Iii.6. Etude Des Escaliers

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

III.6. Etude des escaliers : Les escaliers sont calculés en flexion simple en considérant la section à ferrailler comme une section rectangulaire de largeur 100cm et de hauteur 15cm. Escalier type1 (Sous-sol + RDC) : Les escaliers (Sous-sol+ RDC) sont des escaliers à 03 volées, leurs calcule se fait de la manière suivante :

Figure : schéma statique d’un escalier

Charges et surcharges : G Palier =5 . 11 KN / m ² G Volée =9 . 23 KN / m ² Q Escalier =2 . 50 KN / m ² ¿ ¿ {¿ {¿

¿

¿¿

¿ ¿

Combinaison de charges : Pour la volée : ELU :

qu =1 . 35G+1 .5 Q=16 .21 KN /m

q =G+ Q=11. 73 KN /m

ELS : s Pour le palier : ELU :

qu =1 . 35G+1 .5 Q=10. 65 KN /m

ELS : q s =G+ Q=7 . 61 KN /m

Calcule des sollicitations :

42

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

On considère que la dalle ADHE comme partiellement encastré à mi paliers ABFE et CDHG et que la totalité des charges q qui la sollicitent sont réparties uniquement sur la partie inclinée. La dalle ABJI est partiellement encastrée dans le mur AB et la poutre JI, et que la dalle CDLK est partiellement encastrée dans le mur CD et la poutre LK que la charge sollicitant la partie inclinée est q.

et

Dans les paliers ABFE et CDHG, il faut tenir compte de la réaction RV de la dalle inclinée BCGF (qpalier=qp+RV) comme représenté sur la figureIII.33 :

Fig III.33 : Reé partition des charges des escaliers

Réactions des appuis : 

Volée intermédiaire :

Calcul de la longueur réel de volée intermédiaire :

α = 48.580 ⇒

LV =

0.30 cos 48.58

= 0.45m

43

Chapitre 03

RU =

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

q u × LV 16.21 ×0.45 = =3.65 KN 2 2

q s × LV 11.73 × 0.45 = =2.64 KN 2 2 Calcul de la charge de la dalle ABJI : Rser =

Longueur réelle de volée : LV=2.5m. À l’ELU : quv= 1.35

¿ 9.23+1.5

¿ 2.5=16.21KN/m.

qup= 1.35

¿ 5.11+1.5

¿ 2.5+(Ru=3.65) =14.3 KN/m.

À l’ELS : qsv= 9.23+2.5=11.73KN/m. qsp= 5.11+2.5+(RS=2.64)=10.25KN/m .  Calcul de la charge équivalente de la Dalle ABJI : À l’ELU : qu eq =∑

q i×Li Li

=

(16 . 21×2 .5 )+(14 . 3×1. 5) =15 . 49 KN /m 2. 5+1 .5

Fig III.34: charge équivalent de la dalle ABJI à ELU À l’ELS :

q s eq=∑

qi ×Li (11. 73×2. 5)+(10. 25×1. 5) = =11.17 KN /m Li 2 .5+1. 5

Fig III.34: charge équivalent de la dalle ABJI à ELS  Calcul des sollicitations À l’ELU :

q u ×L2 15. 49×42 M u0 = = =30 . 98 KN . m 8 8 44

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Moment en travée et en appui : Mtu=0.75*M0=0.75*30.98=23.23KN.m. Mau=-0.5M0=-0.5*30.98=-15.49KN.m. Effort tranchant : V u=

qu ×L 15 . 49×4 = =30 . 98 KN . 2 2

q s×L2 11 . 17×4 2 M s 0= = =22. 34 KN . m 8 8 À l’ELS : Moment en travée et en appui : Mts=0.75*M0=0.75*22.34=16.75KN.m. Mas=-0.5M0=-0.5*22.34=11.17KN.m.

Figure

 Ferraillage : En travée :

μbu=

Mt b×d 2 ×f bu

=

23 . 23×10−3 =0 .097< 0 .186 14 . 2×1×0 .13 2

α=1 .25 [ 1− √ 1−2 μ bu ] ⇒ α=0 .128 At=

;

Z =d [ 1−0. 4 α ] ⇒ Z=0 . 123 m

Mt 23. 23×10 = =5 . 43 cm 2 /ml Z ×f st 0 . 123×348

Vérification de la condition de non fragilité :

A min =0, 23×b×d×f t 28 /f e=0, 23×1×0 .13×2,1/400=1,57 cm2 /ml . On a :

At >

A min

… Condition vérifiée. 2

Soit : A t =5 HA 12=5 . 65 cm /ml 45

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

μbu =

Aux appuis :

