Capitulo 6, Demanda

Capítulo 6 Demanda

Propiedades de las Funciones de Demanda ◆

Estática comparativa el estudio de cómo cambia la demanda ordinaria de x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m) cuando cambian los precios y el ingreso.

Cambios en el precio ¿Cómo cambia x1*(p1,p2,m) cuando p1 cambian, manteniendo p2 y m constantes? ◆ Supongamos que p1 se incrementa, de p1’ a p1’’ y luego a p1’’’. ◆

x2

p2 y m permanecen constantes

p1x1 + p2x2 = m p1 = p1’

x1

x2

p2 y m permanecen constantes

p1x1 + p2x2 = m p1 = p1’

p1= p1’’ x1

x2

p2 y m permanecen constantes

p1x1 + p2x2 = m p1 = p1’

p1= p1’’’

p1= p1’’ x1

x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’

x1

x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’

x1*(p1’)

x1

p1 x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’ p1’ x1*(p1’)

x1*(p1’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’’ p1’ x1*(p1’)

x1*(p1’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’’ p1’ x1*(p1’)

x1*(p1’) x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes

p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’) x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’’) x1*(p1’) x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes

p1 = p1’’’ p1’’ p1’ x1*(p1’) x1*(p1’’)

x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes p

1’’’

p1’’ p1’ x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes p

Curva de demanda ordinaria para el bien 1

1’’’

p1’’ p1’ x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes p

Curva de demanda ordinaria para el bien 1

1’’’

p1’’ p1’ x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x1

x 1*

p1 x2

p2 y m permanecen constantes p

Curva de oferta precio para p1

Curva de demanda ordinaria para el bien 1

1’’’

p1’’ p1’ x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’) x1*(p1’’’)

x1*(p1’)

x1*(p1’’)

x1

x 1*

Cambios en el precio La curva que contiene todas las canastas que maximizan la utilidad cuando cambia el precio p1 ccon p2 y m constantes, es la curva oferta precio. ◆ El gráfico de las coordenadas de x1 y su precio p1 es la curva de demanda ordinaria del bien 1. ◆

◆

¿Cómo se presenta la curva de oferta precio para las preferencias Cobb-Douglas?

◆

Tomemos: a b U( x1 , x 2 ) = x1 x 2 .

entonces las funciones de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son:

a m x ( p1 , p2 , m) = × a + b p1 * 1

y

b m x ( p1 , p2 , m) = × . a + b p2 * 2

Observe que x2* no varía cuando cambia p1 Entonces la curva oferta precio es

plana

y la curva de demanda ordinaria para el bien 1 es

una hiperbola rectangular.

x2

p2 y m permanecen constantes

bm x = ( a + b ) p2 * 2

x1*(p1’’’) x* = 1

x am 1*(p1’)

(a + b) p1

x1*(p1’’)

x1

p1 x2

Curva de demanda ordinaria para el bien 1 es

p2 y m permanecen constantes

am x = (a + b) p1 * 1

bm x = ( a + b ) p2 * 2

x 1*

x1*(p1’’’) x* = 1

x am 1*(p1’)

(a + b) p1

x1*(p1’’)

x1

◆¿Cómo

se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes complementarios perfectos?

U ( x1 , x2 ) = mín{ x1 , x2 }. en consecuencia, las funciones de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son:

m x ( p1 , p2 , m) = x ( p1 , p2 , m) = . p1 + p2 * 1

* 2

m x ( p1 , p2 , m) = x ( p1 , p2 , m) = . p1 + p2 * 1

* 2

Con p2 y m fijos, un p1 mayor provoca un menor x1* y un menor x2*.

m p1 →0,x = x → . p2 * 1

* 2

p1 → ∞ ,

* * x1 = x 2 → 0 .

