Chamoa 3d Modelisation Chargements

Chamoa_3D - Modélisation et Chargements CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’ Art Janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Collection « Les Outils »

2/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

CHAMOA_3D - Modélisation et Chargements CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’Art Calcul des ouvrages de type Pipo/ Picf/ Psida/ Psidp

Collec tion les o u t i l s

Document édité par le Céréma dans la collection « les outils ». Cette collection regroupe les guides, logiciels, supports pédagogique, catalogue, données documentaires et annuaires.

Collection « Les Outils »

3/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Collection « Les Outils »

4/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Collection « Les Outils »

5/57

24 janvier 2014

La CHaîne Algorithmique Modulaire Ouvrages d’Art (Chamoa) a été développée sous le pilotage du Céréma par : Jean GUAL Philippe LEVEQUE Marie Aurélie CHANUT Claude SIMON Florent BACCHUS Florent BOURHIS Nicolas VIGNEAUD Angel-Luis MILLAN Gaël BONDONET

L'application est désignée sous le sigle "CHAMOA" pour Chaîne Algorithmique Modulaire de calcul des Ouvrages d'Art. Ce nom et ce sigle ont été déposés à l'Institut National de la Propriété industrielle dans les classes suivantes : 9 : logiciels (programmes enregistrés) 42 : programmation pour ordinateur. Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle de cette documentation et/ou du logiciel, faite sans le consentement du Ministère de l'Écologie, de l’Énergie, du Développement Durable et de l'Aménagement du Territoire est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40).

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Collection « Les Outils »

8/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

SOMMAIRE SOMMAIRE..............................................................................................................................................9 Chapitre I - Modélisation des ouvrages...................................................................................................10 Chapitre II - Calcul des charges..............................................................................................................32

Collection « Les Outils »

9/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Chapitre I - Modélisation des ouvrages I.1 - Principes généraux de modélisation Les calculs mettent en oeuvre la méthode des éléments finis et le logiciel utilisé est le code Aster d’EDF. Tous les éléments de l'ouvrage sont modélisés sous la forme de structures minces avec prise en compte du cisaillement transversal. Aucune zone ne fait l'objet d'un modèle massif de type milieu continu. On utilise ainsi des éléments finis de structures : – éléments de poutres tridimensionnels pour les éléments d'ouvrage linéiques (pieu/barrette), – éléments de plaques épaisse pour les éléments d'ouvrage surfaciques. Les liaisons externes de type sol sont modélisées à l'aide d'éléments finis « discrets » c'est à dire des éléments sans géométrie auxquels on affecte directement des matrices de rigidité : – éléments discrets nodaux pour le sol latéral des pieux/barrettes, – éléments discrets linéiques pour le sol sous semelle/radier et pour les appuis aux extrémités des dalles de transition. La matrice de rigidité affectée à ces éléments correspond aux degrés de liberté en translation et éventuellement - cas des semelles uniquement - en rotation. Les liaisons externes de type appareil d'appui sous dalle sont modélisées sous la forme d'éléments de poutre verticaux - un élément par appareil d'appui - de hauteur très petite dont le nœud inférieur est bloqué et le nœud supérieur est connecté à une zone surfacique du maillage de la dalle par une technique spécifique ayant vocation à réduire l'effet de pic sur les efforts dans la dalle au voisinage de la connexion. Les liaisons internes entre éléments d'ouvrage sont modélisées en imposant des relations linéaires entre les degrés de libertés de nœuds voisins appartenant à des éléments d'ouvrage distincts à connecter. En pratique, ces relations représentent : – soit des liaisons de solide rigide telles que des liaisons piédroit/traverse, piédroit/semelle, piédroit/radier, semelle/pieus, semelle/barrettes, corbeau/traverse ; – soit une liaison articulation telle que la liaison dalle de transition/corbeau. La surface moyenne des éléments d'ouvrage surfaciques présente toujours une forme trapézoïdale dont la direction des bases est dite longitudinale qui permet d'en réaliser le maillage sous la forme d'une grille. Cette grille n'est pas uniforme et présente des resserrements dans certaines zones spécifiques de l'élément d'ouvrage :abouts de dalle, lignes d'appui, bords libres, naissances de goussets,... En dehors de ces zones spécifiques, la grille présente une forme régulière dont la taille caractéristique - côté d'une maille - est paramétrée en fonction d'une épaisseur de référence de l'élément d'ouvrage : épaisseur de la nervure pour une dalle. Par exemple, on peut rechercher des mailles de côté égal à ½ fois l'épaisseur de référence. Le plan de maillage correspond en général au plan moyen des éléments d'ouvrage. Il y a cependant des cas particuliers : – lorsque l'épaisseur de l'élément varie, le plan de maillage correspond à celui de la zone « principale » de l'élément : Collection « Les Outils »

10/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

o

nervure d'une dalle

o

nervure de la partie centrale (entre les goussets) d'une traverse

– dans le cas d'un élément semelle :semelle superficielle ou semelle de pieux/barrettes ou radier, le plan de maillage correspond à la face inférieure de l'élément qui est la zone de contact sol / structure. Dans tous les cas, sauf pour le cas marginal de l'élément semelle de pieux/barrettes, lorsque le plan de maillage d'un élément ne correspond pas au plan moyen d'une zone de l'élément, les éléments finis associés à cette zone sont munis d'un excentrement correspondant à l'écart plan moyen/plan de maillage.

I.2 - Prise en compte des liaisons Au sens de Chamoa_3D, un ouvrage est composé : – d'éléments d'ouvrage : dalle, traverse, piédroit, ddt, semelle superficielle, radier, pieu, barrette, semelle pieu, semelle barrette, – d'un élément de fixation :corbeau, – de liaisons explicites : sol/semelle superficielle, sol/radier, sol latéral/pieu, sol latéral/barrette, sol/pied pieu , sol/pied barrette, ddt/corbeau, – de liaisons implicites : traverse/piédroit, piédroit/semelle, piédroit/radier, semelle pieu/pieu, semelle barrette/barrette). Les entités suivantes font l'objet d'éléments spécifiques dans le maillage : – l'élément de fixation (corbeau), associé à la traverse – la liaison explicite sol/semelle superficielle, associée à la semelle superficielle – la liaison explicite sol/radier, associée au radier Les liaisons suivantes ne font l'objet d'aucun élément spécifique dans le maillage : – la liaison explicite sol latéral/pieu, – la liaison explicite sol latéral/barrette, – la liaison explicite sol/pied pieu, – la liaison explicite sol/pied barrette, – la liaison explicite ddt/corbeau, – la liaison implicite traverse/piédroit, – la liaison implicite piédroit/semelle, – la liaison implicite piédroit/radier, – la liaison implicite semelle pieu/pieu, – la liaison implicite semelle barrette/barrette. Néanmoins, les choix de prise en compte de certaines de ces liaisons dans la modélisation Aster - i.e. les choix des opérateurs Aster à utiliser dans le fichier de commandes - génèrent des contraintes sur le maillage :

Collection « Les Outils »

11/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

– La modélisation de la liaison traverse/piédroit à l'aide de l'option LIAISON_COQUE impose la présence en vis à vis de 2 files de nœuds : 1 appartenant à la traverse, 1 appartenant au piédroit, dont les nœuds se correspondent 2 à 2. – Même chose pour les liaisons piédroit/semelle et piédroit/radier. – La modélisation de la liaison du type articulation ddt/corbeau - cas des PIPO/PICF - à l'aide de l'option LIAISON_GROUP impose la présence en vis à vis de 2 files de nœuds :1 appartenant au corbeau, 1 appartenant à la ddt, dont les nœuds se correspondent 2 à 2. Ces 2 files sont en fait confondues géométriquement. – La modélisation des liaisons sol latéral/pieu et sol latéral/barrette à l'aide d'éléments discrets nodaux : modélisation DIS_T avec des matrices de rigidité nodales K_T_D_N, impose la présence, au droit de chaque couche de sol, d'un nombre suffisant de nœuds dans le maillage du pieu afin de rendre compte au mieux de la présence du sol.

I.3 - Règle générale de maillage des éléments surfaciques Le maillage des éléments surfaciques ; dalle, traverse, piédroit, semelle superficielle, semelle pieu, semelle barrette, radier, ddt, est « régulier » au sens où les nœuds résultent d'un quadrillage constitué de lignes longitudinales toutes parallèles à l'axe de l'ouvrage et de lignes transversales de direction éventuellement variable. Le caractère variable des lignes transversales ne concerne en réalité que la dalle et la traverse. Il résulte de la nécessité de prendre en compte un biais variable d'une ligne d'appui à l'autre, ou d'un piédroit à l'autre. Ainsi, la forme la plus générale des éléments finis plans est le trapèze de bases parallèles à l'axe de l'ouvrage. Hormis certaines zones spécifiques bénéficiant d'un affinage, la finesse recherchée du maillage est telle que les côtés des mailles présentent une fraction de l’épaisseur de la dalle. Les valeurs les plus courantes sont ½, 1 ou 2 fois l’épaisseur de la dalle selon la finesse recherchée .

