Coordenadas_polares

Coordenadas Polares (de Cartesianas a Polares)

Mar´ıa del Carmen Calvo √ q P = ( 3, 1) La primera coordenada polar es simple de hallar √ √ √ r = ( 3, 1) = 3 + 1 = 4 = 2 Para hallar el a´ ngulo es necesario tener ubicado el cuadrante donde se encuentra el punto. En este caso las dos coordenadas cartesianas de P son positivas; luego, P est´a en el primer cuadrante. Siempre ayuda tener un esquema que represente la situaci´on que se est´a analizando

.

C2 1

S P

θ 3

Ahora es claro que 0 < θ <

π 2

y que adem´as satisface     cos θ =    sen θ =

La conocida tablita nos dice que θ=

√ 3 2 1 2

π 6

y entonces las coordenadas polares de P son (2, π6 )

2

2

FAC. DE INGENIERIA — UCA — ALGEBRA Y GEOMETRIA — Primer Cuatrimestre 2015 — Coordenadas Polares

√ q P = (− 3, 1) La primera coordenada polar es √ √ √ √ √ r = (− 3, 1) = (− 3)2 + 1 = 3 + 1 = 4 = 2 En este caso el punto P no est´a en el primer cuadrante por lo que no podemos esperar que la tablita nos de directamente el valor a´ ngulo. Vamos a tener que trabajar un poquito m´as. Si miramos el siguiente gr´afico

S P

C2

.

1

- 3

2

y lo comparamos con el del caso anterior vemos que S θ y S α son semirrectas sim´etricas respecto del eje y. Concluimos entonces que a α le falta un a´ ngulo de medida θ para llegar a ser π; es decir, α+θ =π y por lo tanto α=π−θ =π−

π 5π = 6 6

En consecuencia, las coordenadas polares de P son, en este caso, (2, 5π ) 6 √ q P = (− 3, −1) Una cuenta muy similar a la hecha en los casos anteriores muestra que

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3

r=2

Para averiguar el a´ ngulo basta notar que las semirrectas S β mostrada en la siguiente figura

C2 - 3

.

2 -1

P S

y la semirrecta S θ del primer caso son opuestas. Entonces β es haber dado medio giro —π— a partir de S θ . Luego,

β=θ+π=

7π π +π= 6 6

y las coordenadas polares de P en este caso son

(2, 7π ) 6 √ q P = ( 3, −1)

De nuevo, r=2

Respecto de a´ ngulo, mirando la siguiente figura

4

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C2 3

.

-1

2

P S

vemos que las semirrectas S γ y S θ son sim´etricas respecto del eje x. Ahora podemos decir que a γ le falta un a´ ngulo de medida θ para llegar a ser 2π (un giro completo). Luego, γ + θ = 2π de donde γ = 2π − θ = 2π −

π 11π = 6 6

con lo cual las coordenadas polares del punto P, en este caso, son (2, 11π ) 6