Circuitos-electricos-tomo-i-ii-solucionario-de-circuitos-electricos-de-joseph-a-edminister-schaum.pdf
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3.31 Un circuito serie 𝑅𝐿𝐶, con 𝑅 = 5 ohmios, 𝐿 = 0.02 henrios 𝑦 𝐶 = 80 microfaradios, tiene aplicada una tensión senoidal de frecuencia variable. Determinar los valores de 𝜔 para los cuales la corriente (𝑎) 𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑎 45° a la tensión, (𝑏) está en fase con ella, (𝑐) 𝑟𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎 45°. Cuando la intensidad de corriente adelanta a 45° a la tensión: Entonces la impedancia tiene un valor de: 𝑍𝑇 = (5 − 𝑗5)Ω = 7.07|−45° Ω De la cual: 𝜔=
1 = 2500 rad/s 5 ∗ (80 × 10−6 )
Está en fase con la tensión: Significa que el circuito es resistivo puro en lo cual no hay una reactancia. 𝜔=
1 √𝐿𝐶
=
1 √(0.02) ∗ (80 × 10−6 )
= 790.56 rad/s
Cuando la intensidad de corriente se retrasa a 45° a la tensión: Entonces la impedancia tiene un valor de: 𝑍𝑇 = (5 + 𝑗5)Ω = 7.07|45° Ω De la cual: 𝜔=
5 = 250 rad/s 0.02
-i
-t
rirj
----t
^d *¿
i
:
t
I I t
{
_-tEF-
8.29 Para poner de manifiesto el efecto del factor de calidad
sobre el módulo de la
intensidad de corriente a frecuencias aproximadas a la de resonancia trazar las gráficas de variación de
con respecto a
para los siguientes circuitos:
Circuito 1: Circuito 2: Solución: Circuito 1: La pulsación de la frecuencia de resonancia es:
√
√
Con lo que:
Para la frecuencia inferior de media potencia:
(
(
) (
)
(
Para la frecuencia superior de media potencia:
)
)
(
)
(
(
)
)
(
)
Circuito 2: La pulsación de la frecuencia de resonancia es:
√
√
Con lo que:
Para la frecuencia inferior de media potencia:
(
(
) (
)
)
(
)
Para la frecuencia superior de media potencia:
( (
)
(
)
)
(
)
8.38 La tensión aplicada a un circuito serie formado por una reactancia inductiva fija =
y una resistencia variable
es
=
| °
. Trazar los
lugares geométricos de la admitancia y de la intensidad de corriente.
El lugar geométrico de
es una semicircunferencia de radio: r=
r=
1 2X
1 = 0.1 2 ∗ (5)
El lugar geométrico de la intensidad de corriente se obtiene de la expresión = en donde
=
| °
∗ ,
. La intensidad tiene un valor máximo de 10 A para R = 0.
8.39 A un circuito serie formado por na resistencia fija capacidad variable C se le aplica la tensión
=
| °
=
y una
. Trazar los lugares
geométricos de la admitancia y de la intensidad de corriente.
El lugar geométrico de
es una semicircunferencia de radio: r=
r=
1 2R
1 = 0.1 2 ∗ (5)
El lugar geométrico de la intensidad de corriente se obtiene de la expresión = en donde
=
| °
∗ ,
. La intensidad tiene un valor máximo de 10 A para R = 0.
8.45 Hallar el valor de
para el que entra en resonancia el circuito paralelo de la Fig. 8-
45 y trazar el diagrama de su lugar geométrico. .
= 5.34 Ω
8.48 En el diagrama del lugar geométrico de la admitancia del Problema 8-47 hallar el valor de
para el cual la intensidad de corriente total es mínima. ¿Cuál será el módulo
de esta intensidad si el valor eficaz de la tensión aplicada es 100 voltios? .
= 2.95 mH ;
r=
1 2R
R =
R =
= 5.1 A
1 2r
1 = 2 Ω 2 ∗ (0.25) = 2.95 mH =
= 5000 ∗ (2.95 × 10 ) = 14.75 Ω = (2 + 14.75) Ω = (0.04 + 0.08) Ʊ
=
=
1
1 0.04 − 0.08 0.04 − 0.08 ∗ = 0.04 + 0.08 0.04 − 0.08 1.6 × 10 + 6.4 × 10
=
0.04 − 0.08 8 × 10
= (5 − 10) Ω ∗ +
=
=
(5 − 10) ∗ (2 + 14.75) 10 + 73.75 − 20 + 147.5 157.5 + 53.75 = = 5 − 10 + 2 + 14.75 7 + 4.75 8.46| . ° =
166.42| . ° = 19.67|− 8.46| . ° =
I =
100 = 5.08 A 19.67
.
° Ω
8.49 En el Problema 8-47 aplicar una tensión cada valor de
=
|
°
y obtener
para
que origine la entrada en resonancia del circuito.
Solución: Los valores de L son: L = 2.43 ; 0.066 mH ω = 5000 rad/s
Con L = 2.43 mH = 2.43 × 10 H X = ωL X = 5000 ∗ (2.43 × 10 ) = 12.15 Ω Z = (2 + j12.15)Ω Z = (3 − j10)Ω Z =
=
Z ∗Z Z +Z
(2 + j12.15) ∗ (3 − j10) 6 − 20 + 36.45 + 121.5 127.5 + 16.45 = = 2 + j12.15 + 3 − j10 5 + 2.15 5 + 2.15 =
128.56| . 5.44| .
° = 23.63|− °
.
° Ω
=
=
150| 23.63|−
° = 6.35| . °
.
° A
Con L = 0.066 mH = 0.066 × 10 H X = ωL X = 5000 ∗ (0.066 × 10 ) = 0.33 Ω Z = (2 + j0.33)Ω Z = (3 − j10)Ω Z =
=
Z ∗Z Z +Z
(2 + j0.33) ∗ (3 − j10) 6 − 20 + 0.99 + 3.3 9.3 − 19.01 = = 2 + j0.33 + 3 − j10 5 − 9.67 5 − 9.67 =
21.16|− 10.89|−
. .
° = 1.94|− . °
° Ω
=
=
150| ° = 77.32| 1.94|− . °
.
° A
8.50 En el circuito de fase variable de la Fig. 8-47 la fase de la tensión
puede variar
desde 10º hasta 70º en retraso. A la frecuencia de 60 hertzios, ¿cuál será el margen de variación de
que produce la citada variación de fase?
. 46.4 6080 En la primera rama: =
2
La tensión en cada resistencia: =
1 2
En la segunda rama: =
(
−
)
=2 = 2 ∗ (60) = 376.99 =
=
/
1
1 = 530.52 (376.99) ∗ (5 × 10 )
8.54 En la figura. 8-51 se encuentra el diagrama del lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por un circuito paralelo de tres ramas. Determinar todas las constantes del circuito sabiendo que
=
radianes por segundo.
Solución: Rama 1: =
Z =
150|−25° = 8.33|15° Ω 18|−40°
Z = (8.05 + j2.16) Ω = .
= .
= =
=
2.16 = 4.32 × 10 5000
= 0.432 × 10
= .
Rama 2: =
Z =
150|−25° = 8.33|−60° Ω 18|35°
Z = (4.165 − j7.21) Ω = .
= .
=
=
C=
1
1
1 = 2.77 × 10 F = 27.7 × 10 F = (5000) ∗ (7.21)
Rama 3: Sen(35°) =
I 18
I = 18 ∗ Sen(35°) = 10.32 A =
= =
.
;
150|−25° = 14.53|65° Ω 10.32|−90°
= =
=
13.17 = 2.63 × 10 5000
= .
.
9.21 Determinar el número de mallas necesarias para poder resolver cada uno de los circuitos de la
. −
( − ).
Emplear diferentes métodos para cada uno de ellos. . ( )5, ( )4, ( )3, ( )4, ( )4, ( )5
9.22 En el circuito de la Fig. 9-23 hallar la intensidad de la corriente que circula por la resistencia de 3 ohmios. El sentido positivo de la corriente es el que se indica en el esquema.
= 10I − j5(I − I ) = 50|0° 3I + j4I − j5(I − I ) = 0
10I − j5I + j5I = 50|0° 3I + j4I − j5I + j5I = 0
(10 − j5) j5
j5 I (3 − j1) I
=
50|0° 0
(10 − j5) 50|0° −j250 j5 0 = = (10 − j5) j5 (10 − j5) ∗ (3 − j1) − (j5) ∗ (j5) (3 − j1) j5 =
250|−90° 250|−90° 250|−90° = = = . 30 − j10 − j15 − 5 + 25 50 − j25 55.9|−26.57° =
= .
|−
. °
|−
. °
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6.12,
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{
9.25 En el circuito de la Fig. 9-26 hallar la tensión
por el método de las corrientes
de malla.
5(I + I ) + 5I + j20I = 100|45° 5(I + I ) + 20I = 100|45°
5I + 5I + 5I + j20I = 100|45° 5I + 5I + 20I = 100|45°
(10 + 20) 5
5 25
=
100|45° 100|45°
100|45° 5 2500|45° − 500|45° 100|45° 25 = = (10 + 20) 5 250 + 500 − 25 5 25 =
1767.77 + 1767.77 − 353.55 − 353.55 1414.22 + 1414.22 = 225 + 500 225 + 500 =
=
2000|45° = 3.65|−20.77° A 548.29|65.77°
∗ (5 + 20) = 3.65 −20.77° ∗ 20.62 75.96° =
.
|
.
°
9.26 En el circuito de la Fig. 9-27 hallar la tensión eficaz de la fuente V para la potencia disipada en la resistencia de 5 ohmios sea 100 vatios.
j5(I + I ) = V 10(I + I ) + 5I = 0 10(I + I ) + j5I + j5(I + I ) = 0
j5I + j5I = V 10I + 10I + 5I = 0 10I + 10I + j5I + j5I + j5I = 0
j5 0 j5
0 15 10
j5 I I 10 (10 + j10) I
V = 0 0
j5 V j5 0 0 10 0 10 −V j5 0 (10 + j10) j5 (10 + j10) = = j5 0 j5 15 10 0 j5 + j5 (10 10 + j10) 0 15 10 15 j5 10 (10 + j10)
j5 10
I =
Vj50 Vj50 Vj50 = = j5(150 + j150 − 100) − j5(j75) j5(50 + j150) + 375 j250 − 750 + 375 =
Vj50 V50|90° = = V 0.1109 −56.31° −375 + j250 450.69|146.31° P = VI P = I²R 100 = I (5) I = √20 = 4.4721 I = V 0.1109 −56.31° 4.4721 = V 0.1109 −56.31° V=
4.4721 = 0.1109
.
9.28 En un circuito de la Fig. 9-28
=
=
| °
. Hallar la potencia
suministrada por cada generador. Repetir el problema cambiando el sentido de la fuente
.
2I + 3(I − I ) + j5(I − I ) = 50|0° 3I − j8I + j5(I − I ) + 3(I − I ) = −50|0°
2I + 3I − 3I + j5I − j5I = 50|0° 3I − j8I + j5I − j5I + 3I − 3I = −50|0°
(5 + j5) (−3 − j5)
(−3 − j5) I (6 − j3) I
=
50|0° −50|0°
50|0° (−3 − j5) −50|0° (6 − j3) 50(6 − j3) − 50(3 + j5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) (5 + j5)(6 − j3) − (3 + j5)(3 + j5) (−3 − j5) (6 − j3) I =
300 − j150 − 150 − j250 150 − j400 427.2|−69.44° = = 30 − j15 + j30 + 15 − 9 − j15 − j15 + 25 61 − j15 62.82|−13.82° I = 6.8|−55.62° A
S = V ∗ I∗ S = 50 0° 6.8 55.62° = 340|55.62° VA S = (191.99 + j280.61)VA =
.
