Algebra Lineal. Autor Mario Errol Chavez Gordillo.pdf



a11

a12 · · · .. .

  a12  ..  .   a 1j   ..  .   a  1k  ..  .    a1,n−1 a1n a2n · · ·

a1j

ajj .. . ajk

···

a1k

· · · a1,n−1

··· .. . ···

ajk .. .

ajn .. .

akk

akn .. .

Z ξττo s

..

.

· · · an−1,n

a1n a2n .. .

an−1,n ann

                 

ALGEBRA LINEAL Y TEOR´IA MATRICIAL Autor MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO La Paz - Bolivia 28 de Febrero del 2013

S

g+

+

g-

S

A

B

u W (s +)

W u(s -)

s

-

W ss(s0 )

s0

s+ W u(s0 )

-

´Indice general

1. Matrices

1

1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Matrices. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Matrices cuadradas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.4. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.5. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.6. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.7. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1.8. Representaci´on matricial de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . .

42

1.9. M´etodo de eliminaci´on de Gauss y de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.10. Aplicaci´on a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . .

57

1.11. Sistemas homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2. Determinantes

80

2.1. Introducci´on.- Permutaciones.- Inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

2.2. Definici´on de determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

2.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.4. M´etodos generales del c´alculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.4.1. Desarrollo de un determinante por Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.4.2. M´etodo de Chio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

i

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

ii

2.4.3. Determinante de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.5. C´alculo del rango usando determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.6. Regla de Cramer para resolver un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.7. Aplicaci´on a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 108 3. La matriz Inversa

132

3.1. Definici´on: Matrices Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.3. C´alculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.3.1. M´etodo de Escalonamiento de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.3.2. M´etodo de la Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.4. Aplicaci´on a la resoluci´on de ecuaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.5. Aplicaci´on a la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 149 3.6. M´etodo de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

email [email protected]

ii

R βo ιυατ

CAP´ITULO 1

Matrices

1.1.

Introducci´ on

Vamos a introducir unas notaciones para sistemas generales de m ecuaciones con n inc´ognitas que nos permitiran entender los grandes sistemas. Si se designan las inc´ognitas por x1 , ..., xn , un sistema de este tipo se escribe en la forma a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

(1.1)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde a11 , a12 ,..., amn con los coeficientes del sistema y b1 , b2 ,..., bm son los t´erminos independientes. N´otese cuidadosamente el orden de colocaci´on de los sub´ındices. Por ejemplo, a12 es el coeficiente de la primera variable x1 en la segunda ecuaci´on. En general aij es el coeficiente de la variable j−´esima xj en la i-´esima ecuaci´on. Algunos o muchos de estos coeficientes pueden ser cero. Una soluci´on del sistema (1.1) es un conjunto ordenado de n´ umeros s1 , s2 ,..., sn que verifica todas las ecuaciones simult´aneamente cuando se pone x1 = s1 , x2 = s2 ,..., xn = sn . Normalmente una soluci´on se designa por (s1 , s2 , ..., sn ). Si el sistema (1.1) tiene al menos una soluci´on se le llamar´a compatible caso contrario de le llamar´a incompatible. Hay programas de computador que comprueban que si un sistema como (1.1) es compatible y en caso afirmativo, hallan sus soluciones aunque tenga miles de ecuaciones e inc´ognitas. A pesar de esto, los administradores necesitan entender la teor´ıa de estos sistemas de ecuaciones para poder 1

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

2

crear razonamientos te´oricos y sacar conclusiones en relaci´on con los modelos lineales de este tipo. Ejemplo En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede llenar gasolina en tres estaciones de servicio A, B y C. El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 5 bs/litro y el precio de la gasolina en B de 4 bs/litro, pero ha olvidado el precio en C. (Supongamos que son “m” bs/litro). Tambi´en recuerda que: ❃ la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B super´ o en 936 bs. al gasto en C. ❄ el n´ umero de litros de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C. ❅ el gasto de litros en A super´o al de B en 252 bs. ① Plantea un sistema de ecuaciones (en funci´ on de “m”) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera. ② Estudiar la compatibilidad del sistema en funci´ on de “m”. ¿Puedes dar alg´ un precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C? Soluci´ on. ① Empecemos respondiendo a las siguientes preguntas: Cu´ales son las inc´ognitas?, ¿Qu´e tengo que buscar, averiguar o qu´e me preguntan?, ¿Qu´e datos me dan?, ¿Cu´ales son las condiciones del problema?. Sean x el n´ umero de litros que se ha consumido en la gasolinera A y el n´ umero de litros que se ha consumido en la gasolinera B z el n´ umero de litros que se ha consumido en la gasolinera C Entonces seg´ un las condiciones del problema tendremos:

(∗)

  5x + 4y = mz + 936 y = z  5x = 4y + 252

obteniendo

  5x + 4y − mz = 936 y−z = 0  5x − 4y = 252

Surgen las siguientes interrogantes: ¿C´omo resolvemos este sistema de ecuaciones?, ¿Qu´e significa resolver un sistema de ecuaciones?, ¿Las soluciones del sistema dependen del valor que tome la variable m?, ¿Para que valores de m, el sistema tiene una sola soluci´on, muchas soluciones, ninguna soluci´on o infinitas soluciones?. Primero de todo tratemos de responder a la pregunta: ¿Como saber que el sistema tiene soluci´on o no tiene soluci´on?, ¿conocemos alguna teor´ıa que pueda ayudarnos?. Si, la teor´ıa email [email protected]

2

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

3

matricial nos puede ayudar a resolverlo, empecemos transformando el sistema en la siguiente ecuaci´on matricial 

   5 4 −m x  0 1 −1   y  5 −4 0 z

=



 936  0  252

② Para estudiar la compatibilidad del sistema, llamemos a la matriz de coeficientes M y a la matriz aumentada con los t´erminos independientes Ma , es decir 

 5 4 −m M =  0 1 −1  5 −4 0



 5 4 −m 936 0  Ma =  0 1 −1 5 −4 0 252

Observemos que la matriz M es de orden 3 × 3. Ahora bien, el ´algebra lienal nos da la siguiente informaci´on: ☞ Si rango(M) = rango(Ma ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. ☞ Si rango(M) = rango(Ma ) < 3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. ☞ Si rango(M) 6= rango(Ma ), entonces el sistema no tiene soluciones. Ahora surge el problema de como calcular los rangos, observemos que la matriz M depende de la variable m. Se sabe que si |M| = 6 0, entonces rango(M) = rango(Ma ) = 3. Entonces es suficiente asegurar que el determinante de la matriz M no sea cero. ¿Como logramos esto?. Calculemos todos los valores de m para los cuales el determinante de M se haga cero, es decir resolvamos la ecuaci´on |M| = 0.

1 −1 − 4 5 −4 0

5 4 −m M = 0 1 −1 = 0 5 −4 0 0 1 0 −1 = 0 − m 5 0 5 −4

5[0 − 4] − 4[0 − (−5)] − m[0 − 5] = 0

5m = 40 m = 8

Si m 6= 8, entonces |M| = 6 0, por lo tanto rango(M) = rango(Ma ) = 3

email [email protected]

3

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

4

esto implica que el sistema (∗) tiene soluci´on u ´ nica. ¿C´omo hallamos esta soluci´on?. Tenemos al menos dos formas: m´etodo de Cramer o por el m´etodo de Gausa Jordan. Por ejemplo si m = 6, entonces     x 324  y  =  342  z 342 ¿Qu´e significa esto?, ¿Cu´al es la interpretaci´on?. Si m = 8 

 5 4 −8 M =  0 1 −1  5 −4 0



 5 4 −8 936 Ma =  0 1 −1 0  5 −4 0 252

En este caso |M| = 0, adem´as rango(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la ma 5 4 ; triz M un menor complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: 0 1 rango(Ma ) = 3 puesto que es posible encontrar en la matriz Ma un menor comple 5 4 936 1 −1 − mentario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo: 0 1 0 = 5 −4 0 5 −4 252 0 0 0 1 6= 0 − 936 4 5 252 5 −4 Ahora bien como rango(M) 6= rango(Ma ) entonces el sistema (∗) no tiene soluci´on. Por esta raz´on, resultar´ıa imposible haber vendido la gasolina a 8 bs. litro en la gasolinera C.

1.2.

Matrices. Operaciones con matrices

Las matrices aparecen por primera vez hacia el a˜ no 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teor´ıa se debe al matem´atico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notaci´on matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas. Las matrices se utilizan en el c´alculo num´erico, en la resoluci´on de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adem´as de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometr´ıa, estad´ıstica, econom´ıa, inform´atica, f´ısica, etc. email [email protected]

4

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

5

La utilizaci´on de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programaci´on, ya que la mayor´ıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de c´alculo, bases de datos. ´ 1.1. Se llama matriz de orden m × n DEFINICION reales aij dispuestos en m l´ıneas horizontales (filas) y n  a11 a12 . . .  a21 a22 . . .  A =  .. .. ..  . . . am1 am2 . . .

a todo conjunto rectangular de n´ umeros verticales (columnas) de la forma:  a1n a2n   ..  .  amn

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij ), con i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Los sub´ındices indican la posici´on del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila i y el segundo la columna j. Por ejemplo el elemento a25 ser´a el elemento de la fila 2 y columna 5. El conjunto de todas las matrices de orden m × n, con entradas en R, se denota por Mm×n (R). Ejemplo 

 1 −2 3 1  −2 0 4 2  , A=  3 4 1 1  1 2 1 0

B=



1 −3 0 1 8 5 0 7



 9 0 0  0 −5 −2   C=  0 0 0  −7 5 3

son matrices. De ellas A es de orden 4 × 4, B es 2 × 4, C es 4 × 3.

Ejemplo



♣

Escribir expl´ıcitamente las siguientes matrices:

① A = (aij ) ∈ M3×2 (R) tal que aij = i + 2j. ② B = (bij ) ∈ M3×3 (R) tal que bij = 2i − j. ③ C = (cij ) ∈ M3×4 (R) tal que cij = m´ın{i, j}. ④ D = (dij ) ∈ M4×3 (R) tal que cij = 2i − (−1)j . Soluci´ on. La matriz A = (aij ) de orden 3×2 cuyas entradas son dadas por la condici´on aij = i+2j es: 

   a11 a12 3 5 A =  a21 a22  =  4 6  . a31 a32 5 7 email [email protected]

5

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

6 ♣

Ejemplo

Construya un ejemplo de una matriz de orden 3 × 3, (cij ) que satisfaga cij = −cji .

Soluci´ on. La condici´on cij = −cji es equivalente a matriz es dada por  0 1  −1 0 −2 −3

cij + cji = 0, luego un ejemplo para una tal  2 3  0

♣

Ejemplo Determine la matriz de orden 3 × 4, A = (aij ) para la cual  i + j, si i 6= j aij = . 0 si i = j Soluci´ on. La matriz A = (aij ) de orden 3 × 4 cuyas entradas son dadas por la condici´on anterior es:    a11 a12 a13 a14 0 3 4 5 A =  a21 a22 a23 a24  =  3 0 5 6  a31 a32 a33 a34 4 5 0 7 

♣ ♣

Ejemplo Una empresa produce cuatro productos A, B, C y D. El productor de cada art´ıculo requiere cantidades espec´ıficas de dos materiales primas X y Y , y tambi´en cantidades determinadas de mano de obra. Suponga que la empresa desea comparar los n´ umeros de unidades de X y Y y de mano de obra que se requieren en la producci´ on semanal de estos cuatro productos. En la tabla 1 aparece informaci´on muestral para tal caso. Por ejemplo, la producci´ on de A requiere 250 unidades de X, 160 unidades de Y y 80 unidades de mano de obra Producto A B C D Unidades de material X 250 300 170 200 Unidades de material Y 160 230 75 120 Unidades de mano de obra 80 85 120 100 Obtener una matriz que resuma todos estos datos. Soluci´ on. Observe que los datos de esta tabla aparecen en forma natural en un arreglo rectangular. Si se suprimen los encabezados, obtenemos el arreglo rectangular de n´ umeros siguientes:   250 300 170 200  160 230 75 120  80 85 120 100 email [email protected]

6

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

7 ♣

Este arreglo es ejemplo de una matriz.

Ejemplo (Pol´ıtica e Ingreso). Un n´ umero de personas fueron entrevistadas acerca de sus convicciones pol´ıticas y su ingreso anual. Se obtuvo la siguiente informaci´ on: 1. 517 eran oficialistas y ganaban m´ as de 15000 bs al a˜ no. 2. 345 eran opositores y ganaban m´as de 15000 bs al a˜ no. 3. 189 eran conservadores y ganaban m´ as de 15000 bs al a˜ no. 4. 257 eran oficialistas y ganaban menos de 15000 bs al a˜ no. 5. 284 eran opositores y ganaban menos de 15000 bs al a˜ no. 6. 408 eran conservadores y ganaban menos de 15000 bs al a˜ no. Represente la informaci´on anterior en una matriz. ¿Es u ´nica esta representaci´ on?. Soluci´ on.

Oficialistas Opositores Conservadores

1.2.1.

ganan m´as de 15000 bs 517 345 189

ganan menos de 15000 257 284 408

    

=A

   

♣

Tipos de Matrices

Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada si el n´ umero de filas es igual al numero de columnas,
es decir n = m, en este caso se llama matriz cuadrada de orden n. Si A = aij n×n , los elementos a11 , a22 ,..., ann forman la diagonal principal de la matriz. Por ejemplo   2 8 −2 A= 9 3 6  −1 9 5 3×3

es una matriz cuadrada de orden 3 cuya diagonal principal consta de los n´ umeros 2, 3, 5.

Matriz columna: Es la que tiene una columna y m´as de una fila, es decir, una matriz n × 1; n > 1. Tambi´en recibe el nombre de vector. Por ejemplo   2  9  −1 3×1 email [email protected]

7

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

8

Matriz fila: Es la que tiene una fila y m´as de una columna, es decir, una matriz 1 × m; m > 1. Tambi´en recibe el nombre de vector fila. Por ejemplo
2 8 −2 1×3 Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la cual los aij = 0 para todo i 6= j. Es decir,   a11 0 . . . 0  0 a22 . . . 0    D =  .. .. . . ..   . . . .  0 0 . . . amn

Matriz identidad: Es una matriz diagonal con todos los elementos en la diagonal principal (i = j) igual a 1. Generalmente esta matriz se denota con la letra I:   1 0 ... 0  0 1 ... 0    I =  .. .. . . ..   . . . .  0 0 ... 1 Matriz nula: Es una matriz en la cual todos los elementos son iguales a cero. Por ejemplo   0 0 0 A= 0 0 0 3×3 es la matriz nula de orden 2 × 3.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que est´an a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: ① Triangular Superior: Si los elementos que est´an por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 , i < j. Por ejemplo   2 8 −2 A= 0 3 6  0 0 5 3×3 es una matriz triangular superior.

② Triangular Inferior: Si los elementos que est´an por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0, j < i. Por ejemplo 

es una matriz triangular inferior. email [email protected]

 2 0 0 A= 9 3 0  −1 9 5 3×3 8

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

1.2.2.

ζℏαυεz

9

Operaciones con Matrices Igualdad de Matrices



Sean A = aij , B = bij dos matrices ambos de orden n × m, entonces A=B

⇐⇒

aij = bij ∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m

As´ı dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensi´on y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. ´ n y substraccio ´ n de matrices Adicio Dos matrices A
y B pueden
ser sumadas o restadas para formar A ± B si tienen el mismo orden. Sean A = aij , B = bij dos matrices ambos de orden n × m, entonces la matriz suma A + B es A + B = (cij ), con cij = aij + bij ∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m

Ejemplo

Dadas las matrices A =

Soluci´ on. A+B =





−2 4 3 4 −3 −9

−2 4 3 4 −3 −9 

+





yB=

7 −4 2 1 9 −6





=

7 −4 2 1 9 −6



 , hallar A + B.

5 0 5 5 6 −15



TEOREMA 1.1. La suma de matrices verifica las siguientes propiedades

♣

① Conmutativa: A + B = B + A, para todo A, B ∈ Mn×m (R). ② Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C), para todo A, B, C ∈ Mn×m (R). ③ Existencia del neutro: Existe un elemento en Mn×m (R), denotado 0 y llamado llamado matriz nula, tal que para todo A en Mn×m (R) cumple que A + 0 = A.
④ Existencia del inverso: Para todo A =
aij en Mn×m (R), existe un elemento en Mn×m (R), denotado y definido por −A = − aij , tal que A + (−A) = 0. 

 5 8 4 Ejemplo Dada la matriz A =  3 2 5 . Hallar una matriz B tal que la suma A + B d´e la 7 6 0 matriz identidad. Soluci´ on. Es suficiente despejar B de la ecuaci´on A + B = I, esto es, B = I − A. email [email protected]

9

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

10

     1 0 0 5 8 4 −4 −8 −4 B =  0 1 0  −  3 2 5  =  −3 −1 −5  0 0 1 7 6 0 −7 −6 1

♣



´mero por una matriz Producto de un nu El producto de un n´ umero real k por una matriz A = (aij ) es otra matriz B = (bij ) de la misma dimensi´on que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = kaij . El producto de la matriz A por el n´ umero real k se designa por kA. Al n´ umero real k se le llama tambi´en escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.   −2 4 3 Ejemplo Dada la matriz A = , hallar 3A. 4 −3 −9 Soluci´ on. 3A = 3



−2 4 3 4 −3 −9



=



−6 12 9 12 −9 −27



TEOREMA 1.2. Si A, B, C ∈ Mn×m (R) y α, β ∈ R entonces se tiene

♣

① α(A + B) = αA + αB. ② (α + β)A = αA + βB. ③ (αβ)A = α(βA) = β(αA). Ejemplo

Efect´ ue las siguientes operaciones y simplifique

(a)

(b)



   2 1 1 −2 3  −1 3  − 2  2 3  4 7 −3 0     1 0 −3 4 2 −1 2 3 1  − 5  1 0 −3 4  4  2 −1 5 3 2 0 −2 3 1 0 −5 ♣

Soluci´ on. 

     8 −1 2 3 −1 2 Ejemplo Sea las matrices A = ,B= yC = . Hallar 3 4 −1 −2 4 −3 h i 3 la matriz X en la ecuaci´on (X + A) = 2 X + (2B − C) + A. 2 R email [email protected] 10 βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

11

Soluci´ on. Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuaci´on dada se tiene: h i 3 (X + A) = 2 X + (2B − C) + A 2 h i 3(X + A) = 4 X + 2B − C + 2A 3X + 3A = 4X + 8B − 4C + 2A

3X − 4X = 8B − 4C + 2A − 3A −X = −A + 8B − 4C X = A − 8B + 4C

Reemplazado datos tenemos: X =



8 −1 3 4





2 3 −1 −2





−1 2 4 −3



−8 +4       8 −1 16 24 −4 8 = − + 3 4 −8 −16 16 −12   −12 −17 = 27 8

♣



     −3 5 −2 7 11 1 Ejemplo SiA = , B = y C = . Resolver la ecuaci´on −2 1 4 −1 10 5   h i −9 10 2(X + B) = 3 A − 2(B + X) + C. Sol.- X = . 7 −4 ♣

Soluci´ on. Ejemplo

Hallar x, y, z y w si 3



x y z w



=



x 6 −1 2w



+



4 x+y z+w 3

 ♣

Soluci´ on.

Ejemplo (Matriz de producci´on) Una empresa que fabrica calzados produce tres modelos con distintas caracter´ısticas en tres tama˜ nos diferentes. La capacidad de producci´ on (en miles) en su plata de Cochabamba est´a dada por la matriz A.

email [email protected]

11

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

Tama˜ no 1 Tama˜ no 2 Tama˜ no 3

Modelo 1 5 7 10

Modelo 2 3 4 8

12 Modelo 3 3 5 4

    

=A

   

En otras palabras, la capacidad de planta es de 5000 calzados de tama˜ no 1 del modelo 1, 3000 calzados de tama˜ no 1 del modelo 2, etc. La capacidad de producci´ on en la planta de la ciudad El Alto est´a dada por la matriz B. Tama˜ no 1 Tama˜ no 2 Tama˜ no 3

Modelo 1 4 9 8

Modelo 2 5 6 12

Modelo 3 3 4 2

(a) ¿Cu´al es la capacidad de producci´on total en las dos plantas?

   

=B

  

(b) Si la empresa decide incrementar su producci´ on en la ciudad de Cochabamba en un 20 %, ¿cu´al ser´a la nueva producci´on en su planta?. Soluci´ on. (a) La producci´on combinada en miles en las dos plantas est´a dada por la suma de las matrices A y B.      5 3 2 4 5 3 9 8 5 A + B =  7 4 5  +  9 6 4  =  16 10 9  10 8 4 8 12 2 18 20 6 

Por ejemplo, las dos plantas producen 9000 calzados de tama˜ no 1 del modelo 1. (b) Si la producci´on en Cochabamba se incrementa en un 20 %, la nueva producci´on (en miles) estar´a dada por la matriz: A + 20 %A = A + 0.20A = (1 + 0.20)A = 1.20A     5 3 2 6 3.6 2.4 = 1.2  7 4 5  =  8.4 4.8 6  10 8 4 12 9.6 4.8

Por consiguiente, se producir´an 4800 calzados modelo 2, etc.

♣

Ejemplo (Costos de Transporte.) Una compa˜ n´ıa tiene plantas en tres localidades X, Y y Z y cuatro almacenes en los lugares A, B, C y D. El costo en d´ olares de transportar cada unidad de su producto de una planta a un almac´en est´ a dado por la siguiente matriz email [email protected]

12

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz A \De A B C D

X 10 13 8 16

Y 12 10 15 9

13 Z 15 12 6 10

En otras palabras, el costo de transportar una unidad de producto de la localidad X al almac´en A es de 10 d´olares, etc. (a) Si los costos de transportaci´on de incrementan uniformemente en 1 d´ olar por unidad. ¿Cu´al es la nueva matriz?. (b) Si los costos de transportaci´on se elevan en un 20 %, escriba los costos en forma matricial. Soluci´ on. (a) Si los costos de transportaci´on de incrementan uniformemente en 1 d´olar por unidad, los nuevos costos en d´olares estar´a dada por la matriz: 

  10 12 15 1 1  13 10 12   1 1     8 15 6  +  1 1 16 9 10 1 1

  1 11  14 1  = 1   9 1 17

 13 14 11 13   16 7  10 11

Por ejemplo, ahora el nuevo costo de transportar una unidad de producto de la localidad X al almac´en A es de 10 d´olares, etc. (b) Sea ∆ la matriz de costos iniciales. Si los costos de transportaci´on se elevan en un 20 %, los nuevos costos estar´an dados por la matriz: ∆ + 20 %∆ = ∆ + 0.20∆ = (1 + 0.20)∆ = 1.20∆     12 14.4 18 10 12 15  13 10 12   15.6 12 14.4     = 1.2   8 15 6  =  9.6 18 7.2  19.2 10.8 12 16 9 10

Por consiguiente, el nuevo costo de transportar una unidad de producto de la localidad X al almac´en A es de 12 d´olares, etc. ♣ Ejemplo (Costos de suministros). Un contratista calcula que los costos en d´ olares de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades est´an dados por las matrices siguientes (una matriz por cada localidad). email [email protected]

13

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

14

Costos de material Costos de transportaci´ on

Concreto 4 9

Madera 5 6

Acero 3 4

 

=A

Costos de material Costos de transportaci´ on

Concreto 22 9

Madera 36 9

Acero 24 8

 

=B

Costos de material Costos de transportaci´ on

Concreto 18 11

Madera 32 8

Acero 26 5

 

=C







Escriba la matriz que representa los costos totales de material y de transportaci´ on por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades. Soluci´ on. Las matrices A, B y C son dados por     20 35 25 22 36 24 A= B= 8 10 6 9 9 8

C=



18 32 26 11 8 5



La matriz que representa los costos totales de material y de transportaci´on por unidades de concreto, madera y acero es la suma de estas tres matrices, es decir, A+B+C =



60 103 75 28 27 19



♣

Ejemplo (Comercio Internacional) El comercio entre los pa´ıses I, II y III durante 2004 en millones de d´olares americanos esta dado por la matriz A = (aij ), en donde aij representa las exportaciones del pa´ıs i al pa´ıs j.   0 16 20 A =  17 0 18  21 14 0

El comercio entre estos tres pa´ıses durante el a˜ no dado por la matriz B.  0 B =  18 24

de 2005 en millones de d´ olares americanos esta

 17 19 0 20  16 0

(a) Escriba una matriz que representa el comercio total entre los tres pa´ıses en el periodo de 2 a˜ nos, 2004 y 2005. email [email protected]

14

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

15

(b) Si en 2004 y 2005, 1 d´olar americano equival´ıa a 5 d´ olares de Hong Kong, escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2 a˜ nos en d´ olares de Hong Kong. Soluci´ on. (a) El comercio total en millones de d´olares americanos entre los tres pa´ıses en el periodo de 2 a˜ nos, 2004 y 2005, est´a dada por la suma de las matrices A y B. 

     0 16 20 0 17 19 0 33 39 A + B =  17 0 18  +  18 0 20  =  35 0 38  21 14 0 24 16 0 45 30 0

Por ejemplo, del pa´ıs I al pa´ıs III se exportan 39 millones de d´olares americanos en el periodo de 2 a˜ nos, 2004 y 2005. (b) Recordemos que las entradas aij de la matriz A representa los millones de d´olares americanos que el pa´ıs i exporta al pa´ıs j. aij millones de US

1000000 de d´olares US un millon de US

5 d´olar HK 1 d´olar US

La matriz que representa el comercio total durante los 2 a˜ nos en d´olares de Hong Kong es: 

   0 33 39 0 165 195 5  35 0 38  =  175 0 190  45 30 0 225 150 0

Por ejemplo, del pa´ıs I al pa´ıs III se exportan 195 millones de d´olares de Hong Kong en el periodo de 2 a˜ nos, 2004 y 2005. ♣ Ejemplo (Matriz de producci´on) Una fabrica zapatos los produce en color negro, blando y caf´e para ni˜ nos, damas y caballeros. La capacidad de producci´ on en miles de pares en su planta de Cochabamba est´a dada por la matriz A.

Negro Gris Blanco

Hombres 5 7 10

Mujeres 3 4 8

Ni˜ nos 3 5 4

    

=A

   

La capacidad de producci´on en la planta de la ciudad El Alto est´ a dada por la matriz B.

email [email protected]

15

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

Negro Gris Blanco

Hombres 4 9 8

Mujeres 5 6 12

16 Ni˜ nos 3 4 2

    

=B

   

(a) ¿Cu´al es la capacidad de producci´ on total en las dos plantas?

(b) Si la empresa decide incrementar su producci´ on en la ciudad de Cochabamba en un 50 % y la de la ciudad de El Alto en un 20 %, ¿cu´ al ser´ a la nueva producci´ on en las dos plantas?. Soluci´ on. (a) La producci´on combinada en miles en las dos plantas est´a dada por la suma de las matrices A y B.      5 3 3 4 5 3 9 8 6 A + B =  7 4 5  +  9 6 4  =  16 10 9  10 8 4 8 12 2 18 20 6 

Por ejemplo, las dos plantas producen 9000 calzados para hombres de color negro. (b) Si la producci´on en Cochabamba se incrementa en un 50 %, la nueva producci´on (en miles) estar´a dada por la matriz: A + 50 %A = A + 0.50A = (1 + 0.50)A = 1.5A     5 3 2 7.5 4.5 4.5 = 1.5  7 4 5  =  10.5 6 7.5  10 8 4 15 12 6

Por consiguiente, se producir´an 1500 calzados para hombre de color negro. Ahora bien, si la empresa de la ciudad del alto incrementa su producci´on en un 20 %, la nueva producci´on (en miles) estar´a dada por la matriz: B + 20 %B = B + 0.20B = (1 + 0.20)B = 1.2B     4 5 3 4.8 6 3.6 = 1.2  9 6 4  =  10.8 7.2 4.8  8 12 2 9.6 14.4 2.4 Por lo tanto, la nueva producci´on en las dos plantas ser´a:   12.3 10.5 8.1 1.5A + 1.2B =  21.3 13.2 12.3  24.6 26.4 8.4 email [email protected]

16

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

17 ♣

Producto escalar o producto interior

a1 a2 · · · an




  • 

b1 b2 .. . bn



   = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn . 

´ n de matrices Multiplicacio Las matrices A y B pueden ser multiplicadas para formar u
mero de columnas
el producto AB si el n´ de A es igual al n´ umero de filas de B. Sean A = aij de orden n × m, B = bij de orden m × k. La matriz producto C = AB es una matriz de orden n × k, cuya entrada en la i−´esima fija y en la j-´esima columna es cij dado por:   b1j 
  b2j  cij = ai1 ai2 · · · ain •  ..  = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj ,  .  bnj

que se obtiene multiplicando escalarmente la i−´esima fila de A por j-´esima columna de B. Ejemplo

Sean las matrices A y B dadas por 

 0 1 2  2 3 1  4 −1 6

y



 3 2  1 0  −1 1

Calcular la matriz producto AB. ¿Est´ a definido el producto BA?

Soluci´ on. A es 3 × 3 y B es 3 × 2, luego AB es una matriz de orden 3 × 2. Si C = AB, entonces cada elemento cij de la matriz C es el producto interno de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. Por ejemplo, c11 se obtiene multiplicando la primera fila de A por la primera columna de B, esto es,

c11 =

a11 a12 a13






 b11 •  b21  = b31

0 1 2

= (0)(3) + (1)(1) + (2)(−1) = 1 − 2 = −1 email [email protected]

17






 3 • 1  −1 R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

18

c12 se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B, esto es,

c12 =

a11 a12 a13



 b 12
•  b22  = b32

= (0)(2) + (1)(0) + (2)(1) = 2



 2
0 1 2 • 0  1

c21 se obtiene multiplicando la segunda fila de A por la primera columna de B, esto es,

c21 =

a21 a22 a23



 b 11
•  b21  = b31



 3
2 3 1 • 1  −1

= (2)(3) + (3)(1) + (1)(−1) = 6 + 3 − 1 = 8 De este modo obtenemos finalmente:

    −1 2 3 2 0 1 2 AB =  2 3 1   1 0  =  8 5  5 14 −1 1 4 −1 6 

♣

TEOREMA 1.3. El producto de matrices verifica las siguientes propiedades ① Asociativa: (AB)C = A(BC), para todo A, B, C ∈ Mn×m (R). ② Distributiva: A(B + C) = AB + AC, para todo A, B, C ∈ Mn×m (R). ③ Existen divisores de cero: Existen A 6= 0 y B 6= 0 tales que AB = 0. ④ El producto no necesariamente es conmutativo: Existen A 6= 0 y B 6= 0 tales que AB 6= BA. ⑤ α(AB) = (αA)B = A(αB). Para todo A, B ∈ Mn×m (R) y todo α ∈ R. Ejemplo Si A es una matriz de tama˜ no o de orden 3 × 4, B de 4 × 3, C es de 2 × 3 y D de 4 × 5, calcule los tama˜ nos de los productos de las siguientes matrices: AB, BA, CA, AD, CAD, CBA. ♣

Soluci´ on. Ejemplo producto BA?

Si A =



email [email protected]

2 3 1 2



y B =



1 −2 3 4 1 2

18



, hallar (a) AB y (b) ¿Est´a definido el

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s Soluci´ on. (a) Dado que A entonces  AB =  =  =

ζℏαυεz

19

tiene dos columnas y B tiene dos filas, entonces AB esta definido,   2 3 1 −2 3 1 2 4 1 2  (2)(1) + (3)(4) (2)(2) + (3)(1) (2)(3) + (3)(2) (1)(1) + (2)(4) (1)(−2) + (2)(1) (1)(3) + (2)(2)  14 −1 12 9 0 7

(b) En este caso B tiene tres columnas y A dos filas, por tanto la multiplicaci´on BA no esta ♣ definida. Ejemplo

Calcular los siguientes productos de matrices: (a)



 4 3 −28 7 5 38   0 0 1   1 1 2     2 2 3  3 3 4

(b)

93 −126

 

−1 −1 2 2  1 1

7 3 2 1 

4 1







Sol. 