Ma

−3

15 . 49×10 =0 . 064<0 . 186 2 f bu d b = 14 . 2×0 . 132×1

α=1 .25 [ 1− √ 1−2 μ bu ] ⇒ α=0 .083

A a= On a :

; Z =d [ 1−0. 4 α ] ⇒ Z=0 . 126 m

15 . 49×10 =3 . 53 cm2 /ml 348×0 .126 Aa >

A min

… Condition vérifiée. 2

Soit : A a =5 HA 10=3 . 93 cm /ml  Vérifications :  À l’ELU :  Vérification de l’effort tranchant : f c 28 25 =0 .2× =3 .33 Pa ¯τ =0 . 2× γb 1.5

V 30. 98×10−3 τ u= = =0 .24 MPa< ¯τ ……………Condition vérifiée. b.d 1×0 . 13 Calcul des armatures de répartition :

En travée :

En appuis :

At≥

A s 5 . 65 = =1 . 41 cm²/ ml 4 4

A a≥

Aa 4

=

3 . 93 =0 . 98 cm ²/ ml 4

on choisit : 3HA8/ml = 1.51cm²/ml.

on choisit : 3HA8 = 1.51cm²/ml.

Espacement des barres : Travée : St ¿ min (3×e ; 33)cm

⇒

St = 20cm

Appuis : St ¿min (3×e ; 33)cm

⇒

St = 20cm

Armatures de répartition : St ¿ min (4×e ; 45)cm

⇒

St = 33cm

 Calcul à l’ELS : La fissuration est peu nuisible car les escaliers sont à l’abri des intempéries, donc les vérifications à faire sont :  Vérification de l’état limite de compression du béton : En travée :

46

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

σ bc ≤ ¯σ bc =0,6 F c 28=0,6×25=15 MPa

σ bc =

M ser. t

× y tel que: M Ser . t =16 .75 KN .m I 50 y ²+15×5 .65 y−15×5 .65×13=0 y=3 . 92 cm ; I=8995 .21 cm4 σ bc =7 . 3 MPa<σ =15 MPa………………. Condition vérifiée Aux appuis :

σ bc =

M ser. a

× y tel que : M Ser . a =−11. 17 KN . m I 50 y ²+15×3 . 93× y−15×3 . 93×13=0 y=3 . 37 cm ; I=6742. 59 cm4 σ bc =5 . 58 MPa<σ=15 MPa ………………. Condition vérifié  Vérification de l’état limite de déformation: Les conditions à vérifier sont les suivantes : Mt h 3 ≥max( ; ) l 80 20×M 0

A 2 ≤ b×d f e

(1)

(2)

BAEL 91(A. 6.5.2)

h 0 . 15 3 16 .75 = =0 . 0375≥max( ; )=0 . 0375 .. .. . .Condition vérifié 4 80 20×22. 34 1) l .

A 5 .65 2 = =0 .00435≤ =0. 005 .. . .. Condition vérifié b×d 100×13 fe 2) . Les deux conditions sont vérifiées, Donc la vérification de la flèche n’est pas nécessaire.

3HA8/ml - St = 33cm/ml 4HA10/ml - St = 25cm/ml 5HA12/ml - St = 20cm/ml 3HA8 /ml - St = 33cm/ml

47

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Figure III.27 : schéma de ferraillage de l’escalier Escalier type 2 (étage courant) : L’escalier travaille à la flexion simple en considérant la dalle comme une poutre sur deux appuis uniformément chargée.

Figure : schéma statique d’un escalier

Charges et surcharges : G Palier =5 . 11 KN / m ² G Volée =8 . 17 KN / m ² Q Escalier =2 . 50 KN / m ² ¿ ¿ {¿ {¿

¿¿

¿

Combinaison de charges :

¿ ¿

Pour la volée : ELU :

qu =1 . 35G+1 .5 Q=14 .78 KN /m

ELS : q s =G+ Q=10 . 67 KN / m

Pour le palier : ELU : qu =1 . 35G+1 .5 Q=10. 65 KN /m ELS :

q s =G+ Q=7 . 61 KN / m

Calcule des sollicitations : Réactions des appuis : Calcul par la méthode de la RDM

Figure : schéma statique à L’ELU

48

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

∑ F V =0 ⇒ R A +R B=2. 55×14 .78+1 . 5×10 . 65 ⇒ R A +RB =53. 66 KN

[

( 1 .5 )2 ( 2 .55 ) 10 . 65+ 14 .78×2 .55 × +1. 5 2 2

(

)]

∑ M / B ¿= 0⇒ R A = ¿ ¿/ ¿ 4 . 05/ ¿ ⇒ R A =28 .78 KN ⇒ R B =24 .88 KN

¿

Effort tranchant et moment fléchissant : Calcul par la méthode des sections : Tronçon I :