(5 + j5) 50|0° (−3 − j5) −50|0° −50(5 + 5) + 50(3 + 5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) 62.82|−13.82° (−3 − j5) (6 − j3) I =
−250 − 250 + 150 + 250 −100 = = −1.59|13.82° A 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° S = V ∗ I∗ S = −50 0° −1.59 −13.82° = 79.5|−13.82° VA S = (77.2 − j18.99)VA =
.
(5 + j5) (−3 − j5) I (−3 − j5) (6 − j3) I
=
50|0° 50|0°
50|0° (−3 − j5) 50|0° (6 − j3) 50(6 − j3) + 50(3 + j5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) (5 + j5)(6 − j3) − (3 + j5)(3 + j5) (−3 − j5) (6 − j3)
I =
300 − j150 + 150 + j250 450 + j100 460.98|12.53° = = 30 − j15 + j30 + 15 − 9 − j15 − j15 + 25 61 − j15 62.82|−13.82° I = 7.34|26.35° A S = V ∗ I∗ S = 50 0° 7.34 26.35° = 367|26.35° VA S = (328.87 + j162.89)VA =
.
(5 + j5) 50|0° (−3 − j5) 50|0° 50(5 + 5) + 50(3 + 5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) 62.82|−13.82° (−3 − j5) (6 − j3) I =
250 + 250 + 150 + 250 400 + 500 640.31|51.34° = = 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° I = 10.19|65.16° A S = V ∗ I∗ S = 50 0° 10.19 −65.16° = 509.5|−65.16° VA S = (214.03 − j462.36)VA =
.
9.29 En el circuito de dos mallas de la Fig. 9-29 hallar la potencia suministrada por el generador, así como la potencia disipada en cada una de las resistencias del mismo.
2I − j2I + j2(I − I ) = 10|0° 3I − j5I + 1I + j2(I − I ) = 0
2I − j2I + j2I − j2I = 10|0° 3I − j5I + 1I + j2I − j2I = 0
2 −j2
−j2 I (4 − j3) I
=
10|0° 0
10|0° −j2 10(4 − j3) 40 − j30 50|−36.87° (4 − j3) 0 I = = = = 2 −j2 2(4 − j3) + 4 8 − j6 + 4 13.42|−26.57° −j2 (4 − j3) I = 3.73|−10.3° A
S = 10 0° ∗ 3.73 10.3° = 37.3|10.3° VA S = (36.7 + j6.67) VA =
.
P = I ∗R P = (3.73)² ∗ (2) =
.
2 10|0° j20 20|90° −j2 0 I = = = = . 13.42|−26.57° 13.42|−26.57° 13.42|−26.57°
P = I ∗R P = (1.49)² ∗ (3) = .
P = I ∗R P = (1.49)² ∗ (1) = .
|
.
°
9.31 En el circuito de la Fig. 9-31 hallar la intensidad de corriente que circula por la impedancia ( +
)
.
j2.5I + 10(I − I ) = 10|0° j5I + 20(I − I ) = −10|0° 3I + j4I + 10(I − I ) + 20(I − I ) = 0
j2.5I + 10I − 10I = 10|0° j5I + 20I − 20I = −10|0° 3I + j4I + 10I − 10I + 20I − 20I = 0
(10 + j2.5) 0 −10
0 −10 I (20 + j5) I −20 (33 + j4) I −20
10|0° = −10|0° 0
(10 + j2.5) 0 10|0° (20 + j5) −10|0° 0 −10 −20 0 I = (10 + j2.5) 0 −10 (20 + j5) 0 −20 (33 + j4) −10 −20
(20 + j5) (10 + j2.5) 0 0 + 10 −10 −20 −10 −20 I = (20 + j5) −20 0 −10 (10 + j2.5) − 10 (20 + j5) −20 (33 −20 + j4) 10
I =
10(200 + j50) + 10(−200 − j50) (10 + j2.5)(660 + j80 + j165 − 20 − 400) − 10(200 + j50) I =
I =
2000 + j500 − 2000 − j500 (10 + j2.5)(240 + j245) − 2000 − j500
0 2400 + j2450 + j600 − 612.5 − 2000 − j500
I =
0 0 = = −212.5 + j2550 2558.84|94.76°
1 +R jωC −R 1 − R + +R jωC
Z +R +
− R +
(R + Z + R + jωL ) (R + R + jωL )
1 +R jωC −R 1 − R + +R jωC
Z +R +
I =
−
−
0
(R + R + jωL ) 1 R + + R + R + R + jωL jωC
+
+
−
+
(
(
−
+
+R R +
R + jωC
R jωC
² +(
)²
+ R (jωL ) +
;
=0
=0
+ R (jωL ) +
L C
=0
De donde:
=
0
)
) =0
−R R + R R +
= 0
− R +
0
1 − R + +R jωC
−R R −
1 +R jωC (R + R + jωL ) 1 R + + R + R + R + jωL jωC ∆
V
− −
1 +R jωC (R + R + jωL ) 1 R + + R + R + R + jωL jωC
−R
=
+(
)²
jωL jωC
9.33 El circuito de la Fig. 9-33 representa el puente de Owen. Hallar los valores de y
en función de las otras constantes del puente cuando la corriente que circula por
sea nula.
Z I +
1 jωC
(I − I ) + R (I − I − I ) +
Z I + R (I + I ) + jωL (I + I ) + 1 jωC
Z +
1 jωC
+R +
1 jωC
1 jωC
− R +
1 jωC
1 jωC
+R +
1 jωC
Z +
1 jωC
1 jωC
I =
1 jωC
1 jωC
V
1 jωC
+R +
+R
1 jωC
1 jωC
+R
−
1 jωC
1 jωC
+R
+ R + R + jωL +
1 jωC
+R +
R + jωL +
0
1 jωC
+R +
R + jωL +
0 1 jωC
(I + I − I ) + R (I + I − I ) = 0
−
1 jωC
R + jωL +
+R +
− R + −
1 jωC
Z + R + jωL +
(I − I − I ) = V
(I + I − I ) + R (I + I − I ) = 0
(I − I ) + R I + R (I + I ) + jωL (I + I ) +
− R + −
1 jωC
1 jωC
1 jωC
+R
− −
1 jωC
1 jωC
1 jωC
1 +R + jωC
1 jωC
1 jωC
I
= 0
I
0
+R
+ R + R + jωL +
R + jωL +
V
1 jωC
1 jωC
+R =0
∆
− R +
I
+R
1 + R + R + jωL + jωC
=0 +R
−
−R R − −
−
−
(
)−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
−
+ +
+ =0
=
Hallar R R R jωL =R R + − jωC jωC jωC R = jωC R R +
R =
jωC R − jωL jωC
−ω C C R R + jωC R + ω C L jωC
Hallar L jωL R R =R R + − jωC jωC jωC L =C R R +
C R C R − jωC jωC
Por sustitución: −ω C C R R + jωC R + ω C R =
−
C R C R C R R + jωC − jωC
jωC +
+
R =
+ jωC
ω C C R jωC R =− jωC R =
ω C C R =R ω C C
−
ω C C R jωC
9.34 El circuito de la Fig. 9-34 es un puente de medida del coeficiente de autoinducción de una bobina. Elegir las mallas y escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Hallar los valores de
y
cuando la corriente que circula por
Dónde: R =
R R R ; L = L R R
sea cero.
9.35 Hallar la función de transferencia de tensión
(20 + j4) −j4
/
−j4 I (2 + j14) I
en el circuito de la Figura 9-35.
=
V 0
(20 + j4) V V j4 V 4|90° −j4 0 I = = = (20 + j4) −j4 40 + j280 + j8 − 56 − 16 −32 + j288 (2 + j14) −j4 I = La tensión de salida
V 4|90° = V 0.0138|−6.34° 289.77|96.34°
es V = I j10 = V 0.0138 −6.34° 10 90° V = 0.138|83.66° V
9.36 Hallar la función de transferencia de tensión
/
en el circuito de la Figura
9.36.
(5 + j20) −5
−5 I (15 − j5) I
=
V 0
(5 + j20) V V5 V5 −5 0 I = = = (5 + j20) −5 75 − j25 + j300 + 100 − 25 150 + j275 (15 −5 − j5) I = La tensión de salida
V5 = V 0.0159|−61.39° 313.25|61.39°
es V = I 10 = V 0.0159 −61.39° ∗ (10) V = 0.159|−61.4° V
9.37 En el circuito de la Fig. 9-37 hallar el valor de
con el sentido de polarización
que se indica.
(2 + j2) −j2 (2 + j4) −j2 0 −j2
0 I I −j2 (2 + j4) I
=
−10|0° 0 0
(2 + j2) −j2 −10|0° (2 + j4) −j2 0 0 −j2 0 I = (2 + j2) −j2 0 (2 + j4) −j2 −j2 (2 0 −j2 + j4) −j2 (2 + j4) 0 −j2 I = (2 + j4) −j2 0 −j2 (2 + j2) + j2 (2 (2 + j4) −j2 + j4) −j2 −10|0°
I =
−10|0°(−4) 40 = (2 + j2)(4 + j8 + j8 − 16 + 4) + j2(−j4 + 8) (2 + j2)(−8 + j16) + 8 + j16 I =
40 −16 + j32 − − 32 + 8 + = .
=
|−
=
40 40 = −40 + j32 51.22|141.34°
.
°
∗
V = 0.78 −141.34° ∗ 2 90° = 1.56 −51.34° + 180° = .
.
°
9.38 En el circuito de la Fig. 9-38 hallar la potencia disipada en cada una de las tres resistencias.
(5 + j2) −j2 0 I −j2 4 j2 I 0 j2 (2 − j2) I
50|0° −j2 0 0 4 j2 50 −50|90° j2 (2 − j2) I = = (5 + j2) −j2 0 (5 + j2) −j2 4 j2 0 j2 (2 − j2) I =
50|0° 0 = −50|90°
4 j2 −j2 0 − j50 4 j2 j2 (2 − j2) 4 j2 −j2 0 + j2 j2 (2 − j2) j2 (2 − j2)
50(8 − j8 + 4) − j50(4) 400 − j400 + 200 − j200 = (5 + j2)(8 − j8 + 4) + j2(−j4 − 4) 40 − j40 + 20 + j16 + 16 + j8 + 8 − j8 I =
600 − j600 848.528|−45° = = 9.71|−29.055° A 84 − j24 87.36|−15.945°
P = I (5 Ω) P = (9.71)² ∗ (5) =
.
(5 + j2) 50|0° 0 −j2 0 j2 −j2 j2 (5 + j2) −50 + j50 0 −50|90° (2 − j2) (2 − j2) 0 −j2 I = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945°
0 j2
I =
−50(−j4 − 4) + j50(j10 − 4) j200 + 200 − 500 − j200 −300 = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I = −3.43|15.945° A
P = I (4 Ω) P = (−3.43)² ∗ (4) =
.
(5 + j2) −j2 50|0° −j2 4 0 −j2 4 (5 + j2) 50 − j50 0 j2 −50|90° 0 j2 −j2 I = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
−j2 4
50(4) − j50(20 + j8 + 4) 200 − j1000 + 400 − j200 600 − j1200 = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
1341.64|−63.43° = 15.357|−47.485° A 87.36|−15.945°
P = I (2 Ω) P = (15.357)² ∗ (2) =
.
9.39 En el circuito de Fig. 9-38 hallar la potencia suministrada por cada uno de los generadores.
(5 + j2) −j2 0 I −j2 4 j2 I 0 j2 (2 − j2) I
50|0° −j2 0 0 4 j2 50 −50|90° j2 (2 − j2) I = = (5 + j2) −j2 0 (5 + j2) −j2 4 j2 0 j2 (2 − j2) I =
50|0° 0 = −50|90°
4 j2 −j2 0 − j50 4 j2 j2 (2 − j2) 4 j2 −j2 0 + j2 j2 (2 − j2) j2 (2 − j2)
50(8 − j8 + 4) − j50(4) 400 − j400 + 200 − j200 = (5 + j2)(8 − j8 + 4) + j2(−j4 − 4) 40 − j40 + 20 + j16 + 16 + j8 + 8 − j8 I =
600 − j600 848.528|−45° = = 9.71|−29.055° A 84 − j24 87.36|−15.945°
S = V ∗ I∗ S = 50 0° ∗ 9.71 29.055° = 485.5|29.055° VA S = (424.4 + j235.78) VA
=
.