I.4 - Elément dalle Le bombement transversal de la dalle n'est pas pris en compte dans le maillage : celui-ci est intégré au chargement poids propre.

I.4.1 - Prise en compte des appareils d’appuis Les appareils d'appui sont modélisés de façon simplifiée sous la forme d'appuis ponctuels rigides: ils font partie du maillage sous la forme de nœuds soumis à des déplacements verticaux nuls.

Remarques : – Il est envisagé de prendre en compte l'élasticité des appuis ponctuels au lieu de les considérer rigides. – Le caractère ponctuel des appuis induit un effet de pic pour les efforts internes au droit des appuis, qui fait donc l'objet d'un écrêtage en phase de post-traitement des résultats.

Collection « Les Outils »

12/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Afin de préserver la régularité du maillage, le quadrillage comporte nécessairement des lignes longitudinales correspondant aux positions transversales distinctes des appareils d'appui. Les positions des appareils d'appui étant des données fournies par l'utilisateur, elles peuvent conduire à des configurations inadmissibles : certaines lignes longitudinales associées à ces positions peuvent être extrêmement proches les unes des autres et conduire à des tailles d'éléments finis exagérément petites. On prend alors la convention suivante : si la distance entre 2 lignes longitudinales est inférieure à 1/5 de l'épaisseur de la nervure de la dalle - les appuis sont toujours positionnés sous la nervure - on les confond en les disposant sur une ligne longitudinale moyenne.

Figure 1 –Dalle de biais constant

I.4.2 - Prise en compte des joues/encorbellements et des chanfreins Les coupes transversales des dalles sont typifiées : – dalle rectangulaire, – dalle avec encorbellements (non nécessairement symétriques), – dalle avec chanfreins (non nécessairement symétriques). Hormis pour le type « dalle rectangulaire », les coupes présentent des zones latérales spécifiques : – joue et encorbellement pour le type dalle avec encorbellement, – chanfrein pour le type dalle avec chanfrein. De façon à pouvoir traiter spécifiquement les mailles et éléments finis modélisant ces zones latérales, leurs limites transversales constituent des lignes longitudinales du maillage. La coupe transversale de chacune de ces zones latérales présente une forme de trapèze. On les transforme en rectangle « équivalent » au sens suivant : – le rectangle à la même largeur et la même section, ce qui détermine son épaisseur, – le rectangle a même inertie par rapport au plan de la surface moyenne de la nervure, ce qui détermine un excentrement par rapport à ce même plan.

Collection « Les Outils »

13/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

S, I/∆

∆

b S, I/∆

∆

h

z Figure 2 –Encorbellements

Equivalence en aire : bh=S

Equivalence en inertie :

bh3 2 bh.z = I /  12

En général, ces zones sont donc maillées : – en suivant la règle générale fixée plus haut (1/2 épaisseur), mais en considérant l'épaisseur équivalente ; on impose néanmoins un minimum de 2 files longitudinales de mailles afin d'obtenir une file de nœuds à l'intérieur de la zone ; – en les excentrant géométriquement par rapport au plan de la surface moyenne de la nervure.

Figure 3 : Dalle avec encorbellement

Collection « Les Outils »

14/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Figure 4 :Dalle avec chanfrein

Dans le cas du type dalle avec chanfreins, lorsque la largeur du chanfrein est faible, on applique une disposition particulière, notamment afin de prendre en compte les phénomènes de bords libres. La mise en oeuvre des excentrements se fait de la façon suivante : – au niveau du maillage : au droit du « saut » géométrique, on a 2 files de nœuds dont les projections sur le plan moyen de la nervure sont confondues – au niveau de la modélisation Aster, on utilise l'opérateur LIAISON_GROUP permettant d'introduire une relation de solide rigide pour chaque couple de nœuds en vis à vis, en invoquant les 2 files de nœuds précédentes.

Remarques : – L'utilisation de mailles non excentrées géométriquement, auxquelles on applique une formulation de plaque excentrée est possible dans Aster mais : o

cette possibilité n'existe que pour les éléments DST mais pas pour COQUE_3D,

o

la formulation de l'élément DST excentré est lourde (couplage membrane/flexion) ce qui complexifie les calculs d'efforts ou de chargements générateurs des SI de façon significative.

– les relations de solide rigide peuvent aussi être introduites en créant des mailles spécifiques auxquelles on applique l'opérateur AFFE_CHAR_MECA / LIAISON_SOLIDE.

I.4.3 - Prise en compte des phénomènes de bords libres Certains efforts de plaque tels que l’effort tranchant, moment de torsion peuvent présenter de fortes valeurs au voisinage des bords libres de la dalle sur une zone s'étendant sur une longueur d'environ 1 à 2 épaisseurs de dalle. Afin de rendre compte au mieux de ce phénomène, on peut convenir d'affiner le maillage de la dalle au droit de ces zones : compte-tenu de la « régularité » du maillage, cet affinage revient à densifier progressivement les lignes longitudinales à l'approche des bords libres. La nécessité d'affiner ou pas le maillage au voisinage des bords libres se discute suivant le type de la coupe transversale de la dalle. Pour le type dalle rectangulaire, on procède à un affinage. Pour le type dalle avec encorbellements, il ne paraît pas utile de procéder à un affinage, le passage de la matière au vide s'effectuant progressivement. Pour le type dalle avec chanfreins, on prend la convention suivante : – si la largeur du chanfrein est « petite » (D ≤ E-H), on assimile le type de coupe transversale au type « dalle rectangulaire » : o

on considère que la nervure s'étend jusqu'à l'extrémité du chanfrein (mais on fait l'ajustement nécessaire au niveau du chargement de poids propre)

o

on affine le maillage au voisinage du bord libre

– sinon, on n'affine pas le maillage.

Collection « Les Outils »

15/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

H

E

D E

Figure 5 :Traverse avec chanfrein étroit

On convient de réaliser l'affinage transversal du maillage sur une largeur de l’ordre de l’épaisseur. La règle d'affinage suivante est appliquée : on crée 4 files longitudinales de mailles de largeurs successives (en fraction de l'épaisseur de nervure) : 4/10, 3/10, 2/10, 1/10.

I.4.4 - Conséquences sur le maillage des autres éléments Dans le cas des PSID, le corbeau n'est pas modélisé car la culée n'est pas modélisée. Par suite, le maillage de la dalle de transition est indépendant de celui de la dalle.

I.4.5 - Sous ensembles du maillage Certains sous-ensembles du maillage font l'objet de groupes de mailles GM et/ou de groupes de nœuds GN. Ces regroupements permettent d'invoquer simplement (par le numéro du GM ou du GN) ces sous-ensembles dans le fichier de commandes Aster. On prévoit les groupes suivants : – GM de toute la dalle – GM des joues – GM des encorbellements – GM des chanfreins – GM de la nervure – GN de toute la dalle – GN de la liaison nervure/joue – GN de la liaison joue/nervure – Gnde la liaison joue/encorbellement – GN de la liaison encorbellement/joue – GN de la liaison nervure/chanfrein – GN de la liaison chanfrein/nervure – GN de tous les appuis – GN des lignes d'appui – GN des appuis.

Collection « Les Outils »

16/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

I.5 - Elément traverse Le bombement transversal de la traverse n'est pas pris en compte dans le maillage : celui-ci est intégré au chargement poids propre. Le dévers transversal de la traverse est négligé

I.5.1 - Prise en compte des chanfreins Les coupes transversales des traverses sont typifiées : – dalle rectangulaire – dalle avec chanfreins (non nécessairement symétriques) – Les chanfreins sont toujours modérés (D ≤ E-H cf. §4.1.3.3). Remarque : Seule la zone centrale de la traverse (nervure) s'épaissit à l'approche des piédroits (goussets). La face latérale correspondant à l'épaississement de la nervure peut être soit verticale soit inclinée en prolongeant l'inclinaison des chanfreins. Par suite, l'ajustement de poids propre à effectuer doit prendre en compte cette spécificité. On applique les principes donnés dans le cas de l'élément Dalle pour les types correspondants.

I.5.2 - Prise en compte des goussets et des piédroits Longitudinalement, on considère que la traverse comporte 3 zones : – zone courante, – zone des goussets, – zone des piédroits. On adopte les conventions suivantes : – la totalité de la surface en plan de la traverse est maillée, c'est à dire entre les nus arrière des 2 piédroits, ce qui facilite la mise en oeuvre des charges sur le tablier. – la zone de gousset est considérée comme une plaque d'épaisseur constante : moyenne des épaisseurs réelles aux sections extrémités du gousset. – la zone de piédroit est considérée comme une plaque d'épaisseur constante : l'épaisseur du gousset à sa section d'encastrement sur le piédroit. – les 3 zones sont maillées dans le même plan, celui de la surface moyenne de la zone courante. On néglige donc l'effet de voûte apporté par l'inclinaison de la surface moyenne réelle du gousset. Longitudinalement, les principes de maillage sont les suivants : – la zone de piédroit comporte 2 files transversale de mailles de façon à faire apparaître une file transversale (centrale) de nœuds positionnée dans le plan de la surface moyenne du piédroit. – la zone de gousset se divise longitudinalement en 2 zones symétriques. Chacune de ces 2 zones est constituée d'un maillage s'affinant aux approches respectives de la section d'encastrement avec le piédroit et de la section de naissance du gousset : ce Collection « Les Outils »

17/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

maillage comporte 3 files transversales de mailles de largeur (en fraction de l'épaisseur équivalente du gousset) : 3/6, 2/6, 1/6. – la zone courante comporte à chacune de ses extrémités une zone de longueur 1 épaisseur, constituée d'un maillage s'affinant à l'approche de la section de naissance du gousset : ce maillage comporte 3 files transversales de mailles de largeur (en fraction de l'épaisseur de la zone courante) : 3/6, 2/6, 1/6. – le reste de la zone courante respecte au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée.

