Analisis Modal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA

Periodo Académico 2013-II

Curso: Vibraciones Mecánicas (MC 571)

ANÁLISIS MODAL La matriz de autovectores puede usarse para desacoplar las ecuaciones de movimiento, y así las ecuaciones resultantes tendrán un grado de libertad. Luego, / y pueden emplearse para transformar la solución del sistema original de coordenadas. Considerando la ecuación matricial + = , sujeta a las condiciones iniciales: (0) = ; (0) = . Así, para un sistema de dos grados de libertad se tendrá:

(0)

=

=

Haciendo el cambio:

Siendo

= %

/

(0)

( ) , y pre-multiplicando por

#$ ( ) = 0 ( ) + !"

Con las condiciones iniciales en

(0) = %

(0)

=

#$ = % , y !"

/

(0)

" %

/

/

/

( ) . Entonces:

/

(0) = %

;

:

(7)

( ) = %

, haciendo

/

/

Definiendo un sistema de coordenadas &( ) = & ( ) & ( ) , tal que:

( ) =

'( )

Sustituyendo (8) en (7), y pre-multiplicando por

'( ) +

(

Sabiendo que ' =

(

#$ !"

(8) (

:

'( ) =

) '( ) + ! ⋀ $ '( ) =

(

, las condiciones iniciales serán:

'( ) =

(

( )

;

'( ) =

(

( )

Reescribiendo (7) se tendrá:

1 + 0

1 0 &( ) -. /+0 1 &( ) 0

0 &( ) 0 2. /=3 4 0 1 &( )

RESULTADO: Dos ecuaciones desacopladas, llamadas ecuaciones modales. 1

Con las condiciones iniciales se obtiene: &( )=5 &

5

61 (& (0 61 & 0

& 0

1

& 0

1

&1

Conociendo la solución modal & transformación inversa para recuperar %

sen :1

1 & 0 arc tan @ AB & 0

sen :1

arc tan @

&2

. %

/

1 & 0 AB & 0

, se puede usar la siguiente D &

/

/ Denotando la matriz E , procedimiento llamado ANÁLISIS MODAL, y así se puede ingresar datos fácilmente a una computadora.

Caso de sistemas de varios grados de libertad En un caso más general de sistemas vibratorios, a cada masa en el sistema le corresponderá una coordenada xi(t), describiendo su movimiento en una dimensión. Esto dará origen a un vector de dimensión n x 1 y a matrices % y " de dimensiones n x n, satisfaciendo la ecuación:

Para cada masa se puede comprobar que: FG Matricialmente:

G

HG

G

5

I

5 HGJ

GJ

5

I

%

diag F ; F ; … … . ; FQ

"

H H T 5H S S 0 S ⋮ S ⋮ R 0

H

5H

HV

5HV ⋮ ⋮ ⋯

0

i = 1; 2; ….., n–1; n

⋯0 [ ⋮ Z ⋮ Z ⋯⋯⋯⋯⋯ ⋮ Z HQ HQJ 5HQ Z 5HQ HQ Y

0

0

5HV HV HX

V

Cuya solución es el vector:

⋯

⋯ ⋯

Q

Luego de realizar el análisis modal, se obtienen n ecuaciones desacopladas: &

&

&Q

1 & 1 & ⋮ ⋮

1Q &Q 2

0

0

0

EJEMPLO: Calcular la respuesta del siguiente sistema de 3 grados de libertad: m1 = m2 = m3 = 4 kg; k1 = k2 = k3 = 4 N/m; x1(0) = 1 Solución: % =4

8 54 0 " = ]54 8 54_; 0 54 8

;

#$ = % !" det`a Cuyas raíces son:

/

" %

/

=

2 54 0 1 = " = ]51 2 51_ 4 0 51 1

a 5 2 54 0 # 5 !" $b = det] 51 a 5 2 51 _ = λ3 – 5λ2 + 6λ – 1 = 0 0 51 a 5 1

λ1 = 0,198 062;

#$ 5 a Cálculo de los autovectores: `!" 51 2 5 0,198 062 51

Al normalizar se obtiene:

λ2 = 1,554 96;

bc

/

= 0

c 0 0 c 51 _ g h = ]0_ 1 5 0,198 062 cV 0

0,328 D = ]0,591 0,737

l = %

λ3 = 3,246 98

ω1 = 0,445 s-1; ω2 = 1,247 s-1; ω3 = 1,802 s-1

Siendo las frecuencias naturales:

2 5 0,198 062 51 ] 0

/

%

c

⇒

0,445 0 = cV g0,801 9h 1

50,737 50,591 50,328 50,737_ 0,591 50,328

0,164 D = ]0,2955 0,3685

50,3685 50,164 0,2955

50,2955 0,3685 _ 50,164

Luego, l = D m % / se usará para calcular la solución del sistema a partir de las condiciones iniciales en coordenadas modales, siendo: = 1 0

&(0) = l

0

m

y

= 0,656

&(0) = l

Y las soluciones modales son:

= 0

0 0

m

51,474 51,182

= 0

0 0

m

m

& ( ) = 0,656cos (0,445 )

& ( ) = 51,474cos (1,247 )

&V ( ) = 51,182cos (1,802 ) En coordenadas físicas serán:

= l &( )

JMCM – 27/11/13 3