlo si (a ) se sientan en linca recta; (b ) se i ir:-,tan alrededor de una mesa circular. SOLUCION, (a ) Podemos considerar que las muchachas se sientan en I»» lugares con número impar y los muchachos en los lugares ron número p ar; m o p u ed e hacerse en 3 í 3! form as ¿¡i eren les. Un número igual •li m icglos diferentes puede obtenerse sentando a los muchachos en los lugun-s con número impar y a las muchachas en los lugares con número |nu Por tamo el número total de formas diferentes es igual a 2 • 3131 72. (b) Podemos sentar primeramente a Ins muchachas alrededor do la ttu en 2' formal de acuerdo con el Teorema 4. Entonces quedan 3 lugares alternados para sentar a los tres muchachos; esto puede hacerse en I1 formas, Por tanto, el número total de (oí mas diferentes es igual .. 2131 12.

I JKKt'.ICIOS. GRUPO -MI I

Oinoilnu' «I corolario del Teorema 2 (Arl. 13.3). ■j '1. Demostrar míe P(n, r) = ' - r j,r z ú n 3 Si »e permite I» repetir lón, demostrar que rl número de permutar ionri til n objeto* diferentes tomado» «le r en r es igual n n\ I Calcular (a) P(H ,2); (b) P(9. 3). Calcular (a) / '(lO .i); {»») /»(?.4 ) P ( 5,4). ti 7 ti "

Si SI Si Si

P{rt,4) ••GPfn, '1), hallar n P(n, 3 ) - 42P(n, 3), hallar « /•( rt. !J) • 24P(«,2). hallar ti. 2P(tÍ. r) - .1/'O.»), hallar f.

H» Si I2P (7, r)

- !W't!),» ), hallar «.

291

Permutaciones y combinaciones

11. Hay ocho jugadores disponibles pura formar uiiu quinta de hasVrt Indi Si 2 jugadora determinado* purdrn solamente jugar como centro y los 6 re»lunIr* purdrn jugar rn cualquier puesto r acepto romo centro, ralrulur r| número de rquipos diíerrnlrs que pueden formarse 12. Resolver el ejercicio II si los 2 jugadores mencionados purdrn ocupar cualquier puesto. 13. Hallar rl númrro de novenas de béisbol distinta* que pueden formarte ron 15 jugadores dltponih'.r* si 3 de rilo» sólo ji.egun como lanzadores, 2 solo corno receptores, C juegan solamente en el cuadro y 'I solamente como jardinero*, 14. Calcular el número de permutaciones diferentes que pueden formarse con las letras (le la palabra Aliuka, lomadas todas a la vex. 15. Se forman teilulrs ron ft banderas de colore* colocadas una sobrr otra en un asta. Calcular rl número de •rnalcs difrrenles que pueden formarse ron las fl Iwuulrra» si 3 son rojas, 2 blancas y el rrsto azules. 16. Resolver rl ejercicio 13 si li bandera superior debe ser roja. 17. Se tienen 6 ejemplares de un libro y 3 dr otro libro. Hallar el número total de forma* difrrrntr* rn que pueden arreglarte todo» ritos libros en un estante. IB. ¿E n cuántas lamias diferentes pueden distribuirse rntre 12 niño* 3 monedas de cinco reniavo», 4 de din». y 3 de veinte, si cada uno debe recibir una moneda ? 19. Hay m objeto* idénticos de una primera dase y n objeto* idéntico* do una segunda clase. Hallar el número de permutaciones diferente* que pueden for­ marlo de manera, que rada una contenga f> objeto* dr la primera ríase y <¡ objetos do (a segunda clase. 20. Se tienen m ejcm p lsm de cada uno d* i libros distintos Hallar el núme­ ro de maneras en que pueden arréglame en un estante. 21. Calcular cuántos números enteros y positivos pueden formarse con lea dígitos 1, 2. 3, 4, 5, si no se permite la repetirión, y demostrar que la razón del número de impares al número de pares es 3 :2 . 22- Hallar cuántos números enteros de tres cifras pueden formarse con los 9 dígito* 1, 2 , . . . , 9 si (a} los tres dígitos usados ton diferentes. (b j los tres dígito* usados no son necesariamente diferentes. (c) lo* enteros formados deben ser pares permitiéndose la repetición de dígito*. 23. ¿ En cuántas formas pueden ordenarse en un estante 6 libros diferentes si 2 libros determinados deben estar contiguo*? 24. Resolver r| ejercicio 23 ai 3 libros determinados deben estar contiguos. 25. Hallar el número de formas diferentes rn que pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeres ea una fila de 7 sillas si las mujeres <44* n estar contigua*. 26. Resolver el cjrrvido 25 si se usan 8 sillas. 27. ¿E n cuántas formas diferentes pjeden ordenarse en un estante 5 textos diferentes de álgebra y 4 texto* diferentes de cálculo de modo que los libro* de cada materia estén contiguos? . 28. ¿E n cuántas formas diferentes pueden formarse 8 niños alrededor en un circulo? 29. ¿E n cuántas forma* diferentes pueden disponerse 8 cuentas de colores para formar un collar? 3D. Un grupo de 5 niñas y 5 niños se va a sentar alternándose ellas con ellos.

Combinaciones

295

Calcular e! número de fc-rm&s en que (Uc puece hacerse ti (a } la* sillas r itió en linea recta; ¡b j las tillas t i l i c alrededor de una mesa circular. 31. Seis hombres, incluyendo z. .1 y a 29, van a tomar la palabra en una reu­ nión. ¿En cuántas órdenes diferentes pueden hablar? 32 Rr*ctver el ejercicio .11 si A debe hablar primero que R 33. Siete personas van a sentarse en una fila. Hallar el número de iorctas «aferentes re que esto puede hacrne si (a) no hay restriccione;. {b) ¿os personas determinadas deber, quedar contigua». 34. Resolver el ejerricio 33 »i 2 persona» determinadas no deben quedar conm u ai.

33

15.4.

Resolver el rjerricio 33 si las 7 prrsoros van a tentarse en circulo

C O M BIN A C IO N ES

Definición. Cada uno de lc« diferentes grupos que pueden formarse ■ornando todos o parte de ios elementos de un conjunto, sin considerar 1 1 orden de los elem ento tomados, se llama una com binación. Debe observarse que, a diferencia de las permutaciones, en una com­ binación no se tiene en cuenta el orden. Asi. mientras que ab y b e son •los permutaciones distintas, representan una sola combinación, a saber. • grupo formado por las dos letras a y b. Como en el caso de las p erm u tacion es tenem os un símbolo apropiado pitra representar t i número de combinaciones de n elementos tomados •li » rn r. Este símbolo es C ( n , r ) ; y, por supuesto, representa una fun-

■iúti ele n y r. Teorema 5. /;’/ númrro de com binaciones d e ¡i objetos diferentes (o tmtfíos d e t rn r estó dado por la fórm ula C {n , r) =

n (n — l ) ( m

2 ) . . . {n r!

r -h 1 )

r < n.

i >kMOitm.sc ion . De cada combinación de r elementos difrrentes poilrmo* formar r! permutaciones (Corolario, Teorema 2, Art, 13.3), Por «auto de tosías las combinaciones podemos formar un total di* C {n , r) • r! i mutaciones que pueden igualar»! a P {n , r ) , o sea, al número de perMlliKU iones de n elementos diferentes tomados de r en r. Por tanto

C (n, r ) * r !

P[ n, r) ,

di dondei lo nial, por el Teorema 2 (A tl. 13.3), puede escribirse en la forma C (n , r) i "ti lo que qiii'tla demostrada la fórmula ( I ) .

296

Permutaciones y combinaciones

Es conveniente notar que en esta última relación tanto el numerador como el denominador constan de r factores. Corolario 1. E í núm ero d e com binaciones d e n elem entos diferentes tom ados todos a ¡a tez es la unidad, es decirf C (n , n' = !. Ahora vamos a obtener otra forma de la relación (1) que a veces resulta más conveniente. Para esto multiplicamos el numerador y el de­ nominador del segundo miembro por 'n — r] !, obteniendo C

k

r) = H Í a — 1

r!(n — r j !

O ' ” — >■)!

b1 r l ' n — r >\•

Este resultado, de mucha importancia, lo enunciamos asi: Corolario 2. f:i núm ero d t com binaciones d e n elem entos diferentes tom ados d e r en r p u ed e tam bién obtenerse por la fórm ula ( 2)

C { n ,r )

r i f a — r)\

r ^ n.

O tro resultado importante puede obtenerse si sustituimos r por n — r en la relación ( 2 ) . Es decir. C(w, n — r)

(n

n! r)\r I 1

de donde, por ln relación (2) obtenemos

(3)

C{n,r)

maullado que puede enunciarse asi: Corolario 3. E l número de com binaciones de n elem entos diferente* lom ados d e r en r es i^ual al núm ero d e com binaciones de n elem entos diferentes tom ados d e « — r en n r. nota . El resultado del Corolario 3 podría ha) terse previsto ya que por cada combinación de r objetos seleccionados entre n objetos diferentes existe un grupo o combinación correspondiente de n — r objetos que no son seleccionados. Tales combinar iones se llaman com plem entariat.

Por ejemplo, si seleccionamos un comité de tres personas entre nueve personas, queda sin seleccionar un conjunto de seis personas {combinación complementaría). Ejemplo I. Calcular el número de palabras (no necesariamente pro­ nunciable») que pueden formarse seleccionando ti consonantes y 2 voca­ les entre 10 consonantes diferentes y 4 vocales diferente».

297

Combinaciones

aoLUQtON. Primeramente seleccionamos 6 consonantes entre 10 con­ dolíanles en (7 (1 0 ,6 ) forma*, Por la relación ( 2 ) , tcncinoi

c:(io,6)

10! 6 !4 !

!0> 9 * 6 * 7 I *2*3*4

210.

Análogamente, podiino* fleccion ai 2 vocales entre I vocales de 41 C < 4 ,2 : = 2121

4_J l *2

(i formal.

Entonces por rada una dt las 210 forran» para selecclonai las conso­ nantes, tenemos 6 formas para seleccionar las vocales. Por tanto, por el teorema fundamental (Teorema I, A lt. 13.2), la» ocho letras de cada palabra pueden seleccionarse ilc 210 X 6 1260 formas. Después de efectuar cada una tic estus selecciones, la» ocho letras pueden permutarse n i 8! forran» diferentes. Par tanto, el número total de palabras que pue­ de formarse es 1260 X 81 50803200. Ejemplo 2. Se va a escoger un comité de 5 alumnos entre 7 alumno» de último :u”io y 6 de penúltimo año. Calcular el número de tales comi­ té», .si deben contraer (a) exactamente 3 alumnos de último año; (b) por ln menos 3 alumnos de último año# SOLUCtON. (a • En c « c caso debe haber exactamente 2 alumnos de penúltimo I xm alumnos de último año pueden selecciona rae de C ( 7 ,3 ) = 6! j j —- = 35 formas y los de penúltimo año en C (6 . 2} = ^ = 15 fc«rt,,,

por tanto, por el teorema fundamental, el número total de comités

d»* 5 miembros es 35 X 15 = 525. (b ) En este c a » tenemos tres tipos de comités: (1) tres alumnos de último año y 2 de penúltimo; (2) cuatro de último año y l de penúltimo; (1) cinco de último año. El número c e comités para cada uno de ir» tres i * h es entonces: (1)

525.

(2)

C ( 7 ,4 ) C ( 6 ,1 ) = - i L . 6

(» )

C t7 * 5 > = 3T2T = 21

=

210.

7® fililí.meló, el número total de comités es 525 “ 210

21 = *56.

Ejemplo 3. Se tienen doce puntos coplanares no situados tres de ellos •ii hura recta, (a ) Encontrar el número de triángulo* diferente» que pue-

300

Permutaciones y combinador** Ahora consideraremos la división d, p - u

r firmemos diferentes

res 8ubconj,,n,° l ' lr /’• '/ y r Ganemos respiciivamente, en donde P, q y r son números ruteros y positivos diferentes entre si. Primeramenw div»dvmos los /. q [■ r elemento» en dee grupo*. uno cotí p elementos y el otro con q r dementas; p-r la fórmula [ l ) c * o pnedr hacerse de \P + q + r ) l maneras distintas. Análogamente, cada grupo de q -f r j> '( y + r i! . elementos puede dividirse en dos subconjuntm, uno de q demento* y el Olrode , elemcmoi, rn

manera, d if« w m . Enloncc,, por rl teo-

rema funda,nrntnl ;A n . 13.2,, el número .o.al de manera, dirtlnta, para dividir en tres siihcnnjiintas es (3 )

iP lA 0 ! Í K Í + f}!

\a

( q + r) I q\r\

[ J -f q f O I p tq lrl

F.r. una fonna análoga lo» resultados dados por las fórmulas (2 y >3) pueden extender*. .» cualquier número c e subconjunlc*. Enunciónos el resultado general en el teorema siguiente: Teorema &. Si p , q , r , . . , f t son m números m itra r y positivos difeT, ,l!"s rKtT* si> e l núfn^ o de m aneras distintas en qu e se p Ucd, „ dividir '/ * r •'••• + í elem en to, diferentes en rn subconjuntos de h n, r......... I 1Untenlos respectivam ente, ,» V

= S é J l *! !_ I

« •■ + <)!

p'-q\r\,..t\

Ejemplo I. C akular el núineru de manetas distintas en que 15 libro» diferentes pueden dividirse en ire« grupo» de 9. 4 v 2 libros resprctiramnnlo solución .

Por el Teorema 6, o le número es 15! 75075.

1huta ahora liemos considerado solamente la división en grupos de .conjuntos desiguales. Si la división se hace en grupos iguales, o riece■ S;‘n °l ni0dificí,r cl Teor,‘,na 6- Supongamos, \*or ejemplo, que deseamos divul.r cuatro donem os diferentes en do. grupos igual», cada uno con 2 elemento*. Si usamos el Teorema 6, el número de maneras es -1 L = c. 2!2! ,n ‘ nibargo, c*to incluye ¡o* dos grupo» permutados entre a rn 2! n u

División en subconjuntos

*0 1

i» ra-. Considéranos, por ejemplo, el caso de disidir 4 cartas marcadas •mii 1, 2j 3, 4 en dos grupea de 2 c arlas cada uno Asi obtenemos Gr up o 1

ü r jp«> 2

1,2

3,4

1,3

2,4

(1) (2)

1,4 2.3

2,3

(3)

1,4

2,4

1,3

(3) (2}

3,4

1,2

(1)

Nt'nrv que las divisiones idénticas, m n diferente orden, aparecen desig••uU« ron el mismo número a la derecha. Por :anto, si consideramos d fH> ni rn que se forman los grupos, nuestro resultado sr obtiene jwr me­ dio d» l Teorema 6 ; pero, si no se toma en cuenta el orden de los grupos, •ti U nos dividir el resultado ohtrnido aplicando el T eoran a I» entre 2 !, es «tr i i i t el número de maneras w*rá 6/2! — 3. I’l razonamiento anterior puede usarse para el caso general de la divi­ dí -n n cualquier número de grupos ¡guales. Por el Teorema í>, si haeeInox /• = q = r = . . . = 1 n , obtenernos el número de maneras para i!i\ idit mn objetos diferentes en m grupos de n objetos cada uno, tomando mi
. considerando e l orden en qu e se form an los grupos;

¡ m» i I

, mi considerar el orden ni que \r form an los grupos.

I i' inplo 2. Se tiene una baraja de 52 caitas diferentes. Encontrar ) rl número de maneras en que pueden rrpartirse las cuatro manos de i niI.i» a cuatro jugadores de bridge: (b) el número de maneras en que V.' «arlas pueden dividirse en cuatro grujios de 13 cartas caca uno. m. i |

UGK’ N.

( * En un juego de bricgc cada distribución diferente de las manca •imt Iti* jugadores constituye una división diferente, Por tanto, en cate i .i •• los grujios aparecen permutados, y jnir la primera parte del Tro• “>2! •••♦*.« 7 rl iiúmi io de maneras es 1 3 ! ;4

Permutaciones y combinaciones

302

ib ) En este caso, no impona e! orden de los grupos, y j>or la segunda 52! parte del Teorema 7 el número de maneras e s -------------. 1 {1 3 !) '*4! 13.6.

N O TA C IO N PARA SU M A S

Corno preparación para el artículo siguiente es conveniente introducir ahora una notación con la que es posible representar la suma de una su­ cesión de términos en una forma muy breve. Por ejemplo, la suma de n términos tales como ut + tr3 + . . . + puede represen!arse con la « notación y * ttj, en donde el símbolo 5 es la letra rigma mayúscula del i i alfabeto griego que es llamada aqui signo d e sum a, mientras que la letra i. llamada in dice d e la sum a, toma sucesivamente todos los valores enteros n positivos de I a ti inclusive. El símbolo «i se. Ice “suma de de « t de

te *= n De acuerdo con esta notación, podemos escribir la suma de términos de una progresión aritmética {Art. 10.2) en la forma n

s

ffl, +

[ k

— 1)

d ]

=

‘

a, +

(o x

+

d )

+

(a, + 2d

)

+ («i + [ « — l]d ),

en donde cada término de’ segundo miembro se obtiene sustituyendo k por I, 2, 3. . . . ; n sucesivamente en la expresión a, + (k — 1 )d. Nótese que la literal usada como índice puede cambiarse sin alterar la suma. Análogamente, un polinomio de grado n puede representarse con esta notación en la forma TI

5 13.7.

=

aa

a^x

-1-

a-zX *

4- . . . +

a -,x n

C O E F IC IE N T E S D E L D E S A R R O L L O D E LA PO TEN C IA D E UN B IN O M IO

En el Art. 7.6, relación (2 ), se hizo ver que el término de orden r 4- 1 del desarrollo de + está dado por (1 >

_ n (n — l) . . . [ n — r + 1) lerm ino de orden ( r f l ) =


rb ’.

C o e f ic ie n te s d e l d e s a r r o llo d e la p o t e n c ia d e u n b in o m io

303

Por otro lado, por el Teorema 5 (Art. 13.4),

do modo que (1 ) puede escribirse en la forma (2)

Término de orden r 4- 1 = C (n , r)a*~rbT. Por tanto, usando la notación Ü del Art. 13.6, tenemos:

Teorema 8. E l desarrollo com pleto de la poten cia de un binom io pue­ de escribirse en la form a

El Teorema 8 puede comprobarse fácilmente desarrollando los térmi­ del segundo miembro de (3 ), recordando que C {n , 0) : C (n , n) = 1 y qur 0! = 1 (Art. 7 .4 ). Al calcular los coeficientes, obtenemos precísa­ lo- nn- el Teorema del binomio tal como aparece en la fórmula (3) del Ai 7.4. Si en la fórmula (3) hacemos a b = 1. y desarrollamos el segundo miembro, obtenemos nos

(1 4- 1 )" = C ( n ,0 ) 4 * C ( n , l ) + C ( n , 2 ) + . . . 4 C { n ,n ) . Transponiendo C (n ,0 ) = 1, resulta C (n , 1) + C { n ,2) 4 * . . . 4- C { n ,n ) = 2" — 1. l.a relación (4) nos dice: Teorema 9. E l núm ero total d e com binaciones d e n objetos diferentes tom ad os d e 1 en 1, 2 en 2. y asi sucesivam ente hasta n en n, es igual a 5fI. Kjrmplo 1. Determinar cuantas sumas de dinero diferentes se pueden (niunir con 6 monedas, cada una con la siguiente denominación: un ccni . ■ rinco centavos, diez centavos, veinte centavos, cincuenta centavos y un peso. (L'na sola moneda puede considerarse como una de las sumas I- dUla*.)

¡ mmujuion. Tenemos 6 monedas diferentes. Por tanto, tomando las Iftml’umciones de I en 1 hasta de 6 en 6, el número total de sumas de llliu'io dili rentes es, según el Teorema 9. V — 1 63. I Ina vez más, hagamos a = 6 = 1 en la fórmula (3) de modo que el fri(inulo miembro sólo contenga la suma de los coeficientes del desarrollo lie la potencia de un binomio, escritos ahora en la forma: (ft)

C ( * ,0 ) 4- C (n f I) 4 * C ( n ,2 ) 4 - . . . I- C ( « ,n — 2 ) 4 - C ( n ,n — 1) 4- C (n , n ) .

304

P e r m u ta c io n e s y c o m b in a c io n e s

Por el Corolario 3 del Teorema 5 (Art. 13.4), C { n ,r } = C (n ,n r). Por tanto, para los coeficientes de ( 5 ; tenemos C (n , 0) C {n , 1) = C {n , n — 1), C ( ti, 2 ) = C (n , n — 2 ) , . . . , etc. En otras palabras, se presenta aquí el mismo tipo de simetría que ob­ servamos como quinta característica del desarrollo del binomio en el Art. 7.4. Este resultado lo expresamos en el teorema siguiente: Teorema 10. En t i desarrollo d i [a I b ) ", ¡os coeficientes d e cual­ quier par d e térm inos equidistantes de ¡os extrem os son iguales. Debido a !a importancia de los coeficientes del desarrollo de la poten­ cia de un binomio se han construido labias extensas de sus valores. En a formación de tales tablas se aprovecha, por supuesto, la simetría men­ cionada en el Teorema 10. Además se hace uso del principio en que se apoya el triángulo de Pascal que fue estudiado en el A rt 7.5. Ahora de­ mostraremos este principio. Teorema I I . (P rin cipio d el triángulo de P ascal). En el desarrollo de (a - b)" , ti coeficien te del term ino d e orden (r + 1} es igua la ¡a suma d e los coeficientes d e ios térm inos de orden r y (r I 1Í del desarrollo de ( a 4* A)"-1. demostración . Según Ja relación ( 2 ) , para demostrar este teorema debemos establecer que

C (n >r) — C [n — 1, r — 1) + C ( n — l , r ) . Por el corolario 2 del Teorema 5 (Art. 13.4), tenemos C { n — 1, r — 1 J + C ( n — l , r ) = _ -

( " - o » . ( o - n ; ( r — 1 ) ! (n — r)\ r!(n — r — 1 )! r(n — l ) t (n — r) (» — 1 )! (r 4- n — r ) [ n — 1 )! r\(n — r ) [ r ! ( n — r) ! ~ r!(» — r ) ! "(" — *)• r!(n — r ) !

ni r\(n — r ) ! “

como se quería demostrar. Ejemplo 2. Por medio del Teorema 11, encontrar los coeficientes del desarrollo de (a 4- 6 ) 6 a partir de los coeficientes del desarrollo de (a 4- b ) n. solución . Desarrollando ( a + b )* por medio de! Teorema 8, encon­ tramos fácilmente que los coeficientes, en el orden acostumbrado, son,

1, 5, 10, 10, 5, I.

C o e f i c i e n t e s d e l d e s a r r o l l o d e la p o t e n c i a d e u n b i n o m i o

305

1,05 coeficientes primero y último del desarrollo de (a + b ] u, para n . mero positivo, son la unidad. Por el Teorema 11, los coeficientes de ,i I b ; del segundo en adelante, son segundo coeficiente tercer coeficiente cuauo coeficiente quinto coeficiente sexto coeficiente

= = = = =

1 4* 5 = 6, 5 + 1 0 = 15. 10 + 10 = 20, 10 + 5 = 15, .5+1=6.

I’or supuesto, el último coeficiente (el séptimo) es la unidad. AdeUlés, debido a la simetría de los coeficientes, sólo es necesario calcular Imita el cuarto coeficiente. I;.n los diversos desarrollos de (a ó )", observamos qtie los coeficienti . aumentan hasta la mitad del desarrollo y luego decrecen en orden invino. De esto podemos concluir que si n es par, el desarrollo tiene un numero impar de términos y el término central es el que tiene mayor mm fu rute; y si n os impar, el desarrollo tiene un número par de térmi­ nos. y los dos términos centrales son los que tienen mayor coeficiente. Kilo «» consecuencia del teorema siguiente: I Vorcma 12. Si n es par, e l valor m áxim o d e C {n , r) se obtiene cuan­

n( 2 y si n es im pat se obtien e cuando r { n - i;/ 2 .

do i Sfc

(n

- I)/2.

m mostración. Por el teorema 8, C (n , r) es el coeficiente del térmi­ no +• orden r 1 del desarrollo de (a + b )*. Por tanto, C (n , r — 1) es p) •deficiente del término de orden r, y tenemos la razón: .

¿, r

ni

(r — l ) l { » — r + 1 ) !

t e ( « , r — 1) — r!(n — r ) !

n!

n— r+ 1 r

Alioia bien, el coeficiente C ( n ,r ) es mayor que.el que le precede ...... .llamen te C ( n ,r - 1) con tal que su razón sea mayor que la uniiiI

i decir, siempre que

)unde n — r + l > r y r <

n+ I

¿. Hl u es par, r = n/2 es el mayor entero menor que (n + l)/ 2 =

n 1¿ I 1/2. H) n es impar, ti — 1 es par. y r = ( n — l)/ 2 es el mayor entero memu qti. (ri l)/ 2 + 1 (« + 1) /2. Pero si n es impar, también tenc-

-

306

Permutaciones y combinaciones

inos r — [u f 1J/2 ya que C ^ n, —- — ^ s= C (^n, — - — ^ por el Coro­ lario 3 del Teorema 5 (Art. 13.4). como se quería demostrar. E JE R C IC IO S . G RU PO 50

I Demostrar e! Teorema 6 (Art. 13.5) j*or el método usado en r| Teore­ ma 3 (Art. 13.3). 2. Dcmo.Ur.ir el Teorema 7 (Art. 13.5). 3. Se tienen 6 tarjetas, marradas de! 1 al 6, separada* en 2 grupas de 3 tarjetas cada uno. Comprobar el Teorema 7 (Art. 13.5) mostrando las posibles distribuciones de las tarjetas rr. lo* grupos. 4 Hallar el número de maneras en que se pueden dividir 9 objetos difere tes en «nipos de 5 y 4 objetos. Comparar este resultado con el número de mane­ ras en que *e pueden dividir 10 objeto* diferentes en 2 grupos iguales. 5. Demostrar qur el número de maneras en que se pueden dividir 2n 1 objetos diferentes en gru|K>s de n y n — 1 objetos es igual al número de maneras en que se pueden dividir 2n objetos diferentes en 2 grupos igualrs. Comprobar este resultado en el ejercicio 4. 6. Encontrar el número de maneras en que pueden dividirse 12 objetos dife­ rente* en 3 irnspos de 5, 4 y 3 objetos, respectivamente. 7. Habar rl número de maneras en que pueden dividirse 12 objetos diferen­ tes en 3 grupos iguales. «3. Calcular rl número de maneras en que pueden repartirse 12 objetos dife­ rentes por partes iguales entre 3 personas. En cada uno de los ejercicios 9-12, desarrollar las sumas indicadas.

i= I as

’• E

10.

) O;X*. r=r i

" E^ '2—'>• 11

12.

£

1

M

(— l ) - V .

13. Demostrar que la suma de una progresión groniétrica. de n términos, cuyo primer término es c

y cuya razón es r, puede representarse por

14. ¿De cuántas manera- diferentes puede una persona invitar a almorzar a uno a más de 5 amigos? 15. Calcular el número de lecturas diferentes que pueden obtenerse en una balanza utilizando en uno de los brazos una o más de las «uatro siguientes pesas: Kg, «¿Kg. 1 Kg y 2 Kg 16. De un grupo de 8 personas calcular el numen» de diferentes comités que pueden formarse contenincndo (a ) una o más personas; (b ) dos o más personas. 17. Sin hacer el desarrollo directo, obtener la sana de lodos los coeficientes del desarrollo de (a ) (<x + fc)-*: (b ) (3a il* . IB. Sin desarrollar directamente, habar la suma de todos los coeficientes del desarrollo de (x 2y | 3x)*.

Coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

307

|9. Sv tira una moneda 6 veces. Hallar el número de manera* diferentes en ijn« . •pueden obtener (a ) exactamente 3 raras; (b ) por lo menos 3 raras; (c ) por l i menos 1 cara. 20. Se tiran ocho monedas simultáneamente. Calcular el número de manetai diferentes en que se pueden obtener (a ) exactamente 7 sellos: (b ) por lo mc0in 7 raras; ( t ) por lo menos I sello. 21. Sin desarrollar directamente, obtener el mayor coeficiente del desarrollo ib (« f b } 9. ¿2. Sin desarrollar directamente, ralcular los mayores coeficientes del dcsarrcllu (le (a -f ®. 23, Demostrar q jr la suma de los coeficientes de los términos de orden impar »l desarrollo de la potrnria de un binomio es igual a la suma de los coeficien|m i* los términos de orden par. .'I En el desarrollo de [a + ¿»;\ demostrar que el coeficiente del termino l ■mial es par si n es par. ’j'' Demostrar que G (n , I) 2 C (n ,2 ) + 3C (n. 3) f . . . + n C (n ,n ) «» r2*"\ .’•> Comprobar el ejercicio 25 para n — 4. i 27. Demostrar que el término general del desarrollo de (a + b -f c ) m es L" ak‘b*cr, siendo p + q 4- r = n. H l , ¡|M. Utilizando el resultado del ejercicio 27, obtener el coeficiente de á b 3t 9 eu ti linarrollo de [a + b + c ) 8. 20 Demostrar que el número de maneras en que puede obtenerse la suma de I) pni li •. al tirar 2 dados es igual al coeficiente de x 7 en el desarrollo de (x + sr3 • i* t * ' + x l + x8)*. 'ti Utilizando rl método del ejen icio 29, calcular el número de mareras en ■ii* purilrri obtenerse las sumas de puntos de 2 a 12 inclusive al tirar 2 dados. Btliiiiii'iliar el resultado demostrando que la suma total es 36.

14 Probabilidad III

IN TR O D U C C IO N

Kn « t e capitulo daremos una introducción elemental .il cálculo de piobobílidadcs. Esta materia en tan extensa y sus aplicaciones han adH millo tal importancia que existen tratados muy amplios dedicados en lusivainenle a ella. I A teoría matemática de la prolxibilidad fnr iniciada hace aproxima* •I.intente tres siglo*, estando en rse entonces relacionada únicamente con lo» |u nos de azar. Posteriormente, el cálculo de probabilidad» ha rncono . lo aplicaciones en una amplia variedad de campos, algunos de los Cual*-' w mencionarán aquí para dar al estudiante una idea de b im­ portancia del tema. l.'na de las primeras aplicaciones de la probabilidad fue en las cien•u . aduanales. que comprenden el estudio c e seguros de vida, fondos Mr |x n.vioncs y problemas relacionados. Otro uso importante de la proImtul.Jod está en b estadística la cual penetra en una multitud de camI, talrs como finanzas, economía, biología, psicología y b s ciencias tales en general. El cálculo de probabilidades también se emplea en b j|k a y química modernas. Finalmente se mencionará que la probabilidad ■ ■ 11 muchos usos en la ingeniería, corno por ejemplo en la teoría de V f e por mínimos cuadrados, en el estudio de problemas de aglomeramm ! problemas de tráfico j, en la teoría de muestreo y en el control de jfftriu'l de productos manufacturados. Naturalmente r»n es posible estudiar b s aplicaciones que se acaban r.< inionar dentro de los limites de este capítulo, pero ¿ considerarete* •« algunos de los conceptos básicos del cálculo de probabilidades y un jpii'M número de ejemplos sencillos. Más adelante, cuando el estudiante 'Hat4 adquirido más conocimientos matemáticos, especialmente sobre *áá ulo, estará en posición de hacer un estudio detallado de una o varias •I. b% fav inant«n aplicaciones de b probabilidad. m

310

Probabilidad

14.2. D E FIN IC IO N E S Todos estamos familiarizados con las palabras “probabilidad” y “azar” usadas en el lenguaje diario. Así, por ejemplo, decimos que probablemen­ te lloverá a la noche o que un determinado avión probablemente llegará tarde a un aeropuerto designado. Observamos que estas proposiciones representan predicciones del futuro y que, como tales, adolecen de una falta de seguridad. Además se les puede calificar como vagas en el sen­ tido de que no proporcionan una medida de la probabilidad de ocurren­ cia del suceso a que se refieren. Para nuestros propósitos será necesario establecer una definición que nos permita determinar un valor numérico o medida de la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de un suceso particular. Hay en uso dos definiciones de probabilidad que considera­ remos por separado. Sabemos (Art. 13.2) que ai tirar un dado cúbico puede caer en una cualquiera de 6 posiciones diferentes, todas igualmente probables. La posición correspondiente a 5 puntos hacia arriba es una de las. 6 diferen­ tes, y decimos que hay un caso favorable para que salga el 5 entre 6 casos posibles. También decirnos que la probabilidad de obtener un 5 en un tiro de un dado es !£. Siniilarmcnte, si tiramos una moneda, puede caer en una cualquiera de 2 formas igualmente probables, cara o sello, resultando, por un argumento similar, que la probabilidad de obtener cara en un tiro de una moneda es Vs- Obsérvese el uso del calificativo “ igualmente probables” en ambos ejemplos. En el caso del dado esto significa que cualquiera de las caras tiene igual oportunidad de quedar hacia arriba; en el caso de la moneda tanto es de esperarse que sea Ja cara la que quede hacia arriba como que sea el sello. Basándonos en este razonamiento estructuramos nuestra primera definición: Definición 1. Si un suceso puede ocurrir en a formas y fallar en b formas, entonces el número total de formas posibles en que puede ocurrir o no ocurrir es a +- b. Si estas a 4- b formas son igualm ente probable*, la probabilidad p de que el suceso ocurra se defin e como el cociente d)

^ - aT -rT b ’ y la probabilidad q de que el suceso no ocurra se d efin e como el cociente (2 )

b «? = — r . a —b

En otras palabras, ia probabilidad de que ocurra un suceso se define como el cociente del número de casos favorables entre el número de ca-

Definiciones

311

•■os posibles, siendo todos estos casos igualmente probables. En forma aná­ loga. la probabilidad de que un suceso no ocurra se define romo el co•icnte del número de casos favorables entre el número de casos posibles, Mi-ndo todos estos casos igualmente probables. Asi, por ejemplo, en rl raso mencionado anteriormente acerca de la probabilidad de que salga 5 en un tiro de un dado, tenemos a = 1, /• 5. de modo que de (1) y (2 ) se sigue que la probabilidad de acertar • p - 1/(1 + 5) = 1/6 y la probabilidad de fallar es q = 5/ {l + 5)

F 5/6. La Definición 1 es llamada a veces la d e fin ició n clásica de probabili•I ul. Y a que conocemos de an tem a n o , o su p o n em o s que conocemos de anlcntono, el número de casos favorables y desfavorables, la Definición 1 r-» t.u bien llamada d efin ició n d e p r o b a b ilid a d a prior!. t)e la Definición I es posible obtener una medida cuantitativa de la (.inhabilidad. En una prueba, un determinado suceso forzosamente debe •I ocurrir o no ocurrir. Esto se llama certeza y se encuentra fácilmente que queda representada por la unidad. Asi, sumando /; y q ciadas por I I i y ( 2 ) , tenemos I)

P +
<7 +- b

+

a

+

b

= 1.

I)e (3) obtenemos las siguientes propiedades: 81 la probabilidad de que ocurra un suceso es p, entonces la proba!• Iil ul de que no ocurra es 1 p. O sea, que de (3) obtenemos H = 1— Pí 81 la probabilidad de que un suceso no ocu na es q, entonces la proluí. iilul de que ocurra es 1 q. O sea. que de (3 ) tenemos /. =

1 — q.

