C12 Sistdigital Ruido

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Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

En los últimos años, los sistemas de comunicación digital han estado reemplazando los sistemas de comunicación analógica existentes en casi todas las áreas, y los nuevos servicios de comunicación típicamente sólo consideran las comunicaciones digitales. Hay múltiples razones para esta evolución en los sistemas de comunicación, entre las más significativas están la mayor tolerancia al ruido de la comunicación digital, la reproducibilidad casi exacta de secuencias digitales en el receptor, la comunicación máquina a máquina (como en la Internet), las mejoras en la robustez de los sistemas digitales por medio del uso de códigos de corrección de error, entre otros. Sin embargo, las comunicaciones digitales no están exentas de los efectos negativos del ruido, el cual puede afectar significativamente el desempeño de las mismas. En un sistema de comunicación, el ruido térmico, que tiene el mayor efecto en el desempeño del sistema, es generado en y después de la primera etapa de amplificación. Este es el punto donde la señal deseada tiene el nivel de potencia más bajo y, en consecuencia, donde el ruido térmico tiene el mayor impacto en el desempeño (tal como se estudió en el Capítulo 6 para sistemas analógicos). El ruido térmico es generado por el movimiento aleatorio de los electrones en los conductores que forman el receptor, y se caracteriza como aditivo, blanco y Gaussiano. En este capítulo trataremos el desempeño de los diversos esquemas de modulación digital, tanto banda base como pasa-banda, en presencia de ruido aditivo, blanco y Gaussiano. Además, se considera el diseño de los receptores óptimos para reducir el efecto del ruido en la detección de la señales y también se trata la forma de medir el desempeño de las distintas modulaciones. La discusión se limitará al caso de ruido aditivo blanco Gaussiano, lo cual simplifica el tratamiento matemático y resulta una buena aproximación a la realidad.

El BER requerido por un sistema digital depende de la aplicación. Así, por ejemplo, • • • •

para voz codificada, un BER de 10-2 se considera suficiente. para transmisión de datos sobre canales inalámbricos, se busca un BER de 10-5 a 10-6. para transmisión de video, un BER de 10-7 a 10-12 es el objetivo, dependiendo de la calidad deseada y el método de codificación. para datos financieros, se requiere comúnmente un BER de 10-11 o mejor.

Dado que existen muchos esquemas de modulación/demodulación digital diferentes, es importante poder comparar sus desempeños sobre una misma base. Conceptualmente, se quiere una figura de mérito como la utilizada para sistemas analógicos. Desafortunadamente, no es fácil tener esto en sistemas digitales ya que la calidad no es una función lineal de la razón señal-a-ruido (SNR). Por eso, se define un equivalente de una SNR de referencia para sistemas digitales, la cual es la razón de la energía modulada por bit de información a la densidad espectral de ruido de un solo lado, i.e., SNRdigital = ref

Eb . N0

Esta definición difiere de la SNR de referencia para sistemas analógicos en tres aspectos [Hay07]: • • •

La definición analógica es una razón de potencias, mientras que la definición digital es una razón de energías. Al igual que en el caso analógico, la definición es adimensional. La definición digital utiliza la densidad espectral de ruido de un solo lado, es decir, asume que todo el ruido ocurre en las frecuencias positivas (esto solamente es por conveniencia). La SNR de referencia es independiente de la razón de transmisión. Ya que es una razón de energías, esencialmente se ha normalizado por la razón de bit.

Para comparar estrategias de modulación/demodulación digitales, el objetivo es determinar el BER de desempeño como una función de Eb/N0, y este modelo de referencia brinda un parámetro de comparación justo de los distintos esquemas. La energía de bit, Eb, puede describirse como potencia de señal S veces el tiempo de bit Tb. La densidad espectral de potencia N0 puede describirse como potencia del ruido N dividida por ancho de banda W del filtro receptor. Ya que el tiempo del bit es el recíproco de la razón de bit Rb, se puede escribir Eb STb S / Rb S ⎛W = = = ⎜ N 0 N / W N / W N ⎜⎝ Rb

12.1 Razón de Error de Bit En sistemas digitales, lo más importante es la calidad de la señal de información de salida. Como la información es digital, y usualmente tiene una representación binaria, esta calidad se mide en términos de la razón de error de bit promedio. Un error de bit ocurre siempre que el bit transmitido y el correspondiente bit recibido no concuerdan – esto es un evento aleatorio. Sea n el número de errores de bit observados en una secuencia de bits de longitud N, entonces la definición de frecuencia relativa de la razón de error de bit (BER – bit error rate) es ⎛n⎞ BER = lim ⎜ ⎟ . N →∞⎝ N ⎠

(12.1)

En algunos sistemas digitales, se utilizan otras medidas de calidad muy relacionadas con la razón de error de bit. Por ejemplo: razón de error de símbolo (SER – symbol error rate), razón de error de palabra (WER – word error rate), razón de error de paquetes (PER – packet error rate), y razón de error de trama (FER – frame error rate), las cuales pueden relacionarse directamente con el BER si los errores de bit son estadísticamente independientes. Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

(12.2)

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(12.3)

Observe que la razón Eb/N0 es una versión normalizada de la SNR por el ancho de banda y la razón de bit, y está directamente relacionada con la probabilidad de error del detector. Uno de las métricas de desempeño más importantes en los sistema de comunicación digital es una gráfica de la probabilidad de error de bit Pb versus Eb/N0. La mayoría de estas curvas tienen forma de cascada como se ilustra en la Figura 12.1. Para Eb/N0 ≥ x0, se tiene Pb ≤ P0, por lo que resulta que el sistema es tanto más eficiente cuanto menor es el valor Eb/N0 requerido para alcanzar una probabilidad de error Pb dada. Eb/N0 es la figura de mérito adecuada para sistemas digitales porque las señales digitales son señale de energía. Recuerde que se transmite (y recibe) un símbolo usando una forma de onda dentro de una ventana de tiempo, de duración de un símbolo, T. Además, la forma de onda digital es una forma para representar un mensaje digital. El mensaje puede contener un bit (binario), dos bits (4-ario), …, 10 bits (1024-ario), …. Así, se requiere de una figura de mérito que permita comparar un sistema con otro a nivel de bit y no de símbolo.

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Figura 12.1: Gráfica de la probabilidad de error de bit PB versus Eb/N0 [dB].

Ejemplo 12.1 (razón de error de paquete): Un sistema de transmisión se diseña para transferir datos con un BER de 10-5 o mejor. Si este sistema se utiliza para transmitir paquetes de 1000 bits a través de un BSC, ¿cuál es la razón de error de paquete (PER) que se espera tener? Solución: Como el canal es un BSC, los errores de bit son estadísticamente independientes. Entonces, la transmisión de un paquete es equivalente a una secuencia Bernoulli, por lo que el experimento tendrá una distribución binomial con N = 1000 y p = 10-5. Así,

(

PER = 1 − Pbinomial cero error

Figura 12.2: a) Modelo de canal con ruido aditivo, b) señal transmitida y señal recibida en un sistema banda-base con hc(t) = δ(t). Se asume que el ruido tiene media cero y densidad espectral N0/2. En el receptor se desea determinar cuál de las dos situaciones es cierta para la señal procesada r(t) en tal forma que, si la señal s(t) está presente, la salida del receptor en un instante arbitrario t = T sea considerablemente mayor que si s(t) está ausente.

)

⎛1000 ⎞ 0 N PER = 1 − ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p) ⎝ 0 ⎠ PER = 9.95 × 10 −3

■ Figura 12.3: Receptor para detección de un pulso en AWGN.

12.2 Detección de un Pulso en Ruido y Concepto de Filtro Acoplado A grandes rasgos, el propósito de la detección es establecer la presencia o ausencia de una señal de información en ruido. Las características del ruido en los sistemas digitales son similares a aquellas en sistemas analógicos; específicamente, la señal recibida r(t) se puede modelar como la suma de la señal transmitida s(t) (afectada por el canal con característica hc(t)) y el ruido aditivo n(t) con característica blanca y Gaussiana (AWGN – Additive White Gaussian Noise), como se ilustra en la Figura 12.2a, r(t) = s(t)*hc(t) + n(t).

(12.4)

En la Figura 12.2b se ilustra la transmisión de pulsos banda-base en presencia de AWGN. Se ha asumido un canal lineal sin retraso con hc(t) = δ(t). Comencemos con la detección de un solo pulso transmitido en banda-base como se ilustra en la Figura 12.3. La señal recibida es primero procesada por un detector lineal, y su salida es muestreada y comparada con un umbral. Esta comparación con un umbral se usa para determinar cuál de las siguientes situaciones ha ocurrido:

Un ejemplo práctico de lo descrito anteriormente es PAM binaria con señalización on-off. Un pulso s(t) puede representar el símbolo 1, mientras que la ausencia del pulso representa el símbolo 0. El objetivo del sistema es maximizar la salida del receptor cuando el pulso está presente y minimizar su salida cuando solamente el ruido está presente. Para el caso descrito, transmisión de un solo pulso, el objetivo es maximizar la razón señal-a-ruido a la salida del receptor. La señal recibida puede tener dos posibles formas: ⎧s (t ) + n(t ), r (t ) = ⎨ ⎩ n(t ),

pulso presente pulso ausente.

(12.5)

Se ha asumido que el pulso s(t) es un pulso banda-base, y que es diferente de cero sólo en el intervalo 0 ≤ t ≤ T. La estrategia de detección consiste en filtrar la señal recibida y muestrear la salida del filtro en t = T. El filtro, descrito por su respuesta al impulso ha(t), se asume que es LTI. Así, la variable aleatoria para determinar si el pulso está presente o no, está definida por una forma de la integral de convolución: T

• •

La señal recibida r(t) consiste solamente de AWGN, n(t). La señal recibida r(t) consiste de n(t) más una señal s(t) de forma conocida.

Y = ha (T − t )r (t )dt .

∫

(12.6)

0

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Con los esquemas analógicos, vimos que es deseable hacer los anchos de banda del filtro receptor tan pequeños como sea posible para minimizar el ruido, pero no tan pequeños que distorsionen la señal deseada. En un sentido amplio, podemos decir que los filtros están acoplados a la señal en el contexto del dominio de la frecuencia. Con los esquemas digitales hay una definición más precisa de un filtro acoplado como se verá a continuación. Este filtro debe brindar alguna forma de promediar la señal y proveer una mejora de la SNR en un punto particular de muestreo. Así, el objetivo es determinar ha(t) del filtro que maximice la SNR de la salida Y. Sea r(t) = s(t) + n(t), entonces

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Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización T

S = ha (T − τ )s (τ )dτ .

∫

∞

T

∫ h (T − t )s(t )dt

T

Y = ha (T − t )s(t )dt + ha (T − t )n(t )dt .

∫

∫

0

(12.12)

0

Para maximizar la razón señal-a-ruido, se escoge ha(t) para maximizar la ecuación anterior sujeto a la condición de normalización del filtro. Para resolver el problema de maximización se utiliza la desigualdad de Schwarz para integrales, descrita por 2

(12.7)

∞

≤

a

−∞

∫ h (T − t )

2

a

−∞

∞

dt

∫ s(t )

2

dt

(12.13)

−∞

0

La primera integral en el lado derecho de la ecuación (12.7) es el término de la señal, que será cero si la señal no está presente, y la segunda integral es el término del ruido, el cual siempre está presente. Consideremos primero el término del ruido. La contribución del ruido está dada por:

la cual se satisface con igualdad si ha (T − t ) = cs(t )

(12.14)

para algún escalar c.

T

N = ha (T − t )n(t )dt .

∫

(12.8)

0

El muestreo de la salida del filtro convierte el proceso aleatorio n(t) en una variable aleatoria N. Si el proceso de ruido n(t) tiene unidades de voltios, entonces la expresión anterior puede pensarse como una sumatoria ponderada del ruido sobre el tiempo, en cuyo caso N tiene unidades de voltio-segundos. El valor esperado de N (que es AWGN) está definido por

Este resultado nos dice que la respuesta al impulso de un filtro acoplado debe ser una versión invertida en el tiempo y retrasada por una duración de símbolo del símbolo transmitido, i.e., ha (t ) = cs(T − t ) . En consecuencia, la señal S y la razón señal-a-ruido se maximizan y se selecciona el escalar c tal que la restricción (12.11) se cumpla.

T

E [N ] = ha (T − t )E [n(t )]dt = 0

∫

(12.9)

0

La ecuación (12.14) implica que el filtro receptor está acoplado a la forma del pulso transmitida. Este es el principio de la detección con filtro acoplado. Es decir, con la transmisión de un solo pulso, el procesamiento de la señal recibida con un filtro acoplado a la señal transmitida maximiza la razón señal-a-ruido. Así,

y su varianza por T

T ⎤ ⎡T Var ( N ) = E N 2 = E ⎢ ha (T − t )n(t )dt ha (T − τ )n(τ )dτ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0

[ ]

∫

T T

=

a

=

N0 2

0 0

T

∫ h (T − τ ) a

0

N 0T 2

2

a

N0 δ (t − τ )dtdτ 2

(12.10)

dτ

∫

(12.15)

0

En el caso general, donde la temporización del pulso recibido no se conoce exactamente, se puede calcular un número de salidas a distintos tiempos con desviación τ como sigue: ∞

Y (τ ) = c s(t )r (t − τ )dt .

∫

[Watt(seg ) ] T

∫ h (t ) a

(12.16)

−∞

2

Esta expresión es equivalente a la correlación cruzada de dos señales ergódicas s(t) y r(t). En consecuencia, la estructura del receptor dada por

asumiendo que el filtro ha(t) se ha normalizado, i.e,

T

2

dt = T .

(12.11)

0

En resumen, la muestra de ruido, N, a la salida del receptor lineal tiene • • •

Y = c s(t )r (t )dt .

