Assurance

ASSURANCE

Assurance Audit Actuariat

ARRONDEL Luc (sous la direction de), Epargne, assurance vie et retraite. BLONDEAU Jacques et PARTRAT Christian (sous la direction de), La réassurance - Approche technique. BOULANGER Frédéric et GIRES Eric, Assurance et management de la valeur. DELWARDE Antoine et DENUIT Michel, Construction de tables de mortalité périodiques et prospectives. DENUIT Michel et ROBERT Christian, Actuariat des assurances de personnes - Modélisation, tarification et provisionnement. GIBRAIS Vincent et ADAM Anne-Claude, Le calcul des engagements de retraite supplémentaire. GUIZOUARN Jean-Charles et MARES CAUX Nicolas, Assurance santé Segmentation et compétitivité. KALFON Patrice et PEUBEZ Gontran, L'actuariat des engagements sociaux - Evaluation, comptabilisation et acteurs. LABILLOY Bertrand, La régulation du marché européen de l'assurance. LE BORGNE Hervé, Calculs bancaires. LE VALLOIS Franck, PALSKY Patrice, PARIS Bernard et TOSETTI Alain, Gestion actif passif en assurance vie - Réglementation, outils, méthodes. LUZI Michel, Assurance lARD. Interprétation des chiffres. PARTRAT Christian et BESSON Jean-Luc, Assurance non-vie. PARTRAT Christian et aW, Provisionnement technique en assurance non-vie. PLANCHET Frédéric, THÉROND Pierre et JUILLARD Marc, Modèles financiers en assurance - Analyses de risque dynamiques, 2e éd. PLANCHET Frédéric et THÉROND Pierre, Modèles de durée Applications PLANCHET Frédéric et THÉROND Pierre, Mesure et gestion des risques d'assurance. PLANCHET Frédéric et THÉROND Pierre, Pilotage technique d'un régime de rentes viagères. PLANCHET Frédéric, THÉROND Pierre et KAMEGA Aymric, Scénarios économiques en assurance - Modélisation et simulation. PLANCHET Frédéric et WINTER Joël, Les provisions techniques des contrats de prévoyance collective - Détermination et pilotage. POINCELIN Thierry, Calculs élémentaires de l'assurance vie. SANDER Jérôme, Calculs actuariels sous Access. THOUROT Patrick et FOUGÈRE Frédéric, L'assurance française en 20 leçons. TOSETTI Alain, BÉHAR Thomas, FROMENTEAU Michel, MÉNART Stéphane, Assurance - Comptabilité, réglementation, actuariat. TOSETTI Alain, WEISS François et POINCELIN Thierry, Les outils de l'actuariat vie. TURGNÉ Franck, L'arbitrage en matière d'assurance et de réassurance.

Assurance Audit Aétuariat Collection dirigée par Jean-Marc Boyer

ASSURANCE Comptabilité - Réglementation Actuariat (avec extraits du Code des assurances à jour au 30 juin 2010)

ALAIN TOSETTI

(t)

Thomas

Michel

Stéphane

BÉHAR

FROMENTEAU

MÉNART

ffi

ECONOMICA

49, rue Héricart, 75015 Paris

REMERCIEMENTS

Cet ouvrage doit beaucoup, naturellement, comme tout l'actuariat français, à l'enseignement dispensé par P. Petauton. De nombreuses discussions avec 1. Chevallier, C. Partrat et D. PierreLotu_Viaud nous ont permis de préciser et de clarifier nos vues sur bien des points. Il n'est évidemment pas possible de nommer individuellement les nombreux étudiants dont les réactions et remarques ont contribué depuis des années à améliorer notre approche pédagogique de l'actuariat, en particulier à l'INSEA de Rabat, au magistère Banque-Finance-Assurances de l'université de Paris-Dauphine, au Centre d'Études Actuarielles de l'Institut des Actuaires Français et au Conservatoire National des Arts et Métiers. Nous tenons à remercier Y. Simon qui nous a prodigué de nombreux conseils sur le contenu, l'organisation et la mise en forme de cet ouvrage ainsi que 1. Berthon et B. Guillochon qui nous ont encouragés à publier. C. Simonin, D. Bucheton, O. Arles et G. Plantin ont bien voulu assumer la tâche ingrate de relire l'ensemble du manuscrit. Leurs observations se sont révélées extrêmement utiles. Qu'ils en soient chaleureusement remerciés. Naturellement, les auteurs assument seuls la responsabilité des erreurs résiduelles. Enfin ce livre est dédié à nos familles et plus particulièrement à Katherine, Sophie et Michèle.

© Ed. ECONOMICA,2000 ; réimpression 2011 Tous droits de reproduction, de traduction, d'adaptation et d'exécution réservés pour tous les pays.

PRÉFACE pour la réimpression de 2011

La réglementation de l'assurance évolue. Les actuaires envisagent d'utiliser des estimateurs sans biais pour évaluer les engagements d'assurance, se conformant ainsi aux souhaits profonds de leurs professeurs de statistiques. Parallèlement les plus-values devraient perdre leur caractère latent. Les marges de prudence étant presque toutes renvoyées dans les fonds propres, l'investisseur peut entrevoir la perspective de mesurer directement la rentabilité réelle de l'opération. Toutefois, le pas n'est pas encore tout à fait franchi car quelques ajustements restent à faire. Alors que l'horloge interne de nombre d'actuaires et d'assureurs semble être positionnée sur « solvency 1,5 » il nous a paru opportun de réimprimer l'ouvrage conçu et coordonné par Alain Tosetti, dont le tirage était épuisé depuis plusieurs années. Selon son âge, le lecteur découvrira ou retrouvera, grâce aux qualités pédagogiques exceptionnelles d'Alain, que les principes techniques ont vocation à guider les évolutions réglementaires et comptables. On rappellera l'attachement d'Alain Tosetti à rendre le livre abordable par morceaux, de manière à apporter une plus-value au lecteur (presque) quelles que soient ses connaissances techniques initiales ou sa culture mathématique. Terminons par une petite citation sur la sécurité, et donc voisine de l'assurance, mais issue de la partie poétique des œuvres littéraires d'Alain: «Si SAINT LOUIS, qui avait peur de la foudre, avait lu LA FONTAINE, il aurait eu l'air malin à rendre la justice à l'ombre d'un roseau. » Thomas Béhar, Michel Fromenteau, Stéphane Ménart

AVANT-PROPOS

Chacun sait qu'un franc aujourd'hui et sûrement vaut mieux qu'un franc peut-être et plus tard. Cet ouvrage traite de la manière dont les assureurs appliquent ce principe de bon sens. Pour cela, nous avons réuni et mis en perspective des sujets habituellement dispersés : - d'une part, la comptabilité et la réglementation de l'assurance, dont la connaissance n'est pas aussi répandue qu'il serait souhaitable. Or, ce dont les professionnels de l'assurance ont besoin, quelle que soit leur spécialité, c'est d'en comprendre les principes de base, qui sont traités ici, sans se perdre dans des détails techniques trop nombreux ; - d'autre part, l'actuariat de l'assurance, celui de l'assurance vie et celui de l'assurance non-vie, rassemblés et unifiés alors qu'ils sont traités généralement dans des ouvrages distincts et spécialisés, souvent disponibles uniquement en anglais, ou dans des mémoires à diffusion limitée. Cet ouvrage définit et présente l'actuariat de l'assurance, application du calcul des probabilités aux opérations d'assurance, sans supposer que le lecteur connaisse déjà ni cette technique, ni même le terme d' «actuariat». Traiter d'actuariat pour un public si large relève de la gageure. En effet, il s'agit d'un domaine très mathématique, et la plupart des traités comportent de nombreuses formules qui rebutent les lecteurs non scientifiques. Nous avons néanmoins tenté de relever le défi en conservant deux niveaux de lecture à cet ouvrage, reflet d'un enseignement dispensé depuis déjà longtemps, en de multiples endroits du monde, - pour des étudiants en deuxième ou troisième année d'économie; -- pour des ingénieurs souhaitant devenir actuaires, c'est-à-dire professionnels de l'actuariat.

*

8

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Ce double niveau de lecture se traduit par la coexistence d'un texte principal et de compléments. Le texte principal rassemble les notions que nous avons jugées indispensables à toutes les catégories de lecteurs, en limitant leurs aspects mathématiques au strict minimum. Aussi souvent que possible, les calculs littéraux sont accompagnés d'un exemple chiffré: tenter de retrouver le résultat numérique indiqué est toujours fructueux pour le lecteur. D'ailleurs, la réussite de cette tentative est facilitée par les moyens modernes de calcul (l'ouvrage se limitant à requérir l'utilisation d'une calculette ou d'un tableur). Parfois même le parti a été pris de tenter de faire comprendre un problème difficile sans formules, en se contentant de commenter un exemple chiffré. Les annexes et compléments comportent des sujets que nous sommes loin de tenir pour accessoires, puisqu'on y trouve par exemple le problème de la tarification avec plus d'un critère, l'ajustement d'une table de mortalité ou les techniques de scoring et de crédibilité, très en vogue actuellement. Mais ils n'avaient pas leur place dans le texte principal, soit parce que les mathématiques nécessaires à leur compréhension les en excluaient, soit parce qu'il s'agit de sujets qui peuvent attendre une seconde lecture, manière polie d'admettre que chacun conserve le droit de ne pas être intéressé par les complications d'une spécialité qui n'est pas la sienne. Cet ouvrage se compose d'un chapitre introductif qui présente tous les aspects de l'assurance dont la compréhension nous paraît constituer un préalable indispensable à l'assimilation de l'actuariat, puis de trois ensembles qui peuvent être abordés dans n'importe quel ordre: les chapitres 2 et 3 (cadre comptable et réglementaire), les chapitres 4 et 5 (assurance non-vie) et le chapitre 6 (assurance vie). - Le chapitre 1. Les trois aspects de l'assurance rappelle le vocabulaire de l'assurance qui sera utilisé par la suite, au travers des trois aspects que doit présenter une opération pour être qualifiée d'opération d'assurance (un aspect juridique - l'opération d'assurance comporte un contrat -, un aspect statistique -l'assureur utilise la loi des grands nombres -, un aspect financier ou économique - la technique utilisée fait de lui un investisseur institutionnel), et annonce les traductions comptable et actuarielle de ces aspects qui sont développées dans les chapitres suivants. - Le résultat de l'assureur est aléatoire : il espère faire un bénéfice mais peut aussi faire une perte, voire se ruiner. L'essentiel est qu'à défaut d'éviter une perte, il échappe à celle dont le montant le rend insolvable. Ce qu'est une perte, ce qu'est l'insolvabilité n'est pas entièrement laissé à son appréciation ou à celle de l'actuaire : ces notions sont définies par un cadre réglementaire précis, qui fait l'objet des chapitres 2. Comptabilité et assurance et 3. Le cadre réglementaire. - Les chapitres 4. Le modèle simple de l'assurance et 5. Le modèle de l'assurance auto décrivent les aléas de l'assurance non-vie, d'abord dans le cas le plus simple, où le montant d'un sinistre est connu à l'avance, puis dans le cas général, où il peut prendre diverses valeurs. En outre, dans le

9

Avant-propos

cas général, la valeur prise par le sinistre qui est survenu doit être estimée en attendant d'être connue avec exactitude. - Si l'exemple choisi tout au long du chapitre 4. Le modèle simple de l'assurance, c'est-à-dire l'assurance décès, laisse croire à juste titre que ce chapitre peut servir de préambule au chapitre 6. Le modèle de l'assurance vie, dans ce dernier le fait d'avoir à chiffrer la valeur qu'a aujourd'hui un franc à payer beaucoup plus tard modifie substantiellement l'étude.

À notre sens, si vie et non-vie ont développé des actuariats différents, il est essentiel, pour voir ce qui les distingue, de faire un effort pour les rendre comparables. Qu'il s'agisse de modèle simple, de modèle auto ou de modèle vie, l'exposé suit un déroulement similaire en trois parties. - Première partie: en supposant qu'il ait tarifé parfaitement les risques qu'il assure, ex ante (à la souscription d'un ensemble de contrats), le résultat de l'assureur est aléatoire; que peut-on dire de cet aléa? - Deuxième partie : comment le tarif a-t-il été établi par l'assureur (ou le groupement technique, ou les pouvoirs publics), quelles incertitudes en résulte-t-il et quels sont les risques d'erreur les plus importants? - Troisième partie: considéré ex post, que déduire du résultat de l'assureur ? En particulier, convient-il de remettre en cause le tarif pratiqué? L'actuariat de l'assurance est ainsi au cœur de cet ouvrage qui s'adresse à plusieurs catégories de lecteurs. - Ceux qui, sans souhaiter devenir actuaires, ont besoin de comprendre le langage, parfois ésotérique, et la façon de raisonner de ces derniers, afin de pouvoir dialoguer avec eux de manière professionnelle et mutuellement fructueuse. Cette catégorie de lecteurs est large; elle comprend les financiers, les comptables, les juristes, les techniciens des diverses branches, les responsables commerciaux (qui doivent intégrer les préoccupations actuarielles dans leur approche marketing), les informaticiens, les auditeurs, les directions générales des entreprises d'assurance ainsi que les étudiants qui se destinent à ces professions. - Les actuaires professionnels et les étudiants en actuariat. - Les statisticiens, notamment universitaires, de plus en plus nombreux à s'intéresser à l'actuariat, qui fournit des applications de leur science extrêmement concrètes et très souvent méconnues.

* Il a évidemment été jugé nécessaire d'inscrire tous les calculs sur le risque de perte et de ruine de l'assureur dans le cadre comptable et réglementaire qui traite de ce que l'actuariat appelle la ruine et que la réglementation appelle l'insolvabilité. Faire des calculs d'assurance en se dispensant de connaître ce cadre revient à jouer au bridge sans savoir comment on compte les points. Une remarque importante doit être faite. Ce cours d'actuariat d'assurance ne pouvait pas être mince, traiter de plusieurs sujet, et tout inclure. En particulier, les lecteurs ayant des connaissances en théorie

10

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

financière doivent être mis en garde. Dans cet ouvrage, la modélisation de la variabilité des taux d'intérêt a été volontairement placée au second plan, pour donner la priorité à la modélisation des risques garantis directement par l'assureur. La théorie financière moderne fait en effet la part belle aux fluctuations des taux d'intérêt, et une littérature abondante sur ce sujet est disponible en français. Au risque de décevoir, nous supposons donc en général que les taux ne varient pas dans le temps.

Chapitre 1

LES TROIS ASPECTS DE L'ASSURANCE

Nous avons choisi de commencer cet ouvrage par un chapitre très généraliste, qui pourrait s'appeler les vocabulaires de l'assurance. En effet, nous y rappelons ce qu'est l'assurance pour un juriste (§ 1.1), pour un statisticien (§ 1.2), et pour un économiste (§ 1.3). Nous y indiquons aussi comment ces trois aspects de l'assurance sont traduits par le comptable (§ 1.4) et, last but not least, l'actuaire (§ 1.5). Le lecteur, armé de la connaissance de ces divers aspects de l'assurance, pourra les avoir présents à l'esprit dans les différents méandres de cet ouvrage. Toutefois, avoir présent à l'esprit ne signifie pas utiliser en toute circonstance, mais pouvoir préciser le sens des termes lorsque cela est souhaitable.

1.

L'aspect juridique

Du point de vue juridique, le contrat d'assurance est avant tout un contrat. C'est donc, d'après l'article 1101 du code civil, une convention par laquelle une ou plusieurs personnes s'obligent, envers une ou plusieurs autres, à donner, à faire ou à ne pas faire quelque chose. L'objet de cette section va être de définir les parties au contrat et les engagements que le contrat tisse entre elles. En bref, nous allons dresser le schéma général de l'assurance (§ 1.1), véritable ossature du contrat d'assurance. Nous apporterons ensuite quelques nuances au schéma général avec des précisions de vocabulaire (§ 1.2), une classification des garanties (§ 1.3) et une typologie des sociétés (§ 1.4).

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

12

1. 1.

Le schéma général de l'assurance

Prenons, pour commencer, trois exemples aussi simples et aussi variés que possible : - A, agriculteur, court le risque de voir sa récolte détruite par la grêle; - C, chasseur, court le risque de blesser un promeneur ; - F, père de famille, court le risque de décéder avant que ses enfants ne soient en âge de gagner leur vie. En cas de réalisation du risque, A ne pourra pas assumer financièrement, seul, la perte d'une année de revenu; C, le remboursement des frais de soins du promeneur; et F, la charge de plusieurs années d'éducation, d'alimentation, d'habillement, ... de ses enfants. Dans chacun de ces trois exemples, ces personnes sont confrontées à un risque et décident de s'assurer. Comme ces trois risques sont assez communs pour être suffisamment connus, A, C et F vont pouvoir trouver un assureur qui va leur proposer ses garanties. Les deux parties au contrat (l'assureur et l'assuré) ayant la volonté de contracter, il reste à décrire les engagements réciproques qui vont être noués au travers du contrat d'assurance. Ces engagements sont simples: Exposé à un risque, - l'assuré paie à l'assureur une prime ; - l'assureur garantit que, si le risque se réalise, il paiera une prestation. Le schéma général de l'assurance comprend donc trois éléments: le risque, la prime et la prestation.

prime

l

assuré

1

prestation

assureur

Ce sont ces deux engagements (paiement de la prime contre paiement, le cas échéant, de la prestation) qui constituent le contrat d'assurance. Dès à présent, il est possible de noter une particularité du contrat d'assurance. Tous les engagements du contrat d'assurance ne sont pas quantitativement fixés dès la signature du contrat. En ce qui concerne l'assuré, le montant de la prime (ou son mode de calcul) est fixé par le contrat dès sa signature. En revanche, la prestation que pourrait verser l'assureur est aléatoire: lors de la signature du contrat, les deux parties au contrat (l'assuré et l'assureur) ignorent si un sinistre va affecter l'assuré au cours de la période de garantie. S'il n'y a pas de sinistre, l'assureur ne versera rien à

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

13

l'assuré. En revanche, s'il y a un sinistre, l'assureur versera une prestation à l'assuré. Les deux parties au contrat ignorent donc si l'assureur aura un quelconque paiement à effectuer au profit de l'assuré (de plus, dans le cas de A ou de C, le montant du sinistre n'est pas connu à l'avance). C'est en ce sens que le contrat d'assurance est un contrat aléatoire.

1.2.

Quelques précisions de vocabulaire

Le schéma précédent est-il vrai ? Oui, le schéma

prime

j

assuré

r

prestation

assureur

est vrai, aussi vrai que la phrase «les oiseaux volent)}. Pourtant, chacun sait à la fois qu'il est vrai que «les oiseaux volent)} et que l'autruche, qui est un oiseau, vole ... mal. De même, il convient de savoir que ce n'est pas toujours l'assuré qui signe le contrat, ni qui paie la prime, ni qui reçoit la prestation. Le schéma général précédent appelle de nombreuses nuances et précautions de vocabulaire pour être juridiquement exact. Précisons donc ici ces nuances, que nous oublierons le plus souvent de mentionner dans la suite: - Le contrat d'assurance (engagements de l'assuré de payer la prime et de l'assureur de payer, le cas échéant, la prestation) est en principe à distinguer de la police d'assurance, document qui matérialise l'existence du contrat. - Il y a parfois lieu de distinguer, dans un contrat d'assurance, l'assuré qui court le risque, le souscripteur qui signe le contrat, le bénéficiaire qui perçoit, le cas échéant, la prestation: dans notre exemple, si A joue les trois rôles, l'assurance de F peut avoir été souscrite par son employeur et comporter son conjoint comme bénéficiaire. - Le contrat est individuel si le souscripteur est une personne physique et l'assuré une ou quelques personnes ; le contrat est collectif (on parle aussi d'assurance de groupe) si le souscripteur est une personne morale et si le contrat compte de nombreux assurés (on parle alors d'adhérents). - L'assureur est ici la société qui garantit le paiement en cas de réalisation du risque, et non pas un intermédiaire (agent, courtier, banque) ou un employé qui effectue la présentation des contrats ; il existe des sociétés commerciales (sociétés anonymes) et des sociétés mutuelles. Dans les premières, les associés (ceux qui possèdent la société et décident de son avenir) sont les actionnaires, tandis que, dans les deuxièmes, les associés sont les assurés eux-mêmes.

14

Assurance: comptabilité, réglementation. actuariat

- La prime (mot qui provient du latin prœmium, «prix», terme luimême composé de prae et emo, « acheter avant» et qui est plutôt utilisé par les sociétés commerciales) ou son synonyme la cotisation (mot issu du latin quota pars, «part qui revient à chacun» et qui est plutôt employé par les sociétés mutuelles) est souvent payable au début de la période de garantie, mais ce n'est nullement obligatoire: ainsi, en assurance grêle, il est d'usage que l'assuré paie sa prime après avoir vendu sa récolte, c'està-dire à la fin de la période d'assurance (en fait, la prime doit être payée aux époques convenues par le contrat). - La réalisation du risque est, en général, appelée la survenance d'un sinistre: c'est le cas dans les trois exemples précédents, où la prestation est appelée le montant du sinistre (même s'il ne s'agit pas d'un sinistre incendie) ; toutefois, l'événement garanti ne peut pas toujours être qualifié de sinistre (mot qui provient du latin sinister, «funeste», « défavorable» ) et, dans les assurances où l'événement qui déclenche la prestation est la survie de l'assuré ou la naissance d'un enfant, il ne serait pas très commercial de parler de sinistre (on parle alors du capital ou de la rente prévus au contrat). - Un même mot peut revêtir des sens différents, en particulier le mot « risque» (mot qui provient de l'italien risco, danger) : «le risque incendie» et «un portefeuille incendie de 10 000 risques». - L'exercice de survenance d'un sinistre, année où le sinistre a eu lieu, est a priori à distinguer de l'exercice de déclaration du sinistre, année où l'assuré a signalé l'existence du sinistre à l'assureur, et de l'exercice de paiement du sinistre, année où le sinistre est effectivement payé par l'assureur.

1.3.

Classification des garanties

On distingue trois catégories d'assurances différentes : les assurances de choses, les assurances de responsabilité et les 3:Ssurances de personnes.

1.3.1.

Les assurances de choses

Dans les assurances de choses, ou assurances de dommages aux biens de l'assuré, l'assureur s'engage à indemniser l'assuré des dommages subis par ses biens. C'est le cas de l'assurance contre la grêle souscrite par A. Dans cette catégorie peuvent aussi être rangées l'assurance contre l'incendie souscrite par les propriétaires de maison ou encore l'assurance contre le vol d'objets précieux. Dans ces assurances, l'assuré, le souscripteur et le bénéficiaire ne forment généralement qu'une seule et même personne. Les garanties sont limitées aux dommages matériels. L'indemnisation des dommages correspond rarement à l'intégralité du préjudice subi par l'assuré. Elle est, en général, effectuée sous déduction d'une franchise et dans la limite d'un plafond de garantie inférieur à la

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

15

valeur totale des biens assurés. En effet, la pratique montre qu'une partie du préjudice doit rester à charge de l'assuré de façon à l'inciter à tout mettre en œuvre pour protéger ses biens et à diminuer ainsi la fréquence et le coût des sinistres. L'assuré doit, en outre, déclarer la valeur garantie des biens qu'il entend protéger par l'assurance. C'est cette valeur garantie qui, selon l'usage, permet de définir prime et prestation. prime = taux de prime x valeur garantie prestation = taux de sinistre x valeur garantie 1.3.2.

Les assurances de responsabilité

Dans les assurances de responsabilité, l'assureur s'engage à indemniser, à la place de l'assuré, les tiers victimes de dommages - matériels ou corporels - dont l'assuré est responsable. C'est le cas de l'assurance de responsabilité civile (RC) chasse souscrite par C. C'est aussi le cas de l'assurance RC du chef de famille, qui permet, par exemple, d'indemniser le voisin du dessous en cas d'inondation, ou de l'assurance RC du constructeur de maisons, qui permet d'indemniser l'acquéreur d'une maison neuve en cas de malfaçons. Le souscripteur et l'assuré sont souvent une seule personne. En revanche, le bénéficiaire est systématiquement un tiers. Cette assurance a pour origine les articles 1382 à 1384 du code civil. Tout fait quelconque de l'homme, qui cause à autrui un dommage, oblige celui par la faute duquel il est arrivé à le réparer (1382). Chacun est responsable du dommage qu'il a causé non seulement par son fait, mais encore par sa négligence ou par son imprudence (1383). On est responsable non seulement du dommage que l'on cause par son propre fait, mais encore de celui qui est causé par le fait des personnes dont on doit répondre, ou des choses que l'on a sous sa garde (1384). Comme pour les assurances de choses, l'indemnisation peut être effectuée sous déduction d'une franchise, et, plus rarement, dans la limite d'un plafond de garantie. La garantie peut être illimitée: c'est le cas en assurance de responsabilité civile automobile pour les dommages corporels causés à des tiers par l'assuré.

1.3.3.

Les assurances de personnes

Dans les assurances de personnes, l'assureur s'engage à verser un capital ou une rente définis par le contrat si se réalisent des risques touchant à la personne même de l'assuré (maladie, accident, décès ... survie !). C'est le cas de l'assurance décès souscrite par l'employeur de F. Le souscripteur et l'assuré sont en général la même personne. Le bénéficiaire en cas de vie est, aussi, en général, la même personne, ce qui n'est évidemment jamais le cas pour le risque décès.

16

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Ici, on ne parle pas d'indemnisation, sauf dans le cas des remboursements de frais médicaux. Dans les autres cas, le capital ou la rente prévus au contrat ne sont pas qualifiés d' «indemnisation». Lorsque les risques sont la maladie ou l'accident, on parle d'assurances de dommages corporels. Lorsque les risques sont le décès - quelle qu'en soit la cause - ou la survie de l'assuré, on parle d'assurance vie. Questions À quel( s) type( s) se rattachent les différentes garanties - d'un contrat auto? - d'un contrat incendie? Réponses Un contrat auto comporte d'abord une garantie d'assurance de responsabilité (c'est elle qui est obligatoire) ; il peut aussi comporter des garanties d'assurance de choses (vol, incendie, bris de glaces, dommages au véhicule ... ) et des garanties d'assurance de personnes (individuelle conducteur). Un contrat incendie comporte des garanties d'assurance de choses, et aussi des garanties d'assurance de responsabilité (recours des voisins).

1.4.

Typologie des sociétés et principe de spécialisation

On distingue deux grands types de sociétés d'assurance: - les sociétés d'assurance vie (ou life insurance ou long-term business en anglais) ; - les sociétés d'assurance non-vie, que l'on appelait sociétés dommages, ou lARD (Incendie, Accidents et Risques Divers), ou accidents (ou non-life insurance ou short-term business en anglais). Depuis longtemps, dans certains pays comme la France, une même société ne peut pratiquer à la fois l'assurance vie et les autres assurances. C'est également le cas de toute société créée depuis 1976 dans l'Union européenne. Pourquoi une société doit-elle être spécialisée en vie ou en non-vie? Pour que les promesses de longue durée faites aux assurés vie ne puissent être compromises par la survenance de sinistres incendie ou auto.

Qu'appelle-t-on une société mixte? C'est évidemment une société qui donne à la fois des garanties d'assurance vie et des garanties d'assurance non-vie. Il en existe dans certains pays. Il ne s'en créait plus en Europe depuis les premières directives européennes d'assurance, mais les troisièmes directives permettent aux sociétés vie de pratiquer toutes les autres assurances de personnes.

17

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

On appelle donc société mixte - soit une société qui pratique, à la fois, la vie et l'ensemble des assurances non-vie, comme il en existe dans certains pays; - soit une société qui pratique à la fois l'assurance vie et l'assurance des dommages corporels, comme peuvent le faire les sociétés vie de l'Union européenne qui le souhaitent.

L'assurance vie n'est pas toujours à long terme Si la spécialisation vise à protéger les promesses de longue durée faites aux assurés vie, pourquoi autoriser les sociétés vie à commercialiser des garanties en cas de décès temporaires d'un an ? La spécialisation vie/non-vie est basée sur un critère juridique: ce sont les garanties dont l'exécution dépend de la durée de la vie humaine (cas de vie, cas de décès) qui constituent l'assurance vie, et non la durée des garanties. C'est donc dans l'ensemble - mais non dans le détail - que les garanties des contrats vie sont de longue durée, et les garanties des contrats non-vie de plus courte durée. La spécialisation n'est-elle pas illusoire ? La plupart des groupes importants de sociétés d'assurances comportent à la fois une société vie et une société non-vie: la spécialisation n'est-elle pas illusoire? Au contraire, il s'agit de sociétés dont les patrimoines sont distincts, qui présentent des garanties de solvabilité distinctes (cf. chapitre 3) : la faillite de l'une des composantes n'entraîne pas la faillite de l'autre.

2.

L'aspect statistique

La prestation de service de l'assurance revient à répartir sur tous les assurés les conséquences de sinistres qui surviennent à quelques-uns (§ 2.1). Les mathématiciens, dans des théorèmes appelés lois des grands nombres (§ 2.2), ont posé les conditions de cette mutualisation (§ 2.3).

2.1.

Compensation des risques et mutualité

Réduite à un seul contrat avec un seul assuré, l'opération décrite précédemment

prime

j

assuré

1

prestation

assureur

18

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

ne serait qu'un pari pour l'assureur. En effet, celui-ci, en encaissant la prime du contrat, s'engage, par avance, à verser une prestation dont il ignore le montant. La prime est connue d'avance. Elle est dite certaine. La prestation est inconnue à l'avance. Elle est dite aléatoire. Elle peut être nulle (le risque ne se réalise pas) ou positive (le risque s'est réalisé). Dans le premier cas, l'assureur fait un petit bénéfice (la prime). Dans le second cas, il fait une perte importante, voire insupportable pour lui si la réalisation du risque est catastrophique. Prenons un exemple réel. Un assureur assure le conducteur E en responsabilité et en dommages moyennant une prime d'environ 800 €. Quelques semaines après la signature du contrat, la voiture de E cale à un passage à niveau et fait dérailler un train. L'assureur prend en charge les dommages subis par la voiture de son assuré, mais aussi ceux subis par le train, par les voies ferrées, par le chargement du train, soit plusieurs millions d'euros de dégâts. Pour pouvoir payer ces dégâts, l'assureur doit avoir reçu de nombreuses primes sur des contrats qui, eux, ne donneront pas lieu à des paiements de sinistres: au moins 10000 contrats, dans notre exemple, qui lui fournissent 10 000 x 800 €, soit 8 000 000 €. Pour que chaque opération d'assurance ne soit pas un pari entraînant la faillite de l'assureur dès qu'un seul sinistre survient, l'assureur doit avoir réuni un grand nombre d'assurés.

l

assuréS primeS

j

prestationS

assureur

L'ensemble des assurés forme une mutualité au sein de laquelle l'assureur mutualise (ou compense) les risques. Cette expression signifie simplement que l'assureur paiera, avec les primes reçues de tous, les sinistres qui frapperont les malchanceux.

Quelques notations Dans cet ouvrage, i est l'indice désignant le i-ème assuré. Le nombre d'assurés sera noté na, et i variera donc entre 1 et na. Chaque assuré i paie une prime commerciale qui se note ?T:' et comprend notamment une prime pure notée ?Ti qui permet, par mutualisation des risques, de payer les sinistres. Le reste de la prime commerciale comprend des chargements destinés à financer le fonctionnement de l'entreprise. La somme des primes pures sera notée

i=l

Cette somme, connue d'avance, est certaine.

19

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

La prestation que peut recevoir un assuré i est notée Xi. Elle peut être nulle ou positive en cas de sinistres. Elle est aléatoire. La somme des prestations se note

et est aléatoire. L'actuaire cherche à la prévoir avec le maximum de précision possible. En annexe 2 figurent des rappels élémentaires sur les notions de probabilités qui seront supposées acquises dans les chapitres 4 à 6.

2.2.

La loi des grands nombres

L

L

L'assureur dispose des primes 'Tri pour payer les sinistres Xi. Sa situation s'est-elle améliorée par rapport à celle d'un assureur qui n'aurait qu'un contrat, ou a-t-il seulement amplifié le risque de catastrophe? C'est la loi des grands nombres qui permet de répondre à cette question. Exemple Soit un contrat d'assurance qui garantit le versement d'un capital de 100 000 € en cas de décès. Il est souscrit par na = 10 000 assurés qui ont chacun une probabilité q = 1 % de décéder dans l'année. Le nombre de décès de l'année est donc une variable aléatoire binomiale que nous noterons Nd. Son espérance (le nombre moyen de décès) est naq = 100. On peut donc dire (cf. annexe 2) qu'il y a une quasi-certitude que le nombre de décès sera compris entre 67 et 133, donc que Nd sera égal à 100 à 33 % près. L'incertitude absolue sur le nombre de décès est de 33. L'incertitude relative est de 33 %. Si l'assureur a encaissé 10 000 primes de 1 000 € et qu'il n'a pas d'autres dépenses que le paiement des sinistres, son résultat sera compris entre - 3,3 M € et 3,3 M €. Si l'assureur a fait souscrire n~ = 1 000 000 d'assurés, les mêmes formules conduisent à dire qu'il y a une quasi-certitude que le nombre de décès sera compris entre 9 672 et 10 328 morts, donc que Nd sera égal à 10 000 à 3,3 % près. L'incertitude absolue sur le nombre de décès est de 328. L'incertitude relative est de 3,3 %. Si l'assureur a encaissé 1 000 000 primes de 1 000 € et qu'il n'a pas d'autres dépenses que le paiement des sinistres, son résultat sera compris entre - 33 M € et 33 M €. En multipliant par 100 le nombre d'assurés, l'incertitude absolue n'est multipliée que par 10. L'incertitude relative a été divisée par 10. Lorsque les risques sont identiques et indépendants, la loi des grands nombres dit, sous certaines conditions, que le montant aléatoire LXi = Xl + '.' + X na peut être d'autant mieux prévu que le nombre d'assurés na est plus grand. Plus précisément, le calcul des probabilités dit que si on multiplie le nombre de risques par na, - l'incertitude absolue est multipliée non par na mais par ~ ; - l'incertitude relative est divisée par ~.

20

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

La loi des grands nombres permet donc de diminuer l'incertitude relative qui pèse sur les comptes de l'assureur. Elle signifie que, dans la réalisation des risques, il n'y a pas trop de variations dans le nombre de malchanceux par rapport à ce qui était prévu initialement, ce qui permet la mutualisation des risques.

2.3.

Les conditions d'application de la loi des grands nombres

La loi des grands nombres est valable pour des risques identiques et indépendants. Elle s'étend aux risques dits assez homogènes et indépendants, que nous définirons par des contre-exemples : - Une maison et une usine ne sont pas des risques incendie homogènes. - Les 100 appartements d'un même immeuble ne sont pas des risques incendie assez indépendants. Si les risques assurés ne sont pas suffisamment nombreux, homogènes et indépendants pour que l'assureur puisse prévoir correctement la somme des prestations, en bref, si la loi des grands nombres ne peut pas slappliquer, l'assureur doit se réassurer: la réassurance est l'assurance des assureurs. Remarque Il est possible que, pour une garantie donnée, les risques d'un assureur soient homogènes et assez indépendants, mais ne le soient pas pour une autre garantie. Prenons le cas d'une société qui assure des forêts dans un département du nord de la France. Si ces forêts sont suffisamment éloignées les unes des autres, les risques sont assez indépendants pour le risque incendie. Ce n'est pas le cas pour le risq~e tempête, qui peut affecter en une seule nuit de nombreuses forêts du département. L'assureur doit donc prévoir pour ce risque une réassurance spécifique.

3.

L'aspect économique

L'assurance est un service (§ 3.1) qui tient une place importante dans l'économie (§ 3.2). L'assurance s'exerce dans un cadre concurrentiel. En conséquence, l'assureur ne peut pas compter sur des primes futures pour honorer ses engagements actuels: on dit qu'il fonctionne en capitalisation, contrairement à la Sécurité sociale, qui fonctionne en répartition (§ 3.3).

3.1.

L'industrie de la sécurité

Le rôle essentiel de l'assurance est de répondre au besoin de sécurité des ménages et des entreprises, comme l'illustre la citation suivante:

«New-York n'est pas la création des hommes, mais celle des assureurs ... Sans les assurances, il n'y aurait pas de gratte-ciel car aucun ouvrier n'essaierait de travailler à une pareille hauteur, en risquant de faire une chute mortelle et de laisser sa famille dans le besoin.

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

21

Sans les assurances, aucun capitaliste n'investirait des millions pour construire de pareils buildings qu'un simple mégot de cigarette peut réduire en cendres. Sans les assurances, personne ne circulerait en voiture à travers les rues. Un bon chauffeur est conscient du risque qu'il court à chaque instant: le risque de renverser un piéton». Henry FORD.

Ce besoin de sécurité permet de créer trois types d'assurance: les assurances de personnes, les assurances de choses et les assurances de responsabilité. Nous retrouvons ainsi les trois grandes catégories que nous avons définies. 3.2.

La place de l'assurance dans l'économie

On peut s'interroger sur l'importance de l'assurance dans l'économie. Par exemple, l'assurance représente-t-elle 1 %, un dixième ou un tiers du PIB français ? Chacun des trois nombres précédents a un sens. Passons-les en revue. Commençons par le second nombre, qui est la réponse la plus fréquemment citée. L'assurance représenterait 10 % du PIB français. En effet, en 1996, le chiffre d'affaires (primes ou cotisations) des sociétés d'assurance, 770 GF, représente environ 10 % (9,8 %) des 7 861 GF de PIB. Une première objection à cet énoncé doit être formulée. Le chiffre d'affaires des sociétés d'assurance ne constitue pas, en soi, environ 10 % du PIB. En fait, c'est la valeur ajoutée par l'assurance qui est une part du PIB : elle en constitue environ 1 % (0,8 %). Et, en effet, l'assurance emploie 200 000 personnes en France, soit 1 Français actif sur 100, et non 1 sur 10. Une deuxième objection peut être formulée. Le chiffre d'affaires de l'assurance ne comprend pas celui de la Sécurité sociale (santé, accidents du travail, retraite ... ). Or, la Sécurité sociale répond, comme l'assurance, au besoin de sécurité des ménages. En outre, le rôle actuellement joué en France par l'une peut avoir été joué par l'autre à une autre époque en France, ou être joué aujourd'hui par l'autre dans un autre pays. Ainsi, lors de la création de la Sécurité sociale en 1947, les accidents du travail qui lui ont été transférés représentaient le tiers du chiffre d'affaires des sociétés d'assurances. Autre exemple, l'assurance-vie occupe une place plus importante dans les pays anglo-saxons, car les régimes de retraite y sont moins complets. Donc, si on tient compte des prestations sociales, qui ont un chiffre d'affaires annuel trois fois plus élevé que celui des sociétés d'assurance, on obtient un chiffre d'affaires total, assurance et Sécurité sociale réunies, qui équivaut à environ un tiers (34 %) du PIB. Toutefois, si la fonction de l'assurance est quasiment la même que celle de la Sécurité sociale, ces deux secteurs d'activité diffèrent par leur mode de fonctionnement. L'assurance fonctionne en capitalisation. La Sécurité sociale fonctionne en répartition.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

22

3.3.

Capitalisation et répartition

Dans un fonctionnement en répartition, les primes reçues dans l'année, voire le mois, servent à payer les sinistres devant être payés dans l'année, voire le mois, même si ces sinistres se rapportent à des périodes de garantie antérieures. Pour payer les sinistres l'année d'après, l'organisme aura besoin de nouvelles primes. Dans un fonctionnement en capitalisation, les primes reçues au cours d'un exercice donné serviront à payer les sinistres survenus au cours du même exercice. L'exercice de paiement des sinistres peut différer de quelques années de celui de l'encaissement des primes. Réécrivons donc le schéma général de l'assurance en tenant compte de son fonctionnement en capitalisation :

primeS

assuréS

j

prestationS

Temps assureur

l

•

Pour illustrer ces fonctionnements en répartition et en capitalisation, prenons l'exemple d'un organisme de Sécurité sociale et d'une entreprise d'assurance qui se créent en 2000. Ces deux entités s'engagent à régler des sinistres avec les primes qu'elles reçoivent. Nous supposerons pour simplifier que les sinistres sont payés en moyenne 2 ans après leur survenance (comme pour les accidents de voiture) et qu'il n'y a pas de frais de gestion . • Le fonctionnement en répartition de la Sécurité sociale Prenons l'exemple d'un organisme qui se crée en 2000 et adopte la répartition comme mode de fonctionnement. Le tableau ci-après donne, année après année, les encaissements auxquels l'organisme procède, les décaissements qu'il réalise ainsi que le solde de ces opérations. Recettes

Nature

Exercice

Nature

Montant

Nature

Montant

Solde

2000

Primes de 2000

100M€

Sinistres de 1998·

1ooM€

OM€

2001

Primes de 2001

100M€

Sinistres de 1999

100 M€

OM€

2002

Primes de 2002

100 M€

Sinistres de 2000

100 M€

OM€

2003

Primes de 2003

100M€

Sinistres de 2001

100M€

OM€

2004

Primes de 2004

100M€

Sinistres de 2002

100 M€

OM€

23

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

Dès sa création en 2000, l'organisme peut payer les sinistres qui doivent l'être cette année-là (à savoir, ceux survenus en 1998). Année après année, l'organisme ne peut pas constituer de réserve car le solde de chaque année est nul. En revanche, si l'organisme cesse d'avoir des recettes en 2005, les sinistres de 2003 et de 2004 ne pourront pas être payés. La Sécurité sociale permet donc la mise en place d'une solidarité immédiate. Dans le cadre de la retraite ou de la maladie, cette solidarité est intergénérationnelle. Dans le régime de retraite, il apparaît que les jeunes paient immédiatement pour les vieux. Dans le régime maladie, il en va un peu de même: les gens en bonne santé paient pour les malades, et sont en moyenne plus jeunes . • Le fonctionnement en capitalisation de l'assurance Prenons, cette fois-ci, l'exemple d'une entreprise qui se crée en 2000 et adopte la capitalisation comme mode de fonctionnement. Le tableau ci-après donne, année après année, les encaissements auxquels l'entreprise procède, les décaissements qu'elle réalise ainsi que le solde de ces opérations. Recettes

Dépenses Montant

Nature

Solde

Exercice

Nature

Montant

2000

Primes de 2000

100M€

OM€

100 M€

2001

Primes de 2001

100M€

OM€

200 M€

2002

Primes de 2002

100M€

Sinistres de 2000

100M€

200 M€

2003

Primes de 2003

100M€

Sinistres de 2001

100M€

200 M€

2004

Primes de 2004

100M€

Sinistres de 2002

100M€

200 M€

L'entreprise d'assurance ne prend pas en charge les sinistres survenus en 1998 et en 1999. Elle ne règle que les sinistres qui correspondent à des primes encaissées. Les primes encaissées en 2000 servent à payer en 2002 les sinistres survenus en 2000, et celles de 2001 servent en 2003 à payer les sinistres survenus en 2001. Entre 2000 et 2001, l'assureur doit donc placer les primes qu'il a reçues, soit 200 M€ au total. En régime permanent, l'assureur disposera toujours de cette réserve de 200 M€. C'est pour cela que les entreprises d'assurance sont des investisseurs importants sur les places boursières mondiales et dans l'immobilier. On parle d'investisseurs insU tutionnels. Toutefois, cet argent ne revient pas in fine à l'assureur: si ce dernier cesse d'avoir des recettes en 2005, les sinistres survenus en 2003 et 2004 pourront être réglés avec la provision de 200 M€.

24

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le fonctionnement en capitalisation est aussi le lieu d'exercice d'une solidarité. Mais elle est différente : elle s'exerce par exemple entre les payeurs de primes de 2000 (qui sont les auteurs de sinistres de 2000), alors que dans le fonctionnement en répartition, la solidarité s'exerçait entre les payeurs de primes de 2000 et les auteurs de sinistres de 1998 (qui peuvent avoir été des personnes différentes). 4.

Traduction comptable

Les entreprises d'assurance, comme toutes les sociétés, tiennent une comptabilité avec un bilan et un compte de résultat. Les principes généraux de la comptabilité doivent donc être respectés (§ 4.1). Mais l'inversion du cycle de production propre à l'assurance conduit à des spécificités notables dans la comptabilité des entreprises d'assurance (§ 4.2) et dans le rôle de l'État (§ 4.3).

4.1. 4.1.1.

Les principes généraux de la comptabilité Bilan, actif réel et passif réel

L'actif réel d'une société est constitué par l'ensemble des biens qu'elle possède et l'ensemble des créances qu'elle détient sur des tiers. En assurance, cet actif est essentiellement constitué par des placements. Par convention, l'actif se place à gauche du bilan. Le passif réel d'une société est constitué par l'ensemble des dettes qu'elle a contractées à l'égard de tiers. En assurance, ce passif est essentiellement constitué par les engagements contractés à l'égard des assurés. Ces engagements ont pour nom les provisions techniques. Par convention, le passif réel se place à droite du bilan. Le bilan permet de comparer le montant de l'actif réel (les biens et les créances) au montant du passif réel (les dettes et les engagements). La différence entre l'actif réel et le passif réel constitue la situation nette de l'entreprise. Cette situation nette doit nécessairement être positive. En effet, une situation nette positive signifie que les biens de l'assureur sont plus importants que ses dettes. Dans le cas contraire, l'assureur ne pourrait pas rembourser ses dettes avec ses biens, il serait donc insolvable. À la place de situation nette, on parle aussi d'actif net, ou encore de fonds propres (somme des capitaux propres et des réserves). La situation nette figure au passif du bilan, de manière à ce que les deux colonnes aient le même total. ACTIF

PASSIF

ACTIF RÉEL (Placements)

SITUATION NETTE (Fonds propres) PASSIF RÉEL (Provisions techniques)

SITUATION NETTE (Fonds propres) = ACTIF RÉEL - PASSIF RÉEL

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

25

La situation nette évolue au fil des exercices : - Elle s'accroît si l'entreprise fait un bénéfice et que ce bénéfice n'est pas entièrement distribué aux actionnaires (dans le cas d'une société commerciale) ; le bénéfice est alors mis en réserve. - Elle diminue si l'entreprise fait une perte. Il est essentiel que, même amputée d'une perte, la situation nette reste positive. Dans le cas contraire, les biens et créances étant inférieurs aux dettes et engagements, l'entreprise serait insolvable. Une remarque importante peut être faite ici : l'insolvabilité dont nous parlons diffère de la faillite ou cessation de paiements telle que la connaît le tribunal de commerce. L'entreprise d'assurance précédente, qui au 31/12/2004 doit 200 M€, est insolvable si elle ne possède pas au moins 200 M€, (même si elle en possède 199) : pour remplir ses engagements, il lui faut alors faire appel aux actionnaires ou à un fonds de garantie.

4.1.2.

Charges, produits et résultat

Le compte de résultat explique le résultat de l'exercice écoulé en comparant les charges (les dépenses) aux produits (les recettes). En assurance, les produits sont principalement les primes et les produits financiers provenant des placements. Les charges sont essentiellement les prestations et les frais de fonctionnement de l'entreprise. PRODUITS (primes ... ) - CHARGES (prestations ... )

= RÉSULTAT

Cette explication du résultat passé est le point de départ de la prévision des résultats futurs.

4.2.

L'inversion du cycle de production

Dans une entreprise classique, le prix d'achat (le prix des matières premières) est connu et payé avant le prix de vente. En assurance, l'assureur encaisse les primes avant de payer les sinistres. On peut donc dire que le prix de vente de l'opération d'assurance (le montant de la prime) est connu et payé avant le prix d'achat (le montant du sinistre). C'est cela l'inversion du cycle de production. Cette inversion modifie considérablement la perception du bilan et du compte de résultat. Le bilan reflète le fait que les primes sont encaissées avant que les prestations correspondantes ne soient payées : il montre comment les engagements envers les assurés (ou provisions techniques) sont couverts par des placements.

26

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Dans une entreprise classique, l'activité nécessite certains actifs (immobilisations et stocks), et le passif du bilan explique comment l'entreprise a financé ces immobilisations et ces stocks: l'activité de l'entreprise s'illustre surtout dans son actif, et on peut lire le bilan de gauche à droite et dire que le bilan montre comment l'actif a été financé par le passif. Dans une entreprise d'assurance, l'activité conduit à un passif réel (les engagements envers les assurés), et l'actif du bilan montre comment l'entreprise a employé les fonds reçus et comment elle pourra payer ces engagements à l'égard des assurés: l'activité de l'entreprise s'illustre surtout dans son passif, et on peut lire le bilan de droite à gauche et dire que le bilan montre comment le passif a été placé. Le compte de résultat comporte des produits (les primes) qui ont été définis avant que les charges (les prestations) qui en sont la contrepartie ne soient connues avec précision. Dans une entreprise classique, les charges sont connues d'abord: dans la formation du résultat de l'exercice, le chiffre d'affaires, la capacité de vendre de l'entreprise, est a priori l'inconnue, et permettra éventuellement un bénéfice. En assurance au contraire, le chiffre d'affaires est connu d'abord: dans la formation du résultat de l'exercice, les charges de sinistres ou de prestations ne seront cernées qu'après l'encaissement des primes (et connues avec exactitude parfois bien après l'encaissement des primes), et permettront éventuellement un bénéfice.

4.3. 4.3.1.

La réglementation et le contrôle de fÉtat Les fondements

Dans la plupart des pays, l'exercice de l'activité d'assurance est subordonné à l'obtention préalable d'une autorisation administrative délivrée par les pouvoirs publics. Cette licence d'exploitation, appelée agrément, peut par la suite être retirée à l'entreprise d'assurance dès lors que l'évolution probable de sa situation financière future ferait craindre un mauvais déroulement des garanties délivrées. Cette surveillance des pouvoirs publics trouve son fondement dans la protection du consommateur preneur d'assurance. Les attendus d'un arrêt de la Cour de justice des Communautés européennes de Luxembourg rendu en 1986 explicitent les motivations de cette protection. Après avoir affirmé que le secteur de l'assurance constitue un domaine particulièrement sensible du point de vue de la protection du consommateur en tant que preneur d'assurance et assuré, la Cour motive quatre fois son affirmation: 1. La prestation de l'assurance est très spécifique, car elle est liée à des événements futurs dont la survenance reste incertaine à la date de la conclusion du contrat. 2. La situation de l'assuré peut devenir précaire si, après un sinistre, il n'en obtient pas le dédommagement.

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

27

3. Il est extrêmement difficile à l'assuré d'apprécier les clauses du contrat et les perspectives d'évolution de la situation financière de l'assureur. 4. Compte tenu du fait que l'assurance est devenue un phénomène de masse, la sauvegarde des intérêts des tiers est tout aussi essentielle.

Par ces motivations, la Cour a en fait rappelé une évidence, à savoir que les garanties accordées par l'assureur sont des promesses dont l'objet présente un intérêt parfois considérable pour celui qui les a achetées. Le refus opposé par l'assureur ou son incapacité à payer peuvent en effet être lourds de conséquence : -- pour l'assuré, dont l'effort d'épargne est annulé (contrat d'assurance vie), ou bien qui est laissé sans indemnité à la suite d'un gros préjudice (assurance incendie) ; - pour le tiers victime d'un accident (assurance automobile).

4.3.2.

L'organisation

En France, les agréments sont délivrés par le ministre de l'Economie et des Finances, et la surveillance du respect des conditions de leur maintien est confiée depuis 1990 à une commission administrative indépendante: la Commission de contrôle des assurances. Cette dernière est ainsi investie d'une mission permanente consistant à vérifier que les entreprises d'assurance tiennent et restent en mesure de tenir les engagements qu'elles ont contractés envers les assurés. Ces vérifications portent notamment sur l'appréciation du caractère suffisant des provisions techniques (évaluation comptable des engagements pris envers les assurés), de la qualité des actifs (placements) qui en sont la contrepartie et enfin de l'existence d'une marge de solvabilité permettant de faire face à d'éventuelles pertes futures. Notons enfin qu'il ne faut pas confondre ce système d'agréments administratifs avec d'autres préoccupations que peuvent avoir à certaines époques les pouvoirs publics, par exemple : - souhaiter que les placements des sociétés d'assurance, dont le volume a une importance significative en termes macroéconomiques, s'effectuent dans le sens de l'intérêt général et du développement économique; - prélever des impôts sur l'assurance comme sur d'autres activités économiques, ou inversement inciter par la fiscalité à la souscription de certaines garanties (assurance vie par exemple).

5.

Traduction actuarielle

Nous avons établi précédemment que le schéma général de l'assurance était le suivant :

28

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

primeS

assuréS

j

1prestation~ Temps

assureur

Au § 3., nous avons ajouté le temps dans le schéma général de l'assurance. Nous n'avons pas précisé comment le temps s'y intégrait. Il existe en fait deux modélisations différentes en fonction de la complexité de la prise en compte du temps et de l'importance des aléas. Ces deux modélisations différentes définissent deux actuariats différents: un actuariat à court terme et à fort aléa (§ 5.1), que nous étudierons dans les chapitres 4 et 5 (Modèle simple et Modèle de l'assurance auto), et un actuariat à long terme et à faible aléa (§ 5.2), celui du chapitre 6 (Modèle vie).

5.1.

Les risques courts à fort aléa

Reprenons l'exemple précédent d'un contrat d'assurance qui garantit le versement d'un capital de c = 100 000 € en cas de décès et qui a été souscrit par na = 10000 assurés, chacun d'entre eux ayant une probabilité q = 1 % de décéder dans l'année. Modélisons le résultat, en faisant abstraction des frais de gestion et des produits financiers, la prime étant de 1 050 €. Le nombre de décès dans l'année est une variable aléatoire Nd d'espérance naq = 100. Soit Rna le résultat aléatoire de l'assureur. Rna est la différence entre les primes connues et les prestations aléatoires. Rna est aléatoire car il dépend du nombre de décès Nd.

Rna

= na1f -

CNd

= 10 000

X

1 050 - 100 000

X ]\td

avec

E(Rna)

= na1f - cnaq =

10 500 000 - 10 000 000 = 500 000 €

Prise en compte de frais de gestion et de produits financiers On vérifiera que l'espérance du résultat ne change pas si la prime est portée à 1 400 € et si les frais de gestion nets de produits financiers en représentent 25 %, soit 350 €.

5.2.

Les risques longs à faible aléa

Supposons qu'à la date t = 0, l'assureur souscrive na = 10 000 contrats identiques dans chacun desquels un assuré verse une prime unique 1f = 63 000 €. En contrepartie, l'assureur s'engage à verser c = 100 000 € à l'époque t = 8 ans à chaque assuré vivant.

29

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

Pour modéliser ce contrat, nous allons supposer que les placements rapportent 6 % l'an et que chaque assuré a une probabilité P = 0,986 51 d'être en vie dans 8 ans; nous ferons abstraction des frais de gestion. À la date t = 0, l'assureur encaisse na 1r = 630 M€ qu'il place à 6 % l'an. À la date t = 8 ans, l'assureur disposera donc de na1r x 1,068 pour payer caux N v survivants, N v étant le nombre aléatoire de survivants. N v suit une loi binomiale. Son espérance E(Nv ) est naP = 9 865,1. Le résultat de l'assureur est aléatoire car il dépend du nombre de survivants N v :

Rna = na1r

X

1,068

-

cNv = 1 004 124 287 - 100 000

X

Nv

avec

E(Rna) = na1r xl, 06 8 -cnap = 1 004 124287 -986 510000 = 17614287 €

5.3.

Comparaison des deux actuariats

L'écart temporel entre primes et prestations est - bref (6 mois) dans le premier exemple, ce qui peut conduire, au moins dans un premier temps, à ne pas modéliser explicitement les produits financiers ; - long (8 ans) dans le second exemple, ce qui conduit à modéliser explicitement les produits financiers. Il Y a une autre différence : deux dizaines de décès de plus ou de moins (en raison du caractère aléatoire du décès) - ont une grande importance dans le premier exemple, car le nombre espéré de prestations est égal au (petit) nombre de décès attendus ; - sont plus négligeables dans le second exemple, où le nombre espéré de prestations est égal au contraire au (grand) nombre de survivants, presque égal au nombre des assurés.

Choix du modèle actuariel Traditionnellement, le modèle d'actuariat à court terme et fort aléa est utilisé en assurance non-vie, et le modèle d'actuariat à long terme et faible aléa en assurance vie. Cette tradition provient du fait que l'écart temporel entre les primes et les prestations d'un contrat est globalement plus considérable en assurance vie qu'en assurance non-vie. Ceci peut se constater sur les comptes de l'ensemble des sociétés: les provisions techniques représentent 5 fois les primes en vie et 1,5 fois en non-vie. Cela signifie qu'en moyenne il s'écoule 5 ans en vie entre l'encaissement de la prime et le décaissement de la prestation, et 1,5 ans seulement en non-vie.

30

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

En outre, l'aléa est beaucoup moins important en vie qu'en non-vie car, en vie, le versement de la prestation dépend de la survie de l'assuré, événement qui a une forte probabilité contrairement à l'assurance non-vie, où les sinistres ont de faibles probabilités. Et l'assurance décès? Selon notre convenance, - tantôt, comme dans le chapitre 4, l'assurance en cas de décès (de durée un an) sera rattachée à l'assurance non-vie: l'assimilation du décès à la non-vie ne surprend pas ! Le modèle simple du chapitre 4 sera d'ailleurs basé sur un contrat d'assurance décès ; - tantôt, comme dans le chapitre 6, l'assurance en cas de décès (de durée quelconque) sera l'une des composantes de l'assurance vie, l'autre étant l'assurance en cas de vie.

Annexes Annexe 1.

Rappels de mathématiques financières

Cette annexe a pour objet de rappeler les principaux concepts de mathématiques financières utilisés dans cet ouvrage et notamment dans le chapitre 6. Le lecteur peut se reporter aux ouvrages cités dans la bibliographie et notamment à [21] pour une étude approfondie.

1.1.

Intérêt simple

L'intérêt 1 relatif au prêt d'un capital C pendant la durée t et au taux i est dit simple lorsqu'il est payé en une seule fois et qu'il est proportionnel à la durée du placement 1 = cti Il est le plus souvent payé à terme échu, mais peut également être payé d'avance.

1.2.

Intérêts composés

Un placement est fait à intérêts composés lorsqu'à la fin de chaque unité de temps (le plus souvent l'année), l'intérêt simple obtenu au cours de la période est ajouté au capital pour porter à son tour intérêt simple pendant la période de temps suivante. Calculons la valeur acquise par un capital Co placé à intérêts composés au taux i pendant k années. Au bout d'un an, on a Cl

= Co

+ coi =

co(1

+ i)

Le capital Cl est supposé être lui-même placé au taux i pendant la deuxième année. La valeur acquise au bout de deux ans est donc C2

= Cl (1 + i) = (co (1 + i)) (1 + i) = Co (1 + i) 2

31

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

Et ainsi de suite. Au bout de la k-ième année, le capital acquis sera donc égal à Le capital Ck est appelé valeur acquise du capital co. Le capital Co est appelé valeur actuelle du capital Ck. La capitalisation, qui fait passer un capital de sa valeur actuelle à sa valeur acquise future en y ajoutant les intérêts, et l'actualisation, qui fait passer de la valeur acquise future à la valeur actuelle, sont donc des opérations inverses l'une de l'autre. Exemple : le bon de capitalisation prime

c que "assuré soit en vie ou non

âge=x

âge = x+ k

•

Dans un contrat dit de capitalisation, moyennant une prime 11' perçue à la date 0, la société s'engage à verser c dans k années au porteur du titre de capitalisation: il ne s'agit pas d'assurance vie, car le décès ou la survie du porteur du titre n'influe pas sur l'opération. La société souscrit na contrats identiques. Quelle est la prime 11' qui correspond à une espérance de résultat nulle ? Comme Rna = na1l'(1 + i)k - naC

Rna = 0 {::} 11'(1

+ i)k -

C

= 0 {::} 11' = (1: i)k

Le versement de c = 100 000 € dans 8 ans équivaut au versement immédiat de sa valeur actuelle. La prime pure 11' ainsi calculée est la valeur actuelle du capital c : on , . k 1 ecnt 11' = cv , avec v = - l+i Ici, à c = 100 000 € dans 8 ans, correspond une valeur actuelle calculée à t = a et au taux i = 6 %, qui est 11' = cv k = 62 741 €.

1.3.

Valeur acquise, valeur actuelle d'un ensemble de flux financiers

Considérons une opération qui génère les flux financiers (positifs ou négatifs)

32

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

On peut définir - la valeur acquise à la date finale t f, au taux d'intérêt i : tf

VAcquise (t

= tf,

i)

=L

Ft

(1

+ i)tf-t

t=to

- la valeur actuelle à la date ta, au taux d'intérêt i : tf

VActuelle (t

F,

= 0, i) = ~ (1 +t i)t

Exemple Sur un compte rémunéré au taux i = 5 %, un épargnant - dépose 10 000 € à t = 0 ; - puis retire 100 € par an à t = 1, 2, 3, ... , 7, et Il 000 € à t = 8.

VAcquise (t = 8, i = 5 %) = 10 000 x (1,05)8 - 100 x (1,05)7 - 100 x (1,05)6 - 100 x (1,05)5 - 100 x (1,05)4 - 100 x (1,05)3 - 100 x (1,05)2 - 100 x (1,05) - Il 000 =2920 € VActuelle (t = 0,

.

100 = 5 %) = 10 000 - 1,05 100 100 100 100 4 5 2 3 1,05 1,05 1,05 1,05 Il 000 100 100 1,056 1,057 1,058

'l

= 1 976

€

On peut vérifier que

VA ctueIle (0)

1.4.

=

VAcquise (8) 1, 05 8

Sensibilité de la valeur actuelle d'un ensemble de flux financiers au taux d'intérêt

On peut se demander comment VActuelle (t = 0, i) varie en fonction de i. Le cas particulier où dVActuelle (t = 0, i) = 0 di

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

33

attire l'attention: en ce cas, une petite modification de i ne modifie pas VActuelle (t = 0, i). Or, dVActuelle (t di

.

t,

= 0, 'l) = _ "" t t~

x

Ft (1 + i)t+l

-1

= (1 + i)

t,

""

Ft

tta t x (1 + i)t

La quantité

est appelé duration des flux Fto, Ftl' ... , Ft, ... , Ft, : c'est en effet une valeur moyenne des dates t des flux Ft considérés, moyenne où chaque date t est pondérée par la valeur actuelle (calculée à la date 0) du flux Ft correspondant. Il est équivalent de dire : - une petite modification de i ne modifie pas V _d_V_A_ct_u_e_lle_(t_=_O_,_i) = di

°

- la duration des flux Ft est nulle:

- (ou encore que la duration des flux positifs est égale à la duration des flux négatifs.)

Annexe 2.

Rappels de probabilités

Addition de variables aléatoires

Sans aucune condition, E(X I + X 2 ) = E(Xd + E(X 2 ). Si Xl et X 2 sont indépendantes, a 2 (X I + X 2 ) = a 2 (X 1 ) + a 2 (X 2 ). Donc si Xl, X 2 , ... , X n sont des variables aléatoires indépendantes, de même espérance E(X) et de même écart-type a(X) : • leur somme LXi = Xl - d'espérance E

+ ... + X n

(I: Xi) =

nE(X) ;

est une variable aléatoire

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

34

- de variance 0"2 (L Xi) = n0"2(X) ; - d'écart-type 0"

(2: Xi) = VnO"(X) ;

• leur moyenne -X

= ;;,1" ~ Xi est une variable aléatoire

- d'espérance E(X)

= ~ E (LXi) = E(X) ;

- d'écartr-type cr(X)

=~

cr (LXi)

= cr~).

De plus (théorème de la limite centrale), la loi de loi normale quand n devient grand.

2: Xi tend vers une

Loi normale, notée N(m, 0") - Définition: P(x < X < x

Alors, E(X) = m et O"(X) - Loi centrée et réduite :

+ dx)

1 =

fiC

(x_T1t)2

e-~

y27r0"

= 0".

U=(X-m)jO" suit la loi N(O, 1), qui est tabulée. - Addition: si X suit N(ml, 0"1) et Y suit N(m2, 0"2), X et Y étant indépendantes, alors X + Y suit une loi normale N (ml + m2, .jO"r + O"~).

Loi de Bernoulli, notée B (1, p) - Définition : X = 1 avec la probabilité p X = 0 avec la probabilité 1 - P Alors E(X) = p et O"(X) = .;;:'-p('---l--p-). Loi binomiale, notée B(n, p) - Définition: X = 2:: Xi où XI, X 2 , ... , X n est un échantillon d'une loi B(l, p). Alors évidemment

E(X)

= np

et

O"(X)

= y'np(l - p)

- Addition: si X suit une loi B(nI, p) et Y suit une loi B(n2, p), X et Y étant indépendantes, alors X + Y suit une loi B(nl + n2, p). - Approximation: si n est grand, et si p n'est pas petit, alors X suit à peu près une loi normale N(np, .jnp(l - p)).

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

35

La loi de Poisson de paramètre À Définition : Les probabilités que X prenne les valeurs 0, 1, 2, ... varient ainsi (elles decroissent si À est inférieur à 1) :

P(X = 0) =

e-'\

puis

P(X = k) =

À

kx

P(X

=k-

1) pour k

= 1,

2,

Alors, E(X) = À, et a 2 (X) = À, et donc a(X) = V).... Addition: si X suit P(Àd et Y suit P(À 2 ), X et Y étant indépendantes, alors X + Y suit P(À I + À2 ).

Le calcul des probabilités et la prévision du résultat Soient Xl, X 2 , ... , X n , des variables aléatoires indépendantes, de même espérance E(X) et de même écart-type a(X). D'un point de vue pratique, le théorème de la limite centrale permet de considérer que - la charge moyenne centrée et réduite

UX = X - E(X) = _X_-_E--,--(X--,-) a(X) a(X)/ fo - ou, ce qui revient au même, la charge totale centrée et réduite

suivent une loi normale centrée réduite si n est suffisamment grand. En se reportant aux tables de la loi normale, on lit, par exemple, que

P(IUI < 2)

= 95

P(IUI < 2,6)

%

= 99

%

P( 1U 1 < 3, 3) = 99, 9

P(IUI < 3,9)

=

%

99,99 %

On en déduit par exemple qu'il y a 99,9 % de chances que

X-E(X)I I a(X)/fo < 3,3 soit

lX - E(X)I < 3,3a(X)/v'n qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

36

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

Ce qui précède permet donc, si l'on connaît E(X) et a(X), et si l'approximation découlant du théorème de la limite centrale est justifiée, de prévoir une réalisation future de X. Il Y a par exemple 99,9 % de chances que E(X) - 3, 3a(X)/Vrï < X < E(X)

+ 3, 3a(X)/vn

Le calcul statistique et la tarification Inversement, si l'on a observé une réalisation x de X, on peut estimer E(X), et si l'approximation découlant du théorème de la limite centrale est justifiée, il y a par exemple 95 % de chances que:

x-

2a(X)/Vrï < E(X)

< x + 2a(X)/Vrï

(Évidemment, a(X) doit être estimé lui aussi.) Si l'approximation découlant du théorème de la limite centrale n'est pas justifiée, on peut recourir à l'inégalité de Bienaymé-Tchebicheff, valable pour toute variable aléatoire et donc pour x : les résultats précédents demeurent au moins qualitativement. Remarque pratique Il importe de bien distinguer, pour une variable aléatoire X et n variables Xl, X 2 , ••• , X n , de même loi: - X d'espérance E(X), d'écart-type a(X) ; - ~Xi d'espérance nE(X), d'écart-type ylna(X) ; - X d'espérance E(X), d'écart-type a(X)/ yin. De même, il ne faut pas confondre - la moyenne aléatoire X ; - la moyenne observée x ; - la moyenne probable E(X). Le vocabulaire usuel est très ambigü, les mots «fréquence}) et «coût moyen}) désignant selon le contexte l'une ou l'autre de ces notions.

Annexe 3.

3.1.

Comptes 1997 de l'assurance française

Ensemble des entreprises d'assurance non-vie en France

Les montants sont indiqués en milliards de francs. Le bilan compare l'actif réel au passif réel.

37

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance

BILAN NON-VIE AU 31/12/1997 PASSIF

ACTIF

138

120 719

Situation nette Passif réel Provisions techniques Provisions pour risques et charges Autres dettes Sous-total : passif réel

719

TOTAL

719

Placements Part des réassureurs dans les provisions techniques

524

Autres créances Sous-total : actif réel TOTAL

75

471 16 95 581

Remarque: les placements comportent une plus-value latente de 87. Le compte de résultat explique le résultat de l'exercice par une différence entre produits et charges. COMPTE DE RÉSULTAT NON-VIE 97

100 %

(±)

276 218 37 24 22 3 -4

Résultat technique

(=)

11,6

4,2 %

Résultat non technique

(+ )

- 2,7

-1,0 %

Résultat

(=)

8,9

3,2 %

Primes Charge des prestations Frais d'acquisition Autres charges de gestion Produit net des placements Participation aux résultats Solde de réassurance

(+)

(-) (-) (-) (+ )

(-)

79 % 13 % 9% 8% 1% -1%

38

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le bilan compare l'actif réel au passif réel BILAN NON-VIE AU 31/12/1997 ACTIF

PASSIF

Placements 3 189 Part des réassure urs dans 54 les provisions techniques A utres créances Sous-total: actif réel

261 3504

Situation nette 136 Passif réel Provisions techniques 3 159 Provisions pour risques et charges 11 198 Autres dettes Sous-total : passif réel 3368

TOTAL

3504

TOTAL

3504

Remarque: les placements comportent une plus-value latente de 272. Le compte de résultat explique le résultat de l'exercice par une différence entre produits et charges. COMPTE DE RÉSULTAT VIE 97

%

Primes Charge des prestations Charge des prestations techniques Ajustements ACAV Frais d'acquisition Autres charges de gestion Produit net des placements Participation aux résultats Solde de réassurance

(+)

528

(-) (-)

210

Résultat technique ass. vie

(=)

9,2

1,7 %

Résultat technique ass. non-vie

(±)

0,4

0,1

%

Résultat non technique

(±)

0,1

0,0

%

Résultat

(=)

9,7

1,8 %

(+ )

309 21 27 12 177

(-)

160

(±)

1

(±)

(-) (-)

100

40 % 59 % 4% 5% 2% 34 % 30 % 0,2

%

Chapitre 2 /

COMPTABILITE ET ASSURANCE

«Les comptables de Sienne, de Florence et Venise [du XIIe siècle] ont fait triompher la technique sur le bon sens et le sens des mots: quant à la terminologie, l'inversion des signes a embrouillé l'esprit des profanes pour des centaines d'années; mais quant à la technique, la réforme a eu des conséquences suffisamment heureuses pour être adoptée par tous les comptables», Jean Fourastié ([16]). La première tâche du comptable est de recenser chronologiquement tous les actes de l'entreprise qui ont une incidence financière certaine : actes d'achat et de vente, réception ou émission de factures, paiement ou encaissement. L'enregistrement doit être minutieux et parfaitement fiable, car il constitue un élément d'information et de preuve entre l'entreprise et l'extérieur (clients, fournisseurs, administration fiscale, banque), et même entre différents services de l'entreprise. Bien que cet aspect de la comptabilité occupe la majeure partie du temps du comptable, il ne sera évoqué que succinctement, car il suffit d'en comprendre les grands principes pour pouvoir porter toute son attention sur la seconde tâche du comptable. La seconde tâche du comptable est de faire périodiquement une synthèse de la situation, à partir des informations qui découlent de l'enregistrement chronologique précité, mais aussi de la totalité des informations disponibles dans l'entreprise, et en particulier, en assurance, du montant des engagements envers les assurés (valeur estimative des sinistres non-vie, ou valeur actuelle des capitaux ou rentes d'assurance vie que l'assureur est engagé à payer).

40

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Cette synthèse comporte deux volets : - un inventaire de la richesse de l'entreprise, le bilan, où sont résumés les avoirs et les dettes au sens le plus large ; - une explication du résultat (enrichissement ou appauvrissement de l'entreprise au cours de la période écoulée) comme différence entre des produits et des charges. Cette synthèse, et d'abord le bilan, intéresse particulièrement l'actuaire car il souhaite pouvoir y lire la capacité de l'entreprise à honorer la totalité des engagements pris envers les assurés. Sur ce terrain, l'actuaire rencontre le comptable et le juriste, car le respect des normes réglementaires de solvabilité conditionne le maintien de l'agrément administratif qui est le régime général sous lequel fonctionne, dans la plupart des pays, la prestation de service d'assurance, et qui trouve son fondement dans un souci de protection du consommateur. Afin de permettre l'étude de la réglementation, qui fait l'objet de la partie suivante, nous exposerons d'abord les mécanismes comptables généraux et les particularités de l'assurance (§ 1.), puis nous illustrerons les opérations d'inventaire si particulières à l'assurance par l'exemple de la société S (§ 2.), et enfin nous commenterons l'information que contiennent les comptes annuels de toute société d'assurance (§ 3.).

1.

Les buts et les méthodes de la comptabilité

Il est usuel de distinguer, comme nous l'avons fait ci-dessus, deux fonctions de la comptabilité : - jour après jour, enregistrer les opérations afin d'en conserver la mémoire et la preuve; - périodiquement, par exemple le 31 décembre de chaque année, établir une synthèse de la situation en deux volets : bilan, compte de résultat. Au risque de paraître mettre la charrue avant les bœufs, nous présenterons la synthèse annuelle (§ 1.1) avant d'examiner l'enregistrement journalier des opérations (§ 1.2). Il nous semble en effet préférable de présenter d'abord ce qui, pour l'objet de cet ouvrage, est le but essentiel de la comptabilité.

1.1. 1.1.1.

Les comptes annuels: bilan, compte de résultat Le bilan

(( Le bilan décrit séparément les éléments actifs et passifs de l'entreprise, et fait apparaître, de façon distincte, les capitaux propres}) (art. 9 du Code de commerce). Le bilan (au 31/12 de l'année n) permet de comparer l'actif réel (au 31/12/n) au passif réel (au 31/12/n).

41

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

Rappelons avant d'aller plus loin ce qui a été indiqué au chapitre 1, § 4. • L'actif réel d'une société est constitué par l'ensemble des biens qu'elle possède et l'ensemble des créances qu'elle détient sur des tiers. En assurance, cet actif est essentiellement constitué par des placements. • Le passif réel d'une société est constitué par l'ensemble des dettes qu'elle a contractées à l'égard de tiers. En assurance, ce passif est essentiellement constitué par les engagements contractés à l'égard des assurés, dénommés provisions techniques. • La différence entre l'actif réel et le passif réel constitue la situation nette comptable, encore appelée capitaux propres, de l'entreprise. La situation nette évolue au fil des exercices. - Elle s'accroît lorsque l'entreprise fait un bénéfice. Elle diminue ensuite du montant des distributions de bénéfices aux actionnaires, et reste donc accrue du montant des bénéfices non distribués aux actionnaires (mis en réserve). - Elle diminue lorsque l'entreprise fait une perte. • Il est essentiel que, même amputée d'une perte, la situation nette reste positive. Dans le cas contraire, les biens et créances étant inférieurs aux dettes et engagements, nous dirons que l'entreprise est insolvable.

Dans la présentation en colonne, le bilan est présenté ainsi : Actif au 31/12/n (biens et créances, en assurance Placements) - Passif au 31/12/n (dettes et engagements, en assurance Provisions techniques) = Situation nette comptable ou Capitaux propres au 31/12/n

Dans la présentation en tableau (ou vénitienne, du nom de la cité où la comptabilité a pris sa forme moderne aux XIIe et XIIIe siècle), la situation nette figure au passif, de manière avoir deux colonnes égales, à gauche et à droite du bilan. Actif au 31/12/n

Passif au 31/12/n Situation nette ou Capitaux propres

Biens et créances (Placements) Dettes et engagements (Provisions techniques)

Sur la présence conventionnelle de la situation nette au passif, au côté des dettes et engagements, on peut • soit penser que la situation nette est assimilable à une dette envers les sociétaires (les actionnaires dans une société anonyme, les assurés dans une mutuelle) ; • soit penser que le passif juxtapose les deux origines possibles des biens et créances : l'entreprise possède ce qui figure à l'actif - soit parce qu'elle a emprunté,

42

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- soit parce que les actionnaires ou les sociétaires lui ont apporté (capital initial) ou lui ont laissé (bénéfices non distribués) des fonds. Jean Fourastié a, fort justement, défendu la seconde opinion.

«Dans le bilan d'une société prospère, l'actif est formé par une seule classe de comptes bien homogène; c'est la description de ce qu'elle possède, la valeur comptable de ses investissements, de ses placements et de ses créances. Au contraire, du côté passif sont portés des éléments très différents: capital social et réserves, puis dettes, amortissements, provisions; enfin le solde du compte de profits et pertes, puisque dans le cas d'une société prospère, ce compte doit gonfler le passif pour l'égaliser avec l'actif. Et cependant les livres de comptabilité impriment que le passif du bilan est l'état des sommes que la société doit; mais l'entreprise ne doit pas son capital, il n'y a aucun intérêt à baptiser dette ce qui n'est pas dû ; par ces absurdes théories on obnubile les crédules, on trompe les naïfs et l'on perd la confiance des gens intelligents. En effet l'actionnaire n'est pas créancier, il est propriétaire». Jean Fourastié, [16].

1.1.2.

Le compte de résultat

«Le compte de résultat récapitule les produits et les charges de l'exercice, sans qu'il soit tenu compte de leur date d'encaissement ou de paiement. Il fait apparaître, par différence après déduction des amortissements et des provisions, le bénéfice ou la perte de l'exercice. Les produits et les charges, classés par catégorie, doivent être présentés soit sous forme de tableaux, soit sous forme de liste» (art. 9 du Code de commerce). Nous avons dit au chapitre 1, § 4. que le compte de résultat compare les charges (les dépenses) aux produits (les recettes), afin d'expliquer le résultat (qui, par définition, a augmenté la situation nette au cours de l'exercice écoulé). En assurance, les produits sont principalement les primes et les produits financiers provenant des placements, les charges sont essentiellement les sinistres et les frais de fonctionnement de l'entreprise.

1.1.3.

Remarques

• L'exercice désigne l'intervalle de temps qui s'est écoulé depuis l'inventaire précédent; en assurance, il s'agit de l'année civile . • Les mots dépenses et recettes ne sont pas utilisés en comptabilité en raison de leur ambiguïté : - La charge de loyer de 1999 (et le résultat de l'exercice 1999) doit être la même, que l'entreprise ait ou non payé son loyer de décembre avant le 31/12/1999 ; or, le langage courant ne parlerait pas de dépense dans le deuxième cas. - L'acquisition d'un titre de valeur mobilière ou d'un immeuble n'est pas une charge ; or, le langage courant peut la qualifier de dépense.

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

43

Les mots de dépenses et de recettes se réfèrent, en effet, dans le langage courant, à des variations du compte en banque de l'entreprise. • Dans la présentation en colonne, le résultat est présenté ainsi : Produits (ventes, en assurance Primes) de l'exercice n - Charges (achats, en assurance Sinistres) de l'exercice n = Résultat (Bénéfice +, Perte -) de l'exercice n

Dans la présentation en tableau, le bénéfice figure du côté des charges, la perte du côté des produits, de manière à avoir deux colonnes égales. Charges de l'exercice n (achats, en assurance Sinistres)

Produits de l'exercice n (ventes, en assurance Primes)

Bénéfice éventuel

Perte éventuelle

Cette explication du résultat passé est le point de départ de la prévision des résultats futurs. • Colonne ou tableau ? Dans le plan comptable français actuel, et donc dans la suite de ce chapitre, le bilan est présenté en tableau et le compte de résultat en colonne. La directive européenne laisse chaque pays libre de la présentation. • Pourquoi introduire les termes Actif réel et Passif réel? Les conventions comptables qui peuvent être rencontrées en France à diverses époques et dans le monde nous ont conduits à utiliser les mots Actif réel et Passif réel : - Les capitaux propres figurent ici du côté intitulé Passif et il va de soi que nous ne les incluons pas dans le Passif réel, assimilable aux Dettes et Engagements (liabilities en anglais). - Dans certaines présentations (telles que celle en usage en France jusqu'en 1994), la Perte de l'exercice figure à l'actif: nous ne l'incluons pas dans l'Actif réel, assimilable aux A voirs et créances (assets en anglais). • Dans certaines présentations, le Résultat de l'exercice figure sous ce nom soit au passif soit à l'actif; c'est au lecteur de savoir qu'il s'agit d'un bénéfice ou d'une perte, ce quj demande une certaine initiation. Dans la présentation française actuelle, le résultat de l'exercice figure algébriquement dans les capitaux propres, avec un signe moins s'il s'agit d'une perte.

• Vaut-il mieux dire Situation nette comptable ou Capitaux propres? Chaque terme évoque un aspect de la même grandeur. - Le terme Situation nette comptable évoque le calcul de cette grandeur: Situation nette comptable (on dit aussi Actif net) = Actif réel net de Passif rée1.

44

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

~ Le terme Capitaux propres évoque l'origine historique de cette grandeur : comme il a été dit plus haut, si l'actif réel dépasse le passif réel, c'est que les actionnaires ont apporté un capital, que la société a fait dans les exercices passés des bénéfices qui ont été mis en réserve, qu'elle a fait un bénéfice au cours de l'exercice qui vient de s'écouler. ..

1.2.

1.2.1.

L'enregistrement des opérations

L'enregistrement journalier des opérations courantes

Avant d'émettre une prime ou de payer un sinistre, nous examinerons quelques opérations afin de mettre en lumière les mécanismes comptables . • a) La société S se crée avec un capital de 20 M€. ~ al) Si S avait emprunté 20 M € à la banque B', S aurait écrit, dans un tableau à deux colonnes, celle de gauche étant appelée D, celle de droite C, pour des raisons que nous expliquerons plus loin: Journal du 1/1/2000 A voirs en banque (banque B)

D

C

20000000

à Dette envers les banques (banque B')

20000000

~ a2) Ici, elle reçoit 20 M € de ses actionnaires (capital de 20 M € entièrement libéré en espèces) et écrit :

Journal du 1/1/2000 Avoirs en banque (banque B)

D

C

20000000 20000000

à Capital

On voit ici la similitude apparente entre une opération d'emprunt et l'appel aux actionnaires; la différence, essentielle pour les créanciers, est commentée plus loin . • b) S achète un immeuble pour 1 000 000 € le 7/1, encaisse un loyer de 10 000 € le 31/1, revenè l'immeuble pour 1 100 000 € le 15/2. ~ b1) Les placements sont enregistrés pour leur prix d'acquisition: Journal du 7/1/2000 Placements (Immeuble A)

à Avoirs en banque

D

C

1 000000 1 000000

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

45

- b2) Lors de l'encaissement du loyer est enregistré un produit: D

Journal du 31/1/2000 Avoirs en banque

C

10000

à Produits des placements

la 000

- b3) Lors de la vente de l'immeuble est enregistré un produit si elle vend cet immeuble 1 100 000 € : D

Journal du 15/2/2000 A voirs en banque

C

1 100000

à Placements

1 000000

à Produits des placements

100 000

• c) S émet puis encaisse une prime. Les primes sont comptabilisées lors de leur émission (sans attendre leur encaissement) : - cl) (ni taxe, ni intermédiaire). Au journal du 1/03, la société émet la prime:

Journal du 1/3/2000 Assurés

D

C

1 000

à Primes

1 000

La créance sur Monsieur X s'éteint lorsque Monsieur X paie: Journal du 9/3/2000 Avoirs en banque

à Assurés

D

C

1 000 1000

46

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- c2) (intermédiaire; pas de taxe) Journal du 1/3/2000 Assurés

D 1000

1 000

à Primes Commissions

C

200

à Courtiers

200

La créance sur l'assuré s'éteindra lors de l'encaissement de la prime; la dette envers le courtier s'éteindra lors du paiement de la commission; ces deux opérations peuvent n'être pas simultanées . • d) S enregistre puis règle un sinistre auto. À la différence des primes, les prestations ne sont en général comptabilisées que lors de leur paiement. Lorsque, le 1/4, la société apprend que Monsieur A, assuré en responsabilité civile auto, a blessé gravement un piéton, elle ne sait quoi comptabiliser. Journal du 1/4/2000

D

Prestations

?

