Apuntes De Fundamentos De Fenomenos De Transporte-2do Parcial Esiqie

SEGUNDO DEPARTAMENTAL Los Fundamentos de fenómenos de transporte se aplican: Materia Energía Momento Las propiedades correspondientes a cada fenómeno son los siguientes: Materia: Densidad Velocidad Flux de masa o densidad de flujo Área transversal al flujo Velocidad de materia a través del área Momento: Cantidad de movimiento Esfuerzo cortante Presión del fluido Fuerza Gravitatoria Energía: Energía interna por unidad de masa Energía cinética Calor por conducción

LEY DE CONSERVACIÓN DE MASA: La materia no puede ser creada o destruida solo se transforma. Este principio también se usa en el análisis de flujo de fluidos aplicados en un volumen fijo conocido como volumen de control. Ecuación general de conservación de una propiedad.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Volumen de control fijo en el espacio: x, Y , z Flujo transversal de flujo:

x  x, y  y, z  z 

y

Vx x

Vx x

x

z x Velocidad de entrada de materia: Vx x

Velocidad de salida de materia: Vx x   x

Velocidad de acumulación:  / t xyz Balance de materia

Vx x yz  Vx x

x

Vz z yx  Vz z 

z

yz  V y y xz  V y y   xz  y

xy   / t xyz

Dividido entre el volumen de control: x, Y , z

V   V    V   V  x x  x

x x

x

y y  y

y y

y

  V 

z z

 Vz z  z       z  t 

Tomando limites y aplicando la definición de la derivada:



Vx x Vy y Vz z        x y z  t 

Ecuación de continuidad

Notación vectorial:

 Vx x Vy y Vz z        x  t  y  z  

  .V  t

Derivando

 V Vy Vz        Vx  Vy  Vz     x   t x y z  x  y  z   Ecuación de continuidad para un fluido INCOMPRENSIBLE (densidad constante) Notación vectorial

V .  0

  cons tan te

Por lo tanto:

O bien:

       0 t x y z

 Vx Vy Vz   0   y z   x

LEY DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO: LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON La velocidad de cambio de momento de un cuerpo es igual a las fuerzas resultantes que actúan sobre un cuerpo y toman lugar en la dirección de la fuerza. FUERZAS: VOLUMETRICAS: ocurren sobre el fluido (gravedad). SUPERFICIALES: ocurren sobre la superficie de las partículas del cuerpo. Tensión Normal: tensión o compresión Esfuerzo cortante: Deformación de la partícula

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: Fuerzas netas que actúan en un volumen de control de un fluido = Velocidad de cambio de Momentum en el volumen + flux de Momentum neto a través de la superficie. La cantidad de Movimiento, momento o ímpetu es una magnitud vectorial que se define como el producto entre la masa y la velocidad en un instante determinado. CONVECCION: Movimiento global del fluido TRANSPORTE MOLECULAR: Gradientes de velocidad.

Velocidades de flujo del componente x por la cara situada en x:

Velocidad de entrada De cantidad de movimiento  VxVx x yz   xx x yz Convección Transporte Molecular

Velocidad de salida De cantidad de movimiento

 VxVx x   x yz   xx x  x yz



Actúan sobre el sistema

=

Velocidad de acumulación De cantidad de movimiento



presión del fluido P x  P x  x yz

Suma de las fuerzas que



Fuerza Gravitacional g x xyz

 Vx xyz t

Velocidades de flujo del componente x por la cara situada en y:

Velocidad de entrada De cantidad de movimiento

 VyVx y xz   yx y xz

Velocidad de salida De cantidad de movimiento

 VyVx y  y xz   yx y  y xz

Velocidades de flujo del componente x por la cara situada en z:

