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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE JOÃO CÂMARA 4a APOSTILA - PARIDADE E CRESCIMENTO DISCIPLINA: MATEMÁTICA

PROFESSOR: FRANCISCO

ALUNO (A):

DATA:

TURMA:

CLASSIFICAÇÕES DAS FUNÇÕES  CLASSIFICAÇÃO RELATIVA AO CRESCIMENTO:

2  Estritamente Crescente 1  Crescente  4  Estritamente Decrescente 5  Cons tan te

3  Decrescente 6  Nenhuma das anteriores

1 – CRESCENTE Seja uma função que possui elementos genéricos x1 e x2, sendo o 1o elemento menor que o 2o (x1 < x2). Para ser crescente, a função deverá ter sempre a imagem do 1 o elemento menor ou igual que a imagem do 2o (f(x1)  f(x2)). Veja graficamente um exemplo:

Note que neste exemplo dado, todos os outros pontos genéricos x 1 e x2 obedecem a condição f(x1) < f(x2), exceto os dois pontos destacados no gráfico como x1 e x2 onde f(x1) = f(x2). 2 – ESTRITAMENTE CRESCENTE Seja uma função que possui elementos genéricos x1 e x2, sendo o 1o elemento menor que o 2o (x1 < x2). Para ser estritamente crescente, a função deverá ter sempre a imagem do 1 o elemento menor que a imagem do 2o (f(x1) < f(x2)). Veja graficamente um exemplo:

Já neste exemplo dado, todos os pontos genéricos x 1 e x2 obedecem à condição f(x 1) < f(x2), sem exceção. 3 – DECRESCENTE Seja uma função que possui elementos quaisquer x1 e x2, sendo o 1o elemento menor que o 2o (x1 < x2). Para ser decrescente, a função deverá ter sempre a imagem do1 o elemento maior ou igual que a imagem do 2o (f(x1)  f(x2)). Veja graficamente um possível exemplo:

Note que neste exemplo dado, todos os outros pontos genéricos x 1 e x2 obedecem a condição f(x1) > f(x2), exceto os dois pontos destacados no gráfico como x1 e x2 onde f(x1) = f(x2). 4 – ESTRITAMENTE DECRESCENTE Seja uma função que possui elementos quaisquer x1 e x2, sendo o 1o elemento menor que o o 2 (x1 < x2). Para ser estritamente decrescente, a função deverá ter sempre a imagem do 1 o elemento maior que a imagem do 2o (f(x1) > f(x2)). Veja graficamente uma possível exemplificação:

Já neste exemplo dado, todos os pontos genéricos x 1 e x2 obedecem à condição f(x 1) > f(x2), sem exceção. 5 – CONSTANTE

Seja uma função que possui elementos genéricos x1 e x2, sendo o 1o elemento menor que o 2 (x1 < x2). Para ser constante, a função deverá ter sempre a imagem do 1 o elemento igual à imagem do 2o (f(x1) = f(x2)). Veja graficamente uma possível função constante: o

Neste exemplo dado, todos os pontos genéricos x 1 e x2 obedecem à condição f(x1) = f(x2), sem exceção. 6 – NENHUMA DAS ANTERIORES Seja uma função que possui elementos genéricos x 1 e x2, sendo o 1o elemento menor que o 2o (x1 < x2). Para não ser classificada como qualquer uma das anteriores, a função deverá ter pelo menos um par x1 e x2 onde f(x1) > f(x2)) e pelo menos outro par x 1 e x2 onde f(x1) < f(x2)). Veja graficamente:

Enquanto no par x1 e x2 à esquerda, observamos f(x 1) > f(x2), já no par x1 e x2 à direita, observamos f(x1) < f(x2). Veja outro exemplo:

Assim essa função é decrescente para valores x1 à esquerda de x2 e crescente para valores x3 à direita de x2.

 CLASSIFICAÇÃO RELATIVA À PARIDADE:

1  Par  2  Ímpar 3  Nenhuma das anteriores  1 – PAR Sejam dois elementos simétricos quaisquer do domínio: a e –a. Se as imagens desses dois elementos forem iguais, ou seja, f(a) = f(-a), então a função será denominada Par. Veja graficamente:

Note que em decorrência da propriedade apresentada acima, em toda função par, o eixo Y será um eixo de simetria para todos os pontos da função. Vejamos alguns exemplos de função par:

A função quadrática ou do segundo grau do tipo:

F:    / y = x2

A Função modular do tipo:

F:    / y =

x

A função do quarto grau do tipo:

F:    / y = x4

A função cossenóide:

F:    / y = cos x

2 – ÍMPAR Sejam dois elementos simétricos quaisquer do domínio: a e –a. Se as imagens desses dois elementos forem simétricas, ou seja, f(a) = - f(-a), então a função será denominada Ímpar. Veja graficamente:

Note que em decorrência da propriedade apresentada acima, em toda função ímpar, haverá simetria central em relação à origem para todos os pontos da função. Isso equivale dizer que a função ímpar tem os pontos com valores de x negativos obtidos a partir dos pontos da parte positiva por uma dupla reflexão (uma pelo eixo y e outra pelo x). Ou vice-versa (a parte positiva obtida a partir da negativa). Vejamos alguns exemplos de função ímpar: A função identidade ou do primeiro grau do tipo:

F:    / y = x

A Função do terceiro grau do tipo:

F:    / y = x3

A função linear do tipo:

F:    / y = 5x

A função senóide:

F:    / y = sen x

3 – NENHUMA DAS ANTERIORES Sejam dois elementos simétricos quaisquer do domínio: a e –a. Se existir pelo menos um valor para o elemento a onde sua imagem seja diferente e não-simétrica da imagem do elemento – a , ou seja, f(a)  f(-a) e f(a)  - f(-a), então a função será classificada como nenhuma das anteriores. Veja graficamente:

O valor de f(a) é menor de f(-a)

EXERCÍCIOS 1)

Classifique as funções seguintes (admitindo o maior domínio possível) quanto ao crescimento e quanto à paridade: a) y = 5x + 1 b)

2 x x 1 d) y = x2 No gráfico a seguir, mostre para que regiões do domínio a função real dada é: c)

2)

y = x4 + 5x2 y=

a) Crescente b) Decrescente c) Constante

3)

Prove que a função F:    / y = x2 + 3x não é par nem ímpar.

4)

Se existir, dê exemplo de alguma função decrescente e ímpar.

5)

Se existir, dê exemplo de alguma função decrescente e par.

6)

Toda função constante é par? Justifique.

7)

Crie uma função par formada por duas leis com equações de primeiro grau.

8)

Crie uma função ímpar formada por duas leis com equações de segundo grau.

GABARITO 1) a)crescente e n.d.a.

b)n.d.a. e par c)n.d.a. e ímpar d) n.d.a e n.d.a.

2) a) x < -2 e x > 5

b) -2 < x < 5

c) não possui

3) f(1) = 4 e f(-1) = -2 4) y = -2x 5) y =2 6) Não. Apenas se o domínio for simétrico em relação ao zero. 7) y = x 2 2 para x > 0 e y = -x para x < 0 8) y = x para x > 0 e y = -x para x < 0