Figure 6 : Maillage longitudinal d'une traverse

I.5.3 - Prise en compte des corbeaux On considère que la traverse située dans la zone de piédroit se prolonge par une zone rigide, représentant l'élément de fixation corbeau, de façon excentrée dans le plan de maillage de la traverse. Ce prolongement s'étend : – longitudinalement, du nu arrière du piédroit jusqu'à la position de l'axe de fixation de la ddt sur le corbeau ; – transversalement, sur une partie de la largeur de la traverse c’est à dire sur la largeur de la dalle de transition associée. Au niveau du maillage, ce prolongement est matérialisé simplement par une file de nœuds disposée : – au droit de l'articulation ddt/corbeau, – sur la largeur de la dalle de transition, et compatible avec la 1ère file de nœuds de la zone piédroit du maillage de la traverse (c'est à dire qu'il y a correspondance des nœuds 2 à 2), de façon à modéliser la liaison rigide à l'aide de l'option LIAISON_GROUP.

Collection « Les Outils »

18/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Figure 7 :Extension de la traverse par un corbeau (coupe longitudinale)

largeur traverse

largeur dalle de transition

corbeau Figure 8 : Extension de la traverse par un corbeau (vue en plan)

I.5.4 - Prise en compte des dalles de transition La présence ou non de dalles de transition est précisée par le profil de l'ouvrage. La largeur des dalles de transition est déterminée en fonction du profil en travers de la chaussée portée. Cette largeur peut donc être différente de celle de la traverse. Les 2 positions transversales limites de la dalle de transition imposent donc la présence de 2 lignes longitudinales dans le quadrillage de la traverse de la même manière que les appareils d'appui imposent des lignes longitudinales pour le quadrillage de la dalle. Longitudinalement, seule la zone de la dalle de transition s'étendant entre sa fixation (articulation) sur le corbeau et son extrémité simplement appuyée est maillée.

I.5.5 - Prise en compte des phénomènes de bords libres Les coupes transversales des traverses sont typifiées dans le Modèle de données de ponts types de Chamoa : – dalle rectangulaire, – dalle avec chanfreins (non nécessairement symétriques). Collection « Les Outils »

19/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

On applique les principes donnés dans le cas de l'élément Dalle pour les types correspondants.

I.5.6 - Impact sur le maillage des autres éléments Le maillage transversal de la traverse impacte le maillage transversal des éléments suivants : dalle de transition, piédroit, semelle superficielle, semelle pieu, semelle barrette, radier. En effet, comme signalé plus haut, certaines liaisons sont modélisées à l'aide des options LIAISON_COQUE (traverse/piédroit, piédroit/semelle, piédroit/radier) et LIAISON_GROUP (ddt/corbeau), ce qui conduit, au niveau du maillage, à disposer en vis à vis 2 files de nœuds (appartenant chacun à un élément d'ouvrage) dont les nœuds se correspondent 2 à 2. Parfois, ces nœuds sont géométriquement confondus. Par conséquent, le maillage transversal de la traverse se répercute sur le maillage des éléments suivants : – dalle de transition, – piédroit, – semelle superficielle, – semelle pieu, – semelle barrette, – radier.

I.5.7 - Sous ensembles du maillage On prévoit les groupes suivants : – GM de toute la traverse, – GM des chanfreins dans les zones goussets, – GM des chanfreins dans la zone courante, – GM de la nervure dans les zones goussets, – GM de la nervure dans la zone courante, – GM des zones piédroits, – GN de toute la traverse, – GN de la liaison nervure/chanfrein, – GN de la liaison chanfrein/nervure, – GN des liaisons implicites traverse/piédroit, – GN des liaisons implicites corbeau/ddt, – GN des extrémités traverse.

I.6 - Autres éléments I.6.1 - Elément dalle de transition Les dalles de transition peuvent être prises en compte, les charges d'exploitation appliquées sur l'ouvrage sont alors appliquées aux dalles de transition, celles-ci sont donc Collection « Les Outils »

20/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

dimensionnées en conséquence et le ferraillage peut être plus important que le ferraillage type des anciens dossiers pilotes qui correspondait à un dimensionnement sous charge civiles A et B. Puisque les dalles de transition sont dimensionnées en fonction du niveau de charges, il n' y a pas lieu dans ce cas de faire un calcul avec une dalle de transition fissurée, comme c'est le cas habituellement pour les culées de ponts. Les dalles de transition sont excentrées par rapport à l'axe du piédroit en tenant compte de la position d'appui de la dalle de transition sur le corbeau d'appui fixé sur le piédroit. Cela induit un moment de flexion accru en tête de piédroit et un effort de traction dans la traverse non négligeable, mais par contre diminue le moment en travée. Il n'est pas souhaitable de dimensionner la dalle de transition pour soulager la traverse. Par ailleurs, si la dalle de transition est bien appuyée ponctuellement sur un coté, elle repose sur la terre à son autre extrémité sur une certaine longueur difficile à estimer précisément. C’est pourquoi la dalle de transition a été modélisée avec une longueur réduite dans un rapport de 0,80 pour ne pas surestimer son effet et être plus proche de son comportement réel Dans le cas d'un PSID, le maillage de la dalle de transition est indépendant de celui de la dalle et respecte au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée.

Figure 9 :Dalle de transition d'un PSID

Dans le cas d'un PIPO/PICF, le maillage transversal de la dalle de transition a été décrit plus haut. Le maillage longitudinal respecte au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée.

Figure 10 :Dalle de transition d'un PIPO/PICF

Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de toute la dalle de transition, – GN de toute la dalle de transition, – Si PSID : GN des lignes d'appui simple, Collection « Les Outils »

21/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

– Si PIPO/PICF : o

GN de la ligne d'appui simple,

o

GN de la liaison implicite ddt/corbeau.

I.6.2 - Elément piédroit Le piédroit ne prend pas en compte le dévers transversal de la traverse, celui-ci étant négligé. Dans le cas d'un PICF, seule la zone de piédroit s'étendant entre les sections de naissance des goussets supérieur et inférieur est maillée. Dans le cas d'un PIPO, seule la zone de piédroit s'étendant entre la section de naissance du gousset supérieur et la face supérieure de la semelle superficielle (resp. semelle pieu) est maillée. En effet : – la zone de piédroit située au niveau du gousset supérieur est prise en compte dans le maillage de la traverse. – la zone de piédroit située au niveau du gousset inférieur est prise en compte dans le maillage du radier. – la zone de piédroit située au niveau de la semelle superficielle (resp. semelle pieu ou semelle barrette) est prise en compte dans le maillage de la semelle superficielle (resp. semelle pieu ou semelle barrette). Le maillage transversal du piédroit a été décrit plus haut. Le maillage longitudinal respecte au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée.

Collection « Les Outils »

22/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Figure 10 :Piédroits

Remarque : le maillage du piédroit est orthogonal (mailles rectangulaires) Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de tout le piédroit, – GN de la liaison implicite piédroit/traverse, – GN de la liaison implicite piédroit/semelle ou piédroit/radier.

I.6.3 - Elément semelle superficielle Le maillage transversal de la semelle superficielle a été décrit plus haut. Le maillage longitudinal comporte 3 zones : zone de talon, zone de piédroit, zone de patin. La zone de talon et la zone de patin sont maillées de façon à respecter au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée, et comporte chacune au moins 2 files transversales de mailles. La zone de piédroit est constituée de 2 files transversales de mailles de façon à introduire une file transversale (centrale) de nœuds positionnée dans le plan de la surface moyenne du piédroit. La prise en compte de la liaison avec le sol s'effectue de la façon suivante :

Collection « Les Outils »

23/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Une seule file d'éléments discrets est disposée sous la semelle au niveau de l'axe du piédroit. Ainsi, la modélisation complète de la semelle n'est utile que pour la modélisation de charges de type poids des terres ou autres. Les éléments discrets utilisés possèdent des degrés de liberté en translation et en rotation.