→

0

T T

a

0 0

=

∫

∫ ∫ h (T − t )h (T − τ )E[n(t )n(τ )]dtdτ = ∫ ∫ h (T − t )h (T − τ ) a

T

Y = ha (T − t )r (t )dt

∫

media cero, varianza N0T/2, y una distribución Gaussiana, ya que un proceso Gaussiano filtrado es también Gaussiano.

Y = ha (T − t )r (t )dt

∫

(12.17)

0

con ha(T – t) = c s(t), se conoce también como receptor de correlación. Con r(t) = s(t) + n(t), la componente de señal S de esta correlación es máxima para τ = 0. Esto enfatiza la importancia de la sincronización cuando se realiza detección óptima. La Figura 12.4 muestra la equivalencia entre el filtro acoplado y el correlador.

Note que adicional a la restricción de la normalización del filtro, ecuación (12.11), no hay ninguna otra restricción en la selección de la respuesta al impulso del filtro ha(t). Considere ahora la componente de señal, dada por

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(

⎛t − k + rect⎜ ⎜ T ⎝ (k −1)T kT

Yk =

∫

1 2

)T ⎞⎟ ⎟ ⎠

r (t )dt

kT

=

(12.23)

∫ r (t )dt

(k −1)T

Figura 12.4: Equivalencia del filtro acoplado y el correlador.

12.2.1 Filtro Acoplado para Pulsos Rectangulares Ahora consideraremos los resultados anteriores para el caso donde se envían pulsos rectangulares en intervalos consecutivos. Para esto, se analiza la transmisión de PAM binaria con señalización on-off. Esta forma de señalización se puede representar como ∞

s (t ) = A∑ bk h(t − kT )

(12.18)

k =0

donde bk es cero si el k-ésimo bit es 0, bk es uno si el k-ésimo bit es 1, y h(t) es un pulso rectangular de duración T pero centrado en t = T/2.

Esta es la descripción matemática de un dispositivo físico llamado detector de integración-y-rechazo (integrate-anddump detector). Este dispositivo simplemente integra la señal recibida sobre un intervalo de símbolo, muestrea la salida, y luego reinicia el proceso para el siguiente intervalo. Este detector simple es óptimo para señalización rectangular.

12.2.2 Filtro Acoplado Óptimo El tipo de filtro “promediador” óptimo (que resulta en la mejor SNR) dependerá enteramente de la forma del símbolo usado. Así por ejemplo, vimos en la sección anterior que para un pulso rectangular, la SNR en cada punto del símbolo es aproximadamente constante (como se muestra en la Figura 12.5), y el proceso de promediar la señal, que da igual ponderación a cada punto de la misma, será óptimo. Como se encontró, esto se puede lograr por medio de un filtro de integración y rechazo. Sin embargo, lo anterior no es cierto para un pulso redondeado como el de la Figura 12.6, donde se observa claramente que la SNR es máxima en el centro del pulso, por lo que tiene sentido, en el proceso de promediar la señal, dar mayor ponderación a la región central que a los extremos del símbolo. Así, el filtro de integración y rechazo no es óptimo para esta forma de pulso.

Figura 12.5: Secuencia PAM binaria on-off con pulsos rectangulares. Con un pulso transmitido ⎡t − T / 2 ⎤ h(t ) = rect ⎢ ⎥, ⎣ T ⎦

(12.19) Figura 12.6: Razón señal-a-ruido en diferentes formas de onda de pulsos.

el filtro acoplado para este pulso es

ha (T − t ) = h(t ) .

(12.20)

12.2.3 Filtro Acoplado e Interferencia Intersímbolos

La ventaja de los pulsos rectangulares es que el k-ésimo pulso está contenido dentro del intervalo (k-1)T < t < kT, y no interfiere con los pulsos en los intervalos adyacentes. En consecuencia, el filtro acoplado para un pulso en el intervalo (k-1)T < t < kT es el filtro acoplado para un solo pulso corrido en el tiempo para dicho intervalo. Así, en el k-ésimo intervalo de símbolo, el filtro acoplado es ha ,k (T − t ) = h(t − kT )

(12.21)

kT

=

∫

ha , k −∞ kT

(T − t )r (t )dt

∫ h(t − kT )r (t )dt

(12.22) donde r (t ) = s(t ) + n(t ).

H a ( f ) = S ∗ ( f ) exp(− j 2πfT )

(12.24)

Claramente, la implementación de un filtro acoplado requiere un conocimiento detallado de las formas de onda de los datos transmitidos, y también se basa en que la forma de onda del símbolo permanezca sin distorsión cuando pase a través del canal. Esto sólo es cierto para el AWGN.

y la salida del filtro acoplado del receptor al final del k-ésimo intervalo de símbolo es Yk =

Como se ha visto, un filtro acoplado tiene una respuesta en el tiempo que es una réplica invertida y retrasada de la forma de onda del símbolo de entrada. Alternativamente, la respuesta, en el dominio de la frecuencia, de un filtro acoplado tiene que ser igual al complejo conjugado del espectro del símbolo de entrada, i.e.,

Si podemos asumir que el canal no produce distorsión o que ha sido ecualizado para remover la distorsión, entonces se puede introducir el concepto de un par de filtros acoplados, con un filtro en el transmisor que da forma al pulso y el otro filtro en el receptor para realizar la detección acoplada como se muestra en la siguiente figura.

(k −1)T

Ya que h(t) = 1 siempre que no es cero, se tiene Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

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lo que es igual que para el caso de pulsos rectangulares. Por lo tanto, para el análisis del desempeño de los diversos esquemas de modulación que depende de la señal recuperada Yk, se obtienen los mismos resultados si se usan pulsos rectangulares con el filtro acoplado de integración y rechazo. Esto claramente es mucho más simple para el análisis que usar otras formas de pulsos.

12.3 PAM Binaria Unipolar Figura 12.7: Sistema con filtro acoplado y corrección de interferencia intersímbolos. Por otro lado, es importante considerar si el requerimiento de pares de filtros para reducir la interferencia intersímbolos a cero, entra en conflicto con el requerimiento del filtro acoplado para SNR óptima. Afortunadamente, ha sido verificado [Sch90] que el par de filtros de raíz de coseno elevado satisfacen ambos criterios, lo que explica su uso en el diseño de los sistemas de comunicación.

• •

12.2.4 Pulsos No-rectangulares y Análisis de Desempeño Debido a las limitaciones espectrales y a los efectos del canal, la señal recibida no tendrá forma de pulso rectangular. Si se combinan estas observaciones con el ruido, la señal recibida se puede representar como

r (t ) = A

Mientras que el filtro acoplado es óptimo en términos de maximización de la razón señal-a-ruido, se desea estimar el desempeño provisto por tal esquema. La figura de mérito típica para sistemas digitales es la razón de error de bit (BER), esto es, la fracción promedio de bits recibidos que se han detectado erróneamente. Con el esquema de transmisión on-off, una vez obtenida la señal recibida Yk durante el k-ésimo intervalo de símbolo, el receptor debe tomar una decisión entre dos hipótesis:

∞

∑ bk p(t − kT ) + n(t )

(12.25)

k =0

Como se ha mostrado que, con pulsos rectangulares, la detección es independiente de un intervalo de símbolo al siguiente, se justifica eliminar el subíndice k de la nomenclatura anterior. Un criterio razonable para seleccionar entre las dos hipótesis es escoger la hipótesis más probable, basados en la observación. Es decir, se comparan las dos probabilidades condicionales, • •

donde p(t) es la forma del pulso. Ya que esta forma de pulso no está confinada necesariamente a un intervalo de longitud T, se debe esperar que la ISI sea un problema en un esquema de transmisión continuo. En particular, se estudia el caso donde p(t) es una forma de pulso de raíz de coseno elevado normalizada. Para el caso de un solo pulso con forma de pulso de raíz de coseno elevado, la teoría del filtro acoplado también es válida. Además, esta forma de pulso tiene la siguiente propiedad de ortogonalidad cuando E = 1, i.e., ∞

∫ p(kT − t ) p(t − lT )dt ≡ δ (k − l ) .

H0: bk = 0 fue transmitido H1 : bk = 1 fue transmitido

P(H0|y) es la probabilidad de que se ha transmitido un 0 si se ha recibido y. P(H1|y) es la probabilidad de que se ha transmitido un 1 si se ha recibido y.

donde y es el valor de la variable aleatoria Y. La mayor de estas dos probabilidades provee la decisión para el bit bajo estudio. Observe que esta situación es muy diferente del caso analógico, en el cual se trata de minimizar la distorsión en la señal recibida debido al ruido, mientras que el caso digital, el mensaje transmitido se recupera sin distorsión en el caso de que sean posibles las decisiones confiables.

(12.26) En forma práctica, se desea una regla de decisión simple entre las dos hipótesis, H0 y H1. Un ejemplo de tal regla es escoger H0, esto es, escoger 0 si y es menor que cierto umbral γ y escoger 1 de lo contrario,

−∞

Aplicando el filtro acoplado para el k-ésimo símbolo de r(t) a la ecuación (12.22) de r(t), se tiene

H1

∞

Yk =

y

∫ p(kT − t )r(t )dt

−∞

= A bk

∞

∞

−∞

−∞

A bl ∫ p(kT − t ) p(t − lT )dt ∫ p(kT − t ) p(t − kT )dt + N k + ∑ l ≠k

donde N k =

> γ. <

(12.29)

H0

(12.27)

En forma intuitiva, si bk es 0 o 1, entonces el umbral γ se ajusta a ½ y se compara y con este umbral. Esta regla de decisión es óptima en muchos casos.

∞

12.3.1 Regla de Decisión Basada en un Umbral γ

−∞

Considere la probabilidad de cometer un error con la regla de decisión basada en las probabilidades condicionales. Si se transmite 1, la probabilidad de error es

∫ p(kT − t )n(t )dt

Los dos primeros términos de Yk representan el término usual de señal más ruido asociado con la detección del pulso único. El tercer término representa la interferencia intersímbolos debida a los símbolos adyacentes. Sin embargo, note que aplicando la propiedad de ortogonalidad del pulso, la salida del detector se reduce a la detección de un pulso único. Es decir, que no habrá ISI con la selección apropiada de la forma del pulso. Bajo esta condiciones, Yk = A bk + N k ,

(12.28)

[

] [

P 0 decisión H1 = P Y < γ H1

]

(12.30)

donde Y es la variable aleatoria asociada con la observación y. Este error se denomina error Tipo I.

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Para calcular esta probabilidad recuerde que la variable aleatoria a la salida del filtro acoplado (sobre el que se basa la decisión) tiene dos componentes, Y =S + N

donde N es Gaussiana con media cero y varianza σ 2 = N 0 T / 2. .

Observe que la componente de señal, S, de Y tiene una parte determinística, que es la forma del pulso, y una parte aleatoria que es el bit de modulación. Sin embargo, para un intervalo de símbolo particular, el bit de modulación es fijo y S se obtiene por sustitución de la ecuación (12.18) de s(t) para señalización on-off en la ecuación (12.12) de S para la componente de señal. Específicamente, para k = 0, se tiene

Figura 12.9: Probabilidad de los símbolos recibidos en un sistema PAM unipolar con AWGN.

T

S = Ab h(t )h(t )dt

∫ 0

(12.31)

[volt - seg].

= ATb

Así, la probabilidad de error total (combinada - error Tipo I y Tipo II) está dada por

[

Ya que el filtro acoplado tiene la propiedad de normalización, y b = 0 ó 1 dependiendo de si se transmitió un 0 o un 1, se encuentra que S tiene una media µ = AT cuando b = 1 se ha transmitido, y cero cuando se transmite b = 0.

1 2π σ

[

P[H 1 ] = P[H 0 ] =

Recuerde que estamos considerando el caso cuando se transmite b = 1. Entonces, Y tiene una distribución Gaussiana con µ = AT, y una pdf dada por pY ( y b = 1) =

]

]

Pe = P Y < γ H 1 ⋅ P[H1 ] + P Y > γ H 0 ⋅ P[H 0 ] (12.35) donde P[Hi ] es la probabilidad a priori de que se transmita el símbolo 0 ó 1. Generalmente, los símbolos transmitidos son equiprobables, i.e.,

1 2

y para este caso, la probabilidad de error promedio para el esquema de señalización on-off viene dada por

⎛ (y − µ ) ⎞ exp⎜ − ⎟ 2σ 2 ⎠ ⎝

(12.32) Pe =

como se muestra en la Figura 12.8.

1 ⎛ µ −γ ⎞ 1 ⎛ γ ⎞ Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ . 2 ⎝ σ ⎠ 2 ⎝σ ⎠

(12.36)

Generalmente, se desea que las probabilidades de los dos tipos de errores sean iguales, por lo que se escoge γ = µ/2. Este valor para el umbral minimiza la probabilidad de error descrita en la ecuación anterior, resultando una probabilidad de error promedio dada por: ⎛ µ ⎞ (12.37) Pe = Q⎜ ⎟. ⎝ 2σ ⎠ Esta probabilidad de error corresponde a la probabilidad de error de símbolo, que para el caso de señalización on-off, también es la probabilidad de error de bit, ya es que el sistema es binario. Figura 12.8: Función de densidad de probabilidad Gaussiana para detectar un 1 con señalización on-off, y error Tipo I.

