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Teodoro Busch Dekovice

Facultad de Ingeniería

PRACTICA Nº 5 BANDAS DE ENERGÍA Docente: Teodoro Busch Dekovice 1.- Considere un cristal unidimensional. Dentro del modelo de electrones cuasi-libres, el potencial cristalino puede describirse de acuerdo con el potencial unidimensional de la figura 1, donde 𝑈𝑜 = 1.0 𝑒𝑉 𝑦 𝑎 = 5Å . 𝑈𝑜 Figura Nº 1 Se pide determinar: a) El parámetro de red del cristal, b) La primera zona de Brillouin, c) Compare la anchura de los intervalos prohibidos con la energía de la banda en el punto de la zona de Brillouin donde aparece el intervalo d) Si cada átomo del cristal aporta un electrón, ¿ante qué tipo de compuesto está (aislante, conductor, ……)?, ¿Y si cada átomo aportara dos electrones libres?. 2.- Las superficies de energía constante en el silicio son elipsoides cerca del mínimo de la banda de conducción. Si el eje z se hace coincidir con una de las direcciones < 100 >, la relación de dispersión se puede escribir: ℏ2 ℏ2 2 𝐸𝐶 (𝑘⃗ ) = 𝐸𝑜 + 𝑘𝑧 (𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 ) + 2𝑚𝑡

2𝑚𝑙

Donde 𝑚𝑡 𝑦 𝑚𝑙 son las masas efectivas transversal y longitudinal, respectivamente. La simetría del cristal hace que hayan 𝑀 = 6 elipsoides equivalentes a) Demuestre que el número por unidad de volumen con energía comprendida entre 𝐸 𝑦 𝐸 + 𝑑𝐸 viene dada por: √2

3/2

𝑁(𝐸) = 𝜋2 ℏ3 𝑚𝑑 √𝐸 − 𝐸𝑜 Donde 𝑚𝑑 = 𝑀2/3 (𝑚𝑡2 𝑚𝑙 )1/3 es una masa efectiva equivalente b) Calcule el número de estados que existen en el Si entre 𝐸𝑜 𝑦 𝐸𝑜 + 𝑘𝑇 , donde k es la constante de Boltzmann y 𝑇 = 300 𝐾. Datos: 𝑚𝑡 = 0.19 𝑚𝑜 , 𝑚𝑙 = 0.98 𝑚𝑜 Sol: 𝑚𝑑 = 1.08 𝑚𝑜 , 𝑛𝑒𝑠𝑡 = 2.1𝑥1019 𝑒𝑠𝑡/𝑐𝑚3 3.- Determinar la anchura de los dos primeros intervalos de energía prohibida en la aproximación de electrones cuasi-libres para un potencial unidimensional en forma de escalón de amplitud 1 𝑒𝑉 y anchura 4 Å.. 4.- Sea un cristal unidimensional de parámetro de red 𝑎 = 𝜋Å y supongamos que el potencial creado por los iones puede expresarse por 𝑈(𝑥) = 0.2 𝑐𝑜𝑠(2𝑥), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝑠𝑒 𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 Å 𝑦 𝑈 𝑒𝑛 𝑒𝑉, a) Suponiendo que el potencial es pequeño, determinar el intervalo prohibido de energías, b) determinar la función de onda de un electrón cuyo momento cristalino es 𝑘 = 1 Å−1 . 5.- El potencial periódico de un cristal bidimensional puede expresarse de forma aproximada por 𝑈(𝑥, 𝑦) = 0.6 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥) + 0.6 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑦), donde 𝑥 𝑒 𝑦 están en Å 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑉, a) Determinar la simetría de celda y los parámetros cristalinos correspondientes, b) en la aproximación de electrones cuasi-libres , hacer un esquema de banda de energía más baja a lo largo de las

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direcciones [10] 𝑦 [11], hasta volver al origen de la zona de Brillouin. Calcular las brechas de energía en las fronteras de zona correspondientes. 6.- El modelo de Kronig-Penney es un modelo unidimensional resoluble para el problema de un electrón en un potencial periódico. El potencial supuesto para los átomos es:

𝑈𝑜

𝑏

𝑎 = 𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑 𝑎≫𝑏

𝑥 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎) 𝑎 De resolver la ecuación de Schrodinger para el electrón se encuentra para laa relación de dispersión 𝜀 = 𝜀(𝑘): 𝑠𝑒𝑛 (𝛼𝑎) 𝑃 + cos(𝛼𝑎) = cos(𝑘𝑎) 𝛼𝑎 2 𝑚 𝜀 1/2

𝑏𝑈 𝑚𝑎

𝑜 Donde 𝛼 = ( ℏ ) 𝑦 𝑃= . Sacar todas las consecuencias posibles de la expresión ℏ2 anterior. Por ejemplo: a) ¿Hay bandas de energía?, ¿Hay bandas prohibidas? b) ¿Qué pasa para 𝑃 tendiendo a cero y a infinito?, ¿Qué significa? c) ¿Qué se puede decir de la velocidad de electrones?, ¿es 𝑣 = 0 en los bordes de la zona? d) ¿Qué influencia tiene 𝑎?.