0≤x≤2. 55 m

T ( x )=28 . 78−14 . 78 x ⇒ T max =28 .78KN=max ( T 0 = 28 .78KN et T 2. 55 =-8 .91KN ) 2

M ( x )=28 .78 x−14 . 78

x ⇒ M 0 =0 ; M 2. 55 = 25 . 33 ; M max = 28 . 02 2 dM =0 ⇒T ( x )=0⇒ x=1. 94m dX ¿

{ ¿ { ¿ ¿¿

Tronçon II :

2. 55 m≤x≤4 . 05 m

( KN . m )

¿

T ( x )=18 . 25−10 . 65 x ⇒ T max =-24 . 88KN=max ( T 2. 55 = -8 . 91KN et T 4 .05 =-24 . 88KN ) M ( x )=−5 .32 x 2 +18 .24 x +13 . 47 ⇒ M 2 .55 =25. 39 ; M 4 . 05 = 0 ; M max = 29. 10 ( KN . m ) dM =0 ⇒T ( x ) =0⇒ x=1 . 71m dX ¿ { ¿ { ¿ ¿¿ ¿

Figure III.26 : Diagramme de l’effort tranchant et moment 49

Chapitre 03

On a : M

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

max

=29.10 KN .m

V max =28. 78KN

;

Calcul des moments réel :

M M

t max a max

=0 .75×29 .10=21 .82 KN . m =−0. 5×29. 10=−14 . 55 KN . m

 Ferraillage : En travée :

μbu=

Mt b×d 2 ×f bu

=

21 . 82×10−3 =0 .091<0 . 186 14 . 2×1×0 .13 2

α=1 .25 [ 1− √ 1−2 μ bu ] ⇒ α=0 .119 At=

; Z =d [ 1−0. 4 α ] ⇒ Z=0 . 124 m

Mt 19. 16×10−3 = =5. 06 cm 2 /ml Z ×f st 348×0 . 124

Vérification de la condition de non fragilité : 2

A min =0, 23×b×d×f t 28 /f e=0, 23×1×0 .13×2,1/400=1,57 cm / ml . On a : Soit

A>

A min

… Condition vérifiée.

A t =5 HA 12=5 . 65 cm

2

Aux appuis : μbu=

−3

Ma f bu d 2 b =

14 . 55×10 =0 . 061<0 .186 14 . 2×0 . 132×1

α=1.25×(1− √1−(2×0.061))=0.079 A=

;

Z=0.13×(1−0.4×0.04 )=0.126 m

7 . 66×10 =3 . 32 cm2 /ml 348×0 . 126

On opte pour :

2

5 HA10=3.93 cm /ml

 Vérifications :  À l’ELU :  Vérification de l’effort tranchant : 50

Chapitre 03

¯τ =0 . 2

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

f c 28 =3 .33 Pa γb −3

V 28. 78×10 τ u= = =0 .22 MPa< ¯τ .………….Condition vérifiée . b.d 1×0 . 13 Calcul des armatures de répartition :

En travée :

En appuis :

At≥

A s 5 . 65 = =1 . 41 cm²/ ml 4 4

A a≥

Aa 4

=

on choisit : 3HA8/ml = 1.51cm²/ml.

3 . 93 =0 . 98 cm ²/ ml 4

on choisit : 3HA8 = 1.51cm²/ml

 Espacement des barres : - Travée: St ¿min (3×e ; 33)cm

⇒ St = 20cm

- Appuis: St ¿min (3×e ; 33)cm

⇒

St = 20cm

- Armatures de répartition : St ¿min (4×e ; 45 )cm

⇒

St = 33cm

 À l’ELS : La fissuration est peu nuisible car les escaliers sont à l’abri des intempéries, donc les vérifications à faire sont :  Vérification de l’état limite de compression du béton : En travée : max

Ra =20 .76 KN et Rb =17 . 86 KN ; M ser =20. 19 KN . m avec : X =1. 94 m

σ bc =

M ser

× y tel que : M Ser =0 .75×20. 19=15. 14 KN .m I 50 y ²+5. 65×15× y −15×5 . 65×13=0 y=3 . 92 cm ; I=8995 .21 cm4 σ bc =6 . 59 MPa<σ =15 MPa……………. Condition vérifiée. Aux appuis :

σ bc =

M ser. a

× y tel que: M Ser . a =−10 . 09 KN . m I 50 y²+15×3 . 93× y−15×3 . 93×13=0 y=3 . 37 cm ; I=6742. 59 cm4 σ bc =5 .04 MPa<σ =15 MPa …………………Condition vérifiée . 51