Entonces, la probabilidad de un error Tipo I, es la probabilidad de que la salida Y caiga en el área sombreada, por debajo de γ, en la Figura 12.8. Matemáticamente, esta probabilidad viene dada por

[

]

P Y < γ H1 =

γ

1 2π σ

⎛

∫ exp⎜⎝ −

( y − µ ) ⎞dy 2σ

−∞

2

⎟ ⎠

(12.33)

⎛ µ −γ ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠

[

]

• •

expresar la varianza en términos de la densidad espectral de ruido, σ 2 = N 0T / 2 . expresar la amplitud A de la señal en términos de la energía por bit Eb, asumiendo que los símbolos 0 y 1 son igualmente probables. Así, la energía promedio por bit a la entrada del receptor es ⎡T ⎤ 2 E b = E ⎢ s(t ) dt ⎥ = A 2 E b 2 ⎣⎢ 0 ⎦⎥

1

∞

⎛

y ⎞

⎛γ ⎞

∫ exp⎜⎝ − 2σ 2 ⎟⎠dy = Q⎜⎝ σ ⎟⎠ . 2π σ

(12.34)

[ ]∫ h(t )

∫

Eb =

La ecuación anterior no es la única que contribuye a los errores de símbolo, ya que un error también puede ocurrir si se transmite un 0 y se detecta como un 1 como se ilustra en la Figura 12.9. Este se conoce como error Tipo II, y su probabilidad de error está dada por P Y > γ H0 =

Para expresar esta probabilidad de error de símbolo en términos del modelo de referencia digital, considere:

A 2T 2

⇒

A=

T

2

dt = A 2

(12 ⋅ 0 + 12 ⋅ 1)T

0

(12.38)

2 Eb . T

Sustituyendo los valores anteriores para σ y µ = AT, se obtiene ⎛ Eb ⎞ ⎛ ⎟ = 0.5erfc⎜ Eb Pbon−off = Q⎜ ⎜ N ⎟ ⎜ 2N 0 ⎠ 0 ⎝ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(12.39)

γ

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Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

387

388

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización 1 ⎛ (y − µi ) ⎞ exp⎜ − ⎟. 2σ 2 ⎠ 2π σ ⎝

[ ]

12.3.2 Detector de Máxima Probabilidad

f y si =

Un criterio común para seleccionar el umbral γ de la ecuación (12.29) se basa en minimizar la probabilidad de error de la ecuación (12.35). El cálculo de este valor de error mínimo de γ = γ0 inicia con la prueba de la razón de probabilidad (likelihood ratio test), H1 pY ( y b = 1) > 1. Γ( y ) = p (y b = 0) < Y

(12.40)

H0

Si P[b = 1] = P[b = 0] y las probabilidades pY(y|b) (b = 0, 1) son simétricas, entonces la ecuación (12.40) resulta en el criterio Figura 12.10: Distribución de probabilidad y umbral de decisión de dos señales, s0 y s1.

H1

y

> γ0 . <

(12.41)

H0

donde

γ0 =

µ 0 + µ1 2

(12.42)

.

Este umbral, γ0, es el umbral óptimo para minimizar la probabilidad de error. Este criterio se conoce como criterio de error mínimo. Un detector que minimice la probabilidad de error (para el caso donde las clases de señales son igualmente probables) también se conoce como detector de máxima probabilidad (máximum likelihood detector).

Para encontrar el umbral γ0 que minimiza Pe, se hace la derivada de la probabilidad de error con respecto al umbral igual a cero, esto es, dPe =0 dγ

[

] ∴ f [γ 0 s 0 ] f γ 0 s1

→

[

]

P[s 0 ] = = P[s1 ]

⎡ (γ − µ )2 ⎤ exp ⎢− 0 2 1 ⎥ 2σ ⎣⎢ ⎦⎥

⎡ (γ − µ ) ⎤ exp ⎢− 0 2 0 ⎥ 2σ ⎥⎦ ⎣⎢ 2

Ejemplo 12.2 (umbral óptimo): Determine el umbral óptimo, en general, de detección entre dos señales que resulta en la mínima probabilidad de error cuando las probabilidades a priori de las señales no son iguales y el canal es AWGN. Solución: Asumiendo un caso general de dos señales, s0 y s1, con distribuciones Gaussianas, el umbral se ajusta a γ, como se ilustra en la Figura 12.10. Entonces, la ecuación (12.35) de la probabilidad de error total se puede reescribir como:

[

]

[

]

Pe = P Y < γ s1 ⋅ P[s1 ] + P Y > γ s0 ⋅ P[s0 ] ,

y la misma se puede expresar como γ

∞

−∞

γ

∫ [ ]

∫ [ ]

Pe = P[s1 ] f y s1 dy + P[s 0 ] f y s 0 dy γ γ ⎛ ⎞ = P[s1 ] f y s1 dy + P[s 0 ] ⎜1 − f y s 0 dy ⎟ ⎜ ⎟ −∞ − ∞ ⎝ ⎠

∫ [ ]

= P[s 0 ] +

γ

∫ [

]

∫ (P[s1 ] f [y s1 ] − P[s0 ] f [y s0 ])dy

−∞

[

P[s1 ] f γ 0 s1 = P[s 0 ] f γ 0 s 0

] →

(

)

⎡ γ (µ − µ ) µ 2 − µ 2 ⎤ P[s 0 ] exp⎢ 0 1 2 0 − 1 2 0 ⎥ = σ 2σ ⎣⎢ ⎦⎥ P[s1 ]

γ 0 (µ1 − µ 0 ) ∴γ 0 =

σ2 µ1 + µ 0 2

+ +

µ12 − µ 02 2σ 2

= ln

P[s 0 ] P[s1 ]

P[s 0 ] σ2 ln µ1 − µ 0 P[s1 ]

Observe que para el caso P[s0] = P[s1], se obtiene la ecuación (12.42).

■

12.4 PAM Binaria Bipolar En un esquema de señalización bipolar se usan pulsos con niveles de amplitud ±B para representar los símbolos binarios 1 y 0, respectivamente. Siguiendo el mismo análisis anterior, se tiene que la señal recibida muestreada, Y, tiene una distribución Gaussiana con media µ = ±BT, la energía promedio por bit es Eb = B2T, y que el umbral que se debe utilizar ahora, para el esquema bipolar, es igual a cero (ecuación (12.42)). Suponiendo símbolos equiprobables, se encuentra entonces que la probabilidad de error está dada por Pe =

1 ⎛µ⎞ 1 ⎛µ⎞ ⎛µ⎞ Q ⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ = Q ⎜ ⎟ 2 ⎝σ ⎠ 2 ⎝σ ⎠ ⎝σ ⎠

(12.43)

y en términos del modelo de referencia digital, para el cual µ = ±BT, B=√(Eb/T) y σ =√(N0T/2), la razón de error de símbolo promedio (que es igual a la de bit) es

donde f[y|s], de la ecuación (12.33), está dada por

Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido ⎛ 2 Eb Pbbipolar = Q⎜ ⎜ N 0 ⎝

389

⎛ ⎞ ⎞ ⎟ = 0.5erfc⎜ Eb ⎟ . ⎜ N ⎟ ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠

(12.44)

Comparando las ecuaciones (12.44) y (12.39), vemos que la función Q es una función con decrecimiento monotónico de su argumento, por lo que la ecuación (12.44) implica que una menor razón Eb/N0 producirá la misma razón de error que en el esquema on-off. En otras palabras, para la misma potencia de ruido, el sistema bipolar requiere sólo la mitad de la potencia promedio del sistema unipolar para lograr la misma razón señal-a-ruido y tener el mismo desempeño. Así, se tiene que la señalización bipolar es un método más eficiente en potencia para lograr el mismo BER de desempeño que la señalización on-off. La Figura 12.11 muestra las curvas de BER vs. Eb/N0 comparativas del desempeño de PAM binaria unipolar y bipolar. Si se revisa el análisis del procedimiento de detección óptima que resulta en el detector de filtro acoplado, se encuentra que éste no depende de la amplitud de la señal. Note que para el caso unipolar se usaron amplitudes 0 y A, y para el caso bipolar se usaron amplitudes –B y +B. Así, para tener un sistema bipolar comparativo a uno unipolar, se pueden tener varios criterios, como por ejemplo, igual energía máxima (B = ±A), igual energía promedio (B = ±A/√2), o igual separación entre símbolos (B = ±A/2). 0

10

-1

10

PAM binaria unipolar

-2

BER

10

-3

10

PAM binaria bipolar

-4

10

-5

10

-6

10

0

2

4

6

8

10

390

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

% Sistema de Comunicación Digital Banda base Bipolar % Energía de la señal normalizada, i.e., Es = 1 clear; clc; % Curva Pb vs Eb/No teórica EbNodB_T = -1:0.2:10; % Razón Eb/No en dB EbNo_T = 10.^(EbNodB_T/10); % Razón Eb/No Pb_T = 0.5*erfc(sqrt(2*EbNo_T)/sqrt(2)); % Q(x)=(1/2)erfc(x/sqrt(2)) figure(1) semilogy(EbNodB_T,Pb_T);xlabel('Eb/No [dB]');ylabel('Probabilidad de error de bit, Pb'); % Parámetros de la simulación Es = 1; % nbps = 1; % Eb = Es/nbps; % N = 1000; % NT = 1000; % EbNodB = -1:10; % Pb=zeros(size(EbNodB)); %

Energía normalizada de la señal Número de bits por símbolo Energía de bit Longitud de la secuencia de datos número de transmisiones para cada Eb/No. Razón Eb/No en dB Errores de bit (BER)

% Simulación EbNo = 10.^(EbNodB/10); ENo = nbps*EbNo; % Razón Señal a Ruido for k = 1:length(EbNodB) sigma2 = Es^2/(2*ENo(k)); % Varianza del ruido for l = 1: NT % Número de transmisiones para cada Eb/No x=rand(1,N); % Fuente binaria i.i.d de N símbolos s=2*(x>=0.5)-1; % Señal del modulador bipolar 0: -1, 1 : +1 ruido = sqrt(sigma2)*randn(size(s)); % Canal AWGN a Eb/No dada r = s+ruido; % Señal recibida d = sign(r); % Señal demodulada / detectada %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% xx=find(r==0); % Corrección de los valores iguales a 0 if sum(xx)~=0 % Esto son muy poco probables for yy = 1:length(xx) % por lo que se podría eliminar d(xx(yy))=1; % esta sección end end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% e = (d~=s); % Contador de errores en la transmisión l-ésima Pb(k)= Pb(k)+sum(e); % Contador de error para un EbNo dado clear xx yy; end end Pb = Pb/(NT*N); figure(1) hold on semilogy(EbNodB,Pb,'r *'); grid; axis([-1 10 1e-6 1]); title('Desempeño de Sistema con Señalización bipolar banda base');

Eb/No [dB]

Figura 12.11: Desempeño de PAM binaria.

Ejemplo 12.3 (razón de error de bit para PAM bipolar) En este ejemplo se utiliza MATLAB para simular un sistema de comunicación PAM bipolar en un canal AWGN, y determinar la razón de error de bit. Esta se compara con el BER teórico. Para la simulación no se utilizan muchas funciones de la caja de herramientas de comunicaciones de MATLAB, sino que se desarrollan modelos propios para el modulador, el canal, el contador de errores, etc.1 Además, se grafica el espacio de señal para una razón Eb/N0 de 3 dB.

% Efecto del ruido en la señal transmitida – espacio de señal s0=-1*ones(1,20); % Fuente señal -1 s1=ones(1,20); % Fuente señal +1 sigma2 = E^2/(2*ENo(5)); % Varianza del ruido a Eb/No = 3 dB r = sqrt(sigma2)*randn(1,20); % Ruido AWGN a Eb/No = 3 dB s0r = s0+r; s1r = s1+r; H = scatterplot(s0r,1,0,'r x');hold on; scatterplot(s1r, 1, 0, 'b o', H) title('Salida del canal AWGN con Eb/No = 3 dB');

Solución: A continuación se muestra el script para simular la transmisión de pulsos bipolares banda-base en un canal AWGN y calcular los errores producidos en el receptor, así como para graficar el espacio de señal en el receptor para una razón Eb/N0 = 3 dB. 1

En otros ejemplos se utilizan funciones propias de MATLAB para los moduladores/demoduladores, el canal, etc. lo que resulta en programas más pequeños y compactos.

Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

391

392

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización Q(x ) = 1 × 10− 4 ∴ Rb =

→

x = 3.72

tabla

∴

2 A 2T = 3.72 N0

→

T = 13.84 × 10− 6

1 = 72.25 kb/s T

■

12.5 PAM Multinivel Del análisis anterior para PAM binaria, tanto unipolar como bipolar, usando el detector de filtro acoplado, se encontró que éste no depende de la amplitud de la señal. En consecuencia, el diseño del detector para el receptor PAM multinivel es idéntico al de PAM on-off, con la única diferencia en los umbrales de comparación utilizados para determinar los niveles transmitidos. La Figura 12.14 muestra el receptor para un sistema M-PAM, y en la Figura 12.15 se ilustra la distribución de probabilidad de los símbolos recibidos de un sistema 4-PAM en presencia de AWGN.

Figura 12.14: Receptor M-PAM. Figura 12.12: Probabilidad de error de bit de un sistema de comunicación digital banda-base bipolar.

Figura 12.15: Distribución de probabilidad de los símbolos recibidos de un sistema 4-PAM en presencia de AWGN Figura 12.13: Diagrama de espacio de señal de un sistema de comunicación digital banda-base bipolar con AWGN. ■

Ejemplo 12.4 (razón de error de bit y máxima razón de bit) Un sistema de comunicación binario bipolar banda-base transmite pulsos con amplitud ±1, durante el intervalo [0, T], a través de un canal AWGN con densidad espectral de potencia N0/2 = 10–6 W/Hz. Determine la máxima razón de bit que puede enviarse con una probabilidad de error de símbolo Pb ≤ 10 –4.