2 0 0 3 



5  15   Sol.   25  35

♣

Soluci´ on. Ejemplo siguiente:

(a) A



Determine en cada caso alguna matriz A que hace verdadera la ecuaci´on matricial

2 1 1 0



=



5 3





   1 0 2 7 (b)  2 −1 0  A =  0  0 1 3 11



   2 0 6 0 (c)  1 −1  A =  3 −1  0 1 0 1

♣

Soluci´ on. 

     −1 3 3 −9 4 −1 5     4 2 6 12 Ejemplo SiA = y B = y C = , hallar la matriz 2 1 1 1 0 0 15  1  D = 2A − B C. 3 1 Soluci´ on. Primero calculemos la matriz 2A − B 3 email [email protected]

19

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

20



   −1 3 3 −9 1 1 2A − B = 2  4 2  −  6 12  3 3 1 0 0 15       −2 6 1 −3 −3 9 0  =  8 4 − 2 3 =  6 2 0 0 5 2 −1 Luego

   −3 9   1 4 −1   6 0 D = 2A − B C = 2 1 3 2 −1  (−3)(4) + (9)(2) (−3)(−1) + (9)(1) (6)(−1) + (0)(1) =  (6)(4) + (0)(2) (2)(4) + (−1)(2) (2)(−1) + (−1)(1)   6 12 −6 =  24 −6 30  −2 −7 5

Ejemplo



5 1



 (−3)(5) + (9)(1) (6)(5) + (0)(1)  (2)(5) + (−1)(1) ♣

Hallar la matriz P = ABCD, donde:



1 0 A =  1 −1  , 2 −1

B=



0 1 0 1 0 1 0 −1 2 0



,



  C=  

 2 1 0 1 −1 3   1 4 −1  , 0 0 2  3 1 0



 1 0 1 −1 D =  2 1 −2 2  1 0 1 0

Soluci´ on. Efectuemos el producto aplicando la propiedad asociativa, efectuemos primero E = ♣ CD, luego F = BE y finalmente P = AF . 

     2 1 3 6 1 1 2 −1 Ejemplo Dadas las matricesA =  −1 3 , y C =  −1 4 5 . Si 3 2 −4 5 2 2 1 2 E = ABC, hallar S = e11 + e23 + e32 .      2 1  5 6 −6 1 2 −1 Soluci´ on. Sea D = AB =  −1 3  =  −1 4 −11  3 2 −4 5 2 −1 6 3

Si E = DC, entonces cada elemento eij de la matriz E es el producto interno de la fila i de la matriz D por la columna j de la matriz C, esto es, email [email protected]

20

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



 c 11
•  c21  = c31

d11 d12 d13

e11 =

21



 3
5 6 −6 •  −1  2

= (5)(3) + (6)(−1) + (−6)(2) = 15 − 6 − 12 = −3 

 c 13
•  c23  = c33

d21 d22 d23

e23 =



 1
8 4 −11 •  5  2

= (8)(1) + (4)(5) + (−11)(2) = 8 + 20 − 22 = 6 d31 d32 d33

e32 =






 c12 •  c22  = c32

−1 6 3






 6 • 4  1

= (−1)(6) + (6)(4) + (3)(1) = −6 + 24 + 3 = 21

♣

Luego: S = e11 + e23 + e32 = −3 + 6 + 21 = 24. Ejemplo

A=



Hallar la suma S = 2p11 + p13 − 2p23 . Si P ABCD, donde

2 −1 3 4



,

B=



3 −2 10 1 8 6 −4 2



,



 3 −1 0  0 2 4   C=  1 6 −2  , 4 1 1



 2 −1 0 D= 2 3 3  1 4 −2

Soluci´ on. Sean los productos: E = AB, F = CD y P = EF . E = AB =



2 −1 3 4



3 −2 10 1 8 6 −4 2



=



−2 −10 24 0 41 18 14 11





     3 −1 0 4 −6 −3 2 −1 0  0 2   4      =  8 22 −2  2 3 3 F = CD =   12 9 22  1 6 −2  1 4 −2 4 1 1 11 3 1

Luego, si P = EF , entonces

email [email protected]

21

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

p11 =

e11 e12 e13 e14

ζℏαυεz



 f11
 f21   •  f31  = f41

= −8 − 80 + 288 + 0 = 200

p13 =

e11 e12 e13 e14



 f13
 f23   •  f33  = f43

= 6 + 20 + 528 + 0 = 554

p23 =

e21 e22 e23 e24



 f13
 f23   •  f33  = f43

= −123 − 36 + 308 + 11 = 160

22



 4
 8   −2 −10 24 0 •   12  11 

 −3
 −2   −2 −10 24 0 •   22  1 

 −3
 −2   41 18 14 11 •   22  1 ♣

Luego S = 2p11 + p13 − 2p23 = (2)(200) + (554) − (2)(160) = 634. Ejemplo



 3 1 0 Hallar todas las matrices que conmutan con la matrizA =  0 3 1 . 0 0 3

Soluci´ on. Sea B la matriz buscada, entonces B tiene que ser una matriz cuadrada  de orden3 a b c  d e f . y adem´as debe verificarse que AB = BA. Supongamos que B es dado porB = g h i Hallemos 

    3 1 0 a b c 3a + d 3b + c 3c + f AB =  0 3 1   d e f  =  3d + g 3e + h 3f + i  0 0 3 g h i 3g 3h 3i 

    a b c 3 1 0 3a a + 3b b + 3c BA =  d e f   0 3 1  =  3d d + 3e e + 3f  g h i 0 0 3 3g g + 3h h + 3i

email [email protected]

22

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

23

Puesto que AB = BA, se tiene que     3a + d 3b + c 3c + f 3a a + 3b b + 3c  3d + g 3e + h 3f + i  =  3d d + 3e e + 3f  3g 3h 3i 3g g + 3h h + 3i

igualando componente a componente tenemos:    3a + d = 3a  3b + e = a + 3b 3d + g = 3d 3e + h = d + 3e   3g = 3g 3h = g + 3h

despejando y simplificando obtenemos 

  e = a h = d  g = 0

d = 0 g = 0

En consecuencia 

   a b c a b c B= d e f = 0 a b  g h i 0 0 a Ejemplo  0 1 0  0 0 1   0 0 0 0 0 0

Soluci´ on. Ejemplo

  f = b i = e  h = 0

donde a, b, c ∈ R. ♣

Hallar matrices de orden 4 × 4 que sean conmutables con la matriz 

0 0   1  0

♣

Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuaci´ on: 

a b c d 1 4 9 2





1  0   0 0

0 0 1 0

2 1 0 1

Respuesta.- a = 1, b = 6, c = 0, d = −2.

 0   1  1 0 6 6 = . 0  1 9 8 4 0 ♣

Soluci´ on. Ejemplo   1 2/3

  3c + f = b + 3c 3f + i = e + 3f  3i = h + 3i

Si A =



1 3 4 −3

email [email protected]

         x x x x , hallar tal que A =3 . Respuesta.= y y y y

23

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

24 ♣

Soluci´ on.

Ejemplo Un fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios, que llevan jaladores de metal y chapas especificadas por la siguiente tabla.

N´ umero de jaladores N´ umero de chapas

Modelo A 8 3

Modelo B 6 2

Modelo C 4 1

 

=A



Llamaremos a este arreglo, matriz de partes×modelos. Si el fabricante recibe pedidos en el mes de Agosto 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17 del modelo C; y en el mes de septiembre: 25 del modelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C.

Modelo A Modelo B Modelo C

Agosto 15 24 17

Septiembre 25 32 27

   

=B

  

Llamaremos a este arreglo, matriz modelo×mes. ¿Cu´ antos jaladores y chapas debe disponer el fabricante cada mes para poder atender los pedidos?. Soluci´ on. Para determinar el n´ umero de jaladores requeridos en el mes de Agosto, procedemos como sigue: El mes de Agosto se han vendido 15 escritorios del modelo A, y cada escritorio del modelos A require 8 jaladores, por lo tanto se han requerido (8)(15) jaladores para escritorios del modelo A. Por otro lado, en Agosto se han vendido 24 escritorios del modelo B, y cada escritorio del modelos B require 6 jaladores, por lo tanto se han requerido (24)(6) jaladores para escritorios del modelo B. Tambi´en en Agosto se han vendido 17 escritorios del modelo C, y cada escritorio de este modelo require 4 jaladores, por lo tanto se han requerido (17)(4) jaladores para escritorios del modelo C. Finalmente, el total de jaladores usados para fabricar los escritorios en el mes de agosto es (8)(15) + (6)(17) + (4)(17) = 332, que se obtiene sumando el producto de cada elemento de la primera fila de la matriz de partes×modelos por el correspondiente elemento de la primera columna de la matriz modelo×mes. Para estableces el n´ umero de chapas requeridos en el mes de Agosto se sumar´ıan el producto de cada elemento de la segunda fila de la matriz partes×modelos por el correspondiente elemento de la primera columna de la matriz modelo×mes, esto es: (3)(15) + (2)(24) + (1)(17) = 110 En el mes de Septiembre el n´ umero de jaladores se obtendr´ıa sumando el producto de cada elemento de la primera fila de la matriz partes×modelos por el correspondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo×mes, esto es: email [email protected]

24

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

25

(8)(15) + (6)(32) + (4)(27) = 500 Y para el n´ umero de chapas se sumar´ıan el producto de cad elemento de la segunda fila de la partes×modelos por el correspondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo×mes, esto es: (3)(15) + (2)(32) + (1)(27) = 166 Con los resultados obtenidos podemos hacer el siguiente arreglo Agosto 332 110

N´ umero de jaladores N´ umero de chapas

Septiembre 500 166

 

=C



Haciendo uso de la notaci´on matricial, los datos y resultados obtenidos nos expresar´a la multiplicaci´on de matrices del siguiente modo:     15 25   332 500 8 5 6  24 32  = 3 2 1 110 166 17 27 Observemos de inmediato que el n´ umero de columnas de la primera matriz es igual al primero de filas de la segunda, cuando esto ocurre se dice que las matrices son conformables para la ♣ multiplicaci´on. Ejemplo (Valoraci´on de Inventarios). Un comerciante de televisores a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en 650 $ cada uno, los de 20 en 550 $ cada uno, los televisores de 18 pulgadas en 500 $ cada uno y los de 12 se venden en 300 $ cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices. Soluci´ on.

N´ umero de telivisores

26 20 18 12 email [email protected]

26 pulg 5

pulg pulg pulg pulg

20 pulg 8

Ingresos 650 550 500 300 25

18 pulg 4           

12 pulg 10

)

=A

=B

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

26

Luego, el precio de venta total de su existencia de televisores es dado por el siguiente producto de estas dos matrices, es decir: 

 26
 20   5 8 4 10   18  = (5)(26) + (8)(20) + (4)(18) + (10)(12) = 482. 12

Por tanto el comerciante tiene un total de 482 $ de ingresos al vender todos sus televisores.

♣

Ejemplo (Costo de materias primas). Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1 , M2 y M3 en la elaboraci´on de dos productos P1 y P2 . El n´ umero de unidades de M1 , M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 4 y 2, respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas a las preguntas siguientes como producto de matrices. ① ¿Cu´al es el consumo semanal de las materias primas? ② Si los costos por unidad en d´olares para M1 , M2 y M3 son 6, 10 y 12, respectivamente, ¿cu´ales son los costos de las materias primas por unidad de P1 y P2 ? ③ ¿Cu´al es la cantidad total gastaba en materias primas a las 5 semanas en la producci´on de P1 y P2 ?. Soluci´ on. Construyamos la matriz (materias primas)×productos, Materia prima M1 Materia prima M2 Materia prima M3

Producto P1 3 4 2

Producto P2 4 1 3

   

=A

  

Es decir, necesitamos 3 unidades de la materia prima M1 para producir una unidad del producto P1 . Podemos resumir el hecho de que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana en la siguiente matriz:  Una semana  Producto P1 20 =B  Producto P2 30 El consumo semanal de las materias primas es dado por el siguiente producto de matrices:       4 4 200 20  3 1  =  90  30 2×1 2 3 3×2 70 3×1

email [email protected]

26

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

27

esto es    

Una semana 200 90 70

Materia prima M1 Materia prima M2 Materia prima M3 Para responder el inciso (2) formemos la matriz

Costos

Materia prima M1 6

Materia prima M2 10

=C

  

Materia prima M3 12

)

=D

Por tanto, los costos de las materias primas por unidad de P1 y P2 son dados por: 

esto es

 4 4
6 10 12 1×3  3 1  = 2 3 3×2

Costos

Producto P1 78

78 46

Producto P2 46

)




=E ♣

Ejemplo (Costo de suministros). Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas en cemento, madera, ladrillos, vidrio y pintura de cualesquiera de tres proveedores. Los precios que cada proveedor fija a cada unidad de estos cinco materiales est´ an dados en la matriz A.   8 5 7 2 4 A= 9 4 5 2 5  9 5 6 1 5

En esta matriz, cada fila se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales, en el orden listado arriba. El contratista tiene la pol´ıtica de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay tres obras en construcci´on actualmente: la obra I requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente, y la obra II requiere 30, 10, 20, 10 y 12 unidades respectivamente. Disponga esta informaci´ on en una matriz B5×2 y forme la matriz AB. Interprete los elementos de este producto y u ´selos con el prop´osito de decidir cu´al proveedor debiera usar en cada obra. Soluci´ on. La matriz de precios “proveedor×material” A resume la siguiente informaci´on  cemento madera ladrillos vidrio pintura    Proveedor 1 8 5 7 2 4 =A Proveedor 2 9 4 5 2 5    Proveedor 3 9 5 6 1 5

email [email protected]

27

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

28

La matriz de requerimiento “material×obra” B es dado por

cemento madera ladrillos vidrio pintura

obra I 15 0 8 8 2

obra II 30 10 20 10 12

Hallemos el producto C = AB dado por 





8 5 7 2 4   AB =  9 4 5 2 5    9 5 6 1 5  Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3

15 0 8 8 2

obra I 200 201 201

30 10 20 10 12

        

=B

       



   200 570   =  201 571    201 591

obra II 570 571 591

   

=C

  

El costo de realizar la obra I usando los materiales del proveedor 1 es de 200 y el costo de realizar la obra II usando los materiales del proveedor 1 es de 570. Por tanto el costo total es de 770. Los cotos totales se obtienen realizando el siguiente producto de matrices: 

   200 570   770  201 571  1 =  772  1 792 201 591

♣

Potencia de Matrices Si A es una matriz cuadrada, la propiedad conmutativa nos permite escribir AA como A2 , AAA como A3 y as´ı sucesivamente. En general An = AA · · · A Ejemplo

SeaA =



1 −1 0 1

email [email protected]



A repetida n veces.

(1.2)

. Calcular A2 y A3 . Deducir una formula general para An .

28

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

Soluci´ on. Vemos que   1 −2 2 A = AA = , 0 1

3

2

A =A A=



29



1 −3 0 1

4

,

3

A =A A=



1 −4 0 1

La idea es por tanto que, para cada n´ umero natural n,   1 −n n A = . 0 1 Ejemplo

Si A =



a 1 0 a



♣

 , a ∈ R, hallar An .

Soluci´ on. 2

A = AA = 3

2

A =A A=





a 1 0 a



a2 2a 0 a2

a 1 0 a





a 1 0 a

=



=

La idea es por tanto que, para cada n´ umero natural n,  n  a nan−1 n A = . 0 an

Ejemplo matriciales:



a2 2a 0 a2



a3 3a2 0 a3

♣

   3 5 3 21 6 15 Dada las matrices A =  1 4 7 ,  7 8 5 . Efectuar las operaciones 9 6 2 9 6 3 (b) A3 − B 3 ,

(c) A2 − B 2 ,

(b) (A + B)2 − (A − B)2 ♣

Soluci´ on.

Soluci´ on.





(a) (A + B)3 ,

Ejemplo





 1 0 0 Determinar A2 − 5A + 2I para A =  0 2 1  0 0 3

♣



   1 3 2 −1 Ejemplo Dadas las matrices A = yB= . (a) Encuentre (A + B)2 . 4 −3 −3 −2 (b) Encuentre A2 + 2AB + B 2 . (c)¿Es (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ?. email [email protected]

29

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

30 ♣

Soluci´ on.

Ejemplo Tres empresas A, B y C (tambi´en numeradas 1, 2 y 3) comparten este a˜ no el mercado de un cierto bien. La empresa A tiene el 20 % del mercado, B tiene el 60 % y C el 20 %. A lo largo del a˜ no siguiente ocurren los siguientes cambios: A conserva el 85 % de sus clientes, cediendo a B el 5 % y a C el 10 % B conserva el 55 % de sus clientes, cediendo a A el 10 % y a C el 35 % C conserva el 85 % de sus clientes, cediendo a A el 10 % y a B el 5 %

(1.3)

Un vector de cuotas de mercado es un vector columna s cuyas componentes son no negativas y suman 1. Definamos la matriz T y el vector de mercado s siguientes:     0.85 0.10 0.10 0.2 T =  0.05 0.55 0.05  y s =  0.6  0.10 0.35 0.85 0.2

N´otese que tij es la fracci´on de clientes de j que se hacen clientes de i en el periodo siguiente. As´ı, se llama a T la matriz de transici´on. Calcular el vector Ts, probar que es tambi´en un vector de cuotas de mercado y dar una interpretaci´on de ´el. ¿C´omo se interpretan T(Ts), T(T(Ts)),...? Soluci´ on.

A B C

A B 0.85 0.10 0.05 0.55 0.10 0.35

C 0.10 0.05 0.85



    0.85 0.10 0.10 0.2 0.25 T =  0.05 0.55 0.05   0.6  =  0.35  0.10 0.35 0.85 0.2 0.40

Como 0.25+0.35+0.40 = 1, Ts es tambi´en un vector de cuotas de mercado. La primera componente de Ts se obtiene del c´alculo (0.85)(0.2) + (0.10)(0.6) + (0.10)(0.2) = 0.25

(1.4)

En esta expresi´on (0.85)(0.2) es la cuota de mercado de A que se conserva despu´es de 1 a˜ no, (0.10)(0.6) es la cuota que gana A de B y (0.10)(0.2) es la cuota que gana A de C. La suma en (1.4) es por tanto la cuota total de mercado de A despu´es de un a˜ no. Los otros elementos de Ts tienen interpretaciones an´alogas, luego Ts debe ser el nuevo vector de cuotas de mercado despu´es de un a˜ no. Entonces T(Ts) es el vector de cuotas de mercado despu´es de transcurrido otro a˜ no, ♣ es decir pasados 2 a˜ nos y as´ı sucesivamente. email [email protected]

30

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

31

Ejemplo (Teor´ıa de grafos). Un grafo consiste en un n´ umero finito de puntos llamados vertices, algunos de los cuales est´an conectados por l´ıneas llamadas aristas. A continuaci´on se dan dos ejemplos de grafos con cuatro y cinco v´ertices

(a)

(b)

2

3

1

3

5

1 2

4

4

Si los puntos se enumeran como 1, 2, 3, etc definimos la matriz A poniendo aij = 1, si hay una arista uniendo los v´ertices i y j y aij = 0 si no lo hay. Construya A para cada uno de los grafos dados anteriormente. Construya A2 en cada caso. Muestre que el elemento ij en A2 da el n´ umero de trayectorias de v´ertice i al v´ertice j que pasan exactamente a trav´es de alg´ un otro v´ertice. 3 ¿Qu´e piensa que significa los elementos de A ? Soluci´ on. La matriz A es de orden 4 dado por  1  1 A=  0 0 

1  1 A2 =   0 0

1 1 1 1

0 1 1 1

1 1 1 1

 0 1 1   1  1 1 1  0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1

 0 1   1  1   0 2 2   1   2 4 = 1   1 3 1 1 3

1 3 3 3

 1 3   3  3

♣

Ejemplo (Aplicaci´on de la teor´ıa de grafos). El grafo mostrado representa la conexi´on de l´ıneas telef´onicas entre cuatro pueblos. onica que conecta el pueblo i con el  Sea  aij la l´ınea telef´ pueblo j. Construya la matriz A = aij . Eval´ ue A2 y pruebe que el elemento ij de esa matriz representa el n´ umero de l´ıneas telef´onicas entre el pueblo i y el pueblo j que pasa exactamente a trav´es de un pueblo intermedio. ¿Qu´e representa los elementos de A + A2 ?. ♣

Soluci´ on. Transpuesta de una matriz

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por AT , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de AT , la segunda fila de

email [email protected]

31

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

32

A es la segunda columna de AT , etc. Para A ∈ Mm×n (R), se define la transpuesta de A como la matriz AT ∈ Mn×m (R), donde AT = (bij ) con bij = aji

∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

(1.5)

De la definici´on se deduce que si A es de orden m × n, entonces AT es de orden n × m.   −2 4 3 Ejemplo Dada la matriz A = , hallar AT . 4 −3 −9 Soluci´ on.



 −2 4 AT =  4 −3  3 −9

♣

TEOREMA 1.4. Si A, B, C ∈ Mn×m (R) y α ∈ R entonces se tiene  T AT =A  T (3) αA = αAT

T A + B = AT + B T  T (4) AB = B T AT

(1)

(2)





   3 4 x Dadas las matrices A =  −1 −2  y B =  y . Hallar x + y tal que 2 1 −4

Ejemplo B T A = 0. Soluci´ on.



T   x 3 4 B T A =  y   −1 −2  −4 2 1   3 4
x y −4  −1 −2  = 2 1 =

(

−8 + 3x − y = 0

−4 + 4x − 2y = 0

−8 + 3x − y −4 + 4x − 2y (

3x − y = 8

4x − 2y = 4




=

(

0 0




−6x + 2y = −16 4x − 2y = 4

Sumando estas dos u ´ ltimas ecuaciones −6x+4x = −16+4, −2x = −12, x = 6, adem´as 4(6)−2y = ♣ 4, −2y = 4 − 24, −2y = −20, y = 10. Por tanto x + y = 6 + 10 = 16. email [email protected]

32

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s T

Ejemplo

ζℏαυεz T

T

33

Hallar (X + A) , si AX = A , donde A =

Soluci´ on. Supongamos que X = AX =





x u y v 1 1 2 3



 .

1 1 2 3

 , entonces la ecuaci´on AX = AT es





x+y = 1 2x + 3y = 1



u+v = 2 2u + 3v = 3

x u y v



=





x+y u+v 2x + 3y 2u + 3v



−3x − 3y = −3 2x + 3y = 1



−3u − 3v = −6 2u + 3v = 3

=



1 2 1 3





−x = −2 x = 2



−u = −3 u = 3



1 2 1 3

Reemplazando x = 2, en x + y = 1, se tiene 2 + y = 1, as´ı y = −1.

Reemplazando u = 3, en u + v = 2, se tiene 3 + v = 2, as´ı v = −1. Por lo tanto X=



x u y v



=



2 3 −1 −1



Por tanto T

T

T T

T

T

(X + A) = (X ) + A = X + A =



2 3 −1 −1



+



  8 3 2 3 1 Ejemplo Sean las matrices A =  −1 6 3 ,  6 1 4 −2 5 −2 9 T 3A) = A − 2B. Hallar la suma de las componentes de la diagonal



=



3 5 0 2



♣

 −2 1 3  y la ecuaci´on: (X − 2 2 principal de la matriz X.

Soluci´ on. 1 (X − 3A) = AT − 2B 2 X − 3A = 2(AT − 2B)

X = 2AT − 4B + 3A

email [email protected]

33

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

34

X = 2AT − 4B + 3A       2 −1 4 8 3 −2 2 3 1 = 2  3 6 −2  − 4  6 1 3  + 3  −1 6 3  1 3 5 −2 9 2 4 −2 5   −22 −5 19  −21 26 −7  = 22 −36 17

Luego, la suma de las componentes de la diagonal principal de la matriz X es −22 + 26 + 17 = ♣ 21

1.3.

Matrices cuadradas especiales

Matriz Sim´ etrica: Una matriz cuadrada es sim´etrica si y solo si es igual a su transpuesta. A ∈ Mn×n (R) es sim´etrica ⇐⇒ A = AT ⇐⇒ aij = aji Ejemplo Soluci´ on.

Ejemplo

∀i, j ∈ {1, ..., n}



 1 −1 0 La matriz −1 2 3  es sim´etrica. 0 3 0 

T   1 −1 0 1 −1 0  −1 2 3  =  −1 2 3  0 3 0 0 3 0

♣

Hallar los elementos desconocidos x y y de la siguiente matriz sim´etrica   1 5x − 3 y 5 x + 3y  4 2 5x 3 y  6 5 4 ♣

Soluci´ on.

Matriz Antisim´ etrica: Una matriz cuadrada es antisim´etrica si y solo si es igual a la opuesta de su transpuesta. A ∈ Mn×n (R) es antisim´etrica ⇐⇒ A = −AT ⇐⇒ aij = −aji Ejemplo

 0 1 2 La matriz  −1 0 3  es antisim´etrica. −2 −3 0

∀i, j ∈ {1, ..., n}



email [email protected]

34

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s Soluci´ on.

ζℏαυεz

35

T     0 1 2 0 −1 −2 0 1 2  −1 0 3  =  1 0 −3  = −  −1 0 3  −2 −3 0 2 3 0 −2 −3 0

♣



Matriz Idempotente: Una matriz cuadrada es idempotente si y solo si es igual a su cuadrado. A ∈ Mn×n (R) es idempotente ⇐⇒ A2 = A Ejemplo

1 2 1 2

La matriz

1 2 1 2

!

Soluci´ on. 1 2 1 2

1 2 1 2

es idempotente.

!2

1 2 1 2

=

1 2 1 2

!

1 2 1 2

1 2 1 2

!

1 2 1 2

=

1 2 1 2

!

♣

Matriz Involutiva: Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es igual a la identidad. A ∈ Mn×n (R) es involutiva ⇐⇒ A2 = I Ejemplo Soluci´ on.

Ejemplo

La matriz





1 0 0 −1 1 0 0 −1

 2

es involutiva.

=



1 0 0 −1



1 0 0 −1



=



1 0 0 1



♣

Demostrar lo siguiente:

(a) AAT es sim´etrica

(b) A + AT es sim´etrica

(c) A − AT es antisim´etrica

Soluci´ on. 

AAT

T

 T A + AT  T T A−A

email [email protected]



AT

T

AT = AAT  T = AT + AT = AT + A = A + AT  T T = A − AT = AT − A = −(A − AT ) =

35

♣ R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

36

Ejemplo Demostrar que si A y B son matrices idempotentes y que conmutan, entonces AB es idempotente. Soluci´ on.  2 AB = (AB)(AB) = A(BA)B = A(AB)B = (AA)(BB) = A2 B 2 = AB. Ejemplo

♣

Demostrar que si AB = A y BA = B, entonces A, B, AT y B T son idempotentes.

Soluci´ on. A2 = AA = (AB)A = A(BA) = AB = A B 2 = BB = (BA)B = B(AB) = BA = B  2  T AT = AT AT = (AA)T = A2 = AT  2  T BT = B T B T = (BB)T = B 2 = B T Ejemplo orden n.

♣

Si A es sim´etrica de orden n, entonces B T AB es sim´etrica para cualesquiera B de

Soluci´ on.  T  T B T AB = B T A B T = B T AB.

♣

1 (I − A) es idempotente. Recordar que 2 una matriz es involutiva si A2 = I y una matriz es idempotente si A2 = A. Ejemplo

Si A es involutiva, entonces demostrar que

Soluci´ on. 

1 (I − A) 2

email [email protected]

2



 1 = (I − A) 2 1 1 = (I − A)(I − A) = (I − A − A + A2 ) 4 4 1 1 = (I − A − A + I) = (I − A) 4 2 1 (I − A) 2

 

36

♣

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

1.4.

ζℏαυεz

37

Matriz escalonada

´ 1.2. Diremos que una matriz A es escalonada si el primer elemento no nulo de DEFINICION cada una de sus filas est´a a la izquierda del primer elemento no nulo de cada una de las filas subsiguientes y, adem´as, las filas nulas (si las hay) est´ an debajo de las dem´ as. Ejemplo

La siguiente matriz es escalonada 

 6 3 7 2  0 7 5 1  0 0 0 3

El primer elemento no nulo de la fila uno que es 6 esta a la izquierda del primer elemento no nulo de la fila dos que es 7. Adem´as, el primer elemento no nulo de la fila dos que es 7 esta a la ♣ izquierda del primer elemento no nulo de la fila tres que es 3. Ejemplo

Las siguientes matrices son escalonadas: 

4  0   0 0

7 3 0 0

2 5 8 0

 6 2  , 1  7



1  0   0 0

2 0 0 0

3 1 0 0

4 2 0 0

 5 3  , 1  0



0  0   0 0

1 0 0 0

2 4 0 0

3 5 6 0

 1 2   3  0

♣

´ 1.3. Diremos que una matriz A es escalonada reducida si es reducida y adem´as DEFINICION verifica las siguientes propiedades: ☞ El primer elemento no nulo de cada fila no nula de A es igual a 1. ☞ Cada columna de A que tiene el primer elemento no nulo de alguna fila tiene todos sus otros elementos 0. Ejemplo 

Las siguientes matrices son escalonadas reducidas: 

1 0 0 2  0 1 0 3 , 0 0 1 8

email [email protected]



1  0   0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  , 0  1



1  0   0 0

37

2 0 0 0

0 1 0 0

4 2 0 0

 0 0  , 1  0



0  0   0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 1 2   3  0

♣

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

1.5.

ζℏαυεz

38

Transformaciones elementales

Dada una matriz A de orden n, se llaman transformaciones elementales sobre la matriz A a las siguientes operaciones: ① Intercambio de dos filas de A. Intercambiar la fila i con la fila j, se escribe fij . ② Multiplicaci´on de una fila de A por un escalar no nulo. Para la fila i se escribe cfi , c ∈ R. ③ Sumar a una de las filas un m´ ultiplo de otra fila. Si a la fila i se suma k veces la fila j, entonces se escribe fi + kfj

1.6.

Matrices equivalentes

´ 1.4. Dos matrices A y B ambos de orden n × m son equivalentes por filas si una DEFINICION de ellas se puede obtener a partir de la otra por aplicacion de una o varias operaciones elementales. Ejemplo  1  1 A=  2 1

Soluci´ on.

2 2 1 2

Pruebe que las matrices   3 1 2 3  2 4 1  2 yB=   0 0 0 0 3 0 −3 −2 

1  1   2 1

2 2 1 2

 3 1   0  3

−f1 +f4

←→

−f2 +f3

←→



  son equivalentes  

1  1   2 0  1  2   0 0

  3 1 2   1  2f2  2 4 ←→  0  2 1 0 0 0   2 3 1   4 2  f34  2 ←→  −3 −2  0 0 0 0 2 2 1 0

 3 1   0  0

 2 3 4 2   0 0  −3 −2

♣

TEOREMA 1.5. Toda matriz es equivalente a una matriz escalonada. Tambi´en es equivalente a una u ´nica matriz escalonada reducida. Ejemplo Mediante operaciones elementales llevar la siguiente matriz a su forma escalonada y a su forma escalonada reducida. email [email protected]

38

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



2  1 A=  3 2

5 2 4 3

39

 3 2   1  2

Soluci´ on. Empecemos hallando la matriz escalonada. 