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

 Vérification de l’état limite de déformation:

h 0 .15 3 15. 14 = =0 . 037<max ( ; )=0 .0375 . .. .. . Condition non vérifié 80 20×20 . 19 1) l 4 . 05 . La condition 1 n’est pas vérifiée, alors on doit vérifier la flèche. Tableau III.3.1.Evaluation de la flèche dans la partie 1 de l’escalier. As(cm2)

L(m)

Mjser(KN.m)

Mgser(KN.m)

Mpser(KN.m)

I(cm4)

I0(cm4)

4.05

5.65

11.3

6.66

15.14

8995.21

190064

Y(cm)

fji(cm)

fgi(cm)

fpi(cm)

fgv(cm)

Δf(cm)

Fadm(cm)

3.92

0.064

0.019

0.106

0.052

0.075

0.81

Δf=0.075cm < ´f =

l = 0.81cm 500

⇒ la flèche est vérifiées.

3HA8/ml - St = 33cm/ml 4HA10/ml - St = 25cm/ml 5HA12/ml - St = 20cm/ml 3HA8 /ml - St = 33cm/ml

Figure III.27 : schéma de ferraillage de l’escalier Escalier type 2 (étage courant) : L’étude de cette partie se fera en considérant la volée comme une console encastrée à l’un de ces extrémités (poutre brisée) comme indique la figure ci-dessous :

52

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Figure : Schéma statique de la console.

Calcul les sollicitations :

{

GV =7.73 KN /ml . QV =2. 5 KN /ml . P=1 KN /ml .

A L’ELU : qu =1.35 GV +1.5Q V =(1.35× 7.73)+(1.5 ×2.5)=14.18 KN /m Pu=1.35 ×1=1.35 KN

M u=

2 qu L 2 14.18× 1.8 + Pu L= + ( 1.35 ×1.8 )=25.40 KN . m 2 2

V u=q u L+ Pu =( 14.18× 1.8 ) +1.35=26.87 KN /m A L’ELS : q s=GV +QV =7.73+2.5=10.23 KN /m P=1 KN

M s=

q s L2 10.23 ×1.8 2 + PL= + ( 1× 1.8 )=18.37 KN . m 2 2

Ferraillage : On résume les calculs dans le tableau ci-après : Tableau III.24 : Résultat de ferraillage de la console. Moment (KN/m)

µbu

α

Z(m)

Acal (cm2)

Amin (cm2)

Achoisie (cm2)

25.40

0.124

0.166

0.112

6.52

1.45

6HA12=6.79

 Vérifications :  À l’ELU :  Vérification de l’effort tranchant :

¯τ =0 . 2

f c 28 γb

=3 .33 Pa

V 26 .87×10−3 τ u= = =0 . 22 MPa< ¯τ .…………. Condition vérifiée. b.d 1×0 .12 Calcul des armatures de répartition :

53

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

A 6 .79 At≥ = =2 . 26 cm ²/ ml 3 3

On choisit : 3HA10/ml = 2.36 cm²/ml.

 Espacement des barres : a) sens principal: St ¿min (2×e ; 33 )cm

⇒ St = 16 cm

b) armatures de répartition : St ¿min (3×e ; 45)cm

⇒

St = 33cm

 À l’ELS : La fissuration est peu nuisible car les escaliers sont à l’abri des intempéries, donc les vérifications à faire sont :  Vérification de l’état limite de compression du béton :

M ser =18 .37 KN . m M ser σ bc = ×y I 50 y ²+6 .79×15× y −15×6 . 79×12=0 y=4 . 03 cm ; I=8651. 3 cm4 σ bc =8. 56 MPa<σ =15 MPa……………. Condition vérifiée .  Vérification de l’état limite de déformation: Les conditions à vérifier sont les suivantes :

h 0. 14 1 1) = =0. 078≥ =0 .05 . .. .. . .. .Condition vérifié l 1. 8 20

2)

A 6 . 79 2 = =0 .0056≤ =0. 005 . .. .. . Condition non vérifié b×d 100×12 fe ⇒

f ≤ f adm=

.

La vérification de la flèche est nécessaire.

l 180 = =0.72 cm 250 250

M ser × l 2 18.37 ×10−3 ×1.8 2 f= = =0.08 cm≤ f adm=0.72 cm 4 EI 4 ×210000 ×8651.30 ×10−8 ⇒

La flèche est vérifiée.

54

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

III-7. Etude de la poutre palière : Cette poutre est soumise à son poids propre, aux charges transmises sous effort tranchants qu’on calcul à la flexion simple et aux moments de torsion qu’on calcul à la torsion. Les charges sur la poutre :

g0

:

Poids propre de la poutre

g0 = 25×0. 3×0 .3=2. 25 KN /m .

Figure : schéma statique de la poutre palière

Gm : poids du mur D.C sur la poutre G m=2.76 × ( 1.44−0.35 ) =3.01 KN / ml .