7.- Para la relación de dispersión en banda de la forma: ℇ = ℇ𝑜 +

ℏ2 𝑘12 2𝑚1∗

+

ℏ2 𝑘22 2𝑚2∗

+

ℏ2 𝑘3∗ 2𝑚3∗

Determinar la densidad de estados de la banda 8.- Asuma que la relación de dispersión de la banda de conducción dentro la primera zona de Brillouin está en forma de una función coseno con: i) un mínimo en 𝑘 = 0, ii) una amplitud de 2𝜋 2𝜋 2𝜋 25 𝑚𝑒𝑉, y iii) un ancho de periodo completo de 𝑎 = 5 Å = 0.5 𝜂𝑚. Asuma que el semiconductor tiene una energía de brecha de 𝐸𝑔 = 2.5 𝑒𝑉. a) Graficar la relación de dispersión de la banda de conducción dentro la primera zona de Brillouin b) Calcular la masa efectiva de electrones cerca el mínimo en 𝑘 = 0. c) Calcule el momento del fotón de la luz emitido por el semiconductor d) Asuma que un evento de recombinación electrón hueco ocurre con el electrón que tiene un momento igual al momento del fotón y un hueco tiene un momento de 𝑝 = 0, ¿bajo estas condiciones satisface la conservación del momento?, e) Exprese el momento del electrón con un porcentaje del momento del electrón que tendría en la etapa de la zona de Brillouin, f) ¿Qué conclusión se obtiene si pudiera dibujar de los resultados del ejercicio?

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𝑑𝑘

9.- Use la ecuación de movimiento ℏ 𝑑𝑡 = −𝑒ℇ, para demostrar que el periodo de oscilación de Bloch para un cristal unidimensional que tiene un periodo de red 𝑎: ℎ 𝜏 = 𝑒ℇ𝑎 10.- Si una relación de una energía de vector de onda para una partícula de masa 𝑚 tiene la ℏ2

forma: 𝐸 = 3 𝑚 𝑘 2 . Determine la masa efectiva. 11.- Si la relación de la energía de número de onda para un electrón en algún material es ℏ2 𝐸= cos( 𝑘) 2𝑚 Determine la masa efectiva y la velocidad de grupo. Describe el movimiento (velocidad, dirección, etc.) de un electrón cuando una corriente continua (constante) de un campo eléctrico aplicado al material, tales puntos derecha e izquierda de u vector del campo eléctrico (por ejemplo un electrón en el espacio libre podría acelerar por la derecha) . En particular, describe el movimiento como 𝑘 varía desde 0 𝑎 2𝜋. Asuma que no existe dispersión de electrones. 12.- Si la relación de la energía de número de onda para un electrón en algún material es: 𝐸 = 𝐸𝑜 + 2𝐴 cos (𝑘𝑎) . Determine la posición de un electrón como una función de tiempo. Ignore las dispersiones. 13.- Considere un electrón en una red perfectamente periódica, en donde la relación de la energía de número de onda en la primera zona de Brillouin está dado por. 𝐸=

