Chapiter 4 Etude Des Elements Non Structuraux

CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Introduction Les éléments non structuraux dans le bâtiment sont les escaliers, l’ascenseur et les acrotères. Ces éléments secondaires n’apportent aucune contribution significative à la résistance aux effets sismiques. IV.1. Etude des escaliers : Les escaliers sont des éléments indispensables dans le bâtiment du côté organisationnel, leur rôle est d’assurer une bonne circulation verticale avec facilité d’accès. L’escalier est un ouvrage permettant de passer d’un niveau à un autre. Dans notre projet on a deux types d’escaliers :  Escalier paillasse;  Escalier console. IV.1.1. Escalier paillasse : Notation :  n = nombre de contre marches  (n-1)= nombre de marches  h= la hauteur de la marche  g= giron  H = hauteur entre les faces supérieurs de deux paliers successifs  L = portée en plan de la volée  L0 = portée en plan du palier  e = épaisseur de la paillasse  e’= épaisseur de palier Fig. (IV.1) : Schéma simplifié de l’escalier paillasse  Condition d’accès facile : La condition de BLONDEL concernant la facilité d’accès des escaliers permet de déterminer les valeurs de h et g en fonction du module m correspondant à la longueur du pas. m = g+ 2.h

avec :

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59 cm < m < 64 cm.

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

La hauteur à monter H correspond à un nombre n (entier) de marches. H=nxh La longueur de volée d’escalier L est donnée par la formule : L = (n – 1).g

n : nombre de contre marches

14 cm ≤ h ≤ 18 cm

et

25 cm ≤ g≤ 32 cm

 Condition de dégagement rapide des escaliers : 0,75 m ≤ l’emmarchement ≤ 1m

pour les pavillons

Escaliers à deux volées avec deux quartiers en paliers (étage courant). a. Dimensionnement d’escalier : D’après la relation de BLONDEL : Généralement on prend : h = 17 cm ; g = 30 cm m = g+ 2.h = (30+2x17) cm = 64 cm → pour les locaux publics on a m = 64 cm.

 Détermination de nombres des contres marches : h=

H H 408 →n= →n= = 24 ; n h 17

donc le nombre contre marche = 24au total,

c’est 12 contre marches par volée

 Inclinaison de la paillasse : tan α =

2,04 = 0,567Þα = 29,55° 3,6

 La longueur de volée est : L=

2,04 → L = 4,13 m sin α

 Epaisseur de paillasse : L L ≤e ≤ 50 40

avec e ∶ épaisseur de la paillasse.

8,26 cm ≤ e ≤ 10,32 cm. On prend : e = 10 cm. Pour des raisons de sécurité et de facilité d’exécution, on prend la même épaisseur pour la paillasse et la dalle de palier.

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

b. Evaluation des charges : Les charges sont déterminées pour une bande de 1m. Paillasse : Revêtement carrelage horizontal (2cm)…………………………...…2200.0,02 = 44 daN⁄m2. Mortier de pose horizontal (1cm)…………………………………….2000.0,01 = 20 daN⁄m2 . Revêtement carrelage vertical (2cm) : (2200.0,02).h⁄g…..(2200.0,02).17⁄30 = 25 daN⁄m2 . Mortier de pose vertical (1cm) : (2000.0,01).h⁄g…......(2000.0,01).17⁄30 = 11,33daN⁄m2 . Poids propre des marches :2500.h⁄2…………..……...…… 2500.0,17⁄2 = 212,50daN⁄m2 . Poids propre de la paillasse…………………..….… 2500.0,12.(1⁄cos α) = 355,7 daN⁄m2 . Enduit de plâtre inférieur de la paillasse (1 cm)….....….(1000x0,01)⁄cos α = 11,50daN⁄m2 . La charge permanente

Gv = 680daN/m2 = 6,80kN/m2.

La charge d’exploitation

Q v = 250 daN/m2 = 2,50 kN/m2.