I .Si liav la certeza de que un suceso acurra, entonces su probabilidad tu I y la probabilidad de que no ocurra es 0. Pues en (4) cuando ■ * I. q 0. L Ni w* tiene la certeza ele que un suceso no o c u n a , entonces la probap iu L .I -le que tu* ocurra e s 1 , y la probabilidad de que ocurra es 0 . P i n » n i ( ' ) ) ruando q = 1, p = 0 . Por lanío, es evidente que los valores de las probabilidades estén 0 y 1, y (rodemos escribir

()
0<

q

< I,

/» +
Altura introduciremos otras definiciones. Corno antes, sean a y b los tumieio* de casos favorables y desfavorables para la ocurrenc ia de un P i ii mi particular. Si a > b, decirnos qüe la probabilidad está a favor del

312

Probabilidad

ructxo corno a es 11 b ; si a < h decimos que ¡a p robabilidad es desfavora­ ble al suceso com o b es a a ; y ti a b decimos que hay ii'ual oportunidad de acertar o fallar. Así, por ejemplo, ni tirar un dado hay cuatro formas de obtener 3 o más puntos; por tanto la oportunidad de obtenrr 3 ó más os favorable como 4 « a 2 A como 2 r s a 1. Análogamente, la oportunidad de obte­ ner 6 en un tiro de un dado es desfavorable como 5 es a I. Volvamos ahora a la Definición 1. Si los valores «Ir a y b son desco­ nocidos, la definición no puede aplicarse. Esto ocurrí' en ciirrlos cosos. Supongamos, jror ejemplo, que una compañía va a producir 2 000 ar­ tículos pura surtir una orden y que desea saber cuántos pueden resultar defectuosos. Si no se tiene información previa acerca de esIr tipo de ope­ ración de producción, no lo puede predecir el número de pieza» defec­ tuosas dentro de un determinado grado de confianza. Sin embargo, supon­ gamos que se han llevado registros de la producción anterior de 100 000 artículos del mismo tipo y bajo las mismas condiciont s esenciales, y que según rsos registros se observa que l 000 artículos resultaron defectuosos. Entonces se dice que en la producción futura de los mismos artículos, bajo las muirías condiciones esenciales, la probabilidad de obtener un 1 000 artículo defectuoso al producir cada unidad es 0.01. Es decir, 100000 se puede esperar que uno de cada 100 artículos producidos sea defectuoso. Por tanto, para la orden de 2 000 artículos se pueden esperar 2 0Ü0 X 0.01 = 20 defectuosos. Este razonamiento conduce a la definición siguiente: Definición 2. Consideremos un suceso que puede verificarse o fallar al efectuar una prueha. Si se observa que este suceso se verifica r j veces en un total de n pruebas bajo las mismas condiciones esenciales, entonces la razón ro/it se d efin e como la probabilidad f> de que el suceso se veri­ fique en una cualquiera de las pruebas, y escribimos

r. Observamos que la expresión "mismas condiciones esenciales” aparece en esta definición y también en el ejemplo que la precede. Esto significa que cada prueha se lleva a cabo (dentro de lo posible} precisamente bajo las mismas condiciones. Asi, por ejemplo, en el caso de los artículos manufacturados significa que la operación se efectúa utilizando iguales máquinas, equipo y operarios y reproduciendo también cualesquiera otras condiciones. Por supuesto, es dudoso que esto pueda ser realizado en la práctica. En 1a Definición 2. llamada la definición d e frecu en cia, la prohabi-

Sucesos simples

313

i - ¿«1 es en realidad un número estimado y la confiarla en esta estima-

11 ’ 41 aumenta con a, o sea cuando el número de pruebas u observaciones ite c c Por esta razón, * el cociente n/m tiende a un límite cuando n •. nde ? infinito ¡A lt. 10.5;, este limite se defin e también como la proi. «lii.idujJ de que ed suceso se verifique en una cualquiera de las pruebas. Hr dice oue este es un resultado obtenido en prom edio. Ya que la probabilidad dada por !a Definición 2 se obtiene basánMnái» rn un gran número de experimentos y observaciones se le llama a i,muelo probabilidad empinen o estadística. Acemas, para distinguirla itr la Definición 1, se le llama también probabilid ad a posteriori. Dr b relación (6 ) tenemos m = r.p. Por tanto, si p es U probabilidad i|r que ocurra un suceso en una sola prueba, entonces decanos que la /»r. u m eia o valor esperado d e núm ero d e ocurrencias en n pruebas es ll( •*! a np. Por ejemplo, si la probabilidad de obtener cara en un tiro •l«- una moneda es *.£, entonces en 100 tiros podemos esperar 100 • = 50 , «i u Si np no es un entero, tomamos el entero más próximo como valor *>|»<*rudo. Si p es la probabilidad de our una persona gane una cantidad de dinuu t, entonces b esperanza m atem ática de esa persona ¡e defint como i k t |» .j ejemplo, en una rifa de 10 boletos con un solo premio de S 50, i/n ¡imb.ibiüd.id cíe que un boleto gane el premio es Vio y *a esperanza liirtlrmííllca para un boleto rs por u nto Vio * $ 5 0 , o v a , S 5.

I ) ,:« SU C E SO S S IM P L E S Eli este articulo consideraremos algunos de los tipos más sencillos de pioliliiitai de probabilidad. Tale* casos corresponden u lo* suersos aproi Mil.mi'Mitr II.miados simples. Definición. Un suceso simplt es aquel cuya ocurrencia n no oeuriennii no i'siá relacionada con ningún otro suceso. Por ejemplo, un suceso simple es la obtención de un as en un tiro Me un dado, I ||ni a Muihoi problrmns probabilidad ruin rrl.icion.idoi con nioticd.il, ■ | a y i fiitia. Aunque rl piludini.tr seguramente está familiarizado con el hkiiíDihiIm ilr nio» termino», luí describirmiD» hrevemenlr para que «ran rtitrudidoa ■un ibrldml *1 un irla» en los problemas I im moneda tlrnr do* cara» distintas, driignndas romo cara y e-lln A! tirar Km* ....... . siempre debo resultar hada arriba una «ola dr dirhaa uiraa que m» •••• I lion. |*uiiluifillr probables.

• .i dado <** un pequeño cubo rn cuyas *«i» caras upuir» rs» uno o mAs punios »l i,iVi.m. dr piiaiai l orrrspondr a lo* enteros «Ir l a l> Inclusive. Al tirar un dado

3M

Probabilidad

siempre resulta con un3, y sólo una, cara hacia arriba, siendo dichas caras igual­ mente probables. El r.úmrro uno recibe también el nombre de as. L'na baraja ordinaria consiste de 52 cartas divididas en cuatro palos con 13 cartas cada uno. I-os nombres de los palos y sus colores, indicados entre parénte­ sis, son coreo sigue: bastos (negros), diamantes (rojos), corazones (rojos) y espadas (negras). Cada palo consiste de 9 cartas numeradas del 2 al 10 inclusive mis 4 cartas llamadas as, rey, reina y sota (ordenadas por valor descendente). La expresión de que una carta se saca “al azar” significa que la carta se toma de una baraja bien mezclada de modo que todas las cartas tengan igual oportunidad de ser escogidas.

Ahora presentamos varios ejemplos típicos. Ejemplo I. L'na moneda se tira 10 veces. Calcular la probabilidad de que aparezcan exactamente 7 caras. SOLUCION. Ya que la moneda puede aparecer en 2 fo rm a s diferentes en cada tiro, en 10 tiros puede aparecer en 2:f formas (Corolario 2, leorema 1. Art. 13.2). Entre 10 caras se pueden seleccionar 7 caras en £ (1 0 , 7) = 120 formas diferentes (Teorema 5, Art. 13.4). Por tanto, por la Definición I (Art. 14.2), la probabilidad buscada es

_ 120 _

15

P ~~ 2*® ~ 128 ‘ Ejemplo 2. Calcular ¡a probabilidad de obtener una suma de por lo menos 10 puntos en un tiro de 2 dados, y determinar si la probabili­ dad está a favor o en contra de que se verifique este suceso. solución .

Un dado puede aparecer en 6 formas diferentes; por tanto, 2 dados pueden aparecer en 6 *6 = 36 formas diferentes. La suma 10 puede obtenerse de 3 maneras: 5 5. 6 4- 4, 4 4 6 ; la suma 11 de 2 maneras: 6 4- 5, 5 4- 6 ; y ia suma 12 de una manera. Por tanto, el número total de casos favorables es 3 - 2 -r 1 6, y por la Definición J, la probabilidad buscada es /; %„ = yñ. En este caso a 6 y a - b 36; por tamo, b = 30. Ya que a < b , la probabilidad está como 30 es a 6 ó como 5 es a L en contra del suceso. Ejemplo 3. Si se sacan 3 cartas al azar de una baraja de 52 cartas, calcular la probabilidad de que sean as, rey y reina. so lu c ió n . Se pueden seleccionar 3 cartas entre 52 cartas en C (5 2 ,3) formas diferentes (Art. 13.4). Ya que hay 4 palos y en cada palo hay un as. un rev y una reina, resulta que estas 3 cartas pueden obtenerse en 4 * 4 * 4 formas diferentes (Art. 13.2). Por tanto, por la Definición 1, la probabilidad buscada es

4*4*4 P ~ C ( 52, 3)

4*4*4*2*3

16

52*51*50

5525

315

Sucesos simples

Ejemplo 4. De una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas, se sacan 5 al azar. Calcular la probabilidad de que 2 sean blan­ cas 1 negra y 2 rojas. SOLUCION. Del total de M * 2 — 3 9 bolas se pueden seleccionar 5 liólas en £7(9. 5) formas diferentes 'Art. 13.4). Entre las I bolas blan•¿i\ 2 de el'.as pueden seleccionarse en £7(4,2) formas, entre las 2 bolas negras I puede seleccionarse en £7(2, 1) formas y entre las 3 bolas rojas pueden seleccionarse en £7(3,2) formas. Por tanto, el total de casos favorables es £7(4, 2) •£7(2, 1 ) * £7(3,2) y por la Definición 1. la proba­ bilidad buscada es P ~

£7(4,2) •£7(2,1) •C ( 3 ,2 )

6*2-3

2

£7(9, 5 )

126

7'

( lonsidcremos ahora un ejemplo de aplicación de la Definición 2 (Ail. 14.2). Las compañías de seguros utilizan para calcular sus primas una tabla muy amplia de observaciones llamada tabla de mortalidad. I ' i ha tabla es un registro completo de la mortalidad que se presenta i u un número grande de personas, empezando las observaciones cuando lt nl.i% las personas del grupo son muy jóvenes. Cada año se registra en la 14b .1 el número de dichas personas que aún viven en ese año. Por cjem).|t. una de estas tablas puede registrar que de 1 0 0 0 0 0 0 de personas i|ii originalmente tenían un año de edad, 941 806 aún viven a la edad •lt años y que 906 354 aún viven a la edad de 35 años. De acuerdo mui |.i Definición 2, decimos que la probabilidad de que una persona 906 554 . , •Ir año llegue a los 35 años es ------------- o sea, aproximadamente 1000 0015 1 1)11 y que la probabilidad de que una persona de 24 años llegue a los 35 906554 . j B iim 1 m . 0 sea, aproximadamente 0.9o. 941 806 K I jemplo 5. Una tabla de mortalidad muestra que de 949 171 per-

kmr dr 21 años, 577 882 aún viven a la edad de 65 años, (a) Calcular V« pi<(habilidad de que un hombre que actualmente tiene 21 años viva lo murió para retirarse a los 65 años, (b ) De un grupo de 2 000 hombres Bilí' .11 luir mente tienen 21 años, calcular el número que puede esperarse lile vivan para retirarse a la edad de 65 años. Mii.iioioN, (a ) Por la Definición 2, la probabilidad de llegar a los 65 577 882 iiii « el p ----------- - = 0.609. r 9*49 171 (|j) pura n — 2 000 y p = 0.609, el valor esperado de número de 1n 11111111 ia& (Art. 14.2} es np =s 2 000(0.609) = I 218, siendo éste el

316

Probabilidad

núrnrio de hombres que puede esperarse que vivan para retirarse ;i los 65 «ños.

EJERCICIOS. QRUPO SI En loi siguiente» ejercicios p y q representan, respectivamente, la probabilidad de ocurrencia y ro ocurrencia de un suceso, 1 Si la probabilidad d« ocurrencia de un Mir.eio rstA en su favor, demostrar «lito />> H SI estA en su contra, demostrar que p < Si uu suceso lo mismo puede ocurrir que no ocurrir, demostrar «pie p q -- 4$. 2. Demostrar que !n probabilidad en favor de que ocurra un suceso es igual n la Mata p/q y que l.i probabilidad en contra de un suceso es igual a la ra­ nún q/p. 3. La probabilidad «Ir que un suceso ocurra es % Calcular la probabilidad en favor ilel sur eso.

•I. I*n probabilidad
Sucesos simples

317

| 1 9 . Una persona recibe un premio de 5 51 ú obtiene isca cana, de espada* | uní de diamantes al sacar 2 cartas al arar de una baraja de 52 canas Cakular •I » »lor ce su esperanza matemática. 2 0 Una persona tiene en «i bolsa 2 monedas de 10 centavo» y 2 de cinco tato «vos y saca 2 moredas al asar para pasar 15 centavos. Calcular la prcbafciM».| de que saque !a cantidad exacta. 21 Nueve libros diferentes están cokxadn» al arar en un estante. «Cuál es b pi. otüdad de que 3 libre» determinado* eílfci cootiguOl? ¿¿ Nueve períocas se tientan al azar cr. rirrulo. ¿Cuál e» !a profcabil.d.id ■ 0 qur 2 personas determinada» queden contigua»? J J . De una bol»a que contiene 6 tola* blancas, 4 negras y 2 roja», se mean | |M ,| m i . Calcular la probabil dad de que 3 sean blanca*. 2 negras y 1 roja | 4, Or una bolsa que contiene 5 bolas blarxa*. 3 l e t r a y 1 roja, se saran 3 I ., «I s u r . ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna ce las bolas sacadas sea

Í5 .'«• tiro V

Calcular la probabilidad de obtener una »unra de 15 en un tiro de 3 dadas ¿Cuál es la probabilidad de obtener una tu n a de por lo menos 15 en de 3 dados? En un tiro de a dañe» hallar la prohabJidad de que aparrara el rebino rn 2, y tdfci 2. de los dañe». | | i Se sacan 2 tarjetas a! azar de un conjunto de 10 tarjeta» numeradas del J ( | 0 . Calcular la probabilidad de que la suma de lo» números en las tarjeta» H («| p a r , ( b j impar. l't Una persona saca una tarjeta al azar de un conjunto de 10 tárjelas nu•,.l ti lid 1 || 10, en donde rl número de encía tai jeta representa ín cantidad |mim| qur sr obtiene como premio. Calcular el valor de la esperanza materaá li­ li» n ía persona til M tirar un dado, una persona recibe una cantidad rn |>cso» igual al r.u•h tlr ¡tumos obtenido, ¿Cuál rs rl valor rir »u oiporansa raatonádeaf ti Una persona saca 3 monedas ni asar de una boba qur contiene H mono* i .1" |0 i •ntuvos, 4 de 25 centavos y 3 tir 50 «enlavoi, Calcular rl valor dr r t¡ >tituM malemAtu a, •IJ Una moneda lia sitio linula f> vece* y han aparecido sucesivamente 6 m ¿fluAl rs la probabilidad rir que se obtenga cara eti d próxima tiro? || |ir» una baraja de 32 carta» «e untan 3 carta» al azar. Calcular la proballttil <|r que (a ) todas trun dr corazones; (b) todas sean drl mismo palo. II De una baraja de 52 caruu sr sacan 3 carta» al azar. Calcular la probaalfil dr que uim sea de corazones y 2 tenn itiujeres y 4 Iwimbres sr sirr.tan al atar en una lila. ¿Cuál es la proba* M'ft <> qno hombres y mujeres ocupen lugares alternados? ÍJIft I mujeres y sus esposos se sientan al osar rn una lila dr H tillas. ¿Cuál l« |inhabilidad dr que cada mujer quede junto n su ri|n»o? 1/ De una baraja de 5¿ cartas se sacan 1 caruu al azar. Calcular h proilitl •I tir <|tir »rn una dr » alia palo. KM Dr una baraja tlr 32 nirtas se sai an 3 cartas al azar Calrular la proba* Mol dr que Imya exactamente 3 «ryes entre ellas !M> llr una baraja de 32 cartas *r sacan 3 carta» til azar. Calcular la probalillM-tsl ti» qur aparezcan entre ellas «aclám ente 3 carta» de la misma denomliia> lrtn.|

318

Probabilidad

40 U c jarboron g h a una ma>i d f bride; de 13 r o r l» ninguna de las c les es de denominación nu>yor que 9. Demostrar que la probabilidad en centra de este u iff« es como ¡ 827 e§ a uno.

14.4. SU C E S O S C O M P U E ST O S Aquí consicerarcmos problemas que, en general, son algo más comple­ jos que los del artículo anterior. Esto es debido a que ahora estudiaremos la probabilidad de su ettof com puestos, es decir, de la ocurrencia de dos o más sucesos simples. Los sucesos compuestos pueden clasificarse en tres tipos: sucesos independientes, sucesos dependientes y sucesos mutuamente excluycntcs. Definiremos y analizaremos cada uno de esto* tipos de su­ cesos por separado. Definición. Se dice que dos o más sucesos son independientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos no a fecta la probabilidad de la ocu­ rrencia de ninguno de los otros sucesos. Así por ejemplo, el suceso de obtener sim ultáneam ente un as al tirar un dado y cara al tirar una moneda, está compuesto de dos sucesos inde­ pendientes. pues la ocurrencia de un as en el cado no afecta la proba­ bilidad de la aparición de cara en la moneda y viceversa. F.n seguida cstahlecrmnojv un teorema muy importan! r. 1 00renta I. (T eo rem a de m ultiplicación p a ta sucesos independientes). Si />, y p9 son las probabilidades respectivas de que se verifiquen dos sucesos independientes y entonces P p ,p , es ¡o probabilidad de que /*.*, y K¡ m u irán sim ultáneam ente o sucesivamente, DHmostración , (¡orno en la Definición I (Art. 14.2), sea p, I b ¡ ), en donde a , es el número de formas en que fi, puede ocurrir y b\ es el número de formas en que puede no ocurrir, siendo loria» estas for­ mas igualmente probables Análogamente, sea /;, = *,/(<*, -f hv) t en donde es el número de formas en que fí¡, puede ocurrir y b . es el nú­ mero de formas en que puede no ocurrir. Entonces por el Teorema 1 (Al t. 13,2), el número total de forma* en que tanto /’ y /i, pueden ocu­ rrir es y el número total de casos posibles es (a, 4- bi ) ( a t I 6 ,) . Entonces por la Definición 1 (Art. 14.2), la probabilidad P de que tanto h\ com o P'9 ocurran simultáneamente o sucesivamente es n -

•»•» («i 4" b i) (a9 4* bu)

«i a t 4- bt

*» at 4 b 0

como se quería demostrar. C orolario 1. .Vi p u p t , . . . , p* son las p robabilidad, \ respectivas de ocurrencia de n sucesos independientes, entonces P - /;,/ > ,.., p n es la

Sucesos compuestos

319

hfiibiibMdfui d e qtn todos irlos sucesos ocurran sim ultáneam ente o su11
I Jcinplo 1. Calcular la probabilidad de obtener un dos en un tiro de (ln il.ulo y sello rn un tiro de una moneda. ••-i.iir.ioN. La probabilidad del dos es !•*; ln probabilidad dd sello 1 N.i que son sucesos inclcjicndicntes se sigue drl Teorema 1 que la ||iiid•tlillidad de obtener un do» y un sello es • \¿¿ Via* m

I jemplo 2. Las probabilidades de que A y /I resuelvan un detenta“ )|dt |)t•ble:un son % y *4 respectivamente. Hallar I.» proiiabilidad di fetli- el problema lea resta-lio «uando menos por uno de ios dos. •< u ic io k . Existen varias formas ce resolver este problema, Usaremos 11. q.xlo más corto y sencillo. I problema quedar.» resuelto ú A y B no fallan simultáneamente en ptlución. I.» probabilidad de que A falle es 1 — % = V3 ; la probabilidad de «• /I falle es 1 — s 4 — V4. Por tanto, por el Teorema 1, la probabilidad S f e e A y B fallen es % • = Vía- Por tanto, la probabilidad de que >, II na fallen es I — Vil — l,.4 *r y o t a es la probabilidad de que el Hdetr.a i -a resuelto. I »i fmiriún. Se dice que dos o más sucesos son dependientes si la ocu-

(n ..i «¡i* uno cualquiera de ellos afreta la probabilidad de la ocurren•h .d ‘uno de los otros sucesos. Ai, por ejemplo, consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas Im Ui . v al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 52 cartas. I-a DIm I* ciad de bastos tn la primera extracción es J% 2 = V4. Si volvemos J p i n la primera carta sacada, la probabilidad c e bastos en la segunda ti «i. ió de nuevo ‘ *53 = ' i- Estos dos sucesos son independientes tur tanto, de acuerdo con el Teorema 1. la proiiabilidad de obtener «tu» dr bascos es Vi * Vi = Vi*. S n rmban’o, si la prime ra carta es de bastos y no se vuelve a poner,

318

P r o b a b ilid a d

40. Un yarborough es una mano de bridas de 13 caria* ninguna los es de denominación mayor que 9. Demostrar que la probabilidad de este succío es como i 027 es a uno.

14.4. SUCESOS COMPUESTOS Aquí consideraremos problemas que, en general, son algo n . jos que los del artículo anterior. Esto es debido a que ahora esl la probabilidad de sucesos com puestos, es decir, de la ocurrencia más sucesos simples. Los sucesos compuestos pueden clasifica tipos: sucesos independientes, sucesos dependientes y sucesos excluycntcs. Definiremos y analizaremos cada uno de estos • cesos por separado. Definición. Se dice que dos o más sucosos son ¡ndeperu ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidac rrencia de ninguno de los otros sucesos. Así por ejemplo, el suceso de obtener sim ultanéam entt un un dado y cara al tirar una moneda, está compuesto de dos so pendientes, pues la ocurrencia de un as en el cado no afect bilidad de la aparición de cara en la moneda y viceversa. En seguida estableceremos un teorema muy importante. Teorema I. (T eo rem a de m ultiplicación para sucesos in tes). Si p i y p 2 son las probabilidades respectivas d e qu e se ve sucesos independientes £\ y E if entonces P — p xp~ es la p rob que E\ y E¿ ocurran sim ultáneam ente o sucesivam ente. DEMOSTRACION. Como en la Definición I (Art. 14.2), sea i b¡',, en donde a, es el número de formas en que E¡ puede es el número de formas en que puede no ocurrir, siendo tod rnas igualmente probables. Análogamente, sea p %= a ? / {a * donde a* es el número de formas en (pie E z puede ocurrir y mero de formas en que puede no ocurrir. Entonces por el (Art. 13.2), el número total de formas en que tanto E. y E z p rrir es a xa-, y el número total de casos posibles es (a, 4- b x) Entonces por la Definición 1 (Art. 14.2), la probabilidad P d< E t com o E z ocurran simultáneamente o sucesivamente es P =

a az

(<*, f* b i) (a5 +

bs )

ai

+

b-¡

a x + b¿

fhP

como se quería demostrar*. Corolario 1. Si p t, p 2, — , {>« son las probabilidadt v res ocurrencia de n sucesos independientes, entonces P p ip 9

i 2 iü > :

| a ^ ,w

321

8íCS 1 O d

1J5, p^itülLrrula

>.\¡fne*IU-M™ttír ¡ i ^ w - w Mime I ’«jK»Yflrfc Síl

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320

P r o b a b ilid a d

entonces quedan 12 carias de bastos entre 51 carias, de modo que la pro­ babilidad de obtener bastos en la segunda extracción es = yl7. En este caso la probabilidad de la segunda extracción depende de la primera extracción. Por el mismo razonamiento utilizado en el Teorema 1 sobre sucesos independientes, se puede demostrar que la probabilidad de ocu­ rrencia de estos dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de bastos en la primera extracción multiplicada por la probabilidad de bas­ tos en la segunda extracción. Por tanto, la probabilidad de obtener 2 cartas de bastos es % ■¥ u = 1/\7. A continuación enunciamos el Teorema de sucesos dependientes. Ya que la demostración es similar a la de! 'Peorema l dejamos los detalles al lector como un ejercicio. Teorema 2. (T eo rem a de m ultiplicación ¡jara sucesos dependientes). S ea p j la probabilid ad di- un suceso E } cuya ocurrencia a féela la p ro b a ­ bilidad pi de la ocurren cia de un segundo suceso E 2. E ntonces P — />,/>, es la p robabilid ad de que E x y E ocurran en el orden m encionado. 3. En cate Teorema 2, p 2 representa la probabilidad de que E , suceda después de que E x ha sucedido. n o t a

Ejemplo 3. Se sacan sucesivamente 2 bolas de una bolsa que con­ tiene 4 bolas blancas y 3 negras. ¿Cuál es la probabilidad p de que la primera bola sea blanca y la segunda sea negra si (a) la primera bola se vuelve a poner en la bolsa después de haberse extraído; (b ) la primera bola no se vuelve a poner? s o l u c ió n , (a) La probabilidad de u n a b o la blanca en la primera extracción es Si esta bola se vuelve a poner, entonces la probabilidad de una bola negra es la segunda extracción es $7. Por tanto, por el Teo­ rema 1 , P = % ' % ; (b) Como antes, la probabilidad de una bola blanca en la primera extracción es Si esta bola no se vuelve a poner, entonces la probabili­ dad de una bola negra en la segunda extracción es % = V<¿. Por tanto, j)or el Teorema 2, p = H ‘ ¥¿ =

Definición. Se dice que dos o más sucesos son m utuam ente excluyentes cuando .a ocurrencia de uno cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia de cualquier otro. Así, por ejemplo, el suceso compuesto consiste en obtener ya sea un as o un 3 en un tiro de un dado está formado por dos sucesos mutuamen­ te excluyen tes, porque si el aparece, el 3 no puede aparecer, y vice­ versa. Podemos calcular fácilmente la probabilidad de este suceso por los métodos del Art. 14.3. Así resulta que un as y un 3 pueden aparecer cada uno en solo una forma, teniéndose así tíos casos favorables. Y a que

321

S u ce so s c o m p u e sto s

hay una totalidad de 6 casos posibles, la probabilidad buscada es % = *4,M)r la Definición 1 (Art. 14.2). So observará que este resultado es la Mima de las probabilidades individuales (con valor de % cada uno) de obtener un as y un 3, es decir, ^ 4- Va = %■ Esto es un caso particular iM teorema siguiente: Teorema 3. (T eo rem a de adición para sucesos m utuam ente exclu­ yanles) . L a p robabilid ad P d e (¡ue ocurra uno u otro d e un cierto núme­ ro de sucesos m utuam ente excluyen tes, es la suma d e las probabilidades ,í, la ocurrencia de los sucesos separados. DEMOSTRACION. Sean r sucesos mutuamente cxeluyentes con prohabilidades p u / » * , . . . , p r, respectivamente. Entonces debemos demostrar que

P —pi + pt + •••+ P*‘ Supongamos que de un total de n formas, en las que un suceso puede ... urrir o no ocurrir, el primer suceso puede ocurrir en a formas, el se­ gundo suceso en b form as,. . . . y el suceso de orden r en k formas, siendo imlas estas formas igualmente probables. Y a que los sucesos son mutua­ mente excluycntes, todas estas formas de ocurrencia son diferentes y, por tanto, tenemos un total de a 4- b 4- . . . + k formas en que uno u otro dr los sucesos puede ocurrir. Por tanto, por la Definición 1 (Art. 14.2) i ruemos a * = n-

b p t ------>

•y Pr

~r n

y además 12)

P =

a 4- b 4 . . . 4 k

I ,a igualdad (2 ) puede escribirse en la forma a b , k P = - - - + ... ~ n n n

■ » px 4 Pi + ... +Pn [según ( I)] • niño se quería demostrar. nota 4. Obsérvese que tanto en el enunciado rou»o trn la demostración del Teorema 3 se Utilizaron las palabras ya sea-o. Estas palabras son características de I i problemas de sucesos mutuamente cxeluyentes.

Ejemplo 4. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; una se­ gunda Itolsa contiene 2 bolas blancas y 5 negras. Se selecciona al azar una «Ir las bolsas y se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que mmi blanca? solución . La probabilidad de seleccionar la primera bolsa es *4» y l.i probabilidad de extraer de ella una lióla blanca es % o sea %. Por

322

P r o b a b ilid a d

tonto, por rl Teorema 2, la probabilidad «Ir seleccionar la primera bolsa y extraer de ella una bola blanca es % •% VSi« Análogamente, la pro­ babilidad de srlet.rion.ir la seguida boba y exlrairr de ella una bola blan­ ca es % • Y a t|ii<* la bola blanca debe extraerse ya sea de la primera bolsa o de la segunda, se sigue del Teorema 3 que la probabili­ dad buscada es + bj 1% (. Muchos problemas de probabilidad pueden resolvciw! por más de un método. En el siguiente grupo de ejercicios resulta conveniente resolver un determinado problema por un método y luego, si es posible, compro­ bar el resultado utilizando otro método. Algunos problemas pueden re­ solverse usando los métodos riel Alt. 14.3 o bien los del A rt 14.4. Por ejemplo, al estudiar los sucesos dependientes, encontramos que la probubilidad P de obtener 2 cartas de bastos en dos extracciones sucesivas en una baraja de 52 cartas es igual a \\y, si la primera carta no se vuel­ ve a poner. Este resultado también puede obtenerse aplicando lo dicho en el Art. 14.3, es decir, como

Pm£íí5iil.l C ( 5 2 ,2) 17* E JE R C IC IO S .

G R U P O 52

1. Si las probabilidades de que ocurran r suceso» independíenles son p ., P~- •••. Pr, icipcdivamente, dncpilrar que la probabilidad de que ninguno de ellos ocurra es

n —

# , ) - . < ! — p ,).

2. Demostrar el Teorema I (Art 14.4} usando la definición de frecuencia para probabilidad (’Definíci/m 2, Art. 14.2). S u g ¿ ritu ia: Utilizar el hecho de que si p es la probabilidad de ocurrencia de un sureso en una prueba aislada, entonces el número esperado de ocurrencias rn « pruebas es igual a np. i . Establecer el Corolario 1 del T e o r e m a I (Art. 14.4}. 4. Establecer el Corolario 2 del Teorema 1 (Art 14.4). 5. Establecer el Teorema 2 (Art. 14.4). 6. Enunciar y demostrar un corolario del Teorema 2 que tea análogo al Corolario I del Teorema 1 (A rt 14.4). 7. Demostrar el Teorema S (Art. 14.4.1 usando la definición de frecuencia para probabilidad (Definición 2, Art. i 4 .2 ). 8. l a dado se tira do» voces. Calcular la probabilidad de obtener un as en el segundo tiro pero no en el primero. 9. Un dado se tira tres veres. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un as únicamente en el segundo tiro? 10. Una moneda se tira 4 veces. Calcular la probabilidad de obtener cara en el tercer tiro únicamente. 11. ¿Cuál es la probabilidad de obtener eaaclamente 3 cartas en 4 rima de una moneda y una suma igual a II en un tiro de 2 dados?

Sucesos compuestos

323

12. probabilidades de que .4 y B resuelvan un cierto problema son H y ? ii KfMpe* tivamenie. Calcular la probabilidad de que el problema sea resuelto por lo i L*t ->or uno de los dos 13. Las probabilidad-** de que A, B r C resuelvan un cierto problema son *£. r 4¡j. respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto t- i Ir» menos por uno de los tres? 14. Si A. B y C tiran a un blanco con probabilidades de arertar de *¡¡ T L | im tivaniente. ¿cci] es la probabilidad de que alguno acierte al hacer un tiro

•«•I » uno? 13. Resolver el Ejemplo 2 (Aro 14.4) considerando los siguientes sucesos nula ámente excluyentes: Tanto A coreo B acierran; A acierta y B falb: B acierI ' f 4 falla.

Ib Resolver el Ejemplo 2 (Art 14.4), utilizando el siguiente razonamiento: A prueba primero, la probabilidad de que revuelva el problema es llame¡N a esto d suceso 1. Si A falla, la probabilidad de que B trate de rea>lver el J^ ilr n u ei I — % = ^ . y, por tanto, la probabilidad de que B resuelva d pn>1 * . . '. r» — H: llámeteos a esto el suceso 2. Para terminar, considérense V» H p o t 1 y 2 como mutuamente excluyeme*. II Resolver el Ejemplo 2 (Art. 14 4> por el método del ejercicio 16. pero ktamt'-rndo que B pruebe primera. |j 11< Resolver el ejercicio 12 por cada uno de los métodos de los ejercicios I * . !»» y 17.

|*i De* bolas se extraen en sucedan de un.» bolsa que contiene 2 bolas blan■M • I bolas negras. Calcular la probabilidad de que la primera bola sea blanca | |x ••gumía lea negra si (a) la primera bol.» se vuelve a poner; (h) la primera L"l i.ii «>* vuelve a poner. Vil S¡ rn rl ejercicio 19 »r eximen 2 I*»!»# al azar, ¿cuál es la probabilidad I-i las 2 irán drl mismo color? VI Si en r| ojrirido 19 »r extraen 2 IhiIuii al azar, ¿cuál es la probabllldud qnr iiim »ea blanca y I.» olra negra? Sumar lai probabilidades obtenidos en i j« a ios 20 y 21 e interpretar el resultada. |V l.'oa bolsa contiene 2 bola» blancas y 6 bola» negras; una trgunda bolsa ........ .3 bola» blanca» y 15 bolas r.i\gr.i». Si »r saca mu. bola de i nda bolsa, ¿cuál l i prahabilidad de que araba» bola* sean drl mismo color? V1 En 1 1 ejercicio 22 calcular b» probabilidad de que las 2 bola» sean de Htrnl-' «'olor JMH SI en el ejercido 22 »e selecciona al «zar una de las bolsa» y se extrae de W Mui lióla, , cuál r» la probabilidad do que sen blanca? il t En rl ejercido 24 i almiar ln probabilidad de que la bola extraída »ca I'** Jh lia rl ejercicio 22 »e extrae una bola do la primera bol*.» y se coloca I* «i alinda liolsa. Lingo se extrae u| asar una bola «ñire el nuevo contenido de IfM'iltda liolsn. /Cuál es la probabilidad de que la bola extraíd» ira blanca? i ! En el ejercicio 26 calcular la probabilidad de que la bola extraída de la panuda Imiln»i m u negra. VU En r| ejercicio 22 »e extrae una bola de la legumla Inilsn y se coloca en «4 i fiinn i bolla Luego se extrae al n/ar una Im>Iu del nuevo contenido de la primera k'ila.i ( ilctllar li probabilidad de que esta última bola ira (a) blanca; {!>) negra.

324

P r o b a b ilid a d

29. De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 3 cartas. Calcular la proba­ bilidad de que las 3 sean del mismo color. 30. Se extraen sucesivamente 3 cartas de una baraja de 52 cartas, volviendo a poner cada caria antes de extraer la siguiente. ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean del mismo color? 31. Una tabla de mortalidad muestra que las probabilidades de que A y R vivan 25 años más son 0.9 y 0.B respectivamente. Calcular la probabilidad de que al final de 25 años (a ) ambos estén vivos; (b ) ambos hayan muerto; (c ) A esté vivo y B haya muerto; (d ) A haya muerto y B esté vivo. Sumar los números obtenidos e interpretar el resultado. 32. Las probabilidades de que A y R resuelvan un cierto problema son Vz y % respectivamente. Hallar la probabilidad de que (a ) ambos resuelvan rl problema; (b ) ninguno resuelva el problema; (c) A resuelva el problema pero R no; (d) fí resuelva el problema pero A no. Sumar esto* números e interpretar el resultado. 33. A, B y C compiten en 3 carreras separadas, y b s probabilidades de que cada uno gane su carrera son Vz, y Vi respectivamente. Hallar la probabilidad de que (a) ninguno gane su carrera; (b ) solamente uno gane su carrera; (c) so­ lamente 2 ganen sus carreras; (d ) los 3 ganen sus carreras. Sumar estos números c interpretar el resultado. 34. Un dado tiene la forma de tetraedro regular con sus caras marcadas 1. 2, 3, 4 ; otro dado es un cubo ordinario con sus caras marcadas del 1 al 6 inclu­ sive. Si se tiran ambos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los pun­ tos obtenidos sea mayor que 7? 35. Las probabilidades de comentario favorable de un manuscrito que es revi­ sado por 3 lectores independientes son %, % y respectivamente. Calcular la probabilidad de que la mayoría de los comentarios sean favorables. 36. A y B tiran un dado una sola vez cada uno, ganando el primero que obtenga un as. Si A tira primero, calcular las probabilidades respectivas de ganar 37. A y B tiran un dado alternativamente hasta que uno de ellos gane al obtener un as. Si A lira primero encuentre la probabilidad de que cada uno gane. Sugerencia: Utilizar una serie geométrica infinita (Art. 10.5). 33. A, B y C, en orden, cortan una baraja de 52 cartas, es decir, cada uno saca una carta al azar y la vuelve a poner. Si gana el primero que obtiene una carta de diamantes, calcular las probabilidades respectivas de ganar. 39. A, B y C, en orden, tiran una moneda hasta que uno de ellos gana al obtener cara. S» el premio es de $ 35, calcular las esperanzas matemáticas res­ pectivas. 40. A y B, en orden, tiran un par de dados alternativamente hasta que gana A al sacar un 6 ó gana B al sacar un 7. Calcular las probabilidades respectivas de ganar.

14.3 PR U E B A S R E P E T ID A S En esta sección consideramos el problema de pruebas repetidas que es de importancia fundamental en el cálculo de probabilidades y sus apli­ caciones. Este problema se presenta cuando un experimento u observa­ ción se repite cierto número de veces bajo las mismas condiciones.