2  1   3 2

5 2 4 3

 3 2   1  2

f12

←→

−2f1 +f4

←→

f2 +f4

←→



1  2   3 2  1  0   0 0  1  0   0 0

  2 1   3  −2f1 +f2  0 ←→  1  3 2 2   2 3  1 −1  2 +f3  2f←→   −2 −5  −1 −2   2 3 3 f +f4  1 −1  7 3   − ←→  0 −7  0 −3 2 5 4 3

  2 2  1 −1  1 +f3  −3f  ←→  4 1  3 2  1 2 3 0 1 −1   0 0 −7  0 −1 −2  1 2 3 0 1 −1   0 0 −7  0 0 0

 1 2 3 0 1 −1   0 −2 −5  2 3 2

A partir de la matriz escalonada podemos hallar la matriz escalonada reducida. 

2  1   3 2

5 2 4 3

 3 2   1  2

←→

−3f3 +f1

←→

Ejemplo



1  0   0 0  1  0   0 0

  2 3 1 1   f − 3 1 −1  7  0 ←→  0 −7  0 0 0 0   2 0 1   1 0  −2f2 +f1  0 ←→  0 1  0 0 0 0

  2 3  1 −1  3 +f2  f←→   0 1  0 0  0 0 1 0   0 1  0 0

1 0 0 0

2 1 0 0

 3 0   1  0

♣

Mediante operaciones elementales llevar la siguiente matriz a su forma escalonada. 

  A=   email [email protected]

0 1 3 0 2

 2 −4 4 −5   1 7   1 0  3 0

39

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

40

Soluci´ on.      

0 1 3 0 2

 2 −4 4 −5   1 7   1 0  3 0

f12

←→

1/2f2 1/11f3 1/5f5 ←→



1 0 3 0 2



1 2 2 0 1 −2 0 −1 2 0 1 −2 0 −1 2

         

 4 −5 −3f1 + f3 2 −4   −2f1 + f5 1 7  ←→   1 0 3 0

 f2 + f3 −f2 + f4   f2 + f5  ←→  



1 4 −5 0 2 −4 0 −11 22 0 1 −2 0 −5 10



1 0 0 0 0

         

     

 2 2 1 −2   0 0   0 0  0 0

♣

Ejemplo Reducir cada una de las siguientes matrices a una matriz escalonada mediante una sucesi´on finita de operaciones elementales 

1  0 (a) A =   −1 2  2  1 (b) A =   −2 −1  1  5 (c) A =   6 −1

 1 −1 1 0   1 0  1 1



 3 −1 0 2 4 3   1 3 2  −2 −3 0  −1 2 0 −5 10 0   −6 12 3  1 −2 1

1  0 Rta.   0 0  1  0 Rta.   0 0  1  0 Rta.   0 0

 1 −1 1 0   0 −1  0 0  2 4 3 1 9 6   0 1 3  0 0 1  −1 2 0 0 0 1   0 0 0  0 0 0 ♣

Soluci´ on. Ejemplo

Mediante una sucesi´on finita de operaciones elementales, demostrar que: 

 a a2 a3 a4  b b2 b3 b4  c c 2 c3 c4

es equivalente a

 1 0 0 abc  0 1 0 −(ab + bc + ca)  0 0 1 a+b+c ♣

Soluci´ on. email [email protected]



40

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

1.7.

ζℏαυεz

41

Rango de una Matriz

´ 1.5. El rango de una matriz A de orden n × m es el n´ DEFINICION umero de filas no nulas de su matriz escalonada. 

25  75 Hallar el rango de la matriz A =   75 25

Ejemplo

Soluci´ on.



25  75   75 25

31 94 94 32



17 43 53 132   54 134  20 48

−3f1 + f2 −3f2 + f3 −f1 + f4 ←→

−f3 + f4 ←→

31 94 94 32

 17 43 53 132   54 134  20 48



 −f2 + f3 25 31 17 43  0 1 2 3  −f2 + f4   ←→  0 1 3 5  0 1 3 5 

 25 31 17 43  0 1 2 3     0 0 1 2  0 0 0 0



 25 31 17 43  0 1 2 3     0 0 1 2  0 0 1 2

♣

La u ´ ltima matriz escalonada tiene 3 filas no nulas, luego r(A) = 3.

Ejemplo Dadas las matrices empleando el m´etodo de transformaciones elementales, hallar el rango de cada una de ellas. 

3 2 −1 3 −2 4  5 (a) A =  4 −2 5 1 7  Rta. r(A) = 2 (b) B =   1 2 −1 1 8 9 7 





 1 3 5 −1  2 −1 −3 4   (c) C =   5 1 −1 7  Rta. r(C) = 3 7 7 9 1

 −1 3 2 5 −3 2 3 4   Rta. r(B) = 3 −3 −5 0 −7  −5 1 4 1



 1 2 3 2 (d) D =  2 3 5 1  Rta. r(D) = 2 1 3 4 5

Soluci´ on. email [email protected]

41

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 

 1 2 3 2  2 3 5 1  1 3 4 5

−2f1 + f2 −f1 + f3 ←→

ζℏαυεz

42



   1 2 3 2 1 2 3 2 f +f  0 −1 −1 −3  2←→ 3  0 −1 −1 −3  0 1 1 3 0 0 0 0 

Ejemplo Soluci´ on.

 1 α −1 Encuentre valores de α ∈ R para que A =  2 −1 α  tenga rango igual a 3. 1 10 −6



 2f3 ←→  

1 f23 ←→  0 0

 1 α −1  2 −1 α  1 10 −6  1 α −1 0 −2α − 1 α + 2  0 20 − 2α −10  α −1 21 −α − 12  −2α − 1 α + 2

−2f1 + f2 −f1 + f3 ←→ −f2 + f3 ←→ 21f3 ←→ (2α + 1)f2 + f3 ←→



 1 α −1  0 −2α − 1 α + 2  0 10 − α −5   1 α −1  0 −2α − 1 α + 2  0 21 −α − 12   1 α −1  0 21 −α − 12  0 −21(2α + 1) 21α + 42   1 α −1   0 21 −α − 12 0 0 −2α2 − 4α + 30

Resolviendo −2α2 − 4α + 30 = 0, tenemos que r(A) = 3 si y solo si α 6= 3 y α 6= −5.

1.8.

♣

♣

Representaci´ on matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simult´aneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambi´en resultan muy u ´ tiles en geometr´ıa (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posici´on relativa de estas figuras geom´etricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional as´ı : email [email protected]

42

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

43

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

(1.6)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm un sistema as´ı expresado tiene “m” ecuaciones y “n” inc´ognitas, donde aij son n´ umeros reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son n´ umeros reales, llamados t´erminos independientes del sistema, las inc´ognitas xj son las variables del sistema, y la soluci´on del sistema es un conjunto ordenado de n´ umeros reales (s1 , s2 , ..., sn ) tales que al sustituir las inc´ognitas x1 , x2 , ..., xn por los valores s1 , s2 , ..., sn se verifican a la vez las “m” ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notaci´on matricial tiene esta forma :     

Sean 

  A= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1 am2

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1 am2

. . . a1n . . . a2n .. ... . . . . amn

. . . a1n . . . a2n .. .. . . . . . amn

    

    

x1 x2 .. . xn



  x= 





    =   x1 x2 .. . xn

b1 b2 .. . bm



     

   

  b= 

b1 b2 .. . bm

    

La matriz A es la matriz de coeficientes es de orden m × n y esta formada por los coeficientes del sistema, x es la matriz columna formada por las inc´ognitas y b es la matriz columna formada por los t´erminos independientes. Llamamos matriz ampliada o aumentada de dimensi´on m × (n + 1) a la matriz que se obtiene al a˜ nadir a la matriz de coeficientes la columna de los t´erminos independientes, y la denotamos por Ab , es decir 

  Ab =  

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am1 am2

. . . a1n b1 . . . a2n b2 .. .. .. . . . . . . amn bm

    

TEOREMA 1.6. Consideremos en sistema matricial Ax = b, donde A es una matriz es de orden m × n, x de orden n × 1 “n es el n´ umero de inc´ ognitas” y b de orden m × 1. (a) Si r(A) = r(Ab ) = n, entonces el sistema tiene una u ´nica soluci´ on. Es decir, si la matriz y su matriz aumentaba tiene rango igual al n´ umero de inc´ ognitas entonces el sistema tiene una u ´nica soluci´on. email [email protected]

43

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

44

(b) Si r(A) = r(Ab ) = k < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Se pueden dar valores arbitrarios a un cierto conjunto de n − k variables y las restantes k variables puede hallarse despejando estas k variables en funci´ on de las n − k variables dadas. En este caso decimos que el sistema tiene n − k grados de libertad. (c) Si r(A) 6= r(Ab ), entonces el sistema no tiene soluciones.

1.9.

M´ etodo de eliminaci´ on de Gauss y de Gauss Jordan

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Obviamente, un sistema se puede resolver cuando es compatible, es decir, cuando el rango de su matriz de coeficientes es igual al rango de su matriz aumentaba. En el transcurso de este curso estudiaremos los siguientes m´etodos para resolver sistemas de ecuaciones: ① M´etodo de Gauss (por reducci´on) ② M´etodo de Gauss-Jordan (por eliminaci´on) ③ M´etodo de Cramer (por determinantes) ④ Por inversi´on de la matriz. ´ n de Gauss M´ etodo de eliminacio Para resolver un sistema de “m” ecuaciones con “n” inc´ognitas seguir los siguientes pasos: ① Colocar el sistema de ecuaciones lineales en notaci´on matricial Ax = b, donde A es una matriz es de orden m × n, x de orden n × 1 “n es el n´ umero de inc´ognitas” y b de orden m × 1. ② Definir la matriz aumentada Ab ③ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada. ④ Aplicar el Teorema 1.11: (a) Si r(A) = r(Ab ) = n, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. De la forma escalonada se obtiene un nuevo sistema A′ x = b′ que se resuelve de abajo hacia arriba: se halla primero el valor de la u ´ ltima inc´ognita, se la sustituye por ese valor en la ecuaci´on anterior y as´ı sucesivamente. (b) Si r(A) = r(Ab ) = k < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Se pueden dar valores arbitrarios a un cierto conjunto de n − k variables y las restantes k variables puede hallarse despejando estas k variables en funci´on de las n − k variables dadas. email [email protected]

44

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

45

(c) Si r(A) 6= r(Ab ), entonces el sistema no tiene soluciones. Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por el m´etodo de Gauss x + y + z = 11 2x − y + z = 5 3x + 2y + z = 24

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  1  2 3

matricial     1 1 x 11 −1 1   y  =  5  2 1 z 25

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por  1 1 1 A =  2 −1 1  , 3 2 1



 1 1 1 11 Ab =  2 −1 1 5  3 2 1 24



❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada. 

 1 1 1 11  2 −1 1 5  3 2 1 24   1 1 1 11 f23 ←→  0 −1 −2 −9  0 −3 −1 −17

−2f1 + f2 −3f1 + f3 ←→ −3f2 + f3 ←→



1 1 1  0 −3 −1 0 −1 −2  1 1 1  0 −1 −2 0 0 5

 11 −17  −9  11 −9  10

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. Para encontrarla procedemos como sigue: Primero escribamos el sistema asociado a la matriz reducida, x + y + z = 11 −y − 2z = −9 5z = 10 De la u ´ ltima ecuaci´on 5z = 10 despejamos la variable z = 2, que reemplazamos en la segunda ecuaci´on −y − 2(2) = −9, para obtener que y = 5, ahora bien reemplazando z = 2 y y = 5 en la primera ecuaci´on x + 5 + 2 = 11 obtenemos x = 4. email [email protected]

45

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s Ejemplo

ζℏαυεz

46

Resolver el siguiente sistema por el m´etodo de Gauss y + 2z + 3t = 1 2x + y + 3z = 1 3x + 4y + 2z = 1 4x + 2y + t = 1

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 4. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  0  2   3 4

matricial  1 2 3  1 3 0   4 2 0  2 0 1

  x 1   y   1 = z   1 t 1

   

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

0  2 A=  3 4

1 1 4 2

 3 0  , 0  1

2 3 2 0



0  2 Ab =   3 4

1 1 4 2

2 3 2 0

 1 1   1  1

3 0 0 1

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada.

−1/2f1 + f3 −2f1 + f4 ←→





1 1 4 2

2 1

3

0  2   3 4

  0 1 2   0 5 −5  2 2

 1 1   1  1  0 1  3 1   0 − 12  

2 3 2 0

3 0 0 1

0 2 −6 1 −1

f12 ←→

−5/2f2 + f3 −2f2 + f4 ←→



2  0   3 4  2   0   0 

1 1 4 2

3 2 2 0

0 3 0 1

1

3

1

2

 1 1   1  1 0 3

0 − 15 − 15 2 2

0 0

0

7

1



 1   −3   7 5

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 4, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. Para encontrarla procedemos como sigue: Primero escribamos el sistema asociado a la matriz reducida, 2x + y + 3z = 1 y + 2z + 3t = 1 − 15 z − 15 t = −3 2 2 7t = 75 email [email protected]

46

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

47

Resolviendo el sistema de abajo hacia arriba, tenemos t = 51 , z = 15 , y = 0 y x = 15 .

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema por el m´etodo de Gauss 2x − 4y + 6z = 2 y + 2z = −3 x − 3y + z = 4

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  2  0 1

matricial     −4 6 x 2 1 2   y  =  −3  −3 1 z 4

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 2 −4 6 A =  0 1 2 , 1 −3 1



 2 −4 6 2 Ab =  0 1 2 −3  1 −3 1 4

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada. 

 2 −4 6 2  0 1 2 −3  1 −3 1 4   1 −2 3 1 −f1 + f3  0 1 2 −3  ←→ 0 −1 −2 3

1/2f1 ←→ −f2 + f3 ←→



 1 −2 3 1  0 1 2 −3  1 −3 1 4   1 −2 3 1  0 1 2 −3  0 0 0 0

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 2 < 3. El sistema tiene infinitas soluciones. Dado que 2 < 3, entonces las 3−2 = 1 inc´ognitas (´ ultima inc´ognita) toma valores arbitrarios y a las que se les denomina valores libres o par´ametros. Empecemos transformando la matriz escalonada reducida en el siguiente sistema de ecuaciones x − 2y + 3z = 1 y + 2z = −3 En este sistema hagamos z = t con t ∈ R y luego despejemos x y y en funci´on de t   x − 2y = 1 − 3z x − 2y = 1 − 3t y = −3 − 2z y = −3 − 2t email [email protected]

47

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

48

reemplazando y = −3 − 2t en la primera ecuaci´on x − 2(−3 − 2t) = 1 − 3t, obtenemos x = −5 − 7t, luego el vector soluci´on es dado por             x −5 − 7t −5 −7t −5 −7  y  =  −3 − 2t  =  −3  +  −2t  =  −3  + t  −2  z t 0 t 0 1 ♣ Ejemplo

Discutir por el m´etodo de Gauss el siguiente sistema: x + 2y − 3z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − 2z = 12

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  1  2 4

matricial     2 −3 x 4 3 4  y  =  5  7 −2 z 12

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 1 2 −3 A =  2 3 4 , 4 7 −2



 1 2 −3 4 Ab =  2 3 4 5  4 7 −2 12

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

 1 2 −3 4  2 3 4 5  4 7 −2 12

−2f1 + f2 −4f1 + f3 ←→ −f2 + f3 ←→



1 2 −3  0 −1 10 0 −1 10  1 2 −3  0 −1 10 0 0 0

 4 −3  −4  4 −3  −1

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = 2, r(Ab ) = 3, entonces r(A) 6= r(Ab ). El sistema no tiene soluciones. En efecto, el sistema dado es equivalente a: x

+ 2y − 3z = 4 − 3y + 10z = −3 0x + 0y + z0 = −1 email [email protected]

48

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

49

lo que es, obviamente, absurdo. ♣ ´ n de Gauss Jordan M´ etodo de eliminacio Para resolver un sistema de “m” ecuaciones con “n” inc´ognitas seguir los siguientes pasos: ① Colocar el sistema de ecuaciones lineales en notaci´on matricial Ax = b, donde A es una matriz es de orden m × n, x de orden n × 1 “n es el n´ umero de inc´ognitas” y b de orden m × 1. ② Definir la matrices de coeficientes A y la matriz aumentada Ab . ③ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. ④ Aplicar el Teorema 1.11. Ejemplo

Discutir por el m´etodo de Gauss Jord´ an el siguiente sistema: x+y+z = 2 2x − y − z = 1 x + 2y − z = −3

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 1 1 x 2  2 −1 −1   y  =  1  1 2 −1 z −3 ❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por  1 1 1 A =  2 −1 −1  , 1 2 −1



 1 1 1 2 Ab =  2 −1 −1 1  1 2 −1 −3



❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

email [email protected]

49

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



 1 1 1 2  2 −1 −1 1  1 2 −1 −3   1 1 1 2 −1/3f2 1  ←→  0 1 1 0 1 −2 −5 

 1 0 3 7 −1/3f3 ←→  0 1 −2 −5  0 0 1 2

50

−2f1 + f2 −f1 + f3 ←→



−f2 + f1 −f2 + f3 ←→



−3f3 + f1 2f3 + f2 ←→



 1 1 1 2  0 −3 −3 −3  0 1 −2 −5  1 0 0 1  0 1 1 1  0 0 −3 −6  1 0 0 1  0 1 0 −1  0 0 1 2

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 1, y = −1, z = 2. ♣ Ejemplo

Discutir por el m´etodo de Gauss Jord´ an el siguiente sistema: x + 3y + z = 6 3x − 2y − 8z = 7 4x + 5y − 3z = 17

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 3 1 x 6  3 −2 −8   y  =  7  4 5 −3 z 17 ❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 1 3 1 A =  3 −2 −8  , 4 5 −3



 1 3 1 6 Ab =  3 −2 −8 7  4 5 −3 17

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

email [email protected]

50

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



 1 3 1 6  3 −2 −8 7  4 5 −3 17

−1/11f2   1 3 1 6 −1/7f3 ←→  0 1 1 1  0 1 1 1

51

−3f1 + f2 −4f1 + f3 ←→



−3f2 + f1 −f2 + f3 ←→



 1 3 1 6  0 −11 −11 −11  0 −7 −7 −7  1 0 −2 3  0 1 1 1  0 0 0 0

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 2 < 3. El sistema tiene infinitas soluciones. Dado que 2 < 3, entonces las 3−2 = 1 inc´ognitas (´ ultima inc´ognita) toma valores arbitrarios y a las que se les denomina valores libres o par´ametros. Empecemos transformando la matriz escalonada reducida en el siguiente sistema de ecuaciones x−z = 3 y+z = 1 En este sistema hagamos z = t con t ∈ R y luego despejemos x y z en funci´on de t x = 3+z =3+t y = 1−z =1−t luego el vector soluci´on es dado por             x 3+t 3 t 3 1  y  =  1 − t  =  1  +  −t  =  1  + t  −1  z z 0 t 0 1 Ejemplo

♣

Discutir por el m´etodo de Gauss Jord´ an el siguiente sistema: x + y + z = 1 x − y + 3z = −3 x + z = 1

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 1 −1 x 1  1 −1 3   y  =  −3  1 0 1 z 1 email [email protected]

51

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

52

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 1 1 −1 A =  1 −1 3  , 1 0 1



 1 1 −1 1 Ab =  1 −1 3 −3  1 0 1 1

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

 1 1 −1 1  1 −1 3 −3  1 0 1 1

−f1 + f2   1 0 3 1 −f1 + f3  0 −1 2 −4  ←→ 0 1 −2 0

f13 ←→



 1 0 1 1  1 1 −1 1  1 −1 3 −3

f23 ←→



 1 0 3 1  0 1 −2 0  0 −1 2 −4   1 0 3 1  0 1 −2 0  0 0 0 4

f2 + f3 ←→

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = 2, r(Ab ) = 3, entonces r(A) 6= r(Ab ). El sistema no tiene soluciones. ♣ Ejemplo

Destudiar la compatibilidad del siguiente sistema: ax − 2y = 4 ax + (a − 1)y = 4

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 2. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      a −2 x 4 = a a−1 y 4 ❄ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por M=

email [email protected]



a −2 a a−1



,

52

Ma =



a −2 4 a a−1 4



R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

53

❅ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida. 

a −2 4 a a−1 4





−f1 + f2 ←→

a −2 4 0 a+1 0



❆ Aplicar el Teorema 1.11. ☞ Si a = 0, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equivalentes a     0 −2 0 −2 4 M= , Ma = 0 −1 0 −1 0 Por tanto, r(M) = 1 y r(Ma ) = 2, entonces el sistema no tiene soluciones. ☞ Si a = −1, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equivalentes a     −1 −2 −1 −2 4 M= , Ma = 0 0 0 0 0 Por tanto, r(M) = r(Ma ) = 1 < 2, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. ☞ Si a 6= 0 y a 6= −1, se tiene que r(M) = r(Ma ) = 2, por tanto el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. ♣ 

Ejemplo

1 a a+1 2



La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es: y   2 la de los t´erminos independientes es: . a) Plantear las ecuaciones del sistema. b) Estudiar −2 su compatibilidad en funci´on de los valores de a. .En que casos tiene soluci´ on u ´nica?. c) Resolverlo si a = 2. Soluci´ on. Apartado a: El sistema asociado a las matrices dadas ser´a: x + ay = 2 (a + 1)x + 2y = −2 El mismo sistema, expresado en forma matricial: 

1 a a+1 2



x y



=



2 −2



Apartado b: El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 2.

email [email protected]

53

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

54

❃ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por M=



1 a a+1 2



,

Ma =



1 a 2 a + 1 2 −2



❄ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida. 

1 a 2 a + 1 2 −2



−(a + 1)f1 + f2 ←→



1 a 2 0 −a(a + 1) + 2 −2(a + 1) − 2



❅ Aplicar el Teorema 1.11. Resolvamos las ecuaciones −a(a + 1) + 2 = 0

a = −2, a = 1.

y −2(a + 1) − 2 = 0

a = −2.

☞ Si a = 1, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equivalentes a     1 1 1 1 2 M= , Ma = 0 0 0 0 −6 Por tanto, r(M) = 1 y r(Ma ) = 2, entonces el sistema no tiene soluciones. ☞ Si a = −2, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equivalentes a     1 1 1 1 2 M= , Ma = 0 0 0 0 0

Por tanto, r(M) = r(Ma ) = 1 < 2, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. ☞ Si a 6= 1 y a 6= −2, se tiene que r(M) = r(Ma ) = 2, por tanto el sistema tiene una u ´ nica soluci´on.

Apartado c: Si suponemos que a = 2, tendremos que: ( Ejemplo

x + 2y = 2 3x + 2y = −2

cuya soluci´on es

{x = −2, y = 2}

♣

Dado el sistema (2m − 1)x − my + (m + 1)z = m − 1

(m − 2)x − (m + 1)y + (m − 2)z = m

(2m − 1)x + (m − 1)y + (2m − 1)z = m

Determine para qu´e valores de m: email [email protected]

54

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

55

① El sistema tiene soluci´on u ´nica. Respuesta.- m 6= 0, m 6= 1 y m 6= −1. ② El sistema tiene infinitas soluciones. Respuesta.- m = −1. ③ El sistema no tiene soluciones. Respuesta.- m = 0, m = 1. Soluci´ on. Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      2m − 1 −m m+1 x m−1  m− 2 m+ 1 m −2  y  =  m  2m − 1 m − 1 2m − 1 z m ❄ Definir la matriz aumentada Ab 

 2m − 1 −m m+1 m−1 Ab =  m − 2 m + 1 m − 2 m  2m − 1 m − 1 2m − 1 m

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

email [email protected]

55

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



1     m−2  2m − 1

1 f 2m−1 1

Ab

←→

−(m − 2)f1 + f2 −(2m − 1)f1 + f2 ←→



1

−

f23 ←→

−

m − 2m − 1

m+1 2m − 1

m−1

2m − 1

m+1

m 2m − 1

   2  0 1 + m − 3m  1 − 2m  0

C23 ←→

56

−1 + 2m



m−2

1    2  0 −2 + 2m + m  −1 + 2m 



1

1

m−1 2m − 1

   0 1    −2 + 2m + m2 0 −1 + 2m

f (m) = (−2 + m) y g(m) = 3

  −2 + 2m + m2    −1 + 2m 

−2 + m

m+1 2m − 1



m−1 2m − 1

1

2

(−2 + m) −1 + 2m −2 + m m+1 2m − 1

−2 + m (−2 + m)2 −1 + 2m

m − 2m − 1



  1 + m − 3m    1 − 2m  2

−1 + 2m

−

m 2m − 1



  −1 + 2m    2  1 + m − 3m 1 − 2m



 m−1 m+1 m  1 2m − 1 2m − 1 − 2m − 1       0 1 −2 + m −1 + 2m    0 0 f (m) g(m)

−1 + 2m f2 + f3 −2 + 2m + m2 ←→

donde

m+1 2m − 1

(−2 + m)2 −1 + 2m

m−1 2m − 1

0

 m−1 2m − 1     m  m



−2 + m 1 − 2m + −1 + 2m −2 + 2m + m2



1 − 2m + m2 − m3 + m4 2 − 6m + 3m2 + 2m3

Las soluciones de la ecuaci´on f (m) = 0 son: m = −1, email [email protected]

m = 2,

m = 1/2(5 − 56

√

13),

m = 1/2(5 +

√

13) R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

57

y las soluciones de la ecuaci´on g(m) = 0 son: m = 1. √ √ ❆ Aplicando el Teorema 1.11. Si m 6= −1, m 6= 2, m 6= 1/2(5 − 13), m 6= 1/2(5 + 13) y m 6= 1 entonces f (m) 6= 0 y g(m) 6= 0, por tanto r(A) = r(Ab ) = 3, entonces el sistema tiene soluci´on u ´ nica. √ √ Por otro lado, si m = −1 o m = 2 o m = 1/2(5 − 13) o bien m = 1/2(5 + 13); pero m 6= 1, entonces r(A) = 2 6= r(Ab ) = 2. El sistema no tiene soluciones. No existe un valor de m de modo que f (m) = g(m) = 0, entones El sistema no tiene soluciones infinitas. ♣

1.10.

Ejemplo Jordan

Aplicaci´ on a la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales Resuelva cada una de las siguientes sistemas mediante la eliminaci´ on de Gauss-

(a)

(c)

2x + y + z = 8 3x − 2y − z = 1 4x − 7y + 3z = 10

5x + 2y + 6z = 0 −2x + y + 3z = 0

x+y+z = 0 (b) −2x + 5y + 2z = 0 −7x + 7y + z = 0 (d)

x − 2y + z − 4w = 1 x + 3y + 7z + 2w = 2 x − 12y − 11z − 16w = 5 ♣

Soluci´ on. Ejemplo

Resolver el sistema:

(a)

1 + x 2 − x 3 + x

1 1 + = 5 y z 3 4 − = −11 y z 2 1 − = −6 y z

(b)

♣

Soluci´ on. email [email protected]

1 1 13 + = x y 40 1 1 7 + = x z 24 1 1 11 + = y y 30

57

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s Ejemplo

ζℏαυεz

58

Resolver el sistema: 15 xy = 7x − 2y 11 (a)

yz = −15 8y − 7z 6 xz = − 3x − 5z 7

(b)

5 4 + = 5 2x + y 2x − 3y 2 15 + = 5 2x + y 2x − 3y ♣

Soluci´ on.

Ejemplo Un grupo de personas se reune para ir de excursi´ on, junt´ andose un total de 20 entre hombres, mujeres y ni˜ nos. Contando hombres y mujeres juntos, su n´ umero resulta ser el triple del n´ umero de ni˜ nos. Adem´as, si hubiera acudido una mujer m´ as, su n´ umero igualar´ıa al del hombres. a) Plantear un sistema para averiguar cu´ antos hombres, mujeres y ni˜ nos han ido de excursi´on. b) Resolver el problema. Soluci´ on. Si llamamos x, y, z, al n´ umero de hombres, mujeres y ni˜ nos, respectivamente, que fueron de excursi´on, tendremos:

(∗)

  x + y + z = 20 x + y = 3z  y+1 = x

ordenamos

  x + y + z = 20 x + y − 3z = 0  x − y = 1

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      20 x 1 1 1  1 1 −3   y  =  0  z 1 1 −1 0 ❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 1 1 1 A =  1 1 −3  , 1 −1 0



 1 1 1 20 Ab =  1 1 −3 0  1 −1 0 1

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

email [email protected]

58

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



 1 1 1 20  1 1 −3 0  1 −1 0 1   1 1 1 20 f23 ←→  0 −2 −1 −19  0 0 −4 −20

−f2 + f1   1 0 3/2 21/2 8f2 + f3  0 1 −1/2 19/2  ←→ 0 0 −4 −20

59

−f1 + f2 −f1 + f3 ←→ −1/2f2 ←→

1/4f3 ←→ 1/2f3 + f2 −3/2f3 + f1 ←→



1 1 1  0 0 −4 0 −2 −1  1 1 1  0 1 −1/2 0 0 −4

 20 −20  −19  20 19/2  −20



 21/2 19/2  5 

1 0 3/2  0 1 −1/2 0 0 1  1 0 0 3  0 1 0 12 0 0 1 5



❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 3, y = 12, z = 5. Luego, habr´an asistido 3 hombres, 12 mujeres y 5 ni˜ nos a la excursi´on. ♣ Ejemplo Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificaci´on de 8 puntos. En la segunda pregunta sac´ o dos puntos m´ as que en la primera y un punto menos que en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuaci´on obtenida en cada una de las preguntas. b) Resolver el sistema. Soluci´ on. Si llamamos x, y, z, a la puntuaci´on obtenida en cada pregunta, respectivamente, tendremos:

(∗)

  x+y+z = 8 y = x+2  y = z−1

ordenamos

  x + y + z = 8 x − y = −2  y − z = −1

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      x 8 1 1 1  1 −1 0   y  =  −2  0 1 −1 z −1 email [email protected]

59

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

60

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 1 1 1 A =  1 −1 0  , 0 1 −1



 1 1 1 8 Ab =  1 −1 0 −2  0 1 −1 −1

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

 1 1 1 8  1 −1 0 −2  0 1 −1 −1   1 1 1 8 f23 ←→  0 1 −1 −1  0 −2 −1 −10

−f1 + f2 ←→



2f2 + f3 −f2 + f1 ←→



f3 + f2 −2f3 + f1 ←→

 1 0 2 9 −1/3f3 ←→  0 1 −1 −1  0 0 1 4 

 1 1 1 8  0 −2 −1 −10  0 1 −1 −1  1 0 2 9  0 1 −1 −1  0 0 −3 −12 

 1 0 0 1  0 1 0 3  0 0 1 4

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 1, y = 3, z = 4. Luego, habr´a obtenido 1 punto en la primera pregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera. ♣ Ejemplo Un ama de casa adquiri´o en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la compra fueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg. Adem´ as, compr´ o 1 kg. m´ as de naranjas que de manzanas. a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b) Resolver el problema. Soluci´ on. Si llamamos x, y, z, al n´ umero de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas, respectivamente, tendremos:   100x + 120y + 150z = 1160 x+y+z = 9  y+1 = z

ordenamos

  10x + 12y + 15z = 116 x + y + y = 9  y − z = −1

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3.

email [email protected]

60

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

61

❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      10 12 15 x 116  1 1 1  y  =  9  0 1 −1 z −1 ❄ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por  10 12 15 M = 1 1 1  0 1 −1



 10 12 15 116 Ma =  1 1 1 9  0 1 −1 −1



❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

10 12 15  1 1 1 0 1 −1  1 1 1 −10f1 + f2  0 2 5 ←→ 0 1 −1

 116 9  −1  9 26  −1

−2f2 + f3   1 0 2 10 −f2 + f1  0 1 −1 −1  ←→ 0 0 7 28

f12 ←→ f23 ←→



 1 1 1 9  10 12 15 116  0 1 −1 −1   1 1 1 9  0 1 −1 −1  0 2 5 26

1/7f3 ←→



 1 0 2 10  0 1 −1 −1  0 0 1 4

f3 + f2 −2f2 + f1 ←→



 1 0 0 2  0 1 0 3  0 0 1 4

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(M) = r(Ma ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 2, y = 3, z = 4. Por tanto, habr´a comprado 2 kg. de patatas, 3 kg. de manzanas y 4 kg. de naranjas. ♣ Ejemplo En una confiter´ıa envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg. Cierto d´ıa se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas m´ as de tama˜ no peque˜ no (250 gr.) que de tama˜ no mediano (500 gr.). Sabiendo que el precio de la caja de 250 gr. es de 1000 ptas. el precio de la caja de 500 gr. es de 2000 ptas. y el precio de la caja de 1 kg. es de 4000 ptas. Adem´as se sabe que el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas: a) Plantear un sistema para determinar cu´antas cajas se han envasado de cada tipo. b) Resolver el problema. Soluci´ on. Tenemos que: email [email protected]

61

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

62

precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas. precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas. precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas. Si llamamos x, y, z, al n´ umero de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg., respectivamente, tendremos: x + y + z = 60 x = y+5 1000x + 2000y + 4000z = 125000

ordenamos

x + y + y = 60 x − y = 5 x + 2y + 4z = 125

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 1 1 x 60  1 −1 0   y  =  5  1 2 4 z 125 ❄ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por 

 1 1 1 M =  1 −1 0  1 2 4



 1 1 1 60 Ma =  1 −1 0 5  1 2 4 125

❅ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida. 