(5 + j2) −j2 50|0° −j2 4 0 −j2 4 (5 + j2) 50 − j50 0 j2 −50|90° 0 j2 −j2 I = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
−j2 4
50(4) − j50(20 + j8 + 4) 200 − j1000 + 400 − j200 600 − j1200 = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
1341.64|−63.43° = 15.357|−47.485° A 87.36|−15.945°
S = V ∗ I∗ S = −50 90° ∗ 15.357 47.485° = −767.85|137.485°VA S = (565.98 + j518.9) VA
=
.
9.40 En el circuito de la Fig. 9-39 hallar la intensidad de la corriente de la malla
con
la elección de las mallas considerada.
(5 + j5) 5 5 I (13 + j3) (7 + j3) I 5 (7 + j3) (11 + j3) I 5
30|0° 30|0° = 30|0° − 20|0°
(5 + j5) 5 30|0° (13 + j3) 30|0° 5 (7 + j3) 10|0° 5 I = (5 + j5) 5 5 (13 + j3) (7 + j3) 5 (7 + j3) (11 + j3) 5 (5 + j5) (5 + j5) 5 (13 + j3) 5 5 − 30 + 10 (7 + j3) (13 + j3) 5 (7 + j3) 5 5 I = (13 + j3) (7 + j3) 5 5 5 5 (5 + j5) − 5 (7 + 5 (13 + j3) (11 + j3) + j3) (7 + j3) (7 + j3) (11 + j3) 30
I =
30(35 + j15 − 65 − j15) − 30(35 + j15 + j35 − 15 − 25) + 10(65 + j15 + j65 − 15 − 25) (5 + j5)(143 + j39 + j33 − 9 − 49 − j21 − j21 + 9) − 5(55 + j15 − 35 − j15) + 5(35 + j15 − 65 − j15)
I =
−900 − 30(−5 + j50) + 10(25 + j80) −900 + 150 − j1500 + 250 + j800 −500 − j700 = = (5 + j5)(94 + j30) − 100 − 150 470 + j150 + j470 − 150 − 100 − 150 70 + j620
=
860.23|−125.537° = . 623.939|83.558°
|−
.
°
9.41 Hallar la intensidad de corriente
en el circuito de la Figura 9-40.
(5 + j2) −5 (5 − j2) −5 0 −j2
0 I I −j2 (5 + j2) I
50|45° = 0 0
(5 + j2) −5 50|45° (5 − j2) −5 0 0 −j2 0 = (5 + j2) −5 0 (5 − j2) −5 −j2 (5 + j2) 0 −j2 −5 (5 − j2) 0 −j2 −j2 −5 0 +5 −j2 (5 + j2) (5 + j2)
50|45° I = (5 + j2)
(5 − j2) −j2
I =
50|45°(j10) (5 + j2)(25 + j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10)
I =
50 45° ∗ 10 90° 500|135° 500|135° = = 165 + j66 − 125 − j50 40 + j16 43.08|21.8° =
. |
. °
9.42 En el circuito de la Fig. 9-40 hallar la relación de intensidades .
(5 + j2) −5 (5 − j2) −5 0 −j2
0 I I −j2 (5 + j2) I
50|45° = 0 0
(5 + j2) −5 50|45° (5 − j2) −5 0 0 −j2 0 I = (5 + j2) −5 0 (5 − j2) −5 −j2 (5 + j2) 0 −j2 −5 (5 − j2) 0 −j2 −j2 −5 0 +5 −j2 (5 + j2) (5 + j2)
50|45° I = (5 + j2)
(5 − j2) −j2
I =
50|45°(j10) (5 + j2)(25 + j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10)
I =
50 45° ∗ 10 90° 500|135° 500|135° = = 165 + j66 − 125 − j50 40 + j16 43.08|21.8° =
I =
50|45° 0 0
. |
. °
−5 0 (5 − j2) −j2 (5 − j2) −j2 50|45° (5 + j2) −j2 (5 + j2) −j2 = 43.08|21.8° 43.08|21.8°
I =
50|45°(25 + j10 − j10 + 4 + 4) 43.08|21.8° I =
50|45°(33) 43.08|21.8°
I =
1650|45° 43.08|21.8°
I = 38.3|23.2° A I 38.3|23.2° = I 11.6|113.2° = . |−
=− .
°
9.43 En el circuito de la Fig. 9-41, con las tres corrientes de malla que se indican, hallar las impedancias
y
.
(5 + j2) −5 (5 − j2) −5 ∆ = 0 −j2 ∆ = (5 + j2)
0 −j2 (5 + j2)
(5 − j2) −j2 −5 0 +5 −j2 (5 + j2) (5 + j2) −j2
∆ = (5 + j2)(25 + j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10) ∆ = 165 + j66 − 125 − j50 ∆ = 40 + j16 ∆ = 43.08|21.8°
=
∆ 43.08|21.8° 43.08|21.8° 43.08|21.8° = = = −5 (5 − j2) ∆ j10 10|90° 0 −j2
=
∆ = ∆
= 4.3|−68.2°
43.08|21.8° 43.08|21.8° 43.08|21.8° = = −5 0 j10 10|90° (5 − j2) −j2
= 4.3|−68.2°
9.44 En el circuito de la Fig. 9-42 y con las mallas que se indican, hallar las ,
impedancias
y
∆ =
∆ = (15 + j5)
.
(15 + j5) −10 −j5 (12 − j4) −10 −2 (2 + j1) −j5 −2
(12 − j4) −10 −j5 −10 −j5 −2 + 10 − 5 (12 − j4) −2 (2 + j1) −2 (2 + j1) −2
∆ = (15 + j5)(24 + 12 − 8 + 4 − 4) + 10(−20 − 10 − 10) − 5(20 + 60 + 20) ∆ = (15 + j5)(24 + 4) + 10(−20 − 20) − 5(40 + 60) ∆ = 360 + 60 + 125 − 20 − 200 − 200 − 200 + 300 ∆ = 440 − 215 = 489.719|−26.04°
=
489.719|−26.04° 489.719|−26.04° 489.719|−26.04° ∆ = = = (12 − j4) −2 (24 + 4) ∆ 24.33|9.46° (2 + j1) −2
= 20.128|−35.5°
=
489.719|−26.04° 489.719|−26.04° 489.719|−26.04° ∆ = = = −10 −2 −20 − 10 − 10 ∆ 28.28|−135° −j5 (2 + j1)
= 17.316|108.96° − 180° = 17.316|71.04°
=
489.719|−26.04° 489.719|−26.04° 489.719|−26.04° ∆ = = = −10 (12 − j4) 20 + 60 + 20 ∆ 72.11|56.309° −j5 −2
= 6.79|−82.349°
9.45 En la Fig. 9-43 se añade el generador de
al circuito de la Fig. 9-42. Hallar el valor
de manera que la corriente de malla
( |
sea cero.
) (
)
|| | )
(
(
|
)
) (
( (
) (
|
| (
)
(
)
( )
|
| (
( |
|
)
|
) ) )
9.46 En la Fig. 9-44 se añade el generador de de manera que la corriente de malla
( |
al circuito de la Fig. 9-42. Hallar el valor sea nula.
) (
)
|| | )
(
(
|
)
) (
)
(
|
) (
) (
)
(
)
)
| (
(
|
| (
( |
|
|
) )
9.48 En el circuito de la Fig. 9-45 hallar las tensiones
y
sabiendo que la tensión
en bornes del generador es
( |
) || | (
|
|
)
En el Problema 9.38 se calculo ( |
) | (
)
|
| (
|
(
)
(
(
|
|
(
(
)
|
)( )
)
)
|
)|
(
|
|
)
(
) ( | (
( |
|
) ) ( |
)
) | (
|
(
(
)
)
(
|
(
(
|
(
|
( )|
|
|
)
)
)(
|
)
)
) |
|
( )
(
|
|
(
|
)|
)
)(
(
(
(
)
|
) ( | (
|
)
) ( |
)
|
)(
|
)
9.50 En el circuito de la Fig. 9-47 calcular el valor de la tensión en bornes del generador para que la intensidad de corriente que circule por él sea nula.
(
)
|
|| | (
( |
|
) |
| (
|
)
( |
| )
)
(
) (
(
)
)
|
10.15 Determinar el número de ecuaciones de tensiones en los nudos que son necesarios para resolver cada uno de los circuitos de la
−
( − ).
. ( )3, ( )5, ( )1, ( )4, ( )4, ( )4
10.16 Escribir la ecuación nodal para el nudo dado en la Figura 10-22.
V −V V V V + + + =0 1 R jωL R jωC V V V V − + jωC(V ) + + =0 R R jωL R V V V V + jωC(V ) + + = R jωL R R V
1 1 1 + jωC + + R jωL R
=
V R
10.18 En el circuito de la Fig. 10-24 y con los nodos representados escribir el sistema de ecuaciones correspondientes y ponerlo en forma matricial. Después escribir la matriz de impedancias [ ] por simple inspección y compararla con la que se obtiene a partir del sistema.
(
)
(
)
( ||
)
)
(
) (
(
)
( (
) || | | )
||
||
10.19 El circuito representado en la Fig. 10-25 anterior es un puente de Wien. Escribir las tres ecuaciones de los nudos y expresar el sistema en forma matricial. Escribir después [ ] directamente y compararla con la obtenida de las ecuaciones.
(
(
)
(
(
(
|
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
) (
|
)
(
) (
)
(
|| |
|
|
|| |
|
|
) )
10.22 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-28, la tensión
(
(
)
(
)
)
(
)
(
|
|
)
(
) (
)
(
)
10.24 Utilizando el método de los nudos hallar, en el circuito de la Fig. 10-30, la potencia suministrada por la fuente de 10 voltios y la potencia disipada en cada una de las resistencias.
V − 10|0° V V + + =0 (2 − j2) j2 (4 − j5) V 10|0° V V − + + =0 (2 − j2) 2.828|−45° j2 (4 − j5) V V V 10|0° + + = (2 − j2) j2 (4 − j5) 2.828|−45° V
V
1 1 1 10|0° + + = (2 − j2) j2 (4 − j5) 2.828|−45°
(2 + j2) (4 + j5) 1 1 ∗ − j0.5 + ∗ = 3.536|45° (2 − j2) (2 + j2) (4 − j5) (4 + j5) V
(2 + j2) (4 + j5) − j0.5 + = 3.536|45° 8 41
V (0.25 + j0.25 − j0.5 + 0.097 + j0.121) = 3.536|45° V (0.347 − j0.129) = 3.536|45° V =
3.536|45° 0.37|−20.393°
V = 9.556|65.393° v V = (3.979 + j8.688) v
I=
10 − 3.979 − j8.688 10.57|−55.277° = = 3.737|−10.277° A 2 − j2 2.828|−45° P = I (2) = (3.737)²(2) = 27.93 W
I=
9.556|65.393° 9.556|65.393° = = 1.492|14.053° A 4 + j5 6.403|51.34° P = I (3) = (1.492) ∗ 3 = 6.678 W
P = I (1) = (1.492) ∗ 1 = 2.226 W
P =P +P +P P = 27.93 + 6.678 + 2.226 P = 36.834 W
10.27 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-33, la tensión eficaz de la fuente obtener en la resistencia de 3 ohmios una potencia de 75 vatios.
