Integrales Dobles 2015-2016

INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Integrales dobles sobre rectángulos La integral de Riemann para una función f de dos variables se define de manera similar a la integral de una función de una variable: Consideremos el rectángulo R de lados paralelos a los ejes coordenados:

R  {(x, y) : a  x  b  c  y  d}

c

d

a

Formemos una partición P de la región R mediante rectas paralelas a los ejes. Esto divide a R en subrectángulos Rk.

b

Si k es el área del rectángulo Rk y escogemos en Rk un punto ( xk , y k ), podemos formar la suma de Riemann n

 f ( xk , y k )  k

k 1

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Haciendo cada vez más fina la partición P llegamos a definir la integral de f sobre la región R:  f ( x, y) dA R

Definición: Si el siguiente límite n

f ( xk , y k )  k  || P|| 0 lim

k 1

existe, decimos que la función f es integrable en R, su valor se denota k 1

R

d

a

n

f ( xk , yk ) k   f ( x, y)dA  ||P||0 lim

c

b

y se llama integral doble de f sobre R. Como k  xi yj es el área de un rectángulo, otra notación para la integral doble es

 f (x, y) dA  f (x, y) dxdy R

R

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Así como

b a f (x)dx, con f (x)  0 , representa el área de la región bajo

la curva y = f(x) entre a y b, de manera semejante, si f (x, y)  0 , la integral  f (x, y) dA representa el volumen del sólido bajo la R

superficie z = f(x, y) y arriba del rectángulo R.

Observaciones: (1) No toda función z = f(x, y) de dos variables es integrable sobre un rectángulo R. Si f es acotada en el rectángulo R y continua en R con excepción, quizás, en un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R. (2) Si f es continua en R, entonces f es integrable en R. (3) La integral doble hereda la mayoría de las propiedades de la integral simple, a saber,

 k R

f ( x, y) dA  k  f ( x, y) dA, k   R

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[ f (x, y)  g(x, y)]dA  f (x, y) dA  g(x, y) dA R

R

R

 f (x, y) dA  f (x, y) dA   f (x, y) dA R

R1

R2

donde R1 y R2 son subrectángulos de R que se sobreponen sólo en un segmento de recta. (5) Si f (x, y)  0, (x, y)R , entonces

 f (x, y) dA 0 R

(6) Si f (x, y)  g(x, y), (x,y)R , entonces

 f (x, y) dA g(x, y) dA R

R

(7) Si m f (x, y)  M, (x,y)R , entonces mAR   f (x, y) dA MAR donde AR es el área de R.

R

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(8) Las propiedades anteriores son válidas también para integrales sobre conjuntos más generales que los rectángulos. Evaluación de integrales dobles – Integrales iteradas Teorema de Fubini: Si f es integrable en el rectángulo R, entonces b d  dx d  b f (x, y)dx dy f ( x , y ) dA  f ( x , y ) dy  a   ac  c    R

Ejemplo: 2

  1 1 dy   sen ( y ) dy   cos( y )  1

 x sen ( y ) 1

 1

0 0 x sen( y ) dxdy  0 1  0 0

 

2

0 2

0

 1 x (  cos( y )) 0 0

x sen( y ) dydx  

2

1 2 xdx 0

dx  

0

x

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2

1 0

1

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Ejercicio: Calcule las integrales iteradas a)

ln( 3 ) ln( 2 ) x  y e dydx 0 0



b)



c)

1 1 2 xy x e dxdy 0 0

d)

 



 

ln( 2 ) 0 2 x e y dxdy 0 1 2 1 1 x dxdy 2 0 0



1 y

Ejercicio: Calcule la integral de f(x, y) sobre el rectángulo R si:

a)

f ( x, y )  sen( x  4 y ),

b)

f ( x, y )  xy 1  x 2 ,

R  [0, 2 ]  [0, 4 ] R  [0,

3 ]  [1, 2]

Ejercicio: Calcule el volumen del sólido que está bajo el plano

z = 2x + 5y + 1 y encima del rectángulo R = [-1, 0] x [1, 4].