ℏ2 𝑘 2 5 𝑚𝑒

Donde 𝑚𝑒 es la masa de un electrón en el espacio libre 𝑘𝑉

14.- Asume que el campo eléctrico constante de intensidad ℰ = −1 es aplicado a un material 𝑚 en 𝑡 = 0 𝑠, que no ocurre dispersión: 𝑒ℰ a) Resuelva la ecuación de movimiento 𝑘(𝑡) = 𝑡 para determinar el valor de vector de onda ℏ en 𝑡 = 1, 3, 7, y 10 𝜂𝑚, b) Asumiendo que el periodo de la red es 𝑎 = 0.5 𝜂𝑚, determine en que la zona de Brillouin el vector de onda está en cada tiempo. Si el vector de onda se extiende por la exterior de la primera zona de Brillouin, dentro el gráfico un lugar equivalente en la primera zona. 15.- La relación de dispersión de electrones en la banda de conducción y valencia cerca de los bordes de la banda están expresadas aproximadamente por las siguientes funciones: 𝐸𝑐 (𝑘) = 4.65𝑥10−20 𝑘 2 + 11.9 𝑒𝑉 𝐸𝑣 (𝑘) = −3.024𝑥10−20 (𝑘 − 2.45𝑥108 )2 + 13 𝑒𝑉 Exprese las masas efectivas de electrones en unidades de la masa de electrón libre 𝑚𝑒 = 9.11𝑥10−31 𝑘𝑔. 16.- Para un electrón que se propaga en una cadena unidimensional de átomos idénticos, separados por una distancia interatómica “ 𝑎 “, la energía (en eV) E con el vector de onda 𝑘 como 𝐸(𝑘) = 3(1 + cos(𝑘𝑎)) en la banda de valencia y como 𝐸(𝑘) = 6.7 + 2 (1 − cos(𝑘𝑎))

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En la banda de conducción a) Representar la estructura de bandas en la primera zona de Brillouin b) Determinar el valor mínimo del salto de energía c) Calcular la masa efectiva de los electrones en el pie de la banda de conducción y de los huecos en el tope de la banda de valencia. 17.- Sea un sólido unidimensional cuya constante de la red es 𝑎 = 3 Å . en su última banda llena la energía de los electrones viene dada (en eV) por 𝐸(𝑘) = 4 + 2 cos(𝑘𝑎) a) Dibujar la banda en la primera zona de Brillouin b) Dibujar la variación de la masa efectiva respecto de 𝑘 c) Hallar la aceleración que sufre un electrón cuya energía es de 5 𝑒𝑉, cuando se aplica un campo de 2𝑥104 𝑉/𝑐𝑚. 18.- la red cúbica tridimensional la energía puede escribirse (en eV) como: 𝐸(𝑘) = −2 𝐴 [cos(𝑘𝑥 𝑎) + cos(𝑘𝑦 𝑎) + cos(𝑘𝑧 𝑎)] donde A queda vinculada al ancho de la banda de energía, a) Demostrar que la energía en el fondo de la banda es independiente de la dirección del vector 𝑘 y proporcional a 𝑘 2 . Explicar el significado físico de este resultado b) Demostrar que la masa efectiva de las partículas que están en el fondo de la banda es positiva e inversamente proporcional al ancho de la banda c) ídem b) pero en el techo de la banda donde la masa resulta negativa. 19.- La banda de valencia de un semiconductor cúbico P de parámetro 𝑎 = 3 Å es de la forma 𝐸(𝑘) = 𝑦 (cos 𝑘𝑥 𝑎 + cos(𝑘𝑦 𝑎) + cos(𝑘𝑧 𝑎)) a) Dibuje la forma de la banda en la primera zona de Brillouin a lo largo de la dirección (100) b) Calcule la masa efectiva de un hueco situado en 𝑘 = 0, en función de 𝑦 c) Aplicando un campo magnético de 104 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 se observa una frecuencia angular de resonancia de ciclotrón 𝑤𝐶 = 1.5𝑥1011 𝑟𝑎𝑑/𝑠 , deduzca a partir de 𝑦 a partir de la frecuencia de resonancia d) Calcule el valor máximo de la anchura de la banda en la dirección 𝑘𝑥 e) Si la banda de conducción tiene como ecuación: 𝐸(𝑘) = 𝐸𝑜 − 2 𝑦 (cos(𝑘𝑥 𝑎) + cos(𝑘𝑦 𝑎) + cos(𝑘𝑧 𝑎)), E indique cual sería la frecuencia umbral de absorción óptica, si 𝐸𝑜 = 8.5 eV. 20.- La curva de energía en función de 𝑘 para los electrones de conducción de un cristal 𝑘𝑎

hipotético tiene la forma 𝐸 = 2 𝑒𝑉 + 2 𝐴 𝑠𝑒𝑛2 ( 2 ), donde 𝑎 = 2 Å es el espaciamiento entre los átomos de la red cristalina: a) Determine 𝐴, sabiendo que en este caso la masa efectiva en el fondo de la banda de conducción es igual es igual a la del electrón libre, b) Verifique que la velocidad de grupo es nula en los bordes de la primera banda donde 𝜋 𝑘 = ± 𝑎, c) Si 𝑘𝐹 = 2.6𝑥109 𝑚−1 , calcular la energía de Fermi y la masa efectiva en el nivel de Fermi.

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