Clase De Integrales Dobles

Particionamos en rectángulos de área:

 n

Formamos la sumatoria

Sn 

f ( x k , y k ).A k

k 1

Calculamos el límite cuando n aumenta ya que losrectángulos son cada vez más pequeños

 n

límn   Sn 

f ( x k , y k ).A k

k 1

Cuando existe el límite la función es integrable y se conoce como la integral doble

Si f(x,y) es continua

Es integrable

El límite o integral doble es el volumen del sólido sobre la base R.

Cuando n crece, las sumas de Riemman se aproximan al volumen del sólido

Evaluación de integrales dobles

Por lo tanto, las integrales iteradas con cualquier orden de integración dan el volumen y es igual a la integral doble TEOREMA DE FUBINI: Si f(x,y) es continua en la región rectangular R,entonces:

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES

PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES DOBLES

VOLUMEN =

O BIEN:

VOLUMEN =

PROPIEDAD DE LAS INTEGRALES DOBLES 1)

2)

3)

4)

5)

El área de una región plana cerrada y acotada R es

MASA:

M



( x, y )dA

donde

( x, y ) es la función densidad o masa por unidad de área

R

Momentos de inercias: Mx 



y.( x, y )dA

Centro de masa:

x

M

 R

R

My

My 

;

Mx y M

x.( x, y )dA

Use una integración doble para determinar el volumen del tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano 3x + 6y + 4z - 12 = 0. SOLUCIÓN

Cambio de variables: coordenadas polares

Esto implica que el volumen del sólido de altura

Y entonces la f´ormula previa del ´area se puede escribir como:

Area=área total − área del trozo A

En el caso infinitesimal (trocitos de rectangulos polares) entonces:

Teorema

Ahora describiremos la misma integral en coordenadas polares:

necesitamos describir R como un rec´angulo polar.

por lo tanto la integral es:

Consideremos la integral

, donde R es la misma region del ejemplo anterior (1/4 circulo) En coordenadas rectángulares

Probamos ahora cambiando a coordenadas polares:

por lo tanto

Integrales triples y aplicaciones El procedimiento utilizado para definir una integral triple es análogo al utilizarlo para integrales dobles. Considerar una función f en tres variables que es continua sobre una región sólida acotada Q. Entonces, se encierra Q en una red de cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan completamente dentro de Q, como se muestra en la figura 14.52. El volumen del i-ésimo cubo es

Solución Para la primera integración, se mantienen x y y constantes y se integra con respecto a z.

Evalúe la integral triple de f (x, y, z) = 2xyz sobre la región sólida S en el primer octante que está acotada por el cilindro parabólico y los planos z = 0, y = x y y = 0.

Determinar el volumen de la region en el primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x + z = 1 y y + 2z = 2. En la gura se muestra un dibujo del solido.

Determinar el volumen del solido encerrado por las supercies

Calcular el volumen del solido acotado por el cilindro r = 3 cosθ y el plano z = - y en el cuarto octante cuya gura se muestra.