 1 1 1 60  1 −1 0 5  1 2 4 125 

 1 1 1 60 f23 3 65  ←→  0 1 0 −2 −1 −55   1 0 −2 −5 1/5f3 ←→  0 1 3 65  0 0 1 15 email [email protected]

−f1 + f2 −f1 + f3 ←→



2f2 + f3 −f2 + f1 ←→



−3f2 + f2 2f2 + f1 ←→

62

 1 1 1 60  0 −2 −1 −55  0 1 3 65  1 0 −2 −5  0 1 3 65  0 0 5 75 

 1 0 0 25  0 1 0 20  0 0 1 15 R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

63

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(M) = r(Ma ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 25, y = 20, z = 15. Por tanto, se habr´an envasado 25 cajas peque˜ nas, 20 medianas y 15 grandes. ♣ Ejemplo El precio de entrada a cierta exposici´ on es de 200 ptas. para los ni˜ nos, 500 para los adultos y 250 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposici´ on fu´e visitada por 200 personas en total, igualando el n´ umero de visitantes adultos al de ni˜ nos y jubilados juntos. La recaudaci´on de dicho d´ıa ascendi´o a 73.500 ptas. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cu´antos ni˜ nos, adultos y jubilados visitaron la exposici´ on ese d´ıa. b) Resolver el problema. Soluci´ on. Si llamamos x, y, z, al n´ umero de ni˜ nos, adultos y jubilados, respectivamente, que visitaron ese d´ıa la exposici´on, tendremos: x + y + z = 200 y = x+z 200x + 500y + 250z = 73500

ordenamos

x + y + z = 200 x − y + z = 0 20x + 50y + 25z = 7350

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      200 x 1 1 1  1 −1 1   y  =  0  7350 z 20 50 25 ❄ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por 

 1 1 1 M =  1 −1 1  20 50 25



 1 1 1 200 0  Ma =  1 −1 1 20 50 25 7350

❅ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida.

email [email protected]

63

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



 1 1 1 200  1 −1 1 0  20 50 25 7350  1 1 −1/2f2  0 1 ←→ 0 30  1 0 1/5f3 ←→  0 1 0 0

 1 200 0 100  5 3350  1 100 0 100  1 70

64

−f1 + f2 −20f1 + f3 ←→



−30f2 + f3 −f2 + f1 ←→



−f2 + f1 ←→

 1 1 1 200  0 −2 0 −200  0 30 5 3350  1 0 1 100  0 1 0 100  0 0 5 350   1 0 0 30  0 1 0 100  0 0 1 70

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(M) = r(Ma ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 30, y = 100, z = 70. Luego, a la exposici´on, habr´an acudido 30 ni˜ nos, 100 adultos y 70 jubilados. ♣ Ejemplo En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). El propietario consulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encontrando la siguiente informaci´on: el n´ umero total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; el precio del paquete A 500 bs; y el importe total de la oferta 440.000 bs. Pero en sus anotaciones no aparece reflejado claramente el precio del paquete B. a) Plantear un sistema para determinar el n´ umero de paquetes vendidos de cada marca. Discutir su compatibilidad. b) Averiguar si el precio del paquete B fue 400 o 408 bs. ¿cu´antos paquetes se vendieron? Soluci´ on. Si llamamos x e y al n´ umero de paquetes vendidos de las marcas A y B, respectivamente, tendremos: (

x + y = 1000 500x + my = 440000

representando el par´ametro m el precio del paquete de marca B. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 2. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 1 x 1000 = 500 m y 440000

email [email protected]

64

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

65

❄ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por M=



1 1 500 m



,

Ma =



1 1 1000 500 m 440000



❅ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida. 

1 1 1000 500 m 440000



−500f1 + f2 ←→



1 1 1000 0 m − 500 −60000



❆ Aplicar el Teorema 1.11. ☞ Si m = 500, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equivalentes a     1 1 1 1 1000 M= , Ma = 0 0 0 0 −60000 Por tanto, r(M) = 1 y r(Ma ) = 2, entonces el sistema no tiene soluciones. ☞ Si m 6= 500, r(M) = r(Ma ) = 2, por tanto el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. ❇ Se trata de resolver el sistema para los valores m = 400 y m = 408: ( x + y = 1000 {x = 400, y = 600} 500x + 400y = 440000 (

x + y = 1000

{x = 8000/23, y = 15000/23}

500x + 408y = 440000

Como el n´ umero de paquetes vendido de cada marca debe ser un n´ umero entero, el precio del paquete B tiene que haber sido 400 pesetas. En estas condiciones, se habr´ıan vendido 400 paquetes de la marca A y 600 paquetes de la marca B. ♣ Ejemplo En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede llenar gasolina en tres estaciones de servicio A, B y C. El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolina en A ha sido de 5 bs/litro y el precio de la gasolina en B de 4 bs/litro, pero ha olvidado el precio en C. (Supongamos que son “m” bs/litro). Tambi´en recuerda que: ❃ la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B super´ o en 936 bs. al gasto en C. ❄ el n´ umero de litros de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C. email [email protected]

65

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

66

❅ el gasto de litros en A super´o al de B en 252 bs. ① Plantea un sistema de ecuaciones (en funci´ on de “m”) para determinar los litros consumidos en cada gasolinera. ② Estudiar la compatibilidad del sistema en funci´ on de “m”. ¿Puedes dar alg´ un precio al que sea imposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C? Soluci´ on. ① Empecemos respondiendo a las siguientes preguntas: Cu´ales son las inc´ognitas?, ¿Qu´e tengo que buscar, averiguar o qu´e me preguntan?, ¿Qu´e datos me dan?, ¿Cu´ales son las condiciones del problema?. Sean x el n´ umero de litros que se ha consumido en la gasolinera A y el n´ umero de litros que se ha consumido en la gasolinera B z el n´ umero de litros que se ha consumido en la gasolinera C Entonces seg´ un las condiciones del problema tendremos:

(∗)

  5x + 4y = mz + 936 y = z  5x = 4y + 252

obteniendo

  5x + 4y − mz = 936 y−z = 0  5x − 4y = 252

Surgen las siguientes interrogantes: ¿C´omo resolvemos este sistema de ecuaciones?, ¿Qu´e significa resolver un sistema de ecuaciones?, ¿Las soluciones del sistema dependen del valor que tome la variable m?, ¿Para que valores de m, el sistema tiene una sola soluci´on, muchas soluciones, ninguna soluci´on o infinitas soluciones?. Primero de todo tratemos de responder a la pregunta: ¿Como saber que el sistema tiene soluci´on o no tiene soluci´on?, ¿conocemos alguna teor´ıa que pueda ayudarnos?. Si, la teor´ıa matricial nos puede ayudar a resolverlo, empecemos transformando el sistema en la siguiente ecuaci´on matricial 

   5 4 −m x  0 1 −1   y  5 −4 0 z

=



 936  0  252

② Para estudiar la compatibilidad del sistema, llamemos a la matriz de coeficientes M y a la matriz aumentada con los t´erminos independientes Ma , es decir 

 5 4 −m M =  0 1 −1  5 −4 0 email [email protected]



 5 4 −m 936 0  Ma =  0 1 −1 5 −4 0 252 66

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

67

Observemos que la matriz M es de orden 3 × 3. Ahora bien, el ´algebra lienal nos da la siguiente informaci´on: ☞ Si rango(M) = rango(Ma ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. ☞ Si rango(M) = rango(Ma ) < 3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. ☞ Si rango(M) 6= rango(Ma ), entonces el sistema no tiene soluciones. 



1/5f1 ←→ 

 1 −8f2 + f3  0 ←→ 0

 5 4 −m 936  0 1 −1 0  5 −4 0 252  1 −4/5 0 252/5 0 1 −1 0  5 4 −m 936  −4/5 0 252/5 1 −1 0  0 8 − m 684



f13 ←→ −5f1 + f3 ←→ 4/5f2 + f1 ←→

 5 −4 0 252  0 1 −1 0  5 4 −m 936   1 −4/5 0 252/5  0 1 −1 0  0 8 −m 684   1 0 −4/5 252/5  0 1 −1 0  0 0 8 − m 684

Si m = 8, la matriz de coeficientes M y a la matriz aumentada con los t´erminos independientes Ma son equivalentes a: 

 1 0 −4/5 M =  0 1 −1  0 0 0



 1 0 −4/5 252/5 0  Ma =  0 1 −1 0 0 0 684

Entonces r(M) = 2 y adem´as r(Ma ) = 3. Ahora bien como rango(M) 6= rango(Ma ) entonces el sistema (∗) no tiene soluci´on. Por esta raz´on, resultar´ıa imposible haber vendido la gasolina a 8 bs. litro en la gasolinera C. Si m 6= 8, entonces rango(M) = rango(Ma ) = 3 esto implica que el sistema (∗) tiene soluci´on u ´ nica. Por ejemplo si m = 6, entonces     x 324  y  =  342  z 342 ¿Qu´e significa esto?, ¿Cu´al es la interpretaci´on?. ♣

email [email protected]

67

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

68

Ejemplo (Punto de equilibrio de mercado). Dos productos A y B compiten. Las demandas qA y qB de estos productos est´an relacionadas a sus precios pA y pB por las ecuaciones de demanda: qA = 17 − 2pA +

1 pB 2

y

qB = 20 − 3pB +

1 pA 2

Las ecuaciones de oferta son: 1 qB 3

pA = 2 + qA +

y

pB = 2 +

1 1 qB + qA 2 4

Que dan los precios a los cuales las cantidades qA y qB estar´ an disponibles en el mercado. En el punto de equilibrio del mercado, las cuatro ecuaciones deben satisfacerse dado que la demanda y la oferta deben ser iguales. Calcule los valores de equilibrio de qA , qB , pA y pB . Soluci´ on. Considerando las cuatro ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: qA qB qA 1 qA 4

+

2pA

−

1 pA + 2

1 qB − 3 1 + qB 2 +

−

1 pB = 17 2 3pB

pA

= 20 = −2

−

pB

= −2

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 4. ❃ Colocando el sistema en notaci´on   1 0    0 1     1 1  3   1 1 4 2

matricial  1 2 −  2   1  − 3   2    −1 0     0 1

qA qB pA pB



  17    20  =    −2   −2

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por

email [email protected]

68

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 

     A=     

1 0 1 1 4

ζℏαυεz

 1 0 2 −  2   1 1 − 3   2 ,  1 −1 0   3   1 0 1 2

69



     Ab =      

1

0

0

1 −

1 1 4

1 3 1 2

2 1 2

−1 0

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

email [email protected]

69

1 − 2



17    3 20     0 −2     −1 −2

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 



          

ζℏαυεz

1

0

0

1 −

1 1 4

1 3 1 2

1 − 2

17    3 20     0 −2     −1 −2

2 1 2

−1

2  1 0  −1/3f2 + f3  1  −1/2f2 + f4  0 1 − 2  ←→   0 0 − 17  6   1 0 0 − 4  −2f2 + f1  1 0 0  1/2f3 + f2   17/6f3 + f4  0 1 0  ←→   0 0 1    0 0 0



0

1 − 2 3

1 2 19 − 8 −

39 2 31 4 19 − 2 317 12

−

−f1 + f3 −1/4f1 + f4 ←→



17    20    77   − 3   65  − 4  −113   105   2    65    317  2

−4f4 f34 ←→

12/317f4 ←→

39 f + f1 2 4 − 31 f + f2 4 4 − 19 f + f3 6 4

←→

70



 1 0    0 1     0 1  3   1 0 2   1 0    0 1     0 0    0 0           

1 − 2



17    1 − 3 20   2   1 −3 −19   2  1 9 25  − − 2 8 4  1 2 − 17  2   1 − 3 20   2   19 1 − 65   2  1 77  17 − − − 6 2 3 2

 39 −113  2  31 105   0 1 0 4 2    19 0 0 1 − 65   2 0 0 0 1 6 1 0 0 −

1 0 0 0 4



   0 1 0 0 6     0 0 1 0 8    0 0 0 1 6

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 4, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por qA = 4, qB = 6, pA = 8 y pB = 6. ♣ Ejemplo Dada la ecuaci´on LS: 0.3Y +100i−252 = 0 y la ecuaci´ on LM: 0.25Y −200i−176 = 0. Determine el nivel de ingresos y la tasa de inter´es. Soluci´ on. El an´alisis LS − LM trata de determinar el nivel de ingresos y la tasa de inter´es a los que estar´an en equilibrio tanto el mercado de bienes como el monetario. Para lograr esto se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales: email [email protected]

70

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

71

0.3Y + 100i = 252 0.25Y − 200i = 176 Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 2. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      0.3 100 Y 252 = 0.25 −200 i 176 ❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por

A=



0.3 100 0.25 −200



 3  10 100 252   Ab =    1 −200 176 4 

,

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

3  10 100 252   1 −200 176 4  1000 2520 − 41 f1 + f2  1 3 3  ←→  805 −34 0 − 3



10 f 3 1 ←→

   

3 − 805 f2 ←→

   −

1000 f2 + f1 3←→



 2520  1 3     1  −200 176 4   1000 2520  1 3 3     102  0 1 805   2520  1 0 3     102  0 1 805 1000 3

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 2, entonces el sistema tiene soluci´on u ´ nica, por tanto en equilibrio Y = 128440/161 y i = 102/805. ♣ Ejemplo (Modelos de determinaci´on de ingresos). En general, los modelos de determinaci´on de ingresos expresan el nivel de equilibrio de ingreso en una econom´ıa de cuatro sectores. Como sigue: Y = C + I + G + (X − M). En donde Y =ingresos, C =consumo, I =inversi´ on, G =gastos del gobierno, X =exportaciones y M =importaciones. Consideremos una econom´ıa simple de dos email [email protected]

71

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

72

sectores en la que Y = C + I, C = C0 + bY y I = I0 . Sup´ ongase asimismo, que C0 = 85, b = 0.90 y I0 = 55. Determinar el nivel de equilibrio de Y y C. Soluci´ on. Las ecuaciones dada se pueden reordenar primeramente, de tal modo que las variables end´ogenas C y Y , se encuentren del lado izquierdo de la ecuaci´on y las variables ex´ogenas C0 y I0 a la derecha. Es decir: Y − C = I0 −bY + C = C0 Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 2. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 −1 Y I0 = −b 1 C C0 ❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por A=



1 −1 −b 1



,

Ab =

1

−1 I0

−b

1

C0

!

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 1 −b 1 f 1−b 2



 ←→ 

1 −1 0

1

−1 I0 1 I0

C0

!

1

bf1 + f2 ←→



f2 + f1 ←→

 C0 + bI0  1−b

−1

I0

0 1 − b C0 + bI0    

!

 C0 + bI0 1−b    C0 + bI0 1−b

1 0 I0 + 0 1

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 2, entonces el sistema tiene soluci´on u ´ nica, C0 + bI0 85 + (0,9)55 C0 + bI0 = 55 + = 1400 y C = = por tanto en equilibrio Y = I0 + 1−b 1 − 0,9 1−b 85 + (0,9)55 = 1345. 1 − 0,9 ♣ Ejemplo (Inversiones). Una persona invirti´ o un total de 20000 bs en tres inversiones al 6 %, 8 % y 10 %. El ingreso anual fue de 1624 bs y el ingreso de la inversi´ on del 10 % fue dos veces el ingreso de la inversi´on al 6 %. ¿De cu´anto fue cada inversi´ on?. email [email protected]

72

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

73

Soluci´ on. Denotemos por x, y y z el monto de las inversi´on al 6 %, 8 % y 10 % respectivamente. Es decir, x bs se invertir´an al 6 %, y bs se invertir´an al 8 %, y z bs se invertir´an al 10 %. Ahora 6 8 bien, el ingreso de invertir x bs al 6 % es x, el ingreso de invertir y bs al 8 % es y y el 100 100 10 ingreso de invertir z bs al 10 % es z. Como el ingreso anual fue de 1624 bs, entonces tenemos 100 6 8 10 una primera ecuaci´on x+ y+ z = 1624. Por otro lado la persona invirti´o un total 100 100 100 de 20000 bs, esto es, 20000 bs se dividi´o en montos de x, y y z bs, as´ı obtenemos una segunda ecuaci´on x + y + z = 20000. Por u ´ ltimo, se sabe que el ingreso de la inversi´on del 10 % fue dos 10 6 veces el ingreso de la inversi´on al 6 %, lo cual implica que z=2 x. 100 100 Simplificando y resumiendo obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 6 8 10 x+ y+ z = 1624 100 100 100 x + y + z = 20000 10 6 z = 2 y 100 100

3x + 4y + 5z = 81200 x + y + z = 20000 −6x + 5z = 0

Resolvamos el sistema mediante el m´etodo de Gauss Jord´an. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  3  1 −6

matricial     4 5 x 81200 1 1   y  =  20000  0 5 z 0

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 3 4 5 A =  1 1 1 , −6 0 5



 3 4 5 81200 Ab =  1 1 1 20000  −6 0 5 0

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

 3 4 5 81200  1 1 1 20000  −6 0 5 0

−3f1 + f2   1 1 1 20000 6f1 + f3  0 1 2 21100  ←→ 0 6 11 120000 email [email protected]

73

f13 ←→



 1 1 1 20000  3 4 5 81200  −6 0 5 0

−6f2 + f3 ←→



 1 1 1 20000  0 1 2 21200  0 0 −1 −7200 R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

74

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 3, entonces el sistema tiene una u ´ nica soluci´on dada por x = 6000, y = 6800, z = 7200. ♣

1.11.

Sistemas homog´ eneos

Si en el sistema lineal Ax=b, en particular B es el vector nulo de orden m × 1, entonces Ax=0. Recibe el nombre de sistema lineal homog´eneo. Este sistema siempre tiene soluci´on, en efecto, el vector nulo 0 de orden n × 1 satisface el sistema lineal homog´eneo, este se llama soluci´on trivial. Como consecuencia del Teorema tenemos el siguiente Corolario COROLARIO 1.1. Consideremos en sistema matricial Ax = 0, donde A es una matriz es de orden m × n, x de orden n × 1 “n es el n´ umero de inc´ognitas” y 0 de orden m × 1. (a) Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al n´ umero de inc´ognitas, es decir, r(A) = n, entonces dicho sistema admite como u ´ nica soluci´on la trivial, esto es, x1 = 0, x2 = 0, , ... , xn = 0. (b) Si el rango es menor que el n´ umero de variables, es decir, r(A) = r < n, el sistema tendr´a infinitas soluciones. Dado que r < n, entonces las n − r inc´ognitas toman valores arbitrarios y a las que se les denomina valores libre o par´ametros. Ejemplo

Discutir por el m´etodo de Gauss Jord´ an el siguiente sistema: x+y+z = 0 x−y = 0 y+z = 0

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      1 1 1 x 0  1 −1 0   y  =  0  0 1 1 z 0 ❄ Definimos la matriz de coeficientes A 

 1 1 1 A =  1 −1 0  0 1 1 email [email protected]

74

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

75

❅ Reducir la matriz A a su forma escalonada reducida. 

 1 1 1  1 −1 0  0 1 1   1 1 1 f23 1  ←→  o 1 0 −2 −1

−f1 + f2 ←→



 1 1 1  o −2 −1  0 1 1

−f2 + f1 2f2 + f3 ←→



 1 0 0  o 1 1  0 0 1

❆ Aplicar el Corolario 1.1. Como r(A) = 3, entonces dicho sistema admite como u ´ nica soluci´on la trivial 

  X=0=  Ejemplo

0 0 .. . 0

    

esto es x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0. ♣

Discutir por el m´etodo de Gauss Jord´ an el siguiente sistema: x − y + 3z = 0 x+y−z = 0 x −z = 0

Soluci´ on. El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  1  1 1

matricial     −1 3 x 0     1 −1 y 0  = 0 −1 z 0

❄ Definimos la matriz de coeficientes A 

 1 −1 3 A =  1 1 −1  1 0 −1

email [email protected]

75

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

76

❅ Reducir la matriz A a su forma escalonada reducida. 

 1 −1 3  1 1 −1  1 0 −1

−f1 + f2   1 0 1 −f1 + f3  0 1 −2  ←→ 0 −1 2

f13 ←→



 1 0 −1  1 −1 3  1 1 −1

f2 + f3 ←→



 1 0 1  0 1 −2  0 0 0

❆ Aplicar el Corolario 1.1. Como r(A) = 2 < 3. El sistema tiene infinitas soluciones. Dado que 2 < 3, entonces las 3 − 2 = 1 inc´ognitas (´ ultima inc´ognita) toma valores arbitrarios y a las que se les denomina valores libres o par´ametros. Empecemos transformando la matriz escalonada reducida en el siguiente sistema de ecuaciones x = 0 y − 2z = 0 En este sistema hagamos z = t con t ∈ R y luego despejemos x y z en funci´on de t x = 0 y = 2z = 2t luego el vector soluci´on es dado por       x 0 0  y  =  2t  = t  2  z t 1 Ejemplo

♣

Consideremos las matrices: 

 A= 

Resolver el sistema lineal

1 2

1 2

0

1 4

1 4

1 2

1 3

1 3

1 3





 x X =  y , z

 ,  (



 1 B= 1  1

XT A = XT BT X = 1

Soluci´ on. Efectuemos primero las operaciones matriciales X T A = X T y B T X = 1. email [email protected]

76

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

x y z 1 x 2

+ 14 y + 13 z

1 x 2




  

+ 14 y + 21 z

77

1 2

1 2

1 4

1 4

1 3

1 3 1 y 2

XT A = XT  0 
1  x y z = 2  1 3 1 z 3

+

Por igualdad de matrices obtenemos el siguiente sistema  1 x + 14 y + 13 z =    2 1 x + 14 y + 12 z = 2    1 y + 13 z = 2




=

x y z

de ecuaciones




x y z

Multiplicando por 12 a las dos primers ecuaciones y por 6 a la tercera ecuaci´on adem´as de reducir t´erminos semejantes tenemos:  6x − 3y − 4z   6x − 9y + 4z   3y − 4z  x
T  y Ahora bien la ecuaci´on B X = 1 se transforma en 1 1 1 z la ecuaci´on x+y+z =1  6x + 3y + 4z = 12x   6x + 3y + 4z = 12y   3y + 2z = 6z

= 0 = 0

(1.7)

= 0 

 = 1, de donde obtenemos (1.8)

Juntando las ecuaciones en (1.7) con la ecuaci´on (1.8) el sistema a resolver es:  6x − 3y − 4z      6x − 9y + 4z  3y − 4z     x+y+z

= 0 = 0 = 0 = 1

Aplicando en m´etodo de Gauss Jord´an se obtiene que r(A) = r(Ab ) = 3 y la soluci´on es x=

Ejemplo

4 , 11

y=

4 , 11

z=

3 . 11

♣

Resolver el sistema X T A = X T , donde:

email [email protected]

77

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



 2 2 1 3  2 5 2 6   A=  −1 −3 −1 −5  , 3 8 5 14

78

X es una matriz columna.

 T Soluci´ on. Sacando transpuesta a ambos lados de la ecuaci´on X T A = X T se sigue que X T A =  T XT esto es AT X = X, transponiendo t´erminos, AT X − X = 0, obtenemos una ecuaci´on lineal

homog´eneo (AT − I)X = 0. Aqu´ı el n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 4. ❃ El sistema a resolver es (AT − I)X = 0 ❄ La matriz de coeficientes AT − I es dado por 

2  2 AT − I =   1 3

2 5 2 6

  −1 3 1   −3 8   0 − −1 5   0 −5 14 0

0 1 0 0

0 0 1 0

❅ Reducir la matriz A a su forma escalonada reducida.



1  2   1 3

2 4 2 6



−1 3 −3 8   −2 5  −5 13

  −f2 + f3 1 2 −1 3 −2f2 + f4  0 0 −1 2    ←→  0 0 0 0  0 0 0 0

  0 1   0   2 = 0   1 1 3

−2f1 + f2 f1 + f3 −3f1 + f4 ←→

−f2 ←→

f2 + f1 ←→

2 4 2 6

 −1 3 −3 8   −2 5  −5 13

 3 2   2  4



2 0 0 0



 2 −1 3 0 1 −2   0 0 0  0 0 0  2 0 1 0 1 −2   0 0 0  0 0 0

1  0   0 0 1  0   0 0  1  0   0 0

−1 −1 −1 −2

❆ Aplicar el Corolario 1.1. Como r(AT − I) = 2 < 4. El sistema tiene infinitas soluciones y el n´ umero de variables libres es n − r = 4 − 2 = 2. Calculemos estas soluciones infinitas:

Empecemos transformando la matriz escalonada reducida en el siguiente sistema de ecuaciones x1 + x2 + x4 = 0 x3 − 2x4 = 0

email [email protected]

78

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

79

Sean las variables libres x2 y x4 . Entonces haciendo x2 = t y x4 = s con t, s ∈ R. Ahora despejemos x1 y x3 en funci´on de t y de s.   x1 + t + s = 0 x1 = −t − s x3 − 2s = 0 x3 = 2s luego el vector soluci´on es dado por      x1 −t − s  x2     t     X =  x3  =  2s  =  x4 s

email [email protected]

  −t −s  0 t  + 0   2s 0 s

79





  −1 −1   1   0  = t     0 +s 2 0 1

   

♣

R βo ιυατ

CAP´ITULO 2

Determinantes

2.1.

Introducci´ on.- Permutaciones.- Inversiones

Sea In = {1, 2, ..., n}. Una permutaci´on del conjunto In es una funci´on biyectiva σ : In → In . El conjunto de todas las permutaciones de In se denota por Sn . Denotamos una permutaci´on σ por:  
1 2 ··· n σ= o simplemente por σ = σ(1) σ(2) · · · σ(n) σ(1) σ(2) · · · σ(n) Se acostumbra a identificar la permutaci´on con el elemento resultante, esto es, la imagen de la aplicaci´on σ. As´ı, (1, 7, 4, 2, 5, 6, 3) es una permutaci´on de 7 elementos, donde, la aplicaci´on es tal que: σ(1) = 1, Ejemplo σ1 = (1, 2, 3)

σ(2) = 7,

σ(3) = 4,

σ(4) = 2,

σ(5) = 5,

σ(6) = 6,

σ(7) = 3

Consideremos las 3! = 6 permutaciones de los n´ umero enteros 1, 2, 3 σ2 = (1, 3, 2) σ3 = (2, 1, 3)

σ4 = (2, 3, 1)

σ5 = (3, 1, 2)

Por ejemplo, cuando σ3 = (2, 1, 3), entonces σ3 (1) = 2, σ3 (2) = 1 y σ3 (3) = 3.

80

σ6 = (3, 2, 1)

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

81

Y las 4! = 24 permutaciones de los n´ umero enteros 1, 2, 3, 4 1234 1243 1423 1432 1342 1324

2134 2143 2413 2431 2341 2314

3214 3241 3421 3412 3142 3124

4231 4213 4123 4132 4312 4321

♣ Dada una permutaci´ umeros 1, 2, 3, 4,. . ., n, denotemos la permutaci´on por  on cualquiera de los n´ σ(1), σ(2), ..., σ(n) . En esta disposici´on, algunos de los n´ umeros que siguen a σ(1) pueden ser menores que σ(1); la cantidad de veces que esto ocurre se llama n´ umero de inversiones del ordenamiento concerniente a σ(1). De la misma manera, habr´a cierto n´ umero de inversiones concernientes a cada una de las otras σ(i): El n´ umero de inversiones del ordenamiento concerniente a σ(i) es η(i) = #{j ∈ {σ(i), ..., σ(n)} : j ≤ σ(i)} El ´ındice de la permutaci´ on es la suma de todos los n´ umeros de inversiones concernientes a cada ´ındice, esto es: n−1 X I(σ) = η(i). i=1

Ejemplo Para n = 5, la permutaci´on (5, 3, 1, 2, 4) tiene 4 inversiones concernientes al primer elemento 5, 2 inversiones concernientes al segundo elemento 3, y ninguna m´ as, por lo que el ´ındice es 4 + 2 = 6. ♣ ´ 2.1. Se dice que una permutaci´ DEFINICION on es par si el n´ umero total de inversiones es un entero par, y se dice que es impar, si el n´ umero total de inversiones es un entero impar. Definimos el signo de una permutaci´on σ por umero total de inverciones signo(σ) = (−1)I(σ) = (−1)n´ Ejemplo En la siguiente tabla se presenta una clasificaci´ on de las diferentes permutaciones de {1, 2} como pares o impares. Y tambi´en su signo Soluci´ on.

email [email protected]

81

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz Permutaci´on σ1 = (1, 2) σ2 = (2, 1)

´Indice 0 1

82 Clasificaci´on par impar

♣

Ejemplo En la siguiente tabla se presenta una clasificaci´ on de las diferentes permutaciones de {1, 2, 3} como pares o impares. Y tambi´en su signo Soluci´ on. Permutaci´on σ1 = (1, 2, 3) σ2 = (1, 3, 2) σ3 = (3, 1, 2) σ4 = (3, 2, 1) σ5 = (2, 3, 1) σ6 = (2, 1, 3)

2.2.