V −V V V + + =0 j4 −j5 (3 + j4) V V V V − + + =0 j4 j4 −j5 (3 + j4) V
V
1 1 1 V + + = j4 −j5 (3 + j4) j4
− 0.25 + 0.2 +
V
(3 − j4) 1 V ∗ = (3 + j4) (3 − j4) j4
− 0.25 + 0.2 +
(3 − j4) V = 25 j4
V (− 0.25 + 0.2 + 0.12 − j0.16) =
V (0.12 − j0.21) =
V =
V =
V j4
V j4
V j4(0.12 − j0.21)
V 0.48 + j0.84 V(0.48 + j0.84) V(0.48 + j0.84) ∗ = = 0.48 − j0.84 0.48 + j0.84 0.23 + 0.705 0.935 V = V(0.513 + j0.898) =
.
.
°
para
I=
V 1.034 60.261° 3 + j4
I=
V 1.034 60.261° 5|53.13°
=
.
.
°
P = (V0.206)² ∗ (3) 75 = V (0.042) ∗ (3) V² =
75 = 595.238 0.126 =
.
10.28 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-34, cuál debe ser la fuente tensión en el nudo 1 sea
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
para que la
10.29 Hallar la tensión en el nudo 1 en el circuito de la Figura 10-35.
(
)
(
)
(
) (
) (
)
10.30 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-36, las intensidades de corriente en las ,
tres líneas,
e .
V − 50|90° V − 50|−30° V − 50|−150° + + =0 5|30° 5|30° 5|30° V
1 1 1 + + = 10 60° + 10 −60° + 10|−180° 5|30° 5|30° 5|30°
V 0.2 −30° + 0.2 −30° + 0.2 −30° = 5 + j8.66 + 5 − j8.66 − 10 V 0.6 −30° = 0 V =0
Entonces las intensidades de corriente I , I e I . I =
I =
I =
50|90° = 10|60° A 5|30°
50|−30° = 10|−60° A 5|30°
50|−150° = 10|−180° A 5|30°
10.34 El circuito de la Fig. 10-38 tiene una corriente de entrada de intensidad corriente en la resistencia de 10 ohmios es
( |
)
|| | )
(
( |
|
Determinar la relación
| |
) || | )
(
(
) (
( |
( |
)
( |
)
)
(
) |
(
)
) (
| )
|| |
| |
(
) (
|| |
| |
)
| |
La
10.35 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-39, la función de transferencia de tensión por el método de los nudos.
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
)
10.36 Determinar la función de transferencia de tensión
para el circuito de la
Figura 10-40.
( (
)
(
)
(
)
)
(
) (
)
(
( (
|
(
|
| ) ) )
(
(
(
|
)
)
)
) (
)
10.37 Utilizando el método de los nudos, obtener la tensión a través del circuito paralelo de la Figura 10-41.
V V V + + = 20|45° 8 3 + j4 2 − j8 V
1 1 1 + + = 20|45° 8 3 + j4 2 − j8
V 0.125 +
3 − j4 2 + j8 + = 20|45° 25 68
V (0.125 + 0.12 − j0.16 + 0.0294 + j0.1176) = 20|45° V (0.2744 − j0.0424) = 20|45° V 0.2776|−8.7838° = 20|45° V =
20|45° 0.2776|−8.7838°
=
.
|
.
°
,
10.38 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-42, las tensiones
y
por el
método de los nudos.
En el circuito de la figura se tomara el nudo A como el nudo 1 y el nudo B como el nudo de referencia. V V + = 10|0° 5 j5 V
1 1 + = 10|0° 5 j5
V (0.2 − j0.2) = 10|0° V
=
10|0° 10|0° = = 0.2 − j0.2 0.2828|−45°
.
|
°
Aplicando la primera ley de Kirchhoff, la corriente I = 10|0° que entra del nudo A al nudo B tiene que ser igual a las que salen: V V
= I∗5
= 10|0° ∗ 5 =
| °
En el circuito de la figura se tomara el nudo C como el nudo 2 y el nudo D como el nudo de referencia. V V + = 10|0° −j2 −j4 V
1 1 + = 10|0° −j2 −j4
V (j0.5 + j0.25) = 10|0° V
=
10|0° 10|0° = = j0.75 0.75|90°
. |−
°
10.40 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-44, las tensiones en los nudos fuente de
(
)
( )
( )
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
( (
) )
y
y la
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.47 Calcular el valor de
en el circuito de la Fig. 10-49 por el método de los nudos.
V − 10|0° V V −V + + =0 2 j2 2 V −V V V + + =0 2 j2 (2 + j2)
1 1 1 + + −V 2 j2 2
V
−V
1 +V 2
1 1 1 + + 2 j2 2 1 − 2 (0.5 − j0.5 + 0.5) −(0.5) (1 − j0.5) −(0.5)
1 =5 2
1 1 1 + + =0 2 j2 (2 + j2)
−
1 2
1 1 1 + + 2 j2 (2 + j2)
V
5 =
V
−(0.5) (2 − j2) 0.5 − j0.5 + 8
0
V V
5 =
−(0.5) V 5 = (0.5 − j0.5 + 0.25 − j0.25) V 0
(1 − j0.5) −(0.5)
−(0.5) V 5 = (0.75 − j0.75) V 0
0
(1 − j0.5) 5 −(0.5) 0 V = (1 − j0.5) −(0.5) (0.75 − j0.75) −(0.5) V =
2.5 2.5 = (1 − j0.5)(0.75 − j0.75) − 0.25 0.75 − j0.75 − j0.375 − 0.375 − 0.25 V =
2.5 2.5 = = 2.21|83.659° v 0.125 − j1.125 1.131|−83.659°
I=
V 2.21|83.659° = = 0.781|38.659° A 2 + j2 2.828|45°
V = I(j2) V = 0.781 38.659° 2 90° = .
|
.
°
10.48 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-50, las tensiones de los nudos
y
.
V − 50|0° V V −V + + =0 5 j2 4 V −V V V − 26.2|113.2° − + =0 4 j2 2
1 1 1 + + −V 5 j2 4
V
−V
1 +V 4
1 1 1 + + 5 j2 4 1 − 4
∆Y =
∆Y =
1 1 1 + + 5 j2 4 1 − 4
1 = 10|0° 4
1 1 1 − + = 13.1|113.2° 4 2 2
1 4 1 1 1 − + 4 j2 2
1 4 1 1 1 − + 4 j2 2
−
−
=
10|0°
V V
=
13.1|113.2°
(0.2 − j0.5 + 0.25) −(0.25)
−(0.25) (0.25 + j0.5 + 0.5)
(0.45 − j0.5) −(0.25) = 0.3375 + j0.225 − j0.375 + 0.25 − 0.0625 (0.75 + j0.5) −(0.25) ∆Y = (0.525 − j0.15) ℧ = 0.546|−15.9453° ℧
10|0° −(0.25) 10 −(0.25) 13.1|113.2° (0.75 + j0.5) (−5.1606 + j12.0406) (0.75 + j0.5) V = = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° V =
7.5 + j5 − 1.2901 + j3.0101 6.2099 + j8.0101 10.1353|52.215° = = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° =
.
|
.
°
(0.45 − j0.5) 10|0° (0.45 − j0.5) 10 −(0.25) 13.1|113.2° (−5.1606 + j12.0406) −(0.25) V = = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° V =
−2.32227 + j5.41827 + j2.5803 + 6.0203 3.69803 + j7.99857 = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° V =
8.812|65.1871° 0.546|−15.9453°
V = 16.1391|81.1324° v
10.50 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-52, el valor de la corriente de excitación I de |
que da lugar a una tensión
°
.
V V V −V −I+ + =0 (2 + j2) j5 10 V −V V V + + =0 10 j5 2 − j2
1 1 1 + + −V (2 + j2) j5 10
V
−V
1 +V 10
1 1 1 + + (2 + j2) j5 10 1 − 10
V =
V =
1 =I 10
1 1 1 + + =0 10 j5 2 − j2
−
1 10
V
1 1 1 + + 10 j5 2 − j2
V
I =
1 1 1 + + 10 I (2 + j2) j5 1 − 10 0 1 1 1 1 + + − 10 (2 + j2) j5 10 1 1 1 1 − 10 10 + j5 + 2 − j2 I ∗ (0.1) 2 − j2 8 − j0.2 + 0.1 −(0.1)
−(0.1) 0.1 − j0.2 +
2 + j2 8
0
V =
I ∗ (0.1) (0.25 − j0.25 − j0.2 + 0.1) −(0.1) (0.1 − j0.2 + 0.25 + j0.25) −(0.1) V =
V =
I ∗ (0.1) (0.35 − j0.45) −(0.1) (0.35 + j0.05) −(0.1)
I ∗ (0.1) (0.1225 + j0.0175 − j0.1575 + 0.0225) − 0.01
V =
I ∗ (0.1) I ∗ (0.1) = (0.145 − j0.14) − 0.01 0.135 − j0.14 5|30° =
I ∗ (0.1) 0.1944|−46.041°
I ∗ (0.1) = 5 30° ∗ 0.1944 −46.041° I ∗ (0.1) = 0.972|−16.041° = .
|−
.
°
11.17 Obtener el circuito equivalente de Thevenin en los terminales activo de la Figura 11-42.
=
5∗2 +8= . 5+2
Intensidad de corriente de circuito abierto: I = Caída de tensión en la
20 = 2.8571 A 5+2
de : V = 2 ∗ 2.8571 = 5.7142 v
Tensión
: = 12 − 5.7142 = .
Circuito equivalente de Thevenin:
del circuito
11.18 Obtener el circuito equivalente de Norton del correspondiente de la Figura 11-42.
11.19 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo dado en la Figura 11-43.
11.20 Hallar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-43.
11.21 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito puente representado en la Figura 11-44.
11.22 En el circuito del problema anterior se sustituye la resistencia de 500 ohmios por otra de 475 ohmios. Determinar el circuito equivalente de Thevenin.
11.23 Utilizar el teorema de Thevenin en el circuito puente de la Fig. 11-45 para hallar la desviación de un galvanómetro conectado a AB con una resistencia de 100 ohmios y una sensibilidad de 0.5 amperios por milímetro.
11.24 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del puente de alterna de la Figura 11-46.
11.25 Utilizando el teorema de Thevenin hallar la potencia disipada en una resistencia de 1 ohmio conectada en los terminales AB del circuito de la Figura 11-47.
11.26 Repetir el Problema 11-25 utilizando el circuito equivalente de Norton.
11.27 Obtener el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-48.
11.28 Hallar el circuito equivalente de Norton en los terminales AB del circuito de la Figura 11-48.
11.29 Utilizar el teorema de Thevenin para hallar la potencia disipada en una impedancia de 2 + 4 ohmios conectada a los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-49.
11.30 Repetir el problema anterior utilizando el teorema de Norton.
11.31 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-50.
11.32 Determinar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-50.
11.35 En el circuito de la Fig. 11-52 hallar la corriente que pasa por la impedancia 3 + 4 ohmios sustituyendo, en primer lugar, el circuito en los terminales AB por su equivalente de Thevenin.
11.36 Repetir el problema anterior utilizando el teorema de Norton.
11.37 En el circuito de la Fig. 11-53 una fuente de intensidad de 15|54° amperios alimenta en los terminales señalados en el esquema. Sustituir el circuito, en AB, por un circuito equivalente de Thevenin.
11.38 Obtener el circuito equivalente de Nortonen los terminales AB del circuito de la Figura 11-53.
11.39 Obtener el circuito equivalente en los terminales AB del circuito de la Figura 1154.
11.40 Obtener el circuito equivalente de Norton de la Figura 11-54.
11.41 Utilizando el teorema de Thevenin hallar la potencia disipada en una impedancia = 10|60° ohmios conectada a los terminales AB del circuito de la Figura 11-55.
11.42 Repetir el problema anterior empleando el teorema de Norton.
11.44 Hallar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-56.
11.45 Determinar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-57.
11.46 Obtener el circuito equivalente de Norton de la Figura 11-57.
11.47 El circuito activo de la Fig. 11-58 contiene un fuente de intensidad de 4|45° amperios y una fuente de tensión de 25|90° voltios. Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB.