La charge transmise par l’escalier : c’est la réaction d’appui au point B (figureIII.26) :

{

R uB =24.88 KN R sB=17.86 KN

Les sollicitations :  À l’ELU : Pu = 1. 35 ( g0 +g m ) + RuB=31 . 98 KN M 0=

P u× L2

=

31 . 98×3 . 46 2 =47 . 85 KN /m 8

8 2 P 31. 98×3. 462 u ×L M t= = =15 .95 KN / m 24 24 Pu ×L2 31. 98×3 . 462 M a =− =− =−31. 90 KN / m 12 12 P ×L 31 . 98×3 . 46 V u= u = =55 .32 KN 2 2

 À l’ELS :

55

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Ps = ( g0 +g m ) + R sB =23 . 12 KN M 0=

P s ×L2

2

=

23 .12×3. 46 =34 .59 KN /m 8

8 2 23 .12×3 . 462 t P s ×L M= = =11 .53 KN /m 24 24 Ps×L2 23. 12×3 . 46 2 a M =− =− =−23 . 06 KN /m 12 12 Calcul d’armature à la flexion simple : Tableaux III-40 : Calcul d’armatures à la flexion simple. Eléments travée appui

Moment (KN.m) 15.95 31.90

Exigence du RPA Art7.5.2.1 :

μbu

α

0.048 0.095

0.062 0.126

A min = 0 .5% b × h = 4 . 5 cm

Z

Acal

(m) 0.273 0.266

(Cm2) 1.68 3.45

2

Les sections calculées sont inférieurs à la section minimale, on ferraille donc avec Amin. Soit : At = Aa= 3HA12+3HA12 = 6.78cm2. Calcul d’armature a la torsion : a) Longitudinales : Le moment de torsion provoquer sur la poutre palière est transmis par la volée et le palier C’est le moment d’appui de l’escalier :

M

torsion

¿ 14.55 KN . m

Pour une section pleine on remplace la section réelle par une section creuse équivalente dont l’épaisseur de la paroi est égale au sixième du diamètre du cercle qu’il est possible d’inscrire dans le contour de la section

BAEL (Art A.5.4.2 .2.).

�M = -14.55 KN .m. � Tu � a 30 e= = = 5cm. � 6 6 � � W = ( b - e ) �( h - e ) = ( 30 - 5 ) �( 30 - 5 ) = 625cm 2 . � � U = 2 �� ( b - e) + ( h - e) � � � �= 1m � M �U �g S 14.55 �� 1 1.15 �10 �Al = Tu = = 3.35 cm 2 2 �W �f e 2 �0.0625 �400 � �

Figure III.28 : Section creuse équivalente

- U : périmètre de la section 56

Chapitre 03

-

Ω

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

: air du contour tracé à mi-hauteur

- e : épaisseur de la paroi - Al : section d’acier longitudinale Choix des armatures :

A 3.35 � travée : At = Afléxion + Torsion = 4.5 + = 6.17cm 2 Soit 6 HA12 = 6.79cm 2 . � � 2 2 � ATorsion 3.35 �Appui : A = A = 4.5 + = 6.17cm 2 Soit 6 HA12 = 6.79cm 2 . a fléxion + � 2 2 On doit vérifier la condition suivante : Vérification de la contrainte de cisaillement : −

On vérifie que :

√

τ u= τ

Avec

tor 2

+τ

fle 2

[Art A.5.421 ; BAEL91].

(contrainte de cisaillement dû à l’effort tranchant)

V max = 54.81KN

On a :

τ fle=

τ u <τ u

VU

55. 32×10−3 =0.66 MPa < 3.33MPa ……………vérifiée b×d 0 .28×0. 3

τ tor =

=

M Tu

14 . 55×10−3 =2 . 33 MPa 2×Ω×e 2×0 . 0625×0. 05 =

τ u =√ 2 .332 +0 .66 2=2. 42 Mpa< τ u =min (

0,2×f c 28 1. 5

;5 Mpa )=3 .33 Mpa . .. .C .V

Calcul des espacements : Selon CBA93(A.5.1.2.2) : St≤ min [St1; St2; St3] avec:

(1):S t 1≤min(0 . 9 d , 40 cm)⇒ S t ≤25 . 2 cm ( 2) : S t 2≤ (3) : S t 3 ≤

At ×f e 0 . 4×b

⇒ St ≤

6 . 79×40 ⇒ S t ≤22. 63 cm 0 . 4×30

0. 9×A t ×f e γ s ×b×( τ u −0 . 3×f t 28 )

⇒ S t 3≤

0 . 9×6 . 79×40 ⇒ S t ≤39. 58 cm 1 .15×30×(0 .242−0 .3×0 . 21) 57

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

On prend : St = 15 cm b) transversales :