Por simplicidad, asuma que el periodo de símbolo T es uno. Para la mayoría de los escenarios, los errores ocurrirán con el símbolo vecino más cercano, e.g., para el símbolo +1, las decisiones erróneas más probables son los símbolos +3 y –1. En general, se asume que el nivel de la señal transmitida es µ y la separación entre vecinos más cercanos es 2A. Entonces, para aquellos símbolos que tienen dos vecinos cercanos, la probabilidad de error para dichos símbolos es Pe = P[ y < (µ − A) ó y > (µ + A)] =

Solución: De la ecuación (12.43), se tiene ⎛ 2 A 2T ⎛µ⎞ Pbbipolar = Q⎜ ⎟ = Q⎜ ⎜ N0 ⎝σ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ≤ 10 −4 ⎟ ⎠

µ−A

1 2πσ

2

∫

−∞

⎛ ( y − µ )2 exp⎜ − ⎜ 2σ 2 ⎝

⎞ ⎟dy + ⎟ ⎠

2πσ

⎛ ( y − µ )2 exp⎜ − ⎜ 2σ 2 ⎝ µ+A ∞

1 2

∫

⎞ ⎟dy ⎟ ⎠

(12.45)

⎛ A⎞ = 2Q⎜ ⎟ ⎝σ ⎠

donde σ es la desviación estándar del ruido.

De la Tabla A5.1 se encuentra que Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

393

394

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

El resultado anterior aplica para todos aquellos símbolos que tienen dos vecinos cercanos, en este caso (±1), mientras que para los símbolos exteriores (±3), que sólo tienen un vecino, la probabilidad de error es la mitad del valor definido por la ecuación anterior, i.e., Pe = Q(A/σ). Combinando la probabilidad de todos los símbolos, y asumiendo que son equiprobables, se encuentra la probabilidad de error de símbolo para 4-PAM,

0

10

-1

10

Pe = Pe [− 1]P[− 1] + Pe [+ 1]P[+ 1] + Pe [− 3]P[− 3] + Pe [+ 3]P[+ 3] ⎛ A⎞ ⎛1⎞ ⎛ A⎞ ⎛1⎞ ⎛ A⎞ ⎛1⎞ ⎛ A⎞ ⎛1⎞ = 2Q⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + 2Q⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝σ ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝σ ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝σ ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝σ ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3 ⎛ A⎞ = Q⎜ ⎟ 2 ⎝σ ⎠

-2

(12.46)

10

-3

10

M =2

El resultado anterior se puede generalizar fácilmente para el caso M-PAM con niveles de modulación separados una distancia 2A y símbolos equiprobables, donde se tienen (M – 21) símbolos con dos vecinos y dos símbolos (extremos) con un vecino. Entonces, la probabilidad de error de símbolo está dada por

SER

M =4 -4

10

M =8 M = 16

-5

10

PsM − PAM

⎛ M −1⎞ ⎛ A ⎞ = 2⎜ ⎟Q ⎜ ⎟ . ⎝ M ⎠ ⎝σ ⎠

(12.47) -6

10

Aún cuando esta expresión es similar a la obtenida con transmisión binaria, hay dos diferencias importantes que deben observarse: •

•

Cada símbolo representa más de un bit. En consecuencia, cada error de símbolo puede corresponder a más de un error de bit, a pesar de que los símbolos generalmente se arreglan de forma que esto no ocurra, utilizando codificación Gray (ver Sección 12.11).

-7

10

-8

10

0

2

4

6

8

10

12

EbN0 [dB]

2

Con la transmisión binaria de dos niveles (±A), la potencia promedio transmitida es A . Con PAM M-aria, asumiendo que todos los niveles son igualmente probables y están separados por 2A, la potencia promedio transmitida es (M2 – 1)A2/3. En consecuencia, el “throughput” adicional provisto por la PAM multinivel requiere significativamente más potencia para lograr el mismo desempeño que la PAM binaria.

El desempeño de PAM multinivel banda-base se puede relacionar al modelo de referencia digital considerando que el número de niveles M es una potencia de 2 (i.e., M = 2k), entonces cada símbolo representa k bits, por lo que la energía promedio recibida por bit es M 2 − 1 A 2T . (12.48) Eb= 3k

(

)

La varianza del ruido a la salida del filtro acoplado es σ2 = N0T/2 = N0/2 (asumiendo T = 1). Esto es igual que para el caso de PAM binaria. Sustituyendo estos resultados en la expresión de PSPAM, la probabilidad de error de símbolo en términos de la referencia SNR digital es ⎛ M − 1 ⎞ ⎛⎜ ⎛ 6k ⎞ Eb ⎞⎟ PsM − PAM = 2⎜ (12.49) ⎟Q ⎜ 2 ⎟ ⎝ M ⎠ ⎜⎝ ⎝ M − 1 ⎠ N 0 ⎟⎠ En la siguiente figura se muestra el desempeño de razón de error de símbolo de PAM multinivel para varios valores de M.

Figura 12.16: Desempeño de PAM multinivel com M = 2, 4, 8, 16. Observe en la Figura 12.16 como se degrada el desempeño a medida que M aumenta. Intuitivamente esperaríamos este comportamiento del desempeño ya que al aumentar el número de símbolos, la capacidad del receptor para distinguir entre símbolos en la presencia de ruido decrecería, por la proximidad de los mismos, a menos que incrementemos significativamente la energía en cada símbolo para que se mantengan lo más separados posibles. Ejemplo 12.5 (razón de error de símbolo) Se desea incrementar la velocidad de salida efectiva (throughput) de un módem, cambiando el esquema de señalización banda-base original de dos niveles por uno de ocho niveles. El objetivo del sistema es mantener un desempeño no peor que un error de símbolo en cada 10 000 símbolos transmitidos. Determine la reducción en la tolerancia del ruido del módem como resultado de este cambio. Además, calcule cuál es el mínimo Eb/N0 teórico requerido para soportar la eficiencia de ancho de banda alcanzada por el módem de ocho niveles. Solución: De la ecuación (12.49) y usando el Anexo 6 de la función Q, se hallan los valores de Eb/N0 requeridos por los sistemas M = 2 y M = 8 para alcanzar un SER = 1 × 10-4. ⎛ E ⎞ Ps2 − PAM = Q⎜ 2 b ⎟ = 1 × 10 − 4 ⎜ ⎟ N 0 ⎠ ⎝ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 18 E b Ps8− PAM = ⎜ ⎟Q⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎜⎝ 63 N 0

⎞ ⎟ = 1 × 10 − 4 ⎟ ⎠

Eb = 3.72 N0

→

2

→

18 E b = 3.86 63 N 0

tabla

tabla

∴ ∴

Eb = 6.9 (8.4 dB) N0 Eb = 52.15 (17.2 dB) N0

Así, se puede ver que se requiere un incremento de aproximadamente 8.8 dB en energía de la señal para mantener la misma razón de error. Es decir, que el nuevo esquema de señalización será casi 8.8 dB menos tolerante al ruido. Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

395

Un módem banda-base 8-ario tiene una eficiencia espectral2 máxima de 6 bits/segundo/Hz. El teorema de la capacidad de información de Shannon-Hartley, ecuación (1.4), establece que: ⎛ E C⎞ C = log 2 ⎜⎜1 + b ⎟⎟ W N 0W ⎠ ⎝

→

N

⎧0 i ≠ j ⎩1 i = j .

∗ ∫ φ i (t )φ j (t ) = ⎨

(2.50)

Así, las señales asociadas a los M símbolos de cualquier sistema M-ario pueden representarse como una combinación lineal de N ≤ M funciones ortonormales, j = 1, K , N

0≤t ≤T

(12.51)

donde 1 Ej

donde n j (t ) =

1 Ej

T

T

0

0

∫ n(t )φ j (t )dt,

∫ n (t )φ j (t )dt = 0 ~

T

∫ si (t )φ j (t )dt

i = 1, K , M

j = 1, K , N

0

o en notación vectorial como s i = [ci1

ci 2 L ciN ] .

(12.54)

(12.52)

12.6.2 Ruido Blanco como Ondas Ortogonales 2 La razón C/W representa la eficiencia del ancho de banda de un sistema en bits/s/Hz. Sabiendo que la máxima razón de símbolo que puede soportar un canal banda-base es R = 2W símbolos/segundo, y con cada símbolo transportando log2M bits, entonces la capacidad del canal banda-base con ancho de banda W es C = 2W log2M b/s.

∀j = 1, K , N

Los valores nj son las coordenadas del ruido en el espacio de señal (interferencia) que son variables aleatorias de media cero. Esta parte corresponde a la proyección del ruido en el espacio de señal. El resto del ruido está “fuera” del espacio de señal y no interfiere con la señal en cuestión. El parámetro característico del AWGN es su varianza, que es por definición, infinita,

σ n2 = Var[n(t )] =

∞

⎛ N0 ⎞ ⎟df = ∞ . 2 ⎠

∫⎜

−∞ ⎝

Sin embargo, el parámetro que nos interesa es la varianza de las componentes del ruido en el espacio de señal, i.e., 2 ⎡⎧T ⎫⎪ ⎤ N ⎪ σ n2j = Var n j (t ) = E ⎢⎨ ∫ n(t )φ j (t )dt ⎬ ⎥ = 0 , (12.55) ⎢⎪ 2 ⎪⎭ ⎥⎥ ⎣⎢⎩ 0 ⎦

[

Cualquier señal puede representarse como una suma de vectores en un espacio ortogonal N-dimensional de funciones base (ortonormales) {φj(t), j = 1, …, N} en el intervalo [0,T], donde T es la duración de un símbolo. Las N funciones son linealmente independientes y verifican el principio de ortogonalidad, i.e.,

i = 1, K , M

(12.53)

j =1

12.6.1 Señales como Ondas Ortogonales

0

n~ (t ) = n(t ) − nˆ (t ) .

n(t ) = ∑ n j φ j (t ) +n~ (t )

El espacio de señal es una representación vectorial de las formas de onda, y es muy útil tanto para sistemas en bandabase como pasa-banda ya que cualquier señal y el ruido pueden representarse como vectores en este espacio vectorial. Ya en las Secciones 2.6 Señales – un Enfoque Vectorial y 2.8 Representación de Señales, vimos que las señales son vectores, y que, por lo tanto, ellas se pueden representar por medio de un conjunto de señales ortogonales. Además, en la Sección 6.3 Ruido de banda angosta se estudió como se puede describir el ruido en términos de sus componentes en fase y en cuadratura, en forma similar a las señales PSK. Estos conceptos resultan nuevamente de interés para el estudio del desempeño de los esquemas de modulación pasa-banda, por lo que a continuación se discuten algunos de los mismos.

T

y

De esta forma, se tiene

12.6 Señales y Ruido como Vectores

cij =

N

donde nˆ(t ) = ∑ n j φ j (t ) j =1

■

j =1

Al igual que las señales, parte del ruido AWG se puede representar en el espacio de señal. Considere la partición del ruido en dos componentes, n(t ) = nˆ (t ) + n~ (t )

⎛ Eb ⎞ ⎜ ⎟ = 10.5 (10.2 dB) ⎜N ⎟ ⎝ 0 ⎠ min

N

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

⎛ E ⎞ 6 = log 2 ⎜⎜1 + 6 b ⎟⎟ , N0 ⎠ ⎝

por lo que el mínimo Eb/N0 para una transmisión libre de errores es

s i (t ) = ∑ c ij φ j (t ),

396

]

la cual es finita y es igual para todos los “ejes” del espacio de señal. Además, para un proceso AWGN estacionario se verifica que N ⎛N ⎞ E [n(t )] = 0, Rn (τ ) = ⎜ 0 ⎟δ (τ ) ↔ Sn ( f ) = 0 . 2 ⎝ 2 ⎠

12.6.3 Detección de Señales en AWGN El modelo pasa-banda del proceso de detección es virtualmente idéntico al modelo considerado para señales bandabase. Esto se debe a que una forma de onda pasa-banda recibida en un detector óptimo (receptor coherente con filtro acoplado) se transforma primero a una forma de onda banda-base antes de la detección final. Para sistemas lineales, la matemática de la detección no se ve afectada por un corrimiento en la frecuencia. Esto también tiene una implicación de interés, y es que las simulaciones de cualquier procesamiento lineal de señales pasa-banda se pueden realizar en banda-base, lo cual es más simple, sin afectar los resultados. En presencia de ruido, los vectores recibidos (de la señal) están distribuidos en torno a los prototipos de señales (i.e., distribuciones Gaussianas para AWGN) como se ilustra en la Figura 12.12 para un espacio de señal de dos dimensiones, con vectores binarios prototipos s1 y s2 afectados por el ruido (s1 + n y s2 + n). El vector de ruido n es un vector aleatorio con media cero, por lo que el vector de la señal recibida, r, es un vector aleatorio con media s1 o s2. La función del detector después de recibir r es decidir cuál de las señales (s1 o s2) fue la que se transmitió. Como se ha estudiado, el método es usualmente decidir sobre la señal que resulte en la mínima probabilidad de error promedio. Para el caso ilustrado, donde M = 2, con s1 y s2 siendo igualmente probables y con un proceso AWGN, se tiene que la regla de decisión de error mínimo es equivalente a escoger la señal cuya distancia euclídea d(r,si) = ||r – si || sea mínima, donde ||x|| es la norma o magnitud del vector x. Esta regla se establece generalmente en términos de regiones de decisión (similar a como se hizo con el umbral para señales banda-base). Las regiones de decisión en la Figura Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

397

398

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización x(t ) = s(t ) + nI (t ) cos(2πf c t ) − nQ (t )sin (2πf c t ) .

12.17 se obtuvieron de dividir la línea que conecta los puntos de los vectores prototipos s1 y s2 por medio de un bisector perpendicular que pasa por el origen del espacio si s1 y s2 tienen igual amplitud. Entonces, la regla de decisión para el detector establece que cuando la señal recibida r está localizada en la región 1, se escoge la señal s1; y cuando está localizada en la región 2, se escoge s2.

(12.58)

La salida del modulador de producto está dada por v(t ) = x(t ) cos(2πf c t ) =

1 2

[Ac m(t ) + n I (t )] + [12 ( Ac m(t ) + n I (t )) cos(4πf c t ) − 12 nQ (t )sin(4πf c t )].