Palier de repos : Revêtement carrelage horizontal (2cm)…………...…………………2200.0,02 = 44daN⁄m2. Mortier de pose horizontal (2cm)…………………………………….2000.0,02 = 40 daN⁄m2 . Poids propre du palier (12 cm) ……………………………………2500.0,12 = 300 daN⁄m2 . Enduit de plâtre (1 cm)………………………………...………… (1000x0, 01) = 10daN⁄m2 . La charge permanente

GP = 394 daN/m2 = 3,94kN/m2. :

La charge d’exploitation

Q P = 250 daN/m2 = 2,50 kN/m2.

c. Combinaison fondamentale :  ELU : Volée :q v = (1,35Gv + 1,5Qv ). 1m = (1,35 × 6,80 + 1,5 × 2,50) × 1m q v = 12,930 kN⁄𝑚𝑙 Palier :q P = (1,35GP + 1,5PP ). 1m = (1,35 × 3,94 + 1,5 × 2,50) × 1m q P = 9,069 kN⁄𝑚𝑙  ELS : Volée :q v = (Gv + Qv ). 1m = (6,80 + 2,50) × 1m ⟹ q v = 9,30 kN⁄ml Palier :q P = (GP + QP ). 1m = (3,94 + 2,50) × 1m ⟹ q P = 6,44 kN⁄𝑚𝑙

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CHAPITRE IV

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d. Détermination des sollicitations :

qp

qv

 ELU :

A

-

B

C

Principe de la méthode de la charge équivalente : si

Δq q vu − q pu = ≤ 10% q min q min

→On prend la charge de la paillasse comme une charge répartie sur toute la longueur. Δq q vu − q pu si = > 10% q min q min →La répartition des charges reste la même. On a ∶

Δq 12,930 − 9,069 = = 42% > 10% q min 9,069

→ On ne peut pas appliquer la charge équivalente sur toute la longueur donc la répartition reste la même. -

Calcul des réactions : Tab. (IV.1) : Tableau récapitulatif de descente des charges (Volée et Palier) G

Q

(kN/m²)

(kN/m²)

E.L.U

E.L.S

Volée

6,80

2,50

12,93

9,30

Palier

3,94

2,50

9,069

6,44

Combinaison fondamentale

NIVEAU

 E.L.U.R : 𝑞𝑢 = 12,93𝑘𝑁/𝑚 𝑞𝑢 . 𝑙 ² 12,93 × 3,60² = = = 20,95 𝑘𝑁. 𝑚 8 8 𝑞𝑢 . 𝑙 ² 12,93 × 1,78² 𝐷𝐸 = 5,12 𝑘𝑁. 𝑚 { 𝑀0 = 8 = 8 𝑀0𝐴𝐵

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Moments en appuis :  Appui A 𝑀𝐴 = − 0,4 . 𝑀0𝐴𝐵 = − 8,38 𝑘𝑁. 𝑚  Appui B 3,60𝑀𝐴 + 2(3,60 + 1,78)𝑀𝐵 + 1,78𝑀𝐶 = −

12,93 (3,603 + 1,783 ) 4

 Appui C 2𝑀𝐶 = − 0,4 . 𝑀0𝐵𝐶 = − 2,05 𝑘𝑁. 𝑚 {10,76 𝑀𝐵 − 30,17 − 3,65 = − 169, 05

⟹ 𝑀𝐵 = −12,57 𝑘𝑁. 𝑚

8, 38

M en kN.m T en kN

12, 57

2, 05

8,04

3,60

1,78

23, 27

11, 51

7,27

13,

1, 16

5, 91

3,15

0,8

22, 11

24, 43 17, 42

2,00

5, 60 4,12

3,7

10,42 14,28

Moments en travée : Travée AB : T (𝑥) = 22,11 – 12,93. 𝑥 8, 38 kN.m 12, 93 kN.m T (𝑥) = 22,11 – 12,93. 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 1,71 m T(x) 𝑥² M (𝑥) = − 8,38 + 22,11. 𝑥– 12,93. 2 x M𝑚𝑎𝑥 = 10,52 𝑘𝑁. 𝑚

M (x)

22, 11 kN

Travée BC : T (𝑥) = 17,42 – 12,93. 𝑥

12, 57 kN.m 12, 93 kN.m T(x)

T (𝑥) = 17,42 – 12,93. 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 1,35 m M (𝑥) = − 12,57 + 17,42. 𝑥– 12,93.

𝑥² 2

M (x)

x

17, 42 kN

M𝑚𝑎𝑥 = −0,835𝑘𝑁. 𝑚 BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

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CHAPITRE IV

-

Etude des éléments non structuraux

Calcul des moments et efforts tranchants :

e. Ferraillage :  ELUR En travée (paillasse) : Mut = 10,52 kN. m Mut 10,52 × 103 = = 0,092 b. d2 . 𝜎bc 100 × 92 × 14,166 𝑓𝑒 𝜇 ≤ 𝜇𝐴𝐵 = 0,186 ⇒On est en pivot A ; pas d’armatures comprimées avec : 𝜎𝑠 = 𝛾 𝑠 𝐴̀𝑢 = 0 ; 𝜎𝑠 = 348 𝑀𝑃𝑎;𝛼 = 0,121 ; 𝛽 = 0,952. Mut 10,52 × 103 Atu = = = 3,53 cm2 ⁄𝑚𝑙 σs . β. d 348 × 0,952 × 9 𝜇=

-

Armatures minimales : Amin = 0,23. b. d.