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Área de una región en el plano y = f2(x) x = g1(y)

y = f1(x)

x = g2(y)

El área de la región R viene dada, respectivamente, por: b f 2 ( x) dydx a  f1 ( x )

d g2 ( y) dxdy c g 1 ( y )

Área A  

Área A  

Ejercicio: Dibuje la región cuya área está dada por

(a)

2 4 0 y 2 dxdy

(b)

4 x 0 0 dydx

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Integrales dobles sobre regiones generales Las integrales dobles sobre regiones R no rectangulares pueden ser complicadas. Para nuestro objetivo bastará considerar regiones R llamadas verticalmente simples, horizontalmente simples o uniones finitas de tales conjuntos.

R

R

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2 ex Ejercicio: Sea I    dydx . Calcule I, dibuje la región cuya 0 1 área está dada por I y luego invierta el orden de integración.

Teorema de Fubini: Sea f función continua en una región plana R. (1) Si R está definida por a  x  b, f1(x)  y  f2(x) con f1 y f2 funciones continuas en [a, b], entonces: b

f2 ( x )

a

f1 ( x )

 f ( x , y ) dA    R

f ( x , y ) dydx

(2) Si R está definida por c  y  d, g1(y)  x  g2(y) con g1 y g2 funciones continuas en [c, d], entonces: d

g2 ( x )

c

g1 ( x )

 f ( x , y ) dA    R

f ( x , y ) dxdy

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Ejercicio: Calcule

(a)

2 ( x   2y) dA

(b)

S

(x  2y) dA D

Si S es la región acotada por y  x2 e y  x y D es la región limitada por y  2x2 e y 1 x.2 Ejercicio: Invirtiendo el orden de integración, calcule: (a)

1 2 2 cos x dxdy 0 2 y

(b)

2 2 2 0 x y sen xy dydx

Volúmenes Si f es integrable sobre una región plana R y f ( x, y )  0

en

R,

el volumen de la región acotada inferiormente por

R

y

superiormente por la gráfica de f está dado por:

V   f (x, y) dA R

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Ejemplo: El volumen del sólido comprendido entre z = 1 y

z  x2  y2 2 sobre R {(x, y) : 1 x 1  0  y 1} es: 1 1 V   ( x 2  y 2  1) dA    dydx  10 3 1 0 R

Ejercicio: Invirtiendo el orden de integración, calcule: (a)

1 2 2 0 2 y cos x dxdy

(b)

2 2 2 0 x y sen xy dydx

Ejercicio: Calcule (a) El volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3x + 6y + 4z -12 = 0. (b) El volumen del sólido acotado por el cilindro x2 + z2 = 9 y los planos x = 0, y = 0, x + 2y = 2 en el primer octante. (c) El volumen en el primer octante entre los planos z = 0, z =

x+y+2

e interior al cilindro x2 + y2 = 16.

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Cambio de variable para integrales dobles Para integrales simples sabemos que: b d f ( x ) dx  a c f (g(u)) g'(u) du,

donde x  g(u), dx g'(u)du, a  g(c), b  g(d). Para integrales dobles se tiene el siguiente teorema:

(x, y)  f (x, y) dxdy   f g(u, v), h(u, v) (u, v) dudv R S donde f es continua en R, continuas en S y

g

y h

tienen derivadas parciales

(x, y) es no nulo en S. (u, v)

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El cambio de variables

x  g(u,v), y  h(u,v) introduce el factor

(x, y) llamado Jacobiano de x, y respecto de u, v, que se define así: (u, v)

(x, y)  (u, v) Ejemplo: Calcule

x v y v



x y y x  u v u v

x y 4 ( x  y ) e dydx donde R es el triángulo  R

Solución:

x u y u

formado por y 1, y  x e y  x.

Además,

(x, y)

x  12(uv), y  12(uv) y (u,v) 12. y 1  u v  2  v  u 2 y  x  u v  u v  v  0 y  x  u v  v u  u  0

Si u  x  y, v  x  y, entonces

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Es decir, mediante el cambio de variables, la región R del plano XY se transforma en la región S del plano UV limitada por las rectas v  u 2, v  0 y u  0. Y la integral se calcula así: 2 0 v 2 2 u e dvdu  2 ( 1  e ) 0 u  2

x y v 1 4 ( x  y ) e dydx  4 u e ( 2 ) dvdu     R

S

O también, 0 v2 v 2 2 u e dvdu  2 ( 1  e )  2 0

x y v 1 4 ( x  y ) e dydx  4 u e ( 2 ) dudv     R

S

Ejercicio: Sea R la región acotada por las rectas

x 2y, x  y  4 Calcule

y

x 11, x 2y  4.