(12.59)

La primera parte de la segunda línea de esta ecuación representa la señal banda-base más una componente de ruido banda-base, mientras que la segunda parte representa la señal y el ruido resultantes a una frecuencia más alta de 2fc. Ya se sabe que el uso de un filtro acoplado es el método óptimo para recuperación de la señal. Este filtro acoplado se puede combinar con un filtro pasa-bajas para lograr los resultados deseados, siempre que el filtro pasa-bajas no distorsione la señal de interés. Sin embargo, observe que el filtro acoplado, ⎛T /2 −t ⎞ ha (t ) = rect⎜ ⎟ ⎝ T ⎠

(12.60)

es ya un filtro pasa-bajas, por lo que no hay necesidad de otro filtro. Figura 12.17: Espacio de señal bidimensional, con vectores s1 y s2.

12.7 Señales ASK Iniciamos esta sección con el análisis del esquema ASK binario más simple, OOK (on-off keying). Como se vio en el Capítulo 10, la forma de onda OOK puede generarse simplemente al activar y desactivar el oscilador del transmisor. Esta señal puede expresarse como s (t ) = Ac m(t ) cos(2πf c t )

N

k =0

con a k = 0,1

kT

Yk ≈

(12.56)

donde, para la transmisión de un único pulso, m(t) = +1 para un 1, y m(t) = 0 para un 0, con 0 ≤ t ≤ T, y en el caso general, en que se transmiten múltiples bits, m(t ) = ∑ a k h(t − kT )

Es importante notar que se ha considerado que el ruido es blanco para la derivación del filtro acoplado. Sin embargo, nI(t) es ruido de banda angosta (no es blanco), pero siempre que el filtro pasa-banda tenga un ancho de banda mayor que el de la señal, la densidad espectral de ruido es aproximadamente plana sobre el ancho de banda de la señal, y se puede considerar blanco, por lo que el principio del filtro acoplado se puede aplicar. Para el caso en que m(t) consista de pulsos rectangulares, el detector óptimo, después de la conversión de frecuencia, es el filtro de integración-yrechazo, como en el caso de PAM. La salida de este detector, para este caso, es

y

⎛ t −T / 2⎞ h(t ) = rect⎜ ⎟. ⎝ T ⎠

(12.61)

El término del ruido está dado por kT

Nk ≈

1 nI (t )dt 2 (k −∫1)T

[ ]

(12.57)

La Figura 12.18 muestra el receptor coherente para OOK. La detección óptima de esta modulación incluye un filtro pasa-banda de entrada, seguido la multiplicación de la señal recibida por una portadora local cos2πfct, la integración de este producto sobre el intervalo [0, T], y la comparación de la salida muestreada del integrador con un umbral γ .

1 [Ac m(t ) + n I (t )]dt = Ac T a k + N k . 2 (k −∫1)T 2

y E N k2 =

kT kT ⎤ 1 ⎡ kT kT ⎤ 1 kT 1 ⎡ E⎢ n I (t )nI (s )dtds ⎥ = ⎢ ∫ N 0 δ (t − s )dtds ⎥ = N 0 ds ∫ 4 ⎢(k −∫1)T (k −∫1)T 4 ⎥ ⎢ ⎥ 4 (k −∫1)T ⎣ ⎦ ⎣(k −1)T (k −1)T ⎦

Así,

[ ]

σ 2 = E N k2 =

N 0T . 4

(12.62)

12.7.1 Análisis de Desempeño de OOK El análisis del BER con OOK es similar al análisis de señalización banda-base unipolar de la Sección 12.3. De la ecuación (12.61) se tiene que el valor medio de la señal, µ, es AcT/2 ó 0, dependiendo de si ak es 1 ó 0, respectivamente. Para símbolos equiprobables, el umbral para decidir entre un 0 y un 1 a la salida del filtro acoplado se ajusta a Figura 12.18: Receptor OOK coherente. La señal pasa-banda más el ruido pasa-banda a la entrada del detector coherente OOK se pueden representar en términos de las componentes en cuadratura del ruido pasa-banda asociado a la señal, como

γ =

µ 0 + µ1 2

=

1 AcT . 4

(12.63)

La probabilidad de error total del esquema de señalización OOK esta dada por Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

[

]

[

399

]

Pe = P Y < γ s1 ⋅ P[s1 ] + P Y > γ s 0 ⋅ P[s 0 ]

(12.64)

400

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

Usando este resultado y sustituyendo el valor de la desviación estándar del ruido, de la ecuación (12.62), y de la amplitud en función de la energía promedio por bit, en la expresión (12.71), se obtiene ⎛ ⎛ M −1⎞ ⎜ PsM − ASK = 2⎜ ⎟Q ⎝ M ⎠ ⎜⎝

que corresponde a Ps = =

⎛ − ( y − µ1 ) 2 exp⎜ ∫ ⎜ 2σ 2 2π σ −∞ ⎝ 1

γ

⎞ ⎟dy ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ + ⎟ ⎝2⎠ ⎠

⎛ − ( y − µ 0 )2 exp⎜ ∫ ⎜ 2σ 2 2π σ γ ⎝ 1

∞

1 ⎛ µ1 − γ ⎞ 1 ⎛ γ ⎞ Q⎜ ⎟ + Q⎜ ⎟ 2 ⎝ σ ⎠ 2 ⎝σ ⎠

⎞ ⎟dy ⋅ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎟ ⎝2⎠ ⎠ .

(12.65)

3k

⎛ ⎛ E b ⎞ ⎞⎟ ⎛ M − 1 ⎞ ⎛ Eb 3k ⎜ ⎜ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟erfc⎜ 2(M − 1)(2M − 1) ⎜⎝ N 0 ⎝ M ⎠ ⎝

(M − 1)(2M − 1) ⎜⎝ N 0 ⎟⎠ ⎟⎠

⎞ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟. ⎠⎠

(12.72)

Los resultados del BER relativamente pobres para M-ASK, aunado a su sensitividad a cualquier variación de ganancia en el canal y la necesidad de una linealidad razonable en el procesamiento del transceptor, hacen que hayan muy pocos ejemplos prácticos de ASK excepto en su forma binaria.

Sustituyendo γ y µ1, resulta una probabilidad de error de símbolo: ⎛AT Ps = Q⎜⎜ c ⎝ 4σ

12.8 Señales PSK

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(12.66)

En términos del modelo de referencia digital, se tiene que la energía promedio por bit en OOK es Eb = Ac2T/4. Usando este resultado y sustituyendo el valor de la desviación estándar del ruido, de la ecuación (12.64), y de la amplitud en función de la energía promedio por bit, en la expresión (12.69), se obtiene ⎛ Eb ⎞ ⎛ ⎟ = 0.5erfc⎜ Eb PbOOK = Q⎜ ⎜ N ⎟ ⎜ 2N 0 ⎠ 0 ⎝ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

Iniciaremos el análisis de los esquema PSK con la forma más sencilla, BPSK. Para ello, usaremos varios de los resultados anteriores, sobre todo los concernientes a la señal y el ruido a la salida del receptor en el análisis de OOK, así como también de PAM binaria bipolar. La señal BPSK transmitida está dada por 0 ≤ t ≤ T si se envía un 1 ⎧ A cos(2πf c t ), s (t ) = ⎨ c ⎩ Ac cos(2πf c t + π ) = − Ac cos(2πf c t ), 0 ≤ t ≤ T si se envía un 0

(12.67)

Este desempeño de BER es exactamente el mismo que el del esquema banda-base unipolar. Observe que no hay diferencia en el BER entre la señalización PAM unipolar pasa-bajas y la modulación BASK pasa-banda; que no hay cambio en la figura de mérito cuando se pasa de un sistema banda-base a un sistema pasa-banda coherente equivalente.

La detección se simplifica al observar que el desfase de π corresponde a –1. Esto nos hace pensar en señalización banda-base bipolar, a la que efectivamente se asemeja. En general, la señal BPSK se puede escribir como s (t ) = Ac m(t ) cos(2πf c t )

12.7.2 ASK Multinivel En general la forma de onda ASK M-aria tiene tanto M – 1 amplitudes “activadas” discretas como estados “apagados” (on-off keying). Puesto que no existen inversiones de fase u otras variaciones, se fija la componente en cuadratura de la señal moduladora igual a cero, y se considera que la componente de fase es una señal NRZ unipolar con múltiples niveles, m(t ) =

∑ a h(t − kT ) k

k =0

con a k = 0,1,K ,M − 1

y

⎛ t −T /2⎞ h(t ) = rect⎜ ⎟ ⎝ T ⎠

.

(12.68)

y la señal transmitida

(12.74)

donde, cuando se transmiten múltiples bits, m(t ) =

N

∑ b h(t − kT ) k

k =0

N

(12.73)

⎛ t −T / 2⎞ con bk = ±1 y h(t ) = rect⎜ ⎟ ⎝ T ⎠

(12.75)

con 0 ≤ t ≤ T. Un receptor BPSK típico se muestra en la siguiente figura.

s (t ) = Ac m(t ) cos(2πf c t ) .

(12.69)

Observe que las señales resultantes tendrán una separación de Ac, y se asume que son equiprobables. Así, usando los resultados obtenidos de los esquemas de modulación OOK y PAM multinivel, se tiene que la probabilidad de error de símbolo está dada por ⎛ M − 1 ⎞ ⎛ Ac T ⎞ Pe = 2⎜ ⎟Q⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ M ⎠ ⎝ 4σ ⎠

(12.70)

En términos del modelo de referencia digital, se tiene que la energía promedio por bit en M-ASK es 1⎛1 ⎞⎛ (M − 1)(2M − 1) ⎞ E b = ⎜ Ac2 T ⎟⎜ ⎟. 6 k ⎝2 ⎠⎝ ⎠

Figura 12.19: Receptor BPSK coherente. (12.71)

La señal pasa-banda más el ruido pasa-banda a la entrada del detector coherente BPSK se puede representar como Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

x(t ) = s(t ) + nI (t ) cos(2πf c t ) − nQ (t )sin (2πf c t ) .

401

[Ac m(t ) + n I (t )] + [12 ( Ac m(t ) + nI (t )) cos(4πf c t ) − 12 nQ (t )sin(4πf c t )]

(12.77)

La salida de este detector suponiendo pulsos moduladores rectangulares, está dada por kT

Yk ≈

s (t ) = Ac

∞

∑ bk p(t − kT )cos(2πf c t )

(12.82)

k = −∞

donde p(t) es la forma del pulso y bk = ±1 representa los datos.

v(t ) = x(t ) cos(2πf c t ) 1 2

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

(12.76)

La salida del modulador de producto está dada por

=

402

1 [Ac m(t ) + n I (t )]dt = Ac T bk + N k . 2 (k −∫1)T 2

(12.78)

[ ]

12.8.2 DPSK En el Capítulo 10 que se consideró la detección diferencial de BPSK (DPSK) como un método simple de recuperación de datos sin la complejidad de la detección coherente. La Figura 12.20 muestra la estructura típica de un receptor para detección DPSK en presencia de ruido.

De la ecuación (12.65) se tiene que el término del ruido es

σ 2 = E N k2 =

Esta combinación de forma de pulso y modulación BPSK forma un método importante para comunicación de información binaria y control del ancho de banda requerido para la transmisión. En particular, la modulación BPSK permite a múltiples usuarios utilizar el mismo medio de transmisión escogiendo distintas frecuencias de portadora fc; y la forma del pulso limita el ancho de banda de la señal transmitida de forma que se reduce o elimina la interferencia entre enlaces de comunicación que utilizan diferentes fc.

N 0T . 4

12.8.1 Análisis de Desempeño de BPSK El análisis de la razón de error de símbolo para BPSK es similar al análisis de señalización bipolar banda-base de la Sección 12.4. El umbral para decidir entre un 0 y un 1 a la salida del filtro acoplado se ajusta a cero. Este umbral tiene la ventaja práctica de que no tiene que calibrarse si la trayectoria de transmisión tiene una ganancia desconocida. De la ecuación (12.80) se tiene que el valor medio de la señal es ±AcT/2, dependiendo de si bk es ±1, respectivamente. Si se asume que se trasmitió un 1 y que µ = AcT/2, entonces la probabilidad de error de símbolo, que también corresponde a la razón de error de bit (por ser un sistema binario) está dada por

[

]

Ps = P Y < 0 bk = 1 =

0

1 2π σ

⎛ − ( y − µ )2 ⎞ ⎟dy 2σ 2 ⎟⎠

∫ exp⎜⎜⎝

−∞

⎛µ⎞ = Q⎜ ⎟ ⎝σ ⎠

La señal RF recibida se convierte a una señal de IF con frecuencia fc y luego se filtra (en pasa-banda). La señal pasabanda a la salida de este filtro se puede representar por

AcT = 2

2 Eb T = T 2

Eb T , 2

(

PbBPSK

⎞ ⎛ ⎞ ⎟ = 0.5erfc⎜ Eb ⎟ . ⎟ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎠ ⎝

(k − 1)T < t ≤ kT .

(12.83)

El bit codificado diferencialmente dk está definido por la ecuación dk = bk dk-1 donde bk es el k-ésimo bit de información. Con detección coherente, circuitos de sincronización tienen que estimar la fase θ para producir una referencia coherente para la conversión a banda-base. Con detección diferencial se utiliza un circuito de retraso y multiplicación como el que se muestra a continuación.

(12.80)

y sustituyendo este valor y el de la desviación estándar del ruido, y suponiendo que los símbolos son equiprobables, se obtiene ⎛ 2 Eb = Q⎜ ⎜ N 0 ⎝

)

x(t ) = Ac d k cos 2π f c t + θ + n(t ),

(12.79)

Por simetría, el resultado anterior es válido cuando se transmite un +1 o un –1. En términos del modelo de referencia digital, se tiene que la energía por bit en BPSK, asumiendo que la energía de los pulsos m(t) se ha normalizado, es simplemente Eb = Ac2T/2. Usando este resultado en la definición de µ, con bk = +1, se tiene

µ=

Figura 12.20: Receptor DPSK.