11.48 Obtener el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-58.
11.50 Obtener el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-59.
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)
h
¡
D
1 = 2500 rad/s 5 ∗ (80 × 10−6 )
Está en fase con la tensión: Significa que el circuito es resistivo puro en lo cual no hay una reactancia. 𝜔=
1 √𝐿𝐶
=
1 √(0.02) ∗ (80 × 10−6 )
= 790.56 rad/s
Cuando la intensidad de corriente se retrasa a 45° a la tensión: Entonces la impedancia tiene un valor de: 𝑍𝑇 = (5 + 𝑗5)Ω = 7.07|45° Ω De la cual: 𝜔=
5 = 250 rad/s 0.02
-i
-t
rirj
----t
^d *¿
i
:
t
I I t
{
_-tEF-
8.29 Para poner de manifiesto el efecto del factor de calidad
sobre el módulo de la
intensidad de corriente a frecuencias aproximadas a la de resonancia trazar las gráficas de variación de
con respecto a
para los siguientes circuitos:
Circuito 1: Circuito 2: Solución: Circuito 1: La pulsación de la frecuencia de resonancia es:
√
√
Con lo que:
Para la frecuencia inferior de media potencia:
(
(
) (
)
(
Para la frecuencia superior de media potencia:
)
)
(
)
(
(
)
)
(
)
Circuito 2: La pulsación de la frecuencia de resonancia es:
√
√
Con lo que:
Para la frecuencia inferior de media potencia:
(
(
) (
)
)
(
)
Para la frecuencia superior de media potencia:
( (
)
(
)
)
(
)
8.38 La tensión aplicada a un circuito serie formado por una reactancia inductiva fija =
y una resistencia variable
es
=
| °
. Trazar los
lugares geométricos de la admitancia y de la intensidad de corriente.
El lugar geométrico de
es una semicircunferencia de radio: r=
r=
1 2X
1 = 0.1 2 ∗ (5)
El lugar geométrico de la intensidad de corriente se obtiene de la expresión = en donde
=
| °
∗ ,
. La intensidad tiene un valor máximo de 10 A para R = 0.
8.39 A un circuito serie formado por na resistencia fija capacidad variable C se le aplica la tensión
=
| °
=
y una
. Trazar los lugares
geométricos de la admitancia y de la intensidad de corriente.
El lugar geométrico de
es una semicircunferencia de radio: r=
r=
1 2R
1 = 0.1 2 ∗ (5)
El lugar geométrico de la intensidad de corriente se obtiene de la expresión = en donde
=
| °
∗ ,
. La intensidad tiene un valor máximo de 10 A para R = 0.
8.45 Hallar el valor de
para el que entra en resonancia el circuito paralelo de la Fig. 8-
45 y trazar el diagrama de su lugar geométrico. .
= 5.34 Ω
8.48 En el diagrama del lugar geométrico de la admitancia del Problema 8-47 hallar el valor de
para el cual la intensidad de corriente total es mínima. ¿Cuál será el módulo
de esta intensidad si el valor eficaz de la tensión aplicada es 100 voltios? .
= 2.95 mH ;
r=
1 2R
R =
R =
= 5.1 A
1 2r
1 = 2 Ω 2 ∗ (0.25) = 2.95 mH =
= 5000 ∗ (2.95 × 10 ) = 14.75 Ω = (2 + 14.75) Ω = (0.04 + 0.08) Ʊ
=
=
1
1 0.04 − 0.08 0.04 − 0.08 ∗ = 0.04 + 0.08 0.04 − 0.08 1.6 × 10 + 6.4 × 10
=
0.04 − 0.08 8 × 10
= (5 − 10) Ω ∗ +
=
=
(5 − 10) ∗ (2 + 14.75) 10 + 73.75 − 20 + 147.5 157.5 + 53.75 = = 5 − 10 + 2 + 14.75 7 + 4.75 8.46| . ° =
166.42| . ° = 19.67|− 8.46| . ° =
I =
100 = 5.08 A 19.67
.
° Ω
8.49 En el Problema 8-47 aplicar una tensión cada valor de
=
|
°
y obtener
para
que origine la entrada en resonancia del circuito.
Solución: Los valores de L son: L = 2.43 ; 0.066 mH ω = 5000 rad/s
Con L = 2.43 mH = 2.43 × 10 H X = ωL X = 5000 ∗ (2.43 × 10 ) = 12.15 Ω Z = (2 + j12.15)Ω Z = (3 − j10)Ω Z =
=
Z ∗Z Z +Z
(2 + j12.15) ∗ (3 − j10) 6 − 20 + 36.45 + 121.5 127.5 + 16.45 = = 2 + j12.15 + 3 − j10 5 + 2.15 5 + 2.15 =
128.56| . 5.44| .
° = 23.63|− °
.
° Ω
=
=
150| 23.63|−
° = 6.35| . °
.
° A
Con L = 0.066 mH = 0.066 × 10 H X = ωL X = 5000 ∗ (0.066 × 10 ) = 0.33 Ω Z = (2 + j0.33)Ω Z = (3 − j10)Ω Z =
=
Z ∗Z Z +Z
(2 + j0.33) ∗ (3 − j10) 6 − 20 + 0.99 + 3.3 9.3 − 19.01 = = 2 + j0.33 + 3 − j10 5 − 9.67 5 − 9.67 =
21.16|− 10.89|−
. .
° = 1.94|− . °
° Ω
=
=
150| ° = 77.32| 1.94|− . °
.
° A
8.50 En el circuito de fase variable de la Fig. 8-47 la fase de la tensión
puede variar
desde 10º hasta 70º en retraso. A la frecuencia de 60 hertzios, ¿cuál será el margen de variación de
que produce la citada variación de fase?
. 46.4 6080 En la primera rama: =
2
La tensión en cada resistencia: =
1 2
En la segunda rama: =
(
−
)
=2 = 2 ∗ (60) = 376.99 =
=
/
1
1 = 530.52 (376.99) ∗ (5 × 10 )
8.54 En la figura. 8-51 se encuentra el diagrama del lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por un circuito paralelo de tres ramas. Determinar todas las constantes del circuito sabiendo que
=
radianes por segundo.
Solución: Rama 1: =
Z =
150|−25° = 8.33|15° Ω 18|−40°
Z = (8.05 + j2.16) Ω = .
= .
= =
=
2.16 = 4.32 × 10 5000
= 0.432 × 10
= .
Rama 2: =
Z =
150|−25° = 8.33|−60° Ω 18|35°
Z = (4.165 − j7.21) Ω = .
= .
=
=
C=
1
1
1 = 2.77 × 10 F = 27.7 × 10 F = (5000) ∗ (7.21)
Rama 3: Sen(35°) =
I 18
I = 18 ∗ Sen(35°) = 10.32 A =
= =
.
;
150|−25° = 14.53|65° Ω 10.32|−90°
= =
=
13.17 = 2.63 × 10 5000
= .
.
9.21 Determinar el número de mallas necesarias para poder resolver cada uno de los circuitos de la
. −
( − ).
Emplear diferentes métodos para cada uno de ellos. . ( )5, ( )4, ( )3, ( )4, ( )4, ( )5
9.22 En el circuito de la Fig. 9-23 hallar la intensidad de la corriente que circula por la resistencia de 3 ohmios. El sentido positivo de la corriente es el que se indica en el esquema.
= 10I − j5(I − I ) = 50|0° 3I + j4I − j5(I − I ) = 0
10I − j5I + j5I = 50|0° 3I + j4I − j5I + j5I = 0
(10 − j5) j5
j5 I (3 − j1) I
=
50|0° 0
(10 − j5) 50|0° −j250 j5 0 = = (10 − j5) j5 (10 − j5) ∗ (3 − j1) − (j5) ∗ (j5) (3 − j1) j5 =
250|−90° 250|−90° 250|−90° = = = . 30 − j10 − j15 − 5 + 25 50 − j25 55.9|−26.57° =
= .
|−
. °
|−
. °
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6.12,
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¿5"
{
9.25 En el circuito de la Fig. 9-26 hallar la tensión
por el método de las corrientes
de malla.
5(I + I ) + 5I + j20I = 100|45° 5(I + I ) + 20I = 100|45°
5I + 5I + 5I + j20I = 100|45° 5I + 5I + 20I = 100|45°
(10 + 20) 5
5 25
=
100|45° 100|45°
100|45° 5 2500|45° − 500|45° 100|45° 25 = = (10 + 20) 5 250 + 500 − 25 5 25 =
1767.77 + 1767.77 − 353.55 − 353.55 1414.22 + 1414.22 = 225 + 500 225 + 500 =
=
2000|45° = 3.65|−20.77° A 548.29|65.77°
∗ (5 + 20) = 3.65 −20.77° ∗ 20.62 75.96° =
.
|
.
°
9.26 En el circuito de la Fig. 9-27 hallar la tensión eficaz de la fuente V para la potencia disipada en la resistencia de 5 ohmios sea 100 vatios.
j5(I + I ) = V 10(I + I ) + 5I = 0 10(I + I ) + j5I + j5(I + I ) = 0
j5I + j5I = V 10I + 10I + 5I = 0 10I + 10I + j5I + j5I + j5I = 0
j5 0 j5
0 15 10
j5 I I 10 (10 + j10) I
V = 0 0
j5 V j5 0 0 10 0 10 −V j5 0 (10 + j10) j5 (10 + j10) = = j5 0 j5 15 10 0 j5 + j5 (10 10 + j10) 0 15 10 15 j5 10 (10 + j10)
j5 10
I =
Vj50 Vj50 Vj50 = = j5(150 + j150 − 100) − j5(j75) j5(50 + j150) + 375 j250 − 750 + 375 =
Vj50 V50|90° = = V 0.1109 −56.31° −375 + j250 450.69|146.31° P = VI P = I²R 100 = I (5) I = √20 = 4.4721 I = V 0.1109 −56.31° 4.4721 = V 0.1109 −56.31° V=
4.4721 = 0.1109
.
9.28 En un circuito de la Fig. 9-28
=
=
| °
. Hallar la potencia
suministrada por cada generador. Repetir el problema cambiando el sentido de la fuente
.
2I + 3(I − I ) + j5(I − I ) = 50|0° 3I − j8I + j5(I − I ) + 3(I − I ) = −50|0°
2I + 3I − 3I + j5I − j5I = 50|0° 3I − j8I + j5I − j5I + 3I − 3I = −50|0°
(5 + j5) (−3 − j5)
(−3 − j5) I (6 − j3) I
=
50|0° −50|0°
50|0° (−3 − j5) −50|0° (6 − j3) 50(6 − j3) − 50(3 + j5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) (5 + j5)(6 − j3) − (3 + j5)(3 + j5) (−3 − j5) (6 − j3) I =
300 − j150 − 150 − j250 150 − j400 427.2|−69.44° = = 30 − j15 + j30 + 15 − 9 − j15 − j15 + 25 61 − j15 62.82|−13.82° I = 6.8|−55.62° A
S = V ∗ I∗ S = 50 0° 6.8 55.62° = 340|55.62° VA S = (191.99 + j280.61)VA =
.
(5 + j5) 50|0° (−3 − j5) −50|0° −50(5 + 5) + 50(3 + 5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) 62.82|−13.82° (−3 − j5) (6 − j3) I =
−250 − 250 + 150 + 250 −100 = = −1.59|13.82° A 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° S = V ∗ I∗ S = −50 0° −1.59 −13.82° = 79.5|−13.82° VA S = (77.2 − j18.99)VA =
.