´Indice 0 1 2 3 2 1

Clasificaci´on par impar par impar par impar

♣

Definici´ on de determinante

Dada una matriz cuadrada A de orden n: 

  A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

 . . . a1n . . . a2n   ..  .. . .  . . . ann

Se llama Determinante de A y se representa por |A| ´o tambi´en det(A), al n´ umero que se obtiene de la siguiente forma: |A| = det(A) =

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

. . . a1n . . . a2n X (−1)I(σ) a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) . = .. . .. σ∈S n . . . ann

Por tanto, el determinante de una matriz de orden n estar´a formado por la suma de n! sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna de la matriz. Vamos a ver qu´e significa esta definici´on en matrices de orden peque˜ no: email [email protected]

82

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

83

☞ Determinantes de orden 1: Si A = (a11 ) es una matriz de orden 1, entonces |A| = |a11 | = a11 . El valor del determinante coincide con el valor del u ´ nico elemento de la matriz.   a11 a12 ☞ Determinantes de orden 2: Sea A = . Recuerde que la permutaci´on σ1 = (1, 2) a21 a22 es par y σ2 = (2, 1) es impar, luego a a |A| = 11 12 a21 a22

X = (−1)I(σ) a1σ(1) a2σ(2) σ∈S2

= (−1)I(σ1 ) a1σ1 (1) a2σ1 (2) + (−1)I(σ2 ) a1σ2 (1) a2σ2 (2)

= a11 a22 − a12 a21 

 a11 a12 a13 ☞ Determinantes de orden 3: Sea A =  a21 a22 a23  entonces a31 a32 a33 a11 a12 a13 X |A| = a21 a22 a23 = (−1)I(σ) a1σ(1) a2σ(2) a3σ(3) a31 a32 a33 σ∈S3

|A| = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32

La Regla de Sarrus para calcular el determinante de orden 3, nos permite calcular todos los productos posibles y sus correspondientes signos, que consiste en un esquema gr´afico para los productos positivos y otro para los negativos: a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 No funciona para matrices de orden 4 o superior. Ejemplo Soluci´ on.



 1 2 3 Calcule el determinante de la matriz B =  −4 5 6  7 −8 9 1 2 3 1 2 −4 5 6 −4 5 7 −8 9 7 −8 det(B) = (45) + (84) + (96) − (105) − (−48) − (−72) = 240

email [email protected]

83

♣ R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

2.3.

ζℏαυεz

84

Propiedades de los determinantes

Observaci´ on. Dado que det(At ) = det(A), se tiene que todas las propiedades indicadas a continuaci´on valen para las filas como para las columnas. Para A es una matriz de orden n se tiene: (1) Si una matriz cuadrada tiene una l´ınea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero. Si A tiene una fila nula, entonces det(A) = 0. 2 0 −1 1 0 2 =0 −3 0 4

(2) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales: det(At ) = det(A). 2 3 −1 2 1 −3 1 4 2 = 3 4 1 = −15 −3 1 4 −1 2 4

(3) Si un determinante tiene dos filas iguales, es igual a cero. Si A tiene dos filas iguales, entonces det(A) = 0. 2 3 2 1 4 1 −3 1 −3

C1 = C3 ⇓ = 0

(4) Si todos los elementos de una fila contienen un factor com´ un, ´este puede sacarse fuera del determinante. Si B se obtiene de A multiplicando una fila de A por un escalar α, entonces det(B) = α det(A). 3f1 6 3 −9 (3)(2) (3)(1) (3)(−3) 2 1 −3 ⇓ 3 4 1 = 3 = 3 3 4 1 4 1 −1 2 4 −1 −1 2 4 2 4

(5) Si una fila de A es m´ ultiplo de otra fila de A, entonces det(A) = 0.

3f1 6 8 10 (2)(3) (2)(4) (2)(5) 3 4 5 ⇓ 3 4 5 = 3 4 5 = 2 3 4 5 = 2(0) = 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 email [email protected]

84

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

85

(6) Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, ´este cambia de signo. Si B se obtiene de A intercambiando dos filas de A, entonces det(B) = − det(A). f13 2 3 −1 −3 1 4 ⇓ 1 4 2 = − 1 4 2 −3 1 4 2 3 −1



(7) Si en un determinante, se a˜ nade a una fila una combinaci´on lineal de las otras filas el valor del determinante no var´ıa. Si B se obtiene de A sumando un m´ ultiplo escalar α de la fila i a la fila j, entonces det(B) = det(A). 2f3 + f1 2 3 −1 ⇓ 1 4 2 = −3 1 4

−4 5 7 1 4 2 2 3 −1



(8) Si todos los elementos de una fila de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila los primeros y segundos sumandos respectivamente, y en las dem´as los mismos elementos que el determinante inicial. C1 5 3 −1 2 + 3 3 −1 ⇓ 6 4 2 = 1+5 4 2 = −7 1 4 −3 − 4 1 4

3 6 9 21 = 1 3 5 7 4 8

1+2 2+4 3+6 = 1 3 5 7 4 8

2 3 −1 3 3 −1 1 4 2 + 5 4 2 −3 1 4 −4 1 4

1 2 3 = 1 3 5 7 4 8

2 4 6 + 1 3 5 7 4 8

= 7 + 14 = 21

(9) Si A es una matriz triangular, entonces su determinante es igual al producto de los elementos diagonales. Si A es una matriz triangular, entonces det(A) = Πni=1 aii . 4 3 9 0 −2 2 0 0 5

= (4)(−2)(5) = 40.

(10) El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes: det(AB) = det(A) det(B).

email [email protected]

2 1 0 1 2 0 1 2 1

= 3,

85

1 2 3 3 4 5 1 1 0

=2

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

2.4. 2.4.1.

ζℏαυεz

2 1 0 1 2 0 1 2 1



1 2 3 3 4 5 1 1 0

86

5 8 11 = 7 10 13 8 11 13

=6

M´ etodos generales del c´ alculo de Determinantes Desarrollo de un determinante por Adjuntos

Sea A ∈ Mm×n (R), la matriz complementaria del elemento aij es la matriz Mij ∈ Mm×n (R) que se obtiene de A eliminando la fila i y la columna j. 

    Mij =    

a11 · · · a1(j−1) a1(j+1) · · · a1n .. .. .. .. .. .. . . . . . . a(i−1)1 · · · a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) · · · a(i−1)n a(i+1)1 · · · a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) · · · a(i+1)n .. .. .. .. .. .. . . . . . . an1 · · · an(j−1) an(j+1) · · · ann

        

´ 2.2. Se llama menor del elemento aij , al determinante de la matriz complemenDEFINICION taria del elemento aij , es decir es el escalar det(Mij ). ´ 2.3. Se llama cofactor de un elemento aij (o adjunto de aij ) al escalar DEFINICION cij = (−1)i+j det(Mij ) El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus respectivos adjuntos. Para cualesquiera j = 1, 2, ..., n el desarrollo del determinante det(A) por los elementos de la columna j-´esima es dado por det(A) = |A| =

n X

aij cij =

i=1

n X

(−1)i+j aij det(Mij ).

(2.1)

i=1

Para cualesquiera i = 1, 2, ..., n el desarrollo del determinante det(A) por los elementos de la fila i-´esima es dado por det(A) = |A| =

email [email protected]

n X

aij cij =

j=1

n X

(−1)i+j aij det(Mij ).

(2.2)

j=1

86

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

87

Nota: A las expresiones para calcular el determinante dadas denomina expansi´on del determinante de Laplace. 3 0 2 Ejemplo Calcular el siguiente determinante −1 1 0 5 2 3 la primera fila Soluci´ on.

3 0 2 −1 1 0 = (−1)1+1 3 1 0 2 3 5 2 3

en las ecuaciones (2.1) y (2.2) se les desarrollando por los elementos de

+ (−1)1+2 0 −1 0 5 3

= (3)[3 − 0] − 0 + (2)[−2 − 5] = −5

Ejemplo

1 a a2 Probar que 1 b b2 1 c c2

Soluci´ on. 1 a a2 1 b b2 1 c c2

+ (−1)1+3 2 −1 1 5 2

♣

= (b − a)(c − a)(c − b)

2 = (−1)1+1 1 b b2 c c



2 + (−1)1+2 a 1 b2 1 c

= 1[bc2 − cb2 ] − a[1c2 − 1b2 ] + a2 [c − b]

+ (−1)1+3 a2 1 b 1 c



= bc2 − cb2 − ac2 − ab2 + a2 c − a2 b

No es f´acil ver directamente que esta suma de 6 t´erminos es igual a (b − a)(c − a)(c − b). Lo que ♣ hay que hacer es desarrollar (b − a)(c − a)(c − b) y comprobar la igualdad de esa forma.

Ejemplo

Calcular el siguiente determinante

3 6 −1 5

0 1 1 2

0 c 0 0

2 2 0 3



Soluci´ on. Como el elemento c est´a en la fila 2 y la columna 3, se ha escrito su adjunto correspondiente. Para hallar en valor del determinante desarrollamos por los elementos de la tercera columna del determinante porque tienen muchos ceros. Esto da:

3 6 −1 5

0 1 1 2

email [email protected]

0 c 0 0

2 2 0 3

3 0 2 = (−1)2+3 c −1 1 0 = (−1)(c)(−5) = 5c. 5 2 3 87

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

88 ♣

El criterio para preferir el desarrollo por una u otra fila es claro: conviene desarrollar por aquellas filas que tengan el m´aximo n´ umero de elementos iguales a cero. Si los ceros no estuviesen de entrada all´ı, podr´ıamos crearlos recurriendo a la propiedad (7). Vamos a ilustrar esto con ejemplos: 3 −1 2 Ejemplo Calcular 0 −1 −1 6 1 2

Soluci´ on.

3 −1 2 −2f1 + f3 0 −1 −1 = 6 1 2

3 −1 2 0 −1 −1 0 3 −2

(1) −1 −1 =3 3 −2

= 3(2 + 3) = 15

♣

La igualdad (1), se obtiene desarrollando por cofactores en la primera columna.

Ejemplo

Soluci´ on.

2 0 0 3

Calcular 0 3 −1 4 0 0 1 −1 2 2 5 −3

2 0 0 3

0 3 −1 4 0 0 1 −1 2 2 5 −3



2 3 −1 −1 (1) −3/2f1 + f3 2 3 2+2 = (−1) 4 0 −1 2 0 −1 2 = 4 3 5 −3 0 1/2 −3/2 3 2 −1 (2) 2 − =4 = (4)(2) =8 1/2 −3/2 2 2



La igualdad (1), se obtiene desarrollando por cofactores en la fila 2; la (2), desarrollando por ♣ cofactores en la columna 1. Ejemplo

Evaluar el siguiente determinante:

Soluci´ on. email [email protected]

|A| =

2 3 0 1 0

0 1 0 1 2 −1 5 0 1 −1 1 5 0 1 1 1 0 1 0 1 88

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

2 3 0 1 0

Ejemplo tos.

Soluci´ on.

ζℏαυεz

89

2 0 0 0 1 0 1 0 1 3 2 −1 5 0 2 −1 5 0 −1C5 + C3 1 −1 1 5 = 0 1 −6 1 5 i = 1, 3, 4, ..., n 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 0 3 2 −1 5 Desarrollo por cofac = (−1)5+5 (1) tores en la quinta fila 0 1 −6 1 1 0 0 1 2 −1 5 Desarrollo por cofac= (−1)1+1 (2) 1 −6 1 tores en la primera fila 0 0 1 2 −1 Desarrollo por cofac3+3 = (2)(−1) (1) 1 −6 tores en la tercera fila h i = (2)(1) (2)(−6) − (1)(−1) = −22 Hallar los determinantes aplicando el m´etodo de Cofactores 1 1 1 1 1 1 z −y 1 2 x (a) 35 37 34 (b) −z 1 (c) 23 26 25 y −x 1 1 3 1 4

(d)

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a



(e)

0 1 1 1 1 b+c a a 1 1 c+a b 1 1 c a+b



(f )

♣

o desarrollo por Adjun 1 1 3 4 6 10 10 20 1 3 6 7

2 7 2 8

3 2 4 9

2 5 6 7



(a) 1 1 1 35 37 34 23 26 25

1 1 1 −35f1 + f2 = 0 2 −1 −23f1 + f3 0 3 2 Desarrollo por cofac 2 −1 1+1 = (−1) (1) tores en la primera 3 2 columna = (2)(2) − (3)(−1) = 7

email [email protected]

89

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

90

(b) 1 1 z −y z −y −z 1 = 0 1 + z 2 x − yz x y −x 1 0 −x − yz 1 + y 2 1 + z2 = (−1)1+1 (1) −x − yz



zf1 + f2 −yf1 + f3 Desarrollo por cofactores en la primera columna

x − yz 1 + y2

= (1 + z 2 )(1 + y 2) − (−x − yz)(x − yz) = (1 + z 2 )(1 + y 2) + (x + yz)(x − yz) = 1 + y 2 + z 2 + z 2 y 2 + x2 − y 2 z 2

= 1 + y 2 + z 2 + x2 (c)

1 1 1 1

1 1 1 1 0 2 3 4 = 0 3 6 10 0 4 10 20

1 1 2 3 5 9 9 19 1 = (−1)1+1 (1) 2 3 1 2 3 = 0 1 3 0 3 10 1 1+1 = (−1) (1) 3 = 1

1 1 2 3

−f1 + fj j = 2, 3, 4 2 3 5 9 9 19



Desarrollo por cofactores en la primera columna

−2f1 + f2 −3f1 + f3 3 10

Desarrollo por cofactores en la primera columna ♣

(d)

email [email protected]

90

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

a 1 1 1

1 a 1 1

1 1 a 1

1 1 1 a

ζℏαυεz

91

a 1 1 1 −C1 + C2 1−a a−1 0 0 = −C1 + C3 1−a 0 a − 1 0 −aC1 + C4 1 − a2 1 − a 1 − a 0 1−a a−1 0 Desarrollo por cofac 4+1 0 a − 1 = (−1) (1) 1 − a tores en la cuarta 1 − a2 1 − a 1 − a columna 1−a a−1 0 0 a − 1 C2 + C3 = 1 − a 2 2−a −a 1−a 0 3+2

= (−1) = = =

=

1−a a−1 (a − 1) 2 2−a −a 1−a



Desarrollo por cofactores en la tercera columna

h i 2 2 −(1 − a) (1 − a) − (2 − a − a)(a − 1) h i −(1 − a) 1 − 2a + a2 − (2a − a3 − a2 − 2 + a2 + a) h i −(1 − a) 1 − 2a + a2 − 2a + a3 + a2 + 2 − a2 − a h i −(1 − a) 3 − 5a + a2 + a3

= −(3 − 5a + a2 + a3 − 3a + 5a2 − a3 − a4 ) = −3 + 8a − 6a2 + a4

♣

(e)

email [email protected]

91

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

0 1 1 1 1 b+c a a 1 1 c+a b 1 1 c a+b

ζℏαυεz

92

0 1 1 1 a a = 1 b+c −1f3 + f4 1 1 c + a b 0 0 −a a 0 1 2 1 1 b+c 2a a C4 + C3 = 1 c + a + b b 1 0 0 0 a 0 1 2 Desarrollo por cofac4+4 = (−1) (a) 1 b + c 2a tores en la cuarta fila 1 1 c+a+b 1 1 c + a + b Cambiando las filas 1 2a = −a 1 b + c y3 0 1 2 1 1 c + a + b = −a 0 b + c − 1 a − c − b −f1 + f2 0 1 2 b+c−1 a−c−b Desarrollo por cofac1+1 = −a(−1) (1) 1 2 tores en la primera fila h i = (−a) 2(b + c − 1) − (a − c − b) h i = −a 2b + 2c − 2 − a + c + b = −a(3b + 3c − a − 2) = −3ab − 3ac + a2 + 2a = a2 + 2a − 3ab − 3ac

♣

(f)

email [email protected]

92

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

1 3 6 7

2 7 2 8

3 2 4 9

2 5 6 7

ζℏαυεz

93

1 2 3 2 −3f1 + f2 0 1 −7 −1 = −6f1 + f3 0 −10 −14 −6 −7f1 + f4 0 −6 −12 −7 1 −7 −1 Desarrollo por cofac 1+1 = (−1) (1) −10 −14 −6 tores en la primera −6 −12 −7 columna 1 −7 −1 10f1 + f2 = 0 −84 −16 6f1 + f3 0 −54 −13 1+1

= (−1)

−84 −16 (1) −54 −13



Desarrollo por cofactores en la primera columna

= (−84)(−13) − (−54)(−16) = 1092 − 864 = 228

Ejemplo Soluci´ on.

a b c d e f Sea d e f = 5. Calcule (a) g h i g h i a b c d e f g h i a b c

♣

−a −b −c y (b) 2d 2e 2f −g −h −i

a b c = (−1) d e f = −5 g h i

−a −b −c a b c 2d 2e 2f = (−1)(2)(−1) d e f = (2)(5) = 10 −g −h −i g h i

♣



 1 1 1 Ejemplo Sin desarrollar directamente, demuestre que: si A =  b + c c + a a + b , el bc ca ab determinante de A es igual a (a − b)(a − c)(b − c). Soluci´ on.

email [email protected]

93

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 1 1 1 b+c c+a a+b bc ca ab

ζℏαυεz

94

1 1 1 = 0 c+a−b−c a+b−b−c 0 ca − bc ab − bc 1 1 1 a − c = 0 a − b 0 c(a − b) b(a − c) a−b a − c = = (a − b)b(a − c) − c(a − b)(a − c) c(a − b) b(a − c) = (a − b)b(a − c) − c(a − b)(a − c)

= (a − b)(a − c)(b − c)

Ejemplo

Aplicando propiedades de determinante, demostrar:

Soluci´ on.

♣

1 1 1 1 1 1+a 1 1 1 1 1+b 1 1 1 1 1+c

1 1 1 1 1 1+a 1 1 1 1 1+b 1 1 1 1 1+c

= abc

0 0 −1C1 + Cj 0 j = 2, 3, 4 c 1 0 0 Desarrollo por cofac = (−1)4+4 (c) 1 a 0 tores en la cuarta 1 0 b columna

1 0 = 1 a 1 0 1 0

0 0 b 0

1 0 = (−1)3+3 (c)(b) 1 a = abc

Ejemplo Soluci´ on.

1 1 1 Demuestre que a b c a2 b2 c2

email [email protected]



Desarrollo por cofactores en la tercera columna

♣

= (b − a)(c − a)(c − b) 94

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

95 ♣

Ejemplo Soluci´ on.

1 a bc Verificar que 1 b ac 1 c ab 1 a bc 1 b ac 1 c ab

= (b − a)(c − a)(c − b)

1 a bc = 0 b − a ac − bc 0 c − a ab − bc b−a 1+1 = (−1) (1) c−a



−1f1 + fi i = 2, 3

ac − bc ab − bc

Desarrollo por cofactores en la primera fila

= (b − a)(ab − bc) − (c − a)(ac − bc) = (b − a)b(a − c) − (c − a)c(a − b)

= (b − a)b(a − c) − (a − c)c(b − a) = (b − a)(a − c)(b − c)

Ejemplo Soluci´ on.

Ejemplo

a b c a+d b+e c+f Suponga que d e f = 7. Encuentre d e f g h i g h i a+d b+e c+f d e f g h i

.

a b c d e f = d e f + d e f = 7 + 0 = 7. g h i g h i

♣

Si det(A) = 3, hallar det(A5 ).

Soluci´ on.

Ejemplo

♣

h i5 det(A5 ) = det(A) = 35 = 243. Calcular

email [email protected]

|A| =

2 2 2 ... n

1 2 2 .. .

2 2 2 .. .

95

2 2 3 .. .

... ... ... .. .

♣

2 2 2 .. .

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

96

Soluci´ on.

−1 2 = 0 .. . 0 2 2 2 ... n 1 2 2 .. .

2 2 2 .. .

2 2 3 .. .

... ... ... .. .

−2f2 + fi i = 1, 3, 4, ..., n 0 0 ... n− 2 2 2 ... 2 0 1 ... 0 Desarrollo por cofac 1+1 = (−1) (−1) .. .. . . .. tores en la primera fila . . . . 0 0 ... n− 2 1 ... 0 Desarrollo por cofac .. = (−1)(−1)1+1 (2) ... . . . tores en la primera . 0 ... n− 2 columna

2 2 2 .. .

0 2 0 .. .

0 2 1 .. .

... ... ... .. .

0 2 0 .. .

= −2(n − 2)! Ejemplo

♣

Eval´ ue det(M) siendo M = [1]n×1 − [1]1×n − In

Soluci´ on. 

   M =   



   =   

1 1 1 .. . 1 1 1 1 .. .

      

1 1 1 .. .

1 1 1 ··· 1

1 1 1 .. .

··· ··· ··· .. .

1 1 1 .. .

1 1 1 ··· 1

email [email protected]








      −    



   −  

1 0 0 .. .

0 1 0 .. .

0 0

96

1 0 0 .. .

0 1 0 .. .

0 0 1 .. .

··· ··· ··· .. .

0 0 0 .. .

      

0 0 0 ··· 1   0 ··· 0  0 ··· 0     1 ··· 0  =   .. . . .. . .   . 0 ··· 1

0 1 1 .. .

1 0 1 .. .

1 1 0 .. .

··· ··· ··· .. .

1 1 1 .. .

1 1 1 ··· 0

      

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

−1 0 0 · · · 1 0 −1 0 · · · 1 0 0 −1 · · · 1 = .. .. .. . . .. . . . . . 1 1 1 ··· 0 1 1 1 ··· 0 −1 0 0 · · · 1 0 −1 0 · · · 1 0 −1 · · · 1 = 0 .. .. .. . . .. . . . . . 1 1 1 ··· 0 −1 0 0 ··· 1 0 −1 0 · · · 1 0 0 −1 · · · 1 = .. .. .. . . .. . . . . . 0 0 0 ··· n−1

0 1 1 .. .

1 0 1 .. .

1 1 0 .. .

··· ··· ··· .. .

97

1 1 1 .. .

n−1 veces

−1Cn + Cj j = 1, 3, 4, ..., n



fi + fn i = 1, 3, 4, ..., n − 1 n−1 veces z }| { 1+···+1 = n−1

}| { z = (−1)(−1) · · · (−1)(n − 1) = (−1)n−1 (n − 1)

2.4.2.

♣

M´ etodo de Chio

El m´etodo de Chio consiste en reducir un determinante de orden n a otro de orden n − 1, a los efectos de facilitar el c´alculo del mismo. El procedimiento puede reiterarse hasta lograr un determinante de orden 2 o 1. El m´etodo consiste en: ① Elegir una fila o columna en el determinante que tenga todos sus elementos ceros excepto uno que deber´a ser distinto de cero. ② El elemento distinto de cero necesariamente deber´a tener el valor 1 al que llamaremos pivote y lo marcaremos como 1 i×j si este se encuentra en la fila i y columna j. ③ Si la fila o columna elegida no re´ une estas condiciones, mediante transformaciones elementales en las matrices siempre podremos lograr la condici´on (1). ④ El valor del determinante ser´a igual al cofactor del elemento pivote. ⑤ Reiteramos el m´etodo hasta lograr un determinante de orden 2 o 1, cuyo proceso de soluci´on ya es conocida.

email [email protected]

97

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s Ejemplo

ζℏαυεz

98

Calcular, usando el m´etodo de Chio det(A) =

Soluci´ on.

2 0 −1 2 3 2 −2 −3 0 −2 −1 2 2 3 0 −1

(1) Elegimos una fila que tenga el mayor n´ umero de ejemplo elegimos la fila 4. Es decir. 2 0 3 2 det(A) = 0 −2 2 3

ceros. observamos varias alternativas, por −1 2 −2 −3 −1 2 0 -1

(3) La fila elegida no re´ une la condici´on 2, en esta fila debemos determinar el elemento pivote que deber´a tener el valor 1, para ello existe dos alternativas: (i) Multiplicar la fila 4 por -1 para lograr que el elemento -1 sea 1. (ii) Sumar la columna 4 a la columna 1. Decidimos la segunda alternativa y obtenemos: det(A) =

2 0 −1 2 3 2 −2 −3 C4 + C1 = 0 −2 −1 2 2 3 0 −1

4 0 −1 2 0 2 −2 −3 2 −2 −1 2 1 4×1 3 0 −1

Reducimos a ceros todos los elementos de la fila 4, excepto el pivote, aplicando operaciones elementales por columnas, es decir: −3C1 + C2 4 0 −1 2 0 2 −2 −3 C1 + C4 = det(A) = −2 −1 2 2 1 4×1 3 0 −1

4 −12 −1 6 0 2 −2 −3 2 −8 −2 4 1 4×1 0 0 0

(4) El valor del determinante ser´a igual al cofactor del elemento pivote, es decir: −12 −1 6 −12 −1 6 det(A) = (−1)4+1 2 −2 −3 = − 2 −2 −3 −8 −2 4 −8 −2 4

Observe que el determinante es de orden 3.

email [email protected]

98

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

99

(5) Repetimos el proceso para reducir el determinante de orden 3 a otro equivalente de orden 2, considerando como l´ınea de desarrollo, la columna 2, que la multiplicamos por −1. −12 1 6 −12 1 6 det(A) = (−1)(−1) 2 2 −3 = 2 2 −3 −8 2 4 −8 2 4

Elegimos como elemento pivote 1, es decir:

−2f1 + f2 −12 1 1×2 6 6 −2f1 + f3 −12 1 1×2 26 2 −3 0 −15 det(A) = 2 = −8 16 2 4 0 8 26 −15 = −1[(26)(8) − (16)(−15)] = −(208 + 240) = −448 = (−1)1+2 16 8 Ejemplo

Soluci´ on.

♣

Demostrar la identidad: a1 + b1 x a1 − b1 x c1 a1 b1 c1 a2 + b2 x a2 − b2 x c2 = −2x a2 b2 c2 a3 + b3 x a3 − b3 x c3 a3 b3 c3 a1 + b1 x a1 − b1 x c1 2a1 a1 − b1 x c1 C +C a2 + b2 x a2 − b2 x c2 2 = 1 2a2 a2 − b2 x c2 2a3 a3 − b3 x c3 a3 + b3 x a3 − b3 x c3 2a1 a1 c1 2a1 −b1 x c1 La columna 2 es suma = 2a2 a2 c2 + 2a2 −b2 x c2 de dos t´erminos 2a3 a3 c3 2a3 −b3 x c3 a1 a1 c1 a1 −b1 x c1 Factorizando 2 de los = 2 a2 a2 c2 + 2 a2 −b2 x c2 determinantes a3 a3 c3 a3 −b3 x c3 a1 b1 c1 a1 b1 c1 = 2(0) + 2(−x) a2 b2 c2 = −2x a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3

email [email protected]

99

♣

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

100 

 1 1 1 Ejemplo Demostrar que el determinante de la matriz A =  x y z  que divide por x2 y 2 z 2 x − y, x − z y z − y. Soluci´ on. −1C2 + C1 1 1 1 −1C3 + C2 det(A) = x y z = x2 y 2 z 2 x−y y−z = (−1)1+3 2 2 x − y y2 − z2

0 0 1 x−y y − z z 2 x − y2 y2 − z2 z2       = x − y y 2 − z 2 − x2 − y 2 y − z   = (x − y)(y + z)(y − z) − (x + y)(x − y)(y − z) = (x − y)(y − z) (y + z) − (x + y)

luego det(A) = (x − y)(y − z)(z − x)

Ejemplo

♣



 1 −1 1 3  −1 0 2 0   Calcular el determinante de la matriz A =   1 1 1 2  2 0 0 2

Soluci´ on. Usemos el m´etodo de Chio: det(A) =

1 −1 1 3 2f4 1 −1 1 3 −1 0 2 −1 0 2 0 ⇓ 0 = 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 0 0 2 1 0 0 1 4×4 −C4 + C1 −2 −1 1 3 −2 −1 1 −1 0 2 ⇓ 0 0 2 = 2 = 2(−1)4+4 −1 2 −1 1 1 −1 1 3×2 1 0 0 0 1 4×4 f3 + f1 −3 0 2 −3 2 ⇓ = 2 −1 0 2 = 2(−1)3+2 −1 2 −1 1 3×2 1

email [email protected]

100

= −2(−6 + 2) = 8

♣

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

2.4.3.

ζℏαυεz

101

Determinante de Vandermonde

El determinante de Vandermonde tiene m´ ultiples usos en otras ramas de la Matem´atica (sobre todo en los problemas de interpolaci´on). Dicho determinante es, en su forma m´as general, de la forma: 1 1 a1 a2 .. .. . . n−1 n−1 a1 a2

... ... .. .

1 an .. .

. . . an−1 n



O sea, la primera fila est´a formada s´olo por unos. La segunda por n´ umeros diferentes. La tercera y siguientes por los mismos n´ umeros que la segunda elevados a potencias de exponente 2 hasta n − 1. Los determinantes de Vandermonde de los diferentes ´ordenes son: De segundo orden:

1 1 a b

=b−a

De tercer orden: Dejando igual la primera y multiplicando la segunda fila por −a y sumando a la tercera fila y multiplicando la primera fila por −a y sumando a la segunda fila: 1 1 1 a b c 2 2 2 a b c



−af2 + f3 = = =

De cuarto orden:

email [email protected]

1 1 1 1 1 −af1 + f2 1 0 b−a a c − a b c = 0 b2 − ab c2 − ac 0 b2 − ab c2 − ac b − a c − a b − a c − a = (−1)1+1 2 b − ab c2 − ac b(b − a) c(c − a) 1 1 = (b − a)(c − a)(c − b) (b − a)(c − a) b c

101



R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3

ζℏαυεz

−af3 + f4 =

−af2 + f3 =

−af1 + f2 =

=

=

= =



102

1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d2 0 b3 − ab2 c3 − ac2 d3 − ad2

1 d − a d2 − ad d3 − ad2

1 1 1 1 a b c d 0 b2 − ab c2 − ac d2 − ad 0 b3 − ab2 c3 − ac2 d3 − ad2 1 1 1 0 b−a c−a 0 b2 − ab c2 − ac 0 b3 − ab2 c3 − ac2



1 1 1 1 0 b−a c−a d − a 0 b(b − a) c(c − a) d(d − a) 0 b2 (b − a) c2 (c − a) d2 (d − a) b−a c−a d−a 1+1 (−1) b(b − a) c(c − a) d(d − a) b2 (b − a) c2 (c − a) d2 (d − a) 1 1 1 (b − a)(c − a)(d − a) b c d b2 c2 d2



(b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)(d − c)

En general podemos decir que a cada elemento se le restan todos los anteriores y se multiplican todos los resultados de esas diferencias.

2.5.

C´ alculo del rango usando determinantes

Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A). En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado. ´ 2.4. El rango de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de DEFINICION cero. El rango o caracter´ıstica de una matriz A se representa por rg(A). El rango no puede ser mayor al n´ umero de filas o de columnas. email [email protected]

102

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

103

Si a un menor M de orden h de la matriz A se le a˜ nade la fila p y la columna q de A (que antes no estaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h + 1 que se dice obtenido de M orlando este menor con la fila p y la columna q. Consideremos la matriz

La matriz M = 



1 −1 1 0 



 1 −1 3 2  1 0 5 −2   A=  4 1 −3 1  0 1 2 3





 1 −1 3 5  es un menor de orden 2 de la matriz A. Las matrices  1 0 4 1 −3

1 −1 2  y 1 0 −2  son menores de orden 3 que se han obtenido orlando M 0 1 3

El m´etodo para el c´alculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos: ① Se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango ser´a 0. El elemento encontrado ser´a el menor de orden k = 1 de partida. ② Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k + 1 no nulo. Cuando se encuentra un menor de orden k + 1 no nulo se aplica a ´este el m´etodo. ③ Si todos los menores orlados obtenidos a˜ nadi´endole al menor de partida los elementos de una l´ınea i0 son nulos, podemos eliminar dicha l´ınea porque es combinaci´on de las que componen el menor de orden k. ④ Si todos los menores de orden k + 1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el m´etodo en realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k). Ejemplo

Calcular el rango de la siguiente matriz  2 −3 1 0  −1 0 1 2 A=  1 −6 5 6 0 0 1 0

1 0 2 1

 0 0   0  1

Soluci´ on. 1 6= 0,

email [email protected]

2 0 1 1

entonces r(A) ≥ 1

= 2 6= 0,

entonces r(A) ≥ 2 103

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s



Por tanto r(A) = 3

2.6.