– Figure 11 :Semelle superficielle

Remarque : le maillage de la semelle superficielle orthogonal (mailles rectangulaires). La matrice de rigidité affectée à ces éléments prend en compte l'excentrement possible entre l'axe de la semelle et l'axe du piédroit :

Figure 12 : Excentrement de l'axe de la semelle par rapport à l'axe du piédroit

Dans le repère ci-dessus, la matrice de rigidité à la forme suivante :

Collection « Les Outils »

24/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements



0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 kt 0 ck t 0

0 0 0 0 0 ck t 0 0 2 0 c k tk r 0 0

0 0 0 0 0 0



2

k r=k t L /12 où kt est la raideur en translation. Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de toute la semelle superficielle, – GM des ressorts (mailles 1D), – GN de toute la semelle superficielle, – GN de la liaison implicite semelle/piédroit, – GN des têtes de ressorts, – GN des pieds de ressorts.

I.6.4 - Elément semelle pieu Le maillage transversal de la semelle pieu a été décrit plus haut. Le maillage longitudinal est constitué de 2 files transversales de mailles de façon à introduire une file transversale (centrale) de nœuds positionnée dans le plan de la surface moyenne du piédroit. Les axes des pieux auxquels la semelle pieu est liée sont également dans ce plan vertical.

Figure 13 :Semelle pieu

Remarque : le maillage de la semelle pieu est orthogonal (mailles rectangulaires). Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de toute la semelle pieu, – GN de toute la semelle pieu, – GN de la liaison implicite semelle/piédroit.

I.6.5 - Elément semelle barrette Idem semelle pieu. Collection « Les Outils »

25/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de toute la semelle barrette, – GN de toute la semelle barrette, – GN de la liaison implicite semelle/piédroit.

I.6.6 - Elément radier Le maillage transversal du radier a été décrit plus haut. Le maillage longitudinal comporte 3 zones : – zone courante, – zone des goussets, – zone des piédroits. La totalité de la surface moyenne du radier est maillée (i.e. jusqu'aux nus extérieurs des piédroits). La zone de piédroit comporte 2 files transversale de mailles de façon à faire apparaître une file transversale (centrale) de nœuds positionnée dans le plan de la surface moyenne du piédroit. La zone de gousset est constituée d'un maillage s'affinant à l'approche de la section de naissance du gousset : ce maillage comporte 3 files transversales de mailles de largeur (en fraction de l'épaisseur équivalente du gousset) : 3/6, 2/6, 1/6. La zone courante comporte à chacune de ses extrémités une zone de longueur 1 épaisseur, constituée d'un maillage s'affinant à l'approche de la section de naissance du gousset : ce maillage comporte 3 files transversales de mailles de largeur (en fraction de l'épaisseur de la zone courante) : 3/6, 2/6, 1/6. Le reste de la zone courante respecte au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée.

Collection « Les Outils »

26/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Figure 14 :Maillage longitudinal d'un radier

Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de tout le radier, – GM des zones piédroits, – GM des zones goussets, – GM de la zone courante, – GM de l'excentrement rigide (mailles 1D), – GM des ressorts (mailles 1D), – GN de tout le radier, – GN de la liaison implicite radier/piédroit, – GN des têtes de ressorts, – GN des pieds de ressorts.

I.6.7 - Elément pieu Le pieu constitue avec la barrette le seul élément linéique d'un ouvrage. Le poids propre du pieu est négligé. Son maillage doit prendre en compte le fait qu'il peut traverser plusieurs couches de sol. On convient de « découper » chaque couche de sol traversée en tranches de longueur environ 1/2 diamètre de pieu et de disposer 1 nœud au mileu de chacune de ces tranches. De cette façon, chaque nœud d'une même couche de sol est affecté (dans la modélisation Aster, à l'aide de la formulation DIS_T, et des matrices de rigidités nodales K_T_D_N) de la même rigidité. Les matrices K_T_D_N : – ne font intervenir que les déplacements de translation (matrices diagonales 3x3), conformément à l'utilisation de la formulation DIS_T ; – ont leur composante z-z (i.e. suivant l'axe du pieu) nulle car on néglige le frottement le long du pieu ; – sont affectées directement aux différents nœuds par utilisation de l'option DISCRET de l'opérateur AFFE_CARA_ELEM.

Collection « Les Outils »

27/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

couche sol 1

couche sol 2

couche sol 3

Figure 15 :Pieu dans 3 couches de sol

Sa liaison avec la semelle pieu s'effectue à l'aide de 3 nœuds : – le nœud correspondant à la tête du pieu, – les 2 nœuds du maillage de la semelle encadrant le nœud fictif situé en vis à vis du nœud tête de pieu dans le maillage de la semelle. La liaison rigide entre le pieu et la semelle peut alors être réalisée dans la modélisation Aster à l'aide de l'opérateur LIAISON_DDL en invoquant ces 3 nœuds. Cet opérateur permet d'introduire la relation de solide rigide entre le nœud tête de pieu et le nœud fictif, en exprimant les ddl de ce dernier linéairement en fonction des ddl des 2 nœuds l'encadrant.

Collection « Les Outils »

28/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Figure 16 :Liaison semelle pieu / pieu

Le maillage d'un pieu intégrant sa liaison avec la semelle pieu, il ne peut donc être réalisé qu'une fois le maillage de la semelle pieu connu. Le nœud pied de pieu est considéré comme bloqué par un appui ponctuel rigide : on lui impose donc un déplacement vertical nul. Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de tout le pieu, – GN de tout le pieu, – pour chaque pieu, GN pour chacun des 3 nœuds de la liaison : o

GN du nœud tête de pieu,

o

GN du nœud intermédiaire 1,

o

GN du nœud intermédiaire 2,

– GN des couches de sol, – GN du pied de pieu.

I.6.8 - Elément barrette Idem pieu. Sous-ensembles du maillage (groupes de nœuds GN et groupes de mailles GM) : – GM de toute la barrette, – GN de toute la barrette, – pour chaque pieu, GN pour chacun des 3 nœuds de la liaison : o

GN du nœud fictif,

o

GN du nœud intermédiaire 1,

o

GN du nœud intermédiaire 2,

– GN des couches de sol, – GN du pied de barrette.

I.7 - Logique de maillage d'un ouvrage I.7.1 - Ordre de maillage des éléments d'ouvrage Dans le cas d'un PSID : les maillages des éléments (dalle et dalles de transition) sont indépendants. Dans le cas d'un PIPO/PICF, les maillages des différents éléments ne sont pas indépendants : – il convient de traiter en premier lieu le maillage de la traverse, – ce n'est qu'ensuite qu'on peut traiter dans un ordre quelconque le maillage des ddt et des piédroits

Collection « Les Outils »

29/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

– puis le maillage des semelles superficielles ou des semelles pieu ou des semelles barrettes, – enfin, on traite le maillage des pieux ou des barrettes. Le maillage de la dalle ou de la traverse s'effectue de façon analogue selon le principe suivant : – la surface de la traverse ou de la dalle est partitionnée en zones trapézoïdales en tenant compte des diverses contraintes signalées plus haut : o

prise en compte des positions des appareils d'appui (cas d'une dalle),

o

prise en compte des zones latérales de joues, d'encorbellement (cas d'une dalle), ou de chanfreins (cas d'une dalle ou d'une traverse),

o

prise en compte des dalles de transition (cas d'une traverse),

o

prise en compte des phénomènes de bord libre en créant une zone latérale destinée à l'affinage transversal du maillage (cas d'une dalle ou d'une traverse).

– Ensuite, chaque zone trapézoïdale est maillée en respectant au mieux la règle générale de la fraction d’épaisseur demandée, et en prenant en compte les dispositions particulières signalées dans les paragraphes précédents : affinage au voisinage des bords libres, des sections origine et extrémité des goussets.

I.7.2 - Désignation des entités du maillage Il s'agit de fixer un principe de désignation des entités du maillage (nœuds, mailles, GM, GN) qui : – apparaîtra dans le fichier de maillage Aster (où ces entités sont nommées), – permettra de les désigner dans le fichier de commandes Aster. Remarque : le nommage des entités dans le fichier de maillage Aster est distinct de la numérotation interne utilisées dans le code d'Aster.

I.7.3 - Nœuds et mailles Dans le cas des nœuds et les mailles, on envisage une numérotation pour chacun des types d'entités : – nœud Ni (nœud de numéro i), – maille Mj (maille de numéro j). On considère que le maillage d'un ouvrage est constitué d'un ensemble de « grilles » : – des grilles 2D :dalle, traverse, dalle de transition, piédroit, semelle superficielle, semelle pieu, semelle barrette, – des grilles 1D : pieu, barrette, ressort sous semelle, ressort sous radier. On peut considérer le corbeau (file de nœuds ) comme une grille 1D sans mailles. Pour chaque grille, on peut définir une indexation : – Cette indexation permet de définir une numérotation locale continue des nœuds et des mailles de la grille. Collection « Les Outils »

30/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

– Pour un modèle comportant des grilles de tailles (nœuds longitudinalement et nœuds transversalement), on obtient une numérotation globale des nœuds et des mailles de la façon suivante : à l'entité (nœud ou maille) appartenant à la grille et possédant un numéro local correspond le numéro global.