à Victimes

C

?

Le moment où la dette envers la victime est connue est le moment du paiement. Journal du 10/10/2000

Prestations

D

C

50000

à Avoirs en banque

50000

En assurance vie, il est beaucoup plus facile qu'en non-vie de comptabiliser la naissance de la dette, dès le décès de l'assuré: Journal du 1/4/2000

Prestations

à Bénéficiaires

D

C

5000 5000

47

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

Journal du 3/4/2000 Bénéficiaires

D 5 000

à A vairs en banque

1.2.2.

C

5 000

Quand constater les charges et les produits?

Dans toute la mesure du possible, l'enregistrement des opérations courantes ne doit pas se contenter de constater les encaissements de produits (et les paiements de charges) ; on doit saisir dès leur naissance les créances (et les dettes) que les encaissements (et les paiements) éteindront.

«Le compte de résultat récapitule les produits et les charges de l'exercice, sans qu'il soit tenu compte de leur date d'encaissement ou de paiement» (art. 9 du Code de commerce). C'est pourquoi on utilise les termes techniques de produits et de charges plutôt que les termes usuels de recettes et de dépenses. Ce principe s'applique en particulier aux primes (et aux commissions). En revanche, pour des raisons pratiques, nous avons vu qu'il ne s'applique généralement pas aux prestations de l'assurance non-vie, ni aux autres charges (salaires ... ), ni aux autres produits (produits des placements). Lorsque les opérations courantes n'ont pas comptabilisé une charge ou un produit, c'est aux opérations d'inventaire de le faire. S a-t-elle payé ou non son loyer de décembre avant le 31/12 ? La situation de S ne doit pas apparaître meilleure si S n'a pas payé son loyer de décembre : - Si elle l'a payé, ses avoirs en banque ont diminué, simultanément elle a constaté une charge de loyer : son résultat et sa situation nette sont amputés de ce loyer. - Si elle ne l'a pas payé, il lui faut lors de l'inventaire constater d'une part une dette envers le propriétaire, d'autre part cette même charge de loyer.

1.2.3.

Le principe de prudence

Comment traiter les charges et les produits qui sont aléatoires et non connus avec certitude ? Un mathématicien aurait peut-être recours à l'espérance mathématique ou valeur probable, mais le Code de commerce introduit une dissymétrie considérable: c'est le principe de prudence. « Il doit être tenu compte des risques et des pertes intervenus au cours de l'exercice ou d'un exercice antérieur», dit l'article 14. «Seuls les bénéfices réalisés ou certains à la date de clôture d'un exercice peuvent être inscrits dans les comptes annuels», dit l'article 15.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

48

1.2.4.

Les opérations qui ne modifient pas la situation nette et les autres

Commentons les opérations précédentes.

L'opération (al) aurait laissé la situation nette à o. La situation nette serait passée à a (= 20 M€ d'actif dans la banque B, moins 20 M€ de passif réel dû à la banque B'), et n'aurait donc pas changé. Or, une société sans situation nette positive ne saurait faire face à aucune perte : toute perte (dépréciation des avoirs après un placement malheureux par exemple) la rendrait insolvable, c'est-à-dire incapable de payer intégralement ses dettes. L'opération (a2) porte la situation nette de 0 à 20 M€. La situation nette a été portée à 20 M€ (= 20 M€ d'actif dans la banque B moins a M€ de passif réel), et la société peut entamer une activité d'assurance en apportant une sécurité réelle à ses assurés. L'opération (bl) ne change pas la situation nette, car un poste de l'actif (Placements) augmente, mais un autre (Avoirs en banque) diminue du même montant. L'opération (b2) change la situation nette, car un poste de l'actif (Avoirs en banque) augmente de la 000 € sans qu'aucun actif ne soit modifié ni qu'aucune dette ne naisse. Au lieu d'augmenter directement le poste Situation Nette (Résultats) de la 000 €, le système de comptabilité en partie double choisit de créer un compte de classement (Produits des placements) pour garder en mémoire une explication de l'augmentation de situation nette. L'opération (b3), - à concurrence de 1 000 000 €, ne change pas la situation nette, car un élément de l'actif (Placements en immeubles) disparaît et un autre poste (A voirs en banque) augmente corrélativement ; - à concurrence de 100 000 €, change la situation nette, car à cette augmentation d'actif ne correspond ni diminution d'un autre actif ni naissance d'une dette. Au lieu d'augmenter directement le poste Situation Nette (Résultats) de 100 000 €, le système de comptabilité en partie double choisit d'utiliser le compte de classement (Produits des placements) pour garder en mémoire la raison de l'augmentation de situation nette.

1.2.5.

Les comptes

Un compte est un tableau en deux parties: ici, par exemple, le compte Avoirs en banque est le suivant après l'ensemble des opérations:

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

49

D

A voirs en banque

C

20000000

a2) b1) b2) b3)

1 000000 10 000 1 100000 1000

cl) d)

5000

TOTAL

21 111 000

1 005000

Après ces opérations, le compte Avoirs en banque présente un solde dit débiteur de : 21 111 000 - 1 005 000 = 20 106 000. 1.2.6.

La convention débit/crédit adoptée

Jusqu'à présent, la colonne de gauche a été appelée D et la colonne de droite C. Conventionnellement en effet, la colonne de gauche est appelée débit et la colonne de droite crédit. Mais on peut se demander pourquoi les avoirs en banque sont inscrits au débit et les diminutions de ces avoirs au crédit? Cela ne paraît pas logique. C'est que pour un compte débiteur tel que celui de Monsieur X, le point de vue adopté conduit à la convention Le compte de Monsieur X est débiteur

= Monsieur X doit de l'argent

De même, ici, on débite la banque parce que la banque doit de l'argent. Le point de vue adopté n'est pas celui de la société qui tient le compte mais celui du tiers. La convention afférente à chaque compte découle de ce parti pris : il s'ensuit que dans les comptes de résultat, le débit désigne les charges, le crédit les produits, ce qui paraît, cette fois-ci, logique. 1.2.7.

La comptabilisation en partie double

On peut vérifier sur chacun de nos exemples que chaque opération a été retracée par un (ou plusieurs) comptes débités, un (ou plusieurs) comptes crédités, le montant des débits étant égal au montant des crédits. C'est la règle de la comptabilisation en partie double: une opération - soit ne modifie pas la situation nette et modifie deux (ou plusieurs) comptes de bilan, le montant des débits étant égal au montant des crédits - soit modifie la situation nette : au lieu de modifier directement le compte Situation Nette, la modification est portée dans un compte de classement ou de ventilation indiquant la raison (produit ou charge) modifiant la situation nette.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

50

1.2.8.

Journal et grand livre

L'entreprise tient simultanément : - un journal (enregistrement chronologique des opérations) tel que cidessus; - un grand livre où figurent les comptes tels que le précédent Avoirs en banque (enregistrement thématique).

2.

L'inventaire d'une société d'assurance

La société S est créée le 1/01/2000 avec un capital de 20 M€. Elle a souscrit tout au long de cette première année d'activité des contrats automobile et habitation pour un montant total de primes de 80 l\1€. Pour faire apparaître l'importance du chiffrage des engagements envers les assurés, nous examinerons l'exercice 2000, premier exercice de la société S, tout d'abord avant inventaire (§ 2.1), puis après inventaire (§ 2.2). Nous examinerons ensuite l'exercice 2001, second exercice de la société S. S est une société non-vie; on trouvera en annexe 2 l'exemple de la société vie V, présenté de la même façon. L'exemple de la société S est complété dans cette annexe par celui d'une société S bis qui, à la différence de S, est réassurée, puis par une société S ter qui, à la différence de S, expose des frais d'acquisition. 2.1.

Les comptes avant inventaire

Les comptes avant inventaire de la société S sont les suivants au 31/12/2000 (en millions d'euros) : Soldes débiteurs (cl. (cl. (cl. (cl. (cl.

1) 2) 4) 4) 5)

Capital Placements Créances (sur les assurés ... ) Dettes Avoirs en banque, CCP, Caisse

20 67 18

5 5

SOUS-TOTAL

90

(cl. (cl. (cl. (cl.

9 10

6) 6) 7) 7)

Prestations et frais payés Frais d'exploitation Primes Produits des placements

SOUS-TOTAL TOTAL

Soldes créditeurs

25

80

4 19

84

109

109

51

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

Remarques - Les lignes sont rattachées à des classes de comptes numérotées de 1 à 9. - Dans les tableaux du § 2, nous indiquerons en caractères droits ce qui concerne le bilan et en italiques ce qui concerne le compte de résultat. On suppose que, pour chaque contrat, il n'y a pas de frais d'acquisi-

tion, exposés par définition à l'origine du contrat, et qu'au contraire les frais d'exploitation sont répartis tout au long de la durée du contrat. On trouvera en annexe 2 la prise en considération de frais d'acquisition. S'il n'y avait pas d'écritures d'inventaire, les comptes se présenteraient ainsi, avec un bénéfice satisfaisant! BILAN au 31/12/2000, avant inventaire PASSIF

ACTIF Placements Créances A voirs en banque

67

18 5

SN C ou Capitaux propres dont Capital dont Bénéfice

90 - 05 = 85 ? 20 85 - 20 = 65 ?

Passif réel dont Autres dettes TOTAL

5 5

90

90

La situation nette comptable est-elle vraiment de 90 (actif réel) - 5 (passif réel) = 85 ? En ce cas, elle serait passée de 20 au 1/1/2000, après l'apport du capital, à 85, soit un bénéfice de 85 - 20 = 65, et c'est ce qu'indiquerait le compte de résultat pour détailler la raison de cette augmentation: COMPTE DE RÉSULTAT 2000, avant inventaire

Primes Charge des prestations Frais d'acquisition Autres charges de gestion Produit net des placements = Résultat

( +)

(-) (-) (-) (+)

(= ±)

80 9 10 4

+ 65 ?

L'inventaire va nous permettre de répondre à cette question.

2.2.

Les opérations d'inventaire

L'inventaire est le moment où la société s'interroge: - en termes de résultat: toutes les charges ont-elles été comptabilisées? les produits comptabilisés doivent-ils contribuer entièrement au résultat de l'exercice ?

52

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- en termes de bilan : toutes les dettes ont-elles été comptabilisées ? tous les actifs valent-ils au moins leur valeur comptable? L'inventaire conduit l'assureur à constater, - en termes de résultat: que certains sinistres survenus n'ont pas encore été payés, que les primes reçues correspondent à des périodes de garanties qui ne sont pas expirées ; - en termes de bilan: que certains engagements n'ont pas été comptabilisés, la provision pour sinistres à payer (PSAP) ou valeur estimative des sinistres survenus et non encore payés, la provision pour primes non acquises (PPNA) et pour risques en cours (PREC), ou valeur estimative des sinistres susceptibles de survenir et garantis. La société S évalue d'une part, un par un, les sinistres survenus connus d'elle, d'autre part le coût des sinistres survenus et non encore connus d'elle, et enfin le coût de la gestion de tous ces sinistres, pour un total de 24 M€. L'expression primes non acquises (PNA) se réfère à la partie des primes non acquise à l'exercice comptable. Si toutes les primes sont annuelles et équidistribuées dans l'année, un calcul contrat par contrat du prorata temporis donnera 80/2 = 40 M€ de PNA. Cette provision est complétée le cas échéant par la PREC pour que le total atteigne la valeur estimative des sinistres susceptibles de survenir et garantis au-delà du 31 décembre. Évaluant la provision pour sinistres à payer (PSAP) à 24 M€ et la provision pour primes non acquises et risques en cours (PPNA et PREe) à 40 M €, la société établit donc les comptes suivants pour son premier exercice d'activité. BILAN au 31/12/2000 ACTIF Placements Créances Avoirs en banque

TOTAL

PASSIF 67 18 5

90

Capitaux propres dont Capital dont Bénéfice

90 - 69 = 21 20 21 - 20 = 1

+

Passif réel dont Provisions Techniques dont Autres dettes

69 64 5

TOTAL

90

Ici encore, le bénéfice est expliqué par la différence suivante entre les produits et les charges:

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

53

COMPTE DE RÉSULTAT 2000

(-)

80 40

(= +)

40

(-) (-)

24

Charge des prestations

(= -)

33

Frais d'acquisition Frais d'administration

(-)

0 10

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

10

Produit net des placements

(+ )

4

(= ±)

+ 1

Primes (Variation des) PNA Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP

= Résultat

(+ )

9

Comme on peut le constater, le bénéfice réalisé par la société S pour son premier exercice d'activité n'est pas de 65 M€, comme le laissaient supposer ses comptes avant inventaire, mais seulement de 1 M€. Ce montant est faible au regard de l'incertitude inévitable dans l'estimation des provisions techniques.

Remarque Dans la présentation actuelle du compte de résultat, le lecteur est supposé savoir si le libellé se réfère à un produit ou à une charge. Ce n'est pas toujours évident, c'est pourquoi nous avons ajouté ci-dessus une colonne pour rappeler le sens de chaque ligne (+) : produit ou contribution positive au résultat ; (-) : charge ou contribution négative au résultat. Le second exercice Au cours de l'exercice suivant, l'enregistrement des opérations courantes se traduirait ainsi s'il n'y avait pas d'écritures d'inventaire (les provisions techniques restant à leur niveau précédent) :

54

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

BILAN au 31/12/2001 avant inventaire ACTIF

PASSIF

Placements Créances A voirs en banque

94 28 15

Capitaux propres dont Capital et réserves dont Bénéfice

137 - 74 = 63 ? 21 63 - 21 = 42 ?

Passif réel dont Provisions Techniques dont Autres dettes TOTAL

137

74 64 10

TOTAL

137

COMPTE DE RÉSULTAT 2001 avant inventaire

Primes Charge des prestations Frais d'acquisition A utres charges de gestion Produit net des placements = Résultat

(+)

(-) (-) (-)

96 50

(+)

12 8

(= ±)

+ 42?

Il Y a lieu - de porter la prOVISIOn pour sinistres à payer de sa valeur au 31/12/2000, soit 24 M€, à sa valeur au 31/12/2001, soit 56 M€ ; - de porter la provision pour primes non acquises et pour risques en cours de sa valeur au 31/12/2000, soit 40 M€, à sa valeur au 31/12/2001, soit 48 M€. Les comptes du second exercice de la société se présenteront donc ainsi: BILAN au 31/12/2001 ACTIF Placements Créances Avoirs en banque

TOTAL

PASSIF 94 28 15

137

Capitaux propres dont Capital et réserves dont Bénéfice

137 - 114 = 23 21 23 - 21 = + 2

Passif réel dont Provisions Techniques dont Autres dettes

114 104 10

TOTAL

137

Chapitre 2

~

Comptabilité et assurance

55

COMPTE DE RÉSULTAT 2001 Primes (Variation des) PNA Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP Charge des prestations

96 8

(= +)

88

(~)

50

(~)

32

(=

~)

82

Frais d'acquisition Frais d'administration

(~)

12

Frais d'acquisition et d'administration

(~)

12

Produit net des placements

(+ )

8

(= ±)

+2

= Résultat

3.

(~)

(+)

0

L'analyse des comptes annuels

Le résultat de l'assureur est une différence entre des produits, dont les principaux sont les primes, et des charges, dont les principales sont les charges de prestations. Ce résultat peut s'analyser de diverses manières (§ 3.1). L'inversion du cycle de production spécifique à l'assurance que nous avons vue dans le chapitre 1, § 4. modifie considérablement la perception du bilan: • Comme, en moyenne, les ventes (les primes) sont encaissées avant que les achats (sinistres non-vie, prestations vie) ne soient décaissés, nous constaterons (§ 3.2) - que l'assureur dispose de fonds importants qu'il place (en obligations, actions, immeubles, prêts), afin d'en tirer des produits (revenus ou plusvalues de réalisations) ; - qu'il a corrélativement des engagements envers les assurés. • Comme les prix de vente (les primes) sont définis avant que ses prix de revient (sinistres non-vie, prestations vie) ne soient exactement connus, nous rappellerons (§ 3.3) qu'une perte est à craindre et qu'il importe que l'assureur dispose de capitaux propres importants, pour rester solvable même après cette éventuelle perte.

3.1.

Les diverses présentations du compte de résultat

Rappelons le compte de résultat précédent:

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

56

COMPTE DE RÉSULTAT 2001

Primes (Variation des) PNA

(-)

96 8

(= +)

88

(-) (-)

50 32

Charge des prestations

(= -)

82

Frais d'acquisition Frais d'administration

(-)

0 12

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

12

Produit net des placements

(+)

8

Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP

= Résultat

3.1.1.

(+ )

(= ±)

+2

La ventilation technique/non technique

Les comptes de produits et de charges peuvent être ventilés pour distinguer un résultat dit technique et un résultat dit non technique. COMPTE DE RÉSULTAT 2001

Primes (Variation des) PNA

(-)

96 8

(= +)

88

(-) (-)

32

Charge des prestations

(= -)

82

Frais d'acquisition Frais d'administration

(-)

12

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

12

Produits financiers du compte technique

(+)

6

Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP

(+)

50

0

= Résultat technique

0

Résultat non technique

2

= Résultat

(= ±)

+2

57

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

On peut ainsi ventiler les 8 M € de produits des placements entre le compte technique et le compte non technique. Comment faire cette ventilation? Au prorata des 104 M€ de provisions techniques et des 23 M€ de fonds propres, c'est-à-dire au prorata de l'origine des ressources placées (cf. 3.2). 3.1.2.

La ventilation par branche d'assurance, par pays

La ventilation des postes par pays ou catégorie d'assurance permet une ventilation du résultat technique par pays ou catégorie. Cette ventilation - va de soi pour les primes et les sinistres ; - découle de la comptabilité analytique pour les frais ; - est facilement rationalisable pour les produits des placements (qui peuvent être ventilés au prorata de l'origine des ressources placées, c'està-dire au prorata des provisions techniques, cf. 3.2). COMPTE DE RÉSULTAT 2001 auto

habitation

total

(-)

42 3

54 5

96 8

(= +)

39

49

88

(-) (-)

28 6

22 26

50 32

Charge des prestations

(= -)

34

48

82

Frais d'acquisition Frais d'administration

0

(-)

7

0 5

0 12

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

7

5

12

Produits financiers du compte technique

(+)

4

2

6

2

-2

0

Primes (Variation des) PNA Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP

= Résultat technique

3.1.3.

(+)

La ventilation des sinistres non-vie par exercice de survenance (cf. chapitre 5, § 3.)

La ventilation du résultat par exercice de survenance des sinistres est essentielle en assurance non-vie. Pour la société S : - Dans les comptes de l'exercice 2000 : il n'y a rien à ventiler puisque tous les sinistres sont survenus en 2000. - Dans les comptes de l'exercice 2001 : on peut distinguer les sinistres survenus en 2000 et ceux survenus en 2001.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

58

L'enregistrement comptable des sinistres par exercice de survenance permet la ventilation suivante : Sinistres survenus en Total 2000

2001

Exercice 2000

Sinistres payés Sinistres à payer Total Primes acquises

9 24 33 40

III III III III

9 24 33 40

Exercice 2001

Sinistres payés Sinistres à payer Total Primes acquises

19 3 22 40

31 53 84 88

50 56

3.2.

-

Première lecture du bilan: la représentation des engagements

Pour une entreprise produisant un bien (et qui, en moyenne, paye ses achats avant d'encaisser ses ventes), on peut dire de manière imagée que le bilan reflète comment le passif du bilan a financé l'actif: pour disposer des stocks (matière première et produits finis), d'un outil de production (terrains, usines, machines), l'entreprise a dû trouver des ressources à long terme auprès de banquiers (dettes) ou d'actionnaires (capital et réserves) : BILAN ACTIF

PASSIF Capitaux propres et réserves

Immobilisations Stocks Créances (sur les clients) A voirs en banque

TOTAL

Passif réel : dettes - à long et moyen terme (envers les banques) - à court terme (envers les fournisseurs) TOTAL

Pour l'entreprise d'assurance (qui, au contraire, en moyenne, encaisse les primes avant de payer les prestations), on peut dire que le bilan reflète comment le passif du bilan a été placé à l'actif.

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

59

PASSIF

ACTIF 94 28 15

Placements Créances Avoirs en banque

TOTAL

137

Capitaux propres

23

Passif réel dont Provisions Techniques dont Autres dettes

114 104 10

TOTAL

137

Cette lecture du bilan permet en premier lieu de comprendre comment, au § 3.1, les produits financiers ont été ventilés, d'abord entre le résultat technique et le résultat non technique au prorata des capitaux propres et des provisions techniques, puis entre branches d'assurance au prorata des provisions techniques. Mais elle permet surtout de comprendre les règles de représentation des engagements réglementés du chapitre 3, § 2. : face aux 104 M€ d'engagements envers les assurés, y a-t-il 104 M€ d'actifs présentant certaines caractéristiques de sûreté, de liquidité, de rentabilité ? Soulignons que l'entreprise d'assurance, investisseur institutionnel par la technique utilisée, n'a nul besoin de ressources à long terme telles qu'emprunts (obligataires ou non) et capital versé par les actionnaires. Elle n'a besoin de capitaux propres que pour garantir sa solvabilité, même après d'éventuelles pertes.

3.3.

Seconde lecture du bilan: la solvabilité BILAN au 31/12/2001

ACTIF

PASSIF

Placements Créances A voirs en banque

TOTAL

94 28 15

137

SNC ou Capitaux propres dont Capital et réserves dont Bénéfice

137 - 114 = 23 21 23 - 21 = 2

Passif réel dont Provisions Techniques dont Autres dettes

114 104 10

TOTAL

137

Le bilan comporte - au passif réel, les dettes et engagements (ici, 114), essentiellement les provisions techniques ;

60

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- à l'actif, les biens et les créances (ici, 137), essentiellement des placements; - la différence, situation nette comptable ou capitaux propres, qui figure au passif (ici, 137 - 114 = 23). Les capitaux propres et réserves au 31/12/2001 ont pour rôle de garantir la solvabilité future de l'entreprise, même si celle-ci fait une perte en 2002. Trois sources de pertes sont possibles : • une dépréciation de l'actif ci-dessus (baisse boursière, par exemple) ; • une insuffisance des provisions ci-dessus (inflation imprévue, évolution de la jurisprudence, par exemple) ; • un déséquilibre d'exploitation en 2002, qui peut avoir deux causes: - une insuffisance de tarif (sous-estimation du montant probable des sinistres ou des frais de gestion) ; - un aléa, écart (mal réassuré) entre le montant réel des sinistres et leur montant probable.

Annexes Annexe 1.

Extraits du code de commerce

Titre deuxième: De la comptabilité des commerçants. (Réf. R. 341-2) Article 8. Toute personne physique ou morale ayant la qualité de commerçant doit procéder à l'enregistrement comptable des mouvements affectant le patrimoine de son entreprise : ces mouvements sont enregistrés chronologiquement. Elle doit contrôler par inventaire, au moins une fois tous les douze mois, rexistence et la valeur des éléments actifs et passifs du patrimoine de l'entreprise. Elle doit établir des comptes annuels à la clôture de l'exercice au vu des enregistrements comptables et de l'inventaire. Ces comptes annuels comprennent le bilan, le compte de résultat et une annexe: ils forment un tout indissociable. Article 9. Le bilan décrit séparément les éléments actifs et passifs de l'entreprise, et fait apparaître, de façon distincte, les capitaux propres. Le compte de résultat récapitule les produits et les charges de l'exercice, sans qu'il soit tenu compte de leur date d'encaissement ou de paiement. Il fait apparaître, par différence après déduction des amortissements et des provisions, le bénéfice ou la perte de l'exercice. Les produits et les charges, classés par catégorie, doivent être présentés soit sous forme de tableaux, soit sous forme de liste. Le montant des engagements de l'entreprise en matière de pension, de compléments de retraite, d'indemnités et d'allocations en raison du départ à la retraite ou avantages similaires des membres ou associés de son personnel et de ses mandataires sociaux est indiqué dans l'annexe. Par ailleurs, les entreprises peuvent décider d'inscrire au bilan, sous forme de provision, le montant correspondant à tout ou partie de ces engagements.

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

61

L'annexe complète et commente l'information donnée par le bilan et le compte de résultat. Les comptes annuels doivent être réguliers, sincères et donner une image fidèle du patrimoine, de la situation financière et du résultat de l'entreprise. Lorsque l'application d'une prescription comptable ne suffit pas pour donner l'image fidèle mentionnée au présent article, des informations complémentaires doivent être fournies dans l'annexe. Si, dans un cas exceptionnel, l'application d'une prescription comptable se révèle impropre à donner une image fidèle du patrimoine, de la situation financière ou du résultat, il doit y être dérogé: cette dérogation est mentionnée à l'annexe et dûment motivée, avec l'indication de son influence sur le patrimoine, la situation financière et le résultat de l'entreprise.

Article 10. Le bilan, le compte de résultat et l'annexe doivent comprendre autant de rubriques et de postes qu'il est nécessaire pour donner une image fidèle du patrimoine, de la situation financière et du résultat de l'entreprise. Chacun des postes du bilan et du compte de résultat comporte l'indication du chiffre relatif au poste correspondant de l'exercice précédent. Le classement des éléments du bilan et du compte de résultat, les éléments composant les capitaux propres ainsi que les mentions à inclure dans l'annexe sont fixés par décret. Les commerçants, personnes physiques ou morales, pourront, dans des conditions fixées par décret, adopter une présentation simplifiée de leurs comptes annuels ( ... ). Article 11. À moins qu'un changement exceptionnel n'intervienne dans la situation du commerçant, personne physique ou morale, la présentation des comptes annuels comme les méthodes d'évaluation retenues ne peuvent être modifiées d'un exercice à l'autre. Si des modifications interviennent, elles sont décrites et justifiées dans l'annexe. Article 12. À leur date d'entrée dans le patrimoine de l'entreprise, les biens acquis à titre onéreux sont enregistrés à leur coût d'acquisition, les biens acquis à titre gratuit à leur valeur vénale et les biens produits à leur coût de production. Pour les éléments d'actif immobilisé, les valeurs retenues dans l'inventaire doivent, s'il y a lieu, tenir compte des plans d'amortissement. Si la valeur d'un élément de l'actif devient inférieure à sa valeur nette comptable, cette dernière est ramenée à la valeur d'inventaire à la clôture de l'exercice, que la dépréciation soit définitive ou non. Les biens fongibles sont évalués soit à leur coût moyen pondéré d'acquisition ou de production, soit en considérant que le premier bien sorti est le premier bien entré. La plus-value constatée entre la valeur d'inventaire d'un bien et sa valeur d'entrée n'est pas comptabilisée. S'il est procédé à une réévaluation de l'ensemble des immobilisations corporelles et financières, l'écart de réévaluation entre la valeur actuelle et la valeur nette comptable ne peut être utilisé à compenser les pertes; il est inscrit distinctement au passif du bilan. Article 13. Les éléments d'actif et de passif doivent être évalués séparément.

62

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Aucune compensation ne peut être opérée entre les postes d'actif et de passif du bilan ou entre les postes de charges et de produits du compte de résultat. Le bilan d'ouverture d'un exercice doit correspondre au bilan de clôture de l'exercice précédent.

Article 14. Les comptes annuels doivent respecter le principe de prudence. Pour leur établissement, le commerçant, personne physique ou morale, est présumé poursuivre ses activités. Même en cas d'absence ou d'insuffisance du bénéfice, il doit être procédé aux amortissements et provisions nécessaires. Il doit être tenu compte des risques et des pertes intervenus au cours de l'exercice ou d'un exercice antérieur, même s'ils sont connus entre la date de la clôture de l'exercice et celle de l'établissement des comptes.

Article 15. 8euls les bénéfices réalisés à la date de clôture d'un exercice peuvent être inscrits dans les comptes annuels. Peut être inscrit, après inventaire, le bénéfice réalisé sur une opération partiellement exécutée et accepté par le cocontractant lorsque sa réalisation est certaine et qu'il est possible, au moyen de documents comptables prévisionnels, d'évaluer avec une sécurité suffisante le bénéfice global de l'opération.

Annexe 2.

Réassurance, frais d'acquisition, assurance vie: exemples

L'objet de cette annexe est de compléter l'exemple de la société 8 traité au § 2, en indiquant le traitement comptable de la réassurance (8 bis), des frais d'acquisition (8 ter) et de l'assurance vie (V).

2.1.

S bis et la comptabilisation de la réassurance

S bis a la même activité et les mêmes comptes hors réassurance que 8 ; mais elle se réassure. Dans un traité de réassurance, l'assureur 8 bis qui cède certains risques à un réassureur R est le cédant, le réassureur R qui accepte ces risques est le cessionnaire : les cessions de 8 bis sont des acceptations de R. 8 bis cède 50 % de ses affaires en quote-part, moyennant une commission de réassurance de 10 % des primes cédées. Plus précisément: - 8 bis s'engage à verser 50 % des primes à R ; - R s'engage à rembourser 50 % des sinistres à 8 bis ; - R reverse aussi à 8 bis une commission de réassurance de 10 % des primes que 8 bis lui cède. Figure en gras dans ce qui suit tout ce qui, dans le cas 8 bis, diffère du cas 8.

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

63

COMPTE DE RÉSULTAT 2000 brut

(+ )

Primes (Variation des) PNA

cessions

net

= =

50 % 80 50 % 40

40,0 20,0

(-)

80 40

(= +)

40

20

20,0

(-) (-)

9 24

4,5 = 50 % 9 12 = 50 % 24

4,5 12,0

Charge des prestations

(= -)

33

16,5

Frais d'acquisition Frais d'administration

(-)

0 10

4

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

10

Produit net des placements

(+)

4

4,0

+ 1

1,5

Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP

= Résultat

(= ±)

40 20

=

=

50 % 33

10 % 40

16,5

6,0

4

6,0

BILAN au 31/12/2000 ACTIF

PASSIF

Placements 35,5 Provisions techniques à la charge des réassure urs 32,0 Créances 18,0 Avoirs en banque 5,0

Capitaux propres dont Capital dont Bénéfice Passif réel, dont Provisions Techniques Autres dettes

TOTAL

TOTAL

90,5

90,5 - 69 = 21,5 20,0 215 - 20 = 1-'..5 69,0 64,0 5,0 90,5

La part des cessionnaires dans les provisions techniques est de 32 M € = 50 % x 64. Les placements sont de : 67 avant réassurance - 40 de primes versées au réassureur + 4,5 de sinistres remboursés par le réassureur + 4 de commission versée par le réassureur = 35,5. (Les échanges entre l'assureur et le réassureur ont été supposés n'avoir eu lieu que le 31/12/2000 et pas avant, sinon S bis aurait moins de placements en cours d'année, et donc moins de produits financiers, que S.) Pour être certain que le réassureur remplira ses 32 M€ d'engagements à l'égard de la société (la part des cessionnaires dans les provisions techniques), l'assureur peut lui demander un nantissement de valeurs.

64

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Dans ce cas apparaîtrait au hors-bilan - les valeurs nanties à l'actif du hors-bilan; - et l'engagement de restituer ces valeurs au passif du hors-bilan.

2.2.

S ter et la comptabilisation des frais d'acquisition reportés

La société S ter est créée le 1/01/2000 avec un capital de 20 Ivl€. Entièrement semblable à S, elle paie des frais d'acquisition et a donc un tarif supérieur: au lieu d'émettre 80 M€ de primes et de n'avoir pas de frais d'acquisition comme S, elle émet 100 M€ de primes (également réparties tout au long de l'année) supportant 20 % de commissions versées à un intermédiaire. Figure en gras dans ce qui suit tout ce qui, dans le cas S ter, diffère du cas S : les primes passent de 80 pour la société S à 100 pour S ter, et en contrepartie les frais d'acquisition passent de 0 à 20. La provision PNA passe de 80/2 = 40 pour S à 100/2 = 50 pour S ter, et en contrepartie il faut constater des frais d'acquisition reportés (reportés aux exercices suivants) de 20/2 =10.

COMPTE DE RÉSULTAT 2000 Primes (Variation des) PNA Primes acquises Prestations et frais payés (Variation des) PSAP Charge des prestations

(+)

(-)

100 50

(= +)

50

(-) (-)

24

(= -)

33

(-)

9

Frais d'acquisition (Variation des) frais d'acquisition reportés Frais d'administration

(+)

(-)

20 10 10

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

20

Produit net des placements

(+ )

4

= Résultat

(= ±)

+1

Cbapitre 2 - Comptabilité et assurance

65

BILAN au 31/12/2000 PASSIF

ACTIF Placements

67

Capitaux propres dont Capital dont Bénéfice

21 20 1

Créances Avoirs en banque Frais d'acquisition reportés

18 5 10

Passif réel dont Provisions Techniques dont Autres dettes

79 74 5

TOTAL

2.3.

100

TOTAL

100

Vet la comptabilisation de l'assurance vie

La société V a été créée le 1/01/2000 avec un capital de 10 M€. Elle a souscrit le 30/6/2000 des contrats d'épargne de 10 000 € de primes unitaires et émis des primes uniques d'un montant total de 100 M€. Garantie de c = 12034 € au terme de 8 ans en cas de survie de l'assuré, moyennant une prime de 9 500 + 500 € de chargement d'acquisition. En cas de décès à l'époque t, la garantie est de 9 500(1, 03)t. Sa balance avant inventaire est la suivante au 31/12/2000 : Soldes débiteurs (cl. (d. (d. (cl. (cl.

1) 2) 4) 4) 5)

Capital Placements Créances (sur les assurés ... ) Dettes Avoirs en banque

SOUS-TOTAL (cl. (cl. (cl. (cl.

6) Prestations et frais payés 6) Frais d'exploitation 7) Primes 7) Produits des placements

SOUS-TOTAL TOTAL

Soldes créditeurs 10

106 2 1 1

109

11

1 6 100 5

7

105

116

116

S'il n'y avait pas d'écritures d'inventaire, les comptes se présenteraient ainsi (avec un bénéfice satisfaisant pour les actionnaires !) :

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

66

BILAN au 31/12/2000, avant inventaire ACTIF

PASSIF

Placements Créances Avoirs en banque

106 2 1

Capitaux propres dont Capital dont Bénéfice

109 - 1

108 ? ? 10 108 - 10 = 98 ? ?

Passif réel dont Dettes TOTAL

109

=

1 1

TOTAL

109

COMPTE DE RÉSULTAT 2000, avant inventaire

Primes

(+)

100

Prestations et frais payés

(-)

1

Frais d'exploitation

(-)

6

Produit net des placements

(+)

5

(= ±)

= Résultat

98 ?

Au 31/12/2000, il Y a 9 957 survivants, d'où, au total, des provisions mathématiques de 9 957 x 12 034 x 1,03- 7 ,5

= 96 M€

et les comptes suivants (on suppose que le taux i d'escompte des provisions est suffisamment prudent pour permettre de ne pas constituer de provision de gestion) : BILAN au 31/12/2000 PASSIF

ACTIF Placements Créances Avoirs en banque

106 2 1

Capitaux propres dont Capital dont Bénéfice Passif réel dont Provisions techniques dont Autres dettes

TOTAL

109

TOTAL

109 - 97 = 12 10 12 - 10 = 2 97 96 1 109

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

67

COMPTE DE RÉSULTAT 2000

Primes

( +)

100

Prestations et frais payés (Variation des) Provisions d'assurance vie

(-) (-)

96

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

6

Produit net des placements

(+ )

5

(= ±)

2

= Résultat

1

Au 31/12/2001, s'il n'y avait pas d'écritures d'inventaire, les provisions resteraient celles de l'inventaire précédent et les comptes se présenteraient ainsi: BILAN au 31/12/2001, avant inventaire PASSIF

ACTIF Placements Créances Avoirs en banque

232 5 3

Capitaux propres dont Capital et réserves dont Bénéfice

240 - 97 143 - 12

Passif réel dont Provisions techniques dont Dettes TOTAL-

240

= 143 ? ? 12

TOTAL

= 131

??

97 96 1 240

COMPTE DE RÉSULTAT 2001, avant inventaire

Primes

(+)

130

Prestations et frais payés

(-)

2

Frais d'exploitation

(-)

9

Produit net des placements

(+)

12

(= ±)

131 ?

= Résultat

Au 31/12/2001, 9 868 survivants des souscripteurs de première année et 12 901 survivants des souscripteurs de deuxième année, conduisent à une provision mathématique de : 9 868 x 12 034 x 1,03- 6 ,5

+ 12 901

x 12 034 x 1,03- 7 ,5 = 222 M€

68

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

d'où les comptes suivants: BILAN au 31/12/2001 ACTIF

PASSIF

Placements Créances A voirs en banque

232 5 3

Capitaux propres 240 - 223 = 17 12 dont Capital et réserves 17 - 12 = 5 dont Bénéfice Passif réel 223 dont Provisions techniques 222 1 dont Dettes

TOTAL

240

TOTAL

240

COMPTE DE RÉSULTAT 2001

Primes

(+)

130

Prestations et frais payés

(-)

2

Variation des provisions d'assurance vie

(-)

Frais d'exploitation

(-)

9

Produit net des placements

(+)

12

(= ±)

= Résultat

Annexe 3.

222 - 96 = 126

5

Les comptes consolidés

Dans cette annexe, nous considérons deux sociétés d'assurances A et B, indépendantes l'une de l'autre, aux chiffres d'affaires respectifs Pa = 1 000 et Pb = 500, et aux marges de solvabilité Ka = 200 et Kb = 100. Nous supposons pour simplifier que pour chaque société la marge de solvabilité est égale aux capitaux propres. Il n'y a pas de plus-value latentes, le capital est entièrement libéré. Cette annexe suppose connu le chapitre 3.

3.1.

La société A achète la totalité des actions de la société B pour un montant X

L'acquisition ne change pas les marges de solvabilité dites solo

Ka = 200 et K b = 100 Nous allons voir en effet que, dans les comptes de A, l'acquisition diminue les actifs en banque du montant X payé aux anciens actionnaires de B et augmente les actifs de placement du montant de la valeur comptable X des actions de la société B acquises.

69

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

Mais l'acquisition conduit à considérer A + B comme un ensemble et à considérer les comptes, consolidés par A, de A + B. Il est facile de concevoir les comptes de résultats consolidés : par exemple, le chiffre d'affaires consolidé du groupe A + B est

Pa + Pb = 1 500 (du moins s'il n'y a pas de relations de réassurance entre A et B ; s'il y en a, il convient d'éliminer les primes qui seraient à la fois dans le chiffre d'affaires de A et dans celui de B). Il est moins facile de concevoir les bilans consolidés : la marge de solvabilité du groupe A + B n'est pas Ka + Kb = 300, même en première analyse. C'est

Ka + Kb - X c'est-à-dire la somme des marges initiales diminuée du montant X qui a quitté les caisses de A pour payer les anciens actionnaires de B et ne se trouve donc plus servir à la solvabilité du groupe. Avant l'opération, les bilans de B et A sont les suivants, en isolant toute créance ou placement de A envers B ou de B envers A : BILAN de A au 31/12/2000, avant l'acquisition de B PASSIF

ACTIF Titres B Placements (autres) Créances sur B Créances (autres) et banques

0 1 700 100

TOTAL

2 100

300

Capitaux propres Ka 2 100 - 1 900 = Sous-total capitaux propres

200 200

Provisions techniques Dettes envers B Dettes (autres) Sous-total passif réel

1 800 0 100 1 900

TOTAL

2 100

BILAN de B au 31/12/2000 PASSIF

ACTIF Titres A Placements (autres) Créances sur A Créances (autres) et banques

0 1 000 0

TOTAL

1 200

200

Capitaux propres K b 1 200 - 1 100 = Sous-total capitaux propres

100 100

Provisions techniques Dettes envers A Dettes (autres) Sous-total passif réel

900 100 100 1100

TOTAL

1 200

70

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le bilan consolidé de A et B cherche à cerner ce que seraient les comptes de A + B s'il s'agissait d'une seule entreprise. Il diffère selon le prix qu'a payé A, et nous allons supposer - tout d'abord (c'est le cas le plus simple) que A achète B pour le montant Kb ; - ensuite (c'est le cas le plus courant) que A, compte tenu de son opinion sur les bénéfices futurs de la société B, achète B pour un montant supérieur à Kb. Si A achète B pour 100 M€, soit le montant de la marge de B, le bilan de A se contente de constater que 100 M€ d'actifs en banque sont remplacés par 100 M€ d'actions B BILAN de A au 31/12/2000, après l'acquisition de B ACTIF

PASSIF

Titres B Placements (autres) Créances sur B Créances (autres) et banques 300 - 100 =

100 1 700 100

TOTAL

2 100

200

Capitaux propres Ka 2 100 - 1 900 = Sous-total capitaux propres

200 200

Provisions techniques Dettes envers B Dettes (autres) Sous-total passif réel

1800 0 100 1900

TOTAL

2 100

Pour passer du bilan de A au bilan de A + B, on remplace - 100 d'actifs constitué des actions B - par 1 200 d'actifs de B d'une part, 1100 de passifs réels de B d'autre part. La marge de solvabilité (en l'absence de plus-values latentes) reste donc bien égale à Ka. (On annule la créance de 100 de A sur B et la dette de 100 de B envers A ce qui est sans incidence sur notre propos.) Le bilan consolidé de A + B au 31/12/2000 va donc comporter • comme actifs : - 1 700 (détenus par A) et 1 000 (détenus par B) de fonds placés à l'extérieur du groupe (et donc compte non tenu des actions de B détenues par A, qui sont détenues par le groupe sur lui-même) ; - 200 (détenus par A) et 200 (détenus par B) de créances sur l'extérieur du groupe (et donc compte non tenu des créances de A sur B, qui sont des créances du groupe sur lui-même) ; • comme passifs réels : - 1 800 (pour A) et 900 (pour B) de provisions techniques ;

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

71

- 100 (pour A) et 100 (pour B) de dettes envers l'extérieur du groupe (donc compte non tenu des dettes de B envers A, qui sont des dettes du groupe sur lui-même). BILAN consolidé de A

Créances (autres) et banques 200 + 200 =

TOTAL

3.2.

au 31/12/2000

PASSIF

ACTIF Titres B Placements (autres) 1 700 + 1 000 = Créances sur B

+B

p.m. 2700 p.m.

400

3 100

Capitaux propres Ka 3 100 - 2 900 = Ka = Sous-total capitaux propres Provisions techniques 1 800 + 900 = Dettes envers A Dettes (autres) 100 + 100 = Sous-total passif réel TOTAL

200 200

2 700 p.m. 200 2900 3 100

A achète B pour 200 M€ soit plus que Kb

Le bilan de A se contente alors de constater que 200 Md' actifs en banque sont remplacés par 200 M d'actions B : BILAN de A au 31/12/2000, après l'acquisition de B pour 200 ACTIF

PASSIF

Titres B Placements (autres) Créances sur B Créances (autres) et banques 300 - 200 =

200 1 700 100

TOTAL

2 100

100

Capitaux propres Ka 2 100 - 1 900 = Sous-total capitaux propres

200 200

Provisions techniques Dettes envers B Dettes (autres) Sous-total passif réel

1 800 0 100 1 900

TOTAL

2 100

Pour passer du bilan de A au bilan A + B, on remplace - 200 d'actions B - par 1 200 d'actifs de B d'une part, 1100 de passifs réels de B d'autre part. La marge de solvabilité (en l'absence de plus-values latentes) diminue de 100, soit le montant de X - Kb.

72

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Pour laisser des fonds propres comptables égaux à Ka on inscrit un écart de consolidation de X - Kb à l'actif. Cet actif incorporel est déduit de Ka dans le calcul de la marge de solvabilité. (Puis on annule la créance de 100 de A sur B, et la dette de 100 de B envers A, ce qui est sans incidence sur notre propos.) Le bilan consolidé de A+B au 31/12/2000 va donc comporter: • comme actifs : - 1 700 (détenus par A) et 1 000 (détenus par B) de fonds placés à l'extérieur du groupe (et donc compte non tenu des actions de B détenues par A, qui sont détenues par le groupe sur lui-même) ; - 100 (détenus par A) et 200 (détenus par B) de montants de créances sur l'extérieur du groupe (et donc compte non tenu des créances de A sur B, qui sont des créances du groupe sur lui-même) ; - 100 d'actifs incorporels; • comme passifs réels : - 1 800 (pour A) et 900 (pour B) de provisions techniques; - 100 (pour A) et 100 (pour B) de montants de dettes envers l'extérieur du groupe (et donc compte non tenu des dettes de B envers A sur B, qui sont des dettes du groupe sur lui-même). BILAN consolidé de A

+ B au 31/12/2000 PASSIF

ACTIF Écart de consolidation

=e

Titres B Placements (autres) 1 700 + 1 000 = Créances sur B

100 p.m. 2700 p.m.

Capitaux propres Ka 3 100 - 2 900 = Ka = Sous-total capitaux propres

Sous-total biens et créances

3000

Provisions techniques 1800 + 900 = Dettes envers A Dettes (autres) 100 + 100 = Sous-total passif réel

TOTAL

3 100

TOTAL

Créances (autres) et banques 200 + 200 =

100

La marge consolidée s'élève à Ka - e = 200 - 100 3.3.

200 200

2700 p.m. 200 2900 3 100

= 100.

A achète 50 % de S pour le montant de 50 % de la situation nette comptable de S, soit 50 M€

Le bilan de A se contente alors de constater que 50 d'actifs en banque sont remplacés par 50 d'actions B :

73

Chapitre 2 - Comptabilité et assurance

BILAN de A au 31/12/2000, après l'acquisition de B pour 200 PASSIF

ACTIF Titres B Placements (autres) Créances sur B Créances (autres) et banques 300 - 50 =

50 1 700 100

TOTAL

2100

250

Capitaux propres Ka 2 100 - 1 900 = Sous-total capitaux propres

200 200

Provisions techniques Dettes envers B Dettes (autres) Sous-total passif réel

1 800 0 100 1 900

TOTAL

2100

Si l'on fait une intégration proportionnelle, on ajoute à tous les postes de biens et créances et de dettes et engagements de A une quotepart de ce qui concerne B. La situation nette reste Ka, puisque nous remplaçons 50 d'actions B par 50 % x 1 200 d'actifs de B et 50 % x 1 100 de passifs réels de B (et l'annulation de la créance de A sur B ne peut se faire que pour moitié - mais ceci est sans incidence sur notre propos).

BILAN consolidé de A ACTIF Titres B Placements (autres) 1 700 + 50 % 1 000 = Créances sur B 100 - 50 % 100 = Créances (autres) et banques 300 - 50 + 50 % 200 =

TOTAL

+ B au

31/12/2000

PASSIF p.m.

2200 p.m. 50

350

2600

Capitaux propres 2 600 - 2 400 = Ka = Sous-total capitaux propres Provisions techniques 1 800 + 50 % 900 = Dettes envers A 50 % 100 - 50 % 100 Dettes (autres) 100 + 50 % 100 = Sous-total passif réel

TOTAL

200 200

2250 p.m.

150 2400 2600

Si l'on fait une intégration globale, on ajoute à tous les postes de biens et créances et de dettes et engagements de A l'intégralité de ce qui concerne B.

74

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

La marge de solvabilité égale aux capitaux propres devient ici Ka + ~b , puisque nous remplacons 50 d'actions B par 1 200 d'actifs de B et 1 100 de passifs réels de B, et se décompose en : - Ka capitaux propres - part du groupe; . d . .. - 2Kb capItaux propres - part es mmontmres. (Ensuite intervient l'annulation totale ou partielle de la créance de A sur B et de la dette de B envers A.) BILAN consolidé de A

+B

au 31/12/2000

ACTIF

PASSIF

p.m. Titres B Placements (autres) 2700 1 700 + 1 000 = p.m. Créances sur B Créances (autres) et banques 450 300 - 50 + 200 =

Capitaux propres 3 150 - 2900 = dont cap. propres du groupe = Ka = et intérêts minoritaires = 50 % xKb = Sous-total capitaux propres

TOTAL

3150

Provisions techniques 1 800 + 900 = Dettes envers A Dettes (autres) 100 + 100 = Sous-total passif réel

TOTAL

250 200 50 250

2700 p.m. 200 2900 3150

Chapitre 3

LE CADRE RÉGLEMENTAIRE

«Il faut obéir aux lois de son pays même si elles sont injustes», Socrate. Rappelons le cadre comptable examiné au chapitre précédent. La situation à la date de l'inventaire est décrite par le bilan qui compare l'actif réel (biens et créances) au passif réel (dettes et engagements), et donc cherche à indiquer si la société était solvable à cette date. Le compte de résultat cherche à expliquer le résultat de l'exercice écoulé en comparant les charges aux produits. L'analyse des résultats passés est un point de départ pour juger des risques de pertes futures (lesquelles dépendent aussi des contrats, des tarifs, de la réassurance). Ces risques de pertes inhérents à l'assurance sont de trois sortes : • Certaines pertes potentielles sont liées au passif réel du bilan d'aujourd'hui: les provisions (même bien calculées) peuvent se révéler insuffisantes par suite d'une évolution imprévue de la jurisprudence ou de l'inflation. • Certaines pertes potentielles sont liées à l'actif du bilan d'aujourd'hui: les placements (même conformes aux normes de sûreté, liquidité, rentabilité) peuvent se déprécier par suite de circonstances imprévues, telles qu'une crise économique. • D'autres pertes peuvent découler de l'exploitation future: - d'une sous-tarification (plus de frais généraux, ou plus de sinistres - autres qu'exceptionnels - que n'en prévoit le tarif) ; - ou d'aléas (survenance de sinistres exceptionnels et réassurance défectueuse).

76

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Or, il importe pour les assurés que l'entreprise d'assurance soit actuellement solvable et le reste jusqu'à ce qu'elle ait fini de remplir les engagements en cours. La solvabilité d'une entreprise d'assurance repose sur trois piliers, qui ne sont que la traduction de principes de bon sens : - En premier lieu, elle doit évaluer correctement ses dettes au sens le plus large: calculer à tout moment le montant de ses engagements vis-àvis des assurés (les provisions techniques), en veillant à ce que ce montant soit suffisant (§ 1) ; mais bien calculer ses engagements ne suffit pas : il faut avoir de quoi y faire face ... - En deuxième lieu, face à ces engagements, en représentation de ces engagements, elle doit posséder un montant suffisant d'actifs sûrs, liquides et rentables, c'est-à-dire un montant au moins égal d'actifs de bonne qualité et obéissant à des règles d'évaluation, de dispersion et de répartition prudentes (§ 2) ; mais la représentation des engagements réglementés, conçue dans une optique liquidative, ne suffit pas, et il faut aussi avoir de quoi faire face à d'éventuelles pertes futures. - En troisième lieu, elle doit posséder plus d'actifs réels que de dettes et engagements (§ 3), c'est-à-dire une marge de solvabilité permettant de rester solvable même dans l'éventualité d'une perte future. Nous teminerons ce chapitre par quelques remarques sur la portée et les limites de la réglementation française (§ 4.).

1.

L'évaluation des engagements envers les assurés

«... les provisions techniques suffisantes pour le règlement intégral de leurs engagements vis-à-vis des assurés ou bénéficiaires de contrats [... ] calculées, sans déduction des réassurances cédées ... » (art. R. 331-1). En vie comme en non-vie, le mot clef est le mot suffisant (§ 1.1). Nous avons vu au chapitre 1, § 5., et nous reverrons dans les chapitres suivants, la différence qui existe (du moins globalement) entre l'assurance non-vie et l'assurance vie: en assurance non-vie, les durées sont plus brèves, et donc les produits financiers plus modestes, les aléas plus importants. Il n'est donc pas surprenant de retrouver cette différence dans la réglementation : en assurance non-vie, pour l'essentiel, l'évaluation des engagements n'escompte pas de produits financiers (§ 1.2), au contraire de l'assurance vie (§ 1.3). Nous comparons les conséquences de ces deux points de vue au § 1.4.

1.1.

Les provisions techniques suffisantes

Tout d'abord, on peut remarquer qu'un montant suffisant pour le règlement des engagements est un montant plus imp.ortant que ne le serait un montant simplement nécessaire.

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

77

Mais aussi, un montant suffisant pour le règlement intégral d'une somme aléatoire est un montant supérieur au montant probable qui, si la somme aléatoire suit une loi normale, se révélera insuffisant une fois sur deux (et qui en général n'est pas connu).

1.2.

Assurance non-vie: la valeur estimative des sinistres

En non-vie, ces provisions techniques sont essentiellement la valeur estimative des sinistres que l'assureur est engagé à payer (et des frais de gestion connexes à ces sinistres).

Sinistres survenus ou non, déclarés ou non On distingue plusieurs sortes de sinistres . • Les sinistres survenus font l'objet de la provision pour sinistres à payer (PSAP). (( .,. valeur estimative des dépenses en principal et en frais, tant internes qu'externes, nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés ... » (art. R. 331-6, 4°). Ces sinistres survenus peuvent être - connus de l'assureur, parce qu'ils lui ont été déclarés par l'assuré ou par un tiers; - inconnus de l'assureur, parce qu'ils ne lui ont pas encore été déclarés (Incurred But Not Reported ou IBNR en anglais) ; - voire inconnus de l'assureur et de quiconque (Sinistres Non Manifestés de l'assurance construction).

• Les sinistres non survenus (et garantis) font l' 0 b jet de la provision pour primes non acquises et provision pour risques en cours (PPN A et PREe) (( .,. destinée à couvrir, pour l'ensemble des contrats en cours, la charge des sinistres et des frais afférents aux contrats, pour la période s'écoulant entre la date de l'inventaire et la date de la première échéance de prime pouvant donner lieu à révision de la prime par l'assureur) (art. R. 331-6, 2° et 2° bis).

1.3.

Assurance vie: la valeur actuelle des engagements de l'assureur

(( Les provisions techniques correspondant aux opérations d'assurance sur la vie, d'assurance nuptialité-natalité, et aux opérations de capitalisation sont les suivantes: 1° provision mathématique : différence entre les valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l'assureur et par les assurés» (art. R. 331-3).

78

Assurance: comptabilité, réglementation: actuariat

Par-delà le détail des calculs des provisions d'assurance vie exposés au chapitre 6, la réglementation demande de calculer les provisions en faisant des hypothèses prudentielles de taux, de table, de frais et sans oublier d'engagement. 1.3.1.

Les hypothèses prudentielles de taux, de table, de frais

Choisir un taux d'intérêt technique i prudentiel Dire que les provisions sont la valeur actuelle, calculée au taux d'intérêt technique i, des engagements signifie que des actifs égaux au montant des provisions mathématiques, valeur actuelle des engagements, ne suffisent pas à eux seuls à faire face aux engagements : il faut que ces actifs aient un rendement annuel de i jusqu'au terme des contrats. Soulignons que ce taux d'intérêt technique i est le taux de rendement futur supposé des placements de l'assureur qui a été escompté, plus précisément le taux que devront rapporter (à coup sûr, pour respecter le Code de commerce) les placements de l'assureur entre l'époque de l'inventaire et l'époque de la fin du contrat. Actuellement, la réglementation indique que le taux i est celui du tarif, c'est-à-dire le taux qui avait été considéré comme prudentiel lors de la souscription du contrat, sauf lorsqu'il s'avère que ce taux devient imprudent. - Lors de la souscription du contrat, sont notamment considérés comme prudentiels des taux i inférieurs à un plafond de 60 % ou 75% (selon les contrats) du taux moyen des emprunts d'État (TME) de l'époque de la souscription. - Le mécanisme de provision pour aléas financiers (PAF) ne prévoit de constater que le taux i initialement choisi devient imprudent que dans des conditions restrictives. Mais ce mécanisme se révèle alors brutal. L'assureur qui n'anticipe pas le déclenchement de la PAF court le risque de conserver son hypothèse de tarif i jusqu'au jour où il doit réglementairement majorer ses provisions et constater son insolvabilité, comme dans l'exemple précédent. Choisir une table de mortalité lx prudentielle La réforme, dite technique, de 1993 a mis la réglementation à jour (cf. A 335-1) : - en prenant pour les tarifs des tables de mortalité TD et TV plus récentes; - en introduisant, pour les rentes viagères, où l'allongement de la durée de la vie humaine a un impact important, les tables prospectives de rentes viagères (TPRV) ; - en permettant à chaque assureur d'utiliser, au lieu des tables nationales, des tables dites d'expérience qui lui sont propres; - et en donnant un délai jusqu'en 2008 pour la mise à jour des provisions relatives aux contrats en cours en 1993. Actuellement, les tables à utiliser sont donc, selon les cas, soit TD ou TV, actuelles ou anciennes, soit TPRV, soit les tables dites d'expérience.

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

1.3.2.

79

Remarques

Le principe de prudence du Code de commerce permet de comprendre que seules des ressources futures prévisibles peuvent justifier l'étalement 1993-2008. De même, il n'est pas raisonnable d'attendre la fin du différé des contrats de rentes différées avant d'utiliser TPRV, ni d'utiliser au cas par cas la table (de l'INSEE ou d'expérience) qui donne la provision la plus faible.

Tenir compte de l'engagement de gérer les contrats souscrits Provisionner les charges de gestion futures non couvertes par ailleurs (cf. A. 331-1-1) par famille de contrats homogènes. • Il s'agit des charges futures des contrats déjà souscrits, charges cohérentes avec la comptabilité analytique dont se déduisent les recettes futures (des contrats déjà souscrits et non des contrats futurs) : - chargements sur les primes périodiques ultérieures ; - produits financiers futurs (avec une estimation prudentielle des réemplois futurs). • Mieux vaudrait ne pas tenir compte de rachats hypothétiques dont la fréquence future risque d'être différente de celle du passé dans des circonstances contraires à l'intérêt de l'assureur.

Ne pas oublier d'engagement Les engagements de l'assureur comportent évidemment, d'abord, les garanties au terme du contrat, mais aussi • les garanties en cas de rachat anticipé ; • et, le cas échéant - les garanties dites de fidélité (pour les assurés qui ne mettent pas fin prématurément à leur contrat) ; - les garanties dites plancher (dans les contrats en unité de compte, garantie en cas de décès d'un capital minimum quelle que soit l'évolution de l'unité de compte) ; - les garanties de tirage au sort (dans les bons de capitalisation) ; - les majorations légales de rentes viagères ; - et le droit à renonciation de l'assuré mal informé (l'information de l'assuré lors de la souscription du contrat est régie en particulier par l'article L 132-5-1, qui demande à l'assureur d'indiquer la valeur de rachat du contrat à l'issue de chacune des 8 premières années; cette information est nécessaire pour que le délai de renonciation d'un mois coure). En assurance vie • à la différence de ce qui se passe en non-vie, le calcul des provisions est un calcul très similaire à celui du tarif, fait à un autre moment de la vie du contrat, avec deux questions qui se posent de ce fait: - une question préalable : ces hypothèses du tarif étaient-elles prudentielles ? - une question permanente: sont-elles aujourd'hui raisonnables?

80

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

• mais tout comme en assurance non-vie, l'alpha et l'oméga de la réglementation reste la phrase : « Les provisions techniques suffisantes pour le règlement intégral (des) engagements ... )}

1.4.

Comparaison vie / non-vie

En non-vie, la bonne fin des engagements en suspens ne suppose pas de produits financiers. En vie, si : - Non-vie: « ... provision pour sinistres à payer: valeur estimative des dépenses nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés ... » (art. R. 331-6). - Vie : «... provision mathématique : différence entre les valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l'assureur et par les assurés ... )} (art. R. 331-3). La différence est importante et sera illustrée par un exemple. N est un assureur non-vie au chiffre d'affaires de 200 M€dont le bilan au 31/12/2000 comporte 400 M€ de provisions techniques (non escomptées) et un montant de placements voisin : Actif

Passif

420

Placements

20

Divers

440

TOTAL

Capitaux propres

40

Provisions techniques

400

TOTAL

440

V est un assureur vie au chiffre d'affaires de 100 M€ dont le bilan au 31/12/2000 comporte 800 M€ de provisions techniques (escomptées au taux d'intérêt technique i) et un montant de placements voisin: Passif

Actif Placements Divers TOTAL

820 20 840

Capitaux propres

40

Provisions techniques

800

TOTAL

840

N comme Vont une marge de solvabilité légèrement supérieure au minimum réglementaire, dont on supposera qu'il est de 32 11€ pour N et de 32 M€pour V. Leurs provisions sont calculées correctement, celles de N n'étant pas escomptées, celles de V étant escomptées à un taux considéré comme prudent.

81

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

On suppose que le taux de rendement des placements de N comme de V tombe, en 2001, 1 point au-dessous de ce qu'il était raisonnable de considérer comme prudent au 31/12/2000. - L'assureur non-vie N aura un manque à gagner sur les affaires souscrites en 2001 et pour lesquelles il n'aura pas relevé son tarif à temps: 1 % des placements correspond pour lui à environ 2 % des primes, soit 4 M €, soit 1/10 de ses capitaux propres. (Il ne constate pas de perte sur ses souscriptions passées car ses provisions techniques ne sont pas escomptées et suffisent à payer les sinistres déjà garantis : le manque à gagner ne porte que sur le tarif de l'an 2001.) - L'assureur vie V aura peut-être lui aussi un manque à gagner sur les affaires souscrites en 2001 et pour lesquelles il n'aura pas relevé son tarif à temps, mais d'abord et surtout il devra constater un manque à gagner sur les produits financiers sur lesquels il comptait pour remplir les engagements souscrits avant le 31/12/2000. Les provisions mathématiques sont de 8 fois le chiffre d'affaires : en première approximation, elles paraissent avoir une durée moyenne de 8 ans et donc escompter 8 années de produits financiers. V devra donc constater (par le biais du calcul de la provision pour aléas financiers) un manque à gagner de l'ordre de 1 point d'intérêt pendant 8 ans, représentant environ 8 % des provisions mathématiques, soit 64 M€, donc supérieur à ses capitaux propres.

Nuances La distinction que nous avons faite en vie, engagements escomptés

1= en

non-vie, engagements non escomptés

est trop simple pour être exacte dans tous ses détails. La liste des provisions techniques non-vie (art. R. 331-6) comporte en effet, • outre la valeur estimative des sinistres (et de la gestion) que l'assureur nonvie est engagé à payer (provision pour sinistres à payer, provision pour primes non acquises et risques en cours dont nous venons de parler) ; • trois cas particuliers où ces valeurs estimatives de sinistres sont actualisées comme en actuariat vie: - provision mathématique des rentes ; - provision pour risques croissants (maladie et invalidité) ; - provision mathématique des réassurances. Cette liste (R. 331-6) comporte aussi • une provision d'inspiration différente: la provision pour égalisation (risques dus à des éléments naturels, assurance-crédit ... ) ; • des postes d'objet tout à fait différent, liés à la valeur ou au rendement des placements que nous retrouverons plus loin : - la réserve de capitalisation ; - la provision pour risque d'exigibilité.

82

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Les engagements réglementés comportent, outre les provisions techniques, des postes dont nous n'avons pas parlé car leur montant est généralement marginal au regard de celui des provisions techniques : - les dettes privilégiées (impôts, salariés ... ) ; - les dépôts de garantie (des locataires ... ) ; - la réserve pour amortissement des emprunts.

2.

La représentation des engagements envers les assurés

«Les engagements réglementés mentionnés à l'article R. 331-1 doivent, à toute époque, être représentés par des actifs équivalents» (art. R. 332-1). Les engagements envers les assurés doivent être représentés (on dit encore couverts) par des actifs, essentiellement des placements, d'un montant suffisant et évalués selon des règles précises (§ 2.1). Ces placements doivent être sûrs, liquides, rentables (et dispersés) (§ 2.2). L'assureur détient nécessairement des actifs, que nous appellerons des actifs techniques, qui ne sont pas des placements (§ 2.3). Entre l'actif et le passif de l'assureur, deux liaisons existent, la réserve de capitalisation et la provision pour aléas financiers (§ 2.4).

2.1. 2.1.1.

Les placements et leur évaluation La représentation des engagements réglementés par des actifs équivalents

Ces actifs doivent • être équivalents aux provisions brutes de réassurance ; • être congruents en devises avec ces provisions, et localisés sur le territoire d'un État de l'Union européenne. Toutefois, les opérations réalisées en coassurance communautaire et les opérations réalisées en libre prestation de services, encore peu importantes, font exception.

• comporter des placements soumis à des règles - de limitation (actions < 65 %, immeubles < 40 %, prêts < 10 %) ; - de dispersion (5 % ou 10 % au plus par émetteur-emprunteur ou par immeuble, ce plafond étant abaissé pour les titres non cotés et supprimé pour les titres émis par un État de l'OCDE) ; - et d'évaluation précises. • Ils peuvent comporter en outre des actifs dits techniques (les créances sur les intermédiaires, les assurés ... ), admis avec limitation.

2.1.2.

Les placements sont évalués selon des règles précises

Les placements sont • comptabilisés au coût historique, et non à la valeur de réalisation (marked to market) ;

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

83

• évalués lors de l'inventaire en distinguant les placements obligataires, qui ont une valeur de remboursement, et les autres placements qui n'en ont pas. Ainsi, - les placements en obligations (plus précisément, les valeurs mobilières amortissables relevant de l'art. R. 332-19) voient leur évaluation comptable évoluer au cours du temps depuis le prix d'achat jusqu'à la valeur de remboursement ; - les placements en actions et immeubles (plus précisément, les placements autres que les précédents, et relevant de l'article R. 332-20) font l'objet d'une évaluation prudente découlant d'une comparaison entre la valeur comptable globale VC de l'ensemble de ces placements et leur valeur de réalisation globale à la date t de l'inventaire V Rt. Cette évaluation est prudente, c'est-à-dire que tout se passe comme si l'ensemble de ces placements était évalué à inf (V C, V Rt) avec la modalité suivante: - si VC < V Rt, la valeur à l'actif reste VC ; - si VC > V Rt, la valeur à l'actif reste VC, mais au passif est inscrite une provision pour risque d'exigibilité égale à VC - VRt : l'actif net de passif correspondant est VC - (VC - V Rt) = V Rt. 2.1.3.

L'exception: les contrats en unités de compte

Dans le cas des contrats où la garantie est exprimée en unités de compte, contrats pour lesquels le risque de placement est supporté par l'assuré, - l'actif représentatif doit être constitué des unités en question, sans règles de limitation; - l'évolution de la valeur de l'unité de compte influence parallèlement les engagements de l'assureur au passif et les actifs représentatifs (cf. R. 332-5).

2.1.4.

Actifs en coût historique, actifs en valeur de réalisation

Dans l 'U nion européenne, certains pays (dits ({ continentaux») comptabilisent ainsi leurs actifs au coût historique, comme le fait la France pour les contrats qui ne sont pas en unités de compte, et d'autres (les îles Britanniques) à la valeur de marché ou de réalisation (marked to market). Les directives demandent aux pays du premier groupe de publier la valeur de réalisation des actifs pour permettre à l'information d'être comparable à celle fournie par les pays du second groupe. Nous verrons plus loin que la marge de solvabilité est calculée de façon identique dans les deux catégories de pays. Par ailleurs, l'IASC (International Accounting Standards Committee) étudie la possibilité de développer un ensemble de normes internationales et penche pour utiliser la fair value des actifs et des dettes: pour les actifs, la fair value s'assimile à la valeur de marché.

84

2.2.

2.2.1.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Des placements sûrs, liquides, rentables (et dispersés)

Les placements admis

Les placements admis en représentation figurent sur une liste limitative (cf. R. 332-2), mais cette liste est longue. Elle comprend les obligations, les titres de créances négociables, les actions, les immeubles, même d'exploitation, les prêts, les fonds déposés en banque, avec des adaptations et des interprétations pour les pensions livrées, les BMTN par exemple. On distingue mal ce que cette liste exclut, à part l'or, les tableaux et le mobilier. 2.2.2.

La règle de congruence

Une règle de congruence est posée (cf. R. 332-1), mais celle-ci est souple (cf. R. 332-1-1). Ce sont seulement 80 % des actifs qui doivent être congruents, c'est-à-dire dans la monnaie de l'engagement, et non 100 %.

2.2.3.

Les règles de limitation

Les règles de limitation (cf. R. 332-3) sont peu contraignantes: - plafond 1 : 65 % du total pour les actions (mais plafond 1 bis: 5 % pour les actions non cotées) ; - plafond 2 : 40 % pour les immeubles ; - plafond 3 : 10 % pour les prêts; - pas de plancher (autrefois existait un plancher, d'abord de 50 % d'obligations du secteur public, puis de 34 % d'obligations cotées). En résumé, ces règles ne contraignent aucun assureur prudent (sauf peut-être 1 bis, le plafond des actions non cotées) : quel assureur voudrait dépasser l'un de ces plafonds? Les règles principales sont celles qui suivent : les règles de dispersion.

2.2.4.

Les règles de dispersion

Les règles de dispersion sont, elles, fondamentales. Le dicton «il ne faut pas mettre tous ses œufs dans le même panier)} se traduit ici par une règle qui veut qu'en général la faillite d'une entreprise ou l'écroulement d'un immeuble ne puisse pas coûter plus de 5 à 10 % des PT (cf. R. 332-3-1) : 5 ou 10 % est en effet le plafond - pour l'ensemble des valeurs émises et des prêts obtenus par un même organisme; - pour un même immeuble (ou parts et actions d'une même société immobilière) . Le plafond précédent comRorte deux exceptions et des nuances : - Il est ramené à 0,5 % pour un titre non coté; - Il n'existe pas pour les valeurs émises par un État membre de l'OCDE; - Un titre de société d'assurance non coté est assimilé à un titre coté, et limité à 50 % du capital de la société d'assurance; - Il ne concerne pas les dépôts en banque.

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

2.3.

85

Les actifs techniques et les garde-fous

Les engagements réglementés sont nécessairement représentés en partie par des actifs dits techniques, inévitables (arriérés de primes ... ), qui ne sont pas des placements. Des garde-fous ont été posés par la réglementation pour empêcher que des assureurs laissent se gonfler déraisonnablement le volume des actifs techniques.

2.3.1.

Limitation des arriérés de primes

Convient-il de réglementer les arriérés pour inciter les intermédiaires et les assurés à reverser les primes dans des délais normaux ? La réglementation française ne fait reposer aucune obligation sur l'intermédiaire: elle s'adresse uniquement à l'assureur. Il ne peut la respecter s'il fait preuve de laxisme, à moins d'être suffisamment riche pour financer les primes non encaissées depuis plus de 3 mois. «Les primes non encaissées ou non émises peuvent ainsi représenter de manière limitée les engagements envers les assurés, à condition d'être des primes de trois mois de date au pl us» (art. R. 332-6 non-vie et 332-4 pour la vie).

2.3.2.

Limitation des créances sur le réassure ur au montant garanti par lui

Comment surveiller la solvabilité des réassureurs, et surtout des réassureurs étrangers? Comme ci-dessus, la réglementation française fait pression sur l'assureur, qui ne peut la respecter s'il est laxiste (à moins d'être riche). Les créances sur les réassureurs ne sont admises que si elles sont assorties d'une garantie: nantissements de titres, lettre de crédit.

2.3.3.

Limitation des titres non cotés et des prêts non garantis

Cette limitation peut être utile à l'assureur pour résister à la demande de ses clients ou de certains membres de son conseil d'administration. Les titres non cotés ne sont admis qu'avec une limitation de 0,5 % du total des placements (cf. R. 332-3-1), les prêts non assortis d'une caution ou d'une garantie ne sont pas admis (cf. R. 332-13).

2.3.4.

Nuances

Certains frais d'acquisition sont admis en représentation : l'option comptable prise étant de majorer passif réel et actif d'un même montant appelé frais d'acquisition, en non-vie comme en vie, il est justifié qu'un actif conventionnel représente un passif conventionnel de même montant (cf. R. 332-6 en non-vie, R. 332-35 en vie). Recours: l'admission (limitée) de l'actif technique constitué en non-vie par les recours à encaisser est une tolérance traditionnelle justifiée bien que ces recours ne soient pas explicitement prévus par les textes.

86

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Transport et aviation : dans ces branches existent des nuances à ce qui précède, les unes tenant à l'existence dans le passé de courtiers jurés d'assurance maritime, officiers ministériels, les autres tenant à un recours plus étendu à la réassurance internationale (cf. R. 332-7). 2.4.

2.4.1.

Gestion actif-passif et réglementation

Deux liaisons actif-passif

Si l'on excepte la liaison relative aux contrats en unités de compte (pour lesquels l'engagement du passif et l'actif représentatif évoluent comme l'unité de compte, l'assureur ne courant pas de risque de placement, car il est transféré sur l'assuré), on rencontre deux mécanismes reliant l'évaluation des engagements et l'évaluation des actifs: - en vie, la provision pour aléas financiers (PAF), qui vise à constater l'insuffisance future de produits financiers au regard des hypothèses faites dans le tarif ; - en vie comme en non-vie, la réserve de capitalisation. 2.4.2.

La provision pour aléas financiers en vie

(( Si lors de l'inventaire le taux de rendement réel des actifs d'une entreprise, diminué d'un cinquième, est inférieur au quotient du montant total des intérêts techniques par le montant moyen des provisions mathématiques constituées ... }) (art. A. 331-2). L'entreprise complète le montant des provisions (jusqu'au montant des provisions mathématiques recalculées au taux de rendement réel des actifs, diminué d'un cinquième).

Remarque En non-vie, les règles d'évaluation des provisions ne supposent pas un rendement de l'actif supérieur à 0, et une telle provision ne serait donc pas justifiée. 2.4.3.

La réserve de capitalisation, vie et non-vie

(( En cas de vente de valeurs évaluées conformément à l'article R. 33219, à l'exception des obligations à taux variable, des versements ou des prélèvements sont effectués sur la réserve de capitalisation (de façon telle) que le rendement actuariel des titres soit, après prélèvement ou versement, égal à celui qui en était attendu lors de l'acquisition de ces mêmes titres}) (art. R. 333-1). Cette réserve, ancienne, a deux justifications : son mécanisme - vise à éviter que l'entreprise ne fasse des bénéfices distribuables en ayant recours à la réalisation de plus-values obligataires au détriment des produits financiers futurs ; - accompagne l'absence de constatation des moins-values latentes obligataires que permet l'art. R. 332-19.

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

87

Son objet est en partie similaire à celui de la provision pour aléas financiers, et son mécanisme est à rapprocher de celui de cette dernière. 2.4.4.

Les spécificités de la gestion actif-passif

Le respect des deux mécanismes précédents ne saurait suffire à assurer une gestion actif-passif de qualité. En assurance non-vie, la duration (voir annexe 1 du chapitre 1) du passif peut être cernée par des moyens statistiques, ce qui est moins facile en assurance vie. En non-vie en effet, le paiement des prestations est - soit statistiquement régulier (auto, dommages corporels) - soit plus aléatoire (incendie) ; mais il est peu ou pas modifié par les décisions de l'assuré. Aux problèmes d'aléas peuvent être trouvés des remèdes. Par exemple, la réassurance peut jouer, outre son rôle dans la solvabilité, un rôle dans la liquidité. En assurance vie, au contraire, l'assuré dispose d'options dites cachées, qu'il lèvera, comme toute option, dans des circonstances défavorables à l'assureur: par exemple, des contrats dont le terme normal est de 8 ans: - peuvent donner lieu à une prestation immédiate si l'assuré le décide ; - peuvent souvent être prorogés si l'assuré le décide. Or, l'assuré rationnel prendra une décision contraire aux intérêts de l'assureur : - L'assuré rationnel optera plus souvent pour le rachat en cours de contrat si les taux d'intérêt ont monté depuis la souscription (car il peut souscrire alors un meilleur placement), mais en ce cas, si les taux ont monté, les placements obligataires de l'assureur sont en moins-value, et l'assureur préférerait pour sa part poursuivre le contrat jusqu'au remboursement des obligations. - L'assuré rationnel optera plus souvent pour la prorogation à l'échéance si les taux d'intérêt ont baissé (car il ne peut souscrire alors de meilleur placement), mais si les taux ont baissé il peut être difficile à l'assureur de faire désormais des placements suffisamment rentables, et l'assureur préférerait pour sa part mettre fin au contrat. Heureusement pour les assureurs, tous les assurés ne sont pas rationnels, et surtout les règles fiscales incitent à ne pas effectuer de rachats en cours de contrat.

2.4.5.

Les nouveaux instruments financiers

Pour faire face aux spécificités de la gestion actif-passif évoquées cidessus, les assureurs ont recours de plus en plus fréquemment aux nouveaux instruments financiers qui établissent des liaisons supplémentaires entre l'actif et le passif.

88

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Il existe des difficultés d'adaptation de la réglementation à ces nouveaux instruments financiers, tant la créativité est grande en la matière, et aussi parce que cette créativité provient de pays qui n'ont pas les mêmes règles comptables qu'en France. Mais l'exemple des pensions livrées montre qu'une réglementation peut toujours être interprétée pour répondre à une situation nouvelle.

2.4.6.

Les produits dérivés

Pour se protéger contre les risques financiers, ou bien pour accroître le rendement de leur actif, les assureurs peuvent être utilisateurs de produits dérivés en liaison avec leurs actifs représentatifs. Il existe des difficultés d'adaptation de la réglementation - en matière comptable, du fait de l'évaluation de l'actif au coût historique; - en matière de règles de dispersion, car les produits dérivés utilisés par les assureurs ne sont pas les produits négociés sur des marchés réglementés, et nous avons vu les limitations apportées aux titres non cotés. L'absence d'une réglementation spécifique à une pratique nouvelle est usuelle: comme le montre l'exemple des pensions livrées, il convient alors d'interpréter la réglementation existante. La Commission européenne a souligné l'importance des règles de contrôle interne, règles établies sous la responsabilité des dirigeants,. et qui doivent être écrites. 2.4.7.

Le cas des pensions livrées

Dans les opérations dites de pensions livrées, les assureurs donnent des titres en pension moyennant des espèces; l'opération comporte un engagement réciproque d'effectuer la transaction inverse. Cette opération n'est pas explicitement prévue par la réglementation. Une opération de pensions livrées est juridiquement une cession avec engagement de transaction inverse, donc la représentation des engagements s'entend - après cession des titres (qui cessent de compter dans l'actif représentatif) ; - sans oublier qu'il faudra représenter les engagements à toute époque, et en particulier après le rachat des titres.

2.4.8.

Respect des règles et prudence

Dire qu'une gestion respecte les règles ne suffit pas à la qualifier de prudente. Par exemple, il n'y pas plus de réglementation détaillée des gaps de trésorerie en vie que de réglementation détaillée de la réassurance en nonvie.

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

89

En ces domaines, ce qui apparaît nécessaire, ce sont moins de nouvelles règles mais une aptitude de chaque société à répondre à ces questions : - Que se passera-t-il si les taux d'intérêt montent? Baissent? - Que se passera-t-il si la valeur des actions baisse? En apparence, ces questions sont simples, mais elles supposent une étude qui ne se limite pas à l'actif et qui porte aussi sur les contrats vendus : les réponses ne sont pas les mêmes pour les contrats en francs et les contrats en unités de compte, pour les contrats aux règles de participation aux bénéfices contraignantes et pour les autres ... L'art. R. 331-1-2, introduit en application de la loi du 25 juin 1999 relative à l'épargne et à la sécurité financière, demande aux assureurs d'être en permanence en mesure de répondre à de telles questions.

3.

La marge de solvabilité

Le troisième pilier de la réglementation est l'exigence permanente d'un actif réel supérieur au passif réel: en comptabilité, nous avons vu la situation nette comptable (SNC), à laquelle s'ajoutent les plus-values latentes qui découlent des règles d'évaluation des placements adoptées pour donner la marge de solvabilité (MS) (§ 3.1). En annexe 1 figure un complément retraçant l'influence des réalisations de ces plus-values latentes sur la marge. La marge de solvabilité doit être supérieure à un minimum réglementaire (§ 3.2), et c'est très largement le cas sur le marché français. La simplicité de calcul de ce minimum permet de rappeler la portée et les limites de la réglementation (§ 3.3).

3.1. 3.1.1.

Situation nette comptable et marge de solvabilité La situation nette

Dans le chapitre 2, nous avons présenté la situation nette comptable: SNC (ou Capitaux propres) = Actif réel (biens et créances) - Passif réel (dettes et engagements). La situation nette évolue au fil des exercices: - Elle s'accroît si l'entreprise fait un bénéfice et que ce bénéfice n'est pas entièrement distribué aux actionnaires (dans le cas d'une société commerci ale) , mais est mis en réserve. - Elle diminue si l'entreprise fait une perte. Il est essentiel que, même amputée d'une perte, la situation nette reste positive. Dans le cas contraire, les biens et créances étant inférieurs aux dettes et engagements, l'entreprise est insolvable. La marge de solvabilité vise au même objet que la SNC, mais en cherchant à s'affranchir de la norme comptable: sa définition remonte au début de l'harmonisation européenne en matière d'assurance, aux années soixante-dix, et essaie en particulier de mettre sur un pied d'égalité

90

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- une société britannique comptabilisant son actif en valeur de réalisation ou marked to market, et dont les actifs ne recèlent donc en principe aucune plus-value latente; - et une société d'Europe continentale comptabilisant son actif en coût historique, et dont les actifs recèlent en principe une plus-value latente. En outre, il convient de tenir compte de l'aptitude qu'ont certaines mutuelles d'assurances à effectuer un rappel de cotisations en redemandant a posteriori un complément de prime lorsque l'exercice écoulé a été déficitaire. En première approximation :

MS

= SNe + PVL + rappels de cotisations des

mutuelles

En première approximation en France, la marge de solvabilité MS est la somme - de la situation nette comptable SNC ; - de la plus-value latente PVL que comporte éventuellement l'ensemble des placements (c'est-à-dire l'excédent de la valeur de réalisation de l'ensemble des placements sur leur valeur comptable) ; - des possibilités de rappel de cotisations spécifiques aux mutuelles à cotisations variables. Remarques - La réglementation s'intéresse d'abord à la solvabilité telle que le bilan cherche à la cerner (l'analyse des résultats passés complétant l'étude du bilan afin de juger de l'équilibre de l'activité et de prévoir la solvabilité future). - Les analystes financiers s'intéressent d'abord, et parfois seulement, au résultat.

3.1.2.

Le calcul de la marge en France

Plus précisément, la marge de solvabilité (cf. R. 334-3 et R. 334-11) est la somme • de la SNC retraitée (c'est-à-dire Actif réel - Passif réel retraités), soit: - le capital versé (pour les sociétés anonymes) ou le fonds d'établissement remboursé (pour les sociétés d'assurances mutuelles) ; - la moitié (seulement) du capital souscrit non versé (pour les sociétés anonymes) ; - évidemment, les réserves (et les bénéfices reportés, sans oublier de déduire les pertes reportées) ; - moins les actifs conventionnels que sont les frais d'établissement, les actifs incorporels ; • des plus-values latentes sur placements; • et des rappels de cotisation.