 xy dA R

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Integrales dobles en coordenadas polares El Jacobiano para el cambio de variables de coordenadas rectangulares a coordenadas polares es:

 ( x, y )   (r , )

x r y r

x  y 

cos   sen 

 rsen  r r cos 

Por lo tanto, si R es la región de los puntos ( x, y)  (r cos , r sen ) tales que 0  g1( )  r  g2 ( ),      , con 0      2 ,

g1, g2 continuas en [, ] y f continua en R, entonces

 R

 g 2 ( ) f ( x , y ) dxdy    f ( r cos  , r sen  ) r dr d   g1 ( )

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Ejercicio: Calcule, usando coordenadas polares, las integrales,

( a)

a a2  y2 y dxdy 0 0

(b)

3 9 x 2 2 2 32 ( x  y ) dydx 0 0

Ejercicio: Calcule utilizando coordenadas polares las integrales

( a)

 e

x2  y2

dA

2

2

si R es la región encerrada por x  y  4

R

(b)

2 2 4  x  y dA si S es el sector del primer cuadrante de la  2 2 S círculo x  y 1 entre y = 0 e y = x.

Ejercicio: Calcule el volumen del sólido acotado por el 2

2

plano z = 0 y el paraboloide z 1 x  y . Observe la conveniencia de cambiar a coordenadas polares.

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Aplicaciones de las integrales dobles (1) Masa – Centro de masa Supongamos que una lámina ocupa una región D del plano XY y su densidad (variable) en unidades de masa por unidad de área en un punto (x, y) en D está dada por  ( x, y) , donde  es una función continua sobre D. La masa total m de la lámina es:

m    ( x , y ) dA D

Las coordenadas ( x , y ) del centro de masa de la lámina son:

x

1 x  ( x , y ) dA ,  mD

y

1 y  ( x , y ) dA  mD

Ejercicio: Determine la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D del primer cuadrante acotada por y  x2 y la recta y = 1 y que tiene función densidad  ( x, y)  xy. ______________________________________________________________________________________ Cálculo III - Integrales de funciones de varias variables - Prof. Isabel Arratia Z.

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Las integrales M x   y  ( x , y ) dA

y

D

M y   x  ( x , y ) dA D

corresponden al “momento (de toda la lámina) alrededor del eje X” y al “momento alrededor del eje Y” respectivamente. Es decir,

x

1 My m

e

y

1 Mx m

Ejercicio: La densidad en cualquier punto de una lámina semicircular es proporcional a la distancia desde el centro del círculo. Determine el centro de la lámina. Ejercicio: Determine la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D  {( x, y) / 0  x   , 0  y  sen x } y que tiene función densidad  ( x, y)  y.

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(2) Momento de inercia Si una lámina tiene función de densidad  ( x, y) y ocupa una región D del plano XY, las integrales

I x   y 2  ( x , y ) dA D

e

I y   x 2  ( x , y ) dA D

corresponden a los momentos de inercia (2° momento) de la lámina alrededor del eje X y del eje Y respectivamente. El momento de inercia alrededor del origen, también llamado momento polar de inercia es: 2 2

I o   ( x  y )  ( x , y ) dA D

Ejercicio: Determine el momento de inercia alrededor del eje X de 2 la lámina correspondiente a la región parabólica 0  y  4  x si la densidad en el punto (x, y) es proporcional a la distancia de (x, y) al eje X. ______________________________________________________________________________________ Cálculo III - Integrales de funciones de varias variables - Prof. Isabel Arratia Z.

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(3) Área de una superficie Consideremos la superficie S dada por z = f(x, y) definida sobre una región cerrada y acotada D del plano XY. Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en D, el área de la superficie S es:

A( S )   1  ( f x ( x , y )) 2  ( f y ( x , y )) 2 dA D

Ejercicios: Calcule el área de, (a) La porción del plano z  2  x  y que está situada encima del círculo x 2  y 2  1 en el primer cuadrante.

(b) La parte de la superficie z  x 2  2 y que está encima de la región triangular T del plano XY con vértices (0,0), (1,0) y (1,1). (c) La parte del paraboloide z  x2  y2 que está entre los cilindros x2  y 2  1 y x2  y 2  4. ______________________________________________________________________________________ Cálculo III - Integrales de funciones de varias variables - Prof. Isabel Arratia Z.

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