Cinetica De Una Particula Impulso Y Cantidad De Movimiento(1)

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES En esta sección integraremos la ecuación de movimiento con respecto al tiempo para obtener el principio de impulso y cantidad de movimiento. La ecuación resultante es útil para resolver problemas que implican fuerza, velocidad y tiempo. Cantidad de Movimiento Lineal

𝑑𝒗 ෍ 𝑭 = 𝑚𝒂 = 𝑚 𝑑𝑡 𝑡2

𝑣2

෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = 𝑚 න 𝑑𝒗 𝑡1

𝑣1

𝑡2

෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣1 𝑡1

𝑡2

෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣1 𝑡1

Impulso lineal

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES Cantidad de Movimiento Lineal Cada uno de los dos vectores de la forma 𝑳 = 𝑚𝒗, se conoce como la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Como 𝑚 es un escalar positivo, el vector de cantidad de movimiento lineal tiene la misma dirección que 𝒗, y su magnitud 𝑚𝑣 tiene unidades de masa-velocidad, por ejemplo, 𝑘𝑔 ∗ 𝑚Τ𝑠 o slug∗ 𝑓𝑡Τ𝑠.

Impulso Lineal La integral 𝑰 = ‫ 𝑡𝑑𝑭 ׬‬se conoce como impulso lineal. El término es una cantidad vectorial que mide el efecto de una fuerza durante el tiempo en que la fuerza actúa. Como el tiempo es un escalar positivo, el impulso actúa en el misma dirección que la fuerza, y su magnitud tiene unidades de fuerza-tiempo, por ejemplo, 𝑵 ∗ 𝑠 o 𝑙𝑏 ∗ 𝑠

𝑡2

𝑚𝑣1 + ෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = 𝑚𝑣2 𝑡1

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES 𝑡2

𝑚𝒗1 + ෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = 𝑚𝒗2 𝑡1

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES Si cada uno de los vectores se divide en sus componentes x, y, z, podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes de impulso y cantidad de movimiento lineales.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES La pelota de 0.5 kg choca con el suelo áspero y rebota con las velocidades que se muestran. Determine la magnitud del impulso que ejerce el suelo en la pelota. Suponga que ésta no patina cuando choca con el suelo e ignore su tamaño y el impulso producido por su peso.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES Si el coeficiente de fricción cinética entre el embalaje de 150 lb y el suelo es 𝜇𝑘 = 0.2, determine la rapidez del embalaje cuando 𝑡 = 4𝑠. El embalaje comienza a moverse desde el punto de reposo y lo remolca la fuerza de 100 lb.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES El motor ejerce una fuerza 𝐹 = 20𝑡 2 𝑁 en el cable, donde 𝑡 está en segundos. Determine la rapidez del embalaje de 25 kg cuando 𝑡 = 4𝑠. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el embalaje y el plano son 𝜇𝑠 = 0.3 y 𝜇𝑘 = 0.25, respectivamente.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES Las ruedas del automóvil de 1.5 Mg generan la fuerza de tracción F descrita por la gráfica. Si el automóvil arranca desde el punto de reposo, determine su rapidez cuando 𝑡 = 6𝑠.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES El vehículo de tracción en las cuatro ruedas (vehículo utilitario deportivo) de 2.5 Mg jala el remolque de 1.5 Mg. La fuerza de tracción desarrollada en las ruedas es 𝐹𝐷 = 9𝑘𝑁. Determine la rapidez del vehículo en 20 s, a partir del punto de reposo. Además, determine la tensión desarrollada en el acoplamiento entre el vehículo utilitario deportivo y el remolque. Ignore la masa de las ruedas.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEALES El bloque de 10 lb A alcanza una velocidad de 1 𝑓𝑡Τ𝑠 en 5 segundos, a partir del punto de reposo. De termine la tensión en la cuerda y el coeficiente de fricción cinética entre el bloque A y el plano horizontal. Ignore el peso de la polea. El bloque B pesa 8 lb.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE PARTICULAS La conservación de la cantidad de movimiento lineal se suele aplicar cuando las partículas chocan o interactúan. Para su aplicación, deberá estudiarse con cuidado el diagrama de cuerpo libre de todo el sistema de partículas para identificar las fuerzas que crean o impulsos internos o externos para determinar así en qué dirección(es) se conserva la cantidad de movimiento lineal. 𝑡2