ζℏαυεz

2 0 0 6 2 0 0 1 1

= 4 6= 0,

1 1 5 1

0 2 6 0

1 0 2 1

0 0 0 1

−3 0 −6 0

0 2 6 0

1 0 2 1

0 0 0 1

2 −1 1 0

0 2 6 0

1 0 2 1

0 0 0 1

104

entonces r(A) ≥ 2

1 0 1 = 1 2 0 5 6 2

= 4 + 6 − 10 = 0

−3 0 1 = 0 2 0 −6 6 2

= −12 + 12 = 0

2 0 1 = −1 2 0 = 8 − 6 − 2 = 0 1 6 2

♣

Regla de Cramer para resolver un sistema lineal

Llamaremos sistema lineal de n ecuaciones con n inc´ognitas a un sistema de ecuaciones de la forma a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

(2.3)

an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn que escrito de forma matricial, equivale a 

o abreviadamente

   

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

 . . . a1n  . . . a2n     . .. . ..   . . . ann

x1 x2 .. . xn





    =  

b1 b2 .. . bm

    

Ax = b email [email protected]

104

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

105

siendo 

  A =   

  x =   

  b =  

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2  x1 x2   ..  .  xn  b1 b2   ..  .  bn

 . . . a1n . . . a2n   ..  .. . .  . . . ann

la matriz de coeficientes

el vector de inc´ognitas

el vector de t´erminos independientes

Y sean: A1 , A2 , A3 ,...,An las matrices que se obtiene al sustituir los terminos independientes en la 1ra columna , en la 2da columna, en la 3ra columna y en la enesima columna respectivamente. Esto es, la matriz Aj con j = 1, 2, 3, ..., n se obtiene de la matriz A al sustituir la j-´esima columna por el vector b. 

  A1 =  

b1 a12 b2 a22 .. .. . . bn an2

 . . . a1n . . . a2n   ..  , .. . .  . . . ann



  A2 =  

a11 b1 a21 b2 .. .. . . an1 bn

  a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n    .. ..  , ...., An =  .. ..  . . .  . an1 an2 . . . ann

 . . . b1 . . . b2   ..  .. . .  . . . bn

TEOREMA 2.1 (Regla de Cramer). Sea Ax = b un sistema de ecuaciones con A una matriz n × n. Si det(A) 6= 0 entonces el sistema tiene soluci´ on u ´nica la cual est´ a dada por x1 =

Ejemplo

det(A1 ) , det(A)

x2 =

det(A2 ) det(An ) , ... , xn = . det(A) det(A)

Resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer. 2x + 3y + z = 3 x − y + z = 5 y + z = −2

Soluci´ on.

email [email protected]

105

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s La expresi´on matricial es

ζℏαυεz

106



    2 3 1 x 3  1 −1 1   y  =  5  0 1 1 z −2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor 2 3 1 ∆ = 1 −1 1 0 1 1

= −6 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos 3 3 1 ∆1 = 5 −1 1 −2 1 1

= −24,

2 3 1 ∆1 = 1 5 1 = 9, 0 −2 1

2 3 3 ∆1 = 1 −1 5 0 1 −2

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

−24 = 4, −6

y=

9 3 =− , −6 2

z=

3 1 =− . −6 2

= 3. ♣

Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer. Hacer la comprobaci´on. 3x + 5y = 1 −x + 2y = 7 Soluci´ on. Primero calculamos el determinante del sistema: 3 5 = 11 ∆ = det(A) = −1 2

El determinante es no nulo, por lo tanto el sistema tiene una soluci´on u ´ nica y se puede aplicar la regla de Cramer. Calculamos los determinantes de las matrices A1 y A2 y los componentes del vector soluci´on:

Respuesta:

1 5 = −33 ∆1 = det(A1 ) = 7 2 3 1 = 22 ∆2 = det(A2 ) = −1 7 x=

email [email protected]



−3 2

106



x=

∆1 33 = − = −3 ∆ 11

y=

22 ∆2 = =2 ∆ 11

. R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s Comprobaci´on: Ax =

Ejemplo



ζℏαυεz

3 5 −1 2



−3 2



=



107

−9 + 10 3+4



=



1 7



. ♣

Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema: 2x − 3y = −4 5x + 7y = 1

Soluci´ on. Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      2 −3 x −4 = 5 7 y 1 Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes del sistema: 2 −3 = (2)(7) − (5)(−3) = 14 + 15 = 29 ∆ = det(A) = 5 7

El determinante es no nulo, por lo tanto el sistema tiene una soluci´on u ´ nica y se puede aplicar la regla de Cramer. Calculamos los determinantes de las matrices A1 y A2 y los componentes del vector soluci´on:

Ejemplo

−4 −3 = −25 ∆1 = det(A1 ) = 1 7 2 −4 = 22 ∆2 = det(A2 ) = 5 1

x=

∆1 25 =− ∆ 29

y=

∆2 22 = ∆ 29

Usando la regla de Cramer resolver el sistema de tres ecuaciones lineales:

♣

x

− 2z = 3 − y + 3z = 1 2x + 5z = 0 Soluci´ on. Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      1 0 −2 x 3  0 −1 3   y  =  1  2 0 5 z 0 El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor email [email protected]

107

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

108

1 0 −2 1 −2 = −1[(1)(5) − (2)(−2)] = −9 6= 0 ∆ = 0 −1 3 = (−1) 2 5 2 0 5

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 3 0 −2 3 −2 ∆x = 1 −1 3 = (−1) 0 5 0 0 5 1 3 −2 1+1 ∆y = 0 1 3 = (−1) (1) 2 0 5

= −1[(3)(5) − (0)(−2)] = −15 3 −2 1 3 3+1 + (−1) (2) 0 5 1 3

= 1[(1)(5) − (0)(3)] + 2[(3)(3) − (1)(−2)] = 27

3 0 3 ∆z = 1 −1 1 0 0 0

= (−1) 1 3 2 0

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

2.7.

∆x −15 5 = = , ∆ −9 3

y=

= −1[(1)(0) − (2)(3)] = 6

∆y 27 = = −3, ∆ −9

z=

∆z 6 2 = =− . ∆ −9 3

♣

Aplicaci´ on a la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo Tres l´ıneas de ensamble A, B y C trabajan durante 15, 22 y 23 horas respectivamente. Se ensamblan tres productos L, M y N en estas l´ıneas como sigue: una unidad de L est´a en A durante 1 hora, en B durante 2 horas y en C durante 1 horas; una unidad de M est´ a en A durante 2 hora, en B durante 2 horas y en C durante 3 horas; una unidad de N est´ a en A durante 1 hora, en B durante 2 horas y en C durante 2 horas. Si las l´ıneas se usan a m´ axima capacidad encontrar el n´ umero de unidades que es posible ensamblar de cada producto. Soluci´ on. La siguiente matriz “l´ıneas×productos” resume todos los datos

A B C email [email protected]

L 1 2 1

M 2 2 3 108

N 1 2 2 R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

109

Sean x el n´ umero de unidades que es posible ensamblar del producto L y el n´ umero de unidades que es posible ensamblar del producto M z el n´ umero de unidades que es posible ensamblar del producto N Puesto que la l´ınea de ensamble A trabaja durante 15 horas, entonces obtenemos la siguiente ecuaci´on x + 2y + 1z = 15 Por otra parte la l´ınea de ensamble B trabaja durante 22, esto se traduce en la ecuaci´on 2x + 2y + 2z = 22 y finalmente C trabaja durante 23 , esto es: x + 3y + 2z = 23 Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + 2y + 1z = 15 2x + 2y + 2z = 22 1x + 2y + 2z = 23 Este sistema escrito de forma matricial,  1 2  2 2 1 3

equivale a     1 x 15 2   y  =  22  2 z 23

El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor 1 2 1 ∆ = 2 2 2 1 3 2

1 2 1 = 0 −2 0 1 3 2

= −2 1 1 1 2

= −2[2 − 1] = −2 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 15 2 1 ∆x = 22 2 2 = 23 3 2 1 15 1 ∆y = 2 22 2 = 1 23 2

email [email protected]

15 −8 −7 1 0 1

2 1 −8 1+3 −2 0 = (−1) (1) −7 −1 0 15 1 1 2+2 −8 0 = (−1) (−8) 1 23 2 109

−2 = 8 − 14 = −6 −1

1 = −8[2 − 1] = −8 2

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 1 2 15 ∆z = 2 2 22 1 3 23

ζℏαυεz

110

1 2 15 −2 −8 1+1 = 0 −2 −8 = (−1) (1) = −16 + 8 = −8 1 8 0 1 8

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x −6 = = 3, ∆ −2

y=

∆y −8 = = 4, ∆ −2

z=

∆z −8 = = 4. ∆ −2

♣

Ejemplo Una persona coloca parte de su capital al 5 %, otra parte al 4 % y el resto al 3 %. La primera parte representa los tres quintos de la segunda y la tercera la suma de las otras dos. Al a˜ no retira todo, recibiendo en conjunto Bs 15926.40, calcular el monto de cada una de las partes. Soluci´ on. Si 0 ≤ r ≤ 100, entonces el r % de a es calculado mediante la siguiente f´ormula: p=

r a. 100

Eligiendo las inc´ognitas x 1ra parte del capital y 2da parte del capital z 3ra parte del capital El capital inicial de esta persona es x + y + z. Puesto que esta persona coloca x bs al 5 %, y bs al 4 % y z bs al 3 %. Al cabo del a˜ no los x bs se convierten en x mas el 5 % de x, esto es x + 0.05x, los y bs se convierten en y + 0.04y y los z bs se convierten en z + 0.03z. Por tanto el capital inicial al cabo del a˜ no es (x + 0.05x) + (y + 0.04y) + (z + 0.03z) que es igual a 15926.40. Por tanto, obtenemos nuestra primera ecuaci´on (x + 0.05x) + (y + 0.04y) + (z + 0.03z) = 15926.40 esto es 1.05x + 1.04y + 1.03z = 15926.40 Por otra parte, se sabe que la primera parte representa los tres quintos de la segunda, que se 3 traduce en la ecuaci´on x = y. Finalmente, la frase: la tercera es la suma de las otras dos, se 5 escribe en forma de ecuaci´on como z = x + y Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: 1.05x + 1.04y + 1.03z = 15926.40 5x − 3y = 0 x + y − z = 0 email [email protected]

110

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

111

Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      1.05 1.04 1.03 x 15926.40  5  −3 0  y  =  0 1 1 −1 z 0 El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor 1.05 1.04 1.03 2.08 2.07 0 −3 0 = 5 −3 0 ∆ = 5 1 1 −1 1 1 −1

= −1 2.08 2.07 5 −3

= −1[(2.08)(−3) − (5)(2.07)] = −1(−6.24 − 10.35) = 16.59

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 15926.40 1.04 1.03 −3 0 0 −3 0 = 15926.40 ∆x = 1 −1 0 1 −1

= 15926.40(3) = 47779.2

1.05 15926.40 1.03 5 0 1+2 0 0 = (−1) (15926.40) ∆y = 5 1 −1 1 0 −1

= −15926.40[−5] = 79632

1.05 1.04 15926.40 5 −3 = (−1)1+3 (15926.40) −3 0 ∆z = 5 1 1 = 15926.40[5 + 3] = 127411.2 1 1 0

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x 47779.2 = = 2880, ∆ 16.59

y=

∆y 79632 = = 4800, ∆ 16.59

z=

∆z 127411.2 = = 7680. ∆ 16.59

♣

Ejemplo Dos amigos invierten 20000 $ cada uno. El primero coloca una cantidad x al 4 % de inter´es, una cantidad y al 5 % y el resto al 6 %. El otro invierte la misma cantidad y al 5 %, la y al 6 % y el resto al 4 %. Determina las cantidades x, y y z sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 1050 $ y el segundo de 950 $. Soluci´ on. Si 0 ≤ r ≤ 100, entonces el r % de a es calculado mediante la siguiente f´ormula: r p= a. 100 Eligiendo las inc´ognitas email [email protected]

111

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

112

x 1ra parte del capital invertido y 2da parte del capital invertido z 3ra parte del capital invertido

El capital inicial de ambos amigos es de 20000 $. Esto conduce a establecer nuestra primera ecuaci´on x + y + z = 20000. Puesto que este amigo invierte x $ al 4 %, y $ al 5 % y z $ al 6 %. Al cabo del a˜ no los x $ se convierten en x mas el 4 % de x, esto es, este amigo percibe 0.04x $ adicionales. Ahora bien, por invertir y $ al 5 % al cabo de primer a˜ no recibe 0.05y $ adicionales y finalmente recibe 0.06z $. Como el primero obtiene unos intereses de 1050 $. Entonces al sumar las cantidades mencionadas debemos tener: 0.04x + 0.05y + 0.06z = 1050 Por otro lado, el segundo obtiene unos intereses de 950 $, un an´alisis similar con las cantidades invertidas por el segundo amigo conduce a la siguiente ecuaci´on: 0.05x + 0.06y + 0.04z = 950 Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + y + z = 20000 0.04x + 0.05y + 0.06z = 1050 0.05x + 0.06y + 0.04z = 950 Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      1 1 1 x 20000  0.04 0.05 0.06   y  =  1050  0.05 0.06 0.04 z 950 El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor 1 1 1 1 1 1 ∆ = 0.04 0.05 0.06 = 0 0.01 0.02 0.05 0.06 0.04 0 0.01 −0.01

= 1 0.01 0.02 0.01 −0.01

= [(0.01)(−0.01) − (0.01)(0.02)] = −0.0003



por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 20000 1 1 0 0.01 ∆x = 50 −250 0 −0.02

email [email protected]

0.01 = (−1)1+2 (1) 50 −250 −0.02 112

= −1.5

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

113

1 20000 1 1 20000 1 0.02 ∆y = 0.04 1050 0.06 = 0 250 0.05 950 0.04 0 −50 −0.01

= −1.5

1 1 20000 0.01 250 1+1 ∆z = 0 0.01 250 = (−1) (1) 0.01 −50 0 0.01 −50

De donde obtenemos la soluci´on del sistema

x=

−1.5 ∆x = = 5000, ∆ −0.0003

y=

∆y −1.5 = = 5000, ∆ −0.0003

z=

= −3

∆z −3 = = 10000. ∆ −0.0003

♣

Ejemplo Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384 $. El precio original era de 12 $, pero tambi´en ha vendido copias defectuosas con descuentos del 30 % y del 40 %. Sabiendo que el n´ umero de copias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias en buen estado, calcula a cu´antas copias se le aplic´ o el 30 % de descuento. Soluci´ on. Si 0 ≤ r ≤ 100, entonces el r % de a es calculado mediante la siguiente f´ormula: p=

r a. 100

Eligiendo las inc´ognitas x el n´ umero de copias que se vendi´o a 12 $ y el n´ umero de copias que se le aplico el 30 % de descuento z el n´ umero de copias que se le aplico el 40 % de descuento Puesto que la tienda ha vendido 600 ejemplares del videojuego, entonces tenemos que x + y + z = 600. Por otro lado, el 30 % de 12 es calculado mediante la siguiente f´ormula: p=

30 12 = 3.6 $, 100

por tanto, si a una copia le aplicamos el 30 % de descuento de su precio, entonces esta unidad se vende a (12 − 3.6) $, de aqu´ı se deduce que se obtiene un ingreso de (12 − 3.6)y $ por la venta de y ejemplares. Un an´alisis similar muestra que se obtiene un ingreso de (12 − 4.8)z $ por la venta de z videojuegos. Ahora bien, la tienda ha vendido los 600 videojuegos por un total de 6384 $, de donde se obtiene nuestra segunda ecuaci´on 12x + (12 − 3.6)y + (12 − 4.8)z = 6384. email [email protected]

113

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

114

La u ´ ltima ecuaci´on la obtenemos del hecho de que el n´ umero de copias defectuosas vendidas fue 1 la mitad del de copias en buen estado, es decir y + z = x. 2 Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + y + z = 600 12x + 8.4y + 7.2z = 6384 x − 2y − 2z = 0 Este sistema escrito de forma matricial,  1 1  12 8.4 1 −2

equivale a     1 x 600 7.2   y  =  6384  −2 z 0

El determinante de la matriz de coeficientes M toma el valor 1 1 1 |M| = 12 8.4 7.2 1 −2 −2

= −3.6

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes y la soluci´on del sistema 600 1 1 |Mx | = 6384 8.4 7.2 = −1440 1 −2 −2 1 600 1 |My | = 12 6384 7.2 = −432 1 0 −2 1 1 600 |Mz | = 12 8.4 6384 = −288 1 −2 −2

x=

|Mx | = 400 |M|

y=

|My | = 120 |M|

z=

|Mz | = 80 |M| ♣

Ejemplo Un cajero autom´atico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $ y un total de 2000 $. Si el n´ umero de billetes de 10 $ es el doble que el n´ umero de billetes de 20 $, averigua cu´antos billetes hay de cada tipo. Soluci´ on. Eligiendo las inc´ognitas

email [email protected]

114

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

115

x el n´ umero de billetes de 10 $ y el n´ umero de billetes de 20 $ z el n´ umero de billetes de 50 $

Puesto que cajero autom´atico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $, entonces tenemos que x + y + z = 95. Por otro lado, hay un total de 2000 $, de donde se obtiene nuestra segunda ecuaci´on 10x+ 20y + 50z = 2000. La u ´ ltima ecuaci´on la obtenemos del hecho de que el n´ umero de billetes de 10 $ es el doble que el n´ umero de billetes de 20 $, es decir x = 2y. Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + y + z = 95 10x + 20y + 50z = 2000 x − 2y = 0 Este sistema escrito de forma matricial,  1 1  10 20 1 −2

equivale a     1 x 95 50   y  =  2000  0 z 0

El determinante de la matriz de coeficientes M toma el valor

1 1 1 |M| = 10 20 50 = 110 1 −2 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes y la soluci´on del sistema 95 1 1 |Mx | = 2000 20 50 = 5500 0 −2 0 1 95 1 |My | = 10 2000 50 = 2750 1 0 0 1 1 95 |Mz | = 10 20 2000 = 2200 1 −2 0

x=

|Mx | = 50 |M|

y=

|My | = 25 |M|

z=

|Mz | = 20 |M| ♣

Ejemplo Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay 36 euros. El n´ umero de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos email [email protected]

115

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

116

cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendr´ a el doble de monedas que B. Averigua cu´antas monedas hab´ıa en cada caja. Soluci´ on. Eligiendo las inc´ognitas x el n´ umero de monedas de un euro que tiene la caja A y el n´ umero de monedas de un euro que tiene la caja B z el n´ umero de monedas de un euro que tiene la caja C Como hay un total de 36 euros en las cajas, entonces x + y + z = 36. El n´ umero de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas, este dato se traduce en la ecuaci´on x = y + z + 2. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendr´a el doble de monedas que B, de donde de obtiene la u ´ ltima ecuaci´on que es: x + 1 = 2(y − 1), esto es, x + 1 = 2y − 2. Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + y + z = 36 x − y − z = 2 x − 2y = −3 Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      1 1 1 x 36  1 −1 −1   y  =  2  1 −2 0 z −3 El determinante de la matriz de coeficientes M toma el valor

1 1 1 |M| = 1 −1 −1 = −4 1 −2 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes y la soluci´on del sistema 36 1 1 |Mx | = 2 −1 −1 = −76 −3 −2 0 1 36 1 |My | = 1 2 −1 = −44 1 −3 0 1 1 36 |Mz | = 1 −1 2 = −24 1 −2 −3

email [email protected]

116

x=

|Mx | = 19 |M|

y=

|My | = 11 |M|

z=

|Mz | =6 |M| R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

117 ♣

Ejemplo Una empresa dispone de 27200 $ para actividades de formaci´ on de sus cien empleados. Despu´es de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvenci´on por persona para el curso A es de 400 $, para el curso B es de 160 $, y de 200 $ para el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, ¿cu´antos empleados siguen cada curso? Soluci´ on. Eligiendo las inc´ognitas x el n´ umero de empleados que sigue el curso A y el n´ umero de empleados que sigue el curso B z el n´ umero de empleados que sigue el curso C La empresa dispone de 27200 $ para actividades de formaci´on de sus cien empleados. Luego la primera ecuaci´on es x + y + z = 100. Puesto que la subvenci´on por persona para el curso A es de 400 $, para el curso B es de 160 $, y de 200 $ para el C. Entonces tenemos la ecuaci´on 400x + 160y + 200z = 27200. Por u ´ ltimo, se sabe que la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, esto es, x = 5y. Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + y + z = 100 400x + 160y + 200z = 27200 x − 5y = 0 Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      1 1 1 x 100  400 160 200   y  =  27200  1 −5 0 z 0 El determinante de la matriz de coeficientes M toma el valor 1 1 1 |M| = 400 160 200 = −1560 1 −5 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes y la soluci´on del sistema

email [email protected]

117

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

100 1 1 |Mx | = 27200 160 200 0 −5 0 1 100 1 |My | = 400 27200 200 1 0 0 1 1 100 |Mz | = 400 160 27200 1 −5 0

= −86000 = −17200

= −52800

118

x=

|Mx | 2150 = |M| 39

y=

|My | 430 = |M| 39

z=

440 |Mz | = |M| 13 ♣

Ejemplo Un fabricante produce 42 electrodom´esticos. La f´ abrica abastece a 3 tiendas que demandan toda la producci´on. En una cierta semana, la primera tienda solicit´ o tantas unidades como la segunda y tercera juntas, mientras que la segunda pidi´ o un 20 % m´ as que la suma de la mitad de lo pedido por la primera m´as la tercera parte de lo pedido por la tercera. ¿Qu´e cantidad solicit´o cada una?. Soluci´ on. Eligiendo las inc´ognitas x el n´ umero de electrodom´esticos que solicito primera la tienda y el n´ umero de electrodom´esticos que solicito segunda la tienda z el n´ umero de electrodom´esticos que solicito tercera la tienda La fabricante produce 42 electrodom´esticos, as´ı x + y + z = 42. En una cierta semana, la primera tienda solicit´o tantas unidades como la segunda y tercera juntas, lo cual implica que x = y + z. El 20 % de 100 es 20. As´ı 120 es igual a 100 mas 20 % de 100. 100 mas su 20 % es 120. Luego 120 es 20 % mas que 100. Ahora bien, la segunda tienda pidi´o un 20 % m´as que la suma de la mitad de lo pedido por la primera m´as la tercera parte de lo pedido por la tercera. Esta oraci´on se traduce en la ecuaci´on: x z 30  x z  y= + + + 2 3 100 2 3 Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal:

♣

Ejemplo Una empresa fabrica tres tipos de ordenadores: JP1, JP2 y JP3. Para armar un JP2 se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas m´ as para instalar el software. El tiempo requerido por el JP3 es de 12 horas para su ensamblado, 2.5 horas para probarlo y 2 horas para instalar software. El JP1, el m´ as sencillo de la l´ınea, necesita 6 horas de ensamblado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalaci´ on de software. Si la fabrica de esta empresa dispone email [email protected]

118

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

119

de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar. ¿Cu´antos ordenadores de cada tipo puede producir en un mes? Soluci´ on. La siguiente matriz “ordenadores×horas” resume todos los datos JP1 6 1.5 1.5

ensamblado probar instalar

JP2 10 2 2

JP3 12 2.5 2

Sean

   

=A

  

x el n´ umero de ordenadores de tipo JP2 que se puede producir en un mes y el n´ umero de ordenadores de tipo JP3 que se puede producir en un mes z el n´ umero de ordenadores de tipo JP1 que se puede producir en un mes Puesto que la fabrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar o ensamblar los ordenadores, entonces obtenemos la siguiente ecuaci´on 6x + 10y + 12z = 1560 Por otra parte la fabrica dispone de 340 horas para probar, esto se traduce en la ecuaci´on 1.5x + 2y + 2.5z = 340 y finalmente se dispone de 320 horas para instalar, esto es: 1.5x + 2y + 2z = 320 Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: 6x + 10y + 12z = 1560 1.5x + 2y + 2.5z = 340 1.5x + 2y + 2z = 320 Este sistema escrito de forma matricial, equivale a   

6 10 12 3 2 3 2

2 2



   x 1560 5  y  =  340  2  z 320 2

El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor

email [email protected]

119

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

120

6 10 12 3 5 6 3 5 6 1 1 1 3 5 ∆= 2 2 2 =2 3 4 5 = 0 −1 −1 2 2 2 3 4 4 0 −1 −2 3 2 2 2

3 = [2 − 1] = 3 6= 0 2 2

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 1560 10 12 −40 0 2 5 ∆x = 340 2 2 = 20 0 12 320 2 2 320 2 2

−40 2 = 120 = (−1)3+2 (2) 1 20 2

6 1560 12 3 780 6 3 780 6 1 1 1 3 680 5 = 0 −100 −1 ∆y = 32 340 52 = 2 2 2 2 3 640 4 0 −140 −2 3 320 2 2 3 [200 − 140] = 90 = 2

6 10 1560 6 10 1560 6 10 20 = (−1)2+3 (20) 3 ∆z = 32 2 340 = 0 0 = −20[12 − 15] = 60 2 2 3 2 320 3 2 320 2 2

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x 120 = = 80, ∆ 3/2

y=

∆y 90 = = 60, ∆ 3/2

z=

∆z 60 = = 40. ∆ 3/2

♣

Ejemplo Un empresario estadounidense necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este a˜ no viaj´o 3 veces. La primera vez cambio un total de $2550 con las siguientes tasas: 100 yenes por d´olar, 0.6 libras por d´olar y 1.6 marcos por d´olar. La segunda vez cambi´ o $2840 en total con tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por d´olar. La tercera vez cambi´ o un total de $2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por d´olar. ¿Cu´al es la cantidad fija de yenes, marcos y libras que cambia en los viajes? Soluci´ on. La siguiente matriz “ordenadores×horas” resume todos los datos

Primer viaje Segundo viaje Tercer viaje email [email protected]

yenes/d´olar 100 125 100

marcos/d´olar 1.6 1.2 1.2 120

libras/d´olar 0.6 0.5 0.6

      

=A

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

121

Sean x la cantidad fija de yenes que cambia en los viajes y la cantidad fija de marcos que cambia en los viajes z la cantidad fija de libras que cambia en los viajes En el primer viaje, se tiene que 100 yenes −→ 1 dolar

x yenes

−→ ?

x d´olares. 100 y Si 1.6 marcos cuesta 1 d´olar, entonces y marcos costar´an d´olares. 1.6 z Si 0.6 libras cuesta 1 d´olar, entonces z libras costar´an d´olares. 0.6 Ahora bien con el primer viaje cambio un total de $2550, entonces obtenemos la siguiente ecuaci´on

Si 100 yenes cuesta 1 d´olar, entonces x yenes costar´an

x y z + + = 2550 100 1.6 0.6 x y z x y z + + = 2840 y + + = 2800. 125 1.2 0.5 100 1.2 0.6 Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: De mismo modo obtenemos que

 x 10y 10z   + + = 2550   100 16 6    x 10y 10z + + = 2840  125 12 5       x + 10y + 10z = 2800 100 12 6

 x y z  + + = 2550   100 1.6 0.6    x y z + + = 2840  125 1.2 0.5      x + y + z = 2800 100 1.2 0.6

Este sistema escrito de forma matricial, equivale a  1 5 5    100 8 3     2550   x 5   1  2   y  =  2840   125 6  2800   z 1 5 5 100 6 3 El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor

email [email protected]

121

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

122

1 5 5 1 5 5 5 1 100 8 3 100 8 3 5 1 5 100 3 5 5 1 1 ∆= = − [1/50 − 1/75] = − 6= 0 2 = 2 =− 1 125 6 125 6 24 24 720 125 2 1 5 5 10 0 0 100 6 3 48 por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 5 5 2550 8 3 1000 5 ∆x = 2840 2 =− 9 6 5 5 2800 6 3 1 5 2550 100 3 5 1 ∆y = 2840 2 = − 125 3 1 5 2800 100 3 1 5 2550 100 8 5 5 1 ∆z = 2840 = − 125 6 6 1 5 2800 100 6 De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x = 80000, ∆

y=

∆y = 1200, ∆

z=

∆z = 600. ∆

♣

Ejemplo Se combinan tres factores seg´ un tres procesos productivos obteni´endose en cada proceso un producto diferente. La informaci´ on tecnol´ ogica de la tabla adjunta indica las unidades de cada factor necesarias para obtener una unidad de producto en cada proceso: Factor 1 2 3 email [email protected]

Proceso 1 2 3 2 4 8 6 11 6 8 1 2 122

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

123

Es decir, se necesitan 2 unidades del factor 1 para obtener una unidad de producto en el proceso 1, se necesitan 4 unidades del factor 1 para obtener una unidad de producto en el proceso 2, etc. La disponibilidad de los factores son : 122, 178 y 68 unidades respectivamente. Los precios de venta de cada unidad de producto son: 220, 320 y 68 u.m. respectivamente. (a) Hallar el plan de producci´on con el que se agotan las disponibilidades de los factores. (b) Hallar los precios imputables a los factores para que los ingresos de cada unidad producida igualen a los costes en el plan de producci´ on. (c) Formular el modelo lineal de maximizaci´ on del ingreso. Soluci´ on. Para resolver el inciso (a) consideremos las siguientes variables x el n´ umero de unidades de producto obtenidas en el proceso 1 y el n´ umero de unidades de producto obtenidas en el proceso 2 z el n´ umero de unidades de producto obtenidas en el proceso 3 luego debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + 4y + 8z = 122 6x + 11y + 6z = 178 8x + y + 2z = 68 Este sistema escrito de forma matricial,  2 4  6 11 3 1

equivale a     8 x 122 6   y  =  178  2 z 68

El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor 2 4 8 ∆ = 6 11 6 3 1 2

= −160 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes

email [email protected]

122 4 8 ∆x = 178 11 6 68 1 2 2 122 8 ∆y = 6 178 6 3 68 2 123

= −2400

= −380

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

124

2 4 122 ∆z = 6 11 178 = −1650 3 1 68

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x = 15, ∆

y=

∆y 19 = , ∆ 8

z=

∆z 165 = . ∆ 16

Para resolver el inciso (b), consideremos la siguiente tabla

Proceso 1 2 3

1 2 4 8

factor 2 3 6 3 11 1 6 2

Es decir, en el proceso 1 se necesitan 2 unidades del factor 1 para obtener una unidad de producto, en el proceso 1 se necesitan 6 unidades del factor 2 para obtener una unidad de producto, etc. Tenemos que hallar los precios imputables a los factores para que los ingresos de cada unidad producida igualen a los costes en el plan de producci´on. Recordemos que los precios de venta de cada unidad de producto son: 220, 320 y 68 u.m. respectivamente. Tomemos las siguientes variables x el precio imputable al factor 1 y el precio imputable al factor 2 z el precio imputable al factor 3 luego debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + 6y + 3z = 220 4x + 11y + 1z = 320 8x + 6y + 2z = 68 Este sistema escrito de forma matricial,  2 6  4 11 8 6

equivale a     3 x 220 1   y  =  320  2 z 68

El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor

email [email protected]

124

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

2 6 3 ∆ = 4 11 1 8 6 2

125

= −160 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes 220 6 3 ∆x = 320 11 1 = 3604 68 6 2 2 220 3 ∆y = 4 320 1 = −5720 8 68 2

2 6 220 ∆z = 4 11 320 = −2696 8 6 68

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x 901 =− , ∆ 40

y=

∆y 143 = , ∆ 4

z=

∆z 337 = . ∆ 20

♣

Ejemplo Para la construcci´on de un almac´en se precisa una unidad de hierro y ninguna de madera. Para la construcci´on de un piso se precisa una unidad de cada material y para la de una torre 4 unidades de hierro y una de madera. Se dispone de 16 unidades de hierro y 5 de madera. (a) Hallar cu´antos almacenes, pisos y torres se pueden construir empleando todas las unidades disponibles. (b) Si el precio de cada almac´en es de 6 u.m., el de cada piso 2 u.m. y el de cada torre de 4 u.m., ¿hay alg´ un plan de producci´ on que cueste 36 u.m.? Soluci´ on. La siguiente matriz “ordenadores×horas” resume todos los datos hierro madera

almacen 1 0

piso 1 1

torre 4 1

Para resolver el inciso (a) consideremos las siguientes incognitas x el n´ umero de almacenes que se pueden construir y el n´ umero de pisos que se pueden construir z el n´ umero de torres que se pueden construir email [email protected]