p2 y m permanecen constantes

x2

x1

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’

m/p2

p1’ m x = ' p 1 + p2 * 2

m x = ' p 1 + p2 * 1

m x = ' p 1 + p2 * 1

x1

x 1*

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’’

y/p2

p1’’ p1’

x2* =

m p ''1 + p2

x1* =

x1* =

m p ''1 + p2

x1

m p ''1 + p2

x 1*

p1 p2 y m permanecen constantes p

x2

p1 = p1’’’

y/p2

1’’’

p1’’ p1’

x2* =

m p '''1 + p2

x1* =

x1* =

m p '''1 + p2

x1

m p '''1 + p2

x 1*

p1 p2 y m permanecen constantes p

1’’’

x2 p1’’

y/p2

La curva de demanda ordinaria para el bien 1 es

m x = . p1 + p2 * 1

p1’

m x = p1 + p2 * 2

m p2

x1* =

m p1 + p2

x1

x 1*

◆¿Cómo

se presenta la curva de oferta precio para una función de utilidad de bienes sustitutos perfectos?

U( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 . entonces, la curva de demanda ordinaria para los bienes 1 y 2 son

 0,si p1 > p2 x ( p1 , p2 , m) =   m / p1,si p1 < p2 * 1

y

 0,si p1 < p2 x ( p1 , p2 , m) =   m / p2 ,si p1 > p2 . * 2

p2 y m permanecen constantes

x2

x*2 = 0

p1 = p1’ < p2

x1* =

m p1

’

x1

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’ < p2 p1’ x1* =

x*2 = 0

x1* =

m p '1

x1

m p '1

x 1*

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’’ = p2 p1’

x 1*

x1

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’’ = p2 p1’

x 1*

x1

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’’ = p2

m x = p2 * 2

p1’

      * x2 = 0     * x*1 = 0

m x1 = '' p1

x 1*

x1

p1 p2 y m permanecen constantes

x2

p1 = p1’’ = p2

p2 = p1’’

m x = p2 * 2

p1’

      * x2 = 0          * x*1 = 0

x1 =

  m 0≤x ≤ p2 * 1

m p2

x1

x 1*

p1 p2 y m permanecen constantes p

1’’’

x2 p2 = p1’’ m x = p2 * 2

p1’

x*1 = 0 x*1 = 0

x1

x 1*

p1 p2 y m permanecen constantes p

Curva demanda ordinaria para el bien 1

1’’’

m x = p1 * 1

x2

m p2

Curva p 2 oferta precio para el bien 1

= p1’’ p1’

    

m 0≤x ≤ p2 * 1

x1

x 1*

Nos preguntamos con frecuencia “dado el precio del bien 1, ¿cuál es la cantidad demandada del bien 1? ◆ Pero también nos podemos hacer la pregunta a la inversa :“¿A qué precio será demandada una cierta cantidad del bien 1?” ◆

p1

Dado p1’, ¿qué cantidad es demandada del bien 1?

p1’

x1*

p1

Respuesta: x1’ unidades.

p1’

x1’

x1*

p1

La pregunta inversa es: dados x1’ unidades demandadas del bien 1, ¿cuál es su precio?

x1’

x1*

p1

respuesta: p1’

p1’

x1’

x1*

◆

Tomando la cantidad demanda como dada y preguntando cuál debe ser el precio, describimos la función inversa de demanda de un bien.

Un ejemplo con preferencias Cobb-Douglas:

am x = ( a +b) p1 * 1

es la función de demanda ordinaria y

am p1 = * ( a + b) x1 es la función inversa de demanda

Ejemplo de complementos perfectos

m x = p1 + p2 * 1

es la función de demanda ordinaria y

m p1 = * − p2 x1 es la función inversa de demanda

Cambios en el ingreso ◆

¿Cómo cambia el valor de x1*(p1,p2,m) cuanda cambia m, manteniendo constantes los precios p1 y p2?

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso

x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

◆

La gráfica de la cantidad demandada versus el ingreso se conoce como Curva de Engel.