Velocidad de entrada De cantidad de movimiento

 VzVx z xy   zx z xy

Velocidad de salida De cantidad de movimiento

 VzVx z  z xy   zx z  z xy

Sumando cada término de las ecuaciones, dividiendo entre el VC y tomando los límites cuando las Δ tienden a cero y de la definición de la derivada: X =  Vx     VxVx   VyVx   VzVx      xx    yx    zx     g x  x   x  x t y z y z     Y =  Vy     VxVy   VyVy   VzVy      xy    yy    zy     g y  x   x  y t y z y z 







Z =  Vz     VxVz   VyVz   VzVz      xz    yz    zz     g z  x   x  z t y z y z    

FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS Aquellas sustancias que cumplen que el esfuerzo o cizalladura τ es directamente proporcional a la velocidad de deformación del fluido o velocidad de cizalladura D,

  D  

du dy

Se denominan fluidos newtonianos. El coeficiente de proporcionalidad η se conoce como viscosidad dinámica. La viscosidad cinemática es υ=η/ρ. Aquellos fluidos que no presentan una relación lineal entre la cizalladura y la velocidad de deformación se conocen como fluidos no newtonianos. Suelen presentar una función característica o reograma de la forma,

D  f  , t  En función de su reograma los fluidos no newtonianos pueden dividirse en, • Plásticos • Tixotrópicos • Pseudo-plásticos • Dilatantes • Irreversibles La viscosidad depende fuertemente de la temperatura T y de la presión. Normalmente en los líquidos la viscosidad disminuye al aumentar la temperatura, mientras que en los gases es al revés.

  a exp(b / T ) La Ley de Andrade es un ejemplo de la dependencia de la viscosidad con la temperatura para los fluidos. La viscosidad de los fluidos aumenta con la presión.

Comportamiento Pseudo-plástico Característico de materiales de elevada viscosidad, disueltas o fundidas, cuya viscosidad disminuye rápidamente, cuando aumenta la cizalladura. La función característica o reograma más típico es el de Ostwald, n>1 D  k n Ejemplos: Polímeros en disolución Tinta de impresión Mermelada Comportamiento Plástico Son materiales esencialmente parecidos a los pseudo-plásticos pero necesitan de una tensión mínima (o fluidez límite) para que exista deformación continua. El reograma de Bingham tiene una función característica

D

1



  f 

Ejemplos: Pasta dentrífica Pomadas Grasas Chocolate Tinta de bolígrafo

Comportamiento Tixotrópico La viscosidad depende de la velocidad de deformación y del tiempo. Ejemplos: Pinturas (pequeñas rugosidades desaparecen con el tiempo) Mayonesa Ketchup (tardan un tiempo en recuperar su forma) Comportamiento Dilatante El aumento sobreproporcional de la viscosidad con τ o, incluso para una cizalladura elevada, el valor casi infinito de la viscosidad es la característica de comportamiento de una sustancia dilatante. Un reograma típico el de Ostwald: D  k n n<1 Ejemplos: Arena húmeda almidón en agua depósitos de pinturas al aceite

Comportamiento Irreversible Algunas sustancias tienen una variación de la viscosidad con el tiempo de cizalladura de tipo Tixotrópico, pero la modificación de la viscosidad es irreversible y no hay regeneración estructural durante el tiempo de reposo. Campo de Aplicación Investigación fundamental (medicina, sangre, etc.), fisiología, química, etc. Investigación aplicada (dependencia de la viscosidad con parámetros físicos y químicos), • Determinación de espesores de revestimiento: producción de películas, recubrimiento de papel y textiles, barnizado por inmersión (carrocerías de coches), etc. • Determinación del grosor de gotas: pintura a presión, inyección de gasolina en la cámara de combustión, etc. • Fabricación de tejas, mezcladores, masillas, resinas, alquitranes, etc. • Determinación del comportamiento de la viscosidad con el tiempo: envejecimiento de plásticos, etc. • Determinación del comportamiento de los fluidos con la temperatura: vidrio, cerámica, ceras, aceites, etc. • Determinación del comportamiento del petróleo o de la gasolina al ser transportado (buques, camiones cisterna, etc.).