P r u e b a s re p e tid a s

325

Anteriormente hemos usado la palabra pru eba sin definirla formal­ mente (Art. 14.2). Para una mayor precisión vamos a definir este tér­ mino, así como algunos otros que están relacionados con él. Se dice que un suceso simple interviene en una prueba si necesaria­ mente ocurre o deja de ocurrir una sola vez. Así. por ejemplo, un tiro de una moneda constituye una prueba ya la moneda da cara o sello una sola ve/. Observamos que una prueba I' >vo esencialmente las características de un experimento. Se dice que un suceso simple interviene en pruebas repetirlas si ncccfciri ámente bajo exactam en te las mismas condiciones, ocurre o deja de ix u i: ir, cada vez, una vez. Asi, por ejemplo, dos o más tiros de una moneda constituyen pruebas i li údas, pues en cada tiro debe obtenerse cara o sello una vez, bajo mudamente las mismas condiciones. Si un suceso ocurre en una prueba, se acostumbra decir que se acierta, y que la probabilidad de que el suceso ocurra es la probabilidad de te n ta r . Análogamente, si un suceso no ocurre en una prueba, se acos­ tó i lira decir que el suceso fa lla , y que la probabilidad de que el suceso un ocurra es la probabilid ad d e ¡aliar. ( lomo una introducción al teorema 4 consideremos el ejemplo si-

Ktlíente: Ejemplo 1. Calcular la probabilidad P de obtener exactamente 3 «•rs un 5 tiros de un dado. mi'M.'cion . Cada tiro del dado es una prueba. Llamemos acertar al uciu de obtener un as. Entonces, en una prueba, la probabilidad de acerto ’ n y la probabilidad de fallar es I — Vq = %. Entonces debemos ili leí minar la probabilidad de acertar 3 veces en 5 pruebas. Va que la probabilidad de acertar en una prueba es % , la probabili«livl di 3 aciertos sera ( % )* en 3 pruebas especificadas (Corolario 2, flVomita 1. Art. 14.4). Como se efectúan 5 pruebas, los 3 aciertos deben V «. o v¡ panados de 2 fallas. Y a que la probabilidad de una falla es la |lfollabilidad de 2 fallas será (% )\ Por tanto, por el teorema de multipliittm'ui (Teorema 1, Art. 14.4), la probabilidad de 3 aciertos y 2 fallas M f « ) '( % ) * . Pero estos 3 aciertos pueden ocurrir en 3 cualesquiera de '• pruebas. Así, por ejemplo, los 3 ases pueden aparecer en los 3 prilliiMiu tiros o en los tiros segundo, cuarto y quinto, etc. Es decir, podemos ublonri los 3 ases en tantas formas diferentes como el número de seleclltmc** posible» de 3 objetos diferentes entre 5 objetos, o sea en C (5, 3) I himmn Ya que estas formas diferentes son mutuamente excluyeme», se min luye por el teorema de adición (Teorema 3, Art, 14.4) que la pro­

32 6

P r o b a b ilid a d

habilidad buscada es la suma de C ( 5, 3) términos ¡guates a (% )• (% :• . es decir 125 / 1 \3 / 5 \ s 5*4 1 25

p CftS!,(T ( 7 r r * T ? “

3388 El ejemplo anterior es un caso particular del siguiente teorema ge­ neral: Teorem a 4. (L e y d el bin om io). Sean p la probabilidad d e acertar y q = 1 — p la p robabilid ad de fallar de un suceso en una prueba. Enton­ ces la p robabilid ad P. d e exactam ente r aciertos en n pruebas repetidas está d ad a p or la fórm u la Pv

( 1 )

C { n ,r )p 'P '” t

=

r

<

n .

demostración .

L a probabilidad de que el suceso ocurra en r prue­ bas especificadas en p r y la de que falle en las n — r pruebas restantes es <j"r_r (Corolario 2, Teorema 1, Art. 14.4). La prohabilidad de r aciertos especificados y las correspondientes n — r fallas es entonces prqB-r (T eo­ rema 1, Art. 14.4). Pero los r aciertos pueden seleccionarse entre las n pruebas en C ( n ,r ) formas diferentes, todas las cuales son igualmente probables y mutuamente excluyeme*. Por tanto, por el Teorema 3 (Ar­ tículo 14.4), la probabilidad buscada P, está dada por la íórmulla (1 ). n o t a

la

(p

1.

r e la c ió n -f-

q ) H.

P o r ; l ) ,

E l

la es

r e la c ió n e l

T e o r e m a

( 2 )

t é r m in o 4

es, p o r

d e l d e

A r t

o r d e n

ta n to ,

1 3 .7 , £n —

v e m o s r

c o n o c id o

+

c o n

1 )

q u e d e l

ta l

c o m o

d e s a r r o llo

e l n o m b re

d e

a p a re c e

e n

b in o m ia l

d e

L e y del binomio.

Por medio del Teorema 4 se puede establecer fácilmente el teorema siguiente: T eorem a 5. S ea p la probabilid ad de acertar y q = 1 — p la p roba­ bilidad d e fallar de un suceso en una p ru eba. Entonces la probabilidad P 2 de obten er p or lo m enos r aciertos en n pruebas repetidas está dada p or la relación r—r

(2)

p, = ^ c ( i . , r; f r .

r —w Si el suceso ocurre p or lo menos r veces en rt pruebas, entonces debe ocurrir, o bien exactam ente n veces, o exactam ente n — 1 veces, o exactam en te n — 2 veces,. . . . o exactam en te r veces. En otras palabras, tenemos los siguientes n — r + 1 sucesos mutuamente exclu­ Probabilidad por Sucede exactamente el Teorema 4 Suceso N” demostración .

1 2 3 ir — r + 1

n veces = n — (1 ) + 1 n — 1 veces = n — (2 ) 4- 1 ii — 2 veces — n — (3) + 1 r veces = n — (n — r *1 l ) + 1

C irt, n)p*q*~* = ¡ C ( n ,n — 1 )p'~lq C ( n ,n — 2 ) p " 'V C (n , r) p ’q n'T

Pruebas repetidas

327

Sumando estas probabilidades, por d teorema de adición (Teorema !V Art 14.4' tenemos (3)

P : ~ p" + C {n . n — 1 ;p*~lq + C (n , n

2) p* sq* + . . . + C ( n ,r ) p rq"~r,

i|u« puede escribirse inmediatamente en la forma de la relación (2) utili ando la notación sigma (Art. 13.6). 2. Por el teorema 8 del Art. 13.7. el segundo miembro de (3) represen* I» !<•> primeros n — r I 1 términos del desarrollo del binomio de (p -I- q)'. n o t a

Ejemplo 2. Una moneda se tira 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de t|ue por lo menos aparezcan fi caras? so lu c ió n . En un tiro la probabilidad de cara es p = y por tanto 11 probabilidad de sello es q = 1 — p = \¿¿. En este problema el número •I pruebas es n 8. Entonces, de acuerdo con d Teorema 5, la probá­ is nl.ul buscada P¿ es la suma de las probabilidades de obtener exactalii'inte 8 caras, exactamente 7 caras, y exactamente 6 caras. Es decir,

I , 1 88 --77 1 1 — I 8 •— *1"------ •— 2" 2S IT •72 2K 2*

37 256

r.jrmplo 3. Se extrae una carta al azar de una baraja de 52 cartas, .'ii v,o la carta se vuelve a poner y la baraja se mezcla cuidadosamente, ii proceso se repite seis veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por ■iirnos una carta de corazones? MOt IJCION. Al principio, el estudiante se sentirá inclinado a resolver problema por el método del ejemplo anterior, es decir, a sumar las i probabilidades correspondientes a exactamente una carta de corazoi v idamente 2 cartas de corazones,. . . . exactamente 6 cartas de coir v Pero el mismo resultado puede obtenerse con mayor facilidad si tmlamos la probabilidad de fallar en la obtención de cartas de corazo• ■n las seis pruebas y luego restamos esta probabilidad de la unidad. I a probabilidad de obtener una carta de corazones en una prueba es ■ l « ><£; por tanto la probabilidad de fallar es 1 — V4 = % . Entonces probabilidad de fallar en la obtención de corazones en seis pruebas •«Ivas es (%i)e. Por tanto, la probabilidad de no fallar en la obtención rorazones en seis pruebas sucesivas es l

r»i»

vmi

pruebas.

328

P r o b a b ilid a d

3. En e l a r t ic u lo s ig u ic n tr te v e rá q u e la p ro b a b ilid a d b u t r a d a rn el 3 e s la r a m a d e lo * té rm in o s d e l d e sa rro llo d e u n b in o m io c u y o v a lo r es la u n id a d m en o s u n o d e d ic h o s té rm in o *. Por ta n to e s m i * fá c il o b te n e r d re su l­ n o ta

e je m p lo

ta d o b u sc a d o c a lc u la n d o d té rm in o e x c e p tu a d o y re s tá n d o lo d e la u n id a d .

14.6. DESARROLLO DEL BINOMIO En los teoremas 4 % 5 ¿el artículo anterior se observó que las diversas p t ohabilidad es que aparecen en un problema de prueba* repetidas son los términos del desarrollo del binomio { p 4- g )*, en donde p es la proba­ bilidad de acertar y q = 1 — p es la probabilidad de fallar en cada una de n prueba*. Por el Teorema 8 (Art. 13.7), este desarrollo puede expre­ sarse en la forma

r —0

que también puede escribirse en la forma (1 )

(q 4- />}• = C ín .O ip V + C (n , 1 ) p q m~: 4- C ( » , 2 ) * V * 4 - . . . 4 - C ( n ,n — l ) p - ' q + C i n ,n ) ^ q \

siendo C (n , 0 ) = 1, C i n . l ) = 7 » , . . . , C (n , n) = 1 ios cocfiricnles hinómicos ordinarios. I.os términos de este desarrollo, lomados en orden, representan, respectivamente, las probabilidades en n pruebas de cero aciertos y n fallas, I acierto y ti 1 fallas, 2 aciertos y n 2 fallas,. . . , n aciertos y cero fallas. Por tanto, estos términos representan las probabi­ lidades de todos los casos posibles y, ya que los sucesos son mutuamente excluyeme*, la suma de probabilidades debe ser igual a la unidad. Tam ­ bién se llega a esta misma conclusión recordando que q 4- p 1, y, por tanto, (q 4 - / ;) ■ = 1. En general, los términos sucesivos del desarrollo (1) aumentan hasta cierto valor (o posiblemente basta dos valores iguales) y luego decrecen. Este es el término m áxim o y tiene la propiedad de que su raxón con el término anterior y posterior es mayor o igual que la unidad. Ahora deter­ minaremos rite término fn/iximo. Concretamente, determinaremos el valor de r (número de aciertos) para el cual el término general C { n ,r ) q m*p' drl desarrollo del binomio (q 4- p ) n es un máximo. Primeramente escri­ bimos las razones t término de orden r + 1 ^ . ( 2) término de orden r ( 3)

término de orden r 4- I término de orden r 4- 2

Desarrollo riel binomio

529

De (2) obtenemos

C{n,r)q*-*p' í ) q*~f+ipr-l

__ n!

q rI(rz— r)l

( r — 1J l(n — r + 1)! ».!

de dónele

—A n — r ^ I ~ 9 f Hp pr + p ü qr.

Ya que q ~ \— />,

n p — f/r I // S : r — pr,

np

w

1,

n sea

pt> r.

De (3 ) tenemos

I ___ ’i,r

C (n , r I I )(¡n ' 1(•'

«Ir» donde

Ya que qr = (1 —p)r,

«

d__ (r + l)t(w — r — 1)1 r !(« t ) ! i 9 r + 1 2*1. p n— r

qr f q ü np — pr. r — pr -I- q

np

pr,

o sea

r ^ . np — q.

O)

l'oi lanío, de (4) y ( 5 ) , tenemos (6 i

np + p > : r > n p — q.

En (6 ) vemos que el entero r está comprendido entre eos valores que difieren e! uno del otro en una unidad, pues p + q = l. Este resultado enuncia asi: Teorema 6. S e a p la probabilid ad d e acertar y q = I — p ’a p robck il’J a d de fa lla r de un suceso en una p ru eba. Entonces en n pruebas re­ p e lid a . el núm ero d e aciertos r qu e tit~ne la m ayor probabilidad d e ocu[fró es un entero com pren dido entre np + p y np — q. Se a c o s t u m b r a tomar como valor de r que produce la probabilidad ¿sima d número np. En consecuencia establecemos la siguiente definibWVn motivada por el Teorema 6 : I M iniado. El valor más p robable del número de aciertos r en n prueW b repetidas, es el entero al que corresponde la mayor probabilidad de H f f r n r i a comparada con la de cualquier otro valor de r. Su valor es, ipo•rimadamente, igual a r.p en donde p es la probabilidad de a cera r n i m u tola prueba. En seguida ¡lustraremos esta troria del desarrollo del binomio por me­ dí» dr varios rasos numéricos. En noestiro primer ejemplo, conridera«•innt, por sencillez, únicamente lo» coeficientes binomio:* del desarrollo

1 - I p)m .

330

Probabilidad

Ejemplo 1. Usando el desarrollo del binomio (q + p ) H. trazar una gráfica en la que cada punto tenga como abscisa el orden del término y como ordenada el valor del coeficiente binómico correspondiente. solución . Del Art. 13.7, para n = 8. se obtienen inmediatamente los nueve coeficientes binómicos, que tomados en orden, son

1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Como se muestra en la figura 41, las coordenadas de los puntos son ( I , 1 ), 2 , 8 ) , 3, 2 8 ), etc. Luego se traza una curva continua que pase por estos puntos. Esta curva recibe el nombre de gráfica de los coeficicnY

tes, aunque es sólo una aproximación, pues no existen datos para trazar la gráfica entre los puntos mencionados. Pero conforme n, o sea el nú­ mero de términos, aumenta, la gráfica resultante se aproxima más y más a la forma mostrada en la figura 41. Esta forma de campana es típica de las curvas de p robabilid ad que estudiaremos más adelante. En el siguiente ejemplo numérico consideraremos la representación gráfica de los valores de los términos individuales, y no solamente de sus coeficientes binómicos, para el desarrollo de {q — p ) n. Ejemplo 2. Calcular los valones de los términos individuales del des­

331

Desarrollo del binomio

arrollo del binomio (% ■+•%)*, y construir una tabla con las seis siguien­ te» columnas de valores correspondientes: (1 ) 'Número de orden del término en el desarrollo. (2) Valor de r (número de aciertos). (3) Probabilidad de exactamente r aciertos. (4) Probabilidad de por lo menos r aciertos. (5 ) Frecuencia simple. (6) Frecuencia acumulativa. Trazar dos curvas que tengan como abscisas comunes ios valores de l.i
n —■6, p —

— 1— p = % Frecuencia

Probabilidad Exactamente » ar¡ortos rn n prueba = valvr del término

Simple

Acumulativa

nP,

*P t

n

.1.4

l^i mino

Por lo menos r aciertos en n pruebas

r

C {n , r)p'q"r

P *-C (n ,T )p rq' ' r=

1 f '

1 -• t 1 í. ?

(2)

(3 )

(4 )

(5 )

(6 )

0

0.004096 0.036864 0.138240 0.276480 0.311040 0.186624 0.046656

1.000000 0.995904 0.959040 0.820800 0.544320 0.233280 0.046656

0.024576 0.221184 0.829440 1.658880 t.866240 1.119744 0.279936 6.000000

6 000000 5.975424 5.754240 4.924800 3.265920 1.399680 0.279936

1 2 3 4 5 6

Totales

1.000000

I ai columnas (3) y (4 ) se obtienen de los Teoremas 4 y 5, rcspectiV«mente, drl Art. 14.5. Las columnas (5) y (6 ) dan la frecuencia o •niineni esperado de ocurrencias en « ( : 6 ) pruebas (A rt 14.2). Los

Probabilidad

332

valore» tic la columna (5) constituyen lo que fte conoce como una distri­ bución d e frecu encias Hmpies y lo» valore» de l.i columna (6) forman una distribución d e frecuencias acumulativas. I.su» columna» (3) y (6) se corresponden con las columnas (3) y ( 4 ) , respectivamente, siendo (3 ) y (5 ) valore» limpies y (4 ) y (b) valores acumulativo». V

Obsérvese que la suma de los valores de la columna (3 ) es la unidad, o sea la certeza. Esto debe necesariamente ser así. pues representa la roma de las probabilidades de todos los casos posibles. Una observación similar es aplicable a la columna (5) en donde la suma de valores es 6, o sea el número total de pruebas. Se llevan en la gráfica los valore» de la columna (2) como abscisas y los valores de las columnas (3 ) y (4 ) como ordenadas. Así resultan las ¿os curvas mostradas en la figura 42 y que son ejemplos de cu rtas de

Desarrollo del binomio

333

probabilidad. Observamos que la curva obtenida con los valores simples tiene aproximadamente la forma de. campana, típica de las curvas de probabilidad. Esta curva no es simétrica como la de la figura 41, reti­ ñendo el nombre de asim étrica. Sin embanjo. si p = q -= *4, la curva de (irobabilidadcs simples resulta simétrica. Los pumos sobre la curva a c u ­ mulativa dan la probabilidad de r o más acienos. Por el Teorema 6, el valor más probable de r está dado por np — p > r > np — q. 0 , = ü* o sea

3 3 6 -r - _ > o a

r > 6

3 2 5 _ 5

1 1 4- > r > 3 5 5

Mor tanto, el valor más probable de r es 4. y para «.te valor !a tabla nos d.« P¡ = 0.31104, que es el valor máximo de la probabilidad simple. También podemos llevar en una gráfica los valor» de las columnas
» |i KCICI05. GRUPO 53 I Demostrar el Teorema 3
■ t

La probabilidad df que A gane rn cierto Jm-pio es \b 51 te juegan 7 do

331

Probabilidad

nn»s Juegos, exactamente bajo las misma» condicione», ¿cuál es h probabilidad do que A gane exactamente *1 de dios? 3. Se tira una moneda » vrcc». Dnnoeuar que la probabilidad d-* obten exactamente r sello» es (7<«.r) ■+■ 2". 6. Se «aca una rarui al axar de una buraj.» de 52 rana», En seguido. la carta »e vuelve a poner y la baraja se rnrccla cuidadosamente, y de nuevo saca una carta ul n u r y luego se vuelve a poner. Esta operación se efectúa un lotnl de 3 v *r». ¿Cuál e» la probabilidad «le obtener exactamente 3 espadín? 7. I)e una balsa que contiene 3 bolas blanca» y 2 negras se saca una bola ni arar. La bola *r vuelve n poner, mru lando las bolas cuidadosamente, y de nuevo *' extrae una lwla al a rel="nofollow">.ir. r.ste proceso »c efectúa un total «le I vece», Calcular tu probabilidad «le obtener Jo > exactamente 2 bola» blanca*; (b ) exim­ iamente 4 boina negras. 8. Se efectúan b lito» ríe un par «le dado». ¿Cuál •» la probabilidad de obirr.rr exm lamente tres sielrs? 9. Un jugador de béisbol cuya promedio de bateo e» 0.300, va al bate 4 vrcc» en un determinado juego. Calcular la probabilidad de que prgue exacta­ mente 2 veres. 10. En promedio, cierto catudianlr rrsurlve corrí* lamente 3 «le «aria 6 pro­ blemas ¿Cuál es la probabilidad «le que resuelva rxnetamente 6 problema» en un examen que consta de B problema»? 11. Una moneda se tira 10 veres. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos H raras. 12. t n dado so lira 7 vece». Hallar la probabilidad de obtener por lo tur­ nos 3 aae*. 13. Se efectúan ó tira» con un par de dados. Hallar la probabilidad de ob­ len » por lo menos cuatro «¡ere». 14. La probabilidad de que .4 gane en un cierto juego « 5á- ¿Cuál es la probabilidad de que- en una serie de 6 de esto» juegos gane por k» mena» en I de ellos? 13. En promedio, un tirador pega en el blanco 30*) vocea en 4 (0 pruebas Hallar b probabilidad de que pegue en el blanco por lo menos 3 vece» en pruebas. 16 En la manufactura de cieno artículo se fca observado que en un volumen de producción grande el 19é de los artículos residían defectuoso». Si se torca una muestra de 10 artículo», t r a il e s U probabilidad de que no m is de 2 sean de­ fectuoso»? 17. La calificación aprobatoria en un examen qae c o r r a de 10 problema» es 7 0 % . En promedio, cierto estudiante resuelve correctamente 4 de cada 5 proble­ mas. Calcular la probabilidad de que a p a r t e el examen. 18. Se encuentra por observación que, en promedio, uno de cada 50 auto­ móviles tiene faros delanteros defectuosos. Hallar la probabilidad de que entre 10 automóviles tomadas al azar, por le menos 1 pase La revisión. 19. L a probabilidad de que un hombre de 50 años viva 20 años mis es 0 6. Dado un grupo de 5 hombres de 50 años, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 lleguen a lo» 70 años? 30. A y B juegan un juego en el cual la habilidad de .4 es a la habilidad de B como 3 es a 2. ¿Cuál es L« probabilidad de que .4 gane por lo menos un juego entre 4?

Desarrollo del binomio

335

21. Si q es la probabilidad de fallir en una prueba, d-ri toserar que la proba­ bilidad de acertar por lo meaos una m en * pruebas es 1 — q\ 22. Si ¡> es la probabilidad de acertar en una prueba, dcroa ) por lo menos 10 tiros; (b> czar lamente 10 tiros. L 25. Una caja contiene 6 tarjetas numeradas. Se extrae una tarjeta al azar y U r*o se vuelve a poner Se ni corlan las tarjeta* cuidadotamenje y se extrae otra «I arar y luego se vuelve a poner. Esta c peración te efectúa uc total de 6 vrcc*. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan sacado todas la» tarjetas’ 26. Una moneda se tim fl vece; Hallar el número má: probable de caras y la probabilidad de ese número. 27. Una moneda se tira 10 vete:. H alar el númrro mis probable de «dios y I» probabilidad de ese número. 28. Un dado se tira 12 veces. Hallar el número más probable de asea y la prt habilidad de eae número. 29. L a probabilidad de que .4 gane c e n o juego es Calcular el número BkU probable de victorias en una serie de 12 juegos y la probabilidad de ese «■uñero. 30 En d Teorema 6 (Art. 1 4 .6 ;, si np — P y n p — q son entero*, demostrar •I i r tiene do* valores, es decir, que existen dos término* ¡«rúales en el desarrollo W» iq 4 p y , siendo estos terroinoi mayores cue cualquier otro término. Compro•• t esto en el desarrollo de 4- * * } r. ■ 31. Una moneda se tira 9 vece», i Lili.ir la probabilidad dr funlquiera do 1 >s d"« números más probables de cara*. ■ 32. En lina pruebu, soa p la |irobal>il¡«l.id de arerlar en un sueno y q la pro1 aliilidad d«* fallar. Si rn n pruebas repetidas np e» un rutero, demostrar que rl "•mero más probalile de fallas es nij. 33. Trazar la gráfica de los coelkienlea binómico» dr (q + p ) »<» coreo rn el fM'uiplo I «leí Art. 14.6. M. Trazar la gráfica de los coeficientes binómiroi dr ( r; | />)>* coreo en el •If'iilph» 1 del Art. 14.6. IV Trazar la* curvas de frecuencias simple» y acumulativas del desarrollo d' l binomio del ejemplo 2 del Art. M.6. En rada uno de los ejercicios 36-40 construir una tabla análoga n lu del cjcinI»1" •' ürl Art. 14.6, trazar los misinos tipa» de curvas y hacer el mismo tipo de » tullís!I. | M. + 37. ( % 4 * % ) “. 38. [ V i + %)«» 39. ( % % )•.

10
15 Determinantes

15.1 IN T R O D U C C IO N El tema de 1c* determinantes ha sido ampliamente estudiado desde Ituw'e mucho tiempo. Aunque el concepto de determinante tuvo su origen I t n l.i solución de sistemas de ecuaciones lineales, posteriormente ha tcni| «1*» muchas otras aplicaciones. Asi, por ejemplo, como se observará en l v inos ejercicios de este capitulo, l u ecuaciones de ciertas curvas pueden B i<m tiliúftr en forma determinante. También hay un gran número de raso» I i o l'n que una propiedad o relación depende del valor «Ir un determinan* I Ir mpocml. Además, los determinantes son útiles en rl estudio de las [ i'i.iirices, las cuales, como ya se observó previamente (Att. 1.6), son I ntuy impoi lames en las maleniáticai modernas y en la física» I as propiedades y el cálculo de los determinantes pueden compreuI tli isr con gran facilidad. has dificultades que el estudiante puede rnronI KÉM* al empezar a estudiar este tema se deben, principalmente, ni hecho [ di que tiene que aprender algunas nuevas reglas de operación. Al ordeI||hi el material do este capitulo se ha tomado en cuenta este hecho. En Bin»< euenria, empezaremos mostrando tanto los principios como las opeDu< loor» aplicados u los detei minantes más sencillos.

t »V N A TU RA LEZA DE UN D E T E R M IN A N TE I

necesario que desde el principio el estudiante tenga alguna idea de la forma y naturaleza do un determinante. Por tanto, estable* •Milus que un d ftn m iu a n tc H< ordtn n, designado por A„, so representa

pon a

357

Determinantes

338

por un arreglo en forma de cuadrado de nx cantidades llamadas elemen­ tos, dispuestos en n filas y n columnas, como se muestra en ( 1 ) . «1 ( 1)

*1

...

/, 1

*»

...

i, I

ó.

... /*1

An =

Se acostumbra encerrar este arreglo entre dos lineas rectas verticales. Por conveniencia, se utilizan números para referiree a las filas o ren­ glones y a las columnas. A s por ejemplo, la primera fila consta de los n elementos a ,, b u . . . , /-, la segunda de los n elementos a .f b * . . . , /a, y así sucesivamente. Análogamente, la primera columna consta de los n elementos a-, , a ,, la segunda de los n elementos ¿>,. fc2. . . . , 6». y así sucesivamente. Debe hacerse destacar que hasta ahora no hemos definido lo que es un determinante: únicamente hemos dado una descrip­ ción de cómo se representa y no de su valor. Aunque en un artículo pos­ terior daremos una definición precisa, aquí será suficiente mencionar que el valor de un determinante es igual a una suma algebraica de términos, cada uno de los cuales es el producto de n elementos, tomándose uno, y sólo uno. de cada fila y de cada columna. Ya que n representa el orden de un determinante, se sigue que un determinante de orden 2 tiene 2 filas y 2 columnas, un determinante de orden 3 tiene 3 filas y 3 columnas, y asi sucesivamente. Por tanto, el determinante de mínimo orden se obtiene para « I y puede ser repre­ sentado por |fl||. Este determinante posee solamente un elemento, una fila y una columna, y mi valor es, por definición, rl elemento mismo, es decir, |a(| o¡. En general, consideraremos solamente determinante de orden n ^ 2. n ota . El estudiante debe cu idarar de no confundir la* lincas vert¡celas u«u
15.3 D E T E R M IN A N T E S D E SEG U N D O O RDEN Un determinante de segundo orden se representa asi: a,

b,

bi donde los elementos o , y b, se dice que forman la d iacon al principal. El valor de Aa se defin e como el producto de los elementos rn la diagonal

Determinante* de segundo orden

339

principal menos rl pnKiucto de los elementos en la otra diagonal. Es de•it, por definición, fli

( 11

b,

= a tbj — athl9 |«3 P* el .i gundo miembro de rita igualdad se llama desarrollo de Aa. Como un ejemplo numérico, tenemos 2

3 = 2*1

-4

( —4 - 3 ) = 2 + 1 2 = 14.

1

Ahora mostraremos cómo lo» determinantes de segundo orden están •«‘•ociados con la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con 2 incógnitas, En el Art. 4.7 so estableció el Teorema 2, una parte del cual tepe limos a continuación. I'.l sistema dr ecuaciones lineales «7,jf -1- b,y = c u

12)

a-xX + h , y = c t ,

i'd ir l.i solución tínica btc, a ,6 ;

hiC, fl;6, '

_ g iC, — t h c x

a tb t — a*5,

•'•lamente si fl,52 — a.-ó, ?= 0. Ahora bien, debido a nuestra definición de determinantes de segundo • rn, b solución del sistema (2 ) puede escribirse por medio de deter­ minantes como sigue: |C|

x —

Ó,

r* tf,

bi bt *

a3

b;

>

*J|

Ct

oa,

Ct 9 b,

a2

b2

««

bt 1

c*

bt |

#0.

Observemos que los valores que forman ia solución tienen rl mismo deel cual se llama determ inante d e l sistem a. Además, el nume­ rador para rl valor de x se obtiene a partir del denominador sustituyendo ■ l primera columna de coeficiente» a, y a _ por los términos independientes >fl \ r ., respectivamente. Análogamente, el numerador para el valor de y B» « Mienc del denominador sustituyendo b segunda columna de coefii •••nte» 6, y b¡ por los términos independientes c, y c-. respectivamente. mot)inador,

' MOTAA. I E* evidente que n fkr.fciM dr un drtennuuntr son in" •»«mbiadai, rl valor drl detrrrcinanir puede cambiar. Por tanto, al dar b solu' U* iiunil« determinantes (3 ). r* muy importante formar las columna* de coefivienles m el orden correcto. Por cala ñafio, ei sistema Í2) debe escribirse siempre

Determinantes

340

ile manera que en cada columna haya la misma incógnita y que los términos inde­ pendientes estén en el segundo miembro. Si no figura una incógnita, su coeficiente se loma como cero. • 2. La solución por determinantes (3 ) se conoce con el nombre de regla de Cramer. Veremos inás adelante que esta regla puede aplicarse al caso general de un sistema de u ecuaciones lineales con n incógnitas, en donde n es cualquier nú­ mero entero y positivo.

Como una aplicación do la regla tic Cramer tenemos el siguiente ejemplo: Ejemplo. Resolver por determinantes el sistema 2x + 3y + 1 = 0, 2y — 3 * = 8. solución .

De acuerdo con la ñola l, escribiremos el sistema en la

forma 2x + $y = — 1, 3* — 2y ^ —8 . El siguiente paso será calcular el determinante A del sistema, pues tendremos una solución única solamente si A =¿= 0. En este caso resulta 3

— 4 — 9 = — 13.

= 2 { — 2) — 3 * 3

—2 Y por la regla de Cramer tenemos —1 -8 2 3

3 —2 A —1

2 + 24

—8 A

— 16 + 3

— 13

— 13

Resulta ventajoso estudiar algunas de las propiedades de los deter­ minantes aplicándolas a determinantes de segundo orden. Más adelante estas propiedades se presentarán como teoremas válidos para determinan­ tes de cualquier orden. propiedad 1. Si las filas de un determinante se intercambian por las columnas correspondientes, el valor del determinante no se altera. Es decir, si

v*

también

a2

6»

bx

bt

—

b¡ — a¡b i,

= flibj

b\dt.

D e te r m in a n te s d e s e g u n d o o rd e n

341

De esta propiedad se deduce que cualquier teorema de determinan­ te-. que sea válido para las filas es también válido para las columnas. propiedad 2. Si todos los elementos de una fila (o columna) son <•ro, el valor del determinante es cero.

0

Ad,

0

I bt

= 0 (¿,) — ¿t(0) = 0 .

b3 \

PROPIEDAD 3. Si dos tilas (o columnas) de un determinante se ínter• u ibian, el valor del determinante cambia de signo, pero conserva su valor absoluto.

bx

o,

Ad, si

a-z

remita

a*

b2

a,

bt

— Oib* — a-¿bi,

= a~b i — a-,bz — —

bt

a\

a ¿ b¿

4. Si los elementos correspondientes de dos filas {o colum­ tle un determinante son ¡guales, el valor del determinante es cero.

propiedad

na-. Ad

ax

b z

a\

ba

= d xb i — a xb i = 0.

propied a d 5. Si cada elemento de una fila (o columna) de un den o linantc se multiplica por el mismo número k, el nuevo determinante llene un valor igual a k veces el del determinante original.

k a x kbi

Ad,

<*i

= k a xb t — a -k b z

b2 = k{a-bz — a~bx) = k

dz

b.

a2

bt

i r <•p i e d a d B . Si cada elemento de una fila (o columna) de un dcIPinún.inte es igual a la suma de dos cantidades, el determinante puede

r que

«: '• d x

ax bx

*2 4- dz' a x 4* a x bt

a ¿ bt

a¡ + a /

b¡

4-

«i

6,

«2

bz

— d xbz 4~ o i bg — ú¿bx — d¿ b x = \aibj oi

a ¿b x; bt

o»

O tbx) b,

o* b¡ Ot b3 7. Si cada elemento de cualquier fila (o columna) dr un •>i leí minante se multiplica |ioi el mismo número k y el resultado se suma propiedad

Determinantes

342

al elemento correspondiente de otra fila (o columna), el valor del deter­ minante no se altera. Esto es.

Ya que

a»

bt

a i -r k b t

b,

a2

b2

a ¿ — Ab -

b.

a j f- kbj,

b;

a~ 4* k b 2

b2

= a . b 2 f k b . b 3 — [ a sb t 4- kb^ b2)

a, = a ¡b 2 — a-jb i =

a2

b2

E JE R C IC IO S . G R U PO 54 En cada uno de los ejercicios 1-7, hallar el valor del determinante dado. 3 -1 1.

—2

2.

2x

4.

4 —2

.

a

6.

i. y1 x2 ,

7.

2

8.

1

2 x— 3

2x

en la ecuación dada.

X x 4- 6

9.

1

X

K e*

- 0.

x

3

—3 — 1

x + 1

1 2

En cada uno de los ejercicios 8 y 9, despejar 3

1

3.

7 —4

5 2 X 2a

5.

2 6 1

1

1 x - 2

= 0.

En cada uno de los ejercicios 10-15 usar determinantes p a n resolver tema dado. 10. 2x — 3y *“ 5 , 3x + 2y = 1. 11. 2x 4 3y ~ 4. x - y - 7 . 13. 2x 4 3y 6, x — y 4 7 - 0. 12. 4x — y ■ » 11, y 4 2 x - 1. 15. x — 2y — 5, 2x 4 4y - 3. 14. 3x + 2y — 0 , 3y - 2x = 0. 16. Demostrar la propiedad 4 (A lt. 15.3) utilizando la Propiedad 3. 17. Utilizar la Propiedad 5 (Art. 15.3) para demostrar que si todos los ele­ mentos de cualquier fila (o columna) de un determinante tienen un factor co raún, entonces el desarrollo del determinante también tiene ese factor. 18. Demostrar que k

«i b i

bi

a2 b.¿

kat b 2

"i

«i kbi

H bi + V

«i

a2 b.2 + b 2

a3 b3

i

at íb 2 O, ó,

ka1 Afcj

19.

Demostrar que

20.

Como ampliación de la Propiedad 6 (Art. 15.3), demostrar que a,

a ,' 4 a / 6, =

a2 +

+ “s" b »

a. ó» | ' 4 a , bs

i>' a ," ó, a ./ b t

+

a.,

21. Demostrar la Propiedad 7 (Art. 15.3) demostrando que o, + ka ¿ ó, - í b t a, ó, aa b.¿

b.

Determinantes de tercer orden

343

22. Demostrar la Propio-dad 7 (Art. 15.3) utilizando las Propiedades 6, 5 y 4. 23. Comprobar la Propiedad 7 (Art. 15.3 por medio de rjemplos numéricos. 24. Demostrar que

a, 4- V a ,

1

a.'

bt 4- V bt

a ,

fc .

a, ¿ j

+

* 2' *a , V V

a, a., b »' 25. Demostrar que


=

n t 4• bg b., 4 b2*

<*>

aS V ó, b ,*

a, b / 4*

4-

«2 b2

V

.

b , b.:

13.4. D E T E R M IN A N T E S DE T E R C E R O RD EN

ax a b

=

a-. a..

bx

Ci

M

Avanzaremos ahora un paso más estudiando los determinantes de ter•ei orden, que se representan en la forma

cz

bs

Ci

v que se defin en por el desarrollo a ¿ , c 3 — n ,bsct — a¿b,ca I a Hb tct + a2bAc x

a-Jf.Ci.

Naturalmente que el desarrollo (2 ) puede usarse como fórmula para otar rualquier determinante de tercer orden. Sin embargo, no es con­ fu ie n te para calcular determinantes con elementos numéricos, pues al «lutituir, se debe cuidar He identificar cada elemento con los números ■ p mi fila y su columna. Por esta razón se usan reglas que permiten obteIfH" ios ténninos del desarrollo como suma algebraica de productos de i nnitos a lo largo de ciertas diagonales. Sin embargo, debido a que • reglas no pueden ser usadas para determinantes cuyo orden sea maque 3, no las daremos aquí. En su lugar usaremos un método apli> l'l - a determinantes de cualquier orden y, ya que es el método más BrniuMiírnte. lo emplearemos de aquí en adelante. 1.a idea básica usada en este método consiste en expresar el desarrollo itle un determinante Hado, en función de determinantes de orden inferior. A*l, por ejemplo, podemos obtener fácilmente el valor de un determinanI t de tercer orden egresándolo en función de determinantes de segundo luden, ya que estos últimos pueden calcularse inmediatamente. Este méIimIo m conoce con el nombre de desarrollo por menores. i id.