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

91

En outre, certains emprunts sont comptés en partie ou totalement dans la marge de solvabilité car ils augmentent la solvabilité envers les assurés: - les emprunts subordonnés, pour toutes les sociétés (dans certaines conditions) ; - la fraction non remboursée de l'emprunt pour fonds d'établissement d'une mutuelle (assimilée à la fraction non versée du capital d'une société anonyme), les emprunts pour fonds social complémentaire des mutuelles.

3.1.3.

Bénéfices futurs, plus-values latentes et marge de solvabilité en assurance vie

La marge de solvabilité (destinée à ce que la société reste solvable même dans des circonstances futures défavorables) ne doit pas être confondue avec la valeur de la compagnie pour l'actionnaire actuel ou pour un acheteur (laquelle est fonction d'abord des bénéfices futurs envisageables dans des circonstances normales). Prenons l'exemple des plus-values latentes (qui comptent dans la marge de solvabilité, sauf cas particulier) et des bénéfices futurs (qui ne comptent pas dans la marge de solvabilité, sauf cas particulier). Pourquoi compter les plus-values latentes des sociétés vie dans la marge de solvabilité alors que, si elles sont réalisées, une grande partie devra être distribuée aux assurés? Sauf exception, ces plus-values latentes ne sont distribuables aux assurés après réalisation que si la compagnie fait des bénéfices, et ces plus-values latentes peuvent donc être réalisées pour faire face à des pertes. À l'inverse, les directives européennes prévoient en assurance vie la prise en compte de bénéfices futurs, mais il y a une sérieuse difficulté à concilier les notions - de bénéfices futurs, qui sont des bénéfices prévisibles dans des circonstances normales ; - de marge de solvabilité, qui vise à garantir la solvabilité dans des circonstances défavorables (telles qu'une chute inattendue des indices boursiers). Des bénéfices qui disparaissent dans des circonstances défavorables ne peuvent servir à assurer la solvabilité de la société dans ces mêmes circonstances.

3.2. 3.2.1.

Le minimum réglementaire de marge Le minimum de marge non-vie (cf. R. 334-5)

Le minimum réglementaire de marge vise à être croissant avec l'activité de la société, en utilisant plusieurs critères de taille de l'activité: le chiffre d'affaires, le montant des sinistres, et peut-être, dans un futur proche, les provisions techniques.

92

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Ce minimum est le plus élevé (et non l'addition) des résultats suivants: - l'un basé sur les primes (18 à 16 % des primes que multiplie un ratio réducteur destiné à tenir compte de la réassurance) ; - l'autre basé sur les sinistres (26 à 23 % des sinistres que multiplie un ratio destiné à tenir compte de la réassurance) ; - un troisième, en projet, sur les provisions techniques (un pourcentage des provisions techniques pour les risques longs tels que l'assurance construction) . Le ratio diminuant le minimum de marge des sociétés réassurées est forfaitaire: il s'agit du ratio sinistres payés dans le passé en net de cessions en réassurance/sinistres payés en brut de cessions. Il présente l'inconvénient de ne pas tenir compte de la protection en réassurance dont dispose l'assureur aujourd'hui (mais de celle de l'année précédente), ni du type des traités.

3.2.2.

Impact du troisième minimum

Introduire un minimum en pourcentage d'un montant qui n'est pas certain, mais évalué, celui des provisions techniques, inciterait-il la société à diminuer ce poste ? Prenons l'exemple de la société N bis, assureur non-vie au chiffre d'affaires de 200, dont le bilan au 31/12/2000 est le suivant: Actif Placements Divers TOTAL

Passif

410 20 430

Capitaux propres

30

Provisions techniques

400

TOTAL

430

L'introduction d'un nouveau minimum (8 % des provisions techniques) est-elle de nature à inciter N bis à baisser l'évaluation des provisions techniques? L'important n'est pas que N bis, dont la situation nette est de 30 M€, ramène ses provisions de 400 à 360 M € afin de satisfaire le minimum de marge en faissant passer celui-ci de 8 % x 400 = 32 à 8 % x 360 = 28,8 ! L'important est que si N bis ramène ses provisions de 400 à 360 l'vi € , sa situation nette passe de 430 - 400 = 30 à 430 - 360 = 70 et satisfait probablement aisément à tous les minimums, qu'ils soient .exprimés en pourcentage des provisions, des primes ou des sinistres. 3.2.3.

Le minimum de marge vie (cf R. 334-13)

Au contraire du minimum non-vie, le minimum réglementaire de marge vie distingue le risque lié aux garanties décès accordées par l'assureur

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

93

(reflété par les capitaux garantis en cas de décès) et l'ensemble des autres risques de l'activité de l'assureur (activité reflétée par les provisions techniques). C'est l'addition de deux résultats: - 4% des provisions (taux ramené à 1% si le risque de placement n'est pas supporté par l'assureur mais qu'il est transféré à l'assuré) ; - un pour millage, variable selon les contrats, des capitaux garantis en cas de décès. Un ratio, là encore, est destiné à tenir compte forfaitairement de la réassurance.

3.2.4.

Le montant de la marge en France

Les sociétés ont en permanence une marge de solvabilité très supérieure au minimum réglementaire: dans leur ensemble, elles disposaient de 303 % du minimum en non-vie et de 332 % du minimum en vie à fin 1997. En effet, dès lors qu'une société risque de passer en dessous du minimum réglementaire, elle doit prendre des mesures de redressement, soit de sa propre initiative, soit sur injonction de la Commission de contrôle des assurances. 3.3.

Marge de solvabilité européenne et norme de Risk Based Capital (RBC) des États-Unis

L 'U nion européenne préfère un calcul de minimum réglementaire simple à une norme sophistiquée identifiant séparément les risques qu'encourt l'assureur. La norme de Risk Based Capital (RBC) des États-Unis peut apparaître plus complète. Elle distingue par exemple, en non-vie, des risques Ra, RI, ... , relatifs aux filiales, aux autres placements, aux créances, aux provisions, à la soustarification ... avec une formule du type R

J

= Ra + Ri + R~ + R~ + R~ + Rg

chacun des risques précédents étant subdivisé et des correctifs étant apportés pour tenir compte des covariances. Mais sa complexité même dissimule le fait que cette norme de situation nette n'est pas une norme de calcul des provisions techniques. Or, le risque essentiel de l'assurance non-vie est celui d'un montant involontairement ou volontairement insuffisant de provisions techniques. Pour reprendre l'exemple ci-dessus, l'assureur N bis, s'il ramène ses provisions de 400 à 360 M €, non seulement fait passer ses fonds propres de 30 à 70 M €, mais aussi diminue paradoxalement le minimum réglementaire de RBC en faisant apparaître une grande capacité bénéficiaire, puisqu'il fera un bénéfice apparent de 40 M€.

94

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le calcul RBC et son apparente précision paraissent inutiles pour le simple garde-fou qu'est le minimum réglementaire, qui n'est pas le montant de marge avec lequel il est raisonnable d'opérer mais le minimum en dessous duquel nul ne peut opérer. Ceci n'empêche pas le calcul RBC d'être utile pour les décisions internes à l'entreprise (le résultat du responsable d'une branche peut être rapporté à un capital alloué à la branche).

4.

Portée et limites de la réglementation

Ce qui précède amène à quelques remarques sur l'esprit, la portée et les limites de la réglementation française actuelle.

4.1.

Trois principes... et des détails

Nous l'avons vu, la réglementation française s'articule autour de trois principes essentiels. Ces principes sont simples, même si les nombreux détails que comporte la réglementation peuvent faire penser le contraire !

4.1.1.

Premier principe : des provisions techniques suffisantes

« Les engagements réglementés dont les entreprises mentionnées à l'article L 310-1 doivent, à toute époque, être en mesure de justifier l'évaluation sont les suivants : 10 les provisions techniques suffisantes pour le règlement intégral de leurs engagements vis-à-vis des assurés ou bénéficiaires de contrats ... » (art. R. 331-1).

Exemple de détail: le calcul de l'âge du rentier en assurance non-vie:

«Pour le calcul de la provision mathématique, la date de naissance du rentier est reportée au 31 décembre le plus voisin ... » (art. A. 331-12). Cet exemple est clair: on comprend qu'un problème de calcul se pose car les tables de mortalité réglementaires ne comportent que des âges entiers, et le 31 décembre, la plupart des rentiers ont un âge non entier! La réglementation retient ici une des approximations envisageables. Mais il ne va pas de soi que la réglementation doive régler de tels détails : d'ailleurs, si elle tranche ici le cas des rentiers de l'assurance non-vie, elle ne traite pas le cas, pourtant voisin, des rentiers de l'assurance vie.

4.1.2.

Deuxième principe: des provisions techniques représentées par des actifs d'un montant équivalent (et d'une certaine qualité)

«Les engagements réglementés mentionnés à l'article R. 331-1 doivent, à toute époque, être représentés par des actifs équivalents ... » (art. R. 332-1).

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

95

Exemple de détail: les frais d'acquisition reportés. «La provision pour primes non acquises constituée au titre d'un contrat par une entreprise pratiquant les opérations mentionnées au 2° ou au 3° de l'article L 310-1 peut être représentée, jusqu'à concurrence de 25 % de son montant, par les frais d'acquisition reportés au titre de ce contrat, nets des commissions des réassureurs reportées au titre de ce même contrat ... » (art. R. 332-6). Cet exemple est pratiquement incompréhensible pour un non-initié. La réglementation semble aller dans le sens du laxisme, et admettre un actif conventionnel (les frais d'acquisition de contrats) en représentation des engagements envers les assurés. En réalité, cette règle découle du fait que le plan comptable actuel a choisi, pour des raisons d 'harmonisation européenne, de faire figurer certains frais d'acquisition des contrats parmi les actifs, et de majorer les engagements du même montant pour ne pas fausser la situation nette. Il est donc logique d'admettre cet actif en représentation de l'engagement correspondant: l'actif est certes conventionnel, mais l'engagement l'est aussi. Le même problème se pose en assurance vie, avec la même solution.

4.1.3.

Troisième principe: l'assureur doit être et rester solvable

« Lorsque la situation financière d'une entreprise soumise au contrôle de l'État en vertu de l'article L 310-1 est telle que les intérêts des assurés et bénéficiaires des contrats sont compromis ou susceptibles de l'être, la Commission de contrôle des assurances prend les mesures d'urgence nécessaires à la sauvegarde de l'intérêt des assurés ... » (art. L. 323-1-1).

Exemple de détail : le calcul du minimum de marge réglementaire. «Le montant des primes obtenu est réparti en deux tranches, respectivement inférieure et supérieure à 10 millions d'unités de compte ... À 18 % de la première tranche sont ajoutés 16 % de la seconde. » L'aléa sur le résultat décroît certes en fonction du chiffre d'affaires, ce qui explique la dégressivité précédente (mais l'incertitude de tarification, non !). Mais quelque détaillé que soit le calcul du minimum réglementaire de marge de solvabilité, il ne faut pas perdre de vue que l'essentiel n'est pas l'application d'un minimum réglementaire à une date passée (ratio simple de marge européenne ou ratio compliqué du «Risk Based Capital» américain) : l'essentiel est que l'assureur soit actuellement solvable et le reste dans le futur.

4.2.

Des règles à respecter à toute époque

Les règles ne sont pas à respecter seulement lors de l'arrêté des comptes du 31/12 dernier, mais aussi aujourd'hui et dans l'avenir tel qu'on peut l'envisager : - d'abord sous les hypothèses les plus probables; - mais aussi sous des hypothèses alternatives défavorables. De la même façon, un automobiliste doit conduire prudemment non seulement devant les radars de la maréchaussée, mais aussi ailleurs, et ceci en permanence.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

96

4.3.

Des règles interprétables et souvent utiles à l'assureur

Nous avons vu un exemple d'interprétation dans le cas des pensions livrées, et un exemple de leur rôle de garde-fous dans le cas de la contrainte exercée sur l'assureur pour qu'il ne laisse pas trop de primes arriérées chez les intermédiaires, à moins qu'il ne soit riche.

4.4.

Des règles nécessaires mais non suffisantes

Dire qu'un assureur observe tous les articles de détail de la réglementation ne suffit pas à dire qu'il est suffisamment prudent: par exemple, rien n'indique explicitement qu'un assureur doive être réassuré (la prise en compte de protection en réassurance n'intervient que par un ratio, ratio indifférent, par exemple, au type du traité, stop-loss ou quote-part). Or, tout assureur est susceptible de garantir des sinistres (incendie d'une raffinerie, automobile faisant dérailler un train) dont la valeur dépasse largement ses capitaux propres, et un assureur qui garantit un sinistre qu'il ne pourrait payer que très partiellement commet une très lourde faute professionnelle, et ne remplit plus son rôle d'assureur. D'une manière générale, la réglementation ne règle pas tout et laisse une large part de responsabilité à l'entreprise. Le risque de faillite de l'assureur ne peut donc pas être exclu. En France, entre 1990 et 1999, une société d'assurance vie et onze sociétés d'assurance non-vie ont été liquidées. La question qui se pose alors est de savoir s'il reste assez d'argent dans les caisses de l'assureur pour payer les assurés. Ce n'est pas toujours le cas. En effet, les assurés passent après l'État et les salariés dans l'ordre des créanciers privilégiés. De plusJa part des salariés est en général sous-estimée par la réglementation, qui ne prévoit que les charges sociales nécessaires à la poursuite de l'exploitation et non à son arrêt. En outre, la liquidation d'une entreprise coûte souvent plus cher que prévu (frais de liquidation, créances non honorées ... ). C'est pour ces raisons qu'ont été créés des fonds de garantie.

Annexes Annexe 1. 1.1.

Les plus-values latentes

Réalisation de plus-values latentes et marge de solvabilité

Dans le calcul de la marge de solvabilité MS, les plus-values latentes PV L s'ajoutent à la situation nette comptable SNC :

MS

= SNC+PVL

Pour un actif ou un groupe d'actifs, la plus-value latente est définie par: PV L = valeur de réalisation - valeur comptable

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

97

Il convient de distinguer, dans l'ensemble des placements : - les obligations (plus précisément les placements en valeurs amortissables de l'art. R. 332-19) ; - les actions et immeubles (plus précisément les placements en valeurs non amortissables de l'art. R. 332-20). En effet: • La plus-value latente PV L( 0) sur l'ensemble des obligations est algébrique (si PV L( 0) < 0, on parle de moins-value latente sur les obligations) ; • La plus value latente PV L(A + 1) sur l'ensemble des actions et immeubles est au contraire toujours positive: pour l'ensemble des actions et immeubles, tout se passe comme si la valeur comptable VC était égale à : inf (valeur de réalisation V R, valeur d'acquisition V A) car - si pour l'ensemble des actions et immeubles, V R > V A, alors la valeur comptable est VC = V A et il existe une plus-value latente VR-VA; - si pour l'ensemble des actions et immeubles V R < V A, alors V A - V R est porté au passif sous le nom de Provision pour Risque d'Exigibilité, et la valeur comptable de l'actif nette de la provision du passif devient V A - (V A - V R) = V R. On peut donc distinguer 3 cas : - Si PVL(O) > 0 alors

PVL = PVL(A + 1)

+ PVL(O) > 0

et

AlS=SNC+PVL - Si

PVL(O) < 0 et

PVL

=

PVL(A + 1)

+ PVL(O) > 0

alors de même

AlS=SNC+PVL - Si

PVL(O) < 0 et

PVL

=

PVL(A + 1) + PVL(O) < 0

alors on considère actuellement que A1S discutable.

=

SNC, ce qui peut paraître

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

98

1.2.

Comment les réalisations de plus-values influent-elles sur le résultat ?

Le résultat est plus à la discrétion de l'assureur que ne l'est la marge. En effet, en première approximation, - un aller-retour sur des actions en plus-value latente améliore le résultat ; - un aller-retour sur des actions en moins-value latente ampute le résultat. Dans les deux cas la marge demeure inchangée. Ceci est vrai en première approximation, c'est-à-dire si la réalisation d'une plus-value latente augmente le résultat du même montant qu'elle ampute la plus-value latente (ce qui suppose que les cours ne sont pas volatils, que l'on peut négliger la fiscalité, que l'on peut ne pas tenir compte des éventuelles clauses de participation des assurés vie aux bénéfices). Pour les opérations sur les obligations, il faut tenir compte du mécanisme de la réserve de capitalisation, qui tend à annuler l'effet d'un allerretour.

1.3.

Exemple d'influence sur le bénéfice comptable des plus-values de cessions

1.3.1.

Notations et hypothèses

À la date t, la marge de solvabilité M St est égale à la situation nette comptable SNCt augmentée des plus-values latentes PV Lt :

= SNCt + PVL t de la période (t, t + 1), A1St

Si R est le résultat

M St+ 1 = M St

+ R + .6.PV L

où

.6.PV L = PV Lt+ 1

-

PV Lt

du moins dans le cas le plus fréquent où PV Lt+l et PV Lt sont toutes deux positives. On suppose qu'une réalisation de plus-value ampute la plus-value latente et augmente le résultat de l'exercice du même montant.

a) S'il n'y a pas eu de cession d'éléments d'actif au cours de l'exercice, A1St +1 = MSt + R + .6.PVL b) S'il y a eu réalisation d'une plus-value sur actions de 1 M€, résultat et donc situation nette comptable augmentent de 111€, la plusvalue latente baisse de 1 M €

R'=R+1 donc

99

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire ~PVL'

= ~PVL-1

donc M S;+l

= M St + R + 1 + ~PV L -

1

soit M S;+l

= M St+1

c) S'il y a eu réalisation d'une plus-value sur obligations de 1 M€, la plus-value de cession dote la réserve de capitalisation, le résultat ne change pas, la situation nette comptable augmente de la dotation à la réserve de capitalisation, la plus-value latente baisse de 1 M€ R'

= R +1-

~RC

= R +1- 1 = R

SNC;+l = SNCt+1 + ~RC ~PVL'

=

~PVL-1

donc M S;+l

= M St + R + 1 + ~PV L -

1

MS;+l = MSt +1 d) S'il Y a eu réalisation d'une plus-value sur immeuble de 1 M €, on se retrouve dans le cas des actions en b), sauf qu'il est plus théorique alors de négliger la fiscalité.

e) S'il y a eu réalisation d'une moins-value sur actions de 1 M€, on peut remplacer 1 M€ par - 1 M€ dans ce qui précède en b). f) S'il Y a eu réalisation d'une moins-value sur obligations de 1 M €, on peut remplacer 1 :rvl € par - 1 M € dans ce qui précède en b) à condition que RCt > 1, car la réserve de capitalisation ne peut devenir négative.

Annexe 2.

Marge de solvabilité, actif net réévalué, embedded value, appraisal value et fair value

La différence entre la marge de solvabilité et les autres concepts permet de mieux comprendre la marge. Nous avons vu que la marge de solvabilité comporte essentiellement - une situation nette comptable; - l'ensemble des plus-values latentes sur placements; - (et il est tenu compte, pour les mutuelles pouvant faire des rappels de cotisations, de cette possibilité). Elle est là pour faire face aux aléas de l'activité d'assurance et a donc vocation à se distinguer des notions cherchant à cerner la valeur de la compagnie. En particulier elle comporte - plus de plus-values latentes; - moins de bénéfices futurs.

100

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

La situation nette comptable est l'excédent de l'actif réel (biens et créances) sur le passif réel (dettes et engagements). Elle dépend étroitement des règles d'évaluation de l'actif et des règles d'estimation du passif applicables. Les règles exposées en 2 se résument schématiquement en disant : - Les actifs sont évalués au coût historique. - Les engagements sont évalués de manière prudente.

L'actif net réévalué corrige la situation nette comptable, en particulier en y ajoutant la partie des plus-values latentes qui reviendrait à l'actionnaire en cas de réalisation de ces plus-values: s'en déduisent donc les impôts et les participations des assurés aux bénéfices auxquelles ces plus-values donneraient lieu. En revanche, la marge de solvabilité a vocation à comporter toutes les plus-values latentes qui permettraient de faire face à des pertes (et qui en ce cas ne seraient pas amputées par des impôts ou des participations aux bénéfices. L'embedded value, l'appraisal value ajoutent à l'actif net réévalué une valeur actuelle des bénéfices qui seront dégagés respectivement par les contrats existants, et par les affaires nouvelles que l'entreprise saura développer. Ces bénéfices futurs normalement prévisibles, qu'un éventuel acquéreur de la compagnie doit en principe payer, ne sauraient a priori servir de marge de solvabilité pour faire face aux difficultés découlant de circonstances défavorables.

2.1.

Fair value des actifs et des passifs

La fair value d'un actif ou d'une dette est définie comme valeur à laquelle cet actif ou cette dette pourraient faire l'objet d'une transaction entre deux parties informées et motivées, dans une transaction en face à face. Il n'y a pas de traduction française du terme fair value: valeur de transaction selon la définition donnée. Pour les actifs, la fair value s'assimile à la valeur de marché. Pour les passifs, en théorie, rien n'empêche de remplacer une provision prudente par une provision fair value à laquelle s'ajouterait une provision for adverse deviations (provision pour circonstances défavorables). Mais les transactions sur les provisions techniques sont trop rares pour servir de référence. On peut penser à construire une fair value théorique, qui sera basée sur le best estimate, un montant qui se révélera suffisant 50 fois sur 100 et insuffisant 50 fois sur 100. Mais, faute d'expérience, ce montant n'est en général pas connu. Empruntons une image à la conduite automobile : je sais que 50 km/h est une vitesse prudente pour prendre ce virage, mais faute d'expérience je ne sais pas quelle est la vitesse à laquelle je resterai sur la route 50 fois sur 100 et sortirai de la route 50 fois sur 100.

101

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

Annexe 3.

3.1.

Exercices

Exercice 1. Non-vie

Les comptes provisoires d'une société d'assurance non-vie sont résumés ainsi (les montants sont en millions d'euros) BILAN au 31 décembre 1999 Valeurs immobilisées nettes

239,82

Provisions des réassureurs Créances sur ass. et agents Banques Autres actifs

11,85 5,17 0,77 22,29

?

TOTAL

Fonds propres Résultat de l'exercice (+/-) Provisions techniques Dettes envers ass. et agents Autres dettes à court terme

116,62 ? 165,35 0,00 7,54

?

TOTAL

COMPTE DE RÉSULTAT 1999

Primes (Variation des) PNA Primes acquises Produits des placements Prestations et frais payés (Variation des) Provisions pour sinistres Charge des sinistres Frais d'acquisition Frais d'administration Solde de réassurance Divers Résultat de l'exercice

(+ -) (+ -)

497,18 2,03 495,15 9,46 372,00 15,81 388,71 41,44 78,25 - 7,48 1,66

(=)

?

(-) (=) ( +)

(-) (-) (= -)

(-) (-)

1. Calculer les valeurs provisoires du Résultat (R) de l'exercice 99 et de la situation nette (SN) au 31 décembre 1999. 2. Le service technique vous communique son évaluation définitive des provisions techniques, qui est de 30 M € plus élevée que la provisoire. Calculer le montant définitif du résultat et de la situation nette en supposant que l'information ci-dessus ne modifie pas les comptes des réassureurs. 3. Le service financier vous communique les valeurs de réalisation des placements :

102

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

(en M€) VENTILATION DES PLACEMENTS PAR NATURE Prix d'achat

Valeur de réalisation

Valeurs mobilières: - Obligations - Actions - Immeubles

49,95 126,89 56,87

48,03 138,64 67,49

TOTAL

233,71

254,16

Calculer la marge de solvabilité (MS) de l'assureur et indiquer si cette marge est supérieure au minimum réglementaire (M R). 4. Le service immobilier reçoit une expertise dépréciant de 40 % les valeurs de réalisation des immeubles. De quelle manière les résultats des questions qui précèdent sont-ils modifiés ? 5. Dans quelle mesure pourrait-on faire baisser le niveau de marge de solvabilité minimale en se réassurant ? Réponses 1.

RI

= actifs -

dettes et fonds propres

= -9,61

C'est une perte. On vérifie que l'on a aussi (par construction comptable) : RI = ressources - charges = -9,61 SNI

= fonds propres - perte de l'exercice = 107,01

2.

R2

= RI

- 30

= -39,61

Le résultat définitif est une perte plus importante. SN2

= SNI - 30 = 77,01

3.

MS

= SN2 + plus-values latentes = 97,46 MR

~

497, 18 x 16 % = 79,55

(Calcul approximatif car il néglige notamment la faible correction pour réassurance. ) MS>MR donc la société respecterait la norme réglementaire de marge de solvabilité. 67,49 x 40 % = 27

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire

103

Les plus-values sur placements autres qu'obligations deviennent des moins-values:

(67,49 + 138,64) - (126,89 + 56,87) - 27 = -4,63 4,63 est à enregistrer en provision (pour risque d'exigibilité des engagements techniques). Le résultat de l'exercice devient:

R3

=

-44,24

et la situation nette:

SN3 = 72,38 Remarque Si la société considère que la dépréciation a un caractère durable, elle doit enregistrer une provision de 27 (au lieu de 4,63) sous un libellé de dépréciation durable d'actifs. Dans tous les cas de figure, la marge de solvabilité constituée (MS) devient inférieure au minimum réglementaire: la société ne respecte plus la norme de solvabilité.

5. Dans la limite de 50 %, ce qui dans cet exemple suffirait largement. Toutefois la réassurance a un coût.

3.2.

Exercice 2 (vie)

Analyser la solvabilité d'une société d'assurance vie qui présente les caractéristiques suivantes : Le chiffre d'affaires du dernier exercice, 100 "tvl€, comprend 95 M€ de bons de capitalisation et 5 M € correspondant à un seul contrat groupe décès, à échéance annuelle du 1er juillet, et qui garantit un capital de 1 M€ sur chaque tête d'un groupe de 1 000 adhérents. BILAN au 31 décembre 1999 Valeurs immobilisées nettes Créances sur assurés et agents Autres actifs

TOTAL

263 4

19

286

Fonds propres Résultat de l'exercice Provisions techniques Dettes envers assurés et agents Autres dettes à court terme

15 -2 251 2 20

TOTAL

286

Plus-values latentes sur placements: 23 M€. Réponse Le minimum réglementaire de marge (M R) est la somme de 4 % des provisions techniques (soit la M€) et de 1 pour mille des capitaux sous risque.

104

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

Le capital sous risque, différence entre le montant garanti en cas de décès et la provision mathématique du contrat, est dans ce cas particulier approximativement égal aux garanties du contrat groupe décès, car la provision mathématique d'une garantie temporaire décès a une valeur numérique très faible (voir chapitre 6). Au total: MR=10+1=11M€ La marge de solvabilité constituée est :

MS = fonds propres - perte de l'exercice + plus-values latentes = 36 M€ L'appréciation de la situation financière de la société ne saurait se limiter au seul respect formel de la norme réglementaire minimum MS> M R, mais doit aussi prendre en compte notamment le libellé des clauses de participation (des assurés) aux bénéfices, dans la mesure où elles sont susceptibles d'induire des contraintes sur les possibilités d'utilisation des plus-values latentes. Enfin, il est souhaitable que la société réassure le contrat groupe décès (voir chapitre 4).

Chapitre 4

LE MODÈLE SIMPLE DE L'ASSURANCE

{( Tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable», Paul Valéry. Avant d'aborder le modèle complet (et complexe) de l'assurance au chapitre 5, nous allons commencer par étudier un modèle simple. Les hypothèses du modèle Le contrat modélisé a une durée annuelle. Il a été souscrit par na assurés individuels ou, ce qui revient presque au même pour l'actuaire, par une personne morale au profit de na adhérents dans le cadre d'une assurance de groupe. Pour chaque assuré i (i = 1, ... , na), le contrat garantit, en échange du paiement d'une prime commerciale 7r~', le versement d'une prestation Xi en cas de sinistre(s) dans l'année. Tous les risques assurés sont de même nature. Ils sont même supposés identiques et indépendants (ou à défaut homogènes et peu dépendants). Pourquoi ces hypothèses ? Grâce à ces hypothèses, nous allons pouvoir exposer avec simplicité les différents mécanismes de l'assurance à court terme (ici un an). Nous éviterons ainsi d'introduire de trop lourdes notations actuarielles, et nous pourrons analyser plus facilement les conséquences de la présence d'aléas sur les résultats de l'assureur. En outre, le modèle que nous étudierons correspond à un contrat réel : l'assurance temporaire décès d'un an. Toutefois, par moment, nous nous éloignerons des hypothèses du modèle. Nous verrons ainsi ce que deviennent les résultats de l'assureur lorsqu'elles ne sont plus vérifiées.

106

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Dans le cadre de ce modèle particulièrement simple, nous commencerons par voir que, même si le risque est correctement tarifé, l'assureur s'expose à un risque de perte, voire, plus grave, à un risque de ruine (§ 1.). Cette situation empire si la tarification n'a pas été maîtrisée (§ 2.). Une fois la tarification effectuée, les premiers résultats apparaissent et doivent parfois déclencher une modification du tarif (§ 3.). Le cas particulier de l'assurance temporaire décès d'un an nous servira de fil d'Ariane en permettant d'effectuer des applications numériques très parlantes.

1.

Aléa et résultat de l'assureur

Dans cette première section, l'assureur sera supposé connaître ex ante l'espérance E(Xi ) de la charge aléatoire annuelle de prestations Xi relative à chaque assuré i (ou risque i). Cette connaissance lui permet de faire payer à chaque assuré i une prime pure 'Tri correspondant exactement à cette espérance E(Xi ), majorée de chargements destinés à lui permettre de payer ses frais de gestion et d'espérer un bénéfice.

E(Xi )

= 'Tri

est un montant supposé connu dans cette section 1.

Au début de la période d'assurance, l'assureur encaisse na primes commerciales de montant total

na

na

i=l

i=l

L 'Tr~/. Il dispose donc de L 'Tr~' pour payer les

prestations des sinistres qui surviendront en cours d'exercice, et sa gestion. Ces prestations ne sont pas connues à l'avance. Elles sont aléatoires. Pour savoir s'il pourra payer ces prestations et prévoir le résultat de l'exercice, l'assureur doit prévoir avant le début de la période d'assurance la charge totale des prestations na

LXi= LXi i=l

Une fois cette preVISIOn effectuée, l'assureur doit chercher comment rendre pratiquement impossible, sinon l'éventualité d'une perte, du moins l'éventualité de sa ruine. Dans le cadre de risques identiques et indépendants, nous allons commencer par exposer un exemple numérique de référence que nous poursuivrons tout au long de ce chapitre (§ 1.1), avant de montrer comment les risques de perte et de ruine peuvent être mesurés en utilisant le coefficient de sécurité (3 (§ 1.2). Ces premiers acquis seront utilisés dans le cadre particulier de l'assurance temporaire décès (§ 1.3). Puis nous verrons que la réassurance peut de manière générale faire diminuer le risque de ruine (§ 1.4). Nous indiquons en annexe 1 comment généraliser ces résultats aux risques non strictement identiques et non strictement indépendants.

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

1.1. 1.1.1.

107

Exemple numérique de référence Modélisation du résultat sans frais de gestion et sans produits financiers

Reprenons l'exemple du chapitre 1, § 5.1 d'un contrat d'assurance qui garantit le versement d'un capital de c = 100 000 € en cas de décès et qui a été souscrit par na = 10 000 assurés, chacun d'entre eux ayant une probabilité q = 1 % de décéder dans l'année. Nous allons d'abord étudier le résultat en faisant abstraction des frais de gestion et des produits financiers, la prime étant provisoirement de 1 050 €. Le nombre de décès dans l'année est une variable aléatoire Nd d'espérance naq = 100 et d'écart-type 10. Soit Rna' le résultat aléatoire de l'assureur. Rna est la différence entre les primes connues et les prestations aléatoires. Rna est aléatoire car il dépend du nombre de décès Nd.

Rna = n a 7r

-

CNd

= 10 000

X

1 050 - 100 000

X

Nd

avec

E(RnJ = n a7r

-

cnaq = 10 500 000 - 10 000 000 = 500 000 €

et 1.1.2.

Afodélisation du résultat en prenant en compte des frais de gestion et des produits financiers

La prime commerciale est cette fois de 1 400 €. Nous intégrons maintenant dans notre modélisation des frais de gestion (Fe) nécessaires au fonctionnement de l'entreprise et des produits financiers (PF) provenant des placements. Le résultat de l'assureur Rna est la différence entre d'une part la somme des na primes commerciales 7r" et des produits financiers P F, et d'autre part la somme des Nd prestations de montant c et des frais de gestion Fe :

Rna = n a 7r"

+ PF -

CNd - Fe = 14000000 + PF - 100 OOONd - Fe

Supposons que les frais de gestion diminués des produits financiers représentent un quart de chaque prime commerciale. Fe - PF = 25 % X n a 7r" = 3 500 000 €

Le résultat de l'assureur se réécrit comme suit:

Rna = 14 000 000 - 3 500000 - 100 000

X

Nd

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

108

avec E(RnJ

= 10 500000 -

100 000

X

E(Nd )

= 10 500 000 - 10 000 000 = 500 000 €

L'écart-type du résultat est indépendant des produits financiers et des frais de gestion. Il est important par rapport à l'espérance du résultat.

1.2.

Étude générale

L'assureur a principalement comme produits les na primes versées par les assurés 7r~'. Il a principalement comme charges les prestations éventuellement versées aux assurés E Xi et les frais de gestion nets de produits financiers F N G. Son résultat Rna est la différence entre ces produits et ces charges. Un comptable écrira plutôt en colonne (en supposant que le lecteur sait si un montant s'ajoute aux précédents ou s'en retranche !) :

L

Compte de résultat Primes Sinistres Frais Résultat

Signe implicite

Notation actuarielle

(+)

1: 'Tri" EXi

(-) (-)

FNG

(±)

Rna

Un actuaire écrira plutôt sur une ligne

Passons successivement en revue chacun des termes de l'équation précédente, en commençant par les sinistres.

1.2.1.

La charge de prestations des na risques

Pour chaque assuré i = 1, ... , na, la charge annuelle de sinistres Xi est une variable aléatoire. Elle a pour espérance E(Xi ) et pour écart-type a(Xi ). Les na risques étant supposés identiques et indépendants, on a :

Vi = 1, ... , na E(Xi ) = E(X) ce qui permet d'écrire:

et

a(Xi ) = a(X)

109

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

L

Pour l'assureur, la charge annuelle totale de sinistres Xi a donc pour espérance naE(X) et pour écart-type ~a(X). Quelle que soit la loi de Xi, le théorème de la limite centrale permet d'affirmer que la loi de

ou, ce qui revient au même

tend vers une loi normale centrée et réduite lorsque na tend vers l'infini. UI:.Xi suit approximativement une loi normale centrée et réduite. De ce fait, il y a 99,9 % de chances que:

II:.Xi

-

E(I:.Xi)1

< 3,3 < 3,3a(I:.Xi )

II:.Xi

-

naE(X)1

< 3, 3~a(X)

IUI:.Xil

Ou encore, en notant la l'incertitude absolue et Ir l'incertitude relative, Ia(I:.Xi )

= II:.Xi

Ir(I:.Xd

=

II:.Xi

-

naE(X)1

- naE(X)1 naE(X)

< 3, 3~a(X) a(X)

< 3,3 E(X)~

Questions a. Lorsqu'on prévoit que I:.Xi vaudra environ naE(X), comment varie l'incertitude en fonction du nombre na des assurés? Comment s'accroîtelle lorsque le nombre des assurés passe de na à n~ = 100 X na ? b. Vaut-il mieux étudier l'incertitude absolue ou l'incertitude relative? Indications de réponse a. L'incertitude absolue, mesurée par a (I:.Xd , soit ~a(X), varie comme ~ et l'incertitude relative, mesurée par a(I:.Xd/ E(I:.Xi ) , soit 1 a(X). 1 ~ E(X)' vane comme vn;' En d'autres termes, lorsque le nombre d'assurés est multiplié par 100, l'incertitude absolue est multipliée par 10 seulement, l'incertitude relative est quant à elle divisée par 10. Ce qui précède est la traduction de la loi des grands nombres. b. Lorsqu'on prévoit que I:.Xi sera «environ» naE(X), l'incertitude relative a(I:.Xi )/ E(I:.Xi ) est plus intéressante que l'incertitude absolue a(EXi ), car c'est en proportion du chiffre d'affaires que s'apprécient les gains et les pertes et non en montant.

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

110

Remarques Sur l'incertitude relative, on peut faire deux remarques: - L'une, déjà faite ci-dessus, est que pour un risque de nature donnée (E(X) et O"(X) donnés), l'incertitude relative décroît en 1/ yTï;. - L'autre consiste à dire que, pour un nombre na d'assurés donnés, l'incertitude relative est d'autant plus petite que l'écart-type relatif O"(X)/ E(X) est petit.

1.2.2.

Les primes des na risques

L'assureur encaisse, au total, les primes commerciales ~7r~' = na 7r" , chacun des na assurés payant la même prime 7r". Le compte de résultat de l'assureur permet de voir facilement ce que les primes doivent financer Compte de résultat

Signe implicite

Notation actuarielle

(+)

~ Ki"

(-) (-)

FNG

(=)

Rna

Primes Sinistres Frais Résultat

~Xi

Ou encore: Les primes doivent servir à financer les sinistres, les frais et, last but not least, le bénéfice de l'assureur. L'usage actuariel traduit cette préoccupation en décomposant chaque prime commerciale 7r" en trois parties: - une prime pure 7r = E(X) (avec l'ensemble des primes pures, l'assureur espère faire face à la charge des prestations) ; - un chargement de gestion proportionnel à la prime commerciale g7r" (avec l'ensemble des chargements de gestion, l'assureur espère faire face à ses frais de gestion (c'est-à-dire à ses frais d'acquisition tels que les commissions versées aux intermédiaires, à ses frais d'administration), ces frais étant diminués des produits des placements) ; - un chargement de sécurité proportionnel à la prime pure a7r (a > 0) (avec l'ensemble des chargements de sécurité, l'assureur espère faire face à un écart éventuel entre la charge réelle des prestations ~Xi et la charge probable E(~Xi) = n a 7r, et donc dégager un bénéfice). La prime commerciale s'écrit donc ainsi:

Soit encore : 7r"

= 1+a

1-g

7r

= 1 + a E(X) . 1-g

111

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

1.2.3.

Les frais de gestion et les produits financiers sont prévisibles avec exactitude

Les primes que reçoit l'assureur doivent servir non seulement à payer les sinistres mais aussi les frais de gestion nécessaires au bon fonctionnement de l'entreprise. Comme nous l'avons vu précédemment, c'est pour cette raison que l'assureur prélève sur la prime commerciale un chargement de gestion. L'assureur dispose toutefois d'une autre ressource: il perçoit les primes d'avance et ne paie les sinistres que lors de leur réalisation, soit bien après. Il peut donc placer cet argent (sur des actifs mobiliers ou immobiliers qui dégagent des produits financiers). L'hypothèse simplificatrice que nous effectuons est que les frais de gestion sont compensés globalement avec exactitude par les ressources que sont les chargements de gestion et les produits financiers: cette hypothèse est raisonnable dans la mesure où la différence entre les frais de gestion et les ressources citées est négligeable devant l'aléa résultant de la sinistralité. En outre, l'assureur peut intervenir pour contenir ses frais nets dans l'enveloppe des chargements, alors qu'il lui est difficile de limiter les sinistres de ses assurés. 1.2.4.

Le résultat de l'assureur

Le résultat de l'assureur Rna est une variable aléatoire : Rna

=

~7r~'

= n a7r

-

~Xi - FNG

+ na Q7r -

=

n a7r

+ na Q7r + na97r" -

~Xi - FNG

~Xi

Son espérance est naQ7r et son écart-type est ~(7(X). Toujours d'après le théorème de la limite centrale,

fonction affine de la variable aléatoire ~Xi, suit une loi approximativement normale (centrée-réduite). Cette propriété va nous permettre d'étudier le risque de perte P(Rn a < 0) et le risque de ruine P(Rn a < -FP), où FP désigne les fonds propres de l'assureur. 1.2.5.

Le risque de perte

L'assureur peut faire une perte avec la probabilité suivante:

112

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

Questions a. Comment l'assureur peut-il diminuer sa probabilité de perte? b. En l'absence de chargement de sécurité, quelle est la probabilité que l'assureur fasse une perte ? Indications de réponse a. L'assureur peut réduire sa probabilité de perte en augmentant

!i~?

ay'rï;,. Il peut donc chercher à :

- augmenter na, pour un risque de nature donnée (E(X), a(X) donnés) et un tarif donné (a donné) ; - augmenter a, et donc la prime commerciale, pour un risque de nature donnée (E(X), a(X) donnés) et un nombre d'assurés donnés (na donnés) ; - améliorer le risque en donnant des conseils de prévention. La phrase «l'assureur peut réduire sa probabilité de perte en augmentant le nombre d'assurés na)} suppose le tarif exact (E(RnJ > 0). Mais l'augmentation du nombre d'assurés peut altérer l'homogénéité des assurés qui avait permis de construire un tarif équilibré. En revanche, la phrase suivante «l'assureur peut réduire sa probabilité de perte en augmentant la prime commerciale)} est plus généralement vraie. b. L'assureur fera une perte en moyenne un exercice sur deux. En effet, comme E(RnJ

= n a a1r = 0, on a

E(RnJ) 1 P(Rna < 0) = P ( URna < - a(Rna) = P(URna < 0) = 2 Les lois normales sont en effet des lois symétriques autour de leur espérance. Le chargement de sécurité est donc indispensable pour permettre à l'assureur de faire en moyenne un bénéfice plus d'un exercice sur deux. Cela signifie qu'un assureur ne peut pas tarifer «à prix coûtant)}. Il doit toujours prévoir a priori une marge.

Précision Si nous considérons comme pratiquement impossible un événement qui a une chance sur 1 000 de se réaliser, une perte sera pratiquement impos-

.

.

slble SI U Rna

<

. E(RnJ

-3,1 donc SI a(RnJ

>

.

E(X)

3,1 SOlt encore a(X) ayTï;; >

3,1. En pratique,

E~Rn"? a Rna

est rarement supérieur à 3,1. L'assureur ne peut

pratiquement jamais exclure de faire une perte. La réponse précédente comme tout le chapitre suppose que l'approximation de la loi de Rna par une loi normale est justifiée.

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance 1.2.6.

113

Le risque de ruine

Comme l'assureur peut réaliser des pertes, il doit donc disposer de fonds propres (ou marge de solvabilité) pour pouvoir faire face à ces pertes éventuelles. Les fonds propres sont constitués par les capitaux propres versés par les sociétaires ou les actionnaires, et par les réserves qui sont des bénéfices réalisés dans le passé et non distribués. La ruine survient si la perte annuelle dépasse le montant des fonds propres F P. Untel événement a la probabilité suivante : P(R n" < - fonds propres F P)

=

P ( U Rn"

<

FP+E(RnJ) a(RnJ

- FP + E(RnJ {3 _ - - - - - - est appelé coefficient de sécurité

a(RnJ

La ruine sera dite pratiquement impossible si (3

> 3,1

Donc, pour des risques de nature donnée (E(X) et a(X) donnés), ffi . d ' ., {3 F P + E(RnJ ' , . 1 l assureur d Olt porter e coe Clent e secunte = a(RnJ a un niveau satisfaisant : - en augmentant les fonds propres F P par appel auprès des actionnaires (mais cette possibilité est limitée par les ressources et la bonne volonté des actionnaires ; en particulier, plus les fonds propres sont importants pour un chiffre d'affaires donné, plus le dividende versé par action est faible) ; - en augmentant le chargement de sécurité Q (mais cette augmentation de la prime pourrait entraîner une fuite des assurés vers la concurrence) ; - en augmentant le nombre d'assurés na (mais cette possibilité est limitée par la taille du marché et la concurrence y régnant, et suppose que le tarif soit exact). Il convient de souligner que cette section suppose l'existence de risques identiques et indépendants, ce qui est rarement le cas. En annexe 4.1 figure une étude sur ce que devient le résultat de l'assureur lorsque les risques assurés ne sont pas identiques et indépendants.

Remarque sur le choix d'utiliser les lois des grands nombres A priori, le théorème de la limite centrale n'est pas l'unique outil mathématique susceptible d'être utilisé pour tenter de chiffrer le risque financier pris par l'assureur. La branche mathématique dite de la théorie des jeux peut aussi être adaptée au modèle de l'assurance dans la mesure où elle donne des majorants de la probabilité de ruine du joueur (ici, l'excédent de sinistralité par

114

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

rapport aux fonds propres) en fonction du biais contenu dans la règle du jeu (ici, l'excédent des primes payées par rapport aux charges probables). Les développements actuariels qui en résultent, connus sous le nom de théorie du risque à long terme, reposent plus particulièrement sur un théorème appelé théorème de Finetti. Ces développements ne seront pas repris ici car, bien qu'ils constituent des éléments de réflexion théorique intéressants, ils donnent finalement des résultats numériques décevants (en résumé parce que les majorants se situent trop au-delà des probabilités qu'on cherche à estimer).

1.3.

Un cas particulier: l'assurance temporaire décès

Traitons entièrement au plan théorique l'exemple numérique de référence avant de le poursuivre. L'assureur garantit na risques identiques et indépendants : chaque assuré i (i = 1, ... , na) a une probabilité q de décéder dans l'année et, dans ce cas, l'assureur verse un capital c aux bénéficiaires décès. On peut remarquer que le contrat est très simple à modéliser car le coût du sinistre c n'est pas aléatoire. Seule la survenance l'est. En outre, chaque assuré ne peut décéder qu'une seule fois !

1.3.1.

Le risque individuel

La charge annuelle aléatoire de prestation relative à l'assuré i, notée Xi, ne peut prendre que 2 valeurs : c avec la probabilité q et 0 avec la probabilité 1 - q. Xi suit donc une loi de Bernoulli B(I, q), au facteur multiplicatif c près. On a donc :

Démontrons rapidement ces formules. Pour cela, il faut savoir que, si X suit une loi discrète, l'espérance et le carré de l'écart-type valent:

E(X) = LXP(X = x) x

x

D'où, pour Xi, qui ne peut prendre comme valeurs que c avec la probabilité q et 0 avec la probabilité 1 - q :

E(Xi ) = qc + (1 - q) x 0 = qc De même,

x

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

115

et comme on obtient Remarquons que si q est petit,

1.3.2.

Le risque total

La charge aléatoire annuelle de prestations relative aux na assurés, notée 2:Xi , est le produit du montant certain c par une variable binomiale de paramètres na et q. Son espérance est donc na qc, et son écart-type est cJn aq(l - q). Démontrons ces formules. Pour cela, il faut savoir que - E(2:X i ) = 2:E(Xi ) dans tous les cas, et si donc alors

E(2:Xi ) = naqc - a- 2 (2:X i ) = 2:a- 2 (Xd si les Xi sont indépendants, et sous cette hypothèse, si donc

alors et Remarquons que si q est petit,

a-(2:Xi ) 1 E(2:Xi ) ~ Jnaq Remarque

En pratique, une loi binomiale peut être assimilée à une loi normale dès que naq > 3, ce qui est le cas si, par exemple, na > 1 000 et q ~ 0, 01.

1.3.3.

Exemple de référence (suite)

1.3.3.1. Risque de perte Un assureur a réuni na = la 000 assurés et garantit à chacun, en cas de sinistre dans l'année, le versement d'une indemnité c = 100 000 €. Chaque assuré a une probabilité de 1 % de décéder dans l'année.

116

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

On suppose que chaque assuré paie une prime commerciale 7r" = 1 400 € et que les frais de gestion nets de produits financiers sont de 3,5 M€. On note Rna le résultat de l'exercice. - Dans quel intervalle Rna a-t-il 95 % de chances de se trouver? - Quelle probabilité Rna a-t-il d'être une perte? - Le risque de perte est-il pratiquement exclu (inférieur à 0,1 %) ?

1.3.3.2. Risque de ruine Les fonds propres F P de l'assureur sont de 1 M €. - Le risque de ruine est-il pratiquement exclu? - En réalité, quel est le risque de ruine? - Pour rendre le risque de ruine pratiquement impossible, à combien l'assureur devrait-il porter ses fonds propres ? - Ou bien, à combien devrait-il porter la prime? - Ou bien, combien de contrats devrait-il rassembler? Indications de réponses • ~Xi suit approximativement une loi normale - d'espérance E(~Xi) = nacq = 10 M€ ; - et d'écart-type a(~Xi) = cv'naq(l - q) = 0,99 M€. ~Xi a donc 95 % de chances de se situer entre E(~Xi) - 1, 96a(~Xi) et E(~Xi)

+ 1, 96a(~Xd,

donc dans l'intervalle

10 M €

± 1,94 M €

soit [8,1 M€; Il,9 M€] • Le résultat aléatoire Rna = n a 7r" - 3,5 - ~Xi = 10,5 - ~Xi suit approximativement une loi normale d'espérance 0,5 M€ , d'écart-type 0,99 M€. Le chargement de sécurité Q est égal à 5 %.

E(RnJ a(RnJ = 0,5 < 3,1 L'assureur ne peut donc exclure de faire une perte. Rna a 95 % de chances de se situer dans l'intervalle 0,5 M€ ± 1,94 M€, soit [-1,4 M€ ; 2,4 M€]. Le résultat Rna a 30,7 % de chances d'être une perte (soit en moyenne 3 exercices sur 10). - Le coefficient de sécurité f3 = (FP + E(RnJ)/a(RnJ vaut 1,5. L'assureur ne peut donc exclure d'être ruiné. La probabilité de ruine P(Rn a < -FP) est de 6,7 %. Un coefficient supérieur à 3,1 serait nécessaire pour avoir P(Rn a < -FP) < 0,1 %. Pour rendre le risque de ruine pratiquement impossible, l'assureur devra avoir son f3 supérieur à 3,1.

f3 = FP + E(RnJ = FP + naQcq > 3,1 a(RnJ

cv'naq(1 - q)

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

117

L'assureur peut, pour cela, - porter ses fonds propres à 2,6 M € ; - ou porter a à 20,9 % ce qui correspond à une prime commerciale de 1 560 € ; - ou encore porter le nombre de contrats souscrits à 339 000. Ce nombre s'obtient à partir de la formule

FP + naacq > 3, 1 cJn aq(l - q)

-r======

démontrée ci-dessus, qui conduit à résoudre une inéquation du second degré en .;n;,. Nous avons trouvé une solution n > nI ; mais (3(n) est une parabole: si nous n'avions pas de frais fixes nous trouverions comme solution n > nI ou n < n2 (sans frais fixe, n = 0 est une solution particulière qui évite la ruine).

1.4.

La diminution du risque de ruine par la réassurance

Nous avons vu diverses mesures que peut prendre l'assureur pour diminuer son risque de ruine : augmenter ses fonds propres F P, augmenter le chargement de sécurité inclus dans ses primes, ou, s'il n'y a pas d'erreur de tarification, augmenter le nombre d'assurés. Elles ne sont pas toutes faciles à mettre en œuvre et, en tout cas, nécessitent des délais. Une autre mesure est possible, et pratiquement sans délai: l'assureur peut se réassurer (c'est-à-dire transférer une partie des risques assurés à un réassureur) afin de diminuer son risque de perte et son risque de ruine, quitte évidemment à diminuer son espérance de bénéfice. 1.4.1.

La réassurance en quote-part

La réassurance en quote-part est la forme de réassurance la plus simple et la plus courante: l'assureur cède une part déterminée de chaque prime au réassure ur qui, en contrepartie, s'engage à payer la même part de chaque sinistre. Quel que soit le risque assuré, la part cédée est constante. Nous supposons que l'assureur cède une partie (1-8) ~7T~' de ses primes et conserve l'autre partie 8~7Tr de ses primes. En contrepartie, l'assureur se voit rembourser la même partie (1-8) ~Xi de ses sinistres mais conserve à sa charge 8~Xi. 8 est ici le coefficient de rétention de l'assureur. Remarquons que l'usage veut que l'assureur cède une partie (1 - 8) de ses primes totales ~7T~/, et donc en même temps la même partie (1 - 8) des chargements de gestion g~7T~' qui équilibrent les frais de gestion FNG. Comme les frais de gestion FNG ne diminuent pas pour autant, il convient donc que le réassureur rembourse une partie des chargements cédés. L'usage veut que le réassureur reverse non pas une partie des chargements (1- 8) g~7T~' qu'il reçoit,

118

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

mais une partie Cr, appelée commission de réassurance, des primes cédées (1 - (j) ~7r~' qu'il reçoit, ce qui revient au même. Après réassurance, le résultat devient: Brut de cessions

Primes Prestations Gestion Résultat

Net de cessions

~ 7ri"

()~7r~'

-

-~Xi

Rna = ~7r~'

- ~Xi

()~Xi

+ cr(l = ()~7r~' -

- gE7r~'

- gE7r~'

-

g~7r~'

~a

())) E7r:'

()EXi -(g - c r (1- ())) E7r~'

La réassurance a donc pour but de diminuer le risque de ruine, au prix en général d'une diminution de l'espérance du bénéfice. Il est facile de vérifier qu'il en va ainsi dans le cas simple où Cr = g et par conséquent R~a = (j Rna·

1.4.2. Si

Diminution du bénéfice probable et diminution du risque de ruine Cr

= g, alors

E(R~J

= (jE(RnJ, et dans tous les cas

a(R~J

=

(ja( Rna)' donc - L'espérance de bénéfice est moindre qu'avant réassurance (en supposant bien entendu cette espérance de bénéfice positive !) :

- En contrepartie, le résultat est moins dispersé et le coefficient de sécurité augmenté:

d'où (3r = fonds propres + (jE(R na )

> (3 = fonds propres + E(Rna)

(ja(RnJ On vérifiera que si

Cr

a(RnJ

> g, E(R~J

> (jE(RnJ

et d'où (3r

> (3.

Par contre, si Cr < g, on ne peut pas conclure que (3r

> (3.

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

119

Remarque 1. Dans le cas extrême où l'assureur cède 100 % de ses risques, l'assureur ne court plus aucun risque de ruine ... mais ne peut plus espérer aucun bénéfice. Remarque 2. Dans le cas d'une réassurance en quote-part, il existe un coefficient de rétention maximal si l'assureur veut raisonnablement exclure d'être ruiné: Omax

=

fonds propres

3, lo-(R nJ - E(RnJ 1.4.3.

Exemple de référence (suite)

1.4.3.1. Risque de ruine et réassurance Nous avons toujours un assureur avec na = 10 000 assurés qui garantit toujours à chacun, en cas de décès, le versement d'une indemnité c =100 000 €. Chaque assuré a une probabilité de 1 % de décéder. Chaque assuré paie une prime commerciale 7r" =1 400 €. Les frais de gestion nets de produits financiers sont de 3,5 M €. Les fonds propres de l'assureur F P sont de 1 M€. Quel est le taux de cession en quote-part qui rend le risque de ruine pratiquement impossible, si le réassureur en quote-part reverse 25 % des primes cédées au titre de commission de réassurance? En supposant que l'assureur cède au taux précédent, que se passe-t-il si le réassureur en quote-part diminue le taux de commission en deçà de 25 % ? Que se passe-t- il si le réassureur en quote-part augmente le taux de commission au-delà de 25 % ?

Indications de réponses Ici Cr = 9 =25 % et donc R~a = ORna· Pour que le risque de ruine soit impossible, il faut que f3r soit supérieur

,

a 3,1, donc que

FP+OE(R) Oo-(R) soit supérieur à 3,1. Pour cela, l'assureur

doit conserver moins de 38,9 % de ses risques et donc céder au moins 61,1 % de ses risques. Si l'assureur cède 61,1 % mais que le réassureur diminue la commission de réassurance au-dessous de 25 %, c'est-à-dire ne prend pas en charge la totalité des frais de gestion engagés par l'assureur pour produire ses primes, le risque de ruine redevient pratiquement possible. Si à l'inverse le réassureur augmente cette commission, le risque de ruine diminue. 1.4.4.

Les diverses formes de réassurance

Il existe d'autres formes de réassurance que la réassurance en quotepart. Il faut distinguer la réassurance proportionnelle et la réassurance non proportionnelle. Dans la réassurance proportionnelle, l'assureur cède une part déterminée de chaque prime au réassureur qui, en contrepartie, s'engage à

120

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

payer la même part de chaque sinistre. Cette part peut être identique pour tous les risques (quote-part) ou varier en fonction du capital garanti (excédent de plein). Dans la réassurance non proportionnelle, l'assureur cède une part déterminée de chaque prime au réassureur qui, en contrepartie, s'engage à payer les sinistres dépassant individuellement (excédent de sinistre) ou collectivement (excédent de perte) un certain montant.

2.

La tarification

Jusqu'à présent, nous nous sommes placés dans le cas (très rare) où l'espérance de la charge annuelle de sinistres E(X) est exactement connue. Nous avons vu que, même dans ce cas, le risque de ruine n'est pas nul et qu'il faut ajouter un chargement de sécurité à la prime pure pour diminuer le risque de ruine. L'assureur bâtit son tarif en écrivant:

n"

= n + gn" + an

Ainsi, l'assureur peut rendre pratiquement impossible le risque de ruine, quitte à se réassurer si ses fonds propres sont insuffisants. Mais dans le cas le plus courant, l'assureur ne connaît pas la prime pure. Il doit donc bâtir son tarif en utilisant une estimation 7? de la prime pure. Il écrit donc : n" = 7? + gn" + a7? L'estimation 7? peut différer sensiblement de l'espérance de la charge annuelle de sinistres E(X). En cas de sous-tarification (7? < E(X)), l'assureur court des risques importants de perte et de ruine, quand bien même le chargement de sécurité a7? serait positif. L'exemple suivant illustre ces propos.

Exemple de référence (suite) Erreur de tarification Un autre assureur propose à un autre groupe de 10 000 assurés la même garantie de c = 100 000 € pour la même prime commerciale n" = 1 400 €. Il a les mêmes frais de gestion de 3,5 M€que l'assureur précédent. Mais il a commis une erreur de tarification: ses assurés à lui ont une probabilité de décéder dans l'année qui n'est pas de 1 % mais de 1,5 %. Quelle probabilité cet assureur non réassuré a-t-il de faire une perte? de se ruiner? Indications de réponses Le résultat aléatoire de l'assureur est

Son espérance est

E(RnJ = nan" - cq'n a - 3,5 M€ = -4,5 M€

121

Cbapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

Son écart-type est

a(RnJ = cJnaql(l- Q') = 1,22 M€ Le coefficient de sécurité est (3

= F P + E( RnJ = -2 9 a(RnJ

'

Le risque de ruine est

P(Rn a < -FP) = P(UR na < -(3) = P(URn a < 2,9) soit 99,79 %. Sa ruine est donc pratiquement certaine. Pour effectuer une tarification, il est nécessaire de disposer de données. Il faut en particulier connaître une réalisation Xi de la charge aléatoire moyenne de sinistres Xi (relative soit à na risques assurés soit plus généralement à no risques observés, assurés ou non). Nous allons voir dans un premier temps comment cette estimation permet de fixer la prime pure d'une catégorie homogène de risques (§ 2.1). Puis nous verrons qu'il est possible de tenir compte d'une segmentation de nos données en fonction de variables exogènes (( étrangères)}) au risque (§ 2.2). Enfin, nous verrons qu'il est aussi possible de tenir compte de variables endogènes au risque et de résultats obtenus sur d'autres données (§ 2.3).

2.1.

Tarification de risques homogènes

La tarification doit évidemment chercher à ce que la prime pure estimée,

7r, soit aussi proche que possible de la prime pure (ou espérance de la charge de sinistres annuelle) de même nature.

2.1.1.

1r

=

E(X) dans chaque catégorie de risques

Calcul de la prime pure lorsque les risques sont supposés identiques

L'assureur observe une réalisation de la charge aléatoire moyenne relative à no risques identiques et indépendants. Estimation ponctuelle. La prime pure estimée, 7r, est égale tout simplement à la réalisation x de la charge aléatoire moyenne X.

7r=x En effet, x est une réalisation de X, et E(X) = E(X). (On dit que X est un estimateur non biaisé de E(X) parce que E(X) = E(X).) Estimation dans un intervalle. Si l'approximation normale est justifiée, il y a 99,9 % de chances que:

lx -

E(X)I <

3,3a~ yno

122

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

L'incertitude relative est 3,3 xa(X)j(xFo). Elle tend vers 0 lorsque no tend vers l'infini. (On dit que X est un estimateur convergent de E(X).) Pour un nombre no d'observations données, elle est d'autant plus petite que

u~)

est petit, donc que l'écart-type relatif

;i~~

est petit (x et

E(X) étant proches). Nous avons choisi un intervalle qui a 99,9 % de chances de contenir la vraie valeur à titre d'exemple, mais il n'est pas toujours nécessaire d'être aussi exigeant en matière d'estimation qu'en matière de probabilité de ruine due au hasard. En effet, les conséquences d'une sortie de l'intervalle de confiance ne sont pas précisées; elles peuvent être mineures s'il s'agit de la tarification d'une branche marginale dans la production de l'entreprise. En outre, l'amélioration de la précision peut être pratiquement irréalisable, comme le montre l'exemple numérique suivant.

2.1.2.

Exemple de référence (suite)

2.1.2.1. L'incertitude sur le tarif Un assureur observe 112 décès en un an sur 10 000 assurés; que peutil dire de q ? L'incertitude sur le tarif est-elle raisonnablement petite ? Comment la réduire?

Indications de réponses q-"-~-1 - 10 000 - ,1 2

Une estimation classique de la variance de

ù1 1'0

q, a 2 (q)

est

q(l - q) na -1 donc

â(q) = Jq(l - q) ~ Jq(l- q) = 0, 1 % Vna -1 Vna -1 Donc, il Y a 99,9 % de chances que

Iq - qJ < 3,3â(q)

=

0,35 %.

Il Y a 99,9 % de chances que q se situe entre 0,77 % et 1,47 %. L'incertitude est très grande: si l'assureur fixe sa prime pure en supposant que q vaut 1,12 %, il peut se retrouver dans la position observée en 6 ci-dessus. Pour avoir une précision relative 100 fois meilleure, il faudrait observer 10 000 fois plus d'assurés, soit 100 millions. Il paraît plus réaliste de se contenter d'un intervalle ayant 95 % de chances de contenir q.

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

2.1.3.

123

Remarque fondamentale sur le nombre d'assurés

La nécessité de disposer d'un échantillon d'observation assez grand pour procéder à des estimations assez précises peut conduire l'assureur à examiner les statistiques d'une population plus vaste que celle qu'il assure (dans l'exemple précédent, il examinera ainsi l'ensemble de la population française). Mais ce qui est gagné en précision théorique (et chiffrable à l'aide de la table de la loi normale) l'est sous l'hypothèse que les observations recueillies sont des observations d'une variable aléatoire de même loi que celle des risques assurés : cette hypothèse ne va pas de soi pour une population d'assurés particulière. Les ordres de grandeur des nombres d'observation nécessaires à la poursuite de cet objectif montrent que, si certaines statistiques de tarification sont faites par l'assureur, d'autres doivent être faites à l'échelle du marché, par des groupements professionnels ou par les pouvoirs publics. 2.1.4.

Le calcul de la prime pure lorsque les risques ne sont pas supposés identiques, mais homogènes

Tout ce qui précède pourrait être reformulé avec E(Xi ) dépendant de i, en cherchant à estimer une prime uniforme.

if

= valeur moyenne des E(X i )

La probabilité d'avoir un sinistre dans l'année n'est évidemment pas la même selon les assurés. On pourrait reformuler les exemples précédents en cessant de supposer E(Xi ) = 7r quel que soit i et en écrivant

où

Zi

est une caractéristique de l'assuré i et 7r

= Ez(E(X 1 Z = z))

Les problèmes (et les résultats) seraient similaires.

2.2. 2.2.1.

La segmentation L'objectif

On a généralement des raisons de penser que la prime pure n'est pas identique pour tous les risques, mais varie en fonction d'un ou de plusieurs facteurs Z, Z', Zif ... : En assurance décès, Z peut être l'âge, Z' le sexe, Zif la profession ... En assurance habitation, Z peut être la surface assurée, Z' la zone de résidence, Zif le type d'habitation ... En assurance auto, Z peut être la puissance du véhicule, Z' la zone de circulation, Zif l'usage qui est fait du véhicule ...

124

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

La tarification doit en principe chercher à ce que chaque 7?(z, z', z") soit aussi proche que possible de E(X 1 z = z ... ). Cette nécessité n'est pas de nature morale, mais de nature technique: l'assureur doit éviter une antisélection des risques. Exemple L'assureur A, à partir de statistiques, propose une garantie de c = 100 000 € pour une prime pure de 1 000 €. L'assureur B, à partir des mêmes statistiques, s'aperçoit qu'il n'est pas équitable de faire payer la même prime aux assurés ruraux et aux assurés urbains: il propose la même garantie de c = 100 000 € pour une prime pure de 500 € aux premiers, de 1 500 € aux seconds. Que va-t-il se passer? Indications de réponses Les assurés ruraux vont s'assurer chez l'assureur B, qui est pour eux l'assureur le moins cher. Les assurés urbains vont s'assurer chez l'assureur A, qui est pour eux l'assureur le moins cher. L'assureur A aura donc des résultats déséquilibrés (cf. l'exemple sur la sous-tarification). On dit que les assurés sont antiséléctionnés, c'est-à-dire sélectionnés contrairement à l'intérêt de l'assureur. 2.2.2.

La prise en compte d'un facteur de tarification

Estimer les E(X

1

z = z),

avec k modalités de Z, conduira à estimer

k primes pures. Il peut se révéler difficile de réunir un nombre suffisant

. d'observations pour chaque modalité. On distinguera toutefois deux cas opposés : - le facteur profession de l'assuré, qui comporte de nombreuses modalités qualitatives (20 par exemple), dont l'influence est a priori inconnue et dont la prise en compte multiplie par 20 le nombre de primes à estimer; - le facteur âge de l'assuré ou surface de la résidence ou puissance du véhicule, qui comporte de nombreuses modalités, mais quantitatives et ordonnées. En général, on se trouve dans un cas intermédiaire entre les deux cas évoqués.

2.2.3.

Exemple de prise en compte d'un facteur à modalités ordonnées

L'exercice suivant illustre la prise en compte d'un facteur à modalités nombreuses mais quantitatives et ordonnées (l'âge z dans l'estimation de la prime pure d'un contrat d'assurance décès ou la cylindrée dans celle d'un contrat automobile). On considère les données d'expérience.

125

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

Age

Nombre d'individus observés

N ombre de sinistres (décès)

Z

no{z)

ns{z)

70

675,9

8

71

599,9

6

72

501,0

2

73

410,7

10

74

382,7

5

75

421,3

8

76

441,9

9

77

494,2

6

78

532,2

24

79

505,8

24

80

488,8

21

81

463,3

20

82

422,1

23

83

392,5

21

84

363,5

25

7095,8

212

Tous âges

1) a) Pour chaque âge z, donner l'estimation classique, notée q(z), de la fréquence probable de décès inconnue q( z). ~)

Quelles critiques soulèverait la tarification obtenue en choisissant

q(z) ? c) Pour chaque âge z, construire un intervalle qui a 95 % de chances de contenir la vraie valeur inconnue q( z). 2) Afin de pallier les critiques précédentes, procéder à l'ajustement q(z) = f(z) le plus raisonnablement simple possible, en ajustant les q(z) précédents - soit par qajl(Z) - soit par qaj2(Z)

= b+c x z; =bx C Z

•

On trouvera la solution de cet exercice dans l'annexe 1.

126

2.2.4.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

La prise en compte de plusieurs facteurs de tarincation

Nous avons traité le problème de l'estimation de E(X 1 Z = z), avec pour exemple la prime décès en fonction de l'âge Z. On peut de même vouloir tarifer le décès en fonction non seulement de l'âge Z, mais aussi du sexe Z', de la profession Z" : 50 âges, 2 sexes, 20 professions. De même, en auto, la fréquence des sinistres est étudiée en fonction de la puissance du véhicule, de la zone de circulation, de l'usage qu'en fait le conducteur principal, de l'âge du véhicule, de l'ancienneté de permis du conducteur principal. Estimer séparément les E(X 1 Z = z, Z' = z', Z" = z") avec 50 modalités pour Z, 2 pour Z' et 20 pour Z" conduirait à estimer 50 x 2 x 20 = 2 000 primes pures. Il n'est évidemment pas possible de réunir un nombre suffisant d'observations pour chacune de ces primes pures, et il est usuel de commencer par modéliser l'influence de chaque facteur pris isolément (cf. paragraphe précédent), ce qui revient à estimer 50 + 2 + 20 = 72 primes pures seulement. Mais un problème se pose: comment conjuguer ces critères sans double emploi ? Puisque par exemple, en auto, la prime pure fonction de la seule zone apparaît plus basse dans les zones rurales, la prime pure fonction de la seule puissance apparaît plus basse pour les petits véhicules (et qu'on peut observer que les agriculteurs ont des véhicules moins puissants que les autres conducteurs). Nous traiterons ce problème, qui n'est pas si simple, à l'aide d'un exemple, dans le chapitre 5. 2.3.

La prise en compte des facteurs d'évolution

Bien entendu, les observations du passé permettent d'estimer la prime pure du passé. Or, les risques évoluent (en assurance santé, par suite des progrès de la médecine, en assurance auto, par suite de l'amélioration du réseau routier ... ). Il est donc souhaitable de disposer de statistiques sur une longue période afin d'extrapoler l'évolution passée et d'étudier les facteurs qui influent sur l'évolution du risque. Néanmoins, la tarification ne pourra pas toujours être aussi adaptée à l'évolution du risque qu'il serait techniquement souhaitable: des contraintes commerciales (ou, dans certains pays, des contraintes imposées par les pouvoirs publics par suite de considérations économiques) peuvent freiner cette adaptation.

3.

Le résultat réel observé

Les liens entre la comptabilité et les statistiques (de production, de résultats, de tarification) sont plus étroits en assurance que dans les autres

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

127

activités. Nous en ferons dans ce chapitre un exposé suffisant pour traiter tous les aspects de l'exemple de référence, en laissant au chapitre suivant le soin de généraliser à des catégories d'assurance plus complexes. Le service comptable fournit des montants monétaires (§ 3.1), ainsi que d'autres données numériques utiles (§ 3.2), qui permettent de se demander si les résultats de l'année conduisent (ou non) à modifier le tarif pratiqué (§ 3.3).

3. 1.

Comptabilité et statistiques comptables

La comptabilité analyse les charges et les produits par catégorie d'assurance (auto, dommages aux biens, dommages corporels). Les sociétés doivent même établir chaque année un compte technique de résultat par catégorie. (Ces comptes constituent les états « Cl» du dossier annuel que les sociétés françaises doivent produire.)

COMPTE TECHNIQUE Primes

(+ )

E7r"

Prestations

(-)

EXi

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

PC

Produits des placements du technique

(+ )

PP

Charges de réassurance

(-)

7r'k - Cr 7r'k + XR

Résultat technique

(=)

R

La comptabilité technique permet la détermination, dans chaque catégorie : - du rapport entre la charge des sinistres survenus au cours d'un exercice et les primes (commerciales) acquises à cet exercice, L.xdL.7r" dans les notations précédentes, SI P dans le jargon des assureurs; - et du rapport entre charges de commissions et autres charges afférentes à l'exercice comptable d'une part, et primes (commerciales) émises (au cours de l'exercice comptable), de l'autre.

3.1.1.

Commentaire sur l'exemple de référence

Dans le cas particulier envisagé, les prestations relatives à l'exercice comptable sont bien connues lors de l'inventaire: l'information sur le montant des prestations afférentes à un exercice est rapidement et correctement enregistrée. Toutefois, ce cas est exceptionnel en assurance.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

128

3.2.

L'enregistrement des contrats et des sinistres

L'enregistrement des contrats et des sinistres à des fins de preuve et de justification des comptes permet en principe de déterminer les nombres (le nombre na de risques assurés, le nombre ns des sinistres survenus) utilisés dans les statistiques de tarification. Mais en pratique, les dénombrements sont, en assurance, moins fiables que l'enregistrement des montants monétaires. Mieux vaut donc étudier le niveau et l'évolution de "E.xd"E.rr" que celui de "E.xdna. 3.3.

Le résultat observé conduit-il à modifier le tarif?

La question posée peut se formuler en termes de test d'hypothèse comme le montre l'exemple suivant.

Exemple de référence (suite) Que conclure des comptes de l'année? Avant le début de l'année d'assurance, l'assureur a estimé la valeur probable du nombre de décès à 100, et corrélativement la valeur probable des prestations à 10 M€. Que conclure s'il observe 116 décès, et donc "E.Xi = Il,6 I\1€ ? Que conclure s'il observe 133 décès, et donc "E.Xi = 13,3 I\1€ ? Indications de réponses Sous l'hypothèse qui avait été faite quant à q et donc au tarif, "E.Xi , la charge annuelle aléatoire totale de prestations avait 95 % de chances d'être inférieure à E(Xi )+ 1,96x(j(~Xi) = 12, O. La théorie de la décision nous apprend à bâtir un test d'hypothèse; ainsi au seuil de 5 % (c'est-à-dire si on limite à 5 % le risque de rejeter à tort l'hypothèse tarifaire) : - Sous l'hypothèse tarifaire, il y a 95 % de chances que ~Xi < 12 et 5 % de chances que ~Xi > 12. - Si l'on observe ~Xi < 12 il y a lieu de conserver l'hypothèse; si en revanche on observe ~Xi > 12 il y a lieu de la rejeter.

Donc, observer 116 décès et l'hypothèse ; observer 133 décès et

~Xi ~Xi

Il,6 conduit à conserver à la rejeter.

= 13,3 conduit

Annexes Annexe 1.

Les risques identiques et indépendants: contre-exemples

Nous avons supposé jusqu'ici que les na risques étaient identiques.

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

129

Cela n'est évidemment jamais tout à fait vrai pour l'ensemble de la population assurée dans le cadre d'un contrat donné. Si on reprend l'exemple de l'assurance temporaire décès, on devine bien que la probabilité de décès des assurés déjà malades ou exerçant des professions dangereuses, ou encore, pratiquant des sports périlleux, n'est pas la même que celle des autres assurés. Comme l'assureur ne peut pas connaître avec exactitude la sinistralité potentielle de chaque assuré, il distingue les assurés par leurs caractéristiques observables: âge, sexe, région, profession ... Il définit ainsi des cases tarifaires au sein desquelles il va considérer que les risques sont pratiquement identiques. Au sens strict, notre catégorie de na risques identiques est donc une case tarifaire mais il est rare que le nombre na puisse être assez grand pour que la prévision du résultat soit bonne dans cette case. Dans ce cas, les risques ne seront pas tout à fait identiques. De même, nous avons supposé jusqu'ici que les risques étaient indépendants mais il est difficile d'affirmer qu'il en va exactement ainsi: le risque incendie dans un immeuble n'est pas rigoureusement indépendant d'un appartement à un autre, le risque décès dans une famille n'est pas la somme des risques décès des membres de la famille ... Toutefois, le grand nombre de sociétés présentes sur le marché atténue le risque (( catastrophique » pour l'assureur. En outre, le risque peut être éliminé en ayant recours à une réassurance avec rétention par événement et non par risque individuel. Même lorsque les risques ne sont qu'homogènes ou faiblement dépendants, le résultat de l'assureur peut toujours s'écrire ainsi:

Si on appelle O:'i le chargement de sécurité individuel, l'espérance du résultat peut quand même se simplifier:

na

E(Rna)

=

L

O:'(Tri

i=l

L'écart type reste: a(RnJ = a(~Xi). Nous allons rappeler comment la loi des grands nombres se généralise. Mais auparavant nous illustrerons notre propos par deux contre-exemples.

1.1.

Contre-exemple 1 : la catégorie n'est pas homogène

L'exemple suivant est celui d'une catégorie désquilibrée par un risque trop important. L'assureur garantit na = 250 000 contrats contre le décès sur la base d'un capital décès de c = 50 000 € et d'une probabilité de décès q = 1 %. Il applique un chargement de sécurité de 6 % et dispose d'une marge de sécurité de 2 NI € pour cette catégorie.

130

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Calculer l'espérance du résultat E(RnJ, son écart-type a(RnJ et son coefficient de sécurité 13. Si l'assureur souscrit un contrat supplémentaire garantissant c' = 50 M€ à un assuré, son espérance de bénéfice s'accroît, mais la variance du résultat s'accroît beaucoup plus. Calculer la nouvelle espérance de résultat E(R~J, le nouvel écart-type a(R~J et le nouveau coefficient de sécurité 13'. Indications de réponse On a toujours

Rna

= n a7r + na Q7r -

~Xi

L'espérance du résultat est

Son écart-type est

a(RnJ = y'n;;a(X) = y'n;;cy'q(1 - q) = 2,5 M€ Le coefficient de sécurité est

13 = marge + E(RnJ

= 3,8

a(RnJ Le risque de ruine est donc pratiquement impossible. De même,

E(R~a) =

naQ7r + Q7r' = naQcq + QC'q = 7,53 M€

Le coefficient de sécurité devient

' _ marge + E(R~a) _ j3 a(R~J - 1,7 Le risque de ruine n'est plus pratiquement impossible. Il faut toutefois souligner que dans ce cas le coefficient de sécurité perd son sens car l'approximation normale de la loi de ~Xi n'est pas du tout justifiée.

1.2.

Contre-exemple 2: la catégorie n'est pas constituée de risques approximativement indépendants

(Au contraire, certains peuvent se réaliser par suite d'un même événement.)

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

131

Un assureur garantit contre le décès le déplacement de 400 congressistes. Chacun des congressistes a une probabilité Il de décéder (11 = 0,1 % et c = 1 ïvI €) . Calculer O"(~Xi) dans les trois cas suivants: - les 400 congressistes voyagent indépendamment ; - les 400 congressistes voyagent par couples, les couples voyageant indépendamment les uns des autres ; - les 400 congressistes voyagent ensemble, dans le même avion. On comparera les résultats dans les trois cas en calculant le cas échéant le coefficient de sécurité. Indications de réponses Dans les trois cas, l'espérance de la charge totale de sinistres est identique : E(~Xi) = nacl1 où Il est la probabilité de survenance d'un sinistre. En revanche, l'écart-type de cette charge varie car il n'est la racine carrée de la somme des écart-types individuels que dans le cas où les risques assurés sont indépendants et identiques, à savoir dans le premier cas, pour lequel

O"(~Xi) = ~cJ 11(1- Il) = 0,6 :M€ Dans le troisième cas, il n'existe, en fait, qu'un seul risque avec un capital assuré égal à na c, et

O"(~Xi) =

nacJJ-L(1 -

Il) = 12,6 M€

est beaucoup plus important. (Dans le deuxième cas il y a deux cents risques avec pour chacun un

capital assuré égal à 2c et a(l:Xi ) =

~ 2cVI'(1-1') =

0,9 M€.)

Le rapport des coefficients de sécurité entre deux cas différents est l'inverse du rapport des écart-type. Par rapport au premier cas, le coefficient de sécurité est divisé par 20 dans le troisième cas (et par 1,5 dans le deuxième cas). Il faut toutefois souligner que dans le troisième cas le coefficient de sécurité perd son sens car l'approximation normale de la loi de ~Xi n'est pas du tout justifiée. Plus généralement, la condition d'indépendance approximative des risques peut être mise en défaut, au sein d'une catégorie, par des groupes de risques susceptibles de se réaliser par suite d'un même événement (risques contigus : en incendie, assurance tempête, assurance grêle). Untel groupe constitue un risque unique à l'intérieur duquel la loi des grands nombres ne s'applique pas.

1.3.

Risques homogènes et peu dépendants

Heureusement, la loi des grands nombres, et même le théorème de la limite centrale, se généralisent à des variables aléatoires ni rigoureusement

132

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

identiques (ce qui correspond, en assurance, à des risques dits homogènes) ni rigoureusement indépendantes. Loi faible des grands nombres: Si, sans avoir la même loi, les (Xi)i=l...n a vérifient

et Vi = 1, ... , na, cr(Xi ) < cr Si, sans être indépendants, les (X i )i=l, ... , na vérifient,

alors X na tend vers

7r.

Théorème faible de la limite centrale: Si de plus les (Xi )i=l, ... , na vérifient, Vi = 1, ... , na, a > Xi > b et

na

Vi = 1, ... , na, cr(Xi ) est négligeable devant

L cr (X 2

i)

i=l

alors la loi de X na tend vers une loi normale.

Annexe 2.

La conjugaison de l'incertitude de tarification et de l'aléa sur le résultat

Nous avons quantifié - en 4.1, l'incertitude cr(R) qui s'attache au résultat relatif à l'assurance de na risques identiques et indépendants en supposant le tarif exact : Si

Rna

= n a 7r(l + p) + chargements de gestion -

~Xi

- FNG

alors

Si na est multiplié par 100, cr(RnJ n'est multipliée que par 10 ; - en 4.2, l'incertitude cr(7?) qui s'attache à l'estimation de la prime pure, estimation basée sur no ( =f. na) risques identiques et indépendants:

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

133

Si

7i' = "Exdno

et donc

E(7i') = E(X)

alors

a(7i') = a(X)j yIii:;

a(7i') est fonction du nombre d'observations no, et est négligeable si no est très grand. Conjuguons les deux sources d'écart entre le résultat espéré et le résultat réel: L'assureur encaisse n a 7i'(l

+ p) + chargements de gestion

auprès de chaque assuré. Son résultat est donc

R'

= n a 1T(1

+ p) + chargements de gestion -

"EXi

-

FNG

Donc Comme plus haut,

mais a(R') est très différent:

et

a(R')

=

- L'incertitude qui découle du second terme (celle de la prévision si le tarif est exact) croît asymptotiquement comme yfTï;;, ainsi que le veut la loi des grands nombres, (si na est multiplié par 100, l'impact type de l'aléa de sinistralité n'est multiplié que par 10). - Mais l'incertitude qui découle du premier terme (celle due à la tarification) croît comme na et non comme yfTï;; (si na est multiplié par 100, l'impact type de l'éventuelle erreur de tarification est multipliée par 100 elle aussi).

Annexe 3.

Crédibilité et tarification

La théorie de la crédibilité est due à deux actuaires suisses H. Buhlmann et E. Straub qui ont proposé en 1970 (cf. [9]) un modèle permettant de calculer la prime d'un ensemble de contrats en fonction, d'une part, des sinistres passés de cet ensemble, d'autre part des sinistres passés d'autres contrats de même nature.

134

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

Cette théorie, assez lourde du point de vue des notations actuarielles, va être étudiée à l'aide de l'exemple suivant.

3.1.

Présentation de l'exemple

Soient cinq entreprises notées A à E qui ont souscrit un contrat d'assurance garantissant le versement d'un capital au conjoint ou aux enfants de leurs employés en cas de décès accidentel. Ce capital noté c est supposé constant et vaut 100 000 €. L'assureur a effectué une tarification du contrat a priori et, pour ce faire, a supposé (en fonction de statistiques nationales) le taux de mortalité q moyen par employé égal à 0,1 % dans chaque entreprise. Trois ans après, l'assureur souhaite adapter la tarification à chaque entreprise e = A, E, ... , E en enrichissant sa tarification a priori de la connaissance qu'il a acquise non seulement sur chacune des entreprises mais aussi sur l'ensemble des entreprises. Les tableaux suivants donnent les résultats des trois premières années, avec le nombre annualisé d'employés vu en début d'année et le nombre de décès : Nombre na(e, k) d'employés Entreprise e Exercice k

A

1996

10000

8000

24000

3000

45000

1997

11 000

7000

23000

6000

44000

1998

12 100

9000

22000

8000

43000

1996 à 1998

33100

24000

69000

17000

132000

1999

13310

10000

21000

9000

42000

B

D

C

E

Nombre ns(e, k) de décès Entreprise e Exercice k

A

B

C

D

E

1996

10

5

27

5

47

1997

13

3

30

8

48

1998

16

0

34

9

42

1996 à 1998

39

8

91

22

137

1999

?