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso

x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso m

x2’’’ x2’’ x2’

m’’’ m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

x1’ x1’’’ x1* x1’’

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’ Curva Oferta ingreso m

x2’’’ x2’’ x2’

CurvaEngel

m’’’ m’’ m’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

x1’ x1’’’ x1* x1’’

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ <

m m’’’ m’’ m’’’ m’

Curva Oferta ingreso

x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

x2’ x2’’’ x2’’

x2*

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ <

m m’’’ m’’ m’’’ m’

Curva Oferta ingreso

x2’’’ x2’’ x2’ x1’ x1’’’ x1’’

Curva Engel

x1

x2’ x2’’’ x2’’

x2*

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ <

m m’’’ m’’ m’’’ m’

Curva Oferta ingreso m

x2’’’ x2’’ x2’

m’’’ m’’ m’

x1’ x1’’’ x1’’

Curva Engel

x1

x2’ x2’’’ x2’’

x2* Curva Engel

x1’ x1’’’ x1* x1’’

Cambios en el Ingreso y preferencias Cobb-Douglas ◆

Un ejemplo de cálculo de las ecuaciones de Engel para las preferencias Cobb-Douglas.

◆

a b U( x1 , x 2 ) = x1 x 2 .

◆ ◆ ◆

Las ecuaciones de demanda ordinaria son

am bm * x = ;x 2 = . ( a + b) p1 ( a + b) p2 * 1

Reordenando y despejando m:

(a + b) p1 * m= x1 a ( a + b) p2 * m= x2 b

Curva Engel para el bien 1

Curva Engel para el bien 2

m

m

(a + b) p1 * m= x1 a

Curva Engel para el bien 1

x1 * ( a + b) p2 * m= x2 b

x2*

Curva Engel para el bien 2

Cambios en el ingreso y preferencias de bienes complementarios perfectos ◆

◆ ◆ ◆ ◆

Otro ejemplo para estimar las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de bienes complementarios perfectos.

U ( x1 , x2 ) = mín{ x1 , x2 }. Las ecuaciones de demanda ordinaria son

m x =x = . p1 + p2 * 1

* 2

m x =x = . p1 + p2 * 1

* 2

Reordenando y despejando m:

m = ( p1 + p2 ) x

* Curva Engel para el bien 1 1

m = ( p1 + p2 ) x

* 2

Curva Engel para el bien 2

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

x2’’’ x2’’ x2 ’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’ m

x2’’’ x2’’ x2 ’

m’’’ m’’ m’

x1’ x1’’’ x1’’

x1

Curva Engel

x1’ x1’’’ x1’’

x1*

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

m

Curva Engel

m’’’ m’’ m’

x2’ x2’’’ x2’’

x2’’’ x2’’ x2 ’ x1’ x1’’’ x1’’

x1

x2*

Manteniendo fijos p1 y p2.

x2

m’ < m’’ < m’’’

m m’’’ m’’ m’ m

x2’’’ x2’’ x2 ’

Curva Engel

m’’’

x2’ x2’’’ x2* x2’’ Curva Engel

m’’ m’

x1’ x1’’’ x1’’

x1

x1’ x1’’’ x1’’

x1*

Manteniendo fijos p1 y p2.

m = ( p1 + p2 ) x

m

Curva Engel

m’’’ m’’ m’

* 2

m

m = ( p1 + p2 ) x

* 1

m’’’

x2’ x2’’’ x2* x2’’ Curva Engel

m’’ m’

x1’ x1’’’ x1’’

x1*

Cambios en el ingreso y preferencias de bienes sustitutos perfectos ◆

Otro ejemplo para la estimación de las ecuaciones de las curvas de Engel; el caso de sustitutos perfectos.

◆

U( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 .

◆ ◆

Las ecuaciones de demanda ordinaria son

0 , si p > p  1 2 * x1 ( p1 , p2 , m) =  m / p1, si p1 < p2

0, sip1 < p2 x ( p1 , p2 , m) =  m / p2 , si p1 > p2 . * 2

Supongamos que p1 < p2. Entonces

m x = p1 * 1

y

* x2 = 0

m= px

* 1 1

y

* x 2 = 0.

y

y

x*2 = 0.

m=px

* 1 1

x1 * Curva Engel

0

x2*

Curva Engel

Cambios en el ingreso En los ejemplos que hemos visto, la curva de Engel se ha presentado como una función lineal. pregunta: ¿Es siempre así? ◆ respuesta: No. Las curvas de Engel son líneas rectas si las preferencias de los consumidores son homotéticas. ◆

Homoticidad ◆

Las preferencias del consumidor son homotéticas si y solo si

(x1,x2)

p

(y1,y2) ⇔ (kx1,kx2)

p

(ky1,ky2)

para k > 0. ◆ Es decir, la TMgS del consumidor es la misma en cualquier punto sobre la línea recta desde el orígen.