125

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

126

Puesto que se dispone de 16 unidades de hierro y 5 de madera, entonces tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + y + 4z = 16 y + z = 5

♣

Ejemplo Arizmendi y Amigos, empresa de bienes ra´ıces, planea construir un nuevo complejo de apartamentos de 1, 2 y 3 habitaciones. Se planea un total de 192 apartamentos, y el n´ umero de apartamentos familiares (de dos o tres habitaciones) ser´ a igual al n´ umero apartamentos de una habitaci´on. Si el n´ umero de apartamentos de una habitaci´ on ser´ a igual al triple de apartamentos de 3 habitaciones, determinar cu´antas unidades de cada tipo de apartamento habr´ a en el conjunto. Soluci´ on. Consideremos las siguientes variables para las inc´ognitas x el n´ umero de apartamentos de 1 habitaci´on y el n´ umero de apartamentos de 2 habitaciones z el n´ umero de apartamentos de 3 habitaciones Puesto que se planea un total de 192 apartamentos, entonces obtenemos la siguiente ecuaci´on x + y + z = 192. La oraci´on: el n´ umero de apartamentos familiares (de dos o tres habitaciones) ser´a igual al n´ umero apartamentos de una habitaci´on. Se traduce en la ecuaci´on y + z = x. Y la frase: el n´ umero de apartamentos de una habitaci´on ser´a igual al triple de apartamentos de 3 habitaciones es transformada en la ecuaci´on x = 3z. Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal:   x + y + z = 192 y+z = x  x = 3z

Este sistema escrito de forma matricial,  1 1  1 −1 1 0

  x + y + z = 192 x − y − z = 0  x − 3z = 0

equivale a     1 x 192 −1   y  =  0  −3 z 0

El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor 1 1 1 ∆ = 1 −1 −1 1 0 −3

1 1 1 = 2 0 0 1 0 −3

= (−1)2+1 (2) 1 1 0 −3

= −2[(1)(−3) − (0)(1)] = 6 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes email [email protected]

126

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 192 1 1 ∆x = 0 −1 −1 0 0 −3

ζℏαυεz

127

1+1 = (−1) (192) −1 −1 0 −3

1 192 1 1 −1 1+2 ∆y = 1 0 −1 = (−1) (192) 1 −3 1 0 −3

= 192[(−1)(−3) − (0)(−1)] = 576

= −192[(1)(−3) − (1)(−1)] = 384

1 1 192 1 −1 1+3 = 192[(1)(0) − (1)(−1)] = 192 ∆z = 1 −1 0 = (−1) (192) 1 0 1 0 0

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

576 ∆x = = 96, ∆ 6

y=

∆y 384 = = 64, ∆ 6

z=

∆z 192 = = 32. ∆ 6

♣

Ejemplo El centro comercial La Galer´ıa oferta esta semana a un precio especial el lavavajillas, el t´e y un champ´ u. tres consumidores hacen cada uno de ellos una compra con el consiguiente gasto: Productos (unidades) Lavavajillas Caja de t´e Champ´ u Coste de Compra

Consumidor 1 2 4 1 12

Consumidor 2 4 1 2 18

Consumidor 3 1 2 4 10

¿Cu´al es el precio de los tres productos? Soluci´ on. Consideremos las siguientes variables para las inc´ognitas x el precio del lavavajillas y el precio del t´e z el precio del champ´ u Usando la tabla obtenemos la siguiente ecuaci´on matricial      2 4 1 x 12  4 1 2   y  =  18  1 2 4 z 10 El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor

email [email protected]

127

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 2 4 1 ∆ = 4 1 2 1 2 4

ζℏαυεz

128

0 0 −7 2+1 = 0 −7 −14 = (−1) (2) 1 1 0 −3 1 2 4

= −2[(1)(−3) − (0)(1)] = 6 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene soluci´on u ´ nica. Calculamos los siguientes determinantes solo quiero que seas feliz cerca de mi o lejos de mi. 12 4 1 ∆x = 18 1 2 10 2 4

2 12 1 ∆y = 4 18 2 1 10 4

1+1 = (−1) (192) −1 −1 0 −3 = (−1)1+2 (192) 1 −1 1 −3

2 4 12 ∆z = 4 1 18 1 2 10

= 192[(−1)(−3) − (0)(−1)] = 576

= −192[(1)(−3) − (1)(−1)] = 384

= (−1)1+3 (192) 1 −1 = 192[(1)(0) − (1)(−1)] = 192 1 0

De donde obtenemos la soluci´on del sistema x=

∆x 576 = = 96, ∆ 6

y=

∆y 384 = = 64, ∆ 6

z=

∆z 192 = = 32. ∆ 6

♣

Ejemplo Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo, venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000 ptas. Si la operaci´on es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se desconoce la prima cuando la operaci´on es un alquiler. Este mes el n´ umero total de operaciones fue 5. La prima total por venta de pisos fue superior en 200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta de pisos nuevos fue el triple que por alquileres. ① Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el n´ umero de operaciones de cada tipo realizadas (en funci´on de la prima de alquiler de valor desconocido). ② Indica una prima a la que es imposible que se hayan podido pagar los alquileres. ③ Indica tres primas a las que es posible que se hayan podido pagar los alquileres. ④ Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas. ¿cu´ antas operaciones de cada tipo se realizaron? Soluci´ on.

email [email protected]

128

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

129

① Empecemos respondiendo a las siguientes preguntas: Cu´ales son las inc´ognitas?, ¿Qu´e tengo que buscar, averiguar o qu´e me preguntan?, ¿Qu´e datos me dan?, ¿Cu´ales son las condiciones del problema?. Llamamos x, y, z, al n´ umero operaciones de cada tipo que ha realizado y m a la prima desconocida (en miles de pesetas): Sean x el n´ umero de pisos nuevos y el n´ umero de pisos usados z el n´ umero de alquileres Con lo que tendremos:

(∗)

 

x+y+z = 5 120x + 60y = mz + 200  120x = 3mz

obteniendo

 

x + y + z = 5 120x + 60y − mz = 200  120x − 3mz = 0

Surgen las siguientes interrogantes: ¿C´omo resolvemos este sistema de ecuaciones?, ¿Qu´e significa resolver un sistema de ecuaciones?, ¿Las soluciones del sistema dependen del valor que tome la variable m?, ¿Para que valores de m, el sistema tiene una sola soluci´on, muchas soluciones, ninguna soluci´on o infinitas soluciones?. Primero de todo tratemos de responder a la pregunta: ¿Como saber que el sistema tiene soluci´on o no tiene soluci´on?, ¿conocemos alguna teor´ıa que pueda ayudarnos?. Si, la teor´ıa matricial nos puede ayudar a resolverlo, empecemos transformando el sistema en la siguiente ecuaci´on matricial 

   5 4 −m x  0 1 −1   y  5 −4 0 z

=



 936  0  252

② Para estudiar la compatibilidad del sistema, llamemos a la matriz de coeficientes M y a la matriz aumentada con los t´erminos independientes Ma , es decir 

 1 1 1 M =  120 60 −m  120 0 −3m



 1 1 1 5 Ma =  120 60 −m 200  120 0 −3m 0

Observemos que la matriz M es de orden 3 × 3. Ahora bien, el ´algebra lienal nos da la siguiente informaci´on: |M| = 6 0 si y solo si rango(M) = rango(Ma ) = 3. Por tanto, el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. email [email protected]

129

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

130

Entonces es suficiente asegurar que el determinante de la matriz M no sea cero. ¿Como logramos esto?. Calculemos todos los valores de m para los cuales el determinante de M se haga cero, es decir resolvamos la ecuaci´on |M| = 0. Luego al evitar estos numeros aseguraremos que |M| = 6 0. 1 1 1 120 60 −m 120 0 −3m

1 1 1 = 60 0 −60 − m = (−1)1+2 (1) 60 −60 − m 120 −3m 120 0 −3m h i = − (60)(−3m) − (120)(−60 − m) h i = − − 180m + 7200 + 120m = −7200 + 60m



Ahora bien, |M| = 0 se traduce en la ecuaci´on −7200 + 60m = 0, de aqu´ı se tiene que m = 120. Si m 6= 120, entonces |M| = 6 0, por lo tanto el sistema (∗) tiene soluci´on u ´ nica. ¿C´omo hallamos esta soluci´on?. Usemos el m´etodo de Cramer para hallar estas soluciones.

|M|

|Mx |

|My |

|Mz |

1 = 120 120 5 = 200 0 1 = 120 120 1 = 120 120

1 1 60 −m 0 −3m 1 1 60 −m 0 −3m

= 60m − 7200 = −300m

5 1 200 −m = 600m − 24000 0 −3m 1 5 60 200 = −12000 0 0

x=

y=

−300m |Mx | = |M| 60m − 7200

|My | 600m − 24000 = |M| 60m − 7200

z=

−12000 |Mz | = |M| 60m − 7200

Si m = 120, en este caso tenemos que |M| = 0. Que hacer?, observemos que las matrices M y Ma son las siguientes:     1 1 1 1 1 1 5 M =  120 60 −120  Ma =  120 60 −120 200  120 0 −360 120 0 −360 0 El hecho de que |M| = 0 garantiza que rango(M) < 3. Luego se presentan dos casos posibles rango(M) = rango(Ma ) < 3 o rango(M) 6= rango(Ma ). Recordemos el siguiente resultado: email [email protected]

130

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

131

☞ Si rango(M) = rango(Ma ) < 3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. ☞ Si rango(M) 6= rango(Ma ), entonces el sistema no tiene soluciones.

Ahora bien, s´olo necesitamos calcular los rangos de la matriz de coeficientes M y el de la matriz aumentada Ma . Es claro que rango(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor 1 1 complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo: ; por otra parte 120 60 rango(Ma ) = 3 puesto que es posible encontrar en la matriz Ma un menor complemen 1 1 5 tario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo: 120 60 200 6= 0 120 0 0 Ahora bien como rango(M) 6= rango(Ma ) entonces el sistema (∗) no tiene soluci´on. Por esta raz´on, resultar´ıa imposible que las primas por alquileres fueran 120.000 ptas. ③ Si la prima de alquileres hubiera sido de 35.000 ptas, tendr´ıamos: m = 35, para este valor se tiene que x=

−300m 35 = , 60m − 7200 17

y=

600m − 24000 10 = , 60m − 7200 17

z=

−12000 40 = 60m − 7200 17

④ Si la prima de alquileres hubiera sido de 20.000 ptas, tendr´ıamos: m = 20 −300m 600m − 24000 −12000 = 1, y= = 2, z= =2 60m − 7200 60m − 7200 60m − 7200 Con lo que habr´ıa vendido 1 piso nuevo, 2 pisos usados y realizado 2 alquileres. x=

♣

email [email protected]

131

R βo ιυατ

CAP´ITULO 3

La matriz Inversa

3.1.

Definici´ on: Matrices Invertibles

Es de todos sabido que nuestra vida diaria contempor´anea requiere de una cantidad de conocimientos matem´aticos cada vez m´as importantes, sin los cuales carece, virtualmente, de significado. El objeto de este cap´ıtulo es el desarrollo y estudio de un tema b´asico de ´algebra lineal como es el c´alculo de la matriz inversa y algunas aplicaciones de ´esta a modelos matem´aticos. El c´alculo de la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones matriciales. ´ 3.1. Se dice que una matriz cuadrada A es invertible (o no singular o regular), DEFINICION si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad. La matriz B se llama inversa de A y se denota por A−1 . Una matriz se dice que es inversible si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.     2 5 3 −5 Ejemplo Supongamos que A = yB= . Entonces 1 3 −1 2        2 5 3 −5 6 − 5 −10 + 10 1 0 AB = = = =I 1 3 −1 2 3 − 3 −5 + 6 0 1 y

BA =



3 −5 −1 2



2 5 1 3



=



6 − 5 15 − 15 −2 + 2 −5 + 6



=



1 0 0 1



=I

Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra. 132

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

3.2.

ζℏαυεz

133

Propiedades

❃ Si A es invertible, entonces su inversa A−1 es u ´ nica. ❄ Si A−1 existe se tiene que AA−1 = A−1 A = I. ❅ Si A y B son matrices invertibles, entonces AB es invertible y adem´as (AB)−1 = B −1 A−1 .
−1 ❆ Si A es una matriz inversible, entonces A−1 es invertible y A−1 = A. Adem´as An es

−1 n invertible y An = A−1 para n = 0, 1, 2, ...

1 −1 A . k
T = A−1 .

❇ Si A es invertible y k es un real distinto de cero, entonces kA es invertible y (kA)1 = ❈ Si A es invertible, entonces su transpuesta AT tambi´en es invetible y AT ❉ Si A−1 existe, entonces AB = AC implica que A = C


−1

❊ A es inversible s´ı y s´olo s´ı det(A) 6= 0. ❋ Si A es una matriz invertible, entonces det(A−1 ) =

Ejemplo Soluci´ on.

  a b c h i Suponga que det(A) = 5. Encontrar det (2A)−1 donde A =  d e f . a b c h i det (2A)−1 =

Ejemplo

1 det(A)

1 1 1 1 = 3 = = det(2A) 2 det(A) (8)(5) 40

♣

h i−1 Demostrar que det(A−1 ) = det(A) .

Soluci´ on. Puesto que AA−1 = I, entonces det(AA−1 ) = det(A) det(A−1 ) = det(I) = 1, de donde ♣ se deduce el resultado.

3.3.

C´ alculo de la matriz inversa

El c´alculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Primeramente se aborda desde el punto de vista del m´etodo de Gauss y, despu´es por determinantes y adjuntos; posteriormente, se hace uso del software Mathematica para su c´alculo y, por u ´ ltimo, se muestran diversas aplicaciones de ´esta. email [email protected]

133

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

3.3.1.

ζℏαυεz

134

M´ etodo de Escalonamiento de Gauss

Veamos un m´etodo que a priori no nos garantiza que la matriz en cuesti´on sea inversible, sin embargo, en caso de que se pueda aplicar, nos dar´a la inversa sin hacer operaciones demasiado complicadas. Si la matriz no se puede invertir, llegaremos a una situaci´on que nos lo indicar´a. El c´alculo de la matriz inversa por el m´etodo de Gauss supone transformar una matriz en otra, equivalente por filas. La demostraci´on rigurosa del procedimiento que a continuaci´on se describe se sale del prop´osito del presente cap´ıtulo, aqu´ı se limita a su exposici´on y comprobaci´on de que efectivamente se obtiene la matriz inversa. En esencia, el m´etodo consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en: ① Formar una matriz [A|I] de orden n × 2n tal que las primeras columnas sean las de la matriz A y las otras n las de la matriz identidad de orden n. ② Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n u ´ ltimas −1 −1 otra matriz que prescisamente ser´a A , esto es [I|A ]. El m´etodo consiste, pues, en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad. [A|I]

transf ormaciones elementales

⇐⇒

[I|A−1 ]

Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener la matriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad. Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha ser´a la inversa. Si no podemos llegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz no ser´a inversible. Vamos a ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener la inversa y otro en el que la matriz no es inversible. Ojo a lo siguiente, pues es muy importante: hemos de decidir si haremos nuestras transformaciones elementales por filas o por columnas, pues la forma que elijamos debe mantenerse a lo largo de todo el proceso de inversi´on de la matriz. Los objetivos de las operaciones elementales realizadas son: Para cada i = 1, 2, ..., n fijo, ☞ Primero, hacer que aii sea igual a 1 ☞ Segundo, hacer que el resto de las entradas de columna i sean ceros. Las transformaciones elementales son las siguientes: ① substituir una fila o columna de la matriz por ella misma multiplicada (o dividida) por un n´ umero. El producto de todos los elementos de la fila i por una contante c 6= 0. Se escribe como cfi .

email [email protected]

134

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

135

② substituir una fila o columna de la matriz por una combinaci´on lineal de otra fila o columna de la matriz. Multiplicados por una constante c 6= 0 a los elementos de la fila j y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila i. Se escribe como: “cfi + fj ”, e ③ intercambiar filas o columnas. El intercambio de la fila i y la fila j que denotamos como fij . Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con A ↔ B, si B se obtiene de A mediante un n´ umero finito de operaciones elementales por filas. Ejemplo

Ver si es inversible o no y calcular (si se puede) la inversa de la siguiente matriz. 

 2 3 4  4 3 2  0 1 0 Soluci´ on. Planteamos, como hemos dicho, las dos matrices: 

 2 3 4 1 0 0  4 3 2 0 1 0  0 1 0 0 0 1

En primer lugar, por simplicidad en las operaciones, vamos a intercambiar las filas 2 y 3: 

 2 3 4 1 0 0  0 1 0 0 0 1  4 3 2 0 1 0

Ahora, multiplicamos por 1/2 a la fila 1, “1/2f1 ”: 

 1 3/2 2 1/2 0 0  0 1 0 0 0 1  4 3 2 0 1 0

Multiplicados por −4 a los elementos de la fila 1 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 3, esto es “−4f1 + f3 ”, y dejamos el resto igual: 

 1 3/2 2 1/2 0 0  0 1 0 0 0 1  0 −3 −6 −2 1 0

Ahora, multiplicados por 3 a los elementos de la fila 2 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 3, esto es “3f2 + f3 ” y luego multiplicados por −3/2 a los elementos de la fila 2 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 1, esto es “−3/2f2 + f1 ”. email [email protected]

135

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

136



 1 0 2 1/2 0 −3/2  0 1 0 0 0 1  0 0 −6 −2 1 3

Ahora, multiplicamos por −1/6 a la fila 3, “−1/6f3 ”:

 0 −3/2 1 0 2 1/2  0 1 0 0 0 1  0 0 1 1/3 −1/6 −1/2 

Y, por u ´ ltimo, hacemos la operaci´on “−2f3 + f1 ”  Con lo que la inversa es:

 1 0 0 −1/6 1/3 −1/2  0 1 0 0 0 1  0 0 1 1/3 −1/6 −1/2 

 −1/6 1/3 −1/2  0 0 1  1/3 −1/6 −1/2

Comprob´emoslo: 

 2 3 4  4 3 2  0 1 0  −1/6 1/3  0 0 1/3 −1/6 Ejemplo

−1/6 1/3 0 0 1/3 −1/6  −1/2 2   1 4 −1/2 0

Ver si es inversible y calcular (si  1  −2 3

  −1/2 1 = −1/2   3 4 3 2 = 1 0

 1 0 0 0 1 0  0 0 1  1 0 0 0 1 0  0 0 1

♣

es posible) la inversa de la matriz:  3 2 1 3  2 −1

Soluci´ on. De nuevo, planteamos las dos matrices: 

 1 3 2 1 0 0  −2 1 3 0 1 0  3 2 −1 0 0 1 email [email protected]

136

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

137

Multiplicados por 2 a los elementos de la fila 1 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 2, esto es “2f1 + f2 ”, y luego multiplicados por −3 a los elementos de la fila 2 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 3, esto es “−3f2 + f3 ”: 

 1 0 0 1 3 2  0 7 7 2 1 0  0 −7 −7 −3 0 1

Ahora, multiplicados por 1 a los elementos de la fila 2 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 3, esto es “f2 + f3 ”:  1 3 2 1 0 0  0 7 7 2 1 0  0 0 0 −1 1 1 

Por mucho que queramos, al habernos aparecido una fila de ceros, ya no podremos obtener la matriz identidad. En cuanto nos sale una fila, o m´as (o columna/s, si es que trabajamos por ♣ columnas) de ceros, lo que nos est´a diciendo es que la matriz no es invertible. Ejemplo

Encontrar la inversa de 

 1 0 2 A =  2 −1 3  4 1 8 Soluci´ on. Primero construimos la matriz (A|I),

email [email protected]

137

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



   1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0  2 −1 3 0 1 0  ⇐⇒  0 −1 −1 −2 1 0  4 1 8 0 0 1 0 1 0 −4 0 1   1 0 2 1 0 0 0 −4 0 1  ⇐⇒  0 1 0 −1 −1 −2 1 0   1 0 2 1 0 0 ⇐⇒  0 1 0 −4 0 1  0 0 −1 −6 1 1   1 0 2 1 0 0 ⇐⇒  0 1 0 −4 0 1  0 0 1 6 −1 −1   1 0 0 −11 2 2 1  ⇐⇒  0 1 0 −4 0 0 0 1 6 −1 −1

Por lo tanto, la inversa es:

A−1

Ejemplo



 −11 2 2 1  =  −4 0 6 −1 −1

138

−2f1 + f2 −4f1 + f3 f23

f2 + f3

−1f3 −2f3 + f1

♣

Invertir la matriz 

 1 −6 2 A =  2 −2 −1  1 −3 −5 Soluci´ on. Aum´entese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

email [email protected]

138

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

139



   1 −6 2 1 0 0 1 −6 2 1 0 0  2 −2 −1 0 1 0  ⇐⇒  0 −10 −5 −1 1 0  1 −3 −5 0 0 1 0 3 −7 −1 0 1   1 −6 2 1 0 0   1 1 1 − 10 0  ⇐⇒  0 1 2 10 0



3

1 0

 ⇐⇒  0 1

0 0



1 0

 ⇐⇒  0 1 0 0



1 0

 ⇐⇒  0 1 0 0

Por lo tanto, la inversa es:

A−1

Ejemplo



   =  

7 55 9 − 55 4 55

−

Por el m´etodo de Gauss-Jordan,    1 1 3 2  7 (a)  2 7 8  (b)   6 3 11 15 3

−1

1 2 − 11 2

− 15

0

3 5

1 − 10 f1 + f2

1

0



 1 1 − 10 0  10 3 − 25 − 10 1  3 −1 − 51 0 5  1 1 1 − 10 0  2 10 4 6 2 1 − 11 55 110 36 2  7 − 11 0 − 55 55 9 7 1  0 − 55 − 11  55 3 2 4 1 55 55 − 11

−3f2 + f3 6f2 + f1

2 f3 − 11

− 21 f3 + f2 f3 + f1

36 2  − 55 11   7 1   − 55 11   3 2 − 55 11

hallar las matrices inversas   0 1 5 2 6   1 4 2  1 3 (c)   3 9 2 2 9  1 1 5 2 6

♣

6 4 7 3

 0 1   1  0 ♣

Soluci´ on.

3.3.2.

−7 −1

−2f1 + f2 −1f1 + f3

M´ etodo de la Adjunta

Recordemos algunos conceptos: Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama matriz complementaria del elemento aij es la matriz Mij que se obtiene de A eliminando la fila i y la columna email [email protected]

139

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

140

j. ´ 3.2 (Menor). Se llama menor del elemento aij , al determinante de la matriz DEFINICION complementaria del elemento aij , es decir es el escalar det(Mij ). ´ 3.3 (Cofactor). Se llama cofactor cij del elemento aij (o adjunto de aij ) al DEFINICION n´ umero real: cij = (−1)i+j det(Mij ) ´ 3.4 (Matriz de Cofactores). Se llama Matriz de cofactores de la matriz A a DEFINICION la matriz que contiene los cofactores de cada elemento aij . Se escribe cof(A) = Ac . 

  cof(A) =  

c11 c12 c21 c22 .. .. . . cn1 cn2

 . . . c1n . . . c2n   ..  .. . .  . . . cnn

´ 3.5 (Matriz de Adjunta). Se llama Matriz Adjunta de la matriz A a la matriz DEFINICION
T transpuesta de la matriz de cofactores. Se escribe adj(A) = cof(A) .

adj(A) = cof(A)


T



  = 

c11 c21 c12 c22 .. .. . . c1n c2n

 . . . cn1 . . . cn2   ..  .. . .  . . . cnn

TEOREMA 3.1. Sea A una matriz cuadra tal que det(A) 6= 0, entonces A es invertible y se cumple 1 A−1 = adj(A) det(A) Ejemplo

Dada la matriz



a b c d



, calcular su matriz inversa A−1

Soluci´ on. Primeramente calculamos la matriz de cofactores:

cof (A) =

(−1)1+1 |d| (−1)1+2 |c| (−1)2+1 |b| (−1)2+2 |a|

!

=



d −c −b a



Por tanto, la matriz Adjunta adj(A) es: adj(A) = cof(A) email [email protected]


T

140

=



d −b −c a

 R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

141

Si el determinante es no nulo: a b det(A) = c d

= ad − bc 6= 0.

Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A: −1

A

Ejemplo

1 1 adj(A) = − = det(A) ad − bc



d −b −c a



♣

Hallar la inversa de la matriz: 

 1 −3 2  2 5 0  0 −1 −2 Soluci´ on. Resolvemos este problema por etapas: ① C´alculo del valor de su determinante: 1 −3 2 2 5 0 0 −1 −2

= −10 − 4 − 12 = −26 6= 0

Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendr´a inversa. ② C´alculo de la matriz de cofactores cof (A). Los cofactores de los nueve elementos de A son:

c11 c21 c31

5 = + −1 −3 = − −1 −3 = + 5

0 = −10 −2 2 = −8 −2 2 = −10 0

c12 c22 c32

2 0 =4 = − 0 −2 1 2 = −2 = + 0 −2 1 2 =4 = − 2 0

Por tanto, la matriz de cofactores o adjuntos es:

c13 c23 c33

2 5 = −2 = − 0 −1 1 −3 =1 = − 0 −1 1 −3 = 11 = + 2 5



 −10 4 −2 cof (A) =  −8 −2 1  −10 4 11 email [email protected]

141

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

142

③ C´alculo de la matriz Adjunta, la traspuesta de la matriz de cofactores. 

 −10 −8 −10
T adj(A) = cof(A) =  4 −2 4  −2 1 11

④ Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1

Ejemplo



   −10 −8 −10 5/13 4/13 5/13 1 1  = adj(A) = 4 −2 4  =  −2/13 1/13 −2/13  det(A) −26 −2 1 11 1/13 −1/26 −11/26

♣

Sea la matriz 

 2 3 1 A= 4 6 2  1 0 1 Soluci´ on. Al calcular el determinante se comprueba que ´este es igual a cero, por lo que se puede afirmar que dicha matriz no posee inversa. 2 3 1 det(A) = 4 6 2 = 12 + 6 − 6 − 12 = 0 1 0 1 ♣ Ejemplo

Con un ejemplo verificar que se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 

  1 2 Soluci´ on. Sean las matrices: A = y B = 1 3  3 −2 −1 Si se aplica el resultado anterior: A = , −1 1    4 −3 1 −1 3 . Tambi´en, B −1 A−1 = −9/2 7/2 −1 3/2 −1

   7 6 . Entonces AB = . 9 8   1 −1 B −1 = y (AB)−1 = −1 3/2   −2 4 −3 1 −9/2 1/2

3 2 2 2

Por consiguiente, se cumple que (AB)−1 = B −1 A−1 , como se afirma en la propiedad enunciada.♣ Ejemplo 1 −1 A . k

Con un ejemplo verificar que se cumple A−1

email [email protected]

142


−1

= A, An


−1

= A−1


n

y (kA)−1 =

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

143

−1

Soluci´ on. Sean A y A como las matrices del ejemplo anterior; es decir, A =   3 −2 −1 A = . Entones −1 1



1 2 1 3



y

−1   3 −2 1 2 ☞ A = = =A −1 1 1 3        
1 2 1 2 1 2 11 30 41 −30 3 3 −1 ☞ A = = . As´ı A = . Por otro 1 3 1 3 1 3  15 41  −15 41   
3 −2 3 −2 3 −2 41 −30 −1 3 −3 lado A =A = = . −1 1 −1 1 −1 1 −15 41       1 3 6 1 −2/3 3 −2 −1 = ☞ Finalmente 3A = , entonces (3A) = = 3 9 −1/3 1/3 3 −1 1 1 −1 A . Con lo que quedan verificadas dichas propiedades. 3 ♣
−1 −1

Ejemplo



Con un ejemplo verificar que se cumple AT 

Soluci´ on. Sean las matrices: A =  1 3 −1 anterior, se obtiene: A = −2 −5 anterior, estas matrices la satisfacen. Ejemplo



= A−1


T

 −5 2 y AT = . Al aplicar la propiedad −3 1 
−1 1 −2 y AT = . Como garantiza la propiedad 3 −5

−5 −3 1 2




−1

♣

Hallar la inversa de la matriz: 

 1 2 −1  0 −3 2  2 1 5 Soluci´ on. Resolvemos este problema por etapas: ① C´alculo del valor de su determinante: 1 2 −1 0 −3 2 = −15 + 8 + 0 − 6 − 2 = −15 6= 0 2 1 5

Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendr´a inversa.

email [email protected]

143

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

144

② C´alculo de la matriz de cofactores cof (A). Los cofactores de los nueve elementos de A son: c11 c21 c31

−3 2 = −17 = + 1 5 2 −1 = −11 = − 1 5 2 −1 =1 = + −3 2

c12 c22 c32

0 2 =4 = − 2 5 1 −1 =7 = + 2 5 1 −1 = −2 = − 0 2

c13 c23 c33

Por tanto, la matriz de cofactores o adjuntos es:

0 −3 =6 = + 2 1 1 2 =3 = − 2 1 1 2 = −3 = + 0 −3



 −17 4 6 3  cof (A) =  −11 7 1 −2 −3

③ La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj(A) = cof(A)


T

 −17 −11 1 = 4 7 −2  6 3 −3 

④ Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1

Ejemplo



 −17 −11 1 1 1  4 7 −2  = adj(A) = det(A) −15 6 3 −3

♣

Vamos a calcular la matriz inversa A−1 de la matriz A 

 1 0 −1  0 2 3  1 −1 1 Soluci´ on. Para que la matriz tenga matriz inversa dbe reunir dos condiciones: Debe ser una matriz cuadrada y su determinante debe ser distinto de cero. ① Nuestra matriz es cuadrada de orden 3 y su determinante es distinto de cero, en efecto: 1 0 −1 0 2 = 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7 6= 0 3 1 −1 1

Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendr´a inversa. email [email protected]

144

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

145

② C´alculo de la matriz de cofactores cof (A). Los cofactores de los nueve elementos de A son: c11 c21 c31

2 3 = −5 = + −1 1 0 −1 =1 = − −1 1 0 −1 = −2 = + 2 3

c12 c22 c32

0 3 =3 = − 1 −1 1 −1 = −2 = + 1 1 1 −1 = −3 = − 0 3

c13 c23 c33

Por tanto, la matriz de cofactores o adjuntos es:

0 2 =2 = + 1 −1 1 0 =1 = − 1 −1 1 0 = −2 = + 0 2



 5 3 −2 1  cof (A) =  1 2 2 −3 2

③ El siguiente paso consiste en transponer la matriz de los cofactores obtenida en el paso previo. 