?

?

?

?

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance

135

Il reste donc à déterminer la prime que chaque entreprise paiera la quatrième année par employé. 3.2.

Le modèle de crédibilité

Pour chaque entreprise, la théorie de la crédibilité cherche à pondérer le taux du tarif a priori q et la statistique qe découlant des sinistres observés dans l'entreprise de 1996 à 1998, afin d'obtenir une prime qe(99) de la forme qe(99) = (1 - CRED e ) x q + CRED e x {je où CRED e , le coefficient de crédibilité, est compris entre 0 (valeur qu'il a si l'on n'a aucune information sur l'entreprise) et 1 (valeur qu'il atteint si l'on a observé l'entreprise pendant un temps infini). Le modèle utilise naturellement - le nombre de décès observés dans l'entreprise rapporté aux annéeshomme observées, avec

où

98

L

ns(e, k) k=96 nombre de décès en 3 ans de l'entreprise e et ns(e) =

98

na(e)

L

=

na(e, k)

k=96 nombre d'employés exprimé en années-homme; - une estimation de la variance intra-entreprise qui sert à mesurer la dispersion du nombre de décès au sein de chaque entreprise: (j2 =

où E désigne le nombre d'entreprises (ici 5), E

na

=L e=A

E

na(e),

et

(j =

~L

na(e) q(e)

na e=A

- et la variance inter-entreprise qui sert à mesurer la dispersion du nombre de décès entre entreprises différentes :

82=

1 E 1 98 EL Lna(e, k) ({je,k-(fe)2 3 1 e=A k=96

où 3 désigne le nombre d'années observées.

136

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

L'estimateur du coefficient de crédibilité de l'entreprise e (cf. démonstration dans l'ouvrage cité) est a2 CRED e = - - - -

a2

8

2

+-na(e)

qui vaut bien 0 si l'on n'a pas d'observations lorsque na(e) bien vers 1 si na (e) tend vers l'infini.

3.3.

=0

et tend

Suite de rexemple Entreprises

A

B

C

D

E

Taux de mortalité a priori

0,100 %

0,100 %

0,100 %

0,100 %

0,100 %

Taux de mortalité observé

0,118 %

0,033 %

0,132 %

0,129 %

0,104 %

Coefficient de crédibilité

0,847

0,800

0,920

0,739

0,957

Taux de mortalité prédit

0,115 %

0,047 %

0,129 %

0,122 %

0,104 %

3.4.

Estimateur de

(72

8,8258e-08

Estimateur de

s2

0,052902 %

Remarque sur les utilisations de la théorie

Il est possible d'utiliser le modèle développé dans l'exemple précédent de plusieurs manières différentes. On peut restreindre le nombre d'entreprises à 1 et développer ainsi un modèle de bonus-malus tenant compte des antécédents. D'un autre point de vue, au lieu de considérer cinq entreprises, trois années d'observation et une année inconnue, on pourrait considérer cinq pays pour une catégorie donnée (France, Belgique, Pays-Bas, Allemagne et Italie), et trois regroupements de risques par pays, et chercher à calculer la prime d'un quatrième groupement dans un des cinq pays.

Chapitre 5 ,

LE MODELE DE L'ASSURANCE AUTO

L'étude générale des prestations aléatoires, exposée dans le cadre du modèle simple, reste valable pour toutes les branches. Mais pour une branche d'assurance autre que la temporaire décès, on peut être confronté, sur chacun des points examinés, à des problèmes nouveaux appelant d'autres méthodes. C'est le cas en assurance automobile, où la garantie est illimitée, et où le coût d'un sinistre est donc loin d'être connu à l'avance. Il y a donc lieu de compléter, au risque de les compliquer, chacun des trois points examinés dans le chapitre précédent. - L'étude des prestations aléatoires du chapitre 4, § 1., ne séparait pas l'étude du nombre aléatoire de sinistres de celle du coût aléatoire d'un sinistre. Dans le contrat groupe décès exposé au chapitre 4, § 1. 2, il n'y avait d'ailleurs pas lieu de le faire dans la mesure où chaque sinistre avait un coût certain c. Dans le cas général qui est celui de l'auto, chaque sinistre éventuel a un coût aléatoire. Nous verrons alors qu'il est plus aisé de modéliser séparément fréquence et coût du sinistre. - L'étude de la tarification du chapitre 4, § 2., sera complétée en segmentant le tarif en fonction de plusieurs facteurs de tarification: si, dans le contrat groupe décès exposé au chapitre 4, § 2.2, nous n'avons pris comme facteur de tarification que l'âge, dans le cas général qui est celui de l'auto, nous serons amenés à prendre plusieurs facteurs (âge du conducteur, puissance du véhicule, zone de circulation ... ). - L'étude du résultat réel de l'année d'assurance du chapitre 4, § 3., sera complétée en introduisant, dans les comptes, la notion de sinistres à payer: si, dans le contrat groupe décès exposé au chapitre 4, § 3., nous avons considéré que les comptes de l'année écoulée comportaient le coût exact des prestations (dès l'établissement des comptes, en février ou

138

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

mars de l'année suivante), dans le cas général qui est celui de l'auto, la connaissance de ce coût exact prend plusieurs années, et force est d'évaluer le mieux possible les sinistres survenus et non encore payés pour juger du tarif pratiqué avant qu'il ne soit trop tard. Nous allons reprendre ainsi toute l'étude, avec un plan inchangé: même si le risque est correctement tarifé, l'assureur s'expose à un risque de perte, voire de ruine, et nous allons étudier ces risques en distinguant, cette fois, la fréquence des sinistres et le coût d'un sinistre (§ 1.). Cette situation empire si la tarification n'a pas été maîtrisée, et la tarification sera présentée à nouveau, mais avec plusieurs facteurs (§ 2.). Une fois la tarification effectuée, les résultats doivent parfois déclencher une modification du tarif, avec, cette fois, la nécessité d'évaluer les sinistres survenus mais non encore payés (§ 3.).

1.

Aléa et résultat de l'assureur

Reprenons les notations adoptées dans le modèle simple. Soit i un assuré quelconque et na le nombre total d'assurés (i = l, ... , na). Xi est la charge annuelle aléatoire de prestations imputables à l'assuré i et Ki la prime pure payée par l'assuré i. L'hypothèse centrale formulée au § 4.1 peut être reprise ici : il n 'y a pas d'erreur de tarification. En d'autres termes, on suppose exactement connu E(Xi ) = Ki

À partir de cette hypothèse, le modèle auto complique la modélisation des prestations en décomposant la charge annuelle de prestations (§ 1.1) et en séparant l'étude du nombre de sinistres (§ 1.2) de celle du coût des sinistres (§ 1.3). Les deux études précédentes permettent d'appréhender le résultat de l'assureur en analysant la charge de prestations (§ 1.4). Par ailleurs, le coût aléatoire d'un sinistre peut être modifié par la réassurance (§ 1.5), a fortiori si l'écart-type n'en est pas borné (§ 1.6). 1.1.

Présentation du modèle fréquence-coût

Pour faciliter la décomposition de la charge annuelle de prestations par sinistres, adoptons de nouvelles notations. Soit j un sinistre quelconque de l'assuré i et Ki le nombre total de sinistres de l'assuré i au cours de l'année (j = l, ... , Ki)' Ki est une variable aléatoire entière positive. Elle peut prendre la valeur 0, ce qui correspond à une absence de sinistre dans l'année. Soit Yi,j le coût aléatoire de l'éventuel j-ième sinistre imputable à l'assuré i. La charge annuelle de prestations Xi imputable à l'assuré i est la somme d'un nombre aléatoire Ki de coûts aléatoires de sinistres Yi,j' Xi

= Yi, 1 + Yi, 2 + ... + Yi, Ki

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

139

Les prestations sont la somme d'un nombre aléatoire de sinistres dont les montants sont eux-mêmes aléatoires. Dans le cas général qui est celui de l'auto, pour chaque assuré i, nous avons donc remplacé l'étude d'une variable aléatoire Xi par l'étude de Ki + 1 variables aléatoires : - le nombre aléatoire Ki des sinistres de l'assuré i ; - le coût aléatoire Yi, j de chacun des Ki sinistres éventuels de l'assuré i. 1.2. 1.2.1.

Le nombre de sinistres Le nombre de sinistres d'un assuré

Pour chaque assuré i, le nombre de sinistres Ki constitue une variable aléatoire positive ou nulle. Chaque assuré peut, en effet, avoir 0, 1, 2, 3, ... sinistres. En général, ce nombre de sinistres est modélisé en utilisant une loi de Poisson (cf. annexe 2 du chapitre 1). C'est une hypothèse courante parce que simple et commode. La loi de Poisson n'a en effet qu'un seul paramètre (noté ici À). De plus, on sait que la loi de Poisson peut se construire à partir d'une hypothèse unique: la probabilité de survenance d'un sinistre dans le futur proche est proportionnelle à la durée envisagée et ne dépend pas des observations passées (les mathématiciens parlent de processus sans mémoire). On dispose donc ainsi d'une description littéraire exhaustive des critères d'adéquation du modèle mathématique à la réalité qu'on cherche à modéliser. Supposons que le nombre de sinistres de chaque assuré suive une loi de Poisson P>., d'espérance À et d'écart-type vIX. La différence entre ce modèle de Poisson et le modèle simple (cf. son étude en annexe 2) n'importe que si l'on s'intéresse au nombre de sinistres de l'assuré individuel: à l'échelle d'un ensemble d'assurés, Bna, >. comme Pn a >. peuvent être approchés par une loi normale si na est assez grand.

1.2.2.

Le nombre total de sinistres

Soit N s le nombre total de sinistres, tous assurés confondus. Ce nombre total des sinistres que doit payer l'assureur est la somme du nombre de sinistres de chacun des assurés.

Dans le cadre du modèle de Poisson, si le nombre de sinistres de chaque assuré suit une loi de Poisson P>., d'espérance À et d'écart-type vIX, alors le nombre de sinistres N s de na assurés suit une loi de Poisson Pn a >. d'espérance naÀ et d'écart-type VnaÀ.

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

140

1.2.3.

La fréquence des sinistres des na assurés

La fréquence des sinistres des na assurés est le nombre aléatoire de sinistres N s rapporté au nombre certain d'assurés na. Cette fréquence est une variable aléatoire dont l'espérance E (::) est appelée la fréquence

probable. Dans le cadre du modèle de Poisson, on a

Remarque

Afin d'éviter des erreurs, il faut s'attacher à distinguer - le nombre certain na d'assurés; - le nombre aléatoire Ki des sinistres de l'assuré i ; - le nombre aléatoire N s des sinistres des na assurés.

1.3.

Le coût d'un sinistre

Le montant Y d'un sinistre est une variable aléatoire dont l'espérance E(Y) est appelée le coût probable d'un sinistre. Soulignons que l'actuaire, parce qu'il utilise un vocabulaire du XIxe siècle, dit coût probable au lieu d'espérance du coût (aléatoire), et plus généralement valeur probable au lieu d'espérance d'une valeur (aléatoire) . Dans le cas de l'assurance décès étudié au chapitre 4, § 1., le montant y d'un sinistre, le capital garanti c, était un montant certain. Dans ce cas particulier, on avait O"(Y) = 0 et donc Y = E(Y) = c. On pourra s'y ramener dans les cas où O"(Y) / E(Y) est petit. En général, on ne disposera pas d'une fonction de répartition théorique mais d'une fonction de répartition d'origine statistique, éventuellement ajustée. Cette fonction de répartition, quelle que soit son origine (statistique sur un très grand nombre d'observations, ajustements), est considérée dans cette partie comme étant exacte. Les fonctions de répartition sont présentées généralement par tranche de coût. Il existe deux présentations équivalentes: une forme densité de distribution et une forme répartition cumulée.

1.3.1.

Présentation de la densité de distribution

La présentation de la densité de distribution comprend trois colonnes, tranches de coûts, nombres, coûts. Prenons comme exemple la distribution suivante.

141

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Nombres

Tranches de coûts 0 1 000 2000 3000 4000 5000 10 000 50000

à à à à à à à à

1000 2000 3000 4000 5000 10 000 50000 00

TOTAL

Coûts

129 165 408 108 56 90 43 1

62 128 241 610 1 101 051 376 221 251 965 590 219 742 088 86289

1 000

3 451 571

La première ligne du tableau précédent se lit comme suit : il y a 129 sinistres sur 1 000 (ici, 1 000 est un nombre rond arbitraire, commode pour exprimer des probabilités) dont le coût est compris entre 0 et 1 000 €. Lorsque le nombre de sinistres total, toutes tranches confondues, vaut 1 000, le nombre de sinistres d'une tranche divisé par 1 000 est la probabilité qu'un sinistre soit dans la tranche de coût en question: il y a donc une probabilité de 12,9 % qu'un sinistre ait un coût compris entre 0 et 1 000. Ces 129 sinistres de la première tranche ont un coût total de 62 128 € et 62 128 leur coût moyen est donc de ~ = 482 €. Cette présentation de la densité de distribution comporte non seulement les colonnes, classiques en calcul des probabilités, tranches de coûts et nombres (nombres non cumulés des sinistres de la tranche), mais aussi une colonne coûts (coûts non cumulés des sinistres de la tranche) plus inhabituelle. On peut obtenir le coût moyen des sinistres dans chaque tranche en divisant simplement le coût total des sinistres de la tranche par le nombre de sinistres de la tranche : Tranches de coûts 0 1 000 2000 3000 4000 5000 10 000 50000

à à à à à à à à TOTAL

1 000 2000 3000 4000 5000 10000 50000 00

Nombres

Coûts

Coût moyen

129 165 408 108 56 90 43 1

62 128 241 610 1 101 051 376 221 251 965 590 219 742 088 86289

482 1 464 2699 3484 4499 6558 17258 86289

1 000

3451 571

142

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

La présence de la colonne coût découle du fait qu'il serait assez erroné (surtout pour les tranches élevées) de confondre le coût moyen des sinistres d'une tranche avec le centre de la tranche, comme il est d'usage dans d'autres distributions. Comparons les centres des tranches avec les coûts moyens par tranche. Tranches de coûts 0 1000 2000 3000 4000 5000 10 000 50000

Centres de tranches

Coût moyen

500 1 500 2500 3500 4500 7500 30000 ?

482 1464 2699 3484 4499 6558 17258 86289

1000 2000 3000 4000 5000 10 000 50000

à à à à à à à à

00

Dans cet exemple, le centre de la tranche est souvent supérieur au coût moyen : dans la tranche 10 000 à 50 000 le centre est 30 000 et le coût 742088 moyen ~ = 17 258 seulement. Autrement dit, dans cette tranche, il y a plus de petits sinistres que de grands sinistres.

1.3.2.

Présentation de la répartition cumulée

La présentation de la répartition cumulée comprend trois colonnes moins de, nombre cumulé et coût cumulé. Reprenons l'exemple précédent.

Moins de

Nombre cumulé

Coût cumulé

1000 2000 3000 4000 5000 10 000 50000

129 294 702 810 866 956 999 1000

62 128 303 738 1 404 789 1 781 011 2032975 2 623 194 3 365 282 3451 571

00

La deuxième ligne du tableau précédent se lit comme suit : il y a 294 sinistres sur 1 000 ayant un coût inférieur à 2 000 €. Ces 294 sinistres ont un coût total de 303 738 €.

143

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

1.3.3.

Dissymétrie de la distribution et ajustements possibles

La distribution précédente est très dissymétrique, ce qui peut en particulier s'observer en constatant que, dans cette distribution, la médiane est très au-dessous de la moyenne : - La médiane (coût du 500e sinistre sur 1 000) est comprise entre le coût du 295 e sinistre et celui du 702 e , donc dans l'intervalle 2 000 € - 3 000 € ; - La moyenne, estimation de E(Y), est de 3 452 € (coût total divisé par le nombre total de sinistres).

Graphique 1. -

Nombre de sinistres par tranche de coût

o

2

4

6

8

10

En effet, un très petit nombre de sinistres est à l'origine d'une partie importante du coût (et de l'essentiel de l'écart-type) : les sinistres de plus de 10 k€, qui n'ont pu figurer sur le graphique l, sont à l'origine de 24 % du coût probable (et d'une partie beaucoup plus grande de l'écart-type). Il est donc assez naturel de chercher une modélisation des distributions de sinistres en considérant le logarithme du montant des sinistres. Les deux lois que sont la loi log-normale et la loi de Pareto sont usuelles: - La loi log-normale se définit simplement (ln Y suit une loi normale) et peut paraître naturelle (si la loi normale est naturelle comme somme d'un grand nombre d'aléas homogènes et indépendants, la loi log-normale est naturelle comme produit d'un grand nombre d'aléas homogènes et indépendants) . - La loi de Pareto se définit tout aussi simplement (le logarithme du nombre de sinistres dépassant y est une fonction linéaire de ln y) et ne dépend que d'un seul paramètre. On trouvera un exemple d'ajustement de ces deux lois sur des données réelles en 4.6.

144

1.3.4.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Sinistres de faibles montants

Les lois log-normale ou de Pareto ne permettent jamais d'ajuster et de modéliser toute la distribution des sinistres mais uniquement les sinistres supérieurs à un certain montant. La raison en est que les sinistres de trop petit montant ont une existence statistique incertaine. Selon qu'une clause de bonus-malus ou de franchise est présente ou non, l'assuré déclarera ou pas les sinistres de faibles montants ... Inversement, l'assureur ne s'intéresse qu'aux sinistres qu'il peut être amené à prendre en charge, et donc seulement à ceux qui sont supérieurs à la franchise laissée à la charge de l'assuré par le contrat d'assurance. De même, le réassureur en excédent de sinistres s'intéresse essentiellement aux sinistres (supérieurs au plein de conservation) laissés à sa charge par le contrat de réassurance.

1.3.5.

Calcul de E(Y)

Les sinistres Yj sont rangés par classe. Nous avons vu que le centre de la classe est différent du coût moyen des sinistres dans la classe (surtout pour les montants élevés), ce qui impose quelques précautions dans le calcul exact de E(Y) et le calcul exact ou approché de a (Y). onaevi ' demment d·lrectement E(Y) = 3 451 571 . 1 000 Mais si l'on veut calculer E(Y) comme moyenne des valeurs que peut prendre Y pondérée par les probabilités que Y prenne ces valeurs, - il serait inexact de remplacer les sinistres d'une classe par le centre de la classe

129

165

43

1

E (Y) =J 1 000 x 500 + 1 000 x 1 500 + ... + 1 000 x 30 000 + 1 000 x?

(avec une difficulté pour le dernier terme !) ; - on retrouve le montant exact en remplaçant les sinistres d'une classe par le coût moyen de la classe

129

165

43

E (Y) = 1 000 x 482 + 1 000 x 1 464 + ... + 1 000 x 17 258 1

+ 1 000 x 86 289 =3452 €

1.3.6.

Calcul de a (Y)

Pour calculer l'écart-type a (Y) connaissant E(Y), il suffit de calculer E(y 2 ) afin d'en déduire a(Y). - Comme ci-dessus, il serait très inexact de remplacer les sinistres d'une classe par le centre de la classe pour calculer a 2 (Y)

129 1 000

165 1 000

43 1 000

1 1 000

E(y 2 ) =J - - x500 2 + - - X 15002+ ... + - - x30 0002+_- x ?2 (avec la même difficulté).

145

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

- Mais ici il n'est pas tout à fait exact de remplacer les sinistres d'une classe par le coût moyen de la classe: E (Y

2)

# -129 -

165 x 482 2 + - x 1 4642 + ... 1 000 1 000 43 1 + - - x 17 258 2 + - - x 86 2892 1 000 1 000

Ce montant diffère de E (y 2 ) et lui est inférieur. 129 165 43 1 - - x482 2 +-- x1464 2 +... +-- x17258 2 +-- x86289 2<E(y2) 1 000 1 000 1 000 1 000 En effet, dans une tranche (Ymin, Ymax) de n sinistres ayant pour moyenne y,

~n LY;

TP.

>

(De même, 22

+ 42 >2 x 32 bien que 2 et

4 aient pour moyenne 3.)

Pour trouver, à défaut de la valeur exacte, une valeur plus prudente, on peut remplacer, dans chaque tranche (Ymin, Ymax) , une proportion (1 - a) des sinistres de la tranche par des sinistres de montant Ymin, et la proportion a restante par des sinistres de montant Ymax, en choisissant a de manière à ne pas modifier fi. Donc, dans la tranche (Ymin, Ymax), a est défini par

fi

= (1 - a)

(d' ' ou

L y; ~ (1 -

Ymin

+a 2

- - - - - x na x Ymin

Tranche de coût

a 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 10 000 50 000

à à à à à à à à

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 la 000 50 000 00

+a

x Ymax

Ymin a= -fi-- - -) Ymax - Ymin

a) x na x Y~in

Ymax - fi Ymax - Ymin

X

x na x Y~ax

+ fi -

Nombre

129 165 408 108 56 90 43 1

Ymin Ymax - Ymin

X

2.

na x Ymax ,

Coût

LY;

62 128 241 610 1 101 051 376 221 251 965 590 219 742 088 86289

62 128 000 394830 000 3 057 255 000 1 337 547 000 1 147685 000 4353285 000 23 025 280 000 7 445 791 521

TOTAL

40 823 801 521

146

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

En appliquant la formule précitée, on obtient un écart-type égal à 5 377 €, alors qu'on obtiendrait 4 244 € avec la formule faisant intervenir les carrés des coûts moyens de chaque tranche (formule plus simple mais qui donne un résultat inférieur au résultat réel).

1.4.

La charge globale des prestations

Nous avons déjà vu que le coût aléatoire Xi des prestations relatif à l'assuré i est la somme d'un nombre aléatoire Ki de sinistres qui ont chacun un coût aléatoire Yi, j .

Xi

= Yi, 1 + Yi, 2 + ... + Yi, Ki

Il reste à étudier l'espérance de Xi (la prime pure) et son écart-type. 1.4.1.

L'identification des sinistres d'un assuré na

La prestation aléatoire

L Xi relative aux na assurés peut s'écrire de i=1

deux manières : - en continuant de distinguer les sinistres de l'assuré i des sinistres relatifs aux autres assurés : na

na

Ki

LXi= LLYi,j i=1

i=1 j=1

- en cessant de distinguer les sinistres d'un assuré des sinistres d'un na

autre assuré (en numérotant l'ensemble des N s =

L Ki sinistres sans i=1

chercher à identifier les sinistres propres à chaque assuré) :

La première des deux représentations des sinistres des assurés constitue un modèle individuel utile pour les problèmes de bonus-malus, alors que la deuxième constitue un modèle collectif. L'une et l'autre seront utilisées dans ce qui suit.

1.4.2.

Analyse de la charge des prestations de na assurés

1.4.2.1. La charge probable Pour l'ensemble des assurés, sous réserve que les différents sinistres Yi,j soient indépendants et de même loi, notamment de même coût probable E(Y) = E(Yi,j), en notant Ns le nombre total de sinistres des na assurés, on montre que

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

147

Cette formule est conforme à l'intuition: La prestation probable est le produit du nombre probable des sinistres par le coût probable d'un sinistre. (La démonstration figure en annexe 1.) En prenant la moyenne par assuré

La prestation probable par assuré (ou prime pure) est le produit du nombre probable des sinistres par assuré (ou fréquence probable) par le coût probable d'un sinistre. 1.4.2.2. Écart-type de la charge Dans le cas où le nombre de sinistres N s suit une loi de Poisson de paramètre na).. = E(Ns ) = a 2 (Ns ),

Cette formule est conforme à l'intuition, du moins dans les deux cas extrêmes que sont la RC auto, où a(Y)j E(Y) est considérable, et la branche temporaire décès où a(Y) j E(Y) est nul. - En effet, en RC auto a 2 (y) ~ E(y 2 ), donc la formule se lit

ce qui est facile à retenir : En Re auto, la variance de la prestation est à peu près égale au produit de la variance du nombre de sinistres par la variance du coût d'un sinistre. - Bien entendu, on ne saurait avoir a 2

(LXi)

~ a 2 (Ns ) x a 2 (y)

°:

dans tous les cas. En décès, on trouverait 0, puisque a 2 (Y) = si tous les sinistres ont un montant c, la formule ci-dessus redevient la formule, = a 2 (Ns) x c2 que l'on peut démontrer directement, a 2

(LXi)

La formule précédente peut s'écrire en prenant la moyenne par assuré:

1.5.

Étude d'un plafond et d'une franchise

Poursuivons l'étude de la distribution précédente, celle de Y.

148

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Tranches de coût

0 1000 2000 3000 4000 5000 10000 50000

Nombre

Coût

Coût moyen

Nombre cumulé

Coût cumulé

129 165 408 108 56 90 43 1

62 128 241 610 1 101 051 376 221 251 965 590219 742088 86289

482 1464 2699 3484 4499 6558 17258 86289

129 294 702 810 866 956 999 1000

62 128 303 738 1 404 789 1 781 011 2 032 975 2 623 194 3365 282 3451 571

1000

3451 571

à 1000 à 2000 à 3000 à 4000 à 5000 à 10000 à 50000 à 00

TOTAL

La catégorie comporte 20 000 assurés avec une fréquence de sinistres de 8 % (cela fait 1 600 sinistres par an ; rappelons que le tableau ci-dessus est établi par pure commodité sur la base de 1 000 sinistres). Calculons la prime pure.

E(X) 1.5.1.

=E

(~:)

x E(Y) = 8 % x 3452 = 276

Étude d'un plafond

Supposons que l'assureur se fasse réassurer en excédent de sinistres. Au-delà d'un plafond, appelé priorité, le réassure ur prend en charge le sinistre. Prenons comme priorité la k€ et supposons qu'il n'y ait pas de franchise. Le tableau ci-après présente le partage de la prise en charge d'un sinistre Y. Dépenses

Assureur

Réassureur

Total

< Pl

Y

0

Y

Pl
Pl

Y-Pl

Y

y

Si le sinistre a un coût Y inférieur à la priorité Pl, le sinistre est entièrement à la charge de l'assureur et le réassure ur ne paie rien. En revanche, si le coût du sinistre dépasse la priorité Pl, le réassureur paie Y - Pl, et l'assureur conserve à sa charge la priorité Pl. En résumé, l'assureur prend à sa charge min (Pl; Y) et le réassureur prend à sa charge max (0; Y - Pl). L'assureur se retrouve tout simplement à la place de l'assuré qui se voit appliquer une franchise. Sachant (cf. tableau ci-après) que les sinistres inférieurs à la priorité (ici 1 000 - 44 = 956 sinistres) ont un coût total égal à 2 623 k€ et que les 44 sinistres supérieurs à la priorité voient leur coût ramené à la k€ chacun, la distribution devient, après réassurance,

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

149

Après réassurance Nombre

Tranches de coût

a 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 10 000 50 000

à 1000 à 2 000 à 3 000 à 4 000 à 5 000 à 10 000 à 50 000 00 à

TOTAL

Coût

Coût moyen

Nombre cumulé

Coût cumulé

129 165 408 108 56 90 43 1

62 128 241 610 1 101 051 376 221 251 965 590 219 430 000 10000

482 1 464 2699 3484 4499 6558 10000 10000

129 294 702 810 866 956 999 1 000

62 128 303 738 1 404 789 1 781 011 2 032 975 2 623 194 3 053 194 3 063 194

1 000

3063194

et la prestation probable devient 8

o/c x 2 623 194 + 44 x 10 000 1 000

o

1.5.2.

=2

5 €

4

Étude d'une franchise

Supposons que l'assureur décide d'appliquer une franchise fr de 5 000 € Le tableau ci-après présente le partage de la prise en charge d'un sinistre y entre l'assureur et l'assuré. Dépenses

Assuré

Assureur

Total

y < fr

Y

a

y

fr < Y

fr

Y - fr

Y

Si le sinistre a un coût Y inférieur à la franchise fr, le sinistre est entièrement à la charge de l'assuré et l'assureur ne paie rien. En revanche, si le coût du sinistre dépasse la franchise fr, l'assureur paie Y - fr, et l'assuré conserve à sa charge la franchise fr. En résumé, l'assureur prend à sa charge max(O; Y - fr). Et la distribution devient

150

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

A vant franchise Tranches de coûts 0 1 000

à à

Après franchise

Nombre

Tr. de coût

Nombre

1000 2000

129 165

0 0

0 0

Coût

2000

à

3000

408

0

0

3000 4000

à

4000

108

0

0

à

5000 10000

à

5000 10000

56 90

0 Oà5000

90

590 219 - 90

X

5 000

à

50000

43

5000 à 45 000

43

742 088 - 43

X

5 000

50000

à

00

TOTAL

1

45000 à

00

1000

0

1

86289 - 5 000

134

On peut faire deux calculs : • En continuant d'appeler sinistres les événements où l'assureur ne dépense rien, - la fréquence probable reste de 8 %, - le coût probable d'un sinistre devient:

590 219 + 742 088 + 86 289 - 5 000 x 134 1 000

= 749

€

- et la prestation probable devient :

8 % x 749 = 60 € • En cessant d'appeler sinistres les événements où l'assureur ne dépense rien, - la fréquence probable tombe à :

8 %x

/~~o

= 1,072

%,

- le coût probable d'un sinistre devient :

590 219 + 742 088 + 86 289 - 5 000 x 134 134

= 5 587

€

- et la prestation probable devient :

1,072 %, x5 587 = 60 € 1.6.

Cas des sinistres à écart-type non borné

L'existence d'un tel cas de figure peut paraître paradoxal. En effet, le coût des sinistres est appréhendé au travers des observations faites par

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

151

l'assureur. Il Y a donc toujours une valeur numérique pour l'écart-type observé. En fait, les sinistres de montant élevé étant en nombre trop faible pour générer des statistiques stables et fiables, l'actuaire éprouve le besoin de lisser les observations, par exemple en les ajustant avec une loi classique (Pareto, log normale ... ). Or, l'ajustement peut conduire à utiliser une variable aléatoire dont l'écart-type serait infini: c'est fréquemment le cas en assurance auto. Dans ce cas, la charge cumulée des sinistres n'est plus approximable par une loi normale car les conditions d'application des lois des grands nombres ne sont plus vérifiées et le calcul du coefficient de sécurité (3 n'a plus le même sens. La mesure du risque peut alors être appréhendée en estimant la charge cumulée des sinistres par une série de simulations. La théorie présentée est néanmoins suffisante pour l'assureur. Si le montant d'un sinistre n'a pas d'écart-type fini, une réassurance en excédent de sinistres permet de borner l'écart-type qui reste à charge de l'assureur. Les problèmes de simulation évoqués ci-dessus concernent donc essentiellement le réassureur. Remarque Lorsqu'on est dans les conditions du théorème central limite, la ruine de l'assureur, si elle se produit, entraîne une insuffisance de paiement faible en comparaison du montant des garanties. Lorsqu'on n'est pas dans ces conditions, les calculs ne doivent pas se limiter à tenter d'estimer les seules probabilités d'une perte supérieure aux fonds propres. Il convient aussi d'examiner le montant de la perte simulée lorsque celle-ci dépasse les fonds propres. À titre d'illustration, considérons, comme dans l'annexe 1 du chapitre 4, le cas d'un assureur qui garantirait en cas de décès 400 congressistes voyageant dans le même avion. Si le sinistre se produit, cet assureur est ruiné, mais, dans ce cas, l'insuffisance des paiements par rapport aux garanties est mille fois supérieure au chiffre d'affaires. En commettant la lourde faute de ne pas se réassurer, il ne joue plus du tout son rôle d'assureur mais fait seulement un pari.

2.

La tarification et la segmentation du tarif

L'étude générale exposée dans le cadre du modèle simple reste bien entendu valable. L'assureur ne connaît toujours pas la valeur de l'espérance de la charge de sinistre et donc ne connaît pas la prime pure. Il doit en conséquence bâtir son tarif en utilisant une estimation 7r de la prime pure qui peut différer sensiblement de l'espérance de la charge annuelle de sinistres E(X).

152

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Il est toutefois plus efficace d'estimer séparément la fréquence probable et le coût probable plutôt que la seule prime pure. En effet: - La fréquence probable est plus rapide à estimer que le coût probable: ainsi, en auto, le nombre des sinistres est connu en temps réel (au délai de courrier près), tandis que le coût des sinistres corporels ne peut être estimé avec précision qu'après plusieurs années, lorsque les blessures des victimes sont consolidées, et que le juge a rendu ses décisions. - Les facteurs expliquant l'évolution de la fréquence probable au cours du temps sont différents de ceux expliquant l'évolution du coût probable: ainsi, en auto, la fréquence probable est influencée par des mesures de sécurité routière et décroît en France depuis les années 1970, tandis que le coût probable varie principalement en fonction de l'inflation et augmente de manière continue. Nous verrons donc d'abord comment la décomposition fréquence-coût de la prime pure facilite la tarification des contrats auto (§ 2.1), puis nous indiquerons, de manière plus complète qu'au chapitre 4, § 2., pourquoi, dans une branche telle que l'auto, la menace de l'antisélection pousse l'assureur à segmenter son tarif en fonction de multiples critères (§ 2.2). Nous verrons ensuite comment segmenter le tarif en fonction de plusieurs des facteurs (§ 2.3), avec, en annexe, la résolution complète, sur un exemple, des problèmes que pose cette segmentation multi-critères.

2. 1. 2.1.1.

L~estimation

de la prime pure

Estimation de la prime pure dans une catégorie homogène

Comme dans le modèle simple, nous supposons que nous disposons de no observations XI, ... , x no . Nous avons indiqué dans le modèle simple que la prime pure 7r pouvait être estimée comme la moyenne des observations.

Pour décomposer la prime pure en fréquence et coût probables, nous allons passer d'une représentation des sinistres en modèle individuel à une représentation en modèle collectif. Pour cela, nous renumérotons les sinistres sans nous soucier de conserver l'affectation de chaque sinistre à un assuré précis : Xl

ns

+ ... + x no = YI + ... + Yn s

est l'observation du nombre aléatoire total de sinistres N s .

Cette renumérotation des sinistres nous permet d'étudier séparément la fréquence observée et le coût moyen observé: - La fréquence observée :\ = ns est un estimateur de la fréquence probable À = E (::) .

153

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

1

- Le coût moyen observé y

ns

"'"'"1 y. est un estimateur du coût n8 6 j=l

-

probable E (Y). On peut montrer facilement que: 7r = en effet

Xx y,

et

2.1.2.

Estimation d'écarts-types

L'estimateur du modèle simple reste valable. L'écart-type de la charge de sinistre peut être approché par :

(bien entendu, no - 1 n'est en pratique pas différent de no en assurance car no est très grand). Il reste maintenant à introduire la décomposition fréquence-coût. L'estimation de l'écart-type du coût d'un sinistre est donné de même par l'estimateur classique: 1

(j2 (Y)

ns

= _ _ "'"'"

n -16 8

j=l

(y _ y)2 1

Quant au nombre de sinistres Ki d'un assuré ou N 8 d'un ensemble d'assurés, les observations sont moins courantes. Faute d'en avoir, on peut supposer que ces nombres suivent une loi à 1 paramètre (Bernoulli dans le modèle simple, Poisson ici) : dans le cas de Poisson, l'estimateur de la variance est l'estimateur de la valeur probable. La relation (J2 (Xi) = ,\ x E(Y?) permet d'écrire que la variance de la 1

prestation, estimée naturellement par no par

I: XT -

x2 , peut être estimée

Exercice 2.1 En observant na = 10 000 assurés auto pendant un an, on enregistre n 8 = 897 sinistres. 1. Que peut-on dire de la fréquence probable des sinistres?

154

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

2. Vérifier que l'incertitude relative varie comme

1

Vn

(on divise par 10

l'incertitude relative quand on multiplie par 100 le nombre d'assurés). 3. On cherche à estimer des fréquences probables comme précédemment, par des intervalles de confiance à 95 %. Pour que l'incertitude relative soit de moins de 3 %, quel est le nombre no d'observations nécessaires a) en assurance auto, avec une fréquence observée 10 % ? b) en assurance décès, avec une fréquence observée 1 % ? c) en assurance incendie, avec une fréquence observée 0,1 % ?

Solution 1. Estimations ponctuelles : E (Ns ) est estimé par ns = 897 ; (72 (Ns ) est estimé par ns = 897 et donc E (/) = E ,,(/) = "

(~:)

(~:)

(7

est estimé à 897/10 000 est estimé à 30/10 000

(Ns ) par 30 ; = 0,0897 ;

= 0,0030 ;

Estimation par intervalle : Il y a 95 % de chances que

lE (f) L'

- 0,08971 < 2 x 0,0030

= 0,0060

. dl' . ~' . ,0,0060 7 o/c incertItu e re atIve est III eneure a 0,0897 = o.

2. L'incertitude relative

J!: _

2,,(/) _ 2 E(f) - - À -

-

2

y'Àn

a

est divisée par 10 si on multiplie na par 100. 3. L'incertitude relative est forte si

À

est petit. Pour ramener

2

rc::- à

yÀn a

3% a) en assurance auto, il faudrait no = 44 000 ; b) en assurance décès, il faudrait no = 440 000 ; c) en assurance incendie, il faudrait no = 4 400 000.

2.2.

Antisélection et segmentation tarifaire

La charge probable de prestations du risque i est une grandeur inconnue. L'assureur doit donc l'estimer a priori alors qu'il ne pourra observer qu'a posteriori la charge effective du risque i. La qualité de la prévision pour un portefeuille se heurte aux deux risques d'antisélection : - celle découlant de la diversité des segmentations pratiquées par les assureurs;

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

155

- celle découlant de la dissymétrie de l'information entre l'assuré et l'assureur (l'assuré bénéficie d'une meilleure connaissance de son risque et, dans une assurance non obligatoire, peut choisir de ne pas s'assurer). L'exemple suivant illustre ces problèmes. On suppose pour simplifier qu'il n'existe que deux variables de segmentation: puissance du véhicule et âge du conducteur, chacune de ces variables possédant deux modalités: Faible et Élevée pour la puissance du véhicule, Expérimenté et Novice pour l'âge du conducteur. On suppose également que la population se répartit uniformément entre les différentes cases : Nombre

Expérimenté

Novice

Faible

250 000

250 000

500 000

Élevée

250 000

250 000

500 000

Tous véhicules

500 000

500 000

1 000 000

Tous conducteurs

On suppose que l'on connaît la charge probable de chaque case tarifaire. Le tableau ci-après donne ces charges probables de prestations : Charge probable

Expérimenté

Novice

Faible

100

1500

800

Élevée

900

2500

1 700

Tous véhicules

500

2 000

1 250

2.2.1.

Tous conducteurs

Pas d'antisélection : assurance obligatoire et marché monopolistique

L'assureur A ne subit aucune concurrence. Il n'utilise aucune segmentation et fait payer 1 250 € à tout le monde. L'assurance est obligatoire et tous les conducteurs s'assurent. Le résultat probable de A est équilibré : - Il encaisse 1 000 000 x 1 250 = 1 250 M € - Il dépensera probablement 250000 x (100 + 900 + 1 500 + 2 500) = 1 250 M€

2.2.2.

Par suite de la concurrence de B, dont le tarif est A subit une antisélection

segmenté~

Les conséquences pour A de la venue sur le marché d'un assureur utilisant un tarif plus segmenté ont été vues au § 2 du chapitre 4. Rappelonsles.

156

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

L'assureur B utilise la variable Puissance, et son tarif est de 800 sur le segment Faible et 1 700 sur le segment Élevée. Dans cette situation, si l'information est parfaite et l'élasticité de la demande aux prix grande, les assurés comparent leur prime entre B et A et vont s'assurer chez l'assureur le moins cher. Charge probable et prime

Expérimentés Charge probable

+ Novices

Prime chez A

Prime chez B

Faible

800

1 250

800

Élevée

1 700

1 250

1 700

- Les assurés Puissance faible viennent chez B ; ils paieront 800 au lieu de 1 250 ; - Les assurés Puissance élevée restent chez A ; ils préfèrent payer 1 250 au lieu de 1 700 chez B. Les résultats de B sont équilibrés: - Primes: (250 000 + 250 000) x 800

= 400 M€

- Charges probables : 250 000 x 100 + 250 000 x 1 500 = 400 M€ Par contre, pour A, - les primes sont de (250 000 + 250 000) x 1 250 = 625 M€ - et les charges probables s'élèvent à 250 000 x 900 +250 000 x 2 500

= 850 M€.

Si A n'a pas fait faillite, il est fortement incité à adopter la variable Puissance. 2.2.3.

Par suite de la concurrence de M, qui n'applique pourtant pas la segmentation de B mais une autre, B subit une antisélection

Supposons désormais que B + A appliquent le tarif segmenté selon la Puissance du véhicule (soit que A ait disparu et ait été absorbé, soit qu'il tarifie désormais comme B). À partir de l'exemple précédent, on conçoit facilement que si un assureur M s'introduit sur le marché en utilisant un tarif plus fin, utilisant la segmentation de B + A (selon la Puissance) plus une autre (selon l'Âge),

157

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

le même phénomène d'antisélection se reproduira, cette fois au détriment de B + A. Mais nous allons voir que le phénomène se produit aussi alors que la segmentation de M est différente mais n'est pas plus fine: M utilise la seule variable Âge sans utiliser la variable Puissance de B + A. L'assureur M utilise la variable Âge et son tarif est de 500 sur le segment Expérimenté et 2 000 sur le segment Novice. L'assureur B + A utilise la variable Puissance et son tarif est comme plus haut de 800 sur le segment Puissance faible et 1 700 sur le segment. Puissance élevée. Dans cette situation, si l'information est parfaite et l'élasticité de la demande aux prix grande, les assurés comparent leur prime entre A, B et M et vont s'assurer chez l'assureur le moins cher. Expérimenté

Novice

Charges probables et primes

Charge probable

M

Faible

100

500

800

1 500

2000

800

Élevée

900

500

1 700

2500

2000

1 700

Prime

B+A

Charge probable

Prime M

B+A

- Les assurés Expérimentés viennent chez M ; ils préfèrent payer 500 au lieu de 800 chez B + A pour les Faible, 1 700 pour les Élevée. - Les assurés Novices - Faible restent chez B + A ; il préfèrent payer 800 au lieu de 2 000 chez M ; les assurés Novices - Élevée restent chez B + A ; ils préfèrent payer 1 700 au lieu de 2 000 chez M. Les résultats de M sont équilibrés: - Primes: 250 000 x (500 + 500)

= 250 M€

- Charges probables: 250 000 x (100 + 900) = 250 M€ Par contre, pour B+ A, - les primes sont de 250 000 x (800 + 1 700)

= 625

M€

- les charges probables s'élèvent à 250 000 x (1 500 + 2 500)

= 1 Md€

Si B + An' a pas fait faillite, il est fortement incité à adopter la variable Âge. On vérifiera qu'alors, s'il utilise les deux variables Âge et Puissance, c'est M qui perd de l'argent et est incité (s'il n'a pas fait faillite) à utiliser la variable Puissance.

158

2.2.4.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Antisélection par dissymétrie de l'information

Revenons au cas simple de l'assureur A, seul sur le marché, qui n'utilise aucune segmentation et fait payer 1 250 à tout le monde. Assurance obligatoire: pas d'antisélection (rappel). Nous avons vu que si l'assurance est obligatoire, tous les conducteurs s'assurent, et le résultat probable de A est équilibré: - Il encaisse 1 000 000 x 1 250 = 1 250 M € - Il dépensera probablement 250 000 x (100 + 900 + 1 500 + 2 500) = 1 250 M€

Cas d'une assurance non obligatoire : antisélection pour l'assureur A Mais certains des assurés Expérimenté - Puissance faible (risque de 100) et Expérimenté - Puissance élevée (risque de 900) peuvent préférer ne pas s'assurer, estimant payer leur assurance trop cher par rapport à leur risque réel (s'ils n'ont pas trop d'aversion au risque). L'assurance non-vie n'existe que parce que les assurés sont averses au risque, c'est-à-dire acceptent de payer plus cher que la prestation probable qu'ils recevront pour éviter de supporter un gros sinistre. Mais cette aversion peut avoir une limite : ici A demande aux Expérimenté - Puissance faible de payer 1 250 alors que leur risque réel est de 100 ! Si l'aversion au risque des assurés était nulle, les Expérimenté ne s'assureraient pas. - Les primes de As' élèveraient à : 500 000 x 1 250 = 625 M€

- Mais sa charge probable à : 250 000 x 1 500 + 250 000 x 2 500

= 1 Md €

Cas d'une assurance non obligatoire : antisélection pour l'assureur B On notera que l'assureur B aurait le même problème L'assureur B n'utilise que la variable Puissance et fait payer une prime de 800 sur le segment Puissance faible et 1 700 sur le segment Puissance élevée. Il pense que son résultat sera équilibré, ce qui est le cas s'il est en situation de monopole ou n'a pour concurrent que A. Mais certains des assurés Expérimenté - Puissance faible (risque de 100) et Expérimenté - Puissance élevée (risque de 900) peuvent préférer ne pas s'assurer, estimant payer leur assurance trop cher par rapport à leur risque réel (s'ils n'ont pas trop d'aversion au risque).

159

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Si l'aversion au risque des assurés est nulle, - les primes de B s'élèveront à : 250 000 x (800 + 1 700)

= 625

M€

- mais sa charge probable à : 250 000 x (1 500 + 2 500) = 1 Md€

2.2.5.

Conclusion

Comme nous venons de le voir, l'impact des deux phénomènes d'antisélection est important et se traduit, dans tous les cas, par un coût effectif global supérieur à la somme des coûts individuels prévus. Il est donc important d'avoir une bonne connaissance des risques individuels, c'est-à-dire une segmentation technique fine même si la segmentation commerciale finalement utilisée est plus simple. 2.3.

La prise en compte de plusieurs facteurs de tarification

En pratique, l'actuaire qui cherche à définir des classes de risques homogènes, dispose de deux grandes classes de variables : - les variables exogènes, c'est-à-dire les informations relatives au risque (l'âge de l'assuré, son activité professionnelle, la zone géographique de circulation, le groupe et la classe de véhicule ... ), à l'exclusion de toute donnée relative aux réalisations du risque ; - les variables endogènes, c'est-à-dire les informations relatives aux réalisations du risque qui interviennent dans le bonus-malus.

2.3.1.

La multiplicité des facteurs de tarification en auto

Les critères de tarification notés z, z' et z", sont nombreux: des critères exogènes au risque assuré, tels que le groupe du véhicule, la zone de circulation, l'usage socio-professionnel, la date du permis du conducteur, son âge ... et des critères endogènes, tels que son passé sinistres (bonus-malus). L'importance de la prime auto dans le budget de l'assuré et le caractère très concurrentiel du marché amènent chaque société à adopter un tarif complexe par peur de l'antisélection. La charge probable individuelle de prestations est une grandeur inconnue. L'assureur doit donc l'estimer en début de période a priori, alors qu'il ne pourra observer qu'a posteriori une charge effective globale. La qualité de la prévision pour un portefeuille se heurte aux deux risques d'antisélection : - antisélection interne, liée à la dissymétrie de l'information - l'assuré bénéficie d'une meilleure connaissance de son risque et peut choisir de ne pas s'assurer ou de ne s'assurer que partiellement (sauf dans le cas d'une assurance obligatoire) : ainsi, seuls les assurés qui jugent le prix intéressant s'assurent;

160

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- antisélection externe, liée à la diversité des segmentations pratiquées par les assureurs. Ces deux notions sont fortement liées. La diversité et la finesse des segmentations ont en effet accru le niveau d'information des assurés et leur capacité d'évaluer leur propre risque, ce qui aggrave la dissymétrie d'information. En assurance automobile, cet effet est encore amplifié par la multiplication des analyses comparatives publiées dans la presse. 2.3.2.

La décomposition fréquence/coût

En RC surtout, pour un nombre de véhicules déterminé, l'estimateur

de la fréquence À(z, z', z") est connu plus tôt et il est plus précis,

(~ i~

étant de l'ordre de 3) que Y (z, z', Zif), qui n'est connu qu'au bout de 3 ou

4 ans et pour lequel 2.3.3.

~ i~

est de l'ordre de 10 à cause des gros sinistres.

Structure tarifaire/niveau du tarif

Pour diminuer l'incertitude due à (J (Y), chaque tarificateur, qu'il s'agisse d'une société ou d'un groupement professionnel, est amené à écrêter Y afin d'obtenir une structure tarifaire, c'est-à-dire if (z, z', ZIf) à un coefficient multiplicatif près. C'est ensuite qu'est fixé ce coefficient multiplicatif, c'est-à-dire qu'est fixé le niveau de tarif, à partir de l'étude prospective du rapport sinistres à primes au niveau de l'ensemble de la branche. Il est d'usage que la structure tarifaire soit modifiée plus rarement que le niveau du tarif, lequel est en principe réajusté au moins annuellement à partir des comptes. 2.3.4.

La prise en compte de plusieurs facteurs de tarification

Estimer séparément les E(X Z = z, Z' = z', Zif = z" ... ) conduit à estimer beaucoup de primes pures. Ainsi, en auto, la fréquence des sinistres est étudiée en fonction : - de la puissance Z (groupe) du véhicule; - de la zone Z' de circulation ; - de l'usage ZIf qu'en fait le conducteur principal; - de l'ancienneté ZIf' de permis du conducteur principal; - de l'âge Z(4) du véhicule; - du bonus-malus Z(5) du conducteur; 1

avec la modalités de Z (groupes de véhicules), 5 de Z' (zones) et la de ZIf (usages), 2 de Z'" (novices/non novices), 2 de Z(4) (récents/anciens) ... conduiraient à estimer la x 5 x la x 2 x 2 = 2 000 primes pures, sans tenir compte du bonus-malus.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

161

Il n'est évidemment pas possible de réunir un nombre suffisant d'observations pour chacune de ces primes pures, et il est usuel de commencer par modéliser l'influence de chaque facteur pris isolément (cf. paragraphe précédent), ce qui reviendrait à estimer 10 + 5 + 10 + 2 + 2 = 29 primes pures seulement. Mais un problème se pose. Les facteurs de tarification sont en général corrélés: - La prime pure fonction de la seule zone apparaît plus basse dans les zones rurales, la prime pure fonction de la seule puissance apparaît plus basse pour les petits véhicules: comment conjuguer ces critères sans double emploi (puisqu'on peut observer que les agriculteurs ont des véhicules moins puissants que les autres conducteurs) ? - La prime pure fonction de la seule puissance apparaît plus basse pour les petits véhicules, la prime pure fonction de l'âge du permis du conducteur apparaît plus forte pour les conducteurs novices: comment conjuguer ces critères sans qu'il y ait compensation (puisqu'on peut observer que les conducteurs novices ont des véhicules moins puissants que les autres conducteurs) ? Il faut donc utiliser une technique décorrélant les facteurs : technique empirique de pondération des observations telle que le ferait un institut de sondage, technique de régression à plusieurs variables, modèle multiplicatif du maximum de vraisemblance. Nous avons choisi d'illustrer en annexe 3 cette troisième technique en écrivant J-L(z, z') = v(z) ç(z'), pour prendre en compte à la fois - le groupe du véhicule z ; - la caractéristique conducteur novice/expérimenté z' dans l'estimation de la fréquence probable d'un contrat auto. Il reviendrait au même d'écrire J-L(z, z') = v(z)ç(z'), par exemple, pour prendre en compte à la fois tout autre ensemble de variables, par exemple l'âge de l'assuré z et la caractéristique Fumeur/Non-fumeur z' dans l'estimation de la prime pure d'un contrat d'assurance décès: dans les deux cas, un facteur qui aggrave la prime pure - être novice en auto, ou fumeur en décès- est en partie masqué par un facteur qui l'allège - moindre puissance des véhicules des novices, âges moins élevés des fumeurs. Dans le but de permettre au lecteur de suivre le détail des calculs, nous n'avons pris que deux variables z et z', z ne prenant que 3 valeurs et z' n'en prenant que 2. Evidemment, l'avantage de n'estimer que les 3 valeurs que peut prendre v(z) et les 2 valeurs que peut prendre ç(z'), soit 3+2 = 5 paramètres, plutôt que les 3x2 = 6 valeurs que peut prendre J-L(z, z'), peut paraître mince. 1-'1ais le lecteur doit imaginer la même méthode appliquée à l'exemple du début de ce paragraphe, permettant de n'estimer que 29 paramètres plutôt que 2 000 primes pures!

162

3.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Les provisions pour sinistres à payer et le résultat réel observé

L'étude faite, dans le cadre du modèle simple, sur le résultat réel observé reste valable dans le cas du modèle auto. Il existe un lien étroit, en assurance, entre la comptabilité et les statistiques, mais les dénombrements faits par le comptable doivent être abordés avec réserve (§ 3.1). Mais une différence essentielle entre les deux modèles doit être soulignée: c'est la lenteur avec laquelle les sinistres sont réglés. La vitesse de règlement est rapide en assurance décès mais diminue un peu en autodommages aux véhicules et beaucoup en RC auto et en RC générale. Cette lenteur nous conduit à étudier le paiement des sinistres non pas par exercice comptable mais par exercice de survenance (§ 3.2). Les sinistres déjà survenus mais non encore payés doivent faire l'objet d'une provision pour sinistres à payer. Ces provisions sont calculées d'une part en examinant les dossiers de sinistres un par un, mais aussi de manière globale au travers de méthodes statistiques (§ 3.3).

3.1.

Comptabilité et statistiques comptables

Rappelons simplement ce que nous avons indiqué au chapitre 4, § 3.l. Les liens entre la comptabilité et les statistiques (de production, de résultats et de tarification) sont plus étroits en assurance que dans les autres activités. La comptabilité permet la détermination, dans chaque branche, du rapport entre les charges des sinistres survenus au cours d'un exercice et les primes commerciales acquises à cet exercice, et du rapport entre les frais divers de gestion afférents à l'exercice comptable et les primes commerciales émises au cours de ce même exercice. Rappelons aussi que l'enregistrement des contrats et des sinistres à des fins de preuve et de justification des comptes permet de déterminer les nombres de risques assurés ou de sinistres utilisés dans les statistiques de tarification. Les nombres de contrats ou de sinistres sont souvent imprécis parce que la notion juridique de contrat ou de sinistre n'est pas sans ambiguïté, et que le service comptable est traditionnellement plus vigilant sur les montants de primes et de sinistres que sur les dénombrements. Il reste préférable d'examiner l'évolution de rapports tels que

ne faisant pas intervenir les nombres de contrats, plutôt que de rapports tels que

pour juger du niveau du tarif propre à une société.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

163

Rappelons enfin que la pertinence d'une modification du tarif après observation du résultat réel peut s'apprécier à l'aide d'un test d'hypothèse. - Avant la période d'assurance, le résultat est aléatoire: Rna

=

L 7r~' LXi - frais de gestion + produits financiers -

- À l'issue de la période, il est observé: r na =

L 7r~' LXi - frais de gestion + produits financiers -

La différence entre l'espérance du résultat, calculée sous les hypothèses du tarif, et le résultat réel observé r na peut provenir • d'un écart entre les prestations réelles et l'espérance des prestations, se décomposant - en un écart sur la fréquence ; - et un écart sur le coût moyen; • ou d'une erreur de tarification, c'est-à-dire d'une erreur dans l'estimation de la prime pure, décomposable en - une erreur d'estimation de la fréquence probable; - et une erreur d'estimation du coût moyen probable. Quoi qu'il en soit, il est moins important de raffiner le modèle simple sur ces points que sur l'évaluation des provisions.

3.2.

3.2.1.

La nécessité d'une comptabilité par exercice de survenance

Comptabilité analytique par catégorie d'assurance et exercice comptable

La comptabilité enregistre évidemment les charges (prestations, commissions et autres) et les produits (primes, produits financiers) relatifs à l'exercice comptable et dont découle le résultat de l'exercice. La comptabilité française analyse ces charges et produits par catégorie d'assurance (cf. états Cl du dossier annuel). Elle permet donc la détermination, dans chaque branche, du rapport : charge des sinistres primes

ou

S p

et du rapport frais d'acquisition et d'administration primes (commerciales) Il s'agit de charges et de produits afférents à l'exercice comptable. Mais un problème majeur se pose: à la date de l'inventaire, les sinistres survenus ne sont pas encore tous réglés, et le montant des prestations de l'exercice comporte, pour les sinistres survenus avant l'inventaire et non encore réglés à cette date, des évaluations ou provisions et non des montants exacts. Il subit l'impact de la liquidation (en boni ou en mali)

164

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

des sinistres survenus avant le début de l'exercice et non encore réglés à cette date.

3.2.2.

Comptabilité analytique par exercice de survenance des sinistres

La comptabilité analyse les charges de prestations et les primes par exercice de survenance des sinistres. En France, cette analyse fait l'objet des états CIO et CIl, qui permettent de suivre l'évolution de la charge de sinistres par exercice de survenance. Cette ventilation permet de déterminer le boni (ou le mali) de liquidation des provisions, de connaître ensuite la charge réelle des sinistres survenus au cours des exercices suffisamment anciens pour permettre d'en juger le tarif et enfin d'évaluer par des méthodes statistiques les provisions pour sinistres à payer. Détermination du boni de liquidation des provisions de l'exercice comptable précédent La détermination du boni (ou mali) de liquidation des provisions permet de connaître l'influence, sur le résultat de l'exercice achevé, des sinistres survenus au cours des exercices antérieurs. Rappelons qu'une liquidation de provision présente un boni si la provision constituée en début d'exercice a permis de payer les règlements de l'exercice, de constituer la provision en fin d'exercice et de dégager un excédent. Prenons un exemple: Exercice de survenance

1995

1996

1997

1998

1999

Total

Règlements de l'année 1999

1

2

10

177

294

484

+ Provisions au 31/12/1999

1

2

4

15

140

162

- Provision au 1/1/99

2

5

14

187

Exercice comptable 1999

= Charge des sin. surv. en 1999

+ Charge des sin.

surv. avant 99

209 434

0

-1

0

5

434 4

Comme nous n'avons pas mis de signe aux charges, le boni se traduit par une charge négative. La liquidation des provisions constituées au 01/01/1999 s'est traduite par un mali de 4 M€. Jugement sur le tarif des exercices anciens à partir de la charge réelle des sinistres La comptabilisation des sinistres par exercice de survenance permet ensuite de juger le tarif d'exercices passés (ici 1995-1996-1997) à partir de la charge réelle des sinistres.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

165

Exercice de survenance

1995

1996

1997

1998

450

474

451

281

0

Règlement de l'année 1999

1

2

10

177

294

+ Provision au

1

2

4

15

140

452

478

465

473

434

Règlements des années antérieures

=

13/12/1999

Charge des sinistres vue en 1999

1999

Évaluation par des méthodes statistiques des provisions pour sinistres à payer au 31/12 Enfin, last but not least, la comptabilisation des sinistres par exercice de survenance permet d'estimer par des méthodes statistiques les provisions de sinistres à payer et de s'interroger sur la qualité des estimations figurant en gras ci-dessus.

3.2.3. L'évaluation (réglementaire) dossier par dossier La provision pour sinistres restant à payer est définie dans le code des assurances comme la valeur estimative des dépenses en principal et en frais, tant internes qu'externes, nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés ... (art. R 331-6). Les provisions de sinistres sont toujours évaluées par les sociétés dossier par dossier ou encore sinistre par sinistre, ceci dans toutes les branches sauf exception. Les exceptions ne peuvent concerner que des sinistres de moins de deux ans : - sinistres matériels de la branche automobile, traditionnellement ; - sinistres d'autres branches depuis quelque temps, avec autorisation de la Commission de contrôle. Le calcul doit se faire en n'oubliant - ni les sinistres survenus mais non déclarés ; - ni les charges futures de gestion des sinistres survenus.

3.3.

L'évaluation statistique des sinistres à payer

Pour évaluer leurs provisions, outre la méthode dossier par dossier, les sociétés peuvent utiliser diverses méthodes statistiques. Ces estimations sont d'autant plus pertinentes que la société est grande, et que, dans la branche examinée, les sinistres sont nombreux et n'atteignent pas de montant trop élevé. En classant ces méthodes non selon le moyen actuariel utilisé mais selon l'hypothèse faite quant à la permanence d'une caractéristique de la branche d'assurance ou de la société, ces méthodes peuvent être rangées en plusieurs familles : - méthodes basées sur la cadence de règlement des sinistres d'un même exercice de survenance ;

166

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- méthodes basées sur le coût moyen des sinistres d'un même exercice de survenance ; - méthodes basées sur l'étude de la liquidation de la charge (paiements + provisions) des sinistres d'un même exercice de survenance; - méthodes basées sur l'évolution du taux de sinistres à primes SjP. Nous n'utiliserons que des moyens mathématiques simples et nous prendrons un exemple dans la branche Dommages auto, où l'emploi des méthodes statistiques de cadence et de coût moyen est à la fois efficace et préconisé par la réglementation. Se plaçant à fin 1999, nous supposerons exactement connus les exercices 1995 à 1997 et chercherons à estimer les sinistres en suspens des exercices 1998 et 1999.

3.3.1.

Méthodes de cadences de règlement

Les méthodes de cadences de règlement consistent à évaluer la charge de sinistres survenus au cours d'un exercice, en partant des paiements effectués et de la cadence de règlement. La cadence de règlement est le rapport entre les sinistres déjà payés et la charge totale (finale) de sinistres. Prenons un exemple schématique : soit une société qui cherche à estimer, fin 1999, la provision pour sinistres à payer pour les sinistres survenus en 1999. Au titre de cet exercice de survenance, la société a déjà payé 294 MF de sinistres en 1999. Il reste à savoir quel est le montant de ce qu'elle aura à payer dans le futur au titre de cet exercice de survenance. Ce montant doit être provisionné en provision pour sinistres à payer. Si on suppose que 60 % du montant des sinistres survenus au cours d'une année sont réglés l'année même, cela signifie qu'il en reste 40 % à payer. Notons 8 99 la charge totale des sinistres survenus en 1999. Notre

= 60 %. Nous en déduisons la charge des sinistres 8 99 8 99 = 29~ = 490. Connaissant une estimation de la charge totale de 60 /0 sinistres et le montant des sinistres déjà payés, on en déduit le montant de la provision: 8 99 = 490 - 294 = 196. De manière plus générale, les valeurs des cadences de règlement telles que le 60 % précité peuvent provenir - soit de l'observation du passé de la société; - soit de l'observation du marché. hypothèse est que 294

Prenons un exemple plus précis avec 5 exercices de survenance d'une branche à déroulement court.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

167

Exercice de survenance

1995

1996

1997

1998

1999

Paiements cumulés à fin 1995 Paiements cumulés à fin 1996 Paiements cumulés à fin 1997 Paiements cumulés à fin 1998 Paiements cumulés à fin 1999 + Provisions au 31/12/1999

268 441 447 450 451 1

283 463 474 476 2

278 451 461 4

281 458 ?

294 ?

= Charge vue au 31/12/1999

452

478

465

?

?

Si l'on suppose la charge des exercices 95-97 exactement connue et si l'on a des raisons de penser que les cadences de paiement sont stables, on peut appliquer aux exercices récents les cadences moyennes observées pour les exercices anciens. Cela permet de calculer la charge de ces exercices, et donc leurs provisions. Évaluation de la provision relative à 1998 à partir des exercices précédents Exercice de survenance

1996

1995 Cadence cumulée observée en deuxième année

441 _ 7 6 o/c 452 - 9, 0

463 478

1997

= 96,9 %

451 465

= 97,0 %

Moyenne

97,1 %

On suppose que l'estimation obtenue, 97,1 % s'applique aussi à l'exercice 1998. On obtient ainsi la charge totale de sinistres de l'exercice 1998 : S98

=

458 97,1%

= 472

On obtient ainsi le montant de la provision: P98,99

= 472 - 458 = 14

168

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Évaluation de la provision relative à 1999 à partir des exercices précédents Exercice de survenance

1995

1996 1997

1998

1999

Paiements cumulés à fin 1995 Paiements cumulés à fin 1996 Paiements cumulés à fin 1997 Paiements cumulés à fin 1998 Paiements cumulés à fin 1999 + Provisions au 31/12/1999

268 441 447 450 451 1

283 463 474 476 2

278 451 461 4

281 458 472 - 458

=

=

452

478

465

458 97,1%

472

Charge vue au 31/12/1999

=

14

294 ?

?

Recommençons cet exercice avec les cadences de 1re année utilisées pour estimer la provision relative aux sinistres survenus en 1999. Exercice de survenance

1995 Cadence cumulée observée en

1996

1997

1998

268 281 283 278 =59,5% =59,3% = 59,2% =59,8% 452 478 465 472

Moyenne

59,4 %

première année

On suppose que l'estimation obtenue, 59,4 %, s'applique aussi à l'exercice 1998. On obtient ainsi la charge totale de sinistres de l'exercice 1998 : 294 - 4 S 98 -- 59,4 % - 95 On a alors le montant de la provision : P99,99

= 495 - 294 = 201.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

169

Exercice de survenance

1995 1996 1997 1998 Paiements cumulés à fin 1995 Paiements cumulés à fin 1996 Paiements cumulés à fin 1997 Paiements cumulés à fin 1998 Paiements cumulés à fin 1999 + Provisions au 31/12/1999

268 441 447 450 451 1

283 463 474 476 2

278 451 461 4

281 458 14

= Charge vue au 31/12/1999

452

478

465

472

1999

294 495 - 294

= 201

~=495 59,4%

Les provisions s'élèvent donc à 14 au titre des sinistres survenus en 1998 et à 201 au titre de ceux survenus en 1999.

3.3.2.

Méthodes de coûts moyens

Les méthodes de coûts moyens consistent à évaluer la charge de sinistres d'un exercice, en partant des coûts moyens de sinistres observés lors des exercices antérieurs et en leur appliquant - soit un taux d'inflation du marché; - soit le taux d'inflation observé dans le passé de la société. Utilisons la seconde option pour traiter notre exemple. Rappelons que nous sommes le 31 décembre 1999 et que, connaissant bien les charges totales de sinistres des exercices de survenance 1995 à 1997, nous essayons d'estimer les provisions pour sinistres à payer des exercices 1998 et 1999. La méthode des coûts moyens comprend trois étapes. La 1re étape vise à évaluer le nombre total de sinistres par exercice de survenance, les sinistres survenus au cours du dernier exercice (1999) n'étant pas encore tous déclarés. Dans la 2e étape, le coût moyen des sinistres des vieux exercices de survenance (1995 à 1997) permet d'évaluer le coût moyen des exercices de survenance récents (1998 et 1999). Enfin, la multiplication du nombre de sinistres par le coût moyen et la prise en compte des paiements déjà effectués permet d'estimer les provisions des exercices de survenance plus récents (1998 et 1999). Première étape : estimation des sinistres survenus et non déclarés Nous supposons que nous disposons de l'évolution du nombre de sinistres déclarés entre l'inventaire au 31/12/1995 et l'inventaire au 31/12/1999.

170

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Exercice de survenance

(en milliers) N ombre Nombre Nombre N ombre Nombre

de de de de de

sinistres sinistres sinistres sinistres sinistres

déclarés déclarés déclarés déclarés déclarés

à à à à à

fin fin fin fin fin

1995 1996 1997 1998 1999

1995

1996

1997

1998

1999

192 194 195 195 195

188 193 194 194

181 184 185

182 185

173

Les sinistres survenus en 1999 n'ont pas encore tous été déclarés à l'assureur au 31/12/1999. Il faut donc estimer le nombre de ces sinistres à partir de ceux survenus entre 1995 et 1998 et de ceux déjà observés en 1999. Exercice de survenance n

(en milliers) Nbre de sinistres déclarés l'année n Nbre de sinistres déclarés l'année n Nbre de sinistres déclarés l'année n

+1 +2

1995

1996

1997

1998

1999

192 2 1

188 5 1

181 3 1

182 3 ?

173 ? ?

Comme le montre le tableau précédent, il existe toujours une différence entre le nombre de sinistres initialement déclarés et le nombre de sinistres finalement déclarés. En négligeant les évolutions, le tableau suivant montre qu'il y a chaque année environ _2_+_5_+_3_+_3 ~ 3 4

milliers de sinistres survenus l'année n et déclarés l'année n de sinistres déclarés l'année n + 2.

+ 1 et 1 millier

À la fin de la 1re étape, on dispose donc des nombres de sinistres par exercice de survenance. Exercice de survenance n

(en milliers) Nbre de sinistres déclarés l'année n Nbre de sinistres déclarés l'année n Nbre de sinistres déclarés l'année n Nbre de sinistres survenus

+1 +2

1995

1996

1997

1998

1999

192 2 1

188 5 1

181 3 1

182 3 1

173 3 1

195

194

185

186

177

171

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Deuxième étape : estimation des coûts moyens Nous supposons que nous connaissons, à fin 1999, les paiements cumulés intervenus au titre des exercices de survenance 1995 à 1999, et les provisions pour sinistres à payer des exercices de survenance 1995 à 1997, correctement estimées. En bref, nous connaissons la charge totale de sinistres des exercices 1995 à 1997 et uniquement les paiements cumulés des exercices de survenance 1998 et 1999. Exercice de survenance (en millions)

1995

1996

1997

1998

1999

Paiements cumulés à fin 1999 + Provisions à fin 1999 = Charge totale de sinistres à fin 1999

451 1 452

476 2 478

461 4 465

458 ? ?

294 ? ?

La connaissance du nombre de sinistres et de la charge totale de sinistres permet de connaître le coût moyen des sinistres : coût moyen

=

charge totale de sinistres . nombre de smistres Exercice de survenance

= Charge totale de sinistres à fin 1999 Nombre de sinistres évalués Coût moyen observé Croissance observée

1995

1996

1997

452 195 2318

478 194 2464 6,3 %

465 185 2514 2,0 %

, 1uer l ' O n peut d one eva a crOlssance moyenne a, 6,3 % + 2,0 % = 4,1 07 10 2 l'an environ. Si l'on suppose, outre la connaissance exacte de la charge des exercices 95-97, la régularité de l'évolution du coût moyen, alors on peut extrapoler aux exercices récents l'évolution observée pour les exercices anciens et connus. Exercice de survenance

Coût moyen Croissance prévue du coût moyen Coût moyen évalué

1995

1996

1997

2317

2451

2514

1998

1999

4,1 % 2617

4,1 % 2726

172

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Troisième étape : estimation des provisions En multipliant les coûts moyens obtenus par les nombres de sinistres, après avoir évalué le nombre des sinistres survenus et non déclarés, on obtient la charge de ces exercices, et donc leurs provisions: Exercice de survenance

(en millions)

1998

1999

Coût moyen évalué x Nombre de sinistres évalués

2617 186

2 726 177

487 458

483 294

29

189

= Charge totale de sinistres - Paiements déjà effectués = 3.3.3.

Provision

Méthodes liquidatives

Les méthodes liquidatives supposent que la liquidation passée des provisions, en boni ou en mali, se reproduira dans le futur (phénomène dit du dos d'âne si la société sous-évalue les sinistres l'année de leur survenance, puis les surévalue l'année suivante). La comptabilité dispose de l'évolution de la charge de sinistres vue à la fin de chaque inventaire, qui est ici la suivante. Exercice de survenance

(en millions) Charge Charge Charge Charge Charge

évaluée évaluée évaluée évaluée évaluée

par par par par par

la la la la la

société société société société société

à à à à à

fin fin fin fin fin

1995 1996 1997 1998 1999

1995

1996

447 455 453 452 452

475 481 479 478

1997 1998

461 465 465

468 473

1999

434

Si on estime que la liquidation d'une charge de sinistres présente des régularités en raison d'habitudes permanentes des évaluateurs, les liquidations du passé peuvent être reproduites dans le futur. Exercice de survenance n

(en millions) Charge évaluée par la société l'année n Boni (-) / mali

(+) constaté l'année n + 1

1995

1996

1997

1998

1999

447

475

460

468

434

8

6

5

5

0

Boni/mali constaté l'année n

+2

-2

-2

Boni/mali constaté l'année n

+3

- 1

- 1

?

?

?

?

?

?

173

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Ci-dessus, - le mali constaté l'année n

+ 1 est

une charge moyenne de

8+6+5+5 = +6 4

+ 2 est

- le boni constaté l'année n

une charge négative moyenne de

-2 - 2 - 0 ----3

- le boni constaté l'année n

+ 3 est

~-1

une charge négative moyenne de

-1-1 2

--=-1

Exercice de survenance n

(en millions)

1995

1996

1997

1998

1999

Charge évaluée par la société l'année n

447

475

461

468

434

Boni/mali constaté l'année n

+1

8

6

4

5

6

Boni/mali constaté l'année n

+2

-2

-2

0

-1

-1

Boni/mali constaté l'année n

+3

- 1

- 1

-1

-1

-1

452

478

464

471

438

3.3.4.

L'utilisation d'un faisceau de méthodes

Les options choisies au sein de chaque méthode dépendent d'abord de la qualité des informations disponibles et de la taille de la société. L'actuaire aura le choix entre utiliser des paramètres propres à la société et utiliser des paramètres généraux au marché. Dans le cas extrême où seuls sont utilisés des paramètres propres à la société, les résultats risquent d'être non significatifs, surtout si la société, et plus précisément la branche étudiée, est trop petite. Dans l'autre cas extrême, l'utilisation exclusive de paramètres généraux au marché ne tient pas compte des spécificités de la société. On reconnaît une démarche propre à être formalisée dans les termes de la théorie de la crédibilité (cf. la théorie exposée dans le modèle simple). Plutôt que de choisir systématiquement une seule méthode, fût-elle la meilleure, l'actuaire aura intérêt à utiliser un faisceau de méthode et à comparer les résultats obtenus. Le meilleur des cas sera celui où le faisceau de méthodes converge.

174

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Dans notre exemple, nous avions obtenu les provisions suivantes : Provisions (en millions)

Exercice de survenance 1995

1996

1997

1998

1999

Total

Dossier par dossier

1

2

4

15

140

162

Selon les cadences Selon les coûts moyens Selon les liquidations

1 1 1

2 2 2

4 4 4

14 29 13

201 189 144

222 225 164

Nous pouvons aussi exprimer les résultats en fonction de la charge totale de sinistres : Charge de sinistres (en millions)

Exercice de survenance 1995

1996

1997

1998

1999

Dossier par dossier

452

478

465

473

434

Selon les cadences Selon les coûts moyens Selon les liquidations

452 452 452

478 478 478

465 465 465

472 487 471

495 483 438

La méthode des cadences donne un sous-provisionnement, ce qui signifie que la cadence de règlement est, en apparence, accélérée. Cela peut être dû, soit à une amélioration de type administratif, soit à une sousestimation des provisions. La méthode des coûts moyens donne un sous-provisionnement, ce qui signifie que l'évolution du coût moyen est, en apparence, décélérée. Cela peut être dû soit à une évolution favorable de la branche ou de la gestion, soit à une sous-estimation des provisions. La méthode de liquidation indique un provisionnement correct. Toutefois, les évaluations dossier par dossier n'ont peut-être pas été faites comme les années précédentes. Nous pouvons enfin traduire les chiffres précédents en termes de taux de sinistres : Exercice de survenance 1995

1996

1997

1998

1999

Dossier par dossier

75 %

72 %

73 %

72 %

67 %

Selon les cadences Selon les coûts moyens Selon les liquidations

75 % 75 % 75 %

72 % 72 % 72 %

73 % 73 % 73 %

72 % 74 % 72 %

76 % 74 % 68 %

Taux SjP

175

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Cadences et coûts moyens sont compatibles avec une stabilité du taux de sinistres voire son aggravation. La méthode dossier par dossier et la méthode liquidative supposent une grande amélioration de ce taux de sinistres à primes ( sI P). S'agissant d'un risque de masse où ne se produisent pas de sinistres de taille exceptionnelle, d'autres informations devraient permettre de trancher. Par exemple, le tarif a pu augmenter en 1999, ce qui pourrait justifier une amélioration sensible du taux de SI P. En l'absence de hausse de tarif significative, tout porterait au contraire à croire les chiffres des méthodes de cadence et de coût moyen.

3.3.5.

L'écueil commun à toutes les méthodes

Les exercices servant de référence sont-ils suffisamment connus? Et s'ils le sont, sont-ils comparables aux exercices actuels? Toutes les méthodes sont sensibles à l'hypothèse selon laquelle les vieux exercices sont exactement connus. Rectifier de 1 M € un exercice ancien a un effet multiplicateur et rectifie de plusieurs M €le résultat de la méthode. Nous illustrerons ce point sur la méthode la plus simple à exposer, celle des coûts moyens, en prenant l'exemple suivant: Exercice de survenance

À fin 1999 (en millions)

1996

1997

1998

1999

Paiements cumulés + Provisions = Charge totale de sinistres

985 138 1123

982 185 ? 1 167 ?

865 343 ? 1 208 ?

774 500 ? 1 274 ?

214

215

217

5453 ?

5619 ?

5871 ?

215

N ombre de sinistres

5223

Coût moyen (en €)

Total

1 166

et en évaluant les charges de 1997-1998-1999 a) en faisant croître le coût moyen de 6 % l'an à partir de 1996 : Vu à fin 1999 (en millions)

Exercice de survenance 1996

Coût moyen (en €) 5223

x Nbre de sinistres = Charge totale Insuffisance (+) ou excédent (-)

215 1 123

1997

1998

1999

Total

5 223 x 1,06 5 537 x 1,06 5 869 x 1,06 = 5 537 = 5 869 = 6 221 214 215 217 1185 1 262 1 350

+

18

+

54

+

76

+ 148

176

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

b) en faisant croître le coût moyen de 6 % l'an à partir de 1996 après qu'un réexamen dossier par dossier de cet exercice a montré que la provision à fin 1999 sur les sinistres de 1996 est surévaluée de 100 MF : Vu à fin 1999 (en millions)

Exercice de survenance 1996

Coût moyen (en €) 4758 x Nbre de sinistres 215 1 023 = Charge totale Insuffisance (+) ou excédent (-)

3.3.6.

1997

1998

1999

Total

4 578 x 1,06 5 044 x 1,06 5346 x 1,06 = 5 044 = 5 667 = 5 346 214 217 215 1 079 1149 1 230

-100

- 88

- 59

- 44

- 290

Les écueils spécifiques à chaque famille de méthode

La méthode des cadences s'applique mal aux branches à liquidation très lente Étudions la sensibilité de la méthode à une légère variation des paiements de 1999 pour les sinistres survenus en 1999, cette variation pouvant être causée par le simple report d'un paiement de décembre 1999 à janvier 2000 (la société a par exemple pu faire appel d'un jugement) : un gros dossier de 3 M€ a pu, soit être payé en 1999, soit être reporté à 2000, sans qu'il en ait été ainsi les années précédentes (et sans que l'actuaire en ait été averti) . • Premier cas : la cadence est rapide et estimée à 70 % (première année, branche dommages auto). - Constatant 70 M € de règlements en 1999, nous estimons la charge totale à ;0 = 100 M €. 7 - Si 3 € de règlements normalement payables en 1999 sont reportés à l'an 2000, nous ne constaterons que 67 M€ de règlements en 1999, et

hl

estimerons la charge totale à

~ = 96 M €. 0,7

- Une incertitude de 3 M € sur les règlements faits cette année plutôt que la suivante fait donc planer une incertitude de 4 % sur l'estimation de la charge de sinistres . • Deuxième cas: La cadence est lente et nous avons tout lieu de penser qu'elle est de 7 % (première année, branche RC corporel auto). - Constatant 7 M € de règlements en 1999, nouS estimons la charge totale à

70/ = 100 M€. 7 /0 - Si 3 M€ de règlements normalement payables en 1999 sont reportés à l'an 2000, nous ne constaterons que 4 M€ de règlements en 1999, et

estimerons la charge totale à 7 ~ = 57 M €.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

177

- Une incertitude de 3 M€ sur les règlements faits cette année plutôt que la suivante fait donc planer une incertitude de 40 % sur l'estimation de la charge de sinistres. Les méthodes de coûts moyens supposent un dénombrement des sinistres d'une qualité rare Le service comptable est traditionnellement plus vigilant sur les montants (de primes, de sinistres) que sur les dénombrements (de contrats, de sinistres) . Il faut dire à sa décharge que la notion juridique de contrat ou de sinistre n'est pas sans ambiguïté. En Re auto, la déclaration d'un événement dans lequel l'assuré paraît non responsable sera enregistrée comme sinistre de Re auto ou non, selon la société. En dommages auto, selon la société, la déclaration d'un événement dans lequel la réparation paraît ne pas dépasser la franchise sera enregistrée comme sinistre ou non. En la matière, on se souviendra qu'une statistique, comme une balance de Roberval, doit surtout être fidèle, si elle ne peut être juste. Les méthodes de coûts moyens sont en fait très rarement utilisables. Exemple Les chiffres émanant de l'ordinateur de la société B conduisaient à une diminution de la fréquence de 20 % par rapport à l'année précédente, ce qui étonna l'actuaire et le comptable (le service commercial se félicitant d'une telle amélioration du risque). En fait, c'était une conséquence de la mini-réforme des états annuels de 1988, à l'occasion de laquelle le service sinistre avait réfléchi à la procédure d'enregistrement des sinistres et l'avait modifiée: les sinistres auto non responsable avaient cessé d'être comptés comme des sinistres Re chaque fois que l'assuré avait une garantie dommages. Les méthodes liquidatives sont plus souvent exactes qu'utiles Les méthodes liquidatives sont celles qui donnent la plus grande proportion de pronostics exacts. Pour une société donnée, l'évaluation est exacte année après année ... jusqu'à ce qu'elle soit fausse (parce que le responsable du service sinistres a changé, ou qu'un fichier de sinistres a été oublié par le service informatique ... ). Les méthodes liquidatives sont analogues à la méthode de prévision météo qui consiste à dire que le temps de demain sera comme celui d'aujourd'hui : c'est vrai deux fois sur trois, mais c'est d'un faible secours si l'on s'intéresse justement aux changements de temps. Le blocage des primes n'est pas une méthode Les méthodes supposant la permanence du taux de sinistres, ou méthodes dites de blocage des primes pratiquées par certaines branches ou certaines institutions telles que le Lloyds's de Londres, qui consistent à reporter dans le futur tout jugement sur le résultat, ne sont pas de vraies méthodes mais un palliatif à l'absence de données.

178

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Annexes Annexe 1.