Efecto ingreso – un ejemplo no homotético ◆

Las preferencias cuasilineales no son homotéticas.

U( x1 , x 2 ) = f ( x1 ) + x 2 . ◆

Por ejemplo:

U( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 .

x2

Cada una de las curvas es una copia verticalmente desplazada de las otras. Cada una de las curvas intersecta ambos ejes.

x1

x2

~ x 1

x1

x2

Curva Engel

y

~ x 1

x1

~ x 1

x1*

y

x2

Curva Engel

x2*

~ x 1

x1

Curva Engel

y

x2

x2*

Curva Engel

y

~ x 1

x1

~ x 1

x1*

Efecto Ingreso Un bien para el cual la cantidad demandada se incrementa cuando el ingreso se incrementa es un bien normal. ◆ En consecuencia la curva de Engel para bienes normales, tiene pendiente positiva. ◆

Un bien para el cual la cantidad demandada disminuye cuando el ingreso se incrementa es un bien inferior. ◆ En consecuencia la curva de Engel para bienes inferiores tiene pendiente negativa. ◆

Cambios en el ingreso: bienes 1 y 2 son normales m

Curva Engel

m’’’

x2 Curva oferta ingreso

x2’’’ x2’’ x2’

m’’ m’ m m’’’

x2’ x2’’’ x2’’

x2* Curva Engel

m’’ m’

x1’ x1’’’ x1’’

x1

x1’ x1’’’ x1* x1’’

Cambios en el ingreso: el bien 2 es normal, el bien 1 es inferior x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

Curva oferta ingreso

x1

x2

m Curva Engel

x1

x1*

x2

m Curva Engel

m

x2* Curva Engel

x1

x1*

Bienes ordinarios ◆

Un bien es un bien ordinario si su cantidad demandada siempre se incrementa cuando su precio disminuye.

Bienes ordinarios x2

Manteniendo fijos p2 y m

x1

x2

Manteniendo fijos p2 y m

Curva oferta precio

x1

x2

Manteniendo fijos p2 y m

p1

⇔

Curva oferta precio

Curva demanda pendiente negativa

El bien 1 es ordinario

x1* x1

Bienes Giffen ◆

Si, para algunos valores del precio, la cantidad demandada de un bien se incrementa cuando su precio se incrementa, entonces el bien es un bien Giffen.

x2

Manteniendo fijos p2 y m

x1

x2

Manteniendo fijos p2 y m

Curva oferta precio

x1

x2

Manteniendo fijos p2 y m

p1

⇔

Curva oferta precio

La curva de demanda tiene un tramo con pendiente positiva.

El bien 1 es un bienGiffen

x1* x1

Efecto precio cruzado ◆

Si un incremento en p2 – incrementa la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un sustituto bruto del bien 2. – disminuye la demanda del bien 1, entonces el bien 1 es un complemento bruto del bien 2.

Ejemplo de complementos perfectos:

m x = p1 + p2 * ∂ x1 m =− < 0. 2 ∂ p2 ( p1 + p2 ) * 1

entonces

En consecuencia, el bien 2 es Complemento bruto del bien 1.

p1 p1’’’

Se incrementa el precio del Bien 2 de p2’ a p2’’ y

p1’’ p1’

y p 2’

x 1*

p1

La curva de demanda del bien 1 se desplaza hacia adentro-- el bien 2 es un complemento bruto del bien 1.

p1’’’ p1’’ p1’

y p 2’’

x 1*

Un ejemplo con preferencias A Cobb- Douglas:

bm x = ( a +b) p2 * 2

así

∂ x*2 = 0. ∂ p1 En consecuencia, el bien 1 no es Complemento ni sustituto bruto del Bien 2.