 5 1 2
T adj(A) = cof(A) =  3 2 −3  −2 1 2

④ Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1

 5    7  5 1 2  3 1 1  3 2 −3 adj(A) = = =  7 det(A) 7  −2 1 2  2 − 7

1 2  7 7   2 3  −  7 7    1 2 7 7

⑤ Comprobando que se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa  5 1 2    7 7 7     1 0 −1  1 0 0  3 2 3    0 1 0   0 2 3   7 7 −7  =   1 −1 1 0 0 1   2 1 2 − 7 7 7 Ejemplo

♣

Calcular la matriz inversa A−1 de la matriz A

email [email protected]

145

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

146



 1 −2 3  5 −1 2  3 4 −3 Soluci´ on. Para que la matriz tenga matriz inversa dbe reunir dos condiciones: Debe ser una matriz cuadrada y su determinante debe ser distinto de cero. ① Nuestra matriz es cuadrada de orden 3 y su determinante es distinto de cero, en efecto: 1 −2 3 5 −1 2 3 4 −3

= 103 6= 0

Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendr´a inversa. ② Calculamos todos los cofactores de la matriz A.

c11 c21 c31

= + = − = +

−1 2 = −5 4 −3 −2 3 = −6 4 −3 −2 3 =1 −1 2

c12 c22 c32

= − = + = −

5 2 = 21 3 −3 1 3 = −12 3 −3 1 3 = 13 5 2

c13 c23 c33

③ con las respuestas formo la matriz cof (A) y luego obtengo cof(A)  −5 21 17 cof (A) =  −6 −12 2  1 13 9 

adj(A) = cof(A)


T



= + = − = +


T

5 −1 = 17 3 4 1 −2 =2 3 4 1 −2 =9 5 −1

que es la adj(A)

 −5 −6 1 =  21 −12 13  17 2 9

④ Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1

Ejemplo



 −5 −6 1 1 1  21 −12 13  = adj(A) = det(A) 103 17 2 9

 2 3 4 Dada la matriz  2 1 1 , calcular su matriz inversa A−1 1 1 2

email [email protected]

♣



146

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

147

Soluci´ on. Primeramente calculamos la matriz de cofactores: 

     cof (A) =     

(−1) 2+1 (−1) (−1)3+1 1+1

1 1 1+2 (−1) 1 2 3 4 2+2 (−1) 1 2 3 4 3+2 (−1) 1 1

Por tanto, la matriz Adjunta adj(A) es:

2 1 1+3 (−1) 1 2 2 4 2+3 (−1) 1 2 2 4 3+3 (−1) 2 1

 2 1 1 1      1 −3 1 2 3    −2 0 1  = 1 1   −1 6 −4  2 3   2 1



 1 −2 −1
T adj(A) = cof(A) =  −3 0 6  1 1 −4

Hallamos ahora el determinante:

2 3 4 det(A) = 2 1 1 1 1 2

= −3 6= 0

Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1

Ejemplo

Ejemplo Soluci´ on.

 1 −2 −1 1 1 6  = adj(A) = −  −3 0 det(A) 3 1 1 −4

Hallar la matriz Adjunta y su matriz inversa usando: A−1 = 

Soluci´ on.





5 0 4 (a)  3 1 2  9 4 6



1  0 (b)   2 1

 0 −2 7 1 3 2   2 4 9  1 2 5

  1 2 0 2 Hallar A−1 si Adj(A) =  2 1 1  . 2 4 3

email [email protected]

147



♣ Adj(A) . |A|

 1 2 −1 3  2 5 4 5   (c)   3 9 10 9  4 11 12 16

♣

♣ R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

3.4.

ζℏαυεz

148

Aplicaci´ on a la resoluci´ on de ecuaciones matriciales

Una ecuaci´on matricial es aqu´ella en la que sus coeficientes e inc´ognitas son matrices. Para resolverlas es necesario despejar la inc´ognita, tal como si de una ecuaci´on con n´ umeros reales se tratara. El “problema” aparece cuando la inc´ognita est´a multiplicada por otra matriz y, como ya es sabido, no es posible “dividir” matrices. En ese caso hay que recurrir a la matriz inversa. Veamos un ejemplo aclaratorio de ello:     1 0 −1 2 Sea la ecuaci´on matricial siguiente: 2A = AX + B donde : A = yA= −1 1 −1 1 despejamos y queda: AX = 2A − B = 2 Por tanto AX =



3 −2 1 1





1 0 −1 1



−



−1 2 −1 1



=



2+1 −2 −1 + 3 2 − 1



=



3 −2 1 1



Si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por la izquierda (cabe recordar que el producto de matrices no es conmutativo), a ambos  lados de la igualdad, obtenemosla matriz X 1 0 3 −2 (puesto que A−1 A = I): Como A−1 = , se tiene que X = A−1 AX = A−1 = 1 1 1 1      1 0 3 −2 3 −2 = 1 1 1 1 4 −1 Ejemplo

Hallar la matriz de cofactores   2 1 4 (a)  3 −1 2  , 6 0 1



 −1 3 2 (b)  4 −1 −3  4 −2 3 ♣

Soluci´ on. Ejemplo

Resolver la ecuaci´on matricial:



2 3 5 8



·X ·



1 2 4 7



=



Hallar la matriz A tal que:



9 8 3 4



·A=



1 −2 0 1 4 1 3 2

 ♣

Soluci´ on. 

y A2 X = AT , hallar X.

email [email protected]

148

Ejemplo

 ♣

Soluci´ on. Ejemplo

1 2 3 4

Si



1 2 3 5

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

149 ♣

Soluci´ on. Ejemplo

Hallar la matriz inversa A−1 si existe, siendo     0 1 −1 2 1 0 A =  0 −1 1  0 1 1 2 0 1 ♣

Soluci´ on. Ejemplo 

Resolver la ecuaciones matricialmente        5 3 1 −8 3 0 1 2 −3 1 −2 0 (a) X  1 −3 −2  =  −5 9 0  (b)  3 2 −4  X =  10 2 7  −5 2 1 −2 15 0 2 −1 0 10 7 8 ♣

Soluci´ on.

Ejemplo Soluci´ on. Ejemplo DA = B.



 1 3 −2 Hallar la matriz B tal que ABA = A, donde A =  2 8 −3  1 7 1

Si



2 −1 −2 3



y



7 6 9 8

 , hallar las matrices C y D tales que: AC = B y ♣

Soluci´ on.

3.5.

♣

Aplicaci´ on a la resoluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver muchos problemas matem´aticos es necesario plantear un sistema de ecuaciones lineales. Existen diversos m´etodos para resolverlos (recordemos los conocidos m´etodos de igualaci´on, substituci´on e igualaci´on). Pero, si dichos sistemas est´an formados por gran cantidad de ecuaciones e inc´ognitas, el aplicar los m´etodos anteriores resulta ser una tarea sumamente dificultosa y que, muy probablemente, conducir´a a resultados err´oneos. Para solventar este problema, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden plantear matricialmente y resolverlos haciendo uso de la matriz inversa. Consideremos el sistema AX = B, donde A es la email [email protected]

149

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

150

matriz de los coeficientes, B es la matriz de los t´erminos independientes y x es la matriz de las inc´ognitas. Para ello hay que hallar la inversa de la matriz de coeficientes y multiplicarla por la de t´erminos independientes. ❃ Fij´emonos que se parte de que AX = B ❄ Multiplicamos a la izquierda por A−1 y se tiene A−1 AX = A−1 B ❅ Como A−1 A = I, entonces queda que X = A−1 B Veamos a continuaci´on unos ejemplos de esto: Ejemplo AX = B.

Resolver el sistema dado por la matriz inversa estableciendo la ecuaci´on matricial:

2x + y − 3z = −2 (a) x − 2y − 4z = 4 3x + 4y − 5z = −1

3x − y − 2z = 4 (b) 2x + y + 4z = 2 7x − 2y − z = 4 ♣

Soluci´ on.

Ejemplo En un consejo municipal del ayuntamiento de una ciudad se decide comprar 2 impresoras, 5 ordenadores y 3 esc´aners. Para determinar el costo de los art´ıculos se sabe que 1 impresora m´as 4 ordenadores m´as 3 esc´ aners valen 2600 euros, 2 impresoras m´ as 5 ordenadores m´as 4 esc´aners valen 3500 euros y 1 impresora m´ as 3 ordendores m´ as 2 esc´ aners valen 2000 euros. ¿Cu´al es el coste total de los art´ıculos? Soluci´ on. Para resolver este problema, se determina el coste por unidad de cada uno de los u ´ tiles: impresora, esc´aner y ordenador. De acuerdo a los datos proporcionados, se puede construir el siguiente sistema de ecuaciones: x Precio de una impresora y Precio de un ordenador z Precio de un esc´aner x + 4y + 3z = 2600 2x + 5y + 4z = 3500 x + 3y + 2z = 2000 Se resuelve este sistema de forma matricial:      1 4 3 x 2600  2 5 4   y  =  3500  1 3 2 z 2000 email [email protected]

150

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

151

O bien: AX = B, donde: 

 1 4 3 A= 2 5 4  1 3 2



 x x= y  z



 2600 B =  3500  2000

Se realiza este c´alculo mediante el software Mathematica   −1     x 1 4 3 2600 300  y  =  2 5 4   3500  =  500  2000 100 z 1 3 2 

Este resultado nos indica que el x = 300, y = 500 y z = 100. Por tanto, el precio de una impresora, un ordenador y un esc´aner es 300 euros, 500 euros y 100 euros, respectivamente. Y el coste total de los art´ıculos a comprar asciende a: 2 · 300 + 5 · 500 + 3 · 100 = 3400 euros

♣

Ejemplo Una persona dispon´ıa de 60000 euros y los reparti´ o en tres fondos de inversi´on diferentes (A, B y C), obteniendo as´ı 4500 euros de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirti´o el doble que en los fondos B y C juntos; sabemos tambi´en que el rendimiento de la inversi´on realizada en los fondos A, B y C fue del 5 %, 10 % y 20 % respectivamente. a) Plantear un sistema para determinar las cantidades invertidas en cada uno de los fondos. b) Resolver el sistema anterior. Soluci´ on. Si 0 ≤ r ≤ 100, entonces el r % de a es calculado mediante la siguiente f´ormula: r a. p= 100 Eligiendo las inc´ognitas x la cantidad de euros invertida en el fondos de inversi´on A y la cantidad de euros invertida en el fondos de inversi´on B z la cantidad de euros invertida en el fondos de inversi´on C El capital inicial de ambos amigos es de 60000 euros. Esto conduce a establecer nuestra primera ecuaci´on x + y + z = 60000. Puesto que el rendimiento de la inversi´on realizada en los fondos A es del 5 %, entonces se invierte x euros al 5 %, de modo similar obtenemos que la inversi´on de y euros es al 10 % y z euros al 20 %. Al cabo del a˜ no los x euros se convierten en x mas el 5 % de x, esto es, este amigo percibe 0.04x euros adicionales. Ahora bien, por invertir y euros al 10 % al cabo de primer a˜ no recibe 0.05y euros adicionales y finalmente recibe 0.06z euros. Como se obtienen 4500 euros de beneficios. Entonces al sumar las cantidades mencionadas debemos tener: 0.05x + 0.10y + 0.20z = 4500 email [email protected]

151

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

152

Por otro lado, sabemos que en el fondo A invirti´o el doble que en los fondos B y C juntos, esto conduce a la siguiente ecuaci´on: x = 2(y + z) Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: x + y + z = 60000 0.05x + 0.10y + 0.20z = 4500 x − 2y − 2z = 0 Este sistema escrito de forma matricial, equivale a      1 1 1 x 60000  0.05 0.10 0.20   y  =  4500  1 −2 −2 z 0 Primeramente calculamos la matriz de cofactores de la matriz de coeficientes A: 

     cof (A) =     



0.10 (−1) −2 1 (−1)2+1 −2 1 3+1 (−1) 0.05 1+1

0.20 1+2 0.05 (−1) 1 −2 1 2+2 1 (−1) 1 2 1 1 3+2 (−1) 0.05 0.10

 0.2 0.3 −0.2 =  0 −3 3  0.1 −0.15 0.05

0.20 1+3 0.50 (−1) 1 −2 1 2+3 1 (−1) 1 −2 1 1 3+3 (−1) 0.05 0.20

 0.10 −2    1   −2    1   0.10

Por tanto, la matriz Adjunta adj(A) es: 

 0.2 0 0.1
T adj(A) = cof(A) =  0.3 3 −0.15  −0.2 3 0.05

Hallamos ahora el determinante:

1 1 1 det(A) = 0.05 0.10 0.20 = 0.3 6= 0 1 −2 −2

Entonces, aplicando la definici´on anterior obtenemos la matriz inversa de A: email [email protected]

152

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s A−1

ζℏαυεz

153



 0.666667 0 0.333333 1 1 −10 −0.5  = adj(A) =  det(A) 0.666667 1 0.166667

      0.666667 0 0.333333 60000 40000 x  y = 1 −10 −0.5   4500  =  15000  z 0.666667 1 0.166667 0 5000 

♣

Ejemplo Un viajero por Europa gast´ o en hospedaje 30 euros al d´ıa en Italia, 20 euros en Francia y 20 en Espa˜ na. En alimentos gast´ o 20 euros al d´ıa en Italia, 30 euros en Francia y 20 en Espa˜ na. En copas gast´o 10 euros diarios en cada pa´ıs. Si al final del viaje hab´ıa gastado 340 euros en hospedaje, 320 en alimentos y 140 en copas, calcular el n´ umero de d´ıas que estuvo en cada pa´ıs. Soluci´ on. Sean x, y, z el n´ umero de d´ıas pasados, respectivamente, en Italia, Francia y Espa˜ na. Los gastos de hospedaje han sido 30x + 20y + 20z, los de alimentos han sido 20x + 30y + 20z, y los de copas han sido 10x + 10y + 10z. Por tanto tenemos el sistema: 30x + 20y + 20z = 340 20x + 30y + 20z = 320 10x + 10y + 10z = 140 El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on  30  20 10 ❄ Hallando el determinante 30 20 |A| = 20 30 10 10

matricial     340 x 20 20 30 20   y  =  320  140 z 10 10 

 30 20 20 de la matriz de coeficientes A =  20 30 20  10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 0 = 1000 20 = − 20 30 20 = − 0 10 0 −10 −10 30 20 20 10

Recordemos el siguiente resultado.

|A| = 6 0 entonces, el sistema tiene una u ´ nica soluci´on.

email [email protected]

153

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

154

Por lo tanto nuestro sistema de ecuaciones tiene soluci´on u ´nica. Para encontrar la soluci´on −1 hallamos la matriz inversa A . ❅ Calculemos la matriz inversa A−1 por el m´etodo de Gauss. Para esto construimos la matriz (A|I), 

   30 20 20 1 0 0 10 10 10 0 0 1  20 30 20 0 1 0  ⇐⇒  20 30 20 0 1 0  f13 10 10 10 0 0 1 30 20 20 1 0 0   10 10 10 0 0 1 −2f1 + f2 0 0 1 −2  ⇐⇒  0 10 −3f1 + f3 0 −10 −10 1 0 −3   10 0 10 0 −1 3 f2 + f3 ⇐⇒  0 10 0 0 1 −2  −f2 + f1 0 0 −10 1 1 −5   10 0 0 1 0 −2 f3 + f1 ⇐⇒  0 10 0 0 1 −2  0 0 −10 1 1 −5   1 0 0 1/10 0 −1/5 1/10f1 ⇐⇒  0 1 0 0 1/10 −1/5  1/10f2 0 0 1 −1/10 −1/10 1/2 −1/10f3 Por lo tanto, la inversa es: A−1 ❆



 1/10 0 −1/5 = 0 1/10 −1/5  −1/10 −1/10 1/2



      x 1/10 0 −1/5 340 6  y  = A−1 b =      0 1/10 −1/5 320 = 4  z −1/10 −1/10 1/2 140 4

Este resultado nos indica que el x = 6, y = 4 y z = 4. Por tanto, el viajero estuvo 6 d´ıas en Italia, 4 d´ıas en Francia y 4 d´ıas en Espa˜ na. ♣ Ejemplo Con un capital de 84000 $, cuatro socios han ganado 27195 $. Los capitales invertidos por el primer y segundo socio est´an en la relaci´ on tres a cuatro, las del segundo y tercero en la relaci´on seis a siete y las del tercer socio respecto del cuatro en la relaci´ on cinco a seis. Hallar el capital y la ganancia correspondiente a cada socio. Soluci´ on. Eligiendo las inc´ognitas email [email protected]

154

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

155

x aporte del primer socio y aporte del segundo socio z aporte del tercero socio w aporte del cuarto socio

Planteando el sistema  x + y + z + w = 84000      3   x = y    4 6  y = z   7     5   w z =  6

 x + y + z + w     3   y  x − 4 6  y − z   7   5   w z − 6

Este sistema escrito de forma matricial, equivale a   1 1 1 1    3  1 − 0 0    4   6  0 1 −  0   7  5  0 0 1 − 6

= 84000 =

0

=

0

=

0

   x 84000   y  = 0  z   0  w 0

Aum´entese la matriz de coeficientes con una matriz identidad 

1 1 1  3  1 − 0 0  4   0 1 −6 0  7  5 0 0 1 − 6

email [email protected]

1

155

1 0 0 0



 0 1 0 0    0 0 1 0    0 0 0 1

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 

ζℏαυεz

 1 1 1 1 0 0 0   7  0 − −1 −1 −1 1 0 0    4  6 ⇐⇒   0 1 −  0 0 0 1 0   7   5 0 0 1 − 0 0 0 1 6   1 1 1 1 1 0 0 0    0 1 −6 0  0 0 1 0   7     ⇐⇒  7  −1 −1 −1 1 0 0   0 −   4   5 0 0 0 1 0 0 1 − 6   13 1 1 0 −1 0   1 0 7      0 1 −6 0 0 0 1 0    7  ⇐⇒    5 7  0 0 − −1 −1 1 0    2 4     5 0 0 0 1 0 0 1 − 6   13 1 1 0 −1 0   1 0 7      0 1 −6 0 0 0 1 0    7  ⇐⇒    5  0 0 1 − 0 0 0 1    6     5 7 0 0 − −1 −1 1 0 2 4   107 13 1 0 −1 −  1 0 0 42 7      5 6  0 1 0 −  0 0 1   7 7   ⇐⇒   5  0 0 1 −  0 0 0 1   6    37 7 5  0 0 0 − −1 1 12 4 2  107 13 1 0 −1 −  1 0 0 42 7   5 6  0 1 0 − 0 0 1  7 7 ⇐⇒   5  0 0 1 − 0 0156 0 1 email [email protected]  6   12 12 21 30 0 0 0 1 − − − 37 37 37 37

156

1

−f1 + f2

f23

7 f2 + f3 4 −f2 + f1

f34

5 f3 + f4 2 6 f3 + f2 7 13 − f3 + f1 7            

−

12 f4 37

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s 

 1 0 0    0 1 0     0 0 1    0 0 0

ζℏαυεz

0 0 0 1

214 33 54 45 259 259 74 259 60 60 22 72 − 259 259 74 259 10 35 12 10 − − 37 37 74 37 12 12 21 30 − − − 37 37 37 37

Por lo tanto, la inversa es:



A−1

Por tanto



x  y   z w



      =       

     =     

157



5 f4 + f3 6 5 f4 + f2 7 107 − f4 + f1 42

          

214 33 54 45 259 259 74 259 60 60 22 72 − 259 259 74 259 10 35 12 10 − − 37 37 74 37 12 12 21 30 − − − 37 37 37 37

214 33 54 45 259 259 74 259 60 60 22 72 − 259 259 74 259 10 10 35 12 − − 37 37 74 37 12 12 21 30 − − − 37 37 37 37

           



     84000 540000/37    0   720000/37      0  =  840000/37   0 1008000/37  

    ♣

Ejemplo Una empresa fabrica tres productos. Para ello necesita tres materiales en las cantidades indicadas en la tabla: Material 1 Material 2 Material 3

Producto 1 2 1 2

Producto 2 2 2 1

Producto 3 2 0 3

Es decir, se necesitan 2 unidades del material 1 para obtener una unidad del producto 1, etc. Supongamos que s´olo se dispone de 12, 5 y 13 unidades respectivamente de cada material. (a) Hallar el plan de producci´on (x, y, z) con el que se agotan las disponibilidades de cada material. email [email protected]

157

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

158

(b) Si los precios de venta de cada producto son 15, 10 y 9, respectivamente, hallar el plan de producci´on con el que se obtenga mayores beneficios. Soluci´ on. Para resolver el inciso (a) consideremos las siguientes variables x el n´ umero de unidades que se planea producir del producto 1 y el n´ umero de unidades que se planea producir del producto 2 z el n´ umero de unidades que se planea producir del producto 3 Cada unidad del producto 1 requiere 2 unidades del material 1, entonces x unidades del producto 1 requerir´a 2x unidades del material 1, igualmente, producir y unidades del producto 2 requerir´a 2y unidades del material 1, de mismo modo producir z unidades del producto 3 requerir´a 2z unidades del material 1. Ahora bien, se dispone de 12 unidades del material 1. Luego agorar el material 1 en la producci´on se traduce en la ecuaci´on 2x + 2y + 2z = 12. Un an´alisis similar conduce a las siguientes dos ecuaciones: x+ 2y = 5 y 2x+ y + 3z = 13. Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x + 2y + 2z = 12 x + 2y = 5 x + y + 3z = 13 El n´ umero de inc´ognitas del sistema lineal es n = 3. ❃ Colocando el sistema en notaci´on matricial      2 2 2 x 12  1 2 0  y  =  5  2 1 3 z 13

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por 

 2 2 2 A =  1 2 0 , 2 1 3

Recordemos el siguiente resultado.



 2 2 2 12 Ab =  1 2 0 5  2 1 3 13

|A| = 6 0 si y solo si rango(A) = rango(Ab ) = 3. Por tanto, el sistema tiene una u ´ nica soluci´on. En nuestro caso tenemos:

2 2 2 |A| = 1 2 0 2 1 3

=0

El hecho de que |A| = 0 garantiza que rango(A) < 3. Luego se presentan dos casos posibles rango(A) = rango(Ab ) < 3 o rango(A) 6= rango(Ab ). Recordemos el siguiente resultado: email [email protected]

158

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

159

☞ Si rango(A) = rango(Ab ) < 3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. ☞ Si rango(A) 6= rango(Ab ), entonces el sistema no tiene soluciones. Ahora bien, s´olo necesitamos calcular los rangos de la matriz de coeficientes A y el de la matriz aumentada Ab . ❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida. 

 2 2 2 12  1 2 0 5  2 1 3 13

−2f1 + f2   1 2 0 5 −2f1 + f3  0 −2 2 2  ←→ 0 −3 3 3

f12 ←→



−1/2f2 ←→



−3f2 + f3 ←→

 1 2 0 5  2 2 2 12  2 1 3 13  1 2 0 5  0 1 −1 −1  0 −3 3 3   1 2 0 5  0 1 −1 −1  0 0 0 0

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab ) = 2 < 3. El sistema tiene infinitas soluciones. Dado que 2 < 3, entonces las 3−2 = 1 inc´ognitas (´ ultima inc´ognita) toma valores arbitrarios y a las que se les denomina valores libres o par´ametros. Empecemos transformando la matriz escalonada reducida en el siguiente sistema de ecuaciones x + 2y = 5 y − z = −1 En este sistema hagamos z = t con t ∈ R y luego despejemos x y z en funci´on de t y = z−1=t−1 x = 5 − 2y = 5 − 2(t − 1) = 7 − 2t luego el vector soluci´on es dado por             x 7 − 2t 7 −2t 7 −2  y  =  t − 1  =  −1  +  t  =  −1  + t  1  z t 0 t 0 1 ❇ Las condiciones necesarias para que haya producci´on es que x > 0, y > 0 y z > 0, esto es: 7 − 2z > 0,

z − 1 > 0,

z>0

7 umero entero puede valer 2 o 3. De aqu´ı se obtiene que 1 < z < . Por tanto z que es un n´ 2 R email [email protected] 159 βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

160

Si z = 2, ser´an x = 3 y y = 1 y los ingresos ser´an (15)(3) + (10)(1) + (9)(2) = 73. Si z = 3, ser´an x = 1 y y = 2 y los ingresos ser´an (15)(1) + (10)(2) + (9)(3) = 62. Por tanto el mayor ingreso sale si z = 2.

3.6.

♣

M´ etodo de Leontief

Un modelo que se usa en Econom´ıa es el modelo de entradas y salidas de Leontief (Premio Novel de Econom´ıa en 1973). Supongamos que un sistema econ´omico tiene n industrias y cada industria tiene dos tipos de demanda: externa (procedente de fuera del sistema) e interna (procedente del mismo sistema). Se utiliza la siguiente notaci´on: e1 demanda externa ejercida sobre la industria 1 e2 demanda externa ejercida sobre la industria 2 .. . en demanda externa ejercida sobre la industria n Se considera la matriz A = (aij )1≤i,j≤n siendo: a11 n´ umero de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 1 produzca una unidad a12 n´ umero de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 2 produzca una unidad .. . a21 n´ umero de unidades que se le piden a la industria 2 para que la industria 1 produzca una unidad a22 n´ umero de unidades que se le piden a la industria 2 para que la industria 2 produzca una unidad .. . aij n´ umero de unidades que se le piden a la industria i para que la industria j produzca una unidad Se denomina xi al n´ umero de unidades producidas por la industria i, entonces: email [email protected]

160

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

161

a11 x1 n´ umero de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 1 produzca x1 unidades a12 x2 n´ umero de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria 2 produzca x2 unidades .. . a1n xn n´ umero de unidades que se le piden a la industria 1 para que la industria n produzca xn unidades Entonces es claro que a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + e1 es la demanda total (externa e interna) sobre la industria 1. Por tanto al igualar la demanda total a al salida de la industria 1 se obtiene: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + e1 = x1 Haciendo lo mismo con el resto de industrias obtenemos el sistema: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + e1 = x1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn + e2 = x2 .. .

(3.1)

an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn + en = xn A la matriz del sistema A = (aij )1≤i,j≤n se le denomina matriz tecnol´ ogica y sus coeficientes aij se denominan coeficientes t´ ecnicos o de producci´ on Ejemplo internas es:

Sea un sistema econ´omico con tres industrias A, B y C. La tabla de demandas

A B C

A 0.2 0.4 0.25

B 0.5 0.1 0.5

C 0.15 0.3 0.15

mientras que las demandas externas son 10, 25 y 20. Hallar la salida de cada industria para que la oferta iguale a la demanda. Soluci´ on. El n´ umero 0.25, por ejemplo, es el n´ umero de unidades que se le piden a la industria C para que la industria A produzca una unidad. Sean x, y, z el n´ umero de unidades producidas por A, B y C. El modelo Leontief es: 0.2x + 0.5y + 0.15z + 10 = x 0.4x + 0.1y + 0.3z + 25 = y 0.25x + 0.5y + 0.15z + 20 = z email [email protected]

161

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

162

Se deja al lector usar cualquier m´etodo y obtener la siguiente soluci´on del sistema: x = 125.82106,

y = 118.74292,

z = 110.30578

Por tanto el n´ umero de unidades que las industrias A, B y C deben producir para que la oferta iguale a la demanda debe ser, aproximadamente, de 110, 119 y 126 unidades, resectivamente. ♣ Ejemplo Sea un sistema econ´omico con tres industrias A, B y C. La tabla de demandas internas y externas (en miles de euros) son: A B C

A 0.293 0.014 0.044

B 0 0.207 0.5

C 0 0.017 010.216

A B C

Demanda externa 13.213 17.597 1.786

Obtener el modelo de Leontief y el valor en miles de euros de los productos de A, B y C para equilibrar la oferta y la demanda. Soluci´ on. Sean x, y, z los valores respectivos de los productos A, B y C. El modelo Leontief es: 0.293x + 13.213 = x 0.14x + 0.207y + 0.017z + 17.597 = y 0.044x + 0.010y + 0.216z + 1.786 = z Se deja al lector usar cualquier m´etodo y obtener la siguiente soluci´on del sistema: x = 18.688826, Ejemplo son:

y = 3.6151619,

z = 22.597858

♣

Resolver el modelo Leontief, donde las matrices de demandas internas y externas  1 1 1   3 2 6      10  1 1 1   A= D =  15   4 4 8    30  1 1 1  12 3 6

Soluci´ on. El modelo Leontief es: 1 1 1 x + y + z + 10 = y 3 2 6 1 1 1 x + y + z + 15 = y 4 4 8 1 1 1 x + y + z + 30 = y 12 3 6 email [email protected]

162

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

163

Se deja al lector usar cualquier m´etodo y obtener la siguiente soluci´on del sistema: x = 72.653061, El Modelo de Leontief (3.1) se puede  a11 a12 . . .  a21 a22 . . .   .. .. ..  . . . am1 am2 . . .

y = 55.102041,

escribir en  a1n  a2n   ..   .  amn

z = 65.306122

la forma:   x1  x2    ..  +  .   xn

e1 e2 .. . en





    =  

♣

x1 x2 .. . xn

    

Sean 

  A= 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

 . . . a1n . . . a2n   ..  .. . .  . . . ann



  x= 

x1 x2 .. . xn

    



  D= 

e1 e2 .. . en

    

Luego es sistema puede escribirse como Ax + D = x, de aqu´ı x − Ax = D, esto es (I − A)x = D o

(1 − a11 )x1 − a12 x2 − · · · − a1n xn = e1 −a21 x1 + (1 − a22 )x2 − · · · − a2n xn = e2 .. .

(3.2)

−an1 x1 − an2 x2 + · · · + (1 − ann )xn = en A la matriz de este sistema: I − A, se le denomina matriz de Leontief. Si esta matriz es invertible entonces existe soluci´on u ´ nica para el modelo. Ejemplo Una antena est´a formada por 3 crucetas, 6 tornillos y 3 barras. A su vez cada cruceta consta de 1 tornillo y 2 barras. ¿Cu´antas antenas, crucetas, tornillos y barras se deben fabricar para atender a un pedido de 2 antenas, 3 crucetas, 4 tornillos y 5 barras? Soluci´ on. La tabla siguiente resume la informaci´on del enunciado:

Antenea Cruceta Tornillo Barra email [email protected]

Antena 0 3 6 3

Cruceta 0 0 1 2 163

Tornillo 0 0 0 0

Barra 0 0 0 0 R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz

164

En cada columna de detalla lo que el correspondiente producto necesita de los dem´as. La matriz que se obtiene es la matriz de demanda interna de este producto A, mientras que el pedido constituye la matriz de demanda externa D: 

0  3 A=  6 3

0 0 1 2

0 0 0 0

 0 0   0  0





 2  3   D=  4  5 

x  y   El modelo de Leontief es Ax + D = x, donde x =   z  representa la producci´on necesaria de w antenas, crucetas, tornillos y barras . Despejando x obtenemos la soluci´on  2  9   x = (I − A)−1 D =   25  29 

♣

Es decir, hay que fabricar 2 antenas, 9 crucetas, 25 tornillos y 19 barras.

Ejemplo Una percha est´a est´a compuesta de una barra grande, una base y cuatro barras chicas. La base se une a la barra grande con cuatro tornillos. Las barras chicas se unen a la grande con 2 tornillos cada una. ¿Cu´antas perchas, bases, etc. deben fabricarse para atender un pedido de 5 perchas, 3 bases y dos barras chicas?. Soluci´ on. La tabla siguiente resume la informaci´on del enunciado:

Percha Barra grande Base Barra chica Tornillo

Percha 0 1 1 4 0

Barra grande 0 0 0 0 0

Base 0 0 0 0 4

Barra chica 0 0 0 0 2

Tornillo 0 0 0 0 0

En cada columna de detalla lo que el correspondiente producto necesita de los dem´as. La matriz que se obtiene es la matriz de demanda interna de este producto A, mientras que el pedido constituye la matriz de demanda externa D:

email [email protected]

164

R βo ιυατ

R ξ£vι − βτ αηφoη − ξτ τ o s

ζℏαυεz



  A=  

0 1 1 4 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 4

0 0 0 0 2

0 0 0 0 0

Por tanto la soluci´on x viene dada por

165





    

  D=   

  x = (I − A) D =    −1

5 5 8 22 76

5 0 3 2 0

     

     

Es decir, hay que fabricar 5 perchas, 5 barras grandes, 8 bases, 22 barras chicas y 76 tornillos.♣

email [email protected]

165

R βo ιυατ