La décomposition fréquence-coût

Nous avons indiqué au chapitre 5, § 1.4, que la prime pure était le produit de la fréquence probable par le coût probable. Cette annexe a pour objet de démontrer cette propriété. Rappelons tout d'abord que la charge aléatoire Xi des prestations de l'assureur imputable à l'assuré i est la somme des sinistres Yi,j relatifs à l'assuré i (j = 1..Ki ) :

Xi

= Yi, 1 + Yi, 2 + ... + Yi,j + ... + Yi, Ki

Le nombre Ki de sinistres d'un assuré i est une variable aléatoire et les coûts Yi, j des sinistres sont aussi des variables aléatoires. La charge totale aléatoire des sinistres pour l'assureur est la somme des sinistres imputables à chacun des assurés; on peut cesser de s'interesser à l'identification des sinistres propres à chaque assuré en posant

et en renumérotant les sinistres : Ki

na

na

i=1

i=1 j=1

Ns

LXi = LLYi,j = LYz l=1

Théorème Si les variables Yi, j sont indépendantes entre elles pour tous i et tous j et identiquement distribués sachant Ki et si les variables Ki sont identiquement distribuées et indépendantes entre elles pour tous i, alors la prime pure est le produit de la fréquence probable des sinistres par le coût probable d'un sinistre. Démonstration

E

(~Xi) = E (t,Y, ) = E (E [t,Y,IN,J) = E(N,E[YIN,J) =

E (NsE(Y)) = E(Ns ) E(Y)

Par conséquent, on a

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

179

Écart-type de la charge On peut, de la même manière, calculer l'écart-type de la charge:

=E =

Var

(~y, )

(NsE (Var (Y)

+ N;E 2(Y{)))

E(Ns ) Var (Y) + E(N;) E 2(y)

= E (

(~y,r) -E (~y, ) 2

E 2(y) - E2(Ns ) E 2 (y) = E(Ns ) Var (Y) + Var (Ns ) E 2(y) =

E(Ns ) Var (Y)

+ E(N;)

et, si N s suit une loi de Poisson et qu'en conséquence E(Ns ) = Var (Ns ), Var ( Annexe 2.

(~y,

))

= Var (N,) E(y2)

Les deux modèles de nombres de sinistres

En assurance non-vie, nous avons utilisé deux modèles : le modèle simple dans le cadre particulier de l'assurance décès et le modèle auto dans le cadre de l'assurance ... auto. Les principales différences entre les deux modèles sont rappelées ci-après en ce qui concerne la modélisation des nombres de sinistres.

2.1.

Le modèle simple dans le cadre particulier de l'assurance-décès

- Chaque assuré peut avoir un sinistre, avec une probabilité À, mais pas plus. - Le nombre de sinistres de chaque assuré suit une loi de Bernoulli BI, À d'espérance À et d'écart-type JÀ (1 - À). - Le nombre de sinistres de na assurés suit alors une loi binomiale Bna, À d'espérance naÀ et d'écart-type JnaÀ (1 - À) (= JnaÀ si À est petit) ; cette loi peut être approchée par une loi normale pour na assez grand.

2.2.

Le modèle auto

- Chaque assuré peut avoir un, deux, trois sinistres ...

180

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- Le nombre de sinistres de chaque assuré suit une loi de Poisson P).. d'espérance À et d'écart-type -J:\. - Le nombre de sinistres des na assurés suit une loi de Poisson Pn a ).. d'espérance naÀ et d'écart-type JnaÀ ; cette loi peut être approchée par une loi normale pour na assez grand.

Annexe 3.

Segmentation du tarif en fonction de deux critères

Supposons que nous disposons de statistiques de sinistres corporels (nombre d'assurés et nombre de sinistres) en fonction de 2 critères: la classe du véhicule Z (petits, moyens, gros) et le critère novice/expérimenté Z' et que l'on cherche à construire un tarif à partir de ces observations. En absence de données sur les coûts en fonction des critères précités, on supposera que la fréquence suffit à tarifer (c'est-à-dire qu'on suppose que le coût des sinistres est le même pour toutes les cases tarifaires). Z' = z~ novices

Z' = z~ expériunentés

Tous conducteurs

1109

4436

5545

Z = Z2 : moyens

162

7955

8 117

Z = Z3 : gros

681

17 160

17841

Tous véhicules

1 952

29551

31 503

~ ounbre

Z' = z~ novices

Z' = z~ expériunentés

Tous cond ucteurs

4

13

17

0

36

36

Z = Z3 : gros

18

367

385

Tous véhicules

22

416

438

~ounbre

d'assurés na{Z, z')

Z =

Zl :

petits

de sinistres ns{z, z')

Z =

Zl :

petits

Z = Z2 : moyens

Les nombres d'assurés et de sinistres permettent de calculer la fréquence des sinistres dans chaque case tarifaire.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Fréquences de sinistres

ns(z, z')/na(Z, z')

181

Z' = zi novices

z' = z~ expérimentés

Tous conducteurs

Z

= Zl

:

petits

0,361 %

0,293 %

0,307 %

Z

= Z2

: moyens

0,000 %

0,453 %

0,444 %

Z

= Z3

: gros

2,643 %

2,139 %

2,158 %

1,127 %

1,408 %

1,390 %

Tous véhicules

3.1.

Peut-on utiliser un tarif découlant directement les estimations 7r(z, z') = ns(z, z')/na(z, z') ?

Non, car les effectifs observés ne sont pas suffisants pour que ces estimations soient de bonne qualité dans chaque case tarifaire : ici aucun assureur ne considèrera que 7[(2, 1) = 0 est une estimation de prime pure utilisable.

3.2.

Peut-on utiliser directement l'étude des fréquences observées en fonction d'un seul facteur à la fois ?

- Le taux de prime peut-il être calculé en fonction du véhicule seul (tous âges confondus) ... Fréquences de sinistres

ns(z, z')/na(Z, z')

Tous cond ucteurs

Z

= Zl

:

petits

0,307 %

Z

= Z2

: moyens

0,444 %

Z

= Z3

: gros

2,158 % 1,390 %

Tous véhicules

- ... ou en fonction de l'âge (tous véhicules confond us ) Fréquences de sinistres

ns(z, z')/na(Z, z') Tous véhicules

Z' = zi novices

expérimentés

Tous cond ucteurs

1,127 %

1,408 %

1,390 %

z' = z;

182

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Non, car une telle méthode conduirait à baisser la prime pour les conducteurs novices (leur fréquence estimée tous véhicules confondus n'est que 1,127 % alors qu'elle est de 1,408 % pour les conducteurs expérimentés), contrairement à ce que l'étude case par case justifiait pour les véhicules z = 1 et z = 3 où les nombres d'assurés étaient suffisants pour qu'il y ait des sinistres. La fréquence estimée tous véhicules confondus des conducteurs novices est inférieure à celle des conducteurs expérimentés alors que véhicule par véhicule elle est supérieure parce que, dans les statistiques précédentes, les conducteurs novices ont des véhicules globalement plus petits que les conducteurs expérimentés : Z et Z' sont corrélés. Ce problème est traité par les assureurs avec l'une des trois méthodes suivantes: - Comme le ferait un institut de sondages politiques, on peut pondérer les observations na(z, z') et les ns(z, z') sinistres correspondants de manière à constituer un parc d'assurés fictif où la répartition des véhicules est la même pour les deux catégories de conducteurs. - Comme le ferait un économètre, on peut utiliser une régression linéaire ou un scoring. - Enfin, on peut utiliser le modèle multiplicatif ci-dessous. Toutes ces méthodes remplacent l'estimation d'un nombre de primes pures égal au produit des nombres de modalités de Z et Z' (ici 3 x 2) par l'estimation d'un nombre de paramètres égal environ à la somme des nombres de modalités de Z et Z' (ici 3 + 2) et résolvent le problème de décorrélation des facteurs. 3.3.

Le modèle multiplicatif

On cherche un tarif basé sur un modèle multiplicatif :

i(z, z')

= v(z) ç(z')

qui respecte les marges du tableau des sinistres ns(z, z'). Plus précisément, on décide que les paramètres seront choisis de manière à respecter non les cases du tableau des sinistres ns (z, z') qui sont entachées de trop d'aléas, mais les marges de ce tableau des nombres de sinistres. Ainsi: - Pour le premier groupe de véhicules, on cherche à tarifer les 1109 assurés jeunes et les 4 436 expérimentés de manière à compenser exactement les 17 sinistres et on cherche v et ç tels que :

v(l) ç(l) x 1109 + v(1) ç(2) x 4436

= 17

- De même pour le deuxième groupe :

v(2) ç(l) x 162 + v(2) ç(2) x 7 955

= 36

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

183

- De même, pour le troisième groupe:

v(3) ç(l) x 681 + v(3) ç(2) x 17 160

= 385

- Pour les novices, on cherche à tarifer les 1 109 véhicules de groupe 1, les 162 véhicules de groupe 2 et les 681 véhicules de groupe 3 de manière à compenser exactement les 22 sinistres:

v(l) ç(l) x 1 109 + v(2) ç(l) x 162 + v(3) ç(l) x 681

= 22

- De même pour les conducteurs expérimentés:

v(l) ç(2) x 4 436 + v(2) ç(2) x 7 955 + v(3) ç(2) x 17 160

= 416

Tout se passe en résumé comme si on prenait les fréquences de sinistres figurant dans le tableau ci-après Fréquences de sinistres ns(z, z')/na(Z, z')

Z' = z~ novices

Z' = z~ expérimentés

Tous conducteurs

Z

= Zl

:

petits

1/(1) ~(1)

1/(1) ~(2)

0,307 %

Z

= Z2

: moyens

1/(2) ~(1)

1/(2) ~(2)

0,444 %

Z

= Z3

: gros

1/(3) ~(1)

1/(3) ~(2)

2,158 %

1,127 %

1,408 %

1,390 %

Tous véhicules

Au plan théorique, on montre que ces équations correspondent aux estimateurs du maximum de vraisemblance pour les paramètres v(z) et ç(z'). On pourra consulter, sur ce sujet, [8]. Au plan pratique, on peut considérer que : - Si l'on connaissait ç(l) et ç(2), les trois premières équations donneraient v(1) v(2) et v(3) :

v(1) = 17/(ç(1) x 1 109 + ç(2) x 4 436) x 162 + ç(2) x 7 955)

v(2)

= 36/(ç(1)

v(3)

= 385/(ç(1)

x 681

+ ç(2)

x 17 160)

- Si l'on connaissait v(l), v(2) et v(3), les deux suivantes donneraient :

ç(1) et ç(2)

ç(l) = 22/(v(1) x 1 109 + v(2) x 162 + v(3) x 681) ç(2) = 416/(v(1) x 4 436 + v(2) x 7 955

+ v(3)

x 17 160)

184

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

L'algorithme de calcul Il consiste à supposer d'abord ç(l) = ç(2) = 1,000 (ce qui correspondrait à Z' n'influant pas sur le tarif) et à en déduire v(l), v(2) et v(3) : - Si ç(l) = 1,000 et ç(2) = 1,000 alors v(l) = 17/(1 x 1109 + 1 x 4 436) = 0,307 %

v(2)

= 36/(1

v(3)

=

x 162 + 1 x 7955)

385/(1 x 681

+1x

= 0,444 %

17 160) = 2,158 %

Puis avec les valeurs obtenues pour v(l), v(2) et v(3), on recalcule ç(l) et ç(2). - Si v(l) = 0,307 % et v(2) = 0,443 % et v(3) = 2,158 % comme ci-dessus, alors ç(l)

= 22/(0,307 % x

1 109 + 0,443 % x 162 + 2, 158 % x 681)

= 1,169

ç(2) = 416/ (0,307 % x 4 436 + 0,443 % x 7 955

+ 2, 158 % x

17 160) = 0,992

Et on recommence: à partir des nouvelles valeurs trouvées pour ç(l) et ç(2), on recalcule à nouveau v(I), v(2) et v(3) : - Si ç(l) = 1,174 et ç(2) = 0,992 comme ci-dessus, alors

v(l) v(2) v(3)

= 17/(1,169 x 1109 + 0,992 x 4 436) = 0,298 % = 36/(1,169 x 162 + 0,992 x 7 955) = 0,445 % = 385/(1,169 x 681 + 0,992 x 17 160) = 2,160 %

Puis avec les valeurs trouvées pour v(l), v(2) et v(3), on recalcule ç(l) et ç(2) : - Si v(l) = 0,298 % et v(2) = 0,445 % et v(3) = 2,160 % comme ci-dessus, alors ç(l) = 22/(0,298 % x 1 109 + 0,445 % x 162 + 2, 160 % x 681) = 1,174 ç(2) = 416/(0,298 % x 4 436 + 0,445 % x 7 955

+ 2, 160 % x 17 161) =

0,992

Et on recommence : à partir des valeurs trouvées pour ç(1) et ç(2), on recalcule à nouveau v(l), v(2) et v(3) : - Si ç(l) = 1,174 et ç(2) = 0,992 comme ci-dessus, alors

= 17/(1,174 x 1 109 + 0,992 x 4 436) = 0,298 % v(2) = 36/(1,174 x 162 + 0,992 x 7955) = 0,445 %

v(l)

v(3) = 385/(1,174 x 681 + 0,992 x 17 160) = 2,160 %

185

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Puis avec les valeurs trouvées pour v(l), v(2) et v(3), on calcule Ç-(l) et Ç-(2) : - Si v(l) = 0,298 % et v(2) = 0,445 % et v(3) = 2,160 % comme ci-dessus, alors Ç-(1) = 22/(0,298 % x 1 109 + 0,445 % x 162 + 2, 160 % x 681) = 1,174 Ç-(2) = 416/(0,298 % x 4 436 + 0,445 % x 7 955

+ 2, 160 % x

17 160) = 0, 992

- On s'arrête lorsque (comme ici) les valeurs trouvées sont stables. Le tarif trouvé est donc le suivant Z'

Tarif

= z~

Z'

novices

= z~

expérimentés

Z

= Zl

:

petits

v(l) ç(l)

= 0,350 %

v(l) ç(2)

= 0,296 %

Z

= Z2

:

moyens

v(2) ç(l)

= 0,523 %

v(2) ç(2)

= 0,442

gros

v(3) ç(l)

= 2,536 %

v(3) ç(2)

= 2,143 %

Z =

Z3 :

%

Et nous pouvons vérifier que nos calculs sont suffisamment précis en constatant que l'application de ce tarif au parc assuré aurait financé les sinistres de la colonne tous conducteurs et de la ligne tous véhicules à très peu près. Tarif appliqué au parc

v(z) ç(z') na(z, z')

Z' = z~ novices

Z' = z~ expérimentés

Tous conducteurs

Z

= Zl

:

petits

3,881

13,119

17,000

Z

= Z2

:

moyens

0,847

35,146

35,993

Z

= Z3

:

gros

17,271

367,729

385,000

22,000

415,993

437,993

Tous véhicules

Annexe 4.

Scoring et tarification

Le scoring est une technique désormais couramment utilisée tant par les banques que par les assureurs. Toutefois, cette technique qui s'appuie sur une forme particulière de score, le score canonique et sur l'utilisation d'un modèle PROBIT, est assez sophistiquée et, en particulier, l'obtention de valeurs numériques nécessite l'utilisation d'un logiciel statistique spécialisé. Nous donnerons toutefois une application numérique effectuable sur un tableur mais avec un seul paramètre.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

186

4.1.

Le score

Un score est un classement entre tous les individus en fonction de leurs caractéristiques. Du point de vue mathématique, c'est tout simplement une fonction qui, à l'ensemble des caractéristiques Z = Zi, Z' = z" = d'un individu i, fait correspondre un nombre SC = Si. Le classement des équipes de football en division 1 en fonction du nombre de matchs gagnés, nuls ou perdus est un score particulier. La note finale obtenue au baccalauréat est un autre score. Le score est défini à une fonction croissante (ou décroissante) près : le classement donné par le score n'est pas modifié par la composition du score avec une fonction croissante (ou décroissante, une fonction décroissante inversant l'ordre du score).

zr . ,

z:,

Utilisation d'un seuil À partir d'un classement donné, il est possible de séparer les individus en deux groupes en définissant un seuil s. Ainsi, au baccalauréat, le seuil S été fixé à 10/20 pour obtenir le diplôme. En matière de crédit, les banques fixent des seuils en deçà (ou au-delà) desquels l'accès au crédit est refusé. En matière d'assurance, il est possible, en choisissant un seuil s, de séparer en deux classes, la classe B des risques de score inférieur à s, risques réputés bons, acceptés ou à tarification plus légère, et la classe A,I des risques de score supérieur à s, risques réputés mauvais: refusés ou à tarification plus lourde. En assurance, comme au golf, les meilleurs ont le score le plus faible. En outre, Si pourra être la fréquence passée des sinistres de l'assuré i et servira à établir le tarif (permettra de prévoir la fréquence future). Erreurs de jugement Dans le cadre d'une séparation de la population en deux groupes en fonction du résultat d'un score, deux types d'erreur de jugement sont possibles: considérer qu'un assuré est un bon risque alors qu'il est en réalité mauvais (erreur 1) ou, à l'opposé, considérer que c'est un mauvais risque alors qu'en réalité il est bon (erreur 2). Remarque: les deux erreurs précédentes sont absolues; l'erreur peut être aussi relative si on commet une erreur en comparant deux individus entre eux à l'aide de leur score. La mesure a posteriori de cette erreur relative peut être intéressante pour étudier le score: en comparant les individus deux à deux à l'aide de leur score, il suffit de compter le nombre de paires concordantes (classement correct) et le nombre de paires discordantes (classement erroné). Si le rapport entre le nombre de paires concordantes et le nombre total de paires est inférieur à 50 %, cela signifie que les bons et les mauvais conducteurs sont moins bien classés que ne le ferait le hasard. Définition et propriétés du score canonique Le score canonique est le score qui classe les individus définis par leurs caractéristiques en fonction de la probabilité suivant laquelle ils sont bons

187

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

ou mauvais risque. Du point de vue mathématique, si on note Y la variable à expliquer qui ne peut prendre comme valeur que 0 (pas de sinistres) ou 1 (un sinistre), le score canonique est la fonction qui à un ensemble de caractéristiques tarifaires (Z = z, Z = z', Z = Zif ... ) que nous noterons parfois Z = z ... pour abréger fait correspondre un nombre:

z, z', z" ...

f-----4

SC (z, z', z" ... ) = P [Y = 1

1

Z = z]

Le score canonique est unique pour des individus présentant les mêmes caractéristiques z, z', z" .... Au sein d'une case tarifaire donnée (ensemble d'individus présentant les mêmes caractéristiques), le score canonique sera d'autant plus élevé, que la case tarifaire comportera d'assurés auteurs d'accidents. Avantages d'un score canonique en termes qualitatifs La séparation des individus en deux classes différentes, B et M ~ ceux dont le score est inférieur à s et ceux dont le score est supérieur à s ne signifie pas que tous les mauvais conducteurs sont dans la classe M et les bons dans la classe B : le score serait parfait ! Elle signifie seulement que la probabilité qu'un assuré de la classe l'v! (pour lequel SC(z) > s) soit un mauvais conducteur (Y = 1) est supérieure à s, et que la probabilité qu'un assuré de la classe B (pour lequel SC(z) < s) soit un mauvais conducteur est inférieur à s. Avantages d'un score canonique en termes quantitatifs Le choix d'un seuil s discrimine certes la population assurée en deux classes de risques: les bons et les mauvais risques mais l'assureur peut aussi utiliser le score canonique d'une manière continue pour tarifer un contrat. En effet, au sein d'une case tarifaire,si SC(z) représente la fréquence moyenne de sinistres il ne reste qu'à multiplier cette fréquence par le coût moyen d'un accident pour cette case tarifaire pour obtenir la prime pure moyenne de la case. Combien retenir de variables pour faire un score ? Le choix du nombre de variables résulte de deux exigences contradictoires : - le nombre de variables utilisées est important, meilleure est l'information conservée (on conçoit facilement qu'un score fondé sur deux variables est meilleur qu'un score fondé sur une seule variable) ; en outre, il peut être utile de ne pas rendre le score trop facilement décodable par les utilisateurs afin d'en préserver la fiabilité ... ; - le nombre de variables utilisées est faible, plus la gestion du score est aisée: le nombre de renseignements à demander à l'assuré et donc à stocker est plus faible, et il est plus facile d'interpréter les phénomènes sous-jacents en présence d'un nombre plus faible de variables explicatives ou lorsque les variables explicatives ne sont pas corrélées. Courbes de performance Sur une même sous-population, il est possible de comparer la qualité de deux scores canoniques différents en comparant leurs courbes de per-

188

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

formance. Ces courbes ont des équations paramétriques avec comme paramètre, le seuil s. Pour chaque valeur de s, on porte : - en abscisse P (SC::; s), la proportion d'individus dans la population totale dont le score est inférieur à s (le marché potentiel que choisit l'assureur et qui est d'autant plus grand que s est grand) ; - en ordonnée P (Y = 1 SC ::; s) 1

P(Y = 1)

la sinistralité de la population par rapport à la population totale (si P (Y = 1 1 SC < s) ' P (Y = 1) vaut 0,5, 1a popu lation se'1ectionnee a une pro b a b ilite' d'accident deux fois plus faible que la population globale. y(s) reflète donc la qualité du portefeuille). La courbe de performance passe par les points (1,1) correspondant à s

= 1 (tous les risques sont acceptés) et (0,0) correspondant à s = 0 (aucun

risque n'est accepté). La courbe de performance d'un score canonique est croissante. Si les courbes de performance de deux scores A et B calculés sur une même population, ne se rencontrent pas, alors la courbe de B est sous celle de A si et seulement si B est meilleur que A.

Graphique 2. -

Comparaisons de 2 scores

UJL_-t--======. :Fï==:::::::::··=··=··+;=··~_··_··_··_···_··_ ..

-+ .._.. _.. _.. _.. _..._.._..-i .. _.. _.. _.

°

0,2

0,4

0,6

0,8

Ce graphique montre que pour une part de marché donnée, le score B sélectionne une population dont la sinistralité sera plus faible.

Utilisation d'un modèle PROBIT Jusqu'à présent, on a supposé que l'on pouvait calculer le score canonique dans chaque case tarifaire. Or, si on utilise trop de variables explicatives, on risque de n'avoir personne dans une case tarifaire donnée et il faudra bien proposer un tarif à la personne qui se présentera devant l'assureur. Il faut donc introduire une modélisation du score canonique. La première idée est d'utiliser des régressions linéaires. Pour une connaissance de ces régressions linéaires, indispensable pour la lecture de cette partie, on se reportera à [23]. Soit Y, la variable sinistralité observée. Elle prend

189

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

°

la valeur lorsque l'assuré n'a pas eu dans l'année de sinistre et 1 sinon. y n'est pas modélisable par la méthode des moindres carrés ordinaires. En effet, si on a Yi = Zib + Ui pour l'individu i, Ui prend la valeur -Zib avec la probabilité p et 1 - Zib avec la probabilité 1 - p. Donc Ui ne peut pas suivre une loi normale mais uniquement une loi discrète. Il faut donc utiliser un modèle non linéaire, par exemple probit. On peut ainsi estimer les paramètres et effectuer des tests. Une illustration sur le scoring est ensuite donnée.

Présentation du modèle PROBIT Le comportement du conducteur dans son environnement peut être modélisé en supposant l'existence d'une variable latente continue Y* qui traduit l'absence potentielle de sinistralité. Y* illustre la capacité globale de l'assuré à ne pas avoir d'accident: Si Y* S 0, y =

° Pas de sinistre responsable

Si Y* > 0, y = 1

Un sinistre responsable

Y* est cette fois-ci modélisable au moyen d'une régression linéaire où les résidus suivent une loi normale centrée réduite : Y* = -Zb+u où Z

rv

N(O, 1), avec N(O, 1) la loi normale centrée réduite.

Calculons le score canonique de l'assuré, en posant

sc (z) = P (Y = 11 Z = z) =

P (Y* > 0)

= P (u > Zb) = 1 -

Y n'est donc pas une fonction linéaire des paramètres b. La régression est non-linéaire.

Estimation des paramètres et tests Il reste donc à estimer b sachant que nous ne disposons pas de l'information Y* mais de Y. Seule une résolution numérique est possible car il faut résoudre l'équation suivante:

Un tableur ne permet pas d'obtenir la valeur de b. Elle est réalisée en utilisant un logiciel statistique qui procèdera par itération. Il est toutefois possible de faire les calculs avec un tableur lorsque l'on ne dipose que d'un seul paramètre.

Illustration Considérons les vingt individus suivants. Y est le nombre de sinistres de l'individu, jeune (âge = 0) ou vieux (âge = 1).

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

190

Individu Âge (1

=

vieux)

Y

Individu Âge (1

= vieux)

Y

1

0

0

11

1

0

2

0

1

12

1

0

3

0

1

13

1

0

4

0

1

14

1

0

5

0

1

15

1

0

6

0

0

16

1

0

7

0

0

17

1

0

8

1

1

18

1

0

9

1

0

19

1

0

10

1

0

20

1

1

Une résolution numérique utilisant la fonction valeur cible d'un tableur donne b = 1,020 076 43. Le score des jeunes vaut 0,5 et le score des vieux 0,154. Les jeunes sont donc plus risqués que les vieux. En effet, un coefficient b positif s'interprète toujours en termes relatifs et traduit un risque plus fort. En effet,

SC(z)

= P(Y = 11

z = z) = (zb)

Si b est positif, le score canonique est une fonction croissante de z. Dans le cas contraire, le score canonique est une fonction décroissante de z. Dans le premier cas, plus les caractéristiques de l'individu i suivant la variable Z sont élevées, plus il sera risqué toutes choses égales par ailleurs. Il y a 44 paires concordantes et 6 paires discordantes, soit un taux de concordance de 88 %.

Test de nullité d'un coefficient On cherche à tester la nullité d'un coefficient b. On oppose donc l'hypothèse nulle Ho contre l'hypothèse alternative Ha.

Ho: b =

°

Ici on utilise la statistique de Wald :

b2

W=~

Vb

qui suit asymptotiquement une loi du X2 à un degré de liberté. L'hypothèse de nullité de b est rejetée lorsque la statistique de Wald dépasse un certain seuil, en général 3,84, ce qui correspond à une significativité de 5 %. Il peut être parfois utile de prendre des seuils plus élevés afin de conserver

191

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

suffisamment de variables pour obtenir un score qui discrimine toujours (taux de concordance supérieur à 50 %).

Courbe de performance et de sélection

Graphique 3. -

Courbe de performance 1

-----------------------------------------

0,8

0,6

0,4

0,2

°

0,2

0,4

0,6

0,8

La courbe de performance (formée de trois points) est correcte. Elle est sous la bissectrice. La forme de la courbe de performance montre que le score obtenu explique bien la sinistralité. Avec 65 % des individus, on obtient une population qui a un potentiel de sinistralité égal à 60 % de celui du marché. Annexe 5.

Variantes aux calculs de provisions

C'est sur la méthode de cadences, la plus utile, que nous exposerons des principes de variantes applicables à toutes les méthodes. Reprenons le calcul de la provision afférente à 1998. Exercice de survenance Paiements cumulés

À À À À À

+

fin 1995 fin 1996 fin 1997 fin 1998 fin 1999 Provisions au 31/12/1999

= Charge vue au 31/12/1999

1995

1996

1991

1998

1999

268 441 447 450 451 1

283 463 474 476 2

278 451 461 4

281 458 ?

294 ?

452

478

465

?

?

192

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Exercice de survenance 1995

Cadence observée (cumulée) de deuxième année

441 452

Notation

1997

1996

= 97,5 %

463 478

C95,2

= 96,9 %

451 465

C96,2

Moyenne

= 97,0 %

97,1 %

C97,2

Nous avons supposé que l'estimation moyenne (97,6 %; 96,9 %; 97,0 %) = 97,1 % s'appliquait aussi à l'exercice 1998, pour obtenir ainsi la charge totale de sinistres de l'exercice 1998 :

8 98 =

458 97,1%

= 472

et donc le montant de la provision : P98,2

= 472 - 458 = 14

Moyenne, médiane, et autres estimateurs Comme estimateur de la cadence de seconde année juste titre préférer choisir, plutôt que

moyenne (97,5 %; 96,9 %; 97,0 %)

C98,2,

= 97,1

on pourra à

%

comme ci-dessus, médiane (97,5 %; 96,9 %; 97,0 %) = 97,0 % moins sensible à une éventuelle année aberrante, 441 + 463 + 451 = 97 1 o/c 452 + 478 + 465 ,0 insensible à une année absente ou hors d'échelle. Estimation d'une grandeur stable ou d'une grandeur évolutive Nous avons supposé que C95,2, C96,2, C97,2 étaient des réalisations d'une même cadence de deuxième année G que nous avons appliqué à 1998. Il n'apparaissait pas utile dans l'exemple choisi de - chercher une tendance - considérer que les paiements effectués l'année j sont fonction d'un taux d'inflation propre à l'année j.

193

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

Mais cela peut se révéler souhaitable dans certains cas. Cadences annuelles ou cadences cumulées Nous avons étudié les cadences de paiements cumulés

C95.2, C96,2,

C97,2·

Il nous paraît plus difficile de modéliser les cadences de paiements non cumulés, C95,2 - C95,1, C96,2 - C95,1, C97,2 - C95,1 : le report (par exemple) d'un règlement de décembre à janvier de l'année suivante se traduit par un aléa diminuant Ci, 1 et augmentant Ci,2 - Ci, 1 du même montant, donc perturbant la cadence annuelle Ci,2 - Ci, 1· Pourcentage de la charge finale ou d'une autre grandeur Afin de parler de la grandeur invariante nous utilisons les cadences de deuxième année Ci,2 rapportant les paiement cumulés Si,2 relatifs à un exercice de survenance i à la charge de cet exercice c'est-à-dire Ci,2 Si,

2/ Si,

<Xl'

On peut aussi étudier les règlements cumulés Si,2 sans effectuer la division, et pour rendre semblables les divers exercices i : - étudier Si,2/ Si,1 comme dans les calculs dits de chain-ladder ; - étudier Si,2/ en le rapportant aux primes de l'exercice.

p;'

Annexe 6.

Exercices

Exercice 1 Différences entre les nombres de sinistres du modèle simple et ceux du modèle auto.

1. Que peut-on dire de la loi théorique de la fréquence

N

si le nombre na de sinistres suit une loi de Bernoulli? une loi de Poisson? 2. Calculer la probabilité qu'un assuré ait 0, 1, 2... sinistres. 3. Calculer l'espérance et l'écart-type du nombre de sinistres pour 10 000 assurés lorsque le nombre de sinistres suit une loi de Bernoulli, puis lorsqu'il suit une loi de Poisson. On supposera successivement que l'espérance du nombre de sinistres de chaque assuré est de 10 %, 1 % et 0,1 %. _8

Solution Dans les chapitres 4 et 5, nous avons supposé qu'en première analyse (c'est-à-dire avant de disposer d'informations supplémentaires sur les risques assurés), l'espérance du nombre des sinistres est identique pour chacun des assuré du groupe. Notons À cette espérance. Si le nombre de sinistres de chaque assuré suit une loi de Bernoulli, la probabilité qu'un assuré ait 0 sinistre est égale à 1 - À. La probabilité qu'un assuré ait 1 sinistre vaut À et la probabilité d'avoir plus d'un sinistre est nulle: en effet on ne meurt qu'une fois (au maximum).

194

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le nombre total N s suit une loi binomiale. La fréquence Ns/na ne suit pas une loi binomiale mais on obtient facilement les deux premiers moments: E(Ns/na) =

À 1

,,(N,/na)

= ( A(1n~ A) ) ,

Si le nombre de sinistres de chaque assuré suit une loi de Poisson, la probabilité qu'un assuré ait a sinistre est égale à e-),. La probabilité qu'un assuré ait 1 sinistre vaut À e-), et on constate que la probabilité d'avoir plus d'un sinistre n'est pas nulle mais vaut, pour k sinistres,

En effet on peut envoyer plusieurs fois par an une voiture dans un platane (à condition toutefois de ne pas mourir dans l'accident car cela nous ramènerait au problème précédent). Le nombre total N s suit une loi de Poisson. La fréquence Ns/na ne suit pas une loi de Poisson mais on obtient facilement les deux premiers moments:

Les applications numériques permettent parfois de relativiser les écarts entre les différents concepts théoriques, ainsi que le montre le tableau suivant, pour la 000 assurés: Fréquence par assuré

10 %

1%

0,1 %.

Espérance du nombre total de sinistres Loi Binomiale Loi de Poisson

1000 1000

100 100

10 10

Écart-type du nombre total de sinistres Loi Binomiale Loi de Poisson

30,0 31,62

9,95 10,0

3,16 3,16

Par ailleurs on sait que, pour des fréquences faibles, la loi binomiale converge vers une loi de Poisson. Enfin, pour des effectifs assurés nombreux et des fréquences pas trop petites, la loi des grands nombres constate la convergence de la loi de N s vers la loi normale.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

195

Exercice 2 Étude d'une distribution de sinistres empirique.

Prenons une nouvelle distribution de sinistres, correspondant à un contrat de RC auto souscrits par 30 000 assurés. La fréquence des sinistres est de 12 %. Moins de

N ombre cumulé

Coût cumulé

1000

124

59722

2 000

277

283 681

3 000

643

1 269 100

4 000

743

1 612 503

5 000

796

1 851 392

la 000

893

2 500 873

50 000

982

4247 751

100 000

991

4 874 836

500 000

999

6 502 269

1000

7465 292

1. Étude de la répartition des sinistres • Dessiner l'histogramme de la distribution et estimer la médiane et les quartiles. - Calculer la moyenne et l'écart-type du coût d'un sinistre .

• Comparer moyenne et médiane, écart-type et position des quartiles: la loi est-elle symétrique ? 2. Étude de la charge des prestations Calculer la prime pure et l'écart-type de la prime pure. 3. Étude d'une franchise Calculer la moyenne et l'écart-type du coût d'un sinistre net si l'assureur ne paye les sinistres qu'après déduction d'une franchise de 5 k€. Calculer la fréquence des sinistres qui font l'objet d'un paiement. Calculer la prime pure. 4. Étude d'un plafond Calculer la moyenne et l'écart-type du coût d'un sinistre net si le réassureur rembourse les sinistres après déduction d'une priorité de 50 k€ (sans franchise) . Calculer la prime pure que demanderait un réassureur et l'espérance de la charge des prestations nette de réassurance.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

196

Solution Graphique 4. 350 300 250 200

o

10

20

30

40

50

1. La moyenne est de 7 465 € Le 1er quartile est compris entre 1 000 €et 2 000 €, la médiane entre 2 000 € et 3 000 € et le 3e quartile entre 4 000 € et 5 000 €. La loi n'est donc pas symétrique. Les trois premiers quartiles sont inférieurs à la moyenne. L'écart-type vaut 39 596 €. Sur l'histogramme, les 18 sinistres non représentés (supérieurs à 50 k€), représentent encore 43 % du total. 2. La prime pure vaut 896 €. L'écart-type de la prime vaut 13 958 €. 3. Avec une franchise, le coût moyen d'un sinistre vaut 22 519 € et son écart-type 70 713 €. La fréquence d'un sinistre faisant l'objet d'un paiement vaut 2,448 %. La prime pure vaut 551 €. L'écart-type de la prime pure est 13 713 €. 4. Avec un plafond, le coût moyen d'un sinistre vaut 5 148 € et son écart-type 20 228 €. La prime pure nette de réassurance vaut 618 € et l'écart-type de cette prime pure est 7 230 €. La prime qui serait payée au réassureur pour la prise en charge des sinistres au-delà de 50 000 € vaut 278 €.

Exercice 3 Estimation du coût moyen et de la prime pure à partir d'une répartition de sinistres. Soit la statistique suivante de sinistres de Dommages Auto concernant 57 697 véhicules - années.

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto Moins de

N ombre cumulé

197 Coût

1 000

2 156

982000

2000

3448

2 904 000

3000

4660

5 851 000

4000

5470

8671 000

5000

6290

12 344 000

10 000

7912

23 193 000

20000

8592

32 249000

100000

8910

42 714000

Estimer la fréquence, le coût moyen et la prime pure, en précisant à chaque fois, l'intervalle de confiance à 95 % dans lequel se situe ces estimations et leur précision relative, demi-amplitude de l'intervalle de confiance. Solution La fréquence vaut 15,4 %. L'écart-type de la fréquence vaut 39,3 %. L'intervalle de confiance est

[15,1 %, 15,8 %] et l'incertitude relative vaut 2,1 %. Le coût moyen est de 4 794 €. L'écart-type vaut 8 676 €. L'intervalle de confiance est [4 614, 4 974] et l'incertitude relative vaut 3,8 %. La prime pure vaut 740 E L'écart-type de la prime vaut 3 895 E L'intervalle de confiance est [709, 772] et l'incertitude relative vaut 4,4 %. Exercice 4 Ajustement d'une distribution de sinistres empirique à une loi théorique. Estimation du coût moyen à partir d'une répartition de sinistres.

Soit la statistique suivante de sinistres supérieurs à 100 k€.

198

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Tranche

Nombre (non cumulé)

Coût

100-200

109

13842

200-500

52

20540

500-1 000

27

16075

1 000-2 000

7

11163

2000 à

6

24559

201

86 179

00

TOTAL

Estimer le coût moyen probable E(YIY > 100), d'abord directement, puis à partir d'ajustements graphiques de la distribution par une loi de Pareto, et par une loi log-normale.

Solution Estimation directe. Le coût moyen probable E(YIY > 100) peut être estimé à 86179 = 429 k€ 201 Cette estimation est peu précise: plus du quart du coût des 201 sinistres de plus de 100 k€ découle des 6 sinistres de plus de 2 000 k€ ! Il ne serait pas surprenant que, dans une autre échantillon de 200 sinistres, les sinistres de plus de 2 000 k€ se révèlent, soit sensiblement plus nombreux que 6, soit sensiblement plus coûteux que 4 093 k€ en moyenne. Les ajustements consistent, au fond, à présumer de la charge des sinistres importants et rares à partir des sinistres plus nombreux et moins importants. On peut estimer les paramètres de la loi par la méthode du maximum de vraisemblance, mais il est toujours plus instructif de se livrer à un ajustement graphique au moins dans un premier temps, car la robustesse ou la sensibilité du résultat peut s'observer alors visuellement. On ne sera pas surpris de voir qu'ici différents ajustements raisonnables donnent des résultats différents, étant donné le petit nombre de sinistres et leur grande variance. Loi de Pareto. La loi de Pareto (loi non symétrique très utilisée, car n'ayant qu'un paramètre à ajuster) est P(Y < y!Y

> Yo)

= 1-

On montre qu'alors E(Y < ylY > Yo)

(:Ja

a

= - - Yo ; E(Y < a-l

ylY > Yo)

n'existe que pour a > 1, de même que a(Y < ylY > Yo) l'écart-type n'existe que pour a > 2.

199

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto

En notant P* (Y > ylY > Ya) le complément à 1 de la fonction de répartition empirique observée, la relation ln (P(Y > ylY > Ya))

= -a

ln y + a ln Ya

montre que les points d'ordonnées ln (P*(Y > ylY > Ya)) et d'abscisses ln y et sont approximativement alignés sur une droite de pente a.

Graphique 5. ~

1\

2

>-

0

~

-2 -4 -6

0> 0 ....J

Ajustement Pareto

Log (y)

Un ajustement graphique (en fait réalisé automatiquement par un tableur) donne ln (P*(Y > y) = -1,1777 ln (y)

+ 5,4848

On peut estimer E(Y < ylY > Ya) par 1,1777

_

o, 1777 Ya -

63 6

Loi log-normale. La plus naturelle des lois non symétriques qui est utilisée est la loi log-normale (ln Y suit une loi normale) ; si la loi normale est naturelle comme somme d'un grand nombre d'aléas homogènes et indépendants, la loi log-normale est naturelle comme produit d'un grand nombre d'aléas identiques et indépendants. L'événement

{Y < y} étant identique à l'événement

dire que Y suit une loi lognormale revient à dire que

rr

désignant la fonction de répartition de la variable N(O, 1).

200

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

(ln Y suit une loi normale d'espérance m et d'écart-type a ; on peut (72

démontrer alors que E(Y) = em + T La relation

)

peut s'écrire

n- 1 (p(y < y))

=

ln y - m a

Donc en notant P* (Y < y) la fonction de répartition empIrIque observée, les points d'abscisse ln (y) et d'ordonnée n- 1 (p(y < y)) sont approximativement alignés.

Graphique 6. ::.... v

>-

~ 1"

a:

Ajustement log-normal

4 3 2 1

0 -1

7

6

5

8

9

Log (y)

Un ajustement graphique (en fait réalisé automatiquement par un tableur) donne

n- 1 (p*(y

< y)) = 1,0823

ln (y) - 4,0633

La droite a pour ordonnée 0 au point d'abscisse m et pour ordonnée 1 au point d'abscisse m + a, d'où m = 5,13173 et a = 1,26295 Comme E(Y)

(72

= em + T

on peut estimer

E(Y < ylY > Yo) par 5 13173+ 1,26295

e '

2

2

= 376

Chapitre 6 ,

LE MODELE DE L'ASSURANCE VIE

Traditionnellement, le modèle d'actuariat à court terme présenté dans les deux chapitres précédents néglige, du moins dans une première étape, de formaliser le prix du temps, c'est-à-dire les produits financiers générés par le fonctionnement en capitalisation (cf. le chapitre 1, § 3.). La raison en est qu'il se préoccupe d'abord de l'aléa inhérent aux sinistres. L'importance relative du prix du temps et de l'aléa est inversée dans le modèle vie (cf. le chapitre 1, § 5.). En effet, le modèle vie ne peut passer sous silence que les principaux contrats ont un caractère d'épargne et sont de longue, voire de très longue, durée et que les bases tarifaires ne sont pas révisables pendant cette durée. En outre, comme nous le constaterons, l'aléa est beaucoup moins important en vie qu'en non-vie car, en vie, le versement de la prestation dépend en général de la survie de l'assuré, événement qui a une forte probabilité, contrairement à l'assurance non-vie, où les sinistres ont de faibles probabilités. C'est peut-être ce qui explique que traditionnellement, là où la prudence voudrait qu'on ajoute un chargement de sécurité afin de diminuer le risque de perte ou même de ruine dû aux fluctuations aléatoires du résultat, l'usage actuariel diffère: - En non-vie, le chargement de sécurité est explicité et noté p. - En vie, le chargement de sécurité est usuellement implicite et découle d'un choix prudent des taux d'intérêt et des tables de mortalité. Dans ce chapitre, le résultat aléatoire de l'assureur (§ 1.) comporte une prime calculée à partir de probabilités viagères et escomptant des produits financiers (et prévoyant des frais de gestion). L'étude de ce résultat nous amènera à comparer les conséquences de l'aléa de mortalité aux conséquences d'une erreur de taux ou de table. La tarification (§ 2.)

202

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

repose sur des prévisions de taux (dont la simplicité même permet d'étudier facilement le risque encouru par l'assureur si les taux baissent, ou à l'inverse s'ils montent), de table de mortalité et de frais de gestion. Pour pouvoir examiner le résultat comptable de l'année (§ 3.), l'assureur doit savoir chiffrer ses engagements en calculant une provision mathématique.

1.

Aléa et résultat de l'assureur

Dans cette première section, l'assureur est à nouveau supposé connaître ex ante l'espérance de la charge annuelle de prestations. Cette connaissance lui permet de calculer la prime pure qui annule l'espérance de son résultat. En reprenant l'exemple simple utilisé au chapitre 1, § 5., nous mesurerons l'aléa auquel l'assureur est confronté (§ 1.1). Pour modéliser cet aléa, il est nécessaire d'effectuer des hypothèses sur le taux d'intérêt utilisé, sur la table de mortalité employée et sur les frais de gestion payés. À cette occasion, nous serons amenés à définir les principales probabilités viagères l et à formuler un principe de calcul des primes à l'aide du concept, fondamental en assurance vie, de valeur actuelle probable (§ 1.2). Enfin, nous étudierons l'impact de l'aléa de mortalité et le comparerons à celui d'une erreur de taux ou de table dans les trois contrats principaux, qui se révèlent très différents à cet égard (§ 1.3).

1.1.

Un exemple simple

Capital différé (rappel du second exemple du chapitre 1, § 5.) prime

t= 0

J

âge=x

c si l'assuré est en vie

t= k

1

âge = x+ k

•

À la date t = 0, l'assureur souscrit na = 10 000 contrats identiques dans chacun desquels un assuré verse une prime unique 1r" = 63 000 €. En contrepartie, l'assureur s'engage à verser c = 100 000 € à la date t = 8 ans à chaque assuré vivant. Pour modéliser ce contrat, supposons que les placements rapportent i = 6 % l'an, que chaque assuré a une probabilité p = 0,98651 d'être en vie dans 8 ans, et faisons abstraction des frais de gestion. - À la date t = 0, l'assureur encaisse na primes 1r", qu'il place à 6 % l'an. 1

C'est-à-dire dépendant de la durée de la vie humaine.

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

203

- À la date t = 8 ans, l'assureur disposera donc de na K" (1

+ i)8

=

15 938,481 X K"

pour payer caux N v survivants. N v , nombre aléatoire de survivants, suit une loi binomiale (approximativement normale d'après le théorème de la limite centrale). L'espérance de N v est E(Nv )

=

naP

= 9 865,1

et son écart-type Le résultat de l'assureur, vu en fin de contrat, est la variable aléatoire:

Rna = naK"(1

+ i)8 -

cNv = 1 004 124 290 - 100 000 X N v

avec

E(RnJ

= na(K"(1+i)8- cp) = 1 004124290-986510000 = 17614290

et ~(RnJ

= c~(Nv) = CJnap(1- p) = 1 154 030

L'écart-type est peu important par rapport à E(RnJ : il en représente 6,5%.

1.2.

Les probabilités viagères

Dans l'exemple précédent, nous avons considéré que la prime Kil était donnée, et nous en avons déduit l'espérance et l'écart-type du résultat. Il est usuel, en assurance vie, d'adopter la démarche inverse, c'est-à-dire de déterminer la prime K" de telle manière que l'espérance du résultat soit nulle. Cette façon de procéder peut paraître curieuse, notamment de la part de sociétés à but lucratif. En fait, comme indiqué dans l'introduction, le choix réputé prudent des hypothèses induit implicitement un chargement de sécurité et une espérance de résultat positive. Afin de pouvoir appréhender le calcul des primes, nous avons besoin de définir les probabilités viagères fondamentales.

1.2.1.

Les probabilités de survie (et de décès) pour un individu d'âge x

- Probabilité de survie et table de mortalité d'un individu d'âge x. Considérons lx assurés d'âge x à l'époque 0 dont chacun a une probabilité p de vivre jusqu'à l'âge x + k qu'il atteindra à l'époque k. Le nombre d'assurés vivants à l'époque k est une variable aléatoire (binomiale de paramètres lx et p).

204

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Son espérance est lxp, que l'on peut noter lx+k, nombre probable de vivants à l'âge x. Soulignons que l'actuaire, parce qu'il utilise un vocabulaire du XI xe siècle, dit nombre probable au lieu d'espérance d'un nombre (aléatoire) et valeur probable au lieu d'espérance d'une valeur (aléatoire). - La probabilité que l'individu d'âge x à la date 0 survive jusqu'à l'âge x + k qu'il atteindra à la date k est donc, par définition,

- La loi de survie de l'individu d'âge x est définie ainsi par la table de mortalité: w étant l'âge extrême de la vie humaine, en pratique environ 110 ans selon les tables, le record atteint naguère par Mme Calment n'ayant pas de signification statistique. Cette loi n'est définie qu'à une constante multiplicative près. On trouvera des exemples de tables de mortalité, les tables TV 88-90 et TD 88-90 et TPRV 93 en annexe 10. - La probabilité que l'individu d'âge x décède avant la date k est

1 _ lx+k = lx - lx+k lx lx (car la probabilité qu'un individu atteigne exactement l'âge x nulle), et lx+k - lx+k+k' lx

+

k est

est la probabilité que l'individu d'âge x décède entre la date k et la date k+k'. 1.2.2.

Les hypothèses: taux d'intérêt, table de mortalité, frais de gestion

Pour calculer la prime, dans chaque cas nous allons faire trois hypothèses; nous supposerons connaître le taux d'intérêt i, la table de mortalité lx et les frais de gestion. Nous allons revoir dans quelle mesure sous ces hypothèses, c'est-à-dire en supposant exacts les i, lx et frais de gestion choisis, le résultat est aléatoire. Mais chacune de ces hypothèses peut se révéler inexacte. - On suppose connaître le taux de rendement annuel des placements noté i relatif à toute la durée du contrat, mais si la durée du contrat est de 8 ans et si par exemple le premier placement est fait en obligations remboursables dans 4 ans, il faudra réinvestir ces remboursements à un taux aujourd'hui inconnu. - On suppose connaître la loi de mortalité des assurés (table lx+t), mais la loi réelle peut être différente (parce que les assurés ne sont pas

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

205

représentatifs de la population observée pour constituer la table, parce que l'espérance de vie s'est accrue depuis l'élaboration de la table ... ). - On suppose connaître les frais de gestion futurs, mais ce coût va évoluer pendant la durée des contrats. Toutefois les erreurs faites dans ce domaine, analogues dans toutes les industries, ne feront pas ici l'objet d'une étude spécifique. L'aléa du résultat, si l'on suppose exacts les i, lx et les frais de gestion futurs, est en pratique le problème le plus facile à étudier, pour peu que l'on se souvienne de la loi des grands nombres et du théorème de la limite centrale.

1.3.

L'aléa de mortalité comparé aux erreurs de tarification

La valeur actuelle des prestations de l'assureur (actualisée au taux i et à la date de la souscription) est une variable aléatoire dont la prime doit être l'espérance mathématique (la valeur actuelle probable). En promettant une garantie, l'assureur prend deux risques: - se tromper dans l'estimation de l'espérance mathématique (par un mauvais choix du taux ou de la table) ; - enregistrer une charge de prestation (très) supérieure à la vraie valeur moyenne, supposée convenablement estimée. On se propose d'étudier sommairement et successivement ces deux risques au regard des trois principaux types de garantie d'assurance: le capital différé, la temporaire-décès et la rente viagère. Le cas de la rente viagère est certes plus délicat, mais son étude permet de montrer comment traiter tout contrat à plus d'une prestation possible (ou plus d'une prime possible). 1.3.1.

Le capital différé prime

âge

=x

c si l'assuré est en vie

âge

=x+ k

Le contrat et le résultat de l'assureur À la date t = 0, l'assureur souscrit na contrats identiques dans chacun desquels un assuré verse une prime unique pure 7r. En contrepartie, l'assureur s'engage à verser c à la date t = k ans à chaque assuré vivant. Nous avons vu dans l'exemple qu'en notant N v le nombre aléatoire de survivants (qui suit une loi binomiale - approximativement normale

206

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- d'espérance naP

=

na

l~:k),

le résultat de l'assureur sera la variable

aléatoire avec

La prime Quelle est la prime qui correspond à une espérance de résultat nulle ? E(R na )

')k

= 0 {:} 7r (1 + ~ -

cp

0

cp

= {:} 7r = (1 + i)k

__ cvk lx+k

lx

en posant, comme il est traditionnel 1

v=--

l+i

La prime pure 7r calculée apparaît comme la valeur actuelle de la valeur probable ou valeur actuelle probable (VAP) de la prestation.

Remarque Cette notion de valeur actuelle probable est un outil fondamental en assurance-vie. Il est important de savoir déterminer la V AP des engagements susceptibles d'être pris par l'assureur ou l'assuré à l'aide des probabilités viagères. Application numérique Un assuré d'âge x = 40 ans souscrit un capital différé de montant c = 100 000 € payable dans k = 8 ans s'il est vivant à cette date. L'expression théorique de la prime pure a été déterminée plus haut: lx+k lx

7r=C--V

k

En utilisant les trois tables TD 60-64, TD 88-90, TV 88-90, et les deux taux d'intérêt 3,5 % et 7 %, on obtient les résultats numériques suivants: 7r

TD 60-64

TD 88-90

TV 88-90

i = 3,5%

72787

73606

74917

i=7%

55783

56412

57416

Une erreur dans le choix de la table de mortalité n'est pas très grave. Par contre, un mauvais choix du taux peut avoir de lourdes conséquences. Cette situation est typique des contrats qui ont essentiellement un caractère d'épargne.

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

207

L'aléa de mortalité On suppose maintenant que la bonne estimation de la valeur actuelle probable est obtenue avec TV88-90 et i = 3,5 % et que l'assureur gère n = 10 000 contrats identiques souscrits simultanément par des assurés de même âge. La charge des prestations sur un contrat est une variable aléatoire X, qui prend à la date k les valeurs lx+k ; b 'l' , T - c avec 1a pro b alIte lx+k b 'l' , 1 - T' - O avec 1a pro b alIte La valeur actuelle de la charge des prestations sur un contrat est la variable aléatoire X', qui prend à la date 0 les valeurs b'l' , T lx+k ; - cv k avec 1a pro b alIte lx+k b 'l' , 1 - T' - O avec 1a pro b alIte Son espérance mathématique est égale à vaut

7r

= E(X') et son écart-type

lx+k (1 _ lX+k) = 8 761,50 € lx lx La valeur actuelle de la charge totale des prestations pour l'ensemble des n = 10 000 contrats souscrits est une variable aléatoire d'espérance n7r

= 749 165 000

€

et d' écart-type

Vnu =

876 150 €

En approximant cette variable aléatoire par une loi normale, on trouve que la charge totale des prestations a 95 % de chances de se situer dans l'intervalle

[749 165 000 - 1,96 x 876 150,749 165 000 + 1,96 x 876 150] c'est-à-dire dans l'intervalle

[747 447 740, 750 882 250] L'incertitude sur la valeur actuelle de la charge des prestations est donc très faible, et, en tout cas, beaucoup plus faible que l'incertitude engendrée par une erreur de taux. Dans ce contrat de capital différé, l'aléa de mortalité est donc faible. Ce n'est pas toujours le cas (cf. le contrat temporaire décès ci-après).

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

208

1.3.2.

La temporaire décès (capital versé au moment du décès) prime

c si l'assuré décède entre ket k+ 1

j

1

t= 0 ~ ____ _________________t_=_k~I~____~I__ t:k+1 âge=x

âge

=x+ k

âge

= x+ k+ 1

Le contrat et le résultat de l'assureur À la date t = 0, l'assureur souscrit na contrats identiques dans chacun desquels un assuré verse une prime unique 'TL En contrepartie, l'assureur s'engage à verser c à la date du décès si ce décès survient entre t = k et t=k+l. On suppose que les placements rapportent i % l'an, que chaque assuré

a une probabilité q = lx+k

~~X+k+l

de décéder entre k et k

+1

(et on

fait abstraction des frais de gestion). L'approximation habituelle consiste à supposer que le versement, s'il a lieu entre k et k + 1, a lieu en moyenne à la date k + 0, 5 année. - À la date t = 0, l'assureur encaisse na primes (qu'il place au taux i). , 1

- A la date t = k

+ "2

ans, l'assureur disposera donc de n a 7r(l

+ i)

k

1

+2'

pour payer c aux ND bénéficiaires, ND étant le nombre aléatoire de décès entre k et k + 1. ND suit une loi binomiale (approximativement normale) d'espérance naq. Le résultat de l'assureur, vu en fin de contrat à la date k variable aléatoire

+ 1,

sera la

avec La prime Quelle est la prime qui correspond à une espérance de résultat nul ?

E(Rna) =

a <=} 7r(1 + i)k+~

c - cq

=

a <=} 7r =

lx+k - lx+k+l

(1

lx

+ i)k+~

La prime est donc bien égale ici encore à la V AP des prestations de l'assureur. Application numérique On suppose maintenant que la garantie temporaire décès d'une année est immédiate (k = 0), de montant c = 100 000 €, souscrite par un assuré d'âge x = 40 ans.

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

209

La prime pure est ici : lX+I) 7r = c ( 1- T

1 V2

En utilisant les trois tables TD 60-64, TD 88-90, TV 88-90, et les deux taux d'intérêt 3,5 % et 7 %, on obtient les résultats numériques suivants: 7r

TD 60-64

TD 88-90

TV 88-90

i = 3,5%

384

280

122

i=7%

377

275

120

On remarque que c'est ici le choix de la table qui est crucial, les conséquences d'une erreur de taux étant comparativement bien moindres.

L'aléa de mortalité On suppose maintenant que la bonne estimation de la valeur actuelle probable est obtenue avec TD 88-90 et i = 3,5 %, et que l'assureur gère n = 10 000 contrats identiques souscrits simultanément par des assurés de même âge. La charge des prestations sur un contrat est une variable aléatoire X qui prend (en moyenne à la date t = 1/2), les valeurs .. , lx+1 - c avec la probabIlIte 1 - - - ; lx ·l· , lx+l - et O avec la prob a b lIte -l-. x

La valeur actuelle de la charge des prestations sur un contrat est la variable aléatoire X' qui prend les valeurs - cv~ avec la probabilité 1 - ll:1 ; lx+l b ·l· , T. - et O avec 1a prob alIte

Son espérance mathématique est égale à 7r écart-type vaut

Cl

=

1

CV 2

E(ValAct (X)) et son

lx+l (1 _ lX+I) = 5 239 70 € lx lx '

La valeur actuelle de la charge totale des prestations pour l'ensemble des n = 10 000 contrats souscrits est une variable aléatoire d'espérance n7r = 2 801 140 € et d'écart-type VnCl = 523970 €. En approximant cette variable aléatoire par une loi normale, on trouve que la charge totale des prestations a 95% de chances de se situer dans l'intervalle

[2 801 140 - 1,96 x 523 970, 2 801 140 + 1,96 x 523 970]

210

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

c'est-à-dire dans l'intervalle [1 774 160, 3 828 120] L'incertitude sur la valeur actuelle de la charge des prestations est donc forte en proportion de la prime. Elle est du même ordre de grandeur que l'incertitude engendrée par un mauvais choix de la table. 1.3.3.

La rente viagère

Tous les engagements sur un seul assuré (sur une tête) peuvent s'analyser comme une juxtaposition des deux engagements précédents (en faisant l'approximation du décès en milieu d'année). On peut additionner leurs V AP, ce qui permet d'obtenir la V AP de l'engagement global. C'est le cas de la rente viagère. La rente viagère la plus simple est l'engagement de régler 1 euro chaque année si l'assuré est vivant.

VAP _-

VI

lx+1 lx

--

+ V 2 --+···+v lx+2 k --+ lx+k ... lx

lx

prime un euro chaque année tant que l'assuré survit

t= 0

=x

âge

x+1x+2

x+nx+n+1

Les points de suspension suggérant une suite infinie ne doivent pas faire craindre de difficultés de calcul : il existe une date à laquelle la rente cessera d'être versée ! Etudions maintenant les conséquences d'une erreur de tarification ainsi que la variabilité du résultat de l'assureur dans le cas d'une rente viagère immédiate, d'arrérage annuel versé à terme échu r = 10 000 €, souscrite par un assuré d'âge x = 65 ans. L'expression théorique de la prime pure est lx+1 2 lx+2 lx+k 7r=r ( v--+v --+···+v k --+ ... ) lx

lx

lx

En utilisant les trois tables TD 60-64, TD 88-90, TV 88-90, et les deux taux d'intérêt 3,5 % et 7 %, on obtient les résultats numériques suivants: 7r

TD 60-64

TD 88-90

TV 88-90

i = 3,5%

91329

107932

132524

i= 7 %

72094

82642

97581

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

211

Ici, on se trouve dans un cas hybride par rapport aux cas du capital différé et de la temporaire décès. L'erreur de taux et l'erreur de table ont toutes deux des conséquences lourdes pour l'assureur, et leur ordres de grandeur sont voisins, avec les hypothèses ci-dessus. On suppose maintenant que la bonne estimation de la valeur actuelle probable est obtenue avec la table TV 88-90 et i = 3,5 %, et que l'assureur gère n = 10 000 contrats identiques souscrits simultanément par des assurés de même âge. Pour les calculs de primes, nous avons considéré la prestation aléatoire X comme une somme de capitaux différés de montant r : - Xl: r versé à t = 1 si l'assuré est en vie; - X 2 : r versé à t = 2 si l'assuré est en vie;

- Xk

:

r versé à t = k si l'assuré est en vie

Nous avons ainsi considéré la variable aléatoire X comme une somme

et en avons déduit 1f

= E(X) = E(XI) + E(X 2 ) + ... + E(X k ) + ... lx+l 2 lx+2 lx+k .=r ( v --+v --+···+v k --+ lx

lx

lx

... )

Mais la méthode qui nous a donné la prime pure, espérance de X, ne peut nous donner la variance de X : la variance d'une somme n'est la somme des variances que dans des conditions restrictives qui ne sont pas remplies ici : si Xl prend la valeur 0, c'est que l'assuré est mort et Xk prend aussi la valeur O. U ne méthode applicable à tous les contrats consiste à considérer X comme une variable qui prend, selon l'année de décès de l'assuré, diverses valeurs (dont les probabilités sont connues) : 'l' , lx - lx+l - la valeur O avec 1a pro b a b l lte lx '1" lx+l - lx+2 - la valeur rv avec 1a prob abl lte lx

- la valeur rv

+ rv 2

avec la prob abl'1"lte lx+2 l- lX+3 x

... "11 1 2 k1 b b'l' , lx+k - lx+k+l - et en genera a va eur rv+rv + .. ·+rv a pro a l lte lx

On peut trouver pour la rente considérée une expression littérale, mais pour un contrat quelconque mieux vaut faire les calculs avec un tableur. Ici, on vérifiera que a 2 = 1 975 688 708 et a = 44 448,72. La valeur actuelle de la charge totale des prestations pour l'ensemble des n = 10 000 contrats souscrits est une variable aléatoire d'espérance

212

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

n7r = 1 325241 500 € et d'écart-type y'rîa = 4 444 872 €. En approximant cette variable aléatoire par une loi normale, on trouve que la charge totale des prestations a 95 % de chances de se situer dans l'intervalle [1 325 241 500 - 1,96 x 4 444 872, 1 325 241 500 + 1,96 x 4 444 872] c'est-à-dire dans l'intervalle [1 316 529 551, 1 333 953 449] L'incertitude sur la valeur actuelle de la charge des prestations est donc très faible, et en tout cas beaucoup plus faible que l'incertitude engendrée par une erreur de taux ou de table.

2.

La tarification Contrairement au dicton anglais,

«Rien n'est certain dans la vie, sauf la mort et les impôts)), nous avons considéré le décès comme aléatoire et les autres paramètres comme certains (et nous ne parlons pas des impôts). Dans cet ouvrage en effet, la modélisation de la variabilité des taux d'intérêt a été volontairement placée au second plan, pour donner la priorité à la modélisation des risques garantis directement par l'assureur. La théorie financière moderne fait en effet la part belle aux fluctuations des taux d'intérêt, et une littérature abondante sur ce sujet est disponible en français. Nous supposons donc en général que les taux ne varient pas dans le temps. Après avoir indiqué le principe du choix de ce taux, nous étudierons l'impact d'une baisse ou d'une hausse des taux sur le résultat de l'assureur (§ 2.1). Traditionnellement, les tables de mortalité utilisées en France découlent de statistiques relatives à l'ensemble de la population française, mais la première responsabilité confiée aux actuaires est la confection et la certification de tables d'expérience (§ 2.2), un exemple simple d'ajustement d'une courbe à des données figurant en annexe. Nous traiterons des diverses manières dont aujourd'hui sont pris en compte les frais (§ 2.3). Enfin, nous introduirons la présentation d'un contrat d'assurance-vie sous la forme d'un compte courant probable (§ 2.4).

2.1. 2.1.1.

Taux d'intérêt technique et risques financiers Le taux i

Le taux d'intérêt utilisé dans le calcul d'une prime et noté ici i est dit

technique. Il s'agit ici du taux avec lequel l'assureur escompte ses engagements. Ce taux s'identifie souvent, mais pas toujours, avec le taux communiqué

Cbapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

213

à l'assuré comme lui étant garanti; nous ne considérons pas ici cet aspect d'information de l'assuré. On trouvera en annexe 2 un exposé des divers taux qui découlent d'une opération d'assurance (taux d'intérêt technique, taux de rendement des placements de l'assureur, taux de rendement interne de l'opération pour l'assuré, taux de rendement interne de l'opération pour l'assureur). Le taux avec lequel l'assureur escompte ses engagements reflète une prévision des produits financiers futurs. Cette prévision doit être prudente. À titre d'exemple, en France, la réglementation fixe: - pour les contrats à prime unique et de durée limitée, un taux maximal fonction du taux de rendement de l'investissement réalisable à t = 0 avec la prime; - pour les contrats quelconques (auxquels peuvent correspondre des placements de primes effectués à des dates futures et lointaines), un taux maximal plus bas correspondant à un taux de rendement qui historiquement s'est révélé prudent. Actuellement, le premier taux est de 75 % du taux moyen des emprunts d'État, par référence aux placements possibles à la réception de la prime, avec une marge de prudence de 25 % ; le second taux est de 60 % du taux moyen des emprunts d'État (sans dépasser 3,5 %). Cette manière de prendre en compte la variabilité (la volatilité) des taux d'intérêt est cependant insuffisante. En effet, seul le risque de baisse des taux est envisagé. Or, la bausse des taux peut aussi avoir de lourdes conséquences sur le résultat de l'assureur, et même sur sa solvabilité, surtout si elle s'accompagne d'une modification du comportement des assurés (vague de rachats). 2.1.2.

Les deux risques de taux encourus par l'assureur

Nous illustrerons ces deux risques sur l'exemple sommaire suivant (un exemple plus réaliste est traité en annexe 8). On suppose pour simplifier que: - les contrats sont sans aléa viager: ce sont des bons de capitalisation; - les placements de l'assureur se font en obligations à coupon zéro: paiement des intérêts et amortissement du capital au terme de l'obligation.

À la date t = 0, l'assureur peut placer à jo = 8 %, mais choisit prudemment de garantir i = 6 %. Chacun des n contrats qu'il souscrit garantit, pour une prime 7r = 1 000 €, un capital c = 7r(1 + i)8 = 1 594 € à la date t = 8.

À la date t = 0, l'assureur place n7r pour 4 ans; il disposera donc, à la date t = 4 de n7r(l + jO)4.

214

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le risque de baisse des taux du marché Hypothèse 1 : Entre les dates t = 0 et t = 4, le taux de rendement des placements que peut faire l'assureur passe à j4 = 3 %.

À la date t = 8, il ne dispose donc que de

alors qu'il doit payer

nc = 1 594 x n Il réalise donc une perte égale à 63 x n, proportionnelle au nombre de contrats. Remarque Si, à la date t disposerait de

= 0, l'assureur avait placé n7r pour 8 ans à Jo, n7f(l

+ jO)8 = 1 851

àt

= 8, il

x n > ne

Le risque de hausse des taux du marché et le risque de rachat Hypothèse 2 : À la date t = 1, le taux de rendement des placements possibles passe à jl = 12 %.

Nous avons dit que chacun des n contrats garantissait un capital à c = 71"(1 + i)8 = 1 594 € à la date t = 8. Précisons que, de plus, chacun de ces contrats garantit une valeur de rachat Ct = 7r(1 + i)t pour t ::; 8. L'assureur a, certes, des actifs dont la valeur de remboursement à la date t = 4 est n7r(l + jO)4 = 1 360 x n Mais, à la date t = 1, le marché évalue ces actifs à leur valeur actualisée au taux JI = 12 %, soit

alors que les rachats garantis sont de nCl

= 7r(1 + i)1

n

= 1 060 x n

Il est clair que si les assurés usent massivement de leur droit au rachat, l'assureur va constater une perte égale à 92 x n, proportionnelle au nombre de contrats. Or, la hausse des taux d'intérêt constitue par elle-même un facteur incitant des assuré rationnels au rachat, puisqu'ils pourront replacer les sommes récupérées à un taux supérieur à celui qui leur est garanti. - Comment l'assureur peut-il se prémunir contre ces risques? Sur cet exemple, il apparaît que l'assureur aurait été avisé de choisir des obligations de même durée que celle des contrats pour se prémunir contre le risque de baisse des taux. D'une façon générale, l'égalisation

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

215

de la duration de l'actif et de la duration du passif immunise en principe contre le risque de taux. La notion de duration (cf. annexe 1 du chapitre 1), qui généralise celle, plus intuitive de durée ou de maturité, permet de considérer un ensemble de contrat de durées diverses (mais fixes), et l'égalité des durations de l'actif et du passif permet, du moins au premier ordre, une immunisation aux variations de j (en hausse comme en baisse). Mais le passif peut avoir une duration inconnue: c'est le cas dans notre exemple, où la faculté de rachat donnée à l'assuré ne permet pas de définir la duration du passif avec certitude et donc de s'immuniser contre le risque de hausse de j. L'utilisation des marché financiers optionnels est l'une des réponses possibles à ces délicates questions de gestion actif-passif.

2.2.

La table de mortalité

Traditionnellement, les tables de mortalité utilisées en France découlent de statistiques relatives à l'ensemble de la population française actualisées périodiquement: tables 1960-1964, 73-77, 88-90. Selon une mesure de prudence qui peut faire sourire, - dans les assurances en cas de décès est utilisée la table relative à la population masculine; - dans les assurances en cas de vie est utilisée la table relative à la population féminine. Mais il Y a deux facteurs de discordance entre la mortalité d'un ensemble d'assurés et la mortalité de l'ensemble de la population. Il s'agit: - de l'amélioration de la longévité depuis la date d'établissement la table; - de la meilleure longévité de la population assurée: sélection de l'assuré en décès, autosélection par l'assuré en vie.

Pour l'assurance en cas de décès, ces deux facteurs vont dans le sens de la sécurité, mais au-delà de ce qu'exige une prudence raisonnable. Ils conduisent donc à un tarif trop cher dans le cadre d'un marché concurrentiel : pour les contrats en cas de décès temporaires d'un an, il est d'usage en France de ne tenir compte que de l'expérience. Pour le risque vie, au contraire, les deux facteurs précités jouent contre l'assureur. Ceci explique qu'aient été introduites, en 1993, des tables prospectives, dans lesquelles sont estimés les progrès de longévité dont bénéficieront les assurés actuels et des tables d'expérience, qu'un assureur peut construire à partir de ses propres données. Pour les rentes toutefois, ces tables ne doivent pas conduire à des primes ou des provisions moindres que la table de référence. Les conséquences d'une erreur de table sur le résultat de l'assureur ont été examinées ci-dessus : elles dépendent beaucoup du contrat considéré. On trouvera en annexe 1 un exemple simple d'ajustement d'une courbe classique à des données d'expérience.

216

2.3.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Les deux manières d'intégrer les frais de gestion

Dans la prime payée par le souscripteur, appelée prime commerciale et notée 7r", l'assureur distingue une prime pure notée 7r et des chargements. Sur un grand nombre de contrats, l'assureur espère (en prenant le mot espérance dans son sens mathématique) : - avec l'ensemble des primes pures, équilibrer les prestations garanties; - avec l'ensemble des chargements, équilibrer ses frais de gestion (et réaliser un bénéfice). De même, le principe de tarification peut être énoncé en deux temps: - abstraction faite des frais de gestion et des ressources correspondantes, la V AP des primes pures est égale à la V AP des prestations de l'assureur ; - lorsque les frais de gestion sont compensés par des chargements de gestion augmentant les primes, la V AP des primes commerciales totales est égale à la somme de la V AP des engagements de prestations et de la V AP des frais de gestion. Dans l'ensemble des frais de gestion, il convient souvent de distinguer des frais d'acquisition exposés à t = 0, par exemple, et des frais de gestion annuels. Depuis le début de ce chapitre, nous faisons abstraction des frais et des chargements correspondants. Nous allons maintenant examiner dans un cas simple deux méthodes pour prendre en compte les frais: - celle que nous appellerons la méthode des assureurs traditionnels ; - et celle que nous appellerons méthode des banquiers. Ces deux méthodes ne sont différentes qu'en apparence. Nous prendrons l'exemple du bon de capitalisation pour ne pas compliquer le problème par les probabilités viagères. Les méthodes classiques de tarification (calcul des primes commerciales) sont détaillées en annexe 5. À la date de la souscription (date t = 0), le souscripteur verse une prime unique commerciale 7r", et l'assureur s'engage à verser c = 100 000 € à la date t = 8 (que l'assuré soit vivant ou non). Nous supposons que deux assureurs A et B vendent ce même bon de capitalisation et qu'ils ont les mêmes frais d'acquisition FA = 3 500 €, dépensés à t = 0 et les mêmes frais de gestion annuels 9k, dépensés à t = k en progression géométrique: 9k = 90 x 1,03 k pour k = 1,2, ... , 8 avec 90 = 383,20 €. A comme B estiment suffisamment prudent de tabler sur un taux d'intérêt technique de 3,5 %. Leurs engagements de prestations et de frais sont donnés dans le tableau suivant:

217

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Époques

Prestations

Frais

°1

0,00

- 3 500,00

0,00

- 394,7

2

0,00

- 406,5

3

0,00

- 418,7

4

0,00

- 431,3

5

0,00

- 444,2

6

0,00

- 457,6

7

0,00

- 471,3

8

0,00

- 485,4

8+

- 100000,00

0,00

Il est plus simple, pour faire la comparaison, de supposer les frais annuels croissants, plutôt que constants. Mais dans les calculs qui suivent, deux séries de dépenses sont bien entendu équivalentes si leur valeur actuelle est la même. - Première méthode de prise en compte des frais: l'assureur A compense tous les frais de gestion par des chargements majorant la prime (A travaille comme un assureur traditionnel). Il ajoute à la prime pure (calculée comme étant la V AP des engagements de l'assureur en matière de prestations), des chargements dont la V AP soit égale à la V AP des frais prévus. Il écrira 'TrI! = 'Tr + FA + FG où

C

'Tr

= (1 + i)8

=

75 941,20 €

FA = 3500 € FG =

L 8

k=l (1

9k

+ i)k

=

L 383, 20 xl,( 03 )k = 2 999 80 € 8

k=l

(1

+ i)k

'

et donc 'TrI!

= 82 440, 90 €

Avec le déroulement suivant du contrat (la présentation en compte courant rapportant des intérêts au taux i permet, soit de vérifier les calculs précédents: soit de s'en passer en utilisant la fonction solveur d'un tableur) :

218

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

t

Prime et prestations

0

82 440,90

1

0,00

2

Intérêts taux i

Frais

Solde

- 3 500,00

78 940,90

2 762,90

- 394,70

81 309,20

0,00

2 845,80

- 406,50

83 740,90

3

0,00

2 931,20

- 418,70

86 260,90

4

0,00

3 019,10

- 431,30

88 848,70

5

0,00

3 109,70

- 444,20

91 514,20

6

0,00

3 203,00

- 457,60

94 259,60

7

0,00

3 299,10

- 471,30

97087,40

8

0,00

3 398,10

- 485,40

100 000,00

8+

- 100000,00

0,00

0,00

0,00

- Deuxième méthode de prise en compte des frais: l'assureur B compense les frais de gestion annuels à la manière d'un banquier, par un prélèvement sur les produits financiers et non par un chargement majorant la prime. Le taux d'intérêt technique prudentiel est toujours i = 3,5 %. L'assureur B pose i = il + i 2, conserve i 2 = 0,5 % pour faire face aux frais de gestion annuels et garantit c = 1!'~ (1 + ir)8 à t = 8, avec il = 3 % seulement, et en posant 1!'~ = 1!''' - FA. Supposons pour simplifier que le montant et la date des frais coïncident exactement avec le prélèvement sur produits financiers. Sa trésorerie étant placée au taux :

l'assureur dispose, au bout d'un an, de

sur lesquels il prélève 1!'~ i 2 pour la gestion, et laisse placé le reste soit 1!'~

(1

+ il)' L'assureur dispose, au bout de 2 ans, de

sur lesquels il prélève soit 1!'~ (1 + il?'

1!'~ (1

+ il)

i 2 pour la gestion, et conserve le reste

219

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

L'assureur dispose, à t = k, de 7r~(1

+ il + i2)

sur lesquels il prélève 7r~(1 +id k soit 7r~ (1 + id k .

l

(1

+ il)k-l

i 2 pour la gestion, et conserve le reste,

L'assureur dispose à t = 8, de 7r~(1

+ il + i 2)

sur lesquels il prélève 7r~(1 + id 8 garantie, soit 7r~(1 + i l )8 = c. Numériquement:

t

Prime et prestations

l

(1

+ i l )8-1

i 2 pour la gestion, et peut régler la

Intérêts au taux i

Frais

Solde

- 3 500,00

78940,90

°

82 440,90

1

0,00

2 762,90

- 394,70

81 309,20

2

0,00

2 845,80

- 406,50

83 740,90

3

0,00

2 931,20

- 418,70

86260,90

4

0,00

3019,10

- 431,30

88 848,70

5

0,00

3 109,70

- 444,20

91 514,20

6

0,00

3 203,00

- 457,60

94 259,60

7

0,00

3 299,10

- 471,30

97087,40

8

0,00

3 398,10

- 485,40

100000,00

8+

- 100000,00

0,00

0,00

0,00

On voit que le tableau est identique au précédent. Dans le premier, on avait 8

7r" = 7r (i)

+ F A + FG =

(

c .)8 1+~

+ F A + "" ( 9k.) k L.- 1+~ k=l

= 75 941,20 + 3 500 + 2 999,70 = 82 440,90 dans le second 7r"

= 7r( id + FA = (

c. )8

1 + ~l

+ FA

= 78 940,90 + 3 500 = 82 440,90

€

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

220

2.4.

Le contrat d'assurance vie comme compte courant probable

Les tableaux précédents présentaient comme un compte courant le cas particulier du bon de capitalisation: si l'assureur a émis no bons à t = 0, ce nombre no reste constant sauf rachat par le souscripteur jusqu'à la date terminale des contrats t f . On peut présenter tout contrat d'assurance vie quelconque comme un simple compte courant probable pour l'assureur. Cette présentation, qui peut paraître inhabituelle, permet de traiter sans difficulté et de manière homogène les calculs de primes des contrats les plus complexes. Si l'assureur a souscrit no contrats reposant chacun sur la tête d'un assuré d'âge x à la date t = 0, il Y a un nombre probable d'assurés vivants lx+I a'1a d ate t = 1, et, pour tout k , de nk = no x lx+k de nI = no x -l- a, x lx t = k, jusqu'à la date terminale des contrats t = tf. On trouvera en annexe 3 d'autres exemples.

3.

Les provisions mathématiques et le résultat annuel observé

L'assurance vie étant une branche dans laquelle les principaux contrats sont de longue durée, il faut attendre longtemps avant de connaître le résultat définitif d'une souscription. Mais les entreprises doivent établir des comptes annuellement ou même plus fréquemment, et il est donc important de pouvoir estimer le résultat final attendu de contrats qui ne sont pas encore parvenus à leur terme. Il s'agit d'ailleurs là non seulement d'une exigence comptable mais aussi d'une nécessité de gestion: l'assureur doit en effet être capable de détecter le plus rapidement possible les dérives tarifaires, de manière à y remédier au plus tôt. Les provisions mathématiques sont un outil indispensable pour établir des comptes annuels réalistes, comme nous allons le constater sur les exemples qui suivent ; nous examinerons le calcul de ces provisions, d'abord sans tenir compte des frais, puis en en tenant compte (§ 3.1). D'un autre point de vue, la provision mathématique d'un contrat est une dette de l'assureur envers l'assuré, et il paraît équitable que l'assuré y ait droit dans certaines circonstances (§ 3.2). Le résultat comptable de l'année tient compte de la charge de provision mathématique. Sous les hypothèses du tarif, ce résultat est nul. Compte tenu des produits financiers, des décès et des frais réellement constatés dans l'année, il n'en va pas de même, et il convient de se demander si les hypothèses du tarif sont toujours valables (§ 3.3).

3.1. 3.1.1.

Les provisions mathématiques Exemples

Exemple 1 Bon de capitalisation à prime unique.

221

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

On considère un contrat de capitalisation dans lequel l'assureur s'engage à payer un capital c = 100 000 € dans n = 8 ans. Le taux d'intérêt technique utilisé est de i = 3,5 %. La prime unique pure est donnée par

'Tf

= (1: i)n = 75 941,20 €

Il est clair que si l'assureur considérait que la prime est un bénéfice du fait qu'aucune prestation n'est payée la première année, il se retrouverait en perte lors de la huitième année puisqu'il devrait alors payer le capital c sans percevoir de prime. Il doit donc constituer une provision.

Exemple 2 Bon de capitalisation à prime annuelle constante. On peut imaginer que le contrat précédent prévoie que les primes soient payées annuellement. La prime annuelle pure constante payable d'avance est alors donnée par 'Tf

=..

(1

C

. = 10 674, 10 €

+ ~)n + (1 + ~)n-l + ... + (1 +~)

Si l'on se place au bout de 5 ans par exemple, on constate que l'assureur doit payer le capital c = 100 000 € dans trois ans et qu'il ne va plus recevoir que trois primes de 10 674,10 €, ce qui est insuffisant s'il n'a pas constitué de provision.

Exemple 3 Capital différé à prime unique. Dans l'exemple 2, on peut supposer que le capital c ne sera payé au terme que si l'assuré, supposé par exemple âgé de x = 40 ans, est en vie à cette date. On a alors un capital différé dont la prime est donnée par 'Tf

= c(l + i)-n lx+n = 100 000(1,035)-8 l48 = 74 916,50 € lx

l40

avec la table TV 88-90. La remarque faite dans l'exemple 2 s'applique encore tant que l'assuré est en vie. En cas de décès de l'assuré, l'assureur ne doit plus rien, et donc on peut être tenté de considérer la prime qui a été perçue comme un bénéfice pour l'assureur. Ce serait oublier le caractère statistique et collectif de la tarification en assurance vie: la prime payée pour ce contrat va servir à payer le capital des survivants. Ceci justifie d'ailleurs l'écart entre 75 941,20 € et 74 916,50 €.

222

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Exemple 4 Temporaire décès à prime annuelle constante. Considérons maintenant, pour illustrer l'effet du nivellement des primes, le cas d'une temporaire décès de c = 100 000 € et de durée n = 8 ans sur la tête d'une personne âgée de x = 40 ans. On suppose que des primes constantes sont payables annuellement et on utilise la table TD 88-90. La prime annuelle pure est égale à: 7r

= 376,80 €

Si l'assuré souscrivait des contrats successifs d'un an de durée, il payerait des primes PO,Pl, ... , P7 :

Année

Coût du risque

Prime constante

Facteur d'escompte viager

1

PO

= 280,10

376,80

1

2

Pl

= 305,90

376,80

0,963430

3

Po

= 327,70

376,80

0,927954

4

Po

= 369,60

376,80

0,893585

5

Po

= 401,50

376,80

0,860 120

6

Po

= 428,50

376,80

0,827639

7

PO

= 457,90

376,80

0,796 165

8

P7

= 492,00

376,80

0,765 658

La valeur actuelle probable de ces deux séquences de primes est la même: 2 650,50 € ; mais on peut remarquer qu'à partir de la cinquième année, l'assureur va percevoir une prime inférieure à la prime correspondant au véritable coût du risque. Pour équilibrer ses comptes, il est nécessaire qu'il ait au préalable constitué une provision. Dans les quatre exemples précédents, nous avons donc montré que la constitution d'une provision est indispensable pour permettre à l'assureur de payer le capital. Cette provision n'est toutefois pas la valeur de la dette comme dans une comptabilité classique, mais sa valeur actuelle probable.

3.1.2.