IM iníción. Se llama m enor de un elemento de un determinante, al ■I ir i minante de orden inmediato inferior qtte se obtiene suprimiendo la Mu s l.i columna a que pertenece «licito elemento.

3U

D e te r m in a n te s

Así, por ejemplo, en A, (1 ), el menor del elemento 6, se obtiene su­ primiendo la primera fila y la segunda columna, que son la fila y la columna a que pertenece h,. El menor es p u es!fi3 ° , que es un deter1° ■ C L minante de segundo orden. Análogamente, el menor de c~ es ' 1 1 v así sucesivamente. a* ° . Existe otro concepto íntimamente ligado al concepto de menor, que es el siguiente: Definición. Se llama co facto r de un elemento de un determinante al menor de esc elemento, precedido por el signo más o el signo menos, según que la suma de los números de la fila y la columna a que pertenece el elemento sea par o impar respectivamente. Por ejemplo, para A3, el cofactor del elemento c t que está en la pria 3 bs mera fila y en la tercera columna es ' ya que 1 — 3 4, es un p .i número par. Análogamente, el cofactor del elemento a 2 que está en la segunda fila y en la primera columna es — c% ya que 2 4 1 = 3. es un número impar. I®* Ci Ahora enunciaremos sin dem o stració n un importante teorema que uti­ lizaremos de aquí en adelante para el cálculo de cualquier determinante. Teorema. E l v a lo r de c u a lq u ie r d eterm in a n te d e o rd en n es ig u a l a la su m a d e n p ro d u cto s c a d a u no d e los cu ales se fo r m a m u ltip lica n d o c a d a elem en to de u n a c u a lq u ie ra d e las fila s (o co lu m n a s) p o r su co faclo r co rresp o n d ien te.

Entonces se dice que el determinante se h a d esa rro lla d o con respecto a lo s elem en to s d e esta fiia p a rtic u la r (o c o lu m n a ).

Es fácil verificar este teorema para A». Así tenemos, desarrollando Aa con respecto a los elementos de la primera fila, b< a-¿ b 2 + c| A3 = fii -ó . b. a* b .

=

aybnCu — a^bfCt —

+

a¡,biC2

- a 3b -,ci

— a:ib 2Ci.

lo cual concuerda con el desarrollo (2 ). Conviene observar que el teorema afirma que este desarrollo puede ser hecho con respecto a los elementos «le u n a c u a lq u ira de las filas (o co­ lumnas). Así pues, desarrollando Aa con respecto a los elementos de la segunda columna, tenemos Aa = — b x

, .

4-

b»

«i

Ci

-b *

«?i

c3 C» = — a tb tCt 4- aab ¡c s 4* a-.bsc3 — a;ib 2c,

lo cual tainbión coincide con el desarrollo ( 2 ) .

Ci a-.b3c-j 4- a b c t,

345

D e te r m in a n te s d e te rc e r o rd e n

A continuación aplicaremos el teorema a ejemplos numéricos, pero antes conviene hacer la siguiente observación: n o t a I. Para lograr una escritura clara y que ocupe menos espacio, escribi­ remos los elementos negativos de un determinante, de aquí en adelante, con el signo menos sobre el elemento, en lugar de escribir este signo a la izquierda del

elemento.

Ejemplo 1 Calcular el siguiente determinante desarroll«indolo con reapccto a los elementos de (a ) la tercera fila: (b ) la segunda columna:

so lu c ió n ,

(a)

4

2

1

0

1

4

2

3

1 0 •

5

2

3 1

-(-2 )

= 5

2

1

4

3

1

4 -3 3

0

= 10— 12 + 3 + 36 = 37. (b)

As = —4

3 0

f 1

1

1

2 -(-2 )1

5 3 5 3 = 36 H 3 + 1 0 - 12 = 37.

2

13 0

Cuando el teorema se aplica a determinantes de orden elevado, rctullu evidente que el desarrollo completo requiere una cantidad ronsidei libio de operaciones aritméticas. Por ello conviene hacer la observación il< que si una fila determinada (o columna) tiene uno o más ceros, enuinres las operaciones se reducen considerablemente desarrollando con «pedo a esa fila (o columna). Además, es posible hacer que aparezcan tnlrl ceros, sin alterar el valor del determinante, utilizando la propiedad 7 Art. 15.3). Veamos una aplicación de este proceso.

ir

Ejemplo 2. Calcular el siguiente determinante, transformándolo de numera que aparezcan tantos ceros como sea posible en una fila o en una columna:

As =

2

1

3

4

2

5

3

2

7

BOi.uciON, La Propiedad 7 (Art. 15.3) afirma que si cada elemento

«!•• cualquier fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número k y el resultado se suma al elemento correspondiente de fila (o columna), el valor tlel determinante no se altera. Así pues.

346

Í3)

hacer que aparezca un cero en la primera fila y en la primera multiplicando cada elemento de la segunda columna por — 2 y el resultado al elemento correspondiente de la primera colum­ nos da

J) II

podemos columna, sumando na. Esto

D e te r m in a n te s

2— 2

1

3

0

1

3

4 -4

2

5 =

8

2

5 •

3— 4

2

7

I

2

7

Ahora podemos hacer que se anule otro elemento de la primera fila y la tercera columna, multiplicando cada elemento de la segunda colum­ na por 3 y sumando el resultado al elemento correspondiente de la tertoncos, de (3) obtenemos 3 -3

0

1

0

R 2

5— 6 =

8

2

í •

I

7 - 6

\ 2

0 a3

=

1

2

í

Por claridad hemos mostrado estas operaciones en dos pasos separa­ dos, pero ya que la columna utilizada es la misma (la segunda), podemos obtener el resultado en un solo paso. Además, las operaciones aritméti­ cas pueden efectuarse mentalmente y escribir los resultados directamente. De aquí en adelante marcaremos la columna (o fila) que sirve de base con un asterisco. La forma más resumida de las operaciones anteriores como sigue: • 0 1 0 2 1 3 Aa = 4 2 5 = 8 2 1 * (A) 3

2

7

I

2

1

Desarrollando ron respecto a los elementos de la primera fila, obte­ nemos solamente un menor, es decir = —

8

i

i

i

= - ( - 8 - 1 )

=9.

En general, utilizando la Propiedad 7 (Alt. 15.3). es posible trans­ formar cualquier determinante dado en otro con el mismo valor pero que tenga elementos nulos, con excepción de uno, en cieña fila (o co­ lumna). Desarrollando este nuevo determinante con respecto a los ele­ mentos de esa fila (o columna), obtenemos un solo determinante drl orden inmediato inferior. Obsérvese que si al usar la Propiedad 7 resul-

D e te r m in a n te s d e te r c e r o rd e n

347

tan nulos todos los elementos de cierta fila (o columna), entonces el de­ terminante dado es igual a cero (Propiedad 2. Art. 13.3). Ya que este método es eficiente para calcular cualquier determinante, V dado que será el que usaremos de aquí en adelante, a continuación lo enunciamos completo para facilitar consultas futuras. Método para calcular un determinante cualquiera 1. Se elige como base una fila (o columna) y se señala cor. un as­ terisco. 2. De acuerdo con la Propiedad 7 (Art. 15.3), se multiplica cada elemento de la fila base (o columna) por un número tal que al sumar el resultado con el elemento correspondiente de otra fila (o columna), se ol«tenga por lo menos un elemento igual a cero. 3. Se repite el paso 2 tantas veces como sea necesario hasta obtener ni determinante equivalente en el que todos los elementos de una misma lila (o columna), con excepción de uno, sean cero. I. Se desarrolla el determinante obtenido en el paso 3 con respecto i l.i fila (o columna) que tiene todos sus elementos iguales a cero, con recepción de uno de ellos, obteniendo asi un solo determinante del orden inmediato inferior. 5. Se repite el proceso anterior con el determinante obtenido en el palo 4. 6. Se. continúa este procedimiento hasta obtener un determinante I» orden 2. que se calcula como ya hemos indicado.

4.

Veamos el método anterior aplicándolo a un determinante de orden Pero, antes de hacerlo, observemos la siguiente nota:

2. El hacer que se anulen algunos elementos por medio de la Propiedad w *•% muy sencillo cuando ur.o de lo* elementos de la fila base (o columna) ex tu'i ■ .i la unidad. En «aso contrario, el proceso requiere rl uso de fracciones, •••triplicándose la* operaciones aritméticas. Pero en tale* casos una aplicación prekltmitai de la Propiedad 7 puede producir el elemento unitario requerido, tal como "> Ir verse en el ejemplo siguiente. n o t a

hjrmplu 3.

Calcular el determinante

A, =

2

3

5

2

5

2

7

3

4

3

6

5

3" 2 2 4

Determinantes

3-Í8

solución . Primeramente presentamos ios diversos paso» necesarios para el cálculo, y a continuación !a explicación correspondiente.

3

• 1

2

5

0

1

0

0

3

5

2

• /» 3

11

0

11

13

6

5

4

3

6

5

13

3

12

20

2

4

3

2

2

4

9

2

2

6

2

3

5

2

7

4

3

3

2

11

5

♦ 11

1 II

13

12

9

2

11

13

82

134

2

•

0

13 20 = — 6 = 2

11

13

1

12

20

17

2

6

11

13 1

41

67¡

* ____

0

11

13

1

12

20

0

82

134

= 2 ( 7 3 7 — 333) = 408.

e x p l ic a c ió n . Ninguno de los elementos del determinante dado es igual a la unidad. Pero sumando la segunda Cía (marcada con un aste­ risco; a la primera, obtenemos un elemento unitario en la primera fila y en la segunda columna. Usando la Propiedad 7 con la segunda columna como columna base (marrada con un asterisco), obtenemos 3 elementos nulos en l.i primera fila. Desarrollando con respecto .1 los elementos de la primera fila, obte­ nemos un solo determinante de orden 3. Ya que «file determinante no tiene ningún elemento igual a lo unidad, restaremos la segunda columna (marrada con un asterisco) de la primera columna, listo nos produce nn elemento unitario en la segunda fila y en la primera columna. Si alro­ ta sumamos 7 veres los elementos de la segunda fila ( marcada con un asterisco) a los. elementos correspondiente* de la tercera fila, obtenemos un determinante de orden 3 con dos ceros en la primera columna. Desarrollando este último determinante de orden 3 ron respecto a los elementos de ln primera columna, resulta un solo determinante ríe orden 2, el cual se calcula inmediatamente romo se muestra en el último paso. Ya que este articulo está dedicado principalmente a los determinan­ tes de orden 3, consideraremos altura la resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:

( 3)

íi,x I b,y 4- /:,c — a>x -f b ay + e= «»* b% y -I c.,e = k.

34»

Determinante» de tercer orden

La resolución ele cate sistema puede efectuarse por el método de eliiniiiRción estudiado en el Art. 4.7, lo cual se deja como un ejercicio para •I estudiante. Por medio de drln minantes I.» solución puede escribirse eu la forma

(6)

Ai

bi

ci

a,

Ai

Ci

<1,

bi

Aj

k,

bs

c,

a-i

Aa

’a

a¡

b¡

Aa

k»

b.s c, » Aj

a\

Aa c,¡ » * A,

a-,

b , Ao Aa

y

-

que c» el determinante del sistema (5) «i

rst.i dado

bx cx

aa ó a Ct / O .

A, -

<*11 b i,

¿i

A! calcular estos determinantes dehe observarse que la solución [6> obtenida |M)r medio de determinantes es exactamente la misma «pie se nb'ienc por el método de eliminación. Esto es el motivo que llevó a la definición de A, tal como «• ha dado al prinripio de este artíc ulo. Conviene observar que la solución por determinantes (6) es análoga • I» solución por determinantes (3 ) del sistema (2) de dos ecuaciones ■ lea les estudiada en ci An. 15.3. Por supuesto, esto solución candil (litro ejemplo de la regla de Cramer. Ejemplo 4. Resolver el siguiente sistema utilizando determinantes 3x + 2>’ — z = 3, 4 x — y — 3z = 0, x — 2 y — 3 z = l. k o l u c io n . El cálculo detallado de los determinantes que aparecen M •tte problema se deja como un ejercicio para el estudiante. E! determinante A del sistema es

3

2

1

4

í

3 = 16=5*0.

1

2

3

l*o« tanto, por 1a regla de Cramer. la solución es

x =

3

2

í

0

i

3

1

2

3

— 16 16

“ 1,

Determinantes

350 3

3

1

4

0

3

I

l

3

16

A 3

2

4

3

I

1

0

2

—

1

3 2

- 2.

l»i e je r c ic io s , g r u p o

:>ü

En «acia uno de los ejercidos l-H, calcular rl determinante dado.

3

6 9

2

1

T

3

2

5

4

Ü 6

7

9 5

•

2

3

4

2

3

4.

4

6

7

1.

2.

5.

i 2 5 2 3 2 3 7.

7

6

2 4

3.

6

3 3

2

4 3 •

5 7 2

1 6.

8 4 3 2 5

4

5 11

1 5

2 7

7 3

7

5

5 8 9

10 5 3

14 3 5

51

15 6 8

I

3

3 2

8

5 5 2 5 6 12 5 4 En cada uaa de los ejerekioi 9 y 10 despejar * en la ecuación dada. 2 9.

I

1 1

6 * 3

U.

4 2 *

10.

2 3

2 * 6

0.

* 5 2

En cada uno de los ejercióos 11-15, resoKrr el sistema dado utilnando del. r-

nimantés. 11. * + 2y — : -

3, 2x — y - s = 7, 2* - y — 4x = — 1-

12. 2 * + 7> — 4c- 4, * — 3y — 4 : = 0 , 2 * 4 3/ + x - 9 13. 3 * — > 2z - 4. 2 * + y + 4x — 2 , 7* — 2y — x - 4 . 14. 2 * — 3y — 13, 2y — r — 1, * — 2 r ------1. 15. 3* — 9y + 4x - 0 , 5x - 2y — 8 : = 0 . 7* — 2y — 5x - 0. 16. Sean C.| y A/.# el cofarlor y el menor, respectivamente, del demento

351

Determinantes de tercer orden

que r ; t i en la fila de orden i y en la (d á n ic a de orden / ce un determinante. Dém e su a r que C«i = (—

17- Desarrollar S 3 con respecto a loa ele «nenies de la tercera fila y comprobar que d resultado concuerda con el desarrollo (2 ) del A lt. 15.4. 18. Comprobart con un cjenipk». el teorema del Art. 15.4 desarrollando un •¡eleiminanle de order. 2 con respecto a los dementas de la primera columna. 19. Resolver el ejemplo 2 [Art. 15.4) usar.do b pionera fila como base. 2*5- Por el método de eliminación, hallar la solución del sistema [5 ) de 3 ecuaciones lineales dada en el Art. 15.4. 21 Calcular los determinantes de la solución (6 ) del sistema (5 ) del Ar­ ticulo 15.4, y comprobar que la. solución es exactamente la misma qce la obtenida -i» el ejercicio 20. 22. Comprobar b solución del ejemplo 4 del Art. 13.4. cakular.do todos los determinantes que aparecen, en ella. En cada uno de los ejercicios 23-29. verifique b propiedad mencionada para Lr) determinante general de otdrc 3. tal como está ¿ado por la rebeión ( I ) del An 15.4. 23. Propiedad I (Art. 15.3). 24. Propiedad 2 (Art. 15.3). 25. Propiedad S (Art. 15.3 J. 26. Propiedad 4 (Art. 1 5 3 ) . Use la Propiedad 3 (Art. 1 5 3 ) . 27. Propiedad 4 (Art. 1 5 3 ) . Use las Propiedades 7 y 2 (Art. 15 .3 ). 28. Propiedad 5 (Art. 15.3). 29. Propiedad 7 [Art. 15.3). demostrando que e

4-

bx

*1

*

ex

4-

*s ** = u., + k b , h *% *1 4- 4/ *>x *X 1 110 Demostrar que

n

1 «i

«A + tí» II

=

bt

*» ai

bi

f,

*1

í.

aa

*4

ax

b,

r,

V

*a

ca

V

b . c»

Demostrar que

«1 b <

bx

*x

a , 4- «/ + <

b*

*1 — tí2 b ,

"x

ba

*»

+ V

<

+ <

bx

«0

b.

< f a 4* -a' V

ct

bt

*i

b*

e» 4- V

bt

t3

b»

ti

ba

í|

V

V

b x tx |

32. En «roftieirín analítica se demuestra que la ecuación de l.i recta que pasa i dos punios dados distinto» y») >‘ Pa(>tBiy a) puede escribirse en la forma

* y i A, yi i X. >'s i .......probar rstr resultado deinoilnutdo (1) que la» coordenadas dr cada uno d« lio

p u n í o s

#*,

y

P,j

s a t la f iu r n

Ia

ecuación,

y

( 2 )

«« an.» expresión lineal en liu variables x y y,

que el desarrollo

d» I d M c n n ln a n t i-

Determinante»

352

En «oda uno de los ejercicio» 33 y 34, y utilis.;utdo el multado del ejercicio 32, obtener l.i ecuación tic la recta que pau por lo» do* punto* dado».

33. (2 ,0 ). ( 0 ,— I). 3 5 .

ne

lo *

34. (3 ,1 ), ( - 2 , - 1 ) .

geometría analítica demuestra que el Arra K del triángulo que tie­ vértice» ( * „ > ,) , (*„,>*,), citá dnda por P .ti

*1 *i

i y* i y# i

Yi

tiunárdoso como valor drl Aren el valor absoluto del determinante. Util bar rila fórmula para «alentar el Arra del triángulo cuyo» vértice» »on (— 1,1), (3,4), ( 5 , - 1 ) .

36. U»ar rl resultado drl ejercicio 35 para dcmoitrur que una condición reosaría y »ufi«'lente para que Irr» punios diferente», tuya» coordrnadus *on (jr ,.y ,), ?*)• (* » ,y ,) , ‘can colineale» e» que

M

*» y» i

i

i y

s

0 1

*1 y.

37. Demostrar que

x

- i* — y)
jr* y* £1 • 1 sa. Demostrar que

X

1 x

r

X+ * * — >-—t 39. Dsnocrir que

1 - U.

a —y 1 2x

2x

2y

y —x —x

2>-

2.*

2x

x— * — y

= U + jt + x)».

40. S: «i es una de las raíces cúbicas complejas de la unidad, hallar el valor d« I

o

-1 1 .

l

M

O w-

15J>. D E T E R M IN A N T E S D E C U A L Q U IE R O R D E N

Ahora estudiaremos 1 » determinantes de un t»rdrn cualquiera y mos­ tráronos que tienen las mismas propiedades ya establecidas para los de­ terminantes de orden 2 y 3. Con este motivo primeramente formularemos

D e te rm in a n te s d e c u a lq u ie r o rd e n

353

la definición para un determinante di- un orden n cualquiera, la cual omprende a los determinantes de orden 2 y 3 como casos particulares. Concretamente, consideremos primero el determinante de orden 3:

I

Ai =

a.

bx cx

a.

b. cz

a*

b3 c»

| que fue definido previamente {Art. 15.4; por medio del desarrollo I (ti I I I I I

Aj = a ,ó .c ,—- a,bjC ; — a :b ,c 3 + »i ó,c- 4- a zb3t x— s 3b^c,.

I

Cada termino del desarrollo vs el producto de tres literales, las que acostumbrari mes escribir en orden alfabético, diciendo que se trata de su ord-r. natural. Por tanto, les términos difieren unos de otros solamente en el i” drn. de ios subíndices 1. 2, 3, los cuales pueden permutarse en 3! = 6 formas di órenles ; Corolario, Teorema 2, Art. 13.3 . Los subíndices del primer ténnino del desarrollo son 1 , 2. 3, ordenados según su magnitud: « t e oí den se llama el orden norma/. Cuando un subíndice mayor precede a uno menor, m dice que forman una :n¿tritón. Así, por ejemplo, n i el termino a ¿>¡cr, con subíndices en el orden 312, hay dos róvminufii: rJ 3 precede ai 1 y el .1 precedo al 2. En el término a*btc ,, Ctm subíndices en el orden 321, hay 3 ¡nvn¿iones: el 3 precede al 2. el 3 precede al 1, y el 2 precede al 1. El primer término a ib 9ca, formado con los elementos de lu diagonal principal, no tiene inversiones. Con este concepto de im rrsió n resulta ahora posihli dar la siguiente ili'íinit iém com pleta p a ra un d eterm inante de eualquiei orden:

I I I 1 [ I |r ■ I

Definición. U n d eterm inante de orden n, en donde n es cualquier ilúmoro entero y positivo, se r t presenta con mi arreglo cuadrado de n1 cantidades llam adas e l e n u n tm v que están dispuestas en u colum nas y « filas. Su valor es la suma algebraica <|e todos los posibles productos dUlintos. cad a uno con •: l.icto n s, que pueden form arse al lom ar un eleIBmiln, y solam ente uno, de cada mlumna y de cada lila. Estos productos van p re n d id o s de los signos m is o menos según que presenten un m inio u par o impar de inversiones. F.l prndut to form ado con los elementos »l« la diagonal principal no tiene inversiones \ está precedido por el humo más, llam ándosele /é m u ñ o principal.

I I I I I I |

i

NO TA S

I. Drbr o lu rtu n .' ijno el »ikih» «|ur ptrcclc u un término, debido a na núI imito ili Invcraionea, r» indepcndii'iilr del «¡«no drl término debido a aut íurtorr*. P 5*1, por ejemplo, ■> un término condene un mimen» par de invrnionri y mi»

354

Determinantes

lo» dctrrmm.intri de órdenrt 2 y 3, dada» por la relación (1 ) del Art. 13.3 y la relación (2 ) del Art. 15.4, re»|ie«:tivamente, están de acuerdo con la definición general, para un determinante de cualquier orden, que *e acaba de enunciar.

Primeramente estableceremos los dos teorema» siguientes fundaménta­ le* «obre inversiones Teorema 1. S i dos subíndices cualesquiera se intercam bian en cual­ qu ier térm ino d el desarrollo d e un determ inante, el número d e inoeráanet cam bia en un núm ero impar y, p or tanto, e l signo d el térm ino cam bia DF.MOCTItACiON. Primeramente consideremos el intercambio de dos subíndice* sucesivo». Rn este raso el número de inversiones o aumenta en 1 o disminuye en 1 , ln cual es un cambio en un número impar de inversiones. Por tamo, si el número original de inversiones es par (un termino precedido de signo positivo), el intercambio produce un número impar de inversiones, o *ea un término precedido del signo negativo, lo que significa que ocurre un cambio de signo. Análogamente, sí el número original de inversiones rs impai (un término prpeccdido de signo nega­ tivo), el intercambio ptoduce un número par de inversiones o sea un término precedido de signo positivo, lo que de nuevo constituye un cam­ bio de signo. Consideremos ahora el intercambio de do* subíndices no sucesivos separados por h números. Para llevar el primer subíndice a la posición del segundo se requieren k + 1 Intercambios di* números sucesivos, y .» esto deben seguir otros l intercambios de subíndices sucesivos pata llevar el segundo subíndice a la posición que tenía originalmente el primero, o sea un total de 2h + 1 intercambios, que es un mimen) impar. Pero según ya se dijo, cada intercambio de subíndices sucesivos cambia el número de inversiones en 1 ó — I y produce un cambio de signo. Poi tanto, 2k + 1 intercambios cambian el número de inversiones en un nú­ mero impar, con lo que el signo del término cambia. Veamos ahora algunas de las piopiedades de un determinante de un orden n cualquiera. Por medio de las n letras a, b, ¡ , , . . lo es*«i himos en la forma C,

bt

...

/,

rz*

b,

ú

...

/;

a.

b.

Cm

...

U

en donde la letra denota la columna y el Mibindiec la fila rn que se en­ cuentra cada elemento.

Determinantes de cualquier orden

355

El término principal rn rl desarrollo de A . es el producto a: 6-ca . . . lm. IV ¿cuerdo con b definición de Aa, todos los términos del desarrollo p< rdrn obtenerse a partir del termino principal permutando k » n sub­ índice» l, 2, 3 , . . . ,n . Esto puede hacerse en n*. formas diferentes; por l.i iio, en el desarrollo hay n! términos diferentes. Para n 2. >t! es un número par. Consideremos altura tíos subíndices cualesquiera. Entre las ;t! per­ mutaciones diferente» «Ir los subíndices, el primer subíndice precede al «rrundo tantas veces como el segundo precede al primero. Pero por el Teorema 1 , el intercambio de dos subíndices cambia el signo del térmi­ no Pal consecuencia, la mitad de los »;! términos están precedidos del llano positivo y la otra mitad del signo negativo. Resumimos estos resul­ tado» rn el teorema siguiente: Teorema 2. AY drsar rollo /Ir un determ inante d i orden n consta de Hl térm inos diferen tes; la m itad d e ellos están precedidos del signo posi10 o y la otra m itad d el signo negativo. La» propiedades de un determinante, estudiadas para determinantes l o oí den 2 , se establecerán ahora como teoremas para determinantes de liuil<|uier orden. El estudiante encontrará que para fijar sus ideas es muy nni seguir cada paso de lin» demostraciones aplicándolas a As. o sea, al Brtrim inante general de orden 3. | Teorema 3. Si lar filas y las columnas correspondientes de un deirrpunaa/e se intercam bian, el valor d el determ inante no se altera. i f.scosntACioN. Sea A. d determinante dado (2 ) de orden n. Al ■liricam biar las filas con las columnas comc*j»ondicmes obtenemos el •ti terminante «j

...

a

bx b-

...

b

Ci

...

*

ls

...

/

0i

A/ =

h

!••< •« léimino principal a,b¿c3 . . . /* es el mismo que el termino principal mp A. Kn A ,', las literales denotan las filas y lo\ suhíndircs las columnas. I|i • In inverso de lo que sucede en A,. Por tanto, conservando los «ubIn-liir» de nxb ic3í. . . l H en el orden normal y permutando las n literales mi formas diferentes, obtenemos todos los términos del desarrollo de An. Ad u»A», los términos idénticos tm ambo» determinantes llevan Ir»* mis-

Determinantes

356

mos signos, considerando inversiones en las literales y no en los subíndices de A/. Luego A/ = A., como se quería demostrar. Como una consecuencia inmediata de este teorema tenemos el im­ portante corolario ¿guíente: Corolario. C ualquier teorem a de determ inantes qu e sea cálido para sus filas es tam bién válido para sus columnas. n o ta

3.

Al operar r o n

d e te r m in a n te s se o b s e r v a r á u n p a tr ó n d e fin id o d e ¿ i c c -

t r ia e n tre fila * y c o lu m n a » .

Teorema 4. S i tod os los elem entos d e una ¡ila ( o colu m n a) son cero, el valor d el determ inante es cera. demostración '. Este teorema se deduce inmediatamente del desarro­ llo del determ inante, pues cada término en el desarrollo de A« debe con­ tener un factor que es un elemento de una fila de ceros. Por tanto, cada término es igual a cero y A* = 0.

Teorema 5. 5 i dos filas ( o colu m n ai) de un determ inante re inter­ cam bian, e l valor d el determ inante cam bia d e signo pero conserva su valor absoluto. dem ostración . El intercambio de dos filas produce el intercambio de dos subíndices en cada término del desarrollo del determinante, En­ tonces, por el Teorema 1, el signo de cada término cambia. Por tanto, el valor del determinante cambia de signo sin alterarse su valor absoluto.

Teorema li. S i los elem entos correspondientes de dos filas (o colum ­ nas) d e un determ inante son iguales, el valor del determ inante es cero, Sea A* un determinante con dos filas idénticas. Si estas dos filas se intercambian, A„ cambia su valor a A. por el Teore­ ma 5. Pero como el intercambio de dos filas idénticas no altera el deter­ minantes, entonces A„ A„ de donde 2A„ 0 y A„ 0. demostración .

Teorema 7. Si enda elem ento d e una fila (o colu m n a) d e un deter­ minante se m ultiplica por el mismo núm ero A, entonces ti nuevo deter­ minante tiene un valor igual a k veces e l del determ inante original, dcMostración . Representemos el determinante original por A„ y el determinante resultante por A„\ Ya que cada término del desarrollo d« un determinante contiene un elemento de cada fila, y solamente una, entonces cada término del desarrollo de A,,' es igual a k veres el término correspondiente de A„. Por tanto, A„' = AA„.

Corolario. .Vi lo d o s ¡os elem entos d e una fila (o colum na) tienen un factor com ún A, entonces A es un ¡actor d tl determ inante, Piste fnitor

Determinantes

357

d e c u a lq u ie r u rd en

común k p u n ir rli minar su de rada elem ento d e ¡a fila y co lo ca n « cam a

•iultifdicodar (u nlc al determ inante resultante. Teorema 8. Si cad a elem en to d e una ¡ila (o colum na) d e un deter­ minante es if>uai a la sum a d e dos cantidades, el determ inante puede esrnbirst com o la suma de das determ inantes, es decirt a/

bi

...

h

0,

bt

...

f.

01 " «/

b*

...

h

0i

K

...

fa

a* 1 «/

bn

...

hs;

a*

b„

...

U

01 -

0/ 0»

bi bt

... ...

f, fu

a»

b«

...

u\

+

iíkmostración . Representemos «*stos tres determinantes, en el orden i ii que aparecen, con A. A*. y A*1, respectivamente. Tenemos que demos* trm que

A « r A , + A/. Vamos a suponer que o In primera columna la que cada uno de sus rl im iini es la suma de dos cantidades. 1 .a demostración pora cualquier "Mu columna (o fila) se lleva a cabo exactamente en la misma forma. IV acuerdo con la definición de determinante el desarrollo de A pue•l tu ribirsc en la forma | A

(a. T a / ) A t + (az + e z \A- + . . . + (a , — o* )A»

i <= ( a xA l - a^A- + . . + c .A .) + (*\ A , + aSAt + . . . + On'Am) t p«t donde A t, A z, . . . , A r s o r . expresiones. que no contienen elementos de |« primera columna. P0T la misma definición de determinante y por el significado de .4,, i . . , A a, se tiene que A » = a¡A¡ + thAi — . . . 4- a*Am A / = a / A i -V a / A t + . . . + a m'Am, V

d *ndr A = A , + A/, como se quería demostrar.

I ocelario. S i ca d a elem en ta de ur.a fila ( o colum na! de ur. deterHfti^itti' es la suma d e tres ( a m ás) cantidades, el determ inante puede m p lib ’u r como ic rum a d e tres f o m ás; determ inantes. r A oontinuarirm damos un teorema que es muy útil en ei cálculo de

lÉ» I* «minantes. I cortina 9. Si cad a d em en to de una ¡ila f o colum na) d e un delcrpiH Hit» ir m ultiplica por e l mism o núm ero k y el resultado se suma a! ’nto correspondiente d e otra fila ( a colu m n a), e l valor del determ iM iM no se altera.

358

D e t e r m in a n t e *

dem ostración . Por conveniencia consideraremos una columna par­ ticular para la demostración del teorema. La demostración para cualquier otra columna (o fila) es exactamente la misma. Por tanto, demostrare­ mos que «i 4- k b t b x c i . . . tx
—

+ kbm b*

r*

...

0n bn

ln

Cn

...

u

Por el Teorema B b,

... ...

«, /. /, — «,

a m4- k b m b .

...

U

a t 4- h bt az 4- k b z

bx

... ...

/, /,

kbu bn . . .

U

b,

... ...

kbt /, /, 4- k b t

am bm

...

/, /.I

b,

bt bs

Por el Corolario del Teorema 7 «i

b,

...

o<

bt

...

a«

b.

.

U

...

lx

...

u

...

ln

Por el Teorema 6

«1 bx a 2 b,

<*n

K

4

+ Jt

b x ól b: b~.

...

/,

...

/,

bn

...

/.

bn

Ahora estableceremos un importante teorema que fue enunciado sin demostración en el Art. 15.4 y que se usó entonces para el cálculo de determinantes. Antes de estudiar la demostración de este teorema, con viene reposar las definiciones de m enor y cofaclor y también la compro­ bación de este teorema para A*, como aparece en el Art, 15.4. Teorema 10. E l valor de cualquier determ inante de orden n a igual a la ruma de n productor, cada uno d e los cuales se forma mufttpli. ando ca d a elem en to de una fila ( o colum na) p o r su correspondiente cofaclor i» .m

o s t r a c ió n

.

Estableceremos el teorema considerando rl desarro­

llo del determinante

A,

at

bx

Cl

...

lx

o¡

b,

**

...

/»


Cn

...

ln

Determinante* de cualquier orden

y>9

ron respecto a los elementos de la primera fila. I-a demostrar ion r% la misma para cualquier otra fila (o columna i. Vamm a demostrar que (3)

A , » a tA t + b .B x

c,Cx + . . .

rn tlondr At, B t, C , , . . . , L son los cofartore* respectivo» de los elemrntm a ,, b u ............ 1 .a demostración ronsta dr dos partes m las que se drtnuesira: (I'* que le» términos del desarrollo Í3 } incluyen todos los ni productos da­ dos m la definición A* y (2 ) que cada uno de estos productos tiene el Mimo ndmiado. ( ! ) R1 Cofaetor A, es un determinóme de orden n — 1 y los términos de su desarrollo constan de ( n — 1 )! productos, ninguno de los fualrs «ontiene elementos de la primera fila o de la primera rnlumna. Por tanto n 1 consta de ( n 1)1 productos, cada uno de los cuales contiene un i a, no cambia el número de inversiones. También conviene observar que para a ,. o sea el elemento rn la primera fila y en la primera columna. 11 Mima de los números de orden de la fila y la columna es 1 + 1 = 2, o •** i un número par. En general consideremos el rlrinrnto de A . que está en la fila de luden i y en b columna de orden Rstr fírm enlo puede llevarse hasta U poficiAn ocupada pea el elemento u, por medio ilr i — 1 intercambios ui ia ivos de filas sucesivas y ) I intercambios de columnas sucesivas. mu un total de í + j — 2 intercambios sucesivos. Por el Teorema 1. nrin intercambio cambia rl signo del término. Poi tanto, si i — j — 2 ¡W par, entonces i + j también e* par y el término queda precedido del •iipm más; si i + ; — 2 es impar, enlomes i I ; también es impar, y el • mi ¡no (júrela precedido rirl signo menos. (Corolario. S i en el desarrolla ríe un determ ín en le ron respecto a ios t i mentos d e una fila (a t alu m n o), se sustituyen lar elem entos d e esta

Determinantes

360

fi l a ( o c o lu m n a ) p o r lo s ele n im ia s c o r r e s p o n d ie n te s a c u a lq u ie r o tr a fila ( o c o l u m n a ) , e l v a la r d e la ex p resió n resu lta n te e s c e r o .

Esto se deduce del hecho de que la expresión resultante es entonces el desarrollo de un determinante con dos filas idénticas (o columnas y, por tanto', por el Teorema 6, el igual a cero. Asi, por ejemplo, en el desarrollo de dado por ( 3 ) , si sustituimos los elementos de la primera fila |>or loe elementos de la segunda, tenemos ti»
b zfíi 4 C»C i í . . . 1 U L

a ,A i

b.

Ci

...

Ci

...

h

Cm

. . .

í.

= 0.

S O T A 4. En relación ion la drmnotrarióff del pato •0* - 1 del Teorema 10 con viene rcírriroe al ejercicio 16 drl grupo 55, Art. I 3.4

Con las demostraciones dr los Teoremas 9 y 10 queda justificado el método para calcular cualquier determinante. dado en el Art. 15.4.

E JE R C IC IO S. G R U P O M . 1. Demostrar «pie r| drum illo de un ilrterminame de orden 2, dado por la rrlatifin (1 ) drl Art. 1 5 3 , concuerda con la definición «me ral dpi Art 15.5 pura mi determinante de cualquier orden. 2. Drm<Mtrnr que el desarrollo de un determinante de orden 3, (lado por la relación (2) drl Art. 15.4, concuerda con la definición general del Art 15.5, para un determinante de cualquirr orden. 3. Comprobar el Teorema 2 (Art. 15.5) para determinante! de orden ’J y 3 , 4. Demostrar H Corolario drl Teorema 7 (Art. 15.5). 5. Demostrar el Corolario del Teorema 8 (Art. 13.Vi. I». Si loa elementos correspondiente» de dos filas ( o columnas) de un de­ terminante ion proporcionales, el valor del determinante r» cero. 7. Demostrar el Teorema 4 por medio de los Teoremas 8 y <• (Art. 13.5). 8. Demostrar que

at 0

0

0

«í

0

0

1«a

t» 0

\*. En cada uno de kr» ejercicios 9-17, calcular d determinante dado.

5 10 1 9. i i S 7 4

3

3 2 10. 2 i 7 6 4 8 4

1 * 7 11. X 1 1 y 4 i

Determinantes de cualquier orden

361

1

0

0

0

2

2

0

0

2

5

9

i

0

3

7

6

2

4

4 4

5

2

0

2

1

1

4

3

6

2

1

2

1

i

3

2

1

«

2

5

4

4

0

7

6

9

6

13.