෍ 𝑚𝑣1 + ෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = ෍ 𝑚𝑣2 𝑡1

෍ 𝑚𝑣1 = ෍ 𝑚𝑣2

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Los carros de carga A y B tienen una masa de 20 Mg y 15 Mg, respectivamente. Determine la velocidad de A después de la colisión si los carros chocan y rebotan, de tal suerte que B se desplaza hacia la derecha a una rapidez de 2 𝑚Τ𝑠. Si A y B están en contacto durante 0.5 s, determine la fuerza impulsora promedio que actúa entre ellos.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL La carretilla y el paquete tienen una masa de 20 kg y 5 kg, respectivamente. Si la superficie de la carretilla es lisa e inicialmente está en reposo, mientras la velocidad del paquete es la que se muestra, determine la velocidad final común de la carretilla y el paquete después del impacto.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL La rapidez inicial del bloque A de 5 kg es de 5 m>s cuando se desliza hacia abajo de la rampa lisa y choca con el bloque estacionario B de 8 kg de masa. Si los dos bloques se acoplan después de la colisión, determine su velocidad común inmediatamente después de la colisión.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL El resorte está fijo al bloque A y el bloque B se comprime contra el resorte. Si éste se comprime 𝑠 = 200𝑚𝑚 y luego se sueltan los bloques, determine su velocidad en el instante en que el bloque B pierde el contacto con el resorte. Las masas de los bloques A y B son de 10 kg y 15 kg, respectivamente.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL La masa de los bloques A y B es de 15 kg y 10 kg, respectivamente. Si A está estacionario y B tiene una velocidad de 15 𝑚Τ𝑠 justo antes de la colisión, y los bloques se acoplan entre sí después del impacto, determine la compresión máxima del resorte.

DINAMICA I

IMPACTO El impacto ocurre cuando dos cuerpos chocan entre sí durante un periodo muy corto, lo que hace que se ejerzan fuerzas (impulsoras) relativamente grandes entre los cuerpos. El golpe de un martillo sobre un clavo, o un palo de golf sobre una bola, son ejemplos comunes de cargas de impacto.

DINAMICA I

IMPACTO *Las partículas tienen los momentos iniciales que se muestran en la figura. Siempre que (𝑣𝐴 )1 > (𝑣𝐵 )1 , eventualmente ocurrirá la colisión.

*Durante la colisión las partículas deben considerarse como deformables o no rígidas. Las partículas experimentarán un periodo de deformación de modo que ejercen un impulso de deformación igual y opuesto ‫𝑡𝑑 𝑷 ׬‬ entre sí.

*Sólo en el instante de deformación máxima ambas partículas se desplazarán con una velocidad constante 𝑣, puesto que su movimiento relativo es cero, figura 15-14c.

DINAMICA I

IMPACTO *Después de un periodo de restitución, las partículas recuperarán su forma original o permanecerán permanentemente deformadas. El impulso de restitución ‫ 𝑡𝑑 𝑹 ׬‬igual pero opuesto separa las partículas, figura 1514d. En realidad, las propiedades físicas de cualquiera de los dos cuerpos son tales que el impulso de deformación siempre será mayor que el de restitución, es decir ‫> 𝑡𝑑 𝑷 ׬‬ ‫𝑡𝑑 𝑹 ׬‬.

Justo después de la separación las partículas tendrán las cantidades de movimiento mostradas en la figura, donde (𝑣𝐴 )2 < (𝑣𝐵 )2 .

DINAMICA I

IMPACTO En la mayoría de los problemas las velocidades iniciales de las partículas serán conocidas, y será necesario determinar sus velocidades finales (𝑣𝐴 )2 , (𝑣𝐵 )2 . A este respecto, la cantidad de movimiento del sistema de partículas se conserva puesto que durante la colisión los impulsos internos de deformación y restitución se cancelan

La relación del impulso de restitución al impulso de deformación se llama coeficiente de restitución, e.

DINAMICA I

IMPACTO

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Determine el coeficiente de restitución e entre la bola A y bola B. Se muestran las velocidades de A y B antes y después de la colisión.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL El carro tanque A de 15 Mg y el vagón de carga B de 25 Mg viajan uno hacia el otro a las velocidades mostradas. Si el coeficiente de restitución entre los parachoques es e 5 0.6, determine la velocidad de cada carro justo después de la colisión.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL El carro tanque A de 15 Mg y el vagón de carga B de 25 Mg viajan uno hacia el otro a las velocidades mostradas. Si el coeficiente de restitución entre los parachoques es e 5 0.6, determine la velocidad de cada carro justo después de la colisión.