𝑓𝑡28 𝑓𝑒

2,1 = 1,09 cm2 /ml 400 A = max (Atu ;Amin ) = 3,53 cm2 ⁄ml Aapp = 4T12/ml = 4,52 cm2 /𝑚𝑙 Amin = 0,23 × 100 × 9 ×

-

Espacement : emax = min(3h; 33cm) = 30 cm ⟹ àvérifier .

-

Armatures de répartition : Aapp 4,52 Ar = = = 1,13 cm2 ⁄ml 4 4 𝟐𝐓𝟏𝟎 On prend comme choix :𝐀 𝐫 = 𝐦𝐥 = 𝟏, 𝟓𝟕 𝐜𝐦𝟐 ⁄𝐦𝐥 -

Espacement :

emax = min(4h; 45cm) = 40 cm⟹ à vérifiés En appui : Mua = 12,57kN. m 𝜇=

Mua 12,57 × 103 = = 0,109 b. d2 . 𝜎bc 100 × 92 × 14,166

𝜇 ≤ 𝜇𝐴𝐵 = 0,186 ⇒On est en pivot A ; pas d’armatures comprimées avec : 𝜎𝑠 = 𝐴̀𝑢 = 0 𝜎𝑠 = 348 𝑀𝑃𝑎 ;𝛼 = 0,144 ; 𝛽 = 0,942 Mua 12,57 × 103 a Au = = = 4,260 cm2 ⁄ml σs . β. d 348 × 0,942 × 9 BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

𝑓𝑒 𝛾𝑠

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CHAPITRE IV

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Amin = 1,09 cm2 ⁄ml A = max (Atu ;Amin ) = 4,260 𝐜𝐦𝟐 ⁄𝐦𝐥 𝐀 𝐚𝐩𝐩 = 𝟔𝐓𝟏𝟎/𝐦𝐥 = 𝟒, 𝟕𝟏𝐜𝐦𝟐 /𝒎𝒍 -

Armatures de répartition :

Aapp 4,71 = = 1,177 cm2 ⁄ml 4 4 Soit : 𝐀 𝐫 = 𝟑𝐓𝟏𝟎/𝐦𝐥 = 𝟐, 𝟑𝟔 𝐜𝐦𝟐 ⁄𝐦𝐥 Ar =

-

ELS :

Vérification des contraintes : Fissuration non préjudiciable → vérifier les contraintes. Pas de vérification pour σs → il suffit de vérifierσbc ≤ σ ̅̅̅̅. bc a- En travée : t Mser = 12,806𝑘N.m Position de l’axe neutre : by 2 S= − 15A(d − y) = 0 2 50y 2 + 67,80y − 915,30 = 0 ⇒ y = 3,654 cm. Moment d’inertie au niveau de l’axe neutre : by 3 Ib = + 15A(d − y1 )2 3 100 × 3,6543 Ib = + 15 × 4,520(13,5 − 3,654)2 3 Ib = 8199,023 cm4 𝜎𝑏𝑐 =

Mser Ib

×y=

12,806 ×103 8199,023

× 3,654 = 5,707 MPa.

𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓28 =15 MPa.On a : 𝜎𝑏𝑐 < 𝜎𝑏𝑐 ⇔ l’armature calculée à l’E.L.U convient. En appui : a Mser = 6,026kN.m

Position de l’axe neutre : by 2 S= − 15A(d − y) = 0 2 2 50y + 70,65y − 953,775 = 0 ⇒ y = 3,717 cm. BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Moment d’inertie au niveau de l’axe neutre : by 3 Ib = + 15A(d − y1 )2 3 100 × 3,7173 Ib = + 15 × 4,71 (13,5 − 3,717)2 3 Ib = 9249,338 cm4 Mser 6,026 × 103 𝜎𝑏𝑐 = ×y = × 3,717 = 2,422 MPa Ib 9249,338 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓28 =15 MPa. On a : 𝜎𝑏𝑐 < 𝜎𝑏𝑐 ⇔l’armature calculée à l’E.L.U.R convient.

f. Etude de la poutre palière : La poutre palière joue le rôle d’un support d’escalier :