Flexion simple :

At≥

0 . 4×b×S t fe

=

0 . 4×0 . 3×0. 15 =0 . 45 cm 2 400

Torsion :

A

t min

=0. 003×S t ×b=0 . 003×15×30=1 . 35 cm²

A t=

M Tu×S t ×γ s 14 . 55×0 . 15×1 . 15×10 = =0 .50 cm ² 2×Ω×f e 2×0 . 0625×400

A t =A +A =0.45+ 1.35 = 1.8cm² fle tor

D’où 

soit 4 HA 8=2.01cm

2

Vérification de l’état limite de compression de béton

y σ bc =M ser × <σ bc I

On veé rifie :

Tableau III.41résultats de calcul des contraintes dans le béton /

Mser

Y

I

(KN.m) (m) 10-8(m4) En travée 11.53 0.108 42728.42 En appui 23.06 0.108 42728.42  Vérification de l’état limite de déformation du béton

σ bc

σ bc

(MPa)

(MPa)

2.91 5.82

15 15

Mt h 1 ≥max( ; )⇒ 0 .087≥0 . 0625 .. .. . .. Condition vérifée l 16 10×M 0 1)

As

2)

4 .2 6 . 79×10−4 ≤ ⇒ =0. 008≤0 .0105 . .. . .. .Condition vérifée b×d f e 0. 3×0 .28

Les deux conditions sont vérifiées implique qu’il n y a pas lieu de calculer la flèche. 3HA12

Cadre eé trier HA8

3HA12

30 3HA12 30

58

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Figure III.29 Schéma de ferraillage de la poutre palière.

III.8. Etude de la poutre brisée: La poutre inclinée se calcul en flexion et en torsion. 1) Pré-dimensionnement : On doit vérifier la condition de la flèche :

L=1 .35+(

0.3 )+1. 35=3 . 15 m cos 48. 58

L L 315 315 ≤h≤ ⇒ ≤h≤ ⇒21 cm≤h≤31 .5 cm 15 10 15 10 On prend : b=30cm ; h=30cm.

2) Calcul à la flexion simple :

Figure : schéma statique de la poutre brisée Calcul des charges : La poutre est soumise à son :

-Poids propre :

Phor =0 .3×0 .3×25=2. 25 KN / ml . 2. 25 Pinc = =3 . 4 KN / ml . cos 48 .58 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿

-Poids du mur : Pm=gmur ×[ hesc −( H +h poutre )]=2. 76×[ 3. 06−(1 .36 +0 .35 )]=3 . 73 KN /ml  À l’ELU :

59

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES u

Q 1 =1,35( Phor +Pm ) +qpal =1 .35 ( 2. 25 +3 .73 )+14 . 3 Q 2 =1,35 ( Pinc +Pm )

+quvol =1 . 35×(3 . 4 +3 .73 )+( 16 . 21×0 . 45 ) ¿

{¿

¿¿

⇒

¿

Q 1 =22 . 37KN/m Q 2 =16 . 91KN/m ¿ {¿ ¿ ¿ ¿

 À l’ELS : s

Q 1=( P hor +Pm ) +q pal =( 2 . 25 +3 .73 )+10 .25 Q 2 =( P inc +Pm ) +q u vol =( 3 . 4+3 . 73 )+(11 . 73 ×0 . 45) ¿ {¿ ¿ ¿ ¿

Q 1 =16 . 23KN/m Q 2 =12 . 41KN/m ¿ {¿ ¿ ¿ ¿

⇒

Calcul de la réaction d’appui de la poutre brisée : On utilisant la méthode de la RDM on trouve : 0. 45 0 . 45 =( 22 . 37×1 .35 )+ 16 . 91× =34 KN 2 2 0 . 45 0 . 45 RsA =R sB =( Q s1 ×1. 35 ) + Q 2s × = (16 . 23×1. 35 ) + 12. 41× =14 . 70 KN 2 2 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿

(

)

RuA = RuB =(Q u1×1 . 35 ) + Q u2 ×

(

(

)

(

)

)

Calcul des sollicitations :

dM z dx

D’après le 2ème tronçon 1.35m ≤ x ≤1.8m : u

=0 ⇒ x=1 .575 m

s

M 0 (1 .575 )=25 . 95 KN . m; M 0 (1. 575 )=18 .87 KN . m Calcul des moments réel : À l’ELU :

M

À l’ELS :

=0 .75×29 . 95=22 . 46 KN . m

M

max =−0. 5×29. 95=−14 .97 KN a V max u =34 KN

M

t max

M

t max

=0 . 75×18 . 87=14 .15 KN . m

max =−0 . 5×18 . 87=−9. 43 KN a

.m

Ferraillage : Eléments travée appui

Moment

μbu

α

Z

(KN.m) (m) 22.46 0.067 0.087 0.270 14.97 0.045 0.058 0.274 Tableaux III-40 : Calcul d’armatures à la flexion simple.