(12.81)

Este desempeño de BER es exactamente el mismo que el del esquema bipolar banda-base. El análisis de BPSK se puede extender a pulsos de forma no rectangular en forma similar a lo que se hizo en banda base. Para pulsos no rectangulares, la señal transmitida se representa como

Figura 12.21: Detector diferencial. La salida de este circuito es v(t ) = x(t )x(t − T )

(

) (

)

= Ac2 d k d k −1 cos 2π f c t + θ cos 2π f c (t − T ) + θ + n(t )

(12.84)

Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

(

)

(

403

404

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

)

donde n(t ) = Ac d k cos 2π f c t + θ n(t − T ) + Ac d k −1 cos 2π f c (t − T ) + θ n(t ) + n(t )n(t − T ) 0

10

Observe que se asume que la fase θ permanece esencialmente constante durante dos periodos de bit. La expresión anterior de v(t) se puede expandir a v(t ) =

1 2 Ac d k d k −1 [cos(2πf c T ) + cos(4πf c t − 2πf cT + 2θ )] + n(t ) . 2

-1

10

(12.85)

-2

10

El detector de integración y rechazo remueve las componentes de alta frecuencia, por lo que queda,

-3

10

Yk =

∫ v(t )dt = 12 Ac Td k d k −1 cos(2πf c T ) + N k 2

(12.86)

BER

kT

(k −1)T

donde la variable de ruido aditivo Nk se debe a n(t).

-4

10

BPSK BPSKdif

-5

10

DPSK

Si la frecuencia fc se escoge de forma que fcT sea aproximadamente un entero, entonces cos(2πfcT) ≈ 1 y

-6

10

Yk =

1 2

Ac2 Td k d k −1 + N k

=

1 2

Ac2 Tbk + N k .

(12.87)

En consecuencia, en términos del desempeño en ruido, la mayor diferencia entre DPSK y BPSK coherente no está en la codificación diferencial, que se puede utilizar en ambos casos, sino en la forma en que la señal de referencia se deriva de la detección de fase de la señal recibida. Específicamente, en un receptor DPSK la referencia está contaminada por el ruido aditivo en la misma cantidad que el pulso de información, es decir, ambos tienen la misma razón señal-a-ruido. Esto hace que la caracterización estadística de la variable aleatoria Nk y, por lo tanto, la determinación de la probabilidad de error total en receptores DPSK sea bastante complicada (fuera del alcance de este libro por lo que no se considerará en detalle). Sin embargo, considere la forma final del desempeño dado por, ⎛ E ⎞ PbDPSK = 0.5 exp⎜⎜ − b ⎟⎟ ⎝ N0 ⎠

(12.88)

En la Figura 12.22 se muestra el desempeño de BPSK coherente y DPSK con codificación diferencial de los datos. Se puede observar que existe una penalización pequeña del desempeño entre PSK completamente coherente (asumiendo un referencia perfecta de la portadora) y la implementación más simple de DSPK. Este margen se reduce aún más si se usa codificación y decodificación diferencial con PSK coherente para superar la ambigüedad de fase propia del proceso de recuperación de la portadora el cual introduce algunos errores de bit dobles (ver curva en la Figura 12.22).

-7

10

-8

10

0

2

4

6 Eb/N0 [dB]

8

10

12

Figura 12.22: Desempeño de BER para BPSK coherente, BPSK diferencial coherente y DPSK.

12.8.3 QPSK Ahora se extenderán los resultados obtenidos para el desempeño de PAM binaria (banda-base) y BPSK (pasa-banda) a esquemas de modulación más complejos como QPSK y QAM. La señal QPSK modulada s(t) se puede representar como s (t ) = Ac cos(2πf c t + φ (t )) para 0 ≤ t ≤ T .

(12.89)

La portadora se transmite en una de cuatro fases con cada fase representando un par de bits (dibits), dados por ⎧+ 34 π , dibit 00 ⎪ 1 ⎪+ π , dibit 10 φ (t ) = ⎨ 14 ⎪− 4 π , dibit 11 ⎪− 3 π , dibit 01 ⎩ 4

(12.90)

También se tiene que la forma expandida de la señal modulada se expresa como s (t ) = Ac m I (t ) cos(2πf c t ) − Ac mQ (t ) sin (2πf c t )

(12.91)

con m I (t ) = cos[φ (t )] y mQ (t ) = sin[φ (t )]

En la siguiente figura se muestra el receptor en cuadratura para señales QPSK. Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

405

406

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

⎛µ⎞ Pb = Q⎜ ⎟ (12.97) ⎜σ ⎟ ⎝ ⎠ donde ⏐µ⏐indica la simetría entre el bit 0 y el bit 1. El mismo resultado se tiene para la componente en cuadratura. Para expresar este resultado en términos del modelo de referencia digital, recuerde que con la modulación QPSK se transmiten dos bits en un intervalo de símbolo de longitud T. En consecuencia, la energía promedio por bit se puede determinar de T ⎡T ⎤ E s = 2 E b = E ⎢ ∫ s 2 (t )dt ⎥ = Ac2 ∫ cos 2 (2πf c t + φ (t ))dt ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0

2 Eb = Eb ≈

Figura 12.23: Detector BPSK coherente.

x(t ) = s(t ) + n(t )

(12.92)

(

)

s (t ) = ( Ac m I (t ) + n I (t )) cos(2πf c t ) − Ac mQ (t ) + n Q (t ) sin (2πf c t ) .

1 2

( Ac m I (t ) + n I (t )) + 12 ( Ac m I (t ) + n I (t )) cos(4πf c t ) − 12 (Ac mQ (t ) + nQ (t ))sin (4πf c t ) .

(12.93)

Observe que el primer término es una señal pasa bajas y que los otros términos son señales de alta frecuencia. Como en el caso de BPSK si se utilizan pulsos rectangulares, ya que mI(t) es constante durante la duración del pulso, un filtro acoplado con forma rectangular (integrate and dump) se puede utilizar para recuperar mI(t) maximizando la razón señal-a-ruido de la salida, a la vez que rechazará los términos de alta frecuencia. En forma similar la salida de la rama inferior (componente en cuadratura) del detector es

(

) (A m (t ) + n (t ))cos(4πf t ) + ( A m (t ) + n (t ))sin (4πf t ) .

v Q (t ) = − 12 Ac mQ (t ) + nQ (t ) +

1 2

c

Q

Q

c

1 2

c

I

I

c

(12.94)

AcT AT ⎛ ± 3π ⎞ cos⎜ ⎟=− c . 2 ⎝ 4 ⎠ 2 2

(12.95)

(12.98)

AT 4

Así, la razón de error de bit para vI(t) después del filtro acoplado está dada por ⎛µ PbvI = Q⎜ ⎜σ ⎝

⎛ ⎞ ⎞ ⎟ = Q⎜ AcT / 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ N T /4 ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎠

(12.99)

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Por simetría, se obtiene un resultado similar para vQ(t). Como las componentes de señal y ruido ortogonales son independientes, se tiene que la razón de error de bit para QPSK es igual a la encontrada para vI(t) y vQ(t), ⎛ 2 Eb PbQPSK = Q⎜ ⎜ N 0 ⎝

⎞ ⎛ ⎟ = 0.5erfc⎜ Eb ⎟ ⎜ N 0 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(12.100)

Por consiguiente, en términos de la energía por bit, el desempeño de QPSK es exactamente el mismo que el de BPSK, aún cuando se está transmitiendo el doble de bits por el mismo canal. Este es un resultado importante debido a la naturaleza ortogonal inherente de las componentes en fase y cuadratura.

PsQPSK = P[bI se reciba en error ó bQ se reciba en error] =1 – P[bI se reciba correctamente y bQ se reciba correctamente] donde bI y bQ son los bits de las componentes en fase y en cuadratura, respectivamente.

Si por otro lado, el primer bit del dibit es 1 entonces AT ⎛ ± π ⎞ AcT µ = c cos⎜ . ⎟= 2 ⎝ 4 ⎠ 2 2

c

0

La probabilidad de error de símbolo para QPSK coherente se puede calcular como

Para la componente en fase, si el primer bit del dibit es 0, entonces la media de la salida es

µ=

∫ (1 + cos(4πf t + 2φ (t )))dt

2 c

⎛ 2 Eb = Q⎜ ⎜ N 0 ⎝

La salida intermedia de la componente en fase en el receptor está dada por v I (t ) =

T

donde, bajo la consideración de pasa-banda, la integral de los términos de alta frecuencia son aproximadamente cero. Note también que la varianza del ruido en cada rama de salida no cambia de la obtenida en BPSK, esto es, σ 2 = N0T/4.

Utilizando la representación en fase y cuadratura para el ruido pasa-banda, se encuentra que la entrada QPSK al detector coherente está descrita por

donde

Ac2 2

Como ya se indicó, las componentes en fase y cuadratura de la señal QPSK son independientes. Entonces, (12.9)

Después del filtro pasa-bajas, la forma de la ecuación de vI(t) es la misma que la encontrada para BPSK. Por consiguiente, la probabilidad de error de bit en la rama en fase de la señal QPSK es

P[bI se reciba correctamente y bQ se reciba correctamente] = P[bI se reciba correctamente] P[bQ se reciba correctamente] = (1 – PbQPSK) (1 – PbQPSK) = 1 – 2PbQPSK + (PbQPSK)2 De lo anterior se tiene

(

PsQPSK = 2PbQPSK − PbQPSK

)

2

(12.101)

Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

407

Para la mayoría de las aplicaciones prácticas, PbQPSK es bastante pequeño, por lo que la probabilidad de símbolo de QPSK coherente se puede aproximar a ⎛ 2E b ⎞ ⎟ PsQPSK ≈ 2PbQPSK = 2Q⎜ (12.102) ⎜ N0 ⎟ ⎝ ⎠

12.8.4 OQPSK Como se ha discutido, OQPSK es una variante de QPSK donde la componente en cuadratura se retrasa medio periodo de símbolo relativo a la componente en fase. Bajo la consideración de pasa-banda, retrasar la componente en cuadratura no cambia su ortogonalidad con la componente en fase. Por lo tanto, se puede utilizar el mismo detector en cuadratura de QPSK para recuperar la señal OQPSK. La única diferencia es que el muestreo del detector de integración y rechazo de la componente en cuadratura ocurre medio símbolo después que el de la componente en fase. Así, el desempeño de la razón de error de bit en ambos esquemas, OQPSK y QPSK, es idéntico si la trayectoria de transmisión no distorsiona la señal. Como se estudió previamente, una ventaja de OQPSK es la reducción de las variaciones de fase y la reducción potencial de la distorsión si el trayecto de transmisión incluye componentes no lineales tales como un amplificador operando cerca de o en saturación. Bajo condiciones no lineales, OQPSK tiene un mejor desempeño que QPSK.

408

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

Para las constelaciones de señales rectangulares en las cuales M = 2k donde k es par, la constelación de señal QAM es equivalente a dos señales PAM impresas en portadoras en cuadratura, cada una con √M = 2k/2 puntos de señal. Debido a que las señales en las componentes de fase y cuadratura se pueden separar perfectamente por detección coherente (cuando no hay error de fase), la probabilidad de error para QAM se puede determinar fácilmente de la probabilidad de error para M-PAM como ya se había indicado. Específicamente, la probabilidad de una decisión correcta para un sistema M-QAM es PcM −QAM = ⎛⎜1 − Pe ⎝

M − PAM

⎞⎟ ⎠

2

(12.104)

donde Pe√M-PAM es la probabilidad de error de un sistema √M-PAM con la mitad de la potencia promedio en cada señal en cuadratura del sistema QAM equivalente. Modificando apropiadamente la probabilidad de error para M-PAM se obtiene Pe

M − PAM

⎛ 1 ⎞ ⎛⎜ ⎛ 3k ⎞ E b ⎟⎟Q ⎜ = 2⎜⎜1 − ⎟ M ⎠ ⎜⎝ ⎝ M − 1 ⎠ N 0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(12.105)

Por lo tanto, la probabilidad de error de símbolo para M-QAM es

12.8.5 MSK Como se explicó en el Capítulo 10, la señal MSK es una modulación OQPSK que utiliza sinusoidales en vez de pulsos rectangulares, por ello, su probabilidad de error es la misma que la de QPSK.

12.8.6 PSK Multinivel Para razones señal-a-ruido grandes, el desempeño de error de símbolo para señalización M-PSK con detección coherente y símbolos equiprobables, se puede expresar como [Kor85], ⎛ E π PsM − PSK ≈ 2Q⎜ 2k b sin ⎜ N0 M ⎝

⎞ ⎛ ⎟ = erfc⎜ k E b sin π ⎟ ⎜ N0 M ⎠ ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

M ≥4

(12.103)

En la Figura 12.24a se muestran curvas de la probabilidad de error de símbolo para PSK multinivel con varios valores de M.