3,25 m Fig. (IV-2) : Schéma statique de la poutre palière - Critère de rigidité : Selon le BAEL91 les dimensions de la poutre palière sont : L = 3,25 m L 15

La hauteur de la poutre palière doit satisfaire la condition suivante : L

≤ h ≤ 10⟹on prend 𝐡 = 𝟐𝟓𝐜𝐦

0,4h ≤ b ≤ 0,7h⟹ on prend𝐛 = 𝟐𝟓𝐜𝐦 - Vérification selon le RPA99V2003: h = 30 cm et b = 20 cm tel que: 𝑏 = 25 𝑐𝑚 ≥ 20 𝑐𝑚 ⟹ condition vérifiée h =1<4 ⟹ condition vérifiée b La section de la poutre palière est de dimension (𝑏 × ℎ) = (25 × 25) 𝑐𝑚2

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- Efforts sollicitant la poutre palière : Son poids propre : Gp = 25 × 0,25 × 0,25 = 1,56 kN⁄ml SupporteR B ; réaction de l’appui B : La charge répartie due àR B : 𝑃𝐿 = 𝑅𝐵 = 34,74 𝑘𝑁/𝑚𝑙 ELUR: PL u = R B = 𝟑𝟒, 𝟕𝟒 𝐤𝐍/𝐦𝐥 ELUR: PL ser = R B = 𝟐𝟒, 𝟗𝟑 𝐤𝐍/𝐦𝐥 Gmur = 14 × 0,25 × 3,74 = 13,09 kN⁄ml - Calcul des sollicitations : ELUR : q u = 1,35(Gp + Gmur ) + PL u = 54,52 kN⁄ml M0u

q u L2 = = 57,31 kN. m 8

A- En appui :Mua = −0,4M0u = −22,92 kN. m B- En travée :Mut = 0,85M0u = 48,71 kN. m ELS : q ser = (Gp + Gmur ) + PL ser = 39,58 kN⁄ml q ser L2 39,58. 2,92 M0ser = = = 41,61 kN. m 8 8 a A- En appui :Mser = −0,4M0ser = − 16,64 kN. m t B- En travée :Mser = 0,85M0ser = 35,37 kN. m

- Ferraillage de la poutre palière : Armatures longitudinales : ELU : A- En travée : MuT = 48,71 kN. m d = 0,9h = 22,5 cm

𝜇 ≤ 𝜇𝐴𝐵

MuT 48,71 × 103 𝜇= = = 0,271 b. d2 . 𝜎bc 25 × 22,5 2 × 14,166 𝑓𝑒 = 0,186 ⇒On est en pivot A ; pas d’armatures comprimées avec : 𝜎𝑠 = 𝛾

𝐴′𝑢 = 0;𝜎𝑠 = 348 𝑀𝑃𝑎 ;𝛼 = 0,404 ;𝛽 = 0,838.

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𝑠

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CHAPITRE IV

Atu =

Etude des éléments non structuraux

MuT 48,71 × 103 = = 7,42 cm2 σs . β. d 348 × 0,838 × 22,5

B- En appui : Mua = 22,92 kN. m d = 0,9h = 22,5 cm 𝑓𝑒 𝜇 = 0,127 ; 𝜇 ≤ 𝜇𝐴𝐵 = 0,186 ⇒On est en pivot A ; pas d’armatures comprimées avec : 𝜎𝑠 = 𝛾 𝐴′𝑢 = 0 ; 𝜎𝑠 = 348 𝑀𝑃𝑎 ; 𝛼 = 0,171 ; 𝛽 = 0,931. Aau =

𝑠

Mua 22,92 × 103 = = 3,14 cm2 σs . β. d 348 × 0,931 × 22,5

Condition de non fragilité : ftj Amin = 0,23 × b × d × fe ftj = 0,6 + 0,06 fcj = 0,6 + 0,06 .25 = 2,1 MPa 2,1 Amin = 0,23 × 25 × 22,5 × 400 Amin = 0,679 cm2 ELS : Vérification des contraintes: La fissuration est non préjudiciable, donc il faut que : {σbc ≤ σ ̅̅̅̅ bc A- En travée : t Mser = 35,37 kN.m

Position de l’axe neutre : by 2 S= − 15A(d − y) = 0 2 ⇒ y = 9,462 cm. -Moment d’inertie au niveau de l’axe neutre : by 3 Ib = + 15A(d − y1 )2 3 25 × 9,462 Ib = + 15 × 5,722 (22,5 − 9,462)2 3 Ib = 25179,288 cm4 Mser 35,37 × 103 𝜎𝑏𝑐 = ×y= × 9,462 = 13,3 MPa Ib 25179,288 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓28 =15 MPa. On a : 𝜎𝑏𝑐 < 𝜎𝑏𝑐

⇔ l’armature calculée à l’E.L.U.R convient.