Exigence du RPA Art7.5.2.1 :

Acal (Cm2) 2.39 1.57

A min = 0 .5% b × h = 4 . 5 cm 2

Les sections calculées sont inférieurs à la section minimale, on ferraille donc avec Amin. 60

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Soit : At = Aa= 3HA12+3HA12 = 6.78cm2. 3) Calcul à la torsion : Le moment de torsion à prendre est le moment max aux appuis de la volée donc :

�M = -15.49 KN .m � Tu � a 30 e= = = 5cm � 6 6 � � W = ( b - e ) �( h - e ) = ( 30 - 5 ) �( 30 - 5 ) = 625cm 2 Figure III.28 : Section creuse équivalente � � U = 2 �� ( b - e) + ( h - e) � � � �= 1m � M �U �g S 15.49 �� 1 1.15 �10 �Al = Tu = = 3.56 cm 2 2 �W �f e 2 �0.0625 �400 � � Choix des armatures :

A 3.56 � travée : At = A fléxion + Torsion = 4.5 + = 6.28cm 2 Soit 6 HA12 = 6.79cm 2 . � � 2 2 � ATorsion 3.56 �Appui : A = A = 4.5 + = 6.28cm 2 Soit 6 HA12 = 6.79cm 2 . a fléxion + � 2 2 On doit vérifier la condition suivante : Vérification de la contrainte de cisaillement : −

On vérifie que : Avec

√

τ u= τ

τ u <τ u

tor 2

+τ

fle 2

[Art A.5.421 ; BAEL91]. (contrainte de cisaillement dû à l’effort tranchant)

V U 34×10−3 τ fle= = =0 .40 MPa < 3 .33MPa ……………vérifiée b×d 0 .28×0. 3 τ tor =

M Tu

15 . 49×10−3 =2 . 48 MPa 2×Ω×e 2×0 . 0625×0. 05 =

τ u =√ 2 . 482 +0 . 402 =2 .51 Mpa< τ u =min (

0,2×f c 28 1. 5

;5 Mpa )=3 .33 Mpa. .. . C .V

Calcul des espacements : Selon CBA93(A.5.1.2.2) : 61

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

St≤ min [St1; St2; St3] avec:

(1):S t 1≤min(0 . 9 d , 40 cm)⇒ S t ≤25 . 2 cm ( 2) : S t 2≤

(3): S t 3 ≤

At ×f e 0 . 4×b

⇒ St ≤

6 . 79×40 ⇒ S t ≤22. 63 cm 0 . 4×30

0 . 9× A t ×f e

⇒ S t 3≤

γ s ×b×( τ u −0 .3×f t28 ) ⇒ S t ≤37 . 69 cm on prend : St = 15 cm

0 .9×6 . 79×40 1. 15×30×(0 . 251−0 . 3×0. 21)

b) transversales :

At≥

Flexion simple :

0 . 4×b×S t fe

=

0 . 4×0 . 3×0. 15 =0 . 45 cm 2 400

Torsion :

A

t min

=0. 003×S t ×b=0 . 003×15×30=1 . 35 cm²

A t=

M Tu×S t ×γ s 15 . 49×0. 15×1 . 15×10 = =0 . 53 cm² 2×Ω×f e 2×0 . 0625×400 A t =A +A =0.45+ 1.35 = 1.8cm² fle tor

D’où : 

soit 4 HA 8=2.01cm

2

Vérification de l’état limite de compression de béton

y σ bc =M ser × <σ bc I

On veé rifie :

Tableau III.41résultats de calcul des contraintes dans le béton /

Mser

Y

I

(KN.m) (m) 10-8(m4) En travée 14.15 0.108 42728.42 En appui 9.43 0.108 42728.42  Vérification de l’état limite de déformation du béton

σ bc

σ bc

(MPa)

(MPa)

3.58 2.38

15 15

Mt h 1 ≥max( ; )⇒ 0 .095≥0 . 075. . .. .. Condition vérifée l 16 10×M 0 1)

As

2)

4 .2 6 . 79×10−4 ⇒ =0. 008≤0 .0105 . .. . .. .Condition vérifée b×d f e 0. 3×0 .28 ≤

Les deux conditions sont vérifiées implique qu’il n y a pas lieu de calculer la flèche. 62

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

3HA12

Cadre eé trier HA8

3HA12

30 3HA12 30

Figure III.29 Schéma de ferraillage de la poutre palière.



