Angulo Polar- Uca

FACULTAD DE INGENIERIA — UCA

ALGEBRA Y GEOMETRIA — Primer Cuatrimestre 2014

C´alculo del Angulo Polar Mar´ıa del Carmen Calvo

Si conocemos las coordenadas cartesianas (x, y) de un punto P ∈ R2 y queremos hallar las polares, encontrar el valor del radio es muy simple r=

√

x2 + y2

mientras que averiguar el valor del a´ ngulo polar θ va a resultar un poco m´as complicado; especialmente si no se trata de uno de los a´ ngulos famosos 1 Concretamente se trata de encontrar el u´ nico valor de θ ∈ [0, 2π) que satisface  x    cos θ = r  y   sen θ = r Teniendo presente los intervalos que tomamos como dominio del seno y del coseno para convertirlas en funciones biyectivas [ π π] −→ [−1, 1] , cos : [0, π] −→ [−1, 1] sen : − , 2 2 [ ] podemos decir que para cualquier n´umero −1 6 t 6 1 hay un u´ nico θ ∈ − π2 , π2 tal que sen θ = t esto se muestra en la siguiente figura

θ -π/2

π/2

t sen θ = t o, lo que es decir lo mismo, arcsen t = θ 1

los de la tablita

2

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Algo an´alogo se logra para el coseno. En la siguiente figura se muestra cu´al es el u´ nico´angulo θ ∈ [0, π] cuyo coseno vale t (en un caso) y el u´ nico a´ ngulo θ′ ∈ [0, π] cuyo coseno vale s (en el otro)

1

.

.

arccos(s)

arccos(t) t

-1

s

/2

1

t

arccos(s)

arccos(t) s

-1 concretamente, θ = arccos(t)

θ′ = arcsen(s)

,

Ejemplo 1 Supongamos que sabemos que α representa a un a´ ngulo del primer cuadrante que satisface sen α = Esto significa que 06α6 Si ubicamos

4 5

π 2

4 5

y

sen α =

4 5

en el gr´afico anterior

4/5

α

-π/2

π/2

como α est´a en un intervalo donde sen es biyectiva podemos asegurar que α = arcsen

4 5

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3

Ejemplo 2 4 Supongamos ahora que β representa a un a´ ngulo del cuarto cuadrante que satisface sen β = − 5 La siguiente figura nos ayuda a ver lo que sucede

β -π/2

π/2

-4/5

Hay un u´ nico valor de β ∈ [− π2 , π2 ] que satisface esa condici´on; adem´as, como − 54 < 0 se ve que β ∈ [− π2 , 0], es decir, est´a en el cuarto cuadrante. Por estar β est´a en un intervalo donde sen es biyectiva podemos asegurar que ( ) 4 β = arcsen − 5

Comentario Dado que

π 6β60 2 es claro que β no podr´a nunca ser el a´ ngulo polar de punto alguno del plano (todos ellos est´an entre 0 y 2π). Pero resulta que los a´ ngulos −

β

y

β + 2π

determinan la misma semirrecta porque uno se obtiene a partir del otro al dar una vuelta completa; es decir, S β = S β+2π y resulta que

π 0 < − + 2π 6 β + 2π < 0 + 2π = 2π 2 Por lo tanto, si buscamos la coordenada polar θ de un punto del cuarto cuadrante que satisface sen θ = −

4 5

podemos asegurar que se trata de θ = β + 2π

4

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Ejemplo 3 Digamos ahora que γ representa a un a´ ngulo del segundo cuadrante que satisface sen γ =

4 5

Esto significa que

π 4 6γ6π y sen γ = 2 5 Haciendo un esquema gr´afico que represente a esta situaci´on vemos que

4/5

γ arcsen 4/5

arcsen 4/5 π/2

γ

π

arcsen 4/5 =/ γ Es claro entonces que en este caso no podemos decir que γ sea el arcoseno de 0 < arcsen

4 π < 5 2

y

4 5

porque

π <γ<π 2

Los valores de arcsen t representan u´ nicamente a´ ngulos que est´an en el primer o cuarto cuadrante. Los que est´an en el segundo o en el tercero no pueden expresarse como arcoseno de alguien. Esto se ilustra, mostrando dos casos representativos, en la siguiente figura

1

.

2/3

2/3

arcsen(2/3) 1 arcsen(-3/4)

-1

-3/4 -1

arcsen(-3/4) -π/2

.

arcsen(2/3)

π/2

-3/4

Comentado todo esto seguimos sin hallar γ. Est´a claro que cuando el a´ ngulo est´a en el segundo cuadrante la funci´on sen no ayuda tan f´acilmente como lo hac´ıa en el primero y en el cuarto.

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Recurrimos entonces a la funci´on[cos ]que s´ı nos va a servir porque su inversa toma valores entre 0 y π, lo que incluye el intervalo π2 , π que corresponde precisamente al segundo cuadrante.

1

.

.

arccos(-3/4)

arccos(1/4) 1/4

-1 -3/4

1/4

π/2

1

arccos(-3/4)

arccos(1/4)

π

-3/4 -1

La figura anterior muestra, tambi´en a partir de dos casos representativos, que los distintos valores de arccos t representan exclusivamente a a´ ngulos que est´an en el primer cuadrante o en el segundo. Los que est´an en el tercero o en el cuarto no pueden expresarse como arcocoseno de alguien. Dicho todo esto, para hallar finalmente cu´anto vale γ trabajaremos exactamente igual que en los ejemplos anteriores pero usando el coseno en lugar del seno. Recordemos que sobre γ sabemos que 4 π 6γ6π y sen γ = 2 5 pero como pretendemos usar la funci´on cos tenemos que averiguar cu´anto vale cos γ √ √ √ 9 3 = = | cos γ | = 1 − sen2 γ = 1 − 16 25 25 5 π y por ser 2 6 γ 6 π resulta que cos γ 6 0; entonces cos γ = −

3 5

Ubicamos − 35 en un esquema gr´afico del coseno

γ π/2 -3/5

π

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como γ est´a en un intervalo donde cos es biyectiva podemos asegurar que ( ) 3 γ = arccos − 5 Ejemplo 4 Consideremos finalmente que δ representa a un a´ ngulo que est´a en el tercer cuadrante y cuyo coseno vale 3 cos δ = − 5 Esto significa que 3π 3 π6δ6 y cos δ = − 2 5 [ ] Como el intervalo π, 3π no est´a incluido ni en el dominio donde el seno es biyectiva ni en el 2 dominio donde el coseno lo es, no vamos a poder trabajar como en los ejemplos anteriores. Notemos lo siguiente,

.

Q

-

.

P

P y Q son opuestos respecto del origen Sus ángulos polares difieren en medio giro

es decir, 3π π , entonces 0 6 δ − π 6 2 2 2 con lo cual δ − π est´a en el primer cuadrante y su coseno vale si π 6 δ 6

( ) 3 3 cos(δ − π) = cos δ cos π + sen δ sen π = − cos δ = − − = 5 5

por lo tanto, estando δ − π en un intervalo donde el coseno es biyectiva podemos asegurar que ( ) 3 arccos =δ−π 5 y de aqu´ı obtenemos finalmente que

2

cos(u ± v) = cos u cos v ∓ sen u sen v

( ) 3 δ = arccos +π 5