Définition et calcul

Le principe de tarification utilisé en assurance vie a été indiqué dans la section précédente. Il implique que l'on ait à la souscription du contrat (époque 0) égalité entre les valeurs actuelles probables des engagements

223

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

(de prestations et de frais) respectivement pris par l'assureur A et des engagements (de primes) pris par l'assuré a :

V AP"(O, A) = V AP"(O, a)

À une époque ultérieure t de la vie du contrat, cette égalité n'est généralement plus respectée. On définit alors la provision mathématique (PM) du contrat à la date t comme la différence entre les valeurs actuelles probables des engagements respectivement pris par l'assureur et l'assuré t

V" = V Apl1 (t, A) - V AP"(t, a)

En France, comme dans d'autres pays d'Europe continentale, le calcul de la provision mathématique et le calcul de la prime d'un contrat sont donc des calculs analogues effectués à des moments différents. L'équation précédente peut se lire

V AP"(t, A) = V AP"(t, a)

+t V"

°:

et s'interpréter ainsi pour un contrat qui a été souscrit à l'époque à l'époque t, si l'on voulait initier un contrat comportant pour le futur les mêmes engagements (résiduels) de l'assureur, il faudrait que l'assuré, outre les primes futures (résiduelles) du contrat précédent, paye une prime immédiate t V"; or, à l'époque t, l'assuré n'a pas à payer t V" ; il faut donc que l'assureur dispose de fonds égaux à t V" parce qu'il les a mis de côté, dirions-nous familièrement, provisionnés, dirons-nous actuariellement et corn ptablement.

3.1.3.

Précisions et remarques

Notations Nous noterons selon l'usage - t V la provision mathématique pure, abstraction faite des frais de gestion et des ressources correspondantes ; - t V" la provision mathématique qui tient compte au contraire des frais de gestion et des ressources correspondantes. Avant ou après la date t ? Il faut préciser que si une prime est payable à la date t, on convient d'évaluer la provision mathématique immédiatement avant le paiement de cette prime. Doit-on dire provision ou réserve ? On dit parfois, en français, réserve mathématique à la place de provision mathématique, et, en anglais, mathematical reserve à la place de mathematical provision. Du point de vue de l'orthodoxie comptable, le terme de provision est nettement préférable (et c'est celui qui est repris par la réglementation

Assurance : comptabilité, réglementation, actuariat

224

et les directives européennes, y compris en langue anglaise). En effet, les réserves sont des éléments de situation nette de l'entreprise (cf. chapitre 2), alors que les provisions désignent un élément de passif réel, ce qui correspond à la réalité des provisions mathématiques. Provision d'un contrat ou provisions des contrats ? Quand on parle de provision d'un contrat à la date t, on sous-entend que le contrat doit être en cours à la date t. Par exemple, dans le cas d'un contrat de capital différé à prime unique (exemple 3 ci-dessus), la prime est égale à 7r = cv n lxl:n, et nous avons l lx+n x+t - En fait, il vaudrait mieux écrire

dit que t V

= cv n - t

tV

lx+n . = cv n-t -l - SI. l" assure est en VIe x+t

tV = 0 sinon Sauf en cas de contrat sans aléa viager, c'est la PM de l'ensemble des assurés qui a le plus grand sens comptable et technique. La PM n'a en effet de sens qu'en valeur probable, c'est-à-dire au sens de la loi des grands nombres. Ici, l'assureur souscrit na contrats à l'époque 0, et encaisse

À la date t, la provision sera égale à t

V = cv n-t lx+n lXH

pour chacun des na

l~:t

contrats probablement en cours à cette date, soit

au total

PM --nacv n-t lx+n

T

On voit bien que cela correspond à la fois à l'engagement global de lx n , encore en VIe . a'1a d a t e n, , aux na payer c d ans n - t annees -+ assures lx et à la capitalisation pendant t années des sommes globales encaissées à la date o. La provision mathématique pure peut-elle être négative ? Si la valeur actuelle probable des engagements de l'assureur était inférieure à celle des engagements de l'assuré à une date t, l'assuré aurait théoriquement intérêt à abandonner le paiement des primes (r assureur

225

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

n'ayant pas d'action pour l'exiger en vertu de l'art. L 132-20 du code des assurances), et à souscrire un nouveau contrat couvrant, pour moins cher, les garanties résiduelles. Une provision mathématique négative correspondrait donc à une créance nette sur l'assuré, qui serait en principe irrécouvrable.

La provision actuarielle précédente est-elle toujours la provision comptabilisée ? La provision actuarielle définie par t V" = V AP(t, A) - V AP(t, a) peut différer de la provision mathématique comptable qui - d'une part, cherche à distinguer la partie de la provision nécessaire à la gestion future ; - d'autre part, ne saurait être négative:

P Mcomptable = sup(t V", 0, valeur de rachat) La prise en compte des frais La souscription d'un contrat d'assurance vie fait naître, chez l'assureur comme chez l'assuré, des engagements qui ne se limitent pas aux engagements purs. L'assuré doit payer la prime commerciale, et l'assureur s'engage à gérer le contrat et à encaisser les primes. En outre, la commercialisation du contrat induit des frais d'acquisition. La provision mathématique t V" s'obtient en additionnant les trois termes suivants :

V AP(t, prestations postérieures à t) - V AP(t, primes pures post. à t)

+ V AP(t, + V AP(t,

frais d'acq. post. à t) - V AP(t, chargts d'acq. post. à t) frais de gest. post. à t) - V AP(t, chargts de gest. post. à t)

La provision peut-elle être négative ? Dans un contrat à prime unique, évidemment non ! Dans un contrat à prime périodique, si t Vif < 0 bien que t V > 0, c'est à cause de la 2e ligne, et l'assuré n'a pas des raisons aussi claires de quitter l'assureur que si t V < 0 : un autre assureur lui facturerait des chargements d'acquisition. Exemple 5 Bon de capitalisation à prime unique (suite de l'exemple 1). Au bout d'un an, la provision mathématique est égale à : 1V

1V = C(l

= V AP(Assureur) -

+ i)-7 -

0

V AP(Assuré)

= 78 599,10 - 0 = 78 599,10

La provision est aussi égale à la prime unique pure capitalisée pendant un an.

7r

€

= 75 941, 20 €

226

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Exemple 6 Bon de capitalisation iL prime annuelle constante (suite de l'exemple 2).

Au bout d'un an, la provision mathématique est égale à 1V

=

V AP(Assureur) - V AP(Assuré)

1V = c(l

+ i)-7 -

71"((1

+ i)O + ... + (1 + i)-6)

= 78 599,10 - 10 674,10

x 6,328 55

= Il 047,70

€

La provision est aussi égale à la première prime annuelle pure 71" 10 674, 10 € capitalisée pendant un an. Exemple 7 Capital différé iL prime unique (suite de l'exemple 3).

Au bout d'un an, la provision mathématique est égale à • 1V

l

= V AP(A) - V AP(a) = c(l + i)-7 ~ - 0 = 77 634,90

€

l41

si l'assuré est vivant; • 0 si l'assuré est décédé, puisque l'engagement de l'assureur est nul. Exemple 8 Temporaire décès iL prime annuelle constante (suite de l'exemple 4).

Au bout d'un an, la provision mathématique est égale à • 1V

= V AP(A) - V AP(a) = 2 460,40 - 2 360,10 = 100,30

€

si l'assuré est vivant; • à 0 si l'assuré est décédé, l'engagement de l'assureur étant nul, puisqu'il a par hypothèse déjà payé la prestation.

3.1.4.

La variation dans le temps de la provision d'un contrat : quelques exemples

°

- À la souscription, V = o. - t V s'accroît à chaque perception de prime (du montant de la prime). - Bon de capitalisation: t V s'accroît exponentiellement entre les paiements de primes. - Capital différé: t V s'accroît plus vite que dans le cas précédent sauf si elle s'annule parce que l'assuré décède. - Temporaire décès iL prime unique: t V diminue généralement jusqu'à la fin de la garantie de manière continue, sauf si elle s'annule parce que l'assuré décède. - Temporaire décès iL primes annuelles constantes: t V diminue régulièrement entre deux paiements de primes, sauf si elle s'annule parce que l'assuré décède.

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

3.2.

227

Le rachat du contrat par rassuré avant terme

Il parait équitable que l'assuré ait droit à sa provision mathématique si le contrat est modifié ou s'arrête. On distingue quatre circonstances dans lesquelles l'assuré peut exercer un droit sur la provision mathématique de son contrat, avant son terme normal. Le rachat Il met fin au contrat; l'assuré perçoit, sauf cas particulier, un montant basé sur la provision mathématique (avec abattement éventuellement). Les cas particuliers sont ceux où le risque d'antisélection rend le rachat impossible. Par exemple, le rachat d'une rente viagère en cours de service n'est en principe pas possible, sinon tous les rentiers gravement malades demanderaient le rachat. La transformation Comme son nom l'indique, il s'agit de changer la nature du contrat. Le principe actuariel s'écrit alors: PM + V AP (nouveaux engagements de l'assuré) = V AP (nouveaux engagements de l'assureur). La réduction Il s'agit d'un cas particulier de transformation où l'assuré n'a plus d'engagements. Il cesse de payer des primes. En contrepartie, les engagements résiduels de l'assureur se trouvent réduits. Actuariellement, on a donc: PAf = V AP (nouveaux engagements de l'assureur). L'avance Une partie de la provision mathématique représente l'épargne acquise par l'assuré: il peut dans certains cas en demander le rachat. Il est donc possible que cette provision mathématique constitue la garantie d'une avance, prêt consenti à l'assuré par l'assureur. L'avance ne met donc pas fin au contrat. Si l'assuré ne remboursait pas sa dette, l'assureur imputerait les sommes impayées sur le montant de ses engagements ou de ses prestations. Les deux aspects contradictoires ou complémentaires de la réglementation La réglementation tente de concilier deux objectifs qui peuvent parfois apparaître divergents : - premier objectif: la solvabilité de l'assureur (l'intérêt essentiel de l'assuré est que l'assureur ne devienne pas insolvable, même si cette insolvabilité provient non d'une malhonnêteté mais d'une erreur technique consistant à faire des promesses trop généreuses) ; - second objectif: la défense du consommateur qu'est l'assuré (le contrat d'assurance met face à face un professionnel averti et un souscripteur qui l'est moins et mérite protection).

228

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

C'est ainsi que notamment: - Au titre du premier objectif, la réglementation limite prudentiellement le taux d'intérêt que l'assureur peut garantir à l'assuré (actuellement, cette limite est de 60 ou 75 % du TME selon les contrats), et à l'inverse, au titre du second objectif, la règlementation demande que l'assureur distribue globablement aux assurés 85 % des bénéfices financiers qu'il réalise. - Au titre du second objectif, la réglementation limite les pénalités que l'assureur peut faire subir à l'assuré en cas de rachat anticipé du contrat (actuellement, cette limite est de 5 % de la provision mathématique pendant 10 ans, 0 % au-delà de 10 ans), mais à l'inverse au titre du premier objectif, elle interdit à l'assureur d'accorder des valeurs de rachat dans certains contrats tels que les rentes en service (sinon les assurés, sentant leur décès proche, rachèteraient leur rente, et seuls continueraient de percevoir leur rente des assurés en meilleure santé que prévu).

3.3.

Résultat espéré et résultat réel

Le résultat comptable du premier exercice d'un ensemble de contrats identiques s'obtient compte tenu - des faits constatés pendant l'exercice (primes moins frais et prestations, plus produits financiers générés par les primes nettes de frais et prestations) ; - de la charge de provision mathématique de première année. Le résultat comptable du second exercice et de tout exercice ultérieur s'obtient compte tenu - des faits constatés pendant l'exercice; - de la variation de provision mathématique entre le début et la fin de l'exercice (cf. chapitre 2). 3.3.1.

Le résultat comptable, sous les hypothèses du tarif

Pour na assurés, nous avons vu que, sous les hypothèses du tarif, c'està-dire si - le taux de rendement annuel des placements j est égal au taux technique i ; - les nombres annuels de décès sont égaux au nombres probables de décès découlant de la table lx utilisée ; - les frais de gestion se révèlent égaux à ceux prévus, alors le résultat final (pour l'ensemble de la durée du contrat) est nul. Il en va de même du résultat de la première année par suite de notre définition de la provision mathématique. Vérifions-le sur les exemples précédents en supposant que na = 10 000 contrats aient été souscrits à l'origine.

229

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Exemple 9 Bon de capitalisation à prime unique (suite de l'exemple 1) . • Pour toute la durée du contrat, sous les hypothèses du tarif, - le résultat probable s'écrit

- la valeur actuelle de cette valeur probable s'écrit ValAct (E(R8))

= V AP ( R8 ) =

naC

(1

na 1r -

+ i)8 = 0

(ces deux valeurs sont nulles du fait du calcul de 1r, et on pourra vérifier que na X 75 941,20 X (1 + i)8 - na X 100 000 = 0) . • Au bout d'un an, sous les hypothèses du tarif, - le résultat probable est tel que

- la valeur actuelle de ce résultat probable est ValAct (E(Rd)

= V AP ( RI) =

na

na 1r

-

(1

IV

+ i) = 0

(ces deux valeurs sont nulles du fait du calcul de 1r et de IV, et on pourra vérifier que na X 75 941,20 X (1 + i) - na X 78 599,10 = 0). Le résultat comptable s'écrit en distinguant les produits financiers (du compte technique), générés ici par le fait que l'assureur place na1r pendant un an: COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+ )

na 1r

759,412

Prestations réglées

(-)

0

0

Charge des provisions

(-)

na IV

785,991

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

0

0

Produits des placements

(+)

na 1r i

26,579

Résultat technique

(=)

r

0

230

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

La dotation à la provision mathématique compense exactement les primes et les produits financiers si ceux-ci correspondent au taux d'intérêt technique du tarif. Dans cette hypothèse, le résultat comptable est nul (abstraction faite des frais de gestion et des ressources correspondantes). Exemple 10 Bon de capitalisation à prime annuelle constante (suite de l'exemple 2). L'actuaire écrit qu'au bout d'un an, sous les hypothèses du tarif, - le résultat probable est tel que

- la valeur actuelle en est

(ces deux valeurs sont nulles du fait du calcul de 7r et de IV, et on pourra vérifier que na10 674,10 x (1 + i) - na x Il 047,70 = 0). Le comptable écrit, en distinguant les produits financiers, générés ici par le fait que l'assureur place 7r pendant un an : COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+)

na 1r

106,741

Prestations réglées

(-)

0

0

Charge des provisions

(-)

na IV

110,477

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

0

0

Produits des placements

(+)

na 1r i

Résultat technique

(=)

r

3,736 0

Ici encore, la dotation à la provision mathématique compense exactement les primes et les produits financiers pour ramener le résultat comptable à zéro. Exemple Il Capital différé à prime unique (suite de l'exemple 3). L'actuaire écrit qu'au bout d'un an, sous les hypothèses du tarif, le nombre probable de survivants est nv

= na

lx+1 z;: = 9 987,59

231

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

et celui des décédés - la valeur acquise du résultat est telle que

E(Rd = n a7r(l + i) - nv 1 V = 0 - la valeur actuelle du résultat est ValAct (E(Rdl = VAP(Rd = na" -

~v ~ ~ = a

(ces deux valeurs sont nulles du fait du calcul de 7r et de IV, et on pourra vérifier que na X 74 916,50 X (1 + i) - nv X 77 634,90 = 0). Le comptable écrit, en distinguant les produits financiers, générés ici par le fait que l'assureur place 7r pendant un an : COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+ )

na7r

749 165

Prestations réglées

(-)

a

a

Charge des provisions

(-)

nv IV

775 386

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

a

a

Produits des placements

( +)

na7ri

26221

Résultat technique

(=)

r-

a

Le résultat est nul si le nombre de décès constaté est égale à l'espérance mathématique du nombre de décès, et si les produits financiers sont ceux du tarif. Exemple 12 Temporaire décès à prime annuelle constante (suite de l'exemple 4) .

• L'actuaire écrit qu'au bout d'un an, sous les hypothèses du tarif, le nombre probable de survivants est nv

=

na

lx+1 T

= 9 971,50

et celui des décédés - la valeur acquise du résultat est telle que

232

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- la valeur actuelle du résultat est ValAct (E(R I ))

nd c

nv IV

= V AP(R I ) = na'Ir - (1 + i)1/2 - (1 + i) = 0

(ces deux valeurs sont nulles du fait du calcul de 'Ir et de IV, et on pourra vérifier que na x376, 80x (l+i)-nd x 100000 x (1+i)I/2_nv x 100, 30 = 0). Le comptable écrit, en distinguant les produits financiers, générés ici par le fait que l'assureur place 'Ir pendant un an, mais paye des prestations en milieu d'année: COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+)

na X 7r

3768

Prestations réglées

(-)

nd x c

2850

Charge des provisions

(-)

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

a

Produits des placements

(+ )

(na X 7r(1 + i)O,5 - nd X c) (1 + i)O,5 - na x 7r + nd X c

82

r

a

Résultat technique

nv

(=)

Xl

V

1000

Là encore, le résultat comptable est nul si les hypothèses qui soustendent le tarif se réalisent.

3.3.2.

Le résultat comptable réel

Pour na assurés, le comptable va en réalité constater en fin d'année - un taux de rendement des placements i' différent du taux technique i ;

- un nombre de décès n~· et donc de vivants n~ = na - n~ différent du nombre de décès probable découlant de la table lx utilisée ; - (et des frais de gestion différents de ceux prévus), et donc un résultat de l'année qui ne sera pas nul. Il ne va pas pour autant changer, dans le calcul des prOVISIOns, les hypothèses faites lors de l'élaboration du tarif: tout comme dans la théorie de tests, les hypothèses faites sont conservées jusqu'à ce qu'elles se révèlent difficiles à retenir. Il en va de même du résultat de la première année par suite de notre définition de la provision mathématique. Reprenons les résultats précédents en supposant - que i' = i + 1 % ; - que le nombre de décès est la moitié du nombre qui découle de la table.

233

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Exemple 13 Bon de capitalisation à prime unique (suite de l'exemple 1).

COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

( +)

na 1r

759,412

Prestations réglées

(-)

0

0

Charge des provisions

(-)

na IV

785,991

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

0

0

Produits des placements

( +)

na 1r'l·1

34,174

Résultat technique

(=)

r'

7,594

On vérifie que le résultat r' est un bénéfice découlant du surcroît de produits financiers, donc égal à i' - i = 1 % des primes. Exemple 14 Bon de capitalisation à prime annuelle constante (suite de l'exemple 2).

COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+ )

na 1r

106,741

Prestations réglées

(-)

0

0

Charge des provisions

(-)

na IV

110,477

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

0

0

Produits des placements

(+)

na 1r'l·1

4,803

Résultat technique

(=)

r'

1,067

Même remarque que précédemment. Exemple 15

Capital différé à prime unique (suite de l'exemple 3).

234

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+)

Prestations réglées

(-)

Charge des provisions

(-)

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

Produits des placements

(+)

na7rZ

Résultat technique

(=)

r'

na7r

°

749,165

°

n~ IV

775,867

°-,

33,712

°

7,010

Ici aussi le résultat est amélioré par le surcroît de produits financiers, égal à 1 % des primes, soit 7,492. Mais il est légèrement détérioré par l'augmentation du nombre de survivants de nv = 9987,6 à n~ = 9993,8 qui conduit à une charge supplémentaire de 6,20 x IV = 0,482. On constate donc une amélioration r' - r = 7,492 - 0,482 = 7,010. Exemple 16 Temporaire décès à prime annuelle constante (suite de l'exemple 4).

COMPTE TECHNIQUE (M€) Primes

(+)

na X 7r

3,768

Prestations réglées

(-)

n~ xc

1,425

Charge des provisions

(-)

n~ Xl V

1,002

Frais d'acquisition et d'administration

(-)

Produits des placements

(+)

+ i,)O,5 - n~ X c) (1 + i,)O,5 - na X 7r + n~ X c

0,138

Résultat technique

(=)

(na X 7r(1

r

,

1,479

On peut considérer que l'amélioration r' - r = 1, 479 comporte les trois composantes usuelles que sont - l'impact du surcroit de rendement financier i' - i, égal (à nombre de décès constants) à _1_ des produits précédents soit 0,024 ; 3,5 - l'impact de la diminution du nombre de décédés, égal (à taux d'intérêt constant) à une diminution de 1,425 des prestations (liée aux 14,25 décès

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

235

de moins) et à un alourdissement de 0,001 des provisions (liée aux 14,25 survivants de plus) ; - l'effet croisé de la variation du taux et de la variation du nombre de décès, égal à la variation inexpliquée du résultat 1,479 - 0,024 - 1,425 + 0,001 = 0,032. 3.3.3.

Le résultat comptable réel conduit-il à remettre en cause les hypothèses du tarif?

En assurance vie, du fait de la longue durée des contrats, la question précédente se dédouble en une question sur les nouveaux contrats et une question sur les contrats déjà souscrits . • Pour les contrats futurs, le fait de se demander si le résultat observé conduit à remettre en cause les tarifs: - est analogue en vie et en non-vie pour ce qui concerne les aléas propres à l'assurance, c'est-à-dire la mortalité (on trouvera, dans l'annexe sur l'établissement d'une table, un test conduisant à décider que la mortalité observée n'est pas compatible avec la table TPRV, mais l'est avec la table modifiée TPRV(z + 3)) ; - est analogue en vie et en non-vie pour ce qui concerne les frais futurs; - se pose d'une manière très spécifique en vie puisqu'il convient de prévoir les produits financiers futurs (en se référant ou non aux résultats passés) . • Pour les contrats déjà souscrits, le résultat observé peut conduire à remettre en cause les hypothèses du tarif pour le calcul des provisions mathématiques de contrats existants. Nous ne l'avons pas fait dans ce qui précède, mais la réglementation: - permet, sans l'exiger, d'utiliser une nouvelle table de mortalité d'expérience (du moins si elle peut être justifiée) ; mais nous avons vu que l'impact du choix de la table est mineur devant l'impact du choix de taux, sinon sur chaque contrat, du moins sur l'ensemble des contrats d'un assureur; - conduit à recalculer annuellement la provision de gestion; - ne remet pas en cause le taux d'intérêt sauf lorsque le rendement constaté est inférieur à 125 % du taux technique du tarif (non sur chaque contrat, mais sur l'ensemble des contrats).

Annexes Annexe 1.

L'ajustement d'une table de mortalité

On a considéré, au chapitre 6, § 1, la table de mortalité comme connue. !viais ces tables résultent du traitement statistique de données d'expérience. L'exemple suivant, qui sera traité comme un exercice, montre comment il est possible de procéder en première approximation (celle que permet un tableur usuel et ses fonctions usuelles).

236

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

On considère les données d'expérience suivantes. Âge Z

Nombre d'individus observé no(z)

Nombre de sinistres ns(z)

70

675,9

8

71

599,9

6

72

501,0

2

73

410,7

10

74

382,7

5

75

421,3

8

76

441,9

9

77

494,2

6

78

532,2

24

79

505,8

24

80

488,8

21

81

463,3

20

82

422,1

23

83

392,5

21

84

363,5

25

7095,8

212

Tous âges

1. a) Pour chaque âge z, donner l'estimation classique, notée q(z), de la fréquence probable de décès inconnue q(z). _1. b) Quelles critiques soulèverait la tarification obtenue en choisissant

q(z) ? 1. c) Pour chaque âge z, construire un intervalle qui a 95 % de chances de contenir la vraie valeur inconnue q( z). 2. a) Afin de pallier les critiques précédentes, procéder à l'ajustem~ q(z) = f(z) le plus raisonnablement simple possible, en ajustant les q(z) précédents - soit par qajl(Z) = b+c x Z; - soit par qaj2(Z) = b x CZ • 2. b) Vérifier (graphiquement, puis par un test du X2 ) que le second ajustement est de meilleure qualité. 2. c) Effectuer un ajustement avec la table TPRV qaj3 () Z

où <5 est un décalage d'âge.

=

lz+8 - lz+8+1 l z+8

Chapitre 6

~

237

Le modèle de l'assurance vie

2. d) Comparer les avantages de ce troisième ajustement, assimilable à une loi dite de Gompertz, et un ajustement assimilable à une loi dite de Makeham Solution Remarque préliminaire sur les données tronquées ou censurées Le nombre no(z) d'individus d'âge z observés n'est pas entier car tous n'ont pas été observés une année entière: il s'agit d'individus-années, une personne observée une demi-année comptant ainsi pour 0,5. 1. a) Estimation classique de la (vraie) valeur inconnue q(z) - Pour chaque âge z, le nombre aléatoire de sinistres Ns(z) suit une loi binomiale, approximativement normale, d'espérance no(z) q(z) et d'écarttype Jno(z) q(z) (1 - q(z)). s

- Pour chaque âge z, la fréquence (aléatoire) de sinistres N (( z)) suit

no z

une loi approximativement normale, d'espérance q(z) et d'écart-type

q(z) (l-q(z)) no(z) Une fréquence probable telle que q(z) est usuellement estimée par la b ' -() ns(z) ' frequence 0 servee q z = -(-)'

no z

L'application numérique figure dans le tableau de la page suivante. b) La tarification obtenue en choisissant q(z) n'est pas satisfaisante Nous ne pensons pas raisonnable de refléter dans le tarif une observation telle que q(7O) > q(7i) : nous sommes en effet convaincus que q( z) est une fonction croissante de l'âge et qu'une observation contraire à cette conviction telle que q(7O) >-q(7i) découle du caractère aléatoire des décès (voire d'une erreur dans les données). c) Pour chaque âge z, l'intervalle qui a 95 % de chances de contenir la vraie valeur q( z) est approximativement

q(z) ± 2

-

-

q(z) (l-q(z)) no(z)

En effet, pour chaque âge z : - Le nombre aléatoire de sinistres Ns(z) suit une loi binomiale, approximativement normale, d'espérance no(z) q(z) et d'écart-type

Jno(z) q(z) (1 - q(z»

238

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

' d ' . t res -(-) Ns(z) SUl't une 101. approxImatIvement .. L a f requence e SIlllS nor-

no z

male, d'espérance q(z) et d'écart-type

q(z) (1 - q(z)) no(z)

La relation P(IUI < 1,96) = 0,95 entraîne qu'il y a environ 95 % de chances que q(z) - appartienne à l'intervalle

q(z) ± 2

q(z) (1 - q(z)) no(z)

- lequel peut être approché par

---

q(z) ± 2

Âge Z

Assurés

Sinistres

no(z)

ns(z)

-

-

q(z) (1 - q(z)) no(z)

q(z) ns(z) no(z)

qinf(Z)

qsup(z)

70

675,9

8

0,0118

0,0035

0,0202

71

599,9

0,0181

501,0

0,0100 0,0040

0,0019

72

6 2

- 0,0016

0,0096

73

410,7

10

0,0243

0,0091

0,0396

74

382,7

5

0,0015

0,0247

75

421,3

8

0,0131 0,0190

0,0057

0,0323

76

441,9

9

0,0204

0,0069

0,0338

77

494,2

6

0,0121

0,0023

0,0220

78

532,2

24

0,0451

0,0271

79

24

0,0474

0,0285

80

505,8 488,8

0,0631 0,0664

21

0,0430

0,0246

0,0613

81

463,3

20

0,0432

0,0243

0,0621

82

422,1

23

0,0545

0,0324

0,0766

83

392,5

21

0,0535

0,0308

0,0762

84

363,5

25

0,0688

0,0422

0,0953

7095,8

212

0,0299

Tous

Remarque L'intervalle ci-dessus découle de l'approximation de la loi de q(z) par une loi normale. Il conviendrait de le remplacer par l'intervalle découlant de la loi binomiale exacte chaque fois que n(z) observé est inférieur à 5, soit ici pour z = 72. D'ailleurs l'intervalle trouvé ci-dessus contient 0, ce qui à l'évidence n'est pas satisfaisant.

239

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Intervalle ayant 95 % de chances de contenir q(z)

Graphique 1. 0,12 0,10

/

0,08 qz 0,06

-:'"':-

...........

,,/

..

1 1

0,04

;' 1

"

--' -_

.

!

............

0,02 0,00

-+-=-.::...:,.------=::-I:--'~--=:...-+-~--+---"-"I---+---+--+---+--+--+-

70

71

72 73 74 75

76 77 78 79 80 81

82 83 84

âge z

On constatera que, pour chaque âge, l'intervalle précédent est très imprécis parce que q(z) est petit. La succession des intervalles de confiance donne une sorte de tunnel par où l'on cherche à faire passer une courbe croissante d'âge en âge.

2. a) Ajustement~ar une fonction croissante simple Un ajustement de q(z) par une fonction croissante tend à répondre à ces critiques Ajustement 1 :

qajl = b + ex z

c

= 0,004

Ajustement 2 :

qaj2 = b x CZ

c

=

142

1,170011

b=

-

0, 287 ,571

b = 1, 359 E - 07

Remarque Ici qaj2 est calculé simplement par le tableur par ajustement des moindres carrés sur les logarithmes des observations et non sur les observations elles-mêmes (ln (qaj2) = ln (b) + z x ln (c)). b) Test des ajustements précédents Visuellement, le second ajustement est plus satisfaisant, surtout pour les z extrêmes (en outre, il respecte toujours la contrainte implicite qaj(z) > !). Nous allons vérifier la meilleure qualité de l'ajustement 2 par un test du X2 au seuil de 5 %. Sous l'hypothèse selon laquelle tout écart entre la loi ajustée et les aléas est dû au hasard, la distance

°

X2 =

f

z=70

(ns(z) - n saj(z))2 nsaj (z)

suit une loi tabulée dite du X2 à 15 - 2 - 1 = 12 degrés de liberté. Il y a 5 % de chances seulement que cette distance dépasse 21,0.

240

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Graphique 2. -

Ajustements

0,12 0,10 ./

0,08 qz 0,06

0,04

..

0,02 r;~;;-~'.~~~~~~

°

~~

70

___

71

~-+~~~--~~~--~-4--+--+--~~

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

82 83 84

âgez - - - - - qinf(Z) -0-

Z

no(z)

ajustement 1 : b + c *Z

ns(z)

- - - ajustement 2: b* (cz)

Ajustement 1

Ajustement 2

N ombre de sinistres 2 n sa jl (z) X

N ombre de sinistres

n sa j2(z)

X2

70

675,9

8

1,6

25,6

5,5

1,2

71

599,9

6

3,9

1,1

5,7

0,0

72

501,0

2

5,3

2,1

5,5

2,3

73

410,7

10

6,1

2,5

5,3

4,2

74

382,7

5

7,2

0,7

5,8

0,1

75

421,3

8

9,7

0,3

7,5

0,0

76

441,9

9

12,0

0,8

9,1

0,0

77

494,2

6

15,5

5,8

12,0

3,0

78

532,2

24

18,9

1,4

15,1

5,3

79

505,8

24

20,1

0,8

16,8

3,1

80

488,8

21

21,4

0,0

19,0

0,2

81

463,3

20

22,2

0,2

21,0

0,0

82

422,1

23

22,0

0,0

22,4

0,0

83

392,5

21

22,1

0,1

24,2

0,5

84

363,5

25

21,9

0,4

26,4

0,1

7095,8

212

210,4

41,8

201,3

20,0

Tous

Remarque Il conviendrait de regrouper la classe z = 72, pour laquelle le nombre de sinistres est inférieur à 5, avec une autre classe. Les résultats ne seraient guère modifiés.

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

241

Qualité de l'ajustement 1 Le test du X2 au seuil de 5 % conduit à la décision REJETER, car, pour cet ajustement, la distance du X2 ressort à 41,0. En effet, sous l'hypothèse (H), la loi ajustée est la bonne, les écarts à cette loi sont dus au hasard, une distance aussi grande ayant une probabilité d'être atteinte ou dépassée toute petite: 0,005 %. Il serait donc déraisonnable de retenir l'hypothèse. En la rejetant, nous avons d'ailleurs une probabilité de seulement 0,005 % de nous tromper! Remarque La mauvaise qualité de l'ajustement provient de l'âge 70 ans, où le modèle donne une valeur beaucoup trop faible. Qualité de l'ajustement 2 Le test du X2 au seuil de 5 % conduit à la décision ACCEPTER, car, pour cet ajustement, la distance du X2 ressort à 20,0. Sous l'hypothèse (H) la loi ajustée est la bonne, les écarts à cette loi sont dus au hasard, observer une telle distance n'est pas invraisemblable car elle est dépassée dans 6,7 % des cas. Il n'est donc pas déraisonnable de retenir l'hypothèse. Toutefois en retenant l'hypothèse sans préciser quelle serait l'hypothèse alternative, nous ne connaissons pas la probabilité de nous tromper! c) Effectuer un ajustement avec la table TPRV Qaj3(Z) = lz+8 • uÀ es t un d'eca1age d'Aage - ---lz+8+1 - - ou lz+8

En utilisant comme ajustement la table TPRV et en l'appliquant au nombre d'individus observés, deux problèmes apparaissent: - on sous-estime les décès (144 selon TPRV, contre 212 observés) ; - la distance du X2 est grande (57,1) : qaj(Z)

z 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 Tous

no(z)

ns(z)

= qTPRV(Z)

ns(z) attendus

2

X

675,9 599,9 501,0 410,7 382,7 421,3 441,9 494,2 532,2 505,8 488,8 463,3 422,1 392,5 363,5

8 6 2 10 5 8 9 6 24 24 21 20 23 21 25

5,0 5,0 4,7 4,4 4,7 5,9 7,1 9,1 1,1 12,1 13,3 14,4 15,0 15,7 16,3

1,8 0,2 1,5 7,2 0,0 0,8 0,5 1,0 14,8 11,8 4,5 2,2 4,3 1,8 4,6

7095,8

212

143,6

57,1

242

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

On est donc conduit à utiliser comme ajustement basé sur TPRV + 8) en cherchant 8 qui minimise la distance du X2. - La distance du X2 décroît de 8 = 0 jusqu'à 8 = 3, où elle vaut 16,6, puis recommence à croître, et vaut 17,5 pour 8 = 4. - Le nombre de décès total est une fonction croissante de 8 :

qaj (z) = qT PRV (z

qaj3(Z) Z

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

Tous

no(z)

= qTPRV(Z + 3)

ns{z) attendus

ns(z)

X

2

qaj(z)

= qTPRF(Z + 4)

ns{z) attendus

X2

675,9 599,9 501,0 410,7 382,7 421,3 441,9 494,2 532,2 505,8 488,8 463,3 422,1 392,5 363,5

8 6 2 10 5 8 9 6 24 24 21 20 23 21 25

7,2 7,3 7,0 6,6 7,0 8,8 10,5 13,4 16,5 17,9 19,5 20,8 21,4 22,4 23,4

0,1 0,2 3,6 1,8 0,6 0,1 0,2 4,1 3,4 2,1 0,1 0,0 0,1 0,1 0,1

8,2 8,4 8,0 7,6 8,0 10,1 12,0 15,3 18,9 20,2 22,0 23,4 24,1 25,3 26,0

0,0 0,7 4,5 0,8 1,1 0,4 0,8 5,7 1,4 0,7 0,0 0,5 0,0 0,7 0,0

7095,8

212

209,8

16,6

237,4

17,5

Ici, l'ajustement portant sur une population de rentiers, la prudence conduit l'assureur à retenir 8 = 3 (où le nombre de décès ajusté, 210, est inférieur au nombre observé).

d) Loi dite de Gompertz, loi dite de Makeham Un ajustement classique en assurance vie est l'ajustement de Gompertz, - défini par ln (1 - qaj(Z)) = -b x CZ ; - d'où, si qaj(z) est petit, qaj(Z)::::: b x cz . C'est l'ajustement 2, réalisé ci-dessus en cherchant un ajustement à deux paramètres simple et raisonnable. Pour introduire un paramètre de plus, les fonctions facilement disponibles d'un tableur nous inciteraient à choisir un ajustement 2 Z qaj (z) ::::: b x CZ x d Mais ce n'est pas l'usage: le paramètre introduit en sus de l'ajustement de Gompertz par Makeham consiste à écrire: qaj4 (z) = a + b x

Z

C

ln (1 - qaj(z)) = -a - b.cz d'où, si qaj (z) est petit,

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

243

Ce paramètre supplémentaire a est censé représenter une mortalité accidentelle indépendante de l'âge mais nous allons trouver, comme bien souvent, une valeur négative qui n'a donc pas ce sens. Difficilement interprétable, ce modèle présente en outre l'inconvénient de n'être ni additif ni multiplicatif, et donc de n'être pas directement disponible sur une calculette ou un tableur. Mais il est traditionnel. La méthode de King et Hardy pour déterminer c dans ln (1- qaj(z)) = -a - b. C Z consiste - à confectionner une loi de survie lz à l'aide des observations, soit Îz = l70 X (1 - q.m) x (1 - q.n) x . . . x (1 - f;:i) x (1 - lÎz) - puis à utiliser les lz équidistants les plus espacés possibles, en rem arquant que

ln ŒD-ln (~) ln C::) -ln C::)

c

~

=c

5

-0, 064 223 222 - (-0,117 396 547)) ( -0,027 690 327 _ (-0,064 223 222)

1

'5

= 1,077 958

On peut alors prendre la valeur trouvée comme point de départ pour d'autres algorithmes. Présentons ici les résultats d'une simple régression pour trouver a et b. b = 0,000 165 931 a = -0,025 189 071 4 Ajustement Makeham

Z

no(z)

ns(z)

q(z)

qaj4(Z) = a

+ bc z

nsaj (z)

X2

C

Z

70 71

675,9

8

0,0118

0,0066

4,5

2,8

191,5

599,9

6

0,0100

0,0091

5,4

0,1

206,4

72

501,0

2

0,0040

0,0117

5,9

2,6

222,5

73 74

410,7 382,7

10

0,0243

6,0

5

6,8

2,7 0,5

239,9 258,5

75

421,3

8

0,0131 0,0190

0,0146 0,0177 0,0211

8,9

0,1

278,7

76

441,9

9

0,0204

0,0247

10,9

0,3

300,4

77 78

494,2

0,0121

0,0286

14,1

532,2

6 24

0,0451

0,0327

17,4

4,7 2,5

323,9 349,1

79

505,8

24

0,0474

0,0373

18,8

1,4

376,3

80

488,8

21

0,0430

0,0421

20,6

0,0

405,7

81

463,3

20

0,0432

0,0474

21,9

0,2

437,3

82

422,1

23

0,0545

0,0530

22,4

471,4

83

392,5

21

0,0536

0,0591

23,2

0,0 0,2

84

363,5

25

0,0688

0,0657

23,9

0,1

547,7

7095,8

212

0,0299

210,7

18,0

Tous

508,1

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

244

e) Conclusion L'ajustement basé sur TPRV, meilleur résultat.

Annexe 2.

2.1.

qaj (z)

qTPRV(Z

+ 3), donne ici le

Les divers taux actuariels d'un contrat d'assurance vie

Taux actuariel d'une opération

Considérons une opération qui génère les flux financiers (positifs ou négatifs)

Pour cette opération, le taux de rendement dit actuariel ou interne, que nous noterons p, est par définition le taux qui annulerait la valeur acquise et vérifie tf

L

Ft (1

+ p)tf-t =

0

t=to

Il revient au même de dire qu'il annule la valeur actuelle et vérifie F,

tf '"

t~ (1

+t p)t

-0 -

.

Reprenons l'exemple numérique de l'annexe 1 du chapitre l. Le taux p qui annule la valeur acquise ou la valeur actuelle est défini par:

+ p)8 100(1 + p)4 -

0=10 000(1 -

100(1 + p)7 - 100(1

+ p)6 100(1 + p)2 -

100(1 + p)5

100(1 + p)3 -

100(1 + p) - Il 000

Ici, on sait avant de faire le calcul que : - p > 0 % car VAcq (t = 8, i

= 0 %) = 10 000 - 7 x 100 - 11 000 < 0

- p < 5 % car VAcq (t

= 8,

i

= 5 %) > 0

On peut calculer p sur une calculette par approximations successives (ou utiliser la fonction valeur-cible d'un tableur). On trouve:

p = 2,047 %

2.2.

Les taux actuariels d'un contrat vie

On peut définir plusieurs taux actuariels à l'occasion d'une opération d'assurance, et en particulier: - le taux d'intérêt technique noté i ;

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

245

- le taux de rendement des placements de l'assureur noté j ; - le taux de rendement interne du contrat pour l'assuré, noté Pa ; - le taux de rendement interne du contrat pour l'assureur, noté PA. Chacun de ces taux peut prendre une valeur ex ante (valeur qui est une hypothèse à la date t = 0), et chacun, sauf i, prend une valeur constatée ex post à la date t = t f. Les valeurs ex post seront notées j', P~ et p~.

Exemple Nous prendrons l'exemple d'un bon de capitalisation pour ne pas compliquer le problème par la mortalité. Par hypothèse : - À la date to = 0, chacun des n souscripteurs d'un bon de capitalisation paye une prime 7r", et se voit garantir un capital c et une participation aux bénéfices égale à 85 % des bénéfices financiers à la date t f. - L'assureur affecte à ces opérations une marge de solvabilité K. Il a des frais égaux à !.p7r", dépensés à t = O. Il n'a pas de frais annuels et ne retire aucun dividende jusqu'à la date t f.

À la date t f, son résultat r peut être décomposé en un résultat dit technique rt (découlant des contrats) et un résultat dit non technique r nt (supposé ici égal au produit financier généré par le placement de la marge

K). Application numérique : - Contrat: tf = 8, c = 100 000, !.p = 8 %. - Tarif calculé au taux d'intérêt technique i = 3,5 %. - Capitaux propres: K = 3 037,6. On supposera, dans ce qui suit, qu'ex ante, post, j' = 5 %.

Calcul de la prime conduisant à La prime est calculée par l'assureur financiers au taux d'intérêt technique i est nul si les placements rapportent i =

= j

3,5 % et qu'ex

un résultat technique Tt nul en anticipant 8 ans de produits (en écrivant que le résultat final 3, 5 % et si les frais sont CP7r") :

rt(i) = (n7r" - w.p7r") (1

+ i)8 -

nc = 0

ou, ce qui revient au même, en écrivant que la prime est la VAP des engagements de l'assureur :

7r " = n (1

+C i) 8

+!.p7rIl = 82 544, 7

Taux de rendement interne ex ante Pa(i) pour l'assuré Si l'assuré cherche à comparer ce placement à d'autres, il écrira: -n7r"(l

+ Pa(i))8 + nc =

0

246

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

d'où Pa(i) = 2,43 % Remarque 1 Pa (i) est plus petit que i à cause de <prr", dépensé par l'assureur et facturé à l'assuré. Remarque 2 Si le contrat avait un caractère viager, il y aurait lieu de réfléchir au taux Pa (i) le plus pertinent. Taux de rendement interne ex ante PA (i) pour l'assureur - Le résultat technique est, comme nous l'avons vu, nul:

- Le résultat non technique, égal au revenu des placements générés par les fonds propres, est :

= 0 et

L'assureur investit K à t PA est défini par : -K(l

retire le bénéfice r(j) à t

+ PA)8 + K + r(j)

= t f.

= 0

Pour j = i, en remplaçant r(i) par K(l + i)8 - K, on trouve PA(i) = i. Taux de rendement interne p~ (j') pour l'assuré A vant participation des assurés aux bénéfices le résultat technique est :

(nrr" - n<prr") (1 + j')8 - ne

= 12

199,7 x n

Il se décompose en : - une participation des assurés aux bénéfices

+ j')8 -

pb = 85 % (nrr" - n<prr") (1

ne = 10 369,7 x n

- un résultat technique après participation aux bénéfices :

rt(j') = 15 % (nrr" - n<prr") (1

+ j')8 - ne = 1 830,0 x n

Si l'assuré cherche à comparer ce placement à d'aùtres, il écrira:

-nrr" (1 + p~)8

+ pb + ne =

p~(5

3,70 %

d'où

%)

=

0

247

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Taux de rendement interne PA (j') pour l'assureur Après participation des assurés aux bénéfices, le résultat de l'assureur se décompose en - un résultat technique rt(j) = 1 830, a x n ; - un résultat non technique égal au revenu des fonds propres

rnt(j') = K(l D'où l'équation donnant -K(l

+ j')8 -

PA (j')

K = 1 450,3

:

+ p~)8 + K + rt(j') + rnt(j')

=

a

d'où PA( %)

= 9,59 %

Remarque PA ne dépend pas que de j'. Il dépend aussi de K. Supposons qu'un capital K', égal au quart du capital précédent, suffise à l'assureur. L'équation:

donne: p~(5

%) = 18,50 %

beaucoup plus satisfaisant!

Annexe 3.

Le contrat d'assurance vie présenté comme un compte courant probable

L'objet de cette annexe est de généraliser l'approche qui va de soi pour un bon de capitalisation ou tout contrat d'épargne sans caractère viager, en présentant un contrat d'assurance vie quelconque comme un simple compte courant probable pour l'assureur. Cette présentation, qui peut paraître inhabituelle, permet de traiter sans difficulté, et de manière homogène, les calculs de primes des contrats les plus complexes. Rappel : le bon de capitalisation Reprenons le bon de capitalisation: la garantie est de c = 100 000 à l'époque t = 8, moyennant une prime 7r=

100 000 1, 035 8

Faisons apparaître sur chaque ligne toutes les informations en général nécessaires. Ici, peu importe le nombre no des bons souscrits, 1 ou 1 000 000.

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

248

Début de période Nombre (millions)

Solde

t

a

1,000 00

a

1

1,000 00

2

1

PriInes

1

Fin de période

Prestations

Frais

t

1

1 1 Intérêts

Solde

(millions d' € ) 82441

- 3500

1

2763

81 704

81704

- 395

2

2846

84 155

1,000 00

84 155

- 407

3

2931

86680

3

1,000 00

86680

- 419

4

3 019

89280

4

1,000 00

89280

- 431

5

3 110

91 958

5

1,000 00

91958

- 444

6

3203

94717

6

1,000 00

94717

- 458

7

3299

97559

7

1,000 00

97559

-471

8

3398

100 485

8

1,000 00

100 485

- 485

9

a

- 100 000

Étude d'un contrat capital différé classique Considérons cette fois un contrat analogue au précédent (même durée, même capital et même frais), mais dans lequel le capital c = 100 000 € n'est payé qu'en cas de vie de l'assuré. Quelle est la prime qui correspond à un résultat probable nul ? Si l'assureur a souscrit no contrats reposant chacun sur la tête d'un assuré d'âge x à l'époque t = 0, il Y a un nombre probable d'assurés vivants de nI

= no x l~:1 à l'époque t = 1

n2 = nI x llx+2 à l'époque t = 2, x+1 nk

= nk-1

lx+k, x+k-l

x -l- - a t

= k,

jusqu'à l'époque terminale des contrats t = tf. Nous supposerons pour chaque contrat que no = 1 000 000 afin de rappeler que la valeur probable (ou espérance) du résultat s'entend au sens de la loi des grands nombres. Nous supposons comme à l'ordinaire que, sur la période [0, tf] : - le taux de rendement annuel des placements est constant et égal à i ; - la loi de survie de x est connue ; - les souscripteurs ne mettent pas fin prématurément à leur contrat en exerçant leur droit de rachat, c'est-à-dire leur droit à se faire rembourser avant le terme du contrat ; - les frais de l'assureur se décomposent en frais d'acquisition fa immédiatement dépensés à la souscription et en frais de gestion f 9 , k, dépensés au début de chaque année.

249

Cbapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Résultat probable Avec la table TV 88-90 et le taux i

= 3,50 % :

Début de période t

Nombre (millions)

Solde

Primes

0

1,00000

0

81396

1

0,99876

2

Fin de période Prestations

Frais

t

Intérêts

Solde

- 3 500

1

2726

80622

80622

- 394

2

2808

83036

0,99742

83036

- 405

3

2892

85522

3

0,99594

85552

- 417

4

2979

88084

4

0,99433

88084

- 429

5

3068

90723

5

0,992 58

90723

- 441

6

3 160

93442

6

0,99065

93442

- 453

7

3255

96243

7

0,98862

96243

- 466

8

3352

99 130

8

0,986 51

99 130

- 479

9

0

0

- 98 651

Commentaire En notant Sk (raccourci pour Sk-ê) le solde capitalisé à t SI

= (7r -

Sk

= (Sk-l - fg, k

S8+ê =

fa - fg,o) (1

(S8 - fg, 8

X

X

=k

+ i)

nk) (1

n8 - c

X

+ i) pour

k

= 2-

ê, ... ,

8-

ê

n8)

En partant de l'hypothèse S8+e = 0, le calcul par approximations successives (tel que celui réalisé par la fonction valeur-cible d'un tableur) donne 'Ir"

= 81 395,64 €

Il ne serait pas plus difficile de calculer 'Ir" pour des capitaux annuels, = 1, ... , 8) c'est-à-dire une rente temporaire, par exemple constante ou bien évoluant en progression géométrique. On peut aussi considérer une prime annuelle ('Ir%, k = 0, 1, ... , 7) : le contrat peut comporter des primes périodiques (par exemple constantes ou bien évoluant en progression géométrique). Ce cas, autrefois le plus courant, tend à devenir marginal en France, où les contrats sont en général soit à prime unique, soit à versements libres, qui s'analysent alors comme une succession de primes uniques. Prenons par exemple le contrat précédent et cherchons quelle est la prime annuelle constante correspondant aux mêmes frais et à la même garantie.

(rk, k

250

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Résultat probable Début de période t

Nombre (millions)

Solde

Primes

0

1,000 00

0

1

0,99876

2

Fin de période Prestations

Frais

t

Il 600

- 3 500

1

284

8384

8384

Il 586

- 394

2

685

20260

0,99742

20260

Il 556

- 405

3

1 099

32510

3

0,99594

32510

Il 509

- 417

4

1 526

45 128

4

0,99433

45 128

Il 444

- 429

5

1 965

58 108

5

0,992 58

58 108

11 359

- 441

6

2416

71 441

6

0,99065

71 441

11 252

- 453

7

2878

85 119

7

0,98862

85 119

11 124

- 466

8

3352

99 130

8

0,986 51

99 130

- 479

9

0

0

- 98 651

Intérêts

Solde

Commentaire Ici, avec les mêmes notations que précédemment : 81 =

8k = (8k-1

88+1':

+ i)

('rro - fa - fg, 0)(1

= (88

-

+ 7rk-1 f g ,8

-

fg,

X n8 -

c

k X nk)(l

+ i)

pour k = 2 -

E, ... ,

8-

E

X n8)

En partant de l'hypothèse 88+e = 0, le calcul par approximations successives (tel que celui réalisé par la fonction valeur-cible d'un tableur) donne 7r~ = 7r~ = ... = 7r~ = Il 600,13 € Il ne serait pas plus difficile de considérer une prime annuelle (7r%, k = 1, ... , 8) non pas constante mais évoluant de manière prédéfinie, par exemple en progression géométrique.

Exemple d'une garantie temporaire en cas de décès Pour éviter à la fois les symboles

!

et les époques aléatoires de décès,

il suffit de considérer tous les jours possibles jusqu'au terme du contrat, c'est-à-dire 8 X 365 jours (environ). L'approximation usuelle consiste à considérer non pas 8 X 365 jours mais 8 années et à supposer que les décès d'une année ont lieu en moyenne en milieu d'année. L'assuré a l'âge x = 40 ans et s'engage à payer 7r à l'époque t = o. Les calculs sont faits au taux i = 3, 50 %, avec la table TD 88-90 pour laquelle les nombres d'assurés vivants sont les suivants :

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

251

Date

Nombre de vivants (millions)

°

1,000 00

1

0,997 15

2

0,99405

3

0,990 73

4

0,98701

5

0,98298

6

0,97869

7

0,974 13

8

0,96925

Résultat probable Début de période

t

Nombre de décès (millions)

0,0

Solde

Primes

0

2651

Fin de période Prestations

Frais

t

Intérêts

Solde

0,5

46

2697

285

0.5

0.002 85

2697

~

1,5

84

2496

1,5

0.003 10

2496

~310

2,5

76

2262

2,5

0.003 31

2262

- 331

3,5

68

1 998

3,5

0,003 73

1 998

~

373

4.5

57

1 683

4,5

0,00403

1 683

~

403

5,5

45

1 324

5.5

0,004 29

1 324

~

429

6,5

31

927

6,5

0,004 56

927

~

456

7,5

16

488

7.5

0.00488

488

~

488

°

°

Commentaire En notant Sk (raccourci pour Sk-é) le solde capitalisé à t = k SO,5

= (7r

X

no) (1

+ i)0,5

Sk+O,5 = ((Sk-O,5 - (nk - nk-d x c) (1

+ i)

pour k = 0, 1, ... , 7

En partant de l'hypothèse S7,5+é = 0, la fonction valeur-cible du tableur donne 7r" = 2 650,55 €. Il ne serait pas plus difficile de calculer 1r pour une garantie Ck qui serait non pas constante mais par exemple en progression géométrique,

252

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

de tenir compte de frais fa et fgk, de supposer la prime non pas unique mais annuelle (toutefois il faudrait en général considérer à la fois les dates

t = 1, 2, 3 ... et les dates de milieu d'année t = ~, t = 1 + ~ ... et le tableau précédent, relatif à un contrat de 8 ans, aurait donc 15 lignes, et non 8 ou 9).

Annexe 4.

4.1.

Calculs de VAP et notations internationales

Probabilités viagères

La durée aléatoire de survie de l'individu d'âge x est notée T Xl et la table de mortalité est notée

P(Tx

> k) se note aussi kPx. En outre IPx se note aussi PX.

Par définition de lx+k'

P (T x > k ) =k Px = P(k < T x < k

4.2.

+ k')

lx+k T

se note aussi klk,qx. En outre üllqx se note qx.

Valeur Actuelle Probable des engagements fondamentaux

Les engagements sont basés sur la tête d'un assuré d'âge x à la date t=

°:

kik' V AP(O, x)

désigne la valeur actuelle probable, à la date t = 0, d'un engagement qui est pris entre t = k et t = k + k'. L'engagement kik' V AP(O, x) est dit - différé de k années (si k = 0, il est dit immédiat) ; - temporaire de k' années (si x + k + k' = w, il est dit vie entière).

a) L'engagement élémentaire en cas de vie: le capital différé Il consiste à verser 1 € dans k années si l'assuré (d'âge x à l'époque t = 0) est vivant dans k années. Sa V AP est notée kEx· -

k E x-v

(avec v = 1/ (1

+ i)).

k lx+k -lx

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

253

b) L'engagement élémentaire en cas de décès (engagement différé, temporaire d'un an) Il consiste à verser 1 € à l'époque du décès de l'assuré, si cet assuré (d'âge x à l'époque t = 0) décède entre les dates k et k + 1. Sa V AP est notée kl1 Ax· A kil

x =

V

k+l. lx+k - lx+k+1 2 lx

c) Les combinaisons d'engagements élémentaires Tous les engagements sur un seul assuré (sur une tête) peuvent s'analyser comme une juxtaposition des deux engagements précédents (en faisant l'approximation du décès en milieu d'année). Soit, par exemple, l'engagement de verser un capital c si un assuré d'âge actuel x décède entre les dates 0 et 10 ans, et de lui verser, s'il survit au-delà de 10 ans, une rente annuelle de montant r jusqu'à son décès. c si l'assuré décède entre

prime

o et 10

t= 0

rtant que l'assuré survit

t= 10

âge=x

âge

=x+ 10

Cet engagement global peut être considéré comme la somme de 10 engagements élémentaires en cas de décès et de w - x - 10 engagements élémentaires en cas de vie. Sa VAP est C(Oll A x

+111

Ax

+ c211 A x + ... +911 Ax) + r(llEx + r12Ex + ... + rw_xEx)

d) L'annuité viagère L'annuité viagère la plus simple est l'engagement de régler 1 € chaque année si l'assuré est vivant. On distingue - l'annuité payable d'avance, dont la V AP est notée

- l'annuité payable à terme échu (c'est-à-dire en fin d'année), dont la V AP est notée ax

=1

Ex

+ ... +k Ex + ... +w-x Ex

e) La garantie décès vie entière L'engagement de verser 1 € à l'époque du décès de l'assuré, quelle qu'en soit la date, a une V AP notée Ax.

254

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Exemples Nous allons calculer, dans chacun des cas suivants la V AP de l'engagement de l'assureur en prenant i = 3,5 % et la table TV 88-90 reproduite en annexe (et en faisant abstraction des frais de gestion et des ressources correspondantes) . • Les deux garanties élémentaires - Le capital différé Un assuré d'âge x = 40 ans souscrit un capital différé de montant c = 100 000 € payable à la date k = 8 ans si l'assuré est vivant:

V AP = c

l~:k

k

v = 74 916,50 €

- La garantie décès temporaire Un assuré d'âge x = 40 ans souscrit une garantie décès de montant c = 100 000 € payable à la date t du décès si 0 < t < 1 (on dit que la garantie est immédiate et temporaire d'un an) :

V AP = cv

i! lx - lx+l 2

lx

= 121,90

€

Un assuré d'âge x = 40 ans souscrit une garantie décès de montant c = 100 000 € payable à la date t du décès si 0 < t < k = 8 (on dit que la garantie est immédiate et temporaire de 8 ans) :

V AP = 1 162,90 € • La rente viagère - La rente viagère versée à terme échu Un assuré d'âge x = 65 ans souscrit une rente viagère immédiate, d'arrérage annuel r = 1 000 € payable aux dates t = 1, 2, 3 ... si l'assuré est vivant à ces dates (on dit que la rente est viagère et versée à terme échu) : lx+l lx+2 VAP --r ( -v + - v2 '+" lx lx

+lw vw-x) lx

VAP = 13 252,41 €

- La rente viagère versée d'avance Si dans le contrat précédent le premier arrérage annuel r = 1 000 € est payable à la date t = 0, on dit que la rente est viagère et versée d'avance, et V AP = 1 000 + 13 252,41 = 14 252,41 €

255

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

• Contrats modernes: bons de capitalisation, bons d'épargne - Bon de capitalisation à prime unique L'assureur s'engage à verser C = 7r(1 + i)k = 100 000 € à la date k=8ans:

V

AP = k = (1 + i)k = 7r 100 000 = 7 941 20 € v C 7r (1 + i)k 1,035 8 5 ,

- Bon d'épargne 1 (Capital différé avec contre-assurance de la prime pure portant intérêt au taux du tarif) L'assureur s'engage à verser : o 7r(1 + i)k = 100 000 € à la date k = 8 ans si l'assuré est vivant; o 7r(1 + i)t à l'époque t si l'assuré décède à t < ko En faisant l'approximation des décès en milieu d'année

V AP = 7r(1 + i) ~ v~ lx - Ix+1 + 7r(1 + i)l+~ V1+~ Ix+1 - lx+2 lx lx

+

000

+ 7r(1 + i)7+~v7+~ lX+7 -lx+8 + 7r(1 lx

+ i)8 v 8

lX+8 lx

lx - Ix+1 lx+1 - lx+2 lX+7 - lX+8 lX+8 +7r +ooo+7r l +7r--=7r Ix lx lx x (On pourrait se dispenser de l'approximation des décès en milieu d'année en décomposant en événements du type «l'assuré décède entre la date t A bOl O , lx+t - lxlx+t+flt ) et la date t + ut», ayant une pro b alIte VAP =7r

0

- Bon d'épargne 2 (Garantie décès vie entière croissant en progression géométrique de raison i) L'assureur s'engage à verser: • 7r(1 + i)t à l'époque t si l'assuré décède à t quelle que soit l'époque t La V AP de cet engagement est ici encore égale à 7r 0

V AP = 7r(1 + i)~v~ lx -lx+1 + 7r(1 + i)1+~v1+~ lx+l -lx+2 lx lx

+

000

+ 7r(1 + i)k+~vk+~

lX+7 -lx+k + lx

000

V AP = 7r lx - lx+1 + 7r lx+l - Ix+2 + + 7r lx+k - lx+k+1 + lx lx lx • Contrats traditionnels - Mixte L'assureur s'engage à verser : o Cv = 100 000 € à l'époque k = 8 ans si l'assuré est vivant; o CD = 100 000 € à l'époque t si l'assuré décède à t < ko 000

VAP =

C

+

1

(v 0

0

2

0

lx - lx+l lx

+ V 1+12 lx+1 - lx+2

+ v7+~ lX+7 - lX+8) + lx

= 76 079,40 €

lx C

lX+8 v8 lx

000

= 7r

256

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

- Capital différé avec contre-assurance traditionnelle L'assureur s'engage à verser : . Cv = 100 000 € à l'époque k = 8 ans si l'assuré est vivant; . 7r à l'époque t si l'assuré d'âge actuel x = 40 décède à t < 8. L'engagement de l'assureur est la somme de l'engagement principal et de la contre-assurance. D'où V AP

= 7r

lx - lx+1 lx

1

(

V 2"

+···+v 7+1.2

+ V 1+1.2

lx+1 - lx+2 lx

lX+7 - lX+8) lx

lX+8 +cv8 lx

Mais le principe général de la tarification nous apprend que VAP

ce qui permet de déterminer

7r :

7r

4.3.

= 7r

=

75 798, 00 €

Les nombres de commutation sur une tête

Pour faciliter les calculs numériques, on introduit traditionnellement des nombres auxiliaires appelés nombres de commutations. Ces nombres peuvent se lire dans une table, définie pour un taux d'intérêt et une table de mortalité déterminés. - Les nombres de commutation en cas de vie On pose:

+ Dx+1 + ... + Dx+k + ... + Dw = N x + N x+ 1 + ... + N x+k + ... + N w

N x = Dx Sx

On calcule alors la V AP du capital différé : _ vklx+k Ex - - - k lx

et de la rente :

On montrerait de même que : x +1 a x =N-

Dx

mlnax =

N x +m - N x+m+n

-~---'----'--

Dx N x+m+1 - N x+m+n+l mlnax = Dx

257

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

- Les nombres de commutation en cas de décès On pose:

C x = V X + I / 2d x = VX + I / 2(lx - lx+l)

+ C x + l + ... + C x +k + ... + Cw

AIx = C x Rx

=

AIx

+ Alx+1 + ... + Mx+k + ... + Mw

Les V AP des principaux engagements en cas de décès s'écrivent alors: Vk+I/2dx+k

l

"'IIAx =

Ax = OllAx

C Dx

x

+ IllAx + ... +kll Ax + ... + w-x-l/lAx C Dx

lvf

x w 1 =-+ ... + - = -x

Dx

A _ Afx+m - Alx+m+n Dx

min x -

4.4.

Les groupes de têtes

Dans certains cas, il peut être commode de définir des probabilités viagères sur des groupes de têtes. Nous en donnons trois exemples.

Le groupe x, y disparaissant au premier décès Par définition~ il a pour durée de survie:

Alors, si T x et T y sont indépendantes,

p(Tx . y > t) = p(Tx > t et T y > t) = p(Tx > t) p(Ty > t) d'où des propriétés permettant sur un tel groupe des calculs analogues aux calculs sur une tête; en particulier, on peut définir lx, y, car on a bien l.r+t.y+t = lx+tly+t.

Le groupe x, y disparaissant au dernier décès Par définition, il a pour durée de survie:

Alors

P(T:r.y > t)

= p(Tx > t

ou T y > t)

= p(Tx > t) + p(Ty > t) - p(Tx > t) p(Ty > t) (Ici on ne pourrait pas créer lx.y.)

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

258

La tête fictive kl et le groupe x, kl disparaissant au premier décès Par définition, Tkl = k, et donc par exemple T x , kl = inf (Tx , k). L'introduction de cette tête fictive et de groupes de têtes la contenant a surtout pour objet de simplifier les notations.

Annexe 5.

Les méthodes classiques de tarification

L'objet de cette annexe est d'indiquer les méthodes classiques de calcul des primes complètes n", incluant non seulement les engagements techniques de l'assureur (prime pure n), mais également les chargements compensant ses frais de commercialisation et de gestion. Nous examinerons successivement le cas de la prime unique et celui des primes périodiques, puis celui des calculs analogues de provisions mathématiques.

5.1.

Le calcul de la prime unique complète

Il s'agit d'ajouter à la prime pure n (calculée comme la V AP des engagements de l'assureur en matière de prestations) des chargements égaux à la V AP des frais prévus par l'assureur en matière d'acquisition et de gestion. Si, par exemple, on estime que: - le montant des frais dépensés à t = 0 (frais d'acquisition tels que les frais d'établissement de la police d'assurance, la commission rémunérant un intermédiaire et les frais d'encaissement) est une proportion en" de la prime; - les frais de gestion annuels sont une proportion g des capitaux garantis (ici 1 €), et si le contrat se poursuit tant que l'assuré est en vie et pendant au plus n années, alors Inax désigne la V AP d'une dépense de 1 € par an pendant toute la durée de la garantie ; - les frais de règlements des prestations sont une proportion r des prestations servies dont la V AP est donc rn ; - un chargement de sécurité pn est souhaitable pour que l'espérance du bénéfice soit positive. On écrira n" = n

d'où

+ en" + gaG + rn + pn

n(l + r + p) + gaG n" = - - - - - - - (1 - e)

Remarques • Les chargements rationnels Les hypothèses précédentes reflètent une tradition ancienne: il s'agit des chargements dits rationnels. Cette tradition n'a rien d'impératif ni

Chapitre 6 - Le modèle de l'a.ssurance vie

259

d'indiscutable: en fait, on améliorerait sans doute la tarification en considérant - qu'il y a des frais fixes (non proportionnels à la prime ou aux capitaux ... ) ; - que les frais annuels subissent une inflation et valent pour l'année k plutôt g(l + T)k que g . • Le chargement de sécurité Souvent, aucun chargement de sécurité explicite n'est indiqué : on considère alors que la prudence dans le choix du taux et de la table de mortalité conduit à un chargement de sécurité implicite. Exemple La temporaire décès (immédiate, d'un an).

Dans ce cas : - On n'est pas sûr que la table soit prudente pour un groupe d'assurés particulier, il est d'usage d'appliquer alors un chargement de sécurité. - Il n'y a pas de frais autres que ceux de l'année et on peut regrouper toutes les charges de commercialisation et de gestion en un seul (hr". Donc c'est-à-dire 7r(1 + p) 7r " = ----'---'-

(1 - B)

5.2.

Le calcul de la prime périodique constante complète

Le principe général de tarification équivaut dans ce cas à ce que la V AP des primes soit égale à la somme des V AP des engagement de prestations, de la V AP des frais d'acquisition et de la V AP des frais de gestion. Comme dans le cas de la prime unique, nous donnerons à titre d'illustration les chargements dits rationnels: • Le contrat se poursuit tant que l'assuré est en vie et pendant au plus n années, les primes sont payées tant que l'assuré est en vie et pendant au plusm années; Inax désigne alors la VAP d'une dépense de 1 € par an pendant toute la durée de la garantie, et Imax la V AP d'une dépense de 1 € par an pendant toute la durée de paiement des primes. • Un montant f de frais d'acquisition est dépensé à t = o. • Les frais d'encaissements des primes sont supposés proportionnels au montant de la prime et valent donc chaque année Q7r". • Les frais de gestion annuels sont supposés proportionnels à la garantie (ici 1 €) en distinguant deux périodes : -- celle du paiement des primes, où la dépense annuelle est gl + g2 pour une garantie de 1 € ; - celle où le contrat est libéré de primes et où la dépense annuelle est g2 pour 1 € de garantie.

260

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

• Des frais de règlements sont supposés proportionnels aux prestations servies ; le pourcentage correspondant sera noté r . • Un chargement de sécurité p7r est souhaitable pour que l'espérance du bénéfice soit positive. Dans ces conditions, le principe de tarification s'écrit: 7r1~ax = 7rlmax

+ f + gllmax + g21n a x + o;7rl~ax + r7rlmax + p7r lm ax

On en déduit l'expression de la prime commerciale: 7r ( 1 7r"

+ r + p ) + gl + g2

=

Inax - ..Im ax

+ - f..Imax

1-0;

Il arrive aussi de regrouper à la prime commerciale.

f et 0; en un seul chargement () proportionnel

Remarques

Les chargements pour participations Certains contrats comportent un chargement pour participations (qui se traduit tout simplement par une augmentation de la prime conduisant à des bénéfices et donc à des participations bénéficiaires).

Les frais fixes, l'inflation, le prélèvement sur les produits financiers Ils appellent les mêmes commentaires que dans le cas des primes uniques. La prime pure constante L'usage veut que si la prime commerciale 7r" ci-dessus est constante, on considère que la prime pure 7r l'est aussi, ce qui est conventionnel et ne va pas de soi puisque les frais d'acquisition sont supportés par l'assureur en début de contrat. La présentation dite Universal Life, du nom des contrats qui se sont répandus aux États-Unis dans les années 1980 afin d'améliorer l'information de l'assuré, consiste à considérer chaque prime périodique (par exemple constante) et à - l'amputer des chargements de l'année; - l'amputer de la prime pure (croissante) d'une garantie décès d'un an; - considérer le solde comme une prime d'épargne capitalisée au taux i. On trouvera dans l'annexe 9 des exercices illustrant le calcul des primes complètes.

5.3.

Les méthodes classiques de calcul des provisions mathématiques

261

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

d'où: 7r" = 7r · . . f + ch argements d , acqUIsitIOn - ..-

Im ax

+ g2

Inax - ..Imax

+

chargements de gestion g1

+

chargement éventuel de sécurité 7rp

+ 7rr

pour t < m.

On peut dès lors décomposer la provision mathématique en trois parties : • Première partie V AP (t, prestations ultérieures à t)- V AP (t, primes pures ult. à t). soit

7r( assuré d'âge x

+ t et durée m - t) x In-t

ax+t - 7r

X Im-t

ax+t

• Deuxième partie

V AP (t, frais d'acquisition ultérieurs)- V AP (t, chargements d'acq. ult.).

f

..

O - - ..- x Im-t ax+t Imax

soit

• Troisième partie V AP (t, frais d'administration ultérieurs)- V AP(t, chargements d'adm. ult.) soit Q7r "

X

.. Im-tax+t - Q7r "

+ gl

+ g2

X Im-t

X In-t

X Im-t

.. (c' es t-a' d'1re 0) axH

ax+t - g1

X Im-t

.. axH - g2

In ax

X -

..-

Imax

+ r7r(assuré d'âge x + t et

ax+t( c'est-à-dire 0) X Im-t

.. ax+t

durée m - t) xl n - t ax+t - r7r xl m - t axH

• et éventuellement V P( t, chargements de sécurité ultérieurs) soit pour m

<

t

- p7r

X Im-t

ax+t

< n.

De même: • Première partie

V AP(t, prestations ultérieures à t) - V AP(t, primes pures ult.à t) soit

7r (pour un assuré d'âge x

+t

et une durée m - t) x In-t axH - 0

262

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

• Deuxième partie V AP(t, frais d'acquisition ultérieurs)- V AP(t, chargements d'acq. ult.)

0-0

soit

• Troisième partie V AP(t, frais d'administration d'adm. ult.)

ultérieurs)- V AP(t,

chargements

0-0 soit

+ 92 X In-t ax+t - 0 + nr (assuré d'âge x + t et

durée m - t) x In-t ax+t - 0

• et éventuellement V P( t, chargements de sécurité ultérieurs)

-0 5.4.

Le principe d'escompte viager

Ce principe, permettant souvent de simplifier calculs et raisonnements, s'énonce ainsi: La VAP, calculée à l'époque 0 (époque où l'assuré a l'âge x) d'un engagement différé de m années est égale au produit : - du facteur d 'es~ompte viager mEx ; - et de la VAP, calculée à l'époque m, en supposant que l'assuré est vivant. Autrement dit, mlV AP (calculée à t = 0, assuré d'âge x) = mEx x V AP (calculée à t = m, assuré d'âge x + m). Démontrons-le sur trois exemples en utilisant les nombres de commutation : - Pour le capital différé :

On le démontre facilement avec Dx+m+n Dx

Dx+m Dx+m+n done m+n E x = Dx Dx+m

m

E x n E x+m

- Pour la temporaire décès d'un an différée de m années: n Dx+m C x+m -+- donc m+nl1 A x Dx Dx+m

- Pour la rente : Dx+m N x+m+1 Dx Dx+m

=

m

E x nl1 A x+m

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

263

Démonstration La démonstration générale s'obtient facilement à partir des deux premiers cas. Il suffit de remarquer qu'un engagement sur une tête est une juxtaposition d'engagements élémentaires en cas de vie ou en cas de décès, et que l'espérance mathématique d'une somme de variables aléatoires est la somme des espérances mathématiques de ces variables. 5.5.

Calculs prospectif et rétrospectif de la provision mathématique

Plusieurs conceptions du calcul de la prOVlSlOn mathématique sont envisageables : prospective, rétrospective et comptable. 5.5.1.

La conception prospective

La conception prospective consiste simplement à appliquer la définition donnée ci-dessus en calculant la différence entre les valeurs actuelles probables des engagements respectivement pris par l'assureur et par les assurés. Cette façon de procéder permet de respecter les principes d'une saine gestion comptable, qui exige que les provisions constituées au bilan soient suffisantes pour faire face aux charges futures correspondantes. Pour cela, ces charges doivent être évaluées, à chaque inventaire, prudemment et à l'aide des données les plus récentes dont dispose l'entreprise. Il est souhaitable que les tables de mortalité les plus récentes soient prises en compte et que le taux d'actualisation retenu soit compatible avec les conditions de marché du moment. Or, ces éléments techniques ont pu évoluer depuis la date de la souscription du contrat, de sorte qu'il peut apparaître nécessaire d'effectuer le calcul de la provision mathématique sur des bases techniques différentes de celles qui ont été retenues pour l'établissement du tarif. La conception prospective le permet, puisqu'elle consiste, en somme, à refaire un calcul de tarif à une date postérieure à la souscription. 5.5.2.

La conception rétrospective

La conception rétrospective du calcul des provisions mathématiques est de portée moins générale que la conception prospective. Elle ne concerne que les contrats pour lesquels le principe d'escompte viager s'applique (or, nous n'avons montré ce principe que pour une tête : il n'est pas nécessairement applicable sinon). Elle consiste à considérer, non pas les engagements futurs de l'assureur et de l'assuré, mais leurs engagements passés, de la souscription du contrat à la date t de calcul de la provision. On a alors V AP(O, a) =olt V AP(O, a) +t Ex t V AP(t, a)

c'est-à-dire que la valeur actuelle probable des engagements de l'assuré, à l'origine~ est égale à la somme de la valeur acuelle probable de ces mêmes

264

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

engagements pour la période (0, t) et de la valeur actuelle des engagements résiduels à la date t escomptés viagèrement de t années, sur la tête x. De même, on a V AP(O, A)

=Olt

V AP(O, A)

+t

Ex t V AP(t, A)

et donc, par différence, et compte tenu du fait qu'à la souscription, les engagements de l'assureur et de l'assuré ont même valeur actuelle probable Olt V AP(O,

a)

=Olt

V AP(O, A)

+t

Ex t V

ce qui permet de calculer t V en considérant uniquement les engagements pris sur la période passée (0, t). Dans le cas où le principe d'escompte viager (voir ci-dessus) ne s'applique pas, car plus de deux situations peuvent se produire à l'instant t, la méthode rétrospective n'est pas utilisable, car elle ne donne qu'une seule valeur pour la PM.

5.5.3.

La conception comptable

La conception comptable du calcul des provisions mathématiques est sujette aux mêmes restrictions d'emploi que la conception rétrospective (elle suppose que le principe de l'escompte viager s'applique). Suivant un raisonnement analogue à celui de la conception rétrospective, elle part de la constatation que si la tarification est correcte, le résultat de l'assureur sur une période comptable quelconque (un an par exemple) est nul en valeur actuelle probable. Cela s'écrit, en prenant en ressources les PM de début de période et en emplois les PM de fin de période:

t V +t11 V AP(t, a) =t11 V AP(t, A) +1

EXH t+1 V

Ces formules permettent de déterminer les provisions mathématiques de proche en proche par récurrence.

5.5.4.

Ces trois conceptions sont-elles équivalentes?

Dans le cas où elles sont applicables, les méthodes rétrospective et comptable sont équivalentes à la méthode prospective si les bases techniques retenues pour utiliser cette dernière sont les mêmes que celles du tarif. En cas de divergence, seule la méthode prospective doit être employée. C'est d'ailleurs celle qui figure explicitement dans le code des assurances.

Annexe 6.

Zillmérisation et dézillmérisation

Provision mathématique zillmérisée, provision mathématique dézillrnérisée : quelle est la plus prudente?

265

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Cette problématique n'est à aborder qu'après avoir lu les chapitres 2 (comptabilité) et 6 (assurance vie). En effet: - La question n'a pas de réponse en ne parlant que de provision mathématique, c'est-à-dire du passif du bilan. - Elle suppose que l'on envisage simultanément le passif et l'actif du bilan. Prenons l'exemple d'un contrat mixte à prime annuelle constante (l'essentiel des contrats français d'avant 1980, et des contrats d'aujourd'hui dans de nombreux pays). Pour un contrat de 10 ans, l'assureur garantit un capital de 10 000 € - en cas de décès de l'assuré avant 10 ans; - en cas de survie de l'assuré au terme de 10 ans; moyennant une prime annuelle constante payée aux dates t = 0, 1, 2, ... , 9 en cas de vie de l'assuré à ces dates. Pour nous concentrer sur la seule zillmérisation et faire ressortir le problème sans difficulté de calcul, nous simplifierons beaucoup la mortalité et le taux d'intérêt, en faisant les hypothèses suivantes: - Taux d'intérêt technique i = O. - Taux de rendement des placements j = O. - Pas de clause de participation des assurés aux bénéfices. - Pas de mortalité (lx+t = lx quel que soit t). - Pas de frais annuels de gestion, ni de chargement de gestion, ni de chargement de sécurité. - L'assuré ne met pas fin prématurément au contrat. Avec des frais d'acquisition de 1 000 € dépensés à t = 0, le calcul tarifaire donne donc 10 primes annuelles valant chacune 1 100

= 1 000

(prime pure)

+ 100

(chargement d'acquisistion)

En effet, sous les hypothèses du tarif et sur l'ensemble de la durée de 10 ans, le contrat ne dégage ni bénéfice ni perte. On peut vérifier que c'est le cas en remarquant que l'assureur: - encaisse, de t = 0 à t = 9, 10 x 1 100 = Il 000 ; - décaisse à t = 0 les frais de 1 000, et investit le reste (au taux j = 0, il est vrai peu rémunérateur) ; - décaisse à t = 10 le capital de 10 000. 6.1.

Provision ordinaire ou zillmérisée de quatrième année 4V "

+

engagement résiduel pur de l'assureur engagement résiduel de frais engagement résiduel de l'assuré

la 000

a - 6 x 1 100

3400

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

266

6.2.

Provision non zillmérisée ou NZ

Dans une provision N Z, conventionnellement on ne tient pas compte de l'engagement de l'assuré de payer des chargements d'acquisition (donc II 4 VNZ >4 V") . 4

v'Jv Z

engagement résiduel pur de l'assureur

10 000

+ engagement résiduel de frais

o

engagement résiduel de l'assuré hors chargements d'acquisition

-6xl000 4000

6.3.

Laquelle est la plus prudente ?

De t = 0 à t = 4, le contrat n'a amené ni bénéfice ni perte réelle. On peut le vérifier en remarquant que - l'engagement net est de 4 V" = 3 400 ; - l'assureur a encaissé 4 primes de 1 100 et dépensé 1 000. Sous les hypothèses du tarif, il dispose bien au titre de ce contrat de 4 x 1 1001 000 = 3 400 de placements à l'actif. La comptabilisation de la provision de 4 V" = 3 400 découpe les 10 années en deux sous-périodes équilibrées (sous les hypothèses du tarif) : - de t = 0 à t = 4, Ol4R = 4 x 1 100 - 1 000 -

- de t

4

V" = 0

= 4 à t = 10, 416R =4 V"

+6 x

1 100 - 10 000 = 0

Considérons un assureur A qui ait, outre le passif de 3 400 et les placement afférents de 3 400, des fonds propres SNCo affectés à la sécurité des opérations. Ce montant ou Situation Nette Comptable figure au passif en tant qu'excédent de l'actif réel sur le passif réel. ACTIF Placements (ce contrat) Placements (autres contrats)

+ autres actifs

PASSIF 3400

AD

SNCo Provisions (ce contrat) Provisions (autres contrats)

+ autres passifs

= AD -

Po

3400

Po

Supposons que le plan comptable change, et demande ou permette à A d'inscrire désormais 4 VJz = 4 000 au passif. Le nouveau bilan est-il plus ou moins prudent? Les trois solutions que l'on rencontre conduisent à trois réponses: pour faire image, nous les appellerons respectivement F (comme française), S (comme suisse), US (comme américaine), ou U.

267

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Solution F, neutre Le plan comptable demande d'inscrire exactement 600 = 4 000 - 3400 de frais d'acquisition reportés à l'actif. ACTIF Placements (ce contrat) Placements (autres contrats)

PASSIF 3400

=SNCo 4000

SNCF Provisions (ce contrat)

+ autres actifs

Ao

Provisions (autres contrats)

Frais d'acquisition (ce contrat)

600

+ autres passifs

Alors

S N CF

= Ao + 3 400 + 600 -

Po - 4 000

Po

= SN Co

car passif et actif ont été relevés du même montant. Cette solution est celle de l'adaptation française de la directive comptable européenne, c'est-à-dire celle du plan comptable français en vigueur depuis les comptes de 1995. Dans ce cadre, la provision N Z n'est ni plus prudente ni moins prudente que la provision Z.

Solution S, prudente La société n'inscrit pas de frais d'acquisition reportés à l'actif. PASSIF

ACTIF Placements (ce contrat) Placements (autres contrats)

+ autres actifs Frais d'acq. (ce contrat) Alors

SN Cs

3400 SNCs Provisions (ce contrat)

Ao 0

= SNCo - 600 4000

Provisions (autres contrats)

+ autres passifs

= Ao + 3 400 -

Po -

4 000

Po

= SN Co -

600

Cette solution est plus prudente que la solution F : en effet, si S N Cs = SNCo - 600 alors que rien dans le déroulement des contrats n'a changé, c'est que l'assureur a constaté 600 de pertes comptables dans le passé. Sous les hypothèses tarifaires, il devra donc constater 600 de bénéfices dans le futur.

Solution U, moins prudente La société inscrit plus de 600 de Frais d'Acquisition reportés à l'actif parce qu'elle inscrit les 1 000 de Frais initialement dépensés diminués de 20 % d'amortissement, soit 800. ACTIF Placements (ce contrat) Placements (autres contrats)

+ autres actifs Frais d' acq. (ce contrat)

PASSIF 3400 SNCu Provisions (ce contrat)

Ao 800

= SNCo +200 4 000

Provisions (autres contrats)

+ autres passifs

Po

268

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Alors

SNCu = Ao + 3400 + 800 - Po - 4000 = SNCo + 200 SNCu = SNCo + 200, car le passif a été relevé de 600 mais l'actif de 800. Cette solution est moins prudente que la solution F. En effet, si SN Cu = SN Co + 200 alors que rien dans le déroulement des contrats n'a changé, c'est que l'assureur a constaté 200 de bénéfices comptables dans le passé. Sous les hypothèses tarifaires, il constatera donc 200 de pertes dans le futur. Remarque Dans ce qui précède, nous avons supposé, comme il est d'usage quasi général, que - la valeur de rachat garantie à l'assuré n'est pas supérieure à la provision zillmérisée ; - l'on ne peut avoir V" < O. Mais dans les cas où ces deux conditions ne sont pas respectées, il convient de ne pas oublier que, dans la réglementation actuelle, l'engagement comptabilisé doit être sup (t V", 0, valeur de rachat)

6.4.

Dézillmériser ou hyperzillmériser ?

La France, en 1981, est passée du cas S ci-dessus au cas O. Cette opération, dite zillmérisation, a dégagé cette année là un bénéfice non récurrent (et imposé) SNCo - SNCs. En 1995, elle est passée pour des raisons d'harmonisation comptable européenne du cas 0 au cas P, équivalent mais un peu moins clair à notre sens. Certains assureurs, pour leurs comptes consolidés, se sont inspirés dans les années 90 du cas U en dégageant le bénéfice non récurrent SN Cu SNCo et en qualifiant de dézillmérisation l'opération. Linguistiquement, il semble peu logique qu'une opération nommée dézillmérisation produise un bénéfice tout comme l'avait fait la zillmérisation. C'est pourquoi le terme d'hyperzillmérisation nous paraît plus approprié. Annexe 7.