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Armatures finales : A = max (Atu ;Amin ) = 7,42𝑐𝑚2 Soit 𝐀 𝐚𝐩𝐩 = 𝟔𝐓𝟏𝟒 = 𝟗, 𝟐𝟒 𝐜𝐦𝟐 B- En appui : a Mser = 16,64 kN. m

d = 22,5cm Position de l’axe neutre : by 2 S= − 15A(d − y) = 0 2 ⇒ y = 7,087 cm. -Moment d’inertie au niveau de l’axe neutre : by 3 Ib = + 15A(d − y1 )2 3 25 × 7,0873 Ib = + 15 × 2,382 (22,5 − 7,087)2 3 Ib = 12937,396 cm4 Mser 16,64 × 103 𝜎𝑏𝑐 = ×y= × 7,087 = 9,11 MPa Ib 12937,396 𝜎𝑏𝑐 = 0,6𝑓28 =15 MPa. On a : 𝜎𝑏𝑐 < 𝜎𝑏𝑐 ⇔l’armature calculée à l’E.L.U.R convient.

Armatures finales : Aadp = max(Au ; Amin ) = 3,14 cm2 Soit Aapp = 4T12 = 3,14 𝐜𝐦𝟐 Calcul de l’effort tranchant : q u = 54,52 kN⁄ml T=

qu. L 54,52 × 3,25 = = 88,59 kN 2 2

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

IV.1.2. Escalier console : a. Dimensionnement d’escalier : D’après la relation de BLONDEL : Généralement on prend : h = 17 cm ; g = 30 cm m = g+ 2.h = (30+2x17) cm = 64 cm → pour les locaux publics on a m = 64 cm. Fig. (IV.3) : Schéma simplifié de l’escalier paillasse

 Détermination de nombres des contres marches : h=

H n

→n=

H h

→n=

391 17

= 23 ; donc le nombre contre marche = 23

1ère et 3 ère partie n = 8 l’emmarchement = 1,68 m 2 ème partie n = 5 l’emmarchement = 1,68 m

 Inclinaison de la paillasse :

tan α =

 La longueur de volée est : 1ère et 3 ème partie 2 ème partie

17 = 0,567Þα = 29,54° 30

L = 30 × 9 = 270

L = 2,70 m

L = 30 × 4 = 270

L = 1,20 m

Calcul de l’épaisseur de la paillasse : 1 1 1 1 e = LV ( ; ) = 270 × ( ; ) = (10,34; 15,52); e = 10 cm 30 cos α 20 sin α 30 cos 29,55 20 sin 29,55

1 1 1 1 e = LV ( ; ) = 120 × ( ; ) = (4,59; 12,16); e = 6 cm 30 cos α 20 sin α 30 cos 29,55 20 sin 29,55 Calcul de l’épaisseur de palier :

L L ≤ eP ≤ 30 20 Pour

L = 1,68 m

On prend e = 10 cm

On prend : Epaisseur de paillasse e = 6 cm. Epaisseur du palier = 10 cm.

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Calcul de hmoy : h moy =

a1 =

eP cos 29,55

=

a1 + a2 2 6

cos 29,55

= 6,9cm

a2 = h + a1 = 17 + 6,9 = 23,90cm h moy =

6,9 + 23,90 = 15,40 𝑐𝑚 ⟹ ℎ𝑚𝑜𝑦 = 15 𝑐𝑚 2

Calcul de des sollicitations :

La Marche : Gmarche

q marche = (1,35G + 1,5Q) = (γb × h moy ) × g = 25000 × 0,154 × 0,3

Gmarche = 1,2 kN/𝑚

Q′ 2500 = Q moy = 1,5 kN/𝑚 Lm 1,68 q marche = (1,35 × 1,2 + 1,5 × 1,5) q marche = 3,9 kN/𝑚 Q =

Voile

Marche

Moment fléchissant : q marche = 3,9 kN

Ma 1,68 m Fig. (IV-4) : SchémaMa statique de la marche.