(5 + j5) (−3 − j5) I (−3 − j5) (6 − j3) I
=
50|0° 50|0°
50|0° (−3 − j5) 50|0° (6 − j3) 50(6 − j3) + 50(3 + j5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) (5 + j5)(6 − j3) − (3 + j5)(3 + j5) (−3 − j5) (6 − j3)
I =
300 − j150 + 150 + j250 450 + j100 460.98|12.53° = = 30 − j15 + j30 + 15 − 9 − j15 − j15 + 25 61 − j15 62.82|−13.82° I = 7.34|26.35° A S = V ∗ I∗ S = 50 0° 7.34 26.35° = 367|26.35° VA S = (328.87 + j162.89)VA =
.
(5 + j5) 50|0° (−3 − j5) 50|0° 50(5 + 5) + 50(3 + 5) I = = (5 + j5) (−3 − j5) 62.82|−13.82° (−3 − j5) (6 − j3) I =
250 + 250 + 150 + 250 400 + 500 640.31|51.34° = = 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° 62.82|−13.82° I = 10.19|65.16° A S = V ∗ I∗ S = 50 0° 10.19 −65.16° = 509.5|−65.16° VA S = (214.03 − j462.36)VA =
.
9.29 En el circuito de dos mallas de la Fig. 9-29 hallar la potencia suministrada por el generador, así como la potencia disipada en cada una de las resistencias del mismo.
2I − j2I + j2(I − I ) = 10|0° 3I − j5I + 1I + j2(I − I ) = 0
2I − j2I + j2I − j2I = 10|0° 3I − j5I + 1I + j2I − j2I = 0
2 −j2
−j2 I (4 − j3) I
=
10|0° 0
10|0° −j2 10(4 − j3) 40 − j30 50|−36.87° (4 − j3) 0 I = = = = 2 −j2 2(4 − j3) + 4 8 − j6 + 4 13.42|−26.57° −j2 (4 − j3) I = 3.73|−10.3° A
S = 10 0° ∗ 3.73 10.3° = 37.3|10.3° VA S = (36.7 + j6.67) VA =
.
P = I ∗R P = (3.73)² ∗ (2) =
.
2 10|0° j20 20|90° −j2 0 I = = = = . 13.42|−26.57° 13.42|−26.57° 13.42|−26.57°
P = I ∗R P = (1.49)² ∗ (3) = .
P = I ∗R P = (1.49)² ∗ (1) = .
|
.
°
9.31 En el circuito de la Fig. 9-31 hallar la intensidad de corriente que circula por la impedancia ( +
)
.
j2.5I + 10(I − I ) = 10|0° j5I + 20(I − I ) = −10|0° 3I + j4I + 10(I − I ) + 20(I − I ) = 0
j2.5I + 10I − 10I = 10|0° j5I + 20I − 20I = −10|0° 3I + j4I + 10I − 10I + 20I − 20I = 0
(10 + j2.5) 0 −10
0 −10 I (20 + j5) I −20 (33 + j4) I −20
10|0° = −10|0° 0
(10 + j2.5) 0 10|0° (20 + j5) −10|0° 0 −10 −20 0 I = (10 + j2.5) 0 −10 (20 + j5) 0 −20 (33 + j4) −10 −20
(20 + j5) (10 + j2.5) 0 0 + 10 −10 −20 −10 −20 I = (20 + j5) −20 0 −10 (10 + j2.5) − 10 (20 + j5) −20 (33 −20 + j4) 10
I =
10(200 + j50) + 10(−200 − j50) (10 + j2.5)(660 + j80 + j165 − 20 − 400) − 10(200 + j50) I =
I =
2000 + j500 − 2000 − j500 (10 + j2.5)(240 + j245) − 2000 − j500
0 2400 + j2450 + j600 − 612.5 − 2000 − j500
I =
0 0 = = −212.5 + j2550 2558.84|94.76°
1 +R jωC −R 1 − R + +R jωC
Z +R +
− R +
(R + Z + R + jωL ) (R + R + jωL )
1 +R jωC −R 1 − R + +R jωC
Z +R +
I =
−
−
0
(R + R + jωL ) 1 R + + R + R + R + jωL jωC
+
+
−
+
(
(
−
+
+R R +
R + jωC
R jωC
² +(
)²
+ R (jωL ) +
;
=0
=0
+ R (jωL ) +
L C
=0
De donde:
=
0
)
) =0
−R R + R R +
= 0
− R +
0
1 − R + +R jωC
−R R −
1 +R jωC (R + R + jωL ) 1 R + + R + R + R + jωL jωC ∆
V
− −
1 +R jωC (R + R + jωL ) 1 R + + R + R + R + jωL jωC
−R
=
+(
)²
jωL jωC
9.33 El circuito de la Fig. 9-33 representa el puente de Owen. Hallar los valores de y
en función de las otras constantes del puente cuando la corriente que circula por
sea nula.
Z I +
1 jωC
(I − I ) + R (I − I − I ) +
Z I + R (I + I ) + jωL (I + I ) + 1 jωC
Z +
1 jωC
+R +
1 jωC
1 jωC
− R +
1 jωC
1 jωC
+R +
1 jωC
Z +
1 jωC
1 jωC
I =
1 jωC
1 jωC
V
1 jωC
+R +
+R
1 jωC
1 jωC
+R
−
1 jωC
1 jωC
+R
+ R + R + jωL +
1 jωC
+R +
R + jωL +
0
1 jωC
+R +
R + jωL +
0 1 jωC
(I + I − I ) + R (I + I − I ) = 0
−
1 jωC
R + jωL +
+R +
− R + −
1 jωC
Z + R + jωL +
(I − I − I ) = V
(I + I − I ) + R (I + I − I ) = 0
(I − I ) + R I + R (I + I ) + jωL (I + I ) +
− R + −
1 jωC
1 jωC
1 jωC
+R
− −
1 jωC
1 jωC
1 jωC
1 +R + jωC
1 jωC
1 jωC
I
= 0
I
0
+R
+ R + R + jωL +
R + jωL +
V
1 jωC
1 jωC
+R =0
∆
− R +
I
+R
1 + R + R + jωL + jωC
=0 +R
−
−R R − −
−
−
(
)−
−
+
+
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
−
+ +
+ =0
=
Hallar R R R jωL =R R + − jωC jωC jωC R = jωC R R +
R =
jωC R − jωL jωC
−ω C C R R + jωC R + ω C L jωC
Hallar L jωL R R =R R + − jωC jωC jωC L =C R R +
C R C R − jωC jωC
Por sustitución: −ω C C R R + jωC R + ω C R =
−
C R C R C R R + jωC − jωC
jωC +
+
R =
+ jωC
ω C C R jωC R =− jωC R =
ω C C R =R ω C C
−
ω C C R jωC
9.34 El circuito de la Fig. 9-34 es un puente de medida del coeficiente de autoinducción de una bobina. Elegir las mallas y escribir el sistema de ecuaciones en forma matricial. Hallar los valores de
y
cuando la corriente que circula por
Dónde: R =
R R R ; L = L R R
sea cero.
9.35 Hallar la función de transferencia de tensión
(20 + j4) −j4
/
−j4 I (2 + j14) I
en el circuito de la Figura 9-35.
=
V 0
(20 + j4) V V j4 V 4|90° −j4 0 I = = = (20 + j4) −j4 40 + j280 + j8 − 56 − 16 −32 + j288 (2 + j14) −j4 I = La tensión de salida
V 4|90° = V 0.0138|−6.34° 289.77|96.34°
es V = I j10 = V 0.0138 −6.34° 10 90° V = 0.138|83.66° V
9.36 Hallar la función de transferencia de tensión
/
en el circuito de la Figura
9.36.
(5 + j20) −5
−5 I (15 − j5) I
=
V 0
(5 + j20) V V5 V5 −5 0 I = = = (5 + j20) −5 75 − j25 + j300 + 100 − 25 150 + j275 (15 −5 − j5) I = La tensión de salida
V5 = V 0.0159|−61.39° 313.25|61.39°
es V = I 10 = V 0.0159 −61.39° ∗ (10) V = 0.159|−61.4° V
9.37 En el circuito de la Fig. 9-37 hallar el valor de
con el sentido de polarización
que se indica.
(2 + j2) −j2 (2 + j4) −j2 0 −j2
0 I I −j2 (2 + j4) I
=
−10|0° 0 0
(2 + j2) −j2 −10|0° (2 + j4) −j2 0 0 −j2 0 I = (2 + j2) −j2 0 (2 + j4) −j2 −j2 (2 0 −j2 + j4) −j2 (2 + j4) 0 −j2 I = (2 + j4) −j2 0 −j2 (2 + j2) + j2 (2 (2 + j4) −j2 + j4) −j2 −10|0°
I =
−10|0°(−4) 40 = (2 + j2)(4 + j8 + j8 − 16 + 4) + j2(−j4 + 8) (2 + j2)(−8 + j16) + 8 + j16 I =
40 −16 + j32 − − 32 + 8 + = .
=
|−
=
40 40 = −40 + j32 51.22|141.34°
.
°
∗
V = 0.78 −141.34° ∗ 2 90° = 1.56 −51.34° + 180° = .
.
°
9.38 En el circuito de la Fig. 9-38 hallar la potencia disipada en cada una de las tres resistencias.
(5 + j2) −j2 0 I −j2 4 j2 I 0 j2 (2 − j2) I
50|0° −j2 0 0 4 j2 50 −50|90° j2 (2 − j2) I = = (5 + j2) −j2 0 (5 + j2) −j2 4 j2 0 j2 (2 − j2) I =
50|0° 0 = −50|90°
4 j2 −j2 0 − j50 4 j2 j2 (2 − j2) 4 j2 −j2 0 + j2 j2 (2 − j2) j2 (2 − j2)
50(8 − j8 + 4) − j50(4) 400 − j400 + 200 − j200 = (5 + j2)(8 − j8 + 4) + j2(−j4 − 4) 40 − j40 + 20 + j16 + 16 + j8 + 8 − j8 I =
600 − j600 848.528|−45° = = 9.71|−29.055° A 84 − j24 87.36|−15.945°
P = I (5 Ω) P = (9.71)² ∗ (5) =
.
(5 + j2) 50|0° 0 −j2 0 j2 −j2 j2 (5 + j2) −50 + j50 0 −50|90° (2 − j2) (2 − j2) 0 −j2 I = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945°
0 j2
I =
−50(−j4 − 4) + j50(j10 − 4) j200 + 200 − 500 − j200 −300 = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I = −3.43|15.945° A
P = I (4 Ω) P = (−3.43)² ∗ (4) =
.
(5 + j2) −j2 50|0° −j2 4 0 −j2 4 (5 + j2) 50 − j50 0 j2 −50|90° 0 j2 −j2 I = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
−j2 4
50(4) − j50(20 + j8 + 4) 200 − j1000 + 400 − j200 600 − j1200 = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
1341.64|−63.43° = 15.357|−47.485° A 87.36|−15.945°
P = I (2 Ω) P = (15.357)² ∗ (2) =
.
9.39 En el circuito de Fig. 9-38 hallar la potencia suministrada por cada uno de los generadores.
(5 + j2) −j2 0 I −j2 4 j2 I 0 j2 (2 − j2) I
50|0° −j2 0 0 4 j2 50 −50|90° j2 (2 − j2) I = = (5 + j2) −j2 0 (5 + j2) −j2 4 j2 0 j2 (2 − j2) I =
50|0° 0 = −50|90°
4 j2 −j2 0 − j50 4 j2 j2 (2 − j2) 4 j2 −j2 0 + j2 j2 (2 − j2) j2 (2 − j2)
50(8 − j8 + 4) − j50(4) 400 − j400 + 200 − j200 = (5 + j2)(8 − j8 + 4) + j2(−j4 − 4) 40 − j40 + 20 + j16 + 16 + j8 + 8 − j8 I =
600 − j600 848.528|−45° = = 9.71|−29.055° A 84 − j24 87.36|−15.945°
S = V ∗ I∗ S = 50 0° ∗ 9.71 29.055° = 485.5|29.055° VA S = (424.4 + j235.78) VA
=
.