INGENIERÍA QUÍMICA PETROLERA FUNDAMENTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE EJERCICIOS: 1. Un fluido viscoso con flujo laminar circula por una rendija formada por dos paredes planas separadas a una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener en una expresión para la distribución de un momento y para la velocidad.

Flujo laminar Viscoso Estado Estacionario Fluido incomprensible

Z

X

L

W

Vy =Vz =0

2B ECUACION DE CONTINUIDAD (Coordenadas rectangulares)

     Vx   Vy   Vz   0 t x y z Estado estacionario no hay velocidad en y ni en z

 Vx   0 x

 Vx   0 x

Vx x  cte

z=B

Vx = 0

z=0

Vx = velocidad máxima

Vx (x, y, z)

Vx 0 z

ECUACION DE MOVIMIENTO X:

 Vx Vx Vx Vx  P   xx  yx  zx    g x     Vx  Vy  Vz    x y z  x  x y z   t

 

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

P   zx     g x  0 x  z 



P  g x  K  cte x



Vx K   z  C1 z  Vx  

 zx dz   kdz z

 zx  Kz  C1



dVx  Kz  C1 dz

Kz 2  C1 z  C2 2

Condiciones de frontera 1. z = B Vx = 0 2. z = 0

Vx = velocidad máxima

Vx 0 z

Ecuación. a)  zx  Kz  C1   

dVx dz

Kz 2 b) Vx    C1 z  C2 2 Sustitución de 1 en a K (0) + C1 = 0

C1 = 0

Sustitución de 2 en b

KB 2 K B  0=   C2 C2 = 2 2 2

Vzx  



kz2 kB2 K 2   B  z2 2 2 2

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

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INGENIERÍA QUÍMICA PETROLERA FUNDAMENTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE 2. Un fluido Newtoniano incomprensible fluye por un tubo circular de radio “R” y longitud “L”, se supone que el perfil de velocidad a la entrada esta totalmente desarrollada. Planté los balances de cantidad de movimiento en estado estacionario que puedan servir como modelo de proceso. Considere la presión de entrada igual a Po y la de salida Pl.

r Fluido Newtoniano Estado estacionario Pl Flujo laminar Fluido incomprensible

Z Po

L ECUACION DE CONTINUIDAD (Coordenadas cilíndricas)

 1  rVr   1  V    Vz   0  t r r r  z

V  Vz ,V ,Vr 

 Vz   0 z

Vz = (z, r, θ)

Vz(r)

Vz =Es cte, con respecto a z

ECUACION DE MOVIMIENTO

Vz V Vz Vz  P  1 r rz  1 r z  r zz    Vz  Vr   Vz       g z r r  z  z  r r r  z   t





P Pl  Po P   z L z

Po  Pl 1  r rz   L r r Po  Pl 1 d r rz   L r dr Po  Pl  dr rz   L rdr 

r rz 

Po  Pl r 2  C1 L 2

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P Po  Pl  z L

Ó



Ó

Po  Pl 1 d r rz   L r dr

Po  Pl r 2 r rz   C1 L 2



dVz Po  Pl C  r  1 (B) dr 2L r

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INGENIERÍA QUÍMICA PETROLERA FUNDAMENTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE dVz Pl  Po r   C1  1   dr 2L  r

Vz 

Pl  Po  r 2  C1    Inr   C2 (A) 2L  2  

Condiciones de Frontera 1) r = R

Vz = 0

2) r = 0

Vz = Vmax

dVz 0 dr

Sustitución de 2 en B

0

Po  Pl 0  C1 2L 0

C1 = 0

Sustitución de 1 en A

0

Pl  Po 2 0 R  InR   C2 4L 

C2 

Po  Pl 2 R 4L

Sustitución

Vz 

Pl  Po  r 2  Po  Pl 2   R 2L  2  4L

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