Résultat de l'année et capital sous risque

Considérons un contrat quelconque comportant -- d es pnmes quelconques 7ro, 7r tl , ... , 7r tk · "" " , ... , 7rtf " payabl es aux époques 0, tl, ... , tk, ... , tf ; - des capitaux payables en cas de décès Ct payable à t (si l'assuré décède à t).

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

7.1.

269

Le résultat de l'année k, si les primes sont payables en début d'année et les capitaux décès en fin d'année

Supposons dans un premier temps, pour simplifier les notations et ne considérer que des dates entières, que - tk = k ; - Ck est payable à la date k en cas de décès dans la période (k - 1, k) (et non comme il est usuel au moment du décès). Plaçons-nous au début de la k-ième année, à la date k - 1. Si, sur no assurés à l'époque 0, subsistent nv, k-lassurés vivants à la date k - 1, le résultat de k-ième année est: - ex ante, la variable aléatoire

où Nd, k est le nombre aléatoire de décès de l'année, et N v , k celui des assurés vivants à l'époque k. Par construction de k V

- ex post, le résultat observé

avec

7.2.

Le capital sous risque

On peut réécrire Rk en isolant ce qui dépend du nombre aléatoire de décès:

d'où

En définissant le capital sous risque de l'époque k

égal au capital garanti en cas de décès diminué de la PM,

270

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

On peut voir sur quelques exemples que le capital sous risque de l'époque k ainsi défini peut être - positif, comme dans le cas d'un contrat temporaire décès d'un an où

- négatif, comme dans le cas d'un contrat de capital différé où

- nul, comme dans le cas du bon d'épargne à prime unique

7r

où

On peut définir un contrat en cas de décès comme un contrat pour lequel le capital sous risque est positif, et un contrat en cas de vie comme un contrat pour lequel le capital sous risque est négatif (à l'époque k du moins, un contrat pouvant changer de caractéristique d'une époque à l'autre). En ce cas : • Dire qu'un contrat est en cas de décès la k-ième année équivaut à dire que, dans ce contrat un nombre de décès plus grand que prévu par le tarif fait subir une perte à l'assureur. Puisque E(R k ) = 0, - si c~ > 0, alors

- inversement, si c~

< 0, alors

• Dire qu'un contrat est en cas de vie la k-ième année équivaut à dire que dans ce contrat la provision mathématique d'un assuré qui survit s'accroît plus, au cours de la k-ième année, que par simple capitalisation de la provision précédente et de la prime de l'année. Puisque E(Rk) = - si c~ < 0, alors

°:

- inversement si c~ > 0, alors

kV> Ex post,

(k-l V

+ 7rk-l)

x (1 + i)

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

7.3.

271

Le résultat de l'année si Ct est payable au moment du décès

On vérifiera que si le capital décès Ct est payable au moment du décès, c'est-à-dire en faisant l'approximation habituelle d'un paiement de Ck-O,5 à l'époque k-O, 5 en cas de décès au cours de la k-ième année, les équations précédentes se compliquent un peu et deviennent

soit

On définit alors le capital sous risque de l'époque k - 0,5 par kV

1

ck-O,5

Annexe 8.

= Ck-O,5 -

(

1+ i

)0 '5

Les risques de taux encourus par l'assureur

L'objet de cette annexe est de traiter, sous forme d'exercice, le problème des risques de taux encourus par l'assureur de manière plus détaillée et réaliste que dans le texte. Un contrat de capitalisation d'une société d'assurances présente les caractéristiques suivantes : - Le souscripteur paie une prime unique 1rl! = 1r+ chargements. Dans tout le problème, on considérera que le chargement couvre exactement l'ensemble des frais exposés et on limitera l'étude aux primes et aux engagements purs. - L'assureur s'engage à verser un capital c

= 1r (1 + it = 10 000

€

avec n = 10 ans et i = 8 %. - La clause de participation aux bénéfices (PB) affecte chaque année globalement à l'ensemble des souscripteurs 95 % des produits financiers engendrés par les contrats. Cette participation globale est attribuée individuellement à chaque assuré sous forme d'une revalorisation de sa garantie au terme de chaque année. - À tout moment avant le terme, l'assureur s'engage à verser à la demande du souscripteur une valeur de rachat égale à la valeur actuelle de son engagement au terme (actualisé au taux i). 1. Tarification du contrat à. l'origine Calculer la prime pure 1r et les valeurs de rachat successives avant PB. Dresser les 10 années de comptes prévisionnels sous les hypothèses du tarif.

272

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

2. Étude d'un portefeuille de contrats après sa souscription On suppose que l'assureur vend simultanément N = 1 000 contrats identiques et que les primes pures collectées sont investies dans des obligations remboursables dans 10 ans et détachant un coupon au taux de i' = 10 %. On suppose de plus qu'à partir de la première année et jusqu'au terme des 10 ans, les taux d'intérêts des marchés financiers sur lesquels l'assureur replacera si nécessaire les coupons échus des obligations achetées initialement seront constamment égaux à j. On suppose également que les souscripteurs ne demandent pas le rachat de leur contrat avant le terme. Calculer le bénéfice de l'assureur en fin de première année, puis en fin de deuxième année, avec les trois hypothèses suivantes: j = 10 % ;

j

= 5 %;

j

= 20 %

Dresser les 10 années de comptes prévisionnels dans chaque cas. Commenter les résultats. 3. On reprend les hypothèses du 2° mais cette fois ci on suppose que les souscripteurs demandent massivement le rachat de leur contrat au bout de 1, 5 ou 8 ans. On dressera une, cinq ou huit années de comptes prévisionnels selon les cas, dans chacune des hypothèses pour j, et on commentera les résultats.

Solution 1. La prime pure est donnée par 7r

= c(l + i)-lO =

4 631,93 €

Les valeurs de rachat successives avant participation aux bénéfices sont données par

k

Vk

1

500249 €

2

5402,69 €

3

5,834,90 €

4

6301,70 €

5

6805,83 €

6

7350,30 €

7

7938,32 €

8

8573,39 €

9

9259,26 €

10

10 000,00 €

273

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Comptes de résultats prévisionnels sous les hypothèses du tarif On suppose que les placements n'engendrent pas de bénéfice financier affect able à la PB. On suppose également que le contrat va jusqu'à son terme (pas de rachat). On a alors: Comptes de résultat simplifiés pour un contrat Exercice

Prime

Produits financiers

Dotation aux provisions

Résultat

1

4 631,93 €

370,55 €

5 002,49 €

0,00 €

2

0,00 €

400,20 €

400,20 €

0,00 €

3

0,00 €

432,22 €

432,22 €

0,00 €

4

0,00 €

466,79 €

466,79 €

0,00 €

5

0,00 €

504,14 €

504,14 €

0,00 €

6

0,00 €

544,47 €

544,47 €

0,00 €

7

0,00 €

588,02 €

588,02 €

0,00 €

8

0,00 €

635,07 €

635,07 €

0,00 €

9

0,00 €

685,87 €

685,87 €

0,00 €

10

0,00 €

740,74 €

740,74 €

0,00 €

Les provisions à constituer à la fin de l'exercice k sont égales à Vk . La dotation aux provisions est égale à Vk - Vk - 1 . Les produits financiers sont égaux à iVk-l (ou à in} Le résultat est égal à Prime + Produits financiers - Dotation aux proVlSlOns.

2. a) Détermination des produits financiers Les produits financiers de première année sont égaux (pour un contrat) à i'Jr. Ceux de seconde année sont égaux à

i'Jr

+ ji'Jr =

i'Jr(l

+ j)

(placement des produits financiers de première année au taux j). Ceux de troisième année sont égaux à i'Jr

et ainsi de suite.

+ ji'Jr + j(i'Jr + ji'Jr)

= i'Jr(l

+ j)2

274

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Ceux de k- ième année sont égaux à

= 10 %

j=5%

1

463,19 €

463,19 €

463,19 €

2

509,51 €

486,35 €

555,83 €

3

560,46 €

510,67 €

667,00 €

4

616,51 €

536,20 €

800,40 €

5

678,16 €

563,01 €

960,48 €

6

745,98 €

591,17 €

1 152,57 €

7

820,58 €

620,72 €

1 383,09 €

8

902,63 €

651,76 €

1 659,71 €

9

992,90 €

684,35 €

1 991,65 €

10

1 092,19 €

718,57 €

2389,98 €

k

j

j

= 20 %

b) Comptes de participation aux bénéfices Les comptes de participation aux bénéfices se présentent comme suit 95 % des PF j = 10 %

Dot. aux provisions

Solde k

Provisions

440,03 €

5071,97 €

0,00 €

5071,97 €

0,00 €

484,04 €

484,04 €

0,00 €

5556,01 €

3

0,00 €

532,44 €

532,44 €

0,00 €

6088,45 €

4

0,00 €

585,69 €

585,69 €

0,00 €

6674,13 €

5

0,00 €

644,25 €

644,25 €

0,00 €

7318,39 €

6

0,00 €

708,68 €

708,68 €

0,00 €

8027,06 €

7

0,00 €

779,55 €

779,55 €

0,00 €

8806,61 €

8

0,00 €

857,50 €

857,50 €

0,00 €

9664,11 €

9

0,00 €

943,25 €

943,25 €

0,00 €

10607,36 €

10

0,00 €

1 037,58 €

1 037,58 €

0,00 €

11 644,94 €

k

Primes

1

4631,93 €

2

275

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

k

Primes

95 % des PF j = 10 %

Dot. aux provisions

1

4 631,93 €

440,03 €

5071,97 €

0,00 €

5071,97 €

2

0,00 €

462,04 €

462,04 €

0,00 €

5534,00 €

3

0,00 €

485,14 €

485,14 €

0,00 €

6019,14 €

4

0,00 €

509,39 €

509,39 €

0,00 €

6 528,54 €

5

0,00 €

534,86 €

534,86 €

0,00 €

7063,40 €

6

0,00 €

561,61 €

565,07 €

- 3,46 €

7628,47 €

7

0,00 €

589,69 €

610,28 €

- 34,06 €

8238,75 €

8

0,00 €

619,17 €

659,10 €

- 63,98 €

8897,85 €

9

0,00 €

650,13 €

711,83 €

- 125,68 €

9609,68 €

10

0,00 €

682,64 €

768,77 €

- 211,82 €

10 378,45 €

Dot. aux provisions

Solde k

Provisions

k

Primes

95 % des PF j = 20 %

Solde k

Provisions

1

4 631,93 €

440,03 €

5071,97 €

0,00 €

5071,97 €

2

0,00 €

528,04 €

528,04 €

0,00 €

5600,01 €

3

0,00 €

633,65 €

633,65 €

0,00 €

6233,66 €

4

0,00 €

760,38 €

760,38 €

0,00 €

6994,04 €

5

0,00 €

912,45 €

912,45 €

0,00 €

7906,49 €

6

0,00 €

1 094,94 €

1 094,94 €

0,00 €

9001,44 €

7

0,00 €

1 313,93 €

1 313,93 €

0,00 €

10315,37 €

8

0,00 €

1 576,72 €

1 576,72 €

0,00 €

11 892,09 €

9

0,00 €

1 892,06 €

1 892,06 €

0,00 €

13 784,15 €

10

0,00 €

2270,48 €

2 270,48 €

0,00 €

16054,63 €

276

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

c) Comptes prévisionnels j = 10 % Exercice

Prime

1

4631,93 €

2

Produits financiers

Dot. aux provisions

Résultat

463,19 €

5071,97 €

23,16 €

0,00 €

509,51 €

484,04 €

25,48 €

3

0,00 €

560,46 €

532,44 €

28,02 €

4

0,00 €

616,51 €

585,69 €

30,83 €

5

0,00 €

678,16 €

644,25 €

33,91 €

6

0,00 €

745,98 €

708,68 €

37,30 €

7

0,00 €

820,58 €

779,55 €

41,03 €

8

0,00 €

902,63 €

857,50 €

45,13 €

9

0,00 €

992,90 €

943,25 €

49,64 €

10

0,00 €

1 092,19 €

1 037,58 €

54,61 €

j=5% Exercice

Prime

Produits financiers

Dot. aux provisions

Résultat

1

4631,93 €

463,19 €

5071,97 €

23,16 €

2

0,00 €

486,35 €

462,04 €

24,32 €

3

0,00 €

510,67 €

485,14 €

25,53 €

4

0,00 €

536,20 €

509,39 €

26,81 €

5

0,00 €

563,01 €

534,86 €

28,15 €

6

0,00 €

591,17 €

565,07 €

26,09 €

7

0,00 €

620,72 €

610,28 €

10,45 €

8

0,00 €

651,76 €

659,10 €

- 7,34 €

9

0,00 €

684,35 €

711,83 €

- 27,48 €

10

0,00 €

718,57 €

768,77 €

- 50,21 €

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

277

j = 20 % Exercice

Prime

1

4 631,93 €

2

Produits financiers

Dot. aux provisions

Résultat

463,19 €

5 071,97 €

23,16 €

0,00 €

555,83 €

528,04 €

27,79 €

3

0,00 €

667,00 €

633,65 €

33,35 €

4

0,00 €

800,40 €

760,38 €

40,02 €

5

0,00 €

960,48 €

912,45 €

48,02 €

6

0,00 €

1 152,57 €

1 094,94 €

57,63 €

7

0,00 €

1 383,09 €

1 313,93 €

69,15 €

8

0,00 €

1 659,71 €

1 576,72 €

82,99 €

9

0,00 €

1 991,65 €

1 892,06 €

99,58 €

10

0,00 €

2 389,98 €

2 270,48 €

119,50 €

3. Rachat massif au bout de 1, 5 ou 8 ans On peut supposer que l'assureur va vendre l'ensemble de ses actifs pour faire face aux rachats. La question consiste donc à déterminer la plus ou moins-value de cession. Les intérêts étant replacés au taux du marché, et celui-ci ne variant pas pendant la durée du contrat, les seules sources de plus ou moins-values résident dans le placement initial. Celui-ci, de montant 7f, ayant été faits au taux i', il a une valeur de marché égale à

~ ri' + (j - i') (1 + j)-n]

J n années avant son échéance. Il faut donc ajouter 7f

-:- ri' + (j - i') (1 + j)-n] J au résultat comptable de l'exercice considéré.

7f

Années avant échéance Taux de replacement

9

5

0,00 €

0,00 €

0,00 €

j=5%

1 646,15 €

1 002,69 €

430,63 €

= 20 o/c

- 1 867,12 €

- 1 385,23 €

- 707,66 €

j = 10 %

j

2

278

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

On peut constater qu'en cas de hausse des taux, la perte peut s'avérer extrêmement importante, sans commune mesure avec le bénéfice normal attendu sur ce type de contrats.

Annexe 9.

Exercices

Exercice 1 Probabilités de survie conditionnelles

Montrer que :

P(Tx > k + k') = P(Tx > k) P(Tx+k > k') Solution Soit A l'événement {Tx > k} et B l'événement {Tx > k + k'}. Le principe des probabilités conditionnelles s'écrit

P(BIA) = P(A n B)j P(A) Or, ici, An B

= B et BIA = {Tx+k > k'}.

Exercice 2 Espérance de vie

Montrer que si l'on fait l'approximation usuelle consistant à supposer que les assurés décèdent en moyenne en milieu d'année, on a 1 lx+l lx+2 lX+3 lw E(Tx ) =-+--+--+--+ ... +2 lx lx lx lx

Solution Pour une variable aléatoire ne prenant que des valeurs entières positives,

E(X)

= P(X 2: 1) + P(X 2: 2) + ... + P(X 2: k) + ...

On vérifie en effet que

LkP(X

= k) = LP(X 2: k)

1 Désignons par T~ la variable aléatoire T x - 2' D'après l'approximation des décès en milieu d'année, elle ne prend que des valeurs entières. D'autre 1 part, on a évidemment E(Tx ) = E(T~) + 2' et pour tout entier k,

puisque les décès ont lieu en milieu d'année.

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

279

Donc E(T~)

= P(T~ 2: 1) + P(T~ 2: 2) + ... + P(T~ 2: k) + .. . = P(Tx 2: 1) + P(Tx 2: 2) + ... + P(Tx 2: k) + .. . lw =lx+l - +lx+2 - + lx+3 - + ... +lx

lx

lx

lx

Par suite on a bien III l 13 l E(Tx)=E(T')+-=-+ x+l+ x+2+~+ ... +..::::.. x 2 2 lx lx lx lx Exercice 3

Effectifs probables d'une caisse de retraite Depuis toujours, une caisse de retraite recrute chaque année 1 000 adhérents de 30 ans. Ces adhérents cotisent jusqu'à 65 ans, âge auquel ils deviennent allocataires. À partir de la table TV 88-90, calculer les nombres probables des cotisants et allocataires actuels. Solution L'effectif probable des adhérents à la caisse de retraite est

2:: lx 110

1 000 (

x=30 l30

l

Celui des cotisants est

Et celui des retraités est

Numériquement: 34 018 cotisants, 18 327 retraités.

280

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Exercice 4 Probabilités viagères La mortalité d'un homme d'âge x et celle d'une femme d'âge y sont données par la table TV 88-90. On suppose que les deux lois de survie sont indépendantes. 1. Calculer la probabilité pour que la femme survive dans n années et que simultanément l'homme décède avant cette date. 2. Sachant qu'il n'y a qu'un survivant à l'époque n, quelle est la probabilité pour que ce soit l'homme? 3. Exprimer, en fonction des nombres probables de vivants, l'espérance de vie de x et celle de y. 4. Exprimer de même la probabilité pour que x décède avant y.

Application numérique

x = 60 ans, y = 65 ans, n = 10 ans. Solution 1. La probabilité pour que la femme survive dans n années est ly+n ly La probabilité pour que l'homme soit décédé avant la date n est

1 _ lx+n lx Compte tenu de l'indépendance des lois de survie, la probabilité cherchée est le produit des deux :

Pp \:n (1 _l~:n ) =

De même, la probabilité pour que l'homme survive seul à la date n est

Application numérique PF

= h5 ( 1 - l60 ho) l65

PM =

ho l60

(1-

= 7,16

%

h5) l65 = 12, 24 %

2. La probabilité pour qu'il y ait exactement un survivant à la date n est égale à PF+PM. Sachant que cet événement s'est réalisé, la probabilité pour que l'homme soit le survivant est :

281

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

Application numérique

PM PF

+ PM

= 63,09

%

3. L'espérance de vie (voir exercice 2 ci-dessus) de x est approximativement égale à : E(Tx )

= -1 + -lx+l + -lx+2 + -lX+3 + ... + -lw = 24,02 ans 2

lx

lx

lx

lx

De même, l'espérance de vie de y est égale à : E(Ty )

= -1 + -lY+l + -lY+2 + -ly+3 + ... + -lw = 19,76 ans 2

ly

ly

ly

ly

4. La probabilité P pour que x décède avant y s'exprime rigoureusement par:

On approxime cette intégrale par une somme finie :

Application numérique P = 35,32 %

(calcul effectué au tableur). Exercice 5 Groupes de têtes On considère trois personnes d'âges actuels (x, y, z). 1. Exprimer en fonction de mPx, mPy, mPz les probabilités que a) le premier des trois décès ; b) le second des trois décès ; c) le troisième des trois décès survienne dans plus de m années.

282

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

2. Exprimer de même les probabilités que a) le premier des trois décès ; b) le second des trois décès ; c) le troisième des trois décès survienne dans plus de m années et moins de m

+ n années.

Applications numériques Table TV 88-90, x = y = z = 40 ans et m = n = 20 ans. Solution 1. a) La probabilité Pa pour que le premier des trois décès ait lieu après la date m est égale à : Pa

=

mPxyz

=

mPx mPy mPz

Les trois têtes doivent en effet avoir survécu.

Application numérique Pa = 84,06 %

1. b) La probabilité Pb pour que le deuxième des trois décès ait lieu après la date m est égale à la somme des probabilités de quatre événements incompatibles - x, y et z décèdent après la date m : mPxyz ; - x décède avant la date m et y et z après: (1 -m Px)mpymPz - y décède avant la date m et x et z après: (1 - m py)mPx mPz ; - z décède avant la date m et x et y après: (1 -m pz)mPx mPy. En additionnant ces quatre probabilités, on obtient : mPx mPy

+m Py

mPz

+m Px

mPz - 2mPxyz

C'est-à-dire : Pb

=m

Pxy

+ mPyz + mPxz -

2mPxyz

Application numérique Pb = 99,09 %

1. c) La probabilité 1 - Pc pour que le troisième décès ait lieu avant la date m est égale à

1 - Pc

=

(1 - mPx) (1 - mPy) (1 - mPz)

Les trois têtes doivent en effet être décédées à la date m. D'où Pc = 1 - (1 - mPx) (1 - mPy) (1 - mPz)

Application numérique Pc = 99,98

%

2. a) La probabilité p~ pour que le premier des trois décès ait lieu entre les dates m et m + n est égale à : p~

=

mPxyz - m+nPxyz

=

mPxmPymPz -m+n Pxm+nPy ,m+nPz

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie

283

Application numérique P~ = 54,41

%

2. b) On a vu au 1. b) que la probabilité pour que le deuxième des trois décès ait lieu après la date m est égale à mPxy

+ mPyz + mPxz

- 2mPxyz

De même, la probabilité pour que le deuxième des trois décès ait lieu après la date m + n est égale à m+nPxy

+ m+nPyz + m+nPxz -

2m+nPxyz

la probabilité cherchée est égale à la différence des deux : P~

= mPxy + mPyz + mPxz - 2mPxyz - (m+nPxy + m+nPyz + m+nPxz -

2m+npxyz)

Application numérique Pb

= 24,99 %

2. c) La probabilité pour que le troisième décès ait lieu avant la date m est égale à (1 - mPx) (1 - mPy) (1 - mPz) La probabilité pour qu'il ait lieu avant m

+ n est de même égale à

(1 - m+nPx) (1 - m+nPy) (1 - m+nPz) La probabilité cherchée est donc la différence des deux, soit P~

= (1- m+nPx)(l- m+nPy)(l- m+nPz) Application numérique Pc = 3,68 %

(1- mPx) (1- mPy) (1- mPz)

284

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Annexe 10.

Tables de mortalité TV, TD et TPRV

TV 88-90, TD 88-90 et TPRV 93 Âge x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

TV

TD

TP

lx lx lx 100000 100000 100000 99352 99 129 97047 99294 99057 95995 99261 99010 95793 99236 98977 95653 99214 98948 95556 99 194 98921 95515 99 177 98897 95477 99 161 98876 95442 99 145 98855 95410 99 129 98835 95379 99 112 98814 95359 99096 98793 95336 99081 98771 95311 99062 98 745 95284 99041 98712 95254 99018 98667 95221 98989 98606 95 185 98955 98520 95 144 98913 98406 95 101 98869 98277 95056 98823 98 137 95008 98778 97987 94957 98734 97830 94904 98689 97677 94850 98640 97524 94794 98590 97373 94736 98537 97222 94677 98482 97070 94617 98428 96916 94555 98371 96759 94491 98310 96597 94424 98247 96429 94356 98 182 96255 94285 98 111 96071 94211 98031 95878 94 133 97942 95676 94050 97851 95463 93963 97753 95237 93871 97648 94997 93774 97534 94746 93670

Âge

TV

TD

TP

Âge

TV

TD

TP

x 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

lx 97534 97413 97282 97 138 96981 96810 96622 96424 96218 95995 95752 95488 95202 94892 94560 94215 93848 93447 93014 92545 92050 91 523 90954 90343 89687 88978 88226 87409 86513 85522 84440 83251 81 936 80484 78880 77 104 75 136 72 981 70597 67962 65043

lx 94746 94476 94 182 93868 93515 93 133 92727 92295 91833 91 332 90778 90 171 89511 88791 88011 87 165 86241 85256 84211 83083 81884 80602 79243 77807 76295 74720 73075 71 366 69559 67655 65649 63543 61 285 58911 56416 53818 51 086 48251 45284 42203 39041

lx 93670 93560 93442 93318 93 185 93043 92892 92732 92560 92378 92 183 91 976 91 756 91 520 91 273 91 013 90 741 90455 90 155 89844 89523 89 191 88849 88498 88 126 87733 87319 86882 86422 85911 85343 84711 84007 83224 82337 81 333 80 198 78913 77462 75840 74030

x 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114

lx 65043 61 852 58379 54614 50625 46455 42 130 37738 33340 28980 24739 20704 16959 13 580 10 636 8 118 6057 4378 3096 2 184 1 479 961 599 358 205 113 59 30 14 6 2

lx 39041 35824 32 518 29220 25962 22780 19725 16843 14 133 Il 625 9389 7438 5763 4350 3211 2 315 1 635 1 115 740 453 263 145 76 37 17 7 2

lx 74030 72016 69780 67306 64621 61 719 58 596 55255 51 700 47999 44 172 40248 36261 32253 28330 24535 20914 17513 14 373 11 530 9014 6843 5023 3547 2395 1 535 926 519 267 123 50 17 5 1 0

EXTRAITS DU CODE DES ASSURANCES À jour au 30 juin 2010

Nous avons repris ici et simplifiés les articles essentiels du titre III du livre III du Code des assurances ayant trait au régime financier des entreprises ainsi que les autres articles du code en permettant la compréhension. Nous n'avons pas repris ce qui a trait au droit du contrat des assurances (livres 1 et II), aux organismes particuliers d'assurance (livre IV), aux intermédiaires d'assurance (livre V), ainsi que certains articles concernant des branches spécifiques du code des assurances comme par exemple les provisions en assurance construction ou pour les contrats euro diversifié. En outre, nous avons ciblé les opérations d'assurance effectuées en France métropoli taine. La réglementation évoluant en permanence, nous invitons le lecteur à consulter le site internet www.legifrance.gouv.fr pour y trouver une version de la réglementation à jour ainsi que l'intitulé complet des extraits simplifiés figurant ci-après.

1)

Les provisions techniques

Article R.331-1 Les engagements réglementés dont les entreprises ( ... ) doivent, à toute époque, être en mesure de justifier l'évaluation sont les suivants: 1° Les provisions techniques suffisantes pour le règlement intégral de leurs engagements vis-à-vis des assurés, des entreprises réassurées et bénéficiaires de contrats; 2° Les postes du passif correspondant aux autres créances privilégiées; 3° Les dépôts de garantie des agents, des assurés et des tiers, s'il y a lieu; 4° Une réserve d'amortissement des emprunts ( ... ) ; 5° Une provision de prévoyance en faveur des employés et agents destinée à faire face aux engagements pris par l'entreprise envers son personnel et ses collaborateurs.

286

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Les provisions techniques ( ... ) sont calculées, sans déduction des réassurances cédées ( ... ).

Article R.331-1-1 1. Lorsque les garanties d'un contrat sont exprimées dans une monnaie déterminée, les engagements ( ... ) sont libellés dans cette monnaie. 2. Lorsque les garanties d'un contrat ne sont pas exprimées dans une monnaie déterminée, les engagements ( ... ) sont libellés dans la monnaie du pays où le risque est situé. Toutefois, cette entreprise peut choisir de libeller ses engagements dans la monnaie dans laquelle la prime est exprimée si, dès la souscription du contrat, il paraît vraisemblable qu'un sinistre sera payé, non dans la monnaie du pays de situation du risque, mais dans la monnaie dans laquelle la prime a été libellée. ( ... ) A) Les provisions techniques non vie

Article R. 331-6 Les provisions techniques ( ... ) sont les suivantes: 1° Provision mathématique des rentes: valeur actuelle des engagements de l'entreprise en ce qui concerne les rentes et accessoires de rentes mis à sa charge; 2° Provision pour primes non acquises: provision ( ... ) destinée à constater, pour l'ensemble des contrats en cours, la part des primes émises et des primes restant à émettre se rapportant à la période comprise entre la date de l'inventaire et la date de la prochaine échéance de prime ou, à défaut, du terme du contrat; 2° bis Provision pour risques en cours: provision ( ... ) destinée à couvrir, pour l'ensemble des contrats en cours, la charge des sinistres et des frais afférents aux contrats, pour la période s'écoulant entre la date de l'inventaire et la date de la première échéance de prime pouvant donner lieu à révision de la prime par l'assureur ou, à défaut, entre la date de l'inventaire et le terme du contrat, pour la part de ce coût qui n'est pas couverte par la provision pour primes non acquises; 3° Réserve de capitalisation: réserve destinée à parer à la dépréciation des valeurs comprises dans l'actif de l'entreprise et à la diminution de leur revenu; 4 ° Provision pour sinistres à payer: valeur estimative des dépenses en principal et en frais, tant internes qu'externes, nécessaires au règlement de tous les sinistres survenus et non payés, y compris les capitaux constitutifs des rentes non encore mises à la charge de l'entreprise; 5° Provision pour risques croissants: provision pouvant être exigée ( ... ) pour les opérations d'assurance contre les risques de maladie et d'invalidité et égale à la différence des valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l'assureur et par les assurés; 6° Provision pour égalisation: a) Provision destinée à faire face aux charges exceptionnelles afférentes aux opérations garantissant les risques

Extraits du code des assurances

287

dus à des éléments naturels, le risque atomique, les risques de responsabilité civile dus à la pollution, les risques spatiaux, les risques liés au transport aérien, et les risques liés aux attentats et au terrorisme ( ... ) ; b) Provision destinée à compenser en assurance-crédit la perte technique éventuelle apparaissant à la fin de l'exercice ( ... ) ; c) Provision destinée à faire face aux fluctuations de sinistralité afférentes aux opérations d'assurance de groupe contre les risques de dommages corporels; 7° Provision pour risque d'exigibilité: provision destinée à faire face aux engagements dans le cas de moins-value de l'ensemble des actifs mentionnés à l'article R. 332-20. La provision à constituer est calculée dans les conditions définies au 1 de l'article R. 331-5-1. § 1 - Provision mathématique des rentes

Article L.310-1 Le contrôle de l'État s'exerce dans l'intérêt des assurés ( ... ). Sont soumises à ce contrôle: 1° les entreprises qui sous forme d'assurance directe contractent des engagements dont l'exécution dépend de la durée de la vie humaine ( ... ) ; 2° les entreprises qui sous forme d'assurance directe couvrent les risques de dommages corporels liés aux accidents et à la maladie; 3° les entreprises qui sous forme d'assurance directe couvrent d'autres risques y compris ceux liés à une activité d'assistance. ( ... ) Article A. 331-22 Les provisions techniques des prestations d'incapacité et d'invalidité sont la somme: 1° Des provisions correspondant aux prestations d'incapacité de travail à verser après le 31 décembre de l'exercice au titre des sinistres en cours à cette date majorées des provisions dites pour rentes en attente relatives aux rentes d'invalidité susceptibles d'intervenir ultérieurement au titre des sinistres d'incapacité en cours au 31 décembre de l'exercice; 2° Des provisions correspondant aux prestations d'invalidité à verser après le 31 décembre de l'exercice au titre des sinistres d'invalidité en cours à cette date. Le calcul des provisions techniques de prestations d'incapacité de travail et d'invalidité est effectué à partir des éléments suivants: 1° Les lois de maintien en incapacité de travail et en invalidité ( ... ). Toutefois, il est possible ( ... ) d'utiliser une loi de maintien établie par ses soins et certifiée par un actuaire indépendant de cette entreprise ( ... ) ; 2° Un taux d'actualisation qui ne peut excéder 75 % du TME calculé sur base semestrielle, sans pouvoir dépasser 4,5 %. Ces dispositions ne s'appliquent pas aux prestations issues de contrats d'assurance de groupe souscrites par un établissement de crédit, ayant pour objet la garantie du remboursement d'un emprunt ni à celles issues de contrats d'assurance couvrant des risques visés au 3° du premier alinéa de l'article L. 310-1 du Code des assurances.

288

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Article A. 331-10 Les provisions techniques des rentes d'incapacité et d'invalidité issues de contrats d'assurance couvrant des risques visés au 3° du premier alinéa de l'article L. 310-1 du Code des assurances sont la somme: 1° Des provisions correspondant aux rentes d'incapacité de travail à verser après le 31 décembre de l'exercice au titre des sinistres en cours à cette date majorées des provisions dites pour rentes en attente relatives aux rentes d'invalidité susceptibles d'intervenir ultérieurement au titre des sinistres d'incapacité en cours au 31 décembre de l'exercice; 2° Des provisions correspondant aux rentes d'invalidité à verser après le 31 décembre de l'exercice au titre des sinistres d'invalidité en cours à cette date. Le calcul des provisions techniques de prestations d'incapacité de travail et d'invalidité est effectué à partir des éléments suivants: 1° Une loi de survie en invalidité définie par la table TD 88-90 ( ... ) ; Toutefois, il est possible pour une entreprise ( ... ) d'utiliser une loi de survie en invalidité établie par l'entreprise ( ... ) et certifiée par un actuaire indépendant ( ... ) ; 2° Un taux d'actualisation qui ne peut excéder 60 % du TME ( ... ). Article A. 331-12 Pour le calcul de la provision mathématique, la date de naissance du rentier est reportée au 31 décembre le plus voisin. Il est tenu compte du fractionnement des rentes et de la non-coïncidence de leur entrée en jouissance avec la date de l'inventaire. ( ... ) § 2 - Provision pour primes non acquises et provision pour risques en cours

Article A. 331-16 La provision pour primes non acquises est calculée prorata temporis pour chacune des catégories définies à l'article A. 344-2 du présent code, contrat par contrat ou sur la base de méthodes statistiques. Article A. 344-2 ( ... ) 20 Dommages corporels (contrats individuels) (y compris garanties accessoires aux contrats d'assurance-vie individuels) ; 21 Dommages corporels (contrats collectifs) (y compris garanties accessoires aux contrats d'assurance-vie collectifs) ; 22 Automobile (responsabilité civile); 23 Automobile (dommages) ; 24 Dommages aux biens des particuliers; 25 Dommages aux biens professionnels ; 26 Dommages aux biens agricoles; 27 Catastrophes naturelles; 28 Responsabilité civile générale; 29 Protection juridique; 30 Assistance; 31 Pertes pécuniaires diverses; 34 Transports; 35 Assurance construction (dommages) ; 36 Assurance construction (responsabilité civile) ; 37 Crédit; 38 Caution; 39 Acceptations en réassurance (non-vie). ( ... ) Article A. 331-17 La provision pour risques en cours est calculée dans les conditions fixées au présent article. L'entreprise calcule, contrat par contrat ou par des

Extraits du code des assurances

289

méthodes statistiques, séparément pour chacune des catégories définies à l'article A. 344-2 du présent Code, le montant total des charges des sinistres rattachés à l'exercice écoulé et à l'exercice précédent, et des frais d'administration autres que ceux immédiatement engagés et frais d'acquisition imputables à l'exercice écoulé et à l'exercice précédent; elle rapporte ce total au montant des primes brutes émises au cours de ces exercices corrigé de la variation, sur la même période, des primes restant à émettre, des primes à annuler et de la provision pour primes non acquises; si ce rapport est supérieur à 100 %, l'écart constaté par rapport à 100 % est appliqué au montant des provisions pour primes non acquises et, le cas échéant, des primes qui seront émises, au titre des contrats en cours à la date de l'inventaire, pendant la période définie au 2° bis de l'article R. 331-6; le montant ainsi calculé est inscrit en provision pour risques en cours. Pour l'application du présent alinéa, les sinistres sont rattachés: - à l'exercice de survenance pour les catégories 20 à 31 et pour les acceptations couvrant ces catégories; - à l'exercice de souscription pour les catégories 35 à 38 et pour les acceptations couvrant ces catégories. ( ... ) L'ACAM peut prescrire à une entreprise de prendre des dispositions appropriées pour le calcul prévu au précédent alinéa ( ... ). Article A. 331-18 Pour les acceptations en réassurance ou les contrats collectifs d'assurance, lorsqu'un traité ou un contrat prévoit qu'en cas de résiliation une somme peut devoir être payée au cédant ou au souscripteur en sus du règlement des sinistres et que le total des provisions constituées au titre de ce traité ou de ce contrat à l'exception des provisions pour sinistres à payer est inférieur à cette somme, évaluée dans l'hypothèse où le traité ou le contrat serait résilié à la prochaine date de résiliation possible, la provision pour risques en cours est augmentée de la différence ainsi constatée. Article A. 331-19 La part des réassureurs dans les provisions pour primes non acquises et dans la provision pour risques en cours est calculée dans les mêmes conditions et selon les mêmes méthodes que celles retenues pour le calcul des provisions brutes objet de la cession, sans pouvoir excéder le montant effectivement à la charge des réassureurs tel qu'il résulte de l'application des clauses des traités, compte tenu notamment des prescriptions de l'article A. 331-20 et de toutes les conditions du traité applicables en cas de résiliation à la plus prochaine date de résiliation possible, en particulier lorsque le traité prévoit dans ce cas des pénalités ou restitutions à la charge de la cédante. Article A. 331-20 Lorsqu'un traité ou tout engagement de la cédante, quelle qu'en soit la forme, prévoit un ajustement rétroactif des primes en fonction de la sinistralité constatée ou de tout autre élément de résultat du traité ou d'un

290

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

autre traité, la part du réassureur concerné dans les provisions pour risques en cours est diminuée du montant total des compléments de prime qui, compte tenu de la sinistralité constatée, seront dus en application de cet engagement. Lorsque l'application des dispositions du précédent alinéa conduit à une valeur négative de la part du réassureur dans les provisions pour risques en cours, cette part est inscrite pour une valeur nulle, et la cédante constate, selon le cas, une provision pour charges ou une dette à l'égard du réassureur. § 3 - Provision pour sinistres restant à payer

Article R. 331-15 La provision pour sinistres à payer est calculée exercice par exercice. Sans préjudice de l'application des règles spécifiques à certaines branches ( ... ), l'évaluation des sinistres connus est effectuée dossier par dossier, le coût d'un dossier comprenant toutes les charges externes individualisables; elle est augmentée d'une estimation du coût des sinistres survenus mais non déclarés. La provision pour sinistres à payer doit toujours être calculée pour son montant brut, sans tenir compte des recours à exercer; les recours à recevoir font l'objet d'une évaluation distincte. ( ... ) l'entreprise peut, avec l'accord de l'ACAM, utiliser des méthodes statistiques pour l'estimation des sinistres survenus au cours des deux derniers exercices. Article R. 331-16 La provision pour sinistres à payer ( ... ) est complétée, à titre de chargement, par une évaluation des charges de gestion qui, compte tenu des éléments déjà inclus dans la provision, doit être suffisante pour liquider tous les sinistres. Article R.331-26 La provision pour sinistres restant à payer afférente aux opérations d'assurance des véhicules terrestres à moteur est estimée en procédant à une évaluation distincte: - des sinistres corporels correspondant à des risques de responsabilité civile; - des autres sinistres correspondant à des risques de responsabilité civile; - des sinistres correspondant à des risques autres que ceux de responsabilité civile. Dans chacune de ces trois évaluations, il est fait un calcul séparé par sous-catégorie d'assurance ( ... ). Les sinistres des deux derniers exercices autres que les sinistres corporels correspondant à des risques de responsabilité civile et les autres sinistres d'accidents corporels sont évalués en utilisant concurremment les deux méthodes suivantes, l'évaluation la plus élevée étant seule retenue: - première méthode: évaluation par référence au coût moyen des sinistres des exercices antérieurs; - deuxième méthode: évaluation basée sur les cadences de règlement observées dans l'entreprise au cours des exercices antérieurs. En outre, une évaluation dossier par dossier peut également

Extraits du code des assurances

291

être utilisée pour ces sinistres. Dans ce cas, l'évaluation la plus élevée résultant de ces trois méthodes est retenue. Article A. 331-24 Les sous-catégories d'assurance donnant lieu au calcul séparé prévu au deuxième alinéa de l'article R. 331-26 sont celles définies au 4 de l'article A.344-4. Article R. 331-17, -18 et A. 331-21: assurance construction Article R. 331-33 à -35: assurance crédit B) Les provisions techniques vie

Provisions techniques Article R.331-3 Les provisions techniques correspondant aux opérations d'assurance sur la vie, d'assurance nuptialité-natalité, et aux opérations de capitalisation sont les suivantes: 1° Provision mathématique: différence entre les valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l'assureur et par les assurés, à l'exception, pour les contrats mentionnés à l'article L. 142-1, des engagements relatifs à la provision de diversification; 2° Provision pour participation aux bénéfices: montant des participations aux bénéfices attribuées aux bénéficiaires de contrats lorsque ces bénéfices ne sont pas payables immédiatement après la liquidation de l'exercice qui les a produits; 3° Réserve de capitalisation: réserve destinée à parer à la dépréciation des valeurs comprises dans l'actif de l'entreprise et à la diminution de leur revenu; 4° Provision de gestion: destinée à couvrir les charges de gestion future des contrats non couvertes par ailleurs; 5° Provision pour aléas financiers: destinée à compenser la baisse de rendement de l'actif; 6° Provision pour risque d'exigibilité: provision destinée à faire face aux engagements dans le cas de moins-value de l'ensemble des actifs mentionnés à l'article R. 332-20. La provision à constituer est calculée dans les conditions définies au 1 de l'article R. 331-5-1 ; 7° Provision pour frais d'acquisition reportés: provision destinée à couvrir les charges résultant du report des frais d'acquisition constaté en application de l'article R. 332-35 ; 8° Provision pour égalisation: provision destinée à faire face aux fluctuations de sinistralité afférentes aux opérations d'assurance de groupe contre le risque décès; 9° Provision de diversification: pour les contrats mentionnés à l'article L.142-1, provision destinée à absorber les fluctuations des actifs du contrat

292

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

et sur laquelle chaque adhérent détient un droit individualisé sous forme de parts. Cette provision est abondée par tout ou partie des cotisations versées par les adhérents et par la part des résultats du contrat qui n'est pas affectée sous forme de provision mathématique. Elle se réduit par imputation des pertes, par imputation de frais, par prélèvements au titre des prestations servies et par conversion des parts des adhérents en provision mathématique. Un engagement ne peut être provisionné qu'au titre d'une seule des catégories mentionnées au présent article. Article A. 331-1-1 1° Les provisions mathématiques des contrats de capitalisation, d'assurance nuptialité-natalité, d'acquisition d'immeubles au moyen de la constitution de rentes viagères, d'assurance sur la vie, doivent être calculées d'après des taux d'intérêt au plus égaux à ceux retenus pour l'établissement du tarif et, s'ils comportent un élément viager et sous réserve du premier alinéa de l'article A. 331-1-2, d'après les tables de mortalité appropriées mentionnées à l'article A. 335-1 en vigueur à l'époque de l'application du tarif. 2° La provision globale de gestion mentionnée au 4° de l'article R. 331-3 est dotée, à due concurrence, de l'ensemble des charges de gestion future des contrats non couvertes par des chargements sur primes ou par des prélèvements sur produits financiers prévus par ceux-ci. ( ... ) Pour chaque ensemble homogène de contrats, il est établi, au titre de chacun des exercices clos pendant la durée de ceux-ci, un compte prévisionnel des charges et des produits futurs de gestion. Pour l'établissement de ces comptes prévisionnels, sont pris en compte: a) Les produits correspondant aux chargements sur primes pour les primes périodiques, aux commissions de réassurance perçues pour couvrir les frais de gestion, et aux produits financiers disponibles après prise en compte des charges techniques et financières découlant de la réglementation et des clauses contractuelles. Les produits financiers sont calculés en appliquant le taux de rendement, ci-après défini, au montant moyen des provisions mathématiques de l'exercice. Ce taux de rendement est calculé, au titre de chaque exercice, sur la base: - d'une part, du rendement hors plus-values des obligations et titres assimilés en portefeuille et présumés détenus jusqu'à leur échéance et, pour le réemploi des coupons et des obligations à échoir pendant les cinq premières années suivant l'exercice considéré, de 75 % du taux moyen semestriel des emprunts d'État, et, au-delà, de 60 % du taux moyen semestriel des emprunts d'État; - d'autre part, pour les autres actifs, de 70 % du rendement hors plusvalues du portefeuille obligataire constaté en moyenne sur l'exercice considéré et les deux exercices précédents; b) Les charges correspondant aux frais d'administration, aux frais de gestion des sinistres et aux frais internes et externes de gestion des place-

Extraits du code des assurances

293

ments retenus pour l'évaluation de produits, dans la limite des charges moyennes unitaires observées au titre de l'exercice considéré et des deux exercices précédents. Pour chaque ensemble homogène de contrats, le taux estimé des rachats totaux ou partiels et des réductions ne pourra excéder 80 % de la moyenne des sorties anticipées de contrats constatées sur les deux derniers exercices clos et sur l'exercice en cours. Pour chaque ensemble homogène de contrats, le montant de la provision est égal à la valeur actuelle des charges de gestion futures diminuée de la valeur actuelle des ressources futures issues des contrats, telles que définies ci-dessus. Le taux d'actualisation est, pour chaque exercice, le même que celui retenu pour le taux de rendement précédemment défini. La provision globale de gestion est la somme des provisions ainsi calculées. 3° Les entreprises peuvent calculer les provisions mathématiques de tous leurs contrats en cours, en appliquant lors de tous les inventaires annuels ultérieurs les taux mentionnés au premier alinéa et les tables de mortalité appropriées en vigueur à la date de l'inventaire. Cette possibilité n'est pas ouverte pour les contrats, pour lesquels l'actif représentatif des engagements correspondants est isolé dans la comptabilité de l'entreprise et a été déterminé de manière à pouvoir procurer un taux de rendement supérieur d'au moins un tiers au taux d'intérêt du tarif. Pour l'application du présent 3°, les entreprises peuvent répartir sur une période de huit ans au plus les effets de la modification des bases de calcul des provisions mathématiques. Article A. 331-1-2 Les provisions mathématiques de tous les contrats individuels et collectifs de rentes viagères ( ... ) doivent être calculées en appliquant ( ... ) les tables de mortalité appropriées mentionnées à l'article A. 335-1 applicables aux contrats de rente viagère souscrits à compter de cette même date. Les entreprises peuvent répartir sur une période de quinze ans au plus les effets sur le provisionnement résultant de l'utilisation des tables de génération homologuées ( ... ). Les dispositions des alinéas précédents ne font pas obstacle au pouvoir de l'autorité ( ... ) d'exiger ( ... ) qu'une entreprise d'assurance majore les provisions mathématiques mentionnées au premier alinéa, après examen des données d'expérience relatives à la population d'assurés. Article A. 344-2 ( ... ) 1 Contrats de capitalisation à prime unique (ou versements libres) ; 2 Contrats de capitalisation à primes périodiques; 3 Contrats individuels d'assurance temporaire décès (y compris groupes ouverts); 4 Autres contrats individuels d'assurance-vie à prime unique (ou versements libres) (y compris groupes ouverts) ; 5 Autres contrats individuels d'assurance-vie à primes périodiques (y compris groupes ouverts) ; 6 Contrats collectifs

294

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

d'assurance en cas de décès; 7 Contrats collectifs d'assurance en cas de vie; 8 Contrats d'assurance-vie ou de capitalisation en unités de compte à prime unique (ou versements libres) ; 9 Contrats d'assurance-vie ou de capitalisation en unités de compte à primes périodiques; 10 Contrats collectifs relevant de l'article L. 441-1 ; 11 Contrats relevant de l'article L. 144-2; 12. Contrats de retraite professionnelle supplémentaire ne relevant pas des articles L.142-1 et L. 441-1 ; 13. Contrats relevant du chapitre II du titre IV du livre 1er ; 19 Acceptations en réassurance (vie) ;

Éléments du tarif

Article A. 335-1 Les tarifs pratiqués par les entreprises d'assurance sur la vie et de capitalisation comprennent la rémunération de l'entreprise et sont établis d'après les éléments suivants: 1° Un taux d'intérêt technique fixé dans les conditions prévues à l'article A. 132-1. 2° Une des tables suivantes: a) Tables homologuées ( ... ) établies par sexe, sur la base de populations d'assurés pour les contrats de rente viagère, et sur la base de données publiées par l'Institut national de la statistique et des études économiques pour les autres contrats; b) Tables établies ou non par sexe par l'entreprise d'assurance et certifiées par un actuaire indépendant de cette entreprise, ( ... ). Les tables mentionnées au b sont établies d'après des données d'expérience de l'entreprise d'assurance, ou des données d'expérience démographiquement équivalentes. Lorsque les tarifs sont établis d'après des tables mentionnées au a, et dès lors qu'est retenue une table unique pour tous les assurés, celle-ci correspond à la table appropriée conduisant au tarif le plus prudent. Pour les contrats en cas de vie autres que les contrats de rente viagère, les tables mentionnées au a sont utilisées en corrigeant l'âge de l'assuré conformément aux décalages d'âge ci-annexés. Pour les contrats de rentes viagères, en ce compris celles revêtant un caractère temporaire, et à l'exception des contrats relevant du chapitre III du titre IV du livre 1er , le tarif déterminé en utilisant les tables mentionnées au b ne peut être inférieur à celui qui résulterait de l'utilisation des tables appropriées mentionnées au a. Pour les contrats collectifs en cas de décès résiliables annuellement, le tarif peut être établi d'après les tables mentionnées au a avec une méthode forfaitaire si celle-ci est justifiable. Article L. 310-1 Le contrôle de l'État s'exerce dans l'intérêt des assurés, souscripteurs et bénéficiaires de contrats d'assurance et de capitalisation. Sont soumises à ce contrôle: 1° les entreprises qui sous forme d'assurance directe contractent des engagements dont l'exécution dépend de la durée de la vie humaine, s'engagent à verser un capital en cas de mariage ou de naissance d'enfants, ou

Extraits du code des assurances

295

font appel à l'épargne en vue de la capitalisation et contractent à cet effet des engagements déterminés; ( ... ) Article A. 132-1 Les tarifs pratiqués par les entreprises pratiquant des opérations mentionnées au 1 de l'article L. 310-1, en ce compris celles mentionnées à l'article L. 143-1 doivent être établis d'après un taux au plus égal à 75 % du taux moyen des emprunts de l'État français calculé sur une base semestrielle sans pouvoir dépasser, au-delà de huit ans, le plus bas des deux taux suivants: 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus. Pour les contrats à primes périodiques ou à capital variable, quelle que soit leur durée, ce taux ne peut excéder le plus bas des deux taux suivants: 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus. En ce qui concerne les contrats libellés en devises étrangères, ( ... ). Le taux moyen des emprunts d'État à retenir est le plus élevé des deux taux suivants: taux à l'émission et taux de rendement sur le marché secondaire. Les règles définies au présent article sont à appliquer en fonction des taux en vigueur au moment de la souscription et ne sont pas applicables aux opérations de prévoyance collective visées au chapitre 1er du titre IV du livre IV du code des assurances. Dans le cas de versements non programmés aux termes du contrat, ces règles sont à apprécier au moment de chaque versement. 0

Article A. 132-1-1 Pour l'application de l'article A. 132-1, le taux moyen des emprunts d'État sur base semestrielle est déterminé en effectuant la moyenne arithmétique sur les six derniers mois des taux observés sur les marchés primaire et secondaire. Le résultat de la multiplication par 60 % ou 75 % de cette moyenne est dénommé « taux de référence mensuel ». Le taux d'intérêt technique maximal applicable aux tarifs est fixé sur une échelle de taux d'origine et de pas de 0,25 point. Il évolue selon la position du taux de référence mensuel par rapport au dernier taux technique maximal en vigueur: - tant que le taux de référence mensuel n'a pas diminué d'au moins 0,1 point ou augmenté d'au moins 0,35 point par rapport au dernier taux technique maximal en vigueur, ce dernier demeure inchangé; - si le taux de référence mensuel sort des limites précédemment définies, le nouveau taux technique maximal devient le taux immédiatement inférieur au taux de référence mensuel sur l'échelle de pas de 0,25 point. Lorsqu'un nouveau taux d'intérêt technique maximal est applicable, les entreprises disposent de trois mois pour opérer cette modification.

°

Article A.132-2 Les entreprises ( ... ) peuvent, ( ... ) garantir dans leurs contrats un montant total d'intérêts techniques et de participations bénéficiaires qui, rapporté aux provisions mathématiques, ne sera pas inférieur à un taux minimum garanti.

296

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Article A132-3 1° Le taux minimum visé à l'article A.132-2 peut être fixé annuellement pour l'année suivante. Il ne peut excéder alors 85 % de la moyenne des taux de rendement des actifs de l'entreprise calculés pour les deux derniers exercices. 2° Ce taux minimum garanti peut également varier annuellement en fonction d'une référence fournie par un marché réglementé et en fonctionnement régulier de valeurs mobilières ou de titres admis en représentation des engagements réglementés des entreprises d'assurance. Pour les contrats libellés en euros, la référence peut également être fournie par le taux des premiers livrets de caisse d'épargne français. La garantie de ce minimum ne peut être donnée que pour une période maximale de huit ans. La commercialisation d'un contrat assorti d'une telle garantie de taux n'est possible que si la moyenne des taux de rendement des actifs de l'entreprise calculés pour les deux derniers exercices est au moins égale aux quatre tiers du taux minimum qu'elle propose de garantir la première année. 3° Les dispositions visées aux alinéas précédents peuvent être appliquées séparément ou conjointement. 4° Le taux de rendement des actifs est calculé conformément à l'article A. 331-7. Il ne tient pas compte du rendement des actifs afférents aux contrats à capital variable et aux opérations de prévoyance collective visées au chapitre 1er du titre IV du livre IV du code des assurances. ( ... ) Article A. 331-3 Le montant minimal de la participation aux bénéfices techniques et financiers des entreprises pratiquant les opérations mentionnées au 1° de l'article L. 310-1 est déterminé pour les contrats individuels et collectifs de toute nature, conformément aux articles A. 331-4 à A. 331-9-1. Les articles A. 331-4 à A. 331-8 ne s'appliquent pas aux contrats à capital variable. Participation aux excédents Article A. 331-4 1-Pour les opérations ( ... ) autres que celles mentionnées aux catégories 8 à 13 de l'article A. 344-2, le montant minimal de la participation aux bénéfices à attribuer au titre d'un exercice est déterminé globalement à partir d'un compte de participation aux résultats. Ce compte comporte les éléments de dépenses et de recettes concernant les catégories 1,2,3,4,5,6 et 7 de l'article A. 344-2 et figurant, à l'annexe à l'article A. 344-3, dans la ventilation de l'ensemble des produits et charges des opérations par catégorie (point 2. 2, «Catégories 1 à 19 », du modèle d'annexe), aux sous-totaux «A.-Solde de souscription» et «B.-Charges d'acquisition et de gestion nettes ». Le compte comprend également pour les contrats relevant de la catégorie 6 de l'article A. 344-2 les éléments de dépenses et de recettes concernant les garanties acces-

Extraits du code des assurances

297

soires correspondant à la catégorie 21 dudit article et figurant, à l'annexe à l'article A. 344-3, dans la ventilation de l'ensemble des opérations par catégories (point 2. 2, « Catégories 20 à 39 », du modèle d'annexe) aux sous-totaux «A.-Solde de souscription "et" B.-Charges d'acquisition et de gestion nettes », dès lors que le solde de ces éléments de dépenses et de recettes est débiteur. Toutefois, ce solde débiteur ne s'impute qu'à hauteur maximale du solde créditeur de la catégorie 6, le solde non imputé pouvant s'imputer dans les mêmes conditions au titre d'un exercice ultérieur. Le compte de participation comporte également en dépenses la participation de l'assureur aux bénéfices de la gestion technique, qui est constituée par le montant le plus élevé entre 10 % du solde créditeur des éléments précédents et 4, 5 % des primes annuelles correspondant aux opérations relevant des catégories 3 et 6 de l'article A. 344-2. Il est ajouté en recette du compte de participation aux résultats une part des produits financiers. Cette part est égale à 85 % du solde d'un compte financier comportant les éléments prévus à l'article A. 331-6. Le compte de participation aux résultats comporte en outre les sommes correspondant aux « solde de réassurance cédée », calculées conformément aux dispositions de l'article A. 331-8 et, s'il y a lieu, le solde débiteur du compte de participation aux résultats de l'exercice précédent. ( ... ) Article A. 331-5 Le montant minimal annuel de la participation aux résultats est le solde créditeur du compte de participation aux résultats défini au 1 de l'article A. 331-4 pour les opérations mentionnées à ce même 1. Le montant minimal annuel de la participation aux bénéfices est égal au montant défini à l'alinéa précédent diminué du montant des intérêts crédités aux provisions mathématiques. ( ... ) Article A. 331-6 Le compte financier mentionné à l'article A. 331-4 comprend, en recettes, la part du produit net des placements calculée suivant les règles mentionnées à l'article A. 331-7 et, en dépenses, sur autorisation de l'ACAM et après justifications, la part des résultats que l'entreprise a dû affecter aux fonds propres pour satisfaire au montant minimal réglementaire de la marge de solvabilité. Article A. 331-7 Pour l'établissement du compte défini à l'article A. 331-6, la part du résultat financier à inscrire en recettes de ce compte est égale à la somme des deux éléments suivants: 1. Le produit du montant moyen au cours de l'exercice des provisions techniques brutes de cessions en réassurance des contrats des catégories mentionnées aux 1 à 7 de l'article A. 344-2, et diminuées de la valeur, calculée conformément aux articles R. 332-19 et R. 332-20, des actifs transférés

298

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

mentionnés au 2, par le taux de rendement des placements (tableaux a à h) figurant à l'annexe à l'article A. 344-3 (point 1.4 A du modèle d'annexe) ; 2. Le montant total des produits financiers nets afférents à des actifs transférés avec un portefeuille de contrats par une entreprise mentionnée au IOde l'article L. 310-1 et affectés du code T dans l'état détaillé des placements figurant à l'annexe à l'article A. 344-3 (point 1.4 A du modèle d'annexe) autres que ceux mentionnés au 12 de l'article A. 344-2. Le taux de rendement prévu au 1 du présent article est égal au rapport: - du produit net des placements considérés, figurant à l'annexe à l'article A. 344-3, au compte technique de l'assurance-vie, à la rubrique II.2 «Produits des placements» diminuée de la rubrique 11.9 «Charges des placements », déduction faite des produits des placements mentionnés aux a, b et c du 1 de l'article R. 344-1 ; - au montant moyen, au cours de l'exercice, des placements mentionnés dans les tableaux a à h de l'état détaillé de la même annexe, autres que ceux mentionnés aux a, b et c du 1 de l'article R. 344-1. Article A. 331-8 Pour l'application de l'article A. 331-4, il est prévu, dans le compte de participation aux résultats, une rubrique intitulée « Solde de réassurance cédée ». Seule est prise en compte la réassurance de risque, c'est-à-dire celle dans laquelle l'engagement des cessionnaires porte exclusivement sur tout ou partie de la différence entre le montant des capitaux en cas de décès ou d'invalidité et celui des provisions mathématiques des contrats correspondants. Dans les traités limités à la réassurance de risque, le solde de réassurance cédée est égal à la différence entre le montant des sinistres à la charge des cessionnaires et celui des primes cédées. Il est inscrit, selon le cas, au débit ou au crédit du compte de participation aux résultats. Dans les autres traités, le solde de réassurance cédée est établi en isolant la réassurance de risque à l'intérieur des engagements des cessionnaires. Les modalités de calcul du solde sont précisées par circulaire, par référence aux conditions normales du marché de la réassurance de risque. Article A. 331-9 Le montant des participations aux bénéfices peut être affecté directement aux provisions mathématiques ou porté, partiellement ou totalement, à la provision pour participation aux bénéfices mentionnée à l'article R. 331-3. Les sommes portées à cette dernière provision sont affectées à la provision mathématique ou versées aux souscripteurs au cours des huit exercices suivant celui au titre duquel elles ont été portées à la provision pour participation aux bénéfices. Article A. 331-9-1 Lorsqu'une catégorie de contrats est assortie d'une clause de participation aux résultats, la participation affectée individuellement à chaque contrat réduit ou suspendu ne peut être inférieure à celle qui serait affec-

Extraits du code des assurances

299

tée à un contrat en cours de paiement de primes de la même catégorie ayant la même provision mathématique. Pour les contrats mentionnés au IOde l'article L. 143-1, qu'ils aient ou non été souscrits dans le cadre de l'agrément mentionné au même article, la participation affectée individuellement à chaque adhérent ayant quitté l'entreprise d'affiliation ne peut être inférieure à celle qui serait affectée à un adhérent dont l'adhésion demeure obligatoire et ayant la même provision mathématique. B) bis Zillmérisation Article R. 331-5 L'indemnité mentionnée à l'article L. 331-2 ne peut dépasser 5 % de la provision mathématique du contrat, et doit être nulle à l'issue d'une période de dix ans à compter de la date d'effet du contrat. Pour l'application du présent article, la provision mathématique ne tient pas compte des éventuelles garanties de fidélité non exigibles par l'assuré au moment du rachat. Ces garanties doivent être explicitement décrites dans le contrat et clairement distinguées de la garantie qui en est l'objet principal. Article A. 331-1 Les provisions mathématiques des contrats d'assurance sur la vie, de capitalisation et d'assurance nuptialité-natalité, à primes périodiques, doivent être calculées en prenant en compte les chargements destinés aux frais d'acquisition dans l'engagement du payeur de primes. La provision résultant du calcul précédent ne peut être négative, ni inférieure à la valeur de rachat du contrat, ni inférieure à la provision correspondant au capital réduit. Article R. 331-5-1 ( ... ) II. - La provision pour frais d'acquisition reportés doit être constituée pour un montant égal au montant des frais d'acquisition reportés en application des dispositions de l'article R. 332-35.

Il) La représentation des engagements A) La représentation des engagements réglementés par des actifs équivalents

Principes Article R. 332-1 1. Les engagements réglementés mentionnés à l'article R. 331-1 doivent, à toute époque, être représentés par des actifs équivalents. 2. Les engagements pris dans une monnaie doivent être couverts par des actifs congruents, c'est-à-dire libellés ou réalisables dans cette monnaie. 3. Les actifs mentionnés au 1 doivent être localisés sur le territoire d'un État membre de la Communauté européenne. ( ... )

300

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Article R. 332-1-1 1. - Par dérogation aux dispositions du 2° de l'article R. 332-1, les entreprises d'assurance peuvent, à concurrence de 20 p.100 de leurs engagements, ne pas couvrir ceux-ci par des actifs congruents. II. - Les entreprises peuvent également ne pas représenter leurs provisions techniques par des actifs congruents si, pour satisfaire aux dispositions de l'article R. 332-1, elles doivent détenir dans une monnaie des éléments d'actifs d'un montant ne dépassant pas 7 p.100 des éléments d'actifs existant dans l'ensemble des autres monnaies. Article R.332-1-2 Les entreprises d'assurance doivent procéder en permanence à une évaluation de leurs risques financiers en effectuant notamment des simulations de l'impact de la variation des taux d'intérêt et des cours boursiers sur leur actif et leur passif et des estimations comparées de l'exigibilité de leur passif et de la liquidité de leur actif. Les résultats de cette évaluation sont déterminés et présentés selon des principes généraux définis par arrêté ( ... ). Ils sont annexés à l'état trimestriel des placements ( ... ). Article R. 332-3-3 Les provisions relatives aux affaires cédées ( ... ) peuvent être représentées sans condition par une créance sur cette entreprise. ( ... ) La fraction des provisions techniques relatives aux affaires transférées à un véhicule de titrisation ( ... ) peut être représentée par une créance sur ce véhicule. ( ... )

Les principaux actifs: limitations, dispersion Article R. 332-2 ( ... ), les entreprises d'assurance ( ... ) représentent leurs engagements réglementés ( ... ) par les actifs suivants: A. - Valeurs mobilières et titres assimilés: 1° Obligations ( ... ) émises ou garanties par l'un des États membres de l'OCDE ( ... ) ou ( ... ) par les collectivités publiques territoriales d'un État membre de l' OCD E ; 2° Obligations, titres participatifs et parts ou actions émises par des véhicules de titrisation et titres participatifs négociés sur un marché reconnu, autres que celles ou ceux visés au 1° ; 2° bis Titres de créances négociables d'un an au plus (certificats de dépôt et billets de trésorerie) rémunérés à taux fixe ou indexé sur un taux usuel sur les marchés interbancaire, monétaire ou obligataire et émis par des personnes morales autres que les États membres de l'OCDE ayant leur siège social sur le territoire de ces États ou des fonds communs de titrisation, dont des titres sont négociés sur un marché reconnu; 2° ter Bons à moyen terme négociables répondant aux conditions mentionnées à l'article R. 332-14-1 et émis par des personnes morales autres que les États membres de l'OCDE ayant leur siège social sur le territoire de ces États et dont des titres sont négociés sur un marché reconnu;

Extraits du code des assurances

301

3° Actions des SICAV et parts de FCP dont l'objet est limité à la gestion d'un portefeuille de valeurs mentionnées aux 1°,2°,2° bis et 2° ter ( ... ) ; 4 ° Actions et autres valeurs mobilières, négociées sur un marché reconnu, autres que celles visées aux 3°,5°,5° bis, 8° et 9° bis; 5° Actions des entreprises d'assurance, de réassurance, de capitalisation ayant leur siège social sur le territoire de l'un des États membres de l'OCDE; 5° bis Actions des entreprises d'assurance, de réassurance, de capitalisation autres que celles visées au 5° ; 6° Actions, parts et droits émis par des sociétés commerciales et obligations, titres participatifs et titres subordonnés émis par les sociétés d'assurance mutuelles, ( ... ), autres que les valeurs visées aux 2°,2° bis, 2° ter, 3°, 4°,5°,5° bis, 7° bis, 8° et 9° bis; 7° Parts des FCP à risques ( ... ), parts des FCP dans l'innovation ( ... ) et parts des fonds d'investissement de proximité ( ... ) ; 7° bis Actions des SICAV et parts de FCP ( ... ), actions ou parts d'OPCVM ( ... ) ; 7° ter Parts ou actions d'OPCVM à règle d'investissement allégées sans effet de levier ( ... ) ( ... ) ou à effet de levier ( ... ) ; 7° quater Parts ou actions d'OPCVM de fonds alternatifs ( ... ) ; 8° Actions des SICAV et parts des FCP, autres que celles mentionnées aux 3° et 7° à 7° quater, dans les conditions fixées par l'article R. 332-14 ; Les marchés reconnus mentionnés aux 2°,2° bis, 2° ter et 4 ° ( ... ) sont les marchés réglementés des États parties à l'accord sur l'Espace économique européen ou les marchés de pays tiers membres de l'OCDE en fonctionnement régulier. Les autorités compétentes de ces pays doivent avoir défini les conditions de fonctionnement du marché, d'accès à ce marché et d'admission aux négociations et imposé le respect d'obligations de déclaration et de transparence. B. - Actifs immobiliers: 9° Droits réels immobiliers afférents à des immeubles situés sur le territoire de l'un des États membres de l'OCDE; 9° bis Parts ou actions des sociétés à objet strictement immobilier, parts des sociétés civiles à objet strictement foncier, ayant leur siège social sur le territoire de l'un des États membres de l'OCDE, dans les conditions fixées par l'article R. 332-15 ; 9° ter Parts ou actions d'OPCI relevant de la section 5 du chapitre IV du titre 1er du livre II du code monétaire et financier, autres que ceux mentionnés aux 9° quater à 9° sexies ; 9° quater Parts ou actions de OP CI ; ( ... ) ; 9° quinquies Parts ou actions d'OPCI ( ... ) ; 9° sexies Parts ou actions d'OPCI, ( ... ) lorsqu'ils exercent la dérogation prévue à l'article R. 214-200 du même code. C. - Prêts et dépôts: 10° Prêts obtenus ou garantis par les États membres de l'OCDE, par les collectivités publiques territoriales et les établissements publics des États membres de l'OCDE;

302

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Il ° Prêts hypothécaires aux personnes physiques ou morales ayant leur domicile ou leur siège social sur le territoire de l'un des États membres de l'OCDE ( ... ); 12° Autres prêts ou créances représentatives de prêts consentis aux personnes physiques ou morales ayant leur domicile ou leur siège social sur le territoire de l'un des États membres de l'OCDE ( ... ) ; 13° Dépôts, dans les conditions ( ... ) ; D. - Dispositions communes: Les intérêts courus des placements énumérés au présent article sont assimilés auxdits placements. Lorsqu'un instrument financier à terme a été souscrit dans les conditions définies à l'article R. 332-45 et qu'il est lié à un titre ou à un groupe de titres de même nature, parmi ceux mentionnés au paragraphe A du _présent article, les primes ou soultes versées ou reçues pour la mise en place de l'instrument sont assimilées audit titre ou groupe de titres de même nature, dans la limite de la part restant à amortir et, pour les primes ou soultes versées au titre d'opérations de gré à gré, du montant des garanties reçues dans les conditions de l'article R. 332-56. Les actifs représentatifs des provisions techniques sont évalués nets des dettes contractées pour l'acquisition de ces mêmes actifs. Les actifs donnés en garantie d'un engagement particulier ne sont pas admissibles en représentation des autres engagements. Par exception, les actifs remis en garantie d'opérations de taux sur instruments financiers à terme mentionnées aux articles R. 332-45 et R. 332-46 sont admis en représentation à hauteur des plus-values latentes enregistrées sur les actifs visés à l'article R. 332-19 auxquels ces instruments financiers à terme sont liés.

Article R.332-2-1 Lorsqu'une entreprise investit, directement ou indirectement, dans des obligations, des parts ou actions mentionnées au 2° du A de l'article R. 332-2 ainsi que dans des titres de créances négociables mentionnés au 2° bis du A du même article, émis par un véhicule de titrisation supportant des risques d'assurance transférés par cette même entreprise ou une entreprise appartenant au même périmètre de combinaison ou de consolidation tel que défini par l'article L. 345-2, le montant de ces investissements est déduit des actifs admis en représentation des engagements réglementés. Article R. 332-3 Rapportée à la base de dispersion constituée par la différence entre le montant total des engagements réglementés mentionnés à l'article R. 3311, toutes monnaies confondues, et le montant total des actifs mentionnés aux articles R. 332-3-4 à R. 332-10, toutes monnaies confondues, la valeur au bilan d'une entreprise d'assurance mentionnée au 1°, au 3° ou au 4° de l'article L. 310-2 de chacune des catégories d'actif énumérées ci-après admis en représentation des engagements réglementés ne peut excéder, sauf dérogation accordée cas par cas par l'ACAM :

Extraits du code des assurances

303

1° 65 % pour l'ensemble des valeurs mentionnées du 4° au 8° et 9° quinquies de l'article R. 332-2 et des prêts mentionnés au troisième alinéa du 1° de l'article R. 332-13, dont 10 % au maximum pour l'ensemble formé par les actions d'entreprises étrangères d'assurance mentionnées au 5° bis de l'article R. 332-2 par les actions et parts mentionnées aux 6°,7° à 7° quater, et au 9° quinquies de l'article R. 332-2 et par les prêts mentionnés cidessus; 2° 40 % pour les actifs immobiliers mentionnés aux 9° à 9° quater et 9° sexies de l'article R. 332-2 ; 3° 10 % pour l'ensemble des valeurs mentionnées aux 10°, Il ° et 12° de l'article R. 332-2 à l'exception des prêts mentionnés au 1° du présent article; 4° 5 % pour l'ensemble des valeurs constituées par les obligations, les parts ou actions mentionnées au 2° du A de l'article R. 332-2 ainsi que les titres de créances mentionnés au 2° bis du A du même article, émis par des véhicules de titrisation supportant des risques d'assurance; 5° 0,5 % pour le montant total des primes ou soultes mentionnées au second alinéa du paragraphe D de l'article R. 332-2. Article R. 332-3-1 Rapportée à la base de dispersion définie à l'article R. 332-3, la valeur au bilan ( ... ) des actifs ( ... ) admis en représentation des engagements réglementés ne peut excéder ( ... ) : 1° 5 % pour l'ensemble des valeurs émises, créances, prêts obtenus ou garantis par un même organisme et des dépôts placés auprès de cet organisme, à l'exception: a) Des valeurs émises ou garanties, ou des prêts obtenus, par un État membre de l'OCDE ainsi que des titres émis par la caisse d'amortissement de la dette sociale ( ... ) ; b) Des actions des sociétés d'investissement à capital variable et des parts des fonds communs de placement visées au 3° de l'article R. 332-2, dont le portefeuille est exclusivement composé des valeurs mentionnées ci-dessus. Le ratio de 5 % ( ... ) peut atteindre 10 %, à condition que la valeur totale des titres émis, des créances et des prêts obtenus ou garantis par l'ensemble des organismes dont les émissions, prêts ou garanties de prêt sont admis au-delà du ratio de 5 % n'excède pas 40 % de la base de dispersion définie à l'article R. 332-3. 2° 10 % pour un même immeuble ou pour les valeurs mentionnées au 9° bis à 9° quater et 9° sexies de l'article R. 332-2 ; 3° 1 % pour les valeurs mentionnées aux 6°,7°,7° bis, 7° ter et 9° quinquies de l'article R. 332-2 et les prêts mentionnés au troisième alinéa du 1 de l'article R. 332-13, respectivement émises ou obtenus par une même société ou un même organisme. Une entreprise ne peut affecter à la représentation de ses engagements réglementés plus de 50 % des actions émises par une même société mentionnée au 5° de l'article R. 332-2. Article R332-3-2 : tontines, etc.

304

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Les unités de compte Article R. 332-5 Les provisions mathématiques des contrats d'assurance sur la vie ou de capitalisation à capital variable, dans lesquels la somme assurée est déterminée par rapport à une valeur de référence, doivent être représentées à l'actif du bilan par des placements entrant dans la composition de cette valeur de référence et dans les proportions fixées par ladite composition. Ces placements ne sont pas soumis aux limitations prévues aux articles R. 332-3 et R. 332-3-1. Par dérogation aux dispositions des articles R. 332-19 et R. 332-20, ils font l'objet d'une estimation séparée et ils sont inscrits au bilan pour leur valeur au jour de l'inventaire. Article R.131-1 Les unités de comptes visées à l'article L.131-1 sont: 1° Les actifs énumérés aux 1°,2°,2° bis, 2° ter, 3°,4°,5° et 8° de l'article R. 332-2; 2° Dans les conditions fixées aux articles R. 131-2 à R. 131-4, les parts ou actions visées au 9° bis de l'article R. 332-2; 3° Les parts visées au 7° de l'article R. 332-2 et les actions de sociétés commerciales mentionnées au 6° de l'article R. 332-2; 4° Les parts ou actions mentionnées au 7° ter de l'article R. 332-2 ; 5° Les parts ou actions mentionnées au 7° quater de l'article R. 332-2 ; 6° Dans des conditions fixées aux articles R.131-5 et R.131-6, les parts ou actions mentionnées au 9° ter de l'article R. 332-2; 7° Dans des conditions fixées aux articles R. 131-5 et R. 131-6, les parts ou actions mentionnées au 9° quater et au 9° sexies de l'article R. 332-2. Le contrat peut se référer soit à une seule unité de compte, soit à la combinaison de plusieurs unités de compte. Dans ce dernier cas, la prime doit être ventilée entre les différentes unités de compte conformément aux dispositions du contrat. La part de la prime représentée par les unités de compte relevant du 3° et du 4° du présent article ne doit pas dépasser 10 % au total. La part de la prime représentée par les unités de compte relevant du 3°, du 4° et du 5° du présent article ne doit pas dépasser 30 % au total. Pour l'appréciation de ce dernier plafond, en ce qui concerne les unités de compte relevant du 5°, seule la quote-part de ces actions ou parts investie dans des placements autres que ceux mentionnés aux 1° et 2° est prise en compte. La part de la prime représentée par les unités de compte relevant du 7° ne doit pas dépasser 30 %. Le contrat doit prévoir les modalités selon lesquelles, en cas de disparition d'une unité de compte, une autre unité de compte de même nature lui est substituée, par un avenant au contrat. Article R.131-2 Dans le cas où le contrat se réfère à une part ou à une action de société immobilière non cotée mentionnée au 2° de l'article R. 131-1, l'assureur fixe ( ... ) la valeur de cette action ou de cette part préalablement à la commercialisation du contrat et, par la suite, au moins une fois par an pendant la durée du contrat.

Extraits du code des assurances

305

Article R.131-3 Les sociétés non cotées à objet uniquement immobilier ou foncier visées au 2° de l'article R. 131-1 doivent répondre aux conditions suivantes: 1° Les parts non cotées des sociétés civiles à objet uniquement foncier ne peuvent servir de valeur de référence unique d'un contrat. 2° Le patrimoine de la société immobilière non cotée, constitutive de l'unité de compte ou de chacune des sociétés immobilières ou foncières, dans le cas où le contrat se réfère à plusieurs unités de compte, doit être composé d'au moins cinq immeubles d'une valeur minimale globale de 15244901, 72 euros, estimée selon les dispositions de l'article R.131-2. 3° Les actifs de la société immobilière ou foncière non cotée doivent être constitués à tout instant d'au moins 70 % de parts ou droits définis aux articles 9° et 9° bis de l'article R. 332-2. Le solde des placements de la société doit appartenir aux catégories visées aux 1°,2°,2° bis et 3° du même article. Article R.131-4 En cours de contrat, l'assureur peut effectuer pour les contrats l'ayant prévu la substitution d'une unité de compte visée au 2° de l'article R . 131-1 au profit d'unités de compte de nature comparable si l'unité de compte initiale ne remplit plus les conditions définies au 2° de l'article R.131-3 ou si l'assureur qui en fait la demande y est autorisé par l'ACAM. ( ... ) Article R.131-5 et -6: unités de compte immobilières Actifs techniques et règles diverses Article R. 332-3-4 : créances sur la CCR et des fonds de garanties Article R. 332-4 Sont admises en représentation des provisions techniques correspondant aux branches mentionnées aux 20,21,22,24 et 25 de l'article R. 321-1 : - les avances sur contrats; - les primes ou cotisations relatives à ces branches restant à recouvrer, de trois mois de date au plus, dans la limite d'un plafond ( ... ). Ce plafond est fixé en fonction de l'incidence, aux termes de la réglementation, du non-recouvrement éventuel de ces primes ou cotisations sur le montant des engagements réglementés. Article R. 332-6 La provision pour primes non acquises ( ... ) peut être représentée, jusqu'à concurrence de 25 % de son montant, par les frais d'acquisition reportés au titre de ce contrat, nets des commissions des réassureurs reportées au titre de ce même contrat. La provision pour primes non acquises ( ... ) peut être représentée, jusqu'à 25 % de son montant, par des primes relatives aux mêmes opérations émises et non encore encaissées ou des primes restant à émettre, nettes d'impôt, de taxes et de commissions, et de 3 mois de date au plus.

306

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Article R. 332-33 Les entreprises pratiquant les opérations mentionnées au 2° ou au 3° de l'article L. 310-1 inscrivent à l'actif du bilan la fraction non imputable à l'exercice des frais d'acquisition des contrats constatés en charge de l'exercice. La période d'imputation des frais d'acquisition ne peut s'étendre audelà de la date à laquelle le souscripteur peut exercer son droit de résiliation ou de non-reconduction ni, lorsque les frais à reporter sont des commissions payables à chaque échéance de prime, au-delà de la prochaine échéance de prime. Le montant reporté est calculé contrat par contrat ou sur la base de méthodes statistiques, dans les mêmes conditions et selon les mêmes méthodes que la provision pour primes non acquises; il ne peut faire l'objet d'une augmentation ultérieure; il est amorti linéairement sur la durée restant à courir entre la date de l'inventaire et la fin de la période d'imputation des frais, et au maximum sur cinq exercices; il est amorti en totalité en cas de résiliation anticipée, d'annulation ou de transfert du contrat. La fraction non imputable à l'exercice des commissions des réassureurs est également inscrite au bilan; le montant reporté est calculé et repris en compte de résultat selon les mêmes méthodes que celles retenues pour les frais d'acquisition des affaires brutes correspondantes. Article R. 332-35 Les entreprises pratiquant les opérations mentionnées au 1° de l'article L. 310-1 inscrivent à l'actif du bilan les frais d'acquisition à reporter en fonction de la durée de vie résiduelle des contrats. La méthode retenue est décrite dans l'annexe mentionnée au premier alinéa de l'article R. 341-3. Le montant des frais d'acquisition ainsi reportés est au plus égal à l'écart entre les montants de provisions mathématiques inscrites au bilan conformément à l'article L. 331-1 et le montant des provisions mathématiques qui seraient à inscrire si les chargements d'acquisition n'étaient pas pris en compte dans les engagements des assurés. Le montant de cet écart ainsi que le calcul des frais d'acquisition reportés doivent pouvoir être justifiés à tout moment auprès de l'ACAM. Les frais d'acquisition reportés sont admis en représentation des provisions techniques. Article R.321-1 L'agrément administratif prévu par l'article L. 321-1 est accordé par le comité des entreprises d'assurance. Pour l'octroi de cet agrément, les opérations d'assurance sont classées en branches et sous-branches de la manière suivante: 1. Accidents ( ... ). 2. Maladie ( ... ). 3. Corps de véhicules terrestres ( ... ). 4. Corps de véhicules ferroviaires ( ... ). 5. Corps de véhicules aériens ( ... ). 6. Corps de véhicules maritimes, lacustres et fluviaux ( ... ).7. Marchandises transportées ( ... ).8. Incendie et éléments naturels ( ... ). 9. Autres dommages aux biens ( ... ). 10. Responsabilité civile véhicules terrestres automoteurs ( ... ). 11. Responsabilité civile véhicules aériens ( ... ). 12. Responsabilité

Extraits du code des assurances

307

civile véhicules maritimes, lacustres et fluviaux ( ... ). 13. Responsabilité civile générale ( ... ).14. Crédit ( ... ).15. Caution ( ... ).16. Pertes pécuniaires diverses( ... ). 17. Protection juridique. 18. Assistance ( ... ) Article R. 332-7 Pour la représentation des provisions techniques correspondant aux branches mentionnées aux 4 à 7, 11 et 12 de l'article R. 321-1 : ( ... ) 2° Par dérogation aux dispositions de l'article R. 332-6, les primes ou cotisations sont admises ( ... ) ; 3° Par dérogation aux dispositions des articles R. 3323-3 et R. 332-8, les créances sur les réassure urs sont admises ( ... ). Article R.332-7-1 Pour la représentation des provisions techniques correspondant à la branche mentionnée au 18° de l'article R. 321-1, les avances faites aux transporteurs sont admises dans la limite de 10 % du montant défini à l'article R. 332-3. Article R. 332-8 Les provisions techniques afférentes aux acceptations en réassurance peuvent être représentées à l'actif par les créances nettes détenues sur les cédants au titre desdites acceptations. Article R. 332-10 Les dépôts de garantie mentionnés au 3° de l'article R. 331-1 peuvent être représentés à l'actif par les créances de l'entreprise sur les déposants. Article R. 332-11 Les entreprises ne peuvent acquérir d'immeubles grevés de droits réels représentant plus de 65 % de leur valeur, ni consentir de droits réels sur leurs immeubles, ( ... ). Article R. 332-12 Les prêts hypothécaires mentionnés au 11 ° de l'article R. 332-2 doivent être garantis par une hypothèque de premier rang prise sur un immeuble situé sur le territoire de l'un des États membres de l'OCDE ou sur un navire. L'ensemble des privilèges et hypothèques en premier rang ne doit pas excéder 65 % de la valeur vénale de l'immeuble ou du navire constituant la garantie du prêt, estimée au jour de la conclusion du contrat. Article R332-13 1° Les prêts mentionnés au 12° de l'article R. 332-2 doivent avoir une durée totale d'au moins deux ans et satisfaire aux conditions suivantes: ils doivent être garantis par une caution donnée par un établissement de crédit ou une entreprise d'assurances n'appartenant pas au même groupe que le prêteur ou l'emprunteur ( ... ), ou un nantissement de valeurs répondant aux conditions fixées par l'article R. 332-17, dans la limite de 75 % du montant nominal desdites valeurs. Sont considérées comme appartenant au même groupe, au sens du présent article, les sociétés entrant dans le

308

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

même périmètre de consolidation ou d'établissement des comptes combinés mentionnés au troisième alinéa de l'article L. 345-2. Toutefois, les prêts peuvent ne pas être assortis de garantie, lorsque l'emprunteur est soit une société dont l'un des États membres de l'OCDE ou un de ses établissements publics détient plus de la moitié du capital, soit une société dont les actions sont négociées sur un marché reconnu tel que défini au dernier alinéa du A de l'article R. 332-2. 2° Les créances représentatives des prêts de titres sont admises en représentation des engagements réglementés si elles ont fait l'objet d'un cautionnement en espèces ou d'une caution donnée par un établissement de crédit ou une entreprise d'assurance ( ... ), ou d'un nantissement de valeurs répondant aux conditions fixées par l'article R. 332-17. Article R. 332-14 En application des dispositions des 3° et 8° de l'article R. 332-2, sont admissibles en représentation des engagements réglementés les parts ou actions d'organismes de placement collectif en valeurs mobilières relevant des sous-sections 1 à 8 de la section 1 du chapitre IV du titre 1er du livre II du code monétaire et financier (partie réglementaire) ; sont également admissibles les parts ou actions des organismes de placement collectif en valeurs mobilières régis par les réglementations des États membres de la Communauté européenne et des autres États parties de l'accord sur l'Espace économique européen, pour autant que ces règles soient conformes à la directive communautaire du 20 décembre 1985 modifiée relative aux organismes de placement collectif en valeurs mobilières. Article R. 332-14-1 Les bons à moyen terme négociables mentionnés au 2° ter de l'article R. 332-2 doivent répondre aux conditions suivantes: a) Provenir d'une émission au moins égale à 30 millions d'euros; b) Être valorisés par au moins deux organismes distincts et non liés financièrement, ni entre eux ni avec l'entreprise d'assurance détentrice des bons; c) Faire sur cette base l'objet d'un cours publié au moins une fois tous les quinze jours et tenu à la disposition du public en permanence; d) Comporter une clause de liquidité émanant de l'émetteur ou d'un garant et qui doit garantir que les actifs pourraient être rachetés à un cours cohérent avec le cours publié, c'est-àdire prenant en compte la variation de taux d'intérêt entre les dates de publication du cours et de transaction. Article R. 332-15 : détention de sociétés immobilières, de forêts Article R. 332-16 Les valeurs mobilières et titres assimilés, les parts ou actions des sociétés immobilières ou foncières doivent faire l'objet soit d'une inscription en compte, ou d'un dépôt, auprès d'un intermédiaire habilité, soit d'une inscription nominative dans les comptes de l'organisme émetteur, à condition que celui-ci soit situé en France.