(5 + j2) −j2 50|0° −j2 4 0 −j2 4 (5 + j2) 50 − j50 0 j2 −50|90° 0 j2 −j2 I = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
−j2 4
50(4) − j50(20 + j8 + 4) 200 − j1000 + 400 − j200 600 − j1200 = = 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° 87.36|−15.945° I =
1341.64|−63.43° = 15.357|−47.485° A 87.36|−15.945°
S = V ∗ I∗ S = −50 90° ∗ 15.357 47.485° = −767.85|137.485°VA S = (565.98 + j518.9) VA
=
.
9.40 En el circuito de la Fig. 9-39 hallar la intensidad de la corriente de la malla
con
la elección de las mallas considerada.
(5 + j5) 5 5 I (13 + j3) (7 + j3) I 5 (7 + j3) (11 + j3) I 5
30|0° 30|0° = 30|0° − 20|0°
(5 + j5) 5 30|0° (13 + j3) 30|0° 5 (7 + j3) 10|0° 5 I = (5 + j5) 5 5 (13 + j3) (7 + j3) 5 (7 + j3) (11 + j3) 5 (5 + j5) (5 + j5) 5 (13 + j3) 5 5 − 30 + 10 (7 + j3) (13 + j3) 5 (7 + j3) 5 5 I = (13 + j3) (7 + j3) 5 5 5 5 (5 + j5) − 5 (7 + 5 (13 + j3) (11 + j3) + j3) (7 + j3) (7 + j3) (11 + j3) 30
I =
30(35 + j15 − 65 − j15) − 30(35 + j15 + j35 − 15 − 25) + 10(65 + j15 + j65 − 15 − 25) (5 + j5)(143 + j39 + j33 − 9 − 49 − j21 − j21 + 9) − 5(55 + j15 − 35 − j15) + 5(35 + j15 − 65 − j15)
I =
−900 − 30(−5 + j50) + 10(25 + j80) −900 + 150 − j1500 + 250 + j800 −500 − j700 = = (5 + j5)(94 + j30) − 100 − 150 470 + j150 + j470 − 150 − 100 − 150 70 + j620
=
860.23|−125.537° = . 623.939|83.558°
|−
.
°
9.41 Hallar la intensidad de corriente
en el circuito de la Figura 9-40.
(5 + j2) −5 (5 − j2) −5 0 −j2
0 I I −j2 (5 + j2) I
50|45° = 0 0
(5 + j2) −5 50|45° (5 − j2) −5 0 0 −j2 0 = (5 + j2) −5 0 (5 − j2) −5 −j2 (5 + j2) 0 −j2 −5 (5 − j2) 0 −j2 −j2 −5 0 +5 −j2 (5 + j2) (5 + j2)
50|45° I = (5 + j2)
(5 − j2) −j2
I =
50|45°(j10) (5 + j2)(25 + j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10)
I =
50 45° ∗ 10 90° 500|135° 500|135° = = 165 + j66 − 125 − j50 40 + j16 43.08|21.8° =
. |
. °
9.42 En el circuito de la Fig. 9-40 hallar la relación de intensidades .
(5 + j2) −5 (5 − j2) −5 0 −j2
0 I I −j2 (5 + j2) I
50|45° = 0 0
(5 + j2) −5 50|45° (5 − j2) −5 0 0 −j2 0 I = (5 + j2) −5 0 (5 − j2) −5 −j2 (5 + j2) 0 −j2 −5 (5 − j2) 0 −j2 −j2 −5 0 +5 −j2 (5 + j2) (5 + j2)
50|45° I = (5 + j2)
(5 − j2) −j2
I =
50|45°(j10) (5 + j2)(25 + j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10)
I =
50 45° ∗ 10 90° 500|135° 500|135° = = 165 + j66 − 125 − j50 40 + j16 43.08|21.8° =
I =
50|45° 0 0
. |
. °
−5 0 (5 − j2) −j2 (5 − j2) −j2 50|45° (5 + j2) −j2 (5 + j2) −j2 = 43.08|21.8° 43.08|21.8°
I =
50|45°(25 + j10 − j10 + 4 + 4) 43.08|21.8° I =
50|45°(33) 43.08|21.8°
I =
1650|45° 43.08|21.8°
I = 38.3|23.2° A I 38.3|23.2° = I 11.6|113.2° = . |−
=− .
°
9.43 En el circuito de la Fig. 9-41, con las tres corrientes de malla que se indican, hallar las impedancias
y
.
(5 + j2) −5 (5 − j2) −5 ∆ = 0 −j2 ∆ = (5 + j2)
0 −j2 (5 + j2)
(5 − j2) −j2 −5 0 +5 −j2 (5 + j2) (5 + j2) −j2
∆ = (5 + j2)(25 + j10 − j10 + 4 + 4) + 5(−25 − j10) ∆ = 165 + j66 − 125 − j50 ∆ = 40 + j16 ∆ = 43.08|21.8°
=
∆ 43.08|21.8° 43.08|21.8° 43.08|21.8° = = = −5 (5 − j2) ∆ j10 10|90° 0 −j2
=
∆ = ∆
= 4.3|−68.2°
43.08|21.8° 43.08|21.8° 43.08|21.8° = = −5 0 j10 10|90° (5 − j2) −j2
= 4.3|−68.2°
9.44 En el circuito de la Fig. 9-42 y con las mallas que se indican, hallar las ,
impedancias
y
∆ =
∆ = (15 + j5)
.
(15 + j5) −10 −j5 (12 − j4) −10 −2 (2 + j1) −j5 −2
(12 − j4) −10 −j5 −10 −j5 −2 + 10 − 5 (12 − j4) −2 (2 + j1) −2 (2 + j1) −2
∆ = (15 + j5)(24 + 12 − 8 + 4 − 4) + 10(−20 − 10 − 10) − 5(20 + 60 + 20) ∆ = (15 + j5)(24 + 4) + 10(−20 − 20) − 5(40 + 60) ∆ = 360 + 60 + 125 − 20 − 200 − 200 − 200 + 300 ∆ = 440 − 215 = 489.719|−26.04°
=
489.719|−26.04° 489.719|−26.04° 489.719|−26.04° ∆ = = = (12 − j4) −2 (24 + 4) ∆ 24.33|9.46° (2 + j1) −2
= 20.128|−35.5°
=
489.719|−26.04° 489.719|−26.04° 489.719|−26.04° ∆ = = = −10 −2 −20 − 10 − 10 ∆ 28.28|−135° −j5 (2 + j1)
= 17.316|108.96° − 180° = 17.316|71.04°
=
489.719|−26.04° 489.719|−26.04° 489.719|−26.04° ∆ = = = −10 (12 − j4) 20 + 60 + 20 ∆ 72.11|56.309° −j5 −2
= 6.79|−82.349°
9.45 En la Fig. 9-43 se añade el generador de
al circuito de la Fig. 9-42. Hallar el valor
de manera que la corriente de malla
( |
sea cero.
) (
)
|| | )
(
(
|
)
) (
( (
) (
|
| (
)
(
)
( )
|
| (
( |
|
)
|
) ) )
9.46 En la Fig. 9-44 se añade el generador de de manera que la corriente de malla
( |
al circuito de la Fig. 9-42. Hallar el valor sea nula.
) (
)
|| | )
(
(
|
)
) (
)
(
|
) (
) (
)
(
)
)
| (
(
|
| (
( |
|
|
) )
9.48 En el circuito de la Fig. 9-45 hallar las tensiones
y
sabiendo que la tensión
en bornes del generador es
( |
) || | (
|
|
)
En el Problema 9.38 se calculo ( |
) | (
)
|
| (
|
(
)
(
(
|
|
(
(
)
|
)( )
)
)
|
)|
(
|
|
)
(
) ( | (
( |
|
) ) ( |
)
) | (
|
(
(
)
)
(
|
(
(
|
(
|
( )|
|
|
)
)
)(
|
)
)
) |
|
( )
(
|
|
(
|
)|
)
)(
(
(
(
)
|
) ( | (
|
)
) ( |
)
|
)(
|
)
9.50 En el circuito de la Fig. 9-47 calcular el valor de la tensión en bornes del generador para que la intensidad de corriente que circule por él sea nula.
(
)
|
|| | (
( |
|
) |
| (
|
)
( |
| )
)
(
) (
(
)
)
|
10.15 Determinar el número de ecuaciones de tensiones en los nudos que son necesarios para resolver cada uno de los circuitos de la
−
( − ).
. ( )3, ( )5, ( )1, ( )4, ( )4, ( )4
10.16 Escribir la ecuación nodal para el nudo dado en la Figura 10-22.
V −V V V V + + + =0 1 R jωL R jωC V V V V − + jωC(V ) + + =0 R R jωL R V V V V + jωC(V ) + + = R jωL R R V
1 1 1 + jωC + + R jωL R
=
V R
10.18 En el circuito de la Fig. 10-24 y con los nodos representados escribir el sistema de ecuaciones correspondientes y ponerlo en forma matricial. Después escribir la matriz de impedancias [ ] por simple inspección y compararla con la que se obtiene a partir del sistema.
(
)
(
)
( ||
)
)
(
) (
(
)
( (
) || | | )
||
||
10.19 El circuito representado en la Fig. 10-25 anterior es un puente de Wien. Escribir las tres ecuaciones de los nudos y expresar el sistema en forma matricial. Escribir después [ ] directamente y compararla con la obtenida de las ecuaciones.
(
(
)
(
(
(
|
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
) (
|
)
(
) (
)
(
|| |
|
|
|| |
|
|
) )
10.22 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-28, la tensión
(
(
)
(
)
)
(
)
(
|
|
)
(
) (
)
(
)
10.24 Utilizando el método de los nudos hallar, en el circuito de la Fig. 10-30, la potencia suministrada por la fuente de 10 voltios y la potencia disipada en cada una de las resistencias.
V − 10|0° V V + + =0 (2 − j2) j2 (4 − j5) V 10|0° V V − + + =0 (2 − j2) 2.828|−45° j2 (4 − j5) V V V 10|0° + + = (2 − j2) j2 (4 − j5) 2.828|−45° V
V
1 1 1 10|0° + + = (2 − j2) j2 (4 − j5) 2.828|−45°
(2 + j2) (4 + j5) 1 1 ∗ − j0.5 + ∗ = 3.536|45° (2 − j2) (2 + j2) (4 − j5) (4 + j5) V
(2 + j2) (4 + j5) − j0.5 + = 3.536|45° 8 41
V (0.25 + j0.25 − j0.5 + 0.097 + j0.121) = 3.536|45° V (0.347 − j0.129) = 3.536|45° V =
3.536|45° 0.37|−20.393°
V = 9.556|65.393° v V = (3.979 + j8.688) v
I=
10 − 3.979 − j8.688 10.57|−55.277° = = 3.737|−10.277° A 2 − j2 2.828|−45° P = I (2) = (3.737)²(2) = 27.93 W
I=
9.556|65.393° 9.556|65.393° = = 1.492|14.053° A 4 + j5 6.403|51.34° P = I (3) = (1.492) ∗ 3 = 6.678 W
P = I (1) = (1.492) ∗ 1 = 2.226 W
P =P +P +P P = 27.93 + 6.678 + 2.226 P = 36.834 W
10.27 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-33, la tensión eficaz de la fuente obtener en la resistencia de 3 ohmios una potencia de 75 vatios.
V −V V V + + =0 j4 −j5 (3 + j4) V V V V − + + =0 j4 j4 −j5 (3 + j4) V
V
1 1 1 V + + = j4 −j5 (3 + j4) j4
− 0.25 + 0.2 +
V
(3 − j4) 1 V ∗ = (3 + j4) (3 − j4) j4
− 0.25 + 0.2 +
(3 − j4) V = 25 j4
V (− 0.25 + 0.2 + 0.12 − j0.16) =
V (0.12 − j0.21) =
V =
V =
V j4
V j4
V j4(0.12 − j0.21)
V 0.48 + j0.84 V(0.48 + j0.84) V(0.48 + j0.84) ∗ = = 0.48 − j0.84 0.48 + j0.84 0.23 + 0.705 0.935 V = V(0.513 + j0.898) =
.