I.7.4 - Groupes de nœuds et groupes de mailles Dans le cas des groupes de nœuds et des groupes de mailles, il paraît plus adapté de les nommer « explicitement » avec les contraintes suivantes du fichier de maillage Aster pour le nommage : – 8 caractères maximum, – minuscules confondues aux majuscules. Par exemple : – pour le GM de toute la traverse : MTRA (M pour groupe de Mailles). – pour le GN de toute la traverse : NTRA (N pour groupe de Nœuds ). – pour les GN de la liaison implicite radier/piédroit : o

NRADPIEO (O pour Origine),

o

NRADPIEE (E pour extrémité).

– pour les GM de la nervure dans les zones goussets : o

MNERGOUO,

o

MNERGOUE.

I.8 - Les points d'étude Les points d’étude sont des nœuds du modèle pour les quels des justifications sont demandées. En règle générale tous les nœuds du maillage sont des points d’étude.

Collection « Les Outils »

31/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Chapitre II - Calcul des charges II.1 - Charges permanentes Toutes les charges permanentes son supposées de longue durée. Elles sont appliquées sur une structure avec des modules d’élasticité et des raideurs de sol différés.

II.1.1 - Phasage de construction Le phasage permet d’obtenir les différents états de la structure. Le phasage est défini comme une succession de phases organisées sous forme d'un arbre dont chaque nœud représente une phase. A certains noeuds (phases) correspondent des états de la structure notés Etat_structure. Pour chaque type d'ouvrage, les différents Etat_structure prévus sont les suivants :

Etat_structure

PSIDP

Mise_en_tension_1

X

Mise_en_tension_2 En_construction

X

Provisoire

X

Infini_provisoire

X

Service

X

Infini

X

Service_bis

X

Infini_bis

X

Collection « Les Outils »

32/57

PSIDA

PIPO

PICF

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Dans le cas du PSIDP, l'arbre de phasage est le suivant :

Phase .... Phase .... Phase .... Phase ... Mise_en_tension_1

Phase .... Phase .... Phase ... Mise_en_tension_2

Phase ....

Phase ....

Phase ....

Phase ... Provisoire

Phase ... Service

Phase .... Service_bis

Phase ....

Phase ....

Phase ....

Phase ... Provisoire Infini

Phase ... Infini

Phase ... Infini_bis

Etat_structure : obligatoire

Collection « Les Outils »

Etat_structure : optionnel

33/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Dans le cas du PSIDA, l'arbre de phasage est le suivant :

Phase .... Phase .... Phase ....

Phase ....

Phase ....

Phase ....

Phase ... Provisoire Infini

Phase ... Infini

Phase ... Infini_bis

Etat_structure : obligatoire

Collection « Les Outils »

Etat_structure : optionnel

34/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Dans le cas du PIPO/PICF, l'arbre de phasage est le suivant :

Phase .... Phase .... Phase .... Phase ... Construction

Phase ....

Phase ....

Phase ....

Phase ... Provisoire Infini

Phase ... Infini

Phase ... Infini_bis

État_structure : obligatoire

État_structure : optionnel

Aucun phasage, au sens de l’activation progressive d'éléments de structure, n'est mis en oeuvre par Chamoa_3D : toute la structure est activée en une seule fois. Par suite, chaque action élémentaire est appliquée sur la structure autant de fois qu'elle intervient dans un Etat_structure et les effets des actions sont obtenus par le cumul des effets des phases situées entre la racine de l'arbre et le nœud considéré. Le calcul des effets relatifs à un Etat_structure s'effectue en appliquant les différentes actions élémentaires constitutives de l'action sur une structure dont les matériaux ont les caractéristiques suivantes : – Ed(t) : module d'Young différé du béton, – Kd(t) : module de réaction différé du sol, pour le béton, on a : 1 Ed ( t ,to )

=

1 Ei ( to )

(1 + φ (t − to ))

où : t :correspond à l'âge du béton à la date de l’ Etat_structure considéré ;

Collection « Les Outils »

35/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

to :correspond soit à l'âge du béton à la 1ère mise en tension pour les PSIDP, soit à 28 jours pour les PSIDA/PIPO/PICF ; Pour le sol, on prend la valeur différée pour l’Etat_structure au temps infini, et la valeur instantanée pour les autres actions. Dans le cas du PSIDP, on prend en compte les tensions dans les câbles résultant d'un calcul de pertes par une méthode « scientifique ». Le chargement équivalent à la précontrainte initiale et aux pertes instantanées et différées : listes de densités linéiques de forces verticales, de forces horizontales et de couple, fait l'objet d'un calcul de répartition aux nœuds du maillage Aster concernés par les câbles.

II.1.2 - Poids-propre II.1.2.1 - Poids des éléments de l’ouvrage Le poids de l’ensemble des éléments de l’ouvrage est pris en compte dans les charges permanentes sauf le poids des pieux et des barrettes. Le coefficient de variabilité des différents éléments est pris en compte. Dans le cas du tablier, le poids du bombement éventuel est pris en compte.

II.1.2.2 - Poids des remblais sur profil Le poids des remblais sur le profil de circulation est appliqué sur toute la largeur de la zone concernée. Dans le cas des PIPO/PICF le coefficient de Marston est pris en compte.

II.1.2.3 - Poids des superstructures Le poids des superstructures est appliqué en prenant en compte un coefficient de variabilité moyen global.

II.1.3 - Remblais techniques Poussée En présence d'une dalle de transition et donc en l'absence de remblai sur le tablier, la poussée comporte 2 diagrammes triangulaires : – entre la cote supérieure de la traverse et la cote supérieure de la dalle de transition, – entre la cote inférieure de la dalle de transition et la cote inférieure de la semelle/radier.

Collection « Les Outils »

36/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Figure 17 :Poussée en présence de dalle de transition

En l'absence de dalle de transition, la poussée comporte un seul diagramme trapézoïdal, triangulaire en l'absence de remblai sur le tablier, situé entre la cote supérieure de la traverse et la cote inférieure de la semelle/radier.

remblais

Figure 18 :Poussée en l’absence de dalle de transition

Poids Une densité surfacique constante de forces verticales est appliquée sur le talon.

Charge uniforme sur le remblai On considère la poussée et le poids dus à une éventuelle charge uniforme sur le remblai en phase de construction seulement. En présence d'une dalle de transition et donc en l'absence de remblai sur le tablier, la poussée comporte un diagramme rectangulaire entre la cote supérieure de la traverse et la cote supérieure de la dalle de transition Collection « Les Outils »

37/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

En l'absence de dalle de transition, la poussée comporte un seul diagramme rectangulaire entre la cote supérieure de la traverse et la cote inférieure de la semelle/radier.

Figure 19 :Poussée due à une charge uniforme sur le remblais

II.1.4 - Action de l’eau Poussée On considère deux parties : – Partie s'exerçant sur le piédroit : Une densité surfacique variable (triangulaire) de forces horizontales est appliquée sur une partie du piédroit (côté extérieur et/ou intérieur). – Partie s'exerçant sur la semelle : Une densité linéique constante de force horizontale et de couple représentant la poussée est appliquée sur toute la hauteur de la semelle.

Poids Une densité surfacique constante de forces verticales est appliquée sur le patin et/ou le talon.

Collection « Les Outils »

38/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

remblais

nappe

nappe

Figure 20 : Poussée de l’eau

II.1.5 - Action de l’eau sur le remblais : déjaugeage La présence d'eau dans un sol conduit à le « déjauger », c'est à dire à réduire son poids volumique, d'où une réduction de la poussée (partie en jaune). Cette réduction est prise en compte comme une action spécifique (« négative ») de l'eau.

Partie s'exerçant sur le piédroit Une densité surfacique variable de forces horizontales est appliquée sur une partie du piédroit : côté extérieur et/ou intérieur.

Partie s'exerçant sur la semelle Une densité linéique constante de force horizontale et de couple représentant la poussée est appliquée sur toute la hauteur de la semelle.

Collection « Les Outils »

39/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

remblais

nappe

remblais

Figure 21 : Déjaugeage du sol

II.1.6 - Cas de charges unitaires Ce sont des cas de charges utilisés dans les combinaisons.

II.1.6.1 - Poids remblai talon uniforme unitaire (PIPO) C’est une densité surfacique unitaire de forces verticales sur le talon.

II.1.6.2 - Poids remblai patin uniforme unitaire (PIPO) C’est une densité surfacique unitaire de forces verticales sur le patin.

II.1.6.3 - Poussee remblai uniforme unitaire (PIPO/PICF) C’est un diagramme en « rectangle » s'appliquant sur le piédroit et la semelle :

Collection « Les Outils »

40/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Partie s'exerçant sur la traverse C’est une densité linéique constante de force horizontale représentant la résultante, sur la hauteur de la traverse.

Partie s'exerçant sur le piédroit C’est une densité surfacique unitaire de forces horizontales sur la hauteur concernée du piédroit (rappel : la modélisation du piédroit s'étend entre le nu inférieur de l'élément Traverse et le nu supérieur de l'élément Semelle).

Partie s'exerçant sur la semelle C’est une densité linéique constante de force horizontale représentant la résultante, sur la hauteur de semelle. remblais

1 Figure 22 : Poussée unitaire

II.1.6.4 - Poussée du remblai - linéaire unitaire (PIPO/PICF) Il s'agit d'un diagramme en «triangle » s'appliquant sur le piédroit et la semelle :

Partie s'exerçant sur la traverse C’est une densité linéique constante de force horizontale et de couple représentant la résultante, sur la hauteur de la traverse.