DINAMICA I

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL La rapidez del paquete A de 30 lb es de 5 pies/s cuando entra a la rampa lisa. Cuando resbala hacia abajo de la rampa, choca con el paquete B de 80 lb, el cual inicialmente está en reposo. Si el coeficiente de restitución entre A y B es e =0.6, determine la velocidad de B justo después del impacto.

DINAMICA I

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR La cantidad de movimiento angular de una partícula con respecto a un punto O se define como el “momento” de la cantidad de movimiento lineal de la partícula con respecto a O. Como este concepto es análogo a determinar el momento de una fuerza con respecto a un punto, la cantidad de movimiento angular, 𝐻𝑂 , en ocasiones se conoce como el momento de cantidad de movimiento.

(𝐻𝑂 )𝑍 = (𝑑)(𝑚𝑣) 𝑯𝑂 = 𝒓 𝑥 𝑚𝒗

DINAMICA I

RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Los momentos con respecto al punto O de todas las fuerzas que actúan en la partícula de la figura pueden relacionarse con su cantidad de movimiento angular al aplicar la ecuación de movimiento. Si la masa de la partícula es constante, podemos escribir

෍ 𝑭 = 𝑚𝒗ሶ

𝒓 𝑥 ෍ 𝑭 = 𝒓 𝑥 𝑚𝒗ሶ ෍ 𝑴𝑶 = 𝑯𝑂ሶ

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES

෍ 𝑴𝑶 = 𝑯𝑂ሶ

𝒕𝟐

𝐻𝑜 2

෍ න 𝑴𝑶 𝑑𝑡 = න 𝒕𝟏

𝑑𝑯𝑂 ෍ 𝑴𝑶 = 𝑑𝑡

෍ 𝑴𝑶 𝑑𝑡 = 𝑑𝑯𝑂

𝑑𝑯𝑂

𝐻𝑜 1

𝒕𝟐

෍ න 𝑴𝑶 𝑑𝑡 = 𝐻𝑂

− 𝐻𝑂

1

+ ෍ න 𝑴𝑶 𝑑𝑡 = 𝐻𝑂

2

2

𝒕𝟏 𝒕𝟐

𝐻𝑂

1

𝒕𝟏

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULARES 𝑡2

𝑚𝒗1 + ෍ න 𝑭 𝑑𝑡 = 𝑚𝒗2 𝑡1 𝒕𝟐

𝑯𝑂

1

+ ෍ න 𝑴𝑶 𝑑𝑡 = 𝑯𝑂

2

𝒕𝟏 Si el movimiento solo se produce en el plano entonces se puede reducir a tres ecuaciones escalares

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR La partícula A de 2 kg tiene la velocidad que se muestra. Determine su cantidad de movimiento angular 𝑯𝑂 con respecto al punto O.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR La partícula A de 2 kg tiene la velocidad que se muestra. Determine su cantidad de movimiento angular 𝐻𝑃 con respecto al punto P.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Inicialmente, el bloque de 5 kg gira con una velocidad constante de 2 𝑚Τ𝑠 alrededor de la trayectoria circular con centro en O sobre el plano horizontal liso. Si se aplica una fuerza tangencial constante 𝐹 = 5𝑁 al bloque, determine su rapidez cuando 𝑡 = 3𝑠. Ignore el tamaño del bloque.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR El bloque de 5 kg gira alrededor de la trayectoria circular con centro en O sobre el plano horizontal liso cuando se somete a la fuerza 𝐹 = 10𝑡 𝑁, donde t está en segundos. Si el bloque comienza a moverse a partir del punto de reposo, determine su rapidez cuando 𝑡 = 4𝑠. Ignore el tamaño del bloque. La fuerza mantiene el mismo ángulo constante tangente a la trayectoria.

DINAMICA I

PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR La esfera de 2 kg está unida a la barra rígida ligera, la cual gira en el plano horizontal con centro en O. Si el sistema se somete a un momento de par 𝑀 = 0.9𝑡 2 𝑁𝑚, donde t está en segundos, determine la rapidez de la esfera en el instante 𝑡 = 5𝑠 a partir del punto de reposo.

DINAMICA I