.
°
para
I=
V 1.034 60.261° 3 + j4
I=
V 1.034 60.261° 5|53.13°
=
.
.
°
P = (V0.206)² ∗ (3) 75 = V (0.042) ∗ (3) V² =
75 = 595.238 0.126 =
.
10.28 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-34, cuál debe ser la fuente tensión en el nudo 1 sea
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
para que la
10.29 Hallar la tensión en el nudo 1 en el circuito de la Figura 10-35.
(
)
(
)
(
) (
) (
)
10.30 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-36, las intensidades de corriente en las ,
tres líneas,
e .
V − 50|90° V − 50|−30° V − 50|−150° + + =0 5|30° 5|30° 5|30° V
1 1 1 + + = 10 60° + 10 −60° + 10|−180° 5|30° 5|30° 5|30°
V 0.2 −30° + 0.2 −30° + 0.2 −30° = 5 + j8.66 + 5 − j8.66 − 10 V 0.6 −30° = 0 V =0
Entonces las intensidades de corriente I , I e I . I =
I =
I =
50|90° = 10|60° A 5|30°
50|−30° = 10|−60° A 5|30°
50|−150° = 10|−180° A 5|30°
10.34 El circuito de la Fig. 10-38 tiene una corriente de entrada de intensidad corriente en la resistencia de 10 ohmios es
( |
)
|| | )
(
( |
|
Determinar la relación
| |
) || | )
(
(
) (
( |
( |
)
( |
)
)
(
) |
(
)
) (
| )
|| |
| |
(
) (
|| |
| |
)
| |
La
10.35 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-39, la función de transferencia de tensión por el método de los nudos.
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
)
10.36 Determinar la función de transferencia de tensión
para el circuito de la
Figura 10-40.
( (
)
(
)
(
)
)
(
) (
)
(
( (
|
(
|
| ) ) )
(
(
(
|
)
)
)
) (
)
10.37 Utilizando el método de los nudos, obtener la tensión a través del circuito paralelo de la Figura 10-41.
V V V + + = 20|45° 8 3 + j4 2 − j8 V
1 1 1 + + = 20|45° 8 3 + j4 2 − j8
V 0.125 +
3 − j4 2 + j8 + = 20|45° 25 68
V (0.125 + 0.12 − j0.16 + 0.0294 + j0.1176) = 20|45° V (0.2744 − j0.0424) = 20|45° V 0.2776|−8.7838° = 20|45° V =
20|45° 0.2776|−8.7838°
=
.
|
.
°
,
10.38 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-42, las tensiones
y
por el
método de los nudos.
En el circuito de la figura se tomara el nudo A como el nudo 1 y el nudo B como el nudo de referencia. V V + = 10|0° 5 j5 V
1 1 + = 10|0° 5 j5
V (0.2 − j0.2) = 10|0° V
=
10|0° 10|0° = = 0.2 − j0.2 0.2828|−45°
.
|
°
Aplicando la primera ley de Kirchhoff, la corriente I = 10|0° que entra del nudo A al nudo B tiene que ser igual a las que salen: V V
= I∗5
= 10|0° ∗ 5 =
| °
En el circuito de la figura se tomara el nudo C como el nudo 2 y el nudo D como el nudo de referencia. V V + = 10|0° −j2 −j4 V
1 1 + = 10|0° −j2 −j4
V (j0.5 + j0.25) = 10|0° V
=
10|0° 10|0° = = j0.75 0.75|90°
. |−
°
10.40 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-44, las tensiones en los nudos fuente de
(
)
( )
( )
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
) (
)
( (
) )
y
y la
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.47 Calcular el valor de
en el circuito de la Fig. 10-49 por el método de los nudos.
V − 10|0° V V −V + + =0 2 j2 2 V −V V V + + =0 2 j2 (2 + j2)
1 1 1 + + −V 2 j2 2
V
−V
1 +V 2
1 1 1 + + 2 j2 2 1 − 2 (0.5 − j0.5 + 0.5) −(0.5) (1 − j0.5) −(0.5)
1 =5 2
1 1 1 + + =0 2 j2 (2 + j2)
−
1 2
1 1 1 + + 2 j2 (2 + j2)
V
5 =
V
−(0.5) (2 − j2) 0.5 − j0.5 + 8
0
V V
5 =
−(0.5) V 5 = (0.5 − j0.5 + 0.25 − j0.25) V 0
(1 − j0.5) −(0.5)
−(0.5) V 5 = (0.75 − j0.75) V 0
0
(1 − j0.5) 5 −(0.5) 0 V = (1 − j0.5) −(0.5) (0.75 − j0.75) −(0.5) V =
2.5 2.5 = (1 − j0.5)(0.75 − j0.75) − 0.25 0.75 − j0.75 − j0.375 − 0.375 − 0.25 V =
2.5 2.5 = = 2.21|83.659° v 0.125 − j1.125 1.131|−83.659°
I=
V 2.21|83.659° = = 0.781|38.659° A 2 + j2 2.828|45°
V = I(j2) V = 0.781 38.659° 2 90° = .
|
.
°
10.48 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-50, las tensiones de los nudos
y
.
V − 50|0° V V −V + + =0 5 j2 4 V −V V V − 26.2|113.2° − + =0 4 j2 2
1 1 1 + + −V 5 j2 4
V
−V
1 +V 4
1 1 1 + + 5 j2 4 1 − 4
∆Y =
∆Y =
1 1 1 + + 5 j2 4 1 − 4
1 = 10|0° 4
1 1 1 − + = 13.1|113.2° 4 2 2
1 4 1 1 1 − + 4 j2 2
1 4 1 1 1 − + 4 j2 2
−
−
=
10|0°
V V
=
13.1|113.2°
(0.2 − j0.5 + 0.25) −(0.25)
−(0.25) (0.25 + j0.5 + 0.5)
(0.45 − j0.5) −(0.25) = 0.3375 + j0.225 − j0.375 + 0.25 − 0.0625 (0.75 + j0.5) −(0.25) ∆Y = (0.525 − j0.15) ℧ = 0.546|−15.9453° ℧
10|0° −(0.25) 10 −(0.25) 13.1|113.2° (0.75 + j0.5) (−5.1606 + j12.0406) (0.75 + j0.5) V = = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° V =
7.5 + j5 − 1.2901 + j3.0101 6.2099 + j8.0101 10.1353|52.215° = = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° =
.
|
.
°
(0.45 − j0.5) 10|0° (0.45 − j0.5) 10 −(0.25) 13.1|113.2° (−5.1606 + j12.0406) −(0.25) V = = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° V =
−2.32227 + j5.41827 + j2.5803 + 6.0203 3.69803 + j7.99857 = 0.546|−15.9453° 0.546|−15.9453° V =
8.812|65.1871° 0.546|−15.9453°
V = 16.1391|81.1324° v
10.50 Determinar, en el circuito de la Fig. 10-52, el valor de la corriente de excitación I de |
que da lugar a una tensión
°
.
V V V −V −I+ + =0 (2 + j2) j5 10 V −V V V + + =0 10 j5 2 − j2
1 1 1 + + −V (2 + j2) j5 10
V
−V
1 +V 10
1 1 1 + + (2 + j2) j5 10 1 − 10
V =
V =
1 =I 10
1 1 1 + + =0 10 j5 2 − j2
−
1 10
V
1 1 1 + + 10 j5 2 − j2
V
I =
1 1 1 + + 10 I (2 + j2) j5 1 − 10 0 1 1 1 1 + + − 10 (2 + j2) j5 10 1 1 1 1 − 10 10 + j5 + 2 − j2 I ∗ (0.1) 2 − j2 8 − j0.2 + 0.1 −(0.1)
−(0.1) 0.1 − j0.2 +
2 + j2 8
0
V =
I ∗ (0.1) (0.25 − j0.25 − j0.2 + 0.1) −(0.1) (0.1 − j0.2 + 0.25 + j0.25) −(0.1) V =
V =
I ∗ (0.1) (0.35 − j0.45) −(0.1) (0.35 + j0.05) −(0.1)
I ∗ (0.1) (0.1225 + j0.0175 − j0.1575 + 0.0225) − 0.01
V =
I ∗ (0.1) I ∗ (0.1) = (0.145 − j0.14) − 0.01 0.135 − j0.14 5|30° =
I ∗ (0.1) 0.1944|−46.041°
I ∗ (0.1) = 5 30° ∗ 0.1944 −46.041° I ∗ (0.1) = 0.972|−16.041° = .
|−
.
°
11.17 Obtener el circuito equivalente de Thevenin en los terminales activo de la Figura 11-42.
=
5∗2 +8= . 5+2
Intensidad de corriente de circuito abierto: I = Caída de tensión en la
20 = 2.8571 A 5+2
de : V = 2 ∗ 2.8571 = 5.7142 v
Tensión
: = 12 − 5.7142 = .
Circuito equivalente de Thevenin:
del circuito
11.18 Obtener el circuito equivalente de Norton del correspondiente de la Figura 11-42.
11.19 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo dado en la Figura 11-43.
11.20 Hallar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-43.
11.21 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito puente representado en la Figura 11-44.
11.22 En el circuito del problema anterior se sustituye la resistencia de 500 ohmios por otra de 475 ohmios. Determinar el circuito equivalente de Thevenin.
11.23 Utilizar el teorema de Thevenin en el circuito puente de la Fig. 11-45 para hallar la desviación de un galvanómetro conectado a AB con una resistencia de 100 ohmios y una sensibilidad de 0.5 amperios por milímetro.
11.24 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del puente de alterna de la Figura 11-46.
11.25 Utilizando el teorema de Thevenin hallar la potencia disipada en una resistencia de 1 ohmio conectada en los terminales AB del circuito de la Figura 11-47.
11.26 Repetir el Problema 11-25 utilizando el circuito equivalente de Norton.
11.27 Obtener el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-48.
11.28 Hallar el circuito equivalente de Norton en los terminales AB del circuito de la Figura 11-48.
11.29 Utilizar el teorema de Thevenin para hallar la potencia disipada en una impedancia de 2 + 4 ohmios conectada a los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-49.
11.30 Repetir el problema anterior utilizando el teorema de Norton.
11.31 Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-50.
11.32 Determinar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-50.
11.35 En el circuito de la Fig. 11-52 hallar la corriente que pasa por la impedancia 3 + 4 ohmios sustituyendo, en primer lugar, el circuito en los terminales AB por su equivalente de Thevenin.
11.36 Repetir el problema anterior utilizando el teorema de Norton.
11.37 En el circuito de la Fig. 11-53 una fuente de intensidad de 15|54° amperios alimenta en los terminales señalados en el esquema. Sustituir el circuito, en AB, por un circuito equivalente de Thevenin.
11.38 Obtener el circuito equivalente de Nortonen los terminales AB del circuito de la Figura 11-53.
11.39 Obtener el circuito equivalente en los terminales AB del circuito de la Figura 1154.
11.40 Obtener el circuito equivalente de Norton de la Figura 11-54.
11.41 Utilizando el teorema de Thevenin hallar la potencia disipada en una impedancia = 10|60° ohmios conectada a los terminales AB del circuito de la Figura 11-55.
11.42 Repetir el problema anterior empleando el teorema de Norton.
11.44 Hallar el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-56.
11.45 Determinar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB del circuito activo de la Figura 11-57.
11.46 Obtener el circuito equivalente de Norton de la Figura 11-57.
11.47 El circuito activo de la Fig. 11-58 contiene un fuente de intensidad de 4|45° amperios y una fuente de tensión de 25|90° voltios. Hallar el circuito equivalente de Thevenin en los terminales AB.
11.48 Obtener el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-58.
11.50 Obtener el circuito equivalente de Norton del circuito de la Figura 11-59.
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