Partie s'exerçant sur le piédroit C’est une densité surfacique variable (trapézoïdale) de forces horizontales sur la hauteur concernée du piédroit (rappel : la modélisation du piédroit s'étend entre le nu inférieur de l'élément Traverse et le nu supérieur de l'élément Semelle).

Partie s'exerçant sur la semelle C’est une densité linéique constante de force horizontale et de couple représentant la résultante sur la hauteur de semelle. Collection « Les Outils »

41/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

remblais

1 Figure 23 : Poussée triangulaire unitaire

II.1.7 - Tassements unitaires d’appui ou de semelle Un tassement unitaire correspond à une dénivellation de valeur -1 selon l’axe Z global de l’ouvrage. Les tassements sont appliqués aux éléments suivants : – Ligne d'appuis d'un PSID, – Semelle superficielle d'un PIPO, – Semelle de pieux/barrettes d'un PIPO.

II.1.8 - Précontrainte Moyennant l’hypothèse d'une seule famille de câbles, les données relatives à la géométrie de la précontrainte fournies par l'utilisateur de CHAMOA se réduisent à : – un seul tracé de câble pour une position transversale donnée, – une liste d'ordonnées positionnant les différents câbles transversalement. Le tracé de câble fourni est celui d'un câble dit de référence. Il correspond à un des câbles réels, celui le plus proche de l'axe de l'ouvrage. Dans le cas des PSIDP de biais variable, le tracé du câble de référence permet, à l'aide de la listes des ordonnées des câbles réels ainsi que de la géométrie de la dalle, de déterminer le tracé des différents câbles réels La précontrainte est prise en compte dans Aster sous forme externe c'est à dire comme un chargement. Ce chargement doit prendre en compte les pertes de précontrainte : Dans Aster, il y a donc autant de chargements de précontrainte que de phases pour lesquelles on souhaite connaître l'action de la précontrainte.

Collection « Les Outils »

42/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Le calcul des pertes est effectué sur la base du tracé du câble moyen et des actions de poutre calculées sur ce câble moyen. Les effets sur chaque câble sont ensuite calculés par un une simple division par le nombre total de câbles. La méthode externe consiste pour chaque intervalle du maillage à déterminer des densités linéiques constantes de forces généralisées : forces verticales, forces horizontales, couples compatibles avec les torseurs d'efforts isostatiques déduits des pertes de précontrainte et de la tension initiale. Ensuite une répartition nodale du chargement ainsi obtenu est réalisée aux nœuds du maillage Aster concernés par le câble considéré.

II.1.9 - Retrait Le retrait est appliqué exclusivement sur la traverse ou sur la dalle.

II.2 - Charges variables fixes Toutes les charges variables sont des charges appliquées sur une structure dont les modules d’élasticité sont les modules instantanés.

II.2.1 - Dilatation thermique unitaire Un champ de déformation de membrane isotrope unitaire est appliqué à toute la dalle ou à la traverse.

II.2.2 - Gradient thermique unitaire Un champ de courbure isotrope unitaire est appliqué à toute la dalle ou à la traverse.

II.2.3 - Vent sur écran - renversement unitaire Une densité surfacique variable de forces verticales modélisant l'action de couple du vent et une densité surfacique constante de force horizontale sont appliqués, sur une bande longitudinale définie par 2 ordonnées définissant la largeur de longrine.

II.2.4 - Accident sur équipement Cas d'un choc réparti Une densité surfacique variable trapézoïdale de forces verticales prenant en compte l'action verticale et l'action de couple du choc et une densité surfacique constante de force horizontale sont appliques sur une bande longitudinale définie par deux ordonnées définissant la largeur de longrine, une longueur de répartition longitudinale et une abscisse de positionnement longitudinal. Ce chargement est appliqué successivement pour différentes abscisses de positionnement, tous les 1/4 de travée, par exemple. Un calcul de post-traitement détermine les effets enveloppes dus aux différents chargements.

Cas d'un choc ponctuel Le point d'application du choc est défini par deux ordonnées définissant la largeur de longrine, une longueur de répartition longitudinale, par exemple la dimension longitudinale d'une roue, et une abscisse de positionnement longitudinal, une densité linéique variable de Collection « Les Outils »

43/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

forces verticales prenant en compte l'action verticale et l'action de couple du choc et une densité linéique constante de force horizontale. Ce chargement est appliqué successivement pour différentes abscisses de positionnement, tous les 1/4 de travée par exemple. Un calcul de post-traitement détermine les effets enveloppes dus aux différents chargements.

II.2.5 - Séisme unitaire Il s'agit de l'application des charges permanentes : poids propre et superstructures, du tablier. Le caractère unitaire signifiant qu 'on n'applique pas le coefficient majorateur dû à l'effet dynamique.

II.2.6 - Impact sur le remblai dû à une action mobile(PIPO/PICF) Il s'agit du calcul de la poussée et du poids provoqués par l'impact d'un véhicule disposé immédiatement derrière le piédroit. Ce cas de charge ne s’applique qu’en l’absence de la dalle de transition. Il est appliqué indépendamment du chargement correspondant du tablier. Les deux effets celui de l’impact sur le remblai et du véhicule sur le tablier sont donc cumulés indépendamment l’un de l’autre. La zone géométrique d'application de la poussée sur le piédroit en considérant une diffusion longitudinale et transversale de l'impact avec la profondeur est déterminée à partir de la largeur de l'impact et de sa position transversale,. L camion

Poids camion=L camion*larg camion*q

Densité q Remblai z

q(z)=Poids camion/L camion(z)*larg camion(z) Densité q(z)

Angle de diffusion Phi

Larg(z) camion= Larg_camion +2*z*tan(phi)

Larg camion

L camion Densité q

Densité q(z) Densité Kq(z)

P a r e m e n t

Remblai L(z) camion

V e r t i c a l

Vue de dessus

L(z)camion=Lcamion+z*tan(phi)

Figure 24 – Diffusion d'un impact dans le remblai selon l'EN1991-2§4.9

Transversalement La position transversale de l’impact est déterminée par rapport à la voie chargée. Trois positions sont considérées : calé à droite, calé à gauche et centrée. Pour plusieurs charges mobiles, chaque impact de chaque véhicule est considéré séparément puis cumulé avec les autres impacts. Collection « Les Outils »

44/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Vue de dessus Remblai

Ldif(z) = z*tan(phi)

L(z) = Lcamion + Ldif(z)

Ldif(z) Ldif(z) Larg_VS

Larg_TS

L_VS

TS1

Larg_TS TS2

LTS

Parement Vertical Solidaire Figure 25 – Diffusion de plusieurs impacts dans le remblai selon l'EN1991-2.

Longitudinalement On considère que le chargement est appliqué alors que la traverse est bloquée longitudinalement. Cela revient à supposer que le remblais technique opposé empêche les déplacements de la traverse.

Verticalement Les poussées verticales concomitantes s’exerçant sur le talon sont appliquées.

II.3 - Charges variables mobiles Il s’agit des charges d’exploitation s’exerçant sur le tablier. Les effets enveloppes sont calculés par déplacement des charges sur une surface d’influence définie sur le tablier et sur les dalles de transition éventuelles.

II.3.1 - Détermination des surfaces d’influence de plaque Ce calcul s’appuie sur les principes suivants : – les surfaces d'influences des efforts de plaque (moments, tranchants, normaux) s'obtiennent par combinaisons linéaires des surfaces d'influences des déplacements de plaques (flèche, rotations), – les surfaces d'influence des déplacements de plaque (flèches, rotations) s'obtiennent par application du principe de réciprocité (Maxwell-Betti). Les éléments finis utilisés par Chamoa_3D sont basés sur une formulation « en déplacement » c'est à dire que le résultat d'un calcul est constitué par le champ de déplacement aux noeuds du maillage. Le principe de la discrétisation par éléments finis permet alors d'obtenir la valeur d'un effet (déplacement ou effort) en un point d'étude quelconque, par interpolation des valeurs des déplacements aux 4 noeuds (éléments

Collection « Les Outils »

45/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

quadrangulaires) de la maille contenant le point d'étude. Les coefficients de l'interpolation dépendent de l'effet considéré ainsi que de la formulation de l'élément utilisé. Dans le cas de CHAMOA_3D, on utilise un élément de plaque (DST) basé sur une cinématique de Reissner, les inconnues sont les déplacements membranaires u i , v i et les déplacements de flexion : wi , β xi , β yi .