⎛ M − 1 ⎞ ⎛ ⎛ 3k ⎞ E b ⎟Q⎜ ⎜ PsM −QAM ≈ 4⎜ ⎟ ⎜ M ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝ M − 1 ⎠ N 0 ⎝

⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎟ = 2⎜ M − 1 ⎟erfc⎜ ⎛⎜ 3k ⎞⎟ E b ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ M − 1 ⎠ 2N 0 M ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(12.106)

La Figura 12.22b muestra una comparación de la probabilidad de error de símbolo entre varios esquemas M-QAM. En general, para cualquier k ≥ 1 (par o impar), la probabilidad de error de símbolo para M-QAM tiene el siguiente límite superior bastante ajustado [Pro01], ⎛ ⎛ 3k ⎞ E b PsM −QAM ≤ 4Q⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ M − 1 ⎠ N0 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(12.107)

12.9 Señales QAM QAM se puede ver como un híbrido de PAM multinivel y QPSK. En particular, QAM utiliza componentes en fase y cuadratura para transmisión exactamente como hace QPSK. Sin embargo, en cada una de las componentes en fase y cuadratura en QAM, el modulador utiliza señales PAM multinivel. Así tenemos las siguientes observaciones de interés: • • •

Se pueden utilizar esquemas M-PAM independientes para modular las portadoras en fase y cuadratura. Debido a la ortogonalidad de las componentes en fase y cuadratura, la razón de error es la misma en ambas, y es la misma que para el sistema M-PAM banda-base. Con un esquema QAM, se puede transmitir el doble de datos en el mismo ancho de banda que con M-PAM banda-base con la misma eficiencia de potencia. Esta propiedad es una extensión de la comparación hecha entre BPSK y QPSK.

Las constelaciones de señal QAM rectangulares tienen la ventaja de poder generase fácilmente como dos señales PAM impresas en las portadoras de fase y cuadratura. A pesar de que no son las mejores constelaciones de señal MQAM para M ≥ 16, la potencia promedio transmitida requerida para lograr una distancia mínima dada (entre señales) es solamente ligeramente mayor que la potencia promedio requerida por la mejor constelación M-QAM. Por estas razones, las señales M-QAM rectangulares son las que más se utilizan en la práctica.

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M-PSK

0

10

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización h1 (t ) = 2 cos(2πf 1t )

M-QAM rectangular

0

-1

h2 (t ) = 2 cos(2πf 2 t )

-2

-2

10

-3

Sea la señal recibida

-3

10

10

-4

r (t ) = s (t ) + n(t )

-4

10

M =4

(12.110)

M =4

M =8

Suponga que se ha transmitido un 1. Entonces la salida del filtro acoplado correspondiente a un cero es

M =8

-5

(12.109)

Para el análisis de este detector asuma, por simplicidad, que las frecuencias f1 y f2 se han seleccionados para que las formas de onda correspondientes sean ortogonales. Técnicamente, esto implica que (f1 y f2)T es un entero bajo la consideración pasa-banda. Esta consideración no es necesaria en la práctica, pero la violación de la misma resulta en una degradación del desempeño.

-1

10

10

10

410

10

10

10

409

-5

10

M = 16

M = 16

M = 32

T

Y2 = r (t ) 2 cos(2πf 2 t )dt

∫

M = 32

-6

-6

10

10

0

T -7

Y2 =

-7

10

10

∫ ( Ac cos(2πf1t ) + n(t ))

2 cos(2πf 2 t )dt

(12.111)

0

-8

10

0

Y2 = 0 + N 2

-8

5

10

15

10

0

5

EbN0 [dB]

10

15

Así, cuando se transmite un 1, la salida del filtro acoplado a un 0 tiene media cero y varianza N2, mientras que la salida del filtro acoplado a un 1 es

EbN0 [dB]

Figura 12.24: Probabilidad de error de símbolo: a) M-PSK coherente y b) M-QAM rectangular coherente. T

12.10 Señales FSK

Y2 = r (t ) 2 cos(2πf1t )dt

∫

Consideremos el caso de FSK binaria. En éste se utilizan frecuencias diferentes para representar bits de datos, y la señal transmitida para 0 ≤ t ≤ T es ⎧ A cos(2πf1t ), si (t ) = ⎨ c ⎩ Ac cos(2πf 2 t ),

0 ≤ t ≤ T , si se trasmite un 1 0 ≤ t ≤ T , si se trasmite un 0

0

T

Y2 =

∫ ( Ac cos(2πf1t ) + n(t ))

2 cos(2πf1t )dt

(12.112)

0

(12.108)

Con la transmisión BFSK se tienen dos ondas sinusoidales con frecuencias distintas. Pareciera lógico entonces, diseñar filtros acoplados para cada una de las dos formas de onda y seleccionar el que produzca la salida más grande como se muestra en la figura.

Y2 ≈

AcT + N1 2

Un resultado simétrico se obtiene cuando se transmite un 0. Para determinar qué bit se transmitió, se compara la salida de cada uno de los filtros acoplados. La forma más simple de comparación es considerar la diferencia, D = Y1 – Y2. Así, cuando se transmite un 1, el valor promedio de D es µ = AcT/√2, mientras que si se transmite un 0, el valor promedio de D es µ = – AcT/√2. La regla de decisión obvia es escoger 1 si D es mayor que cero, y 0 de lo contrario. La variable aleatoria D contiene la diferencia de N1 y N2. Se considera que estos dos términos de ruido son variables aleatorias Gaussianas independientes. Ya que D es la diferencia entre dos variables aleatorias Gaussianas independientes, D tiene una varianza σ2 = Var(N1) + Var(N2) = 2 Var(N1). Por analogía con la PAM binaria, la probabilidad de error para FSK binaria es

Figura 12.25: Receptor BFSK coherente.

⎛µ Pe = Q⎜ ⎜σ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(12.113)

En particular, los dos filtros acoplados son Dr.-Ing. Carlos A. Medina C. / Fundamentos de Ingeniería de Comunicación / Edición no publicada

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411

412

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

En términos de la referencia SNR digital, encontramos que la energía por bit es Eb = Ac2T/2 para FSK. La varianza del ruido de la combinación de los dos términos N1 y N2 es σ2 = 2(N0T/2) = N0T = N0 (asumiendo T = 1). Entonces, el BER en términos del modelo de referencia digital es

0

10

-2

10

PbBFSK

⎛ Eb ⎞ ⎛ ⎟ = 0.5erfc⎜ Eb = Q⎜ ⎜ N ⎟ ⎜ 2N 0 ⎠ 0 ⎝ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2FSK

(12.114)

-4

10

4FSK

-6

El BER es similar al de la señalización on-off.

10

Tanto PAM on-off como FSK son forma de señalización ortogonal, mientras que las técnicas de modulación tales como PAM bipolar y BPSK son señalizaciones antípodas.

10

En general, se observa que la señalización antípoda provee una ventaja (mejora) de 10log102 = 3 dB sobre la señalización ortogonal en el desempeño del BER.

8FSK

BER

-8

-10

10

16FSK -12

10

12.10.1 FSK Multinivel -14

En un sistema M-FSK ortogonal, se tienen M símbolos usando M frecuencias mutuamente ortogonales. Un receptor coherente para dicho esquema de modulación se puede construir con M correladores, cada uno usando una de las frecuencias ortogonales con su señal de referencia (es una extensión del receptor de la Figura 12.20). La probabilidad de error de símbolo para el sistema M-FSK coherente es la probabilidad de que el ruido ocasione que la salida de uno de los M – 1 correladores correspondientes a los símbolos incorrectos sea mayor que la salida del correlador correspondiente al símbolo correcto. El cálculo directo de esta probabilidad es difícil pero su valor tiene un límite superior dado por [SHL95], ⎛ A 2T ⎞ ⎟ PsM − FSK ≤ (M − 1)Q⎜ ⎜ 2N 0 ⎟ ⎠ ⎝ (12.115) ⎛ ⎞ (M − 1) ⎛ k Eb ⎞ E b ⎟= ⎟ = (M − 1)Q⎜ k M ≥4 erfc⎜ ⎜ ⎜ 2 N0 ⎟ 2 N 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ El ruido causa que los errores de símbolo sean igualmente probables entre todos los M – 1 correladores correspondientes a símbolos incorrectos, por lo que no hay ninguna ventaja en usar codificación Gray para los bits, y la probabilidad de error de bit se puede relacionar con el error de símbolo por PbM − FSK =

M PsM − FSK 2(M − 1)

(12.116)

Ejemplo 12.6 (desempeño de M-FSK): En este ejemplo se muestra un script en MATLAB que permite obtener las curvas de desempeño de BER para M-FSK ortogonal coherente. % BER para M-FSK ortogonal coherente clear;clc EbNodB=0:12; ber=zeros(5,length(EbNodB)); M=[2,4,8,16,32];

10

32FSK

-16

10

-18

10

0

2

4

6

8

10

12

Eb/N0 [dB]

Figura 12.26: Desempeño de BER para M-FSK ortogonal coherente. Algo importante que es necesario indicar y que se puede observar en la Figura 12.26 es que el desempeño de BER para M-FSK ortogonal mejora a medida que el número de símbolos se incrementa. El costo de incrementar M es el aumento del ancho de banda necesario para transmitir las señales. Para aplicaciones de comunicación digital donde se requiere un desempeño óptimo en presencia de ruido, por ejemplo, en transmisiones de espacio profundo, M-FSK es una técnica de modulación muy efectiva.

12.10.2 M-FSK no coherente El requerimiento para estimar M fases de portadora hace que la demodulación coherente de señales M-FSK sea extremadamente compleja e impráctica, especialmente cuando el número de señales es grande. Por lo tanto es de interés considerar la detección no coherente de señales FSK. Este método para demodulación y detección no requiere conocer las fases de las portadoras. La demodulación puede realizarse usando dos correladores para cada forma de onda de señal, o en general, 2M correladores. La señal recibida se correlaciona con las funciones bases (portadoras en cuadratura para cada frecuencia ortogonal). Las 2M salidas de los correladores se muestrean al final del intervalo de señal y las 2M muestras se pasan al detector, como se ilustra en la Figura 12.27.

for l=1:length(M) for k=1:length(EbNodB) ber(l,k)= berawgn(EbNodB(k),'fsk',M(l),'coherent'); end end semilogy(EbNodB,ber);grid,xlabel('Eb/N_0 [dB]');ylabel('BER'); legend('2FSK','4FSK','8FSK','16FSK','32FSK');

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413

414

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

Para los sistemas binarios tanto banda-base como pasa-banda, el error de bit y de símbolo son idénticos ya que cada error de símbolo corresponde a un único error de bit. Sin embargo, para sistemas multinivel (M > 2), esto no es cierto. Por ejemplo, un esquema 16-ario que transporta cuatro bits por símbolo puede presentar cualquiera combinación de errores, desde 1 bit a 4 bits en error para cada símbolo decodificado incorrectamente, dependiendo del símbolo que fue erróneamente identificado. En la práctica, algunos símbolos son más probables que se detecten en error que otros, dependiendo de qué tan cerca o similar sea el símbolo detectado al símbolo correcto. Una selección cuidadosa de un patrón de bit asignado a cada símbolo puede ayudar a minimizar los errores de bit que ocurren para todos los errores de símbolo. Uno de estos patrones, ampliamente usado es la codificación Gray. Codificación Gray Este esquema de asignación de bit presenta patrones de bit en símbolos adyacentes (que son los más similares) que difieren solamente en un bit. Así, si se asume que el proceso de detección solamente cometerá errores entre símbolos que son adyacentes al símbolo correcto, se puede inferir que la probabilidad de error de bit estará dada aproximadamente por la razón de error de símbolo dividida por el número de bits k = log2M en cada símbolo, esto es, Pb ≈

Ps P = s log 2 M k

(12.119)

Por ejemplo, para PAM multinivel con codificación Gray, se tiene que la probabilidad de error de bit se aproxima a PbM − PAM ≈

Siempre que la separación entre frecuencias sucesivas sea ∆f = 1/T de forma que las señales sean ortogonales, la salida de los (2M – 1) correladores que no corresponden a la señal transmitida consistirán solamente de ruido. Dadas las 2M muestras, el detector óptimo seleccionará la señal que corresponda a la máxima de las probabilidades a posteriori de las variables aleatorias observadas. El detector óptimo no-coherente utiliza las envolventes, m = 1,2,..., M

Así, usando símbolos ortogonales con una diferencia de frecuencia entre símbolos adyacentes de al menos 1/T, la probabilidad de error de símbolo para M-FSK con demodulación no-coherente es ⎞M ⎛ 2 M ⎟ (− 1)n ⎛⎜ ⎞⎟ exp⎜ Ac T PsM,no−−FSK coherente ⎜n⎟ ⎜ n2 N 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n =2 M ⎛ kEb ⎞ ⎛ kE b ⎞ 1 n⎛M ⎞ ⎟ (− 1) ⎜⎜ ⎟⎟ exp⎜ ⎟ = exp⎜⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ M ⎝n⎠ ⎝ N 0 ⎠n = 2 ⎝ nN 0 ⎠

∑

(12.120)

Existe otra condición, cuando se asume que todos los errores de símbolo son igualmente probables, como se vio en MFSK. Si este es el caso, entonces cada símbolo está en error en un sistema M-ario con probabilidad Ps/(M – 1). Para un error de símbolo dado, con k bits por símbolo, suponga que n bits están en error. Entonces, hay ⎛k ⎞ k! ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ n ⎠ (k − n)! n!

(12.117)

para compararlas y determinar el símbolo de salida. De esta forma, las fases de las portadoras de las señales recibidas no son relevantes para el proceso de decisión. Cuando todas las M señales son igualmente probables, el detector óptimo selecciona la señal correspondiente a la máxima envolvente (o envolvente al cuadrado).

⎛ A 2T 1 = exp⎜ − c ⎜ 2N 0 M ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

La siguiente figura muestra una comparación entre la razón de error de bit y la razón de error de símbolo para 4-PAM.

Figura 12.27: Receptor no-coherente para M-FSK.

2 2 rm = rmI + rmQ ,

PsM − PAM 2 ⎛ M − 1 ⎞ ⎛⎜ ⎛ 6k ⎞ E b = ⎜ ⎟ ⎟Q ⎜ k ⎝ M ⎠ ⎜ ⎝ M 2 −1⎠ N0 log 2 M ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

formas en que esto puede pasar, lo cual resulta en que la razón del número promedio de errores de bit por error de símbolo de k-bits al número de bits por símbolo está dada por Pb =

1 n

n

⎛ n ⎞ Ps

2 n−1

∑ k ⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠ M − 1 = M − 1 P k =1

s

=

M Ps 2(M − 1)

(12.121)

Cuando M es grande, este resultado se aproxima a Ps/2.