Mmax =

q marche . L² 3,9 × (1,68)² = = 5,5 kN. 𝑚 2 2

Calcul de l’effort tranchant : Tmax = q × L = 3,9 × 1,68 = 6,5 kN Tmax = 6,5 kN Le palier: 9

Sens (x) et (y) :

A

10

100

Fig. IV. 5 : Section de calcul de palier de repos q palier = (1,35G + 1,5Q) Gpalier = (γb × e p ) × g = 25000 × 0,1 × 1

Gpalier = 2,5 kN/𝑚

Q = 2,500 kN/𝑚

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

q palier = (1,35 × 2,5 + 1,5 × 2,5 ) q palier = 7,1 kN/𝑚 q marche = 7,1 kN Mmax =

q marche . L² 7,1 × (1,68)² = = 8,149 kN. 𝑚 2 2

Calcul de l’effort tranchant : Tmax = q × L = 5,775 × 1,68 ⟹ Tmax = 10,0 kN b. Calcul de ferraillage de la marche : Ferraillage longitudinal de marche : Mmax = 5,5 kN. m 𝜇 = 0,048; 𝜇 ≤ 𝜇𝐴𝐵 = 0,186 ⟹ On est en pivot A; pas d’armatures comprimées avec : 𝜎𝑠 = 𝛼 = 0,061 ; 𝛽 = 0,975

-

Mtu

A=σ

s

𝑓𝑒 𝛾𝑠

5,5×103

= 348×0,975×9 = 1,8 cm2 .β.d

Armateur minimales :

Amin = 0,23. b. d.

𝑓𝑡28 𝑓𝑒 2,1

Amin = 0,23 × 30 × 9 × 400 = 0,49 cm2 𝐴𝑓 = max(A; Amin ) = 1,8 cm2 𝐴𝑓 = 3T10 = 2,36 cm2 Ferraillage transversale de marche : 𝜏 =

𝑇𝑚𝑎𝑥 6,5 × 103 = = 0,16 𝑀𝑃𝑎 𝑏. 𝑑. 100 30 × 13,5 × 100

La fissuration est peu nuisible 𝜏̅ = min (0,2

𝑓𝑐28 𝛾𝑏

; 5MPa) = 3,33 MPa

𝜏 ≤ 𝜏̅

On prend : A = 2∅6 = 0,57 cm2 BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

a) Calcul de l’espacement : 

Selon le BAEL 91 modifié 99 :

St1 min(0,9d; 40cm) min(0,9 × 13,5 ; 40 ) St1 ≤ 12,15 cm

St2 ≤

𝐴𝑡 𝑓𝑒𝑡 0,57 × 235 = 11,162 0,4. 𝑏 0,4 × 30

St3 ≤

St1 ≤ 11, 162 cm

0,9 At fet [γs . b(τur − 0,3. K. ftj∗ )]

Flexion simple K = 1 { Pas de reprise de bétonnage Fissuration peu nuisible ftj∗ = min (f tj ; 33 MPa) = 2,1MPa 0,9 × 0,57 × 235 = −7,388 [1,15 × 30(0,157 − 0,3 × 1 × 2,1)] St3 ≤ −7,388 cm Espacement maximale: St ≤ min (St1 ; St2; St3) 𝑆𝑡 = 10 𝑐𝑚 At = 2∅6 = 0,57 cm

Soit espacées de 10 cm

c. Calcul de ferraillage du palier : Ferraillage longitudinal de palier : Mmax = 8,149kN. m 𝜇 = 0,071𝜇 ≤ 𝜇𝐴𝐵 = 0,192 ⇒On est en pivot A ; pas d’armatures comprimées avec : 𝜎𝑠 =

𝑓𝑒 𝛾𝑠

𝛽 = 0,963

Mut 8,149 × 103 A= = = 2,70 cm2 σs . β. d 348 × 0,963 × 13,5 BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

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CHAPITRE IV

-

Etude des éléments non structuraux

Armatures minimales : Amin = 0,23. b. d.

Amin = 0,23 × 100 × 9 ×

𝑓𝑡28 𝑓𝑒

2,1 = 1,09 cm2 400

𝐴𝑓 = max(A; Amin ) = 2,70 cm2 𝐴𝑓 = 10T6 = 2,83 cm2 Ferraillage transversale de palier : 𝜏 =

𝑇𝑚𝑎𝑥 9,702 × 103 = = 0,072 𝑀𝑃𝑎 𝑏. 𝑑. 100 100 × 13,5 × 100

𝜏 < 𝜏lim = 1,16 IV.2.

les armature transversales ne sont pas nécessaires

Définition des acrotères :