La formulation de DST conduit à interpoler les déplacements sous la forme suivante : – cas de la flèche :

Fleche = 4 Coefficients w1 , ,, w4

t

– cas des 2 rotations :

Rotation = 12 Coefficients w1 , β x1 , β y1 ,, w4 , β x 4 , β y 4

t

Ceci conduit ensuite à interpoler les efforts de la façon suivante moyennant l'hypothèse d'isotropie du matériau qui permet de découpler effet de membrane et effet de flexion : – cas des 3 moments et des 2 efforts tranchants :

Effort = 12 Coefficients w1 , β x1 , β y1 , , w4 , β x 4 , β y 4

t

– cas des 3 efforts normaux :

Effort = 8 Coefficients u1 , v1 ,,, u4 , v4

t

L'application du principe de réciprocité permet de déterminer simplement le cas de charge générant la surface d'influence d'un déplacement en un nœud du maillage. Il suffit d'imposer l'effort nodal « dual » du déplacement considéré au nœud considéré, la déformée sous ce cas de charge constituant alors la surface d'influence cherchée. – l'effort dual de la flèche est la force verticale correspondante, – l'effort dual de la rotation est le couple correspondant, – l'effort dual du déplacement membranaire est la force horizontale correspondant. Par linéarité de l'interpolation, la surface d'influence d'un effet (déplacement ou effort) en un point d'étude quelconque, s'obtient par combinaison linéaire des surfaces d'influence des déplacements adéquats : ceux intervenant dans l'interpolation de l'effet, aux 4 nœuds de la maille contenant le point d'étude. Ceci revient donc à appliquer un chargement constitué d'efforts nodaux adéquats : les efforts duaux des déplacements adéquats, aux 4 nœuds de la maille contenant le point d'étude. Par exploration du maillage, on associe une maille à chaque point d'étude même si le point d'étude est un nœud ou est situé sur une frontière entre 2 mailles. Par exemple, dans le cas des moments on détermine la matrice IM (3x12) reliant les 12 déplacements de flexion des 4 noeuds de la maille contenant le point d'étude aux 3 moments.

Mx

My

M xy = w1 , β x1 , β y1 ,, w4 , β x 4 , β y 4 IM t

Puis on obtient les coefficients relatifs à un moment par une projection adéquate.

Collection « Les Outils »

46/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Par exemple pour Mx on obtient :

Coefs de Mx = 1, 0, 0 IM M x = Coefs de Mx w1 , β x1 , β y1 ,, w4 , β x 4 , β y 4

t

Dans le cas des flèches, les coefficients résultent directement de la formulation de l'élément i.e. :

w = Coefs de w w1 ,, , w4

t

= N1 , N 2 , N 3 , N 4 w1 ,, , w4

t

où Ni représente la valeur de la fonction d'interpolation définie dans l'espace paramétrique. Dans le cas des surfaces d’influence de moments et de tranchants, lorsque le point d'étude est un appui, le pic de la surface d'influence générée selon la procédure décrite ci-dessus comporte un terme infini dû au caractère ponctuel de l'appui. On convient d'éliminer au mieux ce terme en assimilant la surface recherchée à une moyenne des surfaces en des points voisins de l'appui.

II.3.2 - Surfaces d’influence de réactions d'appui ponctuel Le point d'étude est un appui et constitue donc un nœud du maillage. Le principe de réciprocité permet alors de déterminer simplement le cas de charge générant la surface d'influence. Il suffit d'imposer une valeur unitaire de l'effet « dual » (i.e. la flèche) au nœud considéré, la déformée sous ce cas de charge constituant alors la surface d'influence cherchée. On modifie donc les conditions aux limites d'appui en imposant un déplacement vertical unitaire à l'appui (ponctuel) considéré.

II.3.3 - Surfaces d’influence de moment, efforts tranchants, efforts normaux totaux On s'intéresse à une quantité de la forme :

Etotal =

∫

E ( s )ds

coupe

où E est l'effet considéré (moment, effort tranchant ou effort normal). Cette quantité s'évalue numériquement par une formule de quadrature du type :

Etotal = ∑ λi E ( si ) i

où les si sont les points d’intégration et λi les poids associés. La surface d'influence peut donc s'obtenir en appliquant une combinaison linéaire des chargements générant les surfaces d'influence des si.

Collection « Les Outils »

47/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

II.3.4 - Surfaces d’influence de réactions d'appui totales de la ligne d’appui On s'intéresse à une quantité de la forme :

Rtotal = ∑ R ( Ai ) i

où les Ai sont des appuis ponctuels. La surface d'influence peut donc s'obtenir : – soit en appliquant la somme des chargements générant les surfaces d'influence des réactions ponctuelles, – soit en sommant les surfaces d'influence des différentes réactions ponctuelles.

II.3.5 - Surfaces d’influence des composantes du torseur d'efforts en pied de semelle Chacune des 3 composantes de ce torseur (moment, effort vertical, effort horizontal) s'obtient par intégration des pressions normales ou tangentielles du sol sous la semelle. On peut se ramener à une combinaison linéaire des réactions d'appui verticales ou horizontale au droit des différents appuis ponctuels sous la semelle ressorts. Les surfaces d’influence peuvent donc s'obtenir comme combinaisons linéaires des surfaces d’influence élémentaires.

II.3.6 - Surfaces d’influence de pression latérale du sol La pression latérale du sol est reliée au déplacement latéral du pieu par la relation :

r ( s) = Kδ (s ) où s est l'abscisse curviligne le long d'un pieu et K le module de réaction linéique du sol. La surface d'influence de r peut donc se déduire directement de la surface d'influence de δ.

II.3.7 - Prise en compte du coefficient de Poisson Deux calculs structuraux Code_Aster sont nécessaires : – un calcul avec un coefficient de poisson non nul, qui servira de base à l'étude aux ELS. – un calcul avec avec un coefficient de poisson nul, qui servira de base à l'étude aux ELU.

II.3.8 - Déplacement des charges sur la surface d’infuence Le déplacement des charges sur les surfaces d’influence est automatiquement réalisé par le composant Trafic.

Collection « Les Outils »

48/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

II.4 - Combinaisons réglementaires Les combinaisons sont celles indiquées dans l’annexe de Chamoa_P. A chaque Etat de structure calculé par Chamoa_3D correspondra un ensemble de combinaisons finales pour chaque état limite.

II.4.1 - Actions de l’eau Aux actions présentées dans l’annexe de Chamoa_P, s’ajoutent les actions de l’eau qui sont définies comme suit :

avec : •

γgw : coefficient de pondération appliqué aux effets de l’eau ;

•

W w : poids de l’eau ;

•

P(W w) : pression de l’eau sur les piédroits ;

•

Pwarchim : pression de l’eau sous la fondation.

Ces actions de l’eau s’intègrent dans les enveloppes des situations dont il est fait mention dans les définitions des différentes combinaisons d’actions données dans l’annexe Chamoa_P.

II.5 - Calcul des efforts de dimensionnement des plaques biaises A venir.

II.6 - Calcul des efforts de dimensionnement des semelles superficielles Ce chapitre présente le calcul spécifique des efforts RdM (N, Ty, Mz) dans les sections d’encastrement des patins et des talons sur les piédroits. Ces sections correspondent aux sections P/P’ et T/T’ représentées ci-dessus (cf. figure 26). Ces efforts résultent du cumul : – d’une part, des efforts directement fournis par Aster dans les sections d’étude particulières P/P’ et T/T’ suite au calcul général de la structure. – d’autre part, des efforts supplémentaires induits par les pressions du sol sous la semelle, ces pressions générant un effort tranchant et un moment fléchissant dans les sections P/P’ et T/T’. Ce sont précisément ces efforts dont le détail du calcul est fourni ci-après. Collection « Les Outils »

49/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

II.6.1 - Détail des calculs des efforts T et M induits par les pressions du sol sous la semelle Il convient de distinguer deux cas de figure : – absence de décompression du sol sous la semelle ; – décompression partielle du sol sous la semelle.

II.6.1.1 - Absence de décompression du sol sous la semelle Dans ce cas, le schéma de répartition des pressions du sol sous la semelle est semblable à celui-ci (par exemple):

Figure 29 – Exemple de répartition des pressions du sol sous la semelle (gauche / droite) dans le cas d’une absence de décompression du sol

On peut alors déterminer les valeurs des contraintes extrêmes qext et qmin de la manière suivante :

Semelle gauche

qext , g =

eg   1 − 6  Bg .Largb  Bg Ng

qint , g =

 eg  1 + 6 Bg .Largb  Bg Ng

  

Semelle droite

qext ,d =

 Nd ed  1 + 6  Bd .Largb  Bd 

qint ,d =

 Nd ed  1 − 6  Bd .Largb  Bd 

Semelle gauche ou droite qtal = qext

T2,tal =

 Lpatin  q pat = qext + ( qint − qext )  1 −  B  

L + ( qint − qext ) talon B

Largb .Ltalon ( qtal + qext ) 2

Collection « Les Outils »

T2, pat =

50/57

Largb .Lpatin 2

(q

pat

+ qint )

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

M 2,tal

Largb .L2talon =± ( qtal + 2qext ) 6

M 2, pat = ±

(- à gauche, + à droite)

Larg b .L2 patin 6

(q

pat

+ 2qint )

(+ à gauche, - à droite)

II.6.1.2 - Décompression partielle du sol sous la semelle Dans ce cas, le schéma de répartition des pressions du sol sous la semelle est semblable à celui-ci :

Figure 30 – Exemple de répartition des pressions du sol sous la semelle dans le cas d’une décompression partielle du sol