(12.118)

∑

12.11 Razón de Error de Bit vs Razón de Error de Símbolo Para casi todos los esquemas de señalización hemos derivado la probabilidad de error de símbolo, sin embargo, en la práctica el usuario está más interesado en la probabilidad de error de bit para los enlaces de comunicación.

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10

415

4-PAM

0

416

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización PAM bipolar

BPSK DPSK

10

QPSK, OQPSK, MSK

-1

SER

10

10

BFSKcoherente

BER

-2

BFSKno-coherente

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ E 0.5 exp⎜⎜ − b ⎝ N0 ⎛ 2 Eb ⎞ ⎟ ⎜ Q ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ Eb ⎞ ⎟ Q⎜ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝ ⎛ E 1 exp⎜⎜ − b 2 ⎝ 2N 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

-3

0

2

4 6 Eb/No [dB]

8

10

Figura 12.28: Razón de error de bit y razón de error de símbolo para 4-PAM.

12.12 Comparación de Desempeño y Límite de Shannon En esta sección se presenta, primero, un resumen del desempeño de BER de los distintos esquemas de modulación estudiados previamente, y luego se incluye una comparación de los distintos tipos de señalización con respecto al límite de Shannon para un canal AWGN.

Tabla 12.2: Razón de error de símbolo para diferentes esquemas de modulación digital. Modulación/Demodulación Banda-base Pasa-banda

M-PAM

M-ASK

12.12.1 Resumen de Desempeño A continuación, en la Tabla 12.1 se resumen las expresiones para el desempeño de razón de error de bit para varias estrategias de modulación/demodulación, obtenidas en las secciones anteriores. Se asume detección coherente a menos que se indique lo contrario. El parámetro k = log2M es el número de bits por símbolo en la dimensión en-fase o en-cuadratura de un sistema M-ario. Se asume codificación Gray para el mapeo de los grupos de bits a los símbolos. En la Tabla 12.2, se incluyen las expresiones para el desempeño de razón de error de símbolo de varias estrategias de modulación/demodulación, particularmente M-arias. Recuerde que las probabilidades de error de bit se pueden aproximar de las probabilidades de error de símbolo por medio de las ecuaciones (12.119) y (12.121).

QPSK M-QAM M-PSK M-FSKcoherente M-FSKno-coherente

Tabla 12.1: Razón de error de bit para diferentes esquemas de modulación digital. Modulación/Demodulación Banda-base Pasa-banda

PAM on-off

⎛ 2 Eb Q⎜ ⎜ N 0 ⎝

OOK (BASK)

Razón de Error de Bit, Pb ⎛ Eb ⎞ ⎟ Q⎜ ⎜ N ⎟ 0 ⎠ ⎝

Razón de Error de Símbolo, Ps ⎛ ⎛ M −1⎞ ⎜ 2⎜ ⎟Q ⎝ M ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎛ M − 1⎞ ⎜ 2⎜ ⎟Q ⎜ M ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 2 Eb ⎞ ⎟ 2Q⎜ ⎜ N0 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ Eb ⎜ ⎜ M −1 ⎝ N0

(

6k

2

)

⎞ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

⎛ Eb ⎜ (M − 1)(2 M − 1) ⎜⎝ N 0 3k

⎛ M − 1 ⎞ ⎛ ⎛ 3k ⎞ Eb ⎟Q⎜ ⎜ 4⎜ ⎟ ⎜ M ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝ M − 1 ⎠ N 0 ⎝

⎞ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ E π ⎞⎟ 2Q⎜ 2k b sin ⎜ N0 M ⎟⎠ ⎝ ⎛ ⎞ (M − 1)Q⎜⎜ k Eb ⎟⎟ M ≥ 4 N 0 ⎝ ⎠ ⎛ kE ⎞ M ⎛ kE ⎛M ⎞ 1 exp⎜⎜ − b ⎟⎟ (− 1)n ⎜⎜ ⎟⎟ exp⎜⎜ b M ⎝n⎠ ⎝ N 0 ⎠n =2 ⎝ nN 0

∑

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

12.12.2 ¿Qué tan cerca se está del Límite de Shannon? El límite de Shannon para la capacidad de un canal AWGN se obtiene a partir de la relación de Shannon-Harley, dada en la ecuación (1.4), que volvemos a escribir aquí por conveniencia,

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Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido S⎞ ⎛ C = W log 2 ⎜1 + ⎟ N⎠ ⎝

417

418

Manuscrito – Prohibida su reproducción o distribución sin autorización

(12.122)

donde W es el ancho de banda de la señal en Hz y S/N es la razón señal-a-ruido (SNR). De esta relación se aprecia el intercambio entre ancho de banda y razón señal-a-ruido. Vemos que para una SNR infinita, que es el caso sin ruido, la capacidad del canal es infinita para cualquier ancho de banda distinto de cedro. Sin embargo, veremos que la capacidad no puede hacerse arbitrariamente grande incrementando el ancho de banda si existe ruido. Para determinar el límite de Shannon y graficar el diagrama de Shannon para un canal AWGN, para el caso de un ancho de banda grande, es conveniente reescribir la ecuación (12.122) en función de la energía por bit, Eb, y la densidad de ruido, N0, ⎛ C E C⎞ ⎟ = log 2 ⎜⎜1 + b W N 0 W ⎟⎠ ⎝

(12.123) Figura 12.29: Desempeño de varios esquemas de modulación en el diagrama de Shannon.

y resolviendo para Eb/N0, se tiene C ⎞ Eb W ⎛⎜ W = 2 − 1⎟ ⎟ N 0 C ⎜⎝ ⎠

(12.124)

Esta expresión establece el desempeño del sistema ideal. Para el caso W >> C, C

C ⎛C ⎞ 2 W = exp⎜ ln 2 ⎟ ≈ 1 + ln 2 B ⎝B ⎠

Lo que aplicado a la ecuación (12.116) resulta en Eb ≈ ln 2 = −1.6dB N0

(12.125)

Así, para el sistema ideal, en el cual Rb = C, Eb/N0, se aproxima al límite de –1.6 dB a medida que el ancho de banda crece sin límites. En la Figura 12.29 se muestra una gráfica de Eb/N0 en dB como una función de Rb/W. Hay dos regiones de interés. La primera, en la cual Rb < C y es la región en la que se desea operar. La otra región, en cual Rb > C, no permite tener probabilidades de error pequeñas. Al graficar el desempeño de sistemas multinivel en el diagrama de Shannon se demuestra que ninguno de ellos es capaz de lograr la máxima capacidad teórica determinada por la ecuación (12.125), estando lejos en la mayoría de los casos por 4 dB o más. Para acercarse al límite de Shannon se necesita codificar los datos, de forma que sea posible detectar y corregir los errores en los datos. En el Capítulo 14 se estudian diversos métodos de codificación de canal. Observe que M-FSK permite mejorar la eficiencia de potencia del módem, pero el desempeño sin codificación está lejos del límite de desempeño ideal de –1.6 dB.

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Capítulo 12 Desempeño de los Sistemas de Comunicación Digital en Presencia de Ruido

419

12.13 Problemas Propuestos 1. Considere un sistema de comunicación digital pasa-banda que usa una frecuencia portadora de 500 kHz y una velocidad de transmisión de 100 000 b/s. a. b. c. d. e.

Dibuje la forma de onda correspondiente a la secuencia 1001011 si se usa modulación ASK. Dibuje la forma de onda correspondiente a la secuencia 1001011 si se usa modulación PSK. Dibuje la forma de onda correspondiente a la secuencia 1001011 si se usa modulación FSK. Ésta usa una desviación de frecuencia de 100 kHz. Simule los tres sistemas en MATLAB y grafique las formas de onda moduladas. Compare los resultados. Usando MATLAB grafique la densidad espectral de potencia promedio de las formas de onda ASK, PSK y FSK. Compárelas.

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420

9. Un sistema transmite pulsos binarios NRZ a una velocidad de 56 kb/s a lo largo de un cable con una atenuación de señal de 3 dB (del transmisor al receptor) y utiliza detección coherente. Si la señal se ve afectada por AWGN con N0 = 10-5 [W/Hz], ¿cuál es la mínima cantidad de potencia requerida por el transmisor para mantener una probabildad de error de bit Pb = 10–3. 10. Considere un sistema 16-PSK con probabilidad de error de símbolo PS = 10–5. Si se utiliza codificación Gray para la asignación de símbolos a bits, ¿cuánto es la probabilidad de error de bit aproximada del sistema? 11. Diseñe un sistema PSK coherente de 16 niveles. a. b. c.

2. En un sistema de comunicación digital binaria, la componente de señal a la salida de un receptor de correlación es Y = +1 ó –1 V con igual probabilidad. Si el ruido Gaussiano a la salida del correlador tiene varianza unitaria, determine la probabilidad de un error de bit. 3. Un sistema BPSK coherente usa un receptor con correlador y tiene una velocidad de 100 kb/s. La densidad espectral de potencia del ruido en el receptor es N0/2 = 9.8 × 10–6 V2 y el canal atenúa la señal transmitida por 75% (es decir, sólo el 25% de la señal transmitida llega al receptor). La amplitud de la portadora transmitida es 3.5 V y la frecuencia portadora es 900 Hz. a. b. c. d.

Determine el ancho de banda del canal requerido para transmitir la señal de forma que tenga 90% de potencia dentro de la banda. Indique las frecuencias de corte máxima y mínima aceptables del canal. Determine la potencia promedio normalizada de la señal transmitida. Determine la probabilidad de error de bit de la señal recibida. Suponga que se quiere mejorar el desempeño, aumentando la potencia de la señal transmitida. ¿Cuál es la mínima potencia promedio normalizada de la señal transmitida que producirá una probabilidad de error de bit de 10–5 o mejor?

4. Un sistema de comunicación binario bipolar con pulsos de +1 ó –1 V de duración T se ve afectado por AWGN con densidad espectral de potencia de doble lado de 10–4 W/Hz. Si el receptor usa filtro acoplado, determine la máxima razón de bit que puede usarse para transmitir con una probabilidad de error Pb ≤ 10–3. 5. Considere un sistema de comunicación con señalización binaria bipolar con si (t) = ± A [V] durante un intervalo de T segundos, con A = 10 mV, con símbolos equiprobables, y un canal AWGN con una densidad N0/2 = 10–9 [W/Hz] y una razón de transmisión de datos de 104 b/s. a. b.

Determine la probabilidad de error de este sistema. Si se incrementa la velocidad de transmisión a 105 b/s, calcule el valor de A en mV que se requiere para mantener la misma probabilidad de error que el encontrado en la parte a.

6. Un sistema de comunicación binario transmite señales si (t) (i = 1,2). La estadística de prueba del receptor Y es ai + no donde a1 = +1 y a2 = –1, y no está uniformemente distribuido, resultando en las siguientes funciones de densidad condicional ⎧0.5, − 0.1 ≤ y ≤ 1.9 f (Y s1 ) = ⎨ ⎩ 0, de lo contrario

d.

¿Cuáles son las fases para los 16 símbolos? ¿Cuántos correladores se requieren, y cuáles son sus ángulos de referencia? Suponga que se transmite a 800 kb/s. ¿Cuál es el ancho de banda de la señal transmitida (90% de potencia dentro de la banda)? Suponga que el canal produce una atenuación tal que sólo el 15% de la potencia de la señal transmitida llega al receptor. La PSD de doble lado del ruido es 10–6 V2. Si el sistema require una razón de error de símbolo de 10–5, ¿cuál es la mínima potencia del a señal transmitida que se requiere?

12. Se requiere una probabilidad de error de bit PB = 10–3 para un sistema con una razón de transmisión de 100 kb/s en un canal AWGN utilizando modulación M-PSK coherente. El ancho de banda del sistema es 50 kHz. Asuma que la función de transferencia en frecuencia del sistema es un coseno elevado con un factor de caída de 1 y que se utiliza codificación Gray para la asignación de símbolos a bits. a. b.

Determine el número de símbolos M en la constelación. Calcule la razón Es/N0 requerida para la PB especificada.

13. Si el criterio de desempeño más importante de un sistema es la probabilidad de error de bit, ¿cuál de los siguientes esquemas de modulación resulta mejor para un canal AWGN? Sustente su respuesta con cálculos. FSK ortogonal coherente con Eb/N0 = 12 dB PSK binaria coherente con Eb/N0 = 8 dB 14. Un sistema con una razón de datos de 100 kb/s en AWGN requiere una Pb = 10–3 usando M-PSK coherente. El ancho de banda del sistema es 50 kHz. Si la respuesta en frecuencia del sistema es un coseno elevado con un factor de caída de 1 y se usa codificación Gray para la asignación de bits por símbolo, ¿qué Es/N0 se requiere para la Pb especificada? 15. Considere un sistema QPSK que transmite la secuencia de datos 1101010010, a 25 kb/s. a. b.

Use MATLAB para simular el sistema y graficar las formas de onda de salida, asumiendo que la amplitud de la señal transmitida tiene una amplitud de 2.5 V. Si el canal atenúa la señal de forma que sólo el 25% de su amplitud llega al receptor, y la PSD de doble lado del ruido en el receptor es 10–7 V2, determine la probabilidad de error de símbolo para las formas de onda transmitidas.

⎧0.5, − 1.9 ≤ y ≤ 0.1 f (Y s2 ) = ⎨ ⎩ 0, de lo contrario

7. Si se utiliza un umbral de decisión óptimo, determine la probabilidad de error Pe para el caso de señales equiprobables. 8. Determine la salida de un filtro acoplado, durante el intervalo (0,T), a una forma de onda s(t) dada por ⎧⎪e −t , 0≤ t ≤T s (t ) = ⎨ ⎪⎩ 0, de lo contrario

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