L’acrotère est assimilé à une console encastrée au plancher terrasse et le calcul s’effectuera pour une bande de 1m et une épaisseur de 10cm. Donc sur section (100x10) cm² et le ferraillage obtenu sera le même sur toute la largeur. D’après le RPA99 les éléments des structures secondaires sont calculés sous l’action de forces horizontales suivantes : 10

15

Wp

2 8

Fp 60

Figure (IV-6) : Schéma statique et dimensions de l’acrotère

 Selon le RPA99 version 2003 : 𝐹𝑝 = 4 – 𝐴 ⤬ 𝐶𝑝 ⤬ Wp A : coefficient d’accélération de zone Donc : A = 0,15 Cp : facteur de force horizontale : Cp = 0,80 BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Wp = 2500 [(0,10 ⤬ 0,60) + (0,02 ⤬

0,15 2

) + (0,15 ⤬ 0,08)] ⟹ Wp = 183,5 daN

Fp : force statique équivalente Fp = 88,2 daN IV.2.1. Calcul des sollicitations : a. ELU : Mu = 1,5 ⤬ Fp ⤬ L = 1,5 ⤬ 88,2 ⤬ 0,6 ⟹ Mu = 79,38 daN. m Nu = 1,35 ⤬ Wp = 1,35 ⤬ 183,75 ⟹ Nu = 248,06 daN b. ELS : Mser = Fp ⤬ L = 88,2 ⤬ 0,6 ⟹ Mser = 52,92 daN. m Nser = Wp ⟹ Nser = 183,75 daN IV.2.2. Ferraillage : La section est sollicitée en flexion composée, le ferraillage est calculé à l’ELU en considérant les efforts rapportés au centre de gravité. h = 10cm, b = 100cm, d = 8cm 8 a. ELU : centre de pression A 100cm

𝑒𝐺𝑢 =

Mcorr 79,38 = = 32 cm Nmax 248,06 𝑒𝐺𝑢 = 32 >

Fig. (IV-7):

Section de ferraillage

ℎ − 𝑑′1 = 3 𝑐𝑚 2

⟹Compression centrée S.P.C (Section Partiellement Comprimées)

Section partiellement comprimée, le calcul se fait à la flexion simple avec ce moment fictif Mf égal au moment par rapport aux armatures tendues. ℎ 0,1 𝑀𝑓 = 𝑁𝑢 (𝑒0 + ( ) − 𝐶) ⟹ 𝑀𝑓 = 248,06 (0,32 + ( ) − 0,02) ⟹ 𝑀𝑓 = 86,82 daN. m 2 2 𝑀

𝑓 𝜇 = b.d2 .𝜎

bc

=

86,82×10 100×82 ×14,2

comprimées avec :𝜎𝑠 =

𝑓𝑒 𝛾𝑠

⟹ 𝜇 = 0,0095 ≤ 𝜇𝐴𝐵 = 0,186 ⟹ On est en pivot A ; pas d’armatures ;𝐴̀𝑢 = 0 𝜎𝑠 = 348 𝑀𝑃𝑎 ; 𝛼 = 0,012 ; 𝛽 = 0,995 𝐴1 =

𝐴 = 𝐴1 −

𝑀𝑢 86,82 × 10 = = 0,31 cm2 σs . β. d 348 × 0,995 × 8

𝑁𝑢 248,06 × 10 = 𝐴1 − ⟹ 𝐴 = 0,24 cm²/𝑚𝑙 100 ⤬ σs 100 ⤬ 348

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10cm

CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

a) ELS : L’acrotère est exposé aux intempéries ⟹ la fissuration est peu nuisible. 2 𝑓 = 266.67 3 𝑒 𝜂 = 1,6 𝑃𝑜𝑢𝑟𝑙𝑒𝐻𝐴 1 𝜎𝑠𝑡 = min 𝑎𝑣𝑒𝑐 ∶ { 𝑓𝑒 = 200 𝑓𝑡28 = 2,1 𝑀𝑃𝑎 2 𝑚𝑎𝑥 { 110√𝜂𝑓𝑡28 = 201,63 { ⇒ 𝜎𝑠𝑡 = 201,63 MPa. Mcorr 52,92 = = 29 cm Nmax 183,75 ℎ 𝑒𝐺𝑢 = 32 > − 𝑑′1 = 3 𝑐𝑚 2 ⟹ Compression centrée S.P.C le calcul se fait à la flexion simple avec ce moment fictif Mf égal au moment par rapport aux armatures tendues. 𝑒𝐺𝑢 =