On peut déterminer les valeurs des contraintes extrêmes qext et qmin de la manière suivante : *** Si l’excentrement e = M/N est positif (e > 0) ***

Figure 31 – Exemple de répartition des pressions du sol sous la semelle dans le cas d’une décompression partielle du sol, avec excentrement e positif (soit Mz > 0)

– semelle de gauche : qint, g =

Ng 4 3 Largb Bg − 2 eg

(

) et q

ext,g

– semelle de droite : qint,d = 0 et qext ,d =

Nd 4 3 Larg b ( Bd − 2 ed

Collection « Les Outils »

51/57

=0

) 24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Semelle de gauche Si Bcomp,g > Bg - Ltalon,g :

 Ltalon , g − Bg + Bcomp , g qtal , g = qint, g   Bcomp , g  T2,tal , g =

qtal , g

M 2,tal , g = −

(L

talon , g

2

qtal , g

− Bg + Bcomp , g ) Largb

(L

− Bg + Bcomp , g ) Largb 2

talon , g

6

  

Si Bcomp,g < Bg - Ltalon,g :

qtal , g = 0 T2,tal , g = 0 M 2,tal , g = 0 Si Bcomp,g > Lpatin,g :

 Lpatin , g q pat , g = qint, g  1 −  Bcomp , g 

  

Largb .L patin , g

(q

T2, pat , g =

M 2, pat , g =

2

Larg b .L2 patin , g

pat , g

(q

6

+ qint , g )

pat , g

+ 2qint , g )

( 3L

patin , g

Si Bcomp,g < Lpatin,g :

q pat , g = 0 T2, pat , g = Largb .Bcomp , g

qint, g

M 2, pat , g = Bcomp , g Largb

qint, g

2 6

− Bcomp , g )

Semelle de droite Si Bcomp,d > Ltalon,d :

Collection « Les Outils »

52/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

 L qtal ,d = qext ,d  1 − talon ,d  Bcomp ,d 

T2,tal ,d =

Larg b .Ltalon , d

(q

tal , d

2

M 2,tal ,d =

  

Larg b .L2talon , d

(q

+ qext , d )

tal , d

6

+ 2qext , d )

Si Bcomp,d < Ltalon,d :

qtal ,d = 0 T2,tal ,d = Largb .Bcomp ,d

qext ,d

M 2,tal ,d = Bcomp ,d Largb

qext ,d

2 6

( 3L

talon , d

− Bcomp ,d )

Si Bcomp,d > Bd - Lpatin,d :

 Lpatin ,d − B + Bcomp ,d q pat ,d = qext ,d   Bcomp ,d  T2, pat ,d =

q pat ,d 2

M 2, pat ,d = −

(L

q pat ,d 6

patin , d

(L

  

− Bd + Bcomp ,d ) Largb − Bd + Bcomp ,d ) Largb 2

patin , d

Si Bcomp,d < Bd - Lpatin,d :

q pat ,d = 0 T2, pat ,d = 0 M 2, pat ,d = 0

Collection « Les Outils »

53/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

*** Si l’excentrement e = M/N est négatif (e < 0) ***

Figure 32 – Exemple de répartition des pressions du sol sous la semelle dans le cas d’une décompression partielle du sol, avec excentrement e négatif (soit Mz < 0)

– semelle de gauche : qint,g = 0 et qext , g = – semelle de droite : qint ,d =

Ng 4 3 Larg b Bg − 2 eg

Nd 4 3 Larg b ( Bd − 2 ed

(

)

)

et qext,d = 0

Semelle de gauche Si Bcomp,g > Ltalon,g :

 Ltalon , g qtal , g = qext , g  1 −  Bcomp , g  T2,tal , g =

Largb .Ltalon , g

(q

tal , g

2

M 2,tal , g = −

  

Largb .Ltalon , g 2

+ qext , g )

(q

tal , g

6

+ 2qext , g )

Si Bcomp,g < Ltalon,g :

qtal , g = 0 T2,tal , g = Largb .Bcomp , g M 2,tal , g = − Largb

qext , g

qext , g 6

2 Bcomp , g ( 3Ltalon , g − Bcomp , g )

Si Bcomp,g > Bg – Lpatin,g :

 Lpatin , g − Bg + Bcomp , g q pat , g = qext , g   Bcomp , g  T2, pat , g =

q pat , g 2

(L

patin , g

  

− Bg + Bcomp , g ) Largb

Collection « Les Outils »

54/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

M 2, pat , g =

q pat , g 6

(L

− Bg + Bcomp , g ) Largb 2

patin , g

Si Bcomp,g < Bg – Lpatin,g :

q pat , g = 0 T2, pat , g = 0 M 2, pat , g = 0 Semelle de droite Si Bcomp,d > Bd - Ltalon,d :

 Ltalon ,d − Bd + Bcomp ,d qtal ,d = qint,d   Bcomp ,d  T2,tal ,d =

qtal ,d

M 2,tal ,d =

(L

talon , d

2

qtal ,d 6

  

− Bd + Bcomp ,d ) Largb

(L

− Bd + Bcomp ,d ) Largb 2

talon , d

Si Bcomp,d < Bd - Ltalon,d :

qtal ,d = 0 T2,tal ,d = 0 M 2,tal ,d = 0 Si Bcomp,d > Lpatin,d :

 Lpatin,d q pat ,d = qint,d  1 −  Bcomp ,d  T2, pat ,d =

Largb .Lpatin ,d

M 2, pat ,d = −

2

  

(q

pat , d

Largb .Lpatin ,d 2 6

Collection « Les Outils »

(q

+ qint,d )

pat , d

+ 2qint,d )

55/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Si Bcomp,d < Lpatin,d :

q pat ,d = 0 T2, pat ,d = Largb .Bcomp ,d

qint,d 2

M 2, pat ,d = − Largb Bcomp ,d

qint ,d 6

( 3L

patin , d

− Bcomp ,d )

L’écriture de ces équations nous permet de vérifier que l’on a un parallèle total entre la semelle de gauche sous excentrement positif (resp. négatif) avec la semelle de droite sous excentrement négatif (resp. positif). Ainsi, nous pouvons écrire les formules plus synthétiques suivantes. •

Semelle de gauche avec e>0 ou semelle de droite avec e<0 Si Bcomp > B - Ltalon :

 Ltalon − B + Bcomp qtal = qint   Bcomp  T2,tal =

  

qtal ( Ltalon − B + Bcomp ) Largb 2

M 2,tal = ±

2 qtal Ltalon − B + Bcomp ) Largb ( 6 (- à gauche, + à droite)

Si Bcomp < B - Ltalon :

qtal = 0 T2,tal = 0 M 2,tal = 0 Si Bcomp > Lpatin :

 Lpatin q pat = qint 1 −  Bcomp 

T2, pat =

Larg b .L patin 2

  

(q

pat

Collection « Les Outils »

+ qint )

56/57

24 janvier 2014

Chamoa_3D – Modélisation et Chargements

Larg b .L2 patin

M 2, pat = ±

6

(q

pat

+ 2qint )

(+ à gauche, - à droite)

Si Bcomp < Lpatin :

q pat = 0 T2, pat = Largb .Bcomp

qint 2

M 2, pat = ± Bcomp Largb

qint (3Lpatin − Bcomp ) 6 (+ à gauche, - à droite)

Semelle de gauche avec e<0 ou semelle de droite avec e>0 Si Bcomp > Ltalon :

 L qtal = qext 1 − talon  Bcomp  T2,tal =

  

Largb .Ltalon ( qtal + qext ) 2

M 2,tal = ±

Largb .Ltalon 2 ( qtal + 2qext ) 6 (- à gauche, + à droite)

Si Bcomp < Ltalon :

qtal = 0

T2,tal = Largb .Bcomp M 2,tal = ± Largb

qext 2

qext Bcomp ( 3Ltalon − Bcomp ) 6 (- à gauche, + à droite)

Si Bcomp > B – Lpatin :

 Lpatin − B + Bcomp q pat = qext   Bcomp  T2, pat =

q pat 2

M 2, pat = ±

(L

q pat 6

patin

(L

  

− B + Bcomp ) Largb − B + Bcomp ) Largb 2

patin

(+ à gauche, - à droite)

Si Bcomp < B – Lpatin : Connaissance et prévention des risques - Développement des infrastructures - énergie et climat - Gestion du patrimoine d’infrastructures q pat S:\CHAMOA_3D\MOE\Note_de_calcullités = 0 T2, pat = 0 M 2, pat = 0 Impacts sur la santé - Mobi et transports - Territoires durables et ressources naturelles - Ville et bâtiments durables

Direction technique infrastructures de transport et matériaux 110 rue de Paris - BP 214 - 77487 Provins Cedex - Tél : +33 (0)1 60 52 31 31 Collection « Les Outils » 57/57

24 janvier 2014

Centre d’études et d’expertise sur les risques, l’environnement, la mobilité et l’aménagement www.cerema.fr Siège social : Cité des Mobilités - 25, avenue François Mitterrand - CS 92 803 - F-69674 Bron Cedex - Tél : +33 (0)4 72 14 30 30