•

2

3

1

3

I

i

2

7

l

3

1

3

i

10

4

13

3

3

í

■1

1

1

4

3

2

31

fi

9

2

7

2

3

0

2

1

í |

fi

14

2

II

2

4

2

0

6 ¡,

3

3

2

3

1

7

1

5

9

15.

2 .

:»

17.

1

«

2 3 4 1 0 9 2 3 f 6 En rada uno «I»* lo» rjertício* 18 y 19, comprobar la relación dada, nin efeclitar rl desarrollo dr lo» determinantes. 3

2

9

3

3 2

4

3

3 2

5 3

9

3

7 3

9 3

5

5

9 3

2

5

7

1 3

1 2

2

7

1 3

2

1

5 0 3

1

5 0 2

6

2

7

1

5 0

T 1

T

3 5

3

10

1 2

l

4

7 3

13

3

12 +

3 1 i

i

3

10

1 2

1

1 3 7

11

3 3 1

- 0.

D enostrar que x 4 y ♦ * r% un factor del drlrxniirumlr

I *

I

*

y

y « * I

¿I. En geometría analítica »r demuestra que la ernatión de una circunícrcn•li que pata por tres punto» dado» que no r»lán en linea recta: P(jr1, y , ) l ,ya), y ?{**> y i ) , puede escribirse rn la forma

»a + y«

*

y

V

» y,*

V|

V

» y»8 *«

»s

V

f y.*

*»

y%

0.

Determinantes

362

Comprobar que las coordenadas de rada tino de los punios P ..P t , y P¡¡ satisfa­ cen esta ecuación. 22. Por medio del ejercicio 2 i, hallar la ecuación de I3 circunferencia que pasa por los tres puntos ( 0 ,0 ) , ( 3 , 6 ) , ( 7 ,0 ) . 23. Por medio del ejercicio 21, hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos (2, — 2 ). { — 1 ,4 ) , ( 4 ,6 ) . 24. Por medie» del ejercicio 21, demostrar que los cuatro puntos ( -1 , I), ( 2 ,8 ) , ( 5 ,7 ) , ( 7 ,3 ) están en una circunferencia. En un caso como este se dice que los puntos son rcnríclicos. 25. En geometría analítica del espacio se demuestra que la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no están en línea recta: P t {x v yj , ^ } , P s [xi . y.¡t c ,) , y / % ( . * ; , , * . ) , puede rscrihirse en la forma

1

X

y

x l

>«

1

*2

y3 *2

1

*a

y9

*3

1

z

Comprobar que las coordenadas de cada uno de los puntos P u P2 y Pa satisfacen esta ecuación. 26. Por medio del ejercicio 25 hallar la ecuación del plano que para por loa tres pumos ( 6 , 2 , 0 ) , ( 4 ,— 1 ,2 ) y (3. 4 . — 1). 27. Si ninguna tercia de los cuatro puntos * 3)» * 9)1 (*»• >V¿*) es colincal, demostrar, por medio drl ejercicio 25, que si estos puntos son coplanares entonces

*,

X.

*1 i

*2

y2

1

*3 y.-,

1

*.

1 1

y*

— 0.

28. Por medio del ejercicio 27, demostrar que los cuatro puntos ( 1 . 0 , — 4 ), ( 2 , — 1 ,3 ) , (— 2 , 3 , 5 ) y (— 1 ,2 ,4 ) son coplanares. 29 En geometría analítica del espacia se demuestra que el volunten V de un te tr a e d r o , cuyos vértices son P t (x r y,. ) . P 3( * 2, yv *2) , P3( * a. ya. O y la fórmula

V --

>1

*.

1

Jf2 y3

z.,

1

*a

*

6 *4

ya y«

»

del determinante como resultado para calcular el volumen de un tetraedro cuyos vértices son (— 4 ,6 , 3 ) , ( 8 , - 3 , 5 ) , ( 4 , 0 , — 1) y ( 5 . 3 , 9 ) . 30. Demostrar que si los elementos de un drterminantr A son |N>!¡noniio* rn x . y que si A — 0 cuando x ■» r, entonces x — r es un factor del desarrollo de A

Sistemas de ecuaciones lineales

363

En cada uno de los ejercicio# 31-33, (¡retomar el determinante dado.

31.

I

a

a*

l

b

b- .

1

c c»

34. Demostrar que

32.

a

a1

1

b

b*

1

c

c»

1

X

A* — y*

I

y

y2 — xz

1

x

z2 — xy

•

33.

1

a

a3 a 3

1

b

b2

b'

1

c

c2

c*

I

H

d»

ds

- 0.

xy

xz

xy

r2 4

yz

xz

yz

>3 4 **

35. Demostrar que

1

*

- 4**y»

-> *

15.a S IS T E M A S D E EC U A CIO N ES L IN EA LES Al llegar a este punto será conveniente que el estudiante vuelva a leer el Art. 4.7 en el que se estudió la resolución de los sistemas de dos o más ecuaciones lineales ron el mismo número de incógnitas que de ecuaciones, sin usar los determinantes. En este articulo estudiaremos la resolución y algunas propiedades de diversos sistemas de ecuaciones linea­ les utilizando determinantes. Empezaremos con el caso general de la regla de Cramcr, que aplicamos previamente a los sistemas de dos y tres re naciones en los Artículos 15.3 y L5.4, respectivamente. Consideremos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales en ?i in­ cógnitas: a¡x 4- b.y + C\t 4* . . . 4- l tw = A: , O)

a -x — b3y

c¡z + . . . — IjW = A.,

a Hx — be.y 4- cnz 4- . . . 4 l%w = A*. Para poder formar los determinantes que se precisan, se requiere es«ribir las ecuaciones del sistema como se indica en ( 1 ) , es decir, con los términos que contienen una misma incógnita en cada columna y los láminos independientes en los segundos miembros. Cuando esto sucede dice que las ecuaciones están ordenadas. Si en alguna de las ecuacio­ nes no aparece alguna de las incógnitas se deja en blanco la posición correspondiente, lo que significa que el coeficiente que corresponde es cero.

Dcccmumintc*

HA

El determinante cuyos dementas son los coeficientes de las incógnitas rn ( I ) se llama drtft minan l> fifi riUtma y se representa jkji A, <** decil

( 2)

«,

ht

...

/,

di'

hf¡

...

/a

fía

h«

...

/„

Para detenninar el valor «le ur.» incógnita en ( l ) , deísmos eliminar todas Iris demás. listo puede hacerse en fot tila muy sencilla por medio de los cofactores. Sean A , A t r, . . , An> los fespnctivo» cofactores de «3.........«„, que son los elementos de la primera columna de A. Multipilcando ambos miembros «le cada una de las ecuaciones del sistema ( l ) |Mir Ay, A - , . . . , Ah, rrsjíectivamente, obtenemos

(

a%A\X ■ b¡A ty I■ c tA ¿ a-AjX I- b jA ty I c¿Aa:

3)

. . . I i yA xw = k xA , . . . I i,A tU) = k : A3,

n„Anx l- l>ltAHy I ct Anc +

, + l*Anu>

Sumando miembro a miembro las rniarlones del sistema ( 3 ) , resulta (4 )

[ a tA y 4* «3/4 I . . .

f- ar.Au)x - ( b tAi 4* ¿MU - . . . I b nAn)y

El coeficiente de x en (4 ) es el desarrollo de A con respecto a los elementos de la primera columna (Teorema 10. ArU 1 5 .5 1. El coeficien­ te de y es el coeficiente de x con los elementos de la primera columna sustituidos por los elementos correspondientes de la segunda columna Por tanto, por el corolario del Teorema 10. Art. 15.5, el coeficiente de y es igual a cero. Análogamente. los coeficientes de las incógnitas restan­ tes e , . . . , a 1 dc ( 4 ; , >on iguales a cero. El segundo miembro de (4} es ei desarrollo de A con los elementos de su primera columna sustituidos por los correspondientes términos independientes del sistema ( l i. Desig­ naremos a este último desarrollo por A,, es decir, * .

b t

. . .

i,

k:

bt

. . .

is

km

b«

. . .

U

La ecuación (4 ) puede escribirse como

de donde

x —— A

Sistem as de ecuaciones lin e a le s

365

Análogamente, es posible despejar las incógnitas réstame*. Por ejem­ plo, sean B i, los oofactores respectivos de blf ¿ r ,. . . , bm, que son los elementos de la segunda columna de A. Si multiplicamos ambos miembros de cada uno de las ecuaciones del sistema {1 ) por B-_, B~......... 5 , respectivamente y sumamos miembro a miembro las ecuaciones resoltantes y luego aplicamos el Teorema 10, Art. 15.5 y su corolario, obtenemos Ay = A-, en donde A, es el determinante obtenido de A sustituyendo los elementos de su segunda columna por los correspondientes términos independientes del sistema ( 1 ) . Ai Por tanto, con la condición A =jfc 0. > = Á ’ A» A, Análogamente, . . U) — — , A 0. ~" A ’ A Procediendo a la inversa, es jxxsiblc demostrar, por sustitución directa, que esta solución satisface a todas las ecuaciones del sistema (1 ). Enunciamos estos resultados rn el teorema siguiente: Teorema 11. 'R eg la de C ram er). D ado un sistem a dt n ecuaciones Hundes con n incógnitas a |X I biy I cjx 1 . . . f- l xw — A-., I

a Hx -r b„y + cHc + . . . + l»u = k nt

¿I A ns el determ inante d el sistema y Ai, i 1, 2 , . . . , ut son (os determ iminies obU nidos d e A a! sustituir los elem en tos dt. su colum na de orden i finí los correspondientes términos independientes del sistema, n A / U. ft ridem a tiene la solución única A,

Ag

Ah

Kjdiiplo I. Utilizando lu regla «Ir Cramer resolver el sistema 3 * + 2y + 2*

y 4- 2¿

4# *f 2y I

g — 2u. = 4, 5w

15,

— W.■» lt — 2-c — 4u. = i.

aot.t (.ion . El primer puso consiste en comprobar «pie el sistema dado ist.i ordenado,

Determinantes

*S$$

El siguiente paso corresponde al cálculo d d determinante del sistema. En este caso tenemos ■ ¿ I = —65.

A=

Va que A ?= 0, el sistema dado tiene una solución única, la cual, por la regla de Cramcr, es 4

■ 1

15 1

2

0

1

1

0 2 —65

4

3

4

1

2

2

15

2

5

4

i

3

1 2 -6 5

A; A

Aj

A»

A

= = « = •■

U I 4

no ^65

3

2

4

i

2

í

15

5

4

2

1

i

3

0

1 4 65

A

A»

— 65

3

2

1

4

2

í

2

15

4

2

0

1

3

0

2 -6 5

1

= -2 ,

— 195

3,

-6 5 "

65 — 65

= — 1.

Fácilmente se comprueba «juc esta solución salid u o a las ecuaciones del sistema dado. De la regla de Cramcr resulta evidente que »i A una solución únit a (5)

.« =

Ai A. A

A, , , •, •, • « i , y . - - - ,»•

A„

b

- ,

0, no puede existir

Sistema» de ecuaciones línc.ile»

.Vi7

pues la división entre cero es una operación imposible. Además, si escri­ bimos la solución (3) en la forma A.t = A|, Ay = A j , . . . ,

Ate; = A„,

m-

concluye que si A = 0, entonces At - 0, i 1 , 2 ........ n. Por tanto, es Mificiente que uno de los determinantes A< sea diferente de cero, para que *• llegue n una contradicción y el sistema no tiene solución; en este caso se «lite que el sistema es incom patible. Sin embargo, si todos los determinantes A,, A¡,,. , A„ son igunles a cero, puede demostrarse que puede existir un número infinito de soluciones; en este caso «1 sistema se llama dependiente. Y a liemos discutido anteiiorniente loa mstcinas ineompatibles y dcpendlrntin para dos ecuíuioncs con dos incógnitas (A r­ ticulo -1,7). Pito el análisis rompíalo del sistema general de u ecuaciones lineales con n incógnitas para el «aso en que A II. está fuera del campo •l« tste libro. Sin embargo, como referencia, enunciaremos las siguientes propiedades: D ado un sistema d e n ecuaciones lineales con n incógnitas, si A vs el determ inante d el sistema y Ai, i 1 . 2 . . . . , n, es el determ inante obte­ nido d e A al sustituir los elem entos d e la colum na de orden i por los co­ tí, , (aludientes térm inos independientes que aparecen nn el lado derecho dt I sistema: 1. Si A t¿=0. e l sistem a tiene una solución única d ad a por la regla de Cram cr. En este caso se dice qu e e l sistema es com patible. 2- S i A = 0 y A< 0 por lo m enos para una i, el sistema no tiene tolución y se llam a incom patible. 3. S i A = 0 y A< = 0 para io d o s los valores d e i, entonces hay dos Éoribilidades: o el sistem a no tiene solución y es incom patible, o bien tin te un núm ero in'inito de soluciones y es dependiente. Si m «el sistema lineal (1 • por lo menos uno de los términos indepenntes es diferente de cero, se dice que el sistema no es hom ogéneo. Pero nxlra los términos independientes ( las fc) son iguales a cero, entonces I sistema se llama h om ogén eo y toma la fonna a .x + b¡y — — 4- f,u. = 0, a^x — bsy

Ijc = 0 .

a mx — bmy — . . . + /»u - 0. Kc.willa claro que el sistema (6* se satisface si todas las incógnitas «•mi «d valor cero, independientemente de que el determinante A del aea cero o no. Y a que un sistema liomogéneo siempre tiene nr.n V uóii formada poi retos, esta solución recibe el nombre de solución ftrfW Si A / 0, el sistema homogéneo tiene como única solución la solu­

368

Determ inantes

ción trivial. como consecuencia de la regla de Cramer. Por tanto, para que un sistema homogéneo tenga otras soluciones, además de ia solución tm ial, resulta que A no puede ser diferente de cero. De hecho, en tra­ tados superiores se demuestra el teorema siguiente: Teorema 12. Un sistem a lineal h om og én eo de n ecuaciones con n incógnitas tiene. solucione* diferentes de la solución Iritial solam ente si el determ inante d el sistem a es igual a cero. Ejemplo 2. Resolver el sistema homogéneo 2x - 3y — z = 0,

x—y—Sz = 0, x - 3y - c = 0. so lu c ió n . Se encuentra fácilmente que el determinante del sistema es igual a cero y, en consecuencia, existen soluciones diferentes de la solución trivial. Para obtener tales soluciones procedemos como sigueSi es posible, intentamos resolver dos de las ecuaciones pitra dos de las incógnitas en función de la tercera incógnita. Así. por ejemplo, escri­ bimos las primeras dos ecuaciones en la forma

2 * - 3y = 2, x — y = 3z, y encontramos que podemos despejar x y y en función de z, pues el de­ terminante de este sistema es 2

3

1

1

= —5 ^ 0 .

Así obtenemos x = z, Esto» valores de x y y satisfacen idénticamente a la tercera ecuación pues 2: 3r H- : — U para todo valor de z. Por tanto, podemos obtener tantas soluciones como queramos asig­ nando a z valores arbitrarios y calculando los salóte» correspondientes de x y y. Por ejemplo: Para z = 1, x ~ 2z = 2 y y = —» =* — I. Para c = 2, x - 4- y y -------2, etc. Evidentemente, todas las soluciones no nula» para x, y, zt están en la razón 2: 1:1. Ejemplo 3. Resolver el sistema homogéneo x - y 4* 2z

2.v

2y - 4s

3*

- 3y i 6c

ü,

Oí ü.

S is te m a s d e e c u a c io n e s lin e a le s

s o l u c ió n .

369

El determinante del siítema dadoes cero. Si intentamos

aquí la obtención de soluciones no triviales como se hizo en el ejemplo anterior, encontramos la dificultad consistente en que los menores de todos los elementos del dctci minante del sistema son también iguales n erro. Sin embargo, observamos que las tres ecuaciones son equivalentes, pues la segunda y la tercera pueden obtenerse multiplicando la primera por 2 y por 3, respectivamente. I’or tatito, si despejamos x de la primera ecuación rn términos de y y de c, se tiene .v =

y — 2 c,

podiendo utilizarse esta fórmula para obtener valores de x correspondien­ te', a valores arbitrarios ele y y de í. Así, por ejemplo: Para Para

y y

1 y x = 1, 2 y t — l,

x x

1. 0, etc.

Hasta ahora, los sistemas lineales estudiadas han consistido de igual número de ecuaciones que de incógnitas. Si el número de ecuaciones difiere del número de Incógnitas, el problema se vuelve más complicado y el análisis completo requiere estudios superiores. Sin embargo, existen . o os casos que pueden estudiarse con los conocimientos adquiridos. Primeramente consideraremos un sistema en que el número de ecuá­ nimes sea menor que el número de incógnitas; ta!es sistemas *r llaman tfrftctu o io i. En general, un sistema defectuoso posee un número infinito de soluciones. El ejemplo más sencillo de tales sistemas lo constituye una •ola ecuación con dos incógnitas. Por ejemplo, x — 2y = 6 tiene un núiii-'TO infinito de soluciones que pueden obtenerse asignando valores arbit' -uios a una de las dos incógnitas y calculando el valor correspondiente a l.i otra. En general, en un sistema defectuoso de n ecuaciones con n; incóg­ nitas. en donde n < m, es posible despejar n de estas incógnitas en tér•i. ni» de las rr. — n restantes. Al asignar valores arbitrarios a cst3s m — n •"•sógnitas, obtenemos los valores correspondientes ¿e las n incógnitas. Ejemplo 4. Obtener soluciones del sistema defectuoso

x — 2 y + z = l, x + y r4:= l. mji. uoon.

Aquí es posible despejar x y y en función de a.

Asi obtenemos x =

1 — 3z,

> = — c.

Asignando valores arbitrarios a r, |K>dnnos obtener los valores corres-

Determinantes

370

pondicntes de x y y, obteniéndose así tantas soluciones como queramos. Por ejemplo, para

£ = 0, x = 1, y = 0, z = 1, x = — 2, y = — 1, etc.

Consideremos ahora un sistema en el que el número de ecuaciones sea mayor que el número de incógnitas: un sistema de este tipo recibe el nombre de redundante. Supongamos que tenemos un sistema de n ecuaciones con m incógni­ tas, en donde « > m . Puede ser posible resolver m de estas ecuaciones para las m incógnitas. Si esta solución satisface a lod os las n — m ecua­ ciones restantes, entonces el sistema dado es compatible, en caso contra­ rio es incompatible. Un sistema redudantc de interés especial es aquel en el que el número de ecuaciones es una unidad mayor que el número de incógnitas. Veamos, por ejemplo, el siguiente sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas. fli* + biy = A,, a tx + b3y = A», ayx + b ,y = A,. Deseamos determinar bajo qué condiciones resulta compatible este sistema, es decir, cuándo existe una solución común. La solución de las dos primeras ecuaciones, por la regla de Craincr, es

A,

bx

I di

Ai

kj

b-t

1

As

*

A

A

y

bx

at

A=

¿0.

b«

»

Esta solución debe satisfacer la tercera ecuación, es decir, debere­ mos tener

a3

Ai

bx

As fli

b2

c2

b*

Ai + b,

a.

A,

fe

b.

As = 0.

Eliminando los denominadores, resulta

aj

A?

—

* ,

I

I
II

b*

A»

©

|A ,

ai

+ ó8

•

bx

-o

1 A» a3

¿ a'

Cambiando los signos de todos los términos, podemos escribir bx b,

k t ¡ — bt»a kt\

ai

Ai 1


A* i

1+A ,

a,

di

N=o. ba

Sistemas de ecuaciones lineales

371

Se observa que el primer miembro es el desarrollo del siguiente de­ terminante. con respecto a los elementos de la tercera fila {Teorema 10, 15.5): ¿i

<*t A, =

bt

4j

b3

*3

F*stc determinante A, se llama elim inante del sistema. Por tanto, una condición necesaria para que el sistema dado sea com­ patible es que *V — 0. Este resultado puede extenderse a n ecuaciones 'i 1 incógnitas, tal como expresa el teorema siguiente: Teorema 13. Una condición necesaria para qu e un sistema lineal no hom ogéneo y redundante de n ecuaciones con n — 1 incógnitas sea com ­ patible es que e l determ inante de orden n fo rm a d o con los coeficientes I )• los térm inos independientes sea igual a cero.' mota* El reciproco del teorema 13 no es ncresariamentc válido, es decir, la tundición no es suficiente. Por ejemplo, en el sistema

* + 2 y - 5, W

2* + \y -

9,

3x + 6r -

12.

*1 eliminante es cero, pero el sistema no es compatible. De hecho, ningún par de •••.i u r j ecuaciones forma un sistema compatible.

Ejemplo 5. Calcular el valor de k para el cual el siguiente sistema flundaiitc sea compatible, y hallar además la solución del sistema: 2x -f y + z = k, x - y - 2 z = -2 , 3 x — y + z = 2k,

x + 2y + z = 1. 1 « ion. Para que este sistema sea compatible debemos tener, por li Mirma 13,

i

2

1 1 4

1 1 2 2 3 1 2

-

1

i

2A

=

0.

1 1

l‘.l desarrollo de este determinante nos da para k el valor 3. SustituW "I m k jMir 3 en el sistema dado y resolviendo las primeras tres ccua-

372

D e te rm in a n te s

dones, encontramos x = i , y = — 1, z = 2. Fácilmente se encuentra que esta solución satisface también a la cuarta ecuación.

FJF.R C IC IO S. G RU PO 57 1. Comprobar los valores dados, ja r a todos los determinarte* del ejemplo I (A lt. 15.6) y comprobar también la solución. En cada uno de los ejercidos 2-9, resolver el sistema dade por la regla de Cramex y comprobar la solución por sustitución directa. x 4- 3y — r — 0, 3» — 4y + c — 2. 2x + 2> — r = 13. 2* 4- 2y — r - 2, x — 3y — 2c = 2, Sx + 4j - r = 7. 3x — 4y — 7c — 4, * + 2y — 5c = 8. 2x — 3> + 9c = 2. x 4- 5y 4- 4c = 1, 2s — 5y + ic - —3, x - 9> + 5c = 2. 7. r 4 2 y 4 t — 2te------ 2. 4x 4- 2> 4- 3c — ir — 3. 3x — y — x 4* h» = 3, 2» — 3y — tp — 2, 2x — y + 2s — 4tr = 1, 3x — 2> + c - 2a. = 0, 4x — 3y —•2r + x ** 3. x 4 ir — 5a = 1. 9. x - 4y — 3x 4- 2a — 3a - 2, 8. x -f 3y 4- 2x 4- » — 0 — 1, 2x — 5x — 3* 4- 2f = —2, 2x — 5y — z — n -f 2r = 5, 3x + 2> — 7c -r u = 6. x — 7y 4- z — 2i* — 1, x — 3y — 2a 4 3? — I, 3x — 3y + 2s + 4j* — i, 2x — 5y + i : — ? - 7, x 4* 4y — g — 2u ■» 5.

2. 3. 4. 5. 6.

En cada uno «I** los ejercicio» 10 y II, demostrar que el siitrrna dado no tirar lolución única. 10.

x y s ~ 7u» 4, '¿x 4 H> —2r • 10 1, 3x 7y — s — 5w *“ 11, x Sy - * w - 3 ,

11,

3x • y - - s 4 4iti - 5, x 4 > -I- 3c 4- .f)io - 8, x Sy lis 2. x 4 3> I- 3c 4 2w - 9.

12. Demostrar que m un sistema lineal hoinoKéneo de n ecuaciones con n iiKVignitAs tiene una solución x — <*u > •** ......... t» — a », entonces también lleno la solución x * Asa,, y A" ......... w en donde K «•# una ronilantr arbitraria. Rn cada uno do lo» ejercicio» 15 y 14, demostrar quo el sislemu dudo tin r Bolamente la solución trivial.

13.

x I Jy

4

2«

«• - 0,

2 x — y 4 4c 1 3ux - Ü. 3* 4 7y I 6 r 4 4to - 0, 2* I 3y 4 7r 4 5w •0

14. 2c I 4y « I Jw x I 6y 4 2e 5u,' 3 * ------- I r

4*

I

I r

0. 0, 0 .

2y I 3r I w - (I.

En cada uno de lo* ejercicios 15 y 16, demostrar que el sitlcma dado |»o»
15, 2 1 | 2y I 3r x— y 2c 3* 4 2y 4x 4 y 3c

ik

n> 0, I te - 0, t ■■2tü - 0, 2tt» — 0.

16.

* — 2y I 2c w - 0. 3* 4 2> 4 4c 4 2i» 0, x 3y I i 4 2
y I .* 4

w

- 0.

Sistemas de ecuac iones lineales

3?3

Fu enda uno do loe pjerdrio» 17 y Ifl, resolver parí x, y y t en términos dr w el sistema defectuoso dado y obtener varias soluciones. 17.

x + y + i + «1 - 3, * — 2y + Mr + 2 m -------4, 2« — 2«» - 0.

lfl,

2x + 3y — z 4- w - 2, * + y — i + 2w - 4, 3a — 2y — 4a + » — 6.

19. U 11 ampo de Ifl personas, hombrea, mujeres y jóvenes, gana en total $ ’.J30 l>ur hora I.os Itombres ganan $ 2 0 |H>r hora, las mujeres $ 15 por hora y 1 « jóvenes 510 por hora. Hallar el número de hombres, mujeres y jóvenes. bu enda uno dr lo» ejercicios 20 y 21, detrrmlnar si rl sistema redundante dudo rs compatible o inrumpntihlr Si es compatible, hallar ln solución.

í 20

2* x

2y -x 3, - y ■{ 3< — 0,

2a

21.

4y|3«~l. a

+ y + t ■ 4.

2* + y — x 7, X y ■X — o, a -4- 2y + / - n, 3 * — 2>— 2x — 3.

22. Comprobar todo» los detalle» del Ejemplo 3 del Att. 13,(i Kn rada uno de los ejercicios 23 y 24, calcular el valor de k para el cual el ti»" m i redundante dado r» compatible, y hallar l.i solución del sistema.

29. 2 a + y 4 3a - 3. a

y

2r-2A. 2 a - 4A.

* + 2y 1 * -1- y + s - 3,

24.

* + 3a + 2* — x—

y— 3 * -* , 3y -f a — 4, y 4 a * 4, y — 3 a — — k,

k » Por sustitución directa, demostrar que la solución obtenida por la reala ^ ( I r a m c r (Teorema 11) satisface la primera ecuación d d sistema ( I i del Ar‘ 156.

16 Logaritmos M il. IN TRO D U C C IO N En este capítulo considcmrrmn® algunas de las propiedades y usos de lu función logarítmica. Siendo i*str un texto de álgebra, el m i«liante po­ drí preguntar por que incluimos el estudio de una función no algebraica (Art. 3.fi). Existen varias razones para hacerlo. Como veremos, el nonrepto de logaritmo está relacionado ron la teoría de los exponentos (Alt 2.1 3 ). Además, los logaritmos son muy titiles para efectuar ab ro t acamente diversas operaciones numéricas qur tr presentan frecuente­ mente en la resolución de problemas algebraicos Finalmente, como un complánenlo, en rl siguiente capitulo rstudiarmin* varias aplicaciones rom retas de los logaritmos.

10,2. LAS FU N C IO N ES EX PO N E N C IA L Y IX H .A R IT M IC A En lo que llevamos dado, frecuentemente hemos manejado expro­ llones algebraica* con términos del tipo en donde x es una variable II imada hm r y ti p» una constante llamada expon tn te. .Si ahora intcrcamhiiiino.s la base y rl exponente, obtenemos una expresión de la forma bx, m i dríade la base b es constante y el exponente x es variable. Dicha exprr■An se llama una función exponencial. [ Rn el An. 2 13 vimos el significado de /»' para todo valor racional p * « Asi, por ejemplo, por las leyes dr Ico exponentes, 23 = 2 - 2 * 2 . í " » 1/2', y 2*'

V 2 \ Pero si x es irracional b * carece aún de signifi-

•silo l*oi ejemplo, 2 va no ha sido todavía definido. A continuación V'iin s • generalizar las leyes de los exponente* para dar un significado a V - liando x r* irracional, v. por tanto, pora que h* tenga significado !•••.i todo valor reaí de x. $75

L o g a r itm o s

376

Para fijar nuestras ¡deas, sea el exponente x igual *» V 2 , que es un número irracional aproximadamente igual a 1.41421 . . . En el Art. 10.5 rlr¡inimos a V i como el limite de Ja sucesión de números racionales \ 1.4 i . 4 i. 1 .4 1 4 ,.. . Pata cada uno de estos valores. b* torna un valor correspondiente. En tratados superiores se demuestra que « b > 0, en­ tonces la sucesión de valores dr b* tiende hacia un limite, y este limite se d efin t como el valor de b %r*. En general, ¿ a es cualquier número real ( 1)

lim

=

b > 0.

La relación (1 ) significa que un pequeño cambio en x causa solamen­ te un pequeño cambio en el vnlnr de b* : una función asi, se llama con­ tinua. La gráfica de la función expo­ Y nencial (2)

y=b\

b>0,

es una curva continua, como se mues­ tra en la figura 43. En esta gráfica b > 1. Más adelante veremos que exis­ ten dos valores particulares de la cons­ tante b que son de especial importancia, tiendo ambos mayores que la unidad. Fio. 43. I.a gráfica muestra las siguientes carac­ terísticas de la función exponencial óf cuando b > 1: (a ) Yn que la gráfica está siempre encima del eje X , b* es un nú­ mero positivo para todo valor real de x. (b) b* aumenta cuando x aumenta. Cuando x tiende a infinito, tam­ bién b • tiende a infinito, escribiéndose lím b ' ~ i-* # (c ) Para * < 0. b* < 1; para x = O,*1 = I ; para x > 0, fe* > 1. (d) Cuando x tiende a menor infinito (en la dirección negativa drl eje X ) b* tiende a cero, escribiéndose lim b * =j 0. *-*—en Además conviene conocer las dos propiedades siguientes, que »c de­ muestran con métodos de matemática superior: (1 ) Si x c* cualquier número real, racional o irracional, y b > 0. la fundón exponencial b* satisface todas las leyes de los exponentrs (Ar­ ticulo 2.13). (2 ) Si b > 0, a cada valor real de x le corresponde «lam ente un

Las funcione» exponencial y logarítmica

J77

valor c e y > 0 dado por la criación y = b*. En e« e rato se dirr c|ue b 1 rs una ¡vncwn ur.ilormr rlr x. Este hecho también está ilustrado cu la tft.íí-.ca de la figura 43. Rr. la relación ( 2 ) . en dnm> y está expresada directamente como una función de x, es posible iitili/ar nprrnciones algebraicas para obtener va­ lores de y para valores particulares racionales de b y de x, Asi, por ejem­ plo. para b = 2 y x = % ,y - h• 2' ' = V 2 * = V i . Si * es irracional y puede obtenerse aproximadamente, utilizando operaciones algebraicas ion valores racionales que tiendan luiría x, como ya se mencionó, A continuación conwdcrarrmi* el problema inverso de bailar x cuando /• y y están dados. Por ejemplo, vamos a estudiar el problema de hal.'ar x en la rrlación

5 = 2*. En este caso, podemos ver fácilmente que x está comprendido entre 2 y 5, pues 2? = 4 y 2S 8. Es evidente que. el valor de x debe obtenerse |h*i un proceso de aproximación. Para poder resolver un problema corno , hay que considerar la función inversa de la función exponencial (2) que se escribe en la forma O '1

x = lo,gfc y,

b > 0,

y le Ice "x es igual al logaritmo de y en la base b’\ Ya que la* dos igual­ dades (2* y (3 ) representan exactamente la misma relación, resulta que un ogaritmo es un rxponente. De aquí la siguiente definición: Definición. El logaritmo de un número en una ha«c dada es el expoa que se debe elevar la base pata obtener el número. Debido a la equivalencia de las igualdades (2 ) y ( 3 ) , la gráfica dr figura -n también representa a la función logarítmica definida por la baldad (3 ; cuando h > 1. Por tanto, en rada punto de la gráfica, el lm de y representa un número positivo y rl valor i orrespondiente de .v I " 'v n t a el logaritmo de esc número en la base b. En consecuencia, do rartK'triÍKticai de la función exponencial »e deducen las siguientes ipiedAdríi di- la función logarítmica: l Solamente tienen logaritmos reales lo» números positivos. Los di los números negativos no rxistm en rl sistema de los núme■«‘uli's; rn estudios superiores se demuestra que tales logaritmos son " i '1' complejos. Rl logaritmo de cero no citá definido. (b ) Cuando un número y aumenta, su logaritmo jr también aumenta liando y tiende a infinito, también x tiende a infinito, por lo que se ■•iilr rvribir lím logo y =i » . "

f-* x¡

378

L o g a ritm o s

(c) Para y < 1, log» y < 0 ; para > = 1. log* y = 0 ; para > > L V > 0. (d ) Guando y tiende a cero, su logaritmo tiende hacia menos infi­ nito, escribiéndose iím logs y = — oo. >-o Por métodos de la matemática superior puede demostrarse que ¿ b > 0, la función logarítmica log«y es uniforme y continua para todos los valores positivos de y. Esto también se muestra en la gráiiea de la fi­ gura 43. Debido a que en una relación funcional hay la costumbre de repre­ sentar con x a la variable independiente y con y a la variable dependien­ te n función, es usual intercambiar la x Y y y en la relación (3 ) y escribir la fun­ ción Ioearítmira en la forma (41

y = logt x ,

b > 0.

en donde x representa ahora a los nú­ meros. y y a ¡os logaritmos co crespóndientes. La gráfica de la ecuación (4'i está indicada en la figura 44, que es la representación usual de la función loga­ rítmica, Conviene notar que las gráficas de las figuras 43 y 44 son identi­ ficas en forma, y difieren solamente en sus posiciones relativas a los eje* de coordenadas. nota Tróriramcnrr ruulqtiirr núinrro real, ron rxrepelóu d r 0 y I, purdr ii»nr*r como ba*e 3 de un «¡«tema de losaritmo». En cierto, ronsidrrrmo* la rela­ ción y -• b* y mi foimn equivalente x — fog» y para 3 - 0 , para 3 I. rtr. Si 3 — 0, y b" ■■ 0 para todo valor «le x ron excepción dr 0, en cuyo caso y no está definido. A drm ii, «13 I, y b' I para lodo valor dr x. Por t.inlo, ni ti ni I pueden «rrvir romo bww dr un «¡urina dr lonarltmot. S: b e« negativo, y — b* purdr «rr neipuiva o c « » m p ) e ] a para ricrloi valorr» dr x. La dimisión dr r«te ru»o ratá íurra drl rain|Mi de r»le libro.

Si b está entre 0 y 1, y b ' decrece ruando x aumenta. Mientras que en los sistema» de logaritmos en uso, se rsrogr la función y ' b* de modo que aumente cuando x aumenta. Por sencillez y pam todos los usos prácticos, tomaremos pura base de un sistema de logaritmos un número positivo mayor que l.i unidad. Ejemplo. En cada una de las siguientes relaciones, hallar el valor de la letra especificada: (a) Si ,r - log;,fl, hallar x.

Las funcione» exponencial y logarítmica

379

(b) Si log» YXVí \. hallar !>. (c ) Si Iog# y *= — 2, hallar y. •

BOMJcnON. En cada cato transformamos lu relación dada n su forma

exponencial rtpiivakmte. (a ) D r x — log, 8, tenemos la relación exponencial 2r - 8, dr don­ de x = 3. (h ) De log» VI0 4, tenemos la relación exponenc ial b* dr donde b = %. (c) De log» y 2, tenemos la relación exponencial 3"* y, de donde y = %. I JKRC1CIO S. G R U I*0 3R F.n inda uno de lo* ejercicio» l-B pasar ln relación dada a In forma logarítmica.

1 . 2 * — 16.

i. 3 ' - l i

3. ( J - V * - I .

4. .V -

3. *• - x.

6. 1* -

b\

V 8/

4

En cada uno dr lo* rjerclrloi 7-12 pasar la relación dada a la forma expo­ nencial. 7. 10.

log,0 100 - 2. k>g>a = c.

8. loga 8 l - 4. I I . k * a 4 = ?i.

9. lo g ^ O .l------- 1 12.

Cu cada uno dr U« ejercicios 13-16 biliar el logaritmo que se pule. 13. 17. 19. ¿\ 22 .'I Fai

logl# IODO. 14. lo«: c O(IOI. 15. log, 625. 16. log, . 3.098. & logjO.Ol — — 2, halbr 6. 18. Si log. .V - 0. hallar .V. Si k>g, 8 — x, hallar jr. 20. Si logj 9 — — 2. hallar b. Si log4 A’ — 3, hallar iV. Demostrar que log^ 1 = 0 » que log¿ 6 = 1 . D n to tín r qor log¿. ó* « r jr que = x. rada uno de los ejercicios 24-26. escribir la función inversa de la dada.