ℎ 0,1 𝑀𝑠1 = 𝑁𝑠 (( ) − 𝑒) + 𝑀𝑠 ⟹ 𝑀𝑓 = 183,75 ( ( ) − 0,02) + 58,43 ⟹ 𝑀𝑓 = 86,82 daN. m 2 2 𝑀𝑠𝑒𝑟 86,82 × 10 = = 6,728 × 10−4 2 2 b. d . σs 100 × 8 × 201,63 𝜆 = 1 + 30. 𝜇1 = 1 + 30 × 6,728 × 10−4 = 1,020

𝜇1 =

3

3

cos 𝜑 = 𝜆(−2) = 1,020(−2) = 0,987 𝜑 = cos−1 𝜑 = cos −1 0,924⟹𝜑 = 9,33° 22,48 𝜑 𝛼1 = 1 + 2√𝜆. cos(240 + ⁄3) = 1 + 2√1,053. cos (240 + ) ⟹ 𝛼1 = 0,101 3 15 (1 − 𝛼1 ) 15 (1 − 0,214) 𝐾1 = = ⟹ 𝐾1 = 133,51 𝛼1 0,214 σs 201,63 𝜎bc = = ⟹ 𝜎bc = 1,51 𝑀𝑃𝑎 𝐾1 54,96 𝜎bc = 0,6. 𝑓𝑐28 = 0,6 × 25 ⟹ 𝜎bc = 15 𝑀𝑃𝑎 𝛼1 𝜎bc ≤ 𝜎bc ⟹ 𝐴′𝑠𝑒𝑟 = 0 ; 𝛽1 = 1 − ⟹ 𝛽1 = 0,966 3 𝑡 M𝑠𝑒𝑟 7,49 × 103 𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑟 = = ⟹ 𝐴𝑡𝑠𝑒𝑟 = 0,56 cm² σs . 𝛽1 . 𝑑 201,63 × 0,927 × 18 b. Condition de non fragilité : ftj Amin = 0,23 × b × d × fe ftj = 0,6 + 0,06 fcj = 0,6 + 0,06 .25 = 2,1 MPa Amin = 0,23 × 100 × 8 ×

2,1 ⟹ Amin = 0,97/𝑚𝑙 cm2 400

c. Armature finale : 𝐴 = 𝑚𝑎𝑥(𝐴 ; Amin ) ⟹ 𝐴𝑡 = 𝟎, 𝟗𝟕𝐜𝐦𝟐 /𝑚𝑙 BOUKHARS & BENMOULOUD, PFE Master2, 2015/2016

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

d. Choix de la section appliquée : 𝐀 𝐚𝐩𝐩 = 𝟑𝐓𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟑𝟔𝐜𝐦𝟐 e. Armatures de répartition : 𝐴𝑟 =

Aapp = 0,59 cm2 /𝑚𝑙 4

f. Choix de la section appliquée : 𝐀 𝐚𝐩𝐩 = 𝟑𝐓𝟖 = 𝟏, 𝟓𝟏𝐜𝐦𝟐 IV.2.3. Vérification à l’effort tranchant : Tmax = 1,5 ⤬ Fp = 1,5 ⤬ 88,2 ⟹ Tmax = 132,3 daN Fissuration peu nuisible : 𝜏u = min(0, 2

𝑓c28 γb

; 5MPa ) = 3,33 MPa

Tmax 132,3 × 10 = = 0,016 𝑏0 × 𝑑 100 × 8 × 100 𝜏u < 𝜏u ⟹ 0,016 < 3,33 ⟹ les armatures transversales ne sont pas nécessaires. 𝜏u =

3T10 /ml

3T6 /ml

Fig. (IV-8):

Schéma de ferraillage

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CHAPITRE IV

Etude des éléments non structuraux

Conclusion : L’étude des éléments non structuraux dans la structure, comme les escaliers et les acrotères, a pour but d’assurer le confort et la sécurité des personnes. La circulation entres les différente niveaux est assurée par ces escaliers. L'étude et le ferraillage ont été effectués selon les règlements en vigueur BAEL91 ET RPA99/V2003.

Tab. (IV.5) : Tableau récapitulatif de sollicitation et section de ferraillage

Console

Paillasse

Volée

Palier

Marche

Palier

Mmax (kN. 𝑚)

10,52

12,57

5,50

8,14

Tmax (kN)

/

6,37

6,50

10,00

𝐴(cm2 )

3,53

4,26

1,80

1,70

𝐴𝑚𝑖𝑛 (cm2 )

1,09

1,09

0,49

1,09

𝐴𝑓 (cm2 )

4T12 = 4,52

4T12= 4,52

2T12=2,26

10T6= 2,83

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