Extraits du code des assurances

309

Les actes de propriété des actifs immobiliers, les actes et les titres consacrant les prêts ou créances doivent être conservés sur le territoire de la République française. Les comptes de dépôt visés au 13° de l'article R. 332-2 doivent être ouverts auprès d'un établissement de crédit agréé dans un État partie à l'accord sur l'Espace économique européen. Leur terme ne doit pas dépasser un an ou leur préavis de retrait trois mois. Les comptes doivent être libellés au nom de l'entreprise d'assurance ( ... ) et ne peuvent être débités qu'avec l'accord respectivement d'un dirigeant de l'entreprise ( ... ) ou encore d'une personne désignée par eux à cet effet. Article R.332-18 En ce qui concerne les acceptations en réassurance, les entreprises enregistrent immédiatement en comptabilité tous les éléments reçus de leurs cédantes. En l'absence d'informations suffisantes, elles estiment les comptes non reçus des cédantes à la clôture de l'exercice avec pour contrepartie des comptes de régularisation qui seront soldés à l'ouverture de l'exercice suivant ou à réception des comptes des cédantes, ou elles compensent provisoirement les soldes de tous les comptes incomplets d'un même exercice par une écriture d'attente qui sera contrepassée à l'ouverture de l'exercice suivant. En tout état de cause et quel que soit le mode de comptabilisation retenu, lorsque le réassureur connaît l'existence d'une perte, celle-ci doit être provisionnée pour son montant prévisible. B) L'évaluation des placements 1) L'évaluation des obligations

Article R. 332-19 1. Les valeurs amortissables énumérées aux 1°, 2°, 2° bis et 2° ter de l'article R. 332-2, autres que les obligations indexées, les parts de fonds communs de créance et les titres participatifs, sont inscrites à leur prix d'achat à la date d'acquisition. Lorsqu'un instrument financier à terme est utilisé dans les conditions définies à l'article R. 332-46 et qu'il est lié à l'achat d'un titre ou d'un groupe de titres de même nature, la valeur de réalisation de l'instrument est prise en compte dans le prix d'achat de ce titre ou de ce groupe de titres. Lorsque le prix d'achat de ces titres est supérieur à leur prix de remboursement, la différence est amortie sur la durée de vie résiduelle des titres. Lorsque le prix d'achat de ces titres est inférieur à leur prix de remboursement, la différence est portée en produits sur la durée de vie résiduelle des titres. ( ... ) Le prix d'achat et le prix de remboursement s'entendent hors intérêt couru. Lors de l'arrêté comptable, les moins-values latentes ressortant de la différence entre la valeur comptable, diminuée des amortissements et majorée des produits mentionnés aux 2e et 3e alinéas du l, et la valeur de

310

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

réalisation des titres correspondants évaluée conformément à l'article R. 332-20-1, ne font pas l'objet d'une provision. Néanmoins, lorsqu'il y a lieu de considérer que le débiteur ne sera pas en mesure de respecter ses engagements, soit pour le paiement des intérêts, soit pour le remboursement du principal, une dépréciation doit être constatée à l'inventaire. II. - Le 1 du présent article s'applique également aux obligations indexées sur le niveau général des prix d'un pays ou d'un ensemble de pays dont la devise est celle dans laquelle sont libellées ces obligations, avec garantie de remboursement au pair. Ces obligations sont soit émises par une personne morale de droit privé ayant son siège social sur le territoire d'un État membre de l'OCDE et négociées sur un marché reconnu, soit émises ou garanties par un État, un organisme ou une collectivité publics mentionnés au 10 du A de l'article R. 332-2, soit celles dont le débiteur est un établissement public national de l'un des États membres de la Communauté européenne ou parties à l'accord sur l'Espace économique européen. Pour le calcul de la différence à amortir entre le prix d'achat d'une obligation indexée sur le niveau général des prix et son prix de remboursement, celui-ci est le prix de remboursement initial du titre multiplié par le rapport entre l'indice des prix de référence à la date d'acquisition et ce même indice à la date d'émission. À chaque arrêté comptable, le gain ou la perte lié à l'indexation depuis le dernier arrêté comptable ou, s'il est plus récent, depuis l'achat, est enregistré en produits ou en charges. Sans préjudice des dispositions du l, les obligations indexées sur le niveau général des prix donnent lieu à la constatation d'une dépréciation si une situation de déflation durable est envisagée. Pour la détermination du montant de cette provision, la valeur de réalisation de ces obligations, qui ne peut être inférieure à leur nominal, est la valeur la plus faible entre, d'une part, leur valeur de marché et, d'autre part, leur valeur calculée sur la base des prévisions d'évolution de l'indice des prix de référence publiées par un organisme figurant sur une liste fixée par arrêté du ministre chargé de l'économie. Article R. 333-2 Les entreprises d'assurance sur la vie, d'assurance nuptialité-natalité ou de capitalisation doivent maintenir le revenu net de leurs placements à un montant au moins égal à celui des intérêts dont sont créditées les provisions mathématiques. ( ... ) Article R. 333-1 En cas de vente de valeurs évaluées conformément à l'article R. 332-19, à l'exception des obligations à taux variable, des versements ou des prélèvements sont effectués sur la réserve de capitalisation prévue aux articles R. 331-3, R. 331-6 et R. 331-36. Lorsqu'un instrument financier à terme est utilisé dans les conditions définies à l'article R. 332-45, et qu'il est lié à un titre ou un groupe de titres

311

Extraits du code des assurances

mentionnés à l'alinéa précédent, la valeur de réalisation de cet instrument au dénouement est prise en compte dans le prix de vente de ce titre ou de ce groupe de titres. Le montant de ces versements ou prélèvements ( ... ) doit être tel que le rendement actuariel des titres soit, après prélèvement ou versement, égal à celui qui en était attendu lors de l'acquisition de ces mêmes titres. Article A. 333-2 Lors de l'entrée en portefeuille des titres soumis à la réserve de capitalisation, leur taux actuariel de rendement est calculé en tenant compte du prix d'acquisition, des probabilités, dates d'échéances et montants, nets de tous impôts, des coupons, des lots et autres avantages accessoires attachés à ces titres, et des valeurs de remboursement. Pour les obligations visées au II de l'article R. 332-19, le calcul s'effectue en prenant pour valeur de remboursement la valeur de remboursement initiale multipliée par le rapport entre l'indice de référence à la date considérée et ce même indice à la date d'émission du titre. Article A. 333-3 Lors de la vente ou de la conversion d'une obligation, l'opération est appliquée au titre le plus ancien du portefeuille. En cas de vente ou de conversion d'un titre, on se réfère à la date d'acquisition de ce titre pour calculer, en fonction de son taux actuariel mentionné à l'article A. 333-2, sa valeur actuelle au jour de la vente ou de la conversion. Pour les obligations visées au paragraphe II de l'article R. 332-19, la valeur actuelle ainsi calculée est multipliée par le rapport entre l'indice de référence à la date de la vente ou de la conversion et ce même indice à la date d'acquisition. Lorsque le prix de vente est supérieur à la valeur actuelle, diminuée le cas échéant de la dépréciation mentionnée au dernier alinéa du 1 de l'article R. 332-19, l'excédent est versé à la réserve de capitalisation; lorsqu'il est inférieur à la valeur actuelle, diminuée le cas échéant de la dépréciation mentionnée au dernier alinéa du 1 du même article, la différence est prélevée sur la réserve de capitalisation, dans la limite du montant de celle-ci. l

2) L'évaluation des actions et de l'immobilier

Article R. 332-20 À l'exception des valeurs inscrites comme il est dit à l'article R. 332-19, les placements sont inscrits au bilan sur la base du prix d'achat ou de revient, dans les conditions ci-après: a) Les valeurs mobilières et les parts de fonds communs de placement sont retenues pour leur prix d'achat. Lorsqu'un instrument financier à terme est utilisé dans les conditions définies à l'article R. 332-46 et qu'il est lié à l'achat d'un titre ou d'un groupe de titres de même nature, la valeur de réalisation de l'instrument est prise en compte dans le prix d'achat de ce titre ou de ce groupe de titres. Le prix d'achat s'entend hors intérêt couru;

312

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

b) Les immeubles et les parts ou actions des sociétés immobilières ou foncières non inscrites à la cote d'une bourse de valeurs d'un État membre de l'OCDE sont retenus pour leur prix d'achat ou de revient ou, dans les conditions fixées dans chaque cas par l'ACAM, pour une valeur déterminée après expertise effectuée conformément à l'article R. 332-23. Les valeurs sont diminuées des amortissements pratiqués. Le prix de revient des immeubles est celui qui ressort des travaux de construction et d'amélioration, à l'exclusion des travaux d'entretien proprement dits; c) Les prêts sont évalués d'après les actes qui en font foi; d) Les nues-propriétés et les usufruits ( ... ). Dans tous les cas, sont déduits, s'il y a lieu, les remboursements effectués et les dépréciations, lesquelles ne peuvent être constatées que lorsqu'il y a lieu de considérer qu'elles ont un caractère durable. ( ... ) Article R.332-20-1 Les valeurs énumérées à l'article R. 332-2 et les autres placements financiers et immobiliers font l'objet, aux fins notamment d'effectuer le calcul prévu au premier alinéa de l'article R. 344-1, d'une évaluation sur la base de leur valeur de réalisation, dans les conditions ci-après: a) Les valeurs mobilières cotées et les titres cotés de toute nature sont retenus pour le dernier cours coté au jour de l'inventaire; b) Les titres non cotés sont retenus pour leur valeur vénale correspondant au prix qui en serait obtenu dans des conditions normales de marché et en fonction de leur utilité pour l'entreprise; c) Les actions de sociétés d'investissement à capital variable et les parts de fonds communs de placement sont retenues pour le dernier prix de rachat publié au jour de l'inventaire; d) La valeur de réalisation des immeubles et des parts ou actions des sociétés immobilières ou foncières non inscrites à la cote d'une bourse de valeurs d'un État membre de l'OCDE est déterminée sur la base d'une expertise quinquennale effectuée par un expert accepté par l'ACAM. Entre deux expertises, la valeur fait l'objet d'une estimation annuelle, certifiée par un expert accepté par l'ACAM ; e) Les autres placements sont retenus pour leur valeur comptable déterminée comme il est prévu aux articles R. 332-19 et R. 332-20 ci-dessus, sauf dans le cas où une autre valeur résulte soit d'une expertise effectuée dans les conditions prévues à l'article R. 332-23, soit d'un accord entre l'ACAM et l'entreprise. Pour les titres inscrits en comptabilité hors coupon couru en application des articles R. 332-19 et R. 332-20, il Y a lieu de déduire de l'évaluation prévue au présent article les proratas d'intérêt courus depuis la dernière échéance jusqu'à la date de l'inventaire. Article R. 332-20-2 La valeur de réalisation des instruments financiers à terme mentionnés aux articles R. 332-45 à R. 332-48 est:

Extraits du code des assurances

313

a) Pour les instruments financiers à terme échangés sur des marchés reconnus au sens du dernier alinéa du A de l'article R. 332-2, la valeur de la dernière cotation; b) Pour les instruments échangés de gré à gré, le coût de remplacement, évalué par au moins deux organismes n'appartenant pas à un même groupe au sens de l'article R. 332-13. Un des organismes peut être l'entreprise ellemême, sauf opposition de l'ACAM. Les organismes habilités à cette évaluation sont les établissements de crédit, les entreprises d'investissement ou, sur accord de l'Autorité de contrôle, des organismes spécialisés. Article R. 332-21 1. Les cessions de titres en portefeuille sont réputées porter par priorité sur les titres de même nature acquis ou souscrits à la date la plus ancienne. Lorsque des titres de même nature ont été acquis de manière successive en fonction d'un même ordre d'achat ou au cours d'un même exercice, la détermination du prix unitaire d'achat de chacun de ces titres peut s"effectuer en prix d'achat unitaire pondéré. ( ... ) II. Lorsque des placements détenus par l'entreprise et évalués conformément à l'article R. 332-19 ou à l'article R. 332-20 changent de destination et sont affectés en représentation d'engagements à capital variable tels que définis au premier alinéa de l'article R. 332-5, ils sont inscrits au bilan à la valeur estimée conformément aux dispositions du 3e alinéa du même article; la différence entre cette valeur et la valeur comptable antérieure est constatée en compte de résultat. De même, la variation de valeur, d'un exercice à l'autre, des placements affectés en représentation d'engagements à capital variable, telle qu'elle résulte de l'application des règles d'évaluation prévues par l'article R. 3325, est constatée en compte de résultat. III. Les actifs visés aux articles R. 332-19 et R. 332-20 inscrits dans une devise autre que l'euro en application des dispositions de l'article R. 341-7 sont évalués dans cette même devise pour l'application de l'article R. 33220-1. Article R.332-23 L'ACAM peut requérir la fixation par une expertise de la valeur de tout ou partie de l'actif des entreprises ( ... ). La valeur résultant de l'expertise doit figurer dans l'évaluation de la valeur de réalisation des placements prévue aux articles R. 332-20-1 et R. 332-20-2. Elle peut également être inscrite à l'actif du bilan dans les limites et les conditions fixées dans chaque cas par l'ACAM. Elle constitue alors le nouveau prix d'achat mentionné à l'article R. 332-20, la différence entre cette valeur et la valeur comptable antérieure étant constatée en compte de résultat. ( ... ) Article R. 332-24, à 29 : expertise demandée par l'ACAM Article R. 332-30 : tontines

314

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Instruments financiers à terme des entreprises d'assurance Article R. 332-45 Une entreprise d'assurance peut utiliser un instrument financier à terme au sens de l'article L. 211-1 du Code monétaire et financier, lié à un placement ou à un groupe de placements détenu ou à détenir si sont remplies durant toute l'opération les conditions suivantes: a) Le placement ou le groupe de placements est détenu ou a été acquis à terme avec une échéance antérieure à la date d'échéance ou d'exercice de cet instrument; b) Le placement ou le groupe de placements est identique ou assimilable au sous-jacent de cet instrument, et de montant au moins égal au montant notionnel de cet instrument; c) Pour les contrats d'échange, le sous-jacent visé au b est celui que l'entreprise s'engage à échanger; d) L'instrument financier à terme permet, en adéquation avec les engagements de l'entreprise, une gestion efficace et prudente du placement ou du groupe de placements détenus, visant à titre principal au maintien de sa valeur ou de son rendement. Article R. 332-46 Une entreprise d'assurance peut utiliser un instrument financier à terme en anticipation de placement si sont remplies durant toute l'opération les conditions suivantes: a) L'entreprise détient ou recevra avant la date d'échéance ou d'exercice de cet instrument un montant de liquidités au moins égal au montant notionnel de l'instrument. Lorsque l'instrument financier à terme n'emporte pour l'entreprise aucune obligation financière exigible à la date d'exercice ou ultérieurement, les liquidités peuvent être à recevoir de façon probable; b) L'opération a pour objet de diminuer l'aléa des conditions de placement futur, en adéquation avec les engagements de l'entreprise. Sont assimilées à des liquidités détenues les actions des sociétés d'investissement à capital variable et parts de fonds communs de placement mentionnés aux 3° et go de l'article R. 332-2 et classés dans la catégorie des OPCVM monétaires, définie par l'Autorité des marchés financiers. Lorsque les liquidités sont à recevoir à une échéance supérieure à un an, les créances découlant de l'opération à terme doivent être intégralement garanties dans les conditions prévues à l'article R. 332-56. Article R. 332-47 Une entreprise d'assurance peut utiliser un instrument financier à terme de taux ou de devise lié à une dette financière si sont remplies durant toute l'opération les conditions suivantes: a) L'emprunt contracté ou la dette émise est identique ou assimilable au sous-jacent de cet instrument;

Extraits du code des assurances

315

b) Pour les contrats d'échange, le sous-jacent visé au a est celui que l'entreprise s'engage à échanger; c) L'emprunt contracté ou la dette émise par l'entreprise est de montant au moins égal au montant notionnel de cet instrument; d) L'instrument financier à terme permet une gestion efficace et prudente de cette dette en adéquation avec les placements de l'entreprise. Article R. 332-48 Sauf dérogation expresse de l'ACAM, une entreprise d'assurance ne peut utiliser d'instrument financier à terme que dans les cas prévus par les articles R. 332-45, R. 332-46 et R. 332-47. Toute opération financière à terme ne respectant plus les conditions fixées à ces articles doit être dénouée dans un délai de trois mois, et fait l'objet d'une analyse détaillée dans le rapport prévu à l'article R. 322-2-4. Article R. 332-49 Une entreprise d'assurance ne peut procéder à des ventes d'option que dans les cas suivants: a) Vendre une option précédemment acquise dans le cadre défini par les articles R. 332-45 à R. 332-48 ; b) Vendre une option lorsque l'entreprise d'assurance achète simultanément une option similaire, à la seule différence du prix d'exercice; c) Vendre une option d'achat à la condition que le sous-jacent soit un placement déjà détenu, à l'exclusion de tout placement à détenir comme de toute anticipation de placement. Article R. 332-50 Les modalités d'enregistrement et de comptabilisation des opérations mentionnées aux articles R. 332-45 à R. 332-48 sont fixées par règlement du Comité de la réglementation comptable. Article R. 332-51 Sauf dérogation accordée au cas par cas par l'ACAM, notamment au regard d'une modification globale des conditions de marché, la somme des valeurs de réalisation positives de l'ensemble des instruments financiers à terme conclus de gré à gré avec l'ensemble des contreparties ne peut excéder 10 % de la base de dispersion définie au premier alinéa de l'article R. 332-3. Les valeurs de réalisation positives peuvent être compensées avec des valeurs de réalisation négatives vis-à-vis d'une même contrepartie s'il existe entre les parties à l'opération une convention de compensation bilatérale conforme à l'article R. 332-56. Article R. 332-52 Sauf dérogation accordée au cas par cas par l'ACAM, le montant des liquidités à recevoir qui proviennent d'actifs mentionnés aux 1°,2°,2° bis et 2° ter du A de l'article R. 332-2 et qui font l'objet d'opérations d'anticipation de placement dans des titres de même nature ne peut excéder 20 % de la base de dispersion définie au premier alinéa de l'article R. 332-3.

316

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Dans les cas autres que prévus au premier alinéa, le montant des liquidités à recevoir faisant l'objet d'opérations d'anticipation de placement ne peut excéder 5 % de la base de dispersion. Lorsque l'instrument financier à terme n'emporte pour l'entreprise aucune obligation financière exigible à la date d'exercice ou ultérieurement, les limitations du présent article ne s'appliquent pas. Article R. 332-53 Une entreprise d'assurance ne peut souscrire d'instruments financiers à terme que: 1. Sur les marchés reconnus au sens du dernier alinéa du A de l'article R. 332-2 ; 2. De gré à gré, auprès: a) Des établissements de crédit et entreprises d'investissement ayant leur siège social sur le territoire de l'un des États membres de la Communauté européenne ou parties à l'accord sur l'Espace économique européen; b) Des organismes mentionnés à l'article L. 518-1 du Code monétaire et financier; c) Des établissements de crédit ou entreprises d'investissement de pays tiers assujettis à des règles prudentielles considérées comme équivalentes par la Commission bancaire; d) D'entreprises d'assurance, de réassurance ou d'autres organismes, sur accord de l'ACAM. Article R. 332-54 La somme des valeurs de réalisation positives de l'ensemble des contrats conclus avec une même société ou plusieurs sociétés appartenant au même groupe au sens de l'article R. 332-13 est prise en compte dans le plafond mentionné au IOde l'article R. 332-3-l. Les valeurs de réalisation positives peuvent être compensées avec des valeurs de réalisation négatives des instruments financiers à terme conclus avec un même organisme, s'il existe entre les parties à l'opération une convention de compensation bilatérale conforme à l'article R. 332-56. Article R. 332-55 La somme des valeurs de réalisation positives des contrats financiers à terme conclus de gré à gré avec une même société ou plusieurs sociétés appartenant au même groupe au sens de l'article R. 332-13 ne peut excéder 0,5 % de la base de dispersion définie au premier alinéa de l'article R.332-3. Les valeurs de réalisation positives peuvent être compensées avec des valeurs de réalisation négatives des instruments financiers à terme conclus avec un même organisme s'il existe entre les parties à l'opération une convention de compensation bilatérale conforme à l'article R. 332-56. Article R. 332-56 Les montants prévus aux articles R. 332-54 et R. 332-55 sont calculés net de la valeur des garanties reçues en application d'une convention-cadre admissible. Est admissible une convention-cadre qui remplit l'ensemble des conditions suivantes: a) Elle respecte les principes généraux d'une convention-cadre de place nationale ou internationale; b) Elle prévoit de façon explicite la compensation entre valeurs de réalisation positives et

Extraits du code des assurances

317

négatives; c) Elle prévoit que la garantie prend la forme de remises en pleine propriété, opposables aux tiers sans formalité, d'espèces, de valeurs mentionnées au 1° du A de l'article R. 332-2, ou de parts ou d'actions d'organismes de placement collectif en valeurs mobilières mentionnés au 3° de cet article dont le portefeuille est exclusivement composé des valeurs mentionnées au 1° de cet article; d) Elle prévoit que les lois ou règlements régissant la contrepartie, notamment en cas d'insolvabilité, ne font pas obstacle à la mise en œuvre des modalités de résiliation, d'évaluation et de compensation, en application notamment de l'article L. 431-7 du Code monétaire et financier. La liste des conventions-cadres qui remplissent ces conditions est déterminée par un arrêté ( ... ). Article R. 332-57 L'ACAM peut, pour apprécier les limites fixées à la présente section, prendre en compte les instruments financiers utilisés par les organismes: a) Dans lesquels, d'une part, l'entreprise a investi un montant supérieur à 0,5 % de la base de dispersion définie au premier alinéa de l'article R. 332-3 et dans lesquels, d'autre part, le groupe auquel appartient l'entreprise d'assurance dispose de plus de 50 % du capital ou des parts; b) Ou bien dans lesquels l'entreprise a investi un montant supérieur à 5 % de la base de dispersion. Les dispositions du présent article s'appliquent notamment aux organismes visés aux 3° et 8° de l'article R. 332-2. Elles ne s'appliquent pas aux actifs mis en représentation de contrats d'assurance-vie ou de capitalisation, en unités de compte, dont l'assureur n'assume pas le risque de placement. Article R. 332-58 L'entreprise d'assurance utilisant des instruments financiers à terme effectue, au moins une fois par mois, des projections concernant la composition de son portefeuille de placements afin de prendre en compte l'impact sur celle-ci de ses opérations sur instruments financiers à terme. Ces projections sont établies pour les échéances d'un mois, trois mois, six mois, un an, et annuellement jusqu'à l'échéance maximale des instruments financiers à terme utilisés, en distinguant l'impact des opérations qui n'emportent aucune obligation pour l'entreprise. Article R. 336-3 Lorsqu'elle utilise pour la première fois des instruments financiers à terme, l'entreprise d'assurance en informe préalablement l'ACAM. Article R. 336-4 L'entreprise effectue un suivi permanent des opérations mentionnées aux articles R. 332-45 à R. 332-48. Elle tient à cet effet un relevé quotidien des positions prises pour chaque catégorie de placement sous-jacent, échéance par échéance. Le système de suivi doit permettre: a) Une évaluation sans délai des valeurs de réalisation; b) Le respect à tout moment des limites internes mentionnées à l'article R. 336-2 ; c) Le contrôle à tout

318

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

moment du respect par les gestionnaires de ces limites et des procédures internes nécessaires à l'accomplissement des dispositions du présent article. C) Liaisons entre l'évaluation de l'actif et celle du passif

La provision pour aléas financiers Article A. 331-2 Si lors de l'inventaire le taux de rendement réel des actifs d'une entreprise, diminué d'un cinquième, est inférieur au quotient du montant total des intérêts techniques et du minimum contractuellement garanti de participations aux bénéfices dans les conditions définies à l'article A. 132-2 des contrats de l'entreprise par le montant moyen des provisions mathématiques constituées, une comparaison entre les deux montants suivants doit être effectuée: 1° Les provisions mathématiques recalculées avec le taux de rendement réel des actifs de l'entreprise diminué d'un cinquième; 2° Les provisions mathématiques à l'inventaire. Si le premier montant est supérieur au second, une dotation égale à leur différence est affectée à la provision pour aléas financiers mentionnée au 5° de l'article R. 331-3. Cette provision est reprise dans les comptes de l'entreprise à l'inventaire suivant. Les contrats à capital variable et les opérations mentionnées aux articles L. 142-1 et L. 441-1 ne sont pas concernés par ces dispositions. Le taux de rendement réel des actifs est calculé conformément à l'article A. 331-7. Toutefois, il tient compte du rendement des actifs mentionnés au premier alinéa de l'article L. 324-7 ou inscrits dans les comptabilités auxiliaires d'affectation dont relèvent les contrats mentionnés aux Il et 12 de l'article A. 344-2.

La provision pour risque d'exigibilité Article R. 331-5-1 1. - La provision pour risque d'exigibilité est constituée lorsque les placements mentionnés à l'article R. 332-20 se trouvent en situation de moinsvalue latente nette globale. Une moins-value latente nette globale des placements mentionnés à l'article R. 332-20 est constatée lorsque la valeur nette comptable de ces placements est supérieure à la valeur globale de ces mêmes placements évalués de la manière suivante: a) Pour les valeurs mobilières cotées et les titres cotés mentionnés au a de l'article R. 332-20-1, la valeur retenue est le cours moyen calculé sur les trente derniers jours précédant le jour de l'inventaire ou, à défaut, le dernier cours coté avant cette date; b) Pour les actions de sociétés d'investissement à capital variable et les parts de fonds communs de placement mentionnés au c de l'article R. 332-20-1, ]a valeur retenue est la moyenne des prix de rachat publiés au cours des trente derniers jours précédant le jour de l'inventaire ou, à défaut,

Extraits du code des assurances

319

le dernier prix de rachat publié avant cette date; c) Pour les autres actifs, leur valeur est évaluée selon les règles prévues à l'article R. 332-20-1 ; 1° Lorsque l'entreprise, avant dotation à la provision pour risque d'exigibilité, satisfait à la représentation de ses engagements réglementés et à la couverture de l'exigence minimale de marge de solvabilité, la dotation annuelle à la provision pour risque d'exigibilité au titre de l'exercice est égale au tiers du montant de la moins-value latente nette globale constatée sur les placements mentionnés à l'article R. 332-20, sans que cette dotation puisse conduire à ce que le montant total de la provision inscrite au bilan au titre de l'exercice excède le montant de la moins-value nette globale constatée sur les placements mentionnés à l'article R. 332-20. 2° Dans les autres cas, la provision pour risque d'exigibilité inscrite au bilan au titre de l'exercice est égale à la moins-value latente nette globale constatée sur les placements mentionnés à l'article R. 332-20. Pour les calculs mentionnés aux alinéas précédents, les valeurs mentionnées aux a, b et c prennent en compte les moins-values latentes des opérations sur instruments financiers à terme prévues aux articles R. 332-45 à R. 332-47 ayant comme sous-jacent les actifs mentionnés à l'article R. 332-20. Ces moins-values latentes sont prises en compte à hauteur de la partie excédant la valeur des titres ou espèces donnés en garantie. Les plus-values latentes ne sont prises en compte que si elles sont garanties dans les conditions prévues à l'article R. 332-56. ( ... ) Article R. 331-5-4 Lorsque les conditions mentionnées au P du 1 de l'article R. 331-5-1 sont respectées, la charge constituée par la dotation à la provision pour risque d'exigibilité mentionnée à l'article R. 331-5-1 peut être étalée ( ... ). Le report de charge consécutif à cet étalement ne peut toutefois pas conduire à ce que la charge totale relative au provisionnement de la moinsvalue latente globale mentionnée à l'article R. 331-5-1 pour un exercice donné soit supportée sur plus de huit exercices consécutifs, à compter de l'exercice où cette moins-value latente globale a été constatée. ( ... ) Articles R. 332-59 à 63 cas particulier des contrats de retraite professionnelle supplémentaire

III) La marge de solvabilité A) La marge des entreprises françaises non vie Section II : La marge de solvabilité des entreprises d'assurance de dommages § 1 - Constitution de la marge de solvabilité.

Article R. 334-3 J. - La marge de solvabilité mentionnée à l'article L. 334-1 est constituée, après déduction des pertes, de la part des frais d'acquisition non

320

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

admise en représentation des engagements réglementés et des autres éléments incorporels, par les éléments suivants: 1. Le capital social versé ( ... ) ; 2. Les réserves de toute dénomination, réglementaires ou libres ( ... ) y compris la réserve de capitalisation; 3. Le report du bénéfice ou de la perte, déduction faite des dividendes à verser au titre du dernier exercice; 4. L'emprunt ou les emprunts pour fonds social complémentaire ( ... ). II. - La marge de solvabilité peut également être constituée par: 1. Les fonds effectivement encaissés provenant de l'émission de titres ( ... ) subordonnés ( ... ) ; Ces titres ( ... ) subordonnés ( ... ) doivent répondre aux conditions, notamment de durée et de remboursements, ( ... ). Ces fonds sont admis jusqu'à concurrence de 50 % de l'exigence de marge de solvabilité ou de la marge de solvabilité, le montant le plus faible étant retenu. Toutefois, la prise en compte de ceux de ces fonds qui proviennent de titre ( ... ) à durée déterminée n'est admise qu'à concurrence de 25 % de cette marge. ( ... ) 2. La réserve pour fonds de garantie ( ... ). III. - Sur demande et justification de l'entreprise et avec l'accord de l'ACAM, la marge de solvabilité peut également être constituée par: 1. La moitié de la fraction non versée du capital social ou de la part restant à rembourser de l'emprunt pour le fonds d'établissement, dès que la partie versée atteint 25 % de ce capital ou de ce fonds, à concurrence de 50 % de la marge de solvabilité ou de l'exigence minimale de marge de solvabilité, le montant le plus faible étant retenu; 2. Les rappels de cotisations ( ... ), dans la limite de 50 % de la marge de solvabilité ou de l'exigence minimale de marge, le montant le plus faible étant retenu; 3. Les plus-values pouvant résulter de la sous-estimation d'éléments d'actif et de la surestimation d'éléments de passif, dans la mesure où de telles plus-values n'ont pas un caractère exceptionnel; 4. Les plus-values latentes sur les instruments financiers à terme mentionnés aux articles R. 332-45 et R. 332-46 lorsque les opérations correspondantes sont négociées sur un marché reconnu au sens du dernier alinéa du A de l'article R. 332-2 ou réalisées de gré à gré dans la mesure où elles sont garanties dans les conditions prévues à l'article R. 332-56. Les moins-values latentes sur instruments financiers à terme non provisionnées sont déduites des éléments énumérés au 3 et au 4 du III. IV. - La marge de solvabilité est diminuée des éléments suivants: a) Les actions propres détenues directement par l'entreprise d'assurance; b) Les participations que l'entreprise d'assurance détient dans un établissement de crédit ou une entreprise d'investissement; c) Les créances subordonnées que l'entreprise d'assurance détient sur les entreprises mentionnées au b dans lesquelles elle détient une participation. ( ... ) En outre, l'entreprise n'est pas tenue d'effectuer les déductions mentionnées au b et au c lorsqu'elle est soumise à une surveillance complémentaire en application de l'article L. 334-3 ou de l'article L. 334-4 et

Extraits du code des assurances

321

qu'elle présente une solvabilité ajustée positive calculée selon les modalités précisées aux articles R. 334-49 et R. 334-50. La méthode définie à l'article R. 334-49 n'est applicable que si l'Autorité de contrôle estime que la gestion intégrée et le contrôle interne des entités entrant dans le périmètre de consolidation sont satisfaisants. v. - Lorsqu'elle estime que l'appréciation du report du bénéfice ou de la perte mentionnée au 3 du 1 est susceptible d'être faussée par l'existence d'un contrat de réassurance financière limitée souscrit par l'entreprise, l'Autorité de contrôle peut limiter la prise en compte de ce report, en vue d'y intégrer les charges futures attendues au titre de ce contrat. Le cas échéant, le montant de la marge de solvabilité est ajusté au terme du contrat de réassurance financière limitée, en fonction du report cumulé effectivement constaté. Article R. 334-4 La marge de solvabilité applicable aux entreprises visées au 4° de l'article L. 310-2, mentionnée à l'article L. 334-1, est constituée par des actifs dont le montant, afférent aux opérations réalisées sur le territoire de la République française, est égal, après déduction des pertes, de la part des frais d'acquisition non admise en représentation des engagements réglementés et des autres éléments incorporels, au total des éléments définis aux 2 et 3 du 1 et au 3 du III de l'article R. 334-3 en tenant compte des déductions prévues à cet article. Article R. 334-5 Pour les entreprises visées au 1° de l'article L. 310-2, l'exigence minimale de marge de solvabilité est déterminée, soit par rapport au montant annuel des primes ou cotisations, soit par rapport à la charge moyenne annuelle des sinistres. Cette exigence minimale de marge est égale au plus élevé des résultats obtenus par application des deux méthodes suivantes: a) Première méthode (calcul par rapport aux primes). La base des primes est calculée à partir des primes ou cotisations brutes émises ou des primes ou cotisations brutes acquises, le chiffre le plus élevé étant retenu. Les primes ou cotisations nettes d'annulation et de taxes pour les branches 11,12 et 13 énumérées à l'article R. 321-1 sont majorées de 50 %. Les primes ou cotisations émises dans le cadre des affaires directes au cours du dernier exercice, accessoires compris, sont agrégées. Il est ajouté à ce montant le total des primes acceptées en réassurance au cours du dernier exercice. De cette somme sont déduits, d'une part, le total des primes ou cotisations annulées au cours du dernier exercice, d'autre part, le total des impôts et taxes afférents aux primes ou cotisations précitées. Le montant obtenu est réparti en deux tranches, respectivement inférieure et supérieure à 53 100000 euros. À 18 % de la première tranche sont ajoutés 16 % de la seconde.

322

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Le résultat déterminé par application de la première méthode est obtenu en multipliant la somme des deux termes de l'addition prévue à l'alinéa précédent par le rapport existant, pour les trois derniers exercices entre le montant des sinistres demeurant à la charge de l'entreprise après cession en réassurance et le montant des sinistres brut de réassurance, sans que ce rapport puisse être inférieur à 50 %. Sous réserve de l'accord de l'Autorité de contrôle, des méthodes statistiques peuvent être utilisées pour l'affectation des primes ou cotisations. b) Deuxième méthode (calcul par rapport à la charge moyenne annuelle des sinistres). Au total des sinistres payés pour les affaires directes au cours des trois derniers exercices, sans déduction des sinistres à la charge des cessionnaires et rétrocessionnaires, sont ajoutés, d'une part, les sinistres payés au titre des acceptations en réassurance ou en rétrocession au cours des mêmes exercices, d'autre part, les provisions pour sinistres à payer constituées à la fin du dernier exercice, tant pour les affaires directes que pour les acceptations en réassurance. Pour les branches Il, 12 et 13 énumérées à l'article R. 321-1, les sinistres,provisions et recours sont majorés de 50 %. De cette somme sont déduits, d'une part, les recours encaissés au cours des trois derniers exercices, d'autre part, les provisions pour sinistres à payer constituées au commencement du deuxième exercice précédant le dernier exercice, tant pour les affaires directes que pour les acceptations en réassurance. Le tiers du montant ainsi obtenu est réparti en deux tranches, respectivement inférieure et supérieure à 37 200 000 euros. À 26 % de la première tranche sont ajoutés 23 % de la seconde. Le résultat déterminé par application de la deuxième méthode est obtenu en multipliant la somme des deux termes de l'addition prévue à l'alinéa précédent, par le rapport existant, pour les trois derniers exercices, entre le montant des sinistres demeurant à la charge de l'entreprise après cession en réassurance et le montant des sinistres brut de réassurance, sans que ce rapport puisse être inférieur à 50 %. Pour la branche mentionnée au 18 de l'article R. 321-1, le montant des sinistres payés entrant dans le calcul du résultat déterminé par application de la seconde méthode est le coût résultant pour l'entreprise des interventions effectuées en matière d'assistance, y compris les coûts d'assistance directs internes. Lorsqu'une entreprise pratique principalement un ou plusieurs des risques crédit, tempête, grêle, gelée, il est tenu compte pour le calcul de la charge moyenne annuelle des sinistres des sept derniers exercices sociaux au lieu des trois derniers. Si les calculs des a et b donnent un résultat inférieur à l'exigence minimale de marge de l'exercice précédent, l'exigence de marge de solvabilité est au moins égale à celle de l'exercice précédent multipliée par le rapport entre les provisions techniques pour sinistres à payer à la fin du dernier exercice et le montant des provisions techniques pour sinistres à payer au début du dernier exercice. Dans ces calculs, les provisions techniques sont

Extraits du code des assurances

323

calculées déduction faite de la réassurance, ce rapport ne pouvant cependant pas être supérieur à un. En outre, pour la prise en compte de la réassurance financière limitée dans le ratio de réassurance mentionné au dernier alinéa du a et au dernier alinéa du b, l'Autorité de contrôle se fonde sur le transfert de risque effectif. Sur demande et justification de l'entreprise auprès de l'Autorité de contrôle, et avec l'accord de celle-ci, les montants récupérables au titre des risques transférés à un véhicule de titrisation mentionné à l'article L. 3101-2 peuvent être assimilés à des cessions en réassurance pour le calcul du rapport mentionné au dernier alinéa du a et au dernier alinéa du b. L'Autorité de contrôle tient compte du transfert de risque effectif pour apprécier l'ampleur de la réduction d'exigence de marge de solvabilité autorisée au titre de chaque opération réalisée avec un véhicule de titrisation. Elle tient également compte de la capacité de ce véhicule à respecter à tout moment ses engagements. Article R. 334-7 à 10 : fonds de garantie B) La marge des entreprises françaises vie Article R. 334-11 1. - La marge de solvabilité mentionnée à l'article L. 334-1 est consti-

tuée, après déduction des pertes, de la part des frais d'acquisition non admise en représentation des engagements réglementés et des autres éléments incorporels, par les éléments suivants: 1. Le capital social versé ou le fonds d'établissement constitué; toutefois, les actions de préférence définies à l'article L. 228-11 du Code de commerce ne sont admises que si elles remplissent les conditions fixées par arrêté du ministre chargé de l'économie relatives notamment aux droits financiers attachés et aux versements correspondants, lesquels doivent pouvoir être suspendus et ne sont pas dans ce cas reportés à un exercice ultérieur; 2. Les réserves de toute dénomination, réglementaires ou libres, ne correspondant pas aux engagements, y compris la réserve de capitalisation; 3. Le report du bénéfice ou de la perte, déduction faite des dividendes à verser au titre du dernier exercice. II. - La marge de solvabilité peut également être constituée par: 1. Les fonds effectivement versés provenant de l'émission de titres ou emprunts subordonnés, ainsi que d'actions de préférence définies à l'article L. 228-11 du Code de commerce autres que celles à caractère non cumulatif mentionnées au 1 du I. Ces titres et emprunts subordonnés et actions de préférence doivent répondre aux conditions, notamment de durée et de remboursements, qui sont fixées par arrêté du ministre chargé de l'économie. Ces fonds sont admis jusqu'à concurrence de 50 % de l'exigence de marge de solvabilité ou la marge de solvabilité, le montant le plus faible étant retenu. Toutefois, la prise en compte de ceux de ces fonds qui proviennent de titres ou emprunts à durée déterminée n'est admise qu'à

324

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

concurrence de 25 % de cette marge. Tout remboursement effectué irrégulièrement peut, conformément aux dispositions de l'article L. 310-18, donner lieu à application de sanctions par l'Autorité de contrôle; 2. La réserve pour fonds de garantie prévue à l'article R. 423-16, à hauteur de la part de cotisation versée par l'entreprise et non utilisée par le fonds. III. - Sur demande et justification de l'entreprise et avec l'accord de l'Autorité de contrôle, la marge de solvabilité peut également être constituée par: 1. La moitié de la fraction non versée du capital ou de la part restant à rembourser de l'emprunt pour fonds d'établissement, dès que la partie versée atteint 25 % de ce capital ou de ce fonds, à concurrence de 50 % de la marge de solvabilité ou de l'exigence de marge de solvabilité, le montant le plus faible étant retenu; 2. Les plus-values pouvant résulter de la sous-estimation d'éléments d'actif dans la mesure où de telles plusvalues n'ont pas un caractère exceptionnel; 3. Les plus-values latentes sur les instruments financiers à terme mentionnés aux articles R. 332-45 et R. 332-46, dès lors que les opérations correspondantes sont négociées sur un marché reconnu au sens du dernier alinéa du A de l'article R. 332-2 ou réalisées de gré à gré dans la mesure où elles sont garanties dans les conditions prévues à l'article R. 332-56 ; 4. Jusqu'au 31 décembre 2009, un montant représentant 50 % des bénéfices futurs de l'entreprise. Le montant des bénéfices futurs est obtenu en multipliant le bénéfice annuel estimé de l'entreprise par le facteur qui représente la durée résiduelle moyenne des contrats. Les moins-values latentes sur instruments financiers à terme non provisionnées sont déduites des éléments énumérés au 2 et au 3. ( ... ) IV. - La marge de solvabilité disponible est diminuée des éléments suivants : a) Les actions propres détenues directement par l'entreprise d'assurance; b) Les participations que l'entreprise d'assurance détient dans un établissement de crédit ou une entreprise d'investissement; c) Les créances subordonnées que l'entreprise d'assurance détient sur les entreprises mentionnées au b dans lesquelles elle détient une participation. Toutefois, les éléments mentionnés aux b et c peuvent ne pas être déduits lorsque les participations mentionnées à ces alinéas sont détenues de manière temporaire en vue d'apporter un soutien financier à ces entreprises. En outre, l'entreprise n'est pas tenue d'effectuer les déductions mentionnées au b et au c lorsqu'elle est soumise à une surveillance complémentaire en application de l'article L. 334-3 ou de l'article L. 334-4 et qu'elle présente une solvabilité ajustée positive calculée selon les modalités précisées aux articles R. 334-49 et R. 334-50. La méthode définie à l'article R. 334-49 n'est applicable que si l'Autorité de contrôle estime que la gestion intégrée et le contrôle interne des entités entrant dans le périmètre de consolidation sont satisfaisants. V. - Lorsqu'elle estime que l'appréciation du report du bénéfice ou de la perte mentionnée au 3 du 1 est susceptible d'être faussée par l'existence d'un contrat de réassurance financière limitée souscrit par l'entreprise,

Extraits du code des assurances

325

l'Autorité de contrôle peut limiter la prise en compte de ce report, en vue d'y intégrer les charges futures attendues au titre de ce contrat. Le cas échéant, le montant de la marge de solvabilité est ajusté au terme du contrat de réassurance financière limitée, en fonction du report cumulé effectivement constaté. Article R. 334-12 La marge de solvabilité des entreprises visées au 4° de l'article L. 310-2 afférente aux opérations réalisées sur le territoire de la République française, est constituée, après déduction des pertes de la part des frais d'acquisition non admise en représentation des engagements réglementés et des autres éléments incorporels, par les éléments définis aux 2 et 3 du 1 et aux 2 et 4 du III de l'article R. 334-11 en tenant compte des déductions prévues à cet article. Article R. 334-13 Pour les entreprises mentionnées au P de l'article L. 310-2, l'exigence minimale de marge de solvabilité est déterminée, en fonction des branches exercées, en application des dispositions suivantes: a) Pour les branches 20 et 21, à l'exception des assurances complémentaires, l'exigence minimale de marge est calculée par rapport aux provisions mentionnées aux 1° et 4° de l'article R. 331-3 et aux capitaux sous risque. Ce montant est égal à la somme des deux résultats suivants: Le premier résultat est obtenu en multipliant un nombre représentant 4 % de la somme des provisions mentionnées aux 1° et 4° de l'article R. 331-3, relatives aux opérations d'assurances directes sans déduction des cessions en réassurance et aux acceptations en réassurance, par le rapport existant., pour le dernier exercice, entre le montant des provisions mathématiques après cessions en réassurance et le montant des provisions mathématiques brut de réassurance, sans que ce rapport puisse être inférieur à 85 %. Le second résultat est obtenu en multipliant un nombre représentant 0, 3 % des capitaux sous risque par le rapport existant, pour le dernier exercice, entre le montant des capitaux sous risque après cession et rétrocession en réassurance et le montant des capitaux sous risque brut de réassurance sans que ce rapport puisse être inférieur à 50 %. Pour les assurances temporaires en cas de décès d'une durée maximale de trois années, le facteur multiplicateur des capitaux sous risque est égal à 0,1 %. Il est fixé à 0,15 % des dits capitaux pour les assurances temporaires en cas de décès dont la durée est supérieure à trois années mais n'excède pas cinq années. Le capital sous risque est égal au risque décès, déduction faite de la provision mathématique du risque principal; b) Pour les assurances complémentaires à des contrats comportant des engagements résultant d'opérations classées aux branches 20,21 et 22, l'exigence minimale de marge est égale à l'exigence minimale de marge de solvabilité des entreprises d'assurance, telle que prévue par l'article R. 334-5 ;

326

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

c) ( ... ) d) Pour la branche 24, à l'exception des opérations de capitalisation exprimées en unités de compte, l'exigence minimale de marge est égale au résultat obtenu en multipliant un nombre représentant 4 % des provisions techniques relatives aux opérations d'assurances directes et aux acceptations brutes de réassurance par le rapport mentionné au premier résultat défini au a; e) Pour la branche 22, à l'exception des assurances complémentaires, la branche 24 lorsqu'il s'agit des opérations de capitalisation exprimées en unités de compte et la branche 25, l'exigence minimale de marge est égale: 1. Lorsque l'entreprise assume un risque de placement, à un nombre représentant 4 % des provisions techniques relatives aux opérations d'assurances directes et d'acceptations brutes de réassurance multiplié par le rapport mentionné au premier résultat défini au a; 2. Lorsque l'entreprise n'assume pas de risque de placement, à un nombre représentant 1 % des provisions techniques des contrats multiplié par le rapport mentionné au premier résultat du a, à la condition que le montant destiné à couvrir les frais de gestion prévus dans ces contrats soit fixé pour une période supérieure à cinq années ; 3. Lorsque l'entreprise assume un risque de mortalité, le montant de l'exigence minimale de marge est obtenu en ajoutant à l'un ou l'autre des résultats déterminés par application des dispositions des deux alinéas précédents un nombre représentant 0,3 % des capitaux sous risque, multiplié par le rapport existant, pour le dernier exercice, entre le montant des capitaux sous risque après cessions et rétrocessions en réassurance et le montant des capitaux sous risque brut de réassurance, sans que ce rapport puisse être inférieur à 50 % ; f) ( ... ) En outre, pour la prise en compte de la réassurance financière limitée dans le ratio de réassurance mentionné aux deuxième et troisième alinéas du a et au 3 du e, l'Autorité de contrôle se fonde sur le transfert de risque effectif. Sur demande et justification de l'entreprise auprès de l'Autorité de contrôle, et avec l'accord de celle-ci, les montants récupérables au titre des risques transférés à un véhicule de titrisation mentionnés à l'article L. 3101-2 peuvent être assimilés à des cessions en réassurance pour le calcul du rapport mentionné aux deuxième et troisième alinéas du a et au 3 du e. L'Autorité de contrôle tient compte du transfert de risque effectif pour apprécier l'ampleur de la réduction d'exigence de marge de solvabilité autorisée au titre de chaque opération réalisée avec un véhicule de titrisation. Elle tient également compte de la capacité de ce véhicule à respecter à tout moment ses engagements. Article R. 334-13-1 et R. 334-13-2 : euros diversifiés Lorsqu'un contrat mentionné à l'article R. 342-1 prévoit que les frais de gestion ne sont pas fixés pour une période supérieure à cinq ans, et lorsque

Extraits du code des assurances

327

l'entreprise d'assurance n'assume pas un risque de placement, l'exigence minimale de marge de solvabilité est fixée à un montant équivalant à 25 % des dépenses de gestion nettes relatives à ces opérations pour le dernier exercice. Article R. 334-15 à 16 : fonds de garantie Article R. 334-17 à 21 : marge des entreprises mixte C) La surveillance complémentaire des groupes d'assurance Article R. 334-40 Les entreprises ( ... ) participantes ( ... ) disposent d'un système de contrôle interne pour la production des données et informations destinées à permettre la surveillance complémentaire de leur situation financière. Article R. 334-41 Les entreprises ( ... ) doivent présenter une solvabilité ajustée positive déterminée ( ... ) sur la base des comptes consolidés ( ... ). Toutefois, lorsque ces entreprises sont des entreprises participantes d'un établissement de crédit, d'une entreprise d'investissement ou d'un établissement financier, elles peuvent, alternativement, présenter une solvabilité ajustée positive selon les modalités précisées aux articles R. 334-49 et R. 334-50. ( ... ) En cas de solvabilité ajustée négative, l'Autorité de contrôle exige de l'entreprise concernée qu'elle prenne les mesures nécessaires au rétablissement d'une solvabilité ajustée positive. Article R. 334-42 La solvabilité ajustée d'une entreprise participante est la différence entre la marge de solvabilité disponible et l'exigence de solvabilité calculées à partir des données consolidées ( ... ). Les éléments admissibles pour la marge de solvabilité de l'entreprise participante pour laquelle la solvabilité ajustée est calculée et ceux pris en compte au titre des entreprises apparentées sont ceux mentionnés aux articles R. 334-3, R. 334-4, R. 334-11, R. 334-12, ( ... ). Toutefois, des éléments admissibles, notamment les plus-values latentes, les emprunts subordonnés, les intérêts minoritaires et les rappels de cotisations des sociétés d'assurance mutuelle ne sont pris en compte ( ... ) que dans la mesure où ils peuvent être effectivement rendus disponibles pour couvrir la marge de solvabilité de l'entreprise participante pour laquelle la solvabilité ajustée est calculée. En outre, sont déduits les participations, créances subordonnées et autres instruments financiers détenus sur des établissements de crédit, des entreprises d'investissement et des établissements financiers et mentionnés au 1 de l'article R. 334-3. L'exigence de solvabilité des entreprises incluses dans le calcul de solvabilité ajustée se définit de la manière suivante: 1. Pour une entreprise

328

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

d'assurance ( ... ), elle correspond au montant réglementaire de la marge de solvabilité décrit aux articles R. 334-5, R. 334-6, R. 334-13, R. 334-14, ( ... ) En outre, si une entreprise applique les normes comptables internationales ( ... ), les données consolidées ( ... ) prises en compte pour le calcul de sa marge de solvabilité ajustée font l'objet des retraitements strictement nécessaires pour assurer la comparabilité de celle-ci avec la marge de solvabilité ajustée des entreprises n'appliquant pas ces normes. ( ... ) Article R. 334-43 Par dérogation à l'article R. 334-42 et à titre exceptionnel, l'Autorité de contrôle est autorisée à appliquer lorsque la structure du groupe concerné le justifie, l'une des deux méthodes suivantes: 1. Méthode n° 1 : déduction et agrégation: La solvabilité ajustée de l'entreprise participante est la différence entre: a) La somme des éléments admissibles pour la marge de solvabilité de l'entreprise participante et de la part proportionnelle de cette dernière dans les éléments admissibles pour la marge de solvabilité de l'entreprise apparentée; b) La somme de la valeur comptable de l'entreprise apparentée dans l'entreprise participante, de l'exigence de solvabilité de l'entreprise participante et de la part proportionnelle de l'exigence de solvabilité de l'entreprise apparentée. 2. Méthode n° 2 : déduction d'une exigence: La solvabilité ajustée de l'entreprise participante est la différence entre: a) La somme des éléments admissibles pour la marge de solvabilité de l'entreprise participante; b) La somme de l'exigence de solvabilité de l'entreprise participante et de la part proportionnelle de l'exigence de solvabilité de l'entreprise apparentée. Lorsque l'entreprise apparentée est une entreprise filiale et qu'elle présente un déficit de solvabilité, ce déficit de solvabilité doit être pris en compte en totalité dans le calcul de la solvabilité ajustée de l'entreprise mère. ( ... ) Pour le calcul de la solvabilité ajustée en application de ces deux méthodes, les opérations intragroupes sont éliminées d'une manière équivalente à celle prévue pour l'établissement des comptes consolidés ( ... ). Article R. 334-44 ( ... ) Article R. 334-45 Les opérations qu'une entreprise ( ... ) effectue avec ses entreprises apparentées ( ... ) sont soumises au contrôle de l'ACAM, notamment celles qui portent sur les prêts, les garanties et les opérations hors bilan, les éléments admissibles pour la marge de solvabilité, les investissements, les opérations de réassurance et les accords de répartition des coûts. L'entreprise déclare au moins une fois par an à cette commission les opérations importantes mentionnées ci-dessus. L'entreprise se dote en outre de procédures de gestion des risques et de dispositifs de contrôle interne visant à identifier, mesurer, encadrer et contrôler ces opérations. Un arrêté du ministre chargé de l'économie précise les conditions dans lesquelles ces opérations doivent être déclarées.

Extraits du code des assurances

329

Si l'Autorité de contrôle estime, à partir de l'examen de ces déclarations, que la solvabilité de l'entreprise est compromise ou susceptible de l'être, elle exige de cette entreprise qu'elle prenne les mesures nécessaires au rétablissement ou au maintien de sa solvabilité. Article R. 334-46 à 48 ( ... ) Article R. 334-49 Les exigences complémentaires en matière d'adéquation des fonds propres mentionnées à l'article L. 334-8 sont déterminées sur la base des comptes consolidés ( ... ) du conglomérat financier( ... ). Elles résultent de la différence ( ... ) entre les fonds propres du conglomérat financier et les exigences de solvabilité relatives aux différents secteurs financiers du conglomérat. Cette différence doit être positive. Article R. 334-50 Lorsqu'elle est désignée comme coordonnateur, l'ACAM peut ( ... ) faire appliquer, à la place de la méthode prévue à l'article R. 334-49 pour le calcul des exigences complémentaires, l'une des trois méthodes suivantes, si elle lui apparaît plus pertinente au regard des impératifs de la surveillance complémentaire, en raison notamment de la structure du conglomérat financier considéré, ou à la demande de ce dernier. 1° Méthode n° 1 : Déduction et agrégation. Les exigences complémentaires résultent de la différence entre: a) D'une part, la somme des fonds propres de toutes les entités du secteur financier; b) D'autre part, la somme des exigences de solvabilité de toutes les entités du secteur financier et de la valeur comptable des participations dans d'autres entités du groupe. L'exigence de solvabilité d'une entité non réglementée est une exigence notionnelle calculée en application des règles sectorielles qui s'appliqueraient si elle était une entité réglementée du secteur considéré. La différence doit être positive. 2° Méthode n° 2 : Valeur comptable/déduction d'une exigence. Les exigences complémentaires résultent de la différence entre: a) D'une part,les fonds propres de l'entreprise mère ou de l'entité qui se trouve à la tête du conglomérat financier; b) Et, d'autre part, la somme de l'exigence de solvabilité de l'entreprise mentionnée au a et de la valeur comptable des participations de celle-ci dans d'autres entités du groupe ou des exigences de solvabilité de ces entités, le montant le plus élevé des deux étant retenu. L'exigence de solvabilité d'une entité non réglementée est une exigence notionnelle calculée en application des règles sectorielles qui s'appliqueraient si elle était une entité réglementée du secteur considéré. La différence doit être positive. 3° Méthode n° 3 : combinaison des trois méthodes. Lorsqu'elle est coordonnateur, l'AACAM peut, sous réserve des conditions mentionnées au premier alinéa, permettre au conglomérat financier de combiner deux ou trois des méthodes mentionnées à l'article R. 334-49 et au présent article. ( ... ).

330

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Article R. 334-51 ( ... ) L'ACAM peut ( ... ) si la situation du conglomérat financier en matière d'adéquation des fonds propres le justifie, demander que les exigences complémentaires soient couvertes par des éléments prudentiels admis à la fois par la réglementation applicable au secteur des assurances et par celle applicable au secteur bancaire et des services d'investissement dans les limites propres à ces réglementations sectorielles. Article R. 334-52 1. - Les entités réglementées appartenant à un conglomérat financier se dotent de procédures coordonnées de gestion des risques et de contrôle interne. II. - Les procédures de gestion des risques mentionnées à l'alinéa précédent portent sur: 1° L'approbation et l'examen périodique, par les organes dirigeants au niveau du conglomérat financier, des stratégies et politiques conduites pour l'ensemble des risques encourus; 2° La satisfaction des exigences réglementaires en matière d'adéquation des fonds propres et l'existence de procédures visant à anticiper l'impact des stratégies de développement sur le profil de risques et les exigences en matière de fonds propres; 3° Des procédures permettant de garantir que les dispositifs de surveillance des risques sont adaptés à l'organisation du conglomérat financier et que les mesures mises en place au sein de chaque entité, en vue de s'assurer que les risques puissent être mesurés, surveillés et maîtrisés au niveau du conglomérat, sont cohérentes. III. - Les dispositifs de contrôle interne mis en place doivent permettre: 1° D'identifier et de mesurer tous les risques importants encourus et de déterminer un niveau des fonds propres adapté aux risques; 2° D'identifier, de mesurer, d'encadrer et de contrôler, par des procédures d'information et de comptabilité appropriées, les transactions intragroupe ainsi que la concentration des risques. IV. - Les entités réglementées appartenant à un conglomérat financier disposent d'un système de contrôle interne pour la production des données ou informations destinées à permettre leur surveillance complémentaire. D) Le contrôle interne Article R. 336-1 Toute entreprise ( ... ) est tenue de mettre en place un dispositif permanent de contrôle interne. Le conseil d'administration ( ... ) approuve, au moins annuellement, un rapport sur le contrôle interne ( ... ). 1° ( ... ) les conditions de préparation et d'organisation des travaux du conseil d'administration ( ... ).2° ( ... ) a) Les objectifs, la méthodologie, la position et l'organisation générale du contrôle interne ( ... ) ; les mesures prises pour assurer l'indépendance et l'efficacité du contrôle interne ( ... ), ainsi que les suites données aux recommandations des personnes ou instances chargées

Extraits du code des assurances

331

du contrôle interne; b) Les procédures permettant de vérifier que les activités de l'entreprise sont menées selon les politiques et stratégies établies par les organes dirigeants et les procédures permettant de vérifier la conformité des opérations d'assurance ou de réassurance ( ... ) ; c) Les méthodes utilisées pour assurer la mesure, l'évaluation et le contrôle des placements, en particulier en ce qui concerne l'évaluation de la qualité des actifs et de la gestion actif-passif, le suivi des opérations sur instruments financiers à terme et l'appréciation des performances et des marges des intermédiaires financiers utilisés; d) Le dispositif interne de contrôle de la gestion des placements ( ... ) ; e) Les procédures et dispositifs permettant d'identifier, d'évaluer, de gérer et de contrôler les risques liés aux engagements de l'entreprise et de détenir des capitaux suffisants pour ces risques, ainsi que les méthodes utilisées pour vérifier la conformité des pratiques en matière d'acceptation et de tarification du risque, de cession en réassurance et de provisionnement des engagements réglementés à la politique de l'entreprise dans ces domaines, ( ... ) ; f) Les mesures prises pour assurer le suivi de la gestion des sinistres, le suivi des filiales, la maîtrise des activités externalisées et des modes de commercialisation des produits de l'entreprise, et les risques qui pourraient en résulter; g) Les procédures d'élaboration et de vérification de l'information financière et comptable. ( ... ) Article R. 336-2 Le conseil d'administration ( ... ) fixe, au moins annuellement, les lignes directrices de la politique de placement. Il se prononce en particulier sur les modalités de choix des intermédiaires financiers, sur la gestion actifpassif, sur la qualité des actifs et sur les opérations sur instruments financiers à terme. ( ... ) Article R. 336-5 Le conseil d'administration ( ... ) approuve au moins annuellement les lignes directrices de la politique de réassurance. ( ... ) a) Les orientations prises par l'entreprise en matière de cessions en réassurance, en particulier en ce qui concerne la nature et le niveau de protection visé et le choix des entreprises cessionnaires; b) Les critères qualitatifs et quantitatifs sur lesquels l'entreprise se fonde pour s'assurer de l'adéquation de ses cessions en réassurance avec les risques souscrits; c) Les orientations de la politique de réassurance concernant les risques souscrits ( ... ) ainsi que les principales cessions de réassurance; d) L'organisation concernant la définition, la mise en œuvre et le contrôle du programme de réassurance; e) Les méthodes d'analyse et de suivi qu'utilise l'entreprise en ce qui concerne le risque de contrepartie lié à ses opérations de cessions en réassurance ( ... )

BIBLIOGRAPHIE

[1]

ARLES O., DELENE P., LALOT O.,Provisionnement et résultats prévisionnels de contrats comportant des engagements de rente viagère, Mémoire IAF, 1998.

[2]

AXA-Befec Priee Waterhouse, Gestion et analyse financière, L'Argus, 1994.

[3]

AXA-Befec Priee Waterhouse, Assurance vie: norme et réglementation comptable. L'Argus, 1997.

[4]

BEARD R.E., PENTIKAINEN T., PESONEN M., Risk Theory, The Stochastic Basis of Insurance (3rd edition), Chapman and Hall, 1984.

[5]

BÉHAR T., HÉMARD J., «Asymétrie d'information et assurance automobile», Risques, 1998

[6]

BELLANDO J.-L., BOUCHAERT H., SCHOR A.D., L'Assurance dans le marché unique, La Documentation française, 1994.

[7]

BIGOT J., BELLANDO J.-L., HAGOPIAN M., MOREAU J., PARLEANI G., Traité de droit des assurances, L.G.D.J., 1992.

[8]

BOULANGER F., TRAN VAN LIEU L., Tarif, Concurrence et rentabilité: le cas de l'assurance automobile, Mémoire IAF, 1994.

[9] BÜHLMANN H., STRAUB E., «Glaubwürdigkeit für Schadensatze», Bulletin of the Association of Swiss Actuaries, 1970. [10] CHIAPPORI P.-A., Risque et assurance, Flammarion, 1995. [11] COMMISSION DE CONTRÔLE DES ASSURANCES, Rapports annuels. [12] CODE DES ASSURANCES Code des assurances, L'Argus.

334

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

[13] DAYKIN C., PENTIKAINEN T., PESONEN M., Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman and Hall, 1994. [14] EWALD F., LORENZI J.-H., Encyclopédie de l'assurance, Economica, 1997. [15] FÉDÉRATION FRANÇAISE DES SOCIÉTÉS D'ASSURANCES (FFSA),

Rapports annuels. [16] FOURASTIÉ J., La Comptabilité, Collection Que sais-je, PUF, 1998. [17] GERBER H., An Introduction to Mathematical Risk Theory, Huebner Foundation, 1979. [18] GOURIÉROUX C., ({ Courbes de performance, de sélection et de discrimination)}, Annales d'économie et de statistique, 1992. [19] HAGOPIAN M., LAPARRA M., Aspects théoriques et pratiques de la réassurance, L'Argus, 1991 [20] LEPAPE J., LEROY G., Assurance vie et fonds de pension. Analyse financière et actuarielle, Lamy, 1985. [21] PETAUTON P., Théorie et pr~tique de l'assurance vie, Duno_d, 1996. [22] PIERMAY M., LAZIMI A., HEREIL O., Mathématiques financières, 2e éd., Economica, 1998. [23] SAPORTA G., Probabilité, analyse des données et statistique, Technip, 1990. [24] SIMON Y., Encyclopédie des marchés financiers, Economica, 1997. [25] SIMONET G., La Comptabilité des assurances, L'Argus, 1998. [26] TASSI P., Méthodes statistiques, Economica, 1989.

INDEX DES NOTATIONS

{3 coefficient de sécurité p. 113. FP fonds propres du début d'exercice p. 111. i

- identifie l'assuré p. 18, 19 ; - ou bien désigne le taux d'intérêt technique p. 202. Nombre: d'assurés p. 18 ; - N s aléatoire de sinistres de l'ensemble des na assurés p. 139 ; - no de risques observés, lorsqu'il diffère du nombre d'assurés p. 121 ; - Ki aléatoire de sinistres du i-ième assuré p. 138 ; - lz ou lx de vivants d'âge z (ou x) d'une table de mortalité p. 204. - na

'Tri

prime pure,

'Tr:'

prime commerciale du i-ième assuré p. 18.

Rna résultat aléatoire de l'exercice p. 28.

SI P

rapport sinistres sur primes pp. 127, 163, 174.

t date. V AP valeur actuelle probable p. 206. t V" provision mathématique t V provision mathématique pure p. 223. v facteur d'escompte p. 253. Xi charge aléatoire des prestations relatives au ième assuré p. 19. Yi, j coût aléatoire du j-ième sinistre (éventuel) du i-ième assuré p. 138. Z paramètre de tarification p. 124.

Autres notations (notations internationales vie) T x , durée aléatoire de vie de l'assuré d'âge x p. 252. kEx, m/nax, m/nax, m/nAx, VAP de différentes garanties pp. 252 et suivantes. Dx, N x , Sx, ex, Mx, Rx nombres de commutation pp. 256 et suivantes.

INDEX THÉMATIQUE

A Actif - net, 24 - net réévalué, 99 - réel, 24, 41, 43 Actifs - congruents, 82 - techniques, 85 Actualisation, 31 Actuariat - à court terme, 28 - à long terme, 28 Agrément administratif, 26 Aléa, 106 - de mortalité, 205 Aléatoire, 18 Antisélection, 124, 154 - externe, 160 - interne, 159 Appraisal value, 99 Assuré, 13 Assurance, 12, 17,20 - de choses, 14 - de dommages aux biens, 14 - de dommages corporels, 16 - de personnes, 15 - de responsabilité, 15 - mixte, 255 - vie, 16, 201

Assureur, 13 Avance, 227

B Bénéfices futurs, 91 Bénéficiaire, 13 Bilan, 24, 40 Bon de capitalisation, 31, 216, 220 Boni de liquidation, 164

C Capital différé, 202, 205, 221 Capital sous risque, 269 Capitalisation (fonctionnement en), 22 Capitaux propres, 44 Chargement, 18, 216 - de gestion, 110 - de sécurité, 110 Charges, 25 Code de commerce, 60 Coefficient de sécurité, 113 Commission de contrôle des assurances, 27 Comptabilité - en partie double, 49 - principes généraux de la -, 24 Compte courant probable, 220, 247 Compte de résultat, 25, 42

338

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Comptes consolidés, 68 Contrat aléatoire, 13 Contrat d'assurance, Il, 13 - collectif, 13 - individuel, 13 Cotisation, 14 Coût probable, 152 Crédibilité, 133 Crédit, 49 D

Débit, 49 Dépense, 42 Dérivés (produits), 88 Dézillmérisation, 264 Dossier annuel, 127 Duration, 33, 215 E

Embedded value, 99 Engagement (s) - réglementé, 59, 82 - représentation des -, 58, 76, 82 Exercice - comptable, 42 - de déclaration, 14 - de paiement, 14 - de survenance, 14, 57 F

Facteur de tarification, 123, 159 Fair value, 83, 99 Fonds propres, 24 Frais - d'acquisition, 51, 216 - reportés, 64 - de gestion, 216 Franchise, 15, 149 Fréquence - aléatoire, 140 - probable, 140, 152

G Garantie, 14 - de fidélité, 79 - illimitée, 15 - plafond de -, 15 - plancher, 79

Gestion actif-passif, 86 Grand livre, 50

H Hyperzillmérisation, 268 1

IBNR,77 Immunisation, 215 Incertitude - absolue, 19, 109 - relative, 19, 109 Insolvabilité, 25 Intégration - globale, 73 - proportionnelle, 73 Intérêt - composé, 30 - simple, 30 Inventffire, 47, 50, 51 Inversion du cycle de production, 25 J

Journal, 50 L

Liquidation des provisions, 164 Loi - binomiale, 34, 205 - de Bernoulli, 34, 114 - de Gompertz, 242 - de Makeham, 242 - de Pareto, 143 - de Poisson, 35, 139 - des grands nombres, 19 - faible des grands nombres, 132 -log-normale, 143 - normale, 34, 109 M

Mali de liquidation, 164 Marge de solvabilité, 76, 89, 99 Modèle - auto, 137 - multiplicatif, 182 - simple, 105 - vie, 201

339

Index thématique

Mutualisation, 18 Mutualité, 18

- de coûts moyens, 169 - dossier par dossier, 165 - liquidative, 172

N Nivellement, 222 Nombre de commutation, 256 Nombre probable de vivants, 204

p Passif réel, 24, 41, 43 Pensions livrées, 88 Plafond, 148 Plus-values latentes, 89, 96 Police d'assurance, 13 Présentation des comptes - en colonne, 41, 43 - en tableau, 41, 43 Prestation, 12 Prime, 12, 14 - annuelle, 221 - commerciale, 18, 110, 216 - pure, 18, 110, 216 - unique, 220 Principe d'escompte viager, 262 Principe de prudence, 47 Priorité, 148 Probabilité viagère, 202, 203 Produits financiers, 25 Provision - dézillmérisée, 264 - mathématique, 77, 220 - pour aléas financiers (PAF), 78,86 - pour égalisation, 81 - pour primes non acquises (PPNA), 52, 77 - pour risque d'exigibilité, 81 - pour risques croissants, 81 - pour risques en cours (PREC), 52,77 - pour sinistres à payer (PSAP), 52,77 - pure, 223 - technique, 24 - zillmérisée, 264 Provisions calculées par une méthode - de blocage des primes, 177 - de cadences de règlement, 166

R

Rachat, 227 Rappel de cotisations, 90 Rapport S/P, 127 Réassurance, 20,62 - acceptation en -, 62 - cédant dans une opération de -,62 - cession en -, 62 - cessionnaire dans une opération de -,62 - en excédent de perte, 120 - en excédent de plein, 120 - en excédent de sinistre, 120 - en quote-part, 117 - nantissement des provisions cédées en -, 63 - non proportionnelle, 119 - proportionnelle, 119 Recette, 42 Réduction, 227 Règles (concernant l'actif) - d'évaluation, 82 - de congruence, 84 - de dispersion, 82, 84 - de limitation, 82, 84 Rente viagère, 78, 210 Répartition (fonctionnement en), 22 Réserve de capitalisation, 81, 86 Réserve mathématique, 223 Résultat - technique, 56 - non technique, 56 Risk based capital (RBC), 93 Risque, 12 - de perte, 111 - de ruine, 113 - de taux, 213 Risques - homogènes, 20, 131 - identiques, 128 - indépendants, 20, 128

340

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

s Score canonique, 186 Scoring, 185 Segmentation, 123, 154, 180 Sensibilité, 32 Sinistre(s), 14 - coût probable d'un -, 140 - densité de distribution des -, 140 - répartition cumulée des -, 140 Situation nette comptable, 24, 41 Société d'assurances - mixte, 16 - mutuelle, 13 - non-vie, 16 - vie, 16 Solvabilité, 59 Souscripteur, 13 T

Table de mortalité, 78, 204, 215 - ajustement d'une -, 235 - d'expérience, 235 - prospective, 78 - TD, TV, TPRV, 204, 206 Tarification, 120

Taux - d'intérêt technique, 78, 212 - de rendement actuariel, 244 - de rendement interne, 245 Temporaire décès, 208, 222 Théorème de la limite centrale, 34, 132 - faible, 109 Transformation, 227

u Unité de compte, 83

v Valeur - acquise, 30 - actuelle, 31 - actuelle probable (VAP) , 202, 206 - de réalisation (d'un actif), 83 - historique (d'un actif), 83 Variable aléatoire, 33

z Zillmérisation, 264

TABLE DES MATIÈRES

Remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Préface pour la réimpression de 2010 .................... Avant-propos..............................................

4 5 7

Chapitre 1 - Les trois aspects de l'assurance..............

Il

1. L'aspect juridique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Le schéma général de l'assurance ..... " . .. .. . .. . .... .. . 1.2. Quelques précisions de vocabulaire... . . . ... . . . . .. . . ... . 1.3. Classification des garanties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Typologie des sociétés et principe de spécialisation.. ... 2. L'aspect statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Compensation des risques et mutualité. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. La loi des grands nombres........................ ..... 2.3. Les conditions d'application de la loi des grands nombres 3. L'aspect économique..................................... ... 3.1. L'industrie de la sécurité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. La place de l'assurance dans l'économie................ 3.3. Capitalisation et répartition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Traduction comptable. ..... ................ ................. 4.1. Les principes généraux de la comptabilité. . . . . . . . . . . . . . 4.2. L'inversion du cycle de production. .. . . . . . .. ... .. .. . . . . 4.3. La réglementation et le contrôle de l'État. .. . . ... . . . .. . 5. Traduction actuarielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Les risques courts à fort aléa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Les risques longs à faible aléa. .. .. ... . . .. . .. . . .. . . . . . .. 5.3. Comparaison des deux actuariats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexes........................................................ 1. Rappels de mathématiques financières . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Rappels de probabilités.. .. .. .. .. .. .. . . . . .. . .. . . .. . .. . . 3. Comptes 1997 de l'assurance française.................

Il 12 13 14 16 17 17 19 20 20 20 21 22 24 24 25 26 27 28 28 29 30 30 33 36

342

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Chapitre 2. - Comptabilité et assurance. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1. Les buts et les méthodes de la comptabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Les comptes annuels: bilan, compte de résultat . . . . . . . . 1. 2. L'enregistrement des opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. L'inventaire d'une société d'assurance........................ 2.1. Les comptes avant inventaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Les opérations d'inventaire. .. . .. ... .... . . . ... . . .. . . .. .. 3. L'analyse des comptes annuels............................... 3.1. Les diverses présentations du compte de résultat. ... . .. 3.2. Première lecture du bilan: la représentation des engagements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Seconde lecture du bilan : la solvabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . Annexes........................................................ 1. Extraits du code de commerce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Réassurance, frais d'acquisition, assurance vie: exemples 3. Les comptes consolidés ............................... .

40 40 44 50 50 51 55 55

62 68

Chapitre 3 - Le cadre réglementaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

1. L'évaluation des engagements envers les assurés.. ............ 1.1. Les provisions techniques suffisantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Assurance non-vie: la valeur estimative des sinistres... 1.3. Assurance vie: la valeur actuelle des engagements de l'assureur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Comparaison vie non-vie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. La représentation des engagements envers les assurés. . . . . . . . . 2.1. Les placements et leur évaluation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Des placements sûrs, liquides, rentables (et dispersés) . . 2.3. Les actifs techniques et les garde-fous. . .. ... .. . ..... . . . 2.4. Gestion actif-passif et réglementation. ...... . . ... .. . ... 3. La marge de solvabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Situation nette comptable et marge de solvabilité. . . . . . . 3.2. Le minimum réglementaire de marge................... 3.3. Marge de solvabilité européenne et norme de Risk Based Capital (RBC) des États-Unis......................... 4. Portée et limites de la réglementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Trois principes ... et des détails. .. .. . .. . . .. .. .. ... . .. ... 4.2. Des règles à respecter à toute époque. ... . .. .. . . . ... . .. 4.3. Des règles interprétables et souvent utiles à l'assureur.. 4.4. Des règles nécessaires mais non suffisantes. . . . . . . . . . . . . . Annexes........................................................ 1. Les plus-values latentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Marge de solvabilité, actif net réévalué, embedded value, appraisal value et fair value. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 76 77

58 59 60 60

77 80 82 82

84 85 86 89 89 91

93 94 94 95 96 96 96 96 99 101

Table des matières

343

Chapitre 4 - Le modèle simple de l'assurance..............

105

1. Aléa et résultat de l'assureur.. . . . ..... .. .. . .. .. . . .. . . .. ... . .. 106 1.1. Exemple numérique de référence........................ 107 1.2. Étude générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.3. Un cas particulier: l'assurance temporaire décès. . . . . . . . . 114 1.4. La diminution du risque de ruine par la réassurance. . . . . 117 2. Tarification de risques homogènes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1. Tarification de risques homogènes ............................ . 2.2. La segmentation........................................ 123 2.3. La prise en compte des facteurs d'évolution. . . . . . . . . . . . . . 126 3. Le résultat réel observé. .... .. . . .. .... . .. . .. ...... .... ... .. . .. 126 3.1. Comptabilité et statistiques comptables. . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.2. L'enregistrement des contrats et des sinistres.... ... ..... 128 3.3. Le résultat observé conduit-il à modifier le tarif?. .. .. . . 128 Annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 1. Les risques identiques et indépendants : contre-exemples. 128 2. La conjugaison de l'incertitude de tarification et de l'aléa sur le résultat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3. Crédibilité et tarification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Chapitre 5 - Le modèle de l'assurance auto................

137

1. Aléa et résultat de l'assureur. . . ... . .. ... . .. . .. ... ... . ... . . . .. 138 1.1. Présentation du modèle fréquence-coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 1.2. Le nombre de sinistres. ... .. . .... .. .. ... .. ....... . . ... . . 139 1.3. Le coût d'un sinistre... . . . ... . . .. . .. . .. . . . .. . ... . . . . . . .. 140 1.4. La charge globale des prestations... . . .. ..... ... . . .. ..... 146 1.5. Étude d'un plafond et d'une franchise................... 147 1.6. Cas des sinistres à écart-type non borné. .. ... .... . . . .. . . 150 2. La tarification et la segmentation du tarif. . . ... . . .. . ... .. . .... 151 2.1. L'estimation de la prime pure. .. ... . . . . .. . .. . .. . . . . . . . . . 152 2.2. Antisélection et segmentation tarifaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.3. La prise en compte de plusieurs facteurs de tarification.. 159 3. Les provisions pour sinistres à payer et le résultat réel observé. 162 3.1. Comptabilité et statistiques comptables. .. . . . . . . . .. . . .. . 162 3.2. La nécessité d'une comptabilité par exercice de survenance 163 3.3. L'évaluation statistique des sinistres à payer. . ... . . . . . . . . 165 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 1. La décomposition fréquence-coût. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 2. Les deux modèles de nombres de sinistres. . . . . . . . . . . . . . . 179 3. Segmentation du tarif en fonction de deux critères. . . . . . . 180 4. Scoring et tarification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5. Variantes aux calculs de provisions. . .. .. . . . . .. . . . . . . .. . . 191 6. Exercices. .... . . . . .. .... . .. ... ..... . . . ... .. . . . . . .. .. . . . . 193

344

Assurance: comptabilité, réglementation, actuariat

Chapitre 6 - Le modèle de l'assurance vie..................

201

1. Aléa et résultat de l'assureur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Un exemple simple ..................... , . .. .. . .. . ... . . . . 1.2. Les probabilités viagères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. L'aléa de mortalité comparé aux erreurs de tarification.. 2. La tarification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Taux d'intérêt technique et risques financiers. .. .. .. .. ... 2.2. La table de mortalité... ... ... . ..... .... ... .. . ..... . .. .. 2.3. Les deux manières d'intégrer les frais de gestion. . . . . . . . . 2.4. Le contrat d'assurance vie comme compte courant probable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Les provisions mathématiques et le résultat annuel observé. . . . 3.1. Les provisions mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Le rachat du contrat par l'assuré avant terme........... 3.3. Résultat espéré et résultat réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. L'ajustement d'une table de mortalité................... 2. Les divers taux actuariels d'un contrat d'assurance vie. . 3. Le contrat d'assurance vie présenté comme un compte courant probable....................................... 4. Calculs de VAP et notations internationales. . . . . . . . . . . . . 5. Les méthodes classiques de tarification. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Zillmérisation et dézillmérisation ..... '" ..... ... .... .... 7. Résultat de l'année et capital sous risque. ... .. ... . ... .. . 8. Les risques de taux encourus par l'assureur.............. 9. Exercices.. ... . . .. .. ... .. . .. . . .... . . .. . .. ..... .. . ... ... . 10. Tables de mortalité TV, TD et TPRV...................

202 202 203 205 212 212 215 216

247 252 258 264 268 271 278 284

Extraits du Code des assurances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

333

Index des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

335

Index thématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

337

220 220 220 227 228 235 235 244

Cet ouvrage a été achevé d'imprimer en janvier 2011 dans les ateliers de Normandie Roto Impression s.a.s. 61250 Lonrai (Orne) N° d'impression: 11-0048 Dépôt légal: février 20 Il Imprimé en France