24. y - 3 - .

25. > -

1 0 *5.

25

y - log,c i .

Demostrar que b función exponencial y — 6* tiene la prop>cad de que • representa una sucesión de tabre» en progresión aritmética. valores ro. _ I . dientes de jr están en progresión ero metrie a. 28 Trazar la gráfica de ¡a función exponencial > = 2*. 29 Trazar la gráfica de U función exponencial y — ( 4 j} \ Comparar el re­ tado ron b gráfica obtenida en el ejercido 28. 30 Trazar b gráfica de la función exponencial y = 3 '. Comparar esta era­ ron la de la figura 43. f I Fa ribir las rararterístirai dr la griíira obtenida en el ejercicio 29 y rom' ** con Las obtenidas para la grifira dr la figura 43. 1? Trarar la fráfira de la función logarítmica > — log-a nardo b función equivalente

380

L o g a r¡ f i n o s

33.

Trazar h gráfica de la función logarítmica y •- log

x usando la fun-

ción exponencial equivalente, y comparar r| resultado con el obtenido en d ejer­ cicio 32. 34. Eicribir las cararrerístiras dr la función logarítmica cuya gráfica aparece en la figura 44. 35. Escribir las características de la gráfica obtenida en el ejercicio 33 y compararlas con las obtenidas en el ejercicio 34.

1G.3. P R O PIE D A D E S FU N D A M EN TA LES DE LO S L O G A R IT M O S Hemos visto que un logaritmo es un cxponcntc. Por tanto, expresan­ do las leyes de los exponentes en forma logarítmica, obtendremos leyes de los logaritmos. A continuación estableceremos teoremas fundamentales de los loga­ ritmos que son el resultado de transformar las cuatro siguientes leyes dé­ los i-xponentes (Art. 2 .1 3 ): (!)

fr* •b* = ¿>*+\

(2)

b* + b ’ = b*~v.

(3)

{ b*)■ = b ■*.

(4 )

" V p = b r'n.

En los teoremas que siguen, A7, ¿V y h, son tres números positivos. En consecuencia, podemos escribir (5)

M * b*

y N = b\

de donde (6)

x = log* M

y

y = log» N.

reorcma 1. EX logaritm o d el producto d e dos números positivos es igual a ¡a sum a d e los logaritm os d e dichos números, es decir, log» M N = log» M + log» jV. DEMOSTRACION. De (5) y ( I ) tenemos M N = b * • by

b*~y

de donde, por la definición de logaritmo y (6) log» M N = x

y — log» M -f log» Af.

Este teorema puede extenderse inmediatamente al caso del produc­ to de tres o más números positivos. Teorema 2. E l logaritm o d el cociente d e dos números positivos es igua! a! logaritm o d el dividen do menos e l logaritm o d el divisor es decir, M logfc - = log* M

log» /V.

Propiedades fundamentales de los logaritmos

381

Demostración . De (5) y (2) tenemos M

b*

b> de donde, por la definición del logaritmo y (6) logo

= a: — y

logo M — k>g» N.

Teorema 3. E l logaritm o de la enésim a poten cia de un núm ero p o­ sitivo es igual a n veces el logaritm o del núm ero, es decir, logo M n = dem ostración .

n log¿ XI.

De (5 ) y (3 ) tenemos M n = (> *)" = b™

dr

donde, por la definición de logaritmo y (6 ), log& Ai* = nx = n log». XI.

Teorem a 4. E l logaritm o de la raíz enésim a positiva real de un núm iro positivo es igual al resultado de dividir entre n el logaritm o del num ero, es decir, ti DEMOSTRACION. De {5 ) y (4 ) tenemos Af*> =

V T *

= ó '"

tl«- donde, por la definición de logaritmo y (6)

A continuación escribimos las propiedades de los logaritmos que son •oiivi uencia directa de la definición de logaritmo. log¿ b — I . log* b ' = «. b,n*> x — U puede expresarse en función de logaritmos en otra base b > 0 por meció del teorema siguiente: Oh

Teorema 5. E l logaritm o d e un núm ero positivo N en la base a, es igual al logaritm o di ;V m otra base b. dividido entre e l logaritm o de a •n la base b. es decir.

582

L o g a ru m o s

OF.MOSTRACION. Sea k»g¿ N — X de donde Af = Tomando logaritmos en la base

a*.

tenemos, por d Teorema 3,

o

loe» A* = x logv a

r-

de donde

,

( 10)

*logsa °*>Jy. o sea. a;

Io&> =

como se quería demostrar. S en (10) hacemos N

— b

(112

log« b

k g > -V

obtenemos, por (7), la siguiente relación: =

1

log» a

N O TA S

1. La rtlarión (10) drl Teorema 5 para cambio de bese e* útil cuando de­ seamos obtener el logaritmo de un número en cierta base ar y la tabla de logarit­ mos de que se dispoct está en la base b. 2 En la relación (11), el número lot* b se llama módulo del sistema de lo­ garitmos en la base a con respecto al sistema de logaritmos en .a base b.

Veremos más adelante que los resultados de los Teoremas 1 a 4 son muy útiles al efectuar cálculos aritméticos que comprenden las operacio­ nes de multiplicación, división, potenciación y radicación. Pero por ahora solamente lo» usaremos para aplicarlos a expresiones «qxmonciale* y logarítmicas, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo I, Hallar la inversa dt la función solución.

Debemos desjícjar

x

y

en función de

— y

—

,

b

> I)

en la ecuación

b* — b~*

Multiplicando por 2b \ obtenemos 2yb" - b 2* — I.

Ordenando los términos, resulta b in - 2b* — 1 = 0 . Esta última ecuación es de forma cuadrática (Art, 3.b), ya que si lineemos x : b*t resulta x* — 2yx — 1 = 0.

Por tanto, desojando zt o sea cuadrática (Art. 5.4), obtenemos (

12)

4. =

b\

aplicando la fórmula de la ec uación = ± V / T l.

383

Propiedades fundamentales dr los logaritmo*

Aquí se tiene V y* 1 > y, y ya que la función exponenc ial 6* es siempre positiva {Alt. 16.2), descartamos el signo menos en (12) y es­ cribimos ó* = y -1 Vy» \ I ck donde se obtiene la función inversa buscada: * = logfc (y I v y

I t).

I'ijemplo 2. Hallar la función inversa de la fundón y = logfcx solución .

k»gi(l+x).

Por el Toorema 2, la función dada puede escribirse en la

forma y — log* de donde

bv =

X

iT T v

¿ir — byx — x.

y quitando denominadores

h r = x(l — b>)

Trasponiendo tél minos: y despejando t ,

1+ A

x

by 1 — ó»

Kjemplu 3. Demostrar que log* ( V x + 2 — V x + 1) = — log* ( V a + 2 + V x + í ) . so lu c ió n .

Y a que vamos a obtener un resultado que comprende

V a + 2 + V x + 1, observemos que: V x * 2 — V x + 1 = (V T + 2 — Vx -

1)

V x 4- 2 4- V 7 ~ 1 V x + 2 - Vx - í

x -f 2 — (x - 1)

I )• donde,

log* ( V x + 2 — V x 4 1 1 - Ion*

T«u ri Teorema 2,

1

Vx - 2 - Vx 4 1

= log* 1 — log* ( V x + 2 4- V x + 1J

Por la propiedad (8 ) para n = 0 . = — log* ( V x 4 2 4 i

V * 4 1 ;.

|l K< ¡IC IO S. G R U P O 59

I Extender el Teorema 1 (Art Miioerot poMtivua

16.3) al c*»o del {Jiudurto de trr* o más

Logaritmos

3*4

2. Demostrar qae el logaritmo de la media geométrica de dos número* po*> usos « igual a la media aritmética de «11 logaritmos. 3. Obtener d resultado de! Teorema 4 directamente de. Teorema 3 tArObtener b propiedad (8 ) del Art. 16.3 a partir dd Teorema 3 y h pro­ piedad

^ p m p ied sá (? :

Alt. 1 6 3 a partir de la propiedad (8 ).

6. Obtener la propiedad (9 ) del Alt. 16.3 por el «guíente procedan sentó: Se hace b •••** — y y se toma en ambo* miembro* logaritmo* en ba*e 6. 7. Si jV, « y b son número* positivos, demostrar que kjg¿ > -= logg& * *°^a c ‘ 8. Demostrar qne log,.V"* — — * log* *v En cada uno de los cjerdrioa 9-14, expresar el logaritmo dado en fundón de logaritmo* de expresiones m is sencillas

9-

^

10.

$=£•

11

x* + l

12. k * ,

V’x= - 1 3x2

1 4 ^

í v

t w

- sr-

F.n cada uno de los ejercicios 15-18, hallar el valor de x. 15.

logj, x = log* 2 -f 3 i°S* 2

If» log»X - */«*log*3 I lo fk4

17.

W»g¿

^U»gA2

U*gl0x ■ 2k*glt>3 I- 3 latió 2

18 bg,,,* ■ Válog,,, 16—Vfcloff|»8 I I

19. Simplificar (a) i»1— *; (b) 6*,M**. 20. Simplificar (a) ............ . (b) ..... ..... . En rada uno de lo* ejen icios 21-30, hallar la función Inversa de la función si ida. «

22. y -

21. y - * M'. ,¿x y

i rrp ’•

.,5 "• 9

« jk ü L . 1 — 6*

24. y 20. y -

., , _ h*

■l

. so. >- lo.,± ± x z ± £ I,

D o n . o s t ia l

ó* — I P I ó' I b

28. y - lug,

27. > - lo ., - ¡ a

31

s

«•r .

q u e

2

3 4- 2 V2 b g „

3— 2V2

,./$»

"

" K k

*V*¡-

32. Deinoitrar que

U.gA( V * ~ 3 1- V a

2) • —loa, { V x + 3 — V * ♦ 2). V «* **— « V«* ■ í » M lo». 33. UctiKMirar que log»

Sistema* de logaritmo* 34 33.

Demostrar que log* (x d V que lo g fc ( 1 V

D e m o s tra r

I

— 1) •» ¿log&(x -t- Vx> — í) . - * * — 2 log¿ x — lo g 6 (1 4- V i

— **).

16.4. S IS T E M A S D E L O G A R IT M O S Hemos visto anteriormente que es deseable, tanto por razone» teóri­ cas como práctico», que la baie de un sistema de logaritmo» sea positivo y mayor que la unidad. Hay rn uso dos husos con estas cararleristicus; una de clin» es el númrro 10 y la otra un número irracional representa* do generalmente por la letra » y t uyo valor es, aproximadamente, igual •i 2 7 1 8 2 8 ... El sistema de logaritmos de base 10 se llama sistem a ordinario, c o • mún, decim al o de Briggs, y es el usado corrientemente para efectuar cálculos aritméticos. El sistema de logaritmos de base c llamado sistema natural o N tperian o, se le usa casi exclusivamente en el cálculo diferen«inl e integral y en matemáticas superiores. Más adelante veremos que el sistema de logaritmos comunes, o sea «le base 10 , tim e ventajas bien definidas para efectuar operaciones arit­ méticos con loa números de nuestro sistema decimal. Sin embargo, no r mimos en condicione» de mostrar las ventajas que la base t ofrece en cienos casos, posteriormente, ai estudiar cálculo diferencial, el estudiante •preciará la conveniencia de usar logaritmos naturales cuya base t está defin ida por el siguiente límite:

La relación entre los logaritmos comunes y los logaritmos naturales puede obtenerse por medio del Teorema 5 (A rt 1 6 3 ) , en el que se de­ mostró que para cualquier número positivo S y para cualquier par de t*srs diferentes a y b,

Ib rn esta relación hacemos a = e y b — 10, resulta l>) (U donde log,. t í = k)gic t •log» t í . En una tabla de logaritmos decimales se encuentra que log,, e — 0.4343

L o g a ritm o s

586

siendo su reciproco 1

i

log,, *

0.4343

= 2.3026.

Por tamo, las relaciones (1 ) y (2 ) pueden escribirse en las formas respectivas lo g ..V = 2.3026 log.,.V , log.„ N = 0.4343 log, .V. El número log,. e — 0.4343 se llama m ódulo de los logaritmos comu­ nes o decimales, con respecto a los logaritmos naturales. Esto es, por la relación ( I I ) y la Nota 2 del Art. 16.3, el recíproco de lo g ,.*, o sea log, 10 = 2.3026 se llama m ódulo de los logaritmo® naturales con respec­ to a los logaritmos comunes. Ya que, en general, solamente usaremos las bases 10 y r t podemos omitir la escritura de dichas bases adoptando una convención sencilla. A«. para el logaritmo de un número jV en la base 10, escribiremos log .V en lugar de log,. S . Y para el logaritmo de A* en la base e, escribiremos In .V en lugar de log, N. El término ln .V se Ice “logaritmo natural de .Y”. Por ejemplo, la relación (2 ) puedr escribirse así: log «V = log r • ln -V.

16.5. EC U A CIO N ES EX PO N EN C IA LES Una ecuación en que la incógnita aparece como exponento se llama ttr.uaiión rxponenciaJ. 2 H 1 = B y <•' r * =- I son ejemplos de ecuacio­ nes exponenciales. Para resolver una ccuai ión exponencial, primeramcnlr, si es necesa­ rio, se despeja la expresión exponencial. El siguiente paso consiste en to­ mar logaritmos en ambos miembro» en una bine apropiada. En este paso usamos el lici lio de que si dos expresiones son iguales, también sus loga­ ritmos son iguales ya que, tomo hemos visto {Art. 16.2), la función ex­ ponencial y su inversa la función logarítmica son uniforme*. Este proce­ dimiento queda mrjor explicado por medio de ejemplos, en lew que rs importante recordar que la función exponencial es siempre positiva y que estamos c nnsiderando únicamente valores reales. Ejemplo 1. Resolver la ecuación r*

—

r

‘

=

I.

riot.tKtio.N. Multiplicando por r*, obtenemos r2* | = r* e^ - C I ü.

Ecuaciones exponenciales

387

lista ecuación es de segundo grado (Art. 5.6) si íc considera a r* •«uno incógnita. Por tanto, despejando e* por medio do la fórmula de la ecuación cuadrática, obtenemos , _

I ± V I +4

2

1~

Vó

2

*

Ya que ti* es siempre positiva, descartamos <•! signo menos y escribimos I I V.)

2 l omando logaritmos en base r, obtenemos

* - ln

I + V5 2- ....

que es l.i solución buscado. I’jcmplo 2 . Kesolver la ecuación

— 2?' — 3 = 0. hou cion .

(II

Si bacemns y

y3

r*, esta ecuación toma la forma

2)'J

2y — 3 = 0,

•pie es una ecuación que puede resolverte por los métodos del Capitulo 11. )U fíe il comprobar que y = 3 e s una raíz de ¿a ecuación (1 Separando »*'» raí/ por división sintética. obtenemos la ecuación reducida r + y + 1 = 0, ta «nal no posee raíces rraies. Ya que e * debe ser positiva, el único valor de y « 3. Por tanto, r* = 3 •Ir c onde x — ln 3 es la solución buscada. I jnnplo 3. Despejar i en la siguiente ecuación:

•OLtíOON. Primeramente aislaremos ultip ii ando por R, tenemos

la expresión

IR = E — E * 1 Mi ilnnd«*

IR — E = E e L

exponencial e r-.

L o g a ritm o s

588

Tomando logaritmos en base e , resulta

16.6. EC U A CIO N ES L O G A R ITM IC A S Una ecuación que contiene una o más funciones logarítmicas de una o más incógnitas, se llama ecuación logarítm ica. log (x — 2) — log [x + 1) + 1 = log 40 y

2 1 n y = 3 l n ( j f — 1) 4 - x

son ejemplos de ecuaciones logarítmicas. Para resolver una ecuación logarítmica con una sola incógnita, se le transforma primeramente en una relación que no contenga logaritmos. En este proceso se hace uso de la propiedad que dice: si los logaritmos de dos expresiones son iguales, las expresiones son también iguales. En estos problemas es importante comprobar todas las soluciones que se ob­ tengan ya que no estamos considerando los valores de la variable que corresponden a logaritmos de números negativos. Ejemplo 1. Resolver la ecuación ( I)

log {x — 2-1 log (x 4- 1) + 1 = log 40.

SOLUCION. Ya «jiic van a usarse logaritmos en base 10, sustituiremos el número 1 por log 10 , escribiendo log {x

2 ) 1 log ( * + 1) 4- log 10

log 40.

Por el Teorema 1 (Art. 16.3), obtenemos log 10 {x — 2 ) ( * + l ) De donde10 {x — 2 ) ( * 4* 1) = y

log40.

40, — 2 — 4, *• _ * _ 6 = 0.

La resolución de esta última ecuación es inmediata y se obtiene x =3 — 2 y x 3. Pero debonos rechazar la solución — 2 ya que al sus* lituir este valor en { ! ) se obtienen logaritmos de números negativos. La solución 3 es válida ya que al sustituir en ( 1 } obtenemos log 1 4- log 4 4- 1 — log 40 de donde o sea

0 4- log

4 4* 1 = log 4 4log 4 4* 1 a log 4 4- 1.

log 10

E cu aciones lo g arítm icas

Consideremos ahora una licuación logarítmica con más dr una in­ cógnita.

j o l u o i o n . Ya que la ecuación dada comprende logaritmos naturalis, sustituiremos x por lu e* obteniendo

2 ln

y

( x — 1 ) h ln »\

3 ln

I. irgo, por las propiedades de loa logaritmos (Art. 16.3), tenemos ln / di* d onde

ln (x

I )V

y tm (M -t)» **,

i|iir- es la ecuación buscada. i.JI K C IC IO S .

G R U P O 00

I

Si .V es cualquier número positivo, demostrar que ln ,V - ln 10 • log A’.

2.

Dr mostrar que loga

ln 10

y que ln lü -

2.5026.

I». Cansíruir ln gráfica de la íunción y — r** l.’na aproximación aceptable \ forma de cHn curva puede obtenerse tomando < - 3. Esta gribe a es otro pkí de r * r r a de probabilidad i A rt 1 4 .6 ). Resolver detalbdam enle el ejem plo 2 d d A rt. 16.5.

4.

I'e

5 8

r a d a

uno

d e

lo s

ejercicios 5-20, resolver

J*+» - 81. 2 * 4 »

-

4* — -

7

5 « * - * ~ 2 .V

10

7 *- 2 ^ 4 i.

12, e* + r—* - 1. 14. e=* - 5e* + 6 = 0. 16. 2**» — 4 e -> * — 7 -

IB. <;* — 2e* -3

«9

2#‘ « * * * * -» -# » « + 11«*— 6 — D.

7 "

3 r ' « —

/ , * » _

1 9 c T —

5

ecuación

9. 5»+> — S=*.

r* — e~* — 2. IJ. *r» — 2 e * — 3 — 0. 15. *=* — 2<~: *— 1 = 0 . |J. #*« — Se1* - 4e« — 4 - 0.

Vi.

b

6. 2*-« - 16

-

J

-

0.

6 < -' = 0.

0

En

la s p r o g r e s io n e s geométricas (A rt 1 0 .3 ), apare*-* ¡a relación D espejar « en función de a , , s . y r. *’ •* Eo las progresiones geométrica* (A rt. 1 0 3 ; , a p a r e c e la r e l a c i ó n “ |l — » *) _ •j — ^ . Despejar n en funciór. Ce a ,, i , y r.

En un circuito eléctrico con resistrnria y capacitancia en serie es válida b *• Q • C E [ l — Despej ar I. t i En el interés compuesta el momo .4 y el capital P están relacionados por A - /•( 1 - r ] n Despejar n en función de A , P y r. • • *acU uno de los ejercicios 25-33, resolver b ecuación dada. 19. l u * # — log [ * — 2 ) V ln 12 — ln I ) -

log 2. ln

( •

—

26 2 J ,

lo g a + log ( a — |) -

l o * 6.

L o g a ritm o s

390 lo s tx

3 1 — l o * 2.

28.

:© * < * — 2 )

29.

lo * ( x 4 2 ; - l o * t * — 1 ) — 1 . log .;2 x — 3 . = 1 — l o * f x - 2 1 .

SO. S I. 32. 33

( 3 * + ! • - 2 — lo * ( x + 7 ) . tog í * 4 l ) H l o * ( * — 2 ) - t — l o * í x 2 t o * < x - f 3 ) - l o t t x +- 2 ) - 2 .

Ea rada uno de k a ejerricioi 54-40, transformar la eruarión dada en otra qur no contenta logaritmos. 34. 36. 38. 39. 40.

lo* x +■ lo* y ~ lo* 4. 35. b ( * + y) + h» <* — í ) “ ® 2 b g y — * = l o jr 37. 3 l n x — 2 'j »>— 1 log <x — y ) — lo* J - log S — lo* (*= — *> - >*J2in 2x — in [s - 2y) - ln [s - 2>). !n x + 2 ln y — x — y “ : — S ln a.

16.7. T A B L A S DF. L O G A R IT M O S Existen tablas de logaritmos muy extensas tanto para la tuse 10 come para la base r. La construcción de estas tablas requiere el conocimiento de ciertas series que se estudian en los cursos de Análisis matemático. Para nuestros propósitos resulta suficiente estudiar su manejo. En las tablas de logaritmos naturales cada número aparece acompa­ ñado de su logaritmo. En cambio, en las tabla» «le U*g;uilinos decimales para rada número se da solamente una parte del logaritmo correspon­ diente. Por tamo, es necesario explicar la forma en qur se maneja una tabla de logaritmos decimales. En el Apéndice II hemos incluido una pequeña tabla de logaritmos decimales que es a la que nos referiremos rn este articulo y el siguiente. En principio, observemos la siguiente tabla que no* 0 servirá d« base paca explicai Otra tabla más amplia rlogx * X Aquí están indicadas las propiedades de los logarit­ mos ya estudiadas en el Art. 16,2. Se nota, por ejemplo, 00 oc • que los logaritmos de todo» lo» números positivo* com­ T 3 1000 prenden todo el sistema de los números reales, excluyen­ iao 2 do así a los logaritmos de números negativos del sistemo 1 10 de números reales. 0 i Es evidente que las potencias enteros de 10 son Ice 0.1 — 1 únicos números cuyos logaritmos decimales son número» 0.01 —2 0.001 —3 enteros. Por tanto, cualquier otro número tiene como 1 1 logaritmo u un entero más, o menos, una fracción de cimal con un Cierto número de cifras exai tas. Por ejemplo, el logaritmo de 223 es 2.3322, con I decimales exactas. Ya que ni logaritmo de un número aumenta cuando el número uu

T a h lu x de lo g a ritm o s

391

menta, resulta líiril determinar el par de enteros sucesivos entre los que est¿'i comprendido el logaritmo de un número. Así por ejemplo, para un número comprendido entre I y 10 , el logaritmo está comprendido entre 0 y I ; para un número entre 10 y 100, el logaritmo está entre I y 2, y asi sucesivamente. Además, para un número entre 0.1 y I rl logaritmo está comprendido entre 0 y I ; para un número entre 0.1 y 0.0 1 , r! logaritmo está comprendido entre I y -2 y asi «ircuyamente. .Sin embargo, la parte decimal de un logaritmo no puede determinarse por simple observación, siendo precisamente esta [jarte decimal la que pro­ porciona una tabla de logaritmos. Kl logaritmo de un número entre 100 y 1000 está comprendido entre 2 y 3 y por consiguiente, es igual a 2 más una fracción decimal. F.l logaritmo de un número entre 0.01 y 0.001 está comprendido entre 2 V '-i y. por tanto, es igunl a — 2 menos una fracción decimal, o bien a 3 une* una fracción decimal, Sr pretiere elegir tomai el logaritmo como \ más una fracción decimal. En general, para cualquier número, la I'.irte decimal de su logaritmo «* toma siempre positiva (o ce ro ); como veremos, este convenio tiene la gran ventaja de ampliar el uno do las tabla* de logaritmos. Resumiendo, un logaritmo decimal consta de la suma dr dos partes, una de ellas es un entero y la o ira es una fracción decimal positiva (que pi «de ser cero ). El entero, que puede srr positivo, negativo o cero, se II una la caras terirtica y se obtiene rápidamente con la regla que dare" «h a continuación. La fracción decimal se llama m antisa y ¿a propor• «nía una tabla de logaritmos decimales. tus regia para obten er ia característica del logaritmo de un número N m como sigue: (1 , Si ,V > I , la característica de log A' es una unidad menor que el Hún rro de dígitos de A* que están a la izquierda del punto decimal (2) Si .V < 1 y .V está escrito en forma decimal, la característica dr V es negativa con un valor absoluto una unidad mayor que el núM* de cerre que aparecen inmediatamente a la derecha del punto ?imal. t em o ejemplos de esta regla, diseñem os que los logaritmos de los 4232, 321.3, 85.72, 1.26. 0.843, 0 0436 y 0.002917 tienen las *» un número positivo comprendido en el intervalo 1 < b < 10 . •Iquirr número positivo .V puede escribirse en la forma N - b • 10-

L o g a f ilm us

592

siendo k un número entero, positivo, negativo o cero. Por ejemplo, 4232 = 4.232 X

10*.

1.26 = 1.26 X 10*. 0.0436 = 4.36 X 10 % etc. Conviene observar tjue las cifras significativas de b son las mismas y en el mismo orden que las cifras significativas de «V. De la relación (1 } tenemos (2 )

iog.V = log ó + n.

La característica de log 6 es cero; representemos su mantisa con m, teniéndose por tanto logó = m. Entonces la relación (2) puede e»:ribirse en la forma (3 ;

Iog N - n. + m,

en donde n es la característica y m es la mantisa. Obsérvese que mien­ tras que n varía de acuerdo con la magnitud de .V, la mantisa m se con­ serva igual que en el logar!ano de ó. Dada la importancia de este resul­ tado lo enunciamos en el teorema siguiente: Teorema 6 . S i das núm eros Volitivos tienen ios mismas cifréis tigmficativüS y t:n e l mismo orden , pero d ifieren en ¿u m agnitud, sus logarit­ mos respectivos tienen diferentes canirterislit as pero exactam ente la mis­ m a mantisa. Como ejemplo tenemos log 1.42 log 1420

(1.1523, log (1.42) • 10“ = (log 1.42) -I 3 = 3.1523,

log 0.142 = log (1.42) • 10 ' = (log 1.42) -

1 = 1.1523,

log 0.00142 = log (1.42) • UH = (log 1.42) - 3

3.1523.

En el caso de un logaritmo con característica negativa escribimos el signo menos sobre la enmeterístirn para mostrar que solamente ella e* negativa, mientras que In mantisa es positiva. Asi, por ejemplo, ya que 0.142 es menor que la unidad, su logaritmo es negativo como puede apre­ ciarse escribiendo 1.1523 = — 1 - 0.1523 = - 0.8477. Para evitar carnet cris tic as negativas se acostumbra sumar 10 a la ca­ racterística y restar 10 a la derecha de la mantisa. Asi por ejemplo, el logaritmo Í.1523 se suele escribir 9.1523 10. Sin embargo, aquí ncost umbralemos usar características negativas indicándolas por medio de un signo menos .sobre ellas.

Tablas de logaritmos

393

Habiendo estudiado cómo se determina la romcterisiica sólo resta mostrar cómo se obtiene la mantisa utilizando una tabla de logaritmos, tal como la que darnos en el Apéndice II. Si el número dado tiene tres cifras significativos o mrnos, localizamos las primeras do* cifras en la columna izquierda y la tercera cifra en la porte superior de la tabla. La mantisa buscada está formada por el número de cuatro dígitos que está en la fila de las primeras dos cifras y en la columna de la tercera cifra. Así, por ejemplo, pata el número 142, las primeras dos cifras aparecen en la columna izquierda en la quinta fila, y la tercera cifra 2 aparece en la parte superior de la tercera colum­ na, Las cifras correspondientes son 1523; por tanto, la mantisa de log 142 e* 0.1523. Como práctica del uso de la tabla se recomienda «pie el estu­ diante compruebe los siguientes logaritmos: log 34.5 = 1.5378, log 456 = 2.6390, log 2.03 * 0.3075, log 0.075 = 2.8751. Si el número dado tiene cuatro cifras significativas o más, la mantisa de su logaritmo no aparece en la tabla pero puede obtenerte aproxima­ damente por el método de irUrrpolarión lineal estudiado en el Al t. 11 10. I'de método so basa en el supuesto «le que para un pequeño cambio en el número, el cambio en su logaritmo es proporcional al cambio en el número, Vamos a explicar este procedimiento por medio de un ejemplo. Ejemplo 1. Hallar el logaritmo de 1424. | POLUCION. La característica es 3. La mantisa está comprendida entre I* mantisa de 1420 y la mantisa de 1430. De la tabla tenemos mantisa de 1430 = 0.1553, mantisa de 1420 = 0.1523. l a diferencia entre estas dos mantisas es 0.0030 y se llama la dijerenlobular. El aumento en el número de 1420 a 1430 es 10 y produce un limito en la mantisa de 0.0039. Por tanto, por proporciones, al aumenrl número de 1420 a 1424, o sea a un aumento de 4. le corresponderá n «tin ento en la mantisa de 4/10 X 0.0030, o sea, 0.0012 La mantisa W d a es 0.1523 -r 0.0012 = 0.1535. y log 1424 = 3.1535. Corno práctica conviene que el estudiante compruebe k>s siguientes ritm o s :

log 5026 = 3.7012. log 0.006241 = 3.7953, log 8.325 =

Vamos ahora a considerar el problema inverso, es decir, dado el k>mw» de un número, encontrar el número que recibe el nombre de Ub satitm o. Si la mantisa de] logaritmo dado aparece exactamente en t“bla, entonces Us cifras significativas del antilogaritmo pueden obteinmediatamente; en caso contrario r* necesaria la interpolación.

Logaritmos

39Í

Ejemplo 2. Hallar el antilogantmo «le Ja) 1.9047; ib) 2.6144. solución , ( a ; La mantisa 0.9047 aparece exactamente en la tabla en la fila correspondiente a 80 en la columna de la izquierda y en la columna encabezada por la tercera cifra 3. Por tanto, las cifras signifi­ cativas son 803 y el anlüogaritino buscado es 80.3. «b i La mantisa 0.6144 no aparece exactamente en la tabla pero esta comprendida entre las mantisas consecutivas 0.6138 y 0.6149 que corres­ ponden. respectivamente, a 4110 y 4120. Por tanto, tenemos

M an l'u *i

S A ítu m

0.6149

4120

0.6138

4110

La diferencia tabular entre las mantisas es 0 . 0 0 1 y es debida a un cambio de 10 al pasar el número de 4110 a 4120. Por tamo, por propor­ ciones. un aumento en la mantisa de 0.6138 a 0.6144. o sea. de 0.0006. producirá en el número un aumento de 6/11 X 10 = 5 aproximadamen­ te. En consecuencia, las cifras significativas buscadas son 4110 + 5 = 4115 y el ant¡logaritmo buscado es 0.04115. Como práctira adicional se recomienda que el estudiante compruebe lo* «guíenles resultados: antilog de i . 6791 — 0.4777; anfilog de 2.8024 634.4. Una tabla de logaritmo* decimales ñus permite obtener el logaritmo de un número en cualquier liase por medio del Teorema 5 (Ari. 16.3), en el que se obtuvo: loga «V

(4)

logfc *V

iogfed

F.l método si explica en el ejemplo siguiente: E je m p l o

3.

moluoion .

Hallar log„ 0.86. Por la fórmula ( I),

loga 0.86

log 0.86 log 6 —0.0635 0.7782

1.9345 0.7782

- 1 • 0.934.r» 0.7782

0.0842

vota 1lay tablar «le logaritmo» que dan la» m aniiui con clnro o ináa decliiuileK y rl limite de la tabla r» má» amplio que el dr nueatia tabla, El uio d* tales luida» llene i onio reiultudo una mayor precisión y má» facilidad para ríe« • luar la» operar ionea Bm i tabla» generalmente iiu luyen diferrnria» tubulares y labia» «le partos |>ro|x»r« ionnlei para facilitar la intcrpolaelAn.

Cálculo logarítmico

16.8.

395

C A LC U LO L O G A R IT M IC O

Estudiaremos ahorn las ventajas de lo» logaritmos decimales :i! efec­ tuar operaciones aritméticas. I)e acuerdo con la» propiedades de lo» loga ritmos establecidas en rl Art. 16.3. es posible reemplazar las operaciones •le multiplicación, división, potenciación y radicación por las operar'iones, más simples, de suma, resta, multiplicación y división, respectivamente. P. . . „ . . Ejemplo I. Calcular x

346 X 0.0269 45.21

aoi.t oioN, Por los l'enremus 1 y 2 (A u. 16.3), podemos escribir. ( 11

I<>k x

Jog 346 - log 0.0269 — log 45.21.

Para efectuar el cálculo \i dispone el trabajo como se indita, usando los valores de los logaritmos dados por la tabla de logaritmos del Apén­ dice II, I log 346

Ior 346

2.5391

Ior 0.0269

2.4298

I Ior 0.0269

0.9689

- l o g 45.21 I dr deudo

— 1.6552

log x . x =

1.3137 0.2059,

tiendo x el anlilogaritmo de log x. Al efectuar estas operaciones debe recordarse que la parte decimal •I* I logaritmo, o sea la mantisa. « siempre |K<sitiva y que las caracterís•»i .i - negativas llevan el signo menos en su parte superior. Kjruiplo 2. Calcular s o l u c ió n .

a i r = (0.162 * ; (b ) v*—0.085.

(a ) Por el Teorema 3 (Art. 16.3), logar = 5 log ;0.162) = 5 (1 .2 0 9 5 ).

1 .4

Al efectuar esta multiplicación debe tenerse cuidado ron los signos operación es realmente como sigue:

5(1.2095) = 5 (— 1 4- 0.2095) = —5 + 1.0475 = 4.0475. IL« decir.

•le ilot.ilr

logx = 4.0475 X =0.00011 16.

’b» En « I r problema la tai/ cúbica buscada es un número negativo. I* til la «ipe ración ir rfectúa como si todas las rantidadrs utilizadas fue­

L o g a ritm o s

396

ran positivas y luego se antepone el signo adecuado al resultado (nega­ tivo en este caso). Sea y — 'fO .(B5. Entonces, por rl Teorema 4 ÍArt. 16.3), logy = i^log 0 .0 8 3 = *4(2.9294). I.a característica no puede ser fraccionaria y la mantisa debe ser po­ sitiva. Por tanto, para efectuar la división entre 3r hacemos que la carac­ terística de log 0.065 sea un múltiplo de 3 restándole I y luego sumando 1 a la mantisa. L a operación es romo sigue: *4(2.9294) = % ( — 3 4- 1.92M ) = — 1 + 0.6431 = 1 6431. log y = 1.6431

Luego, de donde

y = 0.4396

v finalmente

x = — 0.4396.

Algunos de los pasos en la resolución de los ejemplos 1 y 2 se lian incluido por motivos didácticos, pero pueden excluirse en los cálculo* prácticos. Así, por ejemplo, la relación •'I ) en la resolución del ejemplo 1 puede omitirse; su significado es equivalente al del arreglo indicado para rl trabajo logarítmico. Para lograr mayor rupitlr* y precisión en estos cálculos es recomen­ dable usar un dispositivo tabular cuyo esquema se liare antes de buscar rn la tabla los valores de los logaritmos. Luego se escriben todos los logaritmos rn un solo paso. El mótotlo se indica rn el siguiente ejemplo. 826*1 X 0.311 2.331 X 28.6

Ejemplo 3. Cale tilar x

solvcion . Sea .V el numerador y I) rl denominador de la fracción, rl esquema para rl cálculo logarítmico rs el siguiente:

log 2.351

log 8264

I log 28.6 =

I log 0.311

log D f

lo g ^ - log D logiV/Z) =

Va

= logx X

Cálculo logarítmico

397

El niguirnin paso consiste en hallar todos los logaritmos necesarios y

completar la operación. log 8264 = 3.9172

log 2.351 = 0.3713

4- log 0.311 «= 1.4928

" log 28.t» = 1.4364

log A' = 3.4100

log O = 1.8277

— log D « 1.8277

■

log AUD

i . 3823

% log N /D = 0.79115 = log x x ~ 6.182. Alguno» autores usan eo logaritmo» pura lograr u n a mayor uniformidad rn el «Altillo logarítmico dr l.i» operar lonr» que llevan división. El cologaritmo «Ir un iiúmrm ei rl logaritmo dr ni recíproco, Su u»o transforma rn suma la resta «Ir logaritmo» La abreviatura para el cologaritmo r» rolog, c» decir, m o t a

.

colon .V - log 1/Af

FJK R C IC IO S. G R U P O I»1 Rn cada uno de |o« rjrrririsu 1-8calcular el logarílma que »r pide. I. lo *, 20. 2. logj 17. 3. logB 8 .1. 4. log, ó. in 3. 6. ln 7. 7. in 10.3. 8. log, 2.31. 9. Compresor toda* la s opcnwioce; dd ejercicio 3 (Art. 16.8; 10. Demostrar que cologjV =• - log.V y que log A’/D - log iV - rolog D («rim.es. 11. 431 X 0.4126.