Le chaînage horizontal :

Les poutres de chaînages sont des poutres en béton armé horizontales elles ceinturent les façades a chaque étage au niveau du plancher pour les rentrent solidaires à la structure elles servent de porte a faux. III.3.3.Calcul des sollicitations : 63

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

PP

Poids propre : Poids des murs :

= 25

¿

0.35

Pm = 2.76

¿

(3.06-0.35) = 7.48KN/m

¿

0.3= 2.625KN/m

M u =1.35×(2.625+7.48)= 13.64 KN/m Ps

7.48+2.625=10.105KN/m

=

M u = Pu

L2max 8 =39.28KN m

Calcul a l’ELU:

M t =0 .75 M u =29 . 46 KN . m M a =−0. 5 M u=−19 .64 KN .m III .3. 4. Le ferraillage : a) Armatures longitudinales : Le calcul des armatures se fait à la flexion simple et les résultats sont résumés dans le tableau suivant :

Tableau III.42. : Armatures longitudinales poutres de chainages

/ En travée En appui

M ( KN .m)

μbu

29.46 19.64

0.0675 0.045

α

Z

A s calculé 2

(cm ) 0.087 0.057

0.308 0.312

2.74 1.81

Amin (cm2) 1.16 1.16

A s adopté (cm2 ) 3HA12=3.39 3HA10=2.36

III.3.5. Vérifications : À l’ELU : 64

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Effort tranchant :



l V u = pu × =32 .736 KN 2 τ u=

Vu b×d

=0 .341 MPa

τ u =min(0,1 f C 28 ;4 MPa) Calcul des armatures transversales :

φt ≤min(

h b ; ; φ )⇒ φt ≤10 mm 35 10 l

Soit un cadre

φ8

plus une eé trier

(Art III.3.b) [1]

⇒ A t =4

φ8

φ8

=2.01cm2

c) Les espacements

S t ≤min(0 . 9×d ; 40 cm) =28.8cm St≤

St≤

(Art A.5.1.2.2) [4]

A t ×f e 0 . 4×h =57.43 cm

0 .9× At ×f e b×( τ u −0,3×f c 28 )

<0

Le RPA99/ version2003 exige un espacement S t ≤min(h ;25 cm)=25 cm. On adopte

S t =15 cm . …………C’est vérifié

À l’ELS :  Vérification de la contrainte dans le béton : M0 = 29.10KNm

M t =21. 83 KN .m M a =−14 .55 KN . m Tableau III.43. : Vérification de la contrainte dans le béton.

/

Mser

y

I

σ bc

σ bc 65

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

(KN.m) 21.83 14.55

Travée appui

(m) 8.857 7.59

(m4) (MPa) 0.0003411831 5.656 0.000254655 4.336

(MPa) 15 15

Evaluation de la flèche CBA 93 (Article B.6.5.1). Si l’une de ses conditions ci-dessous n’est pas satisfaite la vérification de la flèche devient nécessaire :



h 1 ≥ l 16



Mt h ≥ l 10×M 0

 Avec :

A 4,2 ≤ b0 ×d f e

h : hauteur de la poutre l : Longueur de la traveé e Mt : Moment en traveé e M0 : Moment statique de cette poutre A ; Section des armatures choisie

h 35 1 = =0, 0729≥ =0 . 0625 l 480 16 la condition est vérifiée Mt h =0, 0729> l 10×M 0

=0.075 la condition n’est pas veé rifieé e.

Donc on calcul la fleè che. Tableau III.44. : Évaluation de la flèche de la poutre de chainage 3HA10

M (KN.m) 21.83

A Cm2 3.39 35cm

fgv cm 0.61

fgi

f

cm cm 0.33 0.28 CadreΦ8+eé trierΦ8

fadm cm 0.96

St =15cm 3HA12

30cm

66

Chapitre 03

ETUDE DES EÉ LEÉ MENTS SECONDAIRES

Figure.III.30.schéma de ferraillage de la poutre de chainage Conclusion : Ce chapitre nous à permis la détermination des sections d’aciers pour reprendre les charges revenant aux éléments non structuraux. L’étude des poutrelles s’est faite suivant les règlements en vigueurs, ces dernières on été ferraillées de façon sécuritaires et économiques. Notre projet comprends trois types de dalle pleines, elles on été étudiées et ferraillées suivant les sollicitations les plus défavorables. l’acrotère travaille lui en flexion composé, son ferraillage a été déterminé suivant les règles ,ensuite nous avons étudié l’ascenseur et ferraillé la dalle du local machine. L’escalier principale de notre structure qui est composée de deux volées a été étudié et ferraillé. la poutre palière a été étudiée sous les sollicitations de flexion et de torsion, enfin la poutre de chainage a été étudiée en flexion simple.

67