12

21.2 X 13.11 x 0 0061. 7.203 X 342 15 85.11 17. (4 21:5.(07321). 22.3 X 0.041 x 236.8 19 521.3 x 0.0026 :9l 61* X *41 62 21. *724.1 4 V 3976 X 3 * 8 7 2 21 21.31 * 7 2 5 4 / 28.96 X *25.05 \H 21 V v'81.7 x 110 .1 /

14.

13

16.

3 063 - 28.41. 21 36. 3 8 7 X 3.142 2.718 x 0.0116’

18 20. 22. -

181.2 x 4153_X 62.91 2013 x 341.9 x 85 66 V 32.17 x ^ 5 x 6 * 5 0 1 3 x V'86.92

(2 1 .4 2 )V» x (1 .1 1 4 )^ 24. (3 8.26)**

V 62.3 x * 3 1 2 4 \*4 76.91 X V’ 6 0163 / 27 Hallar el itr a de un triángulo cuya bate y altura miden 1.683 metro» t 0 % 21 ntrtroi, respectivamente. t i Calcular el árra y la longitud de la cireunferencia de un círculo cuyo I 4m•'tro es 2.426 mruoi

26 [í 26.

l.ngarltmu»

398

29. El a n a S y rl volumen I' 1- b 4 c ) , rl área K de un triángulo está «inda |iur la í ónimia K V »f.«— « )(# — b ) ' s — e ). Calcu­ lar el área del triángulo«uyt» ludo» miden 5.21. 7 03 y 10.2 metros respectivamente. 32. Hallar el área del triángulo cuyo» lado» ntldr:i 11.3, 15.2 y 21 I centí­ metros respectivamente, 33. El período t en argundo» de un péndulo simple está dado por la fórmula t * 2 r r - y -, en donde i es la longitud, ro metro*, del péndulo y ( = 9 81 m.'seges la aceleración debida a la gravedad Calcinar el periodo de uc péndulo de 15 ero de largo. 34. Calcular la longitud «le un péndulo cuyo periodo es de ur. segunde. En cada uno de k>s ejerciruw 33-4C liall.tr la» golucsanes reales que existan, con ♦ cifras significativa».

* •V. *r 1

S5. 5a* = 7'**37. 6' - y . 39

36. * ' — e • - 2. 38. /• + 10* ' — 7 - 0. 40. « " - W — 11*’ = 30

17 Interés y anualidades 17.1. IN TR O D U C C IO N En este capitulo consideraremos brevemente algunas «le las operario* *M5> financieras más comunes, con las que puede encoiltnusr en la prácii< .1 cualquier persona Estos temas pueden, en general, dividióte en dos amplías Clasificaciones: (1) renta que proviene de inversiones y (2« sis­ tema» de pagos, generalmente de naturaleza periódica, para satisfacer .ilgún objetivo futuro. En el primer tema están incluidas las cantidades que w obtienen en forma de interese» y dividendos dr cuentas dr- ahorro, uniones y bonos. En el segundo comidriarentos los estriñas de pagos de lyual valor y hechos a intervalo» regulares para diversos propósitos. Son ejemplos de tales pagos los hechos j>ara la amortización de hipotecas. '• inpras en abonos, poltras de seguios, planes de jirnsioncs y la rreai ión !• fondos especiales. Conviene observar que al dedicar este brrvc capitulo al estudio de ¿I curios problemas financieros, solanirute podremos dar una breve introdmi ión a un tema de gran extensión e impot tanda. Existen tratados Um lirados exclusivamente a la teoría y aplicaciones de las matemáticas Jiitstnt jeras. Naturalmente estas cuestiones son dr vital importancia en luí instituciones financiera», compañía» dr seguros y i mpresas comerciales.

17.2

IN T E R E S S IM P L E

El interés de una suma de dinero, que »c llama capital, es la cantidad «‘obiiuiu por el uso dr ese dinero, El mteró» es una paite fraccionaria del Mpltul; cuando esta fracción se expre&a mitin un tanto por ciento, se II ", 1,1 (ata d e interés y generalmente se indine u un p n iodo de un año.

Interés y anualidades

■ÍOO

Así, por ejemplo, una tasa de 49t significa que por cada peso prestado, el deudor debe pagar 4 centavos de interés en un año. Hay dos tipos de interés, simple y compuesto. El primer tipo se es­ tudiará en este articulo y el segundo en el ¿guíente. Cuando el ínteres se paga al final de un período especificado y se calcula sobre el capital origina), se llama interés simple. Generalmente el interés simple se usa para períodos relativamente cortos. Por ejemplo, podemos considerar un bono de $ 1000 que paga un interés semestral con tasa de 4 anual. Entonces al final de un período de seis meses, el interés simple produ­ cido por el bono es igual a $ 1000 X 0.02, o sea, S 20. Ahora consideraremos el problema general del interés simple. Sean: P el capital, i la tasa de interés para cada uno de n periodos e / el interés simple al final de ios n períodos. Entonces (1 )

í= P n i. L a suma del capital y e! interés se llama m onto, que representaremos por A. Por tanto, de ( I ) , (2 )

A = P + P ni = P (1 + n i).

El valor actu al del monto A dado por ( 2 ) , re defin e como la suma de dinero que debe invertirse en la fecha actual con una tasa i por período para que el monto sea A al final de »: periodos. Evidentemente el valor actual de A rs P y, por ( 2 ) , se tiene (3)

P = ¿ ( l 4* n i)-’ Para facilitar referencias futuras enunciaremos estos resultados en forma de teorema. Teorema I. S ea n : P el capital y valor actual He un m onto A, I el interés simple a l fin al He n periodos, e i la tasa He interés por rada p e­ ríodo. Entonces l = P n i; A

P{1 + ni); P = A( I T ni)'1.

Ejemplo 1. Si la tasa de interés anual es igual al (>%, calcular: (a) El interés simple y el monto de $ 300 al final de 3 meses. (b) El valor actual de $ 6 0 0 pagaderos dentro de 6 meses, usando interés simple. 0.06 so lm h o n . (a) La tana i pata un periodo de 3 mesesos 0.01.». 4 Por tanto, para P $500 el interés simple es, por (1 ), / = P ni i $ 5 0 0 X 0.015

$ 7 .5 0 ,

y por (21, el monto es A

P \ Pni

$500

$7.50

$507.50.

Interés compuesto

•101

(b) L a ta n i para un período de 6 mese» rs actual rs, por (3 ), $600

A I

I m

I

I li D!

0.06

2

= 0.03. El valor

$582.52.

En relación con préstamos n interés «imple y por períodos cortos, los lameos acostumbran cargar el interés en el momento en que hacen el préstamo. Esta deducción se llama de cruento bancario. Así, por ejemplo, partí un préstamo de $ '0 0 0 al 6% , por un periodo de 6 mese», el descuen­ to I*.uic ario es $1000 X 0.03 $30. I.a persona que recibe el préstamo realmente obtiene $1000 menos $30, o sea. $070 aunque al final de los ti metes debe devolver la cantidad de $1000. Evidentemente la tasa de interés es entonces mayor que 6% . Veamos un ejemplo. Ejemplo 2. I Ina persona pide un préstamo bancario de $2000 por .1 metes y al 5% , Calcular la tasa real de interés que corresponde al des­ cuento bancario. SOLUCION. El descuento luncnrio es $2000 X % X 0.05 = persona recibo $2000 menos $25, o sea, $1975, lo «pie podemos '•‘I «•<*"!“ el valor actual de un monto de $2000 pagaderos al 3 meses. Sea r la tosa anual de interés necesaria para que $1975 can un monto de $2000 al final de 3 mese?. E ! ínteres es / = modo que por la relación ( 1 ) , o sea, I = Pni. tenemos

$25. I.a considefinal de produz­ $25, de

25 = 1975 * y4r dr

donde

r = — — = 5.06% . 17

17 3. IN T E R E S C O M P U E ST O El interés simple devengado al final de un periodo especificado, pueagadhrae al capital original para formar un nuevo capital Entonces, ■1 interés del siguiente periodo se calcula sobre este nuevo capital. Si B r proceso se repite por dos o más período?, el aumento total del capi» •! original se llama interés com puesto. La suma del capital original más ■ luir res compuesto se llama monto com puesto. Ei intervalo entre dos Bw -reion e? sucesivas de interés a capital se llama periodo de interés v Ptriod o de c o m e r n o n o de capitalización. Los períodos de rapitaliraMé«i má» usuales son: Un año. 6 mrses y 3 meses, y se dice que se trata m interés compuesto: anual, semestral y trimestral, respectivamente. b»twés compuesto le calcula para cada periodo con una lasa

Inrcré» y anualidades

402

que corresponde al periodo, la lasa de interés, tal como se hace en el interés simple, se enuncia con base anual y se llama tasa notKzr.aL C om o un ejemplo de aplicación dr los términos precedentes, observe­ mos el efecto de acumular a interés compuesto un capital original de $1000 con capitalización trimestral y con tasa nominal de 4% . I-a tasa de interés en C2da uno de los periodos de 3 meses es entonces igual a 15r. En la tabla 1 se detalla la acumulador! en un periodo de un año. TABLA I

T t ín o t i t

Capia* al |ni * |t o J l j x - itkío

I i Ic p

I ilrrrt r .n o w n l» ll l u í dri jK-i :odo

pot Itr lw lí

M . kiii n « | «ifi» al fl­ u í <W |«-

P rim e ro

1 0 0 0 .0 3

1 0 3 0 x 0 .0 1 -

1 0 .0 0

1 0 .0 0

1 0 1 0 .0 0

Segundo

1 0 1 0 .0 0

1010 x 0 01 =

1 0 .1 0

2 0 .1 0

10 2 a 10

T e rrero

1 0 2 0 .1 3

1 0 2 0 1 0 x 0 .0 1 -

1 0 .2 0

3 0 .3 3

1 0 3 0 .9 0

C u a r to

1 0 3 0 .3 0

1 0 3 0 .3 0 X 0 .0 1 -

10 30

4 0 .6 3

1 0 4 0 .6 0

Consideremos ahora el problema general del interés compuesto. Sean r = tasa nominal «anual de interés, m = número de periodos de capitalización ¡*or año, i lasa do interés por período de capitalización - r/ m, »• número total de períodos de capitalización. P = capital original, An — monto compuesto al final de n períodos. Al final del primer periodo, el interés es Pi y el monto es (1 )

Ai = P + i*i = P(\ + i).

El capital ni empatar el segundo período w enlomes A, y el interés al fínal de cu* segundo periodo es A\i, de modo que el monto ni final del segundo periodo es A. |De (1 )]

.4, • Aii

A i( I I »)

P(\ + í ) ( i + i)

P[lAi)\

Análogamente, el monto final del tercer periodo es A,'~P(\ i)\ Continuando t«.ti proceso, encontrarnos que el monto compn esto ni final de n periodos es (2 )

A„ = P ( I + 0

En la relación ( 2 t , il capital original /’ <- el rotor attu ai di I monti A *, De (2) tenemos: /* .1.(1 I ») ", (3 i

Interes compuesto

403

L.i diferencia A * P es rl interés compuesto total acumulado hasta el final do n períodos; también so le llama descuento sobre A n. Resumimos los resultados (Ulteriores en d teorema siguiente: rcorona 2. S i P i*.r ti rapitai original o rulot actual d ti monto contp u n ió An al [¡nal di n perlados, siendo i la ta
$IOOO,i

0 Ufi }

0.015, « = 5 X 4 = 20.

Rn la lab ia .1 (Apéndice 11), que es una tabla para H piirfto I T í . " de $1 ai final de n periodos, encontramos i y « = 20, entonces ( I T * ) » = 1.3469. Por /* - $1000, tenemos Am = / rel="nofollow">( 1 - t i" = 1000ÍI T 0.015 » = 1000(1.3469) = I .i solución por logaritmo* es como sigue:

monto comque cuando tanto, para $1346 90.

lo* (1 x 0 .0 1 5 ) * = 20 log 1.015 = 20(0.0065'• = 0.1300 t' • tanto,

k>g A. = log IODO T log (1 .0 1 5 )” = 3 T 0.1300 = 3.1300,

••

d o n d e

Aa = SI349.

1.a discrepancia de estos dos resultados >c dehe a que nuestra tabla Br Jojránimos es solamente de I der¡rúales. Gon una labia de logaritmo^ 9 •r,% drr irnales puede obtenerse un resultado que concuerda ron el de I» i ibla para * I T i ' * . I Al calcular rl interés compuesto a. final de mocitos periodos de cap:Wh .ni ii. es necesario utilizar logaritmos de I — i ron <¡ris o más de­ glutir*. B

I ¡rmplo 2. (tabu lar el valor actual de $4000 pagadero* dentro de *« a tasa nominal es de 4*r capitalizando vrtnrtti ahítente.

In te ré s so lu c ió n . ,* =

2%

y n =

j a n u a lid a d e s

En este problema debemos hallar P siendo Am — 4000, 4

X

2 =

8.

En la Tabla 4 (Apéndice I I » , para el valor actual ( i + «) •* de $1 pagadero al final de n períodos, encontramos que cuando i = 2 % y n = 8, entonces ( I + »')“"■ = 0.85349. Por tanto, para A * = 4000, tenemos P = A J\ + i ) - = 4000(1 4- 0.02}"* = 4000(0.85349) = $3413.96. La solución de este problema por medio de logaritmos se deja como un ejercicio para el estudiante. Si el interés compuesto se capitaliza anualmente, entonces el monto al final de 1 año es el miaño que el que se obtiene por interés simple. Pero s se capitaliza más de una vez al año, entonces el monto al final del año es mayor que el del interés simple. Por ejemplo, un peso al 6 % de interes simple da $1.06 al final de un año. Pero si se trata de interés compuesto con capitalización semestral con la misma tasa nominal de 69o, entonces se obtiene al final del año (1 4- 0.03 ) s = $1.0609. En este último caso la tasa de interés por un año es 6.09% y es mayor que la tasa nominal de 6 % . Se dice que 6.099$; es la tasa efectiva de interés En general, la tasa de interés anual que es equivalente a una tasa dada para un período de capitalización no anual, se llama lasa efectiva. A continuación vamos a calcular la relación entre lasas nominales efec­ tivas. Sea r una tasa nominal pora interés compuesto capitalizando n veces al año, y sea la tasa efectiva equivalente. Entonces, por definición de tasa efectiva, debe tenerse

Este resultado nos dice: Teorema 3. S i r es ¡a tasa nom inal d e interés com puesto capitalizan­ do ti veces a l añ o y j es la tasa efectiv a equivalen te, la relación entre j y r es:

Ejemplo 3. Calcular la tas;» efectiva equivalente a una tas;» nominal dr 5 % capitalizando semeM raimen te. solución .

Por el Teorema 3, /=

Por la tabla 3,

! + - )

= 1.0506— 1

I * ( l 0.0306

+ 0.025)» 3.06% .

1.

Interés compuesto

■101

Considéreme* ahora rl caso general de n capitalización» por ano. H anoi visto que conforme n aumento, la tasa efectiva también aumenta. Pudiera entone» tenerse la impresión de que si « tiende a infinito, la tasa electiva también tiendo a infinito. Sin embargo, rsto no es así, como vamos a ver. Sea r la tasa nominal de interés compuesto con n capitalizaciones por año. Por el Teorema 2, el monto amde $1 al final de un año está dado por

Tomemos ahora el límite cuando n tiende a infinito, expresado sim­ bólicamente por n - * oofArt. 10.5). En este caso se dice que el interés » de capitalización continua o interés continuo. En los cursos de cálculo diferencial se demuestra (pie

f

-Y =r',

lím I 4• \ TI/

'•n donde r , base del sistema de logaritmos naturales, es igual a 2 .7 1 8 2 8 ... (Art. 16.4). \ a que e y r son cantidad» finitas, «f también es una cantid.nl finita. Por tanto, sin ¡m|>ortar que a n se le usigne un valor muy >;rundí*,, a* será Imito y, por el Feo rema 3, la tasa efectiva j r-: (i. — 1 también será finita. Por ejemplo, para una tasa nominal r = 6 % , el mon­ to de al final de 1 año. a interés continuo, tiene como valor límite = (2 .7 1 8 2 8 .. .)*-* = $ L06184. y la tasa efectiva está limitada por

rl 6.18454. A continuación damos la tabla 2 para hacer resallar lo que ocurre al p im-otar el número de capitalizaciones por año. TA BLA 2 MONTO Ai FINAL DE 1 AÑO PARA $1 AL 6 % ANUAL A INTERES COMPUESTO CON « CAPITALIZACIONES POR AÑO n

Monto

1 2 3 4 6 12 24 00

1.06000 1 06090 1.06121 1.06136 1.06152 1.06168 1.06176 1.06184

406

Interés y anualidades

El estudio de los valores dados en esta tabla puede ayudar a corregir muchas de las ideas erróneas acerca de los efectos del interés compuesto.

E JE R C IC IO S. GRUPO 62 1. Hallar el bleré* simple de $300 er 6 meses con b taja anual de ó'.r. 2. Calcular el interés sirnplr de $800 en 10 n o n al 4 ' t . 3 Hallar e! momo ce $750 en 4 meses al 5 % de interés timple. 4 Calcular el monto de $ 2 .0 0 en 8 meses al de ínteres simple 5. Hallar el valor actual de $1000 pagaderos en 3 meses al 4 ^ de ínter *s simple. 6 Calcular el valor artual de $ 1 2 » pagaderos en 6 rcesrs al 5 ** d- ínte­ res rimple. 7. Con un capital de $1500 se obtiene un monto de S1530 al final de 8 meses ¿Cuál e» a la u de interés simple? 8. Un préstamo de S3600 se liquida con un paeo de $3634 a 4 mese» Hallar la tasa de interés simple. 9 Una persona pide un préstamo bancano de 53000 por 5 meses al 6 * r . Calcular !a tasa de interés que corresponde al descuento bancarlo. 10. Una persona pide un préstamo bancano de S4000 p»f - meses al b r. r . Calcular la tasa de interés que le corresponde si paga el descuento fcancario y un rarac adicional de $10 por adelantado. 11. Determinar cuánto tiempo se necesita para que un capital se doble « está invertido .ti 4 % de interés simple. 12. Determinar cuánto tiempo «e necesita pam que un capital se doble si está invertido ¡ti 3 % de interés simple. 13. Calcular lu tasa necesario para que un capital se doble en 10 años a in­ terés simple. 14. Oemoatrar la relación (2 ) del Art 17.3 por rl método tic inducción ma­ temática. 15. Obtenga la relación (2 ) del Art 17.3 como término de orden (n f I) de una progresión geométrica cuyo primer término el P y cuya razón e» I 1 / (Art. 10.3). 16. Calcular el monto compuesto «I finid de 1 años dr $500 invertido» con una taso nominal de 5% capitalizando scroestrolmente Utilizar la tabla 3 del A|>éndire 11. 17. Resolver el ejercicio Ib usando logaritmos, 18 Calcular el monto compuesto al linul tlr b nños d« $800 invertidos cor| una tasa nominul «le 8% ron capitalización trimestral, 19 Hallar el interés i-oni|i\ieito total en el rjercicio 1H. 20. Resolver el ejemplo 2 del Art 17.3 uoando logaritmos. 21. Determinar el valor actual de $5000 pagaderos dentro «le 2 años si la tasa nominal es fl'4 Capitalizando trun* oralmente l sur la tabla I del Apéndice II. 22. Resolver rl ejercicio 21 usando logaritmos, 23. Unu persona inviertr $2000 al 3% capitalizando •rinMlralmrntr, para formar un fondo especial en un término de 10 nfios Cali idar rl monto de e»t< fondo. 24. Una persona desea formar un fondo «le $8000 para l i -duración dr tu

A m i u l ¡c h u lo s

•ÍO?

hijo, dr diodo dr poder diiponer de r| dentro dr IT. ifio». /Cuánto deberá invertir ahora, para este prupódio, ¡d 4 r> cflpltulixundo armr ti raimen le ? ¿!J. hn méritos ifim $200') %■* convertirán en $3000 *¡ m invierten ahora al <>'■ iolilnnu por logaritmos 2». Resolver rl ejercido 25 usando ln ii.nrpal.vWn l.n.vl rn I.. Tallin 3 «leí

Apéndice II. .IT Determinar cuanto tiempo •<* recurrirá pm.i tpir un capital dulilr, ii n tá invertido til VA y se rapitaU/ai lemmtraln.rrite Resolver por Uiguiitinos. 2» Rrsolver rl ejercicio 27 iplkando la interpolar km lineal en la rolda 9 drl Apéndice II. .d*. Kn ln fi'iriunla del IVorenta I •Art 17.91, drtprjar } en 11111017111 de r y • ni función dr 1! Hallar la tata efectivo equivalente » ln taia nonv.nnl tlr 6rA ion rapitali* ¡radón lriinntr.il .91. I nilir.ir er. «|ué fonrai puede mame ln r.ilih. t dr| A|x‘iidii •• II par» culcuD r (I I • )* tmra valorea enteros y (xxitivo» de n > 50 Indicar rAmo p i n ’, utarir rl teorema del binomio (Art 7.4) pira calcu­ lar un monto compuesto. 99 Calentar (I I Q .0I5)1* por medio de! teorema drl binomio y comparar H m ultada
17.4. A N UALIDADES U na an u alidad os una sucesión di* pagos iguales periódicos. Son ejem­ plos sencillos de anualidades los pagos mensuales ¡jnr concepto de renta > rl pago de primas de seguros de sida. El termino an u alidad parece implicar que los pagos se hacen anualitirnte: sin embargo, éste no es necesariamente el caso El intervalo entre 'os pagos puede ser de cualquiera siempre que en una anualidad particu­ lar dicho intervalo entre pagos sea constante. El intervalo entre dos pa­ gos sucesivos se llama p eriodo. En nuestro estudio quedará sobrentendido •|“r ’<* pagos iguales se hacen al fin a l de cada ¡x-riodo: una sucesión de pagos de este tipo se llama anualidad ordinaria. El tiempo que transcurre cutre el principio del primer periodo y ei final del último se llama térm ino •Ir la anualidad l onsidrrnnos que en una anualidad cada pago gana interés corrí p . s o desdo el momento en que se hace el pago hasta el final del termi­ ta. siendo periodo de la anualidad igual al periodo de capitalización ■. intrrés compuesto. Er. este caso t i m onto d e a t a anualidad al final 1,1 ,u término se dtjm» corno la suma de loa montos compuestos dr tedos bu pagos de la anualidad Acumulados haOa el final drl término. En la

Interés y anualidades

•(08

T ab la 3 ** muestran lo* diverso» paso» necesario» pura obtener el monto de una anualidad ron término de un año, en donde lo» pago» de $100 cada uno, k hacen al final de cada trimestre, siendo la tasa nominal igual a lo que signific a que la tasa trimestral es de 1.5%. TABLA 3

Pago al final de Triineitrc

Cada trimestre

Primero Segundo Tercero Cuarto

$100

Monto compuesto drl paao al final del término 100(1.015)» - 3104 37 1 0 0 ( 1 .0 1 5 ) » - 103 02 100(1.013) 10130 100 00

too loo loo

Monto de la anualidad

$-109 09

Es evidente que el monto de lina anualidad puede obtenerse romo suma de una progresión geométrico. Esto también se nprectará en la si­ guiente determinación de la fórmula general para el monto de una anua­ lidad ordinaria. Consideremos ahora una anualidad ordinaria en donde R es el pago hecho al final de cada uno de ri periodos r » es la tasa de interés por período. Y a que el primer pago se hace al final del primer período, gana­ rá interés por n — 1 períodos v. por el Teorema 2 (Art. 17.3), su monto al fina; del término será f ié ! 4Análogamente, el segundo pago ganará interés por n — 2 períodos y su monto al final del término será R( 1 + Continuando de esta manera, vemos que el pago de orden n — 1 producirá un monto de /?(1 + i) y que el pago enésimo, o pago final, tendrá como monto su propio valor, es decir R . Escribiendo estos montos en oroden inverso, tenemos R , K(1 - * ) , * ( ! + « ) * , . . . , R ( 1 + *5—*r R '.l + i ; - \ que forman una progresión geométrica de n término» de razón I + i. Por definición, la suma S de esta progresión es el monto de la anua­ lidad y. por el Teorema 2 del Art. 10.3, su valor está dado por S = R

í! + i l " — I 1 — ( I + ÍV = R 1 — 1(1 + i) *

Para el caso particular en que R — 1. S se designa por el símbolo J2h resultando de ( 1 ) , (2 )

i- 4 ------------ 3—

y (3)

S = R ííTí

109

A n u a lid a d e s

Para facilitar la resolución de problemas de anualidades se han ela­ borado tablas de valores de s^<. Una pequeña tabla de este tipo es la Tabla 5 del Apéndice II. Consideremos ahora e l valor actúa! de una an ualidad que se define como la suma de los valores actuales de todos los pagos. Como se hizo anteriormente, para una anualidad ordinaria, sea R el pago hecho al final de cada uno de n períodos y sea i la tasa de interés por un periodo. Por el teorema 2 (A rt. 17 .3 }. el valor actual del primer pago {hecho al final del primer período) e > A (l - f i ) ' 1; el valor actual del segundo pago (hecho al final del segundo período es R ( 1 + i)**; y así sucesivamente. El valor actual dd último, o enésimo pago, es /?{! + i r * . El valor actual A de la anualidad es la suma de estos valo­ res actuales de los pagos, es decir, A = R[ 1 + £ ;- ’ + R (1

+ R(1 + í ) - ,

que es la suma de ua progresión geométrica de n términos de razón (1 “ *)-*. Por el Teorema 2 del Art. 10.3,

R ( i + f ) -" p —

+

1— (M i)-* Multiplicando el numerador y el denoominador por 1 4- i, resulta

Pani el raso particular en que R
1, A se designa ron el símbolo

_____ i - í l + « oüli ---------- . ------

((»)

A = R af\ ,

Una pequeña tabla de valores de asu es la tabla fi dd Apéndice II. I’ u.» facilitar las referencias futuras, resumimos los resultados anterio­ res en el teorema siguiente: I en renta 4. .?» S es e l m onto y A el valor actu al d e una an ualidad or­ dinaria (arm ada fior n fiados de valor R con i t o mo tasa de interés por periodo, e n t o n e n S

R y + j ) : - ' . A

l'.jrniplo. lin a anualidad ordinaria est.'i formada por el pago de l'uift «Muéstrale» durante 11 años, siendo la tasa nominal igual a 3 ^ . Hd< tlm (a ) el monto y (b ) el valor nrtual de esta anualidad.

Interes y anualidades

410

SOLUCION, dos es n = 10. e : = 1.5% . en Por tanto, por

(a i Para esta anualidad. R = 300. el número de perio­ > la tasa de interés por periodo es t = 1.5^'c. Para n = 10 la Tabla 5 (Apéndice II | tenemos el valor ¡ t — 10.7027. la fórmula (3 ) el monto buscado es 5 = /fci], = 300(10 70271 = $321081.

(b j Para n = 10 e : = IJiCc en la Tabla 6 (Apéndice I I J tenemos él valor a« , = 9.2222. Por tanto, por la fórmula 16 ) . el valor actual que se busca es

A

Ra^ . = 300(9.2222> = S2766.66.

. I./w problema» de anualidades también ourdrr. irwlverie por meció dr logaiiur.o« o ap.¡cando rl teorema. d*i binomio Para lograr mayor precisión, es­ pecialmente en anualidad» a largo plan*, r* necesario usar tablas oarmas de lo­ garitmos. de r j , y «íts o t a

17.3. A PLIC A C IO N ES D E LAS ANUALIDADES En este artículo estudiaremos algunos ejemplos de operaciones finan­ cieras que son esencialmente problemas de anualidades. Fundo de uiiiort ¡/ación Una turna de dinero acumulada para pagar una obligación que vence m fecha futura «• Huma fo n d o d* am otú taciou, Un fundo de e»u* tipo no in
Ap(¡caoune» de lus ¡mu alidiidr»

-íl 1

solución . En rite problema s«* trata de hallar el payo periódico U de una anualidad cuyo monto S es S I 5 000 al final de n 20 período* y cuya tasa de interés por periodo n i 2,5% , Pata n 20 e • 2.5% , la Tabla (Apéndice II) nos da el valor til, 25.5447. Por la fórmula ( 3 ) , Arl. 17.4, & W v Por tanto,

S 15000 R s = ---- a ■ Jtyt 25.5447

$587.20 ( aproximadamente i .

Amortización l.a liquidación de una deuda junto con sus intereses pot medio de pagos iguales hechos al final de periodos iguales se llama am ortiza d in . En evidente que el valor del pago debe exceder al interés ele la deuda en il primer periodo. Lo» pagos sirven para que la deuda decrezca de peí iodo a periodo Como resultado, la parle de cada pago que se usa pata pagar interés sobre la deuda es decreciente y el resto del pago que se aplica a la deuda misma es creciente. Esta variación en la distribu­ ción de cada pago en la» partes que se aplican al capital y al interés se muestra en la tabla «le amortización de una deuda difiere de un fondo de amortización en que incluye no sólo el pago de l.t deuda sino también el de los intereses correspondientes. Es evidente, por la definición, que Ir amortización de una deuda se lleva a cabo por medio de una anualidad. La deuda que s-3 a amorti­ zarse es ei valor actual A de la anualidad. Si R es el pago al final de * .ida uno de los n períodos c i es la tasa de ínteres por periodo, entonces l.i deuda A que va a amenizarse eoá dada por la fórmula ( 4 i del Ar­ ticulo 17.4. a saber, A = Ra¿ Ejemplo 2. Un préstamo de $4000 se va a amortizar por medio de cinco pagos anuales iguales. Calcular el valor del pago anual a ¡a tasa 5% capitalizando anualmente. so lu c ió n . En este problema se nos pide que calculemos el pago .inual R de una anualidad cuso valor actual es A = $4000. cuyo término • n 5 periodos y cuya tasa de interés • por periodo es 5% . P a r a r, = 5 e i = 5 % , la Tabla 6 (Apéndice I I } nos da ei valor H.;, T 4.3295. Por tanto, de la fórmula A = R& m , tenemos

A

4000

í ü “ 4.3295

$923.90.

E» conveniente obsrrvar, para cada uno de los cinco períodos ar.ua|rv la distribución de cada pago anual entre interés y capital (deuda).

•112

Interés y anualidades

Esto s** muestra en U tabla 4, que recibe el nombre de (afila di- am orti­ zación. Los números en la columna (3 ) son el S^í de los números ronrwpondientes en la columna ( I ) . la » números en la columna (4 ) se ob­ tienen restando los números correspondientes de la columna ( 3 ) , del pago anual de $923.90 que aparece en la columna (2 ). TABLA ♦ AAn

Capital al tifinrlpio tli* ano

Pa«o anual al final de año

Iiilrré» i'it* ul'» al tmal de alio

1

$ 4 0 0 0 .0 0 3 2 7 6 .1 0

$ 9 2 3 .9 0

$ 2 0 0 .0 0

923 90

1 6 3 .8 1

2 3 1 6 .0 1 1 7 1 7 .9 1

9 2 3 .9 0

1 2 3 .8 0

7 9 8 .1 0

9 2 3 .9 0

8 5 .9 0

8 3 8 .0 0

2 3 4 3

8 7 9 .9 1 T o ta !»

Ga|<|tat pagado al fjoai de año $

7 2 3 .9 0 7 6 0 .0 9

92390

43 99

8 7 9 .9 1

4 6 1 9 .5 0

6 I 9 .S 0

4 0 0 0 .0 0

U no de los ejm iplos más frecuentes de amortización es el pago de la hipoteca de una casa. Generalmente este pago »r hace por medio de abo­ nos mensuales ¡guale*, cuyo valor común e* mayor que el interés de b hipoteca en el primer me* La institución que hace el préstamo general* mente proporciona a la persona que lo recibe una tab b de amortización que muestra la distribución de cada grupo mensual entre interés y capital. Ahora deduciremos una fórmula muy útil que nos da el tiempo nece­ sario para amortizar una hipoteca. Para este propósito sean R i n M

= el pago anual, — la tasa mensual de interés, = número de meses necesario para amortizar la hipoteca, = valor original de la hipoteca.

Por el teorema 4 (Art. 17.4), haciendo A — M , la fórmula para el valor actual de una anualidad «a m

Entonces

II

y también

¿ Jos

de donde

- r '-

(1 - i ) - = 1 — i

M¡ R

(i+O*

v turnando logaritmos. n lug ( l 1 íl

Mi

R — Mi R

Aplicaciones de las anualidades

415

de donde se obtiene la fórmula buscada m ( )

_ Jog n — log ( R — Mi ) logO ■*■«•)

lija n pío 3. Calcular el número de meses necesario para amortizar una hipoteca d e $1 000 por medio de pngoi mensuales iguales de $10, cobrándose un interés anual de* 6 % . solución . Aquí, R = 10, i = 0.005, y M = 1000. Sustituyendo atos vnloir* en la relación ( 1 ) , obtenemos

n

Iqgf 10 — log { 1 0 — 5 ) l og (1 + 0.005)

139 meses (aproximadamente).

E JE R C IC IO S. G R U P O 65 1. Pn el Teorema í del Ar< 17.4, drmoitrar que A = Í ( 1 -r i) '". Compro­ bar rita íArmula con el ejemplo del articulo 17 4. 2. Utilizando logaritmos obtrnrr el valor ilcl monto S en rl ejemplo del Art. 17.4. 3 Utilizando el teorema del binomio obtener rl valor del monto S cu el ejemplo del Art. 17.4. En cada uno de los ejercicio* 4-7, i almiar el monto y el valor actual de la anualidad de*, rita.

4. Pato* trúnrttralrs de $200 por 4 año*, tasa noni.ii.il de intexés igual a 65*. 5. Pagos ar.ua.n dr $503 por 10 año*, tasa nominal de interne igual a 4 % . 6. Pago* semestrales de $400 per 12 año*, tasa nominal de interés igual a 5% . 7. Pago* an ide* «Je $300 por 6 años, tara nominal de íntrrri igual a 3 % . 8. Calcular el valor de lo» pagos trimestrales que deben ha* ene para cJv I w r $2 000 a| final dr 5 años siendo la tasa nomiml dr inlrrri igual a 6 % . 9. -Calcular el valor gem a de la Anualidad descrita m el ejercicio B.

10. Si una anualidad continúa por tiempo ilimitado *«• llama p*rpttuidcd. E«le hecho puede intlirarse simbólicamente escribiendo n —* oo. Uaar la fórmula (•«I del Art. 17.4 para demostrar que el valor actual «l<- una perpetuidad es igual a /ir*. 11. Usar el m ultado del rjrrricio 10 para hallar el valor actual de una per­ petuidad de S1 01)0 ieme»1 r.ile« ron tasa nominal de interés de 4 % 12. * Una perpetuidad cuyo valor actual es $10 000 paga $125 trimestrales, (¡aladar I* tata tinmiiusl dr interés. 13. Una períoca de*ea formar un fondo de $8 000, que esté disponible den­ te i de 15 año* para li educa* ióa de su hijo. Calcular cuinlo debe depr>«itar *n rl banco al Piñal de cada semestre si el interés se rapitalira sen-.ntmímente y la lata nominal eg de 4 % . 14 Hallar r| número de pagos trimettndrt de $100 rada uno que deben »n • par» obtener la suma de $6 000 tiendo la tata nominal «le interés igual a «<$, I 5 Calcular el número dr pagos trmrsualrt de $ 100 cada uno deben hacer-

414

Interes y anualida«le»

«e pai * olvuivrt una tuitu cayo valor actual es de $2 700 deudo le tasa, nominal de inteiV» igual a 5 * í. 16. Una prnorui petrr un bono que vente dentro de 10 «ño* y que paga dtYukndua semestrales re $ 2 0 rada uno. Conforme #e recibe «ada dividendo, se le invierte ron una lata nominal de l fí rapitaleando arinrilialirtetite. Hallar el monto dr rata ¡ntrriión en la fecha de rrdmrión del Unto 17. Un bono tuvo valor de redención al linal de 10 a ñ a r» $2 000. lleva 20 cuponrs. tiendo el valor de cada uno $400 arMirslralaa Calcular el valor ac­ tual. tanto de lo* capone* como del bono, usando un» uu. nominal de Yjr capi­ talizando scnicstralmrnU'. IB. Para «onstruir tina escuela, una ciudad obtiene $¿1)0 01)1) por medio de una rumión ele bono* <jur vence en 15 años. Calcular !u cantidad que debe depo­ sitarse *» meannlinente en un fondo de amortización para redimir dicha omisión, ii el míen'* pagado sobre los depósitos corresponde a una-tasa «le IVí capitalizan­ do seniMtralwente. 19. l ila rompaflh »abe que la vida útil de un camión e» H años, al final dr lo* cual'** rl coito «1** reemplazo e» $5 000. Calcular la cantidad que debe invertirse trimestralmente c*m tasa nominal de 6 ^ para acumular el coito de reefcpiaao. 20 l na (inuiiu «cuerea pagar una deuda dr $0 000 con un solo pago al final dr 5 aAoi Si utiliaa un fondo de amortización para este propósito, calcular cuánto d el* nvertil wmesrrabnente con tata nominal dr 5?* «apitalbar.do «emestrolinrnlr 21. Si en el r;rn ieto 20 la persona debe pinar también un interés semestral con Uía nommn’. de \ 'c. ¿cuál e* el jwgo sruesc «I necesario.’ 22 Una persona desea uinortizai una deuda de $10 000 en I .iflo», por me­ dio ilt* pagos anuales iguale», Calcular el valor del pago anual s: la tara de interés rs ■■•'/r »i se capitaliza anualmente. 23. Construir la tabla dr amoi lización correspondiente al ejercicio 22. 24 Una compañía pide un préstamo dr $50 000 para modernizar mi instalarió i Para amortizar esta deuda m It'nri pagos trimestrales iguales |»i un p» rlodo de 2 años. Calcular el va or tír lo* pago» si la tasa anual es 6*/í Capittili/aii do trimciuralmentt 25 Consuuir la tabla de ainorti
Apéndice I Lista de obras de consulta y datos

A

II Mugraria

A continuación se da una pcq leña liil.v dr abra» dr romulta. En ella» to en•i.miran muchos tenias del álgebra que no están induidos en este libro Ella lista debe considerarse como una sugereni i.i complementaria, de ningún moda rxliausiiva. ya que hay muchos o:ro» libros que pueden ser también útiles e ul'or* unitivo» al lector. Il.trunid. S y J M, Child, H igher Algebra. Londres: Mamullan and Co., I94fi. II'll E I'., M atkem olies, Q uera ittui S en nm uf S tu n cs. Nueva York: McGraw*

HUI Book Cu

1951

Chrys*-d, G . A l f i l " , ¿ voiúmroei. Londres: A y C Black, Lid. 1926. Goolidgt, J L , A * /itr«ntirfhin fo Probabuity Nueva York: Oxford Urjvertily Prew. 1925. Dicksmi. L. E.. S en F in í Cow%e m ¡he T I w ) o f Equ.ition* Nun*» York: John W iley and Sons

1959

Fr>. f C ., P>cté.bilfir (icom elry. Nueva York John Wiley nn A igebia lor ih e Undergradnale. Nueva Yoik Jitlm Wilev and Son». HM'I *'• itwonh. W \ C k c u e and (Manee. Nueva York: Rrprinl l»> Sierheil-llaíner lin.. |9t59 '•Ming J. IV., L l l s r o «a FuméammUU C n c e p is é l ilg ebea and C evm etr-. N.irva York. 'I lir hltumillan O » , I9 U , 115

•íló

Apéndice I

B. Trigonometría. I. DrriMiuoNES mt LA* puncioncs tmoo NOMÍTsioa* . Sr.» h un Angulo tal que 360“ • (» -• 3f>0“. Pañi drlinir c»tr Angulo y luí (uncionei trigonométrica» r* conveniente utilizar un ¿«tema dr coordinada* rectangulares La* Indicaciones «¡guíente» »on aplicable» a cada una dr la. cuatro poridnnes que «r ven rn U fi­ gura 43.

(di Fio 45

Si una Unea recta, que originalmente coincide con el eje X . gira ea el plano coordenado X Y . alrededor del origen O. hasta llegar a una nueva posición 0 .4 , se dice que se ha generado d Angulo XOA - 9, que tiene el led o n ieU l OA' y el ¡ad e tt m in a l OA. Si la rotación es un senado contrario al eiro de las maneci­ llas de un reloj, se dice entonces que el ángulo generado es fo r itio o ; para rotaaoík » en ei sentido que giran las manecillas de un reloj sr cLce entonces que el ángulo es negativo (ángulos señalados con lineas punir acas en las figuras}. Se dice que el ángulo pertenece al mismo cuadrante en que cae su lado terminal. Sobre el lado terminal OA tómese cualquier punto P distinto d e O y con coordenadas (x, y ). De P. trácese PBr perpendicular al eje X. El segmento O P se llama redio vector, designado por r, se toma siempre como potiiivo. En d triángulo OPB, OB — x y PB — y tienen k » ¿«no» de las coordenadas del punto P canso se indica para cada uno de los cuatro cuadrantes Entonce», independiente­ mente del cuadrante en que caiga 9, las seis funciones trigonométricas de 9 te

Ltsca de obras de consulta y datos

417

d e 'ic e e lamo en valor absoluto romo en signo, por rredia de los siguientes có­ rlenles: ,

seno d e# : sen 9 = -

X

tangente de #: lar. 9 —■-

coseno de 9 : co* # — r * * cotangente de #: col # — -

secante de 9 : ser # — -

. r cosecante ce #: esc i — -

r

X

y

X

y

Ella* definiciones sor también válidas para ángulos poútivus y negativos con valor absoluto mayor que 360* 2.

lD tN TU >A U £.¿ T W O O 'iO M É T aiC .V J

1

rr M U V IH T A IX S

1

L

« * - -----, *« #= ------. t o t í = ----«a #

sen5 6 + coa? » — I. 3.

F ó n t r c iA s

sen ?0 ven (180* ven <270* »rn Í35C*

d e

un

ros 6

9

I f un-* # = sec5 5.

sen

*

tan i ----------. co* 9 ‘ I + CCK- 9 = CSC* #.

ju d u c o ó m

± = eos #, ces ( 90* ± « ) = — sen S, u n (9 0 * = í ) ± 9) i p í e n r coi (180* = * ) ----- -ros #, ± S ) ------ eo s 9. eos (270° = » ) - ±sen #, Un '2 7 0 a = 9 ) = 9) = ± s e o # , co» = #) - c t* #. un

— co: #, un (1 8 0 * = 9 ) - ± ^ c o t #. 'S 6 0 * i : #) —± u n # .

4 . M r D !C J¿ s n r á n g u l o s e x raím an os . Sea 9 un ángulo centra! que ¡nterrepta un arco de lorgilid i en un rin ulo de radio r. Entonces b medida del

iinfulo Q en r/uiittnei te define «orno t»

r

. Obsérvese que rsie cociente es un núma-

( f i n u n id a d e s ) y« «pie t y t son lo n g itu d es. D e ln d e fin ic ió n d e m e d id a r n n«■ll.mes »e oiit f t i e e n « m u id a Iti re la c ió n d r r o n v m i ó n : "

sr radianes** 180* «Ir d o n d e

I radian--

180"

-*fT

.*>7.2938° (aproximadamente),

•- 57M 7'43" (aproximadamente),

sr I m r r z radianes — 0.017153 radianes (aproximadamente). líifj

r»

FUNCIONUll TRItKJHOM^TRICAR DE Á\C>UI.O* NOTAIIU.H A m iu la 9 «-ii

«rn í» Radium-* 0

ir 6 ir 4

ir 3 % 2

coa *

t.in 0

Grado» 0°

0

1

0

30*

V4

v iV s

HV3

43*

%V2

v ¿V 7

,

60°

HVs

%

V»

90*

1

0

Apéndice I

•ÍIH 6 .

F ó r m u l a s

f a s a

SU M A

r

o *

r e s t a

á n g u l o s

•en ’x ± jr) = wn x cas y - u n sen >, eos 'x ± jr) * ros x CDR> ^ sen * srti >, un x - u t| u n

'x

±

jp

)

—

-------------------------------------------- . 1

q ;

u n

X

ta n

y

7. F órmulas vara f.i . Ánoulo noRtt. 2 «en * eos x, eos 2 t = *«s- x — sen-x — I — 2 »rn; * — 2 en»- x — 1, 2 Un «

Un 2 i * Jl

F ó r m u l a s

sea

X -

2

f a x a

X

i

ue: x a

1 1

—

Un - — 2 C.

I

-4-

m it a d

I

o

* l

á n g u l o

co* X 2 ■

X

co* - — 2

±

l/ l-C U S* _ rn x __ 1 1 F cosx 1 4 cosx

l/ 1 4- eos x 1 sea x sen x

El alfabeto friego

A B r A K Z II H

a xlpha |l beta y fam nu S delta i épsilou X, reta ti eta 0 thotu

I A A M N S 11 II

l iota x luppa >. lainbda |i ni> v nv 5 xi n uiniirón n pi

P o ro X o sigma T T Uu T *• Ípsilon * f» x z j¡ 'V v !**• (1 id nmrg.i

Apéndice II Tablas

Apéndice II

420 I .

rr x c ow u

t r i o o s o m

é t ii c a s

s a

t ú

r a

l a

Radiir.t-í

Grados

Seo»

C««nc

T ar-smlr

0000

0 .0

.0000

1.0000

.0000

—

9 0 .0

1.5708

.0067 .0175 .0262 .0349 .0436

0 .5 1 .0 1.5 2 .0 2 .5

.0067 .0175 .0262 .0349 .0436

1.0000 .9998 *.9997 .9994 .9990

.0087 .0175 .0262 .0345 .0437

114.5887 57.29U0 38.1885 28 0363 22.9038

89.5 8 9 .0 88.5 8 8 .0 87.5

1.5621 1.5533 1 5440 1 5350 1.5272

.0524 .01.11 .0696 .0785 .0673

3 .0 3 .5 4 .0 4 .5 5 .0

.0523 .0010 .0098 .0785 .0672

.9986 . ‘*981 .9976 .9969 .9562

.0524 .0612 .0699 .0787 .0875

19.0811 16.3499 14.3007 12.70G2 11.4301

8 7 .0 86.5 8 6 .0 6 5 .5 6 5 .0

1.51.84 1.5097 1.501» 1.4923 1.4S35

.0060 .1047 .1134 .1222 .1300

5 5 6 .0 6 .5 7 .0 7 .5

.0958 .1045 .1132 .1219 .1305

.9954 .9945 .9036 .9925 .9914

.0963 .1051 .1139 .1228 .1317

10 3854 9.5144 6 7769 8.1443 7.5958

84.5 8 4 .0 8 3 .5 8 3 .0 8 2 .5

1.4748 1.4001 1.4574 1 4180 1.4399

.1396 .1484 .1571 .1658 .1745

6 .0 8 .5 9 .0 9 .5 10.0

.1392 .1478 .1564 .1650 .1736

.9903 .9880 .9877 .9863 .9848

.1405 .1495 .1584 .1673 .1763

7.1154 6.6912 6.3133 5.9753 5.6713

8 2 .0 8 1 .5 8 1 .0 S o .5 8 0 .0

1.4312 1 4224 1.4137 i 4050 1.3963

. 1833 . 1020 .2007 .2094 .2182

10.5 11.0 l l .f i 12.0 12.fi

.1822 1908 . 1994 . 2070 .21(14

,9833 .0816 .0700 .9781 .9703

.1853 .1944 .2035 .2120 .2217

5.3055 5 1446 4.9162 4.71)46 4.6107

70.fi 7 0 .0 78.5 78.0 77.5

1.3875 1.3788 1.3701 1.3111 l 1.3620

.2209 .2350 ,2443 .2631 .2018

13.0 13.5 14.0 I4.fi 15.0

.2250 .2334 .2419 . 2804 .2588

.974-1 .9724 .9703 .11081 .9059

2300 2401 .2403 .258*1 .2(179

4.3316 4.1663 4.0108 3.8667 3.7321

77.0 70.5 70.0 75.5 75.0

1.3430 1.3362 1.3266 1.3177 1.3091)

.2706 .2703 .2680 .2007 .3054

15.5 16.11 10.5 17.0 17.5

.2672 .2756 .2840 .2924 .3007

.1)630 .9613 .95RH .9563 .9537

.2773 . 2867 .2062 . 3067 .3153

3.6050 3.4874 3.3750 3.2700 3.1710

74.5 7 1 .0 73.5 73.0 72.5

1.3003 1.2915 1.2828 1.2741 1.2054

.3142 .3220 .3316 .3403 .3401

18 0 18 5 11) 0 11). 6 20.0

.3000 .3173 .3256 .3338 .342»

.9511 .0483 .9455 .0426 .9397

.3240 .3346 .8443 .3541 .3640

3.0777 2,9887 2.9042 2.8230 2.7475

72.0 71.5 7 1 .0 70.fi 7 0 .0

1,2506 1.2479 1.2392 1.2305 1.2217

.3578 .3005 .3752 3840 .3927

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Apéndice II

423

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Apéndice II

424 3.

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Apéndice II

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Respuestas a los ejercidos ríe número impar

G R U PO |, pp. 19-20 a»

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Respuestas a los ejercicios de número impar

432

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Respuestas a les ejercicio» de número impar

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Respuestas a lo s ejercicios de número impar

435

G RU PO 30, pp. 196-197

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.9 Si.

Respuestas a los ejercidos de número impar

436

GRUPO 37, pp. 244-2*5 I 1 ,2 ,3 . 3. 0, 4, — 2. 5. ± 1 , ± 2 . 7. 4, — 3, 2 < * < 3, — I < x < 0. 9 2 , — 1 .5 < * < 6 , - 4 < * < — 3. II. ± 2 . 13. I, 1. 1, — 2, — 2. 19. 1 < * < 2, * > 3. 21. * > ! , * < — 2. 23. — 2 < * < I, * > 3. GRUPO 38, pp. 248 249 I . *=■ — 2** — * + 2 - 0. 3. x 4 — x*16*!* + 4* + 4« - 0. 5. — 3** + 2 0. 7. *« — 6* a + 8x* - 2 * — 19. *• — 2 *<- - 6 *3 + 2 0 *2 — 19* + 6 - 0. I I . *« + *» — l l * » + 35 * _ 50 - 0. 13. — 1 , - 2 . 15. 2 ± ¿ 17. ± V 3 . 19. ± 2 i. 21. 2 ± V $ . 23. .4 - 2, B - 3. 25. A ------ 1, H = 1, C - — I.

GRUPO 39. pp. 251-252 I. I + «. — 3. 3. 2 — », 1, I. 5. — V I , — 1. 7. 3 — \/2. 1, 2. 9. - i . 1 + 2/. 5. 11 0, 2 \/2, 2 — 2». 13. x* — 4*= — 2 * + 2 0 - 0 . 15. * * — 4 ** + 2 4 * * — 16* + 80 - 0. 17 *« 3*» — 9x! + 25x — 6 - 0. 19 ( * — 2 ) ( * * + 5* 4- 7 ). 21. (x + l ) { * * + * + I ) . 23 ( 2 * - ! } ( * — 2 ){ x * 2* - 1 ) . GRUPO 40. pp. 255-256 I. I po»., I neg., 2 complrjas. 3. 2 pos., I neg. ;1 neg., 2 complejas. 5. 6 complejas. 7. 1 nula, 4 complejas. 9. ± 1 , 6 complejas. I I . 8 complejas. 13. 2 nulas, 3 pos.; 2 nulas, 1 pos.. 2 complejas. 15. 3 pos., 2 neg., 4 complejas; I pos., 2 neg., 6 complejas; 3 pos., 6 complejas; I pos., 8 complrjas.23 GRUPO 41, p. 260 3. 4.

1

3. —. 3

1 1 . 0, 0,

1

2

5. —. —, — 6 . l 3

1 , 2. ± V 2¿

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2

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7 3, — 5, — 1,

1 3

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21 3.

1

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3

3

1 9 0 * T2 »

1 I ± V’7i 15. -- 3 , - . ------- -

6

23 — 1,, - . 3

2

29 3 cm.

G RU PO 42, pp. 267-268 9 — 1.24. l . 2.6. 3. 1.1 5. 2.5. 7. 3.4. 13. jr-i _ x* — 26* + 24 - 0. 15. * s 6* * — 12* + 1 1 2 - 0 . 19. 2x« — 6* s — 7** + 1 2 - 0 . 21 x* 4 3*» + 2x- + * + 1 - 0. 23. x3 — 10** + 9 * + 56 = 0. 25. x3 — x* — 9x + 9 - 0. 29. 3x' 4 5x* 34x — 24 0. 31 x* + 6 * :‘ + l l * 2 + 10* + I - 0. 33. 2 * ' I 3.06** + 1.0606* — 0 989698 - 0. 35. 3 * '— 1 3 **— 18* - 40 - 0

0.

Respuestas a los ejercidos de número impar

437

GRUPO 43. pp. 271-272 1 3 21 • 3- *-25. 5. 3.19. 7. 1.093. 9. 3.264. 19. 4.464. 21. 2.736. 23. 1.913. 25. — 3.271. 29. 1.075 cm., 2.9 cm.

I I . 2.157. 27. 1.933.

GRUPO 44. pp. 274-275

f-

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9 3, i , - 9 . ,,

1

3 2. 3. 4 ¡ t - 26.

5. 2, - 2 . í .

7. - 3 , - 3 , i.

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13. 1. 3, - 2 .

15. i

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G R U PO 45, p. 82

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3 9. x + l + --------- + _ 1 _ . * — 2 x - 3

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13. —- — + 1

3

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* + 1

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1 3 . ------------------ + --------x Xa xs X 4- 5 1 3 4X 4- 1 ( * + l)-* ‘

2

I

2

*4 -2 (x + 2 ) . " x - 1 ( * — I)*' 3 2 I 1 19. 2 4- - 4- — 4- — x x* x— I (x — I GRUPO 46, PP. 285-286 2 x— 1

x— 3

4-

x + l

n , 3. 15.

17. 19

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1 +

2 * + 1 . 3 . + X 1 2x 4 1 -

I

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* - 4- I 2x 4- I

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(x* 4- X + l ) t *

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1}* 2x

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x* — x 2x— 1

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xs 4- x 4- 1

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,-‘ + l x* 4- I

*4-2 2

2x

(x a 4- I)»

(x* + 1)'

x » S

17 0 28

Respuestas a los ejercidos de número impar

438

GRUPO 47, pp. 289-291 3. 16.

5 24.

7. 1980.

15. T

17.504.

9. 20; 25.

19. 421,200.

11. 60; 120;

21.13,333.984.

120.

13. 4 ;

23. 6720.

; Y.

8

25 1190.

GRUPO 48, pp. 293-295 5.

(a) 5040; (b) 7.

7. 10.

9. 2.

19. iP *-*-■ \ 21. 325. 23. 240. p!f» 31. 720. 33. (a) 5040: (b; 1440

17. 462. 29 2520

13. 51,840.

11- 720

25. 720.

15. 560. 27. 5760.

55. (a )720; (b) 240.

GRUPO 49. pp. 298-299 3

(a) 70; (b) 21.

19 720.

5.

8

.

7. 9.

9 2.

13. 1365.

21. (a) 495; (b) 330; (c) 210.

15. 1001.

23. 3150.

17. 11.

25. 861. 27. 36

29 714. GRUPO 50. pp. 306-307 7. 5775.

9. a t* 4-

14*

17. (a) 16; (b) 16

4- . . . 4- a .4.

11- 1 + 3 - 5 + 7.

19 (a} 20; (b) 42; (c) 63.

15. 15.

21. 70.

GRUPO 51, pp. 316-317 S. 3 . 2 .

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.5 .»

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>7. 326.

27 -3- .

29. $ 5.50.

31.

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39.

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19. $ 6.50. centavo..

11. C « ) i ; ( b ) i ¡ («>|. 2 1. 1 .

33. (a) ^

« .% . ; (b ) ~ .

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35.

* 4163

GRUPO 52, |«p. 322 324 25 9. ---- . 216 9 52 16 33. »

1

II. — . 72 5 27. — . 12

13.

15 _ 4 29 — . 17

j (b) M ; (c ) i ; (d)

39 $ 20, » 10, |3.

19. {■)

9'

31. (a) 0.72; (b) 0.02; (c) 0.18; (d) 0.08. J_ 24*

37. A. i

H.

3 i7 *

Respuesta» a los ejercicios «le número impar

439

GRUPO 53, pp. 333-333 3. 15.

3 7776' 459

7.

. „ 216 " 623 J 8585216

. 17. 312 ’ 9765625 MODO 29 4; 31. 59049 236

16

*

0.2646.

, 1053 19. ------. 3125

7

II.

13 3886 *

128 ' 5 25. 124

1

J , í-

y * . ’ 236

GRUPO 34, pp. 342-343

9. 2, —3.

I — |4. 3. —-28. 3. —3ex. 7 .* » — 6* — 3. 13 ( —3, 4). 13. No hay *oludón.

1 1 .(3 .—2).

GRUPO 33, pp. 330-352 I. 73. 3. 107. 3. 16. 7. 48. 9. 2,3. II. ( 3 ,1 ,2 ). 13. (0, 0. 0). 33. * — 2y - 2 - 0 . 33. 13.

13. (2, 6 , —2).

GRUPO 56. pp. 360-363 9 7. II. 1 + a» + y» +• *». 13. —24. 13. 3. 17. 1288. 23. Rr» 4 6 y« — 32jr — 2Sy- 34 - 0. 29.40. 31. (a — b) ( 6 — c) (e — a). 33. (« — 5)(o *)(• — H)(b — c)(b «/), GRUPO 57, pp. 372-373 1 ( 3 ,- 1 ,2 ) .

5. ( - 3 , 0 , 1 ) .

15 1:2:— 1:3.

7. U P— 1 .3 ,2 1 .

17 (I, 2. — 1, |).

19. 1. 12, 5; 2, 10, 6 ; 3, 8 : 7: 4, 6 , 8 ; 5, 4, 9; 23. * - 1 , (2, 2 , - 1 ) .

6,

9 (2, - 1 . 0. 2, 0).

2. 10.

21. (3, 2. 1).

GRUPO 58, p. 379 1 I lof, 16 - 4. 3 log»'.- » 1 0 -» -0 .1 . 21. 64.

I I. BV. - 4.

2

5. loe,x — y. 13.3.

15.4.

7. 10* = 100. 17 10.

19 -

25 j - 1 - lo?ia 7 -

•íRUPO 59.

p.

384

• l“ffc (* + I) + loe* (jr— 1) — Jog* > + 2) — loe* »> — 2). II Iur* x + 2 log* [x + 2) — 4 log* (x — 2. 11 ^ l k » g 6 Ú * + 1 ) — Io r . <x* + 2 ) ] .

13 4

17. 0.72.

19. (a) 3; (bj 4.

23. x — log* ----- 25. x — log*

„ y

21. x - log^y— 2.

y 4-1

.

27. x = ——— . 6' — i

Respuestas a los ejercicios de número impar

440

GRUPO 60. pp. 589-390 5

J. 7 .1 .- 2 . » 1 15 - b 2. 17. Id 2. 2

19. - b . 2.

25 - C R l n ( - ^ f ^ ) .

35.

*= — r* - *

25 4.

37 *> - ay*.

" + logre — lo g a . 2 1 . ------- — --------- r

27. 5.

29 5.

39 4*> + 4y=

51. S.

3 5 .2 .

z* - 0.

GRUPO 61. pp. 397-398 1 4.322. 3. 1.167. 5. 1 099. 7. 2.332. 11. 177.8. 13. 1.695 15. 2.894 17. 1 909 19. 159 7. 21. 7791. 23. 1.802. 25 0.2918. 27. 0 8096 rn*. 29 12.95 on*. 4.380 cm*. 31. 16 98. 33. 2-457 >egs. GRUPO 62, pp. 406-407 1 $15.

13.2*4%.

3. $ 762.50. 17. $ 6 0 9

5. $990 .9 0 . 7. 394. 9. 6.19% . 19 $ 4 8 6 .7 2 . 21.$ 4 4 3 8 .5 5 . 23

25. 15.73 añus27. 14.07 años. 29.j « ( 1 33

II. 25 atos. $ 2693.80.

+ - ) — I ; r - *[1 + j) '* — 1

1.09344.

GRUPO 63. pp. 413-414 3. $3210.81 9 .5

1484.94.

19. $ 122.89.

5. $6003.05; $4053.43, 7 $1940.52; $1625.16. 11. $50,000. 13 $ 197.20. 13.11. 17. $1844.11. 21. $633.55. 29. $ 111.02.

Indice

Característica, logaritmo» comunc»,

Abirisa, 76 Adición, Z 13 tic fracciones, 41* ilr números compleja», 172 ilc radicales 58 su representación geométrica, 177 Alfabeto griego, 418 Algebra, tu estructura, 8 ile cu ilcniionet, 9 ile m atrices 9 ile números complejo», 10 sistemas de números usados en, 2 su naturaleza, 7 tu teorema fundamental, 245 su* fundamentos, I sus postulados. 3 Amortización, loado de, 410 labia de, 410 Amplitud, 179 Antilogaritmo, 293 Anualidad. 407 ordinaria, 407 Anualidades, fus aplicaciones, 410 Argumento, 179 Aproximación de raíces irraciona­ les, 261 Asíntotas, 209

O r o de una fundón, 79, 83 O r o , su definición, 3 Circunferencia, su ecuación, 124 Cociente, 4, 30 Coeficiente, 12 Coeficiente» huiomialc*, Iíi.l Coeficiente binomi.il, 305 su valor máximo, 305 Coeficientes del desarrollo de la jk >t enei a
Barra. 13 Bibliografía, 415 Binomio, 12 irracional cuadrático, 251 ley d d . 326 su desarrollo, 328 Bríggs. sistema de (logaritmos), 385 Cálculo logarítmico. 395 Campo de números. 38 irreducible, 39 reduriblr, 39 Capital, 399 Capitalizaríón continua, 405 periodo de. 401

De Moivre, teorema de, 184 Denominador. 4. 44 441

Indice

442

Depredación, fondo de, 410 Descurtes, regla de lo» signo» tío,

252, 253

Desarrollo binomial, 159, 104 del binomio, 323 DesiRiuiUlad, 135 relación de orden, 165 su sentido, 136 nú» propiedades, 136 Delerininames, 337 de cualquier orden, 352 drl dilema, 139, 304 de orden n, 337 de negando orden, 33B de tercer orden, 332 diagonal principal, VtB »u cálculo, 347 »u desarrollo, 344 tus elementos, 336 nus propiedades, 140 Diagonal principal de un determi­ nante, 33B Diferencia, 14 tabular, 393 Distribución de frecuencias, simples, 332 acumulativas, 332 binórrJca, SS3 normal, 333 Discriminante de la ecuación cua­ drática, 107 Dividendo, 4, 30 División, 4, JO exacta, 36 de fracciones, 47 de números complejos, 172 de subconjuntos, 259 regla de los signos, 32 sintética, 235 su definición. 30 su procedimiento, 35 Divisor, 4, 30 Ecuación completa, 252 condicional, B l, 82 con fracciones. 86 con radicales. 115 cuadrática ron una incógnita, 101 cuadrática o de 2‘ grado, 101 defectuosa, 85 de primer erado, 85 de segundo grado con dos varia­ bles, 123 entera racional, 233 entera, sus características, 244

idéntica, 81, B2 indeterminada, 92 incompleto, 252 lineal, 85 lineal ron dos incógnitas, Bl redunda, 247 ni forma canónica, 101 su gráfica, 78 m i fórmula, 103 sus uiirinbros, 81 su* propiedades, 107 Ecuaciones de forma cuadrática, 113 equivalentes, 83 lineales, «¡Urinas de, 363 logarítmicas, 288 su transformación, 263 Eje, 75 de lo* números Imaginarios, 176 de lo» números reales, 176 Elimina' ion. 92 Elipse, su ecuac ión, 124 Enteros, 2, 3 Expolíente, 5 cero, 54 fraccionario, 53 negativo, 54 racional, 54 Exponentes, sus leyes, 25, 33, 45, 51, 52 Expresión algebraica, 9, 11, 12 cuadrática, su redudbUidad. 110 Extensión de una gráfica, 207 Extremos de la progresión geomé­ trica, 220 de una progresión aritmética, 216 Factoriración, 39 Factorial, 160 Factor de racionalización, 60 Fondo de amortización. 410 Forma polar, 179 completa de un número complejo, 189 Fórmula del binomio. 159 de la ecuación de 2* grado, 104 Fracción impropia, 45 propia. 45 Frardones, 4, 44 compuestas, 48 decimales periódicas, 231 parciales. 277 simples, 44, 45 Frecuencia, su definición, 312 Función algrbruioa. 72, 73 de varias variables, 69

Indice explícita. 69 implícita. «59 inversa, 6f* multiforme, 69 uniforme. 78 Función aritmética, su gráfica. 117 continua, 376 cuadrática, 101 exponencial. 375 su gráfica, 376 5*is características, 376 lineal. 81 racional entera, 81 logarítmica, 377 su base, 378 5*1 (trafica. 378 rarional entera. 73 exponencial, 74 irracional, 73 logarítmica. 74 trascendente, 74 trigonométrica, 74 mi cero, 79 su clasificación, 72 su definición, 68 su notación, 69 su representación gráfica, 77 Cirado de los polinomios, 12 Grado de un termino. 12 ClrMica de una ecuación, 78 dr un polinomio, 140 Grupo, 189 llipérlioln, su ecuación, 125 Horner. método de aproximación de 268 Identidad, 81, 82 Inecuación, 135, 136 Inri uaciones cuadráticas o de segun­ do grado, 143 lineales, o de primer umita, 142 su representación, gráfica, 143, 144 Inducción matemática, 153 Indice, 52 Interés continuo, •loó compuesto, 401 simple, 399 tasa de, 399 periodo de, 399 Ifltcrcrp* mu dr una curva, 206 Interpolación lineal, 261 de logaritilion, 393 Inversión, 153

445 Ley asociativa de la multiplicación, 21 de la adición, 13 conmutativa de la adición, 13 de la multiplicación, 21 del binomio, 326 de los radicales, 57 de los exponentes, 25, 33, 45, 52 Límite. 226 Llave. 12 Localización de un punto, 76 Logaritmo, 375 cambio de Lose. 382 módulo, 382 sus características, 377 su definición, 377 sus propiedades fundamentales, sus sistemas, 385 Logaritmos decimales, cálculo con. 395 naturales, 385 tablas de, 390, 420 Lugar geométrico, 7B

Mantisa, 391 Matrices. 337 Matriz, 9 Máximos, 120 Máximo común divisor, 65 Medio aritmético, 216 armónico, 223 geométrico, 221 Menor, 344 denominador, común, 47 Método dr llornrr, 268 Mínimo*. 120 Minimo común múltiplo, 43 Minuendo, 14 Módulo, 179 del sutemu dr logaritmos, 382 logarítmico, 386 Monomio, 12 Monto, 400 compuesto, 401 tullías de, 424 Monto de una anualidad, 407 Monto dr una anualidad, tablas dr, 426 Mortalidad, tabla de, 315 Muitinomio, 12 Multiplicación, 2 su* leyes, 21 dr números complejos, 172 dr radicales, 58 propirdnd conmutativa, 9

444

Indice

regla de los signos, 24 Multiplicador. 21 Multiplicando, 21 Neper, sistema de (logaritm os), 385 Numerador, 444 Números complejos, 6, 1(59 su forma canónica, 172 su representación polar, 178 su representación rectangular. 175 conjugados, 107, l? l hipercomplejos, 9 imaginarios puros. 170 irracionales, 5 negativo, 171 Números negativos, 15 correspondiente, 15, 16 Números no negativos, 18 positivos, 15, 16 racionales, 4 reales, 6 Ocurrencias, número de, 313 Operaciones racionales, 65 algebraicas, 7, 11 Oportunidad, 312 Ordenada, 76 Origen, del sistema de coordenadas, 75 Parábola, su ecuación. 118. 124 valor máximo, 118 valor mínimo, 118 vértice, 18 Parámetro, 67 Pascal, triángulo de. 163, 304 Paréntesis. 13 rectangular, 13 Periodo de anualidad, 407 de interés, 401 Permutaciones, 287 sil número, 291 circular o cíclica, 293 Polinomio, 12, 73 homogéneo, 12 su gráfica, 210 sus características, 244 Postulados, 1, 2 Potenciación, 5 Potenciación de números complejos, 183 Potencia de un número, 5 Probabilidad, 309 a p o iferiorí, 313

a priori, 3 11 curva de, 330, 332, 333 empírica, 313 estadística, 313 definiciones, 310 Proceso algebraico, 8 Producto, 3, 21 de fracciones, 47 Progresión armónica, 222 aritm ética, 214 geométrica, 218 su diferencia, 211 su razón, 218 su suma, 219 geométrica infinita, 226 Progresiones, 213 Proporcionalidad, constante de, 200 Propiedad conmutativa de la multi­ plicación, 9 divisor», de la igualdad, 30 distributiva, de la multiplicación, 9 sustracriva de la igualdad, 11 Pruebas repetidas, 324 Racionalización de denominador, 5?, 60 Radicación, 5 de números complejos, 185 Radical de una raíz, 5 Radicales, 56 su orden, 56 sus leyes, 57. Radicando, 56 Ratees extrañas, 84 Raíces y coeficientes, sus relaciones, 272 racionales, 256 irracionales, 261 su naturaleza, 249 Raíz de índice. 52 de multiplicidad, 242 de una ecuación, 82 de una ecuación, su número, 245 principal, 52 Radicales semejantes, 58 Razón, i 99 Recíproco de fracciones, 17 Recíproco, 32 Redundante, 84 Rcducibilidad de la expresión cua­ drática, 110 Regla de Cramer, 365 de los signos de Descartes, 252, 253

Indice Representación geométrica de la su­ ma de números complejos, 17? polar de números complejos, 178 Residuo de la división, 36 Secciones cónicas, 124 Sienas radical, 52 Signos de radicales, 114 Serie infinita, 163, 228 convergente, 228 divergente, 229 geométrica, infinita, 228 su suma, 228, 230 Simplificación de fracciones, 46 de radicales, 57 S.stema compatible de ecuaciones li­ néalas, 94 de Briggs (logaritm os), 385 defectuoso, 369 dependiente, 95, 367 de ecuaciones lineales, 363 de ecuaciones dr segundo grado, 125 dr ecuaciones lineales, 92 d< ecuaciones simétricas, 131 dr logaritmos, 385 dr numeras usadas en álgebra, 2 dr números racionales, 4 dr números reales, 5. 6 de números complejos, 7 eliminante, 371 natural (Xeperiano) de logarit­ mos 385 homogéneo, 99 incompatible, 367 incompatible de ecuaciones linea­ les 95 no homogéneo, 367 redundante, 370 Saín, ián algebraica, 233 común, 92 de una ecuación, 82 gráfica dr ecuaciones lineales 94 por radicales, 233 trivial, 367 imu a, 93 Mitin onjunto, 170 división rn. 299 Auliradu «I, 56 Muí i dón, 213 finita, 213 infinita, 213 M\u .m« rom puesto», 318 •I.•pendil-mes 319

445 independientes, 318 mutuamente, rxcluyrntcs, 321 simples, 313 Suma, 3 algebraica, 12 notación para, 302 Sustracción, 14 su definición, 14 de fracciones, 46 de números com plejos 172 su representación gráfica, 178 Smtracndo, 14

T ab la dr amortización, 4 1 1 dr logaritmos, 390 de logaritmos naturales, 420 de mortalidad, 315 de monto compuesto, 424 de monto de un anualidad, 426 Término de la anualidad, 40? Tasa de interés, 399 efectiva, 404 nominal, 402 Teorema del binomio, 159 dr De Moivre, 184 fundamental del álgebra, 245 del factor, 236 del residuo, 235 Teoría de las ecuaciones, 233 Térm ino algebraico, 11 máximo del desarrollo del bino­ mio, 328 principal de un determinante, 353 racional entero. 12 semejantes, 12 su grado, 12 Transformación de ecuaciones, 263 Transposición de términos, 85 Triángulo de Pascal, 163, 304 Trigonometría, definiciones, 416 fórmulas, 417 tabla» de logaritmos, 420 Trinomio, 12 Unidad, 32 Imaginaria, 6, 170 V alor absoluto, 15 de un número complejo, 379 Valor actual. 400 de una anualidad, 409 del monto compuesto, 402 Valores critico» de inecuaciones, 144 Valor más probable, 329 Variable, 67

«

Indice

446 su dominio, 67 compleja, sus funciones. 194 dependiente, 63 independiente, 68 Variación, lí** funcional, 199 especial o proporcional, 199 directa, 199 inversa. 200

’

combinada, 200 conjunta, 200 m las funciones algebraicas, 206 V ariación en sifno, 253 Vectores, 191 Vinculo, 13 Yarbrough, 318

ESTA O M IA SE TERMINO DE IMPRIMIN EL DIA 74 DE M A R Z O DE 197?. E N IO S T A U ER ES DE IITH O OFFSET VICTO RIA, S. A , O E R A N IO 284. M E X IC O ». D F. LA E D IC IO N C O N S T A DE 3,000 EJEMPLARES M A S SO BRANTES PA R